11/09/07 mathÉmatiques financiÈres i troisième cours
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11/09/07
MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I
Troisième cours
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Rappel du dernier cours:Nous avons vu les concepts suivants
• Valeur actuelle d’un capital
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Rappel du dernier cours:Nous avons vu les concepts suivants
• Valeur actuelle d’un capital• Fonction d’actualisation
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Rappel du dernier cours:Nous avons vu les concepts suivants
• Valeur actuelle d’un capital• Fonction d’actualisation• Taux effectif d’escompte
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Rappel du dernier cours:Nous avons vu les concepts suivants
• Valeur actuelle d’un capital• Fonction d’actualisation• Taux effectif d’escompte• Équivalence de taux
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Sur ce dernier point, nous avons vu que
lorsque le taux effectif d’intérêt
et le taux effectif d’escomptesont équivalents.
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Exemple 1:
Alex fait l’achat d’appareils électroménagers au montant total de 2400$ (incluant les taxes). Le vendeur lui fait deux offres:1) soit qu’il paie 2400$ dans un an2) soit qu’il paie immédiatement et a un escompte de 10%.
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Exemple 1 (suite):
Si le taux d’intérêt est de 11% par année, laquelle des deux options est la plus avantageuse pour Alex?
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Exemple 1 (suite):
Si le taux d’intérêt est de 11% par année, laquelle des deux options est la plus avantageuse pour Alex?
À quel taux d’escompte les deux options sont équivalentes?
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Solution pour la première question:
Dans la première option, la valeur actuelle du 2400$ payable dans un an est
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Solution pour la première question:
Dans la première option, la valeur actuelle du 2400$ payable dans un an est
Dans la seconde option, la valeur après l’escompte est
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Solution de la première question (suite):
Nous pouvons conclure que la 2e optionest la plus avantageuse pour Alex.
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Solution pour la deuxième question:
Notons par
le taux d’escompte pour lequel les deux options sont équivalentes.
Nous avons alors
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Donc d = 9.9099099%.
Ceci est tout simplement la formule d’équivalence.
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Autres formules d’équivalence:Nous avons vu que
Cette dernière formule peut être interprétée de la façon suivante:
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Explication de la formule:
Considérons un capital de 1$ à la fin de la période. Dans ce cas, sa valeur actuelle est
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Explication de la formule (suite) :
Nous avons
Capital investi au début de la période:
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Explication de la formule (suite) :
Nous avons
Capital investi au début de la période:
Capital accumulé à la fin de la période:
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Explication de la formule (suite) :
Nous avons
Capital investi au début de la période:
Capital accumulé à la fin de la période:
Intérêt:
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Autres formules d’équivalence:Nous avons que
Cette dernière formule peut être interprétée de la façon suivante:
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Explication de la formule:
Considérons un capital de 1$ à la fin de la période. Dans ce cas, sa valeur actuelle est
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Autres formules d’équivalence:Nous avons aussi que
Cette dernière formule peut être interprétée de la façon suivante:
![Page 23: 11/09/07 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Troisième cours](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081507/551d9dc4497959293b8e206b/html5/thumbnails/23.jpg)
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Explication de la formule:
Considérons deux prêts.
Le premier prêt est de 1$ et sera remboursé par le versement de
dans un an.
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Explication de la formule: (suite)
Le second prêt sera remboursé par le versement de 1$ dans un an et l’emprunteur recoit initialement
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Explication de la formule: (suite)
La différence des montants prêtés est
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Explication de la formule: (suite)
La différence des montants prêtés est
L’intérêt sur la différence entre les montants prêtés est
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Explication de la formule: (suite)
La différence des montants prêtés est
L’intérêt sur la différence entre les montants prêtés est
Mais ceci est aussi la différence entre l’intérêt des deux prêts
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Il y a donc 4 formules à retenir:
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Il y a donc 4 formules à retenir:
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Il y a donc 4 formules à retenir:
![Page 31: 11/09/07 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Troisième cours](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081507/551d9dc4497959293b8e206b/html5/thumbnails/31.jpg)
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Il y a donc 4 formules à retenir:
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Escompte composé: (Description)
Dans cette situation, nous supposons que le taux effectif d’escompte est le même pour chaque période. Si nous notons le taux d’escompte composé par
alors nous pouvons calculer la fonction d’actualisation
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Principal investi au début de la 1ère période pour avoir 1$ à la fin de la 1ère période:
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Principal investi au début de la 1ère période pour avoir 1$ à la fin de la 1ère période:
Principal investi au début de la 1ère période pour avoiravoir 1$ à la fin de la 2e période:
En effet, pour obtenir 1$ à la fin de la 2e période, il faut
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à la fin de la 1ère période et
au début de la 1ère période.
