14065-4-651826679248

Universitas Mercu BuanaFakultas Teknologi Industri

Jurusan Teknik Elektro

Modul IV

Rekayasa trafik

FUNGSI-FUNGSI DISTRIBUSI

Oleh:

Nacep Suryana

Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB Nacep Suryana, MSc REKAYASA TRAFIK

BAB IV

FUNGSI-FUNGSI DISTRIBUSI

4.1. PENGANTAR

Beberapa Distribusi secara karakter aslinya sangat sesuai untuk analisa

rekayasa trafik dalam sistim telekomunikasi. Beberapa Distribusi akan dibahas pada bab

ini, terutama aplikasi dan sifat-sifatnya seperti nilai ekspektasinya dan variansi-nya.

4.2. DISTRIBUSI GEOMETRI

Definisi: Anggaplah sebuah eksperiment yang mempunyai peluang untuk

terjadinya suatu peristiwa adalah p, sedangkan peluang kegagalannya adalah 1 - p.

Variable random X didefinisikan sebagai jumlah percobaan yang harus dilakukan

sampai munculnya peristiwa yang pertama, dan jika peluang terjadinya suatu

peristiwa dari beberapa experiment satu sama lain tidak saling tergantung, maka

Variabel X mempunyai distribusi Geometris.

Rumusanya: Untuk sampai kepada terjadinya peristiwa yang pertama pada

percobaan yang ke-i, maka kita telah gagal sebanyak i – 1 kali experiment, peluang

kegagalanya berarti (1-p)i-1 dan peluang terjadinya adalah p. Maka peluang

terjadinya peristiwa dari distribusi Geometri pada experimen ke-i adalah:

pi = (1 – p)i-1p i = 1, 2, ……..

Nilai ekspektasinya (Nilai rata-ratanya) adalah:

E[X] = ∑ i (1-p)i-1p

Sedangkan Variansi-nya adalah:


σ2 = (1 – p) / p2

Contoh 3.1:

Salah satu metoda untuk membuat simulasi computer tentang sembarang proses

kedatangan (panggilan telepon / data) adalah dengan cara membagi sumbu waktu

menjadi beberapa ‘time slot’ dan setiap time slot mempunyai peluang kedatangan

tertentu. Kita misalkan sumbu waktu kita bagi menjadi potongan kecil-kecil (time

slot) dari 200 ms, dan p adalah peluang kedatangan pada setiap time slot.

Peluang pada setiap slot satu sama lain independent. Ditanyakan:

a. Berapa peluang p harus dipilih agar rata-rata proses kedatangan jumlahnya

adalah satu kedatangan untuk setiap 2 detik?

b. Bagaimana gambaran distribusi peluang dari nomer time slot dengan peluang

kedatangan pertama panggilan?

c. Jika simulasi dimulai pada t = 0 detik, Berapa peluang pada t = 2 detik belum

ada yang datang juga?

Solusi

a. pada interval 2 detik terdapat 10 time slot (karena 1 time slot 200 ms), satu

kedatangan per 2 detik artinya adalah adanya satu kedatangan pada tiap 10 time

slot. Jumlah time slot yang berjalan sampai dengan munculnya kedatangan

pertama adalah 1/p, jadi peluang p yang harus dipilih adalah p = 0.1 (ada satu

kedatangan per 10 time slot).

b. Nomer dari time slot dengan kedatangan pertama menggambarkan jumlah yang

harus dipenuhi sampai kejadian sukses pertama muncul. Besaran ini adalah

variable stochastic diskrit dengan distribusi geometris, dan jika digambar dengan

Histogram maka akan tampak seperti dibawah ini:


c. Pada t = 2 detik, ada 10 time slot. Peluang bahwa sampai pada 10 time slot

belum ada panggilan yang datang, adalah sama dengan peluang kedatangan

terjadi pada time slot ke 11 atau lebih:

Distribusi geometris mempunyai sifat memoryless (untuk distribusi diskrit),

artinya ketika sudah dilakukan k experiment dan belum ada sukses yang terjadi, maka

distribusi peluang dari jumlah experiment yang harus diakukan lagi sampai sebuah

sukses terjadi sama dengan distribusi peluang asal-nya. Histogram dibawah ini

menggambarkan distribusi peluang untuk time slot 11 dan seterusnya, ketika sampai 10

time lot belum ada sukses yang terjadi.


