11. matrizen eine m n-matrix ist ein raster aus m n koeffizienten, die in m zeilen und n spalten...
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11. Matrizen
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Eine mn-Matrix ist ein Raster aus mn Koeffizienten, die in m Zeilen und n Spalten angeordnet sind.
= (aij)1 i m, 1 j n
mnmm
n
n
aaa
aaa
a...aa
...
...
21
22221
11211
............
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Eine mn-Matrix ist ein Raster aus mn Koeffizienten, die in m Zeilen und n Spalten angeordnet sind.
= (aij)
mnmm
n
n
aaa
aaa
a...aa
...
...
21
22221
11211
............
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11.1 Addition und Multiplikation von Matrizen
A = (aij) und B = (bij) seien zwei mn-Matrizen.
A + B = C mit cij = aij + bij
A - B = C mit cij = aij – bij
elementweise
Man kann nur solche Matrizen addieren und subtrahieren, die gleiche Zeilenzahl m und gleiche Spaltenzahl n besitzen.
Matrixaddition ist assoziativ und kommutativ.
65
43
21
7-1-
00
21
1-4
43
42
= +
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Das Produkt der Matrizen A und B A B = C
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Das Produkt der Matrizen A und B A B = C ist eine Matrix C = (cij) mit den Elementen
cij =
n
kkjikba
1
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Das Produkt der Matrizen A und B A B = C ist eine Matrix C = (cij) mit den Elementen
cij =
n
kkjikba
1
c21 = a21b11 + a22b21 + ... + a2nbn1
11 12 13
21 22 23
11 12 13
21 22 23
31 32 33
( )
() A B
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cij =
n
kkjikba
1
Da der zweite Index des ersten Faktors ebenso wie der erste Index des zweiten Faktors bis n läuft, kann man nur solche Matrizen A und B miteinander multiplizieren, für die gilt:
A = mn-Matrix, B = np-Matrix
=
Das Ergebnis ist eine mp-Matrix.
A B C
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1 2 3
4 5 6
a b
c d
e f
1a + 2c + 3e
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a b
c d
e f
1a + 2c + 3e
, 1b + 2d + 3f
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a b
c d
e f
1a + 2c + 3e
, 1b + 2d + 3f4a + 5c +
6e
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a b
c d
e f
1a + 2c + 3e
, 1b + 2d + 3f4a + 5c +
6e , 4b + 5d + 6f
( )
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1 2 3
4 5 6
a b
c d
e f1a+2c+3e
1b+2d+3f
4a+5c+6e
4b+5d+6f
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cij =
n
kkjikba
1
Der zweite Index des ersten Faktors und der erste Index des zweiten Faktors laufen bis n.
mn-Matrix np-Matrix = mp-Matrix
=
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cij =
n
kkjikba
1
Der zweite Index des ersten Faktors und der erste Index des zweiten Faktors laufen bis n.
mn-Matrix np-Matrix = mp-Matrix
=
Die Operation ist nicht kommutativ; im Allgemeinen ist selbst für quadratische Matrizen, also solche mit m = n, die sich überhaupt nur in beiden Fällen als Faktoren eignen
A B ≠ B A
00
01
00
10 =
00
10
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cij =
n
kkjikba
1
Der zweite Index des ersten Faktors und der erste Index des zweiten Faktors laufen bis n.
mn-Matrix np-Matrix = mp-Matrix
=
Die Operation ist nicht kommutativ; im Allgemeinen ist selbst für quadratische Matrizen, also solche mit m = n, die sich überhaupt nur in beiden Fällen als Faktoren eignen
A B ≠ B A
00
01
00
10 =
00
10 aber
00
10
00
01 =
00
00
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210
321
23
10
21
=
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210
321
23
10
21
=
410600
622901 =
36
610
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210
321
23
10
21
=
410600
622901 =
36
610
(a1, a2)
2
1
b
b = (a1b1 + a2b2)
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210
321
23
10
21
=
410600
622901 =
36
610
(a1, a2)
2
1
b
b = (a1b1 + a2b2)
11.1 Erklären Sie folgendes Schema:
2 2 3 5 2 1 1 2 3 14 15 4 5 6 35 39 1 1 2 9 9
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Sei A eine mn-Matrix, B eine np-Matrix und C eine pq-Matrix, so gilt A (B C) = (A B) C Die Matrixmultiplikation ist also assoziativ, und sie ist auch distributiv über die Matrixaddition +: A (B + C) = (A B) + (A C)
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Sei A eine mn-Matrix, B eine np-Matrix und C eine pq-Matrix, so gilt A (B C) = (A B) C Die Matrixmultiplikation ist also assoziativ, und sie ist auch distributiv über die Matrixaddition +: A (B + C) = (A B) + (A C) Es gibt eine nn-Matrix I, die nn-Einheitsmatrix,
I =
1...00
............
0...10
0...01
= (ij) (11.4)
so dass für jede nn-Matrix A gilt A I = A = I A.
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Sei A eine mn-Matrix, B eine np-Matrix und C eine pq-Matrix, so gilt A (B C) = (A B) C Die Matrixmultiplikation ist also assoziativ, und sie ist auch distributiv über die Matrixaddition +: A (B + C) = (A B) + (A C) Es gibt eine nn-Matrix I, die nn-Einheitsmatrix,
I =
1...00
............
0...10
0...01
= (ij) (11.4)
so dass für jede nn-Matrix A gilt A I = A = I A. Eine 11 Matrix ist eine Zahl. Eine 1n Matrix heißt Zeilenvektor. Eine n1 Matrix heißt Spaltenvektor oder einfach Vektor.
