1.3 vergelijkingen van de tweede graad - kopiëren
DESCRIPTION
freeTRANSCRIPT
45 1.3 vergelijkingen van de tweede graad
Oef 1 blz 43
Schrijf volgende vergelijkingen in hun standaardvorm:
27x 13x 8 0
2 2
2
2x 8x 3x 12 x 5x 8 0
x 20 0
2 2
2
3x 15x 9 2x 4x 7
x 19x 16 0
2
2 2
2 2 2
2(2x 1)(4 5x) 7x 6x 8 10x(2 x)
2 8x 10x² 4 5x 7x 6x 8 20x 10x
16x 20x 8 10x 7x 6x 8 20x 10x 0
3 7x² 52x 16 0
46 1.3 vergelijkingen van de tweede graad
Oef 2 blz 43
Groepeer de vierkantsvergelijkingen volgens hun discriminant.
A : a 9 ; b 6 ; c 1
D 6² 4.9.1 0
B : 4x² x 3 9
4x² x 6 0
a 4 ; b 1; c 6
D 1 4.4.( 6) 97 0
C : 3x² 4,2x 3,6 0
x² 1,4x 1,2 0
5x² 7x 6 0
a 5 ; b 7 ; c 6
D 7² 4.5.6 71 0
D : 2x² 5x 6 0
a 2 ; b 5 ; c 6
D 5² 4.( 2).( 6) 23 0
E : 4x²
7 12x
4x² 12x 7 0
a 4 ; b 12 ; c 7
D 12² 4.4.7 32 0
F : 3x² 7 0
a 3 ; b 0 ; c 7
d 0 4.( 3).( 7) 84 0
47 1.3 vergelijkingen van de tweede graad
2
G: 25x² 100x 100 0
x² 4x 4 0
a 1; b 4 ; c 4
D 4² 4.1.4 0
H: 0,5x² 3x 2 0
x² 6x 4 0
a 1; b 6 ; c 4
D 6² 4.1.4 20 0
I : x² 11x 4 5
x² 11x 9 0
a 1; b 11; c 9
D 11² 4.1.9 85 0
1 1 2J : x² x 0
3 2 3
2x² 3x 4 0
a 2 ; b 3 ; c 4
D ( 3)
4.2.4 23 0
48 1.3 vergelijkingen van de tweede graad
Oef 3 blz 43
Welke vierkantsvergelijkingen hebben twee verschillende oplossingen?
24x 4x 1 0
a 4 ; b 4 ; c 1
D 4² 4.4.1 0 ; dus één oplossing
22x 5x 6 0
a 2 ; b 5 ; c 6
D 5² 4.( 2).( 6) 23 0 ; dus geen oplossingen
211x 4x 3 0
a 11 ; b 4 ; c 3 0
D ( 4)² 4.11.( 3) 148 0 ; twee verschillende oplossingen
22x 5x 6 0
D 5² 4.( 2).6 73 0 ; dus twee verschillende oplossingen
22x 2x 18 0
a 2 ; b 2 ; c 18
D ( 2)² 4.( 2).18 148 ; dus twee verschillende oplossingen
22x 5x 6 0
a 2 ; b 5 ; c 6
D 5² 4.2.6 23 0 ; dus geen oplossingen
49 1.3 vergelijkingen van de tweede graad
Oef 4 blz 43
Gegeven: f(x) = x² - 3x + 2
Gevraagd:
a Bepaal f(0) , f(-2) , 1f , f 3
2
f(0) 2
f( 2) 12
1 3f
2 4
f 3 5 3 3
b Zoek x opdat f(x) = 3 ; f(x) = 2 ; f(x) = 6 ; f(x) = -1
f(x) 3
x² 3x 2 3
x² 3x 1 0
D 13
3 13 3 13x of x
2 2
f(x) 2
x² 3x 2 2
x² 3x 0
x(x 3) 0
x 0 of x 3
f(x) 6
x² 3x 2 6
x² 3x 4 0
D 25
3 5 3 5x 1 of x 4
2 2
f(x) 1
x² 3x 2 1
x² 3x 3 0
D 3
geen oplossingen
50 1.3 vergelijkingen van de tweede graad
Oef 5 blz 43
Los op in . Het kan zonder de algemene formule.
