13 geometría 1ro sec ii trim 2014

II TRIMESTRE

GE1DENS

115

Tringulos

Se llama tringulo a la figura formada por la unin de tres segmentos, determinados al unir tres puntos no colineales

Notacin:

ABC (tringulo ABC ) Permetro: 2p = ACBCAB

CLASIFICACIN DE TRINGULOS 1) Por sus lados, se clasifican en:

a) Escaleno: No tiene lados iguales. b) Issceles: Tiene 2 lados iguales, el tercero

es llamado base. c) Equiltero: Sus tres lados son iguales,

tambin cada uno de sus ngulos mide 60

2) Por sus ngulos, se clasifica en: a) Tringulo rectngulo: Tiene un ngulo

recto (90). Los lados que determinan dicho ngulo se llama catetos y el opuesto se llama hipotenusa.

b) Acutngulo: Si sus ngulo son agudos. c) Obtusngulo: Tiene un ngulo interior

obtuso.

PROPIEDADES BASICAS

a) Las medidas d los ngulos interiores suman 180.

+ + = 180

b) Cualquier ngulo exterior mide Igual que la suma de los ngulos interiores no adyacentes.

x = +

c) La suma de los ngulos exteriores en un

tringulo es 360 donde:

+ + = 360

d) Cualquier lado es mayor que la diferencia de longitudes de los otros dos y menor que su suma. Si: c > b >a b< c + a

b > c . a c. a < b < c + a

Adems: A lados iguales se oponen ngulos iguales.

LNEAS NOTABLES DEL TRINGULO

Altura.- Es la distancia de un vrtice al lado opuesto o a su prolongacin; estas se interceptan en un punto llamado ORTOCENTRO.

Acutngulo Obtusngulo Rectngulo

B180CLA

Mediana.- Segmento que une el vrtice con el punto medio del lado opuesto. El punto de interseccin de las medianas se llama BARICENTRO o centro de gravedad del tringulo.

Se cumple que:

Nota: En todo tringulo, la mediana relativa a la hipotenusa es igual a la mitad de esa hipotenusa.

AA

BA

C interior

exterior

lado

a) b) c)

x

c

b a

A

B

C

Si:

A = C

A

B

C

Ortocentro

A

B C

L Ortocentro

B C

A

Ortocentro

Baricentro

A

B

C

M N

P

G

A C

B

O

M Baricentro

A

B

C A C

B

base A

B

C

Escaleno Issceles Equiltero

116

SEGUNDO TRIMESTRE Geometra 1ro Direccin de Evaluacin

Exigencia que da Resultados!!!s

s

cpumc class

Mediatriz.- Es la perpendicular trazada por el punto medio del lado de un tringulo.

El punto donde. se cortan las mediatrices de un tringulo se llama CIRCUNCENTRO, adems es el centro de la circunferencia circunscrita al tringulo.

O CIRCUNCENTRO R2AC

Se cumple que: B2COA R: radio de la circunferencia

Bisectriz.- Es el segmento que divide al ngulo del tringulo en des ngulos iguales.

lncentro: Es el punto de Interseccin de las bisectrices interiores de un tringulo, equidista de los lados y es el centro de la circunferencia inscrita.

R radio de la circunferencia inscrita

(inradio) 2

B90CIA I incentro

Se cumple que: ANAM BPBM CPCN

Excentro: Es el punto de interseccin de dos bisectrices exteriores y una bisectriz interior. Cada tringulo tiene tres excentros los cuales son Puntos exteriores al tringulo, y son los centros de las circunferencias ex inscritas al tringulo.

E Excentro relativo a BC R Radio de la circunferencia ex inscrita relativa al lado BC (ex-inradio)

Se cumple: 2

BAEC ;

2

A90BEC

CONGRUENCIA DE TRINGULOS

Dos tringulos se llaman congruentes, si tienen sus lados y ngulos respectivamente congruentes (Iguales).

ABC DEF

Postulado I. ALA (ngulo lado ngulo) Dos tringulos son congruentes si tienen congruentes un lado y los ngulos adyacentes a l.

