1.2 ระเบียบวิธีวางตัวผิดที่ (false position...
TRANSCRIPT
01417268: 2nd2014 chapterI:01022015
1
1.2 ระเบยบวธวางตวผดท (False Position Method) เปนการปรบปรงระเบยบวธแบงครงชวงท าใหการลเขาสรากเรวขน
เงอนไขเรมตน 1. f เปนฟงกชนตอเนองบนชวง ba,
2. 0 bfaf
แนวคด :
สรางเสนตรงเชอมจด afa, และ bfb, ใชจดตดแกน x ของเสน เปนจดในการประมาณในขนถดไป โดยพจารณา
ควบคไปกบเงอนไขของการมคาราก
สมการเสนตรงทเชอมจด afa, และ bfb, คอ
axab
afbfafy
หรอ
afax
ab
afbfy
---(*)
afa, α
a
b
bfb,
01417268: 2nd2014 chapterI:01022015
2
หาจดตดแกน x ของสมการเสนตรง (*)โดยแทนคา 0y
จะได
afbf
abfbaf
afbf
abafax
1
โดยการท าซ าไปเรอยๆจะได
afbf
abfbafxi
โดยท
ถาเครองหมายของ )( ixf เหมอนกบ )(af จะให ixa ถาเครองหมายของ )( ixf เหมอนกบ )(bf จะให ixb สงเกตวาโดยวธนคาขอบดานหนงจะถกตรงอยกบทเสมอ
af,a 11 xf,x
y
x
a b
bfb,
1x
2x 3x
01417268: 2nd2014 chapterI:01022015
3
ตวอยาง (Sheet) จงหารากของสมการ 0523 xx บนชวง ]3,2[ โดยระเบยบวธการวางตวผดท
วธท า เนองจาก 032 ffbfaf ดงนนรากอยในชวง ]3,2[
หาคา ix จากสตร
afbf
abfbafxi
สรปคาไดดงตาราง
i a b f(a) f(b)
afbf
abfbafx i
)( ixf || 1 ii xx
1 2.0000000 3.0000000 -1.0000000 16.0000000 2.0588235 -0.3907999
2 2.0588235 3.0000000 -0.3907999 16.0000000 2.0812637 -0.1472041 0.02244020
3 2.0812637 3.0000000 -0.1472041 16.0000000 2.0896392 -0.0546765 0.00837550
4 2.0896392 3.0000000 -0.0546765 16.0000000 2.0927396 -0.0202029 0.00310040
5 2.0927396 3.0000000 -0.0202029 16.0000000 2.0938837 -0.0074505 0.00114410
6 2.0938837 3.0000000 -0.0074505 16.0000000 2.0943055 -0.0027457 0.00042180
7 2.0943055 3.0000000 -0.0027457 16.0000000 2.0944608 -0.0010116 0.00015530
8 2.0944608 3.0000000 -0.0010116 16.0000000 2.0945181 -0.0003727 0.00005730
9 2.0945181 3.0000000 -0.0003727 16.0000000 2.0945392 -0.0001373 0.00002110
10 2.0945392 3.0000000 -0.0001373 16.0000000 2.0945470 -0.0000506 0.00000780
11 2.0945470 3.0000000 -0.0000506 16.0000000 2.0945498 -0.0000186 0.00000280
12 2.0945498 3.0000000 -0.0000186 16.0000000 2.0945509 -0.0000069 0.00000110
01417268: 2nd2014 chapterI:01022015
4
ตวอยาง (Sheet) จงหารากของสมการ 042 xex บนชวง ]1,0[ โดยระเบยบวธการวางตวผดท
วธท า เนองจาก 010 ffbfaf ดงนนจะมรากในชวง ]1,0[
จาก
afbf
abfbafxi
สรปคาไดดงตาราง
i a b af bf
afbf
abfbafxi
ixf
1ii xx 1 0.00000000 1.00000000 -2.00000000 2.43656366 0.45079935 -4.101E-01
2 0.45079935 1.00000000 -0.41006803 2.43656366 0.52991377 -7.251E-02 7.911E-02
3 0.52991377 1.00000000 -0.07251459 2.43656366 0.54349968 -1.245E-02 1.359E-02
4 0.54349968 1.00000000 -0.01245460 2.43656366 0.54582124 -2.128E-03 2.322E-03
5 0.54582124 1.00000000 -0.00212822 2.43656366 0.54621759 -3.633E-04 3.964E-04
6 0.54629893 1.00000000 -0.00000109 2.43656366 0.54629914 -1.855E-07 8.154E-05
7 0.54629914 1.00000000 -0.00000019 2.43656366 0.54629917 -3.166E-08 3.454E-08
เราจะเหนวา ระเบยบวธวางตวผดทสามารถลเขาหาคารากไดเรวกวาระเบยบวธแบงครงชวงมาก โดยท 7x ของระเบยบวธวางตวผดทใหคาเทากบ 0.54629917 ใหคา 77