a 2x² - 7x = 0
2x² 7x 0
x(2x 7) 0
x 0 of 2x 7 0
7x 0 of x =
2
7V 0,
2
b 4x² - 9 = 0
4x² 9 0
4x² 9
9x²
4
3x
2
3V
2
c 2x² -4x +2 = 0
2x² 4x 2 0
x² 2x 1 0
(x 1)² 0
x 1 0
x 1
V 1
51 1.3 vergelijkingen van de tweede graad
d 3x² + 4x = 0
3x² 4x 0
x(3x 4) 0
x 0 of 3x 4 0
4x 0 of x = -
3
4V 0,
3
e x² + 16 = 0
x² + 16 = 0
x² = -16 < 0
V = { }
f (2x – 1)(x + 2) = 0
(2x 1)(x 2) 0
2x 1 0 of x 2 0
1x of x 2
2
1V , 2
2
g 3x² 2x 0
3x² 2x 0
x 3x 2 0
x 0 of 3x 2 0
2 2 3x 0 of x
33
2 3V 0,
3
52 1.3 vergelijkingen van de tweede graad
h (2x – 1)(x + 2) = -2
(2x 1)(x 2) 2
2x² 3x 2 2
2x² 3x 0
x(2x 3) 0
3x 0 of x
2
3V ,0
2
i 1,44x² - 9 = 0
1,44x² 9 0
9x²
1,44
225x²
36
15x
6
5V
2
j 9x² - 24x + 16 = 0
9x² 24x 16 0
(3x 4)² 0
3x 4 0
4x
3
4V
3
k (x + 2)² - 9 = 0
(x 2)² 9 0
(x 2)² 9
x 2 3 of x 2 3
x 5 of x 1
V { 5,1}
53 1.3 vergelijkingen van de tweede graad
l (x + 1)² + 4 = 0
(x 1)² 4 0
(x 1)² 4 0
V
m 4x² + 9 = 12x
4x² 9 12x
4x² 12x 9 0
(2x 3)² 0
3x
2
3V
2
n (2 – 3x)² - 6 = 0
(2 3x)² 6 0
(2 3x)² 6
2 3x 6 of 2 3x 6
6 2 6 2x of x =
3 3
6 2 6 2V ,
3 3
o 2(3x – 1)² = 18
2(3x 1)² 18
(3x 1)² 9
3x 1 3 of 3x - 1 = 3
2 4x of x =
3 3
2 4V ,
3 3
54 1.3 vergelijkingen van de tweede graad
p (x – 2)(x – 6) = 2(x – 5)(x + 1)
(x 2)(x 6) 2(x 5)(x 1)
x² 8x 12 2x² 8x 10
x² 22
x 22
V 22
Oef 6 blz 44
Los op in , gebruik makend van de wortelformule.
a 2x² + 5x – 3 = 0
1
2
D b² 4ac 5² 4.2.( 3) 49
5 7x 3
4
5 7 1x
4 2
1V 3,
2
b 3x² - x – 2 = 0
1
2
D b² 4ac ( 1)² 4.3.( 2) 25
b D 1 5 2x
2a 6 3
b D 1 5x 1
2a 6
2V ,1
3
55 1.3 vergelijkingen van de tweede graad
c x² + x – 2 = 0
1
2
D b² 4ac 1² 4.1.( 2) 9
b D 1 3x 2
2a 2
b D 1 3x 1
2a 2
V 2,1
d 4x² - 20x + 25 = 0
1 2
D b² 4ac ( 20)² 4.4.25 0
b 20 5x x
2a 8 2
5V
2
e x² + x – 30 = 0
1
2
D b² 4ac 1² 4.1².( 30) 121
b D 1 11x 6
2a 2
b D 1 11x 5
2a 2
V 6,5
f 7x² + 12x – 4 = 0
1
2
D b² 4ac 12² 4.7.( 4) 256
b D 12 16x 2
2a 14
b D 12 16 2x
2a 14 7
2V 2,
7
56 1.3 vergelijkingen van de tweede graad
g x² - 8x + 4 = 0
1
2
D b² 4ac 8² 4.1.4 48
b D 8 48x 4 2 3
2a 2
b D 8 48x 4 2 3
2a 2
V 4 2 3,4 2 3
h x² + 2x + 3 = 0
D b² 4ac 2² 4.1.3 8 0
V
i 2 1
x² x 03 9
1
2
4x² 19x 12 0
D b² 4ac ( 19)² 4.4.12 169
b D 19 13 3x
2a 8 4
b D 19 13x 4
2a 8
3V ,4
4
j -8x² - 6x + 9 = 0
1
2
D b² 4ac ( 6)² 4.( 8).9 324
b D 6 18 3x
2a 16 4
b D 6 18 3x
2a 16 2
3 3V ,
2 4
57 1.3 vergelijkingen van de tweede graad
k 3x² + 3x + 3 = 0
x² x 1 0
D b² 4ac 1² 4.1.1 3 0
V
l -4x² + 12x –9 = 0
1 2
D b² 4ac 12² 4.( 4).( 9) 0
12 3x x
8 2
3V
2
58 1.3 vergelijkingen van de tweede graad
Oef 7 blz 44
Los op in . Gebruik de meest geschikte methode. Controleer met ICT.
