1.3 条件概率

在解决许多概率问题时，往往需要在有某些附

加信息(条件)下求事件的概率.

如在事件B发生的条件下求事件A发生的概率，将

此概率记作P(A|B).

一般地 P(A|B) ≠ P(A)

( , ); 1, 2, ,6; 1,2, ,6i j i jΩ = = =

( , ); 1, 2,3; 1,2, ,6B i j i j= = =

(2,6);(3,5);(4, 4);(5,3);(6, 2) =A AΩ =

(2,6);(3,5)AB AB= =

引例 同时掷两枚均匀的骰子，我们已经知道两枚骰子点数和为8，求第一枚骰子的点数不超过3的概率.

分析：事件A表示两枚骰子点数和为8，事件B表示第一枚骰子点数不超

过3. 原来的样本空间为

我们已经知道事件A发生了，样本空间变为

=2

365

36=

)𝑃𝑃(𝐴𝐴𝐴𝐴)𝑃𝑃(𝐴𝐴

.𝑃𝑃(𝐴𝐴|𝐴𝐴) =25

设A、B是两个事件，且 P(B)>0, 则称

)()()|(

BPABPBAP =

为在事件B发生的条件下,事件A的条件概率.

条件概率也是概率, 故具有概率的性质：

0)( ≥ABP

1)( =AP Ω 非负性

规范性

可列可加性 ( )∑∞

=

∞

=

=

11 ii

ii ABPABP

1 2, ,B B （ 两两互斥）

)𝑃𝑃(𝐴𝐴1 ∪ 𝐴𝐴2 |𝐴𝐴) = 𝑃𝑃(𝐴𝐴1 |𝐴𝐴) + 𝑃𝑃(𝐴𝐴2 |𝐴𝐴) − 𝑃𝑃(𝐴𝐴1𝐴𝐴2 |𝐴𝐴

)𝑃𝑃( 𝐴𝐴 |𝐴𝐴) = 1 − 𝑃𝑃(𝐴𝐴 |𝐴𝐴

)𝑃𝑃(𝐴𝐴1 − 𝐴𝐴2 |𝐴𝐴) = 𝑃𝑃(𝐴𝐴1 |𝐴𝐴) − 𝑃𝑃(𝐴𝐴1𝐴𝐴2 |𝐴𝐴

利用条件概率求积事件的概率即乘法公式

( ) )0)(()()( >= APABPAPABP

( ) )0)(()()( >= BPBAPBPABP

推广

( ) ( ))0)((

)()(

121

12112121

>

=

−

−

n

nnn

AAAPAAAAPAAPAPAAAP

乘法公式

例 盒中装有5个产品, 其中3个一等品，2个二等品,

从中不放回地取产品, 每次1个, 求:

（1）取两次，两次都取得一等品的概率;

（2）取两次，第二次取得一等品的概率;

（3）取三次，第三次才取得一等品的概率;

（4）取两次，已知第二次取得一等品，求:

第一次取得的是二等品的概率.

解: 令 Ai 为第 i 次取到一等品

（1）103

42

53)()()( 12121 =⋅== AAPAPAAP

(3) ( ) ( ) ( )213121321 )( AAAPAAPAPAAAP =

101

33

41

52 =⋅⋅=

)()()()( 212121212 AAPAAPAAAAPAP +=∪=（2）

53

42

53

43

52

=⋅+⋅=

(4) ( ))(

)()()()(

2

212

2

2121 AP

AAPAPAPAAPAAP −==

5.015

310

3=−=

引例 盒中有12只新的乒乓球，每次比赛时从中任取3只，用完

后放回，求第三次比赛时取到的三个均为新球的概率.

3

0i

i

B=

= Ω

, , , 0,1, 2,3.i jB B i j i j=∅ ≠ =

分析 设我们关心的事件A=第三次取到的均是3个新球，事件

A的发生与一组事件Bi =第二次比赛时取到 i 个新球，i=0，1，

2，3有关，易知

完备事件组

Ω

1B nB

1nB −

2B

3B

或称 为 的一个划分Ω

1

n

ii

B=

Ω =若 两两互斥，且1 2, , , nB B B

则称 为完备事件组1 2, , , nB B B

1 2, , , nB B B

B1Bn

AB1

AB2

ABn

1

n

ii

i j

B

B B=

= Ω

=∅

1

( )( )

n

ii

i j

A AB

AB AB=

=

= ∅

1( ) ( )

n

ii

P A P AB=

=∑1

( ) ( )n

i ii

P B P A B=

= ⋅∑

全概率公式

A

全概率公式

ΩB2

引例 盒中有12只新的乒乓球，每次比赛时从中任取3只，用完后放回，

求第三次比赛时取到的三个均为新球的概率.

3 39 3 9

3 312 12

( ) , ( | ) , 0,1, 2,3.i i

ii i

C C CP B P A B iC C

−−= = =

3 33 39 3 9

3 30 0 12 12

( ) ( ) ( | ) 0.146i i

ii i

i i

C C CP A P B P A BC C

−−

= =

= = ≈∑ ∑

解 设A=第三次取到的均是3个新球，Bi =第二次比赛时取到 i 个新

球，i=0，1，2，3有关，可知 Bi 为完备事件组

有三个考生参加面试，面试时三个考生顺序抽签答题，并且考

签不再放回，共10张签，其中3张难签，求每个考生抽到难签的

概率.