67 105.0103454.0 xx
นนคอมความถกตองมากถง 7 D.P. ในขณะทระเบยบวธแบงครงชวงตองค านวณมากกวา 25x
01417268: 2nd2014 chapterI:01022015
5
ตวอยาง จงหาจดตดของกราฟ xey 2 และ xy โดยวธวางตวผดท (ใหคาเรมตนคอ 5.00 x ) (two pts method)
i a b af bf ix ixf 1 ii xx
1 0.1000000000 0.5000000000 0.7187307531 -0.1321205588 0.4378878274 -0.0213490234
2 0.1000000000 0.4378878274 0.7187307531 -0.0213490234 0.4281408037 -0.0034023096 0.0097470237
3 0.1000000000 0.4281408037 0.7187307531 -0.0034023096 0.4265947775 -0.0005409373 0.0015460261
4 0.1000000000 0.4265947775 0.7187307531 -0.0005409373 0.4263491579 -0.0000859717 0.0002456197
5 0.1000000000 0.4263491579 0.7187307531 -0.0000859717 0.4263101259 -0.0000136628 0.0000390319
6 0.1000000000 0.4263101259 0.7187307531 -0.0000136628 0.4263039230 -0.0000021713 0.0000062029
7 0.1000000000 0.4263039230 0.7187307531 -0.0000021713 0.4263029373 -0.0000003451 0.0000009858
8 0.1000000000 0.4263029373 0.7187307531 -0.0000003451 0.4263027806 -0.0000000548 0.0000001567
9 0.1000000000 0.4263027806 0.7187307531 -0.0000000548 0.4263027557 -0.0000000087 0.0000000249
10 0.1000000000 0.4263027557 0.7187307531 -0.0000000087 0.4263027518 -0.0000000014 0.0000000040
01417268: 2nd2014 chapterI:01022015
6
1.3 ระเบยบวธปรบปรงการวางตวผดท (Modified method of false position)
ตองการปรบปรงการลเขาสรากใหเรวขน ขอเสยของระเบยบวธการวางตวผดคอคาขอบดานใดดานหนงถกตรงไว ใชเทคนคการลดความชนของเสนตรงโดยลดความสงของขอบลงครงหนง
ทกครงทคารากบรรจอยในชวงซายหรอขวาซ ากนเปนครงทสอง (ยกเวนครงแรกของการค านวณใหถอวาปลายดานขวาถกใชมา 1 ครง)
เงอนไขเรมตนของการใชระเบยบวธการปรบปรงการวางตวผดทจะเหมอนกบระเบยบวธวางตวผดทคอ
1. f เปนฟงกชนตอเนองบนชวง ba, 2. 0 bfaf
01417268: 2nd2014 chapterI:01022015
7
ไป 3
แนวคด
1. ในการประมาณคา 1x จะใชสตรการวางตวผดทคอ
afbf
abfbafx
1
2. ถา 1xf มเครองหมายเหมอน af จะเลอนขอบซายมาท 1x นนคอให
1xa และเนองจากคาขอบขวาbถกใชเปนครงทสองดงนนใหลดคา bf ลงครงหนง จะไดสตรในการหา 2x คอ
afbf
abfbafx
2
12
1
2
ถา 1xf มเครองหมายเหมอน bf จะเลอนขอบขวามาท 1x นนคอให
1xb และใชสตรการวางตวผดทปกต (กลบไปสตรท 1)
01417268: 2nd2014 chapterI:01022015
8
3. ถา 2xf มเครองหมายเหมอน af จะเลอนขอบซายมาท 2x นนคอให
2xa ปลายดานขวาใชตดตอกนเปนครงทสาม ดงนนเราจะลดความสงของปลายดานขวาลงอกครงหนงจากเดมทลดลงอยแลวครงหนง จะไดสตรเพอหา 3x เปน
afbf
abfbafx
4
14
1
3
ถา 2xf มเครองหมายเหมอน bf จะให 2xb และหา 3x โดยใชสตรการวางตวผดทปกต (กลบไปท 1)
4. ในกรณทคารากอยทางซายของชวงทแบง ba, ดวย 1x
ใหค านวณ 2x ดวยวธการวางตวผดทปกตแลวได 2x และถาพบวาคารากอยทางซายมอของชวงทแบงโดย 2x อก เราจะท าการลดความสงของปลายดานซายลงครงหนง พรอมกบเลอนขอบขวามาท 2x จากนนท าการค านวณ
3x โดย
afbf
abfbafx
2
12
1
3
5. ในการค านวณในรอบตอๆไป เราจะพจารณาวา คารากอยในชวงซายหรอขวาซ ากนหรอไม ทกครงทมการซ า เราจะลดความสงของปลายดานนนลงครงหนงของสถานะในครงกอน พรอมกบเลอนขอบของอกดานหนงเขามา แตถาคารากสลบจากฝงหนงของชวงทถกแบงไปอกฝงหนงใหกลบไปใชสตรการวางตวผดทปกต