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11.2 Die transponierte Matrix Wie Beispiel (11.3) verdeutlicht, kann man das Skalarprodukt (8.8) zwei-er Vektoren auch als Matrixprodukt schreiben:
3
2
1
a
a
a
3
2
1
b
b
b
= a1b1 + a2b2 + a3b3 = (a1, a2, a3)
3
2
1
b
b
b
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11.2 Die transponierte Matrix Wie Beispiel (11.3) verdeutlicht, kann man das Skalarprodukt (8.8) zwei-er Vektoren auch als Matrixprodukt schreiben:
3
2
1
a
a
a
3
2
1
b
b
b
= a1b1 + a2b2 + a3b3 = (a1, a2, a3)
3
2
1
b
b
b
Dafür ist es allerdings erforderlich, den linken Vektor als Zeilenvektor statt, wie bisher durchweg geschehen, als Spaltenvektoren aufzufassen. Zukünftig wollen wir den Zeilenvektor als den transponierten Vektor AT von A bezeichnen.
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11.2 Die transponierte Matrix Wie Beispiel (11.3) verdeutlicht, kann man das Skalarprodukt (8.8) zwei-er Vektoren auch als Matrixprodukt schreiben:
3
2
1
a
a
a
3
2
1
b
b
b
= a1b1 + a2b2 + a3b3 = (a1, a2, a3)
3
2
1
b
b
b
Dafür ist es allerdings erforderlich, den linken Vektor als Zeilenvektor statt, wie bisher durchweg geschehen, als Spaltenvektoren aufzufassen. Zukünftig wollen wir den Zeilenvektor als den transponierten Vektor AT von A bezeichnen.
A =
na
a
a
...2
1
1
21
11
na
a
a
... ; AT = (a1, a2,... , an) (a11, a12,..., a1n)
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11.2 Die transponierte Matrix Wie Beispiel (11.3) verdeutlicht, kann man das Skalarprodukt (8.8) zwei-er Vektoren auch als Matrixprodukt schreiben:
3
2
1
a
a
a
3
2
1
b
b
b
= a1b1 + a2b2 + a3b3 = (a1, a2, a3)
3
2
1
b
b
b
Dafür ist es allerdings erforderlich, den linken Vektor als Zeilenvektor statt, wie bisher durchweg geschehen, als Spaltenvektoren aufzufassen. Zukünftig wollen wir den Zeilenvektor als den transponierten Vektor AT von A bezeichnen.
A =
na
a
a
...2
1
1
21
11
na
a
a
... ; AT = (a1, a2,... , an) (a11, a12,..., a1n)
Damit ergibt sich das Skalarprodukt nach dem Matrixformalismus AT A = |A|2.
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AT A = (a1, a2,..., an)
na
a
a
...2
1
= |A|2
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A AT =
na
a
a
...2
1
(a1, a2,..., an) =
nnnn
n
n
aaaaaa
aaaaaa
aaaaaa
21
22212
12111
......... ...
...
...
ist eine nn-Matrix symmetrisch zur Hauptdiagonale.
AT A = (a1, a2,..., an)
na
a
a
...2
1
= |A|2
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A AT =
na
a
a
...2
1
(a1, a2,..., an) =
nnnn
n
n
aaaaaa
aaaaaa
aaaaaa
21
22212
12111
......... ...
...
...
ist eine nn-Matrix symmetrisch zur Hauptdiagonale. Eine Matrix A = (aij) wird transponiert, also an der Hauptdiagonale ge-spiegelt, indem Zeilen- und Spaltenindizes vertauscht werden: AT = (aji).
Beispiel: A =
ihg
fed
cba
, AT =
ifc
heb
gda
AT A = (a1, a2,..., an)
na
a
a
...2
1
= |A|2
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A AT =
na
a
a
...2
1
(a1, a2,..., an) =
nnnn
n
n
aaaaaa
aaaaaa
aaaaaa
21
22212
12111
......... ...
...
...
ist eine nn-Matrix symmetrisch zur Hauptdiagonale. Eine Matrix A = (aij) wird transponiert, also an der Hauptdiagonale ge-spiegelt, indem Zeilen- und Spaltenindizes vertauscht werden: AT = (aji).
Beispiel: A =
ihg
fed
cba
, AT =
ifc
heb
gda
AT A = (a1, a2,..., an)
na
a
a
...2
1
= |A|2
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Sei die Matrix C als Produkt von A und B gegeben, C = A B, d. h.
cij = k aikbkj . (11.2)
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Sei die Matrix C als Produkt von A und B gegeben, C = A B, d. h.
cij = k aikbkj . (11.2) Um die transponierte Matrix CT direkt aus den transponierten Faktoren auszurechnen, vertauschen wir in (11.2) alle Spalten- und Zeilenindizes mit dem Ergebnis
cji = k akibjk .
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Sei die Matrix C als Produkt von A und B gegeben, C = A B, d. h.
cij = k aikbkj . (11.2) Um die transponierte Matrix CT direkt aus den transponierten Faktoren auszurechnen, vertauschen wir in (11.2) alle Spalten- und Zeilenindizes mit dem Ergebnis
cji = k akibjk . Vertauschen wir überdies noch die Reihenfolge
cji = k bjkaki , (11.5) so besitzt (11.5) dieselbe Struktur wie die Definition des Produktes (11.2).
![Page 36: 11. Matrizen Eine m n-Matrix ist ein Raster aus m n Koeffizienten, die in m Zeilen und n Spalten angeordnet sind. = (a ij ) 1 i m, 1 j n](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062417/55204d6349795902118b7b0f/html5/thumbnails/36.jpg)
Sei die Matrix C als Produkt von A und B gegeben, C = A B, d. h.
cij = k aikbkj . (11.2) Um die transponierte Matrix CT direkt aus den transponierten Faktoren auszurechnen, vertauschen wir in (11.2) alle Spalten- und Zeilenindizes mit dem Ergebnis
cji = k akibjk . Vertauschen wir überdies noch die Reihenfolge
cji = k bjkaki , (11.5) so besitzt (11.5) dieselbe Struktur wie die Definition des Produktes (11.2). Lediglich die Indizes i und j sind vertauscht. Transposition eines Produktes bedeutet also Transposition und Vertauschung der Faktoren CT = (A B)T = BT A T .
