ΕΧΝ110 Μαθηματικές μεθόδοι σταοικονομικά και διοίκηση ΙΦθινοπωρινό εξάμηνο 2015-16

I Καθηγητές Καθ Ερρίκος Κοντογιώργης (erricoscutaccy)και∆ρ Κατερίνα Περικλέους (katerinapericleouscutaccy)

I Γραφεία Κτήριο Continental 2ο όροφος αρ γραφείου 4I ´Ωρες και Αίθουσα ∆ιαλέξεων

(Τμήμα1) ΤΡΙΤΗ 1000-1130 και ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 1000-1130

(Τμήμα2) ΤΡΙΤΗ 1130-1300 και ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 1130-1300

(Τμήμα3) ΤΡΙΤΗ 1300-1430 και ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 1330-1430I Αίθουσα ∆ιδασκαλίας ΤΡΙΤΗ ΠΟΜΗΓΕ (Χάνι) Αίθουσα

∆ιαλέξεων και ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ Κτήριο umlΤάσσοςΠαπαδόπουλοςuml (Στοά) Αίθουσα ∆ιαλέξεων 5

Ε Ι Κοντογιώργης copy 1

ΦροντιστήριαI ´Ωρες και Αίθουσα Φροντιστηρίου

ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 1600-1700 (1 Φροντ)

ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 1700-1800 1530-1630 (2 Φροντ)

ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 1800-1900 (3 Φροντ)

I Αίθουσα Φροντιστηρίου Κτήριο ΣΟΕ∆ (Continental)Αίθουσα ∆ιδασκαλίας

I Υπεύθυνος Φροντιστηρίου ∆ρ Σάββας Παπαπαναγίδης(savvas3photmailcom)

I ´Ωρες Γραφείου ΤΡΙΤΗ 1430-1600 ή με ραντεβού

Ε Ι Κοντογιώργης copy 2

Αναπλήρωση μαθημάτων

Προγραμματίζονται επίσης διαλέξεις το Σάββατο 10Οκτωβρίου καθώς και το Σάββατο 17 Οκτωβρίου γιααναπλήρωση μαθημάτων

Ε Ι Κοντογιώργης copy 3

ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

Το μάθημα αυτό είναι μια εισαγωγή στις μαθηματικέςμεθόδους που χρησιμοποιούνται στα οικονομικά και τηδιοίκηση επιχειρήσεων Τα θέματα περιλαμβάνουν βασικάστοιχεία διαφορικού λογισμού πραγματικής συνάρτησηςμιας μεταβλητής

Επιγραμματικά η ύλη καλύπτει μια εισαγωγή στιςβασικές εξισώσεις και λειτουργίες εκθετικούς αριθμούς καιλογάριθμους με εφαρμογές στην οικονομική επιστήμηΑθροίσματα και σειρές Γραφική αναπαράσταση καιανισότητες Συστήματα εξισώσεων Συναρτήσειςγραφήματα και όρια Παράγωγοι και εφαρμογές καιΕλαχιστοποίηση και μεγιστοποήση με εφαρμογές

Ε Ι Κοντογιώργης copy 4

Βοηθήματα Βιβλιογραφία και Πηγές

1 3 Laurence D Hoffmann and Gerald L Bradley AppliedCalculus For Business Economics and the Social and LifeSciences McGraw-Hill Science (International Edition 2010)

2 FS Budnick Applied Mathematics for Business Economicsand the Social Sciences (any edition) McGraw-Hill

Ε Ι Κοντογιώργης copy 5

∆ΙΑΛΕΞΕΙΣ

Τα μαθήματα θα γίνονται υπό μορφή διαλέξεων (3 ώρεςτην εβδομάδα) και φροντιστηρίων (μιά ώρα) Στη διάλεξηπαραδίδεται η ύλη του μαθήματος και γίνεται ανάλυσητων θεμάτων της ύλης

Οι φοιτητές μπορούν να παρακολουθούν διαλέξεις μόνοστο τμήμα στο οποίο έχουν εγγραφεί

Οι σημειώσεις που θα καλύπτονται σε κάθε διάλεξηβρίσκονται στην ιστοσελίδαhttpecoursescutaccyκαι για τις πρώτες διαλέξεις στηνhttpwwwerricoscomcoursesEXN110

Ε Ι Κοντογιώργης copy 6

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Ο κάθε φοιτητής θα πρέπει να προμηθευτεί τις σημειώσειςπριν την έναρξη της διάλεξης ώστε να τις έχει μαζί τουκατά την διάρκεια της διάλεξης

Οι σημειώσεις θα έχουν κάποια μέρη άδεια (τρύπες) ταοποία θα συμπληρώνονται κατά τη διάρκεια τωνδιαλέξεων

Στα φροντιστήρια γίνεται συζήτηση της ύλης πουκαλύπτει η διάλεξη και λύνονται ασκήσεις

Ε Ι Κοντογιώργης copy 7

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΑ

Η ενδιάμεση εξέτάση αναμένεται να πραγματοποιηθεί τοΣάββατο 17 Οκτώβρη του 2015 και θα αντιστοιχεί στο35 της συνολικής βαθμολογίας

Η τελική εξέταση θα πραγματοποιηθεί τον ∆εκέμβριο καιθα αντιστοιχεί στο 65 της συνολικής βαθμολογίας

Οποιεσδήμοτε τροποποιήσεις (αν υπάρξουν) σχετικά με τιςημερομηνίες ήκαι τις ώρες διεξαγωγής των ενδιάμεσωνεξετάσεων θα σας γνωστοποιηθούν γραπτός

Ε Ι Κοντογιώργης copy 8

Σημείωση

Ο φοιτητής ο οποίος θα συλληφθεί να αντιγράφει να έχεικινητό τηλέφωνο να έχει αριθμομηχανές ή να έχει έγραφαστο θρανίο του που έχουν άμεση σχέση με το εξεταζόμενομάθημα ΕΧΝ110 κατά την διάρκεια των εξετάσεων τότεαμέσως αποτυγχάνει στο μάθημα αυτό και είναιυπεύθυνος για τις οποιεσδήποτε πειθαρχικές διαδικασίεςπροκύψουν λόγο αυτού

Κατά τη διάρκεια των διαλέξεων όλα τα κινητά τηλέφωναπρέπει να είναι κλειστά

Φαγώσιμα ή ποτά δεν επιτρέπονται στις διαλέξεις

Ε Ι Κοντογιώργης copy 9

ΕΧΝ 110 Μαθηματικά ΙΠεριεχόμενα

I Μ I Β Ε Β Λ

I Ε Α ΛI ΑI Α Γ ΠI Σ I ΛI Γ

Ερρίκος Ιωάννη ΚοντογιώργηςE-mail erricoscutaccy

Ε Ι Κοντογιώργης copy 10

Μεταβλητές και Σταθερές

I Στα Μαθηματικά και τη Στατιστική πάντοτεασχολούμαστε με ευμετάβλητα μεγέθη Για παράδειγμαμισθούς επιτόκια πληθωρισμό ύψος βάρος ηλικία χρόνοκτλ

I Στα συνηθισμένα συμφραζόμενα μια μεταβλητήσυμβολίζεται με ένα αλφαβητικό γράμμα πχ x y zκτλ Για παράδειγμα αν η μεταβλητή μας αποτελείταιαπό τους μισθούς υπαλλήλων τότε μπορούμε να τουςπαραστήσουμε τους μισθούς με τη μεταβλητή x

I Συγκεκριμένα εάν δεν ενδιαφερόμαστε για το πραγματικόύψος των μισθών (ή δε τους γνωρίζουμε) αλλά επιθυμούμενα απομονώσουμε τους μισθούς τεσσάρων υπαλλήλωντότε τους συμβολίζουμε ως εξής x1 x2 x3 και x4

Ε Ι Κοντογιώργης copy 11

Μεταβλητές και Σταθερές ΙΙ

I Σε ορισμένες περιπτώσεις εμπερικλείουμε τις μεταβλητές σεπαρενθέσεις ´Ετσι (x1x2x3x4)Ο τρόπος αυτός ονομάζεται σύνολο

I Αν ξέρουμε τους πραγματικούς μισθούς τεσσάρωνυπαλλήλων μπορούμε να τους γράψουμε σε σειρά έτσι τοσετ θα έχει τη μορφή (2200016000384322943248)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 12

Ακέραιοι και Πραγματικοί Αριθμοί

I Οι lsquoφυσικοίrsquo αριθμοί (θετικοί ακαίραιοι) δίνονται ως εξής1234 Το σύνολο όλων των φυσικών αριθμώνσυμβολίζεται με το γράμμα N

I Οι lsquoολόκληροιrsquo αριθμοί (μη αρνητικοί ακέραιοι) είναι οιφυσικοί αριθμοί μαζί με το μηδέν 01234

I Οι lsquoακέραιοιrsquo περιλαμβάνουν τους φυσικούς αριθμούς τομηδέν και τους αρνητικούς φυσικούς αριθμούς

minus2minus1012

Η σειρά των ακεραίων συμβολίζεται με Z

Ε Ι Κοντογιώργης copy 13

Ακέραιοι και Πραγματικοί Αριθμοί ΙΙ

I Μια μεταβλητή μπορεί να πάρει πεπερασμένο αριθμότιμών Για παράδειγμα η μεταβλήτή M που υποδειλώνειτους μήνες του χρόνο μπορεί να πάρει τις τιμές

123456789101112

Σε αυτή την περίπτωση η μεταβλητή M είναι μια σειράθετικών ακέραιων μετεβλητών (φυσικοί)

I Η μεταβητή x μισθοί από το προηγούμενο παράδειγμαπαίρνει θετικούς πραγματικούς αριθμούς

I Το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών συμβολίζεταιreal Η σειρά αυτή περιλαμβάνει όλους τους πραγματικούςακέραιους αριθμούς από το μείον άπειρο (minusinfin) ως στοάπειρο (infin)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 14

Ακέραιοι και Πραγματικοί Αριθμοί ΙΙΙ

I Γενικά μια μεταβλητή x που παίρνει πραγματικές τιμέςονομάζεται πραγματική μεταβλητή (real variable) καισυμβολίζεται με x isinreal Με το σύμβολο isin εννοούμε lsquoμέσαrsquolsquoανήκειrsquo κλπ

I Το σύμβολο που χρησιμοποείται για το διαχωρισμό τουακέραιου μέρους σε ένα δεκαδικό αριθμό από τοκλασματικό μέρος ονομάζεται δεκαδικό σημείο (decimalpoint) Eg 314159

I Η δεκαδική θέση (decimal place) είναι η θέση του ψηφίουστα δεξιά του δεκαδικού σημείου

Ε Ι Κοντογιώργης copy 15

Συναρτήσεις Ακέραιων και Πραγματικών

I Συνάρτηση στογγυλοποίησης ή συνάρτηση κοντινότερουδεκαδικούΗ lsquoστρογγυλοποίησηrsquo ενός πραγματικού αριθμού xσυμβολίζεται με [x] ∆ίνει τον πιο κοντινό ακέραιο στοxΠχ [32] = 3 [minus32] =minus3 και [86] = 9Ο πιο πάνω ορισμός είναι δύσκολο να εφαρμοστεί γιαhalf-integers Στις περιπτώσεις αυτές η στρογγυλοποίησηγίνεται προς τα πάνω μόνο για τους μονούς αριθμούςέτσι ώστε να αποφεύγεται η μεροληπτικότηταΠχ [35] = 4 [45] = 4 και [05] = 0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 16

I Στρογγυλοποίηση προς τα πάνω ή συνάρτησημικρότερου ακεραίουΗ lsquoστρογγυλοποίηση προς τα πάνωrsquo ενός πραγματικούαριθμού x συμβολίζεται με dxe Μας δίνει το μικρότεροδυνατό ακέραιο που είναι μεγαλύτερος ή ίσος από το xΠχ d32e= 4 dminus32e=minus3 d35e= 4 και d36e= 4

I lsquoΣτρογγυλοποίηση προς τα κάτωrsquo ή συνάρτησημεγαλύτερου ακεραίουΤο lsquoκατώτατο όριοrsquo ενός πραγματικού αριθμού xσυμβολίζεται bxc ∆ίνει το μεγαλύτερο δυνατό ακέραιοπου είναι μικρότερος ή ίσος από το xΠχ b32c= 3 bminus32c=minus4 b35c= 3 και b36c= 3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 17

Σταθερές

I ´Ενας αριθμός που αντιπροσωπεύει μια ποσότητα πουθεωρείται ότι έχει σταθερή τιμή ονομάζεται lsquoσταθεράrsquo Ητιμή μιας σταθεράς ενώ δε μεταβάλλεται πιθανό να μηνπροσδιορίζεται

I Οι πιο σημαντικές πραγματικές σταθερές είναι

1 Το π= 314159 Είναι ο δείκτης που υποδειλώνει τηνπεριφέρεια του κύκλου ακτίνια Ονομάζεται και σταθερά τουΑρχιμήδη

2 Το exp = 271828 που υποδειλώνει τη βάση του φυσικούλογάριθμου

Ε Ι Κοντογιώργης copy 18

Σύμβολα Κατεύθυνσης

I Το σύμβολο lsquogtrsquo που σημαίνει lsquoμεγαλύτεροrsquo καθώς και τοlsquogersquo που σημαίνει lsquoμεγαλύτερο ή ίσοrsquo

I Το σύμβολο lsquoltrsquo που σημαίνει lsquoμικρότεροrsquo καθώς και το lsquolersquoπου σημαίνει lsquoμικρότερο ή ίσοrsquo

I Παράδειγμα Οι μεταβλητές που συμβολίζουν τουςμηνιαίους μισθούς xge 0 Οι μεταβλητές που συμβολίζουντους μήνες του χρόνου 0ltMlt13 που μπορούν επίσης ναγραφτούν 1leMle 12

Ε Ι Κοντογιώργης copy 19

∆υνάμειςI Οι εκθέτες αποτελούν συντομογραφία του

πολλαπλασιασμού (5)(5) = 52 και (5)(5)(5) = 53 Εδώτο 5 λέγεται βάση και το 3 λέγεται εκθέτης Μπορείεπίσης να ερμηνευτεί πέντε υψωμένο στην τρίτη δύναμη

I Η δύναμη είναι ο εκθέτης στον οποίο υψώνεται μιαποσότητα Η έκφραση xn είναι γνωστή ως x στη nδύναμη

I Σημειώστε ότι 5253 = (55)(555) = 55 = 5(2+3) Εδώπαρουσιάζεται ένας βασικός κανόνας του εκθέτη Στηπερίπωση που πολλαπλασιάζονται δύο όροι που έχουντην ίδια βάση οι εκθέτες τους μπορούν να προστεθούν

xmxn = x(m+n)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 20

I Στην περίπτωση όμως που (x4)(y3) ο πιο πάνω κανόναςδε μπορεί να εφαρμοστεί γιατί οι βάσεις είναιδιαφορετικές (x4)(y3) = xxxxyyy

I Για (x2)4

= x2x2x2x2 = xxxxxxxx= x8 = x(2times4)

I ´Ετσι στην περίπτωση που έχετε μια εκθετική έκφρασηπου είναι υψωμένη σε μία δύναμη μπορείτε ναπολλαπλασιάσετε τον εκθέτη με τη δύναμη

(xm)n

= xmn

Ε Ι Κοντογιώργης copy 21

I Εάν έχετε μια έκφραση μέσα σε παράνθεση και ηπαράνθεση είναι υψωμένη σε μια δύναμη τότε η δύναμημπορεί να γίνει μέρος τις παράνθεσης Για παράδειγμα

(xy2)3 = (xy2)(xy2)(xy2) = (xxx)(y2y2y2)

= (xxx)(yyyyyy) = x3y6 = (x)3(y2)3 = x3y6

Παρομοίως(xy)2

=x2y2

I ´Ενας αρνητικός εκθέτης είναι ένδειξη ότι η βάση βρίσκεταιστον παρονομαστή του κλάσματος Πχ

xminus2 =1x2

x2xminus3 = x2x3 = x5 2xminus1 =

2x

(3x)minus2 =1

(3x)2 =1

9x2 και(xminus2yminus3

)minus2=

(xminus2)minus2

(yminus3)minus2=x4y6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 22

I Οτιδήποτε στη δύναμη μηδέν είναι lsquo1rsquo

Πχ 50 = 1 x0 = 1 (x2y3)0 = 1 και 00 = 1

Σημειώστε ότι 50 = 5(1minus1) = (51)(5minus1) =55 = 1

I Μηδέν σε οποιαδήποτε δύναμη είναι μηδέν έτσι 0n = 0

Σημειώστε ότι 00 = 1 και ότι 00 = 0

Αυτό υποδειλώνει ότι 00 είναι μια απροσδιόριστη μορφήπου σε κάποιες περπτώσεις παίρνει μία τιμή και σεκάποιες άλλες περιπτώσεις παίρνει διαφορετική τιμή

Ε Ι Κοντογιώργης copy 23

I Κλασματικοί (Αναλογικοί) Εκθέτες

1 Η τετραγωνική ρίζα μπορεί να γραφτεί σε μορφή κλάσματος

´Ετσι radicx= x12

Πχ 212 =

radic2 = 141 και 2

minus12 =

1radic2

= 071

2 Γενικά xab =bradicxa Πχ 7

23 =

3radic72 = 366

355 = 3112 =

2radic311 = 42089

Ε Ι Κοντογιώργης copy 24

ΛογάριθμοιI Η λογαριθμική μορφή ενός αριθμού είναι lsquoαντίθετηrsquo από

την εκθετική Τεχνικά μιλώντας η λογαριθμική μορφήείναι αντίστροφη της εκθετικής

I Η σχέση δίνεται logb(x) = y

που είναι το ίδιο με by = x

I Ο lsquolsquologb(x) = yrsquorsquo προφέρεται lsquolsquolog-βάση-b-του x ισούται yΕδώ b ονομάζεται lsquoβάση του λογαρίθμουrsquo αφού το b είναιη βάση της εκθετικής έκφρασης

I Η βάση b του λογάριθμου είναι πάντοτε θετική και δενισούται με 1

I Οτιδήποτε βρίσκεται μέσα στο λογάριθμο ονομάζεταιέκφραση

Ε Ι Κοντογιώργης copy 25

ΠαραδείγματαI Μετατρέψτε την έκφραση 63 = 216 στην ισοδύναμη

λογαριθμική μορφή

Για τη μετατροπή η βάση μένει η ίδια αλλά το 3 και το216 αλλάζουν θέσεις Αυτό μας δίνει

log6(216) = 3

I Μετατρέψτε τον log4(1024) = 5 στην αντίστοιχηλογαριθμική έκφραση

Για τη μετατροπή η βάση (που είναι 4) παραμένει η ίδιααλλά το 1024 και το 5 αλλάζουν θέσεις ´Ετσι δίνεται

45 = 1024

Ε Ι Κοντογιώργης copy 26

I Υπολογίστε τον log2(8)

Εάν y= log2(8) τότε υπονοείται ότι 2y = 8 Αυτόσημαίνει ότι y είναι η δύναμη του 2 που θα έχει σαναποτέλεσμα 8 Η δύναμη που δίνει το αποτέλεσμα είναι 3αφού 23 = 8 ´Ετσι

log2(8) = 3

I Κατά παρόμοιο τρόπο log5(25) = 2 αφού 52 = 25

I Υπολογίστε τον y= log64(4)

Σημειώστε ότι 64y = 4 και 43 = 64

´Ετσι (43)y

= 4 ή 43y = 41

Η πιο πάνω έκφραση εξυπονοεί ότι 3y= 1 και έτσιy= 13

Ε Ι Κοντογιώργης copy 27

I Υπολογίστε y= log6(6)

Αυτό ισοδυναμεί με το 6y = 6 και συνεπώς y= 1

I Υπολογίστε το y= log3(1)

Το πιο πάνω μπορεί να γραφτεί ως 3y = 1

´Ομως 1 = 30 έτσι 3y = 30 και y= 0

I Υπολογίστε το y= log4(minus16)

Μπορεί να γραφτεί σαν 4y =minus16

´Ομως δεν υπάρχει τιμή (πχ δύναμη) y που ναικανοποιεί τη σχέση ´Ετσι δεν υπάχρει λύση

Ε Ι Κοντογιώργης copy 28

I Υπολογίστε το y= log2(0)

Αυτό σημαίνει 2y = 0 όμως δε υπάρχει τιμή που ναικανοποιεί τη σχέση ´Ετσι δεν υπάχρει λύση

I Υπολογίστε το y= 2log2(9)

Αυτό σημαίνει ότι log2(y) = log2(9) και έτσι y= 9

Ε Ι Κοντογιώργης copy 29

I Γενικά1 logb(b) = 1 για οποιαδήποτε βάση b

2 logb(1) = 0 για οποιαδήποτε βάση b

3 logb(a) δεν ορίζεται για αρνητικά a

4 logb(0) δεν ορίζεται για οποιαδήποτε βάση b

5 logb(bn) = n για οποιαδήποτε βάση b

Ε Ι Κοντογιώργης copy 30

I Οι λογάριθμοι μπορούν να πάρουν οποιοδήποτε αριθμόσαν βάση αλλά δύο βάσεις είναι οι πιο χρήσιμες οlog-βάση-10 και ο log-βάση-e

I Η βάση-10 log συχνά ονομάζεται ο κοινός log καιγράφεται ως log(x) Εδώ δεν αναγράφεται βάση καιμπορούμε να υποθέσουμε ότι η βάση είναι 10

Πχ log(100) = 2 έτσι log10(102) = 2

I Η βάση-e log ονομάζεται ο φυσικός log και γράφεται σανln(x)Πχ ln(e345)= 345 καθώς loge(e345) = 345

Ε Ι Κοντογιώργης copy 31

Ιδιότητες Λογαρίθμωνlogb(xy) = logb(x) + logb(y)

Απόδειξη´Εστω m= logbx και n= logby

Γράψτε σε μορφή εκθέτη x= bm και y= bn

Πολλαπλασιάστε το x και y ούτως ώστεxy= bmbn = bm+n

´Ετσι από τον ορισμό των λογαρίθμων το xy= bm+nσυνεπάγει ότι

logb(xy) =m+n= logbx+ logb(y)

Πχ log2(4times16) = log2(64) = log2(26) = 6

Ακόμα log2(4times16) = log2(4) + log2(16) = 2+4 = 6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 32

logb(xy)

= logb(x)minus logb(y)

Απόδειξη´Εστω m= logbx και n= logby

Γράψτε σε μορφή εκθέτη x= bm και y= bn

∆ιαίρα το x και y ούτως ώστε xy =bmbn = bmminusn

´Ετσι από τον ορισμό των λογαρίθμων το xy = bmminusn

συνεπάγει ότι

logb(xy)

=mminusn= logbxminus logb(y)

Πχ log2(16

4)

= log2(4) = 2

και log2(16

4)

= log2(16)minus log2(4) = 4minus2 = 2Ε Ι Κοντογιώργης copy 33

logb(xn) = n logb(x)

Απόδειξη´Εστω m= logbx και γράψτε σε μορφή εκθέτη x= bm

Αυξάνοντας τις δύο πλευρές στην n δύναμη παίρνουμεxn = (bm)n = bmn

´Ετσι από τον ορισμό των λογαρίθμων τοlogbxn =mn= nm= n(logbx)

Πχ log2(64) = log2(26) = 6 log2(2) = 6

log(64) = 18

Επιπλέον log(64) = log(26) = 6log(2) = 6times030 = 18

Ε Ι Κοντογιώργης copy 34

logb(x) =loga(x)loga(b) agt0 a 6= 1

Απόδειξη´Εστω m= logbx rArr x= bm

Εφαρμόστε loga και στις δύο πλευρές του x= bmγια ναδώσει

logabm = logax rArr m logab= logaxrArr m=logaxlogab

rArr logbx=logaxlogab

Πχ log5(20) =log(20)

log(5)= 186 =

ln(20)

ln(5)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 35

logb(a) =1

loga(b) agt0 a 6= 1

Απόδειξη

logb(x) =loga(x)loga(b) =

logx(x)logx(b)

=1

loga(b)

´Οταν a= x

Πχ log2(64) =1

log64(2)=

116 = 6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 36

Αθροισμα

I Υποθέστε ότι έχουμε μια μεταβλητή x που μπορεί ναπάρει δέκα τιμές Εάν ενδιαφερόμαστε για το άθροισμάτους χωρίς να ξέρουμε την τιμή της κάθε μεταβλητής τότεο καλύτερος τρόπος να το εκφράσουμε είναι

x1 +x2 + middot middot middot+x9 +x10

I Εν συντομία το άθροισμα n στοιχείων x1 +x2 + middot middot middot+xn είναιnsum

i = 1xi

και ερμηνεύεται σαν το άθροισμα όλων των xirsquosξεκινώντας από το x1 (πχ i = 1) μέχρι xn (i = n)

I Εάν δε δοθεί διαφορετικά πάντοτε υποθέτουμε ότι το iαυξάνεται ξεκινώντας από το στάδιο 1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 37

I Το lsquolsquoSigmarsquorsquo Σ είναι γνωστό ως το άθροισμα (summation) ήσύμβολο σίγμα (sigma operator) και ο δείκτης i όνομάζεταιεικονική μεταβλητή

I Παραδείγματα

I

5sum

i = 1xi = x1 +x2 +x3 +x4 +x5

I

5sum

i = 1(y2

i ) = y21 +y22 +y23 +y24 +y25

Σημειώστε ότι η μόνη μεταβλητή που περιγράφεται απευθείαςκάτω από το σύμβολο Σ αυξάνεται κατά 1 κάθε φορά ενώ όλατα άλλα σύμβολα παραμένουν τα ίδια

I

4sum

r = 1(x3r ) = x31 +x32 +x33 +x34

Ε Ι Κοντογιώργης copy 38

I6sum

i = 1i = 1+2+3+4+5+6

I6sum

i = 1i2 = 12 +22 +32 +42 +52 +62

I7sum

i = 3xi = x3 +x4 +x5 +x6 +x7

I4sum

i = 1a = a+a+a+a= 4a

I3sum

i = 1(4+xi) = (4+x1) + (4+x2) + (4+x3)

=3sum

i = 14+

3sum

i = 1xi

Ε Ι Κοντογιώργης copy 39

I3sum

i = 1(2xi) = (2x1) + (2x2) + (2x3) = 2times

3sum

i = 1xi

I Ο συντελεστής i παραλείπεται εάν δε προκαλείαοριστία Για παράδειγμα Σx ή Σixi σημαίνειάθροισμα όλων των x που λαμβάνονται υπόψη

I ∆ήλωσηI

nsumi=1a= na

I sumiaxi = asum

ixi

I sumi

(axi+byi) = asumixi +bsum

iyi

Ε Ι Κοντογιώργης copy 40

I Αθροιστικός Τύπος

Insum

i = 1i = 1+2+ middot middot middot+n=

n(n+1)

2

Πχ6sumi = 1i = 1+2+3+4+5+6 =

6(6+1)

2 = 21

Insum

i = 1i2 = 12 +22 + middot middot middot+n2 =

n(n+1)(2n+1)

6

Πχ6sumi = 1i2 = 12 +22 +32 +42 +52 +62

=6(6+1)(12+1)

6 = 91

Ε Ι Κοντογιώργης copy 41

Insum

i = 1i3 = 13 +23 + middot middot middot+n3 =

n2(n+1)2

4

Πχ6sumi = 1i3 = 13 +23 +33 +43 +53 +63

=62(6+1)2

4 = 441

Ε Ι Κοντογιώργης copy 42

ΠαραδήγματαΑριθμητική Πρόοδος

I Γενικά μπορούμε να εκφράσουμε μια αριθμητική πρόοδο ωςεξής

αριθμητική πρόοδος a a+d a+2d a+3d

όπου ο πρώτος όρος είναι a και η διαφορά d Ο όρος nτης απ δίνεται από τη σχέση b = a+ (nminus1)d

I 3 5 7 9 11 είναι μια αριθμητική πρόοδος Οπρώτος όρος είναι το 3 και η διαφορά είναι 2

I 2 minus1 minus4 minus7 είναι μια αριθμητική πρόοδος όπου οπρώτος όρος είναι 2 και η διαφορά minus3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 43

I Το άθροισμα των όρων μιας αριθμητικής προόδου είναιγνωστό ως αριθμητική σειρά

Sn = a+ (a+d) + (a+2d) + middot middot middot+ (a+ (nminus1)d)

=nsumi=1

(a+ (iminus1)d

)= na+

nsumi=1

(iminus1)d

= na+dnminus1sumi=1

i = na+d(nminus1)n2

=n2(2a+d(nminus1)) =

n2(a+b) b = a+d(nminus1)

I ΑΠ 3 5 7 9 11 13 rArr Sn =62(3+13) = 48

Ε Ι Κοντογιώργης copy 44

∆ιπλό Αθροισμα4sumi=1

isumj=1

j = (1) + (1+2) + (1+2+3) + (1+2+3+4) = 20

nsumi=1

isumj=1

j =nsumi=1

( isumj=1

j)

nsumi=1

(12 i(i+1)

)=

12

nsumi=1

(i2 + i)

12( nsumi=1

i2 +nsumi=1

i)

=12(16n(n+1)(2n+1) +

12n(n+1)

)

=12

16n(n+1)

((2n+1) +3

)=

n6(n+1)(n+2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 45

∆ιπλό Αθροισμα

nsumi=1

msumj=1

(i+ j+2) =nsumi=1

( msumj=1

(i+ j+2))

nsumi=1

( msumj=1

i+msumj=1

j+msumj=1

2)

=nsumi=1

(mi+ 1

2m(m+1) +2m)

m( nsumi=1

i+ 12

nsumi=1

(m+5))

= m(12n(n+1) +

12n(m+5)

)

=mn2(m+n+6

)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 46

Insumr=1

1r(r+1)

=nsumr=1

(Ar +

Br+1

)=

nsumr=1

A(r+1) +Brr(r+1)

I A(r+1) +Br = 1

I Για r = 0 τότε A= 1 και για r =minus1 τότε B=minus1

I

nsumr=1

1r(r+1)

=nsumr=1

(1r minus

1r+1

)

=(

(11 minus

12) + (

12 minus

13) + (

13 minus

14) + middot middot middot+ (

1nminus1 minus

1n ) + (

1n minus

1n+1)

)

= 1minus 1n+1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 47

Insumk=1

1(k+2)(k+3)

=nsumk=1

( A(k+2)

+B

(k+3)

)=

nsumk=1

A(k+3) +B(k+2)

(k+2)(k+3)

I A(k+3) +B(k+2) = 1

I Για k=minus2 τότε A= 1 και για k=minus3 τότε B=minus1

I

nsumk=1

1(k+2)(k+3)

=nsumk=1

( 1(k+2)

minus 1(k+3)

)

=(

(13 minus

14)+(

14 minus

15)+(

15 minus

16)+ +(

1n+1 minus

1n+2)+(

1n+2 minus

1n+3)

)

=13 minus

1n+3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 48

Αθροισμα με Λογάριθμους

nsumi=1

logb(i) = logb(1) + logb(2) + middot middot middot+ logb(n)

= logb(1times2times3timesmiddotmiddot middottimesn)

= logb(n)

I Το n (n παραγοντικό) δίνεται από n = 1times2timesmiddotmiddot middottimesn και0 = 1

I100sumi=1

log2(100) = log2(100) =log(100)

log(2)=

log(99)

log(2)+

2log(2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 49

Γινόμενο των ακολουθιώνIn

prodi=1xi = x1timesx2timesx3timesmiddotmiddot middottimesxn

In

prodi=1i = 1times2times3timesmiddotmiddot middottimesn= n

In

prodi=1z= ztimesztimesmiddotmiddot middottimesz= zn

I

nprodi=1

(1+

1i+1

)=(1+

12)times(1+

13)times(1+

14)times times(1+

1n )times(1+

1n+1)

=32 times

43 times

54 timesmiddotmiddot middottimes

n+1n times n+2

n+1

=n+22

Ε Ι Κοντογιώργης copy 50

Γεωμετρικές ΠροόδοιI Μια γεωμετρική πρόοδος είναι μια σειρά αριθμών όπου

κάθε όρος μετά των πρώτο υπολογίζεται από τονπολλαπλασιασμό του προηγούμενου όρου με ένασταθερό αριθμό που καλείται αναλογία

I Η σειρά1 3 9 27 81 middot middot middot

είναι μια γεωμετρική πρόοδος με πρώτο όρο το 1 καιαναλογία 3

I Η αναλογία μπορεί να είναι κλάσμα καθώς επίσης καιαρνητικός αριθμός Για παράδειγμα η γεωμετρικήπρόοδος με πρώτο όρο το 2 και αναλογία minus13 είναι

2 minus 23 +

29 minus

227 +

281 middot middot middot

Ε Ι Κοντογιώργης copy 51

I Γενικά μπορούμε να γράψουμε μια γεωμετρική πρόοδο ωςακολούθως

γεωμετρική πρόοδος a ar ar2 ar3 ar4 middot middot middot

όπου ο πρώτος όρος είναι a και η αναλογία r

I Σημαντικά θεωρήματα των γεωμετρικών προόδων (γπ)1 Ο n όρος μιας γπ δίνεται από ar(nminus1)

2 Το άθροισμα των πρώτων n όρων μιας γπ είναι

Sn =a(1minus rn)

1minus r =a(rnminus1)

rminus1 και ισχύει μόνο αν r 6= 1

I Το άθροισμα των όρων μιας γεωμετρικής προόδουονομάζεται γεωμετρική σειρά

Ε Ι Κοντογιώργης copy 52

Γεωμετρική σειρά

Sn = a+ar+ar2 +ar3 + middot middot middot+arnminus2 +arnminus1

rSn = ar+ar2 +ar3 + arnminus1 +arn

Snminus rSn = aminusarn

(1minus r)Sn = a(1minus rn)

Sn =a(1minus rn)

(1minus r) =a(rnminus1)

(rminus1)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 53

I Παράδειγμα1 Βρείτε το άθροισμα των πρώτων 10 όρων μιας γεωμετρικής

σειράς4 8 16 32

Ο πρώτος όρος είναι a= 4 και η αναλογία r = 2 καιn= 10 ´Ετσι

S10 =4(1minus210)

1minus2 = 4092

2 Θεωρείστε τη γπ4 minus8 16 minus32 64 minus128 256 minus512

Σε αυτή την περίπτωση ο πρώτος όρος είναι a= 4 ηαναλογία είναι r =minus2 και n= 8´Ετσι

S8 =4(1minus (minus2)8)

1minus (minus2)=minus340

Ε Ι Κοντογιώργης copy 54

Συνεχείς ανατοκισμός

Οι περισσότεροι τραπεζικοί λογαριασμοί και τα δάνειαυιοθετούν ανατοκισμό - εφαρμόζοντας συνεχή ανατοκισμόΘεωρείστε ένα λογαριασμό που προσφέρει τόκο με ετήσιοεπιτόκιο r (πχ 7) Εάν το επιτόκιο είναι συνεχέςσε χρονιαία βάση τότε μετά από 1 χρόνο το χρονιαίοεπιτόκιο προστίθεται στο αρχικό κεφάλαιο για νακαθορίσει ένα μεγαλύτερο κεφάλαιο τον δεύτερο χρόνο

´Ετσι κατά τη διάρκεια του δεύτερου χρόνου ολογαριασμός κερδίζει επιτόκιο πάνω στο επιτόκιοΑυτή είναι η επίδραση του ανατοκισμού που συνεχίζεταιχρόνο με το χρόνο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 55

I Με τον ετήσιο ανατοκισμό το κεφάλαιο πουσυσσωρεύεται στο λογαριασμό πολλαπλασιάζεται με

(1+ r)

´Ετσι το κεφάλαιο A θα αυξηθεί σε

A(1+ r) = A+A middot r

τον επόμενο χρόνο

I Με το πέρας και του δεύτερου χρόνου το κεφάλαιο θααυξηθεί ακόμα (1+ r) σε (1+ r)2

´Ετσι το κεφάλαιο καταλήγει σε

A(1+ r)(1+ r) = A(1+ r)2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 56

I Κατά παρόμοιο τρόπο στο τέλος του τρίτου χρόνου τοποσό θα αυξηθεί κατά (1+ r)3

I Μετά από n χρόνια το ποσό θα αυξηθεί κατά (1+ r)n

I ´Ετσι το κεφάλαιο (επένδυση) A θα αυξηθεί με συνεχήανατοκισμό σε A(1+ r)n μετά από n χρόνια

I Ο τύπος (1+ r)n εκθέτει γεωμετρική αύξηση λόγω τηςn δύναμης

Ε Ι Κοντογιώργης copy 57

ΠαραδείγματαI Εάν το επιτόκιο είναι r = 5 τότε το κεφάλαιοA= $1000 που βρίσκεται στην τράπεζα n= 20 χρόνιαθα αυξηθεί κατά

(1+ r)n = (1+005)20 = 2653 φορές

´Ετσι το ποσό θα καταλήξειA(1+ r)n = $265330

I Βρέστε το χρόνο που χρειάζεται για ένα λογαργιασμό ναδιπλασιάσει το διαθέσιμο κεφάλαιο του όταν r = 7 καιr = 10Ζητούμε να βρούμε το n έτσι ώστε

(1+ r)n = 2Ε Ι Κοντογιώργης copy 58

I Υπολογίζοντας το λογάριθμο του τελευταίου παίρνουμε

log(1+ r)n = log(2)ή n log(1+ r) = log(2)

´Ετσιn=

log2log(1+ r)

I Για r = 7 και r = 10 ο χρόνος n πουχρειάζεται για διπλασιασμό της επένδυσης υπολογίζεταισε 1024 και 727 αντίστοιχα

Ε Ι Κοντογιώργης copy 59

I Αν το επιτόκιο είναι r = 7 τότε πιο θα είναι τοσυνολικό ποσό στο λογαριασμό μετά από 205 και41 χρόνια αντίστοιχα

Μετά τα πρώτα 1025 χρόνια το ποσό A θαδιπλασιαστεί σε 2A Για τα επόμενα 1025 χρόνιατο ποσό θα ξαναδιπλασιαστεί σε 4A ´Ετσι μετά από205 χρόνια το ποσό θα αυξηθεί κατά 4 φορές

Με το πέρας ακόμα 205 χρόνων το ποσό θα αυξηθείακόμα 4 φορές σε 16 ´Ετσι μετά από 41 χρόνιατο κεφάλαιο A γίνεται 16A

Ε Ι Κοντογιώργης copy 60

Ασκήσεις και Παραδείγματα

I Υπολογίστε τη Μελλοντική Αξία (Future Value (FV)) τουκεφαλαίου A= 1500 που κερδίζει ετήσιο επιτόκιοr = 5 για n= 10 έτη

FV =A(1+ r)n = 1500(1+005)10 = 244334

I Πόσα έτη απαιτούνται για να τριπλασιαστεί ένα ποσόπου αφήνετε στην τράπεζα με επιτόκιο r = 5∆ηλαδή βρείτε το n όπου A= 1 r = 5 και FV = 3

FV =A(1+ r)n ή (1+ r)n =FVA

Ε Ι Κοντογιώργης copy 61

Υπολογίζοντας τους λογαρίθμους παίρνουμε

log(1+ r)n = log(FVA)

ή n log(1+ r) = log(FVA)

´Ετσι

n=log(FVA)

log(1+ r) =log(3)

log(105)

= 2252

Ε Ι Κοντογιώργης copy 62

I Βρείτε την παρούσα αξία A έτσι ώστε σε δέκα έτη μεσταθερό επιτόκιο r = 6 να είναι 100KΒρείτε το A όπου FV = 100000 r = 6 και n= 10

FV =A(1+ r)n ή A=FV

(1+ r)n

´Ετσι A=100000

(106)10= 5583948

I Βρείτε την ετησιοποιημένη απόδοση (AER AnnualEquivalent Rate) μιας μηνιαίας κατάθεσης με σταθερόεπιτοκίο 394 Μια τέτοια κατάθεση λαμβάνει το επιτόκιο στη λήξηΣυνεπώς κάθε μήνα ο λογαριασμός λαμβάνει

r = 0039412 = 000328

επιτόκιο που επανεπενδύεται (συνεχής ανατοκισμός)Ε Ι Κοντογιώργης copy 63

Επανεπενδύοντας το επιτόκιο κάθε μήνα στη διάρκειαενός έτους το κεφάλαιο θα αυξηθεί σε

(1+ r)12 = (1+000328)12 = 104012

´Ετσι το ΑΕΡ είναι ισοδύναμο με 004012 = 4012I Υπολογίστε το επιτόκιο ενός σταθερού λογαριασμού

κατάθεσης 7-ημερών που έχει AER επιτόκιο r = 425Θεωρείστε ρ το εβδομαδιαίο επιτόκιο

´Ετσι (1+ρ)52 = (1+00425)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 64

Παίρνοντας τους λογαρίθμους έχουμε52log(1+ρ) = log10425

ή log(1+ρ) =log10425

52

ή 1+ρ= 10( log10425

52)

Αυτό μας δίνει

ρ= 10

( log1042552

)minus1 = 008

´Ετσι το συνεχές επιτόκιο μιας επταήμερης κατάθεσης είναιρtimes52 = 41638

Εναλλακτικά (1+ρ)52 = (1+00425) δίνει

(1+ρ) =52radic10425ή ρ=

52radic10425minus = 008Ε Ι Κοντογιώργης copy 65

I Υπολογίστε την ετήσια απόδοση r έτσι ώστε A= 10000να επιστρέφει FV = 35000 σε n= 20 χρόνια

FV =A(1+ r)n ή (1+ r)n =FVA

´Ετσι

1+ r =nradic

FVA

Επομένως

r =nradic

FVA minus1 =

20radic

3500010000 minus1 = 00646 = 646

Ε Ι Κοντογιώργης copy 66

Εναλλακτικά παίρνοντας τους λογαρίθμους

log(1+ r)n = log(FVA) ή n log(1+ r) = log

(FVA)

´Ετσι

1+ r = 10(1n log

(FVA))

ή r = 10(1n log

(FVA))minus1

= 10( 120 log

(3500010000

))minus1

= 646

Ε Ι Κοντογιώργης copy 67

Γραφική Αναπαράσταση I

I Υποθέστε ότι έχουμε y= 3x+2 Καθώς έχουμε μόνο μιαδύναμη για το x πρέπει να λύσουμε γραμμική εξίσωσηκαι να σχεδιάσουμε μια ευθεία γραμμή Αρχικά θα πρέπεινα σχεδιάσουμε ένα T-chart Αυτό έχει τη μορφή

x y = 3x+2 (xy)

I Επιλέγουμε μια τιμή για το x και λύνουμε ως προς y

x y= 3x+2 (xy)minus2 minus4 (minus2minus4)0 2 (02)2 8 (28)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 68

Γραφική Αναπαράσταση II

-

6

X

Y

bull

bull

bull

I Βλέπουμε μια ευθεία με ανοδική τάση (έχοντας θετικήκλίση m= 3) καιτέμνει τον άξονα y στο σημείο y= 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 69

Γραφική Αναπαράσταση III

I Μια Τετραγωνική εξίσωση περιέχει x2 Για τηναναπαράσταση τετραγωνικών εξισώσεων χρειάζεται ναβρούμε περισσότερα από τρία σημεία στο σχεδιάγραμμα

Για παράδειγμα υποθέστε ότι y= x2minus6x+5 καιδίνεται το πιο κάτω T-chart

x y= x2minus6x+5 (xy)0 5 (05)1 0 (10)3 minus4 (3minus4)5 0 (50)6 5 (65)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 70

Γραφική Αναπαράσταση IV

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

-

6

X

Y

bull

bull

bull

bull

bull

Ε Ι Κοντογιώργης copy 71

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(1x + 2)

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(-3x + 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 72

-15

-10

-5

0

5

10

15

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(3x - 2)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 73

-20

0

20

40

60

80

100

120

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2+x)

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 74

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

1250

1500

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3+x2+x)

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x4)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 75

-25

-2

-15

-1

-05

0

05

1

15

2

25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(log(x))

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(x))

Ε Ι Κοντογιώργης copy 76

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(-x))

-5000

0

5000

10000

15000

20000

25000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(exp(x)+x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 77

Ανισότητες I

I Οι ανισότητες αποτελούνται από δύο ή τρεις αλγεβρικέςεκφράσεις που είναι συνδεδεμένες με τα σύμβολαανισότητας Τα σύμβολα αυτά είναι

lt μικρότερο τουgt μεγαλύτερο τουle μικρότερο ή ίσο τουge μεγαλύτερο ή ίσο του

I Παραδείγματα xgty yge x2 και ylt5x+1

I Το πρώτο βήμα για την αναπαράσταση ανισότητας τηςμορφής ygtx είναι να παραστήσουμε γραφικά τηνισότητα y= x

Ε Ι Κοντογιώργης copy 78

Ανισότητες II

I ygtx

Κάνετε δοκιμή με ένα σημείο να δείτε κατά πόσοικανοποιεί την ανισότητα Εάν ναι τότε σκιάστε τηνπεριοχή αυτή του σχεδιαγράμματος διαφορετικά σκιάστετην άλλη πλευρά

Ε Ι Κοντογιώργης copy 79

Ανισότητες III

I yltx

Ε Ι Κοντογιώργης copy 80

Ανισότητες IV

I yle 5x+1 και ygt5x+1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 81

Ανισότητες V

I yge x2 και yle x2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 82

Ανισότητες VI

I ygtx3 και yle x3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 83

Συστήματα Γραμμικών ΕξισώσεωνΠεριεχόμενα

1 Ε

2 Γ Α

ΑναφορέςΚεφάλαια 4 και 5FS Budnick Applied Mathematics for Business Economicsand the Social Sciences 4th edition McGraw-Hill 1993

Ε Ι Κοντογιώργης copy 84

Συστήματα Εξισώσεων

I ´Ενα σύστημα εξισώσεων συνδυάζει περισσότερες από μίαεξισώσεις

I ´Ενα σύστημα m εξισώσεων όπου κάθε εξίσωσηαποτελείται από n μεταβλητές ονομάζεται mtimesnσύστημα ή λέμε ότι έχει διαστάσεις mtimesn

I ΠαράδειγμαΠαρακάτω έχουμε ένα σύστημα 2times2

5X+10Y= 203X+4Y= 10

Οι μεταβλητές σε αυτή την περίπτωση είναι X και YΕ Ι Κοντογιώργης copy 85

Συστήματα Επίλυσης

I Το Σύστημα επίλυσης είναι μια σειρά τιμών μεταβλητώνπου ικανοποιούν το σύστημα ταυτόχρονα

I Σε μια σημειογραφική παράσταση το προηγούμενοπαράδειγμα μπορεί να γραφτεί ως εξής

S = (XY) | 5X+10Y = 20 και 3X+4Y = 10

I Το σύστημα επίλυσης μπορεί να είναι1 μηδενικό2 πεπερασμένο ή3 άπειρο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 86

2times2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική Ανάλυση

I Σε ένα δισδιάστατο γράφημα ένα σύστημα εξισώσεων2times2 αναπαρίστανται με ευθείες γραμμές Υπόρχουν τρίαενδεχόμενα

1 Οι ευθείες τέμνονται Το σημείο τομής αντιπροσωπεύει τηλύση του συστήματος εξισώσεων Αυτό το σημείοαλληλεπίδρασης είναι μια δέσμη τιμών X και Y που ικανοποιείκαι τις δύο εξισώσειςΕάν υπάρχει μόνο μια δέσμη τιμών για τις μεταβλητές που ναικανοποιεί το σύστημα εξισώσεων το σύστημα λέμε ότι έχειΜ Λ

2 Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες μεταξύ τους ∆εν έχουν κοινόσημείο Συνεπώς οι ευθείες δεν τέμνονται ποτέ Το σύστημαλέμε ότι ∆ ΛΑυτό υπονοεί ότι δεν υπάρχουν τιμές για τις μεταβλητές πουνα ικανοποιούν και τις δύο εξισώσεις Σε αυτή τηνπερίπτωση οι εξισώσεις στο σύστημα είναι Α

3 Και οι δύο εξισώσεις αναπαρίστανται ως μια κοινή ευθεία καιθεωρούνται ισοδύναμες εξισώσεις ´Ετσι το σύστημα έχειΑ Λ Αυτό συμβαίνει γιατί υπάρχει άπειροςαριθμός κοινών σημείων στις δύο γραμμές

Ε Ι Κοντογιώργης copy 87

I Π Θεωρείστε ένα σύστημα 2times22X+4Y= 203X+ Y= 10

I

X

Y

(24)

3X +Y = 10

2X +4Y = 20

0 2 4 6 8 10 12

2

4

6

8

10

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 88

I Το σημείο τομής δίνεται από το X= 2 και Y= 4Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές του X και Y στις δύοεξισώσεις δίνουν 20 = 20 και 10 = 10 αντίστοιχα

I Αυτό υποδειλώνει ότι X= 2 και Y= 4 είναι η σωστή λύση

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times23Xminus2Y= 6

minus15X+10Y=minus30

I

X

Y

(20)

(0minus3)

3X minus2Y = 6

minus15X +10Y =minus30

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 89

I Οι δύο εξισώσεις απλοποιούνται σε Xminus 23 Y= 2

Οι δύο εξισώσεις είναι ισοδύναμες και δίνουν έναπεπερασμένο αριθμό λύσεων έτσι ώστε

X= 0 Y =minus3X= 2 Y = 0X= 4 Y = 3

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times26Xminus12Y= 24

minus32X+3Y= 9

Οι εξισώσεις απλοποιούνται σεXminus2Y= 4Xminus2Y=minus6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 90

I

X

Y

(40)

(0minus2)

(minus60)

(03)

X minus2Y =minus6

X minus2Y = 4

0-0

I Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες και συνεπώς το σύστημαδεν έχει λύση ´Ετσι το σύστημα εξισώσεων είναιασύμπτωτο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 91

Περίληψη 2times2 Συστήματα Εξισώσεων∆ίνεται ένα Σύστημα Γραμμικών Εξισώσεων 2times2

Y=m1X+ c1Y=m2X+ c2

1 Υπάρχει μια στο σύστημα εάνm1 6= m2

2 ∆εν υπάρχει στο σύστημα εάνm1 = m2 και c1 6= c2

3 Υπάρχει εάνm1 = m2 και c1 = c2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 92

∆ιαδικασίες Απαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής χρησιμοποιεί πολλαπλασιασμόκαι πρόσθεση έτσι ώστε

1 Να απαλοιφεί μια από τις δύο μεταβλητές

2 Η εξίσωση που εξάγεται είναι συνάρτηση των υπόλοιπωνμεταβλητών

3 Αντικαθιστώντας την τιμή στην μεταβλητή σε μια από τιςαρχικές εξισώσεις βρίσκουμε την τιμή για τηναπολοιφθήσα μεταβλητή

Ε Ι Κοντογιώργης copy 93

ΠαραδείγματαI Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

2X +4Y = 20 (1)3X + Y = 10 (2)

Πολλαπλασιάζοντας τη δεύτερη εξίσωση με minus4 παίρνουμε

minus12X minus4Y =minus40 (3)

Προσθέτοντας την εξίσωση (1) στο (3)

2X + 4Y = 20minus12X minus 4Y = minus40minus10X = minus20

ή

X = 2 (4)Ε Ι Κοντογιώργης copy 94

Αντικαθιστώντας X= 2 στην εξίσωση (1) δίνεται2 middot2+4Y = 20 ή Y=4

´Ετσι η μοναδική λύση του συστήματος δίνεται από τοX= 2 και Y= 4 Μπορεί να επιβεβαιωθεί ότι αυτή είναι ησωστή λύση αντικαθιστώντας X= 2 και Y= 4 στηνεξίσωση (1) και (2)

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times23X minus2Y = 6 (5)

minus15X +10Y =minus30 (6)

Για την απαλοιφή της μεταβλητής X η εξίσωση (5)πολλαπλασιάζεται με 5 και το αποτέλεσμα προστίθεταιστην εξίσωση (6)

15X minus 10Y = 30minus15X + 10Y = minus30

0 = 0 Ε Ι Κοντογιώργης copy 95

Οι τελευταίες πράξεις υπονοούν ότι οι εξίσωσεις (5) και(6) είναι ισοδύναμες και έτσι υπάρχει άπειρος αριθμόςλύσεωνΓια να προσδιορίσουμε τις λύσεις του συστήματος μια απότις αρχικές εξισώσεις λύνεται ως προς μια μεταβλητή Ανγια παράδειγμα η εξίσωση (5) λύνεται ως προς Y δίνει

Y =32Xminus3

Σαν αποτέλεσμα γενικεύοντας τις λύσεις του συστήματοςέχουμε

X τυχαίο και Y =32Xminus3

Πχ για X= 4 υπονοείται ότι Y=32 middot4minus3 = 3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 96

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

6X minus12Y = 24 (7)

minus32X +3Y = 9 (8)

Πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση (8) με 4 καιπροσθέτοντας το αποτέλεσμα στην εξίσωση (7)παίρνουμε

6X minus 12Y = 24minus6X + 12Y = 36

0 = 60

Η πιο πάνω αντιλογία υπονοεί ότι δεν υπάρχει λύση τουσυστήματος εξισώσεων

Ε Ι Κοντογιώργης copy 97

3times2 Συστήματα Εξισώσεων I

1 Μ Λ

X

Y

(32)

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minusY = 1

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 98

3times2 Συστήματα Εξισώσεων II

2 Α Λ

X

Y Εξις (1)Εξις (2)Εξις (3)

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 99

3times2 Συστήματα Εξισώσεων III3 Κ

(α) ´Οταν και οι τρεις εξισώσεις είναι παράλληλες

X

Y

2X minusY =minus8

2X minusY = 2

2X minusY = 12

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 100

3times2 Συστήματα Εξισώσεων IV(β) ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ τωνεξισώσεων

X

Y

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minus2Y =minus4

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 101

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική ΑνάλυσηΣε ένα γράφημα 2 διαστάσεων ένα σύστημα mtimes2(mgt2) εξισώσεων παριστάνεται με m ευθείες ´Οπωςσυμβαίνει στα συστήματα 2times2 υπάρχουν τρίαενδεχόμενα

1 ´Ολες οι ευθείες τέμνονται στο ίδιο σημείο και έτσιυπάρχει

2 ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ των mεξισώσεων Αυτό σημαίνει ότι όλες οι ευθείες είναιπαράλληλες Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα Λ

3 Οι m εξισώσεις είναι ισοδύναμες πχ παρασταίνονται σανμια ευθεία Σε αυτή την περίπτωση υπάρχει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 102

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων ∆ιαδικασίαΑπαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής για την επίλυση ενός συστήματοςmtimes2 μπορεί να περιγραφεί ως ακολούθωςΕπιλέξτε και λύστε σύστημα με δύο εξισώσεις

1 Εάν δεν υπάρχει λύση τότε ολόκληρο το σύστημα δεν έχειλύση

2 Εάν υπάρχει μοναδική λύση που ικανοποιεί τις υπόλοιπεςmminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα έχει μία μοναδική λύση

3 Εάν η λύση είναι μοναδική αλλά δεν ικανοποιεί τιςυπόλοιπες mminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα δεν έχει λύση

4 Εάν οι 2 λύσεις είναι ισοδύναμες απάλοιψτε τη μίααπό τις δύο εξισώσεις και ξεκινήστε από την αρχήλαμβάνοντας υπόψη ένα σύστημα (mminus1)times2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 103

ΠαράδείγμαI Θεωρείστε ένα σύστημα 5times2

XminusY= 1X+2Y=minus8

3Xminus2Y= 02Xminus5Y= 11minus4X+3Y=minus1

I Η λύση των πρώτων δύο εξισώσεων δίνετε απόY =minus3 και X =minus2

I Αντικαθιστώντας τη λύση στις υπόλοιπες τρεις εξισώσειςπαίρνετε αντίστοιχα

0 = 0 11 = 11 και minus1 =minus1I Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση

X=minus2 και Y=minus3Ε Ι Κοντογιώργης copy 104

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian

Η μέθοδος απολοιφής Gaussian μετατρέπει το αρχικόσύστημα εξισώσεων σε διαγώνια μορφή επαναλαμβάνονταςστις εξισώσεις τις ακόλουθες τρεις διαδικασίες

1 Πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης μεμια θετική σταθερά

2 Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού θα προστεθεί σεάλλη εξίσωση

3 Η σειρά των εξισώσεων μπορεί να αλλάξει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 105

ΠαράδείγμαΠ Θεωρείστε το σύστημα 2times2

2X minus 3Y = 7 (Εξ 1)X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με 12 για να πάρετε

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με minus1 καιπροσθέστε την στην (Εξ 2)

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

52Y =

152 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 106

Στάδιο 3 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 25

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

Y = 3 (Εξ 2)

Στάδιο 4 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 32 και

προσθέστε την στην (Εξ 1)

X = 1 (Εξ 1)Y = 3 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 107

Π Θεωρείστε το σύστημα 2times2

5X + 20Y = 254X minus 7Y =minus26

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να εκφραστεί ως

R1 5 20 25R2 4 minus7 minus26

Η κάθετη γραμμή χρησιμοποιείται για διαχωρισμό τηςαριστερής από τη δεξιά πλευρά των εξισώσεων Το Riυπονοεί τη γραμμή (Row) i

Ε Ι Κοντογιώργης copy 108

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάζουμε τη R1 με 15 και το θέτουμε

R1larr 15R1

R1 1 4 5R2 4 minus7 minus26

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάζουμε την R1 με minus4 και τηνπροσθέτουμε στην R2 Εν συντομίαR2larrminus4R1+R2

R1 1 4 5R2 0 minus23 minus46

Στάδιο 3 R2larrminus 123R2

R1 1 4 5R2 0 1 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 109

Στάδιο 4 R1larrminus4R2+R1

R1 1 0 minus3R2 0 1 2

Το αρχικό σύστημα εξισώσεων μετατρέπεται σε διαγώνιαμορφή όπως πιο κάτω

X =minus3Y = 2

το οποίο δίνει τη λύση του συστήματος

Ε Ι Κοντογιώργης copy 110

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 I

Το σύστημα εξισώσεων 3times3 μετετρέπεται σε διαγώνιαμορφή Η μετατροπή γίνεται στήλη με στήλη από τααριστερά προς τα δεξιά

Π Θεωρήστε το σύστημα 3times3

X1 + X2 + X3 = 2X1 minus 3X2 + 2X3 = 7

4X1 minus 2X2 minus X3 = 9

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να γραφτεί ως

Ε Ι Κοντογιώργης copy 111

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 II

1 1 1 21 minus3 2 74 minus2 minus1 9

Ε Ι Κοντογιώργης copy 112

ΦροντιστήριαI ´Ωρες και Αίθουσα Φροντιστηρίου

ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 1600-1700 (1 Φροντ)

ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 1700-1800 1530-1630 (2 Φροντ)

ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 1800-1900 (3 Φροντ)

I Αίθουσα Φροντιστηρίου Κτήριο ΣΟΕ∆ (Continental)Αίθουσα ∆ιδασκαλίας

I Υπεύθυνος Φροντιστηρίου ∆ρ Σάββας Παπαπαναγίδης(savvas3photmailcom)

I ´Ωρες Γραφείου ΤΡΙΤΗ 1430-1600 ή με ραντεβού

Ε Ι Κοντογιώργης copy 2

Αναπλήρωση μαθημάτων

Προγραμματίζονται επίσης διαλέξεις το Σάββατο 10Οκτωβρίου καθώς και το Σάββατο 17 Οκτωβρίου γιααναπλήρωση μαθημάτων

Ε Ι Κοντογιώργης copy 3

ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

Το μάθημα αυτό είναι μια εισαγωγή στις μαθηματικέςμεθόδους που χρησιμοποιούνται στα οικονομικά και τηδιοίκηση επιχειρήσεων Τα θέματα περιλαμβάνουν βασικάστοιχεία διαφορικού λογισμού πραγματικής συνάρτησηςμιας μεταβλητής

Επιγραμματικά η ύλη καλύπτει μια εισαγωγή στιςβασικές εξισώσεις και λειτουργίες εκθετικούς αριθμούς καιλογάριθμους με εφαρμογές στην οικονομική επιστήμηΑθροίσματα και σειρές Γραφική αναπαράσταση καιανισότητες Συστήματα εξισώσεων Συναρτήσειςγραφήματα και όρια Παράγωγοι και εφαρμογές καιΕλαχιστοποίηση και μεγιστοποήση με εφαρμογές

Ε Ι Κοντογιώργης copy 4

Βοηθήματα Βιβλιογραφία και Πηγές

1 3 Laurence D Hoffmann and Gerald L Bradley AppliedCalculus For Business Economics and the Social and LifeSciences McGraw-Hill Science (International Edition 2010)

2 FS Budnick Applied Mathematics for Business Economicsand the Social Sciences (any edition) McGraw-Hill

Ε Ι Κοντογιώργης copy 5

∆ΙΑΛΕΞΕΙΣ

Τα μαθήματα θα γίνονται υπό μορφή διαλέξεων (3 ώρεςτην εβδομάδα) και φροντιστηρίων (μιά ώρα) Στη διάλεξηπαραδίδεται η ύλη του μαθήματος και γίνεται ανάλυσητων θεμάτων της ύλης

Οι φοιτητές μπορούν να παρακολουθούν διαλέξεις μόνοστο τμήμα στο οποίο έχουν εγγραφεί

Οι σημειώσεις που θα καλύπτονται σε κάθε διάλεξηβρίσκονται στην ιστοσελίδαhttpecoursescutaccyκαι για τις πρώτες διαλέξεις στηνhttpwwwerricoscomcoursesEXN110

Ε Ι Κοντογιώργης copy 6

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Ο κάθε φοιτητής θα πρέπει να προμηθευτεί τις σημειώσειςπριν την έναρξη της διάλεξης ώστε να τις έχει μαζί τουκατά την διάρκεια της διάλεξης

Οι σημειώσεις θα έχουν κάποια μέρη άδεια (τρύπες) ταοποία θα συμπληρώνονται κατά τη διάρκεια τωνδιαλέξεων

Στα φροντιστήρια γίνεται συζήτηση της ύλης πουκαλύπτει η διάλεξη και λύνονται ασκήσεις

Ε Ι Κοντογιώργης copy 7

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΑ

Η ενδιάμεση εξέτάση αναμένεται να πραγματοποιηθεί τοΣάββατο 17 Οκτώβρη του 2015 και θα αντιστοιχεί στο35 της συνολικής βαθμολογίας

Η τελική εξέταση θα πραγματοποιηθεί τον ∆εκέμβριο καιθα αντιστοιχεί στο 65 της συνολικής βαθμολογίας

Οποιεσδήμοτε τροποποιήσεις (αν υπάρξουν) σχετικά με τιςημερομηνίες ήκαι τις ώρες διεξαγωγής των ενδιάμεσωνεξετάσεων θα σας γνωστοποιηθούν γραπτός

Ε Ι Κοντογιώργης copy 8

Σημείωση

Ο φοιτητής ο οποίος θα συλληφθεί να αντιγράφει να έχεικινητό τηλέφωνο να έχει αριθμομηχανές ή να έχει έγραφαστο θρανίο του που έχουν άμεση σχέση με το εξεταζόμενομάθημα ΕΧΝ110 κατά την διάρκεια των εξετάσεων τότεαμέσως αποτυγχάνει στο μάθημα αυτό και είναιυπεύθυνος για τις οποιεσδήποτε πειθαρχικές διαδικασίεςπροκύψουν λόγο αυτού

Κατά τη διάρκεια των διαλέξεων όλα τα κινητά τηλέφωναπρέπει να είναι κλειστά

Φαγώσιμα ή ποτά δεν επιτρέπονται στις διαλέξεις

Ε Ι Κοντογιώργης copy 9

ΕΧΝ 110 Μαθηματικά ΙΠεριεχόμενα

I Μ I Β Ε Β Λ

I Ε Α ΛI ΑI Α Γ ΠI Σ I ΛI Γ

Ερρίκος Ιωάννη ΚοντογιώργηςE-mail erricoscutaccy

Ε Ι Κοντογιώργης copy 10

Μεταβλητές και Σταθερές

I Στα Μαθηματικά και τη Στατιστική πάντοτεασχολούμαστε με ευμετάβλητα μεγέθη Για παράδειγμαμισθούς επιτόκια πληθωρισμό ύψος βάρος ηλικία χρόνοκτλ

I Στα συνηθισμένα συμφραζόμενα μια μεταβλητήσυμβολίζεται με ένα αλφαβητικό γράμμα πχ x y zκτλ Για παράδειγμα αν η μεταβλητή μας αποτελείταιαπό τους μισθούς υπαλλήλων τότε μπορούμε να τουςπαραστήσουμε τους μισθούς με τη μεταβλητή x

I Συγκεκριμένα εάν δεν ενδιαφερόμαστε για το πραγματικόύψος των μισθών (ή δε τους γνωρίζουμε) αλλά επιθυμούμενα απομονώσουμε τους μισθούς τεσσάρων υπαλλήλωντότε τους συμβολίζουμε ως εξής x1 x2 x3 και x4

Ε Ι Κοντογιώργης copy 11

Μεταβλητές και Σταθερές ΙΙ

I Σε ορισμένες περιπτώσεις εμπερικλείουμε τις μεταβλητές σεπαρενθέσεις ´Ετσι (x1x2x3x4)Ο τρόπος αυτός ονομάζεται σύνολο

I Αν ξέρουμε τους πραγματικούς μισθούς τεσσάρωνυπαλλήλων μπορούμε να τους γράψουμε σε σειρά έτσι τοσετ θα έχει τη μορφή (2200016000384322943248)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 12

Ακέραιοι και Πραγματικοί Αριθμοί

I Οι lsquoφυσικοίrsquo αριθμοί (θετικοί ακαίραιοι) δίνονται ως εξής1234 Το σύνολο όλων των φυσικών αριθμώνσυμβολίζεται με το γράμμα N

I Οι lsquoολόκληροιrsquo αριθμοί (μη αρνητικοί ακέραιοι) είναι οιφυσικοί αριθμοί μαζί με το μηδέν 01234

I Οι lsquoακέραιοιrsquo περιλαμβάνουν τους φυσικούς αριθμούς τομηδέν και τους αρνητικούς φυσικούς αριθμούς

minus2minus1012

Η σειρά των ακεραίων συμβολίζεται με Z

Ε Ι Κοντογιώργης copy 13

Ακέραιοι και Πραγματικοί Αριθμοί ΙΙ

I Μια μεταβλητή μπορεί να πάρει πεπερασμένο αριθμότιμών Για παράδειγμα η μεταβλήτή M που υποδειλώνειτους μήνες του χρόνο μπορεί να πάρει τις τιμές

123456789101112

Σε αυτή την περίπτωση η μεταβλητή M είναι μια σειράθετικών ακέραιων μετεβλητών (φυσικοί)

I Η μεταβητή x μισθοί από το προηγούμενο παράδειγμαπαίρνει θετικούς πραγματικούς αριθμούς

I Το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών συμβολίζεταιreal Η σειρά αυτή περιλαμβάνει όλους τους πραγματικούςακέραιους αριθμούς από το μείον άπειρο (minusinfin) ως στοάπειρο (infin)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 14

Ακέραιοι και Πραγματικοί Αριθμοί ΙΙΙ

I Γενικά μια μεταβλητή x που παίρνει πραγματικές τιμέςονομάζεται πραγματική μεταβλητή (real variable) καισυμβολίζεται με x isinreal Με το σύμβολο isin εννοούμε lsquoμέσαrsquolsquoανήκειrsquo κλπ

I Το σύμβολο που χρησιμοποείται για το διαχωρισμό τουακέραιου μέρους σε ένα δεκαδικό αριθμό από τοκλασματικό μέρος ονομάζεται δεκαδικό σημείο (decimalpoint) Eg 314159

I Η δεκαδική θέση (decimal place) είναι η θέση του ψηφίουστα δεξιά του δεκαδικού σημείου

Ε Ι Κοντογιώργης copy 15

Συναρτήσεις Ακέραιων και Πραγματικών

I Συνάρτηση στογγυλοποίησης ή συνάρτηση κοντινότερουδεκαδικούΗ lsquoστρογγυλοποίησηrsquo ενός πραγματικού αριθμού xσυμβολίζεται με [x] ∆ίνει τον πιο κοντινό ακέραιο στοxΠχ [32] = 3 [minus32] =minus3 και [86] = 9Ο πιο πάνω ορισμός είναι δύσκολο να εφαρμοστεί γιαhalf-integers Στις περιπτώσεις αυτές η στρογγυλοποίησηγίνεται προς τα πάνω μόνο για τους μονούς αριθμούςέτσι ώστε να αποφεύγεται η μεροληπτικότηταΠχ [35] = 4 [45] = 4 και [05] = 0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 16

I Στρογγυλοποίηση προς τα πάνω ή συνάρτησημικρότερου ακεραίουΗ lsquoστρογγυλοποίηση προς τα πάνωrsquo ενός πραγματικούαριθμού x συμβολίζεται με dxe Μας δίνει το μικρότεροδυνατό ακέραιο που είναι μεγαλύτερος ή ίσος από το xΠχ d32e= 4 dminus32e=minus3 d35e= 4 και d36e= 4

I lsquoΣτρογγυλοποίηση προς τα κάτωrsquo ή συνάρτησημεγαλύτερου ακεραίουΤο lsquoκατώτατο όριοrsquo ενός πραγματικού αριθμού xσυμβολίζεται bxc ∆ίνει το μεγαλύτερο δυνατό ακέραιοπου είναι μικρότερος ή ίσος από το xΠχ b32c= 3 bminus32c=minus4 b35c= 3 και b36c= 3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 17

Σταθερές

I ´Ενας αριθμός που αντιπροσωπεύει μια ποσότητα πουθεωρείται ότι έχει σταθερή τιμή ονομάζεται lsquoσταθεράrsquo Ητιμή μιας σταθεράς ενώ δε μεταβάλλεται πιθανό να μηνπροσδιορίζεται

I Οι πιο σημαντικές πραγματικές σταθερές είναι

1 Το π= 314159 Είναι ο δείκτης που υποδειλώνει τηνπεριφέρεια του κύκλου ακτίνια Ονομάζεται και σταθερά τουΑρχιμήδη

2 Το exp = 271828 που υποδειλώνει τη βάση του φυσικούλογάριθμου

Ε Ι Κοντογιώργης copy 18

Σύμβολα Κατεύθυνσης

I Το σύμβολο lsquogtrsquo που σημαίνει lsquoμεγαλύτεροrsquo καθώς και τοlsquogersquo που σημαίνει lsquoμεγαλύτερο ή ίσοrsquo

I Το σύμβολο lsquoltrsquo που σημαίνει lsquoμικρότεροrsquo καθώς και το lsquolersquoπου σημαίνει lsquoμικρότερο ή ίσοrsquo

I Παράδειγμα Οι μεταβλητές που συμβολίζουν τουςμηνιαίους μισθούς xge 0 Οι μεταβλητές που συμβολίζουντους μήνες του χρόνου 0ltMlt13 που μπορούν επίσης ναγραφτούν 1leMle 12

Ε Ι Κοντογιώργης copy 19

∆υνάμειςI Οι εκθέτες αποτελούν συντομογραφία του

πολλαπλασιασμού (5)(5) = 52 και (5)(5)(5) = 53 Εδώτο 5 λέγεται βάση και το 3 λέγεται εκθέτης Μπορείεπίσης να ερμηνευτεί πέντε υψωμένο στην τρίτη δύναμη

I Η δύναμη είναι ο εκθέτης στον οποίο υψώνεται μιαποσότητα Η έκφραση xn είναι γνωστή ως x στη nδύναμη

I Σημειώστε ότι 5253 = (55)(555) = 55 = 5(2+3) Εδώπαρουσιάζεται ένας βασικός κανόνας του εκθέτη Στηπερίπωση που πολλαπλασιάζονται δύο όροι που έχουντην ίδια βάση οι εκθέτες τους μπορούν να προστεθούν

xmxn = x(m+n)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 20

I Στην περίπτωση όμως που (x4)(y3) ο πιο πάνω κανόναςδε μπορεί να εφαρμοστεί γιατί οι βάσεις είναιδιαφορετικές (x4)(y3) = xxxxyyy

I Για (x2)4

= x2x2x2x2 = xxxxxxxx= x8 = x(2times4)

I ´Ετσι στην περίπτωση που έχετε μια εκθετική έκφρασηπου είναι υψωμένη σε μία δύναμη μπορείτε ναπολλαπλασιάσετε τον εκθέτη με τη δύναμη

(xm)n

= xmn

Ε Ι Κοντογιώργης copy 21

I Εάν έχετε μια έκφραση μέσα σε παράνθεση και ηπαράνθεση είναι υψωμένη σε μια δύναμη τότε η δύναμημπορεί να γίνει μέρος τις παράνθεσης Για παράδειγμα

(xy2)3 = (xy2)(xy2)(xy2) = (xxx)(y2y2y2)

= (xxx)(yyyyyy) = x3y6 = (x)3(y2)3 = x3y6

Παρομοίως(xy)2

=x2y2

I ´Ενας αρνητικός εκθέτης είναι ένδειξη ότι η βάση βρίσκεταιστον παρονομαστή του κλάσματος Πχ

xminus2 =1x2

x2xminus3 = x2x3 = x5 2xminus1 =

2x

(3x)minus2 =1

(3x)2 =1

9x2 και(xminus2yminus3

)minus2=

(xminus2)minus2

(yminus3)minus2=x4y6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 22

I Οτιδήποτε στη δύναμη μηδέν είναι lsquo1rsquo

Πχ 50 = 1 x0 = 1 (x2y3)0 = 1 και 00 = 1

Σημειώστε ότι 50 = 5(1minus1) = (51)(5minus1) =55 = 1

I Μηδέν σε οποιαδήποτε δύναμη είναι μηδέν έτσι 0n = 0

Σημειώστε ότι 00 = 1 και ότι 00 = 0

Αυτό υποδειλώνει ότι 00 είναι μια απροσδιόριστη μορφήπου σε κάποιες περπτώσεις παίρνει μία τιμή και σεκάποιες άλλες περιπτώσεις παίρνει διαφορετική τιμή

Ε Ι Κοντογιώργης copy 23

I Κλασματικοί (Αναλογικοί) Εκθέτες

1 Η τετραγωνική ρίζα μπορεί να γραφτεί σε μορφή κλάσματος

´Ετσι radicx= x12

Πχ 212 =

radic2 = 141 και 2

minus12 =

1radic2

= 071

2 Γενικά xab =bradicxa Πχ 7

23 =

3radic72 = 366

355 = 3112 =

2radic311 = 42089

Ε Ι Κοντογιώργης copy 24

ΛογάριθμοιI Η λογαριθμική μορφή ενός αριθμού είναι lsquoαντίθετηrsquo από

την εκθετική Τεχνικά μιλώντας η λογαριθμική μορφήείναι αντίστροφη της εκθετικής

I Η σχέση δίνεται logb(x) = y

που είναι το ίδιο με by = x

I Ο lsquolsquologb(x) = yrsquorsquo προφέρεται lsquolsquolog-βάση-b-του x ισούται yΕδώ b ονομάζεται lsquoβάση του λογαρίθμουrsquo αφού το b είναιη βάση της εκθετικής έκφρασης

I Η βάση b του λογάριθμου είναι πάντοτε θετική και δενισούται με 1

I Οτιδήποτε βρίσκεται μέσα στο λογάριθμο ονομάζεταιέκφραση

Ε Ι Κοντογιώργης copy 25

ΠαραδείγματαI Μετατρέψτε την έκφραση 63 = 216 στην ισοδύναμη

λογαριθμική μορφή

Για τη μετατροπή η βάση μένει η ίδια αλλά το 3 και το216 αλλάζουν θέσεις Αυτό μας δίνει

log6(216) = 3

I Μετατρέψτε τον log4(1024) = 5 στην αντίστοιχηλογαριθμική έκφραση

Για τη μετατροπή η βάση (που είναι 4) παραμένει η ίδιααλλά το 1024 και το 5 αλλάζουν θέσεις ´Ετσι δίνεται

45 = 1024

Ε Ι Κοντογιώργης copy 26

I Υπολογίστε τον log2(8)

Εάν y= log2(8) τότε υπονοείται ότι 2y = 8 Αυτόσημαίνει ότι y είναι η δύναμη του 2 που θα έχει σαναποτέλεσμα 8 Η δύναμη που δίνει το αποτέλεσμα είναι 3αφού 23 = 8 ´Ετσι

log2(8) = 3

I Κατά παρόμοιο τρόπο log5(25) = 2 αφού 52 = 25

I Υπολογίστε τον y= log64(4)

Σημειώστε ότι 64y = 4 και 43 = 64

´Ετσι (43)y

= 4 ή 43y = 41

Η πιο πάνω έκφραση εξυπονοεί ότι 3y= 1 και έτσιy= 13

Ε Ι Κοντογιώργης copy 27

I Υπολογίστε y= log6(6)

Αυτό ισοδυναμεί με το 6y = 6 και συνεπώς y= 1

I Υπολογίστε το y= log3(1)

Το πιο πάνω μπορεί να γραφτεί ως 3y = 1

´Ομως 1 = 30 έτσι 3y = 30 και y= 0

I Υπολογίστε το y= log4(minus16)

Μπορεί να γραφτεί σαν 4y =minus16

´Ομως δεν υπάρχει τιμή (πχ δύναμη) y που ναικανοποιεί τη σχέση ´Ετσι δεν υπάχρει λύση

Ε Ι Κοντογιώργης copy 28

I Υπολογίστε το y= log2(0)

Αυτό σημαίνει 2y = 0 όμως δε υπάρχει τιμή που ναικανοποιεί τη σχέση ´Ετσι δεν υπάχρει λύση

I Υπολογίστε το y= 2log2(9)

Αυτό σημαίνει ότι log2(y) = log2(9) και έτσι y= 9

Ε Ι Κοντογιώργης copy 29

I Γενικά1 logb(b) = 1 για οποιαδήποτε βάση b

2 logb(1) = 0 για οποιαδήποτε βάση b

3 logb(a) δεν ορίζεται για αρνητικά a

4 logb(0) δεν ορίζεται για οποιαδήποτε βάση b

5 logb(bn) = n για οποιαδήποτε βάση b

Ε Ι Κοντογιώργης copy 30

I Οι λογάριθμοι μπορούν να πάρουν οποιοδήποτε αριθμόσαν βάση αλλά δύο βάσεις είναι οι πιο χρήσιμες οlog-βάση-10 και ο log-βάση-e

I Η βάση-10 log συχνά ονομάζεται ο κοινός log καιγράφεται ως log(x) Εδώ δεν αναγράφεται βάση καιμπορούμε να υποθέσουμε ότι η βάση είναι 10

Πχ log(100) = 2 έτσι log10(102) = 2

I Η βάση-e log ονομάζεται ο φυσικός log και γράφεται σανln(x)Πχ ln(e345)= 345 καθώς loge(e345) = 345

Ε Ι Κοντογιώργης copy 31

Ιδιότητες Λογαρίθμωνlogb(xy) = logb(x) + logb(y)

Απόδειξη´Εστω m= logbx και n= logby

Γράψτε σε μορφή εκθέτη x= bm και y= bn

Πολλαπλασιάστε το x και y ούτως ώστεxy= bmbn = bm+n

´Ετσι από τον ορισμό των λογαρίθμων το xy= bm+nσυνεπάγει ότι

logb(xy) =m+n= logbx+ logb(y)

Πχ log2(4times16) = log2(64) = log2(26) = 6

Ακόμα log2(4times16) = log2(4) + log2(16) = 2+4 = 6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 32

logb(xy)

= logb(x)minus logb(y)

Απόδειξη´Εστω m= logbx και n= logby

Γράψτε σε μορφή εκθέτη x= bm και y= bn

∆ιαίρα το x και y ούτως ώστε xy =bmbn = bmminusn

´Ετσι από τον ορισμό των λογαρίθμων το xy = bmminusn

συνεπάγει ότι

logb(xy)

=mminusn= logbxminus logb(y)

Πχ log2(16

4)

= log2(4) = 2

και log2(16

4)

= log2(16)minus log2(4) = 4minus2 = 2Ε Ι Κοντογιώργης copy 33

logb(xn) = n logb(x)

Απόδειξη´Εστω m= logbx και γράψτε σε μορφή εκθέτη x= bm

Αυξάνοντας τις δύο πλευρές στην n δύναμη παίρνουμεxn = (bm)n = bmn

´Ετσι από τον ορισμό των λογαρίθμων τοlogbxn =mn= nm= n(logbx)

Πχ log2(64) = log2(26) = 6 log2(2) = 6

log(64) = 18

Επιπλέον log(64) = log(26) = 6log(2) = 6times030 = 18

Ε Ι Κοντογιώργης copy 34

logb(x) =loga(x)loga(b) agt0 a 6= 1

Απόδειξη´Εστω m= logbx rArr x= bm

Εφαρμόστε loga και στις δύο πλευρές του x= bmγια ναδώσει

logabm = logax rArr m logab= logaxrArr m=logaxlogab

rArr logbx=logaxlogab

Πχ log5(20) =log(20)

log(5)= 186 =

ln(20)

ln(5)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 35

logb(a) =1

loga(b) agt0 a 6= 1

Απόδειξη

logb(x) =loga(x)loga(b) =

logx(x)logx(b)

=1

loga(b)

´Οταν a= x

Πχ log2(64) =1

log64(2)=

116 = 6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 36

Αθροισμα

I Υποθέστε ότι έχουμε μια μεταβλητή x που μπορεί ναπάρει δέκα τιμές Εάν ενδιαφερόμαστε για το άθροισμάτους χωρίς να ξέρουμε την τιμή της κάθε μεταβλητής τότεο καλύτερος τρόπος να το εκφράσουμε είναι

x1 +x2 + middot middot middot+x9 +x10

I Εν συντομία το άθροισμα n στοιχείων x1 +x2 + middot middot middot+xn είναιnsum

i = 1xi

και ερμηνεύεται σαν το άθροισμα όλων των xirsquosξεκινώντας από το x1 (πχ i = 1) μέχρι xn (i = n)

I Εάν δε δοθεί διαφορετικά πάντοτε υποθέτουμε ότι το iαυξάνεται ξεκινώντας από το στάδιο 1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 37

I Το lsquolsquoSigmarsquorsquo Σ είναι γνωστό ως το άθροισμα (summation) ήσύμβολο σίγμα (sigma operator) και ο δείκτης i όνομάζεταιεικονική μεταβλητή

I Παραδείγματα

I

5sum

i = 1xi = x1 +x2 +x3 +x4 +x5

I

5sum

i = 1(y2

i ) = y21 +y22 +y23 +y24 +y25

Σημειώστε ότι η μόνη μεταβλητή που περιγράφεται απευθείαςκάτω από το σύμβολο Σ αυξάνεται κατά 1 κάθε φορά ενώ όλατα άλλα σύμβολα παραμένουν τα ίδια

I

4sum

r = 1(x3r ) = x31 +x32 +x33 +x34

Ε Ι Κοντογιώργης copy 38

I6sum

i = 1i = 1+2+3+4+5+6

I6sum

i = 1i2 = 12 +22 +32 +42 +52 +62

I7sum

i = 3xi = x3 +x4 +x5 +x6 +x7

I4sum

i = 1a = a+a+a+a= 4a

I3sum

i = 1(4+xi) = (4+x1) + (4+x2) + (4+x3)

=3sum

i = 14+

3sum

i = 1xi

Ε Ι Κοντογιώργης copy 39

I3sum

i = 1(2xi) = (2x1) + (2x2) + (2x3) = 2times

3sum

i = 1xi

I Ο συντελεστής i παραλείπεται εάν δε προκαλείαοριστία Για παράδειγμα Σx ή Σixi σημαίνειάθροισμα όλων των x που λαμβάνονται υπόψη

I ∆ήλωσηI

nsumi=1a= na

I sumiaxi = asum

ixi

I sumi

(axi+byi) = asumixi +bsum

iyi

Ε Ι Κοντογιώργης copy 40

I Αθροιστικός Τύπος

Insum

i = 1i = 1+2+ middot middot middot+n=

n(n+1)

2

Πχ6sumi = 1i = 1+2+3+4+5+6 =

6(6+1)

2 = 21

Insum

i = 1i2 = 12 +22 + middot middot middot+n2 =

n(n+1)(2n+1)

6

Πχ6sumi = 1i2 = 12 +22 +32 +42 +52 +62

=6(6+1)(12+1)

6 = 91

Ε Ι Κοντογιώργης copy 41

Insum

i = 1i3 = 13 +23 + middot middot middot+n3 =

n2(n+1)2

4

Πχ6sumi = 1i3 = 13 +23 +33 +43 +53 +63

=62(6+1)2

4 = 441

Ε Ι Κοντογιώργης copy 42

ΠαραδήγματαΑριθμητική Πρόοδος

I Γενικά μπορούμε να εκφράσουμε μια αριθμητική πρόοδο ωςεξής

αριθμητική πρόοδος a a+d a+2d a+3d

όπου ο πρώτος όρος είναι a και η διαφορά d Ο όρος nτης απ δίνεται από τη σχέση b = a+ (nminus1)d

I 3 5 7 9 11 είναι μια αριθμητική πρόοδος Οπρώτος όρος είναι το 3 και η διαφορά είναι 2

I 2 minus1 minus4 minus7 είναι μια αριθμητική πρόοδος όπου οπρώτος όρος είναι 2 και η διαφορά minus3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 43

I Το άθροισμα των όρων μιας αριθμητικής προόδου είναιγνωστό ως αριθμητική σειρά

Sn = a+ (a+d) + (a+2d) + middot middot middot+ (a+ (nminus1)d)

=nsumi=1

(a+ (iminus1)d

)= na+

nsumi=1

(iminus1)d

= na+dnminus1sumi=1

i = na+d(nminus1)n2

=n2(2a+d(nminus1)) =

n2(a+b) b = a+d(nminus1)

I ΑΠ 3 5 7 9 11 13 rArr Sn =62(3+13) = 48

Ε Ι Κοντογιώργης copy 44

∆ιπλό Αθροισμα4sumi=1

isumj=1

j = (1) + (1+2) + (1+2+3) + (1+2+3+4) = 20

nsumi=1

isumj=1

j =nsumi=1

( isumj=1

j)

nsumi=1

(12 i(i+1)

)=

12

nsumi=1

(i2 + i)

12( nsumi=1

i2 +nsumi=1

i)

=12(16n(n+1)(2n+1) +

12n(n+1)

)

=12

16n(n+1)

((2n+1) +3

)=

n6(n+1)(n+2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 45

∆ιπλό Αθροισμα

nsumi=1

msumj=1

(i+ j+2) =nsumi=1

( msumj=1

(i+ j+2))

nsumi=1

( msumj=1

i+msumj=1

j+msumj=1

2)

=nsumi=1

(mi+ 1

2m(m+1) +2m)

m( nsumi=1

i+ 12

nsumi=1

(m+5))

= m(12n(n+1) +

12n(m+5)

)

=mn2(m+n+6

)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 46

Insumr=1

1r(r+1)

=nsumr=1

(Ar +

Br+1

)=

nsumr=1

A(r+1) +Brr(r+1)

I A(r+1) +Br = 1

I Για r = 0 τότε A= 1 και για r =minus1 τότε B=minus1

I

nsumr=1

1r(r+1)

=nsumr=1

(1r minus

1r+1

)

=(

(11 minus

12) + (

12 minus

13) + (

13 minus

14) + middot middot middot+ (

1nminus1 minus

1n ) + (

1n minus

1n+1)

)

= 1minus 1n+1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 47

Insumk=1

1(k+2)(k+3)

=nsumk=1

( A(k+2)

+B

(k+3)

)=

nsumk=1

A(k+3) +B(k+2)

(k+2)(k+3)

I A(k+3) +B(k+2) = 1

I Για k=minus2 τότε A= 1 και για k=minus3 τότε B=minus1

I

nsumk=1

1(k+2)(k+3)

=nsumk=1

( 1(k+2)

minus 1(k+3)

)

=(

(13 minus

14)+(

14 minus

15)+(

15 minus

16)+ +(

1n+1 minus

1n+2)+(

1n+2 minus

1n+3)

)

=13 minus

1n+3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 48

Αθροισμα με Λογάριθμους

nsumi=1

logb(i) = logb(1) + logb(2) + middot middot middot+ logb(n)

= logb(1times2times3timesmiddotmiddot middottimesn)

= logb(n)

I Το n (n παραγοντικό) δίνεται από n = 1times2timesmiddotmiddot middottimesn και0 = 1

I100sumi=1

log2(100) = log2(100) =log(100)

log(2)=

log(99)

log(2)+

2log(2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 49

Γινόμενο των ακολουθιώνIn

prodi=1xi = x1timesx2timesx3timesmiddotmiddot middottimesxn

In

prodi=1i = 1times2times3timesmiddotmiddot middottimesn= n

In

prodi=1z= ztimesztimesmiddotmiddot middottimesz= zn

I

nprodi=1

(1+

1i+1

)=(1+

12)times(1+

13)times(1+

14)times times(1+

1n )times(1+

1n+1)

=32 times

43 times

54 timesmiddotmiddot middottimes

n+1n times n+2

n+1

=n+22

Ε Ι Κοντογιώργης copy 50

Γεωμετρικές ΠροόδοιI Μια γεωμετρική πρόοδος είναι μια σειρά αριθμών όπου

κάθε όρος μετά των πρώτο υπολογίζεται από τονπολλαπλασιασμό του προηγούμενου όρου με ένασταθερό αριθμό που καλείται αναλογία

I Η σειρά1 3 9 27 81 middot middot middot

είναι μια γεωμετρική πρόοδος με πρώτο όρο το 1 καιαναλογία 3

I Η αναλογία μπορεί να είναι κλάσμα καθώς επίσης καιαρνητικός αριθμός Για παράδειγμα η γεωμετρικήπρόοδος με πρώτο όρο το 2 και αναλογία minus13 είναι

2 minus 23 +

29 minus

227 +

281 middot middot middot

Ε Ι Κοντογιώργης copy 51

I Γενικά μπορούμε να γράψουμε μια γεωμετρική πρόοδο ωςακολούθως

γεωμετρική πρόοδος a ar ar2 ar3 ar4 middot middot middot

όπου ο πρώτος όρος είναι a και η αναλογία r

I Σημαντικά θεωρήματα των γεωμετρικών προόδων (γπ)1 Ο n όρος μιας γπ δίνεται από ar(nminus1)

2 Το άθροισμα των πρώτων n όρων μιας γπ είναι

Sn =a(1minus rn)

1minus r =a(rnminus1)

rminus1 και ισχύει μόνο αν r 6= 1

I Το άθροισμα των όρων μιας γεωμετρικής προόδουονομάζεται γεωμετρική σειρά

Ε Ι Κοντογιώργης copy 52

Γεωμετρική σειρά

Sn = a+ar+ar2 +ar3 + middot middot middot+arnminus2 +arnminus1

rSn = ar+ar2 +ar3 + arnminus1 +arn

Snminus rSn = aminusarn

(1minus r)Sn = a(1minus rn)

Sn =a(1minus rn)

(1minus r) =a(rnminus1)

(rminus1)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 53

I Παράδειγμα1 Βρείτε το άθροισμα των πρώτων 10 όρων μιας γεωμετρικής

σειράς4 8 16 32

Ο πρώτος όρος είναι a= 4 και η αναλογία r = 2 καιn= 10 ´Ετσι

S10 =4(1minus210)

1minus2 = 4092

2 Θεωρείστε τη γπ4 minus8 16 minus32 64 minus128 256 minus512

Σε αυτή την περίπτωση ο πρώτος όρος είναι a= 4 ηαναλογία είναι r =minus2 και n= 8´Ετσι

S8 =4(1minus (minus2)8)

1minus (minus2)=minus340

Ε Ι Κοντογιώργης copy 54

Συνεχείς ανατοκισμός

Οι περισσότεροι τραπεζικοί λογαριασμοί και τα δάνειαυιοθετούν ανατοκισμό - εφαρμόζοντας συνεχή ανατοκισμόΘεωρείστε ένα λογαριασμό που προσφέρει τόκο με ετήσιοεπιτόκιο r (πχ 7) Εάν το επιτόκιο είναι συνεχέςσε χρονιαία βάση τότε μετά από 1 χρόνο το χρονιαίοεπιτόκιο προστίθεται στο αρχικό κεφάλαιο για νακαθορίσει ένα μεγαλύτερο κεφάλαιο τον δεύτερο χρόνο

´Ετσι κατά τη διάρκεια του δεύτερου χρόνου ολογαριασμός κερδίζει επιτόκιο πάνω στο επιτόκιοΑυτή είναι η επίδραση του ανατοκισμού που συνεχίζεταιχρόνο με το χρόνο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 55

I Με τον ετήσιο ανατοκισμό το κεφάλαιο πουσυσσωρεύεται στο λογαριασμό πολλαπλασιάζεται με

(1+ r)

´Ετσι το κεφάλαιο A θα αυξηθεί σε

A(1+ r) = A+A middot r

τον επόμενο χρόνο

I Με το πέρας και του δεύτερου χρόνου το κεφάλαιο θααυξηθεί ακόμα (1+ r) σε (1+ r)2

´Ετσι το κεφάλαιο καταλήγει σε

A(1+ r)(1+ r) = A(1+ r)2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 56

I Κατά παρόμοιο τρόπο στο τέλος του τρίτου χρόνου τοποσό θα αυξηθεί κατά (1+ r)3

I Μετά από n χρόνια το ποσό θα αυξηθεί κατά (1+ r)n

I ´Ετσι το κεφάλαιο (επένδυση) A θα αυξηθεί με συνεχήανατοκισμό σε A(1+ r)n μετά από n χρόνια

I Ο τύπος (1+ r)n εκθέτει γεωμετρική αύξηση λόγω τηςn δύναμης

Ε Ι Κοντογιώργης copy 57

ΠαραδείγματαI Εάν το επιτόκιο είναι r = 5 τότε το κεφάλαιοA= $1000 που βρίσκεται στην τράπεζα n= 20 χρόνιαθα αυξηθεί κατά

(1+ r)n = (1+005)20 = 2653 φορές

´Ετσι το ποσό θα καταλήξειA(1+ r)n = $265330

I Βρέστε το χρόνο που χρειάζεται για ένα λογαργιασμό ναδιπλασιάσει το διαθέσιμο κεφάλαιο του όταν r = 7 καιr = 10Ζητούμε να βρούμε το n έτσι ώστε

(1+ r)n = 2Ε Ι Κοντογιώργης copy 58

I Υπολογίζοντας το λογάριθμο του τελευταίου παίρνουμε

log(1+ r)n = log(2)ή n log(1+ r) = log(2)

´Ετσιn=

log2log(1+ r)

I Για r = 7 και r = 10 ο χρόνος n πουχρειάζεται για διπλασιασμό της επένδυσης υπολογίζεταισε 1024 και 727 αντίστοιχα

Ε Ι Κοντογιώργης copy 59

I Αν το επιτόκιο είναι r = 7 τότε πιο θα είναι τοσυνολικό ποσό στο λογαριασμό μετά από 205 και41 χρόνια αντίστοιχα

Μετά τα πρώτα 1025 χρόνια το ποσό A θαδιπλασιαστεί σε 2A Για τα επόμενα 1025 χρόνιατο ποσό θα ξαναδιπλασιαστεί σε 4A ´Ετσι μετά από205 χρόνια το ποσό θα αυξηθεί κατά 4 φορές

Με το πέρας ακόμα 205 χρόνων το ποσό θα αυξηθείακόμα 4 φορές σε 16 ´Ετσι μετά από 41 χρόνιατο κεφάλαιο A γίνεται 16A

Ε Ι Κοντογιώργης copy 60

Ασκήσεις και Παραδείγματα

I Υπολογίστε τη Μελλοντική Αξία (Future Value (FV)) τουκεφαλαίου A= 1500 που κερδίζει ετήσιο επιτόκιοr = 5 για n= 10 έτη

FV =A(1+ r)n = 1500(1+005)10 = 244334

I Πόσα έτη απαιτούνται για να τριπλασιαστεί ένα ποσόπου αφήνετε στην τράπεζα με επιτόκιο r = 5∆ηλαδή βρείτε το n όπου A= 1 r = 5 και FV = 3

FV =A(1+ r)n ή (1+ r)n =FVA

Ε Ι Κοντογιώργης copy 61

Υπολογίζοντας τους λογαρίθμους παίρνουμε

log(1+ r)n = log(FVA)

ή n log(1+ r) = log(FVA)

´Ετσι

n=log(FVA)

log(1+ r) =log(3)

log(105)

= 2252

Ε Ι Κοντογιώργης copy 62

I Βρείτε την παρούσα αξία A έτσι ώστε σε δέκα έτη μεσταθερό επιτόκιο r = 6 να είναι 100KΒρείτε το A όπου FV = 100000 r = 6 και n= 10

FV =A(1+ r)n ή A=FV

(1+ r)n

´Ετσι A=100000

(106)10= 5583948

I Βρείτε την ετησιοποιημένη απόδοση (AER AnnualEquivalent Rate) μιας μηνιαίας κατάθεσης με σταθερόεπιτοκίο 394 Μια τέτοια κατάθεση λαμβάνει το επιτόκιο στη λήξηΣυνεπώς κάθε μήνα ο λογαριασμός λαμβάνει

r = 0039412 = 000328

επιτόκιο που επανεπενδύεται (συνεχής ανατοκισμός)Ε Ι Κοντογιώργης copy 63

Επανεπενδύοντας το επιτόκιο κάθε μήνα στη διάρκειαενός έτους το κεφάλαιο θα αυξηθεί σε

(1+ r)12 = (1+000328)12 = 104012

´Ετσι το ΑΕΡ είναι ισοδύναμο με 004012 = 4012I Υπολογίστε το επιτόκιο ενός σταθερού λογαριασμού

κατάθεσης 7-ημερών που έχει AER επιτόκιο r = 425Θεωρείστε ρ το εβδομαδιαίο επιτόκιο

´Ετσι (1+ρ)52 = (1+00425)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 64

Παίρνοντας τους λογαρίθμους έχουμε52log(1+ρ) = log10425

ή log(1+ρ) =log10425

52

ή 1+ρ= 10( log10425

52)

Αυτό μας δίνει

ρ= 10

( log1042552

)minus1 = 008

´Ετσι το συνεχές επιτόκιο μιας επταήμερης κατάθεσης είναιρtimes52 = 41638

Εναλλακτικά (1+ρ)52 = (1+00425) δίνει

(1+ρ) =52radic10425ή ρ=

52radic10425minus = 008Ε Ι Κοντογιώργης copy 65

I Υπολογίστε την ετήσια απόδοση r έτσι ώστε A= 10000να επιστρέφει FV = 35000 σε n= 20 χρόνια

FV =A(1+ r)n ή (1+ r)n =FVA

´Ετσι

1+ r =nradic

FVA

Επομένως

r =nradic

FVA minus1 =

20radic

3500010000 minus1 = 00646 = 646

Ε Ι Κοντογιώργης copy 66

Εναλλακτικά παίρνοντας τους λογαρίθμους

log(1+ r)n = log(FVA) ή n log(1+ r) = log

(FVA)

´Ετσι

1+ r = 10(1n log

(FVA))

ή r = 10(1n log

(FVA))minus1

= 10( 120 log

(3500010000

))minus1

= 646

Ε Ι Κοντογιώργης copy 67

Γραφική Αναπαράσταση I

I Υποθέστε ότι έχουμε y= 3x+2 Καθώς έχουμε μόνο μιαδύναμη για το x πρέπει να λύσουμε γραμμική εξίσωσηκαι να σχεδιάσουμε μια ευθεία γραμμή Αρχικά θα πρέπεινα σχεδιάσουμε ένα T-chart Αυτό έχει τη μορφή

x y = 3x+2 (xy)

I Επιλέγουμε μια τιμή για το x και λύνουμε ως προς y

x y= 3x+2 (xy)minus2 minus4 (minus2minus4)0 2 (02)2 8 (28)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 68

Γραφική Αναπαράσταση II

-

6

X

Y

bull

bull

bull

I Βλέπουμε μια ευθεία με ανοδική τάση (έχοντας θετικήκλίση m= 3) καιτέμνει τον άξονα y στο σημείο y= 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 69

Γραφική Αναπαράσταση III

I Μια Τετραγωνική εξίσωση περιέχει x2 Για τηναναπαράσταση τετραγωνικών εξισώσεων χρειάζεται ναβρούμε περισσότερα από τρία σημεία στο σχεδιάγραμμα

Για παράδειγμα υποθέστε ότι y= x2minus6x+5 καιδίνεται το πιο κάτω T-chart

x y= x2minus6x+5 (xy)0 5 (05)1 0 (10)3 minus4 (3minus4)5 0 (50)6 5 (65)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 70

Γραφική Αναπαράσταση IV

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

-

6

X

Y

bull

bull

bull

bull

bull

Ε Ι Κοντογιώργης copy 71

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(1x + 2)

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(-3x + 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 72

-15

-10

-5

0

5

10

15

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(3x - 2)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 73

-20

0

20

40

60

80

100

120

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2+x)

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 74

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

1250

1500

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3+x2+x)

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x4)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 75

-25

-2

-15

-1

-05

0

05

1

15

2

25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(log(x))

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(x))

Ε Ι Κοντογιώργης copy 76

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(-x))

-5000

0

5000

10000

15000

20000

25000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(exp(x)+x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 77

Ανισότητες I

I Οι ανισότητες αποτελούνται από δύο ή τρεις αλγεβρικέςεκφράσεις που είναι συνδεδεμένες με τα σύμβολαανισότητας Τα σύμβολα αυτά είναι

lt μικρότερο τουgt μεγαλύτερο τουle μικρότερο ή ίσο τουge μεγαλύτερο ή ίσο του

I Παραδείγματα xgty yge x2 και ylt5x+1

I Το πρώτο βήμα για την αναπαράσταση ανισότητας τηςμορφής ygtx είναι να παραστήσουμε γραφικά τηνισότητα y= x

Ε Ι Κοντογιώργης copy 78

Ανισότητες II

I ygtx

Κάνετε δοκιμή με ένα σημείο να δείτε κατά πόσοικανοποιεί την ανισότητα Εάν ναι τότε σκιάστε τηνπεριοχή αυτή του σχεδιαγράμματος διαφορετικά σκιάστετην άλλη πλευρά

Ε Ι Κοντογιώργης copy 79

Ανισότητες III

I yltx

Ε Ι Κοντογιώργης copy 80

Ανισότητες IV

I yle 5x+1 και ygt5x+1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 81

Ανισότητες V

I yge x2 και yle x2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 82

Ανισότητες VI

I ygtx3 και yle x3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 83

Συστήματα Γραμμικών ΕξισώσεωνΠεριεχόμενα

1 Ε

2 Γ Α

ΑναφορέςΚεφάλαια 4 και 5FS Budnick Applied Mathematics for Business Economicsand the Social Sciences 4th edition McGraw-Hill 1993

Ε Ι Κοντογιώργης copy 84

Συστήματα Εξισώσεων

I ´Ενα σύστημα εξισώσεων συνδυάζει περισσότερες από μίαεξισώσεις

I ´Ενα σύστημα m εξισώσεων όπου κάθε εξίσωσηαποτελείται από n μεταβλητές ονομάζεται mtimesnσύστημα ή λέμε ότι έχει διαστάσεις mtimesn

I ΠαράδειγμαΠαρακάτω έχουμε ένα σύστημα 2times2

5X+10Y= 203X+4Y= 10

Οι μεταβλητές σε αυτή την περίπτωση είναι X και YΕ Ι Κοντογιώργης copy 85

Συστήματα Επίλυσης

I Το Σύστημα επίλυσης είναι μια σειρά τιμών μεταβλητώνπου ικανοποιούν το σύστημα ταυτόχρονα

I Σε μια σημειογραφική παράσταση το προηγούμενοπαράδειγμα μπορεί να γραφτεί ως εξής

S = (XY) | 5X+10Y = 20 και 3X+4Y = 10

I Το σύστημα επίλυσης μπορεί να είναι1 μηδενικό2 πεπερασμένο ή3 άπειρο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 86

2times2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική Ανάλυση

I Σε ένα δισδιάστατο γράφημα ένα σύστημα εξισώσεων2times2 αναπαρίστανται με ευθείες γραμμές Υπόρχουν τρίαενδεχόμενα

1 Οι ευθείες τέμνονται Το σημείο τομής αντιπροσωπεύει τηλύση του συστήματος εξισώσεων Αυτό το σημείοαλληλεπίδρασης είναι μια δέσμη τιμών X και Y που ικανοποιείκαι τις δύο εξισώσειςΕάν υπάρχει μόνο μια δέσμη τιμών για τις μεταβλητές που ναικανοποιεί το σύστημα εξισώσεων το σύστημα λέμε ότι έχειΜ Λ

2 Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες μεταξύ τους ∆εν έχουν κοινόσημείο Συνεπώς οι ευθείες δεν τέμνονται ποτέ Το σύστημαλέμε ότι ∆ ΛΑυτό υπονοεί ότι δεν υπάρχουν τιμές για τις μεταβλητές πουνα ικανοποιούν και τις δύο εξισώσεις Σε αυτή τηνπερίπτωση οι εξισώσεις στο σύστημα είναι Α

3 Και οι δύο εξισώσεις αναπαρίστανται ως μια κοινή ευθεία καιθεωρούνται ισοδύναμες εξισώσεις ´Ετσι το σύστημα έχειΑ Λ Αυτό συμβαίνει γιατί υπάρχει άπειροςαριθμός κοινών σημείων στις δύο γραμμές

Ε Ι Κοντογιώργης copy 87

I Π Θεωρείστε ένα σύστημα 2times22X+4Y= 203X+ Y= 10

I

X

Y

(24)

3X +Y = 10

2X +4Y = 20

0 2 4 6 8 10 12

2

4

6

8

10

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 88

I Το σημείο τομής δίνεται από το X= 2 και Y= 4Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές του X και Y στις δύοεξισώσεις δίνουν 20 = 20 και 10 = 10 αντίστοιχα

I Αυτό υποδειλώνει ότι X= 2 και Y= 4 είναι η σωστή λύση

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times23Xminus2Y= 6

minus15X+10Y=minus30

I

X

Y

(20)

(0minus3)

3X minus2Y = 6

minus15X +10Y =minus30

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 89

I Οι δύο εξισώσεις απλοποιούνται σε Xminus 23 Y= 2

Οι δύο εξισώσεις είναι ισοδύναμες και δίνουν έναπεπερασμένο αριθμό λύσεων έτσι ώστε

X= 0 Y =minus3X= 2 Y = 0X= 4 Y = 3

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times26Xminus12Y= 24

minus32X+3Y= 9

Οι εξισώσεις απλοποιούνται σεXminus2Y= 4Xminus2Y=minus6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 90

I

X

Y

(40)

(0minus2)

(minus60)

(03)

X minus2Y =minus6

X minus2Y = 4

0-0

I Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες και συνεπώς το σύστημαδεν έχει λύση ´Ετσι το σύστημα εξισώσεων είναιασύμπτωτο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 91

Περίληψη 2times2 Συστήματα Εξισώσεων∆ίνεται ένα Σύστημα Γραμμικών Εξισώσεων 2times2

Y=m1X+ c1Y=m2X+ c2

1 Υπάρχει μια στο σύστημα εάνm1 6= m2

2 ∆εν υπάρχει στο σύστημα εάνm1 = m2 και c1 6= c2

3 Υπάρχει εάνm1 = m2 και c1 = c2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 92

∆ιαδικασίες Απαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής χρησιμοποιεί πολλαπλασιασμόκαι πρόσθεση έτσι ώστε

1 Να απαλοιφεί μια από τις δύο μεταβλητές

2 Η εξίσωση που εξάγεται είναι συνάρτηση των υπόλοιπωνμεταβλητών

3 Αντικαθιστώντας την τιμή στην μεταβλητή σε μια από τιςαρχικές εξισώσεις βρίσκουμε την τιμή για τηναπολοιφθήσα μεταβλητή

Ε Ι Κοντογιώργης copy 93

ΠαραδείγματαI Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

2X +4Y = 20 (1)3X + Y = 10 (2)

Πολλαπλασιάζοντας τη δεύτερη εξίσωση με minus4 παίρνουμε

minus12X minus4Y =minus40 (3)

Προσθέτοντας την εξίσωση (1) στο (3)

2X + 4Y = 20minus12X minus 4Y = minus40minus10X = minus20

ή

X = 2 (4)Ε Ι Κοντογιώργης copy 94

Αντικαθιστώντας X= 2 στην εξίσωση (1) δίνεται2 middot2+4Y = 20 ή Y=4

´Ετσι η μοναδική λύση του συστήματος δίνεται από τοX= 2 και Y= 4 Μπορεί να επιβεβαιωθεί ότι αυτή είναι ησωστή λύση αντικαθιστώντας X= 2 και Y= 4 στηνεξίσωση (1) και (2)

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times23X minus2Y = 6 (5)

minus15X +10Y =minus30 (6)

Για την απαλοιφή της μεταβλητής X η εξίσωση (5)πολλαπλασιάζεται με 5 και το αποτέλεσμα προστίθεταιστην εξίσωση (6)

15X minus 10Y = 30minus15X + 10Y = minus30

0 = 0 Ε Ι Κοντογιώργης copy 95

Οι τελευταίες πράξεις υπονοούν ότι οι εξίσωσεις (5) και(6) είναι ισοδύναμες και έτσι υπάρχει άπειρος αριθμόςλύσεωνΓια να προσδιορίσουμε τις λύσεις του συστήματος μια απότις αρχικές εξισώσεις λύνεται ως προς μια μεταβλητή Ανγια παράδειγμα η εξίσωση (5) λύνεται ως προς Y δίνει

Y =32Xminus3

Σαν αποτέλεσμα γενικεύοντας τις λύσεις του συστήματοςέχουμε

X τυχαίο και Y =32Xminus3

Πχ για X= 4 υπονοείται ότι Y=32 middot4minus3 = 3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 96

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

6X minus12Y = 24 (7)

minus32X +3Y = 9 (8)

Πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση (8) με 4 καιπροσθέτοντας το αποτέλεσμα στην εξίσωση (7)παίρνουμε

6X minus 12Y = 24minus6X + 12Y = 36

0 = 60

Η πιο πάνω αντιλογία υπονοεί ότι δεν υπάρχει λύση τουσυστήματος εξισώσεων

Ε Ι Κοντογιώργης copy 97

3times2 Συστήματα Εξισώσεων I

1 Μ Λ

X

Y

(32)

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minusY = 1

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 98

3times2 Συστήματα Εξισώσεων II

2 Α Λ

X

Y Εξις (1)Εξις (2)Εξις (3)

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 99

3times2 Συστήματα Εξισώσεων III3 Κ

(α) ´Οταν και οι τρεις εξισώσεις είναι παράλληλες

X

Y

2X minusY =minus8

2X minusY = 2

2X minusY = 12

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 100

3times2 Συστήματα Εξισώσεων IV(β) ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ τωνεξισώσεων

X

Y

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minus2Y =minus4

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 101

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική ΑνάλυσηΣε ένα γράφημα 2 διαστάσεων ένα σύστημα mtimes2(mgt2) εξισώσεων παριστάνεται με m ευθείες ´Οπωςσυμβαίνει στα συστήματα 2times2 υπάρχουν τρίαενδεχόμενα

1 ´Ολες οι ευθείες τέμνονται στο ίδιο σημείο και έτσιυπάρχει

2 ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ των mεξισώσεων Αυτό σημαίνει ότι όλες οι ευθείες είναιπαράλληλες Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα Λ

3 Οι m εξισώσεις είναι ισοδύναμες πχ παρασταίνονται σανμια ευθεία Σε αυτή την περίπτωση υπάρχει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 102

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων ∆ιαδικασίαΑπαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής για την επίλυση ενός συστήματοςmtimes2 μπορεί να περιγραφεί ως ακολούθωςΕπιλέξτε και λύστε σύστημα με δύο εξισώσεις

1 Εάν δεν υπάρχει λύση τότε ολόκληρο το σύστημα δεν έχειλύση

2 Εάν υπάρχει μοναδική λύση που ικανοποιεί τις υπόλοιπεςmminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα έχει μία μοναδική λύση

3 Εάν η λύση είναι μοναδική αλλά δεν ικανοποιεί τιςυπόλοιπες mminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα δεν έχει λύση

4 Εάν οι 2 λύσεις είναι ισοδύναμες απάλοιψτε τη μίααπό τις δύο εξισώσεις και ξεκινήστε από την αρχήλαμβάνοντας υπόψη ένα σύστημα (mminus1)times2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 103

ΠαράδείγμαI Θεωρείστε ένα σύστημα 5times2

XminusY= 1X+2Y=minus8

3Xminus2Y= 02Xminus5Y= 11minus4X+3Y=minus1

I Η λύση των πρώτων δύο εξισώσεων δίνετε απόY =minus3 και X =minus2

I Αντικαθιστώντας τη λύση στις υπόλοιπες τρεις εξισώσειςπαίρνετε αντίστοιχα

0 = 0 11 = 11 και minus1 =minus1I Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση

X=minus2 και Y=minus3Ε Ι Κοντογιώργης copy 104

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian

Η μέθοδος απολοιφής Gaussian μετατρέπει το αρχικόσύστημα εξισώσεων σε διαγώνια μορφή επαναλαμβάνονταςστις εξισώσεις τις ακόλουθες τρεις διαδικασίες

1 Πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης μεμια θετική σταθερά

2 Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού θα προστεθεί σεάλλη εξίσωση

3 Η σειρά των εξισώσεων μπορεί να αλλάξει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 105

ΠαράδείγμαΠ Θεωρείστε το σύστημα 2times2

2X minus 3Y = 7 (Εξ 1)X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με 12 για να πάρετε

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με minus1 καιπροσθέστε την στην (Εξ 2)

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

52Y =

152 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 106

Στάδιο 3 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 25

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

Y = 3 (Εξ 2)

Στάδιο 4 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 32 και

προσθέστε την στην (Εξ 1)

X = 1 (Εξ 1)Y = 3 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 107

Π Θεωρείστε το σύστημα 2times2

5X + 20Y = 254X minus 7Y =minus26

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να εκφραστεί ως

R1 5 20 25R2 4 minus7 minus26

Η κάθετη γραμμή χρησιμοποιείται για διαχωρισμό τηςαριστερής από τη δεξιά πλευρά των εξισώσεων Το Riυπονοεί τη γραμμή (Row) i

Ε Ι Κοντογιώργης copy 108

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάζουμε τη R1 με 15 και το θέτουμε

R1larr 15R1

R1 1 4 5R2 4 minus7 minus26

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάζουμε την R1 με minus4 και τηνπροσθέτουμε στην R2 Εν συντομίαR2larrminus4R1+R2

R1 1 4 5R2 0 minus23 minus46

Στάδιο 3 R2larrminus 123R2

R1 1 4 5R2 0 1 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 109

Στάδιο 4 R1larrminus4R2+R1

R1 1 0 minus3R2 0 1 2

Το αρχικό σύστημα εξισώσεων μετατρέπεται σε διαγώνιαμορφή όπως πιο κάτω

X =minus3Y = 2

το οποίο δίνει τη λύση του συστήματος

Ε Ι Κοντογιώργης copy 110

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 I

Το σύστημα εξισώσεων 3times3 μετετρέπεται σε διαγώνιαμορφή Η μετατροπή γίνεται στήλη με στήλη από τααριστερά προς τα δεξιά

Π Θεωρήστε το σύστημα 3times3

X1 + X2 + X3 = 2X1 minus 3X2 + 2X3 = 7

4X1 minus 2X2 minus X3 = 9

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να γραφτεί ως

Ε Ι Κοντογιώργης copy 111

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 II

1 1 1 21 minus3 2 74 minus2 minus1 9

Ε Ι Κοντογιώργης copy 112

Αναπλήρωση μαθημάτων

Προγραμματίζονται επίσης διαλέξεις το Σάββατο 10Οκτωβρίου καθώς και το Σάββατο 17 Οκτωβρίου γιααναπλήρωση μαθημάτων

Ε Ι Κοντογιώργης copy 3

ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

Το μάθημα αυτό είναι μια εισαγωγή στις μαθηματικέςμεθόδους που χρησιμοποιούνται στα οικονομικά και τηδιοίκηση επιχειρήσεων Τα θέματα περιλαμβάνουν βασικάστοιχεία διαφορικού λογισμού πραγματικής συνάρτησηςμιας μεταβλητής

Επιγραμματικά η ύλη καλύπτει μια εισαγωγή στιςβασικές εξισώσεις και λειτουργίες εκθετικούς αριθμούς καιλογάριθμους με εφαρμογές στην οικονομική επιστήμηΑθροίσματα και σειρές Γραφική αναπαράσταση καιανισότητες Συστήματα εξισώσεων Συναρτήσειςγραφήματα και όρια Παράγωγοι και εφαρμογές καιΕλαχιστοποίηση και μεγιστοποήση με εφαρμογές

Ε Ι Κοντογιώργης copy 4

Βοηθήματα Βιβλιογραφία και Πηγές

1 3 Laurence D Hoffmann and Gerald L Bradley AppliedCalculus For Business Economics and the Social and LifeSciences McGraw-Hill Science (International Edition 2010)

2 FS Budnick Applied Mathematics for Business Economicsand the Social Sciences (any edition) McGraw-Hill

Ε Ι Κοντογιώργης copy 5

∆ΙΑΛΕΞΕΙΣ

Τα μαθήματα θα γίνονται υπό μορφή διαλέξεων (3 ώρεςτην εβδομάδα) και φροντιστηρίων (μιά ώρα) Στη διάλεξηπαραδίδεται η ύλη του μαθήματος και γίνεται ανάλυσητων θεμάτων της ύλης

Οι φοιτητές μπορούν να παρακολουθούν διαλέξεις μόνοστο τμήμα στο οποίο έχουν εγγραφεί

Οι σημειώσεις που θα καλύπτονται σε κάθε διάλεξηβρίσκονται στην ιστοσελίδαhttpecoursescutaccyκαι για τις πρώτες διαλέξεις στηνhttpwwwerricoscomcoursesEXN110

Ε Ι Κοντογιώργης copy 6

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Ο κάθε φοιτητής θα πρέπει να προμηθευτεί τις σημειώσειςπριν την έναρξη της διάλεξης ώστε να τις έχει μαζί τουκατά την διάρκεια της διάλεξης

Οι σημειώσεις θα έχουν κάποια μέρη άδεια (τρύπες) ταοποία θα συμπληρώνονται κατά τη διάρκεια τωνδιαλέξεων

Στα φροντιστήρια γίνεται συζήτηση της ύλης πουκαλύπτει η διάλεξη και λύνονται ασκήσεις

Ε Ι Κοντογιώργης copy 7

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΑ

Η ενδιάμεση εξέτάση αναμένεται να πραγματοποιηθεί τοΣάββατο 17 Οκτώβρη του 2015 και θα αντιστοιχεί στο35 της συνολικής βαθμολογίας

Η τελική εξέταση θα πραγματοποιηθεί τον ∆εκέμβριο καιθα αντιστοιχεί στο 65 της συνολικής βαθμολογίας

Οποιεσδήμοτε τροποποιήσεις (αν υπάρξουν) σχετικά με τιςημερομηνίες ήκαι τις ώρες διεξαγωγής των ενδιάμεσωνεξετάσεων θα σας γνωστοποιηθούν γραπτός

Ε Ι Κοντογιώργης copy 8

Σημείωση

Ο φοιτητής ο οποίος θα συλληφθεί να αντιγράφει να έχεικινητό τηλέφωνο να έχει αριθμομηχανές ή να έχει έγραφαστο θρανίο του που έχουν άμεση σχέση με το εξεταζόμενομάθημα ΕΧΝ110 κατά την διάρκεια των εξετάσεων τότεαμέσως αποτυγχάνει στο μάθημα αυτό και είναιυπεύθυνος για τις οποιεσδήποτε πειθαρχικές διαδικασίεςπροκύψουν λόγο αυτού

Κατά τη διάρκεια των διαλέξεων όλα τα κινητά τηλέφωναπρέπει να είναι κλειστά

Φαγώσιμα ή ποτά δεν επιτρέπονται στις διαλέξεις

Ε Ι Κοντογιώργης copy 9

ΕΧΝ 110 Μαθηματικά ΙΠεριεχόμενα

I Μ I Β Ε Β Λ

I Ε Α ΛI ΑI Α Γ ΠI Σ I ΛI Γ

Ερρίκος Ιωάννη ΚοντογιώργηςE-mail erricoscutaccy

Ε Ι Κοντογιώργης copy 10

Μεταβλητές και Σταθερές

I Στα Μαθηματικά και τη Στατιστική πάντοτεασχολούμαστε με ευμετάβλητα μεγέθη Για παράδειγμαμισθούς επιτόκια πληθωρισμό ύψος βάρος ηλικία χρόνοκτλ

I Στα συνηθισμένα συμφραζόμενα μια μεταβλητήσυμβολίζεται με ένα αλφαβητικό γράμμα πχ x y zκτλ Για παράδειγμα αν η μεταβλητή μας αποτελείταιαπό τους μισθούς υπαλλήλων τότε μπορούμε να τουςπαραστήσουμε τους μισθούς με τη μεταβλητή x

I Συγκεκριμένα εάν δεν ενδιαφερόμαστε για το πραγματικόύψος των μισθών (ή δε τους γνωρίζουμε) αλλά επιθυμούμενα απομονώσουμε τους μισθούς τεσσάρων υπαλλήλωντότε τους συμβολίζουμε ως εξής x1 x2 x3 και x4

Ε Ι Κοντογιώργης copy 11

Μεταβλητές και Σταθερές ΙΙ

I Σε ορισμένες περιπτώσεις εμπερικλείουμε τις μεταβλητές σεπαρενθέσεις ´Ετσι (x1x2x3x4)Ο τρόπος αυτός ονομάζεται σύνολο

I Αν ξέρουμε τους πραγματικούς μισθούς τεσσάρωνυπαλλήλων μπορούμε να τους γράψουμε σε σειρά έτσι τοσετ θα έχει τη μορφή (2200016000384322943248)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 12

Ακέραιοι και Πραγματικοί Αριθμοί

I Οι lsquoφυσικοίrsquo αριθμοί (θετικοί ακαίραιοι) δίνονται ως εξής1234 Το σύνολο όλων των φυσικών αριθμώνσυμβολίζεται με το γράμμα N

I Οι lsquoολόκληροιrsquo αριθμοί (μη αρνητικοί ακέραιοι) είναι οιφυσικοί αριθμοί μαζί με το μηδέν 01234

I Οι lsquoακέραιοιrsquo περιλαμβάνουν τους φυσικούς αριθμούς τομηδέν και τους αρνητικούς φυσικούς αριθμούς

minus2minus1012

Η σειρά των ακεραίων συμβολίζεται με Z

Ε Ι Κοντογιώργης copy 13

Ακέραιοι και Πραγματικοί Αριθμοί ΙΙ

I Μια μεταβλητή μπορεί να πάρει πεπερασμένο αριθμότιμών Για παράδειγμα η μεταβλήτή M που υποδειλώνειτους μήνες του χρόνο μπορεί να πάρει τις τιμές

123456789101112

Σε αυτή την περίπτωση η μεταβλητή M είναι μια σειράθετικών ακέραιων μετεβλητών (φυσικοί)

I Η μεταβητή x μισθοί από το προηγούμενο παράδειγμαπαίρνει θετικούς πραγματικούς αριθμούς

I Το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών συμβολίζεταιreal Η σειρά αυτή περιλαμβάνει όλους τους πραγματικούςακέραιους αριθμούς από το μείον άπειρο (minusinfin) ως στοάπειρο (infin)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 14

Ακέραιοι και Πραγματικοί Αριθμοί ΙΙΙ

I Γενικά μια μεταβλητή x που παίρνει πραγματικές τιμέςονομάζεται πραγματική μεταβλητή (real variable) καισυμβολίζεται με x isinreal Με το σύμβολο isin εννοούμε lsquoμέσαrsquolsquoανήκειrsquo κλπ

I Το σύμβολο που χρησιμοποείται για το διαχωρισμό τουακέραιου μέρους σε ένα δεκαδικό αριθμό από τοκλασματικό μέρος ονομάζεται δεκαδικό σημείο (decimalpoint) Eg 314159

I Η δεκαδική θέση (decimal place) είναι η θέση του ψηφίουστα δεξιά του δεκαδικού σημείου

Ε Ι Κοντογιώργης copy 15

Συναρτήσεις Ακέραιων και Πραγματικών

I Συνάρτηση στογγυλοποίησης ή συνάρτηση κοντινότερουδεκαδικούΗ lsquoστρογγυλοποίησηrsquo ενός πραγματικού αριθμού xσυμβολίζεται με [x] ∆ίνει τον πιο κοντινό ακέραιο στοxΠχ [32] = 3 [minus32] =minus3 και [86] = 9Ο πιο πάνω ορισμός είναι δύσκολο να εφαρμοστεί γιαhalf-integers Στις περιπτώσεις αυτές η στρογγυλοποίησηγίνεται προς τα πάνω μόνο για τους μονούς αριθμούςέτσι ώστε να αποφεύγεται η μεροληπτικότηταΠχ [35] = 4 [45] = 4 και [05] = 0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 16

I Στρογγυλοποίηση προς τα πάνω ή συνάρτησημικρότερου ακεραίουΗ lsquoστρογγυλοποίηση προς τα πάνωrsquo ενός πραγματικούαριθμού x συμβολίζεται με dxe Μας δίνει το μικρότεροδυνατό ακέραιο που είναι μεγαλύτερος ή ίσος από το xΠχ d32e= 4 dminus32e=minus3 d35e= 4 και d36e= 4

I lsquoΣτρογγυλοποίηση προς τα κάτωrsquo ή συνάρτησημεγαλύτερου ακεραίουΤο lsquoκατώτατο όριοrsquo ενός πραγματικού αριθμού xσυμβολίζεται bxc ∆ίνει το μεγαλύτερο δυνατό ακέραιοπου είναι μικρότερος ή ίσος από το xΠχ b32c= 3 bminus32c=minus4 b35c= 3 και b36c= 3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 17

Σταθερές

I ´Ενας αριθμός που αντιπροσωπεύει μια ποσότητα πουθεωρείται ότι έχει σταθερή τιμή ονομάζεται lsquoσταθεράrsquo Ητιμή μιας σταθεράς ενώ δε μεταβάλλεται πιθανό να μηνπροσδιορίζεται

I Οι πιο σημαντικές πραγματικές σταθερές είναι

1 Το π= 314159 Είναι ο δείκτης που υποδειλώνει τηνπεριφέρεια του κύκλου ακτίνια Ονομάζεται και σταθερά τουΑρχιμήδη

2 Το exp = 271828 που υποδειλώνει τη βάση του φυσικούλογάριθμου

Ε Ι Κοντογιώργης copy 18

Σύμβολα Κατεύθυνσης

I Το σύμβολο lsquogtrsquo που σημαίνει lsquoμεγαλύτεροrsquo καθώς και τοlsquogersquo που σημαίνει lsquoμεγαλύτερο ή ίσοrsquo

I Το σύμβολο lsquoltrsquo που σημαίνει lsquoμικρότεροrsquo καθώς και το lsquolersquoπου σημαίνει lsquoμικρότερο ή ίσοrsquo

I Παράδειγμα Οι μεταβλητές που συμβολίζουν τουςμηνιαίους μισθούς xge 0 Οι μεταβλητές που συμβολίζουντους μήνες του χρόνου 0ltMlt13 που μπορούν επίσης ναγραφτούν 1leMle 12

Ε Ι Κοντογιώργης copy 19

∆υνάμειςI Οι εκθέτες αποτελούν συντομογραφία του

πολλαπλασιασμού (5)(5) = 52 και (5)(5)(5) = 53 Εδώτο 5 λέγεται βάση και το 3 λέγεται εκθέτης Μπορείεπίσης να ερμηνευτεί πέντε υψωμένο στην τρίτη δύναμη

I Η δύναμη είναι ο εκθέτης στον οποίο υψώνεται μιαποσότητα Η έκφραση xn είναι γνωστή ως x στη nδύναμη

I Σημειώστε ότι 5253 = (55)(555) = 55 = 5(2+3) Εδώπαρουσιάζεται ένας βασικός κανόνας του εκθέτη Στηπερίπωση που πολλαπλασιάζονται δύο όροι που έχουντην ίδια βάση οι εκθέτες τους μπορούν να προστεθούν

xmxn = x(m+n)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 20

I Στην περίπτωση όμως που (x4)(y3) ο πιο πάνω κανόναςδε μπορεί να εφαρμοστεί γιατί οι βάσεις είναιδιαφορετικές (x4)(y3) = xxxxyyy

I Για (x2)4

= x2x2x2x2 = xxxxxxxx= x8 = x(2times4)

I ´Ετσι στην περίπτωση που έχετε μια εκθετική έκφρασηπου είναι υψωμένη σε μία δύναμη μπορείτε ναπολλαπλασιάσετε τον εκθέτη με τη δύναμη

(xm)n

= xmn

Ε Ι Κοντογιώργης copy 21

I Εάν έχετε μια έκφραση μέσα σε παράνθεση και ηπαράνθεση είναι υψωμένη σε μια δύναμη τότε η δύναμημπορεί να γίνει μέρος τις παράνθεσης Για παράδειγμα

(xy2)3 = (xy2)(xy2)(xy2) = (xxx)(y2y2y2)

= (xxx)(yyyyyy) = x3y6 = (x)3(y2)3 = x3y6

Παρομοίως(xy)2

=x2y2

I ´Ενας αρνητικός εκθέτης είναι ένδειξη ότι η βάση βρίσκεταιστον παρονομαστή του κλάσματος Πχ

xminus2 =1x2

x2xminus3 = x2x3 = x5 2xminus1 =

2x

(3x)minus2 =1

(3x)2 =1

9x2 και(xminus2yminus3

)minus2=

(xminus2)minus2

(yminus3)minus2=x4y6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 22

I Οτιδήποτε στη δύναμη μηδέν είναι lsquo1rsquo

Πχ 50 = 1 x0 = 1 (x2y3)0 = 1 και 00 = 1

Σημειώστε ότι 50 = 5(1minus1) = (51)(5minus1) =55 = 1

I Μηδέν σε οποιαδήποτε δύναμη είναι μηδέν έτσι 0n = 0

Σημειώστε ότι 00 = 1 και ότι 00 = 0

Αυτό υποδειλώνει ότι 00 είναι μια απροσδιόριστη μορφήπου σε κάποιες περπτώσεις παίρνει μία τιμή και σεκάποιες άλλες περιπτώσεις παίρνει διαφορετική τιμή

Ε Ι Κοντογιώργης copy 23

I Κλασματικοί (Αναλογικοί) Εκθέτες

1 Η τετραγωνική ρίζα μπορεί να γραφτεί σε μορφή κλάσματος

´Ετσι radicx= x12

Πχ 212 =

radic2 = 141 και 2

minus12 =

1radic2

= 071

2 Γενικά xab =bradicxa Πχ 7

23 =

3radic72 = 366

355 = 3112 =

2radic311 = 42089

Ε Ι Κοντογιώργης copy 24

ΛογάριθμοιI Η λογαριθμική μορφή ενός αριθμού είναι lsquoαντίθετηrsquo από

την εκθετική Τεχνικά μιλώντας η λογαριθμική μορφήείναι αντίστροφη της εκθετικής

I Η σχέση δίνεται logb(x) = y

που είναι το ίδιο με by = x

I Ο lsquolsquologb(x) = yrsquorsquo προφέρεται lsquolsquolog-βάση-b-του x ισούται yΕδώ b ονομάζεται lsquoβάση του λογαρίθμουrsquo αφού το b είναιη βάση της εκθετικής έκφρασης

I Η βάση b του λογάριθμου είναι πάντοτε θετική και δενισούται με 1

I Οτιδήποτε βρίσκεται μέσα στο λογάριθμο ονομάζεταιέκφραση

Ε Ι Κοντογιώργης copy 25

ΠαραδείγματαI Μετατρέψτε την έκφραση 63 = 216 στην ισοδύναμη

λογαριθμική μορφή

Για τη μετατροπή η βάση μένει η ίδια αλλά το 3 και το216 αλλάζουν θέσεις Αυτό μας δίνει

log6(216) = 3

I Μετατρέψτε τον log4(1024) = 5 στην αντίστοιχηλογαριθμική έκφραση

Για τη μετατροπή η βάση (που είναι 4) παραμένει η ίδιααλλά το 1024 και το 5 αλλάζουν θέσεις ´Ετσι δίνεται

45 = 1024

Ε Ι Κοντογιώργης copy 26

I Υπολογίστε τον log2(8)

Εάν y= log2(8) τότε υπονοείται ότι 2y = 8 Αυτόσημαίνει ότι y είναι η δύναμη του 2 που θα έχει σαναποτέλεσμα 8 Η δύναμη που δίνει το αποτέλεσμα είναι 3αφού 23 = 8 ´Ετσι

log2(8) = 3

I Κατά παρόμοιο τρόπο log5(25) = 2 αφού 52 = 25

I Υπολογίστε τον y= log64(4)

Σημειώστε ότι 64y = 4 και 43 = 64

´Ετσι (43)y

= 4 ή 43y = 41

Η πιο πάνω έκφραση εξυπονοεί ότι 3y= 1 και έτσιy= 13

Ε Ι Κοντογιώργης copy 27

I Υπολογίστε y= log6(6)

Αυτό ισοδυναμεί με το 6y = 6 και συνεπώς y= 1

I Υπολογίστε το y= log3(1)

Το πιο πάνω μπορεί να γραφτεί ως 3y = 1

´Ομως 1 = 30 έτσι 3y = 30 και y= 0

I Υπολογίστε το y= log4(minus16)

Μπορεί να γραφτεί σαν 4y =minus16

´Ομως δεν υπάρχει τιμή (πχ δύναμη) y που ναικανοποιεί τη σχέση ´Ετσι δεν υπάχρει λύση

Ε Ι Κοντογιώργης copy 28

I Υπολογίστε το y= log2(0)

Αυτό σημαίνει 2y = 0 όμως δε υπάρχει τιμή που ναικανοποιεί τη σχέση ´Ετσι δεν υπάχρει λύση

I Υπολογίστε το y= 2log2(9)

Αυτό σημαίνει ότι log2(y) = log2(9) και έτσι y= 9

Ε Ι Κοντογιώργης copy 29

I Γενικά1 logb(b) = 1 για οποιαδήποτε βάση b

2 logb(1) = 0 για οποιαδήποτε βάση b

3 logb(a) δεν ορίζεται για αρνητικά a

4 logb(0) δεν ορίζεται για οποιαδήποτε βάση b

5 logb(bn) = n για οποιαδήποτε βάση b

Ε Ι Κοντογιώργης copy 30

I Οι λογάριθμοι μπορούν να πάρουν οποιοδήποτε αριθμόσαν βάση αλλά δύο βάσεις είναι οι πιο χρήσιμες οlog-βάση-10 και ο log-βάση-e

I Η βάση-10 log συχνά ονομάζεται ο κοινός log καιγράφεται ως log(x) Εδώ δεν αναγράφεται βάση καιμπορούμε να υποθέσουμε ότι η βάση είναι 10

Πχ log(100) = 2 έτσι log10(102) = 2

I Η βάση-e log ονομάζεται ο φυσικός log και γράφεται σανln(x)Πχ ln(e345)= 345 καθώς loge(e345) = 345

Ε Ι Κοντογιώργης copy 31

Ιδιότητες Λογαρίθμωνlogb(xy) = logb(x) + logb(y)

Απόδειξη´Εστω m= logbx και n= logby

Γράψτε σε μορφή εκθέτη x= bm και y= bn

Πολλαπλασιάστε το x και y ούτως ώστεxy= bmbn = bm+n

´Ετσι από τον ορισμό των λογαρίθμων το xy= bm+nσυνεπάγει ότι

logb(xy) =m+n= logbx+ logb(y)

Πχ log2(4times16) = log2(64) = log2(26) = 6

Ακόμα log2(4times16) = log2(4) + log2(16) = 2+4 = 6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 32

logb(xy)

= logb(x)minus logb(y)

Απόδειξη´Εστω m= logbx και n= logby

Γράψτε σε μορφή εκθέτη x= bm και y= bn

∆ιαίρα το x και y ούτως ώστε xy =bmbn = bmminusn

´Ετσι από τον ορισμό των λογαρίθμων το xy = bmminusn

συνεπάγει ότι

logb(xy)

=mminusn= logbxminus logb(y)

Πχ log2(16

4)

= log2(4) = 2

και log2(16

4)

= log2(16)minus log2(4) = 4minus2 = 2Ε Ι Κοντογιώργης copy 33

logb(xn) = n logb(x)

Απόδειξη´Εστω m= logbx και γράψτε σε μορφή εκθέτη x= bm

Αυξάνοντας τις δύο πλευρές στην n δύναμη παίρνουμεxn = (bm)n = bmn

´Ετσι από τον ορισμό των λογαρίθμων τοlogbxn =mn= nm= n(logbx)

Πχ log2(64) = log2(26) = 6 log2(2) = 6

log(64) = 18

Επιπλέον log(64) = log(26) = 6log(2) = 6times030 = 18

Ε Ι Κοντογιώργης copy 34

logb(x) =loga(x)loga(b) agt0 a 6= 1

Απόδειξη´Εστω m= logbx rArr x= bm

Εφαρμόστε loga και στις δύο πλευρές του x= bmγια ναδώσει

logabm = logax rArr m logab= logaxrArr m=logaxlogab

rArr logbx=logaxlogab

Πχ log5(20) =log(20)

log(5)= 186 =

ln(20)

ln(5)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 35

logb(a) =1

loga(b) agt0 a 6= 1

Απόδειξη

logb(x) =loga(x)loga(b) =

logx(x)logx(b)

=1

loga(b)

´Οταν a= x

Πχ log2(64) =1

log64(2)=

116 = 6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 36

Αθροισμα

I Υποθέστε ότι έχουμε μια μεταβλητή x που μπορεί ναπάρει δέκα τιμές Εάν ενδιαφερόμαστε για το άθροισμάτους χωρίς να ξέρουμε την τιμή της κάθε μεταβλητής τότεο καλύτερος τρόπος να το εκφράσουμε είναι

x1 +x2 + middot middot middot+x9 +x10

I Εν συντομία το άθροισμα n στοιχείων x1 +x2 + middot middot middot+xn είναιnsum

i = 1xi

και ερμηνεύεται σαν το άθροισμα όλων των xirsquosξεκινώντας από το x1 (πχ i = 1) μέχρι xn (i = n)

I Εάν δε δοθεί διαφορετικά πάντοτε υποθέτουμε ότι το iαυξάνεται ξεκινώντας από το στάδιο 1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 37

I Το lsquolsquoSigmarsquorsquo Σ είναι γνωστό ως το άθροισμα (summation) ήσύμβολο σίγμα (sigma operator) και ο δείκτης i όνομάζεταιεικονική μεταβλητή

I Παραδείγματα

I

5sum

i = 1xi = x1 +x2 +x3 +x4 +x5

I

5sum

i = 1(y2

i ) = y21 +y22 +y23 +y24 +y25

Σημειώστε ότι η μόνη μεταβλητή που περιγράφεται απευθείαςκάτω από το σύμβολο Σ αυξάνεται κατά 1 κάθε φορά ενώ όλατα άλλα σύμβολα παραμένουν τα ίδια

I

4sum

r = 1(x3r ) = x31 +x32 +x33 +x34

Ε Ι Κοντογιώργης copy 38

I6sum

i = 1i = 1+2+3+4+5+6

I6sum

i = 1i2 = 12 +22 +32 +42 +52 +62

I7sum

i = 3xi = x3 +x4 +x5 +x6 +x7

I4sum

i = 1a = a+a+a+a= 4a

I3sum

i = 1(4+xi) = (4+x1) + (4+x2) + (4+x3)

=3sum

i = 14+

3sum

i = 1xi

Ε Ι Κοντογιώργης copy 39

I3sum

i = 1(2xi) = (2x1) + (2x2) + (2x3) = 2times

3sum

i = 1xi

I Ο συντελεστής i παραλείπεται εάν δε προκαλείαοριστία Για παράδειγμα Σx ή Σixi σημαίνειάθροισμα όλων των x που λαμβάνονται υπόψη

I ∆ήλωσηI

nsumi=1a= na

I sumiaxi = asum

ixi

I sumi

(axi+byi) = asumixi +bsum

iyi

Ε Ι Κοντογιώργης copy 40

I Αθροιστικός Τύπος

Insum

i = 1i = 1+2+ middot middot middot+n=

n(n+1)

2

Πχ6sumi = 1i = 1+2+3+4+5+6 =

6(6+1)

2 = 21

Insum

i = 1i2 = 12 +22 + middot middot middot+n2 =

n(n+1)(2n+1)

6

Πχ6sumi = 1i2 = 12 +22 +32 +42 +52 +62

=6(6+1)(12+1)

6 = 91

Ε Ι Κοντογιώργης copy 41

Insum

i = 1i3 = 13 +23 + middot middot middot+n3 =

n2(n+1)2

4

Πχ6sumi = 1i3 = 13 +23 +33 +43 +53 +63

=62(6+1)2

4 = 441

Ε Ι Κοντογιώργης copy 42

ΠαραδήγματαΑριθμητική Πρόοδος

I Γενικά μπορούμε να εκφράσουμε μια αριθμητική πρόοδο ωςεξής

αριθμητική πρόοδος a a+d a+2d a+3d

όπου ο πρώτος όρος είναι a και η διαφορά d Ο όρος nτης απ δίνεται από τη σχέση b = a+ (nminus1)d

I 3 5 7 9 11 είναι μια αριθμητική πρόοδος Οπρώτος όρος είναι το 3 και η διαφορά είναι 2

I 2 minus1 minus4 minus7 είναι μια αριθμητική πρόοδος όπου οπρώτος όρος είναι 2 και η διαφορά minus3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 43

I Το άθροισμα των όρων μιας αριθμητικής προόδου είναιγνωστό ως αριθμητική σειρά

Sn = a+ (a+d) + (a+2d) + middot middot middot+ (a+ (nminus1)d)

=nsumi=1

(a+ (iminus1)d

)= na+

nsumi=1

(iminus1)d

= na+dnminus1sumi=1

i = na+d(nminus1)n2

=n2(2a+d(nminus1)) =

n2(a+b) b = a+d(nminus1)

I ΑΠ 3 5 7 9 11 13 rArr Sn =62(3+13) = 48

Ε Ι Κοντογιώργης copy 44

∆ιπλό Αθροισμα4sumi=1

isumj=1

j = (1) + (1+2) + (1+2+3) + (1+2+3+4) = 20

nsumi=1

isumj=1

j =nsumi=1

( isumj=1

j)

nsumi=1

(12 i(i+1)

)=

12

nsumi=1

(i2 + i)

12( nsumi=1

i2 +nsumi=1

i)

=12(16n(n+1)(2n+1) +

12n(n+1)

)

=12

16n(n+1)

((2n+1) +3

)=

n6(n+1)(n+2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 45

∆ιπλό Αθροισμα

nsumi=1

msumj=1

(i+ j+2) =nsumi=1

( msumj=1

(i+ j+2))

nsumi=1

( msumj=1

i+msumj=1

j+msumj=1

2)

=nsumi=1

(mi+ 1

2m(m+1) +2m)

m( nsumi=1

i+ 12

nsumi=1

(m+5))

= m(12n(n+1) +

12n(m+5)

)

=mn2(m+n+6

)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 46

Insumr=1

1r(r+1)

=nsumr=1

(Ar +

Br+1

)=

nsumr=1

A(r+1) +Brr(r+1)

I A(r+1) +Br = 1

I Για r = 0 τότε A= 1 και για r =minus1 τότε B=minus1

I

nsumr=1

1r(r+1)

=nsumr=1

(1r minus

1r+1

)

=(

(11 minus

12) + (

12 minus

13) + (

13 minus

14) + middot middot middot+ (

1nminus1 minus

1n ) + (

1n minus

1n+1)

)

= 1minus 1n+1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 47

Insumk=1

1(k+2)(k+3)

=nsumk=1

( A(k+2)

+B

(k+3)

)=

nsumk=1

A(k+3) +B(k+2)

(k+2)(k+3)

I A(k+3) +B(k+2) = 1

I Για k=minus2 τότε A= 1 και για k=minus3 τότε B=minus1

I

nsumk=1

1(k+2)(k+3)

=nsumk=1

( 1(k+2)

minus 1(k+3)

)

=(

(13 minus

14)+(

14 minus

15)+(

15 minus

16)+ +(

1n+1 minus

1n+2)+(

1n+2 minus

1n+3)

)

=13 minus

1n+3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 48

Αθροισμα με Λογάριθμους

nsumi=1

logb(i) = logb(1) + logb(2) + middot middot middot+ logb(n)

= logb(1times2times3timesmiddotmiddot middottimesn)

= logb(n)

I Το n (n παραγοντικό) δίνεται από n = 1times2timesmiddotmiddot middottimesn και0 = 1

I100sumi=1

log2(100) = log2(100) =log(100)

log(2)=

log(99)

log(2)+

2log(2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 49

Γινόμενο των ακολουθιώνIn

prodi=1xi = x1timesx2timesx3timesmiddotmiddot middottimesxn

In

prodi=1i = 1times2times3timesmiddotmiddot middottimesn= n

In

prodi=1z= ztimesztimesmiddotmiddot middottimesz= zn

I

nprodi=1

(1+

1i+1

)=(1+

12)times(1+

13)times(1+

14)times times(1+

1n )times(1+

1n+1)

=32 times

43 times

54 timesmiddotmiddot middottimes

n+1n times n+2

n+1

=n+22

Ε Ι Κοντογιώργης copy 50

Γεωμετρικές ΠροόδοιI Μια γεωμετρική πρόοδος είναι μια σειρά αριθμών όπου

κάθε όρος μετά των πρώτο υπολογίζεται από τονπολλαπλασιασμό του προηγούμενου όρου με ένασταθερό αριθμό που καλείται αναλογία

I Η σειρά1 3 9 27 81 middot middot middot

είναι μια γεωμετρική πρόοδος με πρώτο όρο το 1 καιαναλογία 3

I Η αναλογία μπορεί να είναι κλάσμα καθώς επίσης καιαρνητικός αριθμός Για παράδειγμα η γεωμετρικήπρόοδος με πρώτο όρο το 2 και αναλογία minus13 είναι

2 minus 23 +

29 minus

227 +

281 middot middot middot

Ε Ι Κοντογιώργης copy 51

I Γενικά μπορούμε να γράψουμε μια γεωμετρική πρόοδο ωςακολούθως

γεωμετρική πρόοδος a ar ar2 ar3 ar4 middot middot middot

όπου ο πρώτος όρος είναι a και η αναλογία r

I Σημαντικά θεωρήματα των γεωμετρικών προόδων (γπ)1 Ο n όρος μιας γπ δίνεται από ar(nminus1)

2 Το άθροισμα των πρώτων n όρων μιας γπ είναι

Sn =a(1minus rn)

1minus r =a(rnminus1)

rminus1 και ισχύει μόνο αν r 6= 1

I Το άθροισμα των όρων μιας γεωμετρικής προόδουονομάζεται γεωμετρική σειρά

Ε Ι Κοντογιώργης copy 52

Γεωμετρική σειρά

Sn = a+ar+ar2 +ar3 + middot middot middot+arnminus2 +arnminus1

rSn = ar+ar2 +ar3 + arnminus1 +arn

Snminus rSn = aminusarn

(1minus r)Sn = a(1minus rn)

Sn =a(1minus rn)

(1minus r) =a(rnminus1)

(rminus1)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 53

I Παράδειγμα1 Βρείτε το άθροισμα των πρώτων 10 όρων μιας γεωμετρικής

σειράς4 8 16 32

Ο πρώτος όρος είναι a= 4 και η αναλογία r = 2 καιn= 10 ´Ετσι

S10 =4(1minus210)

1minus2 = 4092

2 Θεωρείστε τη γπ4 minus8 16 minus32 64 minus128 256 minus512

Σε αυτή την περίπτωση ο πρώτος όρος είναι a= 4 ηαναλογία είναι r =minus2 και n= 8´Ετσι

S8 =4(1minus (minus2)8)

1minus (minus2)=minus340

Ε Ι Κοντογιώργης copy 54

Συνεχείς ανατοκισμός

Οι περισσότεροι τραπεζικοί λογαριασμοί και τα δάνειαυιοθετούν ανατοκισμό - εφαρμόζοντας συνεχή ανατοκισμόΘεωρείστε ένα λογαριασμό που προσφέρει τόκο με ετήσιοεπιτόκιο r (πχ 7) Εάν το επιτόκιο είναι συνεχέςσε χρονιαία βάση τότε μετά από 1 χρόνο το χρονιαίοεπιτόκιο προστίθεται στο αρχικό κεφάλαιο για νακαθορίσει ένα μεγαλύτερο κεφάλαιο τον δεύτερο χρόνο

´Ετσι κατά τη διάρκεια του δεύτερου χρόνου ολογαριασμός κερδίζει επιτόκιο πάνω στο επιτόκιοΑυτή είναι η επίδραση του ανατοκισμού που συνεχίζεταιχρόνο με το χρόνο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 55

I Με τον ετήσιο ανατοκισμό το κεφάλαιο πουσυσσωρεύεται στο λογαριασμό πολλαπλασιάζεται με

(1+ r)

´Ετσι το κεφάλαιο A θα αυξηθεί σε

A(1+ r) = A+A middot r

τον επόμενο χρόνο

I Με το πέρας και του δεύτερου χρόνου το κεφάλαιο θααυξηθεί ακόμα (1+ r) σε (1+ r)2

´Ετσι το κεφάλαιο καταλήγει σε

A(1+ r)(1+ r) = A(1+ r)2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 56

I Κατά παρόμοιο τρόπο στο τέλος του τρίτου χρόνου τοποσό θα αυξηθεί κατά (1+ r)3

I Μετά από n χρόνια το ποσό θα αυξηθεί κατά (1+ r)n

I ´Ετσι το κεφάλαιο (επένδυση) A θα αυξηθεί με συνεχήανατοκισμό σε A(1+ r)n μετά από n χρόνια

I Ο τύπος (1+ r)n εκθέτει γεωμετρική αύξηση λόγω τηςn δύναμης

Ε Ι Κοντογιώργης copy 57

ΠαραδείγματαI Εάν το επιτόκιο είναι r = 5 τότε το κεφάλαιοA= $1000 που βρίσκεται στην τράπεζα n= 20 χρόνιαθα αυξηθεί κατά

(1+ r)n = (1+005)20 = 2653 φορές

´Ετσι το ποσό θα καταλήξειA(1+ r)n = $265330

I Βρέστε το χρόνο που χρειάζεται για ένα λογαργιασμό ναδιπλασιάσει το διαθέσιμο κεφάλαιο του όταν r = 7 καιr = 10Ζητούμε να βρούμε το n έτσι ώστε

(1+ r)n = 2Ε Ι Κοντογιώργης copy 58

I Υπολογίζοντας το λογάριθμο του τελευταίου παίρνουμε

log(1+ r)n = log(2)ή n log(1+ r) = log(2)

´Ετσιn=

log2log(1+ r)

I Για r = 7 και r = 10 ο χρόνος n πουχρειάζεται για διπλασιασμό της επένδυσης υπολογίζεταισε 1024 και 727 αντίστοιχα

Ε Ι Κοντογιώργης copy 59

I Αν το επιτόκιο είναι r = 7 τότε πιο θα είναι τοσυνολικό ποσό στο λογαριασμό μετά από 205 και41 χρόνια αντίστοιχα

Μετά τα πρώτα 1025 χρόνια το ποσό A θαδιπλασιαστεί σε 2A Για τα επόμενα 1025 χρόνιατο ποσό θα ξαναδιπλασιαστεί σε 4A ´Ετσι μετά από205 χρόνια το ποσό θα αυξηθεί κατά 4 φορές

Με το πέρας ακόμα 205 χρόνων το ποσό θα αυξηθείακόμα 4 φορές σε 16 ´Ετσι μετά από 41 χρόνιατο κεφάλαιο A γίνεται 16A

Ε Ι Κοντογιώργης copy 60

Ασκήσεις και Παραδείγματα

I Υπολογίστε τη Μελλοντική Αξία (Future Value (FV)) τουκεφαλαίου A= 1500 που κερδίζει ετήσιο επιτόκιοr = 5 για n= 10 έτη

FV =A(1+ r)n = 1500(1+005)10 = 244334

I Πόσα έτη απαιτούνται για να τριπλασιαστεί ένα ποσόπου αφήνετε στην τράπεζα με επιτόκιο r = 5∆ηλαδή βρείτε το n όπου A= 1 r = 5 και FV = 3

FV =A(1+ r)n ή (1+ r)n =FVA

Ε Ι Κοντογιώργης copy 61

Υπολογίζοντας τους λογαρίθμους παίρνουμε

log(1+ r)n = log(FVA)

ή n log(1+ r) = log(FVA)

´Ετσι

n=log(FVA)

log(1+ r) =log(3)

log(105)

= 2252

Ε Ι Κοντογιώργης copy 62

I Βρείτε την παρούσα αξία A έτσι ώστε σε δέκα έτη μεσταθερό επιτόκιο r = 6 να είναι 100KΒρείτε το A όπου FV = 100000 r = 6 και n= 10

FV =A(1+ r)n ή A=FV

(1+ r)n

´Ετσι A=100000

(106)10= 5583948

I Βρείτε την ετησιοποιημένη απόδοση (AER AnnualEquivalent Rate) μιας μηνιαίας κατάθεσης με σταθερόεπιτοκίο 394 Μια τέτοια κατάθεση λαμβάνει το επιτόκιο στη λήξηΣυνεπώς κάθε μήνα ο λογαριασμός λαμβάνει

r = 0039412 = 000328

επιτόκιο που επανεπενδύεται (συνεχής ανατοκισμός)Ε Ι Κοντογιώργης copy 63

Επανεπενδύοντας το επιτόκιο κάθε μήνα στη διάρκειαενός έτους το κεφάλαιο θα αυξηθεί σε

(1+ r)12 = (1+000328)12 = 104012

´Ετσι το ΑΕΡ είναι ισοδύναμο με 004012 = 4012I Υπολογίστε το επιτόκιο ενός σταθερού λογαριασμού

κατάθεσης 7-ημερών που έχει AER επιτόκιο r = 425Θεωρείστε ρ το εβδομαδιαίο επιτόκιο

´Ετσι (1+ρ)52 = (1+00425)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 64

Παίρνοντας τους λογαρίθμους έχουμε52log(1+ρ) = log10425

ή log(1+ρ) =log10425

52

ή 1+ρ= 10( log10425

52)

Αυτό μας δίνει

ρ= 10

( log1042552

)minus1 = 008

´Ετσι το συνεχές επιτόκιο μιας επταήμερης κατάθεσης είναιρtimes52 = 41638

Εναλλακτικά (1+ρ)52 = (1+00425) δίνει

(1+ρ) =52radic10425ή ρ=

52radic10425minus = 008Ε Ι Κοντογιώργης copy 65

I Υπολογίστε την ετήσια απόδοση r έτσι ώστε A= 10000να επιστρέφει FV = 35000 σε n= 20 χρόνια

FV =A(1+ r)n ή (1+ r)n =FVA

´Ετσι

1+ r =nradic

FVA

Επομένως

r =nradic

FVA minus1 =

20radic

3500010000 minus1 = 00646 = 646

Ε Ι Κοντογιώργης copy 66

Εναλλακτικά παίρνοντας τους λογαρίθμους

log(1+ r)n = log(FVA) ή n log(1+ r) = log

(FVA)

´Ετσι

1+ r = 10(1n log

(FVA))

ή r = 10(1n log

(FVA))minus1

= 10( 120 log

(3500010000

))minus1

= 646

Ε Ι Κοντογιώργης copy 67

Γραφική Αναπαράσταση I

I Υποθέστε ότι έχουμε y= 3x+2 Καθώς έχουμε μόνο μιαδύναμη για το x πρέπει να λύσουμε γραμμική εξίσωσηκαι να σχεδιάσουμε μια ευθεία γραμμή Αρχικά θα πρέπεινα σχεδιάσουμε ένα T-chart Αυτό έχει τη μορφή

x y = 3x+2 (xy)

I Επιλέγουμε μια τιμή για το x και λύνουμε ως προς y

x y= 3x+2 (xy)minus2 minus4 (minus2minus4)0 2 (02)2 8 (28)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 68

Γραφική Αναπαράσταση II

-

6

X

Y

bull

bull

bull

I Βλέπουμε μια ευθεία με ανοδική τάση (έχοντας θετικήκλίση m= 3) καιτέμνει τον άξονα y στο σημείο y= 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 69

Γραφική Αναπαράσταση III

I Μια Τετραγωνική εξίσωση περιέχει x2 Για τηναναπαράσταση τετραγωνικών εξισώσεων χρειάζεται ναβρούμε περισσότερα από τρία σημεία στο σχεδιάγραμμα

Για παράδειγμα υποθέστε ότι y= x2minus6x+5 καιδίνεται το πιο κάτω T-chart

x y= x2minus6x+5 (xy)0 5 (05)1 0 (10)3 minus4 (3minus4)5 0 (50)6 5 (65)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 70

Γραφική Αναπαράσταση IV

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

-

6

X

Y

bull

bull

bull

bull

bull

Ε Ι Κοντογιώργης copy 71

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(1x + 2)

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(-3x + 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 72

-15

-10

-5

0

5

10

15

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(3x - 2)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 73

-20

0

20

40

60

80

100

120

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2+x)

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 74

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

1250

1500

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3+x2+x)

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x4)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 75

-25

-2

-15

-1

-05

0

05

1

15

2

25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(log(x))

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(x))

Ε Ι Κοντογιώργης copy 76

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(-x))

-5000

0

5000

10000

15000

20000

25000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(exp(x)+x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 77

Ανισότητες I

I Οι ανισότητες αποτελούνται από δύο ή τρεις αλγεβρικέςεκφράσεις που είναι συνδεδεμένες με τα σύμβολαανισότητας Τα σύμβολα αυτά είναι

lt μικρότερο τουgt μεγαλύτερο τουle μικρότερο ή ίσο τουge μεγαλύτερο ή ίσο του

I Παραδείγματα xgty yge x2 και ylt5x+1

I Το πρώτο βήμα για την αναπαράσταση ανισότητας τηςμορφής ygtx είναι να παραστήσουμε γραφικά τηνισότητα y= x

Ε Ι Κοντογιώργης copy 78

Ανισότητες II

I ygtx

Κάνετε δοκιμή με ένα σημείο να δείτε κατά πόσοικανοποιεί την ανισότητα Εάν ναι τότε σκιάστε τηνπεριοχή αυτή του σχεδιαγράμματος διαφορετικά σκιάστετην άλλη πλευρά

Ε Ι Κοντογιώργης copy 79

Ανισότητες III

I yltx

Ε Ι Κοντογιώργης copy 80

Ανισότητες IV

I yle 5x+1 και ygt5x+1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 81

Ανισότητες V

I yge x2 και yle x2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 82

Ανισότητες VI

I ygtx3 και yle x3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 83

Συστήματα Γραμμικών ΕξισώσεωνΠεριεχόμενα

1 Ε

2 Γ Α

ΑναφορέςΚεφάλαια 4 και 5FS Budnick Applied Mathematics for Business Economicsand the Social Sciences 4th edition McGraw-Hill 1993

Ε Ι Κοντογιώργης copy 84

Συστήματα Εξισώσεων

I ´Ενα σύστημα εξισώσεων συνδυάζει περισσότερες από μίαεξισώσεις

I ´Ενα σύστημα m εξισώσεων όπου κάθε εξίσωσηαποτελείται από n μεταβλητές ονομάζεται mtimesnσύστημα ή λέμε ότι έχει διαστάσεις mtimesn

I ΠαράδειγμαΠαρακάτω έχουμε ένα σύστημα 2times2

5X+10Y= 203X+4Y= 10

Οι μεταβλητές σε αυτή την περίπτωση είναι X και YΕ Ι Κοντογιώργης copy 85

Συστήματα Επίλυσης

I Το Σύστημα επίλυσης είναι μια σειρά τιμών μεταβλητώνπου ικανοποιούν το σύστημα ταυτόχρονα

I Σε μια σημειογραφική παράσταση το προηγούμενοπαράδειγμα μπορεί να γραφτεί ως εξής

S = (XY) | 5X+10Y = 20 και 3X+4Y = 10

I Το σύστημα επίλυσης μπορεί να είναι1 μηδενικό2 πεπερασμένο ή3 άπειρο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 86

2times2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική Ανάλυση

I Σε ένα δισδιάστατο γράφημα ένα σύστημα εξισώσεων2times2 αναπαρίστανται με ευθείες γραμμές Υπόρχουν τρίαενδεχόμενα

1 Οι ευθείες τέμνονται Το σημείο τομής αντιπροσωπεύει τηλύση του συστήματος εξισώσεων Αυτό το σημείοαλληλεπίδρασης είναι μια δέσμη τιμών X και Y που ικανοποιείκαι τις δύο εξισώσειςΕάν υπάρχει μόνο μια δέσμη τιμών για τις μεταβλητές που ναικανοποιεί το σύστημα εξισώσεων το σύστημα λέμε ότι έχειΜ Λ

2 Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες μεταξύ τους ∆εν έχουν κοινόσημείο Συνεπώς οι ευθείες δεν τέμνονται ποτέ Το σύστημαλέμε ότι ∆ ΛΑυτό υπονοεί ότι δεν υπάρχουν τιμές για τις μεταβλητές πουνα ικανοποιούν και τις δύο εξισώσεις Σε αυτή τηνπερίπτωση οι εξισώσεις στο σύστημα είναι Α

3 Και οι δύο εξισώσεις αναπαρίστανται ως μια κοινή ευθεία καιθεωρούνται ισοδύναμες εξισώσεις ´Ετσι το σύστημα έχειΑ Λ Αυτό συμβαίνει γιατί υπάρχει άπειροςαριθμός κοινών σημείων στις δύο γραμμές

Ε Ι Κοντογιώργης copy 87

I Π Θεωρείστε ένα σύστημα 2times22X+4Y= 203X+ Y= 10

I

X

Y

(24)

3X +Y = 10

2X +4Y = 20

0 2 4 6 8 10 12

2

4

6

8

10

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 88

I Το σημείο τομής δίνεται από το X= 2 και Y= 4Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές του X και Y στις δύοεξισώσεις δίνουν 20 = 20 και 10 = 10 αντίστοιχα

I Αυτό υποδειλώνει ότι X= 2 και Y= 4 είναι η σωστή λύση

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times23Xminus2Y= 6

minus15X+10Y=minus30

I

X

Y

(20)

(0minus3)

3X minus2Y = 6

minus15X +10Y =minus30

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 89

I Οι δύο εξισώσεις απλοποιούνται σε Xminus 23 Y= 2

Οι δύο εξισώσεις είναι ισοδύναμες και δίνουν έναπεπερασμένο αριθμό λύσεων έτσι ώστε

X= 0 Y =minus3X= 2 Y = 0X= 4 Y = 3

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times26Xminus12Y= 24

minus32X+3Y= 9

Οι εξισώσεις απλοποιούνται σεXminus2Y= 4Xminus2Y=minus6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 90

I

X

Y

(40)

(0minus2)

(minus60)

(03)

X minus2Y =minus6

X minus2Y = 4

0-0

I Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες και συνεπώς το σύστημαδεν έχει λύση ´Ετσι το σύστημα εξισώσεων είναιασύμπτωτο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 91

Περίληψη 2times2 Συστήματα Εξισώσεων∆ίνεται ένα Σύστημα Γραμμικών Εξισώσεων 2times2

Y=m1X+ c1Y=m2X+ c2

1 Υπάρχει μια στο σύστημα εάνm1 6= m2

2 ∆εν υπάρχει στο σύστημα εάνm1 = m2 και c1 6= c2

3 Υπάρχει εάνm1 = m2 και c1 = c2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 92

∆ιαδικασίες Απαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής χρησιμοποιεί πολλαπλασιασμόκαι πρόσθεση έτσι ώστε

1 Να απαλοιφεί μια από τις δύο μεταβλητές

2 Η εξίσωση που εξάγεται είναι συνάρτηση των υπόλοιπωνμεταβλητών

3 Αντικαθιστώντας την τιμή στην μεταβλητή σε μια από τιςαρχικές εξισώσεις βρίσκουμε την τιμή για τηναπολοιφθήσα μεταβλητή

Ε Ι Κοντογιώργης copy 93

ΠαραδείγματαI Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

2X +4Y = 20 (1)3X + Y = 10 (2)

Πολλαπλασιάζοντας τη δεύτερη εξίσωση με minus4 παίρνουμε

minus12X minus4Y =minus40 (3)

Προσθέτοντας την εξίσωση (1) στο (3)

2X + 4Y = 20minus12X minus 4Y = minus40minus10X = minus20

ή

X = 2 (4)Ε Ι Κοντογιώργης copy 94

Αντικαθιστώντας X= 2 στην εξίσωση (1) δίνεται2 middot2+4Y = 20 ή Y=4

´Ετσι η μοναδική λύση του συστήματος δίνεται από τοX= 2 και Y= 4 Μπορεί να επιβεβαιωθεί ότι αυτή είναι ησωστή λύση αντικαθιστώντας X= 2 και Y= 4 στηνεξίσωση (1) και (2)

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times23X minus2Y = 6 (5)

minus15X +10Y =minus30 (6)

Για την απαλοιφή της μεταβλητής X η εξίσωση (5)πολλαπλασιάζεται με 5 και το αποτέλεσμα προστίθεταιστην εξίσωση (6)

15X minus 10Y = 30minus15X + 10Y = minus30

0 = 0 Ε Ι Κοντογιώργης copy 95

Οι τελευταίες πράξεις υπονοούν ότι οι εξίσωσεις (5) και(6) είναι ισοδύναμες και έτσι υπάρχει άπειρος αριθμόςλύσεωνΓια να προσδιορίσουμε τις λύσεις του συστήματος μια απότις αρχικές εξισώσεις λύνεται ως προς μια μεταβλητή Ανγια παράδειγμα η εξίσωση (5) λύνεται ως προς Y δίνει

Y =32Xminus3

Σαν αποτέλεσμα γενικεύοντας τις λύσεις του συστήματοςέχουμε

X τυχαίο και Y =32Xminus3

Πχ για X= 4 υπονοείται ότι Y=32 middot4minus3 = 3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 96

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

6X minus12Y = 24 (7)

minus32X +3Y = 9 (8)

Πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση (8) με 4 καιπροσθέτοντας το αποτέλεσμα στην εξίσωση (7)παίρνουμε

6X minus 12Y = 24minus6X + 12Y = 36

0 = 60

Η πιο πάνω αντιλογία υπονοεί ότι δεν υπάρχει λύση τουσυστήματος εξισώσεων

Ε Ι Κοντογιώργης copy 97

3times2 Συστήματα Εξισώσεων I

1 Μ Λ

X

Y

(32)

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minusY = 1

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 98

3times2 Συστήματα Εξισώσεων II

2 Α Λ

X

Y Εξις (1)Εξις (2)Εξις (3)

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 99

3times2 Συστήματα Εξισώσεων III3 Κ

(α) ´Οταν και οι τρεις εξισώσεις είναι παράλληλες

X

Y

2X minusY =minus8

2X minusY = 2

2X minusY = 12

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 100

3times2 Συστήματα Εξισώσεων IV(β) ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ τωνεξισώσεων

X

Y

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minus2Y =minus4

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 101

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική ΑνάλυσηΣε ένα γράφημα 2 διαστάσεων ένα σύστημα mtimes2(mgt2) εξισώσεων παριστάνεται με m ευθείες ´Οπωςσυμβαίνει στα συστήματα 2times2 υπάρχουν τρίαενδεχόμενα

1 ´Ολες οι ευθείες τέμνονται στο ίδιο σημείο και έτσιυπάρχει

2 ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ των mεξισώσεων Αυτό σημαίνει ότι όλες οι ευθείες είναιπαράλληλες Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα Λ

3 Οι m εξισώσεις είναι ισοδύναμες πχ παρασταίνονται σανμια ευθεία Σε αυτή την περίπτωση υπάρχει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 102

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων ∆ιαδικασίαΑπαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής για την επίλυση ενός συστήματοςmtimes2 μπορεί να περιγραφεί ως ακολούθωςΕπιλέξτε και λύστε σύστημα με δύο εξισώσεις

1 Εάν δεν υπάρχει λύση τότε ολόκληρο το σύστημα δεν έχειλύση

2 Εάν υπάρχει μοναδική λύση που ικανοποιεί τις υπόλοιπεςmminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα έχει μία μοναδική λύση

3 Εάν η λύση είναι μοναδική αλλά δεν ικανοποιεί τιςυπόλοιπες mminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα δεν έχει λύση

4 Εάν οι 2 λύσεις είναι ισοδύναμες απάλοιψτε τη μίααπό τις δύο εξισώσεις και ξεκινήστε από την αρχήλαμβάνοντας υπόψη ένα σύστημα (mminus1)times2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 103

ΠαράδείγμαI Θεωρείστε ένα σύστημα 5times2

XminusY= 1X+2Y=minus8

3Xminus2Y= 02Xminus5Y= 11minus4X+3Y=minus1

I Η λύση των πρώτων δύο εξισώσεων δίνετε απόY =minus3 και X =minus2

I Αντικαθιστώντας τη λύση στις υπόλοιπες τρεις εξισώσειςπαίρνετε αντίστοιχα

0 = 0 11 = 11 και minus1 =minus1I Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση

X=minus2 και Y=minus3Ε Ι Κοντογιώργης copy 104

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian

Η μέθοδος απολοιφής Gaussian μετατρέπει το αρχικόσύστημα εξισώσεων σε διαγώνια μορφή επαναλαμβάνονταςστις εξισώσεις τις ακόλουθες τρεις διαδικασίες

1 Πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης μεμια θετική σταθερά

2 Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού θα προστεθεί σεάλλη εξίσωση

3 Η σειρά των εξισώσεων μπορεί να αλλάξει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 105

ΠαράδείγμαΠ Θεωρείστε το σύστημα 2times2

2X minus 3Y = 7 (Εξ 1)X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με 12 για να πάρετε

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με minus1 καιπροσθέστε την στην (Εξ 2)

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

52Y =

152 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 106

Στάδιο 3 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 25

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

Y = 3 (Εξ 2)

Στάδιο 4 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 32 και

προσθέστε την στην (Εξ 1)

X = 1 (Εξ 1)Y = 3 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 107

Π Θεωρείστε το σύστημα 2times2

5X + 20Y = 254X minus 7Y =minus26

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να εκφραστεί ως

R1 5 20 25R2 4 minus7 minus26

Η κάθετη γραμμή χρησιμοποιείται για διαχωρισμό τηςαριστερής από τη δεξιά πλευρά των εξισώσεων Το Riυπονοεί τη γραμμή (Row) i

Ε Ι Κοντογιώργης copy 108

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάζουμε τη R1 με 15 και το θέτουμε

R1larr 15R1

R1 1 4 5R2 4 minus7 minus26

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάζουμε την R1 με minus4 και τηνπροσθέτουμε στην R2 Εν συντομίαR2larrminus4R1+R2

R1 1 4 5R2 0 minus23 minus46

Στάδιο 3 R2larrminus 123R2

R1 1 4 5R2 0 1 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 109

Στάδιο 4 R1larrminus4R2+R1

R1 1 0 minus3R2 0 1 2

Το αρχικό σύστημα εξισώσεων μετατρέπεται σε διαγώνιαμορφή όπως πιο κάτω

X =minus3Y = 2

το οποίο δίνει τη λύση του συστήματος

Ε Ι Κοντογιώργης copy 110

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 I

Το σύστημα εξισώσεων 3times3 μετετρέπεται σε διαγώνιαμορφή Η μετατροπή γίνεται στήλη με στήλη από τααριστερά προς τα δεξιά

Π Θεωρήστε το σύστημα 3times3

X1 + X2 + X3 = 2X1 minus 3X2 + 2X3 = 7

4X1 minus 2X2 minus X3 = 9

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να γραφτεί ως

Ε Ι Κοντογιώργης copy 111

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 II

1 1 1 21 minus3 2 74 minus2 minus1 9

Ε Ι Κοντογιώργης copy 112

ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

Το μάθημα αυτό είναι μια εισαγωγή στις μαθηματικέςμεθόδους που χρησιμοποιούνται στα οικονομικά και τηδιοίκηση επιχειρήσεων Τα θέματα περιλαμβάνουν βασικάστοιχεία διαφορικού λογισμού πραγματικής συνάρτησηςμιας μεταβλητής

Επιγραμματικά η ύλη καλύπτει μια εισαγωγή στιςβασικές εξισώσεις και λειτουργίες εκθετικούς αριθμούς καιλογάριθμους με εφαρμογές στην οικονομική επιστήμηΑθροίσματα και σειρές Γραφική αναπαράσταση καιανισότητες Συστήματα εξισώσεων Συναρτήσειςγραφήματα και όρια Παράγωγοι και εφαρμογές καιΕλαχιστοποίηση και μεγιστοποήση με εφαρμογές

Ε Ι Κοντογιώργης copy 4

Βοηθήματα Βιβλιογραφία και Πηγές

1 3 Laurence D Hoffmann and Gerald L Bradley AppliedCalculus For Business Economics and the Social and LifeSciences McGraw-Hill Science (International Edition 2010)

2 FS Budnick Applied Mathematics for Business Economicsand the Social Sciences (any edition) McGraw-Hill

Ε Ι Κοντογιώργης copy 5

∆ΙΑΛΕΞΕΙΣ

Τα μαθήματα θα γίνονται υπό μορφή διαλέξεων (3 ώρεςτην εβδομάδα) και φροντιστηρίων (μιά ώρα) Στη διάλεξηπαραδίδεται η ύλη του μαθήματος και γίνεται ανάλυσητων θεμάτων της ύλης

Οι φοιτητές μπορούν να παρακολουθούν διαλέξεις μόνοστο τμήμα στο οποίο έχουν εγγραφεί

Οι σημειώσεις που θα καλύπτονται σε κάθε διάλεξηβρίσκονται στην ιστοσελίδαhttpecoursescutaccyκαι για τις πρώτες διαλέξεις στηνhttpwwwerricoscomcoursesEXN110

Ε Ι Κοντογιώργης copy 6

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Ο κάθε φοιτητής θα πρέπει να προμηθευτεί τις σημειώσειςπριν την έναρξη της διάλεξης ώστε να τις έχει μαζί τουκατά την διάρκεια της διάλεξης

Οι σημειώσεις θα έχουν κάποια μέρη άδεια (τρύπες) ταοποία θα συμπληρώνονται κατά τη διάρκεια τωνδιαλέξεων

Στα φροντιστήρια γίνεται συζήτηση της ύλης πουκαλύπτει η διάλεξη και λύνονται ασκήσεις

Ε Ι Κοντογιώργης copy 7

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΑ

Η ενδιάμεση εξέτάση αναμένεται να πραγματοποιηθεί τοΣάββατο 17 Οκτώβρη του 2015 και θα αντιστοιχεί στο35 της συνολικής βαθμολογίας

Η τελική εξέταση θα πραγματοποιηθεί τον ∆εκέμβριο καιθα αντιστοιχεί στο 65 της συνολικής βαθμολογίας

Οποιεσδήμοτε τροποποιήσεις (αν υπάρξουν) σχετικά με τιςημερομηνίες ήκαι τις ώρες διεξαγωγής των ενδιάμεσωνεξετάσεων θα σας γνωστοποιηθούν γραπτός

Ε Ι Κοντογιώργης copy 8

Σημείωση

Ο φοιτητής ο οποίος θα συλληφθεί να αντιγράφει να έχεικινητό τηλέφωνο να έχει αριθμομηχανές ή να έχει έγραφαστο θρανίο του που έχουν άμεση σχέση με το εξεταζόμενομάθημα ΕΧΝ110 κατά την διάρκεια των εξετάσεων τότεαμέσως αποτυγχάνει στο μάθημα αυτό και είναιυπεύθυνος για τις οποιεσδήποτε πειθαρχικές διαδικασίεςπροκύψουν λόγο αυτού

Κατά τη διάρκεια των διαλέξεων όλα τα κινητά τηλέφωναπρέπει να είναι κλειστά

Φαγώσιμα ή ποτά δεν επιτρέπονται στις διαλέξεις

Ε Ι Κοντογιώργης copy 9

ΕΧΝ 110 Μαθηματικά ΙΠεριεχόμενα

I Μ I Β Ε Β Λ

I Ε Α ΛI ΑI Α Γ ΠI Σ I ΛI Γ

Ερρίκος Ιωάννη ΚοντογιώργηςE-mail erricoscutaccy

Ε Ι Κοντογιώργης copy 10

Μεταβλητές και Σταθερές

I Στα Μαθηματικά και τη Στατιστική πάντοτεασχολούμαστε με ευμετάβλητα μεγέθη Για παράδειγμαμισθούς επιτόκια πληθωρισμό ύψος βάρος ηλικία χρόνοκτλ

I Στα συνηθισμένα συμφραζόμενα μια μεταβλητήσυμβολίζεται με ένα αλφαβητικό γράμμα πχ x y zκτλ Για παράδειγμα αν η μεταβλητή μας αποτελείταιαπό τους μισθούς υπαλλήλων τότε μπορούμε να τουςπαραστήσουμε τους μισθούς με τη μεταβλητή x

I Συγκεκριμένα εάν δεν ενδιαφερόμαστε για το πραγματικόύψος των μισθών (ή δε τους γνωρίζουμε) αλλά επιθυμούμενα απομονώσουμε τους μισθούς τεσσάρων υπαλλήλωντότε τους συμβολίζουμε ως εξής x1 x2 x3 και x4

Ε Ι Κοντογιώργης copy 11

Μεταβλητές και Σταθερές ΙΙ

I Σε ορισμένες περιπτώσεις εμπερικλείουμε τις μεταβλητές σεπαρενθέσεις ´Ετσι (x1x2x3x4)Ο τρόπος αυτός ονομάζεται σύνολο

I Αν ξέρουμε τους πραγματικούς μισθούς τεσσάρωνυπαλλήλων μπορούμε να τους γράψουμε σε σειρά έτσι τοσετ θα έχει τη μορφή (2200016000384322943248)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 12

Ακέραιοι και Πραγματικοί Αριθμοί

I Οι lsquoφυσικοίrsquo αριθμοί (θετικοί ακαίραιοι) δίνονται ως εξής1234 Το σύνολο όλων των φυσικών αριθμώνσυμβολίζεται με το γράμμα N

I Οι lsquoολόκληροιrsquo αριθμοί (μη αρνητικοί ακέραιοι) είναι οιφυσικοί αριθμοί μαζί με το μηδέν 01234

I Οι lsquoακέραιοιrsquo περιλαμβάνουν τους φυσικούς αριθμούς τομηδέν και τους αρνητικούς φυσικούς αριθμούς

minus2minus1012

Η σειρά των ακεραίων συμβολίζεται με Z

Ε Ι Κοντογιώργης copy 13

Ακέραιοι και Πραγματικοί Αριθμοί ΙΙ

I Μια μεταβλητή μπορεί να πάρει πεπερασμένο αριθμότιμών Για παράδειγμα η μεταβλήτή M που υποδειλώνειτους μήνες του χρόνο μπορεί να πάρει τις τιμές

123456789101112

Σε αυτή την περίπτωση η μεταβλητή M είναι μια σειράθετικών ακέραιων μετεβλητών (φυσικοί)

I Η μεταβητή x μισθοί από το προηγούμενο παράδειγμαπαίρνει θετικούς πραγματικούς αριθμούς

I Το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών συμβολίζεταιreal Η σειρά αυτή περιλαμβάνει όλους τους πραγματικούςακέραιους αριθμούς από το μείον άπειρο (minusinfin) ως στοάπειρο (infin)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 14

Ακέραιοι και Πραγματικοί Αριθμοί ΙΙΙ

I Γενικά μια μεταβλητή x που παίρνει πραγματικές τιμέςονομάζεται πραγματική μεταβλητή (real variable) καισυμβολίζεται με x isinreal Με το σύμβολο isin εννοούμε lsquoμέσαrsquolsquoανήκειrsquo κλπ

I Το σύμβολο που χρησιμοποείται για το διαχωρισμό τουακέραιου μέρους σε ένα δεκαδικό αριθμό από τοκλασματικό μέρος ονομάζεται δεκαδικό σημείο (decimalpoint) Eg 314159

I Η δεκαδική θέση (decimal place) είναι η θέση του ψηφίουστα δεξιά του δεκαδικού σημείου

Ε Ι Κοντογιώργης copy 15

Συναρτήσεις Ακέραιων και Πραγματικών

I Συνάρτηση στογγυλοποίησης ή συνάρτηση κοντινότερουδεκαδικούΗ lsquoστρογγυλοποίησηrsquo ενός πραγματικού αριθμού xσυμβολίζεται με [x] ∆ίνει τον πιο κοντινό ακέραιο στοxΠχ [32] = 3 [minus32] =minus3 και [86] = 9Ο πιο πάνω ορισμός είναι δύσκολο να εφαρμοστεί γιαhalf-integers Στις περιπτώσεις αυτές η στρογγυλοποίησηγίνεται προς τα πάνω μόνο για τους μονούς αριθμούςέτσι ώστε να αποφεύγεται η μεροληπτικότηταΠχ [35] = 4 [45] = 4 και [05] = 0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 16

I Στρογγυλοποίηση προς τα πάνω ή συνάρτησημικρότερου ακεραίουΗ lsquoστρογγυλοποίηση προς τα πάνωrsquo ενός πραγματικούαριθμού x συμβολίζεται με dxe Μας δίνει το μικρότεροδυνατό ακέραιο που είναι μεγαλύτερος ή ίσος από το xΠχ d32e= 4 dminus32e=minus3 d35e= 4 και d36e= 4

I lsquoΣτρογγυλοποίηση προς τα κάτωrsquo ή συνάρτησημεγαλύτερου ακεραίουΤο lsquoκατώτατο όριοrsquo ενός πραγματικού αριθμού xσυμβολίζεται bxc ∆ίνει το μεγαλύτερο δυνατό ακέραιοπου είναι μικρότερος ή ίσος από το xΠχ b32c= 3 bminus32c=minus4 b35c= 3 και b36c= 3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 17

Σταθερές

I ´Ενας αριθμός που αντιπροσωπεύει μια ποσότητα πουθεωρείται ότι έχει σταθερή τιμή ονομάζεται lsquoσταθεράrsquo Ητιμή μιας σταθεράς ενώ δε μεταβάλλεται πιθανό να μηνπροσδιορίζεται

I Οι πιο σημαντικές πραγματικές σταθερές είναι

1 Το π= 314159 Είναι ο δείκτης που υποδειλώνει τηνπεριφέρεια του κύκλου ακτίνια Ονομάζεται και σταθερά τουΑρχιμήδη

2 Το exp = 271828 που υποδειλώνει τη βάση του φυσικούλογάριθμου

Ε Ι Κοντογιώργης copy 18

Σύμβολα Κατεύθυνσης

I Το σύμβολο lsquogtrsquo που σημαίνει lsquoμεγαλύτεροrsquo καθώς και τοlsquogersquo που σημαίνει lsquoμεγαλύτερο ή ίσοrsquo

I Το σύμβολο lsquoltrsquo που σημαίνει lsquoμικρότεροrsquo καθώς και το lsquolersquoπου σημαίνει lsquoμικρότερο ή ίσοrsquo

I Παράδειγμα Οι μεταβλητές που συμβολίζουν τουςμηνιαίους μισθούς xge 0 Οι μεταβλητές που συμβολίζουντους μήνες του χρόνου 0ltMlt13 που μπορούν επίσης ναγραφτούν 1leMle 12

Ε Ι Κοντογιώργης copy 19

∆υνάμειςI Οι εκθέτες αποτελούν συντομογραφία του

πολλαπλασιασμού (5)(5) = 52 και (5)(5)(5) = 53 Εδώτο 5 λέγεται βάση και το 3 λέγεται εκθέτης Μπορείεπίσης να ερμηνευτεί πέντε υψωμένο στην τρίτη δύναμη

I Η δύναμη είναι ο εκθέτης στον οποίο υψώνεται μιαποσότητα Η έκφραση xn είναι γνωστή ως x στη nδύναμη

I Σημειώστε ότι 5253 = (55)(555) = 55 = 5(2+3) Εδώπαρουσιάζεται ένας βασικός κανόνας του εκθέτη Στηπερίπωση που πολλαπλασιάζονται δύο όροι που έχουντην ίδια βάση οι εκθέτες τους μπορούν να προστεθούν

xmxn = x(m+n)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 20

I Στην περίπτωση όμως που (x4)(y3) ο πιο πάνω κανόναςδε μπορεί να εφαρμοστεί γιατί οι βάσεις είναιδιαφορετικές (x4)(y3) = xxxxyyy

I Για (x2)4

= x2x2x2x2 = xxxxxxxx= x8 = x(2times4)

I ´Ετσι στην περίπτωση που έχετε μια εκθετική έκφρασηπου είναι υψωμένη σε μία δύναμη μπορείτε ναπολλαπλασιάσετε τον εκθέτη με τη δύναμη

(xm)n

= xmn

Ε Ι Κοντογιώργης copy 21

I Εάν έχετε μια έκφραση μέσα σε παράνθεση και ηπαράνθεση είναι υψωμένη σε μια δύναμη τότε η δύναμημπορεί να γίνει μέρος τις παράνθεσης Για παράδειγμα

(xy2)3 = (xy2)(xy2)(xy2) = (xxx)(y2y2y2)

= (xxx)(yyyyyy) = x3y6 = (x)3(y2)3 = x3y6

Παρομοίως(xy)2

=x2y2

I ´Ενας αρνητικός εκθέτης είναι ένδειξη ότι η βάση βρίσκεταιστον παρονομαστή του κλάσματος Πχ

xminus2 =1x2

x2xminus3 = x2x3 = x5 2xminus1 =

2x

(3x)minus2 =1

(3x)2 =1

9x2 και(xminus2yminus3

)minus2=

(xminus2)minus2

(yminus3)minus2=x4y6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 22

I Οτιδήποτε στη δύναμη μηδέν είναι lsquo1rsquo

Πχ 50 = 1 x0 = 1 (x2y3)0 = 1 και 00 = 1

Σημειώστε ότι 50 = 5(1minus1) = (51)(5minus1) =55 = 1

I Μηδέν σε οποιαδήποτε δύναμη είναι μηδέν έτσι 0n = 0

Σημειώστε ότι 00 = 1 και ότι 00 = 0

Αυτό υποδειλώνει ότι 00 είναι μια απροσδιόριστη μορφήπου σε κάποιες περπτώσεις παίρνει μία τιμή και σεκάποιες άλλες περιπτώσεις παίρνει διαφορετική τιμή

Ε Ι Κοντογιώργης copy 23

I Κλασματικοί (Αναλογικοί) Εκθέτες

1 Η τετραγωνική ρίζα μπορεί να γραφτεί σε μορφή κλάσματος

´Ετσι radicx= x12

Πχ 212 =

radic2 = 141 και 2

minus12 =

1radic2

= 071

2 Γενικά xab =bradicxa Πχ 7

23 =

3radic72 = 366

355 = 3112 =

2radic311 = 42089

Ε Ι Κοντογιώργης copy 24

ΛογάριθμοιI Η λογαριθμική μορφή ενός αριθμού είναι lsquoαντίθετηrsquo από

την εκθετική Τεχνικά μιλώντας η λογαριθμική μορφήείναι αντίστροφη της εκθετικής

I Η σχέση δίνεται logb(x) = y

που είναι το ίδιο με by = x

I Ο lsquolsquologb(x) = yrsquorsquo προφέρεται lsquolsquolog-βάση-b-του x ισούται yΕδώ b ονομάζεται lsquoβάση του λογαρίθμουrsquo αφού το b είναιη βάση της εκθετικής έκφρασης

I Η βάση b του λογάριθμου είναι πάντοτε θετική και δενισούται με 1

I Οτιδήποτε βρίσκεται μέσα στο λογάριθμο ονομάζεταιέκφραση

Ε Ι Κοντογιώργης copy 25

ΠαραδείγματαI Μετατρέψτε την έκφραση 63 = 216 στην ισοδύναμη

λογαριθμική μορφή

Για τη μετατροπή η βάση μένει η ίδια αλλά το 3 και το216 αλλάζουν θέσεις Αυτό μας δίνει

log6(216) = 3

I Μετατρέψτε τον log4(1024) = 5 στην αντίστοιχηλογαριθμική έκφραση

Για τη μετατροπή η βάση (που είναι 4) παραμένει η ίδιααλλά το 1024 και το 5 αλλάζουν θέσεις ´Ετσι δίνεται

45 = 1024

Ε Ι Κοντογιώργης copy 26

I Υπολογίστε τον log2(8)

Εάν y= log2(8) τότε υπονοείται ότι 2y = 8 Αυτόσημαίνει ότι y είναι η δύναμη του 2 που θα έχει σαναποτέλεσμα 8 Η δύναμη που δίνει το αποτέλεσμα είναι 3αφού 23 = 8 ´Ετσι

log2(8) = 3

I Κατά παρόμοιο τρόπο log5(25) = 2 αφού 52 = 25

I Υπολογίστε τον y= log64(4)

Σημειώστε ότι 64y = 4 και 43 = 64

´Ετσι (43)y

= 4 ή 43y = 41

Η πιο πάνω έκφραση εξυπονοεί ότι 3y= 1 και έτσιy= 13

Ε Ι Κοντογιώργης copy 27

I Υπολογίστε y= log6(6)

Αυτό ισοδυναμεί με το 6y = 6 και συνεπώς y= 1

I Υπολογίστε το y= log3(1)

Το πιο πάνω μπορεί να γραφτεί ως 3y = 1

´Ομως 1 = 30 έτσι 3y = 30 και y= 0

I Υπολογίστε το y= log4(minus16)

Μπορεί να γραφτεί σαν 4y =minus16

´Ομως δεν υπάρχει τιμή (πχ δύναμη) y που ναικανοποιεί τη σχέση ´Ετσι δεν υπάχρει λύση

Ε Ι Κοντογιώργης copy 28

I Υπολογίστε το y= log2(0)

Αυτό σημαίνει 2y = 0 όμως δε υπάρχει τιμή που ναικανοποιεί τη σχέση ´Ετσι δεν υπάχρει λύση

I Υπολογίστε το y= 2log2(9)

Αυτό σημαίνει ότι log2(y) = log2(9) και έτσι y= 9

Ε Ι Κοντογιώργης copy 29

I Γενικά1 logb(b) = 1 για οποιαδήποτε βάση b

2 logb(1) = 0 για οποιαδήποτε βάση b

3 logb(a) δεν ορίζεται για αρνητικά a

4 logb(0) δεν ορίζεται για οποιαδήποτε βάση b

5 logb(bn) = n για οποιαδήποτε βάση b

Ε Ι Κοντογιώργης copy 30

I Οι λογάριθμοι μπορούν να πάρουν οποιοδήποτε αριθμόσαν βάση αλλά δύο βάσεις είναι οι πιο χρήσιμες οlog-βάση-10 και ο log-βάση-e

I Η βάση-10 log συχνά ονομάζεται ο κοινός log καιγράφεται ως log(x) Εδώ δεν αναγράφεται βάση καιμπορούμε να υποθέσουμε ότι η βάση είναι 10

Πχ log(100) = 2 έτσι log10(102) = 2

I Η βάση-e log ονομάζεται ο φυσικός log και γράφεται σανln(x)Πχ ln(e345)= 345 καθώς loge(e345) = 345

Ε Ι Κοντογιώργης copy 31

Ιδιότητες Λογαρίθμωνlogb(xy) = logb(x) + logb(y)

Απόδειξη´Εστω m= logbx και n= logby

Γράψτε σε μορφή εκθέτη x= bm και y= bn

Πολλαπλασιάστε το x και y ούτως ώστεxy= bmbn = bm+n

´Ετσι από τον ορισμό των λογαρίθμων το xy= bm+nσυνεπάγει ότι

logb(xy) =m+n= logbx+ logb(y)

Πχ log2(4times16) = log2(64) = log2(26) = 6

Ακόμα log2(4times16) = log2(4) + log2(16) = 2+4 = 6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 32

logb(xy)

= logb(x)minus logb(y)

Απόδειξη´Εστω m= logbx και n= logby

Γράψτε σε μορφή εκθέτη x= bm και y= bn

∆ιαίρα το x και y ούτως ώστε xy =bmbn = bmminusn

´Ετσι από τον ορισμό των λογαρίθμων το xy = bmminusn

συνεπάγει ότι

logb(xy)

=mminusn= logbxminus logb(y)

Πχ log2(16

4)

= log2(4) = 2

και log2(16

4)

= log2(16)minus log2(4) = 4minus2 = 2Ε Ι Κοντογιώργης copy 33

logb(xn) = n logb(x)

Απόδειξη´Εστω m= logbx και γράψτε σε μορφή εκθέτη x= bm

Αυξάνοντας τις δύο πλευρές στην n δύναμη παίρνουμεxn = (bm)n = bmn

´Ετσι από τον ορισμό των λογαρίθμων τοlogbxn =mn= nm= n(logbx)

Πχ log2(64) = log2(26) = 6 log2(2) = 6

log(64) = 18

Επιπλέον log(64) = log(26) = 6log(2) = 6times030 = 18

Ε Ι Κοντογιώργης copy 34

logb(x) =loga(x)loga(b) agt0 a 6= 1

Απόδειξη´Εστω m= logbx rArr x= bm

Εφαρμόστε loga και στις δύο πλευρές του x= bmγια ναδώσει

logabm = logax rArr m logab= logaxrArr m=logaxlogab

rArr logbx=logaxlogab

Πχ log5(20) =log(20)

log(5)= 186 =

ln(20)

ln(5)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 35

logb(a) =1

loga(b) agt0 a 6= 1

Απόδειξη

logb(x) =loga(x)loga(b) =

logx(x)logx(b)

=1

loga(b)

´Οταν a= x

Πχ log2(64) =1

log64(2)=

116 = 6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 36

Αθροισμα

I Υποθέστε ότι έχουμε μια μεταβλητή x που μπορεί ναπάρει δέκα τιμές Εάν ενδιαφερόμαστε για το άθροισμάτους χωρίς να ξέρουμε την τιμή της κάθε μεταβλητής τότεο καλύτερος τρόπος να το εκφράσουμε είναι

x1 +x2 + middot middot middot+x9 +x10

I Εν συντομία το άθροισμα n στοιχείων x1 +x2 + middot middot middot+xn είναιnsum

i = 1xi

και ερμηνεύεται σαν το άθροισμα όλων των xirsquosξεκινώντας από το x1 (πχ i = 1) μέχρι xn (i = n)

I Εάν δε δοθεί διαφορετικά πάντοτε υποθέτουμε ότι το iαυξάνεται ξεκινώντας από το στάδιο 1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 37

I Το lsquolsquoSigmarsquorsquo Σ είναι γνωστό ως το άθροισμα (summation) ήσύμβολο σίγμα (sigma operator) και ο δείκτης i όνομάζεταιεικονική μεταβλητή

I Παραδείγματα

I

5sum

i = 1xi = x1 +x2 +x3 +x4 +x5

I

5sum

i = 1(y2

i ) = y21 +y22 +y23 +y24 +y25

Σημειώστε ότι η μόνη μεταβλητή που περιγράφεται απευθείαςκάτω από το σύμβολο Σ αυξάνεται κατά 1 κάθε φορά ενώ όλατα άλλα σύμβολα παραμένουν τα ίδια

I

4sum

r = 1(x3r ) = x31 +x32 +x33 +x34

Ε Ι Κοντογιώργης copy 38

I6sum

i = 1i = 1+2+3+4+5+6

I6sum

i = 1i2 = 12 +22 +32 +42 +52 +62

I7sum

i = 3xi = x3 +x4 +x5 +x6 +x7

I4sum

i = 1a = a+a+a+a= 4a

I3sum

i = 1(4+xi) = (4+x1) + (4+x2) + (4+x3)

=3sum

i = 14+

3sum

i = 1xi

Ε Ι Κοντογιώργης copy 39

I3sum

i = 1(2xi) = (2x1) + (2x2) + (2x3) = 2times

3sum

i = 1xi

I Ο συντελεστής i παραλείπεται εάν δε προκαλείαοριστία Για παράδειγμα Σx ή Σixi σημαίνειάθροισμα όλων των x που λαμβάνονται υπόψη

I ∆ήλωσηI

nsumi=1a= na

I sumiaxi = asum

ixi

I sumi

(axi+byi) = asumixi +bsum

iyi

Ε Ι Κοντογιώργης copy 40

I Αθροιστικός Τύπος

Insum

i = 1i = 1+2+ middot middot middot+n=

n(n+1)

2

Πχ6sumi = 1i = 1+2+3+4+5+6 =

6(6+1)

2 = 21

Insum

i = 1i2 = 12 +22 + middot middot middot+n2 =

n(n+1)(2n+1)

6

Πχ6sumi = 1i2 = 12 +22 +32 +42 +52 +62

=6(6+1)(12+1)

6 = 91

Ε Ι Κοντογιώργης copy 41

Insum

i = 1i3 = 13 +23 + middot middot middot+n3 =

n2(n+1)2

4

Πχ6sumi = 1i3 = 13 +23 +33 +43 +53 +63

=62(6+1)2

4 = 441

Ε Ι Κοντογιώργης copy 42

ΠαραδήγματαΑριθμητική Πρόοδος

I Γενικά μπορούμε να εκφράσουμε μια αριθμητική πρόοδο ωςεξής

αριθμητική πρόοδος a a+d a+2d a+3d

όπου ο πρώτος όρος είναι a και η διαφορά d Ο όρος nτης απ δίνεται από τη σχέση b = a+ (nminus1)d

I 3 5 7 9 11 είναι μια αριθμητική πρόοδος Οπρώτος όρος είναι το 3 και η διαφορά είναι 2

I 2 minus1 minus4 minus7 είναι μια αριθμητική πρόοδος όπου οπρώτος όρος είναι 2 και η διαφορά minus3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 43

I Το άθροισμα των όρων μιας αριθμητικής προόδου είναιγνωστό ως αριθμητική σειρά

Sn = a+ (a+d) + (a+2d) + middot middot middot+ (a+ (nminus1)d)

=nsumi=1

(a+ (iminus1)d

)= na+

nsumi=1

(iminus1)d

= na+dnminus1sumi=1

i = na+d(nminus1)n2

=n2(2a+d(nminus1)) =

n2(a+b) b = a+d(nminus1)

I ΑΠ 3 5 7 9 11 13 rArr Sn =62(3+13) = 48

Ε Ι Κοντογιώργης copy 44

∆ιπλό Αθροισμα4sumi=1

isumj=1

j = (1) + (1+2) + (1+2+3) + (1+2+3+4) = 20

nsumi=1

isumj=1

j =nsumi=1

( isumj=1

j)

nsumi=1

(12 i(i+1)

)=

12

nsumi=1

(i2 + i)

12( nsumi=1

i2 +nsumi=1

i)

=12(16n(n+1)(2n+1) +

12n(n+1)

)

=12

16n(n+1)

((2n+1) +3

)=

n6(n+1)(n+2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 45

∆ιπλό Αθροισμα

nsumi=1

msumj=1

(i+ j+2) =nsumi=1

( msumj=1

(i+ j+2))

nsumi=1

( msumj=1

i+msumj=1

j+msumj=1

2)

=nsumi=1

(mi+ 1

2m(m+1) +2m)

m( nsumi=1

i+ 12

nsumi=1

(m+5))

= m(12n(n+1) +

12n(m+5)

)

=mn2(m+n+6

)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 46

Insumr=1

1r(r+1)

=nsumr=1

(Ar +

Br+1

)=

nsumr=1

A(r+1) +Brr(r+1)

I A(r+1) +Br = 1

I Για r = 0 τότε A= 1 και για r =minus1 τότε B=minus1

I

nsumr=1

1r(r+1)

=nsumr=1

(1r minus

1r+1

)

=(

(11 minus

12) + (

12 minus

13) + (

13 minus

14) + middot middot middot+ (

1nminus1 minus

1n ) + (

1n minus

1n+1)

)

= 1minus 1n+1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 47

Insumk=1

1(k+2)(k+3)

=nsumk=1

( A(k+2)

+B

(k+3)

)=

nsumk=1

A(k+3) +B(k+2)

(k+2)(k+3)

I A(k+3) +B(k+2) = 1

I Για k=minus2 τότε A= 1 και για k=minus3 τότε B=minus1

I

nsumk=1

1(k+2)(k+3)

=nsumk=1

( 1(k+2)

minus 1(k+3)

)

=(

(13 minus

14)+(

14 minus

15)+(

15 minus

16)+ +(

1n+1 minus

1n+2)+(

1n+2 minus

1n+3)

)

=13 minus

1n+3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 48

Αθροισμα με Λογάριθμους

nsumi=1

logb(i) = logb(1) + logb(2) + middot middot middot+ logb(n)

= logb(1times2times3timesmiddotmiddot middottimesn)

= logb(n)

I Το n (n παραγοντικό) δίνεται από n = 1times2timesmiddotmiddot middottimesn και0 = 1

I100sumi=1

log2(100) = log2(100) =log(100)

log(2)=

log(99)

log(2)+

2log(2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 49

Γινόμενο των ακολουθιώνIn

prodi=1xi = x1timesx2timesx3timesmiddotmiddot middottimesxn

In

prodi=1i = 1times2times3timesmiddotmiddot middottimesn= n

In

prodi=1z= ztimesztimesmiddotmiddot middottimesz= zn

I

nprodi=1

(1+

1i+1

)=(1+

12)times(1+

13)times(1+

14)times times(1+

1n )times(1+

1n+1)

=32 times

43 times

54 timesmiddotmiddot middottimes

n+1n times n+2

n+1

=n+22

Ε Ι Κοντογιώργης copy 50

Γεωμετρικές ΠροόδοιI Μια γεωμετρική πρόοδος είναι μια σειρά αριθμών όπου

κάθε όρος μετά των πρώτο υπολογίζεται από τονπολλαπλασιασμό του προηγούμενου όρου με ένασταθερό αριθμό που καλείται αναλογία

I Η σειρά1 3 9 27 81 middot middot middot

είναι μια γεωμετρική πρόοδος με πρώτο όρο το 1 καιαναλογία 3

I Η αναλογία μπορεί να είναι κλάσμα καθώς επίσης καιαρνητικός αριθμός Για παράδειγμα η γεωμετρικήπρόοδος με πρώτο όρο το 2 και αναλογία minus13 είναι

2 minus 23 +

29 minus

227 +

281 middot middot middot

Ε Ι Κοντογιώργης copy 51

I Γενικά μπορούμε να γράψουμε μια γεωμετρική πρόοδο ωςακολούθως

γεωμετρική πρόοδος a ar ar2 ar3 ar4 middot middot middot

όπου ο πρώτος όρος είναι a και η αναλογία r

I Σημαντικά θεωρήματα των γεωμετρικών προόδων (γπ)1 Ο n όρος μιας γπ δίνεται από ar(nminus1)

2 Το άθροισμα των πρώτων n όρων μιας γπ είναι

Sn =a(1minus rn)

1minus r =a(rnminus1)

rminus1 και ισχύει μόνο αν r 6= 1

I Το άθροισμα των όρων μιας γεωμετρικής προόδουονομάζεται γεωμετρική σειρά

Ε Ι Κοντογιώργης copy 52

Γεωμετρική σειρά

Sn = a+ar+ar2 +ar3 + middot middot middot+arnminus2 +arnminus1

rSn = ar+ar2 +ar3 + arnminus1 +arn

Snminus rSn = aminusarn

(1minus r)Sn = a(1minus rn)

Sn =a(1minus rn)

(1minus r) =a(rnminus1)

(rminus1)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 53

I Παράδειγμα1 Βρείτε το άθροισμα των πρώτων 10 όρων μιας γεωμετρικής

σειράς4 8 16 32

Ο πρώτος όρος είναι a= 4 και η αναλογία r = 2 καιn= 10 ´Ετσι

S10 =4(1minus210)

1minus2 = 4092

2 Θεωρείστε τη γπ4 minus8 16 minus32 64 minus128 256 minus512

Σε αυτή την περίπτωση ο πρώτος όρος είναι a= 4 ηαναλογία είναι r =minus2 και n= 8´Ετσι

S8 =4(1minus (minus2)8)

1minus (minus2)=minus340

Ε Ι Κοντογιώργης copy 54

Συνεχείς ανατοκισμός

Οι περισσότεροι τραπεζικοί λογαριασμοί και τα δάνειαυιοθετούν ανατοκισμό - εφαρμόζοντας συνεχή ανατοκισμόΘεωρείστε ένα λογαριασμό που προσφέρει τόκο με ετήσιοεπιτόκιο r (πχ 7) Εάν το επιτόκιο είναι συνεχέςσε χρονιαία βάση τότε μετά από 1 χρόνο το χρονιαίοεπιτόκιο προστίθεται στο αρχικό κεφάλαιο για νακαθορίσει ένα μεγαλύτερο κεφάλαιο τον δεύτερο χρόνο

´Ετσι κατά τη διάρκεια του δεύτερου χρόνου ολογαριασμός κερδίζει επιτόκιο πάνω στο επιτόκιοΑυτή είναι η επίδραση του ανατοκισμού που συνεχίζεταιχρόνο με το χρόνο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 55

I Με τον ετήσιο ανατοκισμό το κεφάλαιο πουσυσσωρεύεται στο λογαριασμό πολλαπλασιάζεται με

(1+ r)

´Ετσι το κεφάλαιο A θα αυξηθεί σε

A(1+ r) = A+A middot r

τον επόμενο χρόνο

I Με το πέρας και του δεύτερου χρόνου το κεφάλαιο θααυξηθεί ακόμα (1+ r) σε (1+ r)2

´Ετσι το κεφάλαιο καταλήγει σε

A(1+ r)(1+ r) = A(1+ r)2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 56

I Κατά παρόμοιο τρόπο στο τέλος του τρίτου χρόνου τοποσό θα αυξηθεί κατά (1+ r)3

I Μετά από n χρόνια το ποσό θα αυξηθεί κατά (1+ r)n

I ´Ετσι το κεφάλαιο (επένδυση) A θα αυξηθεί με συνεχήανατοκισμό σε A(1+ r)n μετά από n χρόνια

I Ο τύπος (1+ r)n εκθέτει γεωμετρική αύξηση λόγω τηςn δύναμης

Ε Ι Κοντογιώργης copy 57

ΠαραδείγματαI Εάν το επιτόκιο είναι r = 5 τότε το κεφάλαιοA= $1000 που βρίσκεται στην τράπεζα n= 20 χρόνιαθα αυξηθεί κατά

(1+ r)n = (1+005)20 = 2653 φορές

´Ετσι το ποσό θα καταλήξειA(1+ r)n = $265330

I Βρέστε το χρόνο που χρειάζεται για ένα λογαργιασμό ναδιπλασιάσει το διαθέσιμο κεφάλαιο του όταν r = 7 καιr = 10Ζητούμε να βρούμε το n έτσι ώστε

(1+ r)n = 2Ε Ι Κοντογιώργης copy 58

I Υπολογίζοντας το λογάριθμο του τελευταίου παίρνουμε

log(1+ r)n = log(2)ή n log(1+ r) = log(2)

´Ετσιn=

log2log(1+ r)

I Για r = 7 και r = 10 ο χρόνος n πουχρειάζεται για διπλασιασμό της επένδυσης υπολογίζεταισε 1024 και 727 αντίστοιχα

Ε Ι Κοντογιώργης copy 59

I Αν το επιτόκιο είναι r = 7 τότε πιο θα είναι τοσυνολικό ποσό στο λογαριασμό μετά από 205 και41 χρόνια αντίστοιχα

Μετά τα πρώτα 1025 χρόνια το ποσό A θαδιπλασιαστεί σε 2A Για τα επόμενα 1025 χρόνιατο ποσό θα ξαναδιπλασιαστεί σε 4A ´Ετσι μετά από205 χρόνια το ποσό θα αυξηθεί κατά 4 φορές

Με το πέρας ακόμα 205 χρόνων το ποσό θα αυξηθείακόμα 4 φορές σε 16 ´Ετσι μετά από 41 χρόνιατο κεφάλαιο A γίνεται 16A

Ε Ι Κοντογιώργης copy 60

Ασκήσεις και Παραδείγματα

I Υπολογίστε τη Μελλοντική Αξία (Future Value (FV)) τουκεφαλαίου A= 1500 που κερδίζει ετήσιο επιτόκιοr = 5 για n= 10 έτη

FV =A(1+ r)n = 1500(1+005)10 = 244334

I Πόσα έτη απαιτούνται για να τριπλασιαστεί ένα ποσόπου αφήνετε στην τράπεζα με επιτόκιο r = 5∆ηλαδή βρείτε το n όπου A= 1 r = 5 και FV = 3

FV =A(1+ r)n ή (1+ r)n =FVA

Ε Ι Κοντογιώργης copy 61

Υπολογίζοντας τους λογαρίθμους παίρνουμε

log(1+ r)n = log(FVA)

ή n log(1+ r) = log(FVA)

´Ετσι

n=log(FVA)

log(1+ r) =log(3)

log(105)

= 2252

Ε Ι Κοντογιώργης copy 62

I Βρείτε την παρούσα αξία A έτσι ώστε σε δέκα έτη μεσταθερό επιτόκιο r = 6 να είναι 100KΒρείτε το A όπου FV = 100000 r = 6 και n= 10

FV =A(1+ r)n ή A=FV

(1+ r)n

´Ετσι A=100000

(106)10= 5583948

I Βρείτε την ετησιοποιημένη απόδοση (AER AnnualEquivalent Rate) μιας μηνιαίας κατάθεσης με σταθερόεπιτοκίο 394 Μια τέτοια κατάθεση λαμβάνει το επιτόκιο στη λήξηΣυνεπώς κάθε μήνα ο λογαριασμός λαμβάνει

r = 0039412 = 000328

επιτόκιο που επανεπενδύεται (συνεχής ανατοκισμός)Ε Ι Κοντογιώργης copy 63

Επανεπενδύοντας το επιτόκιο κάθε μήνα στη διάρκειαενός έτους το κεφάλαιο θα αυξηθεί σε

(1+ r)12 = (1+000328)12 = 104012

´Ετσι το ΑΕΡ είναι ισοδύναμο με 004012 = 4012I Υπολογίστε το επιτόκιο ενός σταθερού λογαριασμού

κατάθεσης 7-ημερών που έχει AER επιτόκιο r = 425Θεωρείστε ρ το εβδομαδιαίο επιτόκιο

´Ετσι (1+ρ)52 = (1+00425)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 64

Παίρνοντας τους λογαρίθμους έχουμε52log(1+ρ) = log10425

ή log(1+ρ) =log10425

52

ή 1+ρ= 10( log10425

52)

Αυτό μας δίνει

ρ= 10

( log1042552

)minus1 = 008

´Ετσι το συνεχές επιτόκιο μιας επταήμερης κατάθεσης είναιρtimes52 = 41638

Εναλλακτικά (1+ρ)52 = (1+00425) δίνει

(1+ρ) =52radic10425ή ρ=

52radic10425minus = 008Ε Ι Κοντογιώργης copy 65

I Υπολογίστε την ετήσια απόδοση r έτσι ώστε A= 10000να επιστρέφει FV = 35000 σε n= 20 χρόνια

FV =A(1+ r)n ή (1+ r)n =FVA

´Ετσι

1+ r =nradic

FVA

Επομένως

r =nradic

FVA minus1 =

20radic

3500010000 minus1 = 00646 = 646

Ε Ι Κοντογιώργης copy 66

Εναλλακτικά παίρνοντας τους λογαρίθμους

log(1+ r)n = log(FVA) ή n log(1+ r) = log

(FVA)

´Ετσι

1+ r = 10(1n log

(FVA))

ή r = 10(1n log

(FVA))minus1

= 10( 120 log

(3500010000

))minus1

= 646

Ε Ι Κοντογιώργης copy 67

Γραφική Αναπαράσταση I

I Υποθέστε ότι έχουμε y= 3x+2 Καθώς έχουμε μόνο μιαδύναμη για το x πρέπει να λύσουμε γραμμική εξίσωσηκαι να σχεδιάσουμε μια ευθεία γραμμή Αρχικά θα πρέπεινα σχεδιάσουμε ένα T-chart Αυτό έχει τη μορφή

x y = 3x+2 (xy)

I Επιλέγουμε μια τιμή για το x και λύνουμε ως προς y

x y= 3x+2 (xy)minus2 minus4 (minus2minus4)0 2 (02)2 8 (28)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 68

Γραφική Αναπαράσταση II

-

6

X

Y

bull

bull

bull

I Βλέπουμε μια ευθεία με ανοδική τάση (έχοντας θετικήκλίση m= 3) καιτέμνει τον άξονα y στο σημείο y= 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 69

Γραφική Αναπαράσταση III

I Μια Τετραγωνική εξίσωση περιέχει x2 Για τηναναπαράσταση τετραγωνικών εξισώσεων χρειάζεται ναβρούμε περισσότερα από τρία σημεία στο σχεδιάγραμμα

Για παράδειγμα υποθέστε ότι y= x2minus6x+5 καιδίνεται το πιο κάτω T-chart

x y= x2minus6x+5 (xy)0 5 (05)1 0 (10)3 minus4 (3minus4)5 0 (50)6 5 (65)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 70

Γραφική Αναπαράσταση IV

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

-

6

X

Y

bull

bull

bull

bull

bull

Ε Ι Κοντογιώργης copy 71

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(1x + 2)

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(-3x + 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 72

-15

-10

-5

0

5

10

15

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(3x - 2)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 73

-20

0

20

40

60

80

100

120

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2+x)

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 74

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

1250

1500

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3+x2+x)

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x4)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 75

-25

-2

-15

-1

-05

0

05

1

15

2

25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(log(x))

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(x))

Ε Ι Κοντογιώργης copy 76

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(-x))

-5000

0

5000

10000

15000

20000

25000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(exp(x)+x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 77

Ανισότητες I

I Οι ανισότητες αποτελούνται από δύο ή τρεις αλγεβρικέςεκφράσεις που είναι συνδεδεμένες με τα σύμβολαανισότητας Τα σύμβολα αυτά είναι

lt μικρότερο τουgt μεγαλύτερο τουle μικρότερο ή ίσο τουge μεγαλύτερο ή ίσο του

I Παραδείγματα xgty yge x2 και ylt5x+1

I Το πρώτο βήμα για την αναπαράσταση ανισότητας τηςμορφής ygtx είναι να παραστήσουμε γραφικά τηνισότητα y= x

Ε Ι Κοντογιώργης copy 78

Ανισότητες II

I ygtx

Κάνετε δοκιμή με ένα σημείο να δείτε κατά πόσοικανοποιεί την ανισότητα Εάν ναι τότε σκιάστε τηνπεριοχή αυτή του σχεδιαγράμματος διαφορετικά σκιάστετην άλλη πλευρά

Ε Ι Κοντογιώργης copy 79

Ανισότητες III

I yltx

Ε Ι Κοντογιώργης copy 80

Ανισότητες IV

I yle 5x+1 και ygt5x+1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 81

Ανισότητες V

I yge x2 και yle x2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 82

Ανισότητες VI

I ygtx3 και yle x3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 83

Συστήματα Γραμμικών ΕξισώσεωνΠεριεχόμενα

1 Ε

2 Γ Α

ΑναφορέςΚεφάλαια 4 και 5FS Budnick Applied Mathematics for Business Economicsand the Social Sciences 4th edition McGraw-Hill 1993

Ε Ι Κοντογιώργης copy 84

Συστήματα Εξισώσεων

I ´Ενα σύστημα εξισώσεων συνδυάζει περισσότερες από μίαεξισώσεις

I ´Ενα σύστημα m εξισώσεων όπου κάθε εξίσωσηαποτελείται από n μεταβλητές ονομάζεται mtimesnσύστημα ή λέμε ότι έχει διαστάσεις mtimesn

I ΠαράδειγμαΠαρακάτω έχουμε ένα σύστημα 2times2

5X+10Y= 203X+4Y= 10

Οι μεταβλητές σε αυτή την περίπτωση είναι X και YΕ Ι Κοντογιώργης copy 85

Συστήματα Επίλυσης

I Το Σύστημα επίλυσης είναι μια σειρά τιμών μεταβλητώνπου ικανοποιούν το σύστημα ταυτόχρονα

I Σε μια σημειογραφική παράσταση το προηγούμενοπαράδειγμα μπορεί να γραφτεί ως εξής

S = (XY) | 5X+10Y = 20 και 3X+4Y = 10

I Το σύστημα επίλυσης μπορεί να είναι1 μηδενικό2 πεπερασμένο ή3 άπειρο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 86

2times2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική Ανάλυση

I Σε ένα δισδιάστατο γράφημα ένα σύστημα εξισώσεων2times2 αναπαρίστανται με ευθείες γραμμές Υπόρχουν τρίαενδεχόμενα

1 Οι ευθείες τέμνονται Το σημείο τομής αντιπροσωπεύει τηλύση του συστήματος εξισώσεων Αυτό το σημείοαλληλεπίδρασης είναι μια δέσμη τιμών X και Y που ικανοποιείκαι τις δύο εξισώσειςΕάν υπάρχει μόνο μια δέσμη τιμών για τις μεταβλητές που ναικανοποιεί το σύστημα εξισώσεων το σύστημα λέμε ότι έχειΜ Λ

2 Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες μεταξύ τους ∆εν έχουν κοινόσημείο Συνεπώς οι ευθείες δεν τέμνονται ποτέ Το σύστημαλέμε ότι ∆ ΛΑυτό υπονοεί ότι δεν υπάρχουν τιμές για τις μεταβλητές πουνα ικανοποιούν και τις δύο εξισώσεις Σε αυτή τηνπερίπτωση οι εξισώσεις στο σύστημα είναι Α

3 Και οι δύο εξισώσεις αναπαρίστανται ως μια κοινή ευθεία καιθεωρούνται ισοδύναμες εξισώσεις ´Ετσι το σύστημα έχειΑ Λ Αυτό συμβαίνει γιατί υπάρχει άπειροςαριθμός κοινών σημείων στις δύο γραμμές

Ε Ι Κοντογιώργης copy 87

I Π Θεωρείστε ένα σύστημα 2times22X+4Y= 203X+ Y= 10

I

X

Y

(24)

3X +Y = 10

2X +4Y = 20

0 2 4 6 8 10 12

2

4

6

8

10

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 88

I Το σημείο τομής δίνεται από το X= 2 και Y= 4Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές του X και Y στις δύοεξισώσεις δίνουν 20 = 20 και 10 = 10 αντίστοιχα

I Αυτό υποδειλώνει ότι X= 2 και Y= 4 είναι η σωστή λύση

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times23Xminus2Y= 6

minus15X+10Y=minus30

I

X

Y

(20)

(0minus3)

3X minus2Y = 6

minus15X +10Y =minus30

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 89

I Οι δύο εξισώσεις απλοποιούνται σε Xminus 23 Y= 2

Οι δύο εξισώσεις είναι ισοδύναμες και δίνουν έναπεπερασμένο αριθμό λύσεων έτσι ώστε

X= 0 Y =minus3X= 2 Y = 0X= 4 Y = 3

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times26Xminus12Y= 24

minus32X+3Y= 9

Οι εξισώσεις απλοποιούνται σεXminus2Y= 4Xminus2Y=minus6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 90

I

X

Y

(40)

(0minus2)

(minus60)

(03)

X minus2Y =minus6

X minus2Y = 4

0-0

I Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες και συνεπώς το σύστημαδεν έχει λύση ´Ετσι το σύστημα εξισώσεων είναιασύμπτωτο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 91

Περίληψη 2times2 Συστήματα Εξισώσεων∆ίνεται ένα Σύστημα Γραμμικών Εξισώσεων 2times2

Y=m1X+ c1Y=m2X+ c2

1 Υπάρχει μια στο σύστημα εάνm1 6= m2

2 ∆εν υπάρχει στο σύστημα εάνm1 = m2 και c1 6= c2

3 Υπάρχει εάνm1 = m2 και c1 = c2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 92

∆ιαδικασίες Απαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής χρησιμοποιεί πολλαπλασιασμόκαι πρόσθεση έτσι ώστε

1 Να απαλοιφεί μια από τις δύο μεταβλητές

2 Η εξίσωση που εξάγεται είναι συνάρτηση των υπόλοιπωνμεταβλητών

3 Αντικαθιστώντας την τιμή στην μεταβλητή σε μια από τιςαρχικές εξισώσεις βρίσκουμε την τιμή για τηναπολοιφθήσα μεταβλητή

Ε Ι Κοντογιώργης copy 93

ΠαραδείγματαI Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

2X +4Y = 20 (1)3X + Y = 10 (2)

Πολλαπλασιάζοντας τη δεύτερη εξίσωση με minus4 παίρνουμε

minus12X minus4Y =minus40 (3)

Προσθέτοντας την εξίσωση (1) στο (3)

2X + 4Y = 20minus12X minus 4Y = minus40minus10X = minus20

ή

X = 2 (4)Ε Ι Κοντογιώργης copy 94

Αντικαθιστώντας X= 2 στην εξίσωση (1) δίνεται2 middot2+4Y = 20 ή Y=4

´Ετσι η μοναδική λύση του συστήματος δίνεται από τοX= 2 και Y= 4 Μπορεί να επιβεβαιωθεί ότι αυτή είναι ησωστή λύση αντικαθιστώντας X= 2 και Y= 4 στηνεξίσωση (1) και (2)

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times23X minus2Y = 6 (5)

minus15X +10Y =minus30 (6)

Για την απαλοιφή της μεταβλητής X η εξίσωση (5)πολλαπλασιάζεται με 5 και το αποτέλεσμα προστίθεταιστην εξίσωση (6)

15X minus 10Y = 30minus15X + 10Y = minus30

0 = 0 Ε Ι Κοντογιώργης copy 95

Οι τελευταίες πράξεις υπονοούν ότι οι εξίσωσεις (5) και(6) είναι ισοδύναμες και έτσι υπάρχει άπειρος αριθμόςλύσεωνΓια να προσδιορίσουμε τις λύσεις του συστήματος μια απότις αρχικές εξισώσεις λύνεται ως προς μια μεταβλητή Ανγια παράδειγμα η εξίσωση (5) λύνεται ως προς Y δίνει

Y =32Xminus3

Σαν αποτέλεσμα γενικεύοντας τις λύσεις του συστήματοςέχουμε

X τυχαίο και Y =32Xminus3

Πχ για X= 4 υπονοείται ότι Y=32 middot4minus3 = 3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 96

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

6X minus12Y = 24 (7)

minus32X +3Y = 9 (8)

Πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση (8) με 4 καιπροσθέτοντας το αποτέλεσμα στην εξίσωση (7)παίρνουμε

6X minus 12Y = 24minus6X + 12Y = 36

0 = 60

Η πιο πάνω αντιλογία υπονοεί ότι δεν υπάρχει λύση τουσυστήματος εξισώσεων

Ε Ι Κοντογιώργης copy 97

3times2 Συστήματα Εξισώσεων I

1 Μ Λ

X

Y

(32)

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minusY = 1

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 98

3times2 Συστήματα Εξισώσεων II

2 Α Λ

X

Y Εξις (1)Εξις (2)Εξις (3)

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 99

3times2 Συστήματα Εξισώσεων III3 Κ

(α) ´Οταν και οι τρεις εξισώσεις είναι παράλληλες

X

Y

2X minusY =minus8

2X minusY = 2

2X minusY = 12

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 100

3times2 Συστήματα Εξισώσεων IV(β) ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ τωνεξισώσεων

X

Y

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minus2Y =minus4

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 101

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική ΑνάλυσηΣε ένα γράφημα 2 διαστάσεων ένα σύστημα mtimes2(mgt2) εξισώσεων παριστάνεται με m ευθείες ´Οπωςσυμβαίνει στα συστήματα 2times2 υπάρχουν τρίαενδεχόμενα

1 ´Ολες οι ευθείες τέμνονται στο ίδιο σημείο και έτσιυπάρχει

2 ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ των mεξισώσεων Αυτό σημαίνει ότι όλες οι ευθείες είναιπαράλληλες Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα Λ

3 Οι m εξισώσεις είναι ισοδύναμες πχ παρασταίνονται σανμια ευθεία Σε αυτή την περίπτωση υπάρχει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 102

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων ∆ιαδικασίαΑπαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής για την επίλυση ενός συστήματοςmtimes2 μπορεί να περιγραφεί ως ακολούθωςΕπιλέξτε και λύστε σύστημα με δύο εξισώσεις

1 Εάν δεν υπάρχει λύση τότε ολόκληρο το σύστημα δεν έχειλύση

2 Εάν υπάρχει μοναδική λύση που ικανοποιεί τις υπόλοιπεςmminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα έχει μία μοναδική λύση

3 Εάν η λύση είναι μοναδική αλλά δεν ικανοποιεί τιςυπόλοιπες mminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα δεν έχει λύση

4 Εάν οι 2 λύσεις είναι ισοδύναμες απάλοιψτε τη μίααπό τις δύο εξισώσεις και ξεκινήστε από την αρχήλαμβάνοντας υπόψη ένα σύστημα (mminus1)times2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 103

ΠαράδείγμαI Θεωρείστε ένα σύστημα 5times2

XminusY= 1X+2Y=minus8

3Xminus2Y= 02Xminus5Y= 11minus4X+3Y=minus1

I Η λύση των πρώτων δύο εξισώσεων δίνετε απόY =minus3 και X =minus2

I Αντικαθιστώντας τη λύση στις υπόλοιπες τρεις εξισώσειςπαίρνετε αντίστοιχα

0 = 0 11 = 11 και minus1 =minus1I Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση

X=minus2 και Y=minus3Ε Ι Κοντογιώργης copy 104

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian

Η μέθοδος απολοιφής Gaussian μετατρέπει το αρχικόσύστημα εξισώσεων σε διαγώνια μορφή επαναλαμβάνονταςστις εξισώσεις τις ακόλουθες τρεις διαδικασίες

1 Πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης μεμια θετική σταθερά

2 Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού θα προστεθεί σεάλλη εξίσωση

3 Η σειρά των εξισώσεων μπορεί να αλλάξει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 105

ΠαράδείγμαΠ Θεωρείστε το σύστημα 2times2

2X minus 3Y = 7 (Εξ 1)X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με 12 για να πάρετε

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με minus1 καιπροσθέστε την στην (Εξ 2)

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

52Y =

152 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 106

Στάδιο 3 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 25

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

Y = 3 (Εξ 2)

Στάδιο 4 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 32 και

προσθέστε την στην (Εξ 1)

X = 1 (Εξ 1)Y = 3 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 107

Π Θεωρείστε το σύστημα 2times2

5X + 20Y = 254X minus 7Y =minus26

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να εκφραστεί ως

R1 5 20 25R2 4 minus7 minus26

Η κάθετη γραμμή χρησιμοποιείται για διαχωρισμό τηςαριστερής από τη δεξιά πλευρά των εξισώσεων Το Riυπονοεί τη γραμμή (Row) i

Ε Ι Κοντογιώργης copy 108

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάζουμε τη R1 με 15 και το θέτουμε

R1larr 15R1

R1 1 4 5R2 4 minus7 minus26

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάζουμε την R1 με minus4 και τηνπροσθέτουμε στην R2 Εν συντομίαR2larrminus4R1+R2

R1 1 4 5R2 0 minus23 minus46

Στάδιο 3 R2larrminus 123R2

R1 1 4 5R2 0 1 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 109

Στάδιο 4 R1larrminus4R2+R1

R1 1 0 minus3R2 0 1 2

Το αρχικό σύστημα εξισώσεων μετατρέπεται σε διαγώνιαμορφή όπως πιο κάτω

X =minus3Y = 2

το οποίο δίνει τη λύση του συστήματος

Ε Ι Κοντογιώργης copy 110

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 I

Το σύστημα εξισώσεων 3times3 μετετρέπεται σε διαγώνιαμορφή Η μετατροπή γίνεται στήλη με στήλη από τααριστερά προς τα δεξιά

Π Θεωρήστε το σύστημα 3times3

X1 + X2 + X3 = 2X1 minus 3X2 + 2X3 = 7

4X1 minus 2X2 minus X3 = 9

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να γραφτεί ως

Ε Ι Κοντογιώργης copy 111

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 II

1 1 1 21 minus3 2 74 minus2 minus1 9

Ε Ι Κοντογιώργης copy 112

Βοηθήματα Βιβλιογραφία και Πηγές

1 3 Laurence D Hoffmann and Gerald L Bradley AppliedCalculus For Business Economics and the Social and LifeSciences McGraw-Hill Science (International Edition 2010)

2 FS Budnick Applied Mathematics for Business Economicsand the Social Sciences (any edition) McGraw-Hill

Ε Ι Κοντογιώργης copy 5

∆ΙΑΛΕΞΕΙΣ

Τα μαθήματα θα γίνονται υπό μορφή διαλέξεων (3 ώρεςτην εβδομάδα) και φροντιστηρίων (μιά ώρα) Στη διάλεξηπαραδίδεται η ύλη του μαθήματος και γίνεται ανάλυσητων θεμάτων της ύλης

Οι φοιτητές μπορούν να παρακολουθούν διαλέξεις μόνοστο τμήμα στο οποίο έχουν εγγραφεί

Οι σημειώσεις που θα καλύπτονται σε κάθε διάλεξηβρίσκονται στην ιστοσελίδαhttpecoursescutaccyκαι για τις πρώτες διαλέξεις στηνhttpwwwerricoscomcoursesEXN110

Ε Ι Κοντογιώργης copy 6

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Ο κάθε φοιτητής θα πρέπει να προμηθευτεί τις σημειώσειςπριν την έναρξη της διάλεξης ώστε να τις έχει μαζί τουκατά την διάρκεια της διάλεξης

Οι σημειώσεις θα έχουν κάποια μέρη άδεια (τρύπες) ταοποία θα συμπληρώνονται κατά τη διάρκεια τωνδιαλέξεων

Στα φροντιστήρια γίνεται συζήτηση της ύλης πουκαλύπτει η διάλεξη και λύνονται ασκήσεις

Ε Ι Κοντογιώργης copy 7

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΑ

Η ενδιάμεση εξέτάση αναμένεται να πραγματοποιηθεί τοΣάββατο 17 Οκτώβρη του 2015 και θα αντιστοιχεί στο35 της συνολικής βαθμολογίας

Η τελική εξέταση θα πραγματοποιηθεί τον ∆εκέμβριο καιθα αντιστοιχεί στο 65 της συνολικής βαθμολογίας

Οποιεσδήμοτε τροποποιήσεις (αν υπάρξουν) σχετικά με τιςημερομηνίες ήκαι τις ώρες διεξαγωγής των ενδιάμεσωνεξετάσεων θα σας γνωστοποιηθούν γραπτός

Ε Ι Κοντογιώργης copy 8

Σημείωση

Ο φοιτητής ο οποίος θα συλληφθεί να αντιγράφει να έχεικινητό τηλέφωνο να έχει αριθμομηχανές ή να έχει έγραφαστο θρανίο του που έχουν άμεση σχέση με το εξεταζόμενομάθημα ΕΧΝ110 κατά την διάρκεια των εξετάσεων τότεαμέσως αποτυγχάνει στο μάθημα αυτό και είναιυπεύθυνος για τις οποιεσδήποτε πειθαρχικές διαδικασίεςπροκύψουν λόγο αυτού

Κατά τη διάρκεια των διαλέξεων όλα τα κινητά τηλέφωναπρέπει να είναι κλειστά

Φαγώσιμα ή ποτά δεν επιτρέπονται στις διαλέξεις

Ε Ι Κοντογιώργης copy 9

ΕΧΝ 110 Μαθηματικά ΙΠεριεχόμενα

I Μ I Β Ε Β Λ

I Ε Α ΛI ΑI Α Γ ΠI Σ I ΛI Γ

Ερρίκος Ιωάννη ΚοντογιώργηςE-mail erricoscutaccy

Ε Ι Κοντογιώργης copy 10

Μεταβλητές και Σταθερές

I Στα Μαθηματικά και τη Στατιστική πάντοτεασχολούμαστε με ευμετάβλητα μεγέθη Για παράδειγμαμισθούς επιτόκια πληθωρισμό ύψος βάρος ηλικία χρόνοκτλ

I Στα συνηθισμένα συμφραζόμενα μια μεταβλητήσυμβολίζεται με ένα αλφαβητικό γράμμα πχ x y zκτλ Για παράδειγμα αν η μεταβλητή μας αποτελείταιαπό τους μισθούς υπαλλήλων τότε μπορούμε να τουςπαραστήσουμε τους μισθούς με τη μεταβλητή x

I Συγκεκριμένα εάν δεν ενδιαφερόμαστε για το πραγματικόύψος των μισθών (ή δε τους γνωρίζουμε) αλλά επιθυμούμενα απομονώσουμε τους μισθούς τεσσάρων υπαλλήλωντότε τους συμβολίζουμε ως εξής x1 x2 x3 και x4

Ε Ι Κοντογιώργης copy 11

Μεταβλητές και Σταθερές ΙΙ

I Σε ορισμένες περιπτώσεις εμπερικλείουμε τις μεταβλητές σεπαρενθέσεις ´Ετσι (x1x2x3x4)Ο τρόπος αυτός ονομάζεται σύνολο

I Αν ξέρουμε τους πραγματικούς μισθούς τεσσάρωνυπαλλήλων μπορούμε να τους γράψουμε σε σειρά έτσι τοσετ θα έχει τη μορφή (2200016000384322943248)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 12

Ακέραιοι και Πραγματικοί Αριθμοί

I Οι lsquoφυσικοίrsquo αριθμοί (θετικοί ακαίραιοι) δίνονται ως εξής1234 Το σύνολο όλων των φυσικών αριθμώνσυμβολίζεται με το γράμμα N

I Οι lsquoολόκληροιrsquo αριθμοί (μη αρνητικοί ακέραιοι) είναι οιφυσικοί αριθμοί μαζί με το μηδέν 01234

I Οι lsquoακέραιοιrsquo περιλαμβάνουν τους φυσικούς αριθμούς τομηδέν και τους αρνητικούς φυσικούς αριθμούς

minus2minus1012

Η σειρά των ακεραίων συμβολίζεται με Z

Ε Ι Κοντογιώργης copy 13

Ακέραιοι και Πραγματικοί Αριθμοί ΙΙ

I Μια μεταβλητή μπορεί να πάρει πεπερασμένο αριθμότιμών Για παράδειγμα η μεταβλήτή M που υποδειλώνειτους μήνες του χρόνο μπορεί να πάρει τις τιμές

123456789101112

Σε αυτή την περίπτωση η μεταβλητή M είναι μια σειράθετικών ακέραιων μετεβλητών (φυσικοί)

I Η μεταβητή x μισθοί από το προηγούμενο παράδειγμαπαίρνει θετικούς πραγματικούς αριθμούς

I Το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών συμβολίζεταιreal Η σειρά αυτή περιλαμβάνει όλους τους πραγματικούςακέραιους αριθμούς από το μείον άπειρο (minusinfin) ως στοάπειρο (infin)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 14

Ακέραιοι και Πραγματικοί Αριθμοί ΙΙΙ

I Γενικά μια μεταβλητή x που παίρνει πραγματικές τιμέςονομάζεται πραγματική μεταβλητή (real variable) καισυμβολίζεται με x isinreal Με το σύμβολο isin εννοούμε lsquoμέσαrsquolsquoανήκειrsquo κλπ

I Το σύμβολο που χρησιμοποείται για το διαχωρισμό τουακέραιου μέρους σε ένα δεκαδικό αριθμό από τοκλασματικό μέρος ονομάζεται δεκαδικό σημείο (decimalpoint) Eg 314159

I Η δεκαδική θέση (decimal place) είναι η θέση του ψηφίουστα δεξιά του δεκαδικού σημείου

Ε Ι Κοντογιώργης copy 15

Συναρτήσεις Ακέραιων και Πραγματικών

I Συνάρτηση στογγυλοποίησης ή συνάρτηση κοντινότερουδεκαδικούΗ lsquoστρογγυλοποίησηrsquo ενός πραγματικού αριθμού xσυμβολίζεται με [x] ∆ίνει τον πιο κοντινό ακέραιο στοxΠχ [32] = 3 [minus32] =minus3 και [86] = 9Ο πιο πάνω ορισμός είναι δύσκολο να εφαρμοστεί γιαhalf-integers Στις περιπτώσεις αυτές η στρογγυλοποίησηγίνεται προς τα πάνω μόνο για τους μονούς αριθμούςέτσι ώστε να αποφεύγεται η μεροληπτικότηταΠχ [35] = 4 [45] = 4 και [05] = 0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 16

I Στρογγυλοποίηση προς τα πάνω ή συνάρτησημικρότερου ακεραίουΗ lsquoστρογγυλοποίηση προς τα πάνωrsquo ενός πραγματικούαριθμού x συμβολίζεται με dxe Μας δίνει το μικρότεροδυνατό ακέραιο που είναι μεγαλύτερος ή ίσος από το xΠχ d32e= 4 dminus32e=minus3 d35e= 4 και d36e= 4

I lsquoΣτρογγυλοποίηση προς τα κάτωrsquo ή συνάρτησημεγαλύτερου ακεραίουΤο lsquoκατώτατο όριοrsquo ενός πραγματικού αριθμού xσυμβολίζεται bxc ∆ίνει το μεγαλύτερο δυνατό ακέραιοπου είναι μικρότερος ή ίσος από το xΠχ b32c= 3 bminus32c=minus4 b35c= 3 και b36c= 3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 17

Σταθερές

I ´Ενας αριθμός που αντιπροσωπεύει μια ποσότητα πουθεωρείται ότι έχει σταθερή τιμή ονομάζεται lsquoσταθεράrsquo Ητιμή μιας σταθεράς ενώ δε μεταβάλλεται πιθανό να μηνπροσδιορίζεται

I Οι πιο σημαντικές πραγματικές σταθερές είναι

1 Το π= 314159 Είναι ο δείκτης που υποδειλώνει τηνπεριφέρεια του κύκλου ακτίνια Ονομάζεται και σταθερά τουΑρχιμήδη

2 Το exp = 271828 που υποδειλώνει τη βάση του φυσικούλογάριθμου

Ε Ι Κοντογιώργης copy 18

Σύμβολα Κατεύθυνσης

I Το σύμβολο lsquogtrsquo που σημαίνει lsquoμεγαλύτεροrsquo καθώς και τοlsquogersquo που σημαίνει lsquoμεγαλύτερο ή ίσοrsquo

I Το σύμβολο lsquoltrsquo που σημαίνει lsquoμικρότεροrsquo καθώς και το lsquolersquoπου σημαίνει lsquoμικρότερο ή ίσοrsquo

I Παράδειγμα Οι μεταβλητές που συμβολίζουν τουςμηνιαίους μισθούς xge 0 Οι μεταβλητές που συμβολίζουντους μήνες του χρόνου 0ltMlt13 που μπορούν επίσης ναγραφτούν 1leMle 12

Ε Ι Κοντογιώργης copy 19

∆υνάμειςI Οι εκθέτες αποτελούν συντομογραφία του

πολλαπλασιασμού (5)(5) = 52 και (5)(5)(5) = 53 Εδώτο 5 λέγεται βάση και το 3 λέγεται εκθέτης Μπορείεπίσης να ερμηνευτεί πέντε υψωμένο στην τρίτη δύναμη

I Η δύναμη είναι ο εκθέτης στον οποίο υψώνεται μιαποσότητα Η έκφραση xn είναι γνωστή ως x στη nδύναμη

I Σημειώστε ότι 5253 = (55)(555) = 55 = 5(2+3) Εδώπαρουσιάζεται ένας βασικός κανόνας του εκθέτη Στηπερίπωση που πολλαπλασιάζονται δύο όροι που έχουντην ίδια βάση οι εκθέτες τους μπορούν να προστεθούν

xmxn = x(m+n)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 20

I Στην περίπτωση όμως που (x4)(y3) ο πιο πάνω κανόναςδε μπορεί να εφαρμοστεί γιατί οι βάσεις είναιδιαφορετικές (x4)(y3) = xxxxyyy

I Για (x2)4

= x2x2x2x2 = xxxxxxxx= x8 = x(2times4)

I ´Ετσι στην περίπτωση που έχετε μια εκθετική έκφρασηπου είναι υψωμένη σε μία δύναμη μπορείτε ναπολλαπλασιάσετε τον εκθέτη με τη δύναμη

(xm)n

= xmn

Ε Ι Κοντογιώργης copy 21

I Εάν έχετε μια έκφραση μέσα σε παράνθεση και ηπαράνθεση είναι υψωμένη σε μια δύναμη τότε η δύναμημπορεί να γίνει μέρος τις παράνθεσης Για παράδειγμα

(xy2)3 = (xy2)(xy2)(xy2) = (xxx)(y2y2y2)

= (xxx)(yyyyyy) = x3y6 = (x)3(y2)3 = x3y6

Παρομοίως(xy)2

=x2y2

I ´Ενας αρνητικός εκθέτης είναι ένδειξη ότι η βάση βρίσκεταιστον παρονομαστή του κλάσματος Πχ

xminus2 =1x2

x2xminus3 = x2x3 = x5 2xminus1 =

2x

(3x)minus2 =1

(3x)2 =1

9x2 και(xminus2yminus3

)minus2=

(xminus2)minus2

(yminus3)minus2=x4y6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 22

I Οτιδήποτε στη δύναμη μηδέν είναι lsquo1rsquo

Πχ 50 = 1 x0 = 1 (x2y3)0 = 1 και 00 = 1

Σημειώστε ότι 50 = 5(1minus1) = (51)(5minus1) =55 = 1

I Μηδέν σε οποιαδήποτε δύναμη είναι μηδέν έτσι 0n = 0

Σημειώστε ότι 00 = 1 και ότι 00 = 0

Αυτό υποδειλώνει ότι 00 είναι μια απροσδιόριστη μορφήπου σε κάποιες περπτώσεις παίρνει μία τιμή και σεκάποιες άλλες περιπτώσεις παίρνει διαφορετική τιμή

Ε Ι Κοντογιώργης copy 23

I Κλασματικοί (Αναλογικοί) Εκθέτες

1 Η τετραγωνική ρίζα μπορεί να γραφτεί σε μορφή κλάσματος

´Ετσι radicx= x12

Πχ 212 =

radic2 = 141 και 2

minus12 =

1radic2

= 071

2 Γενικά xab =bradicxa Πχ 7

23 =

3radic72 = 366

355 = 3112 =

2radic311 = 42089

Ε Ι Κοντογιώργης copy 24

ΛογάριθμοιI Η λογαριθμική μορφή ενός αριθμού είναι lsquoαντίθετηrsquo από

την εκθετική Τεχνικά μιλώντας η λογαριθμική μορφήείναι αντίστροφη της εκθετικής

I Η σχέση δίνεται logb(x) = y

που είναι το ίδιο με by = x

I Ο lsquolsquologb(x) = yrsquorsquo προφέρεται lsquolsquolog-βάση-b-του x ισούται yΕδώ b ονομάζεται lsquoβάση του λογαρίθμουrsquo αφού το b είναιη βάση της εκθετικής έκφρασης

I Η βάση b του λογάριθμου είναι πάντοτε θετική και δενισούται με 1

I Οτιδήποτε βρίσκεται μέσα στο λογάριθμο ονομάζεταιέκφραση

Ε Ι Κοντογιώργης copy 25

ΠαραδείγματαI Μετατρέψτε την έκφραση 63 = 216 στην ισοδύναμη

λογαριθμική μορφή

Για τη μετατροπή η βάση μένει η ίδια αλλά το 3 και το216 αλλάζουν θέσεις Αυτό μας δίνει

log6(216) = 3

I Μετατρέψτε τον log4(1024) = 5 στην αντίστοιχηλογαριθμική έκφραση

Για τη μετατροπή η βάση (που είναι 4) παραμένει η ίδιααλλά το 1024 και το 5 αλλάζουν θέσεις ´Ετσι δίνεται

45 = 1024

Ε Ι Κοντογιώργης copy 26

I Υπολογίστε τον log2(8)

Εάν y= log2(8) τότε υπονοείται ότι 2y = 8 Αυτόσημαίνει ότι y είναι η δύναμη του 2 που θα έχει σαναποτέλεσμα 8 Η δύναμη που δίνει το αποτέλεσμα είναι 3αφού 23 = 8 ´Ετσι

log2(8) = 3

I Κατά παρόμοιο τρόπο log5(25) = 2 αφού 52 = 25

I Υπολογίστε τον y= log64(4)

Σημειώστε ότι 64y = 4 και 43 = 64

´Ετσι (43)y

= 4 ή 43y = 41

Η πιο πάνω έκφραση εξυπονοεί ότι 3y= 1 και έτσιy= 13

Ε Ι Κοντογιώργης copy 27

I Υπολογίστε y= log6(6)

Αυτό ισοδυναμεί με το 6y = 6 και συνεπώς y= 1

I Υπολογίστε το y= log3(1)

Το πιο πάνω μπορεί να γραφτεί ως 3y = 1

´Ομως 1 = 30 έτσι 3y = 30 και y= 0

I Υπολογίστε το y= log4(minus16)

Μπορεί να γραφτεί σαν 4y =minus16

´Ομως δεν υπάρχει τιμή (πχ δύναμη) y που ναικανοποιεί τη σχέση ´Ετσι δεν υπάχρει λύση

Ε Ι Κοντογιώργης copy 28

I Υπολογίστε το y= log2(0)

Αυτό σημαίνει 2y = 0 όμως δε υπάρχει τιμή που ναικανοποιεί τη σχέση ´Ετσι δεν υπάχρει λύση

I Υπολογίστε το y= 2log2(9)

Αυτό σημαίνει ότι log2(y) = log2(9) και έτσι y= 9

Ε Ι Κοντογιώργης copy 29

I Γενικά1 logb(b) = 1 για οποιαδήποτε βάση b

2 logb(1) = 0 για οποιαδήποτε βάση b

3 logb(a) δεν ορίζεται για αρνητικά a

4 logb(0) δεν ορίζεται για οποιαδήποτε βάση b

5 logb(bn) = n για οποιαδήποτε βάση b

Ε Ι Κοντογιώργης copy 30

I Οι λογάριθμοι μπορούν να πάρουν οποιοδήποτε αριθμόσαν βάση αλλά δύο βάσεις είναι οι πιο χρήσιμες οlog-βάση-10 και ο log-βάση-e

I Η βάση-10 log συχνά ονομάζεται ο κοινός log καιγράφεται ως log(x) Εδώ δεν αναγράφεται βάση καιμπορούμε να υποθέσουμε ότι η βάση είναι 10

Πχ log(100) = 2 έτσι log10(102) = 2

I Η βάση-e log ονομάζεται ο φυσικός log και γράφεται σανln(x)Πχ ln(e345)= 345 καθώς loge(e345) = 345

Ε Ι Κοντογιώργης copy 31

Ιδιότητες Λογαρίθμωνlogb(xy) = logb(x) + logb(y)

Απόδειξη´Εστω m= logbx και n= logby

Γράψτε σε μορφή εκθέτη x= bm και y= bn

Πολλαπλασιάστε το x και y ούτως ώστεxy= bmbn = bm+n

´Ετσι από τον ορισμό των λογαρίθμων το xy= bm+nσυνεπάγει ότι

logb(xy) =m+n= logbx+ logb(y)

Πχ log2(4times16) = log2(64) = log2(26) = 6

Ακόμα log2(4times16) = log2(4) + log2(16) = 2+4 = 6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 32

logb(xy)

= logb(x)minus logb(y)

Απόδειξη´Εστω m= logbx και n= logby

Γράψτε σε μορφή εκθέτη x= bm και y= bn

∆ιαίρα το x και y ούτως ώστε xy =bmbn = bmminusn

´Ετσι από τον ορισμό των λογαρίθμων το xy = bmminusn

συνεπάγει ότι

logb(xy)

=mminusn= logbxminus logb(y)

Πχ log2(16

4)

= log2(4) = 2

και log2(16

4)

= log2(16)minus log2(4) = 4minus2 = 2Ε Ι Κοντογιώργης copy 33

logb(xn) = n logb(x)

Απόδειξη´Εστω m= logbx και γράψτε σε μορφή εκθέτη x= bm

Αυξάνοντας τις δύο πλευρές στην n δύναμη παίρνουμεxn = (bm)n = bmn

´Ετσι από τον ορισμό των λογαρίθμων τοlogbxn =mn= nm= n(logbx)

Πχ log2(64) = log2(26) = 6 log2(2) = 6

log(64) = 18

Επιπλέον log(64) = log(26) = 6log(2) = 6times030 = 18

Ε Ι Κοντογιώργης copy 34

logb(x) =loga(x)loga(b) agt0 a 6= 1

Απόδειξη´Εστω m= logbx rArr x= bm

Εφαρμόστε loga και στις δύο πλευρές του x= bmγια ναδώσει

logabm = logax rArr m logab= logaxrArr m=logaxlogab

rArr logbx=logaxlogab

Πχ log5(20) =log(20)

log(5)= 186 =

ln(20)

ln(5)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 35

logb(a) =1

loga(b) agt0 a 6= 1

Απόδειξη

logb(x) =loga(x)loga(b) =

logx(x)logx(b)

=1

loga(b)

´Οταν a= x

Πχ log2(64) =1

log64(2)=

116 = 6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 36

Αθροισμα

I Υποθέστε ότι έχουμε μια μεταβλητή x που μπορεί ναπάρει δέκα τιμές Εάν ενδιαφερόμαστε για το άθροισμάτους χωρίς να ξέρουμε την τιμή της κάθε μεταβλητής τότεο καλύτερος τρόπος να το εκφράσουμε είναι

x1 +x2 + middot middot middot+x9 +x10

I Εν συντομία το άθροισμα n στοιχείων x1 +x2 + middot middot middot+xn είναιnsum

i = 1xi

και ερμηνεύεται σαν το άθροισμα όλων των xirsquosξεκινώντας από το x1 (πχ i = 1) μέχρι xn (i = n)

I Εάν δε δοθεί διαφορετικά πάντοτε υποθέτουμε ότι το iαυξάνεται ξεκινώντας από το στάδιο 1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 37

I Το lsquolsquoSigmarsquorsquo Σ είναι γνωστό ως το άθροισμα (summation) ήσύμβολο σίγμα (sigma operator) και ο δείκτης i όνομάζεταιεικονική μεταβλητή

I Παραδείγματα

I

5sum

i = 1xi = x1 +x2 +x3 +x4 +x5

I

5sum

i = 1(y2

i ) = y21 +y22 +y23 +y24 +y25

Σημειώστε ότι η μόνη μεταβλητή που περιγράφεται απευθείαςκάτω από το σύμβολο Σ αυξάνεται κατά 1 κάθε φορά ενώ όλατα άλλα σύμβολα παραμένουν τα ίδια

I

4sum

r = 1(x3r ) = x31 +x32 +x33 +x34

Ε Ι Κοντογιώργης copy 38

I6sum

i = 1i = 1+2+3+4+5+6

I6sum

i = 1i2 = 12 +22 +32 +42 +52 +62

I7sum

i = 3xi = x3 +x4 +x5 +x6 +x7

I4sum

i = 1a = a+a+a+a= 4a

I3sum

i = 1(4+xi) = (4+x1) + (4+x2) + (4+x3)

=3sum

i = 14+

3sum

i = 1xi

Ε Ι Κοντογιώργης copy 39

I3sum

i = 1(2xi) = (2x1) + (2x2) + (2x3) = 2times

3sum

i = 1xi

I Ο συντελεστής i παραλείπεται εάν δε προκαλείαοριστία Για παράδειγμα Σx ή Σixi σημαίνειάθροισμα όλων των x που λαμβάνονται υπόψη

I ∆ήλωσηI

nsumi=1a= na

I sumiaxi = asum

ixi

I sumi

(axi+byi) = asumixi +bsum

iyi

Ε Ι Κοντογιώργης copy 40

I Αθροιστικός Τύπος

Insum

i = 1i = 1+2+ middot middot middot+n=

n(n+1)

2

Πχ6sumi = 1i = 1+2+3+4+5+6 =

6(6+1)

2 = 21

Insum

i = 1i2 = 12 +22 + middot middot middot+n2 =

n(n+1)(2n+1)

6

Πχ6sumi = 1i2 = 12 +22 +32 +42 +52 +62

=6(6+1)(12+1)

6 = 91

Ε Ι Κοντογιώργης copy 41

Insum

i = 1i3 = 13 +23 + middot middot middot+n3 =

n2(n+1)2

4

Πχ6sumi = 1i3 = 13 +23 +33 +43 +53 +63

=62(6+1)2

4 = 441

Ε Ι Κοντογιώργης copy 42

ΠαραδήγματαΑριθμητική Πρόοδος

I Γενικά μπορούμε να εκφράσουμε μια αριθμητική πρόοδο ωςεξής

αριθμητική πρόοδος a a+d a+2d a+3d

όπου ο πρώτος όρος είναι a και η διαφορά d Ο όρος nτης απ δίνεται από τη σχέση b = a+ (nminus1)d

I 3 5 7 9 11 είναι μια αριθμητική πρόοδος Οπρώτος όρος είναι το 3 και η διαφορά είναι 2

I 2 minus1 minus4 minus7 είναι μια αριθμητική πρόοδος όπου οπρώτος όρος είναι 2 και η διαφορά minus3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 43

I Το άθροισμα των όρων μιας αριθμητικής προόδου είναιγνωστό ως αριθμητική σειρά

Sn = a+ (a+d) + (a+2d) + middot middot middot+ (a+ (nminus1)d)

=nsumi=1

(a+ (iminus1)d

)= na+

nsumi=1

(iminus1)d

= na+dnminus1sumi=1

i = na+d(nminus1)n2

=n2(2a+d(nminus1)) =

n2(a+b) b = a+d(nminus1)

I ΑΠ 3 5 7 9 11 13 rArr Sn =62(3+13) = 48

Ε Ι Κοντογιώργης copy 44

∆ιπλό Αθροισμα4sumi=1

isumj=1

j = (1) + (1+2) + (1+2+3) + (1+2+3+4) = 20

nsumi=1

isumj=1

j =nsumi=1

( isumj=1

j)

nsumi=1

(12 i(i+1)

)=

12

nsumi=1

(i2 + i)

12( nsumi=1

i2 +nsumi=1

i)

=12(16n(n+1)(2n+1) +

12n(n+1)

)

=12

16n(n+1)

((2n+1) +3

)=

n6(n+1)(n+2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 45

∆ιπλό Αθροισμα

nsumi=1

msumj=1

(i+ j+2) =nsumi=1

( msumj=1

(i+ j+2))

nsumi=1

( msumj=1

i+msumj=1

j+msumj=1

2)

=nsumi=1

(mi+ 1

2m(m+1) +2m)

m( nsumi=1

i+ 12

nsumi=1

(m+5))

= m(12n(n+1) +

12n(m+5)

)

=mn2(m+n+6

)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 46

Insumr=1

1r(r+1)

=nsumr=1

(Ar +

Br+1

)=

nsumr=1

A(r+1) +Brr(r+1)

I A(r+1) +Br = 1

I Για r = 0 τότε A= 1 και για r =minus1 τότε B=minus1

I

nsumr=1

1r(r+1)

=nsumr=1

(1r minus

1r+1

)

=(

(11 minus

12) + (

12 minus

13) + (

13 minus

14) + middot middot middot+ (

1nminus1 minus

1n ) + (

1n minus

1n+1)

)

= 1minus 1n+1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 47

Insumk=1

1(k+2)(k+3)

=nsumk=1

( A(k+2)

+B

(k+3)

)=

nsumk=1

A(k+3) +B(k+2)

(k+2)(k+3)

I A(k+3) +B(k+2) = 1

I Για k=minus2 τότε A= 1 και για k=minus3 τότε B=minus1

I

nsumk=1

1(k+2)(k+3)

=nsumk=1

( 1(k+2)

minus 1(k+3)

)

=(

(13 minus

14)+(

14 minus

15)+(

15 minus

16)+ +(

1n+1 minus

1n+2)+(

1n+2 minus

1n+3)

)

=13 minus

1n+3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 48

Αθροισμα με Λογάριθμους

nsumi=1

logb(i) = logb(1) + logb(2) + middot middot middot+ logb(n)

= logb(1times2times3timesmiddotmiddot middottimesn)

= logb(n)

I Το n (n παραγοντικό) δίνεται από n = 1times2timesmiddotmiddot middottimesn και0 = 1

I100sumi=1

log2(100) = log2(100) =log(100)

log(2)=

log(99)

log(2)+

2log(2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 49

Γινόμενο των ακολουθιώνIn

prodi=1xi = x1timesx2timesx3timesmiddotmiddot middottimesxn

In

prodi=1i = 1times2times3timesmiddotmiddot middottimesn= n

In

prodi=1z= ztimesztimesmiddotmiddot middottimesz= zn

I

nprodi=1

(1+

1i+1

)=(1+

12)times(1+

13)times(1+

14)times times(1+

1n )times(1+

1n+1)

=32 times

43 times

54 timesmiddotmiddot middottimes

n+1n times n+2

n+1

=n+22

Ε Ι Κοντογιώργης copy 50

Γεωμετρικές ΠροόδοιI Μια γεωμετρική πρόοδος είναι μια σειρά αριθμών όπου

κάθε όρος μετά των πρώτο υπολογίζεται από τονπολλαπλασιασμό του προηγούμενου όρου με ένασταθερό αριθμό που καλείται αναλογία

I Η σειρά1 3 9 27 81 middot middot middot

είναι μια γεωμετρική πρόοδος με πρώτο όρο το 1 καιαναλογία 3

I Η αναλογία μπορεί να είναι κλάσμα καθώς επίσης καιαρνητικός αριθμός Για παράδειγμα η γεωμετρικήπρόοδος με πρώτο όρο το 2 και αναλογία minus13 είναι

2 minus 23 +

29 minus

227 +

281 middot middot middot

Ε Ι Κοντογιώργης copy 51

I Γενικά μπορούμε να γράψουμε μια γεωμετρική πρόοδο ωςακολούθως

γεωμετρική πρόοδος a ar ar2 ar3 ar4 middot middot middot

όπου ο πρώτος όρος είναι a και η αναλογία r

I Σημαντικά θεωρήματα των γεωμετρικών προόδων (γπ)1 Ο n όρος μιας γπ δίνεται από ar(nminus1)

2 Το άθροισμα των πρώτων n όρων μιας γπ είναι

Sn =a(1minus rn)

1minus r =a(rnminus1)

rminus1 και ισχύει μόνο αν r 6= 1

I Το άθροισμα των όρων μιας γεωμετρικής προόδουονομάζεται γεωμετρική σειρά

Ε Ι Κοντογιώργης copy 52

Γεωμετρική σειρά

Sn = a+ar+ar2 +ar3 + middot middot middot+arnminus2 +arnminus1

rSn = ar+ar2 +ar3 + arnminus1 +arn

Snminus rSn = aminusarn

(1minus r)Sn = a(1minus rn)

Sn =a(1minus rn)

(1minus r) =a(rnminus1)

(rminus1)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 53

I Παράδειγμα1 Βρείτε το άθροισμα των πρώτων 10 όρων μιας γεωμετρικής

σειράς4 8 16 32

Ο πρώτος όρος είναι a= 4 και η αναλογία r = 2 καιn= 10 ´Ετσι

S10 =4(1minus210)

1minus2 = 4092

2 Θεωρείστε τη γπ4 minus8 16 minus32 64 minus128 256 minus512

Σε αυτή την περίπτωση ο πρώτος όρος είναι a= 4 ηαναλογία είναι r =minus2 και n= 8´Ετσι

S8 =4(1minus (minus2)8)

1minus (minus2)=minus340

Ε Ι Κοντογιώργης copy 54

Συνεχείς ανατοκισμός

Οι περισσότεροι τραπεζικοί λογαριασμοί και τα δάνειαυιοθετούν ανατοκισμό - εφαρμόζοντας συνεχή ανατοκισμόΘεωρείστε ένα λογαριασμό που προσφέρει τόκο με ετήσιοεπιτόκιο r (πχ 7) Εάν το επιτόκιο είναι συνεχέςσε χρονιαία βάση τότε μετά από 1 χρόνο το χρονιαίοεπιτόκιο προστίθεται στο αρχικό κεφάλαιο για νακαθορίσει ένα μεγαλύτερο κεφάλαιο τον δεύτερο χρόνο

´Ετσι κατά τη διάρκεια του δεύτερου χρόνου ολογαριασμός κερδίζει επιτόκιο πάνω στο επιτόκιοΑυτή είναι η επίδραση του ανατοκισμού που συνεχίζεταιχρόνο με το χρόνο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 55

I Με τον ετήσιο ανατοκισμό το κεφάλαιο πουσυσσωρεύεται στο λογαριασμό πολλαπλασιάζεται με

(1+ r)

´Ετσι το κεφάλαιο A θα αυξηθεί σε

A(1+ r) = A+A middot r

τον επόμενο χρόνο

I Με το πέρας και του δεύτερου χρόνου το κεφάλαιο θααυξηθεί ακόμα (1+ r) σε (1+ r)2

´Ετσι το κεφάλαιο καταλήγει σε

A(1+ r)(1+ r) = A(1+ r)2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 56

I Κατά παρόμοιο τρόπο στο τέλος του τρίτου χρόνου τοποσό θα αυξηθεί κατά (1+ r)3

I Μετά από n χρόνια το ποσό θα αυξηθεί κατά (1+ r)n

I ´Ετσι το κεφάλαιο (επένδυση) A θα αυξηθεί με συνεχήανατοκισμό σε A(1+ r)n μετά από n χρόνια

I Ο τύπος (1+ r)n εκθέτει γεωμετρική αύξηση λόγω τηςn δύναμης

Ε Ι Κοντογιώργης copy 57

ΠαραδείγματαI Εάν το επιτόκιο είναι r = 5 τότε το κεφάλαιοA= $1000 που βρίσκεται στην τράπεζα n= 20 χρόνιαθα αυξηθεί κατά

(1+ r)n = (1+005)20 = 2653 φορές

´Ετσι το ποσό θα καταλήξειA(1+ r)n = $265330

I Βρέστε το χρόνο που χρειάζεται για ένα λογαργιασμό ναδιπλασιάσει το διαθέσιμο κεφάλαιο του όταν r = 7 καιr = 10Ζητούμε να βρούμε το n έτσι ώστε

(1+ r)n = 2Ε Ι Κοντογιώργης copy 58

I Υπολογίζοντας το λογάριθμο του τελευταίου παίρνουμε

log(1+ r)n = log(2)ή n log(1+ r) = log(2)

´Ετσιn=

log2log(1+ r)

I Για r = 7 και r = 10 ο χρόνος n πουχρειάζεται για διπλασιασμό της επένδυσης υπολογίζεταισε 1024 και 727 αντίστοιχα

Ε Ι Κοντογιώργης copy 59

I Αν το επιτόκιο είναι r = 7 τότε πιο θα είναι τοσυνολικό ποσό στο λογαριασμό μετά από 205 και41 χρόνια αντίστοιχα

Μετά τα πρώτα 1025 χρόνια το ποσό A θαδιπλασιαστεί σε 2A Για τα επόμενα 1025 χρόνιατο ποσό θα ξαναδιπλασιαστεί σε 4A ´Ετσι μετά από205 χρόνια το ποσό θα αυξηθεί κατά 4 φορές

Με το πέρας ακόμα 205 χρόνων το ποσό θα αυξηθείακόμα 4 φορές σε 16 ´Ετσι μετά από 41 χρόνιατο κεφάλαιο A γίνεται 16A

Ε Ι Κοντογιώργης copy 60

Ασκήσεις και Παραδείγματα

I Υπολογίστε τη Μελλοντική Αξία (Future Value (FV)) τουκεφαλαίου A= 1500 που κερδίζει ετήσιο επιτόκιοr = 5 για n= 10 έτη

FV =A(1+ r)n = 1500(1+005)10 = 244334

I Πόσα έτη απαιτούνται για να τριπλασιαστεί ένα ποσόπου αφήνετε στην τράπεζα με επιτόκιο r = 5∆ηλαδή βρείτε το n όπου A= 1 r = 5 και FV = 3

FV =A(1+ r)n ή (1+ r)n =FVA

Ε Ι Κοντογιώργης copy 61

Υπολογίζοντας τους λογαρίθμους παίρνουμε

log(1+ r)n = log(FVA)

ή n log(1+ r) = log(FVA)

´Ετσι

n=log(FVA)

log(1+ r) =log(3)

log(105)

= 2252

Ε Ι Κοντογιώργης copy 62

I Βρείτε την παρούσα αξία A έτσι ώστε σε δέκα έτη μεσταθερό επιτόκιο r = 6 να είναι 100KΒρείτε το A όπου FV = 100000 r = 6 και n= 10

FV =A(1+ r)n ή A=FV

(1+ r)n

´Ετσι A=100000

(106)10= 5583948

I Βρείτε την ετησιοποιημένη απόδοση (AER AnnualEquivalent Rate) μιας μηνιαίας κατάθεσης με σταθερόεπιτοκίο 394 Μια τέτοια κατάθεση λαμβάνει το επιτόκιο στη λήξηΣυνεπώς κάθε μήνα ο λογαριασμός λαμβάνει

r = 0039412 = 000328

επιτόκιο που επανεπενδύεται (συνεχής ανατοκισμός)Ε Ι Κοντογιώργης copy 63

Επανεπενδύοντας το επιτόκιο κάθε μήνα στη διάρκειαενός έτους το κεφάλαιο θα αυξηθεί σε

(1+ r)12 = (1+000328)12 = 104012

´Ετσι το ΑΕΡ είναι ισοδύναμο με 004012 = 4012I Υπολογίστε το επιτόκιο ενός σταθερού λογαριασμού

κατάθεσης 7-ημερών που έχει AER επιτόκιο r = 425Θεωρείστε ρ το εβδομαδιαίο επιτόκιο

´Ετσι (1+ρ)52 = (1+00425)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 64

Παίρνοντας τους λογαρίθμους έχουμε52log(1+ρ) = log10425

ή log(1+ρ) =log10425

52

ή 1+ρ= 10( log10425

52)

Αυτό μας δίνει

ρ= 10

( log1042552

)minus1 = 008

´Ετσι το συνεχές επιτόκιο μιας επταήμερης κατάθεσης είναιρtimes52 = 41638

Εναλλακτικά (1+ρ)52 = (1+00425) δίνει

(1+ρ) =52radic10425ή ρ=

52radic10425minus = 008Ε Ι Κοντογιώργης copy 65

I Υπολογίστε την ετήσια απόδοση r έτσι ώστε A= 10000να επιστρέφει FV = 35000 σε n= 20 χρόνια

FV =A(1+ r)n ή (1+ r)n =FVA

´Ετσι

1+ r =nradic

FVA

Επομένως

r =nradic

FVA minus1 =

20radic

3500010000 minus1 = 00646 = 646

Ε Ι Κοντογιώργης copy 66

Εναλλακτικά παίρνοντας τους λογαρίθμους

log(1+ r)n = log(FVA) ή n log(1+ r) = log

(FVA)

´Ετσι

1+ r = 10(1n log

(FVA))

ή r = 10(1n log

(FVA))minus1

= 10( 120 log

(3500010000

))minus1

= 646

Ε Ι Κοντογιώργης copy 67

Γραφική Αναπαράσταση I

I Υποθέστε ότι έχουμε y= 3x+2 Καθώς έχουμε μόνο μιαδύναμη για το x πρέπει να λύσουμε γραμμική εξίσωσηκαι να σχεδιάσουμε μια ευθεία γραμμή Αρχικά θα πρέπεινα σχεδιάσουμε ένα T-chart Αυτό έχει τη μορφή

x y = 3x+2 (xy)

I Επιλέγουμε μια τιμή για το x και λύνουμε ως προς y

x y= 3x+2 (xy)minus2 minus4 (minus2minus4)0 2 (02)2 8 (28)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 68

Γραφική Αναπαράσταση II

-

6

X

Y

bull

bull

bull

I Βλέπουμε μια ευθεία με ανοδική τάση (έχοντας θετικήκλίση m= 3) καιτέμνει τον άξονα y στο σημείο y= 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 69

Γραφική Αναπαράσταση III

I Μια Τετραγωνική εξίσωση περιέχει x2 Για τηναναπαράσταση τετραγωνικών εξισώσεων χρειάζεται ναβρούμε περισσότερα από τρία σημεία στο σχεδιάγραμμα

Για παράδειγμα υποθέστε ότι y= x2minus6x+5 καιδίνεται το πιο κάτω T-chart

x y= x2minus6x+5 (xy)0 5 (05)1 0 (10)3 minus4 (3minus4)5 0 (50)6 5 (65)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 70

Γραφική Αναπαράσταση IV

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

-

6

X

Y

bull

bull

bull

bull

bull

Ε Ι Κοντογιώργης copy 71

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(1x + 2)

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(-3x + 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 72

-15

-10

-5

0

5

10

15

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(3x - 2)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 73

-20

0

20

40

60

80

100

120

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2+x)

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 74

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

1250

1500

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3+x2+x)

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x4)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 75

-25

-2

-15

-1

-05

0

05

1

15

2

25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(log(x))

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(x))

Ε Ι Κοντογιώργης copy 76

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(-x))

-5000

0

5000

10000

15000

20000

25000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(exp(x)+x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 77

Ανισότητες I

I Οι ανισότητες αποτελούνται από δύο ή τρεις αλγεβρικέςεκφράσεις που είναι συνδεδεμένες με τα σύμβολαανισότητας Τα σύμβολα αυτά είναι

lt μικρότερο τουgt μεγαλύτερο τουle μικρότερο ή ίσο τουge μεγαλύτερο ή ίσο του

I Παραδείγματα xgty yge x2 και ylt5x+1

I Το πρώτο βήμα για την αναπαράσταση ανισότητας τηςμορφής ygtx είναι να παραστήσουμε γραφικά τηνισότητα y= x

Ε Ι Κοντογιώργης copy 78

Ανισότητες II

I ygtx

Κάνετε δοκιμή με ένα σημείο να δείτε κατά πόσοικανοποιεί την ανισότητα Εάν ναι τότε σκιάστε τηνπεριοχή αυτή του σχεδιαγράμματος διαφορετικά σκιάστετην άλλη πλευρά

Ε Ι Κοντογιώργης copy 79

Ανισότητες III

I yltx

Ε Ι Κοντογιώργης copy 80

Ανισότητες IV

I yle 5x+1 και ygt5x+1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 81

Ανισότητες V

I yge x2 και yle x2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 82

Ανισότητες VI

I ygtx3 και yle x3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 83

Συστήματα Γραμμικών ΕξισώσεωνΠεριεχόμενα

1 Ε

2 Γ Α

ΑναφορέςΚεφάλαια 4 και 5FS Budnick Applied Mathematics for Business Economicsand the Social Sciences 4th edition McGraw-Hill 1993

Ε Ι Κοντογιώργης copy 84

Συστήματα Εξισώσεων

I ´Ενα σύστημα εξισώσεων συνδυάζει περισσότερες από μίαεξισώσεις

I ´Ενα σύστημα m εξισώσεων όπου κάθε εξίσωσηαποτελείται από n μεταβλητές ονομάζεται mtimesnσύστημα ή λέμε ότι έχει διαστάσεις mtimesn

I ΠαράδειγμαΠαρακάτω έχουμε ένα σύστημα 2times2

5X+10Y= 203X+4Y= 10

Οι μεταβλητές σε αυτή την περίπτωση είναι X και YΕ Ι Κοντογιώργης copy 85

Συστήματα Επίλυσης

I Το Σύστημα επίλυσης είναι μια σειρά τιμών μεταβλητώνπου ικανοποιούν το σύστημα ταυτόχρονα

I Σε μια σημειογραφική παράσταση το προηγούμενοπαράδειγμα μπορεί να γραφτεί ως εξής

S = (XY) | 5X+10Y = 20 και 3X+4Y = 10

I Το σύστημα επίλυσης μπορεί να είναι1 μηδενικό2 πεπερασμένο ή3 άπειρο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 86

2times2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική Ανάλυση

I Σε ένα δισδιάστατο γράφημα ένα σύστημα εξισώσεων2times2 αναπαρίστανται με ευθείες γραμμές Υπόρχουν τρίαενδεχόμενα

1 Οι ευθείες τέμνονται Το σημείο τομής αντιπροσωπεύει τηλύση του συστήματος εξισώσεων Αυτό το σημείοαλληλεπίδρασης είναι μια δέσμη τιμών X και Y που ικανοποιείκαι τις δύο εξισώσειςΕάν υπάρχει μόνο μια δέσμη τιμών για τις μεταβλητές που ναικανοποιεί το σύστημα εξισώσεων το σύστημα λέμε ότι έχειΜ Λ

2 Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες μεταξύ τους ∆εν έχουν κοινόσημείο Συνεπώς οι ευθείες δεν τέμνονται ποτέ Το σύστημαλέμε ότι ∆ ΛΑυτό υπονοεί ότι δεν υπάρχουν τιμές για τις μεταβλητές πουνα ικανοποιούν και τις δύο εξισώσεις Σε αυτή τηνπερίπτωση οι εξισώσεις στο σύστημα είναι Α

3 Και οι δύο εξισώσεις αναπαρίστανται ως μια κοινή ευθεία καιθεωρούνται ισοδύναμες εξισώσεις ´Ετσι το σύστημα έχειΑ Λ Αυτό συμβαίνει γιατί υπάρχει άπειροςαριθμός κοινών σημείων στις δύο γραμμές

Ε Ι Κοντογιώργης copy 87

I Π Θεωρείστε ένα σύστημα 2times22X+4Y= 203X+ Y= 10

I

X

Y

(24)

3X +Y = 10

2X +4Y = 20

0 2 4 6 8 10 12

2

4

6

8

10

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 88

I Το σημείο τομής δίνεται από το X= 2 και Y= 4Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές του X και Y στις δύοεξισώσεις δίνουν 20 = 20 και 10 = 10 αντίστοιχα

I Αυτό υποδειλώνει ότι X= 2 και Y= 4 είναι η σωστή λύση

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times23Xminus2Y= 6

minus15X+10Y=minus30

I

X

Y

(20)

(0minus3)

3X minus2Y = 6

minus15X +10Y =minus30

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 89

I Οι δύο εξισώσεις απλοποιούνται σε Xminus 23 Y= 2

Οι δύο εξισώσεις είναι ισοδύναμες και δίνουν έναπεπερασμένο αριθμό λύσεων έτσι ώστε

X= 0 Y =minus3X= 2 Y = 0X= 4 Y = 3

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times26Xminus12Y= 24

minus32X+3Y= 9

Οι εξισώσεις απλοποιούνται σεXminus2Y= 4Xminus2Y=minus6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 90

I

X

Y

(40)

(0minus2)

(minus60)

(03)

X minus2Y =minus6

X minus2Y = 4

0-0

I Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες και συνεπώς το σύστημαδεν έχει λύση ´Ετσι το σύστημα εξισώσεων είναιασύμπτωτο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 91

Περίληψη 2times2 Συστήματα Εξισώσεων∆ίνεται ένα Σύστημα Γραμμικών Εξισώσεων 2times2

Y=m1X+ c1Y=m2X+ c2

1 Υπάρχει μια στο σύστημα εάνm1 6= m2

2 ∆εν υπάρχει στο σύστημα εάνm1 = m2 και c1 6= c2

3 Υπάρχει εάνm1 = m2 και c1 = c2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 92

∆ιαδικασίες Απαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής χρησιμοποιεί πολλαπλασιασμόκαι πρόσθεση έτσι ώστε

1 Να απαλοιφεί μια από τις δύο μεταβλητές

2 Η εξίσωση που εξάγεται είναι συνάρτηση των υπόλοιπωνμεταβλητών

3 Αντικαθιστώντας την τιμή στην μεταβλητή σε μια από τιςαρχικές εξισώσεις βρίσκουμε την τιμή για τηναπολοιφθήσα μεταβλητή

Ε Ι Κοντογιώργης copy 93

ΠαραδείγματαI Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

2X +4Y = 20 (1)3X + Y = 10 (2)

Πολλαπλασιάζοντας τη δεύτερη εξίσωση με minus4 παίρνουμε

minus12X minus4Y =minus40 (3)

Προσθέτοντας την εξίσωση (1) στο (3)

2X + 4Y = 20minus12X minus 4Y = minus40minus10X = minus20

ή

X = 2 (4)Ε Ι Κοντογιώργης copy 94

Αντικαθιστώντας X= 2 στην εξίσωση (1) δίνεται2 middot2+4Y = 20 ή Y=4

´Ετσι η μοναδική λύση του συστήματος δίνεται από τοX= 2 και Y= 4 Μπορεί να επιβεβαιωθεί ότι αυτή είναι ησωστή λύση αντικαθιστώντας X= 2 και Y= 4 στηνεξίσωση (1) και (2)

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times23X minus2Y = 6 (5)

minus15X +10Y =minus30 (6)

Για την απαλοιφή της μεταβλητής X η εξίσωση (5)πολλαπλασιάζεται με 5 και το αποτέλεσμα προστίθεταιστην εξίσωση (6)

15X minus 10Y = 30minus15X + 10Y = minus30

0 = 0 Ε Ι Κοντογιώργης copy 95

Οι τελευταίες πράξεις υπονοούν ότι οι εξίσωσεις (5) και(6) είναι ισοδύναμες και έτσι υπάρχει άπειρος αριθμόςλύσεωνΓια να προσδιορίσουμε τις λύσεις του συστήματος μια απότις αρχικές εξισώσεις λύνεται ως προς μια μεταβλητή Ανγια παράδειγμα η εξίσωση (5) λύνεται ως προς Y δίνει

Y =32Xminus3

Σαν αποτέλεσμα γενικεύοντας τις λύσεις του συστήματοςέχουμε

X τυχαίο και Y =32Xminus3

Πχ για X= 4 υπονοείται ότι Y=32 middot4minus3 = 3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 96

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

6X minus12Y = 24 (7)

minus32X +3Y = 9 (8)

Πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση (8) με 4 καιπροσθέτοντας το αποτέλεσμα στην εξίσωση (7)παίρνουμε

6X minus 12Y = 24minus6X + 12Y = 36

0 = 60

Η πιο πάνω αντιλογία υπονοεί ότι δεν υπάρχει λύση τουσυστήματος εξισώσεων

Ε Ι Κοντογιώργης copy 97

3times2 Συστήματα Εξισώσεων I

1 Μ Λ

X

Y

(32)

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minusY = 1

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 98

3times2 Συστήματα Εξισώσεων II

2 Α Λ

X

Y Εξις (1)Εξις (2)Εξις (3)

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 99

3times2 Συστήματα Εξισώσεων III3 Κ

(α) ´Οταν και οι τρεις εξισώσεις είναι παράλληλες

X

Y

2X minusY =minus8

2X minusY = 2

2X minusY = 12

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 100

3times2 Συστήματα Εξισώσεων IV(β) ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ τωνεξισώσεων

X

Y

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minus2Y =minus4

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 101

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική ΑνάλυσηΣε ένα γράφημα 2 διαστάσεων ένα σύστημα mtimes2(mgt2) εξισώσεων παριστάνεται με m ευθείες ´Οπωςσυμβαίνει στα συστήματα 2times2 υπάρχουν τρίαενδεχόμενα

1 ´Ολες οι ευθείες τέμνονται στο ίδιο σημείο και έτσιυπάρχει

2 ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ των mεξισώσεων Αυτό σημαίνει ότι όλες οι ευθείες είναιπαράλληλες Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα Λ

3 Οι m εξισώσεις είναι ισοδύναμες πχ παρασταίνονται σανμια ευθεία Σε αυτή την περίπτωση υπάρχει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 102

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων ∆ιαδικασίαΑπαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής για την επίλυση ενός συστήματοςmtimes2 μπορεί να περιγραφεί ως ακολούθωςΕπιλέξτε και λύστε σύστημα με δύο εξισώσεις

1 Εάν δεν υπάρχει λύση τότε ολόκληρο το σύστημα δεν έχειλύση

2 Εάν υπάρχει μοναδική λύση που ικανοποιεί τις υπόλοιπεςmminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα έχει μία μοναδική λύση

3 Εάν η λύση είναι μοναδική αλλά δεν ικανοποιεί τιςυπόλοιπες mminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα δεν έχει λύση

4 Εάν οι 2 λύσεις είναι ισοδύναμες απάλοιψτε τη μίααπό τις δύο εξισώσεις και ξεκινήστε από την αρχήλαμβάνοντας υπόψη ένα σύστημα (mminus1)times2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 103

ΠαράδείγμαI Θεωρείστε ένα σύστημα 5times2

XminusY= 1X+2Y=minus8

3Xminus2Y= 02Xminus5Y= 11minus4X+3Y=minus1

I Η λύση των πρώτων δύο εξισώσεων δίνετε απόY =minus3 και X =minus2

I Αντικαθιστώντας τη λύση στις υπόλοιπες τρεις εξισώσειςπαίρνετε αντίστοιχα

0 = 0 11 = 11 και minus1 =minus1I Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση

X=minus2 και Y=minus3Ε Ι Κοντογιώργης copy 104

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian

Η μέθοδος απολοιφής Gaussian μετατρέπει το αρχικόσύστημα εξισώσεων σε διαγώνια μορφή επαναλαμβάνονταςστις εξισώσεις τις ακόλουθες τρεις διαδικασίες

1 Πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης μεμια θετική σταθερά

2 Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού θα προστεθεί σεάλλη εξίσωση

3 Η σειρά των εξισώσεων μπορεί να αλλάξει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 105

ΠαράδείγμαΠ Θεωρείστε το σύστημα 2times2

2X minus 3Y = 7 (Εξ 1)X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με 12 για να πάρετε

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με minus1 καιπροσθέστε την στην (Εξ 2)

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

52Y =

152 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 106

Στάδιο 3 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 25

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

Y = 3 (Εξ 2)

Στάδιο 4 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 32 και

προσθέστε την στην (Εξ 1)

X = 1 (Εξ 1)Y = 3 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 107

Π Θεωρείστε το σύστημα 2times2

5X + 20Y = 254X minus 7Y =minus26

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να εκφραστεί ως

R1 5 20 25R2 4 minus7 minus26

Η κάθετη γραμμή χρησιμοποιείται για διαχωρισμό τηςαριστερής από τη δεξιά πλευρά των εξισώσεων Το Riυπονοεί τη γραμμή (Row) i

Ε Ι Κοντογιώργης copy 108

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάζουμε τη R1 με 15 και το θέτουμε

R1larr 15R1

R1 1 4 5R2 4 minus7 minus26

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάζουμε την R1 με minus4 και τηνπροσθέτουμε στην R2 Εν συντομίαR2larrminus4R1+R2

R1 1 4 5R2 0 minus23 minus46

Στάδιο 3 R2larrminus 123R2

R1 1 4 5R2 0 1 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 109

Στάδιο 4 R1larrminus4R2+R1

R1 1 0 minus3R2 0 1 2

Το αρχικό σύστημα εξισώσεων μετατρέπεται σε διαγώνιαμορφή όπως πιο κάτω

X =minus3Y = 2

το οποίο δίνει τη λύση του συστήματος

Ε Ι Κοντογιώργης copy 110

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 I

Το σύστημα εξισώσεων 3times3 μετετρέπεται σε διαγώνιαμορφή Η μετατροπή γίνεται στήλη με στήλη από τααριστερά προς τα δεξιά

Π Θεωρήστε το σύστημα 3times3

X1 + X2 + X3 = 2X1 minus 3X2 + 2X3 = 7

4X1 minus 2X2 minus X3 = 9

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να γραφτεί ως

Ε Ι Κοντογιώργης copy 111

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 II

1 1 1 21 minus3 2 74 minus2 minus1 9

Ε Ι Κοντογιώργης copy 112

∆ΙΑΛΕΞΕΙΣ

Τα μαθήματα θα γίνονται υπό μορφή διαλέξεων (3 ώρεςτην εβδομάδα) και φροντιστηρίων (μιά ώρα) Στη διάλεξηπαραδίδεται η ύλη του μαθήματος και γίνεται ανάλυσητων θεμάτων της ύλης

Οι φοιτητές μπορούν να παρακολουθούν διαλέξεις μόνοστο τμήμα στο οποίο έχουν εγγραφεί

Οι σημειώσεις που θα καλύπτονται σε κάθε διάλεξηβρίσκονται στην ιστοσελίδαhttpecoursescutaccyκαι για τις πρώτες διαλέξεις στηνhttpwwwerricoscomcoursesEXN110

Ε Ι Κοντογιώργης copy 6

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Ο κάθε φοιτητής θα πρέπει να προμηθευτεί τις σημειώσειςπριν την έναρξη της διάλεξης ώστε να τις έχει μαζί τουκατά την διάρκεια της διάλεξης

Οι σημειώσεις θα έχουν κάποια μέρη άδεια (τρύπες) ταοποία θα συμπληρώνονται κατά τη διάρκεια τωνδιαλέξεων

Στα φροντιστήρια γίνεται συζήτηση της ύλης πουκαλύπτει η διάλεξη και λύνονται ασκήσεις

Ε Ι Κοντογιώργης copy 7

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΑ

Η ενδιάμεση εξέτάση αναμένεται να πραγματοποιηθεί τοΣάββατο 17 Οκτώβρη του 2015 και θα αντιστοιχεί στο35 της συνολικής βαθμολογίας

Η τελική εξέταση θα πραγματοποιηθεί τον ∆εκέμβριο καιθα αντιστοιχεί στο 65 της συνολικής βαθμολογίας

Οποιεσδήμοτε τροποποιήσεις (αν υπάρξουν) σχετικά με τιςημερομηνίες ήκαι τις ώρες διεξαγωγής των ενδιάμεσωνεξετάσεων θα σας γνωστοποιηθούν γραπτός

Ε Ι Κοντογιώργης copy 8

Σημείωση

Ο φοιτητής ο οποίος θα συλληφθεί να αντιγράφει να έχεικινητό τηλέφωνο να έχει αριθμομηχανές ή να έχει έγραφαστο θρανίο του που έχουν άμεση σχέση με το εξεταζόμενομάθημα ΕΧΝ110 κατά την διάρκεια των εξετάσεων τότεαμέσως αποτυγχάνει στο μάθημα αυτό και είναιυπεύθυνος για τις οποιεσδήποτε πειθαρχικές διαδικασίεςπροκύψουν λόγο αυτού

Κατά τη διάρκεια των διαλέξεων όλα τα κινητά τηλέφωναπρέπει να είναι κλειστά

Φαγώσιμα ή ποτά δεν επιτρέπονται στις διαλέξεις

Ε Ι Κοντογιώργης copy 9

ΕΧΝ 110 Μαθηματικά ΙΠεριεχόμενα

I Μ I Β Ε Β Λ

I Ε Α ΛI ΑI Α Γ ΠI Σ I ΛI Γ

Ερρίκος Ιωάννη ΚοντογιώργηςE-mail erricoscutaccy

Ε Ι Κοντογιώργης copy 10

Μεταβλητές και Σταθερές

I Στα Μαθηματικά και τη Στατιστική πάντοτεασχολούμαστε με ευμετάβλητα μεγέθη Για παράδειγμαμισθούς επιτόκια πληθωρισμό ύψος βάρος ηλικία χρόνοκτλ

I Στα συνηθισμένα συμφραζόμενα μια μεταβλητήσυμβολίζεται με ένα αλφαβητικό γράμμα πχ x y zκτλ Για παράδειγμα αν η μεταβλητή μας αποτελείταιαπό τους μισθούς υπαλλήλων τότε μπορούμε να τουςπαραστήσουμε τους μισθούς με τη μεταβλητή x

I Συγκεκριμένα εάν δεν ενδιαφερόμαστε για το πραγματικόύψος των μισθών (ή δε τους γνωρίζουμε) αλλά επιθυμούμενα απομονώσουμε τους μισθούς τεσσάρων υπαλλήλωντότε τους συμβολίζουμε ως εξής x1 x2 x3 και x4

Ε Ι Κοντογιώργης copy 11

Μεταβλητές και Σταθερές ΙΙ

I Σε ορισμένες περιπτώσεις εμπερικλείουμε τις μεταβλητές σεπαρενθέσεις ´Ετσι (x1x2x3x4)Ο τρόπος αυτός ονομάζεται σύνολο

I Αν ξέρουμε τους πραγματικούς μισθούς τεσσάρωνυπαλλήλων μπορούμε να τους γράψουμε σε σειρά έτσι τοσετ θα έχει τη μορφή (2200016000384322943248)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 12

Ακέραιοι και Πραγματικοί Αριθμοί

I Οι lsquoφυσικοίrsquo αριθμοί (θετικοί ακαίραιοι) δίνονται ως εξής1234 Το σύνολο όλων των φυσικών αριθμώνσυμβολίζεται με το γράμμα N

I Οι lsquoολόκληροιrsquo αριθμοί (μη αρνητικοί ακέραιοι) είναι οιφυσικοί αριθμοί μαζί με το μηδέν 01234

I Οι lsquoακέραιοιrsquo περιλαμβάνουν τους φυσικούς αριθμούς τομηδέν και τους αρνητικούς φυσικούς αριθμούς

minus2minus1012

Η σειρά των ακεραίων συμβολίζεται με Z

Ε Ι Κοντογιώργης copy 13

Ακέραιοι και Πραγματικοί Αριθμοί ΙΙ

I Μια μεταβλητή μπορεί να πάρει πεπερασμένο αριθμότιμών Για παράδειγμα η μεταβλήτή M που υποδειλώνειτους μήνες του χρόνο μπορεί να πάρει τις τιμές

123456789101112

Σε αυτή την περίπτωση η μεταβλητή M είναι μια σειράθετικών ακέραιων μετεβλητών (φυσικοί)

I Η μεταβητή x μισθοί από το προηγούμενο παράδειγμαπαίρνει θετικούς πραγματικούς αριθμούς

I Το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών συμβολίζεταιreal Η σειρά αυτή περιλαμβάνει όλους τους πραγματικούςακέραιους αριθμούς από το μείον άπειρο (minusinfin) ως στοάπειρο (infin)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 14

Ακέραιοι και Πραγματικοί Αριθμοί ΙΙΙ

I Γενικά μια μεταβλητή x που παίρνει πραγματικές τιμέςονομάζεται πραγματική μεταβλητή (real variable) καισυμβολίζεται με x isinreal Με το σύμβολο isin εννοούμε lsquoμέσαrsquolsquoανήκειrsquo κλπ

I Το σύμβολο που χρησιμοποείται για το διαχωρισμό τουακέραιου μέρους σε ένα δεκαδικό αριθμό από τοκλασματικό μέρος ονομάζεται δεκαδικό σημείο (decimalpoint) Eg 314159

I Η δεκαδική θέση (decimal place) είναι η θέση του ψηφίουστα δεξιά του δεκαδικού σημείου

Ε Ι Κοντογιώργης copy 15

Συναρτήσεις Ακέραιων και Πραγματικών

I Συνάρτηση στογγυλοποίησης ή συνάρτηση κοντινότερουδεκαδικούΗ lsquoστρογγυλοποίησηrsquo ενός πραγματικού αριθμού xσυμβολίζεται με [x] ∆ίνει τον πιο κοντινό ακέραιο στοxΠχ [32] = 3 [minus32] =minus3 και [86] = 9Ο πιο πάνω ορισμός είναι δύσκολο να εφαρμοστεί γιαhalf-integers Στις περιπτώσεις αυτές η στρογγυλοποίησηγίνεται προς τα πάνω μόνο για τους μονούς αριθμούςέτσι ώστε να αποφεύγεται η μεροληπτικότηταΠχ [35] = 4 [45] = 4 και [05] = 0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 16

I Στρογγυλοποίηση προς τα πάνω ή συνάρτησημικρότερου ακεραίουΗ lsquoστρογγυλοποίηση προς τα πάνωrsquo ενός πραγματικούαριθμού x συμβολίζεται με dxe Μας δίνει το μικρότεροδυνατό ακέραιο που είναι μεγαλύτερος ή ίσος από το xΠχ d32e= 4 dminus32e=minus3 d35e= 4 και d36e= 4

I lsquoΣτρογγυλοποίηση προς τα κάτωrsquo ή συνάρτησημεγαλύτερου ακεραίουΤο lsquoκατώτατο όριοrsquo ενός πραγματικού αριθμού xσυμβολίζεται bxc ∆ίνει το μεγαλύτερο δυνατό ακέραιοπου είναι μικρότερος ή ίσος από το xΠχ b32c= 3 bminus32c=minus4 b35c= 3 και b36c= 3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 17

Σταθερές

I ´Ενας αριθμός που αντιπροσωπεύει μια ποσότητα πουθεωρείται ότι έχει σταθερή τιμή ονομάζεται lsquoσταθεράrsquo Ητιμή μιας σταθεράς ενώ δε μεταβάλλεται πιθανό να μηνπροσδιορίζεται

I Οι πιο σημαντικές πραγματικές σταθερές είναι

1 Το π= 314159 Είναι ο δείκτης που υποδειλώνει τηνπεριφέρεια του κύκλου ακτίνια Ονομάζεται και σταθερά τουΑρχιμήδη

2 Το exp = 271828 που υποδειλώνει τη βάση του φυσικούλογάριθμου

Ε Ι Κοντογιώργης copy 18

Σύμβολα Κατεύθυνσης

I Το σύμβολο lsquogtrsquo που σημαίνει lsquoμεγαλύτεροrsquo καθώς και τοlsquogersquo που σημαίνει lsquoμεγαλύτερο ή ίσοrsquo

I Το σύμβολο lsquoltrsquo που σημαίνει lsquoμικρότεροrsquo καθώς και το lsquolersquoπου σημαίνει lsquoμικρότερο ή ίσοrsquo

I Παράδειγμα Οι μεταβλητές που συμβολίζουν τουςμηνιαίους μισθούς xge 0 Οι μεταβλητές που συμβολίζουντους μήνες του χρόνου 0ltMlt13 που μπορούν επίσης ναγραφτούν 1leMle 12

Ε Ι Κοντογιώργης copy 19

∆υνάμειςI Οι εκθέτες αποτελούν συντομογραφία του

πολλαπλασιασμού (5)(5) = 52 και (5)(5)(5) = 53 Εδώτο 5 λέγεται βάση και το 3 λέγεται εκθέτης Μπορείεπίσης να ερμηνευτεί πέντε υψωμένο στην τρίτη δύναμη

I Η δύναμη είναι ο εκθέτης στον οποίο υψώνεται μιαποσότητα Η έκφραση xn είναι γνωστή ως x στη nδύναμη

I Σημειώστε ότι 5253 = (55)(555) = 55 = 5(2+3) Εδώπαρουσιάζεται ένας βασικός κανόνας του εκθέτη Στηπερίπωση που πολλαπλασιάζονται δύο όροι που έχουντην ίδια βάση οι εκθέτες τους μπορούν να προστεθούν

xmxn = x(m+n)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 20

I Στην περίπτωση όμως που (x4)(y3) ο πιο πάνω κανόναςδε μπορεί να εφαρμοστεί γιατί οι βάσεις είναιδιαφορετικές (x4)(y3) = xxxxyyy

I Για (x2)4

= x2x2x2x2 = xxxxxxxx= x8 = x(2times4)

I ´Ετσι στην περίπτωση που έχετε μια εκθετική έκφρασηπου είναι υψωμένη σε μία δύναμη μπορείτε ναπολλαπλασιάσετε τον εκθέτη με τη δύναμη

(xm)n

= xmn

Ε Ι Κοντογιώργης copy 21

I Εάν έχετε μια έκφραση μέσα σε παράνθεση και ηπαράνθεση είναι υψωμένη σε μια δύναμη τότε η δύναμημπορεί να γίνει μέρος τις παράνθεσης Για παράδειγμα

(xy2)3 = (xy2)(xy2)(xy2) = (xxx)(y2y2y2)

= (xxx)(yyyyyy) = x3y6 = (x)3(y2)3 = x3y6

Παρομοίως(xy)2

=x2y2

I ´Ενας αρνητικός εκθέτης είναι ένδειξη ότι η βάση βρίσκεταιστον παρονομαστή του κλάσματος Πχ

xminus2 =1x2

x2xminus3 = x2x3 = x5 2xminus1 =

2x

(3x)minus2 =1

(3x)2 =1

9x2 και(xminus2yminus3

)minus2=

(xminus2)minus2

(yminus3)minus2=x4y6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 22

I Οτιδήποτε στη δύναμη μηδέν είναι lsquo1rsquo

Πχ 50 = 1 x0 = 1 (x2y3)0 = 1 και 00 = 1

Σημειώστε ότι 50 = 5(1minus1) = (51)(5minus1) =55 = 1

I Μηδέν σε οποιαδήποτε δύναμη είναι μηδέν έτσι 0n = 0

Σημειώστε ότι 00 = 1 και ότι 00 = 0

Αυτό υποδειλώνει ότι 00 είναι μια απροσδιόριστη μορφήπου σε κάποιες περπτώσεις παίρνει μία τιμή και σεκάποιες άλλες περιπτώσεις παίρνει διαφορετική τιμή

Ε Ι Κοντογιώργης copy 23

I Κλασματικοί (Αναλογικοί) Εκθέτες

1 Η τετραγωνική ρίζα μπορεί να γραφτεί σε μορφή κλάσματος

´Ετσι radicx= x12

Πχ 212 =

radic2 = 141 και 2

minus12 =

1radic2

= 071

2 Γενικά xab =bradicxa Πχ 7

23 =

3radic72 = 366

355 = 3112 =

2radic311 = 42089

Ε Ι Κοντογιώργης copy 24

ΛογάριθμοιI Η λογαριθμική μορφή ενός αριθμού είναι lsquoαντίθετηrsquo από

την εκθετική Τεχνικά μιλώντας η λογαριθμική μορφήείναι αντίστροφη της εκθετικής

I Η σχέση δίνεται logb(x) = y

που είναι το ίδιο με by = x

I Ο lsquolsquologb(x) = yrsquorsquo προφέρεται lsquolsquolog-βάση-b-του x ισούται yΕδώ b ονομάζεται lsquoβάση του λογαρίθμουrsquo αφού το b είναιη βάση της εκθετικής έκφρασης

I Η βάση b του λογάριθμου είναι πάντοτε θετική και δενισούται με 1

I Οτιδήποτε βρίσκεται μέσα στο λογάριθμο ονομάζεταιέκφραση

Ε Ι Κοντογιώργης copy 25

ΠαραδείγματαI Μετατρέψτε την έκφραση 63 = 216 στην ισοδύναμη

λογαριθμική μορφή

Για τη μετατροπή η βάση μένει η ίδια αλλά το 3 και το216 αλλάζουν θέσεις Αυτό μας δίνει

log6(216) = 3

I Μετατρέψτε τον log4(1024) = 5 στην αντίστοιχηλογαριθμική έκφραση

Για τη μετατροπή η βάση (που είναι 4) παραμένει η ίδιααλλά το 1024 και το 5 αλλάζουν θέσεις ´Ετσι δίνεται

45 = 1024

Ε Ι Κοντογιώργης copy 26

I Υπολογίστε τον log2(8)

Εάν y= log2(8) τότε υπονοείται ότι 2y = 8 Αυτόσημαίνει ότι y είναι η δύναμη του 2 που θα έχει σαναποτέλεσμα 8 Η δύναμη που δίνει το αποτέλεσμα είναι 3αφού 23 = 8 ´Ετσι

log2(8) = 3

I Κατά παρόμοιο τρόπο log5(25) = 2 αφού 52 = 25

I Υπολογίστε τον y= log64(4)

Σημειώστε ότι 64y = 4 και 43 = 64

´Ετσι (43)y

= 4 ή 43y = 41

Η πιο πάνω έκφραση εξυπονοεί ότι 3y= 1 και έτσιy= 13

Ε Ι Κοντογιώργης copy 27

I Υπολογίστε y= log6(6)

Αυτό ισοδυναμεί με το 6y = 6 και συνεπώς y= 1

I Υπολογίστε το y= log3(1)

Το πιο πάνω μπορεί να γραφτεί ως 3y = 1

´Ομως 1 = 30 έτσι 3y = 30 και y= 0

I Υπολογίστε το y= log4(minus16)

Μπορεί να γραφτεί σαν 4y =minus16

´Ομως δεν υπάρχει τιμή (πχ δύναμη) y που ναικανοποιεί τη σχέση ´Ετσι δεν υπάχρει λύση

Ε Ι Κοντογιώργης copy 28

I Υπολογίστε το y= log2(0)

Αυτό σημαίνει 2y = 0 όμως δε υπάρχει τιμή που ναικανοποιεί τη σχέση ´Ετσι δεν υπάχρει λύση

I Υπολογίστε το y= 2log2(9)

Αυτό σημαίνει ότι log2(y) = log2(9) και έτσι y= 9

Ε Ι Κοντογιώργης copy 29

I Γενικά1 logb(b) = 1 για οποιαδήποτε βάση b

2 logb(1) = 0 για οποιαδήποτε βάση b

3 logb(a) δεν ορίζεται για αρνητικά a

4 logb(0) δεν ορίζεται για οποιαδήποτε βάση b

5 logb(bn) = n για οποιαδήποτε βάση b

Ε Ι Κοντογιώργης copy 30

I Οι λογάριθμοι μπορούν να πάρουν οποιοδήποτε αριθμόσαν βάση αλλά δύο βάσεις είναι οι πιο χρήσιμες οlog-βάση-10 και ο log-βάση-e

I Η βάση-10 log συχνά ονομάζεται ο κοινός log καιγράφεται ως log(x) Εδώ δεν αναγράφεται βάση καιμπορούμε να υποθέσουμε ότι η βάση είναι 10

Πχ log(100) = 2 έτσι log10(102) = 2

I Η βάση-e log ονομάζεται ο φυσικός log και γράφεται σανln(x)Πχ ln(e345)= 345 καθώς loge(e345) = 345

Ε Ι Κοντογιώργης copy 31

Ιδιότητες Λογαρίθμωνlogb(xy) = logb(x) + logb(y)

Απόδειξη´Εστω m= logbx και n= logby

Γράψτε σε μορφή εκθέτη x= bm και y= bn

Πολλαπλασιάστε το x και y ούτως ώστεxy= bmbn = bm+n

´Ετσι από τον ορισμό των λογαρίθμων το xy= bm+nσυνεπάγει ότι

logb(xy) =m+n= logbx+ logb(y)

Πχ log2(4times16) = log2(64) = log2(26) = 6

Ακόμα log2(4times16) = log2(4) + log2(16) = 2+4 = 6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 32

logb(xy)

= logb(x)minus logb(y)

Απόδειξη´Εστω m= logbx και n= logby

Γράψτε σε μορφή εκθέτη x= bm και y= bn

∆ιαίρα το x και y ούτως ώστε xy =bmbn = bmminusn

´Ετσι από τον ορισμό των λογαρίθμων το xy = bmminusn

συνεπάγει ότι

logb(xy)

=mminusn= logbxminus logb(y)

Πχ log2(16

4)

= log2(4) = 2

και log2(16

4)

= log2(16)minus log2(4) = 4minus2 = 2Ε Ι Κοντογιώργης copy 33

logb(xn) = n logb(x)

Απόδειξη´Εστω m= logbx και γράψτε σε μορφή εκθέτη x= bm

Αυξάνοντας τις δύο πλευρές στην n δύναμη παίρνουμεxn = (bm)n = bmn

´Ετσι από τον ορισμό των λογαρίθμων τοlogbxn =mn= nm= n(logbx)

Πχ log2(64) = log2(26) = 6 log2(2) = 6

log(64) = 18

Επιπλέον log(64) = log(26) = 6log(2) = 6times030 = 18

Ε Ι Κοντογιώργης copy 34

logb(x) =loga(x)loga(b) agt0 a 6= 1

Απόδειξη´Εστω m= logbx rArr x= bm

Εφαρμόστε loga και στις δύο πλευρές του x= bmγια ναδώσει

logabm = logax rArr m logab= logaxrArr m=logaxlogab

rArr logbx=logaxlogab

Πχ log5(20) =log(20)

log(5)= 186 =

ln(20)

ln(5)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 35

logb(a) =1

loga(b) agt0 a 6= 1

Απόδειξη

logb(x) =loga(x)loga(b) =

logx(x)logx(b)

=1

loga(b)

´Οταν a= x

Πχ log2(64) =1

log64(2)=

116 = 6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 36

Αθροισμα

I Υποθέστε ότι έχουμε μια μεταβλητή x που μπορεί ναπάρει δέκα τιμές Εάν ενδιαφερόμαστε για το άθροισμάτους χωρίς να ξέρουμε την τιμή της κάθε μεταβλητής τότεο καλύτερος τρόπος να το εκφράσουμε είναι

x1 +x2 + middot middot middot+x9 +x10

I Εν συντομία το άθροισμα n στοιχείων x1 +x2 + middot middot middot+xn είναιnsum

i = 1xi

και ερμηνεύεται σαν το άθροισμα όλων των xirsquosξεκινώντας από το x1 (πχ i = 1) μέχρι xn (i = n)

I Εάν δε δοθεί διαφορετικά πάντοτε υποθέτουμε ότι το iαυξάνεται ξεκινώντας από το στάδιο 1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 37

I Το lsquolsquoSigmarsquorsquo Σ είναι γνωστό ως το άθροισμα (summation) ήσύμβολο σίγμα (sigma operator) και ο δείκτης i όνομάζεταιεικονική μεταβλητή

I Παραδείγματα

I

5sum

i = 1xi = x1 +x2 +x3 +x4 +x5

I

5sum

i = 1(y2

i ) = y21 +y22 +y23 +y24 +y25

Σημειώστε ότι η μόνη μεταβλητή που περιγράφεται απευθείαςκάτω από το σύμβολο Σ αυξάνεται κατά 1 κάθε φορά ενώ όλατα άλλα σύμβολα παραμένουν τα ίδια

I

4sum

r = 1(x3r ) = x31 +x32 +x33 +x34

Ε Ι Κοντογιώργης copy 38

I6sum

i = 1i = 1+2+3+4+5+6

I6sum

i = 1i2 = 12 +22 +32 +42 +52 +62

I7sum

i = 3xi = x3 +x4 +x5 +x6 +x7

I4sum

i = 1a = a+a+a+a= 4a

I3sum

i = 1(4+xi) = (4+x1) + (4+x2) + (4+x3)

=3sum

i = 14+

3sum

i = 1xi

Ε Ι Κοντογιώργης copy 39

I3sum

i = 1(2xi) = (2x1) + (2x2) + (2x3) = 2times

3sum

i = 1xi

I Ο συντελεστής i παραλείπεται εάν δε προκαλείαοριστία Για παράδειγμα Σx ή Σixi σημαίνειάθροισμα όλων των x που λαμβάνονται υπόψη

I ∆ήλωσηI

nsumi=1a= na

I sumiaxi = asum

ixi

I sumi

(axi+byi) = asumixi +bsum

iyi

Ε Ι Κοντογιώργης copy 40

I Αθροιστικός Τύπος

Insum

i = 1i = 1+2+ middot middot middot+n=

n(n+1)

2

Πχ6sumi = 1i = 1+2+3+4+5+6 =

6(6+1)

2 = 21

Insum

i = 1i2 = 12 +22 + middot middot middot+n2 =

n(n+1)(2n+1)

6

Πχ6sumi = 1i2 = 12 +22 +32 +42 +52 +62

=6(6+1)(12+1)

6 = 91

Ε Ι Κοντογιώργης copy 41

Insum

i = 1i3 = 13 +23 + middot middot middot+n3 =

n2(n+1)2

4

Πχ6sumi = 1i3 = 13 +23 +33 +43 +53 +63

=62(6+1)2

4 = 441

Ε Ι Κοντογιώργης copy 42

ΠαραδήγματαΑριθμητική Πρόοδος

I Γενικά μπορούμε να εκφράσουμε μια αριθμητική πρόοδο ωςεξής

αριθμητική πρόοδος a a+d a+2d a+3d

όπου ο πρώτος όρος είναι a και η διαφορά d Ο όρος nτης απ δίνεται από τη σχέση b = a+ (nminus1)d

I 3 5 7 9 11 είναι μια αριθμητική πρόοδος Οπρώτος όρος είναι το 3 και η διαφορά είναι 2

I 2 minus1 minus4 minus7 είναι μια αριθμητική πρόοδος όπου οπρώτος όρος είναι 2 και η διαφορά minus3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 43

I Το άθροισμα των όρων μιας αριθμητικής προόδου είναιγνωστό ως αριθμητική σειρά

Sn = a+ (a+d) + (a+2d) + middot middot middot+ (a+ (nminus1)d)

=nsumi=1

(a+ (iminus1)d

)= na+

nsumi=1

(iminus1)d

= na+dnminus1sumi=1

i = na+d(nminus1)n2

=n2(2a+d(nminus1)) =

n2(a+b) b = a+d(nminus1)

I ΑΠ 3 5 7 9 11 13 rArr Sn =62(3+13) = 48

Ε Ι Κοντογιώργης copy 44

∆ιπλό Αθροισμα4sumi=1

isumj=1

j = (1) + (1+2) + (1+2+3) + (1+2+3+4) = 20

nsumi=1

isumj=1

j =nsumi=1

( isumj=1

j)

nsumi=1

(12 i(i+1)

)=

12

nsumi=1

(i2 + i)

12( nsumi=1

i2 +nsumi=1

i)

=12(16n(n+1)(2n+1) +

12n(n+1)

)

=12

16n(n+1)

((2n+1) +3

)=

n6(n+1)(n+2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 45

∆ιπλό Αθροισμα

nsumi=1

msumj=1

(i+ j+2) =nsumi=1

( msumj=1

(i+ j+2))

nsumi=1

( msumj=1

i+msumj=1

j+msumj=1

2)

=nsumi=1

(mi+ 1

2m(m+1) +2m)

m( nsumi=1

i+ 12

nsumi=1

(m+5))

= m(12n(n+1) +

12n(m+5)

)

=mn2(m+n+6

)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 46

Insumr=1

1r(r+1)

=nsumr=1

(Ar +

Br+1

)=

nsumr=1

A(r+1) +Brr(r+1)

I A(r+1) +Br = 1

I Για r = 0 τότε A= 1 και για r =minus1 τότε B=minus1

I

nsumr=1

1r(r+1)

=nsumr=1

(1r minus

1r+1

)

=(

(11 minus

12) + (

12 minus

13) + (

13 minus

14) + middot middot middot+ (

1nminus1 minus

1n ) + (

1n minus

1n+1)

)

= 1minus 1n+1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 47

Insumk=1

1(k+2)(k+3)

=nsumk=1

( A(k+2)

+B

(k+3)

)=

nsumk=1

A(k+3) +B(k+2)

(k+2)(k+3)

I A(k+3) +B(k+2) = 1

I Για k=minus2 τότε A= 1 και για k=minus3 τότε B=minus1

I

nsumk=1

1(k+2)(k+3)

=nsumk=1

( 1(k+2)

minus 1(k+3)

)

=(

(13 minus

14)+(

14 minus

15)+(

15 minus

16)+ +(

1n+1 minus

1n+2)+(

1n+2 minus

1n+3)

)

=13 minus

1n+3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 48

Αθροισμα με Λογάριθμους

nsumi=1

logb(i) = logb(1) + logb(2) + middot middot middot+ logb(n)

= logb(1times2times3timesmiddotmiddot middottimesn)

= logb(n)

I Το n (n παραγοντικό) δίνεται από n = 1times2timesmiddotmiddot middottimesn και0 = 1

I100sumi=1

log2(100) = log2(100) =log(100)

log(2)=

log(99)

log(2)+

2log(2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 49

Γινόμενο των ακολουθιώνIn

prodi=1xi = x1timesx2timesx3timesmiddotmiddot middottimesxn

In

prodi=1i = 1times2times3timesmiddotmiddot middottimesn= n

In

prodi=1z= ztimesztimesmiddotmiddot middottimesz= zn

I

nprodi=1

(1+

1i+1

)=(1+

12)times(1+

13)times(1+

14)times times(1+

1n )times(1+

1n+1)

=32 times

43 times

54 timesmiddotmiddot middottimes

n+1n times n+2

n+1

=n+22

Ε Ι Κοντογιώργης copy 50

Γεωμετρικές ΠροόδοιI Μια γεωμετρική πρόοδος είναι μια σειρά αριθμών όπου

κάθε όρος μετά των πρώτο υπολογίζεται από τονπολλαπλασιασμό του προηγούμενου όρου με ένασταθερό αριθμό που καλείται αναλογία

I Η σειρά1 3 9 27 81 middot middot middot

είναι μια γεωμετρική πρόοδος με πρώτο όρο το 1 καιαναλογία 3

I Η αναλογία μπορεί να είναι κλάσμα καθώς επίσης καιαρνητικός αριθμός Για παράδειγμα η γεωμετρικήπρόοδος με πρώτο όρο το 2 και αναλογία minus13 είναι

2 minus 23 +

29 minus

227 +

281 middot middot middot

Ε Ι Κοντογιώργης copy 51

I Γενικά μπορούμε να γράψουμε μια γεωμετρική πρόοδο ωςακολούθως

γεωμετρική πρόοδος a ar ar2 ar3 ar4 middot middot middot

όπου ο πρώτος όρος είναι a και η αναλογία r

I Σημαντικά θεωρήματα των γεωμετρικών προόδων (γπ)1 Ο n όρος μιας γπ δίνεται από ar(nminus1)

2 Το άθροισμα των πρώτων n όρων μιας γπ είναι

Sn =a(1minus rn)

1minus r =a(rnminus1)

rminus1 και ισχύει μόνο αν r 6= 1

I Το άθροισμα των όρων μιας γεωμετρικής προόδουονομάζεται γεωμετρική σειρά

Ε Ι Κοντογιώργης copy 52

Γεωμετρική σειρά

Sn = a+ar+ar2 +ar3 + middot middot middot+arnminus2 +arnminus1

rSn = ar+ar2 +ar3 + arnminus1 +arn

Snminus rSn = aminusarn

(1minus r)Sn = a(1minus rn)

Sn =a(1minus rn)

(1minus r) =a(rnminus1)

(rminus1)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 53

I Παράδειγμα1 Βρείτε το άθροισμα των πρώτων 10 όρων μιας γεωμετρικής

σειράς4 8 16 32

Ο πρώτος όρος είναι a= 4 και η αναλογία r = 2 καιn= 10 ´Ετσι

S10 =4(1minus210)

1minus2 = 4092

2 Θεωρείστε τη γπ4 minus8 16 minus32 64 minus128 256 minus512

Σε αυτή την περίπτωση ο πρώτος όρος είναι a= 4 ηαναλογία είναι r =minus2 και n= 8´Ετσι

S8 =4(1minus (minus2)8)

1minus (minus2)=minus340

Ε Ι Κοντογιώργης copy 54

Συνεχείς ανατοκισμός

Οι περισσότεροι τραπεζικοί λογαριασμοί και τα δάνειαυιοθετούν ανατοκισμό - εφαρμόζοντας συνεχή ανατοκισμόΘεωρείστε ένα λογαριασμό που προσφέρει τόκο με ετήσιοεπιτόκιο r (πχ 7) Εάν το επιτόκιο είναι συνεχέςσε χρονιαία βάση τότε μετά από 1 χρόνο το χρονιαίοεπιτόκιο προστίθεται στο αρχικό κεφάλαιο για νακαθορίσει ένα μεγαλύτερο κεφάλαιο τον δεύτερο χρόνο

´Ετσι κατά τη διάρκεια του δεύτερου χρόνου ολογαριασμός κερδίζει επιτόκιο πάνω στο επιτόκιοΑυτή είναι η επίδραση του ανατοκισμού που συνεχίζεταιχρόνο με το χρόνο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 55

I Με τον ετήσιο ανατοκισμό το κεφάλαιο πουσυσσωρεύεται στο λογαριασμό πολλαπλασιάζεται με

(1+ r)

´Ετσι το κεφάλαιο A θα αυξηθεί σε

A(1+ r) = A+A middot r

τον επόμενο χρόνο

I Με το πέρας και του δεύτερου χρόνου το κεφάλαιο θααυξηθεί ακόμα (1+ r) σε (1+ r)2

´Ετσι το κεφάλαιο καταλήγει σε

A(1+ r)(1+ r) = A(1+ r)2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 56

I Κατά παρόμοιο τρόπο στο τέλος του τρίτου χρόνου τοποσό θα αυξηθεί κατά (1+ r)3

I Μετά από n χρόνια το ποσό θα αυξηθεί κατά (1+ r)n

I ´Ετσι το κεφάλαιο (επένδυση) A θα αυξηθεί με συνεχήανατοκισμό σε A(1+ r)n μετά από n χρόνια

I Ο τύπος (1+ r)n εκθέτει γεωμετρική αύξηση λόγω τηςn δύναμης

Ε Ι Κοντογιώργης copy 57

ΠαραδείγματαI Εάν το επιτόκιο είναι r = 5 τότε το κεφάλαιοA= $1000 που βρίσκεται στην τράπεζα n= 20 χρόνιαθα αυξηθεί κατά

(1+ r)n = (1+005)20 = 2653 φορές

´Ετσι το ποσό θα καταλήξειA(1+ r)n = $265330

I Βρέστε το χρόνο που χρειάζεται για ένα λογαργιασμό ναδιπλασιάσει το διαθέσιμο κεφάλαιο του όταν r = 7 καιr = 10Ζητούμε να βρούμε το n έτσι ώστε

(1+ r)n = 2Ε Ι Κοντογιώργης copy 58

I Υπολογίζοντας το λογάριθμο του τελευταίου παίρνουμε

log(1+ r)n = log(2)ή n log(1+ r) = log(2)

´Ετσιn=

log2log(1+ r)

I Για r = 7 και r = 10 ο χρόνος n πουχρειάζεται για διπλασιασμό της επένδυσης υπολογίζεταισε 1024 και 727 αντίστοιχα

Ε Ι Κοντογιώργης copy 59

I Αν το επιτόκιο είναι r = 7 τότε πιο θα είναι τοσυνολικό ποσό στο λογαριασμό μετά από 205 και41 χρόνια αντίστοιχα

Μετά τα πρώτα 1025 χρόνια το ποσό A θαδιπλασιαστεί σε 2A Για τα επόμενα 1025 χρόνιατο ποσό θα ξαναδιπλασιαστεί σε 4A ´Ετσι μετά από205 χρόνια το ποσό θα αυξηθεί κατά 4 φορές

Με το πέρας ακόμα 205 χρόνων το ποσό θα αυξηθείακόμα 4 φορές σε 16 ´Ετσι μετά από 41 χρόνιατο κεφάλαιο A γίνεται 16A

Ε Ι Κοντογιώργης copy 60

Ασκήσεις και Παραδείγματα

I Υπολογίστε τη Μελλοντική Αξία (Future Value (FV)) τουκεφαλαίου A= 1500 που κερδίζει ετήσιο επιτόκιοr = 5 για n= 10 έτη

FV =A(1+ r)n = 1500(1+005)10 = 244334

I Πόσα έτη απαιτούνται για να τριπλασιαστεί ένα ποσόπου αφήνετε στην τράπεζα με επιτόκιο r = 5∆ηλαδή βρείτε το n όπου A= 1 r = 5 και FV = 3

FV =A(1+ r)n ή (1+ r)n =FVA

Ε Ι Κοντογιώργης copy 61

Υπολογίζοντας τους λογαρίθμους παίρνουμε

log(1+ r)n = log(FVA)

ή n log(1+ r) = log(FVA)

´Ετσι

n=log(FVA)

log(1+ r) =log(3)

log(105)

= 2252

Ε Ι Κοντογιώργης copy 62

I Βρείτε την παρούσα αξία A έτσι ώστε σε δέκα έτη μεσταθερό επιτόκιο r = 6 να είναι 100KΒρείτε το A όπου FV = 100000 r = 6 και n= 10

FV =A(1+ r)n ή A=FV

(1+ r)n

´Ετσι A=100000

(106)10= 5583948

I Βρείτε την ετησιοποιημένη απόδοση (AER AnnualEquivalent Rate) μιας μηνιαίας κατάθεσης με σταθερόεπιτοκίο 394 Μια τέτοια κατάθεση λαμβάνει το επιτόκιο στη λήξηΣυνεπώς κάθε μήνα ο λογαριασμός λαμβάνει

r = 0039412 = 000328

επιτόκιο που επανεπενδύεται (συνεχής ανατοκισμός)Ε Ι Κοντογιώργης copy 63

Επανεπενδύοντας το επιτόκιο κάθε μήνα στη διάρκειαενός έτους το κεφάλαιο θα αυξηθεί σε

(1+ r)12 = (1+000328)12 = 104012

´Ετσι το ΑΕΡ είναι ισοδύναμο με 004012 = 4012I Υπολογίστε το επιτόκιο ενός σταθερού λογαριασμού

κατάθεσης 7-ημερών που έχει AER επιτόκιο r = 425Θεωρείστε ρ το εβδομαδιαίο επιτόκιο

´Ετσι (1+ρ)52 = (1+00425)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 64

Παίρνοντας τους λογαρίθμους έχουμε52log(1+ρ) = log10425

ή log(1+ρ) =log10425

52

ή 1+ρ= 10( log10425

52)

Αυτό μας δίνει

ρ= 10

( log1042552

)minus1 = 008

´Ετσι το συνεχές επιτόκιο μιας επταήμερης κατάθεσης είναιρtimes52 = 41638

Εναλλακτικά (1+ρ)52 = (1+00425) δίνει

(1+ρ) =52radic10425ή ρ=

52radic10425minus = 008Ε Ι Κοντογιώργης copy 65

I Υπολογίστε την ετήσια απόδοση r έτσι ώστε A= 10000να επιστρέφει FV = 35000 σε n= 20 χρόνια

FV =A(1+ r)n ή (1+ r)n =FVA

´Ετσι

1+ r =nradic

FVA

Επομένως

r =nradic

FVA minus1 =

20radic

3500010000 minus1 = 00646 = 646

Ε Ι Κοντογιώργης copy 66

Εναλλακτικά παίρνοντας τους λογαρίθμους

log(1+ r)n = log(FVA) ή n log(1+ r) = log

(FVA)

´Ετσι

1+ r = 10(1n log

(FVA))

ή r = 10(1n log

(FVA))minus1

= 10( 120 log

(3500010000

))minus1

= 646

Ε Ι Κοντογιώργης copy 67

Γραφική Αναπαράσταση I

I Υποθέστε ότι έχουμε y= 3x+2 Καθώς έχουμε μόνο μιαδύναμη για το x πρέπει να λύσουμε γραμμική εξίσωσηκαι να σχεδιάσουμε μια ευθεία γραμμή Αρχικά θα πρέπεινα σχεδιάσουμε ένα T-chart Αυτό έχει τη μορφή

x y = 3x+2 (xy)

I Επιλέγουμε μια τιμή για το x και λύνουμε ως προς y

x y= 3x+2 (xy)minus2 minus4 (minus2minus4)0 2 (02)2 8 (28)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 68

Γραφική Αναπαράσταση II

-

6

X

Y

bull

bull

bull

I Βλέπουμε μια ευθεία με ανοδική τάση (έχοντας θετικήκλίση m= 3) καιτέμνει τον άξονα y στο σημείο y= 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 69

Γραφική Αναπαράσταση III

I Μια Τετραγωνική εξίσωση περιέχει x2 Για τηναναπαράσταση τετραγωνικών εξισώσεων χρειάζεται ναβρούμε περισσότερα από τρία σημεία στο σχεδιάγραμμα

Για παράδειγμα υποθέστε ότι y= x2minus6x+5 καιδίνεται το πιο κάτω T-chart

x y= x2minus6x+5 (xy)0 5 (05)1 0 (10)3 minus4 (3minus4)5 0 (50)6 5 (65)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 70

Γραφική Αναπαράσταση IV

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

-

6

X

Y

bull

bull

bull

bull

bull

Ε Ι Κοντογιώργης copy 71

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(1x + 2)

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(-3x + 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 72

-15

-10

-5

0

5

10

15

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(3x - 2)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 73

-20

0

20

40

60

80

100

120

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2+x)

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 74

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

1250

1500

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3+x2+x)

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x4)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 75

-25

-2

-15

-1

-05

0

05

1

15

2

25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(log(x))

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(x))

Ε Ι Κοντογιώργης copy 76

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(-x))

-5000

0

5000

10000

15000

20000

25000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(exp(x)+x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 77

Ανισότητες I

I Οι ανισότητες αποτελούνται από δύο ή τρεις αλγεβρικέςεκφράσεις που είναι συνδεδεμένες με τα σύμβολαανισότητας Τα σύμβολα αυτά είναι

lt μικρότερο τουgt μεγαλύτερο τουle μικρότερο ή ίσο τουge μεγαλύτερο ή ίσο του

I Παραδείγματα xgty yge x2 και ylt5x+1

I Το πρώτο βήμα για την αναπαράσταση ανισότητας τηςμορφής ygtx είναι να παραστήσουμε γραφικά τηνισότητα y= x

Ε Ι Κοντογιώργης copy 78

Ανισότητες II

I ygtx

Κάνετε δοκιμή με ένα σημείο να δείτε κατά πόσοικανοποιεί την ανισότητα Εάν ναι τότε σκιάστε τηνπεριοχή αυτή του σχεδιαγράμματος διαφορετικά σκιάστετην άλλη πλευρά

Ε Ι Κοντογιώργης copy 79

Ανισότητες III

I yltx

Ε Ι Κοντογιώργης copy 80

Ανισότητες IV

I yle 5x+1 και ygt5x+1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 81

Ανισότητες V

I yge x2 και yle x2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 82

Ανισότητες VI

I ygtx3 και yle x3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 83

Συστήματα Γραμμικών ΕξισώσεωνΠεριεχόμενα

1 Ε

2 Γ Α

ΑναφορέςΚεφάλαια 4 και 5FS Budnick Applied Mathematics for Business Economicsand the Social Sciences 4th edition McGraw-Hill 1993

Ε Ι Κοντογιώργης copy 84

Συστήματα Εξισώσεων

I ´Ενα σύστημα εξισώσεων συνδυάζει περισσότερες από μίαεξισώσεις

I ´Ενα σύστημα m εξισώσεων όπου κάθε εξίσωσηαποτελείται από n μεταβλητές ονομάζεται mtimesnσύστημα ή λέμε ότι έχει διαστάσεις mtimesn

I ΠαράδειγμαΠαρακάτω έχουμε ένα σύστημα 2times2

5X+10Y= 203X+4Y= 10

Οι μεταβλητές σε αυτή την περίπτωση είναι X και YΕ Ι Κοντογιώργης copy 85

Συστήματα Επίλυσης

I Το Σύστημα επίλυσης είναι μια σειρά τιμών μεταβλητώνπου ικανοποιούν το σύστημα ταυτόχρονα

I Σε μια σημειογραφική παράσταση το προηγούμενοπαράδειγμα μπορεί να γραφτεί ως εξής

S = (XY) | 5X+10Y = 20 και 3X+4Y = 10

I Το σύστημα επίλυσης μπορεί να είναι1 μηδενικό2 πεπερασμένο ή3 άπειρο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 86

2times2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική Ανάλυση

I Σε ένα δισδιάστατο γράφημα ένα σύστημα εξισώσεων2times2 αναπαρίστανται με ευθείες γραμμές Υπόρχουν τρίαενδεχόμενα

1 Οι ευθείες τέμνονται Το σημείο τομής αντιπροσωπεύει τηλύση του συστήματος εξισώσεων Αυτό το σημείοαλληλεπίδρασης είναι μια δέσμη τιμών X και Y που ικανοποιείκαι τις δύο εξισώσειςΕάν υπάρχει μόνο μια δέσμη τιμών για τις μεταβλητές που ναικανοποιεί το σύστημα εξισώσεων το σύστημα λέμε ότι έχειΜ Λ

2 Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες μεταξύ τους ∆εν έχουν κοινόσημείο Συνεπώς οι ευθείες δεν τέμνονται ποτέ Το σύστημαλέμε ότι ∆ ΛΑυτό υπονοεί ότι δεν υπάρχουν τιμές για τις μεταβλητές πουνα ικανοποιούν και τις δύο εξισώσεις Σε αυτή τηνπερίπτωση οι εξισώσεις στο σύστημα είναι Α

3 Και οι δύο εξισώσεις αναπαρίστανται ως μια κοινή ευθεία καιθεωρούνται ισοδύναμες εξισώσεις ´Ετσι το σύστημα έχειΑ Λ Αυτό συμβαίνει γιατί υπάρχει άπειροςαριθμός κοινών σημείων στις δύο γραμμές

Ε Ι Κοντογιώργης copy 87

I Π Θεωρείστε ένα σύστημα 2times22X+4Y= 203X+ Y= 10

I

X

Y

(24)

3X +Y = 10

2X +4Y = 20

0 2 4 6 8 10 12

2

4

6

8

10

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 88

I Το σημείο τομής δίνεται από το X= 2 και Y= 4Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές του X και Y στις δύοεξισώσεις δίνουν 20 = 20 και 10 = 10 αντίστοιχα

I Αυτό υποδειλώνει ότι X= 2 και Y= 4 είναι η σωστή λύση

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times23Xminus2Y= 6

minus15X+10Y=minus30

I

X

Y

(20)

(0minus3)

3X minus2Y = 6

minus15X +10Y =minus30

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 89

I Οι δύο εξισώσεις απλοποιούνται σε Xminus 23 Y= 2

Οι δύο εξισώσεις είναι ισοδύναμες και δίνουν έναπεπερασμένο αριθμό λύσεων έτσι ώστε

X= 0 Y =minus3X= 2 Y = 0X= 4 Y = 3

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times26Xminus12Y= 24

minus32X+3Y= 9

Οι εξισώσεις απλοποιούνται σεXminus2Y= 4Xminus2Y=minus6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 90

I

X

Y

(40)

(0minus2)

(minus60)

(03)

X minus2Y =minus6

X minus2Y = 4

0-0

I Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες και συνεπώς το σύστημαδεν έχει λύση ´Ετσι το σύστημα εξισώσεων είναιασύμπτωτο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 91

Περίληψη 2times2 Συστήματα Εξισώσεων∆ίνεται ένα Σύστημα Γραμμικών Εξισώσεων 2times2

Y=m1X+ c1Y=m2X+ c2

1 Υπάρχει μια στο σύστημα εάνm1 6= m2

2 ∆εν υπάρχει στο σύστημα εάνm1 = m2 και c1 6= c2

3 Υπάρχει εάνm1 = m2 και c1 = c2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 92

∆ιαδικασίες Απαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής χρησιμοποιεί πολλαπλασιασμόκαι πρόσθεση έτσι ώστε

1 Να απαλοιφεί μια από τις δύο μεταβλητές

2 Η εξίσωση που εξάγεται είναι συνάρτηση των υπόλοιπωνμεταβλητών

3 Αντικαθιστώντας την τιμή στην μεταβλητή σε μια από τιςαρχικές εξισώσεις βρίσκουμε την τιμή για τηναπολοιφθήσα μεταβλητή

Ε Ι Κοντογιώργης copy 93

ΠαραδείγματαI Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

2X +4Y = 20 (1)3X + Y = 10 (2)

Πολλαπλασιάζοντας τη δεύτερη εξίσωση με minus4 παίρνουμε

minus12X minus4Y =minus40 (3)

Προσθέτοντας την εξίσωση (1) στο (3)

2X + 4Y = 20minus12X minus 4Y = minus40minus10X = minus20

ή

X = 2 (4)Ε Ι Κοντογιώργης copy 94

Αντικαθιστώντας X= 2 στην εξίσωση (1) δίνεται2 middot2+4Y = 20 ή Y=4

´Ετσι η μοναδική λύση του συστήματος δίνεται από τοX= 2 και Y= 4 Μπορεί να επιβεβαιωθεί ότι αυτή είναι ησωστή λύση αντικαθιστώντας X= 2 και Y= 4 στηνεξίσωση (1) και (2)

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times23X minus2Y = 6 (5)

minus15X +10Y =minus30 (6)

Για την απαλοιφή της μεταβλητής X η εξίσωση (5)πολλαπλασιάζεται με 5 και το αποτέλεσμα προστίθεταιστην εξίσωση (6)

15X minus 10Y = 30minus15X + 10Y = minus30

0 = 0 Ε Ι Κοντογιώργης copy 95

Οι τελευταίες πράξεις υπονοούν ότι οι εξίσωσεις (5) και(6) είναι ισοδύναμες και έτσι υπάρχει άπειρος αριθμόςλύσεωνΓια να προσδιορίσουμε τις λύσεις του συστήματος μια απότις αρχικές εξισώσεις λύνεται ως προς μια μεταβλητή Ανγια παράδειγμα η εξίσωση (5) λύνεται ως προς Y δίνει

Y =32Xminus3

Σαν αποτέλεσμα γενικεύοντας τις λύσεις του συστήματοςέχουμε

X τυχαίο και Y =32Xminus3

Πχ για X= 4 υπονοείται ότι Y=32 middot4minus3 = 3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 96

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

6X minus12Y = 24 (7)

minus32X +3Y = 9 (8)

Πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση (8) με 4 καιπροσθέτοντας το αποτέλεσμα στην εξίσωση (7)παίρνουμε

6X minus 12Y = 24minus6X + 12Y = 36

0 = 60

Η πιο πάνω αντιλογία υπονοεί ότι δεν υπάρχει λύση τουσυστήματος εξισώσεων

Ε Ι Κοντογιώργης copy 97

3times2 Συστήματα Εξισώσεων I

1 Μ Λ

X

Y

(32)

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minusY = 1

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 98

3times2 Συστήματα Εξισώσεων II

2 Α Λ

X

Y Εξις (1)Εξις (2)Εξις (3)

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 99

3times2 Συστήματα Εξισώσεων III3 Κ

(α) ´Οταν και οι τρεις εξισώσεις είναι παράλληλες

X

Y

2X minusY =minus8

2X minusY = 2

2X minusY = 12

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 100

3times2 Συστήματα Εξισώσεων IV(β) ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ τωνεξισώσεων

X

Y

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minus2Y =minus4

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 101

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική ΑνάλυσηΣε ένα γράφημα 2 διαστάσεων ένα σύστημα mtimes2(mgt2) εξισώσεων παριστάνεται με m ευθείες ´Οπωςσυμβαίνει στα συστήματα 2times2 υπάρχουν τρίαενδεχόμενα

1 ´Ολες οι ευθείες τέμνονται στο ίδιο σημείο και έτσιυπάρχει

2 ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ των mεξισώσεων Αυτό σημαίνει ότι όλες οι ευθείες είναιπαράλληλες Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα Λ

3 Οι m εξισώσεις είναι ισοδύναμες πχ παρασταίνονται σανμια ευθεία Σε αυτή την περίπτωση υπάρχει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 102

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων ∆ιαδικασίαΑπαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής για την επίλυση ενός συστήματοςmtimes2 μπορεί να περιγραφεί ως ακολούθωςΕπιλέξτε και λύστε σύστημα με δύο εξισώσεις

1 Εάν δεν υπάρχει λύση τότε ολόκληρο το σύστημα δεν έχειλύση

2 Εάν υπάρχει μοναδική λύση που ικανοποιεί τις υπόλοιπεςmminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα έχει μία μοναδική λύση

3 Εάν η λύση είναι μοναδική αλλά δεν ικανοποιεί τιςυπόλοιπες mminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα δεν έχει λύση

4 Εάν οι 2 λύσεις είναι ισοδύναμες απάλοιψτε τη μίααπό τις δύο εξισώσεις και ξεκινήστε από την αρχήλαμβάνοντας υπόψη ένα σύστημα (mminus1)times2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 103

ΠαράδείγμαI Θεωρείστε ένα σύστημα 5times2

XminusY= 1X+2Y=minus8

3Xminus2Y= 02Xminus5Y= 11minus4X+3Y=minus1

I Η λύση των πρώτων δύο εξισώσεων δίνετε απόY =minus3 και X =minus2

I Αντικαθιστώντας τη λύση στις υπόλοιπες τρεις εξισώσειςπαίρνετε αντίστοιχα

0 = 0 11 = 11 και minus1 =minus1I Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση

X=minus2 και Y=minus3Ε Ι Κοντογιώργης copy 104

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian

Η μέθοδος απολοιφής Gaussian μετατρέπει το αρχικόσύστημα εξισώσεων σε διαγώνια μορφή επαναλαμβάνονταςστις εξισώσεις τις ακόλουθες τρεις διαδικασίες

1 Πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης μεμια θετική σταθερά

2 Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού θα προστεθεί σεάλλη εξίσωση

3 Η σειρά των εξισώσεων μπορεί να αλλάξει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 105

ΠαράδείγμαΠ Θεωρείστε το σύστημα 2times2

2X minus 3Y = 7 (Εξ 1)X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με 12 για να πάρετε

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με minus1 καιπροσθέστε την στην (Εξ 2)

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

52Y =

152 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 106

Στάδιο 3 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 25

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

Y = 3 (Εξ 2)

Στάδιο 4 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 32 και

προσθέστε την στην (Εξ 1)

X = 1 (Εξ 1)Y = 3 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 107

Π Θεωρείστε το σύστημα 2times2

5X + 20Y = 254X minus 7Y =minus26

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να εκφραστεί ως

R1 5 20 25R2 4 minus7 minus26

Η κάθετη γραμμή χρησιμοποιείται για διαχωρισμό τηςαριστερής από τη δεξιά πλευρά των εξισώσεων Το Riυπονοεί τη γραμμή (Row) i

Ε Ι Κοντογιώργης copy 108

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάζουμε τη R1 με 15 και το θέτουμε

R1larr 15R1

R1 1 4 5R2 4 minus7 minus26

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάζουμε την R1 με minus4 και τηνπροσθέτουμε στην R2 Εν συντομίαR2larrminus4R1+R2

R1 1 4 5R2 0 minus23 minus46

Στάδιο 3 R2larrminus 123R2

R1 1 4 5R2 0 1 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 109

Στάδιο 4 R1larrminus4R2+R1

R1 1 0 minus3R2 0 1 2

Το αρχικό σύστημα εξισώσεων μετατρέπεται σε διαγώνιαμορφή όπως πιο κάτω

X =minus3Y = 2

το οποίο δίνει τη λύση του συστήματος

Ε Ι Κοντογιώργης copy 110

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 I

Το σύστημα εξισώσεων 3times3 μετετρέπεται σε διαγώνιαμορφή Η μετατροπή γίνεται στήλη με στήλη από τααριστερά προς τα δεξιά

Π Θεωρήστε το σύστημα 3times3

X1 + X2 + X3 = 2X1 minus 3X2 + 2X3 = 7

4X1 minus 2X2 minus X3 = 9

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να γραφτεί ως

Ε Ι Κοντογιώργης copy 111

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 II

1 1 1 21 minus3 2 74 minus2 minus1 9

Ε Ι Κοντογιώργης copy 112

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Ο κάθε φοιτητής θα πρέπει να προμηθευτεί τις σημειώσειςπριν την έναρξη της διάλεξης ώστε να τις έχει μαζί τουκατά την διάρκεια της διάλεξης

Οι σημειώσεις θα έχουν κάποια μέρη άδεια (τρύπες) ταοποία θα συμπληρώνονται κατά τη διάρκεια τωνδιαλέξεων

Στα φροντιστήρια γίνεται συζήτηση της ύλης πουκαλύπτει η διάλεξη και λύνονται ασκήσεις

Ε Ι Κοντογιώργης copy 7

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΑ

Η ενδιάμεση εξέτάση αναμένεται να πραγματοποιηθεί τοΣάββατο 17 Οκτώβρη του 2015 και θα αντιστοιχεί στο35 της συνολικής βαθμολογίας

Η τελική εξέταση θα πραγματοποιηθεί τον ∆εκέμβριο καιθα αντιστοιχεί στο 65 της συνολικής βαθμολογίας

Οποιεσδήμοτε τροποποιήσεις (αν υπάρξουν) σχετικά με τιςημερομηνίες ήκαι τις ώρες διεξαγωγής των ενδιάμεσωνεξετάσεων θα σας γνωστοποιηθούν γραπτός

Ε Ι Κοντογιώργης copy 8

Σημείωση

Ο φοιτητής ο οποίος θα συλληφθεί να αντιγράφει να έχεικινητό τηλέφωνο να έχει αριθμομηχανές ή να έχει έγραφαστο θρανίο του που έχουν άμεση σχέση με το εξεταζόμενομάθημα ΕΧΝ110 κατά την διάρκεια των εξετάσεων τότεαμέσως αποτυγχάνει στο μάθημα αυτό και είναιυπεύθυνος για τις οποιεσδήποτε πειθαρχικές διαδικασίεςπροκύψουν λόγο αυτού

Κατά τη διάρκεια των διαλέξεων όλα τα κινητά τηλέφωναπρέπει να είναι κλειστά

Φαγώσιμα ή ποτά δεν επιτρέπονται στις διαλέξεις

Ε Ι Κοντογιώργης copy 9

ΕΧΝ 110 Μαθηματικά ΙΠεριεχόμενα

I Μ I Β Ε Β Λ

I Ε Α ΛI ΑI Α Γ ΠI Σ I ΛI Γ

Ερρίκος Ιωάννη ΚοντογιώργηςE-mail erricoscutaccy

Ε Ι Κοντογιώργης copy 10

Μεταβλητές και Σταθερές

I Στα Μαθηματικά και τη Στατιστική πάντοτεασχολούμαστε με ευμετάβλητα μεγέθη Για παράδειγμαμισθούς επιτόκια πληθωρισμό ύψος βάρος ηλικία χρόνοκτλ

I Στα συνηθισμένα συμφραζόμενα μια μεταβλητήσυμβολίζεται με ένα αλφαβητικό γράμμα πχ x y zκτλ Για παράδειγμα αν η μεταβλητή μας αποτελείταιαπό τους μισθούς υπαλλήλων τότε μπορούμε να τουςπαραστήσουμε τους μισθούς με τη μεταβλητή x

I Συγκεκριμένα εάν δεν ενδιαφερόμαστε για το πραγματικόύψος των μισθών (ή δε τους γνωρίζουμε) αλλά επιθυμούμενα απομονώσουμε τους μισθούς τεσσάρων υπαλλήλωντότε τους συμβολίζουμε ως εξής x1 x2 x3 και x4

Ε Ι Κοντογιώργης copy 11

Μεταβλητές και Σταθερές ΙΙ

I Σε ορισμένες περιπτώσεις εμπερικλείουμε τις μεταβλητές σεπαρενθέσεις ´Ετσι (x1x2x3x4)Ο τρόπος αυτός ονομάζεται σύνολο

I Αν ξέρουμε τους πραγματικούς μισθούς τεσσάρωνυπαλλήλων μπορούμε να τους γράψουμε σε σειρά έτσι τοσετ θα έχει τη μορφή (2200016000384322943248)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 12

Ακέραιοι και Πραγματικοί Αριθμοί

I Οι lsquoφυσικοίrsquo αριθμοί (θετικοί ακαίραιοι) δίνονται ως εξής1234 Το σύνολο όλων των φυσικών αριθμώνσυμβολίζεται με το γράμμα N

I Οι lsquoολόκληροιrsquo αριθμοί (μη αρνητικοί ακέραιοι) είναι οιφυσικοί αριθμοί μαζί με το μηδέν 01234

I Οι lsquoακέραιοιrsquo περιλαμβάνουν τους φυσικούς αριθμούς τομηδέν και τους αρνητικούς φυσικούς αριθμούς

minus2minus1012

Η σειρά των ακεραίων συμβολίζεται με Z

Ε Ι Κοντογιώργης copy 13

Ακέραιοι και Πραγματικοί Αριθμοί ΙΙ

I Μια μεταβλητή μπορεί να πάρει πεπερασμένο αριθμότιμών Για παράδειγμα η μεταβλήτή M που υποδειλώνειτους μήνες του χρόνο μπορεί να πάρει τις τιμές

123456789101112

Σε αυτή την περίπτωση η μεταβλητή M είναι μια σειράθετικών ακέραιων μετεβλητών (φυσικοί)

I Η μεταβητή x μισθοί από το προηγούμενο παράδειγμαπαίρνει θετικούς πραγματικούς αριθμούς

I Το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών συμβολίζεταιreal Η σειρά αυτή περιλαμβάνει όλους τους πραγματικούςακέραιους αριθμούς από το μείον άπειρο (minusinfin) ως στοάπειρο (infin)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 14

Ακέραιοι και Πραγματικοί Αριθμοί ΙΙΙ

I Γενικά μια μεταβλητή x που παίρνει πραγματικές τιμέςονομάζεται πραγματική μεταβλητή (real variable) καισυμβολίζεται με x isinreal Με το σύμβολο isin εννοούμε lsquoμέσαrsquolsquoανήκειrsquo κλπ

I Το σύμβολο που χρησιμοποείται για το διαχωρισμό τουακέραιου μέρους σε ένα δεκαδικό αριθμό από τοκλασματικό μέρος ονομάζεται δεκαδικό σημείο (decimalpoint) Eg 314159

I Η δεκαδική θέση (decimal place) είναι η θέση του ψηφίουστα δεξιά του δεκαδικού σημείου

Ε Ι Κοντογιώργης copy 15

Συναρτήσεις Ακέραιων και Πραγματικών

I Συνάρτηση στογγυλοποίησης ή συνάρτηση κοντινότερουδεκαδικούΗ lsquoστρογγυλοποίησηrsquo ενός πραγματικού αριθμού xσυμβολίζεται με [x] ∆ίνει τον πιο κοντινό ακέραιο στοxΠχ [32] = 3 [minus32] =minus3 και [86] = 9Ο πιο πάνω ορισμός είναι δύσκολο να εφαρμοστεί γιαhalf-integers Στις περιπτώσεις αυτές η στρογγυλοποίησηγίνεται προς τα πάνω μόνο για τους μονούς αριθμούςέτσι ώστε να αποφεύγεται η μεροληπτικότηταΠχ [35] = 4 [45] = 4 και [05] = 0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 16

I Στρογγυλοποίηση προς τα πάνω ή συνάρτησημικρότερου ακεραίουΗ lsquoστρογγυλοποίηση προς τα πάνωrsquo ενός πραγματικούαριθμού x συμβολίζεται με dxe Μας δίνει το μικρότεροδυνατό ακέραιο που είναι μεγαλύτερος ή ίσος από το xΠχ d32e= 4 dminus32e=minus3 d35e= 4 και d36e= 4

I lsquoΣτρογγυλοποίηση προς τα κάτωrsquo ή συνάρτησημεγαλύτερου ακεραίουΤο lsquoκατώτατο όριοrsquo ενός πραγματικού αριθμού xσυμβολίζεται bxc ∆ίνει το μεγαλύτερο δυνατό ακέραιοπου είναι μικρότερος ή ίσος από το xΠχ b32c= 3 bminus32c=minus4 b35c= 3 και b36c= 3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 17

Σταθερές

I ´Ενας αριθμός που αντιπροσωπεύει μια ποσότητα πουθεωρείται ότι έχει σταθερή τιμή ονομάζεται lsquoσταθεράrsquo Ητιμή μιας σταθεράς ενώ δε μεταβάλλεται πιθανό να μηνπροσδιορίζεται

I Οι πιο σημαντικές πραγματικές σταθερές είναι

1 Το π= 314159 Είναι ο δείκτης που υποδειλώνει τηνπεριφέρεια του κύκλου ακτίνια Ονομάζεται και σταθερά τουΑρχιμήδη

2 Το exp = 271828 που υποδειλώνει τη βάση του φυσικούλογάριθμου

Ε Ι Κοντογιώργης copy 18

Σύμβολα Κατεύθυνσης

I Το σύμβολο lsquogtrsquo που σημαίνει lsquoμεγαλύτεροrsquo καθώς και τοlsquogersquo που σημαίνει lsquoμεγαλύτερο ή ίσοrsquo

I Το σύμβολο lsquoltrsquo που σημαίνει lsquoμικρότεροrsquo καθώς και το lsquolersquoπου σημαίνει lsquoμικρότερο ή ίσοrsquo

I Παράδειγμα Οι μεταβλητές που συμβολίζουν τουςμηνιαίους μισθούς xge 0 Οι μεταβλητές που συμβολίζουντους μήνες του χρόνου 0ltMlt13 που μπορούν επίσης ναγραφτούν 1leMle 12

Ε Ι Κοντογιώργης copy 19

∆υνάμειςI Οι εκθέτες αποτελούν συντομογραφία του

πολλαπλασιασμού (5)(5) = 52 και (5)(5)(5) = 53 Εδώτο 5 λέγεται βάση και το 3 λέγεται εκθέτης Μπορείεπίσης να ερμηνευτεί πέντε υψωμένο στην τρίτη δύναμη

I Η δύναμη είναι ο εκθέτης στον οποίο υψώνεται μιαποσότητα Η έκφραση xn είναι γνωστή ως x στη nδύναμη

I Σημειώστε ότι 5253 = (55)(555) = 55 = 5(2+3) Εδώπαρουσιάζεται ένας βασικός κανόνας του εκθέτη Στηπερίπωση που πολλαπλασιάζονται δύο όροι που έχουντην ίδια βάση οι εκθέτες τους μπορούν να προστεθούν

xmxn = x(m+n)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 20

I Στην περίπτωση όμως που (x4)(y3) ο πιο πάνω κανόναςδε μπορεί να εφαρμοστεί γιατί οι βάσεις είναιδιαφορετικές (x4)(y3) = xxxxyyy

I Για (x2)4

= x2x2x2x2 = xxxxxxxx= x8 = x(2times4)

I ´Ετσι στην περίπτωση που έχετε μια εκθετική έκφρασηπου είναι υψωμένη σε μία δύναμη μπορείτε ναπολλαπλασιάσετε τον εκθέτη με τη δύναμη

(xm)n

= xmn

Ε Ι Κοντογιώργης copy 21

I Εάν έχετε μια έκφραση μέσα σε παράνθεση και ηπαράνθεση είναι υψωμένη σε μια δύναμη τότε η δύναμημπορεί να γίνει μέρος τις παράνθεσης Για παράδειγμα

(xy2)3 = (xy2)(xy2)(xy2) = (xxx)(y2y2y2)

= (xxx)(yyyyyy) = x3y6 = (x)3(y2)3 = x3y6

Παρομοίως(xy)2

=x2y2

I ´Ενας αρνητικός εκθέτης είναι ένδειξη ότι η βάση βρίσκεταιστον παρονομαστή του κλάσματος Πχ

xminus2 =1x2

x2xminus3 = x2x3 = x5 2xminus1 =

2x

(3x)minus2 =1

(3x)2 =1

9x2 και(xminus2yminus3

)minus2=

(xminus2)minus2

(yminus3)minus2=x4y6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 22

I Οτιδήποτε στη δύναμη μηδέν είναι lsquo1rsquo

Πχ 50 = 1 x0 = 1 (x2y3)0 = 1 και 00 = 1

Σημειώστε ότι 50 = 5(1minus1) = (51)(5minus1) =55 = 1

I Μηδέν σε οποιαδήποτε δύναμη είναι μηδέν έτσι 0n = 0

Σημειώστε ότι 00 = 1 και ότι 00 = 0

Αυτό υποδειλώνει ότι 00 είναι μια απροσδιόριστη μορφήπου σε κάποιες περπτώσεις παίρνει μία τιμή και σεκάποιες άλλες περιπτώσεις παίρνει διαφορετική τιμή

Ε Ι Κοντογιώργης copy 23

I Κλασματικοί (Αναλογικοί) Εκθέτες

1 Η τετραγωνική ρίζα μπορεί να γραφτεί σε μορφή κλάσματος

´Ετσι radicx= x12

Πχ 212 =

radic2 = 141 και 2

minus12 =

1radic2

= 071

2 Γενικά xab =bradicxa Πχ 7

23 =

3radic72 = 366

355 = 3112 =

2radic311 = 42089

Ε Ι Κοντογιώργης copy 24

ΛογάριθμοιI Η λογαριθμική μορφή ενός αριθμού είναι lsquoαντίθετηrsquo από

την εκθετική Τεχνικά μιλώντας η λογαριθμική μορφήείναι αντίστροφη της εκθετικής

I Η σχέση δίνεται logb(x) = y

που είναι το ίδιο με by = x

I Ο lsquolsquologb(x) = yrsquorsquo προφέρεται lsquolsquolog-βάση-b-του x ισούται yΕδώ b ονομάζεται lsquoβάση του λογαρίθμουrsquo αφού το b είναιη βάση της εκθετικής έκφρασης

I Η βάση b του λογάριθμου είναι πάντοτε θετική και δενισούται με 1

I Οτιδήποτε βρίσκεται μέσα στο λογάριθμο ονομάζεταιέκφραση

Ε Ι Κοντογιώργης copy 25

ΠαραδείγματαI Μετατρέψτε την έκφραση 63 = 216 στην ισοδύναμη

λογαριθμική μορφή

Για τη μετατροπή η βάση μένει η ίδια αλλά το 3 και το216 αλλάζουν θέσεις Αυτό μας δίνει

log6(216) = 3

I Μετατρέψτε τον log4(1024) = 5 στην αντίστοιχηλογαριθμική έκφραση

Για τη μετατροπή η βάση (που είναι 4) παραμένει η ίδιααλλά το 1024 και το 5 αλλάζουν θέσεις ´Ετσι δίνεται

45 = 1024

Ε Ι Κοντογιώργης copy 26

I Υπολογίστε τον log2(8)

Εάν y= log2(8) τότε υπονοείται ότι 2y = 8 Αυτόσημαίνει ότι y είναι η δύναμη του 2 που θα έχει σαναποτέλεσμα 8 Η δύναμη που δίνει το αποτέλεσμα είναι 3αφού 23 = 8 ´Ετσι

log2(8) = 3

I Κατά παρόμοιο τρόπο log5(25) = 2 αφού 52 = 25

I Υπολογίστε τον y= log64(4)

Σημειώστε ότι 64y = 4 και 43 = 64

´Ετσι (43)y

= 4 ή 43y = 41

Η πιο πάνω έκφραση εξυπονοεί ότι 3y= 1 και έτσιy= 13

Ε Ι Κοντογιώργης copy 27

I Υπολογίστε y= log6(6)

Αυτό ισοδυναμεί με το 6y = 6 και συνεπώς y= 1

I Υπολογίστε το y= log3(1)

Το πιο πάνω μπορεί να γραφτεί ως 3y = 1

´Ομως 1 = 30 έτσι 3y = 30 και y= 0

I Υπολογίστε το y= log4(minus16)

Μπορεί να γραφτεί σαν 4y =minus16

´Ομως δεν υπάρχει τιμή (πχ δύναμη) y που ναικανοποιεί τη σχέση ´Ετσι δεν υπάχρει λύση

Ε Ι Κοντογιώργης copy 28

I Υπολογίστε το y= log2(0)

Αυτό σημαίνει 2y = 0 όμως δε υπάρχει τιμή που ναικανοποιεί τη σχέση ´Ετσι δεν υπάχρει λύση

I Υπολογίστε το y= 2log2(9)

Αυτό σημαίνει ότι log2(y) = log2(9) και έτσι y= 9

Ε Ι Κοντογιώργης copy 29

I Γενικά1 logb(b) = 1 για οποιαδήποτε βάση b

2 logb(1) = 0 για οποιαδήποτε βάση b

3 logb(a) δεν ορίζεται για αρνητικά a

4 logb(0) δεν ορίζεται για οποιαδήποτε βάση b

5 logb(bn) = n για οποιαδήποτε βάση b

Ε Ι Κοντογιώργης copy 30

I Οι λογάριθμοι μπορούν να πάρουν οποιοδήποτε αριθμόσαν βάση αλλά δύο βάσεις είναι οι πιο χρήσιμες οlog-βάση-10 και ο log-βάση-e

I Η βάση-10 log συχνά ονομάζεται ο κοινός log καιγράφεται ως log(x) Εδώ δεν αναγράφεται βάση καιμπορούμε να υποθέσουμε ότι η βάση είναι 10

Πχ log(100) = 2 έτσι log10(102) = 2

I Η βάση-e log ονομάζεται ο φυσικός log και γράφεται σανln(x)Πχ ln(e345)= 345 καθώς loge(e345) = 345

Ε Ι Κοντογιώργης copy 31

Ιδιότητες Λογαρίθμωνlogb(xy) = logb(x) + logb(y)

Απόδειξη´Εστω m= logbx και n= logby

Γράψτε σε μορφή εκθέτη x= bm και y= bn

Πολλαπλασιάστε το x και y ούτως ώστεxy= bmbn = bm+n

´Ετσι από τον ορισμό των λογαρίθμων το xy= bm+nσυνεπάγει ότι

logb(xy) =m+n= logbx+ logb(y)

Πχ log2(4times16) = log2(64) = log2(26) = 6

Ακόμα log2(4times16) = log2(4) + log2(16) = 2+4 = 6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 32

logb(xy)

= logb(x)minus logb(y)

Απόδειξη´Εστω m= logbx και n= logby

Γράψτε σε μορφή εκθέτη x= bm και y= bn

∆ιαίρα το x και y ούτως ώστε xy =bmbn = bmminusn

´Ετσι από τον ορισμό των λογαρίθμων το xy = bmminusn

συνεπάγει ότι

logb(xy)

=mminusn= logbxminus logb(y)

Πχ log2(16

4)

= log2(4) = 2

και log2(16

4)

= log2(16)minus log2(4) = 4minus2 = 2Ε Ι Κοντογιώργης copy 33

logb(xn) = n logb(x)

Απόδειξη´Εστω m= logbx και γράψτε σε μορφή εκθέτη x= bm

Αυξάνοντας τις δύο πλευρές στην n δύναμη παίρνουμεxn = (bm)n = bmn

´Ετσι από τον ορισμό των λογαρίθμων τοlogbxn =mn= nm= n(logbx)

Πχ log2(64) = log2(26) = 6 log2(2) = 6

log(64) = 18

Επιπλέον log(64) = log(26) = 6log(2) = 6times030 = 18

Ε Ι Κοντογιώργης copy 34

logb(x) =loga(x)loga(b) agt0 a 6= 1

Απόδειξη´Εστω m= logbx rArr x= bm

Εφαρμόστε loga και στις δύο πλευρές του x= bmγια ναδώσει

logabm = logax rArr m logab= logaxrArr m=logaxlogab

rArr logbx=logaxlogab

Πχ log5(20) =log(20)

log(5)= 186 =

ln(20)

ln(5)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 35

logb(a) =1

loga(b) agt0 a 6= 1

Απόδειξη

logb(x) =loga(x)loga(b) =

logx(x)logx(b)

