11 konsep dualitas dalam model pemrograman linier
DESCRIPTION
kuliah rantai suplaiTRANSCRIPT
![Page 1: 11 Konsep Dualitas Dalam Model Pemrograman Linier](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022082204/55cf9502550346f57ba5ecd0/html5/thumbnails/1.jpg)
Konsep dualitas dalam model
pemrograman linier
Suprayogi
Andi Cakravastia
Leksananto Gondodiwirjo Kelompok Keahlian Sistem Industri dan Tekno-Ekonomi
Fakultas Teknologi Industri Institut Teknologi Bandung
![Page 2: 11 Konsep Dualitas Dalam Model Pemrograman Linier](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022082204/55cf9502550346f57ba5ecd0/html5/thumbnails/2.jpg)
Model pemrograman linier simetris
(kasus maksimisasi)
Suatu model pemrograman linier untuk kasus
maksimisasi dikatakan simetris jika dicirikan oleh hal-
hal berikut :
• Tiap pembatas dinyatakan dalam pertidaksamaan
berbentuk “lebih kecil atau sama dengan”.
• Tiap variabel keputusan adalah tak negatif.
2
![Page 3: 11 Konsep Dualitas Dalam Model Pemrograman Linier](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022082204/55cf9502550346f57ba5ecd0/html5/thumbnails/3.jpg)
Model pemrograman linier simetris
(kasus maksimisasi)
3
![Page 4: 11 Konsep Dualitas Dalam Model Pemrograman Linier](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022082204/55cf9502550346f57ba5ecd0/html5/thumbnails/4.jpg)
Contoh model pemrograman linier simetris
(kasus maksimisasi)
4
![Page 5: 11 Konsep Dualitas Dalam Model Pemrograman Linier](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022082204/55cf9502550346f57ba5ecd0/html5/thumbnails/5.jpg)
Model pemrograman linier simetris
(kasus minimisasi)
Suatu model pemrograman linier untuk kasus
minimisasi dikatakan simetris jika dicirikan oleh hal-
hal berikut:
• Tiap pembatas dinyatakan dalam pertidaksamaan
berbentuk “lebih besar atau sama dengan”.
• Tiap variabel keputusan adalah tak negatif.
5
![Page 6: 11 Konsep Dualitas Dalam Model Pemrograman Linier](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022082204/55cf9502550346f57ba5ecd0/html5/thumbnails/6.jpg)
Model pemrograman linier simetris
(kasus minimisasi)
6
![Page 7: 11 Konsep Dualitas Dalam Model Pemrograman Linier](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022082204/55cf9502550346f57ba5ecd0/html5/thumbnails/7.jpg)
Contoh model pemrograman linier simetris
(kasus minimisasi)
7
![Page 8: 11 Konsep Dualitas Dalam Model Pemrograman Linier](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022082204/55cf9502550346f57ba5ecd0/html5/thumbnails/8.jpg)
Hubungan primal-dual untuk
model pemrograman linier simetris
Misal terdapat model pemrograman linier simetris
dengan 𝑚 pembatas fungsional dan 𝑛 variabel
keputusan.
Model pemrograman linier ini disebut model primal
(primal model).
Bentuk cerminan dari model primal disebut
dengan model dual (dual model).
Model dual memiliki 𝑛 pembatas fungsional dan 𝑚
variabel keputusan.
8
![Page 9: 11 Konsep Dualitas Dalam Model Pemrograman Linier](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022082204/55cf9502550346f57ba5ecd0/html5/thumbnails/9.jpg)
Tabel konversi untuk model primal dan dual
simetris
9
![Page 10: 11 Konsep Dualitas Dalam Model Pemrograman Linier](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022082204/55cf9502550346f57ba5ecd0/html5/thumbnails/10.jpg)
Contoh konversi model primal dan dual
simetris
10
Primal Dual
![Page 11: 11 Konsep Dualitas Dalam Model Pemrograman Linier](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022082204/55cf9502550346f57ba5ecd0/html5/thumbnails/11.jpg)
Contoh konversi model primal dan dual
simetris
11
Primal Dual
![Page 12: 11 Konsep Dualitas Dalam Model Pemrograman Linier](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022082204/55cf9502550346f57ba5ecd0/html5/thumbnails/12.jpg)
Model pemrograman linier tak simetris
Model pemrograman linier tak simetris (asymmetric
linear programming model) dicirikan oleh:
• Rumusan pembatas bervariasi yang dapat berbentuk " ≤ ", " ≥ " atau " = ".
