1.3 clase elementos de probabilidad

Humberto Villalobos 7-03-05

Primera Clase 1

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PROBABILIDAD

HUMBERTO VILLALOBOS TORRESUNIVERSIDAD TÉCNICA FEDERICO SANTA MARÍA

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS

Y ESTADÍSTICA

UNIVERSIDAD TÉCNICA FEDERICO SANTA MARÍA

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Probabilidad

• Modelos determinísticos versus modelos estocásticos

• El objetivo o motivación principal es modelar patrones recurrentes en variables, donde la incertidumbre en el resultado está siempre presente.

• Se crean patrones de regularidad, que se conducirán a leyes o modelos de probabilidad, ‘estables’ en el tiempo.

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Probabilidad • Modelar tiempos de traslado de carga

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Algebra de Sucesos

• DEFINICIÓN 1: Espacio Muestral. Se define el espacio muestral como el conjunto de todos los posibles resultados del experimento, y se anota por Ω.

• DEFINICIÓN 2: Suceso o Evento. Un suceso o evento, es cualquier subconjunto de U, y se anota generalmente con letras

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Algebra de Sucesos• DEFINICIÓN 3: Complemento. El complemento

de un evento ‘A’ con respecto a un espacio muestral Ω, es aquel que contiene todos los elementos de Ω que no se encuentran en ‘A’, es cual se simboliza por Ac. A través de un diagrama de Venn sería:

Del diagrama se puede apreciar que Ω está compuesto por los elementos de A y de Ac.

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Algebra de Sucesos• DEFINICIÓN 4: Unión. La unión de dos eventos

‘A y B’, es el evento formado por todos los resultados que se encuentran en alguno de los dos eventos, es cual es simbolizado por: A ∪ B. A través de un diagrama de Venn se tendrían:


Primera Clase 2

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Algebra de Sucesos• DEFINICIÓN 5: Intersección. La intersección de

dos eventos ‘A y B’, es el evento formado por todos los resultados comunes tanto al evento ‘A’como al evento ‘B’, que se simboliza por: A ∩ B.A través de un diagrama de Venn se tendrían:

En este diagrama se tiene la situación donde la intersección de ambos eventos genera un nuevo evento: A ∩ B.

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Algebra de Sucesos• DEFINICIÓN 6: Conjunto Vacio. Es el evento que

contiene a ningún resultado del espacio muestral, es cual es simbolizado por: φ. A través de un diagrama de Venn se puede apreciar a través de la intersección de dos eventos particulares:

En este diagrama se tiene la situación donde la intersección de ambos eventos NOgenera un nuevo evento, es decir:

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Algebra de Sucesos• DEFINICIÓN 7: Eventos Mutuamente Excluyentes.

Dos eventos ‘A y B’, son eventos mutuamente excluyentes o disjuntos, si el resultado de la intersección entre ambos eventos es vacía, es decir: A ∩ B = φ. A través de un diagrama de Venn se tendrían:

En este diagrama se tiene que A ∩ B = φ , entonces, A y B son eventos disjuntos.

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Algebra de Sucesos

• DEFINICIÓN 8: SubConjunto. Es el ‘A’ se dice subconjunto del evento ‘B’, si para cualquier resultado del evento ‘A’, también es un resultado del evento ‘B’, es cual es simbolizado por A ⊂ B. A través de un diagrama de Venn se tendrían:

De este diagrama se despende rápidamente que si A ⊂ B, entonces A ∩ B = A . Luego, A y B no son eventos disjuntos.

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Algebra de Sucesos• DEFINICIÓN 9: Diferencia. La operación

diferencia del evento ‘A’ respecto al evento ‘B’ en algebra de sucesos, corresponde a todos resultado del evento ‘A’, que no son resultados del evento ‘B’, es cual es simbolizado por A - B. A través de un diagrama de Venn se tendría:

• De este diagrama se despende rápidamente que A – B = A ∩ Bc.

• La diferencia es una operación que no obedece a todas las reglas conocidas de algebra de suceso. 08/08/2007

Algebra de Sucesos• DEFINICIÓN 10: Identidad de Unión de eventos

con intersección de complementos. Considere dos eventos ‘A y B’, entonces la unión de estos eventos es equivalente a la diferencia entre el espacio muestral y intersección de sus complementos, es decir: A ∪ B = U – Ac ∩ Bc.través de un diagrama de Venn se tendrían:


Primera Clase 3

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Algebra de Sucesos

• Las definiciones anteriores, se pueden extender a más de dos eventos. A modo ejemplo, consideremos un espacio muestral ‘Ω’ con tres eventos, entonces:

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Algebra de Sucesos

Observar que en la gráfica de la unión de los tres eventos se destacan (color) las intersecciones dobles y con mayor intensidad la intersección triple.

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Enfoques de Probabilidad

• Enfoque Frecuentista– Es un enfoque de frecuencia relativa– Es un enfoque empírico, debido que para

determinar los valores de probabilidad se requiere de la observación y de la recopilación de datos (objetivo)

– Asigna las posibilidades de acuerdo a la frecuencia de su ocurrencia, tal como la frecuencia realtiva ya trabajado en estadística descriptiva

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• Clase de estadística descriptiva. Número de veces de atraso en el pago de su cuenta. Los datos son los siguientes)

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• Enfoque Bayesiano– Bajo este enfoque la probabilidad de un

resultado es el grado de confianza que se tiene de que éste ocurra.