=1

loga(b)

´Οταν a= x

Πχ log2(64) =1

log64(2)=

116 = 6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 36

Αθροισμα

I Υποθέστε ότι έχουμε μια μεταβλητή x που μπορεί ναπάρει δέκα τιμές Εάν ενδιαφερόμαστε για το άθροισμάτους χωρίς να ξέρουμε την τιμή της κάθε μεταβλητής τότεο καλύτερος τρόπος να το εκφράσουμε είναι

x1 +x2 + middot middot middot+x9 +x10

I Εν συντομία το άθροισμα n στοιχείων x1 +x2 + middot middot middot+xn είναιnsum

i = 1xi

και ερμηνεύεται σαν το άθροισμα όλων των xirsquosξεκινώντας από το x1 (πχ i = 1) μέχρι xn (i = n)

I Εάν δε δοθεί διαφορετικά πάντοτε υποθέτουμε ότι το iαυξάνεται ξεκινώντας από το στάδιο 1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 37

I Το lsquolsquoSigmarsquorsquo Σ είναι γνωστό ως το άθροισμα (summation) ήσύμβολο σίγμα (sigma operator) και ο δείκτης i όνομάζεταιεικονική μεταβλητή

I Παραδείγματα

I

5sum

i = 1xi = x1 +x2 +x3 +x4 +x5

I

5sum

i = 1(y2

i ) = y21 +y22 +y23 +y24 +y25

Σημειώστε ότι η μόνη μεταβλητή που περιγράφεται απευθείαςκάτω από το σύμβολο Σ αυξάνεται κατά 1 κάθε φορά ενώ όλατα άλλα σύμβολα παραμένουν τα ίδια

I

4sum

r = 1(x3r ) = x31 +x32 +x33 +x34

Ε Ι Κοντογιώργης copy 38

I6sum

i = 1i = 1+2+3+4+5+6

I6sum

i = 1i2 = 12 +22 +32 +42 +52 +62

I7sum

i = 3xi = x3 +x4 +x5 +x6 +x7

I4sum

i = 1a = a+a+a+a= 4a

I3sum

i = 1(4+xi) = (4+x1) + (4+x2) + (4+x3)

=3sum

i = 14+

3sum

i = 1xi

Ε Ι Κοντογιώργης copy 39

I3sum

i = 1(2xi) = (2x1) + (2x2) + (2x3) = 2times

3sum

i = 1xi

I Ο συντελεστής i παραλείπεται εάν δε προκαλείαοριστία Για παράδειγμα Σx ή Σixi σημαίνειάθροισμα όλων των x που λαμβάνονται υπόψη

I ∆ήλωσηI

nsumi=1a= na

I sumiaxi = asum

ixi

I sumi

(axi+byi) = asumixi +bsum

iyi

Ε Ι Κοντογιώργης copy 40

I Αθροιστικός Τύπος

Insum

i = 1i = 1+2+ middot middot middot+n=

n(n+1)

2

Πχ6sumi = 1i = 1+2+3+4+5+6 =

6(6+1)

2 = 21

Insum

i = 1i2 = 12 +22 + middot middot middot+n2 =

n(n+1)(2n+1)

6

Πχ6sumi = 1i2 = 12 +22 +32 +42 +52 +62

=6(6+1)(12+1)

6 = 91

Ε Ι Κοντογιώργης copy 41

Insum

i = 1i3 = 13 +23 + middot middot middot+n3 =

n2(n+1)2

4

Πχ6sumi = 1i3 = 13 +23 +33 +43 +53 +63

=62(6+1)2

4 = 441

Ε Ι Κοντογιώργης copy 42

ΠαραδήγματαΑριθμητική Πρόοδος

I Γενικά μπορούμε να εκφράσουμε μια αριθμητική πρόοδο ωςεξής

αριθμητική πρόοδος a a+d a+2d a+3d

όπου ο πρώτος όρος είναι a και η διαφορά d Ο όρος nτης απ δίνεται από τη σχέση b = a+ (nminus1)d

I 3 5 7 9 11 είναι μια αριθμητική πρόοδος Οπρώτος όρος είναι το 3 και η διαφορά είναι 2

I 2 minus1 minus4 minus7 είναι μια αριθμητική πρόοδος όπου οπρώτος όρος είναι 2 και η διαφορά minus3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 43

I Το άθροισμα των όρων μιας αριθμητικής προόδου είναιγνωστό ως αριθμητική σειρά

Sn = a+ (a+d) + (a+2d) + middot middot middot+ (a+ (nminus1)d)

=nsumi=1

(a+ (iminus1)d

)= na+

nsumi=1

(iminus1)d

= na+dnminus1sumi=1

i = na+d(nminus1)n2

=n2(2a+d(nminus1)) =

n2(a+b) b = a+d(nminus1)

I ΑΠ 3 5 7 9 11 13 rArr Sn =62(3+13) = 48

Ε Ι Κοντογιώργης copy 44

∆ιπλό Αθροισμα4sumi=1

isumj=1

j = (1) + (1+2) + (1+2+3) + (1+2+3+4) = 20

nsumi=1

isumj=1

j =nsumi=1

( isumj=1

j)

nsumi=1

(12 i(i+1)

)=

12

nsumi=1

(i2 + i)

12( nsumi=1

i2 +nsumi=1

i)

=12(16n(n+1)(2n+1) +

12n(n+1)

)

=12

16n(n+1)

((2n+1) +3

)=

n6(n+1)(n+2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 45

∆ιπλό Αθροισμα

nsumi=1

msumj=1

(i+ j+2) =nsumi=1

( msumj=1

(i+ j+2))

nsumi=1

( msumj=1

i+msumj=1

j+msumj=1

2)

=nsumi=1

(mi+ 1

2m(m+1) +2m)

m( nsumi=1

i+ 12

nsumi=1

(m+5))

= m(12n(n+1) +

12n(m+5)

)

=mn2(m+n+6

)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 46

Insumr=1

1r(r+1)

=nsumr=1

(Ar +

Br+1

)=

nsumr=1

A(r+1) +Brr(r+1)

I A(r+1) +Br = 1

I Για r = 0 τότε A= 1 και για r =minus1 τότε B=minus1

I

nsumr=1

1r(r+1)

=nsumr=1

(1r minus

1r+1

)

=(

(11 minus

12) + (

12 minus

13) + (

13 minus

14) + middot middot middot+ (

1nminus1 minus

1n ) + (

1n minus

1n+1)

)

= 1minus 1n+1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 47

Insumk=1

1(k+2)(k+3)

=nsumk=1

( A(k+2)

+B

(k+3)

)=

nsumk=1

A(k+3) +B(k+2)

(k+2)(k+3)

I A(k+3) +B(k+2) = 1

I Για k=minus2 τότε A= 1 και για k=minus3 τότε B=minus1

I

nsumk=1

1(k+2)(k+3)

=nsumk=1

( 1(k+2)

minus 1(k+3)

)

=(

(13 minus

14)+(

14 minus

15)+(

15 minus

16)+ +(

1n+1 minus

1n+2)+(

1n+2 minus

1n+3)

)

=13 minus

1n+3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 48

Αθροισμα με Λογάριθμους

nsumi=1

logb(i) = logb(1) + logb(2) + middot middot middot+ logb(n)

= logb(1times2times3timesmiddotmiddot middottimesn)

= logb(n)

I Το n (n παραγοντικό) δίνεται από n = 1times2timesmiddotmiddot middottimesn και0 = 1

I100sumi=1

log2(100) = log2(100) =log(100)

log(2)=

log(99)

log(2)+

2log(2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 49

Γινόμενο των ακολουθιώνIn

prodi=1xi = x1timesx2timesx3timesmiddotmiddot middottimesxn

In

prodi=1i = 1times2times3timesmiddotmiddot middottimesn= n

In

prodi=1z= ztimesztimesmiddotmiddot middottimesz= zn

I

nprodi=1

(1+

1i+1

)=(1+

12)times(1+

13)times(1+

14)times times(1+

1n )times(1+

1n+1)

=32 times

43 times

54 timesmiddotmiddot middottimes

n+1n times n+2

n+1

=n+22

Ε Ι Κοντογιώργης copy 50

Γεωμετρικές ΠροόδοιI Μια γεωμετρική πρόοδος είναι μια σειρά αριθμών όπου

κάθε όρος μετά των πρώτο υπολογίζεται από τονπολλαπλασιασμό του προηγούμενου όρου με ένασταθερό αριθμό που καλείται αναλογία

I Η σειρά1 3 9 27 81 middot middot middot

είναι μια γεωμετρική πρόοδος με πρώτο όρο το 1 καιαναλογία 3

I Η αναλογία μπορεί να είναι κλάσμα καθώς επίσης καιαρνητικός αριθμός Για παράδειγμα η γεωμετρικήπρόοδος με πρώτο όρο το 2 και αναλογία minus13 είναι

2 minus 23 +

29 minus

227 +

281 middot middot middot

Ε Ι Κοντογιώργης copy 51

I Γενικά μπορούμε να γράψουμε μια γεωμετρική πρόοδο ωςακολούθως

γεωμετρική πρόοδος a ar ar2 ar3 ar4 middot middot middot

όπου ο πρώτος όρος είναι a και η αναλογία r

I Σημαντικά θεωρήματα των γεωμετρικών προόδων (γπ)1 Ο n όρος μιας γπ δίνεται από ar(nminus1)

2 Το άθροισμα των πρώτων n όρων μιας γπ είναι

Sn =a(1minus rn)

1minus r =a(rnminus1)

rminus1 και ισχύει μόνο αν r 6= 1

I Το άθροισμα των όρων μιας γεωμετρικής προόδουονομάζεται γεωμετρική σειρά

Ε Ι Κοντογιώργης copy 52

Γεωμετρική σειρά

Sn = a+ar+ar2 +ar3 + middot middot middot+arnminus2 +arnminus1

rSn = ar+ar2 +ar3 + arnminus1 +arn

Snminus rSn = aminusarn

(1minus r)Sn = a(1minus rn)

Sn =a(1minus rn)

(1minus r) =a(rnminus1)

(rminus1)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 53

I Παράδειγμα1 Βρείτε το άθροισμα των πρώτων 10 όρων μιας γεωμετρικής

σειράς4 8 16 32

Ο πρώτος όρος είναι a= 4 και η αναλογία r = 2 καιn= 10 ´Ετσι

S10 =4(1minus210)

1minus2 = 4092

2 Θεωρείστε τη γπ4 minus8 16 minus32 64 minus128 256 minus512

Σε αυτή την περίπτωση ο πρώτος όρος είναι a= 4 ηαναλογία είναι r =minus2 και n= 8´Ετσι

S8 =4(1minus (minus2)8)

1minus (minus2)=minus340

Ε Ι Κοντογιώργης copy 54

Συνεχείς ανατοκισμός

Οι περισσότεροι τραπεζικοί λογαριασμοί και τα δάνειαυιοθετούν ανατοκισμό - εφαρμόζοντας συνεχή ανατοκισμόΘεωρείστε ένα λογαριασμό που προσφέρει τόκο με ετήσιοεπιτόκιο r (πχ 7) Εάν το επιτόκιο είναι συνεχέςσε χρονιαία βάση τότε μετά από 1 χρόνο το χρονιαίοεπιτόκιο προστίθεται στο αρχικό κεφάλαιο για νακαθορίσει ένα μεγαλύτερο κεφάλαιο τον δεύτερο χρόνο

´Ετσι κατά τη διάρκεια του δεύτερου χρόνου ολογαριασμός κερδίζει επιτόκιο πάνω στο επιτόκιοΑυτή είναι η επίδραση του ανατοκισμού που συνεχίζεταιχρόνο με το χρόνο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 55

I Με τον ετήσιο ανατοκισμό το κεφάλαιο πουσυσσωρεύεται στο λογαριασμό πολλαπλασιάζεται με

(1+ r)

´Ετσι το κεφάλαιο A θα αυξηθεί σε

A(1+ r) = A+A middot r

τον επόμενο χρόνο

I Με το πέρας και του δεύτερου χρόνου το κεφάλαιο θααυξηθεί ακόμα (1+ r) σε (1+ r)2

´Ετσι το κεφάλαιο καταλήγει σε

A(1+ r)(1+ r) = A(1+ r)2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 56

I Κατά παρόμοιο τρόπο στο τέλος του τρίτου χρόνου τοποσό θα αυξηθεί κατά (1+ r)3

I Μετά από n χρόνια το ποσό θα αυξηθεί κατά (1+ r)n

I ´Ετσι το κεφάλαιο (επένδυση) A θα αυξηθεί με συνεχήανατοκισμό σε A(1+ r)n μετά από n χρόνια

I Ο τύπος (1+ r)n εκθέτει γεωμετρική αύξηση λόγω τηςn δύναμης

Ε Ι Κοντογιώργης copy 57

ΠαραδείγματαI Εάν το επιτόκιο είναι r = 5 τότε το κεφάλαιοA= $1000 που βρίσκεται στην τράπεζα n= 20 χρόνιαθα αυξηθεί κατά

(1+ r)n = (1+005)20 = 2653 φορές

´Ετσι το ποσό θα καταλήξειA(1+ r)n = $265330

I Βρέστε το χρόνο που χρειάζεται για ένα λογαργιασμό ναδιπλασιάσει το διαθέσιμο κεφάλαιο του όταν r = 7 καιr = 10Ζητούμε να βρούμε το n έτσι ώστε

(1+ r)n = 2Ε Ι Κοντογιώργης copy 58

I Υπολογίζοντας το λογάριθμο του τελευταίου παίρνουμε

log(1+ r)n = log(2)ή n log(1+ r) = log(2)

´Ετσιn=

log2log(1+ r)

I Για r = 7 και r = 10 ο χρόνος n πουχρειάζεται για διπλασιασμό της επένδυσης υπολογίζεταισε 1024 και 727 αντίστοιχα

Ε Ι Κοντογιώργης copy 59

I Αν το επιτόκιο είναι r = 7 τότε πιο θα είναι τοσυνολικό ποσό στο λογαριασμό μετά από 205 και41 χρόνια αντίστοιχα

Μετά τα πρώτα 1025 χρόνια το ποσό A θαδιπλασιαστεί σε 2A Για τα επόμενα 1025 χρόνιατο ποσό θα ξαναδιπλασιαστεί σε 4A ´Ετσι μετά από205 χρόνια το ποσό θα αυξηθεί κατά 4 φορές

Με το πέρας ακόμα 205 χρόνων το ποσό θα αυξηθείακόμα 4 φορές σε 16 ´Ετσι μετά από 41 χρόνιατο κεφάλαιο A γίνεται 16A

Ε Ι Κοντογιώργης copy 60

Ασκήσεις και Παραδείγματα

I Υπολογίστε τη Μελλοντική Αξία (Future Value (FV)) τουκεφαλαίου A= 1500 που κερδίζει ετήσιο επιτόκιοr = 5 για n= 10 έτη

FV =A(1+ r)n = 1500(1+005)10 = 244334

I Πόσα έτη απαιτούνται για να τριπλασιαστεί ένα ποσόπου αφήνετε στην τράπεζα με επιτόκιο r = 5∆ηλαδή βρείτε το n όπου A= 1 r = 5 και FV = 3

FV =A(1+ r)n ή (1+ r)n =FVA

Ε Ι Κοντογιώργης copy 61

Υπολογίζοντας τους λογαρίθμους παίρνουμε

log(1+ r)n = log(FVA)

ή n log(1+ r) = log(FVA)

´Ετσι

n=log(FVA)

log(1+ r) =log(3)

log(105)

= 2252

Ε Ι Κοντογιώργης copy 62

I Βρείτε την παρούσα αξία A έτσι ώστε σε δέκα έτη μεσταθερό επιτόκιο r = 6 να είναι 100KΒρείτε το A όπου FV = 100000 r = 6 και n= 10

FV =A(1+ r)n ή A=FV

(1+ r)n

´Ετσι A=100000

(106)10= 5583948

I Βρείτε την ετησιοποιημένη απόδοση (AER AnnualEquivalent Rate) μιας μηνιαίας κατάθεσης με σταθερόεπιτοκίο 394 Μια τέτοια κατάθεση λαμβάνει το επιτόκιο στη λήξηΣυνεπώς κάθε μήνα ο λογαριασμός λαμβάνει

r = 0039412 = 000328

επιτόκιο που επανεπενδύεται (συνεχής ανατοκισμός)Ε Ι Κοντογιώργης copy 63

Επανεπενδύοντας το επιτόκιο κάθε μήνα στη διάρκειαενός έτους το κεφάλαιο θα αυξηθεί σε

(1+ r)12 = (1+000328)12 = 104012

´Ετσι το ΑΕΡ είναι ισοδύναμο με 004012 = 4012I Υπολογίστε το επιτόκιο ενός σταθερού λογαριασμού

κατάθεσης 7-ημερών που έχει AER επιτόκιο r = 425Θεωρείστε ρ το εβδομαδιαίο επιτόκιο

´Ετσι (1+ρ)52 = (1+00425)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 64

Παίρνοντας τους λογαρίθμους έχουμε52log(1+ρ) = log10425

ή log(1+ρ) =log10425

52

ή 1+ρ= 10( log10425

52)

Αυτό μας δίνει

ρ= 10

( log1042552

)minus1 = 008

´Ετσι το συνεχές επιτόκιο μιας επταήμερης κατάθεσης είναιρtimes52 = 41638

Εναλλακτικά (1+ρ)52 = (1+00425) δίνει

(1+ρ) =52radic10425ή ρ=

52radic10425minus = 008Ε Ι Κοντογιώργης copy 65

I Υπολογίστε την ετήσια απόδοση r έτσι ώστε A= 10000να επιστρέφει FV = 35000 σε n= 20 χρόνια

FV =A(1+ r)n ή (1+ r)n =FVA

´Ετσι

1+ r =nradic

FVA

Επομένως

r =nradic

FVA minus1 =

20radic

3500010000 minus1 = 00646 = 646

Ε Ι Κοντογιώργης copy 66

Εναλλακτικά παίρνοντας τους λογαρίθμους

log(1+ r)n = log(FVA) ή n log(1+ r) = log

(FVA)

´Ετσι

1+ r = 10(1n log

(FVA))

ή r = 10(1n log

(FVA))minus1

= 10( 120 log

(3500010000

))minus1

= 646

Ε Ι Κοντογιώργης copy 67

Γραφική Αναπαράσταση I

I Υποθέστε ότι έχουμε y= 3x+2 Καθώς έχουμε μόνο μιαδύναμη για το x πρέπει να λύσουμε γραμμική εξίσωσηκαι να σχεδιάσουμε μια ευθεία γραμμή Αρχικά θα πρέπεινα σχεδιάσουμε ένα T-chart Αυτό έχει τη μορφή

x y = 3x+2 (xy)

I Επιλέγουμε μια τιμή για το x και λύνουμε ως προς y

x y= 3x+2 (xy)minus2 minus4 (minus2minus4)0 2 (02)2 8 (28)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 68

Γραφική Αναπαράσταση II

-

6

X

Y

bull

bull

bull

I Βλέπουμε μια ευθεία με ανοδική τάση (έχοντας θετικήκλίση m= 3) καιτέμνει τον άξονα y στο σημείο y= 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 69

Γραφική Αναπαράσταση III

I Μια Τετραγωνική εξίσωση περιέχει x2 Για τηναναπαράσταση τετραγωνικών εξισώσεων χρειάζεται ναβρούμε περισσότερα από τρία σημεία στο σχεδιάγραμμα

Για παράδειγμα υποθέστε ότι y= x2minus6x+5 καιδίνεται το πιο κάτω T-chart

x y= x2minus6x+5 (xy)0 5 (05)1 0 (10)3 minus4 (3minus4)5 0 (50)6 5 (65)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 70

Γραφική Αναπαράσταση IV

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

-

6

X

Y

bull

bull

bull

bull

bull

Ε Ι Κοντογιώργης copy 71

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(1x + 2)

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(-3x + 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 72

-15

-10

-5

0

5

10

15

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(3x - 2)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 73

-20

0

20

40

60

80

100

120

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2+x)

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 74

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

1250

1500

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3+x2+x)

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x4)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 75

-25

-2

-15

-1

-05

0

05

1

15

2

25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(log(x))

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(x))

Ε Ι Κοντογιώργης copy 76

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(-x))

-5000

0

5000

10000

15000

20000

25000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(exp(x)+x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 77

Ανισότητες I

I Οι ανισότητες αποτελούνται από δύο ή τρεις αλγεβρικέςεκφράσεις που είναι συνδεδεμένες με τα σύμβολαανισότητας Τα σύμβολα αυτά είναι

lt μικρότερο τουgt μεγαλύτερο τουle μικρότερο ή ίσο τουge μεγαλύτερο ή ίσο του

I Παραδείγματα xgty yge x2 και ylt5x+1

I Το πρώτο βήμα για την αναπαράσταση ανισότητας τηςμορφής ygtx είναι να παραστήσουμε γραφικά τηνισότητα y= x

Ε Ι Κοντογιώργης copy 78

Ανισότητες II

I ygtx

Κάνετε δοκιμή με ένα σημείο να δείτε κατά πόσοικανοποιεί την ανισότητα Εάν ναι τότε σκιάστε τηνπεριοχή αυτή του σχεδιαγράμματος διαφορετικά σκιάστετην άλλη πλευρά

Ε Ι Κοντογιώργης copy 79

Ανισότητες III

I yltx

Ε Ι Κοντογιώργης copy 80

Ανισότητες IV

I yle 5x+1 και ygt5x+1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 81

Ανισότητες V

I yge x2 και yle x2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 82

Ανισότητες VI

I ygtx3 και yle x3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 83

Συστήματα Γραμμικών ΕξισώσεωνΠεριεχόμενα

1 Ε

2 Γ Α

ΑναφορέςΚεφάλαια 4 και 5FS Budnick Applied Mathematics for Business Economicsand the Social Sciences 4th edition McGraw-Hill 1993

Ε Ι Κοντογιώργης copy 84

Συστήματα Εξισώσεων

I ´Ενα σύστημα εξισώσεων συνδυάζει περισσότερες από μίαεξισώσεις

I ´Ενα σύστημα m εξισώσεων όπου κάθε εξίσωσηαποτελείται από n μεταβλητές ονομάζεται mtimesnσύστημα ή λέμε ότι έχει διαστάσεις mtimesn

I ΠαράδειγμαΠαρακάτω έχουμε ένα σύστημα 2times2

5X+10Y= 203X+4Y= 10

Οι μεταβλητές σε αυτή την περίπτωση είναι X και YΕ Ι Κοντογιώργης copy 85

Συστήματα Επίλυσης

I Το Σύστημα επίλυσης είναι μια σειρά τιμών μεταβλητώνπου ικανοποιούν το σύστημα ταυτόχρονα

I Σε μια σημειογραφική παράσταση το προηγούμενοπαράδειγμα μπορεί να γραφτεί ως εξής

S = (XY) | 5X+10Y = 20 και 3X+4Y = 10

I Το σύστημα επίλυσης μπορεί να είναι1 μηδενικό2 πεπερασμένο ή3 άπειρο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 86

2times2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική Ανάλυση

I Σε ένα δισδιάστατο γράφημα ένα σύστημα εξισώσεων2times2 αναπαρίστανται με ευθείες γραμμές Υπόρχουν τρίαενδεχόμενα

1 Οι ευθείες τέμνονται Το σημείο τομής αντιπροσωπεύει τηλύση του συστήματος εξισώσεων Αυτό το σημείοαλληλεπίδρασης είναι μια δέσμη τιμών X και Y που ικανοποιείκαι τις δύο εξισώσειςΕάν υπάρχει μόνο μια δέσμη τιμών για τις μεταβλητές που ναικανοποιεί το σύστημα εξισώσεων το σύστημα λέμε ότι έχειΜ Λ

2 Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες μεταξύ τους ∆εν έχουν κοινόσημείο Συνεπώς οι ευθείες δεν τέμνονται ποτέ Το σύστημαλέμε ότι ∆ ΛΑυτό υπονοεί ότι δεν υπάρχουν τιμές για τις μεταβλητές πουνα ικανοποιούν και τις δύο εξισώσεις Σε αυτή τηνπερίπτωση οι εξισώσεις στο σύστημα είναι Α

3 Και οι δύο εξισώσεις αναπαρίστανται ως μια κοινή ευθεία καιθεωρούνται ισοδύναμες εξισώσεις ´Ετσι το σύστημα έχειΑ Λ Αυτό συμβαίνει γιατί υπάρχει άπειροςαριθμός κοινών σημείων στις δύο γραμμές

Ε Ι Κοντογιώργης copy 87

I Π Θεωρείστε ένα σύστημα 2times22X+4Y= 203X+ Y= 10

I

X

Y

(24)

3X +Y = 10

2X +4Y = 20

0 2 4 6 8 10 12

2

4

6

8

10

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 88

I Το σημείο τομής δίνεται από το X= 2 και Y= 4Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές του X και Y στις δύοεξισώσεις δίνουν 20 = 20 και 10 = 10 αντίστοιχα

I Αυτό υποδειλώνει ότι X= 2 και Y= 4 είναι η σωστή λύση

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times23Xminus2Y= 6

minus15X+10Y=minus30

I

X

Y

(20)

(0minus3)

3X minus2Y = 6

minus15X +10Y =minus30

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 89

I Οι δύο εξισώσεις απλοποιούνται σε Xminus 23 Y= 2

Οι δύο εξισώσεις είναι ισοδύναμες και δίνουν έναπεπερασμένο αριθμό λύσεων έτσι ώστε

X= 0 Y =minus3X= 2 Y = 0X= 4 Y = 3

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times26Xminus12Y= 24

minus32X+3Y= 9

Οι εξισώσεις απλοποιούνται σεXminus2Y= 4Xminus2Y=minus6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 90

I

X

Y

(40)

(0minus2)

(minus60)

(03)

X minus2Y =minus6

X minus2Y = 4

0-0

I Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες και συνεπώς το σύστημαδεν έχει λύση ´Ετσι το σύστημα εξισώσεων είναιασύμπτωτο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 91

Περίληψη 2times2 Συστήματα Εξισώσεων∆ίνεται ένα Σύστημα Γραμμικών Εξισώσεων 2times2

Y=m1X+ c1Y=m2X+ c2

1 Υπάρχει μια στο σύστημα εάνm1 6= m2

2 ∆εν υπάρχει στο σύστημα εάνm1 = m2 και c1 6= c2

3 Υπάρχει εάνm1 = m2 και c1 = c2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 92

∆ιαδικασίες Απαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής χρησιμοποιεί πολλαπλασιασμόκαι πρόσθεση έτσι ώστε

1 Να απαλοιφεί μια από τις δύο μεταβλητές

2 Η εξίσωση που εξάγεται είναι συνάρτηση των υπόλοιπωνμεταβλητών

3 Αντικαθιστώντας την τιμή στην μεταβλητή σε μια από τιςαρχικές εξισώσεις βρίσκουμε την τιμή για τηναπολοιφθήσα μεταβλητή

Ε Ι Κοντογιώργης copy 93

ΠαραδείγματαI Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

2X +4Y = 20 (1)3X + Y = 10 (2)

Πολλαπλασιάζοντας τη δεύτερη εξίσωση με minus4 παίρνουμε

minus12X minus4Y =minus40 (3)

Προσθέτοντας την εξίσωση (1) στο (3)

2X + 4Y = 20minus12X minus 4Y = minus40minus10X = minus20

ή

X = 2 (4)Ε Ι Κοντογιώργης copy 94

Αντικαθιστώντας X= 2 στην εξίσωση (1) δίνεται2 middot2+4Y = 20 ή Y=4

´Ετσι η μοναδική λύση του συστήματος δίνεται από τοX= 2 και Y= 4 Μπορεί να επιβεβαιωθεί ότι αυτή είναι ησωστή λύση αντικαθιστώντας X= 2 και Y= 4 στηνεξίσωση (1) και (2)

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times23X minus2Y = 6 (5)

minus15X +10Y =minus30 (6)

Για την απαλοιφή της μεταβλητής X η εξίσωση (5)πολλαπλασιάζεται με 5 και το αποτέλεσμα προστίθεταιστην εξίσωση (6)

15X minus 10Y = 30minus15X + 10Y = minus30

0 = 0 Ε Ι Κοντογιώργης copy 95

Οι τελευταίες πράξεις υπονοούν ότι οι εξίσωσεις (5) και(6) είναι ισοδύναμες και έτσι υπάρχει άπειρος αριθμόςλύσεωνΓια να προσδιορίσουμε τις λύσεις του συστήματος μια απότις αρχικές εξισώσεις λύνεται ως προς μια μεταβλητή Ανγια παράδειγμα η εξίσωση (5) λύνεται ως προς Y δίνει

Y =32Xminus3

Σαν αποτέλεσμα γενικεύοντας τις λύσεις του συστήματοςέχουμε

X τυχαίο και Y =32Xminus3

Πχ για X= 4 υπονοείται ότι Y=32 middot4minus3 = 3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 96

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

6X minus12Y = 24 (7)

minus32X +3Y = 9 (8)

Πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση (8) με 4 καιπροσθέτοντας το αποτέλεσμα στην εξίσωση (7)παίρνουμε

6X minus 12Y = 24minus6X + 12Y = 36

0 = 60

Η πιο πάνω αντιλογία υπονοεί ότι δεν υπάρχει λύση τουσυστήματος εξισώσεων

Ε Ι Κοντογιώργης copy 97

3times2 Συστήματα Εξισώσεων I

1 Μ Λ

X

Y

(32)

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minusY = 1

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 98

3times2 Συστήματα Εξισώσεων II

2 Α Λ

X

Y Εξις (1)Εξις (2)Εξις (3)

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 99

3times2 Συστήματα Εξισώσεων III3 Κ

(α) ´Οταν και οι τρεις εξισώσεις είναι παράλληλες

X

Y

2X minusY =minus8

2X minusY = 2

2X minusY = 12

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 100

3times2 Συστήματα Εξισώσεων IV(β) ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ τωνεξισώσεων

X

Y

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minus2Y =minus4

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 101

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική ΑνάλυσηΣε ένα γράφημα 2 διαστάσεων ένα σύστημα mtimes2(mgt2) εξισώσεων παριστάνεται με m ευθείες ´Οπωςσυμβαίνει στα συστήματα 2times2 υπάρχουν τρίαενδεχόμενα

1 ´Ολες οι ευθείες τέμνονται στο ίδιο σημείο και έτσιυπάρχει

2 ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ των mεξισώσεων Αυτό σημαίνει ότι όλες οι ευθείες είναιπαράλληλες Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα Λ

3 Οι m εξισώσεις είναι ισοδύναμες πχ παρασταίνονται σανμια ευθεία Σε αυτή την περίπτωση υπάρχει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 102

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων ∆ιαδικασίαΑπαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής για την επίλυση ενός συστήματοςmtimes2 μπορεί να περιγραφεί ως ακολούθωςΕπιλέξτε και λύστε σύστημα με δύο εξισώσεις

1 Εάν δεν υπάρχει λύση τότε ολόκληρο το σύστημα δεν έχειλύση

2 Εάν υπάρχει μοναδική λύση που ικανοποιεί τις υπόλοιπεςmminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα έχει μία μοναδική λύση

3 Εάν η λύση είναι μοναδική αλλά δεν ικανοποιεί τιςυπόλοιπες mminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα δεν έχει λύση

4 Εάν οι 2 λύσεις είναι ισοδύναμες απάλοιψτε τη μίααπό τις δύο εξισώσεις και ξεκινήστε από την αρχήλαμβάνοντας υπόψη ένα σύστημα (mminus1)times2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 103

ΠαράδείγμαI Θεωρείστε ένα σύστημα 5times2

XminusY= 1X+2Y=minus8

3Xminus2Y= 02Xminus5Y= 11minus4X+3Y=minus1

I Η λύση των πρώτων δύο εξισώσεων δίνετε απόY =minus3 και X =minus2

I Αντικαθιστώντας τη λύση στις υπόλοιπες τρεις εξισώσειςπαίρνετε αντίστοιχα

0 = 0 11 = 11 και minus1 =minus1I Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση

X=minus2 και Y=minus3Ε Ι Κοντογιώργης copy 104

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian

Η μέθοδος απολοιφής Gaussian μετατρέπει το αρχικόσύστημα εξισώσεων σε διαγώνια μορφή επαναλαμβάνονταςστις εξισώσεις τις ακόλουθες τρεις διαδικασίες

1 Πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης μεμια θετική σταθερά

2 Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού θα προστεθεί σεάλλη εξίσωση

3 Η σειρά των εξισώσεων μπορεί να αλλάξει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 105

ΠαράδείγμαΠ Θεωρείστε το σύστημα 2times2

2X minus 3Y = 7 (Εξ 1)X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με 12 για να πάρετε

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με minus1 καιπροσθέστε την στην (Εξ 2)

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

52Y =

152 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 106

Στάδιο 3 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 25

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

Y = 3 (Εξ 2)

Στάδιο 4 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 32 και

προσθέστε την στην (Εξ 1)

X = 1 (Εξ 1)Y = 3 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 107

Π Θεωρείστε το σύστημα 2times2

5X + 20Y = 254X minus 7Y =minus26

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να εκφραστεί ως

R1 5 20 25R2 4 minus7 minus26

Η κάθετη γραμμή χρησιμοποιείται για διαχωρισμό τηςαριστερής από τη δεξιά πλευρά των εξισώσεων Το Riυπονοεί τη γραμμή (Row) i

Ε Ι Κοντογιώργης copy 108

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάζουμε τη R1 με 15 και το θέτουμε

R1larr 15R1

R1 1 4 5R2 4 minus7 minus26

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάζουμε την R1 με minus4 και τηνπροσθέτουμε στην R2 Εν συντομίαR2larrminus4R1+R2

R1 1 4 5R2 0 minus23 minus46

Στάδιο 3 R2larrminus 123R2

R1 1 4 5R2 0 1 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 109

Στάδιο 4 R1larrminus4R2+R1

R1 1 0 minus3R2 0 1 2

Το αρχικό σύστημα εξισώσεων μετατρέπεται σε διαγώνιαμορφή όπως πιο κάτω

X =minus3Y = 2

το οποίο δίνει τη λύση του συστήματος

Ε Ι Κοντογιώργης copy 110

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 I

Το σύστημα εξισώσεων 3times3 μετετρέπεται σε διαγώνιαμορφή Η μετατροπή γίνεται στήλη με στήλη από τααριστερά προς τα δεξιά

Π Θεωρήστε το σύστημα 3times3

X1 + X2 + X3 = 2X1 minus 3X2 + 2X3 = 7

4X1 minus 2X2 minus X3 = 9

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να γραφτεί ως

Ε Ι Κοντογιώργης copy 111

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 II

1 1 1 21 minus3 2 74 minus2 minus1 9

Ε Ι Κοντογιώργης copy 112

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΑ

Η ενδιάμεση εξέτάση αναμένεται να πραγματοποιηθεί τοΣάββατο 17 Οκτώβρη του 2015 και θα αντιστοιχεί στο35 της συνολικής βαθμολογίας

Η τελική εξέταση θα πραγματοποιηθεί τον ∆εκέμβριο καιθα αντιστοιχεί στο 65 της συνολικής βαθμολογίας

Οποιεσδήμοτε τροποποιήσεις (αν υπάρξουν) σχετικά με τιςημερομηνίες ήκαι τις ώρες διεξαγωγής των ενδιάμεσωνεξετάσεων θα σας γνωστοποιηθούν γραπτός

Ε Ι Κοντογιώργης copy 8

Σημείωση

Ο φοιτητής ο οποίος θα συλληφθεί να αντιγράφει να έχεικινητό τηλέφωνο να έχει αριθμομηχανές ή να έχει έγραφαστο θρανίο του που έχουν άμεση σχέση με το εξεταζόμενομάθημα ΕΧΝ110 κατά την διάρκεια των εξετάσεων τότεαμέσως αποτυγχάνει στο μάθημα αυτό και είναιυπεύθυνος για τις οποιεσδήποτε πειθαρχικές διαδικασίεςπροκύψουν λόγο αυτού

Κατά τη διάρκεια των διαλέξεων όλα τα κινητά τηλέφωναπρέπει να είναι κλειστά

Φαγώσιμα ή ποτά δεν επιτρέπονται στις διαλέξεις

Ε Ι Κοντογιώργης copy 9

ΕΧΝ 110 Μαθηματικά ΙΠεριεχόμενα

I Μ I Β Ε Β Λ

I Ε Α ΛI ΑI Α Γ ΠI Σ I ΛI Γ

Ερρίκος Ιωάννη ΚοντογιώργηςE-mail erricoscutaccy

Ε Ι Κοντογιώργης copy 10

Μεταβλητές και Σταθερές

I Στα Μαθηματικά και τη Στατιστική πάντοτεασχολούμαστε με ευμετάβλητα μεγέθη Για παράδειγμαμισθούς επιτόκια πληθωρισμό ύψος βάρος ηλικία χρόνοκτλ

I Στα συνηθισμένα συμφραζόμενα μια μεταβλητήσυμβολίζεται με ένα αλφαβητικό γράμμα πχ x y zκτλ Για παράδειγμα αν η μεταβλητή μας αποτελείταιαπό τους μισθούς υπαλλήλων τότε μπορούμε να τουςπαραστήσουμε τους μισθούς με τη μεταβλητή x

I Συγκεκριμένα εάν δεν ενδιαφερόμαστε για το πραγματικόύψος των μισθών (ή δε τους γνωρίζουμε) αλλά επιθυμούμενα απομονώσουμε τους μισθούς τεσσάρων υπαλλήλωντότε τους συμβολίζουμε ως εξής x1 x2 x3 και x4

Ε Ι Κοντογιώργης copy 11

Μεταβλητές και Σταθερές ΙΙ

I Σε ορισμένες περιπτώσεις εμπερικλείουμε τις μεταβλητές σεπαρενθέσεις ´Ετσι (x1x2x3x4)Ο τρόπος αυτός ονομάζεται σύνολο

I Αν ξέρουμε τους πραγματικούς μισθούς τεσσάρωνυπαλλήλων μπορούμε να τους γράψουμε σε σειρά έτσι τοσετ θα έχει τη μορφή (2200016000384322943248)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 12

Ακέραιοι και Πραγματικοί Αριθμοί

I Οι lsquoφυσικοίrsquo αριθμοί (θετικοί ακαίραιοι) δίνονται ως εξής1234 Το σύνολο όλων των φυσικών αριθμώνσυμβολίζεται με το γράμμα N

I Οι lsquoολόκληροιrsquo αριθμοί (μη αρνητικοί ακέραιοι) είναι οιφυσικοί αριθμοί μαζί με το μηδέν 01234

I Οι lsquoακέραιοιrsquo περιλαμβάνουν τους φυσικούς αριθμούς τομηδέν και τους αρνητικούς φυσικούς αριθμούς

minus2minus1012

Η σειρά των ακεραίων συμβολίζεται με Z

Ε Ι Κοντογιώργης copy 13

Ακέραιοι και Πραγματικοί Αριθμοί ΙΙ

I Μια μεταβλητή μπορεί να πάρει πεπερασμένο αριθμότιμών Για παράδειγμα η μεταβλήτή M που υποδειλώνειτους μήνες του χρόνο μπορεί να πάρει τις τιμές

123456789101112

Σε αυτή την περίπτωση η μεταβλητή M είναι μια σειράθετικών ακέραιων μετεβλητών (φυσικοί)

I Η μεταβητή x μισθοί από το προηγούμενο παράδειγμαπαίρνει θετικούς πραγματικούς αριθμούς

I Το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών συμβολίζεταιreal Η σειρά αυτή περιλαμβάνει όλους τους πραγματικούςακέραιους αριθμούς από το μείον άπειρο (minusinfin) ως στοάπειρο (infin)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 14

Ακέραιοι και Πραγματικοί Αριθμοί ΙΙΙ

I Γενικά μια μεταβλητή x που παίρνει πραγματικές τιμέςονομάζεται πραγματική μεταβλητή (real variable) καισυμβολίζεται με x isinreal Με το σύμβολο isin εννοούμε lsquoμέσαrsquolsquoανήκειrsquo κλπ

I Το σύμβολο που χρησιμοποείται για το διαχωρισμό τουακέραιου μέρους σε ένα δεκαδικό αριθμό από τοκλασματικό μέρος ονομάζεται δεκαδικό σημείο (decimalpoint) Eg 314159

I Η δεκαδική θέση (decimal place) είναι η θέση του ψηφίουστα δεξιά του δεκαδικού σημείου

Ε Ι Κοντογιώργης copy 15

Συναρτήσεις Ακέραιων και Πραγματικών

I Συνάρτηση στογγυλοποίησης ή συνάρτηση κοντινότερουδεκαδικούΗ lsquoστρογγυλοποίησηrsquo ενός πραγματικού αριθμού xσυμβολίζεται με [x] ∆ίνει τον πιο κοντινό ακέραιο στοxΠχ [32] = 3 [minus32] =minus3 και [86] = 9Ο πιο πάνω ορισμός είναι δύσκολο να εφαρμοστεί γιαhalf-integers Στις περιπτώσεις αυτές η στρογγυλοποίησηγίνεται προς τα πάνω μόνο για τους μονούς αριθμούςέτσι ώστε να αποφεύγεται η μεροληπτικότηταΠχ [35] = 4 [45] = 4 και [05] = 0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 16

I Στρογγυλοποίηση προς τα πάνω ή συνάρτησημικρότερου ακεραίουΗ lsquoστρογγυλοποίηση προς τα πάνωrsquo ενός πραγματικούαριθμού x συμβολίζεται με dxe Μας δίνει το μικρότεροδυνατό ακέραιο που είναι μεγαλύτερος ή ίσος από το xΠχ d32e= 4 dminus32e=minus3 d35e= 4 και d36e= 4

I lsquoΣτρογγυλοποίηση προς τα κάτωrsquo ή συνάρτησημεγαλύτερου ακεραίουΤο lsquoκατώτατο όριοrsquo ενός πραγματικού αριθμού xσυμβολίζεται bxc ∆ίνει το μεγαλύτερο δυνατό ακέραιοπου είναι μικρότερος ή ίσος από το xΠχ b32c= 3 bminus32c=minus4 b35c= 3 και b36c= 3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 17

Σταθερές

I ´Ενας αριθμός που αντιπροσωπεύει μια ποσότητα πουθεωρείται ότι έχει σταθερή τιμή ονομάζεται lsquoσταθεράrsquo Ητιμή μιας σταθεράς ενώ δε μεταβάλλεται πιθανό να μηνπροσδιορίζεται

I Οι πιο σημαντικές πραγματικές σταθερές είναι

1 Το π= 314159 Είναι ο δείκτης που υποδειλώνει τηνπεριφέρεια του κύκλου ακτίνια Ονομάζεται και σταθερά τουΑρχιμήδη

2 Το exp = 271828 που υποδειλώνει τη βάση του φυσικούλογάριθμου

Ε Ι Κοντογιώργης copy 18

Σύμβολα Κατεύθυνσης

I Το σύμβολο lsquogtrsquo που σημαίνει lsquoμεγαλύτεροrsquo καθώς και τοlsquogersquo που σημαίνει lsquoμεγαλύτερο ή ίσοrsquo

I Το σύμβολο lsquoltrsquo που σημαίνει lsquoμικρότεροrsquo καθώς και το lsquolersquoπου σημαίνει lsquoμικρότερο ή ίσοrsquo

I Παράδειγμα Οι μεταβλητές που συμβολίζουν τουςμηνιαίους μισθούς xge 0 Οι μεταβλητές που συμβολίζουντους μήνες του χρόνου 0ltMlt13 που μπορούν επίσης ναγραφτούν 1leMle 12

Ε Ι Κοντογιώργης copy 19

∆υνάμειςI Οι εκθέτες αποτελούν συντομογραφία του

πολλαπλασιασμού (5)(5) = 52 και (5)(5)(5) = 53 Εδώτο 5 λέγεται βάση και το 3 λέγεται εκθέτης Μπορείεπίσης να ερμηνευτεί πέντε υψωμένο στην τρίτη δύναμη

I Η δύναμη είναι ο εκθέτης στον οποίο υψώνεται μιαποσότητα Η έκφραση xn είναι γνωστή ως x στη nδύναμη

I Σημειώστε ότι 5253 = (55)(555) = 55 = 5(2+3) Εδώπαρουσιάζεται ένας βασικός κανόνας του εκθέτη Στηπερίπωση που πολλαπλασιάζονται δύο όροι που έχουντην ίδια βάση οι εκθέτες τους μπορούν να προστεθούν

xmxn = x(m+n)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 20

I Στην περίπτωση όμως που (x4)(y3) ο πιο πάνω κανόναςδε μπορεί να εφαρμοστεί γιατί οι βάσεις είναιδιαφορετικές (x4)(y3) = xxxxyyy

I Για (x2)4

= x2x2x2x2 = xxxxxxxx= x8 = x(2times4)

I ´Ετσι στην περίπτωση που έχετε μια εκθετική έκφρασηπου είναι υψωμένη σε μία δύναμη μπορείτε ναπολλαπλασιάσετε τον εκθέτη με τη δύναμη

(xm)n

= xmn

Ε Ι Κοντογιώργης copy 21

I Εάν έχετε μια έκφραση μέσα σε παράνθεση και ηπαράνθεση είναι υψωμένη σε μια δύναμη τότε η δύναμημπορεί να γίνει μέρος τις παράνθεσης Για παράδειγμα

(xy2)3 = (xy2)(xy2)(xy2) = (xxx)(y2y2y2)

= (xxx)(yyyyyy) = x3y6 = (x)3(y2)3 = x3y6

Παρομοίως(xy)2

=x2y2

I ´Ενας αρνητικός εκθέτης είναι ένδειξη ότι η βάση βρίσκεταιστον παρονομαστή του κλάσματος Πχ

xminus2 =1x2

x2xminus3 = x2x3 = x5 2xminus1 =

2x

(3x)minus2 =1

(3x)2 =1

9x2 και(xminus2yminus3

)minus2=

(xminus2)minus2

(yminus3)minus2=x4y6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 22

I Οτιδήποτε στη δύναμη μηδέν είναι lsquo1rsquo

Πχ 50 = 1 x0 = 1 (x2y3)0 = 1 και 00 = 1

Σημειώστε ότι 50 = 5(1minus1) = (51)(5minus1) =55 = 1

I Μηδέν σε οποιαδήποτε δύναμη είναι μηδέν έτσι 0n = 0

Σημειώστε ότι 00 = 1 και ότι 00 = 0

Αυτό υποδειλώνει ότι 00 είναι μια απροσδιόριστη μορφήπου σε κάποιες περπτώσεις παίρνει μία τιμή και σεκάποιες άλλες περιπτώσεις παίρνει διαφορετική τιμή

Ε Ι Κοντογιώργης copy 23

I Κλασματικοί (Αναλογικοί) Εκθέτες

1 Η τετραγωνική ρίζα μπορεί να γραφτεί σε μορφή κλάσματος

´Ετσι radicx= x12

Πχ 212 =

radic2 = 141 και 2

minus12 =

1radic2

= 071

2 Γενικά xab =bradicxa Πχ 7

23 =

3radic72 = 366

355 = 3112 =

2radic311 = 42089

Ε Ι Κοντογιώργης copy 24

ΛογάριθμοιI Η λογαριθμική μορφή ενός αριθμού είναι lsquoαντίθετηrsquo από

την εκθετική Τεχνικά μιλώντας η λογαριθμική μορφήείναι αντίστροφη της εκθετικής

I Η σχέση δίνεται logb(x) = y

που είναι το ίδιο με by = x

I Ο lsquolsquologb(x) = yrsquorsquo προφέρεται lsquolsquolog-βάση-b-του x ισούται yΕδώ b ονομάζεται lsquoβάση του λογαρίθμουrsquo αφού το b είναιη βάση της εκθετικής έκφρασης

I Η βάση b του λογάριθμου είναι πάντοτε θετική και δενισούται με 1

I Οτιδήποτε βρίσκεται μέσα στο λογάριθμο ονομάζεταιέκφραση

Ε Ι Κοντογιώργης copy 25

ΠαραδείγματαI Μετατρέψτε την έκφραση 63 = 216 στην ισοδύναμη

λογαριθμική μορφή

Για τη μετατροπή η βάση μένει η ίδια αλλά το 3 και το216 αλλάζουν θέσεις Αυτό μας δίνει

log6(216) = 3

I Μετατρέψτε τον log4(1024) = 5 στην αντίστοιχηλογαριθμική έκφραση

Για τη μετατροπή η βάση (που είναι 4) παραμένει η ίδιααλλά το 1024 και το 5 αλλάζουν θέσεις ´Ετσι δίνεται

45 = 1024

Ε Ι Κοντογιώργης copy 26

I Υπολογίστε τον log2(8)

Εάν y= log2(8) τότε υπονοείται ότι 2y = 8 Αυτόσημαίνει ότι y είναι η δύναμη του 2 που θα έχει σαναποτέλεσμα 8 Η δύναμη που δίνει το αποτέλεσμα είναι 3αφού 23 = 8 ´Ετσι

log2(8) = 3

I Κατά παρόμοιο τρόπο log5(25) = 2 αφού 52 = 25

I Υπολογίστε τον y= log64(4)

Σημειώστε ότι 64y = 4 και 43 = 64

´Ετσι (43)y

= 4 ή 43y = 41

Η πιο πάνω έκφραση εξυπονοεί ότι 3y= 1 και έτσιy= 13

Ε Ι Κοντογιώργης copy 27

I Υπολογίστε y= log6(6)

Αυτό ισοδυναμεί με το 6y = 6 και συνεπώς y= 1

I Υπολογίστε το y= log3(1)

Το πιο πάνω μπορεί να γραφτεί ως 3y = 1

´Ομως 1 = 30 έτσι 3y = 30 και y= 0

I Υπολογίστε το y= log4(minus16)

Μπορεί να γραφτεί σαν 4y =minus16

´Ομως δεν υπάρχει τιμή (πχ δύναμη) y που ναικανοποιεί τη σχέση ´Ετσι δεν υπάχρει λύση

Ε Ι Κοντογιώργης copy 28

I Υπολογίστε το y= log2(0)

Αυτό σημαίνει 2y = 0 όμως δε υπάρχει τιμή που ναικανοποιεί τη σχέση ´Ετσι δεν υπάχρει λύση

I Υπολογίστε το y= 2log2(9)

Αυτό σημαίνει ότι log2(y) = log2(9) και έτσι y= 9

Ε Ι Κοντογιώργης copy 29

I Γενικά1 logb(b) = 1 για οποιαδήποτε βάση b

2 logb(1) = 0 για οποιαδήποτε βάση b

3 logb(a) δεν ορίζεται για αρνητικά a

4 logb(0) δεν ορίζεται για οποιαδήποτε βάση b

5 logb(bn) = n για οποιαδήποτε βάση b

Ε Ι Κοντογιώργης copy 30

I Οι λογάριθμοι μπορούν να πάρουν οποιοδήποτε αριθμόσαν βάση αλλά δύο βάσεις είναι οι πιο χρήσιμες οlog-βάση-10 και ο log-βάση-e

I Η βάση-10 log συχνά ονομάζεται ο κοινός log καιγράφεται ως log(x) Εδώ δεν αναγράφεται βάση καιμπορούμε να υποθέσουμε ότι η βάση είναι 10

Πχ log(100) = 2 έτσι log10(102) = 2

I Η βάση-e log ονομάζεται ο φυσικός log και γράφεται σανln(x)Πχ ln(e345)= 345 καθώς loge(e345) = 345

Ε Ι Κοντογιώργης copy 31

Ιδιότητες Λογαρίθμωνlogb(xy) = logb(x) + logb(y)

Απόδειξη´Εστω m= logbx και n= logby

Γράψτε σε μορφή εκθέτη x= bm και y= bn

Πολλαπλασιάστε το x και y ούτως ώστεxy= bmbn = bm+n

´Ετσι από τον ορισμό των λογαρίθμων το xy= bm+nσυνεπάγει ότι

logb(xy) =m+n= logbx+ logb(y)

Πχ log2(4times16) = log2(64) = log2(26) = 6

Ακόμα log2(4times16) = log2(4) + log2(16) = 2+4 = 6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 32

logb(xy)

= logb(x)minus logb(y)

Απόδειξη´Εστω m= logbx και n= logby

Γράψτε σε μορφή εκθέτη x= bm και y= bn

∆ιαίρα το x και y ούτως ώστε xy =bmbn = bmminusn

´Ετσι από τον ορισμό των λογαρίθμων το xy = bmminusn

συνεπάγει ότι

logb(xy)

=mminusn= logbxminus logb(y)

Πχ log2(16

4)

= log2(4) = 2

και log2(16

4)

= log2(16)minus log2(4) = 4minus2 = 2Ε Ι Κοντογιώργης copy 33

logb(xn) = n logb(x)

Απόδειξη´Εστω m= logbx και γράψτε σε μορφή εκθέτη x= bm

Αυξάνοντας τις δύο πλευρές στην n δύναμη παίρνουμεxn = (bm)n = bmn

´Ετσι από τον ορισμό των λογαρίθμων τοlogbxn =mn= nm= n(logbx)

Πχ log2(64) = log2(26) = 6 log2(2) = 6

log(64) = 18

Επιπλέον log(64) = log(26) = 6log(2) = 6times030 = 18

Ε Ι Κοντογιώργης copy 34

logb(x) =loga(x)loga(b) agt0 a 6= 1

Απόδειξη´Εστω m= logbx rArr x= bm

Εφαρμόστε loga και στις δύο πλευρές του x= bmγια ναδώσει

logabm = logax rArr m logab= logaxrArr m=logaxlogab

rArr logbx=logaxlogab

Πχ log5(20) =log(20)

log(5)= 186 =

ln(20)

ln(5)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 35

logb(a) =1

loga(b) agt0 a 6= 1

Απόδειξη

logb(x) =loga(x)loga(b) =

logx(x)logx(b)

=1

loga(b)

´Οταν a= x

Πχ log2(64) =1

log64(2)=

116 = 6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 36

Αθροισμα

I Υποθέστε ότι έχουμε μια μεταβλητή x που μπορεί ναπάρει δέκα τιμές Εάν ενδιαφερόμαστε για το άθροισμάτους χωρίς να ξέρουμε την τιμή της κάθε μεταβλητής τότεο καλύτερος τρόπος να το εκφράσουμε είναι

x1 +x2 + middot middot middot+x9 +x10

I Εν συντομία το άθροισμα n στοιχείων x1 +x2 + middot middot middot+xn είναιnsum

i = 1xi

και ερμηνεύεται σαν το άθροισμα όλων των xirsquosξεκινώντας από το x1 (πχ i = 1) μέχρι xn (i = n)

I Εάν δε δοθεί διαφορετικά πάντοτε υποθέτουμε ότι το iαυξάνεται ξεκινώντας από το στάδιο 1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 37

I Το lsquolsquoSigmarsquorsquo Σ είναι γνωστό ως το άθροισμα (summation) ήσύμβολο σίγμα (sigma operator) και ο δείκτης i όνομάζεταιεικονική μεταβλητή

I Παραδείγματα

I

5sum

i = 1xi = x1 +x2 +x3 +x4 +x5

I

5sum

i = 1(y2

i ) = y21 +y22 +y23 +y24 +y25

Σημειώστε ότι η μόνη μεταβλητή που περιγράφεται απευθείαςκάτω από το σύμβολο Σ αυξάνεται κατά 1 κάθε φορά ενώ όλατα άλλα σύμβολα παραμένουν τα ίδια

I

4sum

r = 1(x3r ) = x31 +x32 +x33 +x34

Ε Ι Κοντογιώργης copy 38

I6sum

i = 1i = 1+2+3+4+5+6

I6sum

i = 1i2 = 12 +22 +32 +42 +52 +62

I7sum

i = 3xi = x3 +x4 +x5 +x6 +x7

I4sum

i = 1a = a+a+a+a= 4a

I3sum

i = 1(4+xi) = (4+x1) + (4+x2) + (4+x3)

=3sum

i = 14+

3sum

i = 1xi

Ε Ι Κοντογιώργης copy 39

I3sum

i = 1(2xi) = (2x1) + (2x2) + (2x3) = 2times

3sum

i = 1xi

I Ο συντελεστής i παραλείπεται εάν δε προκαλείαοριστία Για παράδειγμα Σx ή Σixi σημαίνειάθροισμα όλων των x που λαμβάνονται υπόψη

I ∆ήλωσηI

nsumi=1a= na

I sumiaxi = asum

ixi

I sumi

(axi+byi) = asumixi +bsum

iyi

Ε Ι Κοντογιώργης copy 40

I Αθροιστικός Τύπος

Insum

i = 1i = 1+2+ middot middot middot+n=

n(n+1)

2

Πχ6sumi = 1i = 1+2+3+4+5+6 =

6(6+1)

2 = 21

Insum

i = 1i2 = 12 +22 + middot middot middot+n2 =

n(n+1)(2n+1)

6

Πχ6sumi = 1i2 = 12 +22 +32 +42 +52 +62

=6(6+1)(12+1)

6 = 91

Ε Ι Κοντογιώργης copy 41

Insum

i = 1i3 = 13 +23 + middot middot middot+n3 =

n2(n+1)2

4

Πχ6sumi = 1i3 = 13 +23 +33 +43 +53 +63

=62(6+1)2

4 = 441

Ε Ι Κοντογιώργης copy 42

ΠαραδήγματαΑριθμητική Πρόοδος

I Γενικά μπορούμε να εκφράσουμε μια αριθμητική πρόοδο ωςεξής

αριθμητική πρόοδος a a+d a+2d a+3d

όπου ο πρώτος όρος είναι a και η διαφορά d Ο όρος nτης απ δίνεται από τη σχέση b = a+ (nminus1)d

I 3 5 7 9 11 είναι μια αριθμητική πρόοδος Οπρώτος όρος είναι το 3 και η διαφορά είναι 2

I 2 minus1 minus4 minus7 είναι μια αριθμητική πρόοδος όπου οπρώτος όρος είναι 2 και η διαφορά minus3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 43

I Το άθροισμα των όρων μιας αριθμητικής προόδου είναιγνωστό ως αριθμητική σειρά

Sn = a+ (a+d) + (a+2d) + middot middot middot+ (a+ (nminus1)d)

=nsumi=1

(a+ (iminus1)d

)= na+

nsumi=1

(iminus1)d

= na+dnminus1sumi=1

i = na+d(nminus1)n2

=n2(2a+d(nminus1)) =

n2(a+b) b = a+d(nminus1)

I ΑΠ 3 5 7 9 11 13 rArr Sn =62(3+13) = 48

Ε Ι Κοντογιώργης copy 44

∆ιπλό Αθροισμα4sumi=1

isumj=1

j = (1) + (1+2) + (1+2+3) + (1+2+3+4) = 20

nsumi=1

isumj=1

j =nsumi=1

( isumj=1

j)

nsumi=1

(12 i(i+1)

)=

12

nsumi=1

(i2 + i)

12( nsumi=1

i2 +nsumi=1

i)

=12(16n(n+1)(2n+1) +

12n(n+1)

)

=12

16n(n+1)

((2n+1) +3

)=

n6(n+1)(n+2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 45

∆ιπλό Αθροισμα

nsumi=1

msumj=1

(i+ j+2) =nsumi=1

( msumj=1

(i+ j+2))

nsumi=1

( msumj=1

i+msumj=1

j+msumj=1

2)

=nsumi=1

(mi+ 1

2m(m+1) +2m)

m( nsumi=1

i+ 12

nsumi=1

(m+5))

= m(12n(n+1) +

12n(m+5)

)

=mn2(m+n+6

)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 46

Insumr=1

1r(r+1)

=nsumr=1

(Ar +

Br+1

)=

nsumr=1

A(r+1) +Brr(r+1)

I A(r+1) +Br = 1

I Για r = 0 τότε A= 1 και για r =minus1 τότε B=minus1

I

nsumr=1

1r(r+1)

=nsumr=1

(1r minus

1r+1

)

=(

(11 minus

12) + (

12 minus

13) + (

13 minus

14) + middot middot middot+ (

1nminus1 minus

1n ) + (

1n minus

1n+1)

)

= 1minus 1n+1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 47

Insumk=1

1(k+2)(k+3)

=nsumk=1

( A(k+2)

+B

(k+3)

)=

nsumk=1

A(k+3) +B(k+2)

(k+2)(k+3)

I A(k+3) +B(k+2) = 1

I Για k=minus2 τότε A= 1 και για k=minus3 τότε B=minus1

I

nsumk=1

1(k+2)(k+3)

=nsumk=1

( 1(k+2)

minus 1(k+3)

)

=(

(13 minus

14)+(

14 minus

15)+(

15 minus

16)+ +(

1n+1 minus

1n+2)+(

1n+2 minus

1n+3)

)

=13 minus

1n+3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 48

Αθροισμα με Λογάριθμους

nsumi=1

logb(i) = logb(1) + logb(2) + middot middot middot+ logb(n)

= logb(1times2times3timesmiddotmiddot middottimesn)

= logb(n)

I Το n (n παραγοντικό) δίνεται από n = 1times2timesmiddotmiddot middottimesn και0 = 1

I100sumi=1

log2(100) = log2(100) =log(100)

log(2)=

log(99)

log(2)+

2log(2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 49

Γινόμενο των ακολουθιώνIn

prodi=1xi = x1timesx2timesx3timesmiddotmiddot middottimesxn

In

prodi=1i = 1times2times3timesmiddotmiddot middottimesn= n

In

prodi=1z= ztimesztimesmiddotmiddot middottimesz= zn

I

nprodi=1

(1+

1i+1

)=(1+

12)times(1+

13)times(1+

14)times times(1+

1n )times(1+

1n+1)

=32 times

43 times

54 timesmiddotmiddot middottimes

n+1n times n+2

n+1

=n+22

Ε Ι Κοντογιώργης copy 50

Γεωμετρικές ΠροόδοιI Μια γεωμετρική πρόοδος είναι μια σειρά αριθμών όπου

κάθε όρος μετά των πρώτο υπολογίζεται από τονπολλαπλασιασμό του προηγούμενου όρου με ένασταθερό αριθμό που καλείται αναλογία

I Η σειρά1 3 9 27 81 middot middot middot

είναι μια γεωμετρική πρόοδος με πρώτο όρο το 1 καιαναλογία 3

I Η αναλογία μπορεί να είναι κλάσμα καθώς επίσης καιαρνητικός αριθμός Για παράδειγμα η γεωμετρικήπρόοδος με πρώτο όρο το 2 και αναλογία minus13 είναι

2 minus 23 +

29 minus

227 +

281 middot middot middot

Ε Ι Κοντογιώργης copy 51

I Γενικά μπορούμε να γράψουμε μια γεωμετρική πρόοδο ωςακολούθως

γεωμετρική πρόοδος a ar ar2 ar3 ar4 middot middot middot

όπου ο πρώτος όρος είναι a και η αναλογία r

I Σημαντικά θεωρήματα των γεωμετρικών προόδων (γπ)1 Ο n όρος μιας γπ δίνεται από ar(nminus1)

2 Το άθροισμα των πρώτων n όρων μιας γπ είναι

Sn =a(1minus rn)

1minus r =a(rnminus1)

rminus1 και ισχύει μόνο αν r 6= 1

I Το άθροισμα των όρων μιας γεωμετρικής προόδουονομάζεται γεωμετρική σειρά

Ε Ι Κοντογιώργης copy 52

Γεωμετρική σειρά

Sn = a+ar+ar2 +ar3 + middot middot middot+arnminus2 +arnminus1

rSn = ar+ar2 +ar3 + arnminus1 +arn

Snminus rSn = aminusarn

(1minus r)Sn = a(1minus rn)

Sn =a(1minus rn)

(1minus r) =a(rnminus1)

(rminus1)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 53

I Παράδειγμα1 Βρείτε το άθροισμα των πρώτων 10 όρων μιας γεωμετρικής

σειράς4 8 16 32

Ο πρώτος όρος είναι a= 4 και η αναλογία r = 2 καιn= 10 ´Ετσι

S10 =4(1minus210)

1minus2 = 4092

2 Θεωρείστε τη γπ4 minus8 16 minus32 64 minus128 256 minus512

Σε αυτή την περίπτωση ο πρώτος όρος είναι a= 4 ηαναλογία είναι r =minus2 και n= 8´Ετσι

S8 =4(1minus (minus2)8)

1minus (minus2)=minus340

Ε Ι Κοντογιώργης copy 54

Συνεχείς ανατοκισμός

Οι περισσότεροι τραπεζικοί λογαριασμοί και τα δάνειαυιοθετούν ανατοκισμό - εφαρμόζοντας συνεχή ανατοκισμόΘεωρείστε ένα λογαριασμό που προσφέρει τόκο με ετήσιοεπιτόκιο r (πχ 7) Εάν το επιτόκιο είναι συνεχέςσε χρονιαία βάση τότε μετά από 1 χρόνο το χρονιαίοεπιτόκιο προστίθεται στο αρχικό κεφάλαιο για νακαθορίσει ένα μεγαλύτερο κεφάλαιο τον δεύτερο χρόνο

´Ετσι κατά τη διάρκεια του δεύτερου χρόνου ολογαριασμός κερδίζει επιτόκιο πάνω στο επιτόκιοΑυτή είναι η επίδραση του ανατοκισμού που συνεχίζεταιχρόνο με το χρόνο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 55

I Με τον ετήσιο ανατοκισμό το κεφάλαιο πουσυσσωρεύεται στο λογαριασμό πολλαπλασιάζεται με

(1+ r)

´Ετσι το κεφάλαιο A θα αυξηθεί σε

A(1+ r) = A+A middot r

τον επόμενο χρόνο

I Με το πέρας και του δεύτερου χρόνου το κεφάλαιο θααυξηθεί ακόμα (1+ r) σε (1+ r)2

´Ετσι το κεφάλαιο καταλήγει σε

A(1+ r)(1+ r) = A(1+ r)2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 56

I Κατά παρόμοιο τρόπο στο τέλος του τρίτου χρόνου τοποσό θα αυξηθεί κατά (1+ r)3

I Μετά από n χρόνια το ποσό θα αυξηθεί κατά (1+ r)n

I ´Ετσι το κεφάλαιο (επένδυση) A θα αυξηθεί με συνεχήανατοκισμό σε A(1+ r)n μετά από n χρόνια

I Ο τύπος (1+ r)n εκθέτει γεωμετρική αύξηση λόγω τηςn δύναμης

Ε Ι Κοντογιώργης copy 57

ΠαραδείγματαI Εάν το επιτόκιο είναι r = 5 τότε το κεφάλαιοA= $1000 που βρίσκεται στην τράπεζα n= 20 χρόνιαθα αυξηθεί κατά

(1+ r)n = (1+005)20 = 2653 φορές

´Ετσι το ποσό θα καταλήξειA(1+ r)n = $265330

I Βρέστε το χρόνο που χρειάζεται για ένα λογαργιασμό ναδιπλασιάσει το διαθέσιμο κεφάλαιο του όταν r = 7 καιr = 10Ζητούμε να βρούμε το n έτσι ώστε

(1+ r)n = 2Ε Ι Κοντογιώργης copy 58

I Υπολογίζοντας το λογάριθμο του τελευταίου παίρνουμε

log(1+ r)n = log(2)ή n log(1+ r) = log(2)

´Ετσιn=

log2log(1+ r)

I Για r = 7 και r = 10 ο χρόνος n πουχρειάζεται για διπλασιασμό της επένδυσης υπολογίζεταισε 1024 και 727 αντίστοιχα

Ε Ι Κοντογιώργης copy 59

I Αν το επιτόκιο είναι r = 7 τότε πιο θα είναι τοσυνολικό ποσό στο λογαριασμό μετά από 205 και41 χρόνια αντίστοιχα

Μετά τα πρώτα 1025 χρόνια το ποσό A θαδιπλασιαστεί σε 2A Για τα επόμενα 1025 χρόνιατο ποσό θα ξαναδιπλασιαστεί σε 4A ´Ετσι μετά από205 χρόνια το ποσό θα αυξηθεί κατά 4 φορές

Με το πέρας ακόμα 205 χρόνων το ποσό θα αυξηθείακόμα 4 φορές σε 16 ´Ετσι μετά από 41 χρόνιατο κεφάλαιο A γίνεται 16A

Ε Ι Κοντογιώργης copy 60

Ασκήσεις και Παραδείγματα

I Υπολογίστε τη Μελλοντική Αξία (Future Value (FV)) τουκεφαλαίου A= 1500 που κερδίζει ετήσιο επιτόκιοr = 5 για n= 10 έτη

FV =A(1+ r)n = 1500(1+005)10 = 244334

I Πόσα έτη απαιτούνται για να τριπλασιαστεί ένα ποσόπου αφήνετε στην τράπεζα με επιτόκιο r = 5∆ηλαδή βρείτε το n όπου A= 1 r = 5 και FV = 3

FV =A(1+ r)n ή (1+ r)n =FVA

Ε Ι Κοντογιώργης copy 61

Υπολογίζοντας τους λογαρίθμους παίρνουμε

log(1+ r)n = log(FVA)

ή n log(1+ r) = log(FVA)

´Ετσι

n=log(FVA)

log(1+ r) =log(3)

log(105)

= 2252

Ε Ι Κοντογιώργης copy 62

I Βρείτε την παρούσα αξία A έτσι ώστε σε δέκα έτη μεσταθερό επιτόκιο r = 6 να είναι 100KΒρείτε το A όπου FV = 100000 r = 6 και n= 10

FV =A(1+ r)n ή A=FV

(1+ r)n

´Ετσι A=100000

(106)10= 5583948

I Βρείτε την ετησιοποιημένη απόδοση (AER AnnualEquivalent Rate) μιας μηνιαίας κατάθεσης με σταθερόεπιτοκίο 394 Μια τέτοια κατάθεση λαμβάνει το επιτόκιο στη λήξηΣυνεπώς κάθε μήνα ο λογαριασμός λαμβάνει

r = 0039412 = 000328

επιτόκιο που επανεπενδύεται (συνεχής ανατοκισμός)Ε Ι Κοντογιώργης copy 63

Επανεπενδύοντας το επιτόκιο κάθε μήνα στη διάρκειαενός έτους το κεφάλαιο θα αυξηθεί σε

(1+ r)12 = (1+000328)12 = 104012

´Ετσι το ΑΕΡ είναι ισοδύναμο με 004012 = 4012I Υπολογίστε το επιτόκιο ενός σταθερού λογαριασμού

κατάθεσης 7-ημερών που έχει AER επιτόκιο r = 425Θεωρείστε ρ το εβδομαδιαίο επιτόκιο

´Ετσι (1+ρ)52 = (1+00425)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 64

Παίρνοντας τους λογαρίθμους έχουμε52log(1+ρ) = log10425

ή log(1+ρ) =log10425

52

ή 1+ρ= 10( log10425

52)

Αυτό μας δίνει

ρ= 10

( log1042552

)minus1 = 008

´Ετσι το συνεχές επιτόκιο μιας επταήμερης κατάθεσης είναιρtimes52 = 41638

Εναλλακτικά (1+ρ)52 = (1+00425) δίνει

(1+ρ) =52radic10425ή ρ=

52radic10425minus = 008Ε Ι Κοντογιώργης copy 65

I Υπολογίστε την ετήσια απόδοση r έτσι ώστε A= 10000να επιστρέφει FV = 35000 σε n= 20 χρόνια

FV =A(1+ r)n ή (1+ r)n =FVA

´Ετσι

1+ r =nradic

FVA

Επομένως

r =nradic

FVA minus1 =

20radic

3500010000 minus1 = 00646 = 646

Ε Ι Κοντογιώργης copy 66

Εναλλακτικά παίρνοντας τους λογαρίθμους

log(1+ r)n = log(FVA) ή n log(1+ r) = log

(FVA)

´Ετσι

1+ r = 10(1n log

(FVA))

ή r = 10(1n log

(FVA))minus1

= 10( 120 log

(3500010000

))minus1

= 646

Ε Ι Κοντογιώργης copy 67

Γραφική Αναπαράσταση I

I Υποθέστε ότι έχουμε y= 3x+2 Καθώς έχουμε μόνο μιαδύναμη για το x πρέπει να λύσουμε γραμμική εξίσωσηκαι να σχεδιάσουμε μια ευθεία γραμμή Αρχικά θα πρέπεινα σχεδιάσουμε ένα T-chart Αυτό έχει τη μορφή

x y = 3x+2 (xy)

I Επιλέγουμε μια τιμή για το x και λύνουμε ως προς y

x y= 3x+2 (xy)minus2 minus4 (minus2minus4)0 2 (02)2 8 (28)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 68

Γραφική Αναπαράσταση II

-

6

X

Y

bull

bull

bull

I Βλέπουμε μια ευθεία με ανοδική τάση (έχοντας θετικήκλίση m= 3) καιτέμνει τον άξονα y στο σημείο y= 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 69

Γραφική Αναπαράσταση III

I Μια Τετραγωνική εξίσωση περιέχει x2 Για τηναναπαράσταση τετραγωνικών εξισώσεων χρειάζεται ναβρούμε περισσότερα από τρία σημεία στο σχεδιάγραμμα

Για παράδειγμα υποθέστε ότι y= x2minus6x+5 καιδίνεται το πιο κάτω T-chart

x y= x2minus6x+5 (xy)0 5 (05)1 0 (10)3 minus4 (3minus4)5 0 (50)6 5 (65)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 70

Γραφική Αναπαράσταση IV

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

-

6

X

Y

bull

bull

bull

bull

bull

Ε Ι Κοντογιώργης copy 71

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(1x + 2)

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(-3x + 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 72

-15

-10

-5

0

5

10

15

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(3x - 2)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 73

-20

0

20

40

60

80

100

120

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2+x)

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 74

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

1250

1500

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3+x2+x)

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x4)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 75

-25

-2

-15

-1

-05

0

05

1

15

2

25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(log(x))

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(x))

Ε Ι Κοντογιώργης copy 76

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(-x))

-5000

0

5000

10000

15000

20000

25000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(exp(x)+x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 77

Ανισότητες I

I Οι ανισότητες αποτελούνται από δύο ή τρεις αλγεβρικέςεκφράσεις που είναι συνδεδεμένες με τα σύμβολαανισότητας Τα σύμβολα αυτά είναι

lt μικρότερο τουgt μεγαλύτερο τουle μικρότερο ή ίσο τουge μεγαλύτερο ή ίσο του

I Παραδείγματα xgty yge x2 και ylt5x+1

I Το πρώτο βήμα για την αναπαράσταση ανισότητας τηςμορφής ygtx είναι να παραστήσουμε γραφικά τηνισότητα y= x

Ε Ι Κοντογιώργης copy 78

Ανισότητες II

I ygtx

Κάνετε δοκιμή με ένα σημείο να δείτε κατά πόσοικανοποιεί την ανισότητα Εάν ναι τότε σκιάστε τηνπεριοχή αυτή του σχεδιαγράμματος διαφορετικά σκιάστετην άλλη πλευρά

Ε Ι Κοντογιώργης copy 79

Ανισότητες III

I yltx

Ε Ι Κοντογιώργης copy 80

Ανισότητες IV

I yle 5x+1 και ygt5x+1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 81

Ανισότητες V

I yge x2 και yle x2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 82

Ανισότητες VI

I ygtx3 και yle x3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 83

Συστήματα Γραμμικών ΕξισώσεωνΠεριεχόμενα

1 Ε

2 Γ Α

ΑναφορέςΚεφάλαια 4 και 5FS Budnick Applied Mathematics for Business Economicsand the Social Sciences 4th edition McGraw-Hill 1993

Ε Ι Κοντογιώργης copy 84

Συστήματα Εξισώσεων

I ´Ενα σύστημα εξισώσεων συνδυάζει περισσότερες από μίαεξισώσεις

I ´Ενα σύστημα m εξισώσεων όπου κάθε εξίσωσηαποτελείται από n μεταβλητές ονομάζεται mtimesnσύστημα ή λέμε ότι έχει διαστάσεις mtimesn

I ΠαράδειγμαΠαρακάτω έχουμε ένα σύστημα 2times2

5X+10Y= 203X+4Y= 10

Οι μεταβλητές σε αυτή την περίπτωση είναι X και YΕ Ι Κοντογιώργης copy 85

Συστήματα Επίλυσης

I Το Σύστημα επίλυσης είναι μια σειρά τιμών μεταβλητώνπου ικανοποιούν το σύστημα ταυτόχρονα

I Σε μια σημειογραφική παράσταση το προηγούμενοπαράδειγμα μπορεί να γραφτεί ως εξής

S = (XY) | 5X+10Y = 20 και 3X+4Y = 10

I Το σύστημα επίλυσης μπορεί να είναι1 μηδενικό2 πεπερασμένο ή3 άπειρο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 86

2times2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική Ανάλυση

I Σε ένα δισδιάστατο γράφημα ένα σύστημα εξισώσεων2times2 αναπαρίστανται με ευθείες γραμμές Υπόρχουν τρίαενδεχόμενα

1 Οι ευθείες τέμνονται Το σημείο τομής αντιπροσωπεύει τηλύση του συστήματος εξισώσεων Αυτό το σημείοαλληλεπίδρασης είναι μια δέσμη τιμών X και Y που ικανοποιείκαι τις δύο εξισώσειςΕάν υπάρχει μόνο μια δέσμη τιμών για τις μεταβλητές που ναικανοποιεί το σύστημα εξισώσεων το σύστημα λέμε ότι έχειΜ Λ

2 Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες μεταξύ τους ∆εν έχουν κοινόσημείο Συνεπώς οι ευθείες δεν τέμνονται ποτέ Το σύστημαλέμε ότι ∆ ΛΑυτό υπονοεί ότι δεν υπάρχουν τιμές για τις μεταβλητές πουνα ικανοποιούν και τις δύο εξισώσεις Σε αυτή τηνπερίπτωση οι εξισώσεις στο σύστημα είναι Α

3 Και οι δύο εξισώσεις αναπαρίστανται ως μια κοινή ευθεία καιθεωρούνται ισοδύναμες εξισώσεις ´Ετσι το σύστημα έχειΑ Λ Αυτό συμβαίνει γιατί υπάρχει άπειροςαριθμός κοινών σημείων στις δύο γραμμές

Ε Ι Κοντογιώργης copy 87

I Π Θεωρείστε ένα σύστημα 2times22X+4Y= 203X+ Y= 10

I

X

Y

(24)

3X +Y = 10

2X +4Y = 20

0 2 4 6 8 10 12

2

4

6

8

10

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 88

I Το σημείο τομής δίνεται από το X= 2 και Y= 4Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές του X και Y στις δύοεξισώσεις δίνουν 20 = 20 και 10 = 10 αντίστοιχα

I Αυτό υποδειλώνει ότι X= 2 και Y= 4 είναι η σωστή λύση

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times23Xminus2Y= 6

minus15X+10Y=minus30

I

X

Y

(20)

(0minus3)

3X minus2Y = 6

minus15X +10Y =minus30

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 89

I Οι δύο εξισώσεις απλοποιούνται σε Xminus 23 Y= 2

Οι δύο εξισώσεις είναι ισοδύναμες και δίνουν έναπεπερασμένο αριθμό λύσεων έτσι ώστε

X= 0 Y =minus3X= 2 Y = 0X= 4 Y = 3

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times26Xminus12Y= 24

minus32X+3Y= 9

Οι εξισώσεις απλοποιούνται σεXminus2Y= 4Xminus2Y=minus6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 90

I

X

Y

(40)

(0minus2)

(minus60)

(03)

X minus2Y =minus6

X minus2Y = 4

0-0

I Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες και συνεπώς το σύστημαδεν έχει λύση ´Ετσι το σύστημα εξισώσεων είναιασύμπτωτο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 91

Περίληψη 2times2 Συστήματα Εξισώσεων∆ίνεται ένα Σύστημα Γραμμικών Εξισώσεων 2times2

Y=m1X+ c1Y=m2X+ c2

1 Υπάρχει μια στο σύστημα εάνm1 6= m2

2 ∆εν υπάρχει στο σύστημα εάνm1 = m2 και c1 6= c2

3 Υπάρχει εάνm1 = m2 και c1 = c2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 92

∆ιαδικασίες Απαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής χρησιμοποιεί πολλαπλασιασμόκαι πρόσθεση έτσι ώστε

1 Να απαλοιφεί μια από τις δύο μεταβλητές

2 Η εξίσωση που εξάγεται είναι συνάρτηση των υπόλοιπωνμεταβλητών

3 Αντικαθιστώντας την τιμή στην μεταβλητή σε μια από τιςαρχικές εξισώσεις βρίσκουμε την τιμή για τηναπολοιφθήσα μεταβλητή

Ε Ι Κοντογιώργης copy 93

ΠαραδείγματαI Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

2X +4Y = 20 (1)3X + Y = 10 (2)

Πολλαπλασιάζοντας τη δεύτερη εξίσωση με minus4 παίρνουμε

minus12X minus4Y =minus40 (3)

Προσθέτοντας την εξίσωση (1) στο (3)

2X + 4Y = 20minus12X minus 4Y = minus40minus10X = minus20

ή

X = 2 (4)Ε Ι Κοντογιώργης copy 94

Αντικαθιστώντας X= 2 στην εξίσωση (1) δίνεται2 middot2+4Y = 20 ή Y=4

´Ετσι η μοναδική λύση του συστήματος δίνεται από τοX= 2 και Y= 4 Μπορεί να επιβεβαιωθεί ότι αυτή είναι ησωστή λύση αντικαθιστώντας X= 2 και Y= 4 στηνεξίσωση (1) και (2)

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times23X minus2Y = 6 (5)

minus15X +10Y =minus30 (6)

Για την απαλοιφή της μεταβλητής X η εξίσωση (5)πολλαπλασιάζεται με 5 και το αποτέλεσμα προστίθεταιστην εξίσωση (6)

15X minus 10Y = 30minus15X + 10Y = minus30

0 = 0 Ε Ι Κοντογιώργης copy 95

Οι τελευταίες πράξεις υπονοούν ότι οι εξίσωσεις (5) και(6) είναι ισοδύναμες και έτσι υπάρχει άπειρος αριθμόςλύσεωνΓια να προσδιορίσουμε τις λύσεις του συστήματος μια απότις αρχικές εξισώσεις λύνεται ως προς μια μεταβλητή Ανγια παράδειγμα η εξίσωση (5) λύνεται ως προς Y δίνει

Y =32Xminus3

Σαν αποτέλεσμα γενικεύοντας τις λύσεις του συστήματοςέχουμε

X τυχαίο και Y =32Xminus3

Πχ για X= 4 υπονοείται ότι Y=32 middot4minus3 = 3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 96

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

6X minus12Y = 24 (7)

minus32X +3Y = 9 (8)

Πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση (8) με 4 καιπροσθέτοντας το αποτέλεσμα στην εξίσωση (7)παίρνουμε

6X minus 12Y = 24minus6X + 12Y = 36

0 = 60

Η πιο πάνω αντιλογία υπονοεί ότι δεν υπάρχει λύση τουσυστήματος εξισώσεων

Ε Ι Κοντογιώργης copy 97

3times2 Συστήματα Εξισώσεων I

1 Μ Λ

X

Y

(32)

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minusY = 1

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 98

3times2 Συστήματα Εξισώσεων II

2 Α Λ

X

Y Εξις (1)Εξις (2)Εξις (3)

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 99

3times2 Συστήματα Εξισώσεων III3 Κ

(α) ´Οταν και οι τρεις εξισώσεις είναι παράλληλες

X

Y

2X minusY =minus8

2X minusY = 2

2X minusY = 12

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 100

3times2 Συστήματα Εξισώσεων IV(β) ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ τωνεξισώσεων

X

Y

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minus2Y =minus4

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 101

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική ΑνάλυσηΣε ένα γράφημα 2 διαστάσεων ένα σύστημα mtimes2(mgt2) εξισώσεων παριστάνεται με m ευθείες ´Οπωςσυμβαίνει στα συστήματα 2times2 υπάρχουν τρίαενδεχόμενα

1 ´Ολες οι ευθείες τέμνονται στο ίδιο σημείο και έτσιυπάρχει

2 ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ των mεξισώσεων Αυτό σημαίνει ότι όλες οι ευθείες είναιπαράλληλες Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα Λ

3 Οι m εξισώσεις είναι ισοδύναμες πχ παρασταίνονται σανμια ευθεία Σε αυτή την περίπτωση υπάρχει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 102

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων ∆ιαδικασίαΑπαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής για την επίλυση ενός συστήματοςmtimes2 μπορεί να περιγραφεί ως ακολούθωςΕπιλέξτε και λύστε σύστημα με δύο εξισώσεις

1 Εάν δεν υπάρχει λύση τότε ολόκληρο το σύστημα δεν έχειλύση

2 Εάν υπάρχει μοναδική λύση που ικανοποιεί τις υπόλοιπεςmminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα έχει μία μοναδική λύση

3 Εάν η λύση είναι μοναδική αλλά δεν ικανοποιεί τιςυπόλοιπες mminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα δεν έχει λύση

4 Εάν οι 2 λύσεις είναι ισοδύναμες απάλοιψτε τη μίααπό τις δύο εξισώσεις και ξεκινήστε από την αρχήλαμβάνοντας υπόψη ένα σύστημα (mminus1)times2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 103

ΠαράδείγμαI Θεωρείστε ένα σύστημα 5times2

XminusY= 1X+2Y=minus8

3Xminus2Y= 02Xminus5Y= 11minus4X+3Y=minus1

I Η λύση των πρώτων δύο εξισώσεων δίνετε απόY =minus3 και X =minus2

I Αντικαθιστώντας τη λύση στις υπόλοιπες τρεις εξισώσειςπαίρνετε αντίστοιχα

0 = 0 11 = 11 και minus1 =minus1I Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση

X=minus2 και Y=minus3Ε Ι Κοντογιώργης copy 104

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian

Η μέθοδος απολοιφής Gaussian μετατρέπει το αρχικόσύστημα εξισώσεων σε διαγώνια μορφή επαναλαμβάνονταςστις εξισώσεις τις ακόλουθες τρεις διαδικασίες

1 Πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης μεμια θετική σταθερά

2 Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού θα προστεθεί σεάλλη εξίσωση

3 Η σειρά των εξισώσεων μπορεί να αλλάξει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 105

ΠαράδείγμαΠ Θεωρείστε το σύστημα 2times2

2X minus 3Y = 7 (Εξ 1)X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με 12 για να πάρετε

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με minus1 καιπροσθέστε την στην (Εξ 2)

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

52Y =

152 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 106

Στάδιο 3 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 25

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

Y = 3 (Εξ 2)

Στάδιο 4 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 32 και

προσθέστε την στην (Εξ 1)

X = 1 (Εξ 1)Y = 3 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 107

Π Θεωρείστε το σύστημα 2times2

5X + 20Y = 254X minus 7Y =minus26

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να εκφραστεί ως

R1 5 20 25R2 4 minus7 minus26

Η κάθετη γραμμή χρησιμοποιείται για διαχωρισμό τηςαριστερής από τη δεξιά πλευρά των εξισώσεων Το Riυπονοεί τη γραμμή (Row) i

Ε Ι Κοντογιώργης copy 108

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάζουμε τη R1 με 15 και το θέτουμε

R1larr 15R1

R1 1 4 5R2 4 minus7 minus26

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάζουμε την R1 με minus4 και τηνπροσθέτουμε στην R2 Εν συντομίαR2larrminus4R1+R2

R1 1 4 5R2 0 minus23 minus46

Στάδιο 3 R2larrminus 123R2

R1 1 4 5R2 0 1 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 109

Στάδιο 4 R1larrminus4R2+R1

R1 1 0 minus3R2 0 1 2

Το αρχικό σύστημα εξισώσεων μετατρέπεται σε διαγώνιαμορφή όπως πιο κάτω

X =minus3Y = 2

το οποίο δίνει τη λύση του συστήματος

Ε Ι Κοντογιώργης copy 110

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 I

Το σύστημα εξισώσεων 3times3 μετετρέπεται σε διαγώνιαμορφή Η μετατροπή γίνεται στήλη με στήλη από τααριστερά προς τα δεξιά

Π Θεωρήστε το σύστημα 3times3

X1 + X2 + X3 = 2X1 minus 3X2 + 2X3 = 7

4X1 minus 2X2 minus X3 = 9

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να γραφτεί ως

Ε Ι Κοντογιώργης copy 111

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 II

1 1 1 21 minus3 2 74 minus2 minus1 9

Ε Ι Κοντογιώργης copy 112

Σημείωση

Ο φοιτητής ο οποίος θα συλληφθεί να αντιγράφει να έχεικινητό τηλέφωνο να έχει αριθμομηχανές ή να έχει έγραφαστο θρανίο του που έχουν άμεση σχέση με το εξεταζόμενομάθημα ΕΧΝ110 κατά την διάρκεια των εξετάσεων τότεαμέσως αποτυγχάνει στο μάθημα αυτό και είναιυπεύθυνος για τις οποιεσδήποτε πειθαρχικές διαδικασίεςπροκύψουν λόγο αυτού

Κατά τη διάρκεια των διαλέξεων όλα τα κινητά τηλέφωναπρέπει να είναι κλειστά

Φαγώσιμα ή ποτά δεν επιτρέπονται στις διαλέξεις

Ε Ι Κοντογιώργης copy 9

ΕΧΝ 110 Μαθηματικά ΙΠεριεχόμενα

I Μ I Β Ε Β Λ

I Ε Α ΛI ΑI Α Γ ΠI Σ I ΛI Γ

Ερρίκος Ιωάννη ΚοντογιώργηςE-mail erricoscutaccy

Ε Ι Κοντογιώργης copy 10

Μεταβλητές και Σταθερές

I Στα Μαθηματικά και τη Στατιστική πάντοτεασχολούμαστε με ευμετάβλητα μεγέθη Για παράδειγμαμισθούς επιτόκια πληθωρισμό ύψος βάρος ηλικία χρόνοκτλ

I Στα συνηθισμένα συμφραζόμενα μια μεταβλητήσυμβολίζεται με ένα αλφαβητικό γράμμα πχ x y zκτλ Για παράδειγμα αν η μεταβλητή μας αποτελείταιαπό τους μισθούς υπαλλήλων τότε μπορούμε να τουςπαραστήσουμε τους μισθούς με τη μεταβλητή x

I Συγκεκριμένα εάν δεν ενδιαφερόμαστε για το πραγματικόύψος των μισθών (ή δε τους γνωρίζουμε) αλλά επιθυμούμενα απομονώσουμε τους μισθούς τεσσάρων υπαλλήλωντότε τους συμβολίζουμε ως εξής x1 x2 x3 και x4

Ε Ι Κοντογιώργης copy 11

Μεταβλητές και Σταθερές ΙΙ

I Σε ορισμένες περιπτώσεις εμπερικλείουμε τις μεταβλητές σεπαρενθέσεις ´Ετσι (x1x2x3x4)Ο τρόπος αυτός ονομάζεται σύνολο

I Αν ξέρουμε τους πραγματικούς μισθούς τεσσάρωνυπαλλήλων μπορούμε να τους γράψουμε σε σειρά έτσι τοσετ θα έχει τη μορφή (2200016000384322943248)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 12

Ακέραιοι και Πραγματικοί Αριθμοί

I Οι lsquoφυσικοίrsquo αριθμοί (θετικοί ακαίραιοι) δίνονται ως εξής1234 Το σύνολο όλων των φυσικών αριθμώνσυμβολίζεται με το γράμμα N

I Οι lsquoολόκληροιrsquo αριθμοί (μη αρνητικοί ακέραιοι) είναι οιφυσικοί αριθμοί μαζί με το μηδέν 01234

I Οι lsquoακέραιοιrsquo περιλαμβάνουν τους φυσικούς αριθμούς τομηδέν και τους αρνητικούς φυσικούς αριθμούς

minus2minus1012

Η σειρά των ακεραίων συμβολίζεται με Z

Ε Ι Κοντογιώργης copy 13

Ακέραιοι και Πραγματικοί Αριθμοί ΙΙ

I Μια μεταβλητή μπορεί να πάρει πεπερασμένο αριθμότιμών Για παράδειγμα η μεταβλήτή M που υποδειλώνειτους μήνες του χρόνο μπορεί να πάρει τις τιμές

123456789101112

Σε αυτή την περίπτωση η μεταβλητή M είναι μια σειράθετικών ακέραιων μετεβλητών (φυσικοί)

I Η μεταβητή x μισθοί από το προηγούμενο παράδειγμαπαίρνει θετικούς πραγματικούς αριθμούς

I Το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών συμβολίζεταιreal Η σειρά αυτή περιλαμβάνει όλους τους πραγματικούςακέραιους αριθμούς από το μείον άπειρο (minusinfin) ως στοάπειρο (infin)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 14

Ακέραιοι και Πραγματικοί Αριθμοί ΙΙΙ

I Γενικά μια μεταβλητή x που παίρνει πραγματικές τιμέςονομάζεται πραγματική μεταβλητή (real variable) καισυμβολίζεται με x isinreal Με το σύμβολο isin εννοούμε lsquoμέσαrsquolsquoανήκειrsquo κλπ

I Το σύμβολο που χρησιμοποείται για το διαχωρισμό τουακέραιου μέρους σε ένα δεκαδικό αριθμό από τοκλασματικό μέρος ονομάζεται δεκαδικό σημείο (decimalpoint) Eg 314159

I Η δεκαδική θέση (decimal place) είναι η θέση του ψηφίουστα δεξιά του δεκαδικού σημείου

Ε Ι Κοντογιώργης copy 15

Συναρτήσεις Ακέραιων και Πραγματικών

I Συνάρτηση στογγυλοποίησης ή συνάρτηση κοντινότερουδεκαδικούΗ lsquoστρογγυλοποίησηrsquo ενός πραγματικού αριθμού xσυμβολίζεται με [x] ∆ίνει τον πιο κοντινό ακέραιο στοxΠχ [32] = 3 [minus32] =minus3 και [86] = 9Ο πιο πάνω ορισμός είναι δύσκολο να εφαρμοστεί γιαhalf-integers Στις περιπτώσεις αυτές η στρογγυλοποίησηγίνεται προς τα πάνω μόνο για τους μονούς αριθμούςέτσι ώστε να αποφεύγεται η μεροληπτικότηταΠχ [35] = 4 [45] = 4 και [05] = 0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 16

I Στρογγυλοποίηση προς τα πάνω ή συνάρτησημικρότερου ακεραίουΗ lsquoστρογγυλοποίηση προς τα πάνωrsquo ενός πραγματικούαριθμού x συμβολίζεται με dxe Μας δίνει το μικρότεροδυνατό ακέραιο που είναι μεγαλύτερος ή ίσος από το xΠχ d32e= 4 dminus32e=minus3 d35e= 4 και d36e= 4

I lsquoΣτρογγυλοποίηση προς τα κάτωrsquo ή συνάρτησημεγαλύτερου ακεραίουΤο lsquoκατώτατο όριοrsquo ενός πραγματικού αριθμού xσυμβολίζεται bxc ∆ίνει το μεγαλύτερο δυνατό ακέραιοπου είναι μικρότερος ή ίσος από το xΠχ b32c= 3 bminus32c=minus4 b35c= 3 και b36c= 3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 17

Σταθερές

I ´Ενας αριθμός που αντιπροσωπεύει μια ποσότητα πουθεωρείται ότι έχει σταθερή τιμή ονομάζεται lsquoσταθεράrsquo Ητιμή μιας σταθεράς ενώ δε μεταβάλλεται πιθανό να μηνπροσδιορίζεται

I Οι πιο σημαντικές πραγματικές σταθερές είναι

1 Το π= 314159 Είναι ο δείκτης που υποδειλώνει τηνπεριφέρεια του κύκλου ακτίνια Ονομάζεται και σταθερά τουΑρχιμήδη

2 Το exp = 271828 που υποδειλώνει τη βάση του φυσικούλογάριθμου

Ε Ι Κοντογιώργης copy 18

Σύμβολα Κατεύθυνσης

I Το σύμβολο lsquogtrsquo που σημαίνει lsquoμεγαλύτεροrsquo καθώς και τοlsquogersquo που σημαίνει lsquoμεγαλύτερο ή ίσοrsquo

I Το σύμβολο lsquoltrsquo που σημαίνει lsquoμικρότεροrsquo καθώς και το lsquolersquoπου σημαίνει lsquoμικρότερο ή ίσοrsquo

I Παράδειγμα Οι μεταβλητές που συμβολίζουν τουςμηνιαίους μισθούς xge 0 Οι μεταβλητές που συμβολίζουντους μήνες του χρόνου 0ltMlt13 που μπορούν επίσης ναγραφτούν 1leMle 12

Ε Ι Κοντογιώργης copy 19

∆υνάμειςI Οι εκθέτες αποτελούν συντομογραφία του

πολλαπλασιασμού (5)(5) = 52 και (5)(5)(5) = 53 Εδώτο 5 λέγεται βάση και το 3 λέγεται εκθέτης Μπορείεπίσης να ερμηνευτεί πέντε υψωμένο στην τρίτη δύναμη

I Η δύναμη είναι ο εκθέτης στον οποίο υψώνεται μιαποσότητα Η έκφραση xn είναι γνωστή ως x στη nδύναμη

I Σημειώστε ότι 5253 = (55)(555) = 55 = 5(2+3) Εδώπαρουσιάζεται ένας βασικός κανόνας του εκθέτη Στηπερίπωση που πολλαπλασιάζονται δύο όροι που έχουντην ίδια βάση οι εκθέτες τους μπορούν να προστεθούν

xmxn = x(m+n)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 20

I Στην περίπτωση όμως που (x4)(y3) ο πιο πάνω κανόναςδε μπορεί να εφαρμοστεί γιατί οι βάσεις είναιδιαφορετικές (x4)(y3) = xxxxyyy

I Για (x2)4

= x2x2x2x2 = xxxxxxxx= x8 = x(2times4)

I ´Ετσι στην περίπτωση που έχετε μια εκθετική έκφρασηπου είναι υψωμένη σε μία δύναμη μπορείτε ναπολλαπλασιάσετε τον εκθέτη με τη δύναμη

(xm)n

= xmn

Ε Ι Κοντογιώργης copy 21

I Εάν έχετε μια έκφραση μέσα σε παράνθεση και ηπαράνθεση είναι υψωμένη σε μια δύναμη τότε η δύναμημπορεί να γίνει μέρος τις παράνθεσης Για παράδειγμα

(xy2)3 = (xy2)(xy2)(xy2) = (xxx)(y2y2y2)

= (xxx)(yyyyyy) = x3y6 = (x)3(y2)3 = x3y6

Παρομοίως(xy)2

=x2y2

I ´Ενας αρνητικός εκθέτης είναι ένδειξη ότι η βάση βρίσκεταιστον παρονομαστή του κλάσματος Πχ

xminus2 =1x2

x2xminus3 = x2x3 = x5 2xminus1 =

2x

(3x)minus2 =1

(3x)2 =1

9x2 και(xminus2yminus3

)minus2=

(xminus2)minus2

(yminus3)minus2=x4y6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 22

I Οτιδήποτε στη δύναμη μηδέν είναι lsquo1rsquo

Πχ 50 = 1 x0 = 1 (x2y3)0 = 1 και 00 = 1

Σημειώστε ότι 50 = 5(1minus1) = (51)(5minus1) =55 = 1

I Μηδέν σε οποιαδήποτε δύναμη είναι μηδέν έτσι 0n = 0

Σημειώστε ότι 00 = 1 και ότι 00 = 0

Αυτό υποδειλώνει ότι 00 είναι μια απροσδιόριστη μορφήπου σε κάποιες περπτώσεις παίρνει μία τιμή και σεκάποιες άλλες περιπτώσεις παίρνει διαφορετική τιμή

Ε Ι Κοντογιώργης copy 23

I Κλασματικοί (Αναλογικοί) Εκθέτες

1 Η τετραγωνική ρίζα μπορεί να γραφτεί σε μορφή κλάσματος

´Ετσι radicx= x12

Πχ 212 =

radic2 = 141 και 2

minus12 =

1radic2

= 071

2 Γενικά xab =bradicxa Πχ 7

23 =

3radic72 = 366

355 = 3112 =

2radic311 = 42089

Ε Ι Κοντογιώργης copy 24

ΛογάριθμοιI Η λογαριθμική μορφή ενός αριθμού είναι lsquoαντίθετηrsquo από

την εκθετική Τεχνικά μιλώντας η λογαριθμική μορφήείναι αντίστροφη της εκθετικής

I Η σχέση δίνεται logb(x) = y

που είναι το ίδιο με by = x

I Ο lsquolsquologb(x) = yrsquorsquo προφέρεται lsquolsquolog-βάση-b-του x ισούται yΕδώ b ονομάζεται lsquoβάση του λογαρίθμουrsquo αφού το b είναιη βάση της εκθετικής έκφρασης

I Η βάση b του λογάριθμου είναι πάντοτε θετική και δενισούται με 1

I Οτιδήποτε βρίσκεται μέσα στο λογάριθμο ονομάζεταιέκφραση

Ε Ι Κοντογιώργης copy 25

ΠαραδείγματαI Μετατρέψτε την έκφραση 63 = 216 στην ισοδύναμη

λογαριθμική μορφή

Για τη μετατροπή η βάση μένει η ίδια αλλά το 3 και το216 αλλάζουν θέσεις Αυτό μας δίνει

log6(216) = 3

I Μετατρέψτε τον log4(1024) = 5 στην αντίστοιχηλογαριθμική έκφραση

Για τη μετατροπή η βάση (που είναι 4) παραμένει η ίδιααλλά το 1024 και το 5 αλλάζουν θέσεις ´Ετσι δίνεται

45 = 1024

Ε Ι Κοντογιώργης copy 26

I Υπολογίστε τον log2(8)

Εάν y= log2(8) τότε υπονοείται ότι 2y = 8 Αυτόσημαίνει ότι y είναι η δύναμη του 2 που θα έχει σαναποτέλεσμα 8 Η δύναμη που δίνει το αποτέλεσμα είναι 3αφού 23 = 8 ´Ετσι

log2(8) = 3

I Κατά παρόμοιο τρόπο log5(25) = 2 αφού 52 = 25

I Υπολογίστε τον y= log64(4)

Σημειώστε ότι 64y = 4 και 43 = 64

´Ετσι (43)y

= 4 ή 43y = 41

Η πιο πάνω έκφραση εξυπονοεί ότι 3y= 1 και έτσιy= 13

Ε Ι Κοντογιώργης copy 27

I Υπολογίστε y= log6(6)

Αυτό ισοδυναμεί με το 6y = 6 και συνεπώς y= 1

I Υπολογίστε το y= log3(1)

Το πιο πάνω μπορεί να γραφτεί ως 3y = 1

´Ομως 1 = 30 έτσι 3y = 30 και y= 0

I Υπολογίστε το y= log4(minus16)

Μπορεί να γραφτεί σαν 4y =minus16

´Ομως δεν υπάρχει τιμή (πχ δύναμη) y που ναικανοποιεί τη σχέση ´Ετσι δεν υπάχρει λύση

Ε Ι Κοντογιώργης copy 28

I Υπολογίστε το y= log2(0)

Αυτό σημαίνει 2y = 0 όμως δε υπάρχει τιμή που ναικανοποιεί τη σχέση ´Ετσι δεν υπάχρει λύση

I Υπολογίστε το y= 2log2(9)

Αυτό σημαίνει ότι log2(y) = log2(9) και έτσι y= 9

Ε Ι Κοντογιώργης copy 29

I Γενικά1 logb(b) = 1 για οποιαδήποτε βάση b

2 logb(1) = 0 για οποιαδήποτε βάση b

3 logb(a) δεν ορίζεται για αρνητικά a

4 logb(0) δεν ορίζεται για οποιαδήποτε βάση b

5 logb(bn) = n για οποιαδήποτε βάση b

Ε Ι Κοντογιώργης copy 30

I Οι λογάριθμοι μπορούν να πάρουν οποιοδήποτε αριθμόσαν βάση αλλά δύο βάσεις είναι οι πιο χρήσιμες οlog-βάση-10 και ο log-βάση-e

I Η βάση-10 log συχνά ονομάζεται ο κοινός log καιγράφεται ως log(x) Εδώ δεν αναγράφεται βάση καιμπορούμε να υποθέσουμε ότι η βάση είναι 10

Πχ log(100) = 2 έτσι log10(102) = 2

I Η βάση-e log ονομάζεται ο φυσικός log και γράφεται σανln(x)Πχ ln(e345)= 345 καθώς loge(e345) = 345

Ε Ι Κοντογιώργης copy 31

Ιδιότητες Λογαρίθμωνlogb(xy) = logb(x) + logb(y)

Απόδειξη´Εστω m= logbx και n= logby

Γράψτε σε μορφή εκθέτη x= bm και y= bn

Πολλαπλασιάστε το x και y ούτως ώστεxy= bmbn = bm+n

´Ετσι από τον ορισμό των λογαρίθμων το xy= bm+nσυνεπάγει ότι

logb(xy) =m+n= logbx+ logb(y)

Πχ log2(4times16) = log2(64) = log2(26) = 6

Ακόμα log2(4times16) = log2(4) + log2(16) = 2+4 = 6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 32

logb(xy)

= logb(x)minus logb(y)

Απόδειξη´Εστω m= logbx και n= logby

Γράψτε σε μορφή εκθέτη x= bm και y= bn

∆ιαίρα το x και y ούτως ώστε xy =bmbn = bmminusn

´Ετσι από τον ορισμό των λογαρίθμων το xy = bmminusn

συνεπάγει ότι

logb(xy)

=mminusn= logbxminus logb(y)

Πχ log2(16

4)

= log2(4) = 2

και log2(16

4)

= log2(16)minus log2(4) = 4minus2 = 2Ε Ι Κοντογιώργης copy 33

logb(xn) = n logb(x)

Απόδειξη´Εστω m= logbx και γράψτε σε μορφή εκθέτη x= bm

Αυξάνοντας τις δύο πλευρές στην n δύναμη παίρνουμεxn = (bm)n = bmn

´Ετσι από τον ορισμό των λογαρίθμων τοlogbxn =mn= nm= n(logbx)

Πχ log2(64) = log2(26) = 6 log2(2) = 6

log(64) = 18

Επιπλέον log(64) = log(26) = 6log(2) = 6times030 = 18

Ε Ι Κοντογιώργης copy 34

logb(x) =loga(x)loga(b) agt0 a 6= 1

Απόδειξη´Εστω m= logbx rArr x= bm

Εφαρμόστε loga και στις δύο πλευρές του x= bmγια ναδώσει

logabm = logax rArr m logab= logaxrArr m=logaxlogab

rArr logbx=logaxlogab

Πχ log5(20) =log(20)

log(5)= 186 =

ln(20)

ln(5)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 35

logb(a) =1

loga(b) agt0 a 6= 1

Απόδειξη

logb(x) =loga(x)loga(b) =

logx(x)logx(b)

=1

loga(b)

´Οταν a= x

Πχ log2(64) =1

log64(2)=

116 = 6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 36

Αθροισμα

I Υποθέστε ότι έχουμε μια μεταβλητή x που μπορεί ναπάρει δέκα τιμές Εάν ενδιαφερόμαστε για το άθροισμάτους χωρίς να ξέρουμε την τιμή της κάθε μεταβλητής τότεο καλύτερος τρόπος να το εκφράσουμε είναι

x1 +x2 + middot middot middot+x9 +x10

I Εν συντομία το άθροισμα n στοιχείων x1 +x2 + middot middot middot+xn είναιnsum

i = 1xi

και ερμηνεύεται σαν το άθροισμα όλων των xirsquosξεκινώντας από το x1 (πχ i = 1) μέχρι xn (i = n)

I Εάν δε δοθεί διαφορετικά πάντοτε υποθέτουμε ότι το iαυξάνεται ξεκινώντας από το στάδιο 1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 37

I Το lsquolsquoSigmarsquorsquo Σ είναι γνωστό ως το άθροισμα (summation) ήσύμβολο σίγμα (sigma operator) και ο δείκτης i όνομάζεταιεικονική μεταβλητή

I Παραδείγματα

I

5sum

i = 1xi = x1 +x2 +x3 +x4 +x5

I

5sum

i = 1(y2

i ) = y21 +y22 +y23 +y24 +y25

Σημειώστε ότι η μόνη μεταβλητή που περιγράφεται απευθείαςκάτω από το σύμβολο Σ αυξάνεται κατά 1 κάθε φορά ενώ όλατα άλλα σύμβολα παραμένουν τα ίδια

I

4sum

r = 1(x3r ) = x31 +x32 +x33 +x34

Ε Ι Κοντογιώργης copy 38

I6sum

i = 1i = 1+2+3+4+5+6

I6sum

i = 1i2 = 12 +22 +32 +42 +52 +62

I7sum

i = 3xi = x3 +x4 +x5 +x6 +x7

I4sum

i = 1a = a+a+a+a= 4a

I3sum

i = 1(4+xi) = (4+x1) + (4+x2) + (4+x3)

=3sum

i = 14+

3sum

i = 1xi

Ε Ι Κοντογιώργης copy 39

I3sum

i = 1(2xi) = (2x1) + (2x2) + (2x3) = 2times

3sum

i = 1xi

I Ο συντελεστής i παραλείπεται εάν δε προκαλείαοριστία Για παράδειγμα Σx ή Σixi σημαίνειάθροισμα όλων των x που λαμβάνονται υπόψη

I ∆ήλωσηI

nsumi=1a= na

I sumiaxi = asum

ixi

I sumi

(axi+byi) = asumixi +bsum

iyi

Ε Ι Κοντογιώργης copy 40

I Αθροιστικός Τύπος

Insum

i = 1i = 1+2+ middot middot middot+n=

n(n+1)

2

Πχ6sumi = 1i = 1+2+3+4+5+6 =

6(6+1)

2 = 21

Insum

i = 1i2 = 12 +22 + middot middot middot+n2 =

n(n+1)(2n+1)

6

Πχ6sumi = 1i2 = 12 +22 +32 +42 +52 +62

=6(6+1)(12+1)

6 = 91

Ε Ι Κοντογιώργης copy 41

Insum

i = 1i3 = 13 +23 + middot middot middot+n3 =

n2(n+1)2

4

Πχ6sumi = 1i3 = 13 +23 +33 +43 +53 +63

=62(6+1)2

4 = 441

Ε Ι Κοντογιώργης copy 42

ΠαραδήγματαΑριθμητική Πρόοδος

I Γενικά μπορούμε να εκφράσουμε μια αριθμητική πρόοδο ωςεξής

αριθμητική πρόοδος a a+d a+2d a+3d

όπου ο πρώτος όρος είναι a και η διαφορά d Ο όρος nτης απ δίνεται από τη σχέση b = a+ (nminus1)d

I 3 5 7 9 11 είναι μια αριθμητική πρόοδος Οπρώτος όρος είναι το 3 και η διαφορά είναι 2

I 2 minus1 minus4 minus7 είναι μια αριθμητική πρόοδος όπου οπρώτος όρος είναι 2 και η διαφορά minus3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 43

I Το άθροισμα των όρων μιας αριθμητικής προόδου είναιγνωστό ως αριθμητική σειρά

Sn = a+ (a+d) + (a+2d) + middot middot middot+ (a+ (nminus1)d)

=nsumi=1

(a+ (iminus1)d

)= na+

nsumi=1

(iminus1)d

= na+dnminus1sumi=1

i = na+d(nminus1)n2

=n2(2a+d(nminus1)) =

n2(a+b) b = a+d(nminus1)

I ΑΠ 3 5 7 9 11 13 rArr Sn =62(3+13) = 48

Ε Ι Κοντογιώργης copy 44

∆ιπλό Αθροισμα4sumi=1

isumj=1

j = (1) + (1+2) + (1+2+3) + (1+2+3+4) = 20

nsumi=1

isumj=1

j =nsumi=1

( isumj=1

j)

nsumi=1

(12 i(i+1)

)=

12

nsumi=1

(i2 + i)

12( nsumi=1

i2 +nsumi=1

i)

=12(16n(n+1)(2n+1) +

12n(n+1)

)

=12

16n(n+1)

((2n+1) +3

)=

n6(n+1)(n+2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 45

∆ιπλό Αθροισμα

nsumi=1

msumj=1

(i+ j+2) =nsumi=1

( msumj=1

(i+ j+2))

nsumi=1

( msumj=1

i+msumj=1

j+msumj=1

2)

=nsumi=1

(mi+ 1

2m(m+1) +2m)

m( nsumi=1

i+ 12

nsumi=1

(m+5))

= m(12n(n+1) +

12n(m+5)

)

=mn2(m+n+6

)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 46

Insumr=1

1r(r+1)

=nsumr=1

(Ar +

Br+1

)=

nsumr=1

A(r+1) +Brr(r+1)

I A(r+1) +Br = 1

I Για r = 0 τότε A= 1 και για r =minus1 τότε B=minus1

I

nsumr=1

1r(r+1)

=nsumr=1

(1r minus

1r+1

)

=(

(11 minus

12) + (

12 minus

13) + (

13 minus

14) + middot middot middot+ (

1nminus1 minus

1n ) + (

1n minus

1n+1)

)

= 1minus 1n+1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 47

Insumk=1

1(k+2)(k+3)

=nsumk=1

( A(k+2)

+B

(k+3)

)=

nsumk=1

A(k+3) +B(k+2)

(k+2)(k+3)

I A(k+3) +B(k+2) = 1

I Για k=minus2 τότε A= 1 και για k=minus3 τότε B=minus1

I

nsumk=1

1(k+2)(k+3)

=nsumk=1

( 1(k+2)

minus 1(k+3)

)

=(

(13 minus

14)+(

14 minus

15)+(

15 minus

16)+ +(

1n+1 minus

1n+2)+(

1n+2 minus

1n+3)

)

=13 minus

1n+3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 48

Αθροισμα με Λογάριθμους

nsumi=1

logb(i) = logb(1) + logb(2) + middot middot middot+ logb(n)

= logb(1times2times3timesmiddotmiddot middottimesn)

= logb(n)

I Το n (n παραγοντικό) δίνεται από n = 1times2timesmiddotmiddot middottimesn και0 = 1

I100sumi=1

log2(100) = log2(100) =log(100)

log(2)=

log(99)

log(2)+

2log(2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 49

Γινόμενο των ακολουθιώνIn

prodi=1xi = x1timesx2timesx3timesmiddotmiddot middottimesxn

In

prodi=1i = 1times2times3timesmiddotmiddot middottimesn= n

In

prodi=1z= ztimesztimesmiddotmiddot middottimesz= zn

I

nprodi=1

(1+

1i+1

)=(1+

12)times(1+

13)times(1+

14)times times(1+

1n )times(1+

1n+1)

=32 times

43 times

54 timesmiddotmiddot middottimes

n+1n times n+2

n+1

=n+22

Ε Ι Κοντογιώργης copy 50

Γεωμετρικές ΠροόδοιI Μια γεωμετρική πρόοδος είναι μια σειρά αριθμών όπου

κάθε όρος μετά των πρώτο υπολογίζεται από τονπολλαπλασιασμό του προηγούμενου όρου με ένασταθερό αριθμό που καλείται αναλογία

I Η σειρά1 3 9 27 81 middot middot middot

είναι μια γεωμετρική πρόοδος με πρώτο όρο το 1 καιαναλογία 3

I Η αναλογία μπορεί να είναι κλάσμα καθώς επίσης καιαρνητικός αριθμός Για παράδειγμα η γεωμετρικήπρόοδος με πρώτο όρο το 2 και αναλογία minus13 είναι

2 minus 23 +

29 minus

227 +

281 middot middot middot

Ε Ι Κοντογιώργης copy 51

I Γενικά μπορούμε να γράψουμε μια γεωμετρική πρόοδο ωςακολούθως

γεωμετρική πρόοδος a ar ar2 ar3 ar4 middot middot middot

όπου ο πρώτος όρος είναι a και η αναλογία r

I Σημαντικά θεωρήματα των γεωμετρικών προόδων (γπ)1 Ο n όρος μιας γπ δίνεται από ar(nminus1)

2 Το άθροισμα των πρώτων n όρων μιας γπ είναι

Sn =a(1minus rn)

1minus r =a(rnminus1)

rminus1 και ισχύει μόνο αν r 6= 1

I Το άθροισμα των όρων μιας γεωμετρικής προόδουονομάζεται γεωμετρική σειρά

Ε Ι Κοντογιώργης copy 52

Γεωμετρική σειρά

Sn = a+ar+ar2 +ar3 + middot middot middot+arnminus2 +arnminus1

rSn = ar+ar2 +ar3 + arnminus1 +arn

Snminus rSn = aminusarn

(1minus r)Sn = a(1minus rn)

Sn =a(1minus rn)

(1minus r) =a(rnminus1)

(rminus1)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 53

I Παράδειγμα1 Βρείτε το άθροισμα των πρώτων 10 όρων μιας γεωμετρικής

σειράς4 8 16 32

Ο πρώτος όρος είναι a= 4 και η αναλογία r = 2 καιn= 10 ´Ετσι

S10 =4(1minus210)

1minus2 = 4092

2 Θεωρείστε τη γπ4 minus8 16 minus32 64 minus128 256 minus512

Σε αυτή την περίπτωση ο πρώτος όρος είναι a= 4 ηαναλογία είναι r =minus2 και n= 8´Ετσι

S8 =4(1minus (minus2)8)

1minus (minus2)=minus340

Ε Ι Κοντογιώργης copy 54

Συνεχείς ανατοκισμός

Οι περισσότεροι τραπεζικοί λογαριασμοί και τα δάνειαυιοθετούν ανατοκισμό - εφαρμόζοντας συνεχή ανατοκισμόΘεωρείστε ένα λογαριασμό που προσφέρει τόκο με ετήσιοεπιτόκιο r (πχ 7) Εάν το επιτόκιο είναι συνεχέςσε χρονιαία βάση τότε μετά από 1 χρόνο το χρονιαίοεπιτόκιο προστίθεται στο αρχικό κεφάλαιο για νακαθορίσει ένα μεγαλύτερο κεφάλαιο τον δεύτερο χρόνο

´Ετσι κατά τη διάρκεια του δεύτερου χρόνου ολογαριασμός κερδίζει επιτόκιο πάνω στο επιτόκιοΑυτή είναι η επίδραση του ανατοκισμού που συνεχίζεταιχρόνο με το χρόνο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 55

I Με τον ετήσιο ανατοκισμό το κεφάλαιο πουσυσσωρεύεται στο λογαριασμό πολλαπλασιάζεται με

(1+ r)

´Ετσι το κεφάλαιο A θα αυξηθεί σε

A(1+ r) = A+A middot r

τον επόμενο χρόνο

I Με το πέρας και του δεύτερου χρόνου το κεφάλαιο θααυξηθεί ακόμα (1+ r) σε (1+ r)2

´Ετσι το κεφάλαιο καταλήγει σε

A(1+ r)(1+ r) = A(1+ r)2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 56

I Κατά παρόμοιο τρόπο στο τέλος του τρίτου χρόνου τοποσό θα αυξηθεί κατά (1+ r)3

I Μετά από n χρόνια το ποσό θα αυξηθεί κατά (1+ r)n

I ´Ετσι το κεφάλαιο (επένδυση) A θα αυξηθεί με συνεχήανατοκισμό σε A(1+ r)n μετά από n χρόνια

I Ο τύπος (1+ r)n εκθέτει γεωμετρική αύξηση λόγω τηςn δύναμης

Ε Ι Κοντογιώργης copy 57

ΠαραδείγματαI Εάν το επιτόκιο είναι r = 5 τότε το κεφάλαιοA= $1000 που βρίσκεται στην τράπεζα n= 20 χρόνιαθα αυξηθεί κατά

(1+ r)n = (1+005)20 = 2653 φορές

´Ετσι το ποσό θα καταλήξειA(1+ r)n = $265330

I Βρέστε το χρόνο που χρειάζεται για ένα λογαργιασμό ναδιπλασιάσει το διαθέσιμο κεφάλαιο του όταν r = 7 καιr = 10Ζητούμε να βρούμε το n έτσι ώστε

(1+ r)n = 2Ε Ι Κοντογιώργης copy 58

I Υπολογίζοντας το λογάριθμο του τελευταίου παίρνουμε

log(1+ r)n = log(2)ή n log(1+ r) = log(2)

´Ετσιn=

log2log(1+ r)

I Για r = 7 και r = 10 ο χρόνος n πουχρειάζεται για διπλασιασμό της επένδυσης υπολογίζεταισε 1024 και 727 αντίστοιχα

Ε Ι Κοντογιώργης copy 59

I Αν το επιτόκιο είναι r = 7 τότε πιο θα είναι τοσυνολικό ποσό στο λογαριασμό μετά από 205 και41 χρόνια αντίστοιχα

Μετά τα πρώτα 1025 χρόνια το ποσό A θαδιπλασιαστεί σε 2A Για τα επόμενα 1025 χρόνιατο ποσό θα ξαναδιπλασιαστεί σε 4A ´Ετσι μετά από205 χρόνια το ποσό θα αυξηθεί κατά 4 φορές

Με το πέρας ακόμα 205 χρόνων το ποσό θα αυξηθείακόμα 4 φορές σε 16 ´Ετσι μετά από 41 χρόνιατο κεφάλαιο A γίνεται 16A

Ε Ι Κοντογιώργης copy 60

Ασκήσεις και Παραδείγματα

I Υπολογίστε τη Μελλοντική Αξία (Future Value (FV)) τουκεφαλαίου A= 1500 που κερδίζει ετήσιο επιτόκιοr = 5 για n= 10 έτη

FV =A(1+ r)n = 1500(1+005)10 = 244334

I Πόσα έτη απαιτούνται για να τριπλασιαστεί ένα ποσόπου αφήνετε στην τράπεζα με επιτόκιο r = 5∆ηλαδή βρείτε το n όπου A= 1 r = 5 και FV = 3

FV =A(1+ r)n ή (1+ r)n =FVA

Ε Ι Κοντογιώργης copy 61

Υπολογίζοντας τους λογαρίθμους παίρνουμε

log(1+ r)n = log(FVA)

ή n log(1+ r) = log(FVA)

´Ετσι

n=log(FVA)

log(1+ r) =log(3)

log(105)

= 2252

Ε Ι Κοντογιώργης copy 62

I Βρείτε την παρούσα αξία A έτσι ώστε σε δέκα έτη μεσταθερό επιτόκιο r = 6 να είναι 100KΒρείτε το A όπου FV = 100000 r = 6 και n= 10

FV =A(1+ r)n ή A=FV

(1+ r)n

´Ετσι A=100000

(106)10= 5583948

I Βρείτε την ετησιοποιημένη απόδοση (AER AnnualEquivalent Rate) μιας μηνιαίας κατάθεσης με σταθερόεπιτοκίο 394 Μια τέτοια κατάθεση λαμβάνει το επιτόκιο στη λήξηΣυνεπώς κάθε μήνα ο λογαριασμός λαμβάνει

r = 0039412 = 000328

επιτόκιο που επανεπενδύεται (συνεχής ανατοκισμός)Ε Ι Κοντογιώργης copy 63

Επανεπενδύοντας το επιτόκιο κάθε μήνα στη διάρκειαενός έτους το κεφάλαιο θα αυξηθεί σε

(1+ r)12 = (1+000328)12 = 104012

´Ετσι το ΑΕΡ είναι ισοδύναμο με 004012 = 4012I Υπολογίστε το επιτόκιο ενός σταθερού λογαριασμού

κατάθεσης 7-ημερών που έχει AER επιτόκιο r = 425Θεωρείστε ρ το εβδομαδιαίο επιτόκιο

´Ετσι (1+ρ)52 = (1+00425)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 64

Παίρνοντας τους λογαρίθμους έχουμε52log(1+ρ) = log10425

ή log(1+ρ) =log10425

52

ή 1+ρ= 10( log10425

52)

Αυτό μας δίνει

ρ= 10

( log1042552

)minus1 = 008

´Ετσι το συνεχές επιτόκιο μιας επταήμερης κατάθεσης είναιρtimes52 = 41638

Εναλλακτικά (1+ρ)52 = (1+00425) δίνει

(1+ρ) =52radic10425ή ρ=

52radic10425minus = 008Ε Ι Κοντογιώργης copy 65

I Υπολογίστε την ετήσια απόδοση r έτσι ώστε A= 10000να επιστρέφει FV = 35000 σε n= 20 χρόνια

FV =A(1+ r)n ή (1+ r)n =FVA

´Ετσι

1+ r =nradic

FVA

Επομένως

r =nradic

FVA minus1 =

20radic

3500010000 minus1 = 00646 = 646

Ε Ι Κοντογιώργης copy 66

Εναλλακτικά παίρνοντας τους λογαρίθμους

log(1+ r)n = log(FVA) ή n log(1+ r) = log

(FVA)

´Ετσι

1+ r = 10(1n log

(FVA))

ή r = 10(1n log

(FVA))minus1

= 10( 120 log

(3500010000

))minus1

= 646

Ε Ι Κοντογιώργης copy 67

Γραφική Αναπαράσταση I

I Υποθέστε ότι έχουμε y= 3x+2 Καθώς έχουμε μόνο μιαδύναμη για το x πρέπει να λύσουμε γραμμική εξίσωσηκαι να σχεδιάσουμε μια ευθεία γραμμή Αρχικά θα πρέπεινα σχεδιάσουμε ένα T-chart Αυτό έχει τη μορφή

x y = 3x+2 (xy)

I Επιλέγουμε μια τιμή για το x και λύνουμε ως προς y

x y= 3x+2 (xy)minus2 minus4 (minus2minus4)0 2 (02)2 8 (28)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 68

Γραφική Αναπαράσταση II

-

6

X

Y

bull

bull

bull

I Βλέπουμε μια ευθεία με ανοδική τάση (έχοντας θετικήκλίση m= 3) καιτέμνει τον άξονα y στο σημείο y= 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 69

Γραφική Αναπαράσταση III

I Μια Τετραγωνική εξίσωση περιέχει x2 Για τηναναπαράσταση τετραγωνικών εξισώσεων χρειάζεται ναβρούμε περισσότερα από τρία σημεία στο σχεδιάγραμμα

Για παράδειγμα υποθέστε ότι y= x2minus6x+5 καιδίνεται το πιο κάτω T-chart

x y= x2minus6x+5 (xy)0 5 (05)1 0 (10)3 minus4 (3minus4)5 0 (50)6 5 (65)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 70

Γραφική Αναπαράσταση IV

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

-

6

X

Y

bull

bull

bull

bull

bull

Ε Ι Κοντογιώργης copy 71

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(1x + 2)

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(-3x + 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 72

-15

-10

-5

0

5

10

15

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(3x - 2)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 73

-20

0

20

40

60

80

100

120

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2+x)

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 74

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

1250

1500

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3+x2+x)

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x4)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 75

-25

-2

-15

-1

-05

0

05

1

15

2

25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(log(x))

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(x))

Ε Ι Κοντογιώργης copy 76

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(-x))

-5000

0

5000

10000

15000

20000

25000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(exp(x)+x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 77

Ανισότητες I

I Οι ανισότητες αποτελούνται από δύο ή τρεις αλγεβρικέςεκφράσεις που είναι συνδεδεμένες με τα σύμβολαανισότητας Τα σύμβολα αυτά είναι

lt μικρότερο τουgt μεγαλύτερο τουle μικρότερο ή ίσο τουge μεγαλύτερο ή ίσο του

I Παραδείγματα xgty yge x2 και ylt5x+1

I Το πρώτο βήμα για την αναπαράσταση ανισότητας τηςμορφής ygtx είναι να παραστήσουμε γραφικά τηνισότητα y= x

Ε Ι Κοντογιώργης copy 78

Ανισότητες II

I ygtx

Κάνετε δοκιμή με ένα σημείο να δείτε κατά πόσοικανοποιεί την ανισότητα Εάν ναι τότε σκιάστε τηνπεριοχή αυτή του σχεδιαγράμματος διαφορετικά σκιάστετην άλλη πλευρά

Ε Ι Κοντογιώργης copy 79

Ανισότητες III

I yltx

Ε Ι Κοντογιώργης copy 80

Ανισότητες IV

I yle 5x+1 και ygt5x+1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 81

Ανισότητες V

I yge x2 και yle x2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 82

Ανισότητες VI

I ygtx3 και yle x3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 83

Συστήματα Γραμμικών ΕξισώσεωνΠεριεχόμενα

1 Ε

2 Γ Α

ΑναφορέςΚεφάλαια 4 και 5FS Budnick Applied Mathematics for Business Economicsand the Social Sciences 4th edition McGraw-Hill 1993

Ε Ι Κοντογιώργης copy 84

Συστήματα Εξισώσεων

I ´Ενα σύστημα εξισώσεων συνδυάζει περισσότερες από μίαεξισώσεις

I ´Ενα σύστημα m εξισώσεων όπου κάθε εξίσωσηαποτελείται από n μεταβλητές ονομάζεται mtimesnσύστημα ή λέμε ότι έχει διαστάσεις mtimesn

I ΠαράδειγμαΠαρακάτω έχουμε ένα σύστημα 2times2

5X+10Y= 203X+4Y= 10

Οι μεταβλητές σε αυτή την περίπτωση είναι X και YΕ Ι Κοντογιώργης copy 85

Συστήματα Επίλυσης

I Το Σύστημα επίλυσης είναι μια σειρά τιμών μεταβλητώνπου ικανοποιούν το σύστημα ταυτόχρονα

I Σε μια σημειογραφική παράσταση το προηγούμενοπαράδειγμα μπορεί να γραφτεί ως εξής

S = (XY) | 5X+10Y = 20 και 3X+4Y = 10

I Το σύστημα επίλυσης μπορεί να είναι1 μηδενικό2 πεπερασμένο ή3 άπειρο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 86

2times2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική Ανάλυση

I Σε ένα δισδιάστατο γράφημα ένα σύστημα εξισώσεων2times2 αναπαρίστανται με ευθείες γραμμές Υπόρχουν τρίαενδεχόμενα

1 Οι ευθείες τέμνονται Το σημείο τομής αντιπροσωπεύει τηλύση του συστήματος εξισώσεων Αυτό το σημείοαλληλεπίδρασης είναι μια δέσμη τιμών X και Y που ικανοποιείκαι τις δύο εξισώσειςΕάν υπάρχει μόνο μια δέσμη τιμών για τις μεταβλητές που ναικανοποιεί το σύστημα εξισώσεων το σύστημα λέμε ότι έχειΜ Λ

2 Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες μεταξύ τους ∆εν έχουν κοινόσημείο Συνεπώς οι ευθείες δεν τέμνονται ποτέ Το σύστημαλέμε ότι ∆ ΛΑυτό υπονοεί ότι δεν υπάρχουν τιμές για τις μεταβλητές πουνα ικανοποιούν και τις δύο εξισώσεις Σε αυτή τηνπερίπτωση οι εξισώσεις στο σύστημα είναι Α

3 Και οι δύο εξισώσεις αναπαρίστανται ως μια κοινή ευθεία καιθεωρούνται ισοδύναμες εξισώσεις ´Ετσι το σύστημα έχειΑ Λ Αυτό συμβαίνει γιατί υπάρχει άπειροςαριθμός κοινών σημείων στις δύο γραμμές

Ε Ι Κοντογιώργης copy 87

I Π Θεωρείστε ένα σύστημα 2times22X+4Y= 203X+ Y= 10

I

X

Y

(24)

3X +Y = 10

2X +4Y = 20

0 2 4 6 8 10 12

2

4

6

8

10

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 88

I Το σημείο τομής δίνεται από το X= 2 και Y= 4Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές του X και Y στις δύοεξισώσεις δίνουν 20 = 20 και 10 = 10 αντίστοιχα

I Αυτό υποδειλώνει ότι X= 2 και Y= 4 είναι η σωστή λύση

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times23Xminus2Y= 6

minus15X+10Y=minus30

I

X

Y

(20)

(0minus3)

3X minus2Y = 6

minus15X +10Y =minus30

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 89

I Οι δύο εξισώσεις απλοποιούνται σε Xminus 23 Y= 2

Οι δύο εξισώσεις είναι ισοδύναμες και δίνουν έναπεπερασμένο αριθμό λύσεων έτσι ώστε

X= 0 Y =minus3X= 2 Y = 0X= 4 Y = 3

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times26Xminus12Y= 24

minus32X+3Y= 9

Οι εξισώσεις απλοποιούνται σεXminus2Y= 4Xminus2Y=minus6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 90

I

X

Y

(40)

(0minus2)

(minus60)

(03)

X minus2Y =minus6

X minus2Y = 4

0-0

I Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες και συνεπώς το σύστημαδεν έχει λύση ´Ετσι το σύστημα εξισώσεων είναιασύμπτωτο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 91

Περίληψη 2times2 Συστήματα Εξισώσεων∆ίνεται ένα Σύστημα Γραμμικών Εξισώσεων 2times2

Y=m1X+ c1Y=m2X+ c2

1 Υπάρχει μια στο σύστημα εάνm1 6= m2

2 ∆εν υπάρχει στο σύστημα εάνm1 = m2 και c1 6= c2

3 Υπάρχει εάνm1 = m2 και c1 = c2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 92

∆ιαδικασίες Απαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής χρησιμοποιεί πολλαπλασιασμόκαι πρόσθεση έτσι ώστε

1 Να απαλοιφεί μια από τις δύο μεταβλητές

2 Η εξίσωση που εξάγεται είναι συνάρτηση των υπόλοιπωνμεταβλητών

3 Αντικαθιστώντας την τιμή στην μεταβλητή σε μια από τιςαρχικές εξισώσεις βρίσκουμε την τιμή για τηναπολοιφθήσα μεταβλητή

Ε Ι Κοντογιώργης copy 93

ΠαραδείγματαI Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

2X +4Y = 20 (1)3X + Y = 10 (2)

Πολλαπλασιάζοντας τη δεύτερη εξίσωση με minus4 παίρνουμε

minus12X minus4Y =minus40 (3)

Προσθέτοντας την εξίσωση (1) στο (3)

2X + 4Y = 20minus12X minus 4Y = minus40minus10X = minus20

ή

X = 2 (4)Ε Ι Κοντογιώργης copy 94

Αντικαθιστώντας X= 2 στην εξίσωση (1) δίνεται2 middot2+4Y = 20 ή Y=4

´Ετσι η μοναδική λύση του συστήματος δίνεται από τοX= 2 και Y= 4 Μπορεί να επιβεβαιωθεί ότι αυτή είναι ησωστή λύση αντικαθιστώντας X= 2 και Y= 4 στηνεξίσωση (1) και (2)

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times23X minus2Y = 6 (5)

minus15X +10Y =minus30 (6)

Για την απαλοιφή της μεταβλητής X η εξίσωση (5)πολλαπλασιάζεται με 5 και το αποτέλεσμα προστίθεταιστην εξίσωση (6)

15X minus 10Y = 30minus15X + 10Y = minus30

0 = 0 Ε Ι Κοντογιώργης copy 95

Οι τελευταίες πράξεις υπονοούν ότι οι εξίσωσεις (5) και(6) είναι ισοδύναμες και έτσι υπάρχει άπειρος αριθμόςλύσεωνΓια να προσδιορίσουμε τις λύσεις του συστήματος μια απότις αρχικές εξισώσεις λύνεται ως προς μια μεταβλητή Ανγια παράδειγμα η εξίσωση (5) λύνεται ως προς Y δίνει

Y =32Xminus3

Σαν αποτέλεσμα γενικεύοντας τις λύσεις του συστήματοςέχουμε

X τυχαίο και Y =32Xminus3

Πχ για X= 4 υπονοείται ότι Y=32 middot4minus3 = 3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 96

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

6X minus12Y = 24 (7)

minus32X +3Y = 9 (8)

Πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση (8) με 4 καιπροσθέτοντας το αποτέλεσμα στην εξίσωση (7)παίρνουμε

6X minus 12Y = 24minus6X + 12Y = 36

0 = 60

Η πιο πάνω αντιλογία υπονοεί ότι δεν υπάρχει λύση τουσυστήματος εξισώσεων

Ε Ι Κοντογιώργης copy 97

3times2 Συστήματα Εξισώσεων I

1 Μ Λ

X

Y

(32)

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minusY = 1

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 98

3times2 Συστήματα Εξισώσεων II

2 Α Λ

X

Y Εξις (1)Εξις (2)Εξις (3)

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 99

3times2 Συστήματα Εξισώσεων III3 Κ

(α) ´Οταν και οι τρεις εξισώσεις είναι παράλληλες

X

Y

2X minusY =minus8

2X minusY = 2

2X minusY = 12

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 100

3times2 Συστήματα Εξισώσεων IV(β) ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ τωνεξισώσεων

X

Y

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minus2Y =minus4

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 101

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική ΑνάλυσηΣε ένα γράφημα 2 διαστάσεων ένα σύστημα mtimes2(mgt2) εξισώσεων παριστάνεται με m ευθείες ´Οπωςσυμβαίνει στα συστήματα 2times2 υπάρχουν τρίαενδεχόμενα

1 ´Ολες οι ευθείες τέμνονται στο ίδιο σημείο και έτσιυπάρχει

2 ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ των mεξισώσεων Αυτό σημαίνει ότι όλες οι ευθείες είναιπαράλληλες Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα Λ

3 Οι m εξισώσεις είναι ισοδύναμες πχ παρασταίνονται σανμια ευθεία Σε αυτή την περίπτωση υπάρχει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 102

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων ∆ιαδικασίαΑπαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής για την επίλυση ενός συστήματοςmtimes2 μπορεί να περιγραφεί ως ακολούθωςΕπιλέξτε και λύστε σύστημα με δύο εξισώσεις

1 Εάν δεν υπάρχει λύση τότε ολόκληρο το σύστημα δεν έχειλύση

2 Εάν υπάρχει μοναδική λύση που ικανοποιεί τις υπόλοιπεςmminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα έχει μία μοναδική λύση

3 Εάν η λύση είναι μοναδική αλλά δεν ικανοποιεί τιςυπόλοιπες mminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα δεν έχει λύση

4 Εάν οι 2 λύσεις είναι ισοδύναμες απάλοιψτε τη μίααπό τις δύο εξισώσεις και ξεκινήστε από την αρχήλαμβάνοντας υπόψη ένα σύστημα (mminus1)times2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 103

ΠαράδείγμαI Θεωρείστε ένα σύστημα 5times2

XminusY= 1X+2Y=minus8

3Xminus2Y= 02Xminus5Y= 11minus4X+3Y=minus1

I Η λύση των πρώτων δύο εξισώσεων δίνετε απόY =minus3 και X =minus2

I Αντικαθιστώντας τη λύση στις υπόλοιπες τρεις εξισώσειςπαίρνετε αντίστοιχα

0 = 0 11 = 11 και minus1 =minus1I Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση

X=minus2 και Y=minus3Ε Ι Κοντογιώργης copy 104

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian

Η μέθοδος απολοιφής Gaussian μετατρέπει το αρχικόσύστημα εξισώσεων σε διαγώνια μορφή επαναλαμβάνονταςστις εξισώσεις τις ακόλουθες τρεις διαδικασίες

1 Πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης μεμια θετική σταθερά

2 Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού θα προστεθεί σεάλλη εξίσωση

3 Η σειρά των εξισώσεων μπορεί να αλλάξει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 105

ΠαράδείγμαΠ Θεωρείστε το σύστημα 2times2

2X minus 3Y = 7 (Εξ 1)X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με 12 για να πάρετε

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με minus1 καιπροσθέστε την στην (Εξ 2)

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

52Y =

152 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 106

Στάδιο 3 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 25

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

Y = 3 (Εξ 2)

Στάδιο 4 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 32 και

προσθέστε την στην (Εξ 1)

X = 1 (Εξ 1)Y = 3 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 107

Π Θεωρείστε το σύστημα 2times2

5X + 20Y = 254X minus 7Y =minus26

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να εκφραστεί ως

R1 5 20 25R2 4 minus7 minus26

Η κάθετη γραμμή χρησιμοποιείται για διαχωρισμό τηςαριστερής από τη δεξιά πλευρά των εξισώσεων Το Riυπονοεί τη γραμμή (Row) i

Ε Ι Κοντογιώργης copy 108

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάζουμε τη R1 με 15 και το θέτουμε

R1larr 15R1

R1 1 4 5R2 4 minus7 minus26

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάζουμε την R1 με minus4 και τηνπροσθέτουμε στην R2 Εν συντομίαR2larrminus4R1+R2

R1 1 4 5R2 0 minus23 minus46

Στάδιο 3 R2larrminus 123R2

R1 1 4 5R2 0 1 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 109

Στάδιο 4 R1larrminus4R2+R1

R1 1 0 minus3R2 0 1 2

Το αρχικό σύστημα εξισώσεων μετατρέπεται σε διαγώνιαμορφή όπως πιο κάτω

X =minus3Y = 2

το οποίο δίνει τη λύση του συστήματος

Ε Ι Κοντογιώργης copy 110

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 I

Το σύστημα εξισώσεων 3times3 μετετρέπεται σε διαγώνιαμορφή Η μετατροπή γίνεται στήλη με στήλη από τααριστερά προς τα δεξιά

Π Θεωρήστε το σύστημα 3times3

X1 + X2 + X3 = 2X1 minus 3X2 + 2X3 = 7

4X1 minus 2X2 minus X3 = 9

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να γραφτεί ως

Ε Ι Κοντογιώργης copy 111

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 II

1 1 1 21 minus3 2 74 minus2 minus1 9

Ε Ι Κοντογιώργης copy 112

ΕΧΝ 110 Μαθηματικά ΙΠεριεχόμενα

I Μ I Β Ε Β Λ

I Ε Α ΛI ΑI Α Γ ΠI Σ I ΛI Γ

Ερρίκος Ιωάννη ΚοντογιώργηςE-mail erricoscutaccy

Ε Ι Κοντογιώργης copy 10

Μεταβλητές και Σταθερές

I Στα Μαθηματικά και τη Στατιστική πάντοτεασχολούμαστε με ευμετάβλητα μεγέθη Για παράδειγμαμισθούς επιτόκια πληθωρισμό ύψος βάρος ηλικία χρόνοκτλ

I Στα συνηθισμένα συμφραζόμενα μια μεταβλητήσυμβολίζεται με ένα αλφαβητικό γράμμα πχ x y zκτλ Για παράδειγμα αν η μεταβλητή μας αποτελείταιαπό τους μισθούς υπαλλήλων τότε μπορούμε να τουςπαραστήσουμε τους μισθούς με τη μεταβλητή x

I Συγκεκριμένα εάν δεν ενδιαφερόμαστε για το πραγματικόύψος των μισθών (ή δε τους γνωρίζουμε) αλλά επιθυμούμενα απομονώσουμε τους μισθούς τεσσάρων υπαλλήλωντότε τους συμβολίζουμε ως εξής x1 x2 x3 και x4

Ε Ι Κοντογιώργης copy 11

Μεταβλητές και Σταθερές ΙΙ

I Σε ορισμένες περιπτώσεις εμπερικλείουμε τις μεταβλητές σεπαρενθέσεις ´Ετσι (x1x2x3x4)Ο τρόπος αυτός ονομάζεται σύνολο

I Αν ξέρουμε τους πραγματικούς μισθούς τεσσάρωνυπαλλήλων μπορούμε να τους γράψουμε σε σειρά έτσι τοσετ θα έχει τη μορφή (2200016000384322943248)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 12

Ακέραιοι και Πραγματικοί Αριθμοί

I Οι lsquoφυσικοίrsquo αριθμοί (θετικοί ακαίραιοι) δίνονται ως εξής1234 Το σύνολο όλων των φυσικών αριθμώνσυμβολίζεται με το γράμμα N

I Οι lsquoολόκληροιrsquo αριθμοί (μη αρνητικοί ακέραιοι) είναι οιφυσικοί αριθμοί μαζί με το μηδέν 01234

I Οι lsquoακέραιοιrsquo περιλαμβάνουν τους φυσικούς αριθμούς τομηδέν και τους αρνητικούς φυσικούς αριθμούς

minus2minus1012

Η σειρά των ακεραίων συμβολίζεται με Z

Ε Ι Κοντογιώργης copy 13

Ακέραιοι και Πραγματικοί Αριθμοί ΙΙ

I Μια μεταβλητή μπορεί να πάρει πεπερασμένο αριθμότιμών Για παράδειγμα η μεταβλήτή M που υποδειλώνειτους μήνες του χρόνο μπορεί να πάρει τις τιμές

123456789101112

Σε αυτή την περίπτωση η μεταβλητή M είναι μια σειράθετικών ακέραιων μετεβλητών (φυσικοί)

I Η μεταβητή x μισθοί από το προηγούμενο παράδειγμαπαίρνει θετικούς πραγματικούς αριθμούς

I Το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών συμβολίζεταιreal Η σειρά αυτή περιλαμβάνει όλους τους πραγματικούςακέραιους αριθμούς από το μείον άπειρο (minusinfin) ως στοάπειρο (infin)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 14

Ακέραιοι και Πραγματικοί Αριθμοί ΙΙΙ

I Γενικά μια μεταβλητή x που παίρνει πραγματικές τιμέςονομάζεται πραγματική μεταβλητή (real variable) καισυμβολίζεται με x isinreal Με το σύμβολο isin εννοούμε lsquoμέσαrsquolsquoανήκειrsquo κλπ

I Το σύμβολο που χρησιμοποείται για το διαχωρισμό τουακέραιου μέρους σε ένα δεκαδικό αριθμό από τοκλασματικό μέρος ονομάζεται δεκαδικό σημείο (decimalpoint) Eg 314159

I Η δεκαδική θέση (decimal place) είναι η θέση του ψηφίουστα δεξιά του δεκαδικού σημείου

Ε Ι Κοντογιώργης copy 15

Συναρτήσεις Ακέραιων και Πραγματικών

I Συνάρτηση στογγυλοποίησης ή συνάρτηση κοντινότερουδεκαδικούΗ lsquoστρογγυλοποίησηrsquo ενός πραγματικού αριθμού xσυμβολίζεται με [x] ∆ίνει τον πιο κοντινό ακέραιο στοxΠχ [32] = 3 [minus32] =minus3 και [86] = 9Ο πιο πάνω ορισμός είναι δύσκολο να εφαρμοστεί γιαhalf-integers Στις περιπτώσεις αυτές η στρογγυλοποίησηγίνεται προς τα πάνω μόνο για τους μονούς αριθμούςέτσι ώστε να αποφεύγεται η μεροληπτικότηταΠχ [35] = 4 [45] = 4 και [05] = 0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 16

I Στρογγυλοποίηση προς τα πάνω ή συνάρτησημικρότερου ακεραίουΗ lsquoστρογγυλοποίηση προς τα πάνωrsquo ενός πραγματικούαριθμού x συμβολίζεται με dxe Μας δίνει το μικρότεροδυνατό ακέραιο που είναι μεγαλύτερος ή ίσος από το xΠχ d32e= 4 dminus32e=minus3 d35e= 4 και d36e= 4

I lsquoΣτρογγυλοποίηση προς τα κάτωrsquo ή συνάρτησημεγαλύτερου ακεραίουΤο lsquoκατώτατο όριοrsquo ενός πραγματικού αριθμού xσυμβολίζεται bxc ∆ίνει το μεγαλύτερο δυνατό ακέραιοπου είναι μικρότερος ή ίσος από το xΠχ b32c= 3 bminus32c=minus4 b35c= 3 και b36c= 3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 17

Σταθερές

I ´Ενας αριθμός που αντιπροσωπεύει μια ποσότητα πουθεωρείται ότι έχει σταθερή τιμή ονομάζεται lsquoσταθεράrsquo Ητιμή μιας σταθεράς ενώ δε μεταβάλλεται πιθανό να μηνπροσδιορίζεται

I Οι πιο σημαντικές πραγματικές σταθερές είναι

1 Το π= 314159 Είναι ο δείκτης που υποδειλώνει τηνπεριφέρεια του κύκλου ακτίνια Ονομάζεται και σταθερά τουΑρχιμήδη

2 Το exp = 271828 που υποδειλώνει τη βάση του φυσικούλογάριθμου

Ε Ι Κοντογιώργης copy 18

Σύμβολα Κατεύθυνσης

I Το σύμβολο lsquogtrsquo που σημαίνει lsquoμεγαλύτεροrsquo καθώς και τοlsquogersquo που σημαίνει lsquoμεγαλύτερο ή ίσοrsquo

I Το σύμβολο lsquoltrsquo που σημαίνει lsquoμικρότεροrsquo καθώς και το lsquolersquoπου σημαίνει lsquoμικρότερο ή ίσοrsquo

I Παράδειγμα Οι μεταβλητές που συμβολίζουν τουςμηνιαίους μισθούς xge 0 Οι μεταβλητές που συμβολίζουντους μήνες του χρόνου 0ltMlt13 που μπορούν επίσης ναγραφτούν 1leMle 12

Ε Ι Κοντογιώργης copy 19

∆υνάμειςI Οι εκθέτες αποτελούν συντομογραφία του

πολλαπλασιασμού (5)(5) = 52 και (5)(5)(5) = 53 Εδώτο 5 λέγεται βάση και το 3 λέγεται εκθέτης Μπορείεπίσης να ερμηνευτεί πέντε υψωμένο στην τρίτη δύναμη

I Η δύναμη είναι ο εκθέτης στον οποίο υψώνεται μιαποσότητα Η έκφραση xn είναι γνωστή ως x στη nδύναμη

I Σημειώστε ότι 5253 = (55)(555) = 55 = 5(2+3) Εδώπαρουσιάζεται ένας βασικός κανόνας του εκθέτη Στηπερίπωση που πολλαπλασιάζονται δύο όροι που έχουντην ίδια βάση οι εκθέτες τους μπορούν να προστεθούν

xmxn = x(m+n)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 20

I Στην περίπτωση όμως που (x4)(y3) ο πιο πάνω κανόναςδε μπορεί να εφαρμοστεί γιατί οι βάσεις είναιδιαφορετικές (x4)(y3) = xxxxyyy

I Για (x2)4

= x2x2x2x2 = xxxxxxxx= x8 = x(2times4)

I ´Ετσι στην περίπτωση που έχετε μια εκθετική έκφρασηπου είναι υψωμένη σε μία δύναμη μπορείτε ναπολλαπλασιάσετε τον εκθέτη με τη δύναμη

(xm)n

= xmn

Ε Ι Κοντογιώργης copy 21

I Εάν έχετε μια έκφραση μέσα σε παράνθεση και ηπαράνθεση είναι υψωμένη σε μια δύναμη τότε η δύναμημπορεί να γίνει μέρος τις παράνθεσης Για παράδειγμα

(xy2)3 = (xy2)(xy2)(xy2) = (xxx)(y2y2y2)

= (xxx)(yyyyyy) = x3y6 = (x)3(y2)3 = x3y6

Παρομοίως(xy)2

=x2y2

I ´Ενας αρνητικός εκθέτης είναι ένδειξη ότι η βάση βρίσκεταιστον παρονομαστή του κλάσματος Πχ

xminus2 =1x2

x2xminus3 = x2x3 = x5 2xminus1 =

2x

(3x)minus2 =1

(3x)2 =1

9x2 και(xminus2yminus3

)minus2=

(xminus2)minus2

(yminus3)minus2=x4y6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 22

I Οτιδήποτε στη δύναμη μηδέν είναι lsquo1rsquo

Πχ 50 = 1 x0 = 1 (x2y3)0 = 1 και 00 = 1

Σημειώστε ότι 50 = 5(1minus1) = (51)(5minus1) =55 = 1

I Μηδέν σε οποιαδήποτε δύναμη είναι μηδέν έτσι 0n = 0

Σημειώστε ότι 00 = 1 και ότι 00 = 0

Αυτό υποδειλώνει ότι 00 είναι μια απροσδιόριστη μορφήπου σε κάποιες περπτώσεις παίρνει μία τιμή και σεκάποιες άλλες περιπτώσεις παίρνει διαφορετική τιμή

Ε Ι Κοντογιώργης copy 23

I Κλασματικοί (Αναλογικοί) Εκθέτες

1 Η τετραγωνική ρίζα μπορεί να γραφτεί σε μορφή κλάσματος

´Ετσι radicx= x12

Πχ 212 =

radic2 = 141 και 2

minus12 =

1radic2

= 071

2 Γενικά xab =bradicxa Πχ 7

23 =

3radic72 = 366

355 = 3112 =

2radic311 = 42089

Ε Ι Κοντογιώργης copy 24

ΛογάριθμοιI Η λογαριθμική μορφή ενός αριθμού είναι lsquoαντίθετηrsquo από

την εκθετική Τεχνικά μιλώντας η λογαριθμική μορφήείναι αντίστροφη της εκθετικής

I Η σχέση δίνεται logb(x) = y

που είναι το ίδιο με by = x

I Ο lsquolsquologb(x) = yrsquorsquo προφέρεται lsquolsquolog-βάση-b-του x ισούται yΕδώ b ονομάζεται lsquoβάση του λογαρίθμουrsquo αφού το b είναιη βάση της εκθετικής έκφρασης

I Η βάση b του λογάριθμου είναι πάντοτε θετική και δενισούται με 1

I Οτιδήποτε βρίσκεται μέσα στο λογάριθμο ονομάζεταιέκφραση

Ε Ι Κοντογιώργης copy 25

ΠαραδείγματαI Μετατρέψτε την έκφραση 63 = 216 στην ισοδύναμη

λογαριθμική μορφή

Για τη μετατροπή η βάση μένει η ίδια αλλά το 3 και το216 αλλάζουν θέσεις Αυτό μας δίνει

log6(216) = 3

I Μετατρέψτε τον log4(1024) = 5 στην αντίστοιχηλογαριθμική έκφραση

Για τη μετατροπή η βάση (που είναι 4) παραμένει η ίδιααλλά το 1024 και το 5 αλλάζουν θέσεις ´Ετσι δίνεται

45 = 1024

Ε Ι Κοντογιώργης copy 26

I Υπολογίστε τον log2(8)

Εάν y= log2(8) τότε υπονοείται ότι 2y = 8 Αυτόσημαίνει ότι y είναι η δύναμη του 2 που θα έχει σαναποτέλεσμα 8 Η δύναμη που δίνει το αποτέλεσμα είναι 3αφού 23 = 8 ´Ετσι

log2(8) = 3

I Κατά παρόμοιο τρόπο log5(25) = 2 αφού 52 = 25

I Υπολογίστε τον y= log64(4)

Σημειώστε ότι 64y = 4 και 43 = 64

´Ετσι (43)y

= 4 ή 43y = 41

Η πιο πάνω έκφραση εξυπονοεί ότι 3y= 1 και έτσιy= 13

Ε Ι Κοντογιώργης copy 27

I Υπολογίστε y= log6(6)

Αυτό ισοδυναμεί με το 6y = 6 και συνεπώς y= 1

I Υπολογίστε το y= log3(1)

Το πιο πάνω μπορεί να γραφτεί ως 3y = 1

´Ομως 1 = 30 έτσι 3y = 30 και y= 0

I Υπολογίστε το y= log4(minus16)

Μπορεί να γραφτεί σαν 4y =minus16

´Ομως δεν υπάρχει τιμή (πχ δύναμη) y που ναικανοποιεί τη σχέση ´Ετσι δεν υπάχρει λύση

Ε Ι Κοντογιώργης copy 28

I Υπολογίστε το y= log2(0)

Αυτό σημαίνει 2y = 0 όμως δε υπάρχει τιμή που ναικανοποιεί τη σχέση ´Ετσι δεν υπάχρει λύση

I Υπολογίστε το y= 2log2(9)

Αυτό σημαίνει ότι log2(y) = log2(9) και έτσι y= 9

Ε Ι Κοντογιώργης copy 29

I Γενικά1 logb(b) = 1 για οποιαδήποτε βάση b

2 logb(1) = 0 για οποιαδήποτε βάση b

3 logb(a) δεν ορίζεται για αρνητικά a

4 logb(0) δεν ορίζεται για οποιαδήποτε βάση b

5 logb(bn) = n για οποιαδήποτε βάση b

Ε Ι Κοντογιώργης copy 30

I Οι λογάριθμοι μπορούν να πάρουν οποιοδήποτε αριθμόσαν βάση αλλά δύο βάσεις είναι οι πιο χρήσιμες οlog-βάση-10 και ο log-βάση-e

I Η βάση-10 log συχνά ονομάζεται ο κοινός log καιγράφεται ως log(x) Εδώ δεν αναγράφεται βάση καιμπορούμε να υποθέσουμε ότι η βάση είναι 10

Πχ log(100) = 2 έτσι log10(102) = 2

I Η βάση-e log ονομάζεται ο φυσικός log και γράφεται σανln(x)Πχ ln(e345)= 345 καθώς loge(e345) = 345

Ε Ι Κοντογιώργης copy 31

Ιδιότητες Λογαρίθμωνlogb(xy) = logb(x) + logb(y)

Απόδειξη´Εστω m= logbx και n= logby

Γράψτε σε μορφή εκθέτη x= bm και y= bn

Πολλαπλασιάστε το x και y ούτως ώστεxy= bmbn = bm+n

´Ετσι από τον ορισμό των λογαρίθμων το xy= bm+nσυνεπάγει ότι

logb(xy) =m+n= logbx+ logb(y)

Πχ log2(4times16) = log2(64) = log2(26) = 6

Ακόμα log2(4times16) = log2(4) + log2(16) = 2+4 = 6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 32

logb(xy)

= logb(x)minus logb(y)

Απόδειξη´Εστω m= logbx και n= logby

Γράψτε σε μορφή εκθέτη x= bm και y= bn

∆ιαίρα το x και y ούτως ώστε xy =bmbn = bmminusn

´Ετσι από τον ορισμό των λογαρίθμων το xy = bmminusn

συνεπάγει ότι

logb(xy)

=mminusn= logbxminus logb(y)

Πχ log2(16

4)

= log2(4) = 2

και log2(16

4)

= log2(16)minus log2(4) = 4minus2 = 2Ε Ι Κοντογιώργης copy 33

logb(xn) = n logb(x)

Απόδειξη´Εστω m= logbx και γράψτε σε μορφή εκθέτη x= bm

Αυξάνοντας τις δύο πλευρές στην n δύναμη παίρνουμεxn = (bm)n = bmn

´Ετσι από τον ορισμό των λογαρίθμων τοlogbxn =mn= nm= n(logbx)

Πχ log2(64) = log2(26) = 6 log2(2) = 6

log(64) = 18

Επιπλέον log(64) = log(26) = 6log(2) = 6times030 = 18

Ε Ι Κοντογιώργης copy 34

logb(x) =loga(x)loga(b) agt0 a 6= 1

Απόδειξη´Εστω m= logbx rArr x= bm

Εφαρμόστε loga και στις δύο πλευρές του x= bmγια ναδώσει

logabm = logax rArr m logab= logaxrArr m=logaxlogab

rArr logbx=logaxlogab

Πχ log5(20) =log(20)

log(5)= 186 =

ln(20)

ln(5)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 35

logb(a) =1

loga(b) agt0 a 6= 1

Απόδειξη

logb(x) =loga(x)loga(b) =

logx(x)logx(b)

=1

loga(b)

´Οταν a= x

Πχ log2(64) =1

log64(2)=

116 = 6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 36

Αθροισμα

I Υποθέστε ότι έχουμε μια μεταβλητή x που μπορεί ναπάρει δέκα τιμές Εάν ενδιαφερόμαστε για το άθροισμάτους χωρίς να ξέρουμε την τιμή της κάθε μεταβλητής τότεο καλύτερος τρόπος να το εκφράσουμε είναι

x1 +x2 + middot middot middot+x9 +x10

I Εν συντομία το άθροισμα n στοιχείων x1 +x2 + middot middot middot+xn είναιnsum

i = 1xi

και ερμηνεύεται σαν το άθροισμα όλων των xirsquosξεκινώντας από το x1 (πχ i = 1) μέχρι xn (i = n)

I Εάν δε δοθεί διαφορετικά πάντοτε υποθέτουμε ότι το iαυξάνεται ξεκινώντας από το στάδιο 1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 37

I Το lsquolsquoSigmarsquorsquo Σ είναι γνωστό ως το άθροισμα (summation) ήσύμβολο σίγμα (sigma operator) και ο δείκτης i όνομάζεταιεικονική μεταβλητή

I Παραδείγματα

I

5sum

i = 1xi = x1 +x2 +x3 +x4 +x5

I

5sum

i = 1(y2

i ) = y21 +y22 +y23 +y24 +y25

Σημειώστε ότι η μόνη μεταβλητή που περιγράφεται απευθείαςκάτω από το σύμβολο Σ αυξάνεται κατά 1 κάθε φορά ενώ όλατα άλλα σύμβολα παραμένουν τα ίδια

I

4sum

r = 1(x3r ) = x31 +x32 +x33 +x34

Ε Ι Κοντογιώργης copy 38

I6sum

i = 1i = 1+2+3+4+5+6

I6sum

i = 1i2 = 12 +22 +32 +42 +52 +62

I7sum

i = 3xi = x3 +x4 +x5 +x6 +x7

I4sum

i = 1a = a+a+a+a= 4a

I3sum

i = 1(4+xi) = (4+x1) + (4+x2) + (4+x3)

=3sum

i = 14+

3sum

i = 1xi

Ε Ι Κοντογιώργης copy 39

I3sum

i = 1(2xi) = (2x1) + (2x2) + (2x3) = 2times

3sum

i = 1xi

I Ο συντελεστής i παραλείπεται εάν δε προκαλείαοριστία Για παράδειγμα Σx ή Σixi σημαίνειάθροισμα όλων των x που λαμβάνονται υπόψη

I ∆ήλωσηI

nsumi=1a= na

I sumiaxi = asum

ixi

I sumi

(axi+byi) = asumixi +bsum

iyi

Ε Ι Κοντογιώργης copy 40

I Αθροιστικός Τύπος

Insum

i = 1i = 1+2+ middot middot middot+n=

n(n+1)

2

Πχ6sumi = 1i = 1+2+3+4+5+6 =

6(6+1)

2 = 21

Insum

i = 1i2 = 12 +22 + middot middot middot+n2 =

n(n+1)(2n+1)

6

Πχ6sumi = 1i2 = 12 +22 +32 +42 +52 +62

=6(6+1)(12+1)

6 = 91

Ε Ι Κοντογιώργης copy 41

Insum

i = 1i3 = 13 +23 + middot middot middot+n3 =

n2(n+1)2

4

Πχ6sumi = 1i3 = 13 +23 +33 +43 +53 +63

=62(6+1)2

4 = 441

Ε Ι Κοντογιώργης copy 42

ΠαραδήγματαΑριθμητική Πρόοδος

I Γενικά μπορούμε να εκφράσουμε μια αριθμητική πρόοδο ωςεξής

αριθμητική πρόοδος a a+d a+2d a+3d

όπου ο πρώτος όρος είναι a και η διαφορά d Ο όρος nτης απ δίνεται από τη σχέση b = a+ (nminus1)d

I 3 5 7 9 11 είναι μια αριθμητική πρόοδος Οπρώτος όρος είναι το 3 και η διαφορά είναι 2

I 2 minus1 minus4 minus7 είναι μια αριθμητική πρόοδος όπου οπρώτος όρος είναι 2 και η διαφορά minus3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 43

I Το άθροισμα των όρων μιας αριθμητικής προόδου είναιγνωστό ως αριθμητική σειρά

Sn = a+ (a+d) + (a+2d) + middot middot middot+ (a+ (nminus1)d)

=nsumi=1

(a+ (iminus1)d

)= na+

nsumi=1

(iminus1)d

= na+dnminus1sumi=1

i = na+d(nminus1)n2

=n2(2a+d(nminus1)) =

n2(a+b) b = a+d(nminus1)

I ΑΠ 3 5 7 9 11 13 rArr Sn =62(3+13) = 48

Ε Ι Κοντογιώργης copy 44

∆ιπλό Αθροισμα4sumi=1

isumj=1

j = (1) + (1+2) + (1+2+3) + (1+2+3+4) = 20

nsumi=1

isumj=1

j =nsumi=1

( isumj=1

j)

nsumi=1

(12 i(i+1)

)=

12

nsumi=1

(i2 + i)

12( nsumi=1

i2 +nsumi=1

i)

=12(16n(n+1)(2n+1) +

12n(n+1)

)

=12

16n(n+1)

((2n+1) +3

)=

n6(n+1)(n+2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 45

∆ιπλό Αθροισμα

nsumi=1

msumj=1

(i+ j+2) =nsumi=1

( msumj=1

(i+ j+2))

nsumi=1

( msumj=1

i+msumj=1

j+msumj=1

2)

=nsumi=1

(mi+ 1

2m(m+1) +2m)

m( nsumi=1

i+ 12

nsumi=1

(m+5))

= m(12n(n+1) +

12n(m+5)

)

=mn2(m+n+6

)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 46

Insumr=1

1r(r+1)

=nsumr=1

(Ar +

Br+1

)=

nsumr=1

A(r+1) +Brr(r+1)

I A(r+1) +Br = 1

I Για r = 0 τότε A= 1 και για r =minus1 τότε B=minus1

I

nsumr=1

1r(r+1)

=nsumr=1

(1r minus

1r+1

)

=(

(11 minus

12) + (

12 minus

13) + (

13 minus

14) + middot middot middot+ (

1nminus1 minus

1n ) + (

1n minus

1n+1)

)

= 1minus 1n+1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 47

Insumk=1

1(k+2)(k+3)

=nsumk=1

( A(k+2)

+B

(k+3)

)=

nsumk=1

A(k+3) +B(k+2)

(k+2)(k+3)

I A(k+3) +B(k+2) = 1

I Για k=minus2 τότε A= 1 και για k=minus3 τότε B=minus1

I

nsumk=1

1(k+2)(k+3)

=nsumk=1

( 1(k+2)

minus 1(k+3)

)

=(

(13 minus

14)+(

14 minus

15)+(

15 minus

16)+ +(

1n+1 minus

1n+2)+(

1n+2 minus

1n+3)

)

=13 minus

1n+3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 48

Αθροισμα με Λογάριθμους

nsumi=1

logb(i) = logb(1) + logb(2) + middot middot middot+ logb(n)

= logb(1times2times3timesmiddotmiddot middottimesn)

= logb(n)

I Το n (n παραγοντικό) δίνεται από n = 1times2timesmiddotmiddot middottimesn και0 = 1

I100sumi=1

log2(100) = log2(100) =log(100)

log(2)=

log(99)

log(2)+

2log(2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 49

Γινόμενο των ακολουθιώνIn

prodi=1xi = x1timesx2timesx3timesmiddotmiddot middottimesxn

In

prodi=1i = 1times2times3timesmiddotmiddot middottimesn= n

In

prodi=1z= ztimesztimesmiddotmiddot middottimesz= zn

I

nprodi=1

(1+

1i+1

)=(1+

12)times(1+

13)times(1+

14)times times(1+

1n )times(1+

1n+1)

=32 times

43 times

54 timesmiddotmiddot middottimes

n+1n times n+2

n+1

=n+22

Ε Ι Κοντογιώργης copy 50

Γεωμετρικές ΠροόδοιI Μια γεωμετρική πρόοδος είναι μια σειρά αριθμών όπου

κάθε όρος μετά των πρώτο υπολογίζεται από τονπολλαπλασιασμό του προηγούμενου όρου με ένασταθερό αριθμό που καλείται αναλογία

I Η σειρά1 3 9 27 81 middot middot middot

είναι μια γεωμετρική πρόοδος με πρώτο όρο το 1 καιαναλογία 3

I Η αναλογία μπορεί να είναι κλάσμα καθώς επίσης καιαρνητικός αριθμός Για παράδειγμα η γεωμετρικήπρόοδος με πρώτο όρο το 2 και αναλογία minus13 είναι

2 minus 23 +

29 minus

227 +

281 middot middot middot

Ε Ι Κοντογιώργης copy 51

I Γενικά μπορούμε να γράψουμε μια γεωμετρική πρόοδο ωςακολούθως

γεωμετρική πρόοδος a ar ar2 ar3 ar4 middot middot middot

όπου ο πρώτος όρος είναι a και η αναλογία r

I Σημαντικά θεωρήματα των γεωμετρικών προόδων (γπ)1 Ο n όρος μιας γπ δίνεται από ar(nminus1)

2 Το άθροισμα των πρώτων n όρων μιας γπ είναι

Sn =a(1minus rn)

1minus r =a(rnminus1)

rminus1 και ισχύει μόνο αν r 6= 1

I Το άθροισμα των όρων μιας γεωμετρικής προόδουονομάζεται γεωμετρική σειρά

Ε Ι Κοντογιώργης copy 52

Γεωμετρική σειρά

Sn = a+ar+ar2 +ar3 + middot middot middot+arnminus2 +arnminus1

rSn = ar+ar2 +ar3 + arnminus1 +arn

Snminus rSn = aminusarn

(1minus r)Sn = a(1minus rn)

Sn =a(1minus rn)

(1minus r) =a(rnminus1)

(rminus1)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 53

I Παράδειγμα1 Βρείτε το άθροισμα των πρώτων 10 όρων μιας γεωμετρικής

σειράς4 8 16 32

Ο πρώτος όρος είναι a= 4 και η αναλογία r = 2 καιn= 10 ´Ετσι

S10 =4(1minus210)

1minus2 = 4092

2 Θεωρείστε τη γπ4 minus8 16 minus32 64 minus128 256 minus512

Σε αυτή την περίπτωση ο πρώτος όρος είναι a= 4 ηαναλογία είναι r =minus2 και n= 8´Ετσι

S8 =4(1minus (minus2)8)

1minus (minus2)=minus340

Ε Ι Κοντογιώργης copy 54

Συνεχείς ανατοκισμός

Οι περισσότεροι τραπεζικοί λογαριασμοί και τα δάνειαυιοθετούν ανατοκισμό - εφαρμόζοντας συνεχή ανατοκισμόΘεωρείστε ένα λογαριασμό που προσφέρει τόκο με ετήσιοεπιτόκιο r (πχ 7) Εάν το επιτόκιο είναι συνεχέςσε χρονιαία βάση τότε μετά από 1 χρόνο το χρονιαίοεπιτόκιο προστίθεται στο αρχικό κεφάλαιο για νακαθορίσει ένα μεγαλύτερο κεφάλαιο τον δεύτερο χρόνο

´Ετσι κατά τη διάρκεια του δεύτερου χρόνου ολογαριασμός κερδίζει επιτόκιο πάνω στο επιτόκιοΑυτή είναι η επίδραση του ανατοκισμού που συνεχίζεταιχρόνο με το χρόνο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 55

I Με τον ετήσιο ανατοκισμό το κεφάλαιο πουσυσσωρεύεται στο λογαριασμό πολλαπλασιάζεται με

(1+ r)

´Ετσι το κεφάλαιο A θα αυξηθεί σε

A(1+ r) = A+A middot r

τον επόμενο χρόνο

I Με το πέρας και του δεύτερου χρόνου το κεφάλαιο θααυξηθεί ακόμα (1+ r) σε (1+ r)2

´Ετσι το κεφάλαιο καταλήγει σε

A(1+ r)(1+ r) = A(1+ r)2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 56

I Κατά παρόμοιο τρόπο στο τέλος του τρίτου χρόνου τοποσό θα αυξηθεί κατά (1+ r)3

I Μετά από n χρόνια το ποσό θα αυξηθεί κατά (1+ r)n

I ´Ετσι το κεφάλαιο (επένδυση) A θα αυξηθεί με συνεχήανατοκισμό σε A(1+ r)n μετά από n χρόνια

I Ο τύπος (1+ r)n εκθέτει γεωμετρική αύξηση λόγω τηςn δύναμης

Ε Ι Κοντογιώργης copy 57

ΠαραδείγματαI Εάν το επιτόκιο είναι r = 5 τότε το κεφάλαιοA= $1000 που βρίσκεται στην τράπεζα n= 20 χρόνιαθα αυξηθεί κατά

(1+ r)n = (1+005)20 = 2653 φορές

´Ετσι το ποσό θα καταλήξειA(1+ r)n = $265330

I Βρέστε το χρόνο που χρειάζεται για ένα λογαργιασμό ναδιπλασιάσει το διαθέσιμο κεφάλαιο του όταν r = 7 καιr = 10Ζητούμε να βρούμε το n έτσι ώστε

(1+ r)n = 2Ε Ι Κοντογιώργης copy 58

I Υπολογίζοντας το λογάριθμο του τελευταίου παίρνουμε

log(1+ r)n = log(2)ή n log(1+ r) = log(2)

´Ετσιn=

log2log(1+ r)

I Για r = 7 και r = 10 ο χρόνος n πουχρειάζεται για διπλασιασμό της επένδυσης υπολογίζεταισε 1024 και 727 αντίστοιχα

Ε Ι Κοντογιώργης copy 59

I Αν το επιτόκιο είναι r = 7 τότε πιο θα είναι τοσυνολικό ποσό στο λογαριασμό μετά από 205 και41 χρόνια αντίστοιχα

Μετά τα πρώτα 1025 χρόνια το ποσό A θαδιπλασιαστεί σε 2A Για τα επόμενα 1025 χρόνιατο ποσό θα ξαναδιπλασιαστεί σε 4A ´Ετσι μετά από205 χρόνια το ποσό θα αυξηθεί κατά 4 φορές

Με το πέρας ακόμα 205 χρόνων το ποσό θα αυξηθείακόμα 4 φορές σε 16 ´Ετσι μετά από 41 χρόνιατο κεφάλαιο A γίνεται 16A

Ε Ι Κοντογιώργης copy 60

Ασκήσεις και Παραδείγματα

I Υπολογίστε τη Μελλοντική Αξία (Future Value (FV)) τουκεφαλαίου A= 1500 που κερδίζει ετήσιο επιτόκιοr = 5 για n= 10 έτη

FV =A(1+ r)n = 1500(1+005)10 = 244334

I Πόσα έτη απαιτούνται για να τριπλασιαστεί ένα ποσόπου αφήνετε στην τράπεζα με επιτόκιο r = 5∆ηλαδή βρείτε το n όπου A= 1 r = 5 και FV = 3

FV =A(1+ r)n ή (1+ r)n =FVA

Ε Ι Κοντογιώργης copy 61

Υπολογίζοντας τους λογαρίθμους παίρνουμε

log(1+ r)n = log(FVA)

ή n log(1+ r) = log(FVA)

´Ετσι

n=log(FVA)

log(1+ r) =log(3)

log(105)

= 2252

Ε Ι Κοντογιώργης copy 62

I Βρείτε την παρούσα αξία A έτσι ώστε σε δέκα έτη μεσταθερό επιτόκιο r = 6 να είναι 100KΒρείτε το A όπου FV = 100000 r = 6 και n= 10

FV =A(1+ r)n ή A=FV

(1+ r)n

´Ετσι A=100000

(106)10= 5583948

I Βρείτε την ετησιοποιημένη απόδοση (AER AnnualEquivalent Rate) μιας μηνιαίας κατάθεσης με σταθερόεπιτοκίο 394 Μια τέτοια κατάθεση λαμβάνει το επιτόκιο στη λήξηΣυνεπώς κάθε μήνα ο λογαριασμός λαμβάνει

r = 0039412 = 000328

επιτόκιο που επανεπενδύεται (συνεχής ανατοκισμός)Ε Ι Κοντογιώργης copy 63

Επανεπενδύοντας το επιτόκιο κάθε μήνα στη διάρκειαενός έτους το κεφάλαιο θα αυξηθεί σε

(1+ r)12 = (1+000328)12 = 104012

´Ετσι το ΑΕΡ είναι ισοδύναμο με 004012 = 4012I Υπολογίστε το επιτόκιο ενός σταθερού λογαριασμού

κατάθεσης 7-ημερών που έχει AER επιτόκιο r = 425Θεωρείστε ρ το εβδομαδιαίο επιτόκιο

´Ετσι (1+ρ)52 = (1+00425)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 64

Παίρνοντας τους λογαρίθμους έχουμε52log(1+ρ) = log10425

ή log(1+ρ) =log10425

52

ή 1+ρ= 10( log10425

52)

Αυτό μας δίνει

ρ= 10

( log1042552

)minus1 = 008

´Ετσι το συνεχές επιτόκιο μιας επταήμερης κατάθεσης είναιρtimes52 = 41638

Εναλλακτικά (1+ρ)52 = (1+00425) δίνει

(1+ρ) =52radic10425ή ρ=

52radic10425minus = 008Ε Ι Κοντογιώργης copy 65

I Υπολογίστε την ετήσια απόδοση r έτσι ώστε A= 10000να επιστρέφει FV = 35000 σε n= 20 χρόνια

FV =A(1+ r)n ή (1+ r)n =FVA

´Ετσι

1+ r =nradic

FVA

Επομένως

r =nradic

FVA minus1 =

20radic

3500010000 minus1 = 00646 = 646

Ε Ι Κοντογιώργης copy 66

Εναλλακτικά παίρνοντας τους λογαρίθμους

log(1+ r)n = log(FVA) ή n log(1+ r) = log

(FVA)

´Ετσι

1+ r = 10(1n log

(FVA))

ή r = 10(1n log

(FVA))minus1

= 10( 120 log

(3500010000

))minus1

= 646

Ε Ι Κοντογιώργης copy 67

Γραφική Αναπαράσταση I

I Υποθέστε ότι έχουμε y= 3x+2 Καθώς έχουμε μόνο μιαδύναμη για το x πρέπει να λύσουμε γραμμική εξίσωσηκαι να σχεδιάσουμε μια ευθεία γραμμή Αρχικά θα πρέπεινα σχεδιάσουμε ένα T-chart Αυτό έχει τη μορφή

x y = 3x+2 (xy)

I Επιλέγουμε μια τιμή για το x και λύνουμε ως προς y

x y= 3x+2 (xy)minus2 minus4 (minus2minus4)0 2 (02)2 8 (28)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 68

Γραφική Αναπαράσταση II

-

6

X

Y

bull

bull

bull

I Βλέπουμε μια ευθεία με ανοδική τάση (έχοντας θετικήκλίση m= 3) καιτέμνει τον άξονα y στο σημείο y= 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 69

Γραφική Αναπαράσταση III

I Μια Τετραγωνική εξίσωση περιέχει x2 Για τηναναπαράσταση τετραγωνικών εξισώσεων χρειάζεται ναβρούμε περισσότερα από τρία σημεία στο σχεδιάγραμμα

Για παράδειγμα υποθέστε ότι y= x2minus6x+5 καιδίνεται το πιο κάτω T-chart

x y= x2minus6x+5 (xy)0 5 (05)1 0 (10)3 minus4 (3minus4)5 0 (50)6 5 (65)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 70

Γραφική Αναπαράσταση IV

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

-

6

X

Y

bull

bull

bull

bull

bull

Ε Ι Κοντογιώργης copy 71

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(1x + 2)

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(-3x + 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 72

-15

-10

-5

0

5

10

15

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(3x - 2)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 73

-20

0

20

40

60

80

100

120

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2+x)

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 74

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

1250

1500

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3+x2+x)

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x4)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 75

-25

-2

-15

-1

-05

0

05

1

15

2

25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(log(x))

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(x))

Ε Ι Κοντογιώργης copy 76

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(-x))

-5000

0

5000

10000

15000

20000

25000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(exp(x)+x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 77

Ανισότητες I

I Οι ανισότητες αποτελούνται από δύο ή τρεις αλγεβρικέςεκφράσεις που είναι συνδεδεμένες με τα σύμβολαανισότητας Τα σύμβολα αυτά είναι

lt μικρότερο τουgt μεγαλύτερο τουle μικρότερο ή ίσο τουge μεγαλύτερο ή ίσο του

I Παραδείγματα xgty yge x2 και ylt5x+1

I Το πρώτο βήμα για την αναπαράσταση ανισότητας τηςμορφής ygtx είναι να παραστήσουμε γραφικά τηνισότητα y= x

Ε Ι Κοντογιώργης copy 78

Ανισότητες II

I ygtx

Κάνετε δοκιμή με ένα σημείο να δείτε κατά πόσοικανοποιεί την ανισότητα Εάν ναι τότε σκιάστε τηνπεριοχή αυτή του σχεδιαγράμματος διαφορετικά σκιάστετην άλλη πλευρά

Ε Ι Κοντογιώργης copy 79

Ανισότητες III

I yltx

Ε Ι Κοντογιώργης copy 80

Ανισότητες IV

I yle 5x+1 και ygt5x+1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 81

Ανισότητες V

I yge x2 και yle x2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 82

Ανισότητες VI

I ygtx3 και yle x3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 83

Συστήματα Γραμμικών ΕξισώσεωνΠεριεχόμενα

1 Ε

2 Γ Α

ΑναφορέςΚεφάλαια 4 και 5FS Budnick Applied Mathematics for Business Economicsand the Social Sciences 4th edition McGraw-Hill 1993

Ε Ι Κοντογιώργης copy 84

Συστήματα Εξισώσεων

I ´Ενα σύστημα εξισώσεων συνδυάζει περισσότερες από μίαεξισώσεις

I ´Ενα σύστημα m εξισώσεων όπου κάθε εξίσωσηαποτελείται από n μεταβλητές ονομάζεται mtimesnσύστημα ή λέμε ότι έχει διαστάσεις mtimesn

I ΠαράδειγμαΠαρακάτω έχουμε ένα σύστημα 2times2

5X+10Y= 203X+4Y= 10

Οι μεταβλητές σε αυτή την περίπτωση είναι X και YΕ Ι Κοντογιώργης copy 85

Συστήματα Επίλυσης

I Το Σύστημα επίλυσης είναι μια σειρά τιμών μεταβλητώνπου ικανοποιούν το σύστημα ταυτόχρονα

I Σε μια σημειογραφική παράσταση το προηγούμενοπαράδειγμα μπορεί να γραφτεί ως εξής

S = (XY) | 5X+10Y = 20 και 3X+4Y = 10

I Το σύστημα επίλυσης μπορεί να είναι1 μηδενικό2 πεπερασμένο ή3 άπειρο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 86

2times2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική Ανάλυση

I Σε ένα δισδιάστατο γράφημα ένα σύστημα εξισώσεων2times2 αναπαρίστανται με ευθείες γραμμές Υπόρχουν τρίαενδεχόμενα

1 Οι ευθείες τέμνονται Το σημείο τομής αντιπροσωπεύει τηλύση του συστήματος εξισώσεων Αυτό το σημείοαλληλεπίδρασης είναι μια δέσμη τιμών X και Y που ικανοποιείκαι τις δύο εξισώσειςΕάν υπάρχει μόνο μια δέσμη τιμών για τις μεταβλητές που ναικανοποιεί το σύστημα εξισώσεων το σύστημα λέμε ότι έχειΜ Λ

2 Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες μεταξύ τους ∆εν έχουν κοινόσημείο Συνεπώς οι ευθείες δεν τέμνονται ποτέ Το σύστημαλέμε ότι ∆ ΛΑυτό υπονοεί ότι δεν υπάρχουν τιμές για τις μεταβλητές πουνα ικανοποιούν και τις δύο εξισώσεις Σε αυτή τηνπερίπτωση οι εξισώσεις στο σύστημα είναι Α

3 Και οι δύο εξισώσεις αναπαρίστανται ως μια κοινή ευθεία καιθεωρούνται ισοδύναμες εξισώσεις ´Ετσι το σύστημα έχειΑ Λ Αυτό συμβαίνει γιατί υπάρχει άπειροςαριθμός κοινών σημείων στις δύο γραμμές

Ε Ι Κοντογιώργης copy 87

I Π Θεωρείστε ένα σύστημα 2times22X+4Y= 203X+ Y= 10

I

X

Y

(24)

3X +Y = 10

2X +4Y = 20

0 2 4 6 8 10 12

2

4

6

8

10

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 88

I Το σημείο τομής δίνεται από το X= 2 και Y= 4Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές του X και Y στις δύοεξισώσεις δίνουν 20 = 20 και 10 = 10 αντίστοιχα

I Αυτό υποδειλώνει ότι X= 2 και Y= 4 είναι η σωστή λύση

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times23Xminus2Y= 6

minus15X+10Y=minus30

I

X

Y

(20)

(0minus3)

3X minus2Y = 6

minus15X +10Y =minus30

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 89

I Οι δύο εξισώσεις απλοποιούνται σε Xminus 23 Y= 2

Οι δύο εξισώσεις είναι ισοδύναμες και δίνουν έναπεπερασμένο αριθμό λύσεων έτσι ώστε

X= 0 Y =minus3X= 2 Y = 0X= 4 Y = 3

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times26Xminus12Y= 24

minus32X+3Y= 9

Οι εξισώσεις απλοποιούνται σεXminus2Y= 4Xminus2Y=minus6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 90

I

X

Y

(40)

(0minus2)

(minus60)

(03)

X minus2Y =minus6

X minus2Y = 4

0-0

I Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες και συνεπώς το σύστημαδεν έχει λύση ´Ετσι το σύστημα εξισώσεων είναιασύμπτωτο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 91

Περίληψη 2times2 Συστήματα Εξισώσεων∆ίνεται ένα Σύστημα Γραμμικών Εξισώσεων 2times2

Y=m1X+ c1Y=m2X+ c2

1 Υπάρχει μια στο σύστημα εάνm1 6= m2

2 ∆εν υπάρχει στο σύστημα εάνm1 = m2 και c1 6= c2

3 Υπάρχει εάνm1 = m2 και c1 = c2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 92

∆ιαδικασίες Απαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής χρησιμοποιεί πολλαπλασιασμόκαι πρόσθεση έτσι ώστε

1 Να απαλοιφεί μια από τις δύο μεταβλητές

2 Η εξίσωση που εξάγεται είναι συνάρτηση των υπόλοιπωνμεταβλητών

3 Αντικαθιστώντας την τιμή στην μεταβλητή σε μια από τιςαρχικές εξισώσεις βρίσκουμε την τιμή για τηναπολοιφθήσα μεταβλητή

Ε Ι Κοντογιώργης copy 93

ΠαραδείγματαI Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

2X +4Y = 20 (1)3X + Y = 10 (2)

Πολλαπλασιάζοντας τη δεύτερη εξίσωση με minus4 παίρνουμε

minus12X minus4Y =minus40 (3)

Προσθέτοντας την εξίσωση (1) στο (3)

2X + 4Y = 20minus12X minus 4Y = minus40minus10X = minus20

ή

X = 2 (4)Ε Ι Κοντογιώργης copy 94

Αντικαθιστώντας X= 2 στην εξίσωση (1) δίνεται2 middot2+4Y = 20 ή Y=4

´Ετσι η μοναδική λύση του συστήματος δίνεται από τοX= 2 και Y= 4 Μπορεί να επιβεβαιωθεί ότι αυτή είναι ησωστή λύση αντικαθιστώντας X= 2 και Y= 4 στηνεξίσωση (1) και (2)

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times23X minus2Y = 6 (5)

minus15X +10Y =minus30 (6)

Για την απαλοιφή της μεταβλητής X η εξίσωση (5)πολλαπλασιάζεται με 5 και το αποτέλεσμα προστίθεταιστην εξίσωση (6)

15X minus 10Y = 30minus15X + 10Y = minus30

0 = 0 Ε Ι Κοντογιώργης copy 95

Οι τελευταίες πράξεις υπονοούν ότι οι εξίσωσεις (5) και(6) είναι ισοδύναμες και έτσι υπάρχει άπειρος αριθμόςλύσεωνΓια να προσδιορίσουμε τις λύσεις του συστήματος μια απότις αρχικές εξισώσεις λύνεται ως προς μια μεταβλητή Ανγια παράδειγμα η εξίσωση (5) λύνεται ως προς Y δίνει

Y =32Xminus3

Σαν αποτέλεσμα γενικεύοντας τις λύσεις του συστήματοςέχουμε

X τυχαίο και Y =32Xminus3

Πχ για X= 4 υπονοείται ότι Y=32 middot4minus3 = 3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 96

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

6X minus12Y = 24 (7)

minus32X +3Y = 9 (8)

Πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση (8) με 4 καιπροσθέτοντας το αποτέλεσμα στην εξίσωση (7)παίρνουμε

6X minus 12Y = 24minus6X + 12Y = 36

0 = 60

Η πιο πάνω αντιλογία υπονοεί ότι δεν υπάρχει λύση τουσυστήματος εξισώσεων

Ε Ι Κοντογιώργης copy 97

3times2 Συστήματα Εξισώσεων I

1 Μ Λ

X

Y

(32)

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minusY = 1

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 98

3times2 Συστήματα Εξισώσεων II

2 Α Λ

X

Y Εξις (1)Εξις (2)Εξις (3)

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 99

3times2 Συστήματα Εξισώσεων III3 Κ

(α) ´Οταν και οι τρεις εξισώσεις είναι παράλληλες

X

Y

2X minusY =minus8

2X minusY = 2

2X minusY = 12

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 100

3times2 Συστήματα Εξισώσεων IV(β) ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ τωνεξισώσεων

X

Y

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minus2Y =minus4

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 101

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική ΑνάλυσηΣε ένα γράφημα 2 διαστάσεων ένα σύστημα mtimes2(mgt2) εξισώσεων παριστάνεται με m ευθείες ´Οπωςσυμβαίνει στα συστήματα 2times2 υπάρχουν τρίαενδεχόμενα

1 ´Ολες οι ευθείες τέμνονται στο ίδιο σημείο και έτσιυπάρχει

2 ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ των mεξισώσεων Αυτό σημαίνει ότι όλες οι ευθείες είναιπαράλληλες Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα Λ

3 Οι m εξισώσεις είναι ισοδύναμες πχ παρασταίνονται σανμια ευθεία Σε αυτή την περίπτωση υπάρχει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 102

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων ∆ιαδικασίαΑπαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής για την επίλυση ενός συστήματοςmtimes2 μπορεί να περιγραφεί ως ακολούθωςΕπιλέξτε και λύστε σύστημα με δύο εξισώσεις

1 Εάν δεν υπάρχει λύση τότε ολόκληρο το σύστημα δεν έχειλύση

2 Εάν υπάρχει μοναδική λύση που ικανοποιεί τις υπόλοιπεςmminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα έχει μία μοναδική λύση

3 Εάν η λύση είναι μοναδική αλλά δεν ικανοποιεί τιςυπόλοιπες mminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα δεν έχει λύση

4 Εάν οι 2 λύσεις είναι ισοδύναμες απάλοιψτε τη μίααπό τις δύο εξισώσεις και ξεκινήστε από την αρχήλαμβάνοντας υπόψη ένα σύστημα (mminus1)times2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 103

ΠαράδείγμαI Θεωρείστε ένα σύστημα 5times2

XminusY= 1X+2Y=minus8

3Xminus2Y= 02Xminus5Y= 11minus4X+3Y=minus1

I Η λύση των πρώτων δύο εξισώσεων δίνετε απόY =minus3 και X =minus2

I Αντικαθιστώντας τη λύση στις υπόλοιπες τρεις εξισώσειςπαίρνετε αντίστοιχα

0 = 0 11 = 11 και minus1 =minus1I Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση

X=minus2 και Y=minus3Ε Ι Κοντογιώργης copy 104

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian

Η μέθοδος απολοιφής Gaussian μετατρέπει το αρχικόσύστημα εξισώσεων σε διαγώνια μορφή επαναλαμβάνονταςστις εξισώσεις τις ακόλουθες τρεις διαδικασίες

1 Πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης μεμια θετική σταθερά

2 Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού θα προστεθεί σεάλλη εξίσωση

3 Η σειρά των εξισώσεων μπορεί να αλλάξει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 105

ΠαράδείγμαΠ Θεωρείστε το σύστημα 2times2

2X minus 3Y = 7 (Εξ 1)X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με 12 για να πάρετε

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με minus1 καιπροσθέστε την στην (Εξ 2)

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

52Y =

152 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 106

Στάδιο 3 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 25

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

Y = 3 (Εξ 2)

Στάδιο 4 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 32 και

προσθέστε την στην (Εξ 1)

X = 1 (Εξ 1)Y = 3 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 107

Π Θεωρείστε το σύστημα 2times2

5X + 20Y = 254X minus 7Y =minus26

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να εκφραστεί ως

R1 5 20 25R2 4 minus7 minus26

Η κάθετη γραμμή χρησιμοποιείται για διαχωρισμό τηςαριστερής από τη δεξιά πλευρά των εξισώσεων Το Riυπονοεί τη γραμμή (Row) i

Ε Ι Κοντογιώργης copy 108

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάζουμε τη R1 με 15 και το θέτουμε

R1larr 15R1

R1 1 4 5R2 4 minus7 minus26

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάζουμε την R1 με minus4 και τηνπροσθέτουμε στην R2 Εν συντομίαR2larrminus4R1+R2

R1 1 4 5R2 0 minus23 minus46

Στάδιο 3 R2larrminus 123R2

R1 1 4 5R2 0 1 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 109

Στάδιο 4 R1larrminus4R2+R1

R1 1 0 minus3R2 0 1 2

Το αρχικό σύστημα εξισώσεων μετατρέπεται σε διαγώνιαμορφή όπως πιο κάτω

X =minus3Y = 2

το οποίο δίνει τη λύση του συστήματος

Ε Ι Κοντογιώργης copy 110

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 I

Το σύστημα εξισώσεων 3times3 μετετρέπεται σε διαγώνιαμορφή Η μετατροπή γίνεται στήλη με στήλη από τααριστερά προς τα δεξιά

Π Θεωρήστε το σύστημα 3times3

X1 + X2 + X3 = 2X1 minus 3X2 + 2X3 = 7

4X1 minus 2X2 minus X3 = 9

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να γραφτεί ως

Ε Ι Κοντογιώργης copy 111

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 II

1 1 1 21 minus3 2 74 minus2 minus1 9

Ε Ι Κοντογιώργης copy 112

Μεταβλητές και Σταθερές

I Στα Μαθηματικά και τη Στατιστική πάντοτεασχολούμαστε με ευμετάβλητα μεγέθη Για παράδειγμαμισθούς επιτόκια πληθωρισμό ύψος βάρος ηλικία χρόνοκτλ

I Στα συνηθισμένα συμφραζόμενα μια μεταβλητήσυμβολίζεται με ένα αλφαβητικό γράμμα πχ x y zκτλ Για παράδειγμα αν η μεταβλητή μας αποτελείταιαπό τους μισθούς υπαλλήλων τότε μπορούμε να τουςπαραστήσουμε τους μισθούς με τη μεταβλητή x

I Συγκεκριμένα εάν δεν ενδιαφερόμαστε για το πραγματικόύψος των μισθών (ή δε τους γνωρίζουμε) αλλά επιθυμούμενα απομονώσουμε τους μισθούς τεσσάρων υπαλλήλωντότε τους συμβολίζουμε ως εξής x1 x2 x3 και x4

Ε Ι Κοντογιώργης copy 11

Μεταβλητές και Σταθερές ΙΙ

I Σε ορισμένες περιπτώσεις εμπερικλείουμε τις μεταβλητές σεπαρενθέσεις ´Ετσι (x1x2x3x4)Ο τρόπος αυτός ονομάζεται σύνολο

I Αν ξέρουμε τους πραγματικούς μισθούς τεσσάρωνυπαλλήλων μπορούμε να τους γράψουμε σε σειρά έτσι τοσετ θα έχει τη μορφή (2200016000384322943248)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 12

Ακέραιοι και Πραγματικοί Αριθμοί

I Οι lsquoφυσικοίrsquo αριθμοί (θετικοί ακαίραιοι) δίνονται ως εξής1234 Το σύνολο όλων των φυσικών αριθμώνσυμβολίζεται με το γράμμα N

I Οι lsquoολόκληροιrsquo αριθμοί (μη αρνητικοί ακέραιοι) είναι οιφυσικοί αριθμοί μαζί με το μηδέν 01234

I Οι lsquoακέραιοιrsquo περιλαμβάνουν τους φυσικούς αριθμούς τομηδέν και τους αρνητικούς φυσικούς αριθμούς

minus2minus1012

Η σειρά των ακεραίων συμβολίζεται με Z

Ε Ι Κοντογιώργης copy 13

Ακέραιοι και Πραγματικοί Αριθμοί ΙΙ

I Μια μεταβλητή μπορεί να πάρει πεπερασμένο αριθμότιμών Για παράδειγμα η μεταβλήτή M που υποδειλώνειτους μήνες του χρόνο μπορεί να πάρει τις τιμές

123456789101112

Σε αυτή την περίπτωση η μεταβλητή M είναι μια σειράθετικών ακέραιων μετεβλητών (φυσικοί)

I Η μεταβητή x μισθοί από το προηγούμενο παράδειγμαπαίρνει θετικούς πραγματικούς αριθμούς

I Το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών συμβολίζεταιreal Η σειρά αυτή περιλαμβάνει όλους τους πραγματικούςακέραιους αριθμούς από το μείον άπειρο (minusinfin) ως στοάπειρο (infin)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 14

Ακέραιοι και Πραγματικοί Αριθμοί ΙΙΙ

I Γενικά μια μεταβλητή x που παίρνει πραγματικές τιμέςονομάζεται πραγματική μεταβλητή (real variable) καισυμβολίζεται με x isinreal Με το σύμβολο isin εννοούμε lsquoμέσαrsquolsquoανήκειrsquo κλπ

I Το σύμβολο που χρησιμοποείται για το διαχωρισμό τουακέραιου μέρους σε ένα δεκαδικό αριθμό από τοκλασματικό μέρος ονομάζεται δεκαδικό σημείο (decimalpoint) Eg 314159

I Η δεκαδική θέση (decimal place) είναι η θέση του ψηφίουστα δεξιά του δεκαδικού σημείου

Ε Ι Κοντογιώργης copy 15

Συναρτήσεις Ακέραιων και Πραγματικών

I Συνάρτηση στογγυλοποίησης ή συνάρτηση κοντινότερουδεκαδικούΗ lsquoστρογγυλοποίησηrsquo ενός πραγματικού αριθμού xσυμβολίζεται με [x] ∆ίνει τον πιο κοντινό ακέραιο στοxΠχ [32] = 3 [minus32] =minus3 και [86] = 9Ο πιο πάνω ορισμός είναι δύσκολο να εφαρμοστεί γιαhalf-integers Στις περιπτώσεις αυτές η στρογγυλοποίησηγίνεται προς τα πάνω μόνο για τους μονούς αριθμούςέτσι ώστε να αποφεύγεται η μεροληπτικότηταΠχ [35] = 4 [45] = 4 και [05] = 0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 16

I Στρογγυλοποίηση προς τα πάνω ή συνάρτησημικρότερου ακεραίουΗ lsquoστρογγυλοποίηση προς τα πάνωrsquo ενός πραγματικούαριθμού x συμβολίζεται με dxe Μας δίνει το μικρότεροδυνατό ακέραιο που είναι μεγαλύτερος ή ίσος από το xΠχ d32e= 4 dminus32e=minus3 d35e= 4 και d36e= 4

I lsquoΣτρογγυλοποίηση προς τα κάτωrsquo ή συνάρτησημεγαλύτερου ακεραίουΤο lsquoκατώτατο όριοrsquo ενός πραγματικού αριθμού xσυμβολίζεται bxc ∆ίνει το μεγαλύτερο δυνατό ακέραιοπου είναι μικρότερος ή ίσος από το xΠχ b32c= 3 bminus32c=minus4 b35c= 3 και b36c= 3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 17

Σταθερές

I ´Ενας αριθμός που αντιπροσωπεύει μια ποσότητα πουθεωρείται ότι έχει σταθερή τιμή ονομάζεται lsquoσταθεράrsquo Ητιμή μιας σταθεράς ενώ δε μεταβάλλεται πιθανό να μηνπροσδιορίζεται

I Οι πιο σημαντικές πραγματικές σταθερές είναι

1 Το π= 314159 Είναι ο δείκτης που υποδειλώνει τηνπεριφέρεια του κύκλου ακτίνια Ονομάζεται και σταθερά τουΑρχιμήδη

2 Το exp = 271828 που υποδειλώνει τη βάση του φυσικούλογάριθμου

Ε Ι Κοντογιώργης copy 18

Σύμβολα Κατεύθυνσης

I Το σύμβολο lsquogtrsquo που σημαίνει lsquoμεγαλύτεροrsquo καθώς και τοlsquogersquo που σημαίνει lsquoμεγαλύτερο ή ίσοrsquo

I Το σύμβολο lsquoltrsquo που σημαίνει lsquoμικρότεροrsquo καθώς και το lsquolersquoπου σημαίνει lsquoμικρότερο ή ίσοrsquo

I Παράδειγμα Οι μεταβλητές που συμβολίζουν τουςμηνιαίους μισθούς xge 0 Οι μεταβλητές που συμβολίζουντους μήνες του χρόνου 0ltMlt13 που μπορούν επίσης ναγραφτούν 1leMle 12

Ε Ι Κοντογιώργης copy 19

∆υνάμειςI Οι εκθέτες αποτελούν συντομογραφία του

πολλαπλασιασμού (5)(5) = 52 και (5)(5)(5) = 53 Εδώτο 5 λέγεται βάση και το 3 λέγεται εκθέτης Μπορείεπίσης να ερμηνευτεί πέντε υψωμένο στην τρίτη δύναμη

I Η δύναμη είναι ο εκθέτης στον οποίο υψώνεται μιαποσότητα Η έκφραση xn είναι γνωστή ως x στη nδύναμη

I Σημειώστε ότι 5253 = (55)(555) = 55 = 5(2+3) Εδώπαρουσιάζεται ένας βασικός κανόνας του εκθέτη Στηπερίπωση που πολλαπλασιάζονται δύο όροι που έχουντην ίδια βάση οι εκθέτες τους μπορούν να προστεθούν

xmxn = x(m+n)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 20

I Στην περίπτωση όμως που (x4)(y3) ο πιο πάνω κανόναςδε μπορεί να εφαρμοστεί γιατί οι βάσεις είναιδιαφορετικές (x4)(y3) = xxxxyyy

I Για (x2)4

= x2x2x2x2 = xxxxxxxx= x8 = x(2times4)

I ´Ετσι στην περίπτωση που έχετε μια εκθετική έκφρασηπου είναι υψωμένη σε μία δύναμη μπορείτε ναπολλαπλασιάσετε τον εκθέτη με τη δύναμη

(xm)n

= xmn

Ε Ι Κοντογιώργης copy 21

I Εάν έχετε μια έκφραση μέσα σε παράνθεση και ηπαράνθεση είναι υψωμένη σε μια δύναμη τότε η δύναμημπορεί να γίνει μέρος τις παράνθεσης Για παράδειγμα

(xy2)3 = (xy2)(xy2)(xy2) = (xxx)(y2y2y2)

= (xxx)(yyyyyy) = x3y6 = (x)3(y2)3 = x3y6

Παρομοίως(xy)2

=x2y2

I ´Ενας αρνητικός εκθέτης είναι ένδειξη ότι η βάση βρίσκεταιστον παρονομαστή του κλάσματος Πχ

xminus2 =1x2

x2xminus3 = x2x3 = x5 2xminus1 =

2x

(3x)minus2 =1

(3x)2 =1

9x2 και(xminus2yminus3

)minus2=

(xminus2)minus2

(yminus3)minus2=x4y6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 22

I Οτιδήποτε στη δύναμη μηδέν είναι lsquo1rsquo

Πχ 50 = 1 x0 = 1 (x2y3)0 = 1 και 00 = 1

Σημειώστε ότι 50 = 5(1minus1) = (51)(5minus1) =55 = 1

I Μηδέν σε οποιαδήποτε δύναμη είναι μηδέν έτσι 0n = 0

Σημειώστε ότι 00 = 1 και ότι 00 = 0

Αυτό υποδειλώνει ότι 00 είναι μια απροσδιόριστη μορφήπου σε κάποιες περπτώσεις παίρνει μία τιμή και σεκάποιες άλλες περιπτώσεις παίρνει διαφορετική τιμή

Ε Ι Κοντογιώργης copy 23

I Κλασματικοί (Αναλογικοί) Εκθέτες

1 Η τετραγωνική ρίζα μπορεί να γραφτεί σε μορφή κλάσματος

´Ετσι radicx= x12

Πχ 212 =

radic2 = 141 και 2

minus12 =

1radic2

= 071

2 Γενικά xab =bradicxa Πχ 7

23 =

3radic72 = 366

355 = 3112 =

2radic311 = 42089

Ε Ι Κοντογιώργης copy 24

ΛογάριθμοιI Η λογαριθμική μορφή ενός αριθμού είναι lsquoαντίθετηrsquo από

την εκθετική Τεχνικά μιλώντας η λογαριθμική μορφήείναι αντίστροφη της εκθετικής

I Η σχέση δίνεται logb(x) = y

που είναι το ίδιο με by = x

I Ο lsquolsquologb(x) = yrsquorsquo προφέρεται lsquolsquolog-βάση-b-του x ισούται yΕδώ b ονομάζεται lsquoβάση του λογαρίθμουrsquo αφού το b είναιη βάση της εκθετικής έκφρασης

I Η βάση b του λογάριθμου είναι πάντοτε θετική και δενισούται με 1

I Οτιδήποτε βρίσκεται μέσα στο λογάριθμο ονομάζεταιέκφραση

Ε Ι Κοντογιώργης copy 25

ΠαραδείγματαI Μετατρέψτε την έκφραση 63 = 216 στην ισοδύναμη

λογαριθμική μορφή

Για τη μετατροπή η βάση μένει η ίδια αλλά το 3 και το216 αλλάζουν θέσεις Αυτό μας δίνει

log6(216) = 3

I Μετατρέψτε τον log4(1024) = 5 στην αντίστοιχηλογαριθμική έκφραση

Για τη μετατροπή η βάση (που είναι 4) παραμένει η ίδιααλλά το 1024 και το 5 αλλάζουν θέσεις ´Ετσι δίνεται

45 = 1024

Ε Ι Κοντογιώργης copy 26

I Υπολογίστε τον log2(8)

Εάν y= log2(8) τότε υπονοείται ότι 2y = 8 Αυτόσημαίνει ότι y είναι η δύναμη του 2 που θα έχει σαναποτέλεσμα 8 Η δύναμη που δίνει το αποτέλεσμα είναι 3αφού 23 = 8 ´Ετσι

log2(8) = 3

I Κατά παρόμοιο τρόπο log5(25) = 2 αφού 52 = 25

I Υπολογίστε τον y= log64(4)

Σημειώστε ότι 64y = 4 και 43 = 64

´Ετσι (43)y

= 4 ή 43y = 41

Η πιο πάνω έκφραση εξυπονοεί ότι 3y= 1 και έτσιy= 13

Ε Ι Κοντογιώργης copy 27

I Υπολογίστε y= log6(6)

Αυτό ισοδυναμεί με το 6y = 6 και συνεπώς y= 1

I Υπολογίστε το y= log3(1)

Το πιο πάνω μπορεί να γραφτεί ως 3y = 1

´Ομως 1 = 30 έτσι 3y = 30 και y= 0

I Υπολογίστε το y= log4(minus16)

Μπορεί να γραφτεί σαν 4y =minus16

´Ομως δεν υπάρχει τιμή (πχ δύναμη) y που ναικανοποιεί τη σχέση ´Ετσι δεν υπάχρει λύση

Ε Ι Κοντογιώργης copy 28

I Υπολογίστε το y= log2(0)

Αυτό σημαίνει 2y = 0 όμως δε υπάρχει τιμή που ναικανοποιεί τη σχέση ´Ετσι δεν υπάχρει λύση

I Υπολογίστε το y= 2log2(9)

Αυτό σημαίνει ότι log2(y) = log2(9) και έτσι y= 9

Ε Ι Κοντογιώργης copy 29

I Γενικά1 logb(b) = 1 για οποιαδήποτε βάση b

2 logb(1) = 0 για οποιαδήποτε βάση b

3 logb(a) δεν ορίζεται για αρνητικά a

4 logb(0) δεν ορίζεται για οποιαδήποτε βάση b

5 logb(bn) = n για οποιαδήποτε βάση b

Ε Ι Κοντογιώργης copy 30

I Οι λογάριθμοι μπορούν να πάρουν οποιοδήποτε αριθμόσαν βάση αλλά δύο βάσεις είναι οι πιο χρήσιμες οlog-βάση-10 και ο log-βάση-e

I Η βάση-10 log συχνά ονομάζεται ο κοινός log καιγράφεται ως log(x) Εδώ δεν αναγράφεται βάση καιμπορούμε να υποθέσουμε ότι η βάση είναι 10

Πχ log(100) = 2 έτσι log10(102) = 2

I Η βάση-e log ονομάζεται ο φυσικός log και γράφεται σανln(x)Πχ ln(e345)= 345 καθώς loge(e345) = 345

Ε Ι Κοντογιώργης copy 31

Ιδιότητες Λογαρίθμωνlogb(xy) = logb(x) + logb(y)

Απόδειξη´Εστω m= logbx και n= logby

Γράψτε σε μορφή εκθέτη x= bm και y= bn

Πολλαπλασιάστε το x και y ούτως ώστεxy= bmbn = bm+n

´Ετσι από τον ορισμό των λογαρίθμων το xy= bm+nσυνεπάγει ότι

logb(xy) =m+n= logbx+ logb(y)

Πχ log2(4times16) = log2(64) = log2(26) = 6

Ακόμα log2(4times16) = log2(4) + log2(16) = 2+4 = 6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 32

logb(xy)

= logb(x)minus logb(y)

Απόδειξη´Εστω m= logbx και n= logby

Γράψτε σε μορφή εκθέτη x= bm και y= bn

∆ιαίρα το x και y ούτως ώστε xy =bmbn = bmminusn

´Ετσι από τον ορισμό των λογαρίθμων το xy = bmminusn

συνεπάγει ότι

logb(xy)

=mminusn= logbxminus logb(y)

Πχ log2(16

4)

= log2(4) = 2

και log2(16

4)

= log2(16)minus log2(4) = 4minus2 = 2Ε Ι Κοντογιώργης copy 33

logb(xn) = n logb(x)

Απόδειξη´Εστω m= logbx και γράψτε σε μορφή εκθέτη x= bm

Αυξάνοντας τις δύο πλευρές στην n δύναμη παίρνουμεxn = (bm)n = bmn

´Ετσι από τον ορισμό των λογαρίθμων τοlogbxn =mn= nm= n(logbx)

Πχ log2(64) = log2(26) = 6 log2(2) = 6

log(64) = 18

Επιπλέον log(64) = log(26) = 6log(2) = 6times030 = 18

Ε Ι Κοντογιώργης copy 34

logb(x) =loga(x)loga(b) agt0 a 6= 1

Απόδειξη´Εστω m= logbx rArr x= bm

Εφαρμόστε loga και στις δύο πλευρές του x= bmγια ναδώσει

logabm = logax rArr m logab= logaxrArr m=logaxlogab

rArr logbx=logaxlogab

Πχ log5(20) =log(20)

log(5)= 186 =

ln(20)

ln(5)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 35

logb(a) =1

loga(b) agt0 a 6= 1

Απόδειξη

logb(x) =loga(x)loga(b) =

logx(x)logx(b)

=1

loga(b)

´Οταν a= x

Πχ log2(64) =1

log64(2)=

116 = 6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 36

Αθροισμα

I Υποθέστε ότι έχουμε μια μεταβλητή x που μπορεί ναπάρει δέκα τιμές Εάν ενδιαφερόμαστε για το άθροισμάτους χωρίς να ξέρουμε την τιμή της κάθε μεταβλητής τότεο καλύτερος τρόπος να το εκφράσουμε είναι

x1 +x2 + middot middot middot+x9 +x10

I Εν συντομία το άθροισμα n στοιχείων x1 +x2 + middot middot middot+xn είναιnsum

i = 1xi

και ερμηνεύεται σαν το άθροισμα όλων των xirsquosξεκινώντας από το x1 (πχ i = 1) μέχρι xn (i = n)

I Εάν δε δοθεί διαφορετικά πάντοτε υποθέτουμε ότι το iαυξάνεται ξεκινώντας από το στάδιο 1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 37

I Το lsquolsquoSigmarsquorsquo Σ είναι γνωστό ως το άθροισμα (summation) ήσύμβολο σίγμα (sigma operator) και ο δείκτης i όνομάζεταιεικονική μεταβλητή

I Παραδείγματα

I

5sum

i = 1xi = x1 +x2 +x3 +x4 +x5

I

5sum

i = 1(y2

i ) = y21 +y22 +y23 +y24 +y25

Σημειώστε ότι η μόνη μεταβλητή που περιγράφεται απευθείαςκάτω από το σύμβολο Σ αυξάνεται κατά 1 κάθε φορά ενώ όλατα άλλα σύμβολα παραμένουν τα ίδια

I

4sum

r = 1(x3r ) = x31 +x32 +x33 +x34

Ε Ι Κοντογιώργης copy 38

I6sum

i = 1i = 1+2+3+4+5+6

I6sum

i = 1i2 = 12 +22 +32 +42 +52 +62

I7sum

i = 3xi = x3 +x4 +x5 +x6 +x7

I4sum

i = 1a = a+a+a+a= 4a

I3sum

i = 1(4+xi) = (4+x1) + (4+x2) + (4+x3)

=3sum

i = 14+

3sum

i = 1xi

Ε Ι Κοντογιώργης copy 39

I3sum

i = 1(2xi) = (2x1) + (2x2) + (2x3) = 2times

3sum

i = 1xi

I Ο συντελεστής i παραλείπεται εάν δε προκαλείαοριστία Για παράδειγμα Σx ή Σixi σημαίνειάθροισμα όλων των x που λαμβάνονται υπόψη

I ∆ήλωσηI

nsumi=1a= na

I sumiaxi = asum

ixi

I sumi

(axi+byi) = asumixi +bsum

iyi

Ε Ι Κοντογιώργης copy 40

I Αθροιστικός Τύπος

Insum

i = 1i = 1+2+ middot middot middot+n=

n(n+1)

2

Πχ6sumi = 1i = 1+2+3+4+5+6 =

6(6+1)

2 = 21

Insum

i = 1i2 = 12 +22 + middot middot middot+n2 =

n(n+1)(2n+1)

6

Πχ6sumi = 1i2 = 12 +22 +32 +42 +52 +62

=6(6+1)(12+1)

6 = 91

Ε Ι Κοντογιώργης copy 41

Insum

i = 1i3 = 13 +23 + middot middot middot+n3 =

n2(n+1)2

4

Πχ6sumi = 1i3 = 13 +23 +33 +43 +53 +63

=62(6+1)2

4 = 441

Ε Ι Κοντογιώργης copy 42

ΠαραδήγματαΑριθμητική Πρόοδος

I Γενικά μπορούμε να εκφράσουμε μια αριθμητική πρόοδο ωςεξής

αριθμητική πρόοδος a a+d a+2d a+3d

όπου ο πρώτος όρος είναι a και η διαφορά d Ο όρος nτης απ δίνεται από τη σχέση b = a+ (nminus1)d

I 3 5 7 9 11 είναι μια αριθμητική πρόοδος Οπρώτος όρος είναι το 3 και η διαφορά είναι 2

I 2 minus1 minus4 minus7 είναι μια αριθμητική πρόοδος όπου οπρώτος όρος είναι 2 και η διαφορά minus3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 43

I Το άθροισμα των όρων μιας αριθμητικής προόδου είναιγνωστό ως αριθμητική σειρά

Sn = a+ (a+d) + (a+2d) + middot middot middot+ (a+ (nminus1)d)

=nsumi=1

(a+ (iminus1)d

)= na+

nsumi=1

(iminus1)d

= na+dnminus1sumi=1

i = na+d(nminus1)n2

=n2(2a+d(nminus1)) =

n2(a+b) b = a+d(nminus1)

I ΑΠ 3 5 7 9 11 13 rArr Sn =62(3+13) = 48

Ε Ι Κοντογιώργης copy 44

∆ιπλό Αθροισμα4sumi=1

isumj=1

j = (1) + (1+2) + (1+2+3) + (1+2+3+4) = 20

nsumi=1

isumj=1

j =nsumi=1

( isumj=1

j)

nsumi=1

(12 i(i+1)

)=

12

nsumi=1

(i2 + i)

12( nsumi=1

i2 +nsumi=1

i)

=12(16n(n+1)(2n+1) +

12n(n+1)

)

=12

16n(n+1)

((2n+1) +3

)=

n6(n+1)(n+2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 45

∆ιπλό Αθροισμα

nsumi=1

msumj=1

(i+ j+2) =nsumi=1

( msumj=1

(i+ j+2))

nsumi=1

( msumj=1

i+msumj=1

j+msumj=1

2)

=nsumi=1

(mi+ 1

2m(m+1) +2m)

m( nsumi=1

i+ 12

nsumi=1

(m+5))

= m(12n(n+1) +

12n(m+5)

)

=mn2(m+n+6

)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 46

Insumr=1

1r(r+1)

=nsumr=1

(Ar +

Br+1

)=

nsumr=1

A(r+1) +Brr(r+1)

I A(r+1) +Br = 1

I Για r = 0 τότε A= 1 και για r =minus1 τότε B=minus1

I

nsumr=1

1r(r+1)

=nsumr=1

(1r minus

1r+1

)

=(

(11 minus

12) + (

12 minus

13) + (

13 minus

14) + middot middot middot+ (

1nminus1 minus

1n ) + (

1n minus

1n+1)

)

= 1minus 1n+1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 47

Insumk=1

1(k+2)(k+3)

=nsumk=1

( A(k+2)

+B

(k+3)

)=

nsumk=1

A(k+3) +B(k+2)

(k+2)(k+3)

I A(k+3) +B(k+2) = 1

I Για k=minus2 τότε A= 1 και για k=minus3 τότε B=minus1

I

nsumk=1

1(k+2)(k+3)

=nsumk=1

( 1(k+2)

minus 1(k+3)

)

=(

(13 minus

14)+(

14 minus

15)+(

15 minus

16)+ +(

1n+1 minus

1n+2)+(

1n+2 minus

1n+3)

)

=13 minus

1n+3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 48

Αθροισμα με Λογάριθμους

nsumi=1

logb(i) = logb(1) + logb(2) + middot middot middot+ logb(n)

= logb(1times2times3timesmiddotmiddot middottimesn)

= logb(n)

I Το n (n παραγοντικό) δίνεται από n = 1times2timesmiddotmiddot middottimesn και0 = 1

I100sumi=1

log2(100) = log2(100) =log(100)

log(2)=

log(99)

log(2)+

2log(2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 49

Γινόμενο των ακολουθιώνIn

prodi=1xi = x1timesx2timesx3timesmiddotmiddot middottimesxn

In

prodi=1i = 1times2times3timesmiddotmiddot middottimesn= n

In

prodi=1z= ztimesztimesmiddotmiddot middottimesz= zn

I

nprodi=1

(1+

1i+1

)=(1+

12)times(1+

13)times(1+

14)times times(1+

1n )times(1+

1n+1)

=32 times

43 times

54 timesmiddotmiddot middottimes

n+1n times n+2

n+1

=n+22

Ε Ι Κοντογιώργης copy 50

Γεωμετρικές ΠροόδοιI Μια γεωμετρική πρόοδος είναι μια σειρά αριθμών όπου

κάθε όρος μετά των πρώτο υπολογίζεται από τονπολλαπλασιασμό του προηγούμενου όρου με ένασταθερό αριθμό που καλείται αναλογία

I Η σειρά1 3 9 27 81 middot middot middot

είναι μια γεωμετρική πρόοδος με πρώτο όρο το 1 καιαναλογία 3

I Η αναλογία μπορεί να είναι κλάσμα καθώς επίσης καιαρνητικός αριθμός Για παράδειγμα η γεωμετρικήπρόοδος με πρώτο όρο το 2 και αναλογία minus13 είναι

2 minus 23 +

29 minus

227 +

281 middot middot middot

Ε Ι Κοντογιώργης copy 51

I Γενικά μπορούμε να γράψουμε μια γεωμετρική πρόοδο ωςακολούθως

γεωμετρική πρόοδος a ar ar2 ar3 ar4 middot middot middot

όπου ο πρώτος όρος είναι a και η αναλογία r

I Σημαντικά θεωρήματα των γεωμετρικών προόδων (γπ)1 Ο n όρος μιας γπ δίνεται από ar(nminus1)

2 Το άθροισμα των πρώτων n όρων μιας γπ είναι

Sn =a(1minus rn)

1minus r =a(rnminus1)

rminus1 και ισχύει μόνο αν r 6= 1

I Το άθροισμα των όρων μιας γεωμετρικής προόδουονομάζεται γεωμετρική σειρά

Ε Ι Κοντογιώργης copy 52

Γεωμετρική σειρά

Sn = a+ar+ar2 +ar3 + middot middot middot+arnminus2 +arnminus1

rSn = ar+ar2 +ar3 + arnminus1 +arn

Snminus rSn = aminusarn

(1minus r)Sn = a(1minus rn)

Sn =a(1minus rn)

(1minus r) =a(rnminus1)

(rminus1)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 53

I Παράδειγμα1 Βρείτε το άθροισμα των πρώτων 10 όρων μιας γεωμετρικής

σειράς4 8 16 32

Ο πρώτος όρος είναι a= 4 και η αναλογία r = 2 καιn= 10 ´Ετσι

S10 =4(1minus210)

1minus2 = 4092

2 Θεωρείστε τη γπ4 minus8 16 minus32 64 minus128 256 minus512

Σε αυτή την περίπτωση ο πρώτος όρος είναι a= 4 ηαναλογία είναι r =minus2 και n= 8´Ετσι

S8 =4(1minus (minus2)8)

1minus (minus2)=minus340

Ε Ι Κοντογιώργης copy 54

Συνεχείς ανατοκισμός

Οι περισσότεροι τραπεζικοί λογαριασμοί και τα δάνειαυιοθετούν ανατοκισμό - εφαρμόζοντας συνεχή ανατοκισμόΘεωρείστε ένα λογαριασμό που προσφέρει τόκο με ετήσιοεπιτόκιο r (πχ 7) Εάν το επιτόκιο είναι συνεχέςσε χρονιαία βάση τότε μετά από 1 χρόνο το χρονιαίοεπιτόκιο προστίθεται στο αρχικό κεφάλαιο για νακαθορίσει ένα μεγαλύτερο κεφάλαιο τον δεύτερο χρόνο

´Ετσι κατά τη διάρκεια του δεύτερου χρόνου ολογαριασμός κερδίζει επιτόκιο πάνω στο επιτόκιοΑυτή είναι η επίδραση του ανατοκισμού που συνεχίζεταιχρόνο με το χρόνο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 55

I Με τον ετήσιο ανατοκισμό το κεφάλαιο πουσυσσωρεύεται στο λογαριασμό πολλαπλασιάζεται με

(1+ r)

´Ετσι το κεφάλαιο A θα αυξηθεί σε

A(1+ r) = A+A middot r

τον επόμενο χρόνο

I Με το πέρας και του δεύτερου χρόνου το κεφάλαιο θααυξηθεί ακόμα (1+ r) σε (1+ r)2

´Ετσι το κεφάλαιο καταλήγει σε

A(1+ r)(1+ r) = A(1+ r)2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 56

I Κατά παρόμοιο τρόπο στο τέλος του τρίτου χρόνου τοποσό θα αυξηθεί κατά (1+ r)3

I Μετά από n χρόνια το ποσό θα αυξηθεί κατά (1+ r)n

I ´Ετσι το κεφάλαιο (επένδυση) A θα αυξηθεί με συνεχήανατοκισμό σε A(1+ r)n μετά από n χρόνια

I Ο τύπος (1+ r)n εκθέτει γεωμετρική αύξηση λόγω τηςn δύναμης

Ε Ι Κοντογιώργης copy 57

ΠαραδείγματαI Εάν το επιτόκιο είναι r = 5 τότε το κεφάλαιοA= $1000 που βρίσκεται στην τράπεζα n= 20 χρόνιαθα αυξηθεί κατά

(1+ r)n = (1+005)20 = 2653 φορές

´Ετσι το ποσό θα καταλήξειA(1+ r)n = $265330

I Βρέστε το χρόνο που χρειάζεται για ένα λογαργιασμό ναδιπλασιάσει το διαθέσιμο κεφάλαιο του όταν r = 7 καιr = 10Ζητούμε να βρούμε το n έτσι ώστε

(1+ r)n = 2Ε Ι Κοντογιώργης copy 58

I Υπολογίζοντας το λογάριθμο του τελευταίου παίρνουμε

log(1+ r)n = log(2)ή n log(1+ r) = log(2)

´Ετσιn=

log2log(1+ r)

I Για r = 7 και r = 10 ο χρόνος n πουχρειάζεται για διπλασιασμό της επένδυσης υπολογίζεταισε 1024 και 727 αντίστοιχα

Ε Ι Κοντογιώργης copy 59

I Αν το επιτόκιο είναι r = 7 τότε πιο θα είναι τοσυνολικό ποσό στο λογαριασμό μετά από 205 και41 χρόνια αντίστοιχα

Μετά τα πρώτα 1025 χρόνια το ποσό A θαδιπλασιαστεί σε 2A Για τα επόμενα 1025 χρόνιατο ποσό θα ξαναδιπλασιαστεί σε 4A ´Ετσι μετά από205 χρόνια το ποσό θα αυξηθεί κατά 4 φορές

Με το πέρας ακόμα 205 χρόνων το ποσό θα αυξηθείακόμα 4 φορές σε 16 ´Ετσι μετά από 41 χρόνιατο κεφάλαιο A γίνεται 16A

Ε Ι Κοντογιώργης copy 60

Ασκήσεις και Παραδείγματα

I Υπολογίστε τη Μελλοντική Αξία (Future Value (FV)) τουκεφαλαίου A= 1500 που κερδίζει ετήσιο επιτόκιοr = 5 για n= 10 έτη

FV =A(1+ r)n = 1500(1+005)10 = 244334

I Πόσα έτη απαιτούνται για να τριπλασιαστεί ένα ποσόπου αφήνετε στην τράπεζα με επιτόκιο r = 5∆ηλαδή βρείτε το n όπου A= 1 r = 5 και FV = 3

FV =A(1+ r)n ή (1+ r)n =FVA

Ε Ι Κοντογιώργης copy 61

Υπολογίζοντας τους λογαρίθμους παίρνουμε

log(1+ r)n = log(FVA)

ή n log(1+ r) = log(FVA)

´Ετσι

n=log(FVA)

log(1+ r) =log(3)

log(105)

= 2252

Ε Ι Κοντογιώργης copy 62

I Βρείτε την παρούσα αξία A έτσι ώστε σε δέκα έτη μεσταθερό επιτόκιο r = 6 να είναι 100KΒρείτε το A όπου FV = 100000 r = 6 και n= 10

FV =A(1+ r)n ή A=FV

(1+ r)n

´Ετσι A=100000

(106)10= 5583948

I Βρείτε την ετησιοποιημένη απόδοση (AER AnnualEquivalent Rate) μιας μηνιαίας κατάθεσης με σταθερόεπιτοκίο 394 Μια τέτοια κατάθεση λαμβάνει το επιτόκιο στη λήξηΣυνεπώς κάθε μήνα ο λογαριασμός λαμβάνει

r = 0039412 = 000328

επιτόκιο που επανεπενδύεται (συνεχής ανατοκισμός)Ε Ι Κοντογιώργης copy 63

Επανεπενδύοντας το επιτόκιο κάθε μήνα στη διάρκειαενός έτους το κεφάλαιο θα αυξηθεί σε

(1+ r)12 = (1+000328)12 = 104012

´Ετσι το ΑΕΡ είναι ισοδύναμο με 004012 = 4012I Υπολογίστε το επιτόκιο ενός σταθερού λογαριασμού

κατάθεσης 7-ημερών που έχει AER επιτόκιο r = 425Θεωρείστε ρ το εβδομαδιαίο επιτόκιο

´Ετσι (1+ρ)52 = (1+00425)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 64

Παίρνοντας τους λογαρίθμους έχουμε52log(1+ρ) = log10425

ή log(1+ρ) =log10425

52

ή 1+ρ= 10( log10425

52)

Αυτό μας δίνει

ρ= 10

( log1042552

)minus1 = 008

´Ετσι το συνεχές επιτόκιο μιας επταήμερης κατάθεσης είναιρtimes52 = 41638

Εναλλακτικά (1+ρ)52 = (1+00425) δίνει

(1+ρ) =52radic10425ή ρ=

52radic10425minus = 008Ε Ι Κοντογιώργης copy 65

I Υπολογίστε την ετήσια απόδοση r έτσι ώστε A= 10000να επιστρέφει FV = 35000 σε n= 20 χρόνια

FV =A(1+ r)n ή (1+ r)n =FVA

´Ετσι

1+ r =nradic

FVA

Επομένως

r =nradic

FVA minus1 =

20radic

3500010000 minus1 = 00646 = 646

Ε Ι Κοντογιώργης copy 66

Εναλλακτικά παίρνοντας τους λογαρίθμους

log(1+ r)n = log(FVA) ή n log(1+ r) = log

(FVA)

´Ετσι

1+ r = 10(1n log

(FVA))

ή r = 10(1n log

(FVA))minus1

= 10( 120 log

(3500010000

))minus1

= 646

Ε Ι Κοντογιώργης copy 67

Γραφική Αναπαράσταση I

I Υποθέστε ότι έχουμε y= 3x+2 Καθώς έχουμε μόνο μιαδύναμη για το x πρέπει να λύσουμε γραμμική εξίσωσηκαι να σχεδιάσουμε μια ευθεία γραμμή Αρχικά θα πρέπεινα σχεδιάσουμε ένα T-chart Αυτό έχει τη μορφή

x y = 3x+2 (xy)

I Επιλέγουμε μια τιμή για το x και λύνουμε ως προς y

x y= 3x+2 (xy)minus2 minus4 (minus2minus4)0 2 (02)2 8 (28)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 68

Γραφική Αναπαράσταση II

-

6

X

Y

bull

bull

bull

I Βλέπουμε μια ευθεία με ανοδική τάση (έχοντας θετικήκλίση m= 3) καιτέμνει τον άξονα y στο σημείο y= 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 69

Γραφική Αναπαράσταση III

I Μια Τετραγωνική εξίσωση περιέχει x2 Για τηναναπαράσταση τετραγωνικών εξισώσεων χρειάζεται ναβρούμε περισσότερα από τρία σημεία στο σχεδιάγραμμα

Για παράδειγμα υποθέστε ότι y= x2minus6x+5 καιδίνεται το πιο κάτω T-chart

x y= x2minus6x+5 (xy)0 5 (05)1 0 (10)3 minus4 (3minus4)5 0 (50)6 5 (65)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 70

Γραφική Αναπαράσταση IV

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

-

6

X

Y

bull

bull

bull

bull

bull

Ε Ι Κοντογιώργης copy 71

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(1x + 2)

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(-3x + 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 72

-15

-10

-5

0

5

10

15

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(3x - 2)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 73

-20

0

20

40

60

80

100

120

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2+x)

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 74

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

1250

1500

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3+x2+x)

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x4)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 75

-25

-2

-15

-1

-05

0

05

1

15

2

25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(log(x))

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(x))

Ε Ι Κοντογιώργης copy 76

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(-x))

-5000

0

5000

10000

15000

20000

25000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(exp(x)+x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 77

Ανισότητες I

I Οι ανισότητες αποτελούνται από δύο ή τρεις αλγεβρικέςεκφράσεις που είναι συνδεδεμένες με τα σύμβολαανισότητας Τα σύμβολα αυτά είναι

lt μικρότερο τουgt μεγαλύτερο τουle μικρότερο ή ίσο τουge μεγαλύτερο ή ίσο του

I Παραδείγματα xgty yge x2 και ylt5x+1

I Το πρώτο βήμα για την αναπαράσταση ανισότητας τηςμορφής ygtx είναι να παραστήσουμε γραφικά τηνισότητα y= x

Ε Ι Κοντογιώργης copy 78

Ανισότητες II

I ygtx

Κάνετε δοκιμή με ένα σημείο να δείτε κατά πόσοικανοποιεί την ανισότητα Εάν ναι τότε σκιάστε τηνπεριοχή αυτή του σχεδιαγράμματος διαφορετικά σκιάστετην άλλη πλευρά

Ε Ι Κοντογιώργης copy 79

Ανισότητες III

I yltx

Ε Ι Κοντογιώργης copy 80

Ανισότητες IV

I yle 5x+1 και ygt5x+1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 81

Ανισότητες V

I yge x2 και yle x2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 82

Ανισότητες VI

I ygtx3 και yle x3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 83

Συστήματα Γραμμικών ΕξισώσεωνΠεριεχόμενα

1 Ε

2 Γ Α

ΑναφορέςΚεφάλαια 4 και 5FS Budnick Applied Mathematics for Business Economicsand the Social Sciences 4th edition McGraw-Hill 1993

Ε Ι Κοντογιώργης copy 84

Συστήματα Εξισώσεων

I ´Ενα σύστημα εξισώσεων συνδυάζει περισσότερες από μίαεξισώσεις

I ´Ενα σύστημα m εξισώσεων όπου κάθε εξίσωσηαποτελείται από n μεταβλητές ονομάζεται mtimesnσύστημα ή λέμε ότι έχει διαστάσεις mtimesn

I ΠαράδειγμαΠαρακάτω έχουμε ένα σύστημα 2times2

5X+10Y= 203X+4Y= 10

Οι μεταβλητές σε αυτή την περίπτωση είναι X και YΕ Ι Κοντογιώργης copy 85

Συστήματα Επίλυσης

I Το Σύστημα επίλυσης είναι μια σειρά τιμών μεταβλητώνπου ικανοποιούν το σύστημα ταυτόχρονα

I Σε μια σημειογραφική παράσταση το προηγούμενοπαράδειγμα μπορεί να γραφτεί ως εξής

S = (XY) | 5X+10Y = 20 και 3X+4Y = 10

I Το σύστημα επίλυσης μπορεί να είναι1 μηδενικό2 πεπερασμένο ή3 άπειρο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 86

2times2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική Ανάλυση

I Σε ένα δισδιάστατο γράφημα ένα σύστημα εξισώσεων2times2 αναπαρίστανται με ευθείες γραμμές Υπόρχουν τρίαενδεχόμενα

1 Οι ευθείες τέμνονται Το σημείο τομής αντιπροσωπεύει τηλύση του συστήματος εξισώσεων Αυτό το σημείοαλληλεπίδρασης είναι μια δέσμη τιμών X και Y που ικανοποιείκαι τις δύο εξισώσειςΕάν υπάρχει μόνο μια δέσμη τιμών για τις μεταβλητές που ναικανοποιεί το σύστημα εξισώσεων το σύστημα λέμε ότι έχειΜ Λ

2 Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες μεταξύ τους ∆εν έχουν κοινόσημείο Συνεπώς οι ευθείες δεν τέμνονται ποτέ Το σύστημαλέμε ότι ∆ ΛΑυτό υπονοεί ότι δεν υπάρχουν τιμές για τις μεταβλητές πουνα ικανοποιούν και τις δύο εξισώσεις Σε αυτή τηνπερίπτωση οι εξισώσεις στο σύστημα είναι Α

3 Και οι δύο εξισώσεις αναπαρίστανται ως μια κοινή ευθεία καιθεωρούνται ισοδύναμες εξισώσεις ´Ετσι το σύστημα έχειΑ Λ Αυτό συμβαίνει γιατί υπάρχει άπειροςαριθμός κοινών σημείων στις δύο γραμμές

Ε Ι Κοντογιώργης copy 87

I Π Θεωρείστε ένα σύστημα 2times22X+4Y= 203X+ Y= 10

I

X

Y

(24)

3X +Y = 10

2X +4Y = 20

0 2 4 6 8 10 12

2

4

6

8

10

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 88

I Το σημείο τομής δίνεται από το X= 2 και Y= 4Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές του X και Y στις δύοεξισώσεις δίνουν 20 = 20 και 10 = 10 αντίστοιχα

I Αυτό υποδειλώνει ότι X= 2 και Y= 4 είναι η σωστή λύση

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times23Xminus2Y= 6

minus15X+10Y=minus30

I

X

Y

(20)

(0minus3)

3X minus2Y = 6

minus15X +10Y =minus30

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 89

I Οι δύο εξισώσεις απλοποιούνται σε Xminus 23 Y= 2

Οι δύο εξισώσεις είναι ισοδύναμες και δίνουν έναπεπερασμένο αριθμό λύσεων έτσι ώστε

X= 0 Y =minus3X= 2 Y = 0X= 4 Y = 3

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times26Xminus12Y= 24

minus32X+3Y= 9

Οι εξισώσεις απλοποιούνται σεXminus2Y= 4Xminus2Y=minus6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 90

I

X

Y

(40)

(0minus2)

(minus60)

(03)

X minus2Y =minus6

X minus2Y = 4

0-0

I Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες και συνεπώς το σύστημαδεν έχει λύση ´Ετσι το σύστημα εξισώσεων είναιασύμπτωτο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 91

Περίληψη 2times2 Συστήματα Εξισώσεων∆ίνεται ένα Σύστημα Γραμμικών Εξισώσεων 2times2

Y=m1X+ c1Y=m2X+ c2

1 Υπάρχει μια στο σύστημα εάνm1 6= m2

2 ∆εν υπάρχει στο σύστημα εάνm1 = m2 και c1 6= c2

3 Υπάρχει εάνm1 = m2 και c1 = c2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 92

∆ιαδικασίες Απαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής χρησιμοποιεί πολλαπλασιασμόκαι πρόσθεση έτσι ώστε

1 Να απαλοιφεί μια από τις δύο μεταβλητές

2 Η εξίσωση που εξάγεται είναι συνάρτηση των υπόλοιπωνμεταβλητών

3 Αντικαθιστώντας την τιμή στην μεταβλητή σε μια από τιςαρχικές εξισώσεις βρίσκουμε την τιμή για τηναπολοιφθήσα μεταβλητή

Ε Ι Κοντογιώργης copy 93

ΠαραδείγματαI Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

2X +4Y = 20 (1)3X + Y = 10 (2)

Πολλαπλασιάζοντας τη δεύτερη εξίσωση με minus4 παίρνουμε

minus12X minus4Y =minus40 (3)

Προσθέτοντας την εξίσωση (1) στο (3)

2X + 4Y = 20minus12X minus 4Y = minus40minus10X = minus20

ή

X = 2 (4)Ε Ι Κοντογιώργης copy 94

Αντικαθιστώντας X= 2 στην εξίσωση (1) δίνεται2 middot2+4Y = 20 ή Y=4

´Ετσι η μοναδική λύση του συστήματος δίνεται από τοX= 2 και Y= 4 Μπορεί να επιβεβαιωθεί ότι αυτή είναι ησωστή λύση αντικαθιστώντας X= 2 και Y= 4 στηνεξίσωση (1) και (2)

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times23X minus2Y = 6 (5)

minus15X +10Y =minus30 (6)

Για την απαλοιφή της μεταβλητής X η εξίσωση (5)πολλαπλασιάζεται με 5 και το αποτέλεσμα προστίθεταιστην εξίσωση (6)

15X minus 10Y = 30minus15X + 10Y = minus30

0 = 0 Ε Ι Κοντογιώργης copy 95

Οι τελευταίες πράξεις υπονοούν ότι οι εξίσωσεις (5) και(6) είναι ισοδύναμες και έτσι υπάρχει άπειρος αριθμόςλύσεωνΓια να προσδιορίσουμε τις λύσεις του συστήματος μια απότις αρχικές εξισώσεις λύνεται ως προς μια μεταβλητή Ανγια παράδειγμα η εξίσωση (5) λύνεται ως προς Y δίνει

Y =32Xminus3

Σαν αποτέλεσμα γενικεύοντας τις λύσεις του συστήματοςέχουμε

X τυχαίο και Y =32Xminus3

Πχ για X= 4 υπονοείται ότι Y=32 middot4minus3 = 3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 96

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

6X minus12Y = 24 (7)

minus32X +3Y = 9 (8)

Πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση (8) με 4 καιπροσθέτοντας το αποτέλεσμα στην εξίσωση (7)παίρνουμε

6X minus 12Y = 24minus6X + 12Y = 36

0 = 60

Η πιο πάνω αντιλογία υπονοεί ότι δεν υπάρχει λύση τουσυστήματος εξισώσεων

Ε Ι Κοντογιώργης copy 97

3times2 Συστήματα Εξισώσεων I

1 Μ Λ

X

Y

(32)

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minusY = 1

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 98

3times2 Συστήματα Εξισώσεων II

2 Α Λ

X

Y Εξις (1)Εξις (2)Εξις (3)

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 99

3times2 Συστήματα Εξισώσεων III3 Κ

(α) ´Οταν και οι τρεις εξισώσεις είναι παράλληλες

X

Y

2X minusY =minus8

2X minusY = 2

2X minusY = 12

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 100

3times2 Συστήματα Εξισώσεων IV(β) ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ τωνεξισώσεων

X

Y

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minus2Y =minus4

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 101

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική ΑνάλυσηΣε ένα γράφημα 2 διαστάσεων ένα σύστημα mtimes2(mgt2) εξισώσεων παριστάνεται με m ευθείες ´Οπωςσυμβαίνει στα συστήματα 2times2 υπάρχουν τρίαενδεχόμενα

1 ´Ολες οι ευθείες τέμνονται στο ίδιο σημείο και έτσιυπάρχει

2 ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ των mεξισώσεων Αυτό σημαίνει ότι όλες οι ευθείες είναιπαράλληλες Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα Λ

3 Οι m εξισώσεις είναι ισοδύναμες πχ παρασταίνονται σανμια ευθεία Σε αυτή την περίπτωση υπάρχει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 102

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων ∆ιαδικασίαΑπαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής για την επίλυση ενός συστήματοςmtimes2 μπορεί να περιγραφεί ως ακολούθωςΕπιλέξτε και λύστε σύστημα με δύο εξισώσεις

1 Εάν δεν υπάρχει λύση τότε ολόκληρο το σύστημα δεν έχειλύση

2 Εάν υπάρχει μοναδική λύση που ικανοποιεί τις υπόλοιπεςmminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα έχει μία μοναδική λύση

3 Εάν η λύση είναι μοναδική αλλά δεν ικανοποιεί τιςυπόλοιπες mminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα δεν έχει λύση

4 Εάν οι 2 λύσεις είναι ισοδύναμες απάλοιψτε τη μίααπό τις δύο εξισώσεις και ξεκινήστε από την αρχήλαμβάνοντας υπόψη ένα σύστημα (mminus1)times2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 103

ΠαράδείγμαI Θεωρείστε ένα σύστημα 5times2

XminusY= 1X+2Y=minus8

3Xminus2Y= 02Xminus5Y= 11minus4X+3Y=minus1

I Η λύση των πρώτων δύο εξισώσεων δίνετε απόY =minus3 και X =minus2

I Αντικαθιστώντας τη λύση στις υπόλοιπες τρεις εξισώσειςπαίρνετε αντίστοιχα

0 = 0 11 = 11 και minus1 =minus1I Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση

X=minus2 και Y=minus3Ε Ι Κοντογιώργης copy 104

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian

Η μέθοδος απολοιφής Gaussian μετατρέπει το αρχικόσύστημα εξισώσεων σε διαγώνια μορφή επαναλαμβάνονταςστις εξισώσεις τις ακόλουθες τρεις διαδικασίες

1 Πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης μεμια θετική σταθερά

2 Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού θα προστεθεί σεάλλη εξίσωση

3 Η σειρά των εξισώσεων μπορεί να αλλάξει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 105

ΠαράδείγμαΠ Θεωρείστε το σύστημα 2times2

2X minus 3Y = 7 (Εξ 1)X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με 12 για να πάρετε

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με minus1 καιπροσθέστε την στην (Εξ 2)

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

52Y =

152 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 106

Στάδιο 3 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 25

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

Y = 3 (Εξ 2)

Στάδιο 4 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 32 και

προσθέστε την στην (Εξ 1)

X = 1 (Εξ 1)Y = 3 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 107

Π Θεωρείστε το σύστημα 2times2

5X + 20Y = 254X minus 7Y =minus26

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να εκφραστεί ως

R1 5 20 25R2 4 minus7 minus26

Η κάθετη γραμμή χρησιμοποιείται για διαχωρισμό τηςαριστερής από τη δεξιά πλευρά των εξισώσεων Το Riυπονοεί τη γραμμή (Row) i

Ε Ι Κοντογιώργης copy 108

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάζουμε τη R1 με 15 και το θέτουμε

R1larr 15R1

R1 1 4 5R2 4 minus7 minus26

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάζουμε την R1 με minus4 και τηνπροσθέτουμε στην R2 Εν συντομίαR2larrminus4R1+R2

R1 1 4 5R2 0 minus23 minus46

Στάδιο 3 R2larrminus 123R2

R1 1 4 5R2 0 1 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 109

Στάδιο 4 R1larrminus4R2+R1

R1 1 0 minus3R2 0 1 2

Το αρχικό σύστημα εξισώσεων μετατρέπεται σε διαγώνιαμορφή όπως πιο κάτω

X =minus3Y = 2

το οποίο δίνει τη λύση του συστήματος

Ε Ι Κοντογιώργης copy 110

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 I

Το σύστημα εξισώσεων 3times3 μετετρέπεται σε διαγώνιαμορφή Η μετατροπή γίνεται στήλη με στήλη από τααριστερά προς τα δεξιά

Π Θεωρήστε το σύστημα 3times3

X1 + X2 + X3 = 2X1 minus 3X2 + 2X3 = 7

4X1 minus 2X2 minus X3 = 9

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να γραφτεί ως

Ε Ι Κοντογιώργης copy 111

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 II

1 1 1 21 minus3 2 74 minus2 minus1 9

Ε Ι Κοντογιώργης copy 112

Μεταβλητές και Σταθερές ΙΙ

I Σε ορισμένες περιπτώσεις εμπερικλείουμε τις μεταβλητές σεπαρενθέσεις ´Ετσι (x1x2x3x4)Ο τρόπος αυτός ονομάζεται σύνολο

I Αν ξέρουμε τους πραγματικούς μισθούς τεσσάρωνυπαλλήλων μπορούμε να τους γράψουμε σε σειρά έτσι τοσετ θα έχει τη μορφή (2200016000384322943248)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 12

Ακέραιοι και Πραγματικοί Αριθμοί

I Οι lsquoφυσικοίrsquo αριθμοί (θετικοί ακαίραιοι) δίνονται ως εξής1234 Το σύνολο όλων των φυσικών αριθμώνσυμβολίζεται με το γράμμα N

I Οι lsquoολόκληροιrsquo αριθμοί (μη αρνητικοί ακέραιοι) είναι οιφυσικοί αριθμοί μαζί με το μηδέν 01234

I Οι lsquoακέραιοιrsquo περιλαμβάνουν τους φυσικούς αριθμούς τομηδέν και τους αρνητικούς φυσικούς αριθμούς

minus2minus1012

Η σειρά των ακεραίων συμβολίζεται με Z

Ε Ι Κοντογιώργης copy 13

Ακέραιοι και Πραγματικοί Αριθμοί ΙΙ

I Μια μεταβλητή μπορεί να πάρει πεπερασμένο αριθμότιμών Για παράδειγμα η μεταβλήτή M που υποδειλώνειτους μήνες του χρόνο μπορεί να πάρει τις τιμές

123456789101112

Σε αυτή την περίπτωση η μεταβλητή M είναι μια σειράθετικών ακέραιων μετεβλητών (φυσικοί)

I Η μεταβητή x μισθοί από το προηγούμενο παράδειγμαπαίρνει θετικούς πραγματικούς αριθμούς

I Το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών συμβολίζεταιreal Η σειρά αυτή περιλαμβάνει όλους τους πραγματικούςακέραιους αριθμούς από το μείον άπειρο (minusinfin) ως στοάπειρο (infin)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 14

Ακέραιοι και Πραγματικοί Αριθμοί ΙΙΙ

I Γενικά μια μεταβλητή x που παίρνει πραγματικές τιμέςονομάζεται πραγματική μεταβλητή (real variable) καισυμβολίζεται με x isinreal Με το σύμβολο isin εννοούμε lsquoμέσαrsquolsquoανήκειrsquo κλπ

I Το σύμβολο που χρησιμοποείται για το διαχωρισμό τουακέραιου μέρους σε ένα δεκαδικό αριθμό από τοκλασματικό μέρος ονομάζεται δεκαδικό σημείο (decimalpoint) Eg 314159

I Η δεκαδική θέση (decimal place) είναι η θέση του ψηφίουστα δεξιά του δεκαδικού σημείου

Ε Ι Κοντογιώργης copy 15

Συναρτήσεις Ακέραιων και Πραγματικών

I Συνάρτηση στογγυλοποίησης ή συνάρτηση κοντινότερουδεκαδικούΗ lsquoστρογγυλοποίησηrsquo ενός πραγματικού αριθμού xσυμβολίζεται με [x] ∆ίνει τον πιο κοντινό ακέραιο στοxΠχ [32] = 3 [minus32] =minus3 και [86] = 9Ο πιο πάνω ορισμός είναι δύσκολο να εφαρμοστεί γιαhalf-integers Στις περιπτώσεις αυτές η στρογγυλοποίησηγίνεται προς τα πάνω μόνο για τους μονούς αριθμούςέτσι ώστε να αποφεύγεται η μεροληπτικότηταΠχ [35] = 4 [45] = 4 και [05] = 0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 16

I Στρογγυλοποίηση προς τα πάνω ή συνάρτησημικρότερου ακεραίουΗ lsquoστρογγυλοποίηση προς τα πάνωrsquo ενός πραγματικούαριθμού x συμβολίζεται με dxe Μας δίνει το μικρότεροδυνατό ακέραιο που είναι μεγαλύτερος ή ίσος από το xΠχ d32e= 4 dminus32e=minus3 d35e= 4 και d36e= 4

I lsquoΣτρογγυλοποίηση προς τα κάτωrsquo ή συνάρτησημεγαλύτερου ακεραίουΤο lsquoκατώτατο όριοrsquo ενός πραγματικού αριθμού xσυμβολίζεται bxc ∆ίνει το μεγαλύτερο δυνατό ακέραιοπου είναι μικρότερος ή ίσος από το xΠχ b32c= 3 bminus32c=minus4 b35c= 3 και b36c= 3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 17

Σταθερές

I ´Ενας αριθμός που αντιπροσωπεύει μια ποσότητα πουθεωρείται ότι έχει σταθερή τιμή ονομάζεται lsquoσταθεράrsquo Ητιμή μιας σταθεράς ενώ δε μεταβάλλεται πιθανό να μηνπροσδιορίζεται

I Οι πιο σημαντικές πραγματικές σταθερές είναι

1 Το π= 314159 Είναι ο δείκτης που υποδειλώνει τηνπεριφέρεια του κύκλου ακτίνια Ονομάζεται και σταθερά τουΑρχιμήδη

2 Το exp = 271828 που υποδειλώνει τη βάση του φυσικούλογάριθμου

Ε Ι Κοντογιώργης copy 18

Σύμβολα Κατεύθυνσης

I Το σύμβολο lsquogtrsquo που σημαίνει lsquoμεγαλύτεροrsquo καθώς και τοlsquogersquo που σημαίνει lsquoμεγαλύτερο ή ίσοrsquo

I Το σύμβολο lsquoltrsquo που σημαίνει lsquoμικρότεροrsquo καθώς και το lsquolersquoπου σημαίνει lsquoμικρότερο ή ίσοrsquo

I Παράδειγμα Οι μεταβλητές που συμβολίζουν τουςμηνιαίους μισθούς xge 0 Οι μεταβλητές που συμβολίζουντους μήνες του χρόνου 0ltMlt13 που μπορούν επίσης ναγραφτούν 1leMle 12

Ε Ι Κοντογιώργης copy 19

∆υνάμειςI Οι εκθέτες αποτελούν συντομογραφία του

πολλαπλασιασμού (5)(5) = 52 και (5)(5)(5) = 53 Εδώτο 5 λέγεται βάση και το 3 λέγεται εκθέτης Μπορείεπίσης να ερμηνευτεί πέντε υψωμένο στην τρίτη δύναμη

I Η δύναμη είναι ο εκθέτης στον οποίο υψώνεται μιαποσότητα Η έκφραση xn είναι γνωστή ως x στη nδύναμη

I Σημειώστε ότι 5253 = (55)(555) = 55 = 5(2+3) Εδώπαρουσιάζεται ένας βασικός κανόνας του εκθέτη Στηπερίπωση που πολλαπλασιάζονται δύο όροι που έχουντην ίδια βάση οι εκθέτες τους μπορούν να προστεθούν

xmxn = x(m+n)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 20

I Στην περίπτωση όμως που (x4)(y3) ο πιο πάνω κανόναςδε μπορεί να εφαρμοστεί γιατί οι βάσεις είναιδιαφορετικές (x4)(y3) = xxxxyyy

I Για (x2)4

= x2x2x2x2 = xxxxxxxx= x8 = x(2times4)

I ´Ετσι στην περίπτωση που έχετε μια εκθετική έκφρασηπου είναι υψωμένη σε μία δύναμη μπορείτε ναπολλαπλασιάσετε τον εκθέτη με τη δύναμη

(xm)n

= xmn

Ε Ι Κοντογιώργης copy 21

I Εάν έχετε μια έκφραση μέσα σε παράνθεση και ηπαράνθεση είναι υψωμένη σε μια δύναμη τότε η δύναμημπορεί να γίνει μέρος τις παράνθεσης Για παράδειγμα

(xy2)3 = (xy2)(xy2)(xy2) = (xxx)(y2y2y2)

= (xxx)(yyyyyy) = x3y6 = (x)3(y2)3 = x3y6

Παρομοίως(xy)2

=x2y2

I ´Ενας αρνητικός εκθέτης είναι ένδειξη ότι η βάση βρίσκεταιστον παρονομαστή του κλάσματος Πχ

xminus2 =1x2

x2xminus3 = x2x3 = x5 2xminus1 =

2x

(3x)minus2 =1

(3x)2 =1

9x2 και(xminus2yminus3

)minus2=

(xminus2)minus2

(yminus3)minus2=x4y6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 22

I Οτιδήποτε στη δύναμη μηδέν είναι lsquo1rsquo

Πχ 50 = 1 x0 = 1 (x2y3)0 = 1 και 00 = 1

Σημειώστε ότι 50 = 5(1minus1) = (51)(5minus1) =55 = 1

I Μηδέν σε οποιαδήποτε δύναμη είναι μηδέν έτσι 0n = 0

Σημειώστε ότι 00 = 1 και ότι 00 = 0

Αυτό υποδειλώνει ότι 00 είναι μια απροσδιόριστη μορφήπου σε κάποιες περπτώσεις παίρνει μία τιμή και σεκάποιες άλλες περιπτώσεις παίρνει διαφορετική τιμή

Ε Ι Κοντογιώργης copy 23

I Κλασματικοί (Αναλογικοί) Εκθέτες

1 Η τετραγωνική ρίζα μπορεί να γραφτεί σε μορφή κλάσματος

´Ετσι radicx= x12

Πχ 212 =

radic2 = 141 και 2

minus12 =

1radic2

= 071

2 Γενικά xab =bradicxa Πχ 7

23 =

3radic72 = 366

355 = 3112 =

2radic311 = 42089

Ε Ι Κοντογιώργης copy 24

ΛογάριθμοιI Η λογαριθμική μορφή ενός αριθμού είναι lsquoαντίθετηrsquo από

την εκθετική Τεχνικά μιλώντας η λογαριθμική μορφήείναι αντίστροφη της εκθετικής

I Η σχέση δίνεται logb(x) = y

που είναι το ίδιο με by = x

I Ο lsquolsquologb(x) = yrsquorsquo προφέρεται lsquolsquolog-βάση-b-του x ισούται yΕδώ b ονομάζεται lsquoβάση του λογαρίθμουrsquo αφού το b είναιη βάση της εκθετικής έκφρασης

I Η βάση b του λογάριθμου είναι πάντοτε θετική και δενισούται με 1

I Οτιδήποτε βρίσκεται μέσα στο λογάριθμο ονομάζεταιέκφραση

Ε Ι Κοντογιώργης copy 25

ΠαραδείγματαI Μετατρέψτε την έκφραση 63 = 216 στην ισοδύναμη

λογαριθμική μορφή

Για τη μετατροπή η βάση μένει η ίδια αλλά το 3 και το216 αλλάζουν θέσεις Αυτό μας δίνει

log6(216) = 3

I Μετατρέψτε τον log4(1024) = 5 στην αντίστοιχηλογαριθμική έκφραση

Για τη μετατροπή η βάση (που είναι 4) παραμένει η ίδιααλλά το 1024 και το 5 αλλάζουν θέσεις ´Ετσι δίνεται

45 = 1024

Ε Ι Κοντογιώργης copy 26

I Υπολογίστε τον log2(8)

Εάν y= log2(8) τότε υπονοείται ότι 2y = 8 Αυτόσημαίνει ότι y είναι η δύναμη του 2 που θα έχει σαναποτέλεσμα 8 Η δύναμη που δίνει το αποτέλεσμα είναι 3αφού 23 = 8 ´Ετσι

log2(8) = 3

I Κατά παρόμοιο τρόπο log5(25) = 2 αφού 52 = 25

I Υπολογίστε τον y= log64(4)

Σημειώστε ότι 64y = 4 και 43 = 64

´Ετσι (43)y

= 4 ή 43y = 41

Η πιο πάνω έκφραση εξυπονοεί ότι 3y= 1 και έτσιy= 13

Ε Ι Κοντογιώργης copy 27

I Υπολογίστε y= log6(6)

Αυτό ισοδυναμεί με το 6y = 6 και συνεπώς y= 1

I Υπολογίστε το y= log3(1)

Το πιο πάνω μπορεί να γραφτεί ως 3y = 1

´Ομως 1 = 30 έτσι 3y = 30 και y= 0

I Υπολογίστε το y= log4(minus16)

Μπορεί να γραφτεί σαν 4y =minus16

´Ομως δεν υπάρχει τιμή (πχ δύναμη) y που ναικανοποιεί τη σχέση ´Ετσι δεν υπάχρει λύση

Ε Ι Κοντογιώργης copy 28

I Υπολογίστε το y= log2(0)

Αυτό σημαίνει 2y = 0 όμως δε υπάρχει τιμή που ναικανοποιεί τη σχέση ´Ετσι δεν υπάχρει λύση

I Υπολογίστε το y= 2log2(9)

Αυτό σημαίνει ότι log2(y) = log2(9) και έτσι y= 9

Ε Ι Κοντογιώργης copy 29

I Γενικά1 logb(b) = 1 για οποιαδήποτε βάση b

2 logb(1) = 0 για οποιαδήποτε βάση b

3 logb(a) δεν ορίζεται για αρνητικά a

4 logb(0) δεν ορίζεται για οποιαδήποτε βάση b

5 logb(bn) = n για οποιαδήποτε βάση b

Ε Ι Κοντογιώργης copy 30

I Οι λογάριθμοι μπορούν να πάρουν οποιοδήποτε αριθμόσαν βάση αλλά δύο βάσεις είναι οι πιο χρήσιμες οlog-βάση-10 και ο log-βάση-e

I Η βάση-10 log συχνά ονομάζεται ο κοινός log καιγράφεται ως log(x) Εδώ δεν αναγράφεται βάση καιμπορούμε να υποθέσουμε ότι η βάση είναι 10

Πχ log(100) = 2 έτσι log10(102) = 2

I Η βάση-e log ονομάζεται ο φυσικός log και γράφεται σανln(x)Πχ ln(e345)= 345 καθώς loge(e345) = 345

Ε Ι Κοντογιώργης copy 31

Ιδιότητες Λογαρίθμωνlogb(xy) = logb(x) + logb(y)

Απόδειξη´Εστω m= logbx και n= logby

Γράψτε σε μορφή εκθέτη x= bm και y= bn

Πολλαπλασιάστε το x και y ούτως ώστεxy= bmbn = bm+n

´Ετσι από τον ορισμό των λογαρίθμων το xy= bm+nσυνεπάγει ότι

logb(xy) =m+n= logbx+ logb(y)

Πχ log2(4times16) = log2(64) = log2(26) = 6

Ακόμα log2(4times16) = log2(4) + log2(16) = 2+4 = 6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 32

logb(xy)

= logb(x)minus logb(y)

Απόδειξη´Εστω m= logbx και n= logby

Γράψτε σε μορφή εκθέτη x= bm και y= bn

∆ιαίρα το x και y ούτως ώστε xy =bmbn = bmminusn

´Ετσι από τον ορισμό των λογαρίθμων το xy = bmminusn

συνεπάγει ότι

logb(xy)

=mminusn= logbxminus logb(y)

Πχ log2(16

4)

= log2(4) = 2

και log2(16

4)

= log2(16)minus log2(4) = 4minus2 = 2Ε Ι Κοντογιώργης copy 33

logb(xn) = n logb(x)

Απόδειξη´Εστω m= logbx και γράψτε σε μορφή εκθέτη x= bm

Αυξάνοντας τις δύο πλευρές στην n δύναμη παίρνουμεxn = (bm)n = bmn

´Ετσι από τον ορισμό των λογαρίθμων τοlogbxn =mn= nm= n(logbx)

Πχ log2(64) = log2(26) = 6 log2(2) = 6

log(64) = 18

Επιπλέον log(64) = log(26) = 6log(2) = 6times030 = 18

Ε Ι Κοντογιώργης copy 34

logb(x) =loga(x)loga(b) agt0 a 6= 1

Απόδειξη´Εστω m= logbx rArr x= bm

Εφαρμόστε loga και στις δύο πλευρές του x= bmγια ναδώσει

logabm = logax rArr m logab= logaxrArr m=logaxlogab

rArr logbx=logaxlogab

Πχ log5(20) =log(20)

log(5)= 186 =

ln(20)

ln(5)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 35

logb(a) =1

loga(b) agt0 a 6= 1

Απόδειξη

logb(x) =loga(x)loga(b) =

logx(x)logx(b)

=1

loga(b)

´Οταν a= x

Πχ log2(64) =1

log64(2)=

116 = 6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 36

Αθροισμα

I Υποθέστε ότι έχουμε μια μεταβλητή x που μπορεί ναπάρει δέκα τιμές Εάν ενδιαφερόμαστε για το άθροισμάτους χωρίς να ξέρουμε την τιμή της κάθε μεταβλητής τότεο καλύτερος τρόπος να το εκφράσουμε είναι

x1 +x2 + middot middot middot+x9 +x10

I Εν συντομία το άθροισμα n στοιχείων x1 +x2 + middot middot middot+xn είναιnsum

i = 1xi

και ερμηνεύεται σαν το άθροισμα όλων των xirsquosξεκινώντας από το x1 (πχ i = 1) μέχρι xn (i = n)

I Εάν δε δοθεί διαφορετικά πάντοτε υποθέτουμε ότι το iαυξάνεται ξεκινώντας από το στάδιο 1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 37

I Το lsquolsquoSigmarsquorsquo Σ είναι γνωστό ως το άθροισμα (summation) ήσύμβολο σίγμα (sigma operator) και ο δείκτης i όνομάζεταιεικονική μεταβλητή

I Παραδείγματα

I

5sum

i = 1xi = x1 +x2 +x3 +x4 +x5

I

5sum

i = 1(y2

i ) = y21 +y22 +y23 +y24 +y25

Σημειώστε ότι η μόνη μεταβλητή που περιγράφεται απευθείαςκάτω από το σύμβολο Σ αυξάνεται κατά 1 κάθε φορά ενώ όλατα άλλα σύμβολα παραμένουν τα ίδια

I

4sum

r = 1(x3r ) = x31 +x32 +x33 +x34

Ε Ι Κοντογιώργης copy 38

I6sum

i = 1i = 1+2+3+4+5+6

I6sum

i = 1i2 = 12 +22 +32 +42 +52 +62

I7sum

i = 3xi = x3 +x4 +x5 +x6 +x7

I4sum

i = 1a = a+a+a+a= 4a

I3sum

i = 1(4+xi) = (4+x1) + (4+x2) + (4+x3)

=3sum

i = 14+

3sum

i = 1xi

Ε Ι Κοντογιώργης copy 39

I3sum

i = 1(2xi) = (2x1) + (2x2) + (2x3) = 2times

3sum

i = 1xi

I Ο συντελεστής i παραλείπεται εάν δε προκαλείαοριστία Για παράδειγμα Σx ή Σixi σημαίνειάθροισμα όλων των x που λαμβάνονται υπόψη

I ∆ήλωσηI

nsumi=1a= na

I sumiaxi = asum

ixi

I sumi

(axi+byi) = asumixi +bsum

iyi

Ε Ι Κοντογιώργης copy 40

I Αθροιστικός Τύπος

Insum

i = 1i = 1+2+ middot middot middot+n=

n(n+1)

2

Πχ6sumi = 1i = 1+2+3+4+5+6 =

6(6+1)

2 = 21

Insum

i = 1i2 = 12 +22 + middot middot middot+n2 =

n(n+1)(2n+1)

6

Πχ6sumi = 1i2 = 12 +22 +32 +42 +52 +62

=6(6+1)(12+1)

6 = 91

Ε Ι Κοντογιώργης copy 41

Insum

i = 1i3 = 13 +23 + middot middot middot+n3 =

n2(n+1)2

4

Πχ6sumi = 1i3 = 13 +23 +33 +43 +53 +63

=62(6+1)2

4 = 441

Ε Ι Κοντογιώργης copy 42

ΠαραδήγματαΑριθμητική Πρόοδος

I Γενικά μπορούμε να εκφράσουμε μια αριθμητική πρόοδο ωςεξής

αριθμητική πρόοδος a a+d a+2d a+3d

όπου ο πρώτος όρος είναι a και η διαφορά d Ο όρος nτης απ δίνεται από τη σχέση b = a+ (nminus1)d

I 3 5 7 9 11 είναι μια αριθμητική πρόοδος Οπρώτος όρος είναι το 3 και η διαφορά είναι 2

I 2 minus1 minus4 minus7 είναι μια αριθμητική πρόοδος όπου οπρώτος όρος είναι 2 και η διαφορά minus3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 43

I Το άθροισμα των όρων μιας αριθμητικής προόδου είναιγνωστό ως αριθμητική σειρά

Sn = a+ (a+d) + (a+2d) + middot middot middot+ (a+ (nminus1)d)

=nsumi=1

(a+ (iminus1)d

)= na+

nsumi=1

(iminus1)d

= na+dnminus1sumi=1

i = na+d(nminus1)n2

=n2(2a+d(nminus1)) =

n2(a+b) b = a+d(nminus1)

I ΑΠ 3 5 7 9 11 13 rArr Sn =62(3+13) = 48

Ε Ι Κοντογιώργης copy 44

∆ιπλό Αθροισμα4sumi=1

isumj=1

j = (1) + (1+2) + (1+2+3) + (1+2+3+4) = 20

nsumi=1

isumj=1

j =nsumi=1

( isumj=1

j)

nsumi=1

(12 i(i+1)

)=

12

nsumi=1

(i2 + i)

12( nsumi=1

i2 +nsumi=1

i)

=12(16n(n+1)(2n+1) +

12n(n+1)

)

=12

16n(n+1)

((2n+1) +3

)=

n6(n+1)(n+2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 45

∆ιπλό Αθροισμα

nsumi=1

msumj=1

(i+ j+2) =nsumi=1

( msumj=1

(i+ j+2))

nsumi=1

( msumj=1

i+msumj=1

j+msumj=1

2)

=nsumi=1

(mi+ 1

2m(m+1) +2m)

m( nsumi=1

i+ 12

nsumi=1

(m+5))

= m(12n(n+1) +

12n(m+5)

)

=mn2(m+n+6

)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 46

Insumr=1

1r(r+1)

=nsumr=1

(Ar +

Br+1

)=

nsumr=1

A(r+1) +Brr(r+1)

I A(r+1) +Br = 1

I Για r = 0 τότε A= 1 και για r =minus1 τότε B=minus1

I

nsumr=1

1r(r+1)

=nsumr=1

(1r minus

1r+1

)

=(

(11 minus

12) + (

12 minus

13) + (

13 minus

14) + middot middot middot+ (

1nminus1 minus

1n ) + (

1n minus

1n+1)

)

= 1minus 1n+1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 47

Insumk=1

1(k+2)(k+3)

=nsumk=1

( A(k+2)

+B

(k+3)

)=

nsumk=1

A(k+3) +B(k+2)

(k+2)(k+3)

I A(k+3) +B(k+2) = 1

I Για k=minus2 τότε A= 1 και για k=minus3 τότε B=minus1

I

nsumk=1

1(k+2)(k+3)

=nsumk=1

( 1(k+2)

minus 1(k+3)

)

=(

(13 minus

14)+(

14 minus

15)+(

15 minus

16)+ +(

1n+1 minus

1n+2)+(

1n+2 minus

1n+3)

)

=13 minus

1n+3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 48

Αθροισμα με Λογάριθμους

nsumi=1

logb(i) = logb(1) + logb(2) + middot middot middot+ logb(n)

= logb(1times2times3timesmiddotmiddot middottimesn)

= logb(n)

I Το n (n παραγοντικό) δίνεται από n = 1times2timesmiddotmiddot middottimesn και0 = 1

I100sumi=1

log2(100) = log2(100) =log(100)

log(2)=

log(99)

log(2)+

2log(2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 49

Γινόμενο των ακολουθιώνIn

prodi=1xi = x1timesx2timesx3timesmiddotmiddot middottimesxn

In

prodi=1i = 1times2times3timesmiddotmiddot middottimesn= n

In

prodi=1z= ztimesztimesmiddotmiddot middottimesz= zn

I

nprodi=1

(1+

1i+1

)=(1+

12)times(1+

13)times(1+

14)times times(1+

1n )times(1+

1n+1)

=32 times

43 times

54 timesmiddotmiddot middottimes

n+1n times n+2

n+1

=n+22

Ε Ι Κοντογιώργης copy 50

Γεωμετρικές ΠροόδοιI Μια γεωμετρική πρόοδος είναι μια σειρά αριθμών όπου

κάθε όρος μετά των πρώτο υπολογίζεται από τονπολλαπλασιασμό του προηγούμενου όρου με ένασταθερό αριθμό που καλείται αναλογία

I Η σειρά1 3 9 27 81 middot middot middot

είναι μια γεωμετρική πρόοδος με πρώτο όρο το 1 καιαναλογία 3

I Η αναλογία μπορεί να είναι κλάσμα καθώς επίσης καιαρνητικός αριθμός Για παράδειγμα η γεωμετρικήπρόοδος με πρώτο όρο το 2 και αναλογία minus13 είναι

2 minus 23 +

29 minus

227 +

281 middot middot middot

Ε Ι Κοντογιώργης copy 51

I Γενικά μπορούμε να γράψουμε μια γεωμετρική πρόοδο ωςακολούθως

γεωμετρική πρόοδος a ar ar2 ar3 ar4 middot middot middot

όπου ο πρώτος όρος είναι a και η αναλογία r

I Σημαντικά θεωρήματα των γεωμετρικών προόδων (γπ)1 Ο n όρος μιας γπ δίνεται από ar(nminus1)

2 Το άθροισμα των πρώτων n όρων μιας γπ είναι

Sn =a(1minus rn)

1minus r =a(rnminus1)

rminus1 και ισχύει μόνο αν r 6= 1

I Το άθροισμα των όρων μιας γεωμετρικής προόδουονομάζεται γεωμετρική σειρά

Ε Ι Κοντογιώργης copy 52

Γεωμετρική σειρά

Sn = a+ar+ar2 +ar3 + middot middot middot+arnminus2 +arnminus1

rSn = ar+ar2 +ar3 + arnminus1 +arn

Snminus rSn = aminusarn

(1minus r)Sn = a(1minus rn)

Sn =a(1minus rn)

(1minus r) =a(rnminus1)

(rminus1)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 53

I Παράδειγμα1 Βρείτε το άθροισμα των πρώτων 10 όρων μιας γεωμετρικής

σειράς4 8 16 32

Ο πρώτος όρος είναι a= 4 και η αναλογία r = 2 καιn= 10 ´Ετσι

S10 =4(1minus210)

1minus2 = 4092

2 Θεωρείστε τη γπ4 minus8 16 minus32 64 minus128 256 minus512

Σε αυτή την περίπτωση ο πρώτος όρος είναι a= 4 ηαναλογία είναι r =minus2 και n= 8´Ετσι

S8 =4(1minus (minus2)8)

1minus (minus2)=minus340

Ε Ι Κοντογιώργης copy 54

Συνεχείς ανατοκισμός

Οι περισσότεροι τραπεζικοί λογαριασμοί και τα δάνειαυιοθετούν ανατοκισμό - εφαρμόζοντας συνεχή ανατοκισμόΘεωρείστε ένα λογαριασμό που προσφέρει τόκο με ετήσιοεπιτόκιο r (πχ 7) Εάν το επιτόκιο είναι συνεχέςσε χρονιαία βάση τότε μετά από 1 χρόνο το χρονιαίοεπιτόκιο προστίθεται στο αρχικό κεφάλαιο για νακαθορίσει ένα μεγαλύτερο κεφάλαιο τον δεύτερο χρόνο

´Ετσι κατά τη διάρκεια του δεύτερου χρόνου ολογαριασμός κερδίζει επιτόκιο πάνω στο επιτόκιοΑυτή είναι η επίδραση του ανατοκισμού που συνεχίζεταιχρόνο με το χρόνο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 55

I Με τον ετήσιο ανατοκισμό το κεφάλαιο πουσυσσωρεύεται στο λογαριασμό πολλαπλασιάζεται με

(1+ r)

´Ετσι το κεφάλαιο A θα αυξηθεί σε

A(1+ r) = A+A middot r

τον επόμενο χρόνο

I Με το πέρας και του δεύτερου χρόνου το κεφάλαιο θααυξηθεί ακόμα (1+ r) σε (1+ r)2

´Ετσι το κεφάλαιο καταλήγει σε

A(1+ r)(1+ r) = A(1+ r)2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 56

I Κατά παρόμοιο τρόπο στο τέλος του τρίτου χρόνου τοποσό θα αυξηθεί κατά (1+ r)3

I Μετά από n χρόνια το ποσό θα αυξηθεί κατά (1+ r)n

I ´Ετσι το κεφάλαιο (επένδυση) A θα αυξηθεί με συνεχήανατοκισμό σε A(1+ r)n μετά από n χρόνια

I Ο τύπος (1+ r)n εκθέτει γεωμετρική αύξηση λόγω τηςn δύναμης

Ε Ι Κοντογιώργης copy 57

ΠαραδείγματαI Εάν το επιτόκιο είναι r = 5 τότε το κεφάλαιοA= $1000 που βρίσκεται στην τράπεζα n= 20 χρόνιαθα αυξηθεί κατά

(1+ r)n = (1+005)20 = 2653 φορές

´Ετσι το ποσό θα καταλήξειA(1+ r)n = $265330

I Βρέστε το χρόνο που χρειάζεται για ένα λογαργιασμό ναδιπλασιάσει το διαθέσιμο κεφάλαιο του όταν r = 7 καιr = 10Ζητούμε να βρούμε το n έτσι ώστε

(1+ r)n = 2Ε Ι Κοντογιώργης copy 58

I Υπολογίζοντας το λογάριθμο του τελευταίου παίρνουμε

log(1+ r)n = log(2)ή n log(1+ r) = log(2)

´Ετσιn=

log2log(1+ r)

I Για r = 7 και r = 10 ο χρόνος n πουχρειάζεται για διπλασιασμό της επένδυσης υπολογίζεταισε 1024 και 727 αντίστοιχα

Ε Ι Κοντογιώργης copy 59

I Αν το επιτόκιο είναι r = 7 τότε πιο θα είναι τοσυνολικό ποσό στο λογαριασμό μετά από 205 και41 χρόνια αντίστοιχα

Μετά τα πρώτα 1025 χρόνια το ποσό A θαδιπλασιαστεί σε 2A Για τα επόμενα 1025 χρόνιατο ποσό θα ξαναδιπλασιαστεί σε 4A ´Ετσι μετά από205 χρόνια το ποσό θα αυξηθεί κατά 4 φορές

Με το πέρας ακόμα 205 χρόνων το ποσό θα αυξηθείακόμα 4 φορές σε 16 ´Ετσι μετά από 41 χρόνιατο κεφάλαιο A γίνεται 16A

Ε Ι Κοντογιώργης copy 60

Ασκήσεις και Παραδείγματα

I Υπολογίστε τη Μελλοντική Αξία (Future Value (FV)) τουκεφαλαίου A= 1500 που κερδίζει ετήσιο επιτόκιοr = 5 για n= 10 έτη

FV =A(1+ r)n = 1500(1+005)10 = 244334

I Πόσα έτη απαιτούνται για να τριπλασιαστεί ένα ποσόπου αφήνετε στην τράπεζα με επιτόκιο r = 5∆ηλαδή βρείτε το n όπου A= 1 r = 5 και FV = 3

FV =A(1+ r)n ή (1+ r)n =FVA

Ε Ι Κοντογιώργης copy 61

Υπολογίζοντας τους λογαρίθμους παίρνουμε

log(1+ r)n = log(FVA)

ή n log(1+ r) = log(FVA)

´Ετσι

n=log(FVA)

log(1+ r) =log(3)

log(105)

= 2252

Ε Ι Κοντογιώργης copy 62

I Βρείτε την παρούσα αξία A έτσι ώστε σε δέκα έτη μεσταθερό επιτόκιο r = 6 να είναι 100KΒρείτε το A όπου FV = 100000 r = 6 και n= 10

FV =A(1+ r)n ή A=FV

(1+ r)n

´Ετσι A=100000

(106)10= 5583948

I Βρείτε την ετησιοποιημένη απόδοση (AER AnnualEquivalent Rate) μιας μηνιαίας κατάθεσης με σταθερόεπιτοκίο 394 Μια τέτοια κατάθεση λαμβάνει το επιτόκιο στη λήξηΣυνεπώς κάθε μήνα ο λογαριασμός λαμβάνει

r = 0039412 = 000328

επιτόκιο που επανεπενδύεται (συνεχής ανατοκισμός)Ε Ι Κοντογιώργης copy 63

Επανεπενδύοντας το επιτόκιο κάθε μήνα στη διάρκειαενός έτους το κεφάλαιο θα αυξηθεί σε

(1+ r)12 = (1+000328)12 = 104012

´Ετσι το ΑΕΡ είναι ισοδύναμο με 004012 = 4012I Υπολογίστε το επιτόκιο ενός σταθερού λογαριασμού

κατάθεσης 7-ημερών που έχει AER επιτόκιο r = 425Θεωρείστε ρ το εβδομαδιαίο επιτόκιο

´Ετσι (1+ρ)52 = (1+00425)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 64

Παίρνοντας τους λογαρίθμους έχουμε52log(1+ρ) = log10425

ή log(1+ρ) =log10425

52

ή 1+ρ= 10( log10425

52)

Αυτό μας δίνει

ρ= 10

( log1042552

)minus1 = 008

´Ετσι το συνεχές επιτόκιο μιας επταήμερης κατάθεσης είναιρtimes52 = 41638

Εναλλακτικά (1+ρ)52 = (1+00425) δίνει

(1+ρ) =52radic10425ή ρ=

52radic10425minus = 008Ε Ι Κοντογιώργης copy 65

I Υπολογίστε την ετήσια απόδοση r έτσι ώστε A= 10000να επιστρέφει FV = 35000 σε n= 20 χρόνια

FV =A(1+ r)n ή (1+ r)n =FVA

´Ετσι

1+ r =nradic

FVA

Επομένως

r =nradic

FVA minus1 =

20radic

3500010000 minus1 = 00646 = 646

Ε Ι Κοντογιώργης copy 66

Εναλλακτικά παίρνοντας τους λογαρίθμους

log(1+ r)n = log(FVA) ή n log(1+ r) = log

(FVA)

´Ετσι

1+ r = 10(1n log

(FVA))

ή r = 10(1n log

(FVA))minus1

= 10( 120 log

(3500010000

))minus1

= 646

Ε Ι Κοντογιώργης copy 67

Γραφική Αναπαράσταση I

I Υποθέστε ότι έχουμε y= 3x+2 Καθώς έχουμε μόνο μιαδύναμη για το x πρέπει να λύσουμε γραμμική εξίσωσηκαι να σχεδιάσουμε μια ευθεία γραμμή Αρχικά θα πρέπεινα σχεδιάσουμε ένα T-chart Αυτό έχει τη μορφή

x y = 3x+2 (xy)

I Επιλέγουμε μια τιμή για το x και λύνουμε ως προς y

x y= 3x+2 (xy)minus2 minus4 (minus2minus4)0 2 (02)2 8 (28)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 68

Γραφική Αναπαράσταση II

-

6

X

Y

bull

bull

bull

I Βλέπουμε μια ευθεία με ανοδική τάση (έχοντας θετικήκλίση m= 3) καιτέμνει τον άξονα y στο σημείο y= 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 69

Γραφική Αναπαράσταση III

I Μια Τετραγωνική εξίσωση περιέχει x2 Για τηναναπαράσταση τετραγωνικών εξισώσεων χρειάζεται ναβρούμε περισσότερα από τρία σημεία στο σχεδιάγραμμα

Για παράδειγμα υποθέστε ότι y= x2minus6x+5 καιδίνεται το πιο κάτω T-chart

x y= x2minus6x+5 (xy)0 5 (05)1 0 (10)3 minus4 (3minus4)5 0 (50)6 5 (65)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 70

Γραφική Αναπαράσταση IV

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

-

6

X

Y

bull

bull

bull

bull

bull

Ε Ι Κοντογιώργης copy 71

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(1x + 2)

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(-3x + 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 72

-15

-10

-5

0

5

10

15

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(3x - 2)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 73

-20

0

20

40

60

80

100

120

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2+x)

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 74

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

1250

1500

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3+x2+x)

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x4)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 75

-25

-2

-15

-1

-05

0

05

1

15

2

25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(log(x))

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(x))

Ε Ι Κοντογιώργης copy 76

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(-x))

-5000

0

5000

10000

15000

20000

25000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(exp(x)+x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 77

Ανισότητες I

I Οι ανισότητες αποτελούνται από δύο ή τρεις αλγεβρικέςεκφράσεις που είναι συνδεδεμένες με τα σύμβολαανισότητας Τα σύμβολα αυτά είναι

lt μικρότερο τουgt μεγαλύτερο τουle μικρότερο ή ίσο τουge μεγαλύτερο ή ίσο του

I Παραδείγματα xgty yge x2 και ylt5x+1

I Το πρώτο βήμα για την αναπαράσταση ανισότητας τηςμορφής ygtx είναι να παραστήσουμε γραφικά τηνισότητα y= x

Ε Ι Κοντογιώργης copy 78

Ανισότητες II

I ygtx

Κάνετε δοκιμή με ένα σημείο να δείτε κατά πόσοικανοποιεί την ανισότητα Εάν ναι τότε σκιάστε τηνπεριοχή αυτή του σχεδιαγράμματος διαφορετικά σκιάστετην άλλη πλευρά

Ε Ι Κοντογιώργης copy 79

Ανισότητες III

I yltx

Ε Ι Κοντογιώργης copy 80

Ανισότητες IV

I yle 5x+1 και ygt5x+1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 81

Ανισότητες V

I yge x2 και yle x2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 82

Ανισότητες VI

I ygtx3 και yle x3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 83

Συστήματα Γραμμικών ΕξισώσεωνΠεριεχόμενα

1 Ε

2 Γ Α

ΑναφορέςΚεφάλαια 4 και 5FS Budnick Applied Mathematics for Business Economicsand the Social Sciences 4th edition McGraw-Hill 1993

Ε Ι Κοντογιώργης copy 84

Συστήματα Εξισώσεων

I ´Ενα σύστημα εξισώσεων συνδυάζει περισσότερες από μίαεξισώσεις

I ´Ενα σύστημα m εξισώσεων όπου κάθε εξίσωσηαποτελείται από n μεταβλητές ονομάζεται mtimesnσύστημα ή λέμε ότι έχει διαστάσεις mtimesn

I ΠαράδειγμαΠαρακάτω έχουμε ένα σύστημα 2times2

5X+10Y= 203X+4Y= 10

Οι μεταβλητές σε αυτή την περίπτωση είναι X και YΕ Ι Κοντογιώργης copy 85

Συστήματα Επίλυσης

I Το Σύστημα επίλυσης είναι μια σειρά τιμών μεταβλητώνπου ικανοποιούν το σύστημα ταυτόχρονα

I Σε μια σημειογραφική παράσταση το προηγούμενοπαράδειγμα μπορεί να γραφτεί ως εξής

S = (XY) | 5X+10Y = 20 και 3X+4Y = 10

I Το σύστημα επίλυσης μπορεί να είναι1 μηδενικό2 πεπερασμένο ή3 άπειρο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 86

2times2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική Ανάλυση

I Σε ένα δισδιάστατο γράφημα ένα σύστημα εξισώσεων2times2 αναπαρίστανται με ευθείες γραμμές Υπόρχουν τρίαενδεχόμενα

1 Οι ευθείες τέμνονται Το σημείο τομής αντιπροσωπεύει τηλύση του συστήματος εξισώσεων Αυτό το σημείοαλληλεπίδρασης είναι μια δέσμη τιμών X και Y που ικανοποιείκαι τις δύο εξισώσειςΕάν υπάρχει μόνο μια δέσμη τιμών για τις μεταβλητές που ναικανοποιεί το σύστημα εξισώσεων το σύστημα λέμε ότι έχειΜ Λ

2 Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες μεταξύ τους ∆εν έχουν κοινόσημείο Συνεπώς οι ευθείες δεν τέμνονται ποτέ Το σύστημαλέμε ότι ∆ ΛΑυτό υπονοεί ότι δεν υπάρχουν τιμές για τις μεταβλητές πουνα ικανοποιούν και τις δύο εξισώσεις Σε αυτή τηνπερίπτωση οι εξισώσεις στο σύστημα είναι Α

3 Και οι δύο εξισώσεις αναπαρίστανται ως μια κοινή ευθεία καιθεωρούνται ισοδύναμες εξισώσεις ´Ετσι το σύστημα έχειΑ Λ Αυτό συμβαίνει γιατί υπάρχει άπειροςαριθμός κοινών σημείων στις δύο γραμμές

Ε Ι Κοντογιώργης copy 87

I Π Θεωρείστε ένα σύστημα 2times22X+4Y= 203X+ Y= 10

I

X

Y

(24)

3X +Y = 10

2X +4Y = 20

0 2 4 6 8 10 12

2

4

6

8

10

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 88

I Το σημείο τομής δίνεται από το X= 2 και Y= 4Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές του X και Y στις δύοεξισώσεις δίνουν 20 = 20 και 10 = 10 αντίστοιχα

I Αυτό υποδειλώνει ότι X= 2 και Y= 4 είναι η σωστή λύση

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times23Xminus2Y= 6

minus15X+10Y=minus30

I

X

Y

(20)

(0minus3)

3X minus2Y = 6

minus15X +10Y =minus30

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 89

I Οι δύο εξισώσεις απλοποιούνται σε Xminus 23 Y= 2

Οι δύο εξισώσεις είναι ισοδύναμες και δίνουν έναπεπερασμένο αριθμό λύσεων έτσι ώστε

X= 0 Y =minus3X= 2 Y = 0X= 4 Y = 3

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times26Xminus12Y= 24

minus32X+3Y= 9

Οι εξισώσεις απλοποιούνται σεXminus2Y= 4Xminus2Y=minus6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 90

I

X

Y

(40)

(0minus2)

(minus60)

(03)

X minus2Y =minus6

X minus2Y = 4

0-0

I Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες και συνεπώς το σύστημαδεν έχει λύση ´Ετσι το σύστημα εξισώσεων είναιασύμπτωτο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 91

Περίληψη 2times2 Συστήματα Εξισώσεων∆ίνεται ένα Σύστημα Γραμμικών Εξισώσεων 2times2

Y=m1X+ c1Y=m2X+ c2

1 Υπάρχει μια στο σύστημα εάνm1 6= m2

2 ∆εν υπάρχει στο σύστημα εάνm1 = m2 και c1 6= c2

3 Υπάρχει εάνm1 = m2 και c1 = c2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 92

∆ιαδικασίες Απαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής χρησιμοποιεί πολλαπλασιασμόκαι πρόσθεση έτσι ώστε

1 Να απαλοιφεί μια από τις δύο μεταβλητές

2 Η εξίσωση που εξάγεται είναι συνάρτηση των υπόλοιπωνμεταβλητών

3 Αντικαθιστώντας την τιμή στην μεταβλητή σε μια από τιςαρχικές εξισώσεις βρίσκουμε την τιμή για τηναπολοιφθήσα μεταβλητή

Ε Ι Κοντογιώργης copy 93

ΠαραδείγματαI Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

2X +4Y = 20 (1)3X + Y = 10 (2)

Πολλαπλασιάζοντας τη δεύτερη εξίσωση με minus4 παίρνουμε

minus12X minus4Y =minus40 (3)

Προσθέτοντας την εξίσωση (1) στο (3)

2X + 4Y = 20minus12X minus 4Y = minus40minus10X = minus20

ή

X = 2 (4)Ε Ι Κοντογιώργης copy 94

Αντικαθιστώντας X= 2 στην εξίσωση (1) δίνεται2 middot2+4Y = 20 ή Y=4

´Ετσι η μοναδική λύση του συστήματος δίνεται από τοX= 2 και Y= 4 Μπορεί να επιβεβαιωθεί ότι αυτή είναι ησωστή λύση αντικαθιστώντας X= 2 και Y= 4 στηνεξίσωση (1) και (2)

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times23X minus2Y = 6 (5)

minus15X +10Y =minus30 (6)

Για την απαλοιφή της μεταβλητής X η εξίσωση (5)πολλαπλασιάζεται με 5 και το αποτέλεσμα προστίθεταιστην εξίσωση (6)

15X minus 10Y = 30minus15X + 10Y = minus30

0 = 0 Ε Ι Κοντογιώργης copy 95

Οι τελευταίες πράξεις υπονοούν ότι οι εξίσωσεις (5) και(6) είναι ισοδύναμες και έτσι υπάρχει άπειρος αριθμόςλύσεωνΓια να προσδιορίσουμε τις λύσεις του συστήματος μια απότις αρχικές εξισώσεις λύνεται ως προς μια μεταβλητή Ανγια παράδειγμα η εξίσωση (5) λύνεται ως προς Y δίνει

Y =32Xminus3

Σαν αποτέλεσμα γενικεύοντας τις λύσεις του συστήματοςέχουμε

X τυχαίο και Y =32Xminus3

Πχ για X= 4 υπονοείται ότι Y=32 middot4minus3 = 3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 96

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

6X minus12Y = 24 (7)

minus32X +3Y = 9 (8)

Πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση (8) με 4 καιπροσθέτοντας το αποτέλεσμα στην εξίσωση (7)παίρνουμε

6X minus 12Y = 24minus6X + 12Y = 36

0 = 60

Η πιο πάνω αντιλογία υπονοεί ότι δεν υπάρχει λύση τουσυστήματος εξισώσεων

Ε Ι Κοντογιώργης copy 97

3times2 Συστήματα Εξισώσεων I

1 Μ Λ

X

Y

(32)

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minusY = 1

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 98

3times2 Συστήματα Εξισώσεων II

2 Α Λ

X

Y Εξις (1)Εξις (2)Εξις (3)

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 99

3times2 Συστήματα Εξισώσεων III3 Κ

(α) ´Οταν και οι τρεις εξισώσεις είναι παράλληλες

X

Y

2X minusY =minus8

2X minusY = 2

2X minusY = 12

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 100

3times2 Συστήματα Εξισώσεων IV(β) ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ τωνεξισώσεων

X

Y

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minus2Y =minus4

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 101

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική ΑνάλυσηΣε ένα γράφημα 2 διαστάσεων ένα σύστημα mtimes2(mgt2) εξισώσεων παριστάνεται με m ευθείες ´Οπωςσυμβαίνει στα συστήματα 2times2 υπάρχουν τρίαενδεχόμενα

1 ´Ολες οι ευθείες τέμνονται στο ίδιο σημείο και έτσιυπάρχει

2 ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ των mεξισώσεων Αυτό σημαίνει ότι όλες οι ευθείες είναιπαράλληλες Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα Λ

3 Οι m εξισώσεις είναι ισοδύναμες πχ παρασταίνονται σανμια ευθεία Σε αυτή την περίπτωση υπάρχει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 102

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων ∆ιαδικασίαΑπαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής για την επίλυση ενός συστήματοςmtimes2 μπορεί να περιγραφεί ως ακολούθωςΕπιλέξτε και λύστε σύστημα με δύο εξισώσεις

1 Εάν δεν υπάρχει λύση τότε ολόκληρο το σύστημα δεν έχειλύση

2 Εάν υπάρχει μοναδική λύση που ικανοποιεί τις υπόλοιπεςmminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα έχει μία μοναδική λύση

3 Εάν η λύση είναι μοναδική αλλά δεν ικανοποιεί τιςυπόλοιπες mminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα δεν έχει λύση

4 Εάν οι 2 λύσεις είναι ισοδύναμες απάλοιψτε τη μίααπό τις δύο εξισώσεις και ξεκινήστε από την αρχήλαμβάνοντας υπόψη ένα σύστημα (mminus1)times2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 103

ΠαράδείγμαI Θεωρείστε ένα σύστημα 5times2

XminusY= 1X+2Y=minus8

3Xminus2Y= 02Xminus5Y= 11minus4X+3Y=minus1

I Η λύση των πρώτων δύο εξισώσεων δίνετε απόY =minus3 και X =minus2

I Αντικαθιστώντας τη λύση στις υπόλοιπες τρεις εξισώσειςπαίρνετε αντίστοιχα

0 = 0 11 = 11 και minus1 =minus1I Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση

X=minus2 και Y=minus3Ε Ι Κοντογιώργης copy 104

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian

Η μέθοδος απολοιφής Gaussian μετατρέπει το αρχικόσύστημα εξισώσεων σε διαγώνια μορφή επαναλαμβάνονταςστις εξισώσεις τις ακόλουθες τρεις διαδικασίες

1 Πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης μεμια θετική σταθερά

2 Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού θα προστεθεί σεάλλη εξίσωση

3 Η σειρά των εξισώσεων μπορεί να αλλάξει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 105

ΠαράδείγμαΠ Θεωρείστε το σύστημα 2times2

2X minus 3Y = 7 (Εξ 1)X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με 12 για να πάρετε

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με minus1 καιπροσθέστε την στην (Εξ 2)

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

52Y =

152 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 106

Στάδιο 3 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 25

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

Y = 3 (Εξ 2)

Στάδιο 4 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 32 και

προσθέστε την στην (Εξ 1)

X = 1 (Εξ 1)Y = 3 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 107

Π Θεωρείστε το σύστημα 2times2

5X + 20Y = 254X minus 7Y =minus26

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να εκφραστεί ως

R1 5 20 25R2 4 minus7 minus26

Η κάθετη γραμμή χρησιμοποιείται για διαχωρισμό τηςαριστερής από τη δεξιά πλευρά των εξισώσεων Το Riυπονοεί τη γραμμή (Row) i

Ε Ι Κοντογιώργης copy 108

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάζουμε τη R1 με 15 και το θέτουμε

R1larr 15R1

R1 1 4 5R2 4 minus7 minus26

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάζουμε την R1 με minus4 και τηνπροσθέτουμε στην R2 Εν συντομίαR2larrminus4R1+R2

R1 1 4 5R2 0 minus23 minus46

Στάδιο 3 R2larrminus 123R2

R1 1 4 5R2 0 1 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 109

Στάδιο 4 R1larrminus4R2+R1

R1 1 0 minus3R2 0 1 2

Το αρχικό σύστημα εξισώσεων μετατρέπεται σε διαγώνιαμορφή όπως πιο κάτω

X =minus3Y = 2

το οποίο δίνει τη λύση του συστήματος

Ε Ι Κοντογιώργης copy 110

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 I

Το σύστημα εξισώσεων 3times3 μετετρέπεται σε διαγώνιαμορφή Η μετατροπή γίνεται στήλη με στήλη από τααριστερά προς τα δεξιά

Π Θεωρήστε το σύστημα 3times3

X1 + X2 + X3 = 2X1 minus 3X2 + 2X3 = 7

4X1 minus 2X2 minus X3 = 9

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να γραφτεί ως

Ε Ι Κοντογιώργης copy 111

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 II

1 1 1 21 minus3 2 74 minus2 minus1 9

Ε Ι Κοντογιώργης copy 112

Ακέραιοι και Πραγματικοί Αριθμοί

I Οι lsquoφυσικοίrsquo αριθμοί (θετικοί ακαίραιοι) δίνονται ως εξής1234 Το σύνολο όλων των φυσικών αριθμώνσυμβολίζεται με το γράμμα N

I Οι lsquoολόκληροιrsquo αριθμοί (μη αρνητικοί ακέραιοι) είναι οιφυσικοί αριθμοί μαζί με το μηδέν 01234

I Οι lsquoακέραιοιrsquo περιλαμβάνουν τους φυσικούς αριθμούς τομηδέν και τους αρνητικούς φυσικούς αριθμούς

minus2minus1012

Η σειρά των ακεραίων συμβολίζεται με Z

Ε Ι Κοντογιώργης copy 13

Ακέραιοι και Πραγματικοί Αριθμοί ΙΙ

I Μια μεταβλητή μπορεί να πάρει πεπερασμένο αριθμότιμών Για παράδειγμα η μεταβλήτή M που υποδειλώνειτους μήνες του χρόνο μπορεί να πάρει τις τιμές

123456789101112

Σε αυτή την περίπτωση η μεταβλητή M είναι μια σειράθετικών ακέραιων μετεβλητών (φυσικοί)

I Η μεταβητή x μισθοί από το προηγούμενο παράδειγμαπαίρνει θετικούς πραγματικούς αριθμούς

I Το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών συμβολίζεταιreal Η σειρά αυτή περιλαμβάνει όλους τους πραγματικούςακέραιους αριθμούς από το μείον άπειρο (minusinfin) ως στοάπειρο (infin)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 14

Ακέραιοι και Πραγματικοί Αριθμοί ΙΙΙ

I Γενικά μια μεταβλητή x που παίρνει πραγματικές τιμέςονομάζεται πραγματική μεταβλητή (real variable) καισυμβολίζεται με x isinreal Με το σύμβολο isin εννοούμε lsquoμέσαrsquolsquoανήκειrsquo κλπ

I Το σύμβολο που χρησιμοποείται για το διαχωρισμό τουακέραιου μέρους σε ένα δεκαδικό αριθμό από τοκλασματικό μέρος ονομάζεται δεκαδικό σημείο (decimalpoint) Eg 314159

I Η δεκαδική θέση (decimal place) είναι η θέση του ψηφίουστα δεξιά του δεκαδικού σημείου

Ε Ι Κοντογιώργης copy 15

Συναρτήσεις Ακέραιων και Πραγματικών

I Συνάρτηση στογγυλοποίησης ή συνάρτηση κοντινότερουδεκαδικούΗ lsquoστρογγυλοποίησηrsquo ενός πραγματικού αριθμού xσυμβολίζεται με [x] ∆ίνει τον πιο κοντινό ακέραιο στοxΠχ [32] = 3 [minus32] =minus3 και [86] = 9Ο πιο πάνω ορισμός είναι δύσκολο να εφαρμοστεί γιαhalf-integers Στις περιπτώσεις αυτές η στρογγυλοποίησηγίνεται προς τα πάνω μόνο για τους μονούς αριθμούςέτσι ώστε να αποφεύγεται η μεροληπτικότηταΠχ [35] = 4 [45] = 4 και [05] = 0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 16

I Στρογγυλοποίηση προς τα πάνω ή συνάρτησημικρότερου ακεραίουΗ lsquoστρογγυλοποίηση προς τα πάνωrsquo ενός πραγματικούαριθμού x συμβολίζεται με dxe Μας δίνει το μικρότεροδυνατό ακέραιο που είναι μεγαλύτερος ή ίσος από το xΠχ d32e= 4 dminus32e=minus3 d35e= 4 και d36e= 4

I lsquoΣτρογγυλοποίηση προς τα κάτωrsquo ή συνάρτησημεγαλύτερου ακεραίουΤο lsquoκατώτατο όριοrsquo ενός πραγματικού αριθμού xσυμβολίζεται bxc ∆ίνει το μεγαλύτερο δυνατό ακέραιοπου είναι μικρότερος ή ίσος από το xΠχ b32c= 3 bminus32c=minus4 b35c= 3 και b36c= 3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 17

Σταθερές

I ´Ενας αριθμός που αντιπροσωπεύει μια ποσότητα πουθεωρείται ότι έχει σταθερή τιμή ονομάζεται lsquoσταθεράrsquo Ητιμή μιας σταθεράς ενώ δε μεταβάλλεται πιθανό να μηνπροσδιορίζεται

I Οι πιο σημαντικές πραγματικές σταθερές είναι

1 Το π= 314159 Είναι ο δείκτης που υποδειλώνει τηνπεριφέρεια του κύκλου ακτίνια Ονομάζεται και σταθερά τουΑρχιμήδη

2 Το exp = 271828 που υποδειλώνει τη βάση του φυσικούλογάριθμου

Ε Ι Κοντογιώργης copy 18

Σύμβολα Κατεύθυνσης

I Το σύμβολο lsquogtrsquo που σημαίνει lsquoμεγαλύτεροrsquo καθώς και τοlsquogersquo που σημαίνει lsquoμεγαλύτερο ή ίσοrsquo

I Το σύμβολο lsquoltrsquo που σημαίνει lsquoμικρότεροrsquo καθώς και το lsquolersquoπου σημαίνει lsquoμικρότερο ή ίσοrsquo

I Παράδειγμα Οι μεταβλητές που συμβολίζουν τουςμηνιαίους μισθούς xge 0 Οι μεταβλητές που συμβολίζουντους μήνες του χρόνου 0ltMlt13 που μπορούν επίσης ναγραφτούν 1leMle 12

Ε Ι Κοντογιώργης copy 19

∆υνάμειςI Οι εκθέτες αποτελούν συντομογραφία του

πολλαπλασιασμού (5)(5) = 52 και (5)(5)(5) = 53 Εδώτο 5 λέγεται βάση και το 3 λέγεται εκθέτης Μπορείεπίσης να ερμηνευτεί πέντε υψωμένο στην τρίτη δύναμη

I Η δύναμη είναι ο εκθέτης στον οποίο υψώνεται μιαποσότητα Η έκφραση xn είναι γνωστή ως x στη nδύναμη

I Σημειώστε ότι 5253 = (55)(555) = 55 = 5(2+3) Εδώπαρουσιάζεται ένας βασικός κανόνας του εκθέτη Στηπερίπωση που πολλαπλασιάζονται δύο όροι που έχουντην ίδια βάση οι εκθέτες τους μπορούν να προστεθούν

xmxn = x(m+n)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 20

I Στην περίπτωση όμως που (x4)(y3) ο πιο πάνω κανόναςδε μπορεί να εφαρμοστεί γιατί οι βάσεις είναιδιαφορετικές (x4)(y3) = xxxxyyy

I Για (x2)4

= x2x2x2x2 = xxxxxxxx= x8 = x(2times4)

I ´Ετσι στην περίπτωση που έχετε μια εκθετική έκφρασηπου είναι υψωμένη σε μία δύναμη μπορείτε ναπολλαπλασιάσετε τον εκθέτη με τη δύναμη

(xm)n

= xmn

Ε Ι Κοντογιώργης copy 21

I Εάν έχετε μια έκφραση μέσα σε παράνθεση και ηπαράνθεση είναι υψωμένη σε μια δύναμη τότε η δύναμημπορεί να γίνει μέρος τις παράνθεσης Για παράδειγμα

(xy2)3 = (xy2)(xy2)(xy2) = (xxx)(y2y2y2)

= (xxx)(yyyyyy) = x3y6 = (x)3(y2)3 = x3y6

Παρομοίως(xy)2

=x2y2

I ´Ενας αρνητικός εκθέτης είναι ένδειξη ότι η βάση βρίσκεταιστον παρονομαστή του κλάσματος Πχ

xminus2 =1x2

x2xminus3 = x2x3 = x5 2xminus1 =

2x

(3x)minus2 =1

(3x)2 =1

9x2 και(xminus2yminus3

)minus2=

(xminus2)minus2

(yminus3)minus2=x4y6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 22

I Οτιδήποτε στη δύναμη μηδέν είναι lsquo1rsquo

Πχ 50 = 1 x0 = 1 (x2y3)0 = 1 και 00 = 1

Σημειώστε ότι 50 = 5(1minus1) = (51)(5minus1) =55 = 1

I Μηδέν σε οποιαδήποτε δύναμη είναι μηδέν έτσι 0n = 0

Σημειώστε ότι 00 = 1 και ότι 00 = 0

Αυτό υποδειλώνει ότι 00 είναι μια απροσδιόριστη μορφήπου σε κάποιες περπτώσεις παίρνει μία τιμή και σεκάποιες άλλες περιπτώσεις παίρνει διαφορετική τιμή

Ε Ι Κοντογιώργης copy 23

I Κλασματικοί (Αναλογικοί) Εκθέτες

1 Η τετραγωνική ρίζα μπορεί να γραφτεί σε μορφή κλάσματος

´Ετσι radicx= x12

Πχ 212 =

radic2 = 141 και 2

minus12 =

1radic2

= 071

2 Γενικά xab =bradicxa Πχ 7

23 =

3radic72 = 366

355 = 3112 =

2radic311 = 42089

Ε Ι Κοντογιώργης copy 24

ΛογάριθμοιI Η λογαριθμική μορφή ενός αριθμού είναι lsquoαντίθετηrsquo από

την εκθετική Τεχνικά μιλώντας η λογαριθμική μορφήείναι αντίστροφη της εκθετικής

I Η σχέση δίνεται logb(x) = y

που είναι το ίδιο με by = x

I Ο lsquolsquologb(x) = yrsquorsquo προφέρεται lsquolsquolog-βάση-b-του x ισούται yΕδώ b ονομάζεται lsquoβάση του λογαρίθμουrsquo αφού το b είναιη βάση της εκθετικής έκφρασης

I Η βάση b του λογάριθμου είναι πάντοτε θετική και δενισούται με 1

I Οτιδήποτε βρίσκεται μέσα στο λογάριθμο ονομάζεταιέκφραση

Ε Ι Κοντογιώργης copy 25

ΠαραδείγματαI Μετατρέψτε την έκφραση 63 = 216 στην ισοδύναμη

λογαριθμική μορφή

Για τη μετατροπή η βάση μένει η ίδια αλλά το 3 και το216 αλλάζουν θέσεις Αυτό μας δίνει

log6(216) = 3

I Μετατρέψτε τον log4(1024) = 5 στην αντίστοιχηλογαριθμική έκφραση

Για τη μετατροπή η βάση (που είναι 4) παραμένει η ίδιααλλά το 1024 και το 5 αλλάζουν θέσεις ´Ετσι δίνεται

45 = 1024

Ε Ι Κοντογιώργης copy 26

I Υπολογίστε τον log2(8)

Εάν y= log2(8) τότε υπονοείται ότι 2y = 8 Αυτόσημαίνει ότι y είναι η δύναμη του 2 που θα έχει σαναποτέλεσμα 8 Η δύναμη που δίνει το αποτέλεσμα είναι 3αφού 23 = 8 ´Ετσι

log2(8) = 3

I Κατά παρόμοιο τρόπο log5(25) = 2 αφού 52 = 25

I Υπολογίστε τον y= log64(4)

Σημειώστε ότι 64y = 4 και 43 = 64

´Ετσι (43)y

= 4 ή 43y = 41

Η πιο πάνω έκφραση εξυπονοεί ότι 3y= 1 και έτσιy= 13

Ε Ι Κοντογιώργης copy 27

I Υπολογίστε y= log6(6)

Αυτό ισοδυναμεί με το 6y = 6 και συνεπώς y= 1

I Υπολογίστε το y= log3(1)

Το πιο πάνω μπορεί να γραφτεί ως 3y = 1

´Ομως 1 = 30 έτσι 3y = 30 και y= 0

I Υπολογίστε το y= log4(minus16)

Μπορεί να γραφτεί σαν 4y =minus16

´Ομως δεν υπάρχει τιμή (πχ δύναμη) y που ναικανοποιεί τη σχέση ´Ετσι δεν υπάχρει λύση

Ε Ι Κοντογιώργης copy 28

I Υπολογίστε το y= log2(0)

Αυτό σημαίνει 2y = 0 όμως δε υπάρχει τιμή που ναικανοποιεί τη σχέση ´Ετσι δεν υπάχρει λύση

I Υπολογίστε το y= 2log2(9)

Αυτό σημαίνει ότι log2(y) = log2(9) και έτσι y= 9

Ε Ι Κοντογιώργης copy 29

I Γενικά1 logb(b) = 1 για οποιαδήποτε βάση b

2 logb(1) = 0 για οποιαδήποτε βάση b

3 logb(a) δεν ορίζεται για αρνητικά a

4 logb(0) δεν ορίζεται για οποιαδήποτε βάση b

5 logb(bn) = n για οποιαδήποτε βάση b

Ε Ι Κοντογιώργης copy 30

I Οι λογάριθμοι μπορούν να πάρουν οποιοδήποτε αριθμόσαν βάση αλλά δύο βάσεις είναι οι πιο χρήσιμες οlog-βάση-10 και ο log-βάση-e

I Η βάση-10 log συχνά ονομάζεται ο κοινός log καιγράφεται ως log(x) Εδώ δεν αναγράφεται βάση καιμπορούμε να υποθέσουμε ότι η βάση είναι 10

Πχ log(100) = 2 έτσι log10(102) = 2

I Η βάση-e log ονομάζεται ο φυσικός log και γράφεται σανln(x)Πχ ln(e345)= 345 καθώς loge(e345) = 345

Ε Ι Κοντογιώργης copy 31

Ιδιότητες Λογαρίθμωνlogb(xy) = logb(x) + logb(y)

Απόδειξη´Εστω m= logbx και n= logby

Γράψτε σε μορφή εκθέτη x= bm και y= bn

Πολλαπλασιάστε το x και y ούτως ώστεxy= bmbn = bm+n

´Ετσι από τον ορισμό των λογαρίθμων το xy= bm+nσυνεπάγει ότι

logb(xy) =m+n= logbx+ logb(y)

Πχ log2(4times16) = log2(64) = log2(26) = 6

Ακόμα log2(4times16) = log2(4) + log2(16) = 2+4 = 6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 32

logb(xy)

= logb(x)minus logb(y)

Απόδειξη´Εστω m= logbx και n= logby

Γράψτε σε μορφή εκθέτη x= bm και y= bn

∆ιαίρα το x και y ούτως ώστε xy =bmbn = bmminusn

´Ετσι από τον ορισμό των λογαρίθμων το xy = bmminusn

συνεπάγει ότι

logb(xy)

=mminusn= logbxminus logb(y)

Πχ log2(16

4)

= log2(4) = 2

και log2(16

4)

= log2(16)minus log2(4) = 4minus2 = 2Ε Ι Κοντογιώργης copy 33

logb(xn) = n logb(x)

Απόδειξη´Εστω m= logbx και γράψτε σε μορφή εκθέτη x= bm

Αυξάνοντας τις δύο πλευρές στην n δύναμη παίρνουμεxn = (bm)n = bmn

´Ετσι από τον ορισμό των λογαρίθμων τοlogbxn =mn= nm= n(logbx)

Πχ log2(64) = log2(26) = 6 log2(2) = 6

log(64) = 18

Επιπλέον log(64) = log(26) = 6log(2) = 6times030 = 18

Ε Ι Κοντογιώργης copy 34

logb(x) =loga(x)loga(b) agt0 a 6= 1

Απόδειξη´Εστω m= logbx rArr x= bm

Εφαρμόστε loga και στις δύο πλευρές του x= bmγια ναδώσει

logabm = logax rArr m logab= logaxrArr m=logaxlogab

rArr logbx=logaxlogab

Πχ log5(20) =log(20)

log(5)= 186 =

ln(20)

ln(5)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 35

logb(a) =1

loga(b) agt0 a 6= 1

Απόδειξη

logb(x) =loga(x)loga(b) =

logx(x)logx(b)

=1

loga(b)

´Οταν a= x

Πχ log2(64) =1

log64(2)=

116 = 6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 36

Αθροισμα

I Υποθέστε ότι έχουμε μια μεταβλητή x που μπορεί ναπάρει δέκα τιμές Εάν ενδιαφερόμαστε για το άθροισμάτους χωρίς να ξέρουμε την τιμή της κάθε μεταβλητής τότεο καλύτερος τρόπος να το εκφράσουμε είναι

x1 +x2 + middot middot middot+x9 +x10

I Εν συντομία το άθροισμα n στοιχείων x1 +x2 + middot middot middot+xn είναιnsum

i = 1xi

και ερμηνεύεται σαν το άθροισμα όλων των xirsquosξεκινώντας από το x1 (πχ i = 1) μέχρι xn (i = n)

I Εάν δε δοθεί διαφορετικά πάντοτε υποθέτουμε ότι το iαυξάνεται ξεκινώντας από το στάδιο 1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 37

I Το lsquolsquoSigmarsquorsquo Σ είναι γνωστό ως το άθροισμα (summation) ήσύμβολο σίγμα (sigma operator) και ο δείκτης i όνομάζεταιεικονική μεταβλητή

I Παραδείγματα

I

5sum

i = 1xi = x1 +x2 +x3 +x4 +x5

I

5sum

i = 1(y2

i ) = y21 +y22 +y23 +y24 +y25

Σημειώστε ότι η μόνη μεταβλητή που περιγράφεται απευθείαςκάτω από το σύμβολο Σ αυξάνεται κατά 1 κάθε φορά ενώ όλατα άλλα σύμβολα παραμένουν τα ίδια

I

4sum

r = 1(x3r ) = x31 +x32 +x33 +x34

Ε Ι Κοντογιώργης copy 38

I6sum

i = 1i = 1+2+3+4+5+6

I6sum

i = 1i2 = 12 +22 +32 +42 +52 +62

I7sum

i = 3xi = x3 +x4 +x5 +x6 +x7

I4sum

i = 1a = a+a+a+a= 4a

I3sum

i = 1(4+xi) = (4+x1) + (4+x2) + (4+x3)

=3sum

i = 14+

3sum

i = 1xi

Ε Ι Κοντογιώργης copy 39

I3sum

i = 1(2xi) = (2x1) + (2x2) + (2x3) = 2times

3sum

i = 1xi

I Ο συντελεστής i παραλείπεται εάν δε προκαλείαοριστία Για παράδειγμα Σx ή Σixi σημαίνειάθροισμα όλων των x που λαμβάνονται υπόψη

I ∆ήλωσηI

nsumi=1a= na

I sumiaxi = asum

ixi

I sumi

(axi+byi) = asumixi +bsum

iyi

Ε Ι Κοντογιώργης copy 40

I Αθροιστικός Τύπος

Insum

i = 1i = 1+2+ middot middot middot+n=

n(n+1)

2

Πχ6sumi = 1i = 1+2+3+4+5+6 =

6(6+1)

2 = 21

Insum

i = 1i2 = 12 +22 + middot middot middot+n2 =

n(n+1)(2n+1)

6

Πχ6sumi = 1i2 = 12 +22 +32 +42 +52 +62

=6(6+1)(12+1)

6 = 91

Ε Ι Κοντογιώργης copy 41

Insum

i = 1i3 = 13 +23 + middot middot middot+n3 =

n2(n+1)2

4

Πχ6sumi = 1i3 = 13 +23 +33 +43 +53 +63

=62(6+1)2

4 = 441

Ε Ι Κοντογιώργης copy 42

ΠαραδήγματαΑριθμητική Πρόοδος

I Γενικά μπορούμε να εκφράσουμε μια αριθμητική πρόοδο ωςεξής

αριθμητική πρόοδος a a+d a+2d a+3d

όπου ο πρώτος όρος είναι a και η διαφορά d Ο όρος nτης απ δίνεται από τη σχέση b = a+ (nminus1)d

I 3 5 7 9 11 είναι μια αριθμητική πρόοδος Οπρώτος όρος είναι το 3 και η διαφορά είναι 2

I 2 minus1 minus4 minus7 είναι μια αριθμητική πρόοδος όπου οπρώτος όρος είναι 2 και η διαφορά minus3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 43

I Το άθροισμα των όρων μιας αριθμητικής προόδου είναιγνωστό ως αριθμητική σειρά

Sn = a+ (a+d) + (a+2d) + middot middot middot+ (a+ (nminus1)d)

=nsumi=1

(a+ (iminus1)d

)= na+

nsumi=1

(iminus1)d

= na+dnminus1sumi=1

i = na+d(nminus1)n2

=n2(2a+d(nminus1)) =

n2(a+b) b = a+d(nminus1)

I ΑΠ 3 5 7 9 11 13 rArr Sn =62(3+13) = 48

Ε Ι Κοντογιώργης copy 44

∆ιπλό Αθροισμα4sumi=1

isumj=1

j = (1) + (1+2) + (1+2+3) + (1+2+3+4) = 20

nsumi=1

isumj=1

j =nsumi=1

( isumj=1

j)

nsumi=1

(12 i(i+1)

)=

12

nsumi=1

(i2 + i)

12( nsumi=1

i2 +nsumi=1

i)

=12(16n(n+1)(2n+1) +

12n(n+1)

)

=12

16n(n+1)

((2n+1) +3

)=

n6(n+1)(n+2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 45

∆ιπλό Αθροισμα

nsumi=1

msumj=1

(i+ j+2) =nsumi=1

( msumj=1

(i+ j+2))

nsumi=1

( msumj=1

i+msumj=1

j+msumj=1

2)

=nsumi=1

(mi+ 1

2m(m+1) +2m)

m( nsumi=1

i+ 12

nsumi=1

(m+5))

= m(12n(n+1) +

12n(m+5)

)

=mn2(m+n+6

)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 46

Insumr=1

1r(r+1)

=nsumr=1

(Ar +

Br+1

)=

nsumr=1

A(r+1) +Brr(r+1)

I A(r+1) +Br = 1

I Για r = 0 τότε A= 1 και για r =minus1 τότε B=minus1

I

nsumr=1

1r(r+1)

=nsumr=1

(1r minus

1r+1

)

=(

(11 minus

12) + (

12 minus

13) + (

13 minus

14) + middot middot middot+ (

1nminus1 minus

1n ) + (

1n minus

1n+1)

)

= 1minus 1n+1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 47

Insumk=1

1(k+2)(k+3)

=nsumk=1

( A(k+2)

+B

(k+3)

)=

nsumk=1

A(k+3) +B(k+2)

(k+2)(k+3)

I A(k+3) +B(k+2) = 1

I Για k=minus2 τότε A= 1 και για k=minus3 τότε B=minus1

I

nsumk=1

1(k+2)(k+3)

=nsumk=1

( 1(k+2)

minus 1(k+3)

)

=(

(13 minus

14)+(

14 minus

15)+(

15 minus

16)+ +(

1n+1 minus

1n+2)+(

1n+2 minus

1n+3)

)

=13 minus

1n+3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 48

Αθροισμα με Λογάριθμους

nsumi=1

logb(i) = logb(1) + logb(2) + middot middot middot+ logb(n)

= logb(1times2times3timesmiddotmiddot middottimesn)

= logb(n)

I Το n (n παραγοντικό) δίνεται από n = 1times2timesmiddotmiddot middottimesn και0 = 1

I100sumi=1

log2(100) = log2(100) =log(100)

log(2)=

log(99)

log(2)+

2log(2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 49

Γινόμενο των ακολουθιώνIn

prodi=1xi = x1timesx2timesx3timesmiddotmiddot middottimesxn

In

prodi=1i = 1times2times3timesmiddotmiddot middottimesn= n

In

prodi=1z= ztimesztimesmiddotmiddot middottimesz= zn

I

nprodi=1

(1+

1i+1

)=(1+

12)times(1+

13)times(1+

14)times times(1+

1n )times(1+

1n+1)

=32 times

43 times

54 timesmiddotmiddot middottimes

n+1n times n+2

n+1

=n+22

Ε Ι Κοντογιώργης copy 50

Γεωμετρικές ΠροόδοιI Μια γεωμετρική πρόοδος είναι μια σειρά αριθμών όπου

κάθε όρος μετά των πρώτο υπολογίζεται από τονπολλαπλασιασμό του προηγούμενου όρου με ένασταθερό αριθμό που καλείται αναλογία

I Η σειρά1 3 9 27 81 middot middot middot

είναι μια γεωμετρική πρόοδος με πρώτο όρο το 1 καιαναλογία 3

I Η αναλογία μπορεί να είναι κλάσμα καθώς επίσης καιαρνητικός αριθμός Για παράδειγμα η γεωμετρικήπρόοδος με πρώτο όρο το 2 και αναλογία minus13 είναι

2 minus 23 +

29 minus

227 +

281 middot middot middot

Ε Ι Κοντογιώργης copy 51

I Γενικά μπορούμε να γράψουμε μια γεωμετρική πρόοδο ωςακολούθως

γεωμετρική πρόοδος a ar ar2 ar3 ar4 middot middot middot

όπου ο πρώτος όρος είναι a και η αναλογία r

I Σημαντικά θεωρήματα των γεωμετρικών προόδων (γπ)1 Ο n όρος μιας γπ δίνεται από ar(nminus1)

2 Το άθροισμα των πρώτων n όρων μιας γπ είναι

Sn =a(1minus rn)

1minus r =a(rnminus1)

rminus1 και ισχύει μόνο αν r 6= 1

I Το άθροισμα των όρων μιας γεωμετρικής προόδουονομάζεται γεωμετρική σειρά

Ε Ι Κοντογιώργης copy 52

Γεωμετρική σειρά

Sn = a+ar+ar2 +ar3 + middot middot middot+arnminus2 +arnminus1

rSn = ar+ar2 +ar3 + arnminus1 +arn

Snminus rSn = aminusarn

(1minus r)Sn = a(1minus rn)

Sn =a(1minus rn)

(1minus r) =a(rnminus1)

(rminus1)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 53

I Παράδειγμα1 Βρείτε το άθροισμα των πρώτων 10 όρων μιας γεωμετρικής

σειράς4 8 16 32

Ο πρώτος όρος είναι a= 4 και η αναλογία r = 2 καιn= 10 ´Ετσι

S10 =4(1minus210)

1minus2 = 4092

2 Θεωρείστε τη γπ4 minus8 16 minus32 64 minus128 256 minus512

Σε αυτή την περίπτωση ο πρώτος όρος είναι a= 4 ηαναλογία είναι r =minus2 και n= 8´Ετσι

S8 =4(1minus (minus2)8)

1minus (minus2)=minus340

Ε Ι Κοντογιώργης copy 54

Συνεχείς ανατοκισμός

Οι περισσότεροι τραπεζικοί λογαριασμοί και τα δάνειαυιοθετούν ανατοκισμό - εφαρμόζοντας συνεχή ανατοκισμόΘεωρείστε ένα λογαριασμό που προσφέρει τόκο με ετήσιοεπιτόκιο r (πχ 7) Εάν το επιτόκιο είναι συνεχέςσε χρονιαία βάση τότε μετά από 1 χρόνο το χρονιαίοεπιτόκιο προστίθεται στο αρχικό κεφάλαιο για νακαθορίσει ένα μεγαλύτερο κεφάλαιο τον δεύτερο χρόνο

´Ετσι κατά τη διάρκεια του δεύτερου χρόνου ολογαριασμός κερδίζει επιτόκιο πάνω στο επιτόκιοΑυτή είναι η επίδραση του ανατοκισμού που συνεχίζεταιχρόνο με το χρόνο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 55

I Με τον ετήσιο ανατοκισμό το κεφάλαιο πουσυσσωρεύεται στο λογαριασμό πολλαπλασιάζεται με

(1+ r)

´Ετσι το κεφάλαιο A θα αυξηθεί σε

A(1+ r) = A+A middot r

τον επόμενο χρόνο

I Με το πέρας και του δεύτερου χρόνου το κεφάλαιο θααυξηθεί ακόμα (1+ r) σε (1+ r)2

´Ετσι το κεφάλαιο καταλήγει σε

A(1+ r)(1+ r) = A(1+ r)2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 56

I Κατά παρόμοιο τρόπο στο τέλος του τρίτου χρόνου τοποσό θα αυξηθεί κατά (1+ r)3

I Μετά από n χρόνια το ποσό θα αυξηθεί κατά (1+ r)n

I ´Ετσι το κεφάλαιο (επένδυση) A θα αυξηθεί με συνεχήανατοκισμό σε A(1+ r)n μετά από n χρόνια

I Ο τύπος (1+ r)n εκθέτει γεωμετρική αύξηση λόγω τηςn δύναμης

Ε Ι Κοντογιώργης copy 57

ΠαραδείγματαI Εάν το επιτόκιο είναι r = 5 τότε το κεφάλαιοA= $1000 που βρίσκεται στην τράπεζα n= 20 χρόνιαθα αυξηθεί κατά

(1+ r)n = (1+005)20 = 2653 φορές

´Ετσι το ποσό θα καταλήξειA(1+ r)n = $265330

I Βρέστε το χρόνο που χρειάζεται για ένα λογαργιασμό ναδιπλασιάσει το διαθέσιμο κεφάλαιο του όταν r = 7 καιr = 10Ζητούμε να βρούμε το n έτσι ώστε

(1+ r)n = 2Ε Ι Κοντογιώργης copy 58

I Υπολογίζοντας το λογάριθμο του τελευταίου παίρνουμε

log(1+ r)n = log(2)ή n log(1+ r) = log(2)

´Ετσιn=

log2log(1+ r)

I Για r = 7 και r = 10 ο χρόνος n πουχρειάζεται για διπλασιασμό της επένδυσης υπολογίζεταισε 1024 και 727 αντίστοιχα

Ε Ι Κοντογιώργης copy 59

I Αν το επιτόκιο είναι r = 7 τότε πιο θα είναι τοσυνολικό ποσό στο λογαριασμό μετά από 205 και41 χρόνια αντίστοιχα

Μετά τα πρώτα 1025 χρόνια το ποσό A θαδιπλασιαστεί σε 2A Για τα επόμενα 1025 χρόνιατο ποσό θα ξαναδιπλασιαστεί σε 4A ´Ετσι μετά από205 χρόνια το ποσό θα αυξηθεί κατά 4 φορές

Με το πέρας ακόμα 205 χρόνων το ποσό θα αυξηθείακόμα 4 φορές σε 16 ´Ετσι μετά από 41 χρόνιατο κεφάλαιο A γίνεται 16A

Ε Ι Κοντογιώργης copy 60

Ασκήσεις και Παραδείγματα

I Υπολογίστε τη Μελλοντική Αξία (Future Value (FV)) τουκεφαλαίου A= 1500 που κερδίζει ετήσιο επιτόκιοr = 5 για n= 10 έτη

FV =A(1+ r)n = 1500(1+005)10 = 244334

I Πόσα έτη απαιτούνται για να τριπλασιαστεί ένα ποσόπου αφήνετε στην τράπεζα με επιτόκιο r = 5∆ηλαδή βρείτε το n όπου A= 1 r = 5 και FV = 3

FV =A(1+ r)n ή (1+ r)n =FVA

Ε Ι Κοντογιώργης copy 61

Υπολογίζοντας τους λογαρίθμους παίρνουμε

log(1+ r)n = log(FVA)

ή n log(1+ r) = log(FVA)

´Ετσι

n=log(FVA)

log(1+ r) =log(3)

log(105)

= 2252

Ε Ι Κοντογιώργης copy 62

I Βρείτε την παρούσα αξία A έτσι ώστε σε δέκα έτη μεσταθερό επιτόκιο r = 6 να είναι 100KΒρείτε το A όπου FV = 100000 r = 6 και n= 10

FV =A(1+ r)n ή A=FV

(1+ r)n

´Ετσι A=100000

(106)10= 5583948

I Βρείτε την ετησιοποιημένη απόδοση (AER AnnualEquivalent Rate) μιας μηνιαίας κατάθεσης με σταθερόεπιτοκίο 394 Μια τέτοια κατάθεση λαμβάνει το επιτόκιο στη λήξηΣυνεπώς κάθε μήνα ο λογαριασμός λαμβάνει

r = 0039412 = 000328

επιτόκιο που επανεπενδύεται (συνεχής ανατοκισμός)Ε Ι Κοντογιώργης copy 63

Επανεπενδύοντας το επιτόκιο κάθε μήνα στη διάρκειαενός έτους το κεφάλαιο θα αυξηθεί σε

(1+ r)12 = (1+000328)12 = 104012

´Ετσι το ΑΕΡ είναι ισοδύναμο με 004012 = 4012I Υπολογίστε το επιτόκιο ενός σταθερού λογαριασμού

κατάθεσης 7-ημερών που έχει AER επιτόκιο r = 425Θεωρείστε ρ το εβδομαδιαίο επιτόκιο

´Ετσι (1+ρ)52 = (1+00425)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 64

Παίρνοντας τους λογαρίθμους έχουμε52log(1+ρ) = log10425

ή log(1+ρ) =log10425

52

ή 1+ρ= 10( log10425

52)

Αυτό μας δίνει

ρ= 10

( log1042552

)minus1 = 008

´Ετσι το συνεχές επιτόκιο μιας επταήμερης κατάθεσης είναιρtimes52 = 41638

Εναλλακτικά (1+ρ)52 = (1+00425) δίνει

(1+ρ) =52radic10425ή ρ=

52radic10425minus = 008Ε Ι Κοντογιώργης copy 65

I Υπολογίστε την ετήσια απόδοση r έτσι ώστε A= 10000να επιστρέφει FV = 35000 σε n= 20 χρόνια

FV =A(1+ r)n ή (1+ r)n =FVA

´Ετσι

1+ r =nradic

FVA

Επομένως

r =nradic

FVA minus1 =

20radic

3500010000 minus1 = 00646 = 646

Ε Ι Κοντογιώργης copy 66

Εναλλακτικά παίρνοντας τους λογαρίθμους

log(1+ r)n = log(FVA) ή n log(1+ r) = log

(FVA)

´Ετσι

1+ r = 10(1n log

(FVA))

ή r = 10(1n log

(FVA))minus1

= 10( 120 log

(3500010000

))minus1

= 646

Ε Ι Κοντογιώργης copy 67

Γραφική Αναπαράσταση I

I Υποθέστε ότι έχουμε y= 3x+2 Καθώς έχουμε μόνο μιαδύναμη για το x πρέπει να λύσουμε γραμμική εξίσωσηκαι να σχεδιάσουμε μια ευθεία γραμμή Αρχικά θα πρέπεινα σχεδιάσουμε ένα T-chart Αυτό έχει τη μορφή

x y = 3x+2 (xy)

I Επιλέγουμε μια τιμή για το x και λύνουμε ως προς y

x y= 3x+2 (xy)minus2 minus4 (minus2minus4)0 2 (02)2 8 (28)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 68

Γραφική Αναπαράσταση II

-

6

X

Y

bull

bull

bull

I Βλέπουμε μια ευθεία με ανοδική τάση (έχοντας θετικήκλίση m= 3) καιτέμνει τον άξονα y στο σημείο y= 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 69

Γραφική Αναπαράσταση III

I Μια Τετραγωνική εξίσωση περιέχει x2 Για τηναναπαράσταση τετραγωνικών εξισώσεων χρειάζεται ναβρούμε περισσότερα από τρία σημεία στο σχεδιάγραμμα

Για παράδειγμα υποθέστε ότι y= x2minus6x+5 καιδίνεται το πιο κάτω T-chart

x y= x2minus6x+5 (xy)0 5 (05)1 0 (10)3 minus4 (3minus4)5 0 (50)6 5 (65)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 70

Γραφική Αναπαράσταση IV

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

-

6

X

Y

bull

bull

bull

bull

bull

Ε Ι Κοντογιώργης copy 71

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(1x + 2)

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(-3x + 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 72

-15

-10

-5

0

5

10

15

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(3x - 2)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 73

-20

0

20

40

60

80

100

120

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2+x)

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 74

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

1250

1500

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3+x2+x)

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x4)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 75

-25

-2

-15

-1

-05

0

05

1

15

2

25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(log(x))

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(x))

Ε Ι Κοντογιώργης copy 76

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(-x))

-5000

0

5000

10000

15000

20000

25000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(exp(x)+x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 77

Ανισότητες I

I Οι ανισότητες αποτελούνται από δύο ή τρεις αλγεβρικέςεκφράσεις που είναι συνδεδεμένες με τα σύμβολαανισότητας Τα σύμβολα αυτά είναι

lt μικρότερο τουgt μεγαλύτερο τουle μικρότερο ή ίσο τουge μεγαλύτερο ή ίσο του

I Παραδείγματα xgty yge x2 και ylt5x+1

I Το πρώτο βήμα για την αναπαράσταση ανισότητας τηςμορφής ygtx είναι να παραστήσουμε γραφικά τηνισότητα y= x

Ε Ι Κοντογιώργης copy 78

Ανισότητες II

I ygtx

Κάνετε δοκιμή με ένα σημείο να δείτε κατά πόσοικανοποιεί την ανισότητα Εάν ναι τότε σκιάστε τηνπεριοχή αυτή του σχεδιαγράμματος διαφορετικά σκιάστετην άλλη πλευρά

Ε Ι Κοντογιώργης copy 79

Ανισότητες III

I yltx

Ε Ι Κοντογιώργης copy 80

Ανισότητες IV

I yle 5x+1 και ygt5x+1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 81

Ανισότητες V

I yge x2 και yle x2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 82

Ανισότητες VI

I ygtx3 και yle x3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 83

Συστήματα Γραμμικών ΕξισώσεωνΠεριεχόμενα

1 Ε

2 Γ Α

ΑναφορέςΚεφάλαια 4 και 5FS Budnick Applied Mathematics for Business Economicsand the Social Sciences 4th edition McGraw-Hill 1993

Ε Ι Κοντογιώργης copy 84

Συστήματα Εξισώσεων

I ´Ενα σύστημα εξισώσεων συνδυάζει περισσότερες από μίαεξισώσεις

I ´Ενα σύστημα m εξισώσεων όπου κάθε εξίσωσηαποτελείται από n μεταβλητές ονομάζεται mtimesnσύστημα ή λέμε ότι έχει διαστάσεις mtimesn

I ΠαράδειγμαΠαρακάτω έχουμε ένα σύστημα 2times2

5X+10Y= 203X+4Y= 10

Οι μεταβλητές σε αυτή την περίπτωση είναι X και YΕ Ι Κοντογιώργης copy 85

Συστήματα Επίλυσης

I Το Σύστημα επίλυσης είναι μια σειρά τιμών μεταβλητώνπου ικανοποιούν το σύστημα ταυτόχρονα

I Σε μια σημειογραφική παράσταση το προηγούμενοπαράδειγμα μπορεί να γραφτεί ως εξής

S = (XY) | 5X+10Y = 20 και 3X+4Y = 10

I Το σύστημα επίλυσης μπορεί να είναι1 μηδενικό2 πεπερασμένο ή3 άπειρο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 86

2times2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική Ανάλυση

I Σε ένα δισδιάστατο γράφημα ένα σύστημα εξισώσεων2times2 αναπαρίστανται με ευθείες γραμμές Υπόρχουν τρίαενδεχόμενα

1 Οι ευθείες τέμνονται Το σημείο τομής αντιπροσωπεύει τηλύση του συστήματος εξισώσεων Αυτό το σημείοαλληλεπίδρασης είναι μια δέσμη τιμών X και Y που ικανοποιείκαι τις δύο εξισώσειςΕάν υπάρχει μόνο μια δέσμη τιμών για τις μεταβλητές που ναικανοποιεί το σύστημα εξισώσεων το σύστημα λέμε ότι έχειΜ Λ

2 Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες μεταξύ τους ∆εν έχουν κοινόσημείο Συνεπώς οι ευθείες δεν τέμνονται ποτέ Το σύστημαλέμε ότι ∆ ΛΑυτό υπονοεί ότι δεν υπάρχουν τιμές για τις μεταβλητές πουνα ικανοποιούν και τις δύο εξισώσεις Σε αυτή τηνπερίπτωση οι εξισώσεις στο σύστημα είναι Α

3 Και οι δύο εξισώσεις αναπαρίστανται ως μια κοινή ευθεία καιθεωρούνται ισοδύναμες εξισώσεις ´Ετσι το σύστημα έχειΑ Λ Αυτό συμβαίνει γιατί υπάρχει άπειροςαριθμός κοινών σημείων στις δύο γραμμές

Ε Ι Κοντογιώργης copy 87

I Π Θεωρείστε ένα σύστημα 2times22X+4Y= 203X+ Y= 10

I

X

Y

(24)

3X +Y = 10

2X +4Y = 20

0 2 4 6 8 10 12

2

4

6

8

10

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 88

I Το σημείο τομής δίνεται από το X= 2 και Y= 4Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές του X και Y στις δύοεξισώσεις δίνουν 20 = 20 και 10 = 10 αντίστοιχα

I Αυτό υποδειλώνει ότι X= 2 και Y= 4 είναι η σωστή λύση

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times23Xminus2Y= 6

minus15X+10Y=minus30

I

X

Y

(20)

(0minus3)

3X minus2Y = 6

minus15X +10Y =minus30

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 89

I Οι δύο εξισώσεις απλοποιούνται σε Xminus 23 Y= 2

Οι δύο εξισώσεις είναι ισοδύναμες και δίνουν έναπεπερασμένο αριθμό λύσεων έτσι ώστε

X= 0 Y =minus3X= 2 Y = 0X= 4 Y = 3

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times26Xminus12Y= 24

minus32X+3Y= 9

Οι εξισώσεις απλοποιούνται σεXminus2Y= 4Xminus2Y=minus6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 90

I

X

Y

(40)

(0minus2)

(minus60)

(03)

X minus2Y =minus6

X minus2Y = 4

0-0

I Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες και συνεπώς το σύστημαδεν έχει λύση ´Ετσι το σύστημα εξισώσεων είναιασύμπτωτο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 91

Περίληψη 2times2 Συστήματα Εξισώσεων∆ίνεται ένα Σύστημα Γραμμικών Εξισώσεων 2times2

Y=m1X+ c1Y=m2X+ c2

1 Υπάρχει μια στο σύστημα εάνm1 6= m2

2 ∆εν υπάρχει στο σύστημα εάνm1 = m2 και c1 6= c2

3 Υπάρχει εάνm1 = m2 και c1 = c2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 92

∆ιαδικασίες Απαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής χρησιμοποιεί πολλαπλασιασμόκαι πρόσθεση έτσι ώστε

1 Να απαλοιφεί μια από τις δύο μεταβλητές

2 Η εξίσωση που εξάγεται είναι συνάρτηση των υπόλοιπωνμεταβλητών

3 Αντικαθιστώντας την τιμή στην μεταβλητή σε μια από τιςαρχικές εξισώσεις βρίσκουμε την τιμή για τηναπολοιφθήσα μεταβλητή

Ε Ι Κοντογιώργης copy 93

ΠαραδείγματαI Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

2X +4Y = 20 (1)3X + Y = 10 (2)

Πολλαπλασιάζοντας τη δεύτερη εξίσωση με minus4 παίρνουμε

minus12X minus4Y =minus40 (3)

Προσθέτοντας την εξίσωση (1) στο (3)

2X + 4Y = 20minus12X minus 4Y = minus40minus10X = minus20

ή

X = 2 (4)Ε Ι Κοντογιώργης copy 94

Αντικαθιστώντας X= 2 στην εξίσωση (1) δίνεται2 middot2+4Y = 20 ή Y=4

´Ετσι η μοναδική λύση του συστήματος δίνεται από τοX= 2 και Y= 4 Μπορεί να επιβεβαιωθεί ότι αυτή είναι ησωστή λύση αντικαθιστώντας X= 2 και Y= 4 στηνεξίσωση (1) και (2)

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times23X minus2Y = 6 (5)

minus15X +10Y =minus30 (6)

Για την απαλοιφή της μεταβλητής X η εξίσωση (5)πολλαπλασιάζεται με 5 και το αποτέλεσμα προστίθεταιστην εξίσωση (6)

15X minus 10Y = 30minus15X + 10Y = minus30

0 = 0 Ε Ι Κοντογιώργης copy 95

Οι τελευταίες πράξεις υπονοούν ότι οι εξίσωσεις (5) και(6) είναι ισοδύναμες και έτσι υπάρχει άπειρος αριθμόςλύσεωνΓια να προσδιορίσουμε τις λύσεις του συστήματος μια απότις αρχικές εξισώσεις λύνεται ως προς μια μεταβλητή Ανγια παράδειγμα η εξίσωση (5) λύνεται ως προς Y δίνει

Y =32Xminus3

Σαν αποτέλεσμα γενικεύοντας τις λύσεις του συστήματοςέχουμε

X τυχαίο και Y =32Xminus3

Πχ για X= 4 υπονοείται ότι Y=32 middot4minus3 = 3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 96

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

6X minus12Y = 24 (7)

minus32X +3Y = 9 (8)

Πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση (8) με 4 καιπροσθέτοντας το αποτέλεσμα στην εξίσωση (7)παίρνουμε

6X minus 12Y = 24minus6X + 12Y = 36

0 = 60

Η πιο πάνω αντιλογία υπονοεί ότι δεν υπάρχει λύση τουσυστήματος εξισώσεων

Ε Ι Κοντογιώργης copy 97

3times2 Συστήματα Εξισώσεων I

1 Μ Λ

X

Y

(32)

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minusY = 1

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 98

3times2 Συστήματα Εξισώσεων II

2 Α Λ

X

Y Εξις (1)Εξις (2)Εξις (3)

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 99

3times2 Συστήματα Εξισώσεων III3 Κ

(α) ´Οταν και οι τρεις εξισώσεις είναι παράλληλες

X

Y

2X minusY =minus8

2X minusY = 2

2X minusY = 12

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 100

3times2 Συστήματα Εξισώσεων IV(β) ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ τωνεξισώσεων

X

Y

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minus2Y =minus4

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 101

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική ΑνάλυσηΣε ένα γράφημα 2 διαστάσεων ένα σύστημα mtimes2(mgt2) εξισώσεων παριστάνεται με m ευθείες ´Οπωςσυμβαίνει στα συστήματα 2times2 υπάρχουν τρίαενδεχόμενα

1 ´Ολες οι ευθείες τέμνονται στο ίδιο σημείο και έτσιυπάρχει

2 ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ των mεξισώσεων Αυτό σημαίνει ότι όλες οι ευθείες είναιπαράλληλες Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα Λ

3 Οι m εξισώσεις είναι ισοδύναμες πχ παρασταίνονται σανμια ευθεία Σε αυτή την περίπτωση υπάρχει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 102

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων ∆ιαδικασίαΑπαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής για την επίλυση ενός συστήματοςmtimes2 μπορεί να περιγραφεί ως ακολούθωςΕπιλέξτε και λύστε σύστημα με δύο εξισώσεις

1 Εάν δεν υπάρχει λύση τότε ολόκληρο το σύστημα δεν έχειλύση

2 Εάν υπάρχει μοναδική λύση που ικανοποιεί τις υπόλοιπεςmminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα έχει μία μοναδική λύση

3 Εάν η λύση είναι μοναδική αλλά δεν ικανοποιεί τιςυπόλοιπες mminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα δεν έχει λύση

4 Εάν οι 2 λύσεις είναι ισοδύναμες απάλοιψτε τη μίααπό τις δύο εξισώσεις και ξεκινήστε από την αρχήλαμβάνοντας υπόψη ένα σύστημα (mminus1)times2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 103

ΠαράδείγμαI Θεωρείστε ένα σύστημα 5times2

XminusY= 1X+2Y=minus8

3Xminus2Y= 02Xminus5Y= 11minus4X+3Y=minus1

I Η λύση των πρώτων δύο εξισώσεων δίνετε απόY =minus3 και X =minus2

I Αντικαθιστώντας τη λύση στις υπόλοιπες τρεις εξισώσειςπαίρνετε αντίστοιχα

0 = 0 11 = 11 και minus1 =minus1I Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση

X=minus2 και Y=minus3Ε Ι Κοντογιώργης copy 104

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian

Η μέθοδος απολοιφής Gaussian μετατρέπει το αρχικόσύστημα εξισώσεων σε διαγώνια μορφή επαναλαμβάνονταςστις εξισώσεις τις ακόλουθες τρεις διαδικασίες

1 Πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης μεμια θετική σταθερά

2 Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού θα προστεθεί σεάλλη εξίσωση

3 Η σειρά των εξισώσεων μπορεί να αλλάξει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 105

ΠαράδείγμαΠ Θεωρείστε το σύστημα 2times2

2X minus 3Y = 7 (Εξ 1)X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με 12 για να πάρετε

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με minus1 καιπροσθέστε την στην (Εξ 2)

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

52Y =

152 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 106

Στάδιο 3 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 25

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

Y = 3 (Εξ 2)

Στάδιο 4 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 32 και

προσθέστε την στην (Εξ 1)

X = 1 (Εξ 1)Y = 3 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 107

Π Θεωρείστε το σύστημα 2times2

5X + 20Y = 254X minus 7Y =minus26

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να εκφραστεί ως

R1 5 20 25R2 4 minus7 minus26

Η κάθετη γραμμή χρησιμοποιείται για διαχωρισμό τηςαριστερής από τη δεξιά πλευρά των εξισώσεων Το Riυπονοεί τη γραμμή (Row) i

Ε Ι Κοντογιώργης copy 108

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάζουμε τη R1 με 15 και το θέτουμε

R1larr 15R1

R1 1 4 5R2 4 minus7 minus26

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάζουμε την R1 με minus4 και τηνπροσθέτουμε στην R2 Εν συντομίαR2larrminus4R1+R2

R1 1 4 5R2 0 minus23 minus46

Στάδιο 3 R2larrminus 123R2

R1 1 4 5R2 0 1 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 109

Στάδιο 4 R1larrminus4R2+R1

R1 1 0 minus3R2 0 1 2

Το αρχικό σύστημα εξισώσεων μετατρέπεται σε διαγώνιαμορφή όπως πιο κάτω

X =minus3Y = 2

το οποίο δίνει τη λύση του συστήματος

Ε Ι Κοντογιώργης copy 110

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 I

Το σύστημα εξισώσεων 3times3 μετετρέπεται σε διαγώνιαμορφή Η μετατροπή γίνεται στήλη με στήλη από τααριστερά προς τα δεξιά

Π Θεωρήστε το σύστημα 3times3

X1 + X2 + X3 = 2X1 minus 3X2 + 2X3 = 7

4X1 minus 2X2 minus X3 = 9

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να γραφτεί ως

Ε Ι Κοντογιώργης copy 111

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 II

1 1 1 21 minus3 2 74 minus2 minus1 9

Ε Ι Κοντογιώργης copy 112

Ακέραιοι και Πραγματικοί Αριθμοί ΙΙ

I Μια μεταβλητή μπορεί να πάρει πεπερασμένο αριθμότιμών Για παράδειγμα η μεταβλήτή M που υποδειλώνειτους μήνες του χρόνο μπορεί να πάρει τις τιμές

123456789101112

Σε αυτή την περίπτωση η μεταβλητή M είναι μια σειράθετικών ακέραιων μετεβλητών (φυσικοί)

I Η μεταβητή x μισθοί από το προηγούμενο παράδειγμαπαίρνει θετικούς πραγματικούς αριθμούς

I Το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών συμβολίζεταιreal Η σειρά αυτή περιλαμβάνει όλους τους πραγματικούςακέραιους αριθμούς από το μείον άπειρο (minusinfin) ως στοάπειρο (infin)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 14

Ακέραιοι και Πραγματικοί Αριθμοί ΙΙΙ

I Γενικά μια μεταβλητή x που παίρνει πραγματικές τιμέςονομάζεται πραγματική μεταβλητή (real variable) καισυμβολίζεται με x isinreal Με το σύμβολο isin εννοούμε lsquoμέσαrsquolsquoανήκειrsquo κλπ

I Το σύμβολο που χρησιμοποείται για το διαχωρισμό τουακέραιου μέρους σε ένα δεκαδικό αριθμό από τοκλασματικό μέρος ονομάζεται δεκαδικό σημείο (decimalpoint) Eg 314159

I Η δεκαδική θέση (decimal place) είναι η θέση του ψηφίουστα δεξιά του δεκαδικού σημείου

Ε Ι Κοντογιώργης copy 15

Συναρτήσεις Ακέραιων και Πραγματικών

I Συνάρτηση στογγυλοποίησης ή συνάρτηση κοντινότερουδεκαδικούΗ lsquoστρογγυλοποίησηrsquo ενός πραγματικού αριθμού xσυμβολίζεται με [x] ∆ίνει τον πιο κοντινό ακέραιο στοxΠχ [32] = 3 [minus32] =minus3 και [86] = 9Ο πιο πάνω ορισμός είναι δύσκολο να εφαρμοστεί γιαhalf-integers Στις περιπτώσεις αυτές η στρογγυλοποίησηγίνεται προς τα πάνω μόνο για τους μονούς αριθμούςέτσι ώστε να αποφεύγεται η μεροληπτικότηταΠχ [35] = 4 [45] = 4 και [05] = 0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 16

I Στρογγυλοποίηση προς τα πάνω ή συνάρτησημικρότερου ακεραίουΗ lsquoστρογγυλοποίηση προς τα πάνωrsquo ενός πραγματικούαριθμού x συμβολίζεται με dxe Μας δίνει το μικρότεροδυνατό ακέραιο που είναι μεγαλύτερος ή ίσος από το xΠχ d32e= 4 dminus32e=minus3 d35e= 4 και d36e= 4

I lsquoΣτρογγυλοποίηση προς τα κάτωrsquo ή συνάρτησημεγαλύτερου ακεραίουΤο lsquoκατώτατο όριοrsquo ενός πραγματικού αριθμού xσυμβολίζεται bxc ∆ίνει το μεγαλύτερο δυνατό ακέραιοπου είναι μικρότερος ή ίσος από το xΠχ b32c= 3 bminus32c=minus4 b35c= 3 και b36c= 3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 17

Σταθερές

I ´Ενας αριθμός που αντιπροσωπεύει μια ποσότητα πουθεωρείται ότι έχει σταθερή τιμή ονομάζεται lsquoσταθεράrsquo Ητιμή μιας σταθεράς ενώ δε μεταβάλλεται πιθανό να μηνπροσδιορίζεται

I Οι πιο σημαντικές πραγματικές σταθερές είναι

1 Το π= 314159 Είναι ο δείκτης που υποδειλώνει τηνπεριφέρεια του κύκλου ακτίνια Ονομάζεται και σταθερά τουΑρχιμήδη

2 Το exp = 271828 που υποδειλώνει τη βάση του φυσικούλογάριθμου

Ε Ι Κοντογιώργης copy 18

Σύμβολα Κατεύθυνσης

I Το σύμβολο lsquogtrsquo που σημαίνει lsquoμεγαλύτεροrsquo καθώς και τοlsquogersquo που σημαίνει lsquoμεγαλύτερο ή ίσοrsquo

I Το σύμβολο lsquoltrsquo που σημαίνει lsquoμικρότεροrsquo καθώς και το lsquolersquoπου σημαίνει lsquoμικρότερο ή ίσοrsquo

I Παράδειγμα Οι μεταβλητές που συμβολίζουν τουςμηνιαίους μισθούς xge 0 Οι μεταβλητές που συμβολίζουντους μήνες του χρόνου 0ltMlt13 που μπορούν επίσης ναγραφτούν 1leMle 12

Ε Ι Κοντογιώργης copy 19

∆υνάμειςI Οι εκθέτες αποτελούν συντομογραφία του

πολλαπλασιασμού (5)(5) = 52 και (5)(5)(5) = 53 Εδώτο 5 λέγεται βάση και το 3 λέγεται εκθέτης Μπορείεπίσης να ερμηνευτεί πέντε υψωμένο στην τρίτη δύναμη

I Η δύναμη είναι ο εκθέτης στον οποίο υψώνεται μιαποσότητα Η έκφραση xn είναι γνωστή ως x στη nδύναμη

I Σημειώστε ότι 5253 = (55)(555) = 55 = 5(2+3) Εδώπαρουσιάζεται ένας βασικός κανόνας του εκθέτη Στηπερίπωση που πολλαπλασιάζονται δύο όροι που έχουντην ίδια βάση οι εκθέτες τους μπορούν να προστεθούν

xmxn = x(m+n)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 20

I Στην περίπτωση όμως που (x4)(y3) ο πιο πάνω κανόναςδε μπορεί να εφαρμοστεί γιατί οι βάσεις είναιδιαφορετικές (x4)(y3) = xxxxyyy

I Για (x2)4

= x2x2x2x2 = xxxxxxxx= x8 = x(2times4)

I ´Ετσι στην περίπτωση που έχετε μια εκθετική έκφρασηπου είναι υψωμένη σε μία δύναμη μπορείτε ναπολλαπλασιάσετε τον εκθέτη με τη δύναμη

(xm)n

= xmn

Ε Ι Κοντογιώργης copy 21

I Εάν έχετε μια έκφραση μέσα σε παράνθεση και ηπαράνθεση είναι υψωμένη σε μια δύναμη τότε η δύναμημπορεί να γίνει μέρος τις παράνθεσης Για παράδειγμα

(xy2)3 = (xy2)(xy2)(xy2) = (xxx)(y2y2y2)

= (xxx)(yyyyyy) = x3y6 = (x)3(y2)3 = x3y6

Παρομοίως(xy)2

=x2y2

I ´Ενας αρνητικός εκθέτης είναι ένδειξη ότι η βάση βρίσκεταιστον παρονομαστή του κλάσματος Πχ

xminus2 =1x2

x2xminus3 = x2x3 = x5 2xminus1 =

2x

(3x)minus2 =1

(3x)2 =1

9x2 και(xminus2yminus3

)minus2=

(xminus2)minus2

(yminus3)minus2=x4y6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 22

I Οτιδήποτε στη δύναμη μηδέν είναι lsquo1rsquo

Πχ 50 = 1 x0 = 1 (x2y3)0 = 1 και 00 = 1

Σημειώστε ότι 50 = 5(1minus1) = (51)(5minus1) =55 = 1

I Μηδέν σε οποιαδήποτε δύναμη είναι μηδέν έτσι 0n = 0

Σημειώστε ότι 00 = 1 και ότι 00 = 0

Αυτό υποδειλώνει ότι 00 είναι μια απροσδιόριστη μορφήπου σε κάποιες περπτώσεις παίρνει μία τιμή και σεκάποιες άλλες περιπτώσεις παίρνει διαφορετική τιμή

Ε Ι Κοντογιώργης copy 23

I Κλασματικοί (Αναλογικοί) Εκθέτες

1 Η τετραγωνική ρίζα μπορεί να γραφτεί σε μορφή κλάσματος

´Ετσι radicx= x12

Πχ 212 =

radic2 = 141 και 2

minus12 =

1radic2

= 071

2 Γενικά xab =bradicxa Πχ 7

23 =

3radic72 = 366

355 = 3112 =

2radic311 = 42089

Ε Ι Κοντογιώργης copy 24

ΛογάριθμοιI Η λογαριθμική μορφή ενός αριθμού είναι lsquoαντίθετηrsquo από

την εκθετική Τεχνικά μιλώντας η λογαριθμική μορφήείναι αντίστροφη της εκθετικής

I Η σχέση δίνεται logb(x) = y

που είναι το ίδιο με by = x

I Ο lsquolsquologb(x) = yrsquorsquo προφέρεται lsquolsquolog-βάση-b-του x ισούται yΕδώ b ονομάζεται lsquoβάση του λογαρίθμουrsquo αφού το b είναιη βάση της εκθετικής έκφρασης

I Η βάση b του λογάριθμου είναι πάντοτε θετική και δενισούται με 1

I Οτιδήποτε βρίσκεται μέσα στο λογάριθμο ονομάζεταιέκφραση

Ε Ι Κοντογιώργης copy 25

ΠαραδείγματαI Μετατρέψτε την έκφραση 63 = 216 στην ισοδύναμη

λογαριθμική μορφή

Για τη μετατροπή η βάση μένει η ίδια αλλά το 3 και το216 αλλάζουν θέσεις Αυτό μας δίνει

log6(216) = 3

I Μετατρέψτε τον log4(1024) = 5 στην αντίστοιχηλογαριθμική έκφραση

Για τη μετατροπή η βάση (που είναι 4) παραμένει η ίδιααλλά το 1024 και το 5 αλλάζουν θέσεις ´Ετσι δίνεται

45 = 1024

Ε Ι Κοντογιώργης copy 26

I Υπολογίστε τον log2(8)

Εάν y= log2(8) τότε υπονοείται ότι 2y = 8 Αυτόσημαίνει ότι y είναι η δύναμη του 2 που θα έχει σαναποτέλεσμα 8 Η δύναμη που δίνει το αποτέλεσμα είναι 3αφού 23 = 8 ´Ετσι

log2(8) = 3

I Κατά παρόμοιο τρόπο log5(25) = 2 αφού 52 = 25

I Υπολογίστε τον y= log64(4)

Σημειώστε ότι 64y = 4 και 43 = 64

´Ετσι (43)y

= 4 ή 43y = 41

Η πιο πάνω έκφραση εξυπονοεί ότι 3y= 1 και έτσιy= 13

Ε Ι Κοντογιώργης copy 27

I Υπολογίστε y= log6(6)

Αυτό ισοδυναμεί με το 6y = 6 και συνεπώς y= 1

I Υπολογίστε το y= log3(1)

Το πιο πάνω μπορεί να γραφτεί ως 3y = 1

´Ομως 1 = 30 έτσι 3y = 30 και y= 0

I Υπολογίστε το y= log4(minus16)

Μπορεί να γραφτεί σαν 4y =minus16

´Ομως δεν υπάρχει τιμή (πχ δύναμη) y που ναικανοποιεί τη σχέση ´Ετσι δεν υπάχρει λύση

Ε Ι Κοντογιώργης copy 28

I Υπολογίστε το y= log2(0)

Αυτό σημαίνει 2y = 0 όμως δε υπάρχει τιμή που ναικανοποιεί τη σχέση ´Ετσι δεν υπάχρει λύση

I Υπολογίστε το y= 2log2(9)

Αυτό σημαίνει ότι log2(y) = log2(9) και έτσι y= 9

Ε Ι Κοντογιώργης copy 29

I Γενικά1 logb(b) = 1 για οποιαδήποτε βάση b

2 logb(1) = 0 για οποιαδήποτε βάση b

3 logb(a) δεν ορίζεται για αρνητικά a

4 logb(0) δεν ορίζεται για οποιαδήποτε βάση b

5 logb(bn) = n για οποιαδήποτε βάση b

Ε Ι Κοντογιώργης copy 30

I Οι λογάριθμοι μπορούν να πάρουν οποιοδήποτε αριθμόσαν βάση αλλά δύο βάσεις είναι οι πιο χρήσιμες οlog-βάση-10 και ο log-βάση-e