![Page 37: 11. Matrizen Eine m n-Matrix ist ein Raster aus m n Koeffizienten, die in m Zeilen und n Spalten angeordnet sind. = (a ij ) 1 i m, 1 j n](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062417/55204d6349795902118b7b0f/html5/thumbnails/37.jpg)
00
01
00
10 =
00
10 transponiert:
01
00
00
01=
01
00
![Page 38: 11. Matrizen Eine m n-Matrix ist ein Raster aus m n Koeffizienten, die in m Zeilen und n Spalten angeordnet sind. = (a ij ) 1 i m, 1 j n](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062417/55204d6349795902118b7b0f/html5/thumbnails/38.jpg)
00
01
00
10 =
00
10 transponiert:
01
00
00
01=
01
00
0
0
1
(0 0 1) =
000
000
100
transponiert:
1
0
0
(1 0 0) =
001
000
000
![Page 39: 11. Matrizen Eine m n-Matrix ist ein Raster aus m n Koeffizienten, die in m Zeilen und n Spalten angeordnet sind. = (a ij ) 1 i m, 1 j n](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062417/55204d6349795902118b7b0f/html5/thumbnails/39.jpg)
00
01
00
10 =
00
10 transponiert:
01
00
00
01=
01
00
0
0
1
(0 0 1) =
000
000
100
transponiert:
1
0
0
(1 0 0) =
001
000
000
Ein Gleichungssystem wird transponiert, indem die Faktoren in Matrixprodukten vertauscht und einzeln transponiert werden (A X)T = XT AT = BT.
![Page 40: 11. Matrizen Eine m n-Matrix ist ein Raster aus m n Koeffizienten, die in m Zeilen und n Spalten angeordnet sind. = (a ij ) 1 i m, 1 j n](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062417/55204d6349795902118b7b0f/html5/thumbnails/40.jpg)
00
01
00
10 =
00
10 transponiert:
01
00
00
01=
01
00
0
0
1
(0 0 1) =
000
000
100
transponiert:
1
0
0
(1 0 0) =
001
000
000
Ein Gleichungssystem wird transponiert, indem die Faktoren in Matrixprodukten vertauscht und einzeln transponiert werden (A X)T = XT AT = BT.
Transponiert man eine transponierte Matrix AT, so erhält man wegen doppelter Indexvertauschung wieder die Ausgangsmatrix (AT)T = A.
![Page 41: 11. Matrizen Eine m n-Matrix ist ein Raster aus m n Koeffizienten, die in m Zeilen und n Spalten angeordnet sind. = (a ij ) 1 i m, 1 j n](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062417/55204d6349795902118b7b0f/html5/thumbnails/41.jpg)
11.2 A =
987
654
321
, B =
65
43
21
, C =
03-2-
1-01-
A A
CT + BT
A (B + CT)
![Page 42: 11. Matrizen Eine m n-Matrix ist ein Raster aus m n Koeffizienten, die in m Zeilen und n Spalten angeordnet sind. = (a ij ) 1 i m, 1 j n](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062417/55204d6349795902118b7b0f/html5/thumbnails/42.jpg)
11.2 A =
987
654
321
, B =
65
43
21
, C =
03-2-
1-01-
A A
CT + BT
A (B + CT) C A B C C B BT CT
![Page 43: 11. Matrizen Eine m n-Matrix ist ein Raster aus m n Koeffizienten, die in m Zeilen und n Spalten angeordnet sind. = (a ij ) 1 i m, 1 j n](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062417/55204d6349795902118b7b0f/html5/thumbnails/43.jpg)
11.2 A =
987
654
321
, B =
65
43
21
, C =
03-2-
1-01-
A A
CT + BT
A (B + CT) C A B C C B BT CT 11.3 Zeigen Sie (A B C)T = CT BT AT.
![Page 44: 11. Matrizen Eine m n-Matrix ist ein Raster aus m n Koeffizienten, die in m Zeilen und n Spalten angeordnet sind. = (a ij ) 1 i m, 1 j n](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062417/55204d6349795902118b7b0f/html5/thumbnails/44.jpg)
11.3 Elementarmatrizen Zur Erinnerung: Die Einheitsmatrix I3 lässt jede 33-Matrix A bei Multipli-kation unverändert. Sie bewirkt also nichts und es gilt I3 A = A.
100
010
001
ihg
fed
cba
=
ihg
fed
cba
![Page 45: 11. Matrizen Eine m n-Matrix ist ein Raster aus m n Koeffizienten, die in m Zeilen und n Spalten angeordnet sind. = (a ij ) 1 i m, 1 j n](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062417/55204d6349795902118b7b0f/html5/thumbnails/45.jpg)
11.3 Elementarmatrizen Zur Erinnerung: Die Einheitsmatrix I3 lässt jede 33-Matrix A bei Multipli-kation unverändert. Sie bewirkt also nichts und es gilt I3 A = A.
