§1.2 §1.2 随机事件的概率随机事件的概率

0≤P(A)≤1

用一个数来度量可能性的大小。这个数应该是事件本身所固有的，可以在相同的条件下通过大量的重复试验予以识别和检验；可能性大的事件用较大的数来度量，可能性小的事件用较小的数来度量。这个用来度量可能性大小的数称为事件的概率，用 P(A) 表示。

一、可能性大小的度量——事件的概率

（一）频率的定义

二、频率（经验概率）——概率的统计定义

).(

,.

,

, ,

Af

An

n

AnA

nn

n

A

A

成

并记发生的频率称为事件比值生的频数

发称为事件发生的次数事件次试验中在这次试验进行了在相同的条件下

设 A 是随机试验 E 的任一事件 , 则

;1)(0)1( Afn

;0)(,1)()2( fSf

).()()()(

,,,,)3(

2121

21

knnnk

k

AfAfAfAAAf

AAA

则是两两互不相容的事件若

（二）性质

试验序号

5n

Hn f

1 2 3 4 5 6 7

2

3

1 5 1 2 4

Hn f

50n

22

25

21

25

24

18

27

Hn

500n

251

249

256

247

251

262

258

0.4

0.6

0.2

1.0

0.2

0.4

0.8

0.44

0.50

0.42

0.48

0.36

0.54

f0.502

0.498

0.512

0.494

0.524

0.516

0.50

0.502

实例 将一枚硬币抛掷 5 次、 50 次、 500 次 ,

各做 7 遍 , 观察正面出现的次数及频率 .

处波动较大在21

波动最小

随 n 的增大 , 频率 f 呈现出稳定性

处波动较小在21

(2) 抛硬币次数 n 较小时 , 频率 f 的随机波动幅度较大 , 但随 n 的增大 , 频率 f 呈现出稳定性 . 即当 n 逐渐增大时频率 f 总是在 0.5 附近摆动 , 且逐渐稳定于 0.5.

(1) 频率有随机波动性 , 即对于同样的 n, 所得的

f 不一定相同 ;

实验者德 摩根

蒲 丰

n Hn f

皮尔逊K皮尔逊K

2048 1061 0.51814040 2048 0.506912000 6019 0.501624000 12012 0.5005

)(Hf 的增大n .21

重要结论

　　频率当 n 较小时波动幅度比较大，当 n 逐渐增大时 ， 频率趋于区间 [0， 1] 上的某一个稳定值，这个稳定值从本质上反映了事件在试验中出现可能性的大小．它就是事件的概率，也叫做经验概率．

三、古典概型 — 概率的古典定义

用 i 表示取到 i号球， i =1,2,…,10 .

称这样一类随机试验为古典概型 .

2

且每个样本点 ( 或者说基本事件 ) 出现的可能性相同 .

S={1,2,…,10} ,

如 i =2

2 34

79

10

861

5

称这种试验为有限等可能随机试验 或古典概型 .

定义 1

若随机试验满足下述两个条件： (1) 它的样本空间只有有限多个样本点； (2) 每个样本点出现的可能性相同 .

对于古典概型，其样本空间 S(Ω)由 n 个样本点组成，事件 A 包含 k 个样本点，则定义事件 A 的概率为：

中包含的样本点数中包含的样本点数

S

A

n

k)A(P

排列与组合是计算古典概率的重要工具 ：

!

!

r

nP rn !!

!

rnr

nC rn

下面这个结论对吗？抛掷两枚均匀硬币 , 观察正、反面出现的情况。

数学家达郎贝尔说共有三种情况 :{ 正、正 } ， { 反、反 } ， { 一正、一反 } ；从而： P{ 一正、一反 }=1/3.

古典概型的基本模型 : 摸球模型(1) 无放回地摸球问题 1 设袋中有 4 只白球和 2 只黑球 , 现从袋中无放回地依次摸出 2 只球 , 求这 2 只球都是白球的概率 .解 },2{ 只球都是白球摸得设 A

基本事件总数为 ,2

6

A 所包含基本事件的个数为 ,2

4

2

6

2

4)(AP故 .

52

(2) 有放回地摸球问题 2 设袋中有 4 只红球和 6 只黑球 , 现从袋中有放回地摸球 3次 , 求前 2 次摸到黑球、第 3 次摸到红球的概率 .解 }3,2{ 次摸到红球第次摸到黑球前设 A

第 1 次摸球

10 种第 2 次摸球

10 种第 3 次摸球

10 种

6 种第 1 次摸到黑球6 种第 2 次摸到黑球4 种第 3 次摸到红球

基本事件总数为 ,10101010 3

A 所包含基本事件的个数为 ,466

310466

)(

AP故 .144.0

课堂练习

1o 电话号码问题 在 7 位数的电话号码中 , 第一位不能为 0 ，求数字 0 出现 3 次的概率 .

2o 骰子问题 掷 3 颗均匀骰子 , 求点数之和为 4的概率 .

)109913

6

1

9:( 633

p答案

)63:( 3p答案

古典概型的基本模型 : 球放入杯子模型(1) 杯子容量无限问题 1 把 4 个球放到 3 个杯子中去 , 求第 1 、 2个杯子中各有两个球的概率 , 其中假设每个杯子可放任意多个球 . 3 3 3 3

4 个球放到 3 个杯子的所有放法 ,33333 4种

个2

种

2

4

个2

种

2

2

因此第 1、 2 个杯子中各有两个球的概率为

432

2

2

4

p .

