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Corpos finitos Arranjos de Costas Quadrados latinos e Sudoku Criptografia Conclusao

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Daniel Panario

School of Mathematics and StatisticsCarleton University

[email protected]

Semana de Cursos e Palestras da Computacao16 de outubro de 2012

Daniel Panario School of Mathematics and Statistics Carleton University [email protected]

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Sobre corpos finitos

Historia dos corpos finitos

A teoria de corpos finitos desenvolveu-se extensivamente no seculoXIX, porem a sua origem data dos seculos XVII e XVIII. Osprimeiros pesquisadores a considerar corpos finitos foram:

Pierre de Fermat (1601-1665), Leonhard Euler (1707-1783),Joseph-Louis Lagrange (1736-1813), Adrien-Marie Legendre(1752-1833) e Carl Friedrich Gauss (1777-1855).

Na epoca, os unicos corpos finitos conhecidos eram os corposcontendo um numero primo de elementos.

A aparicao em 1830 do artigo Sur la theorie des nombres deEvariste Galois (1811-1832), foi fundamental para o surgimento devarias questoes quanto a estrutura de corpos finitos em geral.

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Areas de aplicacao

Muitas subareas dos corpos finitos podem ser aplicadas quase queimediatamente a problemas no “mundo real”.

Os corpos finitos sao usadas hoje em dia extensivamente em areastais como:

teoria de codigos (para a recuperacao de erros nascomunicacoes),

criptografia (para a transmissao segura de dados),

engenharia eletrica e de comunicacoes,

· · ·

A enorme maioria dessas aplicacoes trabalham com o corpo finitoF2 que sera introduzido a seguir.

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Grupos

Definicao. Um grupo (G, ∗) e um conjunto G munido de umaoperacao binaria ∗ onde

(a) para todo a, b ∈ G, a ∗ b ∈ G;

(b) para todo a, b, c ∈ G, a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c;(c) existe um elemento e ∈ G tal que a ∗ e = e ∗ a = a para todo

a ∈ G;

(d) para todo a ∈ G, existe um elemento b ∈ G tal quea ∗ b = b ∗ a = e.

O grupo G e Abeliano se G e um grupo e

(e) para todo a, b ∈ G, a ∗ b = b ∗ a.

Exemplos: (Z,+), e (Q \ {0}, ·).

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Corpos finitos

Definicao. Um corpo (F,+, ·) e um conjunto F junto com duasoperacoes + e · tais que:

(1) (F,+) e um grupo Abeliano;

(2) (F \ {0}, ·) e um grupo Abeliano;

(3) para todo a, b, c ∈ F , temos

a · (b+ c) = a · b+ a · c,(b+ c) · a = b · a+ c · a.

Se #F e finito, F e um corpo finito.

Exemplo: os inteiros modulo um numero p formam um corpo se esomente se p e um numero primo.

p = 2: ({0.1},+, ·) e o corpo F2 de dois elementos!Daniel Panario School of Mathematics and Statistics Carleton University [email protected]

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Exemplos: 1 + 1 = 0, e 1 + 1 + 1 = 0

As tabelas de soma e multiplicacao em F2 sao:

0 0 11 1 0

· 0 1

0 0 01 0 1

+ 0 1 2

0 0 1 21 1 2 02 2 0 1

· 0 1 2

0 0 0 01 0 1 22 0 2 1

1 + 1 = 0

Exemplos: 1 + 1 = 0, e 1 + 1 + 1 = 0

0 0 11 1 0

· 0 1

0 0 01 0 1

+ 0 1 2

0 0 1 21 1 2 02 2 0 1

· 0 1 2

0 0 0 01 0 1 22 0 2 1

�Daniel Panario School of Mathematics and Statistics Carleton University [email protected]

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Conteudo dessa palestra

Aplicacoes nas seguintes areas:

comunicacao por radar e sonica;

arranjos militares em dias de parada;

jogos populares como o sudoku;

criptografia.

Comentamos sobre esses problemas e (brevemente) como oscorpos finitos ajudam nas solucoes deles.

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Arranjos de Costas e comunicacoes por radar e sonicas

Arranjos de Costas

Arranjos de Costas foram introduzidos por John Costas em 1965para uma aplicacao sonica. Esses arranjos tem baixaauto-ambiguidade usada para contra-atacar ecos. Isso fez quesejam muito uteis em aplicacoes nas comunicacoes por radar esonicas, assim como em redes locais de fibra-oticas como a CDMA(code-division multiple access).