100
010
001
ihg
fed
cba
=
ihg
fed
cba
Die Elementarmatrix E(12) entsteht durch Vertauschung der ersten und zweiten Zeile von I3; E(12) vertauscht die erste und zweite Zeile von A:
100
001
010
ihg
fed
cba
=
ihg
cba
fed
![Page 46: 11. Matrizen Eine m n-Matrix ist ein Raster aus m n Koeffizienten, die in m Zeilen und n Spalten angeordnet sind. = (a ij ) 1 i m, 1 j n](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062417/55204d6349795902118b7b0f/html5/thumbnails/46.jpg)
E(3 3) entsteht durch Multiplikation der dritten Zeile von I3 mit der reel-len Zahl ; E(3 3) multipliziert die dritte Zeile von A mit :
00
010
001
ihg
fed
cba
=
ihg
fed
cba
![Page 47: 11. Matrizen Eine m n-Matrix ist ein Raster aus m n Koeffizienten, die in m Zeilen und n Spalten angeordnet sind. = (a ij ) 1 i m, 1 j n](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062417/55204d6349795902118b7b0f/html5/thumbnails/47.jpg)
E(3 3) entsteht durch Multiplikation der dritten Zeile von I3 mit der reel-len Zahl ; E(3 3) multipliziert die dritte Zeile von A mit :
00
010
001
ihg
fed
cba
=
ihg
fed
cba
E(2 2+3) entsteht durch Addition der mit multiplizierten dritten Zeile von I3 zur zweiten Zeile von I3; E(2 2+3) addiert die mit multiplizierte dritte Zeile von A zur zweiten Zeile von A:
100
10
001
ihg
fed
cba
=
ihg
ifhegd
cba
![Page 48: 11. Matrizen Eine m n-Matrix ist ein Raster aus m n Koeffizienten, die in m Zeilen und n Spalten angeordnet sind. = (a ij ) 1 i m, 1 j n](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062417/55204d6349795902118b7b0f/html5/thumbnails/48.jpg)
11.4 Geben Sie die Matrix an, die in A =
94-1
63-4
026-
zuerst die erste mit der dritten Zeile vertauscht, anschließend die mit 4 multiplizierte erste Zeile von der zweiten Zeile subtrahiert und endlich die mit 6 multiplizierte erste Zeile zur dritten addiert. [Hinweis: Die gesuchte Matrix ist das Produkt von drei Elementarmatrizen. Anwendungsreihenfolge beachten: Die zuerst anzuwen-dende Elementarmatrix steht direkt links von A.]
![Page 49: 11. Matrizen Eine m n-Matrix ist ein Raster aus m n Koeffizienten, die in m Zeilen und n Spalten angeordnet sind. = (a ij ) 1 i m, 1 j n](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062417/55204d6349795902118b7b0f/html5/thumbnails/49.jpg)
11.4 Geben Sie die Matrix an, die in A =
94-1
63-4
026-
zuerst die erste mit der dritten Zeile vertauscht, anschließend die mit 4 multiplizierte erste Zeile von der zweiten Zeile subtrahiert und endlich die mit 6 multiplizierte erste Zeile zur dritten addiert. [Hinweis: Die gesuchte Matrix ist das Produkt von drei Elementarmatrizen. Anwendungsreihenfolge beachten: Die zuerst anzuwen-dende Elementarmatrix steht direkt links von A.]
106
010
001
100
014-
001
001
010
100
=
601
4-10
100
![Page 50: 11. Matrizen Eine m n-Matrix ist ein Raster aus m n Koeffizienten, die in m Zeilen und n Spalten angeordnet sind. = (a ij ) 1 i m, 1 j n](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062417/55204d6349795902118b7b0f/html5/thumbnails/50.jpg)
11.4 Inversion von Matrizen Mit Hilfe von Elementaroperationen kann man bestimmte lineare Glei-chungssysteme auf die reduzierte Normalform (10.9) bringen. Durch Multiplikation der entsprechenden Koeffizientenmatrix A mit Elementar-matrizen Ei kann man A auf die analoge Form (11.4) bringen. Da dies aber nur für quadratische Matrizen gelingen kann, wollen wir in diesem Abschnitt nur noch quadratische Matrizen betrachten.
![Page 51: 11. Matrizen Eine m n-Matrix ist ein Raster aus m n Koeffizienten, die in m Zeilen und n Spalten angeordnet sind. = (a ij ) 1 i m, 1 j n](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062417/55204d6349795902118b7b0f/html5/thumbnails/51.jpg)
11.4 Inversion von Matrizen Mit Hilfe von Elementaroperationen kann man bestimmte lineare Glei-chungssysteme auf die reduzierte Normalform (10.9) bringen. Durch Multiplikation der entsprechenden Koeffizientenmatrix A mit Elementar-matrizen Ei kann man A auf die analoge Form (11.4) bringen. Da dies aber nur für quadratische Matrizen gelingen kann, wollen wir in diesem Abschnitt nur noch quadratische Matrizen betrachten.
I =
1...00
............
0...10
0...01
= (ij) (11.4)
![Page 52: 11. Matrizen Eine m n-Matrix ist ein Raster aus m n Koeffizienten, die in m Zeilen und n Spalten angeordnet sind. = (a ij ) 1 i m, 1 j n](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062417/55204d6349795902118b7b0f/html5/thumbnails/52.jpg)
Wenn A B = I gilt, so nennt man B die inverse Matrix von A und bezeichnet B mit A-1.
![Page 53: 11. Matrizen Eine m n-Matrix ist ein Raster aus m n Koeffizienten, die in m Zeilen und n Spalten angeordnet sind. = (a ij ) 1 i m, 1 j n](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062417/55204d6349795902118b7b0f/html5/thumbnails/53.jpg)
Wenn A B = I gilt, so nennt man B die inverse Matrix von A und bezeichnet B mit A-1. Da die Matrixmultiplikation nicht kommutativ ist, muss man im Allgemeinen zwischen dem Linksinversen und dem Rechtsinversen unterscheiden. Für eine quadratische Matrix sind die beiden Inversen jedoch identisch. Sei L das Linksinverse zu A, d.h. L A = I und R das Rechtsinverse A R = I.
![Page 54: 11. Matrizen Eine m n-Matrix ist ein Raster aus m n Koeffizienten, die in m Zeilen und n Spalten angeordnet sind. = (a ij ) 1 i m, 1 j n](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062417/55204d6349795902118b7b0f/html5/thumbnails/54.jpg)
Wenn A B = I gilt, so nennt man B die inverse Matrix von A und bezeichnet B mit A-1. Da die Matrixmultiplikation nicht kommutativ ist, muss man im Allgemeinen zwischen dem Linksinversen und dem Rechtsinversen unterscheiden. Für eine quadratische Matrix sind die beiden Inversen jedoch identisch. Sei L das Linksinverse zu A, d.h. L A = I und R das Rechtsinverse A R = I.
