1100-1bo15, rok akademicki 2017/18 - igf.fuw.edu.pl · niech światło padające na układ zawiera...
TRANSCRIPT
1100-1BO15, rok akademicki 2017/18
sin
cos
ry
rx
...
22
x
yarctg
yxr
Jedno ramie spirali Archimedesa o równaniu r = φ, dla 0 < φ < 6π
wikipedia.org
Związane z nie spełnieniem warunku stygmatyzmu.
Rodzaje: monochromatyczne, niemonochromatyczne.
Po przejściu przez układ optyczny, czoło fali nie jest sferyczne, a obrazem
punktu P jest plamka aberracyjna, której kształt i rozmiary zależą od układu
optycznego i położenia przedmiotu.
Punkt P* jest (teoretycznym) obrazem bezaberracyjnym punktu P.
Δi to aberracje podłużne promienia, δl’i = P’i – P* to aberracje
poprzeczne promienia.
a) sferyczna
b) koma
c) astygmatyzm i krzywizna pola
d) dystorsja
a)
b)
c)
d)
chromatyzm położenia
chromatyzm powiększenia
x, y – współrzędne w płaszczyźnie przedmiotu;
ξ, η – współrzędne w płaszczyźnie źrenicy wejściowej;
ξ’, η’ – współrzędne w płaszczyźnie źrenicy wyjściowej;
x’, y’ – współrzędne w płaszczyźnie obrazu.
P* – obraz bezaberracyjny w płaszczyźnie Gaussa.
cos
sin
Teoria aberracji w przybliżeniu trzeciego rzędu.
Wzory aberracji poprzecznej, wyprowadzone z pojęcia eikonału:
A, B, C, D, E są współczynnikami Seidla, zależnymi od parametrów
układu: promieni krzywizn powierzchni załamujących,
współczynników załamania, położenia źrenic, luk.
...!5!3
sin
53
sin2sinsin'223 CyByAx
3223cos2cos2cos' EyDyByAy
Obrazem gaussowskim punktu jest plamka o kształcie koła
o środku w obrazie bezaberracyjnym (paraksjalnym).
0A 0 EDCB
sin'3
Ax cos'3
Ay
322''' Ayxl
Maksymalna aberracja – dla promieni przechodzących przez brzeg
źrenicy wejściowej.
Plamka aberracyjna jest najmniejsza w płaszczyźnie odległej
o 3/4δs’max od płaszczyzny Gaussa (a średnica plamki aberracyjnej
wynosi 1/4 plamki w płaszczyźnie Gaussa).
Pojedyncza soczewka (cienka) o powierzchniach sferycznych, wykonana
z materiału o współczynniku załamania n, znajdująca się w powietrzu,
wykazuje najmniejsza aberracje sferyczną wtedy, gdy stosunek promieni jej
krzywizn wynosi:
Z wzorów Seidla można pokazać też, że pojedyncza soczewka płasko-
wypukła będzie wolna od aberracji sferycznej dla równoległej wiązki
przedmiotowej, gdy jej powierzchnia zakrzywiona jest hiperboloidą obrotową.
Zwierciadła wolne od aberracji sferycznej:
42
12
2
1
2
nn
nn
r
r
Aberracja sferyczna jest większa przy większych aperturach, stąd
jedna z metod to zmniejszenie źrenicy wejściowej układu.
Aberrację sferyczną można także zmniejszyć stosując odpowiednią
kombinację soczewek skupiających i rozpraszających.
commons.wikimedia.org
commons.wikimedia.org
Symulacja aberracji sferycznej w układzie optycznym z kołową aperturą oświetlaną z punktowego źródła oraz wynik jej korekcji. Przekroje w płaszczyznach prostopadłych do osi układu.
Symulacja aberracji sferycznej w układzieoptycznym z kołową aperturą oświetlaną zpunktowego źródła oraz wynik jej korekcji.Przekroje w płaszczyznach równoległych do osiukładu.
commons.wikimedia.org
Koma zależy liniowo od odległości przedmiotu od osi (wielkość
pola) y i drugiej potęgi promienia apertury ρ2.