Um arranjo de Costas de ordem n e um arranjo n× n de pontos eespacos brancos que satisfaz

n pontos, n(n− 1) espacos brancos, com exatamente umponto em cada linha e coluna; e

todos os segmentos entre dois pontos sao diferentes.

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A ultima condicao implica que todos os n(n− 1)/2 vetores entredois pontos sao diferentes.

Exemplo

n = 3:

···

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Ecos de radar e sonicos

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Por que funcionou?

Quando deslocamos a direita ou esquerda em tempo e pra cima oubaixo em frequencia, copias do padrao so podem coincidir em 0, 1ou todos os n pontos. Isso permite a recuperacao da informacao.

4, 2, 1, 3, 0

Para qualquer diferenca a, nenhuma diferenca aparece mais deuma vez.

Existem arranjos de Costas para uma infinidade de valores de n,mas nao para todo valor de n; o valor menor para o qual nao seconhece um arranjo de Costas e n = 32.

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Por que funcionou?

4, 2, 1, 3, 0

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Por que funcionou?

4, 2, 1, 3, 0

1 + 1 = 0

Por que funcionou?

4, 2, 1, 3, 0

1 + 1 = 0

Por que funcionou?

4, 2, 1, 3, 0

1 + 1 = 0

Por que funcionou?

4, 2, 1, 3, 0

1 + 1 = 0

Por que funcionou?

4, 2, 1, 3, 0

1 + 1 = 0

Por que funcionou?

4, 2, 1, 3, 0

1 + 1 = 0

Por que funcionou?

4, 2, 1, 3, 0

1 + 1 = 0

Por que funcionou?

4, 2, 1, 3, 0

1 + 1 = 0

Por que funcionou?

4, 2, 1, 3, 0

1 + 1 = 0

Por que funcionou?

4, 2, 1, 3, 0

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Construcoes

As tres construcoes conhecidas de arranjos de Costas (devidas aWelch, Lempel e Golomb, respectivamente) sao baseadas emcorpos finitos. Existem tambem experimentos computacionais.

Construcao de Welch: n = p− 1, α um elemento primitivo em Fp.

Exemplo: p = 7, n = 6, α = 3, f(j) = αj , 1 ≤ j ≤ 6:

···

·3 2 6 4 5 1

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Sudoku

Historia do Sudoku

1 Quebra-cabeca moderno desenhado por Howard Garns (aidade de 74 anos), e publicado primeiramente na DellMagazines em 1979 com o nome number place. (Isto foiredescoberto somente em 2005.)

2 Em Japao, Nikoli, Inc. foi o primeiro a publicar essesquebras-cabeca na Monthly Nikolist em 1984.

3 Maki Kaji (Nikoli President) originalmente chamou oquebra-cabeca de Suuji Wa Dokushin Ni Kagiru (“os numerosdevem ser unicos”), e foi depois abreviado como “Sudoku”(Su = numero, Doku = unico).

4 Sudoku e um sucesso internacional desde 2005.

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Sudoku

Definicao de Sudoku

Um quadrado Sudoku e uma matriz 9× 9 usando os numeros1, . . . , 9 arranjados tal que

1 Cada linha tem cada numero uma so vez.

2 Cada coluna tem cada numero uma so vez.

3 Cada um dos 9 subquadrados de tamanho 3× 3 tem cadanumero uma so vez.

Usamos os numeros 0, . . . , 8 por conveniencia.

Ha muitas generalizacoes de Sudoku incluindo Sudoku diagonal,Sudoku par-ımpar, Sudoku com cores, Sudoku geometrico (comregioes irregulares), e muitos mais.