I Η βάση-10 log συχνά ονομάζεται ο κοινός log καιγράφεται ως log(x) Εδώ δεν αναγράφεται βάση καιμπορούμε να υποθέσουμε ότι η βάση είναι 10

Πχ log(100) = 2 έτσι log10(102) = 2

I Η βάση-e log ονομάζεται ο φυσικός log και γράφεται σανln(x)Πχ ln(e345)= 345 καθώς loge(e345) = 345

Ε Ι Κοντογιώργης copy 31

Ιδιότητες Λογαρίθμωνlogb(xy) = logb(x) + logb(y)

Απόδειξη´Εστω m= logbx και n= logby

Γράψτε σε μορφή εκθέτη x= bm και y= bn

Πολλαπλασιάστε το x και y ούτως ώστεxy= bmbn = bm+n

´Ετσι από τον ορισμό των λογαρίθμων το xy= bm+nσυνεπάγει ότι

logb(xy) =m+n= logbx+ logb(y)

Πχ log2(4times16) = log2(64) = log2(26) = 6

Ακόμα log2(4times16) = log2(4) + log2(16) = 2+4 = 6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 32

logb(xy)

= logb(x)minus logb(y)

Απόδειξη´Εστω m= logbx και n= logby

Γράψτε σε μορφή εκθέτη x= bm και y= bn

∆ιαίρα το x και y ούτως ώστε xy =bmbn = bmminusn

´Ετσι από τον ορισμό των λογαρίθμων το xy = bmminusn

συνεπάγει ότι

logb(xy)

=mminusn= logbxminus logb(y)

Πχ log2(16

4)

= log2(4) = 2

και log2(16

4)

= log2(16)minus log2(4) = 4minus2 = 2Ε Ι Κοντογιώργης copy 33

logb(xn) = n logb(x)

Απόδειξη´Εστω m= logbx και γράψτε σε μορφή εκθέτη x= bm

Αυξάνοντας τις δύο πλευρές στην n δύναμη παίρνουμεxn = (bm)n = bmn

´Ετσι από τον ορισμό των λογαρίθμων τοlogbxn =mn= nm= n(logbx)

Πχ log2(64) = log2(26) = 6 log2(2) = 6

log(64) = 18

Επιπλέον log(64) = log(26) = 6log(2) = 6times030 = 18

Ε Ι Κοντογιώργης copy 34

logb(x) =loga(x)loga(b) agt0 a 6= 1

Απόδειξη´Εστω m= logbx rArr x= bm

Εφαρμόστε loga και στις δύο πλευρές του x= bmγια ναδώσει

logabm = logax rArr m logab= logaxrArr m=logaxlogab

rArr logbx=logaxlogab

Πχ log5(20) =log(20)

log(5)= 186 =

ln(20)

ln(5)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 35

logb(a) =1

loga(b) agt0 a 6= 1

Απόδειξη

logb(x) =loga(x)loga(b) =

logx(x)logx(b)

=1

loga(b)

´Οταν a= x

Πχ log2(64) =1

log64(2)=

116 = 6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 36

Αθροισμα

I Υποθέστε ότι έχουμε μια μεταβλητή x που μπορεί ναπάρει δέκα τιμές Εάν ενδιαφερόμαστε για το άθροισμάτους χωρίς να ξέρουμε την τιμή της κάθε μεταβλητής τότεο καλύτερος τρόπος να το εκφράσουμε είναι

x1 +x2 + middot middot middot+x9 +x10

I Εν συντομία το άθροισμα n στοιχείων x1 +x2 + middot middot middot+xn είναιnsum

i = 1xi

και ερμηνεύεται σαν το άθροισμα όλων των xirsquosξεκινώντας από το x1 (πχ i = 1) μέχρι xn (i = n)

I Εάν δε δοθεί διαφορετικά πάντοτε υποθέτουμε ότι το iαυξάνεται ξεκινώντας από το στάδιο 1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 37

I Το lsquolsquoSigmarsquorsquo Σ είναι γνωστό ως το άθροισμα (summation) ήσύμβολο σίγμα (sigma operator) και ο δείκτης i όνομάζεταιεικονική μεταβλητή

I Παραδείγματα

I

5sum

i = 1xi = x1 +x2 +x3 +x4 +x5

I

5sum

i = 1(y2

i ) = y21 +y22 +y23 +y24 +y25

Σημειώστε ότι η μόνη μεταβλητή που περιγράφεται απευθείαςκάτω από το σύμβολο Σ αυξάνεται κατά 1 κάθε φορά ενώ όλατα άλλα σύμβολα παραμένουν τα ίδια

I

4sum

r = 1(x3r ) = x31 +x32 +x33 +x34

Ε Ι Κοντογιώργης copy 38

I6sum

i = 1i = 1+2+3+4+5+6

I6sum

i = 1i2 = 12 +22 +32 +42 +52 +62

I7sum

i = 3xi = x3 +x4 +x5 +x6 +x7

I4sum

i = 1a = a+a+a+a= 4a

I3sum

i = 1(4+xi) = (4+x1) + (4+x2) + (4+x3)

=3sum

i = 14+

3sum

i = 1xi

Ε Ι Κοντογιώργης copy 39

I3sum

i = 1(2xi) = (2x1) + (2x2) + (2x3) = 2times

3sum

i = 1xi

I Ο συντελεστής i παραλείπεται εάν δε προκαλείαοριστία Για παράδειγμα Σx ή Σixi σημαίνειάθροισμα όλων των x που λαμβάνονται υπόψη

I ∆ήλωσηI

nsumi=1a= na

I sumiaxi = asum

ixi

I sumi

(axi+byi) = asumixi +bsum

iyi

Ε Ι Κοντογιώργης copy 40

I Αθροιστικός Τύπος

Insum

i = 1i = 1+2+ middot middot middot+n=

n(n+1)

2

Πχ6sumi = 1i = 1+2+3+4+5+6 =

6(6+1)

2 = 21

Insum

i = 1i2 = 12 +22 + middot middot middot+n2 =

n(n+1)(2n+1)

6

Πχ6sumi = 1i2 = 12 +22 +32 +42 +52 +62

=6(6+1)(12+1)

6 = 91

Ε Ι Κοντογιώργης copy 41

Insum

i = 1i3 = 13 +23 + middot middot middot+n3 =

n2(n+1)2

4

Πχ6sumi = 1i3 = 13 +23 +33 +43 +53 +63

=62(6+1)2

4 = 441

Ε Ι Κοντογιώργης copy 42

ΠαραδήγματαΑριθμητική Πρόοδος

I Γενικά μπορούμε να εκφράσουμε μια αριθμητική πρόοδο ωςεξής

αριθμητική πρόοδος a a+d a+2d a+3d

όπου ο πρώτος όρος είναι a και η διαφορά d Ο όρος nτης απ δίνεται από τη σχέση b = a+ (nminus1)d

I 3 5 7 9 11 είναι μια αριθμητική πρόοδος Οπρώτος όρος είναι το 3 και η διαφορά είναι 2

I 2 minus1 minus4 minus7 είναι μια αριθμητική πρόοδος όπου οπρώτος όρος είναι 2 και η διαφορά minus3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 43

I Το άθροισμα των όρων μιας αριθμητικής προόδου είναιγνωστό ως αριθμητική σειρά

Sn = a+ (a+d) + (a+2d) + middot middot middot+ (a+ (nminus1)d)

=nsumi=1

(a+ (iminus1)d

)= na+

nsumi=1

(iminus1)d

= na+dnminus1sumi=1

i = na+d(nminus1)n2

=n2(2a+d(nminus1)) =

n2(a+b) b = a+d(nminus1)

I ΑΠ 3 5 7 9 11 13 rArr Sn =62(3+13) = 48

Ε Ι Κοντογιώργης copy 44

∆ιπλό Αθροισμα4sumi=1

isumj=1

j = (1) + (1+2) + (1+2+3) + (1+2+3+4) = 20

nsumi=1

isumj=1

j =nsumi=1

( isumj=1

j)

nsumi=1

(12 i(i+1)

)=

12

nsumi=1

(i2 + i)

12( nsumi=1

i2 +nsumi=1

i)

=12(16n(n+1)(2n+1) +

12n(n+1)

)

=12

16n(n+1)

((2n+1) +3

)=

n6(n+1)(n+2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 45

∆ιπλό Αθροισμα

nsumi=1

msumj=1

(i+ j+2) =nsumi=1

( msumj=1

(i+ j+2))

nsumi=1

( msumj=1

i+msumj=1

j+msumj=1

2)

=nsumi=1

(mi+ 1

2m(m+1) +2m)

m( nsumi=1

i+ 12

nsumi=1

(m+5))

= m(12n(n+1) +

12n(m+5)

)

=mn2(m+n+6

)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 46

Insumr=1

1r(r+1)

=nsumr=1

(Ar +

Br+1

)=

nsumr=1

A(r+1) +Brr(r+1)

I A(r+1) +Br = 1

I Για r = 0 τότε A= 1 και για r =minus1 τότε B=minus1

I

nsumr=1

1r(r+1)

=nsumr=1

(1r minus

1r+1

)

=(

(11 minus

12) + (

12 minus

13) + (

13 minus

14) + middot middot middot+ (

1nminus1 minus

1n ) + (

1n minus

1n+1)

)

= 1minus 1n+1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 47

Insumk=1

1(k+2)(k+3)

=nsumk=1

( A(k+2)

+B

(k+3)

)=

nsumk=1

A(k+3) +B(k+2)

(k+2)(k+3)

I A(k+3) +B(k+2) = 1

I Για k=minus2 τότε A= 1 και για k=minus3 τότε B=minus1

I

nsumk=1

1(k+2)(k+3)

=nsumk=1

( 1(k+2)

minus 1(k+3)

)

=(

(13 minus

14)+(

14 minus

15)+(

15 minus

16)+ +(

1n+1 minus

1n+2)+(

1n+2 minus

1n+3)

)

=13 minus

1n+3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 48

Αθροισμα με Λογάριθμους

nsumi=1

logb(i) = logb(1) + logb(2) + middot middot middot+ logb(n)

= logb(1times2times3timesmiddotmiddot middottimesn)

= logb(n)

I Το n (n παραγοντικό) δίνεται από n = 1times2timesmiddotmiddot middottimesn και0 = 1

I100sumi=1

log2(100) = log2(100) =log(100)

log(2)=

log(99)

log(2)+

2log(2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 49

Γινόμενο των ακολουθιώνIn

prodi=1xi = x1timesx2timesx3timesmiddotmiddot middottimesxn

In

prodi=1i = 1times2times3timesmiddotmiddot middottimesn= n

In

prodi=1z= ztimesztimesmiddotmiddot middottimesz= zn

I

nprodi=1

(1+

1i+1

)=(1+

12)times(1+

13)times(1+

14)times times(1+

1n )times(1+

1n+1)

=32 times

43 times

54 timesmiddotmiddot middottimes

n+1n times n+2

n+1

=n+22

Ε Ι Κοντογιώργης copy 50

Γεωμετρικές ΠροόδοιI Μια γεωμετρική πρόοδος είναι μια σειρά αριθμών όπου

κάθε όρος μετά των πρώτο υπολογίζεται από τονπολλαπλασιασμό του προηγούμενου όρου με ένασταθερό αριθμό που καλείται αναλογία

I Η σειρά1 3 9 27 81 middot middot middot

είναι μια γεωμετρική πρόοδος με πρώτο όρο το 1 καιαναλογία 3

I Η αναλογία μπορεί να είναι κλάσμα καθώς επίσης καιαρνητικός αριθμός Για παράδειγμα η γεωμετρικήπρόοδος με πρώτο όρο το 2 και αναλογία minus13 είναι

2 minus 23 +

29 minus

227 +

281 middot middot middot

Ε Ι Κοντογιώργης copy 51

I Γενικά μπορούμε να γράψουμε μια γεωμετρική πρόοδο ωςακολούθως

γεωμετρική πρόοδος a ar ar2 ar3 ar4 middot middot middot

όπου ο πρώτος όρος είναι a και η αναλογία r

I Σημαντικά θεωρήματα των γεωμετρικών προόδων (γπ)1 Ο n όρος μιας γπ δίνεται από ar(nminus1)

2 Το άθροισμα των πρώτων n όρων μιας γπ είναι

Sn =a(1minus rn)

1minus r =a(rnminus1)

rminus1 και ισχύει μόνο αν r 6= 1

I Το άθροισμα των όρων μιας γεωμετρικής προόδουονομάζεται γεωμετρική σειρά

Ε Ι Κοντογιώργης copy 52

Γεωμετρική σειρά

Sn = a+ar+ar2 +ar3 + middot middot middot+arnminus2 +arnminus1

rSn = ar+ar2 +ar3 + arnminus1 +arn

Snminus rSn = aminusarn

(1minus r)Sn = a(1minus rn)

Sn =a(1minus rn)

(1minus r) =a(rnminus1)

(rminus1)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 53

I Παράδειγμα1 Βρείτε το άθροισμα των πρώτων 10 όρων μιας γεωμετρικής

σειράς4 8 16 32

Ο πρώτος όρος είναι a= 4 και η αναλογία r = 2 καιn= 10 ´Ετσι

S10 =4(1minus210)

1minus2 = 4092

2 Θεωρείστε τη γπ4 minus8 16 minus32 64 minus128 256 minus512

Σε αυτή την περίπτωση ο πρώτος όρος είναι a= 4 ηαναλογία είναι r =minus2 και n= 8´Ετσι

S8 =4(1minus (minus2)8)

1minus (minus2)=minus340

Ε Ι Κοντογιώργης copy 54

Συνεχείς ανατοκισμός

Οι περισσότεροι τραπεζικοί λογαριασμοί και τα δάνειαυιοθετούν ανατοκισμό - εφαρμόζοντας συνεχή ανατοκισμόΘεωρείστε ένα λογαριασμό που προσφέρει τόκο με ετήσιοεπιτόκιο r (πχ 7) Εάν το επιτόκιο είναι συνεχέςσε χρονιαία βάση τότε μετά από 1 χρόνο το χρονιαίοεπιτόκιο προστίθεται στο αρχικό κεφάλαιο για νακαθορίσει ένα μεγαλύτερο κεφάλαιο τον δεύτερο χρόνο

´Ετσι κατά τη διάρκεια του δεύτερου χρόνου ολογαριασμός κερδίζει επιτόκιο πάνω στο επιτόκιοΑυτή είναι η επίδραση του ανατοκισμού που συνεχίζεταιχρόνο με το χρόνο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 55

I Με τον ετήσιο ανατοκισμό το κεφάλαιο πουσυσσωρεύεται στο λογαριασμό πολλαπλασιάζεται με

(1+ r)

´Ετσι το κεφάλαιο A θα αυξηθεί σε

A(1+ r) = A+A middot r

τον επόμενο χρόνο

I Με το πέρας και του δεύτερου χρόνου το κεφάλαιο θααυξηθεί ακόμα (1+ r) σε (1+ r)2

´Ετσι το κεφάλαιο καταλήγει σε

A(1+ r)(1+ r) = A(1+ r)2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 56

I Κατά παρόμοιο τρόπο στο τέλος του τρίτου χρόνου τοποσό θα αυξηθεί κατά (1+ r)3

I Μετά από n χρόνια το ποσό θα αυξηθεί κατά (1+ r)n

I ´Ετσι το κεφάλαιο (επένδυση) A θα αυξηθεί με συνεχήανατοκισμό σε A(1+ r)n μετά από n χρόνια

I Ο τύπος (1+ r)n εκθέτει γεωμετρική αύξηση λόγω τηςn δύναμης

Ε Ι Κοντογιώργης copy 57

ΠαραδείγματαI Εάν το επιτόκιο είναι r = 5 τότε το κεφάλαιοA= $1000 που βρίσκεται στην τράπεζα n= 20 χρόνιαθα αυξηθεί κατά

(1+ r)n = (1+005)20 = 2653 φορές

´Ετσι το ποσό θα καταλήξειA(1+ r)n = $265330

I Βρέστε το χρόνο που χρειάζεται για ένα λογαργιασμό ναδιπλασιάσει το διαθέσιμο κεφάλαιο του όταν r = 7 καιr = 10Ζητούμε να βρούμε το n έτσι ώστε

(1+ r)n = 2Ε Ι Κοντογιώργης copy 58

I Υπολογίζοντας το λογάριθμο του τελευταίου παίρνουμε

log(1+ r)n = log(2)ή n log(1+ r) = log(2)

´Ετσιn=

log2log(1+ r)

I Για r = 7 και r = 10 ο χρόνος n πουχρειάζεται για διπλασιασμό της επένδυσης υπολογίζεταισε 1024 και 727 αντίστοιχα

Ε Ι Κοντογιώργης copy 59

I Αν το επιτόκιο είναι r = 7 τότε πιο θα είναι τοσυνολικό ποσό στο λογαριασμό μετά από 205 και41 χρόνια αντίστοιχα

Μετά τα πρώτα 1025 χρόνια το ποσό A θαδιπλασιαστεί σε 2A Για τα επόμενα 1025 χρόνιατο ποσό θα ξαναδιπλασιαστεί σε 4A ´Ετσι μετά από205 χρόνια το ποσό θα αυξηθεί κατά 4 φορές

Με το πέρας ακόμα 205 χρόνων το ποσό θα αυξηθείακόμα 4 φορές σε 16 ´Ετσι μετά από 41 χρόνιατο κεφάλαιο A γίνεται 16A

Ε Ι Κοντογιώργης copy 60

Ασκήσεις και Παραδείγματα

I Υπολογίστε τη Μελλοντική Αξία (Future Value (FV)) τουκεφαλαίου A= 1500 που κερδίζει ετήσιο επιτόκιοr = 5 για n= 10 έτη

FV =A(1+ r)n = 1500(1+005)10 = 244334

I Πόσα έτη απαιτούνται για να τριπλασιαστεί ένα ποσόπου αφήνετε στην τράπεζα με επιτόκιο r = 5∆ηλαδή βρείτε το n όπου A= 1 r = 5 και FV = 3

FV =A(1+ r)n ή (1+ r)n =FVA

Ε Ι Κοντογιώργης copy 61

Υπολογίζοντας τους λογαρίθμους παίρνουμε

log(1+ r)n = log(FVA)

ή n log(1+ r) = log(FVA)

´Ετσι

n=log(FVA)

log(1+ r) =log(3)

log(105)

= 2252

Ε Ι Κοντογιώργης copy 62

I Βρείτε την παρούσα αξία A έτσι ώστε σε δέκα έτη μεσταθερό επιτόκιο r = 6 να είναι 100KΒρείτε το A όπου FV = 100000 r = 6 και n= 10

FV =A(1+ r)n ή A=FV

(1+ r)n

´Ετσι A=100000

(106)10= 5583948

I Βρείτε την ετησιοποιημένη απόδοση (AER AnnualEquivalent Rate) μιας μηνιαίας κατάθεσης με σταθερόεπιτοκίο 394 Μια τέτοια κατάθεση λαμβάνει το επιτόκιο στη λήξηΣυνεπώς κάθε μήνα ο λογαριασμός λαμβάνει

r = 0039412 = 000328

επιτόκιο που επανεπενδύεται (συνεχής ανατοκισμός)Ε Ι Κοντογιώργης copy 63

Επανεπενδύοντας το επιτόκιο κάθε μήνα στη διάρκειαενός έτους το κεφάλαιο θα αυξηθεί σε

(1+ r)12 = (1+000328)12 = 104012

´Ετσι το ΑΕΡ είναι ισοδύναμο με 004012 = 4012I Υπολογίστε το επιτόκιο ενός σταθερού λογαριασμού

κατάθεσης 7-ημερών που έχει AER επιτόκιο r = 425Θεωρείστε ρ το εβδομαδιαίο επιτόκιο

´Ετσι (1+ρ)52 = (1+00425)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 64

Παίρνοντας τους λογαρίθμους έχουμε52log(1+ρ) = log10425

ή log(1+ρ) =log10425

52

ή 1+ρ= 10( log10425

52)

Αυτό μας δίνει

ρ= 10

( log1042552

)minus1 = 008

´Ετσι το συνεχές επιτόκιο μιας επταήμερης κατάθεσης είναιρtimes52 = 41638

Εναλλακτικά (1+ρ)52 = (1+00425) δίνει

(1+ρ) =52radic10425ή ρ=

52radic10425minus = 008Ε Ι Κοντογιώργης copy 65

I Υπολογίστε την ετήσια απόδοση r έτσι ώστε A= 10000να επιστρέφει FV = 35000 σε n= 20 χρόνια

FV =A(1+ r)n ή (1+ r)n =FVA

´Ετσι

1+ r =nradic

FVA

Επομένως

r =nradic

FVA minus1 =

20radic

3500010000 minus1 = 00646 = 646

Ε Ι Κοντογιώργης copy 66

Εναλλακτικά παίρνοντας τους λογαρίθμους

log(1+ r)n = log(FVA) ή n log(1+ r) = log

(FVA)

´Ετσι

1+ r = 10(1n log

(FVA))

ή r = 10(1n log

(FVA))minus1

= 10( 120 log

(3500010000

))minus1

= 646

Ε Ι Κοντογιώργης copy 67

Γραφική Αναπαράσταση I

I Υποθέστε ότι έχουμε y= 3x+2 Καθώς έχουμε μόνο μιαδύναμη για το x πρέπει να λύσουμε γραμμική εξίσωσηκαι να σχεδιάσουμε μια ευθεία γραμμή Αρχικά θα πρέπεινα σχεδιάσουμε ένα T-chart Αυτό έχει τη μορφή

x y = 3x+2 (xy)

I Επιλέγουμε μια τιμή για το x και λύνουμε ως προς y

x y= 3x+2 (xy)minus2 minus4 (minus2minus4)0 2 (02)2 8 (28)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 68

Γραφική Αναπαράσταση II

-

6

X

Y

bull

bull

bull

I Βλέπουμε μια ευθεία με ανοδική τάση (έχοντας θετικήκλίση m= 3) καιτέμνει τον άξονα y στο σημείο y= 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 69

Γραφική Αναπαράσταση III

I Μια Τετραγωνική εξίσωση περιέχει x2 Για τηναναπαράσταση τετραγωνικών εξισώσεων χρειάζεται ναβρούμε περισσότερα από τρία σημεία στο σχεδιάγραμμα

Για παράδειγμα υποθέστε ότι y= x2minus6x+5 καιδίνεται το πιο κάτω T-chart

x y= x2minus6x+5 (xy)0 5 (05)1 0 (10)3 minus4 (3minus4)5 0 (50)6 5 (65)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 70

Γραφική Αναπαράσταση IV

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

-

6

X

Y

bull

bull

bull

bull

bull

Ε Ι Κοντογιώργης copy 71

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(1x + 2)

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(-3x + 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 72

-15

-10

-5

0

5

10

15

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(3x - 2)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 73

-20

0

20

40

60

80

100

120

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2+x)

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 74

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

1250

1500

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3+x2+x)

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x4)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 75

-25

-2

-15

-1

-05

0

05

1

15

2

25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(log(x))

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(x))

Ε Ι Κοντογιώργης copy 76

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(-x))

-5000

0

5000

10000

15000

20000

25000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(exp(x)+x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 77

Ανισότητες I

I Οι ανισότητες αποτελούνται από δύο ή τρεις αλγεβρικέςεκφράσεις που είναι συνδεδεμένες με τα σύμβολαανισότητας Τα σύμβολα αυτά είναι

lt μικρότερο τουgt μεγαλύτερο τουle μικρότερο ή ίσο τουge μεγαλύτερο ή ίσο του

I Παραδείγματα xgty yge x2 και ylt5x+1

I Το πρώτο βήμα για την αναπαράσταση ανισότητας τηςμορφής ygtx είναι να παραστήσουμε γραφικά τηνισότητα y= x

Ε Ι Κοντογιώργης copy 78

Ανισότητες II

I ygtx

Κάνετε δοκιμή με ένα σημείο να δείτε κατά πόσοικανοποιεί την ανισότητα Εάν ναι τότε σκιάστε τηνπεριοχή αυτή του σχεδιαγράμματος διαφορετικά σκιάστετην άλλη πλευρά

Ε Ι Κοντογιώργης copy 79

Ανισότητες III

I yltx

Ε Ι Κοντογιώργης copy 80

Ανισότητες IV

I yle 5x+1 και ygt5x+1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 81

Ανισότητες V

I yge x2 και yle x2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 82

Ανισότητες VI

I ygtx3 και yle x3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 83

Συστήματα Γραμμικών ΕξισώσεωνΠεριεχόμενα

1 Ε

2 Γ Α

ΑναφορέςΚεφάλαια 4 και 5FS Budnick Applied Mathematics for Business Economicsand the Social Sciences 4th edition McGraw-Hill 1993

Ε Ι Κοντογιώργης copy 84

Συστήματα Εξισώσεων

I ´Ενα σύστημα εξισώσεων συνδυάζει περισσότερες από μίαεξισώσεις

I ´Ενα σύστημα m εξισώσεων όπου κάθε εξίσωσηαποτελείται από n μεταβλητές ονομάζεται mtimesnσύστημα ή λέμε ότι έχει διαστάσεις mtimesn

I ΠαράδειγμαΠαρακάτω έχουμε ένα σύστημα 2times2

5X+10Y= 203X+4Y= 10

Οι μεταβλητές σε αυτή την περίπτωση είναι X και YΕ Ι Κοντογιώργης copy 85

Συστήματα Επίλυσης

I Το Σύστημα επίλυσης είναι μια σειρά τιμών μεταβλητώνπου ικανοποιούν το σύστημα ταυτόχρονα

I Σε μια σημειογραφική παράσταση το προηγούμενοπαράδειγμα μπορεί να γραφτεί ως εξής

S = (XY) | 5X+10Y = 20 και 3X+4Y = 10

I Το σύστημα επίλυσης μπορεί να είναι1 μηδενικό2 πεπερασμένο ή3 άπειρο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 86

2times2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική Ανάλυση

I Σε ένα δισδιάστατο γράφημα ένα σύστημα εξισώσεων2times2 αναπαρίστανται με ευθείες γραμμές Υπόρχουν τρίαενδεχόμενα

1 Οι ευθείες τέμνονται Το σημείο τομής αντιπροσωπεύει τηλύση του συστήματος εξισώσεων Αυτό το σημείοαλληλεπίδρασης είναι μια δέσμη τιμών X και Y που ικανοποιείκαι τις δύο εξισώσειςΕάν υπάρχει μόνο μια δέσμη τιμών για τις μεταβλητές που ναικανοποιεί το σύστημα εξισώσεων το σύστημα λέμε ότι έχειΜ Λ

2 Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες μεταξύ τους ∆εν έχουν κοινόσημείο Συνεπώς οι ευθείες δεν τέμνονται ποτέ Το σύστημαλέμε ότι ∆ ΛΑυτό υπονοεί ότι δεν υπάρχουν τιμές για τις μεταβλητές πουνα ικανοποιούν και τις δύο εξισώσεις Σε αυτή τηνπερίπτωση οι εξισώσεις στο σύστημα είναι Α

3 Και οι δύο εξισώσεις αναπαρίστανται ως μια κοινή ευθεία καιθεωρούνται ισοδύναμες εξισώσεις ´Ετσι το σύστημα έχειΑ Λ Αυτό συμβαίνει γιατί υπάρχει άπειροςαριθμός κοινών σημείων στις δύο γραμμές

Ε Ι Κοντογιώργης copy 87

I Π Θεωρείστε ένα σύστημα 2times22X+4Y= 203X+ Y= 10

I

X

Y

(24)

3X +Y = 10

2X +4Y = 20

0 2 4 6 8 10 12

2

4

6

8

10

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 88

I Το σημείο τομής δίνεται από το X= 2 και Y= 4Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές του X και Y στις δύοεξισώσεις δίνουν 20 = 20 και 10 = 10 αντίστοιχα

I Αυτό υποδειλώνει ότι X= 2 και Y= 4 είναι η σωστή λύση

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times23Xminus2Y= 6

minus15X+10Y=minus30

I

X

Y

(20)

(0minus3)

3X minus2Y = 6

minus15X +10Y =minus30

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 89

I Οι δύο εξισώσεις απλοποιούνται σε Xminus 23 Y= 2

Οι δύο εξισώσεις είναι ισοδύναμες και δίνουν έναπεπερασμένο αριθμό λύσεων έτσι ώστε

X= 0 Y =minus3X= 2 Y = 0X= 4 Y = 3

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times26Xminus12Y= 24

minus32X+3Y= 9

Οι εξισώσεις απλοποιούνται σεXminus2Y= 4Xminus2Y=minus6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 90

I

X

Y

(40)

(0minus2)

(minus60)

(03)

X minus2Y =minus6

X minus2Y = 4

0-0

I Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες και συνεπώς το σύστημαδεν έχει λύση ´Ετσι το σύστημα εξισώσεων είναιασύμπτωτο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 91

Περίληψη 2times2 Συστήματα Εξισώσεων∆ίνεται ένα Σύστημα Γραμμικών Εξισώσεων 2times2

Y=m1X+ c1Y=m2X+ c2

1 Υπάρχει μια στο σύστημα εάνm1 6= m2

2 ∆εν υπάρχει στο σύστημα εάνm1 = m2 και c1 6= c2

3 Υπάρχει εάνm1 = m2 και c1 = c2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 92

∆ιαδικασίες Απαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής χρησιμοποιεί πολλαπλασιασμόκαι πρόσθεση έτσι ώστε

1 Να απαλοιφεί μια από τις δύο μεταβλητές

2 Η εξίσωση που εξάγεται είναι συνάρτηση των υπόλοιπωνμεταβλητών

3 Αντικαθιστώντας την τιμή στην μεταβλητή σε μια από τιςαρχικές εξισώσεις βρίσκουμε την τιμή για τηναπολοιφθήσα μεταβλητή

Ε Ι Κοντογιώργης copy 93

ΠαραδείγματαI Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

2X +4Y = 20 (1)3X + Y = 10 (2)

Πολλαπλασιάζοντας τη δεύτερη εξίσωση με minus4 παίρνουμε

minus12X minus4Y =minus40 (3)

Προσθέτοντας την εξίσωση (1) στο (3)

2X + 4Y = 20minus12X minus 4Y = minus40minus10X = minus20

ή

X = 2 (4)Ε Ι Κοντογιώργης copy 94

Αντικαθιστώντας X= 2 στην εξίσωση (1) δίνεται2 middot2+4Y = 20 ή Y=4

´Ετσι η μοναδική λύση του συστήματος δίνεται από τοX= 2 και Y= 4 Μπορεί να επιβεβαιωθεί ότι αυτή είναι ησωστή λύση αντικαθιστώντας X= 2 και Y= 4 στηνεξίσωση (1) και (2)

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times23X minus2Y = 6 (5)

minus15X +10Y =minus30 (6)

Για την απαλοιφή της μεταβλητής X η εξίσωση (5)πολλαπλασιάζεται με 5 και το αποτέλεσμα προστίθεταιστην εξίσωση (6)

15X minus 10Y = 30minus15X + 10Y = minus30

0 = 0 Ε Ι Κοντογιώργης copy 95

Οι τελευταίες πράξεις υπονοούν ότι οι εξίσωσεις (5) και(6) είναι ισοδύναμες και έτσι υπάρχει άπειρος αριθμόςλύσεωνΓια να προσδιορίσουμε τις λύσεις του συστήματος μια απότις αρχικές εξισώσεις λύνεται ως προς μια μεταβλητή Ανγια παράδειγμα η εξίσωση (5) λύνεται ως προς Y δίνει

Y =32Xminus3

Σαν αποτέλεσμα γενικεύοντας τις λύσεις του συστήματοςέχουμε

X τυχαίο και Y =32Xminus3

Πχ για X= 4 υπονοείται ότι Y=32 middot4minus3 = 3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 96

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

6X minus12Y = 24 (7)

minus32X +3Y = 9 (8)

Πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση (8) με 4 καιπροσθέτοντας το αποτέλεσμα στην εξίσωση (7)παίρνουμε

6X minus 12Y = 24minus6X + 12Y = 36

0 = 60

Η πιο πάνω αντιλογία υπονοεί ότι δεν υπάρχει λύση τουσυστήματος εξισώσεων

Ε Ι Κοντογιώργης copy 97

3times2 Συστήματα Εξισώσεων I

1 Μ Λ

X

Y

(32)

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minusY = 1

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 98

3times2 Συστήματα Εξισώσεων II

2 Α Λ

X

Y Εξις (1)Εξις (2)Εξις (3)

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 99

3times2 Συστήματα Εξισώσεων III3 Κ

(α) ´Οταν και οι τρεις εξισώσεις είναι παράλληλες

X

Y

2X minusY =minus8

2X minusY = 2

2X minusY = 12

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 100

3times2 Συστήματα Εξισώσεων IV(β) ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ τωνεξισώσεων

X

Y

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minus2Y =minus4

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 101

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική ΑνάλυσηΣε ένα γράφημα 2 διαστάσεων ένα σύστημα mtimes2(mgt2) εξισώσεων παριστάνεται με m ευθείες ´Οπωςσυμβαίνει στα συστήματα 2times2 υπάρχουν τρίαενδεχόμενα

1 ´Ολες οι ευθείες τέμνονται στο ίδιο σημείο και έτσιυπάρχει

2 ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ των mεξισώσεων Αυτό σημαίνει ότι όλες οι ευθείες είναιπαράλληλες Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα Λ

3 Οι m εξισώσεις είναι ισοδύναμες πχ παρασταίνονται σανμια ευθεία Σε αυτή την περίπτωση υπάρχει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 102

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων ∆ιαδικασίαΑπαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής για την επίλυση ενός συστήματοςmtimes2 μπορεί να περιγραφεί ως ακολούθωςΕπιλέξτε και λύστε σύστημα με δύο εξισώσεις

1 Εάν δεν υπάρχει λύση τότε ολόκληρο το σύστημα δεν έχειλύση

2 Εάν υπάρχει μοναδική λύση που ικανοποιεί τις υπόλοιπεςmminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα έχει μία μοναδική λύση

3 Εάν η λύση είναι μοναδική αλλά δεν ικανοποιεί τιςυπόλοιπες mminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα δεν έχει λύση

4 Εάν οι 2 λύσεις είναι ισοδύναμες απάλοιψτε τη μίααπό τις δύο εξισώσεις και ξεκινήστε από την αρχήλαμβάνοντας υπόψη ένα σύστημα (mminus1)times2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 103

ΠαράδείγμαI Θεωρείστε ένα σύστημα 5times2

XminusY= 1X+2Y=minus8

3Xminus2Y= 02Xminus5Y= 11minus4X+3Y=minus1

I Η λύση των πρώτων δύο εξισώσεων δίνετε απόY =minus3 και X =minus2

I Αντικαθιστώντας τη λύση στις υπόλοιπες τρεις εξισώσειςπαίρνετε αντίστοιχα

0 = 0 11 = 11 και minus1 =minus1I Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση

X=minus2 και Y=minus3Ε Ι Κοντογιώργης copy 104

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian

Η μέθοδος απολοιφής Gaussian μετατρέπει το αρχικόσύστημα εξισώσεων σε διαγώνια μορφή επαναλαμβάνονταςστις εξισώσεις τις ακόλουθες τρεις διαδικασίες

1 Πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης μεμια θετική σταθερά

2 Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού θα προστεθεί σεάλλη εξίσωση

3 Η σειρά των εξισώσεων μπορεί να αλλάξει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 105

ΠαράδείγμαΠ Θεωρείστε το σύστημα 2times2

2X minus 3Y = 7 (Εξ 1)X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με 12 για να πάρετε

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με minus1 καιπροσθέστε την στην (Εξ 2)

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

52Y =

152 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 106

Στάδιο 3 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 25

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

Y = 3 (Εξ 2)

Στάδιο 4 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 32 και

προσθέστε την στην (Εξ 1)

X = 1 (Εξ 1)Y = 3 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 107

Π Θεωρείστε το σύστημα 2times2

5X + 20Y = 254X minus 7Y =minus26

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να εκφραστεί ως

R1 5 20 25R2 4 minus7 minus26

Η κάθετη γραμμή χρησιμοποιείται για διαχωρισμό τηςαριστερής από τη δεξιά πλευρά των εξισώσεων Το Riυπονοεί τη γραμμή (Row) i

Ε Ι Κοντογιώργης copy 108

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάζουμε τη R1 με 15 και το θέτουμε

R1larr 15R1

R1 1 4 5R2 4 minus7 minus26

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάζουμε την R1 με minus4 και τηνπροσθέτουμε στην R2 Εν συντομίαR2larrminus4R1+R2

R1 1 4 5R2 0 minus23 minus46

Στάδιο 3 R2larrminus 123R2

R1 1 4 5R2 0 1 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 109

Στάδιο 4 R1larrminus4R2+R1

R1 1 0 minus3R2 0 1 2

Το αρχικό σύστημα εξισώσεων μετατρέπεται σε διαγώνιαμορφή όπως πιο κάτω

X =minus3Y = 2

το οποίο δίνει τη λύση του συστήματος

Ε Ι Κοντογιώργης copy 110

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 I

Το σύστημα εξισώσεων 3times3 μετετρέπεται σε διαγώνιαμορφή Η μετατροπή γίνεται στήλη με στήλη από τααριστερά προς τα δεξιά

Π Θεωρήστε το σύστημα 3times3

X1 + X2 + X3 = 2X1 minus 3X2 + 2X3 = 7

4X1 minus 2X2 minus X3 = 9

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να γραφτεί ως

Ε Ι Κοντογιώργης copy 111

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 II

1 1 1 21 minus3 2 74 minus2 minus1 9

Ε Ι Κοντογιώργης copy 112

Ακέραιοι και Πραγματικοί Αριθμοί ΙΙΙ

I Γενικά μια μεταβλητή x που παίρνει πραγματικές τιμέςονομάζεται πραγματική μεταβλητή (real variable) καισυμβολίζεται με x isinreal Με το σύμβολο isin εννοούμε lsquoμέσαrsquolsquoανήκειrsquo κλπ

I Το σύμβολο που χρησιμοποείται για το διαχωρισμό τουακέραιου μέρους σε ένα δεκαδικό αριθμό από τοκλασματικό μέρος ονομάζεται δεκαδικό σημείο (decimalpoint) Eg 314159

I Η δεκαδική θέση (decimal place) είναι η θέση του ψηφίουστα δεξιά του δεκαδικού σημείου

Ε Ι Κοντογιώργης copy 15

Συναρτήσεις Ακέραιων και Πραγματικών

I Συνάρτηση στογγυλοποίησης ή συνάρτηση κοντινότερουδεκαδικούΗ lsquoστρογγυλοποίησηrsquo ενός πραγματικού αριθμού xσυμβολίζεται με [x] ∆ίνει τον πιο κοντινό ακέραιο στοxΠχ [32] = 3 [minus32] =minus3 και [86] = 9Ο πιο πάνω ορισμός είναι δύσκολο να εφαρμοστεί γιαhalf-integers Στις περιπτώσεις αυτές η στρογγυλοποίησηγίνεται προς τα πάνω μόνο για τους μονούς αριθμούςέτσι ώστε να αποφεύγεται η μεροληπτικότηταΠχ [35] = 4 [45] = 4 και [05] = 0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 16

I Στρογγυλοποίηση προς τα πάνω ή συνάρτησημικρότερου ακεραίουΗ lsquoστρογγυλοποίηση προς τα πάνωrsquo ενός πραγματικούαριθμού x συμβολίζεται με dxe Μας δίνει το μικρότεροδυνατό ακέραιο που είναι μεγαλύτερος ή ίσος από το xΠχ d32e= 4 dminus32e=minus3 d35e= 4 και d36e= 4

I lsquoΣτρογγυλοποίηση προς τα κάτωrsquo ή συνάρτησημεγαλύτερου ακεραίουΤο lsquoκατώτατο όριοrsquo ενός πραγματικού αριθμού xσυμβολίζεται bxc ∆ίνει το μεγαλύτερο δυνατό ακέραιοπου είναι μικρότερος ή ίσος από το xΠχ b32c= 3 bminus32c=minus4 b35c= 3 και b36c= 3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 17

Σταθερές

I ´Ενας αριθμός που αντιπροσωπεύει μια ποσότητα πουθεωρείται ότι έχει σταθερή τιμή ονομάζεται lsquoσταθεράrsquo Ητιμή μιας σταθεράς ενώ δε μεταβάλλεται πιθανό να μηνπροσδιορίζεται

I Οι πιο σημαντικές πραγματικές σταθερές είναι

1 Το π= 314159 Είναι ο δείκτης που υποδειλώνει τηνπεριφέρεια του κύκλου ακτίνια Ονομάζεται και σταθερά τουΑρχιμήδη

2 Το exp = 271828 που υποδειλώνει τη βάση του φυσικούλογάριθμου

Ε Ι Κοντογιώργης copy 18

Σύμβολα Κατεύθυνσης

I Το σύμβολο lsquogtrsquo που σημαίνει lsquoμεγαλύτεροrsquo καθώς και τοlsquogersquo που σημαίνει lsquoμεγαλύτερο ή ίσοrsquo

I Το σύμβολο lsquoltrsquo που σημαίνει lsquoμικρότεροrsquo καθώς και το lsquolersquoπου σημαίνει lsquoμικρότερο ή ίσοrsquo

I Παράδειγμα Οι μεταβλητές που συμβολίζουν τουςμηνιαίους μισθούς xge 0 Οι μεταβλητές που συμβολίζουντους μήνες του χρόνου 0ltMlt13 που μπορούν επίσης ναγραφτούν 1leMle 12

Ε Ι Κοντογιώργης copy 19

∆υνάμειςI Οι εκθέτες αποτελούν συντομογραφία του

πολλαπλασιασμού (5)(5) = 52 και (5)(5)(5) = 53 Εδώτο 5 λέγεται βάση και το 3 λέγεται εκθέτης Μπορείεπίσης να ερμηνευτεί πέντε υψωμένο στην τρίτη δύναμη

I Η δύναμη είναι ο εκθέτης στον οποίο υψώνεται μιαποσότητα Η έκφραση xn είναι γνωστή ως x στη nδύναμη

I Σημειώστε ότι 5253 = (55)(555) = 55 = 5(2+3) Εδώπαρουσιάζεται ένας βασικός κανόνας του εκθέτη Στηπερίπωση που πολλαπλασιάζονται δύο όροι που έχουντην ίδια βάση οι εκθέτες τους μπορούν να προστεθούν

xmxn = x(m+n)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 20

I Στην περίπτωση όμως που (x4)(y3) ο πιο πάνω κανόναςδε μπορεί να εφαρμοστεί γιατί οι βάσεις είναιδιαφορετικές (x4)(y3) = xxxxyyy

I Για (x2)4

= x2x2x2x2 = xxxxxxxx= x8 = x(2times4)

I ´Ετσι στην περίπτωση που έχετε μια εκθετική έκφρασηπου είναι υψωμένη σε μία δύναμη μπορείτε ναπολλαπλασιάσετε τον εκθέτη με τη δύναμη

(xm)n

= xmn

Ε Ι Κοντογιώργης copy 21

I Εάν έχετε μια έκφραση μέσα σε παράνθεση και ηπαράνθεση είναι υψωμένη σε μια δύναμη τότε η δύναμημπορεί να γίνει μέρος τις παράνθεσης Για παράδειγμα

(xy2)3 = (xy2)(xy2)(xy2) = (xxx)(y2y2y2)

= (xxx)(yyyyyy) = x3y6 = (x)3(y2)3 = x3y6

Παρομοίως(xy)2

=x2y2

I ´Ενας αρνητικός εκθέτης είναι ένδειξη ότι η βάση βρίσκεταιστον παρονομαστή του κλάσματος Πχ

xminus2 =1x2

x2xminus3 = x2x3 = x5 2xminus1 =

2x

(3x)minus2 =1

(3x)2 =1

9x2 και(xminus2yminus3

)minus2=

(xminus2)minus2

(yminus3)minus2=x4y6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 22

I Οτιδήποτε στη δύναμη μηδέν είναι lsquo1rsquo

Πχ 50 = 1 x0 = 1 (x2y3)0 = 1 και 00 = 1

Σημειώστε ότι 50 = 5(1minus1) = (51)(5minus1) =55 = 1

I Μηδέν σε οποιαδήποτε δύναμη είναι μηδέν έτσι 0n = 0

Σημειώστε ότι 00 = 1 και ότι 00 = 0

Αυτό υποδειλώνει ότι 00 είναι μια απροσδιόριστη μορφήπου σε κάποιες περπτώσεις παίρνει μία τιμή και σεκάποιες άλλες περιπτώσεις παίρνει διαφορετική τιμή

Ε Ι Κοντογιώργης copy 23

I Κλασματικοί (Αναλογικοί) Εκθέτες

1 Η τετραγωνική ρίζα μπορεί να γραφτεί σε μορφή κλάσματος

´Ετσι radicx= x12

Πχ 212 =

radic2 = 141 και 2

minus12 =

1radic2

= 071

2 Γενικά xab =bradicxa Πχ 7

23 =

3radic72 = 366

355 = 3112 =

2radic311 = 42089

Ε Ι Κοντογιώργης copy 24

ΛογάριθμοιI Η λογαριθμική μορφή ενός αριθμού είναι lsquoαντίθετηrsquo από

την εκθετική Τεχνικά μιλώντας η λογαριθμική μορφήείναι αντίστροφη της εκθετικής

I Η σχέση δίνεται logb(x) = y

που είναι το ίδιο με by = x

I Ο lsquolsquologb(x) = yrsquorsquo προφέρεται lsquolsquolog-βάση-b-του x ισούται yΕδώ b ονομάζεται lsquoβάση του λογαρίθμουrsquo αφού το b είναιη βάση της εκθετικής έκφρασης

I Η βάση b του λογάριθμου είναι πάντοτε θετική και δενισούται με 1

I Οτιδήποτε βρίσκεται μέσα στο λογάριθμο ονομάζεταιέκφραση

Ε Ι Κοντογιώργης copy 25

ΠαραδείγματαI Μετατρέψτε την έκφραση 63 = 216 στην ισοδύναμη

λογαριθμική μορφή

Για τη μετατροπή η βάση μένει η ίδια αλλά το 3 και το216 αλλάζουν θέσεις Αυτό μας δίνει

log6(216) = 3

I Μετατρέψτε τον log4(1024) = 5 στην αντίστοιχηλογαριθμική έκφραση

Για τη μετατροπή η βάση (που είναι 4) παραμένει η ίδιααλλά το 1024 και το 5 αλλάζουν θέσεις ´Ετσι δίνεται

45 = 1024

Ε Ι Κοντογιώργης copy 26

I Υπολογίστε τον log2(8)

Εάν y= log2(8) τότε υπονοείται ότι 2y = 8 Αυτόσημαίνει ότι y είναι η δύναμη του 2 που θα έχει σαναποτέλεσμα 8 Η δύναμη που δίνει το αποτέλεσμα είναι 3αφού 23 = 8 ´Ετσι

log2(8) = 3

I Κατά παρόμοιο τρόπο log5(25) = 2 αφού 52 = 25

I Υπολογίστε τον y= log64(4)

Σημειώστε ότι 64y = 4 και 43 = 64

´Ετσι (43)y

= 4 ή 43y = 41

Η πιο πάνω έκφραση εξυπονοεί ότι 3y= 1 και έτσιy= 13

Ε Ι Κοντογιώργης copy 27

I Υπολογίστε y= log6(6)

Αυτό ισοδυναμεί με το 6y = 6 και συνεπώς y= 1

I Υπολογίστε το y= log3(1)

Το πιο πάνω μπορεί να γραφτεί ως 3y = 1

´Ομως 1 = 30 έτσι 3y = 30 και y= 0

I Υπολογίστε το y= log4(minus16)

Μπορεί να γραφτεί σαν 4y =minus16

´Ομως δεν υπάρχει τιμή (πχ δύναμη) y που ναικανοποιεί τη σχέση ´Ετσι δεν υπάχρει λύση

Ε Ι Κοντογιώργης copy 28

I Υπολογίστε το y= log2(0)

Αυτό σημαίνει 2y = 0 όμως δε υπάρχει τιμή που ναικανοποιεί τη σχέση ´Ετσι δεν υπάχρει λύση

I Υπολογίστε το y= 2log2(9)

Αυτό σημαίνει ότι log2(y) = log2(9) και έτσι y= 9

Ε Ι Κοντογιώργης copy 29

I Γενικά1 logb(b) = 1 για οποιαδήποτε βάση b

2 logb(1) = 0 για οποιαδήποτε βάση b

3 logb(a) δεν ορίζεται για αρνητικά a

4 logb(0) δεν ορίζεται για οποιαδήποτε βάση b

5 logb(bn) = n για οποιαδήποτε βάση b

Ε Ι Κοντογιώργης copy 30

I Οι λογάριθμοι μπορούν να πάρουν οποιοδήποτε αριθμόσαν βάση αλλά δύο βάσεις είναι οι πιο χρήσιμες οlog-βάση-10 και ο log-βάση-e

I Η βάση-10 log συχνά ονομάζεται ο κοινός log καιγράφεται ως log(x) Εδώ δεν αναγράφεται βάση καιμπορούμε να υποθέσουμε ότι η βάση είναι 10

Πχ log(100) = 2 έτσι log10(102) = 2

I Η βάση-e log ονομάζεται ο φυσικός log και γράφεται σανln(x)Πχ ln(e345)= 345 καθώς loge(e345) = 345

Ε Ι Κοντογιώργης copy 31

Ιδιότητες Λογαρίθμωνlogb(xy) = logb(x) + logb(y)

Απόδειξη´Εστω m= logbx και n= logby

Γράψτε σε μορφή εκθέτη x= bm και y= bn

Πολλαπλασιάστε το x και y ούτως ώστεxy= bmbn = bm+n

´Ετσι από τον ορισμό των λογαρίθμων το xy= bm+nσυνεπάγει ότι

logb(xy) =m+n= logbx+ logb(y)

Πχ log2(4times16) = log2(64) = log2(26) = 6

Ακόμα log2(4times16) = log2(4) + log2(16) = 2+4 = 6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 32

logb(xy)

= logb(x)minus logb(y)

Απόδειξη´Εστω m= logbx και n= logby

Γράψτε σε μορφή εκθέτη x= bm και y= bn

∆ιαίρα το x και y ούτως ώστε xy =bmbn = bmminusn

´Ετσι από τον ορισμό των λογαρίθμων το xy = bmminusn

συνεπάγει ότι

logb(xy)

=mminusn= logbxminus logb(y)

Πχ log2(16

4)

= log2(4) = 2

και log2(16

4)

= log2(16)minus log2(4) = 4minus2 = 2Ε Ι Κοντογιώργης copy 33

logb(xn) = n logb(x)

Απόδειξη´Εστω m= logbx και γράψτε σε μορφή εκθέτη x= bm

Αυξάνοντας τις δύο πλευρές στην n δύναμη παίρνουμεxn = (bm)n = bmn

´Ετσι από τον ορισμό των λογαρίθμων τοlogbxn =mn= nm= n(logbx)

Πχ log2(64) = log2(26) = 6 log2(2) = 6

log(64) = 18

Επιπλέον log(64) = log(26) = 6log(2) = 6times030 = 18

Ε Ι Κοντογιώργης copy 34

logb(x) =loga(x)loga(b) agt0 a 6= 1

Απόδειξη´Εστω m= logbx rArr x= bm

Εφαρμόστε loga και στις δύο πλευρές του x= bmγια ναδώσει

logabm = logax rArr m logab= logaxrArr m=logaxlogab

rArr logbx=logaxlogab

Πχ log5(20) =log(20)

log(5)= 186 =

ln(20)

ln(5)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 35

logb(a) =1

loga(b) agt0 a 6= 1

Απόδειξη

logb(x) =loga(x)loga(b) =

logx(x)logx(b)

=1

loga(b)

´Οταν a= x

Πχ log2(64) =1

log64(2)=

116 = 6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 36

Αθροισμα

I Υποθέστε ότι έχουμε μια μεταβλητή x που μπορεί ναπάρει δέκα τιμές Εάν ενδιαφερόμαστε για το άθροισμάτους χωρίς να ξέρουμε την τιμή της κάθε μεταβλητής τότεο καλύτερος τρόπος να το εκφράσουμε είναι

x1 +x2 + middot middot middot+x9 +x10

I Εν συντομία το άθροισμα n στοιχείων x1 +x2 + middot middot middot+xn είναιnsum

i = 1xi

και ερμηνεύεται σαν το άθροισμα όλων των xirsquosξεκινώντας από το x1 (πχ i = 1) μέχρι xn (i = n)

I Εάν δε δοθεί διαφορετικά πάντοτε υποθέτουμε ότι το iαυξάνεται ξεκινώντας από το στάδιο 1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 37

I Το lsquolsquoSigmarsquorsquo Σ είναι γνωστό ως το άθροισμα (summation) ήσύμβολο σίγμα (sigma operator) και ο δείκτης i όνομάζεταιεικονική μεταβλητή

I Παραδείγματα

I

5sum

i = 1xi = x1 +x2 +x3 +x4 +x5

I

5sum

i = 1(y2

i ) = y21 +y22 +y23 +y24 +y25

Σημειώστε ότι η μόνη μεταβλητή που περιγράφεται απευθείαςκάτω από το σύμβολο Σ αυξάνεται κατά 1 κάθε φορά ενώ όλατα άλλα σύμβολα παραμένουν τα ίδια

I

4sum

r = 1(x3r ) = x31 +x32 +x33 +x34

Ε Ι Κοντογιώργης copy 38

I6sum

i = 1i = 1+2+3+4+5+6

I6sum

i = 1i2 = 12 +22 +32 +42 +52 +62

I7sum

i = 3xi = x3 +x4 +x5 +x6 +x7

I4sum

i = 1a = a+a+a+a= 4a

I3sum

i = 1(4+xi) = (4+x1) + (4+x2) + (4+x3)

=3sum

i = 14+

3sum

i = 1xi

Ε Ι Κοντογιώργης copy 39

I3sum

i = 1(2xi) = (2x1) + (2x2) + (2x3) = 2times

3sum

i = 1xi

I Ο συντελεστής i παραλείπεται εάν δε προκαλείαοριστία Για παράδειγμα Σx ή Σixi σημαίνειάθροισμα όλων των x που λαμβάνονται υπόψη

I ∆ήλωσηI

nsumi=1a= na

I sumiaxi = asum

ixi

I sumi

(axi+byi) = asumixi +bsum

iyi

Ε Ι Κοντογιώργης copy 40

I Αθροιστικός Τύπος

Insum

i = 1i = 1+2+ middot middot middot+n=

n(n+1)

2

Πχ6sumi = 1i = 1+2+3+4+5+6 =

6(6+1)

2 = 21

Insum

i = 1i2 = 12 +22 + middot middot middot+n2 =

n(n+1)(2n+1)

6

Πχ6sumi = 1i2 = 12 +22 +32 +42 +52 +62

=6(6+1)(12+1)

6 = 91

Ε Ι Κοντογιώργης copy 41

Insum

i = 1i3 = 13 +23 + middot middot middot+n3 =

n2(n+1)2

4

Πχ6sumi = 1i3 = 13 +23 +33 +43 +53 +63

=62(6+1)2

4 = 441

Ε Ι Κοντογιώργης copy 42

ΠαραδήγματαΑριθμητική Πρόοδος

I Γενικά μπορούμε να εκφράσουμε μια αριθμητική πρόοδο ωςεξής

αριθμητική πρόοδος a a+d a+2d a+3d

όπου ο πρώτος όρος είναι a και η διαφορά d Ο όρος nτης απ δίνεται από τη σχέση b = a+ (nminus1)d

I 3 5 7 9 11 είναι μια αριθμητική πρόοδος Οπρώτος όρος είναι το 3 και η διαφορά είναι 2

I 2 minus1 minus4 minus7 είναι μια αριθμητική πρόοδος όπου οπρώτος όρος είναι 2 και η διαφορά minus3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 43

I Το άθροισμα των όρων μιας αριθμητικής προόδου είναιγνωστό ως αριθμητική σειρά

Sn = a+ (a+d) + (a+2d) + middot middot middot+ (a+ (nminus1)d)

=nsumi=1

(a+ (iminus1)d

)= na+

nsumi=1

(iminus1)d

= na+dnminus1sumi=1

i = na+d(nminus1)n2

=n2(2a+d(nminus1)) =

n2(a+b) b = a+d(nminus1)

I ΑΠ 3 5 7 9 11 13 rArr Sn =62(3+13) = 48

Ε Ι Κοντογιώργης copy 44

∆ιπλό Αθροισμα4sumi=1

isumj=1

j = (1) + (1+2) + (1+2+3) + (1+2+3+4) = 20

nsumi=1

isumj=1

j =nsumi=1

( isumj=1

j)

nsumi=1

(12 i(i+1)

)=

12

nsumi=1

(i2 + i)

12( nsumi=1

i2 +nsumi=1

i)

=12(16n(n+1)(2n+1) +

12n(n+1)

)

=12

16n(n+1)

((2n+1) +3

)=

n6(n+1)(n+2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 45

∆ιπλό Αθροισμα

nsumi=1

msumj=1

(i+ j+2) =nsumi=1

( msumj=1

(i+ j+2))

nsumi=1

( msumj=1

i+msumj=1

j+msumj=1

2)

=nsumi=1

(mi+ 1

2m(m+1) +2m)

m( nsumi=1

i+ 12

nsumi=1

(m+5))

= m(12n(n+1) +

12n(m+5)

)

=mn2(m+n+6

)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 46

Insumr=1

1r(r+1)

=nsumr=1

(Ar +

Br+1

)=

nsumr=1

A(r+1) +Brr(r+1)

I A(r+1) +Br = 1

I Για r = 0 τότε A= 1 και για r =minus1 τότε B=minus1

I

nsumr=1

1r(r+1)

=nsumr=1

(1r minus

1r+1

)

=(

(11 minus

12) + (

12 minus

13) + (

13 minus

14) + middot middot middot+ (

1nminus1 minus

1n ) + (

1n minus

1n+1)

)

= 1minus 1n+1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 47

Insumk=1

1(k+2)(k+3)

=nsumk=1

( A(k+2)

+B

(k+3)

)=

nsumk=1

A(k+3) +B(k+2)

(k+2)(k+3)

I A(k+3) +B(k+2) = 1

I Για k=minus2 τότε A= 1 και για k=minus3 τότε B=minus1

I

nsumk=1

1(k+2)(k+3)

=nsumk=1

( 1(k+2)

minus 1(k+3)

)

=(

(13 minus

14)+(

14 minus

15)+(

15 minus

16)+ +(

1n+1 minus

1n+2)+(

1n+2 minus

1n+3)

)

=13 minus

1n+3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 48

Αθροισμα με Λογάριθμους

nsumi=1

logb(i) = logb(1) + logb(2) + middot middot middot+ logb(n)

= logb(1times2times3timesmiddotmiddot middottimesn)

= logb(n)

I Το n (n παραγοντικό) δίνεται από n = 1times2timesmiddotmiddot middottimesn και0 = 1

I100sumi=1

log2(100) = log2(100) =log(100)

log(2)=

log(99)

log(2)+

2log(2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 49

Γινόμενο των ακολουθιώνIn

prodi=1xi = x1timesx2timesx3timesmiddotmiddot middottimesxn

In

prodi=1i = 1times2times3timesmiddotmiddot middottimesn= n

In

prodi=1z= ztimesztimesmiddotmiddot middottimesz= zn

I

nprodi=1

(1+

1i+1

)=(1+

12)times(1+

13)times(1+

14)times times(1+

1n )times(1+

1n+1)

=32 times

43 times

54 timesmiddotmiddot middottimes

n+1n times n+2

n+1

=n+22

Ε Ι Κοντογιώργης copy 50

Γεωμετρικές ΠροόδοιI Μια γεωμετρική πρόοδος είναι μια σειρά αριθμών όπου

κάθε όρος μετά των πρώτο υπολογίζεται από τονπολλαπλασιασμό του προηγούμενου όρου με ένασταθερό αριθμό που καλείται αναλογία

I Η σειρά1 3 9 27 81 middot middot middot

είναι μια γεωμετρική πρόοδος με πρώτο όρο το 1 καιαναλογία 3

I Η αναλογία μπορεί να είναι κλάσμα καθώς επίσης καιαρνητικός αριθμός Για παράδειγμα η γεωμετρικήπρόοδος με πρώτο όρο το 2 και αναλογία minus13 είναι

2 minus 23 +

29 minus

227 +

281 middot middot middot

Ε Ι Κοντογιώργης copy 51

I Γενικά μπορούμε να γράψουμε μια γεωμετρική πρόοδο ωςακολούθως

γεωμετρική πρόοδος a ar ar2 ar3 ar4 middot middot middot

όπου ο πρώτος όρος είναι a και η αναλογία r

I Σημαντικά θεωρήματα των γεωμετρικών προόδων (γπ)1 Ο n όρος μιας γπ δίνεται από ar(nminus1)

2 Το άθροισμα των πρώτων n όρων μιας γπ είναι

Sn =a(1minus rn)

1minus r =a(rnminus1)

rminus1 και ισχύει μόνο αν r 6= 1

I Το άθροισμα των όρων μιας γεωμετρικής προόδουονομάζεται γεωμετρική σειρά

Ε Ι Κοντογιώργης copy 52

Γεωμετρική σειρά

Sn = a+ar+ar2 +ar3 + middot middot middot+arnminus2 +arnminus1

rSn = ar+ar2 +ar3 + arnminus1 +arn

Snminus rSn = aminusarn

(1minus r)Sn = a(1minus rn)

Sn =a(1minus rn)

(1minus r) =a(rnminus1)

(rminus1)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 53

I Παράδειγμα1 Βρείτε το άθροισμα των πρώτων 10 όρων μιας γεωμετρικής

σειράς4 8 16 32

Ο πρώτος όρος είναι a= 4 και η αναλογία r = 2 καιn= 10 ´Ετσι

S10 =4(1minus210)

1minus2 = 4092

2 Θεωρείστε τη γπ4 minus8 16 minus32 64 minus128 256 minus512

Σε αυτή την περίπτωση ο πρώτος όρος είναι a= 4 ηαναλογία είναι r =minus2 και n= 8´Ετσι

S8 =4(1minus (minus2)8)

1minus (minus2)=minus340

Ε Ι Κοντογιώργης copy 54

Συνεχείς ανατοκισμός

Οι περισσότεροι τραπεζικοί λογαριασμοί και τα δάνειαυιοθετούν ανατοκισμό - εφαρμόζοντας συνεχή ανατοκισμόΘεωρείστε ένα λογαριασμό που προσφέρει τόκο με ετήσιοεπιτόκιο r (πχ 7) Εάν το επιτόκιο είναι συνεχέςσε χρονιαία βάση τότε μετά από 1 χρόνο το χρονιαίοεπιτόκιο προστίθεται στο αρχικό κεφάλαιο για νακαθορίσει ένα μεγαλύτερο κεφάλαιο τον δεύτερο χρόνο

´Ετσι κατά τη διάρκεια του δεύτερου χρόνου ολογαριασμός κερδίζει επιτόκιο πάνω στο επιτόκιοΑυτή είναι η επίδραση του ανατοκισμού που συνεχίζεταιχρόνο με το χρόνο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 55

I Με τον ετήσιο ανατοκισμό το κεφάλαιο πουσυσσωρεύεται στο λογαριασμό πολλαπλασιάζεται με

(1+ r)

´Ετσι το κεφάλαιο A θα αυξηθεί σε

A(1+ r) = A+A middot r

τον επόμενο χρόνο

I Με το πέρας και του δεύτερου χρόνου το κεφάλαιο θααυξηθεί ακόμα (1+ r) σε (1+ r)2

´Ετσι το κεφάλαιο καταλήγει σε

A(1+ r)(1+ r) = A(1+ r)2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 56

I Κατά παρόμοιο τρόπο στο τέλος του τρίτου χρόνου τοποσό θα αυξηθεί κατά (1+ r)3

I Μετά από n χρόνια το ποσό θα αυξηθεί κατά (1+ r)n

I ´Ετσι το κεφάλαιο (επένδυση) A θα αυξηθεί με συνεχήανατοκισμό σε A(1+ r)n μετά από n χρόνια

I Ο τύπος (1+ r)n εκθέτει γεωμετρική αύξηση λόγω τηςn δύναμης

Ε Ι Κοντογιώργης copy 57

ΠαραδείγματαI Εάν το επιτόκιο είναι r = 5 τότε το κεφάλαιοA= $1000 που βρίσκεται στην τράπεζα n= 20 χρόνιαθα αυξηθεί κατά

(1+ r)n = (1+005)20 = 2653 φορές

´Ετσι το ποσό θα καταλήξειA(1+ r)n = $265330

I Βρέστε το χρόνο που χρειάζεται για ένα λογαργιασμό ναδιπλασιάσει το διαθέσιμο κεφάλαιο του όταν r = 7 καιr = 10Ζητούμε να βρούμε το n έτσι ώστε

(1+ r)n = 2Ε Ι Κοντογιώργης copy 58

I Υπολογίζοντας το λογάριθμο του τελευταίου παίρνουμε

log(1+ r)n = log(2)ή n log(1+ r) = log(2)

´Ετσιn=

log2log(1+ r)

I Για r = 7 και r = 10 ο χρόνος n πουχρειάζεται για διπλασιασμό της επένδυσης υπολογίζεταισε 1024 και 727 αντίστοιχα

Ε Ι Κοντογιώργης copy 59

I Αν το επιτόκιο είναι r = 7 τότε πιο θα είναι τοσυνολικό ποσό στο λογαριασμό μετά από 205 και41 χρόνια αντίστοιχα

Μετά τα πρώτα 1025 χρόνια το ποσό A θαδιπλασιαστεί σε 2A Για τα επόμενα 1025 χρόνιατο ποσό θα ξαναδιπλασιαστεί σε 4A ´Ετσι μετά από205 χρόνια το ποσό θα αυξηθεί κατά 4 φορές

Με το πέρας ακόμα 205 χρόνων το ποσό θα αυξηθείακόμα 4 φορές σε 16 ´Ετσι μετά από 41 χρόνιατο κεφάλαιο A γίνεται 16A

Ε Ι Κοντογιώργης copy 60

Ασκήσεις και Παραδείγματα

I Υπολογίστε τη Μελλοντική Αξία (Future Value (FV)) τουκεφαλαίου A= 1500 που κερδίζει ετήσιο επιτόκιοr = 5 για n= 10 έτη

FV =A(1+ r)n = 1500(1+005)10 = 244334

I Πόσα έτη απαιτούνται για να τριπλασιαστεί ένα ποσόπου αφήνετε στην τράπεζα με επιτόκιο r = 5∆ηλαδή βρείτε το n όπου A= 1 r = 5 και FV = 3

FV =A(1+ r)n ή (1+ r)n =FVA

Ε Ι Κοντογιώργης copy 61

Υπολογίζοντας τους λογαρίθμους παίρνουμε

log(1+ r)n = log(FVA)

ή n log(1+ r) = log(FVA)

´Ετσι

n=log(FVA)

log(1+ r) =log(3)

log(105)

= 2252

Ε Ι Κοντογιώργης copy 62

I Βρείτε την παρούσα αξία A έτσι ώστε σε δέκα έτη μεσταθερό επιτόκιο r = 6 να είναι 100KΒρείτε το A όπου FV = 100000 r = 6 και n= 10

FV =A(1+ r)n ή A=FV

(1+ r)n

´Ετσι A=100000

(106)10= 5583948

I Βρείτε την ετησιοποιημένη απόδοση (AER AnnualEquivalent Rate) μιας μηνιαίας κατάθεσης με σταθερόεπιτοκίο 394 Μια τέτοια κατάθεση λαμβάνει το επιτόκιο στη λήξηΣυνεπώς κάθε μήνα ο λογαριασμός λαμβάνει

r = 0039412 = 000328

επιτόκιο που επανεπενδύεται (συνεχής ανατοκισμός)Ε Ι Κοντογιώργης copy 63

Επανεπενδύοντας το επιτόκιο κάθε μήνα στη διάρκειαενός έτους το κεφάλαιο θα αυξηθεί σε

(1+ r)12 = (1+000328)12 = 104012

´Ετσι το ΑΕΡ είναι ισοδύναμο με 004012 = 4012I Υπολογίστε το επιτόκιο ενός σταθερού λογαριασμού

κατάθεσης 7-ημερών που έχει AER επιτόκιο r = 425Θεωρείστε ρ το εβδομαδιαίο επιτόκιο

´Ετσι (1+ρ)52 = (1+00425)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 64

Παίρνοντας τους λογαρίθμους έχουμε52log(1+ρ) = log10425

ή log(1+ρ) =log10425

52

ή 1+ρ= 10( log10425

52)

Αυτό μας δίνει

ρ= 10

( log1042552

)minus1 = 008

´Ετσι το συνεχές επιτόκιο μιας επταήμερης κατάθεσης είναιρtimes52 = 41638

Εναλλακτικά (1+ρ)52 = (1+00425) δίνει

(1+ρ) =52radic10425ή ρ=

52radic10425minus = 008Ε Ι Κοντογιώργης copy 65

I Υπολογίστε την ετήσια απόδοση r έτσι ώστε A= 10000να επιστρέφει FV = 35000 σε n= 20 χρόνια

FV =A(1+ r)n ή (1+ r)n =FVA

´Ετσι

1+ r =nradic

FVA

Επομένως

r =nradic

FVA minus1 =

20radic

3500010000 minus1 = 00646 = 646

Ε Ι Κοντογιώργης copy 66

Εναλλακτικά παίρνοντας τους λογαρίθμους

log(1+ r)n = log(FVA) ή n log(1+ r) = log

(FVA)

´Ετσι

1+ r = 10(1n log

(FVA))

ή r = 10(1n log

(FVA))minus1

= 10( 120 log

(3500010000

))minus1

= 646

Ε Ι Κοντογιώργης copy 67

Γραφική Αναπαράσταση I

I Υποθέστε ότι έχουμε y= 3x+2 Καθώς έχουμε μόνο μιαδύναμη για το x πρέπει να λύσουμε γραμμική εξίσωσηκαι να σχεδιάσουμε μια ευθεία γραμμή Αρχικά θα πρέπεινα σχεδιάσουμε ένα T-chart Αυτό έχει τη μορφή

x y = 3x+2 (xy)

I Επιλέγουμε μια τιμή για το x και λύνουμε ως προς y

x y= 3x+2 (xy)minus2 minus4 (minus2minus4)0 2 (02)2 8 (28)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 68

Γραφική Αναπαράσταση II

-

6

X

Y

bull

bull

bull

I Βλέπουμε μια ευθεία με ανοδική τάση (έχοντας θετικήκλίση m= 3) καιτέμνει τον άξονα y στο σημείο y= 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 69

Γραφική Αναπαράσταση III

I Μια Τετραγωνική εξίσωση περιέχει x2 Για τηναναπαράσταση τετραγωνικών εξισώσεων χρειάζεται ναβρούμε περισσότερα από τρία σημεία στο σχεδιάγραμμα

Για παράδειγμα υποθέστε ότι y= x2minus6x+5 καιδίνεται το πιο κάτω T-chart

x y= x2minus6x+5 (xy)0 5 (05)1 0 (10)3 minus4 (3minus4)5 0 (50)6 5 (65)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 70

Γραφική Αναπαράσταση IV

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

-

6

X

Y

bull

bull

bull

bull

bull

Ε Ι Κοντογιώργης copy 71

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(1x + 2)

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(-3x + 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 72

-15

-10

-5

0

5

10

15

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(3x - 2)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 73

-20

0

20

40

60

80

100

120

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2+x)

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 74

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

1250

1500

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3+x2+x)

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x4)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 75

-25

-2

-15

-1

-05

0

05

1

15

2

25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(log(x))

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(x))

Ε Ι Κοντογιώργης copy 76

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(-x))

-5000

0

5000

10000

15000

20000

25000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(exp(x)+x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 77

Ανισότητες I

I Οι ανισότητες αποτελούνται από δύο ή τρεις αλγεβρικέςεκφράσεις που είναι συνδεδεμένες με τα σύμβολαανισότητας Τα σύμβολα αυτά είναι

lt μικρότερο τουgt μεγαλύτερο τουle μικρότερο ή ίσο τουge μεγαλύτερο ή ίσο του

I Παραδείγματα xgty yge x2 και ylt5x+1

I Το πρώτο βήμα για την αναπαράσταση ανισότητας τηςμορφής ygtx είναι να παραστήσουμε γραφικά τηνισότητα y= x

Ε Ι Κοντογιώργης copy 78

Ανισότητες II

I ygtx

Κάνετε δοκιμή με ένα σημείο να δείτε κατά πόσοικανοποιεί την ανισότητα Εάν ναι τότε σκιάστε τηνπεριοχή αυτή του σχεδιαγράμματος διαφορετικά σκιάστετην άλλη πλευρά

Ε Ι Κοντογιώργης copy 79

Ανισότητες III

I yltx

Ε Ι Κοντογιώργης copy 80

Ανισότητες IV

I yle 5x+1 και ygt5x+1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 81

Ανισότητες V

I yge x2 και yle x2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 82

Ανισότητες VI

I ygtx3 και yle x3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 83

Συστήματα Γραμμικών ΕξισώσεωνΠεριεχόμενα

1 Ε

2 Γ Α

ΑναφορέςΚεφάλαια 4 και 5FS Budnick Applied Mathematics for Business Economicsand the Social Sciences 4th edition McGraw-Hill 1993

Ε Ι Κοντογιώργης copy 84

Συστήματα Εξισώσεων

I ´Ενα σύστημα εξισώσεων συνδυάζει περισσότερες από μίαεξισώσεις

I ´Ενα σύστημα m εξισώσεων όπου κάθε εξίσωσηαποτελείται από n μεταβλητές ονομάζεται mtimesnσύστημα ή λέμε ότι έχει διαστάσεις mtimesn

I ΠαράδειγμαΠαρακάτω έχουμε ένα σύστημα 2times2

5X+10Y= 203X+4Y= 10

Οι μεταβλητές σε αυτή την περίπτωση είναι X και YΕ Ι Κοντογιώργης copy 85

Συστήματα Επίλυσης

I Το Σύστημα επίλυσης είναι μια σειρά τιμών μεταβλητώνπου ικανοποιούν το σύστημα ταυτόχρονα

I Σε μια σημειογραφική παράσταση το προηγούμενοπαράδειγμα μπορεί να γραφτεί ως εξής

S = (XY) | 5X+10Y = 20 και 3X+4Y = 10

I Το σύστημα επίλυσης μπορεί να είναι1 μηδενικό2 πεπερασμένο ή3 άπειρο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 86

2times2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική Ανάλυση

I Σε ένα δισδιάστατο γράφημα ένα σύστημα εξισώσεων2times2 αναπαρίστανται με ευθείες γραμμές Υπόρχουν τρίαενδεχόμενα

1 Οι ευθείες τέμνονται Το σημείο τομής αντιπροσωπεύει τηλύση του συστήματος εξισώσεων Αυτό το σημείοαλληλεπίδρασης είναι μια δέσμη τιμών X και Y που ικανοποιείκαι τις δύο εξισώσειςΕάν υπάρχει μόνο μια δέσμη τιμών για τις μεταβλητές που ναικανοποιεί το σύστημα εξισώσεων το σύστημα λέμε ότι έχειΜ Λ

2 Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες μεταξύ τους ∆εν έχουν κοινόσημείο Συνεπώς οι ευθείες δεν τέμνονται ποτέ Το σύστημαλέμε ότι ∆ ΛΑυτό υπονοεί ότι δεν υπάρχουν τιμές για τις μεταβλητές πουνα ικανοποιούν και τις δύο εξισώσεις Σε αυτή τηνπερίπτωση οι εξισώσεις στο σύστημα είναι Α

3 Και οι δύο εξισώσεις αναπαρίστανται ως μια κοινή ευθεία καιθεωρούνται ισοδύναμες εξισώσεις ´Ετσι το σύστημα έχειΑ Λ Αυτό συμβαίνει γιατί υπάρχει άπειροςαριθμός κοινών σημείων στις δύο γραμμές

Ε Ι Κοντογιώργης copy 87

I Π Θεωρείστε ένα σύστημα 2times22X+4Y= 203X+ Y= 10

I

X

Y

(24)

3X +Y = 10

2X +4Y = 20

0 2 4 6 8 10 12

2

4

6

8

10

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 88

I Το σημείο τομής δίνεται από το X= 2 και Y= 4Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές του X και Y στις δύοεξισώσεις δίνουν 20 = 20 και 10 = 10 αντίστοιχα

I Αυτό υποδειλώνει ότι X= 2 και Y= 4 είναι η σωστή λύση

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times23Xminus2Y= 6

minus15X+10Y=minus30

I

X

Y

(20)

(0minus3)

3X minus2Y = 6

minus15X +10Y =minus30

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 89

I Οι δύο εξισώσεις απλοποιούνται σε Xminus 23 Y= 2

Οι δύο εξισώσεις είναι ισοδύναμες και δίνουν έναπεπερασμένο αριθμό λύσεων έτσι ώστε

X= 0 Y =minus3X= 2 Y = 0X= 4 Y = 3

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times26Xminus12Y= 24

minus32X+3Y= 9

Οι εξισώσεις απλοποιούνται σεXminus2Y= 4Xminus2Y=minus6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 90

I

X

Y

(40)

(0minus2)

(minus60)

(03)

X minus2Y =minus6

X minus2Y = 4

0-0

I Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες και συνεπώς το σύστημαδεν έχει λύση ´Ετσι το σύστημα εξισώσεων είναιασύμπτωτο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 91

Περίληψη 2times2 Συστήματα Εξισώσεων∆ίνεται ένα Σύστημα Γραμμικών Εξισώσεων 2times2

Y=m1X+ c1Y=m2X+ c2

1 Υπάρχει μια στο σύστημα εάνm1 6= m2

2 ∆εν υπάρχει στο σύστημα εάνm1 = m2 και c1 6= c2

3 Υπάρχει εάνm1 = m2 και c1 = c2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 92

∆ιαδικασίες Απαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής χρησιμοποιεί πολλαπλασιασμόκαι πρόσθεση έτσι ώστε

1 Να απαλοιφεί μια από τις δύο μεταβλητές

2 Η εξίσωση που εξάγεται είναι συνάρτηση των υπόλοιπωνμεταβλητών

3 Αντικαθιστώντας την τιμή στην μεταβλητή σε μια από τιςαρχικές εξισώσεις βρίσκουμε την τιμή για τηναπολοιφθήσα μεταβλητή

Ε Ι Κοντογιώργης copy 93

ΠαραδείγματαI Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

2X +4Y = 20 (1)3X + Y = 10 (2)

Πολλαπλασιάζοντας τη δεύτερη εξίσωση με minus4 παίρνουμε

minus12X minus4Y =minus40 (3)

Προσθέτοντας την εξίσωση (1) στο (3)

2X + 4Y = 20minus12X minus 4Y = minus40minus10X = minus20

ή

X = 2 (4)Ε Ι Κοντογιώργης copy 94

Αντικαθιστώντας X= 2 στην εξίσωση (1) δίνεται2 middot2+4Y = 20 ή Y=4

´Ετσι η μοναδική λύση του συστήματος δίνεται από τοX= 2 και Y= 4 Μπορεί να επιβεβαιωθεί ότι αυτή είναι ησωστή λύση αντικαθιστώντας X= 2 και Y= 4 στηνεξίσωση (1) και (2)

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times23X minus2Y = 6 (5)

minus15X +10Y =minus30 (6)

Για την απαλοιφή της μεταβλητής X η εξίσωση (5)πολλαπλασιάζεται με 5 και το αποτέλεσμα προστίθεταιστην εξίσωση (6)

15X minus 10Y = 30minus15X + 10Y = minus30

0 = 0 Ε Ι Κοντογιώργης copy 95

Οι τελευταίες πράξεις υπονοούν ότι οι εξίσωσεις (5) και(6) είναι ισοδύναμες και έτσι υπάρχει άπειρος αριθμόςλύσεωνΓια να προσδιορίσουμε τις λύσεις του συστήματος μια απότις αρχικές εξισώσεις λύνεται ως προς μια μεταβλητή Ανγια παράδειγμα η εξίσωση (5) λύνεται ως προς Y δίνει

Y =32Xminus3

Σαν αποτέλεσμα γενικεύοντας τις λύσεις του συστήματοςέχουμε

X τυχαίο και Y =32Xminus3

Πχ για X= 4 υπονοείται ότι Y=32 middot4minus3 = 3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 96

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

6X minus12Y = 24 (7)

minus32X +3Y = 9 (8)

Πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση (8) με 4 καιπροσθέτοντας το αποτέλεσμα στην εξίσωση (7)παίρνουμε

6X minus 12Y = 24minus6X + 12Y = 36

0 = 60

Η πιο πάνω αντιλογία υπονοεί ότι δεν υπάρχει λύση τουσυστήματος εξισώσεων

Ε Ι Κοντογιώργης copy 97

3times2 Συστήματα Εξισώσεων I

1 Μ Λ

X

Y

(32)

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minusY = 1

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 98

3times2 Συστήματα Εξισώσεων II

2 Α Λ

X

Y Εξις (1)Εξις (2)Εξις (3)

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 99

3times2 Συστήματα Εξισώσεων III3 Κ

(α) ´Οταν και οι τρεις εξισώσεις είναι παράλληλες

X

Y

2X minusY =minus8

2X minusY = 2

2X minusY = 12

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 100

3times2 Συστήματα Εξισώσεων IV(β) ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ τωνεξισώσεων

X

Y

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minus2Y =minus4

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 101

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική ΑνάλυσηΣε ένα γράφημα 2 διαστάσεων ένα σύστημα mtimes2(mgt2) εξισώσεων παριστάνεται με m ευθείες ´Οπωςσυμβαίνει στα συστήματα 2times2 υπάρχουν τρίαενδεχόμενα

1 ´Ολες οι ευθείες τέμνονται στο ίδιο σημείο και έτσιυπάρχει

2 ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ των mεξισώσεων Αυτό σημαίνει ότι όλες οι ευθείες είναιπαράλληλες Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα Λ

3 Οι m εξισώσεις είναι ισοδύναμες πχ παρασταίνονται σανμια ευθεία Σε αυτή την περίπτωση υπάρχει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 102

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων ∆ιαδικασίαΑπαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής για την επίλυση ενός συστήματοςmtimes2 μπορεί να περιγραφεί ως ακολούθωςΕπιλέξτε και λύστε σύστημα με δύο εξισώσεις

1 Εάν δεν υπάρχει λύση τότε ολόκληρο το σύστημα δεν έχειλύση

2 Εάν υπάρχει μοναδική λύση που ικανοποιεί τις υπόλοιπεςmminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα έχει μία μοναδική λύση

3 Εάν η λύση είναι μοναδική αλλά δεν ικανοποιεί τιςυπόλοιπες mminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα δεν έχει λύση

4 Εάν οι 2 λύσεις είναι ισοδύναμες απάλοιψτε τη μίααπό τις δύο εξισώσεις και ξεκινήστε από την αρχήλαμβάνοντας υπόψη ένα σύστημα (mminus1)times2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 103

ΠαράδείγμαI Θεωρείστε ένα σύστημα 5times2

XminusY= 1X+2Y=minus8

3Xminus2Y= 02Xminus5Y= 11minus4X+3Y=minus1

I Η λύση των πρώτων δύο εξισώσεων δίνετε απόY =minus3 και X =minus2

I Αντικαθιστώντας τη λύση στις υπόλοιπες τρεις εξισώσειςπαίρνετε αντίστοιχα

0 = 0 11 = 11 και minus1 =minus1I Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση

X=minus2 και Y=minus3Ε Ι Κοντογιώργης copy 104

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian

Η μέθοδος απολοιφής Gaussian μετατρέπει το αρχικόσύστημα εξισώσεων σε διαγώνια μορφή επαναλαμβάνονταςστις εξισώσεις τις ακόλουθες τρεις διαδικασίες

1 Πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης μεμια θετική σταθερά

2 Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού θα προστεθεί σεάλλη εξίσωση

3 Η σειρά των εξισώσεων μπορεί να αλλάξει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 105

ΠαράδείγμαΠ Θεωρείστε το σύστημα 2times2

2X minus 3Y = 7 (Εξ 1)X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με 12 για να πάρετε

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με minus1 καιπροσθέστε την στην (Εξ 2)

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

52Y =

152 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 106

Στάδιο 3 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 25

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

Y = 3 (Εξ 2)

Στάδιο 4 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 32 και

προσθέστε την στην (Εξ 1)

X = 1 (Εξ 1)Y = 3 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 107

Π Θεωρείστε το σύστημα 2times2

5X + 20Y = 254X minus 7Y =minus26

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να εκφραστεί ως

R1 5 20 25R2 4 minus7 minus26

Η κάθετη γραμμή χρησιμοποιείται για διαχωρισμό τηςαριστερής από τη δεξιά πλευρά των εξισώσεων Το Riυπονοεί τη γραμμή (Row) i

Ε Ι Κοντογιώργης copy 108

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάζουμε τη R1 με 15 και το θέτουμε

R1larr 15R1

R1 1 4 5R2 4 minus7 minus26

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάζουμε την R1 με minus4 και τηνπροσθέτουμε στην R2 Εν συντομίαR2larrminus4R1+R2

R1 1 4 5R2 0 minus23 minus46

Στάδιο 3 R2larrminus 123R2

R1 1 4 5R2 0 1 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 109

Στάδιο 4 R1larrminus4R2+R1

R1 1 0 minus3R2 0 1 2

Το αρχικό σύστημα εξισώσεων μετατρέπεται σε διαγώνιαμορφή όπως πιο κάτω

X =minus3Y = 2

το οποίο δίνει τη λύση του συστήματος

Ε Ι Κοντογιώργης copy 110

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 I

Το σύστημα εξισώσεων 3times3 μετετρέπεται σε διαγώνιαμορφή Η μετατροπή γίνεται στήλη με στήλη από τααριστερά προς τα δεξιά

Π Θεωρήστε το σύστημα 3times3

X1 + X2 + X3 = 2X1 minus 3X2 + 2X3 = 7

4X1 minus 2X2 minus X3 = 9

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να γραφτεί ως

Ε Ι Κοντογιώργης copy 111

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 II

1 1 1 21 minus3 2 74 minus2 minus1 9

Ε Ι Κοντογιώργης copy 112

Συναρτήσεις Ακέραιων και Πραγματικών

I Συνάρτηση στογγυλοποίησης ή συνάρτηση κοντινότερουδεκαδικούΗ lsquoστρογγυλοποίησηrsquo ενός πραγματικού αριθμού xσυμβολίζεται με [x] ∆ίνει τον πιο κοντινό ακέραιο στοxΠχ [32] = 3 [minus32] =minus3 και [86] = 9Ο πιο πάνω ορισμός είναι δύσκολο να εφαρμοστεί γιαhalf-integers Στις περιπτώσεις αυτές η στρογγυλοποίησηγίνεται προς τα πάνω μόνο για τους μονούς αριθμούςέτσι ώστε να αποφεύγεται η μεροληπτικότηταΠχ [35] = 4 [45] = 4 και [05] = 0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 16

I Στρογγυλοποίηση προς τα πάνω ή συνάρτησημικρότερου ακεραίουΗ lsquoστρογγυλοποίηση προς τα πάνωrsquo ενός πραγματικούαριθμού x συμβολίζεται με dxe Μας δίνει το μικρότεροδυνατό ακέραιο που είναι μεγαλύτερος ή ίσος από το xΠχ d32e= 4 dminus32e=minus3 d35e= 4 και d36e= 4

I lsquoΣτρογγυλοποίηση προς τα κάτωrsquo ή συνάρτησημεγαλύτερου ακεραίουΤο lsquoκατώτατο όριοrsquo ενός πραγματικού αριθμού xσυμβολίζεται bxc ∆ίνει το μεγαλύτερο δυνατό ακέραιοπου είναι μικρότερος ή ίσος από το xΠχ b32c= 3 bminus32c=minus4 b35c= 3 και b36c= 3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 17

Σταθερές

I ´Ενας αριθμός που αντιπροσωπεύει μια ποσότητα πουθεωρείται ότι έχει σταθερή τιμή ονομάζεται lsquoσταθεράrsquo Ητιμή μιας σταθεράς ενώ δε μεταβάλλεται πιθανό να μηνπροσδιορίζεται

I Οι πιο σημαντικές πραγματικές σταθερές είναι

1 Το π= 314159 Είναι ο δείκτης που υποδειλώνει τηνπεριφέρεια του κύκλου ακτίνια Ονομάζεται και σταθερά τουΑρχιμήδη

2 Το exp = 271828 που υποδειλώνει τη βάση του φυσικούλογάριθμου

Ε Ι Κοντογιώργης copy 18

Σύμβολα Κατεύθυνσης

I Το σύμβολο lsquogtrsquo που σημαίνει lsquoμεγαλύτεροrsquo καθώς και τοlsquogersquo που σημαίνει lsquoμεγαλύτερο ή ίσοrsquo

I Το σύμβολο lsquoltrsquo που σημαίνει lsquoμικρότεροrsquo καθώς και το lsquolersquoπου σημαίνει lsquoμικρότερο ή ίσοrsquo

I Παράδειγμα Οι μεταβλητές που συμβολίζουν τουςμηνιαίους μισθούς xge 0 Οι μεταβλητές που συμβολίζουντους μήνες του χρόνου 0ltMlt13 που μπορούν επίσης ναγραφτούν 1leMle 12

Ε Ι Κοντογιώργης copy 19

∆υνάμειςI Οι εκθέτες αποτελούν συντομογραφία του

πολλαπλασιασμού (5)(5) = 52 και (5)(5)(5) = 53 Εδώτο 5 λέγεται βάση και το 3 λέγεται εκθέτης Μπορείεπίσης να ερμηνευτεί πέντε υψωμένο στην τρίτη δύναμη

I Η δύναμη είναι ο εκθέτης στον οποίο υψώνεται μιαποσότητα Η έκφραση xn είναι γνωστή ως x στη nδύναμη

I Σημειώστε ότι 5253 = (55)(555) = 55 = 5(2+3) Εδώπαρουσιάζεται ένας βασικός κανόνας του εκθέτη Στηπερίπωση που πολλαπλασιάζονται δύο όροι που έχουντην ίδια βάση οι εκθέτες τους μπορούν να προστεθούν

xmxn = x(m+n)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 20

I Στην περίπτωση όμως που (x4)(y3) ο πιο πάνω κανόναςδε μπορεί να εφαρμοστεί γιατί οι βάσεις είναιδιαφορετικές (x4)(y3) = xxxxyyy

I Για (x2)4

= x2x2x2x2 = xxxxxxxx= x8 = x(2times4)

I ´Ετσι στην περίπτωση που έχετε μια εκθετική έκφρασηπου είναι υψωμένη σε μία δύναμη μπορείτε ναπολλαπλασιάσετε τον εκθέτη με τη δύναμη

(xm)n

= xmn

Ε Ι Κοντογιώργης copy 21

I Εάν έχετε μια έκφραση μέσα σε παράνθεση και ηπαράνθεση είναι υψωμένη σε μια δύναμη τότε η δύναμημπορεί να γίνει μέρος τις παράνθεσης Για παράδειγμα

(xy2)3 = (xy2)(xy2)(xy2) = (xxx)(y2y2y2)

= (xxx)(yyyyyy) = x3y6 = (x)3(y2)3 = x3y6

Παρομοίως(xy)2

=x2y2

I ´Ενας αρνητικός εκθέτης είναι ένδειξη ότι η βάση βρίσκεταιστον παρονομαστή του κλάσματος Πχ

xminus2 =1x2

x2xminus3 = x2x3 = x5 2xminus1 =

2x

(3x)minus2 =1

(3x)2 =1

9x2 και(xminus2yminus3

)minus2=

(xminus2)minus2

(yminus3)minus2=x4y6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 22

I Οτιδήποτε στη δύναμη μηδέν είναι lsquo1rsquo

Πχ 50 = 1 x0 = 1 (x2y3)0 = 1 και 00 = 1

Σημειώστε ότι 50 = 5(1minus1) = (51)(5minus1) =55 = 1

I Μηδέν σε οποιαδήποτε δύναμη είναι μηδέν έτσι 0n = 0

Σημειώστε ότι 00 = 1 και ότι 00 = 0

Αυτό υποδειλώνει ότι 00 είναι μια απροσδιόριστη μορφήπου σε κάποιες περπτώσεις παίρνει μία τιμή και σεκάποιες άλλες περιπτώσεις παίρνει διαφορετική τιμή

Ε Ι Κοντογιώργης copy 23

I Κλασματικοί (Αναλογικοί) Εκθέτες

1 Η τετραγωνική ρίζα μπορεί να γραφτεί σε μορφή κλάσματος

´Ετσι radicx= x12

Πχ 212 =

radic2 = 141 και 2

minus12 =

1radic2

= 071

2 Γενικά xab =bradicxa Πχ 7

23 =

3radic72 = 366

355 = 3112 =

2radic311 = 42089

Ε Ι Κοντογιώργης copy 24

ΛογάριθμοιI Η λογαριθμική μορφή ενός αριθμού είναι lsquoαντίθετηrsquo από

την εκθετική Τεχνικά μιλώντας η λογαριθμική μορφήείναι αντίστροφη της εκθετικής

I Η σχέση δίνεται logb(x) = y

που είναι το ίδιο με by = x

I Ο lsquolsquologb(x) = yrsquorsquo προφέρεται lsquolsquolog-βάση-b-του x ισούται yΕδώ b ονομάζεται lsquoβάση του λογαρίθμουrsquo αφού το b είναιη βάση της εκθετικής έκφρασης

I Η βάση b του λογάριθμου είναι πάντοτε θετική και δενισούται με 1

I Οτιδήποτε βρίσκεται μέσα στο λογάριθμο ονομάζεταιέκφραση

Ε Ι Κοντογιώργης copy 25

ΠαραδείγματαI Μετατρέψτε την έκφραση 63 = 216 στην ισοδύναμη

λογαριθμική μορφή

Για τη μετατροπή η βάση μένει η ίδια αλλά το 3 και το216 αλλάζουν θέσεις Αυτό μας δίνει

log6(216) = 3

I Μετατρέψτε τον log4(1024) = 5 στην αντίστοιχηλογαριθμική έκφραση

Για τη μετατροπή η βάση (που είναι 4) παραμένει η ίδιααλλά το 1024 και το 5 αλλάζουν θέσεις ´Ετσι δίνεται

45 = 1024

Ε Ι Κοντογιώργης copy 26

I Υπολογίστε τον log2(8)

Εάν y= log2(8) τότε υπονοείται ότι 2y = 8 Αυτόσημαίνει ότι y είναι η δύναμη του 2 που θα έχει σαναποτέλεσμα 8 Η δύναμη που δίνει το αποτέλεσμα είναι 3αφού 23 = 8 ´Ετσι

log2(8) = 3

I Κατά παρόμοιο τρόπο log5(25) = 2 αφού 52 = 25

I Υπολογίστε τον y= log64(4)

Σημειώστε ότι 64y = 4 και 43 = 64

´Ετσι (43)y

= 4 ή 43y = 41

Η πιο πάνω έκφραση εξυπονοεί ότι 3y= 1 και έτσιy= 13

Ε Ι Κοντογιώργης copy 27

I Υπολογίστε y= log6(6)

Αυτό ισοδυναμεί με το 6y = 6 και συνεπώς y= 1

I Υπολογίστε το y= log3(1)

Το πιο πάνω μπορεί να γραφτεί ως 3y = 1

´Ομως 1 = 30 έτσι 3y = 30 και y= 0

I Υπολογίστε το y= log4(minus16)

Μπορεί να γραφτεί σαν 4y =minus16

´Ομως δεν υπάρχει τιμή (πχ δύναμη) y που ναικανοποιεί τη σχέση ´Ετσι δεν υπάχρει λύση

Ε Ι Κοντογιώργης copy 28

I Υπολογίστε το y= log2(0)

Αυτό σημαίνει 2y = 0 όμως δε υπάρχει τιμή που ναικανοποιεί τη σχέση ´Ετσι δεν υπάχρει λύση

I Υπολογίστε το y= 2log2(9)

Αυτό σημαίνει ότι log2(y) = log2(9) και έτσι y= 9

Ε Ι Κοντογιώργης copy 29

I Γενικά1 logb(b) = 1 για οποιαδήποτε βάση b

2 logb(1) = 0 για οποιαδήποτε βάση b

3 logb(a) δεν ορίζεται για αρνητικά a

4 logb(0) δεν ορίζεται για οποιαδήποτε βάση b

5 logb(bn) = n για οποιαδήποτε βάση b

Ε Ι Κοντογιώργης copy 30

I Οι λογάριθμοι μπορούν να πάρουν οποιοδήποτε αριθμόσαν βάση αλλά δύο βάσεις είναι οι πιο χρήσιμες οlog-βάση-10 και ο log-βάση-e

I Η βάση-10 log συχνά ονομάζεται ο κοινός log καιγράφεται ως log(x) Εδώ δεν αναγράφεται βάση καιμπορούμε να υποθέσουμε ότι η βάση είναι 10

Πχ log(100) = 2 έτσι log10(102) = 2

I Η βάση-e log ονομάζεται ο φυσικός log και γράφεται σανln(x)Πχ ln(e345)= 345 καθώς loge(e345) = 345

Ε Ι Κοντογιώργης copy 31

Ιδιότητες Λογαρίθμωνlogb(xy) = logb(x) + logb(y)

Απόδειξη´Εστω m= logbx και n= logby

Γράψτε σε μορφή εκθέτη x= bm και y= bn

Πολλαπλασιάστε το x και y ούτως ώστεxy= bmbn = bm+n

´Ετσι από τον ορισμό των λογαρίθμων το xy= bm+nσυνεπάγει ότι

logb(xy) =m+n= logbx+ logb(y)

Πχ log2(4times16) = log2(64) = log2(26) = 6

Ακόμα log2(4times16) = log2(4) + log2(16) = 2+4 = 6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 32

logb(xy)

= logb(x)minus logb(y)

Απόδειξη´Εστω m= logbx και n= logby

Γράψτε σε μορφή εκθέτη x= bm και y= bn

∆ιαίρα το x και y ούτως ώστε xy =bmbn = bmminusn

´Ετσι από τον ορισμό των λογαρίθμων το xy = bmminusn

συνεπάγει ότι

logb(xy)

=mminusn= logbxminus logb(y)

Πχ log2(16

4)

= log2(4) = 2

και log2(16

4)

= log2(16)minus log2(4) = 4minus2 = 2Ε Ι Κοντογιώργης copy 33

logb(xn) = n logb(x)

Απόδειξη´Εστω m= logbx και γράψτε σε μορφή εκθέτη x= bm

Αυξάνοντας τις δύο πλευρές στην n δύναμη παίρνουμεxn = (bm)n = bmn

´Ετσι από τον ορισμό των λογαρίθμων τοlogbxn =mn= nm= n(logbx)

Πχ log2(64) = log2(26) = 6 log2(2) = 6

log(64) = 18

Επιπλέον log(64) = log(26) = 6log(2) = 6times030 = 18

Ε Ι Κοντογιώργης copy 34

logb(x) =loga(x)loga(b) agt0 a 6= 1

Απόδειξη´Εστω m= logbx rArr x= bm

Εφαρμόστε loga και στις δύο πλευρές του x= bmγια ναδώσει

logabm = logax rArr m logab= logaxrArr m=logaxlogab

rArr logbx=logaxlogab

Πχ log5(20) =log(20)

log(5)= 186 =

ln(20)

ln(5)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 35

logb(a) =1

loga(b) agt0 a 6= 1

Απόδειξη

logb(x) =loga(x)loga(b) =

logx(x)logx(b)

=1

loga(b)

´Οταν a= x

Πχ log2(64) =1

log64(2)=

116 = 6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 36

Αθροισμα

I Υποθέστε ότι έχουμε μια μεταβλητή x που μπορεί ναπάρει δέκα τιμές Εάν ενδιαφερόμαστε για το άθροισμάτους χωρίς να ξέρουμε την τιμή της κάθε μεταβλητής τότεο καλύτερος τρόπος να το εκφράσουμε είναι

x1 +x2 + middot middot middot+x9 +x10

I Εν συντομία το άθροισμα n στοιχείων x1 +x2 + middot middot middot+xn είναιnsum

i = 1xi

και ερμηνεύεται σαν το άθροισμα όλων των xirsquosξεκινώντας από το x1 (πχ i = 1) μέχρι xn (i = n)

I Εάν δε δοθεί διαφορετικά πάντοτε υποθέτουμε ότι το iαυξάνεται ξεκινώντας από το στάδιο 1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 37

I Το lsquolsquoSigmarsquorsquo Σ είναι γνωστό ως το άθροισμα (summation) ήσύμβολο σίγμα (sigma operator) και ο δείκτης i όνομάζεταιεικονική μεταβλητή

I Παραδείγματα

I

5sum

i = 1xi = x1 +x2 +x3 +x4 +x5

I

5sum

i = 1(y2

i ) = y21 +y22 +y23 +y24 +y25

Σημειώστε ότι η μόνη μεταβλητή που περιγράφεται απευθείαςκάτω από το σύμβολο Σ αυξάνεται κατά 1 κάθε φορά ενώ όλατα άλλα σύμβολα παραμένουν τα ίδια

I

4sum

r = 1(x3r ) = x31 +x32 +x33 +x34

Ε Ι Κοντογιώργης copy 38

I6sum

i = 1i = 1+2+3+4+5+6

I6sum

i = 1i2 = 12 +22 +32 +42 +52 +62

I7sum

i = 3xi = x3 +x4 +x5 +x6 +x7

I4sum

i = 1a = a+a+a+a= 4a

I3sum

i = 1(4+xi) = (4+x1) + (4+x2) + (4+x3)

=3sum

i = 14+

3sum

i = 1xi

Ε Ι Κοντογιώργης copy 39

I3sum

i = 1(2xi) = (2x1) + (2x2) + (2x3) = 2times

3sum

i = 1xi

I Ο συντελεστής i παραλείπεται εάν δε προκαλείαοριστία Για παράδειγμα Σx ή Σixi σημαίνειάθροισμα όλων των x που λαμβάνονται υπόψη

I ∆ήλωσηI

nsumi=1a= na

I sumiaxi = asum

ixi

I sumi

(axi+byi) = asumixi +bsum

iyi

Ε Ι Κοντογιώργης copy 40

I Αθροιστικός Τύπος

Insum

i = 1i = 1+2+ middot middot middot+n=

n(n+1)

2

Πχ6sumi = 1i = 1+2+3+4+5+6 =

6(6+1)

2 = 21

Insum

i = 1i2 = 12 +22 + middot middot middot+n2 =

n(n+1)(2n+1)

6

Πχ6sumi = 1i2 = 12 +22 +32 +42 +52 +62

=6(6+1)(12+1)

6 = 91

Ε Ι Κοντογιώργης copy 41

Insum

i = 1i3 = 13 +23 + middot middot middot+n3 =

n2(n+1)2

4

Πχ6sumi = 1i3 = 13 +23 +33 +43 +53 +63

=62(6+1)2

4 = 441

Ε Ι Κοντογιώργης copy 42

ΠαραδήγματαΑριθμητική Πρόοδος

I Γενικά μπορούμε να εκφράσουμε μια αριθμητική πρόοδο ωςεξής

αριθμητική πρόοδος a a+d a+2d a+3d

όπου ο πρώτος όρος είναι a και η διαφορά d Ο όρος nτης απ δίνεται από τη σχέση b = a+ (nminus1)d

I 3 5 7 9 11 είναι μια αριθμητική πρόοδος Οπρώτος όρος είναι το 3 και η διαφορά είναι 2

I 2 minus1 minus4 minus7 είναι μια αριθμητική πρόοδος όπου οπρώτος όρος είναι 2 και η διαφορά minus3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 43

I Το άθροισμα των όρων μιας αριθμητικής προόδου είναιγνωστό ως αριθμητική σειρά

Sn = a+ (a+d) + (a+2d) + middot middot middot+ (a+ (nminus1)d)

=nsumi=1

(a+ (iminus1)d

)= na+

nsumi=1

(iminus1)d

= na+dnminus1sumi=1

i = na+d(nminus1)n2

=n2(2a+d(nminus1)) =

n2(a+b) b = a+d(nminus1)

I ΑΠ 3 5 7 9 11 13 rArr Sn =62(3+13) = 48

Ε Ι Κοντογιώργης copy 44

∆ιπλό Αθροισμα4sumi=1

isumj=1

j = (1) + (1+2) + (1+2+3) + (1+2+3+4) = 20

nsumi=1

isumj=1

j =nsumi=1

( isumj=1

j)

nsumi=1

(12 i(i+1)

)=

12

nsumi=1

(i2 + i)

12( nsumi=1

i2 +nsumi=1

i)

=12(16n(n+1)(2n+1) +

12n(n+1)

)

=12

16n(n+1)

((2n+1) +3

)=

n6(n+1)(n+2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 45

∆ιπλό Αθροισμα

nsumi=1

msumj=1

(i+ j+2) =nsumi=1

( msumj=1

(i+ j+2))

nsumi=1

( msumj=1

i+msumj=1

j+msumj=1

2)

=nsumi=1

(mi+ 1

2m(m+1) +2m)

m( nsumi=1

i+ 12

nsumi=1

(m+5))

= m(12n(n+1) +

12n(m+5)

)

=mn2(m+n+6

)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 46

Insumr=1

1r(r+1)

=nsumr=1

(Ar +

Br+1

)=

nsumr=1

A(r+1) +Brr(r+1)

I A(r+1) +Br = 1

I Για r = 0 τότε A= 1 και για r =minus1 τότε B=minus1

I

nsumr=1

1r(r+1)

=nsumr=1

(1r minus

1r+1

)

=(

(11 minus

12) + (

12 minus

13) + (

13 minus

14) + middot middot middot+ (

1nminus1 minus

1n ) + (

1n minus

1n+1)

)

= 1minus 1n+1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 47

Insumk=1

1(k+2)(k+3)

=nsumk=1

( A(k+2)

+B

(k+3)

)=

nsumk=1

A(k+3) +B(k+2)

(k+2)(k+3)

I A(k+3) +B(k+2) = 1

I Για k=minus2 τότε A= 1 και για k=minus3 τότε B=minus1

I

nsumk=1

1(k+2)(k+3)

=nsumk=1

( 1(k+2)

minus 1(k+3)

)

=(

(13 minus

14)+(

14 minus

15)+(

15 minus

16)+ +(

1n+1 minus

1n+2)+(

1n+2 minus

1n+3)

)

=13 minus

1n+3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 48

Αθροισμα με Λογάριθμους

nsumi=1

logb(i) = logb(1) + logb(2) + middot middot middot+ logb(n)

= logb(1times2times3timesmiddotmiddot middottimesn)

= logb(n)

I Το n (n παραγοντικό) δίνεται από n = 1times2timesmiddotmiddot middottimesn και0 = 1

I100sumi=1

log2(100) = log2(100) =log(100)

log(2)=

log(99)

log(2)+

2log(2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 49

Γινόμενο των ακολουθιώνIn

prodi=1xi = x1timesx2timesx3timesmiddotmiddot middottimesxn

In

prodi=1i = 1times2times3timesmiddotmiddot middottimesn= n

In

prodi=1z= ztimesztimesmiddotmiddot middottimesz= zn

I

nprodi=1

(1+

1i+1

)=(1+

12)times(1+

13)times(1+

14)times times(1+

1n )times(1+

1n+1)

=32 times

43 times

54 timesmiddotmiddot middottimes

n+1n times n+2

n+1

=n+22

Ε Ι Κοντογιώργης copy 50

Γεωμετρικές ΠροόδοιI Μια γεωμετρική πρόοδος είναι μια σειρά αριθμών όπου

κάθε όρος μετά των πρώτο υπολογίζεται από τονπολλαπλασιασμό του προηγούμενου όρου με ένασταθερό αριθμό που καλείται αναλογία

I Η σειρά1 3 9 27 81 middot middot middot

είναι μια γεωμετρική πρόοδος με πρώτο όρο το 1 καιαναλογία 3

I Η αναλογία μπορεί να είναι κλάσμα καθώς επίσης καιαρνητικός αριθμός Για παράδειγμα η γεωμετρικήπρόοδος με πρώτο όρο το 2 και αναλογία minus13 είναι

2 minus 23 +

29 minus

227 +

281 middot middot middot

Ε Ι Κοντογιώργης copy 51

I Γενικά μπορούμε να γράψουμε μια γεωμετρική πρόοδο ωςακολούθως

γεωμετρική πρόοδος a ar ar2 ar3 ar4 middot middot middot

όπου ο πρώτος όρος είναι a και η αναλογία r

I Σημαντικά θεωρήματα των γεωμετρικών προόδων (γπ)1 Ο n όρος μιας γπ δίνεται από ar(nminus1)

2 Το άθροισμα των πρώτων n όρων μιας γπ είναι

Sn =a(1minus rn)

1minus r =a(rnminus1)

rminus1 και ισχύει μόνο αν r 6= 1

I Το άθροισμα των όρων μιας γεωμετρικής προόδουονομάζεται γεωμετρική σειρά

Ε Ι Κοντογιώργης copy 52

Γεωμετρική σειρά

Sn = a+ar+ar2 +ar3 + middot middot middot+arnminus2 +arnminus1

rSn = ar+ar2 +ar3 + arnminus1 +arn

Snminus rSn = aminusarn

(1minus r)Sn = a(1minus rn)

Sn =a(1minus rn)

(1minus r) =a(rnminus1)

(rminus1)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 53

I Παράδειγμα1 Βρείτε το άθροισμα των πρώτων 10 όρων μιας γεωμετρικής

σειράς4 8 16 32

Ο πρώτος όρος είναι a= 4 και η αναλογία r = 2 καιn= 10 ´Ετσι

S10 =4(1minus210)

1minus2 = 4092

2 Θεωρείστε τη γπ4 minus8 16 minus32 64 minus128 256 minus512

Σε αυτή την περίπτωση ο πρώτος όρος είναι a= 4 ηαναλογία είναι r =minus2 και n= 8´Ετσι

S8 =4(1minus (minus2)8)

1minus (minus2)=minus340

Ε Ι Κοντογιώργης copy 54

Συνεχείς ανατοκισμός

Οι περισσότεροι τραπεζικοί λογαριασμοί και τα δάνειαυιοθετούν ανατοκισμό - εφαρμόζοντας συνεχή ανατοκισμόΘεωρείστε ένα λογαριασμό που προσφέρει τόκο με ετήσιοεπιτόκιο r (πχ 7) Εάν το επιτόκιο είναι συνεχέςσε χρονιαία βάση τότε μετά από 1 χρόνο το χρονιαίοεπιτόκιο προστίθεται στο αρχικό κεφάλαιο για νακαθορίσει ένα μεγαλύτερο κεφάλαιο τον δεύτερο χρόνο

´Ετσι κατά τη διάρκεια του δεύτερου χρόνου ολογαριασμός κερδίζει επιτόκιο πάνω στο επιτόκιοΑυτή είναι η επίδραση του ανατοκισμού που συνεχίζεταιχρόνο με το χρόνο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 55

I Με τον ετήσιο ανατοκισμό το κεφάλαιο πουσυσσωρεύεται στο λογαριασμό πολλαπλασιάζεται με

(1+ r)

´Ετσι το κεφάλαιο A θα αυξηθεί σε

A(1+ r) = A+A middot r

τον επόμενο χρόνο

I Με το πέρας και του δεύτερου χρόνου το κεφάλαιο θααυξηθεί ακόμα (1+ r) σε (1+ r)2

´Ετσι το κεφάλαιο καταλήγει σε

A(1+ r)(1+ r) = A(1+ r)2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 56

I Κατά παρόμοιο τρόπο στο τέλος του τρίτου χρόνου τοποσό θα αυξηθεί κατά (1+ r)3

I Μετά από n χρόνια το ποσό θα αυξηθεί κατά (1+ r)n

I ´Ετσι το κεφάλαιο (επένδυση) A θα αυξηθεί με συνεχήανατοκισμό σε A(1+ r)n μετά από n χρόνια

I Ο τύπος (1+ r)n εκθέτει γεωμετρική αύξηση λόγω τηςn δύναμης

Ε Ι Κοντογιώργης copy 57

ΠαραδείγματαI Εάν το επιτόκιο είναι r = 5 τότε το κεφάλαιοA= $1000 που βρίσκεται στην τράπεζα n= 20 χρόνιαθα αυξηθεί κατά

(1+ r)n = (1+005)20 = 2653 φορές

´Ετσι το ποσό θα καταλήξειA(1+ r)n = $265330

I Βρέστε το χρόνο που χρειάζεται για ένα λογαργιασμό ναδιπλασιάσει το διαθέσιμο κεφάλαιο του όταν r = 7 καιr = 10Ζητούμε να βρούμε το n έτσι ώστε

(1+ r)n = 2Ε Ι Κοντογιώργης copy 58

I Υπολογίζοντας το λογάριθμο του τελευταίου παίρνουμε

log(1+ r)n = log(2)ή n log(1+ r) = log(2)

´Ετσιn=

log2log(1+ r)

I Για r = 7 και r = 10 ο χρόνος n πουχρειάζεται για διπλασιασμό της επένδυσης υπολογίζεταισε 1024 και 727 αντίστοιχα

Ε Ι Κοντογιώργης copy 59

I Αν το επιτόκιο είναι r = 7 τότε πιο θα είναι τοσυνολικό ποσό στο λογαριασμό μετά από 205 και41 χρόνια αντίστοιχα

Μετά τα πρώτα 1025 χρόνια το ποσό A θαδιπλασιαστεί σε 2A Για τα επόμενα 1025 χρόνιατο ποσό θα ξαναδιπλασιαστεί σε 4A ´Ετσι μετά από205 χρόνια το ποσό θα αυξηθεί κατά 4 φορές

Με το πέρας ακόμα 205 χρόνων το ποσό θα αυξηθείακόμα 4 φορές σε 16 ´Ετσι μετά από 41 χρόνιατο κεφάλαιο A γίνεται 16A

Ε Ι Κοντογιώργης copy 60

Ασκήσεις και Παραδείγματα

I Υπολογίστε τη Μελλοντική Αξία (Future Value (FV)) τουκεφαλαίου A= 1500 που κερδίζει ετήσιο επιτόκιοr = 5 για n= 10 έτη

FV =A(1+ r)n = 1500(1+005)10 = 244334

I Πόσα έτη απαιτούνται για να τριπλασιαστεί ένα ποσόπου αφήνετε στην τράπεζα με επιτόκιο r = 5∆ηλαδή βρείτε το n όπου A= 1 r = 5 και FV = 3

FV =A(1+ r)n ή (1+ r)n =FVA

Ε Ι Κοντογιώργης copy 61

Υπολογίζοντας τους λογαρίθμους παίρνουμε

log(1+ r)n = log(FVA)

ή n log(1+ r) = log(FVA)

´Ετσι

n=log(FVA)

log(1+ r) =log(3)

log(105)

= 2252

Ε Ι Κοντογιώργης copy 62

I Βρείτε την παρούσα αξία A έτσι ώστε σε δέκα έτη μεσταθερό επιτόκιο r = 6 να είναι 100KΒρείτε το A όπου FV = 100000 r = 6 και n= 10

FV =A(1+ r)n ή A=FV

(1+ r)n

´Ετσι A=100000

(106)10= 5583948

I Βρείτε την ετησιοποιημένη απόδοση (AER AnnualEquivalent Rate) μιας μηνιαίας κατάθεσης με σταθερόεπιτοκίο 394 Μια τέτοια κατάθεση λαμβάνει το επιτόκιο στη λήξηΣυνεπώς κάθε μήνα ο λογαριασμός λαμβάνει

r = 0039412 = 000328

επιτόκιο που επανεπενδύεται (συνεχής ανατοκισμός)Ε Ι Κοντογιώργης copy 63

Επανεπενδύοντας το επιτόκιο κάθε μήνα στη διάρκειαενός έτους το κεφάλαιο θα αυξηθεί σε

(1+ r)12 = (1+000328)12 = 104012

´Ετσι το ΑΕΡ είναι ισοδύναμο με 004012 = 4012I Υπολογίστε το επιτόκιο ενός σταθερού λογαριασμού

κατάθεσης 7-ημερών που έχει AER επιτόκιο r = 425Θεωρείστε ρ το εβδομαδιαίο επιτόκιο

´Ετσι (1+ρ)52 = (1+00425)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 64

Παίρνοντας τους λογαρίθμους έχουμε52log(1+ρ) = log10425

ή log(1+ρ) =log10425

52

ή 1+ρ= 10( log10425

52)

Αυτό μας δίνει

ρ= 10

( log1042552

)minus1 = 008

´Ετσι το συνεχές επιτόκιο μιας επταήμερης κατάθεσης είναιρtimes52 = 41638

Εναλλακτικά (1+ρ)52 = (1+00425) δίνει

(1+ρ) =52radic10425ή ρ=

52radic10425minus = 008Ε Ι Κοντογιώργης copy 65

I Υπολογίστε την ετήσια απόδοση r έτσι ώστε A= 10000να επιστρέφει FV = 35000 σε n= 20 χρόνια

FV =A(1+ r)n ή (1+ r)n =FVA

´Ετσι

1+ r =nradic

FVA

Επομένως

r =nradic

FVA minus1 =

20radic

3500010000 minus1 = 00646 = 646

Ε Ι Κοντογιώργης copy 66

Εναλλακτικά παίρνοντας τους λογαρίθμους

log(1+ r)n = log(FVA) ή n log(1+ r) = log

(FVA)

´Ετσι

1+ r = 10(1n log

(FVA))

ή r = 10(1n log

(FVA))minus1

= 10( 120 log

(3500010000

))minus1

= 646

Ε Ι Κοντογιώργης copy 67

Γραφική Αναπαράσταση I

I Υποθέστε ότι έχουμε y= 3x+2 Καθώς έχουμε μόνο μιαδύναμη για το x πρέπει να λύσουμε γραμμική εξίσωσηκαι να σχεδιάσουμε μια ευθεία γραμμή Αρχικά θα πρέπεινα σχεδιάσουμε ένα T-chart Αυτό έχει τη μορφή

x y = 3x+2 (xy)

I Επιλέγουμε μια τιμή για το x και λύνουμε ως προς y

x y= 3x+2 (xy)minus2 minus4 (minus2minus4)0 2 (02)2 8 (28)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 68

Γραφική Αναπαράσταση II

-

6

X

Y

bull

bull

bull

I Βλέπουμε μια ευθεία με ανοδική τάση (έχοντας θετικήκλίση m= 3) καιτέμνει τον άξονα y στο σημείο y= 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 69

Γραφική Αναπαράσταση III

I Μια Τετραγωνική εξίσωση περιέχει x2 Για τηναναπαράσταση τετραγωνικών εξισώσεων χρειάζεται ναβρούμε περισσότερα από τρία σημεία στο σχεδιάγραμμα

Για παράδειγμα υποθέστε ότι y= x2minus6x+5 καιδίνεται το πιο κάτω T-chart

x y= x2minus6x+5 (xy)0 5 (05)1 0 (10)3 minus4 (3minus4)5 0 (50)6 5 (65)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 70

Γραφική Αναπαράσταση IV

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

-

6

X

Y

bull

bull

bull

bull

bull

Ε Ι Κοντογιώργης copy 71

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(1x + 2)

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(-3x + 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 72

-15

-10

-5

0

5

10

15

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(3x - 2)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 73

-20

0

20

40

60

80

100

120

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2+x)

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 74

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

1250

1500

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3+x2+x)

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x4)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 75

-25

-2

-15

-1

-05

0

05

1

15

2

25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(log(x))

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(x))

Ε Ι Κοντογιώργης copy 76

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(-x))

-5000

0

5000

10000

15000

20000

25000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(exp(x)+x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 77

Ανισότητες I

I Οι ανισότητες αποτελούνται από δύο ή τρεις αλγεβρικέςεκφράσεις που είναι συνδεδεμένες με τα σύμβολαανισότητας Τα σύμβολα αυτά είναι

lt μικρότερο τουgt μεγαλύτερο τουle μικρότερο ή ίσο τουge μεγαλύτερο ή ίσο του

I Παραδείγματα xgty yge x2 και ylt5x+1

I Το πρώτο βήμα για την αναπαράσταση ανισότητας τηςμορφής ygtx είναι να παραστήσουμε γραφικά τηνισότητα y= x

Ε Ι Κοντογιώργης copy 78

Ανισότητες II

I ygtx

Κάνετε δοκιμή με ένα σημείο να δείτε κατά πόσοικανοποιεί την ανισότητα Εάν ναι τότε σκιάστε τηνπεριοχή αυτή του σχεδιαγράμματος διαφορετικά σκιάστετην άλλη πλευρά

Ε Ι Κοντογιώργης copy 79

Ανισότητες III

I yltx

Ε Ι Κοντογιώργης copy 80

Ανισότητες IV

I yle 5x+1 και ygt5x+1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 81

Ανισότητες V

I yge x2 και yle x2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 82

Ανισότητες VI

I ygtx3 και yle x3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 83

Συστήματα Γραμμικών ΕξισώσεωνΠεριεχόμενα

1 Ε

2 Γ Α

ΑναφορέςΚεφάλαια 4 και 5FS Budnick Applied Mathematics for Business Economicsand the Social Sciences 4th edition McGraw-Hill 1993

Ε Ι Κοντογιώργης copy 84

Συστήματα Εξισώσεων

I ´Ενα σύστημα εξισώσεων συνδυάζει περισσότερες από μίαεξισώσεις

I ´Ενα σύστημα m εξισώσεων όπου κάθε εξίσωσηαποτελείται από n μεταβλητές ονομάζεται mtimesnσύστημα ή λέμε ότι έχει διαστάσεις mtimesn

I ΠαράδειγμαΠαρακάτω έχουμε ένα σύστημα 2times2

5X+10Y= 203X+4Y= 10

Οι μεταβλητές σε αυτή την περίπτωση είναι X και YΕ Ι Κοντογιώργης copy 85

Συστήματα Επίλυσης

I Το Σύστημα επίλυσης είναι μια σειρά τιμών μεταβλητώνπου ικανοποιούν το σύστημα ταυτόχρονα

I Σε μια σημειογραφική παράσταση το προηγούμενοπαράδειγμα μπορεί να γραφτεί ως εξής

S = (XY) | 5X+10Y = 20 και 3X+4Y = 10

I Το σύστημα επίλυσης μπορεί να είναι1 μηδενικό2 πεπερασμένο ή3 άπειρο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 86

2times2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική Ανάλυση

I Σε ένα δισδιάστατο γράφημα ένα σύστημα εξισώσεων2times2 αναπαρίστανται με ευθείες γραμμές Υπόρχουν τρίαενδεχόμενα

1 Οι ευθείες τέμνονται Το σημείο τομής αντιπροσωπεύει τηλύση του συστήματος εξισώσεων Αυτό το σημείοαλληλεπίδρασης είναι μια δέσμη τιμών X και Y που ικανοποιείκαι τις δύο εξισώσειςΕάν υπάρχει μόνο μια δέσμη τιμών για τις μεταβλητές που ναικανοποιεί το σύστημα εξισώσεων το σύστημα λέμε ότι έχειΜ Λ

2 Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες μεταξύ τους ∆εν έχουν κοινόσημείο Συνεπώς οι ευθείες δεν τέμνονται ποτέ Το σύστημαλέμε ότι ∆ ΛΑυτό υπονοεί ότι δεν υπάρχουν τιμές για τις μεταβλητές πουνα ικανοποιούν και τις δύο εξισώσεις Σε αυτή τηνπερίπτωση οι εξισώσεις στο σύστημα είναι Α

3 Και οι δύο εξισώσεις αναπαρίστανται ως μια κοινή ευθεία καιθεωρούνται ισοδύναμες εξισώσεις ´Ετσι το σύστημα έχειΑ Λ Αυτό συμβαίνει γιατί υπάρχει άπειροςαριθμός κοινών σημείων στις δύο γραμμές

Ε Ι Κοντογιώργης copy 87

I Π Θεωρείστε ένα σύστημα 2times22X+4Y= 203X+ Y= 10

I

X

Y

(24)

3X +Y = 10

2X +4Y = 20

0 2 4 6 8 10 12

2

4

6

8

10

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 88

I Το σημείο τομής δίνεται από το X= 2 και Y= 4Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές του X και Y στις δύοεξισώσεις δίνουν 20 = 20 και 10 = 10 αντίστοιχα

I Αυτό υποδειλώνει ότι X= 2 και Y= 4 είναι η σωστή λύση

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times23Xminus2Y= 6

minus15X+10Y=minus30

I

X

Y

(20)

(0minus3)

3X minus2Y = 6

minus15X +10Y =minus30

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 89

I Οι δύο εξισώσεις απλοποιούνται σε Xminus 23 Y= 2

Οι δύο εξισώσεις είναι ισοδύναμες και δίνουν έναπεπερασμένο αριθμό λύσεων έτσι ώστε

X= 0 Y =minus3X= 2 Y = 0X= 4 Y = 3

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times26Xminus12Y= 24

minus32X+3Y= 9

Οι εξισώσεις απλοποιούνται σεXminus2Y= 4Xminus2Y=minus6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 90

I

X

Y

(40)

(0minus2)

(minus60)

(03)

X minus2Y =minus6

X minus2Y = 4

0-0

I Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες και συνεπώς το σύστημαδεν έχει λύση ´Ετσι το σύστημα εξισώσεων είναιασύμπτωτο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 91

Περίληψη 2times2 Συστήματα Εξισώσεων∆ίνεται ένα Σύστημα Γραμμικών Εξισώσεων 2times2

Y=m1X+ c1Y=m2X+ c2

1 Υπάρχει μια στο σύστημα εάνm1 6= m2

2 ∆εν υπάρχει στο σύστημα εάνm1 = m2 και c1 6= c2

3 Υπάρχει εάνm1 = m2 και c1 = c2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 92

∆ιαδικασίες Απαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής χρησιμοποιεί πολλαπλασιασμόκαι πρόσθεση έτσι ώστε

1 Να απαλοιφεί μια από τις δύο μεταβλητές

2 Η εξίσωση που εξάγεται είναι συνάρτηση των υπόλοιπωνμεταβλητών

3 Αντικαθιστώντας την τιμή στην μεταβλητή σε μια από τιςαρχικές εξισώσεις βρίσκουμε την τιμή για τηναπολοιφθήσα μεταβλητή

Ε Ι Κοντογιώργης copy 93

ΠαραδείγματαI Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

2X +4Y = 20 (1)3X + Y = 10 (2)

Πολλαπλασιάζοντας τη δεύτερη εξίσωση με minus4 παίρνουμε

minus12X minus4Y =minus40 (3)

Προσθέτοντας την εξίσωση (1) στο (3)

2X + 4Y = 20minus12X minus 4Y = minus40minus10X = minus20

ή

X = 2 (4)Ε Ι Κοντογιώργης copy 94

Αντικαθιστώντας X= 2 στην εξίσωση (1) δίνεται2 middot2+4Y = 20 ή Y=4

´Ετσι η μοναδική λύση του συστήματος δίνεται από τοX= 2 και Y= 4 Μπορεί να επιβεβαιωθεί ότι αυτή είναι ησωστή λύση αντικαθιστώντας X= 2 και Y= 4 στηνεξίσωση (1) και (2)

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times23X minus2Y = 6 (5)

minus15X +10Y =minus30 (6)

Για την απαλοιφή της μεταβλητής X η εξίσωση (5)πολλαπλασιάζεται με 5 και το αποτέλεσμα προστίθεταιστην εξίσωση (6)

15X minus 10Y = 30minus15X + 10Y = minus30

0 = 0 Ε Ι Κοντογιώργης copy 95

Οι τελευταίες πράξεις υπονοούν ότι οι εξίσωσεις (5) και(6) είναι ισοδύναμες και έτσι υπάρχει άπειρος αριθμόςλύσεωνΓια να προσδιορίσουμε τις λύσεις του συστήματος μια απότις αρχικές εξισώσεις λύνεται ως προς μια μεταβλητή Ανγια παράδειγμα η εξίσωση (5) λύνεται ως προς Y δίνει

Y =32Xminus3

Σαν αποτέλεσμα γενικεύοντας τις λύσεις του συστήματοςέχουμε

X τυχαίο και Y =32Xminus3

Πχ για X= 4 υπονοείται ότι Y=32 middot4minus3 = 3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 96

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

6X minus12Y = 24 (7)

minus32X +3Y = 9 (8)

Πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση (8) με 4 καιπροσθέτοντας το αποτέλεσμα στην εξίσωση (7)παίρνουμε

6X minus 12Y = 24minus6X + 12Y = 36

0 = 60

Η πιο πάνω αντιλογία υπονοεί ότι δεν υπάρχει λύση τουσυστήματος εξισώσεων

Ε Ι Κοντογιώργης copy 97

3times2 Συστήματα Εξισώσεων I

1 Μ Λ

X

Y

(32)

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minusY = 1

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 98

3times2 Συστήματα Εξισώσεων II

2 Α Λ

X

Y Εξις (1)Εξις (2)Εξις (3)

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 99

3times2 Συστήματα Εξισώσεων III3 Κ

(α) ´Οταν και οι τρεις εξισώσεις είναι παράλληλες

X

Y

2X minusY =minus8

2X minusY = 2

2X minusY = 12

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 100

3times2 Συστήματα Εξισώσεων IV(β) ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ τωνεξισώσεων

X

Y

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minus2Y =minus4

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 101

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική ΑνάλυσηΣε ένα γράφημα 2 διαστάσεων ένα σύστημα mtimes2(mgt2) εξισώσεων παριστάνεται με m ευθείες ´Οπωςσυμβαίνει στα συστήματα 2times2 υπάρχουν τρίαενδεχόμενα

1 ´Ολες οι ευθείες τέμνονται στο ίδιο σημείο και έτσιυπάρχει

2 ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ των mεξισώσεων Αυτό σημαίνει ότι όλες οι ευθείες είναιπαράλληλες Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα Λ

3 Οι m εξισώσεις είναι ισοδύναμες πχ παρασταίνονται σανμια ευθεία Σε αυτή την περίπτωση υπάρχει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 102

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων ∆ιαδικασίαΑπαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής για την επίλυση ενός συστήματοςmtimes2 μπορεί να περιγραφεί ως ακολούθωςΕπιλέξτε και λύστε σύστημα με δύο εξισώσεις

1 Εάν δεν υπάρχει λύση τότε ολόκληρο το σύστημα δεν έχειλύση

2 Εάν υπάρχει μοναδική λύση που ικανοποιεί τις υπόλοιπεςmminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα έχει μία μοναδική λύση

3 Εάν η λύση είναι μοναδική αλλά δεν ικανοποιεί τιςυπόλοιπες mminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα δεν έχει λύση

4 Εάν οι 2 λύσεις είναι ισοδύναμες απάλοιψτε τη μίααπό τις δύο εξισώσεις και ξεκινήστε από την αρχήλαμβάνοντας υπόψη ένα σύστημα (mminus1)times2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 103

ΠαράδείγμαI Θεωρείστε ένα σύστημα 5times2

XminusY= 1X+2Y=minus8

3Xminus2Y= 02Xminus5Y= 11minus4X+3Y=minus1

I Η λύση των πρώτων δύο εξισώσεων δίνετε απόY =minus3 και X =minus2

I Αντικαθιστώντας τη λύση στις υπόλοιπες τρεις εξισώσειςπαίρνετε αντίστοιχα

0 = 0 11 = 11 και minus1 =minus1I Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση

X=minus2 και Y=minus3Ε Ι Κοντογιώργης copy 104

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian

Η μέθοδος απολοιφής Gaussian μετατρέπει το αρχικόσύστημα εξισώσεων σε διαγώνια μορφή επαναλαμβάνονταςστις εξισώσεις τις ακόλουθες τρεις διαδικασίες

1 Πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης μεμια θετική σταθερά

2 Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού θα προστεθεί σεάλλη εξίσωση

3 Η σειρά των εξισώσεων μπορεί να αλλάξει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 105

ΠαράδείγμαΠ Θεωρείστε το σύστημα 2times2

2X minus 3Y = 7 (Εξ 1)X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με 12 για να πάρετε

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με minus1 καιπροσθέστε την στην (Εξ 2)

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

52Y =

152 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 106

Στάδιο 3 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 25

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

Y = 3 (Εξ 2)

Στάδιο 4 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 32 και

προσθέστε την στην (Εξ 1)

X = 1 (Εξ 1)Y = 3 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 107

Π Θεωρείστε το σύστημα 2times2

5X + 20Y = 254X minus 7Y =minus26

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να εκφραστεί ως

R1 5 20 25R2 4 minus7 minus26

Η κάθετη γραμμή χρησιμοποιείται για διαχωρισμό τηςαριστερής από τη δεξιά πλευρά των εξισώσεων Το Riυπονοεί τη γραμμή (Row) i

Ε Ι Κοντογιώργης copy 108

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάζουμε τη R1 με 15 και το θέτουμε

R1larr 15R1

R1 1 4 5R2 4 minus7 minus26

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάζουμε την R1 με minus4 και τηνπροσθέτουμε στην R2 Εν συντομίαR2larrminus4R1+R2

R1 1 4 5R2 0 minus23 minus46

Στάδιο 3 R2larrminus 123R2

R1 1 4 5R2 0 1 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 109

Στάδιο 4 R1larrminus4R2+R1

R1 1 0 minus3R2 0 1 2

Το αρχικό σύστημα εξισώσεων μετατρέπεται σε διαγώνιαμορφή όπως πιο κάτω

X =minus3Y = 2

το οποίο δίνει τη λύση του συστήματος

Ε Ι Κοντογιώργης copy 110

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 I

Το σύστημα εξισώσεων 3times3 μετετρέπεται σε διαγώνιαμορφή Η μετατροπή γίνεται στήλη με στήλη από τααριστερά προς τα δεξιά

Π Θεωρήστε το σύστημα 3times3

X1 + X2 + X3 = 2X1 minus 3X2 + 2X3 = 7

4X1 minus 2X2 minus X3 = 9

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να γραφτεί ως

Ε Ι Κοντογιώργης copy 111

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 II

1 1 1 21 minus3 2 74 minus2 minus1 9

Ε Ι Κοντογιώργης copy 112

I Στρογγυλοποίηση προς τα πάνω ή συνάρτησημικρότερου ακεραίουΗ lsquoστρογγυλοποίηση προς τα πάνωrsquo ενός πραγματικούαριθμού x συμβολίζεται με dxe Μας δίνει το μικρότεροδυνατό ακέραιο που είναι μεγαλύτερος ή ίσος από το xΠχ d32e= 4 dminus32e=minus3 d35e= 4 και d36e= 4

I lsquoΣτρογγυλοποίηση προς τα κάτωrsquo ή συνάρτησημεγαλύτερου ακεραίουΤο lsquoκατώτατο όριοrsquo ενός πραγματικού αριθμού xσυμβολίζεται bxc ∆ίνει το μεγαλύτερο δυνατό ακέραιοπου είναι μικρότερος ή ίσος από το xΠχ b32c= 3 bminus32c=minus4 b35c= 3 και b36c= 3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 17

Σταθερές

I ´Ενας αριθμός που αντιπροσωπεύει μια ποσότητα πουθεωρείται ότι έχει σταθερή τιμή ονομάζεται lsquoσταθεράrsquo Ητιμή μιας σταθεράς ενώ δε μεταβάλλεται πιθανό να μηνπροσδιορίζεται

I Οι πιο σημαντικές πραγματικές σταθερές είναι

1 Το π= 314159 Είναι ο δείκτης που υποδειλώνει τηνπεριφέρεια του κύκλου ακτίνια Ονομάζεται και σταθερά τουΑρχιμήδη

2 Το exp = 271828 που υποδειλώνει τη βάση του φυσικούλογάριθμου

Ε Ι Κοντογιώργης copy 18

Σύμβολα Κατεύθυνσης

I Το σύμβολο lsquogtrsquo που σημαίνει lsquoμεγαλύτεροrsquo καθώς και τοlsquogersquo που σημαίνει lsquoμεγαλύτερο ή ίσοrsquo

I Το σύμβολο lsquoltrsquo που σημαίνει lsquoμικρότεροrsquo καθώς και το lsquolersquoπου σημαίνει lsquoμικρότερο ή ίσοrsquo

I Παράδειγμα Οι μεταβλητές που συμβολίζουν τουςμηνιαίους μισθούς xge 0 Οι μεταβλητές που συμβολίζουντους μήνες του χρόνου 0ltMlt13 που μπορούν επίσης ναγραφτούν 1leMle 12

Ε Ι Κοντογιώργης copy 19

∆υνάμειςI Οι εκθέτες αποτελούν συντομογραφία του

πολλαπλασιασμού (5)(5) = 52 και (5)(5)(5) = 53 Εδώτο 5 λέγεται βάση και το 3 λέγεται εκθέτης Μπορείεπίσης να ερμηνευτεί πέντε υψωμένο στην τρίτη δύναμη

I Η δύναμη είναι ο εκθέτης στον οποίο υψώνεται μιαποσότητα Η έκφραση xn είναι γνωστή ως x στη nδύναμη

I Σημειώστε ότι 5253 = (55)(555) = 55 = 5(2+3) Εδώπαρουσιάζεται ένας βασικός κανόνας του εκθέτη Στηπερίπωση που πολλαπλασιάζονται δύο όροι που έχουντην ίδια βάση οι εκθέτες τους μπορούν να προστεθούν

xmxn = x(m+n)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 20

I Στην περίπτωση όμως που (x4)(y3) ο πιο πάνω κανόναςδε μπορεί να εφαρμοστεί γιατί οι βάσεις είναιδιαφορετικές (x4)(y3) = xxxxyyy

I Για (x2)4

= x2x2x2x2 = xxxxxxxx= x8 = x(2times4)

I ´Ετσι στην περίπτωση που έχετε μια εκθετική έκφρασηπου είναι υψωμένη σε μία δύναμη μπορείτε ναπολλαπλασιάσετε τον εκθέτη με τη δύναμη

(xm)n

= xmn

Ε Ι Κοντογιώργης copy 21

I Εάν έχετε μια έκφραση μέσα σε παράνθεση και ηπαράνθεση είναι υψωμένη σε μια δύναμη τότε η δύναμημπορεί να γίνει μέρος τις παράνθεσης Για παράδειγμα

(xy2)3 = (xy2)(xy2)(xy2) = (xxx)(y2y2y2)

= (xxx)(yyyyyy) = x3y6 = (x)3(y2)3 = x3y6

Παρομοίως(xy)2

=x2y2

I ´Ενας αρνητικός εκθέτης είναι ένδειξη ότι η βάση βρίσκεταιστον παρονομαστή του κλάσματος Πχ

xminus2 =1x2

x2xminus3 = x2x3 = x5 2xminus1 =

2x

(3x)minus2 =1

(3x)2 =1

9x2 και(xminus2yminus3

)minus2=

(xminus2)minus2

(yminus3)minus2=x4y6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 22

I Οτιδήποτε στη δύναμη μηδέν είναι lsquo1rsquo

Πχ 50 = 1 x0 = 1 (x2y3)0 = 1 και 00 = 1

Σημειώστε ότι 50 = 5(1minus1) = (51)(5minus1) =55 = 1

I Μηδέν σε οποιαδήποτε δύναμη είναι μηδέν έτσι 0n = 0

Σημειώστε ότι 00 = 1 και ότι 00 = 0

Αυτό υποδειλώνει ότι 00 είναι μια απροσδιόριστη μορφήπου σε κάποιες περπτώσεις παίρνει μία τιμή και σεκάποιες άλλες περιπτώσεις παίρνει διαφορετική τιμή

Ε Ι Κοντογιώργης copy 23

I Κλασματικοί (Αναλογικοί) Εκθέτες

1 Η τετραγωνική ρίζα μπορεί να γραφτεί σε μορφή κλάσματος

´Ετσι radicx= x12

Πχ 212 =

radic2 = 141 και 2

minus12 =

1radic2

= 071

2 Γενικά xab =bradicxa Πχ 7

23 =

3radic72 = 366

355 = 3112 =

2radic311 = 42089

Ε Ι Κοντογιώργης copy 24

ΛογάριθμοιI Η λογαριθμική μορφή ενός αριθμού είναι lsquoαντίθετηrsquo από

την εκθετική Τεχνικά μιλώντας η λογαριθμική μορφήείναι αντίστροφη της εκθετικής

I Η σχέση δίνεται logb(x) = y

που είναι το ίδιο με by = x

I Ο lsquolsquologb(x) = yrsquorsquo προφέρεται lsquolsquolog-βάση-b-του x ισούται yΕδώ b ονομάζεται lsquoβάση του λογαρίθμουrsquo αφού το b είναιη βάση της εκθετικής έκφρασης

I Η βάση b του λογάριθμου είναι πάντοτε θετική και δενισούται με 1

I Οτιδήποτε βρίσκεται μέσα στο λογάριθμο ονομάζεταιέκφραση

Ε Ι Κοντογιώργης copy 25

ΠαραδείγματαI Μετατρέψτε την έκφραση 63 = 216 στην ισοδύναμη

λογαριθμική μορφή

Για τη μετατροπή η βάση μένει η ίδια αλλά το 3 και το216 αλλάζουν θέσεις Αυτό μας δίνει

log6(216) = 3

I Μετατρέψτε τον log4(1024) = 5 στην αντίστοιχηλογαριθμική έκφραση

Για τη μετατροπή η βάση (που είναι 4) παραμένει η ίδιααλλά το 1024 και το 5 αλλάζουν θέσεις ´Ετσι δίνεται

45 = 1024

Ε Ι Κοντογιώργης copy 26

I Υπολογίστε τον log2(8)

Εάν y= log2(8) τότε υπονοείται ότι 2y = 8 Αυτόσημαίνει ότι y είναι η δύναμη του 2 που θα έχει σαναποτέλεσμα 8 Η δύναμη που δίνει το αποτέλεσμα είναι 3αφού 23 = 8 ´Ετσι

log2(8) = 3

I Κατά παρόμοιο τρόπο log5(25) = 2 αφού 52 = 25

I Υπολογίστε τον y= log64(4)

Σημειώστε ότι 64y = 4 και 43 = 64

´Ετσι (43)y

= 4 ή 43y = 41

Η πιο πάνω έκφραση εξυπονοεί ότι 3y= 1 και έτσιy= 13

Ε Ι Κοντογιώργης copy 27

I Υπολογίστε y= log6(6)

Αυτό ισοδυναμεί με το 6y = 6 και συνεπώς y= 1

I Υπολογίστε το y= log3(1)

Το πιο πάνω μπορεί να γραφτεί ως 3y = 1

´Ομως 1 = 30 έτσι 3y = 30 και y= 0

I Υπολογίστε το y= log4(minus16)

Μπορεί να γραφτεί σαν 4y =minus16

´Ομως δεν υπάρχει τιμή (πχ δύναμη) y που ναικανοποιεί τη σχέση ´Ετσι δεν υπάχρει λύση

Ε Ι Κοντογιώργης copy 28

I Υπολογίστε το y= log2(0)

Αυτό σημαίνει 2y = 0 όμως δε υπάρχει τιμή που ναικανοποιεί τη σχέση ´Ετσι δεν υπάχρει λύση

I Υπολογίστε το y= 2log2(9)

Αυτό σημαίνει ότι log2(y) = log2(9) και έτσι y= 9

Ε Ι Κοντογιώργης copy 29

I Γενικά1 logb(b) = 1 για οποιαδήποτε βάση b

2 logb(1) = 0 για οποιαδήποτε βάση b

3 logb(a) δεν ορίζεται για αρνητικά a

4 logb(0) δεν ορίζεται για οποιαδήποτε βάση b

5 logb(bn) = n για οποιαδήποτε βάση b

Ε Ι Κοντογιώργης copy 30

I Οι λογάριθμοι μπορούν να πάρουν οποιοδήποτε αριθμόσαν βάση αλλά δύο βάσεις είναι οι πιο χρήσιμες οlog-βάση-10 και ο log-βάση-e

I Η βάση-10 log συχνά ονομάζεται ο κοινός log καιγράφεται ως log(x) Εδώ δεν αναγράφεται βάση καιμπορούμε να υποθέσουμε ότι η βάση είναι 10

Πχ log(100) = 2 έτσι log10(102) = 2

I Η βάση-e log ονομάζεται ο φυσικός log και γράφεται σανln(x)Πχ ln(e345)= 345 καθώς loge(e345) = 345

Ε Ι Κοντογιώργης copy 31

Ιδιότητες Λογαρίθμωνlogb(xy) = logb(x) + logb(y)

Απόδειξη´Εστω m= logbx και n= logby

Γράψτε σε μορφή εκθέτη x= bm και y= bn

Πολλαπλασιάστε το x και y ούτως ώστεxy= bmbn = bm+n

´Ετσι από τον ορισμό των λογαρίθμων το xy= bm+nσυνεπάγει ότι

logb(xy) =m+n= logbx+ logb(y)

Πχ log2(4times16) = log2(64) = log2(26) = 6

Ακόμα log2(4times16) = log2(4) + log2(16) = 2+4 = 6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 32

logb(xy)

= logb(x)minus logb(y)

Απόδειξη´Εστω m= logbx και n= logby

Γράψτε σε μορφή εκθέτη x= bm και y= bn

∆ιαίρα το x και y ούτως ώστε xy =bmbn = bmminusn

´Ετσι από τον ορισμό των λογαρίθμων το xy = bmminusn

συνεπάγει ότι

logb(xy)

=mminusn= logbxminus logb(y)

Πχ log2(16

4)

= log2(4) = 2

και log2(16

4)

= log2(16)minus log2(4) = 4minus2 = 2Ε Ι Κοντογιώργης copy 33

logb(xn) = n logb(x)

Απόδειξη´Εστω m= logbx και γράψτε σε μορφή εκθέτη x= bm

Αυξάνοντας τις δύο πλευρές στην n δύναμη παίρνουμεxn = (bm)n = bmn

´Ετσι από τον ορισμό των λογαρίθμων τοlogbxn =mn= nm= n(logbx)

Πχ log2(64) = log2(26) = 6 log2(2) = 6

log(64) = 18

Επιπλέον log(64) = log(26) = 6log(2) = 6times030 = 18

Ε Ι Κοντογιώργης copy 34

logb(x) =loga(x)loga(b) agt0 a 6= 1

Απόδειξη´Εστω m= logbx rArr x= bm

Εφαρμόστε loga και στις δύο πλευρές του x= bmγια ναδώσει

logabm = logax rArr m logab= logaxrArr m=logaxlogab

rArr logbx=logaxlogab

Πχ log5(20) =log(20)

log(5)= 186 =

ln(20)

ln(5)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 35

logb(a) =1

loga(b) agt0 a 6= 1

Απόδειξη

logb(x) =loga(x)loga(b) =

logx(x)logx(b)

=1

loga(b)

´Οταν a= x

Πχ log2(64) =1

log64(2)=

116 = 6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 36

Αθροισμα

I Υποθέστε ότι έχουμε μια μεταβλητή x που μπορεί ναπάρει δέκα τιμές Εάν ενδιαφερόμαστε για το άθροισμάτους χωρίς να ξέρουμε την τιμή της κάθε μεταβλητής τότεο καλύτερος τρόπος να το εκφράσουμε είναι

x1 +x2 + middot middot middot+x9 +x10

I Εν συντομία το άθροισμα n στοιχείων x1 +x2 + middot middot middot+xn είναιnsum

i = 1xi

και ερμηνεύεται σαν το άθροισμα όλων των xirsquosξεκινώντας από το x1 (πχ i = 1) μέχρι xn (i = n)

I Εάν δε δοθεί διαφορετικά πάντοτε υποθέτουμε ότι το iαυξάνεται ξεκινώντας από το στάδιο 1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 37

I Το lsquolsquoSigmarsquorsquo Σ είναι γνωστό ως το άθροισμα (summation) ήσύμβολο σίγμα (sigma operator) και ο δείκτης i όνομάζεταιεικονική μεταβλητή

I Παραδείγματα

I

5sum

i = 1xi = x1 +x2 +x3 +x4 +x5

I

5sum

i = 1(y2

i ) = y21 +y22 +y23 +y24 +y25

Σημειώστε ότι η μόνη μεταβλητή που περιγράφεται απευθείαςκάτω από το σύμβολο Σ αυξάνεται κατά 1 κάθε φορά ενώ όλατα άλλα σύμβολα παραμένουν τα ίδια

I

4sum

r = 1(x3r ) = x31 +x32 +x33 +x34

Ε Ι Κοντογιώργης copy 38

I6sum

i = 1i = 1+2+3+4+5+6

I6sum

i = 1i2 = 12 +22 +32 +42 +52 +62

I7sum

i = 3xi = x3 +x4 +x5 +x6 +x7

I4sum

i = 1a = a+a+a+a= 4a

I3sum

i = 1(4+xi) = (4+x1) + (4+x2) + (4+x3)

=3sum

i = 14+

3sum

i = 1xi

Ε Ι Κοντογιώργης copy 39

I3sum

i = 1(2xi) = (2x1) + (2x2) + (2x3) = 2times

3sum

i = 1xi

I Ο συντελεστής i παραλείπεται εάν δε προκαλείαοριστία Για παράδειγμα Σx ή Σixi σημαίνειάθροισμα όλων των x που λαμβάνονται υπόψη

I ∆ήλωσηI

nsumi=1a= na

I sumiaxi = asum

ixi

I sumi

(axi+byi) = asumixi +bsum

iyi

Ε Ι Κοντογιώργης copy 40

I Αθροιστικός Τύπος

Insum

i = 1i = 1+2+ middot middot middot+n=

n(n+1)

2

Πχ6sumi = 1i = 1+2+3+4+5+6 =

6(6+1)

2 = 21

Insum

i = 1i2 = 12 +22 + middot middot middot+n2 =

n(n+1)(2n+1)

6

Πχ6sumi = 1i2 = 12 +22 +32 +42 +52 +62

=6(6+1)(12+1)

6 = 91

Ε Ι Κοντογιώργης copy 41

Insum

i = 1i3 = 13 +23 + middot middot middot+n3 =

n2(n+1)2

4

Πχ6sumi = 1i3 = 13 +23 +33 +43 +53 +63

=62(6+1)2

4 = 441

Ε Ι Κοντογιώργης copy 42

ΠαραδήγματαΑριθμητική Πρόοδος

I Γενικά μπορούμε να εκφράσουμε μια αριθμητική πρόοδο ωςεξής

αριθμητική πρόοδος a a+d a+2d a+3d

όπου ο πρώτος όρος είναι a και η διαφορά d Ο όρος nτης απ δίνεται από τη σχέση b = a+ (nminus1)d

I 3 5 7 9 11 είναι μια αριθμητική πρόοδος Οπρώτος όρος είναι το 3 και η διαφορά είναι 2

I 2 minus1 minus4 minus7 είναι μια αριθμητική πρόοδος όπου οπρώτος όρος είναι 2 και η διαφορά minus3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 43

I Το άθροισμα των όρων μιας αριθμητικής προόδου είναιγνωστό ως αριθμητική σειρά

Sn = a+ (a+d) + (a+2d) + middot middot middot+ (a+ (nminus1)d)

=nsumi=1

(a+ (iminus1)d

)= na+

nsumi=1

(iminus1)d

= na+dnminus1sumi=1

i = na+d(nminus1)n2

=n2(2a+d(nminus1)) =

n2(a+b) b = a+d(nminus1)

I ΑΠ 3 5 7 9 11 13 rArr Sn =62(3+13) = 48

Ε Ι Κοντογιώργης copy 44

∆ιπλό Αθροισμα4sumi=1

isumj=1

j = (1) + (1+2) + (1+2+3) + (1+2+3+4) = 20

nsumi=1

isumj=1

j =nsumi=1

( isumj=1

j)

nsumi=1

(12 i(i+1)

)=

12

nsumi=1

(i2 + i)

12( nsumi=1

i2 +nsumi=1

i)

=12(16n(n+1)(2n+1) +

12n(n+1)

)

=12

16n(n+1)

((2n+1) +3

)=

n6(n+1)(n+2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 45

∆ιπλό Αθροισμα

nsumi=1

msumj=1

(i+ j+2) =nsumi=1

( msumj=1

(i+ j+2))

nsumi=1

( msumj=1

i+msumj=1

j+msumj=1

2)

=nsumi=1

(mi+ 1

2m(m+1) +2m)

m( nsumi=1

i+ 12

nsumi=1

(m+5))

= m(12n(n+1) +

12n(m+5)

)

=mn2(m+n+6

)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 46

Insumr=1

1r(r+1)

=nsumr=1

(Ar +

Br+1

)=

nsumr=1

A(r+1) +Brr(r+1)

I A(r+1) +Br = 1

I Για r = 0 τότε A= 1 και για r =minus1 τότε B=minus1

I

nsumr=1

1r(r+1)

=nsumr=1

(1r minus

1r+1

)

=(

(11 minus

12) + (

12 minus

13) + (

13 minus

14) + middot middot middot+ (

1nminus1 minus

1n ) + (

1n minus

1n+1)

)

= 1minus 1n+1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 47

Insumk=1

1(k+2)(k+3)

=nsumk=1

( A(k+2)

+B

(k+3)

)=

nsumk=1

A(k+3) +B(k+2)

(k+2)(k+3)

I A(k+3) +B(k+2) = 1

I Για k=minus2 τότε A= 1 και για k=minus3 τότε B=minus1

I

nsumk=1

1(k+2)(k+3)

=nsumk=1

( 1(k+2)

minus 1(k+3)

)

=(

(13 minus

14)+(

14 minus

15)+(

15 minus

16)+ +(

1n+1 minus

1n+2)+(

1n+2 minus

1n+3)

)

=13 minus

1n+3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 48

Αθροισμα με Λογάριθμους

nsumi=1

logb(i) = logb(1) + logb(2) + middot middot middot+ logb(n)

= logb(1times2times3timesmiddotmiddot middottimesn)

= logb(n)

I Το n (n παραγοντικό) δίνεται από n = 1times2timesmiddotmiddot middottimesn και0 = 1

I100sumi=1

log2(100) = log2(100) =log(100)

log(2)=

log(99)

log(2)+

2log(2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 49

Γινόμενο των ακολουθιώνIn

prodi=1xi = x1timesx2timesx3timesmiddotmiddot middottimesxn

In

prodi=1i = 1times2times3timesmiddotmiddot middottimesn= n

In

prodi=1z= ztimesztimesmiddotmiddot middottimesz= zn

I

nprodi=1

(1+

1i+1

)=(1+

12)times(1+

13)times(1+

14)times times(1+

1n )times(1+

1n+1)

=32 times

43 times

54 timesmiddotmiddot middottimes

n+1n times n+2

n+1

=n+22

Ε Ι Κοντογιώργης copy 50

Γεωμετρικές ΠροόδοιI Μια γεωμετρική πρόοδος είναι μια σειρά αριθμών όπου

κάθε όρος μετά των πρώτο υπολογίζεται από τονπολλαπλασιασμό του προηγούμενου όρου με ένασταθερό αριθμό που καλείται αναλογία

I Η σειρά1 3 9 27 81 middot middot middot

είναι μια γεωμετρική πρόοδος με πρώτο όρο το 1 καιαναλογία 3

I Η αναλογία μπορεί να είναι κλάσμα καθώς επίσης καιαρνητικός αριθμός Για παράδειγμα η γεωμετρικήπρόοδος με πρώτο όρο το 2 και αναλογία minus13 είναι

2 minus 23 +

29 minus

227 +

281 middot middot middot

Ε Ι Κοντογιώργης copy 51

I Γενικά μπορούμε να γράψουμε μια γεωμετρική πρόοδο ωςακολούθως

γεωμετρική πρόοδος a ar ar2 ar3 ar4 middot middot middot

όπου ο πρώτος όρος είναι a και η αναλογία r

I Σημαντικά θεωρήματα των γεωμετρικών προόδων (γπ)1 Ο n όρος μιας γπ δίνεται από ar(nminus1)

2 Το άθροισμα των πρώτων n όρων μιας γπ είναι

Sn =a(1minus rn)

1minus r =a(rnminus1)

rminus1 και ισχύει μόνο αν r 6= 1

I Το άθροισμα των όρων μιας γεωμετρικής προόδουονομάζεται γεωμετρική σειρά

Ε Ι Κοντογιώργης copy 52

Γεωμετρική σειρά

Sn = a+ar+ar2 +ar3 + middot middot middot+arnminus2 +arnminus1

rSn = ar+ar2 +ar3 + arnminus1 +arn

Snminus rSn = aminusarn

(1minus r)Sn = a(1minus rn)

Sn =a(1minus rn)

(1minus r) =a(rnminus1)

(rminus1)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 53

I Παράδειγμα1 Βρείτε το άθροισμα των πρώτων 10 όρων μιας γεωμετρικής

σειράς4 8 16 32

Ο πρώτος όρος είναι a= 4 και η αναλογία r = 2 καιn= 10 ´Ετσι

S10 =4(1minus210)

1minus2 = 4092

2 Θεωρείστε τη γπ4 minus8 16 minus32 64 minus128 256 minus512

Σε αυτή την περίπτωση ο πρώτος όρος είναι a= 4 ηαναλογία είναι r =minus2 και n= 8´Ετσι

S8 =4(1minus (minus2)8)

1minus (minus2)=minus340

Ε Ι Κοντογιώργης copy 54

Συνεχείς ανατοκισμός

Οι περισσότεροι τραπεζικοί λογαριασμοί και τα δάνειαυιοθετούν ανατοκισμό - εφαρμόζοντας συνεχή ανατοκισμόΘεωρείστε ένα λογαριασμό που προσφέρει τόκο με ετήσιοεπιτόκιο r (πχ 7) Εάν το επιτόκιο είναι συνεχέςσε χρονιαία βάση τότε μετά από 1 χρόνο το χρονιαίοεπιτόκιο προστίθεται στο αρχικό κεφάλαιο για νακαθορίσει ένα μεγαλύτερο κεφάλαιο τον δεύτερο χρόνο

´Ετσι κατά τη διάρκεια του δεύτερου χρόνου ολογαριασμός κερδίζει επιτόκιο πάνω στο επιτόκιοΑυτή είναι η επίδραση του ανατοκισμού που συνεχίζεταιχρόνο με το χρόνο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 55

I Με τον ετήσιο ανατοκισμό το κεφάλαιο πουσυσσωρεύεται στο λογαριασμό πολλαπλασιάζεται με

(1+ r)

´Ετσι το κεφάλαιο A θα αυξηθεί σε

A(1+ r) = A+A middot r

τον επόμενο χρόνο

I Με το πέρας και του δεύτερου χρόνου το κεφάλαιο θααυξηθεί ακόμα (1+ r) σε (1+ r)2

´Ετσι το κεφάλαιο καταλήγει σε

A(1+ r)(1+ r) = A(1+ r)2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 56

I Κατά παρόμοιο τρόπο στο τέλος του τρίτου χρόνου τοποσό θα αυξηθεί κατά (1+ r)3

I Μετά από n χρόνια το ποσό θα αυξηθεί κατά (1+ r)n

I ´Ετσι το κεφάλαιο (επένδυση) A θα αυξηθεί με συνεχήανατοκισμό σε A(1+ r)n μετά από n χρόνια

I Ο τύπος (1+ r)n εκθέτει γεωμετρική αύξηση λόγω τηςn δύναμης

Ε Ι Κοντογιώργης copy 57

ΠαραδείγματαI Εάν το επιτόκιο είναι r = 5 τότε το κεφάλαιοA= $1000 που βρίσκεται στην τράπεζα n= 20 χρόνιαθα αυξηθεί κατά

(1+ r)n = (1+005)20 = 2653 φορές

´Ετσι το ποσό θα καταλήξειA(1+ r)n = $265330

I Βρέστε το χρόνο που χρειάζεται για ένα λογαργιασμό ναδιπλασιάσει το διαθέσιμο κεφάλαιο του όταν r = 7 καιr = 10Ζητούμε να βρούμε το n έτσι ώστε

(1+ r)n = 2Ε Ι Κοντογιώργης copy 58

I Υπολογίζοντας το λογάριθμο του τελευταίου παίρνουμε

log(1+ r)n = log(2)ή n log(1+ r) = log(2)

´Ετσιn=

log2log(1+ r)

I Για r = 7 και r = 10 ο χρόνος n πουχρειάζεται για διπλασιασμό της επένδυσης υπολογίζεταισε 1024 και 727 αντίστοιχα

Ε Ι Κοντογιώργης copy 59

I Αν το επιτόκιο είναι r = 7 τότε πιο θα είναι τοσυνολικό ποσό στο λογαριασμό μετά από 205 και41 χρόνια αντίστοιχα

Μετά τα πρώτα 1025 χρόνια το ποσό A θαδιπλασιαστεί σε 2A Για τα επόμενα 1025 χρόνιατο ποσό θα ξαναδιπλασιαστεί σε 4A ´Ετσι μετά από205 χρόνια το ποσό θα αυξηθεί κατά 4 φορές

Με το πέρας ακόμα 205 χρόνων το ποσό θα αυξηθείακόμα 4 φορές σε 16 ´Ετσι μετά από 41 χρόνιατο κεφάλαιο A γίνεται 16A

Ε Ι Κοντογιώργης copy 60

Ασκήσεις και Παραδείγματα

I Υπολογίστε τη Μελλοντική Αξία (Future Value (FV)) τουκεφαλαίου A= 1500 που κερδίζει ετήσιο επιτόκιοr = 5 για n= 10 έτη

FV =A(1+ r)n = 1500(1+005)10 = 244334

I Πόσα έτη απαιτούνται για να τριπλασιαστεί ένα ποσόπου αφήνετε στην τράπεζα με επιτόκιο r = 5∆ηλαδή βρείτε το n όπου A= 1 r = 5 και FV = 3

FV =A(1+ r)n ή (1+ r)n =FVA

Ε Ι Κοντογιώργης copy 61

Υπολογίζοντας τους λογαρίθμους παίρνουμε

log(1+ r)n = log(FVA)

ή n log(1+ r) = log(FVA)

´Ετσι

n=log(FVA)

log(1+ r) =log(3)

log(105)

= 2252

Ε Ι Κοντογιώργης copy 62

I Βρείτε την παρούσα αξία A έτσι ώστε σε δέκα έτη μεσταθερό επιτόκιο r = 6 να είναι 100KΒρείτε το A όπου FV = 100000 r = 6 και n= 10

FV =A(1+ r)n ή A=FV

(1+ r)n

´Ετσι A=100000

(106)10= 5583948

I Βρείτε την ετησιοποιημένη απόδοση (AER AnnualEquivalent Rate) μιας μηνιαίας κατάθεσης με σταθερόεπιτοκίο 394 Μια τέτοια κατάθεση λαμβάνει το επιτόκιο στη λήξηΣυνεπώς κάθε μήνα ο λογαριασμός λαμβάνει

r = 0039412 = 000328

επιτόκιο που επανεπενδύεται (συνεχής ανατοκισμός)Ε Ι Κοντογιώργης copy 63

Επανεπενδύοντας το επιτόκιο κάθε μήνα στη διάρκειαενός έτους το κεφάλαιο θα αυξηθεί σε

(1+ r)12 = (1+000328)12 = 104012

´Ετσι το ΑΕΡ είναι ισοδύναμο με 004012 = 4012I Υπολογίστε το επιτόκιο ενός σταθερού λογαριασμού

κατάθεσης 7-ημερών που έχει AER επιτόκιο r = 425Θεωρείστε ρ το εβδομαδιαίο επιτόκιο

´Ετσι (1+ρ)52 = (1+00425)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 64

Παίρνοντας τους λογαρίθμους έχουμε52log(1+ρ) = log10425

ή log(1+ρ) =log10425

52

ή 1+ρ= 10( log10425

52)

Αυτό μας δίνει

ρ= 10

( log1042552

)minus1 = 008

´Ετσι το συνεχές επιτόκιο μιας επταήμερης κατάθεσης είναιρtimes52 = 41638

Εναλλακτικά (1+ρ)52 = (1+00425) δίνει

(1+ρ) =52radic10425ή ρ=

52radic10425minus = 008Ε Ι Κοντογιώργης copy 65

I Υπολογίστε την ετήσια απόδοση r έτσι ώστε A= 10000να επιστρέφει FV = 35000 σε n= 20 χρόνια

FV =A(1+ r)n ή (1+ r)n =FVA

´Ετσι

1+ r =nradic

FVA

Επομένως

r =nradic

FVA minus1 =

20radic

3500010000 minus1 = 00646 = 646

Ε Ι Κοντογιώργης copy 66

Εναλλακτικά παίρνοντας τους λογαρίθμους

log(1+ r)n = log(FVA) ή n log(1+ r) = log

(FVA)

´Ετσι

1+ r = 10(1n log

(FVA))

ή r = 10(1n log

(FVA))minus1

= 10( 120 log

(3500010000

))minus1

= 646

Ε Ι Κοντογιώργης copy 67

Γραφική Αναπαράσταση I

I Υποθέστε ότι έχουμε y= 3x+2 Καθώς έχουμε μόνο μιαδύναμη για το x πρέπει να λύσουμε γραμμική εξίσωσηκαι να σχεδιάσουμε μια ευθεία γραμμή Αρχικά θα πρέπεινα σχεδιάσουμε ένα T-chart Αυτό έχει τη μορφή

x y = 3x+2 (xy)

I Επιλέγουμε μια τιμή για το x και λύνουμε ως προς y

x y= 3x+2 (xy)minus2 minus4 (minus2minus4)0 2 (02)2 8 (28)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 68

Γραφική Αναπαράσταση II

-

6

X

Y

bull

bull

bull

I Βλέπουμε μια ευθεία με ανοδική τάση (έχοντας θετικήκλίση m= 3) καιτέμνει τον άξονα y στο σημείο y= 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 69

Γραφική Αναπαράσταση III

I Μια Τετραγωνική εξίσωση περιέχει x2 Για τηναναπαράσταση τετραγωνικών εξισώσεων χρειάζεται ναβρούμε περισσότερα από τρία σημεία στο σχεδιάγραμμα

Για παράδειγμα υποθέστε ότι y= x2minus6x+5 καιδίνεται το πιο κάτω T-chart

x y= x2minus6x+5 (xy)0 5 (05)1 0 (10)3 minus4 (3minus4)5 0 (50)6 5 (65)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 70

Γραφική Αναπαράσταση IV

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

-

6

X

Y

bull

bull

bull

bull

bull

Ε Ι Κοντογιώργης copy 71

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(1x + 2)

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(-3x + 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 72

-15

-10

-5

0

5

10

15

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(3x - 2)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 73

-20

0

20

40

60

80

100

120

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2+x)

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 74

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

1250

1500

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3+x2+x)

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x4)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 75

-25

-2

-15

-1

-05

0

05

1

15

2

25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(log(x))

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(x))

Ε Ι Κοντογιώργης copy 76

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(-x))

-5000

0

5000

10000

15000

20000

25000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(exp(x)+x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 77

Ανισότητες I

I Οι ανισότητες αποτελούνται από δύο ή τρεις αλγεβρικέςεκφράσεις που είναι συνδεδεμένες με τα σύμβολαανισότητας Τα σύμβολα αυτά είναι

lt μικρότερο τουgt μεγαλύτερο τουle μικρότερο ή ίσο τουge μεγαλύτερο ή ίσο του

I Παραδείγματα xgty yge x2 και ylt5x+1

I Το πρώτο βήμα για την αναπαράσταση ανισότητας τηςμορφής ygtx είναι να παραστήσουμε γραφικά τηνισότητα y= x

Ε Ι Κοντογιώργης copy 78

Ανισότητες II

I ygtx

Κάνετε δοκιμή με ένα σημείο να δείτε κατά πόσοικανοποιεί την ανισότητα Εάν ναι τότε σκιάστε τηνπεριοχή αυτή του σχεδιαγράμματος διαφορετικά σκιάστετην άλλη πλευρά

Ε Ι Κοντογιώργης copy 79

Ανισότητες III

I yltx

Ε Ι Κοντογιώργης copy 80

Ανισότητες IV

I yle 5x+1 και ygt5x+1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 81

Ανισότητες V

I yge x2 και yle x2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 82

Ανισότητες VI

I ygtx3 και yle x3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 83

Συστήματα Γραμμικών ΕξισώσεωνΠεριεχόμενα

1 Ε

2 Γ Α

ΑναφορέςΚεφάλαια 4 και 5FS Budnick Applied Mathematics for Business Economicsand the Social Sciences 4th edition McGraw-Hill 1993

Ε Ι Κοντογιώργης copy 84

Συστήματα Εξισώσεων

I ´Ενα σύστημα εξισώσεων συνδυάζει περισσότερες από μίαεξισώσεις

I ´Ενα σύστημα m εξισώσεων όπου κάθε εξίσωσηαποτελείται από n μεταβλητές ονομάζεται mtimesnσύστημα ή λέμε ότι έχει διαστάσεις mtimesn

I ΠαράδειγμαΠαρακάτω έχουμε ένα σύστημα 2times2

5X+10Y= 203X+4Y= 10

Οι μεταβλητές σε αυτή την περίπτωση είναι X και YΕ Ι Κοντογιώργης copy 85

Συστήματα Επίλυσης

I Το Σύστημα επίλυσης είναι μια σειρά τιμών μεταβλητώνπου ικανοποιούν το σύστημα ταυτόχρονα

I Σε μια σημειογραφική παράσταση το προηγούμενοπαράδειγμα μπορεί να γραφτεί ως εξής

S = (XY) | 5X+10Y = 20 και 3X+4Y = 10

I Το σύστημα επίλυσης μπορεί να είναι1 μηδενικό2 πεπερασμένο ή3 άπειρο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 86

2times2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική Ανάλυση

I Σε ένα δισδιάστατο γράφημα ένα σύστημα εξισώσεων2times2 αναπαρίστανται με ευθείες γραμμές Υπόρχουν τρίαενδεχόμενα

1 Οι ευθείες τέμνονται Το σημείο τομής αντιπροσωπεύει τηλύση του συστήματος εξισώσεων Αυτό το σημείοαλληλεπίδρασης είναι μια δέσμη τιμών X και Y που ικανοποιείκαι τις δύο εξισώσειςΕάν υπάρχει μόνο μια δέσμη τιμών για τις μεταβλητές που ναικανοποιεί το σύστημα εξισώσεων το σύστημα λέμε ότι έχειΜ Λ

2 Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες μεταξύ τους ∆εν έχουν κοινόσημείο Συνεπώς οι ευθείες δεν τέμνονται ποτέ Το σύστημαλέμε ότι ∆ ΛΑυτό υπονοεί ότι δεν υπάρχουν τιμές για τις μεταβλητές πουνα ικανοποιούν και τις δύο εξισώσεις Σε αυτή τηνπερίπτωση οι εξισώσεις στο σύστημα είναι Α

3 Και οι δύο εξισώσεις αναπαρίστανται ως μια κοινή ευθεία καιθεωρούνται ισοδύναμες εξισώσεις ´Ετσι το σύστημα έχειΑ Λ Αυτό συμβαίνει γιατί υπάρχει άπειροςαριθμός κοινών σημείων στις δύο γραμμές

Ε Ι Κοντογιώργης copy 87

I Π Θεωρείστε ένα σύστημα 2times22X+4Y= 203X+ Y= 10

I

X

Y

(24)

3X +Y = 10

2X +4Y = 20

0 2 4 6 8 10 12

2

4

6

8

10

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 88

I Το σημείο τομής δίνεται από το X= 2 και Y= 4Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές του X και Y στις δύοεξισώσεις δίνουν 20 = 20 και 10 = 10 αντίστοιχα

I Αυτό υποδειλώνει ότι X= 2 και Y= 4 είναι η σωστή λύση

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times23Xminus2Y= 6

minus15X+10Y=minus30

I

X

Y

(20)

(0minus3)

3X minus2Y = 6

minus15X +10Y =minus30

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 89

I Οι δύο εξισώσεις απλοποιούνται σε Xminus 23 Y= 2

Οι δύο εξισώσεις είναι ισοδύναμες και δίνουν έναπεπερασμένο αριθμό λύσεων έτσι ώστε

X= 0 Y =minus3X= 2 Y = 0X= 4 Y = 3

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times26Xminus12Y= 24

minus32X+3Y= 9

Οι εξισώσεις απλοποιούνται σεXminus2Y= 4Xminus2Y=minus6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 90

I

X

Y

(40)

(0minus2)

(minus60)

(03)

X minus2Y =minus6

X minus2Y = 4

0-0

I Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες και συνεπώς το σύστημαδεν έχει λύση ´Ετσι το σύστημα εξισώσεων είναιασύμπτωτο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 91

Περίληψη 2times2 Συστήματα Εξισώσεων∆ίνεται ένα Σύστημα Γραμμικών Εξισώσεων 2times2

Y=m1X+ c1Y=m2X+ c2

1 Υπάρχει μια στο σύστημα εάνm1 6= m2

2 ∆εν υπάρχει στο σύστημα εάνm1 = m2 και c1 6= c2

3 Υπάρχει εάνm1 = m2 και c1 = c2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 92

∆ιαδικασίες Απαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής χρησιμοποιεί πολλαπλασιασμόκαι πρόσθεση έτσι ώστε

1 Να απαλοιφεί μια από τις δύο μεταβλητές

2 Η εξίσωση που εξάγεται είναι συνάρτηση των υπόλοιπωνμεταβλητών

3 Αντικαθιστώντας την τιμή στην μεταβλητή σε μια από τιςαρχικές εξισώσεις βρίσκουμε την τιμή για τηναπολοιφθήσα μεταβλητή

Ε Ι Κοντογιώργης copy 93

ΠαραδείγματαI Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

2X +4Y = 20 (1)3X + Y = 10 (2)

Πολλαπλασιάζοντας τη δεύτερη εξίσωση με minus4 παίρνουμε

minus12X minus4Y =minus40 (3)

Προσθέτοντας την εξίσωση (1) στο (3)

2X + 4Y = 20minus12X minus 4Y = minus40minus10X = minus20

ή

X = 2 (4)Ε Ι Κοντογιώργης copy 94

Αντικαθιστώντας X= 2 στην εξίσωση (1) δίνεται2 middot2+4Y = 20 ή Y=4

´Ετσι η μοναδική λύση του συστήματος δίνεται από τοX= 2 και Y= 4 Μπορεί να επιβεβαιωθεί ότι αυτή είναι ησωστή λύση αντικαθιστώντας X= 2 και Y= 4 στηνεξίσωση (1) και (2)

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times23X minus2Y = 6 (5)

minus15X +10Y =minus30 (6)

Για την απαλοιφή της μεταβλητής X η εξίσωση (5)πολλαπλασιάζεται με 5 και το αποτέλεσμα προστίθεταιστην εξίσωση (6)

15X minus 10Y = 30minus15X + 10Y = minus30

0 = 0 Ε Ι Κοντογιώργης copy 95

Οι τελευταίες πράξεις υπονοούν ότι οι εξίσωσεις (5) και(6) είναι ισοδύναμες και έτσι υπάρχει άπειρος αριθμόςλύσεωνΓια να προσδιορίσουμε τις λύσεις του συστήματος μια απότις αρχικές εξισώσεις λύνεται ως προς μια μεταβλητή Ανγια παράδειγμα η εξίσωση (5) λύνεται ως προς Y δίνει

Y =32Xminus3

Σαν αποτέλεσμα γενικεύοντας τις λύσεις του συστήματοςέχουμε

X τυχαίο και Y =32Xminus3

Πχ για X= 4 υπονοείται ότι Y=32 middot4minus3 = 3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 96

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

6X minus12Y = 24 (7)

minus32X +3Y = 9 (8)

Πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση (8) με 4 καιπροσθέτοντας το αποτέλεσμα στην εξίσωση (7)παίρνουμε

6X minus 12Y = 24minus6X + 12Y = 36

0 = 60

Η πιο πάνω αντιλογία υπονοεί ότι δεν υπάρχει λύση τουσυστήματος εξισώσεων

Ε Ι Κοντογιώργης copy 97

3times2 Συστήματα Εξισώσεων I

1 Μ Λ

X

Y

(32)

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minusY = 1

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 98

3times2 Συστήματα Εξισώσεων II

2 Α Λ

X

Y Εξις (1)Εξις (2)Εξις (3)

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 99

3times2 Συστήματα Εξισώσεων III3 Κ

(α) ´Οταν και οι τρεις εξισώσεις είναι παράλληλες

X

Y

2X minusY =minus8

2X minusY = 2

2X minusY = 12

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 100

3times2 Συστήματα Εξισώσεων IV(β) ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ τωνεξισώσεων

X

Y

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minus2Y =minus4

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 101

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική ΑνάλυσηΣε ένα γράφημα 2 διαστάσεων ένα σύστημα mtimes2(mgt2) εξισώσεων παριστάνεται με m ευθείες ´Οπωςσυμβαίνει στα συστήματα 2times2 υπάρχουν τρίαενδεχόμενα

1 ´Ολες οι ευθείες τέμνονται στο ίδιο σημείο και έτσιυπάρχει

2 ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ των mεξισώσεων Αυτό σημαίνει ότι όλες οι ευθείες είναιπαράλληλες Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα Λ

3 Οι m εξισώσεις είναι ισοδύναμες πχ παρασταίνονται σανμια ευθεία Σε αυτή την περίπτωση υπάρχει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 102

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων ∆ιαδικασίαΑπαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής για την επίλυση ενός συστήματοςmtimes2 μπορεί να περιγραφεί ως ακολούθωςΕπιλέξτε και λύστε σύστημα με δύο εξισώσεις

1 Εάν δεν υπάρχει λύση τότε ολόκληρο το σύστημα δεν έχειλύση

2 Εάν υπάρχει μοναδική λύση που ικανοποιεί τις υπόλοιπεςmminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα έχει μία μοναδική λύση

3 Εάν η λύση είναι μοναδική αλλά δεν ικανοποιεί τιςυπόλοιπες mminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα δεν έχει λύση

4 Εάν οι 2 λύσεις είναι ισοδύναμες απάλοιψτε τη μίααπό τις δύο εξισώσεις και ξεκινήστε από την αρχήλαμβάνοντας υπόψη ένα σύστημα (mminus1)times2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 103

ΠαράδείγμαI Θεωρείστε ένα σύστημα 5times2

XminusY= 1X+2Y=minus8

3Xminus2Y= 02Xminus5Y= 11minus4X+3Y=minus1

I Η λύση των πρώτων δύο εξισώσεων δίνετε απόY =minus3 και X =minus2

I Αντικαθιστώντας τη λύση στις υπόλοιπες τρεις εξισώσειςπαίρνετε αντίστοιχα

0 = 0 11 = 11 και minus1 =minus1I Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση

X=minus2 και Y=minus3Ε Ι Κοντογιώργης copy 104

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian

Η μέθοδος απολοιφής Gaussian μετατρέπει το αρχικόσύστημα εξισώσεων σε διαγώνια μορφή επαναλαμβάνονταςστις εξισώσεις τις ακόλουθες τρεις διαδικασίες

1 Πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης μεμια θετική σταθερά

2 Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού θα προστεθεί σεάλλη εξίσωση

3 Η σειρά των εξισώσεων μπορεί να αλλάξει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 105

ΠαράδείγμαΠ Θεωρείστε το σύστημα 2times2

2X minus 3Y = 7 (Εξ 1)X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με 12 για να πάρετε

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με minus1 καιπροσθέστε την στην (Εξ 2)

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

52Y =

152 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 106

Στάδιο 3 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 25

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

Y = 3 (Εξ 2)

Στάδιο 4 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 32 και

προσθέστε την στην (Εξ 1)

X = 1 (Εξ 1)Y = 3 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 107

Π Θεωρείστε το σύστημα 2times2

5X + 20Y = 254X minus 7Y =minus26

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να εκφραστεί ως

R1 5 20 25R2 4 minus7 minus26

Η κάθετη γραμμή χρησιμοποιείται για διαχωρισμό τηςαριστερής από τη δεξιά πλευρά των εξισώσεων Το Riυπονοεί τη γραμμή (Row) i

Ε Ι Κοντογιώργης copy 108

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάζουμε τη R1 με 15 και το θέτουμε

R1larr 15R1

R1 1 4 5R2 4 minus7 minus26

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάζουμε την R1 με minus4 και τηνπροσθέτουμε στην R2 Εν συντομίαR2larrminus4R1+R2

R1 1 4 5R2 0 minus23 minus46

Στάδιο 3 R2larrminus 123R2

R1 1 4 5R2 0 1 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 109

Στάδιο 4 R1larrminus4R2+R1

R1 1 0 minus3R2 0 1 2

Το αρχικό σύστημα εξισώσεων μετατρέπεται σε διαγώνιαμορφή όπως πιο κάτω

X =minus3Y = 2

το οποίο δίνει τη λύση του συστήματος

Ε Ι Κοντογιώργης copy 110

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 I

Το σύστημα εξισώσεων 3times3 μετετρέπεται σε διαγώνιαμορφή Η μετατροπή γίνεται στήλη με στήλη από τααριστερά προς τα δεξιά

Π Θεωρήστε το σύστημα 3times3

X1 + X2 + X3 = 2X1 minus 3X2 + 2X3 = 7

4X1 minus 2X2 minus X3 = 9

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να γραφτεί ως

Ε Ι Κοντογιώργης copy 111

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 II

1 1 1 21 minus3 2 74 minus2 minus1 9

Ε Ι Κοντογιώργης copy 112

Σταθερές

I ´Ενας αριθμός που αντιπροσωπεύει μια ποσότητα πουθεωρείται ότι έχει σταθερή τιμή ονομάζεται lsquoσταθεράrsquo Ητιμή μιας σταθεράς ενώ δε μεταβάλλεται πιθανό να μηνπροσδιορίζεται

I Οι πιο σημαντικές πραγματικές σταθερές είναι

1 Το π= 314159 Είναι ο δείκτης που υποδειλώνει τηνπεριφέρεια του κύκλου ακτίνια Ονομάζεται και σταθερά τουΑρχιμήδη

2 Το exp = 271828 που υποδειλώνει τη βάση του φυσικούλογάριθμου

Ε Ι Κοντογιώργης copy 18

Σύμβολα Κατεύθυνσης

I Το σύμβολο lsquogtrsquo που σημαίνει lsquoμεγαλύτεροrsquo καθώς και τοlsquogersquo που σημαίνει lsquoμεγαλύτερο ή ίσοrsquo

I Το σύμβολο lsquoltrsquo που σημαίνει lsquoμικρότεροrsquo καθώς και το lsquolersquoπου σημαίνει lsquoμικρότερο ή ίσοrsquo

I Παράδειγμα Οι μεταβλητές που συμβολίζουν τουςμηνιαίους μισθούς xge 0 Οι μεταβλητές που συμβολίζουντους μήνες του χρόνου 0ltMlt13 που μπορούν επίσης ναγραφτούν 1leMle 12

Ε Ι Κοντογιώργης copy 19

∆υνάμειςI Οι εκθέτες αποτελούν συντομογραφία του

πολλαπλασιασμού (5)(5) = 52 και (5)(5)(5) = 53 Εδώτο 5 λέγεται βάση και το 3 λέγεται εκθέτης Μπορείεπίσης να ερμηνευτεί πέντε υψωμένο στην τρίτη δύναμη

I Η δύναμη είναι ο εκθέτης στον οποίο υψώνεται μιαποσότητα Η έκφραση xn είναι γνωστή ως x στη nδύναμη

I Σημειώστε ότι 5253 = (55)(555) = 55 = 5(2+3) Εδώπαρουσιάζεται ένας βασικός κανόνας του εκθέτη Στηπερίπωση που πολλαπλασιάζονται δύο όροι που έχουντην ίδια βάση οι εκθέτες τους μπορούν να προστεθούν

xmxn = x(m+n)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 20

I Στην περίπτωση όμως που (x4)(y3) ο πιο πάνω κανόναςδε μπορεί να εφαρμοστεί γιατί οι βάσεις είναιδιαφορετικές (x4)(y3) = xxxxyyy

I Για (x2)4

= x2x2x2x2 = xxxxxxxx= x8 = x(2times4)

I ´Ετσι στην περίπτωση που έχετε μια εκθετική έκφρασηπου είναι υψωμένη σε μία δύναμη μπορείτε ναπολλαπλασιάσετε τον εκθέτη με τη δύναμη

(xm)n

= xmn

Ε Ι Κοντογιώργης copy 21

I Εάν έχετε μια έκφραση μέσα σε παράνθεση και ηπαράνθεση είναι υψωμένη σε μια δύναμη τότε η δύναμημπορεί να γίνει μέρος τις παράνθεσης Για παράδειγμα

(xy2)3 = (xy2)(xy2)(xy2) = (xxx)(y2y2y2)

= (xxx)(yyyyyy) = x3y6 = (x)3(y2)3 = x3y6

Παρομοίως(xy)2

=x2y2

I ´Ενας αρνητικός εκθέτης είναι ένδειξη ότι η βάση βρίσκεταιστον παρονομαστή του κλάσματος Πχ

xminus2 =1x2

x2xminus3 = x2x3 = x5 2xminus1 =

2x

(3x)minus2 =1

(3x)2 =1

9x2 και(xminus2yminus3

)minus2=

(xminus2)minus2

(yminus3)minus2=x4y6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 22

I Οτιδήποτε στη δύναμη μηδέν είναι lsquo1rsquo

Πχ 50 = 1 x0 = 1 (x2y3)0 = 1 και 00 = 1

Σημειώστε ότι 50 = 5(1minus1) = (51)(5minus1) =55 = 1

I Μηδέν σε οποιαδήποτε δύναμη είναι μηδέν έτσι 0n = 0

Σημειώστε ότι 00 = 1 και ότι 00 = 0

Αυτό υποδειλώνει ότι 00 είναι μια απροσδιόριστη μορφήπου σε κάποιες περπτώσεις παίρνει μία τιμή και σεκάποιες άλλες περιπτώσεις παίρνει διαφορετική τιμή

Ε Ι Κοντογιώργης copy 23

I Κλασματικοί (Αναλογικοί) Εκθέτες

1 Η τετραγωνική ρίζα μπορεί να γραφτεί σε μορφή κλάσματος

´Ετσι radicx= x12

Πχ 212 =

radic2 = 141 και 2

minus12 =

1radic2

= 071

2 Γενικά xab =bradicxa Πχ 7

23 =

3radic72 = 366

355 = 3112 =

2radic311 = 42089

Ε Ι Κοντογιώργης copy 24

ΛογάριθμοιI Η λογαριθμική μορφή ενός αριθμού είναι lsquoαντίθετηrsquo από

την εκθετική Τεχνικά μιλώντας η λογαριθμική μορφήείναι αντίστροφη της εκθετικής

I Η σχέση δίνεται logb(x) = y

που είναι το ίδιο με by = x

I Ο lsquolsquologb(x) = yrsquorsquo προφέρεται lsquolsquolog-βάση-b-του x ισούται yΕδώ b ονομάζεται lsquoβάση του λογαρίθμουrsquo αφού το b είναιη βάση της εκθετικής έκφρασης

I Η βάση b του λογάριθμου είναι πάντοτε θετική και δενισούται με 1

I Οτιδήποτε βρίσκεται μέσα στο λογάριθμο ονομάζεταιέκφραση

Ε Ι Κοντογιώργης copy 25

ΠαραδείγματαI Μετατρέψτε την έκφραση 63 = 216 στην ισοδύναμη

λογαριθμική μορφή

Για τη μετατροπή η βάση μένει η ίδια αλλά το 3 και το216 αλλάζουν θέσεις Αυτό μας δίνει

log6(216) = 3

I Μετατρέψτε τον log4(1024) = 5 στην αντίστοιχηλογαριθμική έκφραση

Για τη μετατροπή η βάση (που είναι 4) παραμένει η ίδιααλλά το 1024 και το 5 αλλάζουν θέσεις ´Ετσι δίνεται

45 = 1024

Ε Ι Κοντογιώργης copy 26

I Υπολογίστε τον log2(8)

Εάν y= log2(8) τότε υπονοείται ότι 2y = 8 Αυτόσημαίνει ότι y είναι η δύναμη του 2 που θα έχει σαναποτέλεσμα 8 Η δύναμη που δίνει το αποτέλεσμα είναι 3αφού 23 = 8 ´Ετσι

log2(8) = 3

I Κατά παρόμοιο τρόπο log5(25) = 2 αφού 52 = 25

I Υπολογίστε τον y= log64(4)

Σημειώστε ότι 64y = 4 και 43 = 64

´Ετσι (43)y

= 4 ή 43y = 41

Η πιο πάνω έκφραση εξυπονοεί ότι 3y= 1 και έτσιy= 13

Ε Ι Κοντογιώργης copy 27

I Υπολογίστε y= log6(6)

Αυτό ισοδυναμεί με το 6y = 6 και συνεπώς y= 1

I Υπολογίστε το y= log3(1)

Το πιο πάνω μπορεί να γραφτεί ως 3y = 1

´Ομως 1 = 30 έτσι 3y = 30 και y= 0

I Υπολογίστε το y= log4(minus16)

Μπορεί να γραφτεί σαν 4y =minus16

´Ομως δεν υπάρχει τιμή (πχ δύναμη) y που ναικανοποιεί τη σχέση ´Ετσι δεν υπάχρει λύση

Ε Ι Κοντογιώργης copy 28

I Υπολογίστε το y= log2(0)

Αυτό σημαίνει 2y = 0 όμως δε υπάρχει τιμή που ναικανοποιεί τη σχέση ´Ετσι δεν υπάχρει λύση

I Υπολογίστε το y= 2log2(9)

Αυτό σημαίνει ότι log2(y) = log2(9) και έτσι y= 9

Ε Ι Κοντογιώργης copy 29

I Γενικά1 logb(b) = 1 για οποιαδήποτε βάση b

2 logb(1) = 0 για οποιαδήποτε βάση b

3 logb(a) δεν ορίζεται για αρνητικά a

4 logb(0) δεν ορίζεται για οποιαδήποτε βάση b

5 logb(bn) = n για οποιαδήποτε βάση b

Ε Ι Κοντογιώργης copy 30

I Οι λογάριθμοι μπορούν να πάρουν οποιοδήποτε αριθμόσαν βάση αλλά δύο βάσεις είναι οι πιο χρήσιμες οlog-βάση-10 και ο log-βάση-e

I Η βάση-10 log συχνά ονομάζεται ο κοινός log καιγράφεται ως log(x) Εδώ δεν αναγράφεται βάση καιμπορούμε να υποθέσουμε ότι η βάση είναι 10

Πχ log(100) = 2 έτσι log10(102) = 2

I Η βάση-e log ονομάζεται ο φυσικός log και γράφεται σανln(x)Πχ ln(e345)= 345 καθώς loge(e345) = 345

Ε Ι Κοντογιώργης copy 31

Ιδιότητες Λογαρίθμωνlogb(xy) = logb(x) + logb(y)

Απόδειξη´Εστω m= logbx και n= logby

Γράψτε σε μορφή εκθέτη x= bm και y= bn

Πολλαπλασιάστε το x και y ούτως ώστεxy= bmbn = bm+n

´Ετσι από τον ορισμό των λογαρίθμων το xy= bm+nσυνεπάγει ότι

logb(xy) =m+n= logbx+ logb(y)

Πχ log2(4times16) = log2(64) = log2(26) = 6

Ακόμα log2(4times16) = log2(4) + log2(16) = 2+4 = 6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 32

logb(xy)

= logb(x)minus logb(y)

Απόδειξη´Εστω m= logbx και n= logby

Γράψτε σε μορφή εκθέτη x= bm και y= bn

∆ιαίρα το x και y ούτως ώστε xy =bmbn = bmminusn

´Ετσι από τον ορισμό των λογαρίθμων το xy = bmminusn

συνεπάγει ότι

logb(xy)

=mminusn= logbxminus logb(y)

Πχ log2(16

4)

= log2(4) = 2

και log2(16

4)

= log2(16)minus log2(4) = 4minus2 = 2Ε Ι Κοντογιώργης copy 33

logb(xn) = n logb(x)

Απόδειξη´Εστω m= logbx και γράψτε σε μορφή εκθέτη x= bm

Αυξάνοντας τις δύο πλευρές στην n δύναμη παίρνουμεxn = (bm)n = bmn

´Ετσι από τον ορισμό των λογαρίθμων τοlogbxn =mn= nm= n(logbx)

Πχ log2(64) = log2(26) = 6 log2(2) = 6

log(64) = 18

Επιπλέον log(64) = log(26) = 6log(2) = 6times030 = 18

Ε Ι Κοντογιώργης copy 34

logb(x) =loga(x)loga(b) agt0 a 6= 1

Απόδειξη´Εστω m= logbx rArr x= bm

Εφαρμόστε loga και στις δύο πλευρές του x= bmγια ναδώσει

logabm = logax rArr m logab= logaxrArr m=logaxlogab

rArr logbx=logaxlogab

Πχ log5(20) =log(20)

log(5)= 186 =

ln(20)

ln(5)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 35

logb(a) =1

loga(b) agt0 a 6= 1

Απόδειξη

logb(x) =loga(x)loga(b) =

logx(x)logx(b)

=1

loga(b)

´Οταν a= x

Πχ log2(64) =1

log64(2)=

116 = 6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 36

Αθροισμα

I Υποθέστε ότι έχουμε μια μεταβλητή x που μπορεί ναπάρει δέκα τιμές Εάν ενδιαφερόμαστε για το άθροισμάτους χωρίς να ξέρουμε την τιμή της κάθε μεταβλητής τότεο καλύτερος τρόπος να το εκφράσουμε είναι

x1 +x2 + middot middot middot+x9 +x10

I Εν συντομία το άθροισμα n στοιχείων x1 +x2 + middot middot middot+xn είναιnsum

i = 1xi

και ερμηνεύεται σαν το άθροισμα όλων των xirsquosξεκινώντας από το x1 (πχ i = 1) μέχρι xn (i = n)

I Εάν δε δοθεί διαφορετικά πάντοτε υποθέτουμε ότι το iαυξάνεται ξεκινώντας από το στάδιο 1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 37

I Το lsquolsquoSigmarsquorsquo Σ είναι γνωστό ως το άθροισμα (summation) ήσύμβολο σίγμα (sigma operator) και ο δείκτης i όνομάζεταιεικονική μεταβλητή

I Παραδείγματα

I

5sum

i = 1xi = x1 +x2 +x3 +x4 +x5

I

5sum

i = 1(y2

i ) = y21 +y22 +y23 +y24 +y25

Σημειώστε ότι η μόνη μεταβλητή που περιγράφεται απευθείαςκάτω από το σύμβολο Σ αυξάνεται κατά 1 κάθε φορά ενώ όλατα άλλα σύμβολα παραμένουν τα ίδια

I

4sum

r = 1(x3r ) = x31 +x32 +x33 +x34

Ε Ι Κοντογιώργης copy 38

I6sum

i = 1i = 1+2+3+4+5+6

I6sum

i = 1i2 = 12 +22 +32 +42 +52 +62

I7sum

i = 3xi = x3 +x4 +x5 +x6 +x7

I4sum

i = 1a = a+a+a+a= 4a

I3sum

i = 1(4+xi) = (4+x1) + (4+x2) + (4+x3)

=3sum

i = 14+

3sum

i = 1xi

Ε Ι Κοντογιώργης copy 39

I3sum

i = 1(2xi) = (2x1) + (2x2) + (2x3) = 2times

3sum

i = 1xi

I Ο συντελεστής i παραλείπεται εάν δε προκαλείαοριστία Για παράδειγμα Σx ή Σixi σημαίνειάθροισμα όλων των x που λαμβάνονται υπόψη

I ∆ήλωσηI

nsumi=1a= na

I sumiaxi = asum

ixi

I sumi

(axi+byi) = asumixi +bsum

iyi

Ε Ι Κοντογιώργης copy 40

I Αθροιστικός Τύπος

Insum

i = 1i = 1+2+ middot middot middot+n=

n(n+1)

2

Πχ6sumi = 1i = 1+2+3+4+5+6 =

6(6+1)

2 = 21

Insum

i = 1i2 = 12 +22 + middot middot middot+n2 =

n(n+1)(2n+1)

6

Πχ6sumi = 1i2 = 12 +22 +32 +42 +52 +62

=6(6+1)(12+1)

6 = 91

Ε Ι Κοντογιώργης copy 41

Insum

i = 1i3 = 13 +23 + middot middot middot+n3 =

n2(n+1)2

4

Πχ6sumi = 1i3 = 13 +23 +33 +43 +53 +63

=62(6+1)2

4 = 441

Ε Ι Κοντογιώργης copy 42

ΠαραδήγματαΑριθμητική Πρόοδος

I Γενικά μπορούμε να εκφράσουμε μια αριθμητική πρόοδο ωςεξής

αριθμητική πρόοδος a a+d a+2d a+3d

όπου ο πρώτος όρος είναι a και η διαφορά d Ο όρος nτης απ δίνεται από τη σχέση b = a+ (nminus1)d

I 3 5 7 9 11 είναι μια αριθμητική πρόοδος Οπρώτος όρος είναι το 3 και η διαφορά είναι 2

I 2 minus1 minus4 minus7 είναι μια αριθμητική πρόοδος όπου οπρώτος όρος είναι 2 και η διαφορά minus3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 43

I Το άθροισμα των όρων μιας αριθμητικής προόδου είναιγνωστό ως αριθμητική σειρά

Sn = a+ (a+d) + (a+2d) + middot middot middot+ (a+ (nminus1)d)

=nsumi=1

(a+ (iminus1)d

)= na+

nsumi=1

(iminus1)d

= na+dnminus1sumi=1

i = na+d(nminus1)n2

=n2(2a+d(nminus1)) =

n2(a+b) b = a+d(nminus1)

I ΑΠ 3 5 7 9 11 13 rArr Sn =62(3+13) = 48

Ε Ι Κοντογιώργης copy 44

∆ιπλό Αθροισμα4sumi=1

isumj=1

j = (1) + (1+2) + (1+2+3) + (1+2+3+4) = 20

nsumi=1

isumj=1

j =nsumi=1

( isumj=1

j)

nsumi=1

(12 i(i+1)

)=

12

nsumi=1

(i2 + i)

12( nsumi=1

i2 +nsumi=1

i)

=12(16n(n+1)(2n+1) +

12n(n+1)

)

=12

16n(n+1)

((2n+1) +3

)=

n6(n+1)(n+2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 45

∆ιπλό Αθροισμα

nsumi=1

msumj=1

(i+ j+2) =nsumi=1

( msumj=1

(i+ j+2))

nsumi=1

( msumj=1

i+msumj=1

j+msumj=1

2)

=nsumi=1

(mi+ 1

2m(m+1) +2m)

m( nsumi=1

i+ 12

nsumi=1

(m+5))

= m(12n(n+1) +

12n(m+5)

)

=mn2(m+n+6

)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 46

Insumr=1

1r(r+1)

=nsumr=1

(Ar +

Br+1

)=

nsumr=1

A(r+1) +Brr(r+1)

I A(r+1) +Br = 1

I Για r = 0 τότε A= 1 και για r =minus1 τότε B=minus1

I

nsumr=1

1r(r+1)

=nsumr=1

(1r minus

1r+1

)

=(

(11 minus

12) + (

12 minus

13) + (

13 minus

14) + middot middot middot+ (

1nminus1 minus

1n ) + (

1n minus

1n+1)

)

= 1minus 1n+1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 47

Insumk=1

1(k+2)(k+3)

=nsumk=1

( A(k+2)

+B

(k+3)

)=

nsumk=1

A(k+3) +B(k+2)

(k+2)(k+3)

I A(k+3) +B(k+2) = 1

I Για k=minus2 τότε A= 1 και για k=minus3 τότε B=minus1

I

nsumk=1

1(k+2)(k+3)

=nsumk=1

( 1(k+2)

minus 1(k+3)

)

=(

(13 minus

14)+(

14 minus

15)+(

15 minus

16)+ +(

1n+1 minus

1n+2)+(

1n+2 minus

1n+3)

)

=13 minus

1n+3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 48

Αθροισμα με Λογάριθμους

nsumi=1

logb(i) = logb(1) + logb(2) + middot middot middot+ logb(n)

= logb(1times2times3timesmiddotmiddot middottimesn)

= logb(n)

I Το n (n παραγοντικό) δίνεται από n = 1times2timesmiddotmiddot middottimesn και0 = 1

I100sumi=1

log2(100) = log2(100) =log(100)

log(2)=

log(99)

log(2)+

2log(2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 49

Γινόμενο των ακολουθιώνIn

prodi=1xi = x1timesx2timesx3timesmiddotmiddot middottimesxn

In

prodi=1i = 1times2times3timesmiddotmiddot middottimesn= n

In

prodi=1z= ztimesztimesmiddotmiddot middottimesz= zn

I

nprodi=1

(1+

1i+1

)=(1+

12)times(1+

13)times(1+

14)times times(1+

1n )times(1+

1n+1)

=32 times

43 times

54 timesmiddotmiddot middottimes

n+1n times n+2

n+1

=n+22

Ε Ι Κοντογιώργης copy 50

Γεωμετρικές ΠροόδοιI Μια γεωμετρική πρόοδος είναι μια σειρά αριθμών όπου

κάθε όρος μετά των πρώτο υπολογίζεται από τονπολλαπλασιασμό του προηγούμενου όρου με ένασταθερό αριθμό που καλείται αναλογία

I Η σειρά1 3 9 27 81 middot middot middot

είναι μια γεωμετρική πρόοδος με πρώτο όρο το 1 καιαναλογία 3

I Η αναλογία μπορεί να είναι κλάσμα καθώς επίσης καιαρνητικός αριθμός Για παράδειγμα η γεωμετρικήπρόοδος με πρώτο όρο το 2 και αναλογία minus13 είναι

2 minus 23 +

29 minus

227 +

281 middot middot middot

Ε Ι Κοντογιώργης copy 51

I Γενικά μπορούμε να γράψουμε μια γεωμετρική πρόοδο ωςακολούθως

γεωμετρική πρόοδος a ar ar2 ar3 ar4 middot middot middot

όπου ο πρώτος όρος είναι a και η αναλογία r

I Σημαντικά θεωρήματα των γεωμετρικών προόδων (γπ)1 Ο n όρος μιας γπ δίνεται από ar(nminus1)

2 Το άθροισμα των πρώτων n όρων μιας γπ είναι

Sn =a(1minus rn)

1minus r =a(rnminus1)

rminus1 και ισχύει μόνο αν r 6= 1

I Το άθροισμα των όρων μιας γεωμετρικής προόδουονομάζεται γεωμετρική σειρά

Ε Ι Κοντογιώργης copy 52

Γεωμετρική σειρά

Sn = a+ar+ar2 +ar3 + middot middot middot+arnminus2 +arnminus1

rSn = ar+ar2 +ar3 + arnminus1 +arn

Snminus rSn = aminusarn

(1minus r)Sn = a(1minus rn)

Sn =a(1minus rn)

(1minus r) =a(rnminus1)

(rminus1)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 53

I Παράδειγμα1 Βρείτε το άθροισμα των πρώτων 10 όρων μιας γεωμετρικής

σειράς4 8 16 32

Ο πρώτος όρος είναι a= 4 και η αναλογία r = 2 καιn= 10 ´Ετσι

S10 =4(1minus210)

1minus2 = 4092

2 Θεωρείστε τη γπ4 minus8 16 minus32 64 minus128 256 minus512

Σε αυτή την περίπτωση ο πρώτος όρος είναι a= 4 ηαναλογία είναι r =minus2 και n= 8´Ετσι

S8 =4(1minus (minus2)8)

1minus (minus2)=minus340

Ε Ι Κοντογιώργης copy 54

Συνεχείς ανατοκισμός

Οι περισσότεροι τραπεζικοί λογαριασμοί και τα δάνειαυιοθετούν ανατοκισμό - εφαρμόζοντας συνεχή ανατοκισμόΘεωρείστε ένα λογαριασμό που προσφέρει τόκο με ετήσιοεπιτόκιο r (πχ 7) Εάν το επιτόκιο είναι συνεχέςσε χρονιαία βάση τότε μετά από 1 χρόνο το χρονιαίοεπιτόκιο προστίθεται στο αρχικό κεφάλαιο για νακαθορίσει ένα μεγαλύτερο κεφάλαιο τον δεύτερο χρόνο

´Ετσι κατά τη διάρκεια του δεύτερου χρόνου ολογαριασμός κερδίζει επιτόκιο πάνω στο επιτόκιοΑυτή είναι η επίδραση του ανατοκισμού που συνεχίζεταιχρόνο με το χρόνο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 55

I Με τον ετήσιο ανατοκισμό το κεφάλαιο πουσυσσωρεύεται στο λογαριασμό πολλαπλασιάζεται με

(1+ r)

´Ετσι το κεφάλαιο A θα αυξηθεί σε

A(1+ r) = A+A middot r

τον επόμενο χρόνο

I Με το πέρας και του δεύτερου χρόνου το κεφάλαιο θααυξηθεί ακόμα (1+ r) σε (1+ r)2

´Ετσι το κεφάλαιο καταλήγει σε

A(1+ r)(1+ r) = A(1+ r)2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 56

I Κατά παρόμοιο τρόπο στο τέλος του τρίτου χρόνου τοποσό θα αυξηθεί κατά (1+ r)3

I Μετά από n χρόνια το ποσό θα αυξηθεί κατά (1+ r)n

I ´Ετσι το κεφάλαιο (επένδυση) A θα αυξηθεί με συνεχήανατοκισμό σε A(1+ r)n μετά από n χρόνια

I Ο τύπος (1+ r)n εκθέτει γεωμετρική αύξηση λόγω τηςn δύναμης

Ε Ι Κοντογιώργης copy 57

ΠαραδείγματαI Εάν το επιτόκιο είναι r = 5 τότε το κεφάλαιοA= $1000 που βρίσκεται στην τράπεζα n= 20 χρόνιαθα αυξηθεί κατά

(1+ r)n = (1+005)20 = 2653 φορές

´Ετσι το ποσό θα καταλήξειA(1+ r)n = $265330

I Βρέστε το χρόνο που χρειάζεται για ένα λογαργιασμό ναδιπλασιάσει το διαθέσιμο κεφάλαιο του όταν r = 7 καιr = 10Ζητούμε να βρούμε το n έτσι ώστε

(1+ r)n = 2Ε Ι Κοντογιώργης copy 58

I Υπολογίζοντας το λογάριθμο του τελευταίου παίρνουμε

log(1+ r)n = log(2)ή n log(1+ r) = log(2)

´Ετσιn=

log2log(1+ r)

I Για r = 7 και r = 10 ο χρόνος n πουχρειάζεται για διπλασιασμό της επένδυσης υπολογίζεταισε 1024 και 727 αντίστοιχα

Ε Ι Κοντογιώργης copy 59

I Αν το επιτόκιο είναι r = 7 τότε πιο θα είναι τοσυνολικό ποσό στο λογαριασμό μετά από 205 και41 χρόνια αντίστοιχα

Μετά τα πρώτα 1025 χρόνια το ποσό A θαδιπλασιαστεί σε 2A Για τα επόμενα 1025 χρόνιατο ποσό θα ξαναδιπλασιαστεί σε 4A ´Ετσι μετά από205 χρόνια το ποσό θα αυξηθεί κατά 4 φορές

Με το πέρας ακόμα 205 χρόνων το ποσό θα αυξηθείακόμα 4 φορές σε 16 ´Ετσι μετά από 41 χρόνιατο κεφάλαιο A γίνεται 16A

Ε Ι Κοντογιώργης copy 60

Ασκήσεις και Παραδείγματα

I Υπολογίστε τη Μελλοντική Αξία (Future Value (FV)) τουκεφαλαίου A= 1500 που κερδίζει ετήσιο επιτόκιοr = 5 για n= 10 έτη

FV =A(1+ r)n = 1500(1+005)10 = 244334

I Πόσα έτη απαιτούνται για να τριπλασιαστεί ένα ποσόπου αφήνετε στην τράπεζα με επιτόκιο r = 5∆ηλαδή βρείτε το n όπου A= 1 r = 5 και FV = 3

FV =A(1+ r)n ή (1+ r)n =FVA

Ε Ι Κοντογιώργης copy 61

Υπολογίζοντας τους λογαρίθμους παίρνουμε

log(1+ r)n = log(FVA)

ή n log(1+ r) = log(FVA)

´Ετσι

n=log(FVA)

log(1+ r) =log(3)

log(105)

= 2252

Ε Ι Κοντογιώργης copy 62

I Βρείτε την παρούσα αξία A έτσι ώστε σε δέκα έτη μεσταθερό επιτόκιο r = 6 να είναι 100KΒρείτε το A όπου FV = 100000 r = 6 και n= 10

FV =A(1+ r)n ή A=FV

(1+ r)n

´Ετσι A=100000

(106)10= 5583948

I Βρείτε την ετησιοποιημένη απόδοση (AER AnnualEquivalent Rate) μιας μηνιαίας κατάθεσης με σταθερόεπιτοκίο 394 Μια τέτοια κατάθεση λαμβάνει το επιτόκιο στη λήξηΣυνεπώς κάθε μήνα ο λογαριασμός λαμβάνει

r = 0039412 = 000328

επιτόκιο που επανεπενδύεται (συνεχής ανατοκισμός)Ε Ι Κοντογιώργης copy 63

Επανεπενδύοντας το επιτόκιο κάθε μήνα στη διάρκειαενός έτους το κεφάλαιο θα αυξηθεί σε

(1+ r)12 = (1+000328)12 = 104012

´Ετσι το ΑΕΡ είναι ισοδύναμο με 004012 = 4012I Υπολογίστε το επιτόκιο ενός σταθερού λογαριασμού

κατάθεσης 7-ημερών που έχει AER επιτόκιο r = 425Θεωρείστε ρ το εβδομαδιαίο επιτόκιο

´Ετσι (1+ρ)52 = (1+00425)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 64

Παίρνοντας τους λογαρίθμους έχουμε52log(1+ρ) = log10425

ή log(1+ρ) =log10425

52

ή 1+ρ= 10( log10425

52)

Αυτό μας δίνει

ρ= 10

( log1042552

)minus1 = 008

´Ετσι το συνεχές επιτόκιο μιας επταήμερης κατάθεσης είναιρtimes52 = 41638

Εναλλακτικά (1+ρ)52 = (1+00425) δίνει

(1+ρ) =52radic10425ή ρ=

52radic10425minus = 008Ε Ι Κοντογιώργης copy 65

I Υπολογίστε την ετήσια απόδοση r έτσι ώστε A= 10000να επιστρέφει FV = 35000 σε n= 20 χρόνια

FV =A(1+ r)n ή (1+ r)n =FVA

´Ετσι

1+ r =nradic

FVA

Επομένως

r =nradic

FVA minus1 =

20radic

3500010000 minus1 = 00646 = 646

Ε Ι Κοντογιώργης copy 66

Εναλλακτικά παίρνοντας τους λογαρίθμους

log(1+ r)n = log(FVA) ή n log(1+ r) = log

(FVA)

´Ετσι

1+ r = 10(1n log

(FVA))

ή r = 10(1n log

(FVA))minus1

= 10( 120 log

(3500010000

))minus1

= 646

Ε Ι Κοντογιώργης copy 67

Γραφική Αναπαράσταση I

I Υποθέστε ότι έχουμε y= 3x+2 Καθώς έχουμε μόνο μιαδύναμη για το x πρέπει να λύσουμε γραμμική εξίσωσηκαι να σχεδιάσουμε μια ευθεία γραμμή Αρχικά θα πρέπεινα σχεδιάσουμε ένα T-chart Αυτό έχει τη μορφή

x y = 3x+2 (xy)

I Επιλέγουμε μια τιμή για το x και λύνουμε ως προς y

x y= 3x+2 (xy)minus2 minus4 (minus2minus4)0 2 (02)2 8 (28)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 68

Γραφική Αναπαράσταση II

-

6

X

Y

bull

bull

bull

I Βλέπουμε μια ευθεία με ανοδική τάση (έχοντας θετικήκλίση m= 3) καιτέμνει τον άξονα y στο σημείο y= 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 69

Γραφική Αναπαράσταση III

I Μια Τετραγωνική εξίσωση περιέχει x2 Για τηναναπαράσταση τετραγωνικών εξισώσεων χρειάζεται ναβρούμε περισσότερα από τρία σημεία στο σχεδιάγραμμα

Για παράδειγμα υποθέστε ότι y= x2minus6x+5 καιδίνεται το πιο κάτω T-chart

x y= x2minus6x+5 (xy)0 5 (05)1 0 (10)3 minus4 (3minus4)5 0 (50)6 5 (65)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 70

Γραφική Αναπαράσταση IV

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

-

6

X

Y

bull

bull

bull

bull

bull

Ε Ι Κοντογιώργης copy 71

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(1x + 2)

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(-3x + 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 72

-15

-10

-5

0

5

10

15

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(3x - 2)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 73

-20

0

20

40

60

80

100

120

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2+x)

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 74

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

1250

1500

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3+x2+x)

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x4)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 75

-25

-2

-15

-1

-05

0

05

1

15

2

25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(log(x))

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(x))

Ε Ι Κοντογιώργης copy 76

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(-x))

-5000

0

5000

10000

15000

20000

25000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(exp(x)+x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 77

Ανισότητες I

I Οι ανισότητες αποτελούνται από δύο ή τρεις αλγεβρικέςεκφράσεις που είναι συνδεδεμένες με τα σύμβολαανισότητας Τα σύμβολα αυτά είναι

lt μικρότερο τουgt μεγαλύτερο τουle μικρότερο ή ίσο τουge μεγαλύτερο ή ίσο του

I Παραδείγματα xgty yge x2 και ylt5x+1

I Το πρώτο βήμα για την αναπαράσταση ανισότητας τηςμορφής ygtx είναι να παραστήσουμε γραφικά τηνισότητα y= x

Ε Ι Κοντογιώργης copy 78

Ανισότητες II

I ygtx

Κάνετε δοκιμή με ένα σημείο να δείτε κατά πόσοικανοποιεί την ανισότητα Εάν ναι τότε σκιάστε τηνπεριοχή αυτή του σχεδιαγράμματος διαφορετικά σκιάστετην άλλη πλευρά

Ε Ι Κοντογιώργης copy 79

Ανισότητες III

I yltx

Ε Ι Κοντογιώργης copy 80

Ανισότητες IV

I yle 5x+1 και ygt5x+1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 81

Ανισότητες V

I yge x2 και yle x2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 82

Ανισότητες VI

I ygtx3 και yle x3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 83

Συστήματα Γραμμικών ΕξισώσεωνΠεριεχόμενα

1 Ε

2 Γ Α

ΑναφορέςΚεφάλαια 4 και 5FS Budnick Applied Mathematics for Business Economicsand the Social Sciences 4th edition McGraw-Hill 1993

Ε Ι Κοντογιώργης copy 84

Συστήματα Εξισώσεων

I ´Ενα σύστημα εξισώσεων συνδυάζει περισσότερες από μίαεξισώσεις

I ´Ενα σύστημα m εξισώσεων όπου κάθε εξίσωσηαποτελείται από n μεταβλητές ονομάζεται mtimesnσύστημα ή λέμε ότι έχει διαστάσεις mtimesn

I ΠαράδειγμαΠαρακάτω έχουμε ένα σύστημα 2times2

5X+10Y= 203X+4Y= 10

Οι μεταβλητές σε αυτή την περίπτωση είναι X και YΕ Ι Κοντογιώργης copy 85

Συστήματα Επίλυσης

I Το Σύστημα επίλυσης είναι μια σειρά τιμών μεταβλητώνπου ικανοποιούν το σύστημα ταυτόχρονα

I Σε μια σημειογραφική παράσταση το προηγούμενοπαράδειγμα μπορεί να γραφτεί ως εξής

S = (XY) | 5X+10Y = 20 και 3X+4Y = 10

I Το σύστημα επίλυσης μπορεί να είναι1 μηδενικό2 πεπερασμένο ή3 άπειρο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 86

2times2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική Ανάλυση

I Σε ένα δισδιάστατο γράφημα ένα σύστημα εξισώσεων2times2 αναπαρίστανται με ευθείες γραμμές Υπόρχουν τρίαενδεχόμενα

1 Οι ευθείες τέμνονται Το σημείο τομής αντιπροσωπεύει τηλύση του συστήματος εξισώσεων Αυτό το σημείοαλληλεπίδρασης είναι μια δέσμη τιμών X και Y που ικανοποιείκαι τις δύο εξισώσειςΕάν υπάρχει μόνο μια δέσμη τιμών για τις μεταβλητές που ναικανοποιεί το σύστημα εξισώσεων το σύστημα λέμε ότι έχειΜ Λ

2 Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες μεταξύ τους ∆εν έχουν κοινόσημείο Συνεπώς οι ευθείες δεν τέμνονται ποτέ Το σύστημαλέμε ότι ∆ ΛΑυτό υπονοεί ότι δεν υπάρχουν τιμές για τις μεταβλητές πουνα ικανοποιούν και τις δύο εξισώσεις Σε αυτή τηνπερίπτωση οι εξισώσεις στο σύστημα είναι Α

3 Και οι δύο εξισώσεις αναπαρίστανται ως μια κοινή ευθεία καιθεωρούνται ισοδύναμες εξισώσεις ´Ετσι το σύστημα έχειΑ Λ Αυτό συμβαίνει γιατί υπάρχει άπειροςαριθμός κοινών σημείων στις δύο γραμμές

Ε Ι Κοντογιώργης copy 87

I Π Θεωρείστε ένα σύστημα 2times22X+4Y= 203X+ Y= 10

I

X

Y

(24)

3X +Y = 10

2X +4Y = 20

0 2 4 6 8 10 12

2

4

6

8

10

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 88

I Το σημείο τομής δίνεται από το X= 2 και Y= 4Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές του X και Y στις δύοεξισώσεις δίνουν 20 = 20 και 10 = 10 αντίστοιχα

I Αυτό υποδειλώνει ότι X= 2 και Y= 4 είναι η σωστή λύση

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times23Xminus2Y= 6

minus15X+10Y=minus30

I

X

Y

(20)

(0minus3)

3X minus2Y = 6

minus15X +10Y =minus30

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 89

I Οι δύο εξισώσεις απλοποιούνται σε Xminus 23 Y= 2

Οι δύο εξισώσεις είναι ισοδύναμες και δίνουν έναπεπερασμένο αριθμό λύσεων έτσι ώστε

X= 0 Y =minus3X= 2 Y = 0X= 4 Y = 3

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times26Xminus12Y= 24

minus32X+3Y= 9

Οι εξισώσεις απλοποιούνται σεXminus2Y= 4Xminus2Y=minus6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 90

I

X

Y

(40)

(0minus2)

(minus60)

(03)

X minus2Y =minus6

X minus2Y = 4

0-0

I Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες και συνεπώς το σύστημαδεν έχει λύση ´Ετσι το σύστημα εξισώσεων είναιασύμπτωτο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 91

Περίληψη 2times2 Συστήματα Εξισώσεων∆ίνεται ένα Σύστημα Γραμμικών Εξισώσεων 2times2

Y=m1X+ c1Y=m2X+ c2

1 Υπάρχει μια στο σύστημα εάνm1 6= m2

2 ∆εν υπάρχει στο σύστημα εάνm1 = m2 και c1 6= c2

3 Υπάρχει εάνm1 = m2 και c1 = c2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 92

∆ιαδικασίες Απαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής χρησιμοποιεί πολλαπλασιασμόκαι πρόσθεση έτσι ώστε

1 Να απαλοιφεί μια από τις δύο μεταβλητές

2 Η εξίσωση που εξάγεται είναι συνάρτηση των υπόλοιπωνμεταβλητών

3 Αντικαθιστώντας την τιμή στην μεταβλητή σε μια από τιςαρχικές εξισώσεις βρίσκουμε την τιμή για τηναπολοιφθήσα μεταβλητή

Ε Ι Κοντογιώργης copy 93

ΠαραδείγματαI Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

2X +4Y = 20 (1)3X + Y = 10 (2)

Πολλαπλασιάζοντας τη δεύτερη εξίσωση με minus4 παίρνουμε

minus12X minus4Y =minus40 (3)

Προσθέτοντας την εξίσωση (1) στο (3)

2X + 4Y = 20minus12X minus 4Y = minus40minus10X = minus20

ή

X = 2 (4)Ε Ι Κοντογιώργης copy 94

Αντικαθιστώντας X= 2 στην εξίσωση (1) δίνεται2 middot2+4Y = 20 ή Y=4

´Ετσι η μοναδική λύση του συστήματος δίνεται από τοX= 2 και Y= 4 Μπορεί να επιβεβαιωθεί ότι αυτή είναι ησωστή λύση αντικαθιστώντας X= 2 και Y= 4 στηνεξίσωση (1) και (2)

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times23X minus2Y = 6 (5)

minus15X +10Y =minus30 (6)

Για την απαλοιφή της μεταβλητής X η εξίσωση (5)πολλαπλασιάζεται με 5 και το αποτέλεσμα προστίθεταιστην εξίσωση (6)

15X minus 10Y = 30minus15X + 10Y = minus30

0 = 0 Ε Ι Κοντογιώργης copy 95

Οι τελευταίες πράξεις υπονοούν ότι οι εξίσωσεις (5) και(6) είναι ισοδύναμες και έτσι υπάρχει άπειρος αριθμόςλύσεωνΓια να προσδιορίσουμε τις λύσεις του συστήματος μια απότις αρχικές εξισώσεις λύνεται ως προς μια μεταβλητή Ανγια παράδειγμα η εξίσωση (5) λύνεται ως προς Y δίνει

Y =32Xminus3

Σαν αποτέλεσμα γενικεύοντας τις λύσεις του συστήματοςέχουμε

X τυχαίο και Y =32Xminus3

Πχ για X= 4 υπονοείται ότι Y=32 middot4minus3 = 3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 96

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

6X minus12Y = 24 (7)

minus32X +3Y = 9 (8)

Πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση (8) με 4 καιπροσθέτοντας το αποτέλεσμα στην εξίσωση (7)παίρνουμε

6X minus 12Y = 24minus6X + 12Y = 36

0 = 60

Η πιο πάνω αντιλογία υπονοεί ότι δεν υπάρχει λύση τουσυστήματος εξισώσεων

Ε Ι Κοντογιώργης copy 97

3times2 Συστήματα Εξισώσεων I

1 Μ Λ

X

Y

(32)

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minusY = 1

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 98

3times2 Συστήματα Εξισώσεων II

2 Α Λ

X

Y Εξις (1)Εξις (2)Εξις (3)

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 99

3times2 Συστήματα Εξισώσεων III3 Κ

(α) ´Οταν και οι τρεις εξισώσεις είναι παράλληλες

X

Y

2X minusY =minus8

2X minusY = 2

2X minusY = 12

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 100

3times2 Συστήματα Εξισώσεων IV(β) ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ τωνεξισώσεων

X

Y

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minus2Y =minus4

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 101

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική ΑνάλυσηΣε ένα γράφημα 2 διαστάσεων ένα σύστημα mtimes2(mgt2) εξισώσεων παριστάνεται με m ευθείες ´Οπωςσυμβαίνει στα συστήματα 2times2 υπάρχουν τρίαενδεχόμενα

1 ´Ολες οι ευθείες τέμνονται στο ίδιο σημείο και έτσιυπάρχει

2 ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ των mεξισώσεων Αυτό σημαίνει ότι όλες οι ευθείες είναιπαράλληλες Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα Λ

3 Οι m εξισώσεις είναι ισοδύναμες πχ παρασταίνονται σανμια ευθεία Σε αυτή την περίπτωση υπάρχει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 102

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων ∆ιαδικασίαΑπαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής για την επίλυση ενός συστήματοςmtimes2 μπορεί να περιγραφεί ως ακολούθωςΕπιλέξτε και λύστε σύστημα με δύο εξισώσεις

1 Εάν δεν υπάρχει λύση τότε ολόκληρο το σύστημα δεν έχειλύση

2 Εάν υπάρχει μοναδική λύση που ικανοποιεί τις υπόλοιπεςmminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα έχει μία μοναδική λύση

3 Εάν η λύση είναι μοναδική αλλά δεν ικανοποιεί τιςυπόλοιπες mminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα δεν έχει λύση

4 Εάν οι 2 λύσεις είναι ισοδύναμες απάλοιψτε τη μίααπό τις δύο εξισώσεις και ξεκινήστε από την αρχήλαμβάνοντας υπόψη ένα σύστημα (mminus1)times2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 103

ΠαράδείγμαI Θεωρείστε ένα σύστημα 5times2

XminusY= 1X+2Y=minus8

3Xminus2Y= 02Xminus5Y= 11minus4X+3Y=minus1

I Η λύση των πρώτων δύο εξισώσεων δίνετε απόY =minus3 και X =minus2

I Αντικαθιστώντας τη λύση στις υπόλοιπες τρεις εξισώσειςπαίρνετε αντίστοιχα

0 = 0 11 = 11 και minus1 =minus1I Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση

X=minus2 και Y=minus3Ε Ι Κοντογιώργης copy 104

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian

Η μέθοδος απολοιφής Gaussian μετατρέπει το αρχικόσύστημα εξισώσεων σε διαγώνια μορφή επαναλαμβάνονταςστις εξισώσεις τις ακόλουθες τρεις διαδικασίες

1 Πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης μεμια θετική σταθερά

2 Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού θα προστεθεί σεάλλη εξίσωση

3 Η σειρά των εξισώσεων μπορεί να αλλάξει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 105

ΠαράδείγμαΠ Θεωρείστε το σύστημα 2times2

2X minus 3Y = 7 (Εξ 1)X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με 12 για να πάρετε

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με minus1 καιπροσθέστε την στην (Εξ 2)

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

52Y =

152 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 106

Στάδιο 3 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 25

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

Y = 3 (Εξ 2)

Στάδιο 4 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 32 και

προσθέστε την στην (Εξ 1)

X = 1 (Εξ 1)Y = 3 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 107

Π Θεωρείστε το σύστημα 2times2

5X + 20Y = 254X minus 7Y =minus26

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να εκφραστεί ως

R1 5 20 25R2 4 minus7 minus26

Η κάθετη γραμμή χρησιμοποιείται για διαχωρισμό τηςαριστερής από τη δεξιά πλευρά των εξισώσεων Το Riυπονοεί τη γραμμή (Row) i

Ε Ι Κοντογιώργης copy 108

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάζουμε τη R1 με 15 και το θέτουμε

R1larr 15R1

R1 1 4 5R2 4 minus7 minus26

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάζουμε την R1 με minus4 και τηνπροσθέτουμε στην R2 Εν συντομίαR2larrminus4R1+R2

R1 1 4 5R2 0 minus23 minus46

Στάδιο 3 R2larrminus 123R2

R1 1 4 5R2 0 1 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 109

Στάδιο 4 R1larrminus4R2+R1

R1 1 0 minus3R2 0 1 2

Το αρχικό σύστημα εξισώσεων μετατρέπεται σε διαγώνιαμορφή όπως πιο κάτω

X =minus3Y = 2

το οποίο δίνει τη λύση του συστήματος

Ε Ι Κοντογιώργης copy 110

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 I

Το σύστημα εξισώσεων 3times3 μετετρέπεται σε διαγώνιαμορφή Η μετατροπή γίνεται στήλη με στήλη από τααριστερά προς τα δεξιά

Π Θεωρήστε το σύστημα 3times3

X1 + X2 + X3 = 2X1 minus 3X2 + 2X3 = 7

4X1 minus 2X2 minus X3 = 9

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να γραφτεί ως

Ε Ι Κοντογιώργης copy 111

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 II

1 1 1 21 minus3 2 74 minus2 minus1 9

Ε Ι Κοντογιώργης copy 112

Σύμβολα Κατεύθυνσης

I Το σύμβολο lsquogtrsquo που σημαίνει lsquoμεγαλύτεροrsquo καθώς και τοlsquogersquo που σημαίνει lsquoμεγαλύτερο ή ίσοrsquo

I Το σύμβολο lsquoltrsquo που σημαίνει lsquoμικρότεροrsquo καθώς και το lsquolersquoπου σημαίνει lsquoμικρότερο ή ίσοrsquo

I Παράδειγμα Οι μεταβλητές που συμβολίζουν τουςμηνιαίους μισθούς xge 0 Οι μεταβλητές που συμβολίζουντους μήνες του χρόνου 0ltMlt13 που μπορούν επίσης ναγραφτούν 1leMle 12

Ε Ι Κοντογιώργης copy 19

∆υνάμειςI Οι εκθέτες αποτελούν συντομογραφία του

πολλαπλασιασμού (5)(5) = 52 και (5)(5)(5) = 53 Εδώτο 5 λέγεται βάση και το 3 λέγεται εκθέτης Μπορείεπίσης να ερμηνευτεί πέντε υψωμένο στην τρίτη δύναμη

I Η δύναμη είναι ο εκθέτης στον οποίο υψώνεται μιαποσότητα Η έκφραση xn είναι γνωστή ως x στη nδύναμη

I Σημειώστε ότι 5253 = (55)(555) = 55 = 5(2+3) Εδώπαρουσιάζεται ένας βασικός κανόνας του εκθέτη Στηπερίπωση που πολλαπλασιάζονται δύο όροι που έχουντην ίδια βάση οι εκθέτες τους μπορούν να προστεθούν

xmxn = x(m+n)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 20

I Στην περίπτωση όμως που (x4)(y3) ο πιο πάνω κανόναςδε μπορεί να εφαρμοστεί γιατί οι βάσεις είναιδιαφορετικές (x4)(y3) = xxxxyyy

I Για (x2)4

= x2x2x2x2 = xxxxxxxx= x8 = x(2times4)

I ´Ετσι στην περίπτωση που έχετε μια εκθετική έκφρασηπου είναι υψωμένη σε μία δύναμη μπορείτε ναπολλαπλασιάσετε τον εκθέτη με τη δύναμη

(xm)n

= xmn

Ε Ι Κοντογιώργης copy 21

I Εάν έχετε μια έκφραση μέσα σε παράνθεση και ηπαράνθεση είναι υψωμένη σε μια δύναμη τότε η δύναμημπορεί να γίνει μέρος τις παράνθεσης Για παράδειγμα

(xy2)3 = (xy2)(xy2)(xy2) = (xxx)(y2y2y2)

= (xxx)(yyyyyy) = x3y6 = (x)3(y2)3 = x3y6

Παρομοίως(xy)2

=x2y2

I ´Ενας αρνητικός εκθέτης είναι ένδειξη ότι η βάση βρίσκεταιστον παρονομαστή του κλάσματος Πχ

xminus2 =1x2

x2xminus3 = x2x3 = x5 2xminus1 =

2x

(3x)minus2 =1

(3x)2 =1

9x2 και(xminus2yminus3

)minus2=

(xminus2)minus2

(yminus3)minus2=x4y6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 22

I Οτιδήποτε στη δύναμη μηδέν είναι lsquo1rsquo

Πχ 50 = 1 x0 = 1 (x2y3)0 = 1 και 00 = 1

Σημειώστε ότι 50 = 5(1minus1) = (51)(5minus1) =55 = 1

I Μηδέν σε οποιαδήποτε δύναμη είναι μηδέν έτσι 0n = 0

Σημειώστε ότι 00 = 1 και ότι 00 = 0

Αυτό υποδειλώνει ότι 00 είναι μια απροσδιόριστη μορφήπου σε κάποιες περπτώσεις παίρνει μία τιμή και σεκάποιες άλλες περιπτώσεις παίρνει διαφορετική τιμή

Ε Ι Κοντογιώργης copy 23

I Κλασματικοί (Αναλογικοί) Εκθέτες

1 Η τετραγωνική ρίζα μπορεί να γραφτεί σε μορφή κλάσματος

´Ετσι radicx= x12

Πχ 212 =

radic2 = 141 και 2

minus12 =

1radic2

= 071

2 Γενικά xab =bradicxa Πχ 7

23 =

3radic72 = 366

355 = 3112 =

2radic311 = 42089

Ε Ι Κοντογιώργης copy 24

ΛογάριθμοιI Η λογαριθμική μορφή ενός αριθμού είναι lsquoαντίθετηrsquo από

την εκθετική Τεχνικά μιλώντας η λογαριθμική μορφήείναι αντίστροφη της εκθετικής

I Η σχέση δίνεται logb(x) = y

που είναι το ίδιο με by = x

I Ο lsquolsquologb(x) = yrsquorsquo προφέρεται lsquolsquolog-βάση-b-του x ισούται yΕδώ b ονομάζεται lsquoβάση του λογαρίθμουrsquo αφού το b είναιη βάση της εκθετικής έκφρασης

I Η βάση b του λογάριθμου είναι πάντοτε θετική και δενισούται με 1

I Οτιδήποτε βρίσκεται μέσα στο λογάριθμο ονομάζεταιέκφραση

Ε Ι Κοντογιώργης copy 25

ΠαραδείγματαI Μετατρέψτε την έκφραση 63 = 216 στην ισοδύναμη

λογαριθμική μορφή

Για τη μετατροπή η βάση μένει η ίδια αλλά το 3 και το216 αλλάζουν θέσεις Αυτό μας δίνει

log6(216) = 3

I Μετατρέψτε τον log4(1024) = 5 στην αντίστοιχηλογαριθμική έκφραση

Για τη μετατροπή η βάση (που είναι 4) παραμένει η ίδιααλλά το 1024 και το 5 αλλάζουν θέσεις ´Ετσι δίνεται

45 = 1024

Ε Ι Κοντογιώργης copy 26

I Υπολογίστε τον log2(8)

Εάν y= log2(8) τότε υπονοείται ότι 2y = 8 Αυτόσημαίνει ότι y είναι η δύναμη του 2 που θα έχει σαναποτέλεσμα 8 Η δύναμη που δίνει το αποτέλεσμα είναι 3αφού 23 = 8 ´Ετσι

log2(8) = 3

I Κατά παρόμοιο τρόπο log5(25) = 2 αφού 52 = 25

I Υπολογίστε τον y= log64(4)

Σημειώστε ότι 64y = 4 και 43 = 64

´Ετσι (43)y

= 4 ή 43y = 41

Η πιο πάνω έκφραση εξυπονοεί ότι 3y= 1 και έτσιy= 13

Ε Ι Κοντογιώργης copy 27

I Υπολογίστε y= log6(6)

Αυτό ισοδυναμεί με το 6y = 6 και συνεπώς y= 1

I Υπολογίστε το y= log3(1)

Το πιο πάνω μπορεί να γραφτεί ως 3y = 1

´Ομως 1 = 30 έτσι 3y = 30 και y= 0

I Υπολογίστε το y= log4(minus16)

Μπορεί να γραφτεί σαν 4y =minus16

´Ομως δεν υπάρχει τιμή (πχ δύναμη) y που ναικανοποιεί τη σχέση ´Ετσι δεν υπάχρει λύση

Ε Ι Κοντογιώργης copy 28

I Υπολογίστε το y= log2(0)

Αυτό σημαίνει 2y = 0 όμως δε υπάρχει τιμή που ναικανοποιεί τη σχέση ´Ετσι δεν υπάχρει λύση

I Υπολογίστε το y= 2log2(9)

Αυτό σημαίνει ότι log2(y) = log2(9) και έτσι y= 9

Ε Ι Κοντογιώργης copy 29

I Γενικά1 logb(b) = 1 για οποιαδήποτε βάση b

2 logb(1) = 0 για οποιαδήποτε βάση b

3 logb(a) δεν ορίζεται για αρνητικά a

4 logb(0) δεν ορίζεται για οποιαδήποτε βάση b

5 logb(bn) = n για οποιαδήποτε βάση b

Ε Ι Κοντογιώργης copy 30

I Οι λογάριθμοι μπορούν να πάρουν οποιοδήποτε αριθμόσαν βάση αλλά δύο βάσεις είναι οι πιο χρήσιμες οlog-βάση-10 και ο log-βάση-e

I Η βάση-10 log συχνά ονομάζεται ο κοινός log καιγράφεται ως log(x) Εδώ δεν αναγράφεται βάση καιμπορούμε να υποθέσουμε ότι η βάση είναι 10

Πχ log(100) = 2 έτσι log10(102) = 2

I Η βάση-e log ονομάζεται ο φυσικός log και γράφεται σανln(x)Πχ ln(e345)= 345 καθώς loge(e345) = 345

Ε Ι Κοντογιώργης copy 31

Ιδιότητες Λογαρίθμωνlogb(xy) = logb(x) + logb(y)

Απόδειξη´Εστω m= logbx και n= logby

Γράψτε σε μορφή εκθέτη x= bm και y= bn

Πολλαπλασιάστε το x και y ούτως ώστεxy= bmbn = bm+n

´Ετσι από τον ορισμό των λογαρίθμων το xy= bm+nσυνεπάγει ότι

logb(xy) =m+n= logbx+ logb(y)

Πχ log2(4times16) = log2(64) = log2(26) = 6

Ακόμα log2(4times16) = log2(4) + log2(16) = 2+4 = 6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 32

logb(xy)

= logb(x)minus logb(y)

Απόδειξη´Εστω m= logbx και n= logby

Γράψτε σε μορφή εκθέτη x= bm και y= bn

∆ιαίρα το x και y ούτως ώστε xy =bmbn = bmminusn

´Ετσι από τον ορισμό των λογαρίθμων το xy = bmminusn

συνεπάγει ότι

logb(xy)

=mminusn= logbxminus logb(y)

Πχ log2(16

4)

= log2(4) = 2

και log2(16

4)

= log2(16)minus log2(4) = 4minus2 = 2Ε Ι Κοντογιώργης copy 33

logb(xn) = n logb(x)

Απόδειξη´Εστω m= logbx και γράψτε σε μορφή εκθέτη x= bm

Αυξάνοντας τις δύο πλευρές στην n δύναμη παίρνουμεxn = (bm)n = bmn

´Ετσι από τον ορισμό των λογαρίθμων τοlogbxn =mn= nm= n(logbx)

Πχ log2(64) = log2(26) = 6 log2(2) = 6

log(64) = 18

Επιπλέον log(64) = log(26) = 6log(2) = 6times030 = 18

Ε Ι Κοντογιώργης copy 34

logb(x) =loga(x)loga(b) agt0 a 6= 1

Απόδειξη´Εστω m= logbx rArr x= bm

Εφαρμόστε loga και στις δύο πλευρές του x= bmγια ναδώσει

logabm = logax rArr m logab= logaxrArr m=logaxlogab

rArr logbx=logaxlogab

Πχ log5(20) =log(20)

log(5)= 186 =

ln(20)

ln(5)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 35

logb(a) =1

loga(b) agt0 a 6= 1

Απόδειξη

logb(x) =loga(x)loga(b) =

logx(x)logx(b)

=1

loga(b)

´Οταν a= x

Πχ log2(64) =1

log64(2)=

116 = 6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 36

Αθροισμα

I Υποθέστε ότι έχουμε μια μεταβλητή x που μπορεί ναπάρει δέκα τιμές Εάν ενδιαφερόμαστε για το άθροισμάτους χωρίς να ξέρουμε την τιμή της κάθε μεταβλητής τότεο καλύτερος τρόπος να το εκφράσουμε είναι

x1 +x2 + middot middot middot+x9 +x10

I Εν συντομία το άθροισμα n στοιχείων x1 +x2 + middot middot middot+xn είναιnsum

i = 1xi

και ερμηνεύεται σαν το άθροισμα όλων των xirsquosξεκινώντας από το x1 (πχ i = 1) μέχρι xn (i = n)

I Εάν δε δοθεί διαφορετικά πάντοτε υποθέτουμε ότι το iαυξάνεται ξεκινώντας από το στάδιο 1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 37

I Το lsquolsquoSigmarsquorsquo Σ είναι γνωστό ως το άθροισμα (summation) ήσύμβολο σίγμα (sigma operator) και ο δείκτης i όνομάζεταιεικονική μεταβλητή

I Παραδείγματα

I

5sum

i = 1xi = x1 +x2 +x3 +x4 +x5

I

5sum

i = 1(y2

i ) = y21 +y22 +y23 +y24 +y25

Σημειώστε ότι η μόνη μεταβλητή που περιγράφεται απευθείαςκάτω από το σύμβολο Σ αυξάνεται κατά 1 κάθε φορά ενώ όλατα άλλα σύμβολα παραμένουν τα ίδια

I

4sum

r = 1(x3r ) = x31 +x32 +x33 +x34

Ε Ι Κοντογιώργης copy 38

I6sum

i = 1i = 1+2+3+4+5+6

I6sum

i = 1i2 = 12 +22 +32 +42 +52 +62

I7sum

i = 3xi = x3 +x4 +x5 +x6 +x7

I4sum

i = 1a = a+a+a+a= 4a

I3sum

i = 1(4+xi) = (4+x1) + (4+x2) + (4+x3)

=3sum

i = 14+

3sum

i = 1xi

Ε Ι Κοντογιώργης copy 39

I3sum

i = 1(2xi) = (2x1) + (2x2) + (2x3) = 2times

3sum

i = 1xi

I Ο συντελεστής i παραλείπεται εάν δε προκαλείαοριστία Για παράδειγμα Σx ή Σixi σημαίνειάθροισμα όλων των x που λαμβάνονται υπόψη

I ∆ήλωσηI

nsumi=1a= na

I sumiaxi = asum

ixi

I sumi

(axi+byi) = asumixi +bsum

iyi

Ε Ι Κοντογιώργης copy 40

I Αθροιστικός Τύπος

Insum

i = 1i = 1+2+ middot middot middot+n=

n(n+1)

2

Πχ6sumi = 1i = 1+2+3+4+5+6 =

6(6+1)

2 = 21

Insum

i = 1i2 = 12 +22 + middot middot middot+n2 =

n(n+1)(2n+1)

6

Πχ6sumi = 1i2 = 12 +22 +32 +42 +52 +62

=6(6+1)(12+1)

6 = 91

Ε Ι Κοντογιώργης copy 41

Insum

i = 1i3 = 13 +23 + middot middot middot+n3 =

n2(n+1)2

4

Πχ6sumi = 1i3 = 13 +23 +33 +43 +53 +63

=62(6+1)2

4 = 441

Ε Ι Κοντογιώργης copy 42

ΠαραδήγματαΑριθμητική Πρόοδος

I Γενικά μπορούμε να εκφράσουμε μια αριθμητική πρόοδο ωςεξής

αριθμητική πρόοδος a a+d a+2d a+3d

όπου ο πρώτος όρος είναι a και η διαφορά d Ο όρος nτης απ δίνεται από τη σχέση b = a+ (nminus1)d

I 3 5 7 9 11 είναι μια αριθμητική πρόοδος Οπρώτος όρος είναι το 3 και η διαφορά είναι 2

I 2 minus1 minus4 minus7 είναι μια αριθμητική πρόοδος όπου οπρώτος όρος είναι 2 και η διαφορά minus3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 43

I Το άθροισμα των όρων μιας αριθμητικής προόδου είναιγνωστό ως αριθμητική σειρά

Sn = a+ (a+d) + (a+2d) + middot middot middot+ (a+ (nminus1)d)

=nsumi=1

(a+ (iminus1)d

)= na+

nsumi=1

(iminus1)d

= na+dnminus1sumi=1

i = na+d(nminus1)n2

=n2(2a+d(nminus1)) =

n2(a+b) b = a+d(nminus1)

I ΑΠ 3 5 7 9 11 13 rArr Sn =62(3+13) = 48

Ε Ι Κοντογιώργης copy 44

∆ιπλό Αθροισμα4sumi=1

isumj=1

j = (1) + (1+2) + (1+2+3) + (1+2+3+4) = 20

nsumi=1

isumj=1

j =nsumi=1

( isumj=1

j)

nsumi=1

(12 i(i+1)

)=

12

nsumi=1

(i2 + i)

12( nsumi=1

i2 +nsumi=1

i)

=12(16n(n+1)(2n+1) +

12n(n+1)

)

=12

16n(n+1)

((2n+1) +3

)=

n6(n+1)(n+2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 45

∆ιπλό Αθροισμα

nsumi=1

msumj=1

(i+ j+2) =nsumi=1

( msumj=1

(i+ j+2))

nsumi=1

( msumj=1

i+msumj=1

j+msumj=1

2)

=nsumi=1

(mi+ 1

2m(m+1) +2m)

m( nsumi=1

i+ 12

nsumi=1

(m+5))

= m(12n(n+1) +

12n(m+5)

)

=mn2(m+n+6

)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 46

Insumr=1

1r(r+1)

=nsumr=1

(Ar +

Br+1

)=

nsumr=1

A(r+1) +Brr(r+1)

I A(r+1) +Br = 1

I Για r = 0 τότε A= 1 και για r =minus1 τότε B=minus1

I

nsumr=1

1r(r+1)

=nsumr=1

(1r minus

1r+1

)

=(

(11 minus

12) + (

12 minus

13) + (

13 minus

14) + middot middot middot+ (

1nminus1 minus

1n ) + (

1n minus

1n+1)

)

= 1minus 1n+1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 47

Insumk=1

1(k+2)(k+3)

=nsumk=1

( A(k+2)

+B

(k+3)

)=

nsumk=1

A(k+3) +B(k+2)

(k+2)(k+3)

I A(k+3) +B(k+2) = 1

I Για k=minus2 τότε A= 1 και για k=minus3 τότε B=minus1

I

nsumk=1

1(k+2)(k+3)

=nsumk=1

( 1(k+2)

minus 1(k+3)

)

=(

(13 minus

14)+(

14 minus

15)+(

15 minus

16)+ +(

1n+1 minus

1n+2)+(

1n+2 minus

1n+3)

)

=13 minus

1n+3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 48

Αθροισμα με Λογάριθμους

nsumi=1

logb(i) = logb(1) + logb(2) + middot middot middot+ logb(n)

= logb(1times2times3timesmiddotmiddot middottimesn)

= logb(n)

I Το n (n παραγοντικό) δίνεται από n = 1times2timesmiddotmiddot middottimesn και0 = 1

I100sumi=1

log2(100) = log2(100) =log(100)

log(2)=

log(99)

log(2)+

2log(2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 49

Γινόμενο των ακολουθιώνIn

prodi=1xi = x1timesx2timesx3timesmiddotmiddot middottimesxn

In

prodi=1i = 1times2times3timesmiddotmiddot middottimesn= n

In

prodi=1z= ztimesztimesmiddotmiddot middottimesz= zn

I

nprodi=1

(1+

1i+1

)=(1+

12)times(1+

13)times(1+

14)times times(1+

1n )times(1+

1n+1)

=32 times

43 times

54 timesmiddotmiddot middottimes

n+1n times n+2

n+1

=n+22

Ε Ι Κοντογιώργης copy 50

Γεωμετρικές ΠροόδοιI Μια γεωμετρική πρόοδος είναι μια σειρά αριθμών όπου

κάθε όρος μετά των πρώτο υπολογίζεται από τονπολλαπλασιασμό του προηγούμενου όρου με ένασταθερό αριθμό που καλείται αναλογία

I Η σειρά1 3 9 27 81 middot middot middot

είναι μια γεωμετρική πρόοδος με πρώτο όρο το 1 καιαναλογία 3

I Η αναλογία μπορεί να είναι κλάσμα καθώς επίσης καιαρνητικός αριθμός Για παράδειγμα η γεωμετρικήπρόοδος με πρώτο όρο το 2 και αναλογία minus13 είναι

2 minus 23 +

29 minus

227 +

281 middot middot middot

Ε Ι Κοντογιώργης copy 51

I Γενικά μπορούμε να γράψουμε μια γεωμετρική πρόοδο ωςακολούθως

γεωμετρική πρόοδος a ar ar2 ar3 ar4 middot middot middot

όπου ο πρώτος όρος είναι a και η αναλογία r

I Σημαντικά θεωρήματα των γεωμετρικών προόδων (γπ)1 Ο n όρος μιας γπ δίνεται από ar(nminus1)

2 Το άθροισμα των πρώτων n όρων μιας γπ είναι

Sn =a(1minus rn)

1minus r =a(rnminus1)

rminus1 και ισχύει μόνο αν r 6= 1

I Το άθροισμα των όρων μιας γεωμετρικής προόδουονομάζεται γεωμετρική σειρά

Ε Ι Κοντογιώργης copy 52

Γεωμετρική σειρά

Sn = a+ar+ar2 +ar3 + middot middot middot+arnminus2 +arnminus1

rSn = ar+ar2 +ar3 + arnminus1 +arn

Snminus rSn = aminusarn

(1minus r)Sn = a(1minus rn)

Sn =a(1minus rn)

(1minus r) =a(rnminus1)

(rminus1)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 53

I Παράδειγμα1 Βρείτε το άθροισμα των πρώτων 10 όρων μιας γεωμετρικής

σειράς4 8 16 32

Ο πρώτος όρος είναι a= 4 και η αναλογία r = 2 καιn= 10 ´Ετσι

S10 =4(1minus210)

1minus2 = 4092

2 Θεωρείστε τη γπ4 minus8 16 minus32 64 minus128 256 minus512

Σε αυτή την περίπτωση ο πρώτος όρος είναι a= 4 ηαναλογία είναι r =minus2 και n= 8´Ετσι

S8 =4(1minus (minus2)8)

1minus (minus2)=minus340

Ε Ι Κοντογιώργης copy 54

Συνεχείς ανατοκισμός

Οι περισσότεροι τραπεζικοί λογαριασμοί και τα δάνειαυιοθετούν ανατοκισμό - εφαρμόζοντας συνεχή ανατοκισμόΘεωρείστε ένα λογαριασμό που προσφέρει τόκο με ετήσιοεπιτόκιο r (πχ 7) Εάν το επιτόκιο είναι συνεχέςσε χρονιαία βάση τότε μετά από 1 χρόνο το χρονιαίοεπιτόκιο προστίθεται στο αρχικό κεφάλαιο για νακαθορίσει ένα μεγαλύτερο κεφάλαιο τον δεύτερο χρόνο

´Ετσι κατά τη διάρκεια του δεύτερου χρόνου ολογαριασμός κερδίζει επιτόκιο πάνω στο επιτόκιοΑυτή είναι η επίδραση του ανατοκισμού που συνεχίζεταιχρόνο με το χρόνο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 55

I Με τον ετήσιο ανατοκισμό το κεφάλαιο πουσυσσωρεύεται στο λογαριασμό πολλαπλασιάζεται με

(1+ r)

´Ετσι το κεφάλαιο A θα αυξηθεί σε

A(1+ r) = A+A middot r

τον επόμενο χρόνο

I Με το πέρας και του δεύτερου χρόνου το κεφάλαιο θααυξηθεί ακόμα (1+ r) σε (1+ r)2

´Ετσι το κεφάλαιο καταλήγει σε

A(1+ r)(1+ r) = A(1+ r)2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 56

I Κατά παρόμοιο τρόπο στο τέλος του τρίτου χρόνου τοποσό θα αυξηθεί κατά (1+ r)3

I Μετά από n χρόνια το ποσό θα αυξηθεί κατά (1+ r)n

I ´Ετσι το κεφάλαιο (επένδυση) A θα αυξηθεί με συνεχήανατοκισμό σε A(1+ r)n μετά από n χρόνια

I Ο τύπος (1+ r)n εκθέτει γεωμετρική αύξηση λόγω τηςn δύναμης

Ε Ι Κοντογιώργης copy 57

ΠαραδείγματαI Εάν το επιτόκιο είναι r = 5 τότε το κεφάλαιοA= $1000 που βρίσκεται στην τράπεζα n= 20 χρόνιαθα αυξηθεί κατά

(1+ r)n = (1+005)20 = 2653 φορές

´Ετσι το ποσό θα καταλήξειA(1+ r)n = $265330

I Βρέστε το χρόνο που χρειάζεται για ένα λογαργιασμό ναδιπλασιάσει το διαθέσιμο κεφάλαιο του όταν r = 7 καιr = 10Ζητούμε να βρούμε το n έτσι ώστε

(1+ r)n = 2Ε Ι Κοντογιώργης copy 58

I Υπολογίζοντας το λογάριθμο του τελευταίου παίρνουμε

log(1+ r)n = log(2)ή n log(1+ r) = log(2)

´Ετσιn=

log2log(1+ r)

I Για r = 7 και r = 10 ο χρόνος n πουχρειάζεται για διπλασιασμό της επένδυσης υπολογίζεταισε 1024 και 727 αντίστοιχα

Ε Ι Κοντογιώργης copy 59

I Αν το επιτόκιο είναι r = 7 τότε πιο θα είναι τοσυνολικό ποσό στο λογαριασμό μετά από 205 και41 χρόνια αντίστοιχα

Μετά τα πρώτα 1025 χρόνια το ποσό A θαδιπλασιαστεί σε 2A Για τα επόμενα 1025 χρόνιατο ποσό θα ξαναδιπλασιαστεί σε 4A ´Ετσι μετά από205 χρόνια το ποσό θα αυξηθεί κατά 4 φορές

Με το πέρας ακόμα 205 χρόνων το ποσό θα αυξηθείακόμα 4 φορές σε 16 ´Ετσι μετά από 41 χρόνιατο κεφάλαιο A γίνεται 16A

Ε Ι Κοντογιώργης copy 60

Ασκήσεις και Παραδείγματα

I Υπολογίστε τη Μελλοντική Αξία (Future Value (FV)) τουκεφαλαίου A= 1500 που κερδίζει ετήσιο επιτόκιοr = 5 για n= 10 έτη

FV =A(1+ r)n = 1500(1+005)10 = 244334

I Πόσα έτη απαιτούνται για να τριπλασιαστεί ένα ποσόπου αφήνετε στην τράπεζα με επιτόκιο r = 5∆ηλαδή βρείτε το n όπου A= 1 r = 5 και FV = 3

FV =A(1+ r)n ή (1+ r)n =FVA

Ε Ι Κοντογιώργης copy 61

Υπολογίζοντας τους λογαρίθμους παίρνουμε

log(1+ r)n = log(FVA)

ή n log(1+ r) = log(FVA)

´Ετσι

n=log(FVA)

log(1+ r) =log(3)

log(105)

= 2252

Ε Ι Κοντογιώργης copy 62

I Βρείτε την παρούσα αξία A έτσι ώστε σε δέκα έτη μεσταθερό επιτόκιο r = 6 να είναι 100KΒρείτε το A όπου FV = 100000 r = 6 και n= 10

FV =A(1+ r)n ή A=FV

(1+ r)n

´Ετσι A=100000

(106)10= 5583948

I Βρείτε την ετησιοποιημένη απόδοση (AER AnnualEquivalent Rate) μιας μηνιαίας κατάθεσης με σταθερόεπιτοκίο 394 Μια τέτοια κατάθεση λαμβάνει το επιτόκιο στη λήξηΣυνεπώς κάθε μήνα ο λογαριασμός λαμβάνει

r = 0039412 = 000328

επιτόκιο που επανεπενδύεται (συνεχής ανατοκισμός)Ε Ι Κοντογιώργης copy 63

Επανεπενδύοντας το επιτόκιο κάθε μήνα στη διάρκειαενός έτους το κεφάλαιο θα αυξηθεί σε

(1+ r)12 = (1+000328)12 = 104012

´Ετσι το ΑΕΡ είναι ισοδύναμο με 004012 = 4012I Υπολογίστε το επιτόκιο ενός σταθερού λογαριασμού

κατάθεσης 7-ημερών που έχει AER επιτόκιο r = 425Θεωρείστε ρ το εβδομαδιαίο επιτόκιο

´Ετσι (1+ρ)52 = (1+00425)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 64

Παίρνοντας τους λογαρίθμους έχουμε52log(1+ρ) = log10425

ή log(1+ρ) =log10425

52

ή 1+ρ= 10( log10425

52)

Αυτό μας δίνει

ρ= 10

( log1042552

)minus1 = 008

´Ετσι το συνεχές επιτόκιο μιας επταήμερης κατάθεσης είναιρtimes52 = 41638

Εναλλακτικά (1+ρ)52 = (1+00425) δίνει

(1+ρ) =52radic10425ή ρ=

52radic10425minus = 008Ε Ι Κοντογιώργης copy 65

I Υπολογίστε την ετήσια απόδοση r έτσι ώστε A= 10000να επιστρέφει FV = 35000 σε n= 20 χρόνια

FV =A(1+ r)n ή (1+ r)n =FVA

´Ετσι

1+ r =nradic

FVA

Επομένως

r =nradic

FVA minus1 =

20radic

3500010000 minus1 = 00646 = 646

Ε Ι Κοντογιώργης copy 66

Εναλλακτικά παίρνοντας τους λογαρίθμους

log(1+ r)n = log(FVA) ή n log(1+ r) = log

(FVA)

´Ετσι

1+ r = 10(1n log

(FVA))

ή r = 10(1n log

(FVA))minus1

= 10( 120 log

(3500010000

))minus1

= 646

Ε Ι Κοντογιώργης copy 67

Γραφική Αναπαράσταση I

I Υποθέστε ότι έχουμε y= 3x+2 Καθώς έχουμε μόνο μιαδύναμη για το x πρέπει να λύσουμε γραμμική εξίσωσηκαι να σχεδιάσουμε μια ευθεία γραμμή Αρχικά θα πρέπεινα σχεδιάσουμε ένα T-chart Αυτό έχει τη μορφή

x y = 3x+2 (xy)

I Επιλέγουμε μια τιμή για το x και λύνουμε ως προς y

x y= 3x+2 (xy)minus2 minus4 (minus2minus4)0 2 (02)2 8 (28)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 68

Γραφική Αναπαράσταση II

-

6

X

Y

bull

bull

bull

I Βλέπουμε μια ευθεία με ανοδική τάση (έχοντας θετικήκλίση m= 3) καιτέμνει τον άξονα y στο σημείο y= 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 69

Γραφική Αναπαράσταση III

I Μια Τετραγωνική εξίσωση περιέχει x2 Για τηναναπαράσταση τετραγωνικών εξισώσεων χρειάζεται ναβρούμε περισσότερα από τρία σημεία στο σχεδιάγραμμα

Για παράδειγμα υποθέστε ότι y= x2minus6x+5 καιδίνεται το πιο κάτω T-chart

x y= x2minus6x+5 (xy)0 5 (05)1 0 (10)3 minus4 (3minus4)5 0 (50)6 5 (65)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 70

Γραφική Αναπαράσταση IV

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

-

6

X

Y

bull

bull

bull

bull

bull

Ε Ι Κοντογιώργης copy 71

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(1x + 2)

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(-3x + 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 72

-15

-10

-5

0

5

10

15

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(3x - 2)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 73

-20

0

20

40

60

80

100

120

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2+x)

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 74

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

1250

1500

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3+x2+x)

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x4)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 75

-25

-2

-15

-1

-05

0

05

1

15

2

25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(log(x))

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(x))

Ε Ι Κοντογιώργης copy 76

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(-x))

-5000

0

5000

10000

15000

20000

25000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(exp(x)+x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 77

Ανισότητες I

I Οι ανισότητες αποτελούνται από δύο ή τρεις αλγεβρικέςεκφράσεις που είναι συνδεδεμένες με τα σύμβολαανισότητας Τα σύμβολα αυτά είναι

lt μικρότερο τουgt μεγαλύτερο τουle μικρότερο ή ίσο τουge μεγαλύτερο ή ίσο του

I Παραδείγματα xgty yge x2 και ylt5x+1

I Το πρώτο βήμα για την αναπαράσταση ανισότητας τηςμορφής ygtx είναι να παραστήσουμε γραφικά τηνισότητα y= x

Ε Ι Κοντογιώργης copy 78

Ανισότητες II

I ygtx

Κάνετε δοκιμή με ένα σημείο να δείτε κατά πόσοικανοποιεί την ανισότητα Εάν ναι τότε σκιάστε τηνπεριοχή αυτή του σχεδιαγράμματος διαφορετικά σκιάστετην άλλη πλευρά

Ε Ι Κοντογιώργης copy 79

Ανισότητες III

I yltx

Ε Ι Κοντογιώργης copy 80

Ανισότητες IV

I yle 5x+1 και ygt5x+1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 81

Ανισότητες V

I yge x2 και yle x2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 82

Ανισότητες VI

I ygtx3 και yle x3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 83

Συστήματα Γραμμικών ΕξισώσεωνΠεριεχόμενα

1 Ε

2 Γ Α

ΑναφορέςΚεφάλαια 4 και 5FS Budnick Applied Mathematics for Business Economicsand the Social Sciences 4th edition McGraw-Hill 1993

Ε Ι Κοντογιώργης copy 84

Συστήματα Εξισώσεων

I ´Ενα σύστημα εξισώσεων συνδυάζει περισσότερες από μίαεξισώσεις

I ´Ενα σύστημα m εξισώσεων όπου κάθε εξίσωσηαποτελείται από n μεταβλητές ονομάζεται mtimesnσύστημα ή λέμε ότι έχει διαστάσεις mtimesn

I ΠαράδειγμαΠαρακάτω έχουμε ένα σύστημα 2times2

5X+10Y= 203X+4Y= 10

Οι μεταβλητές σε αυτή την περίπτωση είναι X και YΕ Ι Κοντογιώργης copy 85

Συστήματα Επίλυσης

I Το Σύστημα επίλυσης είναι μια σειρά τιμών μεταβλητώνπου ικανοποιούν το σύστημα ταυτόχρονα

I Σε μια σημειογραφική παράσταση το προηγούμενοπαράδειγμα μπορεί να γραφτεί ως εξής

S = (XY) | 5X+10Y = 20 και 3X+4Y = 10

I Το σύστημα επίλυσης μπορεί να είναι1 μηδενικό2 πεπερασμένο ή3 άπειρο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 86

2times2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική Ανάλυση

I Σε ένα δισδιάστατο γράφημα ένα σύστημα εξισώσεων2times2 αναπαρίστανται με ευθείες γραμμές Υπόρχουν τρίαενδεχόμενα

1 Οι ευθείες τέμνονται Το σημείο τομής αντιπροσωπεύει τηλύση του συστήματος εξισώσεων Αυτό το σημείοαλληλεπίδρασης είναι μια δέσμη τιμών X και Y που ικανοποιείκαι τις δύο εξισώσειςΕάν υπάρχει μόνο μια δέσμη τιμών για τις μεταβλητές που ναικανοποιεί το σύστημα εξισώσεων το σύστημα λέμε ότι έχειΜ Λ

2 Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες μεταξύ τους ∆εν έχουν κοινόσημείο Συνεπώς οι ευθείες δεν τέμνονται ποτέ Το σύστημαλέμε ότι ∆ ΛΑυτό υπονοεί ότι δεν υπάρχουν τιμές για τις μεταβλητές πουνα ικανοποιούν και τις δύο εξισώσεις Σε αυτή τηνπερίπτωση οι εξισώσεις στο σύστημα είναι Α

3 Και οι δύο εξισώσεις αναπαρίστανται ως μια κοινή ευθεία καιθεωρούνται ισοδύναμες εξισώσεις ´Ετσι το σύστημα έχειΑ Λ Αυτό συμβαίνει γιατί υπάρχει άπειροςαριθμός κοινών σημείων στις δύο γραμμές

Ε Ι Κοντογιώργης copy 87

I Π Θεωρείστε ένα σύστημα 2times22X+4Y= 203X+ Y= 10

I

X

Y

(24)

3X +Y = 10

2X +4Y = 20

0 2 4 6 8 10 12

2

4

6

8

10

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 88

I Το σημείο τομής δίνεται από το X= 2 και Y= 4Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές του X και Y στις δύοεξισώσεις δίνουν 20 = 20 και 10 = 10 αντίστοιχα

I Αυτό υποδειλώνει ότι X= 2 και Y= 4 είναι η σωστή λύση

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times23Xminus2Y= 6

minus15X+10Y=minus30

I

X

Y

(20)

(0minus3)

3X minus2Y = 6

minus15X +10Y =minus30

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 89

I Οι δύο εξισώσεις απλοποιούνται σε Xminus 23 Y= 2

Οι δύο εξισώσεις είναι ισοδύναμες και δίνουν έναπεπερασμένο αριθμό λύσεων έτσι ώστε

X= 0 Y =minus3X= 2 Y = 0X= 4 Y = 3

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times26Xminus12Y= 24

minus32X+3Y= 9

Οι εξισώσεις απλοποιούνται σεXminus2Y= 4Xminus2Y=minus6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 90

I

X

Y

(40)

(0minus2)

(minus60)

(03)

X minus2Y =minus6

X minus2Y = 4

0-0

I Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες και συνεπώς το σύστημαδεν έχει λύση ´Ετσι το σύστημα εξισώσεων είναιασύμπτωτο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 91

Περίληψη 2times2 Συστήματα Εξισώσεων∆ίνεται ένα Σύστημα Γραμμικών Εξισώσεων 2times2

Y=m1X+ c1Y=m2X+ c2

1 Υπάρχει μια στο σύστημα εάνm1 6= m2

2 ∆εν υπάρχει στο σύστημα εάνm1 = m2 και c1 6= c2

3 Υπάρχει εάνm1 = m2 και c1 = c2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 92

∆ιαδικασίες Απαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής χρησιμοποιεί πολλαπλασιασμόκαι πρόσθεση έτσι ώστε

1 Να απαλοιφεί μια από τις δύο μεταβλητές

2 Η εξίσωση που εξάγεται είναι συνάρτηση των υπόλοιπωνμεταβλητών

3 Αντικαθιστώντας την τιμή στην μεταβλητή σε μια από τιςαρχικές εξισώσεις βρίσκουμε την τιμή για τηναπολοιφθήσα μεταβλητή

Ε Ι Κοντογιώργης copy 93

ΠαραδείγματαI Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

2X +4Y = 20 (1)3X + Y = 10 (2)

Πολλαπλασιάζοντας τη δεύτερη εξίσωση με minus4 παίρνουμε

minus12X minus4Y =minus40 (3)

Προσθέτοντας την εξίσωση (1) στο (3)

2X + 4Y = 20minus12X minus 4Y = minus40minus10X = minus20

ή

X = 2 (4)Ε Ι Κοντογιώργης copy 94

Αντικαθιστώντας X= 2 στην εξίσωση (1) δίνεται2 middot2+4Y = 20 ή Y=4

´Ετσι η μοναδική λύση του συστήματος δίνεται από τοX= 2 και Y= 4 Μπορεί να επιβεβαιωθεί ότι αυτή είναι ησωστή λύση αντικαθιστώντας X= 2 και Y= 4 στηνεξίσωση (1) και (2)

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times23X minus2Y = 6 (5)

minus15X +10Y =minus30 (6)

Για την απαλοιφή της μεταβλητής X η εξίσωση (5)πολλαπλασιάζεται με 5 και το αποτέλεσμα προστίθεταιστην εξίσωση (6)

15X minus 10Y = 30minus15X + 10Y = minus30

0 = 0 Ε Ι Κοντογιώργης copy 95

Οι τελευταίες πράξεις υπονοούν ότι οι εξίσωσεις (5) και(6) είναι ισοδύναμες και έτσι υπάρχει άπειρος αριθμόςλύσεωνΓια να προσδιορίσουμε τις λύσεις του συστήματος μια απότις αρχικές εξισώσεις λύνεται ως προς μια μεταβλητή Ανγια παράδειγμα η εξίσωση (5) λύνεται ως προς Y δίνει

Y =32Xminus3

Σαν αποτέλεσμα γενικεύοντας τις λύσεις του συστήματοςέχουμε

X τυχαίο και Y =32Xminus3

Πχ για X= 4 υπονοείται ότι Y=32 middot4minus3 = 3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 96

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

6X minus12Y = 24 (7)

minus32X +3Y = 9 (8)

Πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση (8) με 4 καιπροσθέτοντας το αποτέλεσμα στην εξίσωση (7)παίρνουμε

6X minus 12Y = 24minus6X + 12Y = 36

0 = 60

Η πιο πάνω αντιλογία υπονοεί ότι δεν υπάρχει λύση τουσυστήματος εξισώσεων

Ε Ι Κοντογιώργης copy 97

3times2 Συστήματα Εξισώσεων I

1 Μ Λ

X

Y

(32)

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minusY = 1

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 98

3times2 Συστήματα Εξισώσεων II

2 Α Λ

X

Y Εξις (1)Εξις (2)Εξις (3)

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 99

3times2 Συστήματα Εξισώσεων III3 Κ

(α) ´Οταν και οι τρεις εξισώσεις είναι παράλληλες

X

Y

2X minusY =minus8

2X minusY = 2

2X minusY = 12

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 100

3times2 Συστήματα Εξισώσεων IV(β) ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ τωνεξισώσεων

X

Y

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minus2Y =minus4

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 101

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική ΑνάλυσηΣε ένα γράφημα 2 διαστάσεων ένα σύστημα mtimes2(mgt2) εξισώσεων παριστάνεται με m ευθείες ´Οπωςσυμβαίνει στα συστήματα 2times2 υπάρχουν τρίαενδεχόμενα

1 ´Ολες οι ευθείες τέμνονται στο ίδιο σημείο και έτσιυπάρχει

2 ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ των mεξισώσεων Αυτό σημαίνει ότι όλες οι ευθείες είναιπαράλληλες Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα Λ

3 Οι m εξισώσεις είναι ισοδύναμες πχ παρασταίνονται σανμια ευθεία Σε αυτή την περίπτωση υπάρχει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 102

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων ∆ιαδικασίαΑπαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής για την επίλυση ενός συστήματοςmtimes2 μπορεί να περιγραφεί ως ακολούθωςΕπιλέξτε και λύστε σύστημα με δύο εξισώσεις

1 Εάν δεν υπάρχει λύση τότε ολόκληρο το σύστημα δεν έχειλύση

2 Εάν υπάρχει μοναδική λύση που ικανοποιεί τις υπόλοιπεςmminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα έχει μία μοναδική λύση

3 Εάν η λύση είναι μοναδική αλλά δεν ικανοποιεί τιςυπόλοιπες mminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα δεν έχει λύση

4 Εάν οι 2 λύσεις είναι ισοδύναμες απάλοιψτε τη μίααπό τις δύο εξισώσεις και ξεκινήστε από την αρχήλαμβάνοντας υπόψη ένα σύστημα (mminus1)times2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 103

ΠαράδείγμαI Θεωρείστε ένα σύστημα 5times2

XminusY= 1X+2Y=minus8

3Xminus2Y= 02Xminus5Y= 11minus4X+3Y=minus1

I Η λύση των πρώτων δύο εξισώσεων δίνετε απόY =minus3 και X =minus2

I Αντικαθιστώντας τη λύση στις υπόλοιπες τρεις εξισώσειςπαίρνετε αντίστοιχα

0 = 0 11 = 11 και minus1 =minus1I Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση

X=minus2 και Y=minus3Ε Ι Κοντογιώργης copy 104

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian

Η μέθοδος απολοιφής Gaussian μετατρέπει το αρχικόσύστημα εξισώσεων σε διαγώνια μορφή επαναλαμβάνονταςστις εξισώσεις τις ακόλουθες τρεις διαδικασίες

1 Πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης μεμια θετική σταθερά

2 Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού θα προστεθεί σεάλλη εξίσωση

3 Η σειρά των εξισώσεων μπορεί να αλλάξει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 105

ΠαράδείγμαΠ Θεωρείστε το σύστημα 2times2

2X minus 3Y = 7 (Εξ 1)X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με 12 για να πάρετε

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με minus1 καιπροσθέστε την στην (Εξ 2)

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

52Y =

152 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 106

Στάδιο 3 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 25

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

Y = 3 (Εξ 2)

Στάδιο 4 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 32 και

προσθέστε την στην (Εξ 1)

X = 1 (Εξ 1)Y = 3 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 107

Π Θεωρείστε το σύστημα 2times2

5X + 20Y = 254X minus 7Y =minus26

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να εκφραστεί ως

R1 5 20 25R2 4 minus7 minus26

Η κάθετη γραμμή χρησιμοποιείται για διαχωρισμό τηςαριστερής από τη δεξιά πλευρά των εξισώσεων Το Riυπονοεί τη γραμμή (Row) i

Ε Ι Κοντογιώργης copy 108

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάζουμε τη R1 με 15 και το θέτουμε

R1larr 15R1

R1 1 4 5R2 4 minus7 minus26

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάζουμε την R1 με minus4 και τηνπροσθέτουμε στην R2 Εν συντομίαR2larrminus4R1+R2

R1 1 4 5R2 0 minus23 minus46

Στάδιο 3 R2larrminus 123R2

R1 1 4 5R2 0 1 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 109

Στάδιο 4 R1larrminus4R2+R1

R1 1 0 minus3R2 0 1 2

Το αρχικό σύστημα εξισώσεων μετατρέπεται σε διαγώνιαμορφή όπως πιο κάτω

X =minus3Y = 2

το οποίο δίνει τη λύση του συστήματος

Ε Ι Κοντογιώργης copy 110

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 I

Το σύστημα εξισώσεων 3times3 μετετρέπεται σε διαγώνιαμορφή Η μετατροπή γίνεται στήλη με στήλη από τααριστερά προς τα δεξιά

Π Θεωρήστε το σύστημα 3times3

X1 + X2 + X3 = 2X1 minus 3X2 + 2X3 = 7

4X1 minus 2X2 minus X3 = 9

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να γραφτεί ως

Ε Ι Κοντογιώργης copy 111

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 II

1 1 1 21 minus3 2 74 minus2 minus1 9

Ε Ι Κοντογιώργης copy 112

∆υνάμειςI Οι εκθέτες αποτελούν συντομογραφία του

πολλαπλασιασμού (5)(5) = 52 και (5)(5)(5) = 53 Εδώτο 5 λέγεται βάση και το 3 λέγεται εκθέτης Μπορείεπίσης να ερμηνευτεί πέντε υψωμένο στην τρίτη δύναμη

I Η δύναμη είναι ο εκθέτης στον οποίο υψώνεται μιαποσότητα Η έκφραση xn είναι γνωστή ως x στη nδύναμη

I Σημειώστε ότι 5253 = (55)(555) = 55 = 5(2+3) Εδώπαρουσιάζεται ένας βασικός κανόνας του εκθέτη Στηπερίπωση που πολλαπλασιάζονται δύο όροι που έχουντην ίδια βάση οι εκθέτες τους μπορούν να προστεθούν

xmxn = x(m+n)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 20

I Στην περίπτωση όμως που (x4)(y3) ο πιο πάνω κανόναςδε μπορεί να εφαρμοστεί γιατί οι βάσεις είναιδιαφορετικές (x4)(y3) = xxxxyyy

I Για (x2)4

= x2x2x2x2 = xxxxxxxx= x8 = x(2times4)

I ´Ετσι στην περίπτωση που έχετε μια εκθετική έκφρασηπου είναι υψωμένη σε μία δύναμη μπορείτε ναπολλαπλασιάσετε τον εκθέτη με τη δύναμη

(xm)n

= xmn

Ε Ι Κοντογιώργης copy 21

I Εάν έχετε μια έκφραση μέσα σε παράνθεση και ηπαράνθεση είναι υψωμένη σε μια δύναμη τότε η δύναμημπορεί να γίνει μέρος τις παράνθεσης Για παράδειγμα

(xy2)3 = (xy2)(xy2)(xy2) = (xxx)(y2y2y2)

= (xxx)(yyyyyy) = x3y6 = (x)3(y2)3 = x3y6

Παρομοίως(xy)2

=x2y2

I ´Ενας αρνητικός εκθέτης είναι ένδειξη ότι η βάση βρίσκεταιστον παρονομαστή του κλάσματος Πχ

xminus2 =1x2

x2xminus3 = x2x3 = x5 2xminus1 =

2x

(3x)minus2 =1

(3x)2 =1

9x2 και(xminus2yminus3

)minus2=

(xminus2)minus2

(yminus3)minus2=x4y6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 22

I Οτιδήποτε στη δύναμη μηδέν είναι lsquo1rsquo

Πχ 50 = 1 x0 = 1 (x2y3)0 = 1 και 00 = 1

Σημειώστε ότι 50 = 5(1minus1) = (51)(5minus1) =55 = 1

I Μηδέν σε οποιαδήποτε δύναμη είναι μηδέν έτσι 0n = 0

Σημειώστε ότι 00 = 1 και ότι 00 = 0

Αυτό υποδειλώνει ότι 00 είναι μια απροσδιόριστη μορφήπου σε κάποιες περπτώσεις παίρνει μία τιμή και σεκάποιες άλλες περιπτώσεις παίρνει διαφορετική τιμή

Ε Ι Κοντογιώργης copy 23

I Κλασματικοί (Αναλογικοί) Εκθέτες

1 Η τετραγωνική ρίζα μπορεί να γραφτεί σε μορφή κλάσματος

´Ετσι radicx= x12

Πχ 212 =

radic2 = 141 και 2

minus12 =

1radic2

= 071

2 Γενικά xab =bradicxa Πχ 7

23 =

3radic72 = 366

355 = 3112 =

2radic311 = 42089

Ε Ι Κοντογιώργης copy 24

ΛογάριθμοιI Η λογαριθμική μορφή ενός αριθμού είναι lsquoαντίθετηrsquo από

την εκθετική Τεχνικά μιλώντας η λογαριθμική μορφήείναι αντίστροφη της εκθετικής

I Η σχέση δίνεται logb(x) = y

που είναι το ίδιο με by = x

I Ο lsquolsquologb(x) = yrsquorsquo προφέρεται lsquolsquolog-βάση-b-του x ισούται yΕδώ b ονομάζεται lsquoβάση του λογαρίθμουrsquo αφού το b είναιη βάση της εκθετικής έκφρασης

I Η βάση b του λογάριθμου είναι πάντοτε θετική και δενισούται με 1

I Οτιδήποτε βρίσκεται μέσα στο λογάριθμο ονομάζεταιέκφραση

Ε Ι Κοντογιώργης copy 25

ΠαραδείγματαI Μετατρέψτε την έκφραση 63 = 216 στην ισοδύναμη

λογαριθμική μορφή

Για τη μετατροπή η βάση μένει η ίδια αλλά το 3 και το216 αλλάζουν θέσεις Αυτό μας δίνει

log6(216) = 3

I Μετατρέψτε τον log4(1024) = 5 στην αντίστοιχηλογαριθμική έκφραση

Για τη μετατροπή η βάση (που είναι 4) παραμένει η ίδιααλλά το 1024 και το 5 αλλάζουν θέσεις ´Ετσι δίνεται

45 = 1024

Ε Ι Κοντογιώργης copy 26

I Υπολογίστε τον log2(8)

Εάν y= log2(8) τότε υπονοείται ότι 2y = 8 Αυτόσημαίνει ότι y είναι η δύναμη του 2 που θα έχει σαναποτέλεσμα 8 Η δύναμη που δίνει το αποτέλεσμα είναι 3αφού 23 = 8 ´Ετσι

log2(8) = 3

I Κατά παρόμοιο τρόπο log5(25) = 2 αφού 52 = 25

I Υπολογίστε τον y= log64(4)

Σημειώστε ότι 64y = 4 και 43 = 64

´Ετσι (43)y

= 4 ή 43y = 41

Η πιο πάνω έκφραση εξυπονοεί ότι 3y= 1 και έτσιy= 13

Ε Ι Κοντογιώργης copy 27

I Υπολογίστε y= log6(6)

Αυτό ισοδυναμεί με το 6y = 6 και συνεπώς y= 1

I Υπολογίστε το y= log3(1)

Το πιο πάνω μπορεί να γραφτεί ως 3y = 1

´Ομως 1 = 30 έτσι 3y = 30 και y= 0

I Υπολογίστε το y= log4(minus16)

Μπορεί να γραφτεί σαν 4y =minus16

´Ομως δεν υπάρχει τιμή (πχ δύναμη) y που ναικανοποιεί τη σχέση ´Ετσι δεν υπάχρει λύση

Ε Ι Κοντογιώργης copy 28

I Υπολογίστε το y= log2(0)

Αυτό σημαίνει 2y = 0 όμως δε υπάρχει τιμή που ναικανοποιεί τη σχέση ´Ετσι δεν υπάχρει λύση

I Υπολογίστε το y= 2log2(9)

Αυτό σημαίνει ότι log2(y) = log2(9) και έτσι y= 9

Ε Ι Κοντογιώργης copy 29

I Γενικά1 logb(b) = 1 για οποιαδήποτε βάση b

2 logb(1) = 0 για οποιαδήποτε βάση b

3 logb(a) δεν ορίζεται για αρνητικά a

4 logb(0) δεν ορίζεται για οποιαδήποτε βάση b

5 logb(bn) = n για οποιαδήποτε βάση b

Ε Ι Κοντογιώργης copy 30

I Οι λογάριθμοι μπορούν να πάρουν οποιοδήποτε αριθμόσαν βάση αλλά δύο βάσεις είναι οι πιο χρήσιμες οlog-βάση-10 και ο log-βάση-e

I Η βάση-10 log συχνά ονομάζεται ο κοινός log καιγράφεται ως log(x) Εδώ δεν αναγράφεται βάση καιμπορούμε να υποθέσουμε ότι η βάση είναι 10

Πχ log(100) = 2 έτσι log10(102) = 2

I Η βάση-e log ονομάζεται ο φυσικός log και γράφεται σανln(x)Πχ ln(e345)= 345 καθώς loge(e345) = 345

Ε Ι Κοντογιώργης copy 31

Ιδιότητες Λογαρίθμωνlogb(xy) = logb(x) + logb(y)

Απόδειξη´Εστω m= logbx και n= logby

Γράψτε σε μορφή εκθέτη x= bm και y= bn

Πολλαπλασιάστε το x και y ούτως ώστεxy= bmbn = bm+n

´Ετσι από τον ορισμό των λογαρίθμων το xy= bm+nσυνεπάγει ότι

logb(xy) =m+n= logbx+ logb(y)

Πχ log2(4times16) = log2(64) = log2(26) = 6

Ακόμα log2(4times16) = log2(4) + log2(16) = 2+4 = 6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 32

logb(xy)

= logb(x)minus logb(y)

Απόδειξη´Εστω m= logbx και n= logby

Γράψτε σε μορφή εκθέτη x= bm και y= bn

∆ιαίρα το x και y ούτως ώστε xy =bmbn = bmminusn

´Ετσι από τον ορισμό των λογαρίθμων το xy = bmminusn

συνεπάγει ότι

logb(xy)

=mminusn= logbxminus logb(y)

Πχ log2(16

4)

= log2(4) = 2

και log2(16

4)

= log2(16)minus log2(4) = 4minus2 = 2Ε Ι Κοντογιώργης copy 33

logb(xn) = n logb(x)

Απόδειξη´Εστω m= logbx και γράψτε σε μορφή εκθέτη x= bm

Αυξάνοντας τις δύο πλευρές στην n δύναμη παίρνουμεxn = (bm)n = bmn

´Ετσι από τον ορισμό των λογαρίθμων τοlogbxn =mn= nm= n(logbx)

Πχ log2(64) = log2(26) = 6 log2(2) = 6

log(64) = 18

Επιπλέον log(64) = log(26) = 6log(2) = 6times030 = 18

Ε Ι Κοντογιώργης copy 34

logb(x) =loga(x)loga(b) agt0 a 6= 1

Απόδειξη´Εστω m= logbx rArr x= bm

Εφαρμόστε loga και στις δύο πλευρές του x= bmγια ναδώσει

logabm = logax rArr m logab= logaxrArr m=logaxlogab

rArr logbx=logaxlogab

Πχ log5(20) =log(20)

log(5)= 186 =

ln(20)

ln(5)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 35

logb(a) =1

loga(b) agt0 a 6= 1

Απόδειξη

logb(x) =loga(x)loga(b) =

logx(x)logx(b)

=1

loga(b)

´Οταν a= x

Πχ log2(64) =1

log64(2)=

116 = 6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 36

Αθροισμα

I Υποθέστε ότι έχουμε μια μεταβλητή x που μπορεί ναπάρει δέκα τιμές Εάν ενδιαφερόμαστε για το άθροισμάτους χωρίς να ξέρουμε την τιμή της κάθε μεταβλητής τότεο καλύτερος τρόπος να το εκφράσουμε είναι

x1 +x2 + middot middot middot+x9 +x10

I Εν συντομία το άθροισμα n στοιχείων x1 +x2 + middot middot middot+xn είναιnsum

i = 1xi

και ερμηνεύεται σαν το άθροισμα όλων των xirsquosξεκινώντας από το x1 (πχ i = 1) μέχρι xn (i = n)

I Εάν δε δοθεί διαφορετικά πάντοτε υποθέτουμε ότι το iαυξάνεται ξεκινώντας από το στάδιο 1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 37

I Το lsquolsquoSigmarsquorsquo Σ είναι γνωστό ως το άθροισμα (summation) ήσύμβολο σίγμα (sigma operator) και ο δείκτης i όνομάζεταιεικονική μεταβλητή

I Παραδείγματα

I

5sum

i = 1xi = x1 +x2 +x3 +x4 +x5

I

5sum

i = 1(y2

i ) = y21 +y22 +y23 +y24 +y25

Σημειώστε ότι η μόνη μεταβλητή που περιγράφεται απευθείαςκάτω από το σύμβολο Σ αυξάνεται κατά 1 κάθε φορά ενώ όλατα άλλα σύμβολα παραμένουν τα ίδια

I

4sum

r = 1(x3r ) = x31 +x32 +x33 +x34

Ε Ι Κοντογιώργης copy 38

I6sum

i = 1i = 1+2+3+4+5+6

I6sum

i = 1i2 = 12 +22 +32 +42 +52 +62

I7sum

i = 3xi = x3 +x4 +x5 +x6 +x7

I4sum

i = 1a = a+a+a+a= 4a

I3sum

i = 1(4+xi) = (4+x1) + (4+x2) + (4+x3)

=3sum

i = 14+

3sum

i = 1xi

Ε Ι Κοντογιώργης copy 39

I3sum

i = 1(2xi) = (2x1) + (2x2) + (2x3) = 2times

3sum

i = 1xi

I Ο συντελεστής i παραλείπεται εάν δε προκαλείαοριστία Για παράδειγμα Σx ή Σixi σημαίνειάθροισμα όλων των x που λαμβάνονται υπόψη

I ∆ήλωσηI

nsumi=1a= na

I sumiaxi = asum

ixi

I sumi

(axi+byi) = asumixi +bsum

iyi

Ε Ι Κοντογιώργης copy 40

I Αθροιστικός Τύπος

Insum

i = 1i = 1+2+ middot middot middot+n=

n(n+1)

2

Πχ6sumi = 1i = 1+2+3+4+5+6 =

6(6+1)

2 = 21

Insum

i = 1i2 = 12 +22 + middot middot middot+n2 =

n(n+1)(2n+1)

6

Πχ6sumi = 1i2 = 12 +22 +32 +42 +52 +62

=6(6+1)(12+1)

6 = 91

Ε Ι Κοντογιώργης copy 41

Insum

i = 1i3 = 13 +23 + middot middot middot+n3 =

n2(n+1)2

4

Πχ6sumi = 1i3 = 13 +23 +33 +43 +53 +63

=62(6+1)2

4 = 441

Ε Ι Κοντογιώργης copy 42

ΠαραδήγματαΑριθμητική Πρόοδος

I Γενικά μπορούμε να εκφράσουμε μια αριθμητική πρόοδο ωςεξής

αριθμητική πρόοδος a a+d a+2d a+3d

όπου ο πρώτος όρος είναι a και η διαφορά d Ο όρος nτης απ δίνεται από τη σχέση b = a+ (nminus1)d

I 3 5 7 9 11 είναι μια αριθμητική πρόοδος Οπρώτος όρος είναι το 3 και η διαφορά είναι 2

I 2 minus1 minus4 minus7 είναι μια αριθμητική πρόοδος όπου οπρώτος όρος είναι 2 και η διαφορά minus3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 43

I Το άθροισμα των όρων μιας αριθμητικής προόδου είναιγνωστό ως αριθμητική σειρά

Sn = a+ (a+d) + (a+2d) + middot middot middot+ (a+ (nminus1)d)

=nsumi=1

(a+ (iminus1)d

)= na+

nsumi=1

(iminus1)d

= na+dnminus1sumi=1

i = na+d(nminus1)n2

=n2(2a+d(nminus1)) =

n2(a+b) b = a+d(nminus1)

I ΑΠ 3 5 7 9 11 13 rArr Sn =62(3+13) = 48

Ε Ι Κοντογιώργης copy 44

∆ιπλό Αθροισμα4sumi=1

isumj=1

j = (1) + (1+2) + (1+2+3) + (1+2+3+4) = 20

nsumi=1

isumj=1

j =nsumi=1

( isumj=1

j)

nsumi=1

(12 i(i+1)

)=

12

nsumi=1

(i2 + i)

12( nsumi=1

i2 +nsumi=1

i)

=12(16n(n+1)(2n+1) +

12n(n+1)

)

=12

16n(n+1)

((2n+1) +3

)=

n6(n+1)(n+2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 45

∆ιπλό Αθροισμα

nsumi=1

msumj=1

(i+ j+2) =nsumi=1

( msumj=1

(i+ j+2))

nsumi=1

( msumj=1

i+msumj=1

j+msumj=1

2)

=nsumi=1

(mi+ 1

2m(m+1) +2m)

m( nsumi=1

i+ 12

nsumi=1

(m+5))

= m(12n(n+1) +

12n(m+5)

)

=mn2(m+n+6

)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 46

Insumr=1

1r(r+1)

=nsumr=1

(Ar +

Br+1

)=

nsumr=1

A(r+1) +Brr(r+1)

I A(r+1) +Br = 1

I Για r = 0 τότε A= 1 και για r =minus1 τότε B=minus1

I

nsumr=1

1r(r+1)

=nsumr=1

(1r minus

1r+1

)

=(

(11 minus

12) + (

12 minus

13) + (

13 minus

14) + middot middot middot+ (

1nminus1 minus

1n ) + (

1n minus

1n+1)

)

= 1minus 1n+1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 47

Insumk=1

1(k+2)(k+3)

=nsumk=1

( A(k+2)

+B

(k+3)

)=

nsumk=1

A(k+3) +B(k+2)

(k+2)(k+3)

I A(k+3) +B(k+2) = 1

I Για k=minus2 τότε A= 1 και για k=minus3 τότε B=minus1

I

nsumk=1

1(k+2)(k+3)

=nsumk=1

( 1(k+2)

minus 1(k+3)

)

=(

(13 minus

14)+(

14 minus

15)+(

15 minus

16)+ +(

1n+1 minus

1n+2)+(

1n+2 minus

1n+3)

)

=13 minus

1n+3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 48

Αθροισμα με Λογάριθμους

nsumi=1

logb(i) = logb(1) + logb(2) + middot middot middot+ logb(n)

= logb(1times2times3timesmiddotmiddot middottimesn)

= logb(n)

I Το n (n παραγοντικό) δίνεται από n = 1times2timesmiddotmiddot middottimesn και0 = 1

I100sumi=1

log2(100) = log2(100) =log(100)

log(2)=

log(99)

log(2)+

2log(2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 49

Γινόμενο των ακολουθιώνIn

prodi=1xi = x1timesx2timesx3timesmiddotmiddot middottimesxn

In

prodi=1i = 1times2times3timesmiddotmiddot middottimesn= n

In

prodi=1z= ztimesztimesmiddotmiddot middottimesz= zn

I

nprodi=1

(1+

1i+1

)=(1+

12)times(1+

13)times(1+

14)times times(1+

1n )times(1+

1n+1)

=32 times

43 times

54 timesmiddotmiddot middottimes

n+1n times n+2

n+1

=n+22

Ε Ι Κοντογιώργης copy 50

Γεωμετρικές ΠροόδοιI Μια γεωμετρική πρόοδος είναι μια σειρά αριθμών όπου

κάθε όρος μετά των πρώτο υπολογίζεται από τονπολλαπλασιασμό του προηγούμενου όρου με ένασταθερό αριθμό που καλείται αναλογία

I Η σειρά1 3 9 27 81 middot middot middot

είναι μια γεωμετρική πρόοδος με πρώτο όρο το 1 καιαναλογία 3

I Η αναλογία μπορεί να είναι κλάσμα καθώς επίσης καιαρνητικός αριθμός Για παράδειγμα η γεωμετρικήπρόοδος με πρώτο όρο το 2 και αναλογία minus13 είναι

2 minus 23 +

29 minus

227 +

281 middot middot middot

Ε Ι Κοντογιώργης copy 51

I Γενικά μπορούμε να γράψουμε μια γεωμετρική πρόοδο ωςακολούθως

γεωμετρική πρόοδος a ar ar2 ar3 ar4 middot middot middot

όπου ο πρώτος όρος είναι a και η αναλογία r

I Σημαντικά θεωρήματα των γεωμετρικών προόδων (γπ)1 Ο n όρος μιας γπ δίνεται από ar(nminus1)

2 Το άθροισμα των πρώτων n όρων μιας γπ είναι

Sn =a(1minus rn)

1minus r =a(rnminus1)

rminus1 και ισχύει μόνο αν r 6= 1

I Το άθροισμα των όρων μιας γεωμετρικής προόδουονομάζεται γεωμετρική σειρά

Ε Ι Κοντογιώργης copy 52

Γεωμετρική σειρά

Sn = a+ar+ar2 +ar3 + middot middot middot+arnminus2 +arnminus1

rSn = ar+ar2 +ar3 + arnminus1 +arn

Snminus rSn = aminusarn

(1minus r)Sn = a(1minus rn)

Sn =a(1minus rn)

(1minus r) =a(rnminus1)

(rminus1)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 53

I Παράδειγμα1 Βρείτε το άθροισμα των πρώτων 10 όρων μιας γεωμετρικής

σειράς4 8 16 32

Ο πρώτος όρος είναι a= 4 και η αναλογία r = 2 καιn= 10 ´Ετσι

S10 =4(1minus210)

1minus2 = 4092

2 Θεωρείστε τη γπ4 minus8 16 minus32 64 minus128 256 minus512

Σε αυτή την περίπτωση ο πρώτος όρος είναι a= 4 ηαναλογία είναι r =minus2 και n= 8´Ετσι

S8 =4(1minus (minus2)8)

1minus (minus2)=minus340

Ε Ι Κοντογιώργης copy 54

Συνεχείς ανατοκισμός

Οι περισσότεροι τραπεζικοί λογαριασμοί και τα δάνειαυιοθετούν ανατοκισμό - εφαρμόζοντας συνεχή ανατοκισμόΘεωρείστε ένα λογαριασμό που προσφέρει τόκο με ετήσιοεπιτόκιο r (πχ 7) Εάν το επιτόκιο είναι συνεχέςσε χρονιαία βάση τότε μετά από 1 χρόνο το χρονιαίοεπιτόκιο προστίθεται στο αρχικό κεφάλαιο για νακαθορίσει ένα μεγαλύτερο κεφάλαιο τον δεύτερο χρόνο

´Ετσι κατά τη διάρκεια του δεύτερου χρόνου ολογαριασμός κερδίζει επιτόκιο πάνω στο επιτόκιοΑυτή είναι η επίδραση του ανατοκισμού που συνεχίζεταιχρόνο με το χρόνο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 55

I Με τον ετήσιο ανατοκισμό το κεφάλαιο πουσυσσωρεύεται στο λογαριασμό πολλαπλασιάζεται με

(1+ r)

´Ετσι το κεφάλαιο A θα αυξηθεί σε

A(1+ r) = A+A middot r

τον επόμενο χρόνο

I Με το πέρας και του δεύτερου χρόνου το κεφάλαιο θααυξηθεί ακόμα (1+ r) σε (1+ r)2

´Ετσι το κεφάλαιο καταλήγει σε

A(1+ r)(1+ r) = A(1+ r)2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 56

I Κατά παρόμοιο τρόπο στο τέλος του τρίτου χρόνου τοποσό θα αυξηθεί κατά (1+ r)3

I Μετά από n χρόνια το ποσό θα αυξηθεί κατά (1+ r)n

I ´Ετσι το κεφάλαιο (επένδυση) A θα αυξηθεί με συνεχήανατοκισμό σε A(1+ r)n μετά από n χρόνια

I Ο τύπος (1+ r)n εκθέτει γεωμετρική αύξηση λόγω τηςn δύναμης

Ε Ι Κοντογιώργης copy 57

ΠαραδείγματαI Εάν το επιτόκιο είναι r = 5 τότε το κεφάλαιοA= $1000 που βρίσκεται στην τράπεζα n= 20 χρόνιαθα αυξηθεί κατά

(1+ r)n = (1+005)20 = 2653 φορές

´Ετσι το ποσό θα καταλήξειA(1+ r)n = $265330

I Βρέστε το χρόνο που χρειάζεται για ένα λογαργιασμό ναδιπλασιάσει το διαθέσιμο κεφάλαιο του όταν r = 7 καιr = 10Ζητούμε να βρούμε το n έτσι ώστε

(1+ r)n = 2Ε Ι Κοντογιώργης copy 58

I Υπολογίζοντας το λογάριθμο του τελευταίου παίρνουμε

log(1+ r)n = log(2)ή n log(1+ r) = log(2)

´Ετσιn=

log2log(1+ r)

I Για r = 7 και r = 10 ο χρόνος n πουχρειάζεται για διπλασιασμό της επένδυσης υπολογίζεταισε 1024 και 727 αντίστοιχα

Ε Ι Κοντογιώργης copy 59

I Αν το επιτόκιο είναι r = 7 τότε πιο θα είναι τοσυνολικό ποσό στο λογαριασμό μετά από 205 και41 χρόνια αντίστοιχα

Μετά τα πρώτα 1025 χρόνια το ποσό A θαδιπλασιαστεί σε 2A Για τα επόμενα 1025 χρόνιατο ποσό θα ξαναδιπλασιαστεί σε 4A ´Ετσι μετά από205 χρόνια το ποσό θα αυξηθεί κατά 4 φορές

Με το πέρας ακόμα 205 χρόνων το ποσό θα αυξηθείακόμα 4 φορές σε 16 ´Ετσι μετά από 41 χρόνιατο κεφάλαιο A γίνεται 16A

Ε Ι Κοντογιώργης copy 60

Ασκήσεις και Παραδείγματα

I Υπολογίστε τη Μελλοντική Αξία (Future Value (FV)) τουκεφαλαίου A= 1500 που κερδίζει ετήσιο επιτόκιοr = 5 για n= 10 έτη

FV =A(1+ r)n = 1500(1+005)10 = 244334

I Πόσα έτη απαιτούνται για να τριπλασιαστεί ένα ποσόπου αφήνετε στην τράπεζα με επιτόκιο r = 5∆ηλαδή βρείτε το n όπου A= 1 r = 5 και FV = 3

FV =A(1+ r)n ή (1+ r)n =FVA

Ε Ι Κοντογιώργης copy 61

Υπολογίζοντας τους λογαρίθμους παίρνουμε

log(1+ r)n = log(FVA)

ή n log(1+ r) = log(FVA)

´Ετσι

n=log(FVA)

log(1+ r) =log(3)

log(105)

= 2252

Ε Ι Κοντογιώργης copy 62

I Βρείτε την παρούσα αξία A έτσι ώστε σε δέκα έτη μεσταθερό επιτόκιο r = 6 να είναι 100KΒρείτε το A όπου FV = 100000 r = 6 και n= 10

FV =A(1+ r)n ή A=FV

(1+ r)n

´Ετσι A=100000

(106)10= 5583948

I Βρείτε την ετησιοποιημένη απόδοση (AER AnnualEquivalent Rate) μιας μηνιαίας κατάθεσης με σταθερόεπιτοκίο 394 Μια τέτοια κατάθεση λαμβάνει το επιτόκιο στη λήξηΣυνεπώς κάθε μήνα ο λογαριασμός λαμβάνει

r = 0039412 = 000328

επιτόκιο που επανεπενδύεται (συνεχής ανατοκισμός)Ε Ι Κοντογιώργης copy 63

Επανεπενδύοντας το επιτόκιο κάθε μήνα στη διάρκειαενός έτους το κεφάλαιο θα αυξηθεί σε

(1+ r)12 = (1+000328)12 = 104012

´Ετσι το ΑΕΡ είναι ισοδύναμο με 004012 = 4012I Υπολογίστε το επιτόκιο ενός σταθερού λογαριασμού

κατάθεσης 7-ημερών που έχει AER επιτόκιο r = 425Θεωρείστε ρ το εβδομαδιαίο επιτόκιο

´Ετσι (1+ρ)52 = (1+00425)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 64

Παίρνοντας τους λογαρίθμους έχουμε52log(1+ρ) = log10425

ή log(1+ρ) =log10425

52

ή 1+ρ= 10( log10425

52)

Αυτό μας δίνει

ρ= 10

( log1042552

)minus1 = 008

´Ετσι το συνεχές επιτόκιο μιας επταήμερης κατάθεσης είναιρtimes52 = 41638

Εναλλακτικά (1+ρ)52 = (1+00425) δίνει

(1+ρ) =52radic10425ή ρ=

52radic10425minus = 008Ε Ι Κοντογιώργης copy 65

I Υπολογίστε την ετήσια απόδοση r έτσι ώστε A= 10000να επιστρέφει FV = 35000 σε n= 20 χρόνια

FV =A(1+ r)n ή (1+ r)n =FVA

´Ετσι

1+ r =nradic

FVA

Επομένως

r =nradic

FVA minus1 =

20radic

3500010000 minus1 = 00646 = 646

Ε Ι Κοντογιώργης copy 66

Εναλλακτικά παίρνοντας τους λογαρίθμους

log(1+ r)n = log(FVA) ή n log(1+ r) = log

(FVA)

´Ετσι

1+ r = 10(1n log

(FVA))

ή r = 10(1n log

(FVA))minus1

= 10( 120 log

(3500010000

))minus1

= 646

Ε Ι Κοντογιώργης copy 67

Γραφική Αναπαράσταση I

I Υποθέστε ότι έχουμε y= 3x+2 Καθώς έχουμε μόνο μιαδύναμη για το x πρέπει να λύσουμε γραμμική εξίσωσηκαι να σχεδιάσουμε μια ευθεία γραμμή Αρχικά θα πρέπεινα σχεδιάσουμε ένα T-chart Αυτό έχει τη μορφή

x y = 3x+2 (xy)

I Επιλέγουμε μια τιμή για το x και λύνουμε ως προς y

x y= 3x+2 (xy)minus2 minus4 (minus2minus4)0 2 (02)2 8 (28)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 68

Γραφική Αναπαράσταση II

-

6

X

Y

bull

bull

bull

I Βλέπουμε μια ευθεία με ανοδική τάση (έχοντας θετικήκλίση m= 3) καιτέμνει τον άξονα y στο σημείο y= 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 69

Γραφική Αναπαράσταση III

I Μια Τετραγωνική εξίσωση περιέχει x2 Για τηναναπαράσταση τετραγωνικών εξισώσεων χρειάζεται ναβρούμε περισσότερα από τρία σημεία στο σχεδιάγραμμα

Για παράδειγμα υποθέστε ότι y= x2minus6x+5 καιδίνεται το πιο κάτω T-chart

x y= x2minus6x+5 (xy)0 5 (05)1 0 (10)3 minus4 (3minus4)5 0 (50)6 5 (65)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 70

Γραφική Αναπαράσταση IV

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

-

6

X

Y

bull

bull

bull

bull

bull

Ε Ι Κοντογιώργης copy 71

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(1x + 2)

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(-3x + 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 72

-15

-10

-5

0

5

10

15

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(3x - 2)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 73

-20

0

20

40

60

80

100

120

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2+x)

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 74

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

1250

1500

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3+x2+x)

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x4)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 75

-25

-2

-15

-1

-05

0

05

1

15

2

25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(log(x))

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(x))

Ε Ι Κοντογιώργης copy 76

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(-x))

-5000

0

5000

10000

15000

20000

25000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(exp(x)+x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 77

Ανισότητες I

I Οι ανισότητες αποτελούνται από δύο ή τρεις αλγεβρικέςεκφράσεις που είναι συνδεδεμένες με τα σύμβολαανισότητας Τα σύμβολα αυτά είναι

lt μικρότερο τουgt μεγαλύτερο τουle μικρότερο ή ίσο τουge μεγαλύτερο ή ίσο του

I Παραδείγματα xgty yge x2 και ylt5x+1

I Το πρώτο βήμα για την αναπαράσταση ανισότητας τηςμορφής ygtx είναι να παραστήσουμε γραφικά τηνισότητα y= x

Ε Ι Κοντογιώργης copy 78

Ανισότητες II

I ygtx

Κάνετε δοκιμή με ένα σημείο να δείτε κατά πόσοικανοποιεί την ανισότητα Εάν ναι τότε σκιάστε τηνπεριοχή αυτή του σχεδιαγράμματος διαφορετικά σκιάστετην άλλη πλευρά

Ε Ι Κοντογιώργης copy 79

Ανισότητες III

I yltx

Ε Ι Κοντογιώργης copy 80

Ανισότητες IV

I yle 5x+1 και ygt5x+1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 81

Ανισότητες V

I yge x2 και yle x2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 82

Ανισότητες VI

I ygtx3 και yle x3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 83

Συστήματα Γραμμικών ΕξισώσεωνΠεριεχόμενα

1 Ε

2 Γ Α

ΑναφορέςΚεφάλαια 4 και 5FS Budnick Applied Mathematics for Business Economicsand the Social Sciences 4th edition McGraw-Hill 1993

Ε Ι Κοντογιώργης copy 84

Συστήματα Εξισώσεων

I ´Ενα σύστημα εξισώσεων συνδυάζει περισσότερες από μίαεξισώσεις

I ´Ενα σύστημα m εξισώσεων όπου κάθε εξίσωσηαποτελείται από n μεταβλητές ονομάζεται mtimesnσύστημα ή λέμε ότι έχει διαστάσεις mtimesn

I ΠαράδειγμαΠαρακάτω έχουμε ένα σύστημα 2times2

5X+10Y= 203X+4Y= 10

Οι μεταβλητές σε αυτή την περίπτωση είναι X και YΕ Ι Κοντογιώργης copy 85

Συστήματα Επίλυσης

I Το Σύστημα επίλυσης είναι μια σειρά τιμών μεταβλητώνπου ικανοποιούν το σύστημα ταυτόχρονα

I Σε μια σημειογραφική παράσταση το προηγούμενοπαράδειγμα μπορεί να γραφτεί ως εξής

S = (XY) | 5X+10Y = 20 και 3X+4Y = 10

I Το σύστημα επίλυσης μπορεί να είναι1 μηδενικό2 πεπερασμένο ή3 άπειρο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 86

2times2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική Ανάλυση

I Σε ένα δισδιάστατο γράφημα ένα σύστημα εξισώσεων2times2 αναπαρίστανται με ευθείες γραμμές Υπόρχουν τρίαενδεχόμενα

1 Οι ευθείες τέμνονται Το σημείο τομής αντιπροσωπεύει τηλύση του συστήματος εξισώσεων Αυτό το σημείοαλληλεπίδρασης είναι μια δέσμη τιμών X και Y που ικανοποιείκαι τις δύο εξισώσειςΕάν υπάρχει μόνο μια δέσμη τιμών για τις μεταβλητές που ναικανοποιεί το σύστημα εξισώσεων το σύστημα λέμε ότι έχειΜ Λ

2 Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες μεταξύ τους ∆εν έχουν κοινόσημείο Συνεπώς οι ευθείες δεν τέμνονται ποτέ Το σύστημαλέμε ότι ∆ ΛΑυτό υπονοεί ότι δεν υπάρχουν τιμές για τις μεταβλητές πουνα ικανοποιούν και τις δύο εξισώσεις Σε αυτή τηνπερίπτωση οι εξισώσεις στο σύστημα είναι Α

3 Και οι δύο εξισώσεις αναπαρίστανται ως μια κοινή ευθεία καιθεωρούνται ισοδύναμες εξισώσεις ´Ετσι το σύστημα έχειΑ Λ Αυτό συμβαίνει γιατί υπάρχει άπειροςαριθμός κοινών σημείων στις δύο γραμμές

Ε Ι Κοντογιώργης copy 87

I Π Θεωρείστε ένα σύστημα 2times22X+4Y= 203X+ Y= 10

I

X

Y

(24)

3X +Y = 10

2X +4Y = 20

0 2 4 6 8 10 12

2

4

6

8

10

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 88

I Το σημείο τομής δίνεται από το X= 2 και Y= 4Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές του X και Y στις δύοεξισώσεις δίνουν 20 = 20 και 10 = 10 αντίστοιχα

I Αυτό υποδειλώνει ότι X= 2 και Y= 4 είναι η σωστή λύση

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times23Xminus2Y= 6

minus15X+10Y=minus30

I

X

Y

(20)

(0minus3)

3X minus2Y = 6

minus15X +10Y =minus30

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 89

I Οι δύο εξισώσεις απλοποιούνται σε Xminus 23 Y= 2

Οι δύο εξισώσεις είναι ισοδύναμες και δίνουν έναπεπερασμένο αριθμό λύσεων έτσι ώστε

X= 0 Y =minus3X= 2 Y = 0X= 4 Y = 3

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times26Xminus12Y= 24

minus32X+3Y= 9

Οι εξισώσεις απλοποιούνται σεXminus2Y= 4Xminus2Y=minus6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 90

I

X

Y

(40)

(0minus2)

(minus60)

(03)

X minus2Y =minus6

X minus2Y = 4

0-0

I Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες και συνεπώς το σύστημαδεν έχει λύση ´Ετσι το σύστημα εξισώσεων είναιασύμπτωτο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 91

Περίληψη 2times2 Συστήματα Εξισώσεων∆ίνεται ένα Σύστημα Γραμμικών Εξισώσεων 2times2

Y=m1X+ c1Y=m2X+ c2

1 Υπάρχει μια στο σύστημα εάνm1 6= m2

2 ∆εν υπάρχει στο σύστημα εάνm1 = m2 και c1 6= c2

3 Υπάρχει εάνm1 = m2 και c1 = c2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 92

∆ιαδικασίες Απαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής χρησιμοποιεί πολλαπλασιασμόκαι πρόσθεση έτσι ώστε

1 Να απαλοιφεί μια από τις δύο μεταβλητές

2 Η εξίσωση που εξάγεται είναι συνάρτηση των υπόλοιπωνμεταβλητών

3 Αντικαθιστώντας την τιμή στην μεταβλητή σε μια από τιςαρχικές εξισώσεις βρίσκουμε την τιμή για τηναπολοιφθήσα μεταβλητή

Ε Ι Κοντογιώργης copy 93

ΠαραδείγματαI Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

2X +4Y = 20 (1)3X + Y = 10 (2)

Πολλαπλασιάζοντας τη δεύτερη εξίσωση με minus4 παίρνουμε

minus12X minus4Y =minus40 (3)

Προσθέτοντας την εξίσωση (1) στο (3)

2X + 4Y = 20minus12X minus 4Y = minus40minus10X = minus20

ή

X = 2 (4)Ε Ι Κοντογιώργης copy 94

Αντικαθιστώντας X= 2 στην εξίσωση (1) δίνεται2 middot2+4Y = 20 ή Y=4

´Ετσι η μοναδική λύση του συστήματος δίνεται από τοX= 2 και Y= 4 Μπορεί να επιβεβαιωθεί ότι αυτή είναι ησωστή λύση αντικαθιστώντας X= 2 και Y= 4 στηνεξίσωση (1) και (2)

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times23X minus2Y = 6 (5)

minus15X +10Y =minus30 (6)

Για την απαλοιφή της μεταβλητής X η εξίσωση (5)πολλαπλασιάζεται με 5 και το αποτέλεσμα προστίθεταιστην εξίσωση (6)

15X minus 10Y = 30minus15X + 10Y = minus30

0 = 0 Ε Ι Κοντογιώργης copy 95

Οι τελευταίες πράξεις υπονοούν ότι οι εξίσωσεις (5) και(6) είναι ισοδύναμες και έτσι υπάρχει άπειρος αριθμόςλύσεωνΓια να προσδιορίσουμε τις λύσεις του συστήματος μια απότις αρχικές εξισώσεις λύνεται ως προς μια μεταβλητή Ανγια παράδειγμα η εξίσωση (5) λύνεται ως προς Y δίνει

Y =32Xminus3

Σαν αποτέλεσμα γενικεύοντας τις λύσεις του συστήματοςέχουμε

X τυχαίο και Y =32Xminus3

Πχ για X= 4 υπονοείται ότι Y=32 middot4minus3 = 3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 96

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

6X minus12Y = 24 (7)

minus32X +3Y = 9 (8)

Πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση (8) με 4 καιπροσθέτοντας το αποτέλεσμα στην εξίσωση (7)παίρνουμε

6X minus 12Y = 24minus6X + 12Y = 36

0 = 60

Η πιο πάνω αντιλογία υπονοεί ότι δεν υπάρχει λύση τουσυστήματος εξισώσεων

Ε Ι Κοντογιώργης copy 97

3times2 Συστήματα Εξισώσεων I

1 Μ Λ

X

Y

(32)

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minusY = 1

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 98

3times2 Συστήματα Εξισώσεων II

2 Α Λ

X

Y Εξις (1)Εξις (2)Εξις (3)

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 99

3times2 Συστήματα Εξισώσεων III3 Κ

(α) ´Οταν και οι τρεις εξισώσεις είναι παράλληλες

X

Y

2X minusY =minus8

2X minusY = 2

2X minusY = 12

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 100

3times2 Συστήματα Εξισώσεων IV(β) ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ τωνεξισώσεων

X

Y

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minus2Y =minus4

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 101

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική ΑνάλυσηΣε ένα γράφημα 2 διαστάσεων ένα σύστημα mtimes2(mgt2) εξισώσεων παριστάνεται με m ευθείες ´Οπωςσυμβαίνει στα συστήματα 2times2 υπάρχουν τρίαενδεχόμενα

1 ´Ολες οι ευθείες τέμνονται στο ίδιο σημείο και έτσιυπάρχει

2 ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ των mεξισώσεων Αυτό σημαίνει ότι όλες οι ευθείες είναιπαράλληλες Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα Λ

3 Οι m εξισώσεις είναι ισοδύναμες πχ παρασταίνονται σανμια ευθεία Σε αυτή την περίπτωση υπάρχει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 102

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων ∆ιαδικασίαΑπαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής για την επίλυση ενός συστήματοςmtimes2 μπορεί να περιγραφεί ως ακολούθωςΕπιλέξτε και λύστε σύστημα με δύο εξισώσεις

1 Εάν δεν υπάρχει λύση τότε ολόκληρο το σύστημα δεν έχειλύση

2 Εάν υπάρχει μοναδική λύση που ικανοποιεί τις υπόλοιπεςmminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα έχει μία μοναδική λύση

3 Εάν η λύση είναι μοναδική αλλά δεν ικανοποιεί τιςυπόλοιπες mminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα δεν έχει λύση

4 Εάν οι 2 λύσεις είναι ισοδύναμες απάλοιψτε τη μίααπό τις δύο εξισώσεις και ξεκινήστε από την αρχήλαμβάνοντας υπόψη ένα σύστημα (mminus1)times2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 103

ΠαράδείγμαI Θεωρείστε ένα σύστημα 5times2

XminusY= 1X+2Y=minus8

3Xminus2Y= 02Xminus5Y= 11minus4X+3Y=minus1

I Η λύση των πρώτων δύο εξισώσεων δίνετε απόY =minus3 και X =minus2

I Αντικαθιστώντας τη λύση στις υπόλοιπες τρεις εξισώσειςπαίρνετε αντίστοιχα

0 = 0 11 = 11 και minus1 =minus1I Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση

X=minus2 και Y=minus3Ε Ι Κοντογιώργης copy 104

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian

Η μέθοδος απολοιφής Gaussian μετατρέπει το αρχικόσύστημα εξισώσεων σε διαγώνια μορφή επαναλαμβάνονταςστις εξισώσεις τις ακόλουθες τρεις διαδικασίες

1 Πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης μεμια θετική σταθερά

2 Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού θα προστεθεί σεάλλη εξίσωση

3 Η σειρά των εξισώσεων μπορεί να αλλάξει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 105

ΠαράδείγμαΠ Θεωρείστε το σύστημα 2times2

2X minus 3Y = 7 (Εξ 1)X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με 12 για να πάρετε

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με minus1 καιπροσθέστε την στην (Εξ 2)

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

52Y =

152 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 106

Στάδιο 3 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 25

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

Y = 3 (Εξ 2)

Στάδιο 4 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 32 και

προσθέστε την στην (Εξ 1)

X = 1 (Εξ 1)Y = 3 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 107

Π Θεωρείστε το σύστημα 2times2

5X + 20Y = 254X minus 7Y =minus26

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να εκφραστεί ως

R1 5 20 25R2 4 minus7 minus26

Η κάθετη γραμμή χρησιμοποιείται για διαχωρισμό τηςαριστερής από τη δεξιά πλευρά των εξισώσεων Το Riυπονοεί τη γραμμή (Row) i

Ε Ι Κοντογιώργης copy 108

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάζουμε τη R1 με 15 και το θέτουμε

R1larr 15R1

R1 1 4 5R2 4 minus7 minus26

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάζουμε την R1 με minus4 και τηνπροσθέτουμε στην R2 Εν συντομίαR2larrminus4R1+R2

R1 1 4 5R2 0 minus23 minus46

Στάδιο 3 R2larrminus 123R2

R1 1 4 5R2 0 1 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 109

Στάδιο 4 R1larrminus4R2+R1

R1 1 0 minus3R2 0 1 2

Το αρχικό σύστημα εξισώσεων μετατρέπεται σε διαγώνιαμορφή όπως πιο κάτω

X =minus3Y = 2

το οποίο δίνει τη λύση του συστήματος

Ε Ι Κοντογιώργης copy 110

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 I

Το σύστημα εξισώσεων 3times3 μετετρέπεται σε διαγώνιαμορφή Η μετατροπή γίνεται στήλη με στήλη από τααριστερά προς τα δεξιά

Π Θεωρήστε το σύστημα 3times3

X1 + X2 + X3 = 2X1 minus 3X2 + 2X3 = 7

4X1 minus 2X2 minus X3 = 9

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να γραφτεί ως

Ε Ι Κοντογιώργης copy 111

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 II

1 1 1 21 minus3 2 74 minus2 minus1 9

Ε Ι Κοντογιώργης copy 112

I Στην περίπτωση όμως που (x4)(y3) ο πιο πάνω κανόναςδε μπορεί να εφαρμοστεί γιατί οι βάσεις είναιδιαφορετικές (x4)(y3) = xxxxyyy

I Για (x2)4

= x2x2x2x2 = xxxxxxxx= x8 = x(2times4)

I ´Ετσι στην περίπτωση που έχετε μια εκθετική έκφρασηπου είναι υψωμένη σε μία δύναμη μπορείτε ναπολλαπλασιάσετε τον εκθέτη με τη δύναμη

(xm)n

= xmn

Ε Ι Κοντογιώργης copy 21

I Εάν έχετε μια έκφραση μέσα σε παράνθεση και ηπαράνθεση είναι υψωμένη σε μια δύναμη τότε η δύναμημπορεί να γίνει μέρος τις παράνθεσης Για παράδειγμα

(xy2)3 = (xy2)(xy2)(xy2) = (xxx)(y2y2y2)

= (xxx)(yyyyyy) = x3y6 = (x)3(y2)3 = x3y6

Παρομοίως(xy)2

=x2y2

I ´Ενας αρνητικός εκθέτης είναι ένδειξη ότι η βάση βρίσκεταιστον παρονομαστή του κλάσματος Πχ

xminus2 =1x2

x2xminus3 = x2x3 = x5 2xminus1 =

2x

(3x)minus2 =1

(3x)2 =1

9x2 και(xminus2yminus3

)minus2=

(xminus2)minus2

(yminus3)minus2=x4y6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 22

I Οτιδήποτε στη δύναμη μηδέν είναι lsquo1rsquo

Πχ 50 = 1 x0 = 1 (x2y3)0 = 1 και 00 = 1

Σημειώστε ότι 50 = 5(1minus1) = (51)(5minus1) =55 = 1

I Μηδέν σε οποιαδήποτε δύναμη είναι μηδέν έτσι 0n = 0

Σημειώστε ότι 00 = 1 και ότι 00 = 0

Αυτό υποδειλώνει ότι 00 είναι μια απροσδιόριστη μορφήπου σε κάποιες περπτώσεις παίρνει μία τιμή και σεκάποιες άλλες περιπτώσεις παίρνει διαφορετική τιμή

Ε Ι Κοντογιώργης copy 23

I Κλασματικοί (Αναλογικοί) Εκθέτες

1 Η τετραγωνική ρίζα μπορεί να γραφτεί σε μορφή κλάσματος

´Ετσι radicx= x12

Πχ 212 =

radic2 = 141 και 2

minus12 =

1radic2

= 071

2 Γενικά xab =bradicxa Πχ 7

23 =

3radic72 = 366

355 = 3112 =

2radic311 = 42089

Ε Ι Κοντογιώργης copy 24

ΛογάριθμοιI Η λογαριθμική μορφή ενός αριθμού είναι lsquoαντίθετηrsquo από

την εκθετική Τεχνικά μιλώντας η λογαριθμική μορφήείναι αντίστροφη της εκθετικής

I Η σχέση δίνεται logb(x) = y

που είναι το ίδιο με by = x

I Ο lsquolsquologb(x) = yrsquorsquo προφέρεται lsquolsquolog-βάση-b-του x ισούται yΕδώ b ονομάζεται lsquoβάση του λογαρίθμουrsquo αφού το b είναιη βάση της εκθετικής έκφρασης

I Η βάση b του λογάριθμου είναι πάντοτε θετική και δενισούται με 1

I Οτιδήποτε βρίσκεται μέσα στο λογάριθμο ονομάζεταιέκφραση

Ε Ι Κοντογιώργης copy 25

ΠαραδείγματαI Μετατρέψτε την έκφραση 63 = 216 στην ισοδύναμη

λογαριθμική μορφή

Για τη μετατροπή η βάση μένει η ίδια αλλά το 3 και το216 αλλάζουν θέσεις Αυτό μας δίνει

log6(216) = 3

I Μετατρέψτε τον log4(1024) = 5 στην αντίστοιχηλογαριθμική έκφραση

Για τη μετατροπή η βάση (που είναι 4) παραμένει η ίδιααλλά το 1024 και το 5 αλλάζουν θέσεις ´Ετσι δίνεται

45 = 1024

Ε Ι Κοντογιώργης copy 26

I Υπολογίστε τον log2(8)

Εάν y= log2(8) τότε υπονοείται ότι 2y = 8 Αυτόσημαίνει ότι y είναι η δύναμη του 2 που θα έχει σαναποτέλεσμα 8 Η δύναμη που δίνει το αποτέλεσμα είναι 3αφού 23 = 8 ´Ετσι

log2(8) = 3

I Κατά παρόμοιο τρόπο log5(25) = 2 αφού 52 = 25

I Υπολογίστε τον y= log64(4)

Σημειώστε ότι 64y = 4 και 43 = 64

´Ετσι (43)y

= 4 ή 43y = 41

Η πιο πάνω έκφραση εξυπονοεί ότι 3y= 1 και έτσιy= 13

Ε Ι Κοντογιώργης copy 27

I Υπολογίστε y= log6(6)

Αυτό ισοδυναμεί με το 6y = 6 και συνεπώς y= 1

I Υπολογίστε το y= log3(1)

Το πιο πάνω μπορεί να γραφτεί ως 3y = 1

´Ομως 1 = 30 έτσι 3y = 30 και y= 0

I Υπολογίστε το y= log4(minus16)

Μπορεί να γραφτεί σαν 4y =minus16

´Ομως δεν υπάρχει τιμή (πχ δύναμη) y που ναικανοποιεί τη σχέση ´Ετσι δεν υπάχρει λύση

Ε Ι Κοντογιώργης copy 28

I Υπολογίστε το y= log2(0)

Αυτό σημαίνει 2y = 0 όμως δε υπάρχει τιμή που ναικανοποιεί τη σχέση ´Ετσι δεν υπάχρει λύση

I Υπολογίστε το y= 2log2(9)

Αυτό σημαίνει ότι log2(y) = log2(9) και έτσι y= 9

Ε Ι Κοντογιώργης copy 29

I Γενικά1 logb(b) = 1 για οποιαδήποτε βάση b

2 logb(1) = 0 για οποιαδήποτε βάση b

3 logb(a) δεν ορίζεται για αρνητικά a

4 logb(0) δεν ορίζεται για οποιαδήποτε βάση b

5 logb(bn) = n για οποιαδήποτε βάση b

Ε Ι Κοντογιώργης copy 30

I Οι λογάριθμοι μπορούν να πάρουν οποιοδήποτε αριθμόσαν βάση αλλά δύο βάσεις είναι οι πιο χρήσιμες οlog-βάση-10 και ο log-βάση-e

I Η βάση-10 log συχνά ονομάζεται ο κοινός log καιγράφεται ως log(x) Εδώ δεν αναγράφεται βάση καιμπορούμε να υποθέσουμε ότι η βάση είναι 10

Πχ log(100) = 2 έτσι log10(102) = 2

I Η βάση-e log ονομάζεται ο φυσικός log και γράφεται σανln(x)Πχ ln(e345)= 345 καθώς loge(e345) = 345

Ε Ι Κοντογιώργης copy 31

Ιδιότητες Λογαρίθμωνlogb(xy) = logb(x) + logb(y)

Απόδειξη´Εστω m= logbx και n= logby

Γράψτε σε μορφή εκθέτη x= bm και y= bn

Πολλαπλασιάστε το x και y ούτως ώστεxy= bmbn = bm+n

´Ετσι από τον ορισμό των λογαρίθμων το xy= bm+nσυνεπάγει ότι

logb(xy) =m+n= logbx+ logb(y)

Πχ log2(4times16) = log2(64) = log2(26) = 6

Ακόμα log2(4times16) = log2(4) + log2(16) = 2+4 = 6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 32

logb(xy)

= logb(x)minus logb(y)

Απόδειξη´Εστω m= logbx και n= logby

Γράψτε σε μορφή εκθέτη x= bm και y= bn

∆ιαίρα το x και y ούτως ώστε xy =bmbn = bmminusn

´Ετσι από τον ορισμό των λογαρίθμων το xy = bmminusn

συνεπάγει ότι

logb(xy)

=mminusn= logbxminus logb(y)

Πχ log2(16

4)

= log2(4) = 2

και log2(16

4)

= log2(16)minus log2(4) = 4minus2 = 2Ε Ι Κοντογιώργης copy 33

logb(xn) = n logb(x)

Απόδειξη´Εστω m= logbx και γράψτε σε μορφή εκθέτη x= bm

Αυξάνοντας τις δύο πλευρές στην n δύναμη παίρνουμεxn = (bm)n = bmn

´Ετσι από τον ορισμό των λογαρίθμων τοlogbxn =mn= nm= n(logbx)

Πχ log2(64) = log2(26) = 6 log2(2) = 6

log(64) = 18

Επιπλέον log(64) = log(26) = 6log(2) = 6times030 = 18

Ε Ι Κοντογιώργης copy 34

logb(x) =loga(x)loga(b) agt0 a 6= 1

Απόδειξη´Εστω m= logbx rArr x= bm

Εφαρμόστε loga και στις δύο πλευρές του x= bmγια ναδώσει

logabm = logax rArr m logab= logaxrArr m=logaxlogab

rArr logbx=logaxlogab

Πχ log5(20) =log(20)

log(5)= 186 =

ln(20)

ln(5)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 35

logb(a) =1

loga(b) agt0 a 6= 1

Απόδειξη

logb(x) =loga(x)loga(b) =

logx(x)logx(b)

=1

loga(b)

´Οταν a= x

Πχ log2(64) =1

log64(2)=

116 = 6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 36

Αθροισμα

I Υποθέστε ότι έχουμε μια μεταβλητή x που μπορεί ναπάρει δέκα τιμές Εάν ενδιαφερόμαστε για το άθροισμάτους χωρίς να ξέρουμε την τιμή της κάθε μεταβλητής τότεο καλύτερος τρόπος να το εκφράσουμε είναι

x1 +x2 + middot middot middot+x9 +x10

I Εν συντομία το άθροισμα n στοιχείων x1 +x2 + middot middot middot+xn είναιnsum

i = 1xi

και ερμηνεύεται σαν το άθροισμα όλων των xirsquosξεκινώντας από το x1 (πχ i = 1) μέχρι xn (i = n)

I Εάν δε δοθεί διαφορετικά πάντοτε υποθέτουμε ότι το iαυξάνεται ξεκινώντας από το στάδιο 1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 37

I Το lsquolsquoSigmarsquorsquo Σ είναι γνωστό ως το άθροισμα (summation) ήσύμβολο σίγμα (sigma operator) και ο δείκτης i όνομάζεταιεικονική μεταβλητή

I Παραδείγματα

I

5sum

i = 1xi = x1 +x2 +x3 +x4 +x5

I

5sum

i = 1(y2

i ) = y21 +y22 +y23 +y24 +y25

Σημειώστε ότι η μόνη μεταβλητή που περιγράφεται απευθείαςκάτω από το σύμβολο Σ αυξάνεται κατά 1 κάθε φορά ενώ όλατα άλλα σύμβολα παραμένουν τα ίδια

I

4sum

r = 1(x3r ) = x31 +x32 +x33 +x34

Ε Ι Κοντογιώργης copy 38

I6sum

i = 1i = 1+2+3+4+5+6

I6sum

i = 1i2 = 12 +22 +32 +42 +52 +62

I7sum

i = 3xi = x3 +x4 +x5 +x6 +x7

I4sum

i = 1a = a+a+a+a= 4a

I3sum

i = 1(4+xi) = (4+x1) + (4+x2) + (4+x3)

=3sum

i = 14+

3sum

i = 1xi

Ε Ι Κοντογιώργης copy 39

I3sum

i = 1(2xi) = (2x1) + (2x2) + (2x3) = 2times

3sum

i = 1xi

I Ο συντελεστής i παραλείπεται εάν δε προκαλείαοριστία Για παράδειγμα Σx ή Σixi σημαίνειάθροισμα όλων των x που λαμβάνονται υπόψη

I ∆ήλωσηI

nsumi=1a= na

I sumiaxi = asum

ixi

I sumi

(axi+byi) = asumixi +bsum

iyi

Ε Ι Κοντογιώργης copy 40

I Αθροιστικός Τύπος

Insum

i = 1i = 1+2+ middot middot middot+n=

n(n+1)

2

Πχ6sumi = 1i = 1+2+3+4+5+6 =

6(6+1)

2 = 21

Insum

i = 1i2 = 12 +22 + middot middot middot+n2 =

n(n+1)(2n+1)

6

Πχ6sumi = 1i2 = 12 +22 +32 +42 +52 +62

=6(6+1)(12+1)

6 = 91

Ε Ι Κοντογιώργης copy 41

Insum

i = 1i3 = 13 +23 + middot middot middot+n3 =

n2(n+1)2

4

Πχ6sumi = 1i3 = 13 +23 +33 +43 +53 +63

=62(6+1)2

4 = 441

Ε Ι Κοντογιώργης copy 42

ΠαραδήγματαΑριθμητική Πρόοδος

I Γενικά μπορούμε να εκφράσουμε μια αριθμητική πρόοδο ωςεξής

αριθμητική πρόοδος a a+d a+2d a+3d

όπου ο πρώτος όρος είναι a και η διαφορά d Ο όρος nτης απ δίνεται από τη σχέση b = a+ (nminus1)d

I 3 5 7 9 11 είναι μια αριθμητική πρόοδος Οπρώτος όρος είναι το 3 και η διαφορά είναι 2

I 2 minus1 minus4 minus7 είναι μια αριθμητική πρόοδος όπου οπρώτος όρος είναι 2 και η διαφορά minus3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 43

I Το άθροισμα των όρων μιας αριθμητικής προόδου είναιγνωστό ως αριθμητική σειρά

Sn = a+ (a+d) + (a+2d) + middot middot middot+ (a+ (nminus1)d)

=nsumi=1

(a+ (iminus1)d

)= na+

nsumi=1

(iminus1)d

= na+dnminus1sumi=1

i = na+d(nminus1)n2

=n2(2a+d(nminus1)) =

n2(a+b) b = a+d(nminus1)

I ΑΠ 3 5 7 9 11 13 rArr Sn =62(3+13) = 48

Ε Ι Κοντογιώργης copy 44

∆ιπλό Αθροισμα4sumi=1

isumj=1

j = (1) + (1+2) + (1+2+3) + (1+2+3+4) = 20

nsumi=1

isumj=1

j =nsumi=1

( isumj=1

j)

nsumi=1

(12 i(i+1)

)=

12

nsumi=1

(i2 + i)

12( nsumi=1

i2 +nsumi=1

i)

=12(16n(n+1)(2n+1) +

12n(n+1)

)

=12

16n(n+1)

((2n+1) +3

)=

n6(n+1)(n+2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 45

∆ιπλό Αθροισμα

nsumi=1

msumj=1

(i+ j+2) =nsumi=1

( msumj=1

(i+ j+2))

nsumi=1

( msumj=1

i+msumj=1

j+msumj=1

2)

=nsumi=1

(mi+ 1

2m(m+1) +2m)

m( nsumi=1

i+ 12

nsumi=1

(m+5))

= m(12n(n+1) +

12n(m+5)

)

=mn2(m+n+6

)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 46

Insumr=1

1r(r+1)

=nsumr=1

(Ar +

Br+1

)=

nsumr=1

A(r+1) +Brr(r+1)

I A(r+1) +Br = 1

I Για r = 0 τότε A= 1 και για r =minus1 τότε B=minus1

I

nsumr=1

1r(r+1)

=nsumr=1

(1r minus

1r+1

)

=(

(11 minus

12) + (

12 minus

13) + (

13 minus

14) + middot middot middot+ (

1nminus1 minus

1n ) + (

1n minus

1n+1)

)

= 1minus 1n+1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 47

Insumk=1

1(k+2)(k+3)

=nsumk=1

( A(k+2)

+B

(k+3)

)=

nsumk=1

A(k+3) +B(k+2)

(k+2)(k+3)

I A(k+3) +B(k+2) = 1

I Για k=minus2 τότε A= 1 και για k=minus3 τότε B=minus1

I

nsumk=1

1(k+2)(k+3)

=nsumk=1

( 1(k+2)

minus 1(k+3)

)

=(

(13 minus

14)+(

14 minus

15)+(

15 minus

16)+ +(

1n+1 minus

1n+2)+(

1n+2 minus

1n+3)

)

=13 minus

1n+3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 48

Αθροισμα με Λογάριθμους

nsumi=1

logb(i) = logb(1) + logb(2) + middot middot middot+ logb(n)

= logb(1times2times3timesmiddotmiddot middottimesn)

= logb(n)

I Το n (n παραγοντικό) δίνεται από n = 1times2timesmiddotmiddot middottimesn και0 = 1

I100sumi=1

log2(100) = log2(100) =log(100)

log(2)=

log(99)

log(2)+

2log(2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 49

Γινόμενο των ακολουθιώνIn

prodi=1xi = x1timesx2timesx3timesmiddotmiddot middottimesxn

In

prodi=1i = 1times2times3timesmiddotmiddot middottimesn= n

In

prodi=1z= ztimesztimesmiddotmiddot middottimesz= zn

I

nprodi=1

(1+

1i+1

)=(1+

12)times(1+

13)times(1+

14)times times(1+

1n )times(1+

1n+1)

=32 times

43 times

54 timesmiddotmiddot middottimes

n+1n times n+2

n+1

=n+22

Ε Ι Κοντογιώργης copy 50

Γεωμετρικές ΠροόδοιI Μια γεωμετρική πρόοδος είναι μια σειρά αριθμών όπου

κάθε όρος μετά των πρώτο υπολογίζεται από τονπολλαπλασιασμό του προηγούμενου όρου με ένασταθερό αριθμό που καλείται αναλογία

I Η σειρά1 3 9 27 81 middot middot middot

είναι μια γεωμετρική πρόοδος με πρώτο όρο το 1 καιαναλογία 3

I Η αναλογία μπορεί να είναι κλάσμα καθώς επίσης καιαρνητικός αριθμός Για παράδειγμα η γεωμετρικήπρόοδος με πρώτο όρο το 2 και αναλογία minus13 είναι

2 minus 23 +

29 minus

227 +

281 middot middot middot

Ε Ι Κοντογιώργης copy 51

I Γενικά μπορούμε να γράψουμε μια γεωμετρική πρόοδο ωςακολούθως

γεωμετρική πρόοδος a ar ar2 ar3 ar4 middot middot middot

όπου ο πρώτος όρος είναι a και η αναλογία r

I Σημαντικά θεωρήματα των γεωμετρικών προόδων (γπ)1 Ο n όρος μιας γπ δίνεται από ar(nminus1)

2 Το άθροισμα των πρώτων n όρων μιας γπ είναι

Sn =a(1minus rn)

1minus r =a(rnminus1)

rminus1 και ισχύει μόνο αν r 6= 1

I Το άθροισμα των όρων μιας γεωμετρικής προόδουονομάζεται γεωμετρική σειρά

Ε Ι Κοντογιώργης copy 52

Γεωμετρική σειρά

Sn = a+ar+ar2 +ar3 + middot middot middot+arnminus2 +arnminus1

rSn = ar+ar2 +ar3 + arnminus1 +arn

Snminus rSn = aminusarn

(1minus r)Sn = a(1minus rn)

Sn =a(1minus rn)

(1minus r) =a(rnminus1)

(rminus1)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 53

I Παράδειγμα1 Βρείτε το άθροισμα των πρώτων 10 όρων μιας γεωμετρικής

σειράς4 8 16 32

Ο πρώτος όρος είναι a= 4 και η αναλογία r = 2 καιn= 10 ´Ετσι

S10 =4(1minus210)

1minus2 = 4092

2 Θεωρείστε τη γπ4 minus8 16 minus32 64 minus128 256 minus512

Σε αυτή την περίπτωση ο πρώτος όρος είναι a= 4 ηαναλογία είναι r =minus2 και n= 8´Ετσι

S8 =4(1minus (minus2)8)

1minus (minus2)=minus340

Ε Ι Κοντογιώργης copy 54

Συνεχείς ανατοκισμός

Οι περισσότεροι τραπεζικοί λογαριασμοί και τα δάνειαυιοθετούν ανατοκισμό - εφαρμόζοντας συνεχή ανατοκισμόΘεωρείστε ένα λογαριασμό που προσφέρει τόκο με ετήσιοεπιτόκιο r (πχ 7) Εάν το επιτόκιο είναι συνεχέςσε χρονιαία βάση τότε μετά από 1 χρόνο το χρονιαίοεπιτόκιο προστίθεται στο αρχικό κεφάλαιο για νακαθορίσει ένα μεγαλύτερο κεφάλαιο τον δεύτερο χρόνο

´Ετσι κατά τη διάρκεια του δεύτερου χρόνου ολογαριασμός κερδίζει επιτόκιο πάνω στο επιτόκιοΑυτή είναι η επίδραση του ανατοκισμού που συνεχίζεταιχρόνο με το χρόνο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 55

I Με τον ετήσιο ανατοκισμό το κεφάλαιο πουσυσσωρεύεται στο λογαριασμό πολλαπλασιάζεται με

(1+ r)

´Ετσι το κεφάλαιο A θα αυξηθεί σε

A(1+ r) = A+A middot r

τον επόμενο χρόνο

I Με το πέρας και του δεύτερου χρόνου το κεφάλαιο θααυξηθεί ακόμα (1+ r) σε (1+ r)2

´Ετσι το κεφάλαιο καταλήγει σε

A(1+ r)(1+ r) = A(1+ r)2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 56

I Κατά παρόμοιο τρόπο στο τέλος του τρίτου χρόνου τοποσό θα αυξηθεί κατά (1+ r)3

I Μετά από n χρόνια το ποσό θα αυξηθεί κατά (1+ r)n

I ´Ετσι το κεφάλαιο (επένδυση) A θα αυξηθεί με συνεχήανατοκισμό σε A(1+ r)n μετά από n χρόνια

I Ο τύπος (1+ r)n εκθέτει γεωμετρική αύξηση λόγω τηςn δύναμης

Ε Ι Κοντογιώργης copy 57

ΠαραδείγματαI Εάν το επιτόκιο είναι r = 5 τότε το κεφάλαιοA= $1000 που βρίσκεται στην τράπεζα n= 20 χρόνιαθα αυξηθεί κατά

(1+ r)n = (1+005)20 = 2653 φορές

´Ετσι το ποσό θα καταλήξειA(1+ r)n = $265330

I Βρέστε το χρόνο που χρειάζεται για ένα λογαργιασμό ναδιπλασιάσει το διαθέσιμο κεφάλαιο του όταν r = 7 καιr = 10Ζητούμε να βρούμε το n έτσι ώστε

(1+ r)n = 2Ε Ι Κοντογιώργης copy 58

I Υπολογίζοντας το λογάριθμο του τελευταίου παίρνουμε

log(1+ r)n = log(2)ή n log(1+ r) = log(2)

´Ετσιn=

log2log(1+ r)

I Για r = 7 και r = 10 ο χρόνος n πουχρειάζεται για διπλασιασμό της επένδυσης υπολογίζεταισε 1024 και 727 αντίστοιχα

Ε Ι Κοντογιώργης copy 59

I Αν το επιτόκιο είναι r = 7 τότε πιο θα είναι τοσυνολικό ποσό στο λογαριασμό μετά από 205 και41 χρόνια αντίστοιχα

Μετά τα πρώτα 1025 χρόνια το ποσό A θαδιπλασιαστεί σε 2A Για τα επόμενα 1025 χρόνιατο ποσό θα ξαναδιπλασιαστεί σε 4A ´Ετσι μετά από205 χρόνια το ποσό θα αυξηθεί κατά 4 φορές

Με το πέρας ακόμα 205 χρόνων το ποσό θα αυξηθείακόμα 4 φορές σε 16 ´Ετσι μετά από 41 χρόνιατο κεφάλαιο A γίνεται 16A

Ε Ι Κοντογιώργης copy 60

Ασκήσεις και Παραδείγματα

I Υπολογίστε τη Μελλοντική Αξία (Future Value (FV)) τουκεφαλαίου A= 1500 που κερδίζει ετήσιο επιτόκιοr = 5 για n= 10 έτη

FV =A(1+ r)n = 1500(1+005)10 = 244334

I Πόσα έτη απαιτούνται για να τριπλασιαστεί ένα ποσόπου αφήνετε στην τράπεζα με επιτόκιο r = 5∆ηλαδή βρείτε το n όπου A= 1 r = 5 και FV = 3

FV =A(1+ r)n ή (1+ r)n =FVA

Ε Ι Κοντογιώργης copy 61

Υπολογίζοντας τους λογαρίθμους παίρνουμε

log(1+ r)n = log(FVA)

ή n log(1+ r) = log(FVA)

´Ετσι

n=log(FVA)

log(1+ r) =log(3)

log(105)

= 2252

Ε Ι Κοντογιώργης copy 62

I Βρείτε την παρούσα αξία A έτσι ώστε σε δέκα έτη μεσταθερό επιτόκιο r = 6 να είναι 100KΒρείτε το A όπου FV = 100000 r = 6 και n= 10

FV =A(1+ r)n ή A=FV

(1+ r)n

´Ετσι A=100000

(106)10= 5583948

I Βρείτε την ετησιοποιημένη απόδοση (AER AnnualEquivalent Rate) μιας μηνιαίας κατάθεσης με σταθερόεπιτοκίο 394 Μια τέτοια κατάθεση λαμβάνει το επιτόκιο στη λήξηΣυνεπώς κάθε μήνα ο λογαριασμός λαμβάνει

r = 0039412 = 000328

επιτόκιο που επανεπενδύεται (συνεχής ανατοκισμός)Ε Ι Κοντογιώργης copy 63

Επανεπενδύοντας το επιτόκιο κάθε μήνα στη διάρκειαενός έτους το κεφάλαιο θα αυξηθεί σε

(1+ r)12 = (1+000328)12 = 104012

´Ετσι το ΑΕΡ είναι ισοδύναμο με 004012 = 4012I Υπολογίστε το επιτόκιο ενός σταθερού λογαριασμού

κατάθεσης 7-ημερών που έχει AER επιτόκιο r = 425Θεωρείστε ρ το εβδομαδιαίο επιτόκιο

´Ετσι (1+ρ)52 = (1+00425)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 64

Παίρνοντας τους λογαρίθμους έχουμε52log(1+ρ) = log10425

ή log(1+ρ) =log10425

52

ή 1+ρ= 10( log10425

52)

Αυτό μας δίνει

ρ= 10

( log1042552

)minus1 = 008

´Ετσι το συνεχές επιτόκιο μιας επταήμερης κατάθεσης είναιρtimes52 = 41638

Εναλλακτικά (1+ρ)52 = (1+00425) δίνει

(1+ρ) =52radic10425ή ρ=

52radic10425minus = 008Ε Ι Κοντογιώργης copy 65

I Υπολογίστε την ετήσια απόδοση r έτσι ώστε A= 10000να επιστρέφει FV = 35000 σε n= 20 χρόνια

FV =A(1+ r)n ή (1+ r)n =FVA

´Ετσι

1+ r =nradic

FVA

Επομένως

r =nradic

FVA minus1 =

20radic

3500010000 minus1 = 00646 = 646

Ε Ι Κοντογιώργης copy 66

Εναλλακτικά παίρνοντας τους λογαρίθμους

log(1+ r)n = log(FVA) ή n log(1+ r) = log

(FVA)

´Ετσι

1+ r = 10(1n log

(FVA))

ή r = 10(1n log

(FVA))minus1

= 10( 120 log

(3500010000

))minus1

= 646

Ε Ι Κοντογιώργης copy 67

Γραφική Αναπαράσταση I

I Υποθέστε ότι έχουμε y= 3x+2 Καθώς έχουμε μόνο μιαδύναμη για το x πρέπει να λύσουμε γραμμική εξίσωσηκαι να σχεδιάσουμε μια ευθεία γραμμή Αρχικά θα πρέπεινα σχεδιάσουμε ένα T-chart Αυτό έχει τη μορφή

x y = 3x+2 (xy)

I Επιλέγουμε μια τιμή για το x και λύνουμε ως προς y

x y= 3x+2 (xy)minus2 minus4 (minus2minus4)0 2 (02)2 8 (28)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 68

Γραφική Αναπαράσταση II

-

6

X

Y

bull

bull

bull

I Βλέπουμε μια ευθεία με ανοδική τάση (έχοντας θετικήκλίση m= 3) καιτέμνει τον άξονα y στο σημείο y= 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 69

Γραφική Αναπαράσταση III

I Μια Τετραγωνική εξίσωση περιέχει x2 Για τηναναπαράσταση τετραγωνικών εξισώσεων χρειάζεται ναβρούμε περισσότερα από τρία σημεία στο σχεδιάγραμμα

Για παράδειγμα υποθέστε ότι y= x2minus6x+5 καιδίνεται το πιο κάτω T-chart

x y= x2minus6x+5 (xy)0 5 (05)1 0 (10)3 minus4 (3minus4)5 0 (50)6 5 (65)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 70

Γραφική Αναπαράσταση IV

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

-

6

X

Y

bull

bull

bull

bull

bull

Ε Ι Κοντογιώργης copy 71

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(1x + 2)

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(-3x + 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 72

-15

-10

-5

0

5

10

15

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(3x - 2)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 73

-20

0

20

40

60

80

100

120

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2+x)

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 74

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

1250

1500

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3+x2+x)

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x4)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 75

-25

-2

-15

-1

-05

0

05

1

15

2

25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(log(x))

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(x))

Ε Ι Κοντογιώργης copy 76

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(-x))

-5000

0

5000

10000

15000

20000

25000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(exp(x)+x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 77

Ανισότητες I

I Οι ανισότητες αποτελούνται από δύο ή τρεις αλγεβρικέςεκφράσεις που είναι συνδεδεμένες με τα σύμβολαανισότητας Τα σύμβολα αυτά είναι

lt μικρότερο τουgt μεγαλύτερο τουle μικρότερο ή ίσο τουge μεγαλύτερο ή ίσο του

I Παραδείγματα xgty yge x2 και ylt5x+1

I Το πρώτο βήμα για την αναπαράσταση ανισότητας τηςμορφής ygtx είναι να παραστήσουμε γραφικά τηνισότητα y= x

Ε Ι Κοντογιώργης copy 78

Ανισότητες II

I ygtx

Κάνετε δοκιμή με ένα σημείο να δείτε κατά πόσοικανοποιεί την ανισότητα Εάν ναι τότε σκιάστε τηνπεριοχή αυτή του σχεδιαγράμματος διαφορετικά σκιάστετην άλλη πλευρά

Ε Ι Κοντογιώργης copy 79

Ανισότητες III

I yltx

Ε Ι Κοντογιώργης copy 80

Ανισότητες IV

I yle 5x+1 και ygt5x+1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 81

Ανισότητες V

I yge x2 και yle x2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 82

Ανισότητες VI

I ygtx3 και yle x3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 83

Συστήματα Γραμμικών ΕξισώσεωνΠεριεχόμενα

1 Ε

2 Γ Α

ΑναφορέςΚεφάλαια 4 και 5FS Budnick Applied Mathematics for Business Economicsand the Social Sciences 4th edition McGraw-Hill 1993

Ε Ι Κοντογιώργης copy 84

Συστήματα Εξισώσεων

I ´Ενα σύστημα εξισώσεων συνδυάζει περισσότερες από μίαεξισώσεις

I ´Ενα σύστημα m εξισώσεων όπου κάθε εξίσωσηαποτελείται από n μεταβλητές ονομάζεται mtimesnσύστημα ή λέμε ότι έχει διαστάσεις mtimesn

I ΠαράδειγμαΠαρακάτω έχουμε ένα σύστημα 2times2

5X+10Y= 203X+4Y= 10

Οι μεταβλητές σε αυτή την περίπτωση είναι X και YΕ Ι Κοντογιώργης copy 85

Συστήματα Επίλυσης

I Το Σύστημα επίλυσης είναι μια σειρά τιμών μεταβλητώνπου ικανοποιούν το σύστημα ταυτόχρονα

I Σε μια σημειογραφική παράσταση το προηγούμενοπαράδειγμα μπορεί να γραφτεί ως εξής

S = (XY) | 5X+10Y = 20 και 3X+4Y = 10

I Το σύστημα επίλυσης μπορεί να είναι1 μηδενικό2 πεπερασμένο ή3 άπειρο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 86

2times2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική Ανάλυση

I Σε ένα δισδιάστατο γράφημα ένα σύστημα εξισώσεων2times2 αναπαρίστανται με ευθείες γραμμές Υπόρχουν τρίαενδεχόμενα

1 Οι ευθείες τέμνονται Το σημείο τομής αντιπροσωπεύει τηλύση του συστήματος εξισώσεων Αυτό το σημείοαλληλεπίδρασης είναι μια δέσμη τιμών X και Y που ικανοποιείκαι τις δύο εξισώσειςΕάν υπάρχει μόνο μια δέσμη τιμών για τις μεταβλητές που ναικανοποιεί το σύστημα εξισώσεων το σύστημα λέμε ότι έχειΜ Λ

2 Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες μεταξύ τους ∆εν έχουν κοινόσημείο Συνεπώς οι ευθείες δεν τέμνονται ποτέ Το σύστημαλέμε ότι ∆ ΛΑυτό υπονοεί ότι δεν υπάρχουν τιμές για τις μεταβλητές πουνα ικανοποιούν και τις δύο εξισώσεις Σε αυτή τηνπερίπτωση οι εξισώσεις στο σύστημα είναι Α

3 Και οι δύο εξισώσεις αναπαρίστανται ως μια κοινή ευθεία καιθεωρούνται ισοδύναμες εξισώσεις ´Ετσι το σύστημα έχειΑ Λ Αυτό συμβαίνει γιατί υπάρχει άπειροςαριθμός κοινών σημείων στις δύο γραμμές

Ε Ι Κοντογιώργης copy 87

I Π Θεωρείστε ένα σύστημα 2times22X+4Y= 203X+ Y= 10

I

X

Y

(24)

3X +Y = 10

2X +4Y = 20

0 2 4 6 8 10 12

2

4

6

8

10

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 88

I Το σημείο τομής δίνεται από το X= 2 και Y= 4Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές του X και Y στις δύοεξισώσεις δίνουν 20 = 20 και 10 = 10 αντίστοιχα

I Αυτό υποδειλώνει ότι X= 2 και Y= 4 είναι η σωστή λύση

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times23Xminus2Y= 6

minus15X+10Y=minus30

I

X

Y

(20)

(0minus3)

3X minus2Y = 6

minus15X +10Y =minus30

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 89

I Οι δύο εξισώσεις απλοποιούνται σε Xminus 23 Y= 2

Οι δύο εξισώσεις είναι ισοδύναμες και δίνουν έναπεπερασμένο αριθμό λύσεων έτσι ώστε

X= 0 Y =minus3X= 2 Y = 0X= 4 Y = 3

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times26Xminus12Y= 24

minus32X+3Y= 9

Οι εξισώσεις απλοποιούνται σεXminus2Y= 4Xminus2Y=minus6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 90

I

X

Y

(40)

(0minus2)

(minus60)

(03)

X minus2Y =minus6

X minus2Y = 4

0-0

I Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες και συνεπώς το σύστημαδεν έχει λύση ´Ετσι το σύστημα εξισώσεων είναιασύμπτωτο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 91

Περίληψη 2times2 Συστήματα Εξισώσεων∆ίνεται ένα Σύστημα Γραμμικών Εξισώσεων 2times2

Y=m1X+ c1Y=m2X+ c2

1 Υπάρχει μια στο σύστημα εάνm1 6= m2

2 ∆εν υπάρχει στο σύστημα εάνm1 = m2 και c1 6= c2

3 Υπάρχει εάνm1 = m2 και c1 = c2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 92

∆ιαδικασίες Απαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής χρησιμοποιεί πολλαπλασιασμόκαι πρόσθεση έτσι ώστε

1 Να απαλοιφεί μια από τις δύο μεταβλητές

2 Η εξίσωση που εξάγεται είναι συνάρτηση των υπόλοιπωνμεταβλητών

3 Αντικαθιστώντας την τιμή στην μεταβλητή σε μια από τιςαρχικές εξισώσεις βρίσκουμε την τιμή για τηναπολοιφθήσα μεταβλητή

Ε Ι Κοντογιώργης copy 93

ΠαραδείγματαI Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

2X +4Y = 20 (1)3X + Y = 10 (2)

Πολλαπλασιάζοντας τη δεύτερη εξίσωση με minus4 παίρνουμε

minus12X minus4Y =minus40 (3)

Προσθέτοντας την εξίσωση (1) στο (3)

2X + 4Y = 20minus12X minus 4Y = minus40minus10X = minus20

ή

X = 2 (4)Ε Ι Κοντογιώργης copy 94

Αντικαθιστώντας X= 2 στην εξίσωση (1) δίνεται2 middot2+4Y = 20 ή Y=4

´Ετσι η μοναδική λύση του συστήματος δίνεται από τοX= 2 και Y= 4 Μπορεί να επιβεβαιωθεί ότι αυτή είναι ησωστή λύση αντικαθιστώντας X= 2 και Y= 4 στηνεξίσωση (1) και (2)

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times23X minus2Y = 6 (5)

minus15X +10Y =minus30 (6)

Για την απαλοιφή της μεταβλητής X η εξίσωση (5)πολλαπλασιάζεται με 5 και το αποτέλεσμα προστίθεταιστην εξίσωση (6)

15X minus 10Y = 30minus15X + 10Y = minus30

0 = 0 Ε Ι Κοντογιώργης copy 95

Οι τελευταίες πράξεις υπονοούν ότι οι εξίσωσεις (5) και(6) είναι ισοδύναμες και έτσι υπάρχει άπειρος αριθμόςλύσεωνΓια να προσδιορίσουμε τις λύσεις του συστήματος μια απότις αρχικές εξισώσεις λύνεται ως προς μια μεταβλητή Ανγια παράδειγμα η εξίσωση (5) λύνεται ως προς Y δίνει

Y =32Xminus3

Σαν αποτέλεσμα γενικεύοντας τις λύσεις του συστήματοςέχουμε

X τυχαίο και Y =32Xminus3

Πχ για X= 4 υπονοείται ότι Y=32 middot4minus3 = 3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 96

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

6X minus12Y = 24 (7)

minus32X +3Y = 9 (8)

Πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση (8) με 4 καιπροσθέτοντας το αποτέλεσμα στην εξίσωση (7)παίρνουμε

6X minus 12Y = 24minus6X + 12Y = 36

0 = 60

Η πιο πάνω αντιλογία υπονοεί ότι δεν υπάρχει λύση τουσυστήματος εξισώσεων

Ε Ι Κοντογιώργης copy 97

3times2 Συστήματα Εξισώσεων I

1 Μ Λ

X

Y

(32)

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minusY = 1

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 98

3times2 Συστήματα Εξισώσεων II

2 Α Λ

X

Y Εξις (1)Εξις (2)Εξις (3)

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 99

3times2 Συστήματα Εξισώσεων III3 Κ

(α) ´Οταν και οι τρεις εξισώσεις είναι παράλληλες

X

Y

2X minusY =minus8

2X minusY = 2

2X minusY = 12

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 100

3times2 Συστήματα Εξισώσεων IV(β) ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ τωνεξισώσεων

X

Y

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minus2Y =minus4

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 101

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική ΑνάλυσηΣε ένα γράφημα 2 διαστάσεων ένα σύστημα mtimes2(mgt2) εξισώσεων παριστάνεται με m ευθείες ´Οπωςσυμβαίνει στα συστήματα 2times2 υπάρχουν τρίαενδεχόμενα

1 ´Ολες οι ευθείες τέμνονται στο ίδιο σημείο και έτσιυπάρχει

2 ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ των mεξισώσεων Αυτό σημαίνει ότι όλες οι ευθείες είναιπαράλληλες Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα Λ

3 Οι m εξισώσεις είναι ισοδύναμες πχ παρασταίνονται σανμια ευθεία Σε αυτή την περίπτωση υπάρχει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 102

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων ∆ιαδικασίαΑπαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής για την επίλυση ενός συστήματοςmtimes2 μπορεί να περιγραφεί ως ακολούθωςΕπιλέξτε και λύστε σύστημα με δύο εξισώσεις

1 Εάν δεν υπάρχει λύση τότε ολόκληρο το σύστημα δεν έχειλύση

2 Εάν υπάρχει μοναδική λύση που ικανοποιεί τις υπόλοιπεςmminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα έχει μία μοναδική λύση