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Nous pouvons poursuivre ainsi et obtenir la fonction d’actualisation dans l’escompte composé:
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et nous sommes en mesure de calculer la fonction de capitalisation:
L’escompte composé est équivalent à l’intérêt composé. L’équivalence est obtenue par laformule:
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Escompte simple: (Description)
Dans cette situation, nous supposons que le montant d’escompte est le même pour chaque période. Si nous notons le taux d’escompte simple par
alors nous pouvons calculer la fonction d’actualisation
![Page 39: 11/09/07 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Troisième cours](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081507/551d9dc4497959293b8e206b/html5/thumbnails/39.jpg)
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à la fin de la 1ère période et
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à la fin de la 1ère période et
au début de la 1ère période.
![Page 41: 11/09/07 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Troisième cours](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081507/551d9dc4497959293b8e206b/html5/thumbnails/41.jpg)
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Nous pouvons poursuivre ainsi et obtenir la fonction d’actualisation dans l’escompte simple:
Noter que nous devons supposer
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et nous sommes en mesure de calculer la fonction de capitalisation:
![Page 43: 11/09/07 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Troisième cours](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081507/551d9dc4497959293b8e206b/html5/thumbnails/43.jpg)
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et nous sommes en mesure de calculer la fonction de capitalisation:
L’escompte simple n’est pas équivalent à l’intérêt simple!
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En effet, nous ne pouvons pas trouver un taux d’intérêt
tel que
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Exemple 2:
Alex contracte un prêt auprès de Béatrice. Il lui remboursera 4000$ dans 5 ans. Le taux d’escompte composé de ce prêt est 4.75% par année.
Quel est le montant que Béatrice remet à Alex au début des 5 ans?
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Exemple 2: (suite)
Nous devons calculer la valeur actuelle de 4000$ payable dans 5 ans au taux d’escompte composé de 4.75%. Nous obtenons
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Exemple 2: (Suite)
Nous aurions aussi pu calculer le taux d’intérêt composé équivalent au taux d’escompte 4.75% par année
c’est-à-dire que le taux équivalent est4.9868766%. Nous obtenons
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Exemple 2: (Suite)
Il nous faut calculer la valeur actuelle de 4000$ payable dans 5 ans au taux d’intérêt 4.9868766% par année. Nous obtenons que Alex reçoit
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Exemple 3:
Cléo contracte un prêt auprès de la banque desRichards. Elle recoit 5875$ maintenant et elle remboursera ce prêt en versant L dollars dans 5 mois. Le taux d’escompte simple de ce prêt est 5% par année. Quel est le montant remboursé L?
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Exemple 3: (suite)
Nous voulons calculer la valeur accumulée de 5875$ dans 5 mois au taux d’escompte simple 5% par année. Cette valeur est
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Comparaison:
Si nous comparons les fonctions de capitalisation dans les cas de l’escompte simple et de l’escompte composé pour le même taux, nous obtenons le graphique suivant
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![Page 53: 11/09/07 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Troisième cours](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081507/551d9dc4497959293b8e206b/html5/thumbnails/53.jpg)
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Nous avons que
et
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![Page 55: 11/09/07 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Troisième cours](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081507/551d9dc4497959293b8e206b/html5/thumbnails/55.jpg)
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Jusqu’à présent, l’intérêt était capitalisé qu’une seule fois par
période. Il existe une autre notion tant pour l’intérêt que
l’escompte: le taux nominal
![Page 56: 11/09/07 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Troisième cours](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081507/551d9dc4497959293b8e206b/html5/thumbnails/56.jpg)
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Exemple 4:
Sur l’état de compte d’une compagnie de crédit, il est indiqué comme intérêt (pour les achats ou les avances): 18.50% par année et 0.05068% par jour.
Comment interpréter ce taux de 18.50%?
![Page 57: 11/09/07 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Troisième cours](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081507/551d9dc4497959293b8e206b/html5/thumbnails/57.jpg)
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Exemple 4: (suite)
Si nous considérons le taux 0.05068% par jour et calculons le montant d’intérêt versé sur un prêt de 1$ pour une année, nous aurons
![Page 58: 11/09/07 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Troisième cours](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081507/551d9dc4497959293b8e206b/html5/thumbnails/58.jpg)
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Exemple 4: (suite)
Ce taux quotidien de 0.05068% correspond à un taux annuel de 20.3140402% et non au taux de 18.50%.
![Page 59: 11/09/07 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Troisième cours](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081507/551d9dc4497959293b8e206b/html5/thumbnails/59.jpg)
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Exemple 4: (suite)
Ce taux quotidien de 0.05068% correspond à un taux annuel de 20.3140402% et non au taux de 18.50%.
La raison est que 18.50% est un taux nominal d’intérêt. Nous avons ici que
![Page 60: 11/09/07 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Troisième cours](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081507/551d9dc4497959293b8e206b/html5/thumbnails/60.jpg)
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Taux nominal d’intérêt:
Si l'intérêt est capitalisé m fois par période
(avec m > 1) et que le taux d'intérêt pour chacun de ces m-ièmes de période est
alors nous disons que le taux nominal d'intérêt est
![Page 61: 11/09/07 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Troisième cours](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081507/551d9dc4497959293b8e206b/html5/thumbnails/61.jpg)
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Donc pour déterminer le taux d’intérêt par période de
capitalisation, il nous faut diviser le taux nominal par m.