Si: A A 'C'AAC C C ABC AB C

Postulado II. LAL (lado ngulo lado) Dos tringulos son congruentes si tienen congruentes dos lados y ngulo comprendido entre ellos.

Si: 'B'AAB A A 'C'AAC

ABC ABC

Postulado III. LLL (lado lado lado) Dos tringulos son congruentes, si los tres lados d cada tringulo lo son. Si:

ABC ABC

CONGRUENCIA DE TRINGULOS RECTNGULOS

Teorema: En todo tringulo el segmento que une a los puntos medios de dos lados, es paralelo al tercer lado e igual a su mitad.

Donde:

MN Base media

2

ACMN

O R A C

B

R

R

O

Acutngulo

R R A

B

C R

R R A

B

C O

Obtusngulo Rectngulo

A

B

C N

M P

r r

r

R

R

R

B

C A

E

A

B

C A

B

C

A

B

C A

B

C

A

B

C A

B

C

; ;

I II III

A C

B

M N

A

B

C D F

E

SEGUNDO TRIMESTRE Geometra 1ro

117

Direccin de Evaluacin


s

cpumc class

Teorema: Todo punto situado en la bisectriz de un ngulo equidista de sus lados.

P: punto d cualquiera de la bisectriz.

OS del AOB, de P trazamos OAPR y OBPQ

De la congruencia de s rectngulo (II)

PQPR OQOR

Teorema: Todo punto situado en la mediatriz de un segmento, equidista de sus extremos.

Sea: P Punto cualquiera de la mediatriz de la congruencia de s rectngulos (I).

A = B PBPA

PROPIEDADES IMPORTANTES

1.

+ = 90

2.

x = 90

3.

x = 180 2

4.

+ = m + n

5.

x = + +

6.

2x

7.

8.

9.

10.

11.

ABC: Escaleno; BQ : Altura; BD : Bisectrices

12. Teorema de bisectriz de un ngulo.- todo punto que pertenece a la bisectriz de un ngulo equidista de los lados de sus ngulos.

PQ = PR

13. Teorema de la Bisectriz Exterior.

: bisectriz exterior

O

R

Q

P

A

S

B

A B

P

O

x x

2

x

m

n

x

x

x

x

x

x

x

A Q D C

B

O

Q

R

P

A

B

C D

118



s

cpumc class

TALLER DE AULA

Halla el valor de x en los siguientes ejercicios:

(1) (2)

(3) (4)

(5) (6) (7) (8)

(9) (10)

(11) (12)

(13) (14)

(15) (16)

(17) (18)

(19) (20)

(21) (22)

(23) (24)

(25) (26)

ACTIVIDAD 1. Halla 2x en:

a) 60 b) 30 c) 120 d) 180 e) 200

2. Halla el valor de x en:

a) 105 b) 100 c) 85 d) 75 e) 45

3. Halla el valor de 3x en:

a) 90 b) 180 c) 270 d) 190 e) 200

4. Halla el valor de en:

a) 90 b) 80 c) 70 d) 60 e) 50

60

x

28

25

x

120

x

x 32

108

x

147 100

x x

122

x

110

130 159

139

x

151

54

x x

59

x

36

118

x

70

x 104

x

50

x

61

x

25 25 x

48

x x

= 13

30

x

80

x

25

x

5

80 x

75

x

40

60

60 x

50

x

40 70

x

65

60

x

A C

B

a a

a

30 A

B

C x

45

.

x

A C

B

a a

45

70 30


119



s

cpumc class


a) 30 b) 40 c) 15 d) 16 e) 45


a) 120 b) 130 c) 140 d) 150 e) 170

7. Halla el permetro de:

a) 70 b) 75 c) 78 d) 85 e) 65

8. Halla y en:

a) 100 b) 105 c) 110 d) 115 e) 120

9. Halla x en:

a) 40 b) 30 c) 45 d) 50 e) 20

10. Halla el valor de x en:

a) 50 b) 95 c) 100 d) 105 e) 110

Semejanza de Tringulos

Dado dos tringulos diremos que lados homlogos son aquellos que se oponen a ngulos de igual medida

EDyAB son lados homlogos porque se oponen a

un mismo ngulo .