a (2x – 1)(x + 1) – 3(x + 2) + 3 = 0
1 2
(2x 1)(x 1) 3(x 2) 3 0
2x² x 1 3x 6 3 0
2x² 2x 4 0
x² x 2 0
D ( 1)² 4.1.( 2) 9
1 3 1 3x 1 ; x 2
2 2
V 1,2
b (x – 2)² - (x + 3) = -3
(x 2)² (x 3) 3
x² 4x 4 x 3 3 0
x² 5x 4 0
1 2
D ( 5)² 4.1.4 9
5 3 5 3x 1 ; x 4
2 2
V 1,4
59 1.3 vergelijkingen van de tweede graad
c (3x – 1)(x + 1) – (x – 1)(2x + 1) = 18
1 2
(3x 1)(x 1) (x 1)(2x 1) 18
3x² 2x 1 2x² x 1 18 0
x² 3x 18 0
D 3² 4.1.( 18) 81
3 9 3 9x 6 ; x 3
2 2
V 6,3
d (2x + 3)² - (x – 1)(x + 1) = -(4x + 3)
1 2
(2x 3)² (x 1)(x 1) (4x 3)
4x² 12x 9 x² 1 4x 3 0
3x² 16x 13 0
D 16² 4.3.13 100
16 10 13 16 10x ; x 1
2.3 3 2.3
13V , 1
3
e
x² x x 4
13 2
1 2
x² x x 41
3 2
2x² 2x 3x 12 6 0
2x² 5x 18 0
D ( 5)² 4.2.( 18) 169
5 13 5 13 9x 2 ; x
2.2 2.2 2
9V 2,
2
60 1.3 vergelijkingen van de tweede graad
f x(x 3) 2(x 6)
2 04 3
1 2
x(x 3) 2(x 6)2 0
4 3
3x² 9x 8x 48 24 0
3x² x 24 0
D 1² 4.3.( 24) 289
1 17 1 17 8x 3 ; x
2.3 2.3 3
8V 3,
3
g 21 3x(x 1) (x 2) 33
3 2
1 3x(x 1)² (x 2) 33
3 2
2x² 4x 2 9x² 18x 198 0
7x² 22x 200 0
1
2
D ( 22)² 4.( 7).200 6084
22 78x 4
14
22 78 50x
14 7
50V ,4
7
61 1.3 vergelijkingen van de tweede graad
h x² x 1 x² 2
32 4
x² x 1 x² 23
2 4
2x² 2x 2 x² 2 12 0
x² 2x 8 0
1
2
D 2² 4.1.( 8) 36
2 6x 4
2.1
2 6x 2
2.1
V { 4,2}
62 1.3 vergelijkingen van de tweede graad
Oef 8 blz 44
Los op in , k en l zijn parameters.
a 2 2x 3kx 10k 0
1 2
a 1; b 3k ; c 10k²
D 9k² 40k² 49k²
3k 7k 3k 7kx 5k ; x 2k
2 2
V 5k,2k
b 2x (k 2)x 2k 0
2 2
1 2
a 1; b k 2 ; c 2k
D (k 2) 8k (k 2)
k 2 k 2 k 2 k 2x k ; x 2
2 2
V k,2
c 2x (k 5)x (k 2)(2k 3) 0
2
2
1 2
a 1; b k 5 ; c (k 2)(2k 3)
D ( k 5) 4(k 2)(2k 3)
k² 10k 25 8k² 4k 24
9k² 6k 1
(3k 1)
k 5 3k 1 k 5 3k 1x 2k 3 ; x k 2
2 2
V 2k 3, k 2
d 2x (4k 2)x 3(4k 1) 0
2
2
1 2
a 1; b 4k 2 ; c 3(4k 1)
D (4k 2) 12(4k 1)
16k² 32k 16
(4k 4)
4k 2 4k 4 4k 2 4k 4x 4k 1 ; x 3
2 2
V 4k 1,3
63 1.3 vergelijkingen van de tweede graad
e 2x 2(k 1)x 3k² 14k 8 0
2
2
1 2
a 1; b 2(k 1) ; c 3k² 14k 8
D ( 2k 2) 4( 3k² 14k 8)
16k² 48k 36
(4k 6)
2k 2 4k 6 2k 2 4k 6x k 4 ; x 3k 2
2 2
V k 4,3k 2
f 2x (k 1)x 2k(k 1) 0
2
2
2
1 2
a 1; b k 1; c 2k(k 1)
D (k 1) 8k(k 1)
9k 6k 1
(3k 1)
k 1 3k 1 k 1 3k 1x k 1 ; x 2k
2 2
V k 1, 2k
g 2x 2kx k² l² 0
2 2
2 2 2
2
1 2
a 1; b 2k; c k l
D 4k 4k 4l
2l
2k 2l 2k 2lx k l ; x k l
2 2
V k l, k l
h 2x (2k l)x 2k(l k) 0
2
2 2 2
2
1 2
a 1; b 2k l ; c k(l k)
D (2k l) 4k(l k)
4k 4kl l 4kl 4k
l
2k l l 2k l lx k ; x k l
2 2
V k, k l