01417268: 2nd2014 chapterI:01022015
9
ในการพจารณาลดคาของฟงกชนทปลายลงครงหนง (ลดความสงทปลาย) จะกระท ากตอเมอ มการท าซ าในชวงใดชวงหนงตดตอกน (ซ ากน) ซงจะเกดขนเมอ 01
rr xfxf เมอเรามองวาคาเรมตนของชวงทางซาย a เปน 0x เราจะสามารถพจารณาการท าซ าไดจาก 01
rr xfxf เสมอ
ตวอยาง (Sheet) จงหารากของสมการ 042 xex บนชวง ]1,0[ โดยระเบยบวธปรบปรงการวางตวผดท
วธท า เนองจาก 010 ffbfaf จะไดวารากอยในชวง ]1,0[ i a b af bf ix ixf
1 ii xx
1 0.00000000 1.00000000 -2.00000000 2.43656366 )()(
)()(
afbf
abfbaf
=0.45079935 -4.101E-01
2 0.45079935 1.00000000
0
y
x afa, 11, xfx
a b
bfb,
1x 2x
bfb
2
1,
3x
bfb
4
1,
ใชซ าครงท 1 (โดยนบครงท 0 ดวย)
01417268: 2nd2014 chapterI:01022015
10
i a b af bf ix ixf 1 ii xx
1 0.00000000 1.00000000 -2.00000000 2.43656366 0.45079935 -4.101E-01
2 0.45079935 1.00000000 -0.41006803 2.43656366 )(2/)(
)(2/)(
afbf
abfbaf
=0.58910478
1.939E-01 1.383E-01
3 0.45079935 0.58910478
i a b af bf ix ixf
1 ii xx
1 0.00000000 1.00000000 -2.00000000 2.43656366 0.45079935 -4.101E-01
2 0.45079935 1.00000000 -0.41006803 2.43656366 0.58910478 1.939E-01 1.383E-01
3 0.45079935 0.58910478 -0.41006803 0.19385311 )()(
)()(
afbf
abfbaf
=0.54471001
-7.073E-03 4.439E-02
4 0.54471001 0.58910478
i a b af bf ix ixf 1 ii xx
1 0.00000000 1.00000000 -2.00000000 2.43656366 0.45079935 -4.101E-01
2 0.45079935 1.00000000 -0.41006803 2.43656366 0.58910478 1.939E-01 1.383E-01
3 0.45079935 0.58910478 -0.41006803 0.19385311 0.54471001 -7.073E-03 4.439E-02
4 0.54471001 0.58910478 -0.00707331 0.19385311 )()(
)()(
afbf
abfbaf
=0.54627286
-1.172E-04 1.563E-03
5 0.54627286 0.58910478
ใชซ าครงท 2 (โดยนบครงท 0 ดวย)
ใชซ าครงท 1
ใชซ าครงท 1 ถกตอง 2 D.P.
01417268: 2nd2014 chapterI:01022015
11
i a b af bf ix ixf 1 ii xx
1 0.00000000 1.00000000 -2.00000000 2.43656366 0.45079935 -4.101E-01
2 0.45079935 1.00000000 -0.41006803 2.43656366 0.58910478 1.939E-01 1.383E-01
3 0.45079935 0.58910478 -0.41006803 0.19385311 0.54471001 -7.073E-03 4.439E-02
4 0.54471001 0.58910478 -0.00707331 0.19385311 0.54627286 -1.172E-04 1.563E-03
5 0.54627286 0.58910478 -0.00011720 0.19385311 )(2/)(
)(2/)(
afbf
abfbaf
=0.54632459
1.132E-04 5.173E-05
6 0.54627286 0.54632459
i a b af bf ix ixf
1 ii xx
1 0.00000000 1.00000000 -2.00000000 2.43656366 0.45079935 -4.101E-01
2 0.45079935 1.00000000 -0.41006803 2.43656366 0.58910478 1.939E-01 1.383E-01
3 0.45079935 0.58910478 -0.41006803 0.19385311 0.54471001 -7.073E-03 4.439E-02
4 0.54471001 0.58910478 -0.00707331 0.19385311 0.54627286 -1.172E-04 1.563E-03
5 0.54627286 0.58910478 -0.00011720 0.19385311 0.54632459 1.132E-04 5.173E-05
6 0.54627286 0.54632459 -0.00011720 0.00011318 )()(
)()(
afbf
abfbaf
=0.54629918
-1.155E-09 2.541E-05
จะเหนวา 6x ของวธปรบปรงการวางตวผดทใหคา 886 105.0101155.0 xf
มความถกตองมากถง 8 D.P.
ในขณะท 7x ของระเบยบวธวางตวผดทใหคา 777 105.0103166.0 xf ม
ความถกตอง 7 D.P.
