123453414 probleme de maxim si minim
TRANSCRIPT
-
Proiect didactic al leciei de matematic
Grupa: C221, profil real
Profesor: Pelevaniuc Natalia
Data: 31.01.2013
Numrul leciei n modul (conform proiectrii didactice de lung durat): 75-76/128
Durata leciei: 80 de minute
Modulul: Aplicaii ale derivatelor
Subiectul leciei: Probleme de maxim i minim. Optimizri. Or de sintez
Competene:
C1:
C2:
Subcompetenele curriculare:
S1:
S2:
S3:
S4:
Obiectivele leciei. La finele leciei elevii vor fi capabili:
O1: s recunoasc probleme de maxim i minim;
O2: s recunoasc i s utilizeze n rezolvarea problemelor practice algoritmul determinrii extremului global al funciei;
O3: s utilizeze derivata funciei la rezolvarea unor probleme simple de maxim i minim;
O4: s evidenieze, n procesul rezolvrii de probleme, avantajele pe care le ofer matematica n abordarea, clarificarea i
rezolvarea unor probleme practice sau situaii cotidiene.
O5: s manifeste curiozitate i imaginaie n crearea strategiilor de rezolvare a problemelor;
O6:
O7:
Tipul leciei: Lecie de formare a capacitilor de dobndire a cunotinelor.
Tehnologii didactice:
) forme de nvare:
- frontal;
- n perechi;
- n grup;
-
- individual;
b) metode de predare:
- metoda expunerii problematizate;
- metoda exerciiului;
- metoda asaltului de idei;
) mijloace de nvmnt:
1) Manualul Matematica pentru clasa a XI-a, autori: I. Achiri, .a., Editura Prut Internaional, Chiinu, 2010.
2) Fie de lucru pregtite de profesor;
Evaluare: formativ, evaluri orale i n scris, lucrare independent (fr aprecieri cu note).
-
Scenariul leciei
Nr.
d/o
Secvenele leciei
Tim
pu
l
Ob
iect
ivel
e
Activitatea profesorului Activitatea elevilor
Evalu
are
a
1. Moment
organizatoric
2
min.
Salut elevii. Noteaz absenele n registru.
Formuleaz subiectului i obiectivele leciei.
Pregtesc rechizitele pentru lecie. Elevul deserviciu anun elevii abseni de la or. Elevii scriu n caiete data i tema leciei de azi.
Vizual
2. Verificarea
temei pentru
acas
7
min.
-Care a fost tema pentru acas?
-Numii funcia, care ai obinut la rezolvarea punctului 2.a, cum ai lucrat pentru a o determina?
-Ce reprezint grafic funcia obinut?
-Cum ai lucrat pentru a determina aria maxim a acestui triunghi?
-Cum altfel se putea de rezolvat ultimul
punct al problemei?
-Explic succint paii efectuai.
-De repetat algoritmul de determinare a
extremelor globale i locale ale funciei. -De rezolvat problema 2, de la pagina 158,
punctul B.
, - ( ) ( )
-Am notat o catet prin x, atunci cealalt va fi a - x. Aria triungiului dreptunghic l
determinm ca semiprodusul catetelor. -Graficul acesteia reprezint o parabol, cu
vrful n .
/, care interesecteaz axa Ox
n puntele ( ) ( ), i axa Oy n puntul ( ). -Deoarece funcia obinut este una de gradul II, cunoatem c ea admite un extrem n
vrful parabolei, adic n punctul .
/,
unde xmax=
, i deci
.
-Aplicnd derivata.
-Calculm derivata funciei ( ), obinem
( )
, egalm derivata cu 0 i
obinem
, deoarece ( ) ,
Evaluare
oral
Apreciez
corectitu-
dinea
rezolvrii
-
punct de maximum local, i prin
urmare ( )
este maximul local al
funciei, la extremele intervalului avem
( ) ( ) , deci rmine maximul funciei i prin urmare i aria maxim
.
3. Reactualizarea
cunotinelor i a
capacitilor
15
min.
