EL MODELO ATMICO DE BOHR: UNA APLICACIN

Se aplica la teora atmica de Bohr cuyo centenario se celebra este 2013, utilizando la aproximacin electrosttica y un algoritmo numrico para resolver las ecuaciones clsicas de movimiento del ncleo y de los electrones en tomos complejos, con el fin de estudiar su dinmica. Se presentan resultados numricos para el caso del tomo de Hidrgeno y el tomo de Helio.

RAL GARCA LLAMAS

RAL GARCA-LLAMASUniversidad de Sonora, Departamento de Inves-tigacin en FsicaCorreo: ragal@cifus.uson.mx

DESDE LA ACADEMIA

EPISTEMUS: www.epistemus.uson.mx

*Autor para correspondencia: Ral Garca LlamasCorreo electrnico: ragal@cifus.uson.mxRecibido: 12 de marzo de 2013Aceptado: 21 de mayo de 2013ISSN: 2007-4530 37

INTRODUCCIN Este ao se celebra un siglo de la teora atmica de Bohr, la cual representa la transicin entre la mecnica clsica y la mecnica ondulatoria o cuntica. Finalmente la mecnica cuntica gan la batalla y en la actualidad es la que se usa para tratar fenmenos a nivel atmico.

En 1913 el fsico Niels Bohr (1) plante los postulados que hoy llevan su nombre y que le permitieron proponer un esquema semiclsico, para explicar los espectros de emisin y absorcin del tomo de Hidrgeno y sentar las bases para comprender estos fenmenos en tomos complejos. Esta nueva teora se basa, por un lado, en el trabajo de Planck (2), en el cual se estableca que el intercambio de energa entre la radiacin y la materia se realiza de forma discreta, fenmeno que se conoce como la cuantizacin de la energa, as como en el de Rutherford (3), que estableci la estructura moderna del tomo con el experimento de difraccin de partculas alfa por tomos de oro.

En este trabajo se aplica la teora atomstica de Bohr al problema de la interaccin de dos electrones con un ncleo en la aproximacin electrosttica. Se resuelve numricamente el problema de los tres cuerpos (4) usando la mecnica clsica y los postulados de Bohr, con el fin de buscar soluciones estables para garantizar la confiabilidad de los resultados encontrados.

Primero se establece un algoritmo numrico, basado en el movimiento con aceleracin uniforme para tiempos ultracortos, para encontrar la solucin al problema planteado y que satisfagan los postulados de Bohr, posteriormente se aplica dicho formalismo al problema de dos electrones interaccionando con un ncleo.

Enseguida se transcriben los postulados de Bohr (1) en su versin original en ingls:

That the dynamical equilibrium of the systems in the stationary states can be discussed by help of the ordinary mechanics, while the passing of the systems between different stationary states cannot be treated on that basis.

Que el equilibrio dinmico de los sistemas en estados estacionarios puede ser discutido con la ayuda de la mecnica ordinaria, mientras que el paso de los sistemas entre diferentes estados estacionarios no puede ser tratado mediante esta base.

That the latter process is followed by the emission of a homogeneous radiation, for which the relation between the frequency and the amount of energy emitted is the one given by Plancks theory.

Que el anterior proceso es seguido por la emisin de una radiacin homognea, para la cual la relacin entre la frecuencia y la cantidad de energa emitida es aqulla dada por la teora de Planck.

The different stationary states correspond to the emission of a different number of Plancks energy-quanta and,

Los diferentes estados estacionarios corresponden a la emisin de diferentes nmeros cunticos de energa de

Planck y,That the frequency of the radiation emitted during the

passing of the system from a state in which no energy is yet radiated out to one of the stationary states, is equal to half the frequency of revolution of the electron in the latter state.

Que la frecuencia de la radiacin emitida durante el paso del sistema de un estado en el cual no hay an energa radiada a uno de los estados estacionarios, es igual a la mitad de la frecuencia de revolucin del electrn en el ltimo estado.

