13. rangkaian listrik ii perhitungan daya1

13. Rangkaian Listrik IIPERHITUNGAN DAYA

13.1 Daya Sesaat ( p )

Daya sesaat : daya yang besarnya merupakan hasil perkalian antara tegangan

sesaat yang melintasi suatu elemen dan arus sesaat yang

melaluinya.

Bentuk umum dari daya sesaat ( berlaku untuk sebarang fungsi pemaksa ) adalah :

p = v i ……………………..( 13 -1 )

Dimana : p = daya sesaat ( W )

v = tegangan sesaat ( V )

i = arus sesat ( A )

a. daya sesaat yang dibangkitkan atau diberikan oleh sumber tegangan dan arus ke

rangkaian adalah :

p = v i

dimana : v = tegangan sesat dari sumber

i = arus sesaat dari sumber

b. Daya yang diserap oleh elemen-elmen pasif : tahanan R, induktansi L dan

kapasitansi C : vR2

- Tahanan R : pR = vR iR = -----

R

- Induktansi L ( elemen bersifat induktif ) ;

t

pL = vL iL = L iL = L iL di/dt = 1/L vL ∫ vL dt

- ~

dimana dianggap bahwa tegangan pada t = - ~ adalah nol.

- Kapasitansi C ( elemen bersifat kapasitif ) :

t

PC = vC iC = C v dv/dt = 1/C iC ∫ iC dt

- ~

dimana dianggap bahwa arus pada t = - ~ adalah nol

Persamaan-persamaan diatas adalah persamaan untuk daya sesaat yang

dinyatakan hanya dalam arus atau tegangan.

Persamaan-persamaan tersebut akan menjadi tidak memadai, apabila kita mulai

meninjau rangkaian-rangkaian yang lebih umum, karena yang diperlukan hanya

mencari arus dan tegangan pada terminal-terminal rangkaian.

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Ir. S.O.D. Limbong

RANGKAIAN LISTRIK II 1

Contoh 1 : Tinjau sebuah rangkaian seri RL yang dieksitasi oleh sebuah sumber

tegangan tangga satuan v = V0 u(t ).

Tentukan daya sesaat yang diberikan oleh sumber dan daya sesat yang

diserap oleh tahanan R dan Induktansi L

Penyelesaian :

Respons dari rangkaian diatas adalah :

i(t) = ( V0 / R ) ( 1 - e – R/L t ) u(t) , jadi :

- daya yang diberikan oleh sumber adalah :

p = v i = Vo u(t) ( V0 / R ) ( 1 - e – R/L t ) u(t) = ( V02 / R ) ( 1 - e – R/L t ) u(t)

( karena kuadrat dari fungsi tangga satuan, jelas adalah fungsi tangga satuan

itu sendiri ).

- daya yang diberikan sumber kepada atau daya yang diserap oleh tahanan R

adalah : pR = i2 R = ( V02 / R ) ( 1 - e – R/L t ) 2 u(t)

daya yang diberikan sumber kepada atau daya yang diserap oleh induktansi L

adalah :

vL = L di/dt = L d/dt [ ( V0 / R ) ( 1 - e – R/L t ) u(t) ]

= V0 e – R/L t u(t) + ( L V0 / R ) ( 1 - e – R/L t ) du(t)/dt

Karena daya du(t)/dt = 0 untuk t > 0 dan ( 1 - e – R/L t ) = 0 pada t = 0, maka :

vL = V0 e – R/L t u(t)

jadi daya yang diserap oleh induktansi L adalah :

pL = vL i = V0 e – R/L t u(t) (V0 / R ) ( 1 - e – R/L t ) u(t)

= ( V02 / R ) e – R/L t ( 1 - e – R/L t ) u(t)

Hanya dengan sedikit manipulasi aljabar yang diperlukan untuk memperlihatkan

bahwa : p = pR + pL



R

V0 u( t )

+

-L

i (t )

V0 u( t )V0

0t

v(t)

13.1.1 Daya Sesaat untuk Fungsi Pemaksa Sinusoida p(t)

Kebanyakan masalah yang menyangkut perhitungan daya mungkin adalah

mengenai rangkaian yang dieksitasikan oleh : “ fungsi pemaksa berbentuk sinusoida

dalam keadaan tunak ( steady state ) “.

