143710745-3manualmatematicasiii (1)

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MATEMTICAS III ADMINISTRACIN Y EVALUACION DE PROYECTOS - 1 -

ndice

Introduccin 4

Firmas de autorizacin 4

1. Probabilidad aplicada1.1 Conceptos bsicos1.2 Permutaciones y combinaciones1.3 Enfoque de probabilidad1.4 Distribucin de probabilidad

5581224

2. Estimacin2.1 Estimacin puntual2.2 Estimacin por intervalo2.3 Determinacin del tamao de muestra

43434753

3.Prueba de hiptesis3.1. Prueba de hiptesis para medias3.2. Prueba de hiptesis para proporciones

585871

4. Regresin y Correlacin4.1. Mnimos cuadrados.4.2. Estimacin mediante lnea de regresin simple.4.3. Anlisis de correlacin.

76768086

Introduccin a las matemticas financierasConceptos generales

Progresiones aritmticas e inters simpleProgresiones geomtricas e inters compuestoDiagramas de flujo de caja

9191

95105111

6. Tasa de inters.Tasa de inters efectivaTasa de inters realTasa de inters nominalClculos de tasa real y efectiva

115115120125127

7. Anualidades y amortizacin.7.1 Anualidades anticipadas y vencidas

7.2 amortizacin

128128

1418. Tasa interna de retorno.

conceptos generalesMtodo de la tasa interna de retornoMtodo del valor presente netoMtodo del costo anual uniforme equivalente

147147150153160


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Experimento.- Proceso que conduce a la ocurrencia de una (y solamente una) de variasobservaciones posibles.

En el caso de la probabilidad, un experimento tiene dos o ms resultados posibles, y esincierto cual habr de ocurrir.

Resultado.- Lo que resulta especficamente de un experimento. Por ejemplo, lanzar unamoneda al aire es un experimento se puede observar el lanzamiento deaquella, pero no se est seguro de que si caer cara (anverso) o cruz(reverso).

Evento.- Conjunto de uno o ms resultados de un experimento.

En el experimento de tirar un dado existen seis resultados posibles, pero hay muchoseventos factibles. Cuando contamos el nmero de miembros de junta dedirectores que tienen ms de 60 aos de edad en las 500 compaasrepresentadas en la revista Fortune, el No. Total de resultados posiblespuede estar entre cero y el nmero total de miembros. Existe un grannmero de eventos posibles en ste experimento.

Experimento. Tirar un dado. Contar el nmero de miembrosde junta dedirectores de500compaaspresentadasen Fortune dems de 60aos de edad.

Todos los resultadosposibles

Caer un 1Caer un 2Caer un 3Caer un 4Caer un 5Caer un 6

Ninguno es mayor de 60uno es mayor de 60

dos son mayores de 6029 son mayores de 6048 son mayores de 60

Algunos eventos posibles. Un nmero parUn nmero mayor que 4Un nmero menor que 3

Mas de 13 son mayores de 60Menos de 20 con mayores de

60.

Una probabilidadse expresa con un nmero decimal, del tipo 0.70, 0.27 o bien 0.50. Sinembargo, puede darse como una fraccin por ejemplo 7/10, 27/100 o bien .

Puede ser un cierto nmero desde 0 a 1, inclusive. Si una compaatiene solo cinco regiones de ventas y el nombre o nmero de cada una


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se escribe en un trozo de papel, las notas se colocan en un sombrero, laprobabilidad de escoger del sombrero un trozo de papel quedigaacereros de Pittsburg (un equipo deportivo), es 0. De esta forma, laprobabilidad 1 representa algo que seguramente va a suceder, y laprobabilidad 0 seala algo que no puede ocurrir.

Cuando ms se aproxime a 0 una probabilidad, es ms improbable que suceda algo.Cuanto ms se acerque a 1, tantos ms seguros estaremos que ocurrir.

0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00

Ejemplo:

El departamento de va pblica, en Huejutla, Hgo., est considerando ampliar la AvenidaJurez a tres carriles. Antes de tomar una decisin, se pregunt a 500ciudadanos si apoyan la ampliacin.

a).- Cul es el experimento?

b).- Cules son algunos de los posibles eventos?

c).- Mencione dos resultados posibles.

a).- Preguntar a 500 ciudadanos si estn a favor o en contra de ampliar a tres carriles laAvenida Jurez.

b).- 321 a favor de la ampliacin387 favorecen tal accin444 opinan a favor de la misma.

c).- Una mayora es favorable a la ampliacin .251 o ms.300 personas estn a favor de la ampliacin.

I.1.3.1 Tcnica Didctica: Exposicin del profesor.

I.1.3.2 Material de Apoyo: Pizarrn, haciendo uso de marcadores en diferentes colores.

I.1.4 Actividades de Aprendizaje

Actividad de aprendizaje No. 1:

Probabilidadde que el soldesaparezcaste ao.

Posibilidadde que unamonedacaiga cara

al tirarla

Posibilidad deque ste aollueva enFlorida.

Posibilidad deaumento enlos impuestosfederales


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PR-1 : Practica escritaI.1.4.1 Instrucciones:Resuelve de manera correctamente las siguientes

Preguntas.a) Valor actividad: 5 Puntosb) Producto esperado: Que sea resuelta de manera satisfactoria la prctica.c) Fecha inicio:

d) Fecha entrega:e) Forma de entrega: Por separado, escrito a manof) Tipo de actividad: Individualg) Fecha de realimentacin: El mismo da de entrega.

I.1.4.1 Criterio de evaluacin de la actividad P-1Actividad Actividad Ponderacin

Practica por escrito Responder la practica. 4 PuntosManejo de los conceptosbsicos probabilsticas.

Utilizar el formato para laelaboracin de prcticas.

1 Puntos

Total 5 puntosI.1.5 Resultado del Aprendizaje:Se pretende que los alumnos adquieran los

conocimientos fundamentales de la probabilidad.

I.1.6 Bibliografa:

Estadstica para Administracin y Economa.Robert D. Mason/ Douglas A. Lind/ William G. Marcial. Editorial Alfaomega.

I.2. Tema: Permutaciones y combinaciones.I.2.1Objetivo de aprendizaje: Aplicar las permutaciones en la solucin de problemasprcticosI.2.2Recurso tiempo del tema: 3.0 horas

I.2.3Desarrollo:Principios de conteoSi el nmero de posibles resultados de un experimento es pequeo, resultarelativamente fcil enlistar y contar todos lo eventos factibles. Por ejemplo, hay seisposibles eventos resultantes de la tirada de un dado, especficamente:

Sin embargo, si existe un gran numero de posibles resultados, como podra ser el

numero de nios y nias en familia de 10 hijos, resultara tedioso enlistar y contar todaslas posibilidades. Podra tener solo nios, un nio y nueve nias. Dos nios y ocho,nias y as sucesivamente. Para facilitar el conteo, se examinaran 3 formulas: formula demultiplicacin, permutacin y combinacin. Formula de multiplicacin: si hay m modosde hacer una cosa y n formas de hacer otra, existen M X N formas de hacer ambas.En trminos de una formula:

Esto puede extenderse para ms de dos eventos.

