1.1.3 mechanine energija. potencialinu jegu laukai. spec reliatyvumo teorija (fizika.ktu.2009)

8/7/2019 1.1.3 Mechanine Energija. Potencialinu Jegu Laukai. Spec Reliatyvumo Teorija (Fizika.ktu.2009)

1/30

Energija tai bendras kiekybinis materijos judjimo ir sveikos matas.

Kiekybinis materijos judjimo matas yra apibdinamas Kinetine energija.

Kiekybinis materijos sveikos matas yra apibdinamas Potencine energija.

Darbas Energija Jg laukas


2/30

Knams veikiant vienas kit jgomis, tarp jvyksta energijos mainai.

Kad apibdinti energijos perdavimkiekybikai vedama darbo svoka.Mechaninis darbas apibdina veikiant jgai vykstantenergijos perdavimoproces.

Skaitine verte darbas lygus veikianios jgos irkieto kno poslinkio vektoriaus sandaugai:

Mechaninis Darbas

Jeigu knveikia kelios jgos, tai suminis darbas lygus vis atskir jg atliekamdarbalgebrinei sumai:

.11 1

rFFrrFAAN

i

i

N

i

N

i

ii

==== == =

.rFA

=

Mechaninis darbas yra skaliarinis dydis.

Pagal jgos pobdmechaninis darbas yra skiriamas:

1. Pastovios jgos darbas,2. Kintamos jgos darbas.


3/30

Nekintant laike ir erdvje jgai atliekamas darbas yra vadinamas pastovios

jgos darbu.Jgos kryptis nebtinai turi sutapti su trajektorijos kryptimi.

Pastovios jgos darbas

.coscos121212

1

SFrFrFrFA ii

N

i

i ==== =

iuo atveju darbas yra lygus jgos projekcijai trajektorijos ayje ir nueito kelio

sandaugai.


4/30

Jga, atliekanti darbgali kisti laike ir erdvje.

iuo atveju jga patampa koordinats ir laiko funkcija:

Kintamos jgos darbui apskaiiuoti nueit kelipadalijame elementariuosiuskelius ds, kurie atitinka elementarposlinkio vektoriaus dr dyd.Jo ribose jga, o taip pat ir darbas nekinta.

Elementarusis darbas kelyje ds yra:

Kintamos jgos darbas

( ) .,cos dsFrdFrdFrdFdA ===

Elementarusis poslinkis erdvje isiskaido komponentes, todl:

),,( trFF

=

dzFdyFdxFrdFdA zyx ++==

Kad surasti piln darb, reikia visus elementarius darbusintegruoti iilgai erdvins kreivs kreiviniu integralu:

. ==ss

dsFrdFA

Kintamos jgos darbas baigtiniame kelyje skaitine verte lygus kn veikianiosjgos projekcijos poslinkio vektoriaus kryptyje kreiviniam integralui.


5/30

Materialusis takas juda erdvje veikiamas atstojamosios jgos:

Tako poslinkis per nykstamai trump laikdt yra:

Tuomet atliekamas elementarus darbas:

Kinetin energija

dt

vdmF

=

dtvrd

=

),cos( vdvvdmvvdvmdtvdt

vdmdA

===

dvvdvvd =),cos(

Elementariam pokyiui: todl: mvdvdA =

Kinetin energija yra kno mechaninio judjimo bsenos funkcija,ir yra lygi darbui, kurreikia atlikti, kad knsustabdyti.

22

2

1

2

2

2

1

mvmvmvdvA ==

Atstojamosios jgos darbas yra lygus tamtikro fizikinio dydio, susijusio su kno maseir greiiu, pokyiui.