例 （抽签问题）

解 设 Ai 表示第 i 个考生抽到难签, i = 1，2，3

2 1 2 1 1 2 1( ) ( ) ( | ) ( ) ( | )3 2 7 3 3

10 9 10 9 10

P A P A P A A P A P A A= +

= × + × =

13( )

10P A =

3 1 2 3 1 2 1 2 3 1 2

1 2 3 1 2 1 2 3 1 2

( ) ( ) ( | ) ( ) ( | )( ) ( | ) ( ) ( | )

3 2 1 3 7 2 7 3 2 7 6 310 9 8 10 9 8 10 9 8 10 9 83

10

P A P A A P A A A P A A P A A AP A A P A A A P A A P A A A

= +

+ +

= × × + × × + × × + × ×

=

注： 从以上结果可看到每个人抽到难签的概率一样，与抽签的顺序无关.

伊索寓言“孩子与狼”讲的是一个小孩每天到山上放羊，山里有

狼出没。第一天，他在山上喊“狼来了！狼来了！”山下的村民

闻声便去打狼，可到山上，发现狼没有来；第二天仍是如此；第

三天，狼真的来了，可无论小孩怎么喊叫，也没有人来救他.

用贝叶斯公式可以把该故事的结果提升到量化解释.

引例

1

( ) ( ) ( | )( | ) , 1,2, , .( ) ( ) ( | )

i i ii n

j jj

P AB P B P A BP B A i nP A P B P A B

=

= = =

∑

一般地，设我们关心的事件A满足P(A)>0，𝑩𝑩𝟏𝟏,𝑩𝑩𝟐𝟐,⋯ ,𝑩𝑩𝒏𝒏是可能

导致随机事件A发生的所有因素（𝑨𝑨 ⊂ ⋃𝒋𝒋=𝟏𝟏𝒏𝒏 𝑩𝑩𝒋𝒋，𝑩𝑩𝒊𝒊𝑩𝑩𝒋𝒋 = ∅, 𝒊𝒊 ≠ 𝒋𝒋, 𝒊𝒊, 𝒋𝒋 =

𝟏𝟏,𝟐𝟐,⋯ ,𝒏𝒏），现在如果已经知道A发生，不难求解导致A发生的因素

𝑩𝑩𝒊𝒊的概率：

这就是Bayes公式.

Bayes（贝叶斯）公式

分析：记A为事件“这个小孩说谎”，

B为事件“这个小孩被认为可信”；

再不妨设可信的孩子说谎的可能性为0.1，

不可信的孩子说谎的可能性为0.6，即

( | ) 0.1, ( | ) 0.6P A B P A B= =

原来，村民们对这个小孩的印象是

( ) 0.8, ( ) 0.2P B P B= =

村民们第一次听到呼救，急忙上山打狼，却发现狼没有来，小孩

说了谎（事件A发生了）. 根据这个信息，村民们修正了对小孩的

可信程度，即

( ) ( ) ( | ) 0.8 0.1( | ) 0.4( ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) 0.8 0.1 0.2 0.6

P AB P B P A BP B AP A P B P A B P B P A B

×= = = =

+ × + ×

( | ) 1 ( | ) 1 0.4 0.6P B A P B A= − = − =

经过一次撒谎后村民对孩子的可信度由0.8降低为0.4.

此时，村民们对这个小孩的印象修正为

( ) 0.4, ( ) 0.6P B P B= =

第一次修正可信度

村民们第二次听到呼救，急忙上山打狼，却发现狼没有来，小孩说

了谎（事件A发生了）. 村民们再次修正了对小孩可信程度的印象，

0.4 0.1( | ) 0.10.4 0.1 0.6 0.6

P B A ×= =

× + ×

( | ) 1 ( | ) 1 0.1 0.9P B A P B A= − = − =

经过两次撒谎后村民对孩子的可信度由0.8降低为0.1. 因此，当小

孩第三次呼救时，没有人来救他了！

至此，村民们对这个小孩的印象修正为

( ) 0.1, ( ) 0.9P B P B= =

第二次修正可信度

例 每100件产品为一批，已知每批产品中的次品数不超过4件，每

批产品中有 i 件次品的概率为

i 0 1 2 3 4

P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1

从每批产品中不放回地取10件进行检验，若发现有不合格产品，

则认为这批产品不合格，否则就认为这批产品合格. 求

（1）一批产品通过检验的概率

（2）通过检验的产品中恰有 i 件次品的概率

（3）没通过检验的产品，恰有几件次品的概率大？

解:设一批产品中有 i 件次品为事件Bi , i = 0,1,…,4A 为一批产品通过检验

1,

, , , 0,1,2,3,4

n

ii

i j

A B

B B i j i j=

⊂

= ∅ ≠ =

则

已知P( Bi )如表中所示，且10100

10100

( ) , 0,1,2,3,4ii

CP A B iC

−= =

由全概率公式与Bayes 公式可计算P( A )与

( ), 0,1,2,3,4iP B A i =

结果如下表所示

( )iP A B

( )iP B A4

0( ) ( ) ( )i i

iP A P B P A B

=

= ∑ 0.814=

( ) ( )( ) , 0,1,2,3,4

( )i i

i

P B P A BP B A i

P A= =

i 0 1 2 3 4

P( Bi ) 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1

1.0 0.9 0.809 0.727 0.652

0.123 0.221 0.397 0.179 0.080

称 P( Bi ) 为先验概率，它是由以往的经验得到的，它是事件 A 的原因

称 ( ) 0,1,2,3,4iP B A i = 为后验概率，它是

得到了信息 — A 发生，再对导致 A 发生的原因发生的可能性大小重新加以修正

上例中， i 较小时， ( ) ( )i iP B A P B≥

( ) ( )i iP B A P B≤i 较大时，