11 МДМ 1? 11ДУАЛ Ь11Ы М П РОЕ КТ «Магические квадраты» ·...
TRANSCRIPT
Министерство образования Омской области Бюджетное профессиональное образовательное учреждение Омской области «Омский техникум высоких технологий машиностроения»
11 МДМ 1? 11ДУАЛ Ь11Ы М П РО Е КТ
«М аги чески е к вад р аты »
Выполнил:Студент 120 группы БПОУ ОТВТМ
Специальность: И нформационные системы по отросли м
Семенов Дмитрии Алексеевич11роверил:
Руководи гель проекта Бабаева Людмила Ивановна
Оценка:
Омск 2018 г
СОДЕРЖ АНИЕ
В В Е Д Е Н И Е ....................................................................................................................... 3
ГЛАВА 1. Что такое «магический к вад р ат» ......................................................5
1 .1 . История появления «магических к вад ратов» ........................................ 5
1.2. М агический квадрат 3x3 ....................................... ...............................................6
1.3. М агический квадрат П иф агора.......................................................................... 7
1.4. Применение магических квадратов................................................. 12
ВЫ ВОДЫ ПО П ЕРВО Й Г Л А В Е ..............................................................................14
ГЛАВА 2. Использование магических квадратов в современном
мире.......................................................................................................................................15
ВЫ ВОДЫ ПО ВТО РО Й Г Л А В Е ..............................................................................17
ЗА К Л Ю Ч Е Н И Е ............................................................................................................... 18
СПИСОК Л И Т Е Р А Т У Р Ы ........................................................................................... 19
П РИ Л О Ж Е Н И Я ...............................................................................................................20
ВВЕДЕНИЕ
Актуальность проекта и проблемы исследования заключается в при
влечении учащ ихся к реш ению нестандартных задач. Я считаю, что магиче
ский квадрат является одной из наиболее интересных головоломок.
Великие ученые древности считали количественные отношения осно
вой сущности мира. Они увидели, что числа имеют какую-то самостоятель
ную жизнь, свои тайны. Поэтому числа и их соотношения занимали вели
чайшие умы человечества. М ногие выдающиеся математики посвятили свои
работы магическим квадратам. Раньше многим был известны способы со
ставления магических квадратов, например Бенджамин Франклин писал:
«В дни моей ю ности я в свободное время развлекался тем, что составлял...
магические квадраты». А между тем, изучение магических квадратов, их
свойств может помочь в развитии познавательного интереса к предмету ма
тематики, к истории её развития, развитии любознательности и логического
мышления.
М агические квадраты .... От этого словосочетания сразу веет волшебст
вом. Позже выяснилось, что располагая числа правильными рядам, в случае
«магии» можно, складываю слева направо и сверху вниз, каждый раз полу
чаются равные числа. Так в ходе времени образовался магический квадрат,
который мы встречаем, по сей день.
Проблема: заполнение магических квадратов.
Цель проекта: знакомство с различными магическими квадратами и изу
чение областей их применения.
Задачи:
• познакомиться с историей появления магических квадратов;
• выяснить виды магических квадратов и способы их заполнения;
• выявить области применения магических квадратов;
• Научиться составлять магические квадраты.
М етоды исследования:
• Поисковый метод — использование учебной и справочной литерату
ры, а также информационных ресурсов глобальной сети Интернет;
• Практический метод - составление магических квадратов на основе
полученных знаний;
• Исследовательский метод - составление психологического портрета
личности по квадрату Пифагора.
Гипотеза - изучение свойств магических квадратов позволит определить
общие способы их построения.
П редполагаемы е результаты: научиться строить магические квадраты лю
бого порядка; выяснить возможность применения магических квадратов в
деятельности человека, а так же в математике или её приложениях.
4
ГЛ АВА 1. Что такое «магический квадрат»
М агический, или волшебный квадрат — это квадратная таблица, за
полненная числами таким образом, что сумма чисел в каждой строке, каждом
столбце и на обеих диагоналях одинакова. Если в квадрате равны суммы чи
сел только в строках и столбцах, то он называется полумагическим.