Eine Matrix heißt umkehrbar, wenn ein Linksinverses L und ein Rechts-inverses R existieren. In diesem Falle gilt L = R, denn R = I R = (L A) R = L (A R) = L I = L.
![Page 55: 11. Matrizen Eine m n-Matrix ist ein Raster aus m n Koeffizienten, die in m Zeilen und n Spalten angeordnet sind. = (a ij ) 1 i m, 1 j n](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062417/55204d6349795902118b7b0f/html5/thumbnails/55.jpg)
Berechnung der Inversen A-1 von A.
(En (...(E3 (E2 (E1 A))))) = I
(En ... E3 E2 E1) A = I
(En ... E3 E2 E1 I) A = I
= A-1 A
Werden also die Elementarmatrizen in derselben Reihen-folge auf die Einheitsmatrix angewandt, so entsteht daraus die zu A inverse Matrix
A-1 = En ... E3 E2 E1 I
![Page 56: 11. Matrizen Eine m n-Matrix ist ein Raster aus m n Koeffizienten, die in m Zeilen und n Spalten angeordnet sind. = (a ij ) 1 i m, 1 j n](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062417/55204d6349795902118b7b0f/html5/thumbnails/56.jpg)
A =
1-56
1-34
021
I =
100
010
001
1-7-0
1-5-0
021
106-
014-
001
1-7-0
1/510
021
106-
01/5-4/5
001
2/500
1/510
021
17/5-2/5-
01/5-4/5
001
![Page 57: 11. Matrizen Eine m n-Matrix ist ein Raster aus m n Koeffizienten, die in m Zeilen und n Spalten angeordnet sind. = (a ij ) 1 i m, 1 j n](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062417/55204d6349795902118b7b0f/html5/thumbnails/57.jpg)
A =
1-56
1-34
021
I =
100
010
001
1-7-0
1-5-0
021
106-
014-
001
1-7-0
1/510
021
106-
01/5-4/5
001
2/500
1/510
021
17/5-2/5-
01/5-4/5
001
![Page 58: 11. Matrizen Eine m n-Matrix ist ein Raster aus m n Koeffizienten, die in m Zeilen und n Spalten angeordnet sind. = (a ij ) 1 i m, 1 j n](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062417/55204d6349795902118b7b0f/html5/thumbnails/58.jpg)
A =
1-56
1-34
021
I =
100
010
001
1-7-0
1-5-0
021
106-
014-
001
1-7-0
1/510
021
106-
01/5-4/5
001
2/500
1/510
021
17/5-2/5-
01/5-4/5
001
![Page 59: 11. Matrizen Eine m n-Matrix ist ein Raster aus m n Koeffizienten, die in m Zeilen und n Spalten angeordnet sind. = (a ij ) 1 i m, 1 j n](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062417/55204d6349795902118b7b0f/html5/thumbnails/59.jpg)
A =
1-56
1-34
021
I =
100
010
001
1-7-0
1-5-0
021
106-
014-
001
1-7-0
1/510
021
106-
01/5-4/5
001
2/500
1/510
021
17/5-2/5-
01/5-4/5
001
![Page 60: 11. Matrizen Eine m n-Matrix ist ein Raster aus m n Koeffizienten, die in m Zeilen und n Spalten angeordnet sind. = (a ij ) 1 i m, 1 j n](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062417/55204d6349795902118b7b0f/html5/thumbnails/60.jpg)
2/500
1/510
021
17/5-2/5-
01/5-4/5
001
100
1/510
021
5/27/2-1-
01/5-4/5
001
100
010
021
5/27/2-1-
1/2-1/21
001
Ergebnis:
I =
100
010
001
A-1 =
5/27/2-1-
1/2-1/21
11-1-
Probe: A A-1 = I = A-1 A.
![Page 61: 11. Matrizen Eine m n-Matrix ist ein Raster aus m n Koeffizienten, die in m Zeilen und n Spalten angeordnet sind. = (a ij ) 1 i m, 1 j n](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062417/55204d6349795902118b7b0f/html5/thumbnails/61.jpg)
2/500
1/510
021
17/5-2/5-
01/5-4/5
001
100
1/510
021
5/27/2-1-
01/5-4/5
001
100
010
021
5/27/2-1-
1/2-1/21
001
Ergebnis:
I =
100
010
001
A-1 =
5/27/2-1-
1/2-1/21
11-1-
Probe: A A-1 = I = A-1 A.
![Page 62: 11. Matrizen Eine m n-Matrix ist ein Raster aus m n Koeffizienten, die in m Zeilen und n Spalten angeordnet sind. = (a ij ) 1 i m, 1 j n](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062417/55204d6349795902118b7b0f/html5/thumbnails/62.jpg)
2/500
1/510
021
17/5-2/5-
01/5-4/5
001
100
1/510
021
5/27/2-1-
01/5-4/5
001
100
010
021
5/27/2-1-
1/2-1/21
001
Ergebnis:
I =
100
010
001
A-1 =
5/27/2-1-
1/2-1/21
11-1-
Probe: A A-1 = I = A-1 A.