3 Εάν η λύση είναι μοναδική αλλά δεν ικανοποιεί τιςυπόλοιπες mminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα δεν έχει λύση

4 Εάν οι 2 λύσεις είναι ισοδύναμες απάλοιψτε τη μίααπό τις δύο εξισώσεις και ξεκινήστε από την αρχήλαμβάνοντας υπόψη ένα σύστημα (mminus1)times2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 103

ΠαράδείγμαI Θεωρείστε ένα σύστημα 5times2

XminusY= 1X+2Y=minus8

3Xminus2Y= 02Xminus5Y= 11minus4X+3Y=minus1

I Η λύση των πρώτων δύο εξισώσεων δίνετε απόY =minus3 και X =minus2

I Αντικαθιστώντας τη λύση στις υπόλοιπες τρεις εξισώσειςπαίρνετε αντίστοιχα

0 = 0 11 = 11 και minus1 =minus1I Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση

X=minus2 και Y=minus3Ε Ι Κοντογιώργης copy 104

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian

Η μέθοδος απολοιφής Gaussian μετατρέπει το αρχικόσύστημα εξισώσεων σε διαγώνια μορφή επαναλαμβάνονταςστις εξισώσεις τις ακόλουθες τρεις διαδικασίες

1 Πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης μεμια θετική σταθερά

2 Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού θα προστεθεί σεάλλη εξίσωση

3 Η σειρά των εξισώσεων μπορεί να αλλάξει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 105

ΠαράδείγμαΠ Θεωρείστε το σύστημα 2times2

2X minus 3Y = 7 (Εξ 1)X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με 12 για να πάρετε

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με minus1 καιπροσθέστε την στην (Εξ 2)

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

52Y =

152 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 106

Στάδιο 3 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 25

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

Y = 3 (Εξ 2)

Στάδιο 4 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 32 και

προσθέστε την στην (Εξ 1)

X = 1 (Εξ 1)Y = 3 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 107

Π Θεωρείστε το σύστημα 2times2

5X + 20Y = 254X minus 7Y =minus26

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να εκφραστεί ως

R1 5 20 25R2 4 minus7 minus26

Η κάθετη γραμμή χρησιμοποιείται για διαχωρισμό τηςαριστερής από τη δεξιά πλευρά των εξισώσεων Το Riυπονοεί τη γραμμή (Row) i

Ε Ι Κοντογιώργης copy 108

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάζουμε τη R1 με 15 και το θέτουμε

R1larr 15R1

R1 1 4 5R2 4 minus7 minus26

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάζουμε την R1 με minus4 και τηνπροσθέτουμε στην R2 Εν συντομίαR2larrminus4R1+R2

R1 1 4 5R2 0 minus23 minus46

Στάδιο 3 R2larrminus 123R2

R1 1 4 5R2 0 1 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 109

Στάδιο 4 R1larrminus4R2+R1

R1 1 0 minus3R2 0 1 2

Το αρχικό σύστημα εξισώσεων μετατρέπεται σε διαγώνιαμορφή όπως πιο κάτω

X =minus3Y = 2

το οποίο δίνει τη λύση του συστήματος

Ε Ι Κοντογιώργης copy 110

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 I

Το σύστημα εξισώσεων 3times3 μετετρέπεται σε διαγώνιαμορφή Η μετατροπή γίνεται στήλη με στήλη από τααριστερά προς τα δεξιά

Π Θεωρήστε το σύστημα 3times3

X1 + X2 + X3 = 2X1 minus 3X2 + 2X3 = 7

4X1 minus 2X2 minus X3 = 9

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να γραφτεί ως

Ε Ι Κοντογιώργης copy 111

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 II

1 1 1 21 minus3 2 74 minus2 minus1 9

Ε Ι Κοντογιώργης copy 112

I Εάν έχετε μια έκφραση μέσα σε παράνθεση και ηπαράνθεση είναι υψωμένη σε μια δύναμη τότε η δύναμημπορεί να γίνει μέρος τις παράνθεσης Για παράδειγμα

(xy2)3 = (xy2)(xy2)(xy2) = (xxx)(y2y2y2)

= (xxx)(yyyyyy) = x3y6 = (x)3(y2)3 = x3y6

Παρομοίως(xy)2

=x2y2

I ´Ενας αρνητικός εκθέτης είναι ένδειξη ότι η βάση βρίσκεταιστον παρονομαστή του κλάσματος Πχ

xminus2 =1x2

x2xminus3 = x2x3 = x5 2xminus1 =

2x

(3x)minus2 =1

(3x)2 =1

9x2 και(xminus2yminus3

)minus2=

(xminus2)minus2

(yminus3)minus2=x4y6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 22

I Οτιδήποτε στη δύναμη μηδέν είναι lsquo1rsquo

Πχ 50 = 1 x0 = 1 (x2y3)0 = 1 και 00 = 1

Σημειώστε ότι 50 = 5(1minus1) = (51)(5minus1) =55 = 1

I Μηδέν σε οποιαδήποτε δύναμη είναι μηδέν έτσι 0n = 0

Σημειώστε ότι 00 = 1 και ότι 00 = 0

Αυτό υποδειλώνει ότι 00 είναι μια απροσδιόριστη μορφήπου σε κάποιες περπτώσεις παίρνει μία τιμή και σεκάποιες άλλες περιπτώσεις παίρνει διαφορετική τιμή

Ε Ι Κοντογιώργης copy 23

I Κλασματικοί (Αναλογικοί) Εκθέτες

1 Η τετραγωνική ρίζα μπορεί να γραφτεί σε μορφή κλάσματος

´Ετσι radicx= x12

Πχ 212 =

radic2 = 141 και 2

minus12 =

1radic2

= 071

2 Γενικά xab =bradicxa Πχ 7

23 =

3radic72 = 366

355 = 3112 =

2radic311 = 42089

Ε Ι Κοντογιώργης copy 24

ΛογάριθμοιI Η λογαριθμική μορφή ενός αριθμού είναι lsquoαντίθετηrsquo από

την εκθετική Τεχνικά μιλώντας η λογαριθμική μορφήείναι αντίστροφη της εκθετικής

I Η σχέση δίνεται logb(x) = y

που είναι το ίδιο με by = x

I Ο lsquolsquologb(x) = yrsquorsquo προφέρεται lsquolsquolog-βάση-b-του x ισούται yΕδώ b ονομάζεται lsquoβάση του λογαρίθμουrsquo αφού το b είναιη βάση της εκθετικής έκφρασης

I Η βάση b του λογάριθμου είναι πάντοτε θετική και δενισούται με 1

I Οτιδήποτε βρίσκεται μέσα στο λογάριθμο ονομάζεταιέκφραση

Ε Ι Κοντογιώργης copy 25

ΠαραδείγματαI Μετατρέψτε την έκφραση 63 = 216 στην ισοδύναμη

λογαριθμική μορφή

Για τη μετατροπή η βάση μένει η ίδια αλλά το 3 και το216 αλλάζουν θέσεις Αυτό μας δίνει

log6(216) = 3

I Μετατρέψτε τον log4(1024) = 5 στην αντίστοιχηλογαριθμική έκφραση

Για τη μετατροπή η βάση (που είναι 4) παραμένει η ίδιααλλά το 1024 και το 5 αλλάζουν θέσεις ´Ετσι δίνεται

45 = 1024

Ε Ι Κοντογιώργης copy 26

I Υπολογίστε τον log2(8)

Εάν y= log2(8) τότε υπονοείται ότι 2y = 8 Αυτόσημαίνει ότι y είναι η δύναμη του 2 που θα έχει σαναποτέλεσμα 8 Η δύναμη που δίνει το αποτέλεσμα είναι 3αφού 23 = 8 ´Ετσι

log2(8) = 3

I Κατά παρόμοιο τρόπο log5(25) = 2 αφού 52 = 25

I Υπολογίστε τον y= log64(4)

Σημειώστε ότι 64y = 4 και 43 = 64

´Ετσι (43)y

= 4 ή 43y = 41

Η πιο πάνω έκφραση εξυπονοεί ότι 3y= 1 και έτσιy= 13

Ε Ι Κοντογιώργης copy 27

I Υπολογίστε y= log6(6)

Αυτό ισοδυναμεί με το 6y = 6 και συνεπώς y= 1

I Υπολογίστε το y= log3(1)

Το πιο πάνω μπορεί να γραφτεί ως 3y = 1

´Ομως 1 = 30 έτσι 3y = 30 και y= 0

I Υπολογίστε το y= log4(minus16)

Μπορεί να γραφτεί σαν 4y =minus16

´Ομως δεν υπάρχει τιμή (πχ δύναμη) y που ναικανοποιεί τη σχέση ´Ετσι δεν υπάχρει λύση

Ε Ι Κοντογιώργης copy 28

I Υπολογίστε το y= log2(0)

Αυτό σημαίνει 2y = 0 όμως δε υπάρχει τιμή που ναικανοποιεί τη σχέση ´Ετσι δεν υπάχρει λύση

I Υπολογίστε το y= 2log2(9)

Αυτό σημαίνει ότι log2(y) = log2(9) και έτσι y= 9

Ε Ι Κοντογιώργης copy 29

I Γενικά1 logb(b) = 1 για οποιαδήποτε βάση b

2 logb(1) = 0 για οποιαδήποτε βάση b

3 logb(a) δεν ορίζεται για αρνητικά a

4 logb(0) δεν ορίζεται για οποιαδήποτε βάση b

5 logb(bn) = n για οποιαδήποτε βάση b

Ε Ι Κοντογιώργης copy 30

I Οι λογάριθμοι μπορούν να πάρουν οποιοδήποτε αριθμόσαν βάση αλλά δύο βάσεις είναι οι πιο χρήσιμες οlog-βάση-10 και ο log-βάση-e

I Η βάση-10 log συχνά ονομάζεται ο κοινός log καιγράφεται ως log(x) Εδώ δεν αναγράφεται βάση καιμπορούμε να υποθέσουμε ότι η βάση είναι 10

Πχ log(100) = 2 έτσι log10(102) = 2

I Η βάση-e log ονομάζεται ο φυσικός log και γράφεται σανln(x)Πχ ln(e345)= 345 καθώς loge(e345) = 345

Ε Ι Κοντογιώργης copy 31

Ιδιότητες Λογαρίθμωνlogb(xy) = logb(x) + logb(y)

Απόδειξη´Εστω m= logbx και n= logby

Γράψτε σε μορφή εκθέτη x= bm και y= bn

Πολλαπλασιάστε το x και y ούτως ώστεxy= bmbn = bm+n

´Ετσι από τον ορισμό των λογαρίθμων το xy= bm+nσυνεπάγει ότι

logb(xy) =m+n= logbx+ logb(y)

Πχ log2(4times16) = log2(64) = log2(26) = 6

Ακόμα log2(4times16) = log2(4) + log2(16) = 2+4 = 6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 32

logb(xy)

= logb(x)minus logb(y)

Απόδειξη´Εστω m= logbx και n= logby

Γράψτε σε μορφή εκθέτη x= bm και y= bn

∆ιαίρα το x και y ούτως ώστε xy =bmbn = bmminusn

´Ετσι από τον ορισμό των λογαρίθμων το xy = bmminusn

συνεπάγει ότι

logb(xy)

=mminusn= logbxminus logb(y)

Πχ log2(16

4)

= log2(4) = 2

και log2(16

4)

= log2(16)minus log2(4) = 4minus2 = 2Ε Ι Κοντογιώργης copy 33

logb(xn) = n logb(x)

Απόδειξη´Εστω m= logbx και γράψτε σε μορφή εκθέτη x= bm

Αυξάνοντας τις δύο πλευρές στην n δύναμη παίρνουμεxn = (bm)n = bmn

´Ετσι από τον ορισμό των λογαρίθμων τοlogbxn =mn= nm= n(logbx)

Πχ log2(64) = log2(26) = 6 log2(2) = 6

log(64) = 18

Επιπλέον log(64) = log(26) = 6log(2) = 6times030 = 18

Ε Ι Κοντογιώργης copy 34

logb(x) =loga(x)loga(b) agt0 a 6= 1

Απόδειξη´Εστω m= logbx rArr x= bm

Εφαρμόστε loga και στις δύο πλευρές του x= bmγια ναδώσει

logabm = logax rArr m logab= logaxrArr m=logaxlogab

rArr logbx=logaxlogab

Πχ log5(20) =log(20)

log(5)= 186 =

ln(20)

ln(5)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 35

logb(a) =1

loga(b) agt0 a 6= 1

Απόδειξη

logb(x) =loga(x)loga(b) =

logx(x)logx(b)

=1

loga(b)

´Οταν a= x

Πχ log2(64) =1

log64(2)=

116 = 6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 36

Αθροισμα

I Υποθέστε ότι έχουμε μια μεταβλητή x που μπορεί ναπάρει δέκα τιμές Εάν ενδιαφερόμαστε για το άθροισμάτους χωρίς να ξέρουμε την τιμή της κάθε μεταβλητής τότεο καλύτερος τρόπος να το εκφράσουμε είναι

x1 +x2 + middot middot middot+x9 +x10

I Εν συντομία το άθροισμα n στοιχείων x1 +x2 + middot middot middot+xn είναιnsum

i = 1xi

και ερμηνεύεται σαν το άθροισμα όλων των xirsquosξεκινώντας από το x1 (πχ i = 1) μέχρι xn (i = n)

I Εάν δε δοθεί διαφορετικά πάντοτε υποθέτουμε ότι το iαυξάνεται ξεκινώντας από το στάδιο 1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 37

I Το lsquolsquoSigmarsquorsquo Σ είναι γνωστό ως το άθροισμα (summation) ήσύμβολο σίγμα (sigma operator) και ο δείκτης i όνομάζεταιεικονική μεταβλητή

I Παραδείγματα

I

5sum

i = 1xi = x1 +x2 +x3 +x4 +x5

I

5sum

i = 1(y2

i ) = y21 +y22 +y23 +y24 +y25

Σημειώστε ότι η μόνη μεταβλητή που περιγράφεται απευθείαςκάτω από το σύμβολο Σ αυξάνεται κατά 1 κάθε φορά ενώ όλατα άλλα σύμβολα παραμένουν τα ίδια

I

4sum

r = 1(x3r ) = x31 +x32 +x33 +x34

Ε Ι Κοντογιώργης copy 38

I6sum

i = 1i = 1+2+3+4+5+6

I6sum

i = 1i2 = 12 +22 +32 +42 +52 +62

I7sum

i = 3xi = x3 +x4 +x5 +x6 +x7

I4sum

i = 1a = a+a+a+a= 4a

I3sum

i = 1(4+xi) = (4+x1) + (4+x2) + (4+x3)

=3sum

i = 14+

3sum

i = 1xi

Ε Ι Κοντογιώργης copy 39

I3sum

i = 1(2xi) = (2x1) + (2x2) + (2x3) = 2times

3sum

i = 1xi

I Ο συντελεστής i παραλείπεται εάν δε προκαλείαοριστία Για παράδειγμα Σx ή Σixi σημαίνειάθροισμα όλων των x που λαμβάνονται υπόψη

I ∆ήλωσηI

nsumi=1a= na

I sumiaxi = asum

ixi

I sumi

(axi+byi) = asumixi +bsum

iyi

Ε Ι Κοντογιώργης copy 40

I Αθροιστικός Τύπος

Insum

i = 1i = 1+2+ middot middot middot+n=

n(n+1)

2

Πχ6sumi = 1i = 1+2+3+4+5+6 =

6(6+1)

2 = 21

Insum

i = 1i2 = 12 +22 + middot middot middot+n2 =

n(n+1)(2n+1)

6

Πχ6sumi = 1i2 = 12 +22 +32 +42 +52 +62

=6(6+1)(12+1)

6 = 91

Ε Ι Κοντογιώργης copy 41

Insum

i = 1i3 = 13 +23 + middot middot middot+n3 =

n2(n+1)2

4

Πχ6sumi = 1i3 = 13 +23 +33 +43 +53 +63

=62(6+1)2

4 = 441

Ε Ι Κοντογιώργης copy 42

ΠαραδήγματαΑριθμητική Πρόοδος

I Γενικά μπορούμε να εκφράσουμε μια αριθμητική πρόοδο ωςεξής

αριθμητική πρόοδος a a+d a+2d a+3d

όπου ο πρώτος όρος είναι a και η διαφορά d Ο όρος nτης απ δίνεται από τη σχέση b = a+ (nminus1)d

I 3 5 7 9 11 είναι μια αριθμητική πρόοδος Οπρώτος όρος είναι το 3 και η διαφορά είναι 2

I 2 minus1 minus4 minus7 είναι μια αριθμητική πρόοδος όπου οπρώτος όρος είναι 2 και η διαφορά minus3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 43

I Το άθροισμα των όρων μιας αριθμητικής προόδου είναιγνωστό ως αριθμητική σειρά

Sn = a+ (a+d) + (a+2d) + middot middot middot+ (a+ (nminus1)d)

=nsumi=1

(a+ (iminus1)d

)= na+

nsumi=1

(iminus1)d

= na+dnminus1sumi=1

i = na+d(nminus1)n2

=n2(2a+d(nminus1)) =

n2(a+b) b = a+d(nminus1)

I ΑΠ 3 5 7 9 11 13 rArr Sn =62(3+13) = 48

Ε Ι Κοντογιώργης copy 44

∆ιπλό Αθροισμα4sumi=1

isumj=1

j = (1) + (1+2) + (1+2+3) + (1+2+3+4) = 20

nsumi=1

isumj=1

j =nsumi=1

( isumj=1

j)

nsumi=1

(12 i(i+1)

)=

12

nsumi=1

(i2 + i)

12( nsumi=1

i2 +nsumi=1

i)

=12(16n(n+1)(2n+1) +

12n(n+1)

)

=12

16n(n+1)

((2n+1) +3

)=

n6(n+1)(n+2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 45

∆ιπλό Αθροισμα

nsumi=1

msumj=1

(i+ j+2) =nsumi=1

( msumj=1

(i+ j+2))

nsumi=1

( msumj=1

i+msumj=1

j+msumj=1

2)

=nsumi=1

(mi+ 1

2m(m+1) +2m)

m( nsumi=1

i+ 12

nsumi=1

(m+5))

= m(12n(n+1) +

12n(m+5)

)

=mn2(m+n+6

)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 46

Insumr=1

1r(r+1)

=nsumr=1

(Ar +

Br+1

)=

nsumr=1

A(r+1) +Brr(r+1)

I A(r+1) +Br = 1

I Για r = 0 τότε A= 1 και για r =minus1 τότε B=minus1

I

nsumr=1

1r(r+1)

=nsumr=1

(1r minus

1r+1

)

=(

(11 minus

12) + (

12 minus

13) + (

13 minus

14) + middot middot middot+ (

1nminus1 minus

1n ) + (

1n minus

1n+1)

)

= 1minus 1n+1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 47

Insumk=1

1(k+2)(k+3)

=nsumk=1

( A(k+2)

+B

(k+3)

)=

nsumk=1

A(k+3) +B(k+2)

(k+2)(k+3)

I A(k+3) +B(k+2) = 1

I Για k=minus2 τότε A= 1 και για k=minus3 τότε B=minus1

I

nsumk=1

1(k+2)(k+3)

=nsumk=1

( 1(k+2)

minus 1(k+3)

)

=(

(13 minus

14)+(

14 minus

15)+(

15 minus

16)+ +(

1n+1 minus

1n+2)+(

1n+2 minus

1n+3)

)

=13 minus

1n+3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 48

Αθροισμα με Λογάριθμους

nsumi=1

logb(i) = logb(1) + logb(2) + middot middot middot+ logb(n)

= logb(1times2times3timesmiddotmiddot middottimesn)

= logb(n)

I Το n (n παραγοντικό) δίνεται από n = 1times2timesmiddotmiddot middottimesn και0 = 1

I100sumi=1

log2(100) = log2(100) =log(100)

log(2)=

log(99)

log(2)+

2log(2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 49

Γινόμενο των ακολουθιώνIn

prodi=1xi = x1timesx2timesx3timesmiddotmiddot middottimesxn

In

prodi=1i = 1times2times3timesmiddotmiddot middottimesn= n

In

prodi=1z= ztimesztimesmiddotmiddot middottimesz= zn

I

nprodi=1

(1+

1i+1

)=(1+

12)times(1+

13)times(1+

14)times times(1+

1n )times(1+

1n+1)

=32 times

43 times

54 timesmiddotmiddot middottimes

n+1n times n+2

n+1

=n+22

Ε Ι Κοντογιώργης copy 50

Γεωμετρικές ΠροόδοιI Μια γεωμετρική πρόοδος είναι μια σειρά αριθμών όπου

κάθε όρος μετά των πρώτο υπολογίζεται από τονπολλαπλασιασμό του προηγούμενου όρου με ένασταθερό αριθμό που καλείται αναλογία

I Η σειρά1 3 9 27 81 middot middot middot

είναι μια γεωμετρική πρόοδος με πρώτο όρο το 1 καιαναλογία 3

I Η αναλογία μπορεί να είναι κλάσμα καθώς επίσης καιαρνητικός αριθμός Για παράδειγμα η γεωμετρικήπρόοδος με πρώτο όρο το 2 και αναλογία minus13 είναι

2 minus 23 +

29 minus

227 +

281 middot middot middot

Ε Ι Κοντογιώργης copy 51

I Γενικά μπορούμε να γράψουμε μια γεωμετρική πρόοδο ωςακολούθως

γεωμετρική πρόοδος a ar ar2 ar3 ar4 middot middot middot

όπου ο πρώτος όρος είναι a και η αναλογία r

I Σημαντικά θεωρήματα των γεωμετρικών προόδων (γπ)1 Ο n όρος μιας γπ δίνεται από ar(nminus1)

2 Το άθροισμα των πρώτων n όρων μιας γπ είναι

Sn =a(1minus rn)

1minus r =a(rnminus1)

rminus1 και ισχύει μόνο αν r 6= 1

I Το άθροισμα των όρων μιας γεωμετρικής προόδουονομάζεται γεωμετρική σειρά

Ε Ι Κοντογιώργης copy 52

Γεωμετρική σειρά

Sn = a+ar+ar2 +ar3 + middot middot middot+arnminus2 +arnminus1

rSn = ar+ar2 +ar3 + arnminus1 +arn

Snminus rSn = aminusarn

(1minus r)Sn = a(1minus rn)

Sn =a(1minus rn)

(1minus r) =a(rnminus1)

(rminus1)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 53

I Παράδειγμα1 Βρείτε το άθροισμα των πρώτων 10 όρων μιας γεωμετρικής

σειράς4 8 16 32

Ο πρώτος όρος είναι a= 4 και η αναλογία r = 2 καιn= 10 ´Ετσι

S10 =4(1minus210)

1minus2 = 4092

2 Θεωρείστε τη γπ4 minus8 16 minus32 64 minus128 256 minus512

Σε αυτή την περίπτωση ο πρώτος όρος είναι a= 4 ηαναλογία είναι r =minus2 και n= 8´Ετσι

S8 =4(1minus (minus2)8)

1minus (minus2)=minus340

Ε Ι Κοντογιώργης copy 54

Συνεχείς ανατοκισμός

Οι περισσότεροι τραπεζικοί λογαριασμοί και τα δάνειαυιοθετούν ανατοκισμό - εφαρμόζοντας συνεχή ανατοκισμόΘεωρείστε ένα λογαριασμό που προσφέρει τόκο με ετήσιοεπιτόκιο r (πχ 7) Εάν το επιτόκιο είναι συνεχέςσε χρονιαία βάση τότε μετά από 1 χρόνο το χρονιαίοεπιτόκιο προστίθεται στο αρχικό κεφάλαιο για νακαθορίσει ένα μεγαλύτερο κεφάλαιο τον δεύτερο χρόνο

´Ετσι κατά τη διάρκεια του δεύτερου χρόνου ολογαριασμός κερδίζει επιτόκιο πάνω στο επιτόκιοΑυτή είναι η επίδραση του ανατοκισμού που συνεχίζεταιχρόνο με το χρόνο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 55

I Με τον ετήσιο ανατοκισμό το κεφάλαιο πουσυσσωρεύεται στο λογαριασμό πολλαπλασιάζεται με

(1+ r)

´Ετσι το κεφάλαιο A θα αυξηθεί σε

A(1+ r) = A+A middot r

τον επόμενο χρόνο

I Με το πέρας και του δεύτερου χρόνου το κεφάλαιο θααυξηθεί ακόμα (1+ r) σε (1+ r)2

´Ετσι το κεφάλαιο καταλήγει σε

A(1+ r)(1+ r) = A(1+ r)2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 56

I Κατά παρόμοιο τρόπο στο τέλος του τρίτου χρόνου τοποσό θα αυξηθεί κατά (1+ r)3

I Μετά από n χρόνια το ποσό θα αυξηθεί κατά (1+ r)n

I ´Ετσι το κεφάλαιο (επένδυση) A θα αυξηθεί με συνεχήανατοκισμό σε A(1+ r)n μετά από n χρόνια

I Ο τύπος (1+ r)n εκθέτει γεωμετρική αύξηση λόγω τηςn δύναμης

Ε Ι Κοντογιώργης copy 57

ΠαραδείγματαI Εάν το επιτόκιο είναι r = 5 τότε το κεφάλαιοA= $1000 που βρίσκεται στην τράπεζα n= 20 χρόνιαθα αυξηθεί κατά

(1+ r)n = (1+005)20 = 2653 φορές

´Ετσι το ποσό θα καταλήξειA(1+ r)n = $265330

I Βρέστε το χρόνο που χρειάζεται για ένα λογαργιασμό ναδιπλασιάσει το διαθέσιμο κεφάλαιο του όταν r = 7 καιr = 10Ζητούμε να βρούμε το n έτσι ώστε

(1+ r)n = 2Ε Ι Κοντογιώργης copy 58

I Υπολογίζοντας το λογάριθμο του τελευταίου παίρνουμε

log(1+ r)n = log(2)ή n log(1+ r) = log(2)

´Ετσιn=

log2log(1+ r)

I Για r = 7 και r = 10 ο χρόνος n πουχρειάζεται για διπλασιασμό της επένδυσης υπολογίζεταισε 1024 και 727 αντίστοιχα

Ε Ι Κοντογιώργης copy 59

I Αν το επιτόκιο είναι r = 7 τότε πιο θα είναι τοσυνολικό ποσό στο λογαριασμό μετά από 205 και41 χρόνια αντίστοιχα

Μετά τα πρώτα 1025 χρόνια το ποσό A θαδιπλασιαστεί σε 2A Για τα επόμενα 1025 χρόνιατο ποσό θα ξαναδιπλασιαστεί σε 4A ´Ετσι μετά από205 χρόνια το ποσό θα αυξηθεί κατά 4 φορές

Με το πέρας ακόμα 205 χρόνων το ποσό θα αυξηθείακόμα 4 φορές σε 16 ´Ετσι μετά από 41 χρόνιατο κεφάλαιο A γίνεται 16A

Ε Ι Κοντογιώργης copy 60

Ασκήσεις και Παραδείγματα

I Υπολογίστε τη Μελλοντική Αξία (Future Value (FV)) τουκεφαλαίου A= 1500 που κερδίζει ετήσιο επιτόκιοr = 5 για n= 10 έτη

FV =A(1+ r)n = 1500(1+005)10 = 244334

I Πόσα έτη απαιτούνται για να τριπλασιαστεί ένα ποσόπου αφήνετε στην τράπεζα με επιτόκιο r = 5∆ηλαδή βρείτε το n όπου A= 1 r = 5 και FV = 3

FV =A(1+ r)n ή (1+ r)n =FVA

Ε Ι Κοντογιώργης copy 61

Υπολογίζοντας τους λογαρίθμους παίρνουμε

log(1+ r)n = log(FVA)

ή n log(1+ r) = log(FVA)

´Ετσι

n=log(FVA)

log(1+ r) =log(3)

log(105)

= 2252

Ε Ι Κοντογιώργης copy 62

I Βρείτε την παρούσα αξία A έτσι ώστε σε δέκα έτη μεσταθερό επιτόκιο r = 6 να είναι 100KΒρείτε το A όπου FV = 100000 r = 6 και n= 10

FV =A(1+ r)n ή A=FV

(1+ r)n

´Ετσι A=100000

(106)10= 5583948

I Βρείτε την ετησιοποιημένη απόδοση (AER AnnualEquivalent Rate) μιας μηνιαίας κατάθεσης με σταθερόεπιτοκίο 394 Μια τέτοια κατάθεση λαμβάνει το επιτόκιο στη λήξηΣυνεπώς κάθε μήνα ο λογαριασμός λαμβάνει

r = 0039412 = 000328

επιτόκιο που επανεπενδύεται (συνεχής ανατοκισμός)Ε Ι Κοντογιώργης copy 63

Επανεπενδύοντας το επιτόκιο κάθε μήνα στη διάρκειαενός έτους το κεφάλαιο θα αυξηθεί σε

(1+ r)12 = (1+000328)12 = 104012

´Ετσι το ΑΕΡ είναι ισοδύναμο με 004012 = 4012I Υπολογίστε το επιτόκιο ενός σταθερού λογαριασμού

κατάθεσης 7-ημερών που έχει AER επιτόκιο r = 425Θεωρείστε ρ το εβδομαδιαίο επιτόκιο

´Ετσι (1+ρ)52 = (1+00425)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 64

Παίρνοντας τους λογαρίθμους έχουμε52log(1+ρ) = log10425

ή log(1+ρ) =log10425

52

ή 1+ρ= 10( log10425

52)

Αυτό μας δίνει

ρ= 10

( log1042552

)minus1 = 008

´Ετσι το συνεχές επιτόκιο μιας επταήμερης κατάθεσης είναιρtimes52 = 41638

Εναλλακτικά (1+ρ)52 = (1+00425) δίνει

(1+ρ) =52radic10425ή ρ=

52radic10425minus = 008Ε Ι Κοντογιώργης copy 65

I Υπολογίστε την ετήσια απόδοση r έτσι ώστε A= 10000να επιστρέφει FV = 35000 σε n= 20 χρόνια

FV =A(1+ r)n ή (1+ r)n =FVA

´Ετσι

1+ r =nradic

FVA

Επομένως

r =nradic

FVA minus1 =

20radic

3500010000 minus1 = 00646 = 646

Ε Ι Κοντογιώργης copy 66

Εναλλακτικά παίρνοντας τους λογαρίθμους

log(1+ r)n = log(FVA) ή n log(1+ r) = log

(FVA)

´Ετσι

1+ r = 10(1n log

(FVA))

ή r = 10(1n log

(FVA))minus1

= 10( 120 log

(3500010000

))minus1

= 646

Ε Ι Κοντογιώργης copy 67

Γραφική Αναπαράσταση I

I Υποθέστε ότι έχουμε y= 3x+2 Καθώς έχουμε μόνο μιαδύναμη για το x πρέπει να λύσουμε γραμμική εξίσωσηκαι να σχεδιάσουμε μια ευθεία γραμμή Αρχικά θα πρέπεινα σχεδιάσουμε ένα T-chart Αυτό έχει τη μορφή

x y = 3x+2 (xy)

I Επιλέγουμε μια τιμή για το x και λύνουμε ως προς y

x y= 3x+2 (xy)minus2 minus4 (minus2minus4)0 2 (02)2 8 (28)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 68

Γραφική Αναπαράσταση II

-

6

X

Y

bull

bull

bull

I Βλέπουμε μια ευθεία με ανοδική τάση (έχοντας θετικήκλίση m= 3) καιτέμνει τον άξονα y στο σημείο y= 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 69

Γραφική Αναπαράσταση III

I Μια Τετραγωνική εξίσωση περιέχει x2 Για τηναναπαράσταση τετραγωνικών εξισώσεων χρειάζεται ναβρούμε περισσότερα από τρία σημεία στο σχεδιάγραμμα

Για παράδειγμα υποθέστε ότι y= x2minus6x+5 καιδίνεται το πιο κάτω T-chart

x y= x2minus6x+5 (xy)0 5 (05)1 0 (10)3 minus4 (3minus4)5 0 (50)6 5 (65)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 70

Γραφική Αναπαράσταση IV

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

-

6

X

Y

bull

bull

bull

bull

bull

Ε Ι Κοντογιώργης copy 71

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(1x + 2)

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(-3x + 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 72

-15

-10

-5

0

5

10

15

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(3x - 2)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 73

-20

0

20

40

60

80

100

120

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2+x)

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 74

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

1250

1500

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3+x2+x)

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x4)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 75

-25

-2

-15

-1

-05

0

05

1

15

2

25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(log(x))

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(x))

Ε Ι Κοντογιώργης copy 76

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(-x))

-5000

0

5000

10000

15000

20000

25000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(exp(x)+x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 77

Ανισότητες I

I Οι ανισότητες αποτελούνται από δύο ή τρεις αλγεβρικέςεκφράσεις που είναι συνδεδεμένες με τα σύμβολαανισότητας Τα σύμβολα αυτά είναι

lt μικρότερο τουgt μεγαλύτερο τουle μικρότερο ή ίσο τουge μεγαλύτερο ή ίσο του

I Παραδείγματα xgty yge x2 και ylt5x+1

I Το πρώτο βήμα για την αναπαράσταση ανισότητας τηςμορφής ygtx είναι να παραστήσουμε γραφικά τηνισότητα y= x

Ε Ι Κοντογιώργης copy 78

Ανισότητες II

I ygtx

Κάνετε δοκιμή με ένα σημείο να δείτε κατά πόσοικανοποιεί την ανισότητα Εάν ναι τότε σκιάστε τηνπεριοχή αυτή του σχεδιαγράμματος διαφορετικά σκιάστετην άλλη πλευρά

Ε Ι Κοντογιώργης copy 79

Ανισότητες III

I yltx

Ε Ι Κοντογιώργης copy 80

Ανισότητες IV

I yle 5x+1 και ygt5x+1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 81

Ανισότητες V

I yge x2 και yle x2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 82

Ανισότητες VI

I ygtx3 και yle x3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 83

Συστήματα Γραμμικών ΕξισώσεωνΠεριεχόμενα

1 Ε

2 Γ Α

ΑναφορέςΚεφάλαια 4 και 5FS Budnick Applied Mathematics for Business Economicsand the Social Sciences 4th edition McGraw-Hill 1993

Ε Ι Κοντογιώργης copy 84

Συστήματα Εξισώσεων

I ´Ενα σύστημα εξισώσεων συνδυάζει περισσότερες από μίαεξισώσεις

I ´Ενα σύστημα m εξισώσεων όπου κάθε εξίσωσηαποτελείται από n μεταβλητές ονομάζεται mtimesnσύστημα ή λέμε ότι έχει διαστάσεις mtimesn

I ΠαράδειγμαΠαρακάτω έχουμε ένα σύστημα 2times2

5X+10Y= 203X+4Y= 10

Οι μεταβλητές σε αυτή την περίπτωση είναι X και YΕ Ι Κοντογιώργης copy 85

Συστήματα Επίλυσης

I Το Σύστημα επίλυσης είναι μια σειρά τιμών μεταβλητώνπου ικανοποιούν το σύστημα ταυτόχρονα

I Σε μια σημειογραφική παράσταση το προηγούμενοπαράδειγμα μπορεί να γραφτεί ως εξής

S = (XY) | 5X+10Y = 20 και 3X+4Y = 10

I Το σύστημα επίλυσης μπορεί να είναι1 μηδενικό2 πεπερασμένο ή3 άπειρο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 86

2times2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική Ανάλυση

I Σε ένα δισδιάστατο γράφημα ένα σύστημα εξισώσεων2times2 αναπαρίστανται με ευθείες γραμμές Υπόρχουν τρίαενδεχόμενα

1 Οι ευθείες τέμνονται Το σημείο τομής αντιπροσωπεύει τηλύση του συστήματος εξισώσεων Αυτό το σημείοαλληλεπίδρασης είναι μια δέσμη τιμών X και Y που ικανοποιείκαι τις δύο εξισώσειςΕάν υπάρχει μόνο μια δέσμη τιμών για τις μεταβλητές που ναικανοποιεί το σύστημα εξισώσεων το σύστημα λέμε ότι έχειΜ Λ

2 Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες μεταξύ τους ∆εν έχουν κοινόσημείο Συνεπώς οι ευθείες δεν τέμνονται ποτέ Το σύστημαλέμε ότι ∆ ΛΑυτό υπονοεί ότι δεν υπάρχουν τιμές για τις μεταβλητές πουνα ικανοποιούν και τις δύο εξισώσεις Σε αυτή τηνπερίπτωση οι εξισώσεις στο σύστημα είναι Α

3 Και οι δύο εξισώσεις αναπαρίστανται ως μια κοινή ευθεία καιθεωρούνται ισοδύναμες εξισώσεις ´Ετσι το σύστημα έχειΑ Λ Αυτό συμβαίνει γιατί υπάρχει άπειροςαριθμός κοινών σημείων στις δύο γραμμές

Ε Ι Κοντογιώργης copy 87

I Π Θεωρείστε ένα σύστημα 2times22X+4Y= 203X+ Y= 10

I

X

Y

(24)

3X +Y = 10

2X +4Y = 20

0 2 4 6 8 10 12

2

4

6

8

10

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 88

I Το σημείο τομής δίνεται από το X= 2 και Y= 4Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές του X και Y στις δύοεξισώσεις δίνουν 20 = 20 και 10 = 10 αντίστοιχα

I Αυτό υποδειλώνει ότι X= 2 και Y= 4 είναι η σωστή λύση

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times23Xminus2Y= 6

minus15X+10Y=minus30

I

X

Y

(20)

(0minus3)

3X minus2Y = 6

minus15X +10Y =minus30

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 89

I Οι δύο εξισώσεις απλοποιούνται σε Xminus 23 Y= 2

Οι δύο εξισώσεις είναι ισοδύναμες και δίνουν έναπεπερασμένο αριθμό λύσεων έτσι ώστε

X= 0 Y =minus3X= 2 Y = 0X= 4 Y = 3

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times26Xminus12Y= 24

minus32X+3Y= 9

Οι εξισώσεις απλοποιούνται σεXminus2Y= 4Xminus2Y=minus6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 90

I

X

Y

(40)

(0minus2)

(minus60)

(03)

X minus2Y =minus6

X minus2Y = 4

0-0

I Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες και συνεπώς το σύστημαδεν έχει λύση ´Ετσι το σύστημα εξισώσεων είναιασύμπτωτο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 91

Περίληψη 2times2 Συστήματα Εξισώσεων∆ίνεται ένα Σύστημα Γραμμικών Εξισώσεων 2times2

Y=m1X+ c1Y=m2X+ c2

1 Υπάρχει μια στο σύστημα εάνm1 6= m2

2 ∆εν υπάρχει στο σύστημα εάνm1 = m2 και c1 6= c2

3 Υπάρχει εάνm1 = m2 και c1 = c2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 92

∆ιαδικασίες Απαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής χρησιμοποιεί πολλαπλασιασμόκαι πρόσθεση έτσι ώστε

1 Να απαλοιφεί μια από τις δύο μεταβλητές

2 Η εξίσωση που εξάγεται είναι συνάρτηση των υπόλοιπωνμεταβλητών

3 Αντικαθιστώντας την τιμή στην μεταβλητή σε μια από τιςαρχικές εξισώσεις βρίσκουμε την τιμή για τηναπολοιφθήσα μεταβλητή

Ε Ι Κοντογιώργης copy 93

ΠαραδείγματαI Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

2X +4Y = 20 (1)3X + Y = 10 (2)

Πολλαπλασιάζοντας τη δεύτερη εξίσωση με minus4 παίρνουμε

minus12X minus4Y =minus40 (3)

Προσθέτοντας την εξίσωση (1) στο (3)

2X + 4Y = 20minus12X minus 4Y = minus40minus10X = minus20

ή

X = 2 (4)Ε Ι Κοντογιώργης copy 94

Αντικαθιστώντας X= 2 στην εξίσωση (1) δίνεται2 middot2+4Y = 20 ή Y=4

´Ετσι η μοναδική λύση του συστήματος δίνεται από τοX= 2 και Y= 4 Μπορεί να επιβεβαιωθεί ότι αυτή είναι ησωστή λύση αντικαθιστώντας X= 2 και Y= 4 στηνεξίσωση (1) και (2)

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times23X minus2Y = 6 (5)

minus15X +10Y =minus30 (6)

Για την απαλοιφή της μεταβλητής X η εξίσωση (5)πολλαπλασιάζεται με 5 και το αποτέλεσμα προστίθεταιστην εξίσωση (6)

15X minus 10Y = 30minus15X + 10Y = minus30

0 = 0 Ε Ι Κοντογιώργης copy 95

Οι τελευταίες πράξεις υπονοούν ότι οι εξίσωσεις (5) και(6) είναι ισοδύναμες και έτσι υπάρχει άπειρος αριθμόςλύσεωνΓια να προσδιορίσουμε τις λύσεις του συστήματος μια απότις αρχικές εξισώσεις λύνεται ως προς μια μεταβλητή Ανγια παράδειγμα η εξίσωση (5) λύνεται ως προς Y δίνει

Y =32Xminus3

Σαν αποτέλεσμα γενικεύοντας τις λύσεις του συστήματοςέχουμε

X τυχαίο και Y =32Xminus3

Πχ για X= 4 υπονοείται ότι Y=32 middot4minus3 = 3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 96

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

6X minus12Y = 24 (7)

minus32X +3Y = 9 (8)

Πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση (8) με 4 καιπροσθέτοντας το αποτέλεσμα στην εξίσωση (7)παίρνουμε

6X minus 12Y = 24minus6X + 12Y = 36

0 = 60

Η πιο πάνω αντιλογία υπονοεί ότι δεν υπάρχει λύση τουσυστήματος εξισώσεων

Ε Ι Κοντογιώργης copy 97

3times2 Συστήματα Εξισώσεων I

1 Μ Λ

X

Y

(32)

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minusY = 1

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 98

3times2 Συστήματα Εξισώσεων II

2 Α Λ

X

Y Εξις (1)Εξις (2)Εξις (3)

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 99

3times2 Συστήματα Εξισώσεων III3 Κ

(α) ´Οταν και οι τρεις εξισώσεις είναι παράλληλες

X

Y

2X minusY =minus8

2X minusY = 2

2X minusY = 12

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 100

3times2 Συστήματα Εξισώσεων IV(β) ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ τωνεξισώσεων

X

Y

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minus2Y =minus4

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 101

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική ΑνάλυσηΣε ένα γράφημα 2 διαστάσεων ένα σύστημα mtimes2(mgt2) εξισώσεων παριστάνεται με m ευθείες ´Οπωςσυμβαίνει στα συστήματα 2times2 υπάρχουν τρίαενδεχόμενα

1 ´Ολες οι ευθείες τέμνονται στο ίδιο σημείο και έτσιυπάρχει

2 ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ των mεξισώσεων Αυτό σημαίνει ότι όλες οι ευθείες είναιπαράλληλες Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα Λ

3 Οι m εξισώσεις είναι ισοδύναμες πχ παρασταίνονται σανμια ευθεία Σε αυτή την περίπτωση υπάρχει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 102

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων ∆ιαδικασίαΑπαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής για την επίλυση ενός συστήματοςmtimes2 μπορεί να περιγραφεί ως ακολούθωςΕπιλέξτε και λύστε σύστημα με δύο εξισώσεις

1 Εάν δεν υπάρχει λύση τότε ολόκληρο το σύστημα δεν έχειλύση

2 Εάν υπάρχει μοναδική λύση που ικανοποιεί τις υπόλοιπεςmminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα έχει μία μοναδική λύση

3 Εάν η λύση είναι μοναδική αλλά δεν ικανοποιεί τιςυπόλοιπες mminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα δεν έχει λύση

4 Εάν οι 2 λύσεις είναι ισοδύναμες απάλοιψτε τη μίααπό τις δύο εξισώσεις και ξεκινήστε από την αρχήλαμβάνοντας υπόψη ένα σύστημα (mminus1)times2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 103

ΠαράδείγμαI Θεωρείστε ένα σύστημα 5times2

XminusY= 1X+2Y=minus8

3Xminus2Y= 02Xminus5Y= 11minus4X+3Y=minus1

I Η λύση των πρώτων δύο εξισώσεων δίνετε απόY =minus3 και X =minus2

I Αντικαθιστώντας τη λύση στις υπόλοιπες τρεις εξισώσειςπαίρνετε αντίστοιχα

0 = 0 11 = 11 και minus1 =minus1I Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση

X=minus2 και Y=minus3Ε Ι Κοντογιώργης copy 104

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian

Η μέθοδος απολοιφής Gaussian μετατρέπει το αρχικόσύστημα εξισώσεων σε διαγώνια μορφή επαναλαμβάνονταςστις εξισώσεις τις ακόλουθες τρεις διαδικασίες

1 Πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης μεμια θετική σταθερά

2 Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού θα προστεθεί σεάλλη εξίσωση

3 Η σειρά των εξισώσεων μπορεί να αλλάξει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 105

ΠαράδείγμαΠ Θεωρείστε το σύστημα 2times2

2X minus 3Y = 7 (Εξ 1)X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με 12 για να πάρετε

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με minus1 καιπροσθέστε την στην (Εξ 2)

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

52Y =

152 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 106

Στάδιο 3 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 25

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

Y = 3 (Εξ 2)

Στάδιο 4 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 32 και

προσθέστε την στην (Εξ 1)

X = 1 (Εξ 1)Y = 3 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 107

Π Θεωρείστε το σύστημα 2times2

5X + 20Y = 254X minus 7Y =minus26

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να εκφραστεί ως

R1 5 20 25R2 4 minus7 minus26

Η κάθετη γραμμή χρησιμοποιείται για διαχωρισμό τηςαριστερής από τη δεξιά πλευρά των εξισώσεων Το Riυπονοεί τη γραμμή (Row) i

Ε Ι Κοντογιώργης copy 108

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάζουμε τη R1 με 15 και το θέτουμε

R1larr 15R1

R1 1 4 5R2 4 minus7 minus26

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάζουμε την R1 με minus4 και τηνπροσθέτουμε στην R2 Εν συντομίαR2larrminus4R1+R2

R1 1 4 5R2 0 minus23 minus46

Στάδιο 3 R2larrminus 123R2

R1 1 4 5R2 0 1 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 109

Στάδιο 4 R1larrminus4R2+R1

R1 1 0 minus3R2 0 1 2

Το αρχικό σύστημα εξισώσεων μετατρέπεται σε διαγώνιαμορφή όπως πιο κάτω

X =minus3Y = 2

το οποίο δίνει τη λύση του συστήματος

Ε Ι Κοντογιώργης copy 110

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 I

Το σύστημα εξισώσεων 3times3 μετετρέπεται σε διαγώνιαμορφή Η μετατροπή γίνεται στήλη με στήλη από τααριστερά προς τα δεξιά

Π Θεωρήστε το σύστημα 3times3

X1 + X2 + X3 = 2X1 minus 3X2 + 2X3 = 7

4X1 minus 2X2 minus X3 = 9

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να γραφτεί ως

Ε Ι Κοντογιώργης copy 111

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 II

1 1 1 21 minus3 2 74 minus2 minus1 9

Ε Ι Κοντογιώργης copy 112

I Οτιδήποτε στη δύναμη μηδέν είναι lsquo1rsquo

Πχ 50 = 1 x0 = 1 (x2y3)0 = 1 και 00 = 1

Σημειώστε ότι 50 = 5(1minus1) = (51)(5minus1) =55 = 1

I Μηδέν σε οποιαδήποτε δύναμη είναι μηδέν έτσι 0n = 0

Σημειώστε ότι 00 = 1 και ότι 00 = 0

Αυτό υποδειλώνει ότι 00 είναι μια απροσδιόριστη μορφήπου σε κάποιες περπτώσεις παίρνει μία τιμή και σεκάποιες άλλες περιπτώσεις παίρνει διαφορετική τιμή

Ε Ι Κοντογιώργης copy 23

I Κλασματικοί (Αναλογικοί) Εκθέτες

1 Η τετραγωνική ρίζα μπορεί να γραφτεί σε μορφή κλάσματος

´Ετσι radicx= x12

Πχ 212 =

radic2 = 141 και 2

minus12 =

1radic2

= 071

2 Γενικά xab =bradicxa Πχ 7

23 =

3radic72 = 366

355 = 3112 =

2radic311 = 42089

Ε Ι Κοντογιώργης copy 24

ΛογάριθμοιI Η λογαριθμική μορφή ενός αριθμού είναι lsquoαντίθετηrsquo από

την εκθετική Τεχνικά μιλώντας η λογαριθμική μορφήείναι αντίστροφη της εκθετικής

I Η σχέση δίνεται logb(x) = y

που είναι το ίδιο με by = x

I Ο lsquolsquologb(x) = yrsquorsquo προφέρεται lsquolsquolog-βάση-b-του x ισούται yΕδώ b ονομάζεται lsquoβάση του λογαρίθμουrsquo αφού το b είναιη βάση της εκθετικής έκφρασης

I Η βάση b του λογάριθμου είναι πάντοτε θετική και δενισούται με 1

I Οτιδήποτε βρίσκεται μέσα στο λογάριθμο ονομάζεταιέκφραση

Ε Ι Κοντογιώργης copy 25

ΠαραδείγματαI Μετατρέψτε την έκφραση 63 = 216 στην ισοδύναμη

λογαριθμική μορφή

Για τη μετατροπή η βάση μένει η ίδια αλλά το 3 και το216 αλλάζουν θέσεις Αυτό μας δίνει

log6(216) = 3

I Μετατρέψτε τον log4(1024) = 5 στην αντίστοιχηλογαριθμική έκφραση

Για τη μετατροπή η βάση (που είναι 4) παραμένει η ίδιααλλά το 1024 και το 5 αλλάζουν θέσεις ´Ετσι δίνεται

45 = 1024

Ε Ι Κοντογιώργης copy 26

I Υπολογίστε τον log2(8)

Εάν y= log2(8) τότε υπονοείται ότι 2y = 8 Αυτόσημαίνει ότι y είναι η δύναμη του 2 που θα έχει σαναποτέλεσμα 8 Η δύναμη που δίνει το αποτέλεσμα είναι 3αφού 23 = 8 ´Ετσι

log2(8) = 3

I Κατά παρόμοιο τρόπο log5(25) = 2 αφού 52 = 25

I Υπολογίστε τον y= log64(4)

Σημειώστε ότι 64y = 4 και 43 = 64

´Ετσι (43)y

= 4 ή 43y = 41

Η πιο πάνω έκφραση εξυπονοεί ότι 3y= 1 και έτσιy= 13

Ε Ι Κοντογιώργης copy 27

I Υπολογίστε y= log6(6)

Αυτό ισοδυναμεί με το 6y = 6 και συνεπώς y= 1

I Υπολογίστε το y= log3(1)

Το πιο πάνω μπορεί να γραφτεί ως 3y = 1

´Ομως 1 = 30 έτσι 3y = 30 και y= 0

I Υπολογίστε το y= log4(minus16)

Μπορεί να γραφτεί σαν 4y =minus16

´Ομως δεν υπάρχει τιμή (πχ δύναμη) y που ναικανοποιεί τη σχέση ´Ετσι δεν υπάχρει λύση

Ε Ι Κοντογιώργης copy 28

I Υπολογίστε το y= log2(0)

Αυτό σημαίνει 2y = 0 όμως δε υπάρχει τιμή που ναικανοποιεί τη σχέση ´Ετσι δεν υπάχρει λύση

I Υπολογίστε το y= 2log2(9)

Αυτό σημαίνει ότι log2(y) = log2(9) και έτσι y= 9

Ε Ι Κοντογιώργης copy 29

I Γενικά1 logb(b) = 1 για οποιαδήποτε βάση b

2 logb(1) = 0 για οποιαδήποτε βάση b

3 logb(a) δεν ορίζεται για αρνητικά a

4 logb(0) δεν ορίζεται για οποιαδήποτε βάση b

5 logb(bn) = n για οποιαδήποτε βάση b

Ε Ι Κοντογιώργης copy 30

I Οι λογάριθμοι μπορούν να πάρουν οποιοδήποτε αριθμόσαν βάση αλλά δύο βάσεις είναι οι πιο χρήσιμες οlog-βάση-10 και ο log-βάση-e

I Η βάση-10 log συχνά ονομάζεται ο κοινός log καιγράφεται ως log(x) Εδώ δεν αναγράφεται βάση καιμπορούμε να υποθέσουμε ότι η βάση είναι 10

Πχ log(100) = 2 έτσι log10(102) = 2

I Η βάση-e log ονομάζεται ο φυσικός log και γράφεται σανln(x)Πχ ln(e345)= 345 καθώς loge(e345) = 345

Ε Ι Κοντογιώργης copy 31

Ιδιότητες Λογαρίθμωνlogb(xy) = logb(x) + logb(y)

Απόδειξη´Εστω m= logbx και n= logby

Γράψτε σε μορφή εκθέτη x= bm και y= bn

Πολλαπλασιάστε το x και y ούτως ώστεxy= bmbn = bm+n

´Ετσι από τον ορισμό των λογαρίθμων το xy= bm+nσυνεπάγει ότι

logb(xy) =m+n= logbx+ logb(y)

Πχ log2(4times16) = log2(64) = log2(26) = 6

Ακόμα log2(4times16) = log2(4) + log2(16) = 2+4 = 6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 32

logb(xy)

= logb(x)minus logb(y)

Απόδειξη´Εστω m= logbx και n= logby

Γράψτε σε μορφή εκθέτη x= bm και y= bn

∆ιαίρα το x και y ούτως ώστε xy =bmbn = bmminusn

´Ετσι από τον ορισμό των λογαρίθμων το xy = bmminusn

συνεπάγει ότι

logb(xy)

=mminusn= logbxminus logb(y)

Πχ log2(16

4)

= log2(4) = 2

και log2(16

4)

= log2(16)minus log2(4) = 4minus2 = 2Ε Ι Κοντογιώργης copy 33

logb(xn) = n logb(x)

Απόδειξη´Εστω m= logbx και γράψτε σε μορφή εκθέτη x= bm

Αυξάνοντας τις δύο πλευρές στην n δύναμη παίρνουμεxn = (bm)n = bmn

´Ετσι από τον ορισμό των λογαρίθμων τοlogbxn =mn= nm= n(logbx)

Πχ log2(64) = log2(26) = 6 log2(2) = 6

log(64) = 18

Επιπλέον log(64) = log(26) = 6log(2) = 6times030 = 18

Ε Ι Κοντογιώργης copy 34

logb(x) =loga(x)loga(b) agt0 a 6= 1

Απόδειξη´Εστω m= logbx rArr x= bm

Εφαρμόστε loga και στις δύο πλευρές του x= bmγια ναδώσει

logabm = logax rArr m logab= logaxrArr m=logaxlogab

rArr logbx=logaxlogab

Πχ log5(20) =log(20)

log(5)= 186 =

ln(20)

ln(5)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 35

logb(a) =1

loga(b) agt0 a 6= 1

Απόδειξη

logb(x) =loga(x)loga(b) =

logx(x)logx(b)

=1

loga(b)

´Οταν a= x

Πχ log2(64) =1

log64(2)=

116 = 6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 36

Αθροισμα

I Υποθέστε ότι έχουμε μια μεταβλητή x που μπορεί ναπάρει δέκα τιμές Εάν ενδιαφερόμαστε για το άθροισμάτους χωρίς να ξέρουμε την τιμή της κάθε μεταβλητής τότεο καλύτερος τρόπος να το εκφράσουμε είναι

x1 +x2 + middot middot middot+x9 +x10

I Εν συντομία το άθροισμα n στοιχείων x1 +x2 + middot middot middot+xn είναιnsum

i = 1xi

και ερμηνεύεται σαν το άθροισμα όλων των xirsquosξεκινώντας από το x1 (πχ i = 1) μέχρι xn (i = n)

I Εάν δε δοθεί διαφορετικά πάντοτε υποθέτουμε ότι το iαυξάνεται ξεκινώντας από το στάδιο 1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 37

I Το lsquolsquoSigmarsquorsquo Σ είναι γνωστό ως το άθροισμα (summation) ήσύμβολο σίγμα (sigma operator) και ο δείκτης i όνομάζεταιεικονική μεταβλητή

I Παραδείγματα

I

5sum

i = 1xi = x1 +x2 +x3 +x4 +x5

I

5sum

i = 1(y2

i ) = y21 +y22 +y23 +y24 +y25

Σημειώστε ότι η μόνη μεταβλητή που περιγράφεται απευθείαςκάτω από το σύμβολο Σ αυξάνεται κατά 1 κάθε φορά ενώ όλατα άλλα σύμβολα παραμένουν τα ίδια

I

4sum

r = 1(x3r ) = x31 +x32 +x33 +x34

Ε Ι Κοντογιώργης copy 38

I6sum

i = 1i = 1+2+3+4+5+6

I6sum

i = 1i2 = 12 +22 +32 +42 +52 +62

I7sum

i = 3xi = x3 +x4 +x5 +x6 +x7

I4sum

i = 1a = a+a+a+a= 4a

I3sum

i = 1(4+xi) = (4+x1) + (4+x2) + (4+x3)

=3sum

i = 14+

3sum

i = 1xi

Ε Ι Κοντογιώργης copy 39

I3sum

i = 1(2xi) = (2x1) + (2x2) + (2x3) = 2times

3sum

i = 1xi

I Ο συντελεστής i παραλείπεται εάν δε προκαλείαοριστία Για παράδειγμα Σx ή Σixi σημαίνειάθροισμα όλων των x που λαμβάνονται υπόψη

I ∆ήλωσηI

nsumi=1a= na

I sumiaxi = asum

ixi

I sumi

(axi+byi) = asumixi +bsum

iyi

Ε Ι Κοντογιώργης copy 40

I Αθροιστικός Τύπος

Insum

i = 1i = 1+2+ middot middot middot+n=

n(n+1)

2

Πχ6sumi = 1i = 1+2+3+4+5+6 =

6(6+1)

2 = 21

Insum

i = 1i2 = 12 +22 + middot middot middot+n2 =

n(n+1)(2n+1)

6

Πχ6sumi = 1i2 = 12 +22 +32 +42 +52 +62

=6(6+1)(12+1)

6 = 91

Ε Ι Κοντογιώργης copy 41

Insum

i = 1i3 = 13 +23 + middot middot middot+n3 =

n2(n+1)2

4

Πχ6sumi = 1i3 = 13 +23 +33 +43 +53 +63

=62(6+1)2

4 = 441

Ε Ι Κοντογιώργης copy 42

ΠαραδήγματαΑριθμητική Πρόοδος

I Γενικά μπορούμε να εκφράσουμε μια αριθμητική πρόοδο ωςεξής

αριθμητική πρόοδος a a+d a+2d a+3d

όπου ο πρώτος όρος είναι a και η διαφορά d Ο όρος nτης απ δίνεται από τη σχέση b = a+ (nminus1)d

I 3 5 7 9 11 είναι μια αριθμητική πρόοδος Οπρώτος όρος είναι το 3 και η διαφορά είναι 2

I 2 minus1 minus4 minus7 είναι μια αριθμητική πρόοδος όπου οπρώτος όρος είναι 2 και η διαφορά minus3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 43

I Το άθροισμα των όρων μιας αριθμητικής προόδου είναιγνωστό ως αριθμητική σειρά

Sn = a+ (a+d) + (a+2d) + middot middot middot+ (a+ (nminus1)d)

=nsumi=1

(a+ (iminus1)d

)= na+

nsumi=1

(iminus1)d

= na+dnminus1sumi=1

i = na+d(nminus1)n2

=n2(2a+d(nminus1)) =

n2(a+b) b = a+d(nminus1)

I ΑΠ 3 5 7 9 11 13 rArr Sn =62(3+13) = 48

Ε Ι Κοντογιώργης copy 44

∆ιπλό Αθροισμα4sumi=1

isumj=1

j = (1) + (1+2) + (1+2+3) + (1+2+3+4) = 20

nsumi=1

isumj=1

j =nsumi=1

( isumj=1

j)

nsumi=1

(12 i(i+1)

)=

12

nsumi=1

(i2 + i)

12( nsumi=1

i2 +nsumi=1

i)

=12(16n(n+1)(2n+1) +

12n(n+1)

)

=12

16n(n+1)

((2n+1) +3

)=

n6(n+1)(n+2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 45

∆ιπλό Αθροισμα

nsumi=1

msumj=1

(i+ j+2) =nsumi=1

( msumj=1

(i+ j+2))

nsumi=1

( msumj=1

i+msumj=1

j+msumj=1

2)

=nsumi=1

(mi+ 1

2m(m+1) +2m)

m( nsumi=1

i+ 12

nsumi=1

(m+5))

= m(12n(n+1) +

12n(m+5)

)

=mn2(m+n+6

)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 46

Insumr=1

1r(r+1)

=nsumr=1

(Ar +

Br+1

)=

nsumr=1

A(r+1) +Brr(r+1)

I A(r+1) +Br = 1

I Για r = 0 τότε A= 1 και για r =minus1 τότε B=minus1

I

nsumr=1

1r(r+1)

=nsumr=1

(1r minus

1r+1

)

=(

(11 minus

12) + (

12 minus

13) + (

13 minus

14) + middot middot middot+ (

1nminus1 minus

1n ) + (

1n minus

1n+1)

)

= 1minus 1n+1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 47

Insumk=1

1(k+2)(k+3)

=nsumk=1

( A(k+2)

+B

(k+3)

)=

nsumk=1

A(k+3) +B(k+2)

(k+2)(k+3)

I A(k+3) +B(k+2) = 1

I Για k=minus2 τότε A= 1 και για k=minus3 τότε B=minus1

I

nsumk=1

1(k+2)(k+3)

=nsumk=1

( 1(k+2)

minus 1(k+3)

)

=(

(13 minus

14)+(

14 minus

15)+(

15 minus

16)+ +(

1n+1 minus

1n+2)+(

1n+2 minus

1n+3)

)

=13 minus

1n+3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 48

Αθροισμα με Λογάριθμους

nsumi=1

logb(i) = logb(1) + logb(2) + middot middot middot+ logb(n)

= logb(1times2times3timesmiddotmiddot middottimesn)

= logb(n)

I Το n (n παραγοντικό) δίνεται από n = 1times2timesmiddotmiddot middottimesn και0 = 1

I100sumi=1

log2(100) = log2(100) =log(100)

log(2)=

log(99)

log(2)+

2log(2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 49

Γινόμενο των ακολουθιώνIn

prodi=1xi = x1timesx2timesx3timesmiddotmiddot middottimesxn

In

prodi=1i = 1times2times3timesmiddotmiddot middottimesn= n

In

prodi=1z= ztimesztimesmiddotmiddot middottimesz= zn

I

nprodi=1

(1+

1i+1

)=(1+

12)times(1+

13)times(1+

14)times times(1+

1n )times(1+

1n+1)

=32 times

43 times

54 timesmiddotmiddot middottimes

n+1n times n+2

n+1

=n+22

Ε Ι Κοντογιώργης copy 50

Γεωμετρικές ΠροόδοιI Μια γεωμετρική πρόοδος είναι μια σειρά αριθμών όπου

κάθε όρος μετά των πρώτο υπολογίζεται από τονπολλαπλασιασμό του προηγούμενου όρου με ένασταθερό αριθμό που καλείται αναλογία

I Η σειρά1 3 9 27 81 middot middot middot

είναι μια γεωμετρική πρόοδος με πρώτο όρο το 1 καιαναλογία 3

I Η αναλογία μπορεί να είναι κλάσμα καθώς επίσης καιαρνητικός αριθμός Για παράδειγμα η γεωμετρικήπρόοδος με πρώτο όρο το 2 και αναλογία minus13 είναι

2 minus 23 +

29 minus

227 +

281 middot middot middot

Ε Ι Κοντογιώργης copy 51

I Γενικά μπορούμε να γράψουμε μια γεωμετρική πρόοδο ωςακολούθως

γεωμετρική πρόοδος a ar ar2 ar3 ar4 middot middot middot

όπου ο πρώτος όρος είναι a και η αναλογία r

I Σημαντικά θεωρήματα των γεωμετρικών προόδων (γπ)1 Ο n όρος μιας γπ δίνεται από ar(nminus1)

2 Το άθροισμα των πρώτων n όρων μιας γπ είναι

Sn =a(1minus rn)

1minus r =a(rnminus1)

rminus1 και ισχύει μόνο αν r 6= 1

I Το άθροισμα των όρων μιας γεωμετρικής προόδουονομάζεται γεωμετρική σειρά

Ε Ι Κοντογιώργης copy 52

Γεωμετρική σειρά

Sn = a+ar+ar2 +ar3 + middot middot middot+arnminus2 +arnminus1

rSn = ar+ar2 +ar3 + arnminus1 +arn

Snminus rSn = aminusarn

(1minus r)Sn = a(1minus rn)

Sn =a(1minus rn)

(1minus r) =a(rnminus1)

(rminus1)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 53

I Παράδειγμα1 Βρείτε το άθροισμα των πρώτων 10 όρων μιας γεωμετρικής

σειράς4 8 16 32

Ο πρώτος όρος είναι a= 4 και η αναλογία r = 2 καιn= 10 ´Ετσι

S10 =4(1minus210)

1minus2 = 4092

2 Θεωρείστε τη γπ4 minus8 16 minus32 64 minus128 256 minus512

Σε αυτή την περίπτωση ο πρώτος όρος είναι a= 4 ηαναλογία είναι r =minus2 και n= 8´Ετσι

S8 =4(1minus (minus2)8)

1minus (minus2)=minus340

Ε Ι Κοντογιώργης copy 54

Συνεχείς ανατοκισμός

Οι περισσότεροι τραπεζικοί λογαριασμοί και τα δάνειαυιοθετούν ανατοκισμό - εφαρμόζοντας συνεχή ανατοκισμόΘεωρείστε ένα λογαριασμό που προσφέρει τόκο με ετήσιοεπιτόκιο r (πχ 7) Εάν το επιτόκιο είναι συνεχέςσε χρονιαία βάση τότε μετά από 1 χρόνο το χρονιαίοεπιτόκιο προστίθεται στο αρχικό κεφάλαιο για νακαθορίσει ένα μεγαλύτερο κεφάλαιο τον δεύτερο χρόνο

´Ετσι κατά τη διάρκεια του δεύτερου χρόνου ολογαριασμός κερδίζει επιτόκιο πάνω στο επιτόκιοΑυτή είναι η επίδραση του ανατοκισμού που συνεχίζεταιχρόνο με το χρόνο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 55

I Με τον ετήσιο ανατοκισμό το κεφάλαιο πουσυσσωρεύεται στο λογαριασμό πολλαπλασιάζεται με

(1+ r)

´Ετσι το κεφάλαιο A θα αυξηθεί σε

A(1+ r) = A+A middot r

τον επόμενο χρόνο

I Με το πέρας και του δεύτερου χρόνου το κεφάλαιο θααυξηθεί ακόμα (1+ r) σε (1+ r)2

´Ετσι το κεφάλαιο καταλήγει σε

A(1+ r)(1+ r) = A(1+ r)2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 56

I Κατά παρόμοιο τρόπο στο τέλος του τρίτου χρόνου τοποσό θα αυξηθεί κατά (1+ r)3

I Μετά από n χρόνια το ποσό θα αυξηθεί κατά (1+ r)n

I ´Ετσι το κεφάλαιο (επένδυση) A θα αυξηθεί με συνεχήανατοκισμό σε A(1+ r)n μετά από n χρόνια

I Ο τύπος (1+ r)n εκθέτει γεωμετρική αύξηση λόγω τηςn δύναμης

Ε Ι Κοντογιώργης copy 57

ΠαραδείγματαI Εάν το επιτόκιο είναι r = 5 τότε το κεφάλαιοA= $1000 που βρίσκεται στην τράπεζα n= 20 χρόνιαθα αυξηθεί κατά

(1+ r)n = (1+005)20 = 2653 φορές

´Ετσι το ποσό θα καταλήξειA(1+ r)n = $265330

I Βρέστε το χρόνο που χρειάζεται για ένα λογαργιασμό ναδιπλασιάσει το διαθέσιμο κεφάλαιο του όταν r = 7 καιr = 10Ζητούμε να βρούμε το n έτσι ώστε

(1+ r)n = 2Ε Ι Κοντογιώργης copy 58

I Υπολογίζοντας το λογάριθμο του τελευταίου παίρνουμε

log(1+ r)n = log(2)ή n log(1+ r) = log(2)

´Ετσιn=

log2log(1+ r)

I Για r = 7 και r = 10 ο χρόνος n πουχρειάζεται για διπλασιασμό της επένδυσης υπολογίζεταισε 1024 και 727 αντίστοιχα

Ε Ι Κοντογιώργης copy 59

I Αν το επιτόκιο είναι r = 7 τότε πιο θα είναι τοσυνολικό ποσό στο λογαριασμό μετά από 205 και41 χρόνια αντίστοιχα

Μετά τα πρώτα 1025 χρόνια το ποσό A θαδιπλασιαστεί σε 2A Για τα επόμενα 1025 χρόνιατο ποσό θα ξαναδιπλασιαστεί σε 4A ´Ετσι μετά από205 χρόνια το ποσό θα αυξηθεί κατά 4 φορές

Με το πέρας ακόμα 205 χρόνων το ποσό θα αυξηθείακόμα 4 φορές σε 16 ´Ετσι μετά από 41 χρόνιατο κεφάλαιο A γίνεται 16A

Ε Ι Κοντογιώργης copy 60

Ασκήσεις και Παραδείγματα

I Υπολογίστε τη Μελλοντική Αξία (Future Value (FV)) τουκεφαλαίου A= 1500 που κερδίζει ετήσιο επιτόκιοr = 5 για n= 10 έτη

FV =A(1+ r)n = 1500(1+005)10 = 244334

I Πόσα έτη απαιτούνται για να τριπλασιαστεί ένα ποσόπου αφήνετε στην τράπεζα με επιτόκιο r = 5∆ηλαδή βρείτε το n όπου A= 1 r = 5 και FV = 3

FV =A(1+ r)n ή (1+ r)n =FVA

Ε Ι Κοντογιώργης copy 61

Υπολογίζοντας τους λογαρίθμους παίρνουμε

log(1+ r)n = log(FVA)

ή n log(1+ r) = log(FVA)

´Ετσι

n=log(FVA)

log(1+ r) =log(3)

log(105)

= 2252

Ε Ι Κοντογιώργης copy 62

I Βρείτε την παρούσα αξία A έτσι ώστε σε δέκα έτη μεσταθερό επιτόκιο r = 6 να είναι 100KΒρείτε το A όπου FV = 100000 r = 6 και n= 10

FV =A(1+ r)n ή A=FV

(1+ r)n

´Ετσι A=100000

(106)10= 5583948

I Βρείτε την ετησιοποιημένη απόδοση (AER AnnualEquivalent Rate) μιας μηνιαίας κατάθεσης με σταθερόεπιτοκίο 394 Μια τέτοια κατάθεση λαμβάνει το επιτόκιο στη λήξηΣυνεπώς κάθε μήνα ο λογαριασμός λαμβάνει

r = 0039412 = 000328

επιτόκιο που επανεπενδύεται (συνεχής ανατοκισμός)Ε Ι Κοντογιώργης copy 63

Επανεπενδύοντας το επιτόκιο κάθε μήνα στη διάρκειαενός έτους το κεφάλαιο θα αυξηθεί σε

(1+ r)12 = (1+000328)12 = 104012

´Ετσι το ΑΕΡ είναι ισοδύναμο με 004012 = 4012I Υπολογίστε το επιτόκιο ενός σταθερού λογαριασμού

κατάθεσης 7-ημερών που έχει AER επιτόκιο r = 425Θεωρείστε ρ το εβδομαδιαίο επιτόκιο

´Ετσι (1+ρ)52 = (1+00425)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 64

Παίρνοντας τους λογαρίθμους έχουμε52log(1+ρ) = log10425

ή log(1+ρ) =log10425

52

ή 1+ρ= 10( log10425

52)

Αυτό μας δίνει

ρ= 10

( log1042552

)minus1 = 008

´Ετσι το συνεχές επιτόκιο μιας επταήμερης κατάθεσης είναιρtimes52 = 41638

Εναλλακτικά (1+ρ)52 = (1+00425) δίνει

(1+ρ) =52radic10425ή ρ=

52radic10425minus = 008Ε Ι Κοντογιώργης copy 65

I Υπολογίστε την ετήσια απόδοση r έτσι ώστε A= 10000να επιστρέφει FV = 35000 σε n= 20 χρόνια

FV =A(1+ r)n ή (1+ r)n =FVA

´Ετσι

1+ r =nradic

FVA

Επομένως

r =nradic

FVA minus1 =

20radic

3500010000 minus1 = 00646 = 646

Ε Ι Κοντογιώργης copy 66

Εναλλακτικά παίρνοντας τους λογαρίθμους

log(1+ r)n = log(FVA) ή n log(1+ r) = log

(FVA)

´Ετσι

1+ r = 10(1n log

(FVA))

ή r = 10(1n log

(FVA))minus1

= 10( 120 log

(3500010000

))minus1

= 646

Ε Ι Κοντογιώργης copy 67

Γραφική Αναπαράσταση I

I Υποθέστε ότι έχουμε y= 3x+2 Καθώς έχουμε μόνο μιαδύναμη για το x πρέπει να λύσουμε γραμμική εξίσωσηκαι να σχεδιάσουμε μια ευθεία γραμμή Αρχικά θα πρέπεινα σχεδιάσουμε ένα T-chart Αυτό έχει τη μορφή

x y = 3x+2 (xy)

I Επιλέγουμε μια τιμή για το x και λύνουμε ως προς y

x y= 3x+2 (xy)minus2 minus4 (minus2minus4)0 2 (02)2 8 (28)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 68

Γραφική Αναπαράσταση II

-

6

X

Y

bull

bull

bull

I Βλέπουμε μια ευθεία με ανοδική τάση (έχοντας θετικήκλίση m= 3) καιτέμνει τον άξονα y στο σημείο y= 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 69

Γραφική Αναπαράσταση III

I Μια Τετραγωνική εξίσωση περιέχει x2 Για τηναναπαράσταση τετραγωνικών εξισώσεων χρειάζεται ναβρούμε περισσότερα από τρία σημεία στο σχεδιάγραμμα

Για παράδειγμα υποθέστε ότι y= x2minus6x+5 καιδίνεται το πιο κάτω T-chart

x y= x2minus6x+5 (xy)0 5 (05)1 0 (10)3 minus4 (3minus4)5 0 (50)6 5 (65)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 70

Γραφική Αναπαράσταση IV

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

-

6

X

Y

bull

bull

bull

bull

bull

Ε Ι Κοντογιώργης copy 71

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(1x + 2)

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(-3x + 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 72

-15

-10

-5

0

5

10

15

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(3x - 2)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 73

-20

0

20

40

60

80

100

120

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2+x)

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 74

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

1250

1500

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3+x2+x)

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x4)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 75

-25

-2

-15

-1

-05

0

05

1

15

2

25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(log(x))

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(x))

Ε Ι Κοντογιώργης copy 76

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(-x))

-5000

0

5000

10000

15000

20000

25000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(exp(x)+x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 77

Ανισότητες I

I Οι ανισότητες αποτελούνται από δύο ή τρεις αλγεβρικέςεκφράσεις που είναι συνδεδεμένες με τα σύμβολαανισότητας Τα σύμβολα αυτά είναι

lt μικρότερο τουgt μεγαλύτερο τουle μικρότερο ή ίσο τουge μεγαλύτερο ή ίσο του

I Παραδείγματα xgty yge x2 και ylt5x+1

I Το πρώτο βήμα για την αναπαράσταση ανισότητας τηςμορφής ygtx είναι να παραστήσουμε γραφικά τηνισότητα y= x

Ε Ι Κοντογιώργης copy 78

Ανισότητες II

I ygtx

Κάνετε δοκιμή με ένα σημείο να δείτε κατά πόσοικανοποιεί την ανισότητα Εάν ναι τότε σκιάστε τηνπεριοχή αυτή του σχεδιαγράμματος διαφορετικά σκιάστετην άλλη πλευρά

Ε Ι Κοντογιώργης copy 79

Ανισότητες III

I yltx

Ε Ι Κοντογιώργης copy 80

Ανισότητες IV

I yle 5x+1 και ygt5x+1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 81

Ανισότητες V

I yge x2 και yle x2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 82

Ανισότητες VI

I ygtx3 και yle x3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 83

Συστήματα Γραμμικών ΕξισώσεωνΠεριεχόμενα

1 Ε

2 Γ Α

ΑναφορέςΚεφάλαια 4 και 5FS Budnick Applied Mathematics for Business Economicsand the Social Sciences 4th edition McGraw-Hill 1993

Ε Ι Κοντογιώργης copy 84

Συστήματα Εξισώσεων

I ´Ενα σύστημα εξισώσεων συνδυάζει περισσότερες από μίαεξισώσεις

I ´Ενα σύστημα m εξισώσεων όπου κάθε εξίσωσηαποτελείται από n μεταβλητές ονομάζεται mtimesnσύστημα ή λέμε ότι έχει διαστάσεις mtimesn

I ΠαράδειγμαΠαρακάτω έχουμε ένα σύστημα 2times2

5X+10Y= 203X+4Y= 10

Οι μεταβλητές σε αυτή την περίπτωση είναι X και YΕ Ι Κοντογιώργης copy 85

Συστήματα Επίλυσης

I Το Σύστημα επίλυσης είναι μια σειρά τιμών μεταβλητώνπου ικανοποιούν το σύστημα ταυτόχρονα

I Σε μια σημειογραφική παράσταση το προηγούμενοπαράδειγμα μπορεί να γραφτεί ως εξής

S = (XY) | 5X+10Y = 20 και 3X+4Y = 10

I Το σύστημα επίλυσης μπορεί να είναι1 μηδενικό2 πεπερασμένο ή3 άπειρο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 86

2times2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική Ανάλυση

I Σε ένα δισδιάστατο γράφημα ένα σύστημα εξισώσεων2times2 αναπαρίστανται με ευθείες γραμμές Υπόρχουν τρίαενδεχόμενα

1 Οι ευθείες τέμνονται Το σημείο τομής αντιπροσωπεύει τηλύση του συστήματος εξισώσεων Αυτό το σημείοαλληλεπίδρασης είναι μια δέσμη τιμών X και Y που ικανοποιείκαι τις δύο εξισώσειςΕάν υπάρχει μόνο μια δέσμη τιμών για τις μεταβλητές που ναικανοποιεί το σύστημα εξισώσεων το σύστημα λέμε ότι έχειΜ Λ

2 Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες μεταξύ τους ∆εν έχουν κοινόσημείο Συνεπώς οι ευθείες δεν τέμνονται ποτέ Το σύστημαλέμε ότι ∆ ΛΑυτό υπονοεί ότι δεν υπάρχουν τιμές για τις μεταβλητές πουνα ικανοποιούν και τις δύο εξισώσεις Σε αυτή τηνπερίπτωση οι εξισώσεις στο σύστημα είναι Α

3 Και οι δύο εξισώσεις αναπαρίστανται ως μια κοινή ευθεία καιθεωρούνται ισοδύναμες εξισώσεις ´Ετσι το σύστημα έχειΑ Λ Αυτό συμβαίνει γιατί υπάρχει άπειροςαριθμός κοινών σημείων στις δύο γραμμές

Ε Ι Κοντογιώργης copy 87

I Π Θεωρείστε ένα σύστημα 2times22X+4Y= 203X+ Y= 10

I

X

Y

(24)

3X +Y = 10

2X +4Y = 20

0 2 4 6 8 10 12

2

4

6

8

10

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 88

I Το σημείο τομής δίνεται από το X= 2 και Y= 4Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές του X και Y στις δύοεξισώσεις δίνουν 20 = 20 και 10 = 10 αντίστοιχα

I Αυτό υποδειλώνει ότι X= 2 και Y= 4 είναι η σωστή λύση

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times23Xminus2Y= 6

minus15X+10Y=minus30

I

X

Y

(20)

(0minus3)

3X minus2Y = 6

minus15X +10Y =minus30

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 89

I Οι δύο εξισώσεις απλοποιούνται σε Xminus 23 Y= 2

Οι δύο εξισώσεις είναι ισοδύναμες και δίνουν έναπεπερασμένο αριθμό λύσεων έτσι ώστε

X= 0 Y =minus3X= 2 Y = 0X= 4 Y = 3

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times26Xminus12Y= 24

minus32X+3Y= 9

Οι εξισώσεις απλοποιούνται σεXminus2Y= 4Xminus2Y=minus6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 90

I

X

Y

(40)

(0minus2)

(minus60)

(03)

X minus2Y =minus6

X minus2Y = 4

0-0

I Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες και συνεπώς το σύστημαδεν έχει λύση ´Ετσι το σύστημα εξισώσεων είναιασύμπτωτο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 91

Περίληψη 2times2 Συστήματα Εξισώσεων∆ίνεται ένα Σύστημα Γραμμικών Εξισώσεων 2times2

Y=m1X+ c1Y=m2X+ c2

1 Υπάρχει μια στο σύστημα εάνm1 6= m2

2 ∆εν υπάρχει στο σύστημα εάνm1 = m2 και c1 6= c2

3 Υπάρχει εάνm1 = m2 και c1 = c2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 92

∆ιαδικασίες Απαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής χρησιμοποιεί πολλαπλασιασμόκαι πρόσθεση έτσι ώστε

1 Να απαλοιφεί μια από τις δύο μεταβλητές

2 Η εξίσωση που εξάγεται είναι συνάρτηση των υπόλοιπωνμεταβλητών

3 Αντικαθιστώντας την τιμή στην μεταβλητή σε μια από τιςαρχικές εξισώσεις βρίσκουμε την τιμή για τηναπολοιφθήσα μεταβλητή

Ε Ι Κοντογιώργης copy 93

ΠαραδείγματαI Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

2X +4Y = 20 (1)3X + Y = 10 (2)

Πολλαπλασιάζοντας τη δεύτερη εξίσωση με minus4 παίρνουμε

minus12X minus4Y =minus40 (3)

Προσθέτοντας την εξίσωση (1) στο (3)

2X + 4Y = 20minus12X minus 4Y = minus40minus10X = minus20

ή

X = 2 (4)Ε Ι Κοντογιώργης copy 94

Αντικαθιστώντας X= 2 στην εξίσωση (1) δίνεται2 middot2+4Y = 20 ή Y=4

´Ετσι η μοναδική λύση του συστήματος δίνεται από τοX= 2 και Y= 4 Μπορεί να επιβεβαιωθεί ότι αυτή είναι ησωστή λύση αντικαθιστώντας X= 2 και Y= 4 στηνεξίσωση (1) και (2)

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times23X minus2Y = 6 (5)

minus15X +10Y =minus30 (6)

Για την απαλοιφή της μεταβλητής X η εξίσωση (5)πολλαπλασιάζεται με 5 και το αποτέλεσμα προστίθεταιστην εξίσωση (6)

15X minus 10Y = 30minus15X + 10Y = minus30

0 = 0 Ε Ι Κοντογιώργης copy 95

Οι τελευταίες πράξεις υπονοούν ότι οι εξίσωσεις (5) και(6) είναι ισοδύναμες και έτσι υπάρχει άπειρος αριθμόςλύσεωνΓια να προσδιορίσουμε τις λύσεις του συστήματος μια απότις αρχικές εξισώσεις λύνεται ως προς μια μεταβλητή Ανγια παράδειγμα η εξίσωση (5) λύνεται ως προς Y δίνει

Y =32Xminus3

Σαν αποτέλεσμα γενικεύοντας τις λύσεις του συστήματοςέχουμε

X τυχαίο και Y =32Xminus3

Πχ για X= 4 υπονοείται ότι Y=32 middot4minus3 = 3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 96

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

6X minus12Y = 24 (7)

minus32X +3Y = 9 (8)

Πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση (8) με 4 καιπροσθέτοντας το αποτέλεσμα στην εξίσωση (7)παίρνουμε

6X minus 12Y = 24minus6X + 12Y = 36

0 = 60

Η πιο πάνω αντιλογία υπονοεί ότι δεν υπάρχει λύση τουσυστήματος εξισώσεων

Ε Ι Κοντογιώργης copy 97

3times2 Συστήματα Εξισώσεων I

1 Μ Λ

X

Y

(32)

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minusY = 1

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 98

3times2 Συστήματα Εξισώσεων II

2 Α Λ

X

Y Εξις (1)Εξις (2)Εξις (3)

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 99

3times2 Συστήματα Εξισώσεων III3 Κ

(α) ´Οταν και οι τρεις εξισώσεις είναι παράλληλες

X

Y

2X minusY =minus8

2X minusY = 2

2X minusY = 12

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 100

3times2 Συστήματα Εξισώσεων IV(β) ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ τωνεξισώσεων

X

Y

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minus2Y =minus4

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 101

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική ΑνάλυσηΣε ένα γράφημα 2 διαστάσεων ένα σύστημα mtimes2(mgt2) εξισώσεων παριστάνεται με m ευθείες ´Οπωςσυμβαίνει στα συστήματα 2times2 υπάρχουν τρίαενδεχόμενα

1 ´Ολες οι ευθείες τέμνονται στο ίδιο σημείο και έτσιυπάρχει

2 ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ των mεξισώσεων Αυτό σημαίνει ότι όλες οι ευθείες είναιπαράλληλες Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα Λ

3 Οι m εξισώσεις είναι ισοδύναμες πχ παρασταίνονται σανμια ευθεία Σε αυτή την περίπτωση υπάρχει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 102

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων ∆ιαδικασίαΑπαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής για την επίλυση ενός συστήματοςmtimes2 μπορεί να περιγραφεί ως ακολούθωςΕπιλέξτε και λύστε σύστημα με δύο εξισώσεις

1 Εάν δεν υπάρχει λύση τότε ολόκληρο το σύστημα δεν έχειλύση

2 Εάν υπάρχει μοναδική λύση που ικανοποιεί τις υπόλοιπεςmminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα έχει μία μοναδική λύση

3 Εάν η λύση είναι μοναδική αλλά δεν ικανοποιεί τιςυπόλοιπες mminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα δεν έχει λύση

4 Εάν οι 2 λύσεις είναι ισοδύναμες απάλοιψτε τη μίααπό τις δύο εξισώσεις και ξεκινήστε από την αρχήλαμβάνοντας υπόψη ένα σύστημα (mminus1)times2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 103

ΠαράδείγμαI Θεωρείστε ένα σύστημα 5times2

XminusY= 1X+2Y=minus8

3Xminus2Y= 02Xminus5Y= 11minus4X+3Y=minus1

I Η λύση των πρώτων δύο εξισώσεων δίνετε απόY =minus3 και X =minus2

I Αντικαθιστώντας τη λύση στις υπόλοιπες τρεις εξισώσειςπαίρνετε αντίστοιχα

0 = 0 11 = 11 και minus1 =minus1I Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση

X=minus2 και Y=minus3Ε Ι Κοντογιώργης copy 104

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian

Η μέθοδος απολοιφής Gaussian μετατρέπει το αρχικόσύστημα εξισώσεων σε διαγώνια μορφή επαναλαμβάνονταςστις εξισώσεις τις ακόλουθες τρεις διαδικασίες

1 Πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης μεμια θετική σταθερά

2 Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού θα προστεθεί σεάλλη εξίσωση

3 Η σειρά των εξισώσεων μπορεί να αλλάξει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 105

ΠαράδείγμαΠ Θεωρείστε το σύστημα 2times2

2X minus 3Y = 7 (Εξ 1)X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με 12 για να πάρετε

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με minus1 καιπροσθέστε την στην (Εξ 2)

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

52Y =

152 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 106

Στάδιο 3 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 25

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

Y = 3 (Εξ 2)

Στάδιο 4 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 32 και

προσθέστε την στην (Εξ 1)

X = 1 (Εξ 1)Y = 3 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 107

Π Θεωρείστε το σύστημα 2times2

5X + 20Y = 254X minus 7Y =minus26

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να εκφραστεί ως

R1 5 20 25R2 4 minus7 minus26

Η κάθετη γραμμή χρησιμοποιείται για διαχωρισμό τηςαριστερής από τη δεξιά πλευρά των εξισώσεων Το Riυπονοεί τη γραμμή (Row) i

Ε Ι Κοντογιώργης copy 108

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάζουμε τη R1 με 15 και το θέτουμε

R1larr 15R1

R1 1 4 5R2 4 minus7 minus26

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάζουμε την R1 με minus4 και τηνπροσθέτουμε στην R2 Εν συντομίαR2larrminus4R1+R2

R1 1 4 5R2 0 minus23 minus46

Στάδιο 3 R2larrminus 123R2

R1 1 4 5R2 0 1 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 109

Στάδιο 4 R1larrminus4R2+R1

R1 1 0 minus3R2 0 1 2

Το αρχικό σύστημα εξισώσεων μετατρέπεται σε διαγώνιαμορφή όπως πιο κάτω

X =minus3Y = 2

το οποίο δίνει τη λύση του συστήματος

Ε Ι Κοντογιώργης copy 110

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 I

Το σύστημα εξισώσεων 3times3 μετετρέπεται σε διαγώνιαμορφή Η μετατροπή γίνεται στήλη με στήλη από τααριστερά προς τα δεξιά

Π Θεωρήστε το σύστημα 3times3

X1 + X2 + X3 = 2X1 minus 3X2 + 2X3 = 7

4X1 minus 2X2 minus X3 = 9

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να γραφτεί ως

Ε Ι Κοντογιώργης copy 111

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 II

1 1 1 21 minus3 2 74 minus2 minus1 9

Ε Ι Κοντογιώργης copy 112

I Κλασματικοί (Αναλογικοί) Εκθέτες

1 Η τετραγωνική ρίζα μπορεί να γραφτεί σε μορφή κλάσματος

´Ετσι radicx= x12

Πχ 212 =

radic2 = 141 και 2

minus12 =

1radic2

= 071

2 Γενικά xab =bradicxa Πχ 7

23 =

3radic72 = 366

355 = 3112 =

2radic311 = 42089

Ε Ι Κοντογιώργης copy 24

ΛογάριθμοιI Η λογαριθμική μορφή ενός αριθμού είναι lsquoαντίθετηrsquo από

την εκθετική Τεχνικά μιλώντας η λογαριθμική μορφήείναι αντίστροφη της εκθετικής

I Η σχέση δίνεται logb(x) = y

που είναι το ίδιο με by = x

I Ο lsquolsquologb(x) = yrsquorsquo προφέρεται lsquolsquolog-βάση-b-του x ισούται yΕδώ b ονομάζεται lsquoβάση του λογαρίθμουrsquo αφού το b είναιη βάση της εκθετικής έκφρασης

I Η βάση b του λογάριθμου είναι πάντοτε θετική και δενισούται με 1

I Οτιδήποτε βρίσκεται μέσα στο λογάριθμο ονομάζεταιέκφραση

Ε Ι Κοντογιώργης copy 25

ΠαραδείγματαI Μετατρέψτε την έκφραση 63 = 216 στην ισοδύναμη

λογαριθμική μορφή

Για τη μετατροπή η βάση μένει η ίδια αλλά το 3 και το216 αλλάζουν θέσεις Αυτό μας δίνει

log6(216) = 3

I Μετατρέψτε τον log4(1024) = 5 στην αντίστοιχηλογαριθμική έκφραση

Για τη μετατροπή η βάση (που είναι 4) παραμένει η ίδιααλλά το 1024 και το 5 αλλάζουν θέσεις ´Ετσι δίνεται

45 = 1024

Ε Ι Κοντογιώργης copy 26

I Υπολογίστε τον log2(8)

Εάν y= log2(8) τότε υπονοείται ότι 2y = 8 Αυτόσημαίνει ότι y είναι η δύναμη του 2 που θα έχει σαναποτέλεσμα 8 Η δύναμη που δίνει το αποτέλεσμα είναι 3αφού 23 = 8 ´Ετσι

log2(8) = 3

I Κατά παρόμοιο τρόπο log5(25) = 2 αφού 52 = 25

I Υπολογίστε τον y= log64(4)

Σημειώστε ότι 64y = 4 και 43 = 64

´Ετσι (43)y

= 4 ή 43y = 41

Η πιο πάνω έκφραση εξυπονοεί ότι 3y= 1 και έτσιy= 13

Ε Ι Κοντογιώργης copy 27

I Υπολογίστε y= log6(6)

Αυτό ισοδυναμεί με το 6y = 6 και συνεπώς y= 1

I Υπολογίστε το y= log3(1)

Το πιο πάνω μπορεί να γραφτεί ως 3y = 1

´Ομως 1 = 30 έτσι 3y = 30 και y= 0

I Υπολογίστε το y= log4(minus16)

Μπορεί να γραφτεί σαν 4y =minus16

´Ομως δεν υπάρχει τιμή (πχ δύναμη) y που ναικανοποιεί τη σχέση ´Ετσι δεν υπάχρει λύση

Ε Ι Κοντογιώργης copy 28

I Υπολογίστε το y= log2(0)

Αυτό σημαίνει 2y = 0 όμως δε υπάρχει τιμή που ναικανοποιεί τη σχέση ´Ετσι δεν υπάχρει λύση

I Υπολογίστε το y= 2log2(9)

Αυτό σημαίνει ότι log2(y) = log2(9) και έτσι y= 9

Ε Ι Κοντογιώργης copy 29

I Γενικά1 logb(b) = 1 για οποιαδήποτε βάση b

2 logb(1) = 0 για οποιαδήποτε βάση b

3 logb(a) δεν ορίζεται για αρνητικά a

4 logb(0) δεν ορίζεται για οποιαδήποτε βάση b

5 logb(bn) = n για οποιαδήποτε βάση b

Ε Ι Κοντογιώργης copy 30

I Οι λογάριθμοι μπορούν να πάρουν οποιοδήποτε αριθμόσαν βάση αλλά δύο βάσεις είναι οι πιο χρήσιμες οlog-βάση-10 και ο log-βάση-e

I Η βάση-10 log συχνά ονομάζεται ο κοινός log καιγράφεται ως log(x) Εδώ δεν αναγράφεται βάση καιμπορούμε να υποθέσουμε ότι η βάση είναι 10

Πχ log(100) = 2 έτσι log10(102) = 2

I Η βάση-e log ονομάζεται ο φυσικός log και γράφεται σανln(x)Πχ ln(e345)= 345 καθώς loge(e345) = 345

Ε Ι Κοντογιώργης copy 31

Ιδιότητες Λογαρίθμωνlogb(xy) = logb(x) + logb(y)

Απόδειξη´Εστω m= logbx και n= logby

Γράψτε σε μορφή εκθέτη x= bm και y= bn

Πολλαπλασιάστε το x και y ούτως ώστεxy= bmbn = bm+n

´Ετσι από τον ορισμό των λογαρίθμων το xy= bm+nσυνεπάγει ότι

logb(xy) =m+n= logbx+ logb(y)

Πχ log2(4times16) = log2(64) = log2(26) = 6

Ακόμα log2(4times16) = log2(4) + log2(16) = 2+4 = 6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 32

logb(xy)

= logb(x)minus logb(y)

Απόδειξη´Εστω m= logbx και n= logby

Γράψτε σε μορφή εκθέτη x= bm και y= bn

∆ιαίρα το x και y ούτως ώστε xy =bmbn = bmminusn

´Ετσι από τον ορισμό των λογαρίθμων το xy = bmminusn

συνεπάγει ότι

logb(xy)

=mminusn= logbxminus logb(y)

Πχ log2(16

4)

= log2(4) = 2

και log2(16

4)

= log2(16)minus log2(4) = 4minus2 = 2Ε Ι Κοντογιώργης copy 33

logb(xn) = n logb(x)

Απόδειξη´Εστω m= logbx και γράψτε σε μορφή εκθέτη x= bm

Αυξάνοντας τις δύο πλευρές στην n δύναμη παίρνουμεxn = (bm)n = bmn

´Ετσι από τον ορισμό των λογαρίθμων τοlogbxn =mn= nm= n(logbx)

Πχ log2(64) = log2(26) = 6 log2(2) = 6

log(64) = 18

Επιπλέον log(64) = log(26) = 6log(2) = 6times030 = 18

Ε Ι Κοντογιώργης copy 34

logb(x) =loga(x)loga(b) agt0 a 6= 1

Απόδειξη´Εστω m= logbx rArr x= bm

Εφαρμόστε loga και στις δύο πλευρές του x= bmγια ναδώσει

logabm = logax rArr m logab= logaxrArr m=logaxlogab

rArr logbx=logaxlogab

Πχ log5(20) =log(20)

log(5)= 186 =

ln(20)

ln(5)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 35

logb(a) =1

loga(b) agt0 a 6= 1

Απόδειξη

logb(x) =loga(x)loga(b) =

logx(x)logx(b)

=1

loga(b)

´Οταν a= x

Πχ log2(64) =1

log64(2)=

116 = 6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 36

Αθροισμα

I Υποθέστε ότι έχουμε μια μεταβλητή x που μπορεί ναπάρει δέκα τιμές Εάν ενδιαφερόμαστε για το άθροισμάτους χωρίς να ξέρουμε την τιμή της κάθε μεταβλητής τότεο καλύτερος τρόπος να το εκφράσουμε είναι

x1 +x2 + middot middot middot+x9 +x10

I Εν συντομία το άθροισμα n στοιχείων x1 +x2 + middot middot middot+xn είναιnsum

i = 1xi

και ερμηνεύεται σαν το άθροισμα όλων των xirsquosξεκινώντας από το x1 (πχ i = 1) μέχρι xn (i = n)

I Εάν δε δοθεί διαφορετικά πάντοτε υποθέτουμε ότι το iαυξάνεται ξεκινώντας από το στάδιο 1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 37

I Το lsquolsquoSigmarsquorsquo Σ είναι γνωστό ως το άθροισμα (summation) ήσύμβολο σίγμα (sigma operator) και ο δείκτης i όνομάζεταιεικονική μεταβλητή

I Παραδείγματα

I

5sum

i = 1xi = x1 +x2 +x3 +x4 +x5

I

5sum

i = 1(y2

i ) = y21 +y22 +y23 +y24 +y25

Σημειώστε ότι η μόνη μεταβλητή που περιγράφεται απευθείαςκάτω από το σύμβολο Σ αυξάνεται κατά 1 κάθε φορά ενώ όλατα άλλα σύμβολα παραμένουν τα ίδια

I

4sum

r = 1(x3r ) = x31 +x32 +x33 +x34

Ε Ι Κοντογιώργης copy 38

I6sum

i = 1i = 1+2+3+4+5+6

I6sum

i = 1i2 = 12 +22 +32 +42 +52 +62

I7sum

i = 3xi = x3 +x4 +x5 +x6 +x7

I4sum

i = 1a = a+a+a+a= 4a

I3sum

i = 1(4+xi) = (4+x1) + (4+x2) + (4+x3)

=3sum

i = 14+

3sum

i = 1xi

Ε Ι Κοντογιώργης copy 39

I3sum

i = 1(2xi) = (2x1) + (2x2) + (2x3) = 2times

3sum

i = 1xi

I Ο συντελεστής i παραλείπεται εάν δε προκαλείαοριστία Για παράδειγμα Σx ή Σixi σημαίνειάθροισμα όλων των x που λαμβάνονται υπόψη

I ∆ήλωσηI

nsumi=1a= na

I sumiaxi = asum

ixi

I sumi

(axi+byi) = asumixi +bsum

iyi

Ε Ι Κοντογιώργης copy 40

I Αθροιστικός Τύπος

Insum

i = 1i = 1+2+ middot middot middot+n=

n(n+1)

2

Πχ6sumi = 1i = 1+2+3+4+5+6 =

6(6+1)

2 = 21

Insum

i = 1i2 = 12 +22 + middot middot middot+n2 =

n(n+1)(2n+1)

6

Πχ6sumi = 1i2 = 12 +22 +32 +42 +52 +62

=6(6+1)(12+1)

6 = 91

Ε Ι Κοντογιώργης copy 41

Insum

i = 1i3 = 13 +23 + middot middot middot+n3 =

n2(n+1)2

4

Πχ6sumi = 1i3 = 13 +23 +33 +43 +53 +63

=62(6+1)2

4 = 441

Ε Ι Κοντογιώργης copy 42

ΠαραδήγματαΑριθμητική Πρόοδος

I Γενικά μπορούμε να εκφράσουμε μια αριθμητική πρόοδο ωςεξής

αριθμητική πρόοδος a a+d a+2d a+3d

όπου ο πρώτος όρος είναι a και η διαφορά d Ο όρος nτης απ δίνεται από τη σχέση b = a+ (nminus1)d

I 3 5 7 9 11 είναι μια αριθμητική πρόοδος Οπρώτος όρος είναι το 3 και η διαφορά είναι 2

I 2 minus1 minus4 minus7 είναι μια αριθμητική πρόοδος όπου οπρώτος όρος είναι 2 και η διαφορά minus3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 43

I Το άθροισμα των όρων μιας αριθμητικής προόδου είναιγνωστό ως αριθμητική σειρά

Sn = a+ (a+d) + (a+2d) + middot middot middot+ (a+ (nminus1)d)

=nsumi=1

(a+ (iminus1)d

)= na+

nsumi=1

(iminus1)d

= na+dnminus1sumi=1

i = na+d(nminus1)n2

=n2(2a+d(nminus1)) =

n2(a+b) b = a+d(nminus1)

I ΑΠ 3 5 7 9 11 13 rArr Sn =62(3+13) = 48

Ε Ι Κοντογιώργης copy 44

∆ιπλό Αθροισμα4sumi=1

isumj=1

j = (1) + (1+2) + (1+2+3) + (1+2+3+4) = 20

nsumi=1

isumj=1

j =nsumi=1

( isumj=1

j)

nsumi=1

(12 i(i+1)

)=

12

nsumi=1

(i2 + i)

12( nsumi=1

i2 +nsumi=1

i)

=12(16n(n+1)(2n+1) +

12n(n+1)

)

=12

16n(n+1)

((2n+1) +3

)=

n6(n+1)(n+2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 45

∆ιπλό Αθροισμα

nsumi=1

msumj=1

(i+ j+2) =nsumi=1

( msumj=1

(i+ j+2))

nsumi=1

( msumj=1

i+msumj=1

j+msumj=1

2)

=nsumi=1

(mi+ 1

2m(m+1) +2m)

m( nsumi=1

i+ 12

nsumi=1

(m+5))

= m(12n(n+1) +

12n(m+5)

)

=mn2(m+n+6

)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 46

Insumr=1

1r(r+1)

=nsumr=1

(Ar +

Br+1

)=

nsumr=1

A(r+1) +Brr(r+1)

I A(r+1) +Br = 1

I Για r = 0 τότε A= 1 και για r =minus1 τότε B=minus1

I

nsumr=1

1r(r+1)

=nsumr=1

(1r minus

1r+1

)

=(

(11 minus

12) + (

12 minus

13) + (

13 minus

14) + middot middot middot+ (

1nminus1 minus

1n ) + (

1n minus

1n+1)

)

= 1minus 1n+1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 47

Insumk=1

1(k+2)(k+3)

=nsumk=1

( A(k+2)

+B

(k+3)

)=

nsumk=1

A(k+3) +B(k+2)

(k+2)(k+3)

I A(k+3) +B(k+2) = 1

I Για k=minus2 τότε A= 1 και για k=minus3 τότε B=minus1

I

nsumk=1

1(k+2)(k+3)

=nsumk=1

( 1(k+2)

minus 1(k+3)

)

=(

(13 minus

14)+(

14 minus

15)+(

15 minus

16)+ +(

1n+1 minus

1n+2)+(

1n+2 minus

1n+3)

)

=13 minus

1n+3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 48

Αθροισμα με Λογάριθμους

nsumi=1

logb(i) = logb(1) + logb(2) + middot middot middot+ logb(n)

= logb(1times2times3timesmiddotmiddot middottimesn)

= logb(n)

I Το n (n παραγοντικό) δίνεται από n = 1times2timesmiddotmiddot middottimesn και0 = 1

I100sumi=1

log2(100) = log2(100) =log(100)

log(2)=

log(99)

log(2)+

2log(2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 49

Γινόμενο των ακολουθιώνIn

prodi=1xi = x1timesx2timesx3timesmiddotmiddot middottimesxn

In

prodi=1i = 1times2times3timesmiddotmiddot middottimesn= n

In

prodi=1z= ztimesztimesmiddotmiddot middottimesz= zn

I

nprodi=1

(1+

1i+1

)=(1+

12)times(1+

13)times(1+

14)times times(1+

1n )times(1+

1n+1)

=32 times

43 times

54 timesmiddotmiddot middottimes

n+1n times n+2

n+1

=n+22

Ε Ι Κοντογιώργης copy 50

Γεωμετρικές ΠροόδοιI Μια γεωμετρική πρόοδος είναι μια σειρά αριθμών όπου

κάθε όρος μετά των πρώτο υπολογίζεται από τονπολλαπλασιασμό του προηγούμενου όρου με ένασταθερό αριθμό που καλείται αναλογία

I Η σειρά1 3 9 27 81 middot middot middot

είναι μια γεωμετρική πρόοδος με πρώτο όρο το 1 καιαναλογία 3

I Η αναλογία μπορεί να είναι κλάσμα καθώς επίσης καιαρνητικός αριθμός Για παράδειγμα η γεωμετρικήπρόοδος με πρώτο όρο το 2 και αναλογία minus13 είναι

2 minus 23 +

29 minus

227 +

281 middot middot middot

Ε Ι Κοντογιώργης copy 51

I Γενικά μπορούμε να γράψουμε μια γεωμετρική πρόοδο ωςακολούθως

γεωμετρική πρόοδος a ar ar2 ar3 ar4 middot middot middot

όπου ο πρώτος όρος είναι a και η αναλογία r

I Σημαντικά θεωρήματα των γεωμετρικών προόδων (γπ)1 Ο n όρος μιας γπ δίνεται από ar(nminus1)

2 Το άθροισμα των πρώτων n όρων μιας γπ είναι

Sn =a(1minus rn)

1minus r =a(rnminus1)

rminus1 και ισχύει μόνο αν r 6= 1

I Το άθροισμα των όρων μιας γεωμετρικής προόδουονομάζεται γεωμετρική σειρά

Ε Ι Κοντογιώργης copy 52

Γεωμετρική σειρά

Sn = a+ar+ar2 +ar3 + middot middot middot+arnminus2 +arnminus1

rSn = ar+ar2 +ar3 + arnminus1 +arn

Snminus rSn = aminusarn

(1minus r)Sn = a(1minus rn)

Sn =a(1minus rn)

(1minus r) =a(rnminus1)

(rminus1)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 53

I Παράδειγμα1 Βρείτε το άθροισμα των πρώτων 10 όρων μιας γεωμετρικής

σειράς4 8 16 32

Ο πρώτος όρος είναι a= 4 και η αναλογία r = 2 καιn= 10 ´Ετσι

S10 =4(1minus210)

1minus2 = 4092

2 Θεωρείστε τη γπ4 minus8 16 minus32 64 minus128 256 minus512

Σε αυτή την περίπτωση ο πρώτος όρος είναι a= 4 ηαναλογία είναι r =minus2 και n= 8´Ετσι

S8 =4(1minus (minus2)8)

1minus (minus2)=minus340

Ε Ι Κοντογιώργης copy 54

Συνεχείς ανατοκισμός

Οι περισσότεροι τραπεζικοί λογαριασμοί και τα δάνειαυιοθετούν ανατοκισμό - εφαρμόζοντας συνεχή ανατοκισμόΘεωρείστε ένα λογαριασμό που προσφέρει τόκο με ετήσιοεπιτόκιο r (πχ 7) Εάν το επιτόκιο είναι συνεχέςσε χρονιαία βάση τότε μετά από 1 χρόνο το χρονιαίοεπιτόκιο προστίθεται στο αρχικό κεφάλαιο για νακαθορίσει ένα μεγαλύτερο κεφάλαιο τον δεύτερο χρόνο

´Ετσι κατά τη διάρκεια του δεύτερου χρόνου ολογαριασμός κερδίζει επιτόκιο πάνω στο επιτόκιοΑυτή είναι η επίδραση του ανατοκισμού που συνεχίζεταιχρόνο με το χρόνο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 55

I Με τον ετήσιο ανατοκισμό το κεφάλαιο πουσυσσωρεύεται στο λογαριασμό πολλαπλασιάζεται με

(1+ r)

´Ετσι το κεφάλαιο A θα αυξηθεί σε

A(1+ r) = A+A middot r

τον επόμενο χρόνο

I Με το πέρας και του δεύτερου χρόνου το κεφάλαιο θααυξηθεί ακόμα (1+ r) σε (1+ r)2

´Ετσι το κεφάλαιο καταλήγει σε

A(1+ r)(1+ r) = A(1+ r)2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 56

I Κατά παρόμοιο τρόπο στο τέλος του τρίτου χρόνου τοποσό θα αυξηθεί κατά (1+ r)3

I Μετά από n χρόνια το ποσό θα αυξηθεί κατά (1+ r)n

I ´Ετσι το κεφάλαιο (επένδυση) A θα αυξηθεί με συνεχήανατοκισμό σε A(1+ r)n μετά από n χρόνια

I Ο τύπος (1+ r)n εκθέτει γεωμετρική αύξηση λόγω τηςn δύναμης

Ε Ι Κοντογιώργης copy 57

ΠαραδείγματαI Εάν το επιτόκιο είναι r = 5 τότε το κεφάλαιοA= $1000 που βρίσκεται στην τράπεζα n= 20 χρόνιαθα αυξηθεί κατά

(1+ r)n = (1+005)20 = 2653 φορές

´Ετσι το ποσό θα καταλήξειA(1+ r)n = $265330

I Βρέστε το χρόνο που χρειάζεται για ένα λογαργιασμό ναδιπλασιάσει το διαθέσιμο κεφάλαιο του όταν r = 7 καιr = 10Ζητούμε να βρούμε το n έτσι ώστε

(1+ r)n = 2Ε Ι Κοντογιώργης copy 58

I Υπολογίζοντας το λογάριθμο του τελευταίου παίρνουμε

log(1+ r)n = log(2)ή n log(1+ r) = log(2)

´Ετσιn=

log2log(1+ r)

I Για r = 7 και r = 10 ο χρόνος n πουχρειάζεται για διπλασιασμό της επένδυσης υπολογίζεταισε 1024 και 727 αντίστοιχα

Ε Ι Κοντογιώργης copy 59

I Αν το επιτόκιο είναι r = 7 τότε πιο θα είναι τοσυνολικό ποσό στο λογαριασμό μετά από 205 και41 χρόνια αντίστοιχα

Μετά τα πρώτα 1025 χρόνια το ποσό A θαδιπλασιαστεί σε 2A Για τα επόμενα 1025 χρόνιατο ποσό θα ξαναδιπλασιαστεί σε 4A ´Ετσι μετά από205 χρόνια το ποσό θα αυξηθεί κατά 4 φορές

Με το πέρας ακόμα 205 χρόνων το ποσό θα αυξηθείακόμα 4 φορές σε 16 ´Ετσι μετά από 41 χρόνιατο κεφάλαιο A γίνεται 16A

Ε Ι Κοντογιώργης copy 60

Ασκήσεις και Παραδείγματα

I Υπολογίστε τη Μελλοντική Αξία (Future Value (FV)) τουκεφαλαίου A= 1500 που κερδίζει ετήσιο επιτόκιοr = 5 για n= 10 έτη

FV =A(1+ r)n = 1500(1+005)10 = 244334

I Πόσα έτη απαιτούνται για να τριπλασιαστεί ένα ποσόπου αφήνετε στην τράπεζα με επιτόκιο r = 5∆ηλαδή βρείτε το n όπου A= 1 r = 5 και FV = 3

FV =A(1+ r)n ή (1+ r)n =FVA

Ε Ι Κοντογιώργης copy 61

Υπολογίζοντας τους λογαρίθμους παίρνουμε

log(1+ r)n = log(FVA)

ή n log(1+ r) = log(FVA)

´Ετσι

n=log(FVA)

log(1+ r) =log(3)

log(105)

= 2252

Ε Ι Κοντογιώργης copy 62

I Βρείτε την παρούσα αξία A έτσι ώστε σε δέκα έτη μεσταθερό επιτόκιο r = 6 να είναι 100KΒρείτε το A όπου FV = 100000 r = 6 και n= 10

FV =A(1+ r)n ή A=FV

(1+ r)n

´Ετσι A=100000

(106)10= 5583948

I Βρείτε την ετησιοποιημένη απόδοση (AER AnnualEquivalent Rate) μιας μηνιαίας κατάθεσης με σταθερόεπιτοκίο 394 Μια τέτοια κατάθεση λαμβάνει το επιτόκιο στη λήξηΣυνεπώς κάθε μήνα ο λογαριασμός λαμβάνει

r = 0039412 = 000328

επιτόκιο που επανεπενδύεται (συνεχής ανατοκισμός)Ε Ι Κοντογιώργης copy 63

Επανεπενδύοντας το επιτόκιο κάθε μήνα στη διάρκειαενός έτους το κεφάλαιο θα αυξηθεί σε

(1+ r)12 = (1+000328)12 = 104012

´Ετσι το ΑΕΡ είναι ισοδύναμο με 004012 = 4012I Υπολογίστε το επιτόκιο ενός σταθερού λογαριασμού

κατάθεσης 7-ημερών που έχει AER επιτόκιο r = 425Θεωρείστε ρ το εβδομαδιαίο επιτόκιο

´Ετσι (1+ρ)52 = (1+00425)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 64

Παίρνοντας τους λογαρίθμους έχουμε52log(1+ρ) = log10425

ή log(1+ρ) =log10425

52

ή 1+ρ= 10( log10425

52)

Αυτό μας δίνει

ρ= 10

( log1042552

)minus1 = 008

´Ετσι το συνεχές επιτόκιο μιας επταήμερης κατάθεσης είναιρtimes52 = 41638

Εναλλακτικά (1+ρ)52 = (1+00425) δίνει

(1+ρ) =52radic10425ή ρ=

52radic10425minus = 008Ε Ι Κοντογιώργης copy 65

I Υπολογίστε την ετήσια απόδοση r έτσι ώστε A= 10000να επιστρέφει FV = 35000 σε n= 20 χρόνια

FV =A(1+ r)n ή (1+ r)n =FVA

´Ετσι

1+ r =nradic

FVA

Επομένως

r =nradic

FVA minus1 =

20radic

3500010000 minus1 = 00646 = 646

Ε Ι Κοντογιώργης copy 66

Εναλλακτικά παίρνοντας τους λογαρίθμους

log(1+ r)n = log(FVA) ή n log(1+ r) = log

(FVA)

´Ετσι

1+ r = 10(1n log

(FVA))

ή r = 10(1n log

(FVA))minus1

= 10( 120 log

(3500010000

))minus1

= 646

Ε Ι Κοντογιώργης copy 67

Γραφική Αναπαράσταση I

I Υποθέστε ότι έχουμε y= 3x+2 Καθώς έχουμε μόνο μιαδύναμη για το x πρέπει να λύσουμε γραμμική εξίσωσηκαι να σχεδιάσουμε μια ευθεία γραμμή Αρχικά θα πρέπεινα σχεδιάσουμε ένα T-chart Αυτό έχει τη μορφή

x y = 3x+2 (xy)

I Επιλέγουμε μια τιμή για το x και λύνουμε ως προς y

x y= 3x+2 (xy)minus2 minus4 (minus2minus4)0 2 (02)2 8 (28)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 68

Γραφική Αναπαράσταση II

-

6

X

Y

bull

bull

bull

I Βλέπουμε μια ευθεία με ανοδική τάση (έχοντας θετικήκλίση m= 3) καιτέμνει τον άξονα y στο σημείο y= 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 69

Γραφική Αναπαράσταση III

I Μια Τετραγωνική εξίσωση περιέχει x2 Για τηναναπαράσταση τετραγωνικών εξισώσεων χρειάζεται ναβρούμε περισσότερα από τρία σημεία στο σχεδιάγραμμα

Για παράδειγμα υποθέστε ότι y= x2minus6x+5 καιδίνεται το πιο κάτω T-chart

x y= x2minus6x+5 (xy)0 5 (05)1 0 (10)3 minus4 (3minus4)5 0 (50)6 5 (65)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 70

Γραφική Αναπαράσταση IV

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

-

6

X

Y

bull

bull

bull

bull

bull

Ε Ι Κοντογιώργης copy 71

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(1x + 2)

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(-3x + 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 72

-15

-10

-5

0

5

10

15

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(3x - 2)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 73

-20

0

20

40

60

80

100

120

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2+x)

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 74

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

1250

1500

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3+x2+x)

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x4)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 75

-25

-2

-15

-1

-05

0

05

1

15

2

25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(log(x))

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(x))

Ε Ι Κοντογιώργης copy 76

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(-x))

-5000

0

5000

10000

15000

20000

25000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(exp(x)+x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 77

Ανισότητες I

I Οι ανισότητες αποτελούνται από δύο ή τρεις αλγεβρικέςεκφράσεις που είναι συνδεδεμένες με τα σύμβολαανισότητας Τα σύμβολα αυτά είναι

lt μικρότερο τουgt μεγαλύτερο τουle μικρότερο ή ίσο τουge μεγαλύτερο ή ίσο του

I Παραδείγματα xgty yge x2 και ylt5x+1

I Το πρώτο βήμα για την αναπαράσταση ανισότητας τηςμορφής ygtx είναι να παραστήσουμε γραφικά τηνισότητα y= x

Ε Ι Κοντογιώργης copy 78

Ανισότητες II

I ygtx

Κάνετε δοκιμή με ένα σημείο να δείτε κατά πόσοικανοποιεί την ανισότητα Εάν ναι τότε σκιάστε τηνπεριοχή αυτή του σχεδιαγράμματος διαφορετικά σκιάστετην άλλη πλευρά

Ε Ι Κοντογιώργης copy 79

Ανισότητες III

I yltx

Ε Ι Κοντογιώργης copy 80

Ανισότητες IV

I yle 5x+1 και ygt5x+1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 81

Ανισότητες V

I yge x2 και yle x2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 82

Ανισότητες VI

I ygtx3 και yle x3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 83

Συστήματα Γραμμικών ΕξισώσεωνΠεριεχόμενα

1 Ε

2 Γ Α

ΑναφορέςΚεφάλαια 4 και 5FS Budnick Applied Mathematics for Business Economicsand the Social Sciences 4th edition McGraw-Hill 1993

Ε Ι Κοντογιώργης copy 84

Συστήματα Εξισώσεων

I ´Ενα σύστημα εξισώσεων συνδυάζει περισσότερες από μίαεξισώσεις

I ´Ενα σύστημα m εξισώσεων όπου κάθε εξίσωσηαποτελείται από n μεταβλητές ονομάζεται mtimesnσύστημα ή λέμε ότι έχει διαστάσεις mtimesn

I ΠαράδειγμαΠαρακάτω έχουμε ένα σύστημα 2times2

5X+10Y= 203X+4Y= 10

Οι μεταβλητές σε αυτή την περίπτωση είναι X και YΕ Ι Κοντογιώργης copy 85

Συστήματα Επίλυσης

I Το Σύστημα επίλυσης είναι μια σειρά τιμών μεταβλητώνπου ικανοποιούν το σύστημα ταυτόχρονα

I Σε μια σημειογραφική παράσταση το προηγούμενοπαράδειγμα μπορεί να γραφτεί ως εξής

S = (XY) | 5X+10Y = 20 και 3X+4Y = 10

I Το σύστημα επίλυσης μπορεί να είναι1 μηδενικό2 πεπερασμένο ή3 άπειρο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 86

2times2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική Ανάλυση

I Σε ένα δισδιάστατο γράφημα ένα σύστημα εξισώσεων2times2 αναπαρίστανται με ευθείες γραμμές Υπόρχουν τρίαενδεχόμενα

1 Οι ευθείες τέμνονται Το σημείο τομής αντιπροσωπεύει τηλύση του συστήματος εξισώσεων Αυτό το σημείοαλληλεπίδρασης είναι μια δέσμη τιμών X και Y που ικανοποιείκαι τις δύο εξισώσειςΕάν υπάρχει μόνο μια δέσμη τιμών για τις μεταβλητές που ναικανοποιεί το σύστημα εξισώσεων το σύστημα λέμε ότι έχειΜ Λ

2 Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες μεταξύ τους ∆εν έχουν κοινόσημείο Συνεπώς οι ευθείες δεν τέμνονται ποτέ Το σύστημαλέμε ότι ∆ ΛΑυτό υπονοεί ότι δεν υπάρχουν τιμές για τις μεταβλητές πουνα ικανοποιούν και τις δύο εξισώσεις Σε αυτή τηνπερίπτωση οι εξισώσεις στο σύστημα είναι Α

3 Και οι δύο εξισώσεις αναπαρίστανται ως μια κοινή ευθεία καιθεωρούνται ισοδύναμες εξισώσεις ´Ετσι το σύστημα έχειΑ Λ Αυτό συμβαίνει γιατί υπάρχει άπειροςαριθμός κοινών σημείων στις δύο γραμμές

Ε Ι Κοντογιώργης copy 87

I Π Θεωρείστε ένα σύστημα 2times22X+4Y= 203X+ Y= 10

I

X

Y

(24)

3X +Y = 10

2X +4Y = 20

0 2 4 6 8 10 12

2

4

6

8

10

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 88

I Το σημείο τομής δίνεται από το X= 2 και Y= 4Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές του X και Y στις δύοεξισώσεις δίνουν 20 = 20 και 10 = 10 αντίστοιχα

I Αυτό υποδειλώνει ότι X= 2 και Y= 4 είναι η σωστή λύση

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times23Xminus2Y= 6

minus15X+10Y=minus30

I

X

Y

(20)

(0minus3)

3X minus2Y = 6

minus15X +10Y =minus30

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 89

I Οι δύο εξισώσεις απλοποιούνται σε Xminus 23 Y= 2

Οι δύο εξισώσεις είναι ισοδύναμες και δίνουν έναπεπερασμένο αριθμό λύσεων έτσι ώστε

X= 0 Y =minus3X= 2 Y = 0X= 4 Y = 3

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times26Xminus12Y= 24

minus32X+3Y= 9

Οι εξισώσεις απλοποιούνται σεXminus2Y= 4Xminus2Y=minus6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 90

I

X

Y

(40)

(0minus2)

(minus60)

(03)

X minus2Y =minus6

X minus2Y = 4

0-0

I Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες και συνεπώς το σύστημαδεν έχει λύση ´Ετσι το σύστημα εξισώσεων είναιασύμπτωτο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 91

Περίληψη 2times2 Συστήματα Εξισώσεων∆ίνεται ένα Σύστημα Γραμμικών Εξισώσεων 2times2

Y=m1X+ c1Y=m2X+ c2

1 Υπάρχει μια στο σύστημα εάνm1 6= m2

2 ∆εν υπάρχει στο σύστημα εάνm1 = m2 και c1 6= c2

3 Υπάρχει εάνm1 = m2 και c1 = c2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 92

∆ιαδικασίες Απαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής χρησιμοποιεί πολλαπλασιασμόκαι πρόσθεση έτσι ώστε

1 Να απαλοιφεί μια από τις δύο μεταβλητές

2 Η εξίσωση που εξάγεται είναι συνάρτηση των υπόλοιπωνμεταβλητών

3 Αντικαθιστώντας την τιμή στην μεταβλητή σε μια από τιςαρχικές εξισώσεις βρίσκουμε την τιμή για τηναπολοιφθήσα μεταβλητή

Ε Ι Κοντογιώργης copy 93

ΠαραδείγματαI Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

2X +4Y = 20 (1)3X + Y = 10 (2)

Πολλαπλασιάζοντας τη δεύτερη εξίσωση με minus4 παίρνουμε

minus12X minus4Y =minus40 (3)

Προσθέτοντας την εξίσωση (1) στο (3)

2X + 4Y = 20minus12X minus 4Y = minus40minus10X = minus20

ή

X = 2 (4)Ε Ι Κοντογιώργης copy 94

Αντικαθιστώντας X= 2 στην εξίσωση (1) δίνεται2 middot2+4Y = 20 ή Y=4

´Ετσι η μοναδική λύση του συστήματος δίνεται από τοX= 2 και Y= 4 Μπορεί να επιβεβαιωθεί ότι αυτή είναι ησωστή λύση αντικαθιστώντας X= 2 και Y= 4 στηνεξίσωση (1) και (2)

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times23X minus2Y = 6 (5)

minus15X +10Y =minus30 (6)

Για την απαλοιφή της μεταβλητής X η εξίσωση (5)πολλαπλασιάζεται με 5 και το αποτέλεσμα προστίθεταιστην εξίσωση (6)

15X minus 10Y = 30minus15X + 10Y = minus30

0 = 0 Ε Ι Κοντογιώργης copy 95

Οι τελευταίες πράξεις υπονοούν ότι οι εξίσωσεις (5) και(6) είναι ισοδύναμες και έτσι υπάρχει άπειρος αριθμόςλύσεωνΓια να προσδιορίσουμε τις λύσεις του συστήματος μια απότις αρχικές εξισώσεις λύνεται ως προς μια μεταβλητή Ανγια παράδειγμα η εξίσωση (5) λύνεται ως προς Y δίνει

Y =32Xminus3

Σαν αποτέλεσμα γενικεύοντας τις λύσεις του συστήματοςέχουμε

X τυχαίο και Y =32Xminus3

Πχ για X= 4 υπονοείται ότι Y=32 middot4minus3 = 3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 96

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

6X minus12Y = 24 (7)

minus32X +3Y = 9 (8)

Πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση (8) με 4 καιπροσθέτοντας το αποτέλεσμα στην εξίσωση (7)παίρνουμε

6X minus 12Y = 24minus6X + 12Y = 36

0 = 60

Η πιο πάνω αντιλογία υπονοεί ότι δεν υπάρχει λύση τουσυστήματος εξισώσεων

Ε Ι Κοντογιώργης copy 97

3times2 Συστήματα Εξισώσεων I

1 Μ Λ

X

Y

(32)

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minusY = 1

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 98

3times2 Συστήματα Εξισώσεων II

2 Α Λ

X

Y Εξις (1)Εξις (2)Εξις (3)

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 99

3times2 Συστήματα Εξισώσεων III3 Κ

(α) ´Οταν και οι τρεις εξισώσεις είναι παράλληλες

X

Y

2X minusY =minus8

2X minusY = 2

2X minusY = 12

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 100

3times2 Συστήματα Εξισώσεων IV(β) ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ τωνεξισώσεων

X

Y

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minus2Y =minus4

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 101

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική ΑνάλυσηΣε ένα γράφημα 2 διαστάσεων ένα σύστημα mtimes2(mgt2) εξισώσεων παριστάνεται με m ευθείες ´Οπωςσυμβαίνει στα συστήματα 2times2 υπάρχουν τρίαενδεχόμενα

1 ´Ολες οι ευθείες τέμνονται στο ίδιο σημείο και έτσιυπάρχει

2 ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ των mεξισώσεων Αυτό σημαίνει ότι όλες οι ευθείες είναιπαράλληλες Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα Λ

3 Οι m εξισώσεις είναι ισοδύναμες πχ παρασταίνονται σανμια ευθεία Σε αυτή την περίπτωση υπάρχει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 102

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων ∆ιαδικασίαΑπαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής για την επίλυση ενός συστήματοςmtimes2 μπορεί να περιγραφεί ως ακολούθωςΕπιλέξτε και λύστε σύστημα με δύο εξισώσεις

1 Εάν δεν υπάρχει λύση τότε ολόκληρο το σύστημα δεν έχειλύση

2 Εάν υπάρχει μοναδική λύση που ικανοποιεί τις υπόλοιπεςmminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα έχει μία μοναδική λύση

3 Εάν η λύση είναι μοναδική αλλά δεν ικανοποιεί τιςυπόλοιπες mminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα δεν έχει λύση

4 Εάν οι 2 λύσεις είναι ισοδύναμες απάλοιψτε τη μίααπό τις δύο εξισώσεις και ξεκινήστε από την αρχήλαμβάνοντας υπόψη ένα σύστημα (mminus1)times2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 103

ΠαράδείγμαI Θεωρείστε ένα σύστημα 5times2

XminusY= 1X+2Y=minus8

3Xminus2Y= 02Xminus5Y= 11minus4X+3Y=minus1

I Η λύση των πρώτων δύο εξισώσεων δίνετε απόY =minus3 και X =minus2

I Αντικαθιστώντας τη λύση στις υπόλοιπες τρεις εξισώσειςπαίρνετε αντίστοιχα

0 = 0 11 = 11 και minus1 =minus1I Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση

X=minus2 και Y=minus3Ε Ι Κοντογιώργης copy 104

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian

Η μέθοδος απολοιφής Gaussian μετατρέπει το αρχικόσύστημα εξισώσεων σε διαγώνια μορφή επαναλαμβάνονταςστις εξισώσεις τις ακόλουθες τρεις διαδικασίες

1 Πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης μεμια θετική σταθερά

2 Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού θα προστεθεί σεάλλη εξίσωση

3 Η σειρά των εξισώσεων μπορεί να αλλάξει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 105

ΠαράδείγμαΠ Θεωρείστε το σύστημα 2times2

2X minus 3Y = 7 (Εξ 1)X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με 12 για να πάρετε

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με minus1 καιπροσθέστε την στην (Εξ 2)

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

52Y =

152 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 106

Στάδιο 3 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 25

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

Y = 3 (Εξ 2)

Στάδιο 4 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 32 και

προσθέστε την στην (Εξ 1)

X = 1 (Εξ 1)Y = 3 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 107

Π Θεωρείστε το σύστημα 2times2

5X + 20Y = 254X minus 7Y =minus26

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να εκφραστεί ως

R1 5 20 25R2 4 minus7 minus26

Η κάθετη γραμμή χρησιμοποιείται για διαχωρισμό τηςαριστερής από τη δεξιά πλευρά των εξισώσεων Το Riυπονοεί τη γραμμή (Row) i

Ε Ι Κοντογιώργης copy 108

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάζουμε τη R1 με 15 και το θέτουμε

R1larr 15R1

R1 1 4 5R2 4 minus7 minus26

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάζουμε την R1 με minus4 και τηνπροσθέτουμε στην R2 Εν συντομίαR2larrminus4R1+R2

R1 1 4 5R2 0 minus23 minus46

Στάδιο 3 R2larrminus 123R2

R1 1 4 5R2 0 1 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 109

Στάδιο 4 R1larrminus4R2+R1

R1 1 0 minus3R2 0 1 2

Το αρχικό σύστημα εξισώσεων μετατρέπεται σε διαγώνιαμορφή όπως πιο κάτω

X =minus3Y = 2

το οποίο δίνει τη λύση του συστήματος

Ε Ι Κοντογιώργης copy 110

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 I

Το σύστημα εξισώσεων 3times3 μετετρέπεται σε διαγώνιαμορφή Η μετατροπή γίνεται στήλη με στήλη από τααριστερά προς τα δεξιά

Π Θεωρήστε το σύστημα 3times3

X1 + X2 + X3 = 2X1 minus 3X2 + 2X3 = 7

4X1 minus 2X2 minus X3 = 9

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να γραφτεί ως

Ε Ι Κοντογιώργης copy 111

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 II

1 1 1 21 minus3 2 74 minus2 minus1 9

Ε Ι Κοντογιώργης copy 112

ΛογάριθμοιI Η λογαριθμική μορφή ενός αριθμού είναι lsquoαντίθετηrsquo από

την εκθετική Τεχνικά μιλώντας η λογαριθμική μορφήείναι αντίστροφη της εκθετικής

I Η σχέση δίνεται logb(x) = y

που είναι το ίδιο με by = x

I Ο lsquolsquologb(x) = yrsquorsquo προφέρεται lsquolsquolog-βάση-b-του x ισούται yΕδώ b ονομάζεται lsquoβάση του λογαρίθμουrsquo αφού το b είναιη βάση της εκθετικής έκφρασης

I Η βάση b του λογάριθμου είναι πάντοτε θετική και δενισούται με 1

I Οτιδήποτε βρίσκεται μέσα στο λογάριθμο ονομάζεταιέκφραση

Ε Ι Κοντογιώργης copy 25

ΠαραδείγματαI Μετατρέψτε την έκφραση 63 = 216 στην ισοδύναμη

λογαριθμική μορφή

Για τη μετατροπή η βάση μένει η ίδια αλλά το 3 και το216 αλλάζουν θέσεις Αυτό μας δίνει

log6(216) = 3

I Μετατρέψτε τον log4(1024) = 5 στην αντίστοιχηλογαριθμική έκφραση

Για τη μετατροπή η βάση (που είναι 4) παραμένει η ίδιααλλά το 1024 και το 5 αλλάζουν θέσεις ´Ετσι δίνεται

45 = 1024

Ε Ι Κοντογιώργης copy 26

I Υπολογίστε τον log2(8)

Εάν y= log2(8) τότε υπονοείται ότι 2y = 8 Αυτόσημαίνει ότι y είναι η δύναμη του 2 που θα έχει σαναποτέλεσμα 8 Η δύναμη που δίνει το αποτέλεσμα είναι 3αφού 23 = 8 ´Ετσι

log2(8) = 3

I Κατά παρόμοιο τρόπο log5(25) = 2 αφού 52 = 25

I Υπολογίστε τον y= log64(4)

Σημειώστε ότι 64y = 4 και 43 = 64

´Ετσι (43)y

= 4 ή 43y = 41

Η πιο πάνω έκφραση εξυπονοεί ότι 3y= 1 και έτσιy= 13

Ε Ι Κοντογιώργης copy 27

I Υπολογίστε y= log6(6)

Αυτό ισοδυναμεί με το 6y = 6 και συνεπώς y= 1

I Υπολογίστε το y= log3(1)

Το πιο πάνω μπορεί να γραφτεί ως 3y = 1

´Ομως 1 = 30 έτσι 3y = 30 και y= 0

I Υπολογίστε το y= log4(minus16)

Μπορεί να γραφτεί σαν 4y =minus16

´Ομως δεν υπάρχει τιμή (πχ δύναμη) y που ναικανοποιεί τη σχέση ´Ετσι δεν υπάχρει λύση

Ε Ι Κοντογιώργης copy 28

I Υπολογίστε το y= log2(0)

Αυτό σημαίνει 2y = 0 όμως δε υπάρχει τιμή που ναικανοποιεί τη σχέση ´Ετσι δεν υπάχρει λύση

I Υπολογίστε το y= 2log2(9)

Αυτό σημαίνει ότι log2(y) = log2(9) και έτσι y= 9

Ε Ι Κοντογιώργης copy 29

I Γενικά1 logb(b) = 1 για οποιαδήποτε βάση b

2 logb(1) = 0 για οποιαδήποτε βάση b

3 logb(a) δεν ορίζεται για αρνητικά a

4 logb(0) δεν ορίζεται για οποιαδήποτε βάση b

5 logb(bn) = n για οποιαδήποτε βάση b

Ε Ι Κοντογιώργης copy 30

I Οι λογάριθμοι μπορούν να πάρουν οποιοδήποτε αριθμόσαν βάση αλλά δύο βάσεις είναι οι πιο χρήσιμες οlog-βάση-10 και ο log-βάση-e

I Η βάση-10 log συχνά ονομάζεται ο κοινός log καιγράφεται ως log(x) Εδώ δεν αναγράφεται βάση καιμπορούμε να υποθέσουμε ότι η βάση είναι 10

Πχ log(100) = 2 έτσι log10(102) = 2

I Η βάση-e log ονομάζεται ο φυσικός log και γράφεται σανln(x)Πχ ln(e345)= 345 καθώς loge(e345) = 345

Ε Ι Κοντογιώργης copy 31

Ιδιότητες Λογαρίθμωνlogb(xy) = logb(x) + logb(y)

Απόδειξη´Εστω m= logbx και n= logby

Γράψτε σε μορφή εκθέτη x= bm και y= bn

Πολλαπλασιάστε το x και y ούτως ώστεxy= bmbn = bm+n

´Ετσι από τον ορισμό των λογαρίθμων το xy= bm+nσυνεπάγει ότι

logb(xy) =m+n= logbx+ logb(y)

Πχ log2(4times16) = log2(64) = log2(26) = 6

Ακόμα log2(4times16) = log2(4) + log2(16) = 2+4 = 6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 32

logb(xy)

= logb(x)minus logb(y)

Απόδειξη´Εστω m= logbx και n= logby

Γράψτε σε μορφή εκθέτη x= bm και y= bn

∆ιαίρα το x και y ούτως ώστε xy =bmbn = bmminusn

´Ετσι από τον ορισμό των λογαρίθμων το xy = bmminusn

συνεπάγει ότι

logb(xy)

=mminusn= logbxminus logb(y)

Πχ log2(16

4)

= log2(4) = 2

και log2(16

4)

= log2(16)minus log2(4) = 4minus2 = 2Ε Ι Κοντογιώργης copy 33

logb(xn) = n logb(x)

Απόδειξη´Εστω m= logbx και γράψτε σε μορφή εκθέτη x= bm

Αυξάνοντας τις δύο πλευρές στην n δύναμη παίρνουμεxn = (bm)n = bmn

´Ετσι από τον ορισμό των λογαρίθμων τοlogbxn =mn= nm= n(logbx)

Πχ log2(64) = log2(26) = 6 log2(2) = 6

log(64) = 18

Επιπλέον log(64) = log(26) = 6log(2) = 6times030 = 18

Ε Ι Κοντογιώργης copy 34

logb(x) =loga(x)loga(b) agt0 a 6= 1

Απόδειξη´Εστω m= logbx rArr x= bm

Εφαρμόστε loga και στις δύο πλευρές του x= bmγια ναδώσει

logabm = logax rArr m logab= logaxrArr m=logaxlogab

rArr logbx=logaxlogab

Πχ log5(20) =log(20)

log(5)= 186 =

ln(20)

ln(5)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 35

logb(a) =1

loga(b) agt0 a 6= 1

Απόδειξη

logb(x) =loga(x)loga(b) =

logx(x)logx(b)

=1

loga(b)

´Οταν a= x

Πχ log2(64) =1

log64(2)=

116 = 6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 36

Αθροισμα

I Υποθέστε ότι έχουμε μια μεταβλητή x που μπορεί ναπάρει δέκα τιμές Εάν ενδιαφερόμαστε για το άθροισμάτους χωρίς να ξέρουμε την τιμή της κάθε μεταβλητής τότεο καλύτερος τρόπος να το εκφράσουμε είναι

x1 +x2 + middot middot middot+x9 +x10

I Εν συντομία το άθροισμα n στοιχείων x1 +x2 + middot middot middot+xn είναιnsum

i = 1xi

και ερμηνεύεται σαν το άθροισμα όλων των xirsquosξεκινώντας από το x1 (πχ i = 1) μέχρι xn (i = n)

I Εάν δε δοθεί διαφορετικά πάντοτε υποθέτουμε ότι το iαυξάνεται ξεκινώντας από το στάδιο 1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 37

I Το lsquolsquoSigmarsquorsquo Σ είναι γνωστό ως το άθροισμα (summation) ήσύμβολο σίγμα (sigma operator) και ο δείκτης i όνομάζεταιεικονική μεταβλητή

I Παραδείγματα

I

5sum

i = 1xi = x1 +x2 +x3 +x4 +x5

I

5sum

i = 1(y2

i ) = y21 +y22 +y23 +y24 +y25

Σημειώστε ότι η μόνη μεταβλητή που περιγράφεται απευθείαςκάτω από το σύμβολο Σ αυξάνεται κατά 1 κάθε φορά ενώ όλατα άλλα σύμβολα παραμένουν τα ίδια

I

4sum

r = 1(x3r ) = x31 +x32 +x33 +x34

Ε Ι Κοντογιώργης copy 38

I6sum

i = 1i = 1+2+3+4+5+6

I6sum

i = 1i2 = 12 +22 +32 +42 +52 +62

I7sum

i = 3xi = x3 +x4 +x5 +x6 +x7

I4sum

i = 1a = a+a+a+a= 4a

I3sum

i = 1(4+xi) = (4+x1) + (4+x2) + (4+x3)

=3sum

i = 14+

3sum

i = 1xi

Ε Ι Κοντογιώργης copy 39

I3sum

i = 1(2xi) = (2x1) + (2x2) + (2x3) = 2times

3sum

i = 1xi

I Ο συντελεστής i παραλείπεται εάν δε προκαλείαοριστία Για παράδειγμα Σx ή Σixi σημαίνειάθροισμα όλων των x που λαμβάνονται υπόψη

I ∆ήλωσηI

nsumi=1a= na

I sumiaxi = asum

ixi

I sumi

(axi+byi) = asumixi +bsum

iyi

Ε Ι Κοντογιώργης copy 40

I Αθροιστικός Τύπος

Insum

i = 1i = 1+2+ middot middot middot+n=

n(n+1)

2

Πχ6sumi = 1i = 1+2+3+4+5+6 =

6(6+1)

2 = 21

Insum

i = 1i2 = 12 +22 + middot middot middot+n2 =

n(n+1)(2n+1)

6

Πχ6sumi = 1i2 = 12 +22 +32 +42 +52 +62

=6(6+1)(12+1)

6 = 91

Ε Ι Κοντογιώργης copy 41

Insum

i = 1i3 = 13 +23 + middot middot middot+n3 =

n2(n+1)2

4

Πχ6sumi = 1i3 = 13 +23 +33 +43 +53 +63

=62(6+1)2

4 = 441

Ε Ι Κοντογιώργης copy 42

ΠαραδήγματαΑριθμητική Πρόοδος

I Γενικά μπορούμε να εκφράσουμε μια αριθμητική πρόοδο ωςεξής

αριθμητική πρόοδος a a+d a+2d a+3d

όπου ο πρώτος όρος είναι a και η διαφορά d Ο όρος nτης απ δίνεται από τη σχέση b = a+ (nminus1)d

I 3 5 7 9 11 είναι μια αριθμητική πρόοδος Οπρώτος όρος είναι το 3 και η διαφορά είναι 2

I 2 minus1 minus4 minus7 είναι μια αριθμητική πρόοδος όπου οπρώτος όρος είναι 2 και η διαφορά minus3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 43

I Το άθροισμα των όρων μιας αριθμητικής προόδου είναιγνωστό ως αριθμητική σειρά

Sn = a+ (a+d) + (a+2d) + middot middot middot+ (a+ (nminus1)d)

=nsumi=1

(a+ (iminus1)d

)= na+

nsumi=1

(iminus1)d

= na+dnminus1sumi=1

i = na+d(nminus1)n2

=n2(2a+d(nminus1)) =

n2(a+b) b = a+d(nminus1)

I ΑΠ 3 5 7 9 11 13 rArr Sn =62(3+13) = 48

Ε Ι Κοντογιώργης copy 44

∆ιπλό Αθροισμα4sumi=1

isumj=1

j = (1) + (1+2) + (1+2+3) + (1+2+3+4) = 20

nsumi=1

isumj=1

j =nsumi=1

( isumj=1

j)

nsumi=1

(12 i(i+1)

)=

12

nsumi=1

(i2 + i)

12( nsumi=1

i2 +nsumi=1

i)

=12(16n(n+1)(2n+1) +

12n(n+1)

)

=12

16n(n+1)

((2n+1) +3

)=

n6(n+1)(n+2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 45

∆ιπλό Αθροισμα

nsumi=1

msumj=1

(i+ j+2) =nsumi=1

( msumj=1

(i+ j+2))

nsumi=1

( msumj=1

i+msumj=1

j+msumj=1

2)

=nsumi=1

(mi+ 1

2m(m+1) +2m)

m( nsumi=1

i+ 12

nsumi=1

(m+5))

= m(12n(n+1) +

12n(m+5)

)

=mn2(m+n+6

)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 46

Insumr=1

1r(r+1)

=nsumr=1

(Ar +

Br+1

)=

nsumr=1

A(r+1) +Brr(r+1)

I A(r+1) +Br = 1

I Για r = 0 τότε A= 1 και για r =minus1 τότε B=minus1

I

nsumr=1

1r(r+1)

=nsumr=1

(1r minus

1r+1

)

=(

(11 minus

12) + (

12 minus

13) + (

13 minus

14) + middot middot middot+ (

1nminus1 minus

1n ) + (

1n minus

1n+1)

)

= 1minus 1n+1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 47

Insumk=1

1(k+2)(k+3)

=nsumk=1

( A(k+2)

+B

(k+3)

)=

nsumk=1

A(k+3) +B(k+2)

(k+2)(k+3)

I A(k+3) +B(k+2) = 1

I Για k=minus2 τότε A= 1 και για k=minus3 τότε B=minus1

I

nsumk=1

1(k+2)(k+3)

=nsumk=1

( 1(k+2)

minus 1(k+3)

)

=(

(13 minus

14)+(

14 minus

15)+(

15 minus

16)+ +(

1n+1 minus

1n+2)+(

1n+2 minus

1n+3)

)

=13 minus

1n+3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 48

Αθροισμα με Λογάριθμους

nsumi=1

logb(i) = logb(1) + logb(2) + middot middot middot+ logb(n)

= logb(1times2times3timesmiddotmiddot middottimesn)

= logb(n)

I Το n (n παραγοντικό) δίνεται από n = 1times2timesmiddotmiddot middottimesn και0 = 1

I100sumi=1

log2(100) = log2(100) =log(100)

log(2)=

log(99)

log(2)+

2log(2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 49

Γινόμενο των ακολουθιώνIn

prodi=1xi = x1timesx2timesx3timesmiddotmiddot middottimesxn

In

prodi=1i = 1times2times3timesmiddotmiddot middottimesn= n

In

prodi=1z= ztimesztimesmiddotmiddot middottimesz= zn

I

nprodi=1

(1+

1i+1

)=(1+

12)times(1+

13)times(1+

14)times times(1+

1n )times(1+

1n+1)

=32 times

43 times

54 timesmiddotmiddot middottimes

n+1n times n+2

n+1

=n+22

Ε Ι Κοντογιώργης copy 50

Γεωμετρικές ΠροόδοιI Μια γεωμετρική πρόοδος είναι μια σειρά αριθμών όπου

κάθε όρος μετά των πρώτο υπολογίζεται από τονπολλαπλασιασμό του προηγούμενου όρου με ένασταθερό αριθμό που καλείται αναλογία

I Η σειρά1 3 9 27 81 middot middot middot

είναι μια γεωμετρική πρόοδος με πρώτο όρο το 1 καιαναλογία 3

I Η αναλογία μπορεί να είναι κλάσμα καθώς επίσης καιαρνητικός αριθμός Για παράδειγμα η γεωμετρικήπρόοδος με πρώτο όρο το 2 και αναλογία minus13 είναι

2 minus 23 +

29 minus

227 +

281 middot middot middot

Ε Ι Κοντογιώργης copy 51

I Γενικά μπορούμε να γράψουμε μια γεωμετρική πρόοδο ωςακολούθως

γεωμετρική πρόοδος a ar ar2 ar3 ar4 middot middot middot

όπου ο πρώτος όρος είναι a και η αναλογία r

I Σημαντικά θεωρήματα των γεωμετρικών προόδων (γπ)1 Ο n όρος μιας γπ δίνεται από ar(nminus1)

2 Το άθροισμα των πρώτων n όρων μιας γπ είναι

Sn =a(1minus rn)

1minus r =a(rnminus1)

rminus1 και ισχύει μόνο αν r 6= 1

I Το άθροισμα των όρων μιας γεωμετρικής προόδουονομάζεται γεωμετρική σειρά

Ε Ι Κοντογιώργης copy 52

Γεωμετρική σειρά

Sn = a+ar+ar2 +ar3 + middot middot middot+arnminus2 +arnminus1

rSn = ar+ar2 +ar3 + arnminus1 +arn

Snminus rSn = aminusarn

(1minus r)Sn = a(1minus rn)

Sn =a(1minus rn)

(1minus r) =a(rnminus1)

(rminus1)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 53

I Παράδειγμα1 Βρείτε το άθροισμα των πρώτων 10 όρων μιας γεωμετρικής

σειράς4 8 16 32

Ο πρώτος όρος είναι a= 4 και η αναλογία r = 2 καιn= 10 ´Ετσι

S10 =4(1minus210)

1minus2 = 4092

2 Θεωρείστε τη γπ4 minus8 16 minus32 64 minus128 256 minus512

Σε αυτή την περίπτωση ο πρώτος όρος είναι a= 4 ηαναλογία είναι r =minus2 και n= 8´Ετσι

S8 =4(1minus (minus2)8)

1minus (minus2)=minus340

Ε Ι Κοντογιώργης copy 54

Συνεχείς ανατοκισμός

Οι περισσότεροι τραπεζικοί λογαριασμοί και τα δάνειαυιοθετούν ανατοκισμό - εφαρμόζοντας συνεχή ανατοκισμόΘεωρείστε ένα λογαριασμό που προσφέρει τόκο με ετήσιοεπιτόκιο r (πχ 7) Εάν το επιτόκιο είναι συνεχέςσε χρονιαία βάση τότε μετά από 1 χρόνο το χρονιαίοεπιτόκιο προστίθεται στο αρχικό κεφάλαιο για νακαθορίσει ένα μεγαλύτερο κεφάλαιο τον δεύτερο χρόνο

´Ετσι κατά τη διάρκεια του δεύτερου χρόνου ολογαριασμός κερδίζει επιτόκιο πάνω στο επιτόκιοΑυτή είναι η επίδραση του ανατοκισμού που συνεχίζεταιχρόνο με το χρόνο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 55

I Με τον ετήσιο ανατοκισμό το κεφάλαιο πουσυσσωρεύεται στο λογαριασμό πολλαπλασιάζεται με

(1+ r)

´Ετσι το κεφάλαιο A θα αυξηθεί σε

A(1+ r) = A+A middot r

τον επόμενο χρόνο

I Με το πέρας και του δεύτερου χρόνου το κεφάλαιο θααυξηθεί ακόμα (1+ r) σε (1+ r)2

´Ετσι το κεφάλαιο καταλήγει σε

A(1+ r)(1+ r) = A(1+ r)2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 56

I Κατά παρόμοιο τρόπο στο τέλος του τρίτου χρόνου τοποσό θα αυξηθεί κατά (1+ r)3

I Μετά από n χρόνια το ποσό θα αυξηθεί κατά (1+ r)n

I ´Ετσι το κεφάλαιο (επένδυση) A θα αυξηθεί με συνεχήανατοκισμό σε A(1+ r)n μετά από n χρόνια

I Ο τύπος (1+ r)n εκθέτει γεωμετρική αύξηση λόγω τηςn δύναμης

Ε Ι Κοντογιώργης copy 57

ΠαραδείγματαI Εάν το επιτόκιο είναι r = 5 τότε το κεφάλαιοA= $1000 που βρίσκεται στην τράπεζα n= 20 χρόνιαθα αυξηθεί κατά

(1+ r)n = (1+005)20 = 2653 φορές

´Ετσι το ποσό θα καταλήξειA(1+ r)n = $265330

I Βρέστε το χρόνο που χρειάζεται για ένα λογαργιασμό ναδιπλασιάσει το διαθέσιμο κεφάλαιο του όταν r = 7 καιr = 10Ζητούμε να βρούμε το n έτσι ώστε

(1+ r)n = 2Ε Ι Κοντογιώργης copy 58

I Υπολογίζοντας το λογάριθμο του τελευταίου παίρνουμε

log(1+ r)n = log(2)ή n log(1+ r) = log(2)

´Ετσιn=

log2log(1+ r)

I Για r = 7 και r = 10 ο χρόνος n πουχρειάζεται για διπλασιασμό της επένδυσης υπολογίζεταισε 1024 και 727 αντίστοιχα

Ε Ι Κοντογιώργης copy 59

I Αν το επιτόκιο είναι r = 7 τότε πιο θα είναι τοσυνολικό ποσό στο λογαριασμό μετά από 205 και41 χρόνια αντίστοιχα

Μετά τα πρώτα 1025 χρόνια το ποσό A θαδιπλασιαστεί σε 2A Για τα επόμενα 1025 χρόνιατο ποσό θα ξαναδιπλασιαστεί σε 4A ´Ετσι μετά από205 χρόνια το ποσό θα αυξηθεί κατά 4 φορές

Με το πέρας ακόμα 205 χρόνων το ποσό θα αυξηθείακόμα 4 φορές σε 16 ´Ετσι μετά από 41 χρόνιατο κεφάλαιο A γίνεται 16A

Ε Ι Κοντογιώργης copy 60

Ασκήσεις και Παραδείγματα

I Υπολογίστε τη Μελλοντική Αξία (Future Value (FV)) τουκεφαλαίου A= 1500 που κερδίζει ετήσιο επιτόκιοr = 5 για n= 10 έτη

FV =A(1+ r)n = 1500(1+005)10 = 244334

I Πόσα έτη απαιτούνται για να τριπλασιαστεί ένα ποσόπου αφήνετε στην τράπεζα με επιτόκιο r = 5∆ηλαδή βρείτε το n όπου A= 1 r = 5 και FV = 3

FV =A(1+ r)n ή (1+ r)n =FVA

Ε Ι Κοντογιώργης copy 61

Υπολογίζοντας τους λογαρίθμους παίρνουμε

log(1+ r)n = log(FVA)

ή n log(1+ r) = log(FVA)

´Ετσι

n=log(FVA)

log(1+ r) =log(3)

log(105)

= 2252

Ε Ι Κοντογιώργης copy 62

I Βρείτε την παρούσα αξία A έτσι ώστε σε δέκα έτη μεσταθερό επιτόκιο r = 6 να είναι 100KΒρείτε το A όπου FV = 100000 r = 6 και n= 10

FV =A(1+ r)n ή A=FV

(1+ r)n

´Ετσι A=100000

(106)10= 5583948

I Βρείτε την ετησιοποιημένη απόδοση (AER AnnualEquivalent Rate) μιας μηνιαίας κατάθεσης με σταθερόεπιτοκίο 394 Μια τέτοια κατάθεση λαμβάνει το επιτόκιο στη λήξηΣυνεπώς κάθε μήνα ο λογαριασμός λαμβάνει

r = 0039412 = 000328

επιτόκιο που επανεπενδύεται (συνεχής ανατοκισμός)Ε Ι Κοντογιώργης copy 63

Επανεπενδύοντας το επιτόκιο κάθε μήνα στη διάρκειαενός έτους το κεφάλαιο θα αυξηθεί σε

(1+ r)12 = (1+000328)12 = 104012

´Ετσι το ΑΕΡ είναι ισοδύναμο με 004012 = 4012I Υπολογίστε το επιτόκιο ενός σταθερού λογαριασμού

κατάθεσης 7-ημερών που έχει AER επιτόκιο r = 425Θεωρείστε ρ το εβδομαδιαίο επιτόκιο

´Ετσι (1+ρ)52 = (1+00425)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 64

Παίρνοντας τους λογαρίθμους έχουμε52log(1+ρ) = log10425

ή log(1+ρ) =log10425

52

ή 1+ρ= 10( log10425

52)

Αυτό μας δίνει

ρ= 10

( log1042552

)minus1 = 008

´Ετσι το συνεχές επιτόκιο μιας επταήμερης κατάθεσης είναιρtimes52 = 41638

Εναλλακτικά (1+ρ)52 = (1+00425) δίνει

(1+ρ) =52radic10425ή ρ=

52radic10425minus = 008Ε Ι Κοντογιώργης copy 65

I Υπολογίστε την ετήσια απόδοση r έτσι ώστε A= 10000να επιστρέφει FV = 35000 σε n= 20 χρόνια

FV =A(1+ r)n ή (1+ r)n =FVA

´Ετσι

1+ r =nradic

FVA

Επομένως

r =nradic

FVA minus1 =

20radic

3500010000 minus1 = 00646 = 646

Ε Ι Κοντογιώργης copy 66

Εναλλακτικά παίρνοντας τους λογαρίθμους

log(1+ r)n = log(FVA) ή n log(1+ r) = log

(FVA)

´Ετσι

1+ r = 10(1n log

(FVA))

ή r = 10(1n log

(FVA))minus1

= 10( 120 log

(3500010000

))minus1

= 646

Ε Ι Κοντογιώργης copy 67

Γραφική Αναπαράσταση I

I Υποθέστε ότι έχουμε y= 3x+2 Καθώς έχουμε μόνο μιαδύναμη για το x πρέπει να λύσουμε γραμμική εξίσωσηκαι να σχεδιάσουμε μια ευθεία γραμμή Αρχικά θα πρέπεινα σχεδιάσουμε ένα T-chart Αυτό έχει τη μορφή

x y = 3x+2 (xy)

I Επιλέγουμε μια τιμή για το x και λύνουμε ως προς y

x y= 3x+2 (xy)minus2 minus4 (minus2minus4)0 2 (02)2 8 (28)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 68

Γραφική Αναπαράσταση II

-

6

X

Y

bull

bull

bull

I Βλέπουμε μια ευθεία με ανοδική τάση (έχοντας θετικήκλίση m= 3) καιτέμνει τον άξονα y στο σημείο y= 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 69

Γραφική Αναπαράσταση III

I Μια Τετραγωνική εξίσωση περιέχει x2 Για τηναναπαράσταση τετραγωνικών εξισώσεων χρειάζεται ναβρούμε περισσότερα από τρία σημεία στο σχεδιάγραμμα

Για παράδειγμα υποθέστε ότι y= x2minus6x+5 καιδίνεται το πιο κάτω T-chart

x y= x2minus6x+5 (xy)0 5 (05)1 0 (10)3 minus4 (3minus4)5 0 (50)6 5 (65)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 70

Γραφική Αναπαράσταση IV

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

-

6

X

Y

bull

bull

bull

bull

bull

Ε Ι Κοντογιώργης copy 71

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(1x + 2)

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(-3x + 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 72

-15

-10

-5

0

5

10

15

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(3x - 2)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 73

-20

0

20

40

60

80

100

120

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2+x)

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 74

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

1250

1500

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3+x2+x)

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x4)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 75

-25

-2

-15

-1

-05

0

05

1

15

2

25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(log(x))

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(x))

Ε Ι Κοντογιώργης copy 76

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(-x))

-5000

0

5000

10000

15000

20000

25000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(exp(x)+x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 77

Ανισότητες I

I Οι ανισότητες αποτελούνται από δύο ή τρεις αλγεβρικέςεκφράσεις που είναι συνδεδεμένες με τα σύμβολαανισότητας Τα σύμβολα αυτά είναι

lt μικρότερο τουgt μεγαλύτερο τουle μικρότερο ή ίσο τουge μεγαλύτερο ή ίσο του

I Παραδείγματα xgty yge x2 και ylt5x+1

I Το πρώτο βήμα για την αναπαράσταση ανισότητας τηςμορφής ygtx είναι να παραστήσουμε γραφικά τηνισότητα y= x

Ε Ι Κοντογιώργης copy 78

Ανισότητες II

I ygtx

Κάνετε δοκιμή με ένα σημείο να δείτε κατά πόσοικανοποιεί την ανισότητα Εάν ναι τότε σκιάστε τηνπεριοχή αυτή του σχεδιαγράμματος διαφορετικά σκιάστετην άλλη πλευρά

Ε Ι Κοντογιώργης copy 79

Ανισότητες III

I yltx

Ε Ι Κοντογιώργης copy 80

Ανισότητες IV

I yle 5x+1 και ygt5x+1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 81

Ανισότητες V

I yge x2 και yle x2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 82

Ανισότητες VI

I ygtx3 και yle x3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 83

Συστήματα Γραμμικών ΕξισώσεωνΠεριεχόμενα

1 Ε

2 Γ Α

ΑναφορέςΚεφάλαια 4 και 5FS Budnick Applied Mathematics for Business Economicsand the Social Sciences 4th edition McGraw-Hill 1993

Ε Ι Κοντογιώργης copy 84

Συστήματα Εξισώσεων

I ´Ενα σύστημα εξισώσεων συνδυάζει περισσότερες από μίαεξισώσεις

I ´Ενα σύστημα m εξισώσεων όπου κάθε εξίσωσηαποτελείται από n μεταβλητές ονομάζεται mtimesnσύστημα ή λέμε ότι έχει διαστάσεις mtimesn

I ΠαράδειγμαΠαρακάτω έχουμε ένα σύστημα 2times2

5X+10Y= 203X+4Y= 10

Οι μεταβλητές σε αυτή την περίπτωση είναι X και YΕ Ι Κοντογιώργης copy 85

Συστήματα Επίλυσης

I Το Σύστημα επίλυσης είναι μια σειρά τιμών μεταβλητώνπου ικανοποιούν το σύστημα ταυτόχρονα

I Σε μια σημειογραφική παράσταση το προηγούμενοπαράδειγμα μπορεί να γραφτεί ως εξής

S = (XY) | 5X+10Y = 20 και 3X+4Y = 10

I Το σύστημα επίλυσης μπορεί να είναι1 μηδενικό2 πεπερασμένο ή3 άπειρο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 86

2times2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική Ανάλυση

I Σε ένα δισδιάστατο γράφημα ένα σύστημα εξισώσεων2times2 αναπαρίστανται με ευθείες γραμμές Υπόρχουν τρίαενδεχόμενα

1 Οι ευθείες τέμνονται Το σημείο τομής αντιπροσωπεύει τηλύση του συστήματος εξισώσεων Αυτό το σημείοαλληλεπίδρασης είναι μια δέσμη τιμών X και Y που ικανοποιείκαι τις δύο εξισώσειςΕάν υπάρχει μόνο μια δέσμη τιμών για τις μεταβλητές που ναικανοποιεί το σύστημα εξισώσεων το σύστημα λέμε ότι έχειΜ Λ

2 Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες μεταξύ τους ∆εν έχουν κοινόσημείο Συνεπώς οι ευθείες δεν τέμνονται ποτέ Το σύστημαλέμε ότι ∆ ΛΑυτό υπονοεί ότι δεν υπάρχουν τιμές για τις μεταβλητές πουνα ικανοποιούν και τις δύο εξισώσεις Σε αυτή τηνπερίπτωση οι εξισώσεις στο σύστημα είναι Α

3 Και οι δύο εξισώσεις αναπαρίστανται ως μια κοινή ευθεία καιθεωρούνται ισοδύναμες εξισώσεις ´Ετσι το σύστημα έχειΑ Λ Αυτό συμβαίνει γιατί υπάρχει άπειροςαριθμός κοινών σημείων στις δύο γραμμές

Ε Ι Κοντογιώργης copy 87

I Π Θεωρείστε ένα σύστημα 2times22X+4Y= 203X+ Y= 10

I

X

Y

(24)

3X +Y = 10

2X +4Y = 20

0 2 4 6 8 10 12

2

4

6

8

10

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 88

I Το σημείο τομής δίνεται από το X= 2 και Y= 4Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές του X και Y στις δύοεξισώσεις δίνουν 20 = 20 και 10 = 10 αντίστοιχα

I Αυτό υποδειλώνει ότι X= 2 και Y= 4 είναι η σωστή λύση

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times23Xminus2Y= 6

minus15X+10Y=minus30

I

X

Y

(20)

(0minus3)

3X minus2Y = 6

minus15X +10Y =minus30

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 89

I Οι δύο εξισώσεις απλοποιούνται σε Xminus 23 Y= 2

Οι δύο εξισώσεις είναι ισοδύναμες και δίνουν έναπεπερασμένο αριθμό λύσεων έτσι ώστε

X= 0 Y =minus3X= 2 Y = 0X= 4 Y = 3

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times26Xminus12Y= 24

minus32X+3Y= 9

Οι εξισώσεις απλοποιούνται σεXminus2Y= 4Xminus2Y=minus6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 90

I

X

Y

(40)

(0minus2)

(minus60)

(03)

X minus2Y =minus6

X minus2Y = 4

0-0

I Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες και συνεπώς το σύστημαδεν έχει λύση ´Ετσι το σύστημα εξισώσεων είναιασύμπτωτο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 91

Περίληψη 2times2 Συστήματα Εξισώσεων∆ίνεται ένα Σύστημα Γραμμικών Εξισώσεων 2times2

Y=m1X+ c1Y=m2X+ c2

1 Υπάρχει μια στο σύστημα εάνm1 6= m2

2 ∆εν υπάρχει στο σύστημα εάνm1 = m2 και c1 6= c2

3 Υπάρχει εάνm1 = m2 και c1 = c2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 92

∆ιαδικασίες Απαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής χρησιμοποιεί πολλαπλασιασμόκαι πρόσθεση έτσι ώστε

1 Να απαλοιφεί μια από τις δύο μεταβλητές

2 Η εξίσωση που εξάγεται είναι συνάρτηση των υπόλοιπωνμεταβλητών

3 Αντικαθιστώντας την τιμή στην μεταβλητή σε μια από τιςαρχικές εξισώσεις βρίσκουμε την τιμή για τηναπολοιφθήσα μεταβλητή

Ε Ι Κοντογιώργης copy 93

ΠαραδείγματαI Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

2X +4Y = 20 (1)3X + Y = 10 (2)

Πολλαπλασιάζοντας τη δεύτερη εξίσωση με minus4 παίρνουμε

minus12X minus4Y =minus40 (3)

Προσθέτοντας την εξίσωση (1) στο (3)

2X + 4Y = 20minus12X minus 4Y = minus40minus10X = minus20

ή

X = 2 (4)Ε Ι Κοντογιώργης copy 94

Αντικαθιστώντας X= 2 στην εξίσωση (1) δίνεται2 middot2+4Y = 20 ή Y=4

´Ετσι η μοναδική λύση του συστήματος δίνεται από τοX= 2 και Y= 4 Μπορεί να επιβεβαιωθεί ότι αυτή είναι ησωστή λύση αντικαθιστώντας X= 2 και Y= 4 στηνεξίσωση (1) και (2)

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times23X minus2Y = 6 (5)

minus15X +10Y =minus30 (6)

Για την απαλοιφή της μεταβλητής X η εξίσωση (5)πολλαπλασιάζεται με 5 και το αποτέλεσμα προστίθεταιστην εξίσωση (6)

15X minus 10Y = 30minus15X + 10Y = minus30

0 = 0 Ε Ι Κοντογιώργης copy 95

Οι τελευταίες πράξεις υπονοούν ότι οι εξίσωσεις (5) και(6) είναι ισοδύναμες και έτσι υπάρχει άπειρος αριθμόςλύσεωνΓια να προσδιορίσουμε τις λύσεις του συστήματος μια απότις αρχικές εξισώσεις λύνεται ως προς μια μεταβλητή Ανγια παράδειγμα η εξίσωση (5) λύνεται ως προς Y δίνει

Y =32Xminus3

Σαν αποτέλεσμα γενικεύοντας τις λύσεις του συστήματοςέχουμε

X τυχαίο και Y =32Xminus3

Πχ για X= 4 υπονοείται ότι Y=32 middot4minus3 = 3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 96

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

6X minus12Y = 24 (7)

minus32X +3Y = 9 (8)

Πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση (8) με 4 καιπροσθέτοντας το αποτέλεσμα στην εξίσωση (7)παίρνουμε

6X minus 12Y = 24minus6X + 12Y = 36

0 = 60

Η πιο πάνω αντιλογία υπονοεί ότι δεν υπάρχει λύση τουσυστήματος εξισώσεων

Ε Ι Κοντογιώργης copy 97

3times2 Συστήματα Εξισώσεων I

1 Μ Λ

X

Y

(32)

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minusY = 1

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 98

3times2 Συστήματα Εξισώσεων II

2 Α Λ

X

Y Εξις (1)Εξις (2)Εξις (3)

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 99

3times2 Συστήματα Εξισώσεων III3 Κ

(α) ´Οταν και οι τρεις εξισώσεις είναι παράλληλες

X

Y

2X minusY =minus8

2X minusY = 2

2X minusY = 12

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 100

3times2 Συστήματα Εξισώσεων IV(β) ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ τωνεξισώσεων

X

Y

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minus2Y =minus4

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 101

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική ΑνάλυσηΣε ένα γράφημα 2 διαστάσεων ένα σύστημα mtimes2(mgt2) εξισώσεων παριστάνεται με m ευθείες ´Οπωςσυμβαίνει στα συστήματα 2times2 υπάρχουν τρίαενδεχόμενα

1 ´Ολες οι ευθείες τέμνονται στο ίδιο σημείο και έτσιυπάρχει

2 ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ των mεξισώσεων Αυτό σημαίνει ότι όλες οι ευθείες είναιπαράλληλες Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα Λ

3 Οι m εξισώσεις είναι ισοδύναμες πχ παρασταίνονται σανμια ευθεία Σε αυτή την περίπτωση υπάρχει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 102

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων ∆ιαδικασίαΑπαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής για την επίλυση ενός συστήματοςmtimes2 μπορεί να περιγραφεί ως ακολούθωςΕπιλέξτε και λύστε σύστημα με δύο εξισώσεις

1 Εάν δεν υπάρχει λύση τότε ολόκληρο το σύστημα δεν έχειλύση

2 Εάν υπάρχει μοναδική λύση που ικανοποιεί τις υπόλοιπεςmminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα έχει μία μοναδική λύση

3 Εάν η λύση είναι μοναδική αλλά δεν ικανοποιεί τιςυπόλοιπες mminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα δεν έχει λύση

4 Εάν οι 2 λύσεις είναι ισοδύναμες απάλοιψτε τη μίααπό τις δύο εξισώσεις και ξεκινήστε από την αρχήλαμβάνοντας υπόψη ένα σύστημα (mminus1)times2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 103

ΠαράδείγμαI Θεωρείστε ένα σύστημα 5times2

XminusY= 1X+2Y=minus8

3Xminus2Y= 02Xminus5Y= 11minus4X+3Y=minus1

I Η λύση των πρώτων δύο εξισώσεων δίνετε απόY =minus3 και X =minus2

I Αντικαθιστώντας τη λύση στις υπόλοιπες τρεις εξισώσειςπαίρνετε αντίστοιχα

0 = 0 11 = 11 και minus1 =minus1I Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση

X=minus2 και Y=minus3Ε Ι Κοντογιώργης copy 104

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian

Η μέθοδος απολοιφής Gaussian μετατρέπει το αρχικόσύστημα εξισώσεων σε διαγώνια μορφή επαναλαμβάνονταςστις εξισώσεις τις ακόλουθες τρεις διαδικασίες

1 Πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης μεμια θετική σταθερά

2 Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού θα προστεθεί σεάλλη εξίσωση

3 Η σειρά των εξισώσεων μπορεί να αλλάξει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 105

ΠαράδείγμαΠ Θεωρείστε το σύστημα 2times2

2X minus 3Y = 7 (Εξ 1)X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με 12 για να πάρετε

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με minus1 καιπροσθέστε την στην (Εξ 2)

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

52Y =

152 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 106

Στάδιο 3 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 25

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

Y = 3 (Εξ 2)

Στάδιο 4 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 32 και

προσθέστε την στην (Εξ 1)

X = 1 (Εξ 1)Y = 3 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 107

Π Θεωρείστε το σύστημα 2times2

5X + 20Y = 254X minus 7Y =minus26

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να εκφραστεί ως

R1 5 20 25R2 4 minus7 minus26

Η κάθετη γραμμή χρησιμοποιείται για διαχωρισμό τηςαριστερής από τη δεξιά πλευρά των εξισώσεων Το Riυπονοεί τη γραμμή (Row) i

Ε Ι Κοντογιώργης copy 108

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάζουμε τη R1 με 15 και το θέτουμε

R1larr 15R1

R1 1 4 5R2 4 minus7 minus26

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάζουμε την R1 με minus4 και τηνπροσθέτουμε στην R2 Εν συντομίαR2larrminus4R1+R2

R1 1 4 5R2 0 minus23 minus46

Στάδιο 3 R2larrminus 123R2

R1 1 4 5R2 0 1 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 109

Στάδιο 4 R1larrminus4R2+R1

R1 1 0 minus3R2 0 1 2

Το αρχικό σύστημα εξισώσεων μετατρέπεται σε διαγώνιαμορφή όπως πιο κάτω

X =minus3Y = 2

το οποίο δίνει τη λύση του συστήματος

Ε Ι Κοντογιώργης copy 110

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 I

Το σύστημα εξισώσεων 3times3 μετετρέπεται σε διαγώνιαμορφή Η μετατροπή γίνεται στήλη με στήλη από τααριστερά προς τα δεξιά

Π Θεωρήστε το σύστημα 3times3

X1 + X2 + X3 = 2X1 minus 3X2 + 2X3 = 7

4X1 minus 2X2 minus X3 = 9

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να γραφτεί ως

Ε Ι Κοντογιώργης copy 111

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 II

1 1 1 21 minus3 2 74 minus2 minus1 9

Ε Ι Κοντογιώργης copy 112

ΠαραδείγματαI Μετατρέψτε την έκφραση 63 = 216 στην ισοδύναμη

λογαριθμική μορφή

Για τη μετατροπή η βάση μένει η ίδια αλλά το 3 και το216 αλλάζουν θέσεις Αυτό μας δίνει

log6(216) = 3

I Μετατρέψτε τον log4(1024) = 5 στην αντίστοιχηλογαριθμική έκφραση

Για τη μετατροπή η βάση (που είναι 4) παραμένει η ίδιααλλά το 1024 και το 5 αλλάζουν θέσεις ´Ετσι δίνεται

45 = 1024

Ε Ι Κοντογιώργης copy 26

I Υπολογίστε τον log2(8)

Εάν y= log2(8) τότε υπονοείται ότι 2y = 8 Αυτόσημαίνει ότι y είναι η δύναμη του 2 που θα έχει σαναποτέλεσμα 8 Η δύναμη που δίνει το αποτέλεσμα είναι 3αφού 23 = 8 ´Ετσι

log2(8) = 3

I Κατά παρόμοιο τρόπο log5(25) = 2 αφού 52 = 25

I Υπολογίστε τον y= log64(4)

Σημειώστε ότι 64y = 4 και 43 = 64

´Ετσι (43)y

= 4 ή 43y = 41

Η πιο πάνω έκφραση εξυπονοεί ότι 3y= 1 και έτσιy= 13

Ε Ι Κοντογιώργης copy 27

I Υπολογίστε y= log6(6)

Αυτό ισοδυναμεί με το 6y = 6 και συνεπώς y= 1

I Υπολογίστε το y= log3(1)

Το πιο πάνω μπορεί να γραφτεί ως 3y = 1

´Ομως 1 = 30 έτσι 3y = 30 και y= 0

I Υπολογίστε το y= log4(minus16)

Μπορεί να γραφτεί σαν 4y =minus16

´Ομως δεν υπάρχει τιμή (πχ δύναμη) y που ναικανοποιεί τη σχέση ´Ετσι δεν υπάχρει λύση

Ε Ι Κοντογιώργης copy 28

I Υπολογίστε το y= log2(0)

Αυτό σημαίνει 2y = 0 όμως δε υπάρχει τιμή που ναικανοποιεί τη σχέση ´Ετσι δεν υπάχρει λύση

I Υπολογίστε το y= 2log2(9)

Αυτό σημαίνει ότι log2(y) = log2(9) και έτσι y= 9

Ε Ι Κοντογιώργης copy 29

I Γενικά1 logb(b) = 1 για οποιαδήποτε βάση b

2 logb(1) = 0 για οποιαδήποτε βάση b

3 logb(a) δεν ορίζεται για αρνητικά a

4 logb(0) δεν ορίζεται για οποιαδήποτε βάση b

5 logb(bn) = n για οποιαδήποτε βάση b

Ε Ι Κοντογιώργης copy 30

I Οι λογάριθμοι μπορούν να πάρουν οποιοδήποτε αριθμόσαν βάση αλλά δύο βάσεις είναι οι πιο χρήσιμες οlog-βάση-10 και ο log-βάση-e

I Η βάση-10 log συχνά ονομάζεται ο κοινός log καιγράφεται ως log(x) Εδώ δεν αναγράφεται βάση καιμπορούμε να υποθέσουμε ότι η βάση είναι 10

Πχ log(100) = 2 έτσι log10(102) = 2

I Η βάση-e log ονομάζεται ο φυσικός log και γράφεται σανln(x)Πχ ln(e345)= 345 καθώς loge(e345) = 345

Ε Ι Κοντογιώργης copy 31

Ιδιότητες Λογαρίθμωνlogb(xy) = logb(x) + logb(y)

Απόδειξη´Εστω m= logbx και n= logby

Γράψτε σε μορφή εκθέτη x= bm και y= bn

Πολλαπλασιάστε το x και y ούτως ώστεxy= bmbn = bm+n

´Ετσι από τον ορισμό των λογαρίθμων το xy= bm+nσυνεπάγει ότι

logb(xy) =m+n= logbx+ logb(y)

Πχ log2(4times16) = log2(64) = log2(26) = 6

Ακόμα log2(4times16) = log2(4) + log2(16) = 2+4 = 6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 32

logb(xy)

= logb(x)minus logb(y)

Απόδειξη´Εστω m= logbx και n= logby

Γράψτε σε μορφή εκθέτη x= bm και y= bn

∆ιαίρα το x και y ούτως ώστε xy =bmbn = bmminusn

´Ετσι από τον ορισμό των λογαρίθμων το xy = bmminusn

συνεπάγει ότι

logb(xy)

=mminusn= logbxminus logb(y)

Πχ log2(16

4)

= log2(4) = 2

και log2(16

4)

= log2(16)minus log2(4) = 4minus2 = 2Ε Ι Κοντογιώργης copy 33

logb(xn) = n logb(x)

Απόδειξη´Εστω m= logbx και γράψτε σε μορφή εκθέτη x= bm

Αυξάνοντας τις δύο πλευρές στην n δύναμη παίρνουμεxn = (bm)n = bmn

´Ετσι από τον ορισμό των λογαρίθμων τοlogbxn =mn= nm= n(logbx)

Πχ log2(64) = log2(26) = 6 log2(2) = 6

log(64) = 18

Επιπλέον log(64) = log(26) = 6log(2) = 6times030 = 18

Ε Ι Κοντογιώργης copy 34

logb(x) =loga(x)loga(b) agt0 a 6= 1

Απόδειξη´Εστω m= logbx rArr x= bm

Εφαρμόστε loga και στις δύο πλευρές του x= bmγια ναδώσει

logabm = logax rArr m logab= logaxrArr m=logaxlogab

rArr logbx=logaxlogab

Πχ log5(20) =log(20)

log(5)= 186 =

ln(20)

ln(5)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 35

logb(a) =1

loga(b) agt0 a 6= 1

Απόδειξη

logb(x) =loga(x)loga(b) =

logx(x)logx(b)

=1

loga(b)

´Οταν a= x

Πχ log2(64) =1

log64(2)=

116 = 6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 36

Αθροισμα

I Υποθέστε ότι έχουμε μια μεταβλητή x που μπορεί ναπάρει δέκα τιμές Εάν ενδιαφερόμαστε για το άθροισμάτους χωρίς να ξέρουμε την τιμή της κάθε μεταβλητής τότεο καλύτερος τρόπος να το εκφράσουμε είναι

x1 +x2 + middot middot middot+x9 +x10

I Εν συντομία το άθροισμα n στοιχείων x1 +x2 + middot middot middot+xn είναιnsum

i = 1xi

και ερμηνεύεται σαν το άθροισμα όλων των xirsquosξεκινώντας από το x1 (πχ i = 1) μέχρι xn (i = n)

I Εάν δε δοθεί διαφορετικά πάντοτε υποθέτουμε ότι το iαυξάνεται ξεκινώντας από το στάδιο 1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 37

I Το lsquolsquoSigmarsquorsquo Σ είναι γνωστό ως το άθροισμα (summation) ήσύμβολο σίγμα (sigma operator) και ο δείκτης i όνομάζεταιεικονική μεταβλητή

I Παραδείγματα

I

5sum

i = 1xi = x1 +x2 +x3 +x4 +x5

I

5sum

i = 1(y2

i ) = y21 +y22 +y23 +y24 +y25

Σημειώστε ότι η μόνη μεταβλητή που περιγράφεται απευθείαςκάτω από το σύμβολο Σ αυξάνεται κατά 1 κάθε φορά ενώ όλατα άλλα σύμβολα παραμένουν τα ίδια

I

4sum

r = 1(x3r ) = x31 +x32 +x33 +x34

Ε Ι Κοντογιώργης copy 38

I6sum

i = 1i = 1+2+3+4+5+6

I6sum

i = 1i2 = 12 +22 +32 +42 +52 +62

I7sum

i = 3xi = x3 +x4 +x5 +x6 +x7

I4sum

i = 1a = a+a+a+a= 4a

I3sum

i = 1(4+xi) = (4+x1) + (4+x2) + (4+x3)

=3sum

i = 14+

3sum

i = 1xi

Ε Ι Κοντογιώργης copy 39

I3sum

i = 1(2xi) = (2x1) + (2x2) + (2x3) = 2times

3sum

i = 1xi

I Ο συντελεστής i παραλείπεται εάν δε προκαλείαοριστία Για παράδειγμα Σx ή Σixi σημαίνειάθροισμα όλων των x που λαμβάνονται υπόψη

I ∆ήλωσηI

nsumi=1a= na

I sumiaxi = asum

ixi

I sumi

(axi+byi) = asumixi +bsum

iyi

Ε Ι Κοντογιώργης copy 40

I Αθροιστικός Τύπος

Insum

i = 1i = 1+2+ middot middot middot+n=

n(n+1)

2

Πχ6sumi = 1i = 1+2+3+4+5+6 =

6(6+1)

2 = 21

Insum

i = 1i2 = 12 +22 + middot middot middot+n2 =

n(n+1)(2n+1)

6

Πχ6sumi = 1i2 = 12 +22 +32 +42 +52 +62

=6(6+1)(12+1)

6 = 91

Ε Ι Κοντογιώργης copy 41

Insum

i = 1i3 = 13 +23 + middot middot middot+n3 =

n2(n+1)2

4

Πχ6sumi = 1i3 = 13 +23 +33 +43 +53 +63

=62(6+1)2

4 = 441

Ε Ι Κοντογιώργης copy 42

ΠαραδήγματαΑριθμητική Πρόοδος

I Γενικά μπορούμε να εκφράσουμε μια αριθμητική πρόοδο ωςεξής

αριθμητική πρόοδος a a+d a+2d a+3d

όπου ο πρώτος όρος είναι a και η διαφορά d Ο όρος nτης απ δίνεται από τη σχέση b = a+ (nminus1)d

I 3 5 7 9 11 είναι μια αριθμητική πρόοδος Οπρώτος όρος είναι το 3 και η διαφορά είναι 2

I 2 minus1 minus4 minus7 είναι μια αριθμητική πρόοδος όπου οπρώτος όρος είναι 2 και η διαφορά minus3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 43

I Το άθροισμα των όρων μιας αριθμητικής προόδου είναιγνωστό ως αριθμητική σειρά

Sn = a+ (a+d) + (a+2d) + middot middot middot+ (a+ (nminus1)d)

=nsumi=1

(a+ (iminus1)d

)= na+

nsumi=1

(iminus1)d

= na+dnminus1sumi=1

i = na+d(nminus1)n2

=n2(2a+d(nminus1)) =

n2(a+b) b = a+d(nminus1)

I ΑΠ 3 5 7 9 11 13 rArr Sn =62(3+13) = 48

Ε Ι Κοντογιώργης copy 44

∆ιπλό Αθροισμα4sumi=1

isumj=1

j = (1) + (1+2) + (1+2+3) + (1+2+3+4) = 20

nsumi=1

isumj=1

j =nsumi=1

( isumj=1

j)

nsumi=1

(12 i(i+1)

)=

12

nsumi=1

(i2 + i)

12( nsumi=1

i2 +nsumi=1

i)

=12(16n(n+1)(2n+1) +

12n(n+1)

)

=12

16n(n+1)

((2n+1) +3

)=

n6(n+1)(n+2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 45

∆ιπλό Αθροισμα

nsumi=1

msumj=1

(i+ j+2) =nsumi=1

( msumj=1

(i+ j+2))

nsumi=1

( msumj=1

i+msumj=1

j+msumj=1

2)

=nsumi=1

(mi+ 1

2m(m+1) +2m)

m( nsumi=1

i+ 12

nsumi=1

(m+5))

= m(12n(n+1) +

12n(m+5)

)

=mn2(m+n+6

)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 46

Insumr=1

1r(r+1)

=nsumr=1

(Ar +

Br+1

)=

nsumr=1

A(r+1) +Brr(r+1)

I A(r+1) +Br = 1

I Για r = 0 τότε A= 1 και για r =minus1 τότε B=minus1

I

nsumr=1

1r(r+1)

=nsumr=1

(1r minus

1r+1

)

=(

(11 minus

12) + (

12 minus

13) + (

13 minus

14) + middot middot middot+ (

1nminus1 minus

1n ) + (

1n minus

1n+1)

)

= 1minus 1n+1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 47

Insumk=1

1(k+2)(k+3)

=nsumk=1

( A(k+2)

+B

(k+3)

)=

nsumk=1

A(k+3) +B(k+2)

(k+2)(k+3)

I A(k+3) +B(k+2) = 1

I Για k=minus2 τότε A= 1 και για k=minus3 τότε B=minus1

I

nsumk=1

1(k+2)(k+3)

=nsumk=1

( 1(k+2)

minus 1(k+3)

)

=(

(13 minus

14)+(

14 minus

15)+(

15 minus

16)+ +(

1n+1 minus

1n+2)+(

1n+2 minus

1n+3)

)

=13 minus

1n+3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 48

Αθροισμα με Λογάριθμους

nsumi=1

logb(i) = logb(1) + logb(2) + middot middot middot+ logb(n)

= logb(1times2times3timesmiddotmiddot middottimesn)

= logb(n)

I Το n (n παραγοντικό) δίνεται από n = 1times2timesmiddotmiddot middottimesn και0 = 1

I100sumi=1

log2(100) = log2(100) =log(100)

log(2)=

log(99)

log(2)+

2log(2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 49

Γινόμενο των ακολουθιώνIn

prodi=1xi = x1timesx2timesx3timesmiddotmiddot middottimesxn

In

prodi=1i = 1times2times3timesmiddotmiddot middottimesn= n

In

prodi=1z= ztimesztimesmiddotmiddot middottimesz= zn

I

nprodi=1

(1+

1i+1

)=(1+

12)times(1+

13)times(1+

14)times times(1+

1n )times(1+

1n+1)

=32 times

43 times

54 timesmiddotmiddot middottimes

n+1n times n+2

n+1

=n+22

Ε Ι Κοντογιώργης copy 50

Γεωμετρικές ΠροόδοιI Μια γεωμετρική πρόοδος είναι μια σειρά αριθμών όπου

κάθε όρος μετά των πρώτο υπολογίζεται από τονπολλαπλασιασμό του προηγούμενου όρου με ένασταθερό αριθμό που καλείται αναλογία

I Η σειρά1 3 9 27 81 middot middot middot

είναι μια γεωμετρική πρόοδος με πρώτο όρο το 1 καιαναλογία 3

I Η αναλογία μπορεί να είναι κλάσμα καθώς επίσης καιαρνητικός αριθμός Για παράδειγμα η γεωμετρικήπρόοδος με πρώτο όρο το 2 και αναλογία minus13 είναι

2 minus 23 +

29 minus

227 +

281 middot middot middot

Ε Ι Κοντογιώργης copy 51

I Γενικά μπορούμε να γράψουμε μια γεωμετρική πρόοδο ωςακολούθως

γεωμετρική πρόοδος a ar ar2 ar3 ar4 middot middot middot

όπου ο πρώτος όρος είναι a και η αναλογία r

I Σημαντικά θεωρήματα των γεωμετρικών προόδων (γπ)1 Ο n όρος μιας γπ δίνεται από ar(nminus1)

2 Το άθροισμα των πρώτων n όρων μιας γπ είναι

Sn =a(1minus rn)

1minus r =a(rnminus1)

rminus1 και ισχύει μόνο αν r 6= 1

I Το άθροισμα των όρων μιας γεωμετρικής προόδουονομάζεται γεωμετρική σειρά

Ε Ι Κοντογιώργης copy 52

Γεωμετρική σειρά

Sn = a+ar+ar2 +ar3 + middot middot middot+arnminus2 +arnminus1

rSn = ar+ar2 +ar3 + arnminus1 +arn

Snminus rSn = aminusarn

(1minus r)Sn = a(1minus rn)

Sn =a(1minus rn)

(1minus r) =a(rnminus1)

(rminus1)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 53

I Παράδειγμα1 Βρείτε το άθροισμα των πρώτων 10 όρων μιας γεωμετρικής

σειράς4 8 16 32

Ο πρώτος όρος είναι a= 4 και η αναλογία r = 2 καιn= 10 ´Ετσι

S10 =4(1minus210)

1minus2 = 4092

2 Θεωρείστε τη γπ4 minus8 16 minus32 64 minus128 256 minus512

Σε αυτή την περίπτωση ο πρώτος όρος είναι a= 4 ηαναλογία είναι r =minus2 και n= 8´Ετσι

S8 =4(1minus (minus2)8)

1minus (minus2)=minus340

Ε Ι Κοντογιώργης copy 54

Συνεχείς ανατοκισμός

Οι περισσότεροι τραπεζικοί λογαριασμοί και τα δάνειαυιοθετούν ανατοκισμό - εφαρμόζοντας συνεχή ανατοκισμόΘεωρείστε ένα λογαριασμό που προσφέρει τόκο με ετήσιοεπιτόκιο r (πχ 7) Εάν το επιτόκιο είναι συνεχέςσε χρονιαία βάση τότε μετά από 1 χρόνο το χρονιαίοεπιτόκιο προστίθεται στο αρχικό κεφάλαιο για νακαθορίσει ένα μεγαλύτερο κεφάλαιο τον δεύτερο χρόνο

´Ετσι κατά τη διάρκεια του δεύτερου χρόνου ολογαριασμός κερδίζει επιτόκιο πάνω στο επιτόκιοΑυτή είναι η επίδραση του ανατοκισμού που συνεχίζεταιχρόνο με το χρόνο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 55

I Με τον ετήσιο ανατοκισμό το κεφάλαιο πουσυσσωρεύεται στο λογαριασμό πολλαπλασιάζεται με

(1+ r)

´Ετσι το κεφάλαιο A θα αυξηθεί σε

A(1+ r) = A+A middot r

τον επόμενο χρόνο

I Με το πέρας και του δεύτερου χρόνου το κεφάλαιο θααυξηθεί ακόμα (1+ r) σε (1+ r)2

´Ετσι το κεφάλαιο καταλήγει σε

A(1+ r)(1+ r) = A(1+ r)2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 56

I Κατά παρόμοιο τρόπο στο τέλος του τρίτου χρόνου τοποσό θα αυξηθεί κατά (1+ r)3

I Μετά από n χρόνια το ποσό θα αυξηθεί κατά (1+ r)n

I ´Ετσι το κεφάλαιο (επένδυση) A θα αυξηθεί με συνεχήανατοκισμό σε A(1+ r)n μετά από n χρόνια

I Ο τύπος (1+ r)n εκθέτει γεωμετρική αύξηση λόγω τηςn δύναμης

Ε Ι Κοντογιώργης copy 57

ΠαραδείγματαI Εάν το επιτόκιο είναι r = 5 τότε το κεφάλαιοA= $1000 που βρίσκεται στην τράπεζα n= 20 χρόνιαθα αυξηθεί κατά

(1+ r)n = (1+005)20 = 2653 φορές

´Ετσι το ποσό θα καταλήξειA(1+ r)n = $265330

I Βρέστε το χρόνο που χρειάζεται για ένα λογαργιασμό ναδιπλασιάσει το διαθέσιμο κεφάλαιο του όταν r = 7 καιr = 10Ζητούμε να βρούμε το n έτσι ώστε

(1+ r)n = 2Ε Ι Κοντογιώργης copy 58

I Υπολογίζοντας το λογάριθμο του τελευταίου παίρνουμε

log(1+ r)n = log(2)ή n log(1+ r) = log(2)

´Ετσιn=

log2log(1+ r)

I Για r = 7 και r = 10 ο χρόνος n πουχρειάζεται για διπλασιασμό της επένδυσης υπολογίζεταισε 1024 και 727 αντίστοιχα

Ε Ι Κοντογιώργης copy 59

I Αν το επιτόκιο είναι r = 7 τότε πιο θα είναι τοσυνολικό ποσό στο λογαριασμό μετά από 205 και41 χρόνια αντίστοιχα

Μετά τα πρώτα 1025 χρόνια το ποσό A θαδιπλασιαστεί σε 2A Για τα επόμενα 1025 χρόνιατο ποσό θα ξαναδιπλασιαστεί σε 4A ´Ετσι μετά από205 χρόνια το ποσό θα αυξηθεί κατά 4 φορές

Με το πέρας ακόμα 205 χρόνων το ποσό θα αυξηθείακόμα 4 φορές σε 16 ´Ετσι μετά από 41 χρόνιατο κεφάλαιο A γίνεται 16A

Ε Ι Κοντογιώργης copy 60

Ασκήσεις και Παραδείγματα

I Υπολογίστε τη Μελλοντική Αξία (Future Value (FV)) τουκεφαλαίου A= 1500 που κερδίζει ετήσιο επιτόκιοr = 5 για n= 10 έτη

FV =A(1+ r)n = 1500(1+005)10 = 244334

I Πόσα έτη απαιτούνται για να τριπλασιαστεί ένα ποσόπου αφήνετε στην τράπεζα με επιτόκιο r = 5∆ηλαδή βρείτε το n όπου A= 1 r = 5 και FV = 3

FV =A(1+ r)n ή (1+ r)n =FVA

Ε Ι Κοντογιώργης copy 61

Υπολογίζοντας τους λογαρίθμους παίρνουμε

log(1+ r)n = log(FVA)

ή n log(1+ r) = log(FVA)

´Ετσι

n=log(FVA)

log(1+ r) =log(3)

log(105)

= 2252

Ε Ι Κοντογιώργης copy 62

I Βρείτε την παρούσα αξία A έτσι ώστε σε δέκα έτη μεσταθερό επιτόκιο r = 6 να είναι 100KΒρείτε το A όπου FV = 100000 r = 6 και n= 10

FV =A(1+ r)n ή A=FV

(1+ r)n

´Ετσι A=100000

(106)10= 5583948

I Βρείτε την ετησιοποιημένη απόδοση (AER AnnualEquivalent Rate) μιας μηνιαίας κατάθεσης με σταθερόεπιτοκίο 394 Μια τέτοια κατάθεση λαμβάνει το επιτόκιο στη λήξηΣυνεπώς κάθε μήνα ο λογαριασμός λαμβάνει

r = 0039412 = 000328

επιτόκιο που επανεπενδύεται (συνεχής ανατοκισμός)Ε Ι Κοντογιώργης copy 63

Επανεπενδύοντας το επιτόκιο κάθε μήνα στη διάρκειαενός έτους το κεφάλαιο θα αυξηθεί σε

(1+ r)12 = (1+000328)12 = 104012

´Ετσι το ΑΕΡ είναι ισοδύναμο με 004012 = 4012I Υπολογίστε το επιτόκιο ενός σταθερού λογαριασμού

κατάθεσης 7-ημερών που έχει AER επιτόκιο r = 425Θεωρείστε ρ το εβδομαδιαίο επιτόκιο

´Ετσι (1+ρ)52 = (1+00425)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 64

Παίρνοντας τους λογαρίθμους έχουμε52log(1+ρ) = log10425

ή log(1+ρ) =log10425

52

ή 1+ρ= 10( log10425

52)

Αυτό μας δίνει

ρ= 10

( log1042552

)minus1 = 008

´Ετσι το συνεχές επιτόκιο μιας επταήμερης κατάθεσης είναιρtimes52 = 41638

Εναλλακτικά (1+ρ)52 = (1+00425) δίνει

(1+ρ) =52radic10425ή ρ=

52radic10425minus = 008Ε Ι Κοντογιώργης copy 65

I Υπολογίστε την ετήσια απόδοση r έτσι ώστε A= 10000να επιστρέφει FV = 35000 σε n= 20 χρόνια

FV =A(1+ r)n ή (1+ r)n =FVA

´Ετσι

1+ r =nradic

FVA

Επομένως

r =nradic

FVA minus1 =

20radic

3500010000 minus1 = 00646 = 646

Ε Ι Κοντογιώργης copy 66

Εναλλακτικά παίρνοντας τους λογαρίθμους

log(1+ r)n = log(FVA) ή n log(1+ r) = log

(FVA)

´Ετσι

1+ r = 10(1n log

(FVA))

ή r = 10(1n log

(FVA))minus1

= 10( 120 log

(3500010000

))minus1

= 646

Ε Ι Κοντογιώργης copy 67

Γραφική Αναπαράσταση I

I Υποθέστε ότι έχουμε y= 3x+2 Καθώς έχουμε μόνο μιαδύναμη για το x πρέπει να λύσουμε γραμμική εξίσωσηκαι να σχεδιάσουμε μια ευθεία γραμμή Αρχικά θα πρέπεινα σχεδιάσουμε ένα T-chart Αυτό έχει τη μορφή

x y = 3x+2 (xy)

I Επιλέγουμε μια τιμή για το x και λύνουμε ως προς y

x y= 3x+2 (xy)minus2 minus4 (minus2minus4)0 2 (02)2 8 (28)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 68

Γραφική Αναπαράσταση II

-

6

X

Y

bull

bull

bull

I Βλέπουμε μια ευθεία με ανοδική τάση (έχοντας θετικήκλίση m= 3) καιτέμνει τον άξονα y στο σημείο y= 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 69

Γραφική Αναπαράσταση III

I Μια Τετραγωνική εξίσωση περιέχει x2 Για τηναναπαράσταση τετραγωνικών εξισώσεων χρειάζεται ναβρούμε περισσότερα από τρία σημεία στο σχεδιάγραμμα

Για παράδειγμα υποθέστε ότι y= x2minus6x+5 καιδίνεται το πιο κάτω T-chart

x y= x2minus6x+5 (xy)0 5 (05)1 0 (10)3 minus4 (3minus4)5 0 (50)6 5 (65)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 70

Γραφική Αναπαράσταση IV

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

-

6

X

Y

bull

bull

bull

bull

bull

Ε Ι Κοντογιώργης copy 71

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(1x + 2)

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(-3x + 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 72

-15

-10

-5

0

5

10

15

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(3x - 2)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 73

-20

0

20

40

60

80

100

120

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2+x)

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 74

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

1250

1500

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3+x2+x)

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x4)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 75

-25

-2

-15

-1

-05

0

05

1

15

2

25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(log(x))

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(x))

Ε Ι Κοντογιώργης copy 76

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(-x))

-5000

0

5000

10000

15000

20000

25000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(exp(x)+x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 77

Ανισότητες I

I Οι ανισότητες αποτελούνται από δύο ή τρεις αλγεβρικέςεκφράσεις που είναι συνδεδεμένες με τα σύμβολαανισότητας Τα σύμβολα αυτά είναι

lt μικρότερο τουgt μεγαλύτερο τουle μικρότερο ή ίσο τουge μεγαλύτερο ή ίσο του

I Παραδείγματα xgty yge x2 και ylt5x+1

I Το πρώτο βήμα για την αναπαράσταση ανισότητας τηςμορφής ygtx είναι να παραστήσουμε γραφικά τηνισότητα y= x

Ε Ι Κοντογιώργης copy 78

Ανισότητες II

I ygtx

Κάνετε δοκιμή με ένα σημείο να δείτε κατά πόσοικανοποιεί την ανισότητα Εάν ναι τότε σκιάστε τηνπεριοχή αυτή του σχεδιαγράμματος διαφορετικά σκιάστετην άλλη πλευρά

Ε Ι Κοντογιώργης copy 79

Ανισότητες III

I yltx

Ε Ι Κοντογιώργης copy 80

Ανισότητες IV

I yle 5x+1 και ygt5x+1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 81

Ανισότητες V

I yge x2 και yle x2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 82

Ανισότητες VI

I ygtx3 και yle x3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 83

Συστήματα Γραμμικών ΕξισώσεωνΠεριεχόμενα

1 Ε

2 Γ Α

ΑναφορέςΚεφάλαια 4 και 5FS Budnick Applied Mathematics for Business Economicsand the Social Sciences 4th edition McGraw-Hill 1993

Ε Ι Κοντογιώργης copy 84

Συστήματα Εξισώσεων

I ´Ενα σύστημα εξισώσεων συνδυάζει περισσότερες από μίαεξισώσεις

I ´Ενα σύστημα m εξισώσεων όπου κάθε εξίσωσηαποτελείται από n μεταβλητές ονομάζεται mtimesnσύστημα ή λέμε ότι έχει διαστάσεις mtimesn

I ΠαράδειγμαΠαρακάτω έχουμε ένα σύστημα 2times2

5X+10Y= 203X+4Y= 10

Οι μεταβλητές σε αυτή την περίπτωση είναι X και YΕ Ι Κοντογιώργης copy 85

Συστήματα Επίλυσης

I Το Σύστημα επίλυσης είναι μια σειρά τιμών μεταβλητώνπου ικανοποιούν το σύστημα ταυτόχρονα

I Σε μια σημειογραφική παράσταση το προηγούμενοπαράδειγμα μπορεί να γραφτεί ως εξής

S = (XY) | 5X+10Y = 20 και 3X+4Y = 10

I Το σύστημα επίλυσης μπορεί να είναι1 μηδενικό2 πεπερασμένο ή3 άπειρο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 86

2times2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική Ανάλυση

I Σε ένα δισδιάστατο γράφημα ένα σύστημα εξισώσεων2times2 αναπαρίστανται με ευθείες γραμμές Υπόρχουν τρίαενδεχόμενα

1 Οι ευθείες τέμνονται Το σημείο τομής αντιπροσωπεύει τηλύση του συστήματος εξισώσεων Αυτό το σημείοαλληλεπίδρασης είναι μια δέσμη τιμών X και Y που ικανοποιείκαι τις δύο εξισώσειςΕάν υπάρχει μόνο μια δέσμη τιμών για τις μεταβλητές που ναικανοποιεί το σύστημα εξισώσεων το σύστημα λέμε ότι έχειΜ Λ

2 Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες μεταξύ τους ∆εν έχουν κοινόσημείο Συνεπώς οι ευθείες δεν τέμνονται ποτέ Το σύστημαλέμε ότι ∆ ΛΑυτό υπονοεί ότι δεν υπάρχουν τιμές για τις μεταβλητές πουνα ικανοποιούν και τις δύο εξισώσεις Σε αυτή τηνπερίπτωση οι εξισώσεις στο σύστημα είναι Α

3 Και οι δύο εξισώσεις αναπαρίστανται ως μια κοινή ευθεία καιθεωρούνται ισοδύναμες εξισώσεις ´Ετσι το σύστημα έχειΑ Λ Αυτό συμβαίνει γιατί υπάρχει άπειροςαριθμός κοινών σημείων στις δύο γραμμές

Ε Ι Κοντογιώργης copy 87

I Π Θεωρείστε ένα σύστημα 2times22X+4Y= 203X+ Y= 10

I

X

Y

(24)

3X +Y = 10

2X +4Y = 20

0 2 4 6 8 10 12

2

4

6

8

10

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 88

I Το σημείο τομής δίνεται από το X= 2 και Y= 4Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές του X και Y στις δύοεξισώσεις δίνουν 20 = 20 και 10 = 10 αντίστοιχα

I Αυτό υποδειλώνει ότι X= 2 και Y= 4 είναι η σωστή λύση

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times23Xminus2Y= 6

minus15X+10Y=minus30

I

X

Y

(20)

(0minus3)

3X minus2Y = 6

minus15X +10Y =minus30

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 89

I Οι δύο εξισώσεις απλοποιούνται σε Xminus 23 Y= 2

Οι δύο εξισώσεις είναι ισοδύναμες και δίνουν έναπεπερασμένο αριθμό λύσεων έτσι ώστε

X= 0 Y =minus3X= 2 Y = 0X= 4 Y = 3

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times26Xminus12Y= 24

minus32X+3Y= 9

Οι εξισώσεις απλοποιούνται σεXminus2Y= 4Xminus2Y=minus6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 90

I

X

Y

(40)

(0minus2)

(minus60)

(03)

X minus2Y =minus6

X minus2Y = 4

0-0

I Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες και συνεπώς το σύστημαδεν έχει λύση ´Ετσι το σύστημα εξισώσεων είναιασύμπτωτο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 91

Περίληψη 2times2 Συστήματα Εξισώσεων∆ίνεται ένα Σύστημα Γραμμικών Εξισώσεων 2times2

Y=m1X+ c1Y=m2X+ c2

1 Υπάρχει μια στο σύστημα εάνm1 6= m2

2 ∆εν υπάρχει στο σύστημα εάνm1 = m2 και c1 6= c2

3 Υπάρχει εάνm1 = m2 και c1 = c2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 92

∆ιαδικασίες Απαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής χρησιμοποιεί πολλαπλασιασμόκαι πρόσθεση έτσι ώστε

1 Να απαλοιφεί μια από τις δύο μεταβλητές

2 Η εξίσωση που εξάγεται είναι συνάρτηση των υπόλοιπωνμεταβλητών

3 Αντικαθιστώντας την τιμή στην μεταβλητή σε μια από τιςαρχικές εξισώσεις βρίσκουμε την τιμή για τηναπολοιφθήσα μεταβλητή

Ε Ι Κοντογιώργης copy 93

ΠαραδείγματαI Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

2X +4Y = 20 (1)3X + Y = 10 (2)

Πολλαπλασιάζοντας τη δεύτερη εξίσωση με minus4 παίρνουμε

minus12X minus4Y =minus40 (3)

Προσθέτοντας την εξίσωση (1) στο (3)

2X + 4Y = 20minus12X minus 4Y = minus40minus10X = minus20

ή

X = 2 (4)Ε Ι Κοντογιώργης copy 94

Αντικαθιστώντας X= 2 στην εξίσωση (1) δίνεται2 middot2+4Y = 20 ή Y=4

´Ετσι η μοναδική λύση του συστήματος δίνεται από τοX= 2 και Y= 4 Μπορεί να επιβεβαιωθεί ότι αυτή είναι ησωστή λύση αντικαθιστώντας X= 2 και Y= 4 στηνεξίσωση (1) και (2)

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times23X minus2Y = 6 (5)

minus15X +10Y =minus30 (6)

Για την απαλοιφή της μεταβλητής X η εξίσωση (5)πολλαπλασιάζεται με 5 και το αποτέλεσμα προστίθεταιστην εξίσωση (6)

15X minus 10Y = 30minus15X + 10Y = minus30

0 = 0 Ε Ι Κοντογιώργης copy 95

Οι τελευταίες πράξεις υπονοούν ότι οι εξίσωσεις (5) και(6) είναι ισοδύναμες και έτσι υπάρχει άπειρος αριθμόςλύσεωνΓια να προσδιορίσουμε τις λύσεις του συστήματος μια απότις αρχικές εξισώσεις λύνεται ως προς μια μεταβλητή Ανγια παράδειγμα η εξίσωση (5) λύνεται ως προς Y δίνει

Y =32Xminus3

Σαν αποτέλεσμα γενικεύοντας τις λύσεις του συστήματοςέχουμε

X τυχαίο και Y =32Xminus3

Πχ για X= 4 υπονοείται ότι Y=32 middot4minus3 = 3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 96

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

6X minus12Y = 24 (7)

minus32X +3Y = 9 (8)

Πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση (8) με 4 καιπροσθέτοντας το αποτέλεσμα στην εξίσωση (7)παίρνουμε

6X minus 12Y = 24minus6X + 12Y = 36

0 = 60

Η πιο πάνω αντιλογία υπονοεί ότι δεν υπάρχει λύση τουσυστήματος εξισώσεων

Ε Ι Κοντογιώργης copy 97

3times2 Συστήματα Εξισώσεων I

1 Μ Λ

X

Y

(32)

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minusY = 1

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 98

3times2 Συστήματα Εξισώσεων II

2 Α Λ

X

Y Εξις (1)Εξις (2)Εξις (3)

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 99

3times2 Συστήματα Εξισώσεων III3 Κ

(α) ´Οταν και οι τρεις εξισώσεις είναι παράλληλες

X

Y

2X minusY =minus8

2X minusY = 2

2X minusY = 12

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 100

3times2 Συστήματα Εξισώσεων IV(β) ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ τωνεξισώσεων

X

Y

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minus2Y =minus4

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 101

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική ΑνάλυσηΣε ένα γράφημα 2 διαστάσεων ένα σύστημα mtimes2(mgt2) εξισώσεων παριστάνεται με m ευθείες ´Οπωςσυμβαίνει στα συστήματα 2times2 υπάρχουν τρίαενδεχόμενα

1 ´Ολες οι ευθείες τέμνονται στο ίδιο σημείο και έτσιυπάρχει

2 ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ των mεξισώσεων Αυτό σημαίνει ότι όλες οι ευθείες είναιπαράλληλες Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα Λ

3 Οι m εξισώσεις είναι ισοδύναμες πχ παρασταίνονται σανμια ευθεία Σε αυτή την περίπτωση υπάρχει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 102

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων ∆ιαδικασίαΑπαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής για την επίλυση ενός συστήματοςmtimes2 μπορεί να περιγραφεί ως ακολούθωςΕπιλέξτε και λύστε σύστημα με δύο εξισώσεις

1 Εάν δεν υπάρχει λύση τότε ολόκληρο το σύστημα δεν έχειλύση

2 Εάν υπάρχει μοναδική λύση που ικανοποιεί τις υπόλοιπεςmminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα έχει μία μοναδική λύση

3 Εάν η λύση είναι μοναδική αλλά δεν ικανοποιεί τιςυπόλοιπες mminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα δεν έχει λύση

4 Εάν οι 2 λύσεις είναι ισοδύναμες απάλοιψτε τη μίααπό τις δύο εξισώσεις και ξεκινήστε από την αρχήλαμβάνοντας υπόψη ένα σύστημα (mminus1)times2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 103

ΠαράδείγμαI Θεωρείστε ένα σύστημα 5times2

XminusY= 1X+2Y=minus8

3Xminus2Y= 02Xminus5Y= 11minus4X+3Y=minus1

I Η λύση των πρώτων δύο εξισώσεων δίνετε απόY =minus3 και X =minus2

I Αντικαθιστώντας τη λύση στις υπόλοιπες τρεις εξισώσειςπαίρνετε αντίστοιχα

0 = 0 11 = 11 και minus1 =minus1I Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση

X=minus2 και Y=minus3Ε Ι Κοντογιώργης copy 104

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian

Η μέθοδος απολοιφής Gaussian μετατρέπει το αρχικόσύστημα εξισώσεων σε διαγώνια μορφή επαναλαμβάνονταςστις εξισώσεις τις ακόλουθες τρεις διαδικασίες

1 Πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης μεμια θετική σταθερά

2 Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού θα προστεθεί σεάλλη εξίσωση

3 Η σειρά των εξισώσεων μπορεί να αλλάξει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 105

ΠαράδείγμαΠ Θεωρείστε το σύστημα 2times2

2X minus 3Y = 7 (Εξ 1)X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με 12 για να πάρετε

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με minus1 καιπροσθέστε την στην (Εξ 2)

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

52Y =

152 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 106

Στάδιο 3 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 25

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

Y = 3 (Εξ 2)

Στάδιο 4 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 32 και

προσθέστε την στην (Εξ 1)

X = 1 (Εξ 1)Y = 3 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 107

Π Θεωρείστε το σύστημα 2times2

5X + 20Y = 254X minus 7Y =minus26

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να εκφραστεί ως

R1 5 20 25R2 4 minus7 minus26

Η κάθετη γραμμή χρησιμοποιείται για διαχωρισμό τηςαριστερής από τη δεξιά πλευρά των εξισώσεων Το Riυπονοεί τη γραμμή (Row) i

Ε Ι Κοντογιώργης copy 108

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάζουμε τη R1 με 15 και το θέτουμε

R1larr 15R1

R1 1 4 5R2 4 minus7 minus26

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάζουμε την R1 με minus4 και τηνπροσθέτουμε στην R2 Εν συντομίαR2larrminus4R1+R2

R1 1 4 5R2 0 minus23 minus46

Στάδιο 3 R2larrminus 123R2

R1 1 4 5R2 0 1 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 109

Στάδιο 4 R1larrminus4R2+R1

R1 1 0 minus3R2 0 1 2

Το αρχικό σύστημα εξισώσεων μετατρέπεται σε διαγώνιαμορφή όπως πιο κάτω

X =minus3Y = 2

το οποίο δίνει τη λύση του συστήματος

Ε Ι Κοντογιώργης copy 110

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 I

Το σύστημα εξισώσεων 3times3 μετετρέπεται σε διαγώνιαμορφή Η μετατροπή γίνεται στήλη με στήλη από τααριστερά προς τα δεξιά

Π Θεωρήστε το σύστημα 3times3

X1 + X2 + X3 = 2X1 minus 3X2 + 2X3 = 7

4X1 minus 2X2 minus X3 = 9

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να γραφτεί ως

Ε Ι Κοντογιώργης copy 111

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 II

1 1 1 21 minus3 2 74 minus2 minus1 9

Ε Ι Κοντογιώργης copy 112

I Υπολογίστε τον log2(8)

Εάν y= log2(8) τότε υπονοείται ότι 2y = 8 Αυτόσημαίνει ότι y είναι η δύναμη του 2 που θα έχει σαναποτέλεσμα 8 Η δύναμη που δίνει το αποτέλεσμα είναι 3αφού 23 = 8 ´Ετσι

log2(8) = 3

I Κατά παρόμοιο τρόπο log5(25) = 2 αφού 52 = 25

I Υπολογίστε τον y= log64(4)

Σημειώστε ότι 64y = 4 και 43 = 64

´Ετσι (43)y

= 4 ή 43y = 41

Η πιο πάνω έκφραση εξυπονοεί ότι 3y= 1 και έτσιy= 13

Ε Ι Κοντογιώργης copy 27

I Υπολογίστε y= log6(6)

Αυτό ισοδυναμεί με το 6y = 6 και συνεπώς y= 1

I Υπολογίστε το y= log3(1)

Το πιο πάνω μπορεί να γραφτεί ως 3y = 1

´Ομως 1 = 30 έτσι 3y = 30 και y= 0

I Υπολογίστε το y= log4(minus16)

Μπορεί να γραφτεί σαν 4y =minus16

´Ομως δεν υπάρχει τιμή (πχ δύναμη) y που ναικανοποιεί τη σχέση ´Ετσι δεν υπάχρει λύση

Ε Ι Κοντογιώργης copy 28

I Υπολογίστε το y= log2(0)

Αυτό σημαίνει 2y = 0 όμως δε υπάρχει τιμή που ναικανοποιεί τη σχέση ´Ετσι δεν υπάχρει λύση

I Υπολογίστε το y= 2log2(9)

Αυτό σημαίνει ότι log2(y) = log2(9) και έτσι y= 9

Ε Ι Κοντογιώργης copy 29

I Γενικά1 logb(b) = 1 για οποιαδήποτε βάση b

2 logb(1) = 0 για οποιαδήποτε βάση b

3 logb(a) δεν ορίζεται για αρνητικά a

4 logb(0) δεν ορίζεται για οποιαδήποτε βάση b

5 logb(bn) = n για οποιαδήποτε βάση b

Ε Ι Κοντογιώργης copy 30

I Οι λογάριθμοι μπορούν να πάρουν οποιοδήποτε αριθμόσαν βάση αλλά δύο βάσεις είναι οι πιο χρήσιμες οlog-βάση-10 και ο log-βάση-e

I Η βάση-10 log συχνά ονομάζεται ο κοινός log καιγράφεται ως log(x) Εδώ δεν αναγράφεται βάση καιμπορούμε να υποθέσουμε ότι η βάση είναι 10

Πχ log(100) = 2 έτσι log10(102) = 2

I Η βάση-e log ονομάζεται ο φυσικός log και γράφεται σανln(x)Πχ ln(e345)= 345 καθώς loge(e345) = 345

Ε Ι Κοντογιώργης copy 31

Ιδιότητες Λογαρίθμωνlogb(xy) = logb(x) + logb(y)

Απόδειξη´Εστω m= logbx και n= logby

Γράψτε σε μορφή εκθέτη x= bm και y= bn

Πολλαπλασιάστε το x και y ούτως ώστεxy= bmbn = bm+n

´Ετσι από τον ορισμό των λογαρίθμων το xy= bm+nσυνεπάγει ότι

logb(xy) =m+n= logbx+ logb(y)

Πχ log2(4times16) = log2(64) = log2(26) = 6

Ακόμα log2(4times16) = log2(4) + log2(16) = 2+4 = 6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 32

logb(xy)

= logb(x)minus logb(y)

Απόδειξη´Εστω m= logbx και n= logby

Γράψτε σε μορφή εκθέτη x= bm και y= bn

∆ιαίρα το x και y ούτως ώστε xy =bmbn = bmminusn

´Ετσι από τον ορισμό των λογαρίθμων το xy = bmminusn

συνεπάγει ότι

logb(xy)

=mminusn= logbxminus logb(y)

Πχ log2(16

4)

= log2(4) = 2

και log2(16

4)

= log2(16)minus log2(4) = 4minus2 = 2Ε Ι Κοντογιώργης copy 33

logb(xn) = n logb(x)

Απόδειξη´Εστω m= logbx και γράψτε σε μορφή εκθέτη x= bm

Αυξάνοντας τις δύο πλευρές στην n δύναμη παίρνουμεxn = (bm)n = bmn

´Ετσι από τον ορισμό των λογαρίθμων τοlogbxn =mn= nm= n(logbx)

Πχ log2(64) = log2(26) = 6 log2(2) = 6

log(64) = 18

Επιπλέον log(64) = log(26) = 6log(2) = 6times030 = 18

Ε Ι Κοντογιώργης copy 34

logb(x) =loga(x)loga(b) agt0 a 6= 1

Απόδειξη´Εστω m= logbx rArr x= bm

Εφαρμόστε loga και στις δύο πλευρές του x= bmγια ναδώσει

logabm = logax rArr m logab= logaxrArr m=logaxlogab

rArr logbx=logaxlogab

Πχ log5(20) =log(20)

log(5)= 186 =

ln(20)

ln(5)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 35

logb(a) =1

loga(b) agt0 a 6= 1

Απόδειξη

logb(x) =loga(x)loga(b) =

logx(x)logx(b)

=1

loga(b)

´Οταν a= x

Πχ log2(64) =1

log64(2)=

116 = 6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 36

Αθροισμα

I Υποθέστε ότι έχουμε μια μεταβλητή x που μπορεί ναπάρει δέκα τιμές Εάν ενδιαφερόμαστε για το άθροισμάτους χωρίς να ξέρουμε την τιμή της κάθε μεταβλητής τότεο καλύτερος τρόπος να το εκφράσουμε είναι

x1 +x2 + middot middot middot+x9 +x10

I Εν συντομία το άθροισμα n στοιχείων x1 +x2 + middot middot middot+xn είναιnsum

i = 1xi

και ερμηνεύεται σαν το άθροισμα όλων των xirsquosξεκινώντας από το x1 (πχ i = 1) μέχρι xn (i = n)

I Εάν δε δοθεί διαφορετικά πάντοτε υποθέτουμε ότι το iαυξάνεται ξεκινώντας από το στάδιο 1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 37

I Το lsquolsquoSigmarsquorsquo Σ είναι γνωστό ως το άθροισμα (summation) ήσύμβολο σίγμα (sigma operator) και ο δείκτης i όνομάζεταιεικονική μεταβλητή

I Παραδείγματα

I

5sum

i = 1xi = x1 +x2 +x3 +x4 +x5

I

5sum

i = 1(y2

i ) = y21 +y22 +y23 +y24 +y25

Σημειώστε ότι η μόνη μεταβλητή που περιγράφεται απευθείαςκάτω από το σύμβολο Σ αυξάνεται κατά 1 κάθε φορά ενώ όλατα άλλα σύμβολα παραμένουν τα ίδια

I

4sum

r = 1(x3r ) = x31 +x32 +x33 +x34

Ε Ι Κοντογιώργης copy 38

I6sum

i = 1i = 1+2+3+4+5+6

I6sum

i = 1i2 = 12 +22 +32 +42 +52 +62

I7sum

i = 3xi = x3 +x4 +x5 +x6 +x7

I4sum

i = 1a = a+a+a+a= 4a

I3sum

i = 1(4+xi) = (4+x1) + (4+x2) + (4+x3)

=3sum

i = 14+

3sum

i = 1xi

Ε Ι Κοντογιώργης copy 39

I3sum

i = 1(2xi) = (2x1) + (2x2) + (2x3) = 2times

3sum

i = 1xi

I Ο συντελεστής i παραλείπεται εάν δε προκαλείαοριστία Για παράδειγμα Σx ή Σixi σημαίνειάθροισμα όλων των x που λαμβάνονται υπόψη

I ∆ήλωσηI

nsumi=1a= na

I sumiaxi = asum

ixi

I sumi

(axi+byi) = asumixi +bsum

iyi

Ε Ι Κοντογιώργης copy 40

I Αθροιστικός Τύπος

Insum

i = 1i = 1+2+ middot middot middot+n=

n(n+1)

2

Πχ6sumi = 1i = 1+2+3+4+5+6 =

6(6+1)

2 = 21

Insum

i = 1i2 = 12 +22 + middot middot middot+n2 =

n(n+1)(2n+1)

6

Πχ6sumi = 1i2 = 12 +22 +32 +42 +52 +62

=6(6+1)(12+1)

6 = 91

Ε Ι Κοντογιώργης copy 41

Insum

i = 1i3 = 13 +23 + middot middot middot+n3 =

n2(n+1)2

4

Πχ6sumi = 1i3 = 13 +23 +33 +43 +53 +63

=62(6+1)2

4 = 441

Ε Ι Κοντογιώργης copy 42

ΠαραδήγματαΑριθμητική Πρόοδος

I Γενικά μπορούμε να εκφράσουμε μια αριθμητική πρόοδο ωςεξής

αριθμητική πρόοδος a a+d a+2d a+3d

όπου ο πρώτος όρος είναι a και η διαφορά d Ο όρος nτης απ δίνεται από τη σχέση b = a+ (nminus1)d

I 3 5 7 9 11 είναι μια αριθμητική πρόοδος Οπρώτος όρος είναι το 3 και η διαφορά είναι 2

I 2 minus1 minus4 minus7 είναι μια αριθμητική πρόοδος όπου οπρώτος όρος είναι 2 και η διαφορά minus3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 43

I Το άθροισμα των όρων μιας αριθμητικής προόδου είναιγνωστό ως αριθμητική σειρά

Sn = a+ (a+d) + (a+2d) + middot middot middot+ (a+ (nminus1)d)

=nsumi=1

(a+ (iminus1)d

)= na+

nsumi=1

(iminus1)d

= na+dnminus1sumi=1

i = na+d(nminus1)n2

=n2(2a+d(nminus1)) =

n2(a+b) b = a+d(nminus1)

I ΑΠ 3 5 7 9 11 13 rArr Sn =62(3+13) = 48

Ε Ι Κοντογιώργης copy 44

∆ιπλό Αθροισμα4sumi=1

isumj=1

j = (1) + (1+2) + (1+2+3) + (1+2+3+4) = 20

nsumi=1

isumj=1

j =nsumi=1

( isumj=1

j)

nsumi=1

(12 i(i+1)

)=

12

nsumi=1

(i2 + i)

12( nsumi=1

i2 +nsumi=1

i)

=12(16n(n+1)(2n+1) +

12n(n+1)

)

=12

16n(n+1)

((2n+1) +3

)=

n6(n+1)(n+2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 45

∆ιπλό Αθροισμα

nsumi=1

msumj=1

(i+ j+2) =nsumi=1

( msumj=1

(i+ j+2))

nsumi=1

( msumj=1

i+msumj=1

j+msumj=1

2)

=nsumi=1

(mi+ 1

2m(m+1) +2m)

m( nsumi=1

i+ 12

nsumi=1

(m+5))

= m(12n(n+1) +

12n(m+5)

)

=mn2(m+n+6

)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 46

Insumr=1

1r(r+1)

=nsumr=1

(Ar +

Br+1

)=

nsumr=1

A(r+1) +Brr(r+1)

I A(r+1) +Br = 1

I Για r = 0 τότε A= 1 και για r =minus1 τότε B=minus1

I

nsumr=1

1r(r+1)

=nsumr=1

(1r minus

1r+1

)

=(

(11 minus

12) + (

12 minus

13) + (

13 minus

14) + middot middot middot+ (

1nminus1 minus

1n ) + (

1n minus

1n+1)

)

= 1minus 1n+1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 47

Insumk=1

1(k+2)(k+3)

=nsumk=1

( A(k+2)

+B

(k+3)

)=

nsumk=1

A(k+3) +B(k+2)

(k+2)(k+3)

I A(k+3) +B(k+2) = 1

I Για k=minus2 τότε A= 1 και για k=minus3 τότε B=minus1

I

nsumk=1

1(k+2)(k+3)

=nsumk=1

( 1(k+2)

minus 1(k+3)

)

=(

(13 minus

14)+(

14 minus

15)+(

15 minus

16)+ +(

1n+1 minus

1n+2)+(

1n+2 minus

1n+3)

)

=13 minus

1n+3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 48

Αθροισμα με Λογάριθμους

nsumi=1

logb(i) = logb(1) + logb(2) + middot middot middot+ logb(n)

= logb(1times2times3timesmiddotmiddot middottimesn)

= logb(n)

I Το n (n παραγοντικό) δίνεται από n = 1times2timesmiddotmiddot middottimesn και0 = 1

I100sumi=1

log2(100) = log2(100) =log(100)

log(2)=

log(99)

log(2)+

2log(2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 49

Γινόμενο των ακολουθιώνIn

prodi=1xi = x1timesx2timesx3timesmiddotmiddot middottimesxn

In

prodi=1i = 1times2times3timesmiddotmiddot middottimesn= n

In

prodi=1z= ztimesztimesmiddotmiddot middottimesz= zn

I

nprodi=1

(1+

1i+1

)=(1+

12)times(1+

13)times(1+

14)times times(1+

1n )times(1+

1n+1)

=32 times

43 times

54 timesmiddotmiddot middottimes

n+1n times n+2

n+1

=n+22

Ε Ι Κοντογιώργης copy 50

Γεωμετρικές ΠροόδοιI Μια γεωμετρική πρόοδος είναι μια σειρά αριθμών όπου

κάθε όρος μετά των πρώτο υπολογίζεται από τονπολλαπλασιασμό του προηγούμενου όρου με ένασταθερό αριθμό που καλείται αναλογία

I Η σειρά1 3 9 27 81 middot middot middot

είναι μια γεωμετρική πρόοδος με πρώτο όρο το 1 καιαναλογία 3

I Η αναλογία μπορεί να είναι κλάσμα καθώς επίσης καιαρνητικός αριθμός Για παράδειγμα η γεωμετρικήπρόοδος με πρώτο όρο το 2 και αναλογία minus13 είναι

2 minus 23 +

29 minus

227 +

281 middot middot middot

Ε Ι Κοντογιώργης copy 51

I Γενικά μπορούμε να γράψουμε μια γεωμετρική πρόοδο ωςακολούθως

γεωμετρική πρόοδος a ar ar2 ar3 ar4 middot middot middot

όπου ο πρώτος όρος είναι a και η αναλογία r

I Σημαντικά θεωρήματα των γεωμετρικών προόδων (γπ)1 Ο n όρος μιας γπ δίνεται από ar(nminus1)

2 Το άθροισμα των πρώτων n όρων μιας γπ είναι

Sn =a(1minus rn)

1minus r =a(rnminus1)

rminus1 και ισχύει μόνο αν r 6= 1

I Το άθροισμα των όρων μιας γεωμετρικής προόδουονομάζεται γεωμετρική σειρά

Ε Ι Κοντογιώργης copy 52

Γεωμετρική σειρά

Sn = a+ar+ar2 +ar3 + middot middot middot+arnminus2 +arnminus1

rSn = ar+ar2 +ar3 + arnminus1 +arn

Snminus rSn = aminusarn

(1minus r)Sn = a(1minus rn)

Sn =a(1minus rn)

(1minus r) =a(rnminus1)

(rminus1)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 53

I Παράδειγμα1 Βρείτε το άθροισμα των πρώτων 10 όρων μιας γεωμετρικής

σειράς4 8 16 32

Ο πρώτος όρος είναι a= 4 και η αναλογία r = 2 καιn= 10 ´Ετσι

S10 =4(1minus210)

1minus2 = 4092

2 Θεωρείστε τη γπ4 minus8 16 minus32 64 minus128 256 minus512

Σε αυτή την περίπτωση ο πρώτος όρος είναι a= 4 ηαναλογία είναι r =minus2 και n= 8´Ετσι

S8 =4(1minus (minus2)8)

1minus (minus2)=minus340

Ε Ι Κοντογιώργης copy 54

Συνεχείς ανατοκισμός

Οι περισσότεροι τραπεζικοί λογαριασμοί και τα δάνειαυιοθετούν ανατοκισμό - εφαρμόζοντας συνεχή ανατοκισμόΘεωρείστε ένα λογαριασμό που προσφέρει τόκο με ετήσιοεπιτόκιο r (πχ 7) Εάν το επιτόκιο είναι συνεχέςσε χρονιαία βάση τότε μετά από 1 χρόνο το χρονιαίοεπιτόκιο προστίθεται στο αρχικό κεφάλαιο για νακαθορίσει ένα μεγαλύτερο κεφάλαιο τον δεύτερο χρόνο

´Ετσι κατά τη διάρκεια του δεύτερου χρόνου ολογαριασμός κερδίζει επιτόκιο πάνω στο επιτόκιοΑυτή είναι η επίδραση του ανατοκισμού που συνεχίζεταιχρόνο με το χρόνο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 55

I Με τον ετήσιο ανατοκισμό το κεφάλαιο πουσυσσωρεύεται στο λογαριασμό πολλαπλασιάζεται με

(1+ r)

´Ετσι το κεφάλαιο A θα αυξηθεί σε

A(1+ r) = A+A middot r

τον επόμενο χρόνο

I Με το πέρας και του δεύτερου χρόνου το κεφάλαιο θααυξηθεί ακόμα (1+ r) σε (1+ r)2

´Ετσι το κεφάλαιο καταλήγει σε

A(1+ r)(1+ r) = A(1+ r)2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 56

I Κατά παρόμοιο τρόπο στο τέλος του τρίτου χρόνου τοποσό θα αυξηθεί κατά (1+ r)3

I Μετά από n χρόνια το ποσό θα αυξηθεί κατά (1+ r)n

I ´Ετσι το κεφάλαιο (επένδυση) A θα αυξηθεί με συνεχήανατοκισμό σε A(1+ r)n μετά από n χρόνια

I Ο τύπος (1+ r)n εκθέτει γεωμετρική αύξηση λόγω τηςn δύναμης

Ε Ι Κοντογιώργης copy 57

ΠαραδείγματαI Εάν το επιτόκιο είναι r = 5 τότε το κεφάλαιοA= $1000 που βρίσκεται στην τράπεζα n= 20 χρόνιαθα αυξηθεί κατά

(1+ r)n = (1+005)20 = 2653 φορές

´Ετσι το ποσό θα καταλήξειA(1+ r)n = $265330

I Βρέστε το χρόνο που χρειάζεται για ένα λογαργιασμό ναδιπλασιάσει το διαθέσιμο κεφάλαιο του όταν r = 7 καιr = 10Ζητούμε να βρούμε το n έτσι ώστε

(1+ r)n = 2Ε Ι Κοντογιώργης copy 58

I Υπολογίζοντας το λογάριθμο του τελευταίου παίρνουμε

log(1+ r)n = log(2)ή n log(1+ r) = log(2)

´Ετσιn=

log2log(1+ r)

I Για r = 7 και r = 10 ο χρόνος n πουχρειάζεται για διπλασιασμό της επένδυσης υπολογίζεταισε 1024 και 727 αντίστοιχα

Ε Ι Κοντογιώργης copy 59

I Αν το επιτόκιο είναι r = 7 τότε πιο θα είναι τοσυνολικό ποσό στο λογαριασμό μετά από 205 και41 χρόνια αντίστοιχα

Μετά τα πρώτα 1025 χρόνια το ποσό A θαδιπλασιαστεί σε 2A Για τα επόμενα 1025 χρόνιατο ποσό θα ξαναδιπλασιαστεί σε 4A ´Ετσι μετά από205 χρόνια το ποσό θα αυξηθεί κατά 4 φορές

Με το πέρας ακόμα 205 χρόνων το ποσό θα αυξηθείακόμα 4 φορές σε 16 ´Ετσι μετά από 41 χρόνιατο κεφάλαιο A γίνεται 16A

Ε Ι Κοντογιώργης copy 60

Ασκήσεις και Παραδείγματα

I Υπολογίστε τη Μελλοντική Αξία (Future Value (FV)) τουκεφαλαίου A= 1500 που κερδίζει ετήσιο επιτόκιοr = 5 για n= 10 έτη

FV =A(1+ r)n = 1500(1+005)10 = 244334

I Πόσα έτη απαιτούνται για να τριπλασιαστεί ένα ποσόπου αφήνετε στην τράπεζα με επιτόκιο r = 5∆ηλαδή βρείτε το n όπου A= 1 r = 5 και FV = 3

FV =A(1+ r)n ή (1+ r)n =FVA

Ε Ι Κοντογιώργης copy 61

Υπολογίζοντας τους λογαρίθμους παίρνουμε

log(1+ r)n = log(FVA)

ή n log(1+ r) = log(FVA)

´Ετσι

n=log(FVA)

log(1+ r) =log(3)

log(105)

= 2252

Ε Ι Κοντογιώργης copy 62

I Βρείτε την παρούσα αξία A έτσι ώστε σε δέκα έτη μεσταθερό επιτόκιο r = 6 να είναι 100KΒρείτε το A όπου FV = 100000 r = 6 και n= 10

FV =A(1+ r)n ή A=FV

(1+ r)n

´Ετσι A=100000

(106)10= 5583948

I Βρείτε την ετησιοποιημένη απόδοση (AER AnnualEquivalent Rate) μιας μηνιαίας κατάθεσης με σταθερόεπιτοκίο 394 Μια τέτοια κατάθεση λαμβάνει το επιτόκιο στη λήξηΣυνεπώς κάθε μήνα ο λογαριασμός λαμβάνει

r = 0039412 = 000328

επιτόκιο που επανεπενδύεται (συνεχής ανατοκισμός)Ε Ι Κοντογιώργης copy 63

Επανεπενδύοντας το επιτόκιο κάθε μήνα στη διάρκειαενός έτους το κεφάλαιο θα αυξηθεί σε

(1+ r)12 = (1+000328)12 = 104012

´Ετσι το ΑΕΡ είναι ισοδύναμο με 004012 = 4012I Υπολογίστε το επιτόκιο ενός σταθερού λογαριασμού

κατάθεσης 7-ημερών που έχει AER επιτόκιο r = 425Θεωρείστε ρ το εβδομαδιαίο επιτόκιο

´Ετσι (1+ρ)52 = (1+00425)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 64

Παίρνοντας τους λογαρίθμους έχουμε52log(1+ρ) = log10425

ή log(1+ρ) =log10425

52

ή 1+ρ= 10( log10425

52)

Αυτό μας δίνει

ρ= 10

( log1042552

)minus1 = 008

´Ετσι το συνεχές επιτόκιο μιας επταήμερης κατάθεσης είναιρtimes52 = 41638

Εναλλακτικά (1+ρ)52 = (1+00425) δίνει

(1+ρ) =52radic10425ή ρ=

52radic10425minus = 008Ε Ι Κοντογιώργης copy 65

I Υπολογίστε την ετήσια απόδοση r έτσι ώστε A= 10000να επιστρέφει FV = 35000 σε n= 20 χρόνια

FV =A(1+ r)n ή (1+ r)n =FVA

´Ετσι

1+ r =nradic

FVA

Επομένως

r =nradic

FVA minus1 =

20radic

3500010000 minus1 = 00646 = 646

Ε Ι Κοντογιώργης copy 66

Εναλλακτικά παίρνοντας τους λογαρίθμους

log(1+ r)n = log(FVA) ή n log(1+ r) = log

(FVA)

´Ετσι

1+ r = 10(1n log

(FVA))

ή r = 10(1n log

(FVA))minus1

= 10( 120 log

(3500010000

))minus1

= 646

Ε Ι Κοντογιώργης copy 67

Γραφική Αναπαράσταση I

I Υποθέστε ότι έχουμε y= 3x+2 Καθώς έχουμε μόνο μιαδύναμη για το x πρέπει να λύσουμε γραμμική εξίσωσηκαι να σχεδιάσουμε μια ευθεία γραμμή Αρχικά θα πρέπεινα σχεδιάσουμε ένα T-chart Αυτό έχει τη μορφή

x y = 3x+2 (xy)

I Επιλέγουμε μια τιμή για το x και λύνουμε ως προς y

x y= 3x+2 (xy)minus2 minus4 (minus2minus4)0 2 (02)2 8 (28)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 68

Γραφική Αναπαράσταση II

-

6

X

Y

bull

bull

bull

I Βλέπουμε μια ευθεία με ανοδική τάση (έχοντας θετικήκλίση m= 3) καιτέμνει τον άξονα y στο σημείο y= 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 69

Γραφική Αναπαράσταση III

I Μια Τετραγωνική εξίσωση περιέχει x2 Για τηναναπαράσταση τετραγωνικών εξισώσεων χρειάζεται ναβρούμε περισσότερα από τρία σημεία στο σχεδιάγραμμα

Για παράδειγμα υποθέστε ότι y= x2minus6x+5 καιδίνεται το πιο κάτω T-chart

x y= x2minus6x+5 (xy)0 5 (05)1 0 (10)3 minus4 (3minus4)5 0 (50)6 5 (65)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 70

Γραφική Αναπαράσταση IV

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

-

6

X

Y

bull

bull

bull

bull

bull

Ε Ι Κοντογιώργης copy 71

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(1x + 2)

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(-3x + 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 72

-15

-10

-5

0

5

10

15

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(3x - 2)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 73

-20

0

20

40

60

80

100

120

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2+x)

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 74

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

1250

1500

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3+x2+x)

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x4)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 75

-25

-2

-15

-1

-05

0

05

1

15

2

25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(log(x))

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(x))

Ε Ι Κοντογιώργης copy 76

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(-x))

-5000

0

5000

10000

15000

20000

25000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(exp(x)+x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 77

Ανισότητες I

I Οι ανισότητες αποτελούνται από δύο ή τρεις αλγεβρικέςεκφράσεις που είναι συνδεδεμένες με τα σύμβολαανισότητας Τα σύμβολα αυτά είναι

lt μικρότερο τουgt μεγαλύτερο τουle μικρότερο ή ίσο τουge μεγαλύτερο ή ίσο του

I Παραδείγματα xgty yge x2 και ylt5x+1

I Το πρώτο βήμα για την αναπαράσταση ανισότητας τηςμορφής ygtx είναι να παραστήσουμε γραφικά τηνισότητα y= x

Ε Ι Κοντογιώργης copy 78

Ανισότητες II

I ygtx

Κάνετε δοκιμή με ένα σημείο να δείτε κατά πόσοικανοποιεί την ανισότητα Εάν ναι τότε σκιάστε τηνπεριοχή αυτή του σχεδιαγράμματος διαφορετικά σκιάστετην άλλη πλευρά

Ε Ι Κοντογιώργης copy 79

Ανισότητες III

I yltx

Ε Ι Κοντογιώργης copy 80

Ανισότητες IV

I yle 5x+1 και ygt5x+1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 81

Ανισότητες V

I yge x2 και yle x2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 82

Ανισότητες VI

I ygtx3 και yle x3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 83

Συστήματα Γραμμικών ΕξισώσεωνΠεριεχόμενα

1 Ε

2 Γ Α

ΑναφορέςΚεφάλαια 4 και 5FS Budnick Applied Mathematics for Business Economicsand the Social Sciences 4th edition McGraw-Hill 1993

Ε Ι Κοντογιώργης copy 84

Συστήματα Εξισώσεων

I ´Ενα σύστημα εξισώσεων συνδυάζει περισσότερες από μίαεξισώσεις

I ´Ενα σύστημα m εξισώσεων όπου κάθε εξίσωσηαποτελείται από n μεταβλητές ονομάζεται mtimesnσύστημα ή λέμε ότι έχει διαστάσεις mtimesn

I ΠαράδειγμαΠαρακάτω έχουμε ένα σύστημα 2times2

5X+10Y= 203X+4Y= 10

Οι μεταβλητές σε αυτή την περίπτωση είναι X και YΕ Ι Κοντογιώργης copy 85

Συστήματα Επίλυσης

I Το Σύστημα επίλυσης είναι μια σειρά τιμών μεταβλητώνπου ικανοποιούν το σύστημα ταυτόχρονα

I Σε μια σημειογραφική παράσταση το προηγούμενοπαράδειγμα μπορεί να γραφτεί ως εξής

S = (XY) | 5X+10Y = 20 και 3X+4Y = 10

I Το σύστημα επίλυσης μπορεί να είναι1 μηδενικό2 πεπερασμένο ή3 άπειρο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 86

2times2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική Ανάλυση

I Σε ένα δισδιάστατο γράφημα ένα σύστημα εξισώσεων2times2 αναπαρίστανται με ευθείες γραμμές Υπόρχουν τρίαενδεχόμενα

1 Οι ευθείες τέμνονται Το σημείο τομής αντιπροσωπεύει τηλύση του συστήματος εξισώσεων Αυτό το σημείοαλληλεπίδρασης είναι μια δέσμη τιμών X και Y που ικανοποιείκαι τις δύο εξισώσειςΕάν υπάρχει μόνο μια δέσμη τιμών για τις μεταβλητές που ναικανοποιεί το σύστημα εξισώσεων το σύστημα λέμε ότι έχειΜ Λ

2 Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες μεταξύ τους ∆εν έχουν κοινόσημείο Συνεπώς οι ευθείες δεν τέμνονται ποτέ Το σύστημαλέμε ότι ∆ ΛΑυτό υπονοεί ότι δεν υπάρχουν τιμές για τις μεταβλητές πουνα ικανοποιούν και τις δύο εξισώσεις Σε αυτή τηνπερίπτωση οι εξισώσεις στο σύστημα είναι Α

3 Και οι δύο εξισώσεις αναπαρίστανται ως μια κοινή ευθεία καιθεωρούνται ισοδύναμες εξισώσεις ´Ετσι το σύστημα έχειΑ Λ Αυτό συμβαίνει γιατί υπάρχει άπειροςαριθμός κοινών σημείων στις δύο γραμμές

Ε Ι Κοντογιώργης copy 87

I Π Θεωρείστε ένα σύστημα 2times22X+4Y= 203X+ Y= 10

I

X

Y

(24)

3X +Y = 10

2X +4Y = 20

0 2 4 6 8 10 12

2

4

6

8

10

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 88

I Το σημείο τομής δίνεται από το X= 2 και Y= 4Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές του X και Y στις δύοεξισώσεις δίνουν 20 = 20 και 10 = 10 αντίστοιχα

I Αυτό υποδειλώνει ότι X= 2 και Y= 4 είναι η σωστή λύση

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times23Xminus2Y= 6

minus15X+10Y=minus30

I

X

Y

(20)

(0minus3)

3X minus2Y = 6

minus15X +10Y =minus30

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 89

I Οι δύο εξισώσεις απλοποιούνται σε Xminus 23 Y= 2

Οι δύο εξισώσεις είναι ισοδύναμες και δίνουν έναπεπερασμένο αριθμό λύσεων έτσι ώστε

X= 0 Y =minus3X= 2 Y = 0X= 4 Y = 3

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times26Xminus12Y= 24

minus32X+3Y= 9

Οι εξισώσεις απλοποιούνται σεXminus2Y= 4Xminus2Y=minus6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 90

I

X

Y

(40)

(0minus2)

(minus60)

(03)

X minus2Y =minus6

X minus2Y = 4

0-0

I Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες και συνεπώς το σύστημαδεν έχει λύση ´Ετσι το σύστημα εξισώσεων είναιασύμπτωτο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 91

Περίληψη 2times2 Συστήματα Εξισώσεων∆ίνεται ένα Σύστημα Γραμμικών Εξισώσεων 2times2

Y=m1X+ c1Y=m2X+ c2

1 Υπάρχει μια στο σύστημα εάνm1 6= m2

2 ∆εν υπάρχει στο σύστημα εάνm1 = m2 και c1 6= c2

3 Υπάρχει εάνm1 = m2 και c1 = c2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 92

∆ιαδικασίες Απαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής χρησιμοποιεί πολλαπλασιασμόκαι πρόσθεση έτσι ώστε

1 Να απαλοιφεί μια από τις δύο μεταβλητές

2 Η εξίσωση που εξάγεται είναι συνάρτηση των υπόλοιπωνμεταβλητών

3 Αντικαθιστώντας την τιμή στην μεταβλητή σε μια από τιςαρχικές εξισώσεις βρίσκουμε την τιμή για τηναπολοιφθήσα μεταβλητή

Ε Ι Κοντογιώργης copy 93

ΠαραδείγματαI Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

2X +4Y = 20 (1)3X + Y = 10 (2)

Πολλαπλασιάζοντας τη δεύτερη εξίσωση με minus4 παίρνουμε

minus12X minus4Y =minus40 (3)

Προσθέτοντας την εξίσωση (1) στο (3)

2X + 4Y = 20minus12X minus 4Y = minus40minus10X = minus20

ή

X = 2 (4)Ε Ι Κοντογιώργης copy 94

Αντικαθιστώντας X= 2 στην εξίσωση (1) δίνεται2 middot2+4Y = 20 ή Y=4

´Ετσι η μοναδική λύση του συστήματος δίνεται από τοX= 2 και Y= 4 Μπορεί να επιβεβαιωθεί ότι αυτή είναι ησωστή λύση αντικαθιστώντας X= 2 και Y= 4 στηνεξίσωση (1) και (2)

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times23X minus2Y = 6 (5)

minus15X +10Y =minus30 (6)

Για την απαλοιφή της μεταβλητής X η εξίσωση (5)πολλαπλασιάζεται με 5 και το αποτέλεσμα προστίθεταιστην εξίσωση (6)

15X minus 10Y = 30minus15X + 10Y = minus30

0 = 0 Ε Ι Κοντογιώργης copy 95

Οι τελευταίες πράξεις υπονοούν ότι οι εξίσωσεις (5) και(6) είναι ισοδύναμες και έτσι υπάρχει άπειρος αριθμόςλύσεωνΓια να προσδιορίσουμε τις λύσεις του συστήματος μια απότις αρχικές εξισώσεις λύνεται ως προς μια μεταβλητή Ανγια παράδειγμα η εξίσωση (5) λύνεται ως προς Y δίνει

Y =32Xminus3

Σαν αποτέλεσμα γενικεύοντας τις λύσεις του συστήματοςέχουμε

X τυχαίο και Y =32Xminus3

Πχ για X= 4 υπονοείται ότι Y=32 middot4minus3 = 3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 96

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

6X minus12Y = 24 (7)

minus32X +3Y = 9 (8)

Πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση (8) με 4 καιπροσθέτοντας το αποτέλεσμα στην εξίσωση (7)παίρνουμε

6X minus 12Y = 24minus6X + 12Y = 36

0 = 60

Η πιο πάνω αντιλογία υπονοεί ότι δεν υπάρχει λύση τουσυστήματος εξισώσεων

Ε Ι Κοντογιώργης copy 97

3times2 Συστήματα Εξισώσεων I

1 Μ Λ

X

Y

(32)

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minusY = 1

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 98

3times2 Συστήματα Εξισώσεων II

2 Α Λ

X

Y Εξις (1)Εξις (2)Εξις (3)

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 99

3times2 Συστήματα Εξισώσεων III3 Κ

(α) ´Οταν και οι τρεις εξισώσεις είναι παράλληλες

X

Y

2X minusY =minus8

2X minusY = 2

2X minusY = 12

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 100

3times2 Συστήματα Εξισώσεων IV(β) ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ τωνεξισώσεων

X

Y

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minus2Y =minus4

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 101

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική ΑνάλυσηΣε ένα γράφημα 2 διαστάσεων ένα σύστημα mtimes2(mgt2) εξισώσεων παριστάνεται με m ευθείες ´Οπωςσυμβαίνει στα συστήματα 2times2 υπάρχουν τρίαενδεχόμενα

1 ´Ολες οι ευθείες τέμνονται στο ίδιο σημείο και έτσιυπάρχει

2 ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ των mεξισώσεων Αυτό σημαίνει ότι όλες οι ευθείες είναιπαράλληλες Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα Λ

3 Οι m εξισώσεις είναι ισοδύναμες πχ παρασταίνονται σανμια ευθεία Σε αυτή την περίπτωση υπάρχει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 102

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων ∆ιαδικασίαΑπαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής για την επίλυση ενός συστήματοςmtimes2 μπορεί να περιγραφεί ως ακολούθωςΕπιλέξτε και λύστε σύστημα με δύο εξισώσεις

1 Εάν δεν υπάρχει λύση τότε ολόκληρο το σύστημα δεν έχειλύση

2 Εάν υπάρχει μοναδική λύση που ικανοποιεί τις υπόλοιπεςmminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα έχει μία μοναδική λύση

3 Εάν η λύση είναι μοναδική αλλά δεν ικανοποιεί τιςυπόλοιπες mminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα δεν έχει λύση

4 Εάν οι 2 λύσεις είναι ισοδύναμες απάλοιψτε τη μίααπό τις δύο εξισώσεις και ξεκινήστε από την αρχήλαμβάνοντας υπόψη ένα σύστημα (mminus1)times2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 103

ΠαράδείγμαI Θεωρείστε ένα σύστημα 5times2

XminusY= 1X+2Y=minus8

3Xminus2Y= 02Xminus5Y= 11minus4X+3Y=minus1

I Η λύση των πρώτων δύο εξισώσεων δίνετε απόY =minus3 και X =minus2

I Αντικαθιστώντας τη λύση στις υπόλοιπες τρεις εξισώσειςπαίρνετε αντίστοιχα

0 = 0 11 = 11 και minus1 =minus1I Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση

X=minus2 και Y=minus3Ε Ι Κοντογιώργης copy 104

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian

Η μέθοδος απολοιφής Gaussian μετατρέπει το αρχικόσύστημα εξισώσεων σε διαγώνια μορφή επαναλαμβάνονταςστις εξισώσεις τις ακόλουθες τρεις διαδικασίες

1 Πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης μεμια θετική σταθερά

2 Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού θα προστεθεί σεάλλη εξίσωση

3 Η σειρά των εξισώσεων μπορεί να αλλάξει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 105

ΠαράδείγμαΠ Θεωρείστε το σύστημα 2times2

2X minus 3Y = 7 (Εξ 1)X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με 12 για να πάρετε

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με minus1 καιπροσθέστε την στην (Εξ 2)

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

52Y =

152 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 106

Στάδιο 3 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 25

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

Y = 3 (Εξ 2)

Στάδιο 4 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 32 και

προσθέστε την στην (Εξ 1)

X = 1 (Εξ 1)Y = 3 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 107

Π Θεωρείστε το σύστημα 2times2

5X + 20Y = 254X minus 7Y =minus26

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να εκφραστεί ως

R1 5 20 25R2 4 minus7 minus26

Η κάθετη γραμμή χρησιμοποιείται για διαχωρισμό τηςαριστερής από τη δεξιά πλευρά των εξισώσεων Το Riυπονοεί τη γραμμή (Row) i

Ε Ι Κοντογιώργης copy 108

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάζουμε τη R1 με 15 και το θέτουμε

R1larr 15R1

R1 1 4 5R2 4 minus7 minus26

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάζουμε την R1 με minus4 και τηνπροσθέτουμε στην R2 Εν συντομίαR2larrminus4R1+R2

R1 1 4 5R2 0 minus23 minus46

Στάδιο 3 R2larrminus 123R2

R1 1 4 5R2 0 1 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 109

Στάδιο 4 R1larrminus4R2+R1

R1 1 0 minus3R2 0 1 2

Το αρχικό σύστημα εξισώσεων μετατρέπεται σε διαγώνιαμορφή όπως πιο κάτω

X =minus3Y = 2

το οποίο δίνει τη λύση του συστήματος

Ε Ι Κοντογιώργης copy 110

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 I

Το σύστημα εξισώσεων 3times3 μετετρέπεται σε διαγώνιαμορφή Η μετατροπή γίνεται στήλη με στήλη από τααριστερά προς τα δεξιά

Π Θεωρήστε το σύστημα 3times3

X1 + X2 + X3 = 2X1 minus 3X2 + 2X3 = 7

4X1 minus 2X2 minus X3 = 9

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να γραφτεί ως

Ε Ι Κοντογιώργης copy 111

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 II

1 1 1 21 minus3 2 74 minus2 minus1 9

Ε Ι Κοντογιώργης copy 112

I Υπολογίστε y= log6(6)

Αυτό ισοδυναμεί με το 6y = 6 και συνεπώς y= 1

I Υπολογίστε το y= log3(1)

Το πιο πάνω μπορεί να γραφτεί ως 3y = 1

´Ομως 1 = 30 έτσι 3y = 30 και y= 0

I Υπολογίστε το y= log4(minus16)

Μπορεί να γραφτεί σαν 4y =minus16

´Ομως δεν υπάρχει τιμή (πχ δύναμη) y που ναικανοποιεί τη σχέση ´Ετσι δεν υπάχρει λύση

Ε Ι Κοντογιώργης copy 28

I Υπολογίστε το y= log2(0)

Αυτό σημαίνει 2y = 0 όμως δε υπάρχει τιμή που ναικανοποιεί τη σχέση ´Ετσι δεν υπάχρει λύση

I Υπολογίστε το y= 2log2(9)

Αυτό σημαίνει ότι log2(y) = log2(9) και έτσι y= 9

Ε Ι Κοντογιώργης copy 29

I Γενικά1 logb(b) = 1 για οποιαδήποτε βάση b

2 logb(1) = 0 για οποιαδήποτε βάση b

3 logb(a) δεν ορίζεται για αρνητικά a

4 logb(0) δεν ορίζεται για οποιαδήποτε βάση b

5 logb(bn) = n για οποιαδήποτε βάση b

Ε Ι Κοντογιώργης copy 30

I Οι λογάριθμοι μπορούν να πάρουν οποιοδήποτε αριθμόσαν βάση αλλά δύο βάσεις είναι οι πιο χρήσιμες οlog-βάση-10 και ο log-βάση-e

I Η βάση-10 log συχνά ονομάζεται ο κοινός log καιγράφεται ως log(x) Εδώ δεν αναγράφεται βάση καιμπορούμε να υποθέσουμε ότι η βάση είναι 10

Πχ log(100) = 2 έτσι log10(102) = 2

I Η βάση-e log ονομάζεται ο φυσικός log και γράφεται σανln(x)Πχ ln(e345)= 345 καθώς loge(e345) = 345

Ε Ι Κοντογιώργης copy 31

Ιδιότητες Λογαρίθμωνlogb(xy) = logb(x) + logb(y)

Απόδειξη´Εστω m= logbx και n= logby

Γράψτε σε μορφή εκθέτη x= bm και y= bn

Πολλαπλασιάστε το x και y ούτως ώστεxy= bmbn = bm+n

´Ετσι από τον ορισμό των λογαρίθμων το xy= bm+nσυνεπάγει ότι

logb(xy) =m+n= logbx+ logb(y)

Πχ log2(4times16) = log2(64) = log2(26) = 6

Ακόμα log2(4times16) = log2(4) + log2(16) = 2+4 = 6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 32

logb(xy)

= logb(x)minus logb(y)

Απόδειξη´Εστω m= logbx και n= logby

Γράψτε σε μορφή εκθέτη x= bm και y= bn

∆ιαίρα το x και y ούτως ώστε xy =bmbn = bmminusn

´Ετσι από τον ορισμό των λογαρίθμων το xy = bmminusn

συνεπάγει ότι

logb(xy)

=mminusn= logbxminus logb(y)

Πχ log2(16

4)

= log2(4) = 2

και log2(16

4)

= log2(16)minus log2(4) = 4minus2 = 2Ε Ι Κοντογιώργης copy 33

logb(xn) = n logb(x)

Απόδειξη´Εστω m= logbx και γράψτε σε μορφή εκθέτη x= bm

Αυξάνοντας τις δύο πλευρές στην n δύναμη παίρνουμεxn = (bm)n = bmn

´Ετσι από τον ορισμό των λογαρίθμων τοlogbxn =mn= nm= n(logbx)

Πχ log2(64) = log2(26) = 6 log2(2) = 6

log(64) = 18

Επιπλέον log(64) = log(26) = 6log(2) = 6times030 = 18

Ε Ι Κοντογιώργης copy 34

logb(x) =loga(x)loga(b) agt0 a 6= 1

Απόδειξη´Εστω m= logbx rArr x= bm

Εφαρμόστε loga και στις δύο πλευρές του x= bmγια ναδώσει

logabm = logax rArr m logab= logaxrArr m=logaxlogab

rArr logbx=logaxlogab

Πχ log5(20) =log(20)

log(5)= 186 =

ln(20)

ln(5)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 35

logb(a) =1

loga(b) agt0 a 6= 1

Απόδειξη

logb(x) =loga(x)loga(b) =

logx(x)logx(b)

=1

loga(b)

´Οταν a= x

Πχ log2(64) =1

log64(2)=

116 = 6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 36

Αθροισμα

I Υποθέστε ότι έχουμε μια μεταβλητή x που μπορεί ναπάρει δέκα τιμές Εάν ενδιαφερόμαστε για το άθροισμάτους χωρίς να ξέρουμε την τιμή της κάθε μεταβλητής τότεο καλύτερος τρόπος να το εκφράσουμε είναι

x1 +x2 + middot middot middot+x9 +x10

I Εν συντομία το άθροισμα n στοιχείων x1 +x2 + middot middot middot+xn είναιnsum

i = 1xi

και ερμηνεύεται σαν το άθροισμα όλων των xirsquosξεκινώντας από το x1 (πχ i = 1) μέχρι xn (i = n)

I Εάν δε δοθεί διαφορετικά πάντοτε υποθέτουμε ότι το iαυξάνεται ξεκινώντας από το στάδιο 1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 37

I Το lsquolsquoSigmarsquorsquo Σ είναι γνωστό ως το άθροισμα (summation) ήσύμβολο σίγμα (sigma operator) και ο δείκτης i όνομάζεταιεικονική μεταβλητή

I Παραδείγματα

I

5sum

i = 1xi = x1 +x2 +x3 +x4 +x5

I

5sum

i = 1(y2

i ) = y21 +y22 +y23 +y24 +y25

Σημειώστε ότι η μόνη μεταβλητή που περιγράφεται απευθείαςκάτω από το σύμβολο Σ αυξάνεται κατά 1 κάθε φορά ενώ όλατα άλλα σύμβολα παραμένουν τα ίδια

I

4sum

r = 1(x3r ) = x31 +x32 +x33 +x34

Ε Ι Κοντογιώργης copy 38

I6sum

i = 1i = 1+2+3+4+5+6

I6sum

i = 1i2 = 12 +22 +32 +42 +52 +62

I7sum

i = 3xi = x3 +x4 +x5 +x6 +x7

I4sum

i = 1a = a+a+a+a= 4a

I3sum

i = 1(4+xi) = (4+x1) + (4+x2) + (4+x3)

=3sum

i = 14+

3sum

i = 1xi

Ε Ι Κοντογιώργης copy 39

I3sum

i = 1(2xi) = (2x1) + (2x2) + (2x3) = 2times

3sum

i = 1xi

I Ο συντελεστής i παραλείπεται εάν δε προκαλείαοριστία Για παράδειγμα Σx ή Σixi σημαίνειάθροισμα όλων των x που λαμβάνονται υπόψη

I ∆ήλωσηI

nsumi=1a= na

I sumiaxi = asum

ixi

I sumi

(axi+byi) = asumixi +bsum

iyi

Ε Ι Κοντογιώργης copy 40

I Αθροιστικός Τύπος

Insum

i = 1i = 1+2+ middot middot middot+n=

n(n+1)

2

Πχ6sumi = 1i = 1+2+3+4+5+6 =

6(6+1)

2 = 21

Insum

i = 1i2 = 12 +22 + middot middot middot+n2 =

n(n+1)(2n+1)

6

Πχ6sumi = 1i2 = 12 +22 +32 +42 +52 +62

=6(6+1)(12+1)

6 = 91

Ε Ι Κοντογιώργης copy 41

Insum

i = 1i3 = 13 +23 + middot middot middot+n3 =

n2(n+1)2

4

Πχ6sumi = 1i3 = 13 +23 +33 +43 +53 +63

=62(6+1)2

4 = 441

Ε Ι Κοντογιώργης copy 42

ΠαραδήγματαΑριθμητική Πρόοδος

I Γενικά μπορούμε να εκφράσουμε μια αριθμητική πρόοδο ωςεξής

αριθμητική πρόοδος a a+d a+2d a+3d

όπου ο πρώτος όρος είναι a και η διαφορά d Ο όρος nτης απ δίνεται από τη σχέση b = a+ (nminus1)d

I 3 5 7 9 11 είναι μια αριθμητική πρόοδος Οπρώτος όρος είναι το 3 και η διαφορά είναι 2

I 2 minus1 minus4 minus7 είναι μια αριθμητική πρόοδος όπου οπρώτος όρος είναι 2 και η διαφορά minus3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 43

I Το άθροισμα των όρων μιας αριθμητικής προόδου είναιγνωστό ως αριθμητική σειρά

Sn = a+ (a+d) + (a+2d) + middot middot middot+ (a+ (nminus1)d)

=nsumi=1

(a+ (iminus1)d

)= na+

nsumi=1

(iminus1)d

= na+dnminus1sumi=1

i = na+d(nminus1)n2

=n2(2a+d(nminus1)) =

n2(a+b) b = a+d(nminus1)

I ΑΠ 3 5 7 9 11 13 rArr Sn =62(3+13) = 48

Ε Ι Κοντογιώργης copy 44

∆ιπλό Αθροισμα4sumi=1

isumj=1

j = (1) + (1+2) + (1+2+3) + (1+2+3+4) = 20

nsumi=1

isumj=1

j =nsumi=1

( isumj=1

j)

nsumi=1

(12 i(i+1)

)=

12

nsumi=1

(i2 + i)

12( nsumi=1

i2 +nsumi=1

i)

=12(16n(n+1)(2n+1) +

12n(n+1)

)

=12

16n(n+1)

((2n+1) +3

)=

n6(n+1)(n+2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 45

∆ιπλό Αθροισμα

nsumi=1

msumj=1

(i+ j+2) =nsumi=1

( msumj=1

(i+ j+2))

nsumi=1

( msumj=1

i+msumj=1

j+msumj=1

2)

=nsumi=1

(mi+ 1

2m(m+1) +2m)

m( nsumi=1

i+ 12

nsumi=1

(m+5))

= m(12n(n+1) +

12n(m+5)

)

=mn2(m+n+6

)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 46

Insumr=1

1r(r+1)

=nsumr=1

(Ar +

Br+1

)=

nsumr=1

A(r+1) +Brr(r+1)

I A(r+1) +Br = 1

I Για r = 0 τότε A= 1 και για r =minus1 τότε B=minus1

I

nsumr=1

1r(r+1)

=nsumr=1

(1r minus

1r+1

)

=(

(11 minus

12) + (

12 minus

13) + (

13 minus

14) + middot middot middot+ (

1nminus1 minus

1n ) + (

1n minus

1n+1)

)

= 1minus 1n+1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 47

Insumk=1

1(k+2)(k+3)

=nsumk=1

( A(k+2)

+B

(k+3)

)=

nsumk=1

A(k+3) +B(k+2)

(k+2)(k+3)

I A(k+3) +B(k+2) = 1

I Για k=minus2 τότε A= 1 και για k=minus3 τότε B=minus1

I

nsumk=1

1(k+2)(k+3)

=nsumk=1

( 1(k+2)

minus 1(k+3)

)

=(

(13 minus

14)+(

14 minus

15)+(

15 minus

16)+ +(

1n+1 minus

1n+2)+(

1n+2 minus

1n+3)

)

=13 minus

1n+3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 48

Αθροισμα με Λογάριθμους

nsumi=1

logb(i) = logb(1) + logb(2) + middot middot middot+ logb(n)

= logb(1times2times3timesmiddotmiddot middottimesn)

= logb(n)

I Το n (n παραγοντικό) δίνεται από n = 1times2timesmiddotmiddot middottimesn και0 = 1

I100sumi=1

log2(100) = log2(100) =log(100)

log(2)=

log(99)

log(2)+

2log(2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 49

Γινόμενο των ακολουθιώνIn

prodi=1xi = x1timesx2timesx3timesmiddotmiddot middottimesxn

In

prodi=1i = 1times2times3timesmiddotmiddot middottimesn= n

In

prodi=1z= ztimesztimesmiddotmiddot middottimesz= zn

I

nprodi=1

(1+

1i+1

)=(1+

12)times(1+

13)times(1+

14)times times(1+

1n )times(1+

1n+1)

=32 times

43 times

54 timesmiddotmiddot middottimes

n+1n times n+2

n+1

=n+22

Ε Ι Κοντογιώργης copy 50

Γεωμετρικές ΠροόδοιI Μια γεωμετρική πρόοδος είναι μια σειρά αριθμών όπου

κάθε όρος μετά των πρώτο υπολογίζεται από τονπολλαπλασιασμό του προηγούμενου όρου με ένασταθερό αριθμό που καλείται αναλογία

I Η σειρά1 3 9 27 81 middot middot middot

είναι μια γεωμετρική πρόοδος με πρώτο όρο το 1 καιαναλογία 3

I Η αναλογία μπορεί να είναι κλάσμα καθώς επίσης καιαρνητικός αριθμός Για παράδειγμα η γεωμετρικήπρόοδος με πρώτο όρο το 2 και αναλογία minus13 είναι

2 minus 23 +

29 minus

227 +

281 middot middot middot

Ε Ι Κοντογιώργης copy 51

I Γενικά μπορούμε να γράψουμε μια γεωμετρική πρόοδο ωςακολούθως

γεωμετρική πρόοδος a ar ar2 ar3 ar4 middot middot middot

όπου ο πρώτος όρος είναι a και η αναλογία r

I Σημαντικά θεωρήματα των γεωμετρικών προόδων (γπ)1 Ο n όρος μιας γπ δίνεται από ar(nminus1)

2 Το άθροισμα των πρώτων n όρων μιας γπ είναι

Sn =a(1minus rn)

1minus r =a(rnminus1)

rminus1 και ισχύει μόνο αν r 6= 1

I Το άθροισμα των όρων μιας γεωμετρικής προόδουονομάζεται γεωμετρική σειρά

Ε Ι Κοντογιώργης copy 52

Γεωμετρική σειρά

Sn = a+ar+ar2 +ar3 + middot middot middot+arnminus2 +arnminus1

rSn = ar+ar2 +ar3 + arnminus1 +arn

Snminus rSn = aminusarn

(1minus r)Sn = a(1minus rn)

Sn =a(1minus rn)

(1minus r) =a(rnminus1)

(rminus1)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 53

I Παράδειγμα1 Βρείτε το άθροισμα των πρώτων 10 όρων μιας γεωμετρικής

σειράς4 8 16 32

Ο πρώτος όρος είναι a= 4 και η αναλογία r = 2 καιn= 10 ´Ετσι

S10 =4(1minus210)

1minus2 = 4092

2 Θεωρείστε τη γπ4 minus8 16 minus32 64 minus128 256 minus512

Σε αυτή την περίπτωση ο πρώτος όρος είναι a= 4 ηαναλογία είναι r =minus2 και n= 8´Ετσι

S8 =4(1minus (minus2)8)

1minus (minus2)=minus340

Ε Ι Κοντογιώργης copy 54

Συνεχείς ανατοκισμός

Οι περισσότεροι τραπεζικοί λογαριασμοί και τα δάνειαυιοθετούν ανατοκισμό - εφαρμόζοντας συνεχή ανατοκισμόΘεωρείστε ένα λογαριασμό που προσφέρει τόκο με ετήσιοεπιτόκιο r (πχ 7) Εάν το επιτόκιο είναι συνεχέςσε χρονιαία βάση τότε μετά από 1 χρόνο το χρονιαίοεπιτόκιο προστίθεται στο αρχικό κεφάλαιο για νακαθορίσει ένα μεγαλύτερο κεφάλαιο τον δεύτερο χρόνο

´Ετσι κατά τη διάρκεια του δεύτερου χρόνου ολογαριασμός κερδίζει επιτόκιο πάνω στο επιτόκιοΑυτή είναι η επίδραση του ανατοκισμού που συνεχίζεταιχρόνο με το χρόνο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 55

I Με τον ετήσιο ανατοκισμό το κεφάλαιο πουσυσσωρεύεται στο λογαριασμό πολλαπλασιάζεται με

(1+ r)

´Ετσι το κεφάλαιο A θα αυξηθεί σε

A(1+ r) = A+A middot r

τον επόμενο χρόνο

I Με το πέρας και του δεύτερου χρόνου το κεφάλαιο θααυξηθεί ακόμα (1+ r) σε (1+ r)2

´Ετσι το κεφάλαιο καταλήγει σε

A(1+ r)(1+ r) = A(1+ r)2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 56

I Κατά παρόμοιο τρόπο στο τέλος του τρίτου χρόνου τοποσό θα αυξηθεί κατά (1+ r)3

I Μετά από n χρόνια το ποσό θα αυξηθεί κατά (1+ r)n

I ´Ετσι το κεφάλαιο (επένδυση) A θα αυξηθεί με συνεχήανατοκισμό σε A(1+ r)n μετά από n χρόνια

I Ο τύπος (1+ r)n εκθέτει γεωμετρική αύξηση λόγω τηςn δύναμης

Ε Ι Κοντογιώργης copy 57

ΠαραδείγματαI Εάν το επιτόκιο είναι r = 5 τότε το κεφάλαιοA= $1000 που βρίσκεται στην τράπεζα n= 20 χρόνιαθα αυξηθεί κατά

(1+ r)n = (1+005)20 = 2653 φορές

´Ετσι το ποσό θα καταλήξειA(1+ r)n = $265330

I Βρέστε το χρόνο που χρειάζεται για ένα λογαργιασμό ναδιπλασιάσει το διαθέσιμο κεφάλαιο του όταν r = 7 καιr = 10Ζητούμε να βρούμε το n έτσι ώστε

(1+ r)n = 2Ε Ι Κοντογιώργης copy 58

I Υπολογίζοντας το λογάριθμο του τελευταίου παίρνουμε

log(1+ r)n = log(2)ή n log(1+ r) = log(2)

´Ετσιn=

log2log(1+ r)

I Για r = 7 και r = 10 ο χρόνος n πουχρειάζεται για διπλασιασμό της επένδυσης υπολογίζεταισε 1024 και 727 αντίστοιχα

Ε Ι Κοντογιώργης copy 59

I Αν το επιτόκιο είναι r = 7 τότε πιο θα είναι τοσυνολικό ποσό στο λογαριασμό μετά από 205 και41 χρόνια αντίστοιχα

Μετά τα πρώτα 1025 χρόνια το ποσό A θαδιπλασιαστεί σε 2A Για τα επόμενα 1025 χρόνιατο ποσό θα ξαναδιπλασιαστεί σε 4A ´Ετσι μετά από205 χρόνια το ποσό θα αυξηθεί κατά 4 φορές

Με το πέρας ακόμα 205 χρόνων το ποσό θα αυξηθείακόμα 4 φορές σε 16 ´Ετσι μετά από 41 χρόνιατο κεφάλαιο A γίνεται 16A

Ε Ι Κοντογιώργης copy 60

Ασκήσεις και Παραδείγματα

I Υπολογίστε τη Μελλοντική Αξία (Future Value (FV)) τουκεφαλαίου A= 1500 που κερδίζει ετήσιο επιτόκιοr = 5 για n= 10 έτη

FV =A(1+ r)n = 1500(1+005)10 = 244334

I Πόσα έτη απαιτούνται για να τριπλασιαστεί ένα ποσόπου αφήνετε στην τράπεζα με επιτόκιο r = 5∆ηλαδή βρείτε το n όπου A= 1 r = 5 και FV = 3

FV =A(1+ r)n ή (1+ r)n =FVA

Ε Ι Κοντογιώργης copy 61

Υπολογίζοντας τους λογαρίθμους παίρνουμε

log(1+ r)n = log(FVA)

ή n log(1+ r) = log(FVA)

´Ετσι

n=log(FVA)

log(1+ r) =log(3)

log(105)

= 2252

Ε Ι Κοντογιώργης copy 62

I Βρείτε την παρούσα αξία A έτσι ώστε σε δέκα έτη μεσταθερό επιτόκιο r = 6 να είναι 100KΒρείτε το A όπου FV = 100000 r = 6 και n= 10

FV =A(1+ r)n ή A=FV

(1+ r)n

´Ετσι A=100000

(106)10= 5583948

I Βρείτε την ετησιοποιημένη απόδοση (AER AnnualEquivalent Rate) μιας μηνιαίας κατάθεσης με σταθερόεπιτοκίο 394 Μια τέτοια κατάθεση λαμβάνει το επιτόκιο στη λήξηΣυνεπώς κάθε μήνα ο λογαριασμός λαμβάνει

r = 0039412 = 000328

επιτόκιο που επανεπενδύεται (συνεχής ανατοκισμός)Ε Ι Κοντογιώργης copy 63

Επανεπενδύοντας το επιτόκιο κάθε μήνα στη διάρκειαενός έτους το κεφάλαιο θα αυξηθεί σε

(1+ r)12 = (1+000328)12 = 104012

´Ετσι το ΑΕΡ είναι ισοδύναμο με 004012 = 4012I Υπολογίστε το επιτόκιο ενός σταθερού λογαριασμού

κατάθεσης 7-ημερών που έχει AER επιτόκιο r = 425Θεωρείστε ρ το εβδομαδιαίο επιτόκιο

´Ετσι (1+ρ)52 = (1+00425)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 64

Παίρνοντας τους λογαρίθμους έχουμε52log(1+ρ) = log10425

ή log(1+ρ) =log10425

52

ή 1+ρ= 10( log10425

52)

Αυτό μας δίνει

ρ= 10

( log1042552

)minus1 = 008

´Ετσι το συνεχές επιτόκιο μιας επταήμερης κατάθεσης είναιρtimes52 = 41638

Εναλλακτικά (1+ρ)52 = (1+00425) δίνει

(1+ρ) =52radic10425ή ρ=

52radic10425minus = 008Ε Ι Κοντογιώργης copy 65

I Υπολογίστε την ετήσια απόδοση r έτσι ώστε A= 10000να επιστρέφει FV = 35000 σε n= 20 χρόνια

FV =A(1+ r)n ή (1+ r)n =FVA

´Ετσι

1+ r =nradic

FVA

Επομένως

r =nradic

FVA minus1 =

20radic

3500010000 minus1 = 00646 = 646

Ε Ι Κοντογιώργης copy 66

Εναλλακτικά παίρνοντας τους λογαρίθμους

log(1+ r)n = log(FVA) ή n log(1+ r) = log

(FVA)

´Ετσι

1+ r = 10(1n log

(FVA))

ή r = 10(1n log

(FVA))minus1

= 10( 120 log

(3500010000

))minus1

= 646

Ε Ι Κοντογιώργης copy 67

Γραφική Αναπαράσταση I

I Υποθέστε ότι έχουμε y= 3x+2 Καθώς έχουμε μόνο μιαδύναμη για το x πρέπει να λύσουμε γραμμική εξίσωσηκαι να σχεδιάσουμε μια ευθεία γραμμή Αρχικά θα πρέπεινα σχεδιάσουμε ένα T-chart Αυτό έχει τη μορφή

x y = 3x+2 (xy)

I Επιλέγουμε μια τιμή για το x και λύνουμε ως προς y

x y= 3x+2 (xy)minus2 minus4 (minus2minus4)0 2 (02)2 8 (28)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 68

Γραφική Αναπαράσταση II

-

6

X

Y

bull

bull

bull

I Βλέπουμε μια ευθεία με ανοδική τάση (έχοντας θετικήκλίση m= 3) καιτέμνει τον άξονα y στο σημείο y= 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 69

Γραφική Αναπαράσταση III

I Μια Τετραγωνική εξίσωση περιέχει x2 Για τηναναπαράσταση τετραγωνικών εξισώσεων χρειάζεται ναβρούμε περισσότερα από τρία σημεία στο σχεδιάγραμμα

Για παράδειγμα υποθέστε ότι y= x2minus6x+5 καιδίνεται το πιο κάτω T-chart

x y= x2minus6x+5 (xy)0 5 (05)1 0 (10)3 minus4 (3minus4)5 0 (50)6 5 (65)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 70

Γραφική Αναπαράσταση IV

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

-

6

X

Y

bull

bull

bull

bull

bull

Ε Ι Κοντογιώργης copy 71

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(1x + 2)

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(-3x + 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 72

-15

-10

-5

0

5

10

15

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(3x - 2)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 73

-20

0

20

40

60

80

100

120

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2+x)

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 74

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

1250

1500

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3+x2+x)

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x4)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 75

-25

-2

-15

-1

-05

0

05

1

15

2

25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(log(x))

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(x))

Ε Ι Κοντογιώργης copy 76

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(-x))

-5000

0

5000

10000

15000

20000

25000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(exp(x)+x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 77

Ανισότητες I

I Οι ανισότητες αποτελούνται από δύο ή τρεις αλγεβρικέςεκφράσεις που είναι συνδεδεμένες με τα σύμβολαανισότητας Τα σύμβολα αυτά είναι

lt μικρότερο τουgt μεγαλύτερο τουle μικρότερο ή ίσο τουge μεγαλύτερο ή ίσο του

I Παραδείγματα xgty yge x2 και ylt5x+1

I Το πρώτο βήμα για την αναπαράσταση ανισότητας τηςμορφής ygtx είναι να παραστήσουμε γραφικά τηνισότητα y= x

Ε Ι Κοντογιώργης copy 78

Ανισότητες II

I ygtx

Κάνετε δοκιμή με ένα σημείο να δείτε κατά πόσοικανοποιεί την ανισότητα Εάν ναι τότε σκιάστε τηνπεριοχή αυτή του σχεδιαγράμματος διαφορετικά σκιάστετην άλλη πλευρά

Ε Ι Κοντογιώργης copy 79

Ανισότητες III

I yltx

Ε Ι Κοντογιώργης copy 80

Ανισότητες IV

I yle 5x+1 και ygt5x+1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 81

Ανισότητες V

I yge x2 και yle x2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 82

Ανισότητες VI

I ygtx3 και yle x3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 83

Συστήματα Γραμμικών ΕξισώσεωνΠεριεχόμενα

1 Ε

2 Γ Α

ΑναφορέςΚεφάλαια 4 και 5FS Budnick Applied Mathematics for Business Economicsand the Social Sciences 4th edition McGraw-Hill 1993

Ε Ι Κοντογιώργης copy 84

Συστήματα Εξισώσεων

I ´Ενα σύστημα εξισώσεων συνδυάζει περισσότερες από μίαεξισώσεις

I ´Ενα σύστημα m εξισώσεων όπου κάθε εξίσωσηαποτελείται από n μεταβλητές ονομάζεται mtimesnσύστημα ή λέμε ότι έχει διαστάσεις mtimesn

I ΠαράδειγμαΠαρακάτω έχουμε ένα σύστημα 2times2

5X+10Y= 203X+4Y= 10

Οι μεταβλητές σε αυτή την περίπτωση είναι X και YΕ Ι Κοντογιώργης copy 85

Συστήματα Επίλυσης

I Το Σύστημα επίλυσης είναι μια σειρά τιμών μεταβλητώνπου ικανοποιούν το σύστημα ταυτόχρονα

I Σε μια σημειογραφική παράσταση το προηγούμενοπαράδειγμα μπορεί να γραφτεί ως εξής

S = (XY) | 5X+10Y = 20 και 3X+4Y = 10

I Το σύστημα επίλυσης μπορεί να είναι1 μηδενικό2 πεπερασμένο ή3 άπειρο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 86

2times2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική Ανάλυση

I Σε ένα δισδιάστατο γράφημα ένα σύστημα εξισώσεων2times2 αναπαρίστανται με ευθείες γραμμές Υπόρχουν τρίαενδεχόμενα

1 Οι ευθείες τέμνονται Το σημείο τομής αντιπροσωπεύει τηλύση του συστήματος εξισώσεων Αυτό το σημείοαλληλεπίδρασης είναι μια δέσμη τιμών X και Y που ικανοποιείκαι τις δύο εξισώσειςΕάν υπάρχει μόνο μια δέσμη τιμών για τις μεταβλητές που ναικανοποιεί το σύστημα εξισώσεων το σύστημα λέμε ότι έχειΜ Λ

2 Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες μεταξύ τους ∆εν έχουν κοινόσημείο Συνεπώς οι ευθείες δεν τέμνονται ποτέ Το σύστημαλέμε ότι ∆ ΛΑυτό υπονοεί ότι δεν υπάρχουν τιμές για τις μεταβλητές πουνα ικανοποιούν και τις δύο εξισώσεις Σε αυτή τηνπερίπτωση οι εξισώσεις στο σύστημα είναι Α

3 Και οι δύο εξισώσεις αναπαρίστανται ως μια κοινή ευθεία καιθεωρούνται ισοδύναμες εξισώσεις ´Ετσι το σύστημα έχειΑ Λ Αυτό συμβαίνει γιατί υπάρχει άπειροςαριθμός κοινών σημείων στις δύο γραμμές

Ε Ι Κοντογιώργης copy 87

I Π Θεωρείστε ένα σύστημα 2times22X+4Y= 203X+ Y= 10

I

X

Y

(24)

3X +Y = 10

2X +4Y = 20

0 2 4 6 8 10 12

2

4

6

8

10

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 88

I Το σημείο τομής δίνεται από το X= 2 και Y= 4Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές του X και Y στις δύοεξισώσεις δίνουν 20 = 20 και 10 = 10 αντίστοιχα

I Αυτό υποδειλώνει ότι X= 2 και Y= 4 είναι η σωστή λύση

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times23Xminus2Y= 6

minus15X+10Y=minus30

I

X

Y

(20)

(0minus3)

3X minus2Y = 6

minus15X +10Y =minus30

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 89

I Οι δύο εξισώσεις απλοποιούνται σε Xminus 23 Y= 2

Οι δύο εξισώσεις είναι ισοδύναμες και δίνουν έναπεπερασμένο αριθμό λύσεων έτσι ώστε

X= 0 Y =minus3X= 2 Y = 0X= 4 Y = 3

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times26Xminus12Y= 24

minus32X+3Y= 9

Οι εξισώσεις απλοποιούνται σεXminus2Y= 4Xminus2Y=minus6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 90

I

X

Y

(40)

(0minus2)

(minus60)

(03)

X minus2Y =minus6

X minus2Y = 4

0-0

I Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες και συνεπώς το σύστημαδεν έχει λύση ´Ετσι το σύστημα εξισώσεων είναιασύμπτωτο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 91

Περίληψη 2times2 Συστήματα Εξισώσεων∆ίνεται ένα Σύστημα Γραμμικών Εξισώσεων 2times2

Y=m1X+ c1Y=m2X+ c2

1 Υπάρχει μια στο σύστημα εάνm1 6= m2

2 ∆εν υπάρχει στο σύστημα εάνm1 = m2 και c1 6= c2

3 Υπάρχει εάνm1 = m2 και c1 = c2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 92

∆ιαδικασίες Απαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής χρησιμοποιεί πολλαπλασιασμόκαι πρόσθεση έτσι ώστε

1 Να απαλοιφεί μια από τις δύο μεταβλητές

2 Η εξίσωση που εξάγεται είναι συνάρτηση των υπόλοιπωνμεταβλητών

3 Αντικαθιστώντας την τιμή στην μεταβλητή σε μια από τιςαρχικές εξισώσεις βρίσκουμε την τιμή για τηναπολοιφθήσα μεταβλητή

Ε Ι Κοντογιώργης copy 93

ΠαραδείγματαI Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

2X +4Y = 20 (1)3X + Y = 10 (2)

Πολλαπλασιάζοντας τη δεύτερη εξίσωση με minus4 παίρνουμε

minus12X minus4Y =minus40 (3)

Προσθέτοντας την εξίσωση (1) στο (3)

2X + 4Y = 20minus12X minus 4Y = minus40minus10X = minus20

ή

X = 2 (4)Ε Ι Κοντογιώργης copy 94

Αντικαθιστώντας X= 2 στην εξίσωση (1) δίνεται2 middot2+4Y = 20 ή Y=4

´Ετσι η μοναδική λύση του συστήματος δίνεται από τοX= 2 και Y= 4 Μπορεί να επιβεβαιωθεί ότι αυτή είναι ησωστή λύση αντικαθιστώντας X= 2 και Y= 4 στηνεξίσωση (1) και (2)

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times23X minus2Y = 6 (5)

minus15X +10Y =minus30 (6)

Για την απαλοιφή της μεταβλητής X η εξίσωση (5)πολλαπλασιάζεται με 5 και το αποτέλεσμα προστίθεταιστην εξίσωση (6)

15X minus 10Y = 30minus15X + 10Y = minus30

0 = 0 Ε Ι Κοντογιώργης copy 95

Οι τελευταίες πράξεις υπονοούν ότι οι εξίσωσεις (5) και(6) είναι ισοδύναμες και έτσι υπάρχει άπειρος αριθμόςλύσεωνΓια να προσδιορίσουμε τις λύσεις του συστήματος μια απότις αρχικές εξισώσεις λύνεται ως προς μια μεταβλητή Ανγια παράδειγμα η εξίσωση (5) λύνεται ως προς Y δίνει

Y =32Xminus3

Σαν αποτέλεσμα γενικεύοντας τις λύσεις του συστήματοςέχουμε

X τυχαίο και Y =32Xminus3

Πχ για X= 4 υπονοείται ότι Y=32 middot4minus3 = 3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 96

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

6X minus12Y = 24 (7)

minus32X +3Y = 9 (8)

Πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση (8) με 4 καιπροσθέτοντας το αποτέλεσμα στην εξίσωση (7)παίρνουμε

6X minus 12Y = 24minus6X + 12Y = 36

0 = 60

Η πιο πάνω αντιλογία υπονοεί ότι δεν υπάρχει λύση τουσυστήματος εξισώσεων

Ε Ι Κοντογιώργης copy 97

3times2 Συστήματα Εξισώσεων I

1 Μ Λ

X

Y

(32)

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minusY = 1

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 98

3times2 Συστήματα Εξισώσεων II

2 Α Λ

X

Y Εξις (1)Εξις (2)Εξις (3)

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 99

3times2 Συστήματα Εξισώσεων III3 Κ

(α) ´Οταν και οι τρεις εξισώσεις είναι παράλληλες

X

Y

2X minusY =minus8

2X minusY = 2

2X minusY = 12

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 100

3times2 Συστήματα Εξισώσεων IV(β) ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ τωνεξισώσεων

X

Y

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minus2Y =minus4

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 101

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική ΑνάλυσηΣε ένα γράφημα 2 διαστάσεων ένα σύστημα mtimes2(mgt2) εξισώσεων παριστάνεται με m ευθείες ´Οπωςσυμβαίνει στα συστήματα 2times2 υπάρχουν τρίαενδεχόμενα

1 ´Ολες οι ευθείες τέμνονται στο ίδιο σημείο και έτσιυπάρχει

2 ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ των mεξισώσεων Αυτό σημαίνει ότι όλες οι ευθείες είναιπαράλληλες Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα Λ

3 Οι m εξισώσεις είναι ισοδύναμες πχ παρασταίνονται σανμια ευθεία Σε αυτή την περίπτωση υπάρχει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 102

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων ∆ιαδικασίαΑπαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής για την επίλυση ενός συστήματοςmtimes2 μπορεί να περιγραφεί ως ακολούθωςΕπιλέξτε και λύστε σύστημα με δύο εξισώσεις

1 Εάν δεν υπάρχει λύση τότε ολόκληρο το σύστημα δεν έχειλύση

2 Εάν υπάρχει μοναδική λύση που ικανοποιεί τις υπόλοιπεςmminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα έχει μία μοναδική λύση

3 Εάν η λύση είναι μοναδική αλλά δεν ικανοποιεί τιςυπόλοιπες mminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα δεν έχει λύση

4 Εάν οι 2 λύσεις είναι ισοδύναμες απάλοιψτε τη μίααπό τις δύο εξισώσεις και ξεκινήστε από την αρχήλαμβάνοντας υπόψη ένα σύστημα (mminus1)times2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 103

ΠαράδείγμαI Θεωρείστε ένα σύστημα 5times2

XminusY= 1X+2Y=minus8

3Xminus2Y= 02Xminus5Y= 11minus4X+3Y=minus1

I Η λύση των πρώτων δύο εξισώσεων δίνετε απόY =minus3 και X =minus2

I Αντικαθιστώντας τη λύση στις υπόλοιπες τρεις εξισώσειςπαίρνετε αντίστοιχα

0 = 0 11 = 11 και minus1 =minus1I Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση

X=minus2 και Y=minus3Ε Ι Κοντογιώργης copy 104

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian

Η μέθοδος απολοιφής Gaussian μετατρέπει το αρχικόσύστημα εξισώσεων σε διαγώνια μορφή επαναλαμβάνονταςστις εξισώσεις τις ακόλουθες τρεις διαδικασίες

1 Πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης μεμια θετική σταθερά

2 Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού θα προστεθεί σεάλλη εξίσωση

3 Η σειρά των εξισώσεων μπορεί να αλλάξει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 105

ΠαράδείγμαΠ Θεωρείστε το σύστημα 2times2

2X minus 3Y = 7 (Εξ 1)X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με 12 για να πάρετε

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με minus1 καιπροσθέστε την στην (Εξ 2)

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

52Y =

152 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 106

Στάδιο 3 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 25

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

Y = 3 (Εξ 2)

Στάδιο 4 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 32 και

προσθέστε την στην (Εξ 1)

X = 1 (Εξ 1)Y = 3 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 107

Π Θεωρείστε το σύστημα 2times2

5X + 20Y = 254X minus 7Y =minus26

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να εκφραστεί ως

R1 5 20 25R2 4 minus7 minus26

Η κάθετη γραμμή χρησιμοποιείται για διαχωρισμό τηςαριστερής από τη δεξιά πλευρά των εξισώσεων Το Riυπονοεί τη γραμμή (Row) i

Ε Ι Κοντογιώργης copy 108

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάζουμε τη R1 με 15 και το θέτουμε

R1larr 15R1

R1 1 4 5R2 4 minus7 minus26

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάζουμε την R1 με minus4 και τηνπροσθέτουμε στην R2 Εν συντομίαR2larrminus4R1+R2

R1 1 4 5R2 0 minus23 minus46

Στάδιο 3 R2larrminus 123R2

R1 1 4 5R2 0 1 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 109

Στάδιο 4 R1larrminus4R2+R1

R1 1 0 minus3R2 0 1 2

Το αρχικό σύστημα εξισώσεων μετατρέπεται σε διαγώνιαμορφή όπως πιο κάτω

X =minus3Y = 2

το οποίο δίνει τη λύση του συστήματος

Ε Ι Κοντογιώργης copy 110

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 I

Το σύστημα εξισώσεων 3times3 μετετρέπεται σε διαγώνιαμορφή Η μετατροπή γίνεται στήλη με στήλη από τααριστερά προς τα δεξιά

Π Θεωρήστε το σύστημα 3times3

X1 + X2 + X3 = 2X1 minus 3X2 + 2X3 = 7

4X1 minus 2X2 minus X3 = 9

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να γραφτεί ως

Ε Ι Κοντογιώργης copy 111

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 II

1 1 1 21 minus3 2 74 minus2 minus1 9

Ε Ι Κοντογιώργης copy 112

I Υπολογίστε το y= log2(0)

Αυτό σημαίνει 2y = 0 όμως δε υπάρχει τιμή που ναικανοποιεί τη σχέση ´Ετσι δεν υπάχρει λύση

I Υπολογίστε το y= 2log2(9)

Αυτό σημαίνει ότι log2(y) = log2(9) και έτσι y= 9

Ε Ι Κοντογιώργης copy 29

I Γενικά1 logb(b) = 1 για οποιαδήποτε βάση b

2 logb(1) = 0 για οποιαδήποτε βάση b

3 logb(a) δεν ορίζεται για αρνητικά a

4 logb(0) δεν ορίζεται για οποιαδήποτε βάση b

5 logb(bn) = n για οποιαδήποτε βάση b

Ε Ι Κοντογιώργης copy 30

I Οι λογάριθμοι μπορούν να πάρουν οποιοδήποτε αριθμόσαν βάση αλλά δύο βάσεις είναι οι πιο χρήσιμες οlog-βάση-10 και ο log-βάση-e

I Η βάση-10 log συχνά ονομάζεται ο κοινός log καιγράφεται ως log(x) Εδώ δεν αναγράφεται βάση καιμπορούμε να υποθέσουμε ότι η βάση είναι 10

Πχ log(100) = 2 έτσι log10(102) = 2

I Η βάση-e log ονομάζεται ο φυσικός log και γράφεται σανln(x)Πχ ln(e345)= 345 καθώς loge(e345) = 345

Ε Ι Κοντογιώργης copy 31

Ιδιότητες Λογαρίθμωνlogb(xy) = logb(x) + logb(y)

Απόδειξη´Εστω m= logbx και n= logby

Γράψτε σε μορφή εκθέτη x= bm και y= bn

Πολλαπλασιάστε το x και y ούτως ώστεxy= bmbn = bm+n

´Ετσι από τον ορισμό των λογαρίθμων το xy= bm+nσυνεπάγει ότι

logb(xy) =m+n= logbx+ logb(y)

Πχ log2(4times16) = log2(64) = log2(26) = 6

Ακόμα log2(4times16) = log2(4) + log2(16) = 2+4 = 6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 32

logb(xy)

= logb(x)minus logb(y)

Απόδειξη´Εστω m= logbx και n= logby

Γράψτε σε μορφή εκθέτη x= bm και y= bn

∆ιαίρα το x και y ούτως ώστε xy =bmbn = bmminusn

´Ετσι από τον ορισμό των λογαρίθμων το xy = bmminusn

συνεπάγει ότι

logb(xy)

=mminusn= logbxminus logb(y)

Πχ log2(16

4)

= log2(4) = 2

και log2(16

4)

= log2(16)minus log2(4) = 4minus2 = 2Ε Ι Κοντογιώργης copy 33

logb(xn) = n logb(x)

Απόδειξη´Εστω m= logbx και γράψτε σε μορφή εκθέτη x= bm

Αυξάνοντας τις δύο πλευρές στην n δύναμη παίρνουμεxn = (bm)n = bmn

´Ετσι από τον ορισμό των λογαρίθμων τοlogbxn =mn= nm= n(logbx)

Πχ log2(64) = log2(26) = 6 log2(2) = 6

log(64) = 18

Επιπλέον log(64) = log(26) = 6log(2) = 6times030 = 18

Ε Ι Κοντογιώργης copy 34

logb(x) =loga(x)loga(b) agt0 a 6= 1

Απόδειξη´Εστω m= logbx rArr x= bm

Εφαρμόστε loga και στις δύο πλευρές του x= bmγια ναδώσει

logabm = logax rArr m logab= logaxrArr m=logaxlogab

rArr logbx=logaxlogab

Πχ log5(20) =log(20)

log(5)= 186 =

ln(20)

ln(5)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 35

logb(a) =1

loga(b) agt0 a 6= 1

Απόδειξη

logb(x) =loga(x)loga(b) =

logx(x)logx(b)

=1

loga(b)

´Οταν a= x

Πχ log2(64) =1

log64(2)=

116 = 6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 36

Αθροισμα

I Υποθέστε ότι έχουμε μια μεταβλητή x που μπορεί ναπάρει δέκα τιμές Εάν ενδιαφερόμαστε για το άθροισμάτους χωρίς να ξέρουμε την τιμή της κάθε μεταβλητής τότεο καλύτερος τρόπος να το εκφράσουμε είναι

x1 +x2 + middot middot middot+x9 +x10

I Εν συντομία το άθροισμα n στοιχείων x1 +x2 + middot middot middot+xn είναιnsum

i = 1xi

και ερμηνεύεται σαν το άθροισμα όλων των xirsquosξεκινώντας από το x1 (πχ i = 1) μέχρι xn (i = n)

I Εάν δε δοθεί διαφορετικά πάντοτε υποθέτουμε ότι το iαυξάνεται ξεκινώντας από το στάδιο 1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 37

I Το lsquolsquoSigmarsquorsquo Σ είναι γνωστό ως το άθροισμα (summation) ήσύμβολο σίγμα (sigma operator) και ο δείκτης i όνομάζεταιεικονική μεταβλητή

I Παραδείγματα

I

5sum

i = 1xi = x1 +x2 +x3 +x4 +x5

I

5sum

i = 1(y2

i ) = y21 +y22 +y23 +y24 +y25

Σημειώστε ότι η μόνη μεταβλητή που περιγράφεται απευθείαςκάτω από το σύμβολο Σ αυξάνεται κατά 1 κάθε φορά ενώ όλατα άλλα σύμβολα παραμένουν τα ίδια

I

4sum

r = 1(x3r ) = x31 +x32 +x33 +x34

Ε Ι Κοντογιώργης copy 38

I6sum

i = 1i = 1+2+3+4+5+6

I6sum

i = 1i2 = 12 +22 +32 +42 +52 +62

I7sum

i = 3xi = x3 +x4 +x5 +x6 +x7

I4sum

i = 1a = a+a+a+a= 4a

I3sum

i = 1(4+xi) = (4+x1) + (4+x2) + (4+x3)

=3sum

i = 14+

3sum

i = 1xi

Ε Ι Κοντογιώργης copy 39

I3sum

i = 1(2xi) = (2x1) + (2x2) + (2x3) = 2times

3sum

i = 1xi

I Ο συντελεστής i παραλείπεται εάν δε προκαλείαοριστία Για παράδειγμα Σx ή Σixi σημαίνειάθροισμα όλων των x που λαμβάνονται υπόψη

I ∆ήλωσηI

nsumi=1a= na

I sumiaxi = asum

ixi

I sumi

(axi+byi) = asumixi +bsum

iyi

Ε Ι Κοντογιώργης copy 40

I Αθροιστικός Τύπος

Insum

i = 1i = 1+2+ middot middot middot+n=

n(n+1)

2

Πχ6sumi = 1i = 1+2+3+4+5+6 =

6(6+1)

2 = 21

Insum

i = 1i2 = 12 +22 + middot middot middot+n2 =

n(n+1)(2n+1)

6

Πχ6sumi = 1i2 = 12 +22 +32 +42 +52 +62

=6(6+1)(12+1)

6 = 91

Ε Ι Κοντογιώργης copy 41

Insum

i = 1i3 = 13 +23 + middot middot middot+n3 =

n2(n+1)2

4

Πχ6sumi = 1i3 = 13 +23 +33 +43 +53 +63

=62(6+1)2

4 = 441

Ε Ι Κοντογιώργης copy 42

ΠαραδήγματαΑριθμητική Πρόοδος

I Γενικά μπορούμε να εκφράσουμε μια αριθμητική πρόοδο ωςεξής

αριθμητική πρόοδος a a+d a+2d a+3d

όπου ο πρώτος όρος είναι a και η διαφορά d Ο όρος nτης απ δίνεται από τη σχέση b = a+ (nminus1)d

I 3 5 7 9 11 είναι μια αριθμητική πρόοδος Οπρώτος όρος είναι το 3 και η διαφορά είναι 2

I 2 minus1 minus4 minus7 είναι μια αριθμητική πρόοδος όπου οπρώτος όρος είναι 2 και η διαφορά minus3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 43

I Το άθροισμα των όρων μιας αριθμητικής προόδου είναιγνωστό ως αριθμητική σειρά

Sn = a+ (a+d) + (a+2d) + middot middot middot+ (a+ (nminus1)d)

=nsumi=1

(a+ (iminus1)d

)= na+

nsumi=1

(iminus1)d

= na+dnminus1sumi=1

i = na+d(nminus1)n2

=n2(2a+d(nminus1)) =

n2(a+b) b = a+d(nminus1)

I ΑΠ 3 5 7 9 11 13 rArr Sn =62(3+13) = 48

Ε Ι Κοντογιώργης copy 44

∆ιπλό Αθροισμα4sumi=1

isumj=1

j = (1) + (1+2) + (1+2+3) + (1+2+3+4) = 20

nsumi=1

isumj=1

j =nsumi=1

( isumj=1

j)

nsumi=1

(12 i(i+1)

)=

12

nsumi=1

(i2 + i)

12( nsumi=1

i2 +nsumi=1

i)

=12(16n(n+1)(2n+1) +

12n(n+1)

)

=12

16n(n+1)

((2n+1) +3

)=

n6(n+1)(n+2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 45

∆ιπλό Αθροισμα

nsumi=1

msumj=1

(i+ j+2) =nsumi=1

( msumj=1

(i+ j+2))

nsumi=1

( msumj=1

i+msumj=1

j+msumj=1

2)

=nsumi=1

(mi+ 1

2m(m+1) +2m)

m( nsumi=1

i+ 12

nsumi=1

(m+5))

= m(12n(n+1) +

12n(m+5)

)

=mn2(m+n+6

)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 46

Insumr=1

1r(r+1)

=nsumr=1

(Ar +

Br+1

)=

nsumr=1

A(r+1) +Brr(r+1)

I A(r+1) +Br = 1

I Για r = 0 τότε A= 1 και για r =minus1 τότε B=minus1

I

nsumr=1

1r(r+1)

=nsumr=1

(1r minus

1r+1

)

=(

(11 minus

12) + (

12 minus

13) + (

13 minus

14) + middot middot middot+ (

1nminus1 minus

1n ) + (

1n minus

1n+1)

)

= 1minus 1n+1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 47

Insumk=1

1(k+2)(k+3)

=nsumk=1

( A(k+2)

+B

(k+3)

)=

nsumk=1

A(k+3) +B(k+2)

(k+2)(k+3)

I A(k+3) +B(k+2) = 1

I Για k=minus2 τότε A= 1 και για k=minus3 τότε B=minus1

I

nsumk=1

1(k+2)(k+3)

=nsumk=1

( 1(k+2)

minus 1(k+3)

)

=(

(13 minus

14)+(

14 minus

15)+(

15 minus

16)+ +(

1n+1 minus

1n+2)+(

1n+2 minus

1n+3)

)

=13 minus

1n+3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 48

Αθροισμα με Λογάριθμους

nsumi=1

logb(i) = logb(1) + logb(2) + middot middot middot+ logb(n)

= logb(1times2times3timesmiddotmiddot middottimesn)

= logb(n)

I Το n (n παραγοντικό) δίνεται από n = 1times2timesmiddotmiddot middottimesn και0 = 1

I100sumi=1

log2(100) = log2(100) =log(100)

log(2)=

log(99)

log(2)+

2log(2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 49

Γινόμενο των ακολουθιώνIn

prodi=1xi = x1timesx2timesx3timesmiddotmiddot middottimesxn

In

prodi=1i = 1times2times3timesmiddotmiddot middottimesn= n

In

prodi=1z= ztimesztimesmiddotmiddot middottimesz= zn

I

nprodi=1

(1+

1i+1

)=(1+

12)times(1+

13)times(1+

14)times times(1+

1n )times(1+

1n+1)

=32 times

43 times

54 timesmiddotmiddot middottimes

n+1n times n+2

n+1

=n+22

Ε Ι Κοντογιώργης copy 50

Γεωμετρικές ΠροόδοιI Μια γεωμετρική πρόοδος είναι μια σειρά αριθμών όπου

κάθε όρος μετά των πρώτο υπολογίζεται από τονπολλαπλασιασμό του προηγούμενου όρου με ένασταθερό αριθμό που καλείται αναλογία

I Η σειρά1 3 9 27 81 middot middot middot

είναι μια γεωμετρική πρόοδος με πρώτο όρο το 1 καιαναλογία 3

I Η αναλογία μπορεί να είναι κλάσμα καθώς επίσης καιαρνητικός αριθμός Για παράδειγμα η γεωμετρικήπρόοδος με πρώτο όρο το 2 και αναλογία minus13 είναι

2 minus 23 +

29 minus

227 +

281 middot middot middot

Ε Ι Κοντογιώργης copy 51

I Γενικά μπορούμε να γράψουμε μια γεωμετρική πρόοδο ωςακολούθως

γεωμετρική πρόοδος a ar ar2 ar3 ar4 middot middot middot

όπου ο πρώτος όρος είναι a και η αναλογία r

I Σημαντικά θεωρήματα των γεωμετρικών προόδων (γπ)1 Ο n όρος μιας γπ δίνεται από ar(nminus1)

2 Το άθροισμα των πρώτων n όρων μιας γπ είναι

Sn =a(1minus rn)

1minus r =a(rnminus1)

rminus1 και ισχύει μόνο αν r 6= 1

I Το άθροισμα των όρων μιας γεωμετρικής προόδουονομάζεται γεωμετρική σειρά

Ε Ι Κοντογιώργης copy 52

Γεωμετρική σειρά

Sn = a+ar+ar2 +ar3 + middot middot middot+arnminus2 +arnminus1

rSn = ar+ar2 +ar3 + arnminus1 +arn

Snminus rSn = aminusarn

(1minus r)Sn = a(1minus rn)

Sn =a(1minus rn)

(1minus r) =a(rnminus1)

(rminus1)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 53

I Παράδειγμα1 Βρείτε το άθροισμα των πρώτων 10 όρων μιας γεωμετρικής

σειράς4 8 16 32

Ο πρώτος όρος είναι a= 4 και η αναλογία r = 2 καιn= 10 ´Ετσι

S10 =4(1minus210)

1minus2 = 4092

2 Θεωρείστε τη γπ4 minus8 16 minus32 64 minus128 256 minus512

Σε αυτή την περίπτωση ο πρώτος όρος είναι a= 4 ηαναλογία είναι r =minus2 και n= 8´Ετσι

S8 =4(1minus (minus2)8)

1minus (minus2)=minus340

Ε Ι Κοντογιώργης copy 54

Συνεχείς ανατοκισμός

Οι περισσότεροι τραπεζικοί λογαριασμοί και τα δάνειαυιοθετούν ανατοκισμό - εφαρμόζοντας συνεχή ανατοκισμόΘεωρείστε ένα λογαριασμό που προσφέρει τόκο με ετήσιοεπιτόκιο r (πχ 7) Εάν το επιτόκιο είναι συνεχέςσε χρονιαία βάση τότε μετά από 1 χρόνο το χρονιαίοεπιτόκιο προστίθεται στο αρχικό κεφάλαιο για νακαθορίσει ένα μεγαλύτερο κεφάλαιο τον δεύτερο χρόνο

´Ετσι κατά τη διάρκεια του δεύτερου χρόνου ολογαριασμός κερδίζει επιτόκιο πάνω στο επιτόκιοΑυτή είναι η επίδραση του ανατοκισμού που συνεχίζεταιχρόνο με το χρόνο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 55

I Με τον ετήσιο ανατοκισμό το κεφάλαιο πουσυσσωρεύεται στο λογαριασμό πολλαπλασιάζεται με

(1+ r)

´Ετσι το κεφάλαιο A θα αυξηθεί σε

A(1+ r) = A+A middot r

τον επόμενο χρόνο

I Με το πέρας και του δεύτερου χρόνου το κεφάλαιο θααυξηθεί ακόμα (1+ r) σε (1+ r)2

´Ετσι το κεφάλαιο καταλήγει σε

A(1+ r)(1+ r) = A(1+ r)2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 56

I Κατά παρόμοιο τρόπο στο τέλος του τρίτου χρόνου τοποσό θα αυξηθεί κατά (1+ r)3

I Μετά από n χρόνια το ποσό θα αυξηθεί κατά (1+ r)n

I ´Ετσι το κεφάλαιο (επένδυση) A θα αυξηθεί με συνεχήανατοκισμό σε A(1+ r)n μετά από n χρόνια

I Ο τύπος (1+ r)n εκθέτει γεωμετρική αύξηση λόγω τηςn δύναμης

Ε Ι Κοντογιώργης copy 57

ΠαραδείγματαI Εάν το επιτόκιο είναι r = 5 τότε το κεφάλαιοA= $1000 που βρίσκεται στην τράπεζα n= 20 χρόνιαθα αυξηθεί κατά

(1+ r)n = (1+005)20 = 2653 φορές

´Ετσι το ποσό θα καταλήξειA(1+ r)n = $265330

I Βρέστε το χρόνο που χρειάζεται για ένα λογαργιασμό ναδιπλασιάσει το διαθέσιμο κεφάλαιο του όταν r = 7 καιr = 10Ζητούμε να βρούμε το n έτσι ώστε

(1+ r)n = 2Ε Ι Κοντογιώργης copy 58

I Υπολογίζοντας το λογάριθμο του τελευταίου παίρνουμε

log(1+ r)n = log(2)ή n log(1+ r) = log(2)

´Ετσιn=

log2log(1+ r)

I Για r = 7 και r = 10 ο χρόνος n πουχρειάζεται για διπλασιασμό της επένδυσης υπολογίζεταισε 1024 και 727 αντίστοιχα

Ε Ι Κοντογιώργης copy 59

I Αν το επιτόκιο είναι r = 7 τότε πιο θα είναι τοσυνολικό ποσό στο λογαριασμό μετά από 205 και41 χρόνια αντίστοιχα

Μετά τα πρώτα 1025 χρόνια το ποσό A θαδιπλασιαστεί σε 2A Για τα επόμενα 1025 χρόνιατο ποσό θα ξαναδιπλασιαστεί σε 4A ´Ετσι μετά από205 χρόνια το ποσό θα αυξηθεί κατά 4 φορές

Με το πέρας ακόμα 205 χρόνων το ποσό θα αυξηθείακόμα 4 φορές σε 16 ´Ετσι μετά από 41 χρόνιατο κεφάλαιο A γίνεται 16A

Ε Ι Κοντογιώργης copy 60

Ασκήσεις και Παραδείγματα

I Υπολογίστε τη Μελλοντική Αξία (Future Value (FV)) τουκεφαλαίου A= 1500 που κερδίζει ετήσιο επιτόκιοr = 5 για n= 10 έτη

FV =A(1+ r)n = 1500(1+005)10 = 244334

I Πόσα έτη απαιτούνται για να τριπλασιαστεί ένα ποσόπου αφήνετε στην τράπεζα με επιτόκιο r = 5∆ηλαδή βρείτε το n όπου A= 1 r = 5 και FV = 3

FV =A(1+ r)n ή (1+ r)n =FVA

Ε Ι Κοντογιώργης copy 61

Υπολογίζοντας τους λογαρίθμους παίρνουμε

log(1+ r)n = log(FVA)

ή n log(1+ r) = log(FVA)

´Ετσι

n=log(FVA)

log(1+ r) =log(3)

log(105)

= 2252

Ε Ι Κοντογιώργης copy 62

I Βρείτε την παρούσα αξία A έτσι ώστε σε δέκα έτη μεσταθερό επιτόκιο r = 6 να είναι 100KΒρείτε το A όπου FV = 100000 r = 6 και n= 10

FV =A(1+ r)n ή A=FV

(1+ r)n

´Ετσι A=100000

(106)10= 5583948

I Βρείτε την ετησιοποιημένη απόδοση (AER AnnualEquivalent Rate) μιας μηνιαίας κατάθεσης με σταθερόεπιτοκίο 394 Μια τέτοια κατάθεση λαμβάνει το επιτόκιο στη λήξηΣυνεπώς κάθε μήνα ο λογαριασμός λαμβάνει

r = 0039412 = 000328

επιτόκιο που επανεπενδύεται (συνεχής ανατοκισμός)Ε Ι Κοντογιώργης copy 63

Επανεπενδύοντας το επιτόκιο κάθε μήνα στη διάρκειαενός έτους το κεφάλαιο θα αυξηθεί σε

(1+ r)12 = (1+000328)12 = 104012

´Ετσι το ΑΕΡ είναι ισοδύναμο με 004012 = 4012I Υπολογίστε το επιτόκιο ενός σταθερού λογαριασμού

κατάθεσης 7-ημερών που έχει AER επιτόκιο r = 425Θεωρείστε ρ το εβδομαδιαίο επιτόκιο

´Ετσι (1+ρ)52 = (1+00425)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 64

Παίρνοντας τους λογαρίθμους έχουμε52log(1+ρ) = log10425

ή log(1+ρ) =log10425

52

ή 1+ρ= 10( log10425

52)

Αυτό μας δίνει

ρ= 10

( log1042552

)minus1 = 008

´Ετσι το συνεχές επιτόκιο μιας επταήμερης κατάθεσης είναιρtimes52 = 41638

Εναλλακτικά (1+ρ)52 = (1+00425) δίνει

(1+ρ) =52radic10425ή ρ=

52radic10425minus = 008Ε Ι Κοντογιώργης copy 65

I Υπολογίστε την ετήσια απόδοση r έτσι ώστε A= 10000να επιστρέφει FV = 35000 σε n= 20 χρόνια

FV =A(1+ r)n ή (1+ r)n =FVA

´Ετσι

1+ r =nradic

FVA

Επομένως

r =nradic

FVA minus1 =

20radic

3500010000 minus1 = 00646 = 646

Ε Ι Κοντογιώργης copy 66

Εναλλακτικά παίρνοντας τους λογαρίθμους

log(1+ r)n = log(FVA) ή n log(1+ r) = log

(FVA)

´Ετσι

1+ r = 10(1n log

(FVA))

ή r = 10(1n log

(FVA))minus1

= 10( 120 log

(3500010000

))minus1

= 646

Ε Ι Κοντογιώργης copy 67

Γραφική Αναπαράσταση I

I Υποθέστε ότι έχουμε y= 3x+2 Καθώς έχουμε μόνο μιαδύναμη για το x πρέπει να λύσουμε γραμμική εξίσωσηκαι να σχεδιάσουμε μια ευθεία γραμμή Αρχικά θα πρέπεινα σχεδιάσουμε ένα T-chart Αυτό έχει τη μορφή

x y = 3x+2 (xy)

I Επιλέγουμε μια τιμή για το x και λύνουμε ως προς y

x y= 3x+2 (xy)minus2 minus4 (minus2minus4)0 2 (02)2 8 (28)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 68

Γραφική Αναπαράσταση II

-

6

X

Y

bull

bull

bull

I Βλέπουμε μια ευθεία με ανοδική τάση (έχοντας θετικήκλίση m= 3) καιτέμνει τον άξονα y στο σημείο y= 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 69

Γραφική Αναπαράσταση III

I Μια Τετραγωνική εξίσωση περιέχει x2 Για τηναναπαράσταση τετραγωνικών εξισώσεων χρειάζεται ναβρούμε περισσότερα από τρία σημεία στο σχεδιάγραμμα

Για παράδειγμα υποθέστε ότι y= x2minus6x+5 καιδίνεται το πιο κάτω T-chart

x y= x2minus6x+5 (xy)0 5 (05)1 0 (10)3 minus4 (3minus4)5 0 (50)6 5 (65)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 70

Γραφική Αναπαράσταση IV

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

-

6

X

Y

bull

bull

bull

bull

bull

Ε Ι Κοντογιώργης copy 71

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(1x + 2)

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(-3x + 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 72

-15

-10

-5

0

5

10

15

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(3x - 2)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 73

-20

0

20

40

60

80

100

120

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2+x)

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 74

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

1250

1500

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3+x2+x)

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x4)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 75

-25

-2

-15

-1

-05

0

05

1

15

2

25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(log(x))

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(x))

Ε Ι Κοντογιώργης copy 76

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(-x))

-5000

0

5000

10000

15000

20000

25000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(exp(x)+x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 77

Ανισότητες I

I Οι ανισότητες αποτελούνται από δύο ή τρεις αλγεβρικέςεκφράσεις που είναι συνδεδεμένες με τα σύμβολαανισότητας Τα σύμβολα αυτά είναι

lt μικρότερο τουgt μεγαλύτερο τουle μικρότερο ή ίσο τουge μεγαλύτερο ή ίσο του

I Παραδείγματα xgty yge x2 και ylt5x+1

I Το πρώτο βήμα για την αναπαράσταση ανισότητας τηςμορφής ygtx είναι να παραστήσουμε γραφικά τηνισότητα y= x

Ε Ι Κοντογιώργης copy 78

Ανισότητες II

I ygtx

Κάνετε δοκιμή με ένα σημείο να δείτε κατά πόσοικανοποιεί την ανισότητα Εάν ναι τότε σκιάστε τηνπεριοχή αυτή του σχεδιαγράμματος διαφορετικά σκιάστετην άλλη πλευρά

Ε Ι Κοντογιώργης copy 79

Ανισότητες III

I yltx

Ε Ι Κοντογιώργης copy 80

Ανισότητες IV

I yle 5x+1 και ygt5x+1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 81

Ανισότητες V

I yge x2 και yle x2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 82

Ανισότητες VI

I ygtx3 και yle x3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 83

Συστήματα Γραμμικών ΕξισώσεωνΠεριεχόμενα

1 Ε

2 Γ Α

ΑναφορέςΚεφάλαια 4 και 5FS Budnick Applied Mathematics for Business Economicsand the Social Sciences 4th edition McGraw-Hill 1993

Ε Ι Κοντογιώργης copy 84

Συστήματα Εξισώσεων

I ´Ενα σύστημα εξισώσεων συνδυάζει περισσότερες από μίαεξισώσεις

I ´Ενα σύστημα m εξισώσεων όπου κάθε εξίσωσηαποτελείται από n μεταβλητές ονομάζεται mtimesnσύστημα ή λέμε ότι έχει διαστάσεις mtimesn

I ΠαράδειγμαΠαρακάτω έχουμε ένα σύστημα 2times2

5X+10Y= 203X+4Y= 10

Οι μεταβλητές σε αυτή την περίπτωση είναι X και YΕ Ι Κοντογιώργης copy 85

Συστήματα Επίλυσης

I Το Σύστημα επίλυσης είναι μια σειρά τιμών μεταβλητώνπου ικανοποιούν το σύστημα ταυτόχρονα

I Σε μια σημειογραφική παράσταση το προηγούμενοπαράδειγμα μπορεί να γραφτεί ως εξής

S = (XY) | 5X+10Y = 20 και 3X+4Y = 10

I Το σύστημα επίλυσης μπορεί να είναι1 μηδενικό2 πεπερασμένο ή3 άπειρο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 86

2times2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική Ανάλυση

I Σε ένα δισδιάστατο γράφημα ένα σύστημα εξισώσεων2times2 αναπαρίστανται με ευθείες γραμμές Υπόρχουν τρίαενδεχόμενα

1 Οι ευθείες τέμνονται Το σημείο τομής αντιπροσωπεύει τηλύση του συστήματος εξισώσεων Αυτό το σημείοαλληλεπίδρασης είναι μια δέσμη τιμών X και Y που ικανοποιείκαι τις δύο εξισώσειςΕάν υπάρχει μόνο μια δέσμη τιμών για τις μεταβλητές που ναικανοποιεί το σύστημα εξισώσεων το σύστημα λέμε ότι έχειΜ Λ

2 Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες μεταξύ τους ∆εν έχουν κοινόσημείο Συνεπώς οι ευθείες δεν τέμνονται ποτέ Το σύστημαλέμε ότι ∆ ΛΑυτό υπονοεί ότι δεν υπάρχουν τιμές για τις μεταβλητές πουνα ικανοποιούν και τις δύο εξισώσεις Σε αυτή τηνπερίπτωση οι εξισώσεις στο σύστημα είναι Α

3 Και οι δύο εξισώσεις αναπαρίστανται ως μια κοινή ευθεία καιθεωρούνται ισοδύναμες εξισώσεις ´Ετσι το σύστημα έχειΑ Λ Αυτό συμβαίνει γιατί υπάρχει άπειροςαριθμός κοινών σημείων στις δύο γραμμές

Ε Ι Κοντογιώργης copy 87

I Π Θεωρείστε ένα σύστημα 2times22X+4Y= 203X+ Y= 10

I

X

Y

(24)

3X +Y = 10

2X +4Y = 20

0 2 4 6 8 10 12

2

4

6

8

10

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 88

I Το σημείο τομής δίνεται από το X= 2 και Y= 4Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές του X και Y στις δύοεξισώσεις δίνουν 20 = 20 και 10 = 10 αντίστοιχα

I Αυτό υποδειλώνει ότι X= 2 και Y= 4 είναι η σωστή λύση

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times23Xminus2Y= 6

minus15X+10Y=minus30

I

X

Y

(20)

(0minus3)

3X minus2Y = 6

minus15X +10Y =minus30

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 89

I Οι δύο εξισώσεις απλοποιούνται σε Xminus 23 Y= 2

Οι δύο εξισώσεις είναι ισοδύναμες και δίνουν έναπεπερασμένο αριθμό λύσεων έτσι ώστε

X= 0 Y =minus3X= 2 Y = 0X= 4 Y = 3

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times26Xminus12Y= 24

minus32X+3Y= 9

Οι εξισώσεις απλοποιούνται σεXminus2Y= 4Xminus2Y=minus6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 90

I

X

Y

(40)

(0minus2)

(minus60)

(03)

X minus2Y =minus6

X minus2Y = 4

0-0

I Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες και συνεπώς το σύστημαδεν έχει λύση ´Ετσι το σύστημα εξισώσεων είναιασύμπτωτο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 91

Περίληψη 2times2 Συστήματα Εξισώσεων∆ίνεται ένα Σύστημα Γραμμικών Εξισώσεων 2times2

Y=m1X+ c1Y=m2X+ c2

1 Υπάρχει μια στο σύστημα εάνm1 6= m2

2 ∆εν υπάρχει στο σύστημα εάνm1 = m2 και c1 6= c2

3 Υπάρχει εάνm1 = m2 και c1 = c2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 92

∆ιαδικασίες Απαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής χρησιμοποιεί πολλαπλασιασμόκαι πρόσθεση έτσι ώστε

1 Να απαλοιφεί μια από τις δύο μεταβλητές

2 Η εξίσωση που εξάγεται είναι συνάρτηση των υπόλοιπωνμεταβλητών

3 Αντικαθιστώντας την τιμή στην μεταβλητή σε μια από τιςαρχικές εξισώσεις βρίσκουμε την τιμή για τηναπολοιφθήσα μεταβλητή

Ε Ι Κοντογιώργης copy 93

ΠαραδείγματαI Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

2X +4Y = 20 (1)3X + Y = 10 (2)

Πολλαπλασιάζοντας τη δεύτερη εξίσωση με minus4 παίρνουμε

minus12X minus4Y =minus40 (3)

Προσθέτοντας την εξίσωση (1) στο (3)

2X + 4Y = 20minus12X minus 4Y = minus40minus10X = minus20

ή

X = 2 (4)Ε Ι Κοντογιώργης copy 94

Αντικαθιστώντας X= 2 στην εξίσωση (1) δίνεται2 middot2+4Y = 20 ή Y=4

´Ετσι η μοναδική λύση του συστήματος δίνεται από τοX= 2 και Y= 4 Μπορεί να επιβεβαιωθεί ότι αυτή είναι ησωστή λύση αντικαθιστώντας X= 2 και Y= 4 στηνεξίσωση (1) και (2)

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times23X minus2Y = 6 (5)

minus15X +10Y =minus30 (6)

Για την απαλοιφή της μεταβλητής X η εξίσωση (5)πολλαπλασιάζεται με 5 και το αποτέλεσμα προστίθεταιστην εξίσωση (6)

15X minus 10Y = 30minus15X + 10Y = minus30

0 = 0 Ε Ι Κοντογιώργης copy 95

Οι τελευταίες πράξεις υπονοούν ότι οι εξίσωσεις (5) και(6) είναι ισοδύναμες και έτσι υπάρχει άπειρος αριθμόςλύσεωνΓια να προσδιορίσουμε τις λύσεις του συστήματος μια απότις αρχικές εξισώσεις λύνεται ως προς μια μεταβλητή Ανγια παράδειγμα η εξίσωση (5) λύνεται ως προς Y δίνει

Y =32Xminus3

Σαν αποτέλεσμα γενικεύοντας τις λύσεις του συστήματοςέχουμε

X τυχαίο και Y =32Xminus3

Πχ για X= 4 υπονοείται ότι Y=32 middot4minus3 = 3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 96

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

6X minus12Y = 24 (7)

minus32X +3Y = 9 (8)

Πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση (8) με 4 καιπροσθέτοντας το αποτέλεσμα στην εξίσωση (7)παίρνουμε

6X minus 12Y = 24minus6X + 12Y = 36

0 = 60

Η πιο πάνω αντιλογία υπονοεί ότι δεν υπάρχει λύση τουσυστήματος εξισώσεων

Ε Ι Κοντογιώργης copy 97

3times2 Συστήματα Εξισώσεων I

1 Μ Λ

X

Y

(32)

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minusY = 1

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 98

3times2 Συστήματα Εξισώσεων II

2 Α Λ

X

Y Εξις (1)Εξις (2)Εξις (3)

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 99

3times2 Συστήματα Εξισώσεων III3 Κ

(α) ´Οταν και οι τρεις εξισώσεις είναι παράλληλες

X

Y

2X minusY =minus8

2X minusY = 2

2X minusY = 12

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 100

3times2 Συστήματα Εξισώσεων IV(β) ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ τωνεξισώσεων

X

Y

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minus2Y =minus4

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 101

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική ΑνάλυσηΣε ένα γράφημα 2 διαστάσεων ένα σύστημα mtimes2(mgt2) εξισώσεων παριστάνεται με m ευθείες ´Οπωςσυμβαίνει στα συστήματα 2times2 υπάρχουν τρίαενδεχόμενα

1 ´Ολες οι ευθείες τέμνονται στο ίδιο σημείο και έτσιυπάρχει

2 ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ των mεξισώσεων Αυτό σημαίνει ότι όλες οι ευθείες είναιπαράλληλες Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα Λ

3 Οι m εξισώσεις είναι ισοδύναμες πχ παρασταίνονται σανμια ευθεία Σε αυτή την περίπτωση υπάρχει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 102

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων ∆ιαδικασίαΑπαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής για την επίλυση ενός συστήματοςmtimes2 μπορεί να περιγραφεί ως ακολούθωςΕπιλέξτε και λύστε σύστημα με δύο εξισώσεις

1 Εάν δεν υπάρχει λύση τότε ολόκληρο το σύστημα δεν έχειλύση

2 Εάν υπάρχει μοναδική λύση που ικανοποιεί τις υπόλοιπεςmminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα έχει μία μοναδική λύση

3 Εάν η λύση είναι μοναδική αλλά δεν ικανοποιεί τιςυπόλοιπες mminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα δεν έχει λύση

4 Εάν οι 2 λύσεις είναι ισοδύναμες απάλοιψτε τη μίααπό τις δύο εξισώσεις και ξεκινήστε από την αρχήλαμβάνοντας υπόψη ένα σύστημα (mminus1)times2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 103

ΠαράδείγμαI Θεωρείστε ένα σύστημα 5times2

XminusY= 1X+2Y=minus8

3Xminus2Y= 02Xminus5Y= 11minus4X+3Y=minus1

I Η λύση των πρώτων δύο εξισώσεων δίνετε απόY =minus3 και X =minus2

I Αντικαθιστώντας τη λύση στις υπόλοιπες τρεις εξισώσειςπαίρνετε αντίστοιχα

0 = 0 11 = 11 και minus1 =minus1I Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση

X=minus2 και Y=minus3Ε Ι Κοντογιώργης copy 104

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian

Η μέθοδος απολοιφής Gaussian μετατρέπει το αρχικόσύστημα εξισώσεων σε διαγώνια μορφή επαναλαμβάνονταςστις εξισώσεις τις ακόλουθες τρεις διαδικασίες

1 Πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης μεμια θετική σταθερά

2 Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού θα προστεθεί σεάλλη εξίσωση

3 Η σειρά των εξισώσεων μπορεί να αλλάξει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 105

ΠαράδείγμαΠ Θεωρείστε το σύστημα 2times2

2X minus 3Y = 7 (Εξ 1)X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με 12 για να πάρετε

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με minus1 καιπροσθέστε την στην (Εξ 2)

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

52Y =

152 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 106

Στάδιο 3 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 25

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

Y = 3 (Εξ 2)

Στάδιο 4 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 32 και

προσθέστε την στην (Εξ 1)

X = 1 (Εξ 1)Y = 3 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 107

Π Θεωρείστε το σύστημα 2times2

5X + 20Y = 254X minus 7Y =minus26

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να εκφραστεί ως

R1 5 20 25R2 4 minus7 minus26

Η κάθετη γραμμή χρησιμοποιείται για διαχωρισμό τηςαριστερής από τη δεξιά πλευρά των εξισώσεων Το Riυπονοεί τη γραμμή (Row) i

Ε Ι Κοντογιώργης copy 108

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάζουμε τη R1 με 15 και το θέτουμε

R1larr 15R1

R1 1 4 5R2 4 minus7 minus26

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάζουμε την R1 με minus4 και τηνπροσθέτουμε στην R2 Εν συντομίαR2larrminus4R1+R2

R1 1 4 5R2 0 minus23 minus46

Στάδιο 3 R2larrminus 123R2

R1 1 4 5R2 0 1 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 109

Στάδιο 4 R1larrminus4R2+R1

R1 1 0 minus3R2 0 1 2

Το αρχικό σύστημα εξισώσεων μετατρέπεται σε διαγώνιαμορφή όπως πιο κάτω

X =minus3Y = 2

το οποίο δίνει τη λύση του συστήματος

Ε Ι Κοντογιώργης copy 110

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 I

Το σύστημα εξισώσεων 3times3 μετετρέπεται σε διαγώνιαμορφή Η μετατροπή γίνεται στήλη με στήλη από τααριστερά προς τα δεξιά

Π Θεωρήστε το σύστημα 3times3

X1 + X2 + X3 = 2X1 minus 3X2 + 2X3 = 7

4X1 minus 2X2 minus X3 = 9

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να γραφτεί ως

Ε Ι Κοντογιώργης copy 111

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 II

1 1 1 21 minus3 2 74 minus2 minus1 9

Ε Ι Κοντογιώργης copy 112

I Γενικά1 logb(b) = 1 για οποιαδήποτε βάση b

2 logb(1) = 0 για οποιαδήποτε βάση b

3 logb(a) δεν ορίζεται για αρνητικά a

4 logb(0) δεν ορίζεται για οποιαδήποτε βάση b

5 logb(bn) = n για οποιαδήποτε βάση b

Ε Ι Κοντογιώργης copy 30

I Οι λογάριθμοι μπορούν να πάρουν οποιοδήποτε αριθμόσαν βάση αλλά δύο βάσεις είναι οι πιο χρήσιμες οlog-βάση-10 και ο log-βάση-e

I Η βάση-10 log συχνά ονομάζεται ο κοινός log καιγράφεται ως log(x) Εδώ δεν αναγράφεται βάση καιμπορούμε να υποθέσουμε ότι η βάση είναι 10

Πχ log(100) = 2 έτσι log10(102) = 2

I Η βάση-e log ονομάζεται ο φυσικός log και γράφεται σανln(x)Πχ ln(e345)= 345 καθώς loge(e345) = 345

Ε Ι Κοντογιώργης copy 31

Ιδιότητες Λογαρίθμωνlogb(xy) = logb(x) + logb(y)

Απόδειξη´Εστω m= logbx και n= logby

Γράψτε σε μορφή εκθέτη x= bm και y= bn

Πολλαπλασιάστε το x και y ούτως ώστεxy= bmbn = bm+n

´Ετσι από τον ορισμό των λογαρίθμων το xy= bm+nσυνεπάγει ότι

logb(xy) =m+n= logbx+ logb(y)

Πχ log2(4times16) = log2(64) = log2(26) = 6

Ακόμα log2(4times16) = log2(4) + log2(16) = 2+4 = 6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 32

logb(xy)

= logb(x)minus logb(y)

Απόδειξη´Εστω m= logbx και n= logby

Γράψτε σε μορφή εκθέτη x= bm και y= bn

∆ιαίρα το x και y ούτως ώστε xy =bmbn = bmminusn

´Ετσι από τον ορισμό των λογαρίθμων το xy = bmminusn

συνεπάγει ότι

logb(xy)

=mminusn= logbxminus logb(y)

Πχ log2(16

4)

= log2(4) = 2

και log2(16

4)

= log2(16)minus log2(4) = 4minus2 = 2Ε Ι Κοντογιώργης copy 33

logb(xn) = n logb(x)

Απόδειξη´Εστω m= logbx και γράψτε σε μορφή εκθέτη x= bm

Αυξάνοντας τις δύο πλευρές στην n δύναμη παίρνουμεxn = (bm)n = bmn

´Ετσι από τον ορισμό των λογαρίθμων τοlogbxn =mn= nm= n(logbx)

Πχ log2(64) = log2(26) = 6 log2(2) = 6

log(64) = 18

Επιπλέον log(64) = log(26) = 6log(2) = 6times030 = 18

Ε Ι Κοντογιώργης copy 34

logb(x) =loga(x)loga(b) agt0 a 6= 1

Απόδειξη´Εστω m= logbx rArr x= bm

Εφαρμόστε loga και στις δύο πλευρές του x= bmγια ναδώσει

logabm = logax rArr m logab= logaxrArr m=logaxlogab

rArr logbx=logaxlogab

Πχ log5(20) =log(20)

log(5)= 186 =

ln(20)

ln(5)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 35

logb(a) =1

loga(b) agt0 a 6= 1

Απόδειξη

logb(x) =loga(x)loga(b) =

logx(x)logx(b)

=1

loga(b)

´Οταν a= x

Πχ log2(64) =1

log64(2)=

116 = 6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 36

Αθροισμα

I Υποθέστε ότι έχουμε μια μεταβλητή x που μπορεί ναπάρει δέκα τιμές Εάν ενδιαφερόμαστε για το άθροισμάτους χωρίς να ξέρουμε την τιμή της κάθε μεταβλητής τότεο καλύτερος τρόπος να το εκφράσουμε είναι

x1 +x2 + middot middot middot+x9 +x10

I Εν συντομία το άθροισμα n στοιχείων x1 +x2 + middot middot middot+xn είναιnsum

i = 1xi

και ερμηνεύεται σαν το άθροισμα όλων των xirsquosξεκινώντας από το x1 (πχ i = 1) μέχρι xn (i = n)

I Εάν δε δοθεί διαφορετικά πάντοτε υποθέτουμε ότι το iαυξάνεται ξεκινώντας από το στάδιο 1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 37

I Το lsquolsquoSigmarsquorsquo Σ είναι γνωστό ως το άθροισμα (summation) ήσύμβολο σίγμα (sigma operator) και ο δείκτης i όνομάζεταιεικονική μεταβλητή

I Παραδείγματα

I

5sum

i = 1xi = x1 +x2 +x3 +x4 +x5

I

5sum

i = 1(y2

i ) = y21 +y22 +y23 +y24 +y25

Σημειώστε ότι η μόνη μεταβλητή που περιγράφεται απευθείαςκάτω από το σύμβολο Σ αυξάνεται κατά 1 κάθε φορά ενώ όλατα άλλα σύμβολα παραμένουν τα ίδια

I

4sum

r = 1(x3r ) = x31 +x32 +x33 +x34

Ε Ι Κοντογιώργης copy 38

I6sum

i = 1i = 1+2+3+4+5+6

I6sum

i = 1i2 = 12 +22 +32 +42 +52 +62

I7sum

i = 3xi = x3 +x4 +x5 +x6 +x7

I4sum

i = 1a = a+a+a+a= 4a

I3sum

i = 1(4+xi) = (4+x1) + (4+x2) + (4+x3)

=3sum

i = 14+

3sum

i = 1xi

Ε Ι Κοντογιώργης copy 39

I3sum

i = 1(2xi) = (2x1) + (2x2) + (2x3) = 2times

3sum

i = 1xi

I Ο συντελεστής i παραλείπεται εάν δε προκαλείαοριστία Για παράδειγμα Σx ή Σixi σημαίνειάθροισμα όλων των x που λαμβάνονται υπόψη

I ∆ήλωσηI

nsumi=1a= na

I sumiaxi = asum

ixi

I sumi

(axi+byi) = asumixi +bsum

iyi

Ε Ι Κοντογιώργης copy 40

I Αθροιστικός Τύπος

Insum

i = 1i = 1+2+ middot middot middot+n=

n(n+1)

2

Πχ6sumi = 1i = 1+2+3+4+5+6 =

6(6+1)

2 = 21

Insum

i = 1i2 = 12 +22 + middot middot middot+n2 =

n(n+1)(2n+1)

6

Πχ6sumi = 1i2 = 12 +22 +32 +42 +52 +62

=6(6+1)(12+1)

6 = 91

Ε Ι Κοντογιώργης copy 41

Insum

i = 1i3 = 13 +23 + middot middot middot+n3 =

n2(n+1)2

4

Πχ6sumi = 1i3 = 13 +23 +33 +43 +53 +63

=62(6+1)2

4 = 441

Ε Ι Κοντογιώργης copy 42

ΠαραδήγματαΑριθμητική Πρόοδος

I Γενικά μπορούμε να εκφράσουμε μια αριθμητική πρόοδο ωςεξής

αριθμητική πρόοδος a a+d a+2d a+3d

όπου ο πρώτος όρος είναι a και η διαφορά d Ο όρος nτης απ δίνεται από τη σχέση b = a+ (nminus1)d

I 3 5 7 9 11 είναι μια αριθμητική πρόοδος Οπρώτος όρος είναι το 3 και η διαφορά είναι 2

I 2 minus1 minus4 minus7 είναι μια αριθμητική πρόοδος όπου οπρώτος όρος είναι 2 και η διαφορά minus3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 43

I Το άθροισμα των όρων μιας αριθμητικής προόδου είναιγνωστό ως αριθμητική σειρά

Sn = a+ (a+d) + (a+2d) + middot middot middot+ (a+ (nminus1)d)

=nsumi=1

(a+ (iminus1)d

)= na+

nsumi=1

(iminus1)d

= na+dnminus1sumi=1

i = na+d(nminus1)n2

=n2(2a+d(nminus1)) =

n2(a+b) b = a+d(nminus1)

I ΑΠ 3 5 7 9 11 13 rArr Sn =62(3+13) = 48

Ε Ι Κοντογιώργης copy 44

∆ιπλό Αθροισμα4sumi=1

isumj=1

j = (1) + (1+2) + (1+2+3) + (1+2+3+4) = 20

nsumi=1

isumj=1

j =nsumi=1

( isumj=1

j)

nsumi=1

(12 i(i+1)

)=

12

nsumi=1

(i2 + i)

12( nsumi=1

i2 +nsumi=1

i)

=12(16n(n+1)(2n+1) +

12n(n+1)

)

=12

16n(n+1)

((2n+1) +3

)=

n6(n+1)(n+2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 45

∆ιπλό Αθροισμα

nsumi=1

msumj=1

(i+ j+2) =nsumi=1

( msumj=1

(i+ j+2))

nsumi=1

( msumj=1

i+msumj=1

j+msumj=1

2)

=nsumi=1

(mi+ 1

2m(m+1) +2m)

m( nsumi=1

i+ 12

nsumi=1

(m+5))

= m(12n(n+1) +

12n(m+5)

)

=mn2(m+n+6

)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 46

Insumr=1

1r(r+1)

=nsumr=1

(Ar +

Br+1

)=

nsumr=1

A(r+1) +Brr(r+1)

I A(r+1) +Br = 1

I Για r = 0 τότε A= 1 και για r =minus1 τότε B=minus1

I

nsumr=1

1r(r+1)

=nsumr=1

(1r minus

1r+1

)

=(

(11 minus

12) + (

12 minus

13) + (

13 minus

14) + middot middot middot+ (

1nminus1 minus

1n ) + (

1n minus

1n+1)

)

= 1minus 1n+1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 47

Insumk=1

1(k+2)(k+3)

=nsumk=1

( A(k+2)

+B

(k+3)

)=

nsumk=1

A(k+3) +B(k+2)

(k+2)(k+3)

I A(k+3) +B(k+2) = 1

I Για k=minus2 τότε A= 1 και για k=minus3 τότε B=minus1

I

nsumk=1

1(k+2)(k+3)

=nsumk=1

( 1(k+2)

minus 1(k+3)

)

=(

(13 minus

14)+(

14 minus

15)+(

15 minus

16)+ +(

1n+1 minus

1n+2)+(

1n+2 minus

1n+3)

)

=13 minus

1n+3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 48

Αθροισμα με Λογάριθμους

nsumi=1

logb(i) = logb(1) + logb(2) + middot middot middot+ logb(n)

= logb(1times2times3timesmiddotmiddot middottimesn)

= logb(n)

I Το n (n παραγοντικό) δίνεται από n = 1times2timesmiddotmiddot middottimesn και0 = 1

I100sumi=1

log2(100) = log2(100) =log(100)

log(2)=

log(99)

log(2)+

2log(2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 49

Γινόμενο των ακολουθιώνIn

prodi=1xi = x1timesx2timesx3timesmiddotmiddot middottimesxn

In

prodi=1i = 1times2times3timesmiddotmiddot middottimesn= n

In

prodi=1z= ztimesztimesmiddotmiddot middottimesz= zn

I

nprodi=1

(1+

1i+1

)=(1+

12)times(1+

13)times(1+

14)times times(1+

1n )times(1+

1n+1)

=32 times

43 times

54 timesmiddotmiddot middottimes

n+1n times n+2

n+1

=n+22

Ε Ι Κοντογιώργης copy 50

Γεωμετρικές ΠροόδοιI Μια γεωμετρική πρόοδος είναι μια σειρά αριθμών όπου

κάθε όρος μετά των πρώτο υπολογίζεται από τονπολλαπλασιασμό του προηγούμενου όρου με ένασταθερό αριθμό που καλείται αναλογία

I Η σειρά1 3 9 27 81 middot middot middot

είναι μια γεωμετρική πρόοδος με πρώτο όρο το 1 καιαναλογία 3

I Η αναλογία μπορεί να είναι κλάσμα καθώς επίσης καιαρνητικός αριθμός Για παράδειγμα η γεωμετρικήπρόοδος με πρώτο όρο το 2 και αναλογία minus13 είναι

2 minus 23 +

29 minus

227 +

281 middot middot middot

Ε Ι Κοντογιώργης copy 51

I Γενικά μπορούμε να γράψουμε μια γεωμετρική πρόοδο ωςακολούθως

γεωμετρική πρόοδος a ar ar2 ar3 ar4 middot middot middot

όπου ο πρώτος όρος είναι a και η αναλογία r

I Σημαντικά θεωρήματα των γεωμετρικών προόδων (γπ)1 Ο n όρος μιας γπ δίνεται από ar(nminus1)

2 Το άθροισμα των πρώτων n όρων μιας γπ είναι

Sn =a(1minus rn)

1minus r =a(rnminus1)

rminus1 και ισχύει μόνο αν r 6= 1

I Το άθροισμα των όρων μιας γεωμετρικής προόδουονομάζεται γεωμετρική σειρά

Ε Ι Κοντογιώργης copy 52

Γεωμετρική σειρά

Sn = a+ar+ar2 +ar3 + middot middot middot+arnminus2 +arnminus1

rSn = ar+ar2 +ar3 + arnminus1 +arn

Snminus rSn = aminusarn

(1minus r)Sn = a(1minus rn)

Sn =a(1minus rn)

(1minus r) =a(rnminus1)

(rminus1)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 53

I Παράδειγμα1 Βρείτε το άθροισμα των πρώτων 10 όρων μιας γεωμετρικής

σειράς4 8 16 32

Ο πρώτος όρος είναι a= 4 και η αναλογία r = 2 καιn= 10 ´Ετσι

S10 =4(1minus210)

1minus2 = 4092

2 Θεωρείστε τη γπ4 minus8 16 minus32 64 minus128 256 minus512

Σε αυτή την περίπτωση ο πρώτος όρος είναι a= 4 ηαναλογία είναι r =minus2 και n= 8´Ετσι

S8 =4(1minus (minus2)8)

1minus (minus2)=minus340

Ε Ι Κοντογιώργης copy 54

Συνεχείς ανατοκισμός

Οι περισσότεροι τραπεζικοί λογαριασμοί και τα δάνειαυιοθετούν ανατοκισμό - εφαρμόζοντας συνεχή ανατοκισμόΘεωρείστε ένα λογαριασμό που προσφέρει τόκο με ετήσιοεπιτόκιο r (πχ 7) Εάν το επιτόκιο είναι συνεχέςσε χρονιαία βάση τότε μετά από 1 χρόνο το χρονιαίοεπιτόκιο προστίθεται στο αρχικό κεφάλαιο για νακαθορίσει ένα μεγαλύτερο κεφάλαιο τον δεύτερο χρόνο

´Ετσι κατά τη διάρκεια του δεύτερου χρόνου ολογαριασμός κερδίζει επιτόκιο πάνω στο επιτόκιοΑυτή είναι η επίδραση του ανατοκισμού που συνεχίζεταιχρόνο με το χρόνο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 55

I Με τον ετήσιο ανατοκισμό το κεφάλαιο πουσυσσωρεύεται στο λογαριασμό πολλαπλασιάζεται με

(1+ r)

´Ετσι το κεφάλαιο A θα αυξηθεί σε

A(1+ r) = A+A middot r

τον επόμενο χρόνο

I Με το πέρας και του δεύτερου χρόνου το κεφάλαιο θααυξηθεί ακόμα (1+ r) σε (1+ r)2

´Ετσι το κεφάλαιο καταλήγει σε

A(1+ r)(1+ r) = A(1+ r)2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 56

I Κατά παρόμοιο τρόπο στο τέλος του τρίτου χρόνου τοποσό θα αυξηθεί κατά (1+ r)3

I Μετά από n χρόνια το ποσό θα αυξηθεί κατά (1+ r)n

I ´Ετσι το κεφάλαιο (επένδυση) A θα αυξηθεί με συνεχήανατοκισμό σε A(1+ r)n μετά από n χρόνια

I Ο τύπος (1+ r)n εκθέτει γεωμετρική αύξηση λόγω τηςn δύναμης

Ε Ι Κοντογιώργης copy 57

ΠαραδείγματαI Εάν το επιτόκιο είναι r = 5 τότε το κεφάλαιοA= $1000 που βρίσκεται στην τράπεζα n= 20 χρόνιαθα αυξηθεί κατά

(1+ r)n = (1+005)20 = 2653 φορές

´Ετσι το ποσό θα καταλήξειA(1+ r)n = $265330

I Βρέστε το χρόνο που χρειάζεται για ένα λογαργιασμό ναδιπλασιάσει το διαθέσιμο κεφάλαιο του όταν r = 7 καιr = 10Ζητούμε να βρούμε το n έτσι ώστε

(1+ r)n = 2Ε Ι Κοντογιώργης copy 58

I Υπολογίζοντας το λογάριθμο του τελευταίου παίρνουμε

log(1+ r)n = log(2)ή n log(1+ r) = log(2)

´Ετσιn=

log2log(1+ r)

I Για r = 7 και r = 10 ο χρόνος n πουχρειάζεται για διπλασιασμό της επένδυσης υπολογίζεταισε 1024 και 727 αντίστοιχα

Ε Ι Κοντογιώργης copy 59

I Αν το επιτόκιο είναι r = 7 τότε πιο θα είναι τοσυνολικό ποσό στο λογαριασμό μετά από 205 και41 χρόνια αντίστοιχα

Μετά τα πρώτα 1025 χρόνια το ποσό A θαδιπλασιαστεί σε 2A Για τα επόμενα 1025 χρόνιατο ποσό θα ξαναδιπλασιαστεί σε 4A ´Ετσι μετά από205 χρόνια το ποσό θα αυξηθεί κατά 4 φορές

Με το πέρας ακόμα 205 χρόνων το ποσό θα αυξηθείακόμα 4 φορές σε 16 ´Ετσι μετά από 41 χρόνιατο κεφάλαιο A γίνεται 16A

Ε Ι Κοντογιώργης copy 60

Ασκήσεις και Παραδείγματα

I Υπολογίστε τη Μελλοντική Αξία (Future Value (FV)) τουκεφαλαίου A= 1500 που κερδίζει ετήσιο επιτόκιοr = 5 για n= 10 έτη

FV =A(1+ r)n = 1500(1+005)10 = 244334

I Πόσα έτη απαιτούνται για να τριπλασιαστεί ένα ποσόπου αφήνετε στην τράπεζα με επιτόκιο r = 5∆ηλαδή βρείτε το n όπου A= 1 r = 5 και FV = 3

FV =A(1+ r)n ή (1+ r)n =FVA

Ε Ι Κοντογιώργης copy 61

Υπολογίζοντας τους λογαρίθμους παίρνουμε

log(1+ r)n = log(FVA)

ή n log(1+ r) = log(FVA)

´Ετσι

n=log(FVA)

log(1+ r) =log(3)

log(105)

= 2252

Ε Ι Κοντογιώργης copy 62

I Βρείτε την παρούσα αξία A έτσι ώστε σε δέκα έτη μεσταθερό επιτόκιο r = 6 να είναι 100KΒρείτε το A όπου FV = 100000 r = 6 και n= 10

FV =A(1+ r)n ή A=FV

(1+ r)n

´Ετσι A=100000

(106)10= 5583948

I Βρείτε την ετησιοποιημένη απόδοση (AER AnnualEquivalent Rate) μιας μηνιαίας κατάθεσης με σταθερόεπιτοκίο 394 Μια τέτοια κατάθεση λαμβάνει το επιτόκιο στη λήξηΣυνεπώς κάθε μήνα ο λογαριασμός λαμβάνει

r = 0039412 = 000328

επιτόκιο που επανεπενδύεται (συνεχής ανατοκισμός)Ε Ι Κοντογιώργης copy 63

Επανεπενδύοντας το επιτόκιο κάθε μήνα στη διάρκειαενός έτους το κεφάλαιο θα αυξηθεί σε

(1+ r)12 = (1+000328)12 = 104012

´Ετσι το ΑΕΡ είναι ισοδύναμο με 004012 = 4012I Υπολογίστε το επιτόκιο ενός σταθερού λογαριασμού

κατάθεσης 7-ημερών που έχει AER επιτόκιο r = 425Θεωρείστε ρ το εβδομαδιαίο επιτόκιο

´Ετσι (1+ρ)52 = (1+00425)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 64

Παίρνοντας τους λογαρίθμους έχουμε52log(1+ρ) = log10425

ή log(1+ρ) =log10425

52

ή 1+ρ= 10( log10425

52)

Αυτό μας δίνει

ρ= 10

( log1042552

)minus1 = 008

´Ετσι το συνεχές επιτόκιο μιας επταήμερης κατάθεσης είναιρtimes52 = 41638

Εναλλακτικά (1+ρ)52 = (1+00425) δίνει

(1+ρ) =52radic10425ή ρ=

52radic10425minus = 008Ε Ι Κοντογιώργης copy 65

I Υπολογίστε την ετήσια απόδοση r έτσι ώστε A= 10000να επιστρέφει FV = 35000 σε n= 20 χρόνια

FV =A(1+ r)n ή (1+ r)n =FVA

´Ετσι

1+ r =nradic

FVA

Επομένως

r =nradic

FVA minus1 =

20radic

3500010000 minus1 = 00646 = 646

Ε Ι Κοντογιώργης copy 66

Εναλλακτικά παίρνοντας τους λογαρίθμους

log(1+ r)n = log(FVA) ή n log(1+ r) = log

(FVA)

´Ετσι

1+ r = 10(1n log

(FVA))

ή r = 10(1n log

(FVA))minus1

= 10( 120 log

(3500010000

))minus1

= 646

Ε Ι Κοντογιώργης copy 67

Γραφική Αναπαράσταση I

I Υποθέστε ότι έχουμε y= 3x+2 Καθώς έχουμε μόνο μιαδύναμη για το x πρέπει να λύσουμε γραμμική εξίσωσηκαι να σχεδιάσουμε μια ευθεία γραμμή Αρχικά θα πρέπεινα σχεδιάσουμε ένα T-chart Αυτό έχει τη μορφή

x y = 3x+2 (xy)

I Επιλέγουμε μια τιμή για το x και λύνουμε ως προς y

x y= 3x+2 (xy)minus2 minus4 (minus2minus4)0 2 (02)2 8 (28)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 68

Γραφική Αναπαράσταση II

-

6

X

Y

bull

bull

bull

I Βλέπουμε μια ευθεία με ανοδική τάση (έχοντας θετικήκλίση m= 3) καιτέμνει τον άξονα y στο σημείο y= 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 69

Γραφική Αναπαράσταση III

I Μια Τετραγωνική εξίσωση περιέχει x2 Για τηναναπαράσταση τετραγωνικών εξισώσεων χρειάζεται ναβρούμε περισσότερα από τρία σημεία στο σχεδιάγραμμα

Για παράδειγμα υποθέστε ότι y= x2minus6x+5 καιδίνεται το πιο κάτω T-chart

x y= x2minus6x+5 (xy)0 5 (05)1 0 (10)3 minus4 (3minus4)5 0 (50)6 5 (65)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 70

Γραφική Αναπαράσταση IV

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

-

6

X

Y

bull

bull

bull

bull

bull

Ε Ι Κοντογιώργης copy 71

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(1x + 2)

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(-3x + 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 72

-15

-10

-5

0

5

10

15

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(3x - 2)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 73

-20

0

20

40

60

80

100

120

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2+x)

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 74

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

1250

1500

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3+x2+x)

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x4)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 75

-25

-2

-15

-1

-05

0

05

1

15

2

25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(log(x))

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(x))

Ε Ι Κοντογιώργης copy 76

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(-x))

-5000

0

5000

10000

15000

20000

25000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(exp(x)+x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 77

Ανισότητες I

I Οι ανισότητες αποτελούνται από δύο ή τρεις αλγεβρικέςεκφράσεις που είναι συνδεδεμένες με τα σύμβολαανισότητας Τα σύμβολα αυτά είναι

lt μικρότερο τουgt μεγαλύτερο τουle μικρότερο ή ίσο τουge μεγαλύτερο ή ίσο του

I Παραδείγματα xgty yge x2 και ylt5x+1

I Το πρώτο βήμα για την αναπαράσταση ανισότητας τηςμορφής ygtx είναι να παραστήσουμε γραφικά τηνισότητα y= x

Ε Ι Κοντογιώργης copy 78

Ανισότητες II

I ygtx

Κάνετε δοκιμή με ένα σημείο να δείτε κατά πόσοικανοποιεί την ανισότητα Εάν ναι τότε σκιάστε τηνπεριοχή αυτή του σχεδιαγράμματος διαφορετικά σκιάστετην άλλη πλευρά

Ε Ι Κοντογιώργης copy 79

Ανισότητες III

I yltx

Ε Ι Κοντογιώργης copy 80

Ανισότητες IV

I yle 5x+1 και ygt5x+1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 81

Ανισότητες V

I yge x2 και yle x2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 82

Ανισότητες VI

I ygtx3 και yle x3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 83

Συστήματα Γραμμικών ΕξισώσεωνΠεριεχόμενα

1 Ε

2 Γ Α

ΑναφορέςΚεφάλαια 4 και 5FS Budnick Applied Mathematics for Business Economicsand the Social Sciences 4th edition McGraw-Hill 1993

Ε Ι Κοντογιώργης copy 84

Συστήματα Εξισώσεων

I ´Ενα σύστημα εξισώσεων συνδυάζει περισσότερες από μίαεξισώσεις

I ´Ενα σύστημα m εξισώσεων όπου κάθε εξίσωσηαποτελείται από n μεταβλητές ονομάζεται mtimesnσύστημα ή λέμε ότι έχει διαστάσεις mtimesn

I ΠαράδειγμαΠαρακάτω έχουμε ένα σύστημα 2times2

5X+10Y= 203X+4Y= 10

Οι μεταβλητές σε αυτή την περίπτωση είναι X και YΕ Ι Κοντογιώργης copy 85

Συστήματα Επίλυσης

I Το Σύστημα επίλυσης είναι μια σειρά τιμών μεταβλητώνπου ικανοποιούν το σύστημα ταυτόχρονα

I Σε μια σημειογραφική παράσταση το προηγούμενοπαράδειγμα μπορεί να γραφτεί ως εξής

S = (XY) | 5X+10Y = 20 και 3X+4Y = 10

I Το σύστημα επίλυσης μπορεί να είναι1 μηδενικό2 πεπερασμένο ή3 άπειρο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 86

2times2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική Ανάλυση

I Σε ένα δισδιάστατο γράφημα ένα σύστημα εξισώσεων2times2 αναπαρίστανται με ευθείες γραμμές Υπόρχουν τρίαενδεχόμενα

1 Οι ευθείες τέμνονται Το σημείο τομής αντιπροσωπεύει τηλύση του συστήματος εξισώσεων Αυτό το σημείοαλληλεπίδρασης είναι μια δέσμη τιμών X και Y που ικανοποιείκαι τις δύο εξισώσειςΕάν υπάρχει μόνο μια δέσμη τιμών για τις μεταβλητές που ναικανοποιεί το σύστημα εξισώσεων το σύστημα λέμε ότι έχειΜ Λ

2 Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες μεταξύ τους ∆εν έχουν κοινόσημείο Συνεπώς οι ευθείες δεν τέμνονται ποτέ Το σύστημαλέμε ότι ∆ ΛΑυτό υπονοεί ότι δεν υπάρχουν τιμές για τις μεταβλητές πουνα ικανοποιούν και τις δύο εξισώσεις Σε αυτή τηνπερίπτωση οι εξισώσεις στο σύστημα είναι Α

3 Και οι δύο εξισώσεις αναπαρίστανται ως μια κοινή ευθεία καιθεωρούνται ισοδύναμες εξισώσεις ´Ετσι το σύστημα έχειΑ Λ Αυτό συμβαίνει γιατί υπάρχει άπειροςαριθμός κοινών σημείων στις δύο γραμμές

Ε Ι Κοντογιώργης copy 87

I Π Θεωρείστε ένα σύστημα 2times22X+4Y= 203X+ Y= 10

I

X

Y

(24)

3X +Y = 10

2X +4Y = 20

0 2 4 6 8 10 12

2

4

6

8

10

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 88

I Το σημείο τομής δίνεται από το X= 2 και Y= 4Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές του X και Y στις δύοεξισώσεις δίνουν 20 = 20 και 10 = 10 αντίστοιχα

I Αυτό υποδειλώνει ότι X= 2 και Y= 4 είναι η σωστή λύση

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times23Xminus2Y= 6

minus15X+10Y=minus30

I

X

Y

(20)

(0minus3)