Hablemos ahora de tringulos semejantes:

Si dos tringulos son semejantes lo indicaremos con el smbolo

En la figura anterior: ABC DEF La razn de dos lados (o el cociente de sus longitudes) homlogos se llama razn de semejanza o tambin constante de proporcionalidad (K).

REPASEMOS:

En la figura anterior ocurre que:

ABC DEF

porque hay 3 pares de ngulos congruentes y 3 pares de lados proporcionales, donde:

KDF

AC

EF

BC

ED

AB

Sin embargo, para identificar dos tringulos semejantes no es necesario verificar los 3 pares de ngulos y 3 pares de lados, sino una combinacin de 2 3 pares de ngulos y/o lados de donde resultan 3 casos de semejanza que se pueden observar los siguientes casos.

CASOS DE SEMEJANZA Primer Caso.- Dos tringulos son semejantes

si tienen dos pares de ngulos interiores congruentes.

Segundo Caso.- Dos tringulos son semejantes si tienen un par de ngulos interiores congruentes y los lados que los forman respectivamente proporcionales.

kb

bk

a

ak

Dos tringulos son semejantes si tienen la misma forma pero diferente tamao

En dos tringulos semejantes se cumple que sus ngulos interiores son congruentes y sus lados homlogos son segmentos proporcionales

A

B

C E

D

F

ak

b bk

a

A C

B

F

E

D

2

A

B

C

20

30

20 25

30

50

60 y

80

40 x

15 60 x

35

120



s

cpumc class

Tercer Caso.- Dos tringulos son semejantes si los tres pares de lados son proporcionales

kc

ck

b

bk

a

ak

P R O P I E D A D E S

1. Si dos tringulos son semejantes, tambin son proporcionales los permetros, las alturas, las medianas y las bisectrices

h

hk

a

ak

2. Si trazamos una recta L secante a un tringulo

ABC y paralela a uno de sus lados, se forma un tringulo parcial semejante al triangulo ABC

Veamos un ejemplo ms especfico:

En la figura se nos pide hallar x que expresa la

longitud del segmento .BC//EDsiED

Observando el grfico notamos que:

ADE ABC (Primer Caso)

La razn de los lados que se oponen al

ngulo es: x/32

La razn de los lados que se oponen al

ngulo es: 30/48

Como los lados son proporcionales, al igualar ambas razones obtenemos la siguiente proporcin:

48

30

32

x

TALLER DE AULA

En los siguientes casos, Calcula la medida x.

1. a) 5 b) 10 c) 8 d) 9 e) 12

2.

a) 16 b) 10 c) 8 d) 6 e) 12

3. a) 10,2 b) 10,8 c) 20,4 d) 21,4 e) 11,2

4. a) 18 b) 20 c) 15 d) 22 e) 31

5. a) 21

b) 14 c) 24 d) 32 e) 8

6.

a) 24 b) 16 c) 17 d) 10 e) 25

7. PQRS: cuadrado

a) 2,1 b) 1,3 c) 15 d) 1,2 e) 17

8.

a) 19 c) 20 e) 12 b) 24 d) 36

9.

b a h

ak bk

ck c

hk

ak b bk

a

ck c

B

D E

A C

L

L //

Luego ABC DBE

x=20m

18

x

2 n

3 n

x 16

8k

3k

x

16

3n

5n

x

P

Q R

S 3

7

A

B

C

x

E

D

30 m 32 m

18 m //

12

9

6

x

x

15

10 4

x

7 9

16

9

x

x 20

7l 3 l


121



s

cpumc class

a) 28 b) 32 c) 12 d) 19 e) 10

10. a) 5,12 b) 6,75 c) 10,9 d) 14,7 e) 87,9

11. ABCD: cuadrado. AC = 12; AP = x

a) 15 b) 14 c) 10 d) 8 e) 5

12.

a) 19 b) 15 c) 20 d) 32 e) 9

13. a) 4 b) 16 c) 6 d) 14 e) 18

14.