Jeigu tas pokytis teigiamas, darbas buvo atliktas padidinant kno greit.O jeigu v1 buvo lygus nuliui, darbas buvo atliktas perduodant m mass knui,energijos kiek, kad jis gyt greitv2 arba v. i knui suteikta energijavadinama Kinetine energija ir ymima:

2

2mv

Wk =


6/30

Naudojant kinetins energijos iraikmaterialiam takui:

Besisukanio kno kinetin energija

,2

2

iiki

vmW = ,jei , tada:,ii Rv = ,

22

222 ziii

ki

IRmW ==

Apie nejudam a besisukanio kietojo kno kinetin energija lygi vis j

sudarani materialij tak kinetini energijsumai:

,22

2

1

2

1

zN

i

zi

N

i

kik

IIWW ===

==

Apie nejudam a besisukanio kietojo kno kinetin energija tiesiogiaiproporcinga kno inercijos momento ir kampinio greiio kvadratui.


7/30

Knai gali sveikauti (veikti vienas kit jga) dviem bdais:

1. Kontaktiniu bdu,2. Jgos lauku.

Toliveikos ir artiveikos sveikos?

Knai neesantys kontakte, bet perduodantys vienas kitam sveik, jperduoda

Baigtiniu greiiu per tarpinink, vadinam Jglauku.Jg laukas materijos forma, pasiyminti savybe veikti kn jga.

Jg lauktipai (priklausomai nuo fundamentali4 sveikos tip):

1. Gravitacijos,

2. Elektrinis ir magnetinis,3. Stiprusis,4. Silpnasis.

Jgos, kuriomis jglaukas veikia kn, vadinamos potencialinmis jgomis.

Potencialins jgos gali neatlikti darbo, o jatliktas darbas nepriklauso nuotrajektorijos.

Jg laukas

potF


8/30

Potencialins jgos kn, esant jglauke, perkeldamos i tako 1 tak2erdvje, atlieka darb.Jglaukas atlikdamas darb pakeiia kno energetin bsen.

Kno padties erdvje funkcija, apibdinanti jo energetin bsenir turintienergijos dimensij, vadinama kno potencine energija.

Potencialini jgatliktas darbas yra lygus potencins energijos pokyiui:

Potencin energija

ppppotpot WWWrdFA === 212

1

),,()( zyxWrW pp =

Potencins energijos tikroji vert lygi potenciali jgatliktam darbui perkeliant

kn t erdvs padt, kur potencialini jgpoveikis lygus nuliui.is dydis vadinamas potencialu.

Paprastai vertinant kno potencin energij, nulinis lygmuo pasirenkamas laisvai.Pavyzdiui, sunkio jgos P veikiamo kno, nedideliame auktyje h nuo emspaviriaus potencin energija ireikiama:

12)( ppp WWmghPhrW ===


9/30

Potencin energijturi ne tik knai esantys jglauke, bet ir tarpusavyjesveikaujani tarpatominmis jgomis dalelisistema tamprusis knas.

Tamprj kndeformuojant, atsiranda tamprumo jga, veikianti kn sudaranidaleliposlinkiams prieinga kryptimi.

Maoms deformacijoms tamprumo jgai nusakyti tinka Huko dsnis: tamprumojga F tiesiogiai proporcinga deformacijos didumui:

Tampriai deformuoto kno potencin energija

22

2

2

2

121

1

2

kxkxkxdxWW

X

X

pp ==

21, xxxkxF ==

Nedeformuoto kno potencin energija yra lygi nuliui:tada deformuoto kno potencin energija yra lygi: ppp

WWtadaW == 21 ,0

2

2kx

Wp =


10/30

Tarkime i-oji dalel, veikiama potencialini jgatstojamosios ir nepotencialinijgatstojamosios, pasislenka i tako 1 tak2. ios jgos atlieka darb:

Energijos tverms dsnis

inepotpipikiki AWWWW ,2112 +=

Skliaustuose esantys dydiai yra dalels pilnutin energija esanti 1 ir 2 padtyse.

12

2

1

2

1

.. kikinepotpotinepotipot WWrdFrdFAA =+=+

21 pipipot WWA =kadangi:

inepotpikipiki AWWWW ,1122 )()( =++

)()( 222111 pikiipikii WWWirWWW +=+=

todl: inepotiii AWWW ,12 ==Dalels pilnutins mechanins energijospokytis yra lygus j veikiani nepotencialini

jgatliktam darbui.

jeigu: , tai: ir0, =inepotA 012 = ii WW constWWW iii === 12

Tai reikia, kad udaros sistemos pilnutin energija nekinta, tik vienos riesgali virsti kita.

