UNIDAD N 1

DISTRIBUCIN DE PROBABILIDADES

Competencia:

-Identifica y utiliza correctamente los modelos probabilsticos en la resolucin de problemas inherentes a variables aleatorias en forma general. Objetivos. -Resolver correctamente todo tipo de problema que tengan que ver con la incertidumbre , mediante la utilizacin de los modelos probabilsticos Descripcin general de la unidad: -Esta unidad comprende el desarrollo de las diferentes distribuciones de probabilidades tanto discretas como las continuas con sus respectivas caractersticas ms aplicadas en el campo de la Ingeniera Tema N1 :Distribuciones Discretas Competencia: Identifica y utiliza los Modelos de Distribuciones Discretas en la resolucin de problemas inherentes a variables aleatorias discretas Descripcin del tema:Se desarrollarn los principales Modelos de Distribucin Discretos, con sus respectivas caractersticas,para su posterior aplicacin a la resolucin de problemas. Tema N 2:Distribuciones Continuas Competencia: Identifica y aplica los principales Modelos de Distribucin Continuos en la resolucin de problemas inherentes a variables continuas Descripcin del tema:Se desarrollarn los Modelos de distribucin Continuas ms utilizadas en la Ingeniera de acuerdo a sus caractersticas,y su posterior aplicacipn en la resolucin de problemas. Lectura:Millar/Freund/Jonson Probabilidad y Estadstica para IngenierosEdo.de Mxico 1992 Pgs. 93 al 128 Bibliografa Bsica: Moya y Saravia (1988) Probabilidad e Inferencia Estadstica((2 ed) Per .Pags.407 al 553 Referencia electrnica: http://www.itchihuahua.edu.mx/academic/industrial/sabaticiruta/private/01UNIDAD%20IV.uhtm

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INTRODUCCIN Entre uno de los objetivos de la Estadstica Matemtica es de determinar una distribucin de probabilidad o un modelo probabilistico que satisfaga una serie de supuestos para analizar los resultados obtenidos de un experimento aleatorio. Entre las distribuciones de probabilidades tenemos: a) Las distribuciones discretas como ser la Bernoulli, Binomial, Hipergeomtrica,

Geomtrica, Poisson, etc. b) Las Distribuciones continuas tenemos la Uniforme, Experimental, la Normal, X2, F, t DISTRIBUCIONES DISCRETAS t Son aquellas distribuciones cuya variable aleatoria es discreta 1.DISTRIBUCIN BERNOULLI : XBernoulli (p) Se tiene la distribucin Bernoulli, cuando las pruebas ensayos son de carcter dicotmico, es decir slo tienen 2 posibles resultados: E = xito ; F = fracaso ],[ FE= por ejemplo: Sean los siguientes experimentos aleatorios:

1 : Lanzar una moneda ],[1 SC=2 Determinar el sexo del ],[2 MV= 3 : verificar el resultado de un examen ],[3 ra=

DEFINICIN Se dice que una v. d. XBernoulli sii sv Rx= [0,1]; donde la V.A.D. x: N de xitos obtenidos en un ensayo dicotmico; cuya FUNCIN DE PROBABILIDAD O CUANTA p(x)=p[X=x]=px(1-p)1-x; Rx= 0.1 Donde p = probabilidad del xito q = probabilidad del fracaso de tal manera que p+q=1 p = 1-q

q = 1-p cuya distribucin de probabilidad y representacin con grfico es: x P(x)

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0 q 1 p

P(x)

p q x 0 1 FUNCION DE DISTRIBUCION ACUMULADA F (x) F(x) = p (X x) = 0 si x < 0 9 si 0 x

=== )1()( 2 ppppxV DISTRIBUCIN BINOMIAL X B(n,p) b(x :np) Se llama experimento aleatorio binomial a un N fijo n de reiteraciones independientes de un experimento aleatorio Bernoulli que tiene las siguientes caracterstica: 1. Los resultados de cada prueba son de carcter dicotmico, es decir Bernoulli 2. Las n pruebas Bernoulli son independientes 3. La probabilidad de xito p supuestamente se mantiene constante en cada prueba DEFINICIN una v.a.d Xb(n,p), donde X : N de xitos obtenidos en n ensayos Bernoulli con Rx = 0,1,2,3,... n cuya FUNCIN DE PROBABILIDAD O CUANTA

P(X)= P[X=x]=( )pxqn-x:Rx0,1,2,3...n nx

Donde p = probabilidad de xito q = probabilidad de fracaso n = N de ensayos Bernoulli FUNCIN DE DISTRIBUCIN ACUMULADA F(x)

F(x)= P(X x) =B(x;np)= =

>

Para resolver correctamente problemas inherentes a modelos probabilisticos, se sugiere en un principio seguir los siguientes pasos: 1. Determinar el tipo de distribucin de probabilidad que sigue la v. a. X de acuerdo las

caractersticas del experimento en cuestin. 2. Definir la v. a X de manera clara y completa con su Rx. 3. Determinar los parmetros de la funcin de probabilidad. 4. Utilizar correctamente la funcin de probabilidad, la acumulada tablas CPU. Ejemplo La probabilidad de que cierto ordenador de cine marca determinada falla, ante una descarga elctrica es del 1%cuales son las probabilidades de que entre 10 ordenadores de dicha marca en un laboratorio. a) 3 fallen b) a lo ms 2 fallen c) al menos 3 fallen d) el promedio y varianza que un ordenador falle SOLUCIN 1) Como todo ordenador tiene slo 2 posibles resultados falle o no falle (dicotmico) 2) Suponiendo que cada ordenador funciona independientemente 3) Suponiendo que la probabilidad de falla de los ordenadores es casi constante