64 1.3 vergelijkingen van de tweede graad
i 2 2x (k 3l)x 2l kl 0
2
2 2
2 2
2
1 2
a 1; b k 3l ; c 2l kl
D (k 3l) 4(2l kl)
k 2kl l
(k l)
k 3l k l k 3l k lx k 2l ; x l
2 2
V k 2l , l
l 2x (k l)x (k 2l)(2k l) 0
2
2 2 2 2
2 2
2
1 2
a 1; b k l ; c (k 2l)(2k l)
D (k l) 4(k 2 l)(2k l)
k 2kl l 8k 20kl 8l
9k 18kl 9l
(3k 3l)
k l 3k 3l k l 3k 3lx 2k l ; x k 2l
2 2
V 2k l , k 2l
65 1.3 vergelijkingen van de tweede graad
Oef 9 blz 44
Voor welke warden van m hebben volgende VKV’s
geen oplossingen
juist één oplossing
twee oplossingen
a x² + 2x – 3m + 4 = 0
D 2² 4.( 3m 4)
4 12m 16
12m 12
m 1
D 0
geen oplossing als D < 0 dus als m < 1
één oplossing als D = 0 dus als m = 1
twee oplossingen als D > 0 dus als m > 1
b 4x² - 12x + 5m – 3 = 0
D ( 12)² 4.4.(5m 3)
144 80m 48
192 80m
12m
5
D 0
12geen oplossing als D < 0 dus als m >
5
12één oplossing als D = 0 dus als m =
5
12twee oplossingen als D > 0 dus als m <
5
66 1.3 vergelijkingen van de tweede graad
d 3x² - 24x + 7m – 5 = 0
D ( 24)² 4.3.(7m 5)
576 84m 60
636 84m
53m
7
D 0
53geen oplossing als D < 0 dus als m >
7
53één oplossing als D = 0 dus als m =
7
53twee oplossingen als D > 0 dus als m <
7
67 1.3 vergelijkingen van de tweede graad
Oef 10 blz 44
Los op in .
a 2 2
2 22x x x 4
2 2 2 2
2 2
2x x x 4 of 2x x x 4
x x 4 0 of 3x x 4 0
D 1² 4.1.4 0 D 1² 4.3.( 4) 49
1 7 1 7 4x 1 of x
6 6 3
4V 1,
3
b 2 2
3 3x x 5 x 5 0
2 23 3
3 3 3 3
3
2
2
x x 5 x 5
x x 5 x 5 of x x 5 x 5
x 10 0 of 2x x 0
x 10 of x 2x 1 0
x 10 of x 0 of 2x 1 0
V 0,10
c 3 3
2 22x 1 x 7 0
3 32 2
2 2
2
2x 1 x 7
2x 1 x 7
x 8
x 2 2
V 2 2
68 1.3 vergelijkingen van de tweede graad
d 3 3
2 2x 2 x 4 0
3 32 2
2 2
2
x 2 x 4
x 2 x 4
2x 2
x 1
V 1, 1
e 2 3
2 2x 4x 5 x 3x 2 0
2 2x 4x 5 0 en x 3x 2 0
D 4² 4.1.( 5) 36 D ( 3)² 4.1.2 1
4 6 4 6 3 1 3 1x 1 of x 5 en x 1 of x 2
2 2 2 2
V 1
f 2x 2x 9 6
2 2
2 2
x 2x 9 6 of x 2x 9 6
x 2x 15 0 of x 2x 3 0
D 64 D 16
2 8 2 8 2 4 2 4x 5 of x 3 of x 3 of x 1
2 2 2 2
V 5, 3, 1, 3
69 1.3 vergelijkingen van de tweede graad
g 22x x 8 2
2 2
2 2
2x x 8 2 of 2x x 8 2
2x x 10 0 of 2x x 6 0
D 81 D 49
1 9 1 9 5 1 7 3 1 7x 2 of x of x of x 2
4 4 2 4 2 4
3 5V 2, , 2,
2 2
h 2 2x 3x 4 x x 1
2 2 2 2
2
x 3x 4 x x 1 of x 3x 4 x x 1
4x 5 0 of 2x 2x 3 0
D 20
5x
4
5V
4
70 1.3 vergelijkingen van de tweede graad
Oef 11 blz 44
Bepaal de som en het product van de wortels van de volgende vierkantsvergelijkingen en
bepaal hiermee ook de wortels.