Pada pembahasan terdahulu telah dijelaskan bahwa : walaupun digunakan fungsi

pemaksa periodik yang tidak berbentuk sinusoida, akan tetapi fungsi pemaksa ini

dapat dibawa menjadi atau dengan perkataan lain dapat diuraikan menjadi fungsi

pemaksa sinusoida.

Untuk itu untuk fungsi pemaksa sinusoida perlu mendapat perhatian khusus

Marilah kita tinjau kembali rangkaian pada contoh 1, dengan mengubah sumber

tegangan tangga satuan menjadi sumber tegangan sinusoida :

Vs = Vm cos ( ωt + θ )

Respons daerah waktu yang sudah dikenal

i(t) = Im cos ( ωt + ø )

Vm

dimana : Im = ------------------- dan

√ R 2 + ω 2 L 2

ø = - tan - 1 ( ω L/R )

- daya sesaat yang diberikan oleh sumber kepada seluruh rangkaian dalam

keadaan tunak sinusoida adalah :

p(t) = v i = Vm cos ( ωt + θ ) . Im cos ( ωt + ø )

= Vm Im [ cos ( ωt + θ ) cos ( ωt + ø ) ]

= ½ Vm Im cos ( θ - ø ) + ½ Vm Im cos ( 2 ωt + θ + ø )

p(t) = ½ Vm Im cos ( θ - ø ) + ½ Vm Im cos ( 2 ωt + θ + ø ) ……….( 13-2 )

Persamaan ( 13-2 ) memiliki beberapa karakteristik yang pada umumnya benar

untuk rangkaian-rangkaian dalam keadaan tunak sinusoida, dimana :

- suku pertama : bukan merupakan fungsi waktu

- suku kedua : mempunyai variasi siklus yang besarnya dua kali frekuensi yang

digunakan.

Suku kedua ini adalah sebuah gelombang sinus dan cosinus yang mempunyai harga

rata-rata nol ( jika dirata-ratakan pada kelipatan bulat dari periode ), maka harga

rata-rata adalah :

½ Vm Im cos ( θ - ø )

- daya sesaat yang diberikan kepada atau yang diserap tahanan R :

pR = vR iR = ( vR2 / R )



R

v( t ) = Vm cos ( ωt + θ )

+

-L

i (t )

- daya sesaat yang diserap oleh indukatansi L :

pL = vL iL , dimana vL = L di/dt = L d/dt [ Im cos ( ωt + ø ) ]

vL = ω L Im sin( ωt + ø ), jadi :

pL = ω L Im sin ( ωt + ø ) Im cos ( ωt + ø )

pL = Im2 ω L ½ sin ( 2 ωt + 2 ø ) = ½ Im

2 XL sin ( 2 ωt + 2 ø )

- daya sesaat yang diserap kapasitansi C :

pC = vC i , dimana vC = 1/C ∫ i dt = ( 1 / ω C ) ∫ Im cos ( ωt + ø ) dt

= - ω L Im sin ( ωt + ø ), jadi :

pC = - ω L Im sin ( ωt + ø ) Im cos ( ωt + ø )

pC = Im2 ( 1 / ω C ) ½ sin ( 2 ωt + 2 ø ) = - ½ Im

2 XC sin ( 2 ωt + 2 ø )

13.2 Daya Rata-Rata untuk Keadaan Mantap Sinusoida ( P )

Untuk bentuk tegangan dan arus sinusoida, daya sesaat akan merupakan suatu

fungsi periodik.

Tegangan sinusoida umum : v(t) = Vm cos ( ωt + θ )

Arus sinusoida umum : i(t) = Im cos ( ωt + ø )

Daya sesaat adalah : p(t) = v(t) i(t)

= Vm cos ( ωt + θ ) Im cos ( ωt + ø ) atau

p(t) = ½ Vm Im cos ( θ - ø ) + ½ Vm Im cos ( 2 ωt + θ + ø ) ……………….( * )

dari persamaan ( * ) diperoleh bahwa :

- suku pertama : sebuah konstanta yang tidak bergantung pada harga t.

- suku kedua : sebuah fungsi cosinus,

maka p(t) adalah fungsi periodik, dan periodenya adalah ½ T

- periode T diasosiasikan dengan tegangan dan arus yang diberikan bukan

dengan daya, fungsi daya mempunyai periode ½ T.