• Nilai variabel-variabel keputusan dapat dibatasi tak
negatif, tak positif atau bebas
12
![Page 13: 11 Konsep Dualitas Dalam Model Pemrograman Linier](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022082204/55cf9502550346f57ba5ecd0/html5/thumbnails/13.jpg)
Konversi ke model simetris
Pembatas fungsional berbentuk "≥" diubah menjadi
berbentuk "≤" untuk kasus maksimisasi atau
pembatas fungsional berbentuk "≤" diubah menjadi
berbentuk "≥" untuk kasus minimisasi.
Pembatas fungsional berbentuk "=" diubah menjadi
dua pertidaksamaan berbentuk "≤" untuk kasus
maksimisasi atau dua pertidaksamaan berbentuk
"≥" untuk kasus minimisasi.
Variabel keputusan tak positif disubstitusi menjadi
negatif dari variabel tak negatif.
Variabel keputusan bebas disubstitusi menjadi
selisih dua variabel tak negatif
13
![Page 14: 11 Konsep Dualitas Dalam Model Pemrograman Linier](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022082204/55cf9502550346f57ba5ecd0/html5/thumbnails/14.jpg)
Contoh
14
![Page 15: 11 Konsep Dualitas Dalam Model Pemrograman Linier](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022082204/55cf9502550346f57ba5ecd0/html5/thumbnails/15.jpg)
Konversi ke bentuk tak simetris ke simetris
15
![Page 16: 11 Konsep Dualitas Dalam Model Pemrograman Linier](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022082204/55cf9502550346f57ba5ecd0/html5/thumbnails/16.jpg)
16
Primal (Tak Simetris) Primal (Simetris)
![Page 17: 11 Konsep Dualitas Dalam Model Pemrograman Linier](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022082204/55cf9502550346f57ba5ecd0/html5/thumbnails/17.jpg)
17
Primal (Simetris) Dual (Simetris)
![Page 18: 11 Konsep Dualitas Dalam Model Pemrograman Linier](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022082204/55cf9502550346f57ba5ecd0/html5/thumbnails/18.jpg)
Konversi ke bentuk dual simetris ke
bentuk dual tak simetris
18
![Page 19: 11 Konsep Dualitas Dalam Model Pemrograman Linier](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022082204/55cf9502550346f57ba5ecd0/html5/thumbnails/19.jpg)
19
Dual (Simetris) Dual (Tak simetris)
![Page 20: 11 Konsep Dualitas Dalam Model Pemrograman Linier](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022082204/55cf9502550346f57ba5ecd0/html5/thumbnails/20.jpg)
Hasil akhir konversi primal-dual tak simetris
20
Primal (Tak Simetris) Dual (Tak Simetris)
![Page 21: 11 Konsep Dualitas Dalam Model Pemrograman Linier](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022082204/55cf9502550346f57ba5ecd0/html5/thumbnails/21.jpg)
Bentuk dual untuk model pemrograman linier
bentuk baku kasus maksimisasi
21
Primal
Dual
![Page 22: 11 Konsep Dualitas Dalam Model Pemrograman Linier](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022082204/55cf9502550346f57ba5ecd0/html5/thumbnails/22.jpg)
Contoh
22
Primal Dual
![Page 23: 11 Konsep Dualitas Dalam Model Pemrograman Linier](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022082204/55cf9502550346f57ba5ecd0/html5/thumbnails/23.jpg)
Bentuk dual untuk model pemrograman linier
bentuk baku kasus minimisasi
23
Primal
Dual
![Page 24: 11 Konsep Dualitas Dalam Model Pemrograman Linier](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022082204/55cf9502550346f57ba5ecd0/html5/thumbnails/24.jpg)
Contoh
24
Primal Dual
![Page 25: 11 Konsep Dualitas Dalam Model Pemrograman Linier](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022082204/55cf9502550346f57ba5ecd0/html5/thumbnails/25.jpg)
Hubungan primal-dual untuk model pemrograman
linier bentuk baku dalam notasi matriks-vektor
25
![Page 26: 11 Konsep Dualitas Dalam Model Pemrograman Linier](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022082204/55cf9502550346f57ba5ecd0/html5/thumbnails/26.jpg)