ถกตอง 4 D.P. ใชซ าครงท 2 ลดทอน
คาขอบ f(b) ลงครงหนง
ใชซ าครงท 1
01417268: 2nd2014 chapterI:01022015
12
ตวอยาง จงหาจดตดของกราฟ xey 2 และ xy โดยวธวางตวผดท (ใหคาเรมตนคอ 5.00 x ) (two pts method)
i a b af bf ix ixf
1 ii xx
1 0.10000000 0.50000000 0.71873075 -0.13212056 0.43788783 -0.02134902
2 0.10000000 0.43788783 0.71873075 -0.02134902 0.42814080 -0.00340231 0.00974702
3 0.10000000 0.42814080 0.71873075 -0.00340231 0.42506325 0.00229762 0.00307755
4 0.00229762 0.42814080 0.99311770 -0.00340231 0.42668689 -0.00071154 0.00162364
5 0.00229762 0.42668689 0.99311770 -0.00071154 0.42638305 -0.00014876 0.00030384
6 0.00229762 0.42638305 0.99311770 -0.00014876 0.42625604 0.00008653 0.00012701
7 0.42625604 0.42638305 0.00008653 -0.00014876 0.42630275 0.00000000 0.00004671
8 0.42625604 0.42630275 0.00008653 0.00000000 0.42630275 0.00000000 0.00000000
01417268: 2nd2014 chapterI:01022015
13
1.4 ระเบยบวธนวตน-ราฟสน (Newton-Raphson) แนวคด
ตองการสรางล าดบของ ,...,, 210 xxx ทลเขาหาราก α ให 0x เปนจดเรมตน
สงเกตวาอนพนธอนดบหนง ณ จด 0x กคอความชนของเสนสมผสกราฟ
ของฟงกชน ณ จด 0x ซงแทนดวย 0xf ดงนนสมการเสนสมผสกราฟ xfy ณ จด 00, xfx คอ
000 xxxfxfy
ให 1x คอจดตดแกน x ของเสนสมผสกราฟซงหาโดยแทนคา 0y จะได
00
01 xf
xfxx
เมอ 00 xf
เสนสมผสกราฟทจด
0x 0x α
0x α 1x
01417268: 2nd2014 chapterI:01022015
14
ท าซ าเชนเดมโดยให 2x คอจดตดแกน ของเสนสมผสกราฟทจด 1x
ดงนนเราสามารถเขยนสตรในการหาพจนท 1r คอ
rr
rr xf
xfxx
1
เมอ xfy หาอนพนธไดและ 0 rxf
ขอสงเกต
ระเบยบวธของนวตน-ราฟสนไมตองหาชวงเรมตน ba, ทบรรจราก แตระเบยบวธของนวตน-ราฟสน ตองสมมตคาประมาณของรากเรมตน 0x
เพอไปค านวณหา ,..., 21 xx ตามล าดบ
0x α
1x 2x
เสนสมผสกราฟทจด 1x
01417268: 2nd2014 chapterI:01022015
15
ตวอยาง (Sheet) จงหารากของสมการ 042 xex บนชวง 1,0 โดยระเบยบวธนวตน-ราฟสน
วธท า จาก 42 xexf x
เราได 12 xexf หาคาไดทกคาของ x
จากสตรของนวตน-ราฟสน คอ rr
rr xf
xfxx
1
ถาใหคาเรมตนคอ 00 x
จะได 20 xf และ 30 xf
ดงนน
676666666666.0
3
20
0
001
xf
xfxx
จากนนค านวณหา 1xf และ 1xf ซงจะได
87760.562134741 xf และ 21094.895468081 xf
ท าซ าเชนเดมได
11
12 xf
xfxx
098954680821.4
765621347487.0676666666666.0
74960.55183908 ท าซ าเชนนจนไดคาคลาดเคลอนตามตองการ
01417268: 2nd2014 chapterI:01022015
16
จะเหนวาในการท าซ าโดยระเบยบวธนวตน-ราฟสนจะใชจ านวนรอบของการท าซ าเพยงไมกครงกจะไดคารากทมความแมนย าสง
r rx rxf rxf 1 ii xx
0
(คาเรมตน) 0.000000000000
-2.000000000000
3.000000000000
1
(ใชสตร)
r
rrr xf
xfxx
1
0.666666666667
0.562134748776
4.895468082109
0.666666666667
2 0.551839087496 0.024726197014 4.472887109518 0.114827579171
3 0.546311070265 0.000052966290 4.453741896025 0.005528017231
4 0.546299177728 0.000000000244 4.453700822516 0.000011892537
5 0.546299177673 0.000000000000 4.453700822327 0.000000000055
01417268: 2nd2014 chapterI:01022015
17
ตวอยาง (Sheet) จงหาคาประมาณผลเฉลยของสมการ xx 3 ใหมความถกตองถง 7 D.P.
วธท า ผลเฉลยของสมการนสอดคลองกบการหาคารากของ x3xxf
สงเกตวา f เปนฟงกชนตอเนองและ 10 f และ 3
21 f
ดงนน 010 ff นนคอมรากของ xf อยในชวง 1,0 สมมตวาเลอก 0x เปนจดกงกลางของชวง นนคอ 5.00 x
3ln31 xxf ไดสตรการท าซ าของระเบยบวธนวตน-ราฟสนเปน
3ln31
31 r
r
x
xr
rrx
xx
สรปกระบวนการท าซ าไดดงตาราง r rx rxf rxf 1 ii xx
0
(คาเรมตน) 0.500000000000
-0.077350269190
1.634284100598
1
ใชสตร )x(f
)x(fxx
r
r
r1r
0.547329756902
-0.000767135404
1.602145981268
0.047329756902
2 0.547808574321 -0.000000075819 1.601829314883 0.000478817419
3 0.547808621654 0.000000000000 1.601829283588 0.000000047333
จะเหนไดวาเมอค านวณไป 3 รอบ จะไดผลเฉลยทถกตอง 7 D.P. ซงคอ 0.5478086
01417268: 2nd2014 chapterI:01022015
18
ตวอยาง จงหาผลเฉลยของสมการ 77.4log xx โดยใชระเบยบวธนวตน-ราฟสน ใหมความถกตอง 5 D.P.
