*14. Kolmiossa yksi kärki on origossa, toinen pisteessä A= (9, 0), B=(3,6)

Osoita, että kolmion pyörähtäessä x-akselin ympäri syntyvän kappaleen tilavuus on sama kuin kolmion pinta-alan ja painopisteen kulkeman matkan tulo.

Ratkaisu:Piirrä kolmio koordinaatistoon

Painopiste:

)2,4()3600,

3390(

Huom: keskiarvolla jo 3 pistettä!

Sen kulkema matka: s = 2r = 2 2 = 4

Kolmion ala: A = ½ 9 6 = 27

Tulo = 27 4 = 108

Pyörähdyskappale koostuu kahdesta ympyräkartiosta:

tuloV 108663136

31 33

Anne: Tehtävästä sai helposti ”irtopisteitä”

Tarkat arvot oltava ei saa pyöristää

Tilavuus menee myös integraaleilla

*15. Tasossa suoran suunta voidaan ilmoittaa kulmakertoimen avulla. Kolmiulotteisen avaruuden suoralla ei ole kulmakerrointa. Sen sijaa sen suuta voidaan ilmoittaa suuntakosinien avulla.

Suuntakosini = suoran suuntavektorin ja positiivisen koordinaattiakselien välisen kulman kosini.

a) Laske suoran L: suuntakosinit (4 pist).

Suoran suuntavektorit on

s = 2i + 3j + 7k (Huom. Suoraan taulukkokirja s. 46)

75

32

21

zyx

62732 222 s (Huom. Suoraan taulukkokirja s. 41, 2)

622

16212),cos(

isisis (Huom. Taulukkokirja s. 42, 8.)

623

16213),cos(

jsjsjs 62

716217),cos(

ksksks

3,75),(622),cos( isis

b. Määritä suuntakulmat (2 pist)

6,67),(623),cos( isjs

3,27),(627),cos( isks

c) Neliöiden summa: (1 pist)

16262

6249

629

624)

627()

623()

622( 222

d) Osoita, että tulos on sama kaikille kolmiulottisen avaruuden suorille

ksjsiss zyx

nssss zyx 222

z

y

x

sks

sjs

sis

1222222

nn

nsss

ns

ns

nsS zyxzyx

Anne: ”Lähestulkoon” taulukkokirjan käyttöä…. No hieman piti ymmärtääkin, laskun eri vaiheita…

8. Katkaistun ympyräkartion pohjien säteet ovat r ja 2r sekä korkeus 3r. Kappale pyörii lappeellaan vaakasuoralla alustalla siten, että alustaan muodostuu ympyrärengas. Laske sen pinta-ala.

a = r, b = 3r. Yhdenmuotoisuudesta:

rxrr

xr

33

r12 = r2 + x2 = 10r2

Koska y = r1, niin r2 = 2r1 ja r22 = 4r1

2 = 40r2

Renkkaan ala on = r22 - r1

2 = 30r2 = 30r2