www.syriamath.netالموقع اإللكتروني : سیریا ماث 1

الثانیةالسنة : جامعة دمشق –كلیة العلوم قسم الریاضیات

األول الفصل : )3تحلیل ( المقرر :

2013/11/17 التاریخ : ) 12( المحاضرة :

( ھــامة ألجل التمارین ) > :1مبرھنة <

푓}لتكن (푥)} متتالیة توابع معرفة على مجال مثل퐼 .... 퐼على مجال 푓(푥)ولنفرض أن ھذه المتتالیة تتقارب من تابع مثل عندئذ : تكون القضیتین التالیتین متكافئتین ..

푓} المتتالیة ـ )1 (푥)} على المجال تتقارب بانتظام퐼 . 푀ـ بفرض : )2 = 푠푢푝 |푓 (푥) − 푓(푥)| من أجل كل푛 : فإنھ

( lim⟶

푀 = 0)

" اإلثبات : ⟸ "

푓}لنفرض أن المتتالیة (푥)} تتقارب بانتظام من푓(푥) على المجال퐼 .. εولیكن > <عدد حقیقي موجب كیفي .. عندئذ : 0 0 ..

푓}بما أن (푥)} تتقارب بانتظام من푓(푥) على المجال퐼 فإنھ یوجد ..푁 ≠ بحیث یكون : 0|푓 (푥) − 푓(푥)| 푛عندما > ≥ 푁 ومن أجل جمیع قیم푥 من퐼 ..

푓| بما أن : (푥) − 푓(푥)| فإنھ یوجد : محدود푀 = 푠푢푝 |푓 (푥) − 푓(푥)| : حیث푛 ≥ 푁

ومنھ یكون :0 ≤ 푀 ≤ < 휀 ⟹ 0 ≤ 푀 < 휀 ⟹ 푀 ⟶ 0

" ⟹ "

푀لنفرض أن : ⟶ 푛عندما 0 ⟶ 푀.. حیث : ∞ = 푠푢푝 |푓 (푥) − 푓(푥)| ومن أجل كل푛 εولیكن > <.. عندئذ فإن : 0 0 ..

푀وبما أن : ⟶ 푁فإنھ یوجد 0 ≠ 푀| بحیث یكون : 0 − 0| 푛عندما > ≥ 푁 : أي أن ..

푀 < < 휀 عندما푛 ≥ 푁 : ومنھ ..푠푢푝 |푓 (푥) − 푓(푥)| < 휀 عندما푛 ≥ 푁 푓|ولكن : (푥) − 푓(푥)| ≤ 푠푢푝 |푓 (푥) − 푓(푥)| ومن أجل جمیع قیم푥 من퐼 ..

푓|إذا : (푥) − 푓(푥)| < 휀 عندما푛 ≥ 푁 و من أجل جمیع قیم푥 من퐼

푓}إذا : (푥)} من تتقارب بانتظام푓(푥) على المجال퐼 . وھو المطلوب ..

)12المحاضرة (

www.syriamath.net الموقع اإللكتروني : سیریا ماث 2

> :2مبرھنة <

푓}لتكن (푥)} متتالیة توابع معرفة على مجال مثل퐼 : عندئذ ..푓}المتتالیة (푥)} تتقارب بانتظام من푓(푥) على مجال퐼 تحقق ما یلي : إذا وفقط إذا εأیا كانت > 푁فإنھ یوجد 0 ≠ 푓|بحیث یكون : 0 (푥) − 푓 (푥)| < 휀

푚عندما ≥ 푛 ≥ 푁 و ∀푥휖퐼 ..

" اإلثبات : ⟸ "

푓} لنفرض أن (푥)} تتقارب بانتظام من تابع푓(푥) على퐼 ولیكنε > <عندئذ : 0 0 푓}بما أن : (푥)} تتقارب بانتظام من푓(푥) على퐼 فإنھ یوجد푁 ≠ بحیث یكون : 0

|푓 (푥) − 푓(푥)| 푛عندما : > ≥ 푁 جمیع قیم ومن أجل푥 من퐼 ..

푓| ومنھ : (푥) − 푓 (푥)| = |푓 (푥) − 푓(푥) + 푓(푥) − 푓 (푥)| ≤

≤ |푓 (푥) − 푓(푥)| + |푓 (푥) − 푓(푥)| < 휀2+

휀2= 휀

푚عندما : ≥ 푛 ≥ 푁 و ∀푥휖퐼 ..

" ⟹ تصبح المتتالیة متتالیة عددیة وبالتالي تصبح كوشیة )) 푥بـ 푥(( عندما نبدل "

εلنفرض أنھ .. أیا كان > 푁فإنھ یوجد 0 ≠ 푓|بحیث یكون : 0 (푥) − 푓 (푥)| < 휀 푚عندما ≥ 푛 ≥ 푁 و ∀푥휖퐼 ..