Contoh konversi primal-dual melalui pengubahan
model pemrograman linier ke bentuk baku
26
![Page 27: 11 Konsep Dualitas Dalam Model Pemrograman Linier](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022082204/55cf9502550346f57ba5ecd0/html5/thumbnails/27.jpg)
Konversi ke bentuk baku
27
![Page 28: 11 Konsep Dualitas Dalam Model Pemrograman Linier](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022082204/55cf9502550346f57ba5ecd0/html5/thumbnails/28.jpg)
28
Primal (tak simetris) Primal (Baku)
![Page 29: 11 Konsep Dualitas Dalam Model Pemrograman Linier](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022082204/55cf9502550346f57ba5ecd0/html5/thumbnails/29.jpg)
29
Primal (Baku) Dual (dari primal
bentuk baku)
![Page 30: 11 Konsep Dualitas Dalam Model Pemrograman Linier](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022082204/55cf9502550346f57ba5ecd0/html5/thumbnails/30.jpg)
Konversi dual dari primal bentuk baku ke model tak
simetris
30
![Page 31: 11 Konsep Dualitas Dalam Model Pemrograman Linier](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022082204/55cf9502550346f57ba5ecd0/html5/thumbnails/31.jpg)
31
Dual (dari primal bentuk baku)
Dual (tak simetris)
![Page 32: 11 Konsep Dualitas Dalam Model Pemrograman Linier](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022082204/55cf9502550346f57ba5ecd0/html5/thumbnails/32.jpg)
Konversi primal-dual secara umum
32
![Page 33: 11 Konsep Dualitas Dalam Model Pemrograman Linier](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022082204/55cf9502550346f57ba5ecd0/html5/thumbnails/33.jpg)
33
Primal Dual
![Page 34: 11 Konsep Dualitas Dalam Model Pemrograman Linier](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022082204/55cf9502550346f57ba5ecd0/html5/thumbnails/34.jpg)
34
Primal Dual
![Page 35: 11 Konsep Dualitas Dalam Model Pemrograman Linier](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022082204/55cf9502550346f57ba5ecd0/html5/thumbnails/35.jpg)
Teorema dualitas lemah
35
![Page 36: 11 Konsep Dualitas Dalam Model Pemrograman Linier](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022082204/55cf9502550346f57ba5ecd0/html5/thumbnails/36.jpg)
36
![Page 37: 11 Konsep Dualitas Dalam Model Pemrograman Linier](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022082204/55cf9502550346f57ba5ecd0/html5/thumbnails/37.jpg)
Teorema kriteria keoptimalan
37
![Page 38: 11 Konsep Dualitas Dalam Model Pemrograman Linier](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022082204/55cf9502550346f57ba5ecd0/html5/thumbnails/38.jpg)
Teorema dualitas kuat
38
![Page 39: 11 Konsep Dualitas Dalam Model Pemrograman Linier](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022082204/55cf9502550346f57ba5ecd0/html5/thumbnails/39.jpg)
Teorema sisipan komplementer
39
![Page 40: 11 Konsep Dualitas Dalam Model Pemrograman Linier](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022082204/55cf9502550346f57ba5ecd0/html5/thumbnails/40.jpg)
40
![Page 41: 11 Konsep Dualitas Dalam Model Pemrograman Linier](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022082204/55cf9502550346f57ba5ecd0/html5/thumbnails/41.jpg)
41
![Page 42: 11 Konsep Dualitas Dalam Model Pemrograman Linier](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022082204/55cf9502550346f57ba5ecd0/html5/thumbnails/42.jpg)
42
![Page 43: 11 Konsep Dualitas Dalam Model Pemrograman Linier](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022082204/55cf9502550346f57ba5ecd0/html5/thumbnails/43.jpg)
Contoh penentuan solusi dual berdasarkkan
teorema sisipan komplementer
43
Primal Primal (dengan penambahan variabel-variabel sisipan)
![Page 44: 11 Konsep Dualitas Dalam Model Pemrograman Linier](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022082204/55cf9502550346f57ba5ecd0/html5/thumbnails/44.jpg)