![Page 63: 11. Matrizen Eine m n-Matrix ist ein Raster aus m n Koeffizienten, die in m Zeilen und n Spalten angeordnet sind. = (a ij ) 1 i m, 1 j n](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062417/55204d6349795902118b7b0f/html5/thumbnails/63.jpg)
2/500
1/510
021
17/5-2/5-
01/5-4/5
001
100
1/510
021
5/27/2-1-
01/5-4/5
001
100
010
021
5/27/2-1-
1/2-1/21
001
Ergebnis:
I =
100
010
001
A-1 =
5/27/2-1-
1/2-1/21
11-1-
Probe: A A-1 = I = A-1 A
1-56
1-34
021
![Page 64: 11. Matrizen Eine m n-Matrix ist ein Raster aus m n Koeffizienten, die in m Zeilen und n Spalten angeordnet sind. = (a ij ) 1 i m, 1 j n](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062417/55204d6349795902118b7b0f/html5/thumbnails/64.jpg)
11.5 Das Matrixinversionsverfahren Jedes System von m linearen Gleichungen mit n Unbekannten lässt sich als Matrix-Gleichung schreiben A X = B , (11.6) wobei A eine mn-Matrix (11.1), X die n1-Matrix (der Vektor) der Unbe-kannten und B die m1-Matrix (der Vektor) der Konstanten ist. Solch eine einfache Gleichung löst man durch A-1 A X = X = A-1 B . (11.7) Deshalb lässt sich die Lösungsprozedur für lineare Gleichungssysteme vereinfachen, wenn es gelingt, die inverse Matrix A-1 zu A zu finden. Dies ist nicht in jedem Falle möglich. Doch existiert eine eindeutige Lösung für alle linearen Gleichungssysteme mit r = m = n, d. h. für alle eindeutig lösbaren linearen Gleichungssysteme. Wir wollen uns daher im Folgenden auf die entsprechenden Matrizen A beschränken. Die dazu notwendige Rechentechnik wurde bereits in Abschnitt 11.4 dargelegt. Dieses Verfahren bietet den Vorteil, dass das Gleichungssystem bei einem Wechsel des Konstantenvektors B weiterhin mit derselben inver-sen Matrix gelöst werden kann.
![Page 65: 11. Matrizen Eine m n-Matrix ist ein Raster aus m n Koeffizienten, die in m Zeilen und n Spalten angeordnet sind. = (a ij ) 1 i m, 1 j n](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062417/55204d6349795902118b7b0f/html5/thumbnails/65.jpg)
11.5 Das Matrixinversionsverfahren Jedes System von m linearen Gleichungen mit n Unbekannten lässt sich als Matrix-Gleichung schreiben A X = B , (11.6) wobei A eine mn-Matrix (11.1), X die n1-Matrix (der Vektor) der Unbe-kannten und B die m1-Matrix (der Vektor) der Konstanten ist. Solch eine einfache Gleichung löst man durch A-1 A X = X = A-1 B . (11.7) Deshalb lässt sich die Lösungsprozedur für lineare Gleichungssysteme vereinfachen, wenn es gelingt, die inverse Matrix A-1 zu A zu finden. Dies ist nicht in jedem Falle möglich. Doch existiert eine eindeutige Lösung für alle linearen Gleichungssysteme mit r = m = n, d. h. für alle eindeutig lösbaren linearen Gleichungssysteme. Wir wollen uns daher im Folgenden auf die entsprechenden Matrizen A beschränken. Die dazu notwendige Rechentechnik wurde bereits in Abschnitt 11.4 dargelegt. Dieses Verfahren bietet den Vorteil, dass das Gleichungssystem bei einem Wechsel des Konstantenvektors B weiterhin mit derselben inver-sen Matrix gelöst werden kann.
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11.5 Das Matrixinversionsverfahren Jedes System von m linearen Gleichungen mit n Unbekannten lässt sich als Matrix-Gleichung schreiben A X = B , (11.6) wobei A eine mn-Matrix (11.1), X die n1-Matrix (der Vektor) der Unbe-kannten und B die m1-Matrix (der Vektor) der Konstanten ist. Solch eine einfache Gleichung löst man durch A-1 A X = X = A-1 B . (11.7) Deshalb lässt sich die Lösungsprozedur für lineare Gleichungssysteme vereinfachen, wenn es gelingt, die inverse Matrix A-1 zu A zu finden. Dies ist nicht in jedem Falle möglich. Doch existiert eine eindeutige Lösung für alle linearen Gleichungssysteme mit r = m = n, d. h. für alle eindeutig lösbaren linearen Gleichungssysteme. Wir wollen uns daher im Folgenden auf die entsprechenden Matrizen A beschränken. Die dazu notwendige Rechentechnik wurde bereits in Abschnitt 11.4 dargelegt. Dieses Verfahren bietet den Vorteil, dass das Gleichungssystem bei einem Wechsel des Konstantenvektors B weiterhin mit derselben inver-sen Matrix gelöst werden kann.
![Page 67: 11. Matrizen Eine m n-Matrix ist ein Raster aus m n Koeffizienten, die in m Zeilen und n Spalten angeordnet sind. = (a ij ) 1 i m, 1 j n](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062417/55204d6349795902118b7b0f/html5/thumbnails/67.jpg)
11.5 Das Matrixinversionsverfahren Jedes System von m linearen Gleichungen mit n Unbekannten lässt sich als Matrix-Gleichung schreiben A X = B , (11.6) wobei A eine mn-Matrix (11.1), X die n1-Matrix (der Vektor) der Unbe-kannten und B die m1-Matrix (der Vektor) der Konstanten ist. Solch eine einfache Gleichung löst man durch A-1 A X = X = A-1 B . (11.7) Deshalb lässt sich die Lösungsprozedur für lineare Gleichungssysteme vereinfachen, wenn es gelingt, die inverse Matrix A-1 zu A zu finden. Dies ist nicht in jedem Falle möglich. Doch existiert eine eindeutige Lösung für alle linearen Gleichungssysteme mit r = m = n, d. h. für alle eindeutig lösbaren linearen Gleichungssysteme. Wir wollen uns daher im Folgenden auf die entsprechenden Matrizen A beschränken. Die dazu notwendige Rechentechnik wurde bereits in Abschnitt 11.4 dargelegt. Dieses Verfahren bietet den Vorteil, dass das Gleichungssystem bei einem Wechsel des Konstantenvektors B weiterhin mit derselben inver-sen Matrix gelöst werden kann.