Punkty leżące w pobliżu brzegów kadru widoczne są z dodatkowym
„ogonkiem”, przypominającym ogon komety.
0B 0 EDCA
2sin'2
yBx 2cos2'2
yBy
http://www.umich.edu/~lowbrows/reflections/2007/dscobel.27.html
Plamka aberracyjna jest elipsą.
Aberracje zależne od drugiej potęgi pola widzenia (y2)
i pierwszej potęgi promienia apertury (ρ).
Efekt różnej mocy optycznej mierzonej w dwóch
prostopadłych do siebie płaszczyznach.
0 EBA 0C 0D
sin'2
Cyx cos'2
Dyy
1''
242
2
242
2
yD
y
yC
x
Punkt skupienia promieni zależy od
wyboru badanej płaszczyzny.
W przykładzie rozważa się
płaszczyzny Θ = 0° i Θ = 180°.
z
m
LDyK
2
z
S
LCyK
2
Dla różnych punktów przedmiotowych ogniska: merydionalne i sagitalne
wyznaczają powierzchnie, które w ogólnym przypadku są paraboloidami
obrotowymi.
Są to powierzchnie obrazowe: merydionalna i sagitalna.
Paraboloidę w pobliżu osi można aproksymować sferą. Promienie
odpowiednich sfer będą wtedy równe:
cDR
m
1
cCR
s
1
z
Lc
2
2
Frederic Eugene Wright, The Methods of Petrographic-microscopic Research, Their Relative Accuracy and Range of Application, Carnegie institution of Washington, 1911
A. Styszyński, Korekcja wad wzroku - procedury badania refrakcji, Alfa-Medica Press, 2007.
http://www.umich.edu/~lowbrows/reflections/2007/dscobel.27.html
Zbiór najmniejszych plamek aberracyjnych leży na powierzchni
pośredniej (pomiędzy „sferami” powierzchni obrazowych:
merydionalnej i sagitalnej). Jej promień krzywizny można wyznaczyć
ze wzoru:
Średnia krzywizna pola: 1/R.
Wielkość A = Km – Ks nazywamy astygmatyzmem.
Układ optyczny składający się z wielu soczewek może mieć
skorygowaną krzywiznę pola, jeśli spełnia warunek Petzwala:
2
11
2
11 DCc
RRRsm
0
i i
i
n
2sm
KKK
http://en.wikivisual.com/index.php/Astigmatism_%28eye%29
Zależy od wielkości pola widzenia (y3).
Aberracja nie wpływa na ostrość obrazu lecz dokonuje
zniekształcenia geometrycznego.
0 DCBA 0E
0'x3
' Eyy
w
dD
Niech światło padające na układ zawiera fale o długościach λ1 i λ2.
Miara chromatycznej aberracji podłużnej:
Miara chromatycznej aberracji poprzecznej:12
'''
sss
tgusl''
Pojedyncza soczewka jest obarczona aberracją chromatyczną.
Układ optyczny korygujący aberrację chromatyczną dla dwóch długości fali
– achromat, dla trzech – apochromat, dla czterech – superachromat.
Dla układu dwóch soczewek można wykazać, że achromatyzacja nastąpi,
gdy będzie spełniony warunek poniżej (D1, D2 – moce soczewek, v1, v2 –
współczynniki dyspersji).
0
2
2
1
1
Obie soczewki muszą być wykonane z różnych materiałów i mieć różnoimienne moce.Zwykle dąży się do tego, aby różnica współczynników dyspersji była duża, gdyż wtedy wystarczą mniejsze moce soczewek.
wikipedia.org
Skorygowanie chromatyzmu dla pewnej liczby długości fal nie
gwarantuje korekcji dla pozostałej części widma. Powstaje tzw.
chromatyzm wtórny.
Achromat Apochromat
Miara chromatyzmu powiększenia
0
12
'
''
'
'
y
yy
y
y
nm 13,486
2 F
nm 27,6561 C
nm 56,5870 d
wikipedia.org
www.wikipedia.org
Obiektyw zaprojektowany i opatentowany w roku 1893 przez Dennisa
Taylora zatrudnionego przez Cooke of York (stąd nazwa).
Pierwszy obiektyw eliminujący w znacznym stopniu większość aberracji.