Numero total de arreglos = (M) (N)


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Para tres eventos M, N, O:

Ejemplo:Un vendedor de automviles desea anunciar que $19 999 (dlares) usted puede comprar

un convertible, un sedan de dos puertas, o un modelo de cuatro, coneleccin de de cubrerrines (o cubrerruedas) deportivos o

comunes.Cuntos arreglos diferentes de modelos y cubrerruedaspuede ofrecer el comerciante?

Solucin: Desde luego, el vendedor podra determinar el nmero total de arreglosesquematizados y contndolo. Hay seis posibilidades.

Convertible con cubrerrines deportivos. Convertible con cubrerrines comunes.Dos puertas con cubrerrines deportivos. Dos puertas con cubrerrines comunes.Cuatro puertas con cubrerrinesdeportivos.

Cuatro puertas con cubrerrines comunes.

Podemos utilizar la frmula de la multiplicacin para verificar (donde m es el nmerode modelos y n el tipo de cubrerrines. Aplicando la frmula:

Total de arreglos posible= (m)(n)= (3) (2) = 6.En este ejemplo no fue difcil en listar y contar todas las posibles combinacionesdecubrerrines y modelos de autos. Sin embargo, suponga que el vendedor decidieraofrecer ocho modelos y seis tipos de cubrerruedas. Resultara tedioso dibujar y contartodas las alternativas posibles. En vez de esto podra utilizarse la frmula

de multiplicacin. En tal caso, (m) (n) = (8) (6) = 48 arreglos posibles.

Frmula de permutacin.Es un arreglo o disposicin derobjetos seleccionados a partir de un grupo nico de nobjetos posibles.

Observe que el arreglo a,b,c y b,a,c, son permutaciones diferentes. La frmula que seutiliza para contar el nmero total de permutaciones distintas es:

)!(

!Pr

rn

n

n

Donde:

P es el nmero de permutaciones o, modos en que pueden ordenarse los objetos.N es el nmero total de objetos. En el primero ejemplo, has tres partes electrnicas, de

manera que n=3.

r es el nmero de objetos que se van a disponer cada vez.n! => se lee como n factorial es el producto de todos los nmeros de 1 a n. Pordefinicin 0! = 1.

Ejemplo 1:Con referencia a un grupo de tres partes electrnicas que deben ensamblarse encualquier orden En cuantos modos diferentes pueden reunirse?

Se tiene que n=3, porque hay 3 partes a ensamblar,

Numero total de arreglos = (M) (N) (O)


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Y tambin r=3 porque las 3 partes van a insertarse en la unidad de enchufe.

6!0

!3

)!33(

!3

)!(

!Pr

rn

nn

ABC BAC CAB ACB BCA CBA

Ejemplo 2:Supngase que hay ocho maquinas disponibles pero solo tres espacios en el pisode un taller donde se han de instalar tales maquinas .De cuantos modos diferentespueden colocarse las ocho en los tres espacios disponibles?

Solucin: Hay ocho posibilidades par el primer espacio , siete para el segundo (una yafue utilizada) y seis para el tercero. Entonces.(8)(7)(6) = 336.Como antes, esto tambin puede expresarse matemticamente diciendo que el numerode permutaciones ,P, de n elementos depende del numero de espacios ,r, disponibles.

nPr=)!(

!

rn

n

=)!38(

!8

=

!5

!8=!5

!5)6)(7)(8(= 336

Formula de la Combinacin

A fin de que se considere como una permutacin es diferente el orden de los objetos paracada resultado posible. Para tres objetos, a, b, c, la ordenacin a, b, c es el de unapermutacin ; b, a, c es otra c, a, b es otra ms, y as sucesivamente. Hay seis arreglosposibles para estos tres objetos tomados tres a la vez. Utilizando la formula de lapermutacin.

nPr=)!(

!

rn

n

=)!33(

!3

=1

)1)(2)(3(= 6

Si no importa el orden de los objetos, al nmero total de ordenaciones se le denominacombinacin.Combinacin.Es el nmero de modos para elegir robjetos de un grupo de nde ellos sinconsiderar el orden.

La formula de la combinaciones:

EjemploSi los ejecutivos Abel, Bez y Chauncy han de ser elegidos como un comit para negociar unafusin de empresas, slo existe una combinacin posible de estos tres. El comit formado por Abel,

nCr=)!(!

!

rnr

n


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Bez y Chauncy equivale al integrado Bez, Chauncy y Abel. Utilizando la frmula de lacombinacin.

nCr)!(!

!

rnr

n

=)1(1.2.3

1.2.3= 1

Ejemplo:A un departamento de mercadeo se le ha solicitado que disee cdigos de color para las 42 lneas dediscos compactos (CD)vendidos por Godoy Records. Se han de utilizar tres colores en cada lnea,pero con una combinacin de tres colores empleados para una de ellas no puede reordenarse y serutilizada para identificar una distinta lnea de CD. Esto significa que si se usaran verde, amarillo yvioletapara sealar una lnea, entonces amarillo, verde y violeta (o cualquiera otra combinacin deestos tres colores)no pueden ser empleados para identificar otra sern adecuados siete colorestomados de tres a la vez para codificar por color las 42 lneas?

Solucin.Existen 35 combinaciones que se obtienen del clculo de:

nCr=)!(!

!

rnr

n

=

!4!3

!7

)!.37(!3

!7

= 35

Los siete colores tomados de tres a la vez , no seran adecuados para codificar por colorlos 42 discos compactos diferentes, por que solo permiten 35 combinaciones. Ocho colores tomadostres a la vez daran 56 combinaciones distintas. Esto sera mas que adecuado para codificarcromticamente las 42 lneas.

I.2.3.1 Tcnica Didctica:Exposicin del profesor.I.2.3.2 Material de Apoyo:Pizarrn, haciendo uso de marcadores en.

diferentes colores.


Actividad de aprendizaje No. 2

TA-1 : Ejercicios de aplicacin.I.2.4.1 Instrucciones:Resuelve de manera correctamente los siguientes

Ejercicios.h) Valor actividad: 10 Puntosi) Producto esperado: Que los alumnos resuelvan de manera correcta los

ejercicios propuestos.j) Fecha inicio:k) Fecha entrega:l) Forma de entrega: Por separado, escrito a manom) Tipo de actividad: Individualn) Fecha de realimentacin: El mismo da de entrega.

I.2.4.1 Criterio de evaluacin de la actividad TA-1Actividad Actividad Ponderacin


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Ejercicios propuestos. Resolver los ejerciciospropuestos.

9 Puntos

Resuelva de maneracorrecta los problemas.

Utilizar el formato para laentrega de tareas.