لنثبت أوال أن المتتالیة متقاربة .. 푥فلنأخذ 휖퐼 في المتتالیة فنحصل على المتتالیة العددیة ونعوض{푓 (푥 والتي تحقق الفرض : {(

εأیا كان > 푁فإنھ یوجد 0 ≠ 푓|بحیث یكون : 0 (푥 ) − 푓 (푥 )| < 휀 عندما푚 ≥ 푛 ≥ 푁 푓} وھذا یعني أن المتتالیة العددیة (푥 .. 훼.. وبالتالي فھي متقاربة من عدد مثل كوشیة {(

وبذلك یكون : 푓(푥)نحصل على تابع سنرمز لھ بالرمز 퐼من 푥وبتكرار ھذا العمل من أجل جمیع قیم

lim⟶

푓 (푥) = 푓(푥)

푓.. (( أي أن المتتالیة 퐼على المجال (푥) تتقارب من التابع푓(푥) على المجال퐼 ((

ھذا التقارب تقارب منتظم .. نثبت أنبقي أن اآلن εلیكن > <عندئذ : 0 푁.. ومنھ یوجد 0 ≠ 푓| بحیث یكون : 0 (푥) − 푓 (푥)| <

푚عندما ≥ 푛 ≥ 푁 و ∀푥휖퐼 .. 푛بحیث 푛ثـبــت لن ≥ 푁 : ولنجعل푚⟶ 푓فیكون : ∞ (푥) ⟶ 푓(푥) : وبالتالي

|푓(푥) − 푓 (푥)| 푛عندما > ≥ 푁 و ∀푥휖퐼 .. : ومنھ|푓 (푥) − 푓(푥)| < < 휀 푓}وبالتالي فإن المتتالیة (푥)} تتقارب بانتظام من푓(푥) على المجال 퐼 .. وھو المطلوب ..

)12المحاضرة (

www.syriamath.net الموقع اإللكتروني : سیریا ماث 3

> :3مبرھنة <

푓}لتكن (푥)} مثل مغلقعلى مجال مستمرة متتالیة توابع퐼 : ولنفرض أن ..

lim⟶

푓 (푥) = 푓(푥)

푓وبفرض كون : .. 퐼على مستمر )푓(푥ولنفرض أن التابع .. 퐼على المجال (푥) ≥ 푓 (푥) ∀푛휖푁 و∀푥휖퐼 ..: عندئذ {푓 (푥)} متقاربة بانتظام من푓(푥) على المجال 퐼 ..

( تقبل دون إثبات ) اإلثبات :

السابقة ...... حل تمارین المحاضرة

) :1مثال (

푓ادرس تقارب متتالیة التوابع (푥) 퐼 على المجال = = [0,1]

الحل :

نحسب أوال تابع النھایة :

푓(푥) = lim⟶

푓 (푥) = lim⟶

푥1 + 푛 푥

= 0

푓|ولكن : (푥) − 푓(푥)| = − 0 = = ( )

|푓 (푥) − 푓(푥)| = . ( ) ≤ ⟹ |푓 (푥) − 푓(푥)| ≤ , ∀푥휖퐼

≤ 1 푠푢푝بحیث یكون : |푓 (푥) − 푓(푥)| ≤

푥 : یكون ولكن عندما = 휖퐼 یؤدي إلى أن :فذلك

푓 − 푓 = =

푠푢푝وبالتالي : |푓 (푥) − 푓(푥)| =

⟹ lim⟶

푠푢푝 |푓 (푥) − 푓(푥)| = lim⟶

12푛

= 0

.. 퐼 ظم على المجالت) یكون التقارب من >1مبرھنة <وبالتالي وحسب (

)12المحاضرة (

www.syriamath.net الموقع اإللكتروني : سیریا ماث 4

:) 2مثال (

푓ادرس تقارب متتالیة التوابع (푥) 퐼 على المجال = = [0,+∞[

الحل :

نحسب أوال تابع النھایة :

푓(푥) = lim⟶

푓 (푥) =

⎩⎪⎨

⎪⎧0; 0 ≤ 푥 < 1

12 ; 푥 = 1

1; 푥 > 1

نالحظ أن :

푥ھذا التابع غیر مستمر عند النقطة = ألن : 1

lim⟶⟶

푓 (푥) = 0 ≠ lim⟶

푓 (1) =12 ≠ lim⟶

⟶푓 (푥) = 1

.. وأن تابع النھایة لھا غیر مستمر على ھذا 퐼على المجال وبما أن حدود ھذه المتتالیة ھي توابع مستمرة المجال ..

. 퐼إذا .. فإن التقارب غیر منتظم على المجال

" انتھت المحاضرة " ....................................................................