Поля таблицы, в которые записываю т числа, называются клетками магиче
ского квадрата, а сумма чисел, стоящих в лю бой строке, столбце или на диа
гонали, - его постоянной.
”Я не знаю ничего более прекрасного в арифметике, чем эти числа, на
зываемые некоторыми планетными, а другими - магическими»” - писал о них
Пьер де Ферма.
1.1. История появления магических квадратов
По легенде магический квадрат появился около 2200 лет до нашей эры
в Древнем Китае, во времена правления императора Ию когда на берег из ре
ки Ло всплыла свящ енная черепаха, на панцире которой был странный узор
из точек (рис. 1), упорядочив который обнаружили 9 секторов с цифрами,
расположенными в определенной последовательности (рис.2). Причем при
последовательном соединение линиями цифр от 1 до 9 получается символ
"печать планеты Сатурн", который использовался в древнекитайской магии.
Этот символ также называется символом «Девяти императоров» (рис. 3),
считается, что он обладает очень мощной защ итной силой и в качестве та
лисмана способен защ итить хозяина от преждевременной смерти.
Ж ители П однебесной считали таблицу Ло Ш у священной, у них даже
не возникало мысли о составлении аналогичных квадратов больше
го размера, поэтому последние стали появляться только три тысячелетия
спустя. Название «магические» квадраты получили от арабов, Из Китая ма
гические квадраты распространились сначала в Индию, затем в Японию и
другие страны. Н а востоке их считали волшебными, полными тайного смыс
ла символами, и использовали при заклинаниях.
5
В древности магические квадраты очень уважали и приписывали им раз
личные мистические свойства. Говорят, если надо было решиться на какое-то
опасное дело, их с магическими целями рисовали на бумажке и съедали. Та
кое же кушанье предлагали в качестве панацеи от всех болезней. Бытовало
поверье, что выгравированный на серебре магический квадрат защищает от
чумы. Даже сегодня среди атрибутов европейских прорицателей можно уви
деть магические квадраты.
1.2. М агический квадрат 3x3
Полного описания всех возможных магических квадратов не получено
и до сего времени. М агических квадратов 2x2 не существует, так как квадрат
с таким количеством клеток должен был бы состоять и чисел 1,2,3,4. Значит,
постоянная такого квадрата должна равняться 5. Что бы квадрат был магиче
ским, нужно составить 6 комбинаций (слева направо, начиная от верхнего
левого квадратика, сверху вниз, справа налево, снизу вверх и по двум диаго
налям). Для числа 5 существует только 2 комбинации (1+4 и 2+3) из этого
следует, что такой квадрат составить нереально. Поэтому считается, что
квадрат 3-го порядка самый простой. Он единственный, т.к. другой квадрат
будет образован перемещ ением строк или столбцов, поворотом на 90° или
180°.
Виды магических квадратов.
1. Нормальный М К - магический квадрат, заполненный целыми
числами от 1 до п2. (рис.4)
2. Полумагический квадрат - квадрат, заполненный числами от 1 до
п2, если сумма чисел по горизонталям и вертикалям равна магической посто
янной, а по диагоналям это условие не выполняется, (рис.5)
3. Симметричный М К , такой магический квадрат, у которого сумма
любых двух чисел, симметрично расположенных относительно центра квад
рата, равна одному и тому же числу: 1+п2. (рис. 6)
6
4. П андиагональный (дьявольский) М К - такой магический квадрат,
в котором сумма чисел по разломанным диагоналям также равна константе
квадрата. Сущ ествует 48 дьявольских квадратов 4x4 с точностью до поворо
тов и отражений, но только 3 сущ ественно различных квадрата,
(рис. 7)
5. И деальный М К - магический квадрат, который одновременно
пандиагональный и ассоциативный, (рис.8)
6. Соверш енный М К - магический пандиагональный квадрат поряд
ка 4к, обладающ ий дополнительными свойствами.
Бимагический квадрат - такой магический квадрат, который остаётся магиче
ским при замене всех его элементов на их квадраты. Бимагических квадра-
товЗ ,4,5 порядканесу шествует.
М ультимагический квадарат - обобщение бимагических квадратов на произ
вольную степень п.