1 Puntos

Total 10 puntos


PR-2 Resolver ejercicios prcticosI.2.4.1 Instrucciones: Resolver los siguientes ejercicios prcticos.

o) Valor: 5 Puntosp) Producto esperado: Que los ejercicios sean resueltos de maneracorrecta.q) Fecha inicio:r) Fecha entrega:s) Forma de entrega: escrito a manot) Tipo de actividad: Individualu) Fecha de retroalimentacin:

I.2.4.1 Criterio de evaluacin de la actividad PR-2Actividad Actividad Ponderacin

Practica por escrita. Resolver en forma rpidaejercicios sobrepermutaciones..

4 Puntos

Uso de reglas depresentacin


1 Puntos

Total 5 puntos

I.2.5 Resultado del Aprendizaje:Se pretende que los alumnos resuelvan de manerasatisfactoria los problemas propuestos de permutaciones y combinaciones.

I.2.6 Bibliografa:


I.3. Tema: Enfoque de probabilidad.I.3.1Objetivo de aprendizaje: Que el alumno aplique la teora de la probabilidad en lasolucin de problemas de dependendencia e independencia estadstica. As como elteorema de Bayes, como una parte importante de sta teora.I.3.2Recurso tiempo del tema: 3.0 horasI.3.3Desarrollo:

Enfoques de probabilidad:

Probabilidad clsica

PUNTO DE VISTA OBJETIVO:


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Probabilidad emprica

Probabilidad = No. de resultados favorablesDe un evento No. total de resultados posibles

Ejemplo: Considerar el experimento de tirar un dado de seis caras Cul ser laprobabilidad del evento de caer un numero par?

Probabilidad de un nmero par = 3 6 = 0.5

Mutuamente excluyente: se expresa esto porque la ocurrencia de cualquier evento implicaque ningn otro puede ocurrir al mismo tiempo.

En el experimento de tirar un dado, el evento un nmero par y el evento un nmeroimpar son mutuamente excluyentes. Si cay un nmero par, no podracaer, uno impar al mismo tiempo. Si un experimento tiene un conjuntode eventos que incluye cada uno de los resultados posibles, tales comolos eventos un nmero par y un nmero impar en el lanzamiento deun dado, entonces el conjunto de eventos se denomina colectivamenteexhaustivo.

Colectivamente exhaustivo: Se seala esto porque por lo menos uno de los eventos debeocurrir cuando se realiza un experimento. En el experimento de tirar undado, cada resultado ser un nmero par o impar. Por lo tanto elconjunto es colectivamente exhaustivo.

Si el conjunto de eventos es colectivamente exhaustivo y los eventos son mutuamenteexcluyentes, la suma de las probabilidades es igual a 1. Para elexperimento de lanzar una moneda

Probabilidad

Evento: Cara 0.5Evento: Cruz 0.5


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Total: 1.0

Obsrvese que es innecesario realizar un experimento para determinar la probabilidad deque ocurra un evento al utilizar un enfoque clsico.

Ejemplo: Es posible llegar en forma lgica a la probabilidad de obtener una cruz en el

lanzamiento de una moneda o tres caras en el lanzamiento de tresmonedas.

Concepto emprico: Otra manera para definir la probabilidad es con base a las frecuenciasrelativas. La probabilidad de que un evento ocurra a largo plazo sedetermina observando en que fraccin de tiempo sucedieron eventossemejantes en el pasado. Utilizando una frmula:

Probabilidad No. de veces que el evento ocurri en el pasadoDe que =

Suceda un evento No. total de observaciones

Ejemplo: Se efectu un estudio de 751 graduados en administracin en la universidad deToledo (EUA). Este experimento revel que 383 de los 751 no estabanempleados segn su principal rea de estudio en la universidad. Porejemplo: Una persona que se gradu en un rea especializada encontadura; ahora es gerente del mercadeo de una empresa deprocesamiento de tomates. Cul es la probabilidad de que un graduadoespecfico en administracin est empleado en un rea distinta a laprincipal de sus estudios de universidad?

Probabilidad No. de veces que el evento ocurri en el pasado

De que =Suceda un evento No. total de observaciones

383P(A) =

751

P(A) = 0.51

Con base en la experiencia, existe una probabilidad de 0.51 de que un graduado enadministracin est empleado en un campo distinto al de su reaprincipal de estudio.

Probabilidad subjetiva: Posibilidad (probabilidad) de que suceda un evento especfico,asignado por una persona con base en cualquier informacin de que sedisponga.

Calcular la probabilidad de que la General Motors Corp. pierda su lugarnmero 1 en unidades totales vendidas frente a la Ford Motor Co., o a laChrysler Corp. dentro de 2 aos.


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Valorar la posibilidad de que el alumno x obtenga una calificacin de 100en este curso.

Estimar la probabilidad de que el equipo de los patriotas de NuevaInglaterra jueguen en el supertazn de ftbol americano el prximo ao.

Hay dos puntos de vista con respecto a la probabilidad; el objetivo y el subjetivo. Seobserv que una expresin probabilstica siempre constituye unaestimacin de un valor desconocido que regir un evento que todava noocurre. Desde luego existe una extensin considerable en el grado deincertidumbre que rodea a esta estimacin, con base principal en elconocimiento que posea la persona respecto del proceso bsico.

REGLAS DE PROBABILIDAD:Regla especial de adicin.

Para aplicar la regla especial de adicin, los eventos deben ser mutuamente excluyentes.Recurdese que mutuamente excluyente significa que cuando ocurre un evento, ningunode los otros puede ocurrir al mismo tiempo. Un ejemplo de eventos mutuamente

excluyentes en el experimento de tirar un dado son los eventos un nmero 4 o mayor yun nmero 2 o menor. Si el resultado se encuentra en el primer grupo {4, 5, 6} no puedeestar en el segundo grupo {1, 2}. Y un producto industrial que sale de una lnea deensamble no puede ser defectuoso y satisfactorio a la vez.Si dos eventos A y B son mutuamente excluyentes, la regla especial de adicin indica

que la probabilidad de que ocurra uno u otro de los eventos, es igual a lasuma de las probabilidades. Esta regla se expresa en la formulasiguiente:

Ejemplo:

Una mquina automtica Shaw llena bolsas de plstico con un a mezcla de frijoles, brcoliy otras legumbres. La mayora de las bolsas contiene el peso correcto,pero debido a ligeras variaciones en el tamao de las verduras, unpaquete puede tener un peso ligeramente menor o mayor. Unaverificacin de 4000 paquetes llenados en el mes pasado indic.

Peso Evento Nmero depaquetes

Probabilidad deocurrencia.

Con peso menor A 100 0.025(100/4000)

Satisfactorio B 3600 0.900Con peso mayor C 300 0.075

Total 4000 1.000Cul es la probabilidad de que un paquete en especial tenga un peso menor o mayor?Solucin. El resultado peso menor es el evento A. El resultado peso mayor es el

evento C. Aplicando la regla especial de la adicin:P(A o C) = P(A) + P(C)

= 0.025+0.075= 0.10

Regla de complemento:Diagramas de Venn

Regla especial de adicin P(A o B) = P(A) + P(B)


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El experto en lgica J. Venn (1834 1888) desarroll un diagrama para representargrficamente el resultado de un experimento. El concepto de mutuamente excluyentesyotras reglas diversas para combinar probabilidades pueden visualizarse empleando stedispositivo.