a) 4,2 b) 1,2 c) 2,5 d) 3,6 e) 10

15.

a) 10,3 b) 18,8 c) 10,8 d) 14,3 e) 22

16. a) 9 b) 15 c) 3 d) 27 e) 14

17. a) 19 b) 5 c) 6 d) 10 e) 15

18. O: centro. T: punto de tangencia

a) 33/2 c) 10/8 e) 10/4 b) 10/4 d) 20/3

19.

a) 6 c) 12 e) 4 b) 19 d) 8

20. ABCD: paralelogramo

a) 6,4 b) 6,2 c) 6,3 d) 6,25 e) 6,1

21. a) 3,75 b) 5,41 c) 6,12 d) 40 e) 1,51

22. ABCD: cuadrado

a) 18 b) 12 c) 27 d) 31 e) 5

23.

a) 10 c) 24 e) 8 b) 6 d) 4

24.

a) 11,2 b) 20,3 c) 4,8 d) 5,8 e) 10,5

25.

a) 36 b) 9 c) 10,6 d) 7,2 e) 15,2

26.

A

B C

D

M

P

x

16

9

10 x

4

5

x

24

18

9

x

18

24

40

x

9

4

10 4

T

x o

x

4n

3n 8

2a

B C

7a Q

A

D

F x 16

9

3

x

5

A

B C

D

16 x

5

4

x

9

4

x x

8 10

16

x

A

C 8

F E

B

x

12

x +1

x +4

12 17

9

12 15

122



s

cpumc class

a) 6,2 b) 4,8 c) 12,1 d) 29 e) 29,5

27. I y II: cuadrados

a) 4,5 b) 8,8 c) 5,3 d) 8,9 e) 3,5

28. a) 10,9

b) 5/8 c) 10/3 d) 8/2 e) 30,5

29. a) 10 b) 9 c) 27 d) 14 e) 6

30. ABCD y EBFG: cuadrados

a) 16 b) 6 c) 5 d) 18 e) 29

31. ABC y ADE: equilteros

a) 10,8 b) 18,8 c) 18,7 d) 24,6 e) 14,4

32.

a) 4

b) 18

c) 10

d) 2

e) 20

33.

a) 6 b) 8 c) 10 d) 18 e) 26

34. a) 10 b) 4 c) 26 d) 2

e) 17

35.

a) 12 b) 18 c) 20 d) 37 e) 25

36.

a) 23 b) 17 c) 11 d) 10 e) 6

37. ABCD: cuadrado

a) 12,2 b) 8,4 c) 4,8 d) 12 e) 12,1

38. a) 5 b) 9 c) 4 d) 10 e) 16

39.

a) 8 b) 3 c) 14 d) 5 e) 9

40.

a) 19 b) 6 c) 17 d) 21 e) 9

41. ABCD: paralelogramo

a) 15 y 9 b) 16 y 25 c) 24 y 2 d) 18 y 14 e) 20 y 1

42. a) 8 b) 6 c) 12 d) 18 e) 4

43.

x 5

4

6

A

B C

D

F

G E

6 4

X H

D

B

10 8 E A C

H x

x

1 1

13

x

4

x

6

8

7

x

15

3a 2a

2b

3b

A D

B 8 4

C x

x

2 8

9 16

x

20

B C

F E

2

x

A

A

F

x

D

B C

4

E 9

G

x

2

6

II I

x 3 5

12 8

10

x

x

10

2r

2a a

3n

2n

3r

2b 2b

b

18

12

x

2a

a


123



s

cpumc class

a) 30, b) 25 c) 20,1 d) 15,5 e) 14,4

44. I: incentro del ABC, EF = x

a) 14 b) 7 c) 6 d) 8 e) 36

Cuadrilteros Concepto.- Los cuadrilteros son polgonos que tienen cuatro lados.