![Page 68: 11. Matrizen Eine m n-Matrix ist ein Raster aus m n Koeffizienten, die in m Zeilen und n Spalten angeordnet sind. = (a ij ) 1 i m, 1 j n](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062417/55204d6349795902118b7b0f/html5/thumbnails/68.jpg)
11.5 Das Matrixinversionsverfahren Jedes System von m linearen Gleichungen mit n Unbekannten lässt sich als Matrix-Gleichung schreiben A X = B , (11.6) wobei A eine mn-Matrix (11.1), X die n1-Matrix (der Vektor) der Unbe-kannten und B die m1-Matrix (der Vektor) der Konstanten ist. Solch eine einfache Gleichung löst man durch A-1 A X = X = A-1 B . (11.7) Deshalb lässt sich die Lösungsprozedur für lineare Gleichungssysteme vereinfachen, wenn es gelingt, die inverse Matrix A-1 zu A zu finden. Dies ist nicht in jedem Falle möglich. Doch existiert eine eindeutige Lösung für alle linearen Gleichungssysteme mit r = m = n, d. h. für alle eindeutig lösbaren linearen Gleichungssysteme. Wir wollen uns daher im Folgenden auf die entsprechenden Matrizen A beschränken. Die dazu notwendige Rechentechnik wurde bereits in Abschnitt 11.4 dargelegt. Dieses Verfahren bietet den Vorteil, dass das Gleichungssystem bei einem Wechsel des Konstantenvektors B weiterhin mit derselben inver-sen Matrix gelöst werden kann.
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Beispiel: x1 + 2x2 = 1 4x1 + 3x2 - x3 = 2 6x1 + 5x2 - x3 = 3 Mit der in Abschnitt 11.4 berechneten Inversen A-1 ergibt sich
3
2
1
x
x
x
=
5/27/2-1-
1/2-1/21
11-1-
3
2
1
=
1/2-
1/2
0
d. h. die Unbekannten sind x1 = 0, x2 = 1/2 und x3 = -1/2.
Bei einem Wechsel von B =
3
2
1
zu B' =
0
0
1
kann die neue Lösung
mit Hilfe der davon unabhängigen und deshalb unveränderten Inversen A-1
schnell gefunden werden: A-1 B' =
1-
1
1-
. Das in Abschnitt 10 vorgestellte Verfahren
hätte dagegen nochmals gänzlich durchlaufen werden müssen.
![Page 70: 11. Matrizen Eine m n-Matrix ist ein Raster aus m n Koeffizienten, die in m Zeilen und n Spalten angeordnet sind. = (a ij ) 1 i m, 1 j n](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062417/55204d6349795902118b7b0f/html5/thumbnails/70.jpg)
Beispiel: x1 + 2x2 = 1 4x1 + 3x2 - x3 = 2 6x1 + 5x2 - x3 = 3 Mit der in Abschnitt 11.4 berechneten Inversen A-1 ergibt sich
3
2
1
x
x
x
=
5/27/2-1-
1/2-1/21
11-1-
3
2
1
=
1/2-
1/2
0
d. h. die Unbekannten sind x1 = 0, x2 = 1/2 und x3 = -1/2.
Bei einem Wechsel von B =
3
2
1
zu B' =
0
0
1
kann die neue Lösung
mit Hilfe der davon unabhängigen und deshalb unveränderten Inversen A-1
schnell gefunden werden: A-1 B' =
1-
1
1-
. Das in Abschnitt 10 vorgestellte Verfahren
hätte dagegen nochmals gänzlich durchlaufen werden müssen.
1-56
1-34
021
3
2
1
x
x
x
=
3
2
1
![Page 71: 11. Matrizen Eine m n-Matrix ist ein Raster aus m n Koeffizienten, die in m Zeilen und n Spalten angeordnet sind. = (a ij ) 1 i m, 1 j n](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062417/55204d6349795902118b7b0f/html5/thumbnails/71.jpg)
Beispiel: x1 + 2x2 = 1 4x1 + 3x2 - x3 = 2 6x1 + 5x2 - x3 = 3 Mit der in Abschnitt 11.4 berechneten Inversen A-1 ergibt sich
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x
x
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=
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d. h. die Unbekannten sind x1 = 0, x2 = 1/2 und x3 = -1/2.
Bei einem Wechsel von B =
3
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1
zu B' =
0
0
1
kann die neue Lösung
mit Hilfe der davon unabhängigen und deshalb unveränderten Inversen A-1
schnell gefunden werden: A-1 B' =
1-
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. Das in Abschnitt 10 vorgestellte Verfahren
hätte dagegen nochmals gänzlich durchlaufen werden müssen.
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3
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x
x
x
=
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1
![Page 72: 11. Matrizen Eine m n-Matrix ist ein Raster aus m n Koeffizienten, die in m Zeilen und n Spalten angeordnet sind. = (a ij ) 1 i m, 1 j n](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062417/55204d6349795902118b7b0f/html5/thumbnails/72.jpg)
Beispiel: x1 + 2x2 = 1 4x1 + 3x2 - x3 = 2 6x1 + 5x2 - x3 = 3 Mit der in Abschnitt 11.4 berechneten Inversen A-1 ergibt sich
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x
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1/2-
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0
d. h. die Unbekannten sind x1 = 0, x2 = 1/2 und x3 = -1/2.
Bei einem Wechsel von B =
3
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1
zu B' =
0
0
1
kann die neue Lösung
mit Hilfe der davon unabhängigen und deshalb unveränderten Inversen A-1
schnell gefunden werden: A-1 B' =
1-
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. Das in Abschnitt 10 vorgestellte Verfahren
hätte dagegen nochmals gänzlich durchlaufen werden müssen.