Pavyzdiui, knui krintant i aukio h:


11/30

Tarkime dalel, veikiama potencialins jgos:

pasislenka:

Potencialins jgos atliktas elementarus darbas:

Potencialins jgos ir potencins energijos ryys

yra lygus potencialins energijos pokyiui, kurgalima iskaidyti komponentes:

tada:

zpotypotxpotpot FkFjFiF ...

++=

dzkdyjdxird

++=

dzFdyFdxFrdFdA zpotypotxpotpotpot ... ++==

dzdz

dWdydy

dWdxdx

dWdWdA pppppot ==

dzdz

dWdy

dy

dWdx

dx

dWdzFdyFdxF

ppp

zpotypotxpot =++ ...

dz

dWF

dy

dWF

dx

dWF

p

zpot

p

ypot

p

xpot===

...,,

Matome, kad kiekvien potencialins jgos naratitinka neigiama potencinsenergijos kitimo sparta erdvje (ivestin):


12/30

stat

Potencialins jgos ir potencins energijos ryys

++=++=

dz

dWk

dy

dWj

dx

dWiFkFjFiF

ppp

zpotypotxpotpot

...

dz

dWF

dy

dWF

dx

dWF

p

zpot

p

ypot

p

xpot === ... ,,

i lygtis parodo kiekybin potenciali jgir potencins energijos sry erdvje.

Bet kokios skaliarins funkcijos gradientas yra vektorius, apibdinantis to iosfunkcijos kitimo spart erdvje. Teigiamas gradientas nukreiptas ios funkcijosdidjimo kryptimi.

ioje lygtyje gavome neigiam gradient, o tai reikia, kad potencialin jgayra lygi potencins energijos gradientui ir nukreipta didiausiajo s majimo kryptimi.

gauname:zpotypotxpotpot FkFjFiF ...

++=

o tai yra:

ppot WgradF =

arba: ppot WF =


13/30

Centrini jg laukas

Jeigu jglaukas:

1) Bet kokiame lauko take esanius mass mi(i=1,2,3,) materialiuosius takus

laukas veikia atitinkamomis jgomis Fi, kuri tsos kertasi viename take,2) Lauko jgos modulis proporcingas atstumo iki io tako kvadratui.

Tok laukvadiname centrini jglauku.

Gravitacijos laukas yra centrini jglaukas.

Per gravitacijos laukpersiduoda dviej kn turinimases m ir m1 sveika.ios sveikos jgos modulis pagal visuotintraukos dsnyra lygus:

22112

21 10*6720.6, == kgNmGkurrmmGF

Visuotinis traukos dsnis: du takiniai knai traukia vienas kit jga, proporcinga jmasi sandaugai ir atvirkiai proporcinga atstumui tarp j centr kvadratu,


14/30

Gravitacijos laukas jo stipris

Visuotins traukos dsnio vektorin iraika:

Antro kno mas nukl kit pus gausime dyd, nepriklausantnuo jo mass:

,3

21 rr

mmGF

=

Kurio modulis:rr

mG

m

FE

3

1

2

==2

r

mGE=

Gravitacijos lauko stipris pagrindin lauko charakteristika, savo moduliu irkryptimi lygi jgai, kuria tas laukas veikia tame take vienetins mass kn.

Jeigu erdvje yra daug kn, j suminis laukas apsirao pagallauk superpozicijos princip, t.y. lygus atskir lauk stipri sumai.

=

=N

i

iEE1

Mass m kno gravitacinio lauko stipris tiesiogiai proporcingas nuo kno masei iratvirkiai proporcingas atstumo iki jo centro kvadratui.

Lauk vadiname vienalyiu, jeigu lauko stiprumo vektorius vienodas bet kokiame tolauko take.

Lauk vadiname stacionariu, jeigu lauko stiprumo vektorius nekinta laike.