Convexo Cncavo

CLASIFICACIN DE LOS CUADRILTEROS

Paralelogramo.- Es el cuadriltero cuyos lados opuestos son paralelos. Se clasifican en: - Romboide, paralelogramo, no es equiltero ni

equingulo. - Rombo, paralelogramo, es equiltero(sus lados son

congruentes) - Rectngulo, paralelogramo que es equingulo (sus

cuatro ngulos congruentes son rectos). - Cuadrado, paralelogramo que es equiltero y

equingulo sal mismo tiempo. Es decir, el cuadrado es un cuadriltero regular. Es un rombo y un rectngulo a la vez.

Romboide (paralelogramo) Rombo

Rectngulo Cuadrado

Propiedades de los paralelogramos: 1. Los lados opuestos de un paralelogramo son

congruentes. 2. Los ngulos opuestos de un paralelogramo son

congruentes. 3. Las diagonales de un paralelogramo se bisecan

mutuamente (se cortan en su punto medio). 4. El punto medio de una diagonal de un paralelogramo

en su centro de sistema.

5. Cada diagonal divide a un paralelogramo en

tringulos congruentes (de la figura: PQR = PSR y QRS = PQS).

Trapecio.- Es el cuadriltero que tiene dos lados paralelos.

Siendo:

FG : base menor (b)

EM : base mayor (B)

PQ : mediana

EF : lado lateral

FH : altura Los trapecios se dividen a su vez en: - Trapecio Issceles, es el trapecio que tiene sus lados

laterales congruentes. - Trapecio Rectngulo, es el trapecio que tiene un

lado lateral perpendicular a sus bases. - Trapecio escaleno, es el trapecio que tiene sus lados

laterales desiguales.

Trapezoides.- Son cuadrilteros cuyos lados opuestos no son paralelos. Pueden ser: - Trapezoides simtricos, son aquellos que tiene dos

lados consecutivos congruentes y los otros dos lados tambin congruentes pero distintos de los anteriores.

BD : diagonal principal biseca a los ngulos D y B

- Trapezoide asimtrico: se le llama as cuando no tiene las caractersticas del trapezoide simtrico.

BC no es paralelo con AD y AB no es paralelo con

CD

PROPIEDAD FUNDAMENTAL EN LOS CUADRILATEROS

La suma de los ngulos internos es 360

+ + 360

E

I 14

F

10

A C

12

B

A

B

D

C

E G

H

F

P

Q

S

R

M O

N P

H M

Q P

E

F G

B

b

A

C

B D

A

B

C

D

C

D A

B

P

Q

C

D A

B

P

Q

Trapecio Issceles

Trapecio Rectngulo

Trapecio Escaleno

P S

Q R

B

b Q R

P S

b

B

P S

R Q b

B

124



s

cpumc class

A

B

C

D

x

PROPIEDADES GENERALES

La suma de los cuadrados de la diagonales (D y d) de un paralelogramo son igual a la suma de los cuadrados de sus cuatro lados.

D2 + d2 = 2(a2 + b2) PROPIEDADES DEL ROMBO 1. Por ser un paralelogramo, cumple con todas las

propiedades ya mencionadas. 2. Los diagonales de un robo son perpendiculares entre

s. 3. los diagonales de un rombo son bisectrices de los

ngulos internos del mismo. PROPIEDADES DEL RECTNGULO 1. Por ser un paralelogramo cumple con todas sus

propiedades. 2. Las diagonales del rectngulo son iguales. (de la

figura: QS = PR). 3. la perpendicular que pasa por los puntos medios de

los lados opuestos de los rectngulos en su eje de simetra.

PROPIEDADES DEL CUADRADO 1. Por ser un paralelogramo, cumple con todas sus

propiedades. 2. Por ser un rombo, cumple con todas sus propiedades. 3. Por ser un rectngulo, cumple con sus respectivas

propiedades. 4. Las diagonales de cuadrados son perpendiculares

entre s, son congruentes y son bisectrices de sus ngulos interiores.

PROPIEDADES DEL TRAPECIO 1. La mediana de un trapecio es paralela a las bases del

trapecio y es igual a la semisuma de ellas.

/ / / /

2

Md B d

B bMd

2. La mediana divide a la altura del trapecio en dos partes congruentes.

3. Dos ngulos interiores del trapecio situados en el mismo lado lateral son suplementarios (O sea suma 180).

180

180

En el trapecio issceles, los ngulos de cada base son congruentes.