3X minus2Y = 6

minus15X +10Y =minus30

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 89

I Οι δύο εξισώσεις απλοποιούνται σε Xminus 23 Y= 2

Οι δύο εξισώσεις είναι ισοδύναμες και δίνουν έναπεπερασμένο αριθμό λύσεων έτσι ώστε

X= 0 Y =minus3X= 2 Y = 0X= 4 Y = 3

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times26Xminus12Y= 24

minus32X+3Y= 9

Οι εξισώσεις απλοποιούνται σεXminus2Y= 4Xminus2Y=minus6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 90

I

X

Y

(40)

(0minus2)

(minus60)

(03)

X minus2Y =minus6

X minus2Y = 4

0-0

I Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες και συνεπώς το σύστημαδεν έχει λύση ´Ετσι το σύστημα εξισώσεων είναιασύμπτωτο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 91

Περίληψη 2times2 Συστήματα Εξισώσεων∆ίνεται ένα Σύστημα Γραμμικών Εξισώσεων 2times2

Y=m1X+ c1Y=m2X+ c2

1 Υπάρχει μια στο σύστημα εάνm1 6= m2

2 ∆εν υπάρχει στο σύστημα εάνm1 = m2 και c1 6= c2

3 Υπάρχει εάνm1 = m2 και c1 = c2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 92

∆ιαδικασίες Απαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής χρησιμοποιεί πολλαπλασιασμόκαι πρόσθεση έτσι ώστε

1 Να απαλοιφεί μια από τις δύο μεταβλητές

2 Η εξίσωση που εξάγεται είναι συνάρτηση των υπόλοιπωνμεταβλητών

3 Αντικαθιστώντας την τιμή στην μεταβλητή σε μια από τιςαρχικές εξισώσεις βρίσκουμε την τιμή για τηναπολοιφθήσα μεταβλητή

Ε Ι Κοντογιώργης copy 93

ΠαραδείγματαI Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

2X +4Y = 20 (1)3X + Y = 10 (2)

Πολλαπλασιάζοντας τη δεύτερη εξίσωση με minus4 παίρνουμε

minus12X minus4Y =minus40 (3)

Προσθέτοντας την εξίσωση (1) στο (3)

2X + 4Y = 20minus12X minus 4Y = minus40minus10X = minus20

ή

X = 2 (4)Ε Ι Κοντογιώργης copy 94

Αντικαθιστώντας X= 2 στην εξίσωση (1) δίνεται2 middot2+4Y = 20 ή Y=4

´Ετσι η μοναδική λύση του συστήματος δίνεται από τοX= 2 και Y= 4 Μπορεί να επιβεβαιωθεί ότι αυτή είναι ησωστή λύση αντικαθιστώντας X= 2 και Y= 4 στηνεξίσωση (1) και (2)

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times23X minus2Y = 6 (5)

minus15X +10Y =minus30 (6)

Για την απαλοιφή της μεταβλητής X η εξίσωση (5)πολλαπλασιάζεται με 5 και το αποτέλεσμα προστίθεταιστην εξίσωση (6)

15X minus 10Y = 30minus15X + 10Y = minus30

0 = 0 Ε Ι Κοντογιώργης copy 95

Οι τελευταίες πράξεις υπονοούν ότι οι εξίσωσεις (5) και(6) είναι ισοδύναμες και έτσι υπάρχει άπειρος αριθμόςλύσεωνΓια να προσδιορίσουμε τις λύσεις του συστήματος μια απότις αρχικές εξισώσεις λύνεται ως προς μια μεταβλητή Ανγια παράδειγμα η εξίσωση (5) λύνεται ως προς Y δίνει

Y =32Xminus3

Σαν αποτέλεσμα γενικεύοντας τις λύσεις του συστήματοςέχουμε

X τυχαίο και Y =32Xminus3

Πχ για X= 4 υπονοείται ότι Y=32 middot4minus3 = 3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 96

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

6X minus12Y = 24 (7)

minus32X +3Y = 9 (8)

Πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση (8) με 4 καιπροσθέτοντας το αποτέλεσμα στην εξίσωση (7)παίρνουμε

6X minus 12Y = 24minus6X + 12Y = 36

0 = 60

Η πιο πάνω αντιλογία υπονοεί ότι δεν υπάρχει λύση τουσυστήματος εξισώσεων

Ε Ι Κοντογιώργης copy 97

3times2 Συστήματα Εξισώσεων I

1 Μ Λ

X

Y

(32)

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minusY = 1

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 98

3times2 Συστήματα Εξισώσεων II

2 Α Λ

X

Y Εξις (1)Εξις (2)Εξις (3)

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 99

3times2 Συστήματα Εξισώσεων III3 Κ

(α) ´Οταν και οι τρεις εξισώσεις είναι παράλληλες

X

Y

2X minusY =minus8

2X minusY = 2

2X minusY = 12

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 100

3times2 Συστήματα Εξισώσεων IV(β) ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ τωνεξισώσεων

X

Y

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minus2Y =minus4

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 101

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική ΑνάλυσηΣε ένα γράφημα 2 διαστάσεων ένα σύστημα mtimes2(mgt2) εξισώσεων παριστάνεται με m ευθείες ´Οπωςσυμβαίνει στα συστήματα 2times2 υπάρχουν τρίαενδεχόμενα

1 ´Ολες οι ευθείες τέμνονται στο ίδιο σημείο και έτσιυπάρχει

2 ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ των mεξισώσεων Αυτό σημαίνει ότι όλες οι ευθείες είναιπαράλληλες Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα Λ

3 Οι m εξισώσεις είναι ισοδύναμες πχ παρασταίνονται σανμια ευθεία Σε αυτή την περίπτωση υπάρχει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 102

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων ∆ιαδικασίαΑπαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής για την επίλυση ενός συστήματοςmtimes2 μπορεί να περιγραφεί ως ακολούθωςΕπιλέξτε και λύστε σύστημα με δύο εξισώσεις

1 Εάν δεν υπάρχει λύση τότε ολόκληρο το σύστημα δεν έχειλύση

2 Εάν υπάρχει μοναδική λύση που ικανοποιεί τις υπόλοιπεςmminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα έχει μία μοναδική λύση

3 Εάν η λύση είναι μοναδική αλλά δεν ικανοποιεί τιςυπόλοιπες mminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα δεν έχει λύση

4 Εάν οι 2 λύσεις είναι ισοδύναμες απάλοιψτε τη μίααπό τις δύο εξισώσεις και ξεκινήστε από την αρχήλαμβάνοντας υπόψη ένα σύστημα (mminus1)times2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 103

ΠαράδείγμαI Θεωρείστε ένα σύστημα 5times2

XminusY= 1X+2Y=minus8

3Xminus2Y= 02Xminus5Y= 11minus4X+3Y=minus1

I Η λύση των πρώτων δύο εξισώσεων δίνετε απόY =minus3 και X =minus2

I Αντικαθιστώντας τη λύση στις υπόλοιπες τρεις εξισώσειςπαίρνετε αντίστοιχα

0 = 0 11 = 11 και minus1 =minus1I Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση

X=minus2 και Y=minus3Ε Ι Κοντογιώργης copy 104

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian

Η μέθοδος απολοιφής Gaussian μετατρέπει το αρχικόσύστημα εξισώσεων σε διαγώνια μορφή επαναλαμβάνονταςστις εξισώσεις τις ακόλουθες τρεις διαδικασίες

1 Πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης μεμια θετική σταθερά

2 Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού θα προστεθεί σεάλλη εξίσωση

3 Η σειρά των εξισώσεων μπορεί να αλλάξει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 105

ΠαράδείγμαΠ Θεωρείστε το σύστημα 2times2

2X minus 3Y = 7 (Εξ 1)X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με 12 για να πάρετε

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με minus1 καιπροσθέστε την στην (Εξ 2)

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

52Y =

152 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 106

Στάδιο 3 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 25

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

Y = 3 (Εξ 2)

Στάδιο 4 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 32 και

προσθέστε την στην (Εξ 1)

X = 1 (Εξ 1)Y = 3 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 107

Π Θεωρείστε το σύστημα 2times2

5X + 20Y = 254X minus 7Y =minus26

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να εκφραστεί ως

R1 5 20 25R2 4 minus7 minus26

Η κάθετη γραμμή χρησιμοποιείται για διαχωρισμό τηςαριστερής από τη δεξιά πλευρά των εξισώσεων Το Riυπονοεί τη γραμμή (Row) i

Ε Ι Κοντογιώργης copy 108

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάζουμε τη R1 με 15 και το θέτουμε

R1larr 15R1

R1 1 4 5R2 4 minus7 minus26

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάζουμε την R1 με minus4 και τηνπροσθέτουμε στην R2 Εν συντομίαR2larrminus4R1+R2

R1 1 4 5R2 0 minus23 minus46

Στάδιο 3 R2larrminus 123R2

R1 1 4 5R2 0 1 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 109

Στάδιο 4 R1larrminus4R2+R1

R1 1 0 minus3R2 0 1 2

Το αρχικό σύστημα εξισώσεων μετατρέπεται σε διαγώνιαμορφή όπως πιο κάτω

X =minus3Y = 2

το οποίο δίνει τη λύση του συστήματος

Ε Ι Κοντογιώργης copy 110

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 I

Το σύστημα εξισώσεων 3times3 μετετρέπεται σε διαγώνιαμορφή Η μετατροπή γίνεται στήλη με στήλη από τααριστερά προς τα δεξιά

Π Θεωρήστε το σύστημα 3times3

X1 + X2 + X3 = 2X1 minus 3X2 + 2X3 = 7

4X1 minus 2X2 minus X3 = 9

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να γραφτεί ως

Ε Ι Κοντογιώργης copy 111

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 II

1 1 1 21 minus3 2 74 minus2 minus1 9

Ε Ι Κοντογιώργης copy 112

I Οι λογάριθμοι μπορούν να πάρουν οποιοδήποτε αριθμόσαν βάση αλλά δύο βάσεις είναι οι πιο χρήσιμες οlog-βάση-10 και ο log-βάση-e

I Η βάση-10 log συχνά ονομάζεται ο κοινός log καιγράφεται ως log(x) Εδώ δεν αναγράφεται βάση καιμπορούμε να υποθέσουμε ότι η βάση είναι 10

Πχ log(100) = 2 έτσι log10(102) = 2

I Η βάση-e log ονομάζεται ο φυσικός log και γράφεται σανln(x)Πχ ln(e345)= 345 καθώς loge(e345) = 345

Ε Ι Κοντογιώργης copy 31

Ιδιότητες Λογαρίθμωνlogb(xy) = logb(x) + logb(y)

Απόδειξη´Εστω m= logbx και n= logby

Γράψτε σε μορφή εκθέτη x= bm και y= bn

Πολλαπλασιάστε το x και y ούτως ώστεxy= bmbn = bm+n

´Ετσι από τον ορισμό των λογαρίθμων το xy= bm+nσυνεπάγει ότι

logb(xy) =m+n= logbx+ logb(y)

Πχ log2(4times16) = log2(64) = log2(26) = 6

Ακόμα log2(4times16) = log2(4) + log2(16) = 2+4 = 6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 32

logb(xy)

= logb(x)minus logb(y)

Απόδειξη´Εστω m= logbx και n= logby

Γράψτε σε μορφή εκθέτη x= bm και y= bn

∆ιαίρα το x και y ούτως ώστε xy =bmbn = bmminusn

´Ετσι από τον ορισμό των λογαρίθμων το xy = bmminusn

συνεπάγει ότι

logb(xy)

=mminusn= logbxminus logb(y)

Πχ log2(16

4)

= log2(4) = 2

και log2(16

4)

= log2(16)minus log2(4) = 4minus2 = 2Ε Ι Κοντογιώργης copy 33

logb(xn) = n logb(x)

Απόδειξη´Εστω m= logbx και γράψτε σε μορφή εκθέτη x= bm

Αυξάνοντας τις δύο πλευρές στην n δύναμη παίρνουμεxn = (bm)n = bmn

´Ετσι από τον ορισμό των λογαρίθμων τοlogbxn =mn= nm= n(logbx)

Πχ log2(64) = log2(26) = 6 log2(2) = 6

log(64) = 18

Επιπλέον log(64) = log(26) = 6log(2) = 6times030 = 18

Ε Ι Κοντογιώργης copy 34

logb(x) =loga(x)loga(b) agt0 a 6= 1

Απόδειξη´Εστω m= logbx rArr x= bm

Εφαρμόστε loga και στις δύο πλευρές του x= bmγια ναδώσει

logabm = logax rArr m logab= logaxrArr m=logaxlogab

rArr logbx=logaxlogab

Πχ log5(20) =log(20)

log(5)= 186 =

ln(20)

ln(5)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 35

logb(a) =1

loga(b) agt0 a 6= 1

Απόδειξη

logb(x) =loga(x)loga(b) =

logx(x)logx(b)

=1

loga(b)

´Οταν a= x

Πχ log2(64) =1

log64(2)=

116 = 6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 36

Αθροισμα

I Υποθέστε ότι έχουμε μια μεταβλητή x που μπορεί ναπάρει δέκα τιμές Εάν ενδιαφερόμαστε για το άθροισμάτους χωρίς να ξέρουμε την τιμή της κάθε μεταβλητής τότεο καλύτερος τρόπος να το εκφράσουμε είναι

x1 +x2 + middot middot middot+x9 +x10

I Εν συντομία το άθροισμα n στοιχείων x1 +x2 + middot middot middot+xn είναιnsum

i = 1xi

και ερμηνεύεται σαν το άθροισμα όλων των xirsquosξεκινώντας από το x1 (πχ i = 1) μέχρι xn (i = n)

I Εάν δε δοθεί διαφορετικά πάντοτε υποθέτουμε ότι το iαυξάνεται ξεκινώντας από το στάδιο 1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 37

I Το lsquolsquoSigmarsquorsquo Σ είναι γνωστό ως το άθροισμα (summation) ήσύμβολο σίγμα (sigma operator) και ο δείκτης i όνομάζεταιεικονική μεταβλητή

I Παραδείγματα

I

5sum

i = 1xi = x1 +x2 +x3 +x4 +x5

I

5sum

i = 1(y2

i ) = y21 +y22 +y23 +y24 +y25

Σημειώστε ότι η μόνη μεταβλητή που περιγράφεται απευθείαςκάτω από το σύμβολο Σ αυξάνεται κατά 1 κάθε φορά ενώ όλατα άλλα σύμβολα παραμένουν τα ίδια

I

4sum

r = 1(x3r ) = x31 +x32 +x33 +x34

Ε Ι Κοντογιώργης copy 38

I6sum

i = 1i = 1+2+3+4+5+6

I6sum

i = 1i2 = 12 +22 +32 +42 +52 +62

I7sum

i = 3xi = x3 +x4 +x5 +x6 +x7

I4sum

i = 1a = a+a+a+a= 4a

I3sum

i = 1(4+xi) = (4+x1) + (4+x2) + (4+x3)

=3sum

i = 14+

3sum

i = 1xi

Ε Ι Κοντογιώργης copy 39

I3sum

i = 1(2xi) = (2x1) + (2x2) + (2x3) = 2times

3sum

i = 1xi

I Ο συντελεστής i παραλείπεται εάν δε προκαλείαοριστία Για παράδειγμα Σx ή Σixi σημαίνειάθροισμα όλων των x που λαμβάνονται υπόψη

I ∆ήλωσηI

nsumi=1a= na

I sumiaxi = asum

ixi

I sumi

(axi+byi) = asumixi +bsum

iyi

Ε Ι Κοντογιώργης copy 40

I Αθροιστικός Τύπος

Insum

i = 1i = 1+2+ middot middot middot+n=

n(n+1)

2

Πχ6sumi = 1i = 1+2+3+4+5+6 =

6(6+1)

2 = 21

Insum

i = 1i2 = 12 +22 + middot middot middot+n2 =

n(n+1)(2n+1)

6

Πχ6sumi = 1i2 = 12 +22 +32 +42 +52 +62

=6(6+1)(12+1)

6 = 91

Ε Ι Κοντογιώργης copy 41

Insum

i = 1i3 = 13 +23 + middot middot middot+n3 =

n2(n+1)2

4

Πχ6sumi = 1i3 = 13 +23 +33 +43 +53 +63

=62(6+1)2

4 = 441

Ε Ι Κοντογιώργης copy 42

ΠαραδήγματαΑριθμητική Πρόοδος

I Γενικά μπορούμε να εκφράσουμε μια αριθμητική πρόοδο ωςεξής

αριθμητική πρόοδος a a+d a+2d a+3d

όπου ο πρώτος όρος είναι a και η διαφορά d Ο όρος nτης απ δίνεται από τη σχέση b = a+ (nminus1)d

I 3 5 7 9 11 είναι μια αριθμητική πρόοδος Οπρώτος όρος είναι το 3 και η διαφορά είναι 2

I 2 minus1 minus4 minus7 είναι μια αριθμητική πρόοδος όπου οπρώτος όρος είναι 2 και η διαφορά minus3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 43

I Το άθροισμα των όρων μιας αριθμητικής προόδου είναιγνωστό ως αριθμητική σειρά

Sn = a+ (a+d) + (a+2d) + middot middot middot+ (a+ (nminus1)d)

=nsumi=1

(a+ (iminus1)d

)= na+

nsumi=1

(iminus1)d

= na+dnminus1sumi=1

i = na+d(nminus1)n2

=n2(2a+d(nminus1)) =

n2(a+b) b = a+d(nminus1)

I ΑΠ 3 5 7 9 11 13 rArr Sn =62(3+13) = 48

Ε Ι Κοντογιώργης copy 44

∆ιπλό Αθροισμα4sumi=1

isumj=1

j = (1) + (1+2) + (1+2+3) + (1+2+3+4) = 20

nsumi=1

isumj=1

j =nsumi=1

( isumj=1

j)

nsumi=1

(12 i(i+1)

)=

12

nsumi=1

(i2 + i)

12( nsumi=1

i2 +nsumi=1

i)

=12(16n(n+1)(2n+1) +

12n(n+1)

)

=12

16n(n+1)

((2n+1) +3

)=

n6(n+1)(n+2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 45

∆ιπλό Αθροισμα

nsumi=1

msumj=1

(i+ j+2) =nsumi=1

( msumj=1

(i+ j+2))

nsumi=1

( msumj=1

i+msumj=1

j+msumj=1

2)

=nsumi=1

(mi+ 1

2m(m+1) +2m)

m( nsumi=1

i+ 12

nsumi=1

(m+5))

= m(12n(n+1) +

12n(m+5)

)

=mn2(m+n+6

)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 46

Insumr=1

1r(r+1)

=nsumr=1

(Ar +

Br+1

)=

nsumr=1

A(r+1) +Brr(r+1)

I A(r+1) +Br = 1

I Για r = 0 τότε A= 1 και για r =minus1 τότε B=minus1

I

nsumr=1

1r(r+1)

=nsumr=1

(1r minus

1r+1

)

=(

(11 minus

12) + (

12 minus

13) + (

13 minus

14) + middot middot middot+ (

1nminus1 minus

1n ) + (

1n minus

1n+1)

)

= 1minus 1n+1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 47

Insumk=1

1(k+2)(k+3)

=nsumk=1

( A(k+2)

+B

(k+3)

)=

nsumk=1

A(k+3) +B(k+2)

(k+2)(k+3)

I A(k+3) +B(k+2) = 1

I Για k=minus2 τότε A= 1 και για k=minus3 τότε B=minus1

I

nsumk=1

1(k+2)(k+3)

=nsumk=1

( 1(k+2)

minus 1(k+3)

)

=(

(13 minus

14)+(

14 minus

15)+(

15 minus

16)+ +(

1n+1 minus

1n+2)+(

1n+2 minus

1n+3)

)

=13 minus

1n+3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 48

Αθροισμα με Λογάριθμους

nsumi=1

logb(i) = logb(1) + logb(2) + middot middot middot+ logb(n)

= logb(1times2times3timesmiddotmiddot middottimesn)

= logb(n)

I Το n (n παραγοντικό) δίνεται από n = 1times2timesmiddotmiddot middottimesn και0 = 1

I100sumi=1

log2(100) = log2(100) =log(100)

log(2)=

log(99)

log(2)+

2log(2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 49

Γινόμενο των ακολουθιώνIn

prodi=1xi = x1timesx2timesx3timesmiddotmiddot middottimesxn

In

prodi=1i = 1times2times3timesmiddotmiddot middottimesn= n

In

prodi=1z= ztimesztimesmiddotmiddot middottimesz= zn

I

nprodi=1

(1+

1i+1

)=(1+

12)times(1+

13)times(1+

14)times times(1+

1n )times(1+

1n+1)

=32 times

43 times

54 timesmiddotmiddot middottimes

n+1n times n+2

n+1

=n+22

Ε Ι Κοντογιώργης copy 50

Γεωμετρικές ΠροόδοιI Μια γεωμετρική πρόοδος είναι μια σειρά αριθμών όπου

κάθε όρος μετά των πρώτο υπολογίζεται από τονπολλαπλασιασμό του προηγούμενου όρου με ένασταθερό αριθμό που καλείται αναλογία

I Η σειρά1 3 9 27 81 middot middot middot

είναι μια γεωμετρική πρόοδος με πρώτο όρο το 1 καιαναλογία 3

I Η αναλογία μπορεί να είναι κλάσμα καθώς επίσης καιαρνητικός αριθμός Για παράδειγμα η γεωμετρικήπρόοδος με πρώτο όρο το 2 και αναλογία minus13 είναι

2 minus 23 +

29 minus

227 +

281 middot middot middot

Ε Ι Κοντογιώργης copy 51

I Γενικά μπορούμε να γράψουμε μια γεωμετρική πρόοδο ωςακολούθως

γεωμετρική πρόοδος a ar ar2 ar3 ar4 middot middot middot

όπου ο πρώτος όρος είναι a και η αναλογία r

I Σημαντικά θεωρήματα των γεωμετρικών προόδων (γπ)1 Ο n όρος μιας γπ δίνεται από ar(nminus1)

2 Το άθροισμα των πρώτων n όρων μιας γπ είναι

Sn =a(1minus rn)

1minus r =a(rnminus1)

rminus1 και ισχύει μόνο αν r 6= 1

I Το άθροισμα των όρων μιας γεωμετρικής προόδουονομάζεται γεωμετρική σειρά

Ε Ι Κοντογιώργης copy 52

Γεωμετρική σειρά

Sn = a+ar+ar2 +ar3 + middot middot middot+arnminus2 +arnminus1

rSn = ar+ar2 +ar3 + arnminus1 +arn

Snminus rSn = aminusarn

(1minus r)Sn = a(1minus rn)

Sn =a(1minus rn)

(1minus r) =a(rnminus1)

(rminus1)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 53

I Παράδειγμα1 Βρείτε το άθροισμα των πρώτων 10 όρων μιας γεωμετρικής

σειράς4 8 16 32

Ο πρώτος όρος είναι a= 4 και η αναλογία r = 2 καιn= 10 ´Ετσι

S10 =4(1minus210)

1minus2 = 4092

2 Θεωρείστε τη γπ4 minus8 16 minus32 64 minus128 256 minus512

Σε αυτή την περίπτωση ο πρώτος όρος είναι a= 4 ηαναλογία είναι r =minus2 και n= 8´Ετσι

S8 =4(1minus (minus2)8)

1minus (minus2)=minus340

Ε Ι Κοντογιώργης copy 54

Συνεχείς ανατοκισμός

Οι περισσότεροι τραπεζικοί λογαριασμοί και τα δάνειαυιοθετούν ανατοκισμό - εφαρμόζοντας συνεχή ανατοκισμόΘεωρείστε ένα λογαριασμό που προσφέρει τόκο με ετήσιοεπιτόκιο r (πχ 7) Εάν το επιτόκιο είναι συνεχέςσε χρονιαία βάση τότε μετά από 1 χρόνο το χρονιαίοεπιτόκιο προστίθεται στο αρχικό κεφάλαιο για νακαθορίσει ένα μεγαλύτερο κεφάλαιο τον δεύτερο χρόνο

´Ετσι κατά τη διάρκεια του δεύτερου χρόνου ολογαριασμός κερδίζει επιτόκιο πάνω στο επιτόκιοΑυτή είναι η επίδραση του ανατοκισμού που συνεχίζεταιχρόνο με το χρόνο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 55

I Με τον ετήσιο ανατοκισμό το κεφάλαιο πουσυσσωρεύεται στο λογαριασμό πολλαπλασιάζεται με

(1+ r)

´Ετσι το κεφάλαιο A θα αυξηθεί σε

A(1+ r) = A+A middot r

τον επόμενο χρόνο

I Με το πέρας και του δεύτερου χρόνου το κεφάλαιο θααυξηθεί ακόμα (1+ r) σε (1+ r)2

´Ετσι το κεφάλαιο καταλήγει σε

A(1+ r)(1+ r) = A(1+ r)2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 56

I Κατά παρόμοιο τρόπο στο τέλος του τρίτου χρόνου τοποσό θα αυξηθεί κατά (1+ r)3

I Μετά από n χρόνια το ποσό θα αυξηθεί κατά (1+ r)n

I ´Ετσι το κεφάλαιο (επένδυση) A θα αυξηθεί με συνεχήανατοκισμό σε A(1+ r)n μετά από n χρόνια

I Ο τύπος (1+ r)n εκθέτει γεωμετρική αύξηση λόγω τηςn δύναμης

Ε Ι Κοντογιώργης copy 57

ΠαραδείγματαI Εάν το επιτόκιο είναι r = 5 τότε το κεφάλαιοA= $1000 που βρίσκεται στην τράπεζα n= 20 χρόνιαθα αυξηθεί κατά

(1+ r)n = (1+005)20 = 2653 φορές

´Ετσι το ποσό θα καταλήξειA(1+ r)n = $265330

I Βρέστε το χρόνο που χρειάζεται για ένα λογαργιασμό ναδιπλασιάσει το διαθέσιμο κεφάλαιο του όταν r = 7 καιr = 10Ζητούμε να βρούμε το n έτσι ώστε

(1+ r)n = 2Ε Ι Κοντογιώργης copy 58

I Υπολογίζοντας το λογάριθμο του τελευταίου παίρνουμε

log(1+ r)n = log(2)ή n log(1+ r) = log(2)

´Ετσιn=

log2log(1+ r)

I Για r = 7 και r = 10 ο χρόνος n πουχρειάζεται για διπλασιασμό της επένδυσης υπολογίζεταισε 1024 και 727 αντίστοιχα

Ε Ι Κοντογιώργης copy 59

I Αν το επιτόκιο είναι r = 7 τότε πιο θα είναι τοσυνολικό ποσό στο λογαριασμό μετά από 205 και41 χρόνια αντίστοιχα

Μετά τα πρώτα 1025 χρόνια το ποσό A θαδιπλασιαστεί σε 2A Για τα επόμενα 1025 χρόνιατο ποσό θα ξαναδιπλασιαστεί σε 4A ´Ετσι μετά από205 χρόνια το ποσό θα αυξηθεί κατά 4 φορές

Με το πέρας ακόμα 205 χρόνων το ποσό θα αυξηθείακόμα 4 φορές σε 16 ´Ετσι μετά από 41 χρόνιατο κεφάλαιο A γίνεται 16A

Ε Ι Κοντογιώργης copy 60

Ασκήσεις και Παραδείγματα

I Υπολογίστε τη Μελλοντική Αξία (Future Value (FV)) τουκεφαλαίου A= 1500 που κερδίζει ετήσιο επιτόκιοr = 5 για n= 10 έτη

FV =A(1+ r)n = 1500(1+005)10 = 244334

I Πόσα έτη απαιτούνται για να τριπλασιαστεί ένα ποσόπου αφήνετε στην τράπεζα με επιτόκιο r = 5∆ηλαδή βρείτε το n όπου A= 1 r = 5 και FV = 3

FV =A(1+ r)n ή (1+ r)n =FVA

Ε Ι Κοντογιώργης copy 61

Υπολογίζοντας τους λογαρίθμους παίρνουμε

log(1+ r)n = log(FVA)

ή n log(1+ r) = log(FVA)

´Ετσι

n=log(FVA)

log(1+ r) =log(3)

log(105)

= 2252

Ε Ι Κοντογιώργης copy 62

I Βρείτε την παρούσα αξία A έτσι ώστε σε δέκα έτη μεσταθερό επιτόκιο r = 6 να είναι 100KΒρείτε το A όπου FV = 100000 r = 6 και n= 10

FV =A(1+ r)n ή A=FV

(1+ r)n

´Ετσι A=100000

(106)10= 5583948

I Βρείτε την ετησιοποιημένη απόδοση (AER AnnualEquivalent Rate) μιας μηνιαίας κατάθεσης με σταθερόεπιτοκίο 394 Μια τέτοια κατάθεση λαμβάνει το επιτόκιο στη λήξηΣυνεπώς κάθε μήνα ο λογαριασμός λαμβάνει

r = 0039412 = 000328

επιτόκιο που επανεπενδύεται (συνεχής ανατοκισμός)Ε Ι Κοντογιώργης copy 63

Επανεπενδύοντας το επιτόκιο κάθε μήνα στη διάρκειαενός έτους το κεφάλαιο θα αυξηθεί σε

(1+ r)12 = (1+000328)12 = 104012

´Ετσι το ΑΕΡ είναι ισοδύναμο με 004012 = 4012I Υπολογίστε το επιτόκιο ενός σταθερού λογαριασμού

κατάθεσης 7-ημερών που έχει AER επιτόκιο r = 425Θεωρείστε ρ το εβδομαδιαίο επιτόκιο

´Ετσι (1+ρ)52 = (1+00425)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 64

Παίρνοντας τους λογαρίθμους έχουμε52log(1+ρ) = log10425

ή log(1+ρ) =log10425

52

ή 1+ρ= 10( log10425

52)

Αυτό μας δίνει

ρ= 10

( log1042552

)minus1 = 008

´Ετσι το συνεχές επιτόκιο μιας επταήμερης κατάθεσης είναιρtimes52 = 41638

Εναλλακτικά (1+ρ)52 = (1+00425) δίνει

(1+ρ) =52radic10425ή ρ=

52radic10425minus = 008Ε Ι Κοντογιώργης copy 65

I Υπολογίστε την ετήσια απόδοση r έτσι ώστε A= 10000να επιστρέφει FV = 35000 σε n= 20 χρόνια

FV =A(1+ r)n ή (1+ r)n =FVA

´Ετσι

1+ r =nradic

FVA

Επομένως

r =nradic

FVA minus1 =

20radic

3500010000 minus1 = 00646 = 646

Ε Ι Κοντογιώργης copy 66

Εναλλακτικά παίρνοντας τους λογαρίθμους

log(1+ r)n = log(FVA) ή n log(1+ r) = log

(FVA)

´Ετσι

1+ r = 10(1n log

(FVA))

ή r = 10(1n log

(FVA))minus1

= 10( 120 log

(3500010000

))minus1

= 646

Ε Ι Κοντογιώργης copy 67

Γραφική Αναπαράσταση I

I Υποθέστε ότι έχουμε y= 3x+2 Καθώς έχουμε μόνο μιαδύναμη για το x πρέπει να λύσουμε γραμμική εξίσωσηκαι να σχεδιάσουμε μια ευθεία γραμμή Αρχικά θα πρέπεινα σχεδιάσουμε ένα T-chart Αυτό έχει τη μορφή

x y = 3x+2 (xy)

I Επιλέγουμε μια τιμή για το x και λύνουμε ως προς y

x y= 3x+2 (xy)minus2 minus4 (minus2minus4)0 2 (02)2 8 (28)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 68

Γραφική Αναπαράσταση II

-

6

X

Y

bull

bull

bull

I Βλέπουμε μια ευθεία με ανοδική τάση (έχοντας θετικήκλίση m= 3) καιτέμνει τον άξονα y στο σημείο y= 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 69

Γραφική Αναπαράσταση III

I Μια Τετραγωνική εξίσωση περιέχει x2 Για τηναναπαράσταση τετραγωνικών εξισώσεων χρειάζεται ναβρούμε περισσότερα από τρία σημεία στο σχεδιάγραμμα

Για παράδειγμα υποθέστε ότι y= x2minus6x+5 καιδίνεται το πιο κάτω T-chart

x y= x2minus6x+5 (xy)0 5 (05)1 0 (10)3 minus4 (3minus4)5 0 (50)6 5 (65)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 70

Γραφική Αναπαράσταση IV

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

-

6

X

Y

bull

bull

bull

bull

bull

Ε Ι Κοντογιώργης copy 71

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(1x + 2)

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(-3x + 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 72

-15

-10

-5

0

5

10

15

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(3x - 2)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 73

-20

0

20

40

60

80

100

120

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2+x)

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 74

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

1250

1500

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3+x2+x)

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x4)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 75

-25

-2

-15

-1

-05

0

05

1

15

2

25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(log(x))

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(x))

Ε Ι Κοντογιώργης copy 76

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(-x))

-5000

0

5000

10000

15000

20000

25000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(exp(x)+x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 77

Ανισότητες I

I Οι ανισότητες αποτελούνται από δύο ή τρεις αλγεβρικέςεκφράσεις που είναι συνδεδεμένες με τα σύμβολαανισότητας Τα σύμβολα αυτά είναι

lt μικρότερο τουgt μεγαλύτερο τουle μικρότερο ή ίσο τουge μεγαλύτερο ή ίσο του

I Παραδείγματα xgty yge x2 και ylt5x+1

I Το πρώτο βήμα για την αναπαράσταση ανισότητας τηςμορφής ygtx είναι να παραστήσουμε γραφικά τηνισότητα y= x

Ε Ι Κοντογιώργης copy 78

Ανισότητες II

I ygtx

Κάνετε δοκιμή με ένα σημείο να δείτε κατά πόσοικανοποιεί την ανισότητα Εάν ναι τότε σκιάστε τηνπεριοχή αυτή του σχεδιαγράμματος διαφορετικά σκιάστετην άλλη πλευρά

Ε Ι Κοντογιώργης copy 79

Ανισότητες III

I yltx

Ε Ι Κοντογιώργης copy 80

Ανισότητες IV

I yle 5x+1 και ygt5x+1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 81

Ανισότητες V

I yge x2 και yle x2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 82

Ανισότητες VI

I ygtx3 και yle x3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 83

Συστήματα Γραμμικών ΕξισώσεωνΠεριεχόμενα

1 Ε

2 Γ Α

ΑναφορέςΚεφάλαια 4 και 5FS Budnick Applied Mathematics for Business Economicsand the Social Sciences 4th edition McGraw-Hill 1993

Ε Ι Κοντογιώργης copy 84

Συστήματα Εξισώσεων

I ´Ενα σύστημα εξισώσεων συνδυάζει περισσότερες από μίαεξισώσεις

I ´Ενα σύστημα m εξισώσεων όπου κάθε εξίσωσηαποτελείται από n μεταβλητές ονομάζεται mtimesnσύστημα ή λέμε ότι έχει διαστάσεις mtimesn

I ΠαράδειγμαΠαρακάτω έχουμε ένα σύστημα 2times2

5X+10Y= 203X+4Y= 10

Οι μεταβλητές σε αυτή την περίπτωση είναι X και YΕ Ι Κοντογιώργης copy 85

Συστήματα Επίλυσης

I Το Σύστημα επίλυσης είναι μια σειρά τιμών μεταβλητώνπου ικανοποιούν το σύστημα ταυτόχρονα

I Σε μια σημειογραφική παράσταση το προηγούμενοπαράδειγμα μπορεί να γραφτεί ως εξής

S = (XY) | 5X+10Y = 20 και 3X+4Y = 10

I Το σύστημα επίλυσης μπορεί να είναι1 μηδενικό2 πεπερασμένο ή3 άπειρο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 86

2times2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική Ανάλυση

I Σε ένα δισδιάστατο γράφημα ένα σύστημα εξισώσεων2times2 αναπαρίστανται με ευθείες γραμμές Υπόρχουν τρίαενδεχόμενα

1 Οι ευθείες τέμνονται Το σημείο τομής αντιπροσωπεύει τηλύση του συστήματος εξισώσεων Αυτό το σημείοαλληλεπίδρασης είναι μια δέσμη τιμών X και Y που ικανοποιείκαι τις δύο εξισώσειςΕάν υπάρχει μόνο μια δέσμη τιμών για τις μεταβλητές που ναικανοποιεί το σύστημα εξισώσεων το σύστημα λέμε ότι έχειΜ Λ

2 Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες μεταξύ τους ∆εν έχουν κοινόσημείο Συνεπώς οι ευθείες δεν τέμνονται ποτέ Το σύστημαλέμε ότι ∆ ΛΑυτό υπονοεί ότι δεν υπάρχουν τιμές για τις μεταβλητές πουνα ικανοποιούν και τις δύο εξισώσεις Σε αυτή τηνπερίπτωση οι εξισώσεις στο σύστημα είναι Α

3 Και οι δύο εξισώσεις αναπαρίστανται ως μια κοινή ευθεία καιθεωρούνται ισοδύναμες εξισώσεις ´Ετσι το σύστημα έχειΑ Λ Αυτό συμβαίνει γιατί υπάρχει άπειροςαριθμός κοινών σημείων στις δύο γραμμές

Ε Ι Κοντογιώργης copy 87

I Π Θεωρείστε ένα σύστημα 2times22X+4Y= 203X+ Y= 10

I

X

Y

(24)

3X +Y = 10

2X +4Y = 20

0 2 4 6 8 10 12

2

4

6

8

10

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 88

I Το σημείο τομής δίνεται από το X= 2 και Y= 4Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές του X και Y στις δύοεξισώσεις δίνουν 20 = 20 και 10 = 10 αντίστοιχα

I Αυτό υποδειλώνει ότι X= 2 και Y= 4 είναι η σωστή λύση

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times23Xminus2Y= 6

minus15X+10Y=minus30

I

X

Y

(20)

(0minus3)

3X minus2Y = 6

minus15X +10Y =minus30

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 89

I Οι δύο εξισώσεις απλοποιούνται σε Xminus 23 Y= 2

Οι δύο εξισώσεις είναι ισοδύναμες και δίνουν έναπεπερασμένο αριθμό λύσεων έτσι ώστε

X= 0 Y =minus3X= 2 Y = 0X= 4 Y = 3

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times26Xminus12Y= 24

minus32X+3Y= 9

Οι εξισώσεις απλοποιούνται σεXminus2Y= 4Xminus2Y=minus6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 90

I

X

Y

(40)

(0minus2)

(minus60)

(03)

X minus2Y =minus6

X minus2Y = 4

0-0

I Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες και συνεπώς το σύστημαδεν έχει λύση ´Ετσι το σύστημα εξισώσεων είναιασύμπτωτο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 91

Περίληψη 2times2 Συστήματα Εξισώσεων∆ίνεται ένα Σύστημα Γραμμικών Εξισώσεων 2times2

Y=m1X+ c1Y=m2X+ c2

1 Υπάρχει μια στο σύστημα εάνm1 6= m2

2 ∆εν υπάρχει στο σύστημα εάνm1 = m2 και c1 6= c2

3 Υπάρχει εάνm1 = m2 και c1 = c2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 92

∆ιαδικασίες Απαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής χρησιμοποιεί πολλαπλασιασμόκαι πρόσθεση έτσι ώστε

1 Να απαλοιφεί μια από τις δύο μεταβλητές

2 Η εξίσωση που εξάγεται είναι συνάρτηση των υπόλοιπωνμεταβλητών

3 Αντικαθιστώντας την τιμή στην μεταβλητή σε μια από τιςαρχικές εξισώσεις βρίσκουμε την τιμή για τηναπολοιφθήσα μεταβλητή

Ε Ι Κοντογιώργης copy 93

ΠαραδείγματαI Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

2X +4Y = 20 (1)3X + Y = 10 (2)

Πολλαπλασιάζοντας τη δεύτερη εξίσωση με minus4 παίρνουμε

minus12X minus4Y =minus40 (3)

Προσθέτοντας την εξίσωση (1) στο (3)

2X + 4Y = 20minus12X minus 4Y = minus40minus10X = minus20

ή

X = 2 (4)Ε Ι Κοντογιώργης copy 94

Αντικαθιστώντας X= 2 στην εξίσωση (1) δίνεται2 middot2+4Y = 20 ή Y=4

´Ετσι η μοναδική λύση του συστήματος δίνεται από τοX= 2 και Y= 4 Μπορεί να επιβεβαιωθεί ότι αυτή είναι ησωστή λύση αντικαθιστώντας X= 2 και Y= 4 στηνεξίσωση (1) και (2)

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times23X minus2Y = 6 (5)

minus15X +10Y =minus30 (6)

Για την απαλοιφή της μεταβλητής X η εξίσωση (5)πολλαπλασιάζεται με 5 και το αποτέλεσμα προστίθεταιστην εξίσωση (6)

15X minus 10Y = 30minus15X + 10Y = minus30

0 = 0 Ε Ι Κοντογιώργης copy 95

Οι τελευταίες πράξεις υπονοούν ότι οι εξίσωσεις (5) και(6) είναι ισοδύναμες και έτσι υπάρχει άπειρος αριθμόςλύσεωνΓια να προσδιορίσουμε τις λύσεις του συστήματος μια απότις αρχικές εξισώσεις λύνεται ως προς μια μεταβλητή Ανγια παράδειγμα η εξίσωση (5) λύνεται ως προς Y δίνει

Y =32Xminus3

Σαν αποτέλεσμα γενικεύοντας τις λύσεις του συστήματοςέχουμε

X τυχαίο και Y =32Xminus3

Πχ για X= 4 υπονοείται ότι Y=32 middot4minus3 = 3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 96

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

6X minus12Y = 24 (7)

minus32X +3Y = 9 (8)

Πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση (8) με 4 καιπροσθέτοντας το αποτέλεσμα στην εξίσωση (7)παίρνουμε

6X minus 12Y = 24minus6X + 12Y = 36

0 = 60

Η πιο πάνω αντιλογία υπονοεί ότι δεν υπάρχει λύση τουσυστήματος εξισώσεων

Ε Ι Κοντογιώργης copy 97

3times2 Συστήματα Εξισώσεων I

1 Μ Λ

X

Y

(32)

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minusY = 1

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 98

3times2 Συστήματα Εξισώσεων II

2 Α Λ

X

Y Εξις (1)Εξις (2)Εξις (3)

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 99

3times2 Συστήματα Εξισώσεων III3 Κ

(α) ´Οταν και οι τρεις εξισώσεις είναι παράλληλες

X

Y

2X minusY =minus8

2X minusY = 2

2X minusY = 12

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 100

3times2 Συστήματα Εξισώσεων IV(β) ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ τωνεξισώσεων

X

Y

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minus2Y =minus4

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 101

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική ΑνάλυσηΣε ένα γράφημα 2 διαστάσεων ένα σύστημα mtimes2(mgt2) εξισώσεων παριστάνεται με m ευθείες ´Οπωςσυμβαίνει στα συστήματα 2times2 υπάρχουν τρίαενδεχόμενα

1 ´Ολες οι ευθείες τέμνονται στο ίδιο σημείο και έτσιυπάρχει

2 ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ των mεξισώσεων Αυτό σημαίνει ότι όλες οι ευθείες είναιπαράλληλες Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα Λ

3 Οι m εξισώσεις είναι ισοδύναμες πχ παρασταίνονται σανμια ευθεία Σε αυτή την περίπτωση υπάρχει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 102

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων ∆ιαδικασίαΑπαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής για την επίλυση ενός συστήματοςmtimes2 μπορεί να περιγραφεί ως ακολούθωςΕπιλέξτε και λύστε σύστημα με δύο εξισώσεις

1 Εάν δεν υπάρχει λύση τότε ολόκληρο το σύστημα δεν έχειλύση

2 Εάν υπάρχει μοναδική λύση που ικανοποιεί τις υπόλοιπεςmminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα έχει μία μοναδική λύση

3 Εάν η λύση είναι μοναδική αλλά δεν ικανοποιεί τιςυπόλοιπες mminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα δεν έχει λύση

4 Εάν οι 2 λύσεις είναι ισοδύναμες απάλοιψτε τη μίααπό τις δύο εξισώσεις και ξεκινήστε από την αρχήλαμβάνοντας υπόψη ένα σύστημα (mminus1)times2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 103

ΠαράδείγμαI Θεωρείστε ένα σύστημα 5times2

XminusY= 1X+2Y=minus8

3Xminus2Y= 02Xminus5Y= 11minus4X+3Y=minus1

I Η λύση των πρώτων δύο εξισώσεων δίνετε απόY =minus3 και X =minus2

I Αντικαθιστώντας τη λύση στις υπόλοιπες τρεις εξισώσειςπαίρνετε αντίστοιχα

0 = 0 11 = 11 και minus1 =minus1I Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση

X=minus2 και Y=minus3Ε Ι Κοντογιώργης copy 104

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian

Η μέθοδος απολοιφής Gaussian μετατρέπει το αρχικόσύστημα εξισώσεων σε διαγώνια μορφή επαναλαμβάνονταςστις εξισώσεις τις ακόλουθες τρεις διαδικασίες

1 Πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης μεμια θετική σταθερά

2 Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού θα προστεθεί σεάλλη εξίσωση

3 Η σειρά των εξισώσεων μπορεί να αλλάξει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 105

ΠαράδείγμαΠ Θεωρείστε το σύστημα 2times2

2X minus 3Y = 7 (Εξ 1)X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με 12 για να πάρετε

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με minus1 καιπροσθέστε την στην (Εξ 2)

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

52Y =

152 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 106

Στάδιο 3 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 25

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

Y = 3 (Εξ 2)

Στάδιο 4 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 32 και

προσθέστε την στην (Εξ 1)

X = 1 (Εξ 1)Y = 3 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 107

Π Θεωρείστε το σύστημα 2times2

5X + 20Y = 254X minus 7Y =minus26

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να εκφραστεί ως

R1 5 20 25R2 4 minus7 minus26

Η κάθετη γραμμή χρησιμοποιείται για διαχωρισμό τηςαριστερής από τη δεξιά πλευρά των εξισώσεων Το Riυπονοεί τη γραμμή (Row) i

Ε Ι Κοντογιώργης copy 108

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάζουμε τη R1 με 15 και το θέτουμε

R1larr 15R1

R1 1 4 5R2 4 minus7 minus26

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάζουμε την R1 με minus4 και τηνπροσθέτουμε στην R2 Εν συντομίαR2larrminus4R1+R2

R1 1 4 5R2 0 minus23 minus46

Στάδιο 3 R2larrminus 123R2

R1 1 4 5R2 0 1 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 109

Στάδιο 4 R1larrminus4R2+R1

R1 1 0 minus3R2 0 1 2

Το αρχικό σύστημα εξισώσεων μετατρέπεται σε διαγώνιαμορφή όπως πιο κάτω

X =minus3Y = 2

το οποίο δίνει τη λύση του συστήματος

Ε Ι Κοντογιώργης copy 110

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 I

Το σύστημα εξισώσεων 3times3 μετετρέπεται σε διαγώνιαμορφή Η μετατροπή γίνεται στήλη με στήλη από τααριστερά προς τα δεξιά

Π Θεωρήστε το σύστημα 3times3

X1 + X2 + X3 = 2X1 minus 3X2 + 2X3 = 7

4X1 minus 2X2 minus X3 = 9

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να γραφτεί ως

Ε Ι Κοντογιώργης copy 111

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 II

1 1 1 21 minus3 2 74 minus2 minus1 9

Ε Ι Κοντογιώργης copy 112

Ιδιότητες Λογαρίθμωνlogb(xy) = logb(x) + logb(y)

Απόδειξη´Εστω m= logbx και n= logby

Γράψτε σε μορφή εκθέτη x= bm και y= bn

Πολλαπλασιάστε το x και y ούτως ώστεxy= bmbn = bm+n

´Ετσι από τον ορισμό των λογαρίθμων το xy= bm+nσυνεπάγει ότι

logb(xy) =m+n= logbx+ logb(y)

Πχ log2(4times16) = log2(64) = log2(26) = 6

Ακόμα log2(4times16) = log2(4) + log2(16) = 2+4 = 6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 32

logb(xy)

= logb(x)minus logb(y)

Απόδειξη´Εστω m= logbx και n= logby

Γράψτε σε μορφή εκθέτη x= bm και y= bn

∆ιαίρα το x και y ούτως ώστε xy =bmbn = bmminusn

´Ετσι από τον ορισμό των λογαρίθμων το xy = bmminusn

συνεπάγει ότι

logb(xy)

=mminusn= logbxminus logb(y)

Πχ log2(16

4)

= log2(4) = 2

και log2(16

4)

= log2(16)minus log2(4) = 4minus2 = 2Ε Ι Κοντογιώργης copy 33

logb(xn) = n logb(x)

Απόδειξη´Εστω m= logbx και γράψτε σε μορφή εκθέτη x= bm

Αυξάνοντας τις δύο πλευρές στην n δύναμη παίρνουμεxn = (bm)n = bmn

´Ετσι από τον ορισμό των λογαρίθμων τοlogbxn =mn= nm= n(logbx)

Πχ log2(64) = log2(26) = 6 log2(2) = 6

log(64) = 18

Επιπλέον log(64) = log(26) = 6log(2) = 6times030 = 18

Ε Ι Κοντογιώργης copy 34

logb(x) =loga(x)loga(b) agt0 a 6= 1

Απόδειξη´Εστω m= logbx rArr x= bm

Εφαρμόστε loga και στις δύο πλευρές του x= bmγια ναδώσει

logabm = logax rArr m logab= logaxrArr m=logaxlogab

rArr logbx=logaxlogab

Πχ log5(20) =log(20)

log(5)= 186 =

ln(20)

ln(5)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 35

logb(a) =1

loga(b) agt0 a 6= 1

Απόδειξη

logb(x) =loga(x)loga(b) =

logx(x)logx(b)

=1

loga(b)

´Οταν a= x

Πχ log2(64) =1

log64(2)=

116 = 6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 36

Αθροισμα

I Υποθέστε ότι έχουμε μια μεταβλητή x που μπορεί ναπάρει δέκα τιμές Εάν ενδιαφερόμαστε για το άθροισμάτους χωρίς να ξέρουμε την τιμή της κάθε μεταβλητής τότεο καλύτερος τρόπος να το εκφράσουμε είναι

x1 +x2 + middot middot middot+x9 +x10

I Εν συντομία το άθροισμα n στοιχείων x1 +x2 + middot middot middot+xn είναιnsum

i = 1xi

και ερμηνεύεται σαν το άθροισμα όλων των xirsquosξεκινώντας από το x1 (πχ i = 1) μέχρι xn (i = n)

I Εάν δε δοθεί διαφορετικά πάντοτε υποθέτουμε ότι το iαυξάνεται ξεκινώντας από το στάδιο 1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 37

I Το lsquolsquoSigmarsquorsquo Σ είναι γνωστό ως το άθροισμα (summation) ήσύμβολο σίγμα (sigma operator) και ο δείκτης i όνομάζεταιεικονική μεταβλητή

I Παραδείγματα

I

5sum

i = 1xi = x1 +x2 +x3 +x4 +x5

I

5sum

i = 1(y2

i ) = y21 +y22 +y23 +y24 +y25

Σημειώστε ότι η μόνη μεταβλητή που περιγράφεται απευθείαςκάτω από το σύμβολο Σ αυξάνεται κατά 1 κάθε φορά ενώ όλατα άλλα σύμβολα παραμένουν τα ίδια

I

4sum

r = 1(x3r ) = x31 +x32 +x33 +x34

Ε Ι Κοντογιώργης copy 38

I6sum

i = 1i = 1+2+3+4+5+6

I6sum

i = 1i2 = 12 +22 +32 +42 +52 +62

I7sum

i = 3xi = x3 +x4 +x5 +x6 +x7

I4sum

i = 1a = a+a+a+a= 4a

I3sum

i = 1(4+xi) = (4+x1) + (4+x2) + (4+x3)

=3sum

i = 14+

3sum

i = 1xi

Ε Ι Κοντογιώργης copy 39

I3sum

i = 1(2xi) = (2x1) + (2x2) + (2x3) = 2times

3sum

i = 1xi

I Ο συντελεστής i παραλείπεται εάν δε προκαλείαοριστία Για παράδειγμα Σx ή Σixi σημαίνειάθροισμα όλων των x που λαμβάνονται υπόψη

I ∆ήλωσηI

nsumi=1a= na

I sumiaxi = asum

ixi

I sumi

(axi+byi) = asumixi +bsum

iyi

Ε Ι Κοντογιώργης copy 40

I Αθροιστικός Τύπος

Insum

i = 1i = 1+2+ middot middot middot+n=

n(n+1)

2

Πχ6sumi = 1i = 1+2+3+4+5+6 =

6(6+1)

2 = 21

Insum

i = 1i2 = 12 +22 + middot middot middot+n2 =

n(n+1)(2n+1)

6

Πχ6sumi = 1i2 = 12 +22 +32 +42 +52 +62

=6(6+1)(12+1)

6 = 91

Ε Ι Κοντογιώργης copy 41

Insum

i = 1i3 = 13 +23 + middot middot middot+n3 =

n2(n+1)2

4

Πχ6sumi = 1i3 = 13 +23 +33 +43 +53 +63

=62(6+1)2

4 = 441

Ε Ι Κοντογιώργης copy 42

ΠαραδήγματαΑριθμητική Πρόοδος

I Γενικά μπορούμε να εκφράσουμε μια αριθμητική πρόοδο ωςεξής

αριθμητική πρόοδος a a+d a+2d a+3d

όπου ο πρώτος όρος είναι a και η διαφορά d Ο όρος nτης απ δίνεται από τη σχέση b = a+ (nminus1)d

I 3 5 7 9 11 είναι μια αριθμητική πρόοδος Οπρώτος όρος είναι το 3 και η διαφορά είναι 2

I 2 minus1 minus4 minus7 είναι μια αριθμητική πρόοδος όπου οπρώτος όρος είναι 2 και η διαφορά minus3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 43

I Το άθροισμα των όρων μιας αριθμητικής προόδου είναιγνωστό ως αριθμητική σειρά

Sn = a+ (a+d) + (a+2d) + middot middot middot+ (a+ (nminus1)d)

=nsumi=1

(a+ (iminus1)d

)= na+

nsumi=1

(iminus1)d

= na+dnminus1sumi=1

i = na+d(nminus1)n2

=n2(2a+d(nminus1)) =

n2(a+b) b = a+d(nminus1)

I ΑΠ 3 5 7 9 11 13 rArr Sn =62(3+13) = 48

Ε Ι Κοντογιώργης copy 44

∆ιπλό Αθροισμα4sumi=1

isumj=1

j = (1) + (1+2) + (1+2+3) + (1+2+3+4) = 20

nsumi=1

isumj=1

j =nsumi=1

( isumj=1

j)

nsumi=1

(12 i(i+1)

)=

12

nsumi=1

(i2 + i)

12( nsumi=1

i2 +nsumi=1

i)

=12(16n(n+1)(2n+1) +

12n(n+1)

)

=12

16n(n+1)

((2n+1) +3

)=

n6(n+1)(n+2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 45

∆ιπλό Αθροισμα

nsumi=1

msumj=1

(i+ j+2) =nsumi=1

( msumj=1

(i+ j+2))

nsumi=1

( msumj=1

i+msumj=1

j+msumj=1

2)

=nsumi=1

(mi+ 1

2m(m+1) +2m)

m( nsumi=1

i+ 12

nsumi=1

(m+5))

= m(12n(n+1) +

12n(m+5)

)

=mn2(m+n+6

)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 46

Insumr=1

1r(r+1)

=nsumr=1

(Ar +

Br+1

)=

nsumr=1

A(r+1) +Brr(r+1)

I A(r+1) +Br = 1

I Για r = 0 τότε A= 1 και για r =minus1 τότε B=minus1

I

nsumr=1

1r(r+1)

=nsumr=1

(1r minus

1r+1

)

=(

(11 minus

12) + (

12 minus

13) + (

13 minus

14) + middot middot middot+ (

1nminus1 minus

1n ) + (

1n minus

1n+1)

)

= 1minus 1n+1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 47

Insumk=1

1(k+2)(k+3)

=nsumk=1

( A(k+2)

+B

(k+3)

)=

nsumk=1

A(k+3) +B(k+2)

(k+2)(k+3)

I A(k+3) +B(k+2) = 1

I Για k=minus2 τότε A= 1 και για k=minus3 τότε B=minus1

I

nsumk=1

1(k+2)(k+3)

=nsumk=1

( 1(k+2)

minus 1(k+3)

)

=(

(13 minus

14)+(

14 minus

15)+(

15 minus

16)+ +(

1n+1 minus

1n+2)+(

1n+2 minus

1n+3)

)

=13 minus

1n+3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 48

Αθροισμα με Λογάριθμους

nsumi=1

logb(i) = logb(1) + logb(2) + middot middot middot+ logb(n)

= logb(1times2times3timesmiddotmiddot middottimesn)

= logb(n)

I Το n (n παραγοντικό) δίνεται από n = 1times2timesmiddotmiddot middottimesn και0 = 1

I100sumi=1

log2(100) = log2(100) =log(100)

log(2)=

log(99)

log(2)+

2log(2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 49

Γινόμενο των ακολουθιώνIn

prodi=1xi = x1timesx2timesx3timesmiddotmiddot middottimesxn

In

prodi=1i = 1times2times3timesmiddotmiddot middottimesn= n

In

prodi=1z= ztimesztimesmiddotmiddot middottimesz= zn

I

nprodi=1

(1+

1i+1

)=(1+

12)times(1+

13)times(1+

14)times times(1+

1n )times(1+

1n+1)

=32 times

43 times

54 timesmiddotmiddot middottimes

n+1n times n+2

n+1

=n+22

Ε Ι Κοντογιώργης copy 50

Γεωμετρικές ΠροόδοιI Μια γεωμετρική πρόοδος είναι μια σειρά αριθμών όπου

κάθε όρος μετά των πρώτο υπολογίζεται από τονπολλαπλασιασμό του προηγούμενου όρου με ένασταθερό αριθμό που καλείται αναλογία

I Η σειρά1 3 9 27 81 middot middot middot

είναι μια γεωμετρική πρόοδος με πρώτο όρο το 1 καιαναλογία 3

I Η αναλογία μπορεί να είναι κλάσμα καθώς επίσης καιαρνητικός αριθμός Για παράδειγμα η γεωμετρικήπρόοδος με πρώτο όρο το 2 και αναλογία minus13 είναι

2 minus 23 +

29 minus

227 +

281 middot middot middot

Ε Ι Κοντογιώργης copy 51

I Γενικά μπορούμε να γράψουμε μια γεωμετρική πρόοδο ωςακολούθως

γεωμετρική πρόοδος a ar ar2 ar3 ar4 middot middot middot

όπου ο πρώτος όρος είναι a και η αναλογία r

I Σημαντικά θεωρήματα των γεωμετρικών προόδων (γπ)1 Ο n όρος μιας γπ δίνεται από ar(nminus1)

2 Το άθροισμα των πρώτων n όρων μιας γπ είναι

Sn =a(1minus rn)

1minus r =a(rnminus1)

rminus1 και ισχύει μόνο αν r 6= 1

I Το άθροισμα των όρων μιας γεωμετρικής προόδουονομάζεται γεωμετρική σειρά

Ε Ι Κοντογιώργης copy 52

Γεωμετρική σειρά

Sn = a+ar+ar2 +ar3 + middot middot middot+arnminus2 +arnminus1

rSn = ar+ar2 +ar3 + arnminus1 +arn

Snminus rSn = aminusarn

(1minus r)Sn = a(1minus rn)

Sn =a(1minus rn)

(1minus r) =a(rnminus1)

(rminus1)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 53

I Παράδειγμα1 Βρείτε το άθροισμα των πρώτων 10 όρων μιας γεωμετρικής

σειράς4 8 16 32

Ο πρώτος όρος είναι a= 4 και η αναλογία r = 2 καιn= 10 ´Ετσι

S10 =4(1minus210)

1minus2 = 4092

2 Θεωρείστε τη γπ4 minus8 16 minus32 64 minus128 256 minus512

Σε αυτή την περίπτωση ο πρώτος όρος είναι a= 4 ηαναλογία είναι r =minus2 και n= 8´Ετσι

S8 =4(1minus (minus2)8)

1minus (minus2)=minus340

Ε Ι Κοντογιώργης copy 54

Συνεχείς ανατοκισμός

Οι περισσότεροι τραπεζικοί λογαριασμοί και τα δάνειαυιοθετούν ανατοκισμό - εφαρμόζοντας συνεχή ανατοκισμόΘεωρείστε ένα λογαριασμό που προσφέρει τόκο με ετήσιοεπιτόκιο r (πχ 7) Εάν το επιτόκιο είναι συνεχέςσε χρονιαία βάση τότε μετά από 1 χρόνο το χρονιαίοεπιτόκιο προστίθεται στο αρχικό κεφάλαιο για νακαθορίσει ένα μεγαλύτερο κεφάλαιο τον δεύτερο χρόνο

´Ετσι κατά τη διάρκεια του δεύτερου χρόνου ολογαριασμός κερδίζει επιτόκιο πάνω στο επιτόκιοΑυτή είναι η επίδραση του ανατοκισμού που συνεχίζεταιχρόνο με το χρόνο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 55

I Με τον ετήσιο ανατοκισμό το κεφάλαιο πουσυσσωρεύεται στο λογαριασμό πολλαπλασιάζεται με

(1+ r)

´Ετσι το κεφάλαιο A θα αυξηθεί σε

A(1+ r) = A+A middot r

τον επόμενο χρόνο

I Με το πέρας και του δεύτερου χρόνου το κεφάλαιο θααυξηθεί ακόμα (1+ r) σε (1+ r)2

´Ετσι το κεφάλαιο καταλήγει σε

A(1+ r)(1+ r) = A(1+ r)2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 56

I Κατά παρόμοιο τρόπο στο τέλος του τρίτου χρόνου τοποσό θα αυξηθεί κατά (1+ r)3

I Μετά από n χρόνια το ποσό θα αυξηθεί κατά (1+ r)n

I ´Ετσι το κεφάλαιο (επένδυση) A θα αυξηθεί με συνεχήανατοκισμό σε A(1+ r)n μετά από n χρόνια

I Ο τύπος (1+ r)n εκθέτει γεωμετρική αύξηση λόγω τηςn δύναμης

Ε Ι Κοντογιώργης copy 57

ΠαραδείγματαI Εάν το επιτόκιο είναι r = 5 τότε το κεφάλαιοA= $1000 που βρίσκεται στην τράπεζα n= 20 χρόνιαθα αυξηθεί κατά

(1+ r)n = (1+005)20 = 2653 φορές

´Ετσι το ποσό θα καταλήξειA(1+ r)n = $265330

I Βρέστε το χρόνο που χρειάζεται για ένα λογαργιασμό ναδιπλασιάσει το διαθέσιμο κεφάλαιο του όταν r = 7 καιr = 10Ζητούμε να βρούμε το n έτσι ώστε

(1+ r)n = 2Ε Ι Κοντογιώργης copy 58

I Υπολογίζοντας το λογάριθμο του τελευταίου παίρνουμε

log(1+ r)n = log(2)ή n log(1+ r) = log(2)

´Ετσιn=

log2log(1+ r)

I Για r = 7 και r = 10 ο χρόνος n πουχρειάζεται για διπλασιασμό της επένδυσης υπολογίζεταισε 1024 και 727 αντίστοιχα

Ε Ι Κοντογιώργης copy 59

I Αν το επιτόκιο είναι r = 7 τότε πιο θα είναι τοσυνολικό ποσό στο λογαριασμό μετά από 205 και41 χρόνια αντίστοιχα

Μετά τα πρώτα 1025 χρόνια το ποσό A θαδιπλασιαστεί σε 2A Για τα επόμενα 1025 χρόνιατο ποσό θα ξαναδιπλασιαστεί σε 4A ´Ετσι μετά από205 χρόνια το ποσό θα αυξηθεί κατά 4 φορές

Με το πέρας ακόμα 205 χρόνων το ποσό θα αυξηθείακόμα 4 φορές σε 16 ´Ετσι μετά από 41 χρόνιατο κεφάλαιο A γίνεται 16A

Ε Ι Κοντογιώργης copy 60

Ασκήσεις και Παραδείγματα

I Υπολογίστε τη Μελλοντική Αξία (Future Value (FV)) τουκεφαλαίου A= 1500 που κερδίζει ετήσιο επιτόκιοr = 5 για n= 10 έτη

FV =A(1+ r)n = 1500(1+005)10 = 244334

I Πόσα έτη απαιτούνται για να τριπλασιαστεί ένα ποσόπου αφήνετε στην τράπεζα με επιτόκιο r = 5∆ηλαδή βρείτε το n όπου A= 1 r = 5 και FV = 3

FV =A(1+ r)n ή (1+ r)n =FVA

Ε Ι Κοντογιώργης copy 61

Υπολογίζοντας τους λογαρίθμους παίρνουμε

log(1+ r)n = log(FVA)

ή n log(1+ r) = log(FVA)

´Ετσι

n=log(FVA)

log(1+ r) =log(3)

log(105)

= 2252

Ε Ι Κοντογιώργης copy 62

I Βρείτε την παρούσα αξία A έτσι ώστε σε δέκα έτη μεσταθερό επιτόκιο r = 6 να είναι 100KΒρείτε το A όπου FV = 100000 r = 6 και n= 10

FV =A(1+ r)n ή A=FV

(1+ r)n

´Ετσι A=100000

(106)10= 5583948

I Βρείτε την ετησιοποιημένη απόδοση (AER AnnualEquivalent Rate) μιας μηνιαίας κατάθεσης με σταθερόεπιτοκίο 394 Μια τέτοια κατάθεση λαμβάνει το επιτόκιο στη λήξηΣυνεπώς κάθε μήνα ο λογαριασμός λαμβάνει

r = 0039412 = 000328

επιτόκιο που επανεπενδύεται (συνεχής ανατοκισμός)Ε Ι Κοντογιώργης copy 63

Επανεπενδύοντας το επιτόκιο κάθε μήνα στη διάρκειαενός έτους το κεφάλαιο θα αυξηθεί σε

(1+ r)12 = (1+000328)12 = 104012

´Ετσι το ΑΕΡ είναι ισοδύναμο με 004012 = 4012I Υπολογίστε το επιτόκιο ενός σταθερού λογαριασμού

κατάθεσης 7-ημερών που έχει AER επιτόκιο r = 425Θεωρείστε ρ το εβδομαδιαίο επιτόκιο

´Ετσι (1+ρ)52 = (1+00425)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 64

Παίρνοντας τους λογαρίθμους έχουμε52log(1+ρ) = log10425

ή log(1+ρ) =log10425

52

ή 1+ρ= 10( log10425

52)

Αυτό μας δίνει

ρ= 10

( log1042552

)minus1 = 008

´Ετσι το συνεχές επιτόκιο μιας επταήμερης κατάθεσης είναιρtimes52 = 41638

Εναλλακτικά (1+ρ)52 = (1+00425) δίνει

(1+ρ) =52radic10425ή ρ=

52radic10425minus = 008Ε Ι Κοντογιώργης copy 65

I Υπολογίστε την ετήσια απόδοση r έτσι ώστε A= 10000να επιστρέφει FV = 35000 σε n= 20 χρόνια

FV =A(1+ r)n ή (1+ r)n =FVA

´Ετσι

1+ r =nradic

FVA

Επομένως

r =nradic

FVA minus1 =

20radic

3500010000 minus1 = 00646 = 646

Ε Ι Κοντογιώργης copy 66

Εναλλακτικά παίρνοντας τους λογαρίθμους

log(1+ r)n = log(FVA) ή n log(1+ r) = log

(FVA)

´Ετσι

1+ r = 10(1n log

(FVA))

ή r = 10(1n log

(FVA))minus1

= 10( 120 log

(3500010000

))minus1

= 646

Ε Ι Κοντογιώργης copy 67

Γραφική Αναπαράσταση I

I Υποθέστε ότι έχουμε y= 3x+2 Καθώς έχουμε μόνο μιαδύναμη για το x πρέπει να λύσουμε γραμμική εξίσωσηκαι να σχεδιάσουμε μια ευθεία γραμμή Αρχικά θα πρέπεινα σχεδιάσουμε ένα T-chart Αυτό έχει τη μορφή

x y = 3x+2 (xy)

I Επιλέγουμε μια τιμή για το x και λύνουμε ως προς y

x y= 3x+2 (xy)minus2 minus4 (minus2minus4)0 2 (02)2 8 (28)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 68

Γραφική Αναπαράσταση II

-

6

X

Y

bull

bull

bull

I Βλέπουμε μια ευθεία με ανοδική τάση (έχοντας θετικήκλίση m= 3) καιτέμνει τον άξονα y στο σημείο y= 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 69

Γραφική Αναπαράσταση III

I Μια Τετραγωνική εξίσωση περιέχει x2 Για τηναναπαράσταση τετραγωνικών εξισώσεων χρειάζεται ναβρούμε περισσότερα από τρία σημεία στο σχεδιάγραμμα

Για παράδειγμα υποθέστε ότι y= x2minus6x+5 καιδίνεται το πιο κάτω T-chart

x y= x2minus6x+5 (xy)0 5 (05)1 0 (10)3 minus4 (3minus4)5 0 (50)6 5 (65)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 70

Γραφική Αναπαράσταση IV

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

-

6

X

Y

bull

bull

bull

bull

bull

Ε Ι Κοντογιώργης copy 71

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(1x + 2)

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(-3x + 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 72

-15

-10

-5

0

5

10

15

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(3x - 2)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 73

-20

0

20

40

60

80

100

120

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2+x)

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 74

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

1250

1500

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3+x2+x)

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x4)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 75

-25

-2

-15

-1

-05

0

05

1

15

2

25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(log(x))

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(x))

Ε Ι Κοντογιώργης copy 76

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(-x))

-5000

0

5000

10000

15000

20000

25000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(exp(x)+x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 77

Ανισότητες I

I Οι ανισότητες αποτελούνται από δύο ή τρεις αλγεβρικέςεκφράσεις που είναι συνδεδεμένες με τα σύμβολαανισότητας Τα σύμβολα αυτά είναι

lt μικρότερο τουgt μεγαλύτερο τουle μικρότερο ή ίσο τουge μεγαλύτερο ή ίσο του

I Παραδείγματα xgty yge x2 και ylt5x+1

I Το πρώτο βήμα για την αναπαράσταση ανισότητας τηςμορφής ygtx είναι να παραστήσουμε γραφικά τηνισότητα y= x

Ε Ι Κοντογιώργης copy 78

Ανισότητες II

I ygtx

Κάνετε δοκιμή με ένα σημείο να δείτε κατά πόσοικανοποιεί την ανισότητα Εάν ναι τότε σκιάστε τηνπεριοχή αυτή του σχεδιαγράμματος διαφορετικά σκιάστετην άλλη πλευρά

Ε Ι Κοντογιώργης copy 79

Ανισότητες III

I yltx

Ε Ι Κοντογιώργης copy 80

Ανισότητες IV

I yle 5x+1 και ygt5x+1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 81

Ανισότητες V

I yge x2 και yle x2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 82

Ανισότητες VI

I ygtx3 και yle x3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 83

Συστήματα Γραμμικών ΕξισώσεωνΠεριεχόμενα

1 Ε

2 Γ Α

ΑναφορέςΚεφάλαια 4 και 5FS Budnick Applied Mathematics for Business Economicsand the Social Sciences 4th edition McGraw-Hill 1993

Ε Ι Κοντογιώργης copy 84

Συστήματα Εξισώσεων

I ´Ενα σύστημα εξισώσεων συνδυάζει περισσότερες από μίαεξισώσεις

I ´Ενα σύστημα m εξισώσεων όπου κάθε εξίσωσηαποτελείται από n μεταβλητές ονομάζεται mtimesnσύστημα ή λέμε ότι έχει διαστάσεις mtimesn

I ΠαράδειγμαΠαρακάτω έχουμε ένα σύστημα 2times2

5X+10Y= 203X+4Y= 10

Οι μεταβλητές σε αυτή την περίπτωση είναι X και YΕ Ι Κοντογιώργης copy 85

Συστήματα Επίλυσης

I Το Σύστημα επίλυσης είναι μια σειρά τιμών μεταβλητώνπου ικανοποιούν το σύστημα ταυτόχρονα

I Σε μια σημειογραφική παράσταση το προηγούμενοπαράδειγμα μπορεί να γραφτεί ως εξής

S = (XY) | 5X+10Y = 20 και 3X+4Y = 10

I Το σύστημα επίλυσης μπορεί να είναι1 μηδενικό2 πεπερασμένο ή3 άπειρο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 86

2times2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική Ανάλυση

I Σε ένα δισδιάστατο γράφημα ένα σύστημα εξισώσεων2times2 αναπαρίστανται με ευθείες γραμμές Υπόρχουν τρίαενδεχόμενα

1 Οι ευθείες τέμνονται Το σημείο τομής αντιπροσωπεύει τηλύση του συστήματος εξισώσεων Αυτό το σημείοαλληλεπίδρασης είναι μια δέσμη τιμών X και Y που ικανοποιείκαι τις δύο εξισώσειςΕάν υπάρχει μόνο μια δέσμη τιμών για τις μεταβλητές που ναικανοποιεί το σύστημα εξισώσεων το σύστημα λέμε ότι έχειΜ Λ

2 Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες μεταξύ τους ∆εν έχουν κοινόσημείο Συνεπώς οι ευθείες δεν τέμνονται ποτέ Το σύστημαλέμε ότι ∆ ΛΑυτό υπονοεί ότι δεν υπάρχουν τιμές για τις μεταβλητές πουνα ικανοποιούν και τις δύο εξισώσεις Σε αυτή τηνπερίπτωση οι εξισώσεις στο σύστημα είναι Α

3 Και οι δύο εξισώσεις αναπαρίστανται ως μια κοινή ευθεία καιθεωρούνται ισοδύναμες εξισώσεις ´Ετσι το σύστημα έχειΑ Λ Αυτό συμβαίνει γιατί υπάρχει άπειροςαριθμός κοινών σημείων στις δύο γραμμές

Ε Ι Κοντογιώργης copy 87

I Π Θεωρείστε ένα σύστημα 2times22X+4Y= 203X+ Y= 10

I

X

Y

(24)

3X +Y = 10

2X +4Y = 20

0 2 4 6 8 10 12

2

4

6

8

10

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 88

I Το σημείο τομής δίνεται από το X= 2 και Y= 4Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές του X και Y στις δύοεξισώσεις δίνουν 20 = 20 και 10 = 10 αντίστοιχα

I Αυτό υποδειλώνει ότι X= 2 και Y= 4 είναι η σωστή λύση

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times23Xminus2Y= 6

minus15X+10Y=minus30

I

X

Y

(20)

(0minus3)

3X minus2Y = 6

minus15X +10Y =minus30

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 89

I Οι δύο εξισώσεις απλοποιούνται σε Xminus 23 Y= 2

Οι δύο εξισώσεις είναι ισοδύναμες και δίνουν έναπεπερασμένο αριθμό λύσεων έτσι ώστε

X= 0 Y =minus3X= 2 Y = 0X= 4 Y = 3

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times26Xminus12Y= 24

minus32X+3Y= 9

Οι εξισώσεις απλοποιούνται σεXminus2Y= 4Xminus2Y=minus6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 90

I

X

Y

(40)

(0minus2)

(minus60)

(03)

X minus2Y =minus6

X minus2Y = 4

0-0

I Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες και συνεπώς το σύστημαδεν έχει λύση ´Ετσι το σύστημα εξισώσεων είναιασύμπτωτο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 91

Περίληψη 2times2 Συστήματα Εξισώσεων∆ίνεται ένα Σύστημα Γραμμικών Εξισώσεων 2times2

Y=m1X+ c1Y=m2X+ c2

1 Υπάρχει μια στο σύστημα εάνm1 6= m2

2 ∆εν υπάρχει στο σύστημα εάνm1 = m2 και c1 6= c2

3 Υπάρχει εάνm1 = m2 και c1 = c2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 92

∆ιαδικασίες Απαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής χρησιμοποιεί πολλαπλασιασμόκαι πρόσθεση έτσι ώστε

1 Να απαλοιφεί μια από τις δύο μεταβλητές

2 Η εξίσωση που εξάγεται είναι συνάρτηση των υπόλοιπωνμεταβλητών

3 Αντικαθιστώντας την τιμή στην μεταβλητή σε μια από τιςαρχικές εξισώσεις βρίσκουμε την τιμή για τηναπολοιφθήσα μεταβλητή

Ε Ι Κοντογιώργης copy 93

ΠαραδείγματαI Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

2X +4Y = 20 (1)3X + Y = 10 (2)

Πολλαπλασιάζοντας τη δεύτερη εξίσωση με minus4 παίρνουμε

minus12X minus4Y =minus40 (3)

Προσθέτοντας την εξίσωση (1) στο (3)

2X + 4Y = 20minus12X minus 4Y = minus40minus10X = minus20

ή

X = 2 (4)Ε Ι Κοντογιώργης copy 94

Αντικαθιστώντας X= 2 στην εξίσωση (1) δίνεται2 middot2+4Y = 20 ή Y=4

´Ετσι η μοναδική λύση του συστήματος δίνεται από τοX= 2 και Y= 4 Μπορεί να επιβεβαιωθεί ότι αυτή είναι ησωστή λύση αντικαθιστώντας X= 2 και Y= 4 στηνεξίσωση (1) και (2)

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times23X minus2Y = 6 (5)

minus15X +10Y =minus30 (6)

Για την απαλοιφή της μεταβλητής X η εξίσωση (5)πολλαπλασιάζεται με 5 και το αποτέλεσμα προστίθεταιστην εξίσωση (6)

15X minus 10Y = 30minus15X + 10Y = minus30

0 = 0 Ε Ι Κοντογιώργης copy 95

Οι τελευταίες πράξεις υπονοούν ότι οι εξίσωσεις (5) και(6) είναι ισοδύναμες και έτσι υπάρχει άπειρος αριθμόςλύσεωνΓια να προσδιορίσουμε τις λύσεις του συστήματος μια απότις αρχικές εξισώσεις λύνεται ως προς μια μεταβλητή Ανγια παράδειγμα η εξίσωση (5) λύνεται ως προς Y δίνει

Y =32Xminus3

Σαν αποτέλεσμα γενικεύοντας τις λύσεις του συστήματοςέχουμε

X τυχαίο και Y =32Xminus3

Πχ για X= 4 υπονοείται ότι Y=32 middot4minus3 = 3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 96

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

6X minus12Y = 24 (7)

minus32X +3Y = 9 (8)

Πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση (8) με 4 καιπροσθέτοντας το αποτέλεσμα στην εξίσωση (7)παίρνουμε

6X minus 12Y = 24minus6X + 12Y = 36

0 = 60

Η πιο πάνω αντιλογία υπονοεί ότι δεν υπάρχει λύση τουσυστήματος εξισώσεων

Ε Ι Κοντογιώργης copy 97

3times2 Συστήματα Εξισώσεων I

1 Μ Λ

X

Y

(32)

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minusY = 1

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 98

3times2 Συστήματα Εξισώσεων II

2 Α Λ

X

Y Εξις (1)Εξις (2)Εξις (3)

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 99

3times2 Συστήματα Εξισώσεων III3 Κ

(α) ´Οταν και οι τρεις εξισώσεις είναι παράλληλες

X

Y

2X minusY =minus8

2X minusY = 2

2X minusY = 12

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 100

3times2 Συστήματα Εξισώσεων IV(β) ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ τωνεξισώσεων

X

Y

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minus2Y =minus4

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 101

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική ΑνάλυσηΣε ένα γράφημα 2 διαστάσεων ένα σύστημα mtimes2(mgt2) εξισώσεων παριστάνεται με m ευθείες ´Οπωςσυμβαίνει στα συστήματα 2times2 υπάρχουν τρίαενδεχόμενα

1 ´Ολες οι ευθείες τέμνονται στο ίδιο σημείο και έτσιυπάρχει

2 ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ των mεξισώσεων Αυτό σημαίνει ότι όλες οι ευθείες είναιπαράλληλες Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα Λ

3 Οι m εξισώσεις είναι ισοδύναμες πχ παρασταίνονται σανμια ευθεία Σε αυτή την περίπτωση υπάρχει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 102

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων ∆ιαδικασίαΑπαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής για την επίλυση ενός συστήματοςmtimes2 μπορεί να περιγραφεί ως ακολούθωςΕπιλέξτε και λύστε σύστημα με δύο εξισώσεις

1 Εάν δεν υπάρχει λύση τότε ολόκληρο το σύστημα δεν έχειλύση

2 Εάν υπάρχει μοναδική λύση που ικανοποιεί τις υπόλοιπεςmminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα έχει μία μοναδική λύση

3 Εάν η λύση είναι μοναδική αλλά δεν ικανοποιεί τιςυπόλοιπες mminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα δεν έχει λύση

4 Εάν οι 2 λύσεις είναι ισοδύναμες απάλοιψτε τη μίααπό τις δύο εξισώσεις και ξεκινήστε από την αρχήλαμβάνοντας υπόψη ένα σύστημα (mminus1)times2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 103

ΠαράδείγμαI Θεωρείστε ένα σύστημα 5times2

XminusY= 1X+2Y=minus8

3Xminus2Y= 02Xminus5Y= 11minus4X+3Y=minus1

I Η λύση των πρώτων δύο εξισώσεων δίνετε απόY =minus3 και X =minus2

I Αντικαθιστώντας τη λύση στις υπόλοιπες τρεις εξισώσειςπαίρνετε αντίστοιχα

0 = 0 11 = 11 και minus1 =minus1I Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση

X=minus2 και Y=minus3Ε Ι Κοντογιώργης copy 104

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian

Η μέθοδος απολοιφής Gaussian μετατρέπει το αρχικόσύστημα εξισώσεων σε διαγώνια μορφή επαναλαμβάνονταςστις εξισώσεις τις ακόλουθες τρεις διαδικασίες

1 Πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης μεμια θετική σταθερά

2 Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού θα προστεθεί σεάλλη εξίσωση

3 Η σειρά των εξισώσεων μπορεί να αλλάξει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 105

ΠαράδείγμαΠ Θεωρείστε το σύστημα 2times2

2X minus 3Y = 7 (Εξ 1)X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με 12 για να πάρετε

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με minus1 καιπροσθέστε την στην (Εξ 2)

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

52Y =

152 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 106

Στάδιο 3 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 25

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

Y = 3 (Εξ 2)

Στάδιο 4 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 32 και

προσθέστε την στην (Εξ 1)

X = 1 (Εξ 1)Y = 3 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 107

Π Θεωρείστε το σύστημα 2times2

5X + 20Y = 254X minus 7Y =minus26

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να εκφραστεί ως

R1 5 20 25R2 4 minus7 minus26

Η κάθετη γραμμή χρησιμοποιείται για διαχωρισμό τηςαριστερής από τη δεξιά πλευρά των εξισώσεων Το Riυπονοεί τη γραμμή (Row) i

Ε Ι Κοντογιώργης copy 108

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάζουμε τη R1 με 15 και το θέτουμε

R1larr 15R1

R1 1 4 5R2 4 minus7 minus26

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάζουμε την R1 με minus4 και τηνπροσθέτουμε στην R2 Εν συντομίαR2larrminus4R1+R2

R1 1 4 5R2 0 minus23 minus46

Στάδιο 3 R2larrminus 123R2

R1 1 4 5R2 0 1 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 109

Στάδιο 4 R1larrminus4R2+R1

R1 1 0 minus3R2 0 1 2

Το αρχικό σύστημα εξισώσεων μετατρέπεται σε διαγώνιαμορφή όπως πιο κάτω

X =minus3Y = 2

το οποίο δίνει τη λύση του συστήματος

Ε Ι Κοντογιώργης copy 110

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 I

Το σύστημα εξισώσεων 3times3 μετετρέπεται σε διαγώνιαμορφή Η μετατροπή γίνεται στήλη με στήλη από τααριστερά προς τα δεξιά

Π Θεωρήστε το σύστημα 3times3

X1 + X2 + X3 = 2X1 minus 3X2 + 2X3 = 7

4X1 minus 2X2 minus X3 = 9

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να γραφτεί ως

Ε Ι Κοντογιώργης copy 111

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 II

1 1 1 21 minus3 2 74 minus2 minus1 9

Ε Ι Κοντογιώργης copy 112

logb(xy)

= logb(x)minus logb(y)

Απόδειξη´Εστω m= logbx και n= logby

Γράψτε σε μορφή εκθέτη x= bm και y= bn

∆ιαίρα το x και y ούτως ώστε xy =bmbn = bmminusn

´Ετσι από τον ορισμό των λογαρίθμων το xy = bmminusn

συνεπάγει ότι

logb(xy)

=mminusn= logbxminus logb(y)

Πχ log2(16

4)

= log2(4) = 2

και log2(16

4)

= log2(16)minus log2(4) = 4minus2 = 2Ε Ι Κοντογιώργης copy 33

logb(xn) = n logb(x)

Απόδειξη´Εστω m= logbx και γράψτε σε μορφή εκθέτη x= bm

Αυξάνοντας τις δύο πλευρές στην n δύναμη παίρνουμεxn = (bm)n = bmn

´Ετσι από τον ορισμό των λογαρίθμων τοlogbxn =mn= nm= n(logbx)

Πχ log2(64) = log2(26) = 6 log2(2) = 6

log(64) = 18

Επιπλέον log(64) = log(26) = 6log(2) = 6times030 = 18

Ε Ι Κοντογιώργης copy 34

logb(x) =loga(x)loga(b) agt0 a 6= 1

Απόδειξη´Εστω m= logbx rArr x= bm

Εφαρμόστε loga και στις δύο πλευρές του x= bmγια ναδώσει

logabm = logax rArr m logab= logaxrArr m=logaxlogab

rArr logbx=logaxlogab

Πχ log5(20) =log(20)

log(5)= 186 =

ln(20)

ln(5)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 35

logb(a) =1

loga(b) agt0 a 6= 1

Απόδειξη

logb(x) =loga(x)loga(b) =

logx(x)logx(b)

=1

loga(b)

´Οταν a= x

Πχ log2(64) =1

log64(2)=

116 = 6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 36

Αθροισμα

I Υποθέστε ότι έχουμε μια μεταβλητή x που μπορεί ναπάρει δέκα τιμές Εάν ενδιαφερόμαστε για το άθροισμάτους χωρίς να ξέρουμε την τιμή της κάθε μεταβλητής τότεο καλύτερος τρόπος να το εκφράσουμε είναι

x1 +x2 + middot middot middot+x9 +x10

I Εν συντομία το άθροισμα n στοιχείων x1 +x2 + middot middot middot+xn είναιnsum

i = 1xi

και ερμηνεύεται σαν το άθροισμα όλων των xirsquosξεκινώντας από το x1 (πχ i = 1) μέχρι xn (i = n)

I Εάν δε δοθεί διαφορετικά πάντοτε υποθέτουμε ότι το iαυξάνεται ξεκινώντας από το στάδιο 1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 37

I Το lsquolsquoSigmarsquorsquo Σ είναι γνωστό ως το άθροισμα (summation) ήσύμβολο σίγμα (sigma operator) και ο δείκτης i όνομάζεταιεικονική μεταβλητή

I Παραδείγματα

I

5sum

i = 1xi = x1 +x2 +x3 +x4 +x5

I

5sum

i = 1(y2

i ) = y21 +y22 +y23 +y24 +y25

Σημειώστε ότι η μόνη μεταβλητή που περιγράφεται απευθείαςκάτω από το σύμβολο Σ αυξάνεται κατά 1 κάθε φορά ενώ όλατα άλλα σύμβολα παραμένουν τα ίδια

I

4sum

r = 1(x3r ) = x31 +x32 +x33 +x34

Ε Ι Κοντογιώργης copy 38

I6sum

i = 1i = 1+2+3+4+5+6

I6sum

i = 1i2 = 12 +22 +32 +42 +52 +62

I7sum

i = 3xi = x3 +x4 +x5 +x6 +x7

I4sum

i = 1a = a+a+a+a= 4a

I3sum

i = 1(4+xi) = (4+x1) + (4+x2) + (4+x3)

=3sum

i = 14+

3sum

i = 1xi

Ε Ι Κοντογιώργης copy 39

I3sum

i = 1(2xi) = (2x1) + (2x2) + (2x3) = 2times

3sum

i = 1xi

I Ο συντελεστής i παραλείπεται εάν δε προκαλείαοριστία Για παράδειγμα Σx ή Σixi σημαίνειάθροισμα όλων των x που λαμβάνονται υπόψη

I ∆ήλωσηI

nsumi=1a= na

I sumiaxi = asum

ixi

I sumi

(axi+byi) = asumixi +bsum

iyi

Ε Ι Κοντογιώργης copy 40

I Αθροιστικός Τύπος

Insum

i = 1i = 1+2+ middot middot middot+n=

n(n+1)

2

Πχ6sumi = 1i = 1+2+3+4+5+6 =

6(6+1)

2 = 21

Insum

i = 1i2 = 12 +22 + middot middot middot+n2 =

n(n+1)(2n+1)

6

Πχ6sumi = 1i2 = 12 +22 +32 +42 +52 +62

=6(6+1)(12+1)

6 = 91

Ε Ι Κοντογιώργης copy 41

Insum

i = 1i3 = 13 +23 + middot middot middot+n3 =

n2(n+1)2

4

Πχ6sumi = 1i3 = 13 +23 +33 +43 +53 +63

=62(6+1)2

4 = 441

Ε Ι Κοντογιώργης copy 42

ΠαραδήγματαΑριθμητική Πρόοδος

I Γενικά μπορούμε να εκφράσουμε μια αριθμητική πρόοδο ωςεξής

αριθμητική πρόοδος a a+d a+2d a+3d

όπου ο πρώτος όρος είναι a και η διαφορά d Ο όρος nτης απ δίνεται από τη σχέση b = a+ (nminus1)d

I 3 5 7 9 11 είναι μια αριθμητική πρόοδος Οπρώτος όρος είναι το 3 και η διαφορά είναι 2

I 2 minus1 minus4 minus7 είναι μια αριθμητική πρόοδος όπου οπρώτος όρος είναι 2 και η διαφορά minus3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 43

I Το άθροισμα των όρων μιας αριθμητικής προόδου είναιγνωστό ως αριθμητική σειρά

Sn = a+ (a+d) + (a+2d) + middot middot middot+ (a+ (nminus1)d)

=nsumi=1

(a+ (iminus1)d

)= na+

nsumi=1

(iminus1)d

= na+dnminus1sumi=1

i = na+d(nminus1)n2

=n2(2a+d(nminus1)) =

n2(a+b) b = a+d(nminus1)

I ΑΠ 3 5 7 9 11 13 rArr Sn =62(3+13) = 48

Ε Ι Κοντογιώργης copy 44

∆ιπλό Αθροισμα4sumi=1

isumj=1

j = (1) + (1+2) + (1+2+3) + (1+2+3+4) = 20

nsumi=1

isumj=1

j =nsumi=1

( isumj=1

j)

nsumi=1

(12 i(i+1)

)=

12

nsumi=1

(i2 + i)

12( nsumi=1

i2 +nsumi=1

i)

=12(16n(n+1)(2n+1) +

12n(n+1)

)

=12

16n(n+1)

((2n+1) +3

)=

n6(n+1)(n+2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 45

∆ιπλό Αθροισμα

nsumi=1

msumj=1

(i+ j+2) =nsumi=1

( msumj=1

(i+ j+2))

nsumi=1

( msumj=1

i+msumj=1

j+msumj=1

2)

=nsumi=1

(mi+ 1

2m(m+1) +2m)

m( nsumi=1

i+ 12

nsumi=1

(m+5))

= m(12n(n+1) +

12n(m+5)

)

=mn2(m+n+6

)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 46

Insumr=1

1r(r+1)

=nsumr=1

(Ar +

Br+1

)=

nsumr=1

A(r+1) +Brr(r+1)

I A(r+1) +Br = 1

I Για r = 0 τότε A= 1 και για r =minus1 τότε B=minus1

I

nsumr=1

1r(r+1)

=nsumr=1

(1r minus

1r+1

)

=(

(11 minus

12) + (

12 minus

13) + (

13 minus

14) + middot middot middot+ (

1nminus1 minus

1n ) + (

1n minus

1n+1)

)

= 1minus 1n+1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 47

Insumk=1

1(k+2)(k+3)

=nsumk=1

( A(k+2)

+B

(k+3)

)=

nsumk=1

A(k+3) +B(k+2)

(k+2)(k+3)

I A(k+3) +B(k+2) = 1

I Για k=minus2 τότε A= 1 και για k=minus3 τότε B=minus1

I

nsumk=1

1(k+2)(k+3)

=nsumk=1

( 1(k+2)

minus 1(k+3)

)

=(

(13 minus

14)+(

14 minus

15)+(

15 minus

16)+ +(

1n+1 minus

1n+2)+(

1n+2 minus

1n+3)

)

=13 minus

1n+3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 48

Αθροισμα με Λογάριθμους

nsumi=1

logb(i) = logb(1) + logb(2) + middot middot middot+ logb(n)

= logb(1times2times3timesmiddotmiddot middottimesn)

= logb(n)

I Το n (n παραγοντικό) δίνεται από n = 1times2timesmiddotmiddot middottimesn και0 = 1

I100sumi=1

log2(100) = log2(100) =log(100)

log(2)=

log(99)

log(2)+

2log(2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 49

Γινόμενο των ακολουθιώνIn

prodi=1xi = x1timesx2timesx3timesmiddotmiddot middottimesxn

In

prodi=1i = 1times2times3timesmiddotmiddot middottimesn= n

In

prodi=1z= ztimesztimesmiddotmiddot middottimesz= zn

I

nprodi=1

(1+

1i+1

)=(1+

12)times(1+

13)times(1+

14)times times(1+

1n )times(1+

1n+1)

=32 times

43 times

54 timesmiddotmiddot middottimes

n+1n times n+2

n+1

=n+22

Ε Ι Κοντογιώργης copy 50

Γεωμετρικές ΠροόδοιI Μια γεωμετρική πρόοδος είναι μια σειρά αριθμών όπου

κάθε όρος μετά των πρώτο υπολογίζεται από τονπολλαπλασιασμό του προηγούμενου όρου με ένασταθερό αριθμό που καλείται αναλογία

I Η σειρά1 3 9 27 81 middot middot middot

είναι μια γεωμετρική πρόοδος με πρώτο όρο το 1 καιαναλογία 3

I Η αναλογία μπορεί να είναι κλάσμα καθώς επίσης καιαρνητικός αριθμός Για παράδειγμα η γεωμετρικήπρόοδος με πρώτο όρο το 2 και αναλογία minus13 είναι

2 minus 23 +

29 minus

227 +

281 middot middot middot

Ε Ι Κοντογιώργης copy 51

I Γενικά μπορούμε να γράψουμε μια γεωμετρική πρόοδο ωςακολούθως

γεωμετρική πρόοδος a ar ar2 ar3 ar4 middot middot middot

όπου ο πρώτος όρος είναι a και η αναλογία r

I Σημαντικά θεωρήματα των γεωμετρικών προόδων (γπ)1 Ο n όρος μιας γπ δίνεται από ar(nminus1)

2 Το άθροισμα των πρώτων n όρων μιας γπ είναι

Sn =a(1minus rn)

1minus r =a(rnminus1)

rminus1 και ισχύει μόνο αν r 6= 1

I Το άθροισμα των όρων μιας γεωμετρικής προόδουονομάζεται γεωμετρική σειρά

Ε Ι Κοντογιώργης copy 52

Γεωμετρική σειρά

Sn = a+ar+ar2 +ar3 + middot middot middot+arnminus2 +arnminus1

rSn = ar+ar2 +ar3 + arnminus1 +arn

Snminus rSn = aminusarn

(1minus r)Sn = a(1minus rn)

Sn =a(1minus rn)

(1minus r) =a(rnminus1)

(rminus1)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 53

I Παράδειγμα1 Βρείτε το άθροισμα των πρώτων 10 όρων μιας γεωμετρικής

σειράς4 8 16 32

Ο πρώτος όρος είναι a= 4 και η αναλογία r = 2 καιn= 10 ´Ετσι

S10 =4(1minus210)

1minus2 = 4092

2 Θεωρείστε τη γπ4 minus8 16 minus32 64 minus128 256 minus512

Σε αυτή την περίπτωση ο πρώτος όρος είναι a= 4 ηαναλογία είναι r =minus2 και n= 8´Ετσι

S8 =4(1minus (minus2)8)

1minus (minus2)=minus340

Ε Ι Κοντογιώργης copy 54

Συνεχείς ανατοκισμός

Οι περισσότεροι τραπεζικοί λογαριασμοί και τα δάνειαυιοθετούν ανατοκισμό - εφαρμόζοντας συνεχή ανατοκισμόΘεωρείστε ένα λογαριασμό που προσφέρει τόκο με ετήσιοεπιτόκιο r (πχ 7) Εάν το επιτόκιο είναι συνεχέςσε χρονιαία βάση τότε μετά από 1 χρόνο το χρονιαίοεπιτόκιο προστίθεται στο αρχικό κεφάλαιο για νακαθορίσει ένα μεγαλύτερο κεφάλαιο τον δεύτερο χρόνο

´Ετσι κατά τη διάρκεια του δεύτερου χρόνου ολογαριασμός κερδίζει επιτόκιο πάνω στο επιτόκιοΑυτή είναι η επίδραση του ανατοκισμού που συνεχίζεταιχρόνο με το χρόνο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 55

I Με τον ετήσιο ανατοκισμό το κεφάλαιο πουσυσσωρεύεται στο λογαριασμό πολλαπλασιάζεται με

(1+ r)

´Ετσι το κεφάλαιο A θα αυξηθεί σε

A(1+ r) = A+A middot r

τον επόμενο χρόνο

I Με το πέρας και του δεύτερου χρόνου το κεφάλαιο θααυξηθεί ακόμα (1+ r) σε (1+ r)2

´Ετσι το κεφάλαιο καταλήγει σε

A(1+ r)(1+ r) = A(1+ r)2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 56

I Κατά παρόμοιο τρόπο στο τέλος του τρίτου χρόνου τοποσό θα αυξηθεί κατά (1+ r)3

I Μετά από n χρόνια το ποσό θα αυξηθεί κατά (1+ r)n

I ´Ετσι το κεφάλαιο (επένδυση) A θα αυξηθεί με συνεχήανατοκισμό σε A(1+ r)n μετά από n χρόνια

I Ο τύπος (1+ r)n εκθέτει γεωμετρική αύξηση λόγω τηςn δύναμης

Ε Ι Κοντογιώργης copy 57

ΠαραδείγματαI Εάν το επιτόκιο είναι r = 5 τότε το κεφάλαιοA= $1000 που βρίσκεται στην τράπεζα n= 20 χρόνιαθα αυξηθεί κατά

(1+ r)n = (1+005)20 = 2653 φορές

´Ετσι το ποσό θα καταλήξειA(1+ r)n = $265330

I Βρέστε το χρόνο που χρειάζεται για ένα λογαργιασμό ναδιπλασιάσει το διαθέσιμο κεφάλαιο του όταν r = 7 καιr = 10Ζητούμε να βρούμε το n έτσι ώστε

(1+ r)n = 2Ε Ι Κοντογιώργης copy 58

I Υπολογίζοντας το λογάριθμο του τελευταίου παίρνουμε

log(1+ r)n = log(2)ή n log(1+ r) = log(2)

´Ετσιn=

log2log(1+ r)

I Για r = 7 και r = 10 ο χρόνος n πουχρειάζεται για διπλασιασμό της επένδυσης υπολογίζεταισε 1024 και 727 αντίστοιχα

Ε Ι Κοντογιώργης copy 59

I Αν το επιτόκιο είναι r = 7 τότε πιο θα είναι τοσυνολικό ποσό στο λογαριασμό μετά από 205 και41 χρόνια αντίστοιχα

Μετά τα πρώτα 1025 χρόνια το ποσό A θαδιπλασιαστεί σε 2A Για τα επόμενα 1025 χρόνιατο ποσό θα ξαναδιπλασιαστεί σε 4A ´Ετσι μετά από205 χρόνια το ποσό θα αυξηθεί κατά 4 φορές

Με το πέρας ακόμα 205 χρόνων το ποσό θα αυξηθείακόμα 4 φορές σε 16 ´Ετσι μετά από 41 χρόνιατο κεφάλαιο A γίνεται 16A

Ε Ι Κοντογιώργης copy 60

Ασκήσεις και Παραδείγματα

I Υπολογίστε τη Μελλοντική Αξία (Future Value (FV)) τουκεφαλαίου A= 1500 που κερδίζει ετήσιο επιτόκιοr = 5 για n= 10 έτη

FV =A(1+ r)n = 1500(1+005)10 = 244334

I Πόσα έτη απαιτούνται για να τριπλασιαστεί ένα ποσόπου αφήνετε στην τράπεζα με επιτόκιο r = 5∆ηλαδή βρείτε το n όπου A= 1 r = 5 και FV = 3

FV =A(1+ r)n ή (1+ r)n =FVA

Ε Ι Κοντογιώργης copy 61

Υπολογίζοντας τους λογαρίθμους παίρνουμε

log(1+ r)n = log(FVA)

ή n log(1+ r) = log(FVA)

´Ετσι

n=log(FVA)

log(1+ r) =log(3)

log(105)

= 2252

Ε Ι Κοντογιώργης copy 62

I Βρείτε την παρούσα αξία A έτσι ώστε σε δέκα έτη μεσταθερό επιτόκιο r = 6 να είναι 100KΒρείτε το A όπου FV = 100000 r = 6 και n= 10

FV =A(1+ r)n ή A=FV

(1+ r)n

´Ετσι A=100000

(106)10= 5583948

I Βρείτε την ετησιοποιημένη απόδοση (AER AnnualEquivalent Rate) μιας μηνιαίας κατάθεσης με σταθερόεπιτοκίο 394 Μια τέτοια κατάθεση λαμβάνει το επιτόκιο στη λήξηΣυνεπώς κάθε μήνα ο λογαριασμός λαμβάνει

r = 0039412 = 000328

επιτόκιο που επανεπενδύεται (συνεχής ανατοκισμός)Ε Ι Κοντογιώργης copy 63

Επανεπενδύοντας το επιτόκιο κάθε μήνα στη διάρκειαενός έτους το κεφάλαιο θα αυξηθεί σε

(1+ r)12 = (1+000328)12 = 104012

´Ετσι το ΑΕΡ είναι ισοδύναμο με 004012 = 4012I Υπολογίστε το επιτόκιο ενός σταθερού λογαριασμού

κατάθεσης 7-ημερών που έχει AER επιτόκιο r = 425Θεωρείστε ρ το εβδομαδιαίο επιτόκιο

´Ετσι (1+ρ)52 = (1+00425)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 64

Παίρνοντας τους λογαρίθμους έχουμε52log(1+ρ) = log10425

ή log(1+ρ) =log10425

52

ή 1+ρ= 10( log10425

52)

Αυτό μας δίνει

ρ= 10

( log1042552

)minus1 = 008

´Ετσι το συνεχές επιτόκιο μιας επταήμερης κατάθεσης είναιρtimes52 = 41638

Εναλλακτικά (1+ρ)52 = (1+00425) δίνει

(1+ρ) =52radic10425ή ρ=

52radic10425minus = 008Ε Ι Κοντογιώργης copy 65

I Υπολογίστε την ετήσια απόδοση r έτσι ώστε A= 10000να επιστρέφει FV = 35000 σε n= 20 χρόνια

FV =A(1+ r)n ή (1+ r)n =FVA

´Ετσι

1+ r =nradic

FVA

Επομένως

r =nradic

FVA minus1 =

20radic

3500010000 minus1 = 00646 = 646

Ε Ι Κοντογιώργης copy 66

Εναλλακτικά παίρνοντας τους λογαρίθμους

log(1+ r)n = log(FVA) ή n log(1+ r) = log

(FVA)

´Ετσι

1+ r = 10(1n log

(FVA))

ή r = 10(1n log

(FVA))minus1

= 10( 120 log

(3500010000

))minus1

= 646

Ε Ι Κοντογιώργης copy 67

Γραφική Αναπαράσταση I

I Υποθέστε ότι έχουμε y= 3x+2 Καθώς έχουμε μόνο μιαδύναμη για το x πρέπει να λύσουμε γραμμική εξίσωσηκαι να σχεδιάσουμε μια ευθεία γραμμή Αρχικά θα πρέπεινα σχεδιάσουμε ένα T-chart Αυτό έχει τη μορφή

x y = 3x+2 (xy)

I Επιλέγουμε μια τιμή για το x και λύνουμε ως προς y

x y= 3x+2 (xy)minus2 minus4 (minus2minus4)0 2 (02)2 8 (28)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 68

Γραφική Αναπαράσταση II

-

6

X

Y

bull

bull

bull

I Βλέπουμε μια ευθεία με ανοδική τάση (έχοντας θετικήκλίση m= 3) καιτέμνει τον άξονα y στο σημείο y= 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 69

Γραφική Αναπαράσταση III

I Μια Τετραγωνική εξίσωση περιέχει x2 Για τηναναπαράσταση τετραγωνικών εξισώσεων χρειάζεται ναβρούμε περισσότερα από τρία σημεία στο σχεδιάγραμμα

Για παράδειγμα υποθέστε ότι y= x2minus6x+5 καιδίνεται το πιο κάτω T-chart

x y= x2minus6x+5 (xy)0 5 (05)1 0 (10)3 minus4 (3minus4)5 0 (50)6 5 (65)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 70

Γραφική Αναπαράσταση IV

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

-

6

X

Y

bull

bull

bull

bull

bull

Ε Ι Κοντογιώργης copy 71

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(1x + 2)

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(-3x + 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 72

-15

-10

-5

0

5

10

15

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(3x - 2)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 73

-20

0

20

40

60

80

100

120

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2+x)

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 74

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

1250

1500

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3+x2+x)

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x4)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 75

-25

-2

-15

-1

-05

0

05

1

15

2

25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(log(x))

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(x))

Ε Ι Κοντογιώργης copy 76

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(-x))

-5000

0

5000

10000

15000

20000

25000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(exp(x)+x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 77

Ανισότητες I

I Οι ανισότητες αποτελούνται από δύο ή τρεις αλγεβρικέςεκφράσεις που είναι συνδεδεμένες με τα σύμβολαανισότητας Τα σύμβολα αυτά είναι

lt μικρότερο τουgt μεγαλύτερο τουle μικρότερο ή ίσο τουge μεγαλύτερο ή ίσο του

I Παραδείγματα xgty yge x2 και ylt5x+1

I Το πρώτο βήμα για την αναπαράσταση ανισότητας τηςμορφής ygtx είναι να παραστήσουμε γραφικά τηνισότητα y= x

Ε Ι Κοντογιώργης copy 78

Ανισότητες II

I ygtx

Κάνετε δοκιμή με ένα σημείο να δείτε κατά πόσοικανοποιεί την ανισότητα Εάν ναι τότε σκιάστε τηνπεριοχή αυτή του σχεδιαγράμματος διαφορετικά σκιάστετην άλλη πλευρά

Ε Ι Κοντογιώργης copy 79

Ανισότητες III

I yltx

Ε Ι Κοντογιώργης copy 80

Ανισότητες IV

I yle 5x+1 και ygt5x+1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 81

Ανισότητες V

I yge x2 και yle x2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 82

Ανισότητες VI

I ygtx3 και yle x3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 83

Συστήματα Γραμμικών ΕξισώσεωνΠεριεχόμενα

1 Ε

2 Γ Α

ΑναφορέςΚεφάλαια 4 και 5FS Budnick Applied Mathematics for Business Economicsand the Social Sciences 4th edition McGraw-Hill 1993

Ε Ι Κοντογιώργης copy 84

Συστήματα Εξισώσεων

I ´Ενα σύστημα εξισώσεων συνδυάζει περισσότερες από μίαεξισώσεις

I ´Ενα σύστημα m εξισώσεων όπου κάθε εξίσωσηαποτελείται από n μεταβλητές ονομάζεται mtimesnσύστημα ή λέμε ότι έχει διαστάσεις mtimesn

I ΠαράδειγμαΠαρακάτω έχουμε ένα σύστημα 2times2

5X+10Y= 203X+4Y= 10

Οι μεταβλητές σε αυτή την περίπτωση είναι X και YΕ Ι Κοντογιώργης copy 85

Συστήματα Επίλυσης

I Το Σύστημα επίλυσης είναι μια σειρά τιμών μεταβλητώνπου ικανοποιούν το σύστημα ταυτόχρονα

I Σε μια σημειογραφική παράσταση το προηγούμενοπαράδειγμα μπορεί να γραφτεί ως εξής

S = (XY) | 5X+10Y = 20 και 3X+4Y = 10

I Το σύστημα επίλυσης μπορεί να είναι1 μηδενικό2 πεπερασμένο ή3 άπειρο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 86

2times2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική Ανάλυση

I Σε ένα δισδιάστατο γράφημα ένα σύστημα εξισώσεων2times2 αναπαρίστανται με ευθείες γραμμές Υπόρχουν τρίαενδεχόμενα

1 Οι ευθείες τέμνονται Το σημείο τομής αντιπροσωπεύει τηλύση του συστήματος εξισώσεων Αυτό το σημείοαλληλεπίδρασης είναι μια δέσμη τιμών X και Y που ικανοποιείκαι τις δύο εξισώσειςΕάν υπάρχει μόνο μια δέσμη τιμών για τις μεταβλητές που ναικανοποιεί το σύστημα εξισώσεων το σύστημα λέμε ότι έχειΜ Λ

2 Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες μεταξύ τους ∆εν έχουν κοινόσημείο Συνεπώς οι ευθείες δεν τέμνονται ποτέ Το σύστημαλέμε ότι ∆ ΛΑυτό υπονοεί ότι δεν υπάρχουν τιμές για τις μεταβλητές πουνα ικανοποιούν και τις δύο εξισώσεις Σε αυτή τηνπερίπτωση οι εξισώσεις στο σύστημα είναι Α

3 Και οι δύο εξισώσεις αναπαρίστανται ως μια κοινή ευθεία καιθεωρούνται ισοδύναμες εξισώσεις ´Ετσι το σύστημα έχειΑ Λ Αυτό συμβαίνει γιατί υπάρχει άπειροςαριθμός κοινών σημείων στις δύο γραμμές

Ε Ι Κοντογιώργης copy 87

I Π Θεωρείστε ένα σύστημα 2times22X+4Y= 203X+ Y= 10

I

X

Y

(24)

3X +Y = 10

2X +4Y = 20

0 2 4 6 8 10 12

2

4

6

8

10

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 88

I Το σημείο τομής δίνεται από το X= 2 και Y= 4Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές του X και Y στις δύοεξισώσεις δίνουν 20 = 20 και 10 = 10 αντίστοιχα

I Αυτό υποδειλώνει ότι X= 2 και Y= 4 είναι η σωστή λύση

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times23Xminus2Y= 6

minus15X+10Y=minus30

I

X

Y

(20)

(0minus3)

3X minus2Y = 6

minus15X +10Y =minus30

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 89

I Οι δύο εξισώσεις απλοποιούνται σε Xminus 23 Y= 2

Οι δύο εξισώσεις είναι ισοδύναμες και δίνουν έναπεπερασμένο αριθμό λύσεων έτσι ώστε

X= 0 Y =minus3X= 2 Y = 0X= 4 Y = 3

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times26Xminus12Y= 24

minus32X+3Y= 9

Οι εξισώσεις απλοποιούνται σεXminus2Y= 4Xminus2Y=minus6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 90

I

X

Y

(40)

(0minus2)

(minus60)

(03)

X minus2Y =minus6

X minus2Y = 4

0-0

I Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες και συνεπώς το σύστημαδεν έχει λύση ´Ετσι το σύστημα εξισώσεων είναιασύμπτωτο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 91

Περίληψη 2times2 Συστήματα Εξισώσεων∆ίνεται ένα Σύστημα Γραμμικών Εξισώσεων 2times2

Y=m1X+ c1Y=m2X+ c2

1 Υπάρχει μια στο σύστημα εάνm1 6= m2

2 ∆εν υπάρχει στο σύστημα εάνm1 = m2 και c1 6= c2

3 Υπάρχει εάνm1 = m2 και c1 = c2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 92

∆ιαδικασίες Απαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής χρησιμοποιεί πολλαπλασιασμόκαι πρόσθεση έτσι ώστε

1 Να απαλοιφεί μια από τις δύο μεταβλητές

2 Η εξίσωση που εξάγεται είναι συνάρτηση των υπόλοιπωνμεταβλητών

3 Αντικαθιστώντας την τιμή στην μεταβλητή σε μια από τιςαρχικές εξισώσεις βρίσκουμε την τιμή για τηναπολοιφθήσα μεταβλητή

Ε Ι Κοντογιώργης copy 93

ΠαραδείγματαI Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

2X +4Y = 20 (1)3X + Y = 10 (2)

Πολλαπλασιάζοντας τη δεύτερη εξίσωση με minus4 παίρνουμε

minus12X minus4Y =minus40 (3)

Προσθέτοντας την εξίσωση (1) στο (3)

2X + 4Y = 20minus12X minus 4Y = minus40minus10X = minus20

ή

X = 2 (4)Ε Ι Κοντογιώργης copy 94

Αντικαθιστώντας X= 2 στην εξίσωση (1) δίνεται2 middot2+4Y = 20 ή Y=4

´Ετσι η μοναδική λύση του συστήματος δίνεται από τοX= 2 και Y= 4 Μπορεί να επιβεβαιωθεί ότι αυτή είναι ησωστή λύση αντικαθιστώντας X= 2 και Y= 4 στηνεξίσωση (1) και (2)

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times23X minus2Y = 6 (5)

minus15X +10Y =minus30 (6)

Για την απαλοιφή της μεταβλητής X η εξίσωση (5)πολλαπλασιάζεται με 5 και το αποτέλεσμα προστίθεταιστην εξίσωση (6)

15X minus 10Y = 30minus15X + 10Y = minus30

0 = 0 Ε Ι Κοντογιώργης copy 95

Οι τελευταίες πράξεις υπονοούν ότι οι εξίσωσεις (5) και(6) είναι ισοδύναμες και έτσι υπάρχει άπειρος αριθμόςλύσεωνΓια να προσδιορίσουμε τις λύσεις του συστήματος μια απότις αρχικές εξισώσεις λύνεται ως προς μια μεταβλητή Ανγια παράδειγμα η εξίσωση (5) λύνεται ως προς Y δίνει

Y =32Xminus3

Σαν αποτέλεσμα γενικεύοντας τις λύσεις του συστήματοςέχουμε

X τυχαίο και Y =32Xminus3

Πχ για X= 4 υπονοείται ότι Y=32 middot4minus3 = 3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 96

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

6X minus12Y = 24 (7)

minus32X +3Y = 9 (8)

Πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση (8) με 4 καιπροσθέτοντας το αποτέλεσμα στην εξίσωση (7)παίρνουμε

6X minus 12Y = 24minus6X + 12Y = 36

0 = 60

Η πιο πάνω αντιλογία υπονοεί ότι δεν υπάρχει λύση τουσυστήματος εξισώσεων

Ε Ι Κοντογιώργης copy 97

3times2 Συστήματα Εξισώσεων I

1 Μ Λ

X

Y

(32)

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minusY = 1

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 98

3times2 Συστήματα Εξισώσεων II

2 Α Λ

X

Y Εξις (1)Εξις (2)Εξις (3)

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 99

3times2 Συστήματα Εξισώσεων III3 Κ

(α) ´Οταν και οι τρεις εξισώσεις είναι παράλληλες

X

Y

2X minusY =minus8

2X minusY = 2

2X minusY = 12

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 100

3times2 Συστήματα Εξισώσεων IV(β) ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ τωνεξισώσεων

X

Y

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minus2Y =minus4

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 101

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική ΑνάλυσηΣε ένα γράφημα 2 διαστάσεων ένα σύστημα mtimes2(mgt2) εξισώσεων παριστάνεται με m ευθείες ´Οπωςσυμβαίνει στα συστήματα 2times2 υπάρχουν τρίαενδεχόμενα

1 ´Ολες οι ευθείες τέμνονται στο ίδιο σημείο και έτσιυπάρχει

2 ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ των mεξισώσεων Αυτό σημαίνει ότι όλες οι ευθείες είναιπαράλληλες Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα Λ

3 Οι m εξισώσεις είναι ισοδύναμες πχ παρασταίνονται σανμια ευθεία Σε αυτή την περίπτωση υπάρχει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 102

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων ∆ιαδικασίαΑπαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής για την επίλυση ενός συστήματοςmtimes2 μπορεί να περιγραφεί ως ακολούθωςΕπιλέξτε και λύστε σύστημα με δύο εξισώσεις

1 Εάν δεν υπάρχει λύση τότε ολόκληρο το σύστημα δεν έχειλύση

2 Εάν υπάρχει μοναδική λύση που ικανοποιεί τις υπόλοιπεςmminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα έχει μία μοναδική λύση

3 Εάν η λύση είναι μοναδική αλλά δεν ικανοποιεί τιςυπόλοιπες mminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα δεν έχει λύση

4 Εάν οι 2 λύσεις είναι ισοδύναμες απάλοιψτε τη μίααπό τις δύο εξισώσεις και ξεκινήστε από την αρχήλαμβάνοντας υπόψη ένα σύστημα (mminus1)times2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 103

ΠαράδείγμαI Θεωρείστε ένα σύστημα 5times2

XminusY= 1X+2Y=minus8

3Xminus2Y= 02Xminus5Y= 11minus4X+3Y=minus1

I Η λύση των πρώτων δύο εξισώσεων δίνετε απόY =minus3 και X =minus2

I Αντικαθιστώντας τη λύση στις υπόλοιπες τρεις εξισώσειςπαίρνετε αντίστοιχα

0 = 0 11 = 11 και minus1 =minus1I Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση

X=minus2 και Y=minus3Ε Ι Κοντογιώργης copy 104

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian

Η μέθοδος απολοιφής Gaussian μετατρέπει το αρχικόσύστημα εξισώσεων σε διαγώνια μορφή επαναλαμβάνονταςστις εξισώσεις τις ακόλουθες τρεις διαδικασίες

1 Πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης μεμια θετική σταθερά

2 Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού θα προστεθεί σεάλλη εξίσωση

3 Η σειρά των εξισώσεων μπορεί να αλλάξει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 105

ΠαράδείγμαΠ Θεωρείστε το σύστημα 2times2

2X minus 3Y = 7 (Εξ 1)X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με 12 για να πάρετε

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με minus1 καιπροσθέστε την στην (Εξ 2)

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

52Y =

152 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 106

Στάδιο 3 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 25

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

Y = 3 (Εξ 2)

Στάδιο 4 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 32 και

προσθέστε την στην (Εξ 1)

X = 1 (Εξ 1)Y = 3 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 107

Π Θεωρείστε το σύστημα 2times2

5X + 20Y = 254X minus 7Y =minus26

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να εκφραστεί ως

R1 5 20 25R2 4 minus7 minus26

Η κάθετη γραμμή χρησιμοποιείται για διαχωρισμό τηςαριστερής από τη δεξιά πλευρά των εξισώσεων Το Riυπονοεί τη γραμμή (Row) i

Ε Ι Κοντογιώργης copy 108

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάζουμε τη R1 με 15 και το θέτουμε

R1larr 15R1

R1 1 4 5R2 4 minus7 minus26

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάζουμε την R1 με minus4 και τηνπροσθέτουμε στην R2 Εν συντομίαR2larrminus4R1+R2

R1 1 4 5R2 0 minus23 minus46

Στάδιο 3 R2larrminus 123R2

R1 1 4 5R2 0 1 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 109

Στάδιο 4 R1larrminus4R2+R1

R1 1 0 minus3R2 0 1 2

Το αρχικό σύστημα εξισώσεων μετατρέπεται σε διαγώνιαμορφή όπως πιο κάτω

X =minus3Y = 2

το οποίο δίνει τη λύση του συστήματος

Ε Ι Κοντογιώργης copy 110

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 I

Το σύστημα εξισώσεων 3times3 μετετρέπεται σε διαγώνιαμορφή Η μετατροπή γίνεται στήλη με στήλη από τααριστερά προς τα δεξιά

Π Θεωρήστε το σύστημα 3times3

X1 + X2 + X3 = 2X1 minus 3X2 + 2X3 = 7

4X1 minus 2X2 minus X3 = 9

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να γραφτεί ως

Ε Ι Κοντογιώργης copy 111

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 II

1 1 1 21 minus3 2 74 minus2 minus1 9

Ε Ι Κοντογιώργης copy 112

logb(xn) = n logb(x)

Απόδειξη´Εστω m= logbx και γράψτε σε μορφή εκθέτη x= bm

Αυξάνοντας τις δύο πλευρές στην n δύναμη παίρνουμεxn = (bm)n = bmn

´Ετσι από τον ορισμό των λογαρίθμων τοlogbxn =mn= nm= n(logbx)

Πχ log2(64) = log2(26) = 6 log2(2) = 6

log(64) = 18

Επιπλέον log(64) = log(26) = 6log(2) = 6times030 = 18

Ε Ι Κοντογιώργης copy 34

logb(x) =loga(x)loga(b) agt0 a 6= 1

Απόδειξη´Εστω m= logbx rArr x= bm

Εφαρμόστε loga και στις δύο πλευρές του x= bmγια ναδώσει

logabm = logax rArr m logab= logaxrArr m=logaxlogab

rArr logbx=logaxlogab

Πχ log5(20) =log(20)

log(5)= 186 =

ln(20)

ln(5)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 35

logb(a) =1

loga(b) agt0 a 6= 1

Απόδειξη

logb(x) =loga(x)loga(b) =

logx(x)logx(b)

=1

loga(b)

´Οταν a= x

Πχ log2(64) =1

log64(2)=

116 = 6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 36

Αθροισμα

I Υποθέστε ότι έχουμε μια μεταβλητή x που μπορεί ναπάρει δέκα τιμές Εάν ενδιαφερόμαστε για το άθροισμάτους χωρίς να ξέρουμε την τιμή της κάθε μεταβλητής τότεο καλύτερος τρόπος να το εκφράσουμε είναι

x1 +x2 + middot middot middot+x9 +x10

I Εν συντομία το άθροισμα n στοιχείων x1 +x2 + middot middot middot+xn είναιnsum

i = 1xi

και ερμηνεύεται σαν το άθροισμα όλων των xirsquosξεκινώντας από το x1 (πχ i = 1) μέχρι xn (i = n)

I Εάν δε δοθεί διαφορετικά πάντοτε υποθέτουμε ότι το iαυξάνεται ξεκινώντας από το στάδιο 1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 37

I Το lsquolsquoSigmarsquorsquo Σ είναι γνωστό ως το άθροισμα (summation) ήσύμβολο σίγμα (sigma operator) και ο δείκτης i όνομάζεταιεικονική μεταβλητή

I Παραδείγματα

I

5sum

i = 1xi = x1 +x2 +x3 +x4 +x5

I

5sum

i = 1(y2

i ) = y21 +y22 +y23 +y24 +y25

Σημειώστε ότι η μόνη μεταβλητή που περιγράφεται απευθείαςκάτω από το σύμβολο Σ αυξάνεται κατά 1 κάθε φορά ενώ όλατα άλλα σύμβολα παραμένουν τα ίδια

I

4sum

r = 1(x3r ) = x31 +x32 +x33 +x34

Ε Ι Κοντογιώργης copy 38

I6sum

i = 1i = 1+2+3+4+5+6

I6sum

i = 1i2 = 12 +22 +32 +42 +52 +62

I7sum

i = 3xi = x3 +x4 +x5 +x6 +x7

I4sum

i = 1a = a+a+a+a= 4a

I3sum

i = 1(4+xi) = (4+x1) + (4+x2) + (4+x3)

=3sum

i = 14+

3sum

i = 1xi

Ε Ι Κοντογιώργης copy 39

I3sum

i = 1(2xi) = (2x1) + (2x2) + (2x3) = 2times

3sum

i = 1xi

I Ο συντελεστής i παραλείπεται εάν δε προκαλείαοριστία Για παράδειγμα Σx ή Σixi σημαίνειάθροισμα όλων των x που λαμβάνονται υπόψη

I ∆ήλωσηI

nsumi=1a= na

I sumiaxi = asum

ixi

I sumi

(axi+byi) = asumixi +bsum

iyi

Ε Ι Κοντογιώργης copy 40

I Αθροιστικός Τύπος

Insum

i = 1i = 1+2+ middot middot middot+n=

n(n+1)

2

Πχ6sumi = 1i = 1+2+3+4+5+6 =

6(6+1)

2 = 21

Insum

i = 1i2 = 12 +22 + middot middot middot+n2 =

n(n+1)(2n+1)

6

Πχ6sumi = 1i2 = 12 +22 +32 +42 +52 +62

=6(6+1)(12+1)

6 = 91

Ε Ι Κοντογιώργης copy 41

Insum

i = 1i3 = 13 +23 + middot middot middot+n3 =

n2(n+1)2

4

Πχ6sumi = 1i3 = 13 +23 +33 +43 +53 +63

=62(6+1)2

4 = 441

Ε Ι Κοντογιώργης copy 42

ΠαραδήγματαΑριθμητική Πρόοδος

I Γενικά μπορούμε να εκφράσουμε μια αριθμητική πρόοδο ωςεξής

αριθμητική πρόοδος a a+d a+2d a+3d

όπου ο πρώτος όρος είναι a και η διαφορά d Ο όρος nτης απ δίνεται από τη σχέση b = a+ (nminus1)d

I 3 5 7 9 11 είναι μια αριθμητική πρόοδος Οπρώτος όρος είναι το 3 και η διαφορά είναι 2

I 2 minus1 minus4 minus7 είναι μια αριθμητική πρόοδος όπου οπρώτος όρος είναι 2 και η διαφορά minus3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 43

I Το άθροισμα των όρων μιας αριθμητικής προόδου είναιγνωστό ως αριθμητική σειρά

Sn = a+ (a+d) + (a+2d) + middot middot middot+ (a+ (nminus1)d)

=nsumi=1

(a+ (iminus1)d

)= na+

nsumi=1

(iminus1)d

= na+dnminus1sumi=1

i = na+d(nminus1)n2

=n2(2a+d(nminus1)) =

n2(a+b) b = a+d(nminus1)

I ΑΠ 3 5 7 9 11 13 rArr Sn =62(3+13) = 48

Ε Ι Κοντογιώργης copy 44

∆ιπλό Αθροισμα4sumi=1

isumj=1

j = (1) + (1+2) + (1+2+3) + (1+2+3+4) = 20

nsumi=1

isumj=1

j =nsumi=1

( isumj=1

j)

nsumi=1

(12 i(i+1)

)=

12

nsumi=1

(i2 + i)

12( nsumi=1

i2 +nsumi=1

i)

=12(16n(n+1)(2n+1) +

12n(n+1)

)

=12

16n(n+1)

((2n+1) +3

)=

n6(n+1)(n+2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 45

∆ιπλό Αθροισμα

nsumi=1

msumj=1

(i+ j+2) =nsumi=1

( msumj=1

(i+ j+2))

nsumi=1

( msumj=1

i+msumj=1

j+msumj=1

2)

=nsumi=1

(mi+ 1

2m(m+1) +2m)

m( nsumi=1

i+ 12

nsumi=1

(m+5))

= m(12n(n+1) +

12n(m+5)

)

=mn2(m+n+6

)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 46

Insumr=1

1r(r+1)

=nsumr=1

(Ar +

Br+1

)=

nsumr=1

A(r+1) +Brr(r+1)

I A(r+1) +Br = 1

I Για r = 0 τότε A= 1 και για r =minus1 τότε B=minus1

I

nsumr=1

1r(r+1)

=nsumr=1

(1r minus

1r+1

)

=(

(11 minus

12) + (

12 minus

13) + (

13 minus

14) + middot middot middot+ (

1nminus1 minus

1n ) + (

1n minus

1n+1)

)

= 1minus 1n+1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 47

Insumk=1

1(k+2)(k+3)

=nsumk=1

( A(k+2)

+B

(k+3)

)=

nsumk=1

A(k+3) +B(k+2)

(k+2)(k+3)

I A(k+3) +B(k+2) = 1

I Για k=minus2 τότε A= 1 και για k=minus3 τότε B=minus1

I

nsumk=1

1(k+2)(k+3)

=nsumk=1

( 1(k+2)

minus 1(k+3)

)

=(

(13 minus

14)+(

14 minus

15)+(

15 minus

16)+ +(

1n+1 minus

1n+2)+(

1n+2 minus

1n+3)

)

=13 minus

1n+3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 48

Αθροισμα με Λογάριθμους

nsumi=1

logb(i) = logb(1) + logb(2) + middot middot middot+ logb(n)

= logb(1times2times3timesmiddotmiddot middottimesn)

= logb(n)

I Το n (n παραγοντικό) δίνεται από n = 1times2timesmiddotmiddot middottimesn και0 = 1

I100sumi=1

log2(100) = log2(100) =log(100)

log(2)=

log(99)

log(2)+

2log(2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 49

Γινόμενο των ακολουθιώνIn

prodi=1xi = x1timesx2timesx3timesmiddotmiddot middottimesxn

In

prodi=1i = 1times2times3timesmiddotmiddot middottimesn= n

In

prodi=1z= ztimesztimesmiddotmiddot middottimesz= zn

I

nprodi=1

(1+

1i+1

)=(1+

12)times(1+

13)times(1+

14)times times(1+

1n )times(1+

1n+1)

=32 times

43 times

54 timesmiddotmiddot middottimes

n+1n times n+2

n+1

=n+22

Ε Ι Κοντογιώργης copy 50

Γεωμετρικές ΠροόδοιI Μια γεωμετρική πρόοδος είναι μια σειρά αριθμών όπου

κάθε όρος μετά των πρώτο υπολογίζεται από τονπολλαπλασιασμό του προηγούμενου όρου με ένασταθερό αριθμό που καλείται αναλογία

I Η σειρά1 3 9 27 81 middot middot middot

είναι μια γεωμετρική πρόοδος με πρώτο όρο το 1 καιαναλογία 3

I Η αναλογία μπορεί να είναι κλάσμα καθώς επίσης καιαρνητικός αριθμός Για παράδειγμα η γεωμετρικήπρόοδος με πρώτο όρο το 2 και αναλογία minus13 είναι

2 minus 23 +

29 minus

227 +

281 middot middot middot

Ε Ι Κοντογιώργης copy 51

I Γενικά μπορούμε να γράψουμε μια γεωμετρική πρόοδο ωςακολούθως

γεωμετρική πρόοδος a ar ar2 ar3 ar4 middot middot middot

όπου ο πρώτος όρος είναι a και η αναλογία r

I Σημαντικά θεωρήματα των γεωμετρικών προόδων (γπ)1 Ο n όρος μιας γπ δίνεται από ar(nminus1)

2 Το άθροισμα των πρώτων n όρων μιας γπ είναι

Sn =a(1minus rn)

1minus r =a(rnminus1)

rminus1 και ισχύει μόνο αν r 6= 1

I Το άθροισμα των όρων μιας γεωμετρικής προόδουονομάζεται γεωμετρική σειρά

Ε Ι Κοντογιώργης copy 52

Γεωμετρική σειρά

Sn = a+ar+ar2 +ar3 + middot middot middot+arnminus2 +arnminus1

rSn = ar+ar2 +ar3 + arnminus1 +arn

Snminus rSn = aminusarn

(1minus r)Sn = a(1minus rn)

Sn =a(1minus rn)

(1minus r) =a(rnminus1)

(rminus1)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 53

I Παράδειγμα1 Βρείτε το άθροισμα των πρώτων 10 όρων μιας γεωμετρικής

σειράς4 8 16 32

Ο πρώτος όρος είναι a= 4 και η αναλογία r = 2 καιn= 10 ´Ετσι

S10 =4(1minus210)

1minus2 = 4092

2 Θεωρείστε τη γπ4 minus8 16 minus32 64 minus128 256 minus512

Σε αυτή την περίπτωση ο πρώτος όρος είναι a= 4 ηαναλογία είναι r =minus2 και n= 8´Ετσι

S8 =4(1minus (minus2)8)

1minus (minus2)=minus340

Ε Ι Κοντογιώργης copy 54

Συνεχείς ανατοκισμός

Οι περισσότεροι τραπεζικοί λογαριασμοί και τα δάνειαυιοθετούν ανατοκισμό - εφαρμόζοντας συνεχή ανατοκισμόΘεωρείστε ένα λογαριασμό που προσφέρει τόκο με ετήσιοεπιτόκιο r (πχ 7) Εάν το επιτόκιο είναι συνεχέςσε χρονιαία βάση τότε μετά από 1 χρόνο το χρονιαίοεπιτόκιο προστίθεται στο αρχικό κεφάλαιο για νακαθορίσει ένα μεγαλύτερο κεφάλαιο τον δεύτερο χρόνο

´Ετσι κατά τη διάρκεια του δεύτερου χρόνου ολογαριασμός κερδίζει επιτόκιο πάνω στο επιτόκιοΑυτή είναι η επίδραση του ανατοκισμού που συνεχίζεταιχρόνο με το χρόνο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 55

I Με τον ετήσιο ανατοκισμό το κεφάλαιο πουσυσσωρεύεται στο λογαριασμό πολλαπλασιάζεται με

(1+ r)

´Ετσι το κεφάλαιο A θα αυξηθεί σε

A(1+ r) = A+A middot r

τον επόμενο χρόνο

I Με το πέρας και του δεύτερου χρόνου το κεφάλαιο θααυξηθεί ακόμα (1+ r) σε (1+ r)2

´Ετσι το κεφάλαιο καταλήγει σε

A(1+ r)(1+ r) = A(1+ r)2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 56

I Κατά παρόμοιο τρόπο στο τέλος του τρίτου χρόνου τοποσό θα αυξηθεί κατά (1+ r)3

I Μετά από n χρόνια το ποσό θα αυξηθεί κατά (1+ r)n

I ´Ετσι το κεφάλαιο (επένδυση) A θα αυξηθεί με συνεχήανατοκισμό σε A(1+ r)n μετά από n χρόνια

I Ο τύπος (1+ r)n εκθέτει γεωμετρική αύξηση λόγω τηςn δύναμης

Ε Ι Κοντογιώργης copy 57

ΠαραδείγματαI Εάν το επιτόκιο είναι r = 5 τότε το κεφάλαιοA= $1000 που βρίσκεται στην τράπεζα n= 20 χρόνιαθα αυξηθεί κατά

(1+ r)n = (1+005)20 = 2653 φορές

´Ετσι το ποσό θα καταλήξειA(1+ r)n = $265330

I Βρέστε το χρόνο που χρειάζεται για ένα λογαργιασμό ναδιπλασιάσει το διαθέσιμο κεφάλαιο του όταν r = 7 καιr = 10Ζητούμε να βρούμε το n έτσι ώστε

(1+ r)n = 2Ε Ι Κοντογιώργης copy 58

I Υπολογίζοντας το λογάριθμο του τελευταίου παίρνουμε

log(1+ r)n = log(2)ή n log(1+ r) = log(2)

´Ετσιn=

log2log(1+ r)

I Για r = 7 και r = 10 ο χρόνος n πουχρειάζεται για διπλασιασμό της επένδυσης υπολογίζεταισε 1024 και 727 αντίστοιχα

Ε Ι Κοντογιώργης copy 59

I Αν το επιτόκιο είναι r = 7 τότε πιο θα είναι τοσυνολικό ποσό στο λογαριασμό μετά από 205 και41 χρόνια αντίστοιχα

Μετά τα πρώτα 1025 χρόνια το ποσό A θαδιπλασιαστεί σε 2A Για τα επόμενα 1025 χρόνιατο ποσό θα ξαναδιπλασιαστεί σε 4A ´Ετσι μετά από205 χρόνια το ποσό θα αυξηθεί κατά 4 φορές

Με το πέρας ακόμα 205 χρόνων το ποσό θα αυξηθείακόμα 4 φορές σε 16 ´Ετσι μετά από 41 χρόνιατο κεφάλαιο A γίνεται 16A

Ε Ι Κοντογιώργης copy 60

Ασκήσεις και Παραδείγματα

I Υπολογίστε τη Μελλοντική Αξία (Future Value (FV)) τουκεφαλαίου A= 1500 που κερδίζει ετήσιο επιτόκιοr = 5 για n= 10 έτη

FV =A(1+ r)n = 1500(1+005)10 = 244334

I Πόσα έτη απαιτούνται για να τριπλασιαστεί ένα ποσόπου αφήνετε στην τράπεζα με επιτόκιο r = 5∆ηλαδή βρείτε το n όπου A= 1 r = 5 και FV = 3

FV =A(1+ r)n ή (1+ r)n =FVA

Ε Ι Κοντογιώργης copy 61

Υπολογίζοντας τους λογαρίθμους παίρνουμε

log(1+ r)n = log(FVA)

ή n log(1+ r) = log(FVA)

´Ετσι

n=log(FVA)

log(1+ r) =log(3)

log(105)

= 2252

Ε Ι Κοντογιώργης copy 62

I Βρείτε την παρούσα αξία A έτσι ώστε σε δέκα έτη μεσταθερό επιτόκιο r = 6 να είναι 100KΒρείτε το A όπου FV = 100000 r = 6 και n= 10

FV =A(1+ r)n ή A=FV

(1+ r)n

´Ετσι A=100000

(106)10= 5583948

I Βρείτε την ετησιοποιημένη απόδοση (AER AnnualEquivalent Rate) μιας μηνιαίας κατάθεσης με σταθερόεπιτοκίο 394 Μια τέτοια κατάθεση λαμβάνει το επιτόκιο στη λήξηΣυνεπώς κάθε μήνα ο λογαριασμός λαμβάνει

r = 0039412 = 000328

επιτόκιο που επανεπενδύεται (συνεχής ανατοκισμός)Ε Ι Κοντογιώργης copy 63

Επανεπενδύοντας το επιτόκιο κάθε μήνα στη διάρκειαενός έτους το κεφάλαιο θα αυξηθεί σε

(1+ r)12 = (1+000328)12 = 104012

´Ετσι το ΑΕΡ είναι ισοδύναμο με 004012 = 4012I Υπολογίστε το επιτόκιο ενός σταθερού λογαριασμού

κατάθεσης 7-ημερών που έχει AER επιτόκιο r = 425Θεωρείστε ρ το εβδομαδιαίο επιτόκιο

´Ετσι (1+ρ)52 = (1+00425)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 64

Παίρνοντας τους λογαρίθμους έχουμε52log(1+ρ) = log10425

ή log(1+ρ) =log10425

52

ή 1+ρ= 10( log10425

52)

Αυτό μας δίνει

ρ= 10

( log1042552

)minus1 = 008

´Ετσι το συνεχές επιτόκιο μιας επταήμερης κατάθεσης είναιρtimes52 = 41638

Εναλλακτικά (1+ρ)52 = (1+00425) δίνει

(1+ρ) =52radic10425ή ρ=

52radic10425minus = 008Ε Ι Κοντογιώργης copy 65

I Υπολογίστε την ετήσια απόδοση r έτσι ώστε A= 10000να επιστρέφει FV = 35000 σε n= 20 χρόνια

FV =A(1+ r)n ή (1+ r)n =FVA

´Ετσι

1+ r =nradic

FVA

Επομένως

r =nradic

FVA minus1 =

20radic

3500010000 minus1 = 00646 = 646

Ε Ι Κοντογιώργης copy 66

Εναλλακτικά παίρνοντας τους λογαρίθμους

log(1+ r)n = log(FVA) ή n log(1+ r) = log

(FVA)

´Ετσι

1+ r = 10(1n log

(FVA))

ή r = 10(1n log

(FVA))minus1

= 10( 120 log

(3500010000

))minus1

= 646

Ε Ι Κοντογιώργης copy 67

Γραφική Αναπαράσταση I

I Υποθέστε ότι έχουμε y= 3x+2 Καθώς έχουμε μόνο μιαδύναμη για το x πρέπει να λύσουμε γραμμική εξίσωσηκαι να σχεδιάσουμε μια ευθεία γραμμή Αρχικά θα πρέπεινα σχεδιάσουμε ένα T-chart Αυτό έχει τη μορφή

x y = 3x+2 (xy)

I Επιλέγουμε μια τιμή για το x και λύνουμε ως προς y

x y= 3x+2 (xy)minus2 minus4 (minus2minus4)0 2 (02)2 8 (28)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 68

Γραφική Αναπαράσταση II

-

6

X

Y

bull

bull

bull

I Βλέπουμε μια ευθεία με ανοδική τάση (έχοντας θετικήκλίση m= 3) καιτέμνει τον άξονα y στο σημείο y= 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 69

Γραφική Αναπαράσταση III

I Μια Τετραγωνική εξίσωση περιέχει x2 Για τηναναπαράσταση τετραγωνικών εξισώσεων χρειάζεται ναβρούμε περισσότερα από τρία σημεία στο σχεδιάγραμμα

Για παράδειγμα υποθέστε ότι y= x2minus6x+5 καιδίνεται το πιο κάτω T-chart

x y= x2minus6x+5 (xy)0 5 (05)1 0 (10)3 minus4 (3minus4)5 0 (50)6 5 (65)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 70

Γραφική Αναπαράσταση IV

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

-

6

X

Y

bull

bull

bull

bull

bull

Ε Ι Κοντογιώργης copy 71

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(1x + 2)

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(-3x + 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 72

-15

-10

-5

0

5

10

15

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(3x - 2)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 73

-20

0

20

40

60

80

100

120

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2+x)

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 74

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

1250

1500

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3+x2+x)

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x4)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 75

-25

-2

-15

-1

-05

0

05

1

15

2

25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(log(x))

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(x))

Ε Ι Κοντογιώργης copy 76

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(-x))

-5000

0

5000

10000

15000

20000

25000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(exp(x)+x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 77

Ανισότητες I

I Οι ανισότητες αποτελούνται από δύο ή τρεις αλγεβρικέςεκφράσεις που είναι συνδεδεμένες με τα σύμβολαανισότητας Τα σύμβολα αυτά είναι

lt μικρότερο τουgt μεγαλύτερο τουle μικρότερο ή ίσο τουge μεγαλύτερο ή ίσο του

I Παραδείγματα xgty yge x2 και ylt5x+1

I Το πρώτο βήμα για την αναπαράσταση ανισότητας τηςμορφής ygtx είναι να παραστήσουμε γραφικά τηνισότητα y= x

Ε Ι Κοντογιώργης copy 78

Ανισότητες II

I ygtx

Κάνετε δοκιμή με ένα σημείο να δείτε κατά πόσοικανοποιεί την ανισότητα Εάν ναι τότε σκιάστε τηνπεριοχή αυτή του σχεδιαγράμματος διαφορετικά σκιάστετην άλλη πλευρά

Ε Ι Κοντογιώργης copy 79

Ανισότητες III

I yltx

Ε Ι Κοντογιώργης copy 80

Ανισότητες IV

I yle 5x+1 και ygt5x+1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 81

Ανισότητες V

I yge x2 και yle x2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 82

Ανισότητες VI

I ygtx3 και yle x3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 83

Συστήματα Γραμμικών ΕξισώσεωνΠεριεχόμενα

1 Ε

2 Γ Α

ΑναφορέςΚεφάλαια 4 και 5FS Budnick Applied Mathematics for Business Economicsand the Social Sciences 4th edition McGraw-Hill 1993

Ε Ι Κοντογιώργης copy 84

Συστήματα Εξισώσεων

I ´Ενα σύστημα εξισώσεων συνδυάζει περισσότερες από μίαεξισώσεις

I ´Ενα σύστημα m εξισώσεων όπου κάθε εξίσωσηαποτελείται από n μεταβλητές ονομάζεται mtimesnσύστημα ή λέμε ότι έχει διαστάσεις mtimesn

I ΠαράδειγμαΠαρακάτω έχουμε ένα σύστημα 2times2

5X+10Y= 203X+4Y= 10

Οι μεταβλητές σε αυτή την περίπτωση είναι X και YΕ Ι Κοντογιώργης copy 85

Συστήματα Επίλυσης

I Το Σύστημα επίλυσης είναι μια σειρά τιμών μεταβλητώνπου ικανοποιούν το σύστημα ταυτόχρονα

I Σε μια σημειογραφική παράσταση το προηγούμενοπαράδειγμα μπορεί να γραφτεί ως εξής

S = (XY) | 5X+10Y = 20 και 3X+4Y = 10

I Το σύστημα επίλυσης μπορεί να είναι1 μηδενικό2 πεπερασμένο ή3 άπειρο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 86

2times2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική Ανάλυση

I Σε ένα δισδιάστατο γράφημα ένα σύστημα εξισώσεων2times2 αναπαρίστανται με ευθείες γραμμές Υπόρχουν τρίαενδεχόμενα

1 Οι ευθείες τέμνονται Το σημείο τομής αντιπροσωπεύει τηλύση του συστήματος εξισώσεων Αυτό το σημείοαλληλεπίδρασης είναι μια δέσμη τιμών X και Y που ικανοποιείκαι τις δύο εξισώσειςΕάν υπάρχει μόνο μια δέσμη τιμών για τις μεταβλητές που ναικανοποιεί το σύστημα εξισώσεων το σύστημα λέμε ότι έχειΜ Λ

2 Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες μεταξύ τους ∆εν έχουν κοινόσημείο Συνεπώς οι ευθείες δεν τέμνονται ποτέ Το σύστημαλέμε ότι ∆ ΛΑυτό υπονοεί ότι δεν υπάρχουν τιμές για τις μεταβλητές πουνα ικανοποιούν και τις δύο εξισώσεις Σε αυτή τηνπερίπτωση οι εξισώσεις στο σύστημα είναι Α

3 Και οι δύο εξισώσεις αναπαρίστανται ως μια κοινή ευθεία καιθεωρούνται ισοδύναμες εξισώσεις ´Ετσι το σύστημα έχειΑ Λ Αυτό συμβαίνει γιατί υπάρχει άπειροςαριθμός κοινών σημείων στις δύο γραμμές

Ε Ι Κοντογιώργης copy 87

I Π Θεωρείστε ένα σύστημα 2times22X+4Y= 203X+ Y= 10

I

X

Y

(24)

3X +Y = 10

2X +4Y = 20

0 2 4 6 8 10 12

2

4

6

8

10

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 88

I Το σημείο τομής δίνεται από το X= 2 και Y= 4Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές του X και Y στις δύοεξισώσεις δίνουν 20 = 20 και 10 = 10 αντίστοιχα

I Αυτό υποδειλώνει ότι X= 2 και Y= 4 είναι η σωστή λύση

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times23Xminus2Y= 6

minus15X+10Y=minus30

I

X

Y

(20)

(0minus3)

3X minus2Y = 6

minus15X +10Y =minus30

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 89

I Οι δύο εξισώσεις απλοποιούνται σε Xminus 23 Y= 2

Οι δύο εξισώσεις είναι ισοδύναμες και δίνουν έναπεπερασμένο αριθμό λύσεων έτσι ώστε

X= 0 Y =minus3X= 2 Y = 0X= 4 Y = 3

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times26Xminus12Y= 24

minus32X+3Y= 9

Οι εξισώσεις απλοποιούνται σεXminus2Y= 4Xminus2Y=minus6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 90

I

X

Y

(40)

(0minus2)

(minus60)

(03)

X minus2Y =minus6

X minus2Y = 4

0-0

I Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες και συνεπώς το σύστημαδεν έχει λύση ´Ετσι το σύστημα εξισώσεων είναιασύμπτωτο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 91

Περίληψη 2times2 Συστήματα Εξισώσεων∆ίνεται ένα Σύστημα Γραμμικών Εξισώσεων 2times2

Y=m1X+ c1Y=m2X+ c2

1 Υπάρχει μια στο σύστημα εάνm1 6= m2

2 ∆εν υπάρχει στο σύστημα εάνm1 = m2 και c1 6= c2

3 Υπάρχει εάνm1 = m2 και c1 = c2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 92

∆ιαδικασίες Απαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής χρησιμοποιεί πολλαπλασιασμόκαι πρόσθεση έτσι ώστε

1 Να απαλοιφεί μια από τις δύο μεταβλητές

2 Η εξίσωση που εξάγεται είναι συνάρτηση των υπόλοιπωνμεταβλητών

3 Αντικαθιστώντας την τιμή στην μεταβλητή σε μια από τιςαρχικές εξισώσεις βρίσκουμε την τιμή για τηναπολοιφθήσα μεταβλητή

Ε Ι Κοντογιώργης copy 93

ΠαραδείγματαI Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

2X +4Y = 20 (1)3X + Y = 10 (2)

Πολλαπλασιάζοντας τη δεύτερη εξίσωση με minus4 παίρνουμε

minus12X minus4Y =minus40 (3)

Προσθέτοντας την εξίσωση (1) στο (3)

2X + 4Y = 20minus12X minus 4Y = minus40minus10X = minus20

ή

X = 2 (4)Ε Ι Κοντογιώργης copy 94

Αντικαθιστώντας X= 2 στην εξίσωση (1) δίνεται2 middot2+4Y = 20 ή Y=4

´Ετσι η μοναδική λύση του συστήματος δίνεται από τοX= 2 και Y= 4 Μπορεί να επιβεβαιωθεί ότι αυτή είναι ησωστή λύση αντικαθιστώντας X= 2 και Y= 4 στηνεξίσωση (1) και (2)

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times23X minus2Y = 6 (5)

minus15X +10Y =minus30 (6)

Για την απαλοιφή της μεταβλητής X η εξίσωση (5)πολλαπλασιάζεται με 5 και το αποτέλεσμα προστίθεταιστην εξίσωση (6)

15X minus 10Y = 30minus15X + 10Y = minus30

0 = 0 Ε Ι Κοντογιώργης copy 95

Οι τελευταίες πράξεις υπονοούν ότι οι εξίσωσεις (5) και(6) είναι ισοδύναμες και έτσι υπάρχει άπειρος αριθμόςλύσεωνΓια να προσδιορίσουμε τις λύσεις του συστήματος μια απότις αρχικές εξισώσεις λύνεται ως προς μια μεταβλητή Ανγια παράδειγμα η εξίσωση (5) λύνεται ως προς Y δίνει

Y =32Xminus3

Σαν αποτέλεσμα γενικεύοντας τις λύσεις του συστήματοςέχουμε

X τυχαίο και Y =32Xminus3

Πχ για X= 4 υπονοείται ότι Y=32 middot4minus3 = 3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 96

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

6X minus12Y = 24 (7)

minus32X +3Y = 9 (8)

Πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση (8) με 4 καιπροσθέτοντας το αποτέλεσμα στην εξίσωση (7)παίρνουμε

6X minus 12Y = 24minus6X + 12Y = 36

0 = 60

Η πιο πάνω αντιλογία υπονοεί ότι δεν υπάρχει λύση τουσυστήματος εξισώσεων

Ε Ι Κοντογιώργης copy 97

3times2 Συστήματα Εξισώσεων I

1 Μ Λ

X

Y

(32)

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minusY = 1

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 98

3times2 Συστήματα Εξισώσεων II

2 Α Λ

X

Y Εξις (1)Εξις (2)Εξις (3)

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 99

3times2 Συστήματα Εξισώσεων III3 Κ

(α) ´Οταν και οι τρεις εξισώσεις είναι παράλληλες

X

Y

2X minusY =minus8

2X minusY = 2

2X minusY = 12

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 100

3times2 Συστήματα Εξισώσεων IV(β) ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ τωνεξισώσεων

X

Y

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minus2Y =minus4

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 101

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική ΑνάλυσηΣε ένα γράφημα 2 διαστάσεων ένα σύστημα mtimes2(mgt2) εξισώσεων παριστάνεται με m ευθείες ´Οπωςσυμβαίνει στα συστήματα 2times2 υπάρχουν τρίαενδεχόμενα

1 ´Ολες οι ευθείες τέμνονται στο ίδιο σημείο και έτσιυπάρχει

2 ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ των mεξισώσεων Αυτό σημαίνει ότι όλες οι ευθείες είναιπαράλληλες Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα Λ

3 Οι m εξισώσεις είναι ισοδύναμες πχ παρασταίνονται σανμια ευθεία Σε αυτή την περίπτωση υπάρχει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 102

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων ∆ιαδικασίαΑπαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής για την επίλυση ενός συστήματοςmtimes2 μπορεί να περιγραφεί ως ακολούθωςΕπιλέξτε και λύστε σύστημα με δύο εξισώσεις

1 Εάν δεν υπάρχει λύση τότε ολόκληρο το σύστημα δεν έχειλύση

2 Εάν υπάρχει μοναδική λύση που ικανοποιεί τις υπόλοιπεςmminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα έχει μία μοναδική λύση

3 Εάν η λύση είναι μοναδική αλλά δεν ικανοποιεί τιςυπόλοιπες mminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα δεν έχει λύση

4 Εάν οι 2 λύσεις είναι ισοδύναμες απάλοιψτε τη μίααπό τις δύο εξισώσεις και ξεκινήστε από την αρχήλαμβάνοντας υπόψη ένα σύστημα (mminus1)times2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 103

ΠαράδείγμαI Θεωρείστε ένα σύστημα 5times2

XminusY= 1X+2Y=minus8

3Xminus2Y= 02Xminus5Y= 11minus4X+3Y=minus1

I Η λύση των πρώτων δύο εξισώσεων δίνετε απόY =minus3 και X =minus2

I Αντικαθιστώντας τη λύση στις υπόλοιπες τρεις εξισώσειςπαίρνετε αντίστοιχα

0 = 0 11 = 11 και minus1 =minus1I Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση

X=minus2 και Y=minus3Ε Ι Κοντογιώργης copy 104

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian

Η μέθοδος απολοιφής Gaussian μετατρέπει το αρχικόσύστημα εξισώσεων σε διαγώνια μορφή επαναλαμβάνονταςστις εξισώσεις τις ακόλουθες τρεις διαδικασίες

1 Πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης μεμια θετική σταθερά

2 Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού θα προστεθεί σεάλλη εξίσωση

3 Η σειρά των εξισώσεων μπορεί να αλλάξει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 105

ΠαράδείγμαΠ Θεωρείστε το σύστημα 2times2

2X minus 3Y = 7 (Εξ 1)X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με 12 για να πάρετε

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με minus1 καιπροσθέστε την στην (Εξ 2)

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

52Y =

152 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 106

Στάδιο 3 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 25

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

Y = 3 (Εξ 2)

Στάδιο 4 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 32 και

προσθέστε την στην (Εξ 1)

X = 1 (Εξ 1)Y = 3 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 107

Π Θεωρείστε το σύστημα 2times2

5X + 20Y = 254X minus 7Y =minus26

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να εκφραστεί ως

R1 5 20 25R2 4 minus7 minus26

Η κάθετη γραμμή χρησιμοποιείται για διαχωρισμό τηςαριστερής από τη δεξιά πλευρά των εξισώσεων Το Riυπονοεί τη γραμμή (Row) i

Ε Ι Κοντογιώργης copy 108

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάζουμε τη R1 με 15 και το θέτουμε

R1larr 15R1

R1 1 4 5R2 4 minus7 minus26

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάζουμε την R1 με minus4 και τηνπροσθέτουμε στην R2 Εν συντομίαR2larrminus4R1+R2

R1 1 4 5R2 0 minus23 minus46

Στάδιο 3 R2larrminus 123R2

R1 1 4 5R2 0 1 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 109

Στάδιο 4 R1larrminus4R2+R1

R1 1 0 minus3R2 0 1 2

Το αρχικό σύστημα εξισώσεων μετατρέπεται σε διαγώνιαμορφή όπως πιο κάτω

X =minus3Y = 2

το οποίο δίνει τη λύση του συστήματος

Ε Ι Κοντογιώργης copy 110

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 I

Το σύστημα εξισώσεων 3times3 μετετρέπεται σε διαγώνιαμορφή Η μετατροπή γίνεται στήλη με στήλη από τααριστερά προς τα δεξιά

Π Θεωρήστε το σύστημα 3times3

X1 + X2 + X3 = 2X1 minus 3X2 + 2X3 = 7

4X1 minus 2X2 minus X3 = 9

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να γραφτεί ως

Ε Ι Κοντογιώργης copy 111

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 II

1 1 1 21 minus3 2 74 minus2 minus1 9

Ε Ι Κοντογιώργης copy 112

logb(x) =loga(x)loga(b) agt0 a 6= 1

Απόδειξη´Εστω m= logbx rArr x= bm

Εφαρμόστε loga και στις δύο πλευρές του x= bmγια ναδώσει

logabm = logax rArr m logab= logaxrArr m=logaxlogab

rArr logbx=logaxlogab

Πχ log5(20) =log(20)

log(5)= 186 =

ln(20)

ln(5)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 35

logb(a) =1

loga(b) agt0 a 6= 1

Απόδειξη

logb(x) =loga(x)loga(b) =

logx(x)logx(b)

=1

loga(b)

´Οταν a= x

Πχ log2(64) =1

log64(2)=

116 = 6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 36

Αθροισμα

I Υποθέστε ότι έχουμε μια μεταβλητή x που μπορεί ναπάρει δέκα τιμές Εάν ενδιαφερόμαστε για το άθροισμάτους χωρίς να ξέρουμε την τιμή της κάθε μεταβλητής τότεο καλύτερος τρόπος να το εκφράσουμε είναι

x1 +x2 + middot middot middot+x9 +x10

I Εν συντομία το άθροισμα n στοιχείων x1 +x2 + middot middot middot+xn είναιnsum

i = 1xi

και ερμηνεύεται σαν το άθροισμα όλων των xirsquosξεκινώντας από το x1 (πχ i = 1) μέχρι xn (i = n)

I Εάν δε δοθεί διαφορετικά πάντοτε υποθέτουμε ότι το iαυξάνεται ξεκινώντας από το στάδιο 1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 37

I Το lsquolsquoSigmarsquorsquo Σ είναι γνωστό ως το άθροισμα (summation) ήσύμβολο σίγμα (sigma operator) και ο δείκτης i όνομάζεταιεικονική μεταβλητή

I Παραδείγματα

I

5sum

i = 1xi = x1 +x2 +x3 +x4 +x5

I

5sum

i = 1(y2

i ) = y21 +y22 +y23 +y24 +y25

Σημειώστε ότι η μόνη μεταβλητή που περιγράφεται απευθείαςκάτω από το σύμβολο Σ αυξάνεται κατά 1 κάθε φορά ενώ όλατα άλλα σύμβολα παραμένουν τα ίδια

I

4sum

r = 1(x3r ) = x31 +x32 +x33 +x34

Ε Ι Κοντογιώργης copy 38

I6sum

i = 1i = 1+2+3+4+5+6

I6sum

i = 1i2 = 12 +22 +32 +42 +52 +62

I7sum

i = 3xi = x3 +x4 +x5 +x6 +x7

I4sum

i = 1a = a+a+a+a= 4a

I3sum

i = 1(4+xi) = (4+x1) + (4+x2) + (4+x3)

=3sum

i = 14+

3sum

i = 1xi

Ε Ι Κοντογιώργης copy 39

I3sum

i = 1(2xi) = (2x1) + (2x2) + (2x3) = 2times

3sum

i = 1xi

I Ο συντελεστής i παραλείπεται εάν δε προκαλείαοριστία Για παράδειγμα Σx ή Σixi σημαίνειάθροισμα όλων των x που λαμβάνονται υπόψη

I ∆ήλωσηI

nsumi=1a= na

I sumiaxi = asum

ixi

I sumi

(axi+byi) = asumixi +bsum

iyi

Ε Ι Κοντογιώργης copy 40

I Αθροιστικός Τύπος

Insum

i = 1i = 1+2+ middot middot middot+n=

n(n+1)

2

Πχ6sumi = 1i = 1+2+3+4+5+6 =

6(6+1)

2 = 21

Insum

i = 1i2 = 12 +22 + middot middot middot+n2 =

n(n+1)(2n+1)

6

Πχ6sumi = 1i2 = 12 +22 +32 +42 +52 +62

=6(6+1)(12+1)

6 = 91

Ε Ι Κοντογιώργης copy 41

Insum

i = 1i3 = 13 +23 + middot middot middot+n3 =

n2(n+1)2

4

Πχ6sumi = 1i3 = 13 +23 +33 +43 +53 +63

=62(6+1)2

4 = 441

Ε Ι Κοντογιώργης copy 42

ΠαραδήγματαΑριθμητική Πρόοδος

I Γενικά μπορούμε να εκφράσουμε μια αριθμητική πρόοδο ωςεξής

αριθμητική πρόοδος a a+d a+2d a+3d

όπου ο πρώτος όρος είναι a και η διαφορά d Ο όρος nτης απ δίνεται από τη σχέση b = a+ (nminus1)d

I 3 5 7 9 11 είναι μια αριθμητική πρόοδος Οπρώτος όρος είναι το 3 και η διαφορά είναι 2

I 2 minus1 minus4 minus7 είναι μια αριθμητική πρόοδος όπου οπρώτος όρος είναι 2 και η διαφορά minus3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 43

I Το άθροισμα των όρων μιας αριθμητικής προόδου είναιγνωστό ως αριθμητική σειρά

Sn = a+ (a+d) + (a+2d) + middot middot middot+ (a+ (nminus1)d)

=nsumi=1

(a+ (iminus1)d

)= na+

nsumi=1

(iminus1)d

= na+dnminus1sumi=1

i = na+d(nminus1)n2

=n2(2a+d(nminus1)) =

n2(a+b) b = a+d(nminus1)

I ΑΠ 3 5 7 9 11 13 rArr Sn =62(3+13) = 48

Ε Ι Κοντογιώργης copy 44

∆ιπλό Αθροισμα4sumi=1

isumj=1

j = (1) + (1+2) + (1+2+3) + (1+2+3+4) = 20

nsumi=1

isumj=1

j =nsumi=1

( isumj=1

j)

nsumi=1

(12 i(i+1)

)=

12

nsumi=1

(i2 + i)

12( nsumi=1

i2 +nsumi=1

i)

=12(16n(n+1)(2n+1) +

12n(n+1)

)

=12

16n(n+1)

((2n+1) +3

)=

n6(n+1)(n+2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 45

∆ιπλό Αθροισμα

nsumi=1

msumj=1

(i+ j+2) =nsumi=1

( msumj=1

(i+ j+2))

nsumi=1

( msumj=1

i+msumj=1

j+msumj=1

2)

=nsumi=1

(mi+ 1

2m(m+1) +2m)

m( nsumi=1

i+ 12

nsumi=1

(m+5))

= m(12n(n+1) +

12n(m+5)

)

=mn2(m+n+6

)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 46

Insumr=1

1r(r+1)

=nsumr=1

(Ar +

Br+1

)=

nsumr=1

A(r+1) +Brr(r+1)

I A(r+1) +Br = 1

I Για r = 0 τότε A= 1 και για r =minus1 τότε B=minus1

I

nsumr=1

1r(r+1)

=nsumr=1

(1r minus

1r+1

)

=(

(11 minus

12) + (

12 minus

13) + (

13 minus

14) + middot middot middot+ (

1nminus1 minus

1n ) + (

1n minus

1n+1)

)

= 1minus 1n+1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 47

Insumk=1

1(k+2)(k+3)

=nsumk=1

( A(k+2)

+B

(k+3)

)=

nsumk=1

A(k+3) +B(k+2)

(k+2)(k+3)

I A(k+3) +B(k+2) = 1

I Για k=minus2 τότε A= 1 και για k=minus3 τότε B=minus1

I

nsumk=1

1(k+2)(k+3)

=nsumk=1

( 1(k+2)

minus 1(k+3)

)

=(

(13 minus

14)+(

14 minus

15)+(

15 minus

16)+ +(

1n+1 minus

1n+2)+(

1n+2 minus

1n+3)

)

=13 minus

1n+3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 48

Αθροισμα με Λογάριθμους

nsumi=1

logb(i) = logb(1) + logb(2) + middot middot middot+ logb(n)

= logb(1times2times3timesmiddotmiddot middottimesn)

= logb(n)

I Το n (n παραγοντικό) δίνεται από n = 1times2timesmiddotmiddot middottimesn και0 = 1

I100sumi=1

log2(100) = log2(100) =log(100)

log(2)=

log(99)

log(2)+

2log(2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 49

Γινόμενο των ακολουθιώνIn

prodi=1xi = x1timesx2timesx3timesmiddotmiddot middottimesxn

In

prodi=1i = 1times2times3timesmiddotmiddot middottimesn= n

In

prodi=1z= ztimesztimesmiddotmiddot middottimesz= zn

I

nprodi=1

(1+

1i+1

)=(1+

12)times(1+

13)times(1+

14)times times(1+

1n )times(1+

1n+1)

=32 times

43 times

54 timesmiddotmiddot middottimes

n+1n times n+2

n+1

=n+22

Ε Ι Κοντογιώργης copy 50

Γεωμετρικές ΠροόδοιI Μια γεωμετρική πρόοδος είναι μια σειρά αριθμών όπου

κάθε όρος μετά των πρώτο υπολογίζεται από τονπολλαπλασιασμό του προηγούμενου όρου με ένασταθερό αριθμό που καλείται αναλογία

I Η σειρά1 3 9 27 81 middot middot middot

είναι μια γεωμετρική πρόοδος με πρώτο όρο το 1 καιαναλογία 3

I Η αναλογία μπορεί να είναι κλάσμα καθώς επίσης καιαρνητικός αριθμός Για παράδειγμα η γεωμετρικήπρόοδος με πρώτο όρο το 2 και αναλογία minus13 είναι

2 minus 23 +

29 minus

227 +

281 middot middot middot

Ε Ι Κοντογιώργης copy 51

I Γενικά μπορούμε να γράψουμε μια γεωμετρική πρόοδο ωςακολούθως

γεωμετρική πρόοδος a ar ar2 ar3 ar4 middot middot middot

όπου ο πρώτος όρος είναι a και η αναλογία r

I Σημαντικά θεωρήματα των γεωμετρικών προόδων (γπ)1 Ο n όρος μιας γπ δίνεται από ar(nminus1)

2 Το άθροισμα των πρώτων n όρων μιας γπ είναι

Sn =a(1minus rn)

1minus r =a(rnminus1)

rminus1 και ισχύει μόνο αν r 6= 1

I Το άθροισμα των όρων μιας γεωμετρικής προόδουονομάζεται γεωμετρική σειρά

Ε Ι Κοντογιώργης copy 52

Γεωμετρική σειρά

Sn = a+ar+ar2 +ar3 + middot middot middot+arnminus2 +arnminus1

rSn = ar+ar2 +ar3 + arnminus1 +arn

Snminus rSn = aminusarn

(1minus r)Sn = a(1minus rn)

Sn =a(1minus rn)

(1minus r) =a(rnminus1)

(rminus1)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 53

I Παράδειγμα1 Βρείτε το άθροισμα των πρώτων 10 όρων μιας γεωμετρικής

σειράς4 8 16 32

Ο πρώτος όρος είναι a= 4 και η αναλογία r = 2 καιn= 10 ´Ετσι

S10 =4(1minus210)

1minus2 = 4092

2 Θεωρείστε τη γπ4 minus8 16 minus32 64 minus128 256 minus512

Σε αυτή την περίπτωση ο πρώτος όρος είναι a= 4 ηαναλογία είναι r =minus2 και n= 8´Ετσι

S8 =4(1minus (minus2)8)

1minus (minus2)=minus340

Ε Ι Κοντογιώργης copy 54

Συνεχείς ανατοκισμός

Οι περισσότεροι τραπεζικοί λογαριασμοί και τα δάνειαυιοθετούν ανατοκισμό - εφαρμόζοντας συνεχή ανατοκισμόΘεωρείστε ένα λογαριασμό που προσφέρει τόκο με ετήσιοεπιτόκιο r (πχ 7) Εάν το επιτόκιο είναι συνεχέςσε χρονιαία βάση τότε μετά από 1 χρόνο το χρονιαίοεπιτόκιο προστίθεται στο αρχικό κεφάλαιο για νακαθορίσει ένα μεγαλύτερο κεφάλαιο τον δεύτερο χρόνο

´Ετσι κατά τη διάρκεια του δεύτερου χρόνου ολογαριασμός κερδίζει επιτόκιο πάνω στο επιτόκιοΑυτή είναι η επίδραση του ανατοκισμού που συνεχίζεταιχρόνο με το χρόνο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 55

I Με τον ετήσιο ανατοκισμό το κεφάλαιο πουσυσσωρεύεται στο λογαριασμό πολλαπλασιάζεται με

(1+ r)

´Ετσι το κεφάλαιο A θα αυξηθεί σε

A(1+ r) = A+A middot r

τον επόμενο χρόνο

I Με το πέρας και του δεύτερου χρόνου το κεφάλαιο θααυξηθεί ακόμα (1+ r) σε (1+ r)2

´Ετσι το κεφάλαιο καταλήγει σε

A(1+ r)(1+ r) = A(1+ r)2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 56

I Κατά παρόμοιο τρόπο στο τέλος του τρίτου χρόνου τοποσό θα αυξηθεί κατά (1+ r)3

I Μετά από n χρόνια το ποσό θα αυξηθεί κατά (1+ r)n

I ´Ετσι το κεφάλαιο (επένδυση) A θα αυξηθεί με συνεχήανατοκισμό σε A(1+ r)n μετά από n χρόνια

I Ο τύπος (1+ r)n εκθέτει γεωμετρική αύξηση λόγω τηςn δύναμης

Ε Ι Κοντογιώργης copy 57

ΠαραδείγματαI Εάν το επιτόκιο είναι r = 5 τότε το κεφάλαιοA= $1000 που βρίσκεται στην τράπεζα n= 20 χρόνιαθα αυξηθεί κατά

(1+ r)n = (1+005)20 = 2653 φορές

´Ετσι το ποσό θα καταλήξειA(1+ r)n = $265330

I Βρέστε το χρόνο που χρειάζεται για ένα λογαργιασμό ναδιπλασιάσει το διαθέσιμο κεφάλαιο του όταν r = 7 καιr = 10Ζητούμε να βρούμε το n έτσι ώστε

(1+ r)n = 2Ε Ι Κοντογιώργης copy 58

I Υπολογίζοντας το λογάριθμο του τελευταίου παίρνουμε

log(1+ r)n = log(2)ή n log(1+ r) = log(2)

´Ετσιn=

log2log(1+ r)

I Για r = 7 και r = 10 ο χρόνος n πουχρειάζεται για διπλασιασμό της επένδυσης υπολογίζεταισε 1024 και 727 αντίστοιχα

Ε Ι Κοντογιώργης copy 59

I Αν το επιτόκιο είναι r = 7 τότε πιο θα είναι τοσυνολικό ποσό στο λογαριασμό μετά από 205 και41 χρόνια αντίστοιχα

Μετά τα πρώτα 1025 χρόνια το ποσό A θαδιπλασιαστεί σε 2A Για τα επόμενα 1025 χρόνιατο ποσό θα ξαναδιπλασιαστεί σε 4A ´Ετσι μετά από205 χρόνια το ποσό θα αυξηθεί κατά 4 φορές

Με το πέρας ακόμα 205 χρόνων το ποσό θα αυξηθείακόμα 4 φορές σε 16 ´Ετσι μετά από 41 χρόνιατο κεφάλαιο A γίνεται 16A

Ε Ι Κοντογιώργης copy 60

Ασκήσεις και Παραδείγματα

I Υπολογίστε τη Μελλοντική Αξία (Future Value (FV)) τουκεφαλαίου A= 1500 που κερδίζει ετήσιο επιτόκιοr = 5 για n= 10 έτη

FV =A(1+ r)n = 1500(1+005)10 = 244334

I Πόσα έτη απαιτούνται για να τριπλασιαστεί ένα ποσόπου αφήνετε στην τράπεζα με επιτόκιο r = 5∆ηλαδή βρείτε το n όπου A= 1 r = 5 και FV = 3

FV =A(1+ r)n ή (1+ r)n =FVA

Ε Ι Κοντογιώργης copy 61

Υπολογίζοντας τους λογαρίθμους παίρνουμε

log(1+ r)n = log(FVA)

ή n log(1+ r) = log(FVA)

´Ετσι

n=log(FVA)

log(1+ r) =log(3)

log(105)

= 2252

Ε Ι Κοντογιώργης copy 62

I Βρείτε την παρούσα αξία A έτσι ώστε σε δέκα έτη μεσταθερό επιτόκιο r = 6 να είναι 100KΒρείτε το A όπου FV = 100000 r = 6 και n= 10

FV =A(1+ r)n ή A=FV

(1+ r)n

´Ετσι A=100000

(106)10= 5583948

I Βρείτε την ετησιοποιημένη απόδοση (AER AnnualEquivalent Rate) μιας μηνιαίας κατάθεσης με σταθερόεπιτοκίο 394 Μια τέτοια κατάθεση λαμβάνει το επιτόκιο στη λήξηΣυνεπώς κάθε μήνα ο λογαριασμός λαμβάνει

r = 0039412 = 000328

επιτόκιο που επανεπενδύεται (συνεχής ανατοκισμός)Ε Ι Κοντογιώργης copy 63

Επανεπενδύοντας το επιτόκιο κάθε μήνα στη διάρκειαενός έτους το κεφάλαιο θα αυξηθεί σε

(1+ r)12 = (1+000328)12 = 104012

´Ετσι το ΑΕΡ είναι ισοδύναμο με 004012 = 4012I Υπολογίστε το επιτόκιο ενός σταθερού λογαριασμού

κατάθεσης 7-ημερών που έχει AER επιτόκιο r = 425Θεωρείστε ρ το εβδομαδιαίο επιτόκιο

´Ετσι (1+ρ)52 = (1+00425)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 64

Παίρνοντας τους λογαρίθμους έχουμε52log(1+ρ) = log10425

ή log(1+ρ) =log10425

52

ή 1+ρ= 10( log10425

52)

Αυτό μας δίνει

ρ= 10

( log1042552

)minus1 = 008

´Ετσι το συνεχές επιτόκιο μιας επταήμερης κατάθεσης είναιρtimes52 = 41638

Εναλλακτικά (1+ρ)52 = (1+00425) δίνει

(1+ρ) =52radic10425ή ρ=

52radic10425minus = 008Ε Ι Κοντογιώργης copy 65

I Υπολογίστε την ετήσια απόδοση r έτσι ώστε A= 10000να επιστρέφει FV = 35000 σε n= 20 χρόνια

FV =A(1+ r)n ή (1+ r)n =FVA

´Ετσι

1+ r =nradic

FVA

Επομένως

r =nradic

FVA minus1 =

20radic

3500010000 minus1 = 00646 = 646

Ε Ι Κοντογιώργης copy 66

Εναλλακτικά παίρνοντας τους λογαρίθμους

log(1+ r)n = log(FVA) ή n log(1+ r) = log

(FVA)

´Ετσι

1+ r = 10(1n log

(FVA))

ή r = 10(1n log

(FVA))minus1

= 10( 120 log

(3500010000

))minus1

= 646

Ε Ι Κοντογιώργης copy 67

Γραφική Αναπαράσταση I

I Υποθέστε ότι έχουμε y= 3x+2 Καθώς έχουμε μόνο μιαδύναμη για το x πρέπει να λύσουμε γραμμική εξίσωσηκαι να σχεδιάσουμε μια ευθεία γραμμή Αρχικά θα πρέπεινα σχεδιάσουμε ένα T-chart Αυτό έχει τη μορφή

x y = 3x+2 (xy)

I Επιλέγουμε μια τιμή για το x και λύνουμε ως προς y

x y= 3x+2 (xy)minus2 minus4 (minus2minus4)0 2 (02)2 8 (28)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 68

Γραφική Αναπαράσταση II

-

6

X

Y

bull

bull

bull

I Βλέπουμε μια ευθεία με ανοδική τάση (έχοντας θετικήκλίση m= 3) καιτέμνει τον άξονα y στο σημείο y= 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 69

Γραφική Αναπαράσταση III

I Μια Τετραγωνική εξίσωση περιέχει x2 Για τηναναπαράσταση τετραγωνικών εξισώσεων χρειάζεται ναβρούμε περισσότερα από τρία σημεία στο σχεδιάγραμμα

Για παράδειγμα υποθέστε ότι y= x2minus6x+5 καιδίνεται το πιο κάτω T-chart

x y= x2minus6x+5 (xy)0 5 (05)1 0 (10)3 minus4 (3minus4)5 0 (50)6 5 (65)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 70

Γραφική Αναπαράσταση IV

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

-

6

X

Y

bull

bull

bull

bull

bull

Ε Ι Κοντογιώργης copy 71

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(1x + 2)

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(-3x + 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 72

-15

-10

-5

0

5

10

15

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(3x - 2)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 73

-20

0

20

40

60

80

100

120

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2+x)

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 74

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

1250

1500

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3+x2+x)

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x4)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 75

-25

-2

-15

-1

-05

0

05

1

15

2

25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(log(x))

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(x))

Ε Ι Κοντογιώργης copy 76

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(-x))

-5000

0

5000

10000

15000

20000

25000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(exp(x)+x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 77

Ανισότητες I

I Οι ανισότητες αποτελούνται από δύο ή τρεις αλγεβρικέςεκφράσεις που είναι συνδεδεμένες με τα σύμβολαανισότητας Τα σύμβολα αυτά είναι

lt μικρότερο τουgt μεγαλύτερο τουle μικρότερο ή ίσο τουge μεγαλύτερο ή ίσο του

I Παραδείγματα xgty yge x2 και ylt5x+1

I Το πρώτο βήμα για την αναπαράσταση ανισότητας τηςμορφής ygtx είναι να παραστήσουμε γραφικά τηνισότητα y= x

Ε Ι Κοντογιώργης copy 78

Ανισότητες II

I ygtx

Κάνετε δοκιμή με ένα σημείο να δείτε κατά πόσοικανοποιεί την ανισότητα Εάν ναι τότε σκιάστε τηνπεριοχή αυτή του σχεδιαγράμματος διαφορετικά σκιάστετην άλλη πλευρά

Ε Ι Κοντογιώργης copy 79

Ανισότητες III

I yltx

Ε Ι Κοντογιώργης copy 80

Ανισότητες IV

I yle 5x+1 και ygt5x+1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 81

Ανισότητες V

I yge x2 και yle x2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 82

Ανισότητες VI

I ygtx3 και yle x3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 83

Συστήματα Γραμμικών ΕξισώσεωνΠεριεχόμενα

1 Ε

2 Γ Α

ΑναφορέςΚεφάλαια 4 και 5FS Budnick Applied Mathematics for Business Economicsand the Social Sciences 4th edition McGraw-Hill 1993

Ε Ι Κοντογιώργης copy 84

Συστήματα Εξισώσεων

I ´Ενα σύστημα εξισώσεων συνδυάζει περισσότερες από μίαεξισώσεις

I ´Ενα σύστημα m εξισώσεων όπου κάθε εξίσωσηαποτελείται από n μεταβλητές ονομάζεται mtimesnσύστημα ή λέμε ότι έχει διαστάσεις mtimesn

I ΠαράδειγμαΠαρακάτω έχουμε ένα σύστημα 2times2

5X+10Y= 203X+4Y= 10

Οι μεταβλητές σε αυτή την περίπτωση είναι X και YΕ Ι Κοντογιώργης copy 85

Συστήματα Επίλυσης

I Το Σύστημα επίλυσης είναι μια σειρά τιμών μεταβλητώνπου ικανοποιούν το σύστημα ταυτόχρονα

I Σε μια σημειογραφική παράσταση το προηγούμενοπαράδειγμα μπορεί να γραφτεί ως εξής

S = (XY) | 5X+10Y = 20 και 3X+4Y = 10

I Το σύστημα επίλυσης μπορεί να είναι1 μηδενικό2 πεπερασμένο ή3 άπειρο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 86

2times2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική Ανάλυση

I Σε ένα δισδιάστατο γράφημα ένα σύστημα εξισώσεων2times2 αναπαρίστανται με ευθείες γραμμές Υπόρχουν τρίαενδεχόμενα

1 Οι ευθείες τέμνονται Το σημείο τομής αντιπροσωπεύει τηλύση του συστήματος εξισώσεων Αυτό το σημείοαλληλεπίδρασης είναι μια δέσμη τιμών X και Y που ικανοποιείκαι τις δύο εξισώσειςΕάν υπάρχει μόνο μια δέσμη τιμών για τις μεταβλητές που ναικανοποιεί το σύστημα εξισώσεων το σύστημα λέμε ότι έχειΜ Λ

2 Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες μεταξύ τους ∆εν έχουν κοινόσημείο Συνεπώς οι ευθείες δεν τέμνονται ποτέ Το σύστημαλέμε ότι ∆ ΛΑυτό υπονοεί ότι δεν υπάρχουν τιμές για τις μεταβλητές πουνα ικανοποιούν και τις δύο εξισώσεις Σε αυτή τηνπερίπτωση οι εξισώσεις στο σύστημα είναι Α

3 Και οι δύο εξισώσεις αναπαρίστανται ως μια κοινή ευθεία καιθεωρούνται ισοδύναμες εξισώσεις ´Ετσι το σύστημα έχειΑ Λ Αυτό συμβαίνει γιατί υπάρχει άπειροςαριθμός κοινών σημείων στις δύο γραμμές

Ε Ι Κοντογιώργης copy 87

I Π Θεωρείστε ένα σύστημα 2times22X+4Y= 203X+ Y= 10

I

X

Y

(24)

3X +Y = 10

2X +4Y = 20

0 2 4 6 8 10 12

2

4

6

8

10

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 88

I Το σημείο τομής δίνεται από το X= 2 και Y= 4Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές του X και Y στις δύοεξισώσεις δίνουν 20 = 20 και 10 = 10 αντίστοιχα

I Αυτό υποδειλώνει ότι X= 2 και Y= 4 είναι η σωστή λύση

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times23Xminus2Y= 6

minus15X+10Y=minus30

I

X

Y

(20)

(0minus3)

3X minus2Y = 6

minus15X +10Y =minus30

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 89

I Οι δύο εξισώσεις απλοποιούνται σε Xminus 23 Y= 2

Οι δύο εξισώσεις είναι ισοδύναμες και δίνουν έναπεπερασμένο αριθμό λύσεων έτσι ώστε

X= 0 Y =minus3X= 2 Y = 0X= 4 Y = 3

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times26Xminus12Y= 24

minus32X+3Y= 9

Οι εξισώσεις απλοποιούνται σεXminus2Y= 4Xminus2Y=minus6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 90

I

X

Y

(40)

(0minus2)

(minus60)

(03)

X minus2Y =minus6

X minus2Y = 4

0-0

I Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες και συνεπώς το σύστημαδεν έχει λύση ´Ετσι το σύστημα εξισώσεων είναιασύμπτωτο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 91

Περίληψη 2times2 Συστήματα Εξισώσεων∆ίνεται ένα Σύστημα Γραμμικών Εξισώσεων 2times2

Y=m1X+ c1Y=m2X+ c2

1 Υπάρχει μια στο σύστημα εάνm1 6= m2

2 ∆εν υπάρχει στο σύστημα εάνm1 = m2 και c1 6= c2

3 Υπάρχει εάνm1 = m2 και c1 = c2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 92

∆ιαδικασίες Απαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής χρησιμοποιεί πολλαπλασιασμόκαι πρόσθεση έτσι ώστε

1 Να απαλοιφεί μια από τις δύο μεταβλητές

2 Η εξίσωση που εξάγεται είναι συνάρτηση των υπόλοιπωνμεταβλητών

3 Αντικαθιστώντας την τιμή στην μεταβλητή σε μια από τιςαρχικές εξισώσεις βρίσκουμε την τιμή για τηναπολοιφθήσα μεταβλητή

Ε Ι Κοντογιώργης copy 93

ΠαραδείγματαI Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

2X +4Y = 20 (1)3X + Y = 10 (2)

Πολλαπλασιάζοντας τη δεύτερη εξίσωση με minus4 παίρνουμε

minus12X minus4Y =minus40 (3)

Προσθέτοντας την εξίσωση (1) στο (3)

2X + 4Y = 20minus12X minus 4Y = minus40minus10X = minus20

ή

X = 2 (4)Ε Ι Κοντογιώργης copy 94

Αντικαθιστώντας X= 2 στην εξίσωση (1) δίνεται2 middot2+4Y = 20 ή Y=4

´Ετσι η μοναδική λύση του συστήματος δίνεται από τοX= 2 και Y= 4 Μπορεί να επιβεβαιωθεί ότι αυτή είναι ησωστή λύση αντικαθιστώντας X= 2 και Y= 4 στηνεξίσωση (1) και (2)

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times23X minus2Y = 6 (5)

minus15X +10Y =minus30 (6)

Για την απαλοιφή της μεταβλητής X η εξίσωση (5)πολλαπλασιάζεται με 5 και το αποτέλεσμα προστίθεταιστην εξίσωση (6)

15X minus 10Y = 30minus15X + 10Y = minus30

0 = 0 Ε Ι Κοντογιώργης copy 95

Οι τελευταίες πράξεις υπονοούν ότι οι εξίσωσεις (5) και(6) είναι ισοδύναμες και έτσι υπάρχει άπειρος αριθμόςλύσεωνΓια να προσδιορίσουμε τις λύσεις του συστήματος μια απότις αρχικές εξισώσεις λύνεται ως προς μια μεταβλητή Ανγια παράδειγμα η εξίσωση (5) λύνεται ως προς Y δίνει

Y =32Xminus3

Σαν αποτέλεσμα γενικεύοντας τις λύσεις του συστήματοςέχουμε

X τυχαίο και Y =32Xminus3

Πχ για X= 4 υπονοείται ότι Y=32 middot4minus3 = 3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 96

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

6X minus12Y = 24 (7)

minus32X +3Y = 9 (8)

Πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση (8) με 4 καιπροσθέτοντας το αποτέλεσμα στην εξίσωση (7)παίρνουμε

6X minus 12Y = 24minus6X + 12Y = 36

0 = 60

Η πιο πάνω αντιλογία υπονοεί ότι δεν υπάρχει λύση τουσυστήματος εξισώσεων

Ε Ι Κοντογιώργης copy 97

3times2 Συστήματα Εξισώσεων I

1 Μ Λ

X

Y

(32)

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minusY = 1

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 98

3times2 Συστήματα Εξισώσεων II

2 Α Λ

X

Y Εξις (1)Εξις (2)Εξις (3)

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 99

3times2 Συστήματα Εξισώσεων III3 Κ

(α) ´Οταν και οι τρεις εξισώσεις είναι παράλληλες

X

Y

2X minusY =minus8

2X minusY = 2

2X minusY = 12

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 100

3times2 Συστήματα Εξισώσεων IV(β) ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ τωνεξισώσεων

X

Y

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minus2Y =minus4

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 101

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική ΑνάλυσηΣε ένα γράφημα 2 διαστάσεων ένα σύστημα mtimes2(mgt2) εξισώσεων παριστάνεται με m ευθείες ´Οπωςσυμβαίνει στα συστήματα 2times2 υπάρχουν τρίαενδεχόμενα

1 ´Ολες οι ευθείες τέμνονται στο ίδιο σημείο και έτσιυπάρχει

2 ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ των mεξισώσεων Αυτό σημαίνει ότι όλες οι ευθείες είναιπαράλληλες Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα Λ

3 Οι m εξισώσεις είναι ισοδύναμες πχ παρασταίνονται σανμια ευθεία Σε αυτή την περίπτωση υπάρχει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 102

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων ∆ιαδικασίαΑπαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής για την επίλυση ενός συστήματοςmtimes2 μπορεί να περιγραφεί ως ακολούθωςΕπιλέξτε και λύστε σύστημα με δύο εξισώσεις

1 Εάν δεν υπάρχει λύση τότε ολόκληρο το σύστημα δεν έχειλύση

2 Εάν υπάρχει μοναδική λύση που ικανοποιεί τις υπόλοιπεςmminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα έχει μία μοναδική λύση

3 Εάν η λύση είναι μοναδική αλλά δεν ικανοποιεί τιςυπόλοιπες mminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα δεν έχει λύση

4 Εάν οι 2 λύσεις είναι ισοδύναμες απάλοιψτε τη μίααπό τις δύο εξισώσεις και ξεκινήστε από την αρχήλαμβάνοντας υπόψη ένα σύστημα (mminus1)times2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 103

ΠαράδείγμαI Θεωρείστε ένα σύστημα 5times2

XminusY= 1X+2Y=minus8

3Xminus2Y= 02Xminus5Y= 11minus4X+3Y=minus1

I Η λύση των πρώτων δύο εξισώσεων δίνετε απόY =minus3 και X =minus2

I Αντικαθιστώντας τη λύση στις υπόλοιπες τρεις εξισώσειςπαίρνετε αντίστοιχα

0 = 0 11 = 11 και minus1 =minus1I Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση

X=minus2 και Y=minus3Ε Ι Κοντογιώργης copy 104

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian

Η μέθοδος απολοιφής Gaussian μετατρέπει το αρχικόσύστημα εξισώσεων σε διαγώνια μορφή επαναλαμβάνονταςστις εξισώσεις τις ακόλουθες τρεις διαδικασίες

1 Πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης μεμια θετική σταθερά

2 Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού θα προστεθεί σεάλλη εξίσωση

3 Η σειρά των εξισώσεων μπορεί να αλλάξει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 105

ΠαράδείγμαΠ Θεωρείστε το σύστημα 2times2

2X minus 3Y = 7 (Εξ 1)X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με 12 για να πάρετε

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με minus1 καιπροσθέστε την στην (Εξ 2)

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

52Y =

152 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 106

Στάδιο 3 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 25

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

Y = 3 (Εξ 2)

Στάδιο 4 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 32 και

προσθέστε την στην (Εξ 1)

X = 1 (Εξ 1)Y = 3 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 107

Π Θεωρείστε το σύστημα 2times2

5X + 20Y = 254X minus 7Y =minus26

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να εκφραστεί ως

R1 5 20 25R2 4 minus7 minus26

Η κάθετη γραμμή χρησιμοποιείται για διαχωρισμό τηςαριστερής από τη δεξιά πλευρά των εξισώσεων Το Riυπονοεί τη γραμμή (Row) i

Ε Ι Κοντογιώργης copy 108

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάζουμε τη R1 με 15 και το θέτουμε

R1larr 15R1

R1 1 4 5R2 4 minus7 minus26

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάζουμε την R1 με minus4 και τηνπροσθέτουμε στην R2 Εν συντομίαR2larrminus4R1+R2

R1 1 4 5R2 0 minus23 minus46

Στάδιο 3 R2larrminus 123R2

R1 1 4 5R2 0 1 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 109

Στάδιο 4 R1larrminus4R2+R1

R1 1 0 minus3R2 0 1 2

Το αρχικό σύστημα εξισώσεων μετατρέπεται σε διαγώνιαμορφή όπως πιο κάτω

X =minus3Y = 2

το οποίο δίνει τη λύση του συστήματος

Ε Ι Κοντογιώργης copy 110

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 I

Το σύστημα εξισώσεων 3times3 μετετρέπεται σε διαγώνιαμορφή Η μετατροπή γίνεται στήλη με στήλη από τααριστερά προς τα δεξιά

Π Θεωρήστε το σύστημα 3times3

X1 + X2 + X3 = 2X1 minus 3X2 + 2X3 = 7

4X1 minus 2X2 minus X3 = 9

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να γραφτεί ως

Ε Ι Κοντογιώργης copy 111

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 II

1 1 1 21 minus3 2 74 minus2 minus1 9

Ε Ι Κοντογιώργης copy 112

logb(a) =1

loga(b) agt0 a 6= 1

Απόδειξη

logb(x) =loga(x)loga(b) =

logx(x)logx(b)

=1

loga(b)

´Οταν a= x

Πχ log2(64) =1

log64(2)=

116 = 6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 36

Αθροισμα

I Υποθέστε ότι έχουμε μια μεταβλητή x που μπορεί ναπάρει δέκα τιμές Εάν ενδιαφερόμαστε για το άθροισμάτους χωρίς να ξέρουμε την τιμή της κάθε μεταβλητής τότεο καλύτερος τρόπος να το εκφράσουμε είναι

x1 +x2 + middot middot middot+x9 +x10

I Εν συντομία το άθροισμα n στοιχείων x1 +x2 + middot middot middot+xn είναιnsum

i = 1xi

και ερμηνεύεται σαν το άθροισμα όλων των xirsquosξεκινώντας από το x1 (πχ i = 1) μέχρι xn (i = n)

I Εάν δε δοθεί διαφορετικά πάντοτε υποθέτουμε ότι το iαυξάνεται ξεκινώντας από το στάδιο 1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 37

I Το lsquolsquoSigmarsquorsquo Σ είναι γνωστό ως το άθροισμα (summation) ήσύμβολο σίγμα (sigma operator) και ο δείκτης i όνομάζεταιεικονική μεταβλητή

I Παραδείγματα

I

5sum

i = 1xi = x1 +x2 +x3 +x4 +x5

I

5sum

i = 1(y2

i ) = y21 +y22 +y23 +y24 +y25

Σημειώστε ότι η μόνη μεταβλητή που περιγράφεται απευθείαςκάτω από το σύμβολο Σ αυξάνεται κατά 1 κάθε φορά ενώ όλατα άλλα σύμβολα παραμένουν τα ίδια

I

4sum

r = 1(x3r ) = x31 +x32 +x33 +x34

Ε Ι Κοντογιώργης copy 38

I6sum

i = 1i = 1+2+3+4+5+6

I6sum

i = 1i2 = 12 +22 +32 +42 +52 +62

I7sum

i = 3xi = x3 +x4 +x5 +x6 +x7

I4sum

i = 1a = a+a+a+a= 4a

I3sum

i = 1(4+xi) = (4+x1) + (4+x2) + (4+x3)

=3sum

i = 14+

3sum

i = 1xi

Ε Ι Κοντογιώργης copy 39

I3sum

i = 1(2xi) = (2x1) + (2x2) + (2x3) = 2times

3sum

i = 1xi

I Ο συντελεστής i παραλείπεται εάν δε προκαλείαοριστία Για παράδειγμα Σx ή Σixi σημαίνειάθροισμα όλων των x που λαμβάνονται υπόψη

I ∆ήλωσηI

nsumi=1a= na

I sumiaxi = asum

ixi

I sumi

(axi+byi) = asumixi +bsum

iyi

Ε Ι Κοντογιώργης copy 40

I Αθροιστικός Τύπος

Insum

i = 1i = 1+2+ middot middot middot+n=

n(n+1)

2

Πχ6sumi = 1i = 1+2+3+4+5+6 =

6(6+1)

2 = 21

Insum

i = 1i2 = 12 +22 + middot middot middot+n2 =

n(n+1)(2n+1)

6

Πχ6sumi = 1i2 = 12 +22 +32 +42 +52 +62

=6(6+1)(12+1)

6 = 91

Ε Ι Κοντογιώργης copy 41

Insum

i = 1i3 = 13 +23 + middot middot middot+n3 =

n2(n+1)2

4

Πχ6sumi = 1i3 = 13 +23 +33 +43 +53 +63

=62(6+1)2

4 = 441

Ε Ι Κοντογιώργης copy 42

ΠαραδήγματαΑριθμητική Πρόοδος

I Γενικά μπορούμε να εκφράσουμε μια αριθμητική πρόοδο ωςεξής

αριθμητική πρόοδος a a+d a+2d a+3d

όπου ο πρώτος όρος είναι a και η διαφορά d Ο όρος nτης απ δίνεται από τη σχέση b = a+ (nminus1)d

I 3 5 7 9 11 είναι μια αριθμητική πρόοδος Οπρώτος όρος είναι το 3 και η διαφορά είναι 2

I 2 minus1 minus4 minus7 είναι μια αριθμητική πρόοδος όπου οπρώτος όρος είναι 2 και η διαφορά minus3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 43

I Το άθροισμα των όρων μιας αριθμητικής προόδου είναιγνωστό ως αριθμητική σειρά

Sn = a+ (a+d) + (a+2d) + middot middot middot+ (a+ (nminus1)d)

=nsumi=1

(a+ (iminus1)d

)= na+

nsumi=1

(iminus1)d

= na+dnminus1sumi=1

i = na+d(nminus1)n2

=n2(2a+d(nminus1)) =

n2(a+b) b = a+d(nminus1)

I ΑΠ 3 5 7 9 11 13 rArr Sn =62(3+13) = 48

Ε Ι Κοντογιώργης copy 44

∆ιπλό Αθροισμα4sumi=1

isumj=1

j = (1) + (1+2) + (1+2+3) + (1+2+3+4) = 20

nsumi=1

isumj=1

j =nsumi=1

( isumj=1

j)

nsumi=1

(12 i(i+1)

)=

12

nsumi=1

(i2 + i)

12( nsumi=1

i2 +nsumi=1

i)

=12(16n(n+1)(2n+1) +

12n(n+1)

)

=12

16n(n+1)

((2n+1) +3

)=

n6(n+1)(n+2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 45

∆ιπλό Αθροισμα

nsumi=1

msumj=1

(i+ j+2) =nsumi=1

( msumj=1

(i+ j+2))

nsumi=1

( msumj=1

i+msumj=1

j+msumj=1

2)

=nsumi=1

(mi+ 1

2m(m+1) +2m)

m( nsumi=1

i+ 12

nsumi=1

(m+5))

= m(12n(n+1) +

12n(m+5)

)

=mn2(m+n+6

)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 46

Insumr=1

1r(r+1)

=nsumr=1

(Ar +

Br+1

)=

nsumr=1

A(r+1) +Brr(r+1)

I A(r+1) +Br = 1

I Για r = 0 τότε A= 1 και για r =minus1 τότε B=minus1

I

nsumr=1

1r(r+1)

=nsumr=1

(1r minus

1r+1

)

=(

(11 minus

12) + (

12 minus

13) + (

13 minus

14) + middot middot middot+ (

1nminus1 minus

1n ) + (

1n minus

1n+1)

)

= 1minus 1n+1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 47

Insumk=1

1(k+2)(k+3)

=nsumk=1

( A(k+2)

+B

(k+3)

)=

nsumk=1

A(k+3) +B(k+2)

(k+2)(k+3)

I A(k+3) +B(k+2) = 1

I Για k=minus2 τότε A= 1 και για k=minus3 τότε B=minus1

I

nsumk=1

1(k+2)(k+3)

=nsumk=1

( 1(k+2)

minus 1(k+3)

)

=(

(13 minus

14)+(

14 minus

15)+(

15 minus

16)+ +(

1n+1 minus

1n+2)+(

1n+2 minus

1n+3)

)

=13 minus

1n+3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 48

Αθροισμα με Λογάριθμους

nsumi=1

logb(i) = logb(1) + logb(2) + middot middot middot+ logb(n)

= logb(1times2times3timesmiddotmiddot middottimesn)

= logb(n)

I Το n (n παραγοντικό) δίνεται από n = 1times2timesmiddotmiddot middottimesn και0 = 1

I100sumi=1

log2(100) = log2(100) =log(100)

log(2)=

log(99)

log(2)+

2log(2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 49

Γινόμενο των ακολουθιώνIn

prodi=1xi = x1timesx2timesx3timesmiddotmiddot middottimesxn

In

prodi=1i = 1times2times3timesmiddotmiddot middottimesn= n

In

prodi=1z= ztimesztimesmiddotmiddot middottimesz= zn

I

nprodi=1

(1+

1i+1

)=(1+

12)times(1+

13)times(1+

14)times times(1+

1n )times(1+

1n+1)

=32 times

43 times

54 timesmiddotmiddot middottimes

n+1n times n+2

n+1

=n+22

Ε Ι Κοντογιώργης copy 50

Γεωμετρικές ΠροόδοιI Μια γεωμετρική πρόοδος είναι μια σειρά αριθμών όπου

κάθε όρος μετά των πρώτο υπολογίζεται από τονπολλαπλασιασμό του προηγούμενου όρου με ένασταθερό αριθμό που καλείται αναλογία

I Η σειρά1 3 9 27 81 middot middot middot

είναι μια γεωμετρική πρόοδος με πρώτο όρο το 1 καιαναλογία 3

I Η αναλογία μπορεί να είναι κλάσμα καθώς επίσης καιαρνητικός αριθμός Για παράδειγμα η γεωμετρικήπρόοδος με πρώτο όρο το 2 και αναλογία minus13 είναι

2 minus 23 +

29 minus

227 +

281 middot middot middot

Ε Ι Κοντογιώργης copy 51

I Γενικά μπορούμε να γράψουμε μια γεωμετρική πρόοδο ωςακολούθως

γεωμετρική πρόοδος a ar ar2 ar3 ar4 middot middot middot

όπου ο πρώτος όρος είναι a και η αναλογία r

I Σημαντικά θεωρήματα των γεωμετρικών προόδων (γπ)1 Ο n όρος μιας γπ δίνεται από ar(nminus1)

2 Το άθροισμα των πρώτων n όρων μιας γπ είναι

Sn =a(1minus rn)

1minus r =a(rnminus1)

rminus1 και ισχύει μόνο αν r 6= 1

I Το άθροισμα των όρων μιας γεωμετρικής προόδουονομάζεται γεωμετρική σειρά

Ε Ι Κοντογιώργης copy 52

Γεωμετρική σειρά

Sn = a+ar+ar2 +ar3 + middot middot middot+arnminus2 +arnminus1

rSn = ar+ar2 +ar3 + arnminus1 +arn

Snminus rSn = aminusarn

(1minus r)Sn = a(1minus rn)

Sn =a(1minus rn)

(1minus r) =a(rnminus1)

(rminus1)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 53

I Παράδειγμα1 Βρείτε το άθροισμα των πρώτων 10 όρων μιας γεωμετρικής

σειράς4 8 16 32

Ο πρώτος όρος είναι a= 4 και η αναλογία r = 2 καιn= 10 ´Ετσι

S10 =4(1minus210)

1minus2 = 4092

2 Θεωρείστε τη γπ4 minus8 16 minus32 64 minus128 256 minus512

Σε αυτή την περίπτωση ο πρώτος όρος είναι a= 4 ηαναλογία είναι r =minus2 και n= 8´Ετσι

S8 =4(1minus (minus2)8)

1minus (minus2)=minus340

Ε Ι Κοντογιώργης copy 54

Συνεχείς ανατοκισμός

Οι περισσότεροι τραπεζικοί λογαριασμοί και τα δάνειαυιοθετούν ανατοκισμό - εφαρμόζοντας συνεχή ανατοκισμόΘεωρείστε ένα λογαριασμό που προσφέρει τόκο με ετήσιοεπιτόκιο r (πχ 7) Εάν το επιτόκιο είναι συνεχέςσε χρονιαία βάση τότε μετά από 1 χρόνο το χρονιαίοεπιτόκιο προστίθεται στο αρχικό κεφάλαιο για νακαθορίσει ένα μεγαλύτερο κεφάλαιο τον δεύτερο χρόνο

´Ετσι κατά τη διάρκεια του δεύτερου χρόνου ολογαριασμός κερδίζει επιτόκιο πάνω στο επιτόκιοΑυτή είναι η επίδραση του ανατοκισμού που συνεχίζεταιχρόνο με το χρόνο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 55

I Με τον ετήσιο ανατοκισμό το κεφάλαιο πουσυσσωρεύεται στο λογαριασμό πολλαπλασιάζεται με

(1+ r)

´Ετσι το κεφάλαιο A θα αυξηθεί σε

A(1+ r) = A+A middot r

τον επόμενο χρόνο

I Με το πέρας και του δεύτερου χρόνου το κεφάλαιο θααυξηθεί ακόμα (1+ r) σε (1+ r)2

´Ετσι το κεφάλαιο καταλήγει σε

A(1+ r)(1+ r) = A(1+ r)2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 56

I Κατά παρόμοιο τρόπο στο τέλος του τρίτου χρόνου τοποσό θα αυξηθεί κατά (1+ r)3

I Μετά από n χρόνια το ποσό θα αυξηθεί κατά (1+ r)n

I ´Ετσι το κεφάλαιο (επένδυση) A θα αυξηθεί με συνεχήανατοκισμό σε A(1+ r)n μετά από n χρόνια

I Ο τύπος (1+ r)n εκθέτει γεωμετρική αύξηση λόγω τηςn δύναμης

Ε Ι Κοντογιώργης copy 57

ΠαραδείγματαI Εάν το επιτόκιο είναι r = 5 τότε το κεφάλαιοA= $1000 που βρίσκεται στην τράπεζα n= 20 χρόνιαθα αυξηθεί κατά

(1+ r)n = (1+005)20 = 2653 φορές

´Ετσι το ποσό θα καταλήξειA(1+ r)n = $265330

I Βρέστε το χρόνο που χρειάζεται για ένα λογαργιασμό ναδιπλασιάσει το διαθέσιμο κεφάλαιο του όταν r = 7 καιr = 10Ζητούμε να βρούμε το n έτσι ώστε

(1+ r)n = 2Ε Ι Κοντογιώργης copy 58

I Υπολογίζοντας το λογάριθμο του τελευταίου παίρνουμε

log(1+ r)n = log(2)ή n log(1+ r) = log(2)

´Ετσιn=

log2log(1+ r)

I Για r = 7 και r = 10 ο χρόνος n πουχρειάζεται για διπλασιασμό της επένδυσης υπολογίζεταισε 1024 και 727 αντίστοιχα

Ε Ι Κοντογιώργης copy 59

I Αν το επιτόκιο είναι r = 7 τότε πιο θα είναι τοσυνολικό ποσό στο λογαριασμό μετά από 205 και41 χρόνια αντίστοιχα

Μετά τα πρώτα 1025 χρόνια το ποσό A θαδιπλασιαστεί σε 2A Για τα επόμενα 1025 χρόνιατο ποσό θα ξαναδιπλασιαστεί σε 4A ´Ετσι μετά από205 χρόνια το ποσό θα αυξηθεί κατά 4 φορές

Με το πέρας ακόμα 205 χρόνων το ποσό θα αυξηθείακόμα 4 φορές σε 16 ´Ετσι μετά από 41 χρόνιατο κεφάλαιο A γίνεται 16A

Ε Ι Κοντογιώργης copy 60

Ασκήσεις και Παραδείγματα

I Υπολογίστε τη Μελλοντική Αξία (Future Value (FV)) τουκεφαλαίου A= 1500 που κερδίζει ετήσιο επιτόκιοr = 5 για n= 10 έτη

FV =A(1+ r)n = 1500(1+005)10 = 244334

I Πόσα έτη απαιτούνται για να τριπλασιαστεί ένα ποσόπου αφήνετε στην τράπεζα με επιτόκιο r = 5∆ηλαδή βρείτε το n όπου A= 1 r = 5 και FV = 3

FV =A(1+ r)n ή (1+ r)n =FVA

Ε Ι Κοντογιώργης copy 61

Υπολογίζοντας τους λογαρίθμους παίρνουμε

log(1+ r)n = log(FVA)

ή n log(1+ r) = log(FVA)

´Ετσι

n=log(FVA)

log(1+ r) =log(3)

log(105)

= 2252

Ε Ι Κοντογιώργης copy 62

I Βρείτε την παρούσα αξία A έτσι ώστε σε δέκα έτη μεσταθερό επιτόκιο r = 6 να είναι 100KΒρείτε το A όπου FV = 100000 r = 6 και n= 10

FV =A(1+ r)n ή A=FV

(1+ r)n

´Ετσι A=100000

(106)10= 5583948

I Βρείτε την ετησιοποιημένη απόδοση (AER AnnualEquivalent Rate) μιας μηνιαίας κατάθεσης με σταθερόεπιτοκίο 394 Μια τέτοια κατάθεση λαμβάνει το επιτόκιο στη λήξηΣυνεπώς κάθε μήνα ο λογαριασμός λαμβάνει

r = 0039412 = 000328

επιτόκιο που επανεπενδύεται (συνεχής ανατοκισμός)Ε Ι Κοντογιώργης copy 63

Επανεπενδύοντας το επιτόκιο κάθε μήνα στη διάρκειαενός έτους το κεφάλαιο θα αυξηθεί σε

(1+ r)12 = (1+000328)12 = 104012

´Ετσι το ΑΕΡ είναι ισοδύναμο με 004012 = 4012I Υπολογίστε το επιτόκιο ενός σταθερού λογαριασμού

κατάθεσης 7-ημερών που έχει AER επιτόκιο r = 425Θεωρείστε ρ το εβδομαδιαίο επιτόκιο

´Ετσι (1+ρ)52 = (1+00425)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 64

Παίρνοντας τους λογαρίθμους έχουμε52log(1+ρ) = log10425

ή log(1+ρ) =log10425

52

ή 1+ρ= 10( log10425

52)

Αυτό μας δίνει

ρ= 10

( log1042552

)minus1 = 008

´Ετσι το συνεχές επιτόκιο μιας επταήμερης κατάθεσης είναιρtimes52 = 41638

Εναλλακτικά (1+ρ)52 = (1+00425) δίνει

(1+ρ) =52radic10425ή ρ=

52radic10425minus = 008Ε Ι Κοντογιώργης copy 65

I Υπολογίστε την ετήσια απόδοση r έτσι ώστε A= 10000να επιστρέφει FV = 35000 σε n= 20 χρόνια

FV =A(1+ r)n ή (1+ r)n =FVA

´Ετσι

1+ r =nradic

FVA

Επομένως

r =nradic

FVA minus1 =

20radic

3500010000 minus1 = 00646 = 646

Ε Ι Κοντογιώργης copy 66

Εναλλακτικά παίρνοντας τους λογαρίθμους

log(1+ r)n = log(FVA) ή n log(1+ r) = log

(FVA)

´Ετσι

1+ r = 10(1n log

(FVA))

ή r = 10(1n log

(FVA))minus1

= 10( 120 log

(3500010000

))minus1

= 646

Ε Ι Κοντογιώργης copy 67

Γραφική Αναπαράσταση I

I Υποθέστε ότι έχουμε y= 3x+2 Καθώς έχουμε μόνο μιαδύναμη για το x πρέπει να λύσουμε γραμμική εξίσωσηκαι να σχεδιάσουμε μια ευθεία γραμμή Αρχικά θα πρέπεινα σχεδιάσουμε ένα T-chart Αυτό έχει τη μορφή

x y = 3x+2 (xy)

I Επιλέγουμε μια τιμή για το x και λύνουμε ως προς y

x y= 3x+2 (xy)minus2 minus4 (minus2minus4)0 2 (02)2 8 (28)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 68

Γραφική Αναπαράσταση II

-

6

X

Y

bull

bull

bull

I Βλέπουμε μια ευθεία με ανοδική τάση (έχοντας θετικήκλίση m= 3) καιτέμνει τον άξονα y στο σημείο y= 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 69

Γραφική Αναπαράσταση III

I Μια Τετραγωνική εξίσωση περιέχει x2 Για τηναναπαράσταση τετραγωνικών εξισώσεων χρειάζεται ναβρούμε περισσότερα από τρία σημεία στο σχεδιάγραμμα

Για παράδειγμα υποθέστε ότι y= x2minus6x+5 καιδίνεται το πιο κάτω T-chart

x y= x2minus6x+5 (xy)0 5 (05)1 0 (10)3 minus4 (3minus4)5 0 (50)6 5 (65)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 70

Γραφική Αναπαράσταση IV

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

-

6

X

Y

bull

bull

bull

bull

bull

Ε Ι Κοντογιώργης copy 71

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(1x + 2)

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(-3x + 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 72

-15

-10

-5

0

5

10

15

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(3x - 2)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 73

-20

0

20

40

60

80

100

120

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2+x)

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 74

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

1250

1500

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3+x2+x)

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x4)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 75

-25

-2

-15

-1

-05

0

05

1

15

2

25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(log(x))

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(x))

Ε Ι Κοντογιώργης copy 76

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(-x))

-5000

0

5000

10000

15000

20000

25000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(exp(x)+x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 77

Ανισότητες I

I Οι ανισότητες αποτελούνται από δύο ή τρεις αλγεβρικέςεκφράσεις που είναι συνδεδεμένες με τα σύμβολαανισότητας Τα σύμβολα αυτά είναι

lt μικρότερο τουgt μεγαλύτερο τουle μικρότερο ή ίσο τουge μεγαλύτερο ή ίσο του

I Παραδείγματα xgty yge x2 και ylt5x+1

I Το πρώτο βήμα για την αναπαράσταση ανισότητας τηςμορφής ygtx είναι να παραστήσουμε γραφικά τηνισότητα y= x

Ε Ι Κοντογιώργης copy 78

Ανισότητες II

I ygtx

Κάνετε δοκιμή με ένα σημείο να δείτε κατά πόσοικανοποιεί την ανισότητα Εάν ναι τότε σκιάστε τηνπεριοχή αυτή του σχεδιαγράμματος διαφορετικά σκιάστετην άλλη πλευρά

Ε Ι Κοντογιώργης copy 79

Ανισότητες III

I yltx

Ε Ι Κοντογιώργης copy 80

Ανισότητες IV

I yle 5x+1 και ygt5x+1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 81

Ανισότητες V

I yge x2 και yle x2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 82

Ανισότητες VI

I ygtx3 και yle x3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 83

Συστήματα Γραμμικών ΕξισώσεωνΠεριεχόμενα

1 Ε

2 Γ Α

ΑναφορέςΚεφάλαια 4 και 5FS Budnick Applied Mathematics for Business Economicsand the Social Sciences 4th edition McGraw-Hill 1993

Ε Ι Κοντογιώργης copy 84

Συστήματα Εξισώσεων

I ´Ενα σύστημα εξισώσεων συνδυάζει περισσότερες από μίαεξισώσεις

I ´Ενα σύστημα m εξισώσεων όπου κάθε εξίσωσηαποτελείται από n μεταβλητές ονομάζεται mtimesnσύστημα ή λέμε ότι έχει διαστάσεις mtimesn

I ΠαράδειγμαΠαρακάτω έχουμε ένα σύστημα 2times2

5X+10Y= 203X+4Y= 10

Οι μεταβλητές σε αυτή την περίπτωση είναι X και YΕ Ι Κοντογιώργης copy 85

Συστήματα Επίλυσης

I Το Σύστημα επίλυσης είναι μια σειρά τιμών μεταβλητώνπου ικανοποιούν το σύστημα ταυτόχρονα

I Σε μια σημειογραφική παράσταση το προηγούμενοπαράδειγμα μπορεί να γραφτεί ως εξής

S = (XY) | 5X+10Y = 20 και 3X+4Y = 10

I Το σύστημα επίλυσης μπορεί να είναι1 μηδενικό2 πεπερασμένο ή3 άπειρο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 86

2times2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική Ανάλυση

I Σε ένα δισδιάστατο γράφημα ένα σύστημα εξισώσεων2times2 αναπαρίστανται με ευθείες γραμμές Υπόρχουν τρίαενδεχόμενα

1 Οι ευθείες τέμνονται Το σημείο τομής αντιπροσωπεύει τηλύση του συστήματος εξισώσεων Αυτό το σημείοαλληλεπίδρασης είναι μια δέσμη τιμών X και Y που ικανοποιείκαι τις δύο εξισώσειςΕάν υπάρχει μόνο μια δέσμη τιμών για τις μεταβλητές που ναικανοποιεί το σύστημα εξισώσεων το σύστημα λέμε ότι έχειΜ Λ

2 Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες μεταξύ τους ∆εν έχουν κοινόσημείο Συνεπώς οι ευθείες δεν τέμνονται ποτέ Το σύστημαλέμε ότι ∆ ΛΑυτό υπονοεί ότι δεν υπάρχουν τιμές για τις μεταβλητές πουνα ικανοποιούν και τις δύο εξισώσεις Σε αυτή τηνπερίπτωση οι εξισώσεις στο σύστημα είναι Α

3 Και οι δύο εξισώσεις αναπαρίστανται ως μια κοινή ευθεία καιθεωρούνται ισοδύναμες εξισώσεις ´Ετσι το σύστημα έχειΑ Λ Αυτό συμβαίνει γιατί υπάρχει άπειροςαριθμός κοινών σημείων στις δύο γραμμές

Ε Ι Κοντογιώργης copy 87

I Π Θεωρείστε ένα σύστημα 2times22X+4Y= 203X+ Y= 10

I

X

Y

(24)

3X +Y = 10

2X +4Y = 20

0 2 4 6 8 10 12

2

4

6

8

10

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 88

I Το σημείο τομής δίνεται από το X= 2 και Y= 4Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές του X και Y στις δύοεξισώσεις δίνουν 20 = 20 και 10 = 10 αντίστοιχα

I Αυτό υποδειλώνει ότι X= 2 και Y= 4 είναι η σωστή λύση

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times23Xminus2Y= 6

minus15X+10Y=minus30

I

X

Y

(20)

(0minus3)

3X minus2Y = 6

minus15X +10Y =minus30

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 89

I Οι δύο εξισώσεις απλοποιούνται σε Xminus 23 Y= 2

Οι δύο εξισώσεις είναι ισοδύναμες και δίνουν έναπεπερασμένο αριθμό λύσεων έτσι ώστε

X= 0 Y =minus3X= 2 Y = 0X= 4 Y = 3

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times26Xminus12Y= 24

minus32X+3Y= 9

Οι εξισώσεις απλοποιούνται σεXminus2Y= 4Xminus2Y=minus6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 90

I

X

Y

(40)

(0minus2)

(minus60)

(03)

X minus2Y =minus6

X minus2Y = 4

0-0

I Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες και συνεπώς το σύστημαδεν έχει λύση ´Ετσι το σύστημα εξισώσεων είναιασύμπτωτο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 91

Περίληψη 2times2 Συστήματα Εξισώσεων∆ίνεται ένα Σύστημα Γραμμικών Εξισώσεων 2times2

Y=m1X+ c1Y=m2X+ c2

1 Υπάρχει μια στο σύστημα εάνm1 6= m2

2 ∆εν υπάρχει στο σύστημα εάνm1 = m2 και c1 6= c2

3 Υπάρχει εάνm1 = m2 και c1 = c2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 92

∆ιαδικασίες Απαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής χρησιμοποιεί πολλαπλασιασμόκαι πρόσθεση έτσι ώστε

1 Να απαλοιφεί μια από τις δύο μεταβλητές

2 Η εξίσωση που εξάγεται είναι συνάρτηση των υπόλοιπωνμεταβλητών

3 Αντικαθιστώντας την τιμή στην μεταβλητή σε μια από τιςαρχικές εξισώσεις βρίσκουμε την τιμή για τηναπολοιφθήσα μεταβλητή

Ε Ι Κοντογιώργης copy 93

ΠαραδείγματαI Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

2X +4Y = 20 (1)3X + Y = 10 (2)

Πολλαπλασιάζοντας τη δεύτερη εξίσωση με minus4 παίρνουμε

minus12X minus4Y =minus40 (3)

Προσθέτοντας την εξίσωση (1) στο (3)

2X + 4Y = 20minus12X minus 4Y = minus40minus10X = minus20

ή

X = 2 (4)Ε Ι Κοντογιώργης copy 94

Αντικαθιστώντας X= 2 στην εξίσωση (1) δίνεται2 middot2+4Y = 20 ή Y=4

´Ετσι η μοναδική λύση του συστήματος δίνεται από τοX= 2 και Y= 4 Μπορεί να επιβεβαιωθεί ότι αυτή είναι ησωστή λύση αντικαθιστώντας X= 2 και Y= 4 στηνεξίσωση (1) και (2)

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times23X minus2Y = 6 (5)

minus15X +10Y =minus30 (6)

Για την απαλοιφή της μεταβλητής X η εξίσωση (5)πολλαπλασιάζεται με 5 και το αποτέλεσμα προστίθεταιστην εξίσωση (6)

15X minus 10Y = 30minus15X + 10Y = minus30

0 = 0 Ε Ι Κοντογιώργης copy 95

Οι τελευταίες πράξεις υπονοούν ότι οι εξίσωσεις (5) και(6) είναι ισοδύναμες και έτσι υπάρχει άπειρος αριθμόςλύσεωνΓια να προσδιορίσουμε τις λύσεις του συστήματος μια απότις αρχικές εξισώσεις λύνεται ως προς μια μεταβλητή Ανγια παράδειγμα η εξίσωση (5) λύνεται ως προς Y δίνει

Y =32Xminus3

Σαν αποτέλεσμα γενικεύοντας τις λύσεις του συστήματοςέχουμε

X τυχαίο και Y =32Xminus3

Πχ για X= 4 υπονοείται ότι Y=32 middot4minus3 = 3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 96

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

6X minus12Y = 24 (7)

minus32X +3Y = 9 (8)

Πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση (8) με 4 καιπροσθέτοντας το αποτέλεσμα στην εξίσωση (7)παίρνουμε

6X minus 12Y = 24minus6X + 12Y = 36

0 = 60

Η πιο πάνω αντιλογία υπονοεί ότι δεν υπάρχει λύση τουσυστήματος εξισώσεων

Ε Ι Κοντογιώργης copy 97

3times2 Συστήματα Εξισώσεων I

1 Μ Λ

X

Y

(32)

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minusY = 1

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 98

3times2 Συστήματα Εξισώσεων II

2 Α Λ

X

Y Εξις (1)Εξις (2)Εξις (3)

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 99

3times2 Συστήματα Εξισώσεων III3 Κ

(α) ´Οταν και οι τρεις εξισώσεις είναι παράλληλες

X

Y

2X minusY =minus8

2X minusY = 2

2X minusY = 12

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 100

3times2 Συστήματα Εξισώσεων IV(β) ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ τωνεξισώσεων

X

Y

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minus2Y =minus4

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 101

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική ΑνάλυσηΣε ένα γράφημα 2 διαστάσεων ένα σύστημα mtimes2(mgt2) εξισώσεων παριστάνεται με m ευθείες ´Οπωςσυμβαίνει στα συστήματα 2times2 υπάρχουν τρίαενδεχόμενα

1 ´Ολες οι ευθείες τέμνονται στο ίδιο σημείο και έτσιυπάρχει

2 ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ των mεξισώσεων Αυτό σημαίνει ότι όλες οι ευθείες είναιπαράλληλες Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα Λ

3 Οι m εξισώσεις είναι ισοδύναμες πχ παρασταίνονται σανμια ευθεία Σε αυτή την περίπτωση υπάρχει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 102

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων ∆ιαδικασίαΑπαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής για την επίλυση ενός συστήματοςmtimes2 μπορεί να περιγραφεί ως ακολούθωςΕπιλέξτε και λύστε σύστημα με δύο εξισώσεις

1 Εάν δεν υπάρχει λύση τότε ολόκληρο το σύστημα δεν έχειλύση

2 Εάν υπάρχει μοναδική λύση που ικανοποιεί τις υπόλοιπεςmminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα έχει μία μοναδική λύση

3 Εάν η λύση είναι μοναδική αλλά δεν ικανοποιεί τιςυπόλοιπες mminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα δεν έχει λύση

4 Εάν οι 2 λύσεις είναι ισοδύναμες απάλοιψτε τη μίααπό τις δύο εξισώσεις και ξεκινήστε από την αρχήλαμβάνοντας υπόψη ένα σύστημα (mminus1)times2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 103

ΠαράδείγμαI Θεωρείστε ένα σύστημα 5times2

XminusY= 1X+2Y=minus8

3Xminus2Y= 02Xminus5Y= 11minus4X+3Y=minus1

I Η λύση των πρώτων δύο εξισώσεων δίνετε απόY =minus3 και X =minus2

I Αντικαθιστώντας τη λύση στις υπόλοιπες τρεις εξισώσειςπαίρνετε αντίστοιχα

0 = 0 11 = 11 και minus1 =minus1I Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση

X=minus2 και Y=minus3Ε Ι Κοντογιώργης copy 104

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian

Η μέθοδος απολοιφής Gaussian μετατρέπει το αρχικόσύστημα εξισώσεων σε διαγώνια μορφή επαναλαμβάνονταςστις εξισώσεις τις ακόλουθες τρεις διαδικασίες

1 Πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης μεμια θετική σταθερά

2 Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού θα προστεθεί σεάλλη εξίσωση

3 Η σειρά των εξισώσεων μπορεί να αλλάξει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 105

ΠαράδείγμαΠ Θεωρείστε το σύστημα 2times2

2X minus 3Y = 7 (Εξ 1)X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με 12 για να πάρετε

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με minus1 καιπροσθέστε την στην (Εξ 2)

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

52Y =

152 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 106

Στάδιο 3 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 25

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

Y = 3 (Εξ 2)

Στάδιο 4 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 32 και

προσθέστε την στην (Εξ 1)

X = 1 (Εξ 1)Y = 3 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 107

Π Θεωρείστε το σύστημα 2times2

5X + 20Y = 254X minus 7Y =minus26

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να εκφραστεί ως

R1 5 20 25R2 4 minus7 minus26

Η κάθετη γραμμή χρησιμοποιείται για διαχωρισμό τηςαριστερής από τη δεξιά πλευρά των εξισώσεων Το Riυπονοεί τη γραμμή (Row) i

Ε Ι Κοντογιώργης copy 108

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάζουμε τη R1 με 15 και το θέτουμε

R1larr 15R1

R1 1 4 5R2 4 minus7 minus26

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάζουμε την R1 με minus4 και τηνπροσθέτουμε στην R2 Εν συντομίαR2larrminus4R1+R2

R1 1 4 5R2 0 minus23 minus46

Στάδιο 3 R2larrminus 123R2

R1 1 4 5R2 0 1 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 109

Στάδιο 4 R1larrminus4R2+R1

R1 1 0 minus3R2 0 1 2

Το αρχικό σύστημα εξισώσεων μετατρέπεται σε διαγώνιαμορφή όπως πιο κάτω

X =minus3Y = 2

το οποίο δίνει τη λύση του συστήματος

Ε Ι Κοντογιώργης copy 110

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 I

Το σύστημα εξισώσεων 3times3 μετετρέπεται σε διαγώνιαμορφή Η μετατροπή γίνεται στήλη με στήλη από τααριστερά προς τα δεξιά

Π Θεωρήστε το σύστημα 3times3

X1 + X2 + X3 = 2X1 minus 3X2 + 2X3 = 7

4X1 minus 2X2 minus X3 = 9

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να γραφτεί ως

Ε Ι Κοντογιώργης copy 111

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 II

1 1 1 21 minus3 2 74 minus2 minus1 9

Ε Ι Κοντογιώργης copy 112

Αθροισμα

I Υποθέστε ότι έχουμε μια μεταβλητή x που μπορεί ναπάρει δέκα τιμές Εάν ενδιαφερόμαστε για το άθροισμάτους χωρίς να ξέρουμε την τιμή της κάθε μεταβλητής τότεο καλύτερος τρόπος να το εκφράσουμε είναι

x1 +x2 + middot middot middot+x9 +x10

I Εν συντομία το άθροισμα n στοιχείων x1 +x2 + middot middot middot+xn είναιnsum

i = 1xi

και ερμηνεύεται σαν το άθροισμα όλων των xirsquosξεκινώντας από το x1 (πχ i = 1) μέχρι xn (i = n)

I Εάν δε δοθεί διαφορετικά πάντοτε υποθέτουμε ότι το iαυξάνεται ξεκινώντας από το στάδιο 1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 37

I Το lsquolsquoSigmarsquorsquo Σ είναι γνωστό ως το άθροισμα (summation) ήσύμβολο σίγμα (sigma operator) και ο δείκτης i όνομάζεταιεικονική μεταβλητή

I Παραδείγματα

I

5sum

i = 1xi = x1 +x2 +x3 +x4 +x5

I

5sum

i = 1(y2

i ) = y21 +y22 +y23 +y24 +y25

Σημειώστε ότι η μόνη μεταβλητή που περιγράφεται απευθείαςκάτω από το σύμβολο Σ αυξάνεται κατά 1 κάθε φορά ενώ όλατα άλλα σύμβολα παραμένουν τα ίδια

I

4sum

r = 1(x3r ) = x31 +x32 +x33 +x34

Ε Ι Κοντογιώργης copy 38

I6sum

i = 1i = 1+2+3+4+5+6

I6sum

i = 1i2 = 12 +22 +32 +42 +52 +62

I7sum

i = 3xi = x3 +x4 +x5 +x6 +x7

I4sum

i = 1a = a+a+a+a= 4a

I3sum

i = 1(4+xi) = (4+x1) + (4+x2) + (4+x3)

=3sum

i = 14+

3sum

i = 1xi

Ε Ι Κοντογιώργης copy 39

I3sum

i = 1(2xi) = (2x1) + (2x2) + (2x3) = 2times

3sum

i = 1xi

I Ο συντελεστής i παραλείπεται εάν δε προκαλείαοριστία Για παράδειγμα Σx ή Σixi σημαίνειάθροισμα όλων των x που λαμβάνονται υπόψη

I ∆ήλωσηI

nsumi=1a= na

I sumiaxi = asum

ixi

I sumi

(axi+byi) = asumixi +bsum

iyi

Ε Ι Κοντογιώργης copy 40

I Αθροιστικός Τύπος

Insum

i = 1i = 1+2+ middot middot middot+n=

n(n+1)

2

Πχ6sumi = 1i = 1+2+3+4+5+6 =

6(6+1)

2 = 21

Insum

i = 1i2 = 12 +22 + middot middot middot+n2 =

n(n+1)(2n+1)

6

Πχ6sumi = 1i2 = 12 +22 +32 +42 +52 +62

=6(6+1)(12+1)

6 = 91

Ε Ι Κοντογιώργης copy 41

Insum

i = 1i3 = 13 +23 + middot middot middot+n3 =

n2(n+1)2

4

Πχ6sumi = 1i3 = 13 +23 +33 +43 +53 +63

=62(6+1)2

4 = 441

Ε Ι Κοντογιώργης copy 42

ΠαραδήγματαΑριθμητική Πρόοδος

I Γενικά μπορούμε να εκφράσουμε μια αριθμητική πρόοδο ωςεξής

αριθμητική πρόοδος a a+d a+2d a+3d

όπου ο πρώτος όρος είναι a και η διαφορά d Ο όρος nτης απ δίνεται από τη σχέση b = a+ (nminus1)d

I 3 5 7 9 11 είναι μια αριθμητική πρόοδος Οπρώτος όρος είναι το 3 και η διαφορά είναι 2

I 2 minus1 minus4 minus7 είναι μια αριθμητική πρόοδος όπου οπρώτος όρος είναι 2 και η διαφορά minus3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 43

I Το άθροισμα των όρων μιας αριθμητικής προόδου είναιγνωστό ως αριθμητική σειρά

Sn = a+ (a+d) + (a+2d) + middot middot middot+ (a+ (nminus1)d)

=nsumi=1

(a+ (iminus1)d

)= na+

nsumi=1

(iminus1)d

= na+dnminus1sumi=1

i = na+d(nminus1)n2

=n2(2a+d(nminus1)) =

n2(a+b) b = a+d(nminus1)

I ΑΠ 3 5 7 9 11 13 rArr Sn =62(3+13) = 48

Ε Ι Κοντογιώργης copy 44

∆ιπλό Αθροισμα4sumi=1

isumj=1

j = (1) + (1+2) + (1+2+3) + (1+2+3+4) = 20

nsumi=1

isumj=1

j =nsumi=1

( isumj=1

j)

nsumi=1

(12 i(i+1)

)=

12

nsumi=1

(i2 + i)

12( nsumi=1

i2 +nsumi=1

i)

=12(16n(n+1)(2n+1) +

12n(n+1)

)

=12

16n(n+1)

((2n+1) +3

)=

n6(n+1)(n+2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 45

∆ιπλό Αθροισμα

nsumi=1

msumj=1

(i+ j+2) =nsumi=1

( msumj=1

(i+ j+2))

nsumi=1

( msumj=1

i+msumj=1

j+msumj=1

2)

=nsumi=1

(mi+ 1

2m(m+1) +2m)

m( nsumi=1

i+ 12

nsumi=1

(m+5))

= m(12n(n+1) +

12n(m+5)

)

=mn2(m+n+6

)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 46

Insumr=1

1r(r+1)

=nsumr=1

(Ar +

Br+1

)=

nsumr=1

A(r+1) +Brr(r+1)

I A(r+1) +Br = 1

I Για r = 0 τότε A= 1 και για r =minus1 τότε B=minus1

I

nsumr=1

1r(r+1)

=nsumr=1

(1r minus

1r+1

)

=(

(11 minus

12) + (

12 minus

13) + (

13 minus

14) + middot middot middot+ (

1nminus1 minus

1n ) + (

1n minus

1n+1)

)

= 1minus 1n+1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 47

Insumk=1

1(k+2)(k+3)

=nsumk=1

( A(k+2)

+B

(k+3)

)=

nsumk=1

A(k+3) +B(k+2)

(k+2)(k+3)

I A(k+3) +B(k+2) = 1

I Για k=minus2 τότε A= 1 και για k=minus3 τότε B=minus1

I

nsumk=1

1(k+2)(k+3)

=nsumk=1

( 1(k+2)

minus 1(k+3)

)

=(

(13 minus

14)+(

14 minus

15)+(

15 minus

16)+ +(

1n+1 minus

1n+2)+(

1n+2 minus

1n+3)

)

=13 minus

1n+3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 48

Αθροισμα με Λογάριθμους

nsumi=1

logb(i) = logb(1) + logb(2) + middot middot middot+ logb(n)

= logb(1times2times3timesmiddotmiddot middottimesn)

= logb(n)

I Το n (n παραγοντικό) δίνεται από n = 1times2timesmiddotmiddot middottimesn και0 = 1

I100sumi=1

log2(100) = log2(100) =log(100)

log(2)=

log(99)

log(2)+

2log(2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 49

Γινόμενο των ακολουθιώνIn

prodi=1xi = x1timesx2timesx3timesmiddotmiddot middottimesxn

In

prodi=1i = 1times2times3timesmiddotmiddot middottimesn= n

In

prodi=1z= ztimesztimesmiddotmiddot middottimesz= zn

I

nprodi=1

(1+

1i+1

)=(1+

12)times(1+

13)times(1+

14)times times(1+

1n )times(1+

1n+1)

=32 times

43 times

54 timesmiddotmiddot middottimes

n+1n times n+2

n+1

=n+22

Ε Ι Κοντογιώργης copy 50

Γεωμετρικές ΠροόδοιI Μια γεωμετρική πρόοδος είναι μια σειρά αριθμών όπου

κάθε όρος μετά των πρώτο υπολογίζεται από τονπολλαπλασιασμό του προηγούμενου όρου με ένασταθερό αριθμό που καλείται αναλογία

I Η σειρά1 3 9 27 81 middot middot middot

είναι μια γεωμετρική πρόοδος με πρώτο όρο το 1 καιαναλογία 3

I Η αναλογία μπορεί να είναι κλάσμα καθώς επίσης καιαρνητικός αριθμός Για παράδειγμα η γεωμετρικήπρόοδος με πρώτο όρο το 2 και αναλογία minus13 είναι

2 minus 23 +

29 minus

227 +

281 middot middot middot

Ε Ι Κοντογιώργης copy 51

I Γενικά μπορούμε να γράψουμε μια γεωμετρική πρόοδο ωςακολούθως

γεωμετρική πρόοδος a ar ar2 ar3 ar4 middot middot middot

όπου ο πρώτος όρος είναι a και η αναλογία r

I Σημαντικά θεωρήματα των γεωμετρικών προόδων (γπ)1 Ο n όρος μιας γπ δίνεται από ar(nminus1)

2 Το άθροισμα των πρώτων n όρων μιας γπ είναι

Sn =a(1minus rn)

1minus r =a(rnminus1)

rminus1 και ισχύει μόνο αν r 6= 1

I Το άθροισμα των όρων μιας γεωμετρικής προόδουονομάζεται γεωμετρική σειρά

Ε Ι Κοντογιώργης copy 52

Γεωμετρική σειρά

Sn = a+ar+ar2 +ar3 + middot middot middot+arnminus2 +arnminus1

rSn = ar+ar2 +ar3 + arnminus1 +arn

Snminus rSn = aminusarn

(1minus r)Sn = a(1minus rn)

Sn =a(1minus rn)

(1minus r) =a(rnminus1)

(rminus1)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 53

I Παράδειγμα1 Βρείτε το άθροισμα των πρώτων 10 όρων μιας γεωμετρικής

σειράς4 8 16 32

Ο πρώτος όρος είναι a= 4 και η αναλογία r = 2 καιn= 10 ´Ετσι

S10 =4(1minus210)

1minus2 = 4092

2 Θεωρείστε τη γπ4 minus8 16 minus32 64 minus128 256 minus512

Σε αυτή την περίπτωση ο πρώτος όρος είναι a= 4 ηαναλογία είναι r =minus2 και n= 8´Ετσι

S8 =4(1minus (minus2)8)

1minus (minus2)=minus340

Ε Ι Κοντογιώργης copy 54

Συνεχείς ανατοκισμός

Οι περισσότεροι τραπεζικοί λογαριασμοί και τα δάνειαυιοθετούν ανατοκισμό - εφαρμόζοντας συνεχή ανατοκισμόΘεωρείστε ένα λογαριασμό που προσφέρει τόκο με ετήσιοεπιτόκιο r (πχ 7) Εάν το επιτόκιο είναι συνεχέςσε χρονιαία βάση τότε μετά από 1 χρόνο το χρονιαίοεπιτόκιο προστίθεται στο αρχικό κεφάλαιο για νακαθορίσει ένα μεγαλύτερο κεφάλαιο τον δεύτερο χρόνο

´Ετσι κατά τη διάρκεια του δεύτερου χρόνου ολογαριασμός κερδίζει επιτόκιο πάνω στο επιτόκιοΑυτή είναι η επίδραση του ανατοκισμού που συνεχίζεταιχρόνο με το χρόνο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 55

I Με τον ετήσιο ανατοκισμό το κεφάλαιο πουσυσσωρεύεται στο λογαριασμό πολλαπλασιάζεται με

(1+ r)

´Ετσι το κεφάλαιο A θα αυξηθεί σε

A(1+ r) = A+A middot r

τον επόμενο χρόνο

I Με το πέρας και του δεύτερου χρόνου το κεφάλαιο θααυξηθεί ακόμα (1+ r) σε (1+ r)2

´Ετσι το κεφάλαιο καταλήγει σε

A(1+ r)(1+ r) = A(1+ r)2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 56

I Κατά παρόμοιο τρόπο στο τέλος του τρίτου χρόνου τοποσό θα αυξηθεί κατά (1+ r)3

I Μετά από n χρόνια το ποσό θα αυξηθεί κατά (1+ r)n

I ´Ετσι το κεφάλαιο (επένδυση) A θα αυξηθεί με συνεχήανατοκισμό σε A(1+ r)n μετά από n χρόνια

I Ο τύπος (1+ r)n εκθέτει γεωμετρική αύξηση λόγω τηςn δύναμης

Ε Ι Κοντογιώργης copy 57

ΠαραδείγματαI Εάν το επιτόκιο είναι r = 5 τότε το κεφάλαιοA= $1000 που βρίσκεται στην τράπεζα n= 20 χρόνιαθα αυξηθεί κατά

(1+ r)n = (1+005)20 = 2653 φορές

´Ετσι το ποσό θα καταλήξειA(1+ r)n = $265330

I Βρέστε το χρόνο που χρειάζεται για ένα λογαργιασμό ναδιπλασιάσει το διαθέσιμο κεφάλαιο του όταν r = 7 καιr = 10Ζητούμε να βρούμε το n έτσι ώστε

(1+ r)n = 2Ε Ι Κοντογιώργης copy 58

I Υπολογίζοντας το λογάριθμο του τελευταίου παίρνουμε

log(1+ r)n = log(2)ή n log(1+ r) = log(2)

´Ετσιn=

log2log(1+ r)

I Για r = 7 και r = 10 ο χρόνος n πουχρειάζεται για διπλασιασμό της επένδυσης υπολογίζεταισε 1024 και 727 αντίστοιχα

Ε Ι Κοντογιώργης copy 59

I Αν το επιτόκιο είναι r = 7 τότε πιο θα είναι τοσυνολικό ποσό στο λογαριασμό μετά από 205 και41 χρόνια αντίστοιχα

Μετά τα πρώτα 1025 χρόνια το ποσό A θαδιπλασιαστεί σε 2A Για τα επόμενα 1025 χρόνιατο ποσό θα ξαναδιπλασιαστεί σε 4A ´Ετσι μετά από205 χρόνια το ποσό θα αυξηθεί κατά 4 φορές

Με το πέρας ακόμα 205 χρόνων το ποσό θα αυξηθείακόμα 4 φορές σε 16 ´Ετσι μετά από 41 χρόνιατο κεφάλαιο A γίνεται 16A

Ε Ι Κοντογιώργης copy 60

Ασκήσεις και Παραδείγματα

I Υπολογίστε τη Μελλοντική Αξία (Future Value (FV)) τουκεφαλαίου A= 1500 που κερδίζει ετήσιο επιτόκιοr = 5 για n= 10 έτη

FV =A(1+ r)n = 1500(1+005)10 = 244334

I Πόσα έτη απαιτούνται για να τριπλασιαστεί ένα ποσόπου αφήνετε στην τράπεζα με επιτόκιο r = 5∆ηλαδή βρείτε το n όπου A= 1 r = 5 και FV = 3

FV =A(1+ r)n ή (1+ r)n =FVA

Ε Ι Κοντογιώργης copy 61

Υπολογίζοντας τους λογαρίθμους παίρνουμε

log(1+ r)n = log(FVA)

ή n log(1+ r) = log(FVA)

´Ετσι

n=log(FVA)

log(1+ r) =log(3)

log(105)

= 2252

Ε Ι Κοντογιώργης copy 62

I Βρείτε την παρούσα αξία A έτσι ώστε σε δέκα έτη μεσταθερό επιτόκιο r = 6 να είναι 100KΒρείτε το A όπου FV = 100000 r = 6 και n= 10

FV =A(1+ r)n ή A=FV

(1+ r)n

´Ετσι A=100000

(106)10= 5583948

I Βρείτε την ετησιοποιημένη απόδοση (AER AnnualEquivalent Rate) μιας μηνιαίας κατάθεσης με σταθερόεπιτοκίο 394 Μια τέτοια κατάθεση λαμβάνει το επιτόκιο στη λήξηΣυνεπώς κάθε μήνα ο λογαριασμός λαμβάνει

r = 0039412 = 000328

επιτόκιο που επανεπενδύεται (συνεχής ανατοκισμός)Ε Ι Κοντογιώργης copy 63

Επανεπενδύοντας το επιτόκιο κάθε μήνα στη διάρκειαενός έτους το κεφάλαιο θα αυξηθεί σε

(1+ r)12 = (1+000328)12 = 104012

´Ετσι το ΑΕΡ είναι ισοδύναμο με 004012 = 4012I Υπολογίστε το επιτόκιο ενός σταθερού λογαριασμού

κατάθεσης 7-ημερών που έχει AER επιτόκιο r = 425Θεωρείστε ρ το εβδομαδιαίο επιτόκιο

´Ετσι (1+ρ)52 = (1+00425)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 64

Παίρνοντας τους λογαρίθμους έχουμε52log(1+ρ) = log10425

ή log(1+ρ) =log10425

52

ή 1+ρ= 10( log10425

52)

Αυτό μας δίνει

ρ= 10

( log1042552

)minus1 = 008

´Ετσι το συνεχές επιτόκιο μιας επταήμερης κατάθεσης είναιρtimes52 = 41638

Εναλλακτικά (1+ρ)52 = (1+00425) δίνει

(1+ρ) =52radic10425ή ρ=

52radic10425minus = 008Ε Ι Κοντογιώργης copy 65

I Υπολογίστε την ετήσια απόδοση r έτσι ώστε A= 10000να επιστρέφει FV = 35000 σε n= 20 χρόνια

FV =A(1+ r)n ή (1+ r)n =FVA

´Ετσι

1+ r =nradic

FVA

Επομένως

r =nradic

FVA minus1 =

20radic

3500010000 minus1 = 00646 = 646

Ε Ι Κοντογιώργης copy 66

Εναλλακτικά παίρνοντας τους λογαρίθμους

log(1+ r)n = log(FVA) ή n log(1+ r) = log

(FVA)

´Ετσι

1+ r = 10(1n log

(FVA))

ή r = 10(1n log

(FVA))minus1

= 10( 120 log

(3500010000

))minus1

= 646

Ε Ι Κοντογιώργης copy 67

Γραφική Αναπαράσταση I

I Υποθέστε ότι έχουμε y= 3x+2 Καθώς έχουμε μόνο μιαδύναμη για το x πρέπει να λύσουμε γραμμική εξίσωσηκαι να σχεδιάσουμε μια ευθεία γραμμή Αρχικά θα πρέπεινα σχεδιάσουμε ένα T-chart Αυτό έχει τη μορφή

x y = 3x+2 (xy)

I Επιλέγουμε μια τιμή για το x και λύνουμε ως προς y

x y= 3x+2 (xy)minus2 minus4 (minus2minus4)0 2 (02)2 8 (28)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 68

Γραφική Αναπαράσταση II

-

6

X

Y

bull

bull

bull

I Βλέπουμε μια ευθεία με ανοδική τάση (έχοντας θετικήκλίση m= 3) καιτέμνει τον άξονα y στο σημείο y= 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 69

Γραφική Αναπαράσταση III

I Μια Τετραγωνική εξίσωση περιέχει x2 Για τηναναπαράσταση τετραγωνικών εξισώσεων χρειάζεται ναβρούμε περισσότερα από τρία σημεία στο σχεδιάγραμμα

Για παράδειγμα υποθέστε ότι y= x2minus6x+5 καιδίνεται το πιο κάτω T-chart

x y= x2minus6x+5 (xy)0 5 (05)1 0 (10)3 minus4 (3minus4)5 0 (50)6 5 (65)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 70

Γραφική Αναπαράσταση IV

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

-

6

X

Y

bull

bull

bull

bull

bull

Ε Ι Κοντογιώργης copy 71

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(1x + 2)

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(-3x + 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 72

-15

-10

-5

0

5

10

15

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(3x - 2)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 73

-20

0

20

40

60

80

100

120

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2+x)

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 74

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

1250

1500

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3+x2+x)

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x4)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 75

-25

-2

-15

-1

-05

0

05

1

15

2

25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(log(x))

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(x))

Ε Ι Κοντογιώργης copy 76

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(-x))

-5000

0

5000

10000

15000

20000

25000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(exp(x)+x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 77

Ανισότητες I

I Οι ανισότητες αποτελούνται από δύο ή τρεις αλγεβρικέςεκφράσεις που είναι συνδεδεμένες με τα σύμβολαανισότητας Τα σύμβολα αυτά είναι

lt μικρότερο τουgt μεγαλύτερο τουle μικρότερο ή ίσο τουge μεγαλύτερο ή ίσο του

I Παραδείγματα xgty yge x2 και ylt5x+1

I Το πρώτο βήμα για την αναπαράσταση ανισότητας τηςμορφής ygtx είναι να παραστήσουμε γραφικά τηνισότητα y= x

Ε Ι Κοντογιώργης copy 78

Ανισότητες II

I ygtx

Κάνετε δοκιμή με ένα σημείο να δείτε κατά πόσοικανοποιεί την ανισότητα Εάν ναι τότε σκιάστε τηνπεριοχή αυτή του σχεδιαγράμματος διαφορετικά σκιάστετην άλλη πλευρά

Ε Ι Κοντογιώργης copy 79

Ανισότητες III

I yltx

Ε Ι Κοντογιώργης copy 80

Ανισότητες IV

I yle 5x+1 και ygt5x+1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 81

Ανισότητες V

I yge x2 και yle x2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 82

Ανισότητες VI

I ygtx3 και yle x3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 83

Συστήματα Γραμμικών ΕξισώσεωνΠεριεχόμενα

1 Ε

2 Γ Α

ΑναφορέςΚεφάλαια 4 και 5FS Budnick Applied Mathematics for Business Economicsand the Social Sciences 4th edition McGraw-Hill 1993

Ε Ι Κοντογιώργης copy 84

Συστήματα Εξισώσεων

I ´Ενα σύστημα εξισώσεων συνδυάζει περισσότερες από μίαεξισώσεις

I ´Ενα σύστημα m εξισώσεων όπου κάθε εξίσωσηαποτελείται από n μεταβλητές ονομάζεται mtimesnσύστημα ή λέμε ότι έχει διαστάσεις mtimesn

I ΠαράδειγμαΠαρακάτω έχουμε ένα σύστημα 2times2

5X+10Y= 203X+4Y= 10

Οι μεταβλητές σε αυτή την περίπτωση είναι X και YΕ Ι Κοντογιώργης copy 85

Συστήματα Επίλυσης

I Το Σύστημα επίλυσης είναι μια σειρά τιμών μεταβλητώνπου ικανοποιούν το σύστημα ταυτόχρονα

I Σε μια σημειογραφική παράσταση το προηγούμενοπαράδειγμα μπορεί να γραφτεί ως εξής

S = (XY) | 5X+10Y = 20 και 3X+4Y = 10

I Το σύστημα επίλυσης μπορεί να είναι1 μηδενικό2 πεπερασμένο ή3 άπειρο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 86

2times2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική Ανάλυση

I Σε ένα δισδιάστατο γράφημα ένα σύστημα εξισώσεων2times2 αναπαρίστανται με ευθείες γραμμές Υπόρχουν τρίαενδεχόμενα

1 Οι ευθείες τέμνονται Το σημείο τομής αντιπροσωπεύει τηλύση του συστήματος εξισώσεων Αυτό το σημείοαλληλεπίδρασης είναι μια δέσμη τιμών X και Y που ικανοποιείκαι τις δύο εξισώσειςΕάν υπάρχει μόνο μια δέσμη τιμών για τις μεταβλητές που ναικανοποιεί το σύστημα εξισώσεων το σύστημα λέμε ότι έχειΜ Λ

2 Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες μεταξύ τους ∆εν έχουν κοινόσημείο Συνεπώς οι ευθείες δεν τέμνονται ποτέ Το σύστημαλέμε ότι ∆ ΛΑυτό υπονοεί ότι δεν υπάρχουν τιμές για τις μεταβλητές πουνα ικανοποιούν και τις δύο εξισώσεις Σε αυτή τηνπερίπτωση οι εξισώσεις στο σύστημα είναι Α

3 Και οι δύο εξισώσεις αναπαρίστανται ως μια κοινή ευθεία καιθεωρούνται ισοδύναμες εξισώσεις ´Ετσι το σύστημα έχειΑ Λ Αυτό συμβαίνει γιατί υπάρχει άπειροςαριθμός κοινών σημείων στις δύο γραμμές

Ε Ι Κοντογιώργης copy 87

I Π Θεωρείστε ένα σύστημα 2times22X+4Y= 203X+ Y= 10

I

X

Y

(24)

3X +Y = 10

2X +4Y = 20

0 2 4 6 8 10 12

2

4

6

8

10

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 88

I Το σημείο τομής δίνεται από το X= 2 και Y= 4Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές του X και Y στις δύοεξισώσεις δίνουν 20 = 20 και 10 = 10 αντίστοιχα

I Αυτό υποδειλώνει ότι X= 2 και Y= 4 είναι η σωστή λύση

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times23Xminus2Y= 6

minus15X+10Y=minus30

I

X

Y

(20)

(0minus3)

3X minus2Y = 6

minus15X +10Y =minus30

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 89

I Οι δύο εξισώσεις απλοποιούνται σε Xminus 23 Y= 2

Οι δύο εξισώσεις είναι ισοδύναμες και δίνουν έναπεπερασμένο αριθμό λύσεων έτσι ώστε

X= 0 Y =minus3X= 2 Y = 0X= 4 Y = 3

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times26Xminus12Y= 24

minus32X+3Y= 9

Οι εξισώσεις απλοποιούνται σεXminus2Y= 4Xminus2Y=minus6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 90

I

X

Y

(40)

(0minus2)

(minus60)

(03)

X minus2Y =minus6

X minus2Y = 4

0-0

I Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες και συνεπώς το σύστημαδεν έχει λύση ´Ετσι το σύστημα εξισώσεων είναιασύμπτωτο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 91

Περίληψη 2times2 Συστήματα Εξισώσεων∆ίνεται ένα Σύστημα Γραμμικών Εξισώσεων 2times2

Y=m1X+ c1Y=m2X+ c2

1 Υπάρχει μια στο σύστημα εάνm1 6= m2

2 ∆εν υπάρχει στο σύστημα εάνm1 = m2 και c1 6= c2

3 Υπάρχει εάνm1 = m2 και c1 = c2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 92

∆ιαδικασίες Απαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής χρησιμοποιεί πολλαπλασιασμόκαι πρόσθεση έτσι ώστε

1 Να απαλοιφεί μια από τις δύο μεταβλητές

2 Η εξίσωση που εξάγεται είναι συνάρτηση των υπόλοιπωνμεταβλητών

3 Αντικαθιστώντας την τιμή στην μεταβλητή σε μια από τιςαρχικές εξισώσεις βρίσκουμε την τιμή για τηναπολοιφθήσα μεταβλητή

Ε Ι Κοντογιώργης copy 93

ΠαραδείγματαI Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

2X +4Y = 20 (1)3X + Y = 10 (2)

Πολλαπλασιάζοντας τη δεύτερη εξίσωση με minus4 παίρνουμε

minus12X minus4Y =minus40 (3)

Προσθέτοντας την εξίσωση (1) στο (3)

2X + 4Y = 20minus12X minus 4Y = minus40minus10X = minus20

ή

X = 2 (4)Ε Ι Κοντογιώργης copy 94

Αντικαθιστώντας X= 2 στην εξίσωση (1) δίνεται2 middot2+4Y = 20 ή Y=4

´Ετσι η μοναδική λύση του συστήματος δίνεται από τοX= 2 και Y= 4 Μπορεί να επιβεβαιωθεί ότι αυτή είναι ησωστή λύση αντικαθιστώντας X= 2 και Y= 4 στηνεξίσωση (1) και (2)

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times23X minus2Y = 6 (5)

minus15X +10Y =minus30 (6)

Για την απαλοιφή της μεταβλητής X η εξίσωση (5)πολλαπλασιάζεται με 5 και το αποτέλεσμα προστίθεταιστην εξίσωση (6)

15X minus 10Y = 30minus15X + 10Y = minus30

0 = 0 Ε Ι Κοντογιώργης copy 95

Οι τελευταίες πράξεις υπονοούν ότι οι εξίσωσεις (5) και(6) είναι ισοδύναμες και έτσι υπάρχει άπειρος αριθμόςλύσεωνΓια να προσδιορίσουμε τις λύσεις του συστήματος μια απότις αρχικές εξισώσεις λύνεται ως προς μια μεταβλητή Ανγια παράδειγμα η εξίσωση (5) λύνεται ως προς Y δίνει

Y =32Xminus3

Σαν αποτέλεσμα γενικεύοντας τις λύσεις του συστήματοςέχουμε

X τυχαίο και Y =32Xminus3

Πχ για X= 4 υπονοείται ότι Y=32 middot4minus3 = 3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 96

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

6X minus12Y = 24 (7)

minus32X +3Y = 9 (8)

Πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση (8) με 4 καιπροσθέτοντας το αποτέλεσμα στην εξίσωση (7)παίρνουμε

6X minus 12Y = 24minus6X + 12Y = 36

0 = 60

Η πιο πάνω αντιλογία υπονοεί ότι δεν υπάρχει λύση τουσυστήματος εξισώσεων

Ε Ι Κοντογιώργης copy 97

3times2 Συστήματα Εξισώσεων I

1 Μ Λ

X

Y

(32)

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minusY = 1

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 98

3times2 Συστήματα Εξισώσεων II

2 Α Λ

X

Y Εξις (1)Εξις (2)Εξις (3)

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 99

3times2 Συστήματα Εξισώσεων III3 Κ

(α) ´Οταν και οι τρεις εξισώσεις είναι παράλληλες

X

Y

2X minusY =minus8

2X minusY = 2

2X minusY = 12

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 100

3times2 Συστήματα Εξισώσεων IV(β) ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ τωνεξισώσεων

X

Y

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minus2Y =minus4

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 101

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική ΑνάλυσηΣε ένα γράφημα 2 διαστάσεων ένα σύστημα mtimes2(mgt2) εξισώσεων παριστάνεται με m ευθείες ´Οπωςσυμβαίνει στα συστήματα 2times2 υπάρχουν τρίαενδεχόμενα

1 ´Ολες οι ευθείες τέμνονται στο ίδιο σημείο και έτσιυπάρχει

2 ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ των mεξισώσεων Αυτό σημαίνει ότι όλες οι ευθείες είναιπαράλληλες Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα Λ

3 Οι m εξισώσεις είναι ισοδύναμες πχ παρασταίνονται σανμια ευθεία Σε αυτή την περίπτωση υπάρχει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 102

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων ∆ιαδικασίαΑπαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής για την επίλυση ενός συστήματοςmtimes2 μπορεί να περιγραφεί ως ακολούθωςΕπιλέξτε και λύστε σύστημα με δύο εξισώσεις

1 Εάν δεν υπάρχει λύση τότε ολόκληρο το σύστημα δεν έχειλύση

2 Εάν υπάρχει μοναδική λύση που ικανοποιεί τις υπόλοιπεςmminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα έχει μία μοναδική λύση

3 Εάν η λύση είναι μοναδική αλλά δεν ικανοποιεί τιςυπόλοιπες mminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα δεν έχει λύση

4 Εάν οι 2 λύσεις είναι ισοδύναμες απάλοιψτε τη μίααπό τις δύο εξισώσεις και ξεκινήστε από την αρχήλαμβάνοντας υπόψη ένα σύστημα (mminus1)times2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 103

ΠαράδείγμαI Θεωρείστε ένα σύστημα 5times2

XminusY= 1X+2Y=minus8

3Xminus2Y= 02Xminus5Y= 11minus4X+3Y=minus1

I Η λύση των πρώτων δύο εξισώσεων δίνετε απόY =minus3 και X =minus2

I Αντικαθιστώντας τη λύση στις υπόλοιπες τρεις εξισώσειςπαίρνετε αντίστοιχα

0 = 0 11 = 11 και minus1 =minus1I Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση

X=minus2 και Y=minus3Ε Ι Κοντογιώργης copy 104

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian

Η μέθοδος απολοιφής Gaussian μετατρέπει το αρχικόσύστημα εξισώσεων σε διαγώνια μορφή επαναλαμβάνονταςστις εξισώσεις τις ακόλουθες τρεις διαδικασίες

1 Πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης μεμια θετική σταθερά

2 Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού θα προστεθεί σεάλλη εξίσωση

3 Η σειρά των εξισώσεων μπορεί να αλλάξει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 105

ΠαράδείγμαΠ Θεωρείστε το σύστημα 2times2

2X minus 3Y = 7 (Εξ 1)X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με 12 για να πάρετε

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με minus1 καιπροσθέστε την στην (Εξ 2)

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

52Y =

152 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 106

Στάδιο 3 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 25

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

Y = 3 (Εξ 2)

Στάδιο 4 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 32 και

προσθέστε την στην (Εξ 1)

X = 1 (Εξ 1)Y = 3 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 107

Π Θεωρείστε το σύστημα 2times2

5X + 20Y = 254X minus 7Y =minus26

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να εκφραστεί ως

R1 5 20 25R2 4 minus7 minus26

Η κάθετη γραμμή χρησιμοποιείται για διαχωρισμό τηςαριστερής από τη δεξιά πλευρά των εξισώσεων Το Riυπονοεί τη γραμμή (Row) i

Ε Ι Κοντογιώργης copy 108

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάζουμε τη R1 με 15 και το θέτουμε

R1larr 15R1

R1 1 4 5R2 4 minus7 minus26

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάζουμε την R1 με minus4 και τηνπροσθέτουμε στην R2 Εν συντομίαR2larrminus4R1+R2

R1 1 4 5R2 0 minus23 minus46

Στάδιο 3 R2larrminus 123R2

R1 1 4 5R2 0 1 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 109

Στάδιο 4 R1larrminus4R2+R1

R1 1 0 minus3R2 0 1 2

Το αρχικό σύστημα εξισώσεων μετατρέπεται σε διαγώνιαμορφή όπως πιο κάτω

X =minus3Y = 2

το οποίο δίνει τη λύση του συστήματος

Ε Ι Κοντογιώργης copy 110

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 I

Το σύστημα εξισώσεων 3times3 μετετρέπεται σε διαγώνιαμορφή Η μετατροπή γίνεται στήλη με στήλη από τααριστερά προς τα δεξιά

Π Θεωρήστε το σύστημα 3times3

X1 + X2 + X3 = 2X1 minus 3X2 + 2X3 = 7

4X1 minus 2X2 minus X3 = 9

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να γραφτεί ως

Ε Ι Κοντογιώργης copy 111

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 II

1 1 1 21 minus3 2 74 minus2 minus1 9

Ε Ι Κοντογιώργης copy 112

I Το lsquolsquoSigmarsquorsquo Σ είναι γνωστό ως το άθροισμα (summation) ήσύμβολο σίγμα (sigma operator) και ο δείκτης i όνομάζεταιεικονική μεταβλητή

I Παραδείγματα

I

5sum

i = 1xi = x1 +x2 +x3 +x4 +x5

I

5sum

i = 1(y2

i ) = y21 +y22 +y23 +y24 +y25

Σημειώστε ότι η μόνη μεταβλητή που περιγράφεται απευθείαςκάτω από το σύμβολο Σ αυξάνεται κατά 1 κάθε φορά ενώ όλατα άλλα σύμβολα παραμένουν τα ίδια

I

4sum

r = 1(x3r ) = x31 +x32 +x33 +x34

Ε Ι Κοντογιώργης copy 38

I6sum

i = 1i = 1+2+3+4+5+6

I6sum

i = 1i2 = 12 +22 +32 +42 +52 +62

I7sum

i = 3xi = x3 +x4 +x5 +x6 +x7

I4sum

i = 1a = a+a+a+a= 4a

I3sum

i = 1(4+xi) = (4+x1) + (4+x2) + (4+x3)

=3sum

i = 14+

3sum

i = 1xi

Ε Ι Κοντογιώργης copy 39

I3sum

i = 1(2xi) = (2x1) + (2x2) + (2x3) = 2times

3sum

i = 1xi

I Ο συντελεστής i παραλείπεται εάν δε προκαλείαοριστία Για παράδειγμα Σx ή Σixi σημαίνειάθροισμα όλων των x που λαμβάνονται υπόψη

I ∆ήλωσηI

nsumi=1a= na

I sumiaxi = asum

ixi

I sumi

(axi+byi) = asumixi +bsum

iyi

Ε Ι Κοντογιώργης copy 40

I Αθροιστικός Τύπος

Insum

i = 1i = 1+2+ middot middot middot+n=

n(n+1)

2

Πχ6sumi = 1i = 1+2+3+4+5+6 =

6(6+1)

2 = 21

Insum

i = 1i2 = 12 +22 + middot middot middot+n2 =

n(n+1)(2n+1)

6

Πχ6sumi = 1i2 = 12 +22 +32 +42 +52 +62

=6(6+1)(12+1)

6 = 91

Ε Ι Κοντογιώργης copy 41

Insum

i = 1i3 = 13 +23 + middot middot middot+n3 =

n2(n+1)2

4

Πχ6sumi = 1i3 = 13 +23 +33 +43 +53 +63

=62(6+1)2

4 = 441

Ε Ι Κοντογιώργης copy 42

ΠαραδήγματαΑριθμητική Πρόοδος

I Γενικά μπορούμε να εκφράσουμε μια αριθμητική πρόοδο ωςεξής

αριθμητική πρόοδος a a+d a+2d a+3d

όπου ο πρώτος όρος είναι a και η διαφορά d Ο όρος nτης απ δίνεται από τη σχέση b = a+ (nminus1)d

I 3 5 7 9 11 είναι μια αριθμητική πρόοδος Οπρώτος όρος είναι το 3 και η διαφορά είναι 2

I 2 minus1 minus4 minus7 είναι μια αριθμητική πρόοδος όπου οπρώτος όρος είναι 2 και η διαφορά minus3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 43

I Το άθροισμα των όρων μιας αριθμητικής προόδου είναιγνωστό ως αριθμητική σειρά

Sn = a+ (a+d) + (a+2d) + middot middot middot+ (a+ (nminus1)d)

=nsumi=1

(a+ (iminus1)d

)= na+

nsumi=1

(iminus1)d

= na+dnminus1sumi=1

i = na+d(nminus1)n2

=n2(2a+d(nminus1)) =

n2(a+b) b = a+d(nminus1)

I ΑΠ 3 5 7 9 11 13 rArr Sn =62(3+13) = 48

Ε Ι Κοντογιώργης copy 44

∆ιπλό Αθροισμα4sumi=1

isumj=1

j = (1) + (1+2) + (1+2+3) + (1+2+3+4) = 20

nsumi=1

isumj=1

j =nsumi=1

( isumj=1

j)

nsumi=1

(12 i(i+1)

)=

12

nsumi=1

(i2 + i)

12( nsumi=1

i2 +nsumi=1

i)

=12(16n(n+1)(2n+1) +

12n(n+1)

)

=12

16n(n+1)

((2n+1) +3

)=

n6(n+1)(n+2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 45

∆ιπλό Αθροισμα

nsumi=1

msumj=1

(i+ j+2) =nsumi=1

( msumj=1

(i+ j+2))

nsumi=1

( msumj=1

i+msumj=1

j+msumj=1

2)

=nsumi=1

(mi+ 1

2m(m+1) +2m)

m( nsumi=1

i+ 12

nsumi=1

(m+5))

= m(12n(n+1) +

12n(m+5)

)

=mn2(m+n+6

)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 46

Insumr=1

1r(r+1)

=nsumr=1

(Ar +

Br+1

)=

nsumr=1

A(r+1) +Brr(r+1)

I A(r+1) +Br = 1

I Για r = 0 τότε A= 1 και για r =minus1 τότε B=minus1

I

nsumr=1

1r(r+1)

=nsumr=1

(1r minus

1r+1

)

=(

(11 minus

12) + (

12 minus

13) + (

13 minus

14) + middot middot middot+ (

1nminus1 minus

1n ) + (

1n minus

1n+1)

)

= 1minus 1n+1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 47

Insumk=1

1(k+2)(k+3)

=nsumk=1

( A(k+2)

+B

(k+3)

)=

nsumk=1

A(k+3) +B(k+2)

(k+2)(k+3)

I A(k+3) +B(k+2) = 1

I Για k=minus2 τότε A= 1 και για k=minus3 τότε B=minus1

I

nsumk=1

1(k+2)(k+3)

=nsumk=1

( 1(k+2)

minus 1(k+3)

)

=(

(13 minus

14)+(

14 minus

15)+(

15 minus

16)+ +(

1n+1 minus

1n+2)+(

1n+2 minus

1n+3)

)

=13 minus

1n+3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 48

Αθροισμα με Λογάριθμους

nsumi=1

logb(i) = logb(1) + logb(2) + middot middot middot+ logb(n)

= logb(1times2times3timesmiddotmiddot middottimesn)

= logb(n)

I Το n (n παραγοντικό) δίνεται από n = 1times2timesmiddotmiddot middottimesn και0 = 1

I100sumi=1

log2(100) = log2(100) =log(100)

log(2)=

log(99)

log(2)+

2log(2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 49

Γινόμενο των ακολουθιώνIn

prodi=1xi = x1timesx2timesx3timesmiddotmiddot middottimesxn

In

prodi=1i = 1times2times3timesmiddotmiddot middottimesn= n

In

prodi=1z= ztimesztimesmiddotmiddot middottimesz= zn

I

nprodi=1

(1+

1i+1

)=(1+

12)times(1+

13)times(1+

14)times times(1+

1n )times(1+

1n+1)

=32 times

43 times

54 timesmiddotmiddot middottimes

n+1n times n+2

n+1

=n+22

Ε Ι Κοντογιώργης copy 50

Γεωμετρικές ΠροόδοιI Μια γεωμετρική πρόοδος είναι μια σειρά αριθμών όπου

κάθε όρος μετά των πρώτο υπολογίζεται από τονπολλαπλασιασμό του προηγούμενου όρου με ένασταθερό αριθμό που καλείται αναλογία

I Η σειρά1 3 9 27 81 middot middot middot

είναι μια γεωμετρική πρόοδος με πρώτο όρο το 1 καιαναλογία 3

I Η αναλογία μπορεί να είναι κλάσμα καθώς επίσης καιαρνητικός αριθμός Για παράδειγμα η γεωμετρικήπρόοδος με πρώτο όρο το 2 και αναλογία minus13 είναι

2 minus 23 +

29 minus

227 +

281 middot middot middot

Ε Ι Κοντογιώργης copy 51

I Γενικά μπορούμε να γράψουμε μια γεωμετρική πρόοδο ωςακολούθως

γεωμετρική πρόοδος a ar ar2 ar3 ar4 middot middot middot

όπου ο πρώτος όρος είναι a και η αναλογία r

I Σημαντικά θεωρήματα των γεωμετρικών προόδων (γπ)1 Ο n όρος μιας γπ δίνεται από ar(nminus1)

2 Το άθροισμα των πρώτων n όρων μιας γπ είναι

Sn =a(1minus rn)

1minus r =a(rnminus1)

rminus1 και ισχύει μόνο αν r 6= 1

I Το άθροισμα των όρων μιας γεωμετρικής προόδουονομάζεται γεωμετρική σειρά

Ε Ι Κοντογιώργης copy 52

Γεωμετρική σειρά

Sn = a+ar+ar2 +ar3 + middot middot middot+arnminus2 +arnminus1

rSn = ar+ar2 +ar3 + arnminus1 +arn

Snminus rSn = aminusarn

(1minus r)Sn = a(1minus rn)

Sn =a(1minus rn)

(1minus r) =a(rnminus1)

(rminus1)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 53

I Παράδειγμα1 Βρείτε το άθροισμα των πρώτων 10 όρων μιας γεωμετρικής

σειράς4 8 16 32

Ο πρώτος όρος είναι a= 4 και η αναλογία r = 2 καιn= 10 ´Ετσι

S10 =4(1minus210)

1minus2 = 4092

2 Θεωρείστε τη γπ4 minus8 16 minus32 64 minus128 256 minus512

Σε αυτή την περίπτωση ο πρώτος όρος είναι a= 4 ηαναλογία είναι r =minus2 και n= 8´Ετσι

S8 =4(1minus (minus2)8)

1minus (minus2)=minus340

Ε Ι Κοντογιώργης copy 54

Συνεχείς ανατοκισμός

Οι περισσότεροι τραπεζικοί λογαριασμοί και τα δάνειαυιοθετούν ανατοκισμό - εφαρμόζοντας συνεχή ανατοκισμόΘεωρείστε ένα λογαριασμό που προσφέρει τόκο με ετήσιοεπιτόκιο r (πχ 7) Εάν το επιτόκιο είναι συνεχέςσε χρονιαία βάση τότε μετά από 1 χρόνο το χρονιαίοεπιτόκιο προστίθεται στο αρχικό κεφάλαιο για νακαθορίσει ένα μεγαλύτερο κεφάλαιο τον δεύτερο χρόνο

´Ετσι κατά τη διάρκεια του δεύτερου χρόνου ολογαριασμός κερδίζει επιτόκιο πάνω στο επιτόκιοΑυτή είναι η επίδραση του ανατοκισμού που συνεχίζεταιχρόνο με το χρόνο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 55

I Με τον ετήσιο ανατοκισμό το κεφάλαιο πουσυσσωρεύεται στο λογαριασμό πολλαπλασιάζεται με

(1+ r)

´Ετσι το κεφάλαιο A θα αυξηθεί σε

A(1+ r) = A+A middot r

τον επόμενο χρόνο

I Με το πέρας και του δεύτερου χρόνου το κεφάλαιο θααυξηθεί ακόμα (1+ r) σε (1+ r)2

´Ετσι το κεφάλαιο καταλήγει σε

A(1+ r)(1+ r) = A(1+ r)2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 56

I Κατά παρόμοιο τρόπο στο τέλος του τρίτου χρόνου τοποσό θα αυξηθεί κατά (1+ r)3

I Μετά από n χρόνια το ποσό θα αυξηθεί κατά (1+ r)n

I ´Ετσι το κεφάλαιο (επένδυση) A θα αυξηθεί με συνεχήανατοκισμό σε A(1+ r)n μετά από n χρόνια

I Ο τύπος (1+ r)n εκθέτει γεωμετρική αύξηση λόγω τηςn δύναμης

Ε Ι Κοντογιώργης copy 57

ΠαραδείγματαI Εάν το επιτόκιο είναι r = 5 τότε το κεφάλαιοA= $1000 που βρίσκεται στην τράπεζα n= 20 χρόνιαθα αυξηθεί κατά

(1+ r)n = (1+005)20 = 2653 φορές

´Ετσι το ποσό θα καταλήξειA(1+ r)n = $265330

I Βρέστε το χρόνο που χρειάζεται για ένα λογαργιασμό ναδιπλασιάσει το διαθέσιμο κεφάλαιο του όταν r = 7 καιr = 10Ζητούμε να βρούμε το n έτσι ώστε

(1+ r)n = 2Ε Ι Κοντογιώργης copy 58

I Υπολογίζοντας το λογάριθμο του τελευταίου παίρνουμε

log(1+ r)n = log(2)ή n log(1+ r) = log(2)

´Ετσιn=

log2log(1+ r)

I Για r = 7 και r = 10 ο χρόνος n πουχρειάζεται για διπλασιασμό της επένδυσης υπολογίζεταισε 1024 και 727 αντίστοιχα

Ε Ι Κοντογιώργης copy 59

I Αν το επιτόκιο είναι r = 7 τότε πιο θα είναι τοσυνολικό ποσό στο λογαριασμό μετά από 205 και41 χρόνια αντίστοιχα

Μετά τα πρώτα 1025 χρόνια το ποσό A θαδιπλασιαστεί σε 2A Για τα επόμενα 1025 χρόνιατο ποσό θα ξαναδιπλασιαστεί σε 4A ´Ετσι μετά από205 χρόνια το ποσό θα αυξηθεί κατά 4 φορές

Με το πέρας ακόμα 205 χρόνων το ποσό θα αυξηθείακόμα 4 φορές σε 16 ´Ετσι μετά από 41 χρόνιατο κεφάλαιο A γίνεται 16A

Ε Ι Κοντογιώργης copy 60

Ασκήσεις και Παραδείγματα

I Υπολογίστε τη Μελλοντική Αξία (Future Value (FV)) τουκεφαλαίου A= 1500 που κερδίζει ετήσιο επιτόκιοr = 5 για n= 10 έτη

FV =A(1+ r)n = 1500(1+005)10 = 244334

I Πόσα έτη απαιτούνται για να τριπλασιαστεί ένα ποσόπου αφήνετε στην τράπεζα με επιτόκιο r = 5∆ηλαδή βρείτε το n όπου A= 1 r = 5 και FV = 3

FV =A(1+ r)n ή (1+ r)n =FVA

Ε Ι Κοντογιώργης copy 61

Υπολογίζοντας τους λογαρίθμους παίρνουμε

log(1+ r)n = log(FVA)

ή n log(1+ r) = log(FVA)

´Ετσι

n=log(FVA)

log(1+ r) =log(3)

log(105)

= 2252

Ε Ι Κοντογιώργης copy 62

I Βρείτε την παρούσα αξία A έτσι ώστε σε δέκα έτη μεσταθερό επιτόκιο r = 6 να είναι 100KΒρείτε το A όπου FV = 100000 r = 6 και n= 10

FV =A(1+ r)n ή A=FV

(1+ r)n

´Ετσι A=100000

(106)10= 5583948

I Βρείτε την ετησιοποιημένη απόδοση (AER AnnualEquivalent Rate) μιας μηνιαίας κατάθεσης με σταθερόεπιτοκίο 394 Μια τέτοια κατάθεση λαμβάνει το επιτόκιο στη λήξηΣυνεπώς κάθε μήνα ο λογαριασμός λαμβάνει

r = 0039412 = 000328

επιτόκιο που επανεπενδύεται (συνεχής ανατοκισμός)Ε Ι Κοντογιώργης copy 63

Επανεπενδύοντας το επιτόκιο κάθε μήνα στη διάρκειαενός έτους το κεφάλαιο θα αυξηθεί σε

(1+ r)12 = (1+000328)12 = 104012

´Ετσι το ΑΕΡ είναι ισοδύναμο με 004012 = 4012I Υπολογίστε το επιτόκιο ενός σταθερού λογαριασμού

κατάθεσης 7-ημερών που έχει AER επιτόκιο r = 425Θεωρείστε ρ το εβδομαδιαίο επιτόκιο

´Ετσι (1+ρ)52 = (1+00425)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 64

Παίρνοντας τους λογαρίθμους έχουμε52log(1+ρ) = log10425

ή log(1+ρ) =log10425

52

ή 1+ρ= 10( log10425

52)

Αυτό μας δίνει

ρ= 10

( log1042552

)minus1 = 008

´Ετσι το συνεχές επιτόκιο μιας επταήμερης κατάθεσης είναιρtimes52 = 41638

Εναλλακτικά (1+ρ)52 = (1+00425) δίνει

(1+ρ) =52radic10425ή ρ=

52radic10425minus = 008Ε Ι Κοντογιώργης copy 65

I Υπολογίστε την ετήσια απόδοση r έτσι ώστε A= 10000να επιστρέφει FV = 35000 σε n= 20 χρόνια

FV =A(1+ r)n ή (1+ r)n =FVA

´Ετσι

1+ r =nradic

FVA

Επομένως

r =nradic

FVA minus1 =

20radic

3500010000 minus1 = 00646 = 646

Ε Ι Κοντογιώργης copy 66

Εναλλακτικά παίρνοντας τους λογαρίθμους

log(1+ r)n = log(FVA) ή n log(1+ r) = log

(FVA)

´Ετσι

1+ r = 10(1n log

(FVA))

ή r = 10(1n log

(FVA))minus1

= 10( 120 log

(3500010000

))minus1

= 646

Ε Ι Κοντογιώργης copy 67

Γραφική Αναπαράσταση I

I Υποθέστε ότι έχουμε y= 3x+2 Καθώς έχουμε μόνο μιαδύναμη για το x πρέπει να λύσουμε γραμμική εξίσωσηκαι να σχεδιάσουμε μια ευθεία γραμμή Αρχικά θα πρέπεινα σχεδιάσουμε ένα T-chart Αυτό έχει τη μορφή

x y = 3x+2 (xy)

I Επιλέγουμε μια τιμή για το x και λύνουμε ως προς y

x y= 3x+2 (xy)minus2 minus4 (minus2minus4)0 2 (02)2 8 (28)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 68

Γραφική Αναπαράσταση II

-

6

X

Y

bull

bull

bull

I Βλέπουμε μια ευθεία με ανοδική τάση (έχοντας θετικήκλίση m= 3) καιτέμνει τον άξονα y στο σημείο y= 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 69

Γραφική Αναπαράσταση III

I Μια Τετραγωνική εξίσωση περιέχει x2 Για τηναναπαράσταση τετραγωνικών εξισώσεων χρειάζεται ναβρούμε περισσότερα από τρία σημεία στο σχεδιάγραμμα

Για παράδειγμα υποθέστε ότι y= x2minus6x+5 καιδίνεται το πιο κάτω T-chart

x y= x2minus6x+5 (xy)0 5 (05)1 0 (10)3 minus4 (3minus4)5 0 (50)6 5 (65)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 70

Γραφική Αναπαράσταση IV

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

-

6

X

Y

bull

bull

bull

bull

bull

Ε Ι Κοντογιώργης copy 71

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(1x + 2)

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(-3x + 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 72

-15

-10

-5

0

5

10

15

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(3x - 2)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 73

-20

0

20

40

60

80

100

120

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2+x)

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 74

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

1250

1500

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3+x2+x)

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x4)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 75

-25

-2

-15

-1

-05

0

05

1

15

2

25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(log(x))

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(x))

Ε Ι Κοντογιώργης copy 76

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(-x))

-5000

0

5000

10000

15000

20000

25000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(exp(x)+x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 77

Ανισότητες I

I Οι ανισότητες αποτελούνται από δύο ή τρεις αλγεβρικέςεκφράσεις που είναι συνδεδεμένες με τα σύμβολαανισότητας Τα σύμβολα αυτά είναι

lt μικρότερο τουgt μεγαλύτερο τουle μικρότερο ή ίσο τουge μεγαλύτερο ή ίσο του

I Παραδείγματα xgty yge x2 και ylt5x+1

I Το πρώτο βήμα για την αναπαράσταση ανισότητας τηςμορφής ygtx είναι να παραστήσουμε γραφικά τηνισότητα y= x

Ε Ι Κοντογιώργης copy 78

Ανισότητες II

I ygtx

Κάνετε δοκιμή με ένα σημείο να δείτε κατά πόσοικανοποιεί την ανισότητα Εάν ναι τότε σκιάστε τηνπεριοχή αυτή του σχεδιαγράμματος διαφορετικά σκιάστετην άλλη πλευρά

Ε Ι Κοντογιώργης copy 79

Ανισότητες III

I yltx

Ε Ι Κοντογιώργης copy 80

Ανισότητες IV

I yle 5x+1 και ygt5x+1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 81

Ανισότητες V

I yge x2 και yle x2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 82

Ανισότητες VI

I ygtx3 και yle x3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 83

Συστήματα Γραμμικών ΕξισώσεωνΠεριεχόμενα

1 Ε

2 Γ Α

ΑναφορέςΚεφάλαια 4 και 5FS Budnick Applied Mathematics for Business Economicsand the Social Sciences 4th edition McGraw-Hill 1993

Ε Ι Κοντογιώργης copy 84

Συστήματα Εξισώσεων

I ´Ενα σύστημα εξισώσεων συνδυάζει περισσότερες από μίαεξισώσεις

I ´Ενα σύστημα m εξισώσεων όπου κάθε εξίσωσηαποτελείται από n μεταβλητές ονομάζεται mtimesnσύστημα ή λέμε ότι έχει διαστάσεις mtimesn

I ΠαράδειγμαΠαρακάτω έχουμε ένα σύστημα 2times2

5X+10Y= 203X+4Y= 10

Οι μεταβλητές σε αυτή την περίπτωση είναι X και YΕ Ι Κοντογιώργης copy 85

Συστήματα Επίλυσης

I Το Σύστημα επίλυσης είναι μια σειρά τιμών μεταβλητώνπου ικανοποιούν το σύστημα ταυτόχρονα

I Σε μια σημειογραφική παράσταση το προηγούμενοπαράδειγμα μπορεί να γραφτεί ως εξής

S = (XY) | 5X+10Y = 20 και 3X+4Y = 10

I Το σύστημα επίλυσης μπορεί να είναι1 μηδενικό2 πεπερασμένο ή3 άπειρο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 86

2times2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική Ανάλυση

I Σε ένα δισδιάστατο γράφημα ένα σύστημα εξισώσεων2times2 αναπαρίστανται με ευθείες γραμμές Υπόρχουν τρίαενδεχόμενα

1 Οι ευθείες τέμνονται Το σημείο τομής αντιπροσωπεύει τηλύση του συστήματος εξισώσεων Αυτό το σημείοαλληλεπίδρασης είναι μια δέσμη τιμών X και Y που ικανοποιείκαι τις δύο εξισώσειςΕάν υπάρχει μόνο μια δέσμη τιμών για τις μεταβλητές που ναικανοποιεί το σύστημα εξισώσεων το σύστημα λέμε ότι έχειΜ Λ

2 Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες μεταξύ τους ∆εν έχουν κοινόσημείο Συνεπώς οι ευθείες δεν τέμνονται ποτέ Το σύστημαλέμε ότι ∆ ΛΑυτό υπονοεί ότι δεν υπάρχουν τιμές για τις μεταβλητές πουνα ικανοποιούν και τις δύο εξισώσεις Σε αυτή τηνπερίπτωση οι εξισώσεις στο σύστημα είναι Α

3 Και οι δύο εξισώσεις αναπαρίστανται ως μια κοινή ευθεία καιθεωρούνται ισοδύναμες εξισώσεις ´Ετσι το σύστημα έχειΑ Λ Αυτό συμβαίνει γιατί υπάρχει άπειροςαριθμός κοινών σημείων στις δύο γραμμές

Ε Ι Κοντογιώργης copy 87

I Π Θεωρείστε ένα σύστημα 2times22X+4Y= 203X+ Y= 10

I

X

Y

(24)

3X +Y = 10

2X +4Y = 20

0 2 4 6 8 10 12

2

4

6

8

10

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 88

I Το σημείο τομής δίνεται από το X= 2 και Y= 4Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές του X και Y στις δύοεξισώσεις δίνουν 20 = 20 και 10 = 10 αντίστοιχα

I Αυτό υποδειλώνει ότι X= 2 και Y= 4 είναι η σωστή λύση

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times23Xminus2Y= 6

minus15X+10Y=minus30

I

X

Y

(20)

(0minus3)

3X minus2Y = 6

minus15X +10Y =minus30

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 89

I Οι δύο εξισώσεις απλοποιούνται σε Xminus 23 Y= 2

Οι δύο εξισώσεις είναι ισοδύναμες και δίνουν έναπεπερασμένο αριθμό λύσεων έτσι ώστε

X= 0 Y =minus3X= 2 Y = 0X= 4 Y = 3

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times26Xminus12Y= 24

minus32X+3Y= 9

Οι εξισώσεις απλοποιούνται σεXminus2Y= 4Xminus2Y=minus6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 90

I

X

Y

(40)

(0minus2)

(minus60)

(03)

X minus2Y =minus6

X minus2Y = 4

0-0

I Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες και συνεπώς το σύστημαδεν έχει λύση ´Ετσι το σύστημα εξισώσεων είναιασύμπτωτο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 91

Περίληψη 2times2 Συστήματα Εξισώσεων∆ίνεται ένα Σύστημα Γραμμικών Εξισώσεων 2times2

Y=m1X+ c1Y=m2X+ c2

1 Υπάρχει μια στο σύστημα εάνm1 6= m2

2 ∆εν υπάρχει στο σύστημα εάνm1 = m2 και c1 6= c2

3 Υπάρχει εάνm1 = m2 και c1 = c2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 92

∆ιαδικασίες Απαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής χρησιμοποιεί πολλαπλασιασμόκαι πρόσθεση έτσι ώστε

1 Να απαλοιφεί μια από τις δύο μεταβλητές

2 Η εξίσωση που εξάγεται είναι συνάρτηση των υπόλοιπωνμεταβλητών

3 Αντικαθιστώντας την τιμή στην μεταβλητή σε μια από τιςαρχικές εξισώσεις βρίσκουμε την τιμή για τηναπολοιφθήσα μεταβλητή

Ε Ι Κοντογιώργης copy 93

ΠαραδείγματαI Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

2X +4Y = 20 (1)3X + Y = 10 (2)

Πολλαπλασιάζοντας τη δεύτερη εξίσωση με minus4 παίρνουμε

minus12X minus4Y =minus40 (3)

Προσθέτοντας την εξίσωση (1) στο (3)

2X + 4Y = 20minus12X minus 4Y = minus40minus10X = minus20

ή

X = 2 (4)Ε Ι Κοντογιώργης copy 94

Αντικαθιστώντας X= 2 στην εξίσωση (1) δίνεται2 middot2+4Y = 20 ή Y=4

´Ετσι η μοναδική λύση του συστήματος δίνεται από τοX= 2 και Y= 4 Μπορεί να επιβεβαιωθεί ότι αυτή είναι ησωστή λύση αντικαθιστώντας X= 2 και Y= 4 στηνεξίσωση (1) και (2)

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times23X minus2Y = 6 (5)

minus15X +10Y =minus30 (6)

Για την απαλοιφή της μεταβλητής X η εξίσωση (5)πολλαπλασιάζεται με 5 και το αποτέλεσμα προστίθεταιστην εξίσωση (6)

15X minus 10Y = 30minus15X + 10Y = minus30

0 = 0 Ε Ι Κοντογιώργης copy 95

Οι τελευταίες πράξεις υπονοούν ότι οι εξίσωσεις (5) και(6) είναι ισοδύναμες και έτσι υπάρχει άπειρος αριθμόςλύσεωνΓια να προσδιορίσουμε τις λύσεις του συστήματος μια απότις αρχικές εξισώσεις λύνεται ως προς μια μεταβλητή Ανγια παράδειγμα η εξίσωση (5) λύνεται ως προς Y δίνει

Y =32Xminus3

Σαν αποτέλεσμα γενικεύοντας τις λύσεις του συστήματοςέχουμε

X τυχαίο και Y =32Xminus3

Πχ για X= 4 υπονοείται ότι Y=32 middot4minus3 = 3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 96

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

6X minus12Y = 24 (7)

minus32X +3Y = 9 (8)

Πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση (8) με 4 καιπροσθέτοντας το αποτέλεσμα στην εξίσωση (7)παίρνουμε

6X minus 12Y = 24minus6X + 12Y = 36

0 = 60

Η πιο πάνω αντιλογία υπονοεί ότι δεν υπάρχει λύση τουσυστήματος εξισώσεων

Ε Ι Κοντογιώργης copy 97

3times2 Συστήματα Εξισώσεων I

1 Μ Λ

X

Y

(32)

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minusY = 1

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 98

3times2 Συστήματα Εξισώσεων II

2 Α Λ

X

Y Εξις (1)Εξις (2)Εξις (3)

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 99

3times2 Συστήματα Εξισώσεων III3 Κ

(α) ´Οταν και οι τρεις εξισώσεις είναι παράλληλες

X

Y

2X minusY =minus8

2X minusY = 2

2X minusY = 12

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 100

3times2 Συστήματα Εξισώσεων IV(β) ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ τωνεξισώσεων

X

Y

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minus2Y =minus4

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 101

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική ΑνάλυσηΣε ένα γράφημα 2 διαστάσεων ένα σύστημα mtimes2(mgt2) εξισώσεων παριστάνεται με m ευθείες ´Οπωςσυμβαίνει στα συστήματα 2times2 υπάρχουν τρίαενδεχόμενα

1 ´Ολες οι ευθείες τέμνονται στο ίδιο σημείο και έτσιυπάρχει

2 ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ των mεξισώσεων Αυτό σημαίνει ότι όλες οι ευθείες είναιπαράλληλες Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα Λ

3 Οι m εξισώσεις είναι ισοδύναμες πχ παρασταίνονται σανμια ευθεία Σε αυτή την περίπτωση υπάρχει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 102

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων ∆ιαδικασίαΑπαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής για την επίλυση ενός συστήματοςmtimes2 μπορεί να περιγραφεί ως ακολούθωςΕπιλέξτε και λύστε σύστημα με δύο εξισώσεις

1 Εάν δεν υπάρχει λύση τότε ολόκληρο το σύστημα δεν έχειλύση

2 Εάν υπάρχει μοναδική λύση που ικανοποιεί τις υπόλοιπεςmminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα έχει μία μοναδική λύση

3 Εάν η λύση είναι μοναδική αλλά δεν ικανοποιεί τιςυπόλοιπες mminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα δεν έχει λύση

4 Εάν οι 2 λύσεις είναι ισοδύναμες απάλοιψτε τη μίααπό τις δύο εξισώσεις και ξεκινήστε από την αρχήλαμβάνοντας υπόψη ένα σύστημα (mminus1)times2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 103

ΠαράδείγμαI Θεωρείστε ένα σύστημα 5times2

XminusY= 1X+2Y=minus8

3Xminus2Y= 02Xminus5Y= 11minus4X+3Y=minus1

I Η λύση των πρώτων δύο εξισώσεων δίνετε απόY =minus3 και X =minus2

I Αντικαθιστώντας τη λύση στις υπόλοιπες τρεις εξισώσειςπαίρνετε αντίστοιχα

0 = 0 11 = 11 και minus1 =minus1I Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση

X=minus2 και Y=minus3Ε Ι Κοντογιώργης copy 104

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian

Η μέθοδος απολοιφής Gaussian μετατρέπει το αρχικόσύστημα εξισώσεων σε διαγώνια μορφή επαναλαμβάνονταςστις εξισώσεις τις ακόλουθες τρεις διαδικασίες

1 Πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης μεμια θετική σταθερά

2 Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού θα προστεθεί σεάλλη εξίσωση

3 Η σειρά των εξισώσεων μπορεί να αλλάξει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 105

ΠαράδείγμαΠ Θεωρείστε το σύστημα 2times2

2X minus 3Y = 7 (Εξ 1)X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με 12 για να πάρετε

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με minus1 καιπροσθέστε την στην (Εξ 2)

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

52Y =

152 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 106

Στάδιο 3 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 25

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

Y = 3 (Εξ 2)

Στάδιο 4 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 32 και

προσθέστε την στην (Εξ 1)

X = 1 (Εξ 1)Y = 3 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 107

Π Θεωρείστε το σύστημα 2times2

5X + 20Y = 254X minus 7Y =minus26

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να εκφραστεί ως

R1 5 20 25R2 4 minus7 minus26

Η κάθετη γραμμή χρησιμοποιείται για διαχωρισμό τηςαριστερής από τη δεξιά πλευρά των εξισώσεων Το Riυπονοεί τη γραμμή (Row) i

Ε Ι Κοντογιώργης copy 108

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάζουμε τη R1 με 15 και το θέτουμε

R1larr 15R1

R1 1 4 5R2 4 minus7 minus26

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάζουμε την R1 με minus4 και τηνπροσθέτουμε στην R2 Εν συντομίαR2larrminus4R1+R2

R1 1 4 5R2 0 minus23 minus46

Στάδιο 3 R2larrminus 123R2

R1 1 4 5R2 0 1 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 109

Στάδιο 4 R1larrminus4R2+R1

R1 1 0 minus3R2 0 1 2

Το αρχικό σύστημα εξισώσεων μετατρέπεται σε διαγώνιαμορφή όπως πιο κάτω

X =minus3Y = 2

το οποίο δίνει τη λύση του συστήματος

Ε Ι Κοντογιώργης copy 110

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 I

Το σύστημα εξισώσεων 3times3 μετετρέπεται σε διαγώνιαμορφή Η μετατροπή γίνεται στήλη με στήλη από τααριστερά προς τα δεξιά

Π Θεωρήστε το σύστημα 3times3

X1 + X2 + X3 = 2X1 minus 3X2 + 2X3 = 7

4X1 minus 2X2 minus X3 = 9

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να γραφτεί ως

Ε Ι Κοντογιώργης copy 111

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 II

1 1 1 21 minus3 2 74 minus2 minus1 9

Ε Ι Κοντογιώργης copy 112

I6sum

i = 1i = 1+2+3+4+5+6

I6sum

i = 1i2 = 12 +22 +32 +42 +52 +62

I7sum

i = 3xi = x3 +x4 +x5 +x6 +x7

I4sum

i = 1a = a+a+a+a= 4a

I3sum

i = 1(4+xi) = (4+x1) + (4+x2) + (4+x3)

=3sum

i = 14+

3sum

i = 1xi

Ε Ι Κοντογιώργης copy 39

I3sum

i = 1(2xi) = (2x1) + (2x2) + (2x3) = 2times

3sum

i = 1xi

I Ο συντελεστής i παραλείπεται εάν δε προκαλείαοριστία Για παράδειγμα Σx ή Σixi σημαίνειάθροισμα όλων των x που λαμβάνονται υπόψη

I ∆ήλωσηI

nsumi=1a= na

I sumiaxi = asum

ixi

I sumi

(axi+byi) = asumixi +bsum

iyi

Ε Ι Κοντογιώργης copy 40

I Αθροιστικός Τύπος

Insum

i = 1i = 1+2+ middot middot middot+n=

n(n+1)

2

Πχ6sumi = 1i = 1+2+3+4+5+6 =

6(6+1)

2 = 21

Insum

i = 1i2 = 12 +22 + middot middot middot+n2 =

n(n+1)(2n+1)

6

Πχ6sumi = 1i2 = 12 +22 +32 +42 +52 +62

=6(6+1)(12+1)

6 = 91

Ε Ι Κοντογιώργης copy 41

Insum

i = 1i3 = 13 +23 + middot middot middot+n3 =

n2(n+1)2

4

Πχ6sumi = 1i3 = 13 +23 +33 +43 +53 +63

=62(6+1)2

4 = 441

Ε Ι Κοντογιώργης copy 42

ΠαραδήγματαΑριθμητική Πρόοδος

I Γενικά μπορούμε να εκφράσουμε μια αριθμητική πρόοδο ωςεξής

αριθμητική πρόοδος a a+d a+2d a+3d

όπου ο πρώτος όρος είναι a και η διαφορά d Ο όρος nτης απ δίνεται από τη σχέση b = a+ (nminus1)d

I 3 5 7 9 11 είναι μια αριθμητική πρόοδος Οπρώτος όρος είναι το 3 και η διαφορά είναι 2

I 2 minus1 minus4 minus7 είναι μια αριθμητική πρόοδος όπου οπρώτος όρος είναι 2 και η διαφορά minus3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 43

I Το άθροισμα των όρων μιας αριθμητικής προόδου είναιγνωστό ως αριθμητική σειρά

Sn = a+ (a+d) + (a+2d) + middot middot middot+ (a+ (nminus1)d)

=nsumi=1

(a+ (iminus1)d

)= na+

nsumi=1

(iminus1)d

= na+dnminus1sumi=1

i = na+d(nminus1)n2

=n2(2a+d(nminus1)) =

n2(a+b) b = a+d(nminus1)

I ΑΠ 3 5 7 9 11 13 rArr Sn =62(3+13) = 48

Ε Ι Κοντογιώργης copy 44

∆ιπλό Αθροισμα4sumi=1

isumj=1

j = (1) + (1+2) + (1+2+3) + (1+2+3+4) = 20

nsumi=1

isumj=1

j =nsumi=1

( isumj=1

j)

nsumi=1

(12 i(i+1)

)=

12

nsumi=1

(i2 + i)

12( nsumi=1

i2 +nsumi=1

i)

=12(16n(n+1)(2n+1) +

12n(n+1)

)

=12

16n(n+1)

((2n+1) +3

)=

n6(n+1)(n+2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 45

∆ιπλό Αθροισμα

nsumi=1

msumj=1

(i+ j+2) =nsumi=1

( msumj=1

(i+ j+2))

nsumi=1

( msumj=1

i+msumj=1

j+msumj=1

2)

=nsumi=1

(mi+ 1

2m(m+1) +2m)

m( nsumi=1

i+ 12

nsumi=1

(m+5))

= m(12n(n+1) +

12n(m+5)

)

=mn2(m+n+6

)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 46

Insumr=1

1r(r+1)

=nsumr=1

(Ar +

Br+1

)=

nsumr=1

A(r+1) +Brr(r+1)

I A(r+1) +Br = 1

I Για r = 0 τότε A= 1 και για r =minus1 τότε B=minus1

I

nsumr=1

1r(r+1)

=nsumr=1

(1r minus

1r+1

)

=(

(11 minus

12) + (

12 minus

13) + (

13 minus

14) + middot middot middot+ (

1nminus1 minus

1n ) + (

1n minus

1n+1)

)

= 1minus 1n+1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 47

Insumk=1

1(k+2)(k+3)

=nsumk=1

( A(k+2)

+B

(k+3)

)=

nsumk=1

A(k+3) +B(k+2)

(k+2)(k+3)

I A(k+3) +B(k+2) = 1

I Για k=minus2 τότε A= 1 και για k=minus3 τότε B=minus1

I

nsumk=1

1(k+2)(k+3)

=nsumk=1

( 1(k+2)

minus 1(k+3)

)

=(

(13 minus

14)+(

14 minus

15)+(

15 minus

16)+ +(

1n+1 minus

1n+2)+(

1n+2 minus

1n+3)

)

=13 minus

1n+3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 48

Αθροισμα με Λογάριθμους

nsumi=1

logb(i) = logb(1) + logb(2) + middot middot middot+ logb(n)

= logb(1times2times3timesmiddotmiddot middottimesn)

= logb(n)

I Το n (n παραγοντικό) δίνεται από n = 1times2timesmiddotmiddot middottimesn και0 = 1

I100sumi=1

log2(100) = log2(100) =log(100)

log(2)=

log(99)

log(2)+

2log(2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 49

Γινόμενο των ακολουθιώνIn

prodi=1xi = x1timesx2timesx3timesmiddotmiddot middottimesxn

In

prodi=1i = 1times2times3timesmiddotmiddot middottimesn= n

In

prodi=1z= ztimesztimesmiddotmiddot middottimesz= zn

I

nprodi=1

(1+

1i+1

)=(1+

12)times(1+

13)times(1+

14)times times(1+

1n )times(1+

1n+1)

=32 times

43 times

54 timesmiddotmiddot middottimes

n+1n times n+2

n+1

=n+22

Ε Ι Κοντογιώργης copy 50

Γεωμετρικές ΠροόδοιI Μια γεωμετρική πρόοδος είναι μια σειρά αριθμών όπου

κάθε όρος μετά των πρώτο υπολογίζεται από τονπολλαπλασιασμό του προηγούμενου όρου με ένασταθερό αριθμό που καλείται αναλογία

I Η σειρά1 3 9 27 81 middot middot middot

είναι μια γεωμετρική πρόοδος με πρώτο όρο το 1 καιαναλογία 3

I Η αναλογία μπορεί να είναι κλάσμα καθώς επίσης καιαρνητικός αριθμός Για παράδειγμα η γεωμετρικήπρόοδος με πρώτο όρο το 2 και αναλογία minus13 είναι

2 minus 23 +

29 minus

227 +

281 middot middot middot

Ε Ι Κοντογιώργης copy 51

I Γενικά μπορούμε να γράψουμε μια γεωμετρική πρόοδο ωςακολούθως

γεωμετρική πρόοδος a ar ar2 ar3 ar4 middot middot middot

όπου ο πρώτος όρος είναι a και η αναλογία r

I Σημαντικά θεωρήματα των γεωμετρικών προόδων (γπ)1 Ο n όρος μιας γπ δίνεται από ar(nminus1)

2 Το άθροισμα των πρώτων n όρων μιας γπ είναι

Sn =a(1minus rn)

1minus r =a(rnminus1)

rminus1 και ισχύει μόνο αν r 6= 1

I Το άθροισμα των όρων μιας γεωμετρικής προόδουονομάζεται γεωμετρική σειρά

Ε Ι Κοντογιώργης copy 52

Γεωμετρική σειρά

Sn = a+ar+ar2 +ar3 + middot middot middot+arnminus2 +arnminus1

rSn = ar+ar2 +ar3 + arnminus1 +arn

Snminus rSn = aminusarn

(1minus r)Sn = a(1minus rn)

Sn =a(1minus rn)

(1minus r) =a(rnminus1)

(rminus1)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 53

I Παράδειγμα1 Βρείτε το άθροισμα των πρώτων 10 όρων μιας γεωμετρικής

σειράς4 8 16 32

Ο πρώτος όρος είναι a= 4 και η αναλογία r = 2 καιn= 10 ´Ετσι

S10 =4(1minus210)

1minus2 = 4092

2 Θεωρείστε τη γπ4 minus8 16 minus32 64 minus128 256 minus512

Σε αυτή την περίπτωση ο πρώτος όρος είναι a= 4 ηαναλογία είναι r =minus2 και n= 8´Ετσι

S8 =4(1minus (minus2)8)

1minus (minus2)=minus340

Ε Ι Κοντογιώργης copy 54

Συνεχείς ανατοκισμός

Οι περισσότεροι τραπεζικοί λογαριασμοί και τα δάνειαυιοθετούν ανατοκισμό - εφαρμόζοντας συνεχή ανατοκισμόΘεωρείστε ένα λογαριασμό που προσφέρει τόκο με ετήσιοεπιτόκιο r (πχ 7) Εάν το επιτόκιο είναι συνεχέςσε χρονιαία βάση τότε μετά από 1 χρόνο το χρονιαίοεπιτόκιο προστίθεται στο αρχικό κεφάλαιο για νακαθορίσει ένα μεγαλύτερο κεφάλαιο τον δεύτερο χρόνο

´Ετσι κατά τη διάρκεια του δεύτερου χρόνου ολογαριασμός κερδίζει επιτόκιο πάνω στο επιτόκιοΑυτή είναι η επίδραση του ανατοκισμού που συνεχίζεταιχρόνο με το χρόνο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 55

I Με τον ετήσιο ανατοκισμό το κεφάλαιο πουσυσσωρεύεται στο λογαριασμό πολλαπλασιάζεται με

(1+ r)

´Ετσι το κεφάλαιο A θα αυξηθεί σε

A(1+ r) = A+A middot r

τον επόμενο χρόνο

I Με το πέρας και του δεύτερου χρόνου το κεφάλαιο θααυξηθεί ακόμα (1+ r) σε (1+ r)2

´Ετσι το κεφάλαιο καταλήγει σε

A(1+ r)(1+ r) = A(1+ r)2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 56

I Κατά παρόμοιο τρόπο στο τέλος του τρίτου χρόνου τοποσό θα αυξηθεί κατά (1+ r)3

I Μετά από n χρόνια το ποσό θα αυξηθεί κατά (1+ r)n

I ´Ετσι το κεφάλαιο (επένδυση) A θα αυξηθεί με συνεχήανατοκισμό σε A(1+ r)n μετά από n χρόνια

I Ο τύπος (1+ r)n εκθέτει γεωμετρική αύξηση λόγω τηςn δύναμης

Ε Ι Κοντογιώργης copy 57

ΠαραδείγματαI Εάν το επιτόκιο είναι r = 5 τότε το κεφάλαιοA= $1000 που βρίσκεται στην τράπεζα n= 20 χρόνιαθα αυξηθεί κατά

(1+ r)n = (1+005)20 = 2653 φορές

´Ετσι το ποσό θα καταλήξειA(1+ r)n = $265330

I Βρέστε το χρόνο που χρειάζεται για ένα λογαργιασμό ναδιπλασιάσει το διαθέσιμο κεφάλαιο του όταν r = 7 καιr = 10Ζητούμε να βρούμε το n έτσι ώστε

(1+ r)n = 2Ε Ι Κοντογιώργης copy 58

I Υπολογίζοντας το λογάριθμο του τελευταίου παίρνουμε

log(1+ r)n = log(2)ή n log(1+ r) = log(2)

´Ετσιn=

log2log(1+ r)

I Για r = 7 και r = 10 ο χρόνος n πουχρειάζεται για διπλασιασμό της επένδυσης υπολογίζεταισε 1024 και 727 αντίστοιχα

Ε Ι Κοντογιώργης copy 59

I Αν το επιτόκιο είναι r = 7 τότε πιο θα είναι τοσυνολικό ποσό στο λογαριασμό μετά από 205 και41 χρόνια αντίστοιχα

Μετά τα πρώτα 1025 χρόνια το ποσό A θαδιπλασιαστεί σε 2A Για τα επόμενα 1025 χρόνιατο ποσό θα ξαναδιπλασιαστεί σε 4A ´Ετσι μετά από205 χρόνια το ποσό θα αυξηθεί κατά 4 φορές

Με το πέρας ακόμα 205 χρόνων το ποσό θα αυξηθείακόμα 4 φορές σε 16 ´Ετσι μετά από 41 χρόνιατο κεφάλαιο A γίνεται 16A

Ε Ι Κοντογιώργης copy 60

Ασκήσεις και Παραδείγματα

I Υπολογίστε τη Μελλοντική Αξία (Future Value (FV)) τουκεφαλαίου A= 1500 που κερδίζει ετήσιο επιτόκιοr = 5 για n= 10 έτη

FV =A(1+ r)n = 1500(1+005)10 = 244334

I Πόσα έτη απαιτούνται για να τριπλασιαστεί ένα ποσόπου αφήνετε στην τράπεζα με επιτόκιο r = 5∆ηλαδή βρείτε το n όπου A= 1 r = 5 και FV = 3

FV =A(1+ r)n ή (1+ r)n =FVA

Ε Ι Κοντογιώργης copy 61

Υπολογίζοντας τους λογαρίθμους παίρνουμε

log(1+ r)n = log(FVA)

ή n log(1+ r) = log(FVA)

´Ετσι

n=log(FVA)

log(1+ r) =log(3)

log(105)

= 2252

Ε Ι Κοντογιώργης copy 62

I Βρείτε την παρούσα αξία A έτσι ώστε σε δέκα έτη μεσταθερό επιτόκιο r = 6 να είναι 100KΒρείτε το A όπου FV = 100000 r = 6 και n= 10

FV =A(1+ r)n ή A=FV

(1+ r)n

´Ετσι A=100000

(106)10= 5583948

I Βρείτε την ετησιοποιημένη απόδοση (AER AnnualEquivalent Rate) μιας μηνιαίας κατάθεσης με σταθερόεπιτοκίο 394 Μια τέτοια κατάθεση λαμβάνει το επιτόκιο στη λήξηΣυνεπώς κάθε μήνα ο λογαριασμός λαμβάνει

r = 0039412 = 000328

επιτόκιο που επανεπενδύεται (συνεχής ανατοκισμός)Ε Ι Κοντογιώργης copy 63

Επανεπενδύοντας το επιτόκιο κάθε μήνα στη διάρκειαενός έτους το κεφάλαιο θα αυξηθεί σε

(1+ r)12 = (1+000328)12 = 104012

´Ετσι το ΑΕΡ είναι ισοδύναμο με 004012 = 4012I Υπολογίστε το επιτόκιο ενός σταθερού λογαριασμού

κατάθεσης 7-ημερών που έχει AER επιτόκιο r = 425Θεωρείστε ρ το εβδομαδιαίο επιτόκιο

´Ετσι (1+ρ)52 = (1+00425)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 64

Παίρνοντας τους λογαρίθμους έχουμε52log(1+ρ) = log10425

ή log(1+ρ) =log10425

52

ή 1+ρ= 10( log10425

52)

Αυτό μας δίνει

ρ= 10

( log1042552

)minus1 = 008

´Ετσι το συνεχές επιτόκιο μιας επταήμερης κατάθεσης είναιρtimes52 = 41638

Εναλλακτικά (1+ρ)52 = (1+00425) δίνει

(1+ρ) =52radic10425ή ρ=

52radic10425minus = 008Ε Ι Κοντογιώργης copy 65

I Υπολογίστε την ετήσια απόδοση r έτσι ώστε A= 10000να επιστρέφει FV = 35000 σε n= 20 χρόνια

FV =A(1+ r)n ή (1+ r)n =FVA

´Ετσι

1+ r =nradic

FVA

Επομένως

r =nradic

FVA minus1 =

20radic

3500010000 minus1 = 00646 = 646

Ε Ι Κοντογιώργης copy 66

Εναλλακτικά παίρνοντας τους λογαρίθμους

log(1+ r)n = log(FVA) ή n log(1+ r) = log

(FVA)

´Ετσι

1+ r = 10(1n log

(FVA))

ή r = 10(1n log

(FVA))minus1

= 10( 120 log

(3500010000

))minus1

= 646

Ε Ι Κοντογιώργης copy 67

Γραφική Αναπαράσταση I

I Υποθέστε ότι έχουμε y= 3x+2 Καθώς έχουμε μόνο μιαδύναμη για το x πρέπει να λύσουμε γραμμική εξίσωσηκαι να σχεδιάσουμε μια ευθεία γραμμή Αρχικά θα πρέπεινα σχεδιάσουμε ένα T-chart Αυτό έχει τη μορφή

x y = 3x+2 (xy)

I Επιλέγουμε μια τιμή για το x και λύνουμε ως προς y

x y= 3x+2 (xy)minus2 minus4 (minus2minus4)0 2 (02)2 8 (28)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 68

Γραφική Αναπαράσταση II

-

6

X

Y

bull

bull

bull

I Βλέπουμε μια ευθεία με ανοδική τάση (έχοντας θετικήκλίση m= 3) καιτέμνει τον άξονα y στο σημείο y= 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 69

Γραφική Αναπαράσταση III

I Μια Τετραγωνική εξίσωση περιέχει x2 Για τηναναπαράσταση τετραγωνικών εξισώσεων χρειάζεται ναβρούμε περισσότερα από τρία σημεία στο σχεδιάγραμμα

Για παράδειγμα υποθέστε ότι y= x2minus6x+5 καιδίνεται το πιο κάτω T-chart

x y= x2minus6x+5 (xy)0 5 (05)1 0 (10)3 minus4 (3minus4)5 0 (50)6 5 (65)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 70

Γραφική Αναπαράσταση IV

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

-

6

X

Y

bull

bull

bull

bull

bull

Ε Ι Κοντογιώργης copy 71

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(1x + 2)

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(-3x + 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 72

-15

-10

-5

0

5

10

15

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(3x - 2)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 73

-20

0

20

40

60

80

100

120

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2+x)

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 74

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

1250

1500

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3+x2+x)

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x4)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 75

-25

-2

-15

-1

-05

0

05

1

15

2

25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(log(x))

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(x))

Ε Ι Κοντογιώργης copy 76

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(-x))

-5000

0

5000

10000

15000

20000

25000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(exp(x)+x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 77

Ανισότητες I

I Οι ανισότητες αποτελούνται από δύο ή τρεις αλγεβρικέςεκφράσεις που είναι συνδεδεμένες με τα σύμβολαανισότητας Τα σύμβολα αυτά είναι

lt μικρότερο τουgt μεγαλύτερο τουle μικρότερο ή ίσο τουge μεγαλύτερο ή ίσο του

I Παραδείγματα xgty yge x2 και ylt5x+1

I Το πρώτο βήμα για την αναπαράσταση ανισότητας τηςμορφής ygtx είναι να παραστήσουμε γραφικά τηνισότητα y= x

Ε Ι Κοντογιώργης copy 78

Ανισότητες II

I ygtx

Κάνετε δοκιμή με ένα σημείο να δείτε κατά πόσοικανοποιεί την ανισότητα Εάν ναι τότε σκιάστε τηνπεριοχή αυτή του σχεδιαγράμματος διαφορετικά σκιάστετην άλλη πλευρά

Ε Ι Κοντογιώργης copy 79

Ανισότητες III

I yltx

Ε Ι Κοντογιώργης copy 80

Ανισότητες IV

I yle 5x+1 και ygt5x+1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 81

Ανισότητες V

I yge x2 και yle x2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 82

Ανισότητες VI

I ygtx3 και yle x3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 83

Συστήματα Γραμμικών ΕξισώσεωνΠεριεχόμενα

1 Ε

2 Γ Α

ΑναφορέςΚεφάλαια 4 και 5FS Budnick Applied Mathematics for Business Economicsand the Social Sciences 4th edition McGraw-Hill 1993

Ε Ι Κοντογιώργης copy 84

Συστήματα Εξισώσεων

I ´Ενα σύστημα εξισώσεων συνδυάζει περισσότερες από μίαεξισώσεις

I ´Ενα σύστημα m εξισώσεων όπου κάθε εξίσωσηαποτελείται από n μεταβλητές ονομάζεται mtimesnσύστημα ή λέμε ότι έχει διαστάσεις mtimesn

I ΠαράδειγμαΠαρακάτω έχουμε ένα σύστημα 2times2

5X+10Y= 203X+4Y= 10

Οι μεταβλητές σε αυτή την περίπτωση είναι X και YΕ Ι Κοντογιώργης copy 85

Συστήματα Επίλυσης

I Το Σύστημα επίλυσης είναι μια σειρά τιμών μεταβλητώνπου ικανοποιούν το σύστημα ταυτόχρονα

I Σε μια σημειογραφική παράσταση το προηγούμενοπαράδειγμα μπορεί να γραφτεί ως εξής

S = (XY) | 5X+10Y = 20 και 3X+4Y = 10

I Το σύστημα επίλυσης μπορεί να είναι1 μηδενικό2 πεπερασμένο ή3 άπειρο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 86

2times2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική Ανάλυση

I Σε ένα δισδιάστατο γράφημα ένα σύστημα εξισώσεων2times2 αναπαρίστανται με ευθείες γραμμές Υπόρχουν τρίαενδεχόμενα

1 Οι ευθείες τέμνονται Το σημείο τομής αντιπροσωπεύει τηλύση του συστήματος εξισώσεων Αυτό το σημείοαλληλεπίδρασης είναι μια δέσμη τιμών X και Y που ικανοποιείκαι τις δύο εξισώσειςΕάν υπάρχει μόνο μια δέσμη τιμών για τις μεταβλητές που ναικανοποιεί το σύστημα εξισώσεων το σύστημα λέμε ότι έχειΜ Λ

2 Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες μεταξύ τους ∆εν έχουν κοινόσημείο Συνεπώς οι ευθείες δεν τέμνονται ποτέ Το σύστημαλέμε ότι ∆ ΛΑυτό υπονοεί ότι δεν υπάρχουν τιμές για τις μεταβλητές πουνα ικανοποιούν και τις δύο εξισώσεις Σε αυτή τηνπερίπτωση οι εξισώσεις στο σύστημα είναι Α

3 Και οι δύο εξισώσεις αναπαρίστανται ως μια κοινή ευθεία καιθεωρούνται ισοδύναμες εξισώσεις ´Ετσι το σύστημα έχειΑ Λ Αυτό συμβαίνει γιατί υπάρχει άπειροςαριθμός κοινών σημείων στις δύο γραμμές

Ε Ι Κοντογιώργης copy 87

I Π Θεωρείστε ένα σύστημα 2times22X+4Y= 203X+ Y= 10

I

X

Y

(24)

3X +Y = 10

2X +4Y = 20

0 2 4 6 8 10 12

2

4

6

8

10

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 88

I Το σημείο τομής δίνεται από το X= 2 και Y= 4Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές του X και Y στις δύοεξισώσεις δίνουν 20 = 20 και 10 = 10 αντίστοιχα

I Αυτό υποδειλώνει ότι X= 2 και Y= 4 είναι η σωστή λύση

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times23Xminus2Y= 6

minus15X+10Y=minus30

I

X

Y

(20)

(0minus3)

3X minus2Y = 6

minus15X +10Y =minus30

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 89

I Οι δύο εξισώσεις απλοποιούνται σε Xminus 23 Y= 2

Οι δύο εξισώσεις είναι ισοδύναμες και δίνουν έναπεπερασμένο αριθμό λύσεων έτσι ώστε

X= 0 Y =minus3X= 2 Y = 0X= 4 Y = 3

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times26Xminus12Y= 24

minus32X+3Y= 9

Οι εξισώσεις απλοποιούνται σεXminus2Y= 4Xminus2Y=minus6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 90

I

X

Y

(40)

(0minus2)

(minus60)

(03)

X minus2Y =minus6

X minus2Y = 4

0-0

I Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες και συνεπώς το σύστημαδεν έχει λύση ´Ετσι το σύστημα εξισώσεων είναιασύμπτωτο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 91

Περίληψη 2times2 Συστήματα Εξισώσεων∆ίνεται ένα Σύστημα Γραμμικών Εξισώσεων 2times2

Y=m1X+ c1Y=m2X+ c2

1 Υπάρχει μια στο σύστημα εάνm1 6= m2

2 ∆εν υπάρχει στο σύστημα εάνm1 = m2 και c1 6= c2

3 Υπάρχει εάνm1 = m2 και c1 = c2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 92

∆ιαδικασίες Απαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής χρησιμοποιεί πολλαπλασιασμόκαι πρόσθεση έτσι ώστε

1 Να απαλοιφεί μια από τις δύο μεταβλητές

2 Η εξίσωση που εξάγεται είναι συνάρτηση των υπόλοιπωνμεταβλητών

3 Αντικαθιστώντας την τιμή στην μεταβλητή σε μια από τιςαρχικές εξισώσεις βρίσκουμε την τιμή για τηναπολοιφθήσα μεταβλητή

Ε Ι Κοντογιώργης copy 93

ΠαραδείγματαI Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

2X +4Y = 20 (1)3X + Y = 10 (2)

Πολλαπλασιάζοντας τη δεύτερη εξίσωση με minus4 παίρνουμε

minus12X minus4Y =minus40 (3)

Προσθέτοντας την εξίσωση (1) στο (3)

2X + 4Y = 20minus12X minus 4Y = minus40minus10X = minus20

ή

X = 2 (4)Ε Ι Κοντογιώργης copy 94

Αντικαθιστώντας X= 2 στην εξίσωση (1) δίνεται2 middot2+4Y = 20 ή Y=4

´Ετσι η μοναδική λύση του συστήματος δίνεται από τοX= 2 και Y= 4 Μπορεί να επιβεβαιωθεί ότι αυτή είναι ησωστή λύση αντικαθιστώντας X= 2 και Y= 4 στηνεξίσωση (1) και (2)

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times23X minus2Y = 6 (5)

minus15X +10Y =minus30 (6)

Για την απαλοιφή της μεταβλητής X η εξίσωση (5)πολλαπλασιάζεται με 5 και το αποτέλεσμα προστίθεταιστην εξίσωση (6)

15X minus 10Y = 30minus15X + 10Y = minus30

0 = 0 Ε Ι Κοντογιώργης copy 95

Οι τελευταίες πράξεις υπονοούν ότι οι εξίσωσεις (5) και(6) είναι ισοδύναμες και έτσι υπάρχει άπειρος αριθμόςλύσεωνΓια να προσδιορίσουμε τις λύσεις του συστήματος μια απότις αρχικές εξισώσεις λύνεται ως προς μια μεταβλητή Ανγια παράδειγμα η εξίσωση (5) λύνεται ως προς Y δίνει

Y =32Xminus3

Σαν αποτέλεσμα γενικεύοντας τις λύσεις του συστήματοςέχουμε

X τυχαίο και Y =32Xminus3

Πχ για X= 4 υπονοείται ότι Y=32 middot4minus3 = 3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 96

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

6X minus12Y = 24 (7)

minus32X +3Y = 9 (8)

Πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση (8) με 4 καιπροσθέτοντας το αποτέλεσμα στην εξίσωση (7)παίρνουμε

6X minus 12Y = 24minus6X + 12Y = 36

0 = 60

Η πιο πάνω αντιλογία υπονοεί ότι δεν υπάρχει λύση τουσυστήματος εξισώσεων

Ε Ι Κοντογιώργης copy 97

3times2 Συστήματα Εξισώσεων I

1 Μ Λ

X

Y

(32)

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minusY = 1

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 98

3times2 Συστήματα Εξισώσεων II

2 Α Λ

X

Y Εξις (1)Εξις (2)Εξις (3)

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 99

3times2 Συστήματα Εξισώσεων III3 Κ

(α) ´Οταν και οι τρεις εξισώσεις είναι παράλληλες

X

Y

2X minusY =minus8

2X minusY = 2

2X minusY = 12

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 100

3times2 Συστήματα Εξισώσεων IV(β) ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ τωνεξισώσεων

X

Y

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minus2Y =minus4

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 101

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική ΑνάλυσηΣε ένα γράφημα 2 διαστάσεων ένα σύστημα mtimes2(mgt2) εξισώσεων παριστάνεται με m ευθείες ´Οπωςσυμβαίνει στα συστήματα 2times2 υπάρχουν τρίαενδεχόμενα

1 ´Ολες οι ευθείες τέμνονται στο ίδιο σημείο και έτσιυπάρχει

2 ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ των mεξισώσεων Αυτό σημαίνει ότι όλες οι ευθείες είναιπαράλληλες Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα Λ

3 Οι m εξισώσεις είναι ισοδύναμες πχ παρασταίνονται σανμια ευθεία Σε αυτή την περίπτωση υπάρχει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 102

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων ∆ιαδικασίαΑπαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής για την επίλυση ενός συστήματοςmtimes2 μπορεί να περιγραφεί ως ακολούθωςΕπιλέξτε και λύστε σύστημα με δύο εξισώσεις

1 Εάν δεν υπάρχει λύση τότε ολόκληρο το σύστημα δεν έχειλύση

2 Εάν υπάρχει μοναδική λύση που ικανοποιεί τις υπόλοιπεςmminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα έχει μία μοναδική λύση

3 Εάν η λύση είναι μοναδική αλλά δεν ικανοποιεί τιςυπόλοιπες mminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα δεν έχει λύση

4 Εάν οι 2 λύσεις είναι ισοδύναμες απάλοιψτε τη μίααπό τις δύο εξισώσεις και ξεκινήστε από την αρχήλαμβάνοντας υπόψη ένα σύστημα (mminus1)times2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 103

ΠαράδείγμαI Θεωρείστε ένα σύστημα 5times2

XminusY= 1X+2Y=minus8

3Xminus2Y= 02Xminus5Y= 11minus4X+3Y=minus1

I Η λύση των πρώτων δύο εξισώσεων δίνετε απόY =minus3 και X =minus2

I Αντικαθιστώντας τη λύση στις υπόλοιπες τρεις εξισώσειςπαίρνετε αντίστοιχα

0 = 0 11 = 11 και minus1 =minus1I Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση

X=minus2 και Y=minus3Ε Ι Κοντογιώργης copy 104

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian

Η μέθοδος απολοιφής Gaussian μετατρέπει το αρχικόσύστημα εξισώσεων σε διαγώνια μορφή επαναλαμβάνονταςστις εξισώσεις τις ακόλουθες τρεις διαδικασίες

1 Πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης μεμια θετική σταθερά

2 Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού θα προστεθεί σεάλλη εξίσωση

3 Η σειρά των εξισώσεων μπορεί να αλλάξει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 105

ΠαράδείγμαΠ Θεωρείστε το σύστημα 2times2

2X minus 3Y = 7 (Εξ 1)X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με 12 για να πάρετε

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με minus1 καιπροσθέστε την στην (Εξ 2)

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

52Y =

152 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 106

Στάδιο 3 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 25

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

Y = 3 (Εξ 2)

Στάδιο 4 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 32 και

προσθέστε την στην (Εξ 1)

X = 1 (Εξ 1)Y = 3 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 107

Π Θεωρείστε το σύστημα 2times2

5X + 20Y = 254X minus 7Y =minus26

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να εκφραστεί ως

R1 5 20 25R2 4 minus7 minus26

Η κάθετη γραμμή χρησιμοποιείται για διαχωρισμό τηςαριστερής από τη δεξιά πλευρά των εξισώσεων Το Riυπονοεί τη γραμμή (Row) i

Ε Ι Κοντογιώργης copy 108

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάζουμε τη R1 με 15 και το θέτουμε

R1larr 15R1

R1 1 4 5R2 4 minus7 minus26

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάζουμε την R1 με minus4 και τηνπροσθέτουμε στην R2 Εν συντομίαR2larrminus4R1+R2

R1 1 4 5R2 0 minus23 minus46

Στάδιο 3 R2larrminus 123R2

R1 1 4 5R2 0 1 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 109

Στάδιο 4 R1larrminus4R2+R1

R1 1 0 minus3R2 0 1 2

Το αρχικό σύστημα εξισώσεων μετατρέπεται σε διαγώνιαμορφή όπως πιο κάτω

X =minus3Y = 2

το οποίο δίνει τη λύση του συστήματος

Ε Ι Κοντογιώργης copy 110

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 I

Το σύστημα εξισώσεων 3times3 μετετρέπεται σε διαγώνιαμορφή Η μετατροπή γίνεται στήλη με στήλη από τααριστερά προς τα δεξιά

Π Θεωρήστε το σύστημα 3times3

X1 + X2 + X3 = 2X1 minus 3X2 + 2X3 = 7

4X1 minus 2X2 minus X3 = 9

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να γραφτεί ως

Ε Ι Κοντογιώργης copy 111

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 II

1 1 1 21 minus3 2 74 minus2 minus1 9

Ε Ι Κοντογιώργης copy 112

I3sum

i = 1(2xi) = (2x1) + (2x2) + (2x3) = 2times

3sum

i = 1xi

I Ο συντελεστής i παραλείπεται εάν δε προκαλείαοριστία Για παράδειγμα Σx ή Σixi σημαίνειάθροισμα όλων των x που λαμβάνονται υπόψη

I ∆ήλωσηI

nsumi=1a= na

I sumiaxi = asum

ixi

I sumi

(axi+byi) = asumixi +bsum

iyi

Ε Ι Κοντογιώργης copy 40

I Αθροιστικός Τύπος

Insum

i = 1i = 1+2+ middot middot middot+n=

n(n+1)

2

Πχ6sumi = 1i = 1+2+3+4+5+6 =

6(6+1)

2 = 21

Insum

i = 1i2 = 12 +22 + middot middot middot+n2 =

n(n+1)(2n+1)

6

Πχ6sumi = 1i2 = 12 +22 +32 +42 +52 +62

=6(6+1)(12+1)

6 = 91

Ε Ι Κοντογιώργης copy 41

Insum

i = 1i3 = 13 +23 + middot middot middot+n3 =

n2(n+1)2

4

Πχ6sumi = 1i3 = 13 +23 +33 +43 +53 +63

=62(6+1)2

4 = 441

Ε Ι Κοντογιώργης copy 42

ΠαραδήγματαΑριθμητική Πρόοδος

I Γενικά μπορούμε να εκφράσουμε μια αριθμητική πρόοδο ωςεξής

αριθμητική πρόοδος a a+d a+2d a+3d

όπου ο πρώτος όρος είναι a και η διαφορά d Ο όρος nτης απ δίνεται από τη σχέση b = a+ (nminus1)d

I 3 5 7 9 11 είναι μια αριθμητική πρόοδος Οπρώτος όρος είναι το 3 και η διαφορά είναι 2

I 2 minus1 minus4 minus7 είναι μια αριθμητική πρόοδος όπου οπρώτος όρος είναι 2 και η διαφορά minus3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 43

I Το άθροισμα των όρων μιας αριθμητικής προόδου είναιγνωστό ως αριθμητική σειρά

Sn = a+ (a+d) + (a+2d) + middot middot middot+ (a+ (nminus1)d)

=nsumi=1

(a+ (iminus1)d

)= na+

nsumi=1

(iminus1)d

= na+dnminus1sumi=1

i = na+d(nminus1)n2

=n2(2a+d(nminus1)) =

n2(a+b) b = a+d(nminus1)

I ΑΠ 3 5 7 9 11 13 rArr Sn =62(3+13) = 48

Ε Ι Κοντογιώργης copy 44

∆ιπλό Αθροισμα4sumi=1

isumj=1

j = (1) + (1+2) + (1+2+3) + (1+2+3+4) = 20

nsumi=1

isumj=1

j =nsumi=1

( isumj=1

j)

nsumi=1

(12 i(i+1)

)=

12

nsumi=1

(i2 + i)

12( nsumi=1

i2 +nsumi=1

i)

=12(16n(n+1)(2n+1) +

12n(n+1)

)

=12

16n(n+1)

((2n+1) +3

)=

n6(n+1)(n+2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 45

∆ιπλό Αθροισμα

nsumi=1

msumj=1

(i+ j+2) =nsumi=1

( msumj=1

(i+ j+2))

nsumi=1

( msumj=1

i+msumj=1

j+msumj=1

2)

=nsumi=1

(mi+ 1

2m(m+1) +2m)

m( nsumi=1

i+ 12

nsumi=1

(m+5))

= m(12n(n+1) +

12n(m+5)

)

=mn2(m+n+6

)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 46

Insumr=1

1r(r+1)

=nsumr=1

(Ar +

Br+1

)=

nsumr=1

A(r+1) +Brr(r+1)

I A(r+1) +Br = 1

I Για r = 0 τότε A= 1 και για r =minus1 τότε B=minus1

I

nsumr=1

1r(r+1)

=nsumr=1

(1r minus

1r+1

)

=(

(11 minus

12) + (

12 minus

13) + (

13 minus

14) + middot middot middot+ (

1nminus1 minus

1n ) + (

1n minus

1n+1)

)

= 1minus 1n+1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 47

Insumk=1

1(k+2)(k+3)

=nsumk=1

( A(k+2)

+B

(k+3)

)=

nsumk=1

A(k+3) +B(k+2)

(k+2)(k+3)

I A(k+3) +B(k+2) = 1

I Για k=minus2 τότε A= 1 και για k=minus3 τότε B=minus1

I

nsumk=1

1(k+2)(k+3)

=nsumk=1

( 1(k+2)

minus 1(k+3)

)

=(

(13 minus

14)+(

14 minus

15)+(

15 minus

16)+ +(

1n+1 minus

1n+2)+(

1n+2 minus

1n+3)

)

=13 minus

1n+3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 48

Αθροισμα με Λογάριθμους

nsumi=1

logb(i) = logb(1) + logb(2) + middot middot middot+ logb(n)

= logb(1times2times3timesmiddotmiddot middottimesn)

= logb(n)

I Το n (n παραγοντικό) δίνεται από n = 1times2timesmiddotmiddot middottimesn και0 = 1

I100sumi=1

log2(100) = log2(100) =log(100)

log(2)=

log(99)

log(2)+

2log(2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 49

Γινόμενο των ακολουθιώνIn

prodi=1xi = x1timesx2timesx3timesmiddotmiddot middottimesxn

In

prodi=1i = 1times2times3timesmiddotmiddot middottimesn= n

In

prodi=1z= ztimesztimesmiddotmiddot middottimesz= zn

I

nprodi=1

(1+

1i+1

)=(1+

12)times(1+

13)times(1+

14)times times(1+

1n )times(1+

1n+1)

=32 times

43 times

54 timesmiddotmiddot middottimes

n+1n times n+2

n+1

=n+22

Ε Ι Κοντογιώργης copy 50

Γεωμετρικές ΠροόδοιI Μια γεωμετρική πρόοδος είναι μια σειρά αριθμών όπου

κάθε όρος μετά των πρώτο υπολογίζεται από τονπολλαπλασιασμό του προηγούμενου όρου με ένασταθερό αριθμό που καλείται αναλογία

I Η σειρά1 3 9 27 81 middot middot middot

είναι μια γεωμετρική πρόοδος με πρώτο όρο το 1 καιαναλογία 3

I Η αναλογία μπορεί να είναι κλάσμα καθώς επίσης καιαρνητικός αριθμός Για παράδειγμα η γεωμετρικήπρόοδος με πρώτο όρο το 2 και αναλογία minus13 είναι

2 minus 23 +

29 minus

227 +

281 middot middot middot

Ε Ι Κοντογιώργης copy 51

I Γενικά μπορούμε να γράψουμε μια γεωμετρική πρόοδο ωςακολούθως

γεωμετρική πρόοδος a ar ar2 ar3 ar4 middot middot middot

όπου ο πρώτος όρος είναι a και η αναλογία r

I Σημαντικά θεωρήματα των γεωμετρικών προόδων (γπ)1 Ο n όρος μιας γπ δίνεται από ar(nminus1)

2 Το άθροισμα των πρώτων n όρων μιας γπ είναι

Sn =a(1minus rn)

1minus r =a(rnminus1)

rminus1 και ισχύει μόνο αν r 6= 1

I Το άθροισμα των όρων μιας γεωμετρικής προόδουονομάζεται γεωμετρική σειρά

Ε Ι Κοντογιώργης copy 52

Γεωμετρική σειρά

Sn = a+ar+ar2 +ar3 + middot middot middot+arnminus2 +arnminus1

rSn = ar+ar2 +ar3 + arnminus1 +arn

Snminus rSn = aminusarn

(1minus r)Sn = a(1minus rn)

Sn =a(1minus rn)

(1minus r) =a(rnminus1)

(rminus1)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 53

I Παράδειγμα1 Βρείτε το άθροισμα των πρώτων 10 όρων μιας γεωμετρικής

σειράς4 8 16 32

Ο πρώτος όρος είναι a= 4 και η αναλογία r = 2 καιn= 10 ´Ετσι

S10 =4(1minus210)

1minus2 = 4092

2 Θεωρείστε τη γπ4 minus8 16 minus32 64 minus128 256 minus512

Σε αυτή την περίπτωση ο πρώτος όρος είναι a= 4 ηαναλογία είναι r =minus2 και n= 8´Ετσι

S8 =4(1minus (minus2)8)

1minus (minus2)=minus340

Ε Ι Κοντογιώργης copy 54

Συνεχείς ανατοκισμός

Οι περισσότεροι τραπεζικοί λογαριασμοί και τα δάνειαυιοθετούν ανατοκισμό - εφαρμόζοντας συνεχή ανατοκισμόΘεωρείστε ένα λογαριασμό που προσφέρει τόκο με ετήσιοεπιτόκιο r (πχ 7) Εάν το επιτόκιο είναι συνεχέςσε χρονιαία βάση τότε μετά από 1 χρόνο το χρονιαίοεπιτόκιο προστίθεται στο αρχικό κεφάλαιο για νακαθορίσει ένα μεγαλύτερο κεφάλαιο τον δεύτερο χρόνο

´Ετσι κατά τη διάρκεια του δεύτερου χρόνου ολογαριασμός κερδίζει επιτόκιο πάνω στο επιτόκιοΑυτή είναι η επίδραση του ανατοκισμού που συνεχίζεταιχρόνο με το χρόνο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 55

I Με τον ετήσιο ανατοκισμό το κεφάλαιο πουσυσσωρεύεται στο λογαριασμό πολλαπλασιάζεται με

(1+ r)

´Ετσι το κεφάλαιο A θα αυξηθεί σε

A(1+ r) = A+A middot r

τον επόμενο χρόνο

I Με το πέρας και του δεύτερου χρόνου το κεφάλαιο θααυξηθεί ακόμα (1+ r) σε (1+ r)2

´Ετσι το κεφάλαιο καταλήγει σε

A(1+ r)(1+ r) = A(1+ r)2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 56

I Κατά παρόμοιο τρόπο στο τέλος του τρίτου χρόνου τοποσό θα αυξηθεί κατά (1+ r)3

I Μετά από n χρόνια το ποσό θα αυξηθεί κατά (1+ r)n

I ´Ετσι το κεφάλαιο (επένδυση) A θα αυξηθεί με συνεχήανατοκισμό σε A(1+ r)n μετά από n χρόνια

I Ο τύπος (1+ r)n εκθέτει γεωμετρική αύξηση λόγω τηςn δύναμης

Ε Ι Κοντογιώργης copy 57

ΠαραδείγματαI Εάν το επιτόκιο είναι r = 5 τότε το κεφάλαιοA= $1000 που βρίσκεται στην τράπεζα n= 20 χρόνιαθα αυξηθεί κατά

(1+ r)n = (1+005)20 = 2653 φορές

´Ετσι το ποσό θα καταλήξειA(1+ r)n = $265330

I Βρέστε το χρόνο που χρειάζεται για ένα λογαργιασμό ναδιπλασιάσει το διαθέσιμο κεφάλαιο του όταν r = 7 καιr = 10Ζητούμε να βρούμε το n έτσι ώστε

(1+ r)n = 2Ε Ι Κοντογιώργης copy 58

I Υπολογίζοντας το λογάριθμο του τελευταίου παίρνουμε

log(1+ r)n = log(2)ή n log(1+ r) = log(2)

´Ετσιn=

log2log(1+ r)

I Για r = 7 και r = 10 ο χρόνος n πουχρειάζεται για διπλασιασμό της επένδυσης υπολογίζεταισε 1024 και 727 αντίστοιχα

Ε Ι Κοντογιώργης copy 59

I Αν το επιτόκιο είναι r = 7 τότε πιο θα είναι τοσυνολικό ποσό στο λογαριασμό μετά από 205 και41 χρόνια αντίστοιχα

Μετά τα πρώτα 1025 χρόνια το ποσό A θαδιπλασιαστεί σε 2A Για τα επόμενα 1025 χρόνιατο ποσό θα ξαναδιπλασιαστεί σε 4A ´Ετσι μετά από205 χρόνια το ποσό θα αυξηθεί κατά 4 φορές

Με το πέρας ακόμα 205 χρόνων το ποσό θα αυξηθείακόμα 4 φορές σε 16 ´Ετσι μετά από 41 χρόνιατο κεφάλαιο A γίνεται 16A

Ε Ι Κοντογιώργης copy 60

Ασκήσεις και Παραδείγματα

I Υπολογίστε τη Μελλοντική Αξία (Future Value (FV)) τουκεφαλαίου A= 1500 που κερδίζει ετήσιο επιτόκιοr = 5 για n= 10 έτη

FV =A(1+ r)n = 1500(1+005)10 = 244334

I Πόσα έτη απαιτούνται για να τριπλασιαστεί ένα ποσόπου αφήνετε στην τράπεζα με επιτόκιο r = 5∆ηλαδή βρείτε το n όπου A= 1 r = 5 και FV = 3

FV =A(1+ r)n ή (1+ r)n =FVA

Ε Ι Κοντογιώργης copy 61

Υπολογίζοντας τους λογαρίθμους παίρνουμε

log(1+ r)n = log(FVA)

ή n log(1+ r) = log(FVA)

´Ετσι

n=log(FVA)

log(1+ r) =log(3)

log(105)

= 2252

Ε Ι Κοντογιώργης copy 62

I Βρείτε την παρούσα αξία A έτσι ώστε σε δέκα έτη μεσταθερό επιτόκιο r = 6 να είναι 100KΒρείτε το A όπου FV = 100000 r = 6 και n= 10

FV =A(1+ r)n ή A=FV

(1+ r)n

´Ετσι A=100000

(106)10= 5583948

I Βρείτε την ετησιοποιημένη απόδοση (AER AnnualEquivalent Rate) μιας μηνιαίας κατάθεσης με σταθερόεπιτοκίο 394 Μια τέτοια κατάθεση λαμβάνει το επιτόκιο στη λήξηΣυνεπώς κάθε μήνα ο λογαριασμός λαμβάνει

r = 0039412 = 000328

επιτόκιο που επανεπενδύεται (συνεχής ανατοκισμός)Ε Ι Κοντογιώργης copy 63

Επανεπενδύοντας το επιτόκιο κάθε μήνα στη διάρκειαενός έτους το κεφάλαιο θα αυξηθεί σε

(1+ r)12 = (1+000328)12 = 104012

´Ετσι το ΑΕΡ είναι ισοδύναμο με 004012 = 4012I Υπολογίστε το επιτόκιο ενός σταθερού λογαριασμού

κατάθεσης 7-ημερών που έχει AER επιτόκιο r = 425Θεωρείστε ρ το εβδομαδιαίο επιτόκιο

´Ετσι (1+ρ)52 = (1+00425)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 64

Παίρνοντας τους λογαρίθμους έχουμε52log(1+ρ) = log10425

ή log(1+ρ) =log10425

52

ή 1+ρ= 10( log10425

52)

Αυτό μας δίνει

ρ= 10

( log1042552

)minus1 = 008

´Ετσι το συνεχές επιτόκιο μιας επταήμερης κατάθεσης είναιρtimes52 = 41638

Εναλλακτικά (1+ρ)52 = (1+00425) δίνει

(1+ρ) =52radic10425ή ρ=

52radic10425minus = 008Ε Ι Κοντογιώργης copy 65

I Υπολογίστε την ετήσια απόδοση r έτσι ώστε A= 10000να επιστρέφει FV = 35000 σε n= 20 χρόνια

FV =A(1+ r)n ή (1+ r)n =FVA

´Ετσι

1+ r =nradic

FVA

Επομένως

r =nradic

FVA minus1 =

20radic

3500010000 minus1 = 00646 = 646

Ε Ι Κοντογιώργης copy 66

Εναλλακτικά παίρνοντας τους λογαρίθμους

log(1+ r)n = log(FVA) ή n log(1+ r) = log

(FVA)

´Ετσι

1+ r = 10(1n log

(FVA))

ή r = 10(1n log

(FVA))minus1

= 10( 120 log

(3500010000

))minus1

= 646

Ε Ι Κοντογιώργης copy 67

Γραφική Αναπαράσταση I

I Υποθέστε ότι έχουμε y= 3x+2 Καθώς έχουμε μόνο μιαδύναμη για το x πρέπει να λύσουμε γραμμική εξίσωσηκαι να σχεδιάσουμε μια ευθεία γραμμή Αρχικά θα πρέπεινα σχεδιάσουμε ένα T-chart Αυτό έχει τη μορφή

x y = 3x+2 (xy)

I Επιλέγουμε μια τιμή για το x και λύνουμε ως προς y

x y= 3x+2 (xy)minus2 minus4 (minus2minus4)0 2 (02)2 8 (28)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 68

Γραφική Αναπαράσταση II

-

6

X

Y

bull

bull

bull

I Βλέπουμε μια ευθεία με ανοδική τάση (έχοντας θετικήκλίση m= 3) καιτέμνει τον άξονα y στο σημείο y= 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 69

Γραφική Αναπαράσταση III

I Μια Τετραγωνική εξίσωση περιέχει x2 Για τηναναπαράσταση τετραγωνικών εξισώσεων χρειάζεται ναβρούμε περισσότερα από τρία σημεία στο σχεδιάγραμμα

Για παράδειγμα υποθέστε ότι y= x2minus6x+5 καιδίνεται το πιο κάτω T-chart

x y= x2minus6x+5 (xy)0 5 (05)1 0 (10)3 minus4 (3minus4)5 0 (50)6 5 (65)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 70

Γραφική Αναπαράσταση IV

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

-

6

X

Y

bull

bull

bull

bull

bull

Ε Ι Κοντογιώργης copy 71

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(1x + 2)

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(-3x + 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 72

-15

-10

-5

0

5

10

15

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(3x - 2)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 73

-20

0

20

40

60

80

100

120

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2+x)

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 74

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

1250

1500

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3+x2+x)

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x4)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 75

-25

-2

-15

-1

-05

0

05

1

15

2

25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(log(x))

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(x))

Ε Ι Κοντογιώργης copy 76

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(-x))

-5000

0

5000

10000

15000

20000

25000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(exp(x)+x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 77

Ανισότητες I

I Οι ανισότητες αποτελούνται από δύο ή τρεις αλγεβρικέςεκφράσεις που είναι συνδεδεμένες με τα σύμβολαανισότητας Τα σύμβολα αυτά είναι

lt μικρότερο τουgt μεγαλύτερο τουle μικρότερο ή ίσο τουge μεγαλύτερο ή ίσο του

I Παραδείγματα xgty yge x2 και ylt5x+1

I Το πρώτο βήμα για την αναπαράσταση ανισότητας τηςμορφής ygtx είναι να παραστήσουμε γραφικά τηνισότητα y= x

Ε Ι Κοντογιώργης copy 78

Ανισότητες II

I ygtx

Κάνετε δοκιμή με ένα σημείο να δείτε κατά πόσοικανοποιεί την ανισότητα Εάν ναι τότε σκιάστε τηνπεριοχή αυτή του σχεδιαγράμματος διαφορετικά σκιάστετην άλλη πλευρά

Ε Ι Κοντογιώργης copy 79

Ανισότητες III

I yltx

Ε Ι Κοντογιώργης copy 80

Ανισότητες IV

I yle 5x+1 και ygt5x+1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 81

Ανισότητες V

I yge x2 και yle x2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 82

Ανισότητες VI

I ygtx3 και yle x3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 83

Συστήματα Γραμμικών ΕξισώσεωνΠεριεχόμενα

1 Ε

2 Γ Α

ΑναφορέςΚεφάλαια 4 και 5FS Budnick Applied Mathematics for Business Economicsand the Social Sciences 4th edition McGraw-Hill 1993

Ε Ι Κοντογιώργης copy 84

Συστήματα Εξισώσεων

I ´Ενα σύστημα εξισώσεων συνδυάζει περισσότερες από μίαεξισώσεις

I ´Ενα σύστημα m εξισώσεων όπου κάθε εξίσωσηαποτελείται από n μεταβλητές ονομάζεται mtimesnσύστημα ή λέμε ότι έχει διαστάσεις mtimesn

I ΠαράδειγμαΠαρακάτω έχουμε ένα σύστημα 2times2

5X+10Y= 203X+4Y= 10

Οι μεταβλητές σε αυτή την περίπτωση είναι X και YΕ Ι Κοντογιώργης copy 85

Συστήματα Επίλυσης

I Το Σύστημα επίλυσης είναι μια σειρά τιμών μεταβλητώνπου ικανοποιούν το σύστημα ταυτόχρονα

I Σε μια σημειογραφική παράσταση το προηγούμενοπαράδειγμα μπορεί να γραφτεί ως εξής

S = (XY) | 5X+10Y = 20 και 3X+4Y = 10

I Το σύστημα επίλυσης μπορεί να είναι1 μηδενικό2 πεπερασμένο ή3 άπειρο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 86

2times2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική Ανάλυση

I Σε ένα δισδιάστατο γράφημα ένα σύστημα εξισώσεων2times2 αναπαρίστανται με ευθείες γραμμές Υπόρχουν τρίαενδεχόμενα

1 Οι ευθείες τέμνονται Το σημείο τομής αντιπροσωπεύει τηλύση του συστήματος εξισώσεων Αυτό το σημείοαλληλεπίδρασης είναι μια δέσμη τιμών X και Y που ικανοποιείκαι τις δύο εξισώσειςΕάν υπάρχει μόνο μια δέσμη τιμών για τις μεταβλητές που ναικανοποιεί το σύστημα εξισώσεων το σύστημα λέμε ότι έχειΜ Λ

2 Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες μεταξύ τους ∆εν έχουν κοινόσημείο Συνεπώς οι ευθείες δεν τέμνονται ποτέ Το σύστημαλέμε ότι ∆ ΛΑυτό υπονοεί ότι δεν υπάρχουν τιμές για τις μεταβλητές πουνα ικανοποιούν και τις δύο εξισώσεις Σε αυτή τηνπερίπτωση οι εξισώσεις στο σύστημα είναι Α

3 Και οι δύο εξισώσεις αναπαρίστανται ως μια κοινή ευθεία καιθεωρούνται ισοδύναμες εξισώσεις ´Ετσι το σύστημα έχειΑ Λ Αυτό συμβαίνει γιατί υπάρχει άπειροςαριθμός κοινών σημείων στις δύο γραμμές

Ε Ι Κοντογιώργης copy 87

I Π Θεωρείστε ένα σύστημα 2times22X+4Y= 203X+ Y= 10

I

X

Y

(24)

3X +Y = 10

2X +4Y = 20

0 2 4 6 8 10 12

2

4

6

8

10

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 88

I Το σημείο τομής δίνεται από το X= 2 και Y= 4Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές του X και Y στις δύοεξισώσεις δίνουν 20 = 20 και 10 = 10 αντίστοιχα

I Αυτό υποδειλώνει ότι X= 2 και Y= 4 είναι η σωστή λύση

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times23Xminus2Y= 6

minus15X+10Y=minus30

I

X

Y

(20)

(0minus3)

3X minus2Y = 6

minus15X +10Y =minus30

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 89

I Οι δύο εξισώσεις απλοποιούνται σε Xminus 23 Y= 2

Οι δύο εξισώσεις είναι ισοδύναμες και δίνουν έναπεπερασμένο αριθμό λύσεων έτσι ώστε

X= 0 Y =minus3X= 2 Y = 0X= 4 Y = 3

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times26Xminus12Y= 24

minus32X+3Y= 9

Οι εξισώσεις απλοποιούνται σεXminus2Y= 4Xminus2Y=minus6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 90

I

X

Y

(40)

(0minus2)

(minus60)

(03)

X minus2Y =minus6

X minus2Y = 4

0-0

I Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες και συνεπώς το σύστημαδεν έχει λύση ´Ετσι το σύστημα εξισώσεων είναιασύμπτωτο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 91

Περίληψη 2times2 Συστήματα Εξισώσεων∆ίνεται ένα Σύστημα Γραμμικών Εξισώσεων 2times2

Y=m1X+ c1Y=m2X+ c2

1 Υπάρχει μια στο σύστημα εάνm1 6= m2

2 ∆εν υπάρχει στο σύστημα εάνm1 = m2 και c1 6= c2

3 Υπάρχει εάνm1 = m2 και c1 = c2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 92

∆ιαδικασίες Απαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής χρησιμοποιεί πολλαπλασιασμόκαι πρόσθεση έτσι ώστε

1 Να απαλοιφεί μια από τις δύο μεταβλητές

2 Η εξίσωση που εξάγεται είναι συνάρτηση των υπόλοιπωνμεταβλητών

3 Αντικαθιστώντας την τιμή στην μεταβλητή σε μια από τιςαρχικές εξισώσεις βρίσκουμε την τιμή για τηναπολοιφθήσα μεταβλητή

Ε Ι Κοντογιώργης copy 93

ΠαραδείγματαI Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

2X +4Y = 20 (1)3X + Y = 10 (2)

Πολλαπλασιάζοντας τη δεύτερη εξίσωση με minus4 παίρνουμε

minus12X minus4Y =minus40 (3)

Προσθέτοντας την εξίσωση (1) στο (3)

2X + 4Y = 20minus12X minus 4Y = minus40minus10X = minus20

ή

X = 2 (4)Ε Ι Κοντογιώργης copy 94

Αντικαθιστώντας X= 2 στην εξίσωση (1) δίνεται2 middot2+4Y = 20 ή Y=4

´Ετσι η μοναδική λύση του συστήματος δίνεται από τοX= 2 και Y= 4 Μπορεί να επιβεβαιωθεί ότι αυτή είναι ησωστή λύση αντικαθιστώντας X= 2 και Y= 4 στηνεξίσωση (1) και (2)

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times23X minus2Y = 6 (5)

minus15X +10Y =minus30 (6)

Για την απαλοιφή της μεταβλητής X η εξίσωση (5)πολλαπλασιάζεται με 5 και το αποτέλεσμα προστίθεταιστην εξίσωση (6)

15X minus 10Y = 30minus15X + 10Y = minus30

0 = 0 Ε Ι Κοντογιώργης copy 95

Οι τελευταίες πράξεις υπονοούν ότι οι εξίσωσεις (5) και(6) είναι ισοδύναμες και έτσι υπάρχει άπειρος αριθμόςλύσεωνΓια να προσδιορίσουμε τις λύσεις του συστήματος μια απότις αρχικές εξισώσεις λύνεται ως προς μια μεταβλητή Ανγια παράδειγμα η εξίσωση (5) λύνεται ως προς Y δίνει

Y =32Xminus3

Σαν αποτέλεσμα γενικεύοντας τις λύσεις του συστήματοςέχουμε

X τυχαίο και Y =32Xminus3

Πχ για X= 4 υπονοείται ότι Y=32 middot4minus3 = 3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 96

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

6X minus12Y = 24 (7)

minus32X +3Y = 9 (8)

Πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση (8) με 4 καιπροσθέτοντας το αποτέλεσμα στην εξίσωση (7)παίρνουμε

6X minus 12Y = 24minus6X + 12Y = 36

0 = 60

Η πιο πάνω αντιλογία υπονοεί ότι δεν υπάρχει λύση τουσυστήματος εξισώσεων

Ε Ι Κοντογιώργης copy 97

3times2 Συστήματα Εξισώσεων I

1 Μ Λ

X

Y

(32)

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minusY = 1

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 98

3times2 Συστήματα Εξισώσεων II

2 Α Λ

X

Y Εξις (1)Εξις (2)Εξις (3)

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 99

3times2 Συστήματα Εξισώσεων III3 Κ

(α) ´Οταν και οι τρεις εξισώσεις είναι παράλληλες

X

Y

2X minusY =minus8

2X minusY = 2

2X minusY = 12

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 100

3times2 Συστήματα Εξισώσεων IV(β) ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ τωνεξισώσεων

X

Y

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minus2Y =minus4

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 101

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική ΑνάλυσηΣε ένα γράφημα 2 διαστάσεων ένα σύστημα mtimes2(mgt2) εξισώσεων παριστάνεται με m ευθείες ´Οπωςσυμβαίνει στα συστήματα 2times2 υπάρχουν τρίαενδεχόμενα

1 ´Ολες οι ευθείες τέμνονται στο ίδιο σημείο και έτσιυπάρχει

2 ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ των mεξισώσεων Αυτό σημαίνει ότι όλες οι ευθείες είναιπαράλληλες Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα Λ

3 Οι m εξισώσεις είναι ισοδύναμες πχ παρασταίνονται σανμια ευθεία Σε αυτή την περίπτωση υπάρχει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 102

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων ∆ιαδικασίαΑπαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής για την επίλυση ενός συστήματοςmtimes2 μπορεί να περιγραφεί ως ακολούθωςΕπιλέξτε και λύστε σύστημα με δύο εξισώσεις

1 Εάν δεν υπάρχει λύση τότε ολόκληρο το σύστημα δεν έχειλύση

2 Εάν υπάρχει μοναδική λύση που ικανοποιεί τις υπόλοιπεςmminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα έχει μία μοναδική λύση

3 Εάν η λύση είναι μοναδική αλλά δεν ικανοποιεί τιςυπόλοιπες mminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα δεν έχει λύση

4 Εάν οι 2 λύσεις είναι ισοδύναμες απάλοιψτε τη μίααπό τις δύο εξισώσεις και ξεκινήστε από την αρχήλαμβάνοντας υπόψη ένα σύστημα (mminus1)times2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 103

ΠαράδείγμαI Θεωρείστε ένα σύστημα 5times2

XminusY= 1X+2Y=minus8

3Xminus2Y= 02Xminus5Y= 11minus4X+3Y=minus1

I Η λύση των πρώτων δύο εξισώσεων δίνετε απόY =minus3 και X =minus2

I Αντικαθιστώντας τη λύση στις υπόλοιπες τρεις εξισώσειςπαίρνετε αντίστοιχα

0 = 0 11 = 11 και minus1 =minus1I Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση

X=minus2 και Y=minus3Ε Ι Κοντογιώργης copy 104

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian

Η μέθοδος απολοιφής Gaussian μετατρέπει το αρχικόσύστημα εξισώσεων σε διαγώνια μορφή επαναλαμβάνονταςστις εξισώσεις τις ακόλουθες τρεις διαδικασίες

1 Πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης μεμια θετική σταθερά

2 Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού θα προστεθεί σεάλλη εξίσωση

3 Η σειρά των εξισώσεων μπορεί να αλλάξει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 105

ΠαράδείγμαΠ Θεωρείστε το σύστημα 2times2

2X minus 3Y = 7 (Εξ 1)X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με 12 για να πάρετε

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με minus1 καιπροσθέστε την στην (Εξ 2)

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

52Y =

152 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 106

Στάδιο 3 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 25

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

Y = 3 (Εξ 2)

Στάδιο 4 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 32 και

προσθέστε την στην (Εξ 1)

X = 1 (Εξ 1)Y = 3 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 107

Π Θεωρείστε το σύστημα 2times2

5X + 20Y = 254X minus 7Y =minus26

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να εκφραστεί ως

R1 5 20 25R2 4 minus7 minus26

Η κάθετη γραμμή χρησιμοποιείται για διαχωρισμό τηςαριστερής από τη δεξιά πλευρά των εξισώσεων Το Riυπονοεί τη γραμμή (Row) i

Ε Ι Κοντογιώργης copy 108

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάζουμε τη R1 με 15 και το θέτουμε

R1larr 15R1

R1 1 4 5R2 4 minus7 minus26

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάζουμε την R1 με minus4 και τηνπροσθέτουμε στην R2 Εν συντομίαR2larrminus4R1+R2

