การหมุนของวัตถุแข็งเกรง็

วัตถุแข็งเกร็ง (rigid body)

เป็นวัตถุที่มีรูปร่างแน่นอน เมื่อมีการเคลื่อนที่แบบเลื่อน

ต าแหน่ง หรือแบบหมุน ทุกๆส่วนของวัตถุจะเคลื่อนที่ไป

ด้วยกัน

การขจัดเชิงมุม

s

r

X

Y

r

O

P

s

หน่วย radian แทนด้วย rad

ความเร็วเชิงมุมเฉลี่ย

2 1

2 1

avt t t

X

Y

r

O

P, t1

หน่วย แทนด้วย rad/s

1

2

Q, t2

ความเร็วเชิงมุมขณะเวลา t ใดๆ

0 0lim limav

t t

d

t dt

X

Y

r

O

P

ความเร่งเชิงมุมเฉลีย่

2 1

2 1

avt t t

X

Y

r

O

P, t1

หน่วย แทนด้วย rad/s2

1

2

Q, t2

ความเร่งเชิงมุมขณะเวลา t ใดๆ

0 0lim limav

t t

d

t dt

X

Y

r

O

P

พลังงานจลน์ของการหมุน

s

r

22 2 2

,

1 1 1

2 2 2k i i i i i i iE m v m r m r

2

i i

i

I m r

X

Y

ri

O

mi

พลังงานจลน์ของการหมุนของมวล M รอบแกน Z

M vi

อัตราเร็วของอนภุาคของอนภุาคตัวที่ ii iv r

พลังงานจลน์ของอนุภาคของอนุภาคตัวที่ i

2 2 2

, ,

1 1

2 2k rot k i i i

i i

E E m r I

โมเมนต์ความเฉื่อย

s

r

ผลคูณของมวลกบัระยะห่างจากจุดหมุนก าลงัสอง ข้ึนอยูก่บั มวลวตัถุ ระยะห่างของมวลจ่กจุดหมุน

หน่วย kg.m2

2

i i

i

I m r

X

Y

ri

O

mi

M vi

2I r dm

ส าหรับวัตถุท่ีกระจายไม่ต่อเนื่อง

ส าหรับวัตถุท่ีกระจายแบบต่อเนื่อง

โมเมนต์ความเฉื่อยรอบจุดศูนย์กลางมวล

ของวัตถุรูปทรงต่างๆ

2

. .

1

12C MI ML

วัตถุที่เป็นเส้นบาง มวล M ยาว L

LMC.M.

โมเมนต์ความเฉื่อยรอบจุดศูนย์กลางมวล

ของวัตถุรูปทรงต่างๆ

2 2

. .

1( )

12C MI M a b

วัตถุที่เป็นแผ่นบาง มวล M กว้าง a ยาว b

L

b

a

C.M.M

โมเมนต์ความเฉื่อยรอบจุดศูนย์กลางมวล

ของวัตถุรูปทรงต่างๆ

2

. .

1

2C MI MR

วัตถุที่เป็นทรงกระบอกตัน มวล M รัศมี R

R

C.M.

M

โมเมนต์ความเฉื่อยรอบจุดศูนย์กลางมวล

ของวัตถุรูปทรงต่างๆ

2 2

. . 1 2

1( )

2C MI M R R

วัตถุที่เป็นทรงกระบอกกลวง มวล M รัศมีภายใน R1 และรัศมีภายนอก R2

R1

C.M.

M

R2

โมเมนต์ความเฉื่อยรอบจุดศูนย์กลางมวล

ของวัตถุรูปทรงต่างๆ

2

. .C MI MR

วัตถุที่เป็นทรงกระบอกกลวง มวล M รัศมี R

C.M.

M

R

โมเมนต์ความเฉื่อยรอบจุดศูนย์กลางมวล

ของวัตถุรูปทรงต่างๆ

2

. .

2

5C MI MR

วัตถุที่เป็นทรงกลมตัน มวล M รัศมี R

R

C.M.

M

โมเมนต์ความเฉื่อยรอบจุดศูนย์กลางมวล

ของวัตถุรูปทรงต่างๆ

2

. .

2

3C MI MR

วัตถุที่เป็นทรงกลมกลวง มวล M รัศมี R

R

C.M.

M

ทฤษฎีบทแกนขนาน

2

. .C MI I Md

X

Y

ri

O

mi

M vi

d

d

IC.M. I

Z

ทฤษฎีบทแกนตั้งฉาก

Z X YI I I

X

Y

O

MIZ

Z

IX

IY

ผลคูณเชิงเวกเตอร์ของต าแหน่งกบัแรง หน่วย N.m หรือ นิวตนั-เมตร

บางคร้ังเรียกทอร์กวา่แรงหมุน

X

ทอร์ก

Y

O

r F

sintrF rF

F

Ft = Fsin

r

ทอร์ก

2

tot i i i

i i

m r I

X

Y

ri

O

mi

Ft

at

at = ri

Ft = miat

i = riFt = rimiat

2

i i im r

ผลคูณเชิงเวกเตอร์ของต าแหน่งกบัโมเมนตมัเชิงเส้น หน่วย kg.m2/s

โมเมนตัมเชิงมุม

L r p

2

i i

i

I m r

Y

X

L

M

2

i i iL m r

Z

mi

rivi

Li = ri pi = ri mi vi

vi = ri

2

i i i

i i

L L m r I

ถา้ไม่มีทอร์กภายนอกมากระท าโมเมนตมัเชิงมุมจะมีค่าคงท่ี

การอนุรักษโ์มเมนตัมเชิงมุม

0ext

dL IdI

dt dt

.i i f fL I I Conts

เป็นการส่ายของโมเมนตมัเชิงมุมรอบแกนเน่ืองจากการหมุนของวตัถุ

การเคลื่อนที่แบบไจโรสโคป

dLr Mg

dt

i fL L L

การเคลื่อนที่แบบไจโรสโคป

f idL L L dt i fL L L

การเคลื่อนที่แบบไจโรสโคป

f idL L L dt

sinMgh dtdL dt

d dL L L

การเคลื่อนที่แบบไจโรสโคป

L I

p

d Mgh

dt I

p : ความเร็วเชิงมุมของการส่าย