7. Н етрадиционный МК - если в таблицу заносится не строго нату
ральный ряд чисел, (рис. 9)
1.3. М агический квадрат Пифагора
Великий ученый Пифагор, основавш ий религиозно-философское уче
ние, провозгласивш ее количественные отнош ения основой сущности вещей,
считал, что сущность человека заключается тоже в числе - дате рождения.
Поэтому сущность человека заключается в числе - дате его рождения. Он
создал метод построения квадрата, по которому можно познать характер че
ловека, состояние его здоровья и его потенциальные возможности, раскрыть
достоинства и недостатки и тем самым выявить, что нужно предпринять для
его совершенствования.
Для того чтобы понять, что такое магический квадрат Пифагора
(рис. 10) и как подсчитываются его показатели, сделаем расчет. Составлю
магический квадрат для себя. Для этого возьмем дату моего
рождения 18.10.2001. Сложим цифры дня, месяца и года рождения (без ну-7
лей): 1+8+1+2+1=13. Далее складываем цифры результата: 1+3=4. Затем из
первой суммы вычитаем удвоенную первую цифру дня
рождения: 13-4=9. Получили числа 18.10.2001,13,4,9
И составляем магический квадрат так, чтобы в первом столбике будут
размещены числа 1, 2, 3 сверху вниз, во втором - 4, 5, 6 также сверху вниз, в
третьем - 7, 8, 9. Нули при этом во внимание не принимаются. Если опреде
ленных чисел в составленных ранее рядах нет, ячейка просто остается пус
той, можно написать слово «нет». В результате квадрат будет выглядеть с
моей датой рождения.
1111 4 нет
2 нет 8
3 нет 9
1) 4) V)
2) 5) В)
3) 6) 9)
Ячейки квадрата означаю т следующее:
Ячейка 1 - целеустремленность, воля, упорство, эгоизм.
I - законченные эгоисты, стремятся из любого положения извлечь макси
мальную выгоду.
I I - характер, близкий к эгоистическому.
I I I - «золотая середина», Характер спокойный, покладистый, коммуника
бельный.
1111 - лю ди сильного характера, волевые. М ужчины с таким характером
подходят на роль военных - профессионалов, а женщ ины держат семью в ку
лаке.
11111 - диктатор, самодур.
111111 - человек жестокий, способный соверш ить невозможное; нередко по
падает под влияние какой-то идеи.
Ячейка 2 - биоэнергетика, эмоциональность, душ евность, чувствен
ность. Количество ячеек определяет уровень биоэнергетики.
Нет двоек - открыт канал для интенсивного набора биоэнергетики. Эти лю
ди воспитаны и благородны от природы.8
2 - обычные в биоэнергетическом отнош ении люди. Такие люди очень чув
ствительны к изменениям в атмосфере.
22 - относительно больш ой запас биоэнергетики. Из таких людей получают
ся хорош ие врачи, медсестры, санитары. В семье таких людей редко у кого
бывают нервные стрессы.
222 - знак экстрасенса.
Ячейка 3 - точность, конкретность, организованность, аккуратность,
пунктуальность, чистоплотность, скупость, наклонность к постоянному
«восстановлению справедливости».
Нет троек - пунктуальный и чистоплотный человек, однако замечает все ок
ружающие его негативные нюансы.
3 - за порядком следит по настроению.
33 - люди, склонны к наукам, чистоплотны.
333 - высокая склонность к самообучению, с фанатизмом следят за чистой.
Нарастание троек усиливает эти качества. С ними человеку есть смысл ис
кать себя в науках, особенно точных. Перевес троек порождает педантов,
людей в футляре.
Ячейка 4 — здоровье. Это связано с энергетическим пространством, нарабо
танным предками и защ ищ аю щ им человека.
Нет четверок - свидетельствует о болезненности человека.
4 - здоровье среднее, необходимо закалять организм. Из видов спорта реко
мендуется плавание и бег.
44 - здоровье крепкое.
444 и более - лю ди с очень крепким здоровьем.
Ячейка 5 - интуиция, ясновидение, начинающ ее проявляться у таких лю
дей уже на уровне трех пятерок.
Нет пятерок - канал связи с космосом закрыт. Эти лю ди часто ошибаются.