Para elaborar un diagrama primero se delimita un espacio que ha de representar a todos

los posibles resultados. Tal espacio tiene generalmente forma derectngulo. Un evento se representa por un rea redonda que se dibujaproporcional a la probabilidad del evento.

Representacin del concepto mutuamente excluyente. No hay superposicin de eventos,lo cual indica que son de ese tipo.

EVENTO EVENTO EVENTOA B C

La probabilidad de que una bolsa de verduras mixtas seleccionada sea de peso menor,P(A) mas la probabilidad de que no sea una bolsa con peso de menos,que se escribe P(~A) y se lee no A , debe lgicamente ser igual a 1.Esto se expresa como sigue:P(A) + P(~A) = 1

Lo anterior puede ser expresado tambin como:

A esto se le denomina regla del complemento.La regla del complemento se utiliza para determinar la probabilidad de que ocurra

un evento restando del nmero 1 la probabilidad de que no ocurra. Un diagrama de Vennque ilustre la regla del complemento sera:

Ejemplo: Hay que recordar que la probabilidad de que una bolsa con legumbresmixtas tenga peso de menos es 0.025 y que tenga peso de mas, 0.075. Debe de utilizarse

Regla de complemento P(A) = 1 - P(~A)

Evento A

~A


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la regla de complemento para demostrar que la probabilidad de que una bolsasatisfactoria vale 0.900. Plantear la solucin empleando diagrama de Venn.

Solucin: La probabilidad de que la bolsa no sea satisfactoria es igual a laprobabilidad de que sea de peso mayor, mas la probabilidad de que sea de menor peso.Esto es, P(A o C) = P(A) + P(C) = 0.025 + 0.075 = 1.00. La bolsa es satisfactoria si no es

de peso menor ni de peso mayor, por tanto P(B) = 1- [P(A)] +[P(C)] = 1 - (0.025 + 0.075) =0.900

Regla general de adicin:

Los resultados de un experimento pueden no ser mutuamente excluyentes. Por ejemploSuponga que la Comisin de Turismo de Florida selecciono una muestrade de 200 turistas que visitaron ese estado durante el ao. La encuestarevel que 120 fueron a Disney World , y 100, a Busch Gardens, cercade Tampa.Cul es la probabilidad de que una persona seleccionadahaya visitado Disney World o Busch Gardens? Si se emplea la reglaespecial de adicin, la probabilidad de seleccionar un turista que fue aDisney World es 0.60, que se obtiene de 120/200. De manera similar, laprobabilidad de que uno de los viajeros haya ido a Busch Gardens es0.50. La suma es de 1.10. Sin embargo, se sabe que sta probabilidadno puede ser ,mayor que 1.La explicacin es que muchos turistasvisitaron ambas atracciones y se estn contando dos veces! Una

verificacin de las respuestas de la encuesta revel que 60 de las 200personas de la muestra en realidad fueron a ambos lugares.

Para responder a la pregunta, Cul es la probabilidad de que una persona seleccionadahaya visitado Disney World o Busch Gardens?(1) se suma laprobabilidad de que el turista haya ido a Disney Word y la probabilidadde que haya estado en Busch Gardens, y (2) se resta de la probabilidadde visitar ambos lugares. De esta forma:P(Disney o Busch) = P(Disney) + P (Busch)P(Disney y Busch)

= 120/200 + 100/200 - 60/200= 0.60 + 0.500.30= 0.80

Cuando dos eventos se traslapan, la probabilidad se le denomina probabilidad conjunta.

La probabilidad de que el turista visite ambos lugares (0.30) es unejemplo de probabilidad conjunta.Probabi l idad Conjunta: Es la probabilidad que mide la posibilidad de que dos eventos

ocurran en forma simultnea.En resumen, la regla general de adicin se utiliza para combinar eventos que nos son

mutuamente excluyentes. Esta regla para dos eventos denotados comoA y B se escribe:

A= 0.025C = 0.075

~ (A o C) = 0.90

Regla general de adicin P(A o B) = P(A) + P(B)(P y B)


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En la expresin P(A o B), el trmino o indica que A puede ocurrir o que B tambin puedesuceder. Esto incluye asimismo la posibilidad de que A y B puedanocurrir. A ste uso de la o a veces se le llama inclusivo puesto de otra

forma, se ver con agrado cuando tanto A y B sucedan, o bien cuandocualquiera de los dos ocurran.

Ejemplo: Cul es la probabilidad de que una carta elegida al azar de una barajaamericana sea un rey o una de corazones?

Solucin: Uno puede pensar en sumar las probabilidades de que salga un rey y la de quese tenga una carta de corazones. Pero esto crea un problema,. Si sehiciera, el rey de tal smbolo se cuenta con todos los reyes y tambincon todas las cartas de corazones. De modo que simplemente se sumala probabilidad de un rey ( hay 4 en la baraja de 52 naipes) a la de unacarta de corazones (hay 13 en dicha baraja) y se expresa que 17 cartasde las 52 cumplen el requisito , se ha contado dos veces al rey de

corazones. Se necesita restar 1 carta de las 17 para que dicho rey secuente una sola vez. Por tanto, hay 16 cartas que son de dicha figura obien de reyes por lo que la probabilidad es de 16/52 = 0.3072

Carta Probabilidad ExplicacinRey P(A) = 4/52 Hay cuatro reyes en la baraja.Corazones. P(B) = 13/52 Hay 13 cartas de corazones en la baraja.Rey de corazones P(A y B) = 1/52 Hay un rey de corazones en la baraja.

Utilizando la formula: P(A o B) = P(A) + P(B)P(A y B)= 4/52 + 13/521/52= 16/52, o bien 0.3077

Un diagrama de Venn presenta estos resultados que nos son mutuamente excluyentes.

Reglas de multiplicacin

Regla Especial de Multiplicacin. La regla especial de multiplicacin requiere que doseventos A y B sean independientes. Dos eventos son independientes sila ocurrencia de uno no altera la probabilidad del otro. De manera que silos eventos A y B son independientes, la ocurrencia de A no altera laprobabilidad B.

Independiente. Se expresa esto cuando la ocurrencia de un evento no tiene efecto en laprobabilidad de la ocurrencia de cualquier otro.

Reyes Corazones

Ambos


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Si hay dos eventos independientes A y B, la probabilidad de que ocurran A y B se obtieneal multiplicar las dos probabilidades. A esto se llama la regla especial demultiplicacin y expresada en forma simblica:

Esta regla para combinar probabilidades supone que un segundo resultado no dependedel primero. Para ilustrar lo que significa independencia deresultados,suponga que se lanzan al aire dos monedas. El resultado de unamoneda (cara o cruz) no se ve afectado por el resultado de la otramoneda (cara o cruz). Puesto de otra forma, dos eventos sonindependientes si el resultado de un segundo evento no depende delresultado del primero.

Para tres eventos independientes A, B y C, la regla especial de multiplicacin utilizadapara determinar la probabilidad de que ocurran los tres eventos es:

Ejemplo: Se lanzan dos monedas al aire Cul es la probabilidad de que ambas caigancruz?