วธท า ผลเฉลยของสมการนสอดคลองกบการหาคารากของ
77.4log xxxf จะไดวา xex
xxxf logloglog
10ln
1
โดยระเบยบวธนวตน-ราฟสน
ex
ex
ex
xxxx
r
r
r
rrrr loglog
77.4log
loglog
77.4log1
ใหคาเรมตน 7,6,3,20 x ตามล าดบ สรปคาตางๆไดดงตาราง i x_r |x_r-x_(r-1)|
i x_r |x_r-x_(r-1)|
i x_r |x_r-x_(r-1)|
0
(คาเรมตน) 2.0000000000
0 3.0000000000
0 6.0000000000
1
elogxlog
77.4elogxx
r
r1r
7.6681643762
5.6681643762
1 6.6631320940 3.6631320940
1 6.0833789876 0.0833789876
2 6.1412646644 1.5268997117
2 6.0921514846 0.5709806095
2 6.0831734412 0.0002055464
3 6.0832713492 0.0579933152
3 6.0831757979 0.0089756867
3 6.0831734400 0.0000000012
4 6.0831734402 0.0000979090
4 6.0831734400 0.0000023579
5 6.0831734400 0.0000000003
สงเกตวาในทนเลอก 00 x ไมไดเพราะ คาฟงกชนลอการทมไมนยามเมอ 0x
i x_r |x_r-x_(r-1)|
0 7.0000000000
1 6.1045075999 0.8954924001
2 6.0831867268 0.0213208731
3 6.0831734400 0.0000132868
4 6.0831734400 0.0000000000
01417268: 2nd2014 chapterI:01022015
19
ตองการหาเงอนไขทจะท าใหระเบยบวธนวตน-ราฟสนลเขา
ระเบยบวธของนวตน-ราฟสนตองสอดคลองเงอนไข 0 αf
ซงเงอนไข 0 αf จะเปนจรงกตอเมอราก α เปนรากเชงเดยว (ไมมรากซ า) ของ xf ในกรณรากของสมการไมเปนรากเชงเดยว ระเบยบวธนวตน-ราฟสนกอาจจะลเขาได แตชาหรอไมลเขาเลย
ตวอยาง (Sheet) สมการ 1 xexf x มราก 0x ไมเปนซงไมเปนรากเชงเดยว เพราะ 00 f และ 00 f ถาใชระเบยบวธนวตน-ราฟสนหาคารากจะไดผลดงตารางตอไปน
1
11
r
r
xr
x
rr e
xexx
01417268: 2nd2014 chapterI:01022015
20
r rx rxf rxf 1 ii xx
0 (คาเรมตน)
1.000000000000
0.718281828459
1.718281828459
1
(สตร) )x(f
)x(fxx
r
r
r1r
0.581976706869
0.207595689973
0.789572396842
0.418023293131
2 0.319055040911 0.056772008685 0.375827049596 0.262921665959
3 0.167996172886 0.014935910537 0.182932083423 0.151058868025
4 0.086348873748 0.003837725705 0.090186599453 0.081647299138
5 0.043795703674 0.000973186964 0.044768890638 0.042553170074
6 0.022057685366 0.000245069312 0.022302754678 0.021738018308
7 0.011069387478 0.000061492354 0.011130879832 0.010988297888
8 0.005544904663 0.000015401437 0.005560306100 0.005524482815
9 0.002775014494 0.000003853917 0.002778868411 0.002769890169
10 0.001388148972 0.000000963925 0.001389112897 0.001386865522
11 0.000694235066 0.000000241037 0.000694476103 0.000693913906
12 0.000347157697 0.000000060266 0.000347217963 0.000347077369
13 0.000173588892 0.000000015067 0.000173603959 0.000173568805
14 0.000086796957 0.000000003767 0.000086800724 0.000086791935
15 0.000043399107 0.000000000942 0.000043400049 0.000043397850
การประยกตนวตน-ราฟสนเมอเกดรากซ า
สมมตใหฟงกชน xf มราก αซ าทงหมด p ตว
นนคอ xgxxf pα เมอ 0αg
จะไดสตรการประมาณคาในกรณทวไปคอ
)('
)(1
r
rrr xf
xfpxx
01417268: 2nd2014 chapterI:01022015
21
สงเกตวาถา 1p จะไดสตรนวตน-ราฟสน )('
)(1
r
rrr xf
xfxx
จากตวอยางท 7 ถาเราใชสตรปรบปรงจะไดสตรการท าซ าคอ
1
121 r
r
xr
x
rr e
xexx
และสรปคาไดดงตาราง r x_r |x_r-x_(r-1)|
0
(คาเรมตน) 1.0000000000
1
(สตร)
1
121 r
r
xr
x
rr e
xexx
0.1639534137 0.8360465863
2 0.0044781144 0.1594752993
3 0.0000033423 0.0044747722
4 0.0000000000 0.0000033422
จะเหนไดวาเมอค านวณเพยง 4 รอบกจะไดค าตอบทถกตองถง 5 D.P. ซงคอ 0
01417268: 2nd2014 chapterI:01022015
22
1.5 ระเบยบวธซแคนท (Secant Method) สงเกตวาระเบยบวธนวตน-ราฟสนคอการหาคาอนพนธอนดบหนงของ )(xf ซงในบางครงมความซบซอน เชน