S P x1 x2
a x² + 5x – 14 = 0 -5 -14 -7 2
b x² - 7x + 12 = 0 7 12 3 4
c x² + 5x + 6 = 0 -5 6 -3 -2
d x² + x – 30 = 0 -1 -30 -6 5
e x² - 11x + 30 = 0 11 30 5 6
f x² - 3 2 x+ 4 = 0 3 2 4 2 2 2
g 6x² - 5x + 1 = 0 5
6
1
6
1
2
1
3
h x² + 1
6x -
1
6 = 0 -
1
6 -
1
6
1
2
1
3
i -x²- 4x + 5 = 0 -4 -5 -5 1
j x² + 11x + 18 = 0 -11 18 -9 -2
k -x² - 14x + 32 = 0 -14 -32 -16 2
l -2x² - x + 1 = 0 1
2
1
2 -1
1
2
m -x² + 10x + 24 = 0 10 -24 12 -2
n x² - 1 = 0 0 -1 1 -1
71 1.3 vergelijkingen van de tweede graad
Oef 12 blz 44
Zoek twee getallen met gegeven som S en product P.
a S = 8; P = 15
1
x = 5 2
x = 3
b S = 0; P = -9
1
x = 3 2
x = -3
c S = 0; P = 3
x² 3 0
onmogelijk
d S = -4; P = 0
x1 = 0 x2 = -4
e S = 8 ; P = 4
1
2
x² 8x 4 0
D ( 8)² 4.4 48
8 48x 4 2 3
2
8 48x 4 2 3
2
f 1 1
S ; P12 2
1 1x² x 0
12 2
12x² x 6 0
D ( 1)² 4.12.6 0
onmogelijk
72 1.3 vergelijkingen van de tweede graad
g S = 10; P = 23
1
2
x² 10x 23 0
D ( 10)² 4.23 8
10 8x 5 2
2
10 8x 5 2
2
h S 2 2; P = 2
2
1 2
x² 2 2x 2 0
D 2 2 4.2 0
x x 2
i S 3 2; P = 4
2
1
2
x² 3 2x 4 0
D 3 2 4.4 2
3 2 2x 2
2
3 2 2x 2 2
2
j 5
S ; P = -16
1
2
5x² x 1 0
6
6x² 5x 6 0
D 5² 4.6.( 6) 169
5 13 3x
12 2
5 13 2x
12 3
73 1.3 vergelijkingen van de tweede graad
k S = 0,1; P = 10
1x² x 10 0
10
10x² x 10 0
D ( 1)² 4.10.10 0
onmogelijk
l S = 2 ; P = -2
1
2
x² 2x 2 0
D ( 2)² 4.( 2) 12
2 12x 1 3
2
2 12x 1 3
2
74 1.3 vergelijkingen van de tweede graad
Oef 13 blz 45
Bepaal m zodat aan de gegeven voorwaarde is voldaan.
a x² + (3 + m) x + 7m + 2 = 0 1
x 5
1x 5
25 (3 m).( 5) 7m 2 0
2m 12 0
m 6
b 2
1(m 1)x (5m 1)x 6 0 x 6
1x 6
(m 1).36 (5m 1).6 6 0
6m 24 0
m 4
c x² + (4m + 1)x + 30m = 0 1 2x x = 7
1 2x x 7
(4m 1) 7
m 2
d 2x² + (7m – 8)x – 20 = 0 1 2x x = -1
1 2x x 1
7m 81
2
10m
7
e x² + (m – 5)x – 2m – 4 = 0 1 2x .x = -24
1 2x .x 24
2m 4 24
m 10
75 1.3 vergelijkingen van de tweede graad
f 2x² + (m + 4)x + 1 – m = 0 1 2x .x = -3
1 2x .x 3
1 m3
2
m 7
g 2
1 24x (3m 5)x 9 0 x x
1 2
2
2
x x
(3m 5) 4.4.9 0
9m 30m 119 0
7 17m of m
3 3
h 2
1 29x mx m 5 0 x x
1 2
2
2
x x
m 4.9.(m 5) 0
m 36m 180 0
m 6 of m 30
76 1.3 vergelijkingen van de tweede graad
Oef 14 blz 45
Stel de vergelijking op van een vierkantsvergelijking met oplossingen −4 en 7 en a = −1.
2
2
1.(x 4)(x 7) 0
x 7x 4x 28 0
x 3x 28 0
Oef 15 blz 45
Geef een vierkantsvergelijking waarvan de oplossingen het dubbel zijn van de oplossingen
van: x² − 8x + 7 = 0
Oplossing:
1 2
S 8x 1;x 7
P 7
De nieuwe wortels zijn: 2 en 14.