Сами всего добиваю тся в жизни, все пробуют «на зуб». Экспериментирую и
всегда находятся в раздумьях.
9
5 - канал связи открыт. Эти люди могут правильно рассчитать ситуацию, из
влечь из нее максимальную пользу. М ало делаю т ош ибок по жизни.
55 - сильно развита интуиция. Когда видят «вещие сны», могут предугады
вать ход событий. Подходящ ие для них профессии - юрист, следователь.
555 - почти ясновидящ ие, крайне редко допускаю т ошибки, всё предчувст
вуют.
5555 - настоящ ие ясновидящ ие, часто они чувствуют не только то, что про
исходит в этом мире, но и в потустороннем.
Ячейка 6 - заземленность, материальность, расчет, склонность к коли
чественному освоению мира и недоверие к качественны м скачкам и тем
более к чудесам духовного порядка.
Нет ш естерок - этим людям необходим физический труд, хотя они его, как
правило, не любят. Они наделены неординарным воображением, фантазией,
художественным вкусом. Тонкие натуры, они тем не менее способны на по
ступок.
6 - люди приземленные, могут заниматься творчеством или точными наука
ми, но физический труд является обязательным условием существования.
М огут хорош о учиться.
66 - люди очень заземлены, тянуться к физическому труду, хотя как раз для
них он не обязателен; желательна умственная деятельность, либо занятия ис
кусством.
666 - знак Сатаны, особый и зловещ ий знак. Такие люди обязательны, однако
питаются энергией своего партнера. Высосав энергию, уходят к другому че
ловеку. Эти лю ди обладаю т повыш енным темпераментом, обаятельны, неиз
менно становятся в общ естве центром внимания.
6666 - эти лю ди в своих предыдущ их воплощениях набрали слишком много
заземленности, они очень много трудятся и не представляю т свою жизнь без
труда. Если в их квадрате есть девятки, им обязательно нужно заниматься
умственной деятельностью , развивать интеллект, хотя бы получить высшее
образование.10
Ячейка 7 - количество семерок определяет меру таланта.
Нет семерок - такие лю ди рождаются для того, чтобы зарабатывать семерки.
Ж изнь их часто тяжела, нередко приходят к религии.
7 - талант есть, но он неярко выражен, чем больше они работают, тем боль
ше получаю т впоследствии.
77 -сильны й знак ангелоподобия. Очень одаренные, музыкальные люди, об
ладают тонким художественным вкусом, могут иметь склонность к изобрази
тельному искусству.
777 - особый знак. Эти люди, как правило, приходят на землю ненадолго.
Они добры, безмятежны, болезненно воспринимают любую несправедли
вость. Они чувствительны, лю бят мечтать, не всегда чувствуют реальность.
7777 - знак Ангела. Люди с таким знаком умирают в младенчестве, а если и
живут, то их жизни постоянно угрожает опасность.
Ячейка 8 — карма, долг, обязанность, ответственность. Количество вось
мерок определяет степень чувства долга.
Нет восьмерок - у этих людей почти полностью отсутствует чувство долга.
8 - чувство долго развито, натуры ответственные, добросовестные, точные.
88 - у этих лю дей очень развито чувство долга, такие л юли стремятся всем
помогать, не могут никому отказать особенно слабым, больным, одиноким.
888 - знак великого долга, знак служения народу, Правитель с тремя вось
мерками добивается выдаю щ ихся результатов.
8888 - эти лю ди обладаю т парапсихологическими способностями и исклю
чительной восприимчивостью к точным наукам.
Ячейка 9 - ум, мудрость.
Нет девяток — свидетельство того, что умственные способности крайне ог
раничены.
9 - эти лю ди должны всю жизнь упорно трудиться, чтобы восполнить недос
таток ума. Нуж но развивать вторую девятку.
99 - эти лю ди умны от рождения, любят обучаться. Они наделены чувством
юмора с ироничным оттенком, независимые.11
999 - очень умны. Учатся всегда неохотно, потому что знания даются им
легко. К учению вообще не прикладывают никаких усилий. Прекрасные со
беседники.