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x
x
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=
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1
![Page 73: 11. Matrizen Eine m n-Matrix ist ein Raster aus m n Koeffizienten, die in m Zeilen und n Spalten angeordnet sind. = (a ij ) 1 i m, 1 j n](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062417/55204d6349795902118b7b0f/html5/thumbnails/73.jpg)
Beispiel: x1 + 2x2 = 1 4x1 + 3x2 - x3 = 2 6x1 + 5x2 - x3 = 3 Mit der in Abschnitt 11.4 berechneten Inversen A-1 ergibt sich
3
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x
x
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=
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0
d. h. die Unbekannten sind x1 = 0, x2 = 1/2 und x3 = -1/2.
Bei einem Wechsel von B =
3
2
1
zu B' =
0
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kann die neue Lösung
mit Hilfe der davon unabhängigen und deshalb unveränderten Inversen A-1
schnell gefunden werden: A-1 B' =
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. Das in Abschnitt 10 vorgestellte Verfahren
hätte dagegen nochmals gänzlich durchlaufen werden müssen.
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x
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![Page 74: 11. Matrizen Eine m n-Matrix ist ein Raster aus m n Koeffizienten, die in m Zeilen und n Spalten angeordnet sind. = (a ij ) 1 i m, 1 j n](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062417/55204d6349795902118b7b0f/html5/thumbnails/74.jpg)
Beispiel: x1 + 2x2 = 1 4x1 + 3x2 - x3 = 2 6x1 + 5x2 - x3 = 3 Mit der in Abschnitt 11.4 berechneten Inversen A-1 ergibt sich
3
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x
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d. h. die Unbekannten sind x1 = 0, x2 = 1/2 und x3 = -1/2.
Bei einem Wechsel von B =
3
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zu B' =
0
0
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kann die neue Lösung
mit Hilfe der davon unabhängigen und deshalb unveränderten Inversen A-1
schnell gefunden werden: A-1 B' =
1-
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. Das in Abschnitt 10 vorgestellte Verfahren
hätte dagegen nochmals gänzlich durchlaufen werden müssen.
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x
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![Page 75: 11. Matrizen Eine m n-Matrix ist ein Raster aus m n Koeffizienten, die in m Zeilen und n Spalten angeordnet sind. = (a ij ) 1 i m, 1 j n](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062417/55204d6349795902118b7b0f/html5/thumbnails/75.jpg)
Bemerkungen: Ein Gleichungssystem heißt homogen, wenn B = 0. Die Lösung X = 0 des homogenen Systems heißt triviale Lösung. Eine Matrix mit maximalem Rang r = n heißt regulär, eine Matrix mit Rang r < n heißt irregulär (oder singulär). Eine Matrix A heißt symmetrisch, wenn AT = A.
![Page 76: 11. Matrizen Eine m n-Matrix ist ein Raster aus m n Koeffizienten, die in m Zeilen und n Spalten angeordnet sind. = (a ij ) 1 i m, 1 j n](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062417/55204d6349795902118b7b0f/html5/thumbnails/76.jpg)
Bemerkungen: Ein Gleichungssystem heißt homogen, wenn B = 0. Die Lösung X = 0 des homogenen Systems heißt triviale Lösung. Eine Matrix mit maximalem Rang r = n heißt regulär, eine Matrix mit Rang r < n heißt irregulär (oder singulär). Eine Matrix A heißt symmetrisch, wenn AT = A.
![Page 77: 11. Matrizen Eine m n-Matrix ist ein Raster aus m n Koeffizienten, die in m Zeilen und n Spalten angeordnet sind. = (a ij ) 1 i m, 1 j n](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062417/55204d6349795902118b7b0f/html5/thumbnails/77.jpg)
Bemerkungen: Ein Gleichungssystem heißt homogen, wenn B = 0. Die Lösung X = 0 des homogenen Systems heißt triviale Lösung. Eine Matrix mit maximalem Rang r = n heißt regulär, eine Matrix mit Rang r < n heißt irregulär (oder singulär). Eine Matrix A heißt symmetrisch, wenn AT = A.
![Page 78: 11. Matrizen Eine m n-Matrix ist ein Raster aus m n Koeffizienten, die in m Zeilen und n Spalten angeordnet sind. = (a ij ) 1 i m, 1 j n](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062417/55204d6349795902118b7b0f/html5/thumbnails/78.jpg)
11.5 Invertieren Sie die Matrix
42
13.
11.6 Versuchen Sie, die Matrix
26
13 zu invertieren.
11.7 Stellen Sie die Ergebnisse von Übung 5.1 durch Matrizen dar.
III IX XI X // \\
![Page 79: 11. Matrizen Eine m n-Matrix ist ein Raster aus m n Koeffizienten, die in m Zeilen und n Spalten angeordnet sind. = (a ij ) 1 i m, 1 j n](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062417/55204d6349795902118b7b0f/html5/thumbnails/79.jpg)
11.5 Invertieren Sie die Matrix
42
13.
11.6 Versuchen Sie, die Matrix
26
13 zu invertieren.
11.7 Stellen Sie die Ergebnisse von Übung 5.1 durch Matrizen dar.
III IX XI X // \\
![Page 80: 11. Matrizen Eine m n-Matrix ist ein Raster aus m n Koeffizienten, die in m Zeilen und n Spalten angeordnet sind. = (a ij ) 1 i m, 1 j n](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062417/55204d6349795902118b7b0f/html5/thumbnails/80.jpg)
11.5 Invertieren Sie die Matrix
42
13.
11.6 Versuchen Sie, die Matrix
26
13 zu invertieren.
11.7 Stellen Sie die Ergebnisse von Übung 5.1 durch Matrizen dar.
III IX XI X // \\
![Page 81: 11. Matrizen Eine m n-Matrix ist ein Raster aus m n Koeffizienten, die in m Zeilen und n Spalten angeordnet sind. = (a ij ) 1 i m, 1 j n](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062417/55204d6349795902118b7b0f/html5/thumbnails/81.jpg)