Een mogelijke vergelijking is dus: (x -2)(x -14) 0 of x² -16x + 28=0
Oef 16 blz 45
Geef een vierkantsvergelijking waarvan de oplossingen tegengesteld zijn aan de oplossingen
van 2x² + 9x + 7 = 0
1 2
9S
2 7x 1 ; x
27P
2
7De nieuwe wortels zijn: 1 en
2
7 9 7Een mogelijke vkv is dus : x 1 x =0 of x² - x = 0 of 2x² 9x 7 0
2 2 2
Andere mogelijkheid: als de wortels tegengesteld zijn, dan is de so
m ook tegengesteld
en blijft het product onveranderd.
We krijgen dus dadelijk de oplossing: 2x² 9x 7 0
77 1.3 vergelijkingen van de tweede graad
Oef 17 blz 45
Geef een vierkantsvergelijking waarvan de oplossingen één meer zijn dan de helft van de
oplossingen van x² - 6x + 8 = 0
1 2
S 6x 2 ; x 4
P 8
De nieuwe wortels worden dus: 2 en 3.
Een mogelijke vergelijking is dus x²-5x 6 0
Oef 18 blz 45
Geef een vierkantsvergelijking waarvan de oplossingen twee minder zijn dan het drievoud
van de oplossingen van 3x² + 5x – 2 = 0
1 2
5S
13x 2 ; x
32P
3
De nieuwe wortels zijn: -8 en -1
Een mogelijke vergelijking is dus x² + 9x + 8 = 0
Oef 19 blz 46
Als p(x + 3) = x² + 7x + 4 en p(x) = ax² + bx + c , zoek dan a, b en c.
2
2 2
2 2
p(x 3) x 7x 4
a(x 3) b(x 3) c x 7x 4
ax (6a b)x 9a 3b c x 7x 4
a 1
6a b 7
9a 3b c 4
a 1
b 1
c 8
78 1.3 vergelijkingen van de tweede graad
Oef 20 blz 47
Als c >a > 0 en als a − b + c = 0, zoek dan de grootste wortel van ax² + bx + c = 0.
2
2
2
ax bx c 0
ax (a c)x c 0
ax ax cx c 0
ax(x 1) c(x 1) 0
(x 1)(ax c) 0
cx 1 of x
a
cc a 1
a
Antwoord: de grootste wortel is -1.
79 1.3 vergelijkingen van de tweede graad
Oef 21 blz 47
Ontbind indien mogelijk in factoren.
a x² + 4x + 4
= (x + 2)²
b x² - 7x + 12
S 73;4
P 12
= (x – 3)(x – 4)
c 4x² - x – 18
D ( 1)² 4.4.( 18) 289
91 17 4x
82
94 x (x 2)
4
(4x 9)(x 2)
d 1
x² x 122
S 26 ; 4
P 24
1(x 6)(x 4)
2
e 3x² + 3x – 18
S 1
3 ; 2P 6
= 3(x + 3)(x – 2)
f -20x² + 100x – 125
= -5(2x – 5)²
80 1.3 vergelijkingen van de tweede graad
g 2x³ - 8x
= 2x(x² - 4)
= 2x(x – 2)(x + 2)
h x³ + 8x
= x(x² + 8)
i 9x² + 12x + 4
= (3x + 2)²
j 4x² - 2x – 6
1S
32 1 ;23
P2
34 x 1 x
2
2(x 1)(2x 3)
k 2x 2x 4
D 2 16 18
2 22 3 2x
22
x 2 x 2 2
l -x² + 6x – 9
= -(x – 3)²
81 1.3 vergelijkingen van de tweede graad
m 1
x² 2x 93
S 6
9 ; 3P 27
1
(x 9)(x 3)3
n x4 – 8x² - 9
stel x² = y
y² - 8y – 9
S 8
9 ; 1P 9
= (y – 9)(x + 1)
= (x² - 9)(x² + 1)
= (x – 3)(x + 3)(x² + 1)
o x4 – 16
= (x² - 4)(x² + 4)
= (x – 2)(x + 2)(x² + 4)
p 3x4 – 12x³ - 15x²
= 3x²(x² - 4x – 5)
S 4
5 ; 1P 5
= 3x²(x – 5)(x + 1)
82 1.3 vergelijkingen van de tweede graad
Oef 22 blz 46
Los de volgende bikwadratische vergelijkingen op.