)53ln()(2cos xexxf xx
ในทางทฤษฎอนพนธอนดบหนงของ )(xf ทจด ix นยามโดย
i
i
xxi xx
xfxfxf
i
)()(lim)(
ถาให 1ixx จะไดวา
1
1
1
1 )()()()()(
ii
ii
ii
iii xx
xfxf
xx
xfxfxf
ซงเราเรยกสตรนวา สตรสองจดยอนหลง
แทนคาลงในสตรนวตน-ราฟสน จะได
1
11 )()(
)(
)(
)(
ii
ii
ii
i
iii
xx
xfxf
xfx
xf
xfxx
)()(
))((
1
1
ii
iiii xfxf
xxxfx
ไดสตรของระเบยบวธซแคนท คอ
)()(
))((
1
11
ii
iiiii xfxf
xxxfxx
01417268: 2nd2014 chapterI:01022015
23
ขอสงเกต ระเบยบวธซแคนทตองมจดเรมตนอยางนอย 2 จดคอ 0x และ 1x
ตวอยาง จงหารากของสมการ 042 xex โดยระเบยบวธซแคนท เมอก าหนดให 00 x และ 11 x
วธท า จากสตรระเบยบวธซแคนท )()(
))((
1
11
ii
iiiii xfxf
xxxfxx
จะได )()(
))((
01
01112 xfxf
xxxfxx
45079935.0)0()1(
)01)(1(1
ff
f
ท านองเดยวกน )()(
))((
12
12223 xfxf
xxxfxx
)1()45079935.0(
)145079935.0)(45079935.0(45079935.0
ff
f
52991377.0 โดยการท าซ าไปเรอยๆสรปคาไดดงตาราง
01417268: 2nd2014 chapterI:01022015
24
i X_i f(x_i) |x_i-x_(i-1)|
0
(คาเรมตน)
0.00000000
-2.00000000
1
(คาเรมตน)
1.00000000
2.43656366
1.00000000
2
(สตร)
)x(f)x(f
)xx)(x(fxx
1ii
1iiii1i
0.45079935
-0.41006803
0.54920065
3 0.52991377 -0.07251459 0.07911442
4 0.54690945 0.00271862 0.01699568
5 0.54629530 -0.00001728 0.00061415
6 0.54629918 0.00000000 0.00000388
7 0.54629918 0.00000000 0.00000000
01417268: 2nd2014 chapterI:01022015
25
ตวอยาง จงประมาณคาผลเฉลยของสมการ xx cos โดยระเบยบวธซแคนท เมอก าหนดให 5.00 x และ 4/1 πx
วธท า ให xxxf cos)(
จากสตร )()(
))((
1
11
ii
iiiii xfxf
xxxfxx
)5.0()4/(
)5.04/)(4/(4/2 ff
fx
π
πππ
)5.0()785398163.0(
)5.0785398163.0)(785398163.0(785398163.0
ff
f
736384139.0 ท าซ าท านองเดยวกนสรปคาไดดงตาราง
i x_i f(x) |xi-x(i-1)|
0 (คาเรมตน) 0.500000000 0.377582562
1 (คาเรมตน) 0.785398163 -0.078291382 0.285398163
2
(สตร)
)x(f)x(f
)xx)(x(fxx
1ii
1iiii1i
0.736384139 0.004517719 0.049014025
3 0.739058139 0.000045177 0.002674000
4 0.739085149 -0.000000027 0.000027010
5 0.739085133 0.000000000 0.000000016
01417268: 2nd2014 chapterI:01022015
26
1.7 ระเบยบวธท าซ าจดคงท (Fixed Point Iteration) แนวคด
ปญหาเดมคอตองการหารากของสมการ 0)( xf จดรปสมการ )(xf ใหมใหอยในรป xxFxf )()( ดงนนมองปญหาใหมเปนการหารากของ 0)( xxF
นนคอการหาจดตดของฟงกชน )(xFy กบ xy นนเอง ดงนนเราตองการหาล าดบ ,...,, 210 xxx ทลเขาหาราก x ทสอดคลองกบ
)(xFx ซงสามารถหาโดยสงคา rxF มาไวท 1rx และท าซ าเชนนไปเรอยๆ
สตรของระเบยบวธท าซ า คอ rr xFx 1
?x
xy )(xFy
0x คอคาเรมตนจากการ
คาดเดาหรอโจทยก าหนด
0,0 xFx
x
0x
xy )(xFy
01417268: 2nd2014 chapterI:01022015
27
)( 01 xFx
00, xFx
1x
)( 0xF
x
0x
xy )(xFy
11 xF,x
1xx 0x
xy )x(Fy
)x(F 0
2x
)x(Fx 12
)x(F 1 11 xF,x
1xx 0x
xy )x(Fy
)x(F 0
x
)x(F 0
)x(F 1
2x 1x
0x
xy )x(Fy
01417268: 2nd2014 chapterI:01022015
28
ขอสงเกต
การจดรปสมการ 0xf ใหเปน xFx นนสามารถท าไดหลากหลาย ซงท าใหเราไดสตรการท าซ าทแตกตางกนออกไป
นอกจากนเรายงเลอกคาเรมตนทแตกตางกนไดอก ดงนนการเลอกสตรในการท าซ าและคาเรมตนทแตกตางกน ลวนมผลตอการลเขาของคาประมาณของราก
ตวอยาง (Sheet) จงใชระเบยบวธท าซ าจดคงทหาคารากของสมการ 0432 xx (รากจรงคอ 11 α , 42 α )
วธท า แบบท 1 เลอก 43 xxF
ดงนนเราจะใชสตรในการท าซ า 431 rrr xxFx
ใหคาเรมตนคอ 50 x จะได
3588984.44531 x
13239602.443588984.432 x ท าเชนนไปเรอยๆจะไดคาดงตาราง
01417268: 2nd2014 chapterI:01022015
29