EL TOMO DE HIDRGENO Y EL ALGORITMO NUMRICO Un electrn orbitando alrededor de un protn constituye un tomo de hidrgeno, el elemento ms ligero y abundante del universo. Estas partculas estn sujeta a fuerzas de tipo electromagntico y gravitacional, esta ltima se desprecia ya que su magnitud es pequea comparada con la magnitud de la fuerza electromagntica.

Usando la segunda ley de Newton y considerando nicamente la fuerza de Lorentz, la ecuacin del movimiento del protn es:

(1)

Donde , , y son la aceleracin, la velocidad, la masa y la carga del protn, respectivamente;

y representan el campo elctrico y magntico producido por el electrn en la posicin del protn . Mientras que, ecuacin del movimiento del electrn est dada por:

(2)

Donde , , y son la aceleracin, la velocidad, la masa y la carga del electrn, respectivamente;

y representan el campo elctrico y magntico producido por el ncleo en la posicin del electrn .

Los campos electromagnticos producidos por cargas en movimiento son matemticamente complicados y ms adelante se harn algunas simplificaciones para resolver (1) y (2).

Para encontrar una solucin numrica a este problema se debe establecer las condiciones iniciales. Las posiciones y velocidades iniciales del ncleo y del electrn son:

(3)

Donde . Con esta seleccin de posiciones y velocidades, el centro de masa, que es el punto donde se supone concentrada toda la masa del sistema, y la velocidad del centro de masa son cero.

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El momento angular total es , as el postulado de Bohr, se refiere a

la versin moderna del postulado 4, la magnitud del momento angular total es un mltiplo entero de la constante de Planck dividida entre dos , es:

(4)

Donde n es un nmero entero positivo y es la llamada constante de Planck dividida entre dos . Esta relacin establece la cuantizacin de la posicin. Una vez que se conoce la velocidad, la posicin solo puede tomar ciertos valores discretos de acuerdo a la ecuacin 4.

LA APROXIMACIN ELECTROSTTICAEn esta seccin asumimos que el campo elctrico se puede calcular usando el campo electrosttico o Coulombiano y despreciamos el campo magntico. Este aproximacin se aplica en tomos ligeros, donde las velocidades esperadas de los electrones son mucho menores que la velocidad de la luz. De las ecuaciones 1 y 2 calculamos la aceleracin inicial del electrn y del protn:

(5)

(6)

Donde es la constante dielctrica del vaco y . Hay que recordar que el campo

elctrico Coulombiano es proporcional al producto de las cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que separa las partculas, su forma matemtica es:

EL ALGORITMO NUMRICOUna vez que se tiene la aceleracin al tiempo inicial , se puede calcular las velocidades y las posiciones del electrn y del ncleo al tiempo , suponiendo un movimiento con aceleracin uniforme y as sucesivamente. En un movimiento con aceleracin uniforme la posicin y la velocidad de la partcula estn dadas por

y , y similarmente para la componente y. Si suponemos que esto se cumple para tiempos muy pequeo, entonces es posible usar estas ecuaciones para conocer las posiciones y las velocidades de las partculas involucradas a un tiempo posterior para as calcular las nuevas aceleraciones dadas por las ecuaciones 5 y 6.

Si la rbita es estable, es decir, si ante una pequea perturbacin energtica la rbita es casi la misma,

entonces decimos que la rbita es estable, y si se satisface la ecuacin 4 entonces se clasifica como una de las rbitas de Bohr.

Figura 1. Trayectorias calculadas para el ncleo (color rojo), la cual ha sido aumentada 200 veces, y para el electrn (color azul). Las flechas indican la direccin del movimiento.

De la figura 1 contando los puntos para completar una vuelta y teniendo el intervalo temporal para el clculo de stos, se obtuvo el periodo de oscilacin =1.32x10-17 s y por tanto la frecuencia, el recproco del periodo, es =7.5x10+16 Hz.

