187

ЛОПТА

11.1. Лопта и сфера. Пресеци лопте и равни

Својства лопте (кугле) се користе за спортска такмичења, у раду појединих делова машина и др.Модел Земље, посматране у облику лопте, служи за одређивање положаја разних места и тела на њој. Обнови појмове, као што су: екватор, меридијани, упоредници, географска ширина и дужина и сл. Географска ширина Београда је приближно 45°. Колика је географска дужина Београда?Посматрај предмете и моделе облика лопте и уочи површ којом је лопта ограничена.Нацртај кружну линију и обележи центар и полупречник. Одговори на питање: шта је кружна линија (кружница)?2. 1) Уочи неке тачке простора једнако удаљених од једне тачке простора. Замисли скуп свих тачака тога простора које имају наведено својство.

Све тачке простора које имају својство да су једнако удаљене од неке дате тачке чине једну површ која се назива сферна површ или, краће, сфера.

Архимед

(287–212)*

* Архимед је открио, поред осталог, формуле за израчунавање запремине ваљка и лопте.

188

Посматрај модел и слику лопте (сл. 1). На моделу покажи а на слици уочи сферу.

Слика 1

A

S

B

N

F

O

E

X

Тачка O је центар сфере. Дуж OX одређена центром и било којом тачком X сфере назива се полупречник сфере. Полупречник сфере често се обележава словом R. Дакле, OX = R. Сфера је одређена центром и полупречником (S(O; R)).Сфера дели простор на две области: унутрашњу и спољашњу област. Унутрашња област садржи на пример тачку О.

Скуп свих тачака сфере и области простора ограниченог сфером се назива лоптом.

Центар и полупречник сфере су истовремено центар и полупречник лопте.

Лопта је скуп свих тачака простора чије растојање од центра није веће од полупречника, тј.

L(O; R) = {X|X ∈ P и |OX| ≤ R}, P – простор.

2) Ротацијом полукруга око пречника AB као осе ротације у простору (за 360°) добија се лопта пречника AB = 2R. Центар те лопте је средиште дужи AB (сл. 2). Тачка O је центар, а OM = OA = OB = R.

3) Направи модел круга, а права s нека садржи центар тога круга. Изврши ротацију тог модела за 360° и уочи центар и полупречник лопте.

3. Пресек лопте и равни која садржи центар лопте је круг и назива се велики лоптин круг (сл. 3).

189

математикA за VIII разред основне школе

Слика 2

A

Bs

M

O

O1

E

E '

M '

Слика 3

A

α

B

FOE

R

R

R

R

Слику лопте цртамо тако што нацртамо неколико њених великих кругова: један у правој величини и још неколико прикажемо елипсом (затворена крива линија (сл. 4).4. Нацртај слику лопте чија је дужина полупречника: 1) 2,6 cm; 2) 1,9 cm.5. 1) Ако раван α сече лопту и не садржи центар лопте, онда је њихов пресек, тзв. мали лоп–

тин круг (сл. 5).

Слика 4

A B

F

E

R R

O RR

Слика 5

O

O1

C

s

r

dR

D

α

190

Ако је права s (OO1) нормална на раван α, њена продорна тачка O1, онда је пресек мали круг K(O1, r). Растојање центра лопте O и равни α је растојање OO1 = d. Из троугла OO1D следи r2 + d2 = R2. Објасни.2) Полупречник лопте је 5 cm. Раван α је удаљена од центра лопте 3 cm. Израчунај полупречник пресека лопте и равни α. Нацртај слику.3) Однос лопте L(O; R) и равни α зависи од растојања центра лопте и равни α (d).

а) Већ смо разматрали случај ако је d < R (сл. 5).б) Ако је d = R, раван α и лопта имају само једну заједничку тачку (сл. 6).в) Ако је d > R, онда лопта и раван α немају заједничких тачака.

6. На површи Земље (сфери) постоје велике и мале кружнице (види глобус!). Шта је екватор Земље, а шта су меридијани. Нацртај неке паралелне кружнце екватору на оба дела сфере.

7. Топлотне зоне на Земљи:1) жарки појас од –23°27´ до 23°27´ географске ширине;2) умерена зона од –66°33´ до –23°27´ и од 22°27´ до 66°33´ географске ширине;3) преостали делови Земљине површи су поларне зоне (северна и јужна).

8. Дат је једнакостранични троугао странице a и описана и уписана кружница (сл. 7). Та фигура ротира око осе s (за 360°), при чему се добијају две сфере. Израчунај полупречник тих сфера.

Слика 6

B

A

A∈α

O

R

α

Слика 7

BA O

C

s

aa

9. 1) Дата је коцка ивице a. Постоји сфера која садржи свако теме коцке. Центар сфере је пре-сек дијагонала коцке. Објасни то тврђење. Израчунај полупречник те сфере.

2) Око квадра, чије су димензије 1 dm, 2 dm и 2 dm, описана је сфера. Израчунај полупречник те сфере.

10. Дијагонала коцке је 4 3 , израчунај полупречник описане и уписане сфере те коцке.11. Дат је квадрат странице a и његова уписана кружница. Симетрала странице квадрата је

оса ротације. Та фигура ротира око те осе (за 360°). Која тела настају том ротацијом?