![Page 62: 11/09/07 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Troisième cours](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081507/551d9dc4497959293b8e206b/html5/thumbnails/62.jpg)
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Exemple 5:
Si un placement est rémunéré au taux nominal d’intérêt de 8% par année capitalisé trimestriellement, c’est-à-dire
Zénon veut accumuler 10000$ après 5 ans, quel montant doit-il investir?
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Exemple 5: (solution)
Le taux d’intérêt par trimestre (I.e. par trois mois) est de
Pendant 5 ans, il y a 5 X 4 = 20 trimestres et l’intérêt sera capitalisé 20 fois
![Page 64: 11/09/07 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Troisième cours](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081507/551d9dc4497959293b8e206b/html5/thumbnails/64.jpg)
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Exemple 5: (solution)
Nous cherchons donc la valeur actuelle de 10000$ payable après 20 périodes de capitalisation dont le taux d’intérêt est de 2%:
![Page 65: 11/09/07 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Troisième cours](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081507/551d9dc4497959293b8e206b/html5/thumbnails/65.jpg)
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Équivalence de taux:
Si nous considérons 1$ investi et calculons la valeur accumulée au taux nominal d’intérêt
par année, nous obtenons
![Page 66: 11/09/07 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Troisième cours](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081507/551d9dc4497959293b8e206b/html5/thumbnails/66.jpg)
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Équivalence de taux: (suite)
L’intérêt sera capitalisé m fois pendant l’année au taux d’intérêt par m-Ième de période égal à
![Page 67: 11/09/07 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Troisième cours](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081507/551d9dc4497959293b8e206b/html5/thumbnails/67.jpg)
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Équivalence de taux: (suite)
et la valeur accumulée est
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Équivalence de taux: (suite)
Si le taux effectif d’intérêt
est équivalent au taux nominal d’intérêt
alors
![Page 69: 11/09/07 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Troisième cours](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081507/551d9dc4497959293b8e206b/html5/thumbnails/69.jpg)
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Équivalence de taux: (suite)
Donc
et
![Page 70: 11/09/07 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Troisième cours](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081507/551d9dc4497959293b8e206b/html5/thumbnails/70.jpg)
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Exemple 6:
Si 2500$ est placé dans un compte de banque rémunéré au taux nominal d’intérêt de 9% par année capitalisé mensuellement, alors quelle sera la valeur accumulée à la fin de la 2e année?
![Page 71: 11/09/07 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Troisième cours](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081507/551d9dc4497959293b8e206b/html5/thumbnails/71.jpg)
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Exemple 6: (suite)
Dans cette situation, le taux d’intérêt est le taux nominal
i.e. que le taux d’intérêt par mois est
![Page 72: 11/09/07 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Troisième cours](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081507/551d9dc4497959293b8e206b/html5/thumbnails/72.jpg)
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Exemple 6: (suite)
Dans cette situation, le nombre de périodes de capitalisation est
24 = 12 X 2
parce qu’il y a 12 mois dans une année et le capital est investi pour 2 années.
![Page 73: 11/09/07 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Troisième cours](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081507/551d9dc4497959293b8e206b/html5/thumbnails/73.jpg)
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Exemple 6: (suite)
La valeur accumulée sera
![Page 74: 11/09/07 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Troisième cours](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081507/551d9dc4497959293b8e206b/html5/thumbnails/74.jpg)
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Taux nominal d’escompte:
Si l’intérêt est capitalisé m fois par période
(avec m > 1) et que le taux d’escompte pour chacun de ces m-ièmes de période est
alors nous disons que le taux nominal d’escompte est
![Page 75: 11/09/07 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Troisième cours](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081507/551d9dc4497959293b8e206b/html5/thumbnails/75.jpg)
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Si nous calculons la valeur actuelle de 1$ payable dans un an au taux nominal d’escompte
alors nous obtenons
![Page 76: 11/09/07 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Troisième cours](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081507/551d9dc4497959293b8e206b/html5/thumbnails/76.jpg)
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Équivalence de taux:
Supposons que les taux suivants sont équivalents
Taux effectif d’intérêt
Taux nominal d’intérêt
Taux effectif d’escompte
Taux nominal d’escompte
![Page 77: 11/09/07 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Troisième cours](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081507/551d9dc4497959293b8e206b/html5/thumbnails/77.jpg)
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En calculant la valeur actuelle de 1$ payable à la fin de l’année, nous obtenons
![Page 78: 11/09/07 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Troisième cours](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081507/551d9dc4497959293b8e206b/html5/thumbnails/78.jpg)
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En calculant la valeur accumulée par un investissement de 1$ pendant une année, nous obtenons
![Page 79: 11/09/07 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Troisième cours](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081507/551d9dc4497959293b8e206b/html5/thumbnails/79.jpg)
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L’équivalence de taux est obtenue par les formules équivalentes
et