– La posibilidades son a juicio personal, razón por la cual este enfoque, es llamado enfoque subjetivo.

– Se consideran posibilidades iniciales llamadas probabilidades a priori, las cuales se van ajustando con hechos ocurridos construyendo las probabilidades a posteriori

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• Enfoque Bayesiano– Es un enfoque totalmente dinámico, de

actualización de Estados posibles de la Naturaleza determinados por el investigador

– Considera la situación del resultados del ramo, ante el cual hay sólo dos posibles estados: Aprobar – Reprobar


Primera Clase 4

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• Enfoque Bayesiano– Luego sobre la base de antecedentes recientes,

como el resultado de un certamen estás posibilidades a priori son reevaluadas, y estas reevaluaciones son consideradas posibilidades a posteriori

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• Enfoque Clásico– Es un enfoque apriorista, que tiene la

característica esencial, que basa en la asignación de medida de ocurrencia para un resultado, de forma objetiva y a priori a la experiencia, la misma posibilidad a todos los posibles resultados de un experiencia

– Esta situación que también se conoce como un experimento equiprobable

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• Enfoque Clásico– Es la situación típica de los juegos de

azar, ejemplo: la ruleta.

Todos los resultados son igualmente posibles.

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Probabilidad Axiomática

Entonces la función : Ω → (0, 1), es una medida de probabilidad si satisface:

1. 0 ≤ [A] ≤ 1, ∀ A ∈ Ω2. [Ω] = 1

3. A1, A2 …∈ Ω, eventos disjuntos.

⇒

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Propiedades

• Al utilizar la función , como una medida de probabilidad sobre un espacio de sucesos, se pueden evaluar todos las definiciones que se presentaron en Algebra de sucesos, es decir:

1. [A] + [Ac] = [Ω] ⇒ [A] = 1 – [Ac]

2. [φ] = 1 – [φc] ⇔ [φ] = 1 – [Ω] = 0

3. [A ∪ B] = [A] + [B] – [A ∩ B]

3.1. [A ∪ B] = [A] + [B] A ∩ B = φ4. [A – B] = [A ∩ Bc]

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Propiedades• En el caso de la extensión a tres eventos, se

tiene que la probabilidad de la unión sería:

5. [A ∪ B ∪ C] = [A] + [B] + [C] – [A ∩ B]

– [A ∩ C] – [B ∩ C] + [A ∩ B ∩ C]

La cual se puede generalizar para n eventos

= 1 = 1 = 1 = 1 < <

1

A [A ] [A A ] [A A A ]

( 1) [A A ... A ]

n n n n

i i i j i j ki i ii

i j i j k

ni j n

<

−

= − ∩ + ∩ ∩

+ − ∩ ∩ ∩

∑ ∑ ∑∪P P P P

P


Primera Clase 5

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Propiedades• Para el caso de tres eventos, se puede

visualizar la propiedad anterior a través del diagrama de Venn

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Algebra y Probabilidades• Suponga que A, B y C son eventos tales que:

[A] = 0,35 [B] = 0,25 [C] = 0,30[A ∩ B] = 0,15 [A ∩ C] = 0,20[B ∩ C] = 0,10 [A ∩ B ∩ C] = 0,05

• Exprese los eventosen un diagrama deVenn

0,5

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Algebra y Probabilidades

• Plantee cuidadosamente y encuentre la probabilidad de que:– No Ocurra A

[Ac] = 1 – [A] = 1 – 0,35 = 0,65

– Solo A y B ocurra

[A ∩ B ∩ Cc] = [A ∩ B] – [A ∩ B ∩ C]

= 0,15 – 0,05

= 0,10

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• Ocurra A y No Ocurra B[A ∩ Bc] = [A] – [A ∩ B]

= 0,35 – 0,15 = 0,20

• Al menos uno ocurra [A ∪ B ∪ C] = [A] + [B] + [C]

– [A ∩ B] – [A ∩ C]

– [B ∩ C] + [A ∩ B ∩ C]

= 0,35 + 0,25 + 0,30 – 0,15 – 0,20

– 0,10 + 0,05 = 0,50

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• Ninguno ocurra[Ac ∩ Bc∩ Cc] = [(A ∪ B ∪ C)c]

= 1 – [A ∪ B ∪ C]

= 1 – 0,50 = 0,50

• Solo ocurra C [Ac ∩ Bc∩ C] = [C] – [A ∩ C] – [B ∩ C]

+ [A ∩ B ∩ C]

= 0,35 – 0,15 – 0,20 + 0,05

= 0,0508/08/2007


• Solo uno de los tres ocurra

[A ∩ Bc ∩ Cc] + [Ac ∩ B ∩ Cc] + [Ac ∩ Bc ∩ C]

= [A] – [A ∩ B] – [A ∩ C] + [A ∩ B ∩ C]