Solucin: La probabilidad de que una de las dos monedas caiga cruz (Cr), escrita P(A), esde , o bin 0.5. La probabilidad de que la otra moneda caiga igual,denotada por P(B) es tambin de , o 0.5. La probabilidad de queocurran ambas cosas es de un , o 0.25, lo cual se obtiene como sigue:PA y B) = P(A) P(B)

= (1/2)(1/2)

= 17$ o bin 0.25

Si dos eventos no son independientes, se dice que son dependientes. Para ilustrar ladependencia suponga que hay 10 rollos de pelcula fotogrfica en unacaja y que se saben que 3 estn defectuosos. Se selecciona 1. Es obvioque la probabilidad de escoger un rollo con defecto es de 3/10, y que laprobabilidad de seleccionar uno, satisfactorio es 7/10. Despus se eligeun segundo rollo de la caja sin devolver el primero a sta. Laprobabilidad de que est defectuoso depende de que el primer rolloseleccionado fuera no aceptable o bueno. La probabilidad de que elsegundo rollo est defectuoso es 2/9, si el primer rollo seleccionadofuera defectuoso. (Quedaran solo dos rollos defectuoso ms en la caja,

que contena nueve piezas) 3/9 si el primer rollo seleccionado fuerabueno (los tres con defectos siguen estando en la caja que contena losnueve originales). A la fraccin 2/9 (0 3/9) se le denomina probabi l idadcond ic iona l porque su valor tiene tal caracterstica (dependiente destas) respecto de la primera seleccin de la caja: que se haya sacadoun rollo fotogrfico defectuoso o uno normal.

Probabi l idad cond ic ional:

Regla especial de multiplicacin P(A y B) = P(A) P(B)

Regla especial de multiplicacin P(A y B y C) = P(A) P(B) P(C)


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Es la probabilidad de que ocurra un evento en particular, dado que otro evento hayaocurrido.

Regla General de Multiplicacin: La regla general de multiplicacin se utiliza paradeterminar la probabilidad conjunta, de que ocurran dos eventos, comoseleccionar dos rollos defectuosos de la caja con 10, uno despus del

otro. En general, la regla indica que para dos eventos A y B, laprobabilidad conjunta de que ambos sucedan se evala al multiplicar laprobabilidad de que el evento A ocurra, por la probabilidad condicionalde que suceda el evento B. De manera simblica, la probabilidadconjunta P(A y B) se obtiene por medio de:

Donde P(B/A) expresa la posibilidad de que ocurra B dado que ya ocurri A. El trazo

vertical significa dado que.Ejemplo. Considerar otra vez el ejemplo anterior de los 10 rollos de pelcula en una caja, 3

de los cuales estn defectuosos. Se van a seleccionar dos, uno despusde otro Cul es la probabilidad de escoger un rollo con defectosseguido por otro tambin en tal condicin?

Solucin: El primer rollo seleccionado de la caja, que se encontr ser defectuoso, es eleventoA. De modo que P(A) = 3/10 porque tres de los diez rollos sonno aceptables. El segundo rollo seleccionado, resultante con defectos,

es el evento B. Por lo tanto , P(B/A) = 2/9, porque despus de descubrirque la primera seccin era un rollo con defectos, solo quedaron dosrollos no buenos en la caja que contena nueve rollos. Se determina laprobabilidad de dos rollos defectuosos aplicando la frmula:

P(A y B) = P(A) P(B / A)= (3/10) (2/9)= 6/90 o tambin 0.07 aprox.

Por cierto que se considera que este experimento se realiz sin reposicin(o reemplazo);es decir, el rollo defectuoso de pelcula no se devolvi a la caja antes deselecciona el siguiente rollo. Tambin debe observarse que la regla

general de multiplicacin puede ampliarse a ms de dos eventos: paratres eventos; A, B y C, la frmula sera:

Regla general de multiplicacin P(A y B) = P(A) P(B/A)

Regla general de multiplicacin P(A y B y C) = P(A) P(B/A) P(C/A y B)


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Ejemplo: la probabilidad de que los primeros tres rollos seleccionados de la caja seantodos defectuosos es 0.00833, que resulta de calcular:

P(A y B y C) = P(A) P(B/A)P(C/A y B)= (3/10) (2/9) (1/8)= 6/720 o tambin 0.

Teorema de BayesEn el siglo XVIII el reverendo Thomas Bayes, ministro presbiteriano ingls, plante la siguientecuestin Realmente existe Dios? Estando interesado en las matemticas, intent desarrollar unafrmula para llegar a evaluar la probabilidad de que Dios exista, con base en la evidencia de quel dispona aqu en la Tierra. Ms adelante. Laplace afin el trabajo de Bayes y le di el nombre deTeorema de Bayes.

Ejemplo: Suponga que el 5% de la poblacin de Umen, un pas ficticio del Tercer Mundo,padece una enfermedad que es originaria de ese lugar. Sea A1el evento tiene laenfermedad, y A2el evento no tiene la enfermedad. Por lo tanto sabemos que siseleccionamos una persona de Umen al azar, la probabilidad de que la elegida tenga elpadecimiento es 0.05, o bien P(A1) = 0.05. Esta probabilidad P(A1) = P(tiene laenfermedad) = 0.05, se denominaprobabilidad a priori. Se da ste nombre porque laprobabilidad se asigna antes de haber obtenido datos empricos.

Probabilidad a Priori = Es la probabilidad inicial con base en el nivel actual de informacin.

Existe una tcnica de diagnostico para detectar la enfermedad, pero no es muy exacta.Sea B el evento la prueba indica que la enfermedad est presente. Considere que la

evidencia histrica muestra que si una persona realmente padece la enfermedad, laprobabilidad de que la prueba indique la presencia de la misma vale 0.90. Utilizando lasdefiniciones de probabilidad condicional desarrolladas anteriormente, tal afirmacinse expresa como:

P(B/A1) = 0.90

Considere que la probabilidad de que una persona en realidad no tenga el padecimiento,pero que la prueba indique que el mismo est presente, es 0.15.

P(B/A2) = 0.15

Seleccionamos en forma aleatoria a un habitante de Umen, al que se le aplica la prueba.Los resultados indican que el padecimiento est presente.Cul es la probabilidad de quela persona tenga realmente la enfermedad? En forma simblica, se desea determinarP(A1/B), que se interpreta como: P(tiene la enfermedad/( los resultados de la prueba sonpositivos). La probabilidad de P(A1/B) se denomina unaprobabilidad a posteriori.

Probabilidad a Posteriori. Es una probabilidad revisada con base en informacin adicional.

Teorema de Bayes P(A1/B) = P(A1) P(B/A1)P(A1) P(B/A1) + P(A2) P(B/A2)


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Con la ayuda del teorema de Bayes, es posible determinar la probabilidad a posteriori orevisada.