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Sudoku

Um quadrado Sudoku:

0 4 8 7 2 3 5 6 15 6 1 0 4 8 7 2 37 2 3 5 6 1 0 4 88 0 4 3 7 2 1 5 61 5 6 8 0 4 3 7 23 7 2 1 5 6 8 0 44 8 0 2 3 7 6 1 56 1 5 4 8 0 2 3 72 3 7 6 1 5 4 8 0

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Sudoku

Um quebra-cabeca Sudoku do quadrado Sudoku anterior

2 3 157 2 3 5 0 48 0 3 2 61 6 8 0 77 1 58 3 7 6 1 5

6 0 21 5 8

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Sudoku

Quadrados latinos

Seja n um numero inteiro positivo. Um quadrado latino de ordemn e uma matriz n× n de n sımbolos distintos tal que cada sımboloaparece exactamente uma vez em cada linha e coluna. Exemplos:

0 1 2 0 1 21 2 0 2 0 12 0 1 1 2 0

Dois quadrados latinos sao chamados ortogonais se quandosuperimpostos cada um dos n2 pares aparece exatamente uma vez:

00 11 2212 20 0121 02 10

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Sudoku

Um conjunto de quadrados latinos {L1, . . . , Lt} e mutualmenteortogonal (MOLS) se Li e ortogonal a Lj para todo i 6= j.

Quadrados latinos mutualmente ortogonais foram originalmenteconsiderados por Euler (1779) para arranjos militares em dias deparada:

Seis regimentos diferentes tem seis oficiais, cada um decategoria diferente (de seis categorias diferentes). Podemesses 36 oficiais ser arranjados numa formacao emquadrado tais que em cada linha e coluna tenhamos umoficial de cada categoria e um de cada regimento?

A solucao requer um par de MOLS de ordem 6. A resposta enegativa: nao podemos ter esse arranjo para n = 6.

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Sudoku

Seja N(n) o numero maximo de MOLS de ordem n. E sabido queN(n) ≤ n− 1. Bose (1938) provou que se q e uma potencia deum numero primo entao N(q) = q − 1.

Ideia: seja α ∈ F∗q e definamos um quadrado latino

Lα(i, j) = i+ αj, onde i, j ∈ Fq. O conjunto de quadrados latinos{Lα : α ∈ F∗

q} e um conjunto de q − 1 MOLS de ordem q.

Problema em aberto (difıcil):(Conjectura de Potencia do Numero Primo) Existem n− 1 MOLSde ordem n se e somente se n e uma potencia de um numeroprimo.

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Sudoku

Relacoes

Quebra-cabecas Sudoku sao um caso especial de quadrado latino;qualquer solucao de um Sudoku e um quadrado latino.

Sudoku requer a restricao adicional que nove subquadrados 3× 3particulares contenham tambem os numeros 1 a 9.

Mais relacoes: podemos construir classes de Sudokus usandoMOLS. Porem sao Sudokus faceis dado que cada subquadrado3× 3 esta perto de ser magico . . . como nosso exemplo anterior!!

Um quadrado magico de ordem n tem cada um dos numeros1, . . . , n2 exactamente uma vez, e a soma de cada linha, de cadacoluna, e de cada diagonal, igual a n(n2 + 1)/2.

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Sudoku

Relacoes

Quebra-cabecas Sudoku sao um caso especial de quadrado latino;qualquer solucao de um Sudoku e um quadrado latino.

Sudoku requer a restricao adicional que nove subquadrados 3× 3particulares contenham tambem os numeros 1 a 9.

Mais relacoes: podemos construir classes de Sudokus usandoMOLS. Porem sao Sudokus faceis dado que cada subquadrado3× 3 esta perto de ser magico . . . como nosso exemplo anterior!!

Um quadrado magico de ordem n tem cada um dos numeros1, . . . , n2 exactamente uma vez, e a soma de cada linha, de cadacoluna, e de cada diagonal, igual a n(n2 + 1)/2.

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Sudoku

Albrecht Durer ‘Melencolia’ (1514)

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Sudoku

La Pasion, fachada da Sagrada Familia : 33

1 14 14 4

11 7 6 9

8 10 10 5

13 2 3 15

16 3 2 13

5 10 11 8

9 6 7 12

4 15 14 1

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Sudoku

La Pasion, fachada da Sagrada Familia : 33

1 14 14 4

11 7 6 9

8 10 10 5

13 2 3 15

16 3 2 13

5 10 11 8

9 6 7 12

4 15 14 1

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Sudoku

Alguns numeros sobre os Sudokus

1 L9 = # LSs de ordem 9: 9!8!377, 597, 570, 964, 258, 816

2 # quadrados Sudokus: 6,670,903,752,021,072,936,960= L9

828186

3 # quadrados Sudoku essencialmente diferentes (rotacoes,reflecoes, permutacoes e troca de rotulos); 5,472,730,538.