9999 - это лю ди резкого ума, однако часто они грубы и немилосердны. Им
открывается истина. Если у них к тому же развита интуиция, то они гаранти
рованы от провала в лю бом из своих начинаний.
Итак, решая магические квадраты, мы:
- учимся мыслить, соверш енствуем математический счет;
- можем предсказывать свою судьбу.
1.4. П рименение магических квадратов
Когда я стал изучать магические квадраты, меня заинтересовала об
ласть их применения. Это показалось мне довольно интересным. Сегодня
очень актуальным становиться вопрос о защ ите информации. Например, на
уроке информатики изучаю т тему кодирование. С помощью магических
квадратов также можно закодировать информацию. Например, зашифровать
текст. Расположив буквы согласно числам магического квадрата, получаем
фразу «БУДУ В СЕМ Ь» или «КЛЮ ЧИ ПОД КОВРИКОМ », (рис. 11, рис. 12).
А еще очень популярна японская головоломка судок (яп. «су»- число,
«доку» - рядом - мудрость Востока) (рис. 13). Берет свое начало именно из
магического квадрата. Она помогает нам развивать логическое мышление и
вычислительные навыки. В настоящее время много газет и журналов печата
ют эти головоломки вместе с кроссвордами и другими логическими задача
ми. Эти головоломки лю бят разгадывать как взрослые, так и дети.
Традиционной сферой применения магических квадратов являются та
лисманы (ри.14). М аги, астрологи использую т для росписи талисманов квад
раты, составляется по определенным правилам (это схоже с магическим
квадратом). М агические квадраты использую т силу цифр и соответствующих
им рун с целью привлечения энергии планет к талисманам. Еще в древние
времена было замечено, что числа являются ключевым понятием для изуче
ния Вселенной. Каждое из чисел что-то обозначало, а каждое математиче-1 Л
ское действие почиталось свящ енным актом творения. К при
меру, талисман Луны обладает определенными свойствами: предохраняет от
кораблекруш ения и болезней, делает человека любезным, способствует пре
дотвращ ению дурного намерения, а так же укрепляет здоровье.
ВЫ ВО Д ПО П ЕРВО Й ГЛАВЕ
Все выш есказанное дает нам возможность сделать следующие выво-
1. М агический квадрат - древнекитайского происхождения.
2 . Универсального способа заполнения магических квадратов нет.
3. Способ заполнения магического квадрата зависит от его порядка
4. М агический квадрат является популярной головоломкой, часто встре
чается в олимпиадных заданиях.
5. С помощ ью магического квадрата можно кодировать информацию.
6. Сущ ествует много видом магической головоломки.
7. Для каждого магическая головоломка определенного порядка сущест
вуют различные способы заполнения.
1 4
ГЛАВА 2. Использование магических квадратов в современном мире
В 19 и 20 в.в. интерес к магическим квадратам вспыхнул
с новой силой. Их стали исследовать с помощ ью методов высшей алгеб
ры и операционного исчисления. В связи с этим сфера использования маги
ческих квадратов значительно возросла, что можно наблюдать и в наше вре-
Использование магических квадратов прослеживается
в современной школе на уроках информатики при работе с программой
М югозой Ехсе1, при изучении языка программирования Ра8са1. Однако их
роль на уроках математики тоже заметна. М агические квадраты зачастую ис
пользуются для развития логического мышление и внимания. В начальной
школе использую тся магические квадраты с повторяющ имися цифрами для
закрепления нумерации.