Składa się z rozpraszającej soczewki ze szkła flintowego i dwóch soczewek
skupiających ze szkła kronowego.
135/3.5Zeiss JenaMC-Sonnar
139/4.5Bausch and LombTessar
www.rickdenney.com
wikipedia.org
Aberracja sferyczna
Koma
Rozogniskowanie
Astygmatyzm
Pryzmat
Aberracja sferyczna – istotna i różna w różnych przypadkach.
Astygmatyzm – istotny i różny w różnych przypadkach.
Koma – zaniedbywalna.
Chromatyzm – istotny.
Aberracje wyższych rzędów – istotne
w szczególnych warunkach obserwacji.
Dystorsja – zaniedbywalna.
Mózg ludzki jest w stanie zaadaptować się
do wielu aberracji, korygując obraz.
Aberracje aperturowe – przedmiot znajduje się na osi optycznej:
aberracja sferyczna,
chromatyzm położenia,
Wielkość aberracji zależy od wielkości przysłony aperturowej.
Aby wyznaczyć te aberracje, oblicza się zbiegowe obrazowe i
współrzędne punktów przecięcia wybranych promieni aperturowych
z płaszczyzną obrazu gaussowskiego.
Można pokazać, że najlepszym doborem wysokości h jest taki
sposób wybrania tych promieni, żeby kwadraty ich wysokości
padania na płaszczyznę źrenicy wejściowej tworzyły postęp
arytmetyczny (energia!).
Aberracje polowe – przedmiot leży poza osią optyczną
układu:
koma,
krzywizna pola i astygmatyzm,
dystorsja,
chromatyzm powiększenia
Wielkość aberracji zależy od odległości punktu
przedmiotowego od osi (y), czyli od kąta polowego.
Równomiernie rozłożony w kącie bryłowym pęk promieni
wychodzący ze źródła punktowego prowadzony jest przez układ
i „uderza” w ekran.
Kształt plamki i rozkład punktów przebicia tych promieni określają
rozkład energii w plamce aberracyjnej.
osdoptics.com
środek ciężkości (dystorsja)
odchylenie standardowe (aberracja sferyczna)
trzeci moment rozkładu (koma)
radialny rozkład energii i średnica okręgu,
zawierającego 80% energii świetlnej w plamce.
N
i
ix
Nx
1
1
N
i
ixxx
NN 1
2
1
1
N
i
ixxx
NM
1
3
3
1
N
i
iy
Ny
1
1
N
i
iyyy
NN 1
2
1
1
N
i
iyyy
NM
1
3
3
1
[…] constructed using polychromatic white light to
generate a pattern for the Intel Play QX3 microscope 10x
objective.
http://micro.magnet.fsu.edu/optics/intelplay/objectives10x.html
Wikipedia.org
Effect of aperture on blur and DOF. The points in focus (2) project points onto the image plane (5), but points at different distances (1 and 3) project blurred images, or circles of confusion. Decreasing the aperture size (4) reduces the size of the blur spots for points not in the focused plane, so that the blurring is imperceptible, and all points are within the DOF.
im mniejsza przysłona, tym większa głębia ostrości
im odległość ustawienia ostrości obiektywu mniejsza,
tym mniejsza głębia ostrości
im krótsza ogniskowa tym większa głębia ostrości
w fotografii: odległość hiperfokalna H – odległość od
aparatu gdzie dla danej przysłony ostre są wszystkie
obiekty począwszy od tej odległości aż do
nieskończoności)
Nc
fH
2
N – liczba przysłony, c – krążek rozmycia (Airy)
Zdjęcie przedstawia zjawisko paralaksy. Słońce jest widoczne nad latarnią.
W wodzie widać ich odbicie, które jest obrazem pozornym, znajdującym się
pod powierzchnią wody. Latarnia i Słońce, widoczne z dwóch różnych
kierunków, wydają się być przesunięte względem siebie.
Zgodnie z zasadą Huygensa każdy punkt wewnątrz
szczeliny staje się źródłem elementarnej fali kulistej.