10Pr{X>10} = 1 - Pr{X ≤ 10} = 1 - Σ 0.9i-1. 0.1

i = 1

1 - 0.910

1- 0.1 = 0.910 = 0.349 1 - 0.9

4.3. DISTRIBUSI BINOMIALE

Definisi : Jika variabel X menggambarkan suatu experiment sebanyak n kali

experiment yang satu sama lain independent dan setiap experiment mempunyai

peluang sukses p, maka variable random X mempunyai distribusi Binomiale

dengan parameter n dan p. Peluang dari distribusi Binomiale diberikan sbb:

Dimana

notasi :

Harga Rata-rata dan variansi dari distribusi Binomiale adalah sbb:

Harga rata-ratanya adalah: E[X] = np

Variansi-nya adalah: σ2 = np(1 - p)

Contoh 3.2 .:


nPi = (1 – p)n – i pi 0 ≤ i ≤ n i

Kita melanjutkan contoh soal yang ada pada contoh 3.1 dimana peluang terjadi 1

kedatangan setiap time slot sebesar 200 ms adalah 0.1.

Ditanyakan adalah: Berapa peluang bahwa dalam interval 20 detik terjadi

kedatangan 5 atau kurang?

Jawab:

Jumlah kedatangan dalam 20 detik (sama dengan 100 time slot) dapat dianggap

sama dengan jumlah experiment 100 kali, maka variable random ini adalah

distribusi Binomiale dengan n = 100 dan p = 0.1. maka harga ekspektasi-nya

atau rata-ratanya adalah n.p = 10, sedangkan peluang terjadinya 5 kedatangan

atau kurang adalah:

P(X ≤ 5) = p0 + p1 + p2 + p3 + p4 + p5

Jadi,

= 0.000027 + 0.000295 + 0.001623 + 0.005892 + 0.015875 + 0.033866

= 0.058

4.4. DISTRIBUSI POISSON

Definisi: Distribusi Poisson adalah distribusi peluang dari variable stochastic X yang

diskrit. Kalau sebuah proses kedatangan adalah proses Poisson dengan rata-rata

kedatangan λ per detik dan kita mendefinisikan varaibel X sebagai jumlah

kedatangan didalam interval waktu t detik, maka X adalah distribusi Poisson dengan

parameter α = λ t. maka peluang dalam distribusi Poisson dengan parameter α

adalah:

Pi = e- α

Rata-rata dan variasi dalam distribusi Poisson adalah sbb:

E(X) = α


n dan pi = (1 – p)n – i pi 0 ≤ i ≤ n i

100 100 100

P(X ≤ 5) = . 0.9100 + 0.999 0.1+ ……+ 0.9950.00001

0 1 5

σ2 = α

Histogram untuk distribusi poisson dapat dilihat pada halaman berikut:

Contoh 3.3

Kita akan membuat model untuk proses kedatangan panggilan pada sebuah

sentral telepon. Untuk membuat perbandingan dengan 2 metoda terdahulu, kita akan

mengajukan pertanyaan yang sama: Berapa besar peluangnya 5 kedatangan atau

kurang dalam waktu 20 detik, dimana rata-rata ada satu kedatangan tiap 2 detik.

Solusi

Jumlah kedatangan dalam interval waktu adalah merupakan variable diskrit

stochastic yg terdistribusi secara poisson. Parameter untuk distribusi poisson dalam

contoh ini adalah α = 10, maka peluang 5 kedatangan atau kurang adalah:

Pr { X ≤ 5} = P0 + P1 + P2 + P3 + P4 + P5

= e-10 + e-10 10 + e-10 (102/2!) + e-10 (103/3!) + e-10 (104/4!) + e-10 (105/5!)

= 0.000045 + 0.000454 + 0.002270 + 0.007567 + 0.01917 + 0.03733

= 0.067

Distribusi poisson lebih teliti ketimbang distribusi binomial (memiliki koefisien variance

yg lebih besar). Untuk peluang sampai dengan 1% cukup teliti, dalam kasus ini distribusi

poisson lebih baik dari distribusi binomiale.

4.5. DISTRIBUSI NORMAL (DISTRIBUSI GAUSS)

Ketika beberapa variable stochastic dijumlahkan maka distribusinya akan

semakin mendekati distribusi Normal. Dalam praktek sering sekali beberapa hasil

analisa kita terdiri dari beberapa variable yg dijumlahkan, misalkan kita mempunyai 2

variabel stochastik X1 dan X2, maka penjumlahan dari X1 + X2 juga merupakan variable

stochastic dimana rata-rata nya sama dengan penjumlahan dari masing-masing

variable dan demikian juga dengan variance-nya.