R1 1 4 5R2 0 minus23 minus46

Στάδιο 3 R2larrminus 123R2

R1 1 4 5R2 0 1 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 109

Στάδιο 4 R1larrminus4R2+R1

R1 1 0 minus3R2 0 1 2

Το αρχικό σύστημα εξισώσεων μετατρέπεται σε διαγώνιαμορφή όπως πιο κάτω

X =minus3Y = 2

το οποίο δίνει τη λύση του συστήματος

Ε Ι Κοντογιώργης copy 110

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 I

Το σύστημα εξισώσεων 3times3 μετετρέπεται σε διαγώνιαμορφή Η μετατροπή γίνεται στήλη με στήλη από τααριστερά προς τα δεξιά

Π Θεωρήστε το σύστημα 3times3

X1 + X2 + X3 = 2X1 minus 3X2 + 2X3 = 7

4X1 minus 2X2 minus X3 = 9

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να γραφτεί ως

Ε Ι Κοντογιώργης copy 111

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 II

1 1 1 21 minus3 2 74 minus2 minus1 9

Ε Ι Κοντογιώργης copy 112

I Αθροιστικός Τύπος

Insum

i = 1i = 1+2+ middot middot middot+n=

n(n+1)

2

Πχ6sumi = 1i = 1+2+3+4+5+6 =

6(6+1)

2 = 21

Insum

i = 1i2 = 12 +22 + middot middot middot+n2 =

n(n+1)(2n+1)

6

Πχ6sumi = 1i2 = 12 +22 +32 +42 +52 +62

=6(6+1)(12+1)

6 = 91

Ε Ι Κοντογιώργης copy 41

Insum

i = 1i3 = 13 +23 + middot middot middot+n3 =

n2(n+1)2

4

Πχ6sumi = 1i3 = 13 +23 +33 +43 +53 +63

=62(6+1)2

4 = 441

Ε Ι Κοντογιώργης copy 42

ΠαραδήγματαΑριθμητική Πρόοδος

I Γενικά μπορούμε να εκφράσουμε μια αριθμητική πρόοδο ωςεξής

αριθμητική πρόοδος a a+d a+2d a+3d

όπου ο πρώτος όρος είναι a και η διαφορά d Ο όρος nτης απ δίνεται από τη σχέση b = a+ (nminus1)d

I 3 5 7 9 11 είναι μια αριθμητική πρόοδος Οπρώτος όρος είναι το 3 και η διαφορά είναι 2

I 2 minus1 minus4 minus7 είναι μια αριθμητική πρόοδος όπου οπρώτος όρος είναι 2 και η διαφορά minus3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 43

I Το άθροισμα των όρων μιας αριθμητικής προόδου είναιγνωστό ως αριθμητική σειρά

Sn = a+ (a+d) + (a+2d) + middot middot middot+ (a+ (nminus1)d)

=nsumi=1

(a+ (iminus1)d

)= na+

nsumi=1

(iminus1)d

= na+dnminus1sumi=1

i = na+d(nminus1)n2

=n2(2a+d(nminus1)) =

n2(a+b) b = a+d(nminus1)

I ΑΠ 3 5 7 9 11 13 rArr Sn =62(3+13) = 48

Ε Ι Κοντογιώργης copy 44

∆ιπλό Αθροισμα4sumi=1

isumj=1

j = (1) + (1+2) + (1+2+3) + (1+2+3+4) = 20

nsumi=1

isumj=1

j =nsumi=1

( isumj=1

j)

nsumi=1

(12 i(i+1)

)=

12

nsumi=1

(i2 + i)

12( nsumi=1

i2 +nsumi=1

i)

=12(16n(n+1)(2n+1) +

12n(n+1)

)

=12

16n(n+1)

((2n+1) +3

)=

n6(n+1)(n+2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 45

∆ιπλό Αθροισμα

nsumi=1

msumj=1

(i+ j+2) =nsumi=1

( msumj=1

(i+ j+2))

nsumi=1

( msumj=1

i+msumj=1

j+msumj=1

2)

=nsumi=1

(mi+ 1

2m(m+1) +2m)

m( nsumi=1

i+ 12

nsumi=1

(m+5))

= m(12n(n+1) +

12n(m+5)

)

=mn2(m+n+6

)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 46

Insumr=1

1r(r+1)

=nsumr=1

(Ar +

Br+1

)=

nsumr=1

A(r+1) +Brr(r+1)

I A(r+1) +Br = 1

I Για r = 0 τότε A= 1 και για r =minus1 τότε B=minus1

I

nsumr=1

1r(r+1)

=nsumr=1

(1r minus

1r+1

)

=(

(11 minus

12) + (

12 minus

13) + (

13 minus

14) + middot middot middot+ (

1nminus1 minus

1n ) + (

1n minus

1n+1)

)

= 1minus 1n+1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 47

Insumk=1

1(k+2)(k+3)

=nsumk=1

( A(k+2)

+B

(k+3)

)=

nsumk=1

A(k+3) +B(k+2)

(k+2)(k+3)

I A(k+3) +B(k+2) = 1

I Για k=minus2 τότε A= 1 και για k=minus3 τότε B=minus1

I

nsumk=1

1(k+2)(k+3)

=nsumk=1

( 1(k+2)

minus 1(k+3)

)

=(

(13 minus

14)+(

14 minus

15)+(

15 minus

16)+ +(

1n+1 minus

1n+2)+(

1n+2 minus

1n+3)

)

=13 minus

1n+3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 48

Αθροισμα με Λογάριθμους

nsumi=1

logb(i) = logb(1) + logb(2) + middot middot middot+ logb(n)

= logb(1times2times3timesmiddotmiddot middottimesn)

= logb(n)

I Το n (n παραγοντικό) δίνεται από n = 1times2timesmiddotmiddot middottimesn και0 = 1

I100sumi=1

log2(100) = log2(100) =log(100)

log(2)=

log(99)

log(2)+

2log(2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 49

Γινόμενο των ακολουθιώνIn

prodi=1xi = x1timesx2timesx3timesmiddotmiddot middottimesxn

In

prodi=1i = 1times2times3timesmiddotmiddot middottimesn= n

In

prodi=1z= ztimesztimesmiddotmiddot middottimesz= zn

I

nprodi=1

(1+

1i+1

)=(1+

12)times(1+

13)times(1+

14)times times(1+

1n )times(1+

1n+1)

=32 times

43 times

54 timesmiddotmiddot middottimes

n+1n times n+2

n+1

=n+22

Ε Ι Κοντογιώργης copy 50

Γεωμετρικές ΠροόδοιI Μια γεωμετρική πρόοδος είναι μια σειρά αριθμών όπου

κάθε όρος μετά των πρώτο υπολογίζεται από τονπολλαπλασιασμό του προηγούμενου όρου με ένασταθερό αριθμό που καλείται αναλογία

I Η σειρά1 3 9 27 81 middot middot middot

είναι μια γεωμετρική πρόοδος με πρώτο όρο το 1 καιαναλογία 3

I Η αναλογία μπορεί να είναι κλάσμα καθώς επίσης καιαρνητικός αριθμός Για παράδειγμα η γεωμετρικήπρόοδος με πρώτο όρο το 2 και αναλογία minus13 είναι

2 minus 23 +

29 minus

227 +

281 middot middot middot

Ε Ι Κοντογιώργης copy 51

I Γενικά μπορούμε να γράψουμε μια γεωμετρική πρόοδο ωςακολούθως

γεωμετρική πρόοδος a ar ar2 ar3 ar4 middot middot middot

όπου ο πρώτος όρος είναι a και η αναλογία r

I Σημαντικά θεωρήματα των γεωμετρικών προόδων (γπ)1 Ο n όρος μιας γπ δίνεται από ar(nminus1)

2 Το άθροισμα των πρώτων n όρων μιας γπ είναι

Sn =a(1minus rn)

1minus r =a(rnminus1)

rminus1 και ισχύει μόνο αν r 6= 1

I Το άθροισμα των όρων μιας γεωμετρικής προόδουονομάζεται γεωμετρική σειρά

Ε Ι Κοντογιώργης copy 52

Γεωμετρική σειρά

Sn = a+ar+ar2 +ar3 + middot middot middot+arnminus2 +arnminus1

rSn = ar+ar2 +ar3 + arnminus1 +arn

Snminus rSn = aminusarn

(1minus r)Sn = a(1minus rn)

Sn =a(1minus rn)

(1minus r) =a(rnminus1)

(rminus1)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 53

I Παράδειγμα1 Βρείτε το άθροισμα των πρώτων 10 όρων μιας γεωμετρικής

σειράς4 8 16 32

Ο πρώτος όρος είναι a= 4 και η αναλογία r = 2 καιn= 10 ´Ετσι

S10 =4(1minus210)

1minus2 = 4092

2 Θεωρείστε τη γπ4 minus8 16 minus32 64 minus128 256 minus512

Σε αυτή την περίπτωση ο πρώτος όρος είναι a= 4 ηαναλογία είναι r =minus2 και n= 8´Ετσι

S8 =4(1minus (minus2)8)

1minus (minus2)=minus340

Ε Ι Κοντογιώργης copy 54

Συνεχείς ανατοκισμός

Οι περισσότεροι τραπεζικοί λογαριασμοί και τα δάνειαυιοθετούν ανατοκισμό - εφαρμόζοντας συνεχή ανατοκισμόΘεωρείστε ένα λογαριασμό που προσφέρει τόκο με ετήσιοεπιτόκιο r (πχ 7) Εάν το επιτόκιο είναι συνεχέςσε χρονιαία βάση τότε μετά από 1 χρόνο το χρονιαίοεπιτόκιο προστίθεται στο αρχικό κεφάλαιο για νακαθορίσει ένα μεγαλύτερο κεφάλαιο τον δεύτερο χρόνο

´Ετσι κατά τη διάρκεια του δεύτερου χρόνου ολογαριασμός κερδίζει επιτόκιο πάνω στο επιτόκιοΑυτή είναι η επίδραση του ανατοκισμού που συνεχίζεταιχρόνο με το χρόνο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 55

I Με τον ετήσιο ανατοκισμό το κεφάλαιο πουσυσσωρεύεται στο λογαριασμό πολλαπλασιάζεται με

(1+ r)

´Ετσι το κεφάλαιο A θα αυξηθεί σε

A(1+ r) = A+A middot r

τον επόμενο χρόνο

I Με το πέρας και του δεύτερου χρόνου το κεφάλαιο θααυξηθεί ακόμα (1+ r) σε (1+ r)2

´Ετσι το κεφάλαιο καταλήγει σε

A(1+ r)(1+ r) = A(1+ r)2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 56

I Κατά παρόμοιο τρόπο στο τέλος του τρίτου χρόνου τοποσό θα αυξηθεί κατά (1+ r)3

I Μετά από n χρόνια το ποσό θα αυξηθεί κατά (1+ r)n

I ´Ετσι το κεφάλαιο (επένδυση) A θα αυξηθεί με συνεχήανατοκισμό σε A(1+ r)n μετά από n χρόνια

I Ο τύπος (1+ r)n εκθέτει γεωμετρική αύξηση λόγω τηςn δύναμης

Ε Ι Κοντογιώργης copy 57

ΠαραδείγματαI Εάν το επιτόκιο είναι r = 5 τότε το κεφάλαιοA= $1000 που βρίσκεται στην τράπεζα n= 20 χρόνιαθα αυξηθεί κατά

(1+ r)n = (1+005)20 = 2653 φορές

´Ετσι το ποσό θα καταλήξειA(1+ r)n = $265330

I Βρέστε το χρόνο που χρειάζεται για ένα λογαργιασμό ναδιπλασιάσει το διαθέσιμο κεφάλαιο του όταν r = 7 καιr = 10Ζητούμε να βρούμε το n έτσι ώστε

(1+ r)n = 2Ε Ι Κοντογιώργης copy 58

I Υπολογίζοντας το λογάριθμο του τελευταίου παίρνουμε

log(1+ r)n = log(2)ή n log(1+ r) = log(2)

´Ετσιn=

log2log(1+ r)

I Για r = 7 και r = 10 ο χρόνος n πουχρειάζεται για διπλασιασμό της επένδυσης υπολογίζεταισε 1024 και 727 αντίστοιχα

Ε Ι Κοντογιώργης copy 59

I Αν το επιτόκιο είναι r = 7 τότε πιο θα είναι τοσυνολικό ποσό στο λογαριασμό μετά από 205 και41 χρόνια αντίστοιχα

Μετά τα πρώτα 1025 χρόνια το ποσό A θαδιπλασιαστεί σε 2A Για τα επόμενα 1025 χρόνιατο ποσό θα ξαναδιπλασιαστεί σε 4A ´Ετσι μετά από205 χρόνια το ποσό θα αυξηθεί κατά 4 φορές

Με το πέρας ακόμα 205 χρόνων το ποσό θα αυξηθείακόμα 4 φορές σε 16 ´Ετσι μετά από 41 χρόνιατο κεφάλαιο A γίνεται 16A

Ε Ι Κοντογιώργης copy 60

Ασκήσεις και Παραδείγματα

I Υπολογίστε τη Μελλοντική Αξία (Future Value (FV)) τουκεφαλαίου A= 1500 που κερδίζει ετήσιο επιτόκιοr = 5 για n= 10 έτη

FV =A(1+ r)n = 1500(1+005)10 = 244334

I Πόσα έτη απαιτούνται για να τριπλασιαστεί ένα ποσόπου αφήνετε στην τράπεζα με επιτόκιο r = 5∆ηλαδή βρείτε το n όπου A= 1 r = 5 και FV = 3

FV =A(1+ r)n ή (1+ r)n =FVA

Ε Ι Κοντογιώργης copy 61

Υπολογίζοντας τους λογαρίθμους παίρνουμε

log(1+ r)n = log(FVA)

ή n log(1+ r) = log(FVA)

´Ετσι

n=log(FVA)

log(1+ r) =log(3)

log(105)

= 2252

Ε Ι Κοντογιώργης copy 62

I Βρείτε την παρούσα αξία A έτσι ώστε σε δέκα έτη μεσταθερό επιτόκιο r = 6 να είναι 100KΒρείτε το A όπου FV = 100000 r = 6 και n= 10

FV =A(1+ r)n ή A=FV

(1+ r)n

´Ετσι A=100000

(106)10= 5583948

I Βρείτε την ετησιοποιημένη απόδοση (AER AnnualEquivalent Rate) μιας μηνιαίας κατάθεσης με σταθερόεπιτοκίο 394 Μια τέτοια κατάθεση λαμβάνει το επιτόκιο στη λήξηΣυνεπώς κάθε μήνα ο λογαριασμός λαμβάνει

r = 0039412 = 000328

επιτόκιο που επανεπενδύεται (συνεχής ανατοκισμός)Ε Ι Κοντογιώργης copy 63

Επανεπενδύοντας το επιτόκιο κάθε μήνα στη διάρκειαενός έτους το κεφάλαιο θα αυξηθεί σε

(1+ r)12 = (1+000328)12 = 104012

´Ετσι το ΑΕΡ είναι ισοδύναμο με 004012 = 4012I Υπολογίστε το επιτόκιο ενός σταθερού λογαριασμού

κατάθεσης 7-ημερών που έχει AER επιτόκιο r = 425Θεωρείστε ρ το εβδομαδιαίο επιτόκιο

´Ετσι (1+ρ)52 = (1+00425)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 64

Παίρνοντας τους λογαρίθμους έχουμε52log(1+ρ) = log10425

ή log(1+ρ) =log10425

52

ή 1+ρ= 10( log10425

52)

Αυτό μας δίνει

ρ= 10

( log1042552

)minus1 = 008

´Ετσι το συνεχές επιτόκιο μιας επταήμερης κατάθεσης είναιρtimes52 = 41638

Εναλλακτικά (1+ρ)52 = (1+00425) δίνει

(1+ρ) =52radic10425ή ρ=

52radic10425minus = 008Ε Ι Κοντογιώργης copy 65

I Υπολογίστε την ετήσια απόδοση r έτσι ώστε A= 10000να επιστρέφει FV = 35000 σε n= 20 χρόνια

FV =A(1+ r)n ή (1+ r)n =FVA

´Ετσι

1+ r =nradic

FVA

Επομένως

r =nradic

FVA minus1 =

20radic

3500010000 minus1 = 00646 = 646

Ε Ι Κοντογιώργης copy 66

Εναλλακτικά παίρνοντας τους λογαρίθμους

log(1+ r)n = log(FVA) ή n log(1+ r) = log

(FVA)

´Ετσι

1+ r = 10(1n log

(FVA))

ή r = 10(1n log

(FVA))minus1

= 10( 120 log

(3500010000

))minus1

= 646

Ε Ι Κοντογιώργης copy 67

Γραφική Αναπαράσταση I

I Υποθέστε ότι έχουμε y= 3x+2 Καθώς έχουμε μόνο μιαδύναμη για το x πρέπει να λύσουμε γραμμική εξίσωσηκαι να σχεδιάσουμε μια ευθεία γραμμή Αρχικά θα πρέπεινα σχεδιάσουμε ένα T-chart Αυτό έχει τη μορφή

x y = 3x+2 (xy)

I Επιλέγουμε μια τιμή για το x και λύνουμε ως προς y

x y= 3x+2 (xy)minus2 minus4 (minus2minus4)0 2 (02)2 8 (28)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 68

Γραφική Αναπαράσταση II

-

6

X

Y

bull

bull

bull

I Βλέπουμε μια ευθεία με ανοδική τάση (έχοντας θετικήκλίση m= 3) καιτέμνει τον άξονα y στο σημείο y= 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 69

Γραφική Αναπαράσταση III

I Μια Τετραγωνική εξίσωση περιέχει x2 Για τηναναπαράσταση τετραγωνικών εξισώσεων χρειάζεται ναβρούμε περισσότερα από τρία σημεία στο σχεδιάγραμμα

Για παράδειγμα υποθέστε ότι y= x2minus6x+5 καιδίνεται το πιο κάτω T-chart

x y= x2minus6x+5 (xy)0 5 (05)1 0 (10)3 minus4 (3minus4)5 0 (50)6 5 (65)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 70

Γραφική Αναπαράσταση IV

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

-

6

X

Y

bull

bull

bull

bull

bull

Ε Ι Κοντογιώργης copy 71

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(1x + 2)

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(-3x + 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 72

-15

-10

-5

0

5

10

15

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(3x - 2)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 73

-20

0

20

40

60

80

100

120

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2+x)

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 74

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

1250

1500

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3+x2+x)

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x4)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 75

-25

-2

-15

-1

-05

0

05

1

15

2

25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(log(x))

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(x))

Ε Ι Κοντογιώργης copy 76

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(-x))

-5000

0

5000

10000

15000

20000

25000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(exp(x)+x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 77

Ανισότητες I

I Οι ανισότητες αποτελούνται από δύο ή τρεις αλγεβρικέςεκφράσεις που είναι συνδεδεμένες με τα σύμβολαανισότητας Τα σύμβολα αυτά είναι

lt μικρότερο τουgt μεγαλύτερο τουle μικρότερο ή ίσο τουge μεγαλύτερο ή ίσο του

I Παραδείγματα xgty yge x2 και ylt5x+1

I Το πρώτο βήμα για την αναπαράσταση ανισότητας τηςμορφής ygtx είναι να παραστήσουμε γραφικά τηνισότητα y= x

Ε Ι Κοντογιώργης copy 78

Ανισότητες II

I ygtx

Κάνετε δοκιμή με ένα σημείο να δείτε κατά πόσοικανοποιεί την ανισότητα Εάν ναι τότε σκιάστε τηνπεριοχή αυτή του σχεδιαγράμματος διαφορετικά σκιάστετην άλλη πλευρά

Ε Ι Κοντογιώργης copy 79

Ανισότητες III

I yltx

Ε Ι Κοντογιώργης copy 80

Ανισότητες IV

I yle 5x+1 και ygt5x+1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 81

Ανισότητες V

I yge x2 και yle x2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 82

Ανισότητες VI

I ygtx3 και yle x3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 83

Συστήματα Γραμμικών ΕξισώσεωνΠεριεχόμενα

1 Ε

2 Γ Α

ΑναφορέςΚεφάλαια 4 και 5FS Budnick Applied Mathematics for Business Economicsand the Social Sciences 4th edition McGraw-Hill 1993

Ε Ι Κοντογιώργης copy 84

Συστήματα Εξισώσεων

I ´Ενα σύστημα εξισώσεων συνδυάζει περισσότερες από μίαεξισώσεις

I ´Ενα σύστημα m εξισώσεων όπου κάθε εξίσωσηαποτελείται από n μεταβλητές ονομάζεται mtimesnσύστημα ή λέμε ότι έχει διαστάσεις mtimesn

I ΠαράδειγμαΠαρακάτω έχουμε ένα σύστημα 2times2

5X+10Y= 203X+4Y= 10

Οι μεταβλητές σε αυτή την περίπτωση είναι X και YΕ Ι Κοντογιώργης copy 85

Συστήματα Επίλυσης

I Το Σύστημα επίλυσης είναι μια σειρά τιμών μεταβλητώνπου ικανοποιούν το σύστημα ταυτόχρονα

I Σε μια σημειογραφική παράσταση το προηγούμενοπαράδειγμα μπορεί να γραφτεί ως εξής

S = (XY) | 5X+10Y = 20 και 3X+4Y = 10

I Το σύστημα επίλυσης μπορεί να είναι1 μηδενικό2 πεπερασμένο ή3 άπειρο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 86

2times2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική Ανάλυση

I Σε ένα δισδιάστατο γράφημα ένα σύστημα εξισώσεων2times2 αναπαρίστανται με ευθείες γραμμές Υπόρχουν τρίαενδεχόμενα

1 Οι ευθείες τέμνονται Το σημείο τομής αντιπροσωπεύει τηλύση του συστήματος εξισώσεων Αυτό το σημείοαλληλεπίδρασης είναι μια δέσμη τιμών X και Y που ικανοποιείκαι τις δύο εξισώσειςΕάν υπάρχει μόνο μια δέσμη τιμών για τις μεταβλητές που ναικανοποιεί το σύστημα εξισώσεων το σύστημα λέμε ότι έχειΜ Λ

2 Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες μεταξύ τους ∆εν έχουν κοινόσημείο Συνεπώς οι ευθείες δεν τέμνονται ποτέ Το σύστημαλέμε ότι ∆ ΛΑυτό υπονοεί ότι δεν υπάρχουν τιμές για τις μεταβλητές πουνα ικανοποιούν και τις δύο εξισώσεις Σε αυτή τηνπερίπτωση οι εξισώσεις στο σύστημα είναι Α

3 Και οι δύο εξισώσεις αναπαρίστανται ως μια κοινή ευθεία καιθεωρούνται ισοδύναμες εξισώσεις ´Ετσι το σύστημα έχειΑ Λ Αυτό συμβαίνει γιατί υπάρχει άπειροςαριθμός κοινών σημείων στις δύο γραμμές

Ε Ι Κοντογιώργης copy 87

I Π Θεωρείστε ένα σύστημα 2times22X+4Y= 203X+ Y= 10

I

X

Y

(24)

3X +Y = 10

2X +4Y = 20

0 2 4 6 8 10 12

2

4

6

8

10

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 88

I Το σημείο τομής δίνεται από το X= 2 και Y= 4Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές του X και Y στις δύοεξισώσεις δίνουν 20 = 20 και 10 = 10 αντίστοιχα

I Αυτό υποδειλώνει ότι X= 2 και Y= 4 είναι η σωστή λύση

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times23Xminus2Y= 6

minus15X+10Y=minus30

I

X

Y

(20)

(0minus3)

3X minus2Y = 6

minus15X +10Y =minus30

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 89

I Οι δύο εξισώσεις απλοποιούνται σε Xminus 23 Y= 2

Οι δύο εξισώσεις είναι ισοδύναμες και δίνουν έναπεπερασμένο αριθμό λύσεων έτσι ώστε

X= 0 Y =minus3X= 2 Y = 0X= 4 Y = 3

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times26Xminus12Y= 24

minus32X+3Y= 9

Οι εξισώσεις απλοποιούνται σεXminus2Y= 4Xminus2Y=minus6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 90

I

X

Y

(40)

(0minus2)

(minus60)

(03)

X minus2Y =minus6

X minus2Y = 4

0-0

I Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες και συνεπώς το σύστημαδεν έχει λύση ´Ετσι το σύστημα εξισώσεων είναιασύμπτωτο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 91

Περίληψη 2times2 Συστήματα Εξισώσεων∆ίνεται ένα Σύστημα Γραμμικών Εξισώσεων 2times2

Y=m1X+ c1Y=m2X+ c2

1 Υπάρχει μια στο σύστημα εάνm1 6= m2

2 ∆εν υπάρχει στο σύστημα εάνm1 = m2 και c1 6= c2

3 Υπάρχει εάνm1 = m2 και c1 = c2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 92

∆ιαδικασίες Απαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής χρησιμοποιεί πολλαπλασιασμόκαι πρόσθεση έτσι ώστε

1 Να απαλοιφεί μια από τις δύο μεταβλητές

2 Η εξίσωση που εξάγεται είναι συνάρτηση των υπόλοιπωνμεταβλητών

3 Αντικαθιστώντας την τιμή στην μεταβλητή σε μια από τιςαρχικές εξισώσεις βρίσκουμε την τιμή για τηναπολοιφθήσα μεταβλητή

Ε Ι Κοντογιώργης copy 93

ΠαραδείγματαI Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

2X +4Y = 20 (1)3X + Y = 10 (2)

Πολλαπλασιάζοντας τη δεύτερη εξίσωση με minus4 παίρνουμε

minus12X minus4Y =minus40 (3)

Προσθέτοντας την εξίσωση (1) στο (3)

2X + 4Y = 20minus12X minus 4Y = minus40minus10X = minus20

ή

X = 2 (4)Ε Ι Κοντογιώργης copy 94

Αντικαθιστώντας X= 2 στην εξίσωση (1) δίνεται2 middot2+4Y = 20 ή Y=4

´Ετσι η μοναδική λύση του συστήματος δίνεται από τοX= 2 και Y= 4 Μπορεί να επιβεβαιωθεί ότι αυτή είναι ησωστή λύση αντικαθιστώντας X= 2 και Y= 4 στηνεξίσωση (1) και (2)

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times23X minus2Y = 6 (5)

minus15X +10Y =minus30 (6)

Για την απαλοιφή της μεταβλητής X η εξίσωση (5)πολλαπλασιάζεται με 5 και το αποτέλεσμα προστίθεταιστην εξίσωση (6)

15X minus 10Y = 30minus15X + 10Y = minus30

0 = 0 Ε Ι Κοντογιώργης copy 95

Οι τελευταίες πράξεις υπονοούν ότι οι εξίσωσεις (5) και(6) είναι ισοδύναμες και έτσι υπάρχει άπειρος αριθμόςλύσεωνΓια να προσδιορίσουμε τις λύσεις του συστήματος μια απότις αρχικές εξισώσεις λύνεται ως προς μια μεταβλητή Ανγια παράδειγμα η εξίσωση (5) λύνεται ως προς Y δίνει

Y =32Xminus3

Σαν αποτέλεσμα γενικεύοντας τις λύσεις του συστήματοςέχουμε

X τυχαίο και Y =32Xminus3

Πχ για X= 4 υπονοείται ότι Y=32 middot4minus3 = 3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 96

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

6X minus12Y = 24 (7)

minus32X +3Y = 9 (8)

Πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση (8) με 4 καιπροσθέτοντας το αποτέλεσμα στην εξίσωση (7)παίρνουμε

6X minus 12Y = 24minus6X + 12Y = 36

0 = 60

Η πιο πάνω αντιλογία υπονοεί ότι δεν υπάρχει λύση τουσυστήματος εξισώσεων

Ε Ι Κοντογιώργης copy 97

3times2 Συστήματα Εξισώσεων I

1 Μ Λ

X

Y

(32)

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minusY = 1

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 98

3times2 Συστήματα Εξισώσεων II

2 Α Λ

X

Y Εξις (1)Εξις (2)Εξις (3)

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 99

3times2 Συστήματα Εξισώσεων III3 Κ

(α) ´Οταν και οι τρεις εξισώσεις είναι παράλληλες

X

Y

2X minusY =minus8

2X minusY = 2

2X minusY = 12

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 100

3times2 Συστήματα Εξισώσεων IV(β) ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ τωνεξισώσεων

X

Y

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minus2Y =minus4

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 101

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική ΑνάλυσηΣε ένα γράφημα 2 διαστάσεων ένα σύστημα mtimes2(mgt2) εξισώσεων παριστάνεται με m ευθείες ´Οπωςσυμβαίνει στα συστήματα 2times2 υπάρχουν τρίαενδεχόμενα

1 ´Ολες οι ευθείες τέμνονται στο ίδιο σημείο και έτσιυπάρχει

2 ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ των mεξισώσεων Αυτό σημαίνει ότι όλες οι ευθείες είναιπαράλληλες Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα Λ

3 Οι m εξισώσεις είναι ισοδύναμες πχ παρασταίνονται σανμια ευθεία Σε αυτή την περίπτωση υπάρχει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 102

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων ∆ιαδικασίαΑπαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής για την επίλυση ενός συστήματοςmtimes2 μπορεί να περιγραφεί ως ακολούθωςΕπιλέξτε και λύστε σύστημα με δύο εξισώσεις

1 Εάν δεν υπάρχει λύση τότε ολόκληρο το σύστημα δεν έχειλύση

2 Εάν υπάρχει μοναδική λύση που ικανοποιεί τις υπόλοιπεςmminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα έχει μία μοναδική λύση

3 Εάν η λύση είναι μοναδική αλλά δεν ικανοποιεί τιςυπόλοιπες mminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα δεν έχει λύση

4 Εάν οι 2 λύσεις είναι ισοδύναμες απάλοιψτε τη μίααπό τις δύο εξισώσεις και ξεκινήστε από την αρχήλαμβάνοντας υπόψη ένα σύστημα (mminus1)times2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 103

ΠαράδείγμαI Θεωρείστε ένα σύστημα 5times2

XminusY= 1X+2Y=minus8

3Xminus2Y= 02Xminus5Y= 11minus4X+3Y=minus1

I Η λύση των πρώτων δύο εξισώσεων δίνετε απόY =minus3 και X =minus2

I Αντικαθιστώντας τη λύση στις υπόλοιπες τρεις εξισώσειςπαίρνετε αντίστοιχα

0 = 0 11 = 11 και minus1 =minus1I Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση

X=minus2 και Y=minus3Ε Ι Κοντογιώργης copy 104

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian

Η μέθοδος απολοιφής Gaussian μετατρέπει το αρχικόσύστημα εξισώσεων σε διαγώνια μορφή επαναλαμβάνονταςστις εξισώσεις τις ακόλουθες τρεις διαδικασίες

1 Πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης μεμια θετική σταθερά

2 Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού θα προστεθεί σεάλλη εξίσωση

3 Η σειρά των εξισώσεων μπορεί να αλλάξει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 105

ΠαράδείγμαΠ Θεωρείστε το σύστημα 2times2

2X minus 3Y = 7 (Εξ 1)X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με 12 για να πάρετε

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με minus1 καιπροσθέστε την στην (Εξ 2)

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

52Y =

152 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 106

Στάδιο 3 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 25

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

Y = 3 (Εξ 2)

Στάδιο 4 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 32 και

προσθέστε την στην (Εξ 1)

X = 1 (Εξ 1)Y = 3 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 107

Π Θεωρείστε το σύστημα 2times2

5X + 20Y = 254X minus 7Y =minus26

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να εκφραστεί ως

R1 5 20 25R2 4 minus7 minus26

Η κάθετη γραμμή χρησιμοποιείται για διαχωρισμό τηςαριστερής από τη δεξιά πλευρά των εξισώσεων Το Riυπονοεί τη γραμμή (Row) i

Ε Ι Κοντογιώργης copy 108

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάζουμε τη R1 με 15 και το θέτουμε

R1larr 15R1

R1 1 4 5R2 4 minus7 minus26

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάζουμε την R1 με minus4 και τηνπροσθέτουμε στην R2 Εν συντομίαR2larrminus4R1+R2

R1 1 4 5R2 0 minus23 minus46

Στάδιο 3 R2larrminus 123R2

R1 1 4 5R2 0 1 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 109

Στάδιο 4 R1larrminus4R2+R1

R1 1 0 minus3R2 0 1 2

Το αρχικό σύστημα εξισώσεων μετατρέπεται σε διαγώνιαμορφή όπως πιο κάτω

X =minus3Y = 2

το οποίο δίνει τη λύση του συστήματος

Ε Ι Κοντογιώργης copy 110

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 I

Το σύστημα εξισώσεων 3times3 μετετρέπεται σε διαγώνιαμορφή Η μετατροπή γίνεται στήλη με στήλη από τααριστερά προς τα δεξιά

Π Θεωρήστε το σύστημα 3times3

X1 + X2 + X3 = 2X1 minus 3X2 + 2X3 = 7

4X1 minus 2X2 minus X3 = 9

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να γραφτεί ως

Ε Ι Κοντογιώργης copy 111

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 II

1 1 1 21 minus3 2 74 minus2 minus1 9

Ε Ι Κοντογιώργης copy 112

Insum

i = 1i3 = 13 +23 + middot middot middot+n3 =

n2(n+1)2

4

Πχ6sumi = 1i3 = 13 +23 +33 +43 +53 +63

=62(6+1)2

4 = 441

Ε Ι Κοντογιώργης copy 42

ΠαραδήγματαΑριθμητική Πρόοδος

I Γενικά μπορούμε να εκφράσουμε μια αριθμητική πρόοδο ωςεξής

αριθμητική πρόοδος a a+d a+2d a+3d

όπου ο πρώτος όρος είναι a και η διαφορά d Ο όρος nτης απ δίνεται από τη σχέση b = a+ (nminus1)d

I 3 5 7 9 11 είναι μια αριθμητική πρόοδος Οπρώτος όρος είναι το 3 και η διαφορά είναι 2

I 2 minus1 minus4 minus7 είναι μια αριθμητική πρόοδος όπου οπρώτος όρος είναι 2 και η διαφορά minus3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 43

I Το άθροισμα των όρων μιας αριθμητικής προόδου είναιγνωστό ως αριθμητική σειρά

Sn = a+ (a+d) + (a+2d) + middot middot middot+ (a+ (nminus1)d)

=nsumi=1

(a+ (iminus1)d

)= na+

nsumi=1

(iminus1)d

= na+dnminus1sumi=1

i = na+d(nminus1)n2

=n2(2a+d(nminus1)) =

n2(a+b) b = a+d(nminus1)

I ΑΠ 3 5 7 9 11 13 rArr Sn =62(3+13) = 48

Ε Ι Κοντογιώργης copy 44

∆ιπλό Αθροισμα4sumi=1

isumj=1

j = (1) + (1+2) + (1+2+3) + (1+2+3+4) = 20

nsumi=1

isumj=1

j =nsumi=1

( isumj=1

j)

nsumi=1

(12 i(i+1)

)=

12

nsumi=1

(i2 + i)

12( nsumi=1

i2 +nsumi=1

i)

=12(16n(n+1)(2n+1) +

12n(n+1)

)

=12

16n(n+1)

((2n+1) +3

)=

n6(n+1)(n+2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 45

∆ιπλό Αθροισμα

nsumi=1

msumj=1

(i+ j+2) =nsumi=1

( msumj=1

(i+ j+2))

nsumi=1

( msumj=1

i+msumj=1

j+msumj=1

2)

=nsumi=1

(mi+ 1

2m(m+1) +2m)

m( nsumi=1

i+ 12

nsumi=1

(m+5))

= m(12n(n+1) +

12n(m+5)

)

=mn2(m+n+6

)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 46

Insumr=1

1r(r+1)

=nsumr=1

(Ar +

Br+1

)=

nsumr=1

A(r+1) +Brr(r+1)

I A(r+1) +Br = 1

I Για r = 0 τότε A= 1 και για r =minus1 τότε B=minus1

I

nsumr=1

1r(r+1)

=nsumr=1

(1r minus

1r+1

)

=(

(11 minus

12) + (

12 minus

13) + (

13 minus

14) + middot middot middot+ (

1nminus1 minus

1n ) + (

1n minus

1n+1)

)

= 1minus 1n+1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 47

Insumk=1

1(k+2)(k+3)

=nsumk=1

( A(k+2)

+B

(k+3)

)=

nsumk=1

A(k+3) +B(k+2)

(k+2)(k+3)

I A(k+3) +B(k+2) = 1

I Για k=minus2 τότε A= 1 και για k=minus3 τότε B=minus1

I

nsumk=1

1(k+2)(k+3)

=nsumk=1

( 1(k+2)

minus 1(k+3)

)

=(

(13 minus

14)+(

14 minus

15)+(

15 minus

16)+ +(

1n+1 minus

1n+2)+(

1n+2 minus

1n+3)

)

=13 minus

1n+3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 48

Αθροισμα με Λογάριθμους

nsumi=1

logb(i) = logb(1) + logb(2) + middot middot middot+ logb(n)

= logb(1times2times3timesmiddotmiddot middottimesn)

= logb(n)

I Το n (n παραγοντικό) δίνεται από n = 1times2timesmiddotmiddot middottimesn και0 = 1

I100sumi=1

log2(100) = log2(100) =log(100)

log(2)=

log(99)

log(2)+

2log(2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 49

Γινόμενο των ακολουθιώνIn

prodi=1xi = x1timesx2timesx3timesmiddotmiddot middottimesxn

In

prodi=1i = 1times2times3timesmiddotmiddot middottimesn= n

In

prodi=1z= ztimesztimesmiddotmiddot middottimesz= zn

I

nprodi=1

(1+

1i+1

)=(1+

12)times(1+

13)times(1+

14)times times(1+

1n )times(1+

1n+1)

=32 times

43 times

54 timesmiddotmiddot middottimes

n+1n times n+2

n+1

=n+22

Ε Ι Κοντογιώργης copy 50

Γεωμετρικές ΠροόδοιI Μια γεωμετρική πρόοδος είναι μια σειρά αριθμών όπου

κάθε όρος μετά των πρώτο υπολογίζεται από τονπολλαπλασιασμό του προηγούμενου όρου με ένασταθερό αριθμό που καλείται αναλογία

I Η σειρά1 3 9 27 81 middot middot middot

είναι μια γεωμετρική πρόοδος με πρώτο όρο το 1 καιαναλογία 3

I Η αναλογία μπορεί να είναι κλάσμα καθώς επίσης καιαρνητικός αριθμός Για παράδειγμα η γεωμετρικήπρόοδος με πρώτο όρο το 2 και αναλογία minus13 είναι

2 minus 23 +

29 minus

227 +

281 middot middot middot

Ε Ι Κοντογιώργης copy 51

I Γενικά μπορούμε να γράψουμε μια γεωμετρική πρόοδο ωςακολούθως

γεωμετρική πρόοδος a ar ar2 ar3 ar4 middot middot middot

όπου ο πρώτος όρος είναι a και η αναλογία r

I Σημαντικά θεωρήματα των γεωμετρικών προόδων (γπ)1 Ο n όρος μιας γπ δίνεται από ar(nminus1)

2 Το άθροισμα των πρώτων n όρων μιας γπ είναι

Sn =a(1minus rn)

1minus r =a(rnminus1)

rminus1 και ισχύει μόνο αν r 6= 1

I Το άθροισμα των όρων μιας γεωμετρικής προόδουονομάζεται γεωμετρική σειρά

Ε Ι Κοντογιώργης copy 52

Γεωμετρική σειρά

Sn = a+ar+ar2 +ar3 + middot middot middot+arnminus2 +arnminus1

rSn = ar+ar2 +ar3 + arnminus1 +arn

Snminus rSn = aminusarn

(1minus r)Sn = a(1minus rn)

Sn =a(1minus rn)

(1minus r) =a(rnminus1)

(rminus1)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 53

I Παράδειγμα1 Βρείτε το άθροισμα των πρώτων 10 όρων μιας γεωμετρικής

σειράς4 8 16 32

Ο πρώτος όρος είναι a= 4 και η αναλογία r = 2 καιn= 10 ´Ετσι

S10 =4(1minus210)

1minus2 = 4092

2 Θεωρείστε τη γπ4 minus8 16 minus32 64 minus128 256 minus512

Σε αυτή την περίπτωση ο πρώτος όρος είναι a= 4 ηαναλογία είναι r =minus2 και n= 8´Ετσι

S8 =4(1minus (minus2)8)

1minus (minus2)=minus340

Ε Ι Κοντογιώργης copy 54

Συνεχείς ανατοκισμός

Οι περισσότεροι τραπεζικοί λογαριασμοί και τα δάνειαυιοθετούν ανατοκισμό - εφαρμόζοντας συνεχή ανατοκισμόΘεωρείστε ένα λογαριασμό που προσφέρει τόκο με ετήσιοεπιτόκιο r (πχ 7) Εάν το επιτόκιο είναι συνεχέςσε χρονιαία βάση τότε μετά από 1 χρόνο το χρονιαίοεπιτόκιο προστίθεται στο αρχικό κεφάλαιο για νακαθορίσει ένα μεγαλύτερο κεφάλαιο τον δεύτερο χρόνο

´Ετσι κατά τη διάρκεια του δεύτερου χρόνου ολογαριασμός κερδίζει επιτόκιο πάνω στο επιτόκιοΑυτή είναι η επίδραση του ανατοκισμού που συνεχίζεταιχρόνο με το χρόνο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 55

I Με τον ετήσιο ανατοκισμό το κεφάλαιο πουσυσσωρεύεται στο λογαριασμό πολλαπλασιάζεται με

(1+ r)

´Ετσι το κεφάλαιο A θα αυξηθεί σε

A(1+ r) = A+A middot r

τον επόμενο χρόνο

I Με το πέρας και του δεύτερου χρόνου το κεφάλαιο θααυξηθεί ακόμα (1+ r) σε (1+ r)2

´Ετσι το κεφάλαιο καταλήγει σε

A(1+ r)(1+ r) = A(1+ r)2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 56

I Κατά παρόμοιο τρόπο στο τέλος του τρίτου χρόνου τοποσό θα αυξηθεί κατά (1+ r)3

I Μετά από n χρόνια το ποσό θα αυξηθεί κατά (1+ r)n

I ´Ετσι το κεφάλαιο (επένδυση) A θα αυξηθεί με συνεχήανατοκισμό σε A(1+ r)n μετά από n χρόνια

I Ο τύπος (1+ r)n εκθέτει γεωμετρική αύξηση λόγω τηςn δύναμης

Ε Ι Κοντογιώργης copy 57

ΠαραδείγματαI Εάν το επιτόκιο είναι r = 5 τότε το κεφάλαιοA= $1000 που βρίσκεται στην τράπεζα n= 20 χρόνιαθα αυξηθεί κατά

(1+ r)n = (1+005)20 = 2653 φορές

´Ετσι το ποσό θα καταλήξειA(1+ r)n = $265330

I Βρέστε το χρόνο που χρειάζεται για ένα λογαργιασμό ναδιπλασιάσει το διαθέσιμο κεφάλαιο του όταν r = 7 καιr = 10Ζητούμε να βρούμε το n έτσι ώστε

(1+ r)n = 2Ε Ι Κοντογιώργης copy 58

I Υπολογίζοντας το λογάριθμο του τελευταίου παίρνουμε

log(1+ r)n = log(2)ή n log(1+ r) = log(2)

´Ετσιn=

log2log(1+ r)

I Για r = 7 και r = 10 ο χρόνος n πουχρειάζεται για διπλασιασμό της επένδυσης υπολογίζεταισε 1024 και 727 αντίστοιχα

Ε Ι Κοντογιώργης copy 59

I Αν το επιτόκιο είναι r = 7 τότε πιο θα είναι τοσυνολικό ποσό στο λογαριασμό μετά από 205 και41 χρόνια αντίστοιχα

Μετά τα πρώτα 1025 χρόνια το ποσό A θαδιπλασιαστεί σε 2A Για τα επόμενα 1025 χρόνιατο ποσό θα ξαναδιπλασιαστεί σε 4A ´Ετσι μετά από205 χρόνια το ποσό θα αυξηθεί κατά 4 φορές

Με το πέρας ακόμα 205 χρόνων το ποσό θα αυξηθείακόμα 4 φορές σε 16 ´Ετσι μετά από 41 χρόνιατο κεφάλαιο A γίνεται 16A

Ε Ι Κοντογιώργης copy 60

Ασκήσεις και Παραδείγματα

I Υπολογίστε τη Μελλοντική Αξία (Future Value (FV)) τουκεφαλαίου A= 1500 που κερδίζει ετήσιο επιτόκιοr = 5 για n= 10 έτη

FV =A(1+ r)n = 1500(1+005)10 = 244334

I Πόσα έτη απαιτούνται για να τριπλασιαστεί ένα ποσόπου αφήνετε στην τράπεζα με επιτόκιο r = 5∆ηλαδή βρείτε το n όπου A= 1 r = 5 και FV = 3

FV =A(1+ r)n ή (1+ r)n =FVA

Ε Ι Κοντογιώργης copy 61

Υπολογίζοντας τους λογαρίθμους παίρνουμε

log(1+ r)n = log(FVA)

ή n log(1+ r) = log(FVA)

´Ετσι

n=log(FVA)

log(1+ r) =log(3)

log(105)

= 2252

Ε Ι Κοντογιώργης copy 62

I Βρείτε την παρούσα αξία A έτσι ώστε σε δέκα έτη μεσταθερό επιτόκιο r = 6 να είναι 100KΒρείτε το A όπου FV = 100000 r = 6 και n= 10

FV =A(1+ r)n ή A=FV

(1+ r)n

´Ετσι A=100000

(106)10= 5583948

I Βρείτε την ετησιοποιημένη απόδοση (AER AnnualEquivalent Rate) μιας μηνιαίας κατάθεσης με σταθερόεπιτοκίο 394 Μια τέτοια κατάθεση λαμβάνει το επιτόκιο στη λήξηΣυνεπώς κάθε μήνα ο λογαριασμός λαμβάνει

r = 0039412 = 000328

επιτόκιο που επανεπενδύεται (συνεχής ανατοκισμός)Ε Ι Κοντογιώργης copy 63

Επανεπενδύοντας το επιτόκιο κάθε μήνα στη διάρκειαενός έτους το κεφάλαιο θα αυξηθεί σε

(1+ r)12 = (1+000328)12 = 104012

´Ετσι το ΑΕΡ είναι ισοδύναμο με 004012 = 4012I Υπολογίστε το επιτόκιο ενός σταθερού λογαριασμού

κατάθεσης 7-ημερών που έχει AER επιτόκιο r = 425Θεωρείστε ρ το εβδομαδιαίο επιτόκιο

´Ετσι (1+ρ)52 = (1+00425)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 64

Παίρνοντας τους λογαρίθμους έχουμε52log(1+ρ) = log10425

ή log(1+ρ) =log10425

52

ή 1+ρ= 10( log10425

52)

Αυτό μας δίνει

ρ= 10

( log1042552

)minus1 = 008

´Ετσι το συνεχές επιτόκιο μιας επταήμερης κατάθεσης είναιρtimes52 = 41638

Εναλλακτικά (1+ρ)52 = (1+00425) δίνει

(1+ρ) =52radic10425ή ρ=

52radic10425minus = 008Ε Ι Κοντογιώργης copy 65

I Υπολογίστε την ετήσια απόδοση r έτσι ώστε A= 10000να επιστρέφει FV = 35000 σε n= 20 χρόνια

FV =A(1+ r)n ή (1+ r)n =FVA

´Ετσι

1+ r =nradic

FVA

Επομένως

r =nradic

FVA minus1 =

20radic

3500010000 minus1 = 00646 = 646

Ε Ι Κοντογιώργης copy 66

Εναλλακτικά παίρνοντας τους λογαρίθμους

log(1+ r)n = log(FVA) ή n log(1+ r) = log

(FVA)

´Ετσι

1+ r = 10(1n log

(FVA))

ή r = 10(1n log

(FVA))minus1

= 10( 120 log

(3500010000

))minus1

= 646

Ε Ι Κοντογιώργης copy 67

Γραφική Αναπαράσταση I

I Υποθέστε ότι έχουμε y= 3x+2 Καθώς έχουμε μόνο μιαδύναμη για το x πρέπει να λύσουμε γραμμική εξίσωσηκαι να σχεδιάσουμε μια ευθεία γραμμή Αρχικά θα πρέπεινα σχεδιάσουμε ένα T-chart Αυτό έχει τη μορφή

x y = 3x+2 (xy)

I Επιλέγουμε μια τιμή για το x και λύνουμε ως προς y

x y= 3x+2 (xy)minus2 minus4 (minus2minus4)0 2 (02)2 8 (28)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 68

Γραφική Αναπαράσταση II

-

6

X

Y

bull

bull

bull

I Βλέπουμε μια ευθεία με ανοδική τάση (έχοντας θετικήκλίση m= 3) καιτέμνει τον άξονα y στο σημείο y= 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 69

Γραφική Αναπαράσταση III

I Μια Τετραγωνική εξίσωση περιέχει x2 Για τηναναπαράσταση τετραγωνικών εξισώσεων χρειάζεται ναβρούμε περισσότερα από τρία σημεία στο σχεδιάγραμμα

Για παράδειγμα υποθέστε ότι y= x2minus6x+5 καιδίνεται το πιο κάτω T-chart

x y= x2minus6x+5 (xy)0 5 (05)1 0 (10)3 minus4 (3minus4)5 0 (50)6 5 (65)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 70

Γραφική Αναπαράσταση IV

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

-

6

X

Y

bull

bull

bull

bull

bull

Ε Ι Κοντογιώργης copy 71

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(1x + 2)

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(-3x + 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 72

-15

-10

-5

0

5

10

15

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(3x - 2)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 73

-20

0

20

40

60

80

100

120

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2+x)

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 74

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

1250

1500

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3+x2+x)

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x4)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 75

-25

-2

-15

-1

-05

0

05

1

15

2

25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(log(x))

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(x))

Ε Ι Κοντογιώργης copy 76

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(-x))

-5000

0

5000

10000

15000

20000

25000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(exp(x)+x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 77

Ανισότητες I

I Οι ανισότητες αποτελούνται από δύο ή τρεις αλγεβρικέςεκφράσεις που είναι συνδεδεμένες με τα σύμβολαανισότητας Τα σύμβολα αυτά είναι

lt μικρότερο τουgt μεγαλύτερο τουle μικρότερο ή ίσο τουge μεγαλύτερο ή ίσο του

I Παραδείγματα xgty yge x2 και ylt5x+1

I Το πρώτο βήμα για την αναπαράσταση ανισότητας τηςμορφής ygtx είναι να παραστήσουμε γραφικά τηνισότητα y= x

Ε Ι Κοντογιώργης copy 78

Ανισότητες II

I ygtx

Κάνετε δοκιμή με ένα σημείο να δείτε κατά πόσοικανοποιεί την ανισότητα Εάν ναι τότε σκιάστε τηνπεριοχή αυτή του σχεδιαγράμματος διαφορετικά σκιάστετην άλλη πλευρά

Ε Ι Κοντογιώργης copy 79

Ανισότητες III

I yltx

Ε Ι Κοντογιώργης copy 80

Ανισότητες IV

I yle 5x+1 και ygt5x+1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 81

Ανισότητες V

I yge x2 και yle x2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 82

Ανισότητες VI

I ygtx3 και yle x3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 83

Συστήματα Γραμμικών ΕξισώσεωνΠεριεχόμενα

1 Ε

2 Γ Α

ΑναφορέςΚεφάλαια 4 και 5FS Budnick Applied Mathematics for Business Economicsand the Social Sciences 4th edition McGraw-Hill 1993

Ε Ι Κοντογιώργης copy 84

Συστήματα Εξισώσεων

I ´Ενα σύστημα εξισώσεων συνδυάζει περισσότερες από μίαεξισώσεις

I ´Ενα σύστημα m εξισώσεων όπου κάθε εξίσωσηαποτελείται από n μεταβλητές ονομάζεται mtimesnσύστημα ή λέμε ότι έχει διαστάσεις mtimesn

I ΠαράδειγμαΠαρακάτω έχουμε ένα σύστημα 2times2

5X+10Y= 203X+4Y= 10

Οι μεταβλητές σε αυτή την περίπτωση είναι X και YΕ Ι Κοντογιώργης copy 85

Συστήματα Επίλυσης

I Το Σύστημα επίλυσης είναι μια σειρά τιμών μεταβλητώνπου ικανοποιούν το σύστημα ταυτόχρονα

I Σε μια σημειογραφική παράσταση το προηγούμενοπαράδειγμα μπορεί να γραφτεί ως εξής

S = (XY) | 5X+10Y = 20 και 3X+4Y = 10

I Το σύστημα επίλυσης μπορεί να είναι1 μηδενικό2 πεπερασμένο ή3 άπειρο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 86

2times2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική Ανάλυση

I Σε ένα δισδιάστατο γράφημα ένα σύστημα εξισώσεων2times2 αναπαρίστανται με ευθείες γραμμές Υπόρχουν τρίαενδεχόμενα

1 Οι ευθείες τέμνονται Το σημείο τομής αντιπροσωπεύει τηλύση του συστήματος εξισώσεων Αυτό το σημείοαλληλεπίδρασης είναι μια δέσμη τιμών X και Y που ικανοποιείκαι τις δύο εξισώσειςΕάν υπάρχει μόνο μια δέσμη τιμών για τις μεταβλητές που ναικανοποιεί το σύστημα εξισώσεων το σύστημα λέμε ότι έχειΜ Λ

2 Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες μεταξύ τους ∆εν έχουν κοινόσημείο Συνεπώς οι ευθείες δεν τέμνονται ποτέ Το σύστημαλέμε ότι ∆ ΛΑυτό υπονοεί ότι δεν υπάρχουν τιμές για τις μεταβλητές πουνα ικανοποιούν και τις δύο εξισώσεις Σε αυτή τηνπερίπτωση οι εξισώσεις στο σύστημα είναι Α

3 Και οι δύο εξισώσεις αναπαρίστανται ως μια κοινή ευθεία καιθεωρούνται ισοδύναμες εξισώσεις ´Ετσι το σύστημα έχειΑ Λ Αυτό συμβαίνει γιατί υπάρχει άπειροςαριθμός κοινών σημείων στις δύο γραμμές

Ε Ι Κοντογιώργης copy 87

I Π Θεωρείστε ένα σύστημα 2times22X+4Y= 203X+ Y= 10

I

X

Y

(24)

3X +Y = 10

2X +4Y = 20

0 2 4 6 8 10 12

2

4

6

8

10

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 88

I Το σημείο τομής δίνεται από το X= 2 και Y= 4Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές του X και Y στις δύοεξισώσεις δίνουν 20 = 20 και 10 = 10 αντίστοιχα

I Αυτό υποδειλώνει ότι X= 2 και Y= 4 είναι η σωστή λύση

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times23Xminus2Y= 6

minus15X+10Y=minus30

I

X

Y

(20)

(0minus3)

3X minus2Y = 6

minus15X +10Y =minus30

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 89

I Οι δύο εξισώσεις απλοποιούνται σε Xminus 23 Y= 2

Οι δύο εξισώσεις είναι ισοδύναμες και δίνουν έναπεπερασμένο αριθμό λύσεων έτσι ώστε

X= 0 Y =minus3X= 2 Y = 0X= 4 Y = 3

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times26Xminus12Y= 24

minus32X+3Y= 9

Οι εξισώσεις απλοποιούνται σεXminus2Y= 4Xminus2Y=minus6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 90

I

X

Y

(40)

(0minus2)

(minus60)

(03)

X minus2Y =minus6

X minus2Y = 4

0-0

I Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες και συνεπώς το σύστημαδεν έχει λύση ´Ετσι το σύστημα εξισώσεων είναιασύμπτωτο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 91

Περίληψη 2times2 Συστήματα Εξισώσεων∆ίνεται ένα Σύστημα Γραμμικών Εξισώσεων 2times2

Y=m1X+ c1Y=m2X+ c2

1 Υπάρχει μια στο σύστημα εάνm1 6= m2

2 ∆εν υπάρχει στο σύστημα εάνm1 = m2 και c1 6= c2

3 Υπάρχει εάνm1 = m2 και c1 = c2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 92

∆ιαδικασίες Απαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής χρησιμοποιεί πολλαπλασιασμόκαι πρόσθεση έτσι ώστε

1 Να απαλοιφεί μια από τις δύο μεταβλητές

2 Η εξίσωση που εξάγεται είναι συνάρτηση των υπόλοιπωνμεταβλητών

3 Αντικαθιστώντας την τιμή στην μεταβλητή σε μια από τιςαρχικές εξισώσεις βρίσκουμε την τιμή για τηναπολοιφθήσα μεταβλητή

Ε Ι Κοντογιώργης copy 93

ΠαραδείγματαI Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

2X +4Y = 20 (1)3X + Y = 10 (2)

Πολλαπλασιάζοντας τη δεύτερη εξίσωση με minus4 παίρνουμε

minus12X minus4Y =minus40 (3)

Προσθέτοντας την εξίσωση (1) στο (3)

2X + 4Y = 20minus12X minus 4Y = minus40minus10X = minus20

ή

X = 2 (4)Ε Ι Κοντογιώργης copy 94

Αντικαθιστώντας X= 2 στην εξίσωση (1) δίνεται2 middot2+4Y = 20 ή Y=4

´Ετσι η μοναδική λύση του συστήματος δίνεται από τοX= 2 και Y= 4 Μπορεί να επιβεβαιωθεί ότι αυτή είναι ησωστή λύση αντικαθιστώντας X= 2 και Y= 4 στηνεξίσωση (1) και (2)

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times23X minus2Y = 6 (5)

minus15X +10Y =minus30 (6)

Για την απαλοιφή της μεταβλητής X η εξίσωση (5)πολλαπλασιάζεται με 5 και το αποτέλεσμα προστίθεταιστην εξίσωση (6)

15X minus 10Y = 30minus15X + 10Y = minus30

0 = 0 Ε Ι Κοντογιώργης copy 95

Οι τελευταίες πράξεις υπονοούν ότι οι εξίσωσεις (5) και(6) είναι ισοδύναμες και έτσι υπάρχει άπειρος αριθμόςλύσεωνΓια να προσδιορίσουμε τις λύσεις του συστήματος μια απότις αρχικές εξισώσεις λύνεται ως προς μια μεταβλητή Ανγια παράδειγμα η εξίσωση (5) λύνεται ως προς Y δίνει

Y =32Xminus3

Σαν αποτέλεσμα γενικεύοντας τις λύσεις του συστήματοςέχουμε

X τυχαίο και Y =32Xminus3

Πχ για X= 4 υπονοείται ότι Y=32 middot4minus3 = 3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 96

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

6X minus12Y = 24 (7)

minus32X +3Y = 9 (8)

Πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση (8) με 4 καιπροσθέτοντας το αποτέλεσμα στην εξίσωση (7)παίρνουμε

6X minus 12Y = 24minus6X + 12Y = 36

0 = 60

Η πιο πάνω αντιλογία υπονοεί ότι δεν υπάρχει λύση τουσυστήματος εξισώσεων

Ε Ι Κοντογιώργης copy 97

3times2 Συστήματα Εξισώσεων I

1 Μ Λ

X

Y

(32)

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minusY = 1

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 98

3times2 Συστήματα Εξισώσεων II

2 Α Λ

X

Y Εξις (1)Εξις (2)Εξις (3)

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 99

3times2 Συστήματα Εξισώσεων III3 Κ

(α) ´Οταν και οι τρεις εξισώσεις είναι παράλληλες

X

Y

2X minusY =minus8

2X minusY = 2

2X minusY = 12

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 100

3times2 Συστήματα Εξισώσεων IV(β) ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ τωνεξισώσεων

X

Y

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minus2Y =minus4

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 101

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική ΑνάλυσηΣε ένα γράφημα 2 διαστάσεων ένα σύστημα mtimes2(mgt2) εξισώσεων παριστάνεται με m ευθείες ´Οπωςσυμβαίνει στα συστήματα 2times2 υπάρχουν τρίαενδεχόμενα

1 ´Ολες οι ευθείες τέμνονται στο ίδιο σημείο και έτσιυπάρχει

2 ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ των mεξισώσεων Αυτό σημαίνει ότι όλες οι ευθείες είναιπαράλληλες Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα Λ

3 Οι m εξισώσεις είναι ισοδύναμες πχ παρασταίνονται σανμια ευθεία Σε αυτή την περίπτωση υπάρχει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 102

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων ∆ιαδικασίαΑπαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής για την επίλυση ενός συστήματοςmtimes2 μπορεί να περιγραφεί ως ακολούθωςΕπιλέξτε και λύστε σύστημα με δύο εξισώσεις

1 Εάν δεν υπάρχει λύση τότε ολόκληρο το σύστημα δεν έχειλύση

2 Εάν υπάρχει μοναδική λύση που ικανοποιεί τις υπόλοιπεςmminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα έχει μία μοναδική λύση

3 Εάν η λύση είναι μοναδική αλλά δεν ικανοποιεί τιςυπόλοιπες mminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα δεν έχει λύση

4 Εάν οι 2 λύσεις είναι ισοδύναμες απάλοιψτε τη μίααπό τις δύο εξισώσεις και ξεκινήστε από την αρχήλαμβάνοντας υπόψη ένα σύστημα (mminus1)times2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 103

ΠαράδείγμαI Θεωρείστε ένα σύστημα 5times2

XminusY= 1X+2Y=minus8

3Xminus2Y= 02Xminus5Y= 11minus4X+3Y=minus1

I Η λύση των πρώτων δύο εξισώσεων δίνετε απόY =minus3 και X =minus2

I Αντικαθιστώντας τη λύση στις υπόλοιπες τρεις εξισώσειςπαίρνετε αντίστοιχα

0 = 0 11 = 11 και minus1 =minus1I Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση

X=minus2 και Y=minus3Ε Ι Κοντογιώργης copy 104

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian

Η μέθοδος απολοιφής Gaussian μετατρέπει το αρχικόσύστημα εξισώσεων σε διαγώνια μορφή επαναλαμβάνονταςστις εξισώσεις τις ακόλουθες τρεις διαδικασίες

1 Πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης μεμια θετική σταθερά

2 Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού θα προστεθεί σεάλλη εξίσωση

3 Η σειρά των εξισώσεων μπορεί να αλλάξει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 105

ΠαράδείγμαΠ Θεωρείστε το σύστημα 2times2

2X minus 3Y = 7 (Εξ 1)X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με 12 για να πάρετε

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με minus1 καιπροσθέστε την στην (Εξ 2)

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

52Y =

152 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 106

Στάδιο 3 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 25

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

Y = 3 (Εξ 2)

Στάδιο 4 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 32 και

προσθέστε την στην (Εξ 1)

X = 1 (Εξ 1)Y = 3 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 107

Π Θεωρείστε το σύστημα 2times2

5X + 20Y = 254X minus 7Y =minus26

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να εκφραστεί ως

R1 5 20 25R2 4 minus7 minus26

Η κάθετη γραμμή χρησιμοποιείται για διαχωρισμό τηςαριστερής από τη δεξιά πλευρά των εξισώσεων Το Riυπονοεί τη γραμμή (Row) i

Ε Ι Κοντογιώργης copy 108

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάζουμε τη R1 με 15 και το θέτουμε

R1larr 15R1

R1 1 4 5R2 4 minus7 minus26

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάζουμε την R1 με minus4 και τηνπροσθέτουμε στην R2 Εν συντομίαR2larrminus4R1+R2

R1 1 4 5R2 0 minus23 minus46

Στάδιο 3 R2larrminus 123R2

R1 1 4 5R2 0 1 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 109

Στάδιο 4 R1larrminus4R2+R1

R1 1 0 minus3R2 0 1 2

Το αρχικό σύστημα εξισώσεων μετατρέπεται σε διαγώνιαμορφή όπως πιο κάτω

X =minus3Y = 2

το οποίο δίνει τη λύση του συστήματος

Ε Ι Κοντογιώργης copy 110

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 I

Το σύστημα εξισώσεων 3times3 μετετρέπεται σε διαγώνιαμορφή Η μετατροπή γίνεται στήλη με στήλη από τααριστερά προς τα δεξιά

Π Θεωρήστε το σύστημα 3times3

X1 + X2 + X3 = 2X1 minus 3X2 + 2X3 = 7

4X1 minus 2X2 minus X3 = 9

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να γραφτεί ως

Ε Ι Κοντογιώργης copy 111

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 II

1 1 1 21 minus3 2 74 minus2 minus1 9

Ε Ι Κοντογιώργης copy 112

ΠαραδήγματαΑριθμητική Πρόοδος

I Γενικά μπορούμε να εκφράσουμε μια αριθμητική πρόοδο ωςεξής

αριθμητική πρόοδος a a+d a+2d a+3d

όπου ο πρώτος όρος είναι a και η διαφορά d Ο όρος nτης απ δίνεται από τη σχέση b = a+ (nminus1)d

I 3 5 7 9 11 είναι μια αριθμητική πρόοδος Οπρώτος όρος είναι το 3 και η διαφορά είναι 2

I 2 minus1 minus4 minus7 είναι μια αριθμητική πρόοδος όπου οπρώτος όρος είναι 2 και η διαφορά minus3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 43

I Το άθροισμα των όρων μιας αριθμητικής προόδου είναιγνωστό ως αριθμητική σειρά

Sn = a+ (a+d) + (a+2d) + middot middot middot+ (a+ (nminus1)d)

=nsumi=1

(a+ (iminus1)d

)= na+

nsumi=1

(iminus1)d

= na+dnminus1sumi=1

i = na+d(nminus1)n2

=n2(2a+d(nminus1)) =

n2(a+b) b = a+d(nminus1)

I ΑΠ 3 5 7 9 11 13 rArr Sn =62(3+13) = 48

Ε Ι Κοντογιώργης copy 44

∆ιπλό Αθροισμα4sumi=1

isumj=1

j = (1) + (1+2) + (1+2+3) + (1+2+3+4) = 20

nsumi=1

isumj=1

j =nsumi=1

( isumj=1

j)

nsumi=1

(12 i(i+1)

)=

12

nsumi=1

(i2 + i)

12( nsumi=1

i2 +nsumi=1

i)

=12(16n(n+1)(2n+1) +

12n(n+1)

)

=12

16n(n+1)

((2n+1) +3

)=

n6(n+1)(n+2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 45

∆ιπλό Αθροισμα

nsumi=1

msumj=1

(i+ j+2) =nsumi=1

( msumj=1

(i+ j+2))

nsumi=1

( msumj=1

i+msumj=1

j+msumj=1

2)

=nsumi=1

(mi+ 1

2m(m+1) +2m)

m( nsumi=1

i+ 12

nsumi=1

(m+5))

= m(12n(n+1) +

12n(m+5)

)

=mn2(m+n+6

)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 46

Insumr=1

1r(r+1)

=nsumr=1

(Ar +

Br+1

)=

nsumr=1

A(r+1) +Brr(r+1)

I A(r+1) +Br = 1

I Για r = 0 τότε A= 1 και για r =minus1 τότε B=minus1

I

nsumr=1

1r(r+1)

=nsumr=1

(1r minus

1r+1

)

=(

(11 minus

12) + (

12 minus

13) + (

13 minus

14) + middot middot middot+ (

1nminus1 minus

1n ) + (

1n minus

1n+1)

)

= 1minus 1n+1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 47

Insumk=1

1(k+2)(k+3)

=nsumk=1

( A(k+2)

+B

(k+3)

)=

nsumk=1

A(k+3) +B(k+2)

(k+2)(k+3)

I A(k+3) +B(k+2) = 1

I Για k=minus2 τότε A= 1 και για k=minus3 τότε B=minus1

I

nsumk=1

1(k+2)(k+3)

=nsumk=1

( 1(k+2)

minus 1(k+3)

)

=(

(13 minus

14)+(

14 minus

15)+(

15 minus

16)+ +(

1n+1 minus

1n+2)+(

1n+2 minus

1n+3)

)

=13 minus

1n+3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 48

Αθροισμα με Λογάριθμους

nsumi=1

logb(i) = logb(1) + logb(2) + middot middot middot+ logb(n)

= logb(1times2times3timesmiddotmiddot middottimesn)

= logb(n)

I Το n (n παραγοντικό) δίνεται από n = 1times2timesmiddotmiddot middottimesn και0 = 1

I100sumi=1

log2(100) = log2(100) =log(100)

log(2)=

log(99)

log(2)+

2log(2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 49

Γινόμενο των ακολουθιώνIn

prodi=1xi = x1timesx2timesx3timesmiddotmiddot middottimesxn

In

prodi=1i = 1times2times3timesmiddotmiddot middottimesn= n

In

prodi=1z= ztimesztimesmiddotmiddot middottimesz= zn

I

nprodi=1

(1+

1i+1

)=(1+

12)times(1+

13)times(1+

14)times times(1+

1n )times(1+

1n+1)

=32 times

43 times

54 timesmiddotmiddot middottimes

n+1n times n+2

n+1

=n+22

Ε Ι Κοντογιώργης copy 50

Γεωμετρικές ΠροόδοιI Μια γεωμετρική πρόοδος είναι μια σειρά αριθμών όπου

κάθε όρος μετά των πρώτο υπολογίζεται από τονπολλαπλασιασμό του προηγούμενου όρου με ένασταθερό αριθμό που καλείται αναλογία

I Η σειρά1 3 9 27 81 middot middot middot

είναι μια γεωμετρική πρόοδος με πρώτο όρο το 1 καιαναλογία 3

I Η αναλογία μπορεί να είναι κλάσμα καθώς επίσης καιαρνητικός αριθμός Για παράδειγμα η γεωμετρικήπρόοδος με πρώτο όρο το 2 και αναλογία minus13 είναι

2 minus 23 +

29 minus

227 +

281 middot middot middot

Ε Ι Κοντογιώργης copy 51

I Γενικά μπορούμε να γράψουμε μια γεωμετρική πρόοδο ωςακολούθως

γεωμετρική πρόοδος a ar ar2 ar3 ar4 middot middot middot

όπου ο πρώτος όρος είναι a και η αναλογία r

I Σημαντικά θεωρήματα των γεωμετρικών προόδων (γπ)1 Ο n όρος μιας γπ δίνεται από ar(nminus1)

2 Το άθροισμα των πρώτων n όρων μιας γπ είναι

Sn =a(1minus rn)

1minus r =a(rnminus1)

rminus1 και ισχύει μόνο αν r 6= 1

I Το άθροισμα των όρων μιας γεωμετρικής προόδουονομάζεται γεωμετρική σειρά

Ε Ι Κοντογιώργης copy 52

Γεωμετρική σειρά

Sn = a+ar+ar2 +ar3 + middot middot middot+arnminus2 +arnminus1

rSn = ar+ar2 +ar3 + arnminus1 +arn

Snminus rSn = aminusarn

(1minus r)Sn = a(1minus rn)

Sn =a(1minus rn)

(1minus r) =a(rnminus1)

(rminus1)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 53

I Παράδειγμα1 Βρείτε το άθροισμα των πρώτων 10 όρων μιας γεωμετρικής

σειράς4 8 16 32

Ο πρώτος όρος είναι a= 4 και η αναλογία r = 2 καιn= 10 ´Ετσι

S10 =4(1minus210)

1minus2 = 4092

2 Θεωρείστε τη γπ4 minus8 16 minus32 64 minus128 256 minus512

Σε αυτή την περίπτωση ο πρώτος όρος είναι a= 4 ηαναλογία είναι r =minus2 και n= 8´Ετσι

S8 =4(1minus (minus2)8)

1minus (minus2)=minus340

Ε Ι Κοντογιώργης copy 54

Συνεχείς ανατοκισμός

Οι περισσότεροι τραπεζικοί λογαριασμοί και τα δάνειαυιοθετούν ανατοκισμό - εφαρμόζοντας συνεχή ανατοκισμόΘεωρείστε ένα λογαριασμό που προσφέρει τόκο με ετήσιοεπιτόκιο r (πχ 7) Εάν το επιτόκιο είναι συνεχέςσε χρονιαία βάση τότε μετά από 1 χρόνο το χρονιαίοεπιτόκιο προστίθεται στο αρχικό κεφάλαιο για νακαθορίσει ένα μεγαλύτερο κεφάλαιο τον δεύτερο χρόνο

´Ετσι κατά τη διάρκεια του δεύτερου χρόνου ολογαριασμός κερδίζει επιτόκιο πάνω στο επιτόκιοΑυτή είναι η επίδραση του ανατοκισμού που συνεχίζεταιχρόνο με το χρόνο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 55

I Με τον ετήσιο ανατοκισμό το κεφάλαιο πουσυσσωρεύεται στο λογαριασμό πολλαπλασιάζεται με

(1+ r)

´Ετσι το κεφάλαιο A θα αυξηθεί σε

A(1+ r) = A+A middot r

τον επόμενο χρόνο

I Με το πέρας και του δεύτερου χρόνου το κεφάλαιο θααυξηθεί ακόμα (1+ r) σε (1+ r)2

´Ετσι το κεφάλαιο καταλήγει σε

A(1+ r)(1+ r) = A(1+ r)2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 56

I Κατά παρόμοιο τρόπο στο τέλος του τρίτου χρόνου τοποσό θα αυξηθεί κατά (1+ r)3

I Μετά από n χρόνια το ποσό θα αυξηθεί κατά (1+ r)n

I ´Ετσι το κεφάλαιο (επένδυση) A θα αυξηθεί με συνεχήανατοκισμό σε A(1+ r)n μετά από n χρόνια

I Ο τύπος (1+ r)n εκθέτει γεωμετρική αύξηση λόγω τηςn δύναμης

Ε Ι Κοντογιώργης copy 57

ΠαραδείγματαI Εάν το επιτόκιο είναι r = 5 τότε το κεφάλαιοA= $1000 που βρίσκεται στην τράπεζα n= 20 χρόνιαθα αυξηθεί κατά

(1+ r)n = (1+005)20 = 2653 φορές

´Ετσι το ποσό θα καταλήξειA(1+ r)n = $265330

I Βρέστε το χρόνο που χρειάζεται για ένα λογαργιασμό ναδιπλασιάσει το διαθέσιμο κεφάλαιο του όταν r = 7 καιr = 10Ζητούμε να βρούμε το n έτσι ώστε

(1+ r)n = 2Ε Ι Κοντογιώργης copy 58

I Υπολογίζοντας το λογάριθμο του τελευταίου παίρνουμε

log(1+ r)n = log(2)ή n log(1+ r) = log(2)

´Ετσιn=

log2log(1+ r)

I Για r = 7 και r = 10 ο χρόνος n πουχρειάζεται για διπλασιασμό της επένδυσης υπολογίζεταισε 1024 και 727 αντίστοιχα

Ε Ι Κοντογιώργης copy 59

I Αν το επιτόκιο είναι r = 7 τότε πιο θα είναι τοσυνολικό ποσό στο λογαριασμό μετά από 205 και41 χρόνια αντίστοιχα

Μετά τα πρώτα 1025 χρόνια το ποσό A θαδιπλασιαστεί σε 2A Για τα επόμενα 1025 χρόνιατο ποσό θα ξαναδιπλασιαστεί σε 4A ´Ετσι μετά από205 χρόνια το ποσό θα αυξηθεί κατά 4 φορές

Με το πέρας ακόμα 205 χρόνων το ποσό θα αυξηθείακόμα 4 φορές σε 16 ´Ετσι μετά από 41 χρόνιατο κεφάλαιο A γίνεται 16A

Ε Ι Κοντογιώργης copy 60

Ασκήσεις και Παραδείγματα

I Υπολογίστε τη Μελλοντική Αξία (Future Value (FV)) τουκεφαλαίου A= 1500 που κερδίζει ετήσιο επιτόκιοr = 5 για n= 10 έτη

FV =A(1+ r)n = 1500(1+005)10 = 244334

I Πόσα έτη απαιτούνται για να τριπλασιαστεί ένα ποσόπου αφήνετε στην τράπεζα με επιτόκιο r = 5∆ηλαδή βρείτε το n όπου A= 1 r = 5 και FV = 3

FV =A(1+ r)n ή (1+ r)n =FVA

Ε Ι Κοντογιώργης copy 61

Υπολογίζοντας τους λογαρίθμους παίρνουμε

log(1+ r)n = log(FVA)

ή n log(1+ r) = log(FVA)

´Ετσι

n=log(FVA)

log(1+ r) =log(3)

log(105)

= 2252

Ε Ι Κοντογιώργης copy 62

I Βρείτε την παρούσα αξία A έτσι ώστε σε δέκα έτη μεσταθερό επιτόκιο r = 6 να είναι 100KΒρείτε το A όπου FV = 100000 r = 6 και n= 10

FV =A(1+ r)n ή A=FV

(1+ r)n

´Ετσι A=100000

(106)10= 5583948

I Βρείτε την ετησιοποιημένη απόδοση (AER AnnualEquivalent Rate) μιας μηνιαίας κατάθεσης με σταθερόεπιτοκίο 394 Μια τέτοια κατάθεση λαμβάνει το επιτόκιο στη λήξηΣυνεπώς κάθε μήνα ο λογαριασμός λαμβάνει

r = 0039412 = 000328

επιτόκιο που επανεπενδύεται (συνεχής ανατοκισμός)Ε Ι Κοντογιώργης copy 63

Επανεπενδύοντας το επιτόκιο κάθε μήνα στη διάρκειαενός έτους το κεφάλαιο θα αυξηθεί σε

(1+ r)12 = (1+000328)12 = 104012

´Ετσι το ΑΕΡ είναι ισοδύναμο με 004012 = 4012I Υπολογίστε το επιτόκιο ενός σταθερού λογαριασμού

κατάθεσης 7-ημερών που έχει AER επιτόκιο r = 425Θεωρείστε ρ το εβδομαδιαίο επιτόκιο

´Ετσι (1+ρ)52 = (1+00425)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 64

Παίρνοντας τους λογαρίθμους έχουμε52log(1+ρ) = log10425

ή log(1+ρ) =log10425

52

ή 1+ρ= 10( log10425

52)

Αυτό μας δίνει

ρ= 10

( log1042552

)minus1 = 008

´Ετσι το συνεχές επιτόκιο μιας επταήμερης κατάθεσης είναιρtimes52 = 41638

Εναλλακτικά (1+ρ)52 = (1+00425) δίνει

(1+ρ) =52radic10425ή ρ=

52radic10425minus = 008Ε Ι Κοντογιώργης copy 65

I Υπολογίστε την ετήσια απόδοση r έτσι ώστε A= 10000να επιστρέφει FV = 35000 σε n= 20 χρόνια

FV =A(1+ r)n ή (1+ r)n =FVA

´Ετσι

1+ r =nradic

FVA

Επομένως

r =nradic

FVA minus1 =

20radic

3500010000 minus1 = 00646 = 646

Ε Ι Κοντογιώργης copy 66

Εναλλακτικά παίρνοντας τους λογαρίθμους

log(1+ r)n = log(FVA) ή n log(1+ r) = log

(FVA)

´Ετσι

1+ r = 10(1n log

(FVA))

ή r = 10(1n log

(FVA))minus1

= 10( 120 log

(3500010000

))minus1

= 646

Ε Ι Κοντογιώργης copy 67

Γραφική Αναπαράσταση I

I Υποθέστε ότι έχουμε y= 3x+2 Καθώς έχουμε μόνο μιαδύναμη για το x πρέπει να λύσουμε γραμμική εξίσωσηκαι να σχεδιάσουμε μια ευθεία γραμμή Αρχικά θα πρέπεινα σχεδιάσουμε ένα T-chart Αυτό έχει τη μορφή

x y = 3x+2 (xy)

I Επιλέγουμε μια τιμή για το x και λύνουμε ως προς y

x y= 3x+2 (xy)minus2 minus4 (minus2minus4)0 2 (02)2 8 (28)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 68

Γραφική Αναπαράσταση II

-

6

X

Y

bull

bull

bull

I Βλέπουμε μια ευθεία με ανοδική τάση (έχοντας θετικήκλίση m= 3) καιτέμνει τον άξονα y στο σημείο y= 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 69

Γραφική Αναπαράσταση III

I Μια Τετραγωνική εξίσωση περιέχει x2 Για τηναναπαράσταση τετραγωνικών εξισώσεων χρειάζεται ναβρούμε περισσότερα από τρία σημεία στο σχεδιάγραμμα

Για παράδειγμα υποθέστε ότι y= x2minus6x+5 καιδίνεται το πιο κάτω T-chart

x y= x2minus6x+5 (xy)0 5 (05)1 0 (10)3 minus4 (3minus4)5 0 (50)6 5 (65)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 70

Γραφική Αναπαράσταση IV

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

-

6

X

Y

bull

bull

bull

bull

bull

Ε Ι Κοντογιώργης copy 71

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(1x + 2)

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(-3x + 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 72

-15

-10

-5

0

5

10

15

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(3x - 2)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 73

-20

0

20

40

60

80

100

120

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2+x)

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 74

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

1250

1500

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3+x2+x)

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x4)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 75

-25

-2

-15

-1

-05

0

05

1

15

2

25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(log(x))

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(x))

Ε Ι Κοντογιώργης copy 76

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(-x))

-5000

0

5000

10000

15000

20000

25000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(exp(x)+x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 77

Ανισότητες I

I Οι ανισότητες αποτελούνται από δύο ή τρεις αλγεβρικέςεκφράσεις που είναι συνδεδεμένες με τα σύμβολαανισότητας Τα σύμβολα αυτά είναι

lt μικρότερο τουgt μεγαλύτερο τουle μικρότερο ή ίσο τουge μεγαλύτερο ή ίσο του

I Παραδείγματα xgty yge x2 και ylt5x+1

I Το πρώτο βήμα για την αναπαράσταση ανισότητας τηςμορφής ygtx είναι να παραστήσουμε γραφικά τηνισότητα y= x

Ε Ι Κοντογιώργης copy 78

Ανισότητες II

I ygtx

Κάνετε δοκιμή με ένα σημείο να δείτε κατά πόσοικανοποιεί την ανισότητα Εάν ναι τότε σκιάστε τηνπεριοχή αυτή του σχεδιαγράμματος διαφορετικά σκιάστετην άλλη πλευρά

Ε Ι Κοντογιώργης copy 79

Ανισότητες III

I yltx

Ε Ι Κοντογιώργης copy 80

Ανισότητες IV

I yle 5x+1 και ygt5x+1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 81

Ανισότητες V

I yge x2 και yle x2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 82

Ανισότητες VI

I ygtx3 και yle x3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 83

Συστήματα Γραμμικών ΕξισώσεωνΠεριεχόμενα

1 Ε

2 Γ Α

ΑναφορέςΚεφάλαια 4 και 5FS Budnick Applied Mathematics for Business Economicsand the Social Sciences 4th edition McGraw-Hill 1993

Ε Ι Κοντογιώργης copy 84

Συστήματα Εξισώσεων

I ´Ενα σύστημα εξισώσεων συνδυάζει περισσότερες από μίαεξισώσεις

I ´Ενα σύστημα m εξισώσεων όπου κάθε εξίσωσηαποτελείται από n μεταβλητές ονομάζεται mtimesnσύστημα ή λέμε ότι έχει διαστάσεις mtimesn

I ΠαράδειγμαΠαρακάτω έχουμε ένα σύστημα 2times2

5X+10Y= 203X+4Y= 10

Οι μεταβλητές σε αυτή την περίπτωση είναι X και YΕ Ι Κοντογιώργης copy 85

Συστήματα Επίλυσης

I Το Σύστημα επίλυσης είναι μια σειρά τιμών μεταβλητώνπου ικανοποιούν το σύστημα ταυτόχρονα

I Σε μια σημειογραφική παράσταση το προηγούμενοπαράδειγμα μπορεί να γραφτεί ως εξής

S = (XY) | 5X+10Y = 20 και 3X+4Y = 10

I Το σύστημα επίλυσης μπορεί να είναι1 μηδενικό2 πεπερασμένο ή3 άπειρο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 86

2times2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική Ανάλυση

I Σε ένα δισδιάστατο γράφημα ένα σύστημα εξισώσεων2times2 αναπαρίστανται με ευθείες γραμμές Υπόρχουν τρίαενδεχόμενα

1 Οι ευθείες τέμνονται Το σημείο τομής αντιπροσωπεύει τηλύση του συστήματος εξισώσεων Αυτό το σημείοαλληλεπίδρασης είναι μια δέσμη τιμών X και Y που ικανοποιείκαι τις δύο εξισώσειςΕάν υπάρχει μόνο μια δέσμη τιμών για τις μεταβλητές που ναικανοποιεί το σύστημα εξισώσεων το σύστημα λέμε ότι έχειΜ Λ

2 Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες μεταξύ τους ∆εν έχουν κοινόσημείο Συνεπώς οι ευθείες δεν τέμνονται ποτέ Το σύστημαλέμε ότι ∆ ΛΑυτό υπονοεί ότι δεν υπάρχουν τιμές για τις μεταβλητές πουνα ικανοποιούν και τις δύο εξισώσεις Σε αυτή τηνπερίπτωση οι εξισώσεις στο σύστημα είναι Α

3 Και οι δύο εξισώσεις αναπαρίστανται ως μια κοινή ευθεία καιθεωρούνται ισοδύναμες εξισώσεις ´Ετσι το σύστημα έχειΑ Λ Αυτό συμβαίνει γιατί υπάρχει άπειροςαριθμός κοινών σημείων στις δύο γραμμές

Ε Ι Κοντογιώργης copy 87

I Π Θεωρείστε ένα σύστημα 2times22X+4Y= 203X+ Y= 10

I

X

Y

(24)

3X +Y = 10

2X +4Y = 20

0 2 4 6 8 10 12

2

4

6

8

10

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 88

I Το σημείο τομής δίνεται από το X= 2 και Y= 4Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές του X και Y στις δύοεξισώσεις δίνουν 20 = 20 και 10 = 10 αντίστοιχα

I Αυτό υποδειλώνει ότι X= 2 και Y= 4 είναι η σωστή λύση

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times23Xminus2Y= 6

minus15X+10Y=minus30

I

X

Y

(20)

(0minus3)

3X minus2Y = 6

minus15X +10Y =minus30

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 89

I Οι δύο εξισώσεις απλοποιούνται σε Xminus 23 Y= 2

Οι δύο εξισώσεις είναι ισοδύναμες και δίνουν έναπεπερασμένο αριθμό λύσεων έτσι ώστε

X= 0 Y =minus3X= 2 Y = 0X= 4 Y = 3

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times26Xminus12Y= 24

minus32X+3Y= 9

Οι εξισώσεις απλοποιούνται σεXminus2Y= 4Xminus2Y=minus6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 90

I

X

Y

(40)

(0minus2)

(minus60)

(03)

X minus2Y =minus6

X minus2Y = 4

0-0

I Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες και συνεπώς το σύστημαδεν έχει λύση ´Ετσι το σύστημα εξισώσεων είναιασύμπτωτο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 91

Περίληψη 2times2 Συστήματα Εξισώσεων∆ίνεται ένα Σύστημα Γραμμικών Εξισώσεων 2times2

Y=m1X+ c1Y=m2X+ c2

1 Υπάρχει μια στο σύστημα εάνm1 6= m2

2 ∆εν υπάρχει στο σύστημα εάνm1 = m2 και c1 6= c2

3 Υπάρχει εάνm1 = m2 και c1 = c2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 92

∆ιαδικασίες Απαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής χρησιμοποιεί πολλαπλασιασμόκαι πρόσθεση έτσι ώστε

1 Να απαλοιφεί μια από τις δύο μεταβλητές

2 Η εξίσωση που εξάγεται είναι συνάρτηση των υπόλοιπωνμεταβλητών

3 Αντικαθιστώντας την τιμή στην μεταβλητή σε μια από τιςαρχικές εξισώσεις βρίσκουμε την τιμή για τηναπολοιφθήσα μεταβλητή

Ε Ι Κοντογιώργης copy 93

ΠαραδείγματαI Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

2X +4Y = 20 (1)3X + Y = 10 (2)

Πολλαπλασιάζοντας τη δεύτερη εξίσωση με minus4 παίρνουμε

minus12X minus4Y =minus40 (3)

Προσθέτοντας την εξίσωση (1) στο (3)

2X + 4Y = 20minus12X minus 4Y = minus40minus10X = minus20

ή

X = 2 (4)Ε Ι Κοντογιώργης copy 94

Αντικαθιστώντας X= 2 στην εξίσωση (1) δίνεται2 middot2+4Y = 20 ή Y=4

´Ετσι η μοναδική λύση του συστήματος δίνεται από τοX= 2 και Y= 4 Μπορεί να επιβεβαιωθεί ότι αυτή είναι ησωστή λύση αντικαθιστώντας X= 2 και Y= 4 στηνεξίσωση (1) και (2)

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times23X minus2Y = 6 (5)

minus15X +10Y =minus30 (6)

Για την απαλοιφή της μεταβλητής X η εξίσωση (5)πολλαπλασιάζεται με 5 και το αποτέλεσμα προστίθεταιστην εξίσωση (6)

15X minus 10Y = 30minus15X + 10Y = minus30

0 = 0 Ε Ι Κοντογιώργης copy 95

Οι τελευταίες πράξεις υπονοούν ότι οι εξίσωσεις (5) και(6) είναι ισοδύναμες και έτσι υπάρχει άπειρος αριθμόςλύσεωνΓια να προσδιορίσουμε τις λύσεις του συστήματος μια απότις αρχικές εξισώσεις λύνεται ως προς μια μεταβλητή Ανγια παράδειγμα η εξίσωση (5) λύνεται ως προς Y δίνει

Y =32Xminus3

Σαν αποτέλεσμα γενικεύοντας τις λύσεις του συστήματοςέχουμε

X τυχαίο και Y =32Xminus3

Πχ για X= 4 υπονοείται ότι Y=32 middot4minus3 = 3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 96

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

6X minus12Y = 24 (7)

minus32X +3Y = 9 (8)

Πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση (8) με 4 καιπροσθέτοντας το αποτέλεσμα στην εξίσωση (7)παίρνουμε

6X minus 12Y = 24minus6X + 12Y = 36

0 = 60

Η πιο πάνω αντιλογία υπονοεί ότι δεν υπάρχει λύση τουσυστήματος εξισώσεων

Ε Ι Κοντογιώργης copy 97

3times2 Συστήματα Εξισώσεων I

1 Μ Λ

X

Y

(32)

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minusY = 1

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 98

3times2 Συστήματα Εξισώσεων II

2 Α Λ

X

Y Εξις (1)Εξις (2)Εξις (3)

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 99

3times2 Συστήματα Εξισώσεων III3 Κ

(α) ´Οταν και οι τρεις εξισώσεις είναι παράλληλες

X

Y

2X minusY =minus8

2X minusY = 2

2X minusY = 12

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 100

3times2 Συστήματα Εξισώσεων IV(β) ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ τωνεξισώσεων

X

Y

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minus2Y =minus4

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 101

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική ΑνάλυσηΣε ένα γράφημα 2 διαστάσεων ένα σύστημα mtimes2(mgt2) εξισώσεων παριστάνεται με m ευθείες ´Οπωςσυμβαίνει στα συστήματα 2times2 υπάρχουν τρίαενδεχόμενα

1 ´Ολες οι ευθείες τέμνονται στο ίδιο σημείο και έτσιυπάρχει

2 ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ των mεξισώσεων Αυτό σημαίνει ότι όλες οι ευθείες είναιπαράλληλες Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα Λ

3 Οι m εξισώσεις είναι ισοδύναμες πχ παρασταίνονται σανμια ευθεία Σε αυτή την περίπτωση υπάρχει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 102

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων ∆ιαδικασίαΑπαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής για την επίλυση ενός συστήματοςmtimes2 μπορεί να περιγραφεί ως ακολούθωςΕπιλέξτε και λύστε σύστημα με δύο εξισώσεις

1 Εάν δεν υπάρχει λύση τότε ολόκληρο το σύστημα δεν έχειλύση

2 Εάν υπάρχει μοναδική λύση που ικανοποιεί τις υπόλοιπεςmminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα έχει μία μοναδική λύση

3 Εάν η λύση είναι μοναδική αλλά δεν ικανοποιεί τιςυπόλοιπες mminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα δεν έχει λύση

4 Εάν οι 2 λύσεις είναι ισοδύναμες απάλοιψτε τη μίααπό τις δύο εξισώσεις και ξεκινήστε από την αρχήλαμβάνοντας υπόψη ένα σύστημα (mminus1)times2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 103

ΠαράδείγμαI Θεωρείστε ένα σύστημα 5times2

XminusY= 1X+2Y=minus8

3Xminus2Y= 02Xminus5Y= 11minus4X+3Y=minus1

I Η λύση των πρώτων δύο εξισώσεων δίνετε απόY =minus3 και X =minus2

I Αντικαθιστώντας τη λύση στις υπόλοιπες τρεις εξισώσειςπαίρνετε αντίστοιχα

0 = 0 11 = 11 και minus1 =minus1I Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση

X=minus2 και Y=minus3Ε Ι Κοντογιώργης copy 104

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian

Η μέθοδος απολοιφής Gaussian μετατρέπει το αρχικόσύστημα εξισώσεων σε διαγώνια μορφή επαναλαμβάνονταςστις εξισώσεις τις ακόλουθες τρεις διαδικασίες

1 Πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης μεμια θετική σταθερά

2 Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού θα προστεθεί σεάλλη εξίσωση

3 Η σειρά των εξισώσεων μπορεί να αλλάξει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 105

ΠαράδείγμαΠ Θεωρείστε το σύστημα 2times2

2X minus 3Y = 7 (Εξ 1)X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με 12 για να πάρετε

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με minus1 καιπροσθέστε την στην (Εξ 2)

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

52Y =

152 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 106

Στάδιο 3 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 25

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

Y = 3 (Εξ 2)

Στάδιο 4 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 32 και

προσθέστε την στην (Εξ 1)

X = 1 (Εξ 1)Y = 3 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 107

Π Θεωρείστε το σύστημα 2times2

5X + 20Y = 254X minus 7Y =minus26

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να εκφραστεί ως

R1 5 20 25R2 4 minus7 minus26

Η κάθετη γραμμή χρησιμοποιείται για διαχωρισμό τηςαριστερής από τη δεξιά πλευρά των εξισώσεων Το Riυπονοεί τη γραμμή (Row) i

Ε Ι Κοντογιώργης copy 108

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάζουμε τη R1 με 15 και το θέτουμε

R1larr 15R1

R1 1 4 5R2 4 minus7 minus26

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάζουμε την R1 με minus4 και τηνπροσθέτουμε στην R2 Εν συντομίαR2larrminus4R1+R2

R1 1 4 5R2 0 minus23 minus46

Στάδιο 3 R2larrminus 123R2

R1 1 4 5R2 0 1 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 109

Στάδιο 4 R1larrminus4R2+R1

R1 1 0 minus3R2 0 1 2

Το αρχικό σύστημα εξισώσεων μετατρέπεται σε διαγώνιαμορφή όπως πιο κάτω

X =minus3Y = 2

το οποίο δίνει τη λύση του συστήματος

Ε Ι Κοντογιώργης copy 110

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 I

Το σύστημα εξισώσεων 3times3 μετετρέπεται σε διαγώνιαμορφή Η μετατροπή γίνεται στήλη με στήλη από τααριστερά προς τα δεξιά

Π Θεωρήστε το σύστημα 3times3

X1 + X2 + X3 = 2X1 minus 3X2 + 2X3 = 7

4X1 minus 2X2 minus X3 = 9

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να γραφτεί ως

Ε Ι Κοντογιώργης copy 111

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 II

1 1 1 21 minus3 2 74 minus2 minus1 9

Ε Ι Κοντογιώργης copy 112

I Το άθροισμα των όρων μιας αριθμητικής προόδου είναιγνωστό ως αριθμητική σειρά

Sn = a+ (a+d) + (a+2d) + middot middot middot+ (a+ (nminus1)d)

=nsumi=1

(a+ (iminus1)d

)= na+

nsumi=1

(iminus1)d

= na+dnminus1sumi=1

i = na+d(nminus1)n2

=n2(2a+d(nminus1)) =

n2(a+b) b = a+d(nminus1)

I ΑΠ 3 5 7 9 11 13 rArr Sn =62(3+13) = 48

Ε Ι Κοντογιώργης copy 44

∆ιπλό Αθροισμα4sumi=1

isumj=1

j = (1) + (1+2) + (1+2+3) + (1+2+3+4) = 20

nsumi=1

isumj=1

j =nsumi=1

( isumj=1

j)

nsumi=1

(12 i(i+1)

)=

12

nsumi=1

(i2 + i)

12( nsumi=1

i2 +nsumi=1

i)

=12(16n(n+1)(2n+1) +

12n(n+1)

)

=12

16n(n+1)

((2n+1) +3

)=

n6(n+1)(n+2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 45

∆ιπλό Αθροισμα

nsumi=1

msumj=1

(i+ j+2) =nsumi=1

( msumj=1

(i+ j+2))

nsumi=1

( msumj=1

i+msumj=1

j+msumj=1

2)

=nsumi=1

(mi+ 1

2m(m+1) +2m)

m( nsumi=1

i+ 12

nsumi=1

(m+5))

= m(12n(n+1) +

12n(m+5)

)

=mn2(m+n+6

)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 46

Insumr=1

1r(r+1)

=nsumr=1

(Ar +

Br+1

)=

nsumr=1

A(r+1) +Brr(r+1)

I A(r+1) +Br = 1

I Για r = 0 τότε A= 1 και για r =minus1 τότε B=minus1

I

nsumr=1

1r(r+1)

=nsumr=1

(1r minus

1r+1

)

=(

(11 minus

12) + (

12 minus

13) + (

13 minus

14) + middot middot middot+ (

1nminus1 minus

1n ) + (

1n minus

1n+1)

)

= 1minus 1n+1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 47

Insumk=1

1(k+2)(k+3)

=nsumk=1

( A(k+2)

+B

(k+3)

)=

nsumk=1

A(k+3) +B(k+2)

(k+2)(k+3)

I A(k+3) +B(k+2) = 1

I Για k=minus2 τότε A= 1 και για k=minus3 τότε B=minus1

I

nsumk=1

1(k+2)(k+3)

=nsumk=1

( 1(k+2)

minus 1(k+3)

)

=(

(13 minus

14)+(

14 minus

15)+(

15 minus

16)+ +(

1n+1 minus

1n+2)+(

1n+2 minus

1n+3)

)

=13 minus

1n+3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 48

Αθροισμα με Λογάριθμους

nsumi=1

logb(i) = logb(1) + logb(2) + middot middot middot+ logb(n)

= logb(1times2times3timesmiddotmiddot middottimesn)

= logb(n)

I Το n (n παραγοντικό) δίνεται από n = 1times2timesmiddotmiddot middottimesn και0 = 1

I100sumi=1

log2(100) = log2(100) =log(100)

log(2)=

log(99)

log(2)+

2log(2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 49

Γινόμενο των ακολουθιώνIn

prodi=1xi = x1timesx2timesx3timesmiddotmiddot middottimesxn

In

prodi=1i = 1times2times3timesmiddotmiddot middottimesn= n

In

prodi=1z= ztimesztimesmiddotmiddot middottimesz= zn

I

nprodi=1

(1+

1i+1

)=(1+

12)times(1+

13)times(1+

14)times times(1+

1n )times(1+

1n+1)

=32 times

43 times

54 timesmiddotmiddot middottimes

n+1n times n+2

n+1

=n+22

Ε Ι Κοντογιώργης copy 50

Γεωμετρικές ΠροόδοιI Μια γεωμετρική πρόοδος είναι μια σειρά αριθμών όπου

κάθε όρος μετά των πρώτο υπολογίζεται από τονπολλαπλασιασμό του προηγούμενου όρου με ένασταθερό αριθμό που καλείται αναλογία

I Η σειρά1 3 9 27 81 middot middot middot

είναι μια γεωμετρική πρόοδος με πρώτο όρο το 1 καιαναλογία 3

I Η αναλογία μπορεί να είναι κλάσμα καθώς επίσης καιαρνητικός αριθμός Για παράδειγμα η γεωμετρικήπρόοδος με πρώτο όρο το 2 και αναλογία minus13 είναι

2 minus 23 +

29 minus

227 +

281 middot middot middot

Ε Ι Κοντογιώργης copy 51

I Γενικά μπορούμε να γράψουμε μια γεωμετρική πρόοδο ωςακολούθως

γεωμετρική πρόοδος a ar ar2 ar3 ar4 middot middot middot

όπου ο πρώτος όρος είναι a και η αναλογία r

I Σημαντικά θεωρήματα των γεωμετρικών προόδων (γπ)1 Ο n όρος μιας γπ δίνεται από ar(nminus1)

2 Το άθροισμα των πρώτων n όρων μιας γπ είναι

Sn =a(1minus rn)

1minus r =a(rnminus1)

rminus1 και ισχύει μόνο αν r 6= 1

I Το άθροισμα των όρων μιας γεωμετρικής προόδουονομάζεται γεωμετρική σειρά

Ε Ι Κοντογιώργης copy 52

Γεωμετρική σειρά

Sn = a+ar+ar2 +ar3 + middot middot middot+arnminus2 +arnminus1

rSn = ar+ar2 +ar3 + arnminus1 +arn

Snminus rSn = aminusarn

(1minus r)Sn = a(1minus rn)

Sn =a(1minus rn)

(1minus r) =a(rnminus1)

(rminus1)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 53

I Παράδειγμα1 Βρείτε το άθροισμα των πρώτων 10 όρων μιας γεωμετρικής

σειράς4 8 16 32

Ο πρώτος όρος είναι a= 4 και η αναλογία r = 2 καιn= 10 ´Ετσι

S10 =4(1minus210)

1minus2 = 4092

2 Θεωρείστε τη γπ4 minus8 16 minus32 64 minus128 256 minus512

Σε αυτή την περίπτωση ο πρώτος όρος είναι a= 4 ηαναλογία είναι r =minus2 και n= 8´Ετσι

S8 =4(1minus (minus2)8)

1minus (minus2)=minus340

Ε Ι Κοντογιώργης copy 54

Συνεχείς ανατοκισμός

Οι περισσότεροι τραπεζικοί λογαριασμοί και τα δάνειαυιοθετούν ανατοκισμό - εφαρμόζοντας συνεχή ανατοκισμόΘεωρείστε ένα λογαριασμό που προσφέρει τόκο με ετήσιοεπιτόκιο r (πχ 7) Εάν το επιτόκιο είναι συνεχέςσε χρονιαία βάση τότε μετά από 1 χρόνο το χρονιαίοεπιτόκιο προστίθεται στο αρχικό κεφάλαιο για νακαθορίσει ένα μεγαλύτερο κεφάλαιο τον δεύτερο χρόνο

´Ετσι κατά τη διάρκεια του δεύτερου χρόνου ολογαριασμός κερδίζει επιτόκιο πάνω στο επιτόκιοΑυτή είναι η επίδραση του ανατοκισμού που συνεχίζεταιχρόνο με το χρόνο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 55

I Με τον ετήσιο ανατοκισμό το κεφάλαιο πουσυσσωρεύεται στο λογαριασμό πολλαπλασιάζεται με

(1+ r)

´Ετσι το κεφάλαιο A θα αυξηθεί σε

A(1+ r) = A+A middot r

τον επόμενο χρόνο

I Με το πέρας και του δεύτερου χρόνου το κεφάλαιο θααυξηθεί ακόμα (1+ r) σε (1+ r)2

´Ετσι το κεφάλαιο καταλήγει σε

A(1+ r)(1+ r) = A(1+ r)2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 56

I Κατά παρόμοιο τρόπο στο τέλος του τρίτου χρόνου τοποσό θα αυξηθεί κατά (1+ r)3

I Μετά από n χρόνια το ποσό θα αυξηθεί κατά (1+ r)n

I ´Ετσι το κεφάλαιο (επένδυση) A θα αυξηθεί με συνεχήανατοκισμό σε A(1+ r)n μετά από n χρόνια

I Ο τύπος (1+ r)n εκθέτει γεωμετρική αύξηση λόγω τηςn δύναμης

Ε Ι Κοντογιώργης copy 57

ΠαραδείγματαI Εάν το επιτόκιο είναι r = 5 τότε το κεφάλαιοA= $1000 που βρίσκεται στην τράπεζα n= 20 χρόνιαθα αυξηθεί κατά

(1+ r)n = (1+005)20 = 2653 φορές

´Ετσι το ποσό θα καταλήξειA(1+ r)n = $265330

I Βρέστε το χρόνο που χρειάζεται για ένα λογαργιασμό ναδιπλασιάσει το διαθέσιμο κεφάλαιο του όταν r = 7 καιr = 10Ζητούμε να βρούμε το n έτσι ώστε

(1+ r)n = 2Ε Ι Κοντογιώργης copy 58

I Υπολογίζοντας το λογάριθμο του τελευταίου παίρνουμε

log(1+ r)n = log(2)ή n log(1+ r) = log(2)

´Ετσιn=

log2log(1+ r)

I Για r = 7 και r = 10 ο χρόνος n πουχρειάζεται για διπλασιασμό της επένδυσης υπολογίζεταισε 1024 και 727 αντίστοιχα

Ε Ι Κοντογιώργης copy 59

I Αν το επιτόκιο είναι r = 7 τότε πιο θα είναι τοσυνολικό ποσό στο λογαριασμό μετά από 205 και41 χρόνια αντίστοιχα

Μετά τα πρώτα 1025 χρόνια το ποσό A θαδιπλασιαστεί σε 2A Για τα επόμενα 1025 χρόνιατο ποσό θα ξαναδιπλασιαστεί σε 4A ´Ετσι μετά από205 χρόνια το ποσό θα αυξηθεί κατά 4 φορές

Με το πέρας ακόμα 205 χρόνων το ποσό θα αυξηθείακόμα 4 φορές σε 16 ´Ετσι μετά από 41 χρόνιατο κεφάλαιο A γίνεται 16A

Ε Ι Κοντογιώργης copy 60

Ασκήσεις και Παραδείγματα

I Υπολογίστε τη Μελλοντική Αξία (Future Value (FV)) τουκεφαλαίου A= 1500 που κερδίζει ετήσιο επιτόκιοr = 5 για n= 10 έτη

FV =A(1+ r)n = 1500(1+005)10 = 244334

I Πόσα έτη απαιτούνται για να τριπλασιαστεί ένα ποσόπου αφήνετε στην τράπεζα με επιτόκιο r = 5∆ηλαδή βρείτε το n όπου A= 1 r = 5 και FV = 3

FV =A(1+ r)n ή (1+ r)n =FVA

Ε Ι Κοντογιώργης copy 61

Υπολογίζοντας τους λογαρίθμους παίρνουμε

log(1+ r)n = log(FVA)

ή n log(1+ r) = log(FVA)

´Ετσι

n=log(FVA)

log(1+ r) =log(3)

log(105)

= 2252

Ε Ι Κοντογιώργης copy 62

I Βρείτε την παρούσα αξία A έτσι ώστε σε δέκα έτη μεσταθερό επιτόκιο r = 6 να είναι 100KΒρείτε το A όπου FV = 100000 r = 6 και n= 10

FV =A(1+ r)n ή A=FV

(1+ r)n

´Ετσι A=100000

(106)10= 5583948

I Βρείτε την ετησιοποιημένη απόδοση (AER AnnualEquivalent Rate) μιας μηνιαίας κατάθεσης με σταθερόεπιτοκίο 394 Μια τέτοια κατάθεση λαμβάνει το επιτόκιο στη λήξηΣυνεπώς κάθε μήνα ο λογαριασμός λαμβάνει

r = 0039412 = 000328

επιτόκιο που επανεπενδύεται (συνεχής ανατοκισμός)Ε Ι Κοντογιώργης copy 63

Επανεπενδύοντας το επιτόκιο κάθε μήνα στη διάρκειαενός έτους το κεφάλαιο θα αυξηθεί σε

(1+ r)12 = (1+000328)12 = 104012

´Ετσι το ΑΕΡ είναι ισοδύναμο με 004012 = 4012I Υπολογίστε το επιτόκιο ενός σταθερού λογαριασμού

κατάθεσης 7-ημερών που έχει AER επιτόκιο r = 425Θεωρείστε ρ το εβδομαδιαίο επιτόκιο

´Ετσι (1+ρ)52 = (1+00425)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 64

Παίρνοντας τους λογαρίθμους έχουμε52log(1+ρ) = log10425

ή log(1+ρ) =log10425

52

ή 1+ρ= 10( log10425

52)

Αυτό μας δίνει

ρ= 10

( log1042552

)minus1 = 008

´Ετσι το συνεχές επιτόκιο μιας επταήμερης κατάθεσης είναιρtimes52 = 41638

Εναλλακτικά (1+ρ)52 = (1+00425) δίνει

(1+ρ) =52radic10425ή ρ=

52radic10425minus = 008Ε Ι Κοντογιώργης copy 65

I Υπολογίστε την ετήσια απόδοση r έτσι ώστε A= 10000να επιστρέφει FV = 35000 σε n= 20 χρόνια

FV =A(1+ r)n ή (1+ r)n =FVA

´Ετσι

1+ r =nradic

FVA

Επομένως

r =nradic

FVA minus1 =

20radic

3500010000 minus1 = 00646 = 646

Ε Ι Κοντογιώργης copy 66

Εναλλακτικά παίρνοντας τους λογαρίθμους

log(1+ r)n = log(FVA) ή n log(1+ r) = log

(FVA)

´Ετσι

1+ r = 10(1n log

(FVA))

ή r = 10(1n log

(FVA))minus1

= 10( 120 log

(3500010000

))minus1

= 646

Ε Ι Κοντογιώργης copy 67

Γραφική Αναπαράσταση I

I Υποθέστε ότι έχουμε y= 3x+2 Καθώς έχουμε μόνο μιαδύναμη για το x πρέπει να λύσουμε γραμμική εξίσωσηκαι να σχεδιάσουμε μια ευθεία γραμμή Αρχικά θα πρέπεινα σχεδιάσουμε ένα T-chart Αυτό έχει τη μορφή

x y = 3x+2 (xy)

I Επιλέγουμε μια τιμή για το x και λύνουμε ως προς y

x y= 3x+2 (xy)minus2 minus4 (minus2minus4)0 2 (02)2 8 (28)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 68

Γραφική Αναπαράσταση II

-

6

X

Y

bull

bull

bull

I Βλέπουμε μια ευθεία με ανοδική τάση (έχοντας θετικήκλίση m= 3) καιτέμνει τον άξονα y στο σημείο y= 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 69

Γραφική Αναπαράσταση III

I Μια Τετραγωνική εξίσωση περιέχει x2 Για τηναναπαράσταση τετραγωνικών εξισώσεων χρειάζεται ναβρούμε περισσότερα από τρία σημεία στο σχεδιάγραμμα

Για παράδειγμα υποθέστε ότι y= x2minus6x+5 καιδίνεται το πιο κάτω T-chart

x y= x2minus6x+5 (xy)0 5 (05)1 0 (10)3 minus4 (3minus4)5 0 (50)6 5 (65)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 70

Γραφική Αναπαράσταση IV

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

-

6

X

Y

bull

bull

bull

bull

bull

Ε Ι Κοντογιώργης copy 71

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(1x + 2)

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(-3x + 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 72

-15

-10

-5

0

5

10

15

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(3x - 2)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 73

-20

0

20

40

60

80

100

120

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2+x)

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 74

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

1250

1500

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3+x2+x)

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x4)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 75

-25

-2

-15

-1

-05

0

05

1

15

2

25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(log(x))

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(x))

Ε Ι Κοντογιώργης copy 76

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(-x))

-5000

0

5000

10000

15000

20000

25000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(exp(x)+x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 77

Ανισότητες I

I Οι ανισότητες αποτελούνται από δύο ή τρεις αλγεβρικέςεκφράσεις που είναι συνδεδεμένες με τα σύμβολαανισότητας Τα σύμβολα αυτά είναι

lt μικρότερο τουgt μεγαλύτερο τουle μικρότερο ή ίσο τουge μεγαλύτερο ή ίσο του

I Παραδείγματα xgty yge x2 και ylt5x+1

I Το πρώτο βήμα για την αναπαράσταση ανισότητας τηςμορφής ygtx είναι να παραστήσουμε γραφικά τηνισότητα y= x

Ε Ι Κοντογιώργης copy 78

Ανισότητες II

I ygtx

Κάνετε δοκιμή με ένα σημείο να δείτε κατά πόσοικανοποιεί την ανισότητα Εάν ναι τότε σκιάστε τηνπεριοχή αυτή του σχεδιαγράμματος διαφορετικά σκιάστετην άλλη πλευρά

Ε Ι Κοντογιώργης copy 79

Ανισότητες III

I yltx

Ε Ι Κοντογιώργης copy 80

Ανισότητες IV

I yle 5x+1 και ygt5x+1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 81

Ανισότητες V

I yge x2 και yle x2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 82

Ανισότητες VI

I ygtx3 και yle x3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 83

Συστήματα Γραμμικών ΕξισώσεωνΠεριεχόμενα

1 Ε

2 Γ Α

ΑναφορέςΚεφάλαια 4 και 5FS Budnick Applied Mathematics for Business Economicsand the Social Sciences 4th edition McGraw-Hill 1993

Ε Ι Κοντογιώργης copy 84

Συστήματα Εξισώσεων

I ´Ενα σύστημα εξισώσεων συνδυάζει περισσότερες από μίαεξισώσεις

I ´Ενα σύστημα m εξισώσεων όπου κάθε εξίσωσηαποτελείται από n μεταβλητές ονομάζεται mtimesnσύστημα ή λέμε ότι έχει διαστάσεις mtimesn

I ΠαράδειγμαΠαρακάτω έχουμε ένα σύστημα 2times2

5X+10Y= 203X+4Y= 10

Οι μεταβλητές σε αυτή την περίπτωση είναι X και YΕ Ι Κοντογιώργης copy 85

Συστήματα Επίλυσης

I Το Σύστημα επίλυσης είναι μια σειρά τιμών μεταβλητώνπου ικανοποιούν το σύστημα ταυτόχρονα

I Σε μια σημειογραφική παράσταση το προηγούμενοπαράδειγμα μπορεί να γραφτεί ως εξής

S = (XY) | 5X+10Y = 20 και 3X+4Y = 10

I Το σύστημα επίλυσης μπορεί να είναι1 μηδενικό2 πεπερασμένο ή3 άπειρο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 86

2times2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική Ανάλυση

I Σε ένα δισδιάστατο γράφημα ένα σύστημα εξισώσεων2times2 αναπαρίστανται με ευθείες γραμμές Υπόρχουν τρίαενδεχόμενα

1 Οι ευθείες τέμνονται Το σημείο τομής αντιπροσωπεύει τηλύση του συστήματος εξισώσεων Αυτό το σημείοαλληλεπίδρασης είναι μια δέσμη τιμών X και Y που ικανοποιείκαι τις δύο εξισώσειςΕάν υπάρχει μόνο μια δέσμη τιμών για τις μεταβλητές που ναικανοποιεί το σύστημα εξισώσεων το σύστημα λέμε ότι έχειΜ Λ

2 Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες μεταξύ τους ∆εν έχουν κοινόσημείο Συνεπώς οι ευθείες δεν τέμνονται ποτέ Το σύστημαλέμε ότι ∆ ΛΑυτό υπονοεί ότι δεν υπάρχουν τιμές για τις μεταβλητές πουνα ικανοποιούν και τις δύο εξισώσεις Σε αυτή τηνπερίπτωση οι εξισώσεις στο σύστημα είναι Α

3 Και οι δύο εξισώσεις αναπαρίστανται ως μια κοινή ευθεία καιθεωρούνται ισοδύναμες εξισώσεις ´Ετσι το σύστημα έχειΑ Λ Αυτό συμβαίνει γιατί υπάρχει άπειροςαριθμός κοινών σημείων στις δύο γραμμές

Ε Ι Κοντογιώργης copy 87

I Π Θεωρείστε ένα σύστημα 2times22X+4Y= 203X+ Y= 10

I

X

Y

(24)

3X +Y = 10

2X +4Y = 20

0 2 4 6 8 10 12

2

4

6

8

10

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 88

I Το σημείο τομής δίνεται από το X= 2 και Y= 4Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές του X και Y στις δύοεξισώσεις δίνουν 20 = 20 και 10 = 10 αντίστοιχα

I Αυτό υποδειλώνει ότι X= 2 και Y= 4 είναι η σωστή λύση

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times23Xminus2Y= 6

minus15X+10Y=minus30

I

X

Y

(20)

(0minus3)

3X minus2Y = 6

minus15X +10Y =minus30

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 89

I Οι δύο εξισώσεις απλοποιούνται σε Xminus 23 Y= 2

Οι δύο εξισώσεις είναι ισοδύναμες και δίνουν έναπεπερασμένο αριθμό λύσεων έτσι ώστε

X= 0 Y =minus3X= 2 Y = 0X= 4 Y = 3

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times26Xminus12Y= 24

minus32X+3Y= 9

Οι εξισώσεις απλοποιούνται σεXminus2Y= 4Xminus2Y=minus6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 90

I

X

Y

(40)

(0minus2)

(minus60)

(03)

X minus2Y =minus6

X minus2Y = 4

0-0

I Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες και συνεπώς το σύστημαδεν έχει λύση ´Ετσι το σύστημα εξισώσεων είναιασύμπτωτο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 91

Περίληψη 2times2 Συστήματα Εξισώσεων∆ίνεται ένα Σύστημα Γραμμικών Εξισώσεων 2times2

Y=m1X+ c1Y=m2X+ c2

1 Υπάρχει μια στο σύστημα εάνm1 6= m2

2 ∆εν υπάρχει στο σύστημα εάνm1 = m2 και c1 6= c2

3 Υπάρχει εάνm1 = m2 και c1 = c2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 92

∆ιαδικασίες Απαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής χρησιμοποιεί πολλαπλασιασμόκαι πρόσθεση έτσι ώστε

1 Να απαλοιφεί μια από τις δύο μεταβλητές

2 Η εξίσωση που εξάγεται είναι συνάρτηση των υπόλοιπωνμεταβλητών

3 Αντικαθιστώντας την τιμή στην μεταβλητή σε μια από τιςαρχικές εξισώσεις βρίσκουμε την τιμή για τηναπολοιφθήσα μεταβλητή

Ε Ι Κοντογιώργης copy 93

ΠαραδείγματαI Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

2X +4Y = 20 (1)3X + Y = 10 (2)

Πολλαπλασιάζοντας τη δεύτερη εξίσωση με minus4 παίρνουμε

minus12X minus4Y =minus40 (3)

Προσθέτοντας την εξίσωση (1) στο (3)

2X + 4Y = 20minus12X minus 4Y = minus40minus10X = minus20

ή

X = 2 (4)Ε Ι Κοντογιώργης copy 94

Αντικαθιστώντας X= 2 στην εξίσωση (1) δίνεται2 middot2+4Y = 20 ή Y=4

´Ετσι η μοναδική λύση του συστήματος δίνεται από τοX= 2 και Y= 4 Μπορεί να επιβεβαιωθεί ότι αυτή είναι ησωστή λύση αντικαθιστώντας X= 2 και Y= 4 στηνεξίσωση (1) και (2)

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times23X minus2Y = 6 (5)

minus15X +10Y =minus30 (6)

Για την απαλοιφή της μεταβλητής X η εξίσωση (5)πολλαπλασιάζεται με 5 και το αποτέλεσμα προστίθεταιστην εξίσωση (6)

15X minus 10Y = 30minus15X + 10Y = minus30

0 = 0 Ε Ι Κοντογιώργης copy 95

Οι τελευταίες πράξεις υπονοούν ότι οι εξίσωσεις (5) και(6) είναι ισοδύναμες και έτσι υπάρχει άπειρος αριθμόςλύσεωνΓια να προσδιορίσουμε τις λύσεις του συστήματος μια απότις αρχικές εξισώσεις λύνεται ως προς μια μεταβλητή Ανγια παράδειγμα η εξίσωση (5) λύνεται ως προς Y δίνει

Y =32Xminus3

Σαν αποτέλεσμα γενικεύοντας τις λύσεις του συστήματοςέχουμε

X τυχαίο και Y =32Xminus3

Πχ για X= 4 υπονοείται ότι Y=32 middot4minus3 = 3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 96

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

6X minus12Y = 24 (7)

minus32X +3Y = 9 (8)

Πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση (8) με 4 καιπροσθέτοντας το αποτέλεσμα στην εξίσωση (7)παίρνουμε

6X minus 12Y = 24minus6X + 12Y = 36

0 = 60

Η πιο πάνω αντιλογία υπονοεί ότι δεν υπάρχει λύση τουσυστήματος εξισώσεων

Ε Ι Κοντογιώργης copy 97

3times2 Συστήματα Εξισώσεων I

1 Μ Λ

X

Y

(32)

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minusY = 1

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 98

3times2 Συστήματα Εξισώσεων II

2 Α Λ

X

Y Εξις (1)Εξις (2)Εξις (3)

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 99

3times2 Συστήματα Εξισώσεων III3 Κ

(α) ´Οταν και οι τρεις εξισώσεις είναι παράλληλες

X

Y

2X minusY =minus8

2X minusY = 2

2X minusY = 12

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 100

3times2 Συστήματα Εξισώσεων IV(β) ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ τωνεξισώσεων

X

Y

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minus2Y =minus4

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 101

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική ΑνάλυσηΣε ένα γράφημα 2 διαστάσεων ένα σύστημα mtimes2(mgt2) εξισώσεων παριστάνεται με m ευθείες ´Οπωςσυμβαίνει στα συστήματα 2times2 υπάρχουν τρίαενδεχόμενα

1 ´Ολες οι ευθείες τέμνονται στο ίδιο σημείο και έτσιυπάρχει

2 ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ των mεξισώσεων Αυτό σημαίνει ότι όλες οι ευθείες είναιπαράλληλες Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα Λ

3 Οι m εξισώσεις είναι ισοδύναμες πχ παρασταίνονται σανμια ευθεία Σε αυτή την περίπτωση υπάρχει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 102

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων ∆ιαδικασίαΑπαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής για την επίλυση ενός συστήματοςmtimes2 μπορεί να περιγραφεί ως ακολούθωςΕπιλέξτε και λύστε σύστημα με δύο εξισώσεις

1 Εάν δεν υπάρχει λύση τότε ολόκληρο το σύστημα δεν έχειλύση

2 Εάν υπάρχει μοναδική λύση που ικανοποιεί τις υπόλοιπεςmminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα έχει μία μοναδική λύση

3 Εάν η λύση είναι μοναδική αλλά δεν ικανοποιεί τιςυπόλοιπες mminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα δεν έχει λύση

4 Εάν οι 2 λύσεις είναι ισοδύναμες απάλοιψτε τη μίααπό τις δύο εξισώσεις και ξεκινήστε από την αρχήλαμβάνοντας υπόψη ένα σύστημα (mminus1)times2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 103

ΠαράδείγμαI Θεωρείστε ένα σύστημα 5times2

XminusY= 1X+2Y=minus8

3Xminus2Y= 02Xminus5Y= 11minus4X+3Y=minus1

I Η λύση των πρώτων δύο εξισώσεων δίνετε απόY =minus3 και X =minus2

I Αντικαθιστώντας τη λύση στις υπόλοιπες τρεις εξισώσειςπαίρνετε αντίστοιχα

0 = 0 11 = 11 και minus1 =minus1I Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση

X=minus2 και Y=minus3Ε Ι Κοντογιώργης copy 104

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian

Η μέθοδος απολοιφής Gaussian μετατρέπει το αρχικόσύστημα εξισώσεων σε διαγώνια μορφή επαναλαμβάνονταςστις εξισώσεις τις ακόλουθες τρεις διαδικασίες

1 Πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης μεμια θετική σταθερά

2 Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού θα προστεθεί σεάλλη εξίσωση

3 Η σειρά των εξισώσεων μπορεί να αλλάξει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 105

ΠαράδείγμαΠ Θεωρείστε το σύστημα 2times2

2X minus 3Y = 7 (Εξ 1)X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με 12 για να πάρετε

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με minus1 καιπροσθέστε την στην (Εξ 2)

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

52Y =

152 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 106

Στάδιο 3 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 25

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

Y = 3 (Εξ 2)

Στάδιο 4 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 32 και

προσθέστε την στην (Εξ 1)

X = 1 (Εξ 1)Y = 3 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 107

Π Θεωρείστε το σύστημα 2times2

5X + 20Y = 254X minus 7Y =minus26

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να εκφραστεί ως

R1 5 20 25R2 4 minus7 minus26

Η κάθετη γραμμή χρησιμοποιείται για διαχωρισμό τηςαριστερής από τη δεξιά πλευρά των εξισώσεων Το Riυπονοεί τη γραμμή (Row) i

Ε Ι Κοντογιώργης copy 108

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάζουμε τη R1 με 15 και το θέτουμε

R1larr 15R1

R1 1 4 5R2 4 minus7 minus26

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάζουμε την R1 με minus4 και τηνπροσθέτουμε στην R2 Εν συντομίαR2larrminus4R1+R2

R1 1 4 5R2 0 minus23 minus46

Στάδιο 3 R2larrminus 123R2

R1 1 4 5R2 0 1 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 109

Στάδιο 4 R1larrminus4R2+R1

R1 1 0 minus3R2 0 1 2

Το αρχικό σύστημα εξισώσεων μετατρέπεται σε διαγώνιαμορφή όπως πιο κάτω

X =minus3Y = 2

το οποίο δίνει τη λύση του συστήματος

Ε Ι Κοντογιώργης copy 110

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 I

Το σύστημα εξισώσεων 3times3 μετετρέπεται σε διαγώνιαμορφή Η μετατροπή γίνεται στήλη με στήλη από τααριστερά προς τα δεξιά

Π Θεωρήστε το σύστημα 3times3

X1 + X2 + X3 = 2X1 minus 3X2 + 2X3 = 7

4X1 minus 2X2 minus X3 = 9

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να γραφτεί ως

Ε Ι Κοντογιώργης copy 111

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 II

1 1 1 21 minus3 2 74 minus2 minus1 9

Ε Ι Κοντογιώργης copy 112

∆ιπλό Αθροισμα4sumi=1

isumj=1

j = (1) + (1+2) + (1+2+3) + (1+2+3+4) = 20

nsumi=1

isumj=1

j =nsumi=1

( isumj=1

j)

nsumi=1

(12 i(i+1)

)=

12

nsumi=1

(i2 + i)

12( nsumi=1

i2 +nsumi=1

i)

=12(16n(n+1)(2n+1) +

12n(n+1)

)

=12

16n(n+1)

((2n+1) +3

)=

n6(n+1)(n+2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 45

∆ιπλό Αθροισμα

nsumi=1

msumj=1

(i+ j+2) =nsumi=1

( msumj=1

(i+ j+2))

nsumi=1

( msumj=1

i+msumj=1

j+msumj=1

2)

=nsumi=1

(mi+ 1

2m(m+1) +2m)

m( nsumi=1

i+ 12

nsumi=1

(m+5))

= m(12n(n+1) +

12n(m+5)

)

=mn2(m+n+6

)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 46

Insumr=1

1r(r+1)

=nsumr=1

(Ar +

Br+1

)=

nsumr=1

A(r+1) +Brr(r+1)

I A(r+1) +Br = 1

I Για r = 0 τότε A= 1 και για r =minus1 τότε B=minus1

I

nsumr=1

1r(r+1)

=nsumr=1

(1r minus

1r+1

)

=(

(11 minus

12) + (

12 minus

13) + (

13 minus

14) + middot middot middot+ (

1nminus1 minus

1n ) + (

1n minus

1n+1)

)

= 1minus 1n+1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 47

Insumk=1

1(k+2)(k+3)

=nsumk=1

( A(k+2)

+B

(k+3)

)=

nsumk=1

A(k+3) +B(k+2)

(k+2)(k+3)

I A(k+3) +B(k+2) = 1

I Για k=minus2 τότε A= 1 και για k=minus3 τότε B=minus1

I

nsumk=1

1(k+2)(k+3)

=nsumk=1

( 1(k+2)

minus 1(k+3)

)

=(

(13 minus

14)+(

14 minus

15)+(

15 minus

16)+ +(

1n+1 minus

1n+2)+(

1n+2 minus

1n+3)

)

=13 minus

1n+3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 48

Αθροισμα με Λογάριθμους

nsumi=1

logb(i) = logb(1) + logb(2) + middot middot middot+ logb(n)

= logb(1times2times3timesmiddotmiddot middottimesn)

= logb(n)

I Το n (n παραγοντικό) δίνεται από n = 1times2timesmiddotmiddot middottimesn και0 = 1

I100sumi=1

log2(100) = log2(100) =log(100)

log(2)=

log(99)

log(2)+

2log(2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 49

Γινόμενο των ακολουθιώνIn

prodi=1xi = x1timesx2timesx3timesmiddotmiddot middottimesxn

In

prodi=1i = 1times2times3timesmiddotmiddot middottimesn= n

In

prodi=1z= ztimesztimesmiddotmiddot middottimesz= zn

I

nprodi=1

(1+

1i+1

)=(1+

12)times(1+

13)times(1+

14)times times(1+

1n )times(1+

1n+1)

=32 times

43 times

54 timesmiddotmiddot middottimes

n+1n times n+2

n+1

=n+22

Ε Ι Κοντογιώργης copy 50

Γεωμετρικές ΠροόδοιI Μια γεωμετρική πρόοδος είναι μια σειρά αριθμών όπου

κάθε όρος μετά των πρώτο υπολογίζεται από τονπολλαπλασιασμό του προηγούμενου όρου με ένασταθερό αριθμό που καλείται αναλογία

I Η σειρά1 3 9 27 81 middot middot middot

είναι μια γεωμετρική πρόοδος με πρώτο όρο το 1 καιαναλογία 3

I Η αναλογία μπορεί να είναι κλάσμα καθώς επίσης καιαρνητικός αριθμός Για παράδειγμα η γεωμετρικήπρόοδος με πρώτο όρο το 2 και αναλογία minus13 είναι

2 minus 23 +

29 minus

227 +

281 middot middot middot

Ε Ι Κοντογιώργης copy 51

I Γενικά μπορούμε να γράψουμε μια γεωμετρική πρόοδο ωςακολούθως

γεωμετρική πρόοδος a ar ar2 ar3 ar4 middot middot middot

όπου ο πρώτος όρος είναι a και η αναλογία r

I Σημαντικά θεωρήματα των γεωμετρικών προόδων (γπ)1 Ο n όρος μιας γπ δίνεται από ar(nminus1)

2 Το άθροισμα των πρώτων n όρων μιας γπ είναι

Sn =a(1minus rn)

1minus r =a(rnminus1)

rminus1 και ισχύει μόνο αν r 6= 1

I Το άθροισμα των όρων μιας γεωμετρικής προόδουονομάζεται γεωμετρική σειρά

Ε Ι Κοντογιώργης copy 52

Γεωμετρική σειρά

Sn = a+ar+ar2 +ar3 + middot middot middot+arnminus2 +arnminus1

rSn = ar+ar2 +ar3 + arnminus1 +arn

Snminus rSn = aminusarn

(1minus r)Sn = a(1minus rn)

Sn =a(1minus rn)

(1minus r) =a(rnminus1)

(rminus1)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 53

I Παράδειγμα1 Βρείτε το άθροισμα των πρώτων 10 όρων μιας γεωμετρικής

σειράς4 8 16 32

Ο πρώτος όρος είναι a= 4 και η αναλογία r = 2 καιn= 10 ´Ετσι

S10 =4(1minus210)

1minus2 = 4092

2 Θεωρείστε τη γπ4 minus8 16 minus32 64 minus128 256 minus512

Σε αυτή την περίπτωση ο πρώτος όρος είναι a= 4 ηαναλογία είναι r =minus2 και n= 8´Ετσι

S8 =4(1minus (minus2)8)

1minus (minus2)=minus340

Ε Ι Κοντογιώργης copy 54

Συνεχείς ανατοκισμός

Οι περισσότεροι τραπεζικοί λογαριασμοί και τα δάνειαυιοθετούν ανατοκισμό - εφαρμόζοντας συνεχή ανατοκισμόΘεωρείστε ένα λογαριασμό που προσφέρει τόκο με ετήσιοεπιτόκιο r (πχ 7) Εάν το επιτόκιο είναι συνεχέςσε χρονιαία βάση τότε μετά από 1 χρόνο το χρονιαίοεπιτόκιο προστίθεται στο αρχικό κεφάλαιο για νακαθορίσει ένα μεγαλύτερο κεφάλαιο τον δεύτερο χρόνο

´Ετσι κατά τη διάρκεια του δεύτερου χρόνου ολογαριασμός κερδίζει επιτόκιο πάνω στο επιτόκιοΑυτή είναι η επίδραση του ανατοκισμού που συνεχίζεταιχρόνο με το χρόνο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 55

I Με τον ετήσιο ανατοκισμό το κεφάλαιο πουσυσσωρεύεται στο λογαριασμό πολλαπλασιάζεται με

(1+ r)

´Ετσι το κεφάλαιο A θα αυξηθεί σε

A(1+ r) = A+A middot r

τον επόμενο χρόνο

I Με το πέρας και του δεύτερου χρόνου το κεφάλαιο θααυξηθεί ακόμα (1+ r) σε (1+ r)2

´Ετσι το κεφάλαιο καταλήγει σε

A(1+ r)(1+ r) = A(1+ r)2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 56

I Κατά παρόμοιο τρόπο στο τέλος του τρίτου χρόνου τοποσό θα αυξηθεί κατά (1+ r)3

I Μετά από n χρόνια το ποσό θα αυξηθεί κατά (1+ r)n

I ´Ετσι το κεφάλαιο (επένδυση) A θα αυξηθεί με συνεχήανατοκισμό σε A(1+ r)n μετά από n χρόνια

I Ο τύπος (1+ r)n εκθέτει γεωμετρική αύξηση λόγω τηςn δύναμης

Ε Ι Κοντογιώργης copy 57

ΠαραδείγματαI Εάν το επιτόκιο είναι r = 5 τότε το κεφάλαιοA= $1000 που βρίσκεται στην τράπεζα n= 20 χρόνιαθα αυξηθεί κατά

(1+ r)n = (1+005)20 = 2653 φορές

´Ετσι το ποσό θα καταλήξειA(1+ r)n = $265330

I Βρέστε το χρόνο που χρειάζεται για ένα λογαργιασμό ναδιπλασιάσει το διαθέσιμο κεφάλαιο του όταν r = 7 καιr = 10Ζητούμε να βρούμε το n έτσι ώστε

(1+ r)n = 2Ε Ι Κοντογιώργης copy 58

I Υπολογίζοντας το λογάριθμο του τελευταίου παίρνουμε

log(1+ r)n = log(2)ή n log(1+ r) = log(2)

´Ετσιn=

log2log(1+ r)

I Για r = 7 και r = 10 ο χρόνος n πουχρειάζεται για διπλασιασμό της επένδυσης υπολογίζεταισε 1024 και 727 αντίστοιχα

Ε Ι Κοντογιώργης copy 59

I Αν το επιτόκιο είναι r = 7 τότε πιο θα είναι τοσυνολικό ποσό στο λογαριασμό μετά από 205 και41 χρόνια αντίστοιχα

Μετά τα πρώτα 1025 χρόνια το ποσό A θαδιπλασιαστεί σε 2A Για τα επόμενα 1025 χρόνιατο ποσό θα ξαναδιπλασιαστεί σε 4A ´Ετσι μετά από205 χρόνια το ποσό θα αυξηθεί κατά 4 φορές

Με το πέρας ακόμα 205 χρόνων το ποσό θα αυξηθείακόμα 4 φορές σε 16 ´Ετσι μετά από 41 χρόνιατο κεφάλαιο A γίνεται 16A

Ε Ι Κοντογιώργης copy 60

Ασκήσεις και Παραδείγματα

I Υπολογίστε τη Μελλοντική Αξία (Future Value (FV)) τουκεφαλαίου A= 1500 που κερδίζει ετήσιο επιτόκιοr = 5 για n= 10 έτη

FV =A(1+ r)n = 1500(1+005)10 = 244334

I Πόσα έτη απαιτούνται για να τριπλασιαστεί ένα ποσόπου αφήνετε στην τράπεζα με επιτόκιο r = 5∆ηλαδή βρείτε το n όπου A= 1 r = 5 και FV = 3

FV =A(1+ r)n ή (1+ r)n =FVA

Ε Ι Κοντογιώργης copy 61

Υπολογίζοντας τους λογαρίθμους παίρνουμε

log(1+ r)n = log(FVA)

ή n log(1+ r) = log(FVA)

´Ετσι

n=log(FVA)

log(1+ r) =log(3)

log(105)

= 2252

Ε Ι Κοντογιώργης copy 62

I Βρείτε την παρούσα αξία A έτσι ώστε σε δέκα έτη μεσταθερό επιτόκιο r = 6 να είναι 100KΒρείτε το A όπου FV = 100000 r = 6 και n= 10

FV =A(1+ r)n ή A=FV

(1+ r)n

´Ετσι A=100000

(106)10= 5583948

I Βρείτε την ετησιοποιημένη απόδοση (AER AnnualEquivalent Rate) μιας μηνιαίας κατάθεσης με σταθερόεπιτοκίο 394 Μια τέτοια κατάθεση λαμβάνει το επιτόκιο στη λήξηΣυνεπώς κάθε μήνα ο λογαριασμός λαμβάνει

r = 0039412 = 000328

επιτόκιο που επανεπενδύεται (συνεχής ανατοκισμός)Ε Ι Κοντογιώργης copy 63

Επανεπενδύοντας το επιτόκιο κάθε μήνα στη διάρκειαενός έτους το κεφάλαιο θα αυξηθεί σε

(1+ r)12 = (1+000328)12 = 104012

´Ετσι το ΑΕΡ είναι ισοδύναμο με 004012 = 4012I Υπολογίστε το επιτόκιο ενός σταθερού λογαριασμού

κατάθεσης 7-ημερών που έχει AER επιτόκιο r = 425Θεωρείστε ρ το εβδομαδιαίο επιτόκιο

´Ετσι (1+ρ)52 = (1+00425)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 64

Παίρνοντας τους λογαρίθμους έχουμε52log(1+ρ) = log10425

ή log(1+ρ) =log10425

52

ή 1+ρ= 10( log10425

52)

Αυτό μας δίνει

ρ= 10

( log1042552

)minus1 = 008

´Ετσι το συνεχές επιτόκιο μιας επταήμερης κατάθεσης είναιρtimes52 = 41638

Εναλλακτικά (1+ρ)52 = (1+00425) δίνει

(1+ρ) =52radic10425ή ρ=

52radic10425minus = 008Ε Ι Κοντογιώργης copy 65

I Υπολογίστε την ετήσια απόδοση r έτσι ώστε A= 10000να επιστρέφει FV = 35000 σε n= 20 χρόνια

FV =A(1+ r)n ή (1+ r)n =FVA

´Ετσι

1+ r =nradic

FVA

Επομένως

r =nradic

FVA minus1 =

20radic

3500010000 minus1 = 00646 = 646

Ε Ι Κοντογιώργης copy 66

Εναλλακτικά παίρνοντας τους λογαρίθμους

log(1+ r)n = log(FVA) ή n log(1+ r) = log

(FVA)

´Ετσι

1+ r = 10(1n log

(FVA))

ή r = 10(1n log

(FVA))minus1

= 10( 120 log

(3500010000

))minus1

= 646

Ε Ι Κοντογιώργης copy 67

Γραφική Αναπαράσταση I

I Υποθέστε ότι έχουμε y= 3x+2 Καθώς έχουμε μόνο μιαδύναμη για το x πρέπει να λύσουμε γραμμική εξίσωσηκαι να σχεδιάσουμε μια ευθεία γραμμή Αρχικά θα πρέπεινα σχεδιάσουμε ένα T-chart Αυτό έχει τη μορφή

x y = 3x+2 (xy)

I Επιλέγουμε μια τιμή για το x και λύνουμε ως προς y

x y= 3x+2 (xy)minus2 minus4 (minus2minus4)0 2 (02)2 8 (28)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 68

Γραφική Αναπαράσταση II

-

6

X

Y

bull

bull

bull

I Βλέπουμε μια ευθεία με ανοδική τάση (έχοντας θετικήκλίση m= 3) καιτέμνει τον άξονα y στο σημείο y= 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 69

Γραφική Αναπαράσταση III

I Μια Τετραγωνική εξίσωση περιέχει x2 Για τηναναπαράσταση τετραγωνικών εξισώσεων χρειάζεται ναβρούμε περισσότερα από τρία σημεία στο σχεδιάγραμμα

Για παράδειγμα υποθέστε ότι y= x2minus6x+5 καιδίνεται το πιο κάτω T-chart

x y= x2minus6x+5 (xy)0 5 (05)1 0 (10)3 minus4 (3minus4)5 0 (50)6 5 (65)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 70

Γραφική Αναπαράσταση IV

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

-

6

X

Y

bull

bull

bull

bull

bull

Ε Ι Κοντογιώργης copy 71

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(1x + 2)

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(-3x + 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 72

-15

-10

-5

0

5

10

15

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(3x - 2)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 73

-20

0

20

40

60

80

100

120

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2+x)

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 74

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

1250

1500

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3+x2+x)

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x4)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 75

-25

-2

-15

-1

-05

0

05

1

15

2

25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(log(x))

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(x))

Ε Ι Κοντογιώργης copy 76

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(-x))

-5000

0

5000

10000

15000

20000

25000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(exp(x)+x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 77

Ανισότητες I

I Οι ανισότητες αποτελούνται από δύο ή τρεις αλγεβρικέςεκφράσεις που είναι συνδεδεμένες με τα σύμβολαανισότητας Τα σύμβολα αυτά είναι

lt μικρότερο τουgt μεγαλύτερο τουle μικρότερο ή ίσο τουge μεγαλύτερο ή ίσο του

I Παραδείγματα xgty yge x2 και ylt5x+1

I Το πρώτο βήμα για την αναπαράσταση ανισότητας τηςμορφής ygtx είναι να παραστήσουμε γραφικά τηνισότητα y= x

Ε Ι Κοντογιώργης copy 78

Ανισότητες II

I ygtx

Κάνετε δοκιμή με ένα σημείο να δείτε κατά πόσοικανοποιεί την ανισότητα Εάν ναι τότε σκιάστε τηνπεριοχή αυτή του σχεδιαγράμματος διαφορετικά σκιάστετην άλλη πλευρά

Ε Ι Κοντογιώργης copy 79

Ανισότητες III

I yltx

Ε Ι Κοντογιώργης copy 80

Ανισότητες IV

I yle 5x+1 και ygt5x+1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 81

Ανισότητες V

I yge x2 και yle x2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 82

Ανισότητες VI

I ygtx3 και yle x3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 83

Συστήματα Γραμμικών ΕξισώσεωνΠεριεχόμενα

1 Ε

2 Γ Α

ΑναφορέςΚεφάλαια 4 και 5FS Budnick Applied Mathematics for Business Economicsand the Social Sciences 4th edition McGraw-Hill 1993

Ε Ι Κοντογιώργης copy 84

Συστήματα Εξισώσεων

I ´Ενα σύστημα εξισώσεων συνδυάζει περισσότερες από μίαεξισώσεις

I ´Ενα σύστημα m εξισώσεων όπου κάθε εξίσωσηαποτελείται από n μεταβλητές ονομάζεται mtimesnσύστημα ή λέμε ότι έχει διαστάσεις mtimesn

I ΠαράδειγμαΠαρακάτω έχουμε ένα σύστημα 2times2

5X+10Y= 203X+4Y= 10

Οι μεταβλητές σε αυτή την περίπτωση είναι X και YΕ Ι Κοντογιώργης copy 85

Συστήματα Επίλυσης

I Το Σύστημα επίλυσης είναι μια σειρά τιμών μεταβλητώνπου ικανοποιούν το σύστημα ταυτόχρονα

I Σε μια σημειογραφική παράσταση το προηγούμενοπαράδειγμα μπορεί να γραφτεί ως εξής

S = (XY) | 5X+10Y = 20 και 3X+4Y = 10

I Το σύστημα επίλυσης μπορεί να είναι1 μηδενικό2 πεπερασμένο ή3 άπειρο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 86

2times2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική Ανάλυση

I Σε ένα δισδιάστατο γράφημα ένα σύστημα εξισώσεων2times2 αναπαρίστανται με ευθείες γραμμές Υπόρχουν τρίαενδεχόμενα

1 Οι ευθείες τέμνονται Το σημείο τομής αντιπροσωπεύει τηλύση του συστήματος εξισώσεων Αυτό το σημείοαλληλεπίδρασης είναι μια δέσμη τιμών X και Y που ικανοποιείκαι τις δύο εξισώσειςΕάν υπάρχει μόνο μια δέσμη τιμών για τις μεταβλητές που ναικανοποιεί το σύστημα εξισώσεων το σύστημα λέμε ότι έχειΜ Λ

2 Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες μεταξύ τους ∆εν έχουν κοινόσημείο Συνεπώς οι ευθείες δεν τέμνονται ποτέ Το σύστημαλέμε ότι ∆ ΛΑυτό υπονοεί ότι δεν υπάρχουν τιμές για τις μεταβλητές πουνα ικανοποιούν και τις δύο εξισώσεις Σε αυτή τηνπερίπτωση οι εξισώσεις στο σύστημα είναι Α

3 Και οι δύο εξισώσεις αναπαρίστανται ως μια κοινή ευθεία καιθεωρούνται ισοδύναμες εξισώσεις ´Ετσι το σύστημα έχειΑ Λ Αυτό συμβαίνει γιατί υπάρχει άπειροςαριθμός κοινών σημείων στις δύο γραμμές

Ε Ι Κοντογιώργης copy 87

I Π Θεωρείστε ένα σύστημα 2times22X+4Y= 203X+ Y= 10

I

X

Y

(24)

3X +Y = 10

2X +4Y = 20

0 2 4 6 8 10 12

2

4

6

8

10

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 88

I Το σημείο τομής δίνεται από το X= 2 και Y= 4Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές του X και Y στις δύοεξισώσεις δίνουν 20 = 20 και 10 = 10 αντίστοιχα

I Αυτό υποδειλώνει ότι X= 2 και Y= 4 είναι η σωστή λύση

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times23Xminus2Y= 6

minus15X+10Y=minus30

I

X

Y

(20)

(0minus3)

3X minus2Y = 6

minus15X +10Y =minus30

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 89

I Οι δύο εξισώσεις απλοποιούνται σε Xminus 23 Y= 2

Οι δύο εξισώσεις είναι ισοδύναμες και δίνουν έναπεπερασμένο αριθμό λύσεων έτσι ώστε

X= 0 Y =minus3X= 2 Y = 0X= 4 Y = 3

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times26Xminus12Y= 24

minus32X+3Y= 9

Οι εξισώσεις απλοποιούνται σεXminus2Y= 4Xminus2Y=minus6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 90

I

X

Y

(40)

(0minus2)

(minus60)

(03)

X minus2Y =minus6

X minus2Y = 4

0-0

I Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες και συνεπώς το σύστημαδεν έχει λύση ´Ετσι το σύστημα εξισώσεων είναιασύμπτωτο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 91

Περίληψη 2times2 Συστήματα Εξισώσεων∆ίνεται ένα Σύστημα Γραμμικών Εξισώσεων 2times2

Y=m1X+ c1Y=m2X+ c2

1 Υπάρχει μια στο σύστημα εάνm1 6= m2

2 ∆εν υπάρχει στο σύστημα εάνm1 = m2 και c1 6= c2

3 Υπάρχει εάνm1 = m2 και c1 = c2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 92

∆ιαδικασίες Απαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής χρησιμοποιεί πολλαπλασιασμόκαι πρόσθεση έτσι ώστε

1 Να απαλοιφεί μια από τις δύο μεταβλητές

2 Η εξίσωση που εξάγεται είναι συνάρτηση των υπόλοιπωνμεταβλητών

3 Αντικαθιστώντας την τιμή στην μεταβλητή σε μια από τιςαρχικές εξισώσεις βρίσκουμε την τιμή για τηναπολοιφθήσα μεταβλητή

Ε Ι Κοντογιώργης copy 93

ΠαραδείγματαI Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

2X +4Y = 20 (1)3X + Y = 10 (2)

Πολλαπλασιάζοντας τη δεύτερη εξίσωση με minus4 παίρνουμε

minus12X minus4Y =minus40 (3)

Προσθέτοντας την εξίσωση (1) στο (3)

2X + 4Y = 20minus12X minus 4Y = minus40minus10X = minus20

ή

X = 2 (4)Ε Ι Κοντογιώργης copy 94

Αντικαθιστώντας X= 2 στην εξίσωση (1) δίνεται2 middot2+4Y = 20 ή Y=4

´Ετσι η μοναδική λύση του συστήματος δίνεται από τοX= 2 και Y= 4 Μπορεί να επιβεβαιωθεί ότι αυτή είναι ησωστή λύση αντικαθιστώντας X= 2 και Y= 4 στηνεξίσωση (1) και (2)

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times23X minus2Y = 6 (5)

minus15X +10Y =minus30 (6)

Για την απαλοιφή της μεταβλητής X η εξίσωση (5)πολλαπλασιάζεται με 5 και το αποτέλεσμα προστίθεταιστην εξίσωση (6)

15X minus 10Y = 30minus15X + 10Y = minus30

0 = 0 Ε Ι Κοντογιώργης copy 95

Οι τελευταίες πράξεις υπονοούν ότι οι εξίσωσεις (5) και(6) είναι ισοδύναμες και έτσι υπάρχει άπειρος αριθμόςλύσεωνΓια να προσδιορίσουμε τις λύσεις του συστήματος μια απότις αρχικές εξισώσεις λύνεται ως προς μια μεταβλητή Ανγια παράδειγμα η εξίσωση (5) λύνεται ως προς Y δίνει

Y =32Xminus3

Σαν αποτέλεσμα γενικεύοντας τις λύσεις του συστήματοςέχουμε

X τυχαίο και Y =32Xminus3

Πχ για X= 4 υπονοείται ότι Y=32 middot4minus3 = 3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 96

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

6X minus12Y = 24 (7)

minus32X +3Y = 9 (8)

Πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση (8) με 4 καιπροσθέτοντας το αποτέλεσμα στην εξίσωση (7)παίρνουμε

6X minus 12Y = 24minus6X + 12Y = 36

0 = 60

Η πιο πάνω αντιλογία υπονοεί ότι δεν υπάρχει λύση τουσυστήματος εξισώσεων

Ε Ι Κοντογιώργης copy 97

3times2 Συστήματα Εξισώσεων I

1 Μ Λ

X

Y

(32)

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minusY = 1

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 98

3times2 Συστήματα Εξισώσεων II

2 Α Λ

X

Y Εξις (1)Εξις (2)Εξις (3)

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 99

3times2 Συστήματα Εξισώσεων III3 Κ

(α) ´Οταν και οι τρεις εξισώσεις είναι παράλληλες

X

Y

2X minusY =minus8

2X minusY = 2

2X minusY = 12

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 100

3times2 Συστήματα Εξισώσεων IV(β) ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ τωνεξισώσεων

X

Y

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minus2Y =minus4

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 101

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική ΑνάλυσηΣε ένα γράφημα 2 διαστάσεων ένα σύστημα mtimes2(mgt2) εξισώσεων παριστάνεται με m ευθείες ´Οπωςσυμβαίνει στα συστήματα 2times2 υπάρχουν τρίαενδεχόμενα

1 ´Ολες οι ευθείες τέμνονται στο ίδιο σημείο και έτσιυπάρχει

2 ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ των mεξισώσεων Αυτό σημαίνει ότι όλες οι ευθείες είναιπαράλληλες Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα Λ

3 Οι m εξισώσεις είναι ισοδύναμες πχ παρασταίνονται σανμια ευθεία Σε αυτή την περίπτωση υπάρχει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 102

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων ∆ιαδικασίαΑπαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής για την επίλυση ενός συστήματοςmtimes2 μπορεί να περιγραφεί ως ακολούθωςΕπιλέξτε και λύστε σύστημα με δύο εξισώσεις

1 Εάν δεν υπάρχει λύση τότε ολόκληρο το σύστημα δεν έχειλύση

2 Εάν υπάρχει μοναδική λύση που ικανοποιεί τις υπόλοιπεςmminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα έχει μία μοναδική λύση

3 Εάν η λύση είναι μοναδική αλλά δεν ικανοποιεί τιςυπόλοιπες mminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα δεν έχει λύση

4 Εάν οι 2 λύσεις είναι ισοδύναμες απάλοιψτε τη μίααπό τις δύο εξισώσεις και ξεκινήστε από την αρχήλαμβάνοντας υπόψη ένα σύστημα (mminus1)times2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 103

ΠαράδείγμαI Θεωρείστε ένα σύστημα 5times2

XminusY= 1X+2Y=minus8

3Xminus2Y= 02Xminus5Y= 11minus4X+3Y=minus1

I Η λύση των πρώτων δύο εξισώσεων δίνετε απόY =minus3 και X =minus2

I Αντικαθιστώντας τη λύση στις υπόλοιπες τρεις εξισώσειςπαίρνετε αντίστοιχα

0 = 0 11 = 11 και minus1 =minus1I Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση

X=minus2 και Y=minus3Ε Ι Κοντογιώργης copy 104

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian

Η μέθοδος απολοιφής Gaussian μετατρέπει το αρχικόσύστημα εξισώσεων σε διαγώνια μορφή επαναλαμβάνονταςστις εξισώσεις τις ακόλουθες τρεις διαδικασίες

1 Πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης μεμια θετική σταθερά

2 Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού θα προστεθεί σεάλλη εξίσωση

3 Η σειρά των εξισώσεων μπορεί να αλλάξει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 105

ΠαράδείγμαΠ Θεωρείστε το σύστημα 2times2

2X minus 3Y = 7 (Εξ 1)X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με 12 για να πάρετε

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με minus1 καιπροσθέστε την στην (Εξ 2)

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

52Y =

152 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 106

Στάδιο 3 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 25

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

Y = 3 (Εξ 2)

Στάδιο 4 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 32 και

προσθέστε την στην (Εξ 1)

X = 1 (Εξ 1)Y = 3 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 107

Π Θεωρείστε το σύστημα 2times2

5X + 20Y = 254X minus 7Y =minus26

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να εκφραστεί ως

R1 5 20 25R2 4 minus7 minus26

Η κάθετη γραμμή χρησιμοποιείται για διαχωρισμό τηςαριστερής από τη δεξιά πλευρά των εξισώσεων Το Riυπονοεί τη γραμμή (Row) i

Ε Ι Κοντογιώργης copy 108

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάζουμε τη R1 με 15 και το θέτουμε

R1larr 15R1

R1 1 4 5R2 4 minus7 minus26

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάζουμε την R1 με minus4 και τηνπροσθέτουμε στην R2 Εν συντομίαR2larrminus4R1+R2

R1 1 4 5R2 0 minus23 minus46

Στάδιο 3 R2larrminus 123R2

R1 1 4 5R2 0 1 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 109

Στάδιο 4 R1larrminus4R2+R1

R1 1 0 minus3R2 0 1 2

Το αρχικό σύστημα εξισώσεων μετατρέπεται σε διαγώνιαμορφή όπως πιο κάτω

X =minus3Y = 2

το οποίο δίνει τη λύση του συστήματος

Ε Ι Κοντογιώργης copy 110

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 I

Το σύστημα εξισώσεων 3times3 μετετρέπεται σε διαγώνιαμορφή Η μετατροπή γίνεται στήλη με στήλη από τααριστερά προς τα δεξιά

Π Θεωρήστε το σύστημα 3times3

X1 + X2 + X3 = 2X1 minus 3X2 + 2X3 = 7

4X1 minus 2X2 minus X3 = 9

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να γραφτεί ως

Ε Ι Κοντογιώργης copy 111

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 II

1 1 1 21 minus3 2 74 minus2 minus1 9

Ε Ι Κοντογιώργης copy 112

∆ιπλό Αθροισμα

nsumi=1

msumj=1

(i+ j+2) =nsumi=1

( msumj=1

(i+ j+2))

nsumi=1

( msumj=1

i+msumj=1

j+msumj=1

2)

=nsumi=1

(mi+ 1

2m(m+1) +2m)

m( nsumi=1

i+ 12

nsumi=1

(m+5))

= m(12n(n+1) +

12n(m+5)

)

=mn2(m+n+6

)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 46

Insumr=1

1r(r+1)

=nsumr=1

(Ar +

Br+1

)=

nsumr=1

A(r+1) +Brr(r+1)

I A(r+1) +Br = 1

I Για r = 0 τότε A= 1 και για r =minus1 τότε B=minus1

I

nsumr=1

1r(r+1)

=nsumr=1

(1r minus

1r+1

)

=(

(11 minus

12) + (

12 minus

13) + (

13 minus

14) + middot middot middot+ (

1nminus1 minus

1n ) + (

1n minus

1n+1)

)

= 1minus 1n+1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 47

Insumk=1

1(k+2)(k+3)

=nsumk=1

( A(k+2)

+B

(k+3)

)=

nsumk=1

A(k+3) +B(k+2)

(k+2)(k+3)

I A(k+3) +B(k+2) = 1

I Για k=minus2 τότε A= 1 και για k=minus3 τότε B=minus1

I

nsumk=1

1(k+2)(k+3)

=nsumk=1

( 1(k+2)

minus 1(k+3)

)

=(

(13 minus

14)+(

14 minus

15)+(

15 minus

16)+ +(

1n+1 minus

1n+2)+(

1n+2 minus

1n+3)

)

=13 minus

1n+3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 48

Αθροισμα με Λογάριθμους

nsumi=1

logb(i) = logb(1) + logb(2) + middot middot middot+ logb(n)

= logb(1times2times3timesmiddotmiddot middottimesn)

= logb(n)

I Το n (n παραγοντικό) δίνεται από n = 1times2timesmiddotmiddot middottimesn και0 = 1

I100sumi=1

log2(100) = log2(100) =log(100)

log(2)=

log(99)

log(2)+

2log(2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 49

Γινόμενο των ακολουθιώνIn

prodi=1xi = x1timesx2timesx3timesmiddotmiddot middottimesxn

In

prodi=1i = 1times2times3timesmiddotmiddot middottimesn= n

In

prodi=1z= ztimesztimesmiddotmiddot middottimesz= zn

I

nprodi=1

(1+

1i+1

)=(1+

12)times(1+

13)times(1+

14)times times(1+

1n )times(1+

1n+1)

=32 times

43 times

54 timesmiddotmiddot middottimes

n+1n times n+2

n+1

=n+22

Ε Ι Κοντογιώργης copy 50

Γεωμετρικές ΠροόδοιI Μια γεωμετρική πρόοδος είναι μια σειρά αριθμών όπου

κάθε όρος μετά των πρώτο υπολογίζεται από τονπολλαπλασιασμό του προηγούμενου όρου με ένασταθερό αριθμό που καλείται αναλογία

I Η σειρά1 3 9 27 81 middot middot middot

είναι μια γεωμετρική πρόοδος με πρώτο όρο το 1 καιαναλογία 3

I Η αναλογία μπορεί να είναι κλάσμα καθώς επίσης καιαρνητικός αριθμός Για παράδειγμα η γεωμετρικήπρόοδος με πρώτο όρο το 2 και αναλογία minus13 είναι

2 minus 23 +

29 minus

227 +

281 middot middot middot

Ε Ι Κοντογιώργης copy 51

I Γενικά μπορούμε να γράψουμε μια γεωμετρική πρόοδο ωςακολούθως

γεωμετρική πρόοδος a ar ar2 ar3 ar4 middot middot middot

όπου ο πρώτος όρος είναι a και η αναλογία r

I Σημαντικά θεωρήματα των γεωμετρικών προόδων (γπ)1 Ο n όρος μιας γπ δίνεται από ar(nminus1)

2 Το άθροισμα των πρώτων n όρων μιας γπ είναι

Sn =a(1minus rn)

1minus r =a(rnminus1)

rminus1 και ισχύει μόνο αν r 6= 1

I Το άθροισμα των όρων μιας γεωμετρικής προόδουονομάζεται γεωμετρική σειρά

Ε Ι Κοντογιώργης copy 52

Γεωμετρική σειρά

Sn = a+ar+ar2 +ar3 + middot middot middot+arnminus2 +arnminus1

rSn = ar+ar2 +ar3 + arnminus1 +arn

Snminus rSn = aminusarn

(1minus r)Sn = a(1minus rn)

Sn =a(1minus rn)

(1minus r) =a(rnminus1)

(rminus1)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 53

I Παράδειγμα1 Βρείτε το άθροισμα των πρώτων 10 όρων μιας γεωμετρικής

σειράς4 8 16 32

Ο πρώτος όρος είναι a= 4 και η αναλογία r = 2 καιn= 10 ´Ετσι

S10 =4(1minus210)

1minus2 = 4092

2 Θεωρείστε τη γπ4 minus8 16 minus32 64 minus128 256 minus512

Σε αυτή την περίπτωση ο πρώτος όρος είναι a= 4 ηαναλογία είναι r =minus2 και n= 8´Ετσι

S8 =4(1minus (minus2)8)

1minus (minus2)=minus340

Ε Ι Κοντογιώργης copy 54

Συνεχείς ανατοκισμός

Οι περισσότεροι τραπεζικοί λογαριασμοί και τα δάνειαυιοθετούν ανατοκισμό - εφαρμόζοντας συνεχή ανατοκισμόΘεωρείστε ένα λογαριασμό που προσφέρει τόκο με ετήσιοεπιτόκιο r (πχ 7) Εάν το επιτόκιο είναι συνεχέςσε χρονιαία βάση τότε μετά από 1 χρόνο το χρονιαίοεπιτόκιο προστίθεται στο αρχικό κεφάλαιο για νακαθορίσει ένα μεγαλύτερο κεφάλαιο τον δεύτερο χρόνο

´Ετσι κατά τη διάρκεια του δεύτερου χρόνου ολογαριασμός κερδίζει επιτόκιο πάνω στο επιτόκιοΑυτή είναι η επίδραση του ανατοκισμού που συνεχίζεταιχρόνο με το χρόνο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 55

I Με τον ετήσιο ανατοκισμό το κεφάλαιο πουσυσσωρεύεται στο λογαριασμό πολλαπλασιάζεται με

(1+ r)

´Ετσι το κεφάλαιο A θα αυξηθεί σε

A(1+ r) = A+A middot r

τον επόμενο χρόνο

I Με το πέρας και του δεύτερου χρόνου το κεφάλαιο θααυξηθεί ακόμα (1+ r) σε (1+ r)2

´Ετσι το κεφάλαιο καταλήγει σε

A(1+ r)(1+ r) = A(1+ r)2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 56

I Κατά παρόμοιο τρόπο στο τέλος του τρίτου χρόνου τοποσό θα αυξηθεί κατά (1+ r)3

I Μετά από n χρόνια το ποσό θα αυξηθεί κατά (1+ r)n

I ´Ετσι το κεφάλαιο (επένδυση) A θα αυξηθεί με συνεχήανατοκισμό σε A(1+ r)n μετά από n χρόνια

I Ο τύπος (1+ r)n εκθέτει γεωμετρική αύξηση λόγω τηςn δύναμης

Ε Ι Κοντογιώργης copy 57

ΠαραδείγματαI Εάν το επιτόκιο είναι r = 5 τότε το κεφάλαιοA= $1000 που βρίσκεται στην τράπεζα n= 20 χρόνιαθα αυξηθεί κατά

(1+ r)n = (1+005)20 = 2653 φορές

´Ετσι το ποσό θα καταλήξειA(1+ r)n = $265330

I Βρέστε το χρόνο που χρειάζεται για ένα λογαργιασμό ναδιπλασιάσει το διαθέσιμο κεφάλαιο του όταν r = 7 καιr = 10Ζητούμε να βρούμε το n έτσι ώστε

(1+ r)n = 2Ε Ι Κοντογιώργης copy 58

I Υπολογίζοντας το λογάριθμο του τελευταίου παίρνουμε

log(1+ r)n = log(2)ή n log(1+ r) = log(2)

´Ετσιn=

log2log(1+ r)

I Για r = 7 και r = 10 ο χρόνος n πουχρειάζεται για διπλασιασμό της επένδυσης υπολογίζεταισε 1024 και 727 αντίστοιχα

Ε Ι Κοντογιώργης copy 59

I Αν το επιτόκιο είναι r = 7 τότε πιο θα είναι τοσυνολικό ποσό στο λογαριασμό μετά από 205 και41 χρόνια αντίστοιχα

Μετά τα πρώτα 1025 χρόνια το ποσό A θαδιπλασιαστεί σε 2A Για τα επόμενα 1025 χρόνιατο ποσό θα ξαναδιπλασιαστεί σε 4A ´Ετσι μετά από205 χρόνια το ποσό θα αυξηθεί κατά 4 φορές

Με το πέρας ακόμα 205 χρόνων το ποσό θα αυξηθείακόμα 4 φορές σε 16 ´Ετσι μετά από 41 χρόνιατο κεφάλαιο A γίνεται 16A

Ε Ι Κοντογιώργης copy 60

Ασκήσεις και Παραδείγματα

I Υπολογίστε τη Μελλοντική Αξία (Future Value (FV)) τουκεφαλαίου A= 1500 που κερδίζει ετήσιο επιτόκιοr = 5 για n= 10 έτη

FV =A(1+ r)n = 1500(1+005)10 = 244334

I Πόσα έτη απαιτούνται για να τριπλασιαστεί ένα ποσόπου αφήνετε στην τράπεζα με επιτόκιο r = 5∆ηλαδή βρείτε το n όπου A= 1 r = 5 και FV = 3

FV =A(1+ r)n ή (1+ r)n =FVA

Ε Ι Κοντογιώργης copy 61

Υπολογίζοντας τους λογαρίθμους παίρνουμε

log(1+ r)n = log(FVA)

ή n log(1+ r) = log(FVA)

´Ετσι

n=log(FVA)

log(1+ r) =log(3)

log(105)

= 2252

Ε Ι Κοντογιώργης copy 62

I Βρείτε την παρούσα αξία A έτσι ώστε σε δέκα έτη μεσταθερό επιτόκιο r = 6 να είναι 100KΒρείτε το A όπου FV = 100000 r = 6 και n= 10

FV =A(1+ r)n ή A=FV

(1+ r)n

´Ετσι A=100000

(106)10= 5583948

I Βρείτε την ετησιοποιημένη απόδοση (AER AnnualEquivalent Rate) μιας μηνιαίας κατάθεσης με σταθερόεπιτοκίο 394 Μια τέτοια κατάθεση λαμβάνει το επιτόκιο στη λήξηΣυνεπώς κάθε μήνα ο λογαριασμός λαμβάνει

r = 0039412 = 000328

επιτόκιο που επανεπενδύεται (συνεχής ανατοκισμός)Ε Ι Κοντογιώργης copy 63

Επανεπενδύοντας το επιτόκιο κάθε μήνα στη διάρκειαενός έτους το κεφάλαιο θα αυξηθεί σε

(1+ r)12 = (1+000328)12 = 104012

´Ετσι το ΑΕΡ είναι ισοδύναμο με 004012 = 4012I Υπολογίστε το επιτόκιο ενός σταθερού λογαριασμού

κατάθεσης 7-ημερών που έχει AER επιτόκιο r = 425Θεωρείστε ρ το εβδομαδιαίο επιτόκιο

´Ετσι (1+ρ)52 = (1+00425)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 64

Παίρνοντας τους λογαρίθμους έχουμε52log(1+ρ) = log10425

ή log(1+ρ) =log10425

52

ή 1+ρ= 10( log10425

52)

Αυτό μας δίνει

ρ= 10

( log1042552

)minus1 = 008

´Ετσι το συνεχές επιτόκιο μιας επταήμερης κατάθεσης είναιρtimes52 = 41638

Εναλλακτικά (1+ρ)52 = (1+00425) δίνει

(1+ρ) =52radic10425ή ρ=

52radic10425minus = 008Ε Ι Κοντογιώργης copy 65

I Υπολογίστε την ετήσια απόδοση r έτσι ώστε A= 10000να επιστρέφει FV = 35000 σε n= 20 χρόνια

FV =A(1+ r)n ή (1+ r)n =FVA

´Ετσι

1+ r =nradic

FVA

Επομένως

r =nradic

FVA minus1 =

20radic

3500010000 minus1 = 00646 = 646

Ε Ι Κοντογιώργης copy 66

Εναλλακτικά παίρνοντας τους λογαρίθμους

log(1+ r)n = log(FVA) ή n log(1+ r) = log

(FVA)

´Ετσι

1+ r = 10(1n log

(FVA))

ή r = 10(1n log

(FVA))minus1

= 10( 120 log

(3500010000

))minus1

= 646

Ε Ι Κοντογιώργης copy 67

Γραφική Αναπαράσταση I

I Υποθέστε ότι έχουμε y= 3x+2 Καθώς έχουμε μόνο μιαδύναμη για το x πρέπει να λύσουμε γραμμική εξίσωσηκαι να σχεδιάσουμε μια ευθεία γραμμή Αρχικά θα πρέπεινα σχεδιάσουμε ένα T-chart Αυτό έχει τη μορφή

x y = 3x+2 (xy)

I Επιλέγουμε μια τιμή για το x και λύνουμε ως προς y

x y= 3x+2 (xy)minus2 minus4 (minus2minus4)0 2 (02)2 8 (28)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 68

Γραφική Αναπαράσταση II

-

6

X

Y

bull

bull

bull

I Βλέπουμε μια ευθεία με ανοδική τάση (έχοντας θετικήκλίση m= 3) καιτέμνει τον άξονα y στο σημείο y= 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 69

Γραφική Αναπαράσταση III

I Μια Τετραγωνική εξίσωση περιέχει x2 Για τηναναπαράσταση τετραγωνικών εξισώσεων χρειάζεται ναβρούμε περισσότερα από τρία σημεία στο σχεδιάγραμμα

Για παράδειγμα υποθέστε ότι y= x2minus6x+5 καιδίνεται το πιο κάτω T-chart

x y= x2minus6x+5 (xy)0 5 (05)1 0 (10)3 minus4 (3minus4)5 0 (50)6 5 (65)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 70

Γραφική Αναπαράσταση IV

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

-

6

X

Y

bull

bull

bull

bull

bull

Ε Ι Κοντογιώργης copy 71

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(1x + 2)

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(-3x + 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 72

-15

-10

-5

0

5

10

15

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(3x - 2)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 73

-20

0

20

40

60

80

100

120

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2+x)

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 74

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

1250

1500

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3+x2+x)

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x4)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 75

-25

-2

-15

-1

-05

0

05

1

15

2

25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(log(x))

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(x))

Ε Ι Κοντογιώργης copy 76

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(-x))

-5000

0

5000

10000

15000

20000

25000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(exp(x)+x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 77

Ανισότητες I

I Οι ανισότητες αποτελούνται από δύο ή τρεις αλγεβρικέςεκφράσεις που είναι συνδεδεμένες με τα σύμβολαανισότητας Τα σύμβολα αυτά είναι

lt μικρότερο τουgt μεγαλύτερο τουle μικρότερο ή ίσο τουge μεγαλύτερο ή ίσο του

I Παραδείγματα xgty yge x2 και ylt5x+1

I Το πρώτο βήμα για την αναπαράσταση ανισότητας τηςμορφής ygtx είναι να παραστήσουμε γραφικά τηνισότητα y= x

Ε Ι Κοντογιώργης copy 78

Ανισότητες II

I ygtx

Κάνετε δοκιμή με ένα σημείο να δείτε κατά πόσοικανοποιεί την ανισότητα Εάν ναι τότε σκιάστε τηνπεριοχή αυτή του σχεδιαγράμματος διαφορετικά σκιάστετην άλλη πλευρά

Ε Ι Κοντογιώργης copy 79

Ανισότητες III

I yltx

Ε Ι Κοντογιώργης copy 80

Ανισότητες IV

I yle 5x+1 και ygt5x+1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 81

Ανισότητες V

I yge x2 και yle x2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 82

Ανισότητες VI

I ygtx3 και yle x3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 83

Συστήματα Γραμμικών ΕξισώσεωνΠεριεχόμενα

1 Ε

2 Γ Α

ΑναφορέςΚεφάλαια 4 και 5FS Budnick Applied Mathematics for Business Economicsand the Social Sciences 4th edition McGraw-Hill 1993

Ε Ι Κοντογιώργης copy 84

Συστήματα Εξισώσεων

I ´Ενα σύστημα εξισώσεων συνδυάζει περισσότερες από μίαεξισώσεις

I ´Ενα σύστημα m εξισώσεων όπου κάθε εξίσωσηαποτελείται από n μεταβλητές ονομάζεται mtimesnσύστημα ή λέμε ότι έχει διαστάσεις mtimesn

I ΠαράδειγμαΠαρακάτω έχουμε ένα σύστημα 2times2

5X+10Y= 203X+4Y= 10

Οι μεταβλητές σε αυτή την περίπτωση είναι X και YΕ Ι Κοντογιώργης copy 85

Συστήματα Επίλυσης

I Το Σύστημα επίλυσης είναι μια σειρά τιμών μεταβλητώνπου ικανοποιούν το σύστημα ταυτόχρονα

I Σε μια σημειογραφική παράσταση το προηγούμενοπαράδειγμα μπορεί να γραφτεί ως εξής

S = (XY) | 5X+10Y = 20 και 3X+4Y = 10

I Το σύστημα επίλυσης μπορεί να είναι1 μηδενικό2 πεπερασμένο ή3 άπειρο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 86

2times2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική Ανάλυση

I Σε ένα δισδιάστατο γράφημα ένα σύστημα εξισώσεων2times2 αναπαρίστανται με ευθείες γραμμές Υπόρχουν τρίαενδεχόμενα

1 Οι ευθείες τέμνονται Το σημείο τομής αντιπροσωπεύει τηλύση του συστήματος εξισώσεων Αυτό το σημείοαλληλεπίδρασης είναι μια δέσμη τιμών X και Y που ικανοποιείκαι τις δύο εξισώσειςΕάν υπάρχει μόνο μια δέσμη τιμών για τις μεταβλητές που ναικανοποιεί το σύστημα εξισώσεων το σύστημα λέμε ότι έχειΜ Λ

2 Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες μεταξύ τους ∆εν έχουν κοινόσημείο Συνεπώς οι ευθείες δεν τέμνονται ποτέ Το σύστημαλέμε ότι ∆ ΛΑυτό υπονοεί ότι δεν υπάρχουν τιμές για τις μεταβλητές πουνα ικανοποιούν και τις δύο εξισώσεις Σε αυτή τηνπερίπτωση οι εξισώσεις στο σύστημα είναι Α

3 Και οι δύο εξισώσεις αναπαρίστανται ως μια κοινή ευθεία καιθεωρούνται ισοδύναμες εξισώσεις ´Ετσι το σύστημα έχειΑ Λ Αυτό συμβαίνει γιατί υπάρχει άπειροςαριθμός κοινών σημείων στις δύο γραμμές

Ε Ι Κοντογιώργης copy 87

I Π Θεωρείστε ένα σύστημα 2times22X+4Y= 203X+ Y= 10

I

X

Y

(24)

3X +Y = 10

2X +4Y = 20

0 2 4 6 8 10 12

2

4

6

8

10

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 88

I Το σημείο τομής δίνεται από το X= 2 και Y= 4Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές του X και Y στις δύοεξισώσεις δίνουν 20 = 20 και 10 = 10 αντίστοιχα

I Αυτό υποδειλώνει ότι X= 2 και Y= 4 είναι η σωστή λύση

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times23Xminus2Y= 6

minus15X+10Y=minus30

I

X

Y

(20)

(0minus3)

3X minus2Y = 6

minus15X +10Y =minus30

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 89

I Οι δύο εξισώσεις απλοποιούνται σε Xminus 23 Y= 2

Οι δύο εξισώσεις είναι ισοδύναμες και δίνουν έναπεπερασμένο αριθμό λύσεων έτσι ώστε

X= 0 Y =minus3X= 2 Y = 0X= 4 Y = 3

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times26Xminus12Y= 24

minus32X+3Y= 9

Οι εξισώσεις απλοποιούνται σεXminus2Y= 4Xminus2Y=minus6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 90

I

X

Y

(40)

(0minus2)

(minus60)

(03)

X minus2Y =minus6

X minus2Y = 4

0-0

I Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες και συνεπώς το σύστημαδεν έχει λύση ´Ετσι το σύστημα εξισώσεων είναιασύμπτωτο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 91

Περίληψη 2times2 Συστήματα Εξισώσεων∆ίνεται ένα Σύστημα Γραμμικών Εξισώσεων 2times2

Y=m1X+ c1Y=m2X+ c2

1 Υπάρχει μια στο σύστημα εάνm1 6= m2

2 ∆εν υπάρχει στο σύστημα εάνm1 = m2 και c1 6= c2

3 Υπάρχει εάνm1 = m2 και c1 = c2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 92

∆ιαδικασίες Απαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής χρησιμοποιεί πολλαπλασιασμόκαι πρόσθεση έτσι ώστε

1 Να απαλοιφεί μια από τις δύο μεταβλητές

2 Η εξίσωση που εξάγεται είναι συνάρτηση των υπόλοιπωνμεταβλητών

3 Αντικαθιστώντας την τιμή στην μεταβλητή σε μια από τιςαρχικές εξισώσεις βρίσκουμε την τιμή για τηναπολοιφθήσα μεταβλητή

Ε Ι Κοντογιώργης copy 93

ΠαραδείγματαI Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

2X +4Y = 20 (1)3X + Y = 10 (2)

Πολλαπλασιάζοντας τη δεύτερη εξίσωση με minus4 παίρνουμε

minus12X minus4Y =minus40 (3)

Προσθέτοντας την εξίσωση (1) στο (3)

2X + 4Y = 20minus12X minus 4Y = minus40minus10X = minus20

ή

X = 2 (4)Ε Ι Κοντογιώργης copy 94

Αντικαθιστώντας X= 2 στην εξίσωση (1) δίνεται2 middot2+4Y = 20 ή Y=4

´Ετσι η μοναδική λύση του συστήματος δίνεται από τοX= 2 και Y= 4 Μπορεί να επιβεβαιωθεί ότι αυτή είναι ησωστή λύση αντικαθιστώντας X= 2 και Y= 4 στηνεξίσωση (1) και (2)

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times23X minus2Y = 6 (5)

minus15X +10Y =minus30 (6)

Για την απαλοιφή της μεταβλητής X η εξίσωση (5)πολλαπλασιάζεται με 5 και το αποτέλεσμα προστίθεταιστην εξίσωση (6)

15X minus 10Y = 30minus15X + 10Y = minus30

0 = 0 Ε Ι Κοντογιώργης copy 95

Οι τελευταίες πράξεις υπονοούν ότι οι εξίσωσεις (5) και(6) είναι ισοδύναμες και έτσι υπάρχει άπειρος αριθμόςλύσεωνΓια να προσδιορίσουμε τις λύσεις του συστήματος μια απότις αρχικές εξισώσεις λύνεται ως προς μια μεταβλητή Ανγια παράδειγμα η εξίσωση (5) λύνεται ως προς Y δίνει

Y =32Xminus3

Σαν αποτέλεσμα γενικεύοντας τις λύσεις του συστήματοςέχουμε

X τυχαίο και Y =32Xminus3

Πχ για X= 4 υπονοείται ότι Y=32 middot4minus3 = 3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 96

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

6X minus12Y = 24 (7)

minus32X +3Y = 9 (8)

Πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση (8) με 4 καιπροσθέτοντας το αποτέλεσμα στην εξίσωση (7)παίρνουμε

6X minus 12Y = 24minus6X + 12Y = 36

0 = 60

Η πιο πάνω αντιλογία υπονοεί ότι δεν υπάρχει λύση τουσυστήματος εξισώσεων

Ε Ι Κοντογιώργης copy 97

3times2 Συστήματα Εξισώσεων I

1 Μ Λ

X

Y

(32)

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minusY = 1

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 98

3times2 Συστήματα Εξισώσεων II

2 Α Λ

X

Y Εξις (1)Εξις (2)Εξις (3)

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 99

3times2 Συστήματα Εξισώσεων III3 Κ

(α) ´Οταν και οι τρεις εξισώσεις είναι παράλληλες

X

Y

2X minusY =minus8

2X minusY = 2

2X minusY = 12

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 100

3times2 Συστήματα Εξισώσεων IV(β) ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ τωνεξισώσεων

X

Y

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minus2Y =minus4

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 101

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική ΑνάλυσηΣε ένα γράφημα 2 διαστάσεων ένα σύστημα mtimes2(mgt2) εξισώσεων παριστάνεται με m ευθείες ´Οπωςσυμβαίνει στα συστήματα 2times2 υπάρχουν τρίαενδεχόμενα

1 ´Ολες οι ευθείες τέμνονται στο ίδιο σημείο και έτσιυπάρχει

2 ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ των mεξισώσεων Αυτό σημαίνει ότι όλες οι ευθείες είναιπαράλληλες Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα Λ

3 Οι m εξισώσεις είναι ισοδύναμες πχ παρασταίνονται σανμια ευθεία Σε αυτή την περίπτωση υπάρχει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 102

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων ∆ιαδικασίαΑπαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής για την επίλυση ενός συστήματοςmtimes2 μπορεί να περιγραφεί ως ακολούθωςΕπιλέξτε και λύστε σύστημα με δύο εξισώσεις

1 Εάν δεν υπάρχει λύση τότε ολόκληρο το σύστημα δεν έχειλύση

2 Εάν υπάρχει μοναδική λύση που ικανοποιεί τις υπόλοιπεςmminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα έχει μία μοναδική λύση

3 Εάν η λύση είναι μοναδική αλλά δεν ικανοποιεί τιςυπόλοιπες mminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα δεν έχει λύση

4 Εάν οι 2 λύσεις είναι ισοδύναμες απάλοιψτε τη μίααπό τις δύο εξισώσεις και ξεκινήστε από την αρχήλαμβάνοντας υπόψη ένα σύστημα (mminus1)times2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 103

ΠαράδείγμαI Θεωρείστε ένα σύστημα 5times2

XminusY= 1X+2Y=minus8

3Xminus2Y= 02Xminus5Y= 11minus4X+3Y=minus1

I Η λύση των πρώτων δύο εξισώσεων δίνετε απόY =minus3 και X =minus2

I Αντικαθιστώντας τη λύση στις υπόλοιπες τρεις εξισώσειςπαίρνετε αντίστοιχα

0 = 0 11 = 11 και minus1 =minus1I Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση

X=minus2 και Y=minus3Ε Ι Κοντογιώργης copy 104

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian

Η μέθοδος απολοιφής Gaussian μετατρέπει το αρχικόσύστημα εξισώσεων σε διαγώνια μορφή επαναλαμβάνονταςστις εξισώσεις τις ακόλουθες τρεις διαδικασίες

1 Πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης μεμια θετική σταθερά

2 Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού θα προστεθεί σεάλλη εξίσωση

3 Η σειρά των εξισώσεων μπορεί να αλλάξει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 105

ΠαράδείγμαΠ Θεωρείστε το σύστημα 2times2

2X minus 3Y = 7 (Εξ 1)X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με 12 για να πάρετε

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με minus1 καιπροσθέστε την στην (Εξ 2)

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

52Y =

152 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 106

Στάδιο 3 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 25

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

Y = 3 (Εξ 2)

Στάδιο 4 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 32 και

προσθέστε την στην (Εξ 1)

X = 1 (Εξ 1)Y = 3 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 107

Π Θεωρείστε το σύστημα 2times2

5X + 20Y = 254X minus 7Y =minus26

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να εκφραστεί ως

R1 5 20 25R2 4 minus7 minus26

Η κάθετη γραμμή χρησιμοποιείται για διαχωρισμό τηςαριστερής από τη δεξιά πλευρά των εξισώσεων Το Riυπονοεί τη γραμμή (Row) i

Ε Ι Κοντογιώργης copy 108

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάζουμε τη R1 με 15 και το θέτουμε

R1larr 15R1

R1 1 4 5R2 4 minus7 minus26

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάζουμε την R1 με minus4 και τηνπροσθέτουμε στην R2 Εν συντομίαR2larrminus4R1+R2

R1 1 4 5R2 0 minus23 minus46

Στάδιο 3 R2larrminus 123R2

R1 1 4 5R2 0 1 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 109

Στάδιο 4 R1larrminus4R2+R1

R1 1 0 minus3R2 0 1 2

Το αρχικό σύστημα εξισώσεων μετατρέπεται σε διαγώνιαμορφή όπως πιο κάτω

X =minus3Y = 2

το οποίο δίνει τη λύση του συστήματος

Ε Ι Κοντογιώργης copy 110

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 I

Το σύστημα εξισώσεων 3times3 μετετρέπεται σε διαγώνιαμορφή Η μετατροπή γίνεται στήλη με στήλη από τααριστερά προς τα δεξιά

Π Θεωρήστε το σύστημα 3times3

X1 + X2 + X3 = 2X1 minus 3X2 + 2X3 = 7

4X1 minus 2X2 minus X3 = 9

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να γραφτεί ως

Ε Ι Κοντογιώργης copy 111

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 II

1 1 1 21 minus3 2 74 minus2 minus1 9

Ε Ι Κοντογιώργης copy 112

Insumr=1

1r(r+1)

=nsumr=1

(Ar +

Br+1

)=

nsumr=1

A(r+1) +Brr(r+1)

I A(r+1) +Br = 1

I Για r = 0 τότε A= 1 και για r =minus1 τότε B=minus1

I

nsumr=1

1r(r+1)

=nsumr=1

(1r minus

1r+1

)

=(

(11 minus

12) + (

12 minus

13) + (

13 minus

14) + middot middot middot+ (

1nminus1 minus

1n ) + (

1n minus

1n+1)

)

= 1minus 1n+1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 47

Insumk=1

1(k+2)(k+3)

=nsumk=1

( A(k+2)

+B

(k+3)

)=

nsumk=1

A(k+3) +B(k+2)

(k+2)(k+3)

I A(k+3) +B(k+2) = 1

I Για k=minus2 τότε A= 1 και για k=minus3 τότε B=minus1

I

nsumk=1

1(k+2)(k+3)

=nsumk=1

( 1(k+2)

minus 1(k+3)

)

=(

(13 minus

14)+(

14 minus

15)+(

15 minus

16)+ +(

1n+1 minus

1n+2)+(

1n+2 minus

1n+3)

)

=13 minus

1n+3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 48

Αθροισμα με Λογάριθμους

nsumi=1

logb(i) = logb(1) + logb(2) + middot middot middot+ logb(n)

= logb(1times2times3timesmiddotmiddot middottimesn)

= logb(n)

I Το n (n παραγοντικό) δίνεται από n = 1times2timesmiddotmiddot middottimesn και0 = 1

I100sumi=1

log2(100) = log2(100) =log(100)

log(2)=

log(99)

log(2)+

2log(2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 49

Γινόμενο των ακολουθιώνIn

prodi=1xi = x1timesx2timesx3timesmiddotmiddot middottimesxn

In

prodi=1i = 1times2times3timesmiddotmiddot middottimesn= n

In

prodi=1z= ztimesztimesmiddotmiddot middottimesz= zn

I

nprodi=1

(1+

1i+1

)=(1+

12)times(1+

13)times(1+

14)times times(1+

1n )times(1+

1n+1)

=32 times

43 times

54 timesmiddotmiddot middottimes

n+1n times n+2

n+1

=n+22

Ε Ι Κοντογιώργης copy 50

Γεωμετρικές ΠροόδοιI Μια γεωμετρική πρόοδος είναι μια σειρά αριθμών όπου

κάθε όρος μετά των πρώτο υπολογίζεται από τονπολλαπλασιασμό του προηγούμενου όρου με ένασταθερό αριθμό που καλείται αναλογία

I Η σειρά1 3 9 27 81 middot middot middot

είναι μια γεωμετρική πρόοδος με πρώτο όρο το 1 καιαναλογία 3

I Η αναλογία μπορεί να είναι κλάσμα καθώς επίσης καιαρνητικός αριθμός Για παράδειγμα η γεωμετρικήπρόοδος με πρώτο όρο το 2 και αναλογία minus13 είναι

2 minus 23 +

29 minus

227 +

281 middot middot middot

Ε Ι Κοντογιώργης copy 51

I Γενικά μπορούμε να γράψουμε μια γεωμετρική πρόοδο ωςακολούθως

γεωμετρική πρόοδος a ar ar2 ar3 ar4 middot middot middot

όπου ο πρώτος όρος είναι a και η αναλογία r

I Σημαντικά θεωρήματα των γεωμετρικών προόδων (γπ)1 Ο n όρος μιας γπ δίνεται από ar(nminus1)

2 Το άθροισμα των πρώτων n όρων μιας γπ είναι

Sn =a(1minus rn)

1minus r =a(rnminus1)

rminus1 και ισχύει μόνο αν r 6= 1

I Το άθροισμα των όρων μιας γεωμετρικής προόδουονομάζεται γεωμετρική σειρά

Ε Ι Κοντογιώργης copy 52

Γεωμετρική σειρά

Sn = a+ar+ar2 +ar3 + middot middot middot+arnminus2 +arnminus1

rSn = ar+ar2 +ar3 + arnminus1 +arn

Snminus rSn = aminusarn

(1minus r)Sn = a(1minus rn)

Sn =a(1minus rn)

(1minus r) =a(rnminus1)

(rminus1)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 53

I Παράδειγμα1 Βρείτε το άθροισμα των πρώτων 10 όρων μιας γεωμετρικής

σειράς4 8 16 32

Ο πρώτος όρος είναι a= 4 και η αναλογία r = 2 καιn= 10 ´Ετσι

S10 =4(1minus210)

1minus2 = 4092

2 Θεωρείστε τη γπ4 minus8 16 minus32 64 minus128 256 minus512

Σε αυτή την περίπτωση ο πρώτος όρος είναι a= 4 ηαναλογία είναι r =minus2 και n= 8´Ετσι

S8 =4(1minus (minus2)8)

1minus (minus2)=minus340

Ε Ι Κοντογιώργης copy 54

Συνεχείς ανατοκισμός

Οι περισσότεροι τραπεζικοί λογαριασμοί και τα δάνειαυιοθετούν ανατοκισμό - εφαρμόζοντας συνεχή ανατοκισμόΘεωρείστε ένα λογαριασμό που προσφέρει τόκο με ετήσιοεπιτόκιο r (πχ 7) Εάν το επιτόκιο είναι συνεχέςσε χρονιαία βάση τότε μετά από 1 χρόνο το χρονιαίοεπιτόκιο προστίθεται στο αρχικό κεφάλαιο για νακαθορίσει ένα μεγαλύτερο κεφάλαιο τον δεύτερο χρόνο

´Ετσι κατά τη διάρκεια του δεύτερου χρόνου ολογαριασμός κερδίζει επιτόκιο πάνω στο επιτόκιοΑυτή είναι η επίδραση του ανατοκισμού που συνεχίζεταιχρόνο με το χρόνο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 55

I Με τον ετήσιο ανατοκισμό το κεφάλαιο πουσυσσωρεύεται στο λογαριασμό πολλαπλασιάζεται με

(1+ r)

´Ετσι το κεφάλαιο A θα αυξηθεί σε

A(1+ r) = A+A middot r

τον επόμενο χρόνο

I Με το πέρας και του δεύτερου χρόνου το κεφάλαιο θααυξηθεί ακόμα (1+ r) σε (1+ r)2

´Ετσι το κεφάλαιο καταλήγει σε

A(1+ r)(1+ r) = A(1+ r)2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 56

I Κατά παρόμοιο τρόπο στο τέλος του τρίτου χρόνου τοποσό θα αυξηθεί κατά (1+ r)3

I Μετά από n χρόνια το ποσό θα αυξηθεί κατά (1+ r)n

I ´Ετσι το κεφάλαιο (επένδυση) A θα αυξηθεί με συνεχήανατοκισμό σε A(1+ r)n μετά από n χρόνια

I Ο τύπος (1+ r)n εκθέτει γεωμετρική αύξηση λόγω τηςn δύναμης

Ε Ι Κοντογιώργης copy 57

ΠαραδείγματαI Εάν το επιτόκιο είναι r = 5 τότε το κεφάλαιοA= $1000 που βρίσκεται στην τράπεζα n= 20 χρόνιαθα αυξηθεί κατά

(1+ r)n = (1+005)20 = 2653 φορές

´Ετσι το ποσό θα καταλήξειA(1+ r)n = $265330

I Βρέστε το χρόνο που χρειάζεται για ένα λογαργιασμό ναδιπλασιάσει το διαθέσιμο κεφάλαιο του όταν r = 7 καιr = 10Ζητούμε να βρούμε το n έτσι ώστε

(1+ r)n = 2Ε Ι Κοντογιώργης copy 58

I Υπολογίζοντας το λογάριθμο του τελευταίου παίρνουμε

log(1+ r)n = log(2)ή n log(1+ r) = log(2)

´Ετσιn=

log2log(1+ r)

I Για r = 7 και r = 10 ο χρόνος n πουχρειάζεται για διπλασιασμό της επένδυσης υπολογίζεταισε 1024 και 727 αντίστοιχα

Ε Ι Κοντογιώργης copy 59

I Αν το επιτόκιο είναι r = 7 τότε πιο θα είναι τοσυνολικό ποσό στο λογαριασμό μετά από 205 και41 χρόνια αντίστοιχα

Μετά τα πρώτα 1025 χρόνια το ποσό A θαδιπλασιαστεί σε 2A Για τα επόμενα 1025 χρόνιατο ποσό θα ξαναδιπλασιαστεί σε 4A ´Ετσι μετά από205 χρόνια το ποσό θα αυξηθεί κατά 4 φορές

Με το πέρας ακόμα 205 χρόνων το ποσό θα αυξηθείακόμα 4 φορές σε 16 ´Ετσι μετά από 41 χρόνιατο κεφάλαιο A γίνεται 16A

Ε Ι Κοντογιώργης copy 60

Ασκήσεις και Παραδείγματα

I Υπολογίστε τη Μελλοντική Αξία (Future Value (FV)) τουκεφαλαίου A= 1500 που κερδίζει ετήσιο επιτόκιοr = 5 για n= 10 έτη

FV =A(1+ r)n = 1500(1+005)10 = 244334

I Πόσα έτη απαιτούνται για να τριπλασιαστεί ένα ποσόπου αφήνετε στην τράπεζα με επιτόκιο r = 5∆ηλαδή βρείτε το n όπου A= 1 r = 5 και FV = 3

FV =A(1+ r)n ή (1+ r)n =FVA

Ε Ι Κοντογιώργης copy 61

Υπολογίζοντας τους λογαρίθμους παίρνουμε

log(1+ r)n = log(FVA)

ή n log(1+ r) = log(FVA)

´Ετσι

n=log(FVA)

log(1+ r) =log(3)

log(105)

= 2252

Ε Ι Κοντογιώργης copy 62

I Βρείτε την παρούσα αξία A έτσι ώστε σε δέκα έτη μεσταθερό επιτόκιο r = 6 να είναι 100KΒρείτε το A όπου FV = 100000 r = 6 και n= 10

FV =A(1+ r)n ή A=FV

(1+ r)n

´Ετσι A=100000

(106)10= 5583948

I Βρείτε την ετησιοποιημένη απόδοση (AER AnnualEquivalent Rate) μιας μηνιαίας κατάθεσης με σταθερόεπιτοκίο 394 Μια τέτοια κατάθεση λαμβάνει το επιτόκιο στη λήξηΣυνεπώς κάθε μήνα ο λογαριασμός λαμβάνει

r = 0039412 = 000328

επιτόκιο που επανεπενδύεται (συνεχής ανατοκισμός)Ε Ι Κοντογιώργης copy 63

Επανεπενδύοντας το επιτόκιο κάθε μήνα στη διάρκειαενός έτους το κεφάλαιο θα αυξηθεί σε

(1+ r)12 = (1+000328)12 = 104012

´Ετσι το ΑΕΡ είναι ισοδύναμο με 004012 = 4012I Υπολογίστε το επιτόκιο ενός σταθερού λογαριασμού

κατάθεσης 7-ημερών που έχει AER επιτόκιο r = 425Θεωρείστε ρ το εβδομαδιαίο επιτόκιο

´Ετσι (1+ρ)52 = (1+00425)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 64

Παίρνοντας τους λογαρίθμους έχουμε52log(1+ρ) = log10425

ή log(1+ρ) =log10425

52

ή 1+ρ= 10( log10425

52)

Αυτό μας δίνει

ρ= 10

( log1042552

)minus1 = 008

´Ετσι το συνεχές επιτόκιο μιας επταήμερης κατάθεσης είναιρtimes52 = 41638

Εναλλακτικά (1+ρ)52 = (1+00425) δίνει

(1+ρ) =52radic10425ή ρ=

52radic10425minus = 008Ε Ι Κοντογιώργης copy 65

I Υπολογίστε την ετήσια απόδοση r έτσι ώστε A= 10000να επιστρέφει FV = 35000 σε n= 20 χρόνια

FV =A(1+ r)n ή (1+ r)n =FVA

´Ετσι

1+ r =nradic

FVA

Επομένως

r =nradic

FVA minus1 =

20radic

3500010000 minus1 = 00646 = 646

Ε Ι Κοντογιώργης copy 66

Εναλλακτικά παίρνοντας τους λογαρίθμους

log(1+ r)n = log(FVA) ή n log(1+ r) = log

(FVA)

´Ετσι

1+ r = 10(1n log

(FVA))

ή r = 10(1n log

(FVA))minus1

= 10( 120 log

(3500010000

))minus1

= 646

Ε Ι Κοντογιώργης copy 67

Γραφική Αναπαράσταση I

I Υποθέστε ότι έχουμε y= 3x+2 Καθώς έχουμε μόνο μιαδύναμη για το x πρέπει να λύσουμε γραμμική εξίσωσηκαι να σχεδιάσουμε μια ευθεία γραμμή Αρχικά θα πρέπεινα σχεδιάσουμε ένα T-chart Αυτό έχει τη μορφή

x y = 3x+2 (xy)

I Επιλέγουμε μια τιμή για το x και λύνουμε ως προς y

x y= 3x+2 (xy)minus2 minus4 (minus2minus4)0 2 (02)2 8 (28)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 68

Γραφική Αναπαράσταση II

-

6

X

Y

bull

bull

bull

I Βλέπουμε μια ευθεία με ανοδική τάση (έχοντας θετικήκλίση m= 3) καιτέμνει τον άξονα y στο σημείο y= 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 69

Γραφική Αναπαράσταση III

I Μια Τετραγωνική εξίσωση περιέχει x2 Για τηναναπαράσταση τετραγωνικών εξισώσεων χρειάζεται ναβρούμε περισσότερα από τρία σημεία στο σχεδιάγραμμα

Για παράδειγμα υποθέστε ότι y= x2minus6x+5 καιδίνεται το πιο κάτω T-chart

x y= x2minus6x+5 (xy)0 5 (05)1 0 (10)3 minus4 (3minus4)5 0 (50)6 5 (65)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 70

Γραφική Αναπαράσταση IV

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

-

6

X

Y

bull

bull

bull

bull

bull

Ε Ι Κοντογιώργης copy 71

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(1x + 2)

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(-3x + 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 72

-15

-10

-5

0

5

10

15

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(3x - 2)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 73

-20

0

20

40

60

80

100

120

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2+x)

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 74

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

1250

1500

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3+x2+x)

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x4)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 75

-25

-2

-15

-1

-05

0

05

1

15

2

25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(log(x))

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(x))

Ε Ι Κοντογιώργης copy 76

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(-x))

-5000

0

5000

10000

15000

20000

25000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(exp(x)+x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 77

Ανισότητες I

I Οι ανισότητες αποτελούνται από δύο ή τρεις αλγεβρικέςεκφράσεις που είναι συνδεδεμένες με τα σύμβολαανισότητας Τα σύμβολα αυτά είναι

lt μικρότερο τουgt μεγαλύτερο τουle μικρότερο ή ίσο τουge μεγαλύτερο ή ίσο του

I Παραδείγματα xgty yge x2 και ylt5x+1

I Το πρώτο βήμα για την αναπαράσταση ανισότητας τηςμορφής ygtx είναι να παραστήσουμε γραφικά τηνισότητα y= x

Ε Ι Κοντογιώργης copy 78

Ανισότητες II

I ygtx

Κάνετε δοκιμή με ένα σημείο να δείτε κατά πόσοικανοποιεί την ανισότητα Εάν ναι τότε σκιάστε τηνπεριοχή αυτή του σχεδιαγράμματος διαφορετικά σκιάστετην άλλη πλευρά

Ε Ι Κοντογιώργης copy 79

Ανισότητες III

I yltx

Ε Ι Κοντογιώργης copy 80

Ανισότητες IV

I yle 5x+1 και ygt5x+1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 81

Ανισότητες V

I yge x2 και yle x2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 82

Ανισότητες VI

I ygtx3 και yle x3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 83

Συστήματα Γραμμικών ΕξισώσεωνΠεριεχόμενα

1 Ε

2 Γ Α

ΑναφορέςΚεφάλαια 4 και 5FS Budnick Applied Mathematics for Business Economicsand the Social Sciences 4th edition McGraw-Hill 1993

Ε Ι Κοντογιώργης copy 84

Συστήματα Εξισώσεων

I ´Ενα σύστημα εξισώσεων συνδυάζει περισσότερες από μίαεξισώσεις

I ´Ενα σύστημα m εξισώσεων όπου κάθε εξίσωσηαποτελείται από n μεταβλητές ονομάζεται mtimesnσύστημα ή λέμε ότι έχει διαστάσεις mtimesn

I ΠαράδειγμαΠαρακάτω έχουμε ένα σύστημα 2times2

5X+10Y= 203X+4Y= 10

Οι μεταβλητές σε αυτή την περίπτωση είναι X και YΕ Ι Κοντογιώργης copy 85

Συστήματα Επίλυσης

I Το Σύστημα επίλυσης είναι μια σειρά τιμών μεταβλητώνπου ικανοποιούν το σύστημα ταυτόχρονα

I Σε μια σημειογραφική παράσταση το προηγούμενοπαράδειγμα μπορεί να γραφτεί ως εξής

S = (XY) | 5X+10Y = 20 και 3X+4Y = 10

I Το σύστημα επίλυσης μπορεί να είναι1 μηδενικό2 πεπερασμένο ή3 άπειρο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 86

2times2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική Ανάλυση

I Σε ένα δισδιάστατο γράφημα ένα σύστημα εξισώσεων2times2 αναπαρίστανται με ευθείες γραμμές Υπόρχουν τρίαενδεχόμενα

1 Οι ευθείες τέμνονται Το σημείο τομής αντιπροσωπεύει τηλύση του συστήματος εξισώσεων Αυτό το σημείοαλληλεπίδρασης είναι μια δέσμη τιμών X και Y που ικανοποιείκαι τις δύο εξισώσειςΕάν υπάρχει μόνο μια δέσμη τιμών για τις μεταβλητές που ναικανοποιεί το σύστημα εξισώσεων το σύστημα λέμε ότι έχειΜ Λ

2 Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες μεταξύ τους ∆εν έχουν κοινόσημείο Συνεπώς οι ευθείες δεν τέμνονται ποτέ Το σύστημαλέμε ότι ∆ ΛΑυτό υπονοεί ότι δεν υπάρχουν τιμές για τις μεταβλητές πουνα ικανοποιούν και τις δύο εξισώσεις Σε αυτή τηνπερίπτωση οι εξισώσεις στο σύστημα είναι Α

3 Και οι δύο εξισώσεις αναπαρίστανται ως μια κοινή ευθεία καιθεωρούνται ισοδύναμες εξισώσεις ´Ετσι το σύστημα έχειΑ Λ Αυτό συμβαίνει γιατί υπάρχει άπειροςαριθμός κοινών σημείων στις δύο γραμμές

Ε Ι Κοντογιώργης copy 87

I Π Θεωρείστε ένα σύστημα 2times22X+4Y= 203X+ Y= 10

I

X

Y

(24)

3X +Y = 10

2X +4Y = 20

0 2 4 6 8 10 12

2

4

6

8

10

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 88

I Το σημείο τομής δίνεται από το X= 2 και Y= 4Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές του X και Y στις δύοεξισώσεις δίνουν 20 = 20 και 10 = 10 αντίστοιχα

I Αυτό υποδειλώνει ότι X= 2 και Y= 4 είναι η σωστή λύση

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times23Xminus2Y= 6

minus15X+10Y=minus30

I

X

Y

(20)

(0minus3)

3X minus2Y = 6

minus15X +10Y =minus30

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 89

I Οι δύο εξισώσεις απλοποιούνται σε Xminus 23 Y= 2

Οι δύο εξισώσεις είναι ισοδύναμες και δίνουν έναπεπερασμένο αριθμό λύσεων έτσι ώστε

X= 0 Y =minus3X= 2 Y = 0X= 4 Y = 3

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times26Xminus12Y= 24

minus32X+3Y= 9

Οι εξισώσεις απλοποιούνται σεXminus2Y= 4Xminus2Y=minus6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 90

I

X

Y

(40)

(0minus2)

(minus60)

(03)

X minus2Y =minus6

X minus2Y = 4

0-0

I Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες και συνεπώς το σύστημαδεν έχει λύση ´Ετσι το σύστημα εξισώσεων είναιασύμπτωτο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 91

Περίληψη 2times2 Συστήματα Εξισώσεων∆ίνεται ένα Σύστημα Γραμμικών Εξισώσεων 2times2

Y=m1X+ c1Y=m2X+ c2

1 Υπάρχει μια στο σύστημα εάνm1 6= m2

2 ∆εν υπάρχει στο σύστημα εάνm1 = m2 και c1 6= c2

3 Υπάρχει εάνm1 = m2 και c1 = c2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 92

∆ιαδικασίες Απαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής χρησιμοποιεί πολλαπλασιασμόκαι πρόσθεση έτσι ώστε

1 Να απαλοιφεί μια από τις δύο μεταβλητές

2 Η εξίσωση που εξάγεται είναι συνάρτηση των υπόλοιπωνμεταβλητών

3 Αντικαθιστώντας την τιμή στην μεταβλητή σε μια από τιςαρχικές εξισώσεις βρίσκουμε την τιμή για τηναπολοιφθήσα μεταβλητή

Ε Ι Κοντογιώργης copy 93

ΠαραδείγματαI Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

2X +4Y = 20 (1)3X + Y = 10 (2)

Πολλαπλασιάζοντας τη δεύτερη εξίσωση με minus4 παίρνουμε

minus12X minus4Y =minus40 (3)

Προσθέτοντας την εξίσωση (1) στο (3)

2X + 4Y = 20minus12X minus 4Y = minus40minus10X = minus20

ή

X = 2 (4)Ε Ι Κοντογιώργης copy 94

Αντικαθιστώντας X= 2 στην εξίσωση (1) δίνεται2 middot2+4Y = 20 ή Y=4

´Ετσι η μοναδική λύση του συστήματος δίνεται από τοX= 2 και Y= 4 Μπορεί να επιβεβαιωθεί ότι αυτή είναι ησωστή λύση αντικαθιστώντας X= 2 και Y= 4 στηνεξίσωση (1) και (2)

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times23X minus2Y = 6 (5)

minus15X +10Y =minus30 (6)

Για την απαλοιφή της μεταβλητής X η εξίσωση (5)πολλαπλασιάζεται με 5 και το αποτέλεσμα προστίθεταιστην εξίσωση (6)

15X minus 10Y = 30minus15X + 10Y = minus30

0 = 0 Ε Ι Κοντογιώργης copy 95

Οι τελευταίες πράξεις υπονοούν ότι οι εξίσωσεις (5) και(6) είναι ισοδύναμες και έτσι υπάρχει άπειρος αριθμόςλύσεωνΓια να προσδιορίσουμε τις λύσεις του συστήματος μια απότις αρχικές εξισώσεις λύνεται ως προς μια μεταβλητή Ανγια παράδειγμα η εξίσωση (5) λύνεται ως προς Y δίνει

Y =32Xminus3

Σαν αποτέλεσμα γενικεύοντας τις λύσεις του συστήματοςέχουμε

X τυχαίο και Y =32Xminus3

Πχ για X= 4 υπονοείται ότι Y=32 middot4minus3 = 3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 96

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

6X minus12Y = 24 (7)

minus32X +3Y = 9 (8)

Πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση (8) με 4 καιπροσθέτοντας το αποτέλεσμα στην εξίσωση (7)παίρνουμε

6X minus 12Y = 24minus6X + 12Y = 36

0 = 60

Η πιο πάνω αντιλογία υπονοεί ότι δεν υπάρχει λύση τουσυστήματος εξισώσεων

Ε Ι Κοντογιώργης copy 97

3times2 Συστήματα Εξισώσεων I

1 Μ Λ

X

Y

(32)

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minusY = 1

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 98

3times2 Συστήματα Εξισώσεων II

2 Α Λ

X

Y Εξις (1)Εξις (2)Εξις (3)

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 99

3times2 Συστήματα Εξισώσεων III3 Κ

(α) ´Οταν και οι τρεις εξισώσεις είναι παράλληλες

X

Y

2X minusY =minus8

2X minusY = 2

2X minusY = 12

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 100

3times2 Συστήματα Εξισώσεων IV(β) ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ τωνεξισώσεων

X

Y

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minus2Y =minus4

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 101

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική ΑνάλυσηΣε ένα γράφημα 2 διαστάσεων ένα σύστημα mtimes2(mgt2) εξισώσεων παριστάνεται με m ευθείες ´Οπωςσυμβαίνει στα συστήματα 2times2 υπάρχουν τρίαενδεχόμενα

1 ´Ολες οι ευθείες τέμνονται στο ίδιο σημείο και έτσιυπάρχει

2 ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ των mεξισώσεων Αυτό σημαίνει ότι όλες οι ευθείες είναιπαράλληλες Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα Λ

3 Οι m εξισώσεις είναι ισοδύναμες πχ παρασταίνονται σανμια ευθεία Σε αυτή την περίπτωση υπάρχει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 102

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων ∆ιαδικασίαΑπαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής για την επίλυση ενός συστήματοςmtimes2 μπορεί να περιγραφεί ως ακολούθωςΕπιλέξτε και λύστε σύστημα με δύο εξισώσεις

1 Εάν δεν υπάρχει λύση τότε ολόκληρο το σύστημα δεν έχειλύση

2 Εάν υπάρχει μοναδική λύση που ικανοποιεί τις υπόλοιπεςmminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα έχει μία μοναδική λύση

3 Εάν η λύση είναι μοναδική αλλά δεν ικανοποιεί τιςυπόλοιπες mminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα δεν έχει λύση

4 Εάν οι 2 λύσεις είναι ισοδύναμες απάλοιψτε τη μίααπό τις δύο εξισώσεις και ξεκινήστε από την αρχήλαμβάνοντας υπόψη ένα σύστημα (mminus1)times2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 103

ΠαράδείγμαI Θεωρείστε ένα σύστημα 5times2

XminusY= 1X+2Y=minus8

3Xminus2Y= 02Xminus5Y= 11minus4X+3Y=minus1

I Η λύση των πρώτων δύο εξισώσεων δίνετε απόY =minus3 και X =minus2

I Αντικαθιστώντας τη λύση στις υπόλοιπες τρεις εξισώσειςπαίρνετε αντίστοιχα

0 = 0 11 = 11 και minus1 =minus1I Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση

X=minus2 και Y=minus3Ε Ι Κοντογιώργης copy 104

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian

Η μέθοδος απολοιφής Gaussian μετατρέπει το αρχικόσύστημα εξισώσεων σε διαγώνια μορφή επαναλαμβάνονταςστις εξισώσεις τις ακόλουθες τρεις διαδικασίες

1 Πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης μεμια θετική σταθερά

2 Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού θα προστεθεί σεάλλη εξίσωση

3 Η σειρά των εξισώσεων μπορεί να αλλάξει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 105

ΠαράδείγμαΠ Θεωρείστε το σύστημα 2times2

2X minus 3Y = 7 (Εξ 1)X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με 12 για να πάρετε

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με minus1 καιπροσθέστε την στην (Εξ 2)

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

52Y =

152 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 106

Στάδιο 3 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 25

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

Y = 3 (Εξ 2)

Στάδιο 4 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 32 και

προσθέστε την στην (Εξ 1)

X = 1 (Εξ 1)Y = 3 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 107

Π Θεωρείστε το σύστημα 2times2

5X + 20Y = 254X minus 7Y =minus26

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να εκφραστεί ως

R1 5 20 25R2 4 minus7 minus26

Η κάθετη γραμμή χρησιμοποιείται για διαχωρισμό τηςαριστερής από τη δεξιά πλευρά των εξισώσεων Το Riυπονοεί τη γραμμή (Row) i

Ε Ι Κοντογιώργης copy 108

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάζουμε τη R1 με 15 και το θέτουμε

R1larr 15R1

R1 1 4 5R2 4 minus7 minus26

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάζουμε την R1 με minus4 και τηνπροσθέτουμε στην R2 Εν συντομίαR2larrminus4R1+R2

R1 1 4 5R2 0 minus23 minus46

Στάδιο 3 R2larrminus 123R2

R1 1 4 5R2 0 1 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 109

Στάδιο 4 R1larrminus4R2+R1

R1 1 0 minus3R2 0 1 2

Το αρχικό σύστημα εξισώσεων μετατρέπεται σε διαγώνιαμορφή όπως πιο κάτω

X =minus3Y = 2

το οποίο δίνει τη λύση του συστήματος

Ε Ι Κοντογιώργης copy 110

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 I

Το σύστημα εξισώσεων 3times3 μετετρέπεται σε διαγώνιαμορφή Η μετατροπή γίνεται στήλη με στήλη από τααριστερά προς τα δεξιά

Π Θεωρήστε το σύστημα 3times3

X1 + X2 + X3 = 2X1 minus 3X2 + 2X3 = 7

4X1 minus 2X2 minus X3 = 9

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να γραφτεί ως

Ε Ι Κοντογιώργης copy 111

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 II

1 1 1 21 minus3 2 74 minus2 minus1 9

Ε Ι Κοντογιώργης copy 112

Insumk=1

1(k+2)(k+3)

=nsumk=1

( A(k+2)

+B

(k+3)

)=

nsumk=1

A(k+3) +B(k+2)

(k+2)(k+3)

I A(k+3) +B(k+2) = 1

I Για k=minus2 τότε A= 1 και για k=minus3 τότε B=minus1

I

nsumk=1

1(k+2)(k+3)

=nsumk=1

( 1(k+2)

minus 1(k+3)

)

=(

(13 minus

14)+(

14 minus

15)+(

15 minus

16)+ +(

1n+1 minus

1n+2)+(

1n+2 minus

1n+3)

)

=13 minus

1n+3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 48

Αθροισμα με Λογάριθμους

nsumi=1

logb(i) = logb(1) + logb(2) + middot middot middot+ logb(n)

= logb(1times2times3timesmiddotmiddot middottimesn)

= logb(n)

I Το n (n παραγοντικό) δίνεται από n = 1times2timesmiddotmiddot middottimesn και0 = 1

I100sumi=1

log2(100) = log2(100) =log(100)

log(2)=

log(99)

log(2)+

2log(2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 49

Γινόμενο των ακολουθιώνIn

prodi=1xi = x1timesx2timesx3timesmiddotmiddot middottimesxn

In

prodi=1i = 1times2times3timesmiddotmiddot middottimesn= n

In

prodi=1z= ztimesztimesmiddotmiddot middottimesz= zn

I

nprodi=1

(1+

1i+1

)=(1+

12)times(1+

13)times(1+

14)times times(1+

1n )times(1+

1n+1)

=32 times

43 times

54 timesmiddotmiddot middottimes

n+1n times n+2

n+1

=n+22

Ε Ι Κοντογιώργης copy 50

Γεωμετρικές ΠροόδοιI Μια γεωμετρική πρόοδος είναι μια σειρά αριθμών όπου

κάθε όρος μετά των πρώτο υπολογίζεται από τονπολλαπλασιασμό του προηγούμενου όρου με ένασταθερό αριθμό που καλείται αναλογία

I Η σειρά1 3 9 27 81 middot middot middot

είναι μια γεωμετρική πρόοδος με πρώτο όρο το 1 καιαναλογία 3

I Η αναλογία μπορεί να είναι κλάσμα καθώς επίσης καιαρνητικός αριθμός Για παράδειγμα η γεωμετρικήπρόοδος με πρώτο όρο το 2 και αναλογία minus13 είναι

2 minus 23 +

29 minus

227 +

281 middot middot middot

Ε Ι Κοντογιώργης copy 51

I Γενικά μπορούμε να γράψουμε μια γεωμετρική πρόοδο ωςακολούθως

γεωμετρική πρόοδος a ar ar2 ar3 ar4 middot middot middot

όπου ο πρώτος όρος είναι a και η αναλογία r

I Σημαντικά θεωρήματα των γεωμετρικών προόδων (γπ)1 Ο n όρος μιας γπ δίνεται από ar(nminus1)

2 Το άθροισμα των πρώτων n όρων μιας γπ είναι

Sn =a(1minus rn)

1minus r =a(rnminus1)

rminus1 και ισχύει μόνο αν r 6= 1

I Το άθροισμα των όρων μιας γεωμετρικής προόδουονομάζεται γεωμετρική σειρά

Ε Ι Κοντογιώργης copy 52

Γεωμετρική σειρά

Sn = a+ar+ar2 +ar3 + middot middot middot+arnminus2 +arnminus1

rSn = ar+ar2 +ar3 + arnminus1 +arn

Snminus rSn = aminusarn

(1minus r)Sn = a(1minus rn)

Sn =a(1minus rn)

(1minus r) =a(rnminus1)

(rminus1)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 53

I Παράδειγμα1 Βρείτε το άθροισμα των πρώτων 10 όρων μιας γεωμετρικής

σειράς4 8 16 32

Ο πρώτος όρος είναι a= 4 και η αναλογία r = 2 καιn= 10 ´Ετσι

S10 =4(1minus210)

1minus2 = 4092

2 Θεωρείστε τη γπ4 minus8 16 minus32 64 minus128 256 minus512

Σε αυτή την περίπτωση ο πρώτος όρος είναι a= 4 ηαναλογία είναι r =minus2 και n= 8´Ετσι

S8 =4(1minus (minus2)8)

1minus (minus2)=minus340

Ε Ι Κοντογιώργης copy 54

Συνεχείς ανατοκισμός

Οι περισσότεροι τραπεζικοί λογαριασμοί και τα δάνειαυιοθετούν ανατοκισμό - εφαρμόζοντας συνεχή ανατοκισμόΘεωρείστε ένα λογαριασμό που προσφέρει τόκο με ετήσιοεπιτόκιο r (πχ 7) Εάν το επιτόκιο είναι συνεχέςσε χρονιαία βάση τότε μετά από 1 χρόνο το χρονιαίοεπιτόκιο προστίθεται στο αρχικό κεφάλαιο για νακαθορίσει ένα μεγαλύτερο κεφάλαιο τον δεύτερο χρόνο

´Ετσι κατά τη διάρκεια του δεύτερου χρόνου ολογαριασμός κερδίζει επιτόκιο πάνω στο επιτόκιοΑυτή είναι η επίδραση του ανατοκισμού που συνεχίζεταιχρόνο με το χρόνο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 55

I Με τον ετήσιο ανατοκισμό το κεφάλαιο πουσυσσωρεύεται στο λογαριασμό πολλαπλασιάζεται με

(1+ r)

´Ετσι το κεφάλαιο A θα αυξηθεί σε

A(1+ r) = A+A middot r

τον επόμενο χρόνο

I Με το πέρας και του δεύτερου χρόνου το κεφάλαιο θααυξηθεί ακόμα (1+ r) σε (1+ r)2

´Ετσι το κεφάλαιο καταλήγει σε

A(1+ r)(1+ r) = A(1+ r)2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 56

I Κατά παρόμοιο τρόπο στο τέλος του τρίτου χρόνου τοποσό θα αυξηθεί κατά (1+ r)3

I Μετά από n χρόνια το ποσό θα αυξηθεί κατά (1+ r)n

I ´Ετσι το κεφάλαιο (επένδυση) A θα αυξηθεί με συνεχήανατοκισμό σε A(1+ r)n μετά από n χρόνια

I Ο τύπος (1+ r)n εκθέτει γεωμετρική αύξηση λόγω τηςn δύναμης

Ε Ι Κοντογιώργης copy 57

ΠαραδείγματαI Εάν το επιτόκιο είναι r = 5 τότε το κεφάλαιοA= $1000 που βρίσκεται στην τράπεζα n= 20 χρόνιαθα αυξηθεί κατά

(1+ r)n = (1+005)20 = 2653 φορές

´Ετσι το ποσό θα καταλήξειA(1+ r)n = $265330

I Βρέστε το χρόνο που χρειάζεται για ένα λογαργιασμό ναδιπλασιάσει το διαθέσιμο κεφάλαιο του όταν r = 7 καιr = 10Ζητούμε να βρούμε το n έτσι ώστε

(1+ r)n = 2Ε Ι Κοντογιώργης copy 58

I Υπολογίζοντας το λογάριθμο του τελευταίου παίρνουμε

log(1+ r)n = log(2)ή n log(1+ r) = log(2)

´Ετσιn=

log2log(1+ r)

I Για r = 7 και r = 10 ο χρόνος n πουχρειάζεται για διπλασιασμό της επένδυσης υπολογίζεταισε 1024 και 727 αντίστοιχα

Ε Ι Κοντογιώργης copy 59

I Αν το επιτόκιο είναι r = 7 τότε πιο θα είναι τοσυνολικό ποσό στο λογαριασμό μετά από 205 και41 χρόνια αντίστοιχα

Μετά τα πρώτα 1025 χρόνια το ποσό A θαδιπλασιαστεί σε 2A Για τα επόμενα 1025 χρόνιατο ποσό θα ξαναδιπλασιαστεί σε 4A ´Ετσι μετά από205 χρόνια το ποσό θα αυξηθεί κατά 4 φορές

Με το πέρας ακόμα 205 χρόνων το ποσό θα αυξηθείακόμα 4 φορές σε 16 ´Ετσι μετά από 41 χρόνιατο κεφάλαιο A γίνεται 16A

Ε Ι Κοντογιώργης copy 60

Ασκήσεις και Παραδείγματα

I Υπολογίστε τη Μελλοντική Αξία (Future Value (FV)) τουκεφαλαίου A= 1500 που κερδίζει ετήσιο επιτόκιοr = 5 για n= 10 έτη

FV =A(1+ r)n = 1500(1+005)10 = 244334

I Πόσα έτη απαιτούνται για να τριπλασιαστεί ένα ποσόπου αφήνετε στην τράπεζα με επιτόκιο r = 5∆ηλαδή βρείτε το n όπου A= 1 r = 5 και FV = 3

FV =A(1+ r)n ή (1+ r)n =FVA

Ε Ι Κοντογιώργης copy 61

Υπολογίζοντας τους λογαρίθμους παίρνουμε

log(1+ r)n = log(FVA)

ή n log(1+ r) = log(FVA)

´Ετσι

n=log(FVA)

log(1+ r) =log(3)

log(105)

= 2252

Ε Ι Κοντογιώργης copy 62

I Βρείτε την παρούσα αξία A έτσι ώστε σε δέκα έτη μεσταθερό επιτόκιο r = 6 να είναι 100KΒρείτε το A όπου FV = 100000 r = 6 και n= 10

FV =A(1+ r)n ή A=FV

(1+ r)n

´Ετσι A=100000

(106)10= 5583948

I Βρείτε την ετησιοποιημένη απόδοση (AER AnnualEquivalent Rate) μιας μηνιαίας κατάθεσης με σταθερόεπιτοκίο 394 Μια τέτοια κατάθεση λαμβάνει το επιτόκιο στη λήξηΣυνεπώς κάθε μήνα ο λογαριασμός λαμβάνει

r = 0039412 = 000328

επιτόκιο που επανεπενδύεται (συνεχής ανατοκισμός)Ε Ι Κοντογιώργης copy 63

Επανεπενδύοντας το επιτόκιο κάθε μήνα στη διάρκειαενός έτους το κεφάλαιο θα αυξηθεί σε

(1+ r)12 = (1+000328)12 = 104012

´Ετσι το ΑΕΡ είναι ισοδύναμο με 004012 = 4012I Υπολογίστε το επιτόκιο ενός σταθερού λογαριασμού

κατάθεσης 7-ημερών που έχει AER επιτόκιο r = 425Θεωρείστε ρ το εβδομαδιαίο επιτόκιο

´Ετσι (1+ρ)52 = (1+00425)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 64

Παίρνοντας τους λογαρίθμους έχουμε52log(1+ρ) = log10425

ή log(1+ρ) =log10425

52

ή 1+ρ= 10( log10425

52)

Αυτό μας δίνει

ρ= 10

( log1042552

)minus1 = 008

´Ετσι το συνεχές επιτόκιο μιας επταήμερης κατάθεσης είναιρtimes52 = 41638

Εναλλακτικά (1+ρ)52 = (1+00425) δίνει

(1+ρ) =52radic10425ή ρ=

52radic10425minus = 008Ε Ι Κοντογιώργης copy 65

I Υπολογίστε την ετήσια απόδοση r έτσι ώστε A= 10000να επιστρέφει FV = 35000 σε n= 20 χρόνια

FV =A(1+ r)n ή (1+ r)n =FVA

´Ετσι

1+ r =nradic

FVA

Επομένως

r =nradic

FVA minus1 =

20radic

3500010000 minus1 = 00646 = 646

Ε Ι Κοντογιώργης copy 66

Εναλλακτικά παίρνοντας τους λογαρίθμους

log(1+ r)n = log(FVA) ή n log(1+ r) = log

(FVA)

´Ετσι

1+ r = 10(1n log

(FVA))

ή r = 10(1n log

(FVA))minus1

= 10( 120 log

(3500010000

))minus1

= 646

Ε Ι Κοντογιώργης copy 67

Γραφική Αναπαράσταση I

I Υποθέστε ότι έχουμε y= 3x+2 Καθώς έχουμε μόνο μιαδύναμη για το x πρέπει να λύσουμε γραμμική εξίσωσηκαι να σχεδιάσουμε μια ευθεία γραμμή Αρχικά θα πρέπεινα σχεδιάσουμε ένα T-chart Αυτό έχει τη μορφή

x y = 3x+2 (xy)

I Επιλέγουμε μια τιμή για το x και λύνουμε ως προς y

x y= 3x+2 (xy)minus2 minus4 (minus2minus4)0 2 (02)2 8 (28)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 68

Γραφική Αναπαράσταση II

-

6

X

Y

bull

bull

bull

I Βλέπουμε μια ευθεία με ανοδική τάση (έχοντας θετικήκλίση m= 3) καιτέμνει τον άξονα y στο σημείο y= 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 69

Γραφική Αναπαράσταση III

I Μια Τετραγωνική εξίσωση περιέχει x2 Για τηναναπαράσταση τετραγωνικών εξισώσεων χρειάζεται ναβρούμε περισσότερα από τρία σημεία στο σχεδιάγραμμα

Για παράδειγμα υποθέστε ότι y= x2minus6x+5 καιδίνεται το πιο κάτω T-chart

x y= x2minus6x+5 (xy)0 5 (05)1 0 (10)3 minus4 (3minus4)5 0 (50)6 5 (65)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 70

Γραφική Αναπαράσταση IV

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

-

6

X

Y

bull

bull

bull

bull

bull

Ε Ι Κοντογιώργης copy 71

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(1x + 2)

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(-3x + 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 72

-15

-10

-5

0

5

10

15

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(3x - 2)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 73

-20

0

20

40

60

80

100

120

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2+x)

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 74

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

1250

1500

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3+x2+x)

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x4)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 75

-25

-2

-15

-1

-05

0

05

1

15

2

25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(log(x))

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(x))

Ε Ι Κοντογιώργης copy 76

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(-x))

-5000

0

5000

10000

15000

20000

25000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(exp(x)+x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 77

Ανισότητες I

I Οι ανισότητες αποτελούνται από δύο ή τρεις αλγεβρικέςεκφράσεις που είναι συνδεδεμένες με τα σύμβολαανισότητας Τα σύμβολα αυτά είναι

lt μικρότερο τουgt μεγαλύτερο τουle μικρότερο ή ίσο τουge μεγαλύτερο ή ίσο του

I Παραδείγματα xgty yge x2 και ylt5x+1

I Το πρώτο βήμα για την αναπαράσταση ανισότητας τηςμορφής ygtx είναι να παραστήσουμε γραφικά τηνισότητα y= x

Ε Ι Κοντογιώργης copy 78

Ανισότητες II

I ygtx

Κάνετε δοκιμή με ένα σημείο να δείτε κατά πόσοικανοποιεί την ανισότητα Εάν ναι τότε σκιάστε τηνπεριοχή αυτή του σχεδιαγράμματος διαφορετικά σκιάστετην άλλη πλευρά

Ε Ι Κοντογιώργης copy 79

Ανισότητες III

I yltx

Ε Ι Κοντογιώργης copy 80

Ανισότητες IV

I yle 5x+1 και ygt5x+1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 81

Ανισότητες V

I yge x2 και yle x2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 82

Ανισότητες VI

I ygtx3 και yle x3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 83

Συστήματα Γραμμικών ΕξισώσεωνΠεριεχόμενα

1 Ε

2 Γ Α

ΑναφορέςΚεφάλαια 4 και 5FS Budnick Applied Mathematics for Business Economicsand the Social Sciences 4th edition McGraw-Hill 1993

Ε Ι Κοντογιώργης copy 84

Συστήματα Εξισώσεων

I ´Ενα σύστημα εξισώσεων συνδυάζει περισσότερες από μίαεξισώσεις

I ´Ενα σύστημα m εξισώσεων όπου κάθε εξίσωσηαποτελείται από n μεταβλητές ονομάζεται mtimesnσύστημα ή λέμε ότι έχει διαστάσεις mtimesn

I ΠαράδειγμαΠαρακάτω έχουμε ένα σύστημα 2times2

5X+10Y= 203X+4Y= 10

Οι μεταβλητές σε αυτή την περίπτωση είναι X και YΕ Ι Κοντογιώργης copy 85

Συστήματα Επίλυσης

I Το Σύστημα επίλυσης είναι μια σειρά τιμών μεταβλητώνπου ικανοποιούν το σύστημα ταυτόχρονα

I Σε μια σημειογραφική παράσταση το προηγούμενοπαράδειγμα μπορεί να γραφτεί ως εξής

S = (XY) | 5X+10Y = 20 και 3X+4Y = 10

I Το σύστημα επίλυσης μπορεί να είναι1 μηδενικό2 πεπερασμένο ή3 άπειρο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 86

2times2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική Ανάλυση

I Σε ένα δισδιάστατο γράφημα ένα σύστημα εξισώσεων2times2 αναπαρίστανται με ευθείες γραμμές Υπόρχουν τρίαενδεχόμενα

1 Οι ευθείες τέμνονται Το σημείο τομής αντιπροσωπεύει τηλύση του συστήματος εξισώσεων Αυτό το σημείοαλληλεπίδρασης είναι μια δέσμη τιμών X και Y που ικανοποιείκαι τις δύο εξισώσειςΕάν υπάρχει μόνο μια δέσμη τιμών για τις μεταβλητές που ναικανοποιεί το σύστημα εξισώσεων το σύστημα λέμε ότι έχειΜ Λ

2 Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες μεταξύ τους ∆εν έχουν κοινόσημείο Συνεπώς οι ευθείες δεν τέμνονται ποτέ Το σύστημαλέμε ότι ∆ ΛΑυτό υπονοεί ότι δεν υπάρχουν τιμές για τις μεταβλητές πουνα ικανοποιούν και τις δύο εξισώσεις Σε αυτή τηνπερίπτωση οι εξισώσεις στο σύστημα είναι Α

3 Και οι δύο εξισώσεις αναπαρίστανται ως μια κοινή ευθεία καιθεωρούνται ισοδύναμες εξισώσεις ´Ετσι το σύστημα έχειΑ Λ Αυτό συμβαίνει γιατί υπάρχει άπειροςαριθμός κοινών σημείων στις δύο γραμμές

Ε Ι Κοντογιώργης copy 87

I Π Θεωρείστε ένα σύστημα 2times22X+4Y= 203X+ Y= 10

I

X

Y

(24)

3X +Y = 10

2X +4Y = 20

0 2 4 6 8 10 12

2

4

6

8

10

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 88

I Το σημείο τομής δίνεται από το X= 2 και Y= 4Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές του X και Y στις δύοεξισώσεις δίνουν 20 = 20 και 10 = 10 αντίστοιχα

I Αυτό υποδειλώνει ότι X= 2 και Y= 4 είναι η σωστή λύση

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times23Xminus2Y= 6

minus15X+10Y=minus30

I

X

Y

(20)

(0minus3)

3X minus2Y = 6

minus15X +10Y =minus30

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 89

I Οι δύο εξισώσεις απλοποιούνται σε Xminus 23 Y= 2

Οι δύο εξισώσεις είναι ισοδύναμες και δίνουν έναπεπερασμένο αριθμό λύσεων έτσι ώστε

X= 0 Y =minus3X= 2 Y = 0X= 4 Y = 3

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times26Xminus12Y= 24

minus32X+3Y= 9

Οι εξισώσεις απλοποιούνται σεXminus2Y= 4Xminus2Y=minus6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 90

I

X

Y

(40)

(0minus2)

(minus60)

(03)

X minus2Y =minus6

X minus2Y = 4

0-0

I Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες και συνεπώς το σύστημαδεν έχει λύση ´Ετσι το σύστημα εξισώσεων είναιασύμπτωτο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 91

Περίληψη 2times2 Συστήματα Εξισώσεων∆ίνεται ένα Σύστημα Γραμμικών Εξισώσεων 2times2

Y=m1X+ c1Y=m2X+ c2

1 Υπάρχει μια στο σύστημα εάνm1 6= m2

2 ∆εν υπάρχει στο σύστημα εάνm1 = m2 και c1 6= c2

3 Υπάρχει εάνm1 = m2 και c1 = c2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 92

∆ιαδικασίες Απαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής χρησιμοποιεί πολλαπλασιασμόκαι πρόσθεση έτσι ώστε

1 Να απαλοιφεί μια από τις δύο μεταβλητές

2 Η εξίσωση που εξάγεται είναι συνάρτηση των υπόλοιπωνμεταβλητών

3 Αντικαθιστώντας την τιμή στην μεταβλητή σε μια από τιςαρχικές εξισώσεις βρίσκουμε την τιμή για τηναπολοιφθήσα μεταβλητή

Ε Ι Κοντογιώργης copy 93

ΠαραδείγματαI Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

2X +4Y = 20 (1)3X + Y = 10 (2)

Πολλαπλασιάζοντας τη δεύτερη εξίσωση με minus4 παίρνουμε

minus12X minus4Y =minus40 (3)

Προσθέτοντας την εξίσωση (1) στο (3)

2X + 4Y = 20minus12X minus 4Y = minus40minus10X = minus20

ή

X = 2 (4)Ε Ι Κοντογιώργης copy 94

Αντικαθιστώντας X= 2 στην εξίσωση (1) δίνεται2 middot2+4Y = 20 ή Y=4

´Ετσι η μοναδική λύση του συστήματος δίνεται από τοX= 2 και Y= 4 Μπορεί να επιβεβαιωθεί ότι αυτή είναι ησωστή λύση αντικαθιστώντας X= 2 και Y= 4 στηνεξίσωση (1) και (2)

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times23X minus2Y = 6 (5)

minus15X +10Y =minus30 (6)

Για την απαλοιφή της μεταβλητής X η εξίσωση (5)πολλαπλασιάζεται με 5 και το αποτέλεσμα προστίθεταιστην εξίσωση (6)

15X minus 10Y = 30minus15X + 10Y = minus30

0 = 0 Ε Ι Κοντογιώργης copy 95

Οι τελευταίες πράξεις υπονοούν ότι οι εξίσωσεις (5) και(6) είναι ισοδύναμες και έτσι υπάρχει άπειρος αριθμόςλύσεωνΓια να προσδιορίσουμε τις λύσεις του συστήματος μια απότις αρχικές εξισώσεις λύνεται ως προς μια μεταβλητή Ανγια παράδειγμα η εξίσωση (5) λύνεται ως προς Y δίνει

Y =32Xminus3

Σαν αποτέλεσμα γενικεύοντας τις λύσεις του συστήματοςέχουμε

X τυχαίο και Y =32Xminus3

Πχ για X= 4 υπονοείται ότι Y=32 middot4minus3 = 3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 96

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

6X minus12Y = 24 (7)

minus32X +3Y = 9 (8)

Πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση (8) με 4 καιπροσθέτοντας το αποτέλεσμα στην εξίσωση (7)παίρνουμε

6X minus 12Y = 24minus6X + 12Y = 36

0 = 60

Η πιο πάνω αντιλογία υπονοεί ότι δεν υπάρχει λύση τουσυστήματος εξισώσεων

Ε Ι Κοντογιώργης copy 97

3times2 Συστήματα Εξισώσεων I

1 Μ Λ

X

Y

(32)

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minusY = 1

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 98

3times2 Συστήματα Εξισώσεων II

2 Α Λ

X

Y Εξις (1)Εξις (2)Εξις (3)

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 99

3times2 Συστήματα Εξισώσεων III3 Κ

(α) ´Οταν και οι τρεις εξισώσεις είναι παράλληλες

X

Y

2X minusY =minus8

2X minusY = 2

2X minusY = 12

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 100

3times2 Συστήματα Εξισώσεων IV(β) ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ τωνεξισώσεων

X

Y

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minus2Y =minus4

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 101

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική ΑνάλυσηΣε ένα γράφημα 2 διαστάσεων ένα σύστημα mtimes2(mgt2) εξισώσεων παριστάνεται με m ευθείες ´Οπωςσυμβαίνει στα συστήματα 2times2 υπάρχουν τρίαενδεχόμενα

1 ´Ολες οι ευθείες τέμνονται στο ίδιο σημείο και έτσιυπάρχει

2 ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ των mεξισώσεων Αυτό σημαίνει ότι όλες οι ευθείες είναιπαράλληλες Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα Λ

3 Οι m εξισώσεις είναι ισοδύναμες πχ παρασταίνονται σανμια ευθεία Σε αυτή την περίπτωση υπάρχει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 102

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων ∆ιαδικασίαΑπαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής για την επίλυση ενός συστήματοςmtimes2 μπορεί να περιγραφεί ως ακολούθωςΕπιλέξτε και λύστε σύστημα με δύο εξισώσεις

1 Εάν δεν υπάρχει λύση τότε ολόκληρο το σύστημα δεν έχειλύση

2 Εάν υπάρχει μοναδική λύση που ικανοποιεί τις υπόλοιπεςmminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα έχει μία μοναδική λύση

3 Εάν η λύση είναι μοναδική αλλά δεν ικανοποιεί τιςυπόλοιπες mminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα δεν έχει λύση

4 Εάν οι 2 λύσεις είναι ισοδύναμες απάλοιψτε τη μίααπό τις δύο εξισώσεις και ξεκινήστε από την αρχήλαμβάνοντας υπόψη ένα σύστημα (mminus1)times2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 103

ΠαράδείγμαI Θεωρείστε ένα σύστημα 5times2

XminusY= 1X+2Y=minus8

3Xminus2Y= 02Xminus5Y= 11minus4X+3Y=minus1

I Η λύση των πρώτων δύο εξισώσεων δίνετε απόY =minus3 και X =minus2

I Αντικαθιστώντας τη λύση στις υπόλοιπες τρεις εξισώσειςπαίρνετε αντίστοιχα

0 = 0 11 = 11 και minus1 =minus1I Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση

X=minus2 και Y=minus3Ε Ι Κοντογιώργης copy 104

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian

Η μέθοδος απολοιφής Gaussian μετατρέπει το αρχικόσύστημα εξισώσεων σε διαγώνια μορφή επαναλαμβάνονταςστις εξισώσεις τις ακόλουθες τρεις διαδικασίες

1 Πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης μεμια θετική σταθερά

2 Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού θα προστεθεί σεάλλη εξίσωση

3 Η σειρά των εξισώσεων μπορεί να αλλάξει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 105

ΠαράδείγμαΠ Θεωρείστε το σύστημα 2times2

2X minus 3Y = 7 (Εξ 1)X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με 12 για να πάρετε

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με minus1 καιπροσθέστε την στην (Εξ 2)

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

52Y =

152 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 106

Στάδιο 3 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 25

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

Y = 3 (Εξ 2)

Στάδιο 4 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 32 και

προσθέστε την στην (Εξ 1)

X = 1 (Εξ 1)Y = 3 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 107

Π Θεωρείστε το σύστημα 2times2

5X + 20Y = 254X minus 7Y =minus26

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να εκφραστεί ως

R1 5 20 25R2 4 minus7 minus26

Η κάθετη γραμμή χρησιμοποιείται για διαχωρισμό τηςαριστερής από τη δεξιά πλευρά των εξισώσεων Το Riυπονοεί τη γραμμή (Row) i

Ε Ι Κοντογιώργης copy 108

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάζουμε τη R1 με 15 και το θέτουμε

R1larr 15R1

R1 1 4 5R2 4 minus7 minus26

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάζουμε την R1 με minus4 και τηνπροσθέτουμε στην R2 Εν συντομίαR2larrminus4R1+R2

R1 1 4 5R2 0 minus23 minus46

Στάδιο 3 R2larrminus 123R2

R1 1 4 5R2 0 1 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 109

Στάδιο 4 R1larrminus4R2+R1

R1 1 0 minus3R2 0 1 2

Το αρχικό σύστημα εξισώσεων μετατρέπεται σε διαγώνιαμορφή όπως πιο κάτω

X =minus3Y = 2

το οποίο δίνει τη λύση του συστήματος

Ε Ι Κοντογιώργης copy 110

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 I

Το σύστημα εξισώσεων 3times3 μετετρέπεται σε διαγώνιαμορφή Η μετατροπή γίνεται στήλη με στήλη από τααριστερά προς τα δεξιά

Π Θεωρήστε το σύστημα 3times3

X1 + X2 + X3 = 2X1 minus 3X2 + 2X3 = 7

4X1 minus 2X2 minus X3 = 9

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να γραφτεί ως

Ε Ι Κοντογιώργης copy 111

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 II

1 1 1 21 minus3 2 74 minus2 minus1 9

Ε Ι Κοντογιώργης copy 112

Αθροισμα με Λογάριθμους

nsumi=1

logb(i) = logb(1) + logb(2) + middot middot middot+ logb(n)

= logb(1times2times3timesmiddotmiddot middottimesn)

= logb(n)

I Το n (n παραγοντικό) δίνεται από n = 1times2timesmiddotmiddot middottimesn και0 = 1

I100sumi=1

log2(100) = log2(100) =log(100)

log(2)=

log(99)

log(2)+

2log(2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 49

Γινόμενο των ακολουθιώνIn

prodi=1xi = x1timesx2timesx3timesmiddotmiddot middottimesxn

In

prodi=1i = 1times2times3timesmiddotmiddot middottimesn= n

In

prodi=1z= ztimesztimesmiddotmiddot middottimesz= zn

I

nprodi=1

(1+

1i+1

)=(1+

12)times(1+

13)times(1+

14)times times(1+

1n )times(1+

1n+1)

=32 times

43 times

54 timesmiddotmiddot middottimes

n+1n times n+2

n+1

=n+22

Ε Ι Κοντογιώργης copy 50

Γεωμετρικές ΠροόδοιI Μια γεωμετρική πρόοδος είναι μια σειρά αριθμών όπου

κάθε όρος μετά των πρώτο υπολογίζεται από τονπολλαπλασιασμό του προηγούμενου όρου με ένασταθερό αριθμό που καλείται αναλογία

I Η σειρά1 3 9 27 81 middot middot middot

είναι μια γεωμετρική πρόοδος με πρώτο όρο το 1 καιαναλογία 3

I Η αναλογία μπορεί να είναι κλάσμα καθώς επίσης καιαρνητικός αριθμός Για παράδειγμα η γεωμετρικήπρόοδος με πρώτο όρο το 2 και αναλογία minus13 είναι

2 minus 23 +

29 minus

227 +

281 middot middot middot

Ε Ι Κοντογιώργης copy 51

I Γενικά μπορούμε να γράψουμε μια γεωμετρική πρόοδο ωςακολούθως

γεωμετρική πρόοδος a ar ar2 ar3 ar4 middot middot middot

όπου ο πρώτος όρος είναι a και η αναλογία r

I Σημαντικά θεωρήματα των γεωμετρικών προόδων (γπ)1 Ο n όρος μιας γπ δίνεται από ar(nminus1)

2 Το άθροισμα των πρώτων n όρων μιας γπ είναι

Sn =a(1minus rn)

1minus r =a(rnminus1)

rminus1 και ισχύει μόνο αν r 6= 1

I Το άθροισμα των όρων μιας γεωμετρικής προόδουονομάζεται γεωμετρική σειρά

Ε Ι Κοντογιώργης copy 52

Γεωμετρική σειρά

Sn = a+ar+ar2 +ar3 + middot middot middot+arnminus2 +arnminus1

rSn = ar+ar2 +ar3 + arnminus1 +arn

Snminus rSn = aminusarn

(1minus r)Sn = a(1minus rn)

Sn =a(1minus rn)

(1minus r) =a(rnminus1)

(rminus1)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 53

I Παράδειγμα1 Βρείτε το άθροισμα των πρώτων 10 όρων μιας γεωμετρικής

σειράς4 8 16 32

Ο πρώτος όρος είναι a= 4 και η αναλογία r = 2 καιn= 10 ´Ετσι

S10 =4(1minus210)

1minus2 = 4092

2 Θεωρείστε τη γπ4 minus8 16 minus32 64 minus128 256 minus512

Σε αυτή την περίπτωση ο πρώτος όρος είναι a= 4 ηαναλογία είναι r =minus2 και n= 8´Ετσι

S8 =4(1minus (minus2)8)

1minus (minus2)=minus340

Ε Ι Κοντογιώργης copy 54

Συνεχείς ανατοκισμός

Οι περισσότεροι τραπεζικοί λογαριασμοί και τα δάνειαυιοθετούν ανατοκισμό - εφαρμόζοντας συνεχή ανατοκισμόΘεωρείστε ένα λογαριασμό που προσφέρει τόκο με ετήσιοεπιτόκιο r (πχ 7) Εάν το επιτόκιο είναι συνεχέςσε χρονιαία βάση τότε μετά από 1 χρόνο το χρονιαίοεπιτόκιο προστίθεται στο αρχικό κεφάλαιο για νακαθορίσει ένα μεγαλύτερο κεφάλαιο τον δεύτερο χρόνο

´Ετσι κατά τη διάρκεια του δεύτερου χρόνου ολογαριασμός κερδίζει επιτόκιο πάνω στο επιτόκιοΑυτή είναι η επίδραση του ανατοκισμού που συνεχίζεταιχρόνο με το χρόνο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 55

I Με τον ετήσιο ανατοκισμό το κεφάλαιο πουσυσσωρεύεται στο λογαριασμό πολλαπλασιάζεται με

(1+ r)

´Ετσι το κεφάλαιο A θα αυξηθεί σε

A(1+ r) = A+A middot r

τον επόμενο χρόνο

I Με το πέρας και του δεύτερου χρόνου το κεφάλαιο θααυξηθεί ακόμα (1+ r) σε (1+ r)2

´Ετσι το κεφάλαιο καταλήγει σε

A(1+ r)(1+ r) = A(1+ r)2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 56

I Κατά παρόμοιο τρόπο στο τέλος του τρίτου χρόνου τοποσό θα αυξηθεί κατά (1+ r)3

I Μετά από n χρόνια το ποσό θα αυξηθεί κατά (1+ r)n

I ´Ετσι το κεφάλαιο (επένδυση) A θα αυξηθεί με συνεχήανατοκισμό σε A(1+ r)n μετά από n χρόνια

I Ο τύπος (1+ r)n εκθέτει γεωμετρική αύξηση λόγω τηςn δύναμης

Ε Ι Κοντογιώργης copy 57

ΠαραδείγματαI Εάν το επιτόκιο είναι r = 5 τότε το κεφάλαιοA= $1000 που βρίσκεται στην τράπεζα n= 20 χρόνιαθα αυξηθεί κατά

(1+ r)n = (1+005)20 = 2653 φορές

´Ετσι το ποσό θα καταλήξειA(1+ r)n = $265330

I Βρέστε το χρόνο που χρειάζεται για ένα λογαργιασμό ναδιπλασιάσει το διαθέσιμο κεφάλαιο του όταν r = 7 καιr = 10Ζητούμε να βρούμε το n έτσι ώστε

(1+ r)n = 2Ε Ι Κοντογιώργης copy 58

I Υπολογίζοντας το λογάριθμο του τελευταίου παίρνουμε

log(1+ r)n = log(2)ή n log(1+ r) = log(2)

´Ετσιn=

log2log(1+ r)

I Για r = 7 και r = 10 ο χρόνος n πουχρειάζεται για διπλασιασμό της επένδυσης υπολογίζεταισε 1024 και 727 αντίστοιχα

Ε Ι Κοντογιώργης copy 59

I Αν το επιτόκιο είναι r = 7 τότε πιο θα είναι τοσυνολικό ποσό στο λογαριασμό μετά από 205 και41 χρόνια αντίστοιχα

Μετά τα πρώτα 1025 χρόνια το ποσό A θαδιπλασιαστεί σε 2A Για τα επόμενα 1025 χρόνιατο ποσό θα ξαναδιπλασιαστεί σε 4A ´Ετσι μετά από205 χρόνια το ποσό θα αυξηθεί κατά 4 φορές

Με το πέρας ακόμα 205 χρόνων το ποσό θα αυξηθείακόμα 4 φορές σε 16 ´Ετσι μετά από 41 χρόνιατο κεφάλαιο A γίνεται 16A

Ε Ι Κοντογιώργης copy 60

Ασκήσεις και Παραδείγματα

I Υπολογίστε τη Μελλοντική Αξία (Future Value (FV)) τουκεφαλαίου A= 1500 που κερδίζει ετήσιο επιτόκιοr = 5 για n= 10 έτη

FV =A(1+ r)n = 1500(1+005)10 = 244334

I Πόσα έτη απαιτούνται για να τριπλασιαστεί ένα ποσόπου αφήνετε στην τράπεζα με επιτόκιο r = 5∆ηλαδή βρείτε το n όπου A= 1 r = 5 και FV = 3

FV =A(1+ r)n ή (1+ r)n =FVA

Ε Ι Κοντογιώργης copy 61

Υπολογίζοντας τους λογαρίθμους παίρνουμε

log(1+ r)n = log(FVA)

ή n log(1+ r) = log(FVA)

´Ετσι

n=log(FVA)

log(1+ r) =log(3)

log(105)

= 2252

Ε Ι Κοντογιώργης copy 62

I Βρείτε την παρούσα αξία A έτσι ώστε σε δέκα έτη μεσταθερό επιτόκιο r = 6 να είναι 100KΒρείτε το A όπου FV = 100000 r = 6 και n= 10

FV =A(1+ r)n ή A=FV

(1+ r)n

´Ετσι A=100000

(106)10= 5583948

I Βρείτε την ετησιοποιημένη απόδοση (AER AnnualEquivalent Rate) μιας μηνιαίας κατάθεσης με σταθερόεπιτοκίο 394 Μια τέτοια κατάθεση λαμβάνει το επιτόκιο στη λήξηΣυνεπώς κάθε μήνα ο λογαριασμός λαμβάνει

r = 0039412 = 000328

επιτόκιο που επανεπενδύεται (συνεχής ανατοκισμός)Ε Ι Κοντογιώργης copy 63

Επανεπενδύοντας το επιτόκιο κάθε μήνα στη διάρκειαενός έτους το κεφάλαιο θα αυξηθεί σε

(1+ r)12 = (1+000328)12 = 104012

´Ετσι το ΑΕΡ είναι ισοδύναμο με 004012 = 4012I Υπολογίστε το επιτόκιο ενός σταθερού λογαριασμού

κατάθεσης 7-ημερών που έχει AER επιτόκιο r = 425Θεωρείστε ρ το εβδομαδιαίο επιτόκιο

´Ετσι (1+ρ)52 = (1+00425)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 64

Παίρνοντας τους λογαρίθμους έχουμε52log(1+ρ) = log10425

ή log(1+ρ) =log10425

52

ή 1+ρ= 10( log10425

52)

Αυτό μας δίνει

ρ= 10

( log1042552

)minus1 = 008

´Ετσι το συνεχές επιτόκιο μιας επταήμερης κατάθεσης είναιρtimes52 = 41638

Εναλλακτικά (1+ρ)52 = (1+00425) δίνει

(1+ρ) =52radic10425ή ρ=

52radic10425minus = 008Ε Ι Κοντογιώργης copy 65

I Υπολογίστε την ετήσια απόδοση r έτσι ώστε A= 10000να επιστρέφει FV = 35000 σε n= 20 χρόνια

FV =A(1+ r)n ή (1+ r)n =FVA

´Ετσι

1+ r =nradic

FVA

Επομένως

r =nradic

FVA minus1 =

20radic

3500010000 minus1 = 00646 = 646

Ε Ι Κοντογιώργης copy 66

Εναλλακτικά παίρνοντας τους λογαρίθμους

log(1+ r)n = log(FVA) ή n log(1+ r) = log

(FVA)

´Ετσι

1+ r = 10(1n log

(FVA))

ή r = 10(1n log

(FVA))minus1

= 10( 120 log

(3500010000

))minus1

= 646

Ε Ι Κοντογιώργης copy 67

Γραφική Αναπαράσταση I

I Υποθέστε ότι έχουμε y= 3x+2 Καθώς έχουμε μόνο μιαδύναμη για το x πρέπει να λύσουμε γραμμική εξίσωσηκαι να σχεδιάσουμε μια ευθεία γραμμή Αρχικά θα πρέπεινα σχεδιάσουμε ένα T-chart Αυτό έχει τη μορφή

x y = 3x+2 (xy)

I Επιλέγουμε μια τιμή για το x και λύνουμε ως προς y

x y= 3x+2 (xy)minus2 minus4 (minus2minus4)0 2 (02)2 8 (28)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 68

Γραφική Αναπαράσταση II

-

6

X

Y

bull

bull

bull

I Βλέπουμε μια ευθεία με ανοδική τάση (έχοντας θετικήκλίση m= 3) καιτέμνει τον άξονα y στο σημείο y= 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 69

Γραφική Αναπαράσταση III

I Μια Τετραγωνική εξίσωση περιέχει x2 Για τηναναπαράσταση τετραγωνικών εξισώσεων χρειάζεται ναβρούμε περισσότερα από τρία σημεία στο σχεδιάγραμμα

Για παράδειγμα υποθέστε ότι y= x2minus6x+5 καιδίνεται το πιο κάτω T-chart

x y= x2minus6x+5 (xy)0 5 (05)1 0 (10)3 minus4 (3minus4)5 0 (50)6 5 (65)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 70

Γραφική Αναπαράσταση IV

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

-

6

X

Y

bull

bull

bull

bull

bull

Ε Ι Κοντογιώργης copy 71

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(1x + 2)

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(-3x + 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 72

-15

-10

-5

0

5

10

15

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(3x - 2)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 73

-20

0

20

40

60

80

100

120

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2+x)

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 74

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

1250

1500

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3+x2+x)

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x4)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 75

-25

-2

-15

-1

-05

0

05

1

15

2

25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(log(x))

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(x))

Ε Ι Κοντογιώργης copy 76

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(-x))

-5000

0

5000

10000

15000

20000

25000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(exp(x)+x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 77

Ανισότητες I

I Οι ανισότητες αποτελούνται από δύο ή τρεις αλγεβρικέςεκφράσεις που είναι συνδεδεμένες με τα σύμβολαανισότητας Τα σύμβολα αυτά είναι

lt μικρότερο τουgt μεγαλύτερο τουle μικρότερο ή ίσο τουge μεγαλύτερο ή ίσο του

I Παραδείγματα xgty yge x2 και ylt5x+1

I Το πρώτο βήμα για την αναπαράσταση ανισότητας τηςμορφής ygtx είναι να παραστήσουμε γραφικά τηνισότητα y= x

Ε Ι Κοντογιώργης copy 78

Ανισότητες II

I ygtx

Κάνετε δοκιμή με ένα σημείο να δείτε κατά πόσοικανοποιεί την ανισότητα Εάν ναι τότε σκιάστε τηνπεριοχή αυτή του σχεδιαγράμματος διαφορετικά σκιάστετην άλλη πλευρά

Ε Ι Κοντογιώργης copy 79

Ανισότητες III

I yltx

Ε Ι Κοντογιώργης copy 80

Ανισότητες IV

I yle 5x+1 και ygt5x+1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 81

Ανισότητες V

I yge x2 και yle x2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 82

Ανισότητες VI

I ygtx3 και yle x3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 83

Συστήματα Γραμμικών ΕξισώσεωνΠεριεχόμενα

1 Ε

2 Γ Α

ΑναφορέςΚεφάλαια 4 και 5FS Budnick Applied Mathematics for Business Economicsand the Social Sciences 4th edition McGraw-Hill 1993

Ε Ι Κοντογιώργης copy 84

Συστήματα Εξισώσεων

I ´Ενα σύστημα εξισώσεων συνδυάζει περισσότερες από μίαεξισώσεις

I ´Ενα σύστημα m εξισώσεων όπου κάθε εξίσωσηαποτελείται από n μεταβλητές ονομάζεται mtimesnσύστημα ή λέμε ότι έχει διαστάσεις mtimesn

I ΠαράδειγμαΠαρακάτω έχουμε ένα σύστημα 2times2

5X+10Y= 203X+4Y= 10

Οι μεταβλητές σε αυτή την περίπτωση είναι X και YΕ Ι Κοντογιώργης copy 85

Συστήματα Επίλυσης

I Το Σύστημα επίλυσης είναι μια σειρά τιμών μεταβλητώνπου ικανοποιούν το σύστημα ταυτόχρονα

I Σε μια σημειογραφική παράσταση το προηγούμενοπαράδειγμα μπορεί να γραφτεί ως εξής

S = (XY) | 5X+10Y = 20 και 3X+4Y = 10

I Το σύστημα επίλυσης μπορεί να είναι1 μηδενικό2 πεπερασμένο ή3 άπειρο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 86

2times2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική Ανάλυση

I Σε ένα δισδιάστατο γράφημα ένα σύστημα εξισώσεων2times2 αναπαρίστανται με ευθείες γραμμές Υπόρχουν τρίαενδεχόμενα

1 Οι ευθείες τέμνονται Το σημείο τομής αντιπροσωπεύει τηλύση του συστήματος εξισώσεων Αυτό το σημείοαλληλεπίδρασης είναι μια δέσμη τιμών X και Y που ικανοποιείκαι τις δύο εξισώσειςΕάν υπάρχει μόνο μια δέσμη τιμών για τις μεταβλητές που ναικανοποιεί το σύστημα εξισώσεων το σύστημα λέμε ότι έχειΜ Λ

2 Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες μεταξύ τους ∆εν έχουν κοινόσημείο Συνεπώς οι ευθείες δεν τέμνονται ποτέ Το σύστημαλέμε ότι ∆ ΛΑυτό υπονοεί ότι δεν υπάρχουν τιμές για τις μεταβλητές πουνα ικανοποιούν και τις δύο εξισώσεις Σε αυτή τηνπερίπτωση οι εξισώσεις στο σύστημα είναι Α

3 Και οι δύο εξισώσεις αναπαρίστανται ως μια κοινή ευθεία καιθεωρούνται ισοδύναμες εξισώσεις ´Ετσι το σύστημα έχειΑ Λ Αυτό συμβαίνει γιατί υπάρχει άπειροςαριθμός κοινών σημείων στις δύο γραμμές

Ε Ι Κοντογιώργης copy 87

I Π Θεωρείστε ένα σύστημα 2times22X+4Y= 203X+ Y= 10

I

X

Y

(24)

3X +Y = 10

2X +4Y = 20

0 2 4 6 8 10 12

2

4

6

8

10

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 88

I Το σημείο τομής δίνεται από το X= 2 και Y= 4Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές του X και Y στις δύοεξισώσεις δίνουν 20 = 20 και 10 = 10 αντίστοιχα

I Αυτό υποδειλώνει ότι X= 2 και Y= 4 είναι η σωστή λύση

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times23Xminus2Y= 6

minus15X+10Y=minus30

I

X

Y

(20)

(0minus3)

3X minus2Y = 6

minus15X +10Y =minus30

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 89

I Οι δύο εξισώσεις απλοποιούνται σε Xminus 23 Y= 2

Οι δύο εξισώσεις είναι ισοδύναμες και δίνουν έναπεπερασμένο αριθμό λύσεων έτσι ώστε

X= 0 Y =minus3X= 2 Y = 0X= 4 Y = 3

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times26Xminus12Y= 24

minus32X+3Y= 9

Οι εξισώσεις απλοποιούνται σεXminus2Y= 4Xminus2Y=minus6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 90

I

X

Y

(40)

(0minus2)

(minus60)

(03)

X minus2Y =minus6

X minus2Y = 4

0-0

I Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες και συνεπώς το σύστημαδεν έχει λύση ´Ετσι το σύστημα εξισώσεων είναιασύμπτωτο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 91

Περίληψη 2times2 Συστήματα Εξισώσεων∆ίνεται ένα Σύστημα Γραμμικών Εξισώσεων 2times2

Y=m1X+ c1Y=m2X+ c2

1 Υπάρχει μια στο σύστημα εάνm1 6= m2

2 ∆εν υπάρχει στο σύστημα εάνm1 = m2 και c1 6= c2

3 Υπάρχει εάνm1 = m2 και c1 = c2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 92

∆ιαδικασίες Απαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής χρησιμοποιεί πολλαπλασιασμόκαι πρόσθεση έτσι ώστε

1 Να απαλοιφεί μια από τις δύο μεταβλητές

2 Η εξίσωση που εξάγεται είναι συνάρτηση των υπόλοιπωνμεταβλητών

3 Αντικαθιστώντας την τιμή στην μεταβλητή σε μια από τιςαρχικές εξισώσεις βρίσκουμε την τιμή για τηναπολοιφθήσα μεταβλητή

Ε Ι Κοντογιώργης copy 93

ΠαραδείγματαI Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

2X +4Y = 20 (1)3X + Y = 10 (2)

Πολλαπλασιάζοντας τη δεύτερη εξίσωση με minus4 παίρνουμε

minus12X minus4Y =minus40 (3)

Προσθέτοντας την εξίσωση (1) στο (3)

2X + 4Y = 20minus12X minus 4Y = minus40minus10X = minus20

ή

X = 2 (4)Ε Ι Κοντογιώργης copy 94

Αντικαθιστώντας X= 2 στην εξίσωση (1) δίνεται2 middot2+4Y = 20 ή Y=4

´Ετσι η μοναδική λύση του συστήματος δίνεται από τοX= 2 και Y= 4 Μπορεί να επιβεβαιωθεί ότι αυτή είναι ησωστή λύση αντικαθιστώντας X= 2 και Y= 4 στηνεξίσωση (1) και (2)

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times23X minus2Y = 6 (5)

minus15X +10Y =minus30 (6)

Για την απαλοιφή της μεταβλητής X η εξίσωση (5)πολλαπλασιάζεται με 5 και το αποτέλεσμα προστίθεταιστην εξίσωση (6)

15X minus 10Y = 30minus15X + 10Y = minus30

0 = 0 Ε Ι Κοντογιώργης copy 95

Οι τελευταίες πράξεις υπονοούν ότι οι εξίσωσεις (5) και(6) είναι ισοδύναμες και έτσι υπάρχει άπειρος αριθμόςλύσεωνΓια να προσδιορίσουμε τις λύσεις του συστήματος μια απότις αρχικές εξισώσεις λύνεται ως προς μια μεταβλητή Ανγια παράδειγμα η εξίσωση (5) λύνεται ως προς Y δίνει

Y =32Xminus3

Σαν αποτέλεσμα γενικεύοντας τις λύσεις του συστήματοςέχουμε

X τυχαίο και Y =32Xminus3

Πχ για X= 4 υπονοείται ότι Y=32 middot4minus3 = 3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 96

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

6X minus12Y = 24 (7)

minus32X +3Y = 9 (8)

Πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση (8) με 4 καιπροσθέτοντας το αποτέλεσμα στην εξίσωση (7)παίρνουμε

6X minus 12Y = 24minus6X + 12Y = 36

0 = 60

Η πιο πάνω αντιλογία υπονοεί ότι δεν υπάρχει λύση τουσυστήματος εξισώσεων

Ε Ι Κοντογιώργης copy 97

3times2 Συστήματα Εξισώσεων I

1 Μ Λ

X

Y

(32)

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minusY = 1

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 98

3times2 Συστήματα Εξισώσεων II

2 Α Λ

X

Y Εξις (1)Εξις (2)Εξις (3)

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 99

3times2 Συστήματα Εξισώσεων III3 Κ

(α) ´Οταν και οι τρεις εξισώσεις είναι παράλληλες

X

Y

2X minusY =minus8

2X minusY = 2

2X minusY = 12

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 100

3times2 Συστήματα Εξισώσεων IV(β) ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ τωνεξισώσεων

X

Y

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minus2Y =minus4

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 101

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική ΑνάλυσηΣε ένα γράφημα 2 διαστάσεων ένα σύστημα mtimes2(mgt2) εξισώσεων παριστάνεται με m ευθείες ´Οπωςσυμβαίνει στα συστήματα 2times2 υπάρχουν τρίαενδεχόμενα

1 ´Ολες οι ευθείες τέμνονται στο ίδιο σημείο και έτσιυπάρχει

2 ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ των mεξισώσεων Αυτό σημαίνει ότι όλες οι ευθείες είναιπαράλληλες Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα Λ

3 Οι m εξισώσεις είναι ισοδύναμες πχ παρασταίνονται σανμια ευθεία Σε αυτή την περίπτωση υπάρχει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 102

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων ∆ιαδικασίαΑπαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής για την επίλυση ενός συστήματοςmtimes2 μπορεί να περιγραφεί ως ακολούθωςΕπιλέξτε και λύστε σύστημα με δύο εξισώσεις

1 Εάν δεν υπάρχει λύση τότε ολόκληρο το σύστημα δεν έχειλύση

2 Εάν υπάρχει μοναδική λύση που ικανοποιεί τις υπόλοιπεςmminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα έχει μία μοναδική λύση

3 Εάν η λύση είναι μοναδική αλλά δεν ικανοποιεί τιςυπόλοιπες mminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα δεν έχει λύση

4 Εάν οι 2 λύσεις είναι ισοδύναμες απάλοιψτε τη μίααπό τις δύο εξισώσεις και ξεκινήστε από την αρχήλαμβάνοντας υπόψη ένα σύστημα (mminus1)times2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 103

ΠαράδείγμαI Θεωρείστε ένα σύστημα 5times2

XminusY= 1X+2Y=minus8

3Xminus2Y= 02Xminus5Y= 11minus4X+3Y=minus1

I Η λύση των πρώτων δύο εξισώσεων δίνετε απόY =minus3 και X =minus2

I Αντικαθιστώντας τη λύση στις υπόλοιπες τρεις εξισώσειςπαίρνετε αντίστοιχα

0 = 0 11 = 11 και minus1 =minus1I Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση

X=minus2 και Y=minus3Ε Ι Κοντογιώργης copy 104

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian

Η μέθοδος απολοιφής Gaussian μετατρέπει το αρχικόσύστημα εξισώσεων σε διαγώνια μορφή επαναλαμβάνονταςστις εξισώσεις τις ακόλουθες τρεις διαδικασίες

1 Πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης μεμια θετική σταθερά

2 Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού θα προστεθεί σεάλλη εξίσωση

3 Η σειρά των εξισώσεων μπορεί να αλλάξει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 105

ΠαράδείγμαΠ Θεωρείστε το σύστημα 2times2

2X minus 3Y = 7 (Εξ 1)X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με 12 για να πάρετε

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με minus1 καιπροσθέστε την στην (Εξ 2)

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

52Y =

152 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 106

Στάδιο 3 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 25

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

Y = 3 (Εξ 2)

Στάδιο 4 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 32 και

προσθέστε την στην (Εξ 1)

X = 1 (Εξ 1)Y = 3 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 107

Π Θεωρείστε το σύστημα 2times2

5X + 20Y = 254X minus 7Y =minus26

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να εκφραστεί ως

R1 5 20 25R2 4 minus7 minus26

Η κάθετη γραμμή χρησιμοποιείται για διαχωρισμό τηςαριστερής από τη δεξιά πλευρά των εξισώσεων Το Riυπονοεί τη γραμμή (Row) i

Ε Ι Κοντογιώργης copy 108

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάζουμε τη R1 με 15 και το θέτουμε

R1larr 15R1

R1 1 4 5R2 4 minus7 minus26

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάζουμε την R1 με minus4 και τηνπροσθέτουμε στην R2 Εν συντομίαR2larrminus4R1+R2

R1 1 4 5R2 0 minus23 minus46

Στάδιο 3 R2larrminus 123R2

R1 1 4 5R2 0 1 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 109

Στάδιο 4 R1larrminus4R2+R1

R1 1 0 minus3R2 0 1 2

Το αρχικό σύστημα εξισώσεων μετατρέπεται σε διαγώνιαμορφή όπως πιο κάτω

X =minus3Y = 2

το οποίο δίνει τη λύση του συστήματος

Ε Ι Κοντογιώργης copy 110

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 I

Το σύστημα εξισώσεων 3times3 μετετρέπεται σε διαγώνιαμορφή Η μετατροπή γίνεται στήλη με στήλη από τααριστερά προς τα δεξιά

Π Θεωρήστε το σύστημα 3times3

X1 + X2 + X3 = 2X1 minus 3X2 + 2X3 = 7

4X1 minus 2X2 minus X3 = 9

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να γραφτεί ως

Ε Ι Κοντογιώργης copy 111

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 II

1 1 1 21 minus3 2 74 minus2 minus1 9

Ε Ι Κοντογιώργης copy 112

Γινόμενο των ακολουθιώνIn

prodi=1xi = x1timesx2timesx3timesmiddotmiddot middottimesxn

In

prodi=1i = 1times2times3timesmiddotmiddot middottimesn= n

In

prodi=1z= ztimesztimesmiddotmiddot middottimesz= zn

I

nprodi=1

(1+

1i+1

)=(1+

12)times(1+

13)times(1+

14)times times(1+

1n )times(1+

1n+1)

=32 times

43 times

54 timesmiddotmiddot middottimes

n+1n times n+2

n+1

=n+22

Ε Ι Κοντογιώργης copy 50

Γεωμετρικές ΠροόδοιI Μια γεωμετρική πρόοδος είναι μια σειρά αριθμών όπου

κάθε όρος μετά των πρώτο υπολογίζεται από τονπολλαπλασιασμό του προηγούμενου όρου με ένασταθερό αριθμό που καλείται αναλογία

I Η σειρά1 3 9 27 81 middot middot middot

είναι μια γεωμετρική πρόοδος με πρώτο όρο το 1 καιαναλογία 3

I Η αναλογία μπορεί να είναι κλάσμα καθώς επίσης καιαρνητικός αριθμός Για παράδειγμα η γεωμετρικήπρόοδος με πρώτο όρο το 2 και αναλογία minus13 είναι

2 minus 23 +

29 minus

227 +

281 middot middot middot

Ε Ι Κοντογιώργης copy 51

I Γενικά μπορούμε να γράψουμε μια γεωμετρική πρόοδο ωςακολούθως

γεωμετρική πρόοδος a ar ar2 ar3 ar4 middot middot middot

όπου ο πρώτος όρος είναι a και η αναλογία r

I Σημαντικά θεωρήματα των γεωμετρικών προόδων (γπ)1 Ο n όρος μιας γπ δίνεται από ar(nminus1)

2 Το άθροισμα των πρώτων n όρων μιας γπ είναι

Sn =a(1minus rn)

1minus r =a(rnminus1)

rminus1 και ισχύει μόνο αν r 6= 1

I Το άθροισμα των όρων μιας γεωμετρικής προόδουονομάζεται γεωμετρική σειρά

Ε Ι Κοντογιώργης copy 52

Γεωμετρική σειρά

Sn = a+ar+ar2 +ar3 + middot middot middot+arnminus2 +arnminus1

rSn = ar+ar2 +ar3 + arnminus1 +arn

Snminus rSn = aminusarn

(1minus r)Sn = a(1minus rn)

Sn =a(1minus rn)

(1minus r) =a(rnminus1)

(rminus1)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 53

I Παράδειγμα1 Βρείτε το άθροισμα των πρώτων 10 όρων μιας γεωμετρικής

σειράς4 8 16 32

Ο πρώτος όρος είναι a= 4 και η αναλογία r = 2 καιn= 10 ´Ετσι

S10 =4(1minus210)

1minus2 = 4092

2 Θεωρείστε τη γπ4 minus8 16 minus32 64 minus128 256 minus512

Σε αυτή την περίπτωση ο πρώτος όρος είναι a= 4 ηαναλογία είναι r =minus2 και n= 8´Ετσι

S8 =4(1minus (minus2)8)

1minus (minus2)=minus340

Ε Ι Κοντογιώργης copy 54

Συνεχείς ανατοκισμός

Οι περισσότεροι τραπεζικοί λογαριασμοί και τα δάνειαυιοθετούν ανατοκισμό - εφαρμόζοντας συνεχή ανατοκισμόΘεωρείστε ένα λογαριασμό που προσφέρει τόκο με ετήσιοεπιτόκιο r (πχ 7) Εάν το επιτόκιο είναι συνεχέςσε χρονιαία βάση τότε μετά από 1 χρόνο το χρονιαίοεπιτόκιο προστίθεται στο αρχικό κεφάλαιο για νακαθορίσει ένα μεγαλύτερο κεφάλαιο τον δεύτερο χρόνο

´Ετσι κατά τη διάρκεια του δεύτερου χρόνου ολογαριασμός κερδίζει επιτόκιο πάνω στο επιτόκιοΑυτή είναι η επίδραση του ανατοκισμού που συνεχίζεταιχρόνο με το χρόνο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 55

I Με τον ετήσιο ανατοκισμό το κεφάλαιο πουσυσσωρεύεται στο λογαριασμό πολλαπλασιάζεται με

(1+ r)

´Ετσι το κεφάλαιο A θα αυξηθεί σε

A(1+ r) = A+A middot r

τον επόμενο χρόνο

I Με το πέρας και του δεύτερου χρόνου το κεφάλαιο θααυξηθεί ακόμα (1+ r) σε (1+ r)2

´Ετσι το κεφάλαιο καταλήγει σε

A(1+ r)(1+ r) = A(1+ r)2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 56

I Κατά παρόμοιο τρόπο στο τέλος του τρίτου χρόνου τοποσό θα αυξηθεί κατά (1+ r)3

I Μετά από n χρόνια το ποσό θα αυξηθεί κατά (1+ r)n

I ´Ετσι το κεφάλαιο (επένδυση) A θα αυξηθεί με συνεχήανατοκισμό σε A(1+ r)n μετά από n χρόνια

I Ο τύπος (1+ r)n εκθέτει γεωμετρική αύξηση λόγω τηςn δύναμης

Ε Ι Κοντογιώργης copy 57

ΠαραδείγματαI Εάν το επιτόκιο είναι r = 5 τότε το κεφάλαιοA= $1000 που βρίσκεται στην τράπεζα n= 20 χρόνιαθα αυξηθεί κατά

(1+ r)n = (1+005)20 = 2653 φορές

´Ετσι το ποσό θα καταλήξειA(1+ r)n = $265330

I Βρέστε το χρόνο που χρειάζεται για ένα λογαργιασμό ναδιπλασιάσει το διαθέσιμο κεφάλαιο του όταν r = 7 καιr = 10Ζητούμε να βρούμε το n έτσι ώστε

(1+ r)n = 2Ε Ι Κοντογιώργης copy 58

I Υπολογίζοντας το λογάριθμο του τελευταίου παίρνουμε

log(1+ r)n = log(2)ή n log(1+ r) = log(2)

´Ετσιn=

log2log(1+ r)

I Για r = 7 και r = 10 ο χρόνος n πουχρειάζεται για διπλασιασμό της επένδυσης υπολογίζεταισε 1024 και 727 αντίστοιχα

Ε Ι Κοντογιώργης copy 59

I Αν το επιτόκιο είναι r = 7 τότε πιο θα είναι τοσυνολικό ποσό στο λογαριασμό μετά από 205 και41 χρόνια αντίστοιχα

Μετά τα πρώτα 1025 χρόνια το ποσό A θαδιπλασιαστεί σε 2A Για τα επόμενα 1025 χρόνιατο ποσό θα ξαναδιπλασιαστεί σε 4A ´Ετσι μετά από205 χρόνια το ποσό θα αυξηθεί κατά 4 φορές

Με το πέρας ακόμα 205 χρόνων το ποσό θα αυξηθείακόμα 4 φορές σε 16 ´Ετσι μετά από 41 χρόνιατο κεφάλαιο A γίνεται 16A

Ε Ι Κοντογιώργης copy 60

Ασκήσεις και Παραδείγματα

I Υπολογίστε τη Μελλοντική Αξία (Future Value (FV)) τουκεφαλαίου A= 1500 που κερδίζει ετήσιο επιτόκιοr = 5 για n= 10 έτη

FV =A(1+ r)n = 1500(1+005)10 = 244334

I Πόσα έτη απαιτούνται για να τριπλασιαστεί ένα ποσόπου αφήνετε στην τράπεζα με επιτόκιο r = 5∆ηλαδή βρείτε το n όπου A= 1 r = 5 και FV = 3

FV =A(1+ r)n ή (1+ r)n =FVA

Ε Ι Κοντογιώργης copy 61

Υπολογίζοντας τους λογαρίθμους παίρνουμε

log(1+ r)n = log(FVA)

ή n log(1+ r) = log(FVA)

´Ετσι

n=log(FVA)

log(1+ r) =log(3)

log(105)

= 2252

Ε Ι Κοντογιώργης copy 62

I Βρείτε την παρούσα αξία A έτσι ώστε σε δέκα έτη μεσταθερό επιτόκιο r = 6 να είναι 100KΒρείτε το A όπου FV = 100000 r = 6 και n= 10

FV =A(1+ r)n ή A=FV

(1+ r)n

´Ετσι A=100000

(106)10= 5583948

I Βρείτε την ετησιοποιημένη απόδοση (AER AnnualEquivalent Rate) μιας μηνιαίας κατάθεσης με σταθερόεπιτοκίο 394 Μια τέτοια κατάθεση λαμβάνει το επιτόκιο στη λήξηΣυνεπώς κάθε μήνα ο λογαριασμός λαμβάνει

r = 0039412 = 000328

επιτόκιο που επανεπενδύεται (συνεχής ανατοκισμός)Ε Ι Κοντογιώργης copy 63

Επανεπενδύοντας το επιτόκιο κάθε μήνα στη διάρκειαενός έτους το κεφάλαιο θα αυξηθεί σε

(1+ r)12 = (1+000328)12 = 104012

´Ετσι το ΑΕΡ είναι ισοδύναμο με 004012 = 4012I Υπολογίστε το επιτόκιο ενός σταθερού λογαριασμού

κατάθεσης 7-ημερών που έχει AER επιτόκιο r = 425Θεωρείστε ρ το εβδομαδιαίο επιτόκιο

´Ετσι (1+ρ)52 = (1+00425)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 64

Παίρνοντας τους λογαρίθμους έχουμε52log(1+ρ) = log10425

ή log(1+ρ) =log10425

52

ή 1+ρ= 10( log10425

52)

Αυτό μας δίνει

ρ= 10

( log1042552

)minus1 = 008

´Ετσι το συνεχές επιτόκιο μιας επταήμερης κατάθεσης είναιρtimes52 = 41638

Εναλλακτικά (1+ρ)52 = (1+00425) δίνει

(1+ρ) =52radic10425ή ρ=

52radic10425minus = 008Ε Ι Κοντογιώργης copy 65

I Υπολογίστε την ετήσια απόδοση r έτσι ώστε A= 10000να επιστρέφει FV = 35000 σε n= 20 χρόνια

FV =A(1+ r)n ή (1+ r)n =FVA

´Ετσι

1+ r =nradic

FVA

Επομένως

r =nradic

FVA minus1 =

20radic

3500010000 minus1 = 00646 = 646

Ε Ι Κοντογιώργης copy 66

Εναλλακτικά παίρνοντας τους λογαρίθμους

log(1+ r)n = log(FVA) ή n log(1+ r) = log

(FVA)

´Ετσι

1+ r = 10(1n log

(FVA))

ή r = 10(1n log

(FVA))minus1

= 10( 120 log

(3500010000

))minus1

= 646

Ε Ι Κοντογιώργης copy 67

Γραφική Αναπαράσταση I

I Υποθέστε ότι έχουμε y= 3x+2 Καθώς έχουμε μόνο μιαδύναμη για το x πρέπει να λύσουμε γραμμική εξίσωσηκαι να σχεδιάσουμε μια ευθεία γραμμή Αρχικά θα πρέπεινα σχεδιάσουμε ένα T-chart Αυτό έχει τη μορφή

x y = 3x+2 (xy)

I Επιλέγουμε μια τιμή για το x και λύνουμε ως προς y

x y= 3x+2 (xy)minus2 minus4 (minus2minus4)0 2 (02)2 8 (28)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 68

Γραφική Αναπαράσταση II

-

6

X

Y

bull

bull

bull

I Βλέπουμε μια ευθεία με ανοδική τάση (έχοντας θετικήκλίση m= 3) καιτέμνει τον άξονα y στο σημείο y= 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 69

Γραφική Αναπαράσταση III

I Μια Τετραγωνική εξίσωση περιέχει x2 Για τηναναπαράσταση τετραγωνικών εξισώσεων χρειάζεται ναβρούμε περισσότερα από τρία σημεία στο σχεδιάγραμμα

Για παράδειγμα υποθέστε ότι y= x2minus6x+5 καιδίνεται το πιο κάτω T-chart

x y= x2minus6x+5 (xy)0 5 (05)1 0 (10)3 minus4 (3minus4)5 0 (50)6 5 (65)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 70

Γραφική Αναπαράσταση IV

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

-

6

X

Y

bull

bull

bull

bull

bull

Ε Ι Κοντογιώργης copy 71

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(1x + 2)

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(-3x + 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 72

-15

-10

-5

0

5

10

15

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(3x - 2)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 73

-20

0

20

40

60

80

100

120

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2+x)

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 74

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

1250

1500

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3+x2+x)

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x4)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 75

-25

-2

-15

-1

-05

0

05

1

15

2

25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(log(x))

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(x))

Ε Ι Κοντογιώργης copy 76

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(-x))

-5000

0

5000

10000

15000

20000

25000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(exp(x)+x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 77

Ανισότητες I

I Οι ανισότητες αποτελούνται από δύο ή τρεις αλγεβρικέςεκφράσεις που είναι συνδεδεμένες με τα σύμβολαανισότητας Τα σύμβολα αυτά είναι

lt μικρότερο τουgt μεγαλύτερο τουle μικρότερο ή ίσο τουge μεγαλύτερο ή ίσο του

I Παραδείγματα xgty yge x2 και ylt5x+1

I Το πρώτο βήμα για την αναπαράσταση ανισότητας τηςμορφής ygtx είναι να παραστήσουμε γραφικά τηνισότητα y= x

Ε Ι Κοντογιώργης copy 78

Ανισότητες II

I ygtx

Κάνετε δοκιμή με ένα σημείο να δείτε κατά πόσοικανοποιεί την ανισότητα Εάν ναι τότε σκιάστε τηνπεριοχή αυτή του σχεδιαγράμματος διαφορετικά σκιάστετην άλλη πλευρά

Ε Ι Κοντογιώργης copy 79

Ανισότητες III

I yltx

Ε Ι Κοντογιώργης copy 80

Ανισότητες IV

I yle 5x+1 και ygt5x+1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 81

Ανισότητες V

I yge x2 και yle x2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 82

Ανισότητες VI

I ygtx3 και yle x3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 83

Συστήματα Γραμμικών ΕξισώσεωνΠεριεχόμενα

1 Ε

2 Γ Α

ΑναφορέςΚεφάλαια 4 και 5FS Budnick Applied Mathematics for Business Economicsand the Social Sciences 4th edition McGraw-Hill 1993

Ε Ι Κοντογιώργης copy 84

Συστήματα Εξισώσεων

I ´Ενα σύστημα εξισώσεων συνδυάζει περισσότερες από μίαεξισώσεις

I ´Ενα σύστημα m εξισώσεων όπου κάθε εξίσωσηαποτελείται από n μεταβλητές ονομάζεται mtimesnσύστημα ή λέμε ότι έχει διαστάσεις mtimesn

I ΠαράδειγμαΠαρακάτω έχουμε ένα σύστημα 2times2

5X+10Y= 203X+4Y= 10

Οι μεταβλητές σε αυτή την περίπτωση είναι X και YΕ Ι Κοντογιώργης copy 85

Συστήματα Επίλυσης

I Το Σύστημα επίλυσης είναι μια σειρά τιμών μεταβλητώνπου ικανοποιούν το σύστημα ταυτόχρονα

I Σε μια σημειογραφική παράσταση το προηγούμενοπαράδειγμα μπορεί να γραφτεί ως εξής

S = (XY) | 5X+10Y = 20 και 3X+4Y = 10

I Το σύστημα επίλυσης μπορεί να είναι1 μηδενικό2 πεπερασμένο ή3 άπειρο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 86

2times2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική Ανάλυση

I Σε ένα δισδιάστατο γράφημα ένα σύστημα εξισώσεων2times2 αναπαρίστανται με ευθείες γραμμές Υπόρχουν τρίαενδεχόμενα

1 Οι ευθείες τέμνονται Το σημείο τομής αντιπροσωπεύει τηλύση του συστήματος εξισώσεων Αυτό το σημείοαλληλεπίδρασης είναι μια δέσμη τιμών X και Y που ικανοποιείκαι τις δύο εξισώσειςΕάν υπάρχει μόνο μια δέσμη τιμών για τις μεταβλητές που ναικανοποιεί το σύστημα εξισώσεων το σύστημα λέμε ότι έχειΜ Λ

2 Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες μεταξύ τους ∆εν έχουν κοινόσημείο Συνεπώς οι ευθείες δεν τέμνονται ποτέ Το σύστημαλέμε ότι ∆ ΛΑυτό υπονοεί ότι δεν υπάρχουν τιμές για τις μεταβλητές πουνα ικανοποιούν και τις δύο εξισώσεις Σε αυτή τηνπερίπτωση οι εξισώσεις στο σύστημα είναι Α

3 Και οι δύο εξισώσεις αναπαρίστανται ως μια κοινή ευθεία καιθεωρούνται ισοδύναμες εξισώσεις ´Ετσι το σύστημα έχειΑ Λ Αυτό συμβαίνει γιατί υπάρχει άπειροςαριθμός κοινών σημείων στις δύο γραμμές

Ε Ι Κοντογιώργης copy 87

I Π Θεωρείστε ένα σύστημα 2times22X+4Y= 203X+ Y= 10

I

X

Y

(24)

3X +Y = 10

2X +4Y = 20

0 2 4 6 8 10 12

2

4

6

8

10

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 88

I Το σημείο τομής δίνεται από το X= 2 και Y= 4Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές του X και Y στις δύοεξισώσεις δίνουν 20 = 20 και 10 = 10 αντίστοιχα

I Αυτό υποδειλώνει ότι X= 2 και Y= 4 είναι η σωστή λύση

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times23Xminus2Y= 6

minus15X+10Y=minus30

I

X

Y

(20)

(0minus3)

3X minus2Y = 6

minus15X +10Y =minus30

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 89

I Οι δύο εξισώσεις απλοποιούνται σε Xminus 23 Y= 2

Οι δύο εξισώσεις είναι ισοδύναμες και δίνουν έναπεπερασμένο αριθμό λύσεων έτσι ώστε

X= 0 Y =minus3X= 2 Y = 0X= 4 Y = 3

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times26Xminus12Y= 24

minus32X+3Y= 9

Οι εξισώσεις απλοποιούνται σεXminus2Y= 4Xminus2Y=minus6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 90

I

X

Y

(40)

(0minus2)

(minus60)

(03)

X minus2Y =minus6

X minus2Y = 4

0-0

I Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες και συνεπώς το σύστημαδεν έχει λύση ´Ετσι το σύστημα εξισώσεων είναιασύμπτωτο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 91

Περίληψη 2times2 Συστήματα Εξισώσεων∆ίνεται ένα Σύστημα Γραμμικών Εξισώσεων 2times2

Y=m1X+ c1Y=m2X+ c2

1 Υπάρχει μια στο σύστημα εάνm1 6= m2

2 ∆εν υπάρχει στο σύστημα εάνm1 = m2 και c1 6= c2

3 Υπάρχει εάνm1 = m2 και c1 = c2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 92

∆ιαδικασίες Απαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής χρησιμοποιεί πολλαπλασιασμόκαι πρόσθεση έτσι ώστε

1 Να απαλοιφεί μια από τις δύο μεταβλητές

2 Η εξίσωση που εξάγεται είναι συνάρτηση των υπόλοιπωνμεταβλητών

3 Αντικαθιστώντας την τιμή στην μεταβλητή σε μια από τιςαρχικές εξισώσεις βρίσκουμε την τιμή για τηναπολοιφθήσα μεταβλητή

Ε Ι Κοντογιώργης copy 93

ΠαραδείγματαI Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

2X +4Y = 20 (1)3X + Y = 10 (2)

Πολλαπλασιάζοντας τη δεύτερη εξίσωση με minus4 παίρνουμε

minus12X minus4Y =minus40 (3)

Προσθέτοντας την εξίσωση (1) στο (3)

2X + 4Y = 20minus12X minus 4Y = minus40minus10X = minus20

ή

X = 2 (4)Ε Ι Κοντογιώργης copy 94

Αντικαθιστώντας X= 2 στην εξίσωση (1) δίνεται2 middot2+4Y = 20 ή Y=4

´Ετσι η μοναδική λύση του συστήματος δίνεται από τοX= 2 και Y= 4 Μπορεί να επιβεβαιωθεί ότι αυτή είναι ησωστή λύση αντικαθιστώντας X= 2 και Y= 4 στηνεξίσωση (1) και (2)

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times23X minus2Y = 6 (5)

minus15X +10Y =minus30 (6)

Για την απαλοιφή της μεταβλητής X η εξίσωση (5)πολλαπλασιάζεται με 5 και το αποτέλεσμα προστίθεταιστην εξίσωση (6)

15X minus 10Y = 30minus15X + 10Y = minus30

0 = 0 Ε Ι Κοντογιώργης copy 95

Οι τελευταίες πράξεις υπονοούν ότι οι εξίσωσεις (5) και(6) είναι ισοδύναμες και έτσι υπάρχει άπειρος αριθμόςλύσεωνΓια να προσδιορίσουμε τις λύσεις του συστήματος μια απότις αρχικές εξισώσεις λύνεται ως προς μια μεταβλητή Ανγια παράδειγμα η εξίσωση (5) λύνεται ως προς Y δίνει

Y =32Xminus3

Σαν αποτέλεσμα γενικεύοντας τις λύσεις του συστήματοςέχουμε

X τυχαίο και Y =32Xminus3

Πχ για X= 4 υπονοείται ότι Y=32 middot4minus3 = 3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 96

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

6X minus12Y = 24 (7)

minus32X +3Y = 9 (8)

Πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση (8) με 4 καιπροσθέτοντας το αποτέλεσμα στην εξίσωση (7)παίρνουμε

6X minus 12Y = 24minus6X + 12Y = 36

0 = 60

Η πιο πάνω αντιλογία υπονοεί ότι δεν υπάρχει λύση τουσυστήματος εξισώσεων

Ε Ι Κοντογιώργης copy 97

3times2 Συστήματα Εξισώσεων I

1 Μ Λ

X

Y

(32)

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minusY = 1

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 98

3times2 Συστήματα Εξισώσεων II

2 Α Λ

X

Y Εξις (1)Εξις (2)Εξις (3)

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 99

3times2 Συστήματα Εξισώσεων III3 Κ

(α) ´Οταν και οι τρεις εξισώσεις είναι παράλληλες

X

Y

2X minusY =minus8

2X minusY = 2

2X minusY = 12

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 100

3times2 Συστήματα Εξισώσεων IV(β) ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ τωνεξισώσεων

X

Y

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minus2Y =minus4

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 101

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική ΑνάλυσηΣε ένα γράφημα 2 διαστάσεων ένα σύστημα mtimes2(mgt2) εξισώσεων παριστάνεται με m ευθείες ´Οπωςσυμβαίνει στα συστήματα 2times2 υπάρχουν τρίαενδεχόμενα

1 ´Ολες οι ευθείες τέμνονται στο ίδιο σημείο και έτσιυπάρχει

2 ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ των mεξισώσεων Αυτό σημαίνει ότι όλες οι ευθείες είναιπαράλληλες Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα Λ

3 Οι m εξισώσεις είναι ισοδύναμες πχ παρασταίνονται σανμια ευθεία Σε αυτή την περίπτωση υπάρχει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 102

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων ∆ιαδικασίαΑπαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής για την επίλυση ενός συστήματοςmtimes2 μπορεί να περιγραφεί ως ακολούθωςΕπιλέξτε και λύστε σύστημα με δύο εξισώσεις

1 Εάν δεν υπάρχει λύση τότε ολόκληρο το σύστημα δεν έχειλύση

2 Εάν υπάρχει μοναδική λύση που ικανοποιεί τις υπόλοιπεςmminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα έχει μία μοναδική λύση

3 Εάν η λύση είναι μοναδική αλλά δεν ικανοποιεί τιςυπόλοιπες mminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα δεν έχει λύση

4 Εάν οι 2 λύσεις είναι ισοδύναμες απάλοιψτε τη μίααπό τις δύο εξισώσεις και ξεκινήστε από την αρχήλαμβάνοντας υπόψη ένα σύστημα (mminus1)times2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 103

ΠαράδείγμαI Θεωρείστε ένα σύστημα 5times2

XminusY= 1X+2Y=minus8

3Xminus2Y= 02Xminus5Y= 11minus4X+3Y=minus1

I Η λύση των πρώτων δύο εξισώσεων δίνετε απόY =minus3 και X =minus2

I Αντικαθιστώντας τη λύση στις υπόλοιπες τρεις εξισώσειςπαίρνετε αντίστοιχα

0 = 0 11 = 11 και minus1 =minus1I Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση

X=minus2 και Y=minus3Ε Ι Κοντογιώργης copy 104

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian

Η μέθοδος απολοιφής Gaussian μετατρέπει το αρχικόσύστημα εξισώσεων σε διαγώνια μορφή επαναλαμβάνονταςστις εξισώσεις τις ακόλουθες τρεις διαδικασίες

1 Πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης μεμια θετική σταθερά

2 Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού θα προστεθεί σεάλλη εξίσωση

3 Η σειρά των εξισώσεων μπορεί να αλλάξει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 105

ΠαράδείγμαΠ Θεωρείστε το σύστημα 2times2

2X minus 3Y = 7 (Εξ 1)X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με 12 για να πάρετε

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με minus1 καιπροσθέστε την στην (Εξ 2)

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

52Y =

152 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 106

Στάδιο 3 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 25

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

Y = 3 (Εξ 2)

Στάδιο 4 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 32 και

προσθέστε την στην (Εξ 1)

X = 1 (Εξ 1)Y = 3 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 107

Π Θεωρείστε το σύστημα 2times2

5X + 20Y = 254X minus 7Y =minus26

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να εκφραστεί ως

R1 5 20 25R2 4 minus7 minus26

Η κάθετη γραμμή χρησιμοποιείται για διαχωρισμό τηςαριστερής από τη δεξιά πλευρά των εξισώσεων Το Riυπονοεί τη γραμμή (Row) i

Ε Ι Κοντογιώργης copy 108

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάζουμε τη R1 με 15 και το θέτουμε

R1larr 15R1

R1 1 4 5R2 4 minus7 minus26

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάζουμε την R1 με minus4 και τηνπροσθέτουμε στην R2 Εν συντομίαR2larrminus4R1+R2

R1 1 4 5R2 0 minus23 minus46

Στάδιο 3 R2larrminus 123R2

R1 1 4 5R2 0 1 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 109

Στάδιο 4 R1larrminus4R2+R1

R1 1 0 minus3R2 0 1 2

Το αρχικό σύστημα εξισώσεων μετατρέπεται σε διαγώνιαμορφή όπως πιο κάτω

X =minus3Y = 2

το οποίο δίνει τη λύση του συστήματος

Ε Ι Κοντογιώργης copy 110

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 I

Το σύστημα εξισώσεων 3times3 μετετρέπεται σε διαγώνιαμορφή Η μετατροπή γίνεται στήλη με στήλη από τααριστερά προς τα δεξιά

Π Θεωρήστε το σύστημα 3times3

X1 + X2 + X3 = 2X1 minus 3X2 + 2X3 = 7

4X1 minus 2X2 minus X3 = 9

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να γραφτεί ως

Ε Ι Κοντογιώργης copy 111

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 II

1 1 1 21 minus3 2 74 minus2 minus1 9

Ε Ι Κοντογιώργης copy 112

Γεωμετρικές ΠροόδοιI Μια γεωμετρική πρόοδος είναι μια σειρά αριθμών όπου

κάθε όρος μετά των πρώτο υπολογίζεται από τονπολλαπλασιασμό του προηγούμενου όρου με ένασταθερό αριθμό που καλείται αναλογία

I Η σειρά1 3 9 27 81 middot middot middot

είναι μια γεωμετρική πρόοδος με πρώτο όρο το 1 καιαναλογία 3

I Η αναλογία μπορεί να είναι κλάσμα καθώς επίσης καιαρνητικός αριθμός Για παράδειγμα η γεωμετρικήπρόοδος με πρώτο όρο το 2 και αναλογία minus13 είναι

2 minus 23 +

29 minus

227 +

281 middot middot middot

Ε Ι Κοντογιώργης copy 51

I Γενικά μπορούμε να γράψουμε μια γεωμετρική πρόοδο ωςακολούθως

γεωμετρική πρόοδος a ar ar2 ar3 ar4 middot middot middot

όπου ο πρώτος όρος είναι a και η αναλογία r

I Σημαντικά θεωρήματα των γεωμετρικών προόδων (γπ)1 Ο n όρος μιας γπ δίνεται από ar(nminus1)

2 Το άθροισμα των πρώτων n όρων μιας γπ είναι

Sn =a(1minus rn)

1minus r =a(rnminus1)

rminus1 και ισχύει μόνο αν r 6= 1

I Το άθροισμα των όρων μιας γεωμετρικής προόδουονομάζεται γεωμετρική σειρά

Ε Ι Κοντογιώργης copy 52

Γεωμετρική σειρά

Sn = a+ar+ar2 +ar3 + middot middot middot+arnminus2 +arnminus1

rSn = ar+ar2 +ar3 + arnminus1 +arn

Snminus rSn = aminusarn

(1minus r)Sn = a(1minus rn)

Sn =a(1minus rn)

(1minus r) =a(rnminus1)

(rminus1)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 53

I Παράδειγμα1 Βρείτε το άθροισμα των πρώτων 10 όρων μιας γεωμετρικής

σειράς4 8 16 32

Ο πρώτος όρος είναι a= 4 και η αναλογία r = 2 καιn= 10 ´Ετσι

S10 =4(1minus210)

1minus2 = 4092

2 Θεωρείστε τη γπ4 minus8 16 minus32 64 minus128 256 minus512

Σε αυτή την περίπτωση ο πρώτος όρος είναι a= 4 ηαναλογία είναι r =minus2 και n= 8´Ετσι

S8 =4(1minus (minus2)8)

1minus (minus2)=minus340

Ε Ι Κοντογιώργης copy 54

Συνεχείς ανατοκισμός

Οι περισσότεροι τραπεζικοί λογαριασμοί και τα δάνειαυιοθετούν ανατοκισμό - εφαρμόζοντας συνεχή ανατοκισμόΘεωρείστε ένα λογαριασμό που προσφέρει τόκο με ετήσιοεπιτόκιο r (πχ 7) Εάν το επιτόκιο είναι συνεχέςσε χρονιαία βάση τότε μετά από 1 χρόνο το χρονιαίοεπιτόκιο προστίθεται στο αρχικό κεφάλαιο για νακαθορίσει ένα μεγαλύτερο κεφάλαιο τον δεύτερο χρόνο

´Ετσι κατά τη διάρκεια του δεύτερου χρόνου ολογαριασμός κερδίζει επιτόκιο πάνω στο επιτόκιοΑυτή είναι η επίδραση του ανατοκισμού που συνεχίζεταιχρόνο με το χρόνο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 55

I Με τον ετήσιο ανατοκισμό το κεφάλαιο πουσυσσωρεύεται στο λογαριασμό πολλαπλασιάζεται με

(1+ r)

´Ετσι το κεφάλαιο A θα αυξηθεί σε

A(1+ r) = A+A middot r

τον επόμενο χρόνο

I Με το πέρας και του δεύτερου χρόνου το κεφάλαιο θααυξηθεί ακόμα (1+ r) σε (1+ r)2

´Ετσι το κεφάλαιο καταλήγει σε

A(1+ r)(1+ r) = A(1+ r)2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 56

I Κατά παρόμοιο τρόπο στο τέλος του τρίτου χρόνου τοποσό θα αυξηθεί κατά (1+ r)3

I Μετά από n χρόνια το ποσό θα αυξηθεί κατά (1+ r)n

I ´Ετσι το κεφάλαιο (επένδυση) A θα αυξηθεί με συνεχήανατοκισμό σε A(1+ r)n μετά από n χρόνια

I Ο τύπος (1+ r)n εκθέτει γεωμετρική αύξηση λόγω τηςn δύναμης

Ε Ι Κοντογιώργης copy 57

ΠαραδείγματαI Εάν το επιτόκιο είναι r = 5 τότε το κεφάλαιοA= $1000 που βρίσκεται στην τράπεζα n= 20 χρόνιαθα αυξηθεί κατά

(1+ r)n = (1+005)20 = 2653 φορές

´Ετσι το ποσό θα καταλήξειA(1+ r)n = $265330

I Βρέστε το χρόνο που χρειάζεται για ένα λογαργιασμό ναδιπλασιάσει το διαθέσιμο κεφάλαιο του όταν r = 7 καιr = 10Ζητούμε να βρούμε το n έτσι ώστε

(1+ r)n = 2Ε Ι Κοντογιώργης copy 58

I Υπολογίζοντας το λογάριθμο του τελευταίου παίρνουμε

log(1+ r)n = log(2)ή n log(1+ r) = log(2)

´Ετσιn=

log2log(1+ r)

I Για r = 7 και r = 10 ο χρόνος n πουχρειάζεται για διπλασιασμό της επένδυσης υπολογίζεταισε 1024 και 727 αντίστοιχα

Ε Ι Κοντογιώργης copy 59

I Αν το επιτόκιο είναι r = 7 τότε πιο θα είναι τοσυνολικό ποσό στο λογαριασμό μετά από 205 και41 χρόνια αντίστοιχα

Μετά τα πρώτα 1025 χρόνια το ποσό A θαδιπλασιαστεί σε 2A Για τα επόμενα 1025 χρόνιατο ποσό θα ξαναδιπλασιαστεί σε 4A ´Ετσι μετά από205 χρόνια το ποσό θα αυξηθεί κατά 4 φορές

Με το πέρας ακόμα 205 χρόνων το ποσό θα αυξηθείακόμα 4 φορές σε 16 ´Ετσι μετά από 41 χρόνιατο κεφάλαιο A γίνεται 16A

Ε Ι Κοντογιώργης copy 60

Ασκήσεις και Παραδείγματα

I Υπολογίστε τη Μελλοντική Αξία (Future Value (FV)) τουκεφαλαίου A= 1500 που κερδίζει ετήσιο επιτόκιοr = 5 για n= 10 έτη

FV =A(1+ r)n = 1500(1+005)10 = 244334

I Πόσα έτη απαιτούνται για να τριπλασιαστεί ένα ποσόπου αφήνετε στην τράπεζα με επιτόκιο r = 5∆ηλαδή βρείτε το n όπου A= 1 r = 5 και FV = 3

FV =A(1+ r)n ή (1+ r)n =FVA

Ε Ι Κοντογιώργης copy 61

Υπολογίζοντας τους λογαρίθμους παίρνουμε

log(1+ r)n = log(FVA)

ή n log(1+ r) = log(FVA)

´Ετσι

n=log(FVA)

log(1+ r) =log(3)

log(105)

= 2252

Ε Ι Κοντογιώργης copy 62

I Βρείτε την παρούσα αξία A έτσι ώστε σε δέκα έτη μεσταθερό επιτόκιο r = 6 να είναι 100KΒρείτε το A όπου FV = 100000 r = 6 και n= 10

FV =A(1+ r)n ή A=FV

(1+ r)n

´Ετσι A=100000

(106)10= 5583948

I Βρείτε την ετησιοποιημένη απόδοση (AER AnnualEquivalent Rate) μιας μηνιαίας κατάθεσης με σταθερόεπιτοκίο 394 Μια τέτοια κατάθεση λαμβάνει το επιτόκιο στη λήξηΣυνεπώς κάθε μήνα ο λογαριασμός λαμβάνει

r = 0039412 = 000328

επιτόκιο που επανεπενδύεται (συνεχής ανατοκισμός)Ε Ι Κοντογιώργης copy 63

Επανεπενδύοντας το επιτόκιο κάθε μήνα στη διάρκειαενός έτους το κεφάλαιο θα αυξηθεί σε

(1+ r)12 = (1+000328)12 = 104012

´Ετσι το ΑΕΡ είναι ισοδύναμο με 004012 = 4012I Υπολογίστε το επιτόκιο ενός σταθερού λογαριασμού

κατάθεσης 7-ημερών που έχει AER επιτόκιο r = 425Θεωρείστε ρ το εβδομαδιαίο επιτόκιο

´Ετσι (1+ρ)52 = (1+00425)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 64

Παίρνοντας τους λογαρίθμους έχουμε52log(1+ρ) = log10425

ή log(1+ρ) =log10425

52

ή 1+ρ= 10( log10425

52)

Αυτό μας δίνει

ρ= 10

( log1042552

)minus1 = 008

´Ετσι το συνεχές επιτόκιο μιας επταήμερης κατάθεσης είναιρtimes52 = 41638

Εναλλακτικά (1+ρ)52 = (1+00425) δίνει

(1+ρ) =52radic10425ή ρ=

52radic10425minus = 008Ε Ι Κοντογιώργης copy 65

I Υπολογίστε την ετήσια απόδοση r έτσι ώστε A= 10000να επιστρέφει FV = 35000 σε n= 20 χρόνια

FV =A(1+ r)n ή (1+ r)n =FVA

´Ετσι

1+ r =nradic

FVA

Επομένως

r =nradic

FVA minus1 =

20radic

3500010000 minus1 = 00646 = 646

Ε Ι Κοντογιώργης copy 66

Εναλλακτικά παίρνοντας τους λογαρίθμους

log(1+ r)n = log(FVA) ή n log(1+ r) = log

(FVA)

´Ετσι

1+ r = 10(1n log

(FVA))

ή r = 10(1n log

(FVA))minus1

= 10( 120 log

(3500010000

))minus1

= 646

Ε Ι Κοντογιώργης copy 67

Γραφική Αναπαράσταση I

I Υποθέστε ότι έχουμε y= 3x+2 Καθώς έχουμε μόνο μιαδύναμη για το x πρέπει να λύσουμε γραμμική εξίσωσηκαι να σχεδιάσουμε μια ευθεία γραμμή Αρχικά θα πρέπεινα σχεδιάσουμε ένα T-chart Αυτό έχει τη μορφή

x y = 3x+2 (xy)

I Επιλέγουμε μια τιμή για το x και λύνουμε ως προς y

x y= 3x+2 (xy)minus2 minus4 (minus2minus4)0 2 (02)2 8 (28)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 68

Γραφική Αναπαράσταση II

-

6

X

Y

bull

bull

bull

I Βλέπουμε μια ευθεία με ανοδική τάση (έχοντας θετικήκλίση m= 3) καιτέμνει τον άξονα y στο σημείο y= 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 69

Γραφική Αναπαράσταση III

I Μια Τετραγωνική εξίσωση περιέχει x2 Για τηναναπαράσταση τετραγωνικών εξισώσεων χρειάζεται ναβρούμε περισσότερα από τρία σημεία στο σχεδιάγραμμα

Για παράδειγμα υποθέστε ότι y= x2minus6x+5 καιδίνεται το πιο κάτω T-chart

x y= x2minus6x+5 (xy)0 5 (05)1 0 (10)3 minus4 (3minus4)5 0 (50)6 5 (65)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 70

Γραφική Αναπαράσταση IV

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

-

6

X

Y

bull

bull

bull

bull

bull

Ε Ι Κοντογιώργης copy 71

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(1x + 2)

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(-3x + 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 72

-15

-10

-5

0

5

10

15

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(3x - 2)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 73

-20

0

20

40

60

80

100

120

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2+x)

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 74

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

1250

1500

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3+x2+x)

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x4)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 75

-25

-2

-15

-1

-05

0

05

1

15

2

25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(log(x))

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(x))

Ε Ι Κοντογιώργης copy 76

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(-x))

-5000

0

5000

10000

15000

20000

25000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(exp(x)+x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 77

Ανισότητες I

I Οι ανισότητες αποτελούνται από δύο ή τρεις αλγεβρικέςεκφράσεις που είναι συνδεδεμένες με τα σύμβολαανισότητας Τα σύμβολα αυτά είναι

lt μικρότερο τουgt μεγαλύτερο τουle μικρότερο ή ίσο τουge μεγαλύτερο ή ίσο του

I Παραδείγματα xgty yge x2 και ylt5x+1

I Το πρώτο βήμα για την αναπαράσταση ανισότητας τηςμορφής ygtx είναι να παραστήσουμε γραφικά τηνισότητα y= x

Ε Ι Κοντογιώργης copy 78

Ανισότητες II

I ygtx

Κάνετε δοκιμή με ένα σημείο να δείτε κατά πόσοικανοποιεί την ανισότητα Εάν ναι τότε σκιάστε τηνπεριοχή αυτή του σχεδιαγράμματος διαφορετικά σκιάστετην άλλη πλευρά

Ε Ι Κοντογιώργης copy 79

Ανισότητες III

I yltx

Ε Ι Κοντογιώργης copy 80

Ανισότητες IV

I yle 5x+1 και ygt5x+1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 81

Ανισότητες V

I yge x2 και yle x2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 82

Ανισότητες VI

I ygtx3 και yle x3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 83

Συστήματα Γραμμικών ΕξισώσεωνΠεριεχόμενα

1 Ε

2 Γ Α

ΑναφορέςΚεφάλαια 4 και 5FS Budnick Applied Mathematics for Business Economicsand the Social Sciences 4th edition McGraw-Hill 1993

Ε Ι Κοντογιώργης copy 84

Συστήματα Εξισώσεων

I ´Ενα σύστημα εξισώσεων συνδυάζει περισσότερες από μίαεξισώσεις

I ´Ενα σύστημα m εξισώσεων όπου κάθε εξίσωσηαποτελείται από n μεταβλητές ονομάζεται mtimesnσύστημα ή λέμε ότι έχει διαστάσεις mtimesn

I ΠαράδειγμαΠαρακάτω έχουμε ένα σύστημα 2times2

5X+10Y= 203X+4Y= 10

Οι μεταβλητές σε αυτή την περίπτωση είναι X και YΕ Ι Κοντογιώργης copy 85

Συστήματα Επίλυσης

I Το Σύστημα επίλυσης είναι μια σειρά τιμών μεταβλητώνπου ικανοποιούν το σύστημα ταυτόχρονα

I Σε μια σημειογραφική παράσταση το προηγούμενοπαράδειγμα μπορεί να γραφτεί ως εξής

S = (XY) | 5X+10Y = 20 και 3X+4Y = 10

I Το σύστημα επίλυσης μπορεί να είναι1 μηδενικό2 πεπερασμένο ή3 άπειρο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 86

2times2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική Ανάλυση

I Σε ένα δισδιάστατο γράφημα ένα σύστημα εξισώσεων2times2 αναπαρίστανται με ευθείες γραμμές Υπόρχουν τρίαενδεχόμενα

1 Οι ευθείες τέμνονται Το σημείο τομής αντιπροσωπεύει τηλύση του συστήματος εξισώσεων Αυτό το σημείοαλληλεπίδρασης είναι μια δέσμη τιμών X και Y που ικανοποιείκαι τις δύο εξισώσειςΕάν υπάρχει μόνο μια δέσμη τιμών για τις μεταβλητές που ναικανοποιεί το σύστημα εξισώσεων το σύστημα λέμε ότι έχειΜ Λ

2 Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες μεταξύ τους ∆εν έχουν κοινόσημείο Συνεπώς οι ευθείες δεν τέμνονται ποτέ Το σύστημαλέμε ότι ∆ ΛΑυτό υπονοεί ότι δεν υπάρχουν τιμές για τις μεταβλητές πουνα ικανοποιούν και τις δύο εξισώσεις Σε αυτή τηνπερίπτωση οι εξισώσεις στο σύστημα είναι Α

3 Και οι δύο εξισώσεις αναπαρίστανται ως μια κοινή ευθεία καιθεωρούνται ισοδύναμες εξισώσεις ´Ετσι το σύστημα έχειΑ Λ Αυτό συμβαίνει γιατί υπάρχει άπειροςαριθμός κοινών σημείων στις δύο γραμμές

Ε Ι Κοντογιώργης copy 87

I Π Θεωρείστε ένα σύστημα 2times22X+4Y= 203X+ Y= 10

I

X

Y

(24)

3X +Y = 10

2X +4Y = 20

0 2 4 6 8 10 12

2

4

6

8

10

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 88

I Το σημείο τομής δίνεται από το X= 2 και Y= 4Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές του X και Y στις δύοεξισώσεις δίνουν 20 = 20 και 10 = 10 αντίστοιχα

I Αυτό υποδειλώνει ότι X= 2 και Y= 4 είναι η σωστή λύση

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times23Xminus2Y= 6

minus15X+10Y=minus30

I

X

Y

(20)

(0minus3)

3X minus2Y = 6

minus15X +10Y =minus30

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 89

I Οι δύο εξισώσεις απλοποιούνται σε Xminus 23 Y= 2

Οι δύο εξισώσεις είναι ισοδύναμες και δίνουν έναπεπερασμένο αριθμό λύσεων έτσι ώστε

X= 0 Y =minus3X= 2 Y = 0X= 4 Y = 3

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times26Xminus12Y= 24

minus32X+3Y= 9

Οι εξισώσεις απλοποιούνται σεXminus2Y= 4Xminus2Y=minus6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 90

I

X

Y

(40)

(0minus2)

(minus60)

(03)

X minus2Y =minus6

X minus2Y = 4

0-0

I Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες και συνεπώς το σύστημαδεν έχει λύση ´Ετσι το σύστημα εξισώσεων είναιασύμπτωτο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 91

Περίληψη 2times2 Συστήματα Εξισώσεων∆ίνεται ένα Σύστημα Γραμμικών Εξισώσεων 2times2

Y=m1X+ c1Y=m2X+ c2

1 Υπάρχει μια στο σύστημα εάνm1 6= m2

2 ∆εν υπάρχει στο σύστημα εάνm1 = m2 και c1 6= c2

3 Υπάρχει εάνm1 = m2 και c1 = c2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 92

∆ιαδικασίες Απαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής χρησιμοποιεί πολλαπλασιασμόκαι πρόσθεση έτσι ώστε

1 Να απαλοιφεί μια από τις δύο μεταβλητές

2 Η εξίσωση που εξάγεται είναι συνάρτηση των υπόλοιπωνμεταβλητών

3 Αντικαθιστώντας την τιμή στην μεταβλητή σε μια από τιςαρχικές εξισώσεις βρίσκουμε την τιμή για τηναπολοιφθήσα μεταβλητή

Ε Ι Κοντογιώργης copy 93

ΠαραδείγματαI Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

2X +4Y = 20 (1)3X + Y = 10 (2)

Πολλαπλασιάζοντας τη δεύτερη εξίσωση με minus4 παίρνουμε

minus12X minus4Y =minus40 (3)

Προσθέτοντας την εξίσωση (1) στο (3)

2X + 4Y = 20minus12X minus 4Y = minus40minus10X = minus20

ή

X = 2 (4)Ε Ι Κοντογιώργης copy 94

Αντικαθιστώντας X= 2 στην εξίσωση (1) δίνεται2 middot2+4Y = 20 ή Y=4

´Ετσι η μοναδική λύση του συστήματος δίνεται από τοX= 2 και Y= 4 Μπορεί να επιβεβαιωθεί ότι αυτή είναι ησωστή λύση αντικαθιστώντας X= 2 και Y= 4 στηνεξίσωση (1) και (2)

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times23X minus2Y = 6 (5)

minus15X +10Y =minus30 (6)

Για την απαλοιφή της μεταβλητής X η εξίσωση (5)πολλαπλασιάζεται με 5 και το αποτέλεσμα προστίθεταιστην εξίσωση (6)

15X minus 10Y = 30minus15X + 10Y = minus30

0 = 0 Ε Ι Κοντογιώργης copy 95

Οι τελευταίες πράξεις υπονοούν ότι οι εξίσωσεις (5) και(6) είναι ισοδύναμες και έτσι υπάρχει άπειρος αριθμόςλύσεωνΓια να προσδιορίσουμε τις λύσεις του συστήματος μια απότις αρχικές εξισώσεις λύνεται ως προς μια μεταβλητή Ανγια παράδειγμα η εξίσωση (5) λύνεται ως προς Y δίνει

Y =32Xminus3

Σαν αποτέλεσμα γενικεύοντας τις λύσεις του συστήματοςέχουμε

X τυχαίο και Y =32Xminus3

Πχ για X= 4 υπονοείται ότι Y=32 middot4minus3 = 3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 96

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

6X minus12Y = 24 (7)

minus32X +3Y = 9 (8)

Πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση (8) με 4 καιπροσθέτοντας το αποτέλεσμα στην εξίσωση (7)παίρνουμε

6X minus 12Y = 24minus6X + 12Y = 36

0 = 60

Η πιο πάνω αντιλογία υπονοεί ότι δεν υπάρχει λύση τουσυστήματος εξισώσεων

Ε Ι Κοντογιώργης copy 97

3times2 Συστήματα Εξισώσεων I

1 Μ Λ

X

Y

(32)

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minusY = 1

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 98

3times2 Συστήματα Εξισώσεων II

2 Α Λ

X

Y Εξις (1)Εξις (2)Εξις (3)

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 99

3times2 Συστήματα Εξισώσεων III3 Κ

(α) ´Οταν και οι τρεις εξισώσεις είναι παράλληλες

X

Y

2X minusY =minus8

2X minusY = 2

2X minusY = 12

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 100

3times2 Συστήματα Εξισώσεων IV(β) ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ τωνεξισώσεων

X

Y

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minus2Y =minus4

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 101

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική ΑνάλυσηΣε ένα γράφημα 2 διαστάσεων ένα σύστημα mtimes2(mgt2) εξισώσεων παριστάνεται με m ευθείες ´Οπωςσυμβαίνει στα συστήματα 2times2 υπάρχουν τρίαενδεχόμενα

1 ´Ολες οι ευθείες τέμνονται στο ίδιο σημείο και έτσιυπάρχει

2 ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ των mεξισώσεων Αυτό σημαίνει ότι όλες οι ευθείες είναιπαράλληλες Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα Λ

3 Οι m εξισώσεις είναι ισοδύναμες πχ παρασταίνονται σανμια ευθεία Σε αυτή την περίπτωση υπάρχει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 102

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων ∆ιαδικασίαΑπαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής για την επίλυση ενός συστήματοςmtimes2 μπορεί να περιγραφεί ως ακολούθωςΕπιλέξτε και λύστε σύστημα με δύο εξισώσεις

1 Εάν δεν υπάρχει λύση τότε ολόκληρο το σύστημα δεν έχειλύση

2 Εάν υπάρχει μοναδική λύση που ικανοποιεί τις υπόλοιπεςmminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα έχει μία μοναδική λύση

3 Εάν η λύση είναι μοναδική αλλά δεν ικανοποιεί τιςυπόλοιπες mminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα δεν έχει λύση

4 Εάν οι 2 λύσεις είναι ισοδύναμες απάλοιψτε τη μίααπό τις δύο εξισώσεις και ξεκινήστε από την αρχήλαμβάνοντας υπόψη ένα σύστημα (mminus1)times2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 103

ΠαράδείγμαI Θεωρείστε ένα σύστημα 5times2

XminusY= 1X+2Y=minus8

3Xminus2Y= 02Xminus5Y= 11minus4X+3Y=minus1

I Η λύση των πρώτων δύο εξισώσεων δίνετε απόY =minus3 και X =minus2

I Αντικαθιστώντας τη λύση στις υπόλοιπες τρεις εξισώσειςπαίρνετε αντίστοιχα

0 = 0 11 = 11 και minus1 =minus1I Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση

X=minus2 και Y=minus3Ε Ι Κοντογιώργης copy 104

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian

Η μέθοδος απολοιφής Gaussian μετατρέπει το αρχικόσύστημα εξισώσεων σε διαγώνια μορφή επαναλαμβάνονταςστις εξισώσεις τις ακόλουθες τρεις διαδικασίες

1 Πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης μεμια θετική σταθερά

2 Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού θα προστεθεί σεάλλη εξίσωση

3 Η σειρά των εξισώσεων μπορεί να αλλάξει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 105

ΠαράδείγμαΠ Θεωρείστε το σύστημα 2times2

2X minus 3Y = 7 (Εξ 1)X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με 12 για να πάρετε

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με minus1 καιπροσθέστε την στην (Εξ 2)

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

52Y =

152 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 106

Στάδιο 3 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 25

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

Y = 3 (Εξ 2)

Στάδιο 4 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 32 και

προσθέστε την στην (Εξ 1)

X = 1 (Εξ 1)Y = 3 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 107

Π Θεωρείστε το σύστημα 2times2

5X + 20Y = 254X minus 7Y =minus26

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να εκφραστεί ως

R1 5 20 25R2 4 minus7 minus26

Η κάθετη γραμμή χρησιμοποιείται για διαχωρισμό τηςαριστερής από τη δεξιά πλευρά των εξισώσεων Το Riυπονοεί τη γραμμή (Row) i

Ε Ι Κοντογιώργης copy 108

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάζουμε τη R1 με 15 και το θέτουμε

R1larr 15R1

R1 1 4 5R2 4 minus7 minus26

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάζουμε την R1 με minus4 και τηνπροσθέτουμε στην R2 Εν συντομίαR2larrminus4R1+R2

R1 1 4 5R2 0 minus23 minus46

Στάδιο 3 R2larrminus 123R2

R1 1 4 5R2 0 1 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 109

Στάδιο 4 R1larrminus4R2+R1

R1 1 0 minus3R2 0 1 2

Το αρχικό σύστημα εξισώσεων μετατρέπεται σε διαγώνιαμορφή όπως πιο κάτω

X =minus3Y = 2

το οποίο δίνει τη λύση του συστήματος

Ε Ι Κοντογιώργης copy 110

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 I

Το σύστημα εξισώσεων 3times3 μετετρέπεται σε διαγώνιαμορφή Η μετατροπή γίνεται στήλη με στήλη από τααριστερά προς τα δεξιά

Π Θεωρήστε το σύστημα 3times3

X1 + X2 + X3 = 2X1 minus 3X2 + 2X3 = 7

4X1 minus 2X2 minus X3 = 9

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να γραφτεί ως

Ε Ι Κοντογιώργης copy 111

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 II

1 1 1 21 minus3 2 74 minus2 minus1 9

Ε Ι Κοντογιώργης copy 112

I Γενικά μπορούμε να γράψουμε μια γεωμετρική πρόοδο ωςακολούθως

γεωμετρική πρόοδος a ar ar2 ar3 ar4 middot middot middot

όπου ο πρώτος όρος είναι a και η αναλογία r

I Σημαντικά θεωρήματα των γεωμετρικών προόδων (γπ)1 Ο n όρος μιας γπ δίνεται από ar(nminus1)

2 Το άθροισμα των πρώτων n όρων μιας γπ είναι

Sn =a(1minus rn)

1minus r =a(rnminus1)

rminus1 και ισχύει μόνο αν r 6= 1

I Το άθροισμα των όρων μιας γεωμετρικής προόδουονομάζεται γεωμετρική σειρά

Ε Ι Κοντογιώργης copy 52

Γεωμετρική σειρά

Sn = a+ar+ar2 +ar3 + middot middot middot+arnminus2 +arnminus1

rSn = ar+ar2 +ar3 + arnminus1 +arn

Snminus rSn = aminusarn

(1minus r)Sn = a(1minus rn)

Sn =a(1minus rn)

(1minus r) =a(rnminus1)

(rminus1)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 53

I Παράδειγμα1 Βρείτε το άθροισμα των πρώτων 10 όρων μιας γεωμετρικής

σειράς4 8 16 32

Ο πρώτος όρος είναι a= 4 και η αναλογία r = 2 καιn= 10 ´Ετσι

S10 =4(1minus210)

1minus2 = 4092

2 Θεωρείστε τη γπ4 minus8 16 minus32 64 minus128 256 minus512

Σε αυτή την περίπτωση ο πρώτος όρος είναι a= 4 ηαναλογία είναι r =minus2 και n= 8´Ετσι

S8 =4(1minus (minus2)8)

1minus (minus2)=minus340

Ε Ι Κοντογιώργης copy 54

Συνεχείς ανατοκισμός

Οι περισσότεροι τραπεζικοί λογαριασμοί και τα δάνειαυιοθετούν ανατοκισμό - εφαρμόζοντας συνεχή ανατοκισμόΘεωρείστε ένα λογαριασμό που προσφέρει τόκο με ετήσιοεπιτόκιο r (πχ 7) Εάν το επιτόκιο είναι συνεχέςσε χρονιαία βάση τότε μετά από 1 χρόνο το χρονιαίοεπιτόκιο προστίθεται στο αρχικό κεφάλαιο για νακαθορίσει ένα μεγαλύτερο κεφάλαιο τον δεύτερο χρόνο

´Ετσι κατά τη διάρκεια του δεύτερου χρόνου ολογαριασμός κερδίζει επιτόκιο πάνω στο επιτόκιοΑυτή είναι η επίδραση του ανατοκισμού που συνεχίζεταιχρόνο με το χρόνο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 55

I Με τον ετήσιο ανατοκισμό το κεφάλαιο πουσυσσωρεύεται στο λογαριασμό πολλαπλασιάζεται με

(1+ r)

´Ετσι το κεφάλαιο A θα αυξηθεί σε

A(1+ r) = A+A middot r

τον επόμενο χρόνο

I Με το πέρας και του δεύτερου χρόνου το κεφάλαιο θααυξηθεί ακόμα (1+ r) σε (1+ r)2

´Ετσι το κεφάλαιο καταλήγει σε

A(1+ r)(1+ r) = A(1+ r)2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 56

I Κατά παρόμοιο τρόπο στο τέλος του τρίτου χρόνου τοποσό θα αυξηθεί κατά (1+ r)3

I Μετά από n χρόνια το ποσό θα αυξηθεί κατά (1+ r)n

I ´Ετσι το κεφάλαιο (επένδυση) A θα αυξηθεί με συνεχήανατοκισμό σε A(1+ r)n μετά από n χρόνια

I Ο τύπος (1+ r)n εκθέτει γεωμετρική αύξηση λόγω τηςn δύναμης

Ε Ι Κοντογιώργης copy 57

ΠαραδείγματαI Εάν το επιτόκιο είναι r = 5 τότε το κεφάλαιοA= $1000 που βρίσκεται στην τράπεζα n= 20 χρόνιαθα αυξηθεί κατά

(1+ r)n = (1+005)20 = 2653 φορές

´Ετσι το ποσό θα καταλήξειA(1+ r)n = $265330

I Βρέστε το χρόνο που χρειάζεται για ένα λογαργιασμό ναδιπλασιάσει το διαθέσιμο κεφάλαιο του όταν r = 7 καιr = 10Ζητούμε να βρούμε το n έτσι ώστε

(1+ r)n = 2Ε Ι Κοντογιώργης copy 58

I Υπολογίζοντας το λογάριθμο του τελευταίου παίρνουμε

log(1+ r)n = log(2)ή n log(1+ r) = log(2)

´Ετσιn=

log2log(1+ r)

I Για r = 7 και r = 10 ο χρόνος n πουχρειάζεται για διπλασιασμό της επένδυσης υπολογίζεταισε 1024 και 727 αντίστοιχα

Ε Ι Κοντογιώργης copy 59

I Αν το επιτόκιο είναι r = 7 τότε πιο θα είναι τοσυνολικό ποσό στο λογαριασμό μετά από 205 και41 χρόνια αντίστοιχα

Μετά τα πρώτα 1025 χρόνια το ποσό A θαδιπλασιαστεί σε 2A Για τα επόμενα 1025 χρόνιατο ποσό θα ξαναδιπλασιαστεί σε 4A ´Ετσι μετά από205 χρόνια το ποσό θα αυξηθεί κατά 4 φορές

Με το πέρας ακόμα 205 χρόνων το ποσό θα αυξηθείακόμα 4 φορές σε 16 ´Ετσι μετά από 41 χρόνιατο κεφάλαιο A γίνεται 16A

Ε Ι Κοντογιώργης copy 60

Ασκήσεις και Παραδείγματα

I Υπολογίστε τη Μελλοντική Αξία (Future Value (FV)) τουκεφαλαίου A= 1500 που κερδίζει ετήσιο επιτόκιοr = 5 για n= 10 έτη

FV =A(1+ r)n = 1500(1+005)10 = 244334

I Πόσα έτη απαιτούνται για να τριπλασιαστεί ένα ποσόπου αφήνετε στην τράπεζα με επιτόκιο r = 5∆ηλαδή βρείτε το n όπου A= 1 r = 5 και FV = 3

FV =A(1+ r)n ή (1+ r)n =FVA

Ε Ι Κοντογιώργης copy 61

Υπολογίζοντας τους λογαρίθμους παίρνουμε

log(1+ r)n = log(FVA)

ή n log(1+ r) = log(FVA)

´Ετσι

n=log(FVA)

log(1+ r) =log(3)

log(105)

= 2252

Ε Ι Κοντογιώργης copy 62

I Βρείτε την παρούσα αξία A έτσι ώστε σε δέκα έτη μεσταθερό επιτόκιο r = 6 να είναι 100KΒρείτε το A όπου FV = 100000 r = 6 και n= 10

FV =A(1+ r)n ή A=FV

(1+ r)n

´Ετσι A=100000

(106)10= 5583948

I Βρείτε την ετησιοποιημένη απόδοση (AER AnnualEquivalent Rate) μιας μηνιαίας κατάθεσης με σταθερόεπιτοκίο 394 Μια τέτοια κατάθεση λαμβάνει το επιτόκιο στη λήξηΣυνεπώς κάθε μήνα ο λογαριασμός λαμβάνει

r = 0039412 = 000328

επιτόκιο που επανεπενδύεται (συνεχής ανατοκισμός)Ε Ι Κοντογιώργης copy 63

Επανεπενδύοντας το επιτόκιο κάθε μήνα στη διάρκειαενός έτους το κεφάλαιο θα αυξηθεί σε

(1+ r)12 = (1+000328)12 = 104012

´Ετσι το ΑΕΡ είναι ισοδύναμο με 004012 = 4012I Υπολογίστε το επιτόκιο ενός σταθερού λογαριασμού

κατάθεσης 7-ημερών που έχει AER επιτόκιο r = 425Θεωρείστε ρ το εβδομαδιαίο επιτόκιο

´Ετσι (1+ρ)52 = (1+00425)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 64

Παίρνοντας τους λογαρίθμους έχουμε52log(1+ρ) = log10425

ή log(1+ρ) =log10425

52

ή 1+ρ= 10( log10425

52)

Αυτό μας δίνει

ρ= 10

( log1042552

)minus1 = 008

´Ετσι το συνεχές επιτόκιο μιας επταήμερης κατάθεσης είναιρtimes52 = 41638

Εναλλακτικά (1+ρ)52 = (1+00425) δίνει

(1+ρ) =52radic10425ή ρ=

52radic10425minus = 008Ε Ι Κοντογιώργης copy 65

I Υπολογίστε την ετήσια απόδοση r έτσι ώστε A= 10000να επιστρέφει FV = 35000 σε n= 20 χρόνια

FV =A(1+ r)n ή (1+ r)n =FVA

´Ετσι

1+ r =nradic

FVA

Επομένως

r =nradic

FVA minus1 =

20radic

3500010000 minus1 = 00646 = 646

Ε Ι Κοντογιώργης copy 66

Εναλλακτικά παίρνοντας τους λογαρίθμους

log(1+ r)n = log(FVA) ή n log(1+ r) = log

(FVA)

´Ετσι

1+ r = 10(1n log

(FVA))

ή r = 10(1n log

(FVA))minus1

= 10( 120 log

(3500010000

))minus1

= 646

Ε Ι Κοντογιώργης copy 67

Γραφική Αναπαράσταση I

I Υποθέστε ότι έχουμε y= 3x+2 Καθώς έχουμε μόνο μιαδύναμη για το x πρέπει να λύσουμε γραμμική εξίσωσηκαι να σχεδιάσουμε μια ευθεία γραμμή Αρχικά θα πρέπεινα σχεδιάσουμε ένα T-chart Αυτό έχει τη μορφή

x y = 3x+2 (xy)

I Επιλέγουμε μια τιμή για το x και λύνουμε ως προς y

x y= 3x+2 (xy)minus2 minus4 (minus2minus4)0 2 (02)2 8 (28)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 68

Γραφική Αναπαράσταση II

-

6

X

Y

bull

bull

bull

I Βλέπουμε μια ευθεία με ανοδική τάση (έχοντας θετικήκλίση m= 3) καιτέμνει τον άξονα y στο σημείο y= 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 69

Γραφική Αναπαράσταση III

I Μια Τετραγωνική εξίσωση περιέχει x2 Για τηναναπαράσταση τετραγωνικών εξισώσεων χρειάζεται ναβρούμε περισσότερα από τρία σημεία στο σχεδιάγραμμα

Για παράδειγμα υποθέστε ότι y= x2minus6x+5 καιδίνεται το πιο κάτω T-chart

x y= x2minus6x+5 (xy)0 5 (05)1 0 (10)3 minus4 (3minus4)5 0 (50)6 5 (65)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 70

Γραφική Αναπαράσταση IV

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

-

6

X

Y

bull

bull

bull

bull

bull

Ε Ι Κοντογιώργης copy 71

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(1x + 2)

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(-3x + 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 72

-15

-10

-5

0

5

10

15

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(3x - 2)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 73

-20

0

20

40

60

80

100

120

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2+x)

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 74

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

1250

1500

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3+x2+x)

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x4)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 75

-25

-2

-15

-1

-05

0

05

1

15

2

25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(log(x))

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(x))

Ε Ι Κοντογιώργης copy 76

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(-x))

-5000

0

5000

10000

15000

20000

25000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(exp(x)+x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 77

Ανισότητες I

I Οι ανισότητες αποτελούνται από δύο ή τρεις αλγεβρικέςεκφράσεις που είναι συνδεδεμένες με τα σύμβολαανισότητας Τα σύμβολα αυτά είναι

lt μικρότερο τουgt μεγαλύτερο τουle μικρότερο ή ίσο τουge μεγαλύτερο ή ίσο του

I Παραδείγματα xgty yge x2 και ylt5x+1

I Το πρώτο βήμα για την αναπαράσταση ανισότητας τηςμορφής ygtx είναι να παραστήσουμε γραφικά τηνισότητα y= x

Ε Ι Κοντογιώργης copy 78

Ανισότητες II

I ygtx

Κάνετε δοκιμή με ένα σημείο να δείτε κατά πόσοικανοποιεί την ανισότητα Εάν ναι τότε σκιάστε τηνπεριοχή αυτή του σχεδιαγράμματος διαφορετικά σκιάστετην άλλη πλευρά

Ε Ι Κοντογιώργης copy 79

Ανισότητες III

I yltx

Ε Ι Κοντογιώργης copy 80

Ανισότητες IV

I yle 5x+1 και ygt5x+1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 81

Ανισότητες V

I yge x2 και yle x2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 82

Ανισότητες VI

I ygtx3 και yle x3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 83

Συστήματα Γραμμικών ΕξισώσεωνΠεριεχόμενα

1 Ε

2 Γ Α

ΑναφορέςΚεφάλαια 4 και 5FS Budnick Applied Mathematics for Business Economicsand the Social Sciences 4th edition McGraw-Hill 1993

Ε Ι Κοντογιώργης copy 84

Συστήματα Εξισώσεων

I ´Ενα σύστημα εξισώσεων συνδυάζει περισσότερες από μίαεξισώσεις

I ´Ενα σύστημα m εξισώσεων όπου κάθε εξίσωσηαποτελείται από n μεταβλητές ονομάζεται mtimesnσύστημα ή λέμε ότι έχει διαστάσεις mtimesn

I ΠαράδειγμαΠαρακάτω έχουμε ένα σύστημα 2times2

5X+10Y= 203X+4Y= 10

Οι μεταβλητές σε αυτή την περίπτωση είναι X και YΕ Ι Κοντογιώργης copy 85

Συστήματα Επίλυσης

I Το Σύστημα επίλυσης είναι μια σειρά τιμών μεταβλητώνπου ικανοποιούν το σύστημα ταυτόχρονα

I Σε μια σημειογραφική παράσταση το προηγούμενοπαράδειγμα μπορεί να γραφτεί ως εξής

S = (XY) | 5X+10Y = 20 και 3X+4Y = 10

I Το σύστημα επίλυσης μπορεί να είναι1 μηδενικό2 πεπερασμένο ή3 άπειρο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 86

2times2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική Ανάλυση

I Σε ένα δισδιάστατο γράφημα ένα σύστημα εξισώσεων2times2 αναπαρίστανται με ευθείες γραμμές Υπόρχουν τρίαενδεχόμενα

1 Οι ευθείες τέμνονται Το σημείο τομής αντιπροσωπεύει τηλύση του συστήματος εξισώσεων Αυτό το σημείοαλληλεπίδρασης είναι μια δέσμη τιμών X και Y που ικανοποιείκαι τις δύο εξισώσειςΕάν υπάρχει μόνο μια δέσμη τιμών για τις μεταβλητές που ναικανοποιεί το σύστημα εξισώσεων το σύστημα λέμε ότι έχειΜ Λ

2 Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες μεταξύ τους ∆εν έχουν κοινόσημείο Συνεπώς οι ευθείες δεν τέμνονται ποτέ Το σύστημαλέμε ότι ∆ ΛΑυτό υπονοεί ότι δεν υπάρχουν τιμές για τις μεταβλητές πουνα ικανοποιούν και τις δύο εξισώσεις Σε αυτή τηνπερίπτωση οι εξισώσεις στο σύστημα είναι Α

3 Και οι δύο εξισώσεις αναπαρίστανται ως μια κοινή ευθεία καιθεωρούνται ισοδύναμες εξισώσεις ´Ετσι το σύστημα έχειΑ Λ Αυτό συμβαίνει γιατί υπάρχει άπειροςαριθμός κοινών σημείων στις δύο γραμμές

Ε Ι Κοντογιώργης copy 87

I Π Θεωρείστε ένα σύστημα 2times22X+4Y= 203X+ Y= 10

I

X

Y

(24)

3X +Y = 10

2X +4Y = 20

0 2 4 6 8 10 12

2

4

6

8

10

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 88

I Το σημείο τομής δίνεται από το X= 2 και Y= 4Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές του X και Y στις δύοεξισώσεις δίνουν 20 = 20 και 10 = 10 αντίστοιχα

I Αυτό υποδειλώνει ότι X= 2 και Y= 4 είναι η σωστή λύση

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times23Xminus2Y= 6

minus15X+10Y=minus30

I

X

Y

(20)

(0minus3)

3X minus2Y = 6

minus15X +10Y =minus30

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 89

I Οι δύο εξισώσεις απλοποιούνται σε Xminus 23 Y= 2

Οι δύο εξισώσεις είναι ισοδύναμες και δίνουν έναπεπερασμένο αριθμό λύσεων έτσι ώστε

X= 0 Y =minus3X= 2 Y = 0X= 4 Y = 3

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times26Xminus12Y= 24

minus32X+3Y= 9

Οι εξισώσεις απλοποιούνται σεXminus2Y= 4Xminus2Y=minus6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 90

I

X

Y

(40)

(0minus2)

(minus60)

(03)

X minus2Y =minus6

X minus2Y = 4

0-0

I Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες και συνεπώς το σύστημαδεν έχει λύση ´Ετσι το σύστημα εξισώσεων είναιασύμπτωτο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 91

Περίληψη 2times2 Συστήματα Εξισώσεων∆ίνεται ένα Σύστημα Γραμμικών Εξισώσεων 2times2

Y=m1X+ c1Y=m2X+ c2

1 Υπάρχει μια στο σύστημα εάνm1 6= m2

2 ∆εν υπάρχει στο σύστημα εάνm1 = m2 και c1 6= c2

3 Υπάρχει εάνm1 = m2 και c1 = c2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 92

∆ιαδικασίες Απαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής χρησιμοποιεί πολλαπλασιασμόκαι πρόσθεση έτσι ώστε

1 Να απαλοιφεί μια από τις δύο μεταβλητές

2 Η εξίσωση που εξάγεται είναι συνάρτηση των υπόλοιπωνμεταβλητών

3 Αντικαθιστώντας την τιμή στην μεταβλητή σε μια από τιςαρχικές εξισώσεις βρίσκουμε την τιμή για τηναπολοιφθήσα μεταβλητή

Ε Ι Κοντογιώργης copy 93

ΠαραδείγματαI Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

2X +4Y = 20 (1)3X + Y = 10 (2)

Πολλαπλασιάζοντας τη δεύτερη εξίσωση με minus4 παίρνουμε

minus12X minus4Y =minus40 (3)

Προσθέτοντας την εξίσωση (1) στο (3)

2X + 4Y = 20minus12X minus 4Y = minus40minus10X = minus20

ή

X = 2 (4)Ε Ι Κοντογιώργης copy 94

Αντικαθιστώντας X= 2 στην εξίσωση (1) δίνεται2 middot2+4Y = 20 ή Y=4

´Ετσι η μοναδική λύση του συστήματος δίνεται από τοX= 2 και Y= 4 Μπορεί να επιβεβαιωθεί ότι αυτή είναι ησωστή λύση αντικαθιστώντας X= 2 και Y= 4 στηνεξίσωση (1) και (2)

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times23X minus2Y = 6 (5)

minus15X +10Y =minus30 (6)

Για την απαλοιφή της μεταβλητής X η εξίσωση (5)πολλαπλασιάζεται με 5 και το αποτέλεσμα προστίθεταιστην εξίσωση (6)

15X minus 10Y = 30minus15X + 10Y = minus30

0 = 0 Ε Ι Κοντογιώργης copy 95

Οι τελευταίες πράξεις υπονοούν ότι οι εξίσωσεις (5) και(6) είναι ισοδύναμες και έτσι υπάρχει άπειρος αριθμόςλύσεωνΓια να προσδιορίσουμε τις λύσεις του συστήματος μια απότις αρχικές εξισώσεις λύνεται ως προς μια μεταβλητή Ανγια παράδειγμα η εξίσωση (5) λύνεται ως προς Y δίνει

Y =32Xminus3

Σαν αποτέλεσμα γενικεύοντας τις λύσεις του συστήματοςέχουμε

X τυχαίο και Y =32Xminus3

Πχ για X= 4 υπονοείται ότι Y=32 middot4minus3 = 3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 96

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

6X minus12Y = 24 (7)

minus32X +3Y = 9 (8)

Πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση (8) με 4 καιπροσθέτοντας το αποτέλεσμα στην εξίσωση (7)παίρνουμε

6X minus 12Y = 24minus6X + 12Y = 36

0 = 60

Η πιο πάνω αντιλογία υπονοεί ότι δεν υπάρχει λύση τουσυστήματος εξισώσεων

Ε Ι Κοντογιώργης copy 97

3times2 Συστήματα Εξισώσεων I

1 Μ Λ

X

Y

(32)

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minusY = 1

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 98

3times2 Συστήματα Εξισώσεων II

2 Α Λ

X

Y Εξις (1)Εξις (2)Εξις (3)

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 99

3times2 Συστήματα Εξισώσεων III3 Κ

(α) ´Οταν και οι τρεις εξισώσεις είναι παράλληλες

X

Y

2X minusY =minus8

2X minusY = 2

2X minusY = 12

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 100

3times2 Συστήματα Εξισώσεων IV(β) ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ τωνεξισώσεων

X

Y

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minus2Y =minus4

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 101

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική ΑνάλυσηΣε ένα γράφημα 2 διαστάσεων ένα σύστημα mtimes2(mgt2) εξισώσεων παριστάνεται με m ευθείες ´Οπωςσυμβαίνει στα συστήματα 2times2 υπάρχουν τρίαενδεχόμενα

1 ´Ολες οι ευθείες τέμνονται στο ίδιο σημείο και έτσιυπάρχει

2 ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ των mεξισώσεων Αυτό σημαίνει ότι όλες οι ευθείες είναιπαράλληλες Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα Λ

3 Οι m εξισώσεις είναι ισοδύναμες πχ παρασταίνονται σανμια ευθεία Σε αυτή την περίπτωση υπάρχει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 102

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων ∆ιαδικασίαΑπαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής για την επίλυση ενός συστήματοςmtimes2 μπορεί να περιγραφεί ως ακολούθωςΕπιλέξτε και λύστε σύστημα με δύο εξισώσεις

1 Εάν δεν υπάρχει λύση τότε ολόκληρο το σύστημα δεν έχειλύση

2 Εάν υπάρχει μοναδική λύση που ικανοποιεί τις υπόλοιπεςmminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα έχει μία μοναδική λύση

3 Εάν η λύση είναι μοναδική αλλά δεν ικανοποιεί τιςυπόλοιπες mminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα δεν έχει λύση

4 Εάν οι 2 λύσεις είναι ισοδύναμες απάλοιψτε τη μίααπό τις δύο εξισώσεις και ξεκινήστε από την αρχήλαμβάνοντας υπόψη ένα σύστημα (mminus1)times2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 103

ΠαράδείγμαI Θεωρείστε ένα σύστημα 5times2

XminusY= 1X+2Y=minus8

3Xminus2Y= 02Xminus5Y= 11minus4X+3Y=minus1

I Η λύση των πρώτων δύο εξισώσεων δίνετε απόY =minus3 και X =minus2

I Αντικαθιστώντας τη λύση στις υπόλοιπες τρεις εξισώσειςπαίρνετε αντίστοιχα

0 = 0 11 = 11 και minus1 =minus1I Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση

X=minus2 και Y=minus3Ε Ι Κοντογιώργης copy 104

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian

Η μέθοδος απολοιφής Gaussian μετατρέπει το αρχικόσύστημα εξισώσεων σε διαγώνια μορφή επαναλαμβάνονταςστις εξισώσεις τις ακόλουθες τρεις διαδικασίες

1 Πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης μεμια θετική σταθερά

2 Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού θα προστεθεί σεάλλη εξίσωση

3 Η σειρά των εξισώσεων μπορεί να αλλάξει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 105

ΠαράδείγμαΠ Θεωρείστε το σύστημα 2times2

2X minus 3Y = 7 (Εξ 1)X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με 12 για να πάρετε

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με minus1 καιπροσθέστε την στην (Εξ 2)

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

52Y =

152 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 106

Στάδιο 3 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 25

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

Y = 3 (Εξ 2)

Στάδιο 4 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 32 και

προσθέστε την στην (Εξ 1)

X = 1 (Εξ 1)Y = 3 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 107

Π Θεωρείστε το σύστημα 2times2

5X + 20Y = 254X minus 7Y =minus26

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να εκφραστεί ως

R1 5 20 25R2 4 minus7 minus26

Η κάθετη γραμμή χρησιμοποιείται για διαχωρισμό τηςαριστερής από τη δεξιά πλευρά των εξισώσεων Το Riυπονοεί τη γραμμή (Row) i

Ε Ι Κοντογιώργης copy 108

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάζουμε τη R1 με 15 και το θέτουμε

R1larr 15R1

R1 1 4 5R2 4 minus7 minus26

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάζουμε την R1 με minus4 και τηνπροσθέτουμε στην R2 Εν συντομίαR2larrminus4R1+R2

R1 1 4 5R2 0 minus23 minus46

Στάδιο 3 R2larrminus 123R2

R1 1 4 5R2 0 1 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 109

Στάδιο 4 R1larrminus4R2+R1

R1 1 0 minus3R2 0 1 2

Το αρχικό σύστημα εξισώσεων μετατρέπεται σε διαγώνιαμορφή όπως πιο κάτω

X =minus3Y = 2

το οποίο δίνει τη λύση του συστήματος

Ε Ι Κοντογιώργης copy 110

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 I

Το σύστημα εξισώσεων 3times3 μετετρέπεται σε διαγώνιαμορφή Η μετατροπή γίνεται στήλη με στήλη από τααριστερά προς τα δεξιά

Π Θεωρήστε το σύστημα 3times3

X1 + X2 + X3 = 2X1 minus 3X2 + 2X3 = 7

4X1 minus 2X2 minus X3 = 9

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να γραφτεί ως

Ε Ι Κοντογιώργης copy 111

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 II

1 1 1 21 minus3 2 74 minus2 minus1 9

Ε Ι Κοντογιώργης copy 112

Γεωμετρική σειρά

Sn = a+ar+ar2 +ar3 + middot middot middot+arnminus2 +arnminus1

rSn = ar+ar2 +ar3 + arnminus1 +arn

Snminus rSn = aminusarn

(1minus r)Sn = a(1minus rn)

Sn =a(1minus rn)

(1minus r) =a(rnminus1)

(rminus1)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 53

I Παράδειγμα1 Βρείτε το άθροισμα των πρώτων 10 όρων μιας γεωμετρικής

σειράς4 8 16 32

Ο πρώτος όρος είναι a= 4 και η αναλογία r = 2 καιn= 10 ´Ετσι

S10 =4(1minus210)

1minus2 = 4092

2 Θεωρείστε τη γπ4 minus8 16 minus32 64 minus128 256 minus512

Σε αυτή την περίπτωση ο πρώτος όρος είναι a= 4 ηαναλογία είναι r =minus2 και n= 8´Ετσι

S8 =4(1minus (minus2)8)

1minus (minus2)=minus340

Ε Ι Κοντογιώργης copy 54

Συνεχείς ανατοκισμός

Οι περισσότεροι τραπεζικοί λογαριασμοί και τα δάνειαυιοθετούν ανατοκισμό - εφαρμόζοντας συνεχή ανατοκισμόΘεωρείστε ένα λογαριασμό που προσφέρει τόκο με ετήσιοεπιτόκιο r (πχ 7) Εάν το επιτόκιο είναι συνεχέςσε χρονιαία βάση τότε μετά από 1 χρόνο το χρονιαίοεπιτόκιο προστίθεται στο αρχικό κεφάλαιο για νακαθορίσει ένα μεγαλύτερο κεφάλαιο τον δεύτερο χρόνο

´Ετσι κατά τη διάρκεια του δεύτερου χρόνου ολογαριασμός κερδίζει επιτόκιο πάνω στο επιτόκιοΑυτή είναι η επίδραση του ανατοκισμού που συνεχίζεταιχρόνο με το χρόνο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 55

I Με τον ετήσιο ανατοκισμό το κεφάλαιο πουσυσσωρεύεται στο λογαριασμό πολλαπλασιάζεται με

(1+ r)

´Ετσι το κεφάλαιο A θα αυξηθεί σε

A(1+ r) = A+A middot r

τον επόμενο χρόνο

I Με το πέρας και του δεύτερου χρόνου το κεφάλαιο θααυξηθεί ακόμα (1+ r) σε (1+ r)2

´Ετσι το κεφάλαιο καταλήγει σε

A(1+ r)(1+ r) = A(1+ r)2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 56

I Κατά παρόμοιο τρόπο στο τέλος του τρίτου χρόνου τοποσό θα αυξηθεί κατά (1+ r)3

I Μετά από n χρόνια το ποσό θα αυξηθεί κατά (1+ r)n

I ´Ετσι το κεφάλαιο (επένδυση) A θα αυξηθεί με συνεχήανατοκισμό σε A(1+ r)n μετά από n χρόνια

I Ο τύπος (1+ r)n εκθέτει γεωμετρική αύξηση λόγω τηςn δύναμης

Ε Ι Κοντογιώργης copy 57

ΠαραδείγματαI Εάν το επιτόκιο είναι r = 5 τότε το κεφάλαιοA= $1000 που βρίσκεται στην τράπεζα n= 20 χρόνιαθα αυξηθεί κατά

(1+ r)n = (1+005)20 = 2653 φορές

´Ετσι το ποσό θα καταλήξειA(1+ r)n = $265330

I Βρέστε το χρόνο που χρειάζεται για ένα λογαργιασμό ναδιπλασιάσει το διαθέσιμο κεφάλαιο του όταν r = 7 καιr = 10Ζητούμε να βρούμε το n έτσι ώστε

(1+ r)n = 2Ε Ι Κοντογιώργης copy 58

I Υπολογίζοντας το λογάριθμο του τελευταίου παίρνουμε

log(1+ r)n = log(2)ή n log(1+ r) = log(2)

´Ετσιn=

log2log(1+ r)

I Για r = 7 και r = 10 ο χρόνος n πουχρειάζεται για διπλασιασμό της επένδυσης υπολογίζεταισε 1024 και 727 αντίστοιχα

Ε Ι Κοντογιώργης copy 59

I Αν το επιτόκιο είναι r = 7 τότε πιο θα είναι τοσυνολικό ποσό στο λογαριασμό μετά από 205 και41 χρόνια αντίστοιχα

Μετά τα πρώτα 1025 χρόνια το ποσό A θαδιπλασιαστεί σε 2A Για τα επόμενα 1025 χρόνιατο ποσό θα ξαναδιπλασιαστεί σε 4A ´Ετσι μετά από205 χρόνια το ποσό θα αυξηθεί κατά 4 φορές

Με το πέρας ακόμα 205 χρόνων το ποσό θα αυξηθείακόμα 4 φορές σε 16 ´Ετσι μετά από 41 χρόνιατο κεφάλαιο A γίνεται 16A

Ε Ι Κοντογιώργης copy 60

Ασκήσεις και Παραδείγματα

I Υπολογίστε τη Μελλοντική Αξία (Future Value (FV)) τουκεφαλαίου A= 1500 που κερδίζει ετήσιο επιτόκιοr = 5 για n= 10 έτη

FV =A(1+ r)n = 1500(1+005)10 = 244334

I Πόσα έτη απαιτούνται για να τριπλασιαστεί ένα ποσόπου αφήνετε στην τράπεζα με επιτόκιο r = 5∆ηλαδή βρείτε το n όπου A= 1 r = 5 και FV = 3

FV =A(1+ r)n ή (1+ r)n =FVA

Ε Ι Κοντογιώργης copy 61

Υπολογίζοντας τους λογαρίθμους παίρνουμε

log(1+ r)n = log(FVA)

ή n log(1+ r) = log(FVA)

´Ετσι

n=log(FVA)

log(1+ r) =log(3)

log(105)

= 2252

Ε Ι Κοντογιώργης copy 62

I Βρείτε την παρούσα αξία A έτσι ώστε σε δέκα έτη μεσταθερό επιτόκιο r = 6 να είναι 100KΒρείτε το A όπου FV = 100000 r = 6 και n= 10

FV =A(1+ r)n ή A=FV

(1+ r)n

´Ετσι A=100000

(106)10= 5583948

I Βρείτε την ετησιοποιημένη απόδοση (AER AnnualEquivalent Rate) μιας μηνιαίας κατάθεσης με σταθερόεπιτοκίο 394 Μια τέτοια κατάθεση λαμβάνει το επιτόκιο στη λήξηΣυνεπώς κάθε μήνα ο λογαριασμός λαμβάνει

r = 0039412 = 000328

επιτόκιο που επανεπενδύεται (συνεχής ανατοκισμός)Ε Ι Κοντογιώργης copy 63

Επανεπενδύοντας το επιτόκιο κάθε μήνα στη διάρκειαενός έτους το κεφάλαιο θα αυξηθεί σε

(1+ r)12 = (1+000328)12 = 104012

´Ετσι το ΑΕΡ είναι ισοδύναμο με 004012 = 4012I Υπολογίστε το επιτόκιο ενός σταθερού λογαριασμού

κατάθεσης 7-ημερών που έχει AER επιτόκιο r = 425Θεωρείστε ρ το εβδομαδιαίο επιτόκιο

´Ετσι (1+ρ)52 = (1+00425)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 64

Παίρνοντας τους λογαρίθμους έχουμε52log(1+ρ) = log10425

ή log(1+ρ) =log10425

52

ή 1+ρ= 10( log10425

52)

Αυτό μας δίνει

ρ= 10

( log1042552

)minus1 = 008

´Ετσι το συνεχές επιτόκιο μιας επταήμερης κατάθεσης είναιρtimes52 = 41638

Εναλλακτικά (1+ρ)52 = (1+00425) δίνει

(1+ρ) =52radic10425ή ρ=

52radic10425minus = 008Ε Ι Κοντογιώργης copy 65

I Υπολογίστε την ετήσια απόδοση r έτσι ώστε A= 10000να επιστρέφει FV = 35000 σε n= 20 χρόνια

FV =A(1+ r)n ή (1+ r)n =FVA

´Ετσι

1+ r =nradic

FVA

Επομένως

r =nradic

FVA minus1 =

20radic

3500010000 minus1 = 00646 = 646

Ε Ι Κοντογιώργης copy 66

Εναλλακτικά παίρνοντας τους λογαρίθμους

log(1+ r)n = log(FVA) ή n log(1+ r) = log

(FVA)

´Ετσι

1+ r = 10(1n log

(FVA))

ή r = 10(1n log

(FVA))minus1

= 10( 120 log

(3500010000

))minus1

= 646

Ε Ι Κοντογιώργης copy 67

Γραφική Αναπαράσταση I

I Υποθέστε ότι έχουμε y= 3x+2 Καθώς έχουμε μόνο μιαδύναμη για το x πρέπει να λύσουμε γραμμική εξίσωσηκαι να σχεδιάσουμε μια ευθεία γραμμή Αρχικά θα πρέπεινα σχεδιάσουμε ένα T-chart Αυτό έχει τη μορφή

x y = 3x+2 (xy)