O2
O3
-S ne amintim algoritmul de determinare a extremelor globale ale funciei
, - .
Activitatea cu fia din Anexa 1. -Formm grupuri a cte 4-5 elevi, din bncile vecine. Avei la dispoziie 5 minute pentru fia de lucru propus. -Se solicit determinarea extremelor globale ale funciei:
a) , - ( ) ; b) ( ) ( ) ;
c) ( )
;
(Rspusurile corecte sunt prezentate n Anexa 2)
Cum ai procedat n fiecare situaie?
-Se afl valorile funciei la capetele intervalului.
-Se afl punctele critice ale funciei f, adic
se rezolv ecuaia ( ) . Se calculeaz valorile funciei f n punctele critice determinate i se compar valorile acesteia la capetele intervalului.
Cea mai mic din aceste valori va fi minimul global al funciei f date. Cea mai mare din aceste valori maximul
global al funciei date.
Elevii lucreaz la nsrcinarea propus de profesor.
Grupurile de elevi care au avut una i aceeai nsrcinare, verific rspunsurile obinute. Se explic succint rezolvarea fiecrui grup.
Evaluarea
oral Verific
corectitu-
dinea
expunerei
Urmresc lucrul
fiecrei echipe
Apreciez
rspunsu- rile
-
4. Preadarea-
nvarea materiei noi
15
min.
O1
O2
O3
O4
O5
Crearea situaiei problem: -Din antichitate s-a pstrat legenda despre o problem, cunoscut ca problema Didonei.
Regina Finikhiei (sec. IX . Hr.) a hotrt s organizeze o colonie pe malul golfului tunisian din Africa de Nord. Ea l-a
convins pe conductorul tribului local s-i dea doar o poriune de pmnt, care poate fi mprejmuit de pielea unui bivol. Ostaii Didonei au tiat n fii nguste pielea respectiv i Didona a mprejmuit cu frnghia format din fiile tiate o poriune de pmnt de pe malul golfului. Astfel a fost instituit oraul Karphaghen. Aadar, problema Didonei a constat n determinarea hotarelor lotului de pmnt cu aria maximal, care trebuie s aib lungimea dat. Aceast problem aparine clasei de probleme numite probleme de
minim i maxim. -Aceste probleme au o mare importan aplicativ. Ne vom convinge n cadrul leciei de astzi, n continuare lucrnd cu aa tip de probleme. S examinm problema citit adugnd, careva date la problem, fie c lungimea frnghiei obinute era de 75 m. S determinm algoritmul rezolvrii problemei. Discutai n perechi i peste 2 minute accept variantele de algoritmi
propui pentru a rezolva problema. - Ce algoritm de rezolvare a problemei
propunei? Se accept orice idee propus. Se face generalizarea:
Lucrnd cte 2, analizeaz rezolvarea pro-blemei.
Noteaz algoritmul respectiv pe o foaie A4. Astfel apar mai multe soluii de rezolvare a problemei.
Expun pe rnd ideile aprute.
Evaluarea
oral
Urmresc cum
progresea-
z efecturarea
nsrcinrii
Apreciez
ideile
propuse
-
- Pentru a transpune rezolvarea problemei
de maxim sau minim n limbajul
matematic cu ajutorul unei funcii de o singura variabil ne vom folosi de urmtorul algoritm: 1. Vom alege un parametru convenabil
(de exemplu x) i vom exprima marimele din problem prin x. 2. Pentru mrimea, ce trebuie s ating valoarea maxim sau minim, vom alctui o funcie de variabila x. 3. Vom gsi intervalul pe care funcia trebuie s ating valoarea maxim (sau minim). 4. Cu ajutorul derivatei vom determina
punctele de maxim sau minim pe
intervalul obinut. 5. Vom afla mrimea necunoscut din problem i dac se cere i valoarea maxim sau minim. -Deci s revenim la cazul particular din problema noastr.
-Ce vom nota cu x?
-Cum vom determina cealalt latur?
-Cum vom alctui funcia de x, aplicnd care formul?