- untuk menentukan daya rata-rata, kita bisa mengintegrasikan pada interval T dan

membaginya juga dengan T.

- untuk gelombang sinus dan cosinus harga rata-rata dari masing-masing

gelombang tersebut untuk satu periode adalah nol.

Daya rata-rata dari p(t) pada persamaan ( * ) adalah :

T

P = ( 1 / T ) ∫ p(t) dt

0

1 T T

P = ----- [ ∫ ½ Vm Im cos ( θ - ø ) dt + ∫ ½ Vm Im cos ( 2 ωt + θ + ø ) dt ] …(**)

T 0 0



Dari persamaan ( ** ), dengan cara pemeriksaan :

- harga rata-rata dari suku pertama yang merupakan konstanta adalah konstanta

itu sendiri, jadi :

P = ½ Vm Im cos (θ - ø )

- harga rata-rata dari suku kedua yang merupakan fungsi cosinus adalah nol,

karena untuk fungsi cosinus dan sinus harga rata-rata untuk satu periode adalah

nol.

Jadi daya rata-rata untuk keadaan mantap sinusoida adalah :

P = ½ Vm Im cos (θ - ø ) ………………….( 13-3 )

dari persamaan ( 13-3 ) dapat dilihat bahwa harga daya rata-rata P merupakan suku

pertama pada persamaan ( 13-2 )

Contoh 2 : sebuah tegangan v(t) = 4 cos ( π/6 ) t dihubungkan seri dengan sebuah

impedansi Z = 2 600 Ω. Tentukan daya sesaat dan daya rata- rata

yang diberikan oleh sumber.

Penyelesaian : pertama-tama seluruh besaran dibawa ke daerah frekuensi

v(t) = 4 cos ( π/6 t ) V = 4 00 V

V 4 00

I = ------ = ---------- = 2 - 600 A

Z 2 600

i(t) = 2 cos ( π/6 t - 600 ) A

daya sesaat : p(t) = v(t) i(t) = 4 cos ( π/6 t ) 4 cos ( π/6 t - 600 )

= 8 cos ( π/6 t ) cos ( π/6 t - 600 )

= 8 [ ½ cos 600 + ½ cos ( 2π/6 t - 600 ) ]

p(t) = 2 + 4 cos ( π/3 t - 600 ) watt

daya rata-rata : P = ½ Vm Im cos ( θ - ø ) = ½ Vm Im cos [ 00 - ( - 600 ) ]

= 4 cos 600 = 2 watt

13.2.1 Daya Rata-Rata yang diberikan atau diserap Elemen Pasif R, L, dan C

- daya rata-rata yang diberikan atau diserap tahanan R :

daya rata-rata : P = ( Vm Im / 2 ) cos ( θ - ø )

pada tahanan murni tegangan dan arus sefasa, atau

perbedaan sudut fasa antara tegangan dan arus

adalah nol ( θ - ø = 0 ), jadi daya rata-rata yang

diberikan atau diserap tahanan R :

PR = ½ Vm Im cos ( θ - ø ) = ½ Vm Im cos 00 = ½ Vm Im

PR = ½ Vm Im atau PR = ½ Im2 R atau PR = Vm

2 / 2 R ………….( 13-4 )



V = 4 00 V Z = 2 600 Ω

I

V R

I

- daya rata-rata yang diberikan kepada atau diserap rangkaian bersifat reaktif

murni ( induktansi L dan kapasitansi C ) :

Pada rangkaian yang bersifat reaktif murni ( induktif, kapasitif ), perbedaan sudut

fasa antara tegangan dan arus adalah 900, maka daya rata-rata yang diberikan

atau diserap rangkaian kapasitif murni adala nol.

PX = ½ Vm Im cos ( θ - ø ) = ½ Vm Im cos 900 = 0 …………….( 13-4a )

dari persamaan ( 13-4a ), dapat dilihat, bahwa daya rata-rata yang diberikan kepada

setiap jaringan yang seluruhnya terdiri dari induktor dan kapasitor adalah nol, sedang

daya sesaat adalah nol hanya pada saat khusus tertentu.

Contoh 3 : Sumber arus sebesar I = 5 200 A mengalir pada sebuah impedansi

ZL = 8 - j 11 Ω . Tentukan daya rata-rata yang diberikan pada

impedansi tersebut.

