Opi zakon gravitacije

NEWTONOV OPI ZAKON GRAVITACIJERazvoj ideje o gibanju nebeskih tijela (Ptolomej , Kopernik , Kepler )

Newtonov opi zakon gravitacije ( izraunavanje masa nebeskih tijela , akceleracija slobodnog pada , sateliti , svemirske brzine )

1

Klaudije Ptolemej85-166 Najvee djeloMegale sintaxis (Veliki zbornik)ouvano u arapskom prijevodu kao Almagest

- objedinio rezultate prethodnika dao prvu sustavnu raspravu o svim nebeskim gibanjima

Ptolemejev geocentriki sustav, utjecajan kao i Aristotelova filozofija2

Ptolemejev geocentrini sustav (2. st.)djelo : Almagest3epicikldeferent4Ptolomaic Model Simulator

Marsova putanjaZemljina putanjaNikola Kopernik ( Thorn 1473. Frauenburg 1543. )Aristarh (310. - 230. pr. Kr.)Giordano Bruno, 1600. spaljenGalileo Galilei (1564. 1642.)6Planetary Configurations Simulator

Keplerovi zakoniA2A1A1 = A21.2.3.

Tycho Brahe (1546. 1601.)Johannes Kepler (1571. 1630.)8Johannes Kepler (1571.-1630.)

Iz promatrakih podataka Tycha Brahea izvodi tri zakona:

1. Staze su elipse

2. Konstantnost plone brzine

3.

Kinematika planetskih gibanjaElipsa

10APSIDE

apoapsis i periapsis toke na krajevima velike osi elipse ; apoapsis je najdalja toka , a periapsis najblia tokaafel i perihel - za planete kao Suneve sateliteapogej i perigej - za Zemljine satelite ( Mjesec)apoluna i periluna - za Mjeseeve sateliteapohermij i perihermij za Merkurapojovij i perijovij - za Jupiter

11Newtonov opi zakon gravitacije

aaaaa

aa

12G = 6,6710-11 N m2 kg-2 gravitacijska konstanta

a

F F mpF ms

F Opi zakon gravitacije 13Primjer 1: Izraunajmo masu (M) i srednju gustou () Zemljeiz njezina polumjera (R = 6,4106 m) i akceleracije slobodnog pada na njezinoj povrini (g = 9,81 m s-2). Rjeenje:R = 6,4106 mg = 9,81 m s-2M = ?F = mg,

M = 61024 kg

,

= 5 467 kg m-3 = ?14Primjer 2: Izvedimo izraz za akceleraciju slobodnog pada na visini h iznad Zemljine povrine.Rjeenje:

15Zadatak 1: Kolika je akceleracija slobodnog pada na asteroidu polumjera 5 km i gustoe 5500 kg m-3?Rjeenje:R = 5 km = 5103 m = 5 500 kg m-3

g = ?

g = 7,710-3 m s-2

16Zadatak 2: Na koju visinu moramo podignuti tijelo da bi muse teina smanjila upola? Poznat je polumjer Zemlje (6,4106 m).Rjeenje:R = 6,4106 mh = ?

h = 2,65106 m

17Satelitiv

Fcp = Fg Prva kozmika brzina

v 7,9 km s-1 Na Zemlji:RDruga kozmika brzina

v 11 km s-1 18Putanje

19Primjer: Koliko je od Zemljine povrine udaljen satelit kojikrui u ekvatorijalnoj ravnini tako da se uvijek nalazi iznad istog mjesta na Zemlji (geostacionarni satelit)? Ophodno vrijeme geostacionarnog satelita jednako je periodu rotacije Zemlje.Rjeenje:T = 24 hR = 6,4 106 mh = ?Gms mZT2 = 42(R + h)3ms

GmZ = gR2h = 3,6107 m

Fg = Fcp

= 86400 s20Zadatak 1: Izraunajte masu Sunca uzimajui da je udaljenostZemlje od Sunca 1,51011m. Rjeenje:r = 1,5 1011 mmS = ?Fg = Fcp

mS = 21030 kg21Zadatak 2: Kojom se brzinom giba satelit na visini 420 km iznad povrine Zemlje? Za polumjer Zemlje uzmite 6 400 km. Poznata je jo akceleracija slobodnog pada na povrini Zemlje (g = 9,81 m s-2).Rjeenje:h = 420 kmR = 6400 kmg = 9,81 m s-2v = ?Fcp = Fg

GmZ = gR2

v = 7,7103 m s-1= 420 103 m= 6400103 m22Prilozi

Teina tijela na povrini nebeskog tijela

Gt = m g

Na Zemlji: Gz = m gz

Slijedi: Gt/ Gz = g / gz

Zakonitosti slobodnog pada :v = g t , v2 = 2 g h , h = g t2 /2 , h = v t /2Centrifugalna sila

Inercijska sila u rotirajuem sustavu ( nebeskom tijelu).

Fcf = m v2 / r = m 4 2 r / T2 = = m 2 r

Jednoliko gibanje po krunici : v = 2 r / T = r a = v2 / r

Teina tijela na povrini rotirajueg nebeskog tijela

Idealizacija : Re = Rp = RZbroj gravitacijske sile i centrifugalne sile :

Na ekvatoru : m ge = G m M / R2 - m 4 2 R / T2

Na polu : m gp = G m M / R2 , ( Fcf = 0 )

Spljotenost Zemlje je zanemarena ! Openito spljotenost planeta = Re Rp / ReTeina tijela na povrini rotirajueg nebeskog tijela (2)

na geografskoj irini :

Gt = Fg Fcf,v m g = G m M / R2 - (m 4 2 r / T2 ) cos m g = G m M / R2 - (m 4 2 R cos / T2 ) cos

Slijedi :

g = G M / R2 - (4 2 R / T2 ) (cos )2

Gt = m g

cos = r / R r = R cos Centar mase dvojnog sustava

Za niz masa na istom pravcu , x-osi , openito poloaj centra mase (CM) se odredi iz izraza : xCM = m1 x1 + m2 x2 + m3 x3 +/ m1 + m2 + m3 +Iznos koordinate centra mase ovisi o izboru referentne toke !Na skici b): xCM = r1 xCM = m1 0 + m2 r/ m1 + m2 Slijedi : r1 = m2 r/ m1 + m2 ; r2 = r r1 = Na skici c) : xCM = 0 0 = m1 (-r1) + m2 r2 / m1 + m2 Slijedi : m1 r1 = m2 r2

Mase m1 i m2 na meusobnoj udaljenosti r gibaju se kruno oko zajednikog centra mase (skica a)) .Izvod 3. Keplerovog zakona

M >> mZa xCM = 0 vrijedi : 0 = M(-r1) + mr2 / M + m Slijedi : M r1 = m r2Oba tijela se s jednakim periodom gibaju jednoliko po krunici oko centra mase sustava.Fcp = FgZa tijelo mase M : M 4 2 r1 / T2 = G m M / r2 / : MZa tijelo mase m : m4 2 r2 / T2 = G m M / r2 / : mZbrajanjem tih jednadbi dobije se : 4 2( r1 + r2) / T2 = G ( M + m ) / r2Slijedi : T2 / r3 = 4 2/ G( M +m)

r = r1 + r2v = 2r2 / T

Fcp = Fgmv2/ r2 = G m M / r2Jednoliko gibanje nebeskog tijela po krunici

v = 2 r / T = rFcp = m acp = mv2 /rr = R + h

Fg = Fcp ; m