r rx 43)( 2 xxxf r 1 rr xx
0 (คาเรมตน) 5.00000000 6.00000000
1
(ใชสตร) 431 rr xx
=4.35889894
1.92330317
0.64110106
2 4.13239602 0.67950878 0.22650293
3 4.04934415 0.24915560 0.08305187
4 4.01846145 0.09264809 0.03088270
5 4.00691706 0.03463317 0.01154439
6 4.00259306 0.01297202 0.00432401
7 4.00097228 0.00486234 0.00162078
8 4.00036459 0.00182307 0.00060769
9 4.00013672 0.00068361 0.00022787
10 4.00005127 0.00025635 0.00008545
11 4.00001923 0.00009613 0.00003204
12 4.00000721 0.00003605 0.00001202
13 4.00000270 0.00001352 0.00000451
14 4.00000101 0.00000507 0.00000169
15 4.00000038 0.00000190 0.00000063
ในกรณน ,...,, 210 xxx ลเขาคาราก 42 α
01417268: 2nd2014 chapterI:01022015
30
แบบท 2 จาก 0432 xx
ให 432 xx หรอ 43 xx นนคอ 3
4
x
x
ดงนน เราเลอก 3
41
rrr xxFx และให 50 x จะได
r rx 43)( 2 xxxf r 1 rr xx
0 (คาเรมตน) 5.00000000 6.00000000
1
(ใชสตร) 3
41
r
r xx
= 2.00000000
-6.00000000
3.00000000
2 -4.00000000 24.00000000 6.00000000
3 -0.57142857 -1.95918367 3.42857143
4 -1.12000000 0.61440000 0.54857143
5 -0.97087379 -0.14478273 0.14912621
6 -1.00733496 0.03672862 0.03646118
7 -0.99816962 -0.00914857 0.00916535
8 -1.00045781 0.00228924 0.00228819
9 -0.99988556 -0.00057218 0.00057224
10 -1.00002861 0.00014305 0.00014305
11 -0.99999285 -0.00003576 0.00003576
12 -1.00000179 0.00000894 0.00000894
13 -0.99999955 -0.00000224 0.00000224
14 -1.00000011 0.00000056 0.00000056
15 -0.99999997 -0.00000014 0.00000014
ในกรณน ,...,, 210 xxx ลเขาคาราก 11 α
01417268: 2nd2014 chapterI:01022015
31
แบบท 3 จาก 0432 xx
เราจดรปใหมเปน 43
1 2 xx
เราจะไดสตรการท าซ าเปน 43
12
1 rrr xxFx
r rx 43)( 2 xxxf r 1 rr xx
0 (คาเรมตน) 5.00000000 6.00000000
1
(ใชสตร) 43
12
1 rr xx
= 7.00000000
24.00000000
2.00000000
2 15.00000000 176.00000000 8.00000000
3 73.66666667 5201.77777778 58.66666667
4 1807.59259259 3261964.20301783 1733.92592593
ในกรณน ,...,, 210 xxx ลออก
01417268: 2nd2014 chapterI:01022015
32
แตถาเรมท 00 x จะไดล าดบของคาประมาณลเขาส 11 α แตชามาก
r rx 43)( 2 xxxf r 1 rr xx
0 (คาเรมตน) 0.00000000 -4.00000000
1 (ใชสตร) 4x3
1x
2r1r
= -1.33333333
1.77777778 1.33333333
2 -0.74074074 -1.22908093 0.59259259
3 -1.15043439 0.77480243 0.40969364
4 -0.89216691 -0.52753748 0.25826748
5 -1.06801274 0.34468941 0.17584583
6 -0.95311627 -0.23222059 0.11489647
7 -1.03052313 0.15354730 0.07740686
8 -0.97934069 -0.10286972 0.05118243
9 -1.01363060 0.06833880 0.03428991
10 -0.99085100 -0.04566129 0.02277960
11 -1.00607143 0.03039402 0.01522043
12 -0.99594009 -0.02028306 0.01013134
13 -1.00270111 0.01351285 0.00676102
14 -0.99819683 -0.00901261 0.00450428
15 -1.00120103 0.00600660 0.00300420
01417268: 2nd2014 chapterI:01022015
33
เงอนไขการลเขาของระเบยบวธการท าซ าจดคงท
ระเบยบวธแบงครงชวง ระเบยบวธวางตวผดท เปนวธทหาคารากไดคอนขางแนนอน แตระเบยบวธนวตน-ราฟสน และระเบยบวธการท าซ าจดคงท อาจจะไมลเขาคารากกได
ดงนนเราจงจะตองพจารณาเงอนไขของการลเขาของระเบยบวธทงสอง
จากสตรการท าซ าจดคงทคอ rr xFx 1
มสมการสองสมการคอ xy และ xFy จดตดกนของกราฟทงสองคอการหาคารากของสมการ 0 xFx
สงส าคญกคอการเลอก xF ทท าใหล าดบของ ,..., 21 xx จากสตรการท าซ าลเขาคาจรง αx
กรณของระเบยบวธการท าซ าจดคงท
01417268: 2nd2014 chapterI:01022015
34
0x 1x 2x
0x 1x 2x