М агические квадраты получили распространение даже
в сфере развлечений. На их основе созданы многие современные логические
игры. Н апример, игра «Судоку» (рис. 13). Игра представляет собой квадрат
размером 3x3 клетки. В каждую клетку помещ ается одно число от 1 до 9
причем так, чтобы сумма чисел в любом столбце, строке и по диагонали рав
нялась 15. История судоку как игры восходит к имени знаменито
го ш вейцарского математика, механика и физика Леонарда Эйлера (1707 -
1783). В бумагах его архива, датированных 17 октября 1776 года, содержатся
записи о том, как образовать магический квадрат с определенным числом
ячеек, особенно 9, 16, 25 и 36. В другом документе, озаглавленном «Научное
исследование новых разновидностей магического квадра
та» Эйлер помещ ал в клетки латинские буквы (Латинский квадрат), поз
же он заполнил клетки греческими буквами и называл квадрат греко
латинским. Исследуя различные варианты магического квадрата, Эй
лер обратил внимание на проблему комбинации символов таким образом,
чтобы не один из них не повторялся ни в одной строке и ни в одном столбце.ю
В современном виде головоломки судоку впервые были опубликова
ны в 1979 году в журнале \Уогс1 Оашез т а § а г т е . Автором головоломки
был Гарвард Гарис. Он использовал принцип латинского квадрата Эйлера,
применил его в матрице размерностью 9x9 и добавил дополнительные огра
ничения, цифры не должны повторяться и во внутренних квадратах 3x3. Еще
одним примером использования квадратов в сфере развлечений является ма
гический квадрат третьего порядка, который можно встретить на палубах
больших пассажирских судов - площ адка для игры в палубный шаффлборд.
Ш аффлборд - игра, в которой монеты или диски ударом биты перемещают
по расчерченной на девять клеток площадке.
Кроме того, магические квадраты используются в криптографии. Они
позволяют создать алгоритм перевода заш ифрованного текста в изображении
и наоборот. Буквы сообщ ения расставляю тся в порядке, заданном магиче
ским квадратом. Затем каждой букве сообщения ставится в соответствие
цвет, тем самым в итоге получаем изображение. С начала эпохи Возрожде
ния (конец XIV столетия) начала возрождаться и криптография. Наряду с
традиционными применениями криптографии в политике, дипломатии и во
енном деле появляю тся и другие задачи - защ ита интеллектуальной собст
венности от преследований инквизиции или заимствований злоумыш ленни
ков. В разработанных ш ифрах перестановки того времени применяются
шифрующие таблицы, которые в сущности задают правила перестановки
букв в сообщении.
В качестве клю ча в ш ифрующ их таблицах используются:
• размер таблицы;
• слово или фраза, задающ ие перестановку;
• особенности структуры таблицы.
16
ВЫ ВО ДЫ ПО ВТО РО Й ГЛАВЕ
Таким образом, мы убедились, что в наше время магические квадра
ты продолжают привлекать к себе внимание лю бителей математических игр
и развлечений. Возросло число книг и журналов по занимательной математи
ке, в которых содержаться головоломки и задачи, связанные с необычными
(магическими) квадратами. Для их успеш ного решения требуется не столько
специальные знания, сколько смекалка и умение подмечать числовые зако
номерности. Реш ение таких задач послужить прекрасной «гимнастикой для
ума». Такая «гимнастика» нравиться и взрослым и детям.
Как и много веков назад, волш ебные квадрат сейчас используют со
временные астрологи и нумерологии, а также и «маги».
ЗАКЛЮ ЧЕН И Е
В условиях отсутствия компьютеров и ограниченного пространства
доступных числовых конструкций, магические квадраты десятки веков при
водили лю дей в неописуемый восторг, когда они как чуду внимали совер
шенству незатейливых суммирующ их закономерностей.
Сегодня этим уже никого не удивишь. Человек научился строить маги
ческие квадраты самой разной природы и порядка. И то, что раньше казалось
таинством (волш ебством), сегодня представляется ремеслом.
В моем проекте представлены вопросы, связанные с историей разви
тия одного из интересных вопросов математики, - магических квадратов.
Несмотря на то, что собственно магические квадраты не нашли широкого
применения в науке и технике, они подвигли на занятия математикой множе
ство незаурядных людей и способствовали развитию многих разделов совре
менной математики: теории групп, матриц, комбинаторного анализа. Были
решены поставленные задачи: я изучил историю появления и развития маги
ческих квадратов. По методике построения магического квадрата Пифагора
можно узнать о человеке по его дате рождения. По своей дате рождения я в
этом смог убедиться.
Была достигнута цель исследования: в процессе моего проекта я по
знакомился с магическими квадратами и изучил их область применения.
Работая над своим проектом, я понял, что магические квадраты можно
использовать не только в учебе, в работе, а так же многие люди используют
их в своем досуге. Например, разгадывание Судоку - это поистине увлека
тельная головоломка. Таким образом, нас повсюду окружают
магические «волш ебные» квадраты ...