Variable stochastic Rata-rata Variance

X1 E{X1} σ12


X2 E{X2} Σ22

X1 + X2 E{X1} + E{X2} σ12 + σ2

2

Kepadatan peluang dari variable stochastic dengan rata-rata μ dan variance σ2 adalah:

Dibawah ini adalah grafik distribusi normal dengan rata-rata 10 dan variance-nya 10.

pada distribusi normal yang standard nilai rata-ratanya adalah 0 dan variance-nya 1,

maka kepadatan peluang-nya adalah:

Fungsi distribusinya adalah sering disebut juga error function, Erf(.) sbb:

Erf(x) = ∫ f(t) dt

Misalkan kita mempunyai variable stochastic X dengan rata-rata μ dan variance σ2

disimbolkan X ≈N(μ, σ2 ), maka jika kita ingin menghitung berapa besar Pr{X ≤ x}, kita

harus mendefinisikan variable stochastic baru Y yg berhubungan dengan X sbb:


1F(x) = e -1/2 (x-μ)2

σ√2π σ

X – μY =

σ

Proses translasi dengan μ dan σ menyebabkan Y juga memiliki distribusi normal Y≈N(0,

1). Fungsi distribusi dari dapat dinyatakan dalam Erf(.) sbb:

Pr {X ≤ x} = Pr{Y ≤ x – μ } = Erf (x – μ) σ σ

pada halaman berikut table dari error function diberikan, melalui sifat simetri dari

kepadatan peluang dalam distribusi normal standard terhadap 0 maka:

Erf (-x) = 1 – Erf(x)

Contoh 3.4.

Pada sebuah PABX baru semua peralatan ISDN dan terminal powernya disuplai

dari pheriperal circuit board. Power suplai hanya memberikan powernya ketika peralatan

aktif. Dari data-data sebelumnya diketahui bahwa pada jam-jam sibuk peluang aktif

peralatan adalah 0,1. jumlah peralatan yg ada di PABX adalah 200. untuk menentukan

apakah power suplainya dapat mencukupi atau tidak, kita perlu menghitung berapa

besar peluangnya pada jam-jam sibuk lebih dari 30 peralatan aktif?

Solusi

Untuk menyederhanakan masalah kita misalkan bahwa periode aktif dari

beberapa alat satu sama lain tidak tergantung, maka jumlah peralatan yang aktif X pada

jam-jam sibuk merupakan variable stochastic yang terdistribusi secara binomial, rata-

rata dan variance-nya:

μ = n.p = 20

σ = n.p.(1-p) = 200(1 - 0,1).0,1 = 18

penjumlahan langsung dari rumus menghitung peluang binomial dari P30 sampai P100,

maka kita akan menemui kesulitan untuk menghitung koefisien binomial berikut:

hal sama terjadi jika kita menghitungnya dengan bantuan distribusi poisson

Untuk dapat menghitung peluang ini kita harus menggunakan pendekatan distribusi

normal. Misalkan W adalah distribusi Normal dengan rata-rata 20 dan variance-nya

adala 18, maka Y didefinisikan Y = (W – 20)/√18:


200 = 4096817050221277735306652363950880 300

Pr { W > 30 } = 1 – Pr{X ≤ 30}

= 1 – Pr {Y ≤ 2,36} = Erf (-2,36}

= 0,00914 (dengan melihat table)


4.6 DISTRIBUSI EXPONENSIAL NEGATIF

Distribusi Exponensial Negatif dapat didefinisikan: Berapa lama waktu

berlangsung sampai sebuah peristiwa yg didinginkan terjadi. contoh masalah ini adalah

Waktu yang berjalan sampai panggilan telephone pertama berikutnya ketika ada rata-

rata λ panggilan per satuan waktu.

Misalkan T adalah variable stochastic kontinyu dengan kepadatan peluang sbb:

dan untuk fungsi distribusinya adalah sbb:

jadi T adalah distribusi negative exponential dengan rata-rata dan variance sbb:

m 1 = 1 / λ

σ2 = 1 / λ2

Gambar 4.3. kepadatan peluang distribusi exponensial negative dengan m1 =

2 (jadi λ = 0.5)

Contoh:

Pada contoh ini kita akan membandingkan perhitungan dengan contoh pada paragraph

4.1 diatas. Sekarang kita menggunakan assumsi bahwa proses kedatangan yaitu: waktu


λ e-λt utk t ≥ 0f(t) =

0 utk t < 0

1 - e-λt utk t ≥ 0 F(t) =

0 utk t < 0

sampai munculnya kedatangan pertama dan waktu antar 2 kedatangan berurutan

mempunyai distribusi exponensial negative dengan rata-rata 2.

Yang ditanyakan adalah berapa peluang bahwa pada t = 2 belum ada kedatangan

panggilan (jika variable stochastic ini terdistribusi secara exponensial negative)?.

Solusi

Peluang bahwa selama 2 detik pertama belum ada kedatangan yang muncul adalah:

Pr{T > 2} = 1 - Pr{T ≤ 2}

= 1 - F(2)

= 1 - (1 - e-1)

= e-1 = 0.368

Distribusi ini memiliki sifat memoryless (sama dengan distribusi geometris). maka dari itu

distribusi ini banyak sekali dipakai pada rekayasa trafik, dimana waktu antar kedatangan

dan lamanya pelayanan (holding time) sering diasumsikan sebagai distribusi

exponensial negatif.


14065-4-651826679248

Documents