-De ce anume aceast relaie aplicm?
-n continuare cum vom proceda?
Monitorizeaz rezolvarea problemei.
Elevii i fixeaz n caiete algoritmul de rezolvare a problemelor de maxim i minim.
Un elev trece la tabl. Scrie condiiile problemei i reprezint desenul.
-Una din laturile dreptunghiului ngrdit. -tiind c perimetrul dreptungiului este 75
m, vom obine c cealalt latur este
.
-Vom aplica formula pentru calculul ariei
unui dreptunghi, deci ( )
.
-Pentru c ne intereseaz lotul de pmnt cu suprafaa maxim, deci merge vorba de arie. Rezolvare:
Ghidez
lucrul la
tabl
x
-
( )
, iar din ( ) avem
, i deoarece ( )
punct de maxim local al
funciei date, deoarece ea este o funcie de gradul II, acesta este unicul punct de maxim
al ei. ( )
m2.
5. Consolidarea
materiei i formarea
capacitilor
15
min.
O1
O2
O4
O5
Activitate frontal: Aplicm algoritmul analizat la rezolvarea unei alte probleme:
-De gsit aa un numr strict pozitiv, pentru care diferena dintre el i cubul su s fie maxim. De aflat diferena maxim. -Citii primul punct al algoritmului de rezolvare a problemelor de maxim i minim. Ce trebuie s efectum urmrind acest pas?
-Citii punctul doi al algoritmului de rezolvare a problemei.
-Cu ajutorul crei funcii, problema se traduce n limbaj matematic?
-Ce ne propune punctul trei al
algoritmului?
-Ce metod nvat poate fi utilizat pentru a determina valoarea lui x, ct i valoarea maxim a funciei d? -Citii punctul patru al algoritmului. Ce urmeaz s efectum?
-Ce concluzie putei face?
Noteaz condiia problemei.
Un elev citete din caiet primul punct al algoritmului.
-Notm numrul necunoscut prin x.
Un elev citete al doilea punct al algoritmului respectiv.
-Pentru diferen obinem funcia d(x) = x - x
3 .
Pentru valorile lui x vom pune urmtoarea condiie x (0, +). -Pentru a afla valoarea lui x, unde diferena i atinge valoarea maxim, vom cerceta aceast funcie cu ajutorul derivatei nti.
-Aflm ( ) , rezolvm ecuaia ( )
[
.
Aflm semnul lui ( ), deoarece ( )
trecnd prin 3
3 i schimb semnul de la +
Exerciii orale i n
scris
Apreciez
rspunsurile elevilor
-
-Citind ultimul punct din algoritm i fcnd concluzia din cele determinate pn acum, ce vom scrie n rspunsul problemei?
la rezult, c x = 3
3 este unicul punct de
maxim pe intervalul (0, +) .
Deci diferena i atinge valoarea maxim n
punctul x =3
3, iar diferena maxim dintre
x i cubul su este .
/
.
/
.
6. Evaluarea 10
min.
O1
O2
O3
O5
Lucrare independent Se solicit rezolvarea problemei: Legea de micare a unui mobil este
( ) . S se determine: a) momentul n care acceleraia sa este nul; b) valoarea minim a vitezei mobilului. Amintim c relaiile dintre distan, vitez, acceleraie sunt redate prin
formulele: ( ) ( ) ( ) ( ). Rezolvarea problemei propuse este
prezentat n Anexa 3. Peste 5 minute profesorul afeeaz pe o coal de hrtie, rezolvarea corect a problemei.
-Care a fost dificultatea ntlnit la aceast problem?
Elevii rezolv independent problema n caiete.
Elevii verific rezolvrile personale a problemei cu rezolvarea de pe tabl, corec-teaz greelile. -Rspund la ntrebrile profesorului.
Lucrare
indepen-
dent
Verific
corectitudi-
nea
rezolvrilor
7. Bilanul leciei
15
min.
a) bilanul cantitativ: -Care este algoritmul de rezolvare a
problemelor de maxim i minim?