[B] – [A ∩ B] – [B ∩ C] + [A ∩ B ∩ C]

[C] – [A ∩ C] – [B ∩ C] + [A ∩ B ∩ C]

= 0,35 – 0,15 – 0,20 + 0,05 + 0,25 – 0,15 – 0,10 + 0,05

+ 0,30 – 0,20 – 0,10 + 0,05

= 0,15


Primera Clase 6

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Probabilidad Clásicas

• Es un enfoque apriorista, que tiene la característica esencial, que basa en la asignación de medida de ocurrencia para un resultado, de forma objetiva y a priori a la experiencia, la misma posibilidad a todos los posibles resultados de un experiencia

• Esta situación que también se conoce como un experimento equiprobable

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• La equiprobabilidad de cada uno de los posibles resultados asociados a una experiencia aleatoria (ε), lleva a definir la probabilidad de un evento ‘A’ , cualquiera como:

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Técnicas de Conteo

•Principio de adición. Supóngase que un procedimiento, llámele P1, se puede hacer de n1 maneras distintas. Supongamos que un segundo procedimiento, llámele P2, se puede hacer de n2 maneras distintas. Supóngase además que no es posible que ambos, P1 y P2, se hagan juntos. Entonces el número de maneras en que se puede finalizar el proceso, a través de P1 ó P2 es de n1 + n2.

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Técnicas de Conteo

• Esquemáticamente se representa en la siguiente figura:

1

n1

2

••••

n1 + 1

n1 + 2

n1 + n2

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Técnicas de Conteo• APLICACIÓN 1: Un conductor, que debe llevar

una carga desde el su ubicación actual (O), hasta su lugar de destino. Para esto cuenta con tres rutas que cruzan la montaña por sobre ésta, con seis rutas que cruzan la montaña por bajo ésta y dos rutas que llegan a destino esquivando pasar por la montaña. ¿De cuantas formas se puede llegar a destino con la carga?

La respuesta es evidente. 11 formas distintas

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Técnicas de Conteo• APLICACIÓN 2: En diseño de una ciudad, un

Ingeniero transportista se le ha asignado la misión de establecer las vías de evacuación ante emergencias sísmicas de gran envergadura. Después de un amplio análisis y estudio, el Ingeniero ha propuesto: Tres vías aéreas mediante el uso de pistas antisísmicas para helicópteros; Un puerto de emergencia con unidades especiales para el traslado vía marítima y dos vías terrestres en sectores de menor impacto por consecuencias sísmicas. ¿De cuantas formas distintas se podría evacuar las personas de mayor riesgo por enfermedades de la ciudad?:

Rpta.- De seis formas distintas.


Primera Clase 7

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Técnicas de Conteo

•Principio de multiplicación. Supóngase que un procedimiento, llámele P1, se puede hacer de n1 maneras. Supóngase que un segundo procedimiento, llámele P2, se puede hacer de n2 maneras. Si además, cada una de las maneras de efectuar P1 puede ser seguida por cualquiera de las n2 de efectuar P2. Entonces el proceso que consta del P1 seguido por P2 se puede hacer de n1 x n2 maneras.

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Técnicas de Conteo• Esquemáticamente se representa en la

siguiente figura:1

n2

n2 + 1

2

n2 + 2n2 + n2 = 2 x n2

(n1 – 1) x n2 + 1(n1 – 1) x n2 + 2

(n1 – 1) x n2 + n2 = n1 x n2

••••

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Técnicas de Conteo• APLICACIÓN 3: En un proceso productivo en

línea. La primera línea de ensamblaje de una producto, se puede programar para el ensamblaje de tres diseños distintos. La segunda línea, revestimientos de colores, se programa para entregar cinco colores distintos en los diseños de la primera línea. Finalmente la tercera y última línea, pasa por cuatro grupos distintos de operarios que afinan los detalles del producto final. ¿De cuantas formas puede un insumo que ingresa al proceso productivo terminar el proceso? :

Rpta.- De sesenta formas distintas.08/08/2007

Técnicas de Conteo• APLICACIÓN 4: Un problema de elección de rutas de

trasporte de cargas peligrosas, requiere de alternativas ante la posibilidad de manifestaciones por grupos ecologistas. En el trasladado de desechos tóxicos de una planta nuclear en California hasta su destino (Deposito en Grecia). A la empresa Transportista le permiten tres alternativas para cruzar del Pacifico al Atlántico: Canal de la Panamá hasta África del Norte; Estrecho de Magallanes hasta África del sur; viaje directo por el Pacífico hasta la India. En cada una de estas paradas debe continuas su recorrido por vía terrestre, mediante cuatro posibles rutas ya estudiadas y trazadas. ¿De cuantas formas se puede llegar a destino con la carga de residuos tóxicos?

Rpta.- De 3 x 4 = 12 alternativas distintas

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Técnicas de Conteo• Un caso particular del principio multiplicativo, es

cuando se extraen muestras de elementos sin reposición, pues en este caso, la cantidad de elementos disponibles en una secuencia de elementos muestreados esta disminuyendo linealmente, como se observa en el siguiente esquema

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Técnicas de Conteo• En el esquema anterior se puede apreciar la

presencia del principio multiplicativo a través de una diagrama de árbol:


Primera Clase 8

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Técnicas de Conteo• APLICACIÓN 5: Considere los dígitos 1, 2, 3, 4, 5

y las letras a, b, y c. Se desea crear un código con estos símbolos, en el cual no se repita ningún símbolo. ¿De cuantas formas se puede crear el código?