Penyelesaian : daya rata-rata yang diberikan kepada :

Tahanan 8 Ω : PR = ½ Im2 R = ½ ( 5 )2 8 = 100 watt

Reaktansi - j 11 Ω : PX = 0

Jadi daya rata-rata yang diberikan kepada atau yang diserap impedansi adalah sama

dengan daya rata-rata yang diberikan atau diserap tahanan R = 8 Ω, yaitu

PR = 100 watt.

Contoh 4 : sumber arus dalam bentuk siku-siku I = 2 + j 5 A, mengalir pada

sebuah impedansi ZL = 8 - j 11 Ω. Tentukan daya rata-rata yang

diberikan kepada impedansi tersebut.

Penyelesaian : I = 2 + j 5 = √ 22 + 52 tan - 1 ( 5/2 ) A

Daya rata-rata yang diberikan kepada :

Tahanan 8 Ω : PR = ½ Im2 R = ½ [ √ 22 + 52 ] 2 8 = 116 watt

Reaktansi - j 11 Ω : PX = 0

Jadi daya rata-rata yang diberikan kepada atau yang diserap impedansi adalah sama

dengan daya rata-rata yang diberikan atau diserap tahanan R = 8 Ω, yaitu

PR = 116 watt.



V j ω L

I

1/ j ω CV

I

Contoh 5 : rangkaian seperti ditunjukkan pada gambar dibawah ini, digunakan

untuk menggambarkan hubungan daya

Penyelesaian : harga-harga I1 dan I2 diperoleh dengan salah satu diantara ber-

bagai metoda, seperti : analisis mesh, analisis simpul, atau

analisis superposisi. Pada soal ini digunakan analisis mesh.

Mesh 1 : ( 2 + j 2 ) I1 - 2 I2 = 20 ………( 1 )

Mesh 2 : - 2 I1 + ( 2 - j 2 ) I2 = - 10 ………( 2 )

Dalam bentuk determinan :

2 + j 2 - 2 I1 20

=

- 2 2 - j 2 I2 - 10

20 -2

- 10 2 - j 2 20 ( 2 - j 2 ) - ( -10 ) ( - 2 ) 20 - j 40

I1 = = =

2 + j 2 - 2 ( 2 + j 2 ) ( 2 - j 2 ) – ( - 2 ) ( - 2 ) 4

- 2 2 - j 2 = 5 - j 10 A = 11,18 - 63,450 A

2 + j 2 20

- 2 - 10 ( 2 + j 2 ) ( - 10 ) - 20 ( - 2 ) 20 - j 20

I2 = = =

2 + j 2 - 2 ( 2 + j 2 ) ( 2 - j 2 ) - ( - 2 ) ( - 2 ) 4

- 2 2 - j 2 = 5 - j 5 A = 7,07 - 450 A

Arus yang mengalir melalui tahanan 2 Ω adalah :

I1 - I2 = ( 5 - j 10 ) - ( 5 - j 5 ) = - j 5 A = 5 - 900 A



~

j 2 Ω

2 Ω

- j 2 Ω

+

- I1 I2 ~ 20 00 V

+

- 10 00 V

- daya rata-rata yang diberikan oleh sumber adalah :

P20 = ½ Vm Im cos ( θ - ø ) = ½ ( 20 )(11,18 ) cos [ 00 - (- 63,450 )] = 50 Watt

- daya rata yang diserap oleh tahanan 2 Ω :

P2Ω = ½ Im2 R = ½ ( 5 )2 2 = 25 watt

- daya rata-rata pada impedansi j 2 Ω dan - j 2 Ω :

Pj2 dan P-j2 = 0

- daya rata-rata yang diserap sumber 10 V :

P10 V = ½ Vm Im cos ( θ - ø ) = ½ ( 10 ) ( 7,07 ) cos [ 00 - ( - 450 ) ] = 25 watt

Jadi dapat dilihat bahwa, daya rata-rata yang diberikan oleh sumber 20 V adalah

sama dengan daya yang diserap oleh elemen pasif dan sumber 10 V, yaitu sebesar

50 watt. ( P20 = P2Ω + Pj2 + P-j2 + P10V )

13.2.2 Penggunaan Nilai Efektif pada Perhitungan Daya

Dalam perhitungan daya, pada umumnya digunakan nilai efektif dari arus dan

tegangan.