La longitud del segmento que une los puntos medios de las diagonales de un trapecio es igual a la semidiferencia de las bases.

AD//BC//EF

)( BCADEF 2

1

Siendo: ACdemediopuntoE""

La longitud del segmento paralelo a las bases que pasa por el punto de interseccin de las diagonales es igual a la media armnica de las bases.

ADBCPQ ////

ba

abPQ

2

Pero: OP = OQ

Si se une consecutivamente los puntos medios de los

lados de los cuadrilteros cualquiera se forma un paralelogramo.

EFGH = paralelogramo

El ngulo formado por dos bisectrices interiores de dos ngulos consecutivos de un cuadriltero, es igual a la semisuma de los otros dos ngulos.

En un cuadriltero, el ngulo formado por las bisectrices exteriores de dos ngulos consecutivos es igual a la semisuma de dichos ngulos.

En un cuadriltero, el menor ngulo formado por las bisectrices de los ngulos opuestos es igual a la semidiferencia de los otros dos ngulos.

PRINCIPALES PROPIEDADES

P

Q R

S

D

d

O

a a

b

b

P S

F E

Q R b

B

Mediana (Md)

Q R

P S

Q R

P S

A

B C

D

E F

a A D

B C

P Q O

G

E

H F

B

A D

C

x

B

A

C

D

D

C

B A

x

abOP

a b

abOQ

a b


125



s

cpumc class

1.

2.

Si + = 90. Se cumple 2

bax

3.

4.

5.

dbca

6.

cab

7.

cadb

8.

dbc

TALLER DE AULA

(1) (2) (3) (4)

(5) (6)

(7) (8)

(9) (10)

ABCD : romboide

(11) (12)

(13) (14)

a

b

x

x

a

b

2 m

m

b

a n

2 n

a

b

m

2m 2 n

n x

a

b

d

c

a

b

c

a

b

c

d

b

c

d

x

A

B C

D

37

10

4

x

2a

8a

x

A

B C

D

7

x

53

x

10

A

B

7x

8x

C

D

53

8

x

A

B C

D P

14

x

37

B

A C

D

10

x

5x 8x

4x 3x

A

B C

D

M N x

b

b + 12

60

60

4

x

A

B

M 14

8

x

AM = MB

44 x

60

B

C

D

Rombo ABCD A

126



s

cpumc class

6x

7x8x

9x

6x

4x 3x

5x

10x

6x

11x

(15) (16)

(17) (18)

(19) (20)

21. En un trapecio rectngulo uno de sus ngulos

interiores mide 124. Halla el menor ngulo interior del trapecio.

a) 26 b) 62 c) 56 d) 34 e) 30 22. Hallar "x"

a) 50 b) 60

c) 40 d) 35 e) 45

23.Si: ABCD es un cuadrado y DAED es equiltero. Halla

x.

a) 20 b) 18 c) 15 d) 25 e) 30

24. Si: ABCD es un romboide, BO = 2x; OD = 16u y AO =

3x. Hallar AC.

a) 36 b) 48 c) 28 d) 32 e) 44

25. Siendo ABCD un rectngulo. Halla x.

a) 46 b) 56 c) 52 d) 48 e) 62

26. La base menor de un trapecio mide 10u y la mediana del trapecio mide 14u. Hallar la base mayor del trapecio.

a) 16u b) 18 c) 20 d) 15 e) 22

27. En un paralelogramo un lado es el triple del otro y su permetro es de 160u. Halla el lado menor.

a) 8u b) 30 c) 10 d) 15 e) 14 28. En un trapecio la base menor mide 10u y el segmento

que une los puntos medios de las diagonales mide 4u. Halla la base mayor.

a) 16u b) 14 c) 18 d) 20 e) 15

29. Si: ABCD es un paralelogramo; es la bisectriz del B y CD = 12u.

Halla AQ.

a) 6u b) 9 c) 12

d) 16 e) 18

30.En un cuadriltero ABCD: mA = ; mB = mC = 2 y mD = 3. Halla la mC.