= (0.05) (0.90)(0.05) (0.90) + (0.95) (0.15)

= 0.04500.1875

= 0.24Por lo tanto, la probabilidad de que una persona tenga la enfermedad, dado que la pruebaresult positiva, es 0.24. Como se interpreta ste resultado? Si una persona seselecciona al azar de la poblacin, la probabilidad de que padezca el trastorno es 0.05. Sise aplica la prueba a la persona y resulta positiva, la posibilidad de que en realidad tengael padecimiento aumenta aproximadamente cinco veces, de 0.05 a 0.24.El problema anterior incluy solamente dos eventos, A1 y A2 como probabilidades a priori.Si hay mas de dos probabilidades de este tipo, el denominador del teorema de Bayes

requiere trminos adicionales. Si la distribucin probabilstica a priori consiste en neventos mutuamente excluyentes, el teorema de Bayes queda como sigue:

Donde A1se refiere a cualquiera de los n posibles resultados.I.3.3.1Tcnica Didctica:Exposicin del profesor.I.3.3.2 Material de Apoyo:Pizarrn, haciendo uso de marcadores en.

diferentes colores.



TA-2: Ejercicios de aplicacin.I.3.4.1 Instrucciones:Resuelve de manera correctamente los siguientes

Ejercicios acerca de las reglas de probabilidad.v) Valor actividad: 10 Puntosw) Producto esperado: Que los alumnos resuelvan de manera correcta losejercicios propuestos.x) Fecha inicio:y) Fecha entrega:z) Forma de entrega: Por separado, escrito a manoa) Tipo de actividad: Individual

b) Fecha de realimentacin: El mismo da de entrega.I.3.4.1 Criterio de evaluacin de la actividad TA-2

Actividad Actividad Ponderacin

Ejercicios propuestos dereglas de probabilidad.

Resolver los ejerciciospropuestos.

9 Puntos



1 Puntos

P(A1/B) = P(A1) P(B/A1)P(A1)P(B/A1) + P(A2)P(B/A2)

P(A1/B) = P(A1) P(B/A1)P(A1) P(B/A1) +P(A2) P(B/A2) ++P(An) P(B/An)


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Total 10 puntos


PR-3 Resolver ejercicios prcticosI.3.4.1 Instrucciones: Resolver los siguientes ejercicios prcticos acerca de raglas de

probabilidad.c) Valor: 5 Puntosd) Producto esperado: Que los ejercicios sean resueltos de maneracorrecta.e) Fecha inicio:f) Fecha entrega:g) Forma de entrega: escrito a manoh) Tipo de actividad: Individuali) Fecha de retroalimentacin:


Practica por escritaconsiderando reglas deprobabilidad.

Resolver en forma rpidaejercicios sobre reglas deprobabilidad.

4 Puntos



1 Puntos

Total 5 puntosActividad de aprendizaje No. 6


ejercicios considerando condiciones de dependencia e independencia

estadstica.j) Valor actividad: 10 Puntosk) Producto esperado: Que los alumnos resuelvan de manera correcta losejercicios propuestos.l) Fecha inicio:m) Fecha entrega:n) Forma de entrega: Por separado, escrito a manoo) Tipo de actividad: Individualp) Fecha de realimentacin: El mismo da de entrega.


Ejercicios propuestos dedependencia eindependencia estadstica


9 Puntos



1 Puntos



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PR-4 Resolver ejercicios prcticosI.3.4.1 Instrucciones: Resolver los siguientes ejercicios prcticos.

q) Valor: 5 Puntosr) Producto esperado: Que los ejercicios sean resueltos de maneracorrecta.s) Fecha inicio:

t) Fecha entrega:u) Forma de entrega: escrito a manov) Tipo de actividad: Individualw) Fecha de retroalimentacin:


Practica por escrita conproblemas de dependenciae independenciaestadistica.

Resolver en forma rpidaejercicios sobrepermutaciones..

4 Puntos



1 Puntos



ejercicios aplicando el teorema de Bayes..a) Valor actividad: 10 Puntosb) Producto esperado: Que los alumnos resuelvan de manera correcta losejercicios propuestos.c) Fecha inicio:

d) Fecha entrega:e) Forma de entrega: Por separado, escrito a manof)) Tipo de actividad: Individualg) Fecha de realimentacin: El mismo da de entrega.


Ejercicios propuestosaplicando el teorema deBayes.


9 Puntos

Resuelva de manera

correcta los problemas.

Utilizar el formato para la

entrega de tareas.

1 Puntos

Total 10 puntos

I.3.5 Resultado del Aprendizaje:Se pretende que los alumnos resuelvan de manera

satisfactoria los problemas propuestos de reglas de probabilidad, probabilidad de

dependencia e independencia estadstica adems del teorema de Bayes.

I.3.6 Bibliografa:


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I.4. Tema: Distribuciones de probabilidad.I.4.1Objetivo de aprendizaje: Que el alumno encuentre las probabilidades deocurrencia de los datos.I.4.2Recurso tiempo del tema: 5.0 horasI.4.3Desarrollo:

Recordando la definicin de un experimento como cualquier proceso que generaresultados bien definidos. Ahora deseamos concentrarnos en el proceso de asignarvalores numricos a los resultados, para lo que introducimos el concepto de variablealeatoria.Para cualquier experimento en particular, se puede definir una variable aleatoria demanera que cada resultado experimental posible genere exactamente un valor numricopara dicha variable. Por ejemplo, si consideramos el experimento de la venta deautomviles durante un da en una agencia en particular, describiramos los resultadosexperimentales en funcin del nmero de vehculos vendidos. En este caso, si, x =nmero de automviles vendidos, x se conoce como una variable aleatoria. Este valornumrico particular, que toma la variable aleatoria, depender del resultado delexperimento. Esto es, no sabremos cul es el valor especfico de la variable aleatoria entanto no hayamos observado el resultado experimental. Por ejemplo, si en un da dado sevenden 3 automviles, el valor de la variable aleatoria ser 3; si en otro da (una repeticindel experimento) se venden 4, el valor ser 4. Definimos una variable aleatoria comosigue:Una variable aleatoria es la descripcin numrica del resultado de un experimento.En la tabla 4. Se dan varios ejemplos adicionales de experimentos y de sus variablesaleatorias asociadas. Aunque muchos experimentos tienen resultados experimentales quenaturalmente se prestan a valores numricos, en otros no ocurre as. Por ejemplo para elexperimento de lanzar una moneda una vez, el resultado experimental puede ser cara ocruz, ninguno de los cuales tiene un valor numrico natural. Sin embargo, quizsdeseemos an as expresar los resultados en funcin de una variable aleatoria, por lo quenecesitamos una regla que pueda utilizarse para asignar un valor numrico a cada uno delos resultados experimentales. Una posibilidad es signar la variable aleatoria x=1 si elresultado experimental en una cara y x=0 si el resultado experimental es una cruz.

Aunque los valores numricos para x sean arbitrarios, x es una variable aleatoria ya quedescribe numricamente los resultados experimentales.

Tabla 4.0 Ejemplos de variables aleatorias.Experimento Variable aleatoria (x) Valores posibles de la variable

aleatoriaEfectuar 100 llamadas de

ventas.

