1.3 n 阶行列式的计算
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1.3 n 阶行列式的计算. 例 1.8 求方程. 的根。. 解:. 所求根为 x=2 和 x=-4 。. 例 1 . 10 计算 n+1 阶行列式. 解. 例 1 . 11 设 n 阶三对角行列式. 证明 : 递推关系式. 证明 对第 n 列用性质 6 展开,得. 例 1.12 计算 n 阶行列式. 例 1 . 13 证明 n 阶行列式. 证明 对行列式阶数 n 用数学归纳法证明. n=2 时,. 结论成立。. 假设结论对 n-1 阶行列式成立,即. 则对于 n 阶行列式 有. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
1.3 n 阶行列式的计算
例 1.8 求方程
0
163
222
123
x
x
x
的根。解:
162
220
122
163
222
12331
xx
x
x
x
x
xcc
0)4()2()82)(2(
4
22)2(
40
220
121
)2(
22
)2(13
1
xxxxx
x
xx
x
xxrrcx
所求根为 x=2 和 x=-4 。
xaaa
axaa
aaxa
aaax
Dn
1
),,3,2:(
),,3,2:(
)]()1([
000
...............
00
0
1
])1([
)1(
)1(
)1(
)1(
1
1
n
njrr
nicc
n
axanx
ax
aax
aaax
aaa
anx
xaaanx
axaanx
aaxanx
aaaanx
D
j
i
例 1. 10 计算 n+1 阶行列式
nn
n
db
db
db
aaaa
D
00
00
00
22
11
210
解
0,;...
),...,2,1(0;)(
00
00
00
1121
1210
22
11
210
iniiii
k
n
kn
k
kk
nn
n
didddddba
nkddddd
baa
db
db
db
aaaa
D
例 1. 11 设 n 阶三对角行列式
nn
nnn
nnn
nD
1
112
223
332
221
11
证明 :递推关系式
)2(2111 nDDD nnnnnn 证明 对第 n列用性质 6展开,得
12
223
332
221
11
nn
nnn
nnD
1
223
332
221
11
1
n
nnn
n
.2111 nnnnn DD
例 1.12 计算 n阶行列式
21
121
121
121
12
nD
例 1. 13 证明 n阶行列式
1
1
1
1
nD
11 nn a
证明 对行列式阶数 n用数学归纳法证明
n=2 时,
12D 2)(
33 a
结论成立。
21)( nnn DDD
nn a
假设结论对 n-1 阶行列式成立,即
则对于 n阶行列式 有nD
1nD
11 nnnn aa
11 nn a
例 1.14 证明 n 阶范德蒙德( Vandermonder )行列式
)2()(
1111
1
113
12
11
223
22
21
321
nxx
xxxx
xxxx
xxxx
Vnji
ij
nn
nnn
n
n
n
证明 对行列式阶数 n 用数学归纳法, n=2 时,
1221
2
11xx
xxD
结论成立。
假设结论对 n-1 阶行列式成立,即
11
1 )(nji
ijn xxD
则对于 n阶行列式 有nD
0
0
0
1111
21
11
22
12
21
11
12
12221
21
12112
21
1
nnn
nnn
nnn
nn
nnnnn
nnnnrxr
rxrrxr
n
xxxxxxxxx
xxxxxxxxx
xxxxxx
Dn
nnn
nnn
njiij
njiij
nkkn
nnnnnn
nn
xx
xxxx
Dxxxxxx
A
1
1111
11211
11
)(
))()()((
)())(()1(
)1(
由数学归纳法,结论对任意自然数 n都成立 .1. 4 拉普拉斯( Laplace )展开定理
定义 1.7 在 n阶行列式 D中 ,任取 k行 k 列 ,位于这 k行 k 列交叉位置的元素按原行列式 D中的相对位置排成的 k阶行列式 N称为行列式 D的一个 k阶子式 .
定义:在 D中 ,划去 k阶子式 N所在的 k行 k 列 ,剩余元素按原行列式 D中的相对位置排成的 n -k 阶行列式 M称为 k阶子式 N 的余子式 .
如果子式 N的 k行 k列在 D中的行标与列标分别为
则称为 N的代数余子式 .例如 , 在 5阶行列式 中 ,取第 2,4 行和第 1,4 列 ,
kk jjjiii ,,,,,,, 2121
MA kk jjjiii )()( 2121)1(
5ijaD
4441
2421
aa
aaN 是 D的一个二阶子式 ,
555352
353332
151312
aaa
aaa
aaa
M 是 N的余子式 ;
MMA )41()42()1( 为 N的代数余子式 .定理 1.3 (Laplace 定理 ) 设在 n阶行列式 D中 ,取
某 k行 ,则位于这 k行的所有 k 阶子式 ),...,,2,1( tiN i
与它们各自对应的代数余子式 的乘积之和等于行列式 D,
iA
即
t
iiiMND
1
解 对 D的第 1,3 行用 Laplace 定理 ,在第 1,3 行中不为零的二阶子式分别是
303
12,1
01
11,1
32
11321 NNN
它们各自对应的代数余子式是
31430
01220
00031
03210
10021
D例 1.15 计算 5阶行列式
0,6
143
122
321
,12
314
012
032
321 AAA
所以 D=12-6=6
例 1.16 计算 2 n 阶行列式
11
22
11
11
22
11
2
ab
ab
ab
ab
ba
ba
ba
ba
D
nn
nn
nn
nn
n
解 对的第 n, n+1 行应用 Laplace 定理(按第 n, n+1行展开)得
2222
11
22
11
11
22
11
2
)(
nnn
nn
nn
nn
nnn
Dba
ab
ab
ab
ba
ba
ba
ab
baD
利用这个递推关系式有
定理 1.4 (行列式乘法法则)
若 2
1
DO
ODD , 则 21DDD
推论若
2
1
DC
ODD , 则 21 DDD
1.5 克莱姆(Cramer)法则
定理 1.5 (Cramer法则)如果 n元线性方程组
nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
2211
22222121
11212111
的系数行列式不等于零,即 0
21
22221
11211
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
D
D
Dx
D
Dx
D
Dx n
n ,,, 22
11
其中jD是把D的第j列各元素依次换成方程组(1)右端的常数项所得到的n阶行列式,即
nnnjnnjn
njj
njj
j
aabaa
aabaa
aabaa
D
111
21221221
11111111
0
21
22221
11211
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
D