Rpta.- De 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 40.320

• DEFINICIÓN 11: Factorial. Sea n ∈ IN, entonces se define n factorial como el producto compuesto por: n x (n – 1) x (n – 2) x ... x 1, el cual se simboliza por n!.

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Técnicas de Conteo• APLICACIÓN 6: Considere un grupo de personas

conformada por 15 hombres y 10 mujeres. Se eligen tres personas al azar, la primera serápresidente de la comisión, la segunda vicepresidente y la última secretario. ¿De cuantas formas se puede conformar la comisión?

Mediante la utilización del principio multiplicativo se puede observar:

Donde serían 13.800 formas

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Técnicas de Conteo

• APLICACIÓN 6: ¿De cuantas formas sólo el vicepresidente sea hombre?


• Equivalente sería a que sólo el presidente se hombre ó secretario

Donde serían 1.350 formas

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Técnicas de Conteo• APLICACIÓN 6: Si Pedro debe estar en la

comisión. ¿En cuantas comisiones éste puede ser secretario y existir sólo una mujer en la comisión?


Donde serían 140 formas

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Técnicas de Conteo

• La aplicación del principio multiplicativo, se complicaría demasiado en casos donde ‘n’ sea grande y el proceso multiplicativo se extienda por muchos pasos.

n = 40 Se extraen 15

• La posibilidades de cometer un error en la multiplicación aumentan, a medida que la cantidad de elementos de que extraen aumenta.

n = 400 Se extraen 150

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Técnicas de Conteo

• Suponga una población de ‘n’ elementos de los cuales se extraerán r (r < n). Utilizar el principio multiplicativo sería, como se aprecia en el esquema:

Donde el resultado sería

n x (n – 1) x (n – 2) x (n – 3) x … x (n – r + 1)


Primera Clase 9

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Técnicas de Conteo

• Para solucionar esta complicación se hace uso de la función factorial. Como se aprecia en el esquema:

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Técnicas de Conteo

• DEFINICIÓN 12: Permutación. Se define la permutación de r elementos sobre n como el número de arreglos distintos que se pueden hacer con r elementos de un total de n, importando el orden en que salen los elementos. Esta expresión se simboliza por:

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Técnicas de Conteo• APLICACIÓN 7: Cumpleaños. Considere un curso

compuesto por r alumnos ¿De cuantas formas posibles pueden estos r alumnos celebrar sus respectivos cumpleaños en un años sin que ninguno de ellos esté el mismo día?

Días del año

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Técnicas de Conteo• APLICACIÓN 7: Considere un curso compuesto

por r alumnos …

365!(365 )!

365 Prr −=

Mientras más alumnos sean más arreglos posibles se puede hacer. Sin embargo, hay un –¿límite? –.

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Técnicas de Conteo

• Uno de los hechos importante del principio multiplicativo, es que la elección de elementos en ordenes distintos, son eventos distintos. A modo de ejemplificación, la elección de tres alumnos, es un evento que se puede representar en sus distintos ordenes de la siguiente forma:

Son eventos distintos08/08/2007

Técnicas de Conteo

• En muchas situaciones reales, el orden de la ocurrencia del elemento es indiferente, del lugar secuencial donde éste ocurra, sino que lo importante, es el evento formado en cuestión por la extracción de un conjunto de elementos, tal es el caso de:– Números del Loto escogidos.

– Número de formas de seleccionar personas

– Número de formas de extraer fichas de una caja, etc.

• En estos casos la permutación nos ayuda, pero exagera en el número de formas posibles.


Primera Clase 10

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Técnicas de Conteo

• Suponga una población de ‘n’ elementos de los cuales se extraerán r (r < n), donde el interés recae en los elementos seleccionados y no en el orden en que éstos son seleccionados. Entonces sea:

C : Número de formas de seleccionar r elementos de n sin importar el orden.

Entonces se tiene que:

08/08/2007

Técnicas de Conteo

• DEFINICIÓN 13: Combinatoria. Se define la combinatoria de r elementos sobre n como el número de arreglos distintos que se pueden hacer con r elementos de un total de n sin importar el orden en que son asignados. Esta expresión se anota por:

Observar que tanto la combinatoria como la permutación trabajan sobre la idea de muestreos sin reposición

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Técnicas de Conteo• APLICACIÓN 8: Considere que se tienen 10 sacos

de semillas (de igual configuración física) de las cuales se le ha desprendido su tarjeta que las identifica. Se sabe que cuatro son de una variedad y el resto de otra. Un cliente compra 3 sacos ¿Cuantas formas posibles tiene el cliente de llevar tres sacos distintos en su compra?

¿Cuantas formas posibles tiene el cliente de llevar tres sacos de la misma variedad?