a x4 – 5x² + 4 = 0
stel x² = t
t² 5t 4 0
t 1 of t = 4
x² 1 of x² = 4
x 1 of x = 2
V = -1,1,-2,2
b x4 - 1 = 0
stel x² = t
t² 1 0
t 1 of t = -1
x² 1 of x² = -1
x 1 ---------
V = -1,1
c 9x4 – 85x² + 36 = 0
stel x² = t
9t² 85t 36 0
4t 9 of t =
9
4x² 9 of x² =
9
2x 3 of x =
3
2V 3,
3
83 1.3 vergelijkingen van de tweede graad
d x4 – 2x² - 3 = 0
stel x² = t
t² 2t 3 0
t 1 of t = 3
x² 1 of x² = 3
x = 3
V 3
e 2x4 – 47x² - 75 = 0
stel x² = t
2t² 47t 75 0
3t 25 of t = -
2
3x² 25 of x² = -
2
x 5
V = 5
f 4x4 – 17x² + 4 = 0
stel x² = t
4t² 17t 4 0
1t 4 of t =
4
1x² 4 of x² =
4
1x 2 of x =
2
1V 2,
2
84 1.3 vergelijkingen van de tweede graad
g 36x4 – 25x² + 4 = 0
stel x² = t
36t² 25t 4 0
1 4t of t =
4 9
1 4x² of x² =
4 9
1 2x of x =
2 3
1 2V ,
2 3
h x4 – 10x² + 9 = 0
stel x² = t
t² 10t 9 0
t 1 of t = 9
x² 1 of x² = 9
x 1 of x = 3
V 1, 3
i 2x4 – 50x² = 0
Stel x² = t
2t² 50t 0
t 0 of t = 25
x² 0 of x² = 25
x 0 of x = 5
V = 0, 5
85 1.3 vergelijkingen van de tweede graad
j 3x4 + 7x² + 2 = 0
stel x² = t
3t² 7t 2 0
1t of t = -2
3
1x² of x² = -2
3
V =
k x4 – 7x² + 10 = 0
stel x² = t
t² 7t 10 0
t 5 of t = 2
x² 5 of x² = 2
x 5 of x = 2
V 5, 2
l 18x4 + 5x² - 2 = 0
stel x² = t
18t² 5t 2 0
2 1t of t = -
9 2
2 1x² of x² = -
9 2
2x
3
2V =
3
86 1.3 vergelijkingen van de tweede graad
m 16x4 – 136x² + 225 = 0
stel x² = t
16t² 136t 225 0
9 25t of t =
4 4
9 25x² of x² =
4 4
3 5x of x =
2 2
3 5V ,
2 2
n 225x4 + 91x² - 4 = 0
stel x² = t
225t² 91t 4 0
1 4t v t = -
25 9
1 4x² v x² = -
25 9
1x -------
5
1V =
5
o 3x4 – 26x² - 9 = 0
stel x² = t
3t² 26t 9 0
1t 9 of t = -
3
1x² 9 of x² = -
3
x 3
V = 3
87 1.3 vergelijkingen van de tweede graad
p x4 – 29x² + 100 = 0
stel x² = t
t² 29t 100 0
t 25 of t = 4
x² 25 of x² = 4
x 5 of x = 2
V = 5, 2
88 1.3 vergelijkingen van de tweede graad
Oef 23 blz 46
Los de volgende vergelijkingen op.
a 6 3x 7x 8 0
3
2
3 3
stel x t
t 7t 8 0
S 7 8t 1 of t 8
P 8 1
x 1 of x 8
x 1 of x 2
V 2,1
b 6 3x 26x 27 0
3
2
3 3
stel x t
t 26t 27 0
S 26 1t 1 of t 27
P 27 27
x 1 of x 27
x 1 of x 3
V 1, 3
c 6 38x 15x 2 0
3
2
2
3 3
3
3
stel x t
8t 15t 2 0
1t of t 2 D 15 4.8.( 2) 289
8
1x of x 2
8
1x of x 2
2
1V , 2
2
89 1.3 vergelijkingen van de tweede graad
d 8 4x 15x 16 0
4
2
4 4
stel x t
t 15t 16 0
S 15 1t 16 of t 1
P 16 16
x 16 of x 1
x 2
V 2 , 2
e 8 4x 65x 1296 0
4
2
4 4
stel x t
t 65t 1296 0
t 81 of t 16 D 9409
x 81 of x 16
x 3
V 3 , 3
f 10 5x 242x 243 0
5
2
5 5
stel x t
t 242t 243 0
S 242 1t 1 of t 243
P 243 243
x 1 of x 243
x 1 of x 3
V 3 , 1
90 1.3 vergelijkingen van de tweede graad
g 7 45x 42x 16x 0
6 3
6 3
3
2
3 3
3
3
x 5x 42x 16 0
x 0 of 5x 42x 16 0
stel x t
x 0 of 5t 42t 16 0
2x 0 of t 8 of t D 1444
5
2x 0 of x 8 of x
5
50x 0 of x 2 of x
5
50V 0 , 2 ,
5
h 2
2 22x 3x 7 2x 3x 10 0
2
2
2 2
2 2
stel 2x 3x t
t 7 t 10 0
S 7 2t 5 of t 2
P 10 5
2x 3x 5 of 2x 3x 2