I Επιλέγουμε μια τιμή για το x και λύνουμε ως προς y

x y= 3x+2 (xy)minus2 minus4 (minus2minus4)0 2 (02)2 8 (28)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 68

Γραφική Αναπαράσταση II

-

6

X

Y

bull

bull

bull

I Βλέπουμε μια ευθεία με ανοδική τάση (έχοντας θετικήκλίση m= 3) καιτέμνει τον άξονα y στο σημείο y= 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 69

Γραφική Αναπαράσταση III

I Μια Τετραγωνική εξίσωση περιέχει x2 Για τηναναπαράσταση τετραγωνικών εξισώσεων χρειάζεται ναβρούμε περισσότερα από τρία σημεία στο σχεδιάγραμμα

Για παράδειγμα υποθέστε ότι y= x2minus6x+5 καιδίνεται το πιο κάτω T-chart

x y= x2minus6x+5 (xy)0 5 (05)1 0 (10)3 minus4 (3minus4)5 0 (50)6 5 (65)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 70

Γραφική Αναπαράσταση IV

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

-

6

X

Y

bull

bull

bull

bull

bull

Ε Ι Κοντογιώργης copy 71

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(1x + 2)

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(-3x + 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 72

-15

-10

-5

0

5

10

15

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(3x - 2)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 73

-20

0

20

40

60

80

100

120

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2+x)

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 74

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

1250

1500

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3+x2+x)

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x4)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 75

-25

-2

-15

-1

-05

0

05

1

15

2

25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(log(x))

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(x))

Ε Ι Κοντογιώργης copy 76

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(-x))

-5000

0

5000

10000

15000

20000

25000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(exp(x)+x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 77

Ανισότητες I

I Οι ανισότητες αποτελούνται από δύο ή τρεις αλγεβρικέςεκφράσεις που είναι συνδεδεμένες με τα σύμβολαανισότητας Τα σύμβολα αυτά είναι

lt μικρότερο τουgt μεγαλύτερο τουle μικρότερο ή ίσο τουge μεγαλύτερο ή ίσο του

I Παραδείγματα xgty yge x2 και ylt5x+1

I Το πρώτο βήμα για την αναπαράσταση ανισότητας τηςμορφής ygtx είναι να παραστήσουμε γραφικά τηνισότητα y= x

Ε Ι Κοντογιώργης copy 78

Ανισότητες II

I ygtx

Κάνετε δοκιμή με ένα σημείο να δείτε κατά πόσοικανοποιεί την ανισότητα Εάν ναι τότε σκιάστε τηνπεριοχή αυτή του σχεδιαγράμματος διαφορετικά σκιάστετην άλλη πλευρά

Ε Ι Κοντογιώργης copy 79

Ανισότητες III

I yltx

Ε Ι Κοντογιώργης copy 80

Ανισότητες IV

I yle 5x+1 και ygt5x+1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 81

Ανισότητες V

I yge x2 και yle x2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 82

Ανισότητες VI

I ygtx3 και yle x3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 83

Συστήματα Γραμμικών ΕξισώσεωνΠεριεχόμενα

1 Ε

2 Γ Α

ΑναφορέςΚεφάλαια 4 και 5FS Budnick Applied Mathematics for Business Economicsand the Social Sciences 4th edition McGraw-Hill 1993

Ε Ι Κοντογιώργης copy 84

Συστήματα Εξισώσεων

I ´Ενα σύστημα εξισώσεων συνδυάζει περισσότερες από μίαεξισώσεις

I ´Ενα σύστημα m εξισώσεων όπου κάθε εξίσωσηαποτελείται από n μεταβλητές ονομάζεται mtimesnσύστημα ή λέμε ότι έχει διαστάσεις mtimesn

I ΠαράδειγμαΠαρακάτω έχουμε ένα σύστημα 2times2

5X+10Y= 203X+4Y= 10

Οι μεταβλητές σε αυτή την περίπτωση είναι X και YΕ Ι Κοντογιώργης copy 85

Συστήματα Επίλυσης

I Το Σύστημα επίλυσης είναι μια σειρά τιμών μεταβλητώνπου ικανοποιούν το σύστημα ταυτόχρονα

I Σε μια σημειογραφική παράσταση το προηγούμενοπαράδειγμα μπορεί να γραφτεί ως εξής

S = (XY) | 5X+10Y = 20 και 3X+4Y = 10

I Το σύστημα επίλυσης μπορεί να είναι1 μηδενικό2 πεπερασμένο ή3 άπειρο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 86

2times2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική Ανάλυση

I Σε ένα δισδιάστατο γράφημα ένα σύστημα εξισώσεων2times2 αναπαρίστανται με ευθείες γραμμές Υπόρχουν τρίαενδεχόμενα

1 Οι ευθείες τέμνονται Το σημείο τομής αντιπροσωπεύει τηλύση του συστήματος εξισώσεων Αυτό το σημείοαλληλεπίδρασης είναι μια δέσμη τιμών X και Y που ικανοποιείκαι τις δύο εξισώσειςΕάν υπάρχει μόνο μια δέσμη τιμών για τις μεταβλητές που ναικανοποιεί το σύστημα εξισώσεων το σύστημα λέμε ότι έχειΜ Λ

2 Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες μεταξύ τους ∆εν έχουν κοινόσημείο Συνεπώς οι ευθείες δεν τέμνονται ποτέ Το σύστημαλέμε ότι ∆ ΛΑυτό υπονοεί ότι δεν υπάρχουν τιμές για τις μεταβλητές πουνα ικανοποιούν και τις δύο εξισώσεις Σε αυτή τηνπερίπτωση οι εξισώσεις στο σύστημα είναι Α

3 Και οι δύο εξισώσεις αναπαρίστανται ως μια κοινή ευθεία καιθεωρούνται ισοδύναμες εξισώσεις ´Ετσι το σύστημα έχειΑ Λ Αυτό συμβαίνει γιατί υπάρχει άπειροςαριθμός κοινών σημείων στις δύο γραμμές

Ε Ι Κοντογιώργης copy 87

I Π Θεωρείστε ένα σύστημα 2times22X+4Y= 203X+ Y= 10

I

X

Y

(24)

3X +Y = 10

2X +4Y = 20

0 2 4 6 8 10 12

2

4

6

8

10

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 88

I Το σημείο τομής δίνεται από το X= 2 και Y= 4Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές του X και Y στις δύοεξισώσεις δίνουν 20 = 20 και 10 = 10 αντίστοιχα

I Αυτό υποδειλώνει ότι X= 2 και Y= 4 είναι η σωστή λύση

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times23Xminus2Y= 6

minus15X+10Y=minus30

I

X

Y

(20)

(0minus3)

3X minus2Y = 6

minus15X +10Y =minus30

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 89

I Οι δύο εξισώσεις απλοποιούνται σε Xminus 23 Y= 2

Οι δύο εξισώσεις είναι ισοδύναμες και δίνουν έναπεπερασμένο αριθμό λύσεων έτσι ώστε

X= 0 Y =minus3X= 2 Y = 0X= 4 Y = 3

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times26Xminus12Y= 24

minus32X+3Y= 9

Οι εξισώσεις απλοποιούνται σεXminus2Y= 4Xminus2Y=minus6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 90

I

X

Y

(40)

(0minus2)

(minus60)

(03)

X minus2Y =minus6

X minus2Y = 4

0-0

I Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες και συνεπώς το σύστημαδεν έχει λύση ´Ετσι το σύστημα εξισώσεων είναιασύμπτωτο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 91

Περίληψη 2times2 Συστήματα Εξισώσεων∆ίνεται ένα Σύστημα Γραμμικών Εξισώσεων 2times2

Y=m1X+ c1Y=m2X+ c2

1 Υπάρχει μια στο σύστημα εάνm1 6= m2

2 ∆εν υπάρχει στο σύστημα εάνm1 = m2 και c1 6= c2

3 Υπάρχει εάνm1 = m2 και c1 = c2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 92

∆ιαδικασίες Απαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής χρησιμοποιεί πολλαπλασιασμόκαι πρόσθεση έτσι ώστε

1 Να απαλοιφεί μια από τις δύο μεταβλητές

2 Η εξίσωση που εξάγεται είναι συνάρτηση των υπόλοιπωνμεταβλητών

3 Αντικαθιστώντας την τιμή στην μεταβλητή σε μια από τιςαρχικές εξισώσεις βρίσκουμε την τιμή για τηναπολοιφθήσα μεταβλητή

Ε Ι Κοντογιώργης copy 93

ΠαραδείγματαI Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

2X +4Y = 20 (1)3X + Y = 10 (2)

Πολλαπλασιάζοντας τη δεύτερη εξίσωση με minus4 παίρνουμε

minus12X minus4Y =minus40 (3)

Προσθέτοντας την εξίσωση (1) στο (3)

2X + 4Y = 20minus12X minus 4Y = minus40minus10X = minus20

ή

X = 2 (4)Ε Ι Κοντογιώργης copy 94

Αντικαθιστώντας X= 2 στην εξίσωση (1) δίνεται2 middot2+4Y = 20 ή Y=4

´Ετσι η μοναδική λύση του συστήματος δίνεται από τοX= 2 και Y= 4 Μπορεί να επιβεβαιωθεί ότι αυτή είναι ησωστή λύση αντικαθιστώντας X= 2 και Y= 4 στηνεξίσωση (1) και (2)

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times23X minus2Y = 6 (5)

minus15X +10Y =minus30 (6)

Για την απαλοιφή της μεταβλητής X η εξίσωση (5)πολλαπλασιάζεται με 5 και το αποτέλεσμα προστίθεταιστην εξίσωση (6)

15X minus 10Y = 30minus15X + 10Y = minus30

0 = 0 Ε Ι Κοντογιώργης copy 95

Οι τελευταίες πράξεις υπονοούν ότι οι εξίσωσεις (5) και(6) είναι ισοδύναμες και έτσι υπάρχει άπειρος αριθμόςλύσεωνΓια να προσδιορίσουμε τις λύσεις του συστήματος μια απότις αρχικές εξισώσεις λύνεται ως προς μια μεταβλητή Ανγια παράδειγμα η εξίσωση (5) λύνεται ως προς Y δίνει

Y =32Xminus3

Σαν αποτέλεσμα γενικεύοντας τις λύσεις του συστήματοςέχουμε

X τυχαίο και Y =32Xminus3

Πχ για X= 4 υπονοείται ότι Y=32 middot4minus3 = 3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 96

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

6X minus12Y = 24 (7)

minus32X +3Y = 9 (8)

Πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση (8) με 4 καιπροσθέτοντας το αποτέλεσμα στην εξίσωση (7)παίρνουμε

6X minus 12Y = 24minus6X + 12Y = 36

0 = 60

Η πιο πάνω αντιλογία υπονοεί ότι δεν υπάρχει λύση τουσυστήματος εξισώσεων

Ε Ι Κοντογιώργης copy 97

3times2 Συστήματα Εξισώσεων I

1 Μ Λ

X

Y

(32)

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minusY = 1

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 98

3times2 Συστήματα Εξισώσεων II

2 Α Λ

X

Y Εξις (1)Εξις (2)Εξις (3)

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 99

3times2 Συστήματα Εξισώσεων III3 Κ

(α) ´Οταν και οι τρεις εξισώσεις είναι παράλληλες

X

Y

2X minusY =minus8

2X minusY = 2

2X minusY = 12

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 100

3times2 Συστήματα Εξισώσεων IV(β) ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ τωνεξισώσεων

X

Y

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minus2Y =minus4

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 101

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική ΑνάλυσηΣε ένα γράφημα 2 διαστάσεων ένα σύστημα mtimes2(mgt2) εξισώσεων παριστάνεται με m ευθείες ´Οπωςσυμβαίνει στα συστήματα 2times2 υπάρχουν τρίαενδεχόμενα

1 ´Ολες οι ευθείες τέμνονται στο ίδιο σημείο και έτσιυπάρχει

2 ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ των mεξισώσεων Αυτό σημαίνει ότι όλες οι ευθείες είναιπαράλληλες Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα Λ

3 Οι m εξισώσεις είναι ισοδύναμες πχ παρασταίνονται σανμια ευθεία Σε αυτή την περίπτωση υπάρχει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 102

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων ∆ιαδικασίαΑπαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής για την επίλυση ενός συστήματοςmtimes2 μπορεί να περιγραφεί ως ακολούθωςΕπιλέξτε και λύστε σύστημα με δύο εξισώσεις

1 Εάν δεν υπάρχει λύση τότε ολόκληρο το σύστημα δεν έχειλύση

2 Εάν υπάρχει μοναδική λύση που ικανοποιεί τις υπόλοιπεςmminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα έχει μία μοναδική λύση

3 Εάν η λύση είναι μοναδική αλλά δεν ικανοποιεί τιςυπόλοιπες mminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα δεν έχει λύση

4 Εάν οι 2 λύσεις είναι ισοδύναμες απάλοιψτε τη μίααπό τις δύο εξισώσεις και ξεκινήστε από την αρχήλαμβάνοντας υπόψη ένα σύστημα (mminus1)times2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 103

ΠαράδείγμαI Θεωρείστε ένα σύστημα 5times2

XminusY= 1X+2Y=minus8

3Xminus2Y= 02Xminus5Y= 11minus4X+3Y=minus1

I Η λύση των πρώτων δύο εξισώσεων δίνετε απόY =minus3 και X =minus2

I Αντικαθιστώντας τη λύση στις υπόλοιπες τρεις εξισώσειςπαίρνετε αντίστοιχα

0 = 0 11 = 11 και minus1 =minus1I Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση

X=minus2 και Y=minus3Ε Ι Κοντογιώργης copy 104

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian

Η μέθοδος απολοιφής Gaussian μετατρέπει το αρχικόσύστημα εξισώσεων σε διαγώνια μορφή επαναλαμβάνονταςστις εξισώσεις τις ακόλουθες τρεις διαδικασίες

1 Πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης μεμια θετική σταθερά

2 Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού θα προστεθεί σεάλλη εξίσωση

3 Η σειρά των εξισώσεων μπορεί να αλλάξει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 105

ΠαράδείγμαΠ Θεωρείστε το σύστημα 2times2

2X minus 3Y = 7 (Εξ 1)X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με 12 για να πάρετε

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με minus1 καιπροσθέστε την στην (Εξ 2)

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

52Y =

152 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 106

Στάδιο 3 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 25

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

Y = 3 (Εξ 2)

Στάδιο 4 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 32 και

προσθέστε την στην (Εξ 1)

X = 1 (Εξ 1)Y = 3 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 107

Π Θεωρείστε το σύστημα 2times2

5X + 20Y = 254X minus 7Y =minus26

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να εκφραστεί ως

R1 5 20 25R2 4 minus7 minus26

Η κάθετη γραμμή χρησιμοποιείται για διαχωρισμό τηςαριστερής από τη δεξιά πλευρά των εξισώσεων Το Riυπονοεί τη γραμμή (Row) i

Ε Ι Κοντογιώργης copy 108

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάζουμε τη R1 με 15 και το θέτουμε

R1larr 15R1

R1 1 4 5R2 4 minus7 minus26

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάζουμε την R1 με minus4 και τηνπροσθέτουμε στην R2 Εν συντομίαR2larrminus4R1+R2

R1 1 4 5R2 0 minus23 minus46

Στάδιο 3 R2larrminus 123R2

R1 1 4 5R2 0 1 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 109

Στάδιο 4 R1larrminus4R2+R1

R1 1 0 minus3R2 0 1 2

Το αρχικό σύστημα εξισώσεων μετατρέπεται σε διαγώνιαμορφή όπως πιο κάτω

X =minus3Y = 2

το οποίο δίνει τη λύση του συστήματος

Ε Ι Κοντογιώργης copy 110

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 I

Το σύστημα εξισώσεων 3times3 μετετρέπεται σε διαγώνιαμορφή Η μετατροπή γίνεται στήλη με στήλη από τααριστερά προς τα δεξιά

Π Θεωρήστε το σύστημα 3times3

X1 + X2 + X3 = 2X1 minus 3X2 + 2X3 = 7

4X1 minus 2X2 minus X3 = 9

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να γραφτεί ως

Ε Ι Κοντογιώργης copy 111

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 II

1 1 1 21 minus3 2 74 minus2 minus1 9

Ε Ι Κοντογιώργης copy 112

I Παράδειγμα1 Βρείτε το άθροισμα των πρώτων 10 όρων μιας γεωμετρικής

σειράς4 8 16 32

Ο πρώτος όρος είναι a= 4 και η αναλογία r = 2 καιn= 10 ´Ετσι

S10 =4(1minus210)

1minus2 = 4092

2 Θεωρείστε τη γπ4 minus8 16 minus32 64 minus128 256 minus512

Σε αυτή την περίπτωση ο πρώτος όρος είναι a= 4 ηαναλογία είναι r =minus2 και n= 8´Ετσι

S8 =4(1minus (minus2)8)

1minus (minus2)=minus340

Ε Ι Κοντογιώργης copy 54

Συνεχείς ανατοκισμός

Οι περισσότεροι τραπεζικοί λογαριασμοί και τα δάνειαυιοθετούν ανατοκισμό - εφαρμόζοντας συνεχή ανατοκισμόΘεωρείστε ένα λογαριασμό που προσφέρει τόκο με ετήσιοεπιτόκιο r (πχ 7) Εάν το επιτόκιο είναι συνεχέςσε χρονιαία βάση τότε μετά από 1 χρόνο το χρονιαίοεπιτόκιο προστίθεται στο αρχικό κεφάλαιο για νακαθορίσει ένα μεγαλύτερο κεφάλαιο τον δεύτερο χρόνο

´Ετσι κατά τη διάρκεια του δεύτερου χρόνου ολογαριασμός κερδίζει επιτόκιο πάνω στο επιτόκιοΑυτή είναι η επίδραση του ανατοκισμού που συνεχίζεταιχρόνο με το χρόνο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 55

I Με τον ετήσιο ανατοκισμό το κεφάλαιο πουσυσσωρεύεται στο λογαριασμό πολλαπλασιάζεται με

(1+ r)

´Ετσι το κεφάλαιο A θα αυξηθεί σε

A(1+ r) = A+A middot r

τον επόμενο χρόνο

I Με το πέρας και του δεύτερου χρόνου το κεφάλαιο θααυξηθεί ακόμα (1+ r) σε (1+ r)2

´Ετσι το κεφάλαιο καταλήγει σε

A(1+ r)(1+ r) = A(1+ r)2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 56

I Κατά παρόμοιο τρόπο στο τέλος του τρίτου χρόνου τοποσό θα αυξηθεί κατά (1+ r)3

I Μετά από n χρόνια το ποσό θα αυξηθεί κατά (1+ r)n

I ´Ετσι το κεφάλαιο (επένδυση) A θα αυξηθεί με συνεχήανατοκισμό σε A(1+ r)n μετά από n χρόνια

I Ο τύπος (1+ r)n εκθέτει γεωμετρική αύξηση λόγω τηςn δύναμης

Ε Ι Κοντογιώργης copy 57

ΠαραδείγματαI Εάν το επιτόκιο είναι r = 5 τότε το κεφάλαιοA= $1000 που βρίσκεται στην τράπεζα n= 20 χρόνιαθα αυξηθεί κατά

(1+ r)n = (1+005)20 = 2653 φορές

´Ετσι το ποσό θα καταλήξειA(1+ r)n = $265330

I Βρέστε το χρόνο που χρειάζεται για ένα λογαργιασμό ναδιπλασιάσει το διαθέσιμο κεφάλαιο του όταν r = 7 καιr = 10Ζητούμε να βρούμε το n έτσι ώστε

(1+ r)n = 2Ε Ι Κοντογιώργης copy 58

I Υπολογίζοντας το λογάριθμο του τελευταίου παίρνουμε

log(1+ r)n = log(2)ή n log(1+ r) = log(2)

´Ετσιn=

log2log(1+ r)

I Για r = 7 και r = 10 ο χρόνος n πουχρειάζεται για διπλασιασμό της επένδυσης υπολογίζεταισε 1024 και 727 αντίστοιχα

Ε Ι Κοντογιώργης copy 59

I Αν το επιτόκιο είναι r = 7 τότε πιο θα είναι τοσυνολικό ποσό στο λογαριασμό μετά από 205 και41 χρόνια αντίστοιχα

Μετά τα πρώτα 1025 χρόνια το ποσό A θαδιπλασιαστεί σε 2A Για τα επόμενα 1025 χρόνιατο ποσό θα ξαναδιπλασιαστεί σε 4A ´Ετσι μετά από205 χρόνια το ποσό θα αυξηθεί κατά 4 φορές

Με το πέρας ακόμα 205 χρόνων το ποσό θα αυξηθείακόμα 4 φορές σε 16 ´Ετσι μετά από 41 χρόνιατο κεφάλαιο A γίνεται 16A

Ε Ι Κοντογιώργης copy 60

Ασκήσεις και Παραδείγματα

I Υπολογίστε τη Μελλοντική Αξία (Future Value (FV)) τουκεφαλαίου A= 1500 που κερδίζει ετήσιο επιτόκιοr = 5 για n= 10 έτη

FV =A(1+ r)n = 1500(1+005)10 = 244334

I Πόσα έτη απαιτούνται για να τριπλασιαστεί ένα ποσόπου αφήνετε στην τράπεζα με επιτόκιο r = 5∆ηλαδή βρείτε το n όπου A= 1 r = 5 και FV = 3

FV =A(1+ r)n ή (1+ r)n =FVA

Ε Ι Κοντογιώργης copy 61

Υπολογίζοντας τους λογαρίθμους παίρνουμε

log(1+ r)n = log(FVA)

ή n log(1+ r) = log(FVA)

´Ετσι

n=log(FVA)

log(1+ r) =log(3)

log(105)

= 2252

Ε Ι Κοντογιώργης copy 62

I Βρείτε την παρούσα αξία A έτσι ώστε σε δέκα έτη μεσταθερό επιτόκιο r = 6 να είναι 100KΒρείτε το A όπου FV = 100000 r = 6 και n= 10

FV =A(1+ r)n ή A=FV

(1+ r)n

´Ετσι A=100000

(106)10= 5583948

I Βρείτε την ετησιοποιημένη απόδοση (AER AnnualEquivalent Rate) μιας μηνιαίας κατάθεσης με σταθερόεπιτοκίο 394 Μια τέτοια κατάθεση λαμβάνει το επιτόκιο στη λήξηΣυνεπώς κάθε μήνα ο λογαριασμός λαμβάνει

r = 0039412 = 000328

επιτόκιο που επανεπενδύεται (συνεχής ανατοκισμός)Ε Ι Κοντογιώργης copy 63

Επανεπενδύοντας το επιτόκιο κάθε μήνα στη διάρκειαενός έτους το κεφάλαιο θα αυξηθεί σε

(1+ r)12 = (1+000328)12 = 104012

´Ετσι το ΑΕΡ είναι ισοδύναμο με 004012 = 4012I Υπολογίστε το επιτόκιο ενός σταθερού λογαριασμού

κατάθεσης 7-ημερών που έχει AER επιτόκιο r = 425Θεωρείστε ρ το εβδομαδιαίο επιτόκιο

´Ετσι (1+ρ)52 = (1+00425)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 64

Παίρνοντας τους λογαρίθμους έχουμε52log(1+ρ) = log10425

ή log(1+ρ) =log10425

52

ή 1+ρ= 10( log10425

52)

Αυτό μας δίνει

ρ= 10

( log1042552

)minus1 = 008

´Ετσι το συνεχές επιτόκιο μιας επταήμερης κατάθεσης είναιρtimes52 = 41638

Εναλλακτικά (1+ρ)52 = (1+00425) δίνει

(1+ρ) =52radic10425ή ρ=

52radic10425minus = 008Ε Ι Κοντογιώργης copy 65

I Υπολογίστε την ετήσια απόδοση r έτσι ώστε A= 10000να επιστρέφει FV = 35000 σε n= 20 χρόνια

FV =A(1+ r)n ή (1+ r)n =FVA

´Ετσι

1+ r =nradic

FVA

Επομένως

r =nradic

FVA minus1 =

20radic

3500010000 minus1 = 00646 = 646

Ε Ι Κοντογιώργης copy 66

Εναλλακτικά παίρνοντας τους λογαρίθμους

log(1+ r)n = log(FVA) ή n log(1+ r) = log

(FVA)

´Ετσι

1+ r = 10(1n log

(FVA))

ή r = 10(1n log

(FVA))minus1

= 10( 120 log

(3500010000

))minus1

= 646

Ε Ι Κοντογιώργης copy 67

Γραφική Αναπαράσταση I

I Υποθέστε ότι έχουμε y= 3x+2 Καθώς έχουμε μόνο μιαδύναμη για το x πρέπει να λύσουμε γραμμική εξίσωσηκαι να σχεδιάσουμε μια ευθεία γραμμή Αρχικά θα πρέπεινα σχεδιάσουμε ένα T-chart Αυτό έχει τη μορφή

x y = 3x+2 (xy)

I Επιλέγουμε μια τιμή για το x και λύνουμε ως προς y

x y= 3x+2 (xy)minus2 minus4 (minus2minus4)0 2 (02)2 8 (28)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 68

Γραφική Αναπαράσταση II

-

6

X

Y

bull

bull

bull

I Βλέπουμε μια ευθεία με ανοδική τάση (έχοντας θετικήκλίση m= 3) καιτέμνει τον άξονα y στο σημείο y= 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 69

Γραφική Αναπαράσταση III

I Μια Τετραγωνική εξίσωση περιέχει x2 Για τηναναπαράσταση τετραγωνικών εξισώσεων χρειάζεται ναβρούμε περισσότερα από τρία σημεία στο σχεδιάγραμμα

Για παράδειγμα υποθέστε ότι y= x2minus6x+5 καιδίνεται το πιο κάτω T-chart

x y= x2minus6x+5 (xy)0 5 (05)1 0 (10)3 minus4 (3minus4)5 0 (50)6 5 (65)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 70

Γραφική Αναπαράσταση IV

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

-

6

X

Y

bull

bull

bull

bull

bull

Ε Ι Κοντογιώργης copy 71

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(1x + 2)

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(-3x + 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 72

-15

-10

-5

0

5

10

15

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(3x - 2)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 73

-20

0

20

40

60

80

100

120

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2+x)

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 74

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

1250

1500

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3+x2+x)

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x4)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 75

-25

-2

-15

-1

-05

0

05

1

15

2

25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(log(x))

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(x))

Ε Ι Κοντογιώργης copy 76

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(-x))

-5000

0

5000

10000

15000

20000

25000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(exp(x)+x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 77

Ανισότητες I

I Οι ανισότητες αποτελούνται από δύο ή τρεις αλγεβρικέςεκφράσεις που είναι συνδεδεμένες με τα σύμβολαανισότητας Τα σύμβολα αυτά είναι

lt μικρότερο τουgt μεγαλύτερο τουle μικρότερο ή ίσο τουge μεγαλύτερο ή ίσο του

I Παραδείγματα xgty yge x2 και ylt5x+1

I Το πρώτο βήμα για την αναπαράσταση ανισότητας τηςμορφής ygtx είναι να παραστήσουμε γραφικά τηνισότητα y= x

Ε Ι Κοντογιώργης copy 78

Ανισότητες II

I ygtx

Κάνετε δοκιμή με ένα σημείο να δείτε κατά πόσοικανοποιεί την ανισότητα Εάν ναι τότε σκιάστε τηνπεριοχή αυτή του σχεδιαγράμματος διαφορετικά σκιάστετην άλλη πλευρά

Ε Ι Κοντογιώργης copy 79

Ανισότητες III

I yltx

Ε Ι Κοντογιώργης copy 80

Ανισότητες IV

I yle 5x+1 και ygt5x+1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 81

Ανισότητες V

I yge x2 και yle x2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 82

Ανισότητες VI

I ygtx3 και yle x3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 83

Συστήματα Γραμμικών ΕξισώσεωνΠεριεχόμενα

1 Ε

2 Γ Α

ΑναφορέςΚεφάλαια 4 και 5FS Budnick Applied Mathematics for Business Economicsand the Social Sciences 4th edition McGraw-Hill 1993

Ε Ι Κοντογιώργης copy 84

Συστήματα Εξισώσεων

I ´Ενα σύστημα εξισώσεων συνδυάζει περισσότερες από μίαεξισώσεις

I ´Ενα σύστημα m εξισώσεων όπου κάθε εξίσωσηαποτελείται από n μεταβλητές ονομάζεται mtimesnσύστημα ή λέμε ότι έχει διαστάσεις mtimesn

I ΠαράδειγμαΠαρακάτω έχουμε ένα σύστημα 2times2

5X+10Y= 203X+4Y= 10

Οι μεταβλητές σε αυτή την περίπτωση είναι X και YΕ Ι Κοντογιώργης copy 85

Συστήματα Επίλυσης

I Το Σύστημα επίλυσης είναι μια σειρά τιμών μεταβλητώνπου ικανοποιούν το σύστημα ταυτόχρονα

I Σε μια σημειογραφική παράσταση το προηγούμενοπαράδειγμα μπορεί να γραφτεί ως εξής

S = (XY) | 5X+10Y = 20 και 3X+4Y = 10

I Το σύστημα επίλυσης μπορεί να είναι1 μηδενικό2 πεπερασμένο ή3 άπειρο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 86

2times2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική Ανάλυση

I Σε ένα δισδιάστατο γράφημα ένα σύστημα εξισώσεων2times2 αναπαρίστανται με ευθείες γραμμές Υπόρχουν τρίαενδεχόμενα

1 Οι ευθείες τέμνονται Το σημείο τομής αντιπροσωπεύει τηλύση του συστήματος εξισώσεων Αυτό το σημείοαλληλεπίδρασης είναι μια δέσμη τιμών X και Y που ικανοποιείκαι τις δύο εξισώσειςΕάν υπάρχει μόνο μια δέσμη τιμών για τις μεταβλητές που ναικανοποιεί το σύστημα εξισώσεων το σύστημα λέμε ότι έχειΜ Λ

2 Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες μεταξύ τους ∆εν έχουν κοινόσημείο Συνεπώς οι ευθείες δεν τέμνονται ποτέ Το σύστημαλέμε ότι ∆ ΛΑυτό υπονοεί ότι δεν υπάρχουν τιμές για τις μεταβλητές πουνα ικανοποιούν και τις δύο εξισώσεις Σε αυτή τηνπερίπτωση οι εξισώσεις στο σύστημα είναι Α

3 Και οι δύο εξισώσεις αναπαρίστανται ως μια κοινή ευθεία καιθεωρούνται ισοδύναμες εξισώσεις ´Ετσι το σύστημα έχειΑ Λ Αυτό συμβαίνει γιατί υπάρχει άπειροςαριθμός κοινών σημείων στις δύο γραμμές

Ε Ι Κοντογιώργης copy 87

I Π Θεωρείστε ένα σύστημα 2times22X+4Y= 203X+ Y= 10

I

X

Y

(24)

3X +Y = 10

2X +4Y = 20

0 2 4 6 8 10 12

2

4

6

8

10

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 88

I Το σημείο τομής δίνεται από το X= 2 και Y= 4Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές του X και Y στις δύοεξισώσεις δίνουν 20 = 20 και 10 = 10 αντίστοιχα

I Αυτό υποδειλώνει ότι X= 2 και Y= 4 είναι η σωστή λύση

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times23Xminus2Y= 6

minus15X+10Y=minus30

I

X

Y

(20)

(0minus3)

3X minus2Y = 6

minus15X +10Y =minus30

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 89

I Οι δύο εξισώσεις απλοποιούνται σε Xminus 23 Y= 2

Οι δύο εξισώσεις είναι ισοδύναμες και δίνουν έναπεπερασμένο αριθμό λύσεων έτσι ώστε

X= 0 Y =minus3X= 2 Y = 0X= 4 Y = 3

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times26Xminus12Y= 24

minus32X+3Y= 9

Οι εξισώσεις απλοποιούνται σεXminus2Y= 4Xminus2Y=minus6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 90

I

X

Y

(40)

(0minus2)

(minus60)

(03)

X minus2Y =minus6

X minus2Y = 4

0-0

I Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες και συνεπώς το σύστημαδεν έχει λύση ´Ετσι το σύστημα εξισώσεων είναιασύμπτωτο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 91

Περίληψη 2times2 Συστήματα Εξισώσεων∆ίνεται ένα Σύστημα Γραμμικών Εξισώσεων 2times2

Y=m1X+ c1Y=m2X+ c2

1 Υπάρχει μια στο σύστημα εάνm1 6= m2

2 ∆εν υπάρχει στο σύστημα εάνm1 = m2 και c1 6= c2

3 Υπάρχει εάνm1 = m2 και c1 = c2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 92

∆ιαδικασίες Απαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής χρησιμοποιεί πολλαπλασιασμόκαι πρόσθεση έτσι ώστε

1 Να απαλοιφεί μια από τις δύο μεταβλητές

2 Η εξίσωση που εξάγεται είναι συνάρτηση των υπόλοιπωνμεταβλητών

3 Αντικαθιστώντας την τιμή στην μεταβλητή σε μια από τιςαρχικές εξισώσεις βρίσκουμε την τιμή για τηναπολοιφθήσα μεταβλητή

Ε Ι Κοντογιώργης copy 93

ΠαραδείγματαI Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

2X +4Y = 20 (1)3X + Y = 10 (2)

Πολλαπλασιάζοντας τη δεύτερη εξίσωση με minus4 παίρνουμε

minus12X minus4Y =minus40 (3)

Προσθέτοντας την εξίσωση (1) στο (3)

2X + 4Y = 20minus12X minus 4Y = minus40minus10X = minus20

ή

X = 2 (4)Ε Ι Κοντογιώργης copy 94

Αντικαθιστώντας X= 2 στην εξίσωση (1) δίνεται2 middot2+4Y = 20 ή Y=4

´Ετσι η μοναδική λύση του συστήματος δίνεται από τοX= 2 και Y= 4 Μπορεί να επιβεβαιωθεί ότι αυτή είναι ησωστή λύση αντικαθιστώντας X= 2 και Y= 4 στηνεξίσωση (1) και (2)

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times23X minus2Y = 6 (5)

minus15X +10Y =minus30 (6)

Για την απαλοιφή της μεταβλητής X η εξίσωση (5)πολλαπλασιάζεται με 5 και το αποτέλεσμα προστίθεταιστην εξίσωση (6)

15X minus 10Y = 30minus15X + 10Y = minus30

0 = 0 Ε Ι Κοντογιώργης copy 95

Οι τελευταίες πράξεις υπονοούν ότι οι εξίσωσεις (5) και(6) είναι ισοδύναμες και έτσι υπάρχει άπειρος αριθμόςλύσεωνΓια να προσδιορίσουμε τις λύσεις του συστήματος μια απότις αρχικές εξισώσεις λύνεται ως προς μια μεταβλητή Ανγια παράδειγμα η εξίσωση (5) λύνεται ως προς Y δίνει

Y =32Xminus3

Σαν αποτέλεσμα γενικεύοντας τις λύσεις του συστήματοςέχουμε

X τυχαίο και Y =32Xminus3

Πχ για X= 4 υπονοείται ότι Y=32 middot4minus3 = 3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 96

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

6X minus12Y = 24 (7)

minus32X +3Y = 9 (8)

Πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση (8) με 4 καιπροσθέτοντας το αποτέλεσμα στην εξίσωση (7)παίρνουμε

6X minus 12Y = 24minus6X + 12Y = 36

0 = 60

Η πιο πάνω αντιλογία υπονοεί ότι δεν υπάρχει λύση τουσυστήματος εξισώσεων

Ε Ι Κοντογιώργης copy 97

3times2 Συστήματα Εξισώσεων I

1 Μ Λ

X

Y

(32)

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minusY = 1

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 98

3times2 Συστήματα Εξισώσεων II

2 Α Λ

X

Y Εξις (1)Εξις (2)Εξις (3)

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 99

3times2 Συστήματα Εξισώσεων III3 Κ

(α) ´Οταν και οι τρεις εξισώσεις είναι παράλληλες

X

Y

2X minusY =minus8

2X minusY = 2

2X minusY = 12

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 100

3times2 Συστήματα Εξισώσεων IV(β) ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ τωνεξισώσεων

X

Y

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minus2Y =minus4

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 101

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική ΑνάλυσηΣε ένα γράφημα 2 διαστάσεων ένα σύστημα mtimes2(mgt2) εξισώσεων παριστάνεται με m ευθείες ´Οπωςσυμβαίνει στα συστήματα 2times2 υπάρχουν τρίαενδεχόμενα

1 ´Ολες οι ευθείες τέμνονται στο ίδιο σημείο και έτσιυπάρχει

2 ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ των mεξισώσεων Αυτό σημαίνει ότι όλες οι ευθείες είναιπαράλληλες Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα Λ

3 Οι m εξισώσεις είναι ισοδύναμες πχ παρασταίνονται σανμια ευθεία Σε αυτή την περίπτωση υπάρχει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 102

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων ∆ιαδικασίαΑπαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής για την επίλυση ενός συστήματοςmtimes2 μπορεί να περιγραφεί ως ακολούθωςΕπιλέξτε και λύστε σύστημα με δύο εξισώσεις

1 Εάν δεν υπάρχει λύση τότε ολόκληρο το σύστημα δεν έχειλύση

2 Εάν υπάρχει μοναδική λύση που ικανοποιεί τις υπόλοιπεςmminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα έχει μία μοναδική λύση

3 Εάν η λύση είναι μοναδική αλλά δεν ικανοποιεί τιςυπόλοιπες mminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα δεν έχει λύση

4 Εάν οι 2 λύσεις είναι ισοδύναμες απάλοιψτε τη μίααπό τις δύο εξισώσεις και ξεκινήστε από την αρχήλαμβάνοντας υπόψη ένα σύστημα (mminus1)times2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 103

ΠαράδείγμαI Θεωρείστε ένα σύστημα 5times2

XminusY= 1X+2Y=minus8

3Xminus2Y= 02Xminus5Y= 11minus4X+3Y=minus1

I Η λύση των πρώτων δύο εξισώσεων δίνετε απόY =minus3 και X =minus2

I Αντικαθιστώντας τη λύση στις υπόλοιπες τρεις εξισώσειςπαίρνετε αντίστοιχα

0 = 0 11 = 11 και minus1 =minus1I Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση

X=minus2 και Y=minus3Ε Ι Κοντογιώργης copy 104

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian

Η μέθοδος απολοιφής Gaussian μετατρέπει το αρχικόσύστημα εξισώσεων σε διαγώνια μορφή επαναλαμβάνονταςστις εξισώσεις τις ακόλουθες τρεις διαδικασίες

1 Πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης μεμια θετική σταθερά

2 Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού θα προστεθεί σεάλλη εξίσωση

3 Η σειρά των εξισώσεων μπορεί να αλλάξει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 105

ΠαράδείγμαΠ Θεωρείστε το σύστημα 2times2

2X minus 3Y = 7 (Εξ 1)X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με 12 για να πάρετε

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με minus1 καιπροσθέστε την στην (Εξ 2)

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

52Y =

152 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 106

Στάδιο 3 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 25

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

Y = 3 (Εξ 2)

Στάδιο 4 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 32 και

προσθέστε την στην (Εξ 1)

X = 1 (Εξ 1)Y = 3 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 107

Π Θεωρείστε το σύστημα 2times2

5X + 20Y = 254X minus 7Y =minus26

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να εκφραστεί ως

R1 5 20 25R2 4 minus7 minus26

Η κάθετη γραμμή χρησιμοποιείται για διαχωρισμό τηςαριστερής από τη δεξιά πλευρά των εξισώσεων Το Riυπονοεί τη γραμμή (Row) i

Ε Ι Κοντογιώργης copy 108

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάζουμε τη R1 με 15 και το θέτουμε

R1larr 15R1

R1 1 4 5R2 4 minus7 minus26

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάζουμε την R1 με minus4 και τηνπροσθέτουμε στην R2 Εν συντομίαR2larrminus4R1+R2

R1 1 4 5R2 0 minus23 minus46

Στάδιο 3 R2larrminus 123R2

R1 1 4 5R2 0 1 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 109

Στάδιο 4 R1larrminus4R2+R1

R1 1 0 minus3R2 0 1 2

Το αρχικό σύστημα εξισώσεων μετατρέπεται σε διαγώνιαμορφή όπως πιο κάτω

X =minus3Y = 2

το οποίο δίνει τη λύση του συστήματος

Ε Ι Κοντογιώργης copy 110

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 I

Το σύστημα εξισώσεων 3times3 μετετρέπεται σε διαγώνιαμορφή Η μετατροπή γίνεται στήλη με στήλη από τααριστερά προς τα δεξιά

Π Θεωρήστε το σύστημα 3times3

X1 + X2 + X3 = 2X1 minus 3X2 + 2X3 = 7

4X1 minus 2X2 minus X3 = 9

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να γραφτεί ως

Ε Ι Κοντογιώργης copy 111

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 II

1 1 1 21 minus3 2 74 minus2 minus1 9

Ε Ι Κοντογιώργης copy 112

Συνεχείς ανατοκισμός

Οι περισσότεροι τραπεζικοί λογαριασμοί και τα δάνειαυιοθετούν ανατοκισμό - εφαρμόζοντας συνεχή ανατοκισμόΘεωρείστε ένα λογαριασμό που προσφέρει τόκο με ετήσιοεπιτόκιο r (πχ 7) Εάν το επιτόκιο είναι συνεχέςσε χρονιαία βάση τότε μετά από 1 χρόνο το χρονιαίοεπιτόκιο προστίθεται στο αρχικό κεφάλαιο για νακαθορίσει ένα μεγαλύτερο κεφάλαιο τον δεύτερο χρόνο

´Ετσι κατά τη διάρκεια του δεύτερου χρόνου ολογαριασμός κερδίζει επιτόκιο πάνω στο επιτόκιοΑυτή είναι η επίδραση του ανατοκισμού που συνεχίζεταιχρόνο με το χρόνο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 55

I Με τον ετήσιο ανατοκισμό το κεφάλαιο πουσυσσωρεύεται στο λογαριασμό πολλαπλασιάζεται με

(1+ r)

´Ετσι το κεφάλαιο A θα αυξηθεί σε

A(1+ r) = A+A middot r

τον επόμενο χρόνο

I Με το πέρας και του δεύτερου χρόνου το κεφάλαιο θααυξηθεί ακόμα (1+ r) σε (1+ r)2

´Ετσι το κεφάλαιο καταλήγει σε

A(1+ r)(1+ r) = A(1+ r)2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 56

I Κατά παρόμοιο τρόπο στο τέλος του τρίτου χρόνου τοποσό θα αυξηθεί κατά (1+ r)3

I Μετά από n χρόνια το ποσό θα αυξηθεί κατά (1+ r)n

I ´Ετσι το κεφάλαιο (επένδυση) A θα αυξηθεί με συνεχήανατοκισμό σε A(1+ r)n μετά από n χρόνια

I Ο τύπος (1+ r)n εκθέτει γεωμετρική αύξηση λόγω τηςn δύναμης

Ε Ι Κοντογιώργης copy 57

ΠαραδείγματαI Εάν το επιτόκιο είναι r = 5 τότε το κεφάλαιοA= $1000 που βρίσκεται στην τράπεζα n= 20 χρόνιαθα αυξηθεί κατά

(1+ r)n = (1+005)20 = 2653 φορές

´Ετσι το ποσό θα καταλήξειA(1+ r)n = $265330

I Βρέστε το χρόνο που χρειάζεται για ένα λογαργιασμό ναδιπλασιάσει το διαθέσιμο κεφάλαιο του όταν r = 7 καιr = 10Ζητούμε να βρούμε το n έτσι ώστε

(1+ r)n = 2Ε Ι Κοντογιώργης copy 58

I Υπολογίζοντας το λογάριθμο του τελευταίου παίρνουμε

log(1+ r)n = log(2)ή n log(1+ r) = log(2)

´Ετσιn=

log2log(1+ r)

I Για r = 7 και r = 10 ο χρόνος n πουχρειάζεται για διπλασιασμό της επένδυσης υπολογίζεταισε 1024 και 727 αντίστοιχα

Ε Ι Κοντογιώργης copy 59

I Αν το επιτόκιο είναι r = 7 τότε πιο θα είναι τοσυνολικό ποσό στο λογαριασμό μετά από 205 και41 χρόνια αντίστοιχα

Μετά τα πρώτα 1025 χρόνια το ποσό A θαδιπλασιαστεί σε 2A Για τα επόμενα 1025 χρόνιατο ποσό θα ξαναδιπλασιαστεί σε 4A ´Ετσι μετά από205 χρόνια το ποσό θα αυξηθεί κατά 4 φορές

Με το πέρας ακόμα 205 χρόνων το ποσό θα αυξηθείακόμα 4 φορές σε 16 ´Ετσι μετά από 41 χρόνιατο κεφάλαιο A γίνεται 16A

Ε Ι Κοντογιώργης copy 60

Ασκήσεις και Παραδείγματα

I Υπολογίστε τη Μελλοντική Αξία (Future Value (FV)) τουκεφαλαίου A= 1500 που κερδίζει ετήσιο επιτόκιοr = 5 για n= 10 έτη

FV =A(1+ r)n = 1500(1+005)10 = 244334

I Πόσα έτη απαιτούνται για να τριπλασιαστεί ένα ποσόπου αφήνετε στην τράπεζα με επιτόκιο r = 5∆ηλαδή βρείτε το n όπου A= 1 r = 5 και FV = 3

FV =A(1+ r)n ή (1+ r)n =FVA

Ε Ι Κοντογιώργης copy 61

Υπολογίζοντας τους λογαρίθμους παίρνουμε

log(1+ r)n = log(FVA)

ή n log(1+ r) = log(FVA)

´Ετσι

n=log(FVA)

log(1+ r) =log(3)

log(105)

= 2252

Ε Ι Κοντογιώργης copy 62

I Βρείτε την παρούσα αξία A έτσι ώστε σε δέκα έτη μεσταθερό επιτόκιο r = 6 να είναι 100KΒρείτε το A όπου FV = 100000 r = 6 και n= 10

FV =A(1+ r)n ή A=FV

(1+ r)n

´Ετσι A=100000

(106)10= 5583948

I Βρείτε την ετησιοποιημένη απόδοση (AER AnnualEquivalent Rate) μιας μηνιαίας κατάθεσης με σταθερόεπιτοκίο 394 Μια τέτοια κατάθεση λαμβάνει το επιτόκιο στη λήξηΣυνεπώς κάθε μήνα ο λογαριασμός λαμβάνει

r = 0039412 = 000328

επιτόκιο που επανεπενδύεται (συνεχής ανατοκισμός)Ε Ι Κοντογιώργης copy 63

Επανεπενδύοντας το επιτόκιο κάθε μήνα στη διάρκειαενός έτους το κεφάλαιο θα αυξηθεί σε

(1+ r)12 = (1+000328)12 = 104012

´Ετσι το ΑΕΡ είναι ισοδύναμο με 004012 = 4012I Υπολογίστε το επιτόκιο ενός σταθερού λογαριασμού

κατάθεσης 7-ημερών που έχει AER επιτόκιο r = 425Θεωρείστε ρ το εβδομαδιαίο επιτόκιο

´Ετσι (1+ρ)52 = (1+00425)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 64

Παίρνοντας τους λογαρίθμους έχουμε52log(1+ρ) = log10425

ή log(1+ρ) =log10425

52

ή 1+ρ= 10( log10425

52)

Αυτό μας δίνει

ρ= 10

( log1042552

)minus1 = 008

´Ετσι το συνεχές επιτόκιο μιας επταήμερης κατάθεσης είναιρtimes52 = 41638

Εναλλακτικά (1+ρ)52 = (1+00425) δίνει

(1+ρ) =52radic10425ή ρ=

52radic10425minus = 008Ε Ι Κοντογιώργης copy 65

I Υπολογίστε την ετήσια απόδοση r έτσι ώστε A= 10000να επιστρέφει FV = 35000 σε n= 20 χρόνια

FV =A(1+ r)n ή (1+ r)n =FVA

´Ετσι

1+ r =nradic

FVA

Επομένως

r =nradic

FVA minus1 =

20radic

3500010000 minus1 = 00646 = 646

Ε Ι Κοντογιώργης copy 66

Εναλλακτικά παίρνοντας τους λογαρίθμους

log(1+ r)n = log(FVA) ή n log(1+ r) = log

(FVA)

´Ετσι

1+ r = 10(1n log

(FVA))

ή r = 10(1n log

(FVA))minus1

= 10( 120 log

(3500010000

))minus1

= 646

Ε Ι Κοντογιώργης copy 67

Γραφική Αναπαράσταση I

I Υποθέστε ότι έχουμε y= 3x+2 Καθώς έχουμε μόνο μιαδύναμη για το x πρέπει να λύσουμε γραμμική εξίσωσηκαι να σχεδιάσουμε μια ευθεία γραμμή Αρχικά θα πρέπεινα σχεδιάσουμε ένα T-chart Αυτό έχει τη μορφή

x y = 3x+2 (xy)

I Επιλέγουμε μια τιμή για το x και λύνουμε ως προς y

x y= 3x+2 (xy)minus2 minus4 (minus2minus4)0 2 (02)2 8 (28)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 68

Γραφική Αναπαράσταση II

-

6

X

Y

bull

bull

bull

I Βλέπουμε μια ευθεία με ανοδική τάση (έχοντας θετικήκλίση m= 3) καιτέμνει τον άξονα y στο σημείο y= 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 69

Γραφική Αναπαράσταση III

I Μια Τετραγωνική εξίσωση περιέχει x2 Για τηναναπαράσταση τετραγωνικών εξισώσεων χρειάζεται ναβρούμε περισσότερα από τρία σημεία στο σχεδιάγραμμα

Για παράδειγμα υποθέστε ότι y= x2minus6x+5 καιδίνεται το πιο κάτω T-chart

x y= x2minus6x+5 (xy)0 5 (05)1 0 (10)3 minus4 (3minus4)5 0 (50)6 5 (65)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 70

Γραφική Αναπαράσταση IV

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

-

6

X

Y

bull

bull

bull

bull

bull

Ε Ι Κοντογιώργης copy 71

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(1x + 2)

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(-3x + 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 72

-15

-10

-5

0

5

10

15

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(3x - 2)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 73

-20

0

20

40

60

80

100

120

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2+x)

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 74

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

1250

1500

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3+x2+x)

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x4)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 75

-25

-2

-15

-1

-05

0

05

1

15

2

25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(log(x))

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(x))

Ε Ι Κοντογιώργης copy 76

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(-x))

-5000

0

5000

10000

15000

20000

25000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(exp(x)+x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 77

Ανισότητες I

I Οι ανισότητες αποτελούνται από δύο ή τρεις αλγεβρικέςεκφράσεις που είναι συνδεδεμένες με τα σύμβολαανισότητας Τα σύμβολα αυτά είναι

lt μικρότερο τουgt μεγαλύτερο τουle μικρότερο ή ίσο τουge μεγαλύτερο ή ίσο του

I Παραδείγματα xgty yge x2 και ylt5x+1

I Το πρώτο βήμα για την αναπαράσταση ανισότητας τηςμορφής ygtx είναι να παραστήσουμε γραφικά τηνισότητα y= x

Ε Ι Κοντογιώργης copy 78

Ανισότητες II

I ygtx

Κάνετε δοκιμή με ένα σημείο να δείτε κατά πόσοικανοποιεί την ανισότητα Εάν ναι τότε σκιάστε τηνπεριοχή αυτή του σχεδιαγράμματος διαφορετικά σκιάστετην άλλη πλευρά

Ε Ι Κοντογιώργης copy 79

Ανισότητες III

I yltx

Ε Ι Κοντογιώργης copy 80

Ανισότητες IV

I yle 5x+1 και ygt5x+1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 81

Ανισότητες V

I yge x2 και yle x2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 82

Ανισότητες VI

I ygtx3 και yle x3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 83

Συστήματα Γραμμικών ΕξισώσεωνΠεριεχόμενα

1 Ε

2 Γ Α

ΑναφορέςΚεφάλαια 4 και 5FS Budnick Applied Mathematics for Business Economicsand the Social Sciences 4th edition McGraw-Hill 1993

Ε Ι Κοντογιώργης copy 84

Συστήματα Εξισώσεων

I ´Ενα σύστημα εξισώσεων συνδυάζει περισσότερες από μίαεξισώσεις

I ´Ενα σύστημα m εξισώσεων όπου κάθε εξίσωσηαποτελείται από n μεταβλητές ονομάζεται mtimesnσύστημα ή λέμε ότι έχει διαστάσεις mtimesn

I ΠαράδειγμαΠαρακάτω έχουμε ένα σύστημα 2times2

5X+10Y= 203X+4Y= 10

Οι μεταβλητές σε αυτή την περίπτωση είναι X και YΕ Ι Κοντογιώργης copy 85

Συστήματα Επίλυσης

I Το Σύστημα επίλυσης είναι μια σειρά τιμών μεταβλητώνπου ικανοποιούν το σύστημα ταυτόχρονα

I Σε μια σημειογραφική παράσταση το προηγούμενοπαράδειγμα μπορεί να γραφτεί ως εξής

S = (XY) | 5X+10Y = 20 και 3X+4Y = 10

I Το σύστημα επίλυσης μπορεί να είναι1 μηδενικό2 πεπερασμένο ή3 άπειρο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 86

2times2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική Ανάλυση

I Σε ένα δισδιάστατο γράφημα ένα σύστημα εξισώσεων2times2 αναπαρίστανται με ευθείες γραμμές Υπόρχουν τρίαενδεχόμενα

1 Οι ευθείες τέμνονται Το σημείο τομής αντιπροσωπεύει τηλύση του συστήματος εξισώσεων Αυτό το σημείοαλληλεπίδρασης είναι μια δέσμη τιμών X και Y που ικανοποιείκαι τις δύο εξισώσειςΕάν υπάρχει μόνο μια δέσμη τιμών για τις μεταβλητές που ναικανοποιεί το σύστημα εξισώσεων το σύστημα λέμε ότι έχειΜ Λ

2 Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες μεταξύ τους ∆εν έχουν κοινόσημείο Συνεπώς οι ευθείες δεν τέμνονται ποτέ Το σύστημαλέμε ότι ∆ ΛΑυτό υπονοεί ότι δεν υπάρχουν τιμές για τις μεταβλητές πουνα ικανοποιούν και τις δύο εξισώσεις Σε αυτή τηνπερίπτωση οι εξισώσεις στο σύστημα είναι Α

3 Και οι δύο εξισώσεις αναπαρίστανται ως μια κοινή ευθεία καιθεωρούνται ισοδύναμες εξισώσεις ´Ετσι το σύστημα έχειΑ Λ Αυτό συμβαίνει γιατί υπάρχει άπειροςαριθμός κοινών σημείων στις δύο γραμμές

Ε Ι Κοντογιώργης copy 87

I Π Θεωρείστε ένα σύστημα 2times22X+4Y= 203X+ Y= 10

I

X

Y

(24)

3X +Y = 10

2X +4Y = 20

0 2 4 6 8 10 12

2

4

6

8

10

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 88

I Το σημείο τομής δίνεται από το X= 2 και Y= 4Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές του X και Y στις δύοεξισώσεις δίνουν 20 = 20 και 10 = 10 αντίστοιχα

I Αυτό υποδειλώνει ότι X= 2 και Y= 4 είναι η σωστή λύση

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times23Xminus2Y= 6

minus15X+10Y=minus30

I

X

Y

(20)

(0minus3)

3X minus2Y = 6

minus15X +10Y =minus30

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 89

I Οι δύο εξισώσεις απλοποιούνται σε Xminus 23 Y= 2

Οι δύο εξισώσεις είναι ισοδύναμες και δίνουν έναπεπερασμένο αριθμό λύσεων έτσι ώστε

X= 0 Y =minus3X= 2 Y = 0X= 4 Y = 3

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times26Xminus12Y= 24

minus32X+3Y= 9

Οι εξισώσεις απλοποιούνται σεXminus2Y= 4Xminus2Y=minus6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 90

I

X

Y

(40)

(0minus2)

(minus60)

(03)

X minus2Y =minus6

X minus2Y = 4

0-0

I Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες και συνεπώς το σύστημαδεν έχει λύση ´Ετσι το σύστημα εξισώσεων είναιασύμπτωτο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 91

Περίληψη 2times2 Συστήματα Εξισώσεων∆ίνεται ένα Σύστημα Γραμμικών Εξισώσεων 2times2

Y=m1X+ c1Y=m2X+ c2

1 Υπάρχει μια στο σύστημα εάνm1 6= m2

2 ∆εν υπάρχει στο σύστημα εάνm1 = m2 και c1 6= c2

3 Υπάρχει εάνm1 = m2 και c1 = c2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 92

∆ιαδικασίες Απαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής χρησιμοποιεί πολλαπλασιασμόκαι πρόσθεση έτσι ώστε

1 Να απαλοιφεί μια από τις δύο μεταβλητές

2 Η εξίσωση που εξάγεται είναι συνάρτηση των υπόλοιπωνμεταβλητών

3 Αντικαθιστώντας την τιμή στην μεταβλητή σε μια από τιςαρχικές εξισώσεις βρίσκουμε την τιμή για τηναπολοιφθήσα μεταβλητή

Ε Ι Κοντογιώργης copy 93

ΠαραδείγματαI Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

2X +4Y = 20 (1)3X + Y = 10 (2)

Πολλαπλασιάζοντας τη δεύτερη εξίσωση με minus4 παίρνουμε

minus12X minus4Y =minus40 (3)

Προσθέτοντας την εξίσωση (1) στο (3)

2X + 4Y = 20minus12X minus 4Y = minus40minus10X = minus20

ή

X = 2 (4)Ε Ι Κοντογιώργης copy 94

Αντικαθιστώντας X= 2 στην εξίσωση (1) δίνεται2 middot2+4Y = 20 ή Y=4

´Ετσι η μοναδική λύση του συστήματος δίνεται από τοX= 2 και Y= 4 Μπορεί να επιβεβαιωθεί ότι αυτή είναι ησωστή λύση αντικαθιστώντας X= 2 και Y= 4 στηνεξίσωση (1) και (2)

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times23X minus2Y = 6 (5)

minus15X +10Y =minus30 (6)

Για την απαλοιφή της μεταβλητής X η εξίσωση (5)πολλαπλασιάζεται με 5 και το αποτέλεσμα προστίθεταιστην εξίσωση (6)

15X minus 10Y = 30minus15X + 10Y = minus30

0 = 0 Ε Ι Κοντογιώργης copy 95

Οι τελευταίες πράξεις υπονοούν ότι οι εξίσωσεις (5) και(6) είναι ισοδύναμες και έτσι υπάρχει άπειρος αριθμόςλύσεωνΓια να προσδιορίσουμε τις λύσεις του συστήματος μια απότις αρχικές εξισώσεις λύνεται ως προς μια μεταβλητή Ανγια παράδειγμα η εξίσωση (5) λύνεται ως προς Y δίνει

Y =32Xminus3

Σαν αποτέλεσμα γενικεύοντας τις λύσεις του συστήματοςέχουμε

X τυχαίο και Y =32Xminus3

Πχ για X= 4 υπονοείται ότι Y=32 middot4minus3 = 3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 96

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

6X minus12Y = 24 (7)

minus32X +3Y = 9 (8)

Πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση (8) με 4 καιπροσθέτοντας το αποτέλεσμα στην εξίσωση (7)παίρνουμε

6X minus 12Y = 24minus6X + 12Y = 36

0 = 60

Η πιο πάνω αντιλογία υπονοεί ότι δεν υπάρχει λύση τουσυστήματος εξισώσεων

Ε Ι Κοντογιώργης copy 97

3times2 Συστήματα Εξισώσεων I

1 Μ Λ

X

Y

(32)

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minusY = 1

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 98

3times2 Συστήματα Εξισώσεων II

2 Α Λ

X

Y Εξις (1)Εξις (2)Εξις (3)

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 99

3times2 Συστήματα Εξισώσεων III3 Κ

(α) ´Οταν και οι τρεις εξισώσεις είναι παράλληλες

X

Y

2X minusY =minus8

2X minusY = 2

2X minusY = 12

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 100

3times2 Συστήματα Εξισώσεων IV(β) ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ τωνεξισώσεων

X

Y

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minus2Y =minus4

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 101

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική ΑνάλυσηΣε ένα γράφημα 2 διαστάσεων ένα σύστημα mtimes2(mgt2) εξισώσεων παριστάνεται με m ευθείες ´Οπωςσυμβαίνει στα συστήματα 2times2 υπάρχουν τρίαενδεχόμενα

1 ´Ολες οι ευθείες τέμνονται στο ίδιο σημείο και έτσιυπάρχει

2 ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ των mεξισώσεων Αυτό σημαίνει ότι όλες οι ευθείες είναιπαράλληλες Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα Λ

3 Οι m εξισώσεις είναι ισοδύναμες πχ παρασταίνονται σανμια ευθεία Σε αυτή την περίπτωση υπάρχει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 102

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων ∆ιαδικασίαΑπαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής για την επίλυση ενός συστήματοςmtimes2 μπορεί να περιγραφεί ως ακολούθωςΕπιλέξτε και λύστε σύστημα με δύο εξισώσεις

1 Εάν δεν υπάρχει λύση τότε ολόκληρο το σύστημα δεν έχειλύση

2 Εάν υπάρχει μοναδική λύση που ικανοποιεί τις υπόλοιπεςmminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα έχει μία μοναδική λύση

3 Εάν η λύση είναι μοναδική αλλά δεν ικανοποιεί τιςυπόλοιπες mminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα δεν έχει λύση

4 Εάν οι 2 λύσεις είναι ισοδύναμες απάλοιψτε τη μίααπό τις δύο εξισώσεις και ξεκινήστε από την αρχήλαμβάνοντας υπόψη ένα σύστημα (mminus1)times2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 103

ΠαράδείγμαI Θεωρείστε ένα σύστημα 5times2

XminusY= 1X+2Y=minus8

3Xminus2Y= 02Xminus5Y= 11minus4X+3Y=minus1

I Η λύση των πρώτων δύο εξισώσεων δίνετε απόY =minus3 και X =minus2

I Αντικαθιστώντας τη λύση στις υπόλοιπες τρεις εξισώσειςπαίρνετε αντίστοιχα

0 = 0 11 = 11 και minus1 =minus1I Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση

X=minus2 και Y=minus3Ε Ι Κοντογιώργης copy 104

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian

Η μέθοδος απολοιφής Gaussian μετατρέπει το αρχικόσύστημα εξισώσεων σε διαγώνια μορφή επαναλαμβάνονταςστις εξισώσεις τις ακόλουθες τρεις διαδικασίες

1 Πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης μεμια θετική σταθερά

2 Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού θα προστεθεί σεάλλη εξίσωση

3 Η σειρά των εξισώσεων μπορεί να αλλάξει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 105

ΠαράδείγμαΠ Θεωρείστε το σύστημα 2times2

2X minus 3Y = 7 (Εξ 1)X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με 12 για να πάρετε

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με minus1 καιπροσθέστε την στην (Εξ 2)

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

52Y =

152 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 106

Στάδιο 3 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 25

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

Y = 3 (Εξ 2)

Στάδιο 4 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 32 και

προσθέστε την στην (Εξ 1)

X = 1 (Εξ 1)Y = 3 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 107

Π Θεωρείστε το σύστημα 2times2

5X + 20Y = 254X minus 7Y =minus26

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να εκφραστεί ως

R1 5 20 25R2 4 minus7 minus26

Η κάθετη γραμμή χρησιμοποιείται για διαχωρισμό τηςαριστερής από τη δεξιά πλευρά των εξισώσεων Το Riυπονοεί τη γραμμή (Row) i

Ε Ι Κοντογιώργης copy 108

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάζουμε τη R1 με 15 και το θέτουμε

R1larr 15R1

R1 1 4 5R2 4 minus7 minus26

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάζουμε την R1 με minus4 και τηνπροσθέτουμε στην R2 Εν συντομίαR2larrminus4R1+R2

R1 1 4 5R2 0 minus23 minus46

Στάδιο 3 R2larrminus 123R2

R1 1 4 5R2 0 1 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 109

Στάδιο 4 R1larrminus4R2+R1

R1 1 0 minus3R2 0 1 2

Το αρχικό σύστημα εξισώσεων μετατρέπεται σε διαγώνιαμορφή όπως πιο κάτω

X =minus3Y = 2

το οποίο δίνει τη λύση του συστήματος

Ε Ι Κοντογιώργης copy 110

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 I

Το σύστημα εξισώσεων 3times3 μετετρέπεται σε διαγώνιαμορφή Η μετατροπή γίνεται στήλη με στήλη από τααριστερά προς τα δεξιά

Π Θεωρήστε το σύστημα 3times3

X1 + X2 + X3 = 2X1 minus 3X2 + 2X3 = 7

4X1 minus 2X2 minus X3 = 9

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να γραφτεί ως

Ε Ι Κοντογιώργης copy 111

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 II

1 1 1 21 minus3 2 74 minus2 minus1 9

Ε Ι Κοντογιώργης copy 112

I Με τον ετήσιο ανατοκισμό το κεφάλαιο πουσυσσωρεύεται στο λογαριασμό πολλαπλασιάζεται με

(1+ r)

´Ετσι το κεφάλαιο A θα αυξηθεί σε

A(1+ r) = A+A middot r

τον επόμενο χρόνο

I Με το πέρας και του δεύτερου χρόνου το κεφάλαιο θααυξηθεί ακόμα (1+ r) σε (1+ r)2

´Ετσι το κεφάλαιο καταλήγει σε

A(1+ r)(1+ r) = A(1+ r)2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 56

I Κατά παρόμοιο τρόπο στο τέλος του τρίτου χρόνου τοποσό θα αυξηθεί κατά (1+ r)3

I Μετά από n χρόνια το ποσό θα αυξηθεί κατά (1+ r)n

I ´Ετσι το κεφάλαιο (επένδυση) A θα αυξηθεί με συνεχήανατοκισμό σε A(1+ r)n μετά από n χρόνια

I Ο τύπος (1+ r)n εκθέτει γεωμετρική αύξηση λόγω τηςn δύναμης

Ε Ι Κοντογιώργης copy 57

ΠαραδείγματαI Εάν το επιτόκιο είναι r = 5 τότε το κεφάλαιοA= $1000 που βρίσκεται στην τράπεζα n= 20 χρόνιαθα αυξηθεί κατά

(1+ r)n = (1+005)20 = 2653 φορές

´Ετσι το ποσό θα καταλήξειA(1+ r)n = $265330

I Βρέστε το χρόνο που χρειάζεται για ένα λογαργιασμό ναδιπλασιάσει το διαθέσιμο κεφάλαιο του όταν r = 7 καιr = 10Ζητούμε να βρούμε το n έτσι ώστε

(1+ r)n = 2Ε Ι Κοντογιώργης copy 58

I Υπολογίζοντας το λογάριθμο του τελευταίου παίρνουμε

log(1+ r)n = log(2)ή n log(1+ r) = log(2)

´Ετσιn=

log2log(1+ r)

I Για r = 7 και r = 10 ο χρόνος n πουχρειάζεται για διπλασιασμό της επένδυσης υπολογίζεταισε 1024 και 727 αντίστοιχα

Ε Ι Κοντογιώργης copy 59

I Αν το επιτόκιο είναι r = 7 τότε πιο θα είναι τοσυνολικό ποσό στο λογαριασμό μετά από 205 και41 χρόνια αντίστοιχα

Μετά τα πρώτα 1025 χρόνια το ποσό A θαδιπλασιαστεί σε 2A Για τα επόμενα 1025 χρόνιατο ποσό θα ξαναδιπλασιαστεί σε 4A ´Ετσι μετά από205 χρόνια το ποσό θα αυξηθεί κατά 4 φορές

Με το πέρας ακόμα 205 χρόνων το ποσό θα αυξηθείακόμα 4 φορές σε 16 ´Ετσι μετά από 41 χρόνιατο κεφάλαιο A γίνεται 16A

Ε Ι Κοντογιώργης copy 60

Ασκήσεις και Παραδείγματα

I Υπολογίστε τη Μελλοντική Αξία (Future Value (FV)) τουκεφαλαίου A= 1500 που κερδίζει ετήσιο επιτόκιοr = 5 για n= 10 έτη

FV =A(1+ r)n = 1500(1+005)10 = 244334

I Πόσα έτη απαιτούνται για να τριπλασιαστεί ένα ποσόπου αφήνετε στην τράπεζα με επιτόκιο r = 5∆ηλαδή βρείτε το n όπου A= 1 r = 5 και FV = 3

FV =A(1+ r)n ή (1+ r)n =FVA

Ε Ι Κοντογιώργης copy 61

Υπολογίζοντας τους λογαρίθμους παίρνουμε

log(1+ r)n = log(FVA)

ή n log(1+ r) = log(FVA)

´Ετσι

n=log(FVA)

log(1+ r) =log(3)

log(105)

= 2252

Ε Ι Κοντογιώργης copy 62

I Βρείτε την παρούσα αξία A έτσι ώστε σε δέκα έτη μεσταθερό επιτόκιο r = 6 να είναι 100KΒρείτε το A όπου FV = 100000 r = 6 και n= 10

FV =A(1+ r)n ή A=FV

(1+ r)n

´Ετσι A=100000

(106)10= 5583948

I Βρείτε την ετησιοποιημένη απόδοση (AER AnnualEquivalent Rate) μιας μηνιαίας κατάθεσης με σταθερόεπιτοκίο 394 Μια τέτοια κατάθεση λαμβάνει το επιτόκιο στη λήξηΣυνεπώς κάθε μήνα ο λογαριασμός λαμβάνει

r = 0039412 = 000328

επιτόκιο που επανεπενδύεται (συνεχής ανατοκισμός)Ε Ι Κοντογιώργης copy 63

Επανεπενδύοντας το επιτόκιο κάθε μήνα στη διάρκειαενός έτους το κεφάλαιο θα αυξηθεί σε

(1+ r)12 = (1+000328)12 = 104012

´Ετσι το ΑΕΡ είναι ισοδύναμο με 004012 = 4012I Υπολογίστε το επιτόκιο ενός σταθερού λογαριασμού

κατάθεσης 7-ημερών που έχει AER επιτόκιο r = 425Θεωρείστε ρ το εβδομαδιαίο επιτόκιο

´Ετσι (1+ρ)52 = (1+00425)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 64

Παίρνοντας τους λογαρίθμους έχουμε52log(1+ρ) = log10425

ή log(1+ρ) =log10425

52

ή 1+ρ= 10( log10425

52)

Αυτό μας δίνει

ρ= 10

( log1042552

)minus1 = 008

´Ετσι το συνεχές επιτόκιο μιας επταήμερης κατάθεσης είναιρtimes52 = 41638

Εναλλακτικά (1+ρ)52 = (1+00425) δίνει

(1+ρ) =52radic10425ή ρ=

52radic10425minus = 008Ε Ι Κοντογιώργης copy 65

I Υπολογίστε την ετήσια απόδοση r έτσι ώστε A= 10000να επιστρέφει FV = 35000 σε n= 20 χρόνια

FV =A(1+ r)n ή (1+ r)n =FVA

´Ετσι

1+ r =nradic

FVA

Επομένως

r =nradic

FVA minus1 =

20radic

3500010000 minus1 = 00646 = 646

Ε Ι Κοντογιώργης copy 66

Εναλλακτικά παίρνοντας τους λογαρίθμους

log(1+ r)n = log(FVA) ή n log(1+ r) = log

(FVA)

´Ετσι

1+ r = 10(1n log

(FVA))

ή r = 10(1n log

(FVA))minus1

= 10( 120 log

(3500010000

))minus1

= 646

Ε Ι Κοντογιώργης copy 67

Γραφική Αναπαράσταση I

I Υποθέστε ότι έχουμε y= 3x+2 Καθώς έχουμε μόνο μιαδύναμη για το x πρέπει να λύσουμε γραμμική εξίσωσηκαι να σχεδιάσουμε μια ευθεία γραμμή Αρχικά θα πρέπεινα σχεδιάσουμε ένα T-chart Αυτό έχει τη μορφή

x y = 3x+2 (xy)

I Επιλέγουμε μια τιμή για το x και λύνουμε ως προς y

x y= 3x+2 (xy)minus2 minus4 (minus2minus4)0 2 (02)2 8 (28)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 68

Γραφική Αναπαράσταση II

-

6

X

Y

bull

bull

bull

I Βλέπουμε μια ευθεία με ανοδική τάση (έχοντας θετικήκλίση m= 3) καιτέμνει τον άξονα y στο σημείο y= 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 69

Γραφική Αναπαράσταση III

I Μια Τετραγωνική εξίσωση περιέχει x2 Για τηναναπαράσταση τετραγωνικών εξισώσεων χρειάζεται ναβρούμε περισσότερα από τρία σημεία στο σχεδιάγραμμα

Για παράδειγμα υποθέστε ότι y= x2minus6x+5 καιδίνεται το πιο κάτω T-chart

x y= x2minus6x+5 (xy)0 5 (05)1 0 (10)3 minus4 (3minus4)5 0 (50)6 5 (65)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 70

Γραφική Αναπαράσταση IV

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

-

6

X

Y

bull

bull

bull

bull

bull

Ε Ι Κοντογιώργης copy 71

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(1x + 2)

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(-3x + 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 72

-15

-10

-5

0

5

10

15

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(3x - 2)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 73

-20

0

20

40

60

80

100

120

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2+x)

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 74

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

1250

1500

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3+x2+x)

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x4)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 75

-25

-2

-15

-1

-05

0

05

1

15

2

25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(log(x))

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(x))

Ε Ι Κοντογιώργης copy 76

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(-x))

-5000

0

5000

10000

15000

20000

25000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(exp(x)+x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 77

Ανισότητες I

I Οι ανισότητες αποτελούνται από δύο ή τρεις αλγεβρικέςεκφράσεις που είναι συνδεδεμένες με τα σύμβολαανισότητας Τα σύμβολα αυτά είναι

lt μικρότερο τουgt μεγαλύτερο τουle μικρότερο ή ίσο τουge μεγαλύτερο ή ίσο του

I Παραδείγματα xgty yge x2 και ylt5x+1

I Το πρώτο βήμα για την αναπαράσταση ανισότητας τηςμορφής ygtx είναι να παραστήσουμε γραφικά τηνισότητα y= x

Ε Ι Κοντογιώργης copy 78

Ανισότητες II

I ygtx

Κάνετε δοκιμή με ένα σημείο να δείτε κατά πόσοικανοποιεί την ανισότητα Εάν ναι τότε σκιάστε τηνπεριοχή αυτή του σχεδιαγράμματος διαφορετικά σκιάστετην άλλη πλευρά

Ε Ι Κοντογιώργης copy 79

Ανισότητες III

I yltx

Ε Ι Κοντογιώργης copy 80

Ανισότητες IV

I yle 5x+1 και ygt5x+1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 81

Ανισότητες V

I yge x2 και yle x2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 82

Ανισότητες VI

I ygtx3 και yle x3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 83

Συστήματα Γραμμικών ΕξισώσεωνΠεριεχόμενα

1 Ε

2 Γ Α

ΑναφορέςΚεφάλαια 4 και 5FS Budnick Applied Mathematics for Business Economicsand the Social Sciences 4th edition McGraw-Hill 1993

Ε Ι Κοντογιώργης copy 84

Συστήματα Εξισώσεων

I ´Ενα σύστημα εξισώσεων συνδυάζει περισσότερες από μίαεξισώσεις

I ´Ενα σύστημα m εξισώσεων όπου κάθε εξίσωσηαποτελείται από n μεταβλητές ονομάζεται mtimesnσύστημα ή λέμε ότι έχει διαστάσεις mtimesn

I ΠαράδειγμαΠαρακάτω έχουμε ένα σύστημα 2times2

5X+10Y= 203X+4Y= 10

Οι μεταβλητές σε αυτή την περίπτωση είναι X και YΕ Ι Κοντογιώργης copy 85

Συστήματα Επίλυσης

I Το Σύστημα επίλυσης είναι μια σειρά τιμών μεταβλητώνπου ικανοποιούν το σύστημα ταυτόχρονα

I Σε μια σημειογραφική παράσταση το προηγούμενοπαράδειγμα μπορεί να γραφτεί ως εξής

S = (XY) | 5X+10Y = 20 και 3X+4Y = 10

I Το σύστημα επίλυσης μπορεί να είναι1 μηδενικό2 πεπερασμένο ή3 άπειρο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 86

2times2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική Ανάλυση

I Σε ένα δισδιάστατο γράφημα ένα σύστημα εξισώσεων2times2 αναπαρίστανται με ευθείες γραμμές Υπόρχουν τρίαενδεχόμενα

1 Οι ευθείες τέμνονται Το σημείο τομής αντιπροσωπεύει τηλύση του συστήματος εξισώσεων Αυτό το σημείοαλληλεπίδρασης είναι μια δέσμη τιμών X και Y που ικανοποιείκαι τις δύο εξισώσειςΕάν υπάρχει μόνο μια δέσμη τιμών για τις μεταβλητές που ναικανοποιεί το σύστημα εξισώσεων το σύστημα λέμε ότι έχειΜ Λ

2 Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες μεταξύ τους ∆εν έχουν κοινόσημείο Συνεπώς οι ευθείες δεν τέμνονται ποτέ Το σύστημαλέμε ότι ∆ ΛΑυτό υπονοεί ότι δεν υπάρχουν τιμές για τις μεταβλητές πουνα ικανοποιούν και τις δύο εξισώσεις Σε αυτή τηνπερίπτωση οι εξισώσεις στο σύστημα είναι Α

3 Και οι δύο εξισώσεις αναπαρίστανται ως μια κοινή ευθεία καιθεωρούνται ισοδύναμες εξισώσεις ´Ετσι το σύστημα έχειΑ Λ Αυτό συμβαίνει γιατί υπάρχει άπειροςαριθμός κοινών σημείων στις δύο γραμμές

Ε Ι Κοντογιώργης copy 87

I Π Θεωρείστε ένα σύστημα 2times22X+4Y= 203X+ Y= 10

I

X

Y

(24)

3X +Y = 10

2X +4Y = 20

0 2 4 6 8 10 12

2

4

6

8

10

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 88

I Το σημείο τομής δίνεται από το X= 2 και Y= 4Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές του X και Y στις δύοεξισώσεις δίνουν 20 = 20 και 10 = 10 αντίστοιχα

I Αυτό υποδειλώνει ότι X= 2 και Y= 4 είναι η σωστή λύση

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times23Xminus2Y= 6

minus15X+10Y=minus30

I

X

Y

(20)

(0minus3)

3X minus2Y = 6

minus15X +10Y =minus30

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 89

I Οι δύο εξισώσεις απλοποιούνται σε Xminus 23 Y= 2

Οι δύο εξισώσεις είναι ισοδύναμες και δίνουν έναπεπερασμένο αριθμό λύσεων έτσι ώστε

X= 0 Y =minus3X= 2 Y = 0X= 4 Y = 3

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times26Xminus12Y= 24

minus32X+3Y= 9

Οι εξισώσεις απλοποιούνται σεXminus2Y= 4Xminus2Y=minus6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 90

I

X

Y

(40)

(0minus2)

(minus60)

(03)

X minus2Y =minus6

X minus2Y = 4

0-0

I Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες και συνεπώς το σύστημαδεν έχει λύση ´Ετσι το σύστημα εξισώσεων είναιασύμπτωτο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 91

Περίληψη 2times2 Συστήματα Εξισώσεων∆ίνεται ένα Σύστημα Γραμμικών Εξισώσεων 2times2

Y=m1X+ c1Y=m2X+ c2

1 Υπάρχει μια στο σύστημα εάνm1 6= m2

2 ∆εν υπάρχει στο σύστημα εάνm1 = m2 και c1 6= c2

3 Υπάρχει εάνm1 = m2 και c1 = c2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 92

∆ιαδικασίες Απαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής χρησιμοποιεί πολλαπλασιασμόκαι πρόσθεση έτσι ώστε

1 Να απαλοιφεί μια από τις δύο μεταβλητές

2 Η εξίσωση που εξάγεται είναι συνάρτηση των υπόλοιπωνμεταβλητών

3 Αντικαθιστώντας την τιμή στην μεταβλητή σε μια από τιςαρχικές εξισώσεις βρίσκουμε την τιμή για τηναπολοιφθήσα μεταβλητή

Ε Ι Κοντογιώργης copy 93

ΠαραδείγματαI Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

2X +4Y = 20 (1)3X + Y = 10 (2)

Πολλαπλασιάζοντας τη δεύτερη εξίσωση με minus4 παίρνουμε

minus12X minus4Y =minus40 (3)

Προσθέτοντας την εξίσωση (1) στο (3)

2X + 4Y = 20minus12X minus 4Y = minus40minus10X = minus20

ή

X = 2 (4)Ε Ι Κοντογιώργης copy 94

Αντικαθιστώντας X= 2 στην εξίσωση (1) δίνεται2 middot2+4Y = 20 ή Y=4

´Ετσι η μοναδική λύση του συστήματος δίνεται από τοX= 2 και Y= 4 Μπορεί να επιβεβαιωθεί ότι αυτή είναι ησωστή λύση αντικαθιστώντας X= 2 και Y= 4 στηνεξίσωση (1) και (2)

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times23X minus2Y = 6 (5)

minus15X +10Y =minus30 (6)

Για την απαλοιφή της μεταβλητής X η εξίσωση (5)πολλαπλασιάζεται με 5 και το αποτέλεσμα προστίθεταιστην εξίσωση (6)

15X minus 10Y = 30minus15X + 10Y = minus30

0 = 0 Ε Ι Κοντογιώργης copy 95

Οι τελευταίες πράξεις υπονοούν ότι οι εξίσωσεις (5) και(6) είναι ισοδύναμες και έτσι υπάρχει άπειρος αριθμόςλύσεωνΓια να προσδιορίσουμε τις λύσεις του συστήματος μια απότις αρχικές εξισώσεις λύνεται ως προς μια μεταβλητή Ανγια παράδειγμα η εξίσωση (5) λύνεται ως προς Y δίνει

Y =32Xminus3

Σαν αποτέλεσμα γενικεύοντας τις λύσεις του συστήματοςέχουμε

X τυχαίο και Y =32Xminus3

Πχ για X= 4 υπονοείται ότι Y=32 middot4minus3 = 3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 96

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

6X minus12Y = 24 (7)

minus32X +3Y = 9 (8)

Πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση (8) με 4 καιπροσθέτοντας το αποτέλεσμα στην εξίσωση (7)παίρνουμε

6X minus 12Y = 24minus6X + 12Y = 36

0 = 60

Η πιο πάνω αντιλογία υπονοεί ότι δεν υπάρχει λύση τουσυστήματος εξισώσεων

Ε Ι Κοντογιώργης copy 97

3times2 Συστήματα Εξισώσεων I

1 Μ Λ

X

Y

(32)

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minusY = 1

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 98

3times2 Συστήματα Εξισώσεων II

2 Α Λ

X

Y Εξις (1)Εξις (2)Εξις (3)

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 99

3times2 Συστήματα Εξισώσεων III3 Κ

(α) ´Οταν και οι τρεις εξισώσεις είναι παράλληλες

X

Y

2X minusY =minus8

2X minusY = 2

2X minusY = 12

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 100

3times2 Συστήματα Εξισώσεων IV(β) ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ τωνεξισώσεων

X

Y

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minus2Y =minus4

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 101

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική ΑνάλυσηΣε ένα γράφημα 2 διαστάσεων ένα σύστημα mtimes2(mgt2) εξισώσεων παριστάνεται με m ευθείες ´Οπωςσυμβαίνει στα συστήματα 2times2 υπάρχουν τρίαενδεχόμενα

1 ´Ολες οι ευθείες τέμνονται στο ίδιο σημείο και έτσιυπάρχει

2 ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ των mεξισώσεων Αυτό σημαίνει ότι όλες οι ευθείες είναιπαράλληλες Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα Λ

3 Οι m εξισώσεις είναι ισοδύναμες πχ παρασταίνονται σανμια ευθεία Σε αυτή την περίπτωση υπάρχει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 102

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων ∆ιαδικασίαΑπαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής για την επίλυση ενός συστήματοςmtimes2 μπορεί να περιγραφεί ως ακολούθωςΕπιλέξτε και λύστε σύστημα με δύο εξισώσεις

1 Εάν δεν υπάρχει λύση τότε ολόκληρο το σύστημα δεν έχειλύση

2 Εάν υπάρχει μοναδική λύση που ικανοποιεί τις υπόλοιπεςmminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα έχει μία μοναδική λύση

3 Εάν η λύση είναι μοναδική αλλά δεν ικανοποιεί τιςυπόλοιπες mminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα δεν έχει λύση

4 Εάν οι 2 λύσεις είναι ισοδύναμες απάλοιψτε τη μίααπό τις δύο εξισώσεις και ξεκινήστε από την αρχήλαμβάνοντας υπόψη ένα σύστημα (mminus1)times2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 103

ΠαράδείγμαI Θεωρείστε ένα σύστημα 5times2

XminusY= 1X+2Y=minus8

3Xminus2Y= 02Xminus5Y= 11minus4X+3Y=minus1

I Η λύση των πρώτων δύο εξισώσεων δίνετε απόY =minus3 και X =minus2

I Αντικαθιστώντας τη λύση στις υπόλοιπες τρεις εξισώσειςπαίρνετε αντίστοιχα

0 = 0 11 = 11 και minus1 =minus1I Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση

X=minus2 και Y=minus3Ε Ι Κοντογιώργης copy 104

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian

Η μέθοδος απολοιφής Gaussian μετατρέπει το αρχικόσύστημα εξισώσεων σε διαγώνια μορφή επαναλαμβάνονταςστις εξισώσεις τις ακόλουθες τρεις διαδικασίες

1 Πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης μεμια θετική σταθερά

2 Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού θα προστεθεί σεάλλη εξίσωση

3 Η σειρά των εξισώσεων μπορεί να αλλάξει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 105

ΠαράδείγμαΠ Θεωρείστε το σύστημα 2times2

2X minus 3Y = 7 (Εξ 1)X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με 12 για να πάρετε

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με minus1 καιπροσθέστε την στην (Εξ 2)

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

52Y =

152 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 106

Στάδιο 3 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 25

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

Y = 3 (Εξ 2)

Στάδιο 4 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 32 και

προσθέστε την στην (Εξ 1)

X = 1 (Εξ 1)Y = 3 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 107

Π Θεωρείστε το σύστημα 2times2

5X + 20Y = 254X minus 7Y =minus26

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να εκφραστεί ως

R1 5 20 25R2 4 minus7 minus26

Η κάθετη γραμμή χρησιμοποιείται για διαχωρισμό τηςαριστερής από τη δεξιά πλευρά των εξισώσεων Το Riυπονοεί τη γραμμή (Row) i

Ε Ι Κοντογιώργης copy 108

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάζουμε τη R1 με 15 και το θέτουμε

R1larr 15R1

R1 1 4 5R2 4 minus7 minus26

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάζουμε την R1 με minus4 και τηνπροσθέτουμε στην R2 Εν συντομίαR2larrminus4R1+R2

R1 1 4 5R2 0 minus23 minus46

Στάδιο 3 R2larrminus 123R2

R1 1 4 5R2 0 1 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 109

Στάδιο 4 R1larrminus4R2+R1

R1 1 0 minus3R2 0 1 2

Το αρχικό σύστημα εξισώσεων μετατρέπεται σε διαγώνιαμορφή όπως πιο κάτω

X =minus3Y = 2

το οποίο δίνει τη λύση του συστήματος

Ε Ι Κοντογιώργης copy 110

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 I

Το σύστημα εξισώσεων 3times3 μετετρέπεται σε διαγώνιαμορφή Η μετατροπή γίνεται στήλη με στήλη από τααριστερά προς τα δεξιά

Π Θεωρήστε το σύστημα 3times3

X1 + X2 + X3 = 2X1 minus 3X2 + 2X3 = 7

4X1 minus 2X2 minus X3 = 9

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να γραφτεί ως

Ε Ι Κοντογιώργης copy 111

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 II

1 1 1 21 minus3 2 74 minus2 minus1 9

Ε Ι Κοντογιώργης copy 112

I Κατά παρόμοιο τρόπο στο τέλος του τρίτου χρόνου τοποσό θα αυξηθεί κατά (1+ r)3

I Μετά από n χρόνια το ποσό θα αυξηθεί κατά (1+ r)n

I ´Ετσι το κεφάλαιο (επένδυση) A θα αυξηθεί με συνεχήανατοκισμό σε A(1+ r)n μετά από n χρόνια

I Ο τύπος (1+ r)n εκθέτει γεωμετρική αύξηση λόγω τηςn δύναμης

Ε Ι Κοντογιώργης copy 57

ΠαραδείγματαI Εάν το επιτόκιο είναι r = 5 τότε το κεφάλαιοA= $1000 που βρίσκεται στην τράπεζα n= 20 χρόνιαθα αυξηθεί κατά

(1+ r)n = (1+005)20 = 2653 φορές

´Ετσι το ποσό θα καταλήξειA(1+ r)n = $265330

I Βρέστε το χρόνο που χρειάζεται για ένα λογαργιασμό ναδιπλασιάσει το διαθέσιμο κεφάλαιο του όταν r = 7 καιr = 10Ζητούμε να βρούμε το n έτσι ώστε

(1+ r)n = 2Ε Ι Κοντογιώργης copy 58

I Υπολογίζοντας το λογάριθμο του τελευταίου παίρνουμε

log(1+ r)n = log(2)ή n log(1+ r) = log(2)

´Ετσιn=

log2log(1+ r)

I Για r = 7 και r = 10 ο χρόνος n πουχρειάζεται για διπλασιασμό της επένδυσης υπολογίζεταισε 1024 και 727 αντίστοιχα

Ε Ι Κοντογιώργης copy 59

I Αν το επιτόκιο είναι r = 7 τότε πιο θα είναι τοσυνολικό ποσό στο λογαριασμό μετά από 205 και41 χρόνια αντίστοιχα

Μετά τα πρώτα 1025 χρόνια το ποσό A θαδιπλασιαστεί σε 2A Για τα επόμενα 1025 χρόνιατο ποσό θα ξαναδιπλασιαστεί σε 4A ´Ετσι μετά από205 χρόνια το ποσό θα αυξηθεί κατά 4 φορές

Με το πέρας ακόμα 205 χρόνων το ποσό θα αυξηθείακόμα 4 φορές σε 16 ´Ετσι μετά από 41 χρόνιατο κεφάλαιο A γίνεται 16A

Ε Ι Κοντογιώργης copy 60

Ασκήσεις και Παραδείγματα

I Υπολογίστε τη Μελλοντική Αξία (Future Value (FV)) τουκεφαλαίου A= 1500 που κερδίζει ετήσιο επιτόκιοr = 5 για n= 10 έτη

FV =A(1+ r)n = 1500(1+005)10 = 244334

I Πόσα έτη απαιτούνται για να τριπλασιαστεί ένα ποσόπου αφήνετε στην τράπεζα με επιτόκιο r = 5∆ηλαδή βρείτε το n όπου A= 1 r = 5 και FV = 3

FV =A(1+ r)n ή (1+ r)n =FVA

Ε Ι Κοντογιώργης copy 61

Υπολογίζοντας τους λογαρίθμους παίρνουμε

log(1+ r)n = log(FVA)

ή n log(1+ r) = log(FVA)

´Ετσι

n=log(FVA)

log(1+ r) =log(3)

log(105)

= 2252

Ε Ι Κοντογιώργης copy 62

I Βρείτε την παρούσα αξία A έτσι ώστε σε δέκα έτη μεσταθερό επιτόκιο r = 6 να είναι 100KΒρείτε το A όπου FV = 100000 r = 6 και n= 10

FV =A(1+ r)n ή A=FV

(1+ r)n

´Ετσι A=100000

(106)10= 5583948

I Βρείτε την ετησιοποιημένη απόδοση (AER AnnualEquivalent Rate) μιας μηνιαίας κατάθεσης με σταθερόεπιτοκίο 394 Μια τέτοια κατάθεση λαμβάνει το επιτόκιο στη λήξηΣυνεπώς κάθε μήνα ο λογαριασμός λαμβάνει

r = 0039412 = 000328

επιτόκιο που επανεπενδύεται (συνεχής ανατοκισμός)Ε Ι Κοντογιώργης copy 63

Επανεπενδύοντας το επιτόκιο κάθε μήνα στη διάρκειαενός έτους το κεφάλαιο θα αυξηθεί σε

(1+ r)12 = (1+000328)12 = 104012

´Ετσι το ΑΕΡ είναι ισοδύναμο με 004012 = 4012I Υπολογίστε το επιτόκιο ενός σταθερού λογαριασμού

κατάθεσης 7-ημερών που έχει AER επιτόκιο r = 425Θεωρείστε ρ το εβδομαδιαίο επιτόκιο

´Ετσι (1+ρ)52 = (1+00425)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 64

Παίρνοντας τους λογαρίθμους έχουμε52log(1+ρ) = log10425

ή log(1+ρ) =log10425

52

ή 1+ρ= 10( log10425

52)

Αυτό μας δίνει

ρ= 10

( log1042552

)minus1 = 008

´Ετσι το συνεχές επιτόκιο μιας επταήμερης κατάθεσης είναιρtimes52 = 41638

Εναλλακτικά (1+ρ)52 = (1+00425) δίνει

(1+ρ) =52radic10425ή ρ=

52radic10425minus = 008Ε Ι Κοντογιώργης copy 65

I Υπολογίστε την ετήσια απόδοση r έτσι ώστε A= 10000να επιστρέφει FV = 35000 σε n= 20 χρόνια

FV =A(1+ r)n ή (1+ r)n =FVA

´Ετσι

1+ r =nradic

FVA

Επομένως

r =nradic

FVA minus1 =

20radic

3500010000 minus1 = 00646 = 646

Ε Ι Κοντογιώργης copy 66

Εναλλακτικά παίρνοντας τους λογαρίθμους

log(1+ r)n = log(FVA) ή n log(1+ r) = log

(FVA)

´Ετσι

1+ r = 10(1n log

(FVA))

ή r = 10(1n log

(FVA))minus1

= 10( 120 log

(3500010000

))minus1

= 646

Ε Ι Κοντογιώργης copy 67

Γραφική Αναπαράσταση I

I Υποθέστε ότι έχουμε y= 3x+2 Καθώς έχουμε μόνο μιαδύναμη για το x πρέπει να λύσουμε γραμμική εξίσωσηκαι να σχεδιάσουμε μια ευθεία γραμμή Αρχικά θα πρέπεινα σχεδιάσουμε ένα T-chart Αυτό έχει τη μορφή

x y = 3x+2 (xy)

I Επιλέγουμε μια τιμή για το x και λύνουμε ως προς y

x y= 3x+2 (xy)minus2 minus4 (minus2minus4)0 2 (02)2 8 (28)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 68

Γραφική Αναπαράσταση II

-

6

X

Y

bull

bull

bull

I Βλέπουμε μια ευθεία με ανοδική τάση (έχοντας θετικήκλίση m= 3) καιτέμνει τον άξονα y στο σημείο y= 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 69

Γραφική Αναπαράσταση III

I Μια Τετραγωνική εξίσωση περιέχει x2 Για τηναναπαράσταση τετραγωνικών εξισώσεων χρειάζεται ναβρούμε περισσότερα από τρία σημεία στο σχεδιάγραμμα

Για παράδειγμα υποθέστε ότι y= x2minus6x+5 καιδίνεται το πιο κάτω T-chart

x y= x2minus6x+5 (xy)0 5 (05)1 0 (10)3 minus4 (3minus4)5 0 (50)6 5 (65)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 70

Γραφική Αναπαράσταση IV

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

-

6

X

Y

bull

bull

bull

bull

bull

Ε Ι Κοντογιώργης copy 71

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(1x + 2)

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(-3x + 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 72

-15

-10

-5

0

5

10

15

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(3x - 2)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 73

-20

0

20

40

60

80

100

120

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2+x)

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 74

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

1250

1500

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3+x2+x)

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x4)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 75

-25

-2

-15

-1

-05

0

05

1

15

2

25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(log(x))

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(x))

Ε Ι Κοντογιώργης copy 76

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(-x))

-5000

0

5000

10000

15000

20000

25000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(exp(x)+x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 77

Ανισότητες I

I Οι ανισότητες αποτελούνται από δύο ή τρεις αλγεβρικέςεκφράσεις που είναι συνδεδεμένες με τα σύμβολαανισότητας Τα σύμβολα αυτά είναι

lt μικρότερο τουgt μεγαλύτερο τουle μικρότερο ή ίσο τουge μεγαλύτερο ή ίσο του

I Παραδείγματα xgty yge x2 και ylt5x+1

I Το πρώτο βήμα για την αναπαράσταση ανισότητας τηςμορφής ygtx είναι να παραστήσουμε γραφικά τηνισότητα y= x

Ε Ι Κοντογιώργης copy 78

Ανισότητες II

I ygtx

Κάνετε δοκιμή με ένα σημείο να δείτε κατά πόσοικανοποιεί την ανισότητα Εάν ναι τότε σκιάστε τηνπεριοχή αυτή του σχεδιαγράμματος διαφορετικά σκιάστετην άλλη πλευρά

Ε Ι Κοντογιώργης copy 79

Ανισότητες III

I yltx

Ε Ι Κοντογιώργης copy 80

Ανισότητες IV

I yle 5x+1 και ygt5x+1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 81

Ανισότητες V

I yge x2 και yle x2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 82

Ανισότητες VI

I ygtx3 και yle x3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 83

Συστήματα Γραμμικών ΕξισώσεωνΠεριεχόμενα

1 Ε

2 Γ Α

ΑναφορέςΚεφάλαια 4 και 5FS Budnick Applied Mathematics for Business Economicsand the Social Sciences 4th edition McGraw-Hill 1993

Ε Ι Κοντογιώργης copy 84

Συστήματα Εξισώσεων

I ´Ενα σύστημα εξισώσεων συνδυάζει περισσότερες από μίαεξισώσεις

I ´Ενα σύστημα m εξισώσεων όπου κάθε εξίσωσηαποτελείται από n μεταβλητές ονομάζεται mtimesnσύστημα ή λέμε ότι έχει διαστάσεις mtimesn

I ΠαράδειγμαΠαρακάτω έχουμε ένα σύστημα 2times2

5X+10Y= 203X+4Y= 10

Οι μεταβλητές σε αυτή την περίπτωση είναι X και YΕ Ι Κοντογιώργης copy 85

Συστήματα Επίλυσης

I Το Σύστημα επίλυσης είναι μια σειρά τιμών μεταβλητώνπου ικανοποιούν το σύστημα ταυτόχρονα

I Σε μια σημειογραφική παράσταση το προηγούμενοπαράδειγμα μπορεί να γραφτεί ως εξής

S = (XY) | 5X+10Y = 20 και 3X+4Y = 10

I Το σύστημα επίλυσης μπορεί να είναι1 μηδενικό2 πεπερασμένο ή3 άπειρο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 86

2times2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική Ανάλυση

I Σε ένα δισδιάστατο γράφημα ένα σύστημα εξισώσεων2times2 αναπαρίστανται με ευθείες γραμμές Υπόρχουν τρίαενδεχόμενα

1 Οι ευθείες τέμνονται Το σημείο τομής αντιπροσωπεύει τηλύση του συστήματος εξισώσεων Αυτό το σημείοαλληλεπίδρασης είναι μια δέσμη τιμών X και Y που ικανοποιείκαι τις δύο εξισώσειςΕάν υπάρχει μόνο μια δέσμη τιμών για τις μεταβλητές που ναικανοποιεί το σύστημα εξισώσεων το σύστημα λέμε ότι έχειΜ Λ

2 Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες μεταξύ τους ∆εν έχουν κοινόσημείο Συνεπώς οι ευθείες δεν τέμνονται ποτέ Το σύστημαλέμε ότι ∆ ΛΑυτό υπονοεί ότι δεν υπάρχουν τιμές για τις μεταβλητές πουνα ικανοποιούν και τις δύο εξισώσεις Σε αυτή τηνπερίπτωση οι εξισώσεις στο σύστημα είναι Α

3 Και οι δύο εξισώσεις αναπαρίστανται ως μια κοινή ευθεία καιθεωρούνται ισοδύναμες εξισώσεις ´Ετσι το σύστημα έχειΑ Λ Αυτό συμβαίνει γιατί υπάρχει άπειροςαριθμός κοινών σημείων στις δύο γραμμές

Ε Ι Κοντογιώργης copy 87

I Π Θεωρείστε ένα σύστημα 2times22X+4Y= 203X+ Y= 10

I

X

Y

(24)

3X +Y = 10

2X +4Y = 20

0 2 4 6 8 10 12

2

4

6

8

10

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 88

I Το σημείο τομής δίνεται από το X= 2 και Y= 4Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές του X και Y στις δύοεξισώσεις δίνουν 20 = 20 και 10 = 10 αντίστοιχα

I Αυτό υποδειλώνει ότι X= 2 και Y= 4 είναι η σωστή λύση

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times23Xminus2Y= 6

minus15X+10Y=minus30

I

X

Y

(20)

(0minus3)

3X minus2Y = 6

minus15X +10Y =minus30

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 89

I Οι δύο εξισώσεις απλοποιούνται σε Xminus 23 Y= 2

Οι δύο εξισώσεις είναι ισοδύναμες και δίνουν έναπεπερασμένο αριθμό λύσεων έτσι ώστε

X= 0 Y =minus3X= 2 Y = 0X= 4 Y = 3

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times26Xminus12Y= 24

minus32X+3Y= 9

Οι εξισώσεις απλοποιούνται σεXminus2Y= 4Xminus2Y=minus6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 90

I

X

Y

(40)

(0minus2)

(minus60)

(03)

X minus2Y =minus6

X minus2Y = 4

0-0

I Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες και συνεπώς το σύστημαδεν έχει λύση ´Ετσι το σύστημα εξισώσεων είναιασύμπτωτο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 91

Περίληψη 2times2 Συστήματα Εξισώσεων∆ίνεται ένα Σύστημα Γραμμικών Εξισώσεων 2times2

Y=m1X+ c1Y=m2X+ c2

1 Υπάρχει μια στο σύστημα εάνm1 6= m2

2 ∆εν υπάρχει στο σύστημα εάνm1 = m2 και c1 6= c2

3 Υπάρχει εάνm1 = m2 και c1 = c2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 92

∆ιαδικασίες Απαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής χρησιμοποιεί πολλαπλασιασμόκαι πρόσθεση έτσι ώστε

1 Να απαλοιφεί μια από τις δύο μεταβλητές

2 Η εξίσωση που εξάγεται είναι συνάρτηση των υπόλοιπωνμεταβλητών

3 Αντικαθιστώντας την τιμή στην μεταβλητή σε μια από τιςαρχικές εξισώσεις βρίσκουμε την τιμή για τηναπολοιφθήσα μεταβλητή

Ε Ι Κοντογιώργης copy 93

ΠαραδείγματαI Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

2X +4Y = 20 (1)3X + Y = 10 (2)

Πολλαπλασιάζοντας τη δεύτερη εξίσωση με minus4 παίρνουμε

minus12X minus4Y =minus40 (3)

Προσθέτοντας την εξίσωση (1) στο (3)

2X + 4Y = 20minus12X minus 4Y = minus40minus10X = minus20

ή

X = 2 (4)Ε Ι Κοντογιώργης copy 94

Αντικαθιστώντας X= 2 στην εξίσωση (1) δίνεται2 middot2+4Y = 20 ή Y=4

´Ετσι η μοναδική λύση του συστήματος δίνεται από τοX= 2 και Y= 4 Μπορεί να επιβεβαιωθεί ότι αυτή είναι ησωστή λύση αντικαθιστώντας X= 2 και Y= 4 στηνεξίσωση (1) και (2)

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times23X minus2Y = 6 (5)

minus15X +10Y =minus30 (6)

Για την απαλοιφή της μεταβλητής X η εξίσωση (5)πολλαπλασιάζεται με 5 και το αποτέλεσμα προστίθεταιστην εξίσωση (6)

15X minus 10Y = 30minus15X + 10Y = minus30

0 = 0 Ε Ι Κοντογιώργης copy 95

Οι τελευταίες πράξεις υπονοούν ότι οι εξίσωσεις (5) και(6) είναι ισοδύναμες και έτσι υπάρχει άπειρος αριθμόςλύσεωνΓια να προσδιορίσουμε τις λύσεις του συστήματος μια απότις αρχικές εξισώσεις λύνεται ως προς μια μεταβλητή Ανγια παράδειγμα η εξίσωση (5) λύνεται ως προς Y δίνει

Y =32Xminus3

Σαν αποτέλεσμα γενικεύοντας τις λύσεις του συστήματοςέχουμε

X τυχαίο και Y =32Xminus3

Πχ για X= 4 υπονοείται ότι Y=32 middot4minus3 = 3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 96

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

6X minus12Y = 24 (7)

minus32X +3Y = 9 (8)

Πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση (8) με 4 καιπροσθέτοντας το αποτέλεσμα στην εξίσωση (7)παίρνουμε

6X minus 12Y = 24minus6X + 12Y = 36

0 = 60

Η πιο πάνω αντιλογία υπονοεί ότι δεν υπάρχει λύση τουσυστήματος εξισώσεων

Ε Ι Κοντογιώργης copy 97

3times2 Συστήματα Εξισώσεων I

1 Μ Λ

X

Y

(32)

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minusY = 1

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 98

3times2 Συστήματα Εξισώσεων II

2 Α Λ

X

Y Εξις (1)Εξις (2)Εξις (3)

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 99

3times2 Συστήματα Εξισώσεων III3 Κ

(α) ´Οταν και οι τρεις εξισώσεις είναι παράλληλες

X

Y

2X minusY =minus8

2X minusY = 2

2X minusY = 12

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 100

3times2 Συστήματα Εξισώσεων IV(β) ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ τωνεξισώσεων

X

Y

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minus2Y =minus4

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 101

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική ΑνάλυσηΣε ένα γράφημα 2 διαστάσεων ένα σύστημα mtimes2(mgt2) εξισώσεων παριστάνεται με m ευθείες ´Οπωςσυμβαίνει στα συστήματα 2times2 υπάρχουν τρίαενδεχόμενα

1 ´Ολες οι ευθείες τέμνονται στο ίδιο σημείο και έτσιυπάρχει

2 ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ των mεξισώσεων Αυτό σημαίνει ότι όλες οι ευθείες είναιπαράλληλες Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα Λ

3 Οι m εξισώσεις είναι ισοδύναμες πχ παρασταίνονται σανμια ευθεία Σε αυτή την περίπτωση υπάρχει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 102

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων ∆ιαδικασίαΑπαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής για την επίλυση ενός συστήματοςmtimes2 μπορεί να περιγραφεί ως ακολούθωςΕπιλέξτε και λύστε σύστημα με δύο εξισώσεις

1 Εάν δεν υπάρχει λύση τότε ολόκληρο το σύστημα δεν έχειλύση

2 Εάν υπάρχει μοναδική λύση που ικανοποιεί τις υπόλοιπεςmminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα έχει μία μοναδική λύση

3 Εάν η λύση είναι μοναδική αλλά δεν ικανοποιεί τιςυπόλοιπες mminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα δεν έχει λύση

4 Εάν οι 2 λύσεις είναι ισοδύναμες απάλοιψτε τη μίααπό τις δύο εξισώσεις και ξεκινήστε από την αρχήλαμβάνοντας υπόψη ένα σύστημα (mminus1)times2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 103

ΠαράδείγμαI Θεωρείστε ένα σύστημα 5times2

XminusY= 1X+2Y=minus8

3Xminus2Y= 02Xminus5Y= 11minus4X+3Y=minus1

I Η λύση των πρώτων δύο εξισώσεων δίνετε απόY =minus3 και X =minus2

I Αντικαθιστώντας τη λύση στις υπόλοιπες τρεις εξισώσειςπαίρνετε αντίστοιχα

0 = 0 11 = 11 και minus1 =minus1I Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση

X=minus2 και Y=minus3Ε Ι Κοντογιώργης copy 104

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian

Η μέθοδος απολοιφής Gaussian μετατρέπει το αρχικόσύστημα εξισώσεων σε διαγώνια μορφή επαναλαμβάνονταςστις εξισώσεις τις ακόλουθες τρεις διαδικασίες

1 Πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης μεμια θετική σταθερά

2 Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού θα προστεθεί σεάλλη εξίσωση

3 Η σειρά των εξισώσεων μπορεί να αλλάξει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 105

ΠαράδείγμαΠ Θεωρείστε το σύστημα 2times2

2X minus 3Y = 7 (Εξ 1)X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με 12 για να πάρετε

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με minus1 καιπροσθέστε την στην (Εξ 2)

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

52Y =

152 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 106

Στάδιο 3 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 25

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

Y = 3 (Εξ 2)

Στάδιο 4 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 32 και

προσθέστε την στην (Εξ 1)

X = 1 (Εξ 1)Y = 3 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 107

Π Θεωρείστε το σύστημα 2times2

5X + 20Y = 254X minus 7Y =minus26

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να εκφραστεί ως

R1 5 20 25R2 4 minus7 minus26

Η κάθετη γραμμή χρησιμοποιείται για διαχωρισμό τηςαριστερής από τη δεξιά πλευρά των εξισώσεων Το Riυπονοεί τη γραμμή (Row) i

Ε Ι Κοντογιώργης copy 108

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάζουμε τη R1 με 15 και το θέτουμε

R1larr 15R1

R1 1 4 5R2 4 minus7 minus26

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάζουμε την R1 με minus4 και τηνπροσθέτουμε στην R2 Εν συντομίαR2larrminus4R1+R2

R1 1 4 5R2 0 minus23 minus46

Στάδιο 3 R2larrminus 123R2

R1 1 4 5R2 0 1 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 109

Στάδιο 4 R1larrminus4R2+R1

R1 1 0 minus3R2 0 1 2

Το αρχικό σύστημα εξισώσεων μετατρέπεται σε διαγώνιαμορφή όπως πιο κάτω

X =minus3Y = 2

το οποίο δίνει τη λύση του συστήματος

Ε Ι Κοντογιώργης copy 110

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 I

Το σύστημα εξισώσεων 3times3 μετετρέπεται σε διαγώνιαμορφή Η μετατροπή γίνεται στήλη με στήλη από τααριστερά προς τα δεξιά

Π Θεωρήστε το σύστημα 3times3

X1 + X2 + X3 = 2X1 minus 3X2 + 2X3 = 7

4X1 minus 2X2 minus X3 = 9

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να γραφτεί ως

Ε Ι Κοντογιώργης copy 111

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 II

1 1 1 21 minus3 2 74 minus2 minus1 9

Ε Ι Κοντογιώργης copy 112

ΠαραδείγματαI Εάν το επιτόκιο είναι r = 5 τότε το κεφάλαιοA= $1000 που βρίσκεται στην τράπεζα n= 20 χρόνιαθα αυξηθεί κατά

(1+ r)n = (1+005)20 = 2653 φορές

´Ετσι το ποσό θα καταλήξειA(1+ r)n = $265330

I Βρέστε το χρόνο που χρειάζεται για ένα λογαργιασμό ναδιπλασιάσει το διαθέσιμο κεφάλαιο του όταν r = 7 καιr = 10Ζητούμε να βρούμε το n έτσι ώστε

(1+ r)n = 2Ε Ι Κοντογιώργης copy 58

I Υπολογίζοντας το λογάριθμο του τελευταίου παίρνουμε

log(1+ r)n = log(2)ή n log(1+ r) = log(2)

´Ετσιn=

log2log(1+ r)

I Για r = 7 και r = 10 ο χρόνος n πουχρειάζεται για διπλασιασμό της επένδυσης υπολογίζεταισε 1024 και 727 αντίστοιχα

Ε Ι Κοντογιώργης copy 59

I Αν το επιτόκιο είναι r = 7 τότε πιο θα είναι τοσυνολικό ποσό στο λογαριασμό μετά από 205 και41 χρόνια αντίστοιχα

Μετά τα πρώτα 1025 χρόνια το ποσό A θαδιπλασιαστεί σε 2A Για τα επόμενα 1025 χρόνιατο ποσό θα ξαναδιπλασιαστεί σε 4A ´Ετσι μετά από205 χρόνια το ποσό θα αυξηθεί κατά 4 φορές

Με το πέρας ακόμα 205 χρόνων το ποσό θα αυξηθείακόμα 4 φορές σε 16 ´Ετσι μετά από 41 χρόνιατο κεφάλαιο A γίνεται 16A

Ε Ι Κοντογιώργης copy 60

Ασκήσεις και Παραδείγματα

I Υπολογίστε τη Μελλοντική Αξία (Future Value (FV)) τουκεφαλαίου A= 1500 που κερδίζει ετήσιο επιτόκιοr = 5 για n= 10 έτη

FV =A(1+ r)n = 1500(1+005)10 = 244334

I Πόσα έτη απαιτούνται για να τριπλασιαστεί ένα ποσόπου αφήνετε στην τράπεζα με επιτόκιο r = 5∆ηλαδή βρείτε το n όπου A= 1 r = 5 και FV = 3

FV =A(1+ r)n ή (1+ r)n =FVA

Ε Ι Κοντογιώργης copy 61

Υπολογίζοντας τους λογαρίθμους παίρνουμε

log(1+ r)n = log(FVA)

ή n log(1+ r) = log(FVA)

´Ετσι

n=log(FVA)

log(1+ r) =log(3)

log(105)

= 2252

Ε Ι Κοντογιώργης copy 62

I Βρείτε την παρούσα αξία A έτσι ώστε σε δέκα έτη μεσταθερό επιτόκιο r = 6 να είναι 100KΒρείτε το A όπου FV = 100000 r = 6 και n= 10

FV =A(1+ r)n ή A=FV

(1+ r)n

´Ετσι A=100000

(106)10= 5583948

I Βρείτε την ετησιοποιημένη απόδοση (AER AnnualEquivalent Rate) μιας μηνιαίας κατάθεσης με σταθερόεπιτοκίο 394 Μια τέτοια κατάθεση λαμβάνει το επιτόκιο στη λήξηΣυνεπώς κάθε μήνα ο λογαριασμός λαμβάνει

r = 0039412 = 000328

επιτόκιο που επανεπενδύεται (συνεχής ανατοκισμός)Ε Ι Κοντογιώργης copy 63

Επανεπενδύοντας το επιτόκιο κάθε μήνα στη διάρκειαενός έτους το κεφάλαιο θα αυξηθεί σε

(1+ r)12 = (1+000328)12 = 104012

´Ετσι το ΑΕΡ είναι ισοδύναμο με 004012 = 4012I Υπολογίστε το επιτόκιο ενός σταθερού λογαριασμού

κατάθεσης 7-ημερών που έχει AER επιτόκιο r = 425Θεωρείστε ρ το εβδομαδιαίο επιτόκιο

´Ετσι (1+ρ)52 = (1+00425)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 64

Παίρνοντας τους λογαρίθμους έχουμε52log(1+ρ) = log10425

ή log(1+ρ) =log10425

52

ή 1+ρ= 10( log10425

52)

Αυτό μας δίνει

ρ= 10

( log1042552

)minus1 = 008

´Ετσι το συνεχές επιτόκιο μιας επταήμερης κατάθεσης είναιρtimes52 = 41638

Εναλλακτικά (1+ρ)52 = (1+00425) δίνει

(1+ρ) =52radic10425ή ρ=

52radic10425minus = 008Ε Ι Κοντογιώργης copy 65

I Υπολογίστε την ετήσια απόδοση r έτσι ώστε A= 10000να επιστρέφει FV = 35000 σε n= 20 χρόνια

FV =A(1+ r)n ή (1+ r)n =FVA

´Ετσι

1+ r =nradic

FVA

Επομένως

r =nradic

FVA minus1 =

20radic

3500010000 minus1 = 00646 = 646

Ε Ι Κοντογιώργης copy 66

Εναλλακτικά παίρνοντας τους λογαρίθμους

log(1+ r)n = log(FVA) ή n log(1+ r) = log

(FVA)

´Ετσι

1+ r = 10(1n log

(FVA))

ή r = 10(1n log

(FVA))minus1

= 10( 120 log

(3500010000

))minus1

= 646

Ε Ι Κοντογιώργης copy 67

Γραφική Αναπαράσταση I

I Υποθέστε ότι έχουμε y= 3x+2 Καθώς έχουμε μόνο μιαδύναμη για το x πρέπει να λύσουμε γραμμική εξίσωσηκαι να σχεδιάσουμε μια ευθεία γραμμή Αρχικά θα πρέπεινα σχεδιάσουμε ένα T-chart Αυτό έχει τη μορφή

x y = 3x+2 (xy)

I Επιλέγουμε μια τιμή για το x και λύνουμε ως προς y

x y= 3x+2 (xy)minus2 minus4 (minus2minus4)0 2 (02)2 8 (28)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 68

Γραφική Αναπαράσταση II

-

6

X

Y

bull

bull

bull

I Βλέπουμε μια ευθεία με ανοδική τάση (έχοντας θετικήκλίση m= 3) καιτέμνει τον άξονα y στο σημείο y= 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 69

Γραφική Αναπαράσταση III

I Μια Τετραγωνική εξίσωση περιέχει x2 Για τηναναπαράσταση τετραγωνικών εξισώσεων χρειάζεται ναβρούμε περισσότερα από τρία σημεία στο σχεδιάγραμμα

Για παράδειγμα υποθέστε ότι y= x2minus6x+5 καιδίνεται το πιο κάτω T-chart

x y= x2minus6x+5 (xy)0 5 (05)1 0 (10)3 minus4 (3minus4)5 0 (50)6 5 (65)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 70

Γραφική Αναπαράσταση IV

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

-

6

X

Y

bull

bull

bull

bull

bull

Ε Ι Κοντογιώργης copy 71

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(1x + 2)

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(-3x + 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 72

-15

-10

-5

0

5

10

15

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(3x - 2)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 73

-20

0

20

40

60

80

100

120

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2+x)

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 74

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

1250

1500

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3+x2+x)

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x4)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 75

-25

-2

-15

-1

-05

0

05

1

15

2

25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(log(x))

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(x))

Ε Ι Κοντογιώργης copy 76

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(-x))

-5000

0

5000

10000

15000

20000

25000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(exp(x)+x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 77

Ανισότητες I

I Οι ανισότητες αποτελούνται από δύο ή τρεις αλγεβρικέςεκφράσεις που είναι συνδεδεμένες με τα σύμβολαανισότητας Τα σύμβολα αυτά είναι

lt μικρότερο τουgt μεγαλύτερο τουle μικρότερο ή ίσο τουge μεγαλύτερο ή ίσο του

I Παραδείγματα xgty yge x2 και ylt5x+1

I Το πρώτο βήμα για την αναπαράσταση ανισότητας τηςμορφής ygtx είναι να παραστήσουμε γραφικά τηνισότητα y= x

Ε Ι Κοντογιώργης copy 78

Ανισότητες II

I ygtx

Κάνετε δοκιμή με ένα σημείο να δείτε κατά πόσοικανοποιεί την ανισότητα Εάν ναι τότε σκιάστε τηνπεριοχή αυτή του σχεδιαγράμματος διαφορετικά σκιάστετην άλλη πλευρά

Ε Ι Κοντογιώργης copy 79

Ανισότητες III

I yltx

Ε Ι Κοντογιώργης copy 80

Ανισότητες IV

I yle 5x+1 και ygt5x+1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 81

Ανισότητες V

I yge x2 και yle x2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 82

Ανισότητες VI

I ygtx3 και yle x3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 83

Συστήματα Γραμμικών ΕξισώσεωνΠεριεχόμενα

1 Ε

2 Γ Α

ΑναφορέςΚεφάλαια 4 και 5FS Budnick Applied Mathematics for Business Economicsand the Social Sciences 4th edition McGraw-Hill 1993

Ε Ι Κοντογιώργης copy 84

Συστήματα Εξισώσεων

I ´Ενα σύστημα εξισώσεων συνδυάζει περισσότερες από μίαεξισώσεις

I ´Ενα σύστημα m εξισώσεων όπου κάθε εξίσωσηαποτελείται από n μεταβλητές ονομάζεται mtimesnσύστημα ή λέμε ότι έχει διαστάσεις mtimesn

I ΠαράδειγμαΠαρακάτω έχουμε ένα σύστημα 2times2

5X+10Y= 203X+4Y= 10

Οι μεταβλητές σε αυτή την περίπτωση είναι X και YΕ Ι Κοντογιώργης copy 85

Συστήματα Επίλυσης

I Το Σύστημα επίλυσης είναι μια σειρά τιμών μεταβλητώνπου ικανοποιούν το σύστημα ταυτόχρονα

I Σε μια σημειογραφική παράσταση το προηγούμενοπαράδειγμα μπορεί να γραφτεί ως εξής

S = (XY) | 5X+10Y = 20 και 3X+4Y = 10

I Το σύστημα επίλυσης μπορεί να είναι1 μηδενικό2 πεπερασμένο ή3 άπειρο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 86

2times2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική Ανάλυση

I Σε ένα δισδιάστατο γράφημα ένα σύστημα εξισώσεων2times2 αναπαρίστανται με ευθείες γραμμές Υπόρχουν τρίαενδεχόμενα

1 Οι ευθείες τέμνονται Το σημείο τομής αντιπροσωπεύει τηλύση του συστήματος εξισώσεων Αυτό το σημείοαλληλεπίδρασης είναι μια δέσμη τιμών X και Y που ικανοποιείκαι τις δύο εξισώσειςΕάν υπάρχει μόνο μια δέσμη τιμών για τις μεταβλητές που ναικανοποιεί το σύστημα εξισώσεων το σύστημα λέμε ότι έχειΜ Λ

2 Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες μεταξύ τους ∆εν έχουν κοινόσημείο Συνεπώς οι ευθείες δεν τέμνονται ποτέ Το σύστημαλέμε ότι ∆ ΛΑυτό υπονοεί ότι δεν υπάρχουν τιμές για τις μεταβλητές πουνα ικανοποιούν και τις δύο εξισώσεις Σε αυτή τηνπερίπτωση οι εξισώσεις στο σύστημα είναι Α

3 Και οι δύο εξισώσεις αναπαρίστανται ως μια κοινή ευθεία καιθεωρούνται ισοδύναμες εξισώσεις ´Ετσι το σύστημα έχειΑ Λ Αυτό συμβαίνει γιατί υπάρχει άπειροςαριθμός κοινών σημείων στις δύο γραμμές

Ε Ι Κοντογιώργης copy 87

I Π Θεωρείστε ένα σύστημα 2times22X+4Y= 203X+ Y= 10

I

X

Y

(24)

3X +Y = 10

2X +4Y = 20

0 2 4 6 8 10 12

2

4

6

8

10

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 88

I Το σημείο τομής δίνεται από το X= 2 και Y= 4Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές του X και Y στις δύοεξισώσεις δίνουν 20 = 20 και 10 = 10 αντίστοιχα

I Αυτό υποδειλώνει ότι X= 2 και Y= 4 είναι η σωστή λύση

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times23Xminus2Y= 6

minus15X+10Y=minus30

I

X

Y

(20)

(0minus3)

3X minus2Y = 6

minus15X +10Y =minus30

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 89

I Οι δύο εξισώσεις απλοποιούνται σε Xminus 23 Y= 2

Οι δύο εξισώσεις είναι ισοδύναμες και δίνουν έναπεπερασμένο αριθμό λύσεων έτσι ώστε

X= 0 Y =minus3X= 2 Y = 0X= 4 Y = 3

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times26Xminus12Y= 24

minus32X+3Y= 9

Οι εξισώσεις απλοποιούνται σεXminus2Y= 4Xminus2Y=minus6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 90

I

X

Y

(40)

(0minus2)

(minus60)

(03)

X minus2Y =minus6

X minus2Y = 4

0-0

I Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες και συνεπώς το σύστημαδεν έχει λύση ´Ετσι το σύστημα εξισώσεων είναιασύμπτωτο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 91

Περίληψη 2times2 Συστήματα Εξισώσεων∆ίνεται ένα Σύστημα Γραμμικών Εξισώσεων 2times2

Y=m1X+ c1Y=m2X+ c2

1 Υπάρχει μια στο σύστημα εάνm1 6= m2

2 ∆εν υπάρχει στο σύστημα εάνm1 = m2 και c1 6= c2

3 Υπάρχει εάνm1 = m2 και c1 = c2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 92

∆ιαδικασίες Απαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής χρησιμοποιεί πολλαπλασιασμόκαι πρόσθεση έτσι ώστε

1 Να απαλοιφεί μια από τις δύο μεταβλητές

2 Η εξίσωση που εξάγεται είναι συνάρτηση των υπόλοιπωνμεταβλητών

3 Αντικαθιστώντας την τιμή στην μεταβλητή σε μια από τιςαρχικές εξισώσεις βρίσκουμε την τιμή για τηναπολοιφθήσα μεταβλητή

Ε Ι Κοντογιώργης copy 93

ΠαραδείγματαI Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

2X +4Y = 20 (1)3X + Y = 10 (2)

Πολλαπλασιάζοντας τη δεύτερη εξίσωση με minus4 παίρνουμε

minus12X minus4Y =minus40 (3)

Προσθέτοντας την εξίσωση (1) στο (3)

2X + 4Y = 20minus12X minus 4Y = minus40minus10X = minus20

ή

X = 2 (4)Ε Ι Κοντογιώργης copy 94

Αντικαθιστώντας X= 2 στην εξίσωση (1) δίνεται2 middot2+4Y = 20 ή Y=4

´Ετσι η μοναδική λύση του συστήματος δίνεται από τοX= 2 και Y= 4 Μπορεί να επιβεβαιωθεί ότι αυτή είναι ησωστή λύση αντικαθιστώντας X= 2 και Y= 4 στηνεξίσωση (1) και (2)

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times23X minus2Y = 6 (5)

minus15X +10Y =minus30 (6)

Για την απαλοιφή της μεταβλητής X η εξίσωση (5)πολλαπλασιάζεται με 5 και το αποτέλεσμα προστίθεταιστην εξίσωση (6)

15X minus 10Y = 30minus15X + 10Y = minus30

0 = 0 Ε Ι Κοντογιώργης copy 95

Οι τελευταίες πράξεις υπονοούν ότι οι εξίσωσεις (5) και(6) είναι ισοδύναμες και έτσι υπάρχει άπειρος αριθμόςλύσεωνΓια να προσδιορίσουμε τις λύσεις του συστήματος μια απότις αρχικές εξισώσεις λύνεται ως προς μια μεταβλητή Ανγια παράδειγμα η εξίσωση (5) λύνεται ως προς Y δίνει

Y =32Xminus3

Σαν αποτέλεσμα γενικεύοντας τις λύσεις του συστήματοςέχουμε

X τυχαίο και Y =32Xminus3

Πχ για X= 4 υπονοείται ότι Y=32 middot4minus3 = 3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 96

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

6X minus12Y = 24 (7)

minus32X +3Y = 9 (8)

Πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση (8) με 4 καιπροσθέτοντας το αποτέλεσμα στην εξίσωση (7)παίρνουμε

6X minus 12Y = 24minus6X + 12Y = 36

0 = 60

Η πιο πάνω αντιλογία υπονοεί ότι δεν υπάρχει λύση τουσυστήματος εξισώσεων

Ε Ι Κοντογιώργης copy 97

3times2 Συστήματα Εξισώσεων I

1 Μ Λ

X

Y

(32)

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minusY = 1

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 98

3times2 Συστήματα Εξισώσεων II

2 Α Λ

X

Y Εξις (1)Εξις (2)Εξις (3)

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 99

3times2 Συστήματα Εξισώσεων III3 Κ

(α) ´Οταν και οι τρεις εξισώσεις είναι παράλληλες

X

Y

2X minusY =minus8

2X minusY = 2

2X minusY = 12

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 100

3times2 Συστήματα Εξισώσεων IV(β) ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ τωνεξισώσεων

X

Y

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minus2Y =minus4

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 101

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική ΑνάλυσηΣε ένα γράφημα 2 διαστάσεων ένα σύστημα mtimes2(mgt2) εξισώσεων παριστάνεται με m ευθείες ´Οπωςσυμβαίνει στα συστήματα 2times2 υπάρχουν τρίαενδεχόμενα

1 ´Ολες οι ευθείες τέμνονται στο ίδιο σημείο και έτσιυπάρχει

2 ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ των mεξισώσεων Αυτό σημαίνει ότι όλες οι ευθείες είναιπαράλληλες Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα Λ

3 Οι m εξισώσεις είναι ισοδύναμες πχ παρασταίνονται σανμια ευθεία Σε αυτή την περίπτωση υπάρχει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 102

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων ∆ιαδικασίαΑπαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής για την επίλυση ενός συστήματοςmtimes2 μπορεί να περιγραφεί ως ακολούθωςΕπιλέξτε και λύστε σύστημα με δύο εξισώσεις

1 Εάν δεν υπάρχει λύση τότε ολόκληρο το σύστημα δεν έχειλύση

2 Εάν υπάρχει μοναδική λύση που ικανοποιεί τις υπόλοιπεςmminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα έχει μία μοναδική λύση

3 Εάν η λύση είναι μοναδική αλλά δεν ικανοποιεί τιςυπόλοιπες mminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα δεν έχει λύση

4 Εάν οι 2 λύσεις είναι ισοδύναμες απάλοιψτε τη μίααπό τις δύο εξισώσεις και ξεκινήστε από την αρχήλαμβάνοντας υπόψη ένα σύστημα (mminus1)times2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 103

ΠαράδείγμαI Θεωρείστε ένα σύστημα 5times2

XminusY= 1X+2Y=minus8

3Xminus2Y= 02Xminus5Y= 11minus4X+3Y=minus1

I Η λύση των πρώτων δύο εξισώσεων δίνετε απόY =minus3 και X =minus2

I Αντικαθιστώντας τη λύση στις υπόλοιπες τρεις εξισώσειςπαίρνετε αντίστοιχα

0 = 0 11 = 11 και minus1 =minus1I Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση

X=minus2 και Y=minus3Ε Ι Κοντογιώργης copy 104

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian

Η μέθοδος απολοιφής Gaussian μετατρέπει το αρχικόσύστημα εξισώσεων σε διαγώνια μορφή επαναλαμβάνονταςστις εξισώσεις τις ακόλουθες τρεις διαδικασίες

1 Πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης μεμια θετική σταθερά

2 Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού θα προστεθεί σεάλλη εξίσωση

3 Η σειρά των εξισώσεων μπορεί να αλλάξει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 105

ΠαράδείγμαΠ Θεωρείστε το σύστημα 2times2

2X minus 3Y = 7 (Εξ 1)X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με 12 για να πάρετε

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με minus1 καιπροσθέστε την στην (Εξ 2)

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

52Y =

152 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 106

Στάδιο 3 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 25

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

Y = 3 (Εξ 2)

Στάδιο 4 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 32 και

προσθέστε την στην (Εξ 1)

X = 1 (Εξ 1)Y = 3 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 107

Π Θεωρείστε το σύστημα 2times2

5X + 20Y = 254X minus 7Y =minus26

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να εκφραστεί ως

R1 5 20 25R2 4 minus7 minus26

Η κάθετη γραμμή χρησιμοποιείται για διαχωρισμό τηςαριστερής από τη δεξιά πλευρά των εξισώσεων Το Riυπονοεί τη γραμμή (Row) i

Ε Ι Κοντογιώργης copy 108

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάζουμε τη R1 με 15 και το θέτουμε

R1larr 15R1

R1 1 4 5R2 4 minus7 minus26

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάζουμε την R1 με minus4 και τηνπροσθέτουμε στην R2 Εν συντομίαR2larrminus4R1+R2

R1 1 4 5R2 0 minus23 minus46

Στάδιο 3 R2larrminus 123R2

R1 1 4 5R2 0 1 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 109

Στάδιο 4 R1larrminus4R2+R1

R1 1 0 minus3R2 0 1 2

Το αρχικό σύστημα εξισώσεων μετατρέπεται σε διαγώνιαμορφή όπως πιο κάτω

X =minus3Y = 2

το οποίο δίνει τη λύση του συστήματος

Ε Ι Κοντογιώργης copy 110

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 I

Το σύστημα εξισώσεων 3times3 μετετρέπεται σε διαγώνιαμορφή Η μετατροπή γίνεται στήλη με στήλη από τααριστερά προς τα δεξιά

Π Θεωρήστε το σύστημα 3times3

X1 + X2 + X3 = 2X1 minus 3X2 + 2X3 = 7

4X1 minus 2X2 minus X3 = 9

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να γραφτεί ως

Ε Ι Κοντογιώργης copy 111

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 II

1 1 1 21 minus3 2 74 minus2 minus1 9

Ε Ι Κοντογιώργης copy 112

I Υπολογίζοντας το λογάριθμο του τελευταίου παίρνουμε

log(1+ r)n = log(2)ή n log(1+ r) = log(2)

´Ετσιn=

log2log(1+ r)

I Για r = 7 και r = 10 ο χρόνος n πουχρειάζεται για διπλασιασμό της επένδυσης υπολογίζεταισε 1024 και 727 αντίστοιχα

Ε Ι Κοντογιώργης copy 59

I Αν το επιτόκιο είναι r = 7 τότε πιο θα είναι τοσυνολικό ποσό στο λογαριασμό μετά από 205 και41 χρόνια αντίστοιχα

Μετά τα πρώτα 1025 χρόνια το ποσό A θαδιπλασιαστεί σε 2A Για τα επόμενα 1025 χρόνιατο ποσό θα ξαναδιπλασιαστεί σε 4A ´Ετσι μετά από205 χρόνια το ποσό θα αυξηθεί κατά 4 φορές

Με το πέρας ακόμα 205 χρόνων το ποσό θα αυξηθείακόμα 4 φορές σε 16 ´Ετσι μετά από 41 χρόνιατο κεφάλαιο A γίνεται 16A

Ε Ι Κοντογιώργης copy 60

Ασκήσεις και Παραδείγματα

I Υπολογίστε τη Μελλοντική Αξία (Future Value (FV)) τουκεφαλαίου A= 1500 που κερδίζει ετήσιο επιτόκιοr = 5 για n= 10 έτη

FV =A(1+ r)n = 1500(1+005)10 = 244334

I Πόσα έτη απαιτούνται για να τριπλασιαστεί ένα ποσόπου αφήνετε στην τράπεζα με επιτόκιο r = 5∆ηλαδή βρείτε το n όπου A= 1 r = 5 και FV = 3

FV =A(1+ r)n ή (1+ r)n =FVA

Ε Ι Κοντογιώργης copy 61

Υπολογίζοντας τους λογαρίθμους παίρνουμε

log(1+ r)n = log(FVA)

ή n log(1+ r) = log(FVA)

´Ετσι

n=log(FVA)

log(1+ r) =log(3)

log(105)

= 2252

Ε Ι Κοντογιώργης copy 62

I Βρείτε την παρούσα αξία A έτσι ώστε σε δέκα έτη μεσταθερό επιτόκιο r = 6 να είναι 100KΒρείτε το A όπου FV = 100000 r = 6 και n= 10

FV =A(1+ r)n ή A=FV

(1+ r)n

´Ετσι A=100000

(106)10= 5583948

I Βρείτε την ετησιοποιημένη απόδοση (AER AnnualEquivalent Rate) μιας μηνιαίας κατάθεσης με σταθερόεπιτοκίο 394 Μια τέτοια κατάθεση λαμβάνει το επιτόκιο στη λήξηΣυνεπώς κάθε μήνα ο λογαριασμός λαμβάνει

r = 0039412 = 000328

επιτόκιο που επανεπενδύεται (συνεχής ανατοκισμός)Ε Ι Κοντογιώργης copy 63

Επανεπενδύοντας το επιτόκιο κάθε μήνα στη διάρκειαενός έτους το κεφάλαιο θα αυξηθεί σε

(1+ r)12 = (1+000328)12 = 104012

´Ετσι το ΑΕΡ είναι ισοδύναμο με 004012 = 4012I Υπολογίστε το επιτόκιο ενός σταθερού λογαριασμού

κατάθεσης 7-ημερών που έχει AER επιτόκιο r = 425Θεωρείστε ρ το εβδομαδιαίο επιτόκιο

´Ετσι (1+ρ)52 = (1+00425)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 64

Παίρνοντας τους λογαρίθμους έχουμε52log(1+ρ) = log10425

ή log(1+ρ) =log10425

52

ή 1+ρ= 10( log10425

52)

Αυτό μας δίνει

ρ= 10

( log1042552

)minus1 = 008

´Ετσι το συνεχές επιτόκιο μιας επταήμερης κατάθεσης είναιρtimes52 = 41638

Εναλλακτικά (1+ρ)52 = (1+00425) δίνει

(1+ρ) =52radic10425ή ρ=

52radic10425minus = 008Ε Ι Κοντογιώργης copy 65

I Υπολογίστε την ετήσια απόδοση r έτσι ώστε A= 10000να επιστρέφει FV = 35000 σε n= 20 χρόνια

FV =A(1+ r)n ή (1+ r)n =FVA

´Ετσι

1+ r =nradic

FVA

Επομένως

r =nradic

FVA minus1 =

20radic

3500010000 minus1 = 00646 = 646

Ε Ι Κοντογιώργης copy 66

Εναλλακτικά παίρνοντας τους λογαρίθμους

log(1+ r)n = log(FVA) ή n log(1+ r) = log

(FVA)

´Ετσι

1+ r = 10(1n log

(FVA))

ή r = 10(1n log

(FVA))minus1

= 10( 120 log

(3500010000

))minus1

= 646

Ε Ι Κοντογιώργης copy 67

Γραφική Αναπαράσταση I

I Υποθέστε ότι έχουμε y= 3x+2 Καθώς έχουμε μόνο μιαδύναμη για το x πρέπει να λύσουμε γραμμική εξίσωσηκαι να σχεδιάσουμε μια ευθεία γραμμή Αρχικά θα πρέπεινα σχεδιάσουμε ένα T-chart Αυτό έχει τη μορφή

x y = 3x+2 (xy)

I Επιλέγουμε μια τιμή για το x και λύνουμε ως προς y

x y= 3x+2 (xy)minus2 minus4 (minus2minus4)0 2 (02)2 8 (28)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 68

Γραφική Αναπαράσταση II

-

6

X

Y

bull

bull

bull

I Βλέπουμε μια ευθεία με ανοδική τάση (έχοντας θετικήκλίση m= 3) καιτέμνει τον άξονα y στο σημείο y= 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 69

Γραφική Αναπαράσταση III

I Μια Τετραγωνική εξίσωση περιέχει x2 Για τηναναπαράσταση τετραγωνικών εξισώσεων χρειάζεται ναβρούμε περισσότερα από τρία σημεία στο σχεδιάγραμμα

Για παράδειγμα υποθέστε ότι y= x2minus6x+5 καιδίνεται το πιο κάτω T-chart

x y= x2minus6x+5 (xy)0 5 (05)1 0 (10)3 minus4 (3minus4)5 0 (50)6 5 (65)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 70

Γραφική Αναπαράσταση IV

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

-

6

X

Y

bull

bull

bull

bull

bull

Ε Ι Κοντογιώργης copy 71

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(1x + 2)

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(-3x + 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 72

-15

-10

-5

0

5

10

15

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(3x - 2)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 73

-20

0

20

40

60

80

100

120

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2+x)

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 74

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

1250

1500

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3+x2+x)

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x4)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 75

-25

-2

-15

-1

-05

0

05

1

15

2

25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(log(x))

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(x))

Ε Ι Κοντογιώργης copy 76

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(-x))

-5000

0

5000

10000

15000

20000

25000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(exp(x)+x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 77

Ανισότητες I

I Οι ανισότητες αποτελούνται από δύο ή τρεις αλγεβρικέςεκφράσεις που είναι συνδεδεμένες με τα σύμβολαανισότητας Τα σύμβολα αυτά είναι

lt μικρότερο τουgt μεγαλύτερο τουle μικρότερο ή ίσο τουge μεγαλύτερο ή ίσο του

I Παραδείγματα xgty yge x2 και ylt5x+1

I Το πρώτο βήμα για την αναπαράσταση ανισότητας τηςμορφής ygtx είναι να παραστήσουμε γραφικά τηνισότητα y= x

Ε Ι Κοντογιώργης copy 78

Ανισότητες II

I ygtx

Κάνετε δοκιμή με ένα σημείο να δείτε κατά πόσοικανοποιεί την ανισότητα Εάν ναι τότε σκιάστε τηνπεριοχή αυτή του σχεδιαγράμματος διαφορετικά σκιάστετην άλλη πλευρά

Ε Ι Κοντογιώργης copy 79

Ανισότητες III

I yltx

Ε Ι Κοντογιώργης copy 80

Ανισότητες IV

I yle 5x+1 και ygt5x+1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 81

Ανισότητες V

I yge x2 και yle x2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 82

Ανισότητες VI

I ygtx3 και yle x3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 83

Συστήματα Γραμμικών ΕξισώσεωνΠεριεχόμενα

1 Ε

2 Γ Α

ΑναφορέςΚεφάλαια 4 και 5FS Budnick Applied Mathematics for Business Economicsand the Social Sciences 4th edition McGraw-Hill 1993

Ε Ι Κοντογιώργης copy 84

Συστήματα Εξισώσεων

I ´Ενα σύστημα εξισώσεων συνδυάζει περισσότερες από μίαεξισώσεις

I ´Ενα σύστημα m εξισώσεων όπου κάθε εξίσωσηαποτελείται από n μεταβλητές ονομάζεται mtimesnσύστημα ή λέμε ότι έχει διαστάσεις mtimesn

I ΠαράδειγμαΠαρακάτω έχουμε ένα σύστημα 2times2

5X+10Y= 203X+4Y= 10

Οι μεταβλητές σε αυτή την περίπτωση είναι X και YΕ Ι Κοντογιώργης copy 85

Συστήματα Επίλυσης

I Το Σύστημα επίλυσης είναι μια σειρά τιμών μεταβλητώνπου ικανοποιούν το σύστημα ταυτόχρονα

I Σε μια σημειογραφική παράσταση το προηγούμενοπαράδειγμα μπορεί να γραφτεί ως εξής

S = (XY) | 5X+10Y = 20 και 3X+4Y = 10

I Το σύστημα επίλυσης μπορεί να είναι1 μηδενικό2 πεπερασμένο ή3 άπειρο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 86

2times2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική Ανάλυση

I Σε ένα δισδιάστατο γράφημα ένα σύστημα εξισώσεων2times2 αναπαρίστανται με ευθείες γραμμές Υπόρχουν τρίαενδεχόμενα

1 Οι ευθείες τέμνονται Το σημείο τομής αντιπροσωπεύει τηλύση του συστήματος εξισώσεων Αυτό το σημείοαλληλεπίδρασης είναι μια δέσμη τιμών X και Y που ικανοποιείκαι τις δύο εξισώσειςΕάν υπάρχει μόνο μια δέσμη τιμών για τις μεταβλητές που ναικανοποιεί το σύστημα εξισώσεων το σύστημα λέμε ότι έχειΜ Λ

2 Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες μεταξύ τους ∆εν έχουν κοινόσημείο Συνεπώς οι ευθείες δεν τέμνονται ποτέ Το σύστημαλέμε ότι ∆ ΛΑυτό υπονοεί ότι δεν υπάρχουν τιμές για τις μεταβλητές πουνα ικανοποιούν και τις δύο εξισώσεις Σε αυτή τηνπερίπτωση οι εξισώσεις στο σύστημα είναι Α

3 Και οι δύο εξισώσεις αναπαρίστανται ως μια κοινή ευθεία καιθεωρούνται ισοδύναμες εξισώσεις ´Ετσι το σύστημα έχειΑ Λ Αυτό συμβαίνει γιατί υπάρχει άπειροςαριθμός κοινών σημείων στις δύο γραμμές

Ε Ι Κοντογιώργης copy 87

I Π Θεωρείστε ένα σύστημα 2times22X+4Y= 203X+ Y= 10

I

X

Y

(24)

3X +Y = 10

2X +4Y = 20

0 2 4 6 8 10 12

2

4

6

8

10

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 88

I Το σημείο τομής δίνεται από το X= 2 και Y= 4Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές του X και Y στις δύοεξισώσεις δίνουν 20 = 20 και 10 = 10 αντίστοιχα

I Αυτό υποδειλώνει ότι X= 2 και Y= 4 είναι η σωστή λύση

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times23Xminus2Y= 6

minus15X+10Y=minus30

I

X

Y

(20)

(0minus3)

3X minus2Y = 6

minus15X +10Y =minus30

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 89

I Οι δύο εξισώσεις απλοποιούνται σε Xminus 23 Y= 2

Οι δύο εξισώσεις είναι ισοδύναμες και δίνουν έναπεπερασμένο αριθμό λύσεων έτσι ώστε

X= 0 Y =minus3X= 2 Y = 0X= 4 Y = 3

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times26Xminus12Y= 24

minus32X+3Y= 9

Οι εξισώσεις απλοποιούνται σεXminus2Y= 4Xminus2Y=minus6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 90

I

X

Y

(40)

(0minus2)

(minus60)

(03)

X minus2Y =minus6

X minus2Y = 4

0-0

I Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες και συνεπώς το σύστημαδεν έχει λύση ´Ετσι το σύστημα εξισώσεων είναιασύμπτωτο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 91

Περίληψη 2times2 Συστήματα Εξισώσεων∆ίνεται ένα Σύστημα Γραμμικών Εξισώσεων 2times2

Y=m1X+ c1Y=m2X+ c2

1 Υπάρχει μια στο σύστημα εάνm1 6= m2

2 ∆εν υπάρχει στο σύστημα εάνm1 = m2 και c1 6= c2

3 Υπάρχει εάνm1 = m2 και c1 = c2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 92

∆ιαδικασίες Απαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής χρησιμοποιεί πολλαπλασιασμόκαι πρόσθεση έτσι ώστε

1 Να απαλοιφεί μια από τις δύο μεταβλητές

2 Η εξίσωση που εξάγεται είναι συνάρτηση των υπόλοιπωνμεταβλητών

3 Αντικαθιστώντας την τιμή στην μεταβλητή σε μια από τιςαρχικές εξισώσεις βρίσκουμε την τιμή για τηναπολοιφθήσα μεταβλητή

Ε Ι Κοντογιώργης copy 93

ΠαραδείγματαI Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

2X +4Y = 20 (1)3X + Y = 10 (2)

Πολλαπλασιάζοντας τη δεύτερη εξίσωση με minus4 παίρνουμε

minus12X minus4Y =minus40 (3)

Προσθέτοντας την εξίσωση (1) στο (3)

2X + 4Y = 20minus12X minus 4Y = minus40minus10X = minus20

ή

X = 2 (4)Ε Ι Κοντογιώργης copy 94

Αντικαθιστώντας X= 2 στην εξίσωση (1) δίνεται2 middot2+4Y = 20 ή Y=4

´Ετσι η μοναδική λύση του συστήματος δίνεται από τοX= 2 και Y= 4 Μπορεί να επιβεβαιωθεί ότι αυτή είναι ησωστή λύση αντικαθιστώντας X= 2 και Y= 4 στηνεξίσωση (1) και (2)

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times23X minus2Y = 6 (5)

minus15X +10Y =minus30 (6)

Για την απαλοιφή της μεταβλητής X η εξίσωση (5)πολλαπλασιάζεται με 5 και το αποτέλεσμα προστίθεταιστην εξίσωση (6)

15X minus 10Y = 30minus15X + 10Y = minus30

0 = 0 Ε Ι Κοντογιώργης copy 95

Οι τελευταίες πράξεις υπονοούν ότι οι εξίσωσεις (5) και(6) είναι ισοδύναμες και έτσι υπάρχει άπειρος αριθμόςλύσεωνΓια να προσδιορίσουμε τις λύσεις του συστήματος μια απότις αρχικές εξισώσεις λύνεται ως προς μια μεταβλητή Ανγια παράδειγμα η εξίσωση (5) λύνεται ως προς Y δίνει

Y =32Xminus3

Σαν αποτέλεσμα γενικεύοντας τις λύσεις του συστήματοςέχουμε

X τυχαίο και Y =32Xminus3

Πχ για X= 4 υπονοείται ότι Y=32 middot4minus3 = 3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 96

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

6X minus12Y = 24 (7)

minus32X +3Y = 9 (8)

Πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση (8) με 4 καιπροσθέτοντας το αποτέλεσμα στην εξίσωση (7)παίρνουμε

6X minus 12Y = 24minus6X + 12Y = 36

0 = 60

Η πιο πάνω αντιλογία υπονοεί ότι δεν υπάρχει λύση τουσυστήματος εξισώσεων

Ε Ι Κοντογιώργης copy 97

3times2 Συστήματα Εξισώσεων I

1 Μ Λ

X

Y

(32)

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minusY = 1

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 98

3times2 Συστήματα Εξισώσεων II

2 Α Λ

X

Y Εξις (1)Εξις (2)Εξις (3)

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 99

3times2 Συστήματα Εξισώσεων III3 Κ

(α) ´Οταν και οι τρεις εξισώσεις είναι παράλληλες

X

Y

2X minusY =minus8

2X minusY = 2

2X minusY = 12

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 100

3times2 Συστήματα Εξισώσεων IV(β) ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ τωνεξισώσεων

X

Y

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minus2Y =minus4

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 101

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική ΑνάλυσηΣε ένα γράφημα 2 διαστάσεων ένα σύστημα mtimes2(mgt2) εξισώσεων παριστάνεται με m ευθείες ´Οπωςσυμβαίνει στα συστήματα 2times2 υπάρχουν τρίαενδεχόμενα

1 ´Ολες οι ευθείες τέμνονται στο ίδιο σημείο και έτσιυπάρχει

2 ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ των mεξισώσεων Αυτό σημαίνει ότι όλες οι ευθείες είναιπαράλληλες Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα Λ

3 Οι m εξισώσεις είναι ισοδύναμες πχ παρασταίνονται σανμια ευθεία Σε αυτή την περίπτωση υπάρχει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 102

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων ∆ιαδικασίαΑπαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής για την επίλυση ενός συστήματοςmtimes2 μπορεί να περιγραφεί ως ακολούθωςΕπιλέξτε και λύστε σύστημα με δύο εξισώσεις

1 Εάν δεν υπάρχει λύση τότε ολόκληρο το σύστημα δεν έχειλύση

2 Εάν υπάρχει μοναδική λύση που ικανοποιεί τις υπόλοιπεςmminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα έχει μία μοναδική λύση

3 Εάν η λύση είναι μοναδική αλλά δεν ικανοποιεί τιςυπόλοιπες mminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα δεν έχει λύση

4 Εάν οι 2 λύσεις είναι ισοδύναμες απάλοιψτε τη μίααπό τις δύο εξισώσεις και ξεκινήστε από την αρχήλαμβάνοντας υπόψη ένα σύστημα (mminus1)times2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 103

ΠαράδείγμαI Θεωρείστε ένα σύστημα 5times2

XminusY= 1X+2Y=minus8

3Xminus2Y= 02Xminus5Y= 11minus4X+3Y=minus1

I Η λύση των πρώτων δύο εξισώσεων δίνετε απόY =minus3 και X =minus2

I Αντικαθιστώντας τη λύση στις υπόλοιπες τρεις εξισώσειςπαίρνετε αντίστοιχα

0 = 0 11 = 11 και minus1 =minus1I Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση

X=minus2 και Y=minus3Ε Ι Κοντογιώργης copy 104

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian

Η μέθοδος απολοιφής Gaussian μετατρέπει το αρχικόσύστημα εξισώσεων σε διαγώνια μορφή επαναλαμβάνονταςστις εξισώσεις τις ακόλουθες τρεις διαδικασίες

1 Πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης μεμια θετική σταθερά

2 Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού θα προστεθεί σεάλλη εξίσωση

3 Η σειρά των εξισώσεων μπορεί να αλλάξει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 105

ΠαράδείγμαΠ Θεωρείστε το σύστημα 2times2

2X minus 3Y = 7 (Εξ 1)X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με 12 για να πάρετε

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με minus1 καιπροσθέστε την στην (Εξ 2)

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

52Y =

152 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 106

Στάδιο 3 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 25

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

Y = 3 (Εξ 2)

Στάδιο 4 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 32 και

προσθέστε την στην (Εξ 1)

X = 1 (Εξ 1)Y = 3 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 107

Π Θεωρείστε το σύστημα 2times2

5X + 20Y = 254X minus 7Y =minus26

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να εκφραστεί ως

R1 5 20 25R2 4 minus7 minus26

Η κάθετη γραμμή χρησιμοποιείται για διαχωρισμό τηςαριστερής από τη δεξιά πλευρά των εξισώσεων Το Riυπονοεί τη γραμμή (Row) i

Ε Ι Κοντογιώργης copy 108

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάζουμε τη R1 με 15 και το θέτουμε

R1larr 15R1

R1 1 4 5R2 4 minus7 minus26

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάζουμε την R1 με minus4 και τηνπροσθέτουμε στην R2 Εν συντομίαR2larrminus4R1+R2

R1 1 4 5R2 0 minus23 minus46

Στάδιο 3 R2larrminus 123R2

R1 1 4 5R2 0 1 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 109

Στάδιο 4 R1larrminus4R2+R1

R1 1 0 minus3R2 0 1 2

Το αρχικό σύστημα εξισώσεων μετατρέπεται σε διαγώνιαμορφή όπως πιο κάτω

X =minus3Y = 2

το οποίο δίνει τη λύση του συστήματος

Ε Ι Κοντογιώργης copy 110

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 I

Το σύστημα εξισώσεων 3times3 μετετρέπεται σε διαγώνιαμορφή Η μετατροπή γίνεται στήλη με στήλη από τααριστερά προς τα δεξιά

Π Θεωρήστε το σύστημα 3times3

X1 + X2 + X3 = 2X1 minus 3X2 + 2X3 = 7

4X1 minus 2X2 minus X3 = 9

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να γραφτεί ως

Ε Ι Κοντογιώργης copy 111

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 II

1 1 1 21 minus3 2 74 minus2 minus1 9

Ε Ι Κοντογιώργης copy 112

I Αν το επιτόκιο είναι r = 7 τότε πιο θα είναι τοσυνολικό ποσό στο λογαριασμό μετά από 205 και41 χρόνια αντίστοιχα

Μετά τα πρώτα 1025 χρόνια το ποσό A θαδιπλασιαστεί σε 2A Για τα επόμενα 1025 χρόνιατο ποσό θα ξαναδιπλασιαστεί σε 4A ´Ετσι μετά από205 χρόνια το ποσό θα αυξηθεί κατά 4 φορές

Με το πέρας ακόμα 205 χρόνων το ποσό θα αυξηθείακόμα 4 φορές σε 16 ´Ετσι μετά από 41 χρόνιατο κεφάλαιο A γίνεται 16A

Ε Ι Κοντογιώργης copy 60

Ασκήσεις και Παραδείγματα

I Υπολογίστε τη Μελλοντική Αξία (Future Value (FV)) τουκεφαλαίου A= 1500 που κερδίζει ετήσιο επιτόκιοr = 5 για n= 10 έτη

FV =A(1+ r)n = 1500(1+005)10 = 244334

I Πόσα έτη απαιτούνται για να τριπλασιαστεί ένα ποσόπου αφήνετε στην τράπεζα με επιτόκιο r = 5∆ηλαδή βρείτε το n όπου A= 1 r = 5 και FV = 3

FV =A(1+ r)n ή (1+ r)n =FVA

Ε Ι Κοντογιώργης copy 61

Υπολογίζοντας τους λογαρίθμους παίρνουμε

log(1+ r)n = log(FVA)

ή n log(1+ r) = log(FVA)

´Ετσι

n=log(FVA)

log(1+ r) =log(3)

log(105)

= 2252

Ε Ι Κοντογιώργης copy 62

I Βρείτε την παρούσα αξία A έτσι ώστε σε δέκα έτη μεσταθερό επιτόκιο r = 6 να είναι 100KΒρείτε το A όπου FV = 100000 r = 6 και n= 10

FV =A(1+ r)n ή A=FV

(1+ r)n

´Ετσι A=100000

(106)10= 5583948

I Βρείτε την ετησιοποιημένη απόδοση (AER AnnualEquivalent Rate) μιας μηνιαίας κατάθεσης με σταθερόεπιτοκίο 394 Μια τέτοια κατάθεση λαμβάνει το επιτόκιο στη λήξηΣυνεπώς κάθε μήνα ο λογαριασμός λαμβάνει

r = 0039412 = 000328

επιτόκιο που επανεπενδύεται (συνεχής ανατοκισμός)Ε Ι Κοντογιώργης copy 63

Επανεπενδύοντας το επιτόκιο κάθε μήνα στη διάρκειαενός έτους το κεφάλαιο θα αυξηθεί σε

(1+ r)12 = (1+000328)12 = 104012

´Ετσι το ΑΕΡ είναι ισοδύναμο με 004012 = 4012I Υπολογίστε το επιτόκιο ενός σταθερού λογαριασμού

κατάθεσης 7-ημερών που έχει AER επιτόκιο r = 425Θεωρείστε ρ το εβδομαδιαίο επιτόκιο

´Ετσι (1+ρ)52 = (1+00425)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 64

Παίρνοντας τους λογαρίθμους έχουμε52log(1+ρ) = log10425

ή log(1+ρ) =log10425

52

ή 1+ρ= 10( log10425

52)

Αυτό μας δίνει

ρ= 10

( log1042552

)minus1 = 008

´Ετσι το συνεχές επιτόκιο μιας επταήμερης κατάθεσης είναιρtimes52 = 41638

Εναλλακτικά (1+ρ)52 = (1+00425) δίνει

(1+ρ) =52radic10425ή ρ=

52radic10425minus = 008Ε Ι Κοντογιώργης copy 65

I Υπολογίστε την ετήσια απόδοση r έτσι ώστε A= 10000να επιστρέφει FV = 35000 σε n= 20 χρόνια

FV =A(1+ r)n ή (1+ r)n =FVA

´Ετσι

1+ r =nradic

FVA

Επομένως

r =nradic

FVA minus1 =

20radic

3500010000 minus1 = 00646 = 646

Ε Ι Κοντογιώργης copy 66

Εναλλακτικά παίρνοντας τους λογαρίθμους

log(1+ r)n = log(FVA) ή n log(1+ r) = log

(FVA)

´Ετσι

1+ r = 10(1n log

(FVA))

ή r = 10(1n log

(FVA))minus1

= 10( 120 log

(3500010000

))minus1

= 646

Ε Ι Κοντογιώργης copy 67

Γραφική Αναπαράσταση I

I Υποθέστε ότι έχουμε y= 3x+2 Καθώς έχουμε μόνο μιαδύναμη για το x πρέπει να λύσουμε γραμμική εξίσωσηκαι να σχεδιάσουμε μια ευθεία γραμμή Αρχικά θα πρέπεινα σχεδιάσουμε ένα T-chart Αυτό έχει τη μορφή

x y = 3x+2 (xy)

I Επιλέγουμε μια τιμή για το x και λύνουμε ως προς y

x y= 3x+2 (xy)minus2 minus4 (minus2minus4)0 2 (02)2 8 (28)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 68

Γραφική Αναπαράσταση II

-

6

X

Y

bull

bull

bull

I Βλέπουμε μια ευθεία με ανοδική τάση (έχοντας θετικήκλίση m= 3) καιτέμνει τον άξονα y στο σημείο y= 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 69

Γραφική Αναπαράσταση III

I Μια Τετραγωνική εξίσωση περιέχει x2 Για τηναναπαράσταση τετραγωνικών εξισώσεων χρειάζεται ναβρούμε περισσότερα από τρία σημεία στο σχεδιάγραμμα

Για παράδειγμα υποθέστε ότι y= x2minus6x+5 καιδίνεται το πιο κάτω T-chart

x y= x2minus6x+5 (xy)0 5 (05)1 0 (10)3 minus4 (3minus4)5 0 (50)6 5 (65)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 70

Γραφική Αναπαράσταση IV

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

-

6

X

Y

bull

bull

bull

bull

bull

Ε Ι Κοντογιώργης copy 71

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(1x + 2)

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(-3x + 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 72

-15

-10

-5

0

5

10

15

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(3x - 2)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 73

-20

0

20

40

60

80

100

120

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2+x)

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 74

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

1250

1500

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3+x2+x)

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x4)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 75

-25

-2

-15

-1

-05

0

05

1

15

2

25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(log(x))

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(x))

Ε Ι Κοντογιώργης copy 76

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(-x))

-5000

0

5000

10000

15000

20000

25000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(exp(x)+x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 77

Ανισότητες I

I Οι ανισότητες αποτελούνται από δύο ή τρεις αλγεβρικέςεκφράσεις που είναι συνδεδεμένες με τα σύμβολαανισότητας Τα σύμβολα αυτά είναι

lt μικρότερο τουgt μεγαλύτερο τουle μικρότερο ή ίσο τουge μεγαλύτερο ή ίσο του

I Παραδείγματα xgty yge x2 και ylt5x+1

I Το πρώτο βήμα για την αναπαράσταση ανισότητας τηςμορφής ygtx είναι να παραστήσουμε γραφικά τηνισότητα y= x

Ε Ι Κοντογιώργης copy 78

Ανισότητες II

I ygtx

Κάνετε δοκιμή με ένα σημείο να δείτε κατά πόσοικανοποιεί την ανισότητα Εάν ναι τότε σκιάστε τηνπεριοχή αυτή του σχεδιαγράμματος διαφορετικά σκιάστετην άλλη πλευρά

Ε Ι Κοντογιώργης copy 79

Ανισότητες III

I yltx

Ε Ι Κοντογιώργης copy 80

Ανισότητες IV

I yle 5x+1 και ygt5x+1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 81

Ανισότητες V

I yge x2 και yle x2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 82

Ανισότητες VI

I ygtx3 και yle x3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 83

Συστήματα Γραμμικών ΕξισώσεωνΠεριεχόμενα

1 Ε

2 Γ Α

ΑναφορέςΚεφάλαια 4 και 5FS Budnick Applied Mathematics for Business Economicsand the Social Sciences 4th edition McGraw-Hill 1993

Ε Ι Κοντογιώργης copy 84

Συστήματα Εξισώσεων

I ´Ενα σύστημα εξισώσεων συνδυάζει περισσότερες από μίαεξισώσεις

I ´Ενα σύστημα m εξισώσεων όπου κάθε εξίσωσηαποτελείται από n μεταβλητές ονομάζεται mtimesnσύστημα ή λέμε ότι έχει διαστάσεις mtimesn

I ΠαράδειγμαΠαρακάτω έχουμε ένα σύστημα 2times2

5X+10Y= 203X+4Y= 10

Οι μεταβλητές σε αυτή την περίπτωση είναι X και YΕ Ι Κοντογιώργης copy 85

Συστήματα Επίλυσης

I Το Σύστημα επίλυσης είναι μια σειρά τιμών μεταβλητώνπου ικανοποιούν το σύστημα ταυτόχρονα

I Σε μια σημειογραφική παράσταση το προηγούμενοπαράδειγμα μπορεί να γραφτεί ως εξής

S = (XY) | 5X+10Y = 20 και 3X+4Y = 10

I Το σύστημα επίλυσης μπορεί να είναι1 μηδενικό2 πεπερασμένο ή3 άπειρο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 86

2times2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική Ανάλυση

I Σε ένα δισδιάστατο γράφημα ένα σύστημα εξισώσεων2times2 αναπαρίστανται με ευθείες γραμμές Υπόρχουν τρίαενδεχόμενα

1 Οι ευθείες τέμνονται Το σημείο τομής αντιπροσωπεύει τηλύση του συστήματος εξισώσεων Αυτό το σημείοαλληλεπίδρασης είναι μια δέσμη τιμών X και Y που ικανοποιείκαι τις δύο εξισώσειςΕάν υπάρχει μόνο μια δέσμη τιμών για τις μεταβλητές που ναικανοποιεί το σύστημα εξισώσεων το σύστημα λέμε ότι έχειΜ Λ

2 Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες μεταξύ τους ∆εν έχουν κοινόσημείο Συνεπώς οι ευθείες δεν τέμνονται ποτέ Το σύστημαλέμε ότι ∆ ΛΑυτό υπονοεί ότι δεν υπάρχουν τιμές για τις μεταβλητές πουνα ικανοποιούν και τις δύο εξισώσεις Σε αυτή τηνπερίπτωση οι εξισώσεις στο σύστημα είναι Α

3 Και οι δύο εξισώσεις αναπαρίστανται ως μια κοινή ευθεία καιθεωρούνται ισοδύναμες εξισώσεις ´Ετσι το σύστημα έχειΑ Λ Αυτό συμβαίνει γιατί υπάρχει άπειροςαριθμός κοινών σημείων στις δύο γραμμές

Ε Ι Κοντογιώργης copy 87

I Π Θεωρείστε ένα σύστημα 2times22X+4Y= 203X+ Y= 10

I

X

Y

(24)

3X +Y = 10

2X +4Y = 20

0 2 4 6 8 10 12

2

4

6

8

10

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 88

I Το σημείο τομής δίνεται από το X= 2 και Y= 4Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές του X και Y στις δύοεξισώσεις δίνουν 20 = 20 και 10 = 10 αντίστοιχα

I Αυτό υποδειλώνει ότι X= 2 και Y= 4 είναι η σωστή λύση

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times23Xminus2Y= 6

minus15X+10Y=minus30

I

X

Y

(20)

(0minus3)

3X minus2Y = 6

minus15X +10Y =minus30

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 89

I Οι δύο εξισώσεις απλοποιούνται σε Xminus 23 Y= 2

Οι δύο εξισώσεις είναι ισοδύναμες και δίνουν έναπεπερασμένο αριθμό λύσεων έτσι ώστε

X= 0 Y =minus3X= 2 Y = 0X= 4 Y = 3

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times26Xminus12Y= 24

minus32X+3Y= 9

Οι εξισώσεις απλοποιούνται σεXminus2Y= 4Xminus2Y=minus6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 90

I

X

Y

(40)

(0minus2)

(minus60)

(03)

X minus2Y =minus6

X minus2Y = 4

0-0

I Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες και συνεπώς το σύστημαδεν έχει λύση ´Ετσι το σύστημα εξισώσεων είναιασύμπτωτο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 91

Περίληψη 2times2 Συστήματα Εξισώσεων∆ίνεται ένα Σύστημα Γραμμικών Εξισώσεων 2times2

Y=m1X+ c1Y=m2X+ c2

1 Υπάρχει μια στο σύστημα εάνm1 6= m2

2 ∆εν υπάρχει στο σύστημα εάνm1 = m2 και c1 6= c2

3 Υπάρχει εάνm1 = m2 και c1 = c2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 92

∆ιαδικασίες Απαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής χρησιμοποιεί πολλαπλασιασμόκαι πρόσθεση έτσι ώστε

1 Να απαλοιφεί μια από τις δύο μεταβλητές

2 Η εξίσωση που εξάγεται είναι συνάρτηση των υπόλοιπωνμεταβλητών

3 Αντικαθιστώντας την τιμή στην μεταβλητή σε μια από τιςαρχικές εξισώσεις βρίσκουμε την τιμή για τηναπολοιφθήσα μεταβλητή

Ε Ι Κοντογιώργης copy 93

ΠαραδείγματαI Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

2X +4Y = 20 (1)3X + Y = 10 (2)

Πολλαπλασιάζοντας τη δεύτερη εξίσωση με minus4 παίρνουμε

minus12X minus4Y =minus40 (3)

Προσθέτοντας την εξίσωση (1) στο (3)

2X + 4Y = 20minus12X minus 4Y = minus40minus10X = minus20

ή

X = 2 (4)Ε Ι Κοντογιώργης copy 94

Αντικαθιστώντας X= 2 στην εξίσωση (1) δίνεται2 middot2+4Y = 20 ή Y=4

´Ετσι η μοναδική λύση του συστήματος δίνεται από τοX= 2 και Y= 4 Μπορεί να επιβεβαιωθεί ότι αυτή είναι ησωστή λύση αντικαθιστώντας X= 2 και Y= 4 στηνεξίσωση (1) και (2)

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times23X minus2Y = 6 (5)

minus15X +10Y =minus30 (6)

Για την απαλοιφή της μεταβλητής X η εξίσωση (5)πολλαπλασιάζεται με 5 και το αποτέλεσμα προστίθεταιστην εξίσωση (6)

15X minus 10Y = 30minus15X + 10Y = minus30

0 = 0 Ε Ι Κοντογιώργης copy 95

Οι τελευταίες πράξεις υπονοούν ότι οι εξίσωσεις (5) και(6) είναι ισοδύναμες και έτσι υπάρχει άπειρος αριθμόςλύσεωνΓια να προσδιορίσουμε τις λύσεις του συστήματος μια απότις αρχικές εξισώσεις λύνεται ως προς μια μεταβλητή Ανγια παράδειγμα η εξίσωση (5) λύνεται ως προς Y δίνει

Y =32Xminus3

Σαν αποτέλεσμα γενικεύοντας τις λύσεις του συστήματοςέχουμε

X τυχαίο και Y =32Xminus3

Πχ για X= 4 υπονοείται ότι Y=32 middot4minus3 = 3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 96

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

6X minus12Y = 24 (7)

minus32X +3Y = 9 (8)

Πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση (8) με 4 καιπροσθέτοντας το αποτέλεσμα στην εξίσωση (7)παίρνουμε

6X minus 12Y = 24minus6X + 12Y = 36

0 = 60

Η πιο πάνω αντιλογία υπονοεί ότι δεν υπάρχει λύση τουσυστήματος εξισώσεων

Ε Ι Κοντογιώργης copy 97

3times2 Συστήματα Εξισώσεων I

1 Μ Λ

X

Y

(32)

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minusY = 1

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 98

3times2 Συστήματα Εξισώσεων II

2 Α Λ

X

Y Εξις (1)Εξις (2)Εξις (3)

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 99

3times2 Συστήματα Εξισώσεων III3 Κ

(α) ´Οταν και οι τρεις εξισώσεις είναι παράλληλες

X

Y

2X minusY =minus8

2X minusY = 2

2X minusY = 12

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 100

3times2 Συστήματα Εξισώσεων IV(β) ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ τωνεξισώσεων

X

Y

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minus2Y =minus4

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 101

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική ΑνάλυσηΣε ένα γράφημα 2 διαστάσεων ένα σύστημα mtimes2(mgt2) εξισώσεων παριστάνεται με m ευθείες ´Οπωςσυμβαίνει στα συστήματα 2times2 υπάρχουν τρίαενδεχόμενα

1 ´Ολες οι ευθείες τέμνονται στο ίδιο σημείο και έτσιυπάρχει

2 ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ των mεξισώσεων Αυτό σημαίνει ότι όλες οι ευθείες είναιπαράλληλες Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα Λ

3 Οι m εξισώσεις είναι ισοδύναμες πχ παρασταίνονται σανμια ευθεία Σε αυτή την περίπτωση υπάρχει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 102

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων ∆ιαδικασίαΑπαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής για την επίλυση ενός συστήματοςmtimes2 μπορεί να περιγραφεί ως ακολούθωςΕπιλέξτε και λύστε σύστημα με δύο εξισώσεις

1 Εάν δεν υπάρχει λύση τότε ολόκληρο το σύστημα δεν έχειλύση

2 Εάν υπάρχει μοναδική λύση που ικανοποιεί τις υπόλοιπεςmminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα έχει μία μοναδική λύση

3 Εάν η λύση είναι μοναδική αλλά δεν ικανοποιεί τιςυπόλοιπες mminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα δεν έχει λύση

4 Εάν οι 2 λύσεις είναι ισοδύναμες απάλοιψτε τη μίααπό τις δύο εξισώσεις και ξεκινήστε από την αρχήλαμβάνοντας υπόψη ένα σύστημα (mminus1)times2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 103

ΠαράδείγμαI Θεωρείστε ένα σύστημα 5times2

XminusY= 1X+2Y=minus8

3Xminus2Y= 02Xminus5Y= 11minus4X+3Y=minus1

I Η λύση των πρώτων δύο εξισώσεων δίνετε απόY =minus3 και X =minus2

I Αντικαθιστώντας τη λύση στις υπόλοιπες τρεις εξισώσειςπαίρνετε αντίστοιχα

0 = 0 11 = 11 και minus1 =minus1I Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση

X=minus2 και Y=minus3Ε Ι Κοντογιώργης copy 104

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian

Η μέθοδος απολοιφής Gaussian μετατρέπει το αρχικόσύστημα εξισώσεων σε διαγώνια μορφή επαναλαμβάνονταςστις εξισώσεις τις ακόλουθες τρεις διαδικασίες

1 Πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης μεμια θετική σταθερά

2 Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού θα προστεθεί σεάλλη εξίσωση

3 Η σειρά των εξισώσεων μπορεί να αλλάξει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 105

ΠαράδείγμαΠ Θεωρείστε το σύστημα 2times2

2X minus 3Y = 7 (Εξ 1)X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με 12 για να πάρετε

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με minus1 καιπροσθέστε την στην (Εξ 2)

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

52Y =

152 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 106

Στάδιο 3 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 25

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

Y = 3 (Εξ 2)

Στάδιο 4 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 32 και

προσθέστε την στην (Εξ 1)

X = 1 (Εξ 1)Y = 3 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 107

Π Θεωρείστε το σύστημα 2times2

5X + 20Y = 254X minus 7Y =minus26

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να εκφραστεί ως

R1 5 20 25R2 4 minus7 minus26

Η κάθετη γραμμή χρησιμοποιείται για διαχωρισμό τηςαριστερής από τη δεξιά πλευρά των εξισώσεων Το Riυπονοεί τη γραμμή (Row) i

Ε Ι Κοντογιώργης copy 108

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάζουμε τη R1 με 15 και το θέτουμε

R1larr 15R1

R1 1 4 5R2 4 minus7 minus26

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάζουμε την R1 με minus4 και τηνπροσθέτουμε στην R2 Εν συντομίαR2larrminus4R1+R2

R1 1 4 5R2 0 minus23 minus46

Στάδιο 3 R2larrminus 123R2

R1 1 4 5R2 0 1 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 109

Στάδιο 4 R1larrminus4R2+R1

R1 1 0 minus3R2 0 1 2

Το αρχικό σύστημα εξισώσεων μετατρέπεται σε διαγώνιαμορφή όπως πιο κάτω

X =minus3Y = 2

το οποίο δίνει τη λύση του συστήματος

Ε Ι Κοντογιώργης copy 110

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 I

Το σύστημα εξισώσεων 3times3 μετετρέπεται σε διαγώνιαμορφή Η μετατροπή γίνεται στήλη με στήλη από τααριστερά προς τα δεξιά

Π Θεωρήστε το σύστημα 3times3

X1 + X2 + X3 = 2X1 minus 3X2 + 2X3 = 7

4X1 minus 2X2 minus X3 = 9

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να γραφτεί ως

Ε Ι Κοντογιώργης copy 111

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 II

1 1 1 21 minus3 2 74 minus2 minus1 9

Ε Ι Κοντογιώργης copy 112

Ασκήσεις και Παραδείγματα

I Υπολογίστε τη Μελλοντική Αξία (Future Value (FV)) τουκεφαλαίου A= 1500 που κερδίζει ετήσιο επιτόκιοr = 5 για n= 10 έτη

FV =A(1+ r)n = 1500(1+005)10 = 244334

I Πόσα έτη απαιτούνται για να τριπλασιαστεί ένα ποσόπου αφήνετε στην τράπεζα με επιτόκιο r = 5∆ηλαδή βρείτε το n όπου A= 1 r = 5 και FV = 3

FV =A(1+ r)n ή (1+ r)n =FVA

Ε Ι Κοντογιώργης copy 61

Υπολογίζοντας τους λογαρίθμους παίρνουμε

log(1+ r)n = log(FVA)

ή n log(1+ r) = log(FVA)

´Ετσι

n=log(FVA)

log(1+ r) =log(3)

log(105)

= 2252

Ε Ι Κοντογιώργης copy 62

I Βρείτε την παρούσα αξία A έτσι ώστε σε δέκα έτη μεσταθερό επιτόκιο r = 6 να είναι 100KΒρείτε το A όπου FV = 100000 r = 6 και n= 10

FV =A(1+ r)n ή A=FV

(1+ r)n

´Ετσι A=100000

(106)10= 5583948

I Βρείτε την ετησιοποιημένη απόδοση (AER AnnualEquivalent Rate) μιας μηνιαίας κατάθεσης με σταθερόεπιτοκίο 394 Μια τέτοια κατάθεση λαμβάνει το επιτόκιο στη λήξηΣυνεπώς κάθε μήνα ο λογαριασμός λαμβάνει

r = 0039412 = 000328

επιτόκιο που επανεπενδύεται (συνεχής ανατοκισμός)Ε Ι Κοντογιώργης copy 63

Επανεπενδύοντας το επιτόκιο κάθε μήνα στη διάρκειαενός έτους το κεφάλαιο θα αυξηθεί σε

(1+ r)12 = (1+000328)12 = 104012

´Ετσι το ΑΕΡ είναι ισοδύναμο με 004012 = 4012I Υπολογίστε το επιτόκιο ενός σταθερού λογαριασμού

κατάθεσης 7-ημερών που έχει AER επιτόκιο r = 425Θεωρείστε ρ το εβδομαδιαίο επιτόκιο

´Ετσι (1+ρ)52 = (1+00425)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 64

Παίρνοντας τους λογαρίθμους έχουμε52log(1+ρ) = log10425

ή log(1+ρ) =log10425

52

ή 1+ρ= 10( log10425

52)

Αυτό μας δίνει

ρ= 10

( log1042552

)minus1 = 008

´Ετσι το συνεχές επιτόκιο μιας επταήμερης κατάθεσης είναιρtimes52 = 41638

Εναλλακτικά (1+ρ)52 = (1+00425) δίνει

(1+ρ) =52radic10425ή ρ=

52radic10425minus = 008Ε Ι Κοντογιώργης copy 65

I Υπολογίστε την ετήσια απόδοση r έτσι ώστε A= 10000να επιστρέφει FV = 35000 σε n= 20 χρόνια

FV =A(1+ r)n ή (1+ r)n =FVA

´Ετσι

1+ r =nradic

FVA

Επομένως

r =nradic

FVA minus1 =

20radic

3500010000 minus1 = 00646 = 646

Ε Ι Κοντογιώργης copy 66

Εναλλακτικά παίρνοντας τους λογαρίθμους

log(1+ r)n = log(FVA) ή n log(1+ r) = log

(FVA)

´Ετσι

1+ r = 10(1n log

(FVA))

ή r = 10(1n log

(FVA))minus1

= 10( 120 log

(3500010000

))minus1

= 646

Ε Ι Κοντογιώργης copy 67

Γραφική Αναπαράσταση I

I Υποθέστε ότι έχουμε y= 3x+2 Καθώς έχουμε μόνο μιαδύναμη για το x πρέπει να λύσουμε γραμμική εξίσωσηκαι να σχεδιάσουμε μια ευθεία γραμμή Αρχικά θα πρέπεινα σχεδιάσουμε ένα T-chart Αυτό έχει τη μορφή

x y = 3x+2 (xy)

I Επιλέγουμε μια τιμή για το x και λύνουμε ως προς y

x y= 3x+2 (xy)minus2 minus4 (minus2minus4)0 2 (02)2 8 (28)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 68

Γραφική Αναπαράσταση II

-

6

X

Y

bull

bull

bull

I Βλέπουμε μια ευθεία με ανοδική τάση (έχοντας θετικήκλίση m= 3) καιτέμνει τον άξονα y στο σημείο y= 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 69

Γραφική Αναπαράσταση III

I Μια Τετραγωνική εξίσωση περιέχει x2 Για τηναναπαράσταση τετραγωνικών εξισώσεων χρειάζεται ναβρούμε περισσότερα από τρία σημεία στο σχεδιάγραμμα

Για παράδειγμα υποθέστε ότι y= x2minus6x+5 καιδίνεται το πιο κάτω T-chart

x y= x2minus6x+5 (xy)0 5 (05)1 0 (10)3 minus4 (3minus4)5 0 (50)6 5 (65)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 70

Γραφική Αναπαράσταση IV

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

-

6

X

Y

bull

bull

bull

bull

bull

Ε Ι Κοντογιώργης copy 71

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(1x + 2)

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(-3x + 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 72

-15

-10

-5

0

5

10

15

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(3x - 2)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 73

-20

0

20

40

60

80

100

120

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2+x)

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 74

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

1250

1500

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3+x2+x)

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x4)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 75

-25

-2

-15

-1

-05

0

05

1

15

2

25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(log(x))

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(x))

Ε Ι Κοντογιώργης copy 76

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(-x))

-5000

0

5000

10000

15000

20000

25000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(exp(x)+x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 77

Ανισότητες I

I Οι ανισότητες αποτελούνται από δύο ή τρεις αλγεβρικέςεκφράσεις που είναι συνδεδεμένες με τα σύμβολαανισότητας Τα σύμβολα αυτά είναι

lt μικρότερο τουgt μεγαλύτερο τουle μικρότερο ή ίσο τουge μεγαλύτερο ή ίσο του

I Παραδείγματα xgty yge x2 και ylt5x+1

I Το πρώτο βήμα για την αναπαράσταση ανισότητας τηςμορφής ygtx είναι να παραστήσουμε γραφικά τηνισότητα y= x

Ε Ι Κοντογιώργης copy 78

Ανισότητες II

I ygtx

Κάνετε δοκιμή με ένα σημείο να δείτε κατά πόσοικανοποιεί την ανισότητα Εάν ναι τότε σκιάστε τηνπεριοχή αυτή του σχεδιαγράμματος διαφορετικά σκιάστετην άλλη πλευρά

Ε Ι Κοντογιώργης copy 79

Ανισότητες III

I yltx

Ε Ι Κοντογιώργης copy 80

Ανισότητες IV

I yle 5x+1 και ygt5x+1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 81

Ανισότητες V

I yge x2 και yle x2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 82

Ανισότητες VI

I ygtx3 και yle x3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 83

Συστήματα Γραμμικών ΕξισώσεωνΠεριεχόμενα

1 Ε

2 Γ Α

ΑναφορέςΚεφάλαια 4 και 5FS Budnick Applied Mathematics for Business Economicsand the Social Sciences 4th edition McGraw-Hill 1993

Ε Ι Κοντογιώργης copy 84

Συστήματα Εξισώσεων

I ´Ενα σύστημα εξισώσεων συνδυάζει περισσότερες από μίαεξισώσεις

I ´Ενα σύστημα m εξισώσεων όπου κάθε εξίσωσηαποτελείται από n μεταβλητές ονομάζεται mtimesnσύστημα ή λέμε ότι έχει διαστάσεις mtimesn

I ΠαράδειγμαΠαρακάτω έχουμε ένα σύστημα 2times2

5X+10Y= 203X+4Y= 10

Οι μεταβλητές σε αυτή την περίπτωση είναι X και YΕ Ι Κοντογιώργης copy 85

Συστήματα Επίλυσης

I Το Σύστημα επίλυσης είναι μια σειρά τιμών μεταβλητώνπου ικανοποιούν το σύστημα ταυτόχρονα

I Σε μια σημειογραφική παράσταση το προηγούμενοπαράδειγμα μπορεί να γραφτεί ως εξής

S = (XY) | 5X+10Y = 20 και 3X+4Y = 10

I Το σύστημα επίλυσης μπορεί να είναι1 μηδενικό2 πεπερασμένο ή3 άπειρο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 86

2times2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική Ανάλυση

I Σε ένα δισδιάστατο γράφημα ένα σύστημα εξισώσεων2times2 αναπαρίστανται με ευθείες γραμμές Υπόρχουν τρίαενδεχόμενα

1 Οι ευθείες τέμνονται Το σημείο τομής αντιπροσωπεύει τηλύση του συστήματος εξισώσεων Αυτό το σημείοαλληλεπίδρασης είναι μια δέσμη τιμών X και Y που ικανοποιείκαι τις δύο εξισώσειςΕάν υπάρχει μόνο μια δέσμη τιμών για τις μεταβλητές που ναικανοποιεί το σύστημα εξισώσεων το σύστημα λέμε ότι έχειΜ Λ

2 Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες μεταξύ τους ∆εν έχουν κοινόσημείο Συνεπώς οι ευθείες δεν τέμνονται ποτέ Το σύστημαλέμε ότι ∆ ΛΑυτό υπονοεί ότι δεν υπάρχουν τιμές για τις μεταβλητές πουνα ικανοποιούν και τις δύο εξισώσεις Σε αυτή τηνπερίπτωση οι εξισώσεις στο σύστημα είναι Α

3 Και οι δύο εξισώσεις αναπαρίστανται ως μια κοινή ευθεία καιθεωρούνται ισοδύναμες εξισώσεις ´Ετσι το σύστημα έχειΑ Λ Αυτό συμβαίνει γιατί υπάρχει άπειροςαριθμός κοινών σημείων στις δύο γραμμές

Ε Ι Κοντογιώργης copy 87

I Π Θεωρείστε ένα σύστημα 2times22X+4Y= 203X+ Y= 10

I

X

Y

(24)

3X +Y = 10

2X +4Y = 20

0 2 4 6 8 10 12

2

4

6

8

10

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 88

I Το σημείο τομής δίνεται από το X= 2 και Y= 4Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές του X και Y στις δύοεξισώσεις δίνουν 20 = 20 και 10 = 10 αντίστοιχα

I Αυτό υποδειλώνει ότι X= 2 και Y= 4 είναι η σωστή λύση

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times23Xminus2Y= 6

minus15X+10Y=minus30

I

X

Y

(20)

(0minus3)

3X minus2Y = 6

minus15X +10Y =minus30

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 89

I Οι δύο εξισώσεις απλοποιούνται σε Xminus 23 Y= 2

Οι δύο εξισώσεις είναι ισοδύναμες και δίνουν έναπεπερασμένο αριθμό λύσεων έτσι ώστε

X= 0 Y =minus3X= 2 Y = 0X= 4 Y = 3

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times26Xminus12Y= 24

minus32X+3Y= 9

Οι εξισώσεις απλοποιούνται σεXminus2Y= 4Xminus2Y=minus6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 90

I

X

Y

(40)

(0minus2)

(minus60)

(03)

X minus2Y =minus6

X minus2Y = 4

0-0

I Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες και συνεπώς το σύστημαδεν έχει λύση ´Ετσι το σύστημα εξισώσεων είναιασύμπτωτο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 91

Περίληψη 2times2 Συστήματα Εξισώσεων∆ίνεται ένα Σύστημα Γραμμικών Εξισώσεων 2times2

Y=m1X+ c1Y=m2X+ c2

1 Υπάρχει μια στο σύστημα εάνm1 6= m2

2 ∆εν υπάρχει στο σύστημα εάνm1 = m2 και c1 6= c2

3 Υπάρχει εάνm1 = m2 και c1 = c2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 92

∆ιαδικασίες Απαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής χρησιμοποιεί πολλαπλασιασμόκαι πρόσθεση έτσι ώστε

1 Να απαλοιφεί μια από τις δύο μεταβλητές

2 Η εξίσωση που εξάγεται είναι συνάρτηση των υπόλοιπωνμεταβλητών

3 Αντικαθιστώντας την τιμή στην μεταβλητή σε μια από τιςαρχικές εξισώσεις βρίσκουμε την τιμή για τηναπολοιφθήσα μεταβλητή

Ε Ι Κοντογιώργης copy 93

ΠαραδείγματαI Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

2X +4Y = 20 (1)3X + Y = 10 (2)

Πολλαπλασιάζοντας τη δεύτερη εξίσωση με minus4 παίρνουμε

minus12X minus4Y =minus40 (3)

Προσθέτοντας την εξίσωση (1) στο (3)

2X + 4Y = 20minus12X minus 4Y = minus40minus10X = minus20

ή

X = 2 (4)Ε Ι Κοντογιώργης copy 94

Αντικαθιστώντας X= 2 στην εξίσωση (1) δίνεται2 middot2+4Y = 20 ή Y=4

´Ετσι η μοναδική λύση του συστήματος δίνεται από τοX= 2 και Y= 4 Μπορεί να επιβεβαιωθεί ότι αυτή είναι ησωστή λύση αντικαθιστώντας X= 2 και Y= 4 στηνεξίσωση (1) και (2)

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times23X minus2Y = 6 (5)

minus15X +10Y =minus30 (6)

Για την απαλοιφή της μεταβλητής X η εξίσωση (5)πολλαπλασιάζεται με 5 και το αποτέλεσμα προστίθεταιστην εξίσωση (6)

15X minus 10Y = 30minus15X + 10Y = minus30

0 = 0 Ε Ι Κοντογιώργης copy 95

Οι τελευταίες πράξεις υπονοούν ότι οι εξίσωσεις (5) και(6) είναι ισοδύναμες και έτσι υπάρχει άπειρος αριθμόςλύσεωνΓια να προσδιορίσουμε τις λύσεις του συστήματος μια απότις αρχικές εξισώσεις λύνεται ως προς μια μεταβλητή Ανγια παράδειγμα η εξίσωση (5) λύνεται ως προς Y δίνει

Y =32Xminus3

Σαν αποτέλεσμα γενικεύοντας τις λύσεις του συστήματοςέχουμε

X τυχαίο και Y =32Xminus3

Πχ για X= 4 υπονοείται ότι Y=32 middot4minus3 = 3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 96

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

6X minus12Y = 24 (7)

minus32X +3Y = 9 (8)

Πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση (8) με 4 καιπροσθέτοντας το αποτέλεσμα στην εξίσωση (7)παίρνουμε

6X minus 12Y = 24minus6X + 12Y = 36

0 = 60

Η πιο πάνω αντιλογία υπονοεί ότι δεν υπάρχει λύση τουσυστήματος εξισώσεων

Ε Ι Κοντογιώργης copy 97

3times2 Συστήματα Εξισώσεων I

1 Μ Λ

X

Y

(32)

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minusY = 1

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 98

3times2 Συστήματα Εξισώσεων II

2 Α Λ

X

Y Εξις (1)Εξις (2)Εξις (3)

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 99

3times2 Συστήματα Εξισώσεων III3 Κ

(α) ´Οταν και οι τρεις εξισώσεις είναι παράλληλες

X

Y

2X minusY =minus8

2X minusY = 2

2X minusY = 12

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 100

3times2 Συστήματα Εξισώσεων IV(β) ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ τωνεξισώσεων

X

Y

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minus2Y =minus4

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 101

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική ΑνάλυσηΣε ένα γράφημα 2 διαστάσεων ένα σύστημα mtimes2(mgt2) εξισώσεων παριστάνεται με m ευθείες ´Οπωςσυμβαίνει στα συστήματα 2times2 υπάρχουν τρίαενδεχόμενα

1 ´Ολες οι ευθείες τέμνονται στο ίδιο σημείο και έτσιυπάρχει

2 ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ των mεξισώσεων Αυτό σημαίνει ότι όλες οι ευθείες είναιπαράλληλες Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα Λ

3 Οι m εξισώσεις είναι ισοδύναμες πχ παρασταίνονται σανμια ευθεία Σε αυτή την περίπτωση υπάρχει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 102

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων ∆ιαδικασίαΑπαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής για την επίλυση ενός συστήματοςmtimes2 μπορεί να περιγραφεί ως ακολούθωςΕπιλέξτε και λύστε σύστημα με δύο εξισώσεις

1 Εάν δεν υπάρχει λύση τότε ολόκληρο το σύστημα δεν έχειλύση

2 Εάν υπάρχει μοναδική λύση που ικανοποιεί τις υπόλοιπεςmminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα έχει μία μοναδική λύση

3 Εάν η λύση είναι μοναδική αλλά δεν ικανοποιεί τιςυπόλοιπες mminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα δεν έχει λύση

4 Εάν οι 2 λύσεις είναι ισοδύναμες απάλοιψτε τη μίααπό τις δύο εξισώσεις και ξεκινήστε από την αρχήλαμβάνοντας υπόψη ένα σύστημα (mminus1)times2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 103

ΠαράδείγμαI Θεωρείστε ένα σύστημα 5times2

XminusY= 1X+2Y=minus8

3Xminus2Y= 02Xminus5Y= 11minus4X+3Y=minus1

I Η λύση των πρώτων δύο εξισώσεων δίνετε απόY =minus3 και X =minus2

I Αντικαθιστώντας τη λύση στις υπόλοιπες τρεις εξισώσειςπαίρνετε αντίστοιχα

0 = 0 11 = 11 και minus1 =minus1I Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση

X=minus2 και Y=minus3Ε Ι Κοντογιώργης copy 104

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian

Η μέθοδος απολοιφής Gaussian μετατρέπει το αρχικόσύστημα εξισώσεων σε διαγώνια μορφή επαναλαμβάνονταςστις εξισώσεις τις ακόλουθες τρεις διαδικασίες

1 Πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης μεμια θετική σταθερά

2 Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού θα προστεθεί σεάλλη εξίσωση

3 Η σειρά των εξισώσεων μπορεί να αλλάξει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 105

ΠαράδείγμαΠ Θεωρείστε το σύστημα 2times2

2X minus 3Y = 7 (Εξ 1)X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με 12 για να πάρετε

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με minus1 καιπροσθέστε την στην (Εξ 2)

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

52Y =

152 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 106

Στάδιο 3 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 25

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

Y = 3 (Εξ 2)

Στάδιο 4 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 32 και

προσθέστε την στην (Εξ 1)

X = 1 (Εξ 1)Y = 3 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 107

Π Θεωρείστε το σύστημα 2times2

5X + 20Y = 254X minus 7Y =minus26

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να εκφραστεί ως

R1 5 20 25R2 4 minus7 minus26

Η κάθετη γραμμή χρησιμοποιείται για διαχωρισμό τηςαριστερής από τη δεξιά πλευρά των εξισώσεων Το Riυπονοεί τη γραμμή (Row) i

Ε Ι Κοντογιώργης copy 108

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάζουμε τη R1 με 15 και το θέτουμε

R1larr 15R1

R1 1 4 5R2 4 minus7 minus26

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάζουμε την R1 με minus4 και τηνπροσθέτουμε στην R2 Εν συντομίαR2larrminus4R1+R2

R1 1 4 5R2 0 minus23 minus46

Στάδιο 3 R2larrminus 123R2

R1 1 4 5R2 0 1 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 109

Στάδιο 4 R1larrminus4R2+R1

R1 1 0 minus3R2 0 1 2

Το αρχικό σύστημα εξισώσεων μετατρέπεται σε διαγώνιαμορφή όπως πιο κάτω

X =minus3Y = 2

το οποίο δίνει τη λύση του συστήματος

Ε Ι Κοντογιώργης copy 110

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 I

Το σύστημα εξισώσεων 3times3 μετετρέπεται σε διαγώνιαμορφή Η μετατροπή γίνεται στήλη με στήλη από τααριστερά προς τα δεξιά

Π Θεωρήστε το σύστημα 3times3

X1 + X2 + X3 = 2X1 minus 3X2 + 2X3 = 7

4X1 minus 2X2 minus X3 = 9

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να γραφτεί ως

Ε Ι Κοντογιώργης copy 111

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 II

1 1 1 21 minus3 2 74 minus2 minus1 9

Ε Ι Κοντογιώργης copy 112

Υπολογίζοντας τους λογαρίθμους παίρνουμε

log(1+ r)n = log(FVA)

ή n log(1+ r) = log(FVA)

´Ετσι

n=log(FVA)

log(1+ r) =log(3)

log(105)

= 2252

Ε Ι Κοντογιώργης copy 62

I Βρείτε την παρούσα αξία A έτσι ώστε σε δέκα έτη μεσταθερό επιτόκιο r = 6 να είναι 100KΒρείτε το A όπου FV = 100000 r = 6 και n= 10

FV =A(1+ r)n ή A=FV

(1+ r)n

´Ετσι A=100000

(106)10= 5583948

I Βρείτε την ετησιοποιημένη απόδοση (AER AnnualEquivalent Rate) μιας μηνιαίας κατάθεσης με σταθερόεπιτοκίο 394 Μια τέτοια κατάθεση λαμβάνει το επιτόκιο στη λήξηΣυνεπώς κάθε μήνα ο λογαριασμός λαμβάνει

r = 0039412 = 000328

επιτόκιο που επανεπενδύεται (συνεχής ανατοκισμός)Ε Ι Κοντογιώργης copy 63

Επανεπενδύοντας το επιτόκιο κάθε μήνα στη διάρκειαενός έτους το κεφάλαιο θα αυξηθεί σε

(1+ r)12 = (1+000328)12 = 104012

´Ετσι το ΑΕΡ είναι ισοδύναμο με 004012 = 4012I Υπολογίστε το επιτόκιο ενός σταθερού λογαριασμού

κατάθεσης 7-ημερών που έχει AER επιτόκιο r = 425Θεωρείστε ρ το εβδομαδιαίο επιτόκιο

´Ετσι (1+ρ)52 = (1+00425)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 64

Παίρνοντας τους λογαρίθμους έχουμε52log(1+ρ) = log10425

ή log(1+ρ) =log10425

52

ή 1+ρ= 10( log10425

52)

Αυτό μας δίνει

ρ= 10

( log1042552

)minus1 = 008

´Ετσι το συνεχές επιτόκιο μιας επταήμερης κατάθεσης είναιρtimes52 = 41638

Εναλλακτικά (1+ρ)52 = (1+00425) δίνει

(1+ρ) =52radic10425ή ρ=

52radic10425minus = 008Ε Ι Κοντογιώργης copy 65

I Υπολογίστε την ετήσια απόδοση r έτσι ώστε A= 10000να επιστρέφει FV = 35000 σε n= 20 χρόνια

FV =A(1+ r)n ή (1+ r)n =FVA

´Ετσι

1+ r =nradic

FVA

Επομένως

r =nradic

FVA minus1 =

20radic

3500010000 minus1 = 00646 = 646

Ε Ι Κοντογιώργης copy 66

Εναλλακτικά παίρνοντας τους λογαρίθμους

log(1+ r)n = log(FVA) ή n log(1+ r) = log

(FVA)

´Ετσι

1+ r = 10(1n log

(FVA))

ή r = 10(1n log

(FVA))minus1

= 10( 120 log

(3500010000

))minus1

= 646

Ε Ι Κοντογιώργης copy 67

Γραφική Αναπαράσταση I

I Υποθέστε ότι έχουμε y= 3x+2 Καθώς έχουμε μόνο μιαδύναμη για το x πρέπει να λύσουμε γραμμική εξίσωσηκαι να σχεδιάσουμε μια ευθεία γραμμή Αρχικά θα πρέπεινα σχεδιάσουμε ένα T-chart Αυτό έχει τη μορφή

x y = 3x+2 (xy)

I Επιλέγουμε μια τιμή για το x και λύνουμε ως προς y

x y= 3x+2 (xy)minus2 minus4 (minus2minus4)0 2 (02)2 8 (28)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 68

Γραφική Αναπαράσταση II

-

6

X

Y

bull

bull

bull

I Βλέπουμε μια ευθεία με ανοδική τάση (έχοντας θετικήκλίση m= 3) καιτέμνει τον άξονα y στο σημείο y= 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 69

Γραφική Αναπαράσταση III

I Μια Τετραγωνική εξίσωση περιέχει x2 Για τηναναπαράσταση τετραγωνικών εξισώσεων χρειάζεται ναβρούμε περισσότερα από τρία σημεία στο σχεδιάγραμμα

Για παράδειγμα υποθέστε ότι y= x2minus6x+5 καιδίνεται το πιο κάτω T-chart

x y= x2minus6x+5 (xy)0 5 (05)1 0 (10)3 minus4 (3minus4)5 0 (50)6 5 (65)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 70

Γραφική Αναπαράσταση IV

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

-

6

X

Y

bull

bull

bull

bull

bull

Ε Ι Κοντογιώργης copy 71

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(1x + 2)

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(-3x + 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 72

-15

-10

-5

0

5

10

15

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(3x - 2)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 73

-20

0

20

40

60

80

100

120

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2+x)

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 74

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

1250

1500

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3+x2+x)

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x4)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 75

-25

-2

-15

-1

-05

0

05

1

15

2

25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(log(x))

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(x))

Ε Ι Κοντογιώργης copy 76

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(-x))

-5000

0

5000

10000

15000

20000

25000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(exp(x)+x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 77

Ανισότητες I

I Οι ανισότητες αποτελούνται από δύο ή τρεις αλγεβρικέςεκφράσεις που είναι συνδεδεμένες με τα σύμβολαανισότητας Τα σύμβολα αυτά είναι

lt μικρότερο τουgt μεγαλύτερο τουle μικρότερο ή ίσο τουge μεγαλύτερο ή ίσο του

I Παραδείγματα xgty yge x2 και ylt5x+1

I Το πρώτο βήμα για την αναπαράσταση ανισότητας τηςμορφής ygtx είναι να παραστήσουμε γραφικά τηνισότητα y= x

Ε Ι Κοντογιώργης copy 78

Ανισότητες II

I ygtx

Κάνετε δοκιμή με ένα σημείο να δείτε κατά πόσοικανοποιεί την ανισότητα Εάν ναι τότε σκιάστε τηνπεριοχή αυτή του σχεδιαγράμματος διαφορετικά σκιάστετην άλλη πλευρά

Ε Ι Κοντογιώργης copy 79

Ανισότητες III

I yltx

Ε Ι Κοντογιώργης copy 80

Ανισότητες IV

I yle 5x+1 και ygt5x+1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 81

Ανισότητες V

I yge x2 και yle x2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 82

Ανισότητες VI

I ygtx3 και yle x3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 83

Συστήματα Γραμμικών ΕξισώσεωνΠεριεχόμενα

1 Ε

2 Γ Α

ΑναφορέςΚεφάλαια 4 και 5FS Budnick Applied Mathematics for Business Economicsand the Social Sciences 4th edition McGraw-Hill 1993

Ε Ι Κοντογιώργης copy 84

Συστήματα Εξισώσεων

I ´Ενα σύστημα εξισώσεων συνδυάζει περισσότερες από μίαεξισώσεις

I ´Ενα σύστημα m εξισώσεων όπου κάθε εξίσωσηαποτελείται από n μεταβλητές ονομάζεται mtimesnσύστημα ή λέμε ότι έχει διαστάσεις mtimesn

I ΠαράδειγμαΠαρακάτω έχουμε ένα σύστημα 2times2

5X+10Y= 203X+4Y= 10

Οι μεταβλητές σε αυτή την περίπτωση είναι X και YΕ Ι Κοντογιώργης copy 85

Συστήματα Επίλυσης

I Το Σύστημα επίλυσης είναι μια σειρά τιμών μεταβλητώνπου ικανοποιούν το σύστημα ταυτόχρονα

I Σε μια σημειογραφική παράσταση το προηγούμενοπαράδειγμα μπορεί να γραφτεί ως εξής

S = (XY) | 5X+10Y = 20 και 3X+4Y = 10

I Το σύστημα επίλυσης μπορεί να είναι1 μηδενικό2 πεπερασμένο ή3 άπειρο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 86

2times2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική Ανάλυση

I Σε ένα δισδιάστατο γράφημα ένα σύστημα εξισώσεων2times2 αναπαρίστανται με ευθείες γραμμές Υπόρχουν τρίαενδεχόμενα

1 Οι ευθείες τέμνονται Το σημείο τομής αντιπροσωπεύει τηλύση του συστήματος εξισώσεων Αυτό το σημείοαλληλεπίδρασης είναι μια δέσμη τιμών X και Y που ικανοποιείκαι τις δύο εξισώσειςΕάν υπάρχει μόνο μια δέσμη τιμών για τις μεταβλητές που ναικανοποιεί το σύστημα εξισώσεων το σύστημα λέμε ότι έχειΜ Λ

2 Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες μεταξύ τους ∆εν έχουν κοινόσημείο Συνεπώς οι ευθείες δεν τέμνονται ποτέ Το σύστημαλέμε ότι ∆ ΛΑυτό υπονοεί ότι δεν υπάρχουν τιμές για τις μεταβλητές πουνα ικανοποιούν και τις δύο εξισώσεις Σε αυτή τηνπερίπτωση οι εξισώσεις στο σύστημα είναι Α

3 Και οι δύο εξισώσεις αναπαρίστανται ως μια κοινή ευθεία καιθεωρούνται ισοδύναμες εξισώσεις ´Ετσι το σύστημα έχειΑ Λ Αυτό συμβαίνει γιατί υπάρχει άπειροςαριθμός κοινών σημείων στις δύο γραμμές

Ε Ι Κοντογιώργης copy 87

I Π Θεωρείστε ένα σύστημα 2times22X+4Y= 203X+ Y= 10

I

X

Y

(24)

3X +Y = 10

2X +4Y = 20

0 2 4 6 8 10 12

2

4

6

8

10

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 88

I Το σημείο τομής δίνεται από το X= 2 και Y= 4Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές του X και Y στις δύοεξισώσεις δίνουν 20 = 20 και 10 = 10 αντίστοιχα

I Αυτό υποδειλώνει ότι X= 2 και Y= 4 είναι η σωστή λύση

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times23Xminus2Y= 6

minus15X+10Y=minus30

I

X

Y

(20)

(0minus3)

3X minus2Y = 6

minus15X +10Y =minus30

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 89

I Οι δύο εξισώσεις απλοποιούνται σε Xminus 23 Y= 2

Οι δύο εξισώσεις είναι ισοδύναμες και δίνουν έναπεπερασμένο αριθμό λύσεων έτσι ώστε

X= 0 Y =minus3X= 2 Y = 0X= 4 Y = 3

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times26Xminus12Y= 24

minus32X+3Y= 9

Οι εξισώσεις απλοποιούνται σεXminus2Y= 4Xminus2Y=minus6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 90

I

X

Y

(40)

(0minus2)

(minus60)

(03)

X minus2Y =minus6

X minus2Y = 4

0-0

I Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες και συνεπώς το σύστημαδεν έχει λύση ´Ετσι το σύστημα εξισώσεων είναιασύμπτωτο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 91

Περίληψη 2times2 Συστήματα Εξισώσεων∆ίνεται ένα Σύστημα Γραμμικών Εξισώσεων 2times2

Y=m1X+ c1Y=m2X+ c2

1 Υπάρχει μια στο σύστημα εάνm1 6= m2

2 ∆εν υπάρχει στο σύστημα εάνm1 = m2 και c1 6= c2

3 Υπάρχει εάνm1 = m2 και c1 = c2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 92

∆ιαδικασίες Απαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής χρησιμοποιεί πολλαπλασιασμόκαι πρόσθεση έτσι ώστε

1 Να απαλοιφεί μια από τις δύο μεταβλητές

2 Η εξίσωση που εξάγεται είναι συνάρτηση των υπόλοιπωνμεταβλητών

3 Αντικαθιστώντας την τιμή στην μεταβλητή σε μια από τιςαρχικές εξισώσεις βρίσκουμε την τιμή για τηναπολοιφθήσα μεταβλητή

Ε Ι Κοντογιώργης copy 93

ΠαραδείγματαI Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

2X +4Y = 20 (1)3X + Y = 10 (2)

Πολλαπλασιάζοντας τη δεύτερη εξίσωση με minus4 παίρνουμε

minus12X minus4Y =minus40 (3)

Προσθέτοντας την εξίσωση (1) στο (3)

2X + 4Y = 20minus12X minus 4Y = minus40minus10X = minus20

ή

X = 2 (4)Ε Ι Κοντογιώργης copy 94

Αντικαθιστώντας X= 2 στην εξίσωση (1) δίνεται2 middot2+4Y = 20 ή Y=4

´Ετσι η μοναδική λύση του συστήματος δίνεται από τοX= 2 και Y= 4 Μπορεί να επιβεβαιωθεί ότι αυτή είναι ησωστή λύση αντικαθιστώντας X= 2 και Y= 4 στηνεξίσωση (1) και (2)

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times23X minus2Y = 6 (5)

minus15X +10Y =minus30 (6)

Για την απαλοιφή της μεταβλητής X η εξίσωση (5)πολλαπλασιάζεται με 5 και το αποτέλεσμα προστίθεταιστην εξίσωση (6)

15X minus 10Y = 30minus15X + 10Y = minus30

0 = 0 Ε Ι Κοντογιώργης copy 95

Οι τελευταίες πράξεις υπονοούν ότι οι εξίσωσεις (5) και(6) είναι ισοδύναμες και έτσι υπάρχει άπειρος αριθμόςλύσεωνΓια να προσδιορίσουμε τις λύσεις του συστήματος μια απότις αρχικές εξισώσεις λύνεται ως προς μια μεταβλητή Ανγια παράδειγμα η εξίσωση (5) λύνεται ως προς Y δίνει

Y =32Xminus3

Σαν αποτέλεσμα γενικεύοντας τις λύσεις του συστήματοςέχουμε

X τυχαίο και Y =32Xminus3

Πχ για X= 4 υπονοείται ότι Y=32 middot4minus3 = 3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 96

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

6X minus12Y = 24 (7)

minus32X +3Y = 9 (8)

Πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση (8) με 4 καιπροσθέτοντας το αποτέλεσμα στην εξίσωση (7)παίρνουμε

6X minus 12Y = 24minus6X + 12Y = 36

0 = 60

Η πιο πάνω αντιλογία υπονοεί ότι δεν υπάρχει λύση τουσυστήματος εξισώσεων

Ε Ι Κοντογιώργης copy 97

3times2 Συστήματα Εξισώσεων I

1 Μ Λ

X

Y

(32)

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minusY = 1

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 98

3times2 Συστήματα Εξισώσεων II

2 Α Λ

X

Y Εξις (1)Εξις (2)Εξις (3)

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 99

3times2 Συστήματα Εξισώσεων III3 Κ

(α) ´Οταν και οι τρεις εξισώσεις είναι παράλληλες

X

Y

2X minusY =minus8

2X minusY = 2

2X minusY = 12

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 100

3times2 Συστήματα Εξισώσεων IV(β) ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ τωνεξισώσεων

X

Y

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minus2Y =minus4

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 101

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική ΑνάλυσηΣε ένα γράφημα 2 διαστάσεων ένα σύστημα mtimes2(mgt2) εξισώσεων παριστάνεται με m ευθείες ´Οπωςσυμβαίνει στα συστήματα 2times2 υπάρχουν τρίαενδεχόμενα

1 ´Ολες οι ευθείες τέμνονται στο ίδιο σημείο και έτσιυπάρχει

2 ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ των mεξισώσεων Αυτό σημαίνει ότι όλες οι ευθείες είναιπαράλληλες Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα Λ

3 Οι m εξισώσεις είναι ισοδύναμες πχ παρασταίνονται σανμια ευθεία Σε αυτή την περίπτωση υπάρχει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 102

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων ∆ιαδικασίαΑπαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής για την επίλυση ενός συστήματοςmtimes2 μπορεί να περιγραφεί ως ακολούθωςΕπιλέξτε και λύστε σύστημα με δύο εξισώσεις

1 Εάν δεν υπάρχει λύση τότε ολόκληρο το σύστημα δεν έχειλύση

2 Εάν υπάρχει μοναδική λύση που ικανοποιεί τις υπόλοιπεςmminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα έχει μία μοναδική λύση

3 Εάν η λύση είναι μοναδική αλλά δεν ικανοποιεί τιςυπόλοιπες mminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα δεν έχει λύση

4 Εάν οι 2 λύσεις είναι ισοδύναμες απάλοιψτε τη μίααπό τις δύο εξισώσεις και ξεκινήστε από την αρχήλαμβάνοντας υπόψη ένα σύστημα (mminus1)times2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 103

ΠαράδείγμαI Θεωρείστε ένα σύστημα 5times2

XminusY= 1X+2Y=minus8

3Xminus2Y= 02Xminus5Y= 11minus4X+3Y=minus1

I Η λύση των πρώτων δύο εξισώσεων δίνετε απόY =minus3 και X =minus2

I Αντικαθιστώντας τη λύση στις υπόλοιπες τρεις εξισώσειςπαίρνετε αντίστοιχα

0 = 0 11 = 11 και minus1 =minus1I Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση

X=minus2 και Y=minus3Ε Ι Κοντογιώργης copy 104

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian

Η μέθοδος απολοιφής Gaussian μετατρέπει το αρχικόσύστημα εξισώσεων σε διαγώνια μορφή επαναλαμβάνονταςστις εξισώσεις τις ακόλουθες τρεις διαδικασίες

1 Πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης μεμια θετική σταθερά

2 Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού θα προστεθεί σεάλλη εξίσωση

3 Η σειρά των εξισώσεων μπορεί να αλλάξει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 105

ΠαράδείγμαΠ Θεωρείστε το σύστημα 2times2

2X minus 3Y = 7 (Εξ 1)X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με 12 για να πάρετε

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με minus1 καιπροσθέστε την στην (Εξ 2)

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

52Y =

152 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 106

Στάδιο 3 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 25

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

Y = 3 (Εξ 2)

Στάδιο 4 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 32 και

προσθέστε την στην (Εξ 1)

X = 1 (Εξ 1)Y = 3 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 107

Π Θεωρείστε το σύστημα 2times2

5X + 20Y = 254X minus 7Y =minus26

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να εκφραστεί ως

R1 5 20 25R2 4 minus7 minus26

Η κάθετη γραμμή χρησιμοποιείται για διαχωρισμό τηςαριστερής από τη δεξιά πλευρά των εξισώσεων Το Riυπονοεί τη γραμμή (Row) i

Ε Ι Κοντογιώργης copy 108

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάζουμε τη R1 με 15 και το θέτουμε

R1larr 15R1

R1 1 4 5R2 4 minus7 minus26

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάζουμε την R1 με minus4 και τηνπροσθέτουμε στην R2 Εν συντομίαR2larrminus4R1+R2

R1 1 4 5R2 0 minus23 minus46

Στάδιο 3 R2larrminus 123R2

R1 1 4 5R2 0 1 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 109

Στάδιο 4 R1larrminus4R2+R1

R1 1 0 minus3R2 0 1 2

Το αρχικό σύστημα εξισώσεων μετατρέπεται σε διαγώνιαμορφή όπως πιο κάτω

X =minus3Y = 2

το οποίο δίνει τη λύση του συστήματος

Ε Ι Κοντογιώργης copy 110

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 I

Το σύστημα εξισώσεων 3times3 μετετρέπεται σε διαγώνιαμορφή Η μετατροπή γίνεται στήλη με στήλη από τααριστερά προς τα δεξιά

Π Θεωρήστε το σύστημα 3times3

X1 + X2 + X3 = 2X1 minus 3X2 + 2X3 = 7

4X1 minus 2X2 minus X3 = 9

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να γραφτεί ως

Ε Ι Κοντογιώργης copy 111

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 II

1 1 1 21 minus3 2 74 minus2 minus1 9

Ε Ι Κοντογιώργης copy 112

I Βρείτε την παρούσα αξία A έτσι ώστε σε δέκα έτη μεσταθερό επιτόκιο r = 6 να είναι 100KΒρείτε το A όπου FV = 100000 r = 6 και n= 10

FV =A(1+ r)n ή A=FV

(1+ r)n

´Ετσι A=100000

(106)10= 5583948

I Βρείτε την ετησιοποιημένη απόδοση (AER AnnualEquivalent Rate) μιας μηνιαίας κατάθεσης με σταθερόεπιτοκίο 394 Μια τέτοια κατάθεση λαμβάνει το επιτόκιο στη λήξηΣυνεπώς κάθε μήνα ο λογαριασμός λαμβάνει

r = 0039412 = 000328

επιτόκιο που επανεπενδύεται (συνεχής ανατοκισμός)Ε Ι Κοντογιώργης copy 63

Επανεπενδύοντας το επιτόκιο κάθε μήνα στη διάρκειαενός έτους το κεφάλαιο θα αυξηθεί σε

(1+ r)12 = (1+000328)12 = 104012

´Ετσι το ΑΕΡ είναι ισοδύναμο με 004012 = 4012I Υπολογίστε το επιτόκιο ενός σταθερού λογαριασμού

κατάθεσης 7-ημερών που έχει AER επιτόκιο r = 425Θεωρείστε ρ το εβδομαδιαίο επιτόκιο

´Ετσι (1+ρ)52 = (1+00425)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 64

Παίρνοντας τους λογαρίθμους έχουμε52log(1+ρ) = log10425

ή log(1+ρ) =log10425

52

ή 1+ρ= 10( log10425

52)

Αυτό μας δίνει

ρ= 10

( log1042552

)minus1 = 008

´Ετσι το συνεχές επιτόκιο μιας επταήμερης κατάθεσης είναιρtimes52 = 41638

Εναλλακτικά (1+ρ)52 = (1+00425) δίνει

(1+ρ) =52radic10425ή ρ=

52radic10425minus = 008Ε Ι Κοντογιώργης copy 65

I Υπολογίστε την ετήσια απόδοση r έτσι ώστε A= 10000να επιστρέφει FV = 35000 σε n= 20 χρόνια

FV =A(1+ r)n ή (1+ r)n =FVA

´Ετσι

1+ r =nradic

FVA

Επομένως

r =nradic

FVA minus1 =

20radic

3500010000 minus1 = 00646 = 646

Ε Ι Κοντογιώργης copy 66

Εναλλακτικά παίρνοντας τους λογαρίθμους

log(1+ r)n = log(FVA) ή n log(1+ r) = log

(FVA)

´Ετσι

1+ r = 10(1n log

(FVA))

ή r = 10(1n log

(FVA))minus1

= 10( 120 log

(3500010000

))minus1

= 646

Ε Ι Κοντογιώργης copy 67

Γραφική Αναπαράσταση I

I Υποθέστε ότι έχουμε y= 3x+2 Καθώς έχουμε μόνο μιαδύναμη για το x πρέπει να λύσουμε γραμμική εξίσωσηκαι να σχεδιάσουμε μια ευθεία γραμμή Αρχικά θα πρέπεινα σχεδιάσουμε ένα T-chart Αυτό έχει τη μορφή

x y = 3x+2 (xy)

I Επιλέγουμε μια τιμή για το x και λύνουμε ως προς y

x y= 3x+2 (xy)minus2 minus4 (minus2minus4)0 2 (02)2 8 (28)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 68

Γραφική Αναπαράσταση II

-

6

X

Y

bull

bull

bull

I Βλέπουμε μια ευθεία με ανοδική τάση (έχοντας θετικήκλίση m= 3) καιτέμνει τον άξονα y στο σημείο y= 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 69

Γραφική Αναπαράσταση III

I Μια Τετραγωνική εξίσωση περιέχει x2 Για τηναναπαράσταση τετραγωνικών εξισώσεων χρειάζεται ναβρούμε περισσότερα από τρία σημεία στο σχεδιάγραμμα

Για παράδειγμα υποθέστε ότι y= x2minus6x+5 καιδίνεται το πιο κάτω T-chart

x y= x2minus6x+5 (xy)0 5 (05)1 0 (10)3 minus4 (3minus4)5 0 (50)6 5 (65)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 70

Γραφική Αναπαράσταση IV

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

-

6

X

Y

bull

bull

bull

bull

bull

Ε Ι Κοντογιώργης copy 71

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(1x + 2)

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(-3x + 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 72

-15

-10

-5

0

5

10

15

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(3x - 2)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 73

-20

0

20

40

60

80

100

120

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2+x)

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 74

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

1250

1500

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3+x2+x)

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x4)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 75

-25

-2

-15

-1

-05

0

05

1

15

2

25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(log(x))

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(x))

Ε Ι Κοντογιώργης copy 76

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(-x))

-5000

0

5000

10000

15000

20000

25000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(exp(x)+x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 77

Ανισότητες I

I Οι ανισότητες αποτελούνται από δύο ή τρεις αλγεβρικέςεκφράσεις που είναι συνδεδεμένες με τα σύμβολαανισότητας Τα σύμβολα αυτά είναι

lt μικρότερο τουgt μεγαλύτερο τουle μικρότερο ή ίσο τουge μεγαλύτερο ή ίσο του

I Παραδείγματα xgty yge x2 και ylt5x+1

I Το πρώτο βήμα για την αναπαράσταση ανισότητας τηςμορφής ygtx είναι να παραστήσουμε γραφικά τηνισότητα y= x

Ε Ι Κοντογιώργης copy 78

Ανισότητες II

I ygtx

Κάνετε δοκιμή με ένα σημείο να δείτε κατά πόσοικανοποιεί την ανισότητα Εάν ναι τότε σκιάστε τηνπεριοχή αυτή του σχεδιαγράμματος διαφορετικά σκιάστετην άλλη πλευρά

Ε Ι Κοντογιώργης copy 79

Ανισότητες III

I yltx

Ε Ι Κοντογιώργης copy 80

Ανισότητες IV

I yle 5x+1 και ygt5x+1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 81

Ανισότητες V

I yge x2 και yle x2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 82

Ανισότητες VI

I ygtx3 και yle x3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 83

Συστήματα Γραμμικών ΕξισώσεωνΠεριεχόμενα

1 Ε

2 Γ Α

ΑναφορέςΚεφάλαια 4 και 5FS Budnick Applied Mathematics for Business Economicsand the Social Sciences 4th edition McGraw-Hill 1993

Ε Ι Κοντογιώργης copy 84

Συστήματα Εξισώσεων

I ´Ενα σύστημα εξισώσεων συνδυάζει περισσότερες από μίαεξισώσεις

I ´Ενα σύστημα m εξισώσεων όπου κάθε εξίσωσηαποτελείται από n μεταβλητές ονομάζεται mtimesnσύστημα ή λέμε ότι έχει διαστάσεις mtimesn

I ΠαράδειγμαΠαρακάτω έχουμε ένα σύστημα 2times2

5X+10Y= 203X+4Y= 10

Οι μεταβλητές σε αυτή την περίπτωση είναι X και YΕ Ι Κοντογιώργης copy 85

Συστήματα Επίλυσης

I Το Σύστημα επίλυσης είναι μια σειρά τιμών μεταβλητώνπου ικανοποιούν το σύστημα ταυτόχρονα

I Σε μια σημειογραφική παράσταση το προηγούμενοπαράδειγμα μπορεί να γραφτεί ως εξής

S = (XY) | 5X+10Y = 20 και 3X+4Y = 10

I Το σύστημα επίλυσης μπορεί να είναι1 μηδενικό2 πεπερασμένο ή3 άπειρο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 86

2times2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική Ανάλυση

I Σε ένα δισδιάστατο γράφημα ένα σύστημα εξισώσεων2times2 αναπαρίστανται με ευθείες γραμμές Υπόρχουν τρίαενδεχόμενα

1 Οι ευθείες τέμνονται Το σημείο τομής αντιπροσωπεύει τηλύση του συστήματος εξισώσεων Αυτό το σημείοαλληλεπίδρασης είναι μια δέσμη τιμών X και Y που ικανοποιείκαι τις δύο εξισώσειςΕάν υπάρχει μόνο μια δέσμη τιμών για τις μεταβλητές που ναικανοποιεί το σύστημα εξισώσεων το σύστημα λέμε ότι έχειΜ Λ

2 Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες μεταξύ τους ∆εν έχουν κοινόσημείο Συνεπώς οι ευθείες δεν τέμνονται ποτέ Το σύστημαλέμε ότι ∆ ΛΑυτό υπονοεί ότι δεν υπάρχουν τιμές για τις μεταβλητές πουνα ικανοποιούν και τις δύο εξισώσεις Σε αυτή τηνπερίπτωση οι εξισώσεις στο σύστημα είναι Α

3 Και οι δύο εξισώσεις αναπαρίστανται ως μια κοινή ευθεία καιθεωρούνται ισοδύναμες εξισώσεις ´Ετσι το σύστημα έχειΑ Λ Αυτό συμβαίνει γιατί υπάρχει άπειροςαριθμός κοινών σημείων στις δύο γραμμές

Ε Ι Κοντογιώργης copy 87

I Π Θεωρείστε ένα σύστημα 2times22X+4Y= 203X+ Y= 10

I

X

Y

(24)

3X +Y = 10

2X +4Y = 20

0 2 4 6 8 10 12

2

4

6

8

10

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 88

I Το σημείο τομής δίνεται από το X= 2 και Y= 4Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές του X και Y στις δύοεξισώσεις δίνουν 20 = 20 και 10 = 10 αντίστοιχα

I Αυτό υποδειλώνει ότι X= 2 και Y= 4 είναι η σωστή λύση

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times23Xminus2Y= 6

minus15X+10Y=minus30

I

X

Y

(20)

(0minus3)

3X minus2Y = 6

minus15X +10Y =minus30

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 89

I Οι δύο εξισώσεις απλοποιούνται σε Xminus 23 Y= 2

Οι δύο εξισώσεις είναι ισοδύναμες και δίνουν έναπεπερασμένο αριθμό λύσεων έτσι ώστε

X= 0 Y =minus3X= 2 Y = 0X= 4 Y = 3

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times26Xminus12Y= 24

minus32X+3Y= 9

Οι εξισώσεις απλοποιούνται σεXminus2Y= 4Xminus2Y=minus6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 90

I

X

Y

(40)

(0minus2)

(minus60)

(03)

X minus2Y =minus6

X minus2Y = 4

0-0

I Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες και συνεπώς το σύστημαδεν έχει λύση ´Ετσι το σύστημα εξισώσεων είναιασύμπτωτο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 91

Περίληψη 2times2 Συστήματα Εξισώσεων∆ίνεται ένα Σύστημα Γραμμικών Εξισώσεων 2times2

Y=m1X+ c1Y=m2X+ c2

1 Υπάρχει μια στο σύστημα εάνm1 6= m2

2 ∆εν υπάρχει στο σύστημα εάνm1 = m2 και c1 6= c2

3 Υπάρχει εάνm1 = m2 και c1 = c2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 92

∆ιαδικασίες Απαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής χρησιμοποιεί πολλαπλασιασμόκαι πρόσθεση έτσι ώστε

1 Να απαλοιφεί μια από τις δύο μεταβλητές

2 Η εξίσωση που εξάγεται είναι συνάρτηση των υπόλοιπωνμεταβλητών

3 Αντικαθιστώντας την τιμή στην μεταβλητή σε μια από τιςαρχικές εξισώσεις βρίσκουμε την τιμή για τηναπολοιφθήσα μεταβλητή

Ε Ι Κοντογιώργης copy 93

ΠαραδείγματαI Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

2X +4Y = 20 (1)3X + Y = 10 (2)

Πολλαπλασιάζοντας τη δεύτερη εξίσωση με minus4 παίρνουμε

minus12X minus4Y =minus40 (3)

Προσθέτοντας την εξίσωση (1) στο (3)

2X + 4Y = 20minus12X minus 4Y = minus40minus10X = minus20

ή

X = 2 (4)Ε Ι Κοντογιώργης copy 94

Αντικαθιστώντας X= 2 στην εξίσωση (1) δίνεται2 middot2+4Y = 20 ή Y=4

´Ετσι η μοναδική λύση του συστήματος δίνεται από τοX= 2 και Y= 4 Μπορεί να επιβεβαιωθεί ότι αυτή είναι ησωστή λύση αντικαθιστώντας X= 2 και Y= 4 στηνεξίσωση (1) και (2)

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times23X minus2Y = 6 (5)

minus15X +10Y =minus30 (6)

Για την απαλοιφή της μεταβλητής X η εξίσωση (5)πολλαπλασιάζεται με 5 και το αποτέλεσμα προστίθεταιστην εξίσωση (6)

15X minus 10Y = 30minus15X + 10Y = minus30

0 = 0 Ε Ι Κοντογιώργης copy 95

Οι τελευταίες πράξεις υπονοούν ότι οι εξίσωσεις (5) και(6) είναι ισοδύναμες και έτσι υπάρχει άπειρος αριθμόςλύσεωνΓια να προσδιορίσουμε τις λύσεις του συστήματος μια απότις αρχικές εξισώσεις λύνεται ως προς μια μεταβλητή Ανγια παράδειγμα η εξίσωση (5) λύνεται ως προς Y δίνει

Y =32Xminus3

Σαν αποτέλεσμα γενικεύοντας τις λύσεις του συστήματοςέχουμε

X τυχαίο και Y =32Xminus3

Πχ για X= 4 υπονοείται ότι Y=32 middot4minus3 = 3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 96

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

6X minus12Y = 24 (7)

minus32X +3Y = 9 (8)

Πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση (8) με 4 καιπροσθέτοντας το αποτέλεσμα στην εξίσωση (7)παίρνουμε

6X minus 12Y = 24minus6X + 12Y = 36

0 = 60

Η πιο πάνω αντιλογία υπονοεί ότι δεν υπάρχει λύση τουσυστήματος εξισώσεων

Ε Ι Κοντογιώργης copy 97

3times2 Συστήματα Εξισώσεων I

1 Μ Λ

X

Y

(32)

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minusY = 1

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 98

3times2 Συστήματα Εξισώσεων II

2 Α Λ

X

Y Εξις (1)Εξις (2)Εξις (3)

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 99

3times2 Συστήματα Εξισώσεων III3 Κ

(α) ´Οταν και οι τρεις εξισώσεις είναι παράλληλες

X

Y

2X minusY =minus8

2X minusY = 2

2X minusY = 12

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 100

3times2 Συστήματα Εξισώσεων IV(β) ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ τωνεξισώσεων

X

Y

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minus2Y =minus4

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 101

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική ΑνάλυσηΣε ένα γράφημα 2 διαστάσεων ένα σύστημα mtimes2(mgt2) εξισώσεων παριστάνεται με m ευθείες ´Οπωςσυμβαίνει στα συστήματα 2times2 υπάρχουν τρίαενδεχόμενα

1 ´Ολες οι ευθείες τέμνονται στο ίδιο σημείο και έτσιυπάρχει

2 ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ των mεξισώσεων Αυτό σημαίνει ότι όλες οι ευθείες είναιπαράλληλες Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα Λ

3 Οι m εξισώσεις είναι ισοδύναμες πχ παρασταίνονται σανμια ευθεία Σε αυτή την περίπτωση υπάρχει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 102

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων ∆ιαδικασίαΑπαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής για την επίλυση ενός συστήματοςmtimes2 μπορεί να περιγραφεί ως ακολούθωςΕπιλέξτε και λύστε σύστημα με δύο εξισώσεις

1 Εάν δεν υπάρχει λύση τότε ολόκληρο το σύστημα δεν έχειλύση

2 Εάν υπάρχει μοναδική λύση που ικανοποιεί τις υπόλοιπεςmminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα έχει μία μοναδική λύση

3 Εάν η λύση είναι μοναδική αλλά δεν ικανοποιεί τιςυπόλοιπες mminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα δεν έχει λύση

4 Εάν οι 2 λύσεις είναι ισοδύναμες απάλοιψτε τη μίααπό τις δύο εξισώσεις και ξεκινήστε από την αρχήλαμβάνοντας υπόψη ένα σύστημα (mminus1)times2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 103

ΠαράδείγμαI Θεωρείστε ένα σύστημα 5times2

XminusY= 1X+2Y=minus8

3Xminus2Y= 02Xminus5Y= 11minus4X+3Y=minus1

I Η λύση των πρώτων δύο εξισώσεων δίνετε απόY =minus3 και X =minus2

I Αντικαθιστώντας τη λύση στις υπόλοιπες τρεις εξισώσειςπαίρνετε αντίστοιχα

0 = 0 11 = 11 και minus1 =minus1I Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση

X=minus2 και Y=minus3Ε Ι Κοντογιώργης copy 104

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian

Η μέθοδος απολοιφής Gaussian μετατρέπει το αρχικόσύστημα εξισώσεων σε διαγώνια μορφή επαναλαμβάνονταςστις εξισώσεις τις ακόλουθες τρεις διαδικασίες

1 Πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης μεμια θετική σταθερά

2 Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού θα προστεθεί σεάλλη εξίσωση

3 Η σειρά των εξισώσεων μπορεί να αλλάξει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 105

ΠαράδείγμαΠ Θεωρείστε το σύστημα 2times2

2X minus 3Y = 7 (Εξ 1)X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με 12 για να πάρετε

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με minus1 καιπροσθέστε την στην (Εξ 2)

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

52Y =

152 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 106

Στάδιο 3 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 25

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

Y = 3 (Εξ 2)

Στάδιο 4 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 32 και

προσθέστε την στην (Εξ 1)

X = 1 (Εξ 1)Y = 3 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 107

Π Θεωρείστε το σύστημα 2times2

5X + 20Y = 254X minus 7Y =minus26

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να εκφραστεί ως

R1 5 20 25R2 4 minus7 minus26

Η κάθετη γραμμή χρησιμοποιείται για διαχωρισμό τηςαριστερής από τη δεξιά πλευρά των εξισώσεων Το Riυπονοεί τη γραμμή (Row) i

Ε Ι Κοντογιώργης copy 108

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάζουμε τη R1 με 15 και το θέτουμε

R1larr 15R1

R1 1 4 5R2 4 minus7 minus26

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάζουμε την R1 με minus4 και τηνπροσθέτουμε στην R2 Εν συντομίαR2larrminus4R1+R2

R1 1 4 5R2 0 minus23 minus46

Στάδιο 3 R2larrminus 123R2

R1 1 4 5R2 0 1 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 109

Στάδιο 4 R1larrminus4R2+R1

R1 1 0 minus3R2 0 1 2

Το αρχικό σύστημα εξισώσεων μετατρέπεται σε διαγώνιαμορφή όπως πιο κάτω

X =minus3Y = 2

το οποίο δίνει τη λύση του συστήματος

Ε Ι Κοντογιώργης copy 110

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 I

Το σύστημα εξισώσεων 3times3 μετετρέπεται σε διαγώνιαμορφή Η μετατροπή γίνεται στήλη με στήλη από τααριστερά προς τα δεξιά

Π Θεωρήστε το σύστημα 3times3

X1 + X2 + X3 = 2X1 minus 3X2 + 2X3 = 7

4X1 minus 2X2 minus X3 = 9

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να γραφτεί ως

Ε Ι Κοντογιώργης copy 111

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 II

1 1 1 21 minus3 2 74 minus2 minus1 9

Ε Ι Κοντογιώργης copy 112

Επανεπενδύοντας το επιτόκιο κάθε μήνα στη διάρκειαενός έτους το κεφάλαιο θα αυξηθεί σε

(1+ r)12 = (1+000328)12 = 104012

´Ετσι το ΑΕΡ είναι ισοδύναμο με 004012 = 4012I Υπολογίστε το επιτόκιο ενός σταθερού λογαριασμού

κατάθεσης 7-ημερών που έχει AER επιτόκιο r = 425Θεωρείστε ρ το εβδομαδιαίο επιτόκιο

´Ετσι (1+ρ)52 = (1+00425)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 64

Παίρνοντας τους λογαρίθμους έχουμε52log(1+ρ) = log10425

ή log(1+ρ) =log10425

52

ή 1+ρ= 10( log10425

52)

Αυτό μας δίνει

ρ= 10

( log1042552

)minus1 = 008

´Ετσι το συνεχές επιτόκιο μιας επταήμερης κατάθεσης είναιρtimes52 = 41638

Εναλλακτικά (1+ρ)52 = (1+00425) δίνει

(1+ρ) =52radic10425ή ρ=

52radic10425minus = 008Ε Ι Κοντογιώργης copy 65

I Υπολογίστε την ετήσια απόδοση r έτσι ώστε A= 10000να επιστρέφει FV = 35000 σε n= 20 χρόνια

FV =A(1+ r)n ή (1+ r)n =FVA

´Ετσι

1+ r =nradic

FVA

Επομένως

r =nradic

FVA minus1 =

20radic

3500010000 minus1 = 00646 = 646

Ε Ι Κοντογιώργης copy 66

Εναλλακτικά παίρνοντας τους λογαρίθμους

log(1+ r)n = log(FVA) ή n log(1+ r) = log

(FVA)

´Ετσι

1+ r = 10(1n log

(FVA))

ή r = 10(1n log

(FVA))minus1

= 10( 120 log

(3500010000

))minus1

= 646

Ε Ι Κοντογιώργης copy 67

Γραφική Αναπαράσταση I

I Υποθέστε ότι έχουμε y= 3x+2 Καθώς έχουμε μόνο μιαδύναμη για το x πρέπει να λύσουμε γραμμική εξίσωσηκαι να σχεδιάσουμε μια ευθεία γραμμή Αρχικά θα πρέπεινα σχεδιάσουμε ένα T-chart Αυτό έχει τη μορφή

x y = 3x+2 (xy)

I Επιλέγουμε μια τιμή για το x και λύνουμε ως προς y

x y= 3x+2 (xy)minus2 minus4 (minus2minus4)0 2 (02)2 8 (28)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 68

Γραφική Αναπαράσταση II

-

6

X

Y

bull

bull

bull

I Βλέπουμε μια ευθεία με ανοδική τάση (έχοντας θετικήκλίση m= 3) καιτέμνει τον άξονα y στο σημείο y= 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 69

Γραφική Αναπαράσταση III

I Μια Τετραγωνική εξίσωση περιέχει x2 Για τηναναπαράσταση τετραγωνικών εξισώσεων χρειάζεται ναβρούμε περισσότερα από τρία σημεία στο σχεδιάγραμμα

Για παράδειγμα υποθέστε ότι y= x2minus6x+5 καιδίνεται το πιο κάτω T-chart

x y= x2minus6x+5 (xy)0 5 (05)1 0 (10)3 minus4 (3minus4)5 0 (50)6 5 (65)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 70

Γραφική Αναπαράσταση IV

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

-

6

X

Y

bull

bull

bull

bull

bull

Ε Ι Κοντογιώργης copy 71

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(1x + 2)

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(-3x + 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 72

-15

-10

-5

0

5

10

15

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(3x - 2)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 73

-20

0

20

40

60

80

100

120

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2+x)

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 74

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

1250

1500

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3+x2+x)

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x4)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 75

-25

-2

-15

-1

-05

0

05

1

15

2

25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(log(x))

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(x))

Ε Ι Κοντογιώργης copy 76

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(-x))

-5000

0

5000

10000

15000

20000

25000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(exp(x)+x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 77

Ανισότητες I

I Οι ανισότητες αποτελούνται από δύο ή τρεις αλγεβρικέςεκφράσεις που είναι συνδεδεμένες με τα σύμβολαανισότητας Τα σύμβολα αυτά είναι

lt μικρότερο τουgt μεγαλύτερο τουle μικρότερο ή ίσο τουge μεγαλύτερο ή ίσο του

I Παραδείγματα xgty yge x2 και ylt5x+1

I Το πρώτο βήμα για την αναπαράσταση ανισότητας τηςμορφής ygtx είναι να παραστήσουμε γραφικά τηνισότητα y= x

Ε Ι Κοντογιώργης copy 78

Ανισότητες II

I ygtx

Κάνετε δοκιμή με ένα σημείο να δείτε κατά πόσοικανοποιεί την ανισότητα Εάν ναι τότε σκιάστε τηνπεριοχή αυτή του σχεδιαγράμματος διαφορετικά σκιάστετην άλλη πλευρά

Ε Ι Κοντογιώργης copy 79

Ανισότητες III

I yltx

Ε Ι Κοντογιώργης copy 80

Ανισότητες IV

I yle 5x+1 και ygt5x+1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 81

Ανισότητες V

I yge x2 και yle x2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 82

Ανισότητες VI

I ygtx3 και yle x3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 83

Συστήματα Γραμμικών ΕξισώσεωνΠεριεχόμενα

1 Ε

2 Γ Α

ΑναφορέςΚεφάλαια 4 και 5FS Budnick Applied Mathematics for Business Economicsand the Social Sciences 4th edition McGraw-Hill 1993

Ε Ι Κοντογιώργης copy 84

Συστήματα Εξισώσεων

I ´Ενα σύστημα εξισώσεων συνδυάζει περισσότερες από μίαεξισώσεις

I ´Ενα σύστημα m εξισώσεων όπου κάθε εξίσωσηαποτελείται από n μεταβλητές ονομάζεται mtimesnσύστημα ή λέμε ότι έχει διαστάσεις mtimesn

I ΠαράδειγμαΠαρακάτω έχουμε ένα σύστημα 2times2

5X+10Y= 203X+4Y= 10

Οι μεταβλητές σε αυτή την περίπτωση είναι X και YΕ Ι Κοντογιώργης copy 85

Συστήματα Επίλυσης

I Το Σύστημα επίλυσης είναι μια σειρά τιμών μεταβλητώνπου ικανοποιούν το σύστημα ταυτόχρονα

I Σε μια σημειογραφική παράσταση το προηγούμενοπαράδειγμα μπορεί να γραφτεί ως εξής

S = (XY) | 5X+10Y = 20 και 3X+4Y = 10

I Το σύστημα επίλυσης μπορεί να είναι1 μηδενικό2 πεπερασμένο ή3 άπειρο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 86

2times2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική Ανάλυση

I Σε ένα δισδιάστατο γράφημα ένα σύστημα εξισώσεων2times2 αναπαρίστανται με ευθείες γραμμές Υπόρχουν τρίαενδεχόμενα

1 Οι ευθείες τέμνονται Το σημείο τομής αντιπροσωπεύει τηλύση του συστήματος εξισώσεων Αυτό το σημείοαλληλεπίδρασης είναι μια δέσμη τιμών X και Y που ικανοποιείκαι τις δύο εξισώσειςΕάν υπάρχει μόνο μια δέσμη τιμών για τις μεταβλητές που ναικανοποιεί το σύστημα εξισώσεων το σύστημα λέμε ότι έχειΜ Λ

2 Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες μεταξύ τους ∆εν έχουν κοινόσημείο Συνεπώς οι ευθείες δεν τέμνονται ποτέ Το σύστημαλέμε ότι ∆ ΛΑυτό υπονοεί ότι δεν υπάρχουν τιμές για τις μεταβλητές πουνα ικανοποιούν και τις δύο εξισώσεις Σε αυτή τηνπερίπτωση οι εξισώσεις στο σύστημα είναι Α

3 Και οι δύο εξισώσεις αναπαρίστανται ως μια κοινή ευθεία καιθεωρούνται ισοδύναμες εξισώσεις ´Ετσι το σύστημα έχειΑ Λ Αυτό συμβαίνει γιατί υπάρχει άπειροςαριθμός κοινών σημείων στις δύο γραμμές

Ε Ι Κοντογιώργης copy 87

I Π Θεωρείστε ένα σύστημα 2times22X+4Y= 203X+ Y= 10

I

X

Y

(24)

3X +Y = 10

2X +4Y = 20

0 2 4 6 8 10 12

2

4

6

8

10

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 88

I Το σημείο τομής δίνεται από το X= 2 και Y= 4Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές του X και Y στις δύοεξισώσεις δίνουν 20 = 20 και 10 = 10 αντίστοιχα

I Αυτό υποδειλώνει ότι X= 2 και Y= 4 είναι η σωστή λύση

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times23Xminus2Y= 6

minus15X+10Y=minus30

I

X

Y

(20)

(0minus3)

3X minus2Y = 6

minus15X +10Y =minus30

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 89

I Οι δύο εξισώσεις απλοποιούνται σε Xminus 23 Y= 2

Οι δύο εξισώσεις είναι ισοδύναμες και δίνουν έναπεπερασμένο αριθμό λύσεων έτσι ώστε

X= 0 Y =minus3X= 2 Y = 0X= 4 Y = 3

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times26Xminus12Y= 24

minus32X+3Y= 9

Οι εξισώσεις απλοποιούνται σεXminus2Y= 4Xminus2Y=minus6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 90

I

X

Y

(40)

(0minus2)

(minus60)

(03)

X minus2Y =minus6

X minus2Y = 4

0-0

I Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες και συνεπώς το σύστημαδεν έχει λύση ´Ετσι το σύστημα εξισώσεων είναιασύμπτωτο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 91

Περίληψη 2times2 Συστήματα Εξισώσεων∆ίνεται ένα Σύστημα Γραμμικών Εξισώσεων 2times2

Y=m1X+ c1Y=m2X+ c2

1 Υπάρχει μια στο σύστημα εάνm1 6= m2

2 ∆εν υπάρχει στο σύστημα εάνm1 = m2 και c1 6= c2

3 Υπάρχει εάνm1 = m2 και c1 = c2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 92

∆ιαδικασίες Απαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής χρησιμοποιεί πολλαπλασιασμόκαι πρόσθεση έτσι ώστε

1 Να απαλοιφεί μια από τις δύο μεταβλητές

2 Η εξίσωση που εξάγεται είναι συνάρτηση των υπόλοιπωνμεταβλητών

3 Αντικαθιστώντας την τιμή στην μεταβλητή σε μια από τιςαρχικές εξισώσεις βρίσκουμε την τιμή για τηναπολοιφθήσα μεταβλητή

Ε Ι Κοντογιώργης copy 93

ΠαραδείγματαI Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

2X +4Y = 20 (1)3X + Y = 10 (2)

Πολλαπλασιάζοντας τη δεύτερη εξίσωση με minus4 παίρνουμε

minus12X minus4Y =minus40 (3)

Προσθέτοντας την εξίσωση (1) στο (3)

2X + 4Y = 20minus12X minus 4Y = minus40minus10X = minus20

ή

X = 2 (4)Ε Ι Κοντογιώργης copy 94

Αντικαθιστώντας X= 2 στην εξίσωση (1) δίνεται2 middot2+4Y = 20 ή Y=4

´Ετσι η μοναδική λύση του συστήματος δίνεται από τοX= 2 και Y= 4 Μπορεί να επιβεβαιωθεί ότι αυτή είναι ησωστή λύση αντικαθιστώντας X= 2 και Y= 4 στηνεξίσωση (1) και (2)

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times23X minus2Y = 6 (5)

minus15X +10Y =minus30 (6)

Για την απαλοιφή της μεταβλητής X η εξίσωση (5)πολλαπλασιάζεται με 5 και το αποτέλεσμα προστίθεταιστην εξίσωση (6)

15X minus 10Y = 30minus15X + 10Y = minus30

0 = 0 Ε Ι Κοντογιώργης copy 95

Οι τελευταίες πράξεις υπονοούν ότι οι εξίσωσεις (5) και(6) είναι ισοδύναμες και έτσι υπάρχει άπειρος αριθμόςλύσεωνΓια να προσδιορίσουμε τις λύσεις του συστήματος μια απότις αρχικές εξισώσεις λύνεται ως προς μια μεταβλητή Ανγια παράδειγμα η εξίσωση (5) λύνεται ως προς Y δίνει

Y =32Xminus3

Σαν αποτέλεσμα γενικεύοντας τις λύσεις του συστήματοςέχουμε

X τυχαίο και Y =32Xminus3

Πχ για X= 4 υπονοείται ότι Y=32 middot4minus3 = 3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 96

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

6X minus12Y = 24 (7)

minus32X +3Y = 9 (8)

Πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση (8) με 4 καιπροσθέτοντας το αποτέλεσμα στην εξίσωση (7)παίρνουμε

6X minus 12Y = 24minus6X + 12Y = 36

0 = 60

Η πιο πάνω αντιλογία υπονοεί ότι δεν υπάρχει λύση τουσυστήματος εξισώσεων

Ε Ι Κοντογιώργης copy 97

3times2 Συστήματα Εξισώσεων I

1 Μ Λ

X

Y

(32)

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minusY = 1

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 98

3times2 Συστήματα Εξισώσεων II

2 Α Λ

X

Y Εξις (1)Εξις (2)Εξις (3)

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 99

3times2 Συστήματα Εξισώσεων III3 Κ

(α) ´Οταν και οι τρεις εξισώσεις είναι παράλληλες

X

Y

2X minusY =minus8

2X minusY = 2

2X minusY = 12

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 100

3times2 Συστήματα Εξισώσεων IV(β) ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ τωνεξισώσεων

X

Y

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minus2Y =minus4

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 101

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική ΑνάλυσηΣε ένα γράφημα 2 διαστάσεων ένα σύστημα mtimes2(mgt2) εξισώσεων παριστάνεται με m ευθείες ´Οπωςσυμβαίνει στα συστήματα 2times2 υπάρχουν τρίαενδεχόμενα

1 ´Ολες οι ευθείες τέμνονται στο ίδιο σημείο και έτσιυπάρχει

2 ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ των mεξισώσεων Αυτό σημαίνει ότι όλες οι ευθείες είναιπαράλληλες Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα Λ

3 Οι m εξισώσεις είναι ισοδύναμες πχ παρασταίνονται σανμια ευθεία Σε αυτή την περίπτωση υπάρχει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 102

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων ∆ιαδικασίαΑπαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής για την επίλυση ενός συστήματοςmtimes2 μπορεί να περιγραφεί ως ακολούθωςΕπιλέξτε και λύστε σύστημα με δύο εξισώσεις

1 Εάν δεν υπάρχει λύση τότε ολόκληρο το σύστημα δεν έχειλύση

2 Εάν υπάρχει μοναδική λύση που ικανοποιεί τις υπόλοιπεςmminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα έχει μία μοναδική λύση

3 Εάν η λύση είναι μοναδική αλλά δεν ικανοποιεί τιςυπόλοιπες mminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα δεν έχει λύση

4 Εάν οι 2 λύσεις είναι ισοδύναμες απάλοιψτε τη μίααπό τις δύο εξισώσεις και ξεκινήστε από την αρχήλαμβάνοντας υπόψη ένα σύστημα (mminus1)times2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 103

ΠαράδείγμαI Θεωρείστε ένα σύστημα 5times2

XminusY= 1X+2Y=minus8

3Xminus2Y= 02Xminus5Y= 11minus4X+3Y=minus1

I Η λύση των πρώτων δύο εξισώσεων δίνετε απόY =minus3 και X =minus2

I Αντικαθιστώντας τη λύση στις υπόλοιπες τρεις εξισώσειςπαίρνετε αντίστοιχα

0 = 0 11 = 11 και minus1 =minus1I Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση

X=minus2 και Y=minus3Ε Ι Κοντογιώργης copy 104

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian

Η μέθοδος απολοιφής Gaussian μετατρέπει το αρχικόσύστημα εξισώσεων σε διαγώνια μορφή επαναλαμβάνονταςστις εξισώσεις τις ακόλουθες τρεις διαδικασίες

1 Πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης μεμια θετική σταθερά

2 Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού θα προστεθεί σεάλλη εξίσωση

3 Η σειρά των εξισώσεων μπορεί να αλλάξει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 105

ΠαράδείγμαΠ Θεωρείστε το σύστημα 2times2

2X minus 3Y = 7 (Εξ 1)X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με 12 για να πάρετε

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με minus1 καιπροσθέστε την στην (Εξ 2)

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

52Y =

152 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 106

Στάδιο 3 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 25

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

Y = 3 (Εξ 2)

Στάδιο 4 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 32 και

προσθέστε την στην (Εξ 1)

X = 1 (Εξ 1)Y = 3 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 107

Π Θεωρείστε το σύστημα 2times2

5X + 20Y = 254X minus 7Y =minus26

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να εκφραστεί ως

R1 5 20 25R2 4 minus7 minus26

Η κάθετη γραμμή χρησιμοποιείται για διαχωρισμό τηςαριστερής από τη δεξιά πλευρά των εξισώσεων Το Riυπονοεί τη γραμμή (Row) i

Ε Ι Κοντογιώργης copy 108

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάζουμε τη R1 με 15 και το θέτουμε

R1larr 15R1

R1 1 4 5R2 4 minus7 minus26

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάζουμε την R1 με minus4 και τηνπροσθέτουμε στην R2 Εν συντομίαR2larrminus4R1+R2

R1 1 4 5R2 0 minus23 minus46

Στάδιο 3 R2larrminus 123R2

R1 1 4 5R2 0 1 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 109

Στάδιο 4 R1larrminus4R2+R1

R1 1 0 minus3R2 0 1 2

Το αρχικό σύστημα εξισώσεων μετατρέπεται σε διαγώνιαμορφή όπως πιο κάτω

X =minus3Y = 2

το οποίο δίνει τη λύση του συστήματος

Ε Ι Κοντογιώργης copy 110

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 I

Το σύστημα εξισώσεων 3times3 μετετρέπεται σε διαγώνιαμορφή Η μετατροπή γίνεται στήλη με στήλη από τααριστερά προς τα δεξιά

Π Θεωρήστε το σύστημα 3times3

X1 + X2 + X3 = 2X1 minus 3X2 + 2X3 = 7

4X1 minus 2X2 minus X3 = 9

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να γραφτεί ως

Ε Ι Κοντογιώργης copy 111

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 II

1 1 1 21 minus3 2 74 minus2 minus1 9

Ε Ι Κοντογιώργης copy 112

Παίρνοντας τους λογαρίθμους έχουμε52log(1+ρ) = log10425

ή log(1+ρ) =log10425

52

ή 1+ρ= 10( log10425

52)

Αυτό μας δίνει

ρ= 10

( log1042552

)minus1 = 008

´Ετσι το συνεχές επιτόκιο μιας επταήμερης κατάθεσης είναιρtimes52 = 41638

Εναλλακτικά (1+ρ)52 = (1+00425) δίνει

(1+ρ) =52radic10425ή ρ=

52radic10425minus = 008Ε Ι Κοντογιώργης copy 65

I Υπολογίστε την ετήσια απόδοση r έτσι ώστε A= 10000να επιστρέφει FV = 35000 σε n= 20 χρόνια

FV =A(1+ r)n ή (1+ r)n =FVA

´Ετσι

1+ r =nradic

FVA

Επομένως

r =nradic

FVA minus1 =

20radic

3500010000 minus1 = 00646 = 646

Ε Ι Κοντογιώργης copy 66

Εναλλακτικά παίρνοντας τους λογαρίθμους

log(1+ r)n = log(FVA) ή n log(1+ r) = log

(FVA)

´Ετσι

1+ r = 10(1n log

(FVA))

ή r = 10(1n log

(FVA))minus1

= 10( 120 log

(3500010000

))minus1

= 646

Ε Ι Κοντογιώργης copy 67

Γραφική Αναπαράσταση I

I Υποθέστε ότι έχουμε y= 3x+2 Καθώς έχουμε μόνο μιαδύναμη για το x πρέπει να λύσουμε γραμμική εξίσωσηκαι να σχεδιάσουμε μια ευθεία γραμμή Αρχικά θα πρέπεινα σχεδιάσουμε ένα T-chart Αυτό έχει τη μορφή

x y = 3x+2 (xy)

I Επιλέγουμε μια τιμή για το x και λύνουμε ως προς y

x y= 3x+2 (xy)minus2 minus4 (minus2minus4)0 2 (02)2 8 (28)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 68

Γραφική Αναπαράσταση II

-

6

X

Y

bull

bull

bull

I Βλέπουμε μια ευθεία με ανοδική τάση (έχοντας θετικήκλίση m= 3) καιτέμνει τον άξονα y στο σημείο y= 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 69

Γραφική Αναπαράσταση III

I Μια Τετραγωνική εξίσωση περιέχει x2 Για τηναναπαράσταση τετραγωνικών εξισώσεων χρειάζεται ναβρούμε περισσότερα από τρία σημεία στο σχεδιάγραμμα

Για παράδειγμα υποθέστε ότι y= x2minus6x+5 καιδίνεται το πιο κάτω T-chart

x y= x2minus6x+5 (xy)0 5 (05)1 0 (10)3 minus4 (3minus4)5 0 (50)6 5 (65)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 70

Γραφική Αναπαράσταση IV

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

-

6

X

Y

bull

bull

bull

bull

bull

Ε Ι Κοντογιώργης copy 71

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(1x + 2)

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(-3x + 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 72

-15

-10

-5

0

5

10

15

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(3x - 2)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 73

-20

0

20

40

60

80

100

120

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2+x)

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 74

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

1250

1500

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3+x2+x)

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x4)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 75

-25

-2

-15

-1

-05

0

05

1

15

2

25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(log(x))

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(x))

Ε Ι Κοντογιώργης copy 76

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(-x))

-5000

0

5000

10000

15000

20000

25000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(exp(x)+x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 77

Ανισότητες I

I Οι ανισότητες αποτελούνται από δύο ή τρεις αλγεβρικέςεκφράσεις που είναι συνδεδεμένες με τα σύμβολαανισότητας Τα σύμβολα αυτά είναι

lt μικρότερο τουgt μεγαλύτερο τουle μικρότερο ή ίσο τουge μεγαλύτερο ή ίσο του

I Παραδείγματα xgty yge x2 και ylt5x+1

I Το πρώτο βήμα για την αναπαράσταση ανισότητας τηςμορφής ygtx είναι να παραστήσουμε γραφικά τηνισότητα y= x

Ε Ι Κοντογιώργης copy 78

Ανισότητες II

I ygtx

Κάνετε δοκιμή με ένα σημείο να δείτε κατά πόσοικανοποιεί την ανισότητα Εάν ναι τότε σκιάστε τηνπεριοχή αυτή του σχεδιαγράμματος διαφορετικά σκιάστετην άλλη πλευρά

Ε Ι Κοντογιώργης copy 79

Ανισότητες III

I yltx

Ε Ι Κοντογιώργης copy 80

Ανισότητες IV

I yle 5x+1 και ygt5x+1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 81

Ανισότητες V

I yge x2 και yle x2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 82

Ανισότητες VI

I ygtx3 και yle x3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 83

Συστήματα Γραμμικών ΕξισώσεωνΠεριεχόμενα

1 Ε

2 Γ Α

ΑναφορέςΚεφάλαια 4 και 5FS Budnick Applied Mathematics for Business Economicsand the Social Sciences 4th edition McGraw-Hill 1993

Ε Ι Κοντογιώργης copy 84

Συστήματα Εξισώσεων

I ´Ενα σύστημα εξισώσεων συνδυάζει περισσότερες από μίαεξισώσεις

I ´Ενα σύστημα m εξισώσεων όπου κάθε εξίσωσηαποτελείται από n μεταβλητές ονομάζεται mtimesnσύστημα ή λέμε ότι έχει διαστάσεις mtimesn

I ΠαράδειγμαΠαρακάτω έχουμε ένα σύστημα 2times2

5X+10Y= 203X+4Y= 10

Οι μεταβλητές σε αυτή την περίπτωση είναι X και YΕ Ι Κοντογιώργης copy 85

Συστήματα Επίλυσης

I Το Σύστημα επίλυσης είναι μια σειρά τιμών μεταβλητώνπου ικανοποιούν το σύστημα ταυτόχρονα

I Σε μια σημειογραφική παράσταση το προηγούμενοπαράδειγμα μπορεί να γραφτεί ως εξής

S = (XY) | 5X+10Y = 20 και 3X+4Y = 10

I Το σύστημα επίλυσης μπορεί να είναι1 μηδενικό2 πεπερασμένο ή3 άπειρο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 86

2times2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική Ανάλυση

I Σε ένα δισδιάστατο γράφημα ένα σύστημα εξισώσεων2times2 αναπαρίστανται με ευθείες γραμμές Υπόρχουν τρίαενδεχόμενα

1 Οι ευθείες τέμνονται Το σημείο τομής αντιπροσωπεύει τηλύση του συστήματος εξισώσεων Αυτό το σημείοαλληλεπίδρασης είναι μια δέσμη τιμών X και Y που ικανοποιείκαι τις δύο εξισώσειςΕάν υπάρχει μόνο μια δέσμη τιμών για τις μεταβλητές που ναικανοποιεί το σύστημα εξισώσεων το σύστημα λέμε ότι έχειΜ Λ

2 Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες μεταξύ τους ∆εν έχουν κοινόσημείο Συνεπώς οι ευθείες δεν τέμνονται ποτέ Το σύστημαλέμε ότι ∆ ΛΑυτό υπονοεί ότι δεν υπάρχουν τιμές για τις μεταβλητές πουνα ικανοποιούν και τις δύο εξισώσεις Σε αυτή τηνπερίπτωση οι εξισώσεις στο σύστημα είναι Α

3 Και οι δύο εξισώσεις αναπαρίστανται ως μια κοινή ευθεία καιθεωρούνται ισοδύναμες εξισώσεις ´Ετσι το σύστημα έχειΑ Λ Αυτό συμβαίνει γιατί υπάρχει άπειροςαριθμός κοινών σημείων στις δύο γραμμές

Ε Ι Κοντογιώργης copy 87

I Π Θεωρείστε ένα σύστημα 2times22X+4Y= 203X+ Y= 10

I

X

Y

(24)

3X +Y = 10

2X +4Y = 20

0 2 4 6 8 10 12

2

4

6

8

10

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 88

I Το σημείο τομής δίνεται από το X= 2 και Y= 4Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές του X και Y στις δύοεξισώσεις δίνουν 20 = 20 και 10 = 10 αντίστοιχα

I Αυτό υποδειλώνει ότι X= 2 και Y= 4 είναι η σωστή λύση

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times23Xminus2Y= 6

minus15X+10Y=minus30

I

X

Y

(20)

(0minus3)

3X minus2Y = 6

minus15X +10Y =minus30

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 89

I Οι δύο εξισώσεις απλοποιούνται σε Xminus 23 Y= 2

Οι δύο εξισώσεις είναι ισοδύναμες και δίνουν έναπεπερασμένο αριθμό λύσεων έτσι ώστε

X= 0 Y =minus3X= 2 Y = 0X= 4 Y = 3

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times26Xminus12Y= 24

minus32X+3Y= 9

Οι εξισώσεις απλοποιούνται σεXminus2Y= 4Xminus2Y=minus6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 90

I

X

Y

(40)

(0minus2)

(minus60)

(03)

X minus2Y =minus6

X minus2Y = 4

0-0

I Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες και συνεπώς το σύστημαδεν έχει λύση ´Ετσι το σύστημα εξισώσεων είναιασύμπτωτο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 91

Περίληψη 2times2 Συστήματα Εξισώσεων∆ίνεται ένα Σύστημα Γραμμικών Εξισώσεων 2times2

Y=m1X+ c1Y=m2X+ c2

1 Υπάρχει μια στο σύστημα εάνm1 6= m2

2 ∆εν υπάρχει στο σύστημα εάνm1 = m2 και c1 6= c2

3 Υπάρχει εάνm1 = m2 και c1 = c2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 92

∆ιαδικασίες Απαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής χρησιμοποιεί πολλαπλασιασμόκαι πρόσθεση έτσι ώστε

1 Να απαλοιφεί μια από τις δύο μεταβλητές

2 Η εξίσωση που εξάγεται είναι συνάρτηση των υπόλοιπωνμεταβλητών

3 Αντικαθιστώντας την τιμή στην μεταβλητή σε μια από τιςαρχικές εξισώσεις βρίσκουμε την τιμή για τηναπολοιφθήσα μεταβλητή

Ε Ι Κοντογιώργης copy 93

ΠαραδείγματαI Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

2X +4Y = 20 (1)3X + Y = 10 (2)

Πολλαπλασιάζοντας τη δεύτερη εξίσωση με minus4 παίρνουμε

minus12X minus4Y =minus40 (3)

Προσθέτοντας την εξίσωση (1) στο (3)

2X + 4Y = 20minus12X minus 4Y = minus40minus10X = minus20

ή

X = 2 (4)Ε Ι Κοντογιώργης copy 94

Αντικαθιστώντας X= 2 στην εξίσωση (1) δίνεται2 middot2+4Y = 20 ή Y=4

´Ετσι η μοναδική λύση του συστήματος δίνεται από τοX= 2 και Y= 4 Μπορεί να επιβεβαιωθεί ότι αυτή είναι ησωστή λύση αντικαθιστώντας X= 2 και Y= 4 στηνεξίσωση (1) και (2)

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times23X minus2Y = 6 (5)

minus15X +10Y =minus30 (6)

Για την απαλοιφή της μεταβλητής X η εξίσωση (5)πολλαπλασιάζεται με 5 και το αποτέλεσμα προστίθεταιστην εξίσωση (6)

15X minus 10Y = 30minus15X + 10Y = minus30

0 = 0 Ε Ι Κοντογιώργης copy 95

Οι τελευταίες πράξεις υπονοούν ότι οι εξίσωσεις (5) και(6) είναι ισοδύναμες και έτσι υπάρχει άπειρος αριθμόςλύσεωνΓια να προσδιορίσουμε τις λύσεις του συστήματος μια απότις αρχικές εξισώσεις λύνεται ως προς μια μεταβλητή Ανγια παράδειγμα η εξίσωση (5) λύνεται ως προς Y δίνει

Y =32Xminus3

Σαν αποτέλεσμα γενικεύοντας τις λύσεις του συστήματοςέχουμε

X τυχαίο και Y =32Xminus3

Πχ για X= 4 υπονοείται ότι Y=32 middot4minus3 = 3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 96

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

6X minus12Y = 24 (7)

minus32X +3Y = 9 (8)

Πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση (8) με 4 καιπροσθέτοντας το αποτέλεσμα στην εξίσωση (7)παίρνουμε

6X minus 12Y = 24minus6X + 12Y = 36

0 = 60

Η πιο πάνω αντιλογία υπονοεί ότι δεν υπάρχει λύση τουσυστήματος εξισώσεων

Ε Ι Κοντογιώργης copy 97

3times2 Συστήματα Εξισώσεων I

1 Μ Λ

X

Y

(32)

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minusY = 1

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 98

3times2 Συστήματα Εξισώσεων II

2 Α Λ

X

Y Εξις (1)Εξις (2)Εξις (3)

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 99

3times2 Συστήματα Εξισώσεων III3 Κ

(α) ´Οταν και οι τρεις εξισώσεις είναι παράλληλες

X

Y

2X minusY =minus8

2X minusY = 2

2X minusY = 12

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 100

3times2 Συστήματα Εξισώσεων IV(β) ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ τωνεξισώσεων

X

Y

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minus2Y =minus4

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 101

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική ΑνάλυσηΣε ένα γράφημα 2 διαστάσεων ένα σύστημα mtimes2(mgt2) εξισώσεων παριστάνεται με m ευθείες ´Οπωςσυμβαίνει στα συστήματα 2times2 υπάρχουν τρίαενδεχόμενα

1 ´Ολες οι ευθείες τέμνονται στο ίδιο σημείο και έτσιυπάρχει

2 ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ των mεξισώσεων Αυτό σημαίνει ότι όλες οι ευθείες είναιπαράλληλες Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα Λ

3 Οι m εξισώσεις είναι ισοδύναμες πχ παρασταίνονται σανμια ευθεία Σε αυτή την περίπτωση υπάρχει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 102

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων ∆ιαδικασίαΑπαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής για την επίλυση ενός συστήματοςmtimes2 μπορεί να περιγραφεί ως ακολούθωςΕπιλέξτε και λύστε σύστημα με δύο εξισώσεις

1 Εάν δεν υπάρχει λύση τότε ολόκληρο το σύστημα δεν έχειλύση

2 Εάν υπάρχει μοναδική λύση που ικανοποιεί τις υπόλοιπεςmminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα έχει μία μοναδική λύση

3 Εάν η λύση είναι μοναδική αλλά δεν ικανοποιεί τιςυπόλοιπες mminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα δεν έχει λύση

4 Εάν οι 2 λύσεις είναι ισοδύναμες απάλοιψτε τη μίααπό τις δύο εξισώσεις και ξεκινήστε από την αρχήλαμβάνοντας υπόψη ένα σύστημα (mminus1)times2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 103

ΠαράδείγμαI Θεωρείστε ένα σύστημα 5times2

XminusY= 1X+2Y=minus8

3Xminus2Y= 02Xminus5Y= 11minus4X+3Y=minus1

I Η λύση των πρώτων δύο εξισώσεων δίνετε απόY =minus3 και X =minus2

I Αντικαθιστώντας τη λύση στις υπόλοιπες τρεις εξισώσειςπαίρνετε αντίστοιχα

0 = 0 11 = 11 και minus1 =minus1I Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση

X=minus2 και Y=minus3Ε Ι Κοντογιώργης copy 104

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian

Η μέθοδος απολοιφής Gaussian μετατρέπει το αρχικόσύστημα εξισώσεων σε διαγώνια μορφή επαναλαμβάνονταςστις εξισώσεις τις ακόλουθες τρεις διαδικασίες

1 Πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης μεμια θετική σταθερά

2 Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού θα προστεθεί σεάλλη εξίσωση

3 Η σειρά των εξισώσεων μπορεί να αλλάξει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 105

ΠαράδείγμαΠ Θεωρείστε το σύστημα 2times2

2X minus 3Y = 7 (Εξ 1)X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με 12 για να πάρετε

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με minus1 καιπροσθέστε την στην (Εξ 2)

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

52Y =

152 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 106

Στάδιο 3 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 25

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

Y = 3 (Εξ 2)

Στάδιο 4 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 32 και

προσθέστε την στην (Εξ 1)

X = 1 (Εξ 1)Y = 3 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 107

Π Θεωρείστε το σύστημα 2times2

5X + 20Y = 254X minus 7Y =minus26

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να εκφραστεί ως

R1 5 20 25R2 4 minus7 minus26

Η κάθετη γραμμή χρησιμοποιείται για διαχωρισμό τηςαριστερής από τη δεξιά πλευρά των εξισώσεων Το Riυπονοεί τη γραμμή (Row) i

Ε Ι Κοντογιώργης copy 108

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάζουμε τη R1 με 15 και το θέτουμε

R1larr 15R1

R1 1 4 5R2 4 minus7 minus26

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάζουμε την R1 με minus4 και τηνπροσθέτουμε στην R2 Εν συντομίαR2larrminus4R1+R2

R1 1 4 5R2 0 minus23 minus46

Στάδιο 3 R2larrminus 123R2

R1 1 4 5R2 0 1 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 109

Στάδιο 4 R1larrminus4R2+R1

R1 1 0 minus3R2 0 1 2

Το αρχικό σύστημα εξισώσεων μετατρέπεται σε διαγώνιαμορφή όπως πιο κάτω

X =minus3Y = 2

το οποίο δίνει τη λύση του συστήματος

Ε Ι Κοντογιώργης copy 110

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 I

Το σύστημα εξισώσεων 3times3 μετετρέπεται σε διαγώνιαμορφή Η μετατροπή γίνεται στήλη με στήλη από τααριστερά προς τα δεξιά

Π Θεωρήστε το σύστημα 3times3

X1 + X2 + X3 = 2X1 minus 3X2 + 2X3 = 7

4X1 minus 2X2 minus X3 = 9

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να γραφτεί ως

Ε Ι Κοντογιώργης copy 111

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 II

1 1 1 21 minus3 2 74 minus2 minus1 9

Ε Ι Κοντογιώργης copy 112

I Υπολογίστε την ετήσια απόδοση r έτσι ώστε A= 10000να επιστρέφει FV = 35000 σε n= 20 χρόνια

FV =A(1+ r)n ή (1+ r)n =FVA

´Ετσι

1+ r =nradic

FVA

Επομένως

r =nradic

FVA minus1 =

20radic

3500010000 minus1 = 00646 = 646

Ε Ι Κοντογιώργης copy 66

Εναλλακτικά παίρνοντας τους λογαρίθμους

log(1+ r)n = log(FVA) ή n log(1+ r) = log

(FVA)

´Ετσι

1+ r = 10(1n log

(FVA))

ή r = 10(1n log

(FVA))minus1

= 10( 120 log

(3500010000

))minus1

= 646

Ε Ι Κοντογιώργης copy 67

Γραφική Αναπαράσταση I

I Υποθέστε ότι έχουμε y= 3x+2 Καθώς έχουμε μόνο μιαδύναμη για το x πρέπει να λύσουμε γραμμική εξίσωσηκαι να σχεδιάσουμε μια ευθεία γραμμή Αρχικά θα πρέπεινα σχεδιάσουμε ένα T-chart Αυτό έχει τη μορφή

x y = 3x+2 (xy)

I Επιλέγουμε μια τιμή για το x και λύνουμε ως προς y

x y= 3x+2 (xy)minus2 minus4 (minus2minus4)0 2 (02)2 8 (28)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 68

Γραφική Αναπαράσταση II

-

6

X

Y

bull

bull

bull

I Βλέπουμε μια ευθεία με ανοδική τάση (έχοντας θετικήκλίση m= 3) καιτέμνει τον άξονα y στο σημείο y= 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 69

Γραφική Αναπαράσταση III

I Μια Τετραγωνική εξίσωση περιέχει x2 Για τηναναπαράσταση τετραγωνικών εξισώσεων χρειάζεται ναβρούμε περισσότερα από τρία σημεία στο σχεδιάγραμμα

Για παράδειγμα υποθέστε ότι y= x2minus6x+5 καιδίνεται το πιο κάτω T-chart

x y= x2minus6x+5 (xy)0 5 (05)1 0 (10)3 minus4 (3minus4)5 0 (50)6 5 (65)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 70

Γραφική Αναπαράσταση IV

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

-

6

X

Y

bull

bull

bull

bull

bull

Ε Ι Κοντογιώργης copy 71

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(1x + 2)

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(-3x + 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 72

-15

-10

-5

0

5

10

15

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(3x - 2)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 73

-20

0

20

40

60

80

100

120

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2+x)

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 74

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

1250

1500

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3+x2+x)

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x4)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 75

-25

-2

-15

-1

-05

0

05

1

15

2

25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(log(x))

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(x))

Ε Ι Κοντογιώργης copy 76

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(-x))

-5000

0

5000

10000

15000

20000

25000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(exp(x)+x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 77

Ανισότητες I

I Οι ανισότητες αποτελούνται από δύο ή τρεις αλγεβρικέςεκφράσεις που είναι συνδεδεμένες με τα σύμβολαανισότητας Τα σύμβολα αυτά είναι

lt μικρότερο τουgt μεγαλύτερο τουle μικρότερο ή ίσο τουge μεγαλύτερο ή ίσο του

I Παραδείγματα xgty yge x2 και ylt5x+1

I Το πρώτο βήμα για την αναπαράσταση ανισότητας τηςμορφής ygtx είναι να παραστήσουμε γραφικά τηνισότητα y= x

Ε Ι Κοντογιώργης copy 78

Ανισότητες II

I ygtx

Κάνετε δοκιμή με ένα σημείο να δείτε κατά πόσοικανοποιεί την ανισότητα Εάν ναι τότε σκιάστε τηνπεριοχή αυτή του σχεδιαγράμματος διαφορετικά σκιάστετην άλλη πλευρά

Ε Ι Κοντογιώργης copy 79

Ανισότητες III

I yltx

Ε Ι Κοντογιώργης copy 80

Ανισότητες IV

I yle 5x+1 και ygt5x+1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 81

Ανισότητες V

I yge x2 και yle x2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 82

Ανισότητες VI

I ygtx3 και yle x3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 83

Συστήματα Γραμμικών ΕξισώσεωνΠεριεχόμενα

1 Ε

2 Γ Α

ΑναφορέςΚεφάλαια 4 και 5FS Budnick Applied Mathematics for Business Economicsand the Social Sciences 4th edition McGraw-Hill 1993

Ε Ι Κοντογιώργης copy 84

Συστήματα Εξισώσεων

I ´Ενα σύστημα εξισώσεων συνδυάζει περισσότερες από μίαεξισώσεις

I ´Ενα σύστημα m εξισώσεων όπου κάθε εξίσωσηαποτελείται από n μεταβλητές ονομάζεται mtimesnσύστημα ή λέμε ότι έχει διαστάσεις mtimesn

I ΠαράδειγμαΠαρακάτω έχουμε ένα σύστημα 2times2

5X+10Y= 203X+4Y= 10

Οι μεταβλητές σε αυτή την περίπτωση είναι X και YΕ Ι Κοντογιώργης copy 85

Συστήματα Επίλυσης

I Το Σύστημα επίλυσης είναι μια σειρά τιμών μεταβλητώνπου ικανοποιούν το σύστημα ταυτόχρονα

I Σε μια σημειογραφική παράσταση το προηγούμενοπαράδειγμα μπορεί να γραφτεί ως εξής

S = (XY) | 5X+10Y = 20 και 3X+4Y = 10

I Το σύστημα επίλυσης μπορεί να είναι1 μηδενικό2 πεπερασμένο ή3 άπειρο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 86

2times2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική Ανάλυση

I Σε ένα δισδιάστατο γράφημα ένα σύστημα εξισώσεων2times2 αναπαρίστανται με ευθείες γραμμές Υπόρχουν τρίαενδεχόμενα

1 Οι ευθείες τέμνονται Το σημείο τομής αντιπροσωπεύει τηλύση του συστήματος εξισώσεων Αυτό το σημείοαλληλεπίδρασης είναι μια δέσμη τιμών X και Y που ικανοποιείκαι τις δύο εξισώσειςΕάν υπάρχει μόνο μια δέσμη τιμών για τις μεταβλητές που ναικανοποιεί το σύστημα εξισώσεων το σύστημα λέμε ότι έχειΜ Λ

2 Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες μεταξύ τους ∆εν έχουν κοινόσημείο Συνεπώς οι ευθείες δεν τέμνονται ποτέ Το σύστημαλέμε ότι ∆ ΛΑυτό υπονοεί ότι δεν υπάρχουν τιμές για τις μεταβλητές πουνα ικανοποιούν και τις δύο εξισώσεις Σε αυτή τηνπερίπτωση οι εξισώσεις στο σύστημα είναι Α

3 Και οι δύο εξισώσεις αναπαρίστανται ως μια κοινή ευθεία καιθεωρούνται ισοδύναμες εξισώσεις ´Ετσι το σύστημα έχειΑ Λ Αυτό συμβαίνει γιατί υπάρχει άπειροςαριθμός κοινών σημείων στις δύο γραμμές

Ε Ι Κοντογιώργης copy 87

I Π Θεωρείστε ένα σύστημα 2times22X+4Y= 203X+ Y= 10

I

X

Y

(24)

3X +Y = 10

2X +4Y = 20

0 2 4 6 8 10 12

2

4

6

8

10

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 88

I Το σημείο τομής δίνεται από το X= 2 και Y= 4Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές του X και Y στις δύοεξισώσεις δίνουν 20 = 20 και 10 = 10 αντίστοιχα

I Αυτό υποδειλώνει ότι X= 2 και Y= 4 είναι η σωστή λύση

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times23Xminus2Y= 6

minus15X+10Y=minus30

I

X

Y

(20)

(0minus3)

3X minus2Y = 6

minus15X +10Y =minus30

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 89

I Οι δύο εξισώσεις απλοποιούνται σε Xminus 23 Y= 2

Οι δύο εξισώσεις είναι ισοδύναμες και δίνουν έναπεπερασμένο αριθμό λύσεων έτσι ώστε

X= 0 Y =minus3X= 2 Y = 0X= 4 Y = 3

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times26Xminus12Y= 24

minus32X+3Y= 9

Οι εξισώσεις απλοποιούνται σεXminus2Y= 4Xminus2Y=minus6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 90

I

X

Y

(40)

(0minus2)

(minus60)

(03)

X minus2Y =minus6

X minus2Y = 4

0-0

I Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες και συνεπώς το σύστημαδεν έχει λύση ´Ετσι το σύστημα εξισώσεων είναιασύμπτωτο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 91

Περίληψη 2times2 Συστήματα Εξισώσεων∆ίνεται ένα Σύστημα Γραμμικών Εξισώσεων 2times2

Y=m1X+ c1Y=m2X+ c2

1 Υπάρχει μια στο σύστημα εάνm1 6= m2

2 ∆εν υπάρχει στο σύστημα εάνm1 = m2 και c1 6= c2

3 Υπάρχει εάνm1 = m2 και c1 = c2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 92

∆ιαδικασίες Απαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής χρησιμοποιεί πολλαπλασιασμόκαι πρόσθεση έτσι ώστε

1 Να απαλοιφεί μια από τις δύο μεταβλητές

2 Η εξίσωση που εξάγεται είναι συνάρτηση των υπόλοιπωνμεταβλητών

3 Αντικαθιστώντας την τιμή στην μεταβλητή σε μια από τιςαρχικές εξισώσεις βρίσκουμε την τιμή για τηναπολοιφθήσα μεταβλητή

Ε Ι Κοντογιώργης copy 93

ΠαραδείγματαI Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

2X +4Y = 20 (1)3X + Y = 10 (2)

Πολλαπλασιάζοντας τη δεύτερη εξίσωση με minus4 παίρνουμε

minus12X minus4Y =minus40 (3)

Προσθέτοντας την εξίσωση (1) στο (3)

2X + 4Y = 20minus12X minus 4Y = minus40minus10X = minus20

ή

X = 2 (4)Ε Ι Κοντογιώργης copy 94

Αντικαθιστώντας X= 2 στην εξίσωση (1) δίνεται2 middot2+4Y = 20 ή Y=4

´Ετσι η μοναδική λύση του συστήματος δίνεται από τοX= 2 και Y= 4 Μπορεί να επιβεβαιωθεί ότι αυτή είναι ησωστή λύση αντικαθιστώντας X= 2 και Y= 4 στηνεξίσωση (1) και (2)

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times23X minus2Y = 6 (5)

minus15X +10Y =minus30 (6)

Για την απαλοιφή της μεταβλητής X η εξίσωση (5)πολλαπλασιάζεται με 5 και το αποτέλεσμα προστίθεταιστην εξίσωση (6)

15X minus 10Y = 30minus15X + 10Y = minus30

0 = 0 Ε Ι Κοντογιώργης copy 95

Οι τελευταίες πράξεις υπονοούν ότι οι εξίσωσεις (5) και(6) είναι ισοδύναμες και έτσι υπάρχει άπειρος αριθμόςλύσεωνΓια να προσδιορίσουμε τις λύσεις του συστήματος μια απότις αρχικές εξισώσεις λύνεται ως προς μια μεταβλητή Ανγια παράδειγμα η εξίσωση (5) λύνεται ως προς Y δίνει

Y =32Xminus3

Σαν αποτέλεσμα γενικεύοντας τις λύσεις του συστήματοςέχουμε

X τυχαίο και Y =32Xminus3

Πχ για X= 4 υπονοείται ότι Y=32 middot4minus3 = 3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 96

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

6X minus12Y = 24 (7)

minus32X +3Y = 9 (8)

Πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση (8) με 4 καιπροσθέτοντας το αποτέλεσμα στην εξίσωση (7)παίρνουμε

6X minus 12Y = 24minus6X + 12Y = 36

0 = 60

Η πιο πάνω αντιλογία υπονοεί ότι δεν υπάρχει λύση τουσυστήματος εξισώσεων

Ε Ι Κοντογιώργης copy 97

3times2 Συστήματα Εξισώσεων I

1 Μ Λ

X

Y

(32)

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minusY = 1

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 98

3times2 Συστήματα Εξισώσεων II

2 Α Λ

X

Y Εξις (1)Εξις (2)Εξις (3)

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 99

3times2 Συστήματα Εξισώσεων III3 Κ

(α) ´Οταν και οι τρεις εξισώσεις είναι παράλληλες

X

Y

2X minusY =minus8

2X minusY = 2

2X minusY = 12

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 100

3times2 Συστήματα Εξισώσεων IV(β) ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ τωνεξισώσεων

X

Y

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minus2Y =minus4

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 101

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική ΑνάλυσηΣε ένα γράφημα 2 διαστάσεων ένα σύστημα mtimes2(mgt2) εξισώσεων παριστάνεται με m ευθείες ´Οπωςσυμβαίνει στα συστήματα 2times2 υπάρχουν τρίαενδεχόμενα

1 ´Ολες οι ευθείες τέμνονται στο ίδιο σημείο και έτσιυπάρχει

2 ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ των mεξισώσεων Αυτό σημαίνει ότι όλες οι ευθείες είναιπαράλληλες Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα Λ

3 Οι m εξισώσεις είναι ισοδύναμες πχ παρασταίνονται σανμια ευθεία Σε αυτή την περίπτωση υπάρχει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 102

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων ∆ιαδικασίαΑπαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής για την επίλυση ενός συστήματοςmtimes2 μπορεί να περιγραφεί ως ακολούθωςΕπιλέξτε και λύστε σύστημα με δύο εξισώσεις

1 Εάν δεν υπάρχει λύση τότε ολόκληρο το σύστημα δεν έχειλύση

2 Εάν υπάρχει μοναδική λύση που ικανοποιεί τις υπόλοιπεςmminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα έχει μία μοναδική λύση

3 Εάν η λύση είναι μοναδική αλλά δεν ικανοποιεί τιςυπόλοιπες mminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα δεν έχει λύση

4 Εάν οι 2 λύσεις είναι ισοδύναμες απάλοιψτε τη μίααπό τις δύο εξισώσεις και ξεκινήστε από την αρχήλαμβάνοντας υπόψη ένα σύστημα (mminus1)times2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 103

ΠαράδείγμαI Θεωρείστε ένα σύστημα 5times2

XminusY= 1X+2Y=minus8

3Xminus2Y= 02Xminus5Y= 11minus4X+3Y=minus1

I Η λύση των πρώτων δύο εξισώσεων δίνετε απόY =minus3 και X =minus2

I Αντικαθιστώντας τη λύση στις υπόλοιπες τρεις εξισώσειςπαίρνετε αντίστοιχα

0 = 0 11 = 11 και minus1 =minus1I Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση

X=minus2 και Y=minus3Ε Ι Κοντογιώργης copy 104

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian

Η μέθοδος απολοιφής Gaussian μετατρέπει το αρχικόσύστημα εξισώσεων σε διαγώνια μορφή επαναλαμβάνονταςστις εξισώσεις τις ακόλουθες τρεις διαδικασίες

1 Πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης μεμια θετική σταθερά

2 Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού θα προστεθεί σεάλλη εξίσωση

3 Η σειρά των εξισώσεων μπορεί να αλλάξει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 105

ΠαράδείγμαΠ Θεωρείστε το σύστημα 2times2

2X minus 3Y = 7 (Εξ 1)X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με 12 για να πάρετε

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με minus1 καιπροσθέστε την στην (Εξ 2)

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

52Y =

152 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 106

Στάδιο 3 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 25

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

Y = 3 (Εξ 2)

Στάδιο 4 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 32 και

προσθέστε την στην (Εξ 1)

X = 1 (Εξ 1)Y = 3 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 107

Π Θεωρείστε το σύστημα 2times2

5X + 20Y = 254X minus 7Y =minus26

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να εκφραστεί ως

R1 5 20 25R2 4 minus7 minus26

Η κάθετη γραμμή χρησιμοποιείται για διαχωρισμό τηςαριστερής από τη δεξιά πλευρά των εξισώσεων Το Riυπονοεί τη γραμμή (Row) i

Ε Ι Κοντογιώργης copy 108

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάζουμε τη R1 με 15 και το θέτουμε

R1larr 15R1

R1 1 4 5R2 4 minus7 minus26

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάζουμε την R1 με minus4 και τηνπροσθέτουμε στην R2 Εν συντομίαR2larrminus4R1+R2

R1 1 4 5R2 0 minus23 minus46

Στάδιο 3 R2larrminus 123R2

R1 1 4 5R2 0 1 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 109

Στάδιο 4 R1larrminus4R2+R1

R1 1 0 minus3R2 0 1 2

Το αρχικό σύστημα εξισώσεων μετατρέπεται σε διαγώνιαμορφή όπως πιο κάτω

X =minus3Y = 2

το οποίο δίνει τη λύση του συστήματος

Ε Ι Κοντογιώργης copy 110

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 I

Το σύστημα εξισώσεων 3times3 μετετρέπεται σε διαγώνιαμορφή Η μετατροπή γίνεται στήλη με στήλη από τααριστερά προς τα δεξιά

Π Θεωρήστε το σύστημα 3times3

X1 + X2 + X3 = 2X1 minus 3X2 + 2X3 = 7

4X1 minus 2X2 minus X3 = 9

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να γραφτεί ως

Ε Ι Κοντογιώργης copy 111

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 II

1 1 1 21 minus3 2 74 minus2 minus1 9

Ε Ι Κοντογιώργης copy 112

Εναλλακτικά παίρνοντας τους λογαρίθμους

log(1+ r)n = log(FVA) ή n log(1+ r) = log

(FVA)

´Ετσι

1+ r = 10(1n log

(FVA))

ή r = 10(1n log

(FVA))minus1

= 10( 120 log

(3500010000

))minus1

= 646

Ε Ι Κοντογιώργης copy 67

Γραφική Αναπαράσταση I

I Υποθέστε ότι έχουμε y= 3x+2 Καθώς έχουμε μόνο μιαδύναμη για το x πρέπει να λύσουμε γραμμική εξίσωσηκαι να σχεδιάσουμε μια ευθεία γραμμή Αρχικά θα πρέπεινα σχεδιάσουμε ένα T-chart Αυτό έχει τη μορφή

x y = 3x+2 (xy)

I Επιλέγουμε μια τιμή για το x και λύνουμε ως προς y

x y= 3x+2 (xy)minus2 minus4 (minus2minus4)0 2 (02)2 8 (28)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 68

Γραφική Αναπαράσταση II

-

6

X

Y

bull

bull

bull

I Βλέπουμε μια ευθεία με ανοδική τάση (έχοντας θετικήκλίση m= 3) καιτέμνει τον άξονα y στο σημείο y= 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 69

Γραφική Αναπαράσταση III

I Μια Τετραγωνική εξίσωση περιέχει x2 Για τηναναπαράσταση τετραγωνικών εξισώσεων χρειάζεται ναβρούμε περισσότερα από τρία σημεία στο σχεδιάγραμμα

Για παράδειγμα υποθέστε ότι y= x2minus6x+5 καιδίνεται το πιο κάτω T-chart

x y= x2minus6x+5 (xy)0 5 (05)1 0 (10)3 minus4 (3minus4)5 0 (50)6 5 (65)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 70

Γραφική Αναπαράσταση IV

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

-

6

X

Y

bull

bull

bull

bull

bull

Ε Ι Κοντογιώργης copy 71

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(1x + 2)

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(-3x + 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 72

-15

-10

-5

0

5

10

15

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(3x - 2)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 73

-20

0

20

40

60

80

100

120

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2+x)

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 74

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

1250

1500

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3+x2+x)

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x4)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 75

-25

-2

-15

-1

-05

0

05

1

15

2

25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(log(x))

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(x))

Ε Ι Κοντογιώργης copy 76

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(-x))

-5000

0

5000

10000

15000

20000

25000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(exp(x)+x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 77

Ανισότητες I

I Οι ανισότητες αποτελούνται από δύο ή τρεις αλγεβρικέςεκφράσεις που είναι συνδεδεμένες με τα σύμβολαανισότητας Τα σύμβολα αυτά είναι

lt μικρότερο τουgt μεγαλύτερο τουle μικρότερο ή ίσο τουge μεγαλύτερο ή ίσο του

I Παραδείγματα xgty yge x2 και ylt5x+1

I Το πρώτο βήμα για την αναπαράσταση ανισότητας τηςμορφής ygtx είναι να παραστήσουμε γραφικά τηνισότητα y= x

Ε Ι Κοντογιώργης copy 78

Ανισότητες II

I ygtx

Κάνετε δοκιμή με ένα σημείο να δείτε κατά πόσοικανοποιεί την ανισότητα Εάν ναι τότε σκιάστε τηνπεριοχή αυτή του σχεδιαγράμματος διαφορετικά σκιάστετην άλλη πλευρά

Ε Ι Κοντογιώργης copy 79

Ανισότητες III

I yltx

Ε Ι Κοντογιώργης copy 80

Ανισότητες IV

I yle 5x+1 και ygt5x+1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 81

Ανισότητες V

I yge x2 και yle x2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 82

Ανισότητες VI

I ygtx3 και yle x3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 83

Συστήματα Γραμμικών ΕξισώσεωνΠεριεχόμενα

1 Ε

2 Γ Α

ΑναφορέςΚεφάλαια 4 και 5FS Budnick Applied Mathematics for Business Economicsand the Social Sciences 4th edition McGraw-Hill 1993

Ε Ι Κοντογιώργης copy 84

Συστήματα Εξισώσεων

I ´Ενα σύστημα εξισώσεων συνδυάζει περισσότερες από μίαεξισώσεις

I ´Ενα σύστημα m εξισώσεων όπου κάθε εξίσωσηαποτελείται από n μεταβλητές ονομάζεται mtimesnσύστημα ή λέμε ότι έχει διαστάσεις mtimesn

I ΠαράδειγμαΠαρακάτω έχουμε ένα σύστημα 2times2

5X+10Y= 203X+4Y= 10

Οι μεταβλητές σε αυτή την περίπτωση είναι X και YΕ Ι Κοντογιώργης copy 85

Συστήματα Επίλυσης

I Το Σύστημα επίλυσης είναι μια σειρά τιμών μεταβλητώνπου ικανοποιούν το σύστημα ταυτόχρονα

I Σε μια σημειογραφική παράσταση το προηγούμενοπαράδειγμα μπορεί να γραφτεί ως εξής

S = (XY) | 5X+10Y = 20 και 3X+4Y = 10

I Το σύστημα επίλυσης μπορεί να είναι1 μηδενικό2 πεπερασμένο ή3 άπειρο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 86

2times2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική Ανάλυση

I Σε ένα δισδιάστατο γράφημα ένα σύστημα εξισώσεων2times2 αναπαρίστανται με ευθείες γραμμές Υπόρχουν τρίαενδεχόμενα

1 Οι ευθείες τέμνονται Το σημείο τομής αντιπροσωπεύει τηλύση του συστήματος εξισώσεων Αυτό το σημείοαλληλεπίδρασης είναι μια δέσμη τιμών X και Y που ικανοποιείκαι τις δύο εξισώσειςΕάν υπάρχει μόνο μια δέσμη τιμών για τις μεταβλητές που ναικανοποιεί το σύστημα εξισώσεων το σύστημα λέμε ότι έχειΜ Λ

2 Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες μεταξύ τους ∆εν έχουν κοινόσημείο Συνεπώς οι ευθείες δεν τέμνονται ποτέ Το σύστημαλέμε ότι ∆ ΛΑυτό υπονοεί ότι δεν υπάρχουν τιμές για τις μεταβλητές πουνα ικανοποιούν και τις δύο εξισώσεις Σε αυτή τηνπερίπτωση οι εξισώσεις στο σύστημα είναι Α

3 Και οι δύο εξισώσεις αναπαρίστανται ως μια κοινή ευθεία καιθεωρούνται ισοδύναμες εξισώσεις ´Ετσι το σύστημα έχειΑ Λ Αυτό συμβαίνει γιατί υπάρχει άπειροςαριθμός κοινών σημείων στις δύο γραμμές

Ε Ι Κοντογιώργης copy 87

I Π Θεωρείστε ένα σύστημα 2times22X+4Y= 203X+ Y= 10

I

X

Y

(24)

3X +Y = 10

2X +4Y = 20

0 2 4 6 8 10 12

2

4

6

8

10

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 88

I Το σημείο τομής δίνεται από το X= 2 και Y= 4Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές του X και Y στις δύοεξισώσεις δίνουν 20 = 20 και 10 = 10 αντίστοιχα

I Αυτό υποδειλώνει ότι X= 2 και Y= 4 είναι η σωστή λύση

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times23Xminus2Y= 6

minus15X+10Y=minus30

I

X

Y

(20)

(0minus3)

3X minus2Y = 6

minus15X +10Y =minus30

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 89

I Οι δύο εξισώσεις απλοποιούνται σε Xminus 23 Y= 2

Οι δύο εξισώσεις είναι ισοδύναμες και δίνουν έναπεπερασμένο αριθμό λύσεων έτσι ώστε

X= 0 Y =minus3X= 2 Y = 0X= 4 Y = 3

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times26Xminus12Y= 24

minus32X+3Y= 9

Οι εξισώσεις απλοποιούνται σεXminus2Y= 4Xminus2Y=minus6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 90

I

X

Y

(40)

(0minus2)

(minus60)

(03)

X minus2Y =minus6

X minus2Y = 4

0-0

I Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες και συνεπώς το σύστημαδεν έχει λύση ´Ετσι το σύστημα εξισώσεων είναιασύμπτωτο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 91

Περίληψη 2times2 Συστήματα Εξισώσεων∆ίνεται ένα Σύστημα Γραμμικών Εξισώσεων 2times2

Y=m1X+ c1Y=m2X+ c2

1 Υπάρχει μια στο σύστημα εάνm1 6= m2

2 ∆εν υπάρχει στο σύστημα εάνm1 = m2 και c1 6= c2

3 Υπάρχει εάνm1 = m2 και c1 = c2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 92

∆ιαδικασίες Απαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής χρησιμοποιεί πολλαπλασιασμόκαι πρόσθεση έτσι ώστε

1 Να απαλοιφεί μια από τις δύο μεταβλητές

2 Η εξίσωση που εξάγεται είναι συνάρτηση των υπόλοιπωνμεταβλητών

3 Αντικαθιστώντας την τιμή στην μεταβλητή σε μια από τιςαρχικές εξισώσεις βρίσκουμε την τιμή για τηναπολοιφθήσα μεταβλητή

Ε Ι Κοντογιώργης copy 93

ΠαραδείγματαI Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

2X +4Y = 20 (1)3X + Y = 10 (2)

Πολλαπλασιάζοντας τη δεύτερη εξίσωση με minus4 παίρνουμε

minus12X minus4Y =minus40 (3)

Προσθέτοντας την εξίσωση (1) στο (3)

2X + 4Y = 20minus12X minus 4Y = minus40minus10X = minus20

ή

X = 2 (4)Ε Ι Κοντογιώργης copy 94

Αντικαθιστώντας X= 2 στην εξίσωση (1) δίνεται2 middot2+4Y = 20 ή Y=4

´Ετσι η μοναδική λύση του συστήματος δίνεται από τοX= 2 και Y= 4 Μπορεί να επιβεβαιωθεί ότι αυτή είναι ησωστή λύση αντικαθιστώντας X= 2 και Y= 4 στηνεξίσωση (1) και (2)

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times23X minus2Y = 6 (5)

minus15X +10Y =minus30 (6)

Για την απαλοιφή της μεταβλητής X η εξίσωση (5)πολλαπλασιάζεται με 5 και το αποτέλεσμα προστίθεταιστην εξίσωση (6)

15X minus 10Y = 30minus15X + 10Y = minus30

0 = 0 Ε Ι Κοντογιώργης copy 95

Οι τελευταίες πράξεις υπονοούν ότι οι εξίσωσεις (5) και(6) είναι ισοδύναμες και έτσι υπάρχει άπειρος αριθμόςλύσεωνΓια να προσδιορίσουμε τις λύσεις του συστήματος μια απότις αρχικές εξισώσεις λύνεται ως προς μια μεταβλητή Ανγια παράδειγμα η εξίσωση (5) λύνεται ως προς Y δίνει

Y =32Xminus3

Σαν αποτέλεσμα γενικεύοντας τις λύσεις του συστήματοςέχουμε

X τυχαίο και Y =32Xminus3

Πχ για X= 4 υπονοείται ότι Y=32 middot4minus3 = 3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 96

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

6X minus12Y = 24 (7)

minus32X +3Y = 9 (8)

Πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση (8) με 4 καιπροσθέτοντας το αποτέλεσμα στην εξίσωση (7)παίρνουμε

6X minus 12Y = 24minus6X + 12Y = 36

0 = 60

Η πιο πάνω αντιλογία υπονοεί ότι δεν υπάρχει λύση τουσυστήματος εξισώσεων

Ε Ι Κοντογιώργης copy 97

3times2 Συστήματα Εξισώσεων I

1 Μ Λ

X

Y

(32)

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minusY = 1

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 98

3times2 Συστήματα Εξισώσεων II

2 Α Λ

X

Y Εξις (1)Εξις (2)Εξις (3)

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 99

3times2 Συστήματα Εξισώσεων III3 Κ

(α) ´Οταν και οι τρεις εξισώσεις είναι παράλληλες

X

Y

2X minusY =minus8

2X minusY = 2

2X minusY = 12

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 100

3times2 Συστήματα Εξισώσεων IV(β) ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ τωνεξισώσεων

X

Y

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minus2Y =minus4

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 101

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική ΑνάλυσηΣε ένα γράφημα 2 διαστάσεων ένα σύστημα mtimes2(mgt2) εξισώσεων παριστάνεται με m ευθείες ´Οπωςσυμβαίνει στα συστήματα 2times2 υπάρχουν τρίαενδεχόμενα

1 ´Ολες οι ευθείες τέμνονται στο ίδιο σημείο και έτσιυπάρχει

2 ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ των mεξισώσεων Αυτό σημαίνει ότι όλες οι ευθείες είναιπαράλληλες Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα Λ

3 Οι m εξισώσεις είναι ισοδύναμες πχ παρασταίνονται σανμια ευθεία Σε αυτή την περίπτωση υπάρχει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 102

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων ∆ιαδικασίαΑπαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής για την επίλυση ενός συστήματοςmtimes2 μπορεί να περιγραφεί ως ακολούθωςΕπιλέξτε και λύστε σύστημα με δύο εξισώσεις

1 Εάν δεν υπάρχει λύση τότε ολόκληρο το σύστημα δεν έχειλύση

2 Εάν υπάρχει μοναδική λύση που ικανοποιεί τις υπόλοιπεςmminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα έχει μία μοναδική λύση

3 Εάν η λύση είναι μοναδική αλλά δεν ικανοποιεί τιςυπόλοιπες mminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα δεν έχει λύση

4 Εάν οι 2 λύσεις είναι ισοδύναμες απάλοιψτε τη μίααπό τις δύο εξισώσεις και ξεκινήστε από την αρχήλαμβάνοντας υπόψη ένα σύστημα (mminus1)times2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 103

ΠαράδείγμαI Θεωρείστε ένα σύστημα 5times2

XminusY= 1X+2Y=minus8

3Xminus2Y= 02Xminus5Y= 11minus4X+3Y=minus1

I Η λύση των πρώτων δύο εξισώσεων δίνετε απόY =minus3 και X =minus2

I Αντικαθιστώντας τη λύση στις υπόλοιπες τρεις εξισώσειςπαίρνετε αντίστοιχα

0 = 0 11 = 11 και minus1 =minus1I Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση

X=minus2 και Y=minus3Ε Ι Κοντογιώργης copy 104

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian

Η μέθοδος απολοιφής Gaussian μετατρέπει το αρχικόσύστημα εξισώσεων σε διαγώνια μορφή επαναλαμβάνονταςστις εξισώσεις τις ακόλουθες τρεις διαδικασίες

1 Πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης μεμια θετική σταθερά

2 Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού θα προστεθεί σεάλλη εξίσωση

3 Η σειρά των εξισώσεων μπορεί να αλλάξει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 105

ΠαράδείγμαΠ Θεωρείστε το σύστημα 2times2

2X minus 3Y = 7 (Εξ 1)X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με 12 για να πάρετε

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με minus1 καιπροσθέστε την στην (Εξ 2)

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

52Y =

152 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 106

Στάδιο 3 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 25

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

Y = 3 (Εξ 2)

Στάδιο 4 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 32 και

προσθέστε την στην (Εξ 1)

X = 1 (Εξ 1)Y = 3 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 107

Π Θεωρείστε το σύστημα 2times2

5X + 20Y = 254X minus 7Y =minus26

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να εκφραστεί ως

R1 5 20 25R2 4 minus7 minus26

Η κάθετη γραμμή χρησιμοποιείται για διαχωρισμό τηςαριστερής από τη δεξιά πλευρά των εξισώσεων Το Riυπονοεί τη γραμμή (Row) i

Ε Ι Κοντογιώργης copy 108

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάζουμε τη R1 με 15 και το θέτουμε

R1larr 15R1

R1 1 4 5R2 4 minus7 minus26

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάζουμε την R1 με minus4 και τηνπροσθέτουμε στην R2 Εν συντομίαR2larrminus4R1+R2

R1 1 4 5R2 0 minus23 minus46

Στάδιο 3 R2larrminus 123R2

R1 1 4 5R2 0 1 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 109

Στάδιο 4 R1larrminus4R2+R1

R1 1 0 minus3R2 0 1 2

Το αρχικό σύστημα εξισώσεων μετατρέπεται σε διαγώνιαμορφή όπως πιο κάτω

X =minus3Y = 2

το οποίο δίνει τη λύση του συστήματος

Ε Ι Κοντογιώργης copy 110

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 I

Το σύστημα εξισώσεων 3times3 μετετρέπεται σε διαγώνιαμορφή Η μετατροπή γίνεται στήλη με στήλη από τααριστερά προς τα δεξιά

Π Θεωρήστε το σύστημα 3times3

X1 + X2 + X3 = 2X1 minus 3X2 + 2X3 = 7

4X1 minus 2X2 minus X3 = 9

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να γραφτεί ως

Ε Ι Κοντογιώργης copy 111

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 II

1 1 1 21 minus3 2 74 minus2 minus1 9

Ε Ι Κοντογιώργης copy 112

Γραφική Αναπαράσταση I

I Υποθέστε ότι έχουμε y= 3x+2 Καθώς έχουμε μόνο μιαδύναμη για το x πρέπει να λύσουμε γραμμική εξίσωσηκαι να σχεδιάσουμε μια ευθεία γραμμή Αρχικά θα πρέπεινα σχεδιάσουμε ένα T-chart Αυτό έχει τη μορφή

x y = 3x+2 (xy)

I Επιλέγουμε μια τιμή για το x και λύνουμε ως προς y

x y= 3x+2 (xy)minus2 minus4 (minus2minus4)0 2 (02)2 8 (28)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 68

Γραφική Αναπαράσταση II

-

6

X

Y

bull

bull

bull

I Βλέπουμε μια ευθεία με ανοδική τάση (έχοντας θετικήκλίση m= 3) καιτέμνει τον άξονα y στο σημείο y= 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 69

Γραφική Αναπαράσταση III

I Μια Τετραγωνική εξίσωση περιέχει x2 Για τηναναπαράσταση τετραγωνικών εξισώσεων χρειάζεται ναβρούμε περισσότερα από τρία σημεία στο σχεδιάγραμμα

Για παράδειγμα υποθέστε ότι y= x2minus6x+5 καιδίνεται το πιο κάτω T-chart

x y= x2minus6x+5 (xy)0 5 (05)1 0 (10)3 minus4 (3minus4)5 0 (50)6 5 (65)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 70

Γραφική Αναπαράσταση IV

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

-

6

X

Y

bull

bull

bull

bull

bull

Ε Ι Κοντογιώργης copy 71

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(1x + 2)

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(-3x + 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 72

-15

-10

-5

0

5

10

15

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(3x - 2)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 73

-20

0

20

40

60

80

100

120

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2+x)

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 74

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

1250

1500

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3+x2+x)

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x4)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 75

-25

-2

-15

-1

-05

0

05

1

15

2

25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(log(x))

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(x))

Ε Ι Κοντογιώργης copy 76

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(-x))

-5000

0

5000

10000

15000

20000

25000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(exp(x)+x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 77

Ανισότητες I

I Οι ανισότητες αποτελούνται από δύο ή τρεις αλγεβρικέςεκφράσεις που είναι συνδεδεμένες με τα σύμβολαανισότητας Τα σύμβολα αυτά είναι

lt μικρότερο τουgt μεγαλύτερο τουle μικρότερο ή ίσο τουge μεγαλύτερο ή ίσο του

I Παραδείγματα xgty yge x2 και ylt5x+1

I Το πρώτο βήμα για την αναπαράσταση ανισότητας τηςμορφής ygtx είναι να παραστήσουμε γραφικά τηνισότητα y= x

Ε Ι Κοντογιώργης copy 78

Ανισότητες II

I ygtx

Κάνετε δοκιμή με ένα σημείο να δείτε κατά πόσοικανοποιεί την ανισότητα Εάν ναι τότε σκιάστε τηνπεριοχή αυτή του σχεδιαγράμματος διαφορετικά σκιάστετην άλλη πλευρά

Ε Ι Κοντογιώργης copy 79

Ανισότητες III

I yltx

Ε Ι Κοντογιώργης copy 80

Ανισότητες IV

I yle 5x+1 και ygt5x+1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 81

Ανισότητες V

I yge x2 και yle x2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 82

Ανισότητες VI

I ygtx3 και yle x3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 83

Συστήματα Γραμμικών ΕξισώσεωνΠεριεχόμενα

1 Ε

2 Γ Α

ΑναφορέςΚεφάλαια 4 και 5FS Budnick Applied Mathematics for Business Economicsand the Social Sciences 4th edition McGraw-Hill 1993

Ε Ι Κοντογιώργης copy 84

Συστήματα Εξισώσεων

I ´Ενα σύστημα εξισώσεων συνδυάζει περισσότερες από μίαεξισώσεις

I ´Ενα σύστημα m εξισώσεων όπου κάθε εξίσωσηαποτελείται από n μεταβλητές ονομάζεται mtimesnσύστημα ή λέμε ότι έχει διαστάσεις mtimesn

I ΠαράδειγμαΠαρακάτω έχουμε ένα σύστημα 2times2

5X+10Y= 203X+4Y= 10

Οι μεταβλητές σε αυτή την περίπτωση είναι X και YΕ Ι Κοντογιώργης copy 85

Συστήματα Επίλυσης

I Το Σύστημα επίλυσης είναι μια σειρά τιμών μεταβλητώνπου ικανοποιούν το σύστημα ταυτόχρονα

I Σε μια σημειογραφική παράσταση το προηγούμενοπαράδειγμα μπορεί να γραφτεί ως εξής

S = (XY) | 5X+10Y = 20 και 3X+4Y = 10

I Το σύστημα επίλυσης μπορεί να είναι1 μηδενικό2 πεπερασμένο ή3 άπειρο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 86

2times2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική Ανάλυση

I Σε ένα δισδιάστατο γράφημα ένα σύστημα εξισώσεων2times2 αναπαρίστανται με ευθείες γραμμές Υπόρχουν τρίαενδεχόμενα

1 Οι ευθείες τέμνονται Το σημείο τομής αντιπροσωπεύει τηλύση του συστήματος εξισώσεων Αυτό το σημείοαλληλεπίδρασης είναι μια δέσμη τιμών X και Y που ικανοποιείκαι τις δύο εξισώσειςΕάν υπάρχει μόνο μια δέσμη τιμών για τις μεταβλητές που ναικανοποιεί το σύστημα εξισώσεων το σύστημα λέμε ότι έχειΜ Λ

2 Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες μεταξύ τους ∆εν έχουν κοινόσημείο Συνεπώς οι ευθείες δεν τέμνονται ποτέ Το σύστημαλέμε ότι ∆ ΛΑυτό υπονοεί ότι δεν υπάρχουν τιμές για τις μεταβλητές πουνα ικανοποιούν και τις δύο εξισώσεις Σε αυτή τηνπερίπτωση οι εξισώσεις στο σύστημα είναι Α

3 Και οι δύο εξισώσεις αναπαρίστανται ως μια κοινή ευθεία καιθεωρούνται ισοδύναμες εξισώσεις ´Ετσι το σύστημα έχειΑ Λ Αυτό συμβαίνει γιατί υπάρχει άπειροςαριθμός κοινών σημείων στις δύο γραμμές

Ε Ι Κοντογιώργης copy 87

I Π Θεωρείστε ένα σύστημα 2times22X+4Y= 203X+ Y= 10

I

X

Y

(24)

3X +Y = 10

2X +4Y = 20

0 2 4 6 8 10 12

2

4

6

8

10

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 88

I Το σημείο τομής δίνεται από το X= 2 και Y= 4Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές του X και Y στις δύοεξισώσεις δίνουν 20 = 20 και 10 = 10 αντίστοιχα

I Αυτό υποδειλώνει ότι X= 2 και Y= 4 είναι η σωστή λύση

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times23Xminus2Y= 6

minus15X+10Y=minus30

I

X

Y

(20)

(0minus3)

3X minus2Y = 6

minus15X +10Y =minus30

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 89

I Οι δύο εξισώσεις απλοποιούνται σε Xminus 23 Y= 2

Οι δύο εξισώσεις είναι ισοδύναμες και δίνουν έναπεπερασμένο αριθμό λύσεων έτσι ώστε

X= 0 Y =minus3X= 2 Y = 0X= 4 Y = 3

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times26Xminus12Y= 24

minus32X+3Y= 9

Οι εξισώσεις απλοποιούνται σεXminus2Y= 4Xminus2Y=minus6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 90

I

X

Y

(40)

(0minus2)

(minus60)

(03)

X minus2Y =minus6

X minus2Y = 4

0-0

I Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες και συνεπώς το σύστημαδεν έχει λύση ´Ετσι το σύστημα εξισώσεων είναιασύμπτωτο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 91

Περίληψη 2times2 Συστήματα Εξισώσεων∆ίνεται ένα Σύστημα Γραμμικών Εξισώσεων 2times2

Y=m1X+ c1Y=m2X+ c2

1 Υπάρχει μια στο σύστημα εάνm1 6= m2

2 ∆εν υπάρχει στο σύστημα εάνm1 = m2 και c1 6= c2

3 Υπάρχει εάνm1 = m2 και c1 = c2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 92

∆ιαδικασίες Απαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής χρησιμοποιεί πολλαπλασιασμόκαι πρόσθεση έτσι ώστε

1 Να απαλοιφεί μια από τις δύο μεταβλητές

2 Η εξίσωση που εξάγεται είναι συνάρτηση των υπόλοιπωνμεταβλητών

3 Αντικαθιστώντας την τιμή στην μεταβλητή σε μια από τιςαρχικές εξισώσεις βρίσκουμε την τιμή για τηναπολοιφθήσα μεταβλητή

Ε Ι Κοντογιώργης copy 93

ΠαραδείγματαI Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

2X +4Y = 20 (1)3X + Y = 10 (2)

Πολλαπλασιάζοντας τη δεύτερη εξίσωση με minus4 παίρνουμε

minus12X minus4Y =minus40 (3)

Προσθέτοντας την εξίσωση (1) στο (3)

2X + 4Y = 20minus12X minus 4Y = minus40minus10X = minus20

ή

X = 2 (4)Ε Ι Κοντογιώργης copy 94

Αντικαθιστώντας X= 2 στην εξίσωση (1) δίνεται2 middot2+4Y = 20 ή Y=4

´Ετσι η μοναδική λύση του συστήματος δίνεται από τοX= 2 και Y= 4 Μπορεί να επιβεβαιωθεί ότι αυτή είναι ησωστή λύση αντικαθιστώντας X= 2 και Y= 4 στηνεξίσωση (1) και (2)

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times23X minus2Y = 6 (5)

minus15X +10Y =minus30 (6)

Για την απαλοιφή της μεταβλητής X η εξίσωση (5)πολλαπλασιάζεται με 5 και το αποτέλεσμα προστίθεταιστην εξίσωση (6)

15X minus 10Y = 30minus15X + 10Y = minus30

0 = 0 Ε Ι Κοντογιώργης copy 95

Οι τελευταίες πράξεις υπονοούν ότι οι εξίσωσεις (5) και(6) είναι ισοδύναμες και έτσι υπάρχει άπειρος αριθμόςλύσεωνΓια να προσδιορίσουμε τις λύσεις του συστήματος μια απότις αρχικές εξισώσεις λύνεται ως προς μια μεταβλητή Ανγια παράδειγμα η εξίσωση (5) λύνεται ως προς Y δίνει

Y =32Xminus3

Σαν αποτέλεσμα γενικεύοντας τις λύσεις του συστήματοςέχουμε

X τυχαίο και Y =32Xminus3

Πχ για X= 4 υπονοείται ότι Y=32 middot4minus3 = 3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 96

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

6X minus12Y = 24 (7)

minus32X +3Y = 9 (8)

Πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση (8) με 4 καιπροσθέτοντας το αποτέλεσμα στην εξίσωση (7)παίρνουμε

6X minus 12Y = 24minus6X + 12Y = 36

0 = 60

Η πιο πάνω αντιλογία υπονοεί ότι δεν υπάρχει λύση τουσυστήματος εξισώσεων

Ε Ι Κοντογιώργης copy 97

3times2 Συστήματα Εξισώσεων I

1 Μ Λ

X

Y

(32)

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minusY = 1

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 98

3times2 Συστήματα Εξισώσεων II

2 Α Λ

X

Y Εξις (1)Εξις (2)Εξις (3)

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 99

3times2 Συστήματα Εξισώσεων III3 Κ

(α) ´Οταν και οι τρεις εξισώσεις είναι παράλληλες

X

Y

2X minusY =minus8

2X minusY = 2

2X minusY = 12

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 100

3times2 Συστήματα Εξισώσεων IV(β) ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ τωνεξισώσεων

X

Y

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minus2Y =minus4

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 101

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική ΑνάλυσηΣε ένα γράφημα 2 διαστάσεων ένα σύστημα mtimes2(mgt2) εξισώσεων παριστάνεται με m ευθείες ´Οπωςσυμβαίνει στα συστήματα 2times2 υπάρχουν τρίαενδεχόμενα

1 ´Ολες οι ευθείες τέμνονται στο ίδιο σημείο και έτσιυπάρχει

2 ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ των mεξισώσεων Αυτό σημαίνει ότι όλες οι ευθείες είναιπαράλληλες Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα Λ

3 Οι m εξισώσεις είναι ισοδύναμες πχ παρασταίνονται σανμια ευθεία Σε αυτή την περίπτωση υπάρχει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 102

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων ∆ιαδικασίαΑπαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής για την επίλυση ενός συστήματοςmtimes2 μπορεί να περιγραφεί ως ακολούθωςΕπιλέξτε και λύστε σύστημα με δύο εξισώσεις

1 Εάν δεν υπάρχει λύση τότε ολόκληρο το σύστημα δεν έχειλύση

2 Εάν υπάρχει μοναδική λύση που ικανοποιεί τις υπόλοιπεςmminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα έχει μία μοναδική λύση

3 Εάν η λύση είναι μοναδική αλλά δεν ικανοποιεί τιςυπόλοιπες mminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα δεν έχει λύση

4 Εάν οι 2 λύσεις είναι ισοδύναμες απάλοιψτε τη μίααπό τις δύο εξισώσεις και ξεκινήστε από την αρχήλαμβάνοντας υπόψη ένα σύστημα (mminus1)times2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 103

ΠαράδείγμαI Θεωρείστε ένα σύστημα 5times2

XminusY= 1X+2Y=minus8

3Xminus2Y= 02Xminus5Y= 11minus4X+3Y=minus1

I Η λύση των πρώτων δύο εξισώσεων δίνετε απόY =minus3 και X =minus2

I Αντικαθιστώντας τη λύση στις υπόλοιπες τρεις εξισώσειςπαίρνετε αντίστοιχα

0 = 0 11 = 11 και minus1 =minus1I Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση

X=minus2 και Y=minus3Ε Ι Κοντογιώργης copy 104

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian

Η μέθοδος απολοιφής Gaussian μετατρέπει το αρχικόσύστημα εξισώσεων σε διαγώνια μορφή επαναλαμβάνονταςστις εξισώσεις τις ακόλουθες τρεις διαδικασίες

1 Πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης μεμια θετική σταθερά

2 Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού θα προστεθεί σεάλλη εξίσωση

3 Η σειρά των εξισώσεων μπορεί να αλλάξει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 105

ΠαράδείγμαΠ Θεωρείστε το σύστημα 2times2

2X minus 3Y = 7 (Εξ 1)X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με 12 για να πάρετε

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με minus1 καιπροσθέστε την στην (Εξ 2)

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

52Y =

152 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 106

Στάδιο 3 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 25

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

Y = 3 (Εξ 2)

Στάδιο 4 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 32 και

προσθέστε την στην (Εξ 1)

X = 1 (Εξ 1)Y = 3 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 107

Π Θεωρείστε το σύστημα 2times2

5X + 20Y = 254X minus 7Y =minus26

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να εκφραστεί ως

R1 5 20 25R2 4 minus7 minus26

Η κάθετη γραμμή χρησιμοποιείται για διαχωρισμό τηςαριστερής από τη δεξιά πλευρά των εξισώσεων Το Riυπονοεί τη γραμμή (Row) i

Ε Ι Κοντογιώργης copy 108

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάζουμε τη R1 με 15 και το θέτουμε

R1larr 15R1

R1 1 4 5R2 4 minus7 minus26

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάζουμε την R1 με minus4 και τηνπροσθέτουμε στην R2 Εν συντομίαR2larrminus4R1+R2

R1 1 4 5R2 0 minus23 minus46

Στάδιο 3 R2larrminus 123R2

R1 1 4 5R2 0 1 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 109

Στάδιο 4 R1larrminus4R2+R1

R1 1 0 minus3R2 0 1 2

Το αρχικό σύστημα εξισώσεων μετατρέπεται σε διαγώνιαμορφή όπως πιο κάτω

X =minus3Y = 2

το οποίο δίνει τη λύση του συστήματος

Ε Ι Κοντογιώργης copy 110

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 I

Το σύστημα εξισώσεων 3times3 μετετρέπεται σε διαγώνιαμορφή Η μετατροπή γίνεται στήλη με στήλη από τααριστερά προς τα δεξιά

Π Θεωρήστε το σύστημα 3times3

X1 + X2 + X3 = 2X1 minus 3X2 + 2X3 = 7

4X1 minus 2X2 minus X3 = 9

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να γραφτεί ως

Ε Ι Κοντογιώργης copy 111

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 II

1 1 1 21 minus3 2 74 minus2 minus1 9

Ε Ι Κοντογιώργης copy 112

Γραφική Αναπαράσταση II

-

6

X

Y

bull

bull

bull

I Βλέπουμε μια ευθεία με ανοδική τάση (έχοντας θετικήκλίση m= 3) καιτέμνει τον άξονα y στο σημείο y= 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 69

Γραφική Αναπαράσταση III

I Μια Τετραγωνική εξίσωση περιέχει x2 Για τηναναπαράσταση τετραγωνικών εξισώσεων χρειάζεται ναβρούμε περισσότερα από τρία σημεία στο σχεδιάγραμμα

Για παράδειγμα υποθέστε ότι y= x2minus6x+5 καιδίνεται το πιο κάτω T-chart

x y= x2minus6x+5 (xy)0 5 (05)1 0 (10)3 minus4 (3minus4)5 0 (50)6 5 (65)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 70

Γραφική Αναπαράσταση IV

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

-

6

X

Y

bull

bull

bull

bull

bull

Ε Ι Κοντογιώργης copy 71

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(1x + 2)

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(-3x + 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 72

-15

-10

-5

0

5

10

15

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(3x - 2)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 73

-20

0

20

40

60

80

100

120

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2+x)

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 74

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

1250

1500

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3+x2+x)

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x4)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 75

-25

-2

-15

-1

-05

0

05

1

15

2

25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(log(x))

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(x))

Ε Ι Κοντογιώργης copy 76

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(-x))

-5000

0

5000

10000

15000

20000

25000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(exp(x)+x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 77

Ανισότητες I

I Οι ανισότητες αποτελούνται από δύο ή τρεις αλγεβρικέςεκφράσεις που είναι συνδεδεμένες με τα σύμβολαανισότητας Τα σύμβολα αυτά είναι

lt μικρότερο τουgt μεγαλύτερο τουle μικρότερο ή ίσο τουge μεγαλύτερο ή ίσο του

I Παραδείγματα xgty yge x2 και ylt5x+1

I Το πρώτο βήμα για την αναπαράσταση ανισότητας τηςμορφής ygtx είναι να παραστήσουμε γραφικά τηνισότητα y= x

Ε Ι Κοντογιώργης copy 78

Ανισότητες II

I ygtx

Κάνετε δοκιμή με ένα σημείο να δείτε κατά πόσοικανοποιεί την ανισότητα Εάν ναι τότε σκιάστε τηνπεριοχή αυτή του σχεδιαγράμματος διαφορετικά σκιάστετην άλλη πλευρά

Ε Ι Κοντογιώργης copy 79

Ανισότητες III

I yltx

Ε Ι Κοντογιώργης copy 80

Ανισότητες IV

I yle 5x+1 και ygt5x+1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 81

Ανισότητες V

I yge x2 και yle x2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 82

Ανισότητες VI

I ygtx3 και yle x3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 83

Συστήματα Γραμμικών ΕξισώσεωνΠεριεχόμενα

1 Ε

2 Γ Α

ΑναφορέςΚεφάλαια 4 και 5FS Budnick Applied Mathematics for Business Economicsand the Social Sciences 4th edition McGraw-Hill 1993

Ε Ι Κοντογιώργης copy 84

Συστήματα Εξισώσεων

I ´Ενα σύστημα εξισώσεων συνδυάζει περισσότερες από μίαεξισώσεις

I ´Ενα σύστημα m εξισώσεων όπου κάθε εξίσωσηαποτελείται από n μεταβλητές ονομάζεται mtimesnσύστημα ή λέμε ότι έχει διαστάσεις mtimesn

I ΠαράδειγμαΠαρακάτω έχουμε ένα σύστημα 2times2

5X+10Y= 203X+4Y= 10

Οι μεταβλητές σε αυτή την περίπτωση είναι X και YΕ Ι Κοντογιώργης copy 85

Συστήματα Επίλυσης

I Το Σύστημα επίλυσης είναι μια σειρά τιμών μεταβλητώνπου ικανοποιούν το σύστημα ταυτόχρονα

I Σε μια σημειογραφική παράσταση το προηγούμενοπαράδειγμα μπορεί να γραφτεί ως εξής

S = (XY) | 5X+10Y = 20 και 3X+4Y = 10

I Το σύστημα επίλυσης μπορεί να είναι1 μηδενικό2 πεπερασμένο ή3 άπειρο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 86

2times2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική Ανάλυση

I Σε ένα δισδιάστατο γράφημα ένα σύστημα εξισώσεων2times2 αναπαρίστανται με ευθείες γραμμές Υπόρχουν τρίαενδεχόμενα

1 Οι ευθείες τέμνονται Το σημείο τομής αντιπροσωπεύει τηλύση του συστήματος εξισώσεων Αυτό το σημείοαλληλεπίδρασης είναι μια δέσμη τιμών X και Y που ικανοποιείκαι τις δύο εξισώσειςΕάν υπάρχει μόνο μια δέσμη τιμών για τις μεταβλητές που ναικανοποιεί το σύστημα εξισώσεων το σύστημα λέμε ότι έχειΜ Λ

2 Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες μεταξύ τους ∆εν έχουν κοινόσημείο Συνεπώς οι ευθείες δεν τέμνονται ποτέ Το σύστημαλέμε ότι ∆ ΛΑυτό υπονοεί ότι δεν υπάρχουν τιμές για τις μεταβλητές πουνα ικανοποιούν και τις δύο εξισώσεις Σε αυτή τηνπερίπτωση οι εξισώσεις στο σύστημα είναι Α

3 Και οι δύο εξισώσεις αναπαρίστανται ως μια κοινή ευθεία καιθεωρούνται ισοδύναμες εξισώσεις ´Ετσι το σύστημα έχειΑ Λ Αυτό συμβαίνει γιατί υπάρχει άπειροςαριθμός κοινών σημείων στις δύο γραμμές

Ε Ι Κοντογιώργης copy 87

I Π Θεωρείστε ένα σύστημα 2times22X+4Y= 203X+ Y= 10

I

X

Y

(24)

3X +Y = 10

2X +4Y = 20

0 2 4 6 8 10 12

2

4

6

8

10

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 88

I Το σημείο τομής δίνεται από το X= 2 και Y= 4Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές του X και Y στις δύοεξισώσεις δίνουν 20 = 20 και 10 = 10 αντίστοιχα

I Αυτό υποδειλώνει ότι X= 2 και Y= 4 είναι η σωστή λύση

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times23Xminus2Y= 6

minus15X+10Y=minus30

I

X

Y

(20)

(0minus3)

3X minus2Y = 6

minus15X +10Y =minus30

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 89

I Οι δύο εξισώσεις απλοποιούνται σε Xminus 23 Y= 2

Οι δύο εξισώσεις είναι ισοδύναμες και δίνουν έναπεπερασμένο αριθμό λύσεων έτσι ώστε

X= 0 Y =minus3X= 2 Y = 0X= 4 Y = 3

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times26Xminus12Y= 24

minus32X+3Y= 9

Οι εξισώσεις απλοποιούνται σεXminus2Y= 4Xminus2Y=minus6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 90

I

X

Y

(40)

(0minus2)

(minus60)

(03)

X minus2Y =minus6

X minus2Y = 4

0-0

I Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες και συνεπώς το σύστημαδεν έχει λύση ´Ετσι το σύστημα εξισώσεων είναιασύμπτωτο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 91

Περίληψη 2times2 Συστήματα Εξισώσεων∆ίνεται ένα Σύστημα Γραμμικών Εξισώσεων 2times2

Y=m1X+ c1Y=m2X+ c2

1 Υπάρχει μια στο σύστημα εάνm1 6= m2

2 ∆εν υπάρχει στο σύστημα εάνm1 = m2 και c1 6= c2

3 Υπάρχει εάνm1 = m2 και c1 = c2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 92

∆ιαδικασίες Απαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής χρησιμοποιεί πολλαπλασιασμόκαι πρόσθεση έτσι ώστε

1 Να απαλοιφεί μια από τις δύο μεταβλητές

2 Η εξίσωση που εξάγεται είναι συνάρτηση των υπόλοιπωνμεταβλητών

3 Αντικαθιστώντας την τιμή στην μεταβλητή σε μια από τιςαρχικές εξισώσεις βρίσκουμε την τιμή για τηναπολοιφθήσα μεταβλητή

Ε Ι Κοντογιώργης copy 93

ΠαραδείγματαI Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

2X +4Y = 20 (1)3X + Y = 10 (2)

Πολλαπλασιάζοντας τη δεύτερη εξίσωση με minus4 παίρνουμε

minus12X minus4Y =minus40 (3)

Προσθέτοντας την εξίσωση (1) στο (3)

2X + 4Y = 20minus12X minus 4Y = minus40minus10X = minus20

ή

X = 2 (4)Ε Ι Κοντογιώργης copy 94

Αντικαθιστώντας X= 2 στην εξίσωση (1) δίνεται2 middot2+4Y = 20 ή Y=4

´Ετσι η μοναδική λύση του συστήματος δίνεται από τοX= 2 και Y= 4 Μπορεί να επιβεβαιωθεί ότι αυτή είναι ησωστή λύση αντικαθιστώντας X= 2 και Y= 4 στηνεξίσωση (1) και (2)

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times23X minus2Y = 6 (5)

minus15X +10Y =minus30 (6)

Για την απαλοιφή της μεταβλητής X η εξίσωση (5)πολλαπλασιάζεται με 5 και το αποτέλεσμα προστίθεταιστην εξίσωση (6)

15X minus 10Y = 30minus15X + 10Y = minus30

0 = 0 Ε Ι Κοντογιώργης copy 95

Οι τελευταίες πράξεις υπονοούν ότι οι εξίσωσεις (5) και(6) είναι ισοδύναμες και έτσι υπάρχει άπειρος αριθμόςλύσεωνΓια να προσδιορίσουμε τις λύσεις του συστήματος μια απότις αρχικές εξισώσεις λύνεται ως προς μια μεταβλητή Ανγια παράδειγμα η εξίσωση (5) λύνεται ως προς Y δίνει

Y =32Xminus3

Σαν αποτέλεσμα γενικεύοντας τις λύσεις του συστήματοςέχουμε

X τυχαίο και Y =32Xminus3

Πχ για X= 4 υπονοείται ότι Y=32 middot4minus3 = 3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 96

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

6X minus12Y = 24 (7)

minus32X +3Y = 9 (8)

Πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση (8) με 4 καιπροσθέτοντας το αποτέλεσμα στην εξίσωση (7)παίρνουμε

6X minus 12Y = 24minus6X + 12Y = 36

0 = 60

Η πιο πάνω αντιλογία υπονοεί ότι δεν υπάρχει λύση τουσυστήματος εξισώσεων

Ε Ι Κοντογιώργης copy 97

3times2 Συστήματα Εξισώσεων I

1 Μ Λ

X

Y

(32)

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minusY = 1

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 98

3times2 Συστήματα Εξισώσεων II

2 Α Λ

X

Y Εξις (1)Εξις (2)Εξις (3)

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 99

3times2 Συστήματα Εξισώσεων III3 Κ

(α) ´Οταν και οι τρεις εξισώσεις είναι παράλληλες

X

Y

2X minusY =minus8

2X minusY = 2

2X minusY = 12

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 100

3times2 Συστήματα Εξισώσεων IV(β) ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ τωνεξισώσεων

X

Y

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minus2Y =minus4

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 101

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική ΑνάλυσηΣε ένα γράφημα 2 διαστάσεων ένα σύστημα mtimes2(mgt2) εξισώσεων παριστάνεται με m ευθείες ´Οπωςσυμβαίνει στα συστήματα 2times2 υπάρχουν τρίαενδεχόμενα

1 ´Ολες οι ευθείες τέμνονται στο ίδιο σημείο και έτσιυπάρχει

2 ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ των mεξισώσεων Αυτό σημαίνει ότι όλες οι ευθείες είναιπαράλληλες Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα Λ

3 Οι m εξισώσεις είναι ισοδύναμες πχ παρασταίνονται σανμια ευθεία Σε αυτή την περίπτωση υπάρχει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 102

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων ∆ιαδικασίαΑπαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής για την επίλυση ενός συστήματοςmtimes2 μπορεί να περιγραφεί ως ακολούθωςΕπιλέξτε και λύστε σύστημα με δύο εξισώσεις

1 Εάν δεν υπάρχει λύση τότε ολόκληρο το σύστημα δεν έχειλύση

2 Εάν υπάρχει μοναδική λύση που ικανοποιεί τις υπόλοιπεςmminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα έχει μία μοναδική λύση

3 Εάν η λύση είναι μοναδική αλλά δεν ικανοποιεί τιςυπόλοιπες mminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα δεν έχει λύση

4 Εάν οι 2 λύσεις είναι ισοδύναμες απάλοιψτε τη μίααπό τις δύο εξισώσεις και ξεκινήστε από την αρχήλαμβάνοντας υπόψη ένα σύστημα (mminus1)times2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 103

ΠαράδείγμαI Θεωρείστε ένα σύστημα 5times2

XminusY= 1X+2Y=minus8

3Xminus2Y= 02Xminus5Y= 11minus4X+3Y=minus1

I Η λύση των πρώτων δύο εξισώσεων δίνετε απόY =minus3 και X =minus2

I Αντικαθιστώντας τη λύση στις υπόλοιπες τρεις εξισώσειςπαίρνετε αντίστοιχα

0 = 0 11 = 11 και minus1 =minus1I Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση

X=minus2 και Y=minus3Ε Ι Κοντογιώργης copy 104

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian

Η μέθοδος απολοιφής Gaussian μετατρέπει το αρχικόσύστημα εξισώσεων σε διαγώνια μορφή επαναλαμβάνονταςστις εξισώσεις τις ακόλουθες τρεις διαδικασίες

1 Πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης μεμια θετική σταθερά

2 Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού θα προστεθεί σεάλλη εξίσωση

3 Η σειρά των εξισώσεων μπορεί να αλλάξει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 105

ΠαράδείγμαΠ Θεωρείστε το σύστημα 2times2

2X minus 3Y = 7 (Εξ 1)X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με 12 για να πάρετε

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με minus1 καιπροσθέστε την στην (Εξ 2)

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

52Y =

152 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 106

Στάδιο 3 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 25

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

Y = 3 (Εξ 2)

Στάδιο 4 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 32 και

προσθέστε την στην (Εξ 1)

X = 1 (Εξ 1)Y = 3 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 107

Π Θεωρείστε το σύστημα 2times2

5X + 20Y = 254X minus 7Y =minus26

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να εκφραστεί ως

R1 5 20 25R2 4 minus7 minus26

Η κάθετη γραμμή χρησιμοποιείται για διαχωρισμό τηςαριστερής από τη δεξιά πλευρά των εξισώσεων Το Riυπονοεί τη γραμμή (Row) i

Ε Ι Κοντογιώργης copy 108

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάζουμε τη R1 με 15 και το θέτουμε

R1larr 15R1

R1 1 4 5R2 4 minus7 minus26

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάζουμε την R1 με minus4 και τηνπροσθέτουμε στην R2 Εν συντομίαR2larrminus4R1+R2

R1 1 4 5R2 0 minus23 minus46

Στάδιο 3 R2larrminus 123R2

R1 1 4 5R2 0 1 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 109

Στάδιο 4 R1larrminus4R2+R1

R1 1 0 minus3R2 0 1 2

Το αρχικό σύστημα εξισώσεων μετατρέπεται σε διαγώνιαμορφή όπως πιο κάτω

X =minus3Y = 2

το οποίο δίνει τη λύση του συστήματος

Ε Ι Κοντογιώργης copy 110

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 I

Το σύστημα εξισώσεων 3times3 μετετρέπεται σε διαγώνιαμορφή Η μετατροπή γίνεται στήλη με στήλη από τααριστερά προς τα δεξιά

Π Θεωρήστε το σύστημα 3times3

X1 + X2 + X3 = 2X1 minus 3X2 + 2X3 = 7

4X1 minus 2X2 minus X3 = 9

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να γραφτεί ως

Ε Ι Κοντογιώργης copy 111

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 II

1 1 1 21 minus3 2 74 minus2 minus1 9

Ε Ι Κοντογιώργης copy 112

Γραφική Αναπαράσταση III

I Μια Τετραγωνική εξίσωση περιέχει x2 Για τηναναπαράσταση τετραγωνικών εξισώσεων χρειάζεται ναβρούμε περισσότερα από τρία σημεία στο σχεδιάγραμμα

Για παράδειγμα υποθέστε ότι y= x2minus6x+5 καιδίνεται το πιο κάτω T-chart

x y= x2minus6x+5 (xy)0 5 (05)1 0 (10)3 minus4 (3minus4)5 0 (50)6 5 (65)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 70

Γραφική Αναπαράσταση IV

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

-

6

X

Y

bull

bull

bull

bull

bull

Ε Ι Κοντογιώργης copy 71

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(1x + 2)

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(-3x + 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 72

-15

-10

-5

0

5

10

15

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(3x - 2)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 73

-20

0

20

40

60

80

100

120

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2+x)

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 74

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

1250

1500

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3+x2+x)

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x4)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 75

-25

-2

-15

-1

-05

0

05

1

15

2

25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(log(x))

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(x))

Ε Ι Κοντογιώργης copy 76

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(-x))

-5000

0

5000

10000

15000

20000

25000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(exp(x)+x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 77

Ανισότητες I

I Οι ανισότητες αποτελούνται από δύο ή τρεις αλγεβρικέςεκφράσεις που είναι συνδεδεμένες με τα σύμβολαανισότητας Τα σύμβολα αυτά είναι

lt μικρότερο τουgt μεγαλύτερο τουle μικρότερο ή ίσο τουge μεγαλύτερο ή ίσο του

I Παραδείγματα xgty yge x2 και ylt5x+1

I Το πρώτο βήμα για την αναπαράσταση ανισότητας τηςμορφής ygtx είναι να παραστήσουμε γραφικά τηνισότητα y= x

Ε Ι Κοντογιώργης copy 78

Ανισότητες II

I ygtx

Κάνετε δοκιμή με ένα σημείο να δείτε κατά πόσοικανοποιεί την ανισότητα Εάν ναι τότε σκιάστε τηνπεριοχή αυτή του σχεδιαγράμματος διαφορετικά σκιάστετην άλλη πλευρά

Ε Ι Κοντογιώργης copy 79

Ανισότητες III

I yltx

Ε Ι Κοντογιώργης copy 80

Ανισότητες IV

I yle 5x+1 και ygt5x+1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 81

Ανισότητες V

I yge x2 και yle x2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 82

Ανισότητες VI

I ygtx3 και yle x3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 83

Συστήματα Γραμμικών ΕξισώσεωνΠεριεχόμενα

1 Ε

2 Γ Α

ΑναφορέςΚεφάλαια 4 και 5FS Budnick Applied Mathematics for Business Economicsand the Social Sciences 4th edition McGraw-Hill 1993

Ε Ι Κοντογιώργης copy 84

Συστήματα Εξισώσεων

I ´Ενα σύστημα εξισώσεων συνδυάζει περισσότερες από μίαεξισώσεις

I ´Ενα σύστημα m εξισώσεων όπου κάθε εξίσωσηαποτελείται από n μεταβλητές ονομάζεται mtimesnσύστημα ή λέμε ότι έχει διαστάσεις mtimesn

I ΠαράδειγμαΠαρακάτω έχουμε ένα σύστημα 2times2

5X+10Y= 203X+4Y= 10

Οι μεταβλητές σε αυτή την περίπτωση είναι X και YΕ Ι Κοντογιώργης copy 85

Συστήματα Επίλυσης

I Το Σύστημα επίλυσης είναι μια σειρά τιμών μεταβλητώνπου ικανοποιούν το σύστημα ταυτόχρονα

I Σε μια σημειογραφική παράσταση το προηγούμενοπαράδειγμα μπορεί να γραφτεί ως εξής

S = (XY) | 5X+10Y = 20 και 3X+4Y = 10

I Το σύστημα επίλυσης μπορεί να είναι1 μηδενικό2 πεπερασμένο ή3 άπειρο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 86

2times2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική Ανάλυση

I Σε ένα δισδιάστατο γράφημα ένα σύστημα εξισώσεων2times2 αναπαρίστανται με ευθείες γραμμές Υπόρχουν τρίαενδεχόμενα

1 Οι ευθείες τέμνονται Το σημείο τομής αντιπροσωπεύει τηλύση του συστήματος εξισώσεων Αυτό το σημείοαλληλεπίδρασης είναι μια δέσμη τιμών X και Y που ικανοποιείκαι τις δύο εξισώσειςΕάν υπάρχει μόνο μια δέσμη τιμών για τις μεταβλητές που ναικανοποιεί το σύστημα εξισώσεων το σύστημα λέμε ότι έχειΜ Λ

2 Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες μεταξύ τους ∆εν έχουν κοινόσημείο Συνεπώς οι ευθείες δεν τέμνονται ποτέ Το σύστημαλέμε ότι ∆ ΛΑυτό υπονοεί ότι δεν υπάρχουν τιμές για τις μεταβλητές πουνα ικανοποιούν και τις δύο εξισώσεις Σε αυτή τηνπερίπτωση οι εξισώσεις στο σύστημα είναι Α

3 Και οι δύο εξισώσεις αναπαρίστανται ως μια κοινή ευθεία καιθεωρούνται ισοδύναμες εξισώσεις ´Ετσι το σύστημα έχειΑ Λ Αυτό συμβαίνει γιατί υπάρχει άπειροςαριθμός κοινών σημείων στις δύο γραμμές

Ε Ι Κοντογιώργης copy 87

I Π Θεωρείστε ένα σύστημα 2times22X+4Y= 203X+ Y= 10

I

X

Y

(24)

3X +Y = 10

2X +4Y = 20

0 2 4 6 8 10 12

2

4

6

8

10

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 88

I Το σημείο τομής δίνεται από το X= 2 και Y= 4Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές του X και Y στις δύοεξισώσεις δίνουν 20 = 20 και 10 = 10 αντίστοιχα

I Αυτό υποδειλώνει ότι X= 2 και Y= 4 είναι η σωστή λύση

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times23Xminus2Y= 6

minus15X+10Y=minus30

I

X

Y

(20)

(0minus3)

3X minus2Y = 6

minus15X +10Y =minus30

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 89

I Οι δύο εξισώσεις απλοποιούνται σε Xminus 23 Y= 2

Οι δύο εξισώσεις είναι ισοδύναμες και δίνουν έναπεπερασμένο αριθμό λύσεων έτσι ώστε

X= 0 Y =minus3X= 2 Y = 0X= 4 Y = 3

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times26Xminus12Y= 24

minus32X+3Y= 9

Οι εξισώσεις απλοποιούνται σεXminus2Y= 4Xminus2Y=minus6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 90

I

X

Y

(40)

(0minus2)

(minus60)

(03)

X minus2Y =minus6

X minus2Y = 4

0-0

I Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες και συνεπώς το σύστημαδεν έχει λύση ´Ετσι το σύστημα εξισώσεων είναιασύμπτωτο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 91

Περίληψη 2times2 Συστήματα Εξισώσεων∆ίνεται ένα Σύστημα Γραμμικών Εξισώσεων 2times2

Y=m1X+ c1Y=m2X+ c2

1 Υπάρχει μια στο σύστημα εάνm1 6= m2

2 ∆εν υπάρχει στο σύστημα εάνm1 = m2 και c1 6= c2

3 Υπάρχει εάνm1 = m2 και c1 = c2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 92

∆ιαδικασίες Απαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής χρησιμοποιεί πολλαπλασιασμόκαι πρόσθεση έτσι ώστε

1 Να απαλοιφεί μια από τις δύο μεταβλητές

2 Η εξίσωση που εξάγεται είναι συνάρτηση των υπόλοιπωνμεταβλητών

3 Αντικαθιστώντας την τιμή στην μεταβλητή σε μια από τιςαρχικές εξισώσεις βρίσκουμε την τιμή για τηναπολοιφθήσα μεταβλητή

Ε Ι Κοντογιώργης copy 93

ΠαραδείγματαI Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

2X +4Y = 20 (1)3X + Y = 10 (2)

Πολλαπλασιάζοντας τη δεύτερη εξίσωση με minus4 παίρνουμε

minus12X minus4Y =minus40 (3)

Προσθέτοντας την εξίσωση (1) στο (3)

2X + 4Y = 20minus12X minus 4Y = minus40minus10X = minus20

ή

X = 2 (4)Ε Ι Κοντογιώργης copy 94

Αντικαθιστώντας X= 2 στην εξίσωση (1) δίνεται2 middot2+4Y = 20 ή Y=4

´Ετσι η μοναδική λύση του συστήματος δίνεται από τοX= 2 και Y= 4 Μπορεί να επιβεβαιωθεί ότι αυτή είναι ησωστή λύση αντικαθιστώντας X= 2 και Y= 4 στηνεξίσωση (1) και (2)

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times23X minus2Y = 6 (5)

minus15X +10Y =minus30 (6)

Για την απαλοιφή της μεταβλητής X η εξίσωση (5)πολλαπλασιάζεται με 5 και το αποτέλεσμα προστίθεταιστην εξίσωση (6)

15X minus 10Y = 30minus15X + 10Y = minus30

0 = 0 Ε Ι Κοντογιώργης copy 95

Οι τελευταίες πράξεις υπονοούν ότι οι εξίσωσεις (5) και(6) είναι ισοδύναμες και έτσι υπάρχει άπειρος αριθμόςλύσεωνΓια να προσδιορίσουμε τις λύσεις του συστήματος μια απότις αρχικές εξισώσεις λύνεται ως προς μια μεταβλητή Ανγια παράδειγμα η εξίσωση (5) λύνεται ως προς Y δίνει

Y =32Xminus3

Σαν αποτέλεσμα γενικεύοντας τις λύσεις του συστήματοςέχουμε

X τυχαίο και Y =32Xminus3

Πχ για X= 4 υπονοείται ότι Y=32 middot4minus3 = 3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 96

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

6X minus12Y = 24 (7)

minus32X +3Y = 9 (8)

Πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση (8) με 4 καιπροσθέτοντας το αποτέλεσμα στην εξίσωση (7)παίρνουμε

6X minus 12Y = 24minus6X + 12Y = 36

0 = 60

Η πιο πάνω αντιλογία υπονοεί ότι δεν υπάρχει λύση τουσυστήματος εξισώσεων

Ε Ι Κοντογιώργης copy 97

3times2 Συστήματα Εξισώσεων I

1 Μ Λ

X

Y

(32)

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minusY = 1

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 98

3times2 Συστήματα Εξισώσεων II

2 Α Λ

X

Y Εξις (1)Εξις (2)Εξις (3)

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 99

3times2 Συστήματα Εξισώσεων III3 Κ

(α) ´Οταν και οι τρεις εξισώσεις είναι παράλληλες

X

Y

2X minusY =minus8

2X minusY = 2

2X minusY = 12

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 100

3times2 Συστήματα Εξισώσεων IV(β) ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ τωνεξισώσεων

X

Y

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minus2Y =minus4

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 101

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική ΑνάλυσηΣε ένα γράφημα 2 διαστάσεων ένα σύστημα mtimes2(mgt2) εξισώσεων παριστάνεται με m ευθείες ´Οπωςσυμβαίνει στα συστήματα 2times2 υπάρχουν τρίαενδεχόμενα

1 ´Ολες οι ευθείες τέμνονται στο ίδιο σημείο και έτσιυπάρχει

2 ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ των mεξισώσεων Αυτό σημαίνει ότι όλες οι ευθείες είναιπαράλληλες Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα Λ

3 Οι m εξισώσεις είναι ισοδύναμες πχ παρασταίνονται σανμια ευθεία Σε αυτή την περίπτωση υπάρχει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 102

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων ∆ιαδικασίαΑπαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής για την επίλυση ενός συστήματοςmtimes2 μπορεί να περιγραφεί ως ακολούθωςΕπιλέξτε και λύστε σύστημα με δύο εξισώσεις

1 Εάν δεν υπάρχει λύση τότε ολόκληρο το σύστημα δεν έχειλύση

2 Εάν υπάρχει μοναδική λύση που ικανοποιεί τις υπόλοιπεςmminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα έχει μία μοναδική λύση

3 Εάν η λύση είναι μοναδική αλλά δεν ικανοποιεί τιςυπόλοιπες mminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα δεν έχει λύση

4 Εάν οι 2 λύσεις είναι ισοδύναμες απάλοιψτε τη μίααπό τις δύο εξισώσεις και ξεκινήστε από την αρχήλαμβάνοντας υπόψη ένα σύστημα (mminus1)times2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 103

ΠαράδείγμαI Θεωρείστε ένα σύστημα 5times2

XminusY= 1X+2Y=minus8

3Xminus2Y= 02Xminus5Y= 11minus4X+3Y=minus1

I Η λύση των πρώτων δύο εξισώσεων δίνετε απόY =minus3 και X =minus2

I Αντικαθιστώντας τη λύση στις υπόλοιπες τρεις εξισώσειςπαίρνετε αντίστοιχα

0 = 0 11 = 11 και minus1 =minus1I Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση

X=minus2 και Y=minus3Ε Ι Κοντογιώργης copy 104

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian

Η μέθοδος απολοιφής Gaussian μετατρέπει το αρχικόσύστημα εξισώσεων σε διαγώνια μορφή επαναλαμβάνονταςστις εξισώσεις τις ακόλουθες τρεις διαδικασίες

1 Πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης μεμια θετική σταθερά

2 Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού θα προστεθεί σεάλλη εξίσωση

3 Η σειρά των εξισώσεων μπορεί να αλλάξει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 105

ΠαράδείγμαΠ Θεωρείστε το σύστημα 2times2

2X minus 3Y = 7 (Εξ 1)X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με 12 για να πάρετε

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με minus1 καιπροσθέστε την στην (Εξ 2)

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

52Y =

152 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 106

Στάδιο 3 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 25

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

Y = 3 (Εξ 2)

Στάδιο 4 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 32 και

προσθέστε την στην (Εξ 1)

X = 1 (Εξ 1)Y = 3 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 107

Π Θεωρείστε το σύστημα 2times2

5X + 20Y = 254X minus 7Y =minus26

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να εκφραστεί ως

R1 5 20 25R2 4 minus7 minus26

Η κάθετη γραμμή χρησιμοποιείται για διαχωρισμό τηςαριστερής από τη δεξιά πλευρά των εξισώσεων Το Riυπονοεί τη γραμμή (Row) i

Ε Ι Κοντογιώργης copy 108

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάζουμε τη R1 με 15 και το θέτουμε

R1larr 15R1

R1 1 4 5R2 4 minus7 minus26

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάζουμε την R1 με minus4 και τηνπροσθέτουμε στην R2 Εν συντομίαR2larrminus4R1+R2

R1 1 4 5R2 0 minus23 minus46

Στάδιο 3 R2larrminus 123R2

R1 1 4 5R2 0 1 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 109

Στάδιο 4 R1larrminus4R2+R1

R1 1 0 minus3R2 0 1 2

Το αρχικό σύστημα εξισώσεων μετατρέπεται σε διαγώνιαμορφή όπως πιο κάτω

X =minus3Y = 2

το οποίο δίνει τη λύση του συστήματος

Ε Ι Κοντογιώργης copy 110

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 I

Το σύστημα εξισώσεων 3times3 μετετρέπεται σε διαγώνιαμορφή Η μετατροπή γίνεται στήλη με στήλη από τααριστερά προς τα δεξιά

Π Θεωρήστε το σύστημα 3times3

X1 + X2 + X3 = 2X1 minus 3X2 + 2X3 = 7

4X1 minus 2X2 minus X3 = 9

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να γραφτεί ως

Ε Ι Κοντογιώργης copy 111

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 II

1 1 1 21 minus3 2 74 minus2 minus1 9

Ε Ι Κοντογιώργης copy 112

Γραφική Αναπαράσταση IV

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

-

6

X

Y

bull

bull

bull

bull

bull

Ε Ι Κοντογιώργης copy 71

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(1x + 2)

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(-3x + 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 72

-15

-10

-5

0

5

10

15

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(3x - 2)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 73

-20

0

20

40

60

80

100

120

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2+x)

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 74

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

1250

1500

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3+x2+x)

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x4)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 75

-25

-2

-15

-1

-05

0

05

1

15

2

25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(log(x))

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(x))

Ε Ι Κοντογιώργης copy 76

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(-x))

-5000

0

5000

10000

15000

20000

25000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(exp(x)+x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 77

Ανισότητες I

I Οι ανισότητες αποτελούνται από δύο ή τρεις αλγεβρικέςεκφράσεις που είναι συνδεδεμένες με τα σύμβολαανισότητας Τα σύμβολα αυτά είναι

lt μικρότερο τουgt μεγαλύτερο τουle μικρότερο ή ίσο τουge μεγαλύτερο ή ίσο του

I Παραδείγματα xgty yge x2 και ylt5x+1

I Το πρώτο βήμα για την αναπαράσταση ανισότητας τηςμορφής ygtx είναι να παραστήσουμε γραφικά τηνισότητα y= x

Ε Ι Κοντογιώργης copy 78

Ανισότητες II

I ygtx

Κάνετε δοκιμή με ένα σημείο να δείτε κατά πόσοικανοποιεί την ανισότητα Εάν ναι τότε σκιάστε τηνπεριοχή αυτή του σχεδιαγράμματος διαφορετικά σκιάστετην άλλη πλευρά

Ε Ι Κοντογιώργης copy 79

Ανισότητες III

I yltx

Ε Ι Κοντογιώργης copy 80

Ανισότητες IV

I yle 5x+1 και ygt5x+1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 81

Ανισότητες V

I yge x2 και yle x2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 82

Ανισότητες VI

I ygtx3 και yle x3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 83

Συστήματα Γραμμικών ΕξισώσεωνΠεριεχόμενα

1 Ε

2 Γ Α

ΑναφορέςΚεφάλαια 4 και 5FS Budnick Applied Mathematics for Business Economicsand the Social Sciences 4th edition McGraw-Hill 1993

Ε Ι Κοντογιώργης copy 84

Συστήματα Εξισώσεων

I ´Ενα σύστημα εξισώσεων συνδυάζει περισσότερες από μίαεξισώσεις

I ´Ενα σύστημα m εξισώσεων όπου κάθε εξίσωσηαποτελείται από n μεταβλητές ονομάζεται mtimesnσύστημα ή λέμε ότι έχει διαστάσεις mtimesn

I ΠαράδειγμαΠαρακάτω έχουμε ένα σύστημα 2times2

5X+10Y= 203X+4Y= 10

Οι μεταβλητές σε αυτή την περίπτωση είναι X και YΕ Ι Κοντογιώργης copy 85

Συστήματα Επίλυσης

I Το Σύστημα επίλυσης είναι μια σειρά τιμών μεταβλητώνπου ικανοποιούν το σύστημα ταυτόχρονα

I Σε μια σημειογραφική παράσταση το προηγούμενοπαράδειγμα μπορεί να γραφτεί ως εξής

S = (XY) | 5X+10Y = 20 και 3X+4Y = 10

I Το σύστημα επίλυσης μπορεί να είναι1 μηδενικό2 πεπερασμένο ή3 άπειρο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 86

2times2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική Ανάλυση

I Σε ένα δισδιάστατο γράφημα ένα σύστημα εξισώσεων2times2 αναπαρίστανται με ευθείες γραμμές Υπόρχουν τρίαενδεχόμενα

1 Οι ευθείες τέμνονται Το σημείο τομής αντιπροσωπεύει τηλύση του συστήματος εξισώσεων Αυτό το σημείοαλληλεπίδρασης είναι μια δέσμη τιμών X και Y που ικανοποιείκαι τις δύο εξισώσειςΕάν υπάρχει μόνο μια δέσμη τιμών για τις μεταβλητές που ναικανοποιεί το σύστημα εξισώσεων το σύστημα λέμε ότι έχειΜ Λ

2 Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες μεταξύ τους ∆εν έχουν κοινόσημείο Συνεπώς οι ευθείες δεν τέμνονται ποτέ Το σύστημαλέμε ότι ∆ ΛΑυτό υπονοεί ότι δεν υπάρχουν τιμές για τις μεταβλητές πουνα ικανοποιούν και τις δύο εξισώσεις Σε αυτή τηνπερίπτωση οι εξισώσεις στο σύστημα είναι Α

3 Και οι δύο εξισώσεις αναπαρίστανται ως μια κοινή ευθεία καιθεωρούνται ισοδύναμες εξισώσεις ´Ετσι το σύστημα έχειΑ Λ Αυτό συμβαίνει γιατί υπάρχει άπειροςαριθμός κοινών σημείων στις δύο γραμμές

Ε Ι Κοντογιώργης copy 87

I Π Θεωρείστε ένα σύστημα 2times22X+4Y= 203X+ Y= 10

I

X

Y

(24)

3X +Y = 10

2X +4Y = 20

0 2 4 6 8 10 12

2

4

6

8

10

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 88

I Το σημείο τομής δίνεται από το X= 2 και Y= 4Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές του X και Y στις δύοεξισώσεις δίνουν 20 = 20 και 10 = 10 αντίστοιχα

I Αυτό υποδειλώνει ότι X= 2 και Y= 4 είναι η σωστή λύση

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times23Xminus2Y= 6

minus15X+10Y=minus30

I

X

Y

(20)

(0minus3)

3X minus2Y = 6

minus15X +10Y =minus30

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 89

I Οι δύο εξισώσεις απλοποιούνται σε Xminus 23 Y= 2

Οι δύο εξισώσεις είναι ισοδύναμες και δίνουν έναπεπερασμένο αριθμό λύσεων έτσι ώστε

X= 0 Y =minus3X= 2 Y = 0X= 4 Y = 3

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times26Xminus12Y= 24

minus32X+3Y= 9

Οι εξισώσεις απλοποιούνται σεXminus2Y= 4Xminus2Y=minus6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 90

I

X

Y

(40)

(0minus2)

(minus60)

(03)

X minus2Y =minus6

X minus2Y = 4

0-0

I Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες και συνεπώς το σύστημαδεν έχει λύση ´Ετσι το σύστημα εξισώσεων είναιασύμπτωτο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 91