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Técnicas de Conteo• APLICACIÓN 9: En una habitación hay 10

personas con insignias enumeradas de uno a diez. Se eligen tres personas al azar y se les pide que dejen la habitación inmediatamente, anotando los números de sus insignias. ¿De cuantas formas el número menor de las insignias de las personas que salen de la habitación es el 5?

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Técnicas de Conteo

• Los esquemas anteriores son válidos en muestreos sin reposición, situación que cambia en muestreos con reposición.

• Supongamos primero que el orden el importante en el esquema de selección de elementos, entonces para un conjunto de n de los cuales se extraen r, el número de formas posibles:

Utilizando el principio multiplicativo es: nr08/08/2007

Técnicas de Conteo• APLICACIÓN 7: Cumpleaños. Considere un curso

compuesto por r alumnos ¿De cuantas formas posibles pueden estos r alumnos estar de cumpleaños en un años cualquiera?

Cantidad de Alumnos


Primera Clase 11

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Técnicas de Conteo

• Supongamos ahora que el orden NO importante en el esquema de selección de elementos, entonces para un conjunto de n de los cuales se extraen r.

• Si se aumenta (imaginariamente) la cantidad de casilleros para que solo un elemento ocupe un casillero, es decir, se debe aumentar a r – 1 casilleros como se observa en la siguiente figura:

El número de formas posibles es:08/08/2007

Probabilidad Clásicas• Este planteamiento probabilista, lleva a que los

eventos del espacio muestral, sean expresados de la forma más elemental posible, con el fin de poder aceptar la posibilidad de que cada posible resultado sea igualmente posible.

• APLICACIÓN 8: Considere que se tienen 10 sacos de semillas … se sabe que cuatro son de una variedad y el resto de otra. Un cliente compra 3 sacos …

ε : Extraer tres sacos de semilla

Ω1 : (S1, S2, S3); (S7, S8, S9); …

Ω2 : (V1, V2, V1); (V1, V1, V1); …

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• APLICACIÓN 8: Considere que se tienen 10 sacos de semillas … se sabe que cuatro son de una variedad y el resto de otra. Un cliente compra 3 sacos … ¿Cuál es la probabilidad de que los sacos sean de las dos variedades?

A: Los sacos son de las dos variedades

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Probabilidad Clásicas• APLICACIÓN 9: En una habitación hay 10

personas … . Se eligen tres personas al azar …¿Cuál es la probabilidad de que el número mayor de las insignias de las personas que salen de la habitación sea el 5?

A: El número mayor de las insignias de las personas que salen de la habitación sea el 5

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Probabilidad Clásicas• APLICACIÓN 10: Considere un Torneo Mundial

de carreras de Tortugas, en la cual participan 18 empresas preparadoras de tortugas, todas de la misma especie. Se asignan puntajes a los 10 primeros lugares que lleguen en la carrera. Enuncie la experiencia aleatoria e identifique la cardinalidad de éste. ¿Es este espacio equiprobable?. Suponga que al menos 10 empresa terminan la carrera.

ε : Lugar de la empresa i-ésima en la carrera

Ω : (E1, E2, E3, … E15); …

1008/08/2007

Probabilidad Clásicas• APLICACIÓN 10: Considere un Torneo de

carreras de Tortugas mundial, … ¿Cuál es la probabilidad de que los primeros 10 puntajes sean conseguidos por alguna de las 12 empresas Italianas?.

A: Los primeros 10 puntajes son conseguidos por alguna las empresas Italianas


Primera Clase 12

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Probabilidad Clásicas• APLICACIÓN 10: Considere un Torneo de

carreras de Tortugas mundial, … . Si durante un año se realizan 5 carreras. ¿Cuál es la probabilidad de que los primeros 10 puntajes sean conseguidos por alguna de las 12 empresas Italianas en alguna de las carreras?.

B: Los primeros 10 puntajes son conseguidos por alguna las empresas Italianas en alguna de las cinco carreras

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Probabilidad Clásicas• APLICACIÓN 11: El gerente de una pequeña planta

industrial desea determinar el número de maneras en que puede asignar trabajadores al primer turno. Cuenta con 15 hombres y 5 mujeres que pueden servir como operadores del equipo de producción; 8 hombres y 7 mujeres que pueden desempeñarse como personal de mantenimiento; y, 3 hombres y 2 mujeres que pueden ser supervisores. Si el turno requiere de 8 operadores; 3 trabajadores de mantenimiento y un supervisor.

Describa al menos un elemento del espacio muestral. ¿Es éste equiprobable?

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Probabilidad Clásicas• APLICACIÓN 11: El gerente de una pequeña

planta industrial desea determinar …¿Cuál es la probabilidad de que el primer turno es compuesto solo por hombres?

A : El primer turno está compuesto sólo porhombres.

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planta industrial desea determinar …¿Cuál es la probabilidad de que el primer turno sea supervisado por una mujer?

B : El primer turno es supervisado por unamujer

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planta industrial desea determinar …¿Cuál es la probabilidad que el personal de mantenimiento del primer turno sea en su mayoría hombres ?

