11. pp tỪng phẦn tÍnh tÍch phÂn - moon.vnmoon.vn/baigiangvideo/download/dangviethung/11_pp...
TRANSCRIPT
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH !
���� Công thức tích phân từng phần ( )= = −∫ ∫b b
b
aa a
I udv uv vdu
���� Thứ tự ưu tiên khi đặt u : Hàm loga, ln → Hàm đa thức→ Hàm lượng giác = Hàm mũ.
Ví dụ 1: [ĐVH]. Tính các tích phân sau:
a) 1
1
0
sinxI e xdx= ∫ b) 2 21
ln
( 1)
e
e
xI dx
x=
+∫ c) 23
1
lne
I x xdx= ∫
d) 1
24
0
ln(1 )I x x dx= +∫ e) 1
25
0
xI x e dx= ∫
Lời giải:
a) Đặt ( ) ( )1 1
1 1
10 0
0 0
sin cos cos . cossin cos
x xx x x xe u e dx du
I e xdx e x x e dx e x Jxdx dv x v
= =⇒ ⇒ = = − + = − +
= − = ∫ ∫
Đặt ( )1 1
110 1' 0
0 0
cos sinxcos sin sin sinx x x x
x x
xdx dv vJ xe dx e x xe dx e x I
u e du e dx
= = ⇒ ⇒ = = − = −
= = ∫ ∫
( ) ( )1 1
1 10 0
1 (sin1 cos1)2 sin cos 1 (sin1 cos1)
2x x e
I e x e x e I− −
⇒ = − = − − ⇒ =
b) Đặt 2 2 11 12
lnln ln
1 ( 1) 1 ( 1)( 1)
1
ee e
ee e
dxx u dux x dxx I dxdx
dv x x x xvx
x
= = ⇒ ⇒ = = − + = + + + = −+ +
∫ ∫
11 1
1 1
ln lnln 1 1 0.
1 ( 1) 1 1
e ee ee
ee e
e e
x dx dx x x
x x x x x= − + − = − + = − + =
+ + + +∫ ∫
c) Đặt 2 2 2
2 2 2 232
1 1 11 1
2lnln
ln ln ln ln ln2 2
2
e ee e e
dxdu x
x u x dx xxI x xdx x x x x x xdx
xxdx dv xv
= = ⇒ ⇒ = = − = − = =
∫ ∫ ∫
Xét 1
ln .e
J x xdx= ∫ Đặt 2 2 2
211 1
ln 1ln ln
2 2 2 4
2
e ee
dxdu
u x x x xxJ x xdx x
xdx dv xv
== ⇒ ⇒ = − = − = =
∫
2 2 2 22
3
1
1ln ln .
2 2 4 4
e
x x x eI x x
−→ = − + =
d) Đặt 2 2
2
2ln(1 ) 1
2
xdxdu
x u x
xdx dv xv
= + = +⇒
= =
( )
1 11 1 12 3 22 2 2
4 2 20 0 00 0
1 1 1 1 112 2 2 22 2 2
20 00 0 0 0
ln(1 ) ln(1 ) ln(1 )2 1 2 1
1 1ln(1 ) ln(1 ) ln 1 ln 2
2 2 1 2 2 2 2
x x dx x xI x x dx x x x dx
x x
x x xdx x xx x x
x
⇒ = + = + − = + − − = + +
= + − + = + − + + = − +
∫ ∫ ∫
∫
11. PP TỪNG PHẦN TÍNH TÍCH PHÂN Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH !
e) Đặt ( ) ( )2 1 1
1 12 2 2
50 0
0 0
22 2x x x x
xx
du xdxx uI x e dx x e xe dx x e J
v ee dx dv
= = ⇒ ⇒ = = − = −
== ∫ ∫
Xét 1
0
.xJ xe dx= ∫ Đặt ( ) ( )1 1
1 1
0 00 0
x x x x x
x x
x u du dxxe dx xe e dx xe e
e dx dv v e
= = ⇒ ⇒ = − = −
= = ∫ ∫
Vậy ( ) ( ) ( )1 1 12 2
50 0 0
2 2 1.x x x xI x e J x e xe e e= − = − − = −
BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Bài 1: [ĐVH]. Tính các tích phân sau:
a) 2
1
1
( 1) ln= −∫I x xdx b) 2 21
ln= ∫e x
I dxx
c) 2
3 21
ln= ∫e x
I dxx
Bài 2: [ĐVH]. Tính các tích phân sau:
a) 2
1 21
ln( 1)
(2 1)
+=−∫
xI dx
x b)
12
2
0
(2 1)= −∫xI x e dx c)
24
3
0
2 cos
1 sin 2
π
+=+∫
x xI dx
x
Bài 3: [ĐVH]. Tính các tích phân sau:
a) 2
21
1
ln( )= +∫I x x x dx b) 3
2 20
sin
cos
π
= ∫x x
I dxx
c) 6
2 23
0
2 cos .sin
π
= ∫I x x xdx
Bài 4: [ĐVH]. Tính các tích phân sau:
a) 1
1 20 ( 1)
=+∫
xxeI dx
x HD: Đặt = xu xe
b) 2 2
2 20 ( 2)
=+∫
xx eI dx
x HD: Đặt 2= xu x e
c) 4
3
0
sin ( 1)cos
sin cos
π
+ +=+∫
x x x xI dx
x x x HD: Đạo hàm biểu thức của mẫu số để tìm mối quan hệ với tử số.
d) 1 2 2
3
0
2
1 2
+ +=+∫x x
x
x e x eI dx
e
Bài 5: [ĐVH]. Tính các tích phân sau:
a) 4
1 2 20
tan
cos (tan 1)
π
+=+∫
x xI dx
x x b)
6
2 20
tan tan 2
cos 2
π
+= ∫x x x
I dxx
c) 3
0 1 sin
π
=+∫
xI dx
x
Bài 6: [ĐVH]. Tính các tích phân sau:
a) 2
1 2
1 1
ln ln = − ∫e
e
I dxx x
b) 4
2 2
3
sin 2 ln(sin )
cos
π
π
+= ∫x x x
I dxx
c)
2
4
3
4
sin
π
π
= ∫I xdx
Bài 7: [ĐVH]. Tính các tích phân sau:
a) 2
1 2
2 ln
2ln
−= ∫e
e
x x xI dx
x b)
4
2 20
ln(sin cos )
cos
π
+= ∫x x
I dxx
c) 2
3
1
1 ln
2ln
+=+∫
e x xI dx
x x