44
Dual Dual (dengan penambahan variabel-variabel sisipan)
![Page 45: 11 Konsep Dualitas Dalam Model Pemrograman Linier](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022082204/55cf9502550346f57ba5ecd0/html5/thumbnails/45.jpg)
45
![Page 46: 11 Konsep Dualitas Dalam Model Pemrograman Linier](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022082204/55cf9502550346f57ba5ecd0/html5/thumbnails/46.jpg)
46
![Page 47: 11 Konsep Dualitas Dalam Model Pemrograman Linier](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022082204/55cf9502550346f57ba5ecd0/html5/thumbnails/47.jpg)
Model Primal:
Min Z = 3*x1 + 2*x2
Subject to
5*x1 + 3*x2 >= 15
3*x1 + 4*x2 > = 12
X1, x2 >=0
a) Tentukan solusi model Primal (dg grafis)
b) Rumuskan model dual
c) Tentukan solusi dual berdasarkan kondisi sisipan
komplementer
47
![Page 48: 11 Konsep Dualitas Dalam Model Pemrograman Linier](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022082204/55cf9502550346f57ba5ecd0/html5/thumbnails/48.jpg)
a) Solusi optimal primal, x1 = 24/11 = 2 2/11, x2 =
15/11 = 1 4/11. Nilai fungsi tujuan Z = 102/11 = 9
3/11.
b) Model dual
Memaksimumkan W = 15*y1 + 12*y2
subject to
5*y1 + 3*y2 <= 3
3*y1 + 4*y2 <= 2
y1, y2 >=0
48
![Page 49: 11 Konsep Dualitas Dalam Model Pemrograman Linier](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022082204/55cf9502550346f57ba5ecd0/html5/thumbnails/49.jpg)
Min Z = 3*x1 + 2*x2
Subject to
5*x1 + 3*x2 - u1 = 15
3*x1 + 4*x2 - u2 = 12
X1, x2 , u1, u2 >=0
Max W = 15*y1 + 12*y2
subject to
5*y1 + 3*y2 + v1 = 3
3*y1 + 4*y2 + v2 = 2
y1, y2, v1, v2 >=0
49
![Page 50: 11 Konsep Dualitas Dalam Model Pemrograman Linier](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022082204/55cf9502550346f57ba5ecd0/html5/thumbnails/50.jpg)
X1 = 24/11 v1 = 0
X2 = 14/11 v2 = 0
5*24/11 + 3*15/11 = 15 u1 = 0
3*24/11 + 4*15/11 = 12 u2 = 0
U1 = 0 y1 >= 0
U2 = 0 y2 >= 0
5*y1 + 3*y2 = 3
3*y1 + 4*y2 = 2
Solusi optimal dual: Y1 = 6/11, Y2 = 1/11
W = 102/11 = 9 3/11
50
![Page 51: 11 Konsep Dualitas Dalam Model Pemrograman Linier](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022082204/55cf9502550346f57ba5ecd0/html5/thumbnails/51.jpg)
Penentuan solusi optimal dual dalam
metode simpleks
51
![Page 52: 11 Konsep Dualitas Dalam Model Pemrograman Linier](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022082204/55cf9502550346f57ba5ecd0/html5/thumbnails/52.jpg)
52
![Page 53: 11 Konsep Dualitas Dalam Model Pemrograman Linier](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022082204/55cf9502550346f57ba5ecd0/html5/thumbnails/53.jpg)
53
![Page 54: 11 Konsep Dualitas Dalam Model Pemrograman Linier](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022082204/55cf9502550346f57ba5ecd0/html5/thumbnails/54.jpg)
54
![Page 55: 11 Konsep Dualitas Dalam Model Pemrograman Linier](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022082204/55cf9502550346f57ba5ecd0/html5/thumbnails/55.jpg)
Contoh
55
![Page 56: 11 Konsep Dualitas Dalam Model Pemrograman Linier](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022082204/55cf9502550346f57ba5ecd0/html5/thumbnails/56.jpg)
56
![Page 57: 11 Konsep Dualitas Dalam Model Pemrograman Linier](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022082204/55cf9502550346f57ba5ecd0/html5/thumbnails/57.jpg)
57
![Page 58: 11 Konsep Dualitas Dalam Model Pemrograman Linier](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022082204/55cf9502550346f57ba5ecd0/html5/thumbnails/58.jpg)
58
![Page 59: 11 Konsep Dualitas Dalam Model Pemrograman Linier](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022082204/55cf9502550346f57ba5ecd0/html5/thumbnails/59.jpg)
Interpretasi solusi dual
Tiap variabel dual berkaitan dengan tiap pembatas fungsional.