Do dowolnego punktu ekranu odległego od przysłony
o odległość z, znacznie większą od długości fali
świetlnej (z » λ), docierają przyczynki od wszystkich
fal elementarnych. Wypadkowe natężenie światła w
każdym punkcie ekranu jest wynikiem interferencji
wszystkich fal składowych.
2
/2
/2sin
za
zaI
a
zm
m2
zA tansin
a2sin
m
a
zA
2
2
1
/2
/22
zr
zrJI
r
zR
22,12
Obraz punktu po przejściu światła przez układ optyczny bez
aberracji z kołową przesłoną aperturową.
W dużej odległości od apertury kąt, pod jakim jest widziane pierwsze
minimum, mierzony od kierunku padania światła, jest dany
przybliżonym wzorem (kryterium Rayleigha):
λ – długość fali światła, d – średnica apertury.d
22.1sin
W optyce instrumentalnej przyjęło się za taką
umowną granicę uznać sytuację, gdy maksimum
natężenia w jednej plamce przypada na pierwsze
minimum natężenia w drugiej plamce. W środku
wypadkowego rozkładu natężenia światła występuje
wtedy niewielkie minimum pozwalające orzec, że
pochodzi ono w istocie od dwóch punktów. Określa
się to mianem kryterium Rayleigha. W przypadku,
gdy aberracje są zaniedbywalnie małe
w porównaniu z wpływem dyfrakcji graniczna
wartość dwupunktowej (kątowej) zdolności
rozdzielczej według Rayleigha wynosi, zgodnie ze
wzorem.
Im mniejszy kąt graniczny tym większa (lepsza)
zdolność rozdzielcza.
rgr
222,1
Funkcja rozmycia punktu Obrazuje jakość
odwzorowania układu optycznego.
Dla układu bezaberracyjnego większa źrenica umożliwia poprawienie zdolności rozdzielczej.
Funkcja rozmycia punktu układu ludzkiego oka w funkcji średnicy źrenicy.
Różnica własności wizualnych obiektu w stosunku do
innych elementów obrazu, umożliwiająca odróżnienie go
od innych obiektów oraz od tła.
Określana zwykle poprzez kolor i jasność.
Wzrok jest bardziej czuły na różnicę jasności niż na
jasność bezwzględną, dzięki czemu świat jest „podobny”
niezależnie od natężenia oświetlenia.
Istnieją różne definicje kontrastu, które można stosować
do różnych obrazów.
Kontrast Webera
Kontrast Michelsona
Błąd średniokwadratowy
b
b
I
IIV
minmax
minmax
II
IIV
1
0
1
0
21N
i
M
j
ijII
MNV
MTF (Modulation Transfer Function)
A more precise definition of MTF based on sine patterns: MTF is the contrast at a
given spatial frequency f relative to contrast at low frequencies.
VB,VW – minimum/maximum luminance for black/white areas— at low spatial
frequencies.
Vmin. Vmax – minimum/maximum luminance for a pattern near spatial frequency.
C(0) = (VW – VB)/(VW+VB) is the low frequency (black-white) contrast.
C(f) = (Vmax– Vmin)/(Vmax+Vmin) is the contrast at spatial frequency f .
MTF( f ) = 100%*C( f )/C(0)
http://www.normankoren.com/Tutorials/MTF.html
Funkcja przenoszenia kontrastu
http://www.microscopyu.comhttp://www.imatest.com
0%100;
minmax
minmax
C
fCfMTF
II
IIfC
Obraz testowy
B. Drum, D. Calogero and E. Rorer, Assessment of visual performance in the evaluation of new medical products, Drug Discovery Today: Technologies 4(2), 2007.
Funkcja rozmycia punktu determinuje zakres częstości
optycznych, które może przenosić układ optyczny („gęstość”
modulacji).
Im szersza funkcja rozmycia punktu, tym szybciej maksima
modulacji nakładają się na siebie.
Wpływa to bezpośrednio na zdolność rozdzielczą układu
optycznego.
http://www.microscopyu.com
http://micro.magnet.fsu.edu/primer/java/aberrations/astigmatism/index.html
(Optical Aberrations: Interactive Java Tutorials)
Część rysunków za: wikipedia.org
74
The number of reflections a
“ray” can take and how it is
affected each time it
encounters a surface is all
controlled via software
settings during ray tracing.
