Sunkar E. G., http://paradoks77.blogspot.com Page 1

Integral Fungsi Lingkaran

𝑎 − 𝑥2 1/2 𝑑𝑥

Pilih 𝑢 = 𝑎 − 𝑥2; 𝑑𝑢 = −𝑥

𝑎−𝑥2𝑑𝑥 dan 𝑑𝑣 = 𝑑𝑥; 𝑣 = 𝑥

Parsialkan, ∫ 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣 𝑑𝑢

𝑎 − 𝑥2 1/2 𝑑𝑥 = 𝑥 𝑎 − 𝑥2 + 𝑥2

𝑎 − 𝑥2𝑑𝑥

Perhatikan suku ke-2 ruas kanan, lakukan substitusi

𝑥 = 𝑎 sin 𝑡 ; 𝑑𝑥 = 𝑎 cos 𝑡 𝑑𝑡

sehingga

𝑥2

𝑎 − 𝑥2𝑑𝑥 =

𝑎 sin2 𝑡

𝑎 − 𝑎 sin2 𝑡 𝑎 cos 𝑡 𝑑𝑡 =

𝑎 𝑎 cos 𝑡 sin2 𝑡

𝑎 − 𝑎 sin2 𝑡 𝑑𝑡

= 𝑎 𝑎 cos 𝑡 sin2 𝑡

𝑎 cos2 𝑡2 𝑑𝑡 =

𝑎 𝑎 cos 𝑡 sin2 𝑡

𝑎 cos 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑎 sin2 𝑡 𝑑𝑡

Menggunakan identitas sin2 𝑡 =1−cos 2𝑡

2,

𝑎 sin2 𝑡 𝑑𝑡 =𝑎

2 1 − cos 2𝑡 𝑑𝑡 =

𝑎

2𝑡 −

𝑎

4sin 2𝑡 + 𝐶

Mengingat sin 2𝑡 = 2 sin 𝑡 cos 𝑡

𝑎

2𝑡 −

𝑎

4sin 2𝑡 + 𝐶 =

𝑎

2𝑡 −

𝑎

2sin 𝑡 cos 𝑡 + 𝐶

Mengingat 𝑥 = 𝑎 sin 𝑡, maka lakukan substitusi balik 𝑡 = sin−1 𝑥

𝑎 dan sin 𝑡 =

𝑥

𝑎, dan cos 𝑡 =

𝑎−𝑥2

𝑎

(ingat hubungan sinus – cosinus dalam segitiga).

𝑎

2sin−1

𝑥

𝑎−

𝑎

2

𝑥

𝑎

𝑎 − 𝑥2

𝑎=

𝑎

2sin−1

𝑥

𝑎−

𝑥

2 𝑎 − 𝑥2

Dengan menyulihkan nilai ini ke persamaan (2), diperoleh solusi:

𝑎 − 𝑥2 1/2 𝑑𝑥 = 𝑥 𝑎 − 𝑥2 +𝑎

2sin−1

𝑥

𝑎−

𝑥

2 𝑎 − 𝑥2 + 𝐶

𝑎 − 𝑥2 1/2 𝑑𝑥 =𝑥

2 𝑎 − 𝑥2 +

𝑎

2sin−1

𝑥

𝑎+ 𝐶

Sunkar E. G., http://paradoks77.blogspot.com Page 2

Integral Fungsi Hiperbola

𝑎 + 𝑥2 1/2 𝑑𝑥

Substitusi 𝑥 = 𝑎 tan 𝑡 ; 𝑑𝑥 = 𝑎 sec2 𝑡 𝑑𝑡

𝑎 + 𝑥2 1/2 𝑑𝑥 = 𝑎 + 𝑎 tan2 𝑡 1/2 𝑎 sec2 𝑡 𝑑𝑡

Mengingat tan2 𝑡 + 1 = sec2 𝑡, maka

𝑎 + 𝑥2 1/2 𝑑𝑥 = 𝑎 sec3 𝑡 𝑑𝑡

Selanjutnya untuk bentuk integral sec3 𝑡 = sec 𝑡 sec2 𝑡, gunakan metode parsial dengan 𝑢 = sec 𝑡 ,

𝑑𝑢 = sec 𝑡 tan 𝑡 𝑑𝑡 dan 𝑑𝑣 = sec2 𝑡 𝑑𝑡; 𝑣 = tan 𝑡.

sec 𝑡 sec2 𝑡 𝑑𝑡 = sec 𝑡 tan 𝑡 − tan2 𝑡 sec 𝑡 𝑑𝑡

= sec 𝑡 tan 𝑡 − sec2 𝑡 − 1 sec 𝑡 𝑑𝑡 = sec 𝑡 tan 𝑡 − sec3 𝑡 𝑑𝑡 + sec 𝑥 𝑑𝑡

= sec 𝑡 tan 𝑡 − sec3 𝑡 𝑑𝑡 + sec 𝑡 𝑑𝑡sec 𝑡 + tan 𝑡

sec 𝑡 + tan 𝑡= sec 𝑥 tan 𝑥 − sec3 𝑡 𝑑𝑡 +

sec 𝑡 tan 𝑡 + sec2 𝑡

sec 𝑡 + tan 𝑡𝑑𝑡

Gunakan substitusi integran, diperoleh sec 𝑡 tan 𝑡 + sec2 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑑(sec 𝑡 + tan 𝑡), sehingga:

sec3 𝑡 𝑑𝑡 = sec 𝑡 tan 𝑡 − sec3 𝑡 𝑑𝑡 + ln sec 𝑡 + tan 𝑡 + 𝐶

2 sec3 𝑡 𝑑𝑡 = sec 𝑡 tan 𝑡 + ln sec 𝑡 + tan 𝑡 + 𝐶

sec3 𝑡 𝑑𝑡 =1

2sec 𝑡 tan 𝑡 +

1

2ln sec 𝑡 + tan 𝑡 + 𝐶

Sehingga,

𝑎 + 𝑥2 1/2 𝑑𝑥 =𝑎

2sec 𝑡 tan 𝑡 +

𝑎

2ln sec 𝑡 + tan 𝑡 + 𝐶

Mengingat 𝑥 = 𝑎 tan 𝑡, lakukan substitusi balik tan 𝑡 =𝑥

𝑎, cos 𝑡 =

𝑎

𝑎+𝑥2, atau sec 𝑡 =

𝑎+𝑥2

𝑎

𝑎 + 𝑥2 1/2 𝑑𝑥 =𝑎

2

𝑎 + 𝑥2

𝑎

𝑥

𝑎+

𝑎

2ln

𝑎 + 𝑥2

𝑎+

𝑥

𝑎 + 𝐶

𝑎 + 𝑥2 1/2 𝑑𝑥 =𝑥

2 𝑎 + 𝑥2 +

𝑎

2ln

𝑥 + 𝑎 + 𝑥2

𝑎 + 𝐶