15/30

Gravitacijos laukas jo potencialas

Gravitacijos laukas, perkeldamas m mass kni padties R padtR+h, lygus:

,2

+=

+==

+

RGM

hRGMm

RGMm

hRGMmdr

rMmGA

hR

R

Kadangi potencialini jg darbas lygus sistemos potencins energijossumajimui, gauname:

)( 211221 === mWWWA ppp

r

mG

m

A== 1 dydis, vadinamas lauko potencialu.

Lauko potencialas energin lauko charakteristika, apibdinanti darbperkeliantvienetins mass kni nagrinjamo lauko tako begalyb.

Lauko potencialas su lauko stipriu susijs tokia pat priklausomybe, kaip irpotencialin jga su potencine energija

gradE =

Ekvipotencialinis pavirius?


16/30

Specialioji Reliatyvumo teorija - Postulatai

Specialioji reliatyvumo teorija grindiama dviem stebjim ir eksperiment rezultatusapibendrinaniais postulatais:

1. Visi fizikos dsniai visose inercinse atskaitos sistemose yra vienodi;

2. viesos greitis vakuume visose inercinse atskaitos sistemose nepriklauso nuo viesosaltinio ar stebtojo reliatyvaus judjimo (krypties ir greiio): visomis kryptimis viesos

greitis yra vienodas. c=299792456,2 m/s

Apibendrinimas:

1. Nra tokio fizikinio eksperimento (atlikto inercinje atskaitos sistemoje), kuriuo galtumenustatyti inercins atskaitos judjim.

2. Pereinant i vienos atskaitos sistemos kit, viesos greitis nesikeiia.


17/30


18/30

Specialioji Reliatyvumo teorija Lorenco transformacijos

Paprasiausio pavidalo Lorenco transformacijos ireikiamos,kai nejudanios S ir judanios S atskaitos sistem ays yra

lygiagreios ir sistema S juda iilgai vienos aies Ox pastoviugreiiu v0.

Jeigu abiejose atskaitos sistemose laiko atskaitos pradipasirenkame tuo momentu, kai abiej koordinai sistemospradios O ir O sutampa, tai Lorenco transformacijosuraomos:

2

2

0

2

0

2

2

0

0

1

,,,

1

c

v

xc

vt

tzzyy

c

v

tvxx

+===

+= Atvirktins transformacijos:

2

2

0

2

0

2

2

0

0

1

,,,

1c

v

xc

vt

tzzyy

c

v

tvxx

===

=


19/30

Specialioji Reliatyvumo teorija Lorenco transformacijos

Lorenco transformacijose, tenkinanios SRT postulatus, transformuojamos ne tik nagrinjamovykio koordinats, bet ir vyksmo laikas.

Laiko transformacijoje yra erdvins koordinats ir greitis.

Todl laikas yra reliatyvus ir neatskiriamas nuo erdvs.

Kiekvienai inercinei atskaitos sistemai (IAS) yra savas laikas visuose tos paios IAS takuosefizikiniai procesai vyksta vienoda sparta.

Tie patys procesai, apraomi i judanios IAS, atitiks skirting laik, priklausant nuo koordinatsir greiio.

2

2

0

2

0

2

2

0

0

1

,,,

1c

v

x

c

vt

tzzyy

c

vtvxx

+

===

+=


20/30

Specialioji Reliatyvumo teorija Vienalaikikumo reliatyvumas

Du vykiai vykstantys skirtinguose pasirinktos koordinai sistemos takuose vadinamivienalaikiais, jeigu jie vyksta t pat laiko moment, pagal tos atskaitos sistemos laikrod.

Nejudanios atskaitos sistemos S takuose x1 ir x2, tuo paiu metu (t1=t2=t0) vyksta dutarpusavyje nesusij vykiai.

i vyki laik judanioje sistemoje S apskaiiuojame pasinaudoj laiko transformacijomis.

2

2

0

12

00

1

1c

v

xc

vt

t

+= Ir , o skirtumas:

2

2

0

22

00

2

1c

v

xc

vt

t

+=

2

2

0

212

0

12

1

)(

c

v

xxc

v

tt

=

Jeigu du vykiai, kurie atskaitos sistemoje S vyksta tuo paiu metu ir tame paiame take(x1=x2), atskaitos sistemoje S jie yra taip pat vienalaikiai (t1-t2=0)

Taiau vykiai, vykstantys skirtinguose erdvs takuose, sistemoje S jau yra nevienalaikiai.

0, 1221 == ttxx

0, 1221 ttxx


21/30

Specialioji Reliatyvumo teorija Reliatyvistinis sutrumpjimas

Sakykime judanios sistemos S atvilgiu nejudantis strypasorientuotas iilgai Ox aies.ioje atskaitos sistemoje strypo gal koordinats laikui bgant

nekinta, o savasis ilgis yra:

,120 xxl =

Nejudanios sistemos S atvilgiu strypas juda pastoviu greiiu v0Tuo paiu metu nejudanioje sistemoje (t1=t2=t0) imatav ilg:

, taiau atliekant Lorenco transformacijas i nejudanios strypo atvilgiu judani sistem:

,12 xxl =

2

2

0

02

2

2

2

0

01

1

1

,

1c

v

tvxx

c

v

tvxx

=

= J skirtumas: stat l ir l0:

2

2

0

12

12

1c

v

xxxx

=

2

2

0

01

c

vll =

Stebtojui, kurio atvilgiu knas juda, kno tiesiniai matmenys yra trumpesni,negu matmenys nustatyti to stebtojo, kurio atvilgiu knas nejuda.

Knui judant v0=0.87c, jo matmuo judjimo kryptimi sumaja perpus.


22/30

Specialioji Reliatyvumo teorija Laikotarpio pokytis

Pasirinkime judanioje sistemoje S nejudant tak A. Sakykime, kad iame take vienas pokito laiko momentais t1 ir t2 vyksta du vykiai. Laiko tarpas tarp vyki ioje sistemoje bus:

,120 ttt =Nejudanioje sistemoje S ie vykiai vyksta skirtinguose erdvs takuose atitinkamais laikomomentais t1 ir t2. Laiko tarpas tarp vyki ioje atskaitos sistemoje:

Tame paiame erdvs take nejudanios sistemosatvilgiu laikai bus:

ir , o j skirtumas bus laiko tarpas tarp vyki

,12 ttt = constxx A ==

2

2

0

2

01

1

1

c

v

xc

vt

tA

+=

2

2

0

2

02

2

1

c

v

xc

vt

tA

+=

2

2

0

12

12

1c

v

tttt

=

arba:

2

2

0

0

1c

v

tt

=


23/30

Specialioji Reliatyvumo teorija Laikotarpio pokytis

Laiko tarpas yra reliatyvus ir priklauso nuo judanios atskaitos sistemos judjimo greiio

nejudanios atskaitos sistemos atvilgiu.

Judanioje atskaitos sistemoje laiko tekm vyksta liau nejudanios sistemos atvilgiu,t.y. judantis laikrodis eina liau negu nejudantis.

Jeigu judjimo greitis yra v


24/30

Specialioji Reliatyvumo teorija Reliatyvistin greii sudtis

Nejudanioje atskaitos sistemoje S materialiojo tako greiio v projekcijos ayse yra:

dt

dz

vdt

dy

vdt

dx

v zyx === ,,

Judanioje atskaitos sistemoje S, greiio v projekcijos:

td

zdv

td

ydv

td

xdv zyx

=

=

= ,,

I Lorenco transformacij, pakeit x ir x dx ir dx gauname:

2

2

0

2

0

2

2

0

0

1

,,,

1c

v

xdc

vtd

dtzddzyddy

c

v

tdvxd

dx

+===

+=

Padalij visus koordinai diferencialus i laiko diferencialo.


25/30


Gauname greiio projekcij sudties reliatyvistines formules:

2

0

2

2

0

2

0

2

2

0

2

0

0

1

1

,

1

1

,

1c

vv

cvv

v

c

vv

cvv

v

c

vv

vvv

x

z

zx

y

yx

xx

+

=

+

=

+

+=

Taip pat ir atvirktins greiio projekcij sudties formules:

2

0

2

2

0

2

0

2

2

0

2

0

0

1

1

,

1

1

,

1 c

vv

c

vv

v

c

vv

c

vv

v

c

vv

vvv

x

z

zx

y

yx

xx

=

=

=

Kadangi atskaitos sistema juda iilgai Ox aies kryptimi, projekcija vx lygi greiio moduliui,O projekcijos vy ir vz lygios nuliui. Taip pat ir atvirktinms greiio sudties formulms:

0,0,0,0, ======zyxzyx vvvvirvvvv


26/30


Todl gauname vienos krypties greii sudties iraik:

2

0

0

2

0

0

11c

vv

vv

vir

c

vv

vv

v

=

+

+

=

Vadinam reliatyvistiniu greiio projekcij sudties dsniu:

Pagal dsn galima sitikint, kad viesos greitis abiejose sistemose yra vienodas.

Tarkime, kad atskaitos sistema S juda atvilgiu S greiiu v0=c.Sistemoje S viesos greitis vakuume v=. Tada viesos greitis nejudanioje sistemoje bus:

Todl, Lorenco transformacijos, i kuri ivesta reliatyvistinio greii sudties dsnio formul.tenkina antrj SRT postulat.

Jeigu greiiai v0, v ir v mai, lyginant su c, reliatyvistins greii sudties formuls virsta

klasikinmis.

c

ccc

ccv =

+

+=

21


27/30

Specialioji Reliatyvumo teorija Reliatyvistin dinamika

Pagal SRT pirmj postulat, visi fizikos dsniai visose inercinse atskaitos sistemose yravienodi.

Mechanikoje is postulatas gali bti patenkintas tik naudojant Lorenco transformacijas.

Mechanikos dsniai, tenkinantys i salyg ir apraantys kn judjim ir j suklusiasprieastis vadinami reliatyvistines mechanikos dsniais.

Fizikos aka, tirianti kn judjim esant greiiams artimiems c, vadinama reliatyvistinemechanika.

Reliatyvistinje dinamikoje rodoma, kad II Niutono dsnis vienodas visose inercinse atskaitossistemose tik tuomet, kai impusas ireikiamas:

dyd: vadiname reliatyvistine mase.v

c

v

mp

2

20

1=

2

20

1c

v

mmr

=

0

m - dyd, kai v=0, vadiname mase.


28/30

Specialioji Reliatyvumo teorija Reliatyvistin dinamika

Reliatyvistins mass iraika rodo, kad reliatyvistin mas yra didesnu rimties mas ir priklauso nuo judanio kno greiio nejudanios

atskaitos sistemos atvilgiu.

Kno greiiui artjant c, reliatyvistin mas artja link begalybs.2

2

0

1c

v

m

mr

=

Naudojantis reliatyvistine impulso iraika II Niutono dsnis uraomas:

Fv

c

v

m

dt

d

dt

pd

=

=

2

2

0

1


29/30

Specialioji Reliatyvumo teorija Mass ir energijos sryis

SRT rod universalj kno reliatyvistins mass ir pilnitins energijos sryio dsn:

2

2

2

02

1

c

c

vmcmW r

==

i lygtis sieja energij su reliatyvistine mase ir teigia, kad mas ir energija viena be kitos

neegzistuoja ir visada proporcingos viena kitai.

I ios lygties seka, kad nejudanio kno ar dalels energija lygi:

i energija vadinama rimties energija.

2

00 cmW =


30/30

Specialioji Reliatyvumo teorija Reliatyvistin Kinetin energija

Atm i kno pilnutins energijos rimties energij, gauname reliatyvistin kinetin energij:

== 1

1

1

2

2

2

00

c

vcmWWWk

Kai kno greitis ymiai maesnis u c, gauname klasikin kinetins energijos iraik:

21

2111

1

12

2

2

2

0

2

2

2

0mv

cvcm

c

vcmWk =

+

=

1.1.3 mechanine energija. potencialinu jegu laukai. spec reliatyvumo teorija (fizika.ktu.2009)

Documents