Περίληψη 2times2 Συστήματα Εξισώσεων∆ίνεται ένα Σύστημα Γραμμικών Εξισώσεων 2times2

Y=m1X+ c1Y=m2X+ c2

1 Υπάρχει μια στο σύστημα εάνm1 6= m2

2 ∆εν υπάρχει στο σύστημα εάνm1 = m2 και c1 6= c2

3 Υπάρχει εάνm1 = m2 και c1 = c2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 92

∆ιαδικασίες Απαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής χρησιμοποιεί πολλαπλασιασμόκαι πρόσθεση έτσι ώστε

1 Να απαλοιφεί μια από τις δύο μεταβλητές

2 Η εξίσωση που εξάγεται είναι συνάρτηση των υπόλοιπωνμεταβλητών

3 Αντικαθιστώντας την τιμή στην μεταβλητή σε μια από τιςαρχικές εξισώσεις βρίσκουμε την τιμή για τηναπολοιφθήσα μεταβλητή

Ε Ι Κοντογιώργης copy 93

ΠαραδείγματαI Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

2X +4Y = 20 (1)3X + Y = 10 (2)

Πολλαπλασιάζοντας τη δεύτερη εξίσωση με minus4 παίρνουμε

minus12X minus4Y =minus40 (3)

Προσθέτοντας την εξίσωση (1) στο (3)

2X + 4Y = 20minus12X minus 4Y = minus40minus10X = minus20

ή

X = 2 (4)Ε Ι Κοντογιώργης copy 94

Αντικαθιστώντας X= 2 στην εξίσωση (1) δίνεται2 middot2+4Y = 20 ή Y=4

´Ετσι η μοναδική λύση του συστήματος δίνεται από τοX= 2 και Y= 4 Μπορεί να επιβεβαιωθεί ότι αυτή είναι ησωστή λύση αντικαθιστώντας X= 2 και Y= 4 στηνεξίσωση (1) και (2)

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times23X minus2Y = 6 (5)

minus15X +10Y =minus30 (6)

Για την απαλοιφή της μεταβλητής X η εξίσωση (5)πολλαπλασιάζεται με 5 και το αποτέλεσμα προστίθεταιστην εξίσωση (6)

15X minus 10Y = 30minus15X + 10Y = minus30

0 = 0 Ε Ι Κοντογιώργης copy 95

Οι τελευταίες πράξεις υπονοούν ότι οι εξίσωσεις (5) και(6) είναι ισοδύναμες και έτσι υπάρχει άπειρος αριθμόςλύσεωνΓια να προσδιορίσουμε τις λύσεις του συστήματος μια απότις αρχικές εξισώσεις λύνεται ως προς μια μεταβλητή Ανγια παράδειγμα η εξίσωση (5) λύνεται ως προς Y δίνει

Y =32Xminus3

Σαν αποτέλεσμα γενικεύοντας τις λύσεις του συστήματοςέχουμε

X τυχαίο και Y =32Xminus3

Πχ για X= 4 υπονοείται ότι Y=32 middot4minus3 = 3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 96

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

6X minus12Y = 24 (7)

minus32X +3Y = 9 (8)

Πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση (8) με 4 καιπροσθέτοντας το αποτέλεσμα στην εξίσωση (7)παίρνουμε

6X minus 12Y = 24minus6X + 12Y = 36

0 = 60

Η πιο πάνω αντιλογία υπονοεί ότι δεν υπάρχει λύση τουσυστήματος εξισώσεων

Ε Ι Κοντογιώργης copy 97

3times2 Συστήματα Εξισώσεων I

1 Μ Λ

X

Y

(32)

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minusY = 1

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 98

3times2 Συστήματα Εξισώσεων II

2 Α Λ

X

Y Εξις (1)Εξις (2)Εξις (3)

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 99

3times2 Συστήματα Εξισώσεων III3 Κ

(α) ´Οταν και οι τρεις εξισώσεις είναι παράλληλες

X

Y

2X minusY =minus8

2X minusY = 2

2X minusY = 12

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 100

3times2 Συστήματα Εξισώσεων IV(β) ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ τωνεξισώσεων

X

Y

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minus2Y =minus4

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 101

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική ΑνάλυσηΣε ένα γράφημα 2 διαστάσεων ένα σύστημα mtimes2(mgt2) εξισώσεων παριστάνεται με m ευθείες ´Οπωςσυμβαίνει στα συστήματα 2times2 υπάρχουν τρίαενδεχόμενα

1 ´Ολες οι ευθείες τέμνονται στο ίδιο σημείο και έτσιυπάρχει

2 ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ των mεξισώσεων Αυτό σημαίνει ότι όλες οι ευθείες είναιπαράλληλες Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα Λ

3 Οι m εξισώσεις είναι ισοδύναμες πχ παρασταίνονται σανμια ευθεία Σε αυτή την περίπτωση υπάρχει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 102

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων ∆ιαδικασίαΑπαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής για την επίλυση ενός συστήματοςmtimes2 μπορεί να περιγραφεί ως ακολούθωςΕπιλέξτε και λύστε σύστημα με δύο εξισώσεις

1 Εάν δεν υπάρχει λύση τότε ολόκληρο το σύστημα δεν έχειλύση

2 Εάν υπάρχει μοναδική λύση που ικανοποιεί τις υπόλοιπεςmminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα έχει μία μοναδική λύση

3 Εάν η λύση είναι μοναδική αλλά δεν ικανοποιεί τιςυπόλοιπες mminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα δεν έχει λύση

4 Εάν οι 2 λύσεις είναι ισοδύναμες απάλοιψτε τη μίααπό τις δύο εξισώσεις και ξεκινήστε από την αρχήλαμβάνοντας υπόψη ένα σύστημα (mminus1)times2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 103

ΠαράδείγμαI Θεωρείστε ένα σύστημα 5times2

XminusY= 1X+2Y=minus8

3Xminus2Y= 02Xminus5Y= 11minus4X+3Y=minus1

I Η λύση των πρώτων δύο εξισώσεων δίνετε απόY =minus3 και X =minus2

I Αντικαθιστώντας τη λύση στις υπόλοιπες τρεις εξισώσειςπαίρνετε αντίστοιχα

0 = 0 11 = 11 και minus1 =minus1I Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση

X=minus2 και Y=minus3Ε Ι Κοντογιώργης copy 104

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian

Η μέθοδος απολοιφής Gaussian μετατρέπει το αρχικόσύστημα εξισώσεων σε διαγώνια μορφή επαναλαμβάνονταςστις εξισώσεις τις ακόλουθες τρεις διαδικασίες

1 Πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης μεμια θετική σταθερά

2 Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού θα προστεθεί σεάλλη εξίσωση

3 Η σειρά των εξισώσεων μπορεί να αλλάξει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 105

ΠαράδείγμαΠ Θεωρείστε το σύστημα 2times2

2X minus 3Y = 7 (Εξ 1)X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με 12 για να πάρετε

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με minus1 καιπροσθέστε την στην (Εξ 2)

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

52Y =

152 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 106

Στάδιο 3 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 25

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

Y = 3 (Εξ 2)

Στάδιο 4 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 32 και

προσθέστε την στην (Εξ 1)

X = 1 (Εξ 1)Y = 3 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 107

Π Θεωρείστε το σύστημα 2times2

5X + 20Y = 254X minus 7Y =minus26

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να εκφραστεί ως

R1 5 20 25R2 4 minus7 minus26

Η κάθετη γραμμή χρησιμοποιείται για διαχωρισμό τηςαριστερής από τη δεξιά πλευρά των εξισώσεων Το Riυπονοεί τη γραμμή (Row) i

Ε Ι Κοντογιώργης copy 108

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάζουμε τη R1 με 15 και το θέτουμε

R1larr 15R1

R1 1 4 5R2 4 minus7 minus26

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάζουμε την R1 με minus4 και τηνπροσθέτουμε στην R2 Εν συντομίαR2larrminus4R1+R2

R1 1 4 5R2 0 minus23 minus46

Στάδιο 3 R2larrminus 123R2

R1 1 4 5R2 0 1 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 109

Στάδιο 4 R1larrminus4R2+R1

R1 1 0 minus3R2 0 1 2

Το αρχικό σύστημα εξισώσεων μετατρέπεται σε διαγώνιαμορφή όπως πιο κάτω

X =minus3Y = 2

το οποίο δίνει τη λύση του συστήματος

Ε Ι Κοντογιώργης copy 110

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 I

Το σύστημα εξισώσεων 3times3 μετετρέπεται σε διαγώνιαμορφή Η μετατροπή γίνεται στήλη με στήλη από τααριστερά προς τα δεξιά

Π Θεωρήστε το σύστημα 3times3

X1 + X2 + X3 = 2X1 minus 3X2 + 2X3 = 7

4X1 minus 2X2 minus X3 = 9

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να γραφτεί ως

Ε Ι Κοντογιώργης copy 111

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 II

1 1 1 21 minus3 2 74 minus2 minus1 9

Ε Ι Κοντογιώργης copy 112

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(1x + 2)

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(-3x + 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 72

-15

-10

-5

0

5

10

15

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(3x - 2)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 73

-20

0

20

40

60

80

100

120

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2+x)

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 74

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

1250

1500

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3+x2+x)

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x4)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 75

-25

-2

-15

-1

-05

0

05

1

15

2

25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(log(x))

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(x))

Ε Ι Κοντογιώργης copy 76

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(-x))

-5000

0

5000

10000

15000

20000

25000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(exp(x)+x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 77

Ανισότητες I

I Οι ανισότητες αποτελούνται από δύο ή τρεις αλγεβρικέςεκφράσεις που είναι συνδεδεμένες με τα σύμβολαανισότητας Τα σύμβολα αυτά είναι

lt μικρότερο τουgt μεγαλύτερο τουle μικρότερο ή ίσο τουge μεγαλύτερο ή ίσο του

I Παραδείγματα xgty yge x2 και ylt5x+1

I Το πρώτο βήμα για την αναπαράσταση ανισότητας τηςμορφής ygtx είναι να παραστήσουμε γραφικά τηνισότητα y= x

Ε Ι Κοντογιώργης copy 78

Ανισότητες II

I ygtx

Κάνετε δοκιμή με ένα σημείο να δείτε κατά πόσοικανοποιεί την ανισότητα Εάν ναι τότε σκιάστε τηνπεριοχή αυτή του σχεδιαγράμματος διαφορετικά σκιάστετην άλλη πλευρά

Ε Ι Κοντογιώργης copy 79

Ανισότητες III

I yltx

Ε Ι Κοντογιώργης copy 80

Ανισότητες IV

I yle 5x+1 και ygt5x+1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 81

Ανισότητες V

I yge x2 και yle x2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 82

Ανισότητες VI

I ygtx3 και yle x3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 83

Συστήματα Γραμμικών ΕξισώσεωνΠεριεχόμενα

1 Ε

2 Γ Α

ΑναφορέςΚεφάλαια 4 και 5FS Budnick Applied Mathematics for Business Economicsand the Social Sciences 4th edition McGraw-Hill 1993

Ε Ι Κοντογιώργης copy 84

Συστήματα Εξισώσεων

I ´Ενα σύστημα εξισώσεων συνδυάζει περισσότερες από μίαεξισώσεις

I ´Ενα σύστημα m εξισώσεων όπου κάθε εξίσωσηαποτελείται από n μεταβλητές ονομάζεται mtimesnσύστημα ή λέμε ότι έχει διαστάσεις mtimesn

I ΠαράδειγμαΠαρακάτω έχουμε ένα σύστημα 2times2

5X+10Y= 203X+4Y= 10

Οι μεταβλητές σε αυτή την περίπτωση είναι X και YΕ Ι Κοντογιώργης copy 85

Συστήματα Επίλυσης

I Το Σύστημα επίλυσης είναι μια σειρά τιμών μεταβλητώνπου ικανοποιούν το σύστημα ταυτόχρονα

I Σε μια σημειογραφική παράσταση το προηγούμενοπαράδειγμα μπορεί να γραφτεί ως εξής

S = (XY) | 5X+10Y = 20 και 3X+4Y = 10

I Το σύστημα επίλυσης μπορεί να είναι1 μηδενικό2 πεπερασμένο ή3 άπειρο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 86

2times2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική Ανάλυση

I Σε ένα δισδιάστατο γράφημα ένα σύστημα εξισώσεων2times2 αναπαρίστανται με ευθείες γραμμές Υπόρχουν τρίαενδεχόμενα

1 Οι ευθείες τέμνονται Το σημείο τομής αντιπροσωπεύει τηλύση του συστήματος εξισώσεων Αυτό το σημείοαλληλεπίδρασης είναι μια δέσμη τιμών X και Y που ικανοποιείκαι τις δύο εξισώσειςΕάν υπάρχει μόνο μια δέσμη τιμών για τις μεταβλητές που ναικανοποιεί το σύστημα εξισώσεων το σύστημα λέμε ότι έχειΜ Λ

2 Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες μεταξύ τους ∆εν έχουν κοινόσημείο Συνεπώς οι ευθείες δεν τέμνονται ποτέ Το σύστημαλέμε ότι ∆ ΛΑυτό υπονοεί ότι δεν υπάρχουν τιμές για τις μεταβλητές πουνα ικανοποιούν και τις δύο εξισώσεις Σε αυτή τηνπερίπτωση οι εξισώσεις στο σύστημα είναι Α

3 Και οι δύο εξισώσεις αναπαρίστανται ως μια κοινή ευθεία καιθεωρούνται ισοδύναμες εξισώσεις ´Ετσι το σύστημα έχειΑ Λ Αυτό συμβαίνει γιατί υπάρχει άπειροςαριθμός κοινών σημείων στις δύο γραμμές

Ε Ι Κοντογιώργης copy 87

I Π Θεωρείστε ένα σύστημα 2times22X+4Y= 203X+ Y= 10

I

X

Y

(24)

3X +Y = 10

2X +4Y = 20

0 2 4 6 8 10 12

2

4

6

8

10

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 88

I Το σημείο τομής δίνεται από το X= 2 και Y= 4Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές του X και Y στις δύοεξισώσεις δίνουν 20 = 20 και 10 = 10 αντίστοιχα

I Αυτό υποδειλώνει ότι X= 2 και Y= 4 είναι η σωστή λύση

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times23Xminus2Y= 6

minus15X+10Y=minus30

I

X

Y

(20)

(0minus3)

3X minus2Y = 6

minus15X +10Y =minus30

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 89

I Οι δύο εξισώσεις απλοποιούνται σε Xminus 23 Y= 2

Οι δύο εξισώσεις είναι ισοδύναμες και δίνουν έναπεπερασμένο αριθμό λύσεων έτσι ώστε

X= 0 Y =minus3X= 2 Y = 0X= 4 Y = 3

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times26Xminus12Y= 24

minus32X+3Y= 9

Οι εξισώσεις απλοποιούνται σεXminus2Y= 4Xminus2Y=minus6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 90

I

X

Y

(40)

(0minus2)

(minus60)

(03)

X minus2Y =minus6

X minus2Y = 4

0-0

I Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες και συνεπώς το σύστημαδεν έχει λύση ´Ετσι το σύστημα εξισώσεων είναιασύμπτωτο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 91

Περίληψη 2times2 Συστήματα Εξισώσεων∆ίνεται ένα Σύστημα Γραμμικών Εξισώσεων 2times2

Y=m1X+ c1Y=m2X+ c2

1 Υπάρχει μια στο σύστημα εάνm1 6= m2

2 ∆εν υπάρχει στο σύστημα εάνm1 = m2 και c1 6= c2

3 Υπάρχει εάνm1 = m2 και c1 = c2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 92

∆ιαδικασίες Απαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής χρησιμοποιεί πολλαπλασιασμόκαι πρόσθεση έτσι ώστε

1 Να απαλοιφεί μια από τις δύο μεταβλητές

2 Η εξίσωση που εξάγεται είναι συνάρτηση των υπόλοιπωνμεταβλητών

3 Αντικαθιστώντας την τιμή στην μεταβλητή σε μια από τιςαρχικές εξισώσεις βρίσκουμε την τιμή για τηναπολοιφθήσα μεταβλητή

Ε Ι Κοντογιώργης copy 93

ΠαραδείγματαI Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

2X +4Y = 20 (1)3X + Y = 10 (2)

Πολλαπλασιάζοντας τη δεύτερη εξίσωση με minus4 παίρνουμε

minus12X minus4Y =minus40 (3)

Προσθέτοντας την εξίσωση (1) στο (3)

2X + 4Y = 20minus12X minus 4Y = minus40minus10X = minus20

ή

X = 2 (4)Ε Ι Κοντογιώργης copy 94

Αντικαθιστώντας X= 2 στην εξίσωση (1) δίνεται2 middot2+4Y = 20 ή Y=4

´Ετσι η μοναδική λύση του συστήματος δίνεται από τοX= 2 και Y= 4 Μπορεί να επιβεβαιωθεί ότι αυτή είναι ησωστή λύση αντικαθιστώντας X= 2 και Y= 4 στηνεξίσωση (1) και (2)

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times23X minus2Y = 6 (5)

minus15X +10Y =minus30 (6)

Για την απαλοιφή της μεταβλητής X η εξίσωση (5)πολλαπλασιάζεται με 5 και το αποτέλεσμα προστίθεταιστην εξίσωση (6)

15X minus 10Y = 30minus15X + 10Y = minus30

0 = 0 Ε Ι Κοντογιώργης copy 95

Οι τελευταίες πράξεις υπονοούν ότι οι εξίσωσεις (5) και(6) είναι ισοδύναμες και έτσι υπάρχει άπειρος αριθμόςλύσεωνΓια να προσδιορίσουμε τις λύσεις του συστήματος μια απότις αρχικές εξισώσεις λύνεται ως προς μια μεταβλητή Ανγια παράδειγμα η εξίσωση (5) λύνεται ως προς Y δίνει

Y =32Xminus3

Σαν αποτέλεσμα γενικεύοντας τις λύσεις του συστήματοςέχουμε

X τυχαίο και Y =32Xminus3

Πχ για X= 4 υπονοείται ότι Y=32 middot4minus3 = 3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 96

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

6X minus12Y = 24 (7)

minus32X +3Y = 9 (8)

Πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση (8) με 4 καιπροσθέτοντας το αποτέλεσμα στην εξίσωση (7)παίρνουμε

6X minus 12Y = 24minus6X + 12Y = 36

0 = 60

Η πιο πάνω αντιλογία υπονοεί ότι δεν υπάρχει λύση τουσυστήματος εξισώσεων

Ε Ι Κοντογιώργης copy 97

3times2 Συστήματα Εξισώσεων I

1 Μ Λ

X

Y

(32)

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minusY = 1

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 98

3times2 Συστήματα Εξισώσεων II

2 Α Λ

X

Y Εξις (1)Εξις (2)Εξις (3)

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 99

3times2 Συστήματα Εξισώσεων III3 Κ

(α) ´Οταν και οι τρεις εξισώσεις είναι παράλληλες

X

Y

2X minusY =minus8

2X minusY = 2

2X minusY = 12

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 100

3times2 Συστήματα Εξισώσεων IV(β) ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ τωνεξισώσεων

X

Y

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minus2Y =minus4

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 101

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική ΑνάλυσηΣε ένα γράφημα 2 διαστάσεων ένα σύστημα mtimes2(mgt2) εξισώσεων παριστάνεται με m ευθείες ´Οπωςσυμβαίνει στα συστήματα 2times2 υπάρχουν τρίαενδεχόμενα

1 ´Ολες οι ευθείες τέμνονται στο ίδιο σημείο και έτσιυπάρχει

2 ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ των mεξισώσεων Αυτό σημαίνει ότι όλες οι ευθείες είναιπαράλληλες Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα Λ

3 Οι m εξισώσεις είναι ισοδύναμες πχ παρασταίνονται σανμια ευθεία Σε αυτή την περίπτωση υπάρχει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 102

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων ∆ιαδικασίαΑπαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής για την επίλυση ενός συστήματοςmtimes2 μπορεί να περιγραφεί ως ακολούθωςΕπιλέξτε και λύστε σύστημα με δύο εξισώσεις

1 Εάν δεν υπάρχει λύση τότε ολόκληρο το σύστημα δεν έχειλύση

2 Εάν υπάρχει μοναδική λύση που ικανοποιεί τις υπόλοιπεςmminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα έχει μία μοναδική λύση

3 Εάν η λύση είναι μοναδική αλλά δεν ικανοποιεί τιςυπόλοιπες mminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα δεν έχει λύση

4 Εάν οι 2 λύσεις είναι ισοδύναμες απάλοιψτε τη μίααπό τις δύο εξισώσεις και ξεκινήστε από την αρχήλαμβάνοντας υπόψη ένα σύστημα (mminus1)times2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 103

ΠαράδείγμαI Θεωρείστε ένα σύστημα 5times2

XminusY= 1X+2Y=minus8

3Xminus2Y= 02Xminus5Y= 11minus4X+3Y=minus1

I Η λύση των πρώτων δύο εξισώσεων δίνετε απόY =minus3 και X =minus2

I Αντικαθιστώντας τη λύση στις υπόλοιπες τρεις εξισώσειςπαίρνετε αντίστοιχα

0 = 0 11 = 11 και minus1 =minus1I Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση

X=minus2 και Y=minus3Ε Ι Κοντογιώργης copy 104

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian

Η μέθοδος απολοιφής Gaussian μετατρέπει το αρχικόσύστημα εξισώσεων σε διαγώνια μορφή επαναλαμβάνονταςστις εξισώσεις τις ακόλουθες τρεις διαδικασίες

1 Πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης μεμια θετική σταθερά

2 Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού θα προστεθεί σεάλλη εξίσωση

3 Η σειρά των εξισώσεων μπορεί να αλλάξει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 105

ΠαράδείγμαΠ Θεωρείστε το σύστημα 2times2

2X minus 3Y = 7 (Εξ 1)X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με 12 για να πάρετε

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με minus1 καιπροσθέστε την στην (Εξ 2)

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

52Y =

152 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 106

Στάδιο 3 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 25

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

Y = 3 (Εξ 2)

Στάδιο 4 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 32 και

προσθέστε την στην (Εξ 1)

X = 1 (Εξ 1)Y = 3 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 107

Π Θεωρείστε το σύστημα 2times2

5X + 20Y = 254X minus 7Y =minus26

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να εκφραστεί ως

R1 5 20 25R2 4 minus7 minus26

Η κάθετη γραμμή χρησιμοποιείται για διαχωρισμό τηςαριστερής από τη δεξιά πλευρά των εξισώσεων Το Riυπονοεί τη γραμμή (Row) i

Ε Ι Κοντογιώργης copy 108

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάζουμε τη R1 με 15 και το θέτουμε

R1larr 15R1

R1 1 4 5R2 4 minus7 minus26

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάζουμε την R1 με minus4 και τηνπροσθέτουμε στην R2 Εν συντομίαR2larrminus4R1+R2

R1 1 4 5R2 0 minus23 minus46

Στάδιο 3 R2larrminus 123R2

R1 1 4 5R2 0 1 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 109

Στάδιο 4 R1larrminus4R2+R1

R1 1 0 minus3R2 0 1 2

Το αρχικό σύστημα εξισώσεων μετατρέπεται σε διαγώνιαμορφή όπως πιο κάτω

X =minus3Y = 2

το οποίο δίνει τη λύση του συστήματος

Ε Ι Κοντογιώργης copy 110

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 I

Το σύστημα εξισώσεων 3times3 μετετρέπεται σε διαγώνιαμορφή Η μετατροπή γίνεται στήλη με στήλη από τααριστερά προς τα δεξιά

Π Θεωρήστε το σύστημα 3times3

X1 + X2 + X3 = 2X1 minus 3X2 + 2X3 = 7

4X1 minus 2X2 minus X3 = 9

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να γραφτεί ως

Ε Ι Κοντογιώργης copy 111

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 II

1 1 1 21 minus3 2 74 minus2 minus1 9

Ε Ι Κοντογιώργης copy 112

-15

-10

-5

0

5

10

15

-3 -2 -1 0 1 2 3

(3x + 2)(3x - 2)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 73

-20

0

20

40

60

80

100

120

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2+x)

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 74

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

1250

1500

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3+x2+x)

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x4)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 75

-25

-2

-15

-1

-05

0

05

1

15

2

25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(log(x))

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(x))

Ε Ι Κοντογιώργης copy 76

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(-x))

-5000

0

5000

10000

15000

20000

25000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(exp(x)+x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 77

Ανισότητες I

I Οι ανισότητες αποτελούνται από δύο ή τρεις αλγεβρικέςεκφράσεις που είναι συνδεδεμένες με τα σύμβολαανισότητας Τα σύμβολα αυτά είναι

lt μικρότερο τουgt μεγαλύτερο τουle μικρότερο ή ίσο τουge μεγαλύτερο ή ίσο του

I Παραδείγματα xgty yge x2 και ylt5x+1

I Το πρώτο βήμα για την αναπαράσταση ανισότητας τηςμορφής ygtx είναι να παραστήσουμε γραφικά τηνισότητα y= x

Ε Ι Κοντογιώργης copy 78

Ανισότητες II

I ygtx

Κάνετε δοκιμή με ένα σημείο να δείτε κατά πόσοικανοποιεί την ανισότητα Εάν ναι τότε σκιάστε τηνπεριοχή αυτή του σχεδιαγράμματος διαφορετικά σκιάστετην άλλη πλευρά

Ε Ι Κοντογιώργης copy 79

Ανισότητες III

I yltx

Ε Ι Κοντογιώργης copy 80

Ανισότητες IV

I yle 5x+1 και ygt5x+1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 81

Ανισότητες V

I yge x2 και yle x2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 82

Ανισότητες VI

I ygtx3 και yle x3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 83

Συστήματα Γραμμικών ΕξισώσεωνΠεριεχόμενα

1 Ε

2 Γ Α

ΑναφορέςΚεφάλαια 4 και 5FS Budnick Applied Mathematics for Business Economicsand the Social Sciences 4th edition McGraw-Hill 1993

Ε Ι Κοντογιώργης copy 84

Συστήματα Εξισώσεων

I ´Ενα σύστημα εξισώσεων συνδυάζει περισσότερες από μίαεξισώσεις

I ´Ενα σύστημα m εξισώσεων όπου κάθε εξίσωσηαποτελείται από n μεταβλητές ονομάζεται mtimesnσύστημα ή λέμε ότι έχει διαστάσεις mtimesn

I ΠαράδειγμαΠαρακάτω έχουμε ένα σύστημα 2times2

5X+10Y= 203X+4Y= 10

Οι μεταβλητές σε αυτή την περίπτωση είναι X και YΕ Ι Κοντογιώργης copy 85

Συστήματα Επίλυσης

I Το Σύστημα επίλυσης είναι μια σειρά τιμών μεταβλητώνπου ικανοποιούν το σύστημα ταυτόχρονα

I Σε μια σημειογραφική παράσταση το προηγούμενοπαράδειγμα μπορεί να γραφτεί ως εξής

S = (XY) | 5X+10Y = 20 και 3X+4Y = 10

I Το σύστημα επίλυσης μπορεί να είναι1 μηδενικό2 πεπερασμένο ή3 άπειρο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 86

2times2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική Ανάλυση

I Σε ένα δισδιάστατο γράφημα ένα σύστημα εξισώσεων2times2 αναπαρίστανται με ευθείες γραμμές Υπόρχουν τρίαενδεχόμενα

1 Οι ευθείες τέμνονται Το σημείο τομής αντιπροσωπεύει τηλύση του συστήματος εξισώσεων Αυτό το σημείοαλληλεπίδρασης είναι μια δέσμη τιμών X και Y που ικανοποιείκαι τις δύο εξισώσειςΕάν υπάρχει μόνο μια δέσμη τιμών για τις μεταβλητές που ναικανοποιεί το σύστημα εξισώσεων το σύστημα λέμε ότι έχειΜ Λ

2 Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες μεταξύ τους ∆εν έχουν κοινόσημείο Συνεπώς οι ευθείες δεν τέμνονται ποτέ Το σύστημαλέμε ότι ∆ ΛΑυτό υπονοεί ότι δεν υπάρχουν τιμές για τις μεταβλητές πουνα ικανοποιούν και τις δύο εξισώσεις Σε αυτή τηνπερίπτωση οι εξισώσεις στο σύστημα είναι Α

3 Και οι δύο εξισώσεις αναπαρίστανται ως μια κοινή ευθεία καιθεωρούνται ισοδύναμες εξισώσεις ´Ετσι το σύστημα έχειΑ Λ Αυτό συμβαίνει γιατί υπάρχει άπειροςαριθμός κοινών σημείων στις δύο γραμμές

Ε Ι Κοντογιώργης copy 87

I Π Θεωρείστε ένα σύστημα 2times22X+4Y= 203X+ Y= 10

I

X

Y

(24)

3X +Y = 10

2X +4Y = 20

0 2 4 6 8 10 12

2

4

6

8

10

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 88

I Το σημείο τομής δίνεται από το X= 2 και Y= 4Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές του X και Y στις δύοεξισώσεις δίνουν 20 = 20 και 10 = 10 αντίστοιχα

I Αυτό υποδειλώνει ότι X= 2 και Y= 4 είναι η σωστή λύση

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times23Xminus2Y= 6

minus15X+10Y=minus30

I

X

Y

(20)

(0minus3)

3X minus2Y = 6

minus15X +10Y =minus30

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 89

I Οι δύο εξισώσεις απλοποιούνται σε Xminus 23 Y= 2

Οι δύο εξισώσεις είναι ισοδύναμες και δίνουν έναπεπερασμένο αριθμό λύσεων έτσι ώστε

X= 0 Y =minus3X= 2 Y = 0X= 4 Y = 3

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times26Xminus12Y= 24

minus32X+3Y= 9

Οι εξισώσεις απλοποιούνται σεXminus2Y= 4Xminus2Y=minus6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 90

I

X

Y

(40)

(0minus2)

(minus60)

(03)

X minus2Y =minus6

X minus2Y = 4

0-0

I Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες και συνεπώς το σύστημαδεν έχει λύση ´Ετσι το σύστημα εξισώσεων είναιασύμπτωτο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 91

Περίληψη 2times2 Συστήματα Εξισώσεων∆ίνεται ένα Σύστημα Γραμμικών Εξισώσεων 2times2

Y=m1X+ c1Y=m2X+ c2

1 Υπάρχει μια στο σύστημα εάνm1 6= m2

2 ∆εν υπάρχει στο σύστημα εάνm1 = m2 και c1 6= c2

3 Υπάρχει εάνm1 = m2 και c1 = c2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 92

∆ιαδικασίες Απαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής χρησιμοποιεί πολλαπλασιασμόκαι πρόσθεση έτσι ώστε

1 Να απαλοιφεί μια από τις δύο μεταβλητές

2 Η εξίσωση που εξάγεται είναι συνάρτηση των υπόλοιπωνμεταβλητών

3 Αντικαθιστώντας την τιμή στην μεταβλητή σε μια από τιςαρχικές εξισώσεις βρίσκουμε την τιμή για τηναπολοιφθήσα μεταβλητή

Ε Ι Κοντογιώργης copy 93

ΠαραδείγματαI Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

2X +4Y = 20 (1)3X + Y = 10 (2)

Πολλαπλασιάζοντας τη δεύτερη εξίσωση με minus4 παίρνουμε

minus12X minus4Y =minus40 (3)

Προσθέτοντας την εξίσωση (1) στο (3)

2X + 4Y = 20minus12X minus 4Y = minus40minus10X = minus20

ή

X = 2 (4)Ε Ι Κοντογιώργης copy 94

Αντικαθιστώντας X= 2 στην εξίσωση (1) δίνεται2 middot2+4Y = 20 ή Y=4

´Ετσι η μοναδική λύση του συστήματος δίνεται από τοX= 2 και Y= 4 Μπορεί να επιβεβαιωθεί ότι αυτή είναι ησωστή λύση αντικαθιστώντας X= 2 και Y= 4 στηνεξίσωση (1) και (2)

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times23X minus2Y = 6 (5)

minus15X +10Y =minus30 (6)

Για την απαλοιφή της μεταβλητής X η εξίσωση (5)πολλαπλασιάζεται με 5 και το αποτέλεσμα προστίθεταιστην εξίσωση (6)

15X minus 10Y = 30minus15X + 10Y = minus30

0 = 0 Ε Ι Κοντογιώργης copy 95

Οι τελευταίες πράξεις υπονοούν ότι οι εξίσωσεις (5) και(6) είναι ισοδύναμες και έτσι υπάρχει άπειρος αριθμόςλύσεωνΓια να προσδιορίσουμε τις λύσεις του συστήματος μια απότις αρχικές εξισώσεις λύνεται ως προς μια μεταβλητή Ανγια παράδειγμα η εξίσωση (5) λύνεται ως προς Y δίνει

Y =32Xminus3

Σαν αποτέλεσμα γενικεύοντας τις λύσεις του συστήματοςέχουμε

X τυχαίο και Y =32Xminus3

Πχ για X= 4 υπονοείται ότι Y=32 middot4minus3 = 3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 96

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

6X minus12Y = 24 (7)

minus32X +3Y = 9 (8)

Πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση (8) με 4 καιπροσθέτοντας το αποτέλεσμα στην εξίσωση (7)παίρνουμε

6X minus 12Y = 24minus6X + 12Y = 36

0 = 60

Η πιο πάνω αντιλογία υπονοεί ότι δεν υπάρχει λύση τουσυστήματος εξισώσεων

Ε Ι Κοντογιώργης copy 97

3times2 Συστήματα Εξισώσεων I

1 Μ Λ

X

Y

(32)

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minusY = 1

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 98

3times2 Συστήματα Εξισώσεων II

2 Α Λ

X

Y Εξις (1)Εξις (2)Εξις (3)

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 99

3times2 Συστήματα Εξισώσεων III3 Κ

(α) ´Οταν και οι τρεις εξισώσεις είναι παράλληλες

X

Y

2X minusY =minus8

2X minusY = 2

2X minusY = 12

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 100

3times2 Συστήματα Εξισώσεων IV(β) ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ τωνεξισώσεων

X

Y

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minus2Y =minus4

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 101

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική ΑνάλυσηΣε ένα γράφημα 2 διαστάσεων ένα σύστημα mtimes2(mgt2) εξισώσεων παριστάνεται με m ευθείες ´Οπωςσυμβαίνει στα συστήματα 2times2 υπάρχουν τρίαενδεχόμενα

1 ´Ολες οι ευθείες τέμνονται στο ίδιο σημείο και έτσιυπάρχει

2 ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ των mεξισώσεων Αυτό σημαίνει ότι όλες οι ευθείες είναιπαράλληλες Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα Λ

3 Οι m εξισώσεις είναι ισοδύναμες πχ παρασταίνονται σανμια ευθεία Σε αυτή την περίπτωση υπάρχει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 102

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων ∆ιαδικασίαΑπαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής για την επίλυση ενός συστήματοςmtimes2 μπορεί να περιγραφεί ως ακολούθωςΕπιλέξτε και λύστε σύστημα με δύο εξισώσεις

1 Εάν δεν υπάρχει λύση τότε ολόκληρο το σύστημα δεν έχειλύση

2 Εάν υπάρχει μοναδική λύση που ικανοποιεί τις υπόλοιπεςmminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα έχει μία μοναδική λύση

3 Εάν η λύση είναι μοναδική αλλά δεν ικανοποιεί τιςυπόλοιπες mminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα δεν έχει λύση

4 Εάν οι 2 λύσεις είναι ισοδύναμες απάλοιψτε τη μίααπό τις δύο εξισώσεις και ξεκινήστε από την αρχήλαμβάνοντας υπόψη ένα σύστημα (mminus1)times2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 103

ΠαράδείγμαI Θεωρείστε ένα σύστημα 5times2

XminusY= 1X+2Y=minus8

3Xminus2Y= 02Xminus5Y= 11minus4X+3Y=minus1

I Η λύση των πρώτων δύο εξισώσεων δίνετε απόY =minus3 και X =minus2

I Αντικαθιστώντας τη λύση στις υπόλοιπες τρεις εξισώσειςπαίρνετε αντίστοιχα

0 = 0 11 = 11 και minus1 =minus1I Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση

X=minus2 και Y=minus3Ε Ι Κοντογιώργης copy 104

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian

Η μέθοδος απολοιφής Gaussian μετατρέπει το αρχικόσύστημα εξισώσεων σε διαγώνια μορφή επαναλαμβάνονταςστις εξισώσεις τις ακόλουθες τρεις διαδικασίες

1 Πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης μεμια θετική σταθερά

2 Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού θα προστεθεί σεάλλη εξίσωση

3 Η σειρά των εξισώσεων μπορεί να αλλάξει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 105

ΠαράδείγμαΠ Θεωρείστε το σύστημα 2times2

2X minus 3Y = 7 (Εξ 1)X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με 12 για να πάρετε

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με minus1 καιπροσθέστε την στην (Εξ 2)

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

52Y =

152 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 106

Στάδιο 3 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 25

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

Y = 3 (Εξ 2)

Στάδιο 4 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 32 και

προσθέστε την στην (Εξ 1)

X = 1 (Εξ 1)Y = 3 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 107

Π Θεωρείστε το σύστημα 2times2

5X + 20Y = 254X minus 7Y =minus26

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να εκφραστεί ως

R1 5 20 25R2 4 minus7 minus26

Η κάθετη γραμμή χρησιμοποιείται για διαχωρισμό τηςαριστερής από τη δεξιά πλευρά των εξισώσεων Το Riυπονοεί τη γραμμή (Row) i

Ε Ι Κοντογιώργης copy 108

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάζουμε τη R1 με 15 και το θέτουμε

R1larr 15R1

R1 1 4 5R2 4 minus7 minus26

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάζουμε την R1 με minus4 και τηνπροσθέτουμε στην R2 Εν συντομίαR2larrminus4R1+R2

R1 1 4 5R2 0 minus23 minus46

Στάδιο 3 R2larrminus 123R2

R1 1 4 5R2 0 1 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 109

Στάδιο 4 R1larrminus4R2+R1

R1 1 0 minus3R2 0 1 2

Το αρχικό σύστημα εξισώσεων μετατρέπεται σε διαγώνιαμορφή όπως πιο κάτω

X =minus3Y = 2

το οποίο δίνει τη λύση του συστήματος

Ε Ι Κοντογιώργης copy 110

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 I

Το σύστημα εξισώσεων 3times3 μετετρέπεται σε διαγώνιαμορφή Η μετατροπή γίνεται στήλη με στήλη από τααριστερά προς τα δεξιά

Π Θεωρήστε το σύστημα 3times3

X1 + X2 + X3 = 2X1 minus 3X2 + 2X3 = 7

4X1 minus 2X2 minus X3 = 9

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να γραφτεί ως

Ε Ι Κοντογιώργης copy 111

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 II

1 1 1 21 minus3 2 74 minus2 minus1 9

Ε Ι Κοντογιώργης copy 112

-20

0

20

40

60

80

100

120

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x2+x)

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 74

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

1250

1500

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3+x2+x)

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x4)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 75

-25

-2

-15

-1

-05

0

05

1

15

2

25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(log(x))

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(x))

Ε Ι Κοντογιώργης copy 76

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(-x))

-5000

0

5000

10000

15000

20000

25000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(exp(x)+x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 77

Ανισότητες I

I Οι ανισότητες αποτελούνται από δύο ή τρεις αλγεβρικέςεκφράσεις που είναι συνδεδεμένες με τα σύμβολαανισότητας Τα σύμβολα αυτά είναι

lt μικρότερο τουgt μεγαλύτερο τουle μικρότερο ή ίσο τουge μεγαλύτερο ή ίσο του

I Παραδείγματα xgty yge x2 και ylt5x+1

I Το πρώτο βήμα για την αναπαράσταση ανισότητας τηςμορφής ygtx είναι να παραστήσουμε γραφικά τηνισότητα y= x

Ε Ι Κοντογιώργης copy 78

Ανισότητες II

I ygtx

Κάνετε δοκιμή με ένα σημείο να δείτε κατά πόσοικανοποιεί την ανισότητα Εάν ναι τότε σκιάστε τηνπεριοχή αυτή του σχεδιαγράμματος διαφορετικά σκιάστετην άλλη πλευρά

Ε Ι Κοντογιώργης copy 79

Ανισότητες III

I yltx

Ε Ι Κοντογιώργης copy 80

Ανισότητες IV

I yle 5x+1 και ygt5x+1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 81

Ανισότητες V

I yge x2 και yle x2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 82

Ανισότητες VI

I ygtx3 και yle x3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 83

Συστήματα Γραμμικών ΕξισώσεωνΠεριεχόμενα

1 Ε

2 Γ Α

ΑναφορέςΚεφάλαια 4 και 5FS Budnick Applied Mathematics for Business Economicsand the Social Sciences 4th edition McGraw-Hill 1993

Ε Ι Κοντογιώργης copy 84

Συστήματα Εξισώσεων

I ´Ενα σύστημα εξισώσεων συνδυάζει περισσότερες από μίαεξισώσεις

I ´Ενα σύστημα m εξισώσεων όπου κάθε εξίσωσηαποτελείται από n μεταβλητές ονομάζεται mtimesnσύστημα ή λέμε ότι έχει διαστάσεις mtimesn

I ΠαράδειγμαΠαρακάτω έχουμε ένα σύστημα 2times2

5X+10Y= 203X+4Y= 10

Οι μεταβλητές σε αυτή την περίπτωση είναι X και YΕ Ι Κοντογιώργης copy 85

Συστήματα Επίλυσης

I Το Σύστημα επίλυσης είναι μια σειρά τιμών μεταβλητώνπου ικανοποιούν το σύστημα ταυτόχρονα

I Σε μια σημειογραφική παράσταση το προηγούμενοπαράδειγμα μπορεί να γραφτεί ως εξής

S = (XY) | 5X+10Y = 20 και 3X+4Y = 10

I Το σύστημα επίλυσης μπορεί να είναι1 μηδενικό2 πεπερασμένο ή3 άπειρο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 86

2times2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική Ανάλυση

I Σε ένα δισδιάστατο γράφημα ένα σύστημα εξισώσεων2times2 αναπαρίστανται με ευθείες γραμμές Υπόρχουν τρίαενδεχόμενα

1 Οι ευθείες τέμνονται Το σημείο τομής αντιπροσωπεύει τηλύση του συστήματος εξισώσεων Αυτό το σημείοαλληλεπίδρασης είναι μια δέσμη τιμών X και Y που ικανοποιείκαι τις δύο εξισώσειςΕάν υπάρχει μόνο μια δέσμη τιμών για τις μεταβλητές που ναικανοποιεί το σύστημα εξισώσεων το σύστημα λέμε ότι έχειΜ Λ

2 Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες μεταξύ τους ∆εν έχουν κοινόσημείο Συνεπώς οι ευθείες δεν τέμνονται ποτέ Το σύστημαλέμε ότι ∆ ΛΑυτό υπονοεί ότι δεν υπάρχουν τιμές για τις μεταβλητές πουνα ικανοποιούν και τις δύο εξισώσεις Σε αυτή τηνπερίπτωση οι εξισώσεις στο σύστημα είναι Α

3 Και οι δύο εξισώσεις αναπαρίστανται ως μια κοινή ευθεία καιθεωρούνται ισοδύναμες εξισώσεις ´Ετσι το σύστημα έχειΑ Λ Αυτό συμβαίνει γιατί υπάρχει άπειροςαριθμός κοινών σημείων στις δύο γραμμές

Ε Ι Κοντογιώργης copy 87

I Π Θεωρείστε ένα σύστημα 2times22X+4Y= 203X+ Y= 10

I

X

Y

(24)

3X +Y = 10

2X +4Y = 20

0 2 4 6 8 10 12

2

4

6

8

10

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 88

I Το σημείο τομής δίνεται από το X= 2 και Y= 4Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές του X και Y στις δύοεξισώσεις δίνουν 20 = 20 και 10 = 10 αντίστοιχα

I Αυτό υποδειλώνει ότι X= 2 και Y= 4 είναι η σωστή λύση

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times23Xminus2Y= 6

minus15X+10Y=minus30

I

X

Y

(20)

(0minus3)

3X minus2Y = 6

minus15X +10Y =minus30

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 89

I Οι δύο εξισώσεις απλοποιούνται σε Xminus 23 Y= 2

Οι δύο εξισώσεις είναι ισοδύναμες και δίνουν έναπεπερασμένο αριθμό λύσεων έτσι ώστε

X= 0 Y =minus3X= 2 Y = 0X= 4 Y = 3

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times26Xminus12Y= 24

minus32X+3Y= 9

Οι εξισώσεις απλοποιούνται σεXminus2Y= 4Xminus2Y=minus6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 90

I

X

Y

(40)

(0minus2)

(minus60)

(03)

X minus2Y =minus6

X minus2Y = 4

0-0

I Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες και συνεπώς το σύστημαδεν έχει λύση ´Ετσι το σύστημα εξισώσεων είναιασύμπτωτο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 91

Περίληψη 2times2 Συστήματα Εξισώσεων∆ίνεται ένα Σύστημα Γραμμικών Εξισώσεων 2times2

Y=m1X+ c1Y=m2X+ c2

1 Υπάρχει μια στο σύστημα εάνm1 6= m2

2 ∆εν υπάρχει στο σύστημα εάνm1 = m2 και c1 6= c2

3 Υπάρχει εάνm1 = m2 και c1 = c2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 92

∆ιαδικασίες Απαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής χρησιμοποιεί πολλαπλασιασμόκαι πρόσθεση έτσι ώστε

1 Να απαλοιφεί μια από τις δύο μεταβλητές

2 Η εξίσωση που εξάγεται είναι συνάρτηση των υπόλοιπωνμεταβλητών

3 Αντικαθιστώντας την τιμή στην μεταβλητή σε μια από τιςαρχικές εξισώσεις βρίσκουμε την τιμή για τηναπολοιφθήσα μεταβλητή

Ε Ι Κοντογιώργης copy 93

ΠαραδείγματαI Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

2X +4Y = 20 (1)3X + Y = 10 (2)

Πολλαπλασιάζοντας τη δεύτερη εξίσωση με minus4 παίρνουμε

minus12X minus4Y =minus40 (3)

Προσθέτοντας την εξίσωση (1) στο (3)

2X + 4Y = 20minus12X minus 4Y = minus40minus10X = minus20

ή

X = 2 (4)Ε Ι Κοντογιώργης copy 94

Αντικαθιστώντας X= 2 στην εξίσωση (1) δίνεται2 middot2+4Y = 20 ή Y=4

´Ετσι η μοναδική λύση του συστήματος δίνεται από τοX= 2 και Y= 4 Μπορεί να επιβεβαιωθεί ότι αυτή είναι ησωστή λύση αντικαθιστώντας X= 2 και Y= 4 στηνεξίσωση (1) και (2)

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times23X minus2Y = 6 (5)

minus15X +10Y =minus30 (6)

Για την απαλοιφή της μεταβλητής X η εξίσωση (5)πολλαπλασιάζεται με 5 και το αποτέλεσμα προστίθεταιστην εξίσωση (6)

15X minus 10Y = 30minus15X + 10Y = minus30

0 = 0 Ε Ι Κοντογιώργης copy 95

Οι τελευταίες πράξεις υπονοούν ότι οι εξίσωσεις (5) και(6) είναι ισοδύναμες και έτσι υπάρχει άπειρος αριθμόςλύσεωνΓια να προσδιορίσουμε τις λύσεις του συστήματος μια απότις αρχικές εξισώσεις λύνεται ως προς μια μεταβλητή Ανγια παράδειγμα η εξίσωση (5) λύνεται ως προς Y δίνει

Y =32Xminus3

Σαν αποτέλεσμα γενικεύοντας τις λύσεις του συστήματοςέχουμε

X τυχαίο και Y =32Xminus3

Πχ για X= 4 υπονοείται ότι Y=32 middot4minus3 = 3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 96

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

6X minus12Y = 24 (7)

minus32X +3Y = 9 (8)

Πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση (8) με 4 καιπροσθέτοντας το αποτέλεσμα στην εξίσωση (7)παίρνουμε

6X minus 12Y = 24minus6X + 12Y = 36

0 = 60

Η πιο πάνω αντιλογία υπονοεί ότι δεν υπάρχει λύση τουσυστήματος εξισώσεων

Ε Ι Κοντογιώργης copy 97

3times2 Συστήματα Εξισώσεων I

1 Μ Λ

X

Y

(32)

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minusY = 1

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 98

3times2 Συστήματα Εξισώσεων II

2 Α Λ

X

Y Εξις (1)Εξις (2)Εξις (3)

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 99

3times2 Συστήματα Εξισώσεων III3 Κ

(α) ´Οταν και οι τρεις εξισώσεις είναι παράλληλες

X

Y

2X minusY =minus8

2X minusY = 2

2X minusY = 12

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 100

3times2 Συστήματα Εξισώσεων IV(β) ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ τωνεξισώσεων

X

Y

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minus2Y =minus4

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 101

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική ΑνάλυσηΣε ένα γράφημα 2 διαστάσεων ένα σύστημα mtimes2(mgt2) εξισώσεων παριστάνεται με m ευθείες ´Οπωςσυμβαίνει στα συστήματα 2times2 υπάρχουν τρίαενδεχόμενα

1 ´Ολες οι ευθείες τέμνονται στο ίδιο σημείο και έτσιυπάρχει

2 ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ των mεξισώσεων Αυτό σημαίνει ότι όλες οι ευθείες είναιπαράλληλες Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα Λ

3 Οι m εξισώσεις είναι ισοδύναμες πχ παρασταίνονται σανμια ευθεία Σε αυτή την περίπτωση υπάρχει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 102

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων ∆ιαδικασίαΑπαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής για την επίλυση ενός συστήματοςmtimes2 μπορεί να περιγραφεί ως ακολούθωςΕπιλέξτε και λύστε σύστημα με δύο εξισώσεις

1 Εάν δεν υπάρχει λύση τότε ολόκληρο το σύστημα δεν έχειλύση

2 Εάν υπάρχει μοναδική λύση που ικανοποιεί τις υπόλοιπεςmminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα έχει μία μοναδική λύση

3 Εάν η λύση είναι μοναδική αλλά δεν ικανοποιεί τιςυπόλοιπες mminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα δεν έχει λύση

4 Εάν οι 2 λύσεις είναι ισοδύναμες απάλοιψτε τη μίααπό τις δύο εξισώσεις και ξεκινήστε από την αρχήλαμβάνοντας υπόψη ένα σύστημα (mminus1)times2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 103

ΠαράδείγμαI Θεωρείστε ένα σύστημα 5times2

XminusY= 1X+2Y=minus8

3Xminus2Y= 02Xminus5Y= 11minus4X+3Y=minus1

I Η λύση των πρώτων δύο εξισώσεων δίνετε απόY =minus3 και X =minus2

I Αντικαθιστώντας τη λύση στις υπόλοιπες τρεις εξισώσειςπαίρνετε αντίστοιχα

0 = 0 11 = 11 και minus1 =minus1I Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση

X=minus2 και Y=minus3Ε Ι Κοντογιώργης copy 104

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian

Η μέθοδος απολοιφής Gaussian μετατρέπει το αρχικόσύστημα εξισώσεων σε διαγώνια μορφή επαναλαμβάνονταςστις εξισώσεις τις ακόλουθες τρεις διαδικασίες

1 Πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης μεμια θετική σταθερά

2 Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού θα προστεθεί σεάλλη εξίσωση

3 Η σειρά των εξισώσεων μπορεί να αλλάξει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 105

ΠαράδείγμαΠ Θεωρείστε το σύστημα 2times2

2X minus 3Y = 7 (Εξ 1)X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με 12 για να πάρετε

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με minus1 καιπροσθέστε την στην (Εξ 2)

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

52Y =

152 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 106

Στάδιο 3 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 25

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

Y = 3 (Εξ 2)

Στάδιο 4 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 32 και

προσθέστε την στην (Εξ 1)

X = 1 (Εξ 1)Y = 3 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 107

Π Θεωρείστε το σύστημα 2times2

5X + 20Y = 254X minus 7Y =minus26

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να εκφραστεί ως

R1 5 20 25R2 4 minus7 minus26

Η κάθετη γραμμή χρησιμοποιείται για διαχωρισμό τηςαριστερής από τη δεξιά πλευρά των εξισώσεων Το Riυπονοεί τη γραμμή (Row) i

Ε Ι Κοντογιώργης copy 108

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάζουμε τη R1 με 15 και το θέτουμε

R1larr 15R1

R1 1 4 5R2 4 minus7 minus26

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάζουμε την R1 με minus4 και τηνπροσθέτουμε στην R2 Εν συντομίαR2larrminus4R1+R2

R1 1 4 5R2 0 minus23 minus46

Στάδιο 3 R2larrminus 123R2

R1 1 4 5R2 0 1 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 109

Στάδιο 4 R1larrminus4R2+R1

R1 1 0 minus3R2 0 1 2

Το αρχικό σύστημα εξισώσεων μετατρέπεται σε διαγώνιαμορφή όπως πιο κάτω

X =minus3Y = 2

το οποίο δίνει τη λύση του συστήματος

Ε Ι Κοντογιώργης copy 110

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 I

Το σύστημα εξισώσεων 3times3 μετετρέπεται σε διαγώνιαμορφή Η μετατροπή γίνεται στήλη με στήλη από τααριστερά προς τα δεξιά

Π Θεωρήστε το σύστημα 3times3

X1 + X2 + X3 = 2X1 minus 3X2 + 2X3 = 7

4X1 minus 2X2 minus X3 = 9

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να γραφτεί ως

Ε Ι Κοντογιώργης copy 111

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 II

1 1 1 21 minus3 2 74 minus2 minus1 9

Ε Ι Κοντογιώργης copy 112

-1000

-750

-500

-250

0

250

500

750

1000

1250

1500

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x3+x2+x)

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(x4)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 75

-25

-2

-15

-1

-05

0

05

1

15

2

25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(log(x))

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(x))

Ε Ι Κοντογιώργης copy 76

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(-x))

-5000

0

5000

10000

15000

20000

25000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(exp(x)+x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 77

Ανισότητες I

I Οι ανισότητες αποτελούνται από δύο ή τρεις αλγεβρικέςεκφράσεις που είναι συνδεδεμένες με τα σύμβολαανισότητας Τα σύμβολα αυτά είναι

lt μικρότερο τουgt μεγαλύτερο τουle μικρότερο ή ίσο τουge μεγαλύτερο ή ίσο του

I Παραδείγματα xgty yge x2 και ylt5x+1

I Το πρώτο βήμα για την αναπαράσταση ανισότητας τηςμορφής ygtx είναι να παραστήσουμε γραφικά τηνισότητα y= x

Ε Ι Κοντογιώργης copy 78

Ανισότητες II

I ygtx

Κάνετε δοκιμή με ένα σημείο να δείτε κατά πόσοικανοποιεί την ανισότητα Εάν ναι τότε σκιάστε τηνπεριοχή αυτή του σχεδιαγράμματος διαφορετικά σκιάστετην άλλη πλευρά

Ε Ι Κοντογιώργης copy 79

Ανισότητες III

I yltx

Ε Ι Κοντογιώργης copy 80

Ανισότητες IV

I yle 5x+1 και ygt5x+1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 81

Ανισότητες V

I yge x2 και yle x2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 82

Ανισότητες VI

I ygtx3 και yle x3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 83

Συστήματα Γραμμικών ΕξισώσεωνΠεριεχόμενα

1 Ε

2 Γ Α

ΑναφορέςΚεφάλαια 4 και 5FS Budnick Applied Mathematics for Business Economicsand the Social Sciences 4th edition McGraw-Hill 1993

Ε Ι Κοντογιώργης copy 84

Συστήματα Εξισώσεων

I ´Ενα σύστημα εξισώσεων συνδυάζει περισσότερες από μίαεξισώσεις

I ´Ενα σύστημα m εξισώσεων όπου κάθε εξίσωσηαποτελείται από n μεταβλητές ονομάζεται mtimesnσύστημα ή λέμε ότι έχει διαστάσεις mtimesn

I ΠαράδειγμαΠαρακάτω έχουμε ένα σύστημα 2times2

5X+10Y= 203X+4Y= 10

Οι μεταβλητές σε αυτή την περίπτωση είναι X και YΕ Ι Κοντογιώργης copy 85

Συστήματα Επίλυσης

I Το Σύστημα επίλυσης είναι μια σειρά τιμών μεταβλητώνπου ικανοποιούν το σύστημα ταυτόχρονα

I Σε μια σημειογραφική παράσταση το προηγούμενοπαράδειγμα μπορεί να γραφτεί ως εξής

S = (XY) | 5X+10Y = 20 και 3X+4Y = 10

I Το σύστημα επίλυσης μπορεί να είναι1 μηδενικό2 πεπερασμένο ή3 άπειρο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 86

2times2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική Ανάλυση

I Σε ένα δισδιάστατο γράφημα ένα σύστημα εξισώσεων2times2 αναπαρίστανται με ευθείες γραμμές Υπόρχουν τρίαενδεχόμενα

1 Οι ευθείες τέμνονται Το σημείο τομής αντιπροσωπεύει τηλύση του συστήματος εξισώσεων Αυτό το σημείοαλληλεπίδρασης είναι μια δέσμη τιμών X και Y που ικανοποιείκαι τις δύο εξισώσειςΕάν υπάρχει μόνο μια δέσμη τιμών για τις μεταβλητές που ναικανοποιεί το σύστημα εξισώσεων το σύστημα λέμε ότι έχειΜ Λ

2 Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες μεταξύ τους ∆εν έχουν κοινόσημείο Συνεπώς οι ευθείες δεν τέμνονται ποτέ Το σύστημαλέμε ότι ∆ ΛΑυτό υπονοεί ότι δεν υπάρχουν τιμές για τις μεταβλητές πουνα ικανοποιούν και τις δύο εξισώσεις Σε αυτή τηνπερίπτωση οι εξισώσεις στο σύστημα είναι Α

3 Και οι δύο εξισώσεις αναπαρίστανται ως μια κοινή ευθεία καιθεωρούνται ισοδύναμες εξισώσεις ´Ετσι το σύστημα έχειΑ Λ Αυτό συμβαίνει γιατί υπάρχει άπειροςαριθμός κοινών σημείων στις δύο γραμμές

Ε Ι Κοντογιώργης copy 87

I Π Θεωρείστε ένα σύστημα 2times22X+4Y= 203X+ Y= 10

I

X

Y

(24)

3X +Y = 10

2X +4Y = 20

0 2 4 6 8 10 12

2

4

6

8

10

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 88

I Το σημείο τομής δίνεται από το X= 2 και Y= 4Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές του X και Y στις δύοεξισώσεις δίνουν 20 = 20 και 10 = 10 αντίστοιχα

I Αυτό υποδειλώνει ότι X= 2 και Y= 4 είναι η σωστή λύση

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times23Xminus2Y= 6

minus15X+10Y=minus30

I

X

Y

(20)

(0minus3)

3X minus2Y = 6

minus15X +10Y =minus30

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 89

I Οι δύο εξισώσεις απλοποιούνται σε Xminus 23 Y= 2

Οι δύο εξισώσεις είναι ισοδύναμες και δίνουν έναπεπερασμένο αριθμό λύσεων έτσι ώστε

X= 0 Y =minus3X= 2 Y = 0X= 4 Y = 3

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times26Xminus12Y= 24

minus32X+3Y= 9

Οι εξισώσεις απλοποιούνται σεXminus2Y= 4Xminus2Y=minus6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 90

I

X

Y

(40)

(0minus2)

(minus60)

(03)

X minus2Y =minus6

X minus2Y = 4

0-0

I Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες και συνεπώς το σύστημαδεν έχει λύση ´Ετσι το σύστημα εξισώσεων είναιασύμπτωτο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 91

Περίληψη 2times2 Συστήματα Εξισώσεων∆ίνεται ένα Σύστημα Γραμμικών Εξισώσεων 2times2

Y=m1X+ c1Y=m2X+ c2

1 Υπάρχει μια στο σύστημα εάνm1 6= m2

2 ∆εν υπάρχει στο σύστημα εάνm1 = m2 και c1 6= c2

3 Υπάρχει εάνm1 = m2 και c1 = c2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 92

∆ιαδικασίες Απαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής χρησιμοποιεί πολλαπλασιασμόκαι πρόσθεση έτσι ώστε

1 Να απαλοιφεί μια από τις δύο μεταβλητές

2 Η εξίσωση που εξάγεται είναι συνάρτηση των υπόλοιπωνμεταβλητών

3 Αντικαθιστώντας την τιμή στην μεταβλητή σε μια από τιςαρχικές εξισώσεις βρίσκουμε την τιμή για τηναπολοιφθήσα μεταβλητή

Ε Ι Κοντογιώργης copy 93

ΠαραδείγματαI Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

2X +4Y = 20 (1)3X + Y = 10 (2)

Πολλαπλασιάζοντας τη δεύτερη εξίσωση με minus4 παίρνουμε

minus12X minus4Y =minus40 (3)

Προσθέτοντας την εξίσωση (1) στο (3)

2X + 4Y = 20minus12X minus 4Y = minus40minus10X = minus20

ή

X = 2 (4)Ε Ι Κοντογιώργης copy 94

Αντικαθιστώντας X= 2 στην εξίσωση (1) δίνεται2 middot2+4Y = 20 ή Y=4

´Ετσι η μοναδική λύση του συστήματος δίνεται από τοX= 2 και Y= 4 Μπορεί να επιβεβαιωθεί ότι αυτή είναι ησωστή λύση αντικαθιστώντας X= 2 και Y= 4 στηνεξίσωση (1) και (2)

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times23X minus2Y = 6 (5)

minus15X +10Y =minus30 (6)

Για την απαλοιφή της μεταβλητής X η εξίσωση (5)πολλαπλασιάζεται με 5 και το αποτέλεσμα προστίθεταιστην εξίσωση (6)

15X minus 10Y = 30minus15X + 10Y = minus30

0 = 0 Ε Ι Κοντογιώργης copy 95

Οι τελευταίες πράξεις υπονοούν ότι οι εξίσωσεις (5) και(6) είναι ισοδύναμες και έτσι υπάρχει άπειρος αριθμόςλύσεωνΓια να προσδιορίσουμε τις λύσεις του συστήματος μια απότις αρχικές εξισώσεις λύνεται ως προς μια μεταβλητή Ανγια παράδειγμα η εξίσωση (5) λύνεται ως προς Y δίνει

Y =32Xminus3

Σαν αποτέλεσμα γενικεύοντας τις λύσεις του συστήματοςέχουμε

X τυχαίο και Y =32Xminus3

Πχ για X= 4 υπονοείται ότι Y=32 middot4minus3 = 3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 96

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

6X minus12Y = 24 (7)

minus32X +3Y = 9 (8)

Πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση (8) με 4 καιπροσθέτοντας το αποτέλεσμα στην εξίσωση (7)παίρνουμε

6X minus 12Y = 24minus6X + 12Y = 36

0 = 60

Η πιο πάνω αντιλογία υπονοεί ότι δεν υπάρχει λύση τουσυστήματος εξισώσεων

Ε Ι Κοντογιώργης copy 97

3times2 Συστήματα Εξισώσεων I

1 Μ Λ

X

Y

(32)

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minusY = 1

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 98

3times2 Συστήματα Εξισώσεων II

2 Α Λ

X

Y Εξις (1)Εξις (2)Εξις (3)

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 99

3times2 Συστήματα Εξισώσεων III3 Κ

(α) ´Οταν και οι τρεις εξισώσεις είναι παράλληλες

X

Y

2X minusY =minus8

2X minusY = 2

2X minusY = 12

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 100

3times2 Συστήματα Εξισώσεων IV(β) ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ τωνεξισώσεων

X

Y

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minus2Y =minus4

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 101

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική ΑνάλυσηΣε ένα γράφημα 2 διαστάσεων ένα σύστημα mtimes2(mgt2) εξισώσεων παριστάνεται με m ευθείες ´Οπωςσυμβαίνει στα συστήματα 2times2 υπάρχουν τρίαενδεχόμενα

1 ´Ολες οι ευθείες τέμνονται στο ίδιο σημείο και έτσιυπάρχει

2 ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ των mεξισώσεων Αυτό σημαίνει ότι όλες οι ευθείες είναιπαράλληλες Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα Λ

3 Οι m εξισώσεις είναι ισοδύναμες πχ παρασταίνονται σανμια ευθεία Σε αυτή την περίπτωση υπάρχει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 102

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων ∆ιαδικασίαΑπαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής για την επίλυση ενός συστήματοςmtimes2 μπορεί να περιγραφεί ως ακολούθωςΕπιλέξτε και λύστε σύστημα με δύο εξισώσεις

1 Εάν δεν υπάρχει λύση τότε ολόκληρο το σύστημα δεν έχειλύση

2 Εάν υπάρχει μοναδική λύση που ικανοποιεί τις υπόλοιπεςmminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα έχει μία μοναδική λύση

3 Εάν η λύση είναι μοναδική αλλά δεν ικανοποιεί τιςυπόλοιπες mminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα δεν έχει λύση

4 Εάν οι 2 λύσεις είναι ισοδύναμες απάλοιψτε τη μίααπό τις δύο εξισώσεις και ξεκινήστε από την αρχήλαμβάνοντας υπόψη ένα σύστημα (mminus1)times2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 103

ΠαράδείγμαI Θεωρείστε ένα σύστημα 5times2

XminusY= 1X+2Y=minus8

3Xminus2Y= 02Xminus5Y= 11minus4X+3Y=minus1

I Η λύση των πρώτων δύο εξισώσεων δίνετε απόY =minus3 και X =minus2

I Αντικαθιστώντας τη λύση στις υπόλοιπες τρεις εξισώσειςπαίρνετε αντίστοιχα

0 = 0 11 = 11 και minus1 =minus1I Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση

X=minus2 και Y=minus3Ε Ι Κοντογιώργης copy 104

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian

Η μέθοδος απολοιφής Gaussian μετατρέπει το αρχικόσύστημα εξισώσεων σε διαγώνια μορφή επαναλαμβάνονταςστις εξισώσεις τις ακόλουθες τρεις διαδικασίες

1 Πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης μεμια θετική σταθερά

2 Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού θα προστεθεί σεάλλη εξίσωση

3 Η σειρά των εξισώσεων μπορεί να αλλάξει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 105

ΠαράδείγμαΠ Θεωρείστε το σύστημα 2times2

2X minus 3Y = 7 (Εξ 1)X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με 12 για να πάρετε

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με minus1 καιπροσθέστε την στην (Εξ 2)

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

52Y =

152 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 106

Στάδιο 3 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 25

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

Y = 3 (Εξ 2)

Στάδιο 4 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 32 και

προσθέστε την στην (Εξ 1)

X = 1 (Εξ 1)Y = 3 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 107

Π Θεωρείστε το σύστημα 2times2

5X + 20Y = 254X minus 7Y =minus26

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να εκφραστεί ως

R1 5 20 25R2 4 minus7 minus26

Η κάθετη γραμμή χρησιμοποιείται για διαχωρισμό τηςαριστερής από τη δεξιά πλευρά των εξισώσεων Το Riυπονοεί τη γραμμή (Row) i

Ε Ι Κοντογιώργης copy 108

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάζουμε τη R1 με 15 και το θέτουμε

R1larr 15R1

R1 1 4 5R2 4 minus7 minus26

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάζουμε την R1 με minus4 και τηνπροσθέτουμε στην R2 Εν συντομίαR2larrminus4R1+R2

R1 1 4 5R2 0 minus23 minus46

Στάδιο 3 R2larrminus 123R2

R1 1 4 5R2 0 1 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 109

Στάδιο 4 R1larrminus4R2+R1

R1 1 0 minus3R2 0 1 2

Το αρχικό σύστημα εξισώσεων μετατρέπεται σε διαγώνιαμορφή όπως πιο κάτω

X =minus3Y = 2

το οποίο δίνει τη λύση του συστήματος

Ε Ι Κοντογιώργης copy 110

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 I

Το σύστημα εξισώσεων 3times3 μετετρέπεται σε διαγώνιαμορφή Η μετατροπή γίνεται στήλη με στήλη από τααριστερά προς τα δεξιά

Π Θεωρήστε το σύστημα 3times3

X1 + X2 + X3 = 2X1 minus 3X2 + 2X3 = 7

4X1 minus 2X2 minus X3 = 9

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να γραφτεί ως

Ε Ι Κοντογιώργης copy 111

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 II

1 1 1 21 minus3 2 74 minus2 minus1 9

Ε Ι Κοντογιώργης copy 112

-25

-2

-15

-1

-05

0

05

1

15

2

25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(log(x))

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(x))

Ε Ι Κοντογιώργης copy 76

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(-x))

-5000

0

5000

10000

15000

20000

25000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(exp(x)+x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 77

Ανισότητες I

I Οι ανισότητες αποτελούνται από δύο ή τρεις αλγεβρικέςεκφράσεις που είναι συνδεδεμένες με τα σύμβολαανισότητας Τα σύμβολα αυτά είναι

lt μικρότερο τουgt μεγαλύτερο τουle μικρότερο ή ίσο τουge μεγαλύτερο ή ίσο του

I Παραδείγματα xgty yge x2 και ylt5x+1

I Το πρώτο βήμα για την αναπαράσταση ανισότητας τηςμορφής ygtx είναι να παραστήσουμε γραφικά τηνισότητα y= x

Ε Ι Κοντογιώργης copy 78

Ανισότητες II

I ygtx

Κάνετε δοκιμή με ένα σημείο να δείτε κατά πόσοικανοποιεί την ανισότητα Εάν ναι τότε σκιάστε τηνπεριοχή αυτή του σχεδιαγράμματος διαφορετικά σκιάστετην άλλη πλευρά

Ε Ι Κοντογιώργης copy 79

Ανισότητες III

I yltx

Ε Ι Κοντογιώργης copy 80

Ανισότητες IV

I yle 5x+1 και ygt5x+1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 81

Ανισότητες V

I yge x2 και yle x2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 82

Ανισότητες VI

I ygtx3 και yle x3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 83

Συστήματα Γραμμικών ΕξισώσεωνΠεριεχόμενα

1 Ε

2 Γ Α

ΑναφορέςΚεφάλαια 4 και 5FS Budnick Applied Mathematics for Business Economicsand the Social Sciences 4th edition McGraw-Hill 1993

Ε Ι Κοντογιώργης copy 84

Συστήματα Εξισώσεων

I ´Ενα σύστημα εξισώσεων συνδυάζει περισσότερες από μίαεξισώσεις

I ´Ενα σύστημα m εξισώσεων όπου κάθε εξίσωσηαποτελείται από n μεταβλητές ονομάζεται mtimesnσύστημα ή λέμε ότι έχει διαστάσεις mtimesn

I ΠαράδειγμαΠαρακάτω έχουμε ένα σύστημα 2times2

5X+10Y= 203X+4Y= 10

Οι μεταβλητές σε αυτή την περίπτωση είναι X και YΕ Ι Κοντογιώργης copy 85

Συστήματα Επίλυσης

I Το Σύστημα επίλυσης είναι μια σειρά τιμών μεταβλητώνπου ικανοποιούν το σύστημα ταυτόχρονα

I Σε μια σημειογραφική παράσταση το προηγούμενοπαράδειγμα μπορεί να γραφτεί ως εξής

S = (XY) | 5X+10Y = 20 και 3X+4Y = 10

I Το σύστημα επίλυσης μπορεί να είναι1 μηδενικό2 πεπερασμένο ή3 άπειρο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 86

2times2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική Ανάλυση

I Σε ένα δισδιάστατο γράφημα ένα σύστημα εξισώσεων2times2 αναπαρίστανται με ευθείες γραμμές Υπόρχουν τρίαενδεχόμενα

1 Οι ευθείες τέμνονται Το σημείο τομής αντιπροσωπεύει τηλύση του συστήματος εξισώσεων Αυτό το σημείοαλληλεπίδρασης είναι μια δέσμη τιμών X και Y που ικανοποιείκαι τις δύο εξισώσειςΕάν υπάρχει μόνο μια δέσμη τιμών για τις μεταβλητές που ναικανοποιεί το σύστημα εξισώσεων το σύστημα λέμε ότι έχειΜ Λ

2 Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες μεταξύ τους ∆εν έχουν κοινόσημείο Συνεπώς οι ευθείες δεν τέμνονται ποτέ Το σύστημαλέμε ότι ∆ ΛΑυτό υπονοεί ότι δεν υπάρχουν τιμές για τις μεταβλητές πουνα ικανοποιούν και τις δύο εξισώσεις Σε αυτή τηνπερίπτωση οι εξισώσεις στο σύστημα είναι Α

3 Και οι δύο εξισώσεις αναπαρίστανται ως μια κοινή ευθεία καιθεωρούνται ισοδύναμες εξισώσεις ´Ετσι το σύστημα έχειΑ Λ Αυτό συμβαίνει γιατί υπάρχει άπειροςαριθμός κοινών σημείων στις δύο γραμμές

Ε Ι Κοντογιώργης copy 87

I Π Θεωρείστε ένα σύστημα 2times22X+4Y= 203X+ Y= 10

I

X

Y

(24)

3X +Y = 10

2X +4Y = 20

0 2 4 6 8 10 12

2

4

6

8

10

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 88

I Το σημείο τομής δίνεται από το X= 2 και Y= 4Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές του X και Y στις δύοεξισώσεις δίνουν 20 = 20 και 10 = 10 αντίστοιχα

I Αυτό υποδειλώνει ότι X= 2 και Y= 4 είναι η σωστή λύση

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times23Xminus2Y= 6

minus15X+10Y=minus30

I

X

Y

(20)

(0minus3)

3X minus2Y = 6

minus15X +10Y =minus30

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 89

I Οι δύο εξισώσεις απλοποιούνται σε Xminus 23 Y= 2

Οι δύο εξισώσεις είναι ισοδύναμες και δίνουν έναπεπερασμένο αριθμό λύσεων έτσι ώστε

X= 0 Y =minus3X= 2 Y = 0X= 4 Y = 3

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times26Xminus12Y= 24

minus32X+3Y= 9

Οι εξισώσεις απλοποιούνται σεXminus2Y= 4Xminus2Y=minus6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 90

I

X

Y

(40)

(0minus2)

(minus60)

(03)

X minus2Y =minus6

X minus2Y = 4

0-0

I Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες και συνεπώς το σύστημαδεν έχει λύση ´Ετσι το σύστημα εξισώσεων είναιασύμπτωτο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 91

Περίληψη 2times2 Συστήματα Εξισώσεων∆ίνεται ένα Σύστημα Γραμμικών Εξισώσεων 2times2

Y=m1X+ c1Y=m2X+ c2

1 Υπάρχει μια στο σύστημα εάνm1 6= m2

2 ∆εν υπάρχει στο σύστημα εάνm1 = m2 και c1 6= c2

3 Υπάρχει εάνm1 = m2 και c1 = c2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 92

∆ιαδικασίες Απαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής χρησιμοποιεί πολλαπλασιασμόκαι πρόσθεση έτσι ώστε

1 Να απαλοιφεί μια από τις δύο μεταβλητές

2 Η εξίσωση που εξάγεται είναι συνάρτηση των υπόλοιπωνμεταβλητών

3 Αντικαθιστώντας την τιμή στην μεταβλητή σε μια από τιςαρχικές εξισώσεις βρίσκουμε την τιμή για τηναπολοιφθήσα μεταβλητή

Ε Ι Κοντογιώργης copy 93

ΠαραδείγματαI Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

2X +4Y = 20 (1)3X + Y = 10 (2)

Πολλαπλασιάζοντας τη δεύτερη εξίσωση με minus4 παίρνουμε

minus12X minus4Y =minus40 (3)

Προσθέτοντας την εξίσωση (1) στο (3)

2X + 4Y = 20minus12X minus 4Y = minus40minus10X = minus20

ή

X = 2 (4)Ε Ι Κοντογιώργης copy 94

Αντικαθιστώντας X= 2 στην εξίσωση (1) δίνεται2 middot2+4Y = 20 ή Y=4

´Ετσι η μοναδική λύση του συστήματος δίνεται από τοX= 2 και Y= 4 Μπορεί να επιβεβαιωθεί ότι αυτή είναι ησωστή λύση αντικαθιστώντας X= 2 και Y= 4 στηνεξίσωση (1) και (2)

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times23X minus2Y = 6 (5)

minus15X +10Y =minus30 (6)

Για την απαλοιφή της μεταβλητής X η εξίσωση (5)πολλαπλασιάζεται με 5 και το αποτέλεσμα προστίθεταιστην εξίσωση (6)

15X minus 10Y = 30minus15X + 10Y = minus30

0 = 0 Ε Ι Κοντογιώργης copy 95

Οι τελευταίες πράξεις υπονοούν ότι οι εξίσωσεις (5) και(6) είναι ισοδύναμες και έτσι υπάρχει άπειρος αριθμόςλύσεωνΓια να προσδιορίσουμε τις λύσεις του συστήματος μια απότις αρχικές εξισώσεις λύνεται ως προς μια μεταβλητή Ανγια παράδειγμα η εξίσωση (5) λύνεται ως προς Y δίνει

Y =32Xminus3

Σαν αποτέλεσμα γενικεύοντας τις λύσεις του συστήματοςέχουμε

X τυχαίο και Y =32Xminus3

Πχ για X= 4 υπονοείται ότι Y=32 middot4minus3 = 3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 96

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

6X minus12Y = 24 (7)

minus32X +3Y = 9 (8)

Πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση (8) με 4 καιπροσθέτοντας το αποτέλεσμα στην εξίσωση (7)παίρνουμε

6X minus 12Y = 24minus6X + 12Y = 36

0 = 60

Η πιο πάνω αντιλογία υπονοεί ότι δεν υπάρχει λύση τουσυστήματος εξισώσεων

Ε Ι Κοντογιώργης copy 97

3times2 Συστήματα Εξισώσεων I

1 Μ Λ

X

Y

(32)

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minusY = 1

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 98

3times2 Συστήματα Εξισώσεων II

2 Α Λ

X

Y Εξις (1)Εξις (2)Εξις (3)

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 99

3times2 Συστήματα Εξισώσεων III3 Κ

(α) ´Οταν και οι τρεις εξισώσεις είναι παράλληλες

X

Y

2X minusY =minus8

2X minusY = 2

2X minusY = 12

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 100

3times2 Συστήματα Εξισώσεων IV(β) ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ τωνεξισώσεων

X

Y

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minus2Y =minus4

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 101

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική ΑνάλυσηΣε ένα γράφημα 2 διαστάσεων ένα σύστημα mtimes2(mgt2) εξισώσεων παριστάνεται με m ευθείες ´Οπωςσυμβαίνει στα συστήματα 2times2 υπάρχουν τρίαενδεχόμενα

1 ´Ολες οι ευθείες τέμνονται στο ίδιο σημείο και έτσιυπάρχει

2 ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ των mεξισώσεων Αυτό σημαίνει ότι όλες οι ευθείες είναιπαράλληλες Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα Λ

3 Οι m εξισώσεις είναι ισοδύναμες πχ παρασταίνονται σανμια ευθεία Σε αυτή την περίπτωση υπάρχει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 102

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων ∆ιαδικασίαΑπαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής για την επίλυση ενός συστήματοςmtimes2 μπορεί να περιγραφεί ως ακολούθωςΕπιλέξτε και λύστε σύστημα με δύο εξισώσεις

1 Εάν δεν υπάρχει λύση τότε ολόκληρο το σύστημα δεν έχειλύση

2 Εάν υπάρχει μοναδική λύση που ικανοποιεί τις υπόλοιπεςmminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα έχει μία μοναδική λύση

3 Εάν η λύση είναι μοναδική αλλά δεν ικανοποιεί τιςυπόλοιπες mminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα δεν έχει λύση

4 Εάν οι 2 λύσεις είναι ισοδύναμες απάλοιψτε τη μίααπό τις δύο εξισώσεις και ξεκινήστε από την αρχήλαμβάνοντας υπόψη ένα σύστημα (mminus1)times2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 103

ΠαράδείγμαI Θεωρείστε ένα σύστημα 5times2

XminusY= 1X+2Y=minus8

3Xminus2Y= 02Xminus5Y= 11minus4X+3Y=minus1

I Η λύση των πρώτων δύο εξισώσεων δίνετε απόY =minus3 και X =minus2

I Αντικαθιστώντας τη λύση στις υπόλοιπες τρεις εξισώσειςπαίρνετε αντίστοιχα

0 = 0 11 = 11 και minus1 =minus1I Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση

X=minus2 και Y=minus3Ε Ι Κοντογιώργης copy 104

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian

Η μέθοδος απολοιφής Gaussian μετατρέπει το αρχικόσύστημα εξισώσεων σε διαγώνια μορφή επαναλαμβάνονταςστις εξισώσεις τις ακόλουθες τρεις διαδικασίες

1 Πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης μεμια θετική σταθερά

2 Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού θα προστεθεί σεάλλη εξίσωση

3 Η σειρά των εξισώσεων μπορεί να αλλάξει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 105

ΠαράδείγμαΠ Θεωρείστε το σύστημα 2times2

2X minus 3Y = 7 (Εξ 1)X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με 12 για να πάρετε

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με minus1 καιπροσθέστε την στην (Εξ 2)

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

52Y =

152 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 106

Στάδιο 3 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 25

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

Y = 3 (Εξ 2)

Στάδιο 4 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 32 και

προσθέστε την στην (Εξ 1)

X = 1 (Εξ 1)Y = 3 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 107

Π Θεωρείστε το σύστημα 2times2

5X + 20Y = 254X minus 7Y =minus26

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να εκφραστεί ως

R1 5 20 25R2 4 minus7 minus26

Η κάθετη γραμμή χρησιμοποιείται για διαχωρισμό τηςαριστερής από τη δεξιά πλευρά των εξισώσεων Το Riυπονοεί τη γραμμή (Row) i

Ε Ι Κοντογιώργης copy 108

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάζουμε τη R1 με 15 και το θέτουμε

R1larr 15R1

R1 1 4 5R2 4 minus7 minus26

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάζουμε την R1 με minus4 και τηνπροσθέτουμε στην R2 Εν συντομίαR2larrminus4R1+R2

R1 1 4 5R2 0 minus23 minus46

Στάδιο 3 R2larrminus 123R2

R1 1 4 5R2 0 1 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 109

Στάδιο 4 R1larrminus4R2+R1

R1 1 0 minus3R2 0 1 2

Το αρχικό σύστημα εξισώσεων μετατρέπεται σε διαγώνιαμορφή όπως πιο κάτω

X =minus3Y = 2

το οποίο δίνει τη λύση του συστήματος

Ε Ι Κοντογιώργης copy 110

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 I

Το σύστημα εξισώσεων 3times3 μετετρέπεται σε διαγώνιαμορφή Η μετατροπή γίνεται στήλη με στήλη από τααριστερά προς τα δεξιά

Π Θεωρήστε το σύστημα 3times3

X1 + X2 + X3 = 2X1 minus 3X2 + 2X3 = 7

4X1 minus 2X2 minus X3 = 9

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να γραφτεί ως

Ε Ι Κοντογιώργης copy 111

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 II

1 1 1 21 minus3 2 74 minus2 minus1 9

Ε Ι Κοντογιώργης copy 112

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(exp(-x))

-5000

0

5000

10000

15000

20000

25000

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(exp(x)+x3)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 77

Ανισότητες I

I Οι ανισότητες αποτελούνται από δύο ή τρεις αλγεβρικέςεκφράσεις που είναι συνδεδεμένες με τα σύμβολαανισότητας Τα σύμβολα αυτά είναι

lt μικρότερο τουgt μεγαλύτερο τουle μικρότερο ή ίσο τουge μεγαλύτερο ή ίσο του

I Παραδείγματα xgty yge x2 και ylt5x+1

I Το πρώτο βήμα για την αναπαράσταση ανισότητας τηςμορφής ygtx είναι να παραστήσουμε γραφικά τηνισότητα y= x

Ε Ι Κοντογιώργης copy 78

Ανισότητες II

I ygtx

Κάνετε δοκιμή με ένα σημείο να δείτε κατά πόσοικανοποιεί την ανισότητα Εάν ναι τότε σκιάστε τηνπεριοχή αυτή του σχεδιαγράμματος διαφορετικά σκιάστετην άλλη πλευρά

Ε Ι Κοντογιώργης copy 79

Ανισότητες III

I yltx

Ε Ι Κοντογιώργης copy 80

Ανισότητες IV

I yle 5x+1 και ygt5x+1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 81

Ανισότητες V

I yge x2 και yle x2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 82

Ανισότητες VI

I ygtx3 και yle x3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 83

Συστήματα Γραμμικών ΕξισώσεωνΠεριεχόμενα

1 Ε

2 Γ Α

ΑναφορέςΚεφάλαια 4 και 5FS Budnick Applied Mathematics for Business Economicsand the Social Sciences 4th edition McGraw-Hill 1993

Ε Ι Κοντογιώργης copy 84

Συστήματα Εξισώσεων

I ´Ενα σύστημα εξισώσεων συνδυάζει περισσότερες από μίαεξισώσεις

I ´Ενα σύστημα m εξισώσεων όπου κάθε εξίσωσηαποτελείται από n μεταβλητές ονομάζεται mtimesnσύστημα ή λέμε ότι έχει διαστάσεις mtimesn

I ΠαράδειγμαΠαρακάτω έχουμε ένα σύστημα 2times2

5X+10Y= 203X+4Y= 10

Οι μεταβλητές σε αυτή την περίπτωση είναι X και YΕ Ι Κοντογιώργης copy 85

Συστήματα Επίλυσης

I Το Σύστημα επίλυσης είναι μια σειρά τιμών μεταβλητώνπου ικανοποιούν το σύστημα ταυτόχρονα

I Σε μια σημειογραφική παράσταση το προηγούμενοπαράδειγμα μπορεί να γραφτεί ως εξής

S = (XY) | 5X+10Y = 20 και 3X+4Y = 10

I Το σύστημα επίλυσης μπορεί να είναι1 μηδενικό2 πεπερασμένο ή3 άπειρο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 86

2times2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική Ανάλυση

I Σε ένα δισδιάστατο γράφημα ένα σύστημα εξισώσεων2times2 αναπαρίστανται με ευθείες γραμμές Υπόρχουν τρίαενδεχόμενα

1 Οι ευθείες τέμνονται Το σημείο τομής αντιπροσωπεύει τηλύση του συστήματος εξισώσεων Αυτό το σημείοαλληλεπίδρασης είναι μια δέσμη τιμών X και Y που ικανοποιείκαι τις δύο εξισώσειςΕάν υπάρχει μόνο μια δέσμη τιμών για τις μεταβλητές που ναικανοποιεί το σύστημα εξισώσεων το σύστημα λέμε ότι έχειΜ Λ

2 Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες μεταξύ τους ∆εν έχουν κοινόσημείο Συνεπώς οι ευθείες δεν τέμνονται ποτέ Το σύστημαλέμε ότι ∆ ΛΑυτό υπονοεί ότι δεν υπάρχουν τιμές για τις μεταβλητές πουνα ικανοποιούν και τις δύο εξισώσεις Σε αυτή τηνπερίπτωση οι εξισώσεις στο σύστημα είναι Α

3 Και οι δύο εξισώσεις αναπαρίστανται ως μια κοινή ευθεία καιθεωρούνται ισοδύναμες εξισώσεις ´Ετσι το σύστημα έχειΑ Λ Αυτό συμβαίνει γιατί υπάρχει άπειροςαριθμός κοινών σημείων στις δύο γραμμές

Ε Ι Κοντογιώργης copy 87

I Π Θεωρείστε ένα σύστημα 2times22X+4Y= 203X+ Y= 10

I

X

Y

(24)

3X +Y = 10

2X +4Y = 20

0 2 4 6 8 10 12

2

4

6

8

10

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 88

I Το σημείο τομής δίνεται από το X= 2 και Y= 4Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές του X και Y στις δύοεξισώσεις δίνουν 20 = 20 και 10 = 10 αντίστοιχα

I Αυτό υποδειλώνει ότι X= 2 και Y= 4 είναι η σωστή λύση

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times23Xminus2Y= 6

minus15X+10Y=minus30

I

X

Y

(20)

(0minus3)

3X minus2Y = 6

minus15X +10Y =minus30

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 89

I Οι δύο εξισώσεις απλοποιούνται σε Xminus 23 Y= 2

Οι δύο εξισώσεις είναι ισοδύναμες και δίνουν έναπεπερασμένο αριθμό λύσεων έτσι ώστε

X= 0 Y =minus3X= 2 Y = 0X= 4 Y = 3

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times26Xminus12Y= 24

minus32X+3Y= 9

Οι εξισώσεις απλοποιούνται σεXminus2Y= 4Xminus2Y=minus6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 90

I

X

Y

(40)

(0minus2)

(minus60)

(03)

X minus2Y =minus6

X minus2Y = 4

0-0

I Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες και συνεπώς το σύστημαδεν έχει λύση ´Ετσι το σύστημα εξισώσεων είναιασύμπτωτο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 91

Περίληψη 2times2 Συστήματα Εξισώσεων∆ίνεται ένα Σύστημα Γραμμικών Εξισώσεων 2times2

Y=m1X+ c1Y=m2X+ c2

1 Υπάρχει μια στο σύστημα εάνm1 6= m2

2 ∆εν υπάρχει στο σύστημα εάνm1 = m2 και c1 6= c2

3 Υπάρχει εάνm1 = m2 και c1 = c2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 92

∆ιαδικασίες Απαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής χρησιμοποιεί πολλαπλασιασμόκαι πρόσθεση έτσι ώστε

1 Να απαλοιφεί μια από τις δύο μεταβλητές

2 Η εξίσωση που εξάγεται είναι συνάρτηση των υπόλοιπωνμεταβλητών

3 Αντικαθιστώντας την τιμή στην μεταβλητή σε μια από τιςαρχικές εξισώσεις βρίσκουμε την τιμή για τηναπολοιφθήσα μεταβλητή

Ε Ι Κοντογιώργης copy 93

ΠαραδείγματαI Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

2X +4Y = 20 (1)3X + Y = 10 (2)

Πολλαπλασιάζοντας τη δεύτερη εξίσωση με minus4 παίρνουμε

minus12X minus4Y =minus40 (3)

Προσθέτοντας την εξίσωση (1) στο (3)

2X + 4Y = 20minus12X minus 4Y = minus40minus10X = minus20

ή

X = 2 (4)Ε Ι Κοντογιώργης copy 94

Αντικαθιστώντας X= 2 στην εξίσωση (1) δίνεται2 middot2+4Y = 20 ή Y=4

´Ετσι η μοναδική λύση του συστήματος δίνεται από τοX= 2 και Y= 4 Μπορεί να επιβεβαιωθεί ότι αυτή είναι ησωστή λύση αντικαθιστώντας X= 2 και Y= 4 στηνεξίσωση (1) και (2)

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times23X minus2Y = 6 (5)

minus15X +10Y =minus30 (6)

Για την απαλοιφή της μεταβλητής X η εξίσωση (5)πολλαπλασιάζεται με 5 και το αποτέλεσμα προστίθεταιστην εξίσωση (6)

15X minus 10Y = 30minus15X + 10Y = minus30

0 = 0 Ε Ι Κοντογιώργης copy 95

Οι τελευταίες πράξεις υπονοούν ότι οι εξίσωσεις (5) και(6) είναι ισοδύναμες και έτσι υπάρχει άπειρος αριθμόςλύσεωνΓια να προσδιορίσουμε τις λύσεις του συστήματος μια απότις αρχικές εξισώσεις λύνεται ως προς μια μεταβλητή Ανγια παράδειγμα η εξίσωση (5) λύνεται ως προς Y δίνει

Y =32Xminus3

Σαν αποτέλεσμα γενικεύοντας τις λύσεις του συστήματοςέχουμε

X τυχαίο και Y =32Xminus3

Πχ για X= 4 υπονοείται ότι Y=32 middot4minus3 = 3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 96

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

6X minus12Y = 24 (7)

minus32X +3Y = 9 (8)

Πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση (8) με 4 καιπροσθέτοντας το αποτέλεσμα στην εξίσωση (7)παίρνουμε

6X minus 12Y = 24minus6X + 12Y = 36

0 = 60

Η πιο πάνω αντιλογία υπονοεί ότι δεν υπάρχει λύση τουσυστήματος εξισώσεων

Ε Ι Κοντογιώργης copy 97

3times2 Συστήματα Εξισώσεων I

1 Μ Λ

X

Y

(32)

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minusY = 1

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 98

3times2 Συστήματα Εξισώσεων II

2 Α Λ

X

Y Εξις (1)Εξις (2)Εξις (3)

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 99

3times2 Συστήματα Εξισώσεων III3 Κ

(α) ´Οταν και οι τρεις εξισώσεις είναι παράλληλες

X

Y

2X minusY =minus8

2X minusY = 2

2X minusY = 12

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 100

3times2 Συστήματα Εξισώσεων IV(β) ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ τωνεξισώσεων

X

Y

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minus2Y =minus4

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 101

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική ΑνάλυσηΣε ένα γράφημα 2 διαστάσεων ένα σύστημα mtimes2(mgt2) εξισώσεων παριστάνεται με m ευθείες ´Οπωςσυμβαίνει στα συστήματα 2times2 υπάρχουν τρίαενδεχόμενα

1 ´Ολες οι ευθείες τέμνονται στο ίδιο σημείο και έτσιυπάρχει

2 ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ των mεξισώσεων Αυτό σημαίνει ότι όλες οι ευθείες είναιπαράλληλες Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα Λ

3 Οι m εξισώσεις είναι ισοδύναμες πχ παρασταίνονται σανμια ευθεία Σε αυτή την περίπτωση υπάρχει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 102

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων ∆ιαδικασίαΑπαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής για την επίλυση ενός συστήματοςmtimes2 μπορεί να περιγραφεί ως ακολούθωςΕπιλέξτε και λύστε σύστημα με δύο εξισώσεις

1 Εάν δεν υπάρχει λύση τότε ολόκληρο το σύστημα δεν έχειλύση

2 Εάν υπάρχει μοναδική λύση που ικανοποιεί τις υπόλοιπεςmminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα έχει μία μοναδική λύση

3 Εάν η λύση είναι μοναδική αλλά δεν ικανοποιεί τιςυπόλοιπες mminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα δεν έχει λύση

4 Εάν οι 2 λύσεις είναι ισοδύναμες απάλοιψτε τη μίααπό τις δύο εξισώσεις και ξεκινήστε από την αρχήλαμβάνοντας υπόψη ένα σύστημα (mminus1)times2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 103

ΠαράδείγμαI Θεωρείστε ένα σύστημα 5times2

XminusY= 1X+2Y=minus8

3Xminus2Y= 02Xminus5Y= 11minus4X+3Y=minus1

I Η λύση των πρώτων δύο εξισώσεων δίνετε απόY =minus3 και X =minus2

I Αντικαθιστώντας τη λύση στις υπόλοιπες τρεις εξισώσειςπαίρνετε αντίστοιχα

0 = 0 11 = 11 και minus1 =minus1I Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση

X=minus2 και Y=minus3Ε Ι Κοντογιώργης copy 104

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian

Η μέθοδος απολοιφής Gaussian μετατρέπει το αρχικόσύστημα εξισώσεων σε διαγώνια μορφή επαναλαμβάνονταςστις εξισώσεις τις ακόλουθες τρεις διαδικασίες

1 Πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης μεμια θετική σταθερά

2 Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού θα προστεθεί σεάλλη εξίσωση

3 Η σειρά των εξισώσεων μπορεί να αλλάξει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 105

ΠαράδείγμαΠ Θεωρείστε το σύστημα 2times2

2X minus 3Y = 7 (Εξ 1)X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με 12 για να πάρετε

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με minus1 καιπροσθέστε την στην (Εξ 2)

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

52Y =

152 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 106

Στάδιο 3 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 25

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

Y = 3 (Εξ 2)

Στάδιο 4 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 32 και

προσθέστε την στην (Εξ 1)

X = 1 (Εξ 1)Y = 3 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 107

Π Θεωρείστε το σύστημα 2times2

5X + 20Y = 254X minus 7Y =minus26

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να εκφραστεί ως

R1 5 20 25R2 4 minus7 minus26

Η κάθετη γραμμή χρησιμοποιείται για διαχωρισμό τηςαριστερής από τη δεξιά πλευρά των εξισώσεων Το Riυπονοεί τη γραμμή (Row) i

Ε Ι Κοντογιώργης copy 108

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάζουμε τη R1 με 15 και το θέτουμε

R1larr 15R1

R1 1 4 5R2 4 minus7 minus26

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάζουμε την R1 με minus4 και τηνπροσθέτουμε στην R2 Εν συντομίαR2larrminus4R1+R2

R1 1 4 5R2 0 minus23 minus46

Στάδιο 3 R2larrminus 123R2

R1 1 4 5R2 0 1 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 109

Στάδιο 4 R1larrminus4R2+R1

R1 1 0 minus3R2 0 1 2

Το αρχικό σύστημα εξισώσεων μετατρέπεται σε διαγώνιαμορφή όπως πιο κάτω

X =minus3Y = 2

το οποίο δίνει τη λύση του συστήματος

Ε Ι Κοντογιώργης copy 110

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 I

Το σύστημα εξισώσεων 3times3 μετετρέπεται σε διαγώνιαμορφή Η μετατροπή γίνεται στήλη με στήλη από τααριστερά προς τα δεξιά

Π Θεωρήστε το σύστημα 3times3

X1 + X2 + X3 = 2X1 minus 3X2 + 2X3 = 7

4X1 minus 2X2 minus X3 = 9

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να γραφτεί ως

Ε Ι Κοντογιώργης copy 111

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 II

1 1 1 21 minus3 2 74 minus2 minus1 9

Ε Ι Κοντογιώργης copy 112

Ανισότητες I

I Οι ανισότητες αποτελούνται από δύο ή τρεις αλγεβρικέςεκφράσεις που είναι συνδεδεμένες με τα σύμβολαανισότητας Τα σύμβολα αυτά είναι

lt μικρότερο τουgt μεγαλύτερο τουle μικρότερο ή ίσο τουge μεγαλύτερο ή ίσο του

I Παραδείγματα xgty yge x2 και ylt5x+1

I Το πρώτο βήμα για την αναπαράσταση ανισότητας τηςμορφής ygtx είναι να παραστήσουμε γραφικά τηνισότητα y= x

Ε Ι Κοντογιώργης copy 78

Ανισότητες II

I ygtx

Κάνετε δοκιμή με ένα σημείο να δείτε κατά πόσοικανοποιεί την ανισότητα Εάν ναι τότε σκιάστε τηνπεριοχή αυτή του σχεδιαγράμματος διαφορετικά σκιάστετην άλλη πλευρά

Ε Ι Κοντογιώργης copy 79

Ανισότητες III

I yltx

Ε Ι Κοντογιώργης copy 80

Ανισότητες IV

I yle 5x+1 και ygt5x+1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 81

Ανισότητες V

I yge x2 και yle x2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 82

Ανισότητες VI

I ygtx3 και yle x3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 83

Συστήματα Γραμμικών ΕξισώσεωνΠεριεχόμενα

1 Ε

2 Γ Α

ΑναφορέςΚεφάλαια 4 και 5FS Budnick Applied Mathematics for Business Economicsand the Social Sciences 4th edition McGraw-Hill 1993

Ε Ι Κοντογιώργης copy 84

Συστήματα Εξισώσεων

I ´Ενα σύστημα εξισώσεων συνδυάζει περισσότερες από μίαεξισώσεις

I ´Ενα σύστημα m εξισώσεων όπου κάθε εξίσωσηαποτελείται από n μεταβλητές ονομάζεται mtimesnσύστημα ή λέμε ότι έχει διαστάσεις mtimesn

I ΠαράδειγμαΠαρακάτω έχουμε ένα σύστημα 2times2

5X+10Y= 203X+4Y= 10

Οι μεταβλητές σε αυτή την περίπτωση είναι X και YΕ Ι Κοντογιώργης copy 85

Συστήματα Επίλυσης

I Το Σύστημα επίλυσης είναι μια σειρά τιμών μεταβλητώνπου ικανοποιούν το σύστημα ταυτόχρονα

I Σε μια σημειογραφική παράσταση το προηγούμενοπαράδειγμα μπορεί να γραφτεί ως εξής

S = (XY) | 5X+10Y = 20 και 3X+4Y = 10

I Το σύστημα επίλυσης μπορεί να είναι1 μηδενικό2 πεπερασμένο ή3 άπειρο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 86

2times2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική Ανάλυση

I Σε ένα δισδιάστατο γράφημα ένα σύστημα εξισώσεων2times2 αναπαρίστανται με ευθείες γραμμές Υπόρχουν τρίαενδεχόμενα

1 Οι ευθείες τέμνονται Το σημείο τομής αντιπροσωπεύει τηλύση του συστήματος εξισώσεων Αυτό το σημείοαλληλεπίδρασης είναι μια δέσμη τιμών X και Y που ικανοποιείκαι τις δύο εξισώσειςΕάν υπάρχει μόνο μια δέσμη τιμών για τις μεταβλητές που ναικανοποιεί το σύστημα εξισώσεων το σύστημα λέμε ότι έχειΜ Λ

2 Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες μεταξύ τους ∆εν έχουν κοινόσημείο Συνεπώς οι ευθείες δεν τέμνονται ποτέ Το σύστημαλέμε ότι ∆ ΛΑυτό υπονοεί ότι δεν υπάρχουν τιμές για τις μεταβλητές πουνα ικανοποιούν και τις δύο εξισώσεις Σε αυτή τηνπερίπτωση οι εξισώσεις στο σύστημα είναι Α

3 Και οι δύο εξισώσεις αναπαρίστανται ως μια κοινή ευθεία καιθεωρούνται ισοδύναμες εξισώσεις ´Ετσι το σύστημα έχειΑ Λ Αυτό συμβαίνει γιατί υπάρχει άπειροςαριθμός κοινών σημείων στις δύο γραμμές

Ε Ι Κοντογιώργης copy 87

I Π Θεωρείστε ένα σύστημα 2times22X+4Y= 203X+ Y= 10

I

X

Y

(24)

3X +Y = 10

2X +4Y = 20

0 2 4 6 8 10 12

2

4

6

8

10

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 88

I Το σημείο τομής δίνεται από το X= 2 και Y= 4Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές του X και Y στις δύοεξισώσεις δίνουν 20 = 20 και 10 = 10 αντίστοιχα

I Αυτό υποδειλώνει ότι X= 2 και Y= 4 είναι η σωστή λύση

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times23Xminus2Y= 6

minus15X+10Y=minus30

I

X

Y

(20)

(0minus3)

3X minus2Y = 6

minus15X +10Y =minus30

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 89

I Οι δύο εξισώσεις απλοποιούνται σε Xminus 23 Y= 2

Οι δύο εξισώσεις είναι ισοδύναμες και δίνουν έναπεπερασμένο αριθμό λύσεων έτσι ώστε

X= 0 Y =minus3X= 2 Y = 0X= 4 Y = 3

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times26Xminus12Y= 24

minus32X+3Y= 9

Οι εξισώσεις απλοποιούνται σεXminus2Y= 4Xminus2Y=minus6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 90

I

X

Y

(40)

(0minus2)

(minus60)

(03)

X minus2Y =minus6

X minus2Y = 4

0-0

I Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες και συνεπώς το σύστημαδεν έχει λύση ´Ετσι το σύστημα εξισώσεων είναιασύμπτωτο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 91

Περίληψη 2times2 Συστήματα Εξισώσεων∆ίνεται ένα Σύστημα Γραμμικών Εξισώσεων 2times2

Y=m1X+ c1Y=m2X+ c2

1 Υπάρχει μια στο σύστημα εάνm1 6= m2

2 ∆εν υπάρχει στο σύστημα εάνm1 = m2 και c1 6= c2

3 Υπάρχει εάνm1 = m2 και c1 = c2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 92

∆ιαδικασίες Απαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής χρησιμοποιεί πολλαπλασιασμόκαι πρόσθεση έτσι ώστε

1 Να απαλοιφεί μια από τις δύο μεταβλητές

2 Η εξίσωση που εξάγεται είναι συνάρτηση των υπόλοιπωνμεταβλητών

3 Αντικαθιστώντας την τιμή στην μεταβλητή σε μια από τιςαρχικές εξισώσεις βρίσκουμε την τιμή για τηναπολοιφθήσα μεταβλητή

Ε Ι Κοντογιώργης copy 93

ΠαραδείγματαI Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

2X +4Y = 20 (1)3X + Y = 10 (2)

Πολλαπλασιάζοντας τη δεύτερη εξίσωση με minus4 παίρνουμε

minus12X minus4Y =minus40 (3)

Προσθέτοντας την εξίσωση (1) στο (3)

2X + 4Y = 20minus12X minus 4Y = minus40minus10X = minus20

ή

X = 2 (4)Ε Ι Κοντογιώργης copy 94

Αντικαθιστώντας X= 2 στην εξίσωση (1) δίνεται2 middot2+4Y = 20 ή Y=4

´Ετσι η μοναδική λύση του συστήματος δίνεται από τοX= 2 και Y= 4 Μπορεί να επιβεβαιωθεί ότι αυτή είναι ησωστή λύση αντικαθιστώντας X= 2 και Y= 4 στηνεξίσωση (1) και (2)

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times23X minus2Y = 6 (5)

minus15X +10Y =minus30 (6)

Για την απαλοιφή της μεταβλητής X η εξίσωση (5)πολλαπλασιάζεται με 5 και το αποτέλεσμα προστίθεταιστην εξίσωση (6)

15X minus 10Y = 30minus15X + 10Y = minus30

0 = 0 Ε Ι Κοντογιώργης copy 95

Οι τελευταίες πράξεις υπονοούν ότι οι εξίσωσεις (5) και(6) είναι ισοδύναμες και έτσι υπάρχει άπειρος αριθμόςλύσεωνΓια να προσδιορίσουμε τις λύσεις του συστήματος μια απότις αρχικές εξισώσεις λύνεται ως προς μια μεταβλητή Ανγια παράδειγμα η εξίσωση (5) λύνεται ως προς Y δίνει

Y =32Xminus3

Σαν αποτέλεσμα γενικεύοντας τις λύσεις του συστήματοςέχουμε

X τυχαίο και Y =32Xminus3

Πχ για X= 4 υπονοείται ότι Y=32 middot4minus3 = 3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 96

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

6X minus12Y = 24 (7)

minus32X +3Y = 9 (8)

Πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση (8) με 4 καιπροσθέτοντας το αποτέλεσμα στην εξίσωση (7)παίρνουμε

6X minus 12Y = 24minus6X + 12Y = 36

0 = 60

Η πιο πάνω αντιλογία υπονοεί ότι δεν υπάρχει λύση τουσυστήματος εξισώσεων

Ε Ι Κοντογιώργης copy 97

3times2 Συστήματα Εξισώσεων I

1 Μ Λ

X

Y

(32)

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minusY = 1

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 98

3times2 Συστήματα Εξισώσεων II

2 Α Λ

X

Y Εξις (1)Εξις (2)Εξις (3)

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 99

3times2 Συστήματα Εξισώσεων III3 Κ

(α) ´Οταν και οι τρεις εξισώσεις είναι παράλληλες

X

Y

2X minusY =minus8

2X minusY = 2

2X minusY = 12

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 100

3times2 Συστήματα Εξισώσεων IV(β) ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ τωνεξισώσεων

X

Y

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minus2Y =minus4

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 101

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική ΑνάλυσηΣε ένα γράφημα 2 διαστάσεων ένα σύστημα mtimes2(mgt2) εξισώσεων παριστάνεται με m ευθείες ´Οπωςσυμβαίνει στα συστήματα 2times2 υπάρχουν τρίαενδεχόμενα

1 ´Ολες οι ευθείες τέμνονται στο ίδιο σημείο και έτσιυπάρχει

2 ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ των mεξισώσεων Αυτό σημαίνει ότι όλες οι ευθείες είναιπαράλληλες Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα Λ

3 Οι m εξισώσεις είναι ισοδύναμες πχ παρασταίνονται σανμια ευθεία Σε αυτή την περίπτωση υπάρχει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 102

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων ∆ιαδικασίαΑπαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής για την επίλυση ενός συστήματοςmtimes2 μπορεί να περιγραφεί ως ακολούθωςΕπιλέξτε και λύστε σύστημα με δύο εξισώσεις

1 Εάν δεν υπάρχει λύση τότε ολόκληρο το σύστημα δεν έχειλύση

2 Εάν υπάρχει μοναδική λύση που ικανοποιεί τις υπόλοιπεςmminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα έχει μία μοναδική λύση

3 Εάν η λύση είναι μοναδική αλλά δεν ικανοποιεί τιςυπόλοιπες mminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα δεν έχει λύση

4 Εάν οι 2 λύσεις είναι ισοδύναμες απάλοιψτε τη μίααπό τις δύο εξισώσεις και ξεκινήστε από την αρχήλαμβάνοντας υπόψη ένα σύστημα (mminus1)times2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 103

ΠαράδείγμαI Θεωρείστε ένα σύστημα 5times2

XminusY= 1X+2Y=minus8

3Xminus2Y= 02Xminus5Y= 11minus4X+3Y=minus1

I Η λύση των πρώτων δύο εξισώσεων δίνετε απόY =minus3 και X =minus2

I Αντικαθιστώντας τη λύση στις υπόλοιπες τρεις εξισώσειςπαίρνετε αντίστοιχα

0 = 0 11 = 11 και minus1 =minus1I Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση

X=minus2 και Y=minus3Ε Ι Κοντογιώργης copy 104

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian

Η μέθοδος απολοιφής Gaussian μετατρέπει το αρχικόσύστημα εξισώσεων σε διαγώνια μορφή επαναλαμβάνονταςστις εξισώσεις τις ακόλουθες τρεις διαδικασίες

1 Πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης μεμια θετική σταθερά

2 Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού θα προστεθεί σεάλλη εξίσωση

3 Η σειρά των εξισώσεων μπορεί να αλλάξει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 105

ΠαράδείγμαΠ Θεωρείστε το σύστημα 2times2

2X minus 3Y = 7 (Εξ 1)X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με 12 για να πάρετε

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με minus1 καιπροσθέστε την στην (Εξ 2)

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

52Y =

152 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 106

Στάδιο 3 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 25

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

Y = 3 (Εξ 2)

Στάδιο 4 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 32 και

προσθέστε την στην (Εξ 1)

X = 1 (Εξ 1)Y = 3 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 107

Π Θεωρείστε το σύστημα 2times2

5X + 20Y = 254X minus 7Y =minus26

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να εκφραστεί ως

R1 5 20 25R2 4 minus7 minus26

Η κάθετη γραμμή χρησιμοποιείται για διαχωρισμό τηςαριστερής από τη δεξιά πλευρά των εξισώσεων Το Riυπονοεί τη γραμμή (Row) i

Ε Ι Κοντογιώργης copy 108

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάζουμε τη R1 με 15 και το θέτουμε

R1larr 15R1

R1 1 4 5R2 4 minus7 minus26

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάζουμε την R1 με minus4 και τηνπροσθέτουμε στην R2 Εν συντομίαR2larrminus4R1+R2

R1 1 4 5R2 0 minus23 minus46

Στάδιο 3 R2larrminus 123R2

R1 1 4 5R2 0 1 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 109

Στάδιο 4 R1larrminus4R2+R1

R1 1 0 minus3R2 0 1 2

Το αρχικό σύστημα εξισώσεων μετατρέπεται σε διαγώνιαμορφή όπως πιο κάτω

X =minus3Y = 2

το οποίο δίνει τη λύση του συστήματος

Ε Ι Κοντογιώργης copy 110

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 I

Το σύστημα εξισώσεων 3times3 μετετρέπεται σε διαγώνιαμορφή Η μετατροπή γίνεται στήλη με στήλη από τααριστερά προς τα δεξιά

Π Θεωρήστε το σύστημα 3times3

X1 + X2 + X3 = 2X1 minus 3X2 + 2X3 = 7

4X1 minus 2X2 minus X3 = 9

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να γραφτεί ως

Ε Ι Κοντογιώργης copy 111

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 II

1 1 1 21 minus3 2 74 minus2 minus1 9

Ε Ι Κοντογιώργης copy 112

Ανισότητες II

I ygtx

Κάνετε δοκιμή με ένα σημείο να δείτε κατά πόσοικανοποιεί την ανισότητα Εάν ναι τότε σκιάστε τηνπεριοχή αυτή του σχεδιαγράμματος διαφορετικά σκιάστετην άλλη πλευρά

Ε Ι Κοντογιώργης copy 79

Ανισότητες III

I yltx

Ε Ι Κοντογιώργης copy 80

Ανισότητες IV

I yle 5x+1 και ygt5x+1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 81

Ανισότητες V

I yge x2 και yle x2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 82

Ανισότητες VI

I ygtx3 και yle x3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 83

Συστήματα Γραμμικών ΕξισώσεωνΠεριεχόμενα

1 Ε

2 Γ Α

ΑναφορέςΚεφάλαια 4 και 5FS Budnick Applied Mathematics for Business Economicsand the Social Sciences 4th edition McGraw-Hill 1993

Ε Ι Κοντογιώργης copy 84

Συστήματα Εξισώσεων

I ´Ενα σύστημα εξισώσεων συνδυάζει περισσότερες από μίαεξισώσεις

I ´Ενα σύστημα m εξισώσεων όπου κάθε εξίσωσηαποτελείται από n μεταβλητές ονομάζεται mtimesnσύστημα ή λέμε ότι έχει διαστάσεις mtimesn

I ΠαράδειγμαΠαρακάτω έχουμε ένα σύστημα 2times2

5X+10Y= 203X+4Y= 10

Οι μεταβλητές σε αυτή την περίπτωση είναι X και YΕ Ι Κοντογιώργης copy 85

Συστήματα Επίλυσης

I Το Σύστημα επίλυσης είναι μια σειρά τιμών μεταβλητώνπου ικανοποιούν το σύστημα ταυτόχρονα

I Σε μια σημειογραφική παράσταση το προηγούμενοπαράδειγμα μπορεί να γραφτεί ως εξής

S = (XY) | 5X+10Y = 20 και 3X+4Y = 10

I Το σύστημα επίλυσης μπορεί να είναι1 μηδενικό2 πεπερασμένο ή3 άπειρο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 86

2times2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική Ανάλυση

I Σε ένα δισδιάστατο γράφημα ένα σύστημα εξισώσεων2times2 αναπαρίστανται με ευθείες γραμμές Υπόρχουν τρίαενδεχόμενα

1 Οι ευθείες τέμνονται Το σημείο τομής αντιπροσωπεύει τηλύση του συστήματος εξισώσεων Αυτό το σημείοαλληλεπίδρασης είναι μια δέσμη τιμών X και Y που ικανοποιείκαι τις δύο εξισώσειςΕάν υπάρχει μόνο μια δέσμη τιμών για τις μεταβλητές που ναικανοποιεί το σύστημα εξισώσεων το σύστημα λέμε ότι έχειΜ Λ

2 Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες μεταξύ τους ∆εν έχουν κοινόσημείο Συνεπώς οι ευθείες δεν τέμνονται ποτέ Το σύστημαλέμε ότι ∆ ΛΑυτό υπονοεί ότι δεν υπάρχουν τιμές για τις μεταβλητές πουνα ικανοποιούν και τις δύο εξισώσεις Σε αυτή τηνπερίπτωση οι εξισώσεις στο σύστημα είναι Α

3 Και οι δύο εξισώσεις αναπαρίστανται ως μια κοινή ευθεία καιθεωρούνται ισοδύναμες εξισώσεις ´Ετσι το σύστημα έχειΑ Λ Αυτό συμβαίνει γιατί υπάρχει άπειροςαριθμός κοινών σημείων στις δύο γραμμές

Ε Ι Κοντογιώργης copy 87

I Π Θεωρείστε ένα σύστημα 2times22X+4Y= 203X+ Y= 10

I

X

Y

(24)

3X +Y = 10

2X +4Y = 20

0 2 4 6 8 10 12

2

4

6

8

10

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 88

I Το σημείο τομής δίνεται από το X= 2 και Y= 4Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές του X και Y στις δύοεξισώσεις δίνουν 20 = 20 και 10 = 10 αντίστοιχα

I Αυτό υποδειλώνει ότι X= 2 και Y= 4 είναι η σωστή λύση

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times23Xminus2Y= 6

minus15X+10Y=minus30

I

X

Y

(20)

(0minus3)

3X minus2Y = 6

minus15X +10Y =minus30

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 89

I Οι δύο εξισώσεις απλοποιούνται σε Xminus 23 Y= 2

Οι δύο εξισώσεις είναι ισοδύναμες και δίνουν έναπεπερασμένο αριθμό λύσεων έτσι ώστε

X= 0 Y =minus3X= 2 Y = 0X= 4 Y = 3

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times26Xminus12Y= 24

minus32X+3Y= 9

Οι εξισώσεις απλοποιούνται σεXminus2Y= 4Xminus2Y=minus6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 90

I

X

Y

(40)

(0minus2)

(minus60)

(03)

X minus2Y =minus6

X minus2Y = 4

0-0

I Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες και συνεπώς το σύστημαδεν έχει λύση ´Ετσι το σύστημα εξισώσεων είναιασύμπτωτο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 91

Περίληψη 2times2 Συστήματα Εξισώσεων∆ίνεται ένα Σύστημα Γραμμικών Εξισώσεων 2times2

Y=m1X+ c1Y=m2X+ c2

1 Υπάρχει μια στο σύστημα εάνm1 6= m2

2 ∆εν υπάρχει στο σύστημα εάνm1 = m2 και c1 6= c2

3 Υπάρχει εάνm1 = m2 και c1 = c2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 92

∆ιαδικασίες Απαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής χρησιμοποιεί πολλαπλασιασμόκαι πρόσθεση έτσι ώστε

1 Να απαλοιφεί μια από τις δύο μεταβλητές

2 Η εξίσωση που εξάγεται είναι συνάρτηση των υπόλοιπωνμεταβλητών

3 Αντικαθιστώντας την τιμή στην μεταβλητή σε μια από τιςαρχικές εξισώσεις βρίσκουμε την τιμή για τηναπολοιφθήσα μεταβλητή

Ε Ι Κοντογιώργης copy 93

ΠαραδείγματαI Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

2X +4Y = 20 (1)3X + Y = 10 (2)

Πολλαπλασιάζοντας τη δεύτερη εξίσωση με minus4 παίρνουμε

minus12X minus4Y =minus40 (3)

Προσθέτοντας την εξίσωση (1) στο (3)

2X + 4Y = 20minus12X minus 4Y = minus40minus10X = minus20

ή

X = 2 (4)Ε Ι Κοντογιώργης copy 94

Αντικαθιστώντας X= 2 στην εξίσωση (1) δίνεται2 middot2+4Y = 20 ή Y=4

´Ετσι η μοναδική λύση του συστήματος δίνεται από τοX= 2 και Y= 4 Μπορεί να επιβεβαιωθεί ότι αυτή είναι ησωστή λύση αντικαθιστώντας X= 2 και Y= 4 στηνεξίσωση (1) και (2)

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times23X minus2Y = 6 (5)

minus15X +10Y =minus30 (6)

Για την απαλοιφή της μεταβλητής X η εξίσωση (5)πολλαπλασιάζεται με 5 και το αποτέλεσμα προστίθεταιστην εξίσωση (6)

15X minus 10Y = 30minus15X + 10Y = minus30

0 = 0 Ε Ι Κοντογιώργης copy 95

Οι τελευταίες πράξεις υπονοούν ότι οι εξίσωσεις (5) και(6) είναι ισοδύναμες και έτσι υπάρχει άπειρος αριθμόςλύσεωνΓια να προσδιορίσουμε τις λύσεις του συστήματος μια απότις αρχικές εξισώσεις λύνεται ως προς μια μεταβλητή Ανγια παράδειγμα η εξίσωση (5) λύνεται ως προς Y δίνει

Y =32Xminus3

Σαν αποτέλεσμα γενικεύοντας τις λύσεις του συστήματοςέχουμε

X τυχαίο και Y =32Xminus3

Πχ για X= 4 υπονοείται ότι Y=32 middot4minus3 = 3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 96

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

6X minus12Y = 24 (7)

minus32X +3Y = 9 (8)

Πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση (8) με 4 καιπροσθέτοντας το αποτέλεσμα στην εξίσωση (7)παίρνουμε

6X minus 12Y = 24minus6X + 12Y = 36

0 = 60

Η πιο πάνω αντιλογία υπονοεί ότι δεν υπάρχει λύση τουσυστήματος εξισώσεων

Ε Ι Κοντογιώργης copy 97

3times2 Συστήματα Εξισώσεων I

1 Μ Λ

X

Y

(32)

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minusY = 1

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 98

3times2 Συστήματα Εξισώσεων II

2 Α Λ

X

Y Εξις (1)Εξις (2)Εξις (3)

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 99

3times2 Συστήματα Εξισώσεων III3 Κ

(α) ´Οταν και οι τρεις εξισώσεις είναι παράλληλες

X

Y

2X minusY =minus8

2X minusY = 2

2X minusY = 12

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 100

3times2 Συστήματα Εξισώσεων IV(β) ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ τωνεξισώσεων

X

Y

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minus2Y =minus4

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 101

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική ΑνάλυσηΣε ένα γράφημα 2 διαστάσεων ένα σύστημα mtimes2(mgt2) εξισώσεων παριστάνεται με m ευθείες ´Οπωςσυμβαίνει στα συστήματα 2times2 υπάρχουν τρίαενδεχόμενα

1 ´Ολες οι ευθείες τέμνονται στο ίδιο σημείο και έτσιυπάρχει

2 ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ των mεξισώσεων Αυτό σημαίνει ότι όλες οι ευθείες είναιπαράλληλες Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα Λ

3 Οι m εξισώσεις είναι ισοδύναμες πχ παρασταίνονται σανμια ευθεία Σε αυτή την περίπτωση υπάρχει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 102

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων ∆ιαδικασίαΑπαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής για την επίλυση ενός συστήματοςmtimes2 μπορεί να περιγραφεί ως ακολούθωςΕπιλέξτε και λύστε σύστημα με δύο εξισώσεις

1 Εάν δεν υπάρχει λύση τότε ολόκληρο το σύστημα δεν έχειλύση

2 Εάν υπάρχει μοναδική λύση που ικανοποιεί τις υπόλοιπεςmminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα έχει μία μοναδική λύση

3 Εάν η λύση είναι μοναδική αλλά δεν ικανοποιεί τιςυπόλοιπες mminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα δεν έχει λύση

4 Εάν οι 2 λύσεις είναι ισοδύναμες απάλοιψτε τη μίααπό τις δύο εξισώσεις και ξεκινήστε από την αρχήλαμβάνοντας υπόψη ένα σύστημα (mminus1)times2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 103

ΠαράδείγμαI Θεωρείστε ένα σύστημα 5times2

XminusY= 1X+2Y=minus8

3Xminus2Y= 02Xminus5Y= 11minus4X+3Y=minus1

I Η λύση των πρώτων δύο εξισώσεων δίνετε απόY =minus3 και X =minus2

I Αντικαθιστώντας τη λύση στις υπόλοιπες τρεις εξισώσειςπαίρνετε αντίστοιχα

0 = 0 11 = 11 και minus1 =minus1I Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση

X=minus2 και Y=minus3Ε Ι Κοντογιώργης copy 104

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian

Η μέθοδος απολοιφής Gaussian μετατρέπει το αρχικόσύστημα εξισώσεων σε διαγώνια μορφή επαναλαμβάνονταςστις εξισώσεις τις ακόλουθες τρεις διαδικασίες

1 Πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης μεμια θετική σταθερά

2 Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού θα προστεθεί σεάλλη εξίσωση

3 Η σειρά των εξισώσεων μπορεί να αλλάξει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 105

ΠαράδείγμαΠ Θεωρείστε το σύστημα 2times2

2X minus 3Y = 7 (Εξ 1)X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με 12 για να πάρετε

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με minus1 καιπροσθέστε την στην (Εξ 2)

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

52Y =

152 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 106

Στάδιο 3 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 25

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

Y = 3 (Εξ 2)

Στάδιο 4 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 32 και

προσθέστε την στην (Εξ 1)

X = 1 (Εξ 1)Y = 3 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 107

Π Θεωρείστε το σύστημα 2times2

5X + 20Y = 254X minus 7Y =minus26

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να εκφραστεί ως

R1 5 20 25R2 4 minus7 minus26

Η κάθετη γραμμή χρησιμοποιείται για διαχωρισμό τηςαριστερής από τη δεξιά πλευρά των εξισώσεων Το Riυπονοεί τη γραμμή (Row) i

Ε Ι Κοντογιώργης copy 108

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάζουμε τη R1 με 15 και το θέτουμε

R1larr 15R1

R1 1 4 5R2 4 minus7 minus26

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάζουμε την R1 με minus4 και τηνπροσθέτουμε στην R2 Εν συντομίαR2larrminus4R1+R2

R1 1 4 5R2 0 minus23 minus46

Στάδιο 3 R2larrminus 123R2

R1 1 4 5R2 0 1 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 109

Στάδιο 4 R1larrminus4R2+R1

R1 1 0 minus3R2 0 1 2

Το αρχικό σύστημα εξισώσεων μετατρέπεται σε διαγώνιαμορφή όπως πιο κάτω

X =minus3Y = 2

το οποίο δίνει τη λύση του συστήματος

Ε Ι Κοντογιώργης copy 110

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 I

Το σύστημα εξισώσεων 3times3 μετετρέπεται σε διαγώνιαμορφή Η μετατροπή γίνεται στήλη με στήλη από τααριστερά προς τα δεξιά

Π Θεωρήστε το σύστημα 3times3

X1 + X2 + X3 = 2X1 minus 3X2 + 2X3 = 7

4X1 minus 2X2 minus X3 = 9

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να γραφτεί ως

Ε Ι Κοντογιώργης copy 111

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 II

1 1 1 21 minus3 2 74 minus2 minus1 9

Ε Ι Κοντογιώργης copy 112

Ανισότητες III

I yltx

Ε Ι Κοντογιώργης copy 80

Ανισότητες IV

I yle 5x+1 και ygt5x+1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 81

Ανισότητες V

I yge x2 και yle x2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 82

Ανισότητες VI

I ygtx3 και yle x3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 83

Συστήματα Γραμμικών ΕξισώσεωνΠεριεχόμενα

1 Ε

2 Γ Α

ΑναφορέςΚεφάλαια 4 και 5FS Budnick Applied Mathematics for Business Economicsand the Social Sciences 4th edition McGraw-Hill 1993

Ε Ι Κοντογιώργης copy 84

Συστήματα Εξισώσεων

I ´Ενα σύστημα εξισώσεων συνδυάζει περισσότερες από μίαεξισώσεις

I ´Ενα σύστημα m εξισώσεων όπου κάθε εξίσωσηαποτελείται από n μεταβλητές ονομάζεται mtimesnσύστημα ή λέμε ότι έχει διαστάσεις mtimesn

I ΠαράδειγμαΠαρακάτω έχουμε ένα σύστημα 2times2

5X+10Y= 203X+4Y= 10

Οι μεταβλητές σε αυτή την περίπτωση είναι X και YΕ Ι Κοντογιώργης copy 85

Συστήματα Επίλυσης

I Το Σύστημα επίλυσης είναι μια σειρά τιμών μεταβλητώνπου ικανοποιούν το σύστημα ταυτόχρονα

I Σε μια σημειογραφική παράσταση το προηγούμενοπαράδειγμα μπορεί να γραφτεί ως εξής

S = (XY) | 5X+10Y = 20 και 3X+4Y = 10

I Το σύστημα επίλυσης μπορεί να είναι1 μηδενικό2 πεπερασμένο ή3 άπειρο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 86

2times2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική Ανάλυση

I Σε ένα δισδιάστατο γράφημα ένα σύστημα εξισώσεων2times2 αναπαρίστανται με ευθείες γραμμές Υπόρχουν τρίαενδεχόμενα

1 Οι ευθείες τέμνονται Το σημείο τομής αντιπροσωπεύει τηλύση του συστήματος εξισώσεων Αυτό το σημείοαλληλεπίδρασης είναι μια δέσμη τιμών X και Y που ικανοποιείκαι τις δύο εξισώσειςΕάν υπάρχει μόνο μια δέσμη τιμών για τις μεταβλητές που ναικανοποιεί το σύστημα εξισώσεων το σύστημα λέμε ότι έχειΜ Λ

2 Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες μεταξύ τους ∆εν έχουν κοινόσημείο Συνεπώς οι ευθείες δεν τέμνονται ποτέ Το σύστημαλέμε ότι ∆ ΛΑυτό υπονοεί ότι δεν υπάρχουν τιμές για τις μεταβλητές πουνα ικανοποιούν και τις δύο εξισώσεις Σε αυτή τηνπερίπτωση οι εξισώσεις στο σύστημα είναι Α

3 Και οι δύο εξισώσεις αναπαρίστανται ως μια κοινή ευθεία καιθεωρούνται ισοδύναμες εξισώσεις ´Ετσι το σύστημα έχειΑ Λ Αυτό συμβαίνει γιατί υπάρχει άπειροςαριθμός κοινών σημείων στις δύο γραμμές

Ε Ι Κοντογιώργης copy 87

I Π Θεωρείστε ένα σύστημα 2times22X+4Y= 203X+ Y= 10

I

X

Y

(24)

3X +Y = 10

2X +4Y = 20

0 2 4 6 8 10 12

2

4

6

8

10

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 88

I Το σημείο τομής δίνεται από το X= 2 και Y= 4Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές του X και Y στις δύοεξισώσεις δίνουν 20 = 20 και 10 = 10 αντίστοιχα

I Αυτό υποδειλώνει ότι X= 2 και Y= 4 είναι η σωστή λύση

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times23Xminus2Y= 6

minus15X+10Y=minus30

I

X

Y

(20)

(0minus3)

3X minus2Y = 6

minus15X +10Y =minus30

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 89

I Οι δύο εξισώσεις απλοποιούνται σε Xminus 23 Y= 2

Οι δύο εξισώσεις είναι ισοδύναμες και δίνουν έναπεπερασμένο αριθμό λύσεων έτσι ώστε

X= 0 Y =minus3X= 2 Y = 0X= 4 Y = 3

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times26Xminus12Y= 24

minus32X+3Y= 9

Οι εξισώσεις απλοποιούνται σεXminus2Y= 4Xminus2Y=minus6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 90

I

X

Y

(40)

(0minus2)

(minus60)

(03)

X minus2Y =minus6

X minus2Y = 4

0-0

I Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες και συνεπώς το σύστημαδεν έχει λύση ´Ετσι το σύστημα εξισώσεων είναιασύμπτωτο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 91

Περίληψη 2times2 Συστήματα Εξισώσεων∆ίνεται ένα Σύστημα Γραμμικών Εξισώσεων 2times2

Y=m1X+ c1Y=m2X+ c2

1 Υπάρχει μια στο σύστημα εάνm1 6= m2

2 ∆εν υπάρχει στο σύστημα εάνm1 = m2 και c1 6= c2

3 Υπάρχει εάνm1 = m2 και c1 = c2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 92

∆ιαδικασίες Απαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής χρησιμοποιεί πολλαπλασιασμόκαι πρόσθεση έτσι ώστε

1 Να απαλοιφεί μια από τις δύο μεταβλητές

2 Η εξίσωση που εξάγεται είναι συνάρτηση των υπόλοιπωνμεταβλητών

3 Αντικαθιστώντας την τιμή στην μεταβλητή σε μια από τιςαρχικές εξισώσεις βρίσκουμε την τιμή για τηναπολοιφθήσα μεταβλητή

Ε Ι Κοντογιώργης copy 93

ΠαραδείγματαI Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

2X +4Y = 20 (1)3X + Y = 10 (2)

Πολλαπλασιάζοντας τη δεύτερη εξίσωση με minus4 παίρνουμε

minus12X minus4Y =minus40 (3)

Προσθέτοντας την εξίσωση (1) στο (3)

2X + 4Y = 20minus12X minus 4Y = minus40minus10X = minus20

ή

X = 2 (4)Ε Ι Κοντογιώργης copy 94

Αντικαθιστώντας X= 2 στην εξίσωση (1) δίνεται2 middot2+4Y = 20 ή Y=4

´Ετσι η μοναδική λύση του συστήματος δίνεται από τοX= 2 και Y= 4 Μπορεί να επιβεβαιωθεί ότι αυτή είναι ησωστή λύση αντικαθιστώντας X= 2 και Y= 4 στηνεξίσωση (1) και (2)

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times23X minus2Y = 6 (5)

minus15X +10Y =minus30 (6)

Για την απαλοιφή της μεταβλητής X η εξίσωση (5)πολλαπλασιάζεται με 5 και το αποτέλεσμα προστίθεταιστην εξίσωση (6)

15X minus 10Y = 30minus15X + 10Y = minus30

0 = 0 Ε Ι Κοντογιώργης copy 95

Οι τελευταίες πράξεις υπονοούν ότι οι εξίσωσεις (5) και(6) είναι ισοδύναμες και έτσι υπάρχει άπειρος αριθμόςλύσεωνΓια να προσδιορίσουμε τις λύσεις του συστήματος μια απότις αρχικές εξισώσεις λύνεται ως προς μια μεταβλητή Ανγια παράδειγμα η εξίσωση (5) λύνεται ως προς Y δίνει

Y =32Xminus3

Σαν αποτέλεσμα γενικεύοντας τις λύσεις του συστήματοςέχουμε

X τυχαίο και Y =32Xminus3

Πχ για X= 4 υπονοείται ότι Y=32 middot4minus3 = 3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 96

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

6X minus12Y = 24 (7)

minus32X +3Y = 9 (8)

Πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση (8) με 4 καιπροσθέτοντας το αποτέλεσμα στην εξίσωση (7)παίρνουμε

6X minus 12Y = 24minus6X + 12Y = 36

0 = 60

Η πιο πάνω αντιλογία υπονοεί ότι δεν υπάρχει λύση τουσυστήματος εξισώσεων

Ε Ι Κοντογιώργης copy 97

3times2 Συστήματα Εξισώσεων I

1 Μ Λ

X

Y

(32)

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minusY = 1

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 98

3times2 Συστήματα Εξισώσεων II

2 Α Λ

X

Y Εξις (1)Εξις (2)Εξις (3)

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 99

3times2 Συστήματα Εξισώσεων III3 Κ

(α) ´Οταν και οι τρεις εξισώσεις είναι παράλληλες

X

Y

2X minusY =minus8

2X minusY = 2

2X minusY = 12

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 100

3times2 Συστήματα Εξισώσεων IV(β) ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ τωνεξισώσεων

X

Y

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minus2Y =minus4

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 101

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική ΑνάλυσηΣε ένα γράφημα 2 διαστάσεων ένα σύστημα mtimes2(mgt2) εξισώσεων παριστάνεται με m ευθείες ´Οπωςσυμβαίνει στα συστήματα 2times2 υπάρχουν τρίαενδεχόμενα

1 ´Ολες οι ευθείες τέμνονται στο ίδιο σημείο και έτσιυπάρχει

2 ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ των mεξισώσεων Αυτό σημαίνει ότι όλες οι ευθείες είναιπαράλληλες Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα Λ

3 Οι m εξισώσεις είναι ισοδύναμες πχ παρασταίνονται σανμια ευθεία Σε αυτή την περίπτωση υπάρχει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 102

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων ∆ιαδικασίαΑπαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής για την επίλυση ενός συστήματοςmtimes2 μπορεί να περιγραφεί ως ακολούθωςΕπιλέξτε και λύστε σύστημα με δύο εξισώσεις

1 Εάν δεν υπάρχει λύση τότε ολόκληρο το σύστημα δεν έχειλύση

2 Εάν υπάρχει μοναδική λύση που ικανοποιεί τις υπόλοιπεςmminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα έχει μία μοναδική λύση

3 Εάν η λύση είναι μοναδική αλλά δεν ικανοποιεί τιςυπόλοιπες mminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα δεν έχει λύση

4 Εάν οι 2 λύσεις είναι ισοδύναμες απάλοιψτε τη μίααπό τις δύο εξισώσεις και ξεκινήστε από την αρχήλαμβάνοντας υπόψη ένα σύστημα (mminus1)times2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 103

ΠαράδείγμαI Θεωρείστε ένα σύστημα 5times2

XminusY= 1X+2Y=minus8

3Xminus2Y= 02Xminus5Y= 11minus4X+3Y=minus1

I Η λύση των πρώτων δύο εξισώσεων δίνετε απόY =minus3 και X =minus2

I Αντικαθιστώντας τη λύση στις υπόλοιπες τρεις εξισώσειςπαίρνετε αντίστοιχα

0 = 0 11 = 11 και minus1 =minus1I Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση

X=minus2 και Y=minus3Ε Ι Κοντογιώργης copy 104

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian

Η μέθοδος απολοιφής Gaussian μετατρέπει το αρχικόσύστημα εξισώσεων σε διαγώνια μορφή επαναλαμβάνονταςστις εξισώσεις τις ακόλουθες τρεις διαδικασίες

1 Πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης μεμια θετική σταθερά

2 Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού θα προστεθεί σεάλλη εξίσωση

3 Η σειρά των εξισώσεων μπορεί να αλλάξει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 105

ΠαράδείγμαΠ Θεωρείστε το σύστημα 2times2

2X minus 3Y = 7 (Εξ 1)X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με 12 για να πάρετε

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με minus1 καιπροσθέστε την στην (Εξ 2)

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

52Y =

152 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 106

Στάδιο 3 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 25

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

Y = 3 (Εξ 2)

Στάδιο 4 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 32 και

προσθέστε την στην (Εξ 1)

X = 1 (Εξ 1)Y = 3 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 107

Π Θεωρείστε το σύστημα 2times2

5X + 20Y = 254X minus 7Y =minus26

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να εκφραστεί ως

R1 5 20 25R2 4 minus7 minus26

Η κάθετη γραμμή χρησιμοποιείται για διαχωρισμό τηςαριστερής από τη δεξιά πλευρά των εξισώσεων Το Riυπονοεί τη γραμμή (Row) i

Ε Ι Κοντογιώργης copy 108

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάζουμε τη R1 με 15 και το θέτουμε

R1larr 15R1

R1 1 4 5R2 4 minus7 minus26

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάζουμε την R1 με minus4 και τηνπροσθέτουμε στην R2 Εν συντομίαR2larrminus4R1+R2

R1 1 4 5R2 0 minus23 minus46

Στάδιο 3 R2larrminus 123R2

R1 1 4 5R2 0 1 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 109

Στάδιο 4 R1larrminus4R2+R1

R1 1 0 minus3R2 0 1 2

Το αρχικό σύστημα εξισώσεων μετατρέπεται σε διαγώνιαμορφή όπως πιο κάτω

X =minus3Y = 2

το οποίο δίνει τη λύση του συστήματος

Ε Ι Κοντογιώργης copy 110

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 I

Το σύστημα εξισώσεων 3times3 μετετρέπεται σε διαγώνιαμορφή Η μετατροπή γίνεται στήλη με στήλη από τααριστερά προς τα δεξιά

Π Θεωρήστε το σύστημα 3times3

X1 + X2 + X3 = 2X1 minus 3X2 + 2X3 = 7

4X1 minus 2X2 minus X3 = 9

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να γραφτεί ως

Ε Ι Κοντογιώργης copy 111

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 II

1 1 1 21 minus3 2 74 minus2 minus1 9

Ε Ι Κοντογιώργης copy 112

Ανισότητες IV

I yle 5x+1 και ygt5x+1

Ε Ι Κοντογιώργης copy 81

Ανισότητες V

I yge x2 και yle x2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 82

Ανισότητες VI

I ygtx3 και yle x3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 83

Συστήματα Γραμμικών ΕξισώσεωνΠεριεχόμενα

1 Ε

2 Γ Α

ΑναφορέςΚεφάλαια 4 και 5FS Budnick Applied Mathematics for Business Economicsand the Social Sciences 4th edition McGraw-Hill 1993

Ε Ι Κοντογιώργης copy 84

Συστήματα Εξισώσεων

I ´Ενα σύστημα εξισώσεων συνδυάζει περισσότερες από μίαεξισώσεις

I ´Ενα σύστημα m εξισώσεων όπου κάθε εξίσωσηαποτελείται από n μεταβλητές ονομάζεται mtimesnσύστημα ή λέμε ότι έχει διαστάσεις mtimesn

I ΠαράδειγμαΠαρακάτω έχουμε ένα σύστημα 2times2

5X+10Y= 203X+4Y= 10

Οι μεταβλητές σε αυτή την περίπτωση είναι X και YΕ Ι Κοντογιώργης copy 85

Συστήματα Επίλυσης

I Το Σύστημα επίλυσης είναι μια σειρά τιμών μεταβλητώνπου ικανοποιούν το σύστημα ταυτόχρονα

I Σε μια σημειογραφική παράσταση το προηγούμενοπαράδειγμα μπορεί να γραφτεί ως εξής

S = (XY) | 5X+10Y = 20 και 3X+4Y = 10

I Το σύστημα επίλυσης μπορεί να είναι1 μηδενικό2 πεπερασμένο ή3 άπειρο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 86

2times2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική Ανάλυση

I Σε ένα δισδιάστατο γράφημα ένα σύστημα εξισώσεων2times2 αναπαρίστανται με ευθείες γραμμές Υπόρχουν τρίαενδεχόμενα

1 Οι ευθείες τέμνονται Το σημείο τομής αντιπροσωπεύει τηλύση του συστήματος εξισώσεων Αυτό το σημείοαλληλεπίδρασης είναι μια δέσμη τιμών X και Y που ικανοποιείκαι τις δύο εξισώσειςΕάν υπάρχει μόνο μια δέσμη τιμών για τις μεταβλητές που ναικανοποιεί το σύστημα εξισώσεων το σύστημα λέμε ότι έχειΜ Λ

2 Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες μεταξύ τους ∆εν έχουν κοινόσημείο Συνεπώς οι ευθείες δεν τέμνονται ποτέ Το σύστημαλέμε ότι ∆ ΛΑυτό υπονοεί ότι δεν υπάρχουν τιμές για τις μεταβλητές πουνα ικανοποιούν και τις δύο εξισώσεις Σε αυτή τηνπερίπτωση οι εξισώσεις στο σύστημα είναι Α

3 Και οι δύο εξισώσεις αναπαρίστανται ως μια κοινή ευθεία καιθεωρούνται ισοδύναμες εξισώσεις ´Ετσι το σύστημα έχειΑ Λ Αυτό συμβαίνει γιατί υπάρχει άπειροςαριθμός κοινών σημείων στις δύο γραμμές

Ε Ι Κοντογιώργης copy 87

I Π Θεωρείστε ένα σύστημα 2times22X+4Y= 203X+ Y= 10

I

X

Y

(24)

3X +Y = 10

2X +4Y = 20

0 2 4 6 8 10 12

2

4

6

8

10

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 88

I Το σημείο τομής δίνεται από το X= 2 και Y= 4Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές του X και Y στις δύοεξισώσεις δίνουν 20 = 20 και 10 = 10 αντίστοιχα

I Αυτό υποδειλώνει ότι X= 2 και Y= 4 είναι η σωστή λύση

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times23Xminus2Y= 6

minus15X+10Y=minus30

I

X

Y

(20)

(0minus3)

3X minus2Y = 6

minus15X +10Y =minus30

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 89

I Οι δύο εξισώσεις απλοποιούνται σε Xminus 23 Y= 2

Οι δύο εξισώσεις είναι ισοδύναμες και δίνουν έναπεπερασμένο αριθμό λύσεων έτσι ώστε

X= 0 Y =minus3X= 2 Y = 0X= 4 Y = 3

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times26Xminus12Y= 24

minus32X+3Y= 9

Οι εξισώσεις απλοποιούνται σεXminus2Y= 4Xminus2Y=minus6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 90

I

X

Y

(40)

(0minus2)

(minus60)

(03)

X minus2Y =minus6

X minus2Y = 4

0-0

I Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες και συνεπώς το σύστημαδεν έχει λύση ´Ετσι το σύστημα εξισώσεων είναιασύμπτωτο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 91

Περίληψη 2times2 Συστήματα Εξισώσεων∆ίνεται ένα Σύστημα Γραμμικών Εξισώσεων 2times2

Y=m1X+ c1Y=m2X+ c2

1 Υπάρχει μια στο σύστημα εάνm1 6= m2

2 ∆εν υπάρχει στο σύστημα εάνm1 = m2 και c1 6= c2

3 Υπάρχει εάνm1 = m2 και c1 = c2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 92

∆ιαδικασίες Απαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής χρησιμοποιεί πολλαπλασιασμόκαι πρόσθεση έτσι ώστε

1 Να απαλοιφεί μια από τις δύο μεταβλητές

2 Η εξίσωση που εξάγεται είναι συνάρτηση των υπόλοιπωνμεταβλητών

3 Αντικαθιστώντας την τιμή στην μεταβλητή σε μια από τιςαρχικές εξισώσεις βρίσκουμε την τιμή για τηναπολοιφθήσα μεταβλητή

Ε Ι Κοντογιώργης copy 93

ΠαραδείγματαI Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

2X +4Y = 20 (1)3X + Y = 10 (2)

Πολλαπλασιάζοντας τη δεύτερη εξίσωση με minus4 παίρνουμε

minus12X minus4Y =minus40 (3)

Προσθέτοντας την εξίσωση (1) στο (3)

2X + 4Y = 20minus12X minus 4Y = minus40minus10X = minus20

ή

X = 2 (4)Ε Ι Κοντογιώργης copy 94

Αντικαθιστώντας X= 2 στην εξίσωση (1) δίνεται2 middot2+4Y = 20 ή Y=4

´Ετσι η μοναδική λύση του συστήματος δίνεται από τοX= 2 και Y= 4 Μπορεί να επιβεβαιωθεί ότι αυτή είναι ησωστή λύση αντικαθιστώντας X= 2 και Y= 4 στηνεξίσωση (1) και (2)

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times23X minus2Y = 6 (5)

minus15X +10Y =minus30 (6)

Για την απαλοιφή της μεταβλητής X η εξίσωση (5)πολλαπλασιάζεται με 5 και το αποτέλεσμα προστίθεταιστην εξίσωση (6)

15X minus 10Y = 30minus15X + 10Y = minus30

0 = 0 Ε Ι Κοντογιώργης copy 95

Οι τελευταίες πράξεις υπονοούν ότι οι εξίσωσεις (5) και(6) είναι ισοδύναμες και έτσι υπάρχει άπειρος αριθμόςλύσεωνΓια να προσδιορίσουμε τις λύσεις του συστήματος μια απότις αρχικές εξισώσεις λύνεται ως προς μια μεταβλητή Ανγια παράδειγμα η εξίσωση (5) λύνεται ως προς Y δίνει

Y =32Xminus3

Σαν αποτέλεσμα γενικεύοντας τις λύσεις του συστήματοςέχουμε

X τυχαίο και Y =32Xminus3

Πχ για X= 4 υπονοείται ότι Y=32 middot4minus3 = 3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 96

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

6X minus12Y = 24 (7)

minus32X +3Y = 9 (8)

Πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση (8) με 4 καιπροσθέτοντας το αποτέλεσμα στην εξίσωση (7)παίρνουμε

6X minus 12Y = 24minus6X + 12Y = 36

0 = 60

Η πιο πάνω αντιλογία υπονοεί ότι δεν υπάρχει λύση τουσυστήματος εξισώσεων

Ε Ι Κοντογιώργης copy 97

3times2 Συστήματα Εξισώσεων I

1 Μ Λ

X

Y

(32)

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minusY = 1

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 98

3times2 Συστήματα Εξισώσεων II

2 Α Λ

X

Y Εξις (1)Εξις (2)Εξις (3)

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 99

3times2 Συστήματα Εξισώσεων III3 Κ

(α) ´Οταν και οι τρεις εξισώσεις είναι παράλληλες

X

Y

2X minusY =minus8

2X minusY = 2

2X minusY = 12

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 100

3times2 Συστήματα Εξισώσεων IV(β) ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ τωνεξισώσεων

X

Y

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minus2Y =minus4

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 101

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική ΑνάλυσηΣε ένα γράφημα 2 διαστάσεων ένα σύστημα mtimes2(mgt2) εξισώσεων παριστάνεται με m ευθείες ´Οπωςσυμβαίνει στα συστήματα 2times2 υπάρχουν τρίαενδεχόμενα

1 ´Ολες οι ευθείες τέμνονται στο ίδιο σημείο και έτσιυπάρχει

2 ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ των mεξισώσεων Αυτό σημαίνει ότι όλες οι ευθείες είναιπαράλληλες Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα Λ

3 Οι m εξισώσεις είναι ισοδύναμες πχ παρασταίνονται σανμια ευθεία Σε αυτή την περίπτωση υπάρχει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 102

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων ∆ιαδικασίαΑπαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής για την επίλυση ενός συστήματοςmtimes2 μπορεί να περιγραφεί ως ακολούθωςΕπιλέξτε και λύστε σύστημα με δύο εξισώσεις

1 Εάν δεν υπάρχει λύση τότε ολόκληρο το σύστημα δεν έχειλύση

2 Εάν υπάρχει μοναδική λύση που ικανοποιεί τις υπόλοιπεςmminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα έχει μία μοναδική λύση

3 Εάν η λύση είναι μοναδική αλλά δεν ικανοποιεί τιςυπόλοιπες mminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα δεν έχει λύση

4 Εάν οι 2 λύσεις είναι ισοδύναμες απάλοιψτε τη μίααπό τις δύο εξισώσεις και ξεκινήστε από την αρχήλαμβάνοντας υπόψη ένα σύστημα (mminus1)times2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 103

ΠαράδείγμαI Θεωρείστε ένα σύστημα 5times2

XminusY= 1X+2Y=minus8

3Xminus2Y= 02Xminus5Y= 11minus4X+3Y=minus1

I Η λύση των πρώτων δύο εξισώσεων δίνετε απόY =minus3 και X =minus2

I Αντικαθιστώντας τη λύση στις υπόλοιπες τρεις εξισώσειςπαίρνετε αντίστοιχα

0 = 0 11 = 11 και minus1 =minus1I Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση

X=minus2 και Y=minus3Ε Ι Κοντογιώργης copy 104

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian

Η μέθοδος απολοιφής Gaussian μετατρέπει το αρχικόσύστημα εξισώσεων σε διαγώνια μορφή επαναλαμβάνονταςστις εξισώσεις τις ακόλουθες τρεις διαδικασίες

1 Πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης μεμια θετική σταθερά

2 Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού θα προστεθεί σεάλλη εξίσωση

3 Η σειρά των εξισώσεων μπορεί να αλλάξει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 105

ΠαράδείγμαΠ Θεωρείστε το σύστημα 2times2

2X minus 3Y = 7 (Εξ 1)X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με 12 για να πάρετε

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με minus1 καιπροσθέστε την στην (Εξ 2)

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

52Y =

152 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 106

Στάδιο 3 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 25

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

Y = 3 (Εξ 2)

Στάδιο 4 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 32 και

προσθέστε την στην (Εξ 1)

X = 1 (Εξ 1)Y = 3 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 107

Π Θεωρείστε το σύστημα 2times2

5X + 20Y = 254X minus 7Y =minus26

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να εκφραστεί ως

R1 5 20 25R2 4 minus7 minus26

Η κάθετη γραμμή χρησιμοποιείται για διαχωρισμό τηςαριστερής από τη δεξιά πλευρά των εξισώσεων Το Riυπονοεί τη γραμμή (Row) i

Ε Ι Κοντογιώργης copy 108

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάζουμε τη R1 με 15 και το θέτουμε

R1larr 15R1

R1 1 4 5R2 4 minus7 minus26

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάζουμε την R1 με minus4 και τηνπροσθέτουμε στην R2 Εν συντομίαR2larrminus4R1+R2

R1 1 4 5R2 0 minus23 minus46

Στάδιο 3 R2larrminus 123R2

R1 1 4 5R2 0 1 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 109

Στάδιο 4 R1larrminus4R2+R1

R1 1 0 minus3R2 0 1 2

Το αρχικό σύστημα εξισώσεων μετατρέπεται σε διαγώνιαμορφή όπως πιο κάτω

X =minus3Y = 2

το οποίο δίνει τη λύση του συστήματος

Ε Ι Κοντογιώργης copy 110

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 I

Το σύστημα εξισώσεων 3times3 μετετρέπεται σε διαγώνιαμορφή Η μετατροπή γίνεται στήλη με στήλη από τααριστερά προς τα δεξιά

Π Θεωρήστε το σύστημα 3times3

X1 + X2 + X3 = 2X1 minus 3X2 + 2X3 = 7

4X1 minus 2X2 minus X3 = 9

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να γραφτεί ως

Ε Ι Κοντογιώργης copy 111

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 II

1 1 1 21 minus3 2 74 minus2 minus1 9

Ε Ι Κοντογιώργης copy 112

Ανισότητες V

I yge x2 και yle x2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 82

Ανισότητες VI

I ygtx3 και yle x3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 83

Συστήματα Γραμμικών ΕξισώσεωνΠεριεχόμενα

1 Ε

2 Γ Α

ΑναφορέςΚεφάλαια 4 και 5FS Budnick Applied Mathematics for Business Economicsand the Social Sciences 4th edition McGraw-Hill 1993

Ε Ι Κοντογιώργης copy 84

Συστήματα Εξισώσεων

I ´Ενα σύστημα εξισώσεων συνδυάζει περισσότερες από μίαεξισώσεις

I ´Ενα σύστημα m εξισώσεων όπου κάθε εξίσωσηαποτελείται από n μεταβλητές ονομάζεται mtimesnσύστημα ή λέμε ότι έχει διαστάσεις mtimesn

I ΠαράδειγμαΠαρακάτω έχουμε ένα σύστημα 2times2

5X+10Y= 203X+4Y= 10

Οι μεταβλητές σε αυτή την περίπτωση είναι X και YΕ Ι Κοντογιώργης copy 85

Συστήματα Επίλυσης

I Το Σύστημα επίλυσης είναι μια σειρά τιμών μεταβλητώνπου ικανοποιούν το σύστημα ταυτόχρονα

I Σε μια σημειογραφική παράσταση το προηγούμενοπαράδειγμα μπορεί να γραφτεί ως εξής

S = (XY) | 5X+10Y = 20 και 3X+4Y = 10

I Το σύστημα επίλυσης μπορεί να είναι1 μηδενικό2 πεπερασμένο ή3 άπειρο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 86

2times2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική Ανάλυση

I Σε ένα δισδιάστατο γράφημα ένα σύστημα εξισώσεων2times2 αναπαρίστανται με ευθείες γραμμές Υπόρχουν τρίαενδεχόμενα

1 Οι ευθείες τέμνονται Το σημείο τομής αντιπροσωπεύει τηλύση του συστήματος εξισώσεων Αυτό το σημείοαλληλεπίδρασης είναι μια δέσμη τιμών X και Y που ικανοποιείκαι τις δύο εξισώσειςΕάν υπάρχει μόνο μια δέσμη τιμών για τις μεταβλητές που ναικανοποιεί το σύστημα εξισώσεων το σύστημα λέμε ότι έχειΜ Λ

2 Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες μεταξύ τους ∆εν έχουν κοινόσημείο Συνεπώς οι ευθείες δεν τέμνονται ποτέ Το σύστημαλέμε ότι ∆ ΛΑυτό υπονοεί ότι δεν υπάρχουν τιμές για τις μεταβλητές πουνα ικανοποιούν και τις δύο εξισώσεις Σε αυτή τηνπερίπτωση οι εξισώσεις στο σύστημα είναι Α

3 Και οι δύο εξισώσεις αναπαρίστανται ως μια κοινή ευθεία καιθεωρούνται ισοδύναμες εξισώσεις ´Ετσι το σύστημα έχειΑ Λ Αυτό συμβαίνει γιατί υπάρχει άπειροςαριθμός κοινών σημείων στις δύο γραμμές

Ε Ι Κοντογιώργης copy 87

I Π Θεωρείστε ένα σύστημα 2times22X+4Y= 203X+ Y= 10

I

X

Y

(24)

3X +Y = 10

2X +4Y = 20

0 2 4 6 8 10 12

2

4

6

8

10

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 88

I Το σημείο τομής δίνεται από το X= 2 και Y= 4Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές του X και Y στις δύοεξισώσεις δίνουν 20 = 20 και 10 = 10 αντίστοιχα

I Αυτό υποδειλώνει ότι X= 2 και Y= 4 είναι η σωστή λύση

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times23Xminus2Y= 6

minus15X+10Y=minus30

I

X

Y

(20)

(0minus3)

3X minus2Y = 6

minus15X +10Y =minus30

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 89

I Οι δύο εξισώσεις απλοποιούνται σε Xminus 23 Y= 2

Οι δύο εξισώσεις είναι ισοδύναμες και δίνουν έναπεπερασμένο αριθμό λύσεων έτσι ώστε

X= 0 Y =minus3X= 2 Y = 0X= 4 Y = 3

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times26Xminus12Y= 24

minus32X+3Y= 9

Οι εξισώσεις απλοποιούνται σεXminus2Y= 4Xminus2Y=minus6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 90

I

X

Y

(40)

(0minus2)

(minus60)

(03)

X minus2Y =minus6

X minus2Y = 4

0-0

I Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες και συνεπώς το σύστημαδεν έχει λύση ´Ετσι το σύστημα εξισώσεων είναιασύμπτωτο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 91

Περίληψη 2times2 Συστήματα Εξισώσεων∆ίνεται ένα Σύστημα Γραμμικών Εξισώσεων 2times2

Y=m1X+ c1Y=m2X+ c2

1 Υπάρχει μια στο σύστημα εάνm1 6= m2

2 ∆εν υπάρχει στο σύστημα εάνm1 = m2 και c1 6= c2

3 Υπάρχει εάνm1 = m2 και c1 = c2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 92

∆ιαδικασίες Απαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής χρησιμοποιεί πολλαπλασιασμόκαι πρόσθεση έτσι ώστε

1 Να απαλοιφεί μια από τις δύο μεταβλητές

2 Η εξίσωση που εξάγεται είναι συνάρτηση των υπόλοιπωνμεταβλητών

3 Αντικαθιστώντας την τιμή στην μεταβλητή σε μια από τιςαρχικές εξισώσεις βρίσκουμε την τιμή για τηναπολοιφθήσα μεταβλητή

Ε Ι Κοντογιώργης copy 93

ΠαραδείγματαI Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

2X +4Y = 20 (1)3X + Y = 10 (2)

Πολλαπλασιάζοντας τη δεύτερη εξίσωση με minus4 παίρνουμε

minus12X minus4Y =minus40 (3)

Προσθέτοντας την εξίσωση (1) στο (3)

2X + 4Y = 20minus12X minus 4Y = minus40minus10X = minus20

ή

X = 2 (4)Ε Ι Κοντογιώργης copy 94

Αντικαθιστώντας X= 2 στην εξίσωση (1) δίνεται2 middot2+4Y = 20 ή Y=4

´Ετσι η μοναδική λύση του συστήματος δίνεται από τοX= 2 και Y= 4 Μπορεί να επιβεβαιωθεί ότι αυτή είναι ησωστή λύση αντικαθιστώντας X= 2 και Y= 4 στηνεξίσωση (1) και (2)

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times23X minus2Y = 6 (5)

minus15X +10Y =minus30 (6)

Για την απαλοιφή της μεταβλητής X η εξίσωση (5)πολλαπλασιάζεται με 5 και το αποτέλεσμα προστίθεταιστην εξίσωση (6)

15X minus 10Y = 30minus15X + 10Y = minus30

0 = 0 Ε Ι Κοντογιώργης copy 95

Οι τελευταίες πράξεις υπονοούν ότι οι εξίσωσεις (5) και(6) είναι ισοδύναμες και έτσι υπάρχει άπειρος αριθμόςλύσεωνΓια να προσδιορίσουμε τις λύσεις του συστήματος μια απότις αρχικές εξισώσεις λύνεται ως προς μια μεταβλητή Ανγια παράδειγμα η εξίσωση (5) λύνεται ως προς Y δίνει

Y =32Xminus3

Σαν αποτέλεσμα γενικεύοντας τις λύσεις του συστήματοςέχουμε

X τυχαίο και Y =32Xminus3

Πχ για X= 4 υπονοείται ότι Y=32 middot4minus3 = 3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 96

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

6X minus12Y = 24 (7)

minus32X +3Y = 9 (8)

Πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση (8) με 4 καιπροσθέτοντας το αποτέλεσμα στην εξίσωση (7)παίρνουμε

6X minus 12Y = 24minus6X + 12Y = 36

0 = 60

Η πιο πάνω αντιλογία υπονοεί ότι δεν υπάρχει λύση τουσυστήματος εξισώσεων

Ε Ι Κοντογιώργης copy 97

3times2 Συστήματα Εξισώσεων I

1 Μ Λ

X

Y

(32)

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minusY = 1

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 98

3times2 Συστήματα Εξισώσεων II

2 Α Λ

X

Y Εξις (1)Εξις (2)Εξις (3)

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 99

3times2 Συστήματα Εξισώσεων III3 Κ

(α) ´Οταν και οι τρεις εξισώσεις είναι παράλληλες

X

Y

2X minusY =minus8

2X minusY = 2

2X minusY = 12

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 100

3times2 Συστήματα Εξισώσεων IV(β) ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ τωνεξισώσεων

X

Y

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minus2Y =minus4

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 101

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική ΑνάλυσηΣε ένα γράφημα 2 διαστάσεων ένα σύστημα mtimes2(mgt2) εξισώσεων παριστάνεται με m ευθείες ´Οπωςσυμβαίνει στα συστήματα 2times2 υπάρχουν τρίαενδεχόμενα

1 ´Ολες οι ευθείες τέμνονται στο ίδιο σημείο και έτσιυπάρχει

2 ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ των mεξισώσεων Αυτό σημαίνει ότι όλες οι ευθείες είναιπαράλληλες Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα Λ

3 Οι m εξισώσεις είναι ισοδύναμες πχ παρασταίνονται σανμια ευθεία Σε αυτή την περίπτωση υπάρχει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 102

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων ∆ιαδικασίαΑπαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής για την επίλυση ενός συστήματοςmtimes2 μπορεί να περιγραφεί ως ακολούθωςΕπιλέξτε και λύστε σύστημα με δύο εξισώσεις

1 Εάν δεν υπάρχει λύση τότε ολόκληρο το σύστημα δεν έχειλύση

2 Εάν υπάρχει μοναδική λύση που ικανοποιεί τις υπόλοιπεςmminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα έχει μία μοναδική λύση

3 Εάν η λύση είναι μοναδική αλλά δεν ικανοποιεί τιςυπόλοιπες mminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα δεν έχει λύση

4 Εάν οι 2 λύσεις είναι ισοδύναμες απάλοιψτε τη μίααπό τις δύο εξισώσεις και ξεκινήστε από την αρχήλαμβάνοντας υπόψη ένα σύστημα (mminus1)times2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 103

ΠαράδείγμαI Θεωρείστε ένα σύστημα 5times2

XminusY= 1X+2Y=minus8

3Xminus2Y= 02Xminus5Y= 11minus4X+3Y=minus1

I Η λύση των πρώτων δύο εξισώσεων δίνετε απόY =minus3 και X =minus2

I Αντικαθιστώντας τη λύση στις υπόλοιπες τρεις εξισώσειςπαίρνετε αντίστοιχα

0 = 0 11 = 11 και minus1 =minus1I Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση

X=minus2 και Y=minus3Ε Ι Κοντογιώργης copy 104

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian

Η μέθοδος απολοιφής Gaussian μετατρέπει το αρχικόσύστημα εξισώσεων σε διαγώνια μορφή επαναλαμβάνονταςστις εξισώσεις τις ακόλουθες τρεις διαδικασίες

1 Πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης μεμια θετική σταθερά

2 Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού θα προστεθεί σεάλλη εξίσωση

3 Η σειρά των εξισώσεων μπορεί να αλλάξει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 105

ΠαράδείγμαΠ Θεωρείστε το σύστημα 2times2

2X minus 3Y = 7 (Εξ 1)X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με 12 για να πάρετε

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με minus1 καιπροσθέστε την στην (Εξ 2)

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

52Y =

152 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 106

Στάδιο 3 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 25

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

Y = 3 (Εξ 2)

Στάδιο 4 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 32 και

προσθέστε την στην (Εξ 1)

X = 1 (Εξ 1)Y = 3 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 107

Π Θεωρείστε το σύστημα 2times2

5X + 20Y = 254X minus 7Y =minus26

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να εκφραστεί ως

R1 5 20 25R2 4 minus7 minus26

Η κάθετη γραμμή χρησιμοποιείται για διαχωρισμό τηςαριστερής από τη δεξιά πλευρά των εξισώσεων Το Riυπονοεί τη γραμμή (Row) i

Ε Ι Κοντογιώργης copy 108

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάζουμε τη R1 με 15 και το θέτουμε

R1larr 15R1

R1 1 4 5R2 4 minus7 minus26

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάζουμε την R1 με minus4 και τηνπροσθέτουμε στην R2 Εν συντομίαR2larrminus4R1+R2

R1 1 4 5R2 0 minus23 minus46

Στάδιο 3 R2larrminus 123R2

R1 1 4 5R2 0 1 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 109

Στάδιο 4 R1larrminus4R2+R1

R1 1 0 minus3R2 0 1 2

Το αρχικό σύστημα εξισώσεων μετατρέπεται σε διαγώνιαμορφή όπως πιο κάτω

X =minus3Y = 2

το οποίο δίνει τη λύση του συστήματος

Ε Ι Κοντογιώργης copy 110

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 I

Το σύστημα εξισώσεων 3times3 μετετρέπεται σε διαγώνιαμορφή Η μετατροπή γίνεται στήλη με στήλη από τααριστερά προς τα δεξιά

Π Θεωρήστε το σύστημα 3times3

X1 + X2 + X3 = 2X1 minus 3X2 + 2X3 = 7

4X1 minus 2X2 minus X3 = 9

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να γραφτεί ως

Ε Ι Κοντογιώργης copy 111

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 II

1 1 1 21 minus3 2 74 minus2 minus1 9

Ε Ι Κοντογιώργης copy 112

Ανισότητες VI

I ygtx3 και yle x3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 83

Συστήματα Γραμμικών ΕξισώσεωνΠεριεχόμενα

1 Ε

2 Γ Α

ΑναφορέςΚεφάλαια 4 και 5FS Budnick Applied Mathematics for Business Economicsand the Social Sciences 4th edition McGraw-Hill 1993

Ε Ι Κοντογιώργης copy 84

Συστήματα Εξισώσεων

I ´Ενα σύστημα εξισώσεων συνδυάζει περισσότερες από μίαεξισώσεις

I ´Ενα σύστημα m εξισώσεων όπου κάθε εξίσωσηαποτελείται από n μεταβλητές ονομάζεται mtimesnσύστημα ή λέμε ότι έχει διαστάσεις mtimesn

I ΠαράδειγμαΠαρακάτω έχουμε ένα σύστημα 2times2

5X+10Y= 203X+4Y= 10

Οι μεταβλητές σε αυτή την περίπτωση είναι X και YΕ Ι Κοντογιώργης copy 85

Συστήματα Επίλυσης

I Το Σύστημα επίλυσης είναι μια σειρά τιμών μεταβλητώνπου ικανοποιούν το σύστημα ταυτόχρονα

I Σε μια σημειογραφική παράσταση το προηγούμενοπαράδειγμα μπορεί να γραφτεί ως εξής

S = (XY) | 5X+10Y = 20 και 3X+4Y = 10

I Το σύστημα επίλυσης μπορεί να είναι1 μηδενικό2 πεπερασμένο ή3 άπειρο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 86

2times2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική Ανάλυση

I Σε ένα δισδιάστατο γράφημα ένα σύστημα εξισώσεων2times2 αναπαρίστανται με ευθείες γραμμές Υπόρχουν τρίαενδεχόμενα

1 Οι ευθείες τέμνονται Το σημείο τομής αντιπροσωπεύει τηλύση του συστήματος εξισώσεων Αυτό το σημείοαλληλεπίδρασης είναι μια δέσμη τιμών X και Y που ικανοποιείκαι τις δύο εξισώσειςΕάν υπάρχει μόνο μια δέσμη τιμών για τις μεταβλητές που ναικανοποιεί το σύστημα εξισώσεων το σύστημα λέμε ότι έχειΜ Λ

2 Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες μεταξύ τους ∆εν έχουν κοινόσημείο Συνεπώς οι ευθείες δεν τέμνονται ποτέ Το σύστημαλέμε ότι ∆ ΛΑυτό υπονοεί ότι δεν υπάρχουν τιμές για τις μεταβλητές πουνα ικανοποιούν και τις δύο εξισώσεις Σε αυτή τηνπερίπτωση οι εξισώσεις στο σύστημα είναι Α

3 Και οι δύο εξισώσεις αναπαρίστανται ως μια κοινή ευθεία καιθεωρούνται ισοδύναμες εξισώσεις ´Ετσι το σύστημα έχειΑ Λ Αυτό συμβαίνει γιατί υπάρχει άπειροςαριθμός κοινών σημείων στις δύο γραμμές

Ε Ι Κοντογιώργης copy 87

I Π Θεωρείστε ένα σύστημα 2times22X+4Y= 203X+ Y= 10

I

X

Y

(24)

3X +Y = 10

2X +4Y = 20

0 2 4 6 8 10 12

2

4

6

8

10

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 88

I Το σημείο τομής δίνεται από το X= 2 και Y= 4Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές του X και Y στις δύοεξισώσεις δίνουν 20 = 20 και 10 = 10 αντίστοιχα

I Αυτό υποδειλώνει ότι X= 2 και Y= 4 είναι η σωστή λύση

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times23Xminus2Y= 6

minus15X+10Y=minus30

I

X

Y

(20)

(0minus3)

3X minus2Y = 6

minus15X +10Y =minus30

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 89

I Οι δύο εξισώσεις απλοποιούνται σε Xminus 23 Y= 2

Οι δύο εξισώσεις είναι ισοδύναμες και δίνουν έναπεπερασμένο αριθμό λύσεων έτσι ώστε

X= 0 Y =minus3X= 2 Y = 0X= 4 Y = 3

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times26Xminus12Y= 24

minus32X+3Y= 9

Οι εξισώσεις απλοποιούνται σεXminus2Y= 4Xminus2Y=minus6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 90

I

X

Y

(40)

(0minus2)

(minus60)

(03)

X minus2Y =minus6

X minus2Y = 4

0-0

I Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες και συνεπώς το σύστημαδεν έχει λύση ´Ετσι το σύστημα εξισώσεων είναιασύμπτωτο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 91

Περίληψη 2times2 Συστήματα Εξισώσεων∆ίνεται ένα Σύστημα Γραμμικών Εξισώσεων 2times2

Y=m1X+ c1Y=m2X+ c2

1 Υπάρχει μια στο σύστημα εάνm1 6= m2

2 ∆εν υπάρχει στο σύστημα εάνm1 = m2 και c1 6= c2

3 Υπάρχει εάνm1 = m2 και c1 = c2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 92

∆ιαδικασίες Απαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής χρησιμοποιεί πολλαπλασιασμόκαι πρόσθεση έτσι ώστε

1 Να απαλοιφεί μια από τις δύο μεταβλητές

2 Η εξίσωση που εξάγεται είναι συνάρτηση των υπόλοιπωνμεταβλητών

3 Αντικαθιστώντας την τιμή στην μεταβλητή σε μια από τιςαρχικές εξισώσεις βρίσκουμε την τιμή για τηναπολοιφθήσα μεταβλητή

Ε Ι Κοντογιώργης copy 93

ΠαραδείγματαI Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

2X +4Y = 20 (1)3X + Y = 10 (2)

Πολλαπλασιάζοντας τη δεύτερη εξίσωση με minus4 παίρνουμε

minus12X minus4Y =minus40 (3)

Προσθέτοντας την εξίσωση (1) στο (3)

2X + 4Y = 20minus12X minus 4Y = minus40minus10X = minus20

ή

X = 2 (4)Ε Ι Κοντογιώργης copy 94

Αντικαθιστώντας X= 2 στην εξίσωση (1) δίνεται2 middot2+4Y = 20 ή Y=4

´Ετσι η μοναδική λύση του συστήματος δίνεται από τοX= 2 και Y= 4 Μπορεί να επιβεβαιωθεί ότι αυτή είναι ησωστή λύση αντικαθιστώντας X= 2 και Y= 4 στηνεξίσωση (1) και (2)

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times23X minus2Y = 6 (5)

minus15X +10Y =minus30 (6)

Για την απαλοιφή της μεταβλητής X η εξίσωση (5)πολλαπλασιάζεται με 5 και το αποτέλεσμα προστίθεταιστην εξίσωση (6)

15X minus 10Y = 30minus15X + 10Y = minus30

0 = 0 Ε Ι Κοντογιώργης copy 95

Οι τελευταίες πράξεις υπονοούν ότι οι εξίσωσεις (5) και(6) είναι ισοδύναμες και έτσι υπάρχει άπειρος αριθμόςλύσεωνΓια να προσδιορίσουμε τις λύσεις του συστήματος μια απότις αρχικές εξισώσεις λύνεται ως προς μια μεταβλητή Ανγια παράδειγμα η εξίσωση (5) λύνεται ως προς Y δίνει

Y =32Xminus3

Σαν αποτέλεσμα γενικεύοντας τις λύσεις του συστήματοςέχουμε

X τυχαίο και Y =32Xminus3

Πχ για X= 4 υπονοείται ότι Y=32 middot4minus3 = 3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 96

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

6X minus12Y = 24 (7)

minus32X +3Y = 9 (8)

Πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση (8) με 4 καιπροσθέτοντας το αποτέλεσμα στην εξίσωση (7)παίρνουμε

6X minus 12Y = 24minus6X + 12Y = 36

0 = 60

Η πιο πάνω αντιλογία υπονοεί ότι δεν υπάρχει λύση τουσυστήματος εξισώσεων

Ε Ι Κοντογιώργης copy 97

3times2 Συστήματα Εξισώσεων I

1 Μ Λ

X

Y

(32)

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minusY = 1

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 98

3times2 Συστήματα Εξισώσεων II

2 Α Λ

X

Y Εξις (1)Εξις (2)Εξις (3)

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 99

3times2 Συστήματα Εξισώσεων III3 Κ

(α) ´Οταν και οι τρεις εξισώσεις είναι παράλληλες

X

Y

2X minusY =minus8

2X minusY = 2

2X minusY = 12

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 100

3times2 Συστήματα Εξισώσεων IV(β) ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ τωνεξισώσεων

X

Y

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minus2Y =minus4

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 101

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική ΑνάλυσηΣε ένα γράφημα 2 διαστάσεων ένα σύστημα mtimes2(mgt2) εξισώσεων παριστάνεται με m ευθείες ´Οπωςσυμβαίνει στα συστήματα 2times2 υπάρχουν τρίαενδεχόμενα

1 ´Ολες οι ευθείες τέμνονται στο ίδιο σημείο και έτσιυπάρχει

2 ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ των mεξισώσεων Αυτό σημαίνει ότι όλες οι ευθείες είναιπαράλληλες Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα Λ

3 Οι m εξισώσεις είναι ισοδύναμες πχ παρασταίνονται σανμια ευθεία Σε αυτή την περίπτωση υπάρχει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 102

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων ∆ιαδικασίαΑπαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής για την επίλυση ενός συστήματοςmtimes2 μπορεί να περιγραφεί ως ακολούθωςΕπιλέξτε και λύστε σύστημα με δύο εξισώσεις

1 Εάν δεν υπάρχει λύση τότε ολόκληρο το σύστημα δεν έχειλύση

2 Εάν υπάρχει μοναδική λύση που ικανοποιεί τις υπόλοιπεςmminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα έχει μία μοναδική λύση

3 Εάν η λύση είναι μοναδική αλλά δεν ικανοποιεί τιςυπόλοιπες mminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα δεν έχει λύση

4 Εάν οι 2 λύσεις είναι ισοδύναμες απάλοιψτε τη μίααπό τις δύο εξισώσεις και ξεκινήστε από την αρχήλαμβάνοντας υπόψη ένα σύστημα (mminus1)times2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 103

ΠαράδείγμαI Θεωρείστε ένα σύστημα 5times2

XminusY= 1X+2Y=minus8

3Xminus2Y= 02Xminus5Y= 11minus4X+3Y=minus1

I Η λύση των πρώτων δύο εξισώσεων δίνετε απόY =minus3 και X =minus2

I Αντικαθιστώντας τη λύση στις υπόλοιπες τρεις εξισώσειςπαίρνετε αντίστοιχα

0 = 0 11 = 11 και minus1 =minus1I Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση

X=minus2 και Y=minus3Ε Ι Κοντογιώργης copy 104

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian

Η μέθοδος απολοιφής Gaussian μετατρέπει το αρχικόσύστημα εξισώσεων σε διαγώνια μορφή επαναλαμβάνονταςστις εξισώσεις τις ακόλουθες τρεις διαδικασίες

1 Πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης μεμια θετική σταθερά

2 Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού θα προστεθεί σεάλλη εξίσωση

3 Η σειρά των εξισώσεων μπορεί να αλλάξει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 105

ΠαράδείγμαΠ Θεωρείστε το σύστημα 2times2

2X minus 3Y = 7 (Εξ 1)X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με 12 για να πάρετε

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με minus1 καιπροσθέστε την στην (Εξ 2)

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

52Y =

152 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 106

Στάδιο 3 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 25

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

Y = 3 (Εξ 2)

Στάδιο 4 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 32 και

προσθέστε την στην (Εξ 1)

X = 1 (Εξ 1)Y = 3 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 107

Π Θεωρείστε το σύστημα 2times2

5X + 20Y = 254X minus 7Y =minus26

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να εκφραστεί ως

R1 5 20 25R2 4 minus7 minus26

Η κάθετη γραμμή χρησιμοποιείται για διαχωρισμό τηςαριστερής από τη δεξιά πλευρά των εξισώσεων Το Riυπονοεί τη γραμμή (Row) i

Ε Ι Κοντογιώργης copy 108

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάζουμε τη R1 με 15 και το θέτουμε

R1larr 15R1

R1 1 4 5R2 4 minus7 minus26

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάζουμε την R1 με minus4 και τηνπροσθέτουμε στην R2 Εν συντομίαR2larrminus4R1+R2

R1 1 4 5R2 0 minus23 minus46

Στάδιο 3 R2larrminus 123R2

R1 1 4 5R2 0 1 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 109

Στάδιο 4 R1larrminus4R2+R1

R1 1 0 minus3R2 0 1 2

Το αρχικό σύστημα εξισώσεων μετατρέπεται σε διαγώνιαμορφή όπως πιο κάτω

X =minus3Y = 2

το οποίο δίνει τη λύση του συστήματος

Ε Ι Κοντογιώργης copy 110

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 I

Το σύστημα εξισώσεων 3times3 μετετρέπεται σε διαγώνιαμορφή Η μετατροπή γίνεται στήλη με στήλη από τααριστερά προς τα δεξιά

Π Θεωρήστε το σύστημα 3times3

X1 + X2 + X3 = 2X1 minus 3X2 + 2X3 = 7

4X1 minus 2X2 minus X3 = 9

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να γραφτεί ως

Ε Ι Κοντογιώργης copy 111

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 II

1 1 1 21 minus3 2 74 minus2 minus1 9

Ε Ι Κοντογιώργης copy 112

Συστήματα Γραμμικών ΕξισώσεωνΠεριεχόμενα

1 Ε

2 Γ Α

ΑναφορέςΚεφάλαια 4 και 5FS Budnick Applied Mathematics for Business Economicsand the Social Sciences 4th edition McGraw-Hill 1993

Ε Ι Κοντογιώργης copy 84

Συστήματα Εξισώσεων

I ´Ενα σύστημα εξισώσεων συνδυάζει περισσότερες από μίαεξισώσεις

I ´Ενα σύστημα m εξισώσεων όπου κάθε εξίσωσηαποτελείται από n μεταβλητές ονομάζεται mtimesnσύστημα ή λέμε ότι έχει διαστάσεις mtimesn

I ΠαράδειγμαΠαρακάτω έχουμε ένα σύστημα 2times2

5X+10Y= 203X+4Y= 10

Οι μεταβλητές σε αυτή την περίπτωση είναι X και YΕ Ι Κοντογιώργης copy 85

Συστήματα Επίλυσης

I Το Σύστημα επίλυσης είναι μια σειρά τιμών μεταβλητώνπου ικανοποιούν το σύστημα ταυτόχρονα

I Σε μια σημειογραφική παράσταση το προηγούμενοπαράδειγμα μπορεί να γραφτεί ως εξής

S = (XY) | 5X+10Y = 20 και 3X+4Y = 10

I Το σύστημα επίλυσης μπορεί να είναι1 μηδενικό2 πεπερασμένο ή3 άπειρο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 86

2times2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική Ανάλυση

I Σε ένα δισδιάστατο γράφημα ένα σύστημα εξισώσεων2times2 αναπαρίστανται με ευθείες γραμμές Υπόρχουν τρίαενδεχόμενα

1 Οι ευθείες τέμνονται Το σημείο τομής αντιπροσωπεύει τηλύση του συστήματος εξισώσεων Αυτό το σημείοαλληλεπίδρασης είναι μια δέσμη τιμών X και Y που ικανοποιείκαι τις δύο εξισώσειςΕάν υπάρχει μόνο μια δέσμη τιμών για τις μεταβλητές που ναικανοποιεί το σύστημα εξισώσεων το σύστημα λέμε ότι έχειΜ Λ

2 Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες μεταξύ τους ∆εν έχουν κοινόσημείο Συνεπώς οι ευθείες δεν τέμνονται ποτέ Το σύστημαλέμε ότι ∆ ΛΑυτό υπονοεί ότι δεν υπάρχουν τιμές για τις μεταβλητές πουνα ικανοποιούν και τις δύο εξισώσεις Σε αυτή τηνπερίπτωση οι εξισώσεις στο σύστημα είναι Α

3 Και οι δύο εξισώσεις αναπαρίστανται ως μια κοινή ευθεία καιθεωρούνται ισοδύναμες εξισώσεις ´Ετσι το σύστημα έχειΑ Λ Αυτό συμβαίνει γιατί υπάρχει άπειροςαριθμός κοινών σημείων στις δύο γραμμές

Ε Ι Κοντογιώργης copy 87

I Π Θεωρείστε ένα σύστημα 2times22X+4Y= 203X+ Y= 10

I

X

Y

(24)

3X +Y = 10

2X +4Y = 20

0 2 4 6 8 10 12

2

4

6

8

10

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 88

I Το σημείο τομής δίνεται από το X= 2 και Y= 4Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές του X και Y στις δύοεξισώσεις δίνουν 20 = 20 και 10 = 10 αντίστοιχα

I Αυτό υποδειλώνει ότι X= 2 και Y= 4 είναι η σωστή λύση

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times23Xminus2Y= 6

minus15X+10Y=minus30

I

X

Y

(20)

(0minus3)

3X minus2Y = 6

minus15X +10Y =minus30

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 89

I Οι δύο εξισώσεις απλοποιούνται σε Xminus 23 Y= 2

Οι δύο εξισώσεις είναι ισοδύναμες και δίνουν έναπεπερασμένο αριθμό λύσεων έτσι ώστε

X= 0 Y =minus3X= 2 Y = 0X= 4 Y = 3

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times26Xminus12Y= 24

minus32X+3Y= 9

Οι εξισώσεις απλοποιούνται σεXminus2Y= 4Xminus2Y=minus6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 90

I

X

Y

(40)

(0minus2)

(minus60)

(03)

X minus2Y =minus6

X minus2Y = 4

0-0

I Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες και συνεπώς το σύστημαδεν έχει λύση ´Ετσι το σύστημα εξισώσεων είναιασύμπτωτο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 91

Περίληψη 2times2 Συστήματα Εξισώσεων∆ίνεται ένα Σύστημα Γραμμικών Εξισώσεων 2times2

Y=m1X+ c1Y=m2X+ c2

1 Υπάρχει μια στο σύστημα εάνm1 6= m2

2 ∆εν υπάρχει στο σύστημα εάνm1 = m2 και c1 6= c2

3 Υπάρχει εάνm1 = m2 και c1 = c2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 92

∆ιαδικασίες Απαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής χρησιμοποιεί πολλαπλασιασμόκαι πρόσθεση έτσι ώστε

1 Να απαλοιφεί μια από τις δύο μεταβλητές

2 Η εξίσωση που εξάγεται είναι συνάρτηση των υπόλοιπωνμεταβλητών

3 Αντικαθιστώντας την τιμή στην μεταβλητή σε μια από τιςαρχικές εξισώσεις βρίσκουμε την τιμή για τηναπολοιφθήσα μεταβλητή

Ε Ι Κοντογιώργης copy 93

ΠαραδείγματαI Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

2X +4Y = 20 (1)3X + Y = 10 (2)

Πολλαπλασιάζοντας τη δεύτερη εξίσωση με minus4 παίρνουμε

minus12X minus4Y =minus40 (3)

Προσθέτοντας την εξίσωση (1) στο (3)

2X + 4Y = 20minus12X minus 4Y = minus40minus10X = minus20

ή

X = 2 (4)Ε Ι Κοντογιώργης copy 94

Αντικαθιστώντας X= 2 στην εξίσωση (1) δίνεται2 middot2+4Y = 20 ή Y=4

´Ετσι η μοναδική λύση του συστήματος δίνεται από τοX= 2 και Y= 4 Μπορεί να επιβεβαιωθεί ότι αυτή είναι ησωστή λύση αντικαθιστώντας X= 2 και Y= 4 στηνεξίσωση (1) και (2)

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times23X minus2Y = 6 (5)

minus15X +10Y =minus30 (6)

Για την απαλοιφή της μεταβλητής X η εξίσωση (5)πολλαπλασιάζεται με 5 και το αποτέλεσμα προστίθεταιστην εξίσωση (6)

15X minus 10Y = 30minus15X + 10Y = minus30

0 = 0 Ε Ι Κοντογιώργης copy 95

Οι τελευταίες πράξεις υπονοούν ότι οι εξίσωσεις (5) και(6) είναι ισοδύναμες και έτσι υπάρχει άπειρος αριθμόςλύσεωνΓια να προσδιορίσουμε τις λύσεις του συστήματος μια απότις αρχικές εξισώσεις λύνεται ως προς μια μεταβλητή Ανγια παράδειγμα η εξίσωση (5) λύνεται ως προς Y δίνει

Y =32Xminus3

Σαν αποτέλεσμα γενικεύοντας τις λύσεις του συστήματοςέχουμε

X τυχαίο και Y =32Xminus3

Πχ για X= 4 υπονοείται ότι Y=32 middot4minus3 = 3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 96

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

6X minus12Y = 24 (7)

minus32X +3Y = 9 (8)

Πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση (8) με 4 καιπροσθέτοντας το αποτέλεσμα στην εξίσωση (7)παίρνουμε

6X minus 12Y = 24minus6X + 12Y = 36

0 = 60

Η πιο πάνω αντιλογία υπονοεί ότι δεν υπάρχει λύση τουσυστήματος εξισώσεων

Ε Ι Κοντογιώργης copy 97

3times2 Συστήματα Εξισώσεων I

1 Μ Λ

X

Y

(32)

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minusY = 1

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 98

3times2 Συστήματα Εξισώσεων II

2 Α Λ

X

Y Εξις (1)Εξις (2)Εξις (3)

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 99

3times2 Συστήματα Εξισώσεων III3 Κ

(α) ´Οταν και οι τρεις εξισώσεις είναι παράλληλες

X

Y

2X minusY =minus8

2X minusY = 2

2X minusY = 12

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 100

3times2 Συστήματα Εξισώσεων IV(β) ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ τωνεξισώσεων

X

Y

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minus2Y =minus4

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 101

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική ΑνάλυσηΣε ένα γράφημα 2 διαστάσεων ένα σύστημα mtimes2(mgt2) εξισώσεων παριστάνεται με m ευθείες ´Οπωςσυμβαίνει στα συστήματα 2times2 υπάρχουν τρίαενδεχόμενα

1 ´Ολες οι ευθείες τέμνονται στο ίδιο σημείο και έτσιυπάρχει

2 ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ των mεξισώσεων Αυτό σημαίνει ότι όλες οι ευθείες είναιπαράλληλες Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα Λ

3 Οι m εξισώσεις είναι ισοδύναμες πχ παρασταίνονται σανμια ευθεία Σε αυτή την περίπτωση υπάρχει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 102

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων ∆ιαδικασίαΑπαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής για την επίλυση ενός συστήματοςmtimes2 μπορεί να περιγραφεί ως ακολούθωςΕπιλέξτε και λύστε σύστημα με δύο εξισώσεις

1 Εάν δεν υπάρχει λύση τότε ολόκληρο το σύστημα δεν έχειλύση

2 Εάν υπάρχει μοναδική λύση που ικανοποιεί τις υπόλοιπεςmminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα έχει μία μοναδική λύση

3 Εάν η λύση είναι μοναδική αλλά δεν ικανοποιεί τιςυπόλοιπες mminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα δεν έχει λύση

4 Εάν οι 2 λύσεις είναι ισοδύναμες απάλοιψτε τη μίααπό τις δύο εξισώσεις και ξεκινήστε από την αρχήλαμβάνοντας υπόψη ένα σύστημα (mminus1)times2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 103

ΠαράδείγμαI Θεωρείστε ένα σύστημα 5times2

XminusY= 1X+2Y=minus8

3Xminus2Y= 02Xminus5Y= 11minus4X+3Y=minus1

I Η λύση των πρώτων δύο εξισώσεων δίνετε απόY =minus3 και X =minus2

I Αντικαθιστώντας τη λύση στις υπόλοιπες τρεις εξισώσειςπαίρνετε αντίστοιχα

0 = 0 11 = 11 και minus1 =minus1I Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση

X=minus2 και Y=minus3Ε Ι Κοντογιώργης copy 104

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian

Η μέθοδος απολοιφής Gaussian μετατρέπει το αρχικόσύστημα εξισώσεων σε διαγώνια μορφή επαναλαμβάνονταςστις εξισώσεις τις ακόλουθες τρεις διαδικασίες

1 Πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης μεμια θετική σταθερά

2 Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού θα προστεθεί σεάλλη εξίσωση

3 Η σειρά των εξισώσεων μπορεί να αλλάξει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 105

ΠαράδείγμαΠ Θεωρείστε το σύστημα 2times2

2X minus 3Y = 7 (Εξ 1)X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με 12 για να πάρετε

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με minus1 καιπροσθέστε την στην (Εξ 2)

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

52Y =

152 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 106

Στάδιο 3 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 25

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

Y = 3 (Εξ 2)

Στάδιο 4 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 32 και

προσθέστε την στην (Εξ 1)

X = 1 (Εξ 1)Y = 3 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 107

Π Θεωρείστε το σύστημα 2times2

5X + 20Y = 254X minus 7Y =minus26

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να εκφραστεί ως

R1 5 20 25R2 4 minus7 minus26

Η κάθετη γραμμή χρησιμοποιείται για διαχωρισμό τηςαριστερής από τη δεξιά πλευρά των εξισώσεων Το Riυπονοεί τη γραμμή (Row) i

Ε Ι Κοντογιώργης copy 108

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάζουμε τη R1 με 15 και το θέτουμε

R1larr 15R1

R1 1 4 5R2 4 minus7 minus26

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάζουμε την R1 με minus4 και τηνπροσθέτουμε στην R2 Εν συντομίαR2larrminus4R1+R2

R1 1 4 5R2 0 minus23 minus46

Στάδιο 3 R2larrminus 123R2

R1 1 4 5R2 0 1 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 109

Στάδιο 4 R1larrminus4R2+R1

R1 1 0 minus3R2 0 1 2

Το αρχικό σύστημα εξισώσεων μετατρέπεται σε διαγώνιαμορφή όπως πιο κάτω

X =minus3Y = 2

το οποίο δίνει τη λύση του συστήματος

Ε Ι Κοντογιώργης copy 110

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 I

Το σύστημα εξισώσεων 3times3 μετετρέπεται σε διαγώνιαμορφή Η μετατροπή γίνεται στήλη με στήλη από τααριστερά προς τα δεξιά

Π Θεωρήστε το σύστημα 3times3

X1 + X2 + X3 = 2X1 minus 3X2 + 2X3 = 7

4X1 minus 2X2 minus X3 = 9

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να γραφτεί ως

Ε Ι Κοντογιώργης copy 111

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 II

1 1 1 21 minus3 2 74 minus2 minus1 9

Ε Ι Κοντογιώργης copy 112

Συστήματα Εξισώσεων

I ´Ενα σύστημα εξισώσεων συνδυάζει περισσότερες από μίαεξισώσεις

I ´Ενα σύστημα m εξισώσεων όπου κάθε εξίσωσηαποτελείται από n μεταβλητές ονομάζεται mtimesnσύστημα ή λέμε ότι έχει διαστάσεις mtimesn

I ΠαράδειγμαΠαρακάτω έχουμε ένα σύστημα 2times2

5X+10Y= 203X+4Y= 10

Οι μεταβλητές σε αυτή την περίπτωση είναι X και YΕ Ι Κοντογιώργης copy 85

Συστήματα Επίλυσης

I Το Σύστημα επίλυσης είναι μια σειρά τιμών μεταβλητώνπου ικανοποιούν το σύστημα ταυτόχρονα

I Σε μια σημειογραφική παράσταση το προηγούμενοπαράδειγμα μπορεί να γραφτεί ως εξής

S = (XY) | 5X+10Y = 20 και 3X+4Y = 10

I Το σύστημα επίλυσης μπορεί να είναι1 μηδενικό2 πεπερασμένο ή3 άπειρο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 86

2times2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική Ανάλυση

I Σε ένα δισδιάστατο γράφημα ένα σύστημα εξισώσεων2times2 αναπαρίστανται με ευθείες γραμμές Υπόρχουν τρίαενδεχόμενα

1 Οι ευθείες τέμνονται Το σημείο τομής αντιπροσωπεύει τηλύση του συστήματος εξισώσεων Αυτό το σημείοαλληλεπίδρασης είναι μια δέσμη τιμών X και Y που ικανοποιείκαι τις δύο εξισώσειςΕάν υπάρχει μόνο μια δέσμη τιμών για τις μεταβλητές που ναικανοποιεί το σύστημα εξισώσεων το σύστημα λέμε ότι έχειΜ Λ

2 Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες μεταξύ τους ∆εν έχουν κοινόσημείο Συνεπώς οι ευθείες δεν τέμνονται ποτέ Το σύστημαλέμε ότι ∆ ΛΑυτό υπονοεί ότι δεν υπάρχουν τιμές για τις μεταβλητές πουνα ικανοποιούν και τις δύο εξισώσεις Σε αυτή τηνπερίπτωση οι εξισώσεις στο σύστημα είναι Α

3 Και οι δύο εξισώσεις αναπαρίστανται ως μια κοινή ευθεία καιθεωρούνται ισοδύναμες εξισώσεις ´Ετσι το σύστημα έχειΑ Λ Αυτό συμβαίνει γιατί υπάρχει άπειροςαριθμός κοινών σημείων στις δύο γραμμές

Ε Ι Κοντογιώργης copy 87

I Π Θεωρείστε ένα σύστημα 2times22X+4Y= 203X+ Y= 10

I

X

Y

(24)

3X +Y = 10

2X +4Y = 20

0 2 4 6 8 10 12

2

4

6

8

10

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 88

I Το σημείο τομής δίνεται από το X= 2 και Y= 4Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές του X και Y στις δύοεξισώσεις δίνουν 20 = 20 και 10 = 10 αντίστοιχα

I Αυτό υποδειλώνει ότι X= 2 και Y= 4 είναι η σωστή λύση

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times23Xminus2Y= 6

minus15X+10Y=minus30

I

X

Y

(20)

(0minus3)

3X minus2Y = 6

minus15X +10Y =minus30

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 89

I Οι δύο εξισώσεις απλοποιούνται σε Xminus 23 Y= 2

Οι δύο εξισώσεις είναι ισοδύναμες και δίνουν έναπεπερασμένο αριθμό λύσεων έτσι ώστε

X= 0 Y =minus3X= 2 Y = 0X= 4 Y = 3

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times26Xminus12Y= 24

minus32X+3Y= 9

Οι εξισώσεις απλοποιούνται σεXminus2Y= 4Xminus2Y=minus6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 90

I

X

Y

(40)

(0minus2)

(minus60)

(03)

X minus2Y =minus6

X minus2Y = 4

0-0

I Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες και συνεπώς το σύστημαδεν έχει λύση ´Ετσι το σύστημα εξισώσεων είναιασύμπτωτο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 91

Περίληψη 2times2 Συστήματα Εξισώσεων∆ίνεται ένα Σύστημα Γραμμικών Εξισώσεων 2times2

Y=m1X+ c1Y=m2X+ c2

1 Υπάρχει μια στο σύστημα εάνm1 6= m2

2 ∆εν υπάρχει στο σύστημα εάνm1 = m2 και c1 6= c2

3 Υπάρχει εάνm1 = m2 και c1 = c2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 92

∆ιαδικασίες Απαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής χρησιμοποιεί πολλαπλασιασμόκαι πρόσθεση έτσι ώστε

1 Να απαλοιφεί μια από τις δύο μεταβλητές

2 Η εξίσωση που εξάγεται είναι συνάρτηση των υπόλοιπωνμεταβλητών

3 Αντικαθιστώντας την τιμή στην μεταβλητή σε μια από τιςαρχικές εξισώσεις βρίσκουμε την τιμή για τηναπολοιφθήσα μεταβλητή

Ε Ι Κοντογιώργης copy 93

ΠαραδείγματαI Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

2X +4Y = 20 (1)3X + Y = 10 (2)

Πολλαπλασιάζοντας τη δεύτερη εξίσωση με minus4 παίρνουμε

minus12X minus4Y =minus40 (3)

Προσθέτοντας την εξίσωση (1) στο (3)

2X + 4Y = 20minus12X minus 4Y = minus40minus10X = minus20

ή

X = 2 (4)Ε Ι Κοντογιώργης copy 94

Αντικαθιστώντας X= 2 στην εξίσωση (1) δίνεται2 middot2+4Y = 20 ή Y=4

´Ετσι η μοναδική λύση του συστήματος δίνεται από τοX= 2 και Y= 4 Μπορεί να επιβεβαιωθεί ότι αυτή είναι ησωστή λύση αντικαθιστώντας X= 2 και Y= 4 στηνεξίσωση (1) και (2)

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times23X minus2Y = 6 (5)

minus15X +10Y =minus30 (6)

Για την απαλοιφή της μεταβλητής X η εξίσωση (5)πολλαπλασιάζεται με 5 και το αποτέλεσμα προστίθεταιστην εξίσωση (6)

15X minus 10Y = 30minus15X + 10Y = minus30

0 = 0 Ε Ι Κοντογιώργης copy 95

Οι τελευταίες πράξεις υπονοούν ότι οι εξίσωσεις (5) και(6) είναι ισοδύναμες και έτσι υπάρχει άπειρος αριθμόςλύσεωνΓια να προσδιορίσουμε τις λύσεις του συστήματος μια απότις αρχικές εξισώσεις λύνεται ως προς μια μεταβλητή Ανγια παράδειγμα η εξίσωση (5) λύνεται ως προς Y δίνει

Y =32Xminus3

Σαν αποτέλεσμα γενικεύοντας τις λύσεις του συστήματοςέχουμε

X τυχαίο και Y =32Xminus3

Πχ για X= 4 υπονοείται ότι Y=32 middot4minus3 = 3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 96

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

6X minus12Y = 24 (7)

minus32X +3Y = 9 (8)

Πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση (8) με 4 καιπροσθέτοντας το αποτέλεσμα στην εξίσωση (7)παίρνουμε

6X minus 12Y = 24minus6X + 12Y = 36

0 = 60

Η πιο πάνω αντιλογία υπονοεί ότι δεν υπάρχει λύση τουσυστήματος εξισώσεων

Ε Ι Κοντογιώργης copy 97

3times2 Συστήματα Εξισώσεων I

1 Μ Λ

X

Y

(32)

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minusY = 1

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 98

3times2 Συστήματα Εξισώσεων II

2 Α Λ

X

Y Εξις (1)Εξις (2)Εξις (3)

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 99

3times2 Συστήματα Εξισώσεων III3 Κ

(α) ´Οταν και οι τρεις εξισώσεις είναι παράλληλες

X

Y

2X minusY =minus8

2X minusY = 2

2X minusY = 12

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 100

3times2 Συστήματα Εξισώσεων IV(β) ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ τωνεξισώσεων

X

Y

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minus2Y =minus4

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 101

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική ΑνάλυσηΣε ένα γράφημα 2 διαστάσεων ένα σύστημα mtimes2(mgt2) εξισώσεων παριστάνεται με m ευθείες ´Οπωςσυμβαίνει στα συστήματα 2times2 υπάρχουν τρίαενδεχόμενα

1 ´Ολες οι ευθείες τέμνονται στο ίδιο σημείο και έτσιυπάρχει

2 ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ των mεξισώσεων Αυτό σημαίνει ότι όλες οι ευθείες είναιπαράλληλες Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα Λ

3 Οι m εξισώσεις είναι ισοδύναμες πχ παρασταίνονται σανμια ευθεία Σε αυτή την περίπτωση υπάρχει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 102

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων ∆ιαδικασίαΑπαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής για την επίλυση ενός συστήματοςmtimes2 μπορεί να περιγραφεί ως ακολούθωςΕπιλέξτε και λύστε σύστημα με δύο εξισώσεις

1 Εάν δεν υπάρχει λύση τότε ολόκληρο το σύστημα δεν έχειλύση

2 Εάν υπάρχει μοναδική λύση που ικανοποιεί τις υπόλοιπεςmminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα έχει μία μοναδική λύση

3 Εάν η λύση είναι μοναδική αλλά δεν ικανοποιεί τιςυπόλοιπες mminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα δεν έχει λύση

4 Εάν οι 2 λύσεις είναι ισοδύναμες απάλοιψτε τη μίααπό τις δύο εξισώσεις και ξεκινήστε από την αρχήλαμβάνοντας υπόψη ένα σύστημα (mminus1)times2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 103

ΠαράδείγμαI Θεωρείστε ένα σύστημα 5times2

XminusY= 1X+2Y=minus8

3Xminus2Y= 02Xminus5Y= 11minus4X+3Y=minus1

I Η λύση των πρώτων δύο εξισώσεων δίνετε απόY =minus3 και X =minus2

I Αντικαθιστώντας τη λύση στις υπόλοιπες τρεις εξισώσειςπαίρνετε αντίστοιχα

0 = 0 11 = 11 και minus1 =minus1I Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση

X=minus2 και Y=minus3Ε Ι Κοντογιώργης copy 104

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian

Η μέθοδος απολοιφής Gaussian μετατρέπει το αρχικόσύστημα εξισώσεων σε διαγώνια μορφή επαναλαμβάνονταςστις εξισώσεις τις ακόλουθες τρεις διαδικασίες

1 Πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης μεμια θετική σταθερά

2 Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού θα προστεθεί σεάλλη εξίσωση

3 Η σειρά των εξισώσεων μπορεί να αλλάξει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 105

ΠαράδείγμαΠ Θεωρείστε το σύστημα 2times2

2X minus 3Y = 7 (Εξ 1)X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με 12 για να πάρετε

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με minus1 καιπροσθέστε την στην (Εξ 2)

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

52Y =

152 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 106

Στάδιο 3 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 25

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

Y = 3 (Εξ 2)

Στάδιο 4 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 32 και

προσθέστε την στην (Εξ 1)

X = 1 (Εξ 1)Y = 3 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 107

Π Θεωρείστε το σύστημα 2times2

5X + 20Y = 254X minus 7Y =minus26

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να εκφραστεί ως

R1 5 20 25R2 4 minus7 minus26

Η κάθετη γραμμή χρησιμοποιείται για διαχωρισμό τηςαριστερής από τη δεξιά πλευρά των εξισώσεων Το Riυπονοεί τη γραμμή (Row) i

Ε Ι Κοντογιώργης copy 108

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάζουμε τη R1 με 15 και το θέτουμε

R1larr 15R1

R1 1 4 5R2 4 minus7 minus26

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάζουμε την R1 με minus4 και τηνπροσθέτουμε στην R2 Εν συντομίαR2larrminus4R1+R2

R1 1 4 5R2 0 minus23 minus46

Στάδιο 3 R2larrminus 123R2

R1 1 4 5R2 0 1 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 109

Στάδιο 4 R1larrminus4R2+R1

R1 1 0 minus3R2 0 1 2

Το αρχικό σύστημα εξισώσεων μετατρέπεται σε διαγώνιαμορφή όπως πιο κάτω

X =minus3Y = 2

το οποίο δίνει τη λύση του συστήματος

Ε Ι Κοντογιώργης copy 110

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 I

Το σύστημα εξισώσεων 3times3 μετετρέπεται σε διαγώνιαμορφή Η μετατροπή γίνεται στήλη με στήλη από τααριστερά προς τα δεξιά

Π Θεωρήστε το σύστημα 3times3

X1 + X2 + X3 = 2X1 minus 3X2 + 2X3 = 7

4X1 minus 2X2 minus X3 = 9

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να γραφτεί ως

Ε Ι Κοντογιώργης copy 111

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 II

1 1 1 21 minus3 2 74 minus2 minus1 9

Ε Ι Κοντογιώργης copy 112

Συστήματα Επίλυσης

I Το Σύστημα επίλυσης είναι μια σειρά τιμών μεταβλητώνπου ικανοποιούν το σύστημα ταυτόχρονα

I Σε μια σημειογραφική παράσταση το προηγούμενοπαράδειγμα μπορεί να γραφτεί ως εξής

S = (XY) | 5X+10Y = 20 και 3X+4Y = 10

I Το σύστημα επίλυσης μπορεί να είναι1 μηδενικό2 πεπερασμένο ή3 άπειρο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 86

2times2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική Ανάλυση

I Σε ένα δισδιάστατο γράφημα ένα σύστημα εξισώσεων2times2 αναπαρίστανται με ευθείες γραμμές Υπόρχουν τρίαενδεχόμενα

1 Οι ευθείες τέμνονται Το σημείο τομής αντιπροσωπεύει τηλύση του συστήματος εξισώσεων Αυτό το σημείοαλληλεπίδρασης είναι μια δέσμη τιμών X και Y που ικανοποιείκαι τις δύο εξισώσειςΕάν υπάρχει μόνο μια δέσμη τιμών για τις μεταβλητές που ναικανοποιεί το σύστημα εξισώσεων το σύστημα λέμε ότι έχειΜ Λ

2 Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες μεταξύ τους ∆εν έχουν κοινόσημείο Συνεπώς οι ευθείες δεν τέμνονται ποτέ Το σύστημαλέμε ότι ∆ ΛΑυτό υπονοεί ότι δεν υπάρχουν τιμές για τις μεταβλητές πουνα ικανοποιούν και τις δύο εξισώσεις Σε αυτή τηνπερίπτωση οι εξισώσεις στο σύστημα είναι Α

3 Και οι δύο εξισώσεις αναπαρίστανται ως μια κοινή ευθεία καιθεωρούνται ισοδύναμες εξισώσεις ´Ετσι το σύστημα έχειΑ Λ Αυτό συμβαίνει γιατί υπάρχει άπειροςαριθμός κοινών σημείων στις δύο γραμμές

Ε Ι Κοντογιώργης copy 87

I Π Θεωρείστε ένα σύστημα 2times22X+4Y= 203X+ Y= 10

I

X

Y

(24)

3X +Y = 10

2X +4Y = 20

0 2 4 6 8 10 12

2

4

6

8

10

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 88

I Το σημείο τομής δίνεται από το X= 2 και Y= 4Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές του X και Y στις δύοεξισώσεις δίνουν 20 = 20 και 10 = 10 αντίστοιχα

I Αυτό υποδειλώνει ότι X= 2 και Y= 4 είναι η σωστή λύση

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times23Xminus2Y= 6

minus15X+10Y=minus30

I

X

Y

(20)

(0minus3)

3X minus2Y = 6

minus15X +10Y =minus30

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 89

I Οι δύο εξισώσεις απλοποιούνται σε Xminus 23 Y= 2

Οι δύο εξισώσεις είναι ισοδύναμες και δίνουν έναπεπερασμένο αριθμό λύσεων έτσι ώστε

X= 0 Y =minus3X= 2 Y = 0X= 4 Y = 3

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times26Xminus12Y= 24

minus32X+3Y= 9

Οι εξισώσεις απλοποιούνται σεXminus2Y= 4Xminus2Y=minus6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 90

I

X

Y

(40)

(0minus2)

(minus60)

(03)

X minus2Y =minus6

X minus2Y = 4

0-0

I Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες και συνεπώς το σύστημαδεν έχει λύση ´Ετσι το σύστημα εξισώσεων είναιασύμπτωτο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 91

Περίληψη 2times2 Συστήματα Εξισώσεων∆ίνεται ένα Σύστημα Γραμμικών Εξισώσεων 2times2

Y=m1X+ c1Y=m2X+ c2

1 Υπάρχει μια στο σύστημα εάνm1 6= m2

2 ∆εν υπάρχει στο σύστημα εάνm1 = m2 και c1 6= c2

3 Υπάρχει εάνm1 = m2 και c1 = c2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 92

∆ιαδικασίες Απαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής χρησιμοποιεί πολλαπλασιασμόκαι πρόσθεση έτσι ώστε

1 Να απαλοιφεί μια από τις δύο μεταβλητές

2 Η εξίσωση που εξάγεται είναι συνάρτηση των υπόλοιπωνμεταβλητών

3 Αντικαθιστώντας την τιμή στην μεταβλητή σε μια από τιςαρχικές εξισώσεις βρίσκουμε την τιμή για τηναπολοιφθήσα μεταβλητή

Ε Ι Κοντογιώργης copy 93

ΠαραδείγματαI Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

2X +4Y = 20 (1)3X + Y = 10 (2)

Πολλαπλασιάζοντας τη δεύτερη εξίσωση με minus4 παίρνουμε

minus12X minus4Y =minus40 (3)

Προσθέτοντας την εξίσωση (1) στο (3)

2X + 4Y = 20minus12X minus 4Y = minus40minus10X = minus20

ή

X = 2 (4)Ε Ι Κοντογιώργης copy 94

Αντικαθιστώντας X= 2 στην εξίσωση (1) δίνεται2 middot2+4Y = 20 ή Y=4

´Ετσι η μοναδική λύση του συστήματος δίνεται από τοX= 2 και Y= 4 Μπορεί να επιβεβαιωθεί ότι αυτή είναι ησωστή λύση αντικαθιστώντας X= 2 και Y= 4 στηνεξίσωση (1) και (2)

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times23X minus2Y = 6 (5)

minus15X +10Y =minus30 (6)

Για την απαλοιφή της μεταβλητής X η εξίσωση (5)πολλαπλασιάζεται με 5 και το αποτέλεσμα προστίθεταιστην εξίσωση (6)

15X minus 10Y = 30minus15X + 10Y = minus30

0 = 0 Ε Ι Κοντογιώργης copy 95

Οι τελευταίες πράξεις υπονοούν ότι οι εξίσωσεις (5) και(6) είναι ισοδύναμες και έτσι υπάρχει άπειρος αριθμόςλύσεωνΓια να προσδιορίσουμε τις λύσεις του συστήματος μια απότις αρχικές εξισώσεις λύνεται ως προς μια μεταβλητή Ανγια παράδειγμα η εξίσωση (5) λύνεται ως προς Y δίνει

Y =32Xminus3

Σαν αποτέλεσμα γενικεύοντας τις λύσεις του συστήματοςέχουμε

X τυχαίο και Y =32Xminus3

Πχ για X= 4 υπονοείται ότι Y=32 middot4minus3 = 3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 96

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

6X minus12Y = 24 (7)

minus32X +3Y = 9 (8)

Πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση (8) με 4 καιπροσθέτοντας το αποτέλεσμα στην εξίσωση (7)παίρνουμε

6X minus 12Y = 24minus6X + 12Y = 36

0 = 60

Η πιο πάνω αντιλογία υπονοεί ότι δεν υπάρχει λύση τουσυστήματος εξισώσεων

Ε Ι Κοντογιώργης copy 97

3times2 Συστήματα Εξισώσεων I

1 Μ Λ

X

Y

(32)

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minusY = 1

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 98

3times2 Συστήματα Εξισώσεων II

2 Α Λ

X

Y Εξις (1)Εξις (2)Εξις (3)

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 99

3times2 Συστήματα Εξισώσεων III3 Κ

(α) ´Οταν και οι τρεις εξισώσεις είναι παράλληλες

X

Y

2X minusY =minus8

2X minusY = 2

2X minusY = 12

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 100

3times2 Συστήματα Εξισώσεων IV(β) ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ τωνεξισώσεων

X

Y

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minus2Y =minus4

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 101

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική ΑνάλυσηΣε ένα γράφημα 2 διαστάσεων ένα σύστημα mtimes2(mgt2) εξισώσεων παριστάνεται με m ευθείες ´Οπωςσυμβαίνει στα συστήματα 2times2 υπάρχουν τρίαενδεχόμενα

1 ´Ολες οι ευθείες τέμνονται στο ίδιο σημείο και έτσιυπάρχει

2 ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ των mεξισώσεων Αυτό σημαίνει ότι όλες οι ευθείες είναιπαράλληλες Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα Λ

3 Οι m εξισώσεις είναι ισοδύναμες πχ παρασταίνονται σανμια ευθεία Σε αυτή την περίπτωση υπάρχει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 102

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων ∆ιαδικασίαΑπαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής για την επίλυση ενός συστήματοςmtimes2 μπορεί να περιγραφεί ως ακολούθωςΕπιλέξτε και λύστε σύστημα με δύο εξισώσεις

1 Εάν δεν υπάρχει λύση τότε ολόκληρο το σύστημα δεν έχειλύση

2 Εάν υπάρχει μοναδική λύση που ικανοποιεί τις υπόλοιπεςmminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα έχει μία μοναδική λύση

3 Εάν η λύση είναι μοναδική αλλά δεν ικανοποιεί τιςυπόλοιπες mminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα δεν έχει λύση

4 Εάν οι 2 λύσεις είναι ισοδύναμες απάλοιψτε τη μίααπό τις δύο εξισώσεις και ξεκινήστε από την αρχήλαμβάνοντας υπόψη ένα σύστημα (mminus1)times2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 103

ΠαράδείγμαI Θεωρείστε ένα σύστημα 5times2

XminusY= 1X+2Y=minus8

3Xminus2Y= 02Xminus5Y= 11minus4X+3Y=minus1

I Η λύση των πρώτων δύο εξισώσεων δίνετε απόY =minus3 και X =minus2

I Αντικαθιστώντας τη λύση στις υπόλοιπες τρεις εξισώσειςπαίρνετε αντίστοιχα

0 = 0 11 = 11 και minus1 =minus1I Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση

X=minus2 και Y=minus3Ε Ι Κοντογιώργης copy 104

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian

Η μέθοδος απολοιφής Gaussian μετατρέπει το αρχικόσύστημα εξισώσεων σε διαγώνια μορφή επαναλαμβάνονταςστις εξισώσεις τις ακόλουθες τρεις διαδικασίες

1 Πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης μεμια θετική σταθερά

2 Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού θα προστεθεί σεάλλη εξίσωση

3 Η σειρά των εξισώσεων μπορεί να αλλάξει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 105

ΠαράδείγμαΠ Θεωρείστε το σύστημα 2times2

2X minus 3Y = 7 (Εξ 1)X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με 12 για να πάρετε

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με minus1 καιπροσθέστε την στην (Εξ 2)

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

52Y =

152 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 106

Στάδιο 3 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 25

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

Y = 3 (Εξ 2)

Στάδιο 4 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 32 και

προσθέστε την στην (Εξ 1)

X = 1 (Εξ 1)Y = 3 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 107

Π Θεωρείστε το σύστημα 2times2

5X + 20Y = 254X minus 7Y =minus26

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να εκφραστεί ως

R1 5 20 25R2 4 minus7 minus26

Η κάθετη γραμμή χρησιμοποιείται για διαχωρισμό τηςαριστερής από τη δεξιά πλευρά των εξισώσεων Το Riυπονοεί τη γραμμή (Row) i

Ε Ι Κοντογιώργης copy 108

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάζουμε τη R1 με 15 και το θέτουμε

R1larr 15R1

R1 1 4 5R2 4 minus7 minus26

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάζουμε την R1 με minus4 και τηνπροσθέτουμε στην R2 Εν συντομίαR2larrminus4R1+R2

R1 1 4 5R2 0 minus23 minus46

Στάδιο 3 R2larrminus 123R2

R1 1 4 5R2 0 1 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 109

Στάδιο 4 R1larrminus4R2+R1

R1 1 0 minus3R2 0 1 2

Το αρχικό σύστημα εξισώσεων μετατρέπεται σε διαγώνιαμορφή όπως πιο κάτω

X =minus3Y = 2

το οποίο δίνει τη λύση του συστήματος

Ε Ι Κοντογιώργης copy 110

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 I

Το σύστημα εξισώσεων 3times3 μετετρέπεται σε διαγώνιαμορφή Η μετατροπή γίνεται στήλη με στήλη από τααριστερά προς τα δεξιά

Π Θεωρήστε το σύστημα 3times3

X1 + X2 + X3 = 2X1 minus 3X2 + 2X3 = 7

4X1 minus 2X2 minus X3 = 9

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να γραφτεί ως

Ε Ι Κοντογιώργης copy 111

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 II

1 1 1 21 minus3 2 74 minus2 minus1 9

Ε Ι Κοντογιώργης copy 112

2times2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική Ανάλυση

I Σε ένα δισδιάστατο γράφημα ένα σύστημα εξισώσεων2times2 αναπαρίστανται με ευθείες γραμμές Υπόρχουν τρίαενδεχόμενα

1 Οι ευθείες τέμνονται Το σημείο τομής αντιπροσωπεύει τηλύση του συστήματος εξισώσεων Αυτό το σημείοαλληλεπίδρασης είναι μια δέσμη τιμών X και Y που ικανοποιείκαι τις δύο εξισώσειςΕάν υπάρχει μόνο μια δέσμη τιμών για τις μεταβλητές που ναικανοποιεί το σύστημα εξισώσεων το σύστημα λέμε ότι έχειΜ Λ

2 Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες μεταξύ τους ∆εν έχουν κοινόσημείο Συνεπώς οι ευθείες δεν τέμνονται ποτέ Το σύστημαλέμε ότι ∆ ΛΑυτό υπονοεί ότι δεν υπάρχουν τιμές για τις μεταβλητές πουνα ικανοποιούν και τις δύο εξισώσεις Σε αυτή τηνπερίπτωση οι εξισώσεις στο σύστημα είναι Α

3 Και οι δύο εξισώσεις αναπαρίστανται ως μια κοινή ευθεία καιθεωρούνται ισοδύναμες εξισώσεις ´Ετσι το σύστημα έχειΑ Λ Αυτό συμβαίνει γιατί υπάρχει άπειροςαριθμός κοινών σημείων στις δύο γραμμές

Ε Ι Κοντογιώργης copy 87

I Π Θεωρείστε ένα σύστημα 2times22X+4Y= 203X+ Y= 10

I

X

Y

(24)

3X +Y = 10

2X +4Y = 20

0 2 4 6 8 10 12

2

4

6

8

10

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 88

I Το σημείο τομής δίνεται από το X= 2 και Y= 4Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές του X και Y στις δύοεξισώσεις δίνουν 20 = 20 και 10 = 10 αντίστοιχα

I Αυτό υποδειλώνει ότι X= 2 και Y= 4 είναι η σωστή λύση

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times23Xminus2Y= 6

minus15X+10Y=minus30

I

X

Y

(20)

(0minus3)

3X minus2Y = 6

minus15X +10Y =minus30

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 89

I Οι δύο εξισώσεις απλοποιούνται σε Xminus 23 Y= 2

Οι δύο εξισώσεις είναι ισοδύναμες και δίνουν έναπεπερασμένο αριθμό λύσεων έτσι ώστε

X= 0 Y =minus3X= 2 Y = 0X= 4 Y = 3

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times26Xminus12Y= 24

minus32X+3Y= 9

Οι εξισώσεις απλοποιούνται σεXminus2Y= 4Xminus2Y=minus6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 90

I

X

Y

(40)

(0minus2)

(minus60)

(03)

X minus2Y =minus6

X minus2Y = 4

0-0

I Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες και συνεπώς το σύστημαδεν έχει λύση ´Ετσι το σύστημα εξισώσεων είναιασύμπτωτο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 91

Περίληψη 2times2 Συστήματα Εξισώσεων∆ίνεται ένα Σύστημα Γραμμικών Εξισώσεων 2times2

Y=m1X+ c1Y=m2X+ c2

1 Υπάρχει μια στο σύστημα εάνm1 6= m2

2 ∆εν υπάρχει στο σύστημα εάνm1 = m2 και c1 6= c2

3 Υπάρχει εάνm1 = m2 και c1 = c2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 92

∆ιαδικασίες Απαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής χρησιμοποιεί πολλαπλασιασμόκαι πρόσθεση έτσι ώστε

1 Να απαλοιφεί μια από τις δύο μεταβλητές

2 Η εξίσωση που εξάγεται είναι συνάρτηση των υπόλοιπωνμεταβλητών

3 Αντικαθιστώντας την τιμή στην μεταβλητή σε μια από τιςαρχικές εξισώσεις βρίσκουμε την τιμή για τηναπολοιφθήσα μεταβλητή

Ε Ι Κοντογιώργης copy 93

ΠαραδείγματαI Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

2X +4Y = 20 (1)3X + Y = 10 (2)

Πολλαπλασιάζοντας τη δεύτερη εξίσωση με minus4 παίρνουμε

minus12X minus4Y =minus40 (3)

Προσθέτοντας την εξίσωση (1) στο (3)

2X + 4Y = 20minus12X minus 4Y = minus40minus10X = minus20

ή

X = 2 (4)Ε Ι Κοντογιώργης copy 94

Αντικαθιστώντας X= 2 στην εξίσωση (1) δίνεται2 middot2+4Y = 20 ή Y=4

´Ετσι η μοναδική λύση του συστήματος δίνεται από τοX= 2 και Y= 4 Μπορεί να επιβεβαιωθεί ότι αυτή είναι ησωστή λύση αντικαθιστώντας X= 2 και Y= 4 στηνεξίσωση (1) και (2)

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times23X minus2Y = 6 (5)

minus15X +10Y =minus30 (6)

Για την απαλοιφή της μεταβλητής X η εξίσωση (5)πολλαπλασιάζεται με 5 και το αποτέλεσμα προστίθεταιστην εξίσωση (6)

15X minus 10Y = 30minus15X + 10Y = minus30

0 = 0 Ε Ι Κοντογιώργης copy 95

Οι τελευταίες πράξεις υπονοούν ότι οι εξίσωσεις (5) και(6) είναι ισοδύναμες και έτσι υπάρχει άπειρος αριθμόςλύσεωνΓια να προσδιορίσουμε τις λύσεις του συστήματος μια απότις αρχικές εξισώσεις λύνεται ως προς μια μεταβλητή Ανγια παράδειγμα η εξίσωση (5) λύνεται ως προς Y δίνει

Y =32Xminus3

Σαν αποτέλεσμα γενικεύοντας τις λύσεις του συστήματοςέχουμε

X τυχαίο και Y =32Xminus3

Πχ για X= 4 υπονοείται ότι Y=32 middot4minus3 = 3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 96

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

6X minus12Y = 24 (7)

minus32X +3Y = 9 (8)

Πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση (8) με 4 καιπροσθέτοντας το αποτέλεσμα στην εξίσωση (7)παίρνουμε

6X minus 12Y = 24minus6X + 12Y = 36

0 = 60

Η πιο πάνω αντιλογία υπονοεί ότι δεν υπάρχει λύση τουσυστήματος εξισώσεων

Ε Ι Κοντογιώργης copy 97

3times2 Συστήματα Εξισώσεων I

1 Μ Λ

X

Y

(32)

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minusY = 1

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 98

3times2 Συστήματα Εξισώσεων II

2 Α Λ

X

Y Εξις (1)Εξις (2)Εξις (3)

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 99

3times2 Συστήματα Εξισώσεων III3 Κ

(α) ´Οταν και οι τρεις εξισώσεις είναι παράλληλες

X

Y

2X minusY =minus8

2X minusY = 2

2X minusY = 12

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 100

3times2 Συστήματα Εξισώσεων IV(β) ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ τωνεξισώσεων

X

Y

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minus2Y =minus4

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 101

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική ΑνάλυσηΣε ένα γράφημα 2 διαστάσεων ένα σύστημα mtimes2(mgt2) εξισώσεων παριστάνεται με m ευθείες ´Οπωςσυμβαίνει στα συστήματα 2times2 υπάρχουν τρίαενδεχόμενα

1 ´Ολες οι ευθείες τέμνονται στο ίδιο σημείο και έτσιυπάρχει

2 ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ των mεξισώσεων Αυτό σημαίνει ότι όλες οι ευθείες είναιπαράλληλες Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα Λ

3 Οι m εξισώσεις είναι ισοδύναμες πχ παρασταίνονται σανμια ευθεία Σε αυτή την περίπτωση υπάρχει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 102

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων ∆ιαδικασίαΑπαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής για την επίλυση ενός συστήματοςmtimes2 μπορεί να περιγραφεί ως ακολούθωςΕπιλέξτε και λύστε σύστημα με δύο εξισώσεις

1 Εάν δεν υπάρχει λύση τότε ολόκληρο το σύστημα δεν έχειλύση

2 Εάν υπάρχει μοναδική λύση που ικανοποιεί τις υπόλοιπεςmminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα έχει μία μοναδική λύση

3 Εάν η λύση είναι μοναδική αλλά δεν ικανοποιεί τιςυπόλοιπες mminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα δεν έχει λύση

4 Εάν οι 2 λύσεις είναι ισοδύναμες απάλοιψτε τη μίααπό τις δύο εξισώσεις και ξεκινήστε από την αρχήλαμβάνοντας υπόψη ένα σύστημα (mminus1)times2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 103

ΠαράδείγμαI Θεωρείστε ένα σύστημα 5times2

XminusY= 1X+2Y=minus8

3Xminus2Y= 02Xminus5Y= 11minus4X+3Y=minus1

I Η λύση των πρώτων δύο εξισώσεων δίνετε απόY =minus3 και X =minus2

I Αντικαθιστώντας τη λύση στις υπόλοιπες τρεις εξισώσειςπαίρνετε αντίστοιχα

0 = 0 11 = 11 και minus1 =minus1I Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση

X=minus2 και Y=minus3Ε Ι Κοντογιώργης copy 104

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian

Η μέθοδος απολοιφής Gaussian μετατρέπει το αρχικόσύστημα εξισώσεων σε διαγώνια μορφή επαναλαμβάνονταςστις εξισώσεις τις ακόλουθες τρεις διαδικασίες

1 Πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης μεμια θετική σταθερά

2 Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού θα προστεθεί σεάλλη εξίσωση

3 Η σειρά των εξισώσεων μπορεί να αλλάξει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 105

ΠαράδείγμαΠ Θεωρείστε το σύστημα 2times2

2X minus 3Y = 7 (Εξ 1)X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με 12 για να πάρετε

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με minus1 καιπροσθέστε την στην (Εξ 2)

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

52Y =

152 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 106

Στάδιο 3 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 25

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

Y = 3 (Εξ 2)

Στάδιο 4 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 32 και

προσθέστε την στην (Εξ 1)

X = 1 (Εξ 1)Y = 3 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 107

Π Θεωρείστε το σύστημα 2times2

5X + 20Y = 254X minus 7Y =minus26

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να εκφραστεί ως

R1 5 20 25R2 4 minus7 minus26

Η κάθετη γραμμή χρησιμοποιείται για διαχωρισμό τηςαριστερής από τη δεξιά πλευρά των εξισώσεων Το Riυπονοεί τη γραμμή (Row) i

Ε Ι Κοντογιώργης copy 108

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάζουμε τη R1 με 15 και το θέτουμε

R1larr 15R1

R1 1 4 5R2 4 minus7 minus26

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάζουμε την R1 με minus4 και τηνπροσθέτουμε στην R2 Εν συντομίαR2larrminus4R1+R2

R1 1 4 5R2 0 minus23 minus46

Στάδιο 3 R2larrminus 123R2

R1 1 4 5R2 0 1 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 109

Στάδιο 4 R1larrminus4R2+R1

R1 1 0 minus3R2 0 1 2

Το αρχικό σύστημα εξισώσεων μετατρέπεται σε διαγώνιαμορφή όπως πιο κάτω

X =minus3Y = 2

το οποίο δίνει τη λύση του συστήματος

Ε Ι Κοντογιώργης copy 110

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 I

Το σύστημα εξισώσεων 3times3 μετετρέπεται σε διαγώνιαμορφή Η μετατροπή γίνεται στήλη με στήλη από τααριστερά προς τα δεξιά

Π Θεωρήστε το σύστημα 3times3

X1 + X2 + X3 = 2X1 minus 3X2 + 2X3 = 7

4X1 minus 2X2 minus X3 = 9

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να γραφτεί ως

Ε Ι Κοντογιώργης copy 111

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 II

1 1 1 21 minus3 2 74 minus2 minus1 9

Ε Ι Κοντογιώργης copy 112

I Π Θεωρείστε ένα σύστημα 2times22X+4Y= 203X+ Y= 10

I

X

Y

(24)

3X +Y = 10

2X +4Y = 20

0 2 4 6 8 10 12

2

4

6

8

10

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 88

I Το σημείο τομής δίνεται από το X= 2 και Y= 4Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές του X και Y στις δύοεξισώσεις δίνουν 20 = 20 και 10 = 10 αντίστοιχα

I Αυτό υποδειλώνει ότι X= 2 και Y= 4 είναι η σωστή λύση

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times23Xminus2Y= 6

minus15X+10Y=minus30

I

X

Y

(20)

(0minus3)

3X minus2Y = 6

minus15X +10Y =minus30

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 89

I Οι δύο εξισώσεις απλοποιούνται σε Xminus 23 Y= 2

Οι δύο εξισώσεις είναι ισοδύναμες και δίνουν έναπεπερασμένο αριθμό λύσεων έτσι ώστε

X= 0 Y =minus3X= 2 Y = 0X= 4 Y = 3

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times26Xminus12Y= 24

minus32X+3Y= 9

Οι εξισώσεις απλοποιούνται σεXminus2Y= 4Xminus2Y=minus6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 90

I

X

Y

(40)

(0minus2)

(minus60)

(03)

X minus2Y =minus6

X minus2Y = 4

0-0

I Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες και συνεπώς το σύστημαδεν έχει λύση ´Ετσι το σύστημα εξισώσεων είναιασύμπτωτο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 91

Περίληψη 2times2 Συστήματα Εξισώσεων∆ίνεται ένα Σύστημα Γραμμικών Εξισώσεων 2times2

Y=m1X+ c1Y=m2X+ c2

1 Υπάρχει μια στο σύστημα εάνm1 6= m2

2 ∆εν υπάρχει στο σύστημα εάνm1 = m2 και c1 6= c2

3 Υπάρχει εάνm1 = m2 και c1 = c2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 92

∆ιαδικασίες Απαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής χρησιμοποιεί πολλαπλασιασμόκαι πρόσθεση έτσι ώστε

1 Να απαλοιφεί μια από τις δύο μεταβλητές

2 Η εξίσωση που εξάγεται είναι συνάρτηση των υπόλοιπωνμεταβλητών

3 Αντικαθιστώντας την τιμή στην μεταβλητή σε μια από τιςαρχικές εξισώσεις βρίσκουμε την τιμή για τηναπολοιφθήσα μεταβλητή

Ε Ι Κοντογιώργης copy 93

ΠαραδείγματαI Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

2X +4Y = 20 (1)3X + Y = 10 (2)

Πολλαπλασιάζοντας τη δεύτερη εξίσωση με minus4 παίρνουμε

minus12X minus4Y =minus40 (3)

Προσθέτοντας την εξίσωση (1) στο (3)

2X + 4Y = 20minus12X minus 4Y = minus40minus10X = minus20

ή

X = 2 (4)Ε Ι Κοντογιώργης copy 94

Αντικαθιστώντας X= 2 στην εξίσωση (1) δίνεται2 middot2+4Y = 20 ή Y=4

´Ετσι η μοναδική λύση του συστήματος δίνεται από τοX= 2 και Y= 4 Μπορεί να επιβεβαιωθεί ότι αυτή είναι ησωστή λύση αντικαθιστώντας X= 2 και Y= 4 στηνεξίσωση (1) και (2)

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times23X minus2Y = 6 (5)

minus15X +10Y =minus30 (6)

Για την απαλοιφή της μεταβλητής X η εξίσωση (5)πολλαπλασιάζεται με 5 και το αποτέλεσμα προστίθεταιστην εξίσωση (6)

15X minus 10Y = 30minus15X + 10Y = minus30

0 = 0 Ε Ι Κοντογιώργης copy 95

Οι τελευταίες πράξεις υπονοούν ότι οι εξίσωσεις (5) και(6) είναι ισοδύναμες και έτσι υπάρχει άπειρος αριθμόςλύσεωνΓια να προσδιορίσουμε τις λύσεις του συστήματος μια απότις αρχικές εξισώσεις λύνεται ως προς μια μεταβλητή Ανγια παράδειγμα η εξίσωση (5) λύνεται ως προς Y δίνει

Y =32Xminus3

Σαν αποτέλεσμα γενικεύοντας τις λύσεις του συστήματοςέχουμε

X τυχαίο και Y =32Xminus3

Πχ για X= 4 υπονοείται ότι Y=32 middot4minus3 = 3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 96

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

6X minus12Y = 24 (7)

minus32X +3Y = 9 (8)

Πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση (8) με 4 καιπροσθέτοντας το αποτέλεσμα στην εξίσωση (7)παίρνουμε

6X minus 12Y = 24minus6X + 12Y = 36

0 = 60

Η πιο πάνω αντιλογία υπονοεί ότι δεν υπάρχει λύση τουσυστήματος εξισώσεων

Ε Ι Κοντογιώργης copy 97

3times2 Συστήματα Εξισώσεων I

1 Μ Λ

X

Y

(32)

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minusY = 1

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 98

3times2 Συστήματα Εξισώσεων II

2 Α Λ

X

Y Εξις (1)Εξις (2)Εξις (3)

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 99

3times2 Συστήματα Εξισώσεων III3 Κ

(α) ´Οταν και οι τρεις εξισώσεις είναι παράλληλες

X

Y

2X minusY =minus8

2X minusY = 2

2X minusY = 12

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 100

3times2 Συστήματα Εξισώσεων IV(β) ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ τωνεξισώσεων

X

Y

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minus2Y =minus4

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 101

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική ΑνάλυσηΣε ένα γράφημα 2 διαστάσεων ένα σύστημα mtimes2(mgt2) εξισώσεων παριστάνεται με m ευθείες ´Οπωςσυμβαίνει στα συστήματα 2times2 υπάρχουν τρίαενδεχόμενα

1 ´Ολες οι ευθείες τέμνονται στο ίδιο σημείο και έτσιυπάρχει

2 ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ των mεξισώσεων Αυτό σημαίνει ότι όλες οι ευθείες είναιπαράλληλες Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα Λ

3 Οι m εξισώσεις είναι ισοδύναμες πχ παρασταίνονται σανμια ευθεία Σε αυτή την περίπτωση υπάρχει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 102

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων ∆ιαδικασίαΑπαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής για την επίλυση ενός συστήματοςmtimes2 μπορεί να περιγραφεί ως ακολούθωςΕπιλέξτε και λύστε σύστημα με δύο εξισώσεις

1 Εάν δεν υπάρχει λύση τότε ολόκληρο το σύστημα δεν έχειλύση

2 Εάν υπάρχει μοναδική λύση που ικανοποιεί τις υπόλοιπεςmminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα έχει μία μοναδική λύση

3 Εάν η λύση είναι μοναδική αλλά δεν ικανοποιεί τιςυπόλοιπες mminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα δεν έχει λύση

4 Εάν οι 2 λύσεις είναι ισοδύναμες απάλοιψτε τη μίααπό τις δύο εξισώσεις και ξεκινήστε από την αρχήλαμβάνοντας υπόψη ένα σύστημα (mminus1)times2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 103

ΠαράδείγμαI Θεωρείστε ένα σύστημα 5times2

XminusY= 1X+2Y=minus8

3Xminus2Y= 02Xminus5Y= 11minus4X+3Y=minus1

I Η λύση των πρώτων δύο εξισώσεων δίνετε απόY =minus3 και X =minus2

I Αντικαθιστώντας τη λύση στις υπόλοιπες τρεις εξισώσειςπαίρνετε αντίστοιχα

0 = 0 11 = 11 και minus1 =minus1I Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση

X=minus2 και Y=minus3Ε Ι Κοντογιώργης copy 104

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian

Η μέθοδος απολοιφής Gaussian μετατρέπει το αρχικόσύστημα εξισώσεων σε διαγώνια μορφή επαναλαμβάνονταςστις εξισώσεις τις ακόλουθες τρεις διαδικασίες

1 Πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης μεμια θετική σταθερά

2 Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού θα προστεθεί σεάλλη εξίσωση

3 Η σειρά των εξισώσεων μπορεί να αλλάξει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 105

ΠαράδείγμαΠ Θεωρείστε το σύστημα 2times2

2X minus 3Y = 7 (Εξ 1)X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με 12 για να πάρετε

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με minus1 καιπροσθέστε την στην (Εξ 2)

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

52Y =

152 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 106

Στάδιο 3 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 25

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

Y = 3 (Εξ 2)

Στάδιο 4 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 32 και

προσθέστε την στην (Εξ 1)

X = 1 (Εξ 1)Y = 3 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 107

Π Θεωρείστε το σύστημα 2times2

5X + 20Y = 254X minus 7Y =minus26

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να εκφραστεί ως

R1 5 20 25R2 4 minus7 minus26

Η κάθετη γραμμή χρησιμοποιείται για διαχωρισμό τηςαριστερής από τη δεξιά πλευρά των εξισώσεων Το Riυπονοεί τη γραμμή (Row) i

Ε Ι Κοντογιώργης copy 108

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάζουμε τη R1 με 15 και το θέτουμε

R1larr 15R1

R1 1 4 5R2 4 minus7 minus26

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάζουμε την R1 με minus4 και τηνπροσθέτουμε στην R2 Εν συντομίαR2larrminus4R1+R2

R1 1 4 5R2 0 minus23 minus46

Στάδιο 3 R2larrminus 123R2

R1 1 4 5R2 0 1 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 109

Στάδιο 4 R1larrminus4R2+R1

R1 1 0 minus3R2 0 1 2

Το αρχικό σύστημα εξισώσεων μετατρέπεται σε διαγώνιαμορφή όπως πιο κάτω

X =minus3Y = 2

το οποίο δίνει τη λύση του συστήματος

Ε Ι Κοντογιώργης copy 110

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 I

Το σύστημα εξισώσεων 3times3 μετετρέπεται σε διαγώνιαμορφή Η μετατροπή γίνεται στήλη με στήλη από τααριστερά προς τα δεξιά

Π Θεωρήστε το σύστημα 3times3

X1 + X2 + X3 = 2X1 minus 3X2 + 2X3 = 7

4X1 minus 2X2 minus X3 = 9

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να γραφτεί ως

Ε Ι Κοντογιώργης copy 111

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 II

1 1 1 21 minus3 2 74 minus2 minus1 9

Ε Ι Κοντογιώργης copy 112

I Το σημείο τομής δίνεται από το X= 2 και Y= 4Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές του X και Y στις δύοεξισώσεις δίνουν 20 = 20 και 10 = 10 αντίστοιχα

I Αυτό υποδειλώνει ότι X= 2 και Y= 4 είναι η σωστή λύση

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times23Xminus2Y= 6

minus15X+10Y=minus30

I

X

Y

(20)

(0minus3)

3X minus2Y = 6

minus15X +10Y =minus30

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 89

I Οι δύο εξισώσεις απλοποιούνται σε Xminus 23 Y= 2

Οι δύο εξισώσεις είναι ισοδύναμες και δίνουν έναπεπερασμένο αριθμό λύσεων έτσι ώστε

X= 0 Y =minus3X= 2 Y = 0X= 4 Y = 3

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times26Xminus12Y= 24

minus32X+3Y= 9

Οι εξισώσεις απλοποιούνται σεXminus2Y= 4Xminus2Y=minus6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 90

I

X

Y

(40)

(0minus2)

(minus60)

(03)

X minus2Y =minus6

X minus2Y = 4

0-0

I Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες και συνεπώς το σύστημαδεν έχει λύση ´Ετσι το σύστημα εξισώσεων είναιασύμπτωτο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 91

Περίληψη 2times2 Συστήματα Εξισώσεων∆ίνεται ένα Σύστημα Γραμμικών Εξισώσεων 2times2

Y=m1X+ c1Y=m2X+ c2

1 Υπάρχει μια στο σύστημα εάνm1 6= m2

2 ∆εν υπάρχει στο σύστημα εάνm1 = m2 και c1 6= c2

3 Υπάρχει εάνm1 = m2 και c1 = c2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 92

∆ιαδικασίες Απαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής χρησιμοποιεί πολλαπλασιασμόκαι πρόσθεση έτσι ώστε

1 Να απαλοιφεί μια από τις δύο μεταβλητές

2 Η εξίσωση που εξάγεται είναι συνάρτηση των υπόλοιπωνμεταβλητών

3 Αντικαθιστώντας την τιμή στην μεταβλητή σε μια από τιςαρχικές εξισώσεις βρίσκουμε την τιμή για τηναπολοιφθήσα μεταβλητή

Ε Ι Κοντογιώργης copy 93

ΠαραδείγματαI Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

2X +4Y = 20 (1)3X + Y = 10 (2)

Πολλαπλασιάζοντας τη δεύτερη εξίσωση με minus4 παίρνουμε

minus12X minus4Y =minus40 (3)

Προσθέτοντας την εξίσωση (1) στο (3)

2X + 4Y = 20minus12X minus 4Y = minus40minus10X = minus20

ή

X = 2 (4)Ε Ι Κοντογιώργης copy 94

Αντικαθιστώντας X= 2 στην εξίσωση (1) δίνεται2 middot2+4Y = 20 ή Y=4

´Ετσι η μοναδική λύση του συστήματος δίνεται από τοX= 2 και Y= 4 Μπορεί να επιβεβαιωθεί ότι αυτή είναι ησωστή λύση αντικαθιστώντας X= 2 και Y= 4 στηνεξίσωση (1) και (2)

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times23X minus2Y = 6 (5)

minus15X +10Y =minus30 (6)

Για την απαλοιφή της μεταβλητής X η εξίσωση (5)πολλαπλασιάζεται με 5 και το αποτέλεσμα προστίθεταιστην εξίσωση (6)

15X minus 10Y = 30minus15X + 10Y = minus30

0 = 0 Ε Ι Κοντογιώργης copy 95

Οι τελευταίες πράξεις υπονοούν ότι οι εξίσωσεις (5) και(6) είναι ισοδύναμες και έτσι υπάρχει άπειρος αριθμόςλύσεωνΓια να προσδιορίσουμε τις λύσεις του συστήματος μια απότις αρχικές εξισώσεις λύνεται ως προς μια μεταβλητή Ανγια παράδειγμα η εξίσωση (5) λύνεται ως προς Y δίνει

Y =32Xminus3

Σαν αποτέλεσμα γενικεύοντας τις λύσεις του συστήματοςέχουμε

X τυχαίο και Y =32Xminus3

Πχ για X= 4 υπονοείται ότι Y=32 middot4minus3 = 3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 96

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

6X minus12Y = 24 (7)

minus32X +3Y = 9 (8)

Πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση (8) με 4 καιπροσθέτοντας το αποτέλεσμα στην εξίσωση (7)παίρνουμε

6X minus 12Y = 24minus6X + 12Y = 36

0 = 60

Η πιο πάνω αντιλογία υπονοεί ότι δεν υπάρχει λύση τουσυστήματος εξισώσεων

Ε Ι Κοντογιώργης copy 97

3times2 Συστήματα Εξισώσεων I

1 Μ Λ

X

Y

(32)

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minusY = 1

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 98

3times2 Συστήματα Εξισώσεων II

2 Α Λ

X

Y Εξις (1)Εξις (2)Εξις (3)

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 99

3times2 Συστήματα Εξισώσεων III3 Κ

(α) ´Οταν και οι τρεις εξισώσεις είναι παράλληλες

X

Y

2X minusY =minus8

2X minusY = 2

2X minusY = 12

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 100

3times2 Συστήματα Εξισώσεων IV(β) ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ τωνεξισώσεων

X

Y

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minus2Y =minus4

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 101

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική ΑνάλυσηΣε ένα γράφημα 2 διαστάσεων ένα σύστημα mtimes2(mgt2) εξισώσεων παριστάνεται με m ευθείες ´Οπωςσυμβαίνει στα συστήματα 2times2 υπάρχουν τρίαενδεχόμενα

1 ´Ολες οι ευθείες τέμνονται στο ίδιο σημείο και έτσιυπάρχει

2 ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ των mεξισώσεων Αυτό σημαίνει ότι όλες οι ευθείες είναιπαράλληλες Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα Λ

3 Οι m εξισώσεις είναι ισοδύναμες πχ παρασταίνονται σανμια ευθεία Σε αυτή την περίπτωση υπάρχει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 102

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων ∆ιαδικασίαΑπαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής για την επίλυση ενός συστήματοςmtimes2 μπορεί να περιγραφεί ως ακολούθωςΕπιλέξτε και λύστε σύστημα με δύο εξισώσεις

1 Εάν δεν υπάρχει λύση τότε ολόκληρο το σύστημα δεν έχειλύση

2 Εάν υπάρχει μοναδική λύση που ικανοποιεί τις υπόλοιπεςmminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα έχει μία μοναδική λύση

3 Εάν η λύση είναι μοναδική αλλά δεν ικανοποιεί τιςυπόλοιπες mminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα δεν έχει λύση

4 Εάν οι 2 λύσεις είναι ισοδύναμες απάλοιψτε τη μίααπό τις δύο εξισώσεις και ξεκινήστε από την αρχήλαμβάνοντας υπόψη ένα σύστημα (mminus1)times2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 103

ΠαράδείγμαI Θεωρείστε ένα σύστημα 5times2

XminusY= 1X+2Y=minus8

3Xminus2Y= 02Xminus5Y= 11minus4X+3Y=minus1

I Η λύση των πρώτων δύο εξισώσεων δίνετε απόY =minus3 και X =minus2

I Αντικαθιστώντας τη λύση στις υπόλοιπες τρεις εξισώσειςπαίρνετε αντίστοιχα

0 = 0 11 = 11 και minus1 =minus1I Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση

X=minus2 και Y=minus3Ε Ι Κοντογιώργης copy 104

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian

Η μέθοδος απολοιφής Gaussian μετατρέπει το αρχικόσύστημα εξισώσεων σε διαγώνια μορφή επαναλαμβάνονταςστις εξισώσεις τις ακόλουθες τρεις διαδικασίες

1 Πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης μεμια θετική σταθερά

2 Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού θα προστεθεί σεάλλη εξίσωση

3 Η σειρά των εξισώσεων μπορεί να αλλάξει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 105

ΠαράδείγμαΠ Θεωρείστε το σύστημα 2times2

2X minus 3Y = 7 (Εξ 1)X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με 12 για να πάρετε

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με minus1 καιπροσθέστε την στην (Εξ 2)

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

52Y =

152 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 106

Στάδιο 3 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 25

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

Y = 3 (Εξ 2)

Στάδιο 4 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 32 και

προσθέστε την στην (Εξ 1)

X = 1 (Εξ 1)Y = 3 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 107

Π Θεωρείστε το σύστημα 2times2

5X + 20Y = 254X minus 7Y =minus26

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να εκφραστεί ως

R1 5 20 25R2 4 minus7 minus26

Η κάθετη γραμμή χρησιμοποιείται για διαχωρισμό τηςαριστερής από τη δεξιά πλευρά των εξισώσεων Το Riυπονοεί τη γραμμή (Row) i

Ε Ι Κοντογιώργης copy 108

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάζουμε τη R1 με 15 και το θέτουμε

R1larr 15R1

R1 1 4 5R2 4 minus7 minus26

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάζουμε την R1 με minus4 και τηνπροσθέτουμε στην R2 Εν συντομίαR2larrminus4R1+R2

R1 1 4 5R2 0 minus23 minus46

Στάδιο 3 R2larrminus 123R2

R1 1 4 5R2 0 1 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 109

Στάδιο 4 R1larrminus4R2+R1

R1 1 0 minus3R2 0 1 2

Το αρχικό σύστημα εξισώσεων μετατρέπεται σε διαγώνιαμορφή όπως πιο κάτω

X =minus3Y = 2

το οποίο δίνει τη λύση του συστήματος

Ε Ι Κοντογιώργης copy 110

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 I

Το σύστημα εξισώσεων 3times3 μετετρέπεται σε διαγώνιαμορφή Η μετατροπή γίνεται στήλη με στήλη από τααριστερά προς τα δεξιά

Π Θεωρήστε το σύστημα 3times3

X1 + X2 + X3 = 2X1 minus 3X2 + 2X3 = 7

4X1 minus 2X2 minus X3 = 9

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να γραφτεί ως

Ε Ι Κοντογιώργης copy 111

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 II

1 1 1 21 minus3 2 74 minus2 minus1 9

Ε Ι Κοντογιώργης copy 112

I Οι δύο εξισώσεις απλοποιούνται σε Xminus 23 Y= 2

Οι δύο εξισώσεις είναι ισοδύναμες και δίνουν έναπεπερασμένο αριθμό λύσεων έτσι ώστε

X= 0 Y =minus3X= 2 Y = 0X= 4 Y = 3

I Π Θεωρείστε το σύστημα 2times26Xminus12Y= 24

minus32X+3Y= 9

Οι εξισώσεις απλοποιούνται σεXminus2Y= 4Xminus2Y=minus6

Ε Ι Κοντογιώργης copy 90

I

X

Y

(40)

(0minus2)

(minus60)

(03)

X minus2Y =minus6

X minus2Y = 4

0-0

I Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες και συνεπώς το σύστημαδεν έχει λύση ´Ετσι το σύστημα εξισώσεων είναιασύμπτωτο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 91

Περίληψη 2times2 Συστήματα Εξισώσεων∆ίνεται ένα Σύστημα Γραμμικών Εξισώσεων 2times2

Y=m1X+ c1Y=m2X+ c2

1 Υπάρχει μια στο σύστημα εάνm1 6= m2

2 ∆εν υπάρχει στο σύστημα εάνm1 = m2 και c1 6= c2

3 Υπάρχει εάνm1 = m2 και c1 = c2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 92

∆ιαδικασίες Απαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής χρησιμοποιεί πολλαπλασιασμόκαι πρόσθεση έτσι ώστε

1 Να απαλοιφεί μια από τις δύο μεταβλητές

2 Η εξίσωση που εξάγεται είναι συνάρτηση των υπόλοιπωνμεταβλητών

3 Αντικαθιστώντας την τιμή στην μεταβλητή σε μια από τιςαρχικές εξισώσεις βρίσκουμε την τιμή για τηναπολοιφθήσα μεταβλητή

Ε Ι Κοντογιώργης copy 93

ΠαραδείγματαI Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

2X +4Y = 20 (1)3X + Y = 10 (2)

Πολλαπλασιάζοντας τη δεύτερη εξίσωση με minus4 παίρνουμε

minus12X minus4Y =minus40 (3)

Προσθέτοντας την εξίσωση (1) στο (3)

2X + 4Y = 20minus12X minus 4Y = minus40minus10X = minus20

ή

X = 2 (4)Ε Ι Κοντογιώργης copy 94

Αντικαθιστώντας X= 2 στην εξίσωση (1) δίνεται2 middot2+4Y = 20 ή Y=4

´Ετσι η μοναδική λύση του συστήματος δίνεται από τοX= 2 και Y= 4 Μπορεί να επιβεβαιωθεί ότι αυτή είναι ησωστή λύση αντικαθιστώντας X= 2 και Y= 4 στηνεξίσωση (1) και (2)

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times23X minus2Y = 6 (5)

minus15X +10Y =minus30 (6)

Για την απαλοιφή της μεταβλητής X η εξίσωση (5)πολλαπλασιάζεται με 5 και το αποτέλεσμα προστίθεταιστην εξίσωση (6)

15X minus 10Y = 30minus15X + 10Y = minus30

0 = 0 Ε Ι Κοντογιώργης copy 95

Οι τελευταίες πράξεις υπονοούν ότι οι εξίσωσεις (5) και(6) είναι ισοδύναμες και έτσι υπάρχει άπειρος αριθμόςλύσεωνΓια να προσδιορίσουμε τις λύσεις του συστήματος μια απότις αρχικές εξισώσεις λύνεται ως προς μια μεταβλητή Ανγια παράδειγμα η εξίσωση (5) λύνεται ως προς Y δίνει

Y =32Xminus3

Σαν αποτέλεσμα γενικεύοντας τις λύσεις του συστήματοςέχουμε

X τυχαίο και Y =32Xminus3

Πχ για X= 4 υπονοείται ότι Y=32 middot4minus3 = 3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 96

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

6X minus12Y = 24 (7)

minus32X +3Y = 9 (8)

Πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση (8) με 4 καιπροσθέτοντας το αποτέλεσμα στην εξίσωση (7)παίρνουμε

6X minus 12Y = 24minus6X + 12Y = 36

0 = 60

Η πιο πάνω αντιλογία υπονοεί ότι δεν υπάρχει λύση τουσυστήματος εξισώσεων

Ε Ι Κοντογιώργης copy 97

3times2 Συστήματα Εξισώσεων I

1 Μ Λ

X

Y

(32)

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minusY = 1

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 98

3times2 Συστήματα Εξισώσεων II

2 Α Λ

X

Y Εξις (1)Εξις (2)Εξις (3)

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 99

3times2 Συστήματα Εξισώσεων III3 Κ

(α) ´Οταν και οι τρεις εξισώσεις είναι παράλληλες

X

Y

2X minusY =minus8

2X minusY = 2

2X minusY = 12

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 100

3times2 Συστήματα Εξισώσεων IV(β) ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ τωνεξισώσεων

X

Y

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minus2Y =minus4

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 101

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική ΑνάλυσηΣε ένα γράφημα 2 διαστάσεων ένα σύστημα mtimes2(mgt2) εξισώσεων παριστάνεται με m ευθείες ´Οπωςσυμβαίνει στα συστήματα 2times2 υπάρχουν τρίαενδεχόμενα

1 ´Ολες οι ευθείες τέμνονται στο ίδιο σημείο και έτσιυπάρχει

2 ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ των mεξισώσεων Αυτό σημαίνει ότι όλες οι ευθείες είναιπαράλληλες Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα Λ

3 Οι m εξισώσεις είναι ισοδύναμες πχ παρασταίνονται σανμια ευθεία Σε αυτή την περίπτωση υπάρχει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 102

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων ∆ιαδικασίαΑπαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής για την επίλυση ενός συστήματοςmtimes2 μπορεί να περιγραφεί ως ακολούθωςΕπιλέξτε και λύστε σύστημα με δύο εξισώσεις

1 Εάν δεν υπάρχει λύση τότε ολόκληρο το σύστημα δεν έχειλύση

2 Εάν υπάρχει μοναδική λύση που ικανοποιεί τις υπόλοιπεςmminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα έχει μία μοναδική λύση

3 Εάν η λύση είναι μοναδική αλλά δεν ικανοποιεί τιςυπόλοιπες mminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα δεν έχει λύση

4 Εάν οι 2 λύσεις είναι ισοδύναμες απάλοιψτε τη μίααπό τις δύο εξισώσεις και ξεκινήστε από την αρχήλαμβάνοντας υπόψη ένα σύστημα (mminus1)times2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 103

ΠαράδείγμαI Θεωρείστε ένα σύστημα 5times2

XminusY= 1X+2Y=minus8

3Xminus2Y= 02Xminus5Y= 11minus4X+3Y=minus1

I Η λύση των πρώτων δύο εξισώσεων δίνετε απόY =minus3 και X =minus2

I Αντικαθιστώντας τη λύση στις υπόλοιπες τρεις εξισώσειςπαίρνετε αντίστοιχα

0 = 0 11 = 11 και minus1 =minus1I Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση

X=minus2 και Y=minus3Ε Ι Κοντογιώργης copy 104

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian

Η μέθοδος απολοιφής Gaussian μετατρέπει το αρχικόσύστημα εξισώσεων σε διαγώνια μορφή επαναλαμβάνονταςστις εξισώσεις τις ακόλουθες τρεις διαδικασίες

1 Πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης μεμια θετική σταθερά

2 Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού θα προστεθεί σεάλλη εξίσωση

3 Η σειρά των εξισώσεων μπορεί να αλλάξει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 105

ΠαράδείγμαΠ Θεωρείστε το σύστημα 2times2

2X minus 3Y = 7 (Εξ 1)X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με 12 για να πάρετε

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με minus1 καιπροσθέστε την στην (Εξ 2)

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

52Y =

152 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 106

Στάδιο 3 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 25

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

Y = 3 (Εξ 2)

Στάδιο 4 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 32 και

προσθέστε την στην (Εξ 1)

X = 1 (Εξ 1)Y = 3 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 107

Π Θεωρείστε το σύστημα 2times2

5X + 20Y = 254X minus 7Y =minus26

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να εκφραστεί ως

R1 5 20 25R2 4 minus7 minus26

Η κάθετη γραμμή χρησιμοποιείται για διαχωρισμό τηςαριστερής από τη δεξιά πλευρά των εξισώσεων Το Riυπονοεί τη γραμμή (Row) i

Ε Ι Κοντογιώργης copy 108

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάζουμε τη R1 με 15 και το θέτουμε

R1larr 15R1

R1 1 4 5R2 4 minus7 minus26

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάζουμε την R1 με minus4 και τηνπροσθέτουμε στην R2 Εν συντομίαR2larrminus4R1+R2

R1 1 4 5R2 0 minus23 minus46

Στάδιο 3 R2larrminus 123R2

R1 1 4 5R2 0 1 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 109

Στάδιο 4 R1larrminus4R2+R1

R1 1 0 minus3R2 0 1 2

Το αρχικό σύστημα εξισώσεων μετατρέπεται σε διαγώνιαμορφή όπως πιο κάτω

X =minus3Y = 2

το οποίο δίνει τη λύση του συστήματος

Ε Ι Κοντογιώργης copy 110

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 I

Το σύστημα εξισώσεων 3times3 μετετρέπεται σε διαγώνιαμορφή Η μετατροπή γίνεται στήλη με στήλη από τααριστερά προς τα δεξιά

Π Θεωρήστε το σύστημα 3times3

X1 + X2 + X3 = 2X1 minus 3X2 + 2X3 = 7

4X1 minus 2X2 minus X3 = 9

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να γραφτεί ως

Ε Ι Κοντογιώργης copy 111

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 II

1 1 1 21 minus3 2 74 minus2 minus1 9

Ε Ι Κοντογιώργης copy 112

I

X

Y

(40)

(0minus2)

(minus60)

(03)

X minus2Y =minus6

X minus2Y = 4

0-0

I Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες και συνεπώς το σύστημαδεν έχει λύση ´Ετσι το σύστημα εξισώσεων είναιασύμπτωτο

Ε Ι Κοντογιώργης copy 91

Περίληψη 2times2 Συστήματα Εξισώσεων∆ίνεται ένα Σύστημα Γραμμικών Εξισώσεων 2times2

Y=m1X+ c1Y=m2X+ c2

1 Υπάρχει μια στο σύστημα εάνm1 6= m2

2 ∆εν υπάρχει στο σύστημα εάνm1 = m2 και c1 6= c2

3 Υπάρχει εάνm1 = m2 και c1 = c2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 92

∆ιαδικασίες Απαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής χρησιμοποιεί πολλαπλασιασμόκαι πρόσθεση έτσι ώστε

1 Να απαλοιφεί μια από τις δύο μεταβλητές

2 Η εξίσωση που εξάγεται είναι συνάρτηση των υπόλοιπωνμεταβλητών

3 Αντικαθιστώντας την τιμή στην μεταβλητή σε μια από τιςαρχικές εξισώσεις βρίσκουμε την τιμή για τηναπολοιφθήσα μεταβλητή

Ε Ι Κοντογιώργης copy 93

ΠαραδείγματαI Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

2X +4Y = 20 (1)3X + Y = 10 (2)

Πολλαπλασιάζοντας τη δεύτερη εξίσωση με minus4 παίρνουμε

minus12X minus4Y =minus40 (3)

Προσθέτοντας την εξίσωση (1) στο (3)

2X + 4Y = 20minus12X minus 4Y = minus40minus10X = minus20

ή

X = 2 (4)Ε Ι Κοντογιώργης copy 94

Αντικαθιστώντας X= 2 στην εξίσωση (1) δίνεται2 middot2+4Y = 20 ή Y=4

´Ετσι η μοναδική λύση του συστήματος δίνεται από τοX= 2 και Y= 4 Μπορεί να επιβεβαιωθεί ότι αυτή είναι ησωστή λύση αντικαθιστώντας X= 2 και Y= 4 στηνεξίσωση (1) και (2)

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times23X minus2Y = 6 (5)

minus15X +10Y =minus30 (6)

Για την απαλοιφή της μεταβλητής X η εξίσωση (5)πολλαπλασιάζεται με 5 και το αποτέλεσμα προστίθεταιστην εξίσωση (6)

15X minus 10Y = 30minus15X + 10Y = minus30

0 = 0 Ε Ι Κοντογιώργης copy 95

Οι τελευταίες πράξεις υπονοούν ότι οι εξίσωσεις (5) και(6) είναι ισοδύναμες και έτσι υπάρχει άπειρος αριθμόςλύσεωνΓια να προσδιορίσουμε τις λύσεις του συστήματος μια απότις αρχικές εξισώσεις λύνεται ως προς μια μεταβλητή Ανγια παράδειγμα η εξίσωση (5) λύνεται ως προς Y δίνει

Y =32Xminus3

Σαν αποτέλεσμα γενικεύοντας τις λύσεις του συστήματοςέχουμε

X τυχαίο και Y =32Xminus3

Πχ για X= 4 υπονοείται ότι Y=32 middot4minus3 = 3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 96

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

6X minus12Y = 24 (7)

minus32X +3Y = 9 (8)

Πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση (8) με 4 καιπροσθέτοντας το αποτέλεσμα στην εξίσωση (7)παίρνουμε

6X minus 12Y = 24minus6X + 12Y = 36

0 = 60

Η πιο πάνω αντιλογία υπονοεί ότι δεν υπάρχει λύση τουσυστήματος εξισώσεων

Ε Ι Κοντογιώργης copy 97

3times2 Συστήματα Εξισώσεων I

1 Μ Λ

X

Y

(32)

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minusY = 1

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 98

3times2 Συστήματα Εξισώσεων II

2 Α Λ

X

Y Εξις (1)Εξις (2)Εξις (3)

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 99

3times2 Συστήματα Εξισώσεων III3 Κ

(α) ´Οταν και οι τρεις εξισώσεις είναι παράλληλες

X

Y

2X minusY =minus8

2X minusY = 2

2X minusY = 12

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 100

3times2 Συστήματα Εξισώσεων IV(β) ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ τωνεξισώσεων

X

Y

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minus2Y =minus4

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 101

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική ΑνάλυσηΣε ένα γράφημα 2 διαστάσεων ένα σύστημα mtimes2(mgt2) εξισώσεων παριστάνεται με m ευθείες ´Οπωςσυμβαίνει στα συστήματα 2times2 υπάρχουν τρίαενδεχόμενα

1 ´Ολες οι ευθείες τέμνονται στο ίδιο σημείο και έτσιυπάρχει

2 ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ των mεξισώσεων Αυτό σημαίνει ότι όλες οι ευθείες είναιπαράλληλες Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα Λ

3 Οι m εξισώσεις είναι ισοδύναμες πχ παρασταίνονται σανμια ευθεία Σε αυτή την περίπτωση υπάρχει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 102

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων ∆ιαδικασίαΑπαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής για την επίλυση ενός συστήματοςmtimes2 μπορεί να περιγραφεί ως ακολούθωςΕπιλέξτε και λύστε σύστημα με δύο εξισώσεις

1 Εάν δεν υπάρχει λύση τότε ολόκληρο το σύστημα δεν έχειλύση

2 Εάν υπάρχει μοναδική λύση που ικανοποιεί τις υπόλοιπεςmminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα έχει μία μοναδική λύση

3 Εάν η λύση είναι μοναδική αλλά δεν ικανοποιεί τιςυπόλοιπες mminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα δεν έχει λύση

4 Εάν οι 2 λύσεις είναι ισοδύναμες απάλοιψτε τη μίααπό τις δύο εξισώσεις και ξεκινήστε από την αρχήλαμβάνοντας υπόψη ένα σύστημα (mminus1)times2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 103

ΠαράδείγμαI Θεωρείστε ένα σύστημα 5times2

XminusY= 1X+2Y=minus8

3Xminus2Y= 02Xminus5Y= 11minus4X+3Y=minus1

I Η λύση των πρώτων δύο εξισώσεων δίνετε απόY =minus3 και X =minus2

I Αντικαθιστώντας τη λύση στις υπόλοιπες τρεις εξισώσειςπαίρνετε αντίστοιχα

0 = 0 11 = 11 και minus1 =minus1I Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση

X=minus2 και Y=minus3Ε Ι Κοντογιώργης copy 104

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian

Η μέθοδος απολοιφής Gaussian μετατρέπει το αρχικόσύστημα εξισώσεων σε διαγώνια μορφή επαναλαμβάνονταςστις εξισώσεις τις ακόλουθες τρεις διαδικασίες

1 Πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης μεμια θετική σταθερά

2 Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού θα προστεθεί σεάλλη εξίσωση

3 Η σειρά των εξισώσεων μπορεί να αλλάξει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 105

ΠαράδείγμαΠ Θεωρείστε το σύστημα 2times2

2X minus 3Y = 7 (Εξ 1)X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με 12 για να πάρετε

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με minus1 καιπροσθέστε την στην (Εξ 2)

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

52Y =

152 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 106

Στάδιο 3 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 25

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

Y = 3 (Εξ 2)

Στάδιο 4 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 32 και

προσθέστε την στην (Εξ 1)

X = 1 (Εξ 1)Y = 3 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 107

Π Θεωρείστε το σύστημα 2times2

5X + 20Y = 254X minus 7Y =minus26

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να εκφραστεί ως

R1 5 20 25R2 4 minus7 minus26

Η κάθετη γραμμή χρησιμοποιείται για διαχωρισμό τηςαριστερής από τη δεξιά πλευρά των εξισώσεων Το Riυπονοεί τη γραμμή (Row) i

Ε Ι Κοντογιώργης copy 108

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάζουμε τη R1 με 15 και το θέτουμε

R1larr 15R1

R1 1 4 5R2 4 minus7 minus26

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάζουμε την R1 με minus4 και τηνπροσθέτουμε στην R2 Εν συντομίαR2larrminus4R1+R2

R1 1 4 5R2 0 minus23 minus46

Στάδιο 3 R2larrminus 123R2

R1 1 4 5R2 0 1 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 109

Στάδιο 4 R1larrminus4R2+R1

R1 1 0 minus3R2 0 1 2

Το αρχικό σύστημα εξισώσεων μετατρέπεται σε διαγώνιαμορφή όπως πιο κάτω

X =minus3Y = 2

το οποίο δίνει τη λύση του συστήματος

Ε Ι Κοντογιώργης copy 110

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 I

Το σύστημα εξισώσεων 3times3 μετετρέπεται σε διαγώνιαμορφή Η μετατροπή γίνεται στήλη με στήλη από τααριστερά προς τα δεξιά

Π Θεωρήστε το σύστημα 3times3

X1 + X2 + X3 = 2X1 minus 3X2 + 2X3 = 7

4X1 minus 2X2 minus X3 = 9

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να γραφτεί ως

Ε Ι Κοντογιώργης copy 111

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 II

1 1 1 21 minus3 2 74 minus2 minus1 9

Ε Ι Κοντογιώργης copy 112

Περίληψη 2times2 Συστήματα Εξισώσεων∆ίνεται ένα Σύστημα Γραμμικών Εξισώσεων 2times2

Y=m1X+ c1Y=m2X+ c2

1 Υπάρχει μια στο σύστημα εάνm1 6= m2

2 ∆εν υπάρχει στο σύστημα εάνm1 = m2 και c1 6= c2

3 Υπάρχει εάνm1 = m2 και c1 = c2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 92

∆ιαδικασίες Απαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής χρησιμοποιεί πολλαπλασιασμόκαι πρόσθεση έτσι ώστε

1 Να απαλοιφεί μια από τις δύο μεταβλητές

2 Η εξίσωση που εξάγεται είναι συνάρτηση των υπόλοιπωνμεταβλητών

3 Αντικαθιστώντας την τιμή στην μεταβλητή σε μια από τιςαρχικές εξισώσεις βρίσκουμε την τιμή για τηναπολοιφθήσα μεταβλητή

Ε Ι Κοντογιώργης copy 93

ΠαραδείγματαI Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

2X +4Y = 20 (1)3X + Y = 10 (2)

Πολλαπλασιάζοντας τη δεύτερη εξίσωση με minus4 παίρνουμε

minus12X minus4Y =minus40 (3)

Προσθέτοντας την εξίσωση (1) στο (3)

2X + 4Y = 20minus12X minus 4Y = minus40minus10X = minus20

ή

X = 2 (4)Ε Ι Κοντογιώργης copy 94

Αντικαθιστώντας X= 2 στην εξίσωση (1) δίνεται2 middot2+4Y = 20 ή Y=4

´Ετσι η μοναδική λύση του συστήματος δίνεται από τοX= 2 και Y= 4 Μπορεί να επιβεβαιωθεί ότι αυτή είναι ησωστή λύση αντικαθιστώντας X= 2 και Y= 4 στηνεξίσωση (1) και (2)

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times23X minus2Y = 6 (5)

minus15X +10Y =minus30 (6)

Για την απαλοιφή της μεταβλητής X η εξίσωση (5)πολλαπλασιάζεται με 5 και το αποτέλεσμα προστίθεταιστην εξίσωση (6)

15X minus 10Y = 30minus15X + 10Y = minus30

0 = 0 Ε Ι Κοντογιώργης copy 95

Οι τελευταίες πράξεις υπονοούν ότι οι εξίσωσεις (5) και(6) είναι ισοδύναμες και έτσι υπάρχει άπειρος αριθμόςλύσεωνΓια να προσδιορίσουμε τις λύσεις του συστήματος μια απότις αρχικές εξισώσεις λύνεται ως προς μια μεταβλητή Ανγια παράδειγμα η εξίσωση (5) λύνεται ως προς Y δίνει

Y =32Xminus3

Σαν αποτέλεσμα γενικεύοντας τις λύσεις του συστήματοςέχουμε

X τυχαίο και Y =32Xminus3

Πχ για X= 4 υπονοείται ότι Y=32 middot4minus3 = 3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 96

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

6X minus12Y = 24 (7)

minus32X +3Y = 9 (8)

Πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση (8) με 4 καιπροσθέτοντας το αποτέλεσμα στην εξίσωση (7)παίρνουμε

6X minus 12Y = 24minus6X + 12Y = 36

0 = 60

Η πιο πάνω αντιλογία υπονοεί ότι δεν υπάρχει λύση τουσυστήματος εξισώσεων

Ε Ι Κοντογιώργης copy 97

3times2 Συστήματα Εξισώσεων I

1 Μ Λ

X

Y

(32)

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minusY = 1

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 98

3times2 Συστήματα Εξισώσεων II

2 Α Λ

X

Y Εξις (1)Εξις (2)Εξις (3)

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 99

3times2 Συστήματα Εξισώσεων III3 Κ

(α) ´Οταν και οι τρεις εξισώσεις είναι παράλληλες

X

Y

2X minusY =minus8

2X minusY = 2

2X minusY = 12

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 100

3times2 Συστήματα Εξισώσεων IV(β) ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ τωνεξισώσεων

X

Y

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minus2Y =minus4

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 101

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική ΑνάλυσηΣε ένα γράφημα 2 διαστάσεων ένα σύστημα mtimes2(mgt2) εξισώσεων παριστάνεται με m ευθείες ´Οπωςσυμβαίνει στα συστήματα 2times2 υπάρχουν τρίαενδεχόμενα

1 ´Ολες οι ευθείες τέμνονται στο ίδιο σημείο και έτσιυπάρχει

2 ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ των mεξισώσεων Αυτό σημαίνει ότι όλες οι ευθείες είναιπαράλληλες Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα Λ

3 Οι m εξισώσεις είναι ισοδύναμες πχ παρασταίνονται σανμια ευθεία Σε αυτή την περίπτωση υπάρχει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 102

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων ∆ιαδικασίαΑπαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής για την επίλυση ενός συστήματοςmtimes2 μπορεί να περιγραφεί ως ακολούθωςΕπιλέξτε και λύστε σύστημα με δύο εξισώσεις

1 Εάν δεν υπάρχει λύση τότε ολόκληρο το σύστημα δεν έχειλύση

2 Εάν υπάρχει μοναδική λύση που ικανοποιεί τις υπόλοιπεςmminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα έχει μία μοναδική λύση

3 Εάν η λύση είναι μοναδική αλλά δεν ικανοποιεί τιςυπόλοιπες mminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα δεν έχει λύση

4 Εάν οι 2 λύσεις είναι ισοδύναμες απάλοιψτε τη μίααπό τις δύο εξισώσεις και ξεκινήστε από την αρχήλαμβάνοντας υπόψη ένα σύστημα (mminus1)times2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 103

ΠαράδείγμαI Θεωρείστε ένα σύστημα 5times2

XminusY= 1X+2Y=minus8

3Xminus2Y= 02Xminus5Y= 11minus4X+3Y=minus1

I Η λύση των πρώτων δύο εξισώσεων δίνετε απόY =minus3 και X =minus2

I Αντικαθιστώντας τη λύση στις υπόλοιπες τρεις εξισώσειςπαίρνετε αντίστοιχα

0 = 0 11 = 11 και minus1 =minus1I Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση

X=minus2 και Y=minus3Ε Ι Κοντογιώργης copy 104

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian

Η μέθοδος απολοιφής Gaussian μετατρέπει το αρχικόσύστημα εξισώσεων σε διαγώνια μορφή επαναλαμβάνονταςστις εξισώσεις τις ακόλουθες τρεις διαδικασίες

1 Πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης μεμια θετική σταθερά

2 Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού θα προστεθεί σεάλλη εξίσωση

3 Η σειρά των εξισώσεων μπορεί να αλλάξει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 105

ΠαράδείγμαΠ Θεωρείστε το σύστημα 2times2

2X minus 3Y = 7 (Εξ 1)X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με 12 για να πάρετε

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με minus1 καιπροσθέστε την στην (Εξ 2)

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

52Y =

152 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 106

Στάδιο 3 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 25

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

Y = 3 (Εξ 2)

Στάδιο 4 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 32 και

προσθέστε την στην (Εξ 1)

X = 1 (Εξ 1)Y = 3 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 107

Π Θεωρείστε το σύστημα 2times2

5X + 20Y = 254X minus 7Y =minus26

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να εκφραστεί ως

R1 5 20 25R2 4 minus7 minus26

Η κάθετη γραμμή χρησιμοποιείται για διαχωρισμό τηςαριστερής από τη δεξιά πλευρά των εξισώσεων Το Riυπονοεί τη γραμμή (Row) i

Ε Ι Κοντογιώργης copy 108

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάζουμε τη R1 με 15 και το θέτουμε

R1larr 15R1

R1 1 4 5R2 4 minus7 minus26

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάζουμε την R1 με minus4 και τηνπροσθέτουμε στην R2 Εν συντομίαR2larrminus4R1+R2

R1 1 4 5R2 0 minus23 minus46

Στάδιο 3 R2larrminus 123R2

R1 1 4 5R2 0 1 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 109

Στάδιο 4 R1larrminus4R2+R1

R1 1 0 minus3R2 0 1 2

Το αρχικό σύστημα εξισώσεων μετατρέπεται σε διαγώνιαμορφή όπως πιο κάτω

X =minus3Y = 2

το οποίο δίνει τη λύση του συστήματος

Ε Ι Κοντογιώργης copy 110

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 I

Το σύστημα εξισώσεων 3times3 μετετρέπεται σε διαγώνιαμορφή Η μετατροπή γίνεται στήλη με στήλη από τααριστερά προς τα δεξιά

Π Θεωρήστε το σύστημα 3times3

X1 + X2 + X3 = 2X1 minus 3X2 + 2X3 = 7

4X1 minus 2X2 minus X3 = 9

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να γραφτεί ως

Ε Ι Κοντογιώργης copy 111

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 II

1 1 1 21 minus3 2 74 minus2 minus1 9

Ε Ι Κοντογιώργης copy 112

∆ιαδικασίες Απαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής χρησιμοποιεί πολλαπλασιασμόκαι πρόσθεση έτσι ώστε

1 Να απαλοιφεί μια από τις δύο μεταβλητές

2 Η εξίσωση που εξάγεται είναι συνάρτηση των υπόλοιπωνμεταβλητών

3 Αντικαθιστώντας την τιμή στην μεταβλητή σε μια από τιςαρχικές εξισώσεις βρίσκουμε την τιμή για τηναπολοιφθήσα μεταβλητή

Ε Ι Κοντογιώργης copy 93

ΠαραδείγματαI Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

2X +4Y = 20 (1)3X + Y = 10 (2)

Πολλαπλασιάζοντας τη δεύτερη εξίσωση με minus4 παίρνουμε

minus12X minus4Y =minus40 (3)

Προσθέτοντας την εξίσωση (1) στο (3)

2X + 4Y = 20minus12X minus 4Y = minus40minus10X = minus20

ή

X = 2 (4)Ε Ι Κοντογιώργης copy 94

Αντικαθιστώντας X= 2 στην εξίσωση (1) δίνεται2 middot2+4Y = 20 ή Y=4

´Ετσι η μοναδική λύση του συστήματος δίνεται από τοX= 2 και Y= 4 Μπορεί να επιβεβαιωθεί ότι αυτή είναι ησωστή λύση αντικαθιστώντας X= 2 και Y= 4 στηνεξίσωση (1) και (2)

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times23X minus2Y = 6 (5)

minus15X +10Y =minus30 (6)

Για την απαλοιφή της μεταβλητής X η εξίσωση (5)πολλαπλασιάζεται με 5 και το αποτέλεσμα προστίθεταιστην εξίσωση (6)

15X minus 10Y = 30minus15X + 10Y = minus30

0 = 0 Ε Ι Κοντογιώργης copy 95

Οι τελευταίες πράξεις υπονοούν ότι οι εξίσωσεις (5) και(6) είναι ισοδύναμες και έτσι υπάρχει άπειρος αριθμόςλύσεωνΓια να προσδιορίσουμε τις λύσεις του συστήματος μια απότις αρχικές εξισώσεις λύνεται ως προς μια μεταβλητή Ανγια παράδειγμα η εξίσωση (5) λύνεται ως προς Y δίνει

Y =32Xminus3

Σαν αποτέλεσμα γενικεύοντας τις λύσεις του συστήματοςέχουμε

X τυχαίο και Y =32Xminus3

Πχ για X= 4 υπονοείται ότι Y=32 middot4minus3 = 3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 96

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

6X minus12Y = 24 (7)

minus32X +3Y = 9 (8)

Πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση (8) με 4 καιπροσθέτοντας το αποτέλεσμα στην εξίσωση (7)παίρνουμε

6X minus 12Y = 24minus6X + 12Y = 36

0 = 60

Η πιο πάνω αντιλογία υπονοεί ότι δεν υπάρχει λύση τουσυστήματος εξισώσεων

Ε Ι Κοντογιώργης copy 97

3times2 Συστήματα Εξισώσεων I

1 Μ Λ

X

Y

(32)

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minusY = 1

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 98

3times2 Συστήματα Εξισώσεων II

2 Α Λ

X

Y Εξις (1)Εξις (2)Εξις (3)

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 99

3times2 Συστήματα Εξισώσεων III3 Κ

(α) ´Οταν και οι τρεις εξισώσεις είναι παράλληλες

X

Y

2X minusY =minus8

2X minusY = 2

2X minusY = 12

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 100

3times2 Συστήματα Εξισώσεων IV(β) ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ τωνεξισώσεων

X

Y

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minus2Y =minus4

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 101

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική ΑνάλυσηΣε ένα γράφημα 2 διαστάσεων ένα σύστημα mtimes2(mgt2) εξισώσεων παριστάνεται με m ευθείες ´Οπωςσυμβαίνει στα συστήματα 2times2 υπάρχουν τρίαενδεχόμενα

1 ´Ολες οι ευθείες τέμνονται στο ίδιο σημείο και έτσιυπάρχει

2 ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ των mεξισώσεων Αυτό σημαίνει ότι όλες οι ευθείες είναιπαράλληλες Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα Λ

3 Οι m εξισώσεις είναι ισοδύναμες πχ παρασταίνονται σανμια ευθεία Σε αυτή την περίπτωση υπάρχει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 102

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων ∆ιαδικασίαΑπαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής για την επίλυση ενός συστήματοςmtimes2 μπορεί να περιγραφεί ως ακολούθωςΕπιλέξτε και λύστε σύστημα με δύο εξισώσεις

1 Εάν δεν υπάρχει λύση τότε ολόκληρο το σύστημα δεν έχειλύση

2 Εάν υπάρχει μοναδική λύση που ικανοποιεί τις υπόλοιπεςmminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα έχει μία μοναδική λύση

3 Εάν η λύση είναι μοναδική αλλά δεν ικανοποιεί τιςυπόλοιπες mminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα δεν έχει λύση

4 Εάν οι 2 λύσεις είναι ισοδύναμες απάλοιψτε τη μίααπό τις δύο εξισώσεις και ξεκινήστε από την αρχήλαμβάνοντας υπόψη ένα σύστημα (mminus1)times2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 103

ΠαράδείγμαI Θεωρείστε ένα σύστημα 5times2

XminusY= 1X+2Y=minus8

3Xminus2Y= 02Xminus5Y= 11minus4X+3Y=minus1

I Η λύση των πρώτων δύο εξισώσεων δίνετε απόY =minus3 και X =minus2

I Αντικαθιστώντας τη λύση στις υπόλοιπες τρεις εξισώσειςπαίρνετε αντίστοιχα

0 = 0 11 = 11 και minus1 =minus1I Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση

X=minus2 και Y=minus3Ε Ι Κοντογιώργης copy 104

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian

Η μέθοδος απολοιφής Gaussian μετατρέπει το αρχικόσύστημα εξισώσεων σε διαγώνια μορφή επαναλαμβάνονταςστις εξισώσεις τις ακόλουθες τρεις διαδικασίες

1 Πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης μεμια θετική σταθερά

2 Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού θα προστεθεί σεάλλη εξίσωση

3 Η σειρά των εξισώσεων μπορεί να αλλάξει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 105

ΠαράδείγμαΠ Θεωρείστε το σύστημα 2times2

2X minus 3Y = 7 (Εξ 1)X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με 12 για να πάρετε

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με minus1 καιπροσθέστε την στην (Εξ 2)

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

52Y =

152 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 106

Στάδιο 3 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 25

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

Y = 3 (Εξ 2)

Στάδιο 4 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 32 και

προσθέστε την στην (Εξ 1)

X = 1 (Εξ 1)Y = 3 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 107

Π Θεωρείστε το σύστημα 2times2

5X + 20Y = 254X minus 7Y =minus26

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να εκφραστεί ως

R1 5 20 25R2 4 minus7 minus26

Η κάθετη γραμμή χρησιμοποιείται για διαχωρισμό τηςαριστερής από τη δεξιά πλευρά των εξισώσεων Το Riυπονοεί τη γραμμή (Row) i

Ε Ι Κοντογιώργης copy 108

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάζουμε τη R1 με 15 και το θέτουμε

R1larr 15R1

R1 1 4 5R2 4 minus7 minus26

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάζουμε την R1 με minus4 και τηνπροσθέτουμε στην R2 Εν συντομίαR2larrminus4R1+R2

R1 1 4 5R2 0 minus23 minus46

Στάδιο 3 R2larrminus 123R2

R1 1 4 5R2 0 1 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 109

Στάδιο 4 R1larrminus4R2+R1

R1 1 0 minus3R2 0 1 2

Το αρχικό σύστημα εξισώσεων μετατρέπεται σε διαγώνιαμορφή όπως πιο κάτω

X =minus3Y = 2

το οποίο δίνει τη λύση του συστήματος

Ε Ι Κοντογιώργης copy 110

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 I

Το σύστημα εξισώσεων 3times3 μετετρέπεται σε διαγώνιαμορφή Η μετατροπή γίνεται στήλη με στήλη από τααριστερά προς τα δεξιά

Π Θεωρήστε το σύστημα 3times3

X1 + X2 + X3 = 2X1 minus 3X2 + 2X3 = 7

4X1 minus 2X2 minus X3 = 9

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να γραφτεί ως

Ε Ι Κοντογιώργης copy 111

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 II

1 1 1 21 minus3 2 74 minus2 minus1 9

Ε Ι Κοντογιώργης copy 112

ΠαραδείγματαI Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

2X +4Y = 20 (1)3X + Y = 10 (2)

Πολλαπλασιάζοντας τη δεύτερη εξίσωση με minus4 παίρνουμε

minus12X minus4Y =minus40 (3)

Προσθέτοντας την εξίσωση (1) στο (3)

2X + 4Y = 20minus12X minus 4Y = minus40minus10X = minus20

ή

X = 2 (4)Ε Ι Κοντογιώργης copy 94

Αντικαθιστώντας X= 2 στην εξίσωση (1) δίνεται2 middot2+4Y = 20 ή Y=4

´Ετσι η μοναδική λύση του συστήματος δίνεται από τοX= 2 και Y= 4 Μπορεί να επιβεβαιωθεί ότι αυτή είναι ησωστή λύση αντικαθιστώντας X= 2 και Y= 4 στηνεξίσωση (1) και (2)

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times23X minus2Y = 6 (5)

minus15X +10Y =minus30 (6)

Για την απαλοιφή της μεταβλητής X η εξίσωση (5)πολλαπλασιάζεται με 5 και το αποτέλεσμα προστίθεταιστην εξίσωση (6)

15X minus 10Y = 30minus15X + 10Y = minus30

0 = 0 Ε Ι Κοντογιώργης copy 95

Οι τελευταίες πράξεις υπονοούν ότι οι εξίσωσεις (5) και(6) είναι ισοδύναμες και έτσι υπάρχει άπειρος αριθμόςλύσεωνΓια να προσδιορίσουμε τις λύσεις του συστήματος μια απότις αρχικές εξισώσεις λύνεται ως προς μια μεταβλητή Ανγια παράδειγμα η εξίσωση (5) λύνεται ως προς Y δίνει

Y =32Xminus3

Σαν αποτέλεσμα γενικεύοντας τις λύσεις του συστήματοςέχουμε

X τυχαίο και Y =32Xminus3

Πχ για X= 4 υπονοείται ότι Y=32 middot4minus3 = 3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 96

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

6X minus12Y = 24 (7)

minus32X +3Y = 9 (8)

Πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση (8) με 4 καιπροσθέτοντας το αποτέλεσμα στην εξίσωση (7)παίρνουμε

6X minus 12Y = 24minus6X + 12Y = 36

0 = 60

Η πιο πάνω αντιλογία υπονοεί ότι δεν υπάρχει λύση τουσυστήματος εξισώσεων

Ε Ι Κοντογιώργης copy 97

3times2 Συστήματα Εξισώσεων I

1 Μ Λ

X

Y

(32)

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minusY = 1

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 98

3times2 Συστήματα Εξισώσεων II

2 Α Λ

X

Y Εξις (1)Εξις (2)Εξις (3)

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 99

3times2 Συστήματα Εξισώσεων III3 Κ

(α) ´Οταν και οι τρεις εξισώσεις είναι παράλληλες

X

Y

2X minusY =minus8

2X minusY = 2

2X minusY = 12

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 100

3times2 Συστήματα Εξισώσεων IV(β) ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ τωνεξισώσεων

X

Y

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minus2Y =minus4

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 101

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική ΑνάλυσηΣε ένα γράφημα 2 διαστάσεων ένα σύστημα mtimes2(mgt2) εξισώσεων παριστάνεται με m ευθείες ´Οπωςσυμβαίνει στα συστήματα 2times2 υπάρχουν τρίαενδεχόμενα

1 ´Ολες οι ευθείες τέμνονται στο ίδιο σημείο και έτσιυπάρχει

2 ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ των mεξισώσεων Αυτό σημαίνει ότι όλες οι ευθείες είναιπαράλληλες Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα Λ

3 Οι m εξισώσεις είναι ισοδύναμες πχ παρασταίνονται σανμια ευθεία Σε αυτή την περίπτωση υπάρχει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 102

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων ∆ιαδικασίαΑπαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής για την επίλυση ενός συστήματοςmtimes2 μπορεί να περιγραφεί ως ακολούθωςΕπιλέξτε και λύστε σύστημα με δύο εξισώσεις

1 Εάν δεν υπάρχει λύση τότε ολόκληρο το σύστημα δεν έχειλύση

2 Εάν υπάρχει μοναδική λύση που ικανοποιεί τις υπόλοιπεςmminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα έχει μία μοναδική λύση

3 Εάν η λύση είναι μοναδική αλλά δεν ικανοποιεί τιςυπόλοιπες mminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα δεν έχει λύση

4 Εάν οι 2 λύσεις είναι ισοδύναμες απάλοιψτε τη μίααπό τις δύο εξισώσεις και ξεκινήστε από την αρχήλαμβάνοντας υπόψη ένα σύστημα (mminus1)times2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 103

ΠαράδείγμαI Θεωρείστε ένα σύστημα 5times2

XminusY= 1X+2Y=minus8

3Xminus2Y= 02Xminus5Y= 11minus4X+3Y=minus1

I Η λύση των πρώτων δύο εξισώσεων δίνετε απόY =minus3 και X =minus2

I Αντικαθιστώντας τη λύση στις υπόλοιπες τρεις εξισώσειςπαίρνετε αντίστοιχα

0 = 0 11 = 11 και minus1 =minus1I Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση

X=minus2 και Y=minus3Ε Ι Κοντογιώργης copy 104

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian

Η μέθοδος απολοιφής Gaussian μετατρέπει το αρχικόσύστημα εξισώσεων σε διαγώνια μορφή επαναλαμβάνονταςστις εξισώσεις τις ακόλουθες τρεις διαδικασίες

1 Πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης μεμια θετική σταθερά

2 Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού θα προστεθεί σεάλλη εξίσωση

3 Η σειρά των εξισώσεων μπορεί να αλλάξει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 105

ΠαράδείγμαΠ Θεωρείστε το σύστημα 2times2

2X minus 3Y = 7 (Εξ 1)X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με 12 για να πάρετε

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με minus1 καιπροσθέστε την στην (Εξ 2)

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

52Y =

152 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 106

Στάδιο 3 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 25

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

Y = 3 (Εξ 2)

Στάδιο 4 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 32 και

προσθέστε την στην (Εξ 1)

X = 1 (Εξ 1)Y = 3 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 107

Π Θεωρείστε το σύστημα 2times2

5X + 20Y = 254X minus 7Y =minus26

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να εκφραστεί ως

R1 5 20 25R2 4 minus7 minus26

Η κάθετη γραμμή χρησιμοποιείται για διαχωρισμό τηςαριστερής από τη δεξιά πλευρά των εξισώσεων Το Riυπονοεί τη γραμμή (Row) i

Ε Ι Κοντογιώργης copy 108

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάζουμε τη R1 με 15 και το θέτουμε

R1larr 15R1

R1 1 4 5R2 4 minus7 minus26

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάζουμε την R1 με minus4 και τηνπροσθέτουμε στην R2 Εν συντομίαR2larrminus4R1+R2

R1 1 4 5R2 0 minus23 minus46

Στάδιο 3 R2larrminus 123R2

R1 1 4 5R2 0 1 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 109

Στάδιο 4 R1larrminus4R2+R1

R1 1 0 minus3R2 0 1 2

Το αρχικό σύστημα εξισώσεων μετατρέπεται σε διαγώνιαμορφή όπως πιο κάτω

X =minus3Y = 2

το οποίο δίνει τη λύση του συστήματος

Ε Ι Κοντογιώργης copy 110

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 I

Το σύστημα εξισώσεων 3times3 μετετρέπεται σε διαγώνιαμορφή Η μετατροπή γίνεται στήλη με στήλη από τααριστερά προς τα δεξιά

Π Θεωρήστε το σύστημα 3times3

X1 + X2 + X3 = 2X1 minus 3X2 + 2X3 = 7

4X1 minus 2X2 minus X3 = 9

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να γραφτεί ως

Ε Ι Κοντογιώργης copy 111

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 II

1 1 1 21 minus3 2 74 minus2 minus1 9

Ε Ι Κοντογιώργης copy 112

Αντικαθιστώντας X= 2 στην εξίσωση (1) δίνεται2 middot2+4Y = 20 ή Y=4

´Ετσι η μοναδική λύση του συστήματος δίνεται από τοX= 2 και Y= 4 Μπορεί να επιβεβαιωθεί ότι αυτή είναι ησωστή λύση αντικαθιστώντας X= 2 και Y= 4 στηνεξίσωση (1) και (2)

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times23X minus2Y = 6 (5)

minus15X +10Y =minus30 (6)

Για την απαλοιφή της μεταβλητής X η εξίσωση (5)πολλαπλασιάζεται με 5 και το αποτέλεσμα προστίθεταιστην εξίσωση (6)

15X minus 10Y = 30minus15X + 10Y = minus30

0 = 0 Ε Ι Κοντογιώργης copy 95

Οι τελευταίες πράξεις υπονοούν ότι οι εξίσωσεις (5) και(6) είναι ισοδύναμες και έτσι υπάρχει άπειρος αριθμόςλύσεωνΓια να προσδιορίσουμε τις λύσεις του συστήματος μια απότις αρχικές εξισώσεις λύνεται ως προς μια μεταβλητή Ανγια παράδειγμα η εξίσωση (5) λύνεται ως προς Y δίνει

Y =32Xminus3

Σαν αποτέλεσμα γενικεύοντας τις λύσεις του συστήματοςέχουμε

X τυχαίο και Y =32Xminus3

Πχ για X= 4 υπονοείται ότι Y=32 middot4minus3 = 3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 96

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

6X minus12Y = 24 (7)

minus32X +3Y = 9 (8)

Πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση (8) με 4 καιπροσθέτοντας το αποτέλεσμα στην εξίσωση (7)παίρνουμε

6X minus 12Y = 24minus6X + 12Y = 36

0 = 60

Η πιο πάνω αντιλογία υπονοεί ότι δεν υπάρχει λύση τουσυστήματος εξισώσεων

Ε Ι Κοντογιώργης copy 97

3times2 Συστήματα Εξισώσεων I

1 Μ Λ

X

Y

(32)

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minusY = 1

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 98

3times2 Συστήματα Εξισώσεων II

2 Α Λ

X

Y Εξις (1)Εξις (2)Εξις (3)

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 99

3times2 Συστήματα Εξισώσεων III3 Κ

(α) ´Οταν και οι τρεις εξισώσεις είναι παράλληλες

X

Y

2X minusY =minus8

2X minusY = 2

2X minusY = 12

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 100

3times2 Συστήματα Εξισώσεων IV(β) ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ τωνεξισώσεων

X

Y

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minus2Y =minus4

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 101

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική ΑνάλυσηΣε ένα γράφημα 2 διαστάσεων ένα σύστημα mtimes2(mgt2) εξισώσεων παριστάνεται με m ευθείες ´Οπωςσυμβαίνει στα συστήματα 2times2 υπάρχουν τρίαενδεχόμενα

1 ´Ολες οι ευθείες τέμνονται στο ίδιο σημείο και έτσιυπάρχει

2 ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ των mεξισώσεων Αυτό σημαίνει ότι όλες οι ευθείες είναιπαράλληλες Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα Λ

3 Οι m εξισώσεις είναι ισοδύναμες πχ παρασταίνονται σανμια ευθεία Σε αυτή την περίπτωση υπάρχει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 102

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων ∆ιαδικασίαΑπαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής για την επίλυση ενός συστήματοςmtimes2 μπορεί να περιγραφεί ως ακολούθωςΕπιλέξτε και λύστε σύστημα με δύο εξισώσεις

1 Εάν δεν υπάρχει λύση τότε ολόκληρο το σύστημα δεν έχειλύση

2 Εάν υπάρχει μοναδική λύση που ικανοποιεί τις υπόλοιπεςmminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα έχει μία μοναδική λύση

3 Εάν η λύση είναι μοναδική αλλά δεν ικανοποιεί τιςυπόλοιπες mminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα δεν έχει λύση

4 Εάν οι 2 λύσεις είναι ισοδύναμες απάλοιψτε τη μίααπό τις δύο εξισώσεις και ξεκινήστε από την αρχήλαμβάνοντας υπόψη ένα σύστημα (mminus1)times2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 103

ΠαράδείγμαI Θεωρείστε ένα σύστημα 5times2

XminusY= 1X+2Y=minus8

3Xminus2Y= 02Xminus5Y= 11minus4X+3Y=minus1

I Η λύση των πρώτων δύο εξισώσεων δίνετε απόY =minus3 και X =minus2

I Αντικαθιστώντας τη λύση στις υπόλοιπες τρεις εξισώσειςπαίρνετε αντίστοιχα

0 = 0 11 = 11 και minus1 =minus1I Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση

X=minus2 και Y=minus3Ε Ι Κοντογιώργης copy 104

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian

Η μέθοδος απολοιφής Gaussian μετατρέπει το αρχικόσύστημα εξισώσεων σε διαγώνια μορφή επαναλαμβάνονταςστις εξισώσεις τις ακόλουθες τρεις διαδικασίες

1 Πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης μεμια θετική σταθερά

2 Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού θα προστεθεί σεάλλη εξίσωση

3 Η σειρά των εξισώσεων μπορεί να αλλάξει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 105

ΠαράδείγμαΠ Θεωρείστε το σύστημα 2times2

2X minus 3Y = 7 (Εξ 1)X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με 12 για να πάρετε

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με minus1 καιπροσθέστε την στην (Εξ 2)

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

52Y =

152 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 106

Στάδιο 3 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 25

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

Y = 3 (Εξ 2)

Στάδιο 4 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 32 και

προσθέστε την στην (Εξ 1)

X = 1 (Εξ 1)Y = 3 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 107

Π Θεωρείστε το σύστημα 2times2

5X + 20Y = 254X minus 7Y =minus26

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να εκφραστεί ως

R1 5 20 25R2 4 minus7 minus26

Η κάθετη γραμμή χρησιμοποιείται για διαχωρισμό τηςαριστερής από τη δεξιά πλευρά των εξισώσεων Το Riυπονοεί τη γραμμή (Row) i

Ε Ι Κοντογιώργης copy 108

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάζουμε τη R1 με 15 και το θέτουμε

R1larr 15R1

R1 1 4 5R2 4 minus7 minus26

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάζουμε την R1 με minus4 και τηνπροσθέτουμε στην R2 Εν συντομίαR2larrminus4R1+R2

R1 1 4 5R2 0 minus23 minus46

Στάδιο 3 R2larrminus 123R2

R1 1 4 5R2 0 1 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 109

Στάδιο 4 R1larrminus4R2+R1

R1 1 0 minus3R2 0 1 2

Το αρχικό σύστημα εξισώσεων μετατρέπεται σε διαγώνιαμορφή όπως πιο κάτω

X =minus3Y = 2

το οποίο δίνει τη λύση του συστήματος

Ε Ι Κοντογιώργης copy 110

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 I

Το σύστημα εξισώσεων 3times3 μετετρέπεται σε διαγώνιαμορφή Η μετατροπή γίνεται στήλη με στήλη από τααριστερά προς τα δεξιά

Π Θεωρήστε το σύστημα 3times3

X1 + X2 + X3 = 2X1 minus 3X2 + 2X3 = 7

4X1 minus 2X2 minus X3 = 9

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να γραφτεί ως

Ε Ι Κοντογιώργης copy 111

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 II

1 1 1 21 minus3 2 74 minus2 minus1 9

Ε Ι Κοντογιώργης copy 112

Οι τελευταίες πράξεις υπονοούν ότι οι εξίσωσεις (5) και(6) είναι ισοδύναμες και έτσι υπάρχει άπειρος αριθμόςλύσεωνΓια να προσδιορίσουμε τις λύσεις του συστήματος μια απότις αρχικές εξισώσεις λύνεται ως προς μια μεταβλητή Ανγια παράδειγμα η εξίσωση (5) λύνεται ως προς Y δίνει

Y =32Xminus3

Σαν αποτέλεσμα γενικεύοντας τις λύσεις του συστήματοςέχουμε

X τυχαίο και Y =32Xminus3

Πχ για X= 4 υπονοείται ότι Y=32 middot4minus3 = 3

Ε Ι Κοντογιώργης copy 96

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

6X minus12Y = 24 (7)

minus32X +3Y = 9 (8)

Πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση (8) με 4 καιπροσθέτοντας το αποτέλεσμα στην εξίσωση (7)παίρνουμε

6X minus 12Y = 24minus6X + 12Y = 36

0 = 60

Η πιο πάνω αντιλογία υπονοεί ότι δεν υπάρχει λύση τουσυστήματος εξισώσεων

Ε Ι Κοντογιώργης copy 97

3times2 Συστήματα Εξισώσεων I

1 Μ Λ

X

Y

(32)

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minusY = 1

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 98

3times2 Συστήματα Εξισώσεων II

2 Α Λ

X

Y Εξις (1)Εξις (2)Εξις (3)

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 99

3times2 Συστήματα Εξισώσεων III3 Κ

(α) ´Οταν και οι τρεις εξισώσεις είναι παράλληλες

X

Y

2X minusY =minus8

2X minusY = 2

2X minusY = 12

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 100

3times2 Συστήματα Εξισώσεων IV(β) ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ τωνεξισώσεων

X

Y

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minus2Y =minus4

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 101

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική ΑνάλυσηΣε ένα γράφημα 2 διαστάσεων ένα σύστημα mtimes2(mgt2) εξισώσεων παριστάνεται με m ευθείες ´Οπωςσυμβαίνει στα συστήματα 2times2 υπάρχουν τρίαενδεχόμενα

1 ´Ολες οι ευθείες τέμνονται στο ίδιο σημείο και έτσιυπάρχει

2 ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ των mεξισώσεων Αυτό σημαίνει ότι όλες οι ευθείες είναιπαράλληλες Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα Λ

3 Οι m εξισώσεις είναι ισοδύναμες πχ παρασταίνονται σανμια ευθεία Σε αυτή την περίπτωση υπάρχει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 102

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων ∆ιαδικασίαΑπαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής για την επίλυση ενός συστήματοςmtimes2 μπορεί να περιγραφεί ως ακολούθωςΕπιλέξτε και λύστε σύστημα με δύο εξισώσεις

1 Εάν δεν υπάρχει λύση τότε ολόκληρο το σύστημα δεν έχειλύση

2 Εάν υπάρχει μοναδική λύση που ικανοποιεί τις υπόλοιπεςmminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα έχει μία μοναδική λύση

3 Εάν η λύση είναι μοναδική αλλά δεν ικανοποιεί τιςυπόλοιπες mminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα δεν έχει λύση

4 Εάν οι 2 λύσεις είναι ισοδύναμες απάλοιψτε τη μίααπό τις δύο εξισώσεις και ξεκινήστε από την αρχήλαμβάνοντας υπόψη ένα σύστημα (mminus1)times2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 103

ΠαράδείγμαI Θεωρείστε ένα σύστημα 5times2

XminusY= 1X+2Y=minus8

3Xminus2Y= 02Xminus5Y= 11minus4X+3Y=minus1

I Η λύση των πρώτων δύο εξισώσεων δίνετε απόY =minus3 και X =minus2

I Αντικαθιστώντας τη λύση στις υπόλοιπες τρεις εξισώσειςπαίρνετε αντίστοιχα

0 = 0 11 = 11 και minus1 =minus1I Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση

X=minus2 και Y=minus3Ε Ι Κοντογιώργης copy 104

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian

Η μέθοδος απολοιφής Gaussian μετατρέπει το αρχικόσύστημα εξισώσεων σε διαγώνια μορφή επαναλαμβάνονταςστις εξισώσεις τις ακόλουθες τρεις διαδικασίες

1 Πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης μεμια θετική σταθερά

2 Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού θα προστεθεί σεάλλη εξίσωση

3 Η σειρά των εξισώσεων μπορεί να αλλάξει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 105

ΠαράδείγμαΠ Θεωρείστε το σύστημα 2times2

2X minus 3Y = 7 (Εξ 1)X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με 12 για να πάρετε

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με minus1 καιπροσθέστε την στην (Εξ 2)

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

52Y =

152 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 106

Στάδιο 3 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 25

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

Y = 3 (Εξ 2)

Στάδιο 4 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 32 και

προσθέστε την στην (Εξ 1)

X = 1 (Εξ 1)Y = 3 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 107

Π Θεωρείστε το σύστημα 2times2

5X + 20Y = 254X minus 7Y =minus26

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να εκφραστεί ως

R1 5 20 25R2 4 minus7 minus26

Η κάθετη γραμμή χρησιμοποιείται για διαχωρισμό τηςαριστερής από τη δεξιά πλευρά των εξισώσεων Το Riυπονοεί τη γραμμή (Row) i

Ε Ι Κοντογιώργης copy 108

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάζουμε τη R1 με 15 και το θέτουμε

R1larr 15R1

R1 1 4 5R2 4 minus7 minus26

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάζουμε την R1 με minus4 και τηνπροσθέτουμε στην R2 Εν συντομίαR2larrminus4R1+R2

R1 1 4 5R2 0 minus23 minus46

Στάδιο 3 R2larrminus 123R2

R1 1 4 5R2 0 1 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 109

Στάδιο 4 R1larrminus4R2+R1

R1 1 0 minus3R2 0 1 2

Το αρχικό σύστημα εξισώσεων μετατρέπεται σε διαγώνιαμορφή όπως πιο κάτω

X =minus3Y = 2

το οποίο δίνει τη λύση του συστήματος

Ε Ι Κοντογιώργης copy 110

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 I

Το σύστημα εξισώσεων 3times3 μετετρέπεται σε διαγώνιαμορφή Η μετατροπή γίνεται στήλη με στήλη από τααριστερά προς τα δεξιά

Π Θεωρήστε το σύστημα 3times3

X1 + X2 + X3 = 2X1 minus 3X2 + 2X3 = 7

4X1 minus 2X2 minus X3 = 9

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να γραφτεί ως

Ε Ι Κοντογιώργης copy 111

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 II

1 1 1 21 minus3 2 74 minus2 minus1 9

Ε Ι Κοντογιώργης copy 112

I Π Θεωρήστε το σύστημα 2times2

6X minus12Y = 24 (7)

minus32X +3Y = 9 (8)

Πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση (8) με 4 καιπροσθέτοντας το αποτέλεσμα στην εξίσωση (7)παίρνουμε

6X minus 12Y = 24minus6X + 12Y = 36

0 = 60

Η πιο πάνω αντιλογία υπονοεί ότι δεν υπάρχει λύση τουσυστήματος εξισώσεων

Ε Ι Κοντογιώργης copy 97

3times2 Συστήματα Εξισώσεων I

1 Μ Λ

X

Y

(32)

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minusY = 1

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 98

3times2 Συστήματα Εξισώσεων II

2 Α Λ

X

Y Εξις (1)Εξις (2)Εξις (3)

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 99

3times2 Συστήματα Εξισώσεων III3 Κ

(α) ´Οταν και οι τρεις εξισώσεις είναι παράλληλες

X

Y

2X minusY =minus8

2X minusY = 2

2X minusY = 12

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 100

3times2 Συστήματα Εξισώσεων IV(β) ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ τωνεξισώσεων

X

Y

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minus2Y =minus4

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 101

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική ΑνάλυσηΣε ένα γράφημα 2 διαστάσεων ένα σύστημα mtimes2(mgt2) εξισώσεων παριστάνεται με m ευθείες ´Οπωςσυμβαίνει στα συστήματα 2times2 υπάρχουν τρίαενδεχόμενα

1 ´Ολες οι ευθείες τέμνονται στο ίδιο σημείο και έτσιυπάρχει

2 ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ των mεξισώσεων Αυτό σημαίνει ότι όλες οι ευθείες είναιπαράλληλες Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα Λ

3 Οι m εξισώσεις είναι ισοδύναμες πχ παρασταίνονται σανμια ευθεία Σε αυτή την περίπτωση υπάρχει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 102

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων ∆ιαδικασίαΑπαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής για την επίλυση ενός συστήματοςmtimes2 μπορεί να περιγραφεί ως ακολούθωςΕπιλέξτε και λύστε σύστημα με δύο εξισώσεις

1 Εάν δεν υπάρχει λύση τότε ολόκληρο το σύστημα δεν έχειλύση

2 Εάν υπάρχει μοναδική λύση που ικανοποιεί τις υπόλοιπεςmminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα έχει μία μοναδική λύση

3 Εάν η λύση είναι μοναδική αλλά δεν ικανοποιεί τιςυπόλοιπες mminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα δεν έχει λύση

4 Εάν οι 2 λύσεις είναι ισοδύναμες απάλοιψτε τη μίααπό τις δύο εξισώσεις και ξεκινήστε από την αρχήλαμβάνοντας υπόψη ένα σύστημα (mminus1)times2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 103

ΠαράδείγμαI Θεωρείστε ένα σύστημα 5times2

XminusY= 1X+2Y=minus8

3Xminus2Y= 02Xminus5Y= 11minus4X+3Y=minus1

I Η λύση των πρώτων δύο εξισώσεων δίνετε απόY =minus3 και X =minus2

I Αντικαθιστώντας τη λύση στις υπόλοιπες τρεις εξισώσειςπαίρνετε αντίστοιχα

0 = 0 11 = 11 και minus1 =minus1I Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση

X=minus2 και Y=minus3Ε Ι Κοντογιώργης copy 104

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian

Η μέθοδος απολοιφής Gaussian μετατρέπει το αρχικόσύστημα εξισώσεων σε διαγώνια μορφή επαναλαμβάνονταςστις εξισώσεις τις ακόλουθες τρεις διαδικασίες

1 Πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης μεμια θετική σταθερά

2 Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού θα προστεθεί σεάλλη εξίσωση

3 Η σειρά των εξισώσεων μπορεί να αλλάξει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 105

ΠαράδείγμαΠ Θεωρείστε το σύστημα 2times2

2X minus 3Y = 7 (Εξ 1)X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με 12 για να πάρετε

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με minus1 καιπροσθέστε την στην (Εξ 2)

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

52Y =

152 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 106

Στάδιο 3 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 25

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

Y = 3 (Εξ 2)

Στάδιο 4 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 32 και

προσθέστε την στην (Εξ 1)

X = 1 (Εξ 1)Y = 3 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 107

Π Θεωρείστε το σύστημα 2times2

5X + 20Y = 254X minus 7Y =minus26

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να εκφραστεί ως

R1 5 20 25R2 4 minus7 minus26

Η κάθετη γραμμή χρησιμοποιείται για διαχωρισμό τηςαριστερής από τη δεξιά πλευρά των εξισώσεων Το Riυπονοεί τη γραμμή (Row) i

Ε Ι Κοντογιώργης copy 108

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάζουμε τη R1 με 15 και το θέτουμε

R1larr 15R1

R1 1 4 5R2 4 minus7 minus26

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάζουμε την R1 με minus4 και τηνπροσθέτουμε στην R2 Εν συντομίαR2larrminus4R1+R2

R1 1 4 5R2 0 minus23 minus46

Στάδιο 3 R2larrminus 123R2

R1 1 4 5R2 0 1 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 109

Στάδιο 4 R1larrminus4R2+R1

R1 1 0 minus3R2 0 1 2

Το αρχικό σύστημα εξισώσεων μετατρέπεται σε διαγώνιαμορφή όπως πιο κάτω

X =minus3Y = 2

το οποίο δίνει τη λύση του συστήματος

Ε Ι Κοντογιώργης copy 110

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 I

Το σύστημα εξισώσεων 3times3 μετετρέπεται σε διαγώνιαμορφή Η μετατροπή γίνεται στήλη με στήλη από τααριστερά προς τα δεξιά

Π Θεωρήστε το σύστημα 3times3

X1 + X2 + X3 = 2X1 minus 3X2 + 2X3 = 7

4X1 minus 2X2 minus X3 = 9

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να γραφτεί ως

Ε Ι Κοντογιώργης copy 111

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 II

1 1 1 21 minus3 2 74 minus2 minus1 9

Ε Ι Κοντογιώργης copy 112

3times2 Συστήματα Εξισώσεων I

1 Μ Λ

X

Y

(32)

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minusY = 1

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 98

3times2 Συστήματα Εξισώσεων II

2 Α Λ

X

Y Εξις (1)Εξις (2)Εξις (3)

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 99

3times2 Συστήματα Εξισώσεων III3 Κ

(α) ´Οταν και οι τρεις εξισώσεις είναι παράλληλες

X

Y

2X minusY =minus8

2X minusY = 2

2X minusY = 12

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 100

3times2 Συστήματα Εξισώσεων IV(β) ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ τωνεξισώσεων

X

Y

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minus2Y =minus4

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 101

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική ΑνάλυσηΣε ένα γράφημα 2 διαστάσεων ένα σύστημα mtimes2(mgt2) εξισώσεων παριστάνεται με m ευθείες ´Οπωςσυμβαίνει στα συστήματα 2times2 υπάρχουν τρίαενδεχόμενα

1 ´Ολες οι ευθείες τέμνονται στο ίδιο σημείο και έτσιυπάρχει

2 ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ των mεξισώσεων Αυτό σημαίνει ότι όλες οι ευθείες είναιπαράλληλες Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα Λ

3 Οι m εξισώσεις είναι ισοδύναμες πχ παρασταίνονται σανμια ευθεία Σε αυτή την περίπτωση υπάρχει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 102

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων ∆ιαδικασίαΑπαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής για την επίλυση ενός συστήματοςmtimes2 μπορεί να περιγραφεί ως ακολούθωςΕπιλέξτε και λύστε σύστημα με δύο εξισώσεις

1 Εάν δεν υπάρχει λύση τότε ολόκληρο το σύστημα δεν έχειλύση

2 Εάν υπάρχει μοναδική λύση που ικανοποιεί τις υπόλοιπεςmminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα έχει μία μοναδική λύση

3 Εάν η λύση είναι μοναδική αλλά δεν ικανοποιεί τιςυπόλοιπες mminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα δεν έχει λύση

4 Εάν οι 2 λύσεις είναι ισοδύναμες απάλοιψτε τη μίααπό τις δύο εξισώσεις και ξεκινήστε από την αρχήλαμβάνοντας υπόψη ένα σύστημα (mminus1)times2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 103

ΠαράδείγμαI Θεωρείστε ένα σύστημα 5times2

XminusY= 1X+2Y=minus8

3Xminus2Y= 02Xminus5Y= 11minus4X+3Y=minus1

I Η λύση των πρώτων δύο εξισώσεων δίνετε απόY =minus3 και X =minus2

I Αντικαθιστώντας τη λύση στις υπόλοιπες τρεις εξισώσειςπαίρνετε αντίστοιχα

0 = 0 11 = 11 και minus1 =minus1I Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση

X=minus2 και Y=minus3Ε Ι Κοντογιώργης copy 104

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian

Η μέθοδος απολοιφής Gaussian μετατρέπει το αρχικόσύστημα εξισώσεων σε διαγώνια μορφή επαναλαμβάνονταςστις εξισώσεις τις ακόλουθες τρεις διαδικασίες

1 Πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης μεμια θετική σταθερά

2 Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού θα προστεθεί σεάλλη εξίσωση

3 Η σειρά των εξισώσεων μπορεί να αλλάξει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 105

ΠαράδείγμαΠ Θεωρείστε το σύστημα 2times2

2X minus 3Y = 7 (Εξ 1)X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με 12 για να πάρετε

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με minus1 καιπροσθέστε την στην (Εξ 2)

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

52Y =

152 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 106

Στάδιο 3 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 25

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

Y = 3 (Εξ 2)

Στάδιο 4 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 32 και

προσθέστε την στην (Εξ 1)

X = 1 (Εξ 1)Y = 3 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 107

Π Θεωρείστε το σύστημα 2times2

5X + 20Y = 254X minus 7Y =minus26

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να εκφραστεί ως

R1 5 20 25R2 4 minus7 minus26

Η κάθετη γραμμή χρησιμοποιείται για διαχωρισμό τηςαριστερής από τη δεξιά πλευρά των εξισώσεων Το Riυπονοεί τη γραμμή (Row) i

Ε Ι Κοντογιώργης copy 108

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάζουμε τη R1 με 15 και το θέτουμε

R1larr 15R1

R1 1 4 5R2 4 minus7 minus26

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάζουμε την R1 με minus4 και τηνπροσθέτουμε στην R2 Εν συντομίαR2larrminus4R1+R2

R1 1 4 5R2 0 minus23 minus46

Στάδιο 3 R2larrminus 123R2

R1 1 4 5R2 0 1 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 109

Στάδιο 4 R1larrminus4R2+R1

R1 1 0 minus3R2 0 1 2

Το αρχικό σύστημα εξισώσεων μετατρέπεται σε διαγώνιαμορφή όπως πιο κάτω

X =minus3Y = 2

το οποίο δίνει τη λύση του συστήματος

Ε Ι Κοντογιώργης copy 110

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 I

Το σύστημα εξισώσεων 3times3 μετετρέπεται σε διαγώνιαμορφή Η μετατροπή γίνεται στήλη με στήλη από τααριστερά προς τα δεξιά

Π Θεωρήστε το σύστημα 3times3

X1 + X2 + X3 = 2X1 minus 3X2 + 2X3 = 7

4X1 minus 2X2 minus X3 = 9

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να γραφτεί ως

Ε Ι Κοντογιώργης copy 111

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 II

1 1 1 21 minus3 2 74 minus2 minus1 9

Ε Ι Κοντογιώργης copy 112

3times2 Συστήματα Εξισώσεων II

2 Α Λ

X

Y Εξις (1)Εξις (2)Εξις (3)

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 99

3times2 Συστήματα Εξισώσεων III3 Κ

(α) ´Οταν και οι τρεις εξισώσεις είναι παράλληλες

X

Y

2X minusY =minus8

2X minusY = 2

2X minusY = 12

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 100

3times2 Συστήματα Εξισώσεων IV(β) ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ τωνεξισώσεων

X

Y

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minus2Y =minus4

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 101

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική ΑνάλυσηΣε ένα γράφημα 2 διαστάσεων ένα σύστημα mtimes2(mgt2) εξισώσεων παριστάνεται με m ευθείες ´Οπωςσυμβαίνει στα συστήματα 2times2 υπάρχουν τρίαενδεχόμενα

1 ´Ολες οι ευθείες τέμνονται στο ίδιο σημείο και έτσιυπάρχει

2 ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ των mεξισώσεων Αυτό σημαίνει ότι όλες οι ευθείες είναιπαράλληλες Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα Λ

3 Οι m εξισώσεις είναι ισοδύναμες πχ παρασταίνονται σανμια ευθεία Σε αυτή την περίπτωση υπάρχει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 102

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων ∆ιαδικασίαΑπαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής για την επίλυση ενός συστήματοςmtimes2 μπορεί να περιγραφεί ως ακολούθωςΕπιλέξτε και λύστε σύστημα με δύο εξισώσεις

1 Εάν δεν υπάρχει λύση τότε ολόκληρο το σύστημα δεν έχειλύση

2 Εάν υπάρχει μοναδική λύση που ικανοποιεί τις υπόλοιπεςmminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα έχει μία μοναδική λύση

3 Εάν η λύση είναι μοναδική αλλά δεν ικανοποιεί τιςυπόλοιπες mminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα δεν έχει λύση

4 Εάν οι 2 λύσεις είναι ισοδύναμες απάλοιψτε τη μίααπό τις δύο εξισώσεις και ξεκινήστε από την αρχήλαμβάνοντας υπόψη ένα σύστημα (mminus1)times2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 103

ΠαράδείγμαI Θεωρείστε ένα σύστημα 5times2

XminusY= 1X+2Y=minus8

3Xminus2Y= 02Xminus5Y= 11minus4X+3Y=minus1

I Η λύση των πρώτων δύο εξισώσεων δίνετε απόY =minus3 και X =minus2

I Αντικαθιστώντας τη λύση στις υπόλοιπες τρεις εξισώσειςπαίρνετε αντίστοιχα

0 = 0 11 = 11 και minus1 =minus1I Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση

X=minus2 και Y=minus3Ε Ι Κοντογιώργης copy 104

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian

Η μέθοδος απολοιφής Gaussian μετατρέπει το αρχικόσύστημα εξισώσεων σε διαγώνια μορφή επαναλαμβάνονταςστις εξισώσεις τις ακόλουθες τρεις διαδικασίες

1 Πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης μεμια θετική σταθερά

2 Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού θα προστεθεί σεάλλη εξίσωση

3 Η σειρά των εξισώσεων μπορεί να αλλάξει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 105

ΠαράδείγμαΠ Θεωρείστε το σύστημα 2times2

2X minus 3Y = 7 (Εξ 1)X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με 12 για να πάρετε

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με minus1 καιπροσθέστε την στην (Εξ 2)

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

52Y =

152 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 106

Στάδιο 3 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 25

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

Y = 3 (Εξ 2)

Στάδιο 4 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 32 και

προσθέστε την στην (Εξ 1)

X = 1 (Εξ 1)Y = 3 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 107

Π Θεωρείστε το σύστημα 2times2

5X + 20Y = 254X minus 7Y =minus26

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να εκφραστεί ως

R1 5 20 25R2 4 minus7 minus26

Η κάθετη γραμμή χρησιμοποιείται για διαχωρισμό τηςαριστερής από τη δεξιά πλευρά των εξισώσεων Το Riυπονοεί τη γραμμή (Row) i

Ε Ι Κοντογιώργης copy 108

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάζουμε τη R1 με 15 και το θέτουμε

R1larr 15R1

R1 1 4 5R2 4 minus7 minus26

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάζουμε την R1 με minus4 και τηνπροσθέτουμε στην R2 Εν συντομίαR2larrminus4R1+R2

R1 1 4 5R2 0 minus23 minus46

Στάδιο 3 R2larrminus 123R2

R1 1 4 5R2 0 1 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 109

Στάδιο 4 R1larrminus4R2+R1

R1 1 0 minus3R2 0 1 2

Το αρχικό σύστημα εξισώσεων μετατρέπεται σε διαγώνιαμορφή όπως πιο κάτω

X =minus3Y = 2

το οποίο δίνει τη λύση του συστήματος

Ε Ι Κοντογιώργης copy 110

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 I

Το σύστημα εξισώσεων 3times3 μετετρέπεται σε διαγώνιαμορφή Η μετατροπή γίνεται στήλη με στήλη από τααριστερά προς τα δεξιά

Π Θεωρήστε το σύστημα 3times3

X1 + X2 + X3 = 2X1 minus 3X2 + 2X3 = 7

4X1 minus 2X2 minus X3 = 9

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να γραφτεί ως

Ε Ι Κοντογιώργης copy 111

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 II

1 1 1 21 minus3 2 74 minus2 minus1 9

Ε Ι Κοντογιώργης copy 112

3times2 Συστήματα Εξισώσεων III3 Κ

(α) ´Οταν και οι τρεις εξισώσεις είναι παράλληλες

X

Y

2X minusY =minus8

2X minusY = 2

2X minusY = 12

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 100

3times2 Συστήματα Εξισώσεων IV(β) ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ τωνεξισώσεων

X

Y

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minus2Y =minus4

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 101

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική ΑνάλυσηΣε ένα γράφημα 2 διαστάσεων ένα σύστημα mtimes2(mgt2) εξισώσεων παριστάνεται με m ευθείες ´Οπωςσυμβαίνει στα συστήματα 2times2 υπάρχουν τρίαενδεχόμενα

1 ´Ολες οι ευθείες τέμνονται στο ίδιο σημείο και έτσιυπάρχει

2 ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ των mεξισώσεων Αυτό σημαίνει ότι όλες οι ευθείες είναιπαράλληλες Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα Λ

3 Οι m εξισώσεις είναι ισοδύναμες πχ παρασταίνονται σανμια ευθεία Σε αυτή την περίπτωση υπάρχει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 102

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων ∆ιαδικασίαΑπαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής για την επίλυση ενός συστήματοςmtimes2 μπορεί να περιγραφεί ως ακολούθωςΕπιλέξτε και λύστε σύστημα με δύο εξισώσεις

1 Εάν δεν υπάρχει λύση τότε ολόκληρο το σύστημα δεν έχειλύση

2 Εάν υπάρχει μοναδική λύση που ικανοποιεί τις υπόλοιπεςmminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα έχει μία μοναδική λύση

3 Εάν η λύση είναι μοναδική αλλά δεν ικανοποιεί τιςυπόλοιπες mminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα δεν έχει λύση

4 Εάν οι 2 λύσεις είναι ισοδύναμες απάλοιψτε τη μίααπό τις δύο εξισώσεις και ξεκινήστε από την αρχήλαμβάνοντας υπόψη ένα σύστημα (mminus1)times2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 103

ΠαράδείγμαI Θεωρείστε ένα σύστημα 5times2

XminusY= 1X+2Y=minus8

3Xminus2Y= 02Xminus5Y= 11minus4X+3Y=minus1

I Η λύση των πρώτων δύο εξισώσεων δίνετε απόY =minus3 και X =minus2

I Αντικαθιστώντας τη λύση στις υπόλοιπες τρεις εξισώσειςπαίρνετε αντίστοιχα

0 = 0 11 = 11 και minus1 =minus1I Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση

X=minus2 και Y=minus3Ε Ι Κοντογιώργης copy 104

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian

Η μέθοδος απολοιφής Gaussian μετατρέπει το αρχικόσύστημα εξισώσεων σε διαγώνια μορφή επαναλαμβάνονταςστις εξισώσεις τις ακόλουθες τρεις διαδικασίες

1 Πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης μεμια θετική σταθερά

2 Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού θα προστεθεί σεάλλη εξίσωση

3 Η σειρά των εξισώσεων μπορεί να αλλάξει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 105

ΠαράδείγμαΠ Θεωρείστε το σύστημα 2times2

2X minus 3Y = 7 (Εξ 1)X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με 12 για να πάρετε

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με minus1 καιπροσθέστε την στην (Εξ 2)

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

52Y =

152 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 106

Στάδιο 3 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 25

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

Y = 3 (Εξ 2)

Στάδιο 4 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 32 και

προσθέστε την στην (Εξ 1)

X = 1 (Εξ 1)Y = 3 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 107

Π Θεωρείστε το σύστημα 2times2

5X + 20Y = 254X minus 7Y =minus26

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να εκφραστεί ως

R1 5 20 25R2 4 minus7 minus26

Η κάθετη γραμμή χρησιμοποιείται για διαχωρισμό τηςαριστερής από τη δεξιά πλευρά των εξισώσεων Το Riυπονοεί τη γραμμή (Row) i

Ε Ι Κοντογιώργης copy 108

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάζουμε τη R1 με 15 και το θέτουμε

R1larr 15R1

R1 1 4 5R2 4 minus7 minus26

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάζουμε την R1 με minus4 και τηνπροσθέτουμε στην R2 Εν συντομίαR2larrminus4R1+R2

R1 1 4 5R2 0 minus23 minus46

Στάδιο 3 R2larrminus 123R2

R1 1 4 5R2 0 1 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 109

Στάδιο 4 R1larrminus4R2+R1

R1 1 0 minus3R2 0 1 2

Το αρχικό σύστημα εξισώσεων μετατρέπεται σε διαγώνιαμορφή όπως πιο κάτω

X =minus3Y = 2

το οποίο δίνει τη λύση του συστήματος

Ε Ι Κοντογιώργης copy 110

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 I

Το σύστημα εξισώσεων 3times3 μετετρέπεται σε διαγώνιαμορφή Η μετατροπή γίνεται στήλη με στήλη από τααριστερά προς τα δεξιά

Π Θεωρήστε το σύστημα 3times3

X1 + X2 + X3 = 2X1 minus 3X2 + 2X3 = 7

4X1 minus 2X2 minus X3 = 9

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να γραφτεί ως

Ε Ι Κοντογιώργης copy 111

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 II

1 1 1 21 minus3 2 74 minus2 minus1 9

Ε Ι Κοντογιώργης copy 112

3times2 Συστήματα Εξισώσεων IV(β) ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ τωνεξισώσεων

X

Y

2X minusY = 4

2X +3Y = 1

X minus2Y =minus4

0-0

Ε Ι Κοντογιώργης copy 101

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική ΑνάλυσηΣε ένα γράφημα 2 διαστάσεων ένα σύστημα mtimes2(mgt2) εξισώσεων παριστάνεται με m ευθείες ´Οπωςσυμβαίνει στα συστήματα 2times2 υπάρχουν τρίαενδεχόμενα

1 ´Ολες οι ευθείες τέμνονται στο ίδιο σημείο και έτσιυπάρχει

2 ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ των mεξισώσεων Αυτό σημαίνει ότι όλες οι ευθείες είναιπαράλληλες Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα Λ

3 Οι m εξισώσεις είναι ισοδύναμες πχ παρασταίνονται σανμια ευθεία Σε αυτή την περίπτωση υπάρχει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 102

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων ∆ιαδικασίαΑπαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής για την επίλυση ενός συστήματοςmtimes2 μπορεί να περιγραφεί ως ακολούθωςΕπιλέξτε και λύστε σύστημα με δύο εξισώσεις

1 Εάν δεν υπάρχει λύση τότε ολόκληρο το σύστημα δεν έχειλύση

2 Εάν υπάρχει μοναδική λύση που ικανοποιεί τις υπόλοιπεςmminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα έχει μία μοναδική λύση

3 Εάν η λύση είναι μοναδική αλλά δεν ικανοποιεί τιςυπόλοιπες mminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα δεν έχει λύση

4 Εάν οι 2 λύσεις είναι ισοδύναμες απάλοιψτε τη μίααπό τις δύο εξισώσεις και ξεκινήστε από την αρχήλαμβάνοντας υπόψη ένα σύστημα (mminus1)times2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 103

ΠαράδείγμαI Θεωρείστε ένα σύστημα 5times2

XminusY= 1X+2Y=minus8

3Xminus2Y= 02Xminus5Y= 11minus4X+3Y=minus1

I Η λύση των πρώτων δύο εξισώσεων δίνετε απόY =minus3 και X =minus2

I Αντικαθιστώντας τη λύση στις υπόλοιπες τρεις εξισώσειςπαίρνετε αντίστοιχα

0 = 0 11 = 11 και minus1 =minus1I Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση

X=minus2 και Y=minus3Ε Ι Κοντογιώργης copy 104

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian

Η μέθοδος απολοιφής Gaussian μετατρέπει το αρχικόσύστημα εξισώσεων σε διαγώνια μορφή επαναλαμβάνονταςστις εξισώσεις τις ακόλουθες τρεις διαδικασίες

1 Πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης μεμια θετική σταθερά

2 Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού θα προστεθεί σεάλλη εξίσωση

3 Η σειρά των εξισώσεων μπορεί να αλλάξει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 105

ΠαράδείγμαΠ Θεωρείστε το σύστημα 2times2

2X minus 3Y = 7 (Εξ 1)X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με 12 για να πάρετε

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με minus1 καιπροσθέστε την στην (Εξ 2)

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

52Y =

152 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 106

Στάδιο 3 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 25

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

Y = 3 (Εξ 2)

Στάδιο 4 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 32 και

προσθέστε την στην (Εξ 1)

X = 1 (Εξ 1)Y = 3 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 107

Π Θεωρείστε το σύστημα 2times2

5X + 20Y = 254X minus 7Y =minus26

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να εκφραστεί ως

R1 5 20 25R2 4 minus7 minus26

Η κάθετη γραμμή χρησιμοποιείται για διαχωρισμό τηςαριστερής από τη δεξιά πλευρά των εξισώσεων Το Riυπονοεί τη γραμμή (Row) i

Ε Ι Κοντογιώργης copy 108

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάζουμε τη R1 με 15 και το θέτουμε

R1larr 15R1

R1 1 4 5R2 4 minus7 minus26

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάζουμε την R1 με minus4 και τηνπροσθέτουμε στην R2 Εν συντομίαR2larrminus4R1+R2

R1 1 4 5R2 0 minus23 minus46

Στάδιο 3 R2larrminus 123R2

R1 1 4 5R2 0 1 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 109

Στάδιο 4 R1larrminus4R2+R1

R1 1 0 minus3R2 0 1 2

Το αρχικό σύστημα εξισώσεων μετατρέπεται σε διαγώνιαμορφή όπως πιο κάτω

X =minus3Y = 2

το οποίο δίνει τη λύση του συστήματος

Ε Ι Κοντογιώργης copy 110

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 I

Το σύστημα εξισώσεων 3times3 μετετρέπεται σε διαγώνιαμορφή Η μετατροπή γίνεται στήλη με στήλη από τααριστερά προς τα δεξιά

Π Θεωρήστε το σύστημα 3times3

X1 + X2 + X3 = 2X1 minus 3X2 + 2X3 = 7

4X1 minus 2X2 minus X3 = 9

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να γραφτεί ως

Ε Ι Κοντογιώργης copy 111

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 II

1 1 1 21 minus3 2 74 minus2 minus1 9

Ε Ι Κοντογιώργης copy 112

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων Γραφική ΑνάλυσηΣε ένα γράφημα 2 διαστάσεων ένα σύστημα mtimes2(mgt2) εξισώσεων παριστάνεται με m ευθείες ´Οπωςσυμβαίνει στα συστήματα 2times2 υπάρχουν τρίαενδεχόμενα

1 ´Ολες οι ευθείες τέμνονται στο ίδιο σημείο και έτσιυπάρχει

2 ∆εν υπάρχει κανένα κοινό σημείο μεταξύ των mεξισώσεων Αυτό σημαίνει ότι όλες οι ευθείες είναιπαράλληλες Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα Λ

3 Οι m εξισώσεις είναι ισοδύναμες πχ παρασταίνονται σανμια ευθεία Σε αυτή την περίπτωση υπάρχει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 102

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων ∆ιαδικασίαΑπαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής για την επίλυση ενός συστήματοςmtimes2 μπορεί να περιγραφεί ως ακολούθωςΕπιλέξτε και λύστε σύστημα με δύο εξισώσεις

1 Εάν δεν υπάρχει λύση τότε ολόκληρο το σύστημα δεν έχειλύση

2 Εάν υπάρχει μοναδική λύση που ικανοποιεί τις υπόλοιπεςmminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα έχει μία μοναδική λύση

3 Εάν η λύση είναι μοναδική αλλά δεν ικανοποιεί τιςυπόλοιπες mminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα δεν έχει λύση

4 Εάν οι 2 λύσεις είναι ισοδύναμες απάλοιψτε τη μίααπό τις δύο εξισώσεις και ξεκινήστε από την αρχήλαμβάνοντας υπόψη ένα σύστημα (mminus1)times2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 103

ΠαράδείγμαI Θεωρείστε ένα σύστημα 5times2

XminusY= 1X+2Y=minus8

3Xminus2Y= 02Xminus5Y= 11minus4X+3Y=minus1

I Η λύση των πρώτων δύο εξισώσεων δίνετε απόY =minus3 και X =minus2

I Αντικαθιστώντας τη λύση στις υπόλοιπες τρεις εξισώσειςπαίρνετε αντίστοιχα

0 = 0 11 = 11 και minus1 =minus1I Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση

X=minus2 και Y=minus3Ε Ι Κοντογιώργης copy 104

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian

Η μέθοδος απολοιφής Gaussian μετατρέπει το αρχικόσύστημα εξισώσεων σε διαγώνια μορφή επαναλαμβάνονταςστις εξισώσεις τις ακόλουθες τρεις διαδικασίες

1 Πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης μεμια θετική σταθερά

2 Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού θα προστεθεί σεάλλη εξίσωση

3 Η σειρά των εξισώσεων μπορεί να αλλάξει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 105

ΠαράδείγμαΠ Θεωρείστε το σύστημα 2times2

2X minus 3Y = 7 (Εξ 1)X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με 12 για να πάρετε

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με minus1 καιπροσθέστε την στην (Εξ 2)

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

52Y =

152 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 106

Στάδιο 3 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 25

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

Y = 3 (Εξ 2)

Στάδιο 4 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 32 και

προσθέστε την στην (Εξ 1)

X = 1 (Εξ 1)Y = 3 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 107

Π Θεωρείστε το σύστημα 2times2

5X + 20Y = 254X minus 7Y =minus26

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να εκφραστεί ως

R1 5 20 25R2 4 minus7 minus26

Η κάθετη γραμμή χρησιμοποιείται για διαχωρισμό τηςαριστερής από τη δεξιά πλευρά των εξισώσεων Το Riυπονοεί τη γραμμή (Row) i

Ε Ι Κοντογιώργης copy 108

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάζουμε τη R1 με 15 και το θέτουμε

R1larr 15R1

R1 1 4 5R2 4 minus7 minus26

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάζουμε την R1 με minus4 και τηνπροσθέτουμε στην R2 Εν συντομίαR2larrminus4R1+R2

R1 1 4 5R2 0 minus23 minus46

Στάδιο 3 R2larrminus 123R2

R1 1 4 5R2 0 1 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 109

Στάδιο 4 R1larrminus4R2+R1

R1 1 0 minus3R2 0 1 2

Το αρχικό σύστημα εξισώσεων μετατρέπεται σε διαγώνιαμορφή όπως πιο κάτω

X =minus3Y = 2

το οποίο δίνει τη λύση του συστήματος

Ε Ι Κοντογιώργης copy 110

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 I

Το σύστημα εξισώσεων 3times3 μετετρέπεται σε διαγώνιαμορφή Η μετατροπή γίνεται στήλη με στήλη από τααριστερά προς τα δεξιά

Π Θεωρήστε το σύστημα 3times3

X1 + X2 + X3 = 2X1 minus 3X2 + 2X3 = 7

4X1 minus 2X2 minus X3 = 9

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να γραφτεί ως

Ε Ι Κοντογιώργης copy 111

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 II

1 1 1 21 minus3 2 74 minus2 minus1 9

Ε Ι Κοντογιώργης copy 112

mtimes2 Συστήματα Εξισώσεων ∆ιαδικασίαΑπαλοιφής

Η διαδικασία απαλοιφής για την επίλυση ενός συστήματοςmtimes2 μπορεί να περιγραφεί ως ακολούθωςΕπιλέξτε και λύστε σύστημα με δύο εξισώσεις

1 Εάν δεν υπάρχει λύση τότε ολόκληρο το σύστημα δεν έχειλύση

2 Εάν υπάρχει μοναδική λύση που ικανοποιεί τις υπόλοιπεςmminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα έχει μία μοναδική λύση

3 Εάν η λύση είναι μοναδική αλλά δεν ικανοποιεί τιςυπόλοιπες mminus2 εξισώσεις τότε το σύστημα δεν έχει λύση

4 Εάν οι 2 λύσεις είναι ισοδύναμες απάλοιψτε τη μίααπό τις δύο εξισώσεις και ξεκινήστε από την αρχήλαμβάνοντας υπόψη ένα σύστημα (mminus1)times2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 103

ΠαράδείγμαI Θεωρείστε ένα σύστημα 5times2

XminusY= 1X+2Y=minus8

3Xminus2Y= 02Xminus5Y= 11minus4X+3Y=minus1

I Η λύση των πρώτων δύο εξισώσεων δίνετε απόY =minus3 και X =minus2

I Αντικαθιστώντας τη λύση στις υπόλοιπες τρεις εξισώσειςπαίρνετε αντίστοιχα

0 = 0 11 = 11 και minus1 =minus1I Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση

X=minus2 και Y=minus3Ε Ι Κοντογιώργης copy 104

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian

Η μέθοδος απολοιφής Gaussian μετατρέπει το αρχικόσύστημα εξισώσεων σε διαγώνια μορφή επαναλαμβάνονταςστις εξισώσεις τις ακόλουθες τρεις διαδικασίες

1 Πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης μεμια θετική σταθερά

2 Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού θα προστεθεί σεάλλη εξίσωση

3 Η σειρά των εξισώσεων μπορεί να αλλάξει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 105

ΠαράδείγμαΠ Θεωρείστε το σύστημα 2times2

2X minus 3Y = 7 (Εξ 1)X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με 12 για να πάρετε

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με minus1 καιπροσθέστε την στην (Εξ 2)

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

52Y =

152 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 106

Στάδιο 3 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 25

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

Y = 3 (Εξ 2)

Στάδιο 4 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 32 και

προσθέστε την στην (Εξ 1)

X = 1 (Εξ 1)Y = 3 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 107

Π Θεωρείστε το σύστημα 2times2

5X + 20Y = 254X minus 7Y =minus26

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να εκφραστεί ως

R1 5 20 25R2 4 minus7 minus26

Η κάθετη γραμμή χρησιμοποιείται για διαχωρισμό τηςαριστερής από τη δεξιά πλευρά των εξισώσεων Το Riυπονοεί τη γραμμή (Row) i

Ε Ι Κοντογιώργης copy 108

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάζουμε τη R1 με 15 και το θέτουμε

R1larr 15R1

R1 1 4 5R2 4 minus7 minus26

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάζουμε την R1 με minus4 και τηνπροσθέτουμε στην R2 Εν συντομίαR2larrminus4R1+R2

R1 1 4 5R2 0 minus23 minus46

Στάδιο 3 R2larrminus 123R2

R1 1 4 5R2 0 1 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 109

Στάδιο 4 R1larrminus4R2+R1

R1 1 0 minus3R2 0 1 2

Το αρχικό σύστημα εξισώσεων μετατρέπεται σε διαγώνιαμορφή όπως πιο κάτω

X =minus3Y = 2

το οποίο δίνει τη λύση του συστήματος

Ε Ι Κοντογιώργης copy 110

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 I

Το σύστημα εξισώσεων 3times3 μετετρέπεται σε διαγώνιαμορφή Η μετατροπή γίνεται στήλη με στήλη από τααριστερά προς τα δεξιά

Π Θεωρήστε το σύστημα 3times3

X1 + X2 + X3 = 2X1 minus 3X2 + 2X3 = 7

4X1 minus 2X2 minus X3 = 9

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να γραφτεί ως

Ε Ι Κοντογιώργης copy 111

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 II

1 1 1 21 minus3 2 74 minus2 minus1 9

Ε Ι Κοντογιώργης copy 112

ΠαράδείγμαI Θεωρείστε ένα σύστημα 5times2

XminusY= 1X+2Y=minus8

3Xminus2Y= 02Xminus5Y= 11minus4X+3Y=minus1

I Η λύση των πρώτων δύο εξισώσεων δίνετε απόY =minus3 και X =minus2

I Αντικαθιστώντας τη λύση στις υπόλοιπες τρεις εξισώσειςπαίρνετε αντίστοιχα

0 = 0 11 = 11 και minus1 =minus1I Αυτό υπονοεί ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση

X=minus2 και Y=minus3Ε Ι Κοντογιώργης copy 104

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian

Η μέθοδος απολοιφής Gaussian μετατρέπει το αρχικόσύστημα εξισώσεων σε διαγώνια μορφή επαναλαμβάνονταςστις εξισώσεις τις ακόλουθες τρεις διαδικασίες

1 Πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης μεμια θετική σταθερά

2 Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού θα προστεθεί σεάλλη εξίσωση

3 Η σειρά των εξισώσεων μπορεί να αλλάξει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 105

ΠαράδείγμαΠ Θεωρείστε το σύστημα 2times2

2X minus 3Y = 7 (Εξ 1)X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με 12 για να πάρετε

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με minus1 καιπροσθέστε την στην (Εξ 2)

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

52Y =

152 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 106

Στάδιο 3 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 25

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

Y = 3 (Εξ 2)

Στάδιο 4 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 32 και

προσθέστε την στην (Εξ 1)

X = 1 (Εξ 1)Y = 3 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 107

Π Θεωρείστε το σύστημα 2times2

5X + 20Y = 254X minus 7Y =minus26

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να εκφραστεί ως

R1 5 20 25R2 4 minus7 minus26

Η κάθετη γραμμή χρησιμοποιείται για διαχωρισμό τηςαριστερής από τη δεξιά πλευρά των εξισώσεων Το Riυπονοεί τη γραμμή (Row) i

Ε Ι Κοντογιώργης copy 108

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάζουμε τη R1 με 15 και το θέτουμε

R1larr 15R1

R1 1 4 5R2 4 minus7 minus26

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάζουμε την R1 με minus4 και τηνπροσθέτουμε στην R2 Εν συντομίαR2larrminus4R1+R2

R1 1 4 5R2 0 minus23 minus46

Στάδιο 3 R2larrminus 123R2

R1 1 4 5R2 0 1 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 109

Στάδιο 4 R1larrminus4R2+R1

R1 1 0 minus3R2 0 1 2

Το αρχικό σύστημα εξισώσεων μετατρέπεται σε διαγώνιαμορφή όπως πιο κάτω

X =minus3Y = 2

το οποίο δίνει τη λύση του συστήματος

Ε Ι Κοντογιώργης copy 110

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 I

Το σύστημα εξισώσεων 3times3 μετετρέπεται σε διαγώνιαμορφή Η μετατροπή γίνεται στήλη με στήλη από τααριστερά προς τα δεξιά

Π Θεωρήστε το σύστημα 3times3

X1 + X2 + X3 = 2X1 minus 3X2 + 2X3 = 7

4X1 minus 2X2 minus X3 = 9

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να γραφτεί ως

Ε Ι Κοντογιώργης copy 111

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 II

1 1 1 21 minus3 2 74 minus2 minus1 9

Ε Ι Κοντογιώργης copy 112

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian

Η μέθοδος απολοιφής Gaussian μετατρέπει το αρχικόσύστημα εξισώσεων σε διαγώνια μορφή επαναλαμβάνονταςστις εξισώσεις τις ακόλουθες τρεις διαδικασίες

1 Πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης μεμια θετική σταθερά

2 Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού θα προστεθεί σεάλλη εξίσωση

3 Η σειρά των εξισώσεων μπορεί να αλλάξει

Ε Ι Κοντογιώργης copy 105

ΠαράδείγμαΠ Θεωρείστε το σύστημα 2times2

2X minus 3Y = 7 (Εξ 1)X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με 12 για να πάρετε

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με minus1 καιπροσθέστε την στην (Εξ 2)

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

52Y =

152 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 106

Στάδιο 3 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 25

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

Y = 3 (Εξ 2)

Στάδιο 4 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 32 και

προσθέστε την στην (Εξ 1)

X = 1 (Εξ 1)Y = 3 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 107

Π Θεωρείστε το σύστημα 2times2

5X + 20Y = 254X minus 7Y =minus26

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να εκφραστεί ως

R1 5 20 25R2 4 minus7 minus26

Η κάθετη γραμμή χρησιμοποιείται για διαχωρισμό τηςαριστερής από τη δεξιά πλευρά των εξισώσεων Το Riυπονοεί τη γραμμή (Row) i

Ε Ι Κοντογιώργης copy 108

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάζουμε τη R1 με 15 και το θέτουμε

R1larr 15R1

R1 1 4 5R2 4 minus7 minus26

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάζουμε την R1 με minus4 και τηνπροσθέτουμε στην R2 Εν συντομίαR2larrminus4R1+R2

R1 1 4 5R2 0 minus23 minus46

Στάδιο 3 R2larrminus 123R2

R1 1 4 5R2 0 1 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 109

Στάδιο 4 R1larrminus4R2+R1

R1 1 0 minus3R2 0 1 2

Το αρχικό σύστημα εξισώσεων μετατρέπεται σε διαγώνιαμορφή όπως πιο κάτω

X =minus3Y = 2

το οποίο δίνει τη λύση του συστήματος

Ε Ι Κοντογιώργης copy 110

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 I

Το σύστημα εξισώσεων 3times3 μετετρέπεται σε διαγώνιαμορφή Η μετατροπή γίνεται στήλη με στήλη από τααριστερά προς τα δεξιά

Π Θεωρήστε το σύστημα 3times3

X1 + X2 + X3 = 2X1 minus 3X2 + 2X3 = 7

4X1 minus 2X2 minus X3 = 9

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να γραφτεί ως

Ε Ι Κοντογιώργης copy 111

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 II

1 1 1 21 minus3 2 74 minus2 minus1 9

Ε Ι Κοντογιώργης copy 112

ΠαράδείγμαΠ Θεωρείστε το σύστημα 2times2

2X minus 3Y = 7 (Εξ 1)X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με 12 για να πάρετε

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

X + Y = 4 (Εξ 2)

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 1) με minus1 καιπροσθέστε την στην (Εξ 2)

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

52Y =

152 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 106

Στάδιο 3 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 25

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

Y = 3 (Εξ 2)

Στάδιο 4 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 32 και

προσθέστε την στην (Εξ 1)

X = 1 (Εξ 1)Y = 3 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 107

Π Θεωρείστε το σύστημα 2times2

5X + 20Y = 254X minus 7Y =minus26

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να εκφραστεί ως

R1 5 20 25R2 4 minus7 minus26

Η κάθετη γραμμή χρησιμοποιείται για διαχωρισμό τηςαριστερής από τη δεξιά πλευρά των εξισώσεων Το Riυπονοεί τη γραμμή (Row) i

Ε Ι Κοντογιώργης copy 108

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάζουμε τη R1 με 15 και το θέτουμε

R1larr 15R1

R1 1 4 5R2 4 minus7 minus26

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάζουμε την R1 με minus4 και τηνπροσθέτουμε στην R2 Εν συντομίαR2larrminus4R1+R2

R1 1 4 5R2 0 minus23 minus46

Στάδιο 3 R2larrminus 123R2

R1 1 4 5R2 0 1 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 109

Στάδιο 4 R1larrminus4R2+R1

R1 1 0 minus3R2 0 1 2

Το αρχικό σύστημα εξισώσεων μετατρέπεται σε διαγώνιαμορφή όπως πιο κάτω

X =minus3Y = 2

το οποίο δίνει τη λύση του συστήματος

Ε Ι Κοντογιώργης copy 110

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 I

Το σύστημα εξισώσεων 3times3 μετετρέπεται σε διαγώνιαμορφή Η μετατροπή γίνεται στήλη με στήλη από τααριστερά προς τα δεξιά

Π Θεωρήστε το σύστημα 3times3

X1 + X2 + X3 = 2X1 minus 3X2 + 2X3 = 7

4X1 minus 2X2 minus X3 = 9

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να γραφτεί ως

Ε Ι Κοντογιώργης copy 111

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 II

1 1 1 21 minus3 2 74 minus2 minus1 9

Ε Ι Κοντογιώργης copy 112

Στάδιο 3 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 25

X minus 32Y =minus7

2 (Εξ 1)

Y = 3 (Εξ 2)

Στάδιο 4 Πολλαπλασιάστε την (Εξ 2) με 32 και

προσθέστε την στην (Εξ 1)

X = 1 (Εξ 1)Y = 3 (Εξ 2)

Ε Ι Κοντογιώργης copy 107

Π Θεωρείστε το σύστημα 2times2

5X + 20Y = 254X minus 7Y =minus26

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να εκφραστεί ως

R1 5 20 25R2 4 minus7 minus26

Η κάθετη γραμμή χρησιμοποιείται για διαχωρισμό τηςαριστερής από τη δεξιά πλευρά των εξισώσεων Το Riυπονοεί τη γραμμή (Row) i

Ε Ι Κοντογιώργης copy 108

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάζουμε τη R1 με 15 και το θέτουμε

R1larr 15R1

R1 1 4 5R2 4 minus7 minus26

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάζουμε την R1 με minus4 και τηνπροσθέτουμε στην R2 Εν συντομίαR2larrminus4R1+R2

R1 1 4 5R2 0 minus23 minus46

Στάδιο 3 R2larrminus 123R2

R1 1 4 5R2 0 1 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 109

Στάδιο 4 R1larrminus4R2+R1

R1 1 0 minus3R2 0 1 2

Το αρχικό σύστημα εξισώσεων μετατρέπεται σε διαγώνιαμορφή όπως πιο κάτω

X =minus3Y = 2

το οποίο δίνει τη λύση του συστήματος

Ε Ι Κοντογιώργης copy 110

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 I

Το σύστημα εξισώσεων 3times3 μετετρέπεται σε διαγώνιαμορφή Η μετατροπή γίνεται στήλη με στήλη από τααριστερά προς τα δεξιά

Π Θεωρήστε το σύστημα 3times3

X1 + X2 + X3 = 2X1 minus 3X2 + 2X3 = 7

4X1 minus 2X2 minus X3 = 9

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να γραφτεί ως

Ε Ι Κοντογιώργης copy 111

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 II

1 1 1 21 minus3 2 74 minus2 minus1 9

Ε Ι Κοντογιώργης copy 112

Π Θεωρείστε το σύστημα 2times2

5X + 20Y = 254X minus 7Y =minus26

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να εκφραστεί ως

R1 5 20 25R2 4 minus7 minus26

Η κάθετη γραμμή χρησιμοποιείται για διαχωρισμό τηςαριστερής από τη δεξιά πλευρά των εξισώσεων Το Riυπονοεί τη γραμμή (Row) i

Ε Ι Κοντογιώργης copy 108

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάζουμε τη R1 με 15 και το θέτουμε

R1larr 15R1

R1 1 4 5R2 4 minus7 minus26

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάζουμε την R1 με minus4 και τηνπροσθέτουμε στην R2 Εν συντομίαR2larrminus4R1+R2

R1 1 4 5R2 0 minus23 minus46

Στάδιο 3 R2larrminus 123R2

R1 1 4 5R2 0 1 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 109

Στάδιο 4 R1larrminus4R2+R1

R1 1 0 minus3R2 0 1 2

Το αρχικό σύστημα εξισώσεων μετατρέπεται σε διαγώνιαμορφή όπως πιο κάτω

X =minus3Y = 2

το οποίο δίνει τη λύση του συστήματος

Ε Ι Κοντογιώργης copy 110

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 I

Το σύστημα εξισώσεων 3times3 μετετρέπεται σε διαγώνιαμορφή Η μετατροπή γίνεται στήλη με στήλη από τααριστερά προς τα δεξιά

Π Θεωρήστε το σύστημα 3times3

X1 + X2 + X3 = 2X1 minus 3X2 + 2X3 = 7

4X1 minus 2X2 minus X3 = 9

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να γραφτεί ως

Ε Ι Κοντογιώργης copy 111

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 II

1 1 1 21 minus3 2 74 minus2 minus1 9

Ε Ι Κοντογιώργης copy 112

Στάδιο 1 Πολλαπλασιάζουμε τη R1 με 15 και το θέτουμε

R1larr 15R1

R1 1 4 5R2 4 minus7 minus26

Στάδιο 2 Πολλαπλασιάζουμε την R1 με minus4 και τηνπροσθέτουμε στην R2 Εν συντομίαR2larrminus4R1+R2

R1 1 4 5R2 0 minus23 minus46

Στάδιο 3 R2larrminus 123R2

R1 1 4 5R2 0 1 2

Ε Ι Κοντογιώργης copy 109

Στάδιο 4 R1larrminus4R2+R1

R1 1 0 minus3R2 0 1 2

Το αρχικό σύστημα εξισώσεων μετατρέπεται σε διαγώνιαμορφή όπως πιο κάτω

X =minus3Y = 2

το οποίο δίνει τη λύση του συστήματος

Ε Ι Κοντογιώργης copy 110

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 I

Το σύστημα εξισώσεων 3times3 μετετρέπεται σε διαγώνιαμορφή Η μετατροπή γίνεται στήλη με στήλη από τααριστερά προς τα δεξιά

Π Θεωρήστε το σύστημα 3times3

X1 + X2 + X3 = 2X1 minus 3X2 + 2X3 = 7

4X1 minus 2X2 minus X3 = 9

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να γραφτεί ως

Ε Ι Κοντογιώργης copy 111

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 II

1 1 1 21 minus3 2 74 minus2 minus1 9

Ε Ι Κοντογιώργης copy 112

Στάδιο 4 R1larrminus4R2+R1

R1 1 0 minus3R2 0 1 2

Το αρχικό σύστημα εξισώσεων μετατρέπεται σε διαγώνιαμορφή όπως πιο κάτω

X =minus3Y = 2

το οποίο δίνει τη λύση του συστήματος

Ε Ι Κοντογιώργης copy 110

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 I

Το σύστημα εξισώσεων 3times3 μετετρέπεται σε διαγώνιαμορφή Η μετατροπή γίνεται στήλη με στήλη από τααριστερά προς τα δεξιά

Π Θεωρήστε το σύστημα 3times3

X1 + X2 + X3 = 2X1 minus 3X2 + 2X3 = 7

4X1 minus 2X2 minus X3 = 9

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να γραφτεί ως

Ε Ι Κοντογιώργης copy 111

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 II

1 1 1 21 minus3 2 74 minus2 minus1 9

Ε Ι Κοντογιώργης copy 112

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 I

Το σύστημα εξισώσεων 3times3 μετετρέπεται σε διαγώνιαμορφή Η μετατροπή γίνεται στήλη με στήλη από τααριστερά προς τα δεξιά

Π Θεωρήστε το σύστημα 3times3

X1 + X2 + X3 = 2X1 minus 3X2 + 2X3 = 7

4X1 minus 2X2 minus X3 = 9

Εν συντομία το σύστημα μπορεί να γραφτεί ως

Ε Ι Κοντογιώργης copy 111

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 II

1 1 1 21 minus3 2 74 minus2 minus1 9

Ε Ι Κοντογιώργης copy 112

Μέθοδος Απαλοιφής Gaussian για σύστημα3times3 II

1 1 1 21 minus3 2 74 minus2 minus1 9

Ε Ι Κοντογιώργης copy 112