a) 30 c) 45 e) 135 b) 90 d) 72

ACTIVIDAD

01. Si ABCD es un rectngulo, calcular .

a) 64 b) 68 c) 74 d) 72 e) 56

02. Hallar x

a) 10 b) 11 c) 12 d) 15 e) NA

03. Calcular x.

a) 26 b) 14 c) 22 d) 13 e) 52

04. Hallar x

a) 10 b) 20 c) 15 d) 12 e) 25

05. En un cuadriltero ABCD, mA=3x ; mB=4x-10 ;

mC=2x+3 ; mD=x-3 . Hallar el valor de x.

a) 10 b) 37 c) 40 d) 45 e) 60 06. Hallar x

a) 20 b) 10 c) 15

34 x

108

n n

x r r

6

x

37

15

E F

EF = x

A

2

B C

D

6

5

x Trapecio ABCD

x 85

a a

b b

c c

n

n


127



s

cpumc class

36

X

4x

6x 7x

3x

442x

50 4x

d) 30 e) NA

07. Calcular x.

a) 15 b) 18 c) 20 d) 22 e) 25

08. Si la figura es un rombo, calcular x

a) 124 b) 134 c) 144 d) 124 e) NA

09. Hallar x

a) 15 b) 12 c) 17 d) 18 e) NA

10. ABCD es un rombo. Hallar x

a) 6

b) 7

c) 8

d) 9 e) NA

11. Si ABCD es un romboide, calcular BP.

a) 8 b) 7 c) 6 d) 9 e) 8,5

12. Calcular el valor de x, si la figura es un

paralelogramo.

a) 30 b) 31 c) 32 d) 3230 e) NA

13. Calcular el valor de x, si la figura es un

paralelogramo.

a) 60 b) 50 c) 70 d) 68 e) NA

14. Si ABCD es un paralelogramo, PC = 6 y CD = 9.

Calcular AD.

a) 10 b) 12 c) 18 d) 16 e) 15

15. El permetro de un paralelogramo mide 64 u y cada

lado mayor excede al menor en 4. Cunto mide el lado mayor? a) 12 b) 14 c) 18 d) 16 e) 20

16. En el paralelogramo de la figura, calcular x.

a) 25 b) 24 c) 26 d) 27 e) 28

17. En un paralelogramo ABCD, AB = 2x+5 ; CD = x+7.

Hallar x.

a) 1 b) 2 c) 2,5 d) 1,5 e) 0,5 18. El permetro de un paralelogramo es igual a 80, uno

de sus lados es el triple del otro. Hallar el mayor lado.

a) 20 b) 30 c) 40 d) 50 e) 60

19. Calcular x en el paralelogramo ABCD.

a) 10 b) 40 c) 20 d) 15 e) 30

20. Hallar x, en el paralelogramo

a) 12 b) 15 c) 16 d) 18 e) NA

21. Hallar el permetro del cuadrado ABCD.

a) 8 2

b) 32 2 c) 16

d) 18 2

e) 16 2 22. Hallar BD, ABCD es un paralelogramo, AO = 8;

OC = x + 2; OD = x - 1. a) 6 b) 5 c) 10 d) 12 e) 16

23. Hallar x

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) NA

24. Hallar x

a) 7 b) 3,5

128



s

cpumc class

c) 4 d) 5 e) 8

25. Hallar BD , si ABCD es un paralelogramo.

a) 4 b) 6 c) 8 d) 10 e) 12

26. Hallar BD, si ABCD es un paralelogramo.

a) 8 b) 10 c) 12 d) 16 e) 24

27. Si ABCD es un paralelogramo, calcular ED.

a) 4 b) 3 c) 2 d) 5 e) NA

28. Calcular x, la figura es un paralelogramo

a) 10 b) 11 c) 12 d) 9 e) 8

29. Hallar x

a) 1 b) 0,5 c) 4 d) 5 e) NA

30. En el grfico mostrado, calcular el valor de x.

a) 75

x

3

7

2

13 geometría 1ro sec ii trim 2014

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