1.1 método de variables separables
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MÉTODO DE VARIABLES SEPARABLES
TEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES
CONTENIDO
VER INTRODUCCIÓN VER 1er EJEMPLO
VER ALGUNAS DEFICIONES
VER PROCEDIMIENTO DE VAR. SEPARAB.
VER 1er EJEMPLO APLICADO AL
PROCEDIMIENTO
VER 2do EJEMPLO APLICADO AL
PROCEDIMIENTO
VER BIBLIOGRAFIAS
INTRODUCCIÓN
Si sabemos que la forma general es 𝑦′ = 𝑓 𝑥, 𝑦 es separable si el segundo miembro de la ecuación
diferencial𝑑𝑦
𝑑𝑥= 𝑓 𝑥, 𝑦 se puede expresar como el producto de dos funciones, uno que depende sólo
de x y otro que contenga solo a la variable dependiente.
𝑦′ = 𝑓 𝑥, 𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥= 𝑓 𝑥 𝑔 𝑦
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EJEMPLO APLICADO AL MÉTODO DE VARIABLES SEPARABLES
EJEMPLO:𝑑𝑦
𝑑𝑥=𝑦 + 3
𝑥 − 4
SOLUCIÓN:
𝑑𝑦
𝑑𝑥=𝑦 + 3
𝑥 − 4
Separando las variables:𝑑𝑦
𝑦 + 3=𝑑𝑥
𝑥 − 4
Integrando:
𝑑𝑦
𝑦 + 3=
𝑑𝑥
𝑥 − 4
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Recordando que:
𝑑𝑣
𝑣= ln 𝑣 + 𝐶
Integrando ambas partes:
𝑑𝑦
𝑦 + 3=
𝑑𝑥
𝑥 − 4
ln 𝑦 + 3 = ln 𝑥 − 4 + 𝐶
Ahora, un equivalente en general:
𝐶 = 𝐶 ln 𝑒 = ln 𝑒𝐶 = ln𝐶
Entonces:ln 𝑦 + 3 = ln 𝑥 − 4 + 𝐶
ln 𝑦 + 3 = ln 𝑥 − 4 + ln𝐶
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Aplicando propiedades de los logaritmos:
ln 𝐴 + ln𝐵 = ln𝐴𝐵
Y también:
1) ln 𝐴 = ln𝐵
2) 𝐴 = 𝐵
Por lo tanto:
ln 𝑦 + 3 = ln 𝑥 − 4 + ln 𝐶
ln 𝑦 + 3 = ln 𝐶 𝑥 − 4
𝑦 + 3 = 𝐶 𝑥 − 4
∴ 𝑦 = 𝐶 𝑥 − 4 − 3REGRESAR AL CONTENIDO
ALGUNAS DEFINICIONES
Definimos que una ecuación diferencial ordinaria de la forma 𝑦′ = 𝐹 𝑥, 𝑦 se dice variableseparable si es posible factorizar 𝐹 𝑥, 𝑦 en la forma 𝐹 𝑥, 𝑦 = 𝑓 𝑥 𝑔 𝑦 . Una ecuación diferencialordinaria de variables separables puede resolverse usando la siguiente estrategia.
Una ecuación diferencial ordinaria 𝑦′ = 𝐹 𝑥, 𝑦
Salida: la solución de la ecuación diferencial
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PROCEDIMIENTO: VARIABLES SEPARABLES
PASO 1: Factorizar el segundo miembro, es decir, 𝐹 𝑥, 𝑦 = 𝑓 𝑥 𝑔 𝑦 ; si tal factorización no se puederealizar, se concluye que la ecuación diferencial no es ordinaria y por lo tanto no se procede a resolverla.
PASO 2: Separar las variables, hacer álgebra para poner variables diferentes en lados diferentes.
𝑑𝑦
𝑑𝑥= 𝑓 𝑥 𝑔 𝑦
𝑑𝑦
𝑔 𝑦= 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
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PASO 3: Integrar en ambos miembros:
𝑑𝑦
𝑔 𝑦= 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
PASO 4: Despejar y opcional debido a que representa la función incógnita ideal, es determinar porcompleto, es decir, tener como solución una expresión de la forma y=f(x); en caso de que estedespeje sea posible se habla de forma explícita, en caso contrario (cuando no es posible despejar y)se dice que está en forma implícita.