Bentuk umum tegangan sinusoida : v(t) = Vm cos ( ωt + θ )

Nilai efektif dari tegangan : Veff = Vm / √2 atau Vm = √2 Veff

Bentuk umum dari arus sinusoida : i(t) = Im cos ( ωt + ø )

Nilai efektif dari arus : Ieff = Im / √2 atau Im = √2 Ieff

catatan : Jika tegangan v(t) = 100 cos ( ωt + θ ) V, maka 100 V menyatakan

tegangan maksimum, akan tetapi jika v(t) = 100 cos ( ωt + θ ) Vrms,

maka 100 V menyatakan tegangan efektif.

Dan demikian juga untuk arus diperlakukan dengan cara yang sama.

Penggunaan Nilai efektif :

- untuk daya sesaat p(t) :

dalam nilai maksimum :

p(t) = ½ Vm Im cos ( θ - ø ) + ½ Vm Im cos ( 2 ωt + θ + ø )

dalam nilai efektif :

p(t) = Veff Ieff cos ( θ - ø ) + Veff Ieff cos ( 2 ωt + θ + ø ) atau

p(t) = V I cos ( θ - ø ) + V I cos ( 2 ωt + θ + ø )

- untuk daya rata-rata P :

dalam nilai maksimum : P = ½ Vm Im cos ( θ - ø )

dalam nilai efektif : P = Veff Ieff cos ( θ - ø ) atau

P = V I cos ( θ - ø )

- untuk daya rata-rata pada tahanan R :



dalam nilai maksimum :

PR = ½ Vm Im atau PR = ½ Im2 R atau PR = ½ Vm

2 / R

dalam nilai efektif :

PR = Veff Ieff atau PR = Ieff2 R atau PR = Veff

2 / R atau

PR = V I atau PR = I 2 R atau PR = V 2 / R

13.3 Daya Nyata dan Faktor Daya

Konsep daya nyata dan faktor daya dapat ditelusuri pada industri daya listrik, dimana

sejumlah energi harus dipindahkan dari satu titik ke titik lainnya.

Efisiensi yang mempengaruhi pemindahan ini berhubungan langsung dengan biaya

energi listrik, yang pada akhirnya akan dibayar oleh pelanggan.

Jika seorang pelanggan menyediakan beban yang mengakibatkan transmisi yang

relatif kurang baik, maka harus membayar biaya lebih tinggi untuk setiap kilowattjam

( Kwh ) yang dipakai.

13.3.1 Definisi Daya Nyata dan Faktor Daya

Daya Nyata ( S )

Tegangan sinusoida ; v(t) = Vm cos ( ωt + θ ) diberikan pada sebuah jaringan, dan

arus sinusoida yang dihasilkan adalah : i(t) = Im sin ( ωt + ø ).

Perbedaan sudut fasa dimana tegangan mendahului arus adalah : φ = θ - ø

Daya rata-rata yang diberikan pada jaringan ( dengan anggapan konvensi tanda

positif pada terminal masukan ).

- dinyatakan dalam nilai maksimum : P = ½ Vm Im cos ( θ - ø )

- dinyatakan dalam nilai efektif : P = Veff Ieff cos ( θ - ø ) atau

P = V I cos ( θ - ø )

Jika tegangan yang diberikan dan respons arus adalah kuantitas dc ( arus searah ),

maka daya rata-rata yang diberikan pada jaringan adalah hasil kali antara tegangan

dan arus.

Dengan menggunakan cara dc ini ke masalah sinusoida, maka daya nyata adalah :

Daya nyata/daya semu : S = Veff Ieff Volt Ampere ( V A ) ………….( 13-5 )

Dari persamaan ( 13-5 ) :

- hasil kali Veff dan Ieff bukan merupakan daya rata-rata, akan tetapi didefinisi-kan

sebagai daya nyata S.

- Karena cos ( θ - ø ) tidak bisa lebih besar dari 1 { 0 ≥ cos ( θ - ø ) ≤ 1 } , maka

jelaslah besarnya daya riel atau daya efektif P = Veff Ieff cos ( θ - ø ) tidak boleh

lebih besar dari daya nyata S = Veff Ieff.