C : El personal de mantenimiento del primer

turno es en su mayoría hombres

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Probabilidades Condicionales• DEFINICIÓN 14: Probabilidad Condicional. Sean

A1, A2, … , Ak una partición de Ω. Sea B un eventos tal que B ⊂ Ω. Entonces la probabilidad condicional del eventos B, cuando se sabe que ha ocurrido que Ai se expresa por:

Probabilidad

‘Hecho Incierto’

Condición

‘Hecho Cierto’

Cumple con las propiedades vistas para probabilidades


Primera Clase 13

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Probabilidades Condicionales• Esquemáticamente la Probabilidad Condicional, se

puede visualizar a través del diagrama de Venn, donde se representa para el hecho acaecido A1:

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Probabilidades Condicionales• La Probabilidad Condicional, es una extensión de

la probabilidad frecuentistas, bajo los criterios de estadística descriptiva bivariado en tablas de frecuencia, particularmente cuando una variable era condicionada a una clase en particular de la otra variable, es decir:

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Probabilidad Total• DEFINICIÓN 15: Probabilidad Total. Considere a:

A1, A2, … , Ak una partición de Ω. Sea B un eventos tal que B ⊂ Ω. Entonces la probabilidad total del eventos B, cuando se sabe que ha ocurrido que Ai se expresa por:

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Probabilidad Total• Al analizar cuidadosamente la definición de

probabilidad total, se puede percibir, que no es otra cosa que un promedio ponderado de la probabilidades del evento B por las respectivas ocurrencias del algún segmento de A:

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Probabilidad Total• La Probabilidad Condicional, es sencillo visualizar,

que no es más que un promedio, utilizando el enfoque frecuentista de probabilidad, Considere una tabla bivariada de la forma:

Entonces la probabilidad de que ocurra el evento B2:

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Propiedades en condicionales• APLICACIÓN 12: Se han nominado a tres

miembros de un club privado nacional para ocupar la presidencia del mismo. La probabilidad de que se elija al señor Adams es de 0,3; la probabilidad de que se haga lo propio con el señor Brown, de 0,5 y la probabilidad de que gane la señora Cooper, de 0,2. En el caso de que se elija al señor Adams, la probabilidad de que la cuota de ingreso se incremente es de 0,8; si se elige al señor Brown o la señora Cooper, las correspondientes probabilidades de que se incremente la cuota de ingreso son de 0,1 y 0,4. Defina claramente los sucesos asociados a este problema y visualícelos en un diagrama de Venn.


Primera Clase 14

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miembros de un club privado nacional …A: El presidente elegido es el señor AdamsB: El presidente elegido es el señor BrownC: El presidente elegido es el señor Cooper?: Incremento en la cuota de Ingreso

[A] = 0,3 [B] = 0,5 [C] = 0,2[?/A] = 0,8 [?/B] = 0,1 [?/C] = 0,4

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miembros de un club privado nacional … ¿Cuál es la probabilidad de que haya un aumento en la cuota de membresía?.

[?] = [?/A]x[A] + [?/B]x[B] + [?/C]x[C]

= 0,8 x 0,3 + 0,1 x 0,5 + 0,4 x 0,2 = 0,3700

Si alguien considera entrar al club pero retrasa su decisión por varias semanas sólo para encontrarse con que las cuotas de entrada han aumentado. ¿Cuál es la probabilidad de que se haya elegido a la señora Cooper como presidenta del Club?.

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Propiedades en condicionales• APLICACIÓN 12: Si alguien considera … ¿Cuál

es la probabilidad de que se haya elegido a la señora Cooper como presidenta del Club?.

Este cambio en las probabilidades es la base fundamental del Teorema de Bayes.

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Propiedades en condicionales• APLICACIÓN 12: Si las cuotas de entrada no han

aumentado. ¿Cuál es la probabilidad de que se haya elegido a la señora Brown o Adams como presidenta del Club?.

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Propiedades en condicionales• APLICACIÓN 13: Un estudiante sale de su casa

exactamente a las 17:00, para dirigirse a la Universidad. La probabilidad de que se vaya directo a clases es 0,7 y que pase primero a tomar café es 0,3. Si va directamente a clases hay una probabilidad de 0,9 de que este en ella a las 18:45, en tanto que si pasa a tomar café es de sólo 0,05. Defina claramente los sucesos asociados a este problema y visualícelos en un diagrama de Venn.

A : El estudiante va directo a clases.B : El estudiante va pasa a tomar café.C : El estudiante llega a clases a tiempo.

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Propiedades en condicionales• APLICACIÓN 13: Un estudiante sale …

[A] = 0,7

[B] = 0,3

[C/B] = 0,05

[C/A] = 0,90

• APLICACIÓN 12: Un estudiante sale … ¿cuál es la probabilidad de que un estudiante llegue a tiempo a clases?.


Primera Clase 15

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Propiedades en condicionales

Si el estudiante llegó a clases después de las 18:45. ¿cuál es la probabilidad de que su retraso se deba a que paso a tomar café?.

• APLICACIÓN 13: Un estudiante sale … Si el estudiante llegó a clases antes de las 18:45. ¿cuál es la probabilidad el estudiante no haya pasado a tomar café?.