Nmero total de ventas. 0,1,2,3.100

Inspeccionar un embarque de70 radios.

Nmero de radios defectuosos 0,1,2,3..70

Construir una nueva biblioteca. Porcentaje del proyectoterminado despus de 6 meses.

0x100

Operar un restaurante. Nmero de clientes que entran enun da.

0,1,2,3..

Una variable aleatoria puede clasificarse como discreta o continua, dependiendo de losvalores numricos que pueda tomar. Aquella variable aleatoria que solamente pueda


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tomar una secuencia de valores, finita o infinita, (por ejemplo, 1,2,3) es una variablealeatoria dis creta. El nmero de unidades vendidas, el nmero defectos observados, elnmero de clientes que entran en un banco durante un da de operacin, y assucesivamente, son ejemplos de variables aleatorias discretas. Las dos primeras y laltima de la tabla anterior son discretas. Variables aleatorias como peso, tiempo ytemperatura, que pueden tomar cualquier valor dentro de un cierto intervalo o coleccin

de intervalos, son variables aleatorias co ntinuas. Son ejemplos de variables aleatoriascontinuas, la estatura de los clientes de una tienda de ropa, los ingresos de los empleadosde un centro comercial local, el tiempo transcurrido entre la llegada de cada cliente a labiblioteca, adems, la tercera variable aleatoria de la tabla es una variable aleatoriacontinua, porque puede tomar cualquier valor del intervalo del 0 al 100 (por ejemplo, 56.330 64.22).

Variables aleatorias discretas:Podemos demostrar el uso de una variable discreta al pensar en la venta de automvilesen DiCarlo Motors, en Saratoga, Nueva York. El propietario de DiCarlo Motors estinteresado en el volumen diario de ventas de automviles. Supongamos que decimos quex es una variable aleatoria que indica el nmero de automviles vendidos en un da dado.

Los registros de ventas muestran que cinco es el nmero mximo de automviles quealguna vez haya vendido DiCarlo durante un da. El propietario cree que la historia previade las ventas representa de manera adecuada lo que puede ocurrir en el futuro, por lo queesperaramos que la variable aleatoria x tome algunos de los valores numricos 0.1.2.3.4o 5. Los valores posibles de la variable aleatoria son finitos, por lo que clasificaramos a xcomo una variable aleatoria discreta.La distribucin de probabilidad de una variable aleatoria discreta:

Suponga que al revisar los registros de ventas de DiCarlo encontramos que a lo largo del aopasado la empresa ha estado abierta durante 300 das. Los volmenes diarios de ventasgenerados y la y la frecuencia en que ocurrieron se resumen en la tabla 4.1. Teniendo disponiblesestos datos histricos, el propietario de DiCarlo Motors cree que el mtodo de frecuencia relativa

dar un medio razonable de juzgar las probabilidades de la variable aleatoria x. La funcin deprobabilidad, indicada como f(x), representa la probabilidad de que la variable aleatoria x tomealgn valor especfico. Dado que en 54

de los 300 das de datos histricos, DiCarlo Motors no vendi ningn automvil, dadoque ningunaventa correspondea x=0, asignamos a f(0) el valor de 54/300 =0.18. De manera similar, f(1) indicala probabilidad de que x toma el valor de uno, por lo que le asignamos a f(1)el valor de117/300=0.39. Despus de calcular las frecuencias relativas de los otros valores posibles de x,podemos desarrollar una tabla de valores dexy de f(x).La tabla 4.2 muestra una forma de representar la distribucin de probabilidad de la variablealeatoria x.

Tabla 4.1 Automviles vendidos por da en DiCarloMotors.

Volumen de Ventas Numero de das.

Ninguna venta 54

Exactamente 1 automvil 117

Exactamente 2 automviles 72




Total 100


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Tambin se puede representar la distribucin de probabilidad de x de manera grafica. En

la figura 4.1 se muestran los valores de la variable aleatoria x en un eje horizontal; laprobabilidad de que x tome estos valores aparece en el eje vertical. Para muchasvariables aleatorias discretas, la distribucin de probabilidad tambin se puederepresentar como una frmula que nos da f(x) para cualquier valor posible de x.Ilustraremos ste procedimiento en la siguiente seccin.En el desarrollo de la distr ibucin de probabi l idad discreta, debern satisfacersesiempre dos condiciones:

f(x 0f(x) = 1

La primera condicin es el requisito que las probabilidades asociadas con cada uno de losvalores de x debe ser mayor que o igual a cero, en tanto que la segunda condicin dice

que la suma de las probabilidades de todos los valores de la variable x debe ser igual auno. La tabla 4.2 muestra que las condiciones anteriores han sido satisfechas, por lo quela distribucin de probabilidad desarrollada por DiCarlo Motors es una distribucin deprobabilidades discretas vlida.

Probabilidad

0.40

0.30

0.20

0.10

Tabla 4.2 Distribucin de probabilidad para nmero deautomviles vendidos por da.

x f(x)0 0.18

1 0.39

2 0.24

3 0.14

4 0.04

5 0.01

Total 1.00

Figura 4.1. Distribucin de probabilidad para el nmero de automviles vendidos por da.


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0.00 1 2 3 4 5

Numero de automviles vendidos por da.

Despus de establecer una variable aleatoria y su distribucin de probabilidad, podemosdesarrollar una diversidad de informacin de probabilidad adicional, dependiendo de lasnecesidades e intereses de quien toma las decisiones. Por ejemplo en el problema de DiCarlo

Motors la distribucin de probabilidad que se muestra en la tabla 4.2 puede utilizarse para obtenerla informacin siguiente:

1. Existe la probabilidad de 0.18 que durante algn da no se venda ningn automvil.2. El volumen mas probable de ventas es uno, con f/x) = 0.393. Existe una probabilidad de 0.05 que exista un da de ventas extraordinario, con ventas de 4

o 5 automviles.

Utilizando la informacin de probabilidades como la que acabamos de dar, la administracin deDicarlo puede comprender mejor las incertidumbres asociadas con la operacin de venta deautomviles. Quizs esta mayor comprensin puede servir de base a nuevas polticas o decisiones

que incrementan la eficacia de la empresa.

Valor esperado o esperanza matemtica:

Despus de construir la distribucin de probabilidad para una variable aleatoria, a menudodeseamos calcular cual es el valor medio o esperado de dicha variable aleatoria. El valor esperadoo esperanza matemtica de una variable aleatoria discreta es un promedio ponderado de losvalores posibles de la variable aleatoria, para el cual la funcin de probabilidad proporciona lasponderaciones. La formula matemtica para calcular el valor esperado o esperanza matemtica deuna variable aleatoria discreta x es:

Para calcular el valor esperado o esperanza matemtica de una variable aleatoria discretadebemos multiplicar cada uno de los valores de la variable aleatoria por su probabilidadcorrespondiente y, a continuacin, sumar los trminos resultantes. El calculo del valor esperado oesperanza matemtica de la variable aleatoria (nmero de ventas diarias) para DiCarlo Motorsaparece en la tabla 4.3. La primera columna contiene los valores de la variable aleatoria x , lasegunda sus propiedades asociadas f(x). Multiplicando cada uno de los valores de x por suprobabilidad f(x) nos da los valores de xf(x) de la tercera columna siguiendo la ecuacin anteriorsumamos esta columna xf(x),a fin de determinar el valor esperado o esperanza matemtica de1.50 automviles vendidos por da.