- daya nyata bukan merupakan sebuah konsep yang terbatas untuk fungsi

pemaksa sinusoida dan responsnya. “ Daya nyata “ dapat ditentukan untuk

setiap arus dan bentuk gelombang tegangan, dengan mengambil perkalian “

nilai efektif dari arus dan tegangan “.

Faktor Daya PF atau cos ( θ - ø )

Untuk fungsi - fungsi sinusoida : faktor daya ( PF ) adalah cos ( θ - ø ), dimana

( θ - ø ) adalah sudut dimana tegangan mendahului arus.

Sudut ( θ - ø ) sering disebut sebagai faktor daya ( power factor angle )

Besar faktor daya PF atau cos ( θ - ø ) adalah :

Daya rata-rata P

PF = cos ( θ - ø ) = --------------------- = ----------

Daya nyata Veff Ieff

Jika : φ = ( θ - ø ) , maka :

PF = cos ( θ - ø ) = P / ( Veff Ieff ) ………………….( 13-6 )

Dari persamaan ( 13-6 ) :

- Untuk beban tahanan murni, tegangan dan arus sefasa ( θ - ø = 00 ), maka harga

PF = cos 00 = 1. Harga Pf =1 dapat juga dicapai untuk beban-beban yang

mengandung induktansi dan kapasitansi, jika harga-harga elemen dari frekuensi

kerja dipilih sedemikian rupa, sehingga memberikan impedansi masukan dengan

sudut fasa nol.

- Untuk beban reaktif murni, yang tidak mengandung tahanan ( beban induktif atau

kapasitif ), perbedaan fasa antara tegangan dan arus yang besarnya + 900 atau

- 900, maka besarnya PF = cos 900 = 0.

- Diantara kedua harga ekstrim diatas, terdapat jaringan umum, dimana harga PF

dapat berubah dari nol ke satu.

Misalnya : untuk Pf = 0,5, menunjukkan sebuah beban yang mempunyai :

- impedansi masukan dengan sudut fasa 600, yang menggambarkan beban

induktif, karena tegangan mendahului arus sebesar 600.

- impedansi masukan dengan sudut fasa - 600, yang menggambarkan beban

kapasitif, karena arus mendahului tegangan sebesar 600 atau tegangan

menyusul terhadap arus sebesar 600.

Catatan : ketidakpastian di dalam sifat eksak dari beban, ditentukan dengan me-

nunjukkan sebuah PF mendahului ( PF leading ) dan PF terbelakang

( PF lagging ). Istilah mendahului atau menyusul/terbelakang menyatakan

sudut dari arus terhadap tegangan.



Sefasa, Menyusul ( Lagging ), dan Mendahului ( Leading )

- Sebuah beban resistif ( arus sefasa dengan tegangan ), akan mempunyai PF = 1.

- Sebuah beban induktif ( arus menyusul tegangan ), akan mempunyai

PF menyusul atau PF lagging.

- Sebuah beban kapasitif ( arus mendahului tegangan ), akan mempunyai

PF mendahului atau Pf leading.

Daya Efektif P

Besar daya efektif P :

P = Veff Ieff cos ( θ - ø ) Watt atau

P = Veff Ieff cos φ ( dimana φ = θ - ø ) atau

P = V I cos φ Watt ………………….( 13-

7 )

Daya Reaktif Q

Besarnya daya reatif Q :

Q = Veff Ieff sin ( θ - ø ) Volt Ampere Reaktif ( VAR ) atau

Q = Veff Ieff sin φ ( dimana φ = θ - ø ) atau

Q = V I sin φ VAR ………………….( 13-8 )

Contoh 6 : Dari rangkaian dibawah ini

Tentukan : a. daya rata-rata yang dibangkitkan oleh sumber, dan daya yang

diberikan ke setiap beban.

b. daya nyata yang dibeikan oleh sumber.

c. faktor daya dari beban campuran ( Z1 + Z2 )

Penyelesaian :

Zeq = Z1 + Z2 = ( 2 - j 1 ) + ( ! + j 5 )

= 3 + j 4 = 5 53,10 Ω

besar arus sumber IS adalah :