Elevii rspund la ntrebrile formulate.
ntrebri orale
-
b) bilanul calitativ: -Cum considerai, ce obiective au fost realizate astzi la lecie? -Care dintre obiectivele realizate anterior
au fost necesare la lecia de astzi? -S ne amintim cele studiate n modulul dat.
* care este rolul primei derivate n studiul
funciei?
*definii noiunea de punct critic;
*formulai teorema despre monotonia unei funcii derivabile;
*descriei algoritmul de determinare a puntelor de extrem local i a extremelor locale;
*descriei algoritmul de determinare a extremelor globale;
*care este rolul derivatei a doua n studiul
funciei?
-Aplicnd derivata de ordin nti, putem
stabili intervalele de monotonie a funciei i puntele de extrem local, i extremele ei locale;
-Punctele n care derivata funceiei ia valoarea zero, se numesc puncte critice ale
funciei date; -Funcia f este cresctoare (descresctoare)
pe un interval, dac i numai dac ( ) ( ( ) ). -Se calculeaz derivata funciei f, se rezolv
ecuaia ( ) , se determin semnul funciei ( ) pe intervalele pe care ea nu se anuleaz, se stabilesc intervalele pe care
( ) i pstreaz semnul, se determin punctele de extrem local i extremele locale ale funciei f. -Se afl valorile funciei f la capetele
intervalului , -, ( ) i ( ), se afl punctele critice ale funciei f, se calculeaz valorile funciei n punctele critice determinate i se compar cu valorile acesteia la capetele intervalului, cea mai
mic (mare) din aceste valori va fi minimul
(maximul) global al funciei f pe , -. -Aplicnd derivata de ordinul doi, putem
stabili intervalele de convexitate i concavitate a funciei i puntele de inflexiune a acesteia;
-Funcia se numete convex, dac tangenta la graficul funciei f se afl sub acest grafic. -Funcia se numete concav, dac tangenta
-
*definii noiunea de funcie convex;
*definii noiunea de funcie concav;
*formulai teorema despre convexitatea, concavitatea unei funcii de dou ori derivabile;
*definii noiunea de punt de inflexiune;
*descriei algoritmul de determinare a intervalelor de concavitate, de
convexitate;
*enumrai tipurile de asimptote a graficului unei funcii; *definii noiunea de asimptot orizonatal;
*definii noiunea de asimptot oblic;
*definii noiunea de asimptot vertical;
*descriei paii parcuri n reprezentarea grafic a unei funcii;
la graficul funciei f se afl deasupra acestui grafic.
-Funcia se numete concav, dac tangenta la graficul funciei f se afl deasupra acestui grafic.
-Dac o funciei este continu pe , -, de dou ori derivabil pe ( ) i ( ) ( ( ) ) pentru orice x de pe ( ), atunci aceast funcie este convex (concav) pe acest interval. -Punctul x0 este punct de inflexiune al
funciei f, dac n acest punct funcia trece din concav n convex, sau invers.
-Se calculeaz ( ) i se rezolv ecuaia ( ) ale crei soluii pot fi puncte de inflexiune ale funciei f, se stabilesc
intervalele pe care ( ) are semn constant, se determin punctele de inflexiune ale funciei f. -Graficul unei funcii poate avea asimptote orizontale, oblice, verticale.
-Dreapta de ecuaie y = l este asimptot
orizontal la a graficului funciei f, dac | ( ) | . -Dreapta de ecuaie y = mx + n, , este asimptot oblic la a graficului funciei f, dac | ( ) | . - Dreapta de ecuaie x = a, este asimptot vertical pentru graficul funciei f, dac ea este asimptot vertical la stnga, la dreapta sau de amble pri. -Se stabilete domeniul de definiie a unei funcii, se determin semnul funciei i eventualele semetrii ale graficului, se
calculeaz limite la capetele intervalelor, se
-
Se fac concluzii privind activitatea
elevilor n cadrul leciei. Se trec notele n registru.
stabilete continuitatea funciei, se determin asimptotele, se studiaz funcia cu ajutorul derivatei de ordin nti, cu ajutorul derivatei a
doua, se completeaz tabloul de variaie, se traseaz graficul funciei.