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Propiedades en condicionales• APLICACIÓN 14: En un estudio de Marketing

efectuado por vía telefónica a 400 personas mayores de 27 años de la ciudad de Santiago, sobre el consumo de una nueva cerveza nacional, se logró determinar que 16 personas habían visto un aviso de publicidad en revistas de supermercados; 160 personas habían visto un aviso de publicidad de televisión; mientras que 40 personas habían visto un aviso de publicidad en ambos medios de publicidad. Además, se observó que 140 personas habían adquirido la cerveza, producto que había visto la publicidad, mientras que 40 personas habían adquirido el producto, sin haber visto la publicidad.

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Propiedades en condicionales• ¿Cuál es la probabilidad de que una persona

mayor de 27 años de la ciudad de Santiago adquiera la cerveza?.

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Propiedades en condicionales• Si una persona mayor de 27 años de la ciudad de

Santiago no adquiere el producto, ¿cuál es la probabilidad de que éste no observara publicidad?.

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Probabilidad Condicional

• DEFINICIÓN 16: Principio Multiplicativo. Sean A y B eventos de Ω, entonces considerando la probabilidad condicional se tiene:

La extensión de este concepto es: A1, A2, … An, eventos de Ω, entonces:

[A1∩ … ∩ An] = [A1]x[A2/A1]x[A3/A1 ∩ A2 ] x

… x [An/A1 ∩ … ∩ An-1]

[ ][ / ][ ]

A BA B

B

∩=

PP P [ ] [ ] [ / ]A B B A B∩ = ×P P PPrin. Mult.

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Teorema de Bayes• La regla de Bayes permite actualizar ciertas

probabilidades apriori para transformarse en probabilidades aposteriori de un evento cierto (experimento).

• La importancia de la regla de Bayes consiste en que se aplica en contexto de eventos secuenciales y además, de que proporciona la base para determinar la probabilidad condicional de un evento a la luz de un evento especifico que ha ocurrido. La expresión está dada por:


Primera Clase 16

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Teorema de Bayes• APLICACIÓN 15: Los clientes se encargan de

evaluar los diseños preliminares de varios productos electrónicos. En el pasado, el 95% de los productos que con mayor éxito en el mercado recibieron buenas evaluaciones, el 40% de los productos con éxito moderado recibieron malas evaluaciones, y el 10% de los productos con escaso éxito recibieron buenas evaluaciones. Además, el 40% de los productos ha tenido mucho éxito, el 35% un éxito moderado y la cuarta parte una baja aceptación.

Definiendo claramente lo eventos, especifique las probabilidades a priori de los estados

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evaluar … a priori de los estados:

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evaluar … ¿Cuál es la probabilidad de que un producto obtenga una buena evaluación?

Observar que es una probabilidad total

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evaluar … Si un diseño obtiene una buena evaluación. ¿Cuál es la probabilidad de que se convierta en un producto de gran éxito?

Luego también es posible determinar las probabilidades de los otros estados

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Actualización de Probabilidades• APLICACIÓN 16: Se planea una gran presa, la

empresa a cargo se interesa en la cantera de grava fina para el concreto. Una posible cantera cercana al lugar es difícil de reconocer con exactitud. Un consultor especializado plantea tres posibles escenario para la magnitud de la cantera; 50% de lo requerido; lo requerido; ó150% de lo requerido. Por indicaciones de superficie y un solo pozo de sondeo, el consultor asigna las siguientes probabilidades a estos escenarios:

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Actualización de Probabilidades

• Las diferentes posibilidades que indique una muestra (Z1, Z2, Z3) dependen del verdadero escenario (desconocido), sin embargo, por la experiencia de la empresa, :


Primera Clase 17

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Actualización de Probabilidades• APLICACIÓN 16: Antes los resultados de un

segundo pozo de sondeo, que muestra un valor cercano a lo requerido. ¿Cuáles son las nuevas probabilidades de la magnitud de grava en la cantera?.

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Actualización de Probabilidades• Luego se puede observar que ante el hecho de un

nuevo resultado muestral las probabilidades a priori de los estados han aumentado ódisminuido, según el resultado de la muestra, determinando las nuevas probabilidades de los estados llamadas a posteriori.

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Reactualización de Probabilidades• APLICACIÓN 16: Antes los resultados de un

tercer pozo de sondeo, que muestra un valor cercano a 50% de lo requerido. ¿Cuáles son las nuevas probabilidades de la magnitud de grava en la cantera?.

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Reactualización de Probabilidades• Luego se puede observar que ante el hecho de un

nuevo resultado muestral las probabilidades a priori de los estados han aumentado ódisminuido, según el resultado de la muestra, determinando las nuevas probabilidades de los estados llamadas a posteriori.

08/08/2007

Test de Diagnóstico• DEFINICIÓN 17: Un Test de diagnóstico, es aquel

que sirve para detectar la presencia de alguna condición específica en una unidad experimental. Por esta razón es deseable que los test sean seguros, en el sentido que exista una alta probabilidad de detectar una condición, cuando de hecho esté presente.