VS 60 00

IS = ----- = --------------- = 12 53,10 A



~ +

-

VS = 60 00 Vrms

2 - j 1 Ω

1 + j 5 Ω

IS

Z1

Z2

~ +

-

VS = 60 00

IS

3 + j 4 Ω

Zeq

Zeq 5 53,10

a. daya rata-rata yang dibangkitkan oleh sumber :

P = VS IS cos ( θ - ø ) = 60 x 12 cos 53,10 = 532 W

- daya rata-rata yang diberikan kepada atau diserap Z1 = 2 - j 1 Ω

PZ1 = IS2 R = 12 2 2 = 288 W

- daya rata-rata yang diberikan kepada atau diserap Z2 = 1 + j 5 Ω

PZ2 = IS2 R = 12 2 1 = 144 W

Dapat dilihat dengan jelas barwa : P = PZ1 + PZ2 = 432 W

b. daya nyata yang diberikan/dibangkitkan oleh sumber :

S = VS IS = 60 x 12 = 720 Volt Ampere ( VA )

c. Faktor daya beban campuran : Zeq = 3 + j 4 = 5 53,10 Ω

PF = cos ( θ - ø ) = cos 53,10 = 0,6 atau dapat dicari dengan :

PF = P / S = P / ( V I ) = 432 / ( 60 x 12 ) = 0,6

Dari soal dapat dilihat bahwa beban campuran Zeq = 5 53,10 Ω adalah beban

induktif, jadi arus menyusul tegangan, oleh karena itu : PF = 0,6 adalah lagging.

Contoh 7 : Seorang pelanggan menggunakan daya rata-rata P = 11 KW = 11000

W dengan PF = cos φ = 1, dan tegangan 220 Vrms.

Tahanan kawat transmisi 0,2 Ω.

Berapa daya dan tegangan yang harus dibangkitkan oleh perusahaan

pembangkit listrik agar dapat mensuplai kebutuhan pelanggan.

Penyelesaian :

Dari soal diatas, maka besar arus yang mengalir pada beban dan kawat transmisi :

P = V I cos φ I = P / ( V cos φ ) = 11000 / ( 220 x 1 ) = 50 Arms

Arus I = 50 Arms akan menghasilkan :

a. drop tegangan pada kawat transmisi : 50 x 0,2 = 10 V

b. rugi-rugi pada kawat transmisi : I2 R = 50 2 x 0,2 = 500 W

untuk memberikan daya 11 KW = 11000 W dan tegangan 220 V, maka perusahaan

pembangkit listrik harus menghasilkan :

a. daya sebesar : 11 KW + 0,5 KW = 11,5 KW = 11500 W

b. tegangan : 220 V + 10 V = 230 Vrms



13.4 Daya Kompleks

Misalnya suatu sumber tegangan bolak balik v dipasang pada beban Z yang induktif

( R seri dengan L )

Pada diagram phasor tegangan terlihat bahwa phasor arus terbelakang terhadap

phasor tegangan.

Segitiga Impedansi

Z = R + j ω L = R + j X

Segitiga Tegangan

Jika masing-masing sisi dari segitiga mpedansi dikalikan dengan arus phasor I, maka

diperoleh segiga yang sebangun, yang disebut segitiga tegangan.

Segitiga Daya



R+

- L

V

IVR

VL

a. V = VR + VL

VL

VR

V

Iφ

b. diagram phasor tegangan

XZ

R

j

Re

Z

R

X

c. Segitiga impedansi

d. Segitiga tegangan

VR

VZ VX

VR = I R

VX = I X

VZ = I Z

Jika masing-masing sisi segitiga yang terbentuk oleh phasor tegangan dikalikan

dengan phasor arus I, maka diperoleh segitiga yang sebangun yang disebut segitiga

daya.

Daya Kompleks

Dari segitiga daya diperoleh hubungan :

Daya nyata ( daya semu ) :

S = V I cos φ + j V I sin φ = V I φ

S = P + j Q

Dimana ; S = daya nyata ( VA )

P = daya rata-rata ( W )

Q = daya reaktif ( VAR )

Daya semu mempunyai satuan volt ampere dan merupakan ukuran praktis dari suatu

peralatan listrik, misalnya ; kapasitas suatu transformator daya dinyatakan dalam

volt ampere ( daya semu/ daya nyata ), dan bukan dalam satuan watt.