8. Tema pentru
acas 1
min.
De nvat paragraful 4 din modulul 6, iar pentru repetare luai paragrafele 1-3, pentru c la ora ce urmeaz vom scrie prob de evaluare. Pentru rezolvare luai problema B4, de la pagina 164.
- Poftim ntrebri privind subiectul leciei de azi.
Noteaz tema pentru acas n caiete.
-
Anexa 1
Determinai extremele globale ale funciei:
Grupul 1
a) , - ( ) ;
Grupul 2
b) ( ) ( ) ;
Grupul 3
c) ( )
.
-
Anexa 2 Soluia exerciiilor propuse:
a) , - ( ) ;
Rezolvare:
Calculm valoarea funciei la capetele intervalului: ( ) , ( )
.
Calculm derivata funciei ( ) , ( ) .
Determinm punctele critice al funciei date, adic rezolvm ecuaia ( )
( ) 0
[
puntele critice ale funciei date.
Calculm valorile funciei n punctele critice determinate: ( ) ( )
, ( ) .
Determinm din valorile obinute minimul i maximul global al funciei f:
* ( ) ( ) ( ) ( )+ * + , valoarea minim a funiei i
* ( ) ( ) ( ) ( )+ * + , valoarea maxim a funciei.
Rspuns: minimul global al funciei f este m = -13, maximul global al funciei f este M = 3.
b) ( ) ( ) ;
Rezolvare:
Calculm valoarea funciei la capetele intervalului: ( ) , (
) ,
Calculm derivata funciei ( ) , ( )
.
Determinm punctele critice al funciei date, adic rezolvm ecuaia ( )
{
{
punctul critic al funciei date.
Calculm valoarea funciei n punctul critic determinat: ( )
Determinm din valorile obinute minimul u maximul global al funciei f:
( )
( ) * + , ( ) ( ) *
+ i aceaste valori nu sunt atinse.
Rspuns: minimul global al funciei f este m = - , maximul global al funciei f este M = e -
2.
c) ( )
.
Rezolvare:
Calculm valoarea funciei la capetele intervalului:
,
,
Calculm derivata funciei ( )
, ( )
( )
( )
( ) .
Determinm punctele critice al funciei date, adic rezolvm ecuaia ( )
( ) {
( )
{
punctele critice ale funciei date.
-
Calculm valoarea funciei n punctele critice determinate: ( )
, ( )
Determinm din valorile obinute maximul global al funciei f: ( )
{
}
, ( ) {
}
i aceast valoare este atins.
Rspuns: minimul global al funciei f este m =
, maximul global al funciei f este M =
.
-
Anexa 3 Legea de micare a unui mobil este ( ) . S se determine:
a) momentul n care acceleraia sa este nul;
b) valoarea minim a vitezei mobilului.
Amintim c relaiile dintre distan, vitez, acceleraie sunt redate prin formulele: ( )
( ) ( ) ( ).
Rezolvare:
a) Determinm acceleraia funciei din relaia: ( ) ( ), observm c mai nti trebuie s
determinm v(t) din relaia: ( ) ( ), ( ) . Prin urmare acceleraia ( )
( ) . Determinm valoarea timpului t pentru care a(t) este nul adic
.
b) Punctul de minim al vitezei, poate fi punctul determinat din relaia ( ) , , i
deoarece ( ) , punct de minim pentru funcia ( ), iar valoarea minim al
funciei este ( )
Rspuns: momentul n care acceleraia funciei date este nul, este t = 2, valoarea minim a
vitezei mobilului este -12.
-
Anexa 4
Harta Conceptual, tema Rolul derivatei I la studiul funciei
-
Harta Conceptual, tema Rolul derivatei II la studiul funciei
-
Harta Conceptual, tema Asimptotele graficului funciei
-
Harta Conceptual, tema Reprezentarea grafic a funciei