Entonces asumimos que la v.a.d. X b(n. p) P(x)=( )px qn-x Rx =0,1,2....n nx Donde la v. a. d. X: N de ordenadores que fallan ante una descarga elctrica de entre 10

n=10: p=0.01:q=0.99 Rx=0,1,2.......10 10...2,1,0;99.001.0)( 1010 =

= xxx RxxP

a) 3 fallen 00011.0 )99.0()01.0(3)3( 7310 =

== xP

b) a los ms 2 fallen 9999. 0)2()1(1)0()()2(2

0=++== PPPxPxP

c) al menos 3 fallen )10( ...)4()3()()3(10

3

PPPxPxP +++== mediante el complemento 00011.09999.01)2(1)3( === xPxP

d) El promedio E(x)=np=10(0.01)=0.1=10%

La Varianza V(x):npq=10(0.01)(0.99)=0.099 APLICACIN DE LA BINOMIAL EN EL MUESTREO

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Considerando cada elemento de una muestra aleatoria (m.a.) como un ensayo Benoulli entonces la Distribucin Binomial puede aplicarse en el muestreo bajo las siguientes circunstancias: 1. Cuando el muestreo es con o sin reemplazo de una poblacin infinita o muy grande 2. Cuando el muestreo es con reemplazo de una poblacin pequea o finita Bajo estas 2 circunstancias entonces la v.a.d. X se define X:N de elementos de la clase de nuestro inters en una m.a. de tamao n

Donde Poblacin

eresdenuestroelementosdeNNKp int==

nxNk

NkxxXPxp

xnxn...3,2,1,0:1][)( =

===

NOTA.- en la prctica el muestreo se lo realiza sin reemplazo de poblaciones finitas especialmente cuando se realiza control de calidad, por lo tanto la distribucin adecuada es la hipergeomtrica. USO DE TABLAS Cuando el tamao de la m.a. es muy grande el clculo de las probabilidades resulta tedioso porque lo que se sugiere utilizar paquetes estadsticos las tablas las que estn construidas en trminos de la funcin de distribucin acumulada F(x); para ello se debe utilizar las siguientes relaciones

)30( n

Para probabilidades acumuladas

[ ] =

====x

k

nxpnkbpnxBxXPxF0

....2,1,0);.;().;()(

Para probabilidades puntuales P(x=x)=b(x:n.p)= B(x:n;p)-B((x-1);n.p) Ejemplo En una importacin de computadoras muy grande, se sabe que por experiencia que el 25% de las mismas estn infectadas con cierto virus. Se relaciona al azar 20 computadoras del lote de importacin, para efectuar un control de calidad. a) Cual es la verdadera distribucin de probabilidad y cual debe asumirse por necesidad

del N de computadoras infectadas con el virus b) Cual es la probabilidad de que 3 cpu estas infectados

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c) Cual la probabilidad que ms de 3 estn infectadas d) Determinar la media, la varianza y la desviacin estndar SOLUCIN a) Como se trata de realizar un control de calidad la verdadera distribucin es la

hipergeomtrica, pero como no se conoce la poblacin N se asume la distribucin

Binomial. X b(n,p) 20...2. 1,0)75.0()25.0()( 2020 =

= xxxp xx

Donde P=0.25; q=0.75; n=20; x:N de CPU infectados en una m.a. de 30 Rx=0,1,2......20

b) P ( ) ( ) 1339.075.025.03)3( 17320 =

==xPTablas P(x=3)=b(3;20;0.25)=B(3;20;0.25)-B(2;20;0.25)=0.2252-0.0913=0.1339

c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) PxPxPxP 7748.075.025.0375.025.0275.025.0175.0)25.0(01)3(1)(3 1732018220192020020204

=

+

+

+

===> tablas P[x>3]=1-P[x 3]=1-B(3;20;0.25)=1-0.2252=0.7748

d) 94 .175.3)75.0)(25.0(20)(;5)25.0(20)( 2 ========= npqxVnpxE DISTRIBUCIN GEOMTRICA Esta distribucin es una de los casos especiales de la Binomial y se utiliza cuando existe un proceso Bernoulli y se desea obtener el primer xito. DEFINICIN Se dice que la v.a.d.x...G(p): donde p= probabilidad del xito en cada intento Donde X:N de ensayos Bernouli hasta obtener el 1er xito Rx=1,2,3... FUNCIN DE PROBABILIDAD P(x)=P[x=x]=pqx-1 : Rx=1,2,3... FUNCIN DE DISTRUBUCION F(x)=P[x x]= 0 si x

2. Es decreciente, es decir P[x]

Es otro caso especial de la Binomial y es una extensin de la Geomtrica, que se utiliza cuando los experimentos aleatorios son tambin un proceso Bernoulli, hasta que ocurra el n-simo xito: DEFINICIN Se dice que una v.a.d. donde: ).(.~ pvPx r = N de exactos obtenidos p = probabilidad del xito X: N de veces o intentos que se realiza el experimento Beunoulli hasta obtener r xitos tal que r x; Sii FUNCION DE PROBABILIDAD

[ ] ( ) ( )...2:1,:11

)( =

=== vvvPqp

vx

xxPxP xvxv

FUNCION DE DISTRIBUCIN F(x)

( )rxSirxSi

qprk

xxP rkr