Perhatikan segitiga daya pada gambar ( e )

Daya semu/daya nyata : S = I 2 Z = V I volt ampere atau VA

Daya efektif : P = I 2 R = V I cos φ Watt atau W

Daya reaktif : Q = I 2 X = V I sin φ volt ampere reaktif atau VAR

Pengertian daya kompleks dan segitiga daya kompleks ( dengan segitiga daya )

dapat pula dipergunakan untuk menyelesaikan persoalan rangkaian arus bolak balik

dalam keadaan mantap sinusoida ( steady state ).

Perhitungan dapat dilakukan dengan pertolongan aljabar kompleks, vektor, dan

grafik.

Daya nyata dapat dijumlahkan, juga daya reaktif dapat dijumlahkan, dengan

memperhatikan tanda positif dan negatifnya.

Jika arus terbelakang terhadap tegangan ( cos φ lagging ), maka harga sudut φ

adalah positif, sehingga daya reaktif Q = V I sin φ positif.



e. Segitiga daya

P

S Q

S = V I = I 2 Z VA

P = I 2 R W

Q = I 2 X VAR

φ

Sebaliknya jika arus mendahului tegangan ( cos φ leading ), maka harga sudut φ

adalah negatif, sehingga daya reaktif Q = V I sin φ negatif.

Dengan cara lain, daya semu/daya nyata dapat juga dicari dari hubungan berikut :

, dimana I * adalah kompleks sekawan dari I.

Jika V = e j θ V, maka untuk beban induktif akan menghasilkan :

( cos φ lagging )

Sehingga :

= V e j θ I e - j ( θ - φ ) = V I e j ø

= V I cos φ + j V I sin φ

= P + j Q

untuk beban induktif akan menghasilkan :

( cos φ leading )

Sehingga :

= V e j θ I e - j ( θ + φ ) = V I e - j ø

= V I cos φ - j V I sin φ

= P - j Q

Contoh 8 : sebuah sumber tegangan dihubung seri dengan

Impedansi Z = 3 + j 4 Ω . Gambarlah segitiga dayanya.

Penyelesaian :

Cara I :

V = 100 300 V

Z = 3 + j 4 = 5 53,10 Ω

V 100 300

I = ------ = ------------- = 20 - 23,10 A

Z 5 53,10

P = I 2 R = 202 x 3 = 1200 W

Q = I 2 X = 202 x 4 = 1600 VAR lagging

S = I2 Z = 202 x 5 = 2000 VA



S = V I

S

I = I e j ( θ – φ )

I * = I e - j ( θ – φ )

S = V I

S

I = I e j ( θ + φ )

I * = I e - j ( θ + φ )

S

S = V I *

V = 100 300 V

P

QS

φ = 53,10

Segitiga daya

PF = cos 53,10 = 0,6 lagging

S = P + j Q = 1200 + j 1600 VA

Cara II :

S = V I = 100 x 20 = 2000 VA

P = V I cos φ = 100 x 20 cos 53,10 = 1200 W

Q = V I sin φ = 100 x 20 sin 53,10 = 1600 VAR


S = P + j Q = 1200 + j 1600 VA

Cara III :

I = 20 - 23,10 A I * = 20 23,10 A

S = V I * = 100 300 x 20 23,10 = 2000 53,10 VA

= 1200 + j 1600 VA, jadi : P = 1200 W ; Q = 1600 VAR


Cara IV :

VR = I R = 20 -23,10 x 3 = 60 - 23,10 V

VX = I X = 20 - 23,10 x 4 900 = 80 66,90 V

P = VR2 / R = 60 2 / 3 = 1200 W

Q = VX2 / X = 80 2 / 4 = 1600 VAR

S = V2 / Z = 100 2 / 5 = 2000 VA

PF = P / S = 1200 / 2000 = 0,6 lagging

Daftar Pustaka

1. Wiliam H. Hayt Jr, Jack E. Kemmerly, “ Engineering Cicuit Analysis “, McGraw-Hill.

2. Pantur Silaban, “ Rangkaian Listrik “, Penerbit Erlangga.

3. R.J. Smith, “ Circuit, Devices and Systems “, John Wiley & Sons.

4. M.E. Van Valkenburg, “ Network Analysis “, Prentice-Hall, Inc.



Jakarta, September 2008

Ir. S.O.D. Limbong



13. rangkaian listrik ii perhitungan daya1

Documents