Jika konstanta pembatas menunjukkan ketersediaan sumber daya, dalam konteks ekonomi, variabel dual menunjukkan harga bayangan (shadow price) dari sumber daya.
Harga bayangan dari tiap sumber daya menunjukkan nilai peningkatan fungsi tujuan (kasus maksimisasi) jika ketersediaan sumber daya tersebut dinaikkan satu satuan.
Dengan demikian, jika tiap sumber daya dapat ditingkatkan, maka prioritas harus diberikan pada sumber daya yang memberikan peningkatan nilai peningkatan fungsi tujuan (kasus maksimisasi) yang paling tinggi.
59
![Page 60: 11 Konsep Dualitas Dalam Model Pemrograman Linier](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022082204/55cf9502550346f57ba5ecd0/html5/thumbnails/60.jpg)
60
![Page 61: 11 Konsep Dualitas Dalam Model Pemrograman Linier](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022082204/55cf9502550346f57ba5ecd0/html5/thumbnails/61.jpg)
61
![Page 62: 11 Konsep Dualitas Dalam Model Pemrograman Linier](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022082204/55cf9502550346f57ba5ecd0/html5/thumbnails/62.jpg)
62
![Page 63: 11 Konsep Dualitas Dalam Model Pemrograman Linier](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022082204/55cf9502550346f57ba5ecd0/html5/thumbnails/63.jpg)
Model Primal:
Min Z = 3*x1 + 2*x2
Subject to
5*x1 + 3*x2 >= 15 3*x1 + 4*x2 > = 12
X1, x2 >=0
a) Rumuskan model dengan sistem persamaan pembatas dalam bentuk kanonik
b) Misal pada suatu iterasi, variabel basis adalah x1 dan x2, tentukan matriks B dan invers dari B pada iterasi ini.
c) Tentukan solusi pada (b)
d) Periksa apakah solusi pada (c) optimal atau tidak.
e) Susun tabel simpleks pada iterasi ini (mengacu pada soal b) f) Jika solusi pada (d) optimal, tentukan solusi optimal dual.
63
![Page 64: 11 Konsep Dualitas Dalam Model Pemrograman Linier](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022082204/55cf9502550346f57ba5ecd0/html5/thumbnails/64.jpg)
Min Z = 3*x1 + 2*x2 + M*X5 + M*X6
Subject to
5*X1 + 3*X2 – X3 + X5= 15
3*X1 + 4*X2 – X4 + X6 = 12
X1, …, X6 >=0
B = 5 3
3 4
Invers dari B 4/11 -3/11
-3/11 5/11
64
![Page 65: 11 Konsep Dualitas Dalam Model Pemrograman Linier](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022082204/55cf9502550346f57ba5ecd0/html5/thumbnails/65.jpg)
No. c
X-Basis = b-bar
b-bar = B-invers * b
No. d
C-bar = Cj - C-basis * B-invers * A
No.e Elemen di bawah kolom konstanta B-invers * b
Elemen di baris koef. Tujuan relatif (c-bar) Cj –C-basis * B-invers Elemen koefisien pembatas ekivalen B-invers * A
No. f
Y = C-Basis * B-invers
65