Tabla 4.3 Calculo del valor esperado

x f(x) x f(x)

0 0.18 0(0.18) = 0

1 0.39 1(0.39) = 0.39

2 0.24 2(0.24) = 0.48

3 0.14 3(0.14) = 0.42

4 0.04 4(0.04) = 0.16

5 0.01 5(0.04) = 0.05

E(x = 1.50

E(x) = = x f(x)


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El valor esperado de una variable aleatoria es el valor medio, es decir promedio. Esto es,par experimentos que puedan repetirse muchas veces, el valor esperado o esperanzamatemtica puede interpretarse como el valor promedio a la larga de la variablealeatoria. Sin embargo, el valor esperado no es necesariamente el nmero que pensamosasumir la variable aleatoria la siguiente vez que se conduzca el experimento. De hecho

resulta, imposible para DiCarlo vender exactamente 1.50 automviles durante cualquierda. Sin embargo, si podemos imaginar a DiCarlo vendiendo automviles durante muchosdas en el futuro, el valor esperado o esperanza matemtica de 1.50 automviles nos dael volumen de ventas diario medio o promedio.El valor esperado puede ser importante para el administrador tanto desde el punto devista de planeacin como el de toma de decisiones. Por ejemplo, suponga que DiCarloMotors piensa estar abierto durante 60 das en los siguientes 3 meses. Cuntosautomviles se vendern durante este tiempo? Aunque no podemos especificar las ventasexactas de cualquiera de los das el valor esperado de 1.50 automviles por da nos dauna estimacin de ventas esperada o ventas promedio de 60(1.50) = 90automoviles parael siguiente periodo de 3 meses. Para el establecimiento de cuotas de ventas o paraplanear pedidos, el valor esperado o esperanza matemtica puede dar una informacin

para la toma de decisiones.

Varianza.

El valor esperado de una variable aleatoria nos da una idea del valor promedio o centralde una variable aleatoria, pero a menudo deseamos alguna idea de la dispersin, es decirde la variabilidad de los valores posibles de la variable aleatoria. Por ejemplo, si losvalores de la variable aleatoria solamente muestran una variacin modesta, esperamos unvalor relativamente pequeo. La varianza es una medida utilizada comnmente pararesumir la variabilidad de los valores de una variable aleatoria. La expresin matemticapara la varianza de una variable aleatoria discreta es:

Como muestra la ecuacin la ecuacin anterior, una parte esencial de la formula de lavarianza es una desviacin, x-, que mide lo lejos que un valor particular de la variable aleatoriaest del valor esperado o medio, . Al calcular la varianza de una variable aleatoria discreta,elevamos al cuadrado las desviaciones y a continuacin las ponderamos al multiplicarlas por laprobabilidad correspondiente. La suma de esas desviaciones cuadrticas ponderadas, para todos losvalores de la variable aleatoria es la varianza. En otras palabras, la varianza es el promedioponderado de las desviaciones cuadrticas de la media.El clculo de varianza para el nmero de ventas diarias en el problema de DiCarlo Motors seresume en la tabla 4.4. Observemos que la varianza para el nmero de automviles vendidos es hoy

en da de 1.25. Una medida de variabilidad relacionada es la desviacin estndar , que se definecomo la raz cuadrada positiva de la varianza. En el caso de Di Carlo motors, la desviacin estndardel nmero de automviles vendidos por da es

= 1.25 = 1.118

Para una mas fcil interpretacin, desde el punto de vista administrativo, pudiera referirsela desviacin estndar en vez de la varianza, porque se mide en las mismas unidades que

Var(x) = = (x) f(x)


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la variable aleatoria (=1.118 automviles vendidos por da). La varianza (2) se mide enunidades cuadrticas, por lo que su interpretacin resulta ms difcil para el administrador.En este momento nuestra interpretacin de la varianza y de la desviacin estndar selimita a comparaciones de variabilidad de distintas variables aleatorias. Por ejemplo, si losdatos diarios de ventas de una segunda agencia Dicarlo en Albany , Nueva York ,diera2= 2.56 y 2= 1.6, podemos concluir que el nmero de automviles vendidos

diariamente en esa agencia exhibe mayor variabilidad que la primera agencia DiCarlo,2=1.25 y 2= 1.118.

Tabla 4.4 Clculo de la varianza

x x- (x-) f(x) (x-) f(x)

0 0-1.50 = -1.50 2.25 0.18 2.25(0.18) = 0.4050

1 1-1.50 = -0.50 0.25 0.39 0.25(0.39) = 0.0975

2 2-1.50 = 0.50 0.25 0.24 0.25(0.24) = 0.0600

3 3-1.50 = 1.50 2.25 0.14 2.25(0.14) = 0.3150

4 4-1.50 = 2.50 6.25 0.04 6.25(0-04) = 0.2500

5 5-1.50 = 3.50 12.25 0.01 12.25(0.01) = 0.1225 = 1.2500

La distribucin binomialEn esta seccin veremos un tipo de experimentos que cumplen con las condicionessiguientes:

1. La totalidad del experimento se puede escribir en funcin de una secuencia deexperimentos nidnticos conocidos como ensayos.

2. En cada ensayo son posibles dos resultados. Nos referimos a uno de ellos comoun acierto y al otro como un fracaso.

3. Las probabilidades de los resultados no se modifican de un ensayo al siguiente.4. Los ensayos son independientes (es decir, el resultado de un ensayo no afecta el

resultado de cualquiera de los dems).Los experimentos que satisfacen las condiciones 2, 3 y 4 se dice que estn generados porun proceso de Bernoulli. Adems, si se satisface la condicin 1(que existan n ensayosidnticos) nos encontramos ante un experimento Binomial. Una variable aleatoria discretaimportante asociada con el experimento binomial es el nmero de aciertos en los nensayos. Si suponemos que x representa el valor de sta variable aleatoria, entonces xpuede tener un valor de 0, 1, 2, 3 n. Dependiendo del nmero de aciertos observadosen los n intentos. La distribucin de probabilidad asociada con esta variable aleatoria seconoce como la distr ibuc in de probabi l idad binom ial.En los casos en los que es aplicable la distribucin binomial, la formula matemtica paracalcular la probabilidad de cualquier valor de una variable aleatoria es la funcin binomialde probabilidad.

Donden = numero de intentos.p = probabilidad de aciertos en un intento.

f(x) = n! px(1 - p)n - x x = 0,1nx!(n - x)!


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x = numerote aciertos en n intentos.f(x)=probabilidad dexaciertos en nintentos.

El trmino n! en la expresin arriba citada se conoce como el factorial de