01417268: 2nd2014 chapterI:01022015
35
สมมตวา xf มคาราก αx นนคอ
0 ααα Ff หรอ αα F
จากสตรการท าซ า rr xFx 1 เราไดวา
αα rr xFx 1
α
α
α
α
r
r
r
r
x
xF
x
x 1
เนองจาก F เปนฟงกชนตอเนองบนชวงทคลม α
และคาประมาณ rx โดยทฤษฎบทคามชฌมจะม α,rxc ทท าให
α
α
r
r
x
xFcF
ดงนน
α
α
r
r
x
xcF 1
หรอ αα 1rr xxcF
ถามจ านวนจรงบวก M ซง McF แลว αα rr xMx 1
ดงนน ถาเราสามารถเลอก 1M เรากมนใจไดวา 1rx จะเขาใกลคาราก α มากกวา rx ดงนนเงอนไขในการลเขาของระเบยบวธการท าซ าจดคงทคอ
1 cF
01417268: 2nd2014 chapterI:01022015
36
ตวอยาง (Sheet) จงใชระเบยบวธท าซ าจดคงทประมาณคา 3 2
วธท า ให 3 2x จะไดวา 23 x
ตองการแกสมการ 23 x นนคอการหารากของ 23 xxf
แบบท 1 จดรปเปน 23 xxx
ในทน xF ของเรากคอ 23 xxxF และ 13 2 xxF
ให 2.10 x ดงนน 132.512.132.1 2 F
แบบท 2 จดรปเปน 5
52 3 xxx
เราได
5
35 2xxF
และได 1136.0
5
)2.1(352.1
2
F
ซงสอดคลองตามเงอนไขของการลเขา
r rx 23 xxf r 1 rr xx
0 (คาเรมตน) 1.2000000000 -0.2720000000
1 (ใชสตร) 5
52 3
1rr
r
xxx
1.2544000000
-0.0261773148 0.0544000000
2 1.2596354630 -0.0013597147 0.0052354630
3 1.2599074059 -0.0000649747 0.0002719429
4 1.2599204009 -0.0000030909 0.0000129949
5 1.2599210190 -0.0000001470 0.0000006182 6 1.2599210484 -0.0000000070 0.0000000294
ซงคาจรงของ 3 2 คอ 1.256921
01417268: 2nd2014 chapterI:01022015
37
เราสามารถพจารณาโดยการเปรยบเทยบกบระเบยบวธการท าซ าจดคงทได เนองจากสตรนวตน-ราฟสนคอ
rr
rr xf
xfxx
1
ถาเราให
xf
xfxxF
นนกคอ rr xFx 1 ของวธการท าซ าจดคงท
ดงนน
2
2
1xf
xfxfxfxF
หรอ
2xf
xfxfxF
นนคอเราไดเงอนไขของการลเขาของระเบยบวธนวตน-ราฟสน เปน
2xfxfxf
กรณของระเบยบวธนวตน-ราฟสน
01417268: 2nd2014 chapterI:01022015
38
ตวอยาง (Sheet) จงประมาณคารากของสมการ 104 xx โดยระเบยบวธนวตน-ราฟสน ดวยคาเรมตน 20 x
วธท า เนองจาก 104 xxxf
เราได 14 3 xxf และ 212xxf
เงอนไขของการลเขาของระเบยบวธนวตน-ราฟสน เราไดวา
2324 141210 xxxx
เมอแทนคา 20 x จะได
23224 124311922121022
ซงสอดคลองตามเงอนไขการลเขา
จากสตรระเบยบวธนวตน-ราฟสน
14
103
4
1
r
rrr
r
rrr x
xxx
xf
xfxx
ไดผลดงตาราง
r rx 104 xxxf 14 3 xxf 1 rr xx
0 (คาเรมตน) 2.000000000000
4.000000000000 31.000000000000
1 (ใชสตร)
r
rrr xf
xfxx
1
1.870967741935
0.382674568310 25.197442180524 0.129032258065
2 1.855780701697 0.004818128482 24.564656037936 0.015187040239
3 1.855584561011 0.000000794894 24.556550975928 0.000196140686
4 1.855584528641 0.000000000000 24.556549638456 0.000000032370
01417268: 2nd2014 chapterI:01022015
39
ตวอยาง จงหารากของสมการ 0arctan x โดยใชระเบยบวธนวตน-ราฟสนเมอก าหนดให 6.10 x และ 2.00 x
วธท า จาก 0arctan x ให xxf arctan
จะได 21
1
xxf
และ 22)1(
2
x
xxf
จากเงอนไขของการลเขาของระเบยบวธนวตน-ราฟสน เราตองไดวา
2
222 1
1
)1(
2arctan
xx
xx
เมอแทนคา 6.1x0 จะได
2
222 )6.1(1
108.042.0
))6.1(1(
)6.1(26.1arctan
ซงไมสอดคลองกบเงอนไขการลเขา ดงนนคาเรมตน 6.10 x จงใชไมได
เมอแทนคา 2.00 x จะได
2
222 )2.0(1
1925.0073.0
))2.0(1(
)2.0(22.0arctan
ซง
สอดคลองกบเงอนไขการลเขา
จากสตรระเบยบวธนวตน-ราฟสน
21 )1(arctan xxx
xf
xfxx rr
r
rrr
สรปคาตางๆลงตารางๆไดดงน
01417268: 2nd2014 chapterI:01022015
40
r
rx xxf arctan 1 rr xx
0 (คาเรมตน)
0.2000000000
0.19739556
1 (ใชสตร) 2
1 )1(arctan xxxx rrr
= -0.0842496062 -0.0840511164 0.2842496062
2 -0.0137644422 -0.0137635731 0.0704851640
3 -0.0003771573 -0.0003771573 0.0133872849
4 -0.0000002845 -0.0000002845 0.0003768729