Here, each ray was
allowed to reflect up to 16
times. Multiple “reflections
of reflections” can thus be
seen. Created with Cobalt
Dyfrakcja czyli ugięcie fali – zmiana kierunku
rozchodzenia się fali na krawędziach
przeszkód.
Zasada Huygensa: każdy punkt do którego
dotrze fala staje się nowym źródłem fali
kulistej. Fale te nakładają się zgodnie z
zasadą superpozycji. W efekcie pojawiają się
obszary wzmocnienia i osłabienia
rozchodzących się fal (interferencja
konstruktywna lub destruktywna).
Dyfrakcja zachodzi dla wszystkich wielkości
obiektów, ale jej wpływ jest widoczny dla
przedmiotów o rozmiarach porównywalnych
z długością fali.
Dyfrakcja ogranicza zdolność rozdzielczą
układów optycznych.
Dyfrakcja światła spójnego na prostokątnym otworze (sinc).
Dyfrakcja fali dźwiękowej na krawędziach głośników.
Dyfrakcja światła spójnego na prostokątnym otworze (sinc).
Plamka Airy.d
22.1sin
Interferencja [łac. inter –między,ferre
–nieść]: nakładanie się fal
prowadzące do zwiększania lub
zmniejszania amplitudy fali
wypadkowej.
222111
sinsin tAtAPy
Światło spójne pada na parę szczelin, ulega dyfrakcji
i interferencji na ekranie.
Przezroczysta lub półprzezroczysta płytka (np. szklana lub z
tworzywa sztucznego) z naniesioną serią równoległych
nieprzezroczystych linii lub rowków.
Jako pierwszy w swoich doświadczeniach prymitywną siatkę
dyfrakcyjną zastosował angielski fizyk Thomas Young.
Została wynaleziona w 1821 roku przez Fraunhofera. Była
pierwszym instrumentem pozwalającym wyznaczyć długość fal
świetlnych.
md sin
Pierścienie Newtona prążki
interferencyjne w kształcie pierścieni,
w świetle przechodzącym (lub
odbitym) przez cienkie warstwy
w pobliżu styku powierzchni wypukłej
i płaskiej rozdzielonych substancją
o innym niż stykające się
współczynniku załamania.
Dla światła białego powstają
wielobarwne prążki, dla
monochromatycznego – jasne
i ciemne prążki.
21
2
1
RNr
N
Najprostszy optyczny układ obrazujący. Światło
przechodzi przez mały otworek tworząc na ekranie
obraz o jasności proporcjonalnej do jasności na
zewnątrz oraz wielkości otworka.
Jeśli otworek nie jest mały, światło utworzy na
matówce koło o wielkości proporcjonalnej do
wielkości otworka.
Zwiększanie średnicy otworka zmniejsza ostrość
obrazu. Zmniejszanie średnicy otworka poprawia
ostrość, ale zmniejsza jasność.
Dla otworka o wielkości porównywalnej z długością
fali, na ekranie pojawia się rozmycie obrazu
wywołane dyfrakcją światła na brzegach otworu.
Obraz jest bardziej miękki.
Powiększenie kątowe jest stałe dla przedmiotów
znajdujących się w dowolnej odległości od kamery
(głębia ostrości od zera do nieskończoności).
fd 9,1
The effect of pinhole cameras can be observed at this wall opposite some balistrarias in the Castelgrande of Bellinzona. You can see the red roofs of the houses and the green trees that lie behind the balistrarias being projected onto the wall. (wikipedia.org)
Zdjęcie wykonane kamerą otworkową i aparatem z obiektywem soczewkowym.
An example of a 20 minute pinhole exposure. (wikipedia.org)
Charles E. Campbell, "Analysis of wavefront-guided corrections to see if they fully correct ocular aberrations," J. Opt. Soc. Am. A 23, 1559-1565 (2006)
http://www.xamidea.in
Na Ji, Daniel E Milkie & Eric Betzig, „Adaptive optics via pupil segmentation for high-resolution imaging in biological tissues”, NatureMethods 7, 141-147 (2010)