2x 3x 5 0 of 2x 3x 2 0
5 1x 1 of x of x 2 x
2 2
5 1V 1, , 2 ,
2 2
91 1.3 vergelijkingen van de tweede graad
i 2
2 2x x 14 x x 24 0
2
2
2 2
2 2
stel x x t
t 14t 24 0
S 14 2t 2 of t 12
P 24 12
x x 2 of x x 12
x x 2 0 of x x 12 0
x 3 of x 4 of x 1 x 2
V 4, 2, 1, 3
j 2
2 22x x 14 x 2x 0
2
2
2 2
2 2
stel 2x x t
t t 0
t 0 of t 1
2x x 0 of 2x x 1
2x x 0 of 2x x 1 0
1 1x 0 of x of x 1 x
2 2
1 1V , 1, , 0
2 2
k 2
2 2x 4x 2 x 4x 15 0
2
2
2 2
stel x 4x t
t 2t 15 0
t 3 of t 5
x 4x 3 0 of x 4x 5 0
x 1 of x 3 of x 1 of x 5
V 1, 1, 3 , 5
92 1.3 vergelijkingen van de tweede graad
l 22x x 2 x x 2 56 0
2
2 2
stel x(x 2) t
t t 56 0
t 8 of t 7
x 2x 8 0 of x 2x 7 0
x 2 of x 4 D 0
V 2 , 4
m 2
2 2x 6x 3 5 x 6x 3 50
2
2
2 2
stel x 6x 3 t
t 5t 50 0
t 10 of t 5
x 6x 7 0 of x 6x 8 0
x 1 of x 7 of x 2 x 4
V 1, 2 , 4 , 7
n 2
2 28 2x 5x 1 9 x 5x 2 8 0
2
2
2 2
stel 2x 5x 1 t
8t 9t 1 0
1t of t 1
8
92x 5x 0 of 2x 5x 2 0
8
1 9 1x of x of x 2 x
4 4 2
1 9 1V , , 2 ,
4 4 2
93 1.3 vergelijkingen van de tweede graad
Oef 24 blz 46
Ontbind volgende veeltermen.
a 4 2x 5x 4
2 2x 1 x 4
(x 1)(x 1)(x 2)(x 2)
b 4 2x 2x 3
2 2
2
x 3 x 1
x 3 x 3 x 1
c 6 4 2x 10x 9x
2 4 2
2 2 2
2
x x 10x 9
x x 9 x 1
x (x 3)(x 3)(x 1)(x 1)
d 4 22x 14x 20
4 2
2 2
2 x 7x 10
2 x 5 x 2
2 x 5 x 5 x 2 x 2
94 1.3 vergelijkingen van de tweede graad
(D)
2
2
2
a) als 1 - x 0 x 1,1 dan zoeken we de oplossingen van de vergelijking
1-x 1 x
De oplossingen zijn x = 0 en x = 1
b) als 1 - x 0 x , 1 1, dan zoeken we de oplossingen van de
vergelijking
2x 1 1 x
De oplossingen zijn x = 1 en x = -2
Er zijn dus drie oplossingen: 0, 1, -2.
Het product van de oplossingen van x² + kx + 3 = 0 is 3. Eén van de oplossingen is
gelijk aan 1, bijgevolg is de andere oplossingen gelijk aan 3.
(A) De vierkantsvergelijking heeft geen reële oplossingen omdat de discriminant van
de vergelijking voor elk reëel getal a negatief is.
Inderdaad: 2 2 2D a 8a 7a 0,voor alle 0 a .
Als a = 0, heeft de gegeven vergelijking ook geen oplossingen.
95 1.3 vergelijkingen van de tweede graad
(D) Noteer de twee oplossingen van de vierkantsvergelijking 2x ax b 0 als
1 2x en x .
Dit betekent dat 1 2 1 2
a x x en b x .x .
Voor de discriminant geldt dus: 2 22
1 2 1 2 1 2D a 4b x x 4x x x x 25
(E)
(B) We herschrijven de vergelijking als 2 2 3 ( 1)( 3) 0
De oplossingen zijn dus =1 en = -3 wat gehele getallen zijn.
96 1.3 vergelijkingen van de tweede graad
2
2
2
b b 4acDe twee oplossingen van de eerste vergelijking zijn: (1)
2a
b b 4acde twee oplossingen van de tweede vergelijking: (2)
2c
Stel dat a>0, zodat c<0.
b b 4acIn (1) is de grootste oplossing: (3)
2a
In
2b b 4ac(2) is de kleinste: (4)
2a
cBij deling van (3) door (4) verkrijgen we .
a
Als a<0 en c>0 nemen we uit (1) en (2) de oplossingen met een minteken voor
de vierkantswortel. Het resultaat van de deling
wijzigt niet.