Para el caso del tomo de Hidrgeno se puede demostrar que el cuasi-electrn, la pseudo-partcula que aparece al cambiar a las coordenadas del dentro de masa, satisface , donde r y son la magnitud de la posicin y la velocidad angular del cuasi-electrn, respectivamente. Esto significa que el momento angular se conserva. Este resultado establece una ecuacin para la magnitud r, la cual es resuelta en los libros de mecnica clsica (4). Este caso sirvi para probar el algoritmo numrico. En este problema se establece que las trayectorias pueden ser circulares, elpticas, etctera. En el caso numrico que tratamos en esta seccin, buscamos las condiciones numricas para obtener trayectorias circulares y que sirviera como punto de partida en el siguiente caso: El tomo de Helio. En la siguiente seccin analizaremos el tomo de Helio.

EL TOMO DE HELIODos electrones orbitando alrededor de un ncleo, que consta de dos protones y dos neutrones, forman un tomo de Helio. Este elemento es el segundo ms ligero y el segundo ms abundante del Universo. Al igual que en el caso anterior, se plantean las ecuaciones de movimiento para las tres partculas, enseguida se asume

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la aproximacin electrosttica y se desprecia la fuerza magntica. Posteriormente, se considera que a intervalos de tiempos pequeos el movimiento de cada una de las partculas es con aceleracin uniforme. Estas ecuaciones permiten obtener la posicin y la velocidad de cada una de ellas y de nuevo se regresan a las ecuaciones de movimiento para conocer la aceleracin y as sucesivamente. Se buscan trayectorias estables que obedezcan los postulados Bohr.

Figura 2. Trayectorias del ncleo (color negro), con las condiciones iniciales seleccionadas el ncleo est estacionario, para los electrones ligados (color magenta) y (color naranja). Tanto la posicin inicial de los electrones como sus velocidades se seleccionan del tal manera que satisfagan la condicin de Bohr, as como la energa experimental del estado baso del tomo de Helio.

Como se puede observar en la figura 2, las trayectorias de los electrones son elpticas y no circulares como en la

figura 1. Esto puede ser as porque no se conoce la forma exacta terica del estado base del tomo de Helio y esta se aproxima como la suma de dos tomos hidrogenoides.

Cabe mencionar que con el paso del tiempo surgieron otros modelos, de tal manera que a finales de la dcada de 1920 se tenan cuatro teoras para explicar los espectros de emisin y absorcin del tomo de Hidrgeno: La terica semiclsica de Bohr, la teora relativista de Sommerfeld, la ecuacin de Schrdinger y la ecuacin relativista de Dirac.

CONCLUSIONESEl modelo de Bohr fue el primero que de una manera semi-clsica explic los espectros de emisin y absorcin del tomo de Hidrgeno. Se plante un algoritmo numrico para estudiar la dinmica de tomos complejos, el cual est basado en la teora de Bohr y en el movimiento uniformemente acelerado para tiempos infinitesimalmente pequeos. Se aplic el formalismo al tomo de Hidrgeno con el fin de validar los resultados y luego se us para estudiar el movimiento de los electrones y del ncleo en el tomo de Helio. Las trayectorias encontradas en este ltimo caso son elpticas.

Como un comentario final, es necesario enfatizar que las trayectorias de los electrones y del ncleo son slo dentro del contexto del modelo semi-clsico de Bohr. La mecnica cuntica, en su forma actual, no habla de trayectorias, sino de regiones donde puede encontrarse a las partculas.

BIBLIOGRAFA1) Bohr, N. (1913). On the constitution of atoms and molecules.

Phil. Mag. 26: 1-25.2) Planck, M. (1901). On the law of distribution of the energy in

the normal spectrum. Ann. der Phys. 4: 553.3) Rutherford, E. (1911). The scattering of alpha and beta-

particles by matter and the structure of atoms. Phil. Mag. 21: 669-698.

4) Goldstein, H., Poole, C. P. and Safko, J. L. (1999). Classical mechanics. 3rd Edition.

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