ю
С П И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы
1. М. Гарднер «Путеш ествие во времени», М., «М ир», 1990г.
2. «Магия чисел и фигур», М осква «Глобус», 2007 г.
3. Гарднер М. М атематические головоломки и развлечения. - М.: Мир, 1971.
4. Глейзер Г.И. История математики в школе. - М.: Просвещение, 2007.
5. Депман И .Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики. - М.:
Просвещение, 2006.
6. Трошин В.В.. М агия чисел и фигур. М.: - ООО «Глобус», 2007.
7. Файнштейн В. А. Заполним магический квадрат // М атематика в школе, 2000,
№3
8. Ш арыгин И., Ф. Ш евкин А. В. Подумай и реши: задачи на смекалку. - М.:
ГАЛАС, 1993.
9. ЬЦр://\у\у\у.к1а551крое2.пагос1.ги/то1те1оё.Ь1т
10. Ьйр ://п5рог1:а1 .т/5Ько1а/га2пое/НЬгагу
11 ■ЬЦр://ги.\У1к1ресИа.ощ/\У1к1/%СС%Е0%ЕЗ%Е8%Р7%Е5%Р 1%ЕА%Е8%Е9 %Е
А% Е2% Е0% Е4% Р0% Е0% Р2
12. Ьйр://хгеГега1:.ги/54/540-1 -та21сЬе5к1е-куадга1у.Ь1т1
13. ЬЦр://\у\у\у.соо1геГегаг.сот/Магические квадраты часть 3
4 9 2
3 5 7
8 1 6
П РИЛОЖ ЕНИЕ:
Рис. 1 Панцирь черепахи с узором из точек
Рис.4 нормальный магический квадрат
Рис.2 Квадрат 3 хЗ
Рис.З Символ «Девяти императоров»
8 6 4 2 — 20
6 4 2 8 —♦ 20
4 2 8 б — 20
2 8 6 4 — 20
/ 1 1 1 1 х*8 20 20 20 20
Рис.5
Полумагический квадрат
4 9 2
3 5 7
8 1 6
Рис.6
Симметричный квадрат
20
Рис. 7Пандиагональный М агический квадрат
1 8 11 14
12 13 2 7
6 3 16 9
15 10 5 4
| 2 1 1 32 7 0 1| 26 || 28 | 69 122 36 65
| 4 0 | 8 1 1| 2 | 39 || 77 || 7 ^44 | 7 3 Л 6
I 6 : | | 51 || 53 | 13 | 47 | 57 || •- | 52
[ 6в | 2 3 ]| 34 | 7 1 1 9 3 3 |! $ ? [ 2 7 ; : 2 9 ;
3 ~':\ 41 I 79 | 3 | 37 | "5
16| 5 3 1| 55 !( 15 || 49 || 63 !| 11 || 48 :| 59
| 30 || 68 | 26 Ц 3 5 1| 64 | 24 :[ 31 [[ ?2 | 20
| 76 [ 9 || 38 :| 75 || 5 || 43 || 30 | 1 42
| 1 7 1| 46 !| 6 0 1| 1 3 1| 54 !| 56 || 1 2 }| 50 ’| 61 |
Рис.8 Идеальный М агический квадрат
Рис.9 Нетрадиционный магический квадрат
Рис. 10 М агический квадрат Пифагора
21
1иНУрОЬ‘с»«И4:
6 1 8
7 5 3
2 9 4
У Е С Ь В Б У Д М
Рис. 11Ш ифрование«Буду в семь»
1_и > >}' ри Ь-с ! НЫС
16 3 2 13 |К Л ю ч5 10 и 8 1И п о д9 6 7 12 к о в р4 15 14 1 ! 11 О м
МЮАИИОВДНГЮРЧОКК
Рис. 12Ш ифрование «Ключи под ковриком»
8 4 в 74
1 6 55 9 3 7 8
74 8 2 1 35 2 9
13 9 2 5
Рис. 13 Японская головоломка «Судоку»
Рис. 14 Талисман для неуязвимо неуязвимости на войне
22