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1.2
Funciones y grafícas
Presentación 2
MATE 3002
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Correspondencias entre conjuntos
Una ecuación y un gráfica expresa la idea de una
correspondencia entre dos conjuntos.
Ejemplo: Si vemos un relámpago y determinamos el
tiempo (en segundos) que transcurre en lo que se oye
el trueno, podemos determinar a qué distancia (en
millas) se encuentra el relámpago de nosotros si
multiplicamos el tiempo transcurrido por 1
5 .
Esto es, y = 1
5 x , donde y se mide en millas y x en
segundos.
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Correspondencias entre conjuntos (cont.)
y = 1
5 x , donde y se mide en millas y x en segundos.
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Correspondencias entre conjuntos
Ejemplos de correspondencias:
Cada libro en la biblioteca le corresponde un
número de páginas
A cada estudiante le corresponde un número de
identificación
Cada correspondencia es entre dos conjuntos, D y R…
Ej. D = título del libro R = número de páginas
Ej. D = estudiante registrado R = número de
identificación
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Correspondencias entre conjuntos (cont.)
En cada correspondencia, el primer conjunto se denomina el
dominio y el segundo conjunto se conoce como el rango,
campo de valores, imagen, o alcance.
Para cada miembro, o elemento, en el dominio, hay un miembro
del rango que le corresponde.
Por ejemplo, cada estudiante registrado tiene un número de
identificación, cada libro tiene cierta cantidad de páginas.
Cuando en una correspondencia, a cada elemento del dominio le
corresponde un único elemento del rango , esa correspondencia
se llama una función.
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Otro ejemplo de una correspondencia
que NO es una función Ejemplo: Dueños de automóviles:
Conjunto D: personas
Conjunto R: tipos de carro
Dominio: el conjunto de todas las personas que
son dueños de al menos un carro.
Rango: Conjunto de todo tipo de automóvil que
le pertenece a alguna persona.
Regla de correspondencia:
d D «es dueño de un auto de marca» r R
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Otro ejemplo de una correspondencia
que ES una función Ejemplo: Años en los que ha habido elecciones
presidenciales en Estados Unidos:
Dominio: el conjunto de todos los años
eleccionarios.
Rango: conjunto de todos los presidentes
electos en Estados Unidos.
Regla de correspondencia:
año D «se eligió» presidente R
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Función
Se define una función, f , desde D a R como una
regla de correspondencia que asigna a cada elemento
x de D exactamente un elemento, y, de R :
Es importante recordar que NO cualquier
correspondencia entre dos conjuntos es una función .
x1 x2
y1
y2
x3
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Ejemplo
Determine si la siguiente correspondencia es una función.
a.
Helen Mirren
Jennifer Hudson
Leonardo DiCaprio
Jamie Foxx
The Queen
Blood Diamond
Dreamgirls
The Departed
Solución:
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Ejemplo
Determine si la correspondencia representada en la siguiente tabla representa una función.
b.
6
6
3
3
0
36
9
0
.
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Ejemplo
Determine si la siguiente correspondencia es una
función.
c) {(9, 5), (9, 5), (2, 4)}
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Ejemplo (continuación)
Determine si la relación es una función. Identifique el dominio y el campo de valores.
d. {(–2, 5), (5, 7), (0, 1), (4, –2)}
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Ejemplo (continuación)
Determine si la relación es una función. Identifique el dominio y el campo de valores.
e. {(–5, 3), (0, 3), (6, 3)}
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Ejemplo gráfico de una correspondencia
Nombre los pares ordenados
de la grafica.
Enumere los miembros del
dominio
Enumere los miembros del
rango.
¿Representa una función?
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Ejemplo matemático de una función
Las ecuaciones se pueden
utilizar para describir
funciones.
Ej. y = ½ x + 1
Algunos pares ordenados
que representan soluciones
de la ecuación son:
x y
-4
x y
-4 -1
x y
-4 -1
x y
-4 -1
-2
x y
-4 -1
-2 0
x y
-4 -1
-2 0
0
x y
-4 -1
-2 0
0 1
x y
-4 -1
-2 0
0 1
2
x y
¿ y = ½ x + 1 es una función ?
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Notación de funciones
Los valores de entrada (miembros del dominio) se sustituyen
por x en la ecuación.
Los valores de salida (miembros del rango) son los valores
resultantes.
Cuando una ecuación representa una función usamos una
notación especial.
f (x) se lee “f de x,” o “f en x,” o “el valor de f en x.”
Por ejemplo: f(x) = ½ x + 1;
Cuando evaluamos una función:
f(4) = ½(4) + 1 = 3
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Ejemplo
Para f(x) = 2x2 x + 3, determinar cada uno de los
siguientes valores.
a. f (0) b. f (–7)
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Gráficas de funciones
Trazamos las gráficas de funciones igual que
trazamos las gráficas de ecuaciones .
1. Hallamos los pares ordenados (x, y), o (x, f (x))
2. Localizamos los puntos
3. Completamos la gráfica uniendo los puntos con
una curva que sigue el mismo patrón.
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Ejemplo
Trazar la gráfica de f (x) = x2 – 5 .
x
3
2
–1
0
1
2
3
f (x) (x, f (x))
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Ejemplo
Use la gráfica de g (x) =½ x2 – 3 para identificar los siguientes valores de la función
a. f (4) b. f (–1)
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Ejemplo
Use la gráfica de g (x) =½ x2 – 3 para identificar los siguientes valores de la función
b. f (–1)
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Prueba de la línea vertical
Si es posible dibujar una línea vertical que
cruce una gráfica más de una vez, entonces la
gráfica NO representa una función.
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Ejemplo
Indique cuáles de la siguientes gráficas (a) - (c) (en rojo)
son gráficas de funciones?
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Ejemplo (cont.)
Indique cuáles de la siguientes gráficas (d) - (f) (en rojo)
son gráficas de funciones?
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Hallar el dominio de una función
Si las entradas y salidas de una función, f , son
números reales y la regla de correspondencia se da con
una fórmula, entonces
• el dominio es el conjunto de todos los números
reales para los cuales la expresión está definida
(produce un número real)
• si al sustituir un valor en la expresión, NO se
produce un número real, decimos que la expresión
NO está definida para ese valor, y el valor NO
pertenece al dominio de la función.
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Ejemplo
Evaluar la función en los valores dados y determinar si los valores dados pertenecen al dominio de la función.
a. f (1) b. f (3)
f (x) 1
x 3
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Ejemplo
Evaluar la función en los valores dados y determinar si
pertenecen al dominio de la función o no.
ℎ 𝑥 =3𝑥2 − 𝑥 + 7
𝑥 − 2
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Ejemplo
Describir el dominio de:
ℎ 𝑥 =3𝑥2 − 𝑥 + 7
𝑥 − 2
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Ejemplo
Trace la gráfica de
Identifique el dominio y rango.
Determine si es la gráfica de una función.
𝑦 = 𝑥 − 1
x
3
1
0
1
2
5
10
y (x, y)
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Ejemplo
Trace la gráfica de
Identifique el dominio y rango.
Determine si es la gráfica de una función.
.
( ) 4f x x
x
6
4
-3
0
5
y (x, y)