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EJEMPLO APLICADO AL PROCEDIMIENTO DEL MÉTODO DE VARIABLES SEPARABLES
EJEMPLO:−4 𝑥𝑦 + 𝑦′ = 0
SOLUCIÓN:−4 𝑥𝑦 + 𝑦′ = 0
𝑦′ = 4 𝑥𝑦
Recordando que 𝑦′ =𝑑𝑦
𝑑𝑥:
𝑦′ = 4 𝑥𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥= 4 𝑥𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥= 4 𝑥 𝑦 −−→
𝑑𝑦
𝑦= 4 𝑥 𝑑𝑥
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Al identificar que esta ecuación diferencial ya tiene las variables separadas, se continua con colocarlas variables en el numerador y cambiar los radicales en una potencia tipo fracción. Así que:
𝑑𝑦
𝑦= 4 𝑥 𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑦12
= 4𝑥−12 𝑑𝑥
𝑦−12 𝑑𝑦 = 4𝑥
12 𝑑𝑥
Realizando la integración:
𝑦−12 𝑑𝑦 = 4 𝑥
12 𝑑𝑥
Recordando que:
𝑣 𝑑𝑣 =𝑣𝑛+1
𝑛 + 1+ 𝐶 , 𝑛 ≠ −1
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𝑦−12 𝑑𝑦 = 4 𝑥
12 𝑑𝑥
𝑦−12+1
−12 + 1
= 4𝑥12+1
12 + 1
+ 𝐶
𝑦12
12
= 4𝑥32
32
+ 𝐶
2𝑦12 = 4
2
3𝑥32 + 𝐶
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2𝑦12 = 4
2
3𝑥32 + 𝐶
2𝑦12 =
8
3𝑥32 + 𝐶
𝑦12 =
83𝑥32 + 𝐶
2
𝑦12 =
8
6𝑥32 +
𝐶
2
𝑦12 =
4
3𝑥32 + 𝐶
Despejando 𝑦:
∴ 𝑦 =4
3𝑥32 + 𝐶
2
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EJEMPLO APLICADO AL PROCEDIMIENTO DEL MÉTODO DE VARIABLES SEPARABLESEJEMPLO:
𝑑𝑦
𝑑𝑥= −
2𝑥
𝑦
SOLUCIÓN:
𝑑𝑦
𝑑𝑥= −
2𝑥
𝑦
Separando las variables de la ecuación diferencial:
𝑑𝑦
𝑑𝑥= −
2𝑥
𝑦
𝑦 𝑑𝑦 = −2𝑥 𝑑𝑥
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Realizando la integración en ambos miembros:
𝑦 𝑑𝑦 = −2𝑥 𝑑𝑥
𝑦 𝑑𝑦 = − 2𝑥 𝑑𝑥
𝑦 𝑑𝑦 = −2 𝑥 𝑑𝑥
Recordando que:
𝑣 𝑑𝑣 =𝑣𝑛+1
𝑛 + 1+ 𝐶 , 𝑛 ≠ −1
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Entonces:
𝑦 𝑑𝑦 = −2 𝑥 𝑑𝑥
𝑦2
2= −2
𝑥2
2+ 𝐶
𝑦2
2= −𝑥2 + 𝐶
𝑦2 = 2 −𝑥2 + 𝐶
𝑦2 = −2𝑥2 + 2𝐶
𝑦2 = −2𝑥2 + 𝐶
𝑦 = −2𝑥2 + 𝐶
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BIBLIOGRAFÍASCarmona Jover, I., & Filio López, E. (2011). Ecuaciones diferenciales. México: PEARSON Educación.
D. Zill, D. (2009). Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado. México: CENGAGE Learning.
Espinosa Ramos, E. (1996). Ecuaciones diferenciales y sus aplicaciones. Lima.
Jover, I. C. (1998). Ecuaciones diferenciales. México: PEARSON Educación.
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