4 Pode ter 77 das 81 celulas cheias e ainda assim nao tersolucao unica. Voce consegue achar um exemplo?

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Sudoku

1 L9 = # LSs de ordem 9: 9!8!377, 597, 570, 964, 258, 816

828186

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Sudoku

1 L9 = # LSs de ordem 9: 9!8!377, 597, 570, 964, 258, 816

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Sudoku

1 L9 = # LSs de ordem 9: 9!8!377, 597, 570, 964, 258, 816

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Sudoku

5 17 de 81 e o numero mınimo de celulas cheias com solucaounica; 49151 tais quebra-cabeca sao conhecidos (hoje!); umdeles e:

5 4 78 31 9

3 4 25 1

8 6Daniel Panario School of Mathematics and Statistics Carleton University [email protected]

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Sudoku

6 Problem. Foi provado (busca exhaustiva) em 2011 que naoha solucao unica com 16 dos 81 numeros dados. Levou umano de computacao (nao ha prova matematica desseresultado).

7 Problema. Dada um quadrado solucao de um Sudoku, comoapagamos numeros de forma tal que o quebra-cabeca Sudokuresultante tenha sempre uma solucao unica?

8 Problema. Dada um quadrado solucao de um Sudoku, quaiscelulas diferentes podem ser deixadas sem prencher e aindaassim ter uma solucao unica? Por exemplo, no nosso exemploanterior temos 35 numeros dados. Quais numeros (outros queestes 35) podem ser obtidos usando aquele quadrado?

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Sudoku

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Sudoku

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Aplicacoes criptograficas

Conceitos basicos

Uma funcao unidirecional e uma funcao com a propriedade de quee facil de usa-la, mas e difıcil de inverte-la. A seguranca dacriptografia de chave publica depende da existencia deste tipo defuncao. Mas nao sabemos se funcoes unidirecionais existem!

Os candidatos mais importantes a este tipo de funcao sao amultiplicacao de dois numeros primos (a funcao inversa e afatoracao de numeros inteiros) e a exponenciacao (cuja funcaoinversa e calcular o logaritmo discreto).

RSA e um exemplo de uso da multiplicacao de dois numerosprimos.

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Logaritmo discreto

Em varias aplicacoes criptograficas e importante o calculo depotencias grandes em Fqn .

O Problema do Logaritmo Discreto

Seja α um elemento primitivo de Fq. Dado β ∈ Fq \ {0} achar umnumero inteiro x tal que

β = αx.

Para valores grandes de q este e um problema computacionalmentedifıcil.

Na pratica, q = 2n ou q = p para um numero primo p grande.

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O metodo de Diffie-Hellman (1976)

Suponhamos que Alice (A) e Bob (B) queiram ter uma chave emcomum. Seja α um elemento primitivo em Fq. Suponhamos que Acalcula um valor aleatorio (privado) a e B calcula um valoraleatorio (privado) b.

Entao A calcula αA = αa e manda para B, enquanto B calculaαB = αb e transmite para A.

Agora A pode calcular (αB)a = αab e B pode calcular

(αA)b = αab, e entao eles compartilham a chave k = αab.

Calcular a, b ou αab requer achar o logaritmo discreto.

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Publico: Fq e um elemento primitivo α.

%a aleatorio

αA = αa

αB�

%b aleatorio

αB = αb

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%Calcule

k = αaB

%Calcule

k = αbA

k = (αa)b = (αb)a = αab!!!

Intruso: calcule αab, mesmo conhecendo αa e αb.

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Conclusao

Brevemente comentamos sobre alguns problemas praticosatuais nas comunicacoes por radar e sonicas e na criptografia,assim como tambem em jogos recreacionais como o Sudoku,onde os corpos finitos tem um papel importante tanto nasconstrucoes desses objetos como nas solucoes dessesproblemas.

Ha muitas mais areas de aplicacao onde os corpos finitos temum papel fundamental. . .

Obrigado pela sua atencao!

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Conclusao

Brevemente comentamos sobre alguns problemas praticosatuais nas comunicacoes por radar e sonicas e na criptografia,assim como tambem em jogos recreacionais como o Sudoku,onde os corpos finitos tem um papel importante tanto nasconstrucoes desses objetos como nas solucoes dessesproblemas.

Ha muitas mais areas de aplicacao onde os corpos finitos temum papel fundamental. . .

Obrigado pela sua atencao!

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