MTODOS NUMRICOS1.2 Aproximacin NumricaGustavo Rocha2005-2

1.2 AproximacionesLos mtodos numricos constituyen procedimientos alternativos provechosos para resolver problemas matemticos para los cuales se dificulta la utilizacin de mtodos analticos tradicionales y, ocasionalmente, son la nica opcin posible de solucin.Son tcnicas mediante las cuales un modelo matemtico es resuelto usando solamente operaciones aritmticas, tediosos clculos aritmticos.Son tcnicas sistemticas cuyos resultados son aproximaciones del verdadero valor que asume la variable de inters; la repeticin consistente de la tcnica, a lo cual se le denomina iteraciones, es lo que permite acercarse cada vez ms al valor buscado.

1.2 Aproximaciones

1.2.1 Aproximacin numricaSe entiende por aproximacin numrica X* una cifra que representa a un nmero cuyo valor exacto es X. En la medida en que la cifra X* se acerca ms al valor exacto X, ser una mejor aproximacin de ese nmeroEjemplos:3.1416 es una aproximacin numrica de , 2.7183 es una aproximacin numrica de e, 1.4142 es una aproximacin numrica de 2, y 0.333333 es una aproximacin numrica de 1/3.

1.2.2 Cifras significativasLas mediciones se realizan normalmente a travs de instrumentos; por ejemplo, un velocmetro para medir la velocidad de un automvil, o un odmetro para medir el kilometraje recorrido.El nmero de cifras significativas es el nmero de dgitos t, que se pueden usar, con confianza, al medir una variable; por ejemplo, 3 cifras significativas en el velocmetro y 7 cifras significativas en el odmetro.Los ceros incluidos en un nmero no siempre son cifras significativas; por ejemplo, los nmeros 0.00001845, 0.001845, 1845 y 184500 aparentemente tienen 4 cifras significativas, pero habra que conocer el contexto en el que se est trabajando en cada caso, para identificar cuntos y cules ceros deben ser considerados como cifras significativas.El manejo de cifras significativas permite desarrollar criterios para detectar qu tan precisos son los resultados obtenidos, as como evaluar los niveles de exactitud y precisin con que son expresados algunos nmeros tales como , e 2.Alternativamente al nmero de cifras significativas, est el nmero n de dgitos en la mantisa, que indica el nmero de cifras a considerar, despus del punto decimal. En operaciones manuales, el nmero de dgitos en la mantisa sigue teniendo vigencia, aunque ha sido desplazado poco a poco por el nmero de cifras significativas que, por diseo, manejan calculadoras y computadoras.

1.2.3 Exactitud y precisin.La precisin se refiere al nmero de cifras significativas que representa una cantidad.La exactitud se refiere a la aproximacin de un nmero o de una medida al valor numrico que se supone representa.Ejemplo: es un nmero irracional, constituido por un nmero infinito de dgitos; 3.141592653589793... es una aproximacin tan buena de , que tal podra considerarse que es su valor exacto. Al considerar las siguientes aproximaciones de : = 3.15es impreciso e inexacto. = 3.14es exacto pero impreciso. = 3.151692es preciso pero inexacto. = 3.141593es exacto y preciso.Los mtodos numricos deben ofrecer soluciones suficientemente exactas y precisas. El trmino error se usa tanto para representar la inexactitud como para medir la imprecisin en las predicciones.

1.2.4 Convergencia y estabilidadSe entiende por convergencia de un mtodo numrico la garanta de que, al realizar un buen nmero de iteraciones, las aproximaciones obtenidas terminan por acercarse cada vez ms al verdadero valor buscado.En la medida en la que un mtodo numrico requiera de un menor nmero de iteraciones que otro, para acercarse al valor deseado, se dice que tiene una mayor rapidez de convergencia.Se entiende por estabilidad de un mtodo numrico el nivel de garanta de convergencia, y es que algunos mtodos numricos no siempre convergen y, por el contrario, divergen; esto es, se alejan cada vez ms del resultado deseado.En la medida en la que un mtodo numrico, ante una muy amplia gama de posibilidades de modelado matemtico, es ms seguro que converja que otro, se dice que tiene una mayor estabilidad.Es comn encontrar mtodos que convergen rpidamente, pero que son muy inestables y, en contraparte, modelos muy estables, pero de lenta convergencia.

1.2.5 Seleccin de alternativasEl uso de los mtodos numricos en ingeniera no es trivial, pues se requiere elegir entre:Varios mtodos numricos alternativos para cada tipo de problemaVarias herramientas tecnolgicasExisten diferentes maneras de abordar los problemas entre una persona y otra, que depende de:El nivel de participacin en el modelado matemtico del problemaIngenio y creatividad para enfrentarlo y resolverloLa habilidad para elegir, conforme a criterio y experiencia

1.2.5 Seleccin de alternativasTipo de problema a resolver:Races de ecuacionesSistemas de ecuaciones lineales simultneasInterpolacin, diferenciacin e integracinEcuaciones diferenciales ordinariasEcuaciones diferenciales parcialesOtros (no contemplados en este curso; vistos en otras asignaturas)Equipo:SupercomputadoraComputadora personalCalculadora graficadoraCalculadora cientfica de bolsilloRegla de calculoLas herramientas de cmputo sonmquinas tontas que slo hacen lo que se le ordena; sin embargo, lostediosos clculos numricos los hacenmuy rpido y muy bien, sin fastidiarse.

Tipo de problema

Modelo matemtico

Mtodo numrico

EquipoComputadora

Calculadora

1.2.5 Seleccin de alternativasSoftwareDesarrollo de programas:lenguaje CBasicFortranOtro.Utilizacin de software matemtico:Maple,MatLab,MathCad,Mathematica.El manejo de hojas de clculo en PC:ExcelLotusManejo expedito de una calculadora graficadoraEs altamente recomendableque el ingeniero sepa programaren por lo menos un lenguaje, sepautilizar algn software matemtico,y manejar muy eficientemente unahoja de clculo y una calculadoragraficadora

SoftwareDesarrollo de programas

Software matemtico

Hoja de clculo

Calculadora graficadora

1.2.5 Seleccin de alternativasMtodo numrico: no existe el mejor, pero si los favoritosAmplitud de aplicacinAmigabilidadEstabilidadRapidez de convergenciaNmero de valores iniciales requeridosSe ha de tomar en cuenta, ademsComplejidad del modeloTurbulencia de los datosIngenio y creatividad