• DEFINICIÓN 18: Coeficiente de falsos positivos. El coeficiente de falsos positivos de un test se denota por α y viene dado por:

[el test resulta + / sujeto es realmente +]• DEFINICIÓN 19: Coeficiente de falsos negativos. El

coeficiente de falsos positivos de un test se denota por β y viene dado por:

[el test resulta – / sujeto es realmente –]08/08/2007

Test de Diagnóstico• APLICACIÓN 16: Se planea una gran presa, la

empresa a cargo se interesa en la cantera de grava fina para el concreto … las posibilidades de acierto del consultor con el resultado de la muestra encontrándose en los posibles escenarios se indican a continuación:


Primera Clase 18

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Test de Diagnóstico• APLICACIÓN 16: Se planea una gran …

las posibilidades de acierto del consultor con el resultado …¿Cuáles son los coeficientes falsos positivos asociados a los aciertos del consultor?.

Acierto de Estado Z1



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Test de Diagnóstico• APLICACIÓN 16: Se planea una gran …

las posibilidades de acierto del consultor con el resultado …¿Cuáles son los coeficientes falsos negativos asociados a los aciertos del consultor?.




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Riesgo Relativo• DEFINICIÓN 20: Riesgo relativo. El Factor riesgo

relativo se asocia a algunas experiencia, que se diseñan para investigar un factor que el investigador cree puede estar asociado con el desarrollo de una enfermedad o condición específica, llámese D. Entonces el factor riesgo relativo viene dado por:

Donde E, representa a aquellos miembros que han estado expuesto a una condición específica

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Riesgo Relativo• APLICACIÓN 16: Se planea una gran …

las posibilidades de acierto del consultor con el resultado …¿Cuáles son los riegos relativos asociados a los aciertos del consultor?.

Estado Z1

Estado Z2

Estado Z3

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Independencia• DEFINICIÓN 21: Independencia de Eventos. Sean

A1, A2, A3, … An, eventos de U, entonces el evento Ai, es independiente del evento Aj, si ∀ i ≠ j se tiene:

[Ai / Aj] = [Ai]

• De está definición se accede al concepto más aplicable ante eventos independientes, es decir:

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Independencia

• De la definición de independencia para dos eventos cualquiera se puede desprender:

c c[A / A ] [A ]i j i=P Pc c c[A / A ] [A ]i j i=P P

c[A / A ] [A ]i j i=P P

cA y A son independientesi j

c cA y A son independientesi j cA y A son independientesi j

• Considere los eventos y evalúe los conceptos de independencia:

A: El día es caluroso B: Licitan Avda. X


Primera Clase 19

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Independencia• DEFINICIÓN 22: Extensión de Independencia de

Eventos. Sean A1, A2, A3, … An, eventos de U, independientes. Entonces para k = 2, 3, … n, se tiene:

[Ai1 ∩ Ai2 ∩ …∩ Aik] = [Ai1]x[Ai2] x … x [Aik]

donde (i1, i2, … , ik) es una combinación cualquiera de orden k, de los números de la sucesión 1, 2, … , n, que se puede representar para eventos o complementos de eventos del espacio U.

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Concepto de Independencia• APLICACIÓN 17: Considere un sistema como se

muestra en la figura. Suponga que los componentes en A, B y C funcionan de manera independiente y que las probabilidades de que funcionen son las que se muestran en la figura:

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Concepto de Independencia• APLICACIÓN 17: Considere un sistema …

Determine la probabilidad de que el sistema funcione.

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Concepto de Independencia• APLICACIÓN 17: Considere un sistema

¿Cuál es la probabilidad que el sistema funcione con sólo un componente de la estructura B?.

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Concepto de Independencia• APLICACIÓN 17: Considere un sistema ¿Cuántos

componentes como los de la figura, deben colocarse en paralelo en B, para que la probabilidad de que sistema funcione sea a lo menos a 0.95?.

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Concepto de Independencia• APLICACIÓN 18: Sobre un avión se hacen tres

disparos independientes, por separado. La probabilidad de acertar con el primer disparo (D1) es de 0,5; con el segundo (D2) de 0,6 y con el tercero (D3) de 0,8. Para derribar el avión, es necesario acertar las tres veces. Al acertar una vez, el avión se avería y cae con probabilidad 0,3; mientras que acertar dos veces, esto acontece con una probabilidad 0,6.

Define los eventos asociados al problema y las probabilidades asociadas a éstos y algunos eventos de Ω.


Primera Clase 20

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Concepto de Independencia• APLICACIÓN 18: Sobre un avión …

Donde algunos eventos de Ω serían:

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Concepto de Independencia• APLICACIÓN 18: Sobre un avión … Hallar la

probabilidad que el avión reciba sólo dos impactos

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Concepto de Independencia• APLICACIÓN 19: Sobre un avión … Hallar la

probabilidad que, como resultado de 3 disparos, el avión sea derribado.

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Concepto de Independencia• APLICACIÓN 18: Sobre un avión … Si el avión

fuera derribado, hallar la probabilidad que el avión haya recibido 2 impactos

0,6 0,5 0,6 0,2 0,6 0,5 0,4 0,8 0,6 0,5 0,6 0,80,5940

× × × + × × × + × × ×

1.3 clase elementos de probabilidad

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