272

(2) 每个杯子只能放一个球

问题 2 把 4 个球放到 10 个杯子中去 , 每个杯子只能

放一个球 , 求第 1 至第 4 个杯子各放一个球的概率 .解 第 1 至第 4 个杯子各放一个球的概率为

410

44

pp

p789101234

.2101

2o 生日问题 某班有 20 个学生都是同一年出生的 , 求有 10 个学生生日是 1 月 1 日 , 另外 10 个学生生日是 12月 31 日的概率 .

)92:(答案

)36510

10

10

20:( 20

p答案

课堂练习

1o 分房问题 将张三、李四、王五 3 人等可能地分配到 3 间房中去 , 试求每个房间恰有 1 人的概率 .

解}.,,,,,,,{ TTTTTHTHTHTTTHHHTHHHTHHHS 则

}.,,{1 TTHTHTHTTA 而 .83)( 1 AP得

}.,,,,,,{)2( 2 TTHTHTHTTTHHHTHHHTHHHA

.87)( 2 AP因此

).(,

)2().(,

)1(.

2

21

1

AP

AAP

A

求”次出现正面“至少有一为设事件求”次出现正面

“为 恰有一设事件将一枚硬币抛掷三次

., )1( 为出现反面为出现正面设 TH

典型例题1例

在 N 件产品中抽取 n件 , 其中恰有 k 件次品的取法

共有 ,种

kn

DN

k

D

于是所求的概率为 .

n

N

kn

DN

k

Dp

解 在 N 件产品中抽取 n 件的所有可能取法共有

,种

n

N

?)(,

,,

件次品的概率是多少问其中恰有件今从中任取件次品其中有件产品设有

Dkkn

DN

2例

例 3 假设每人的生日在一年 365 天中的任一天是等可能的 , 即都等于 1/365 , 求 64 个人中至少有 2 人生日相同的概率 .

64 个人生日各不相同的概率为

.365

)164365( 364365641

p

故 64 个人中至少有 2 人生日相同的概率为

64365)164365( 364365

1

p .997.0

解

率为概他们的生日各不相同的个人随机选取 ,)365(n

.365

)1365(364365n

np

日相同的概率为个人中至少有两个人生而n

.365

)1365(3643651 n

np

说明

利用软件包进行数值计算 .

四、 几何概型 — 概率的几何定义

例 甲、乙二人在 0到 T 时间内相约于指定地点，先到者等候另一人 t(t<T) 时刻后离去。如果两人在任一时刻到达是等可能的。求二人能会面的概率？(1)它的样本空间具有无限个样本点 .

(2)每个样本点出现的可能性相同 .称具有此特点的无限等可能试验为几何概型 .

对于几何概型，则只能以等可能性为基础，借助于几何度量（长度、面积和体积等）来合理的规定概率。具体如下：

事件 A 的样本点构成区域 g ，样本空间构成区域G ，这里的区域可以是一维、二维、三维等等，则A发生的概率定义为：

的度量值的度量值G

gAP }{

概率的几何定义。

静态的几何度量“比例”转化为动态的“概率”

例 1 ：求引例的概率。解：以 x、 y 分别表示甲、乙二人到达的时刻。则

.0,0 TyTx

.tyx

是两人能会面的充要条件

T

T

x

y

y-x= t

x -y= t

0

Ïà» áÇ øÓ ò从而，所求概率为

.11)(

2

2

22

T

t

T

tTT

P正方形面积相会区域面积

蒲丰投针试验

例 2 1777年 , 法国科学家蒲丰 (Buffon)提出了投针试验问题 .平面上画有等距离为a(a>0) 的一些平行直线 , 现向此平面任意投掷一根长为 b( b<a ) 的针 , 试求针与某一平行直线相交的概率 .解

,

,

直线的距离到最近的一条平行针的中点

表示针投到平面上时 以M

xa

xM

.夹角表示针与该平行直线的

.),( 完全确定置可由那么针落在平面上的位 x

a

xM矩形区域

果与投针试验的所有可能结

}π0,2

0),{( axxS

.中的所有点一一对应　　由投掷的任意性可知 ,这是一个几何概型问题 .

中的点满足发生的充分必要条件为针与某一平行直线相交

所关心的事件

S

A }{

.π0,sin2

0 bx

o

的面积的面积

SG

SG

AP )(μ)(μ

)(

π2

dsin2

π

0

a

b

.π

2

π2

a

ba

b

o

蒲丰投针试验的应用及意义

π

2)(

a

bAP

那么的近似值代入上式作为

即可则频率值的次数测出针与平行直线相交

很大时当投针试验次数 根据频率的稳定性

,)(

,

,,

APnm

m

n

π2a

bnm

.2

πam

bn

历史上一些学者的计算结果 (直线距离 a=1)

3.179585925200.54191925Reina

3.1415929180834080.831901Lazzerini

3.159548910300.751884Fox

3.1373826001.01860De Morgan

3.1554121832040.61855Smith

3.1596253250000.81850Wolf

相交次数投掷次数针长时间试验者 的近似值π

1933 年 ，苏联数学家柯尔莫哥洛

夫 .

五、概率公理 — 概率的数学定义

(1) 0 p(A)1 (2) p(s) = 1 p()=0

(3) 若事件 互不相容，则 p(A1A2…..) = p(A1)+p(A2)+……

......, 21 AA

(1)—(3) 称为概率公理。

设 E 是随机试验； S 是样本空间； p(A) 为事件的概率 , 且满足：

此即为概率的公理化定义。

2. 最简单的随机现象 古典概型

古典概率

样本点总数所包含样本点的个数A

nm

AP )(

几何概型试验结果连续无穷

六、小结1. 频率 ( 波动 ) 概率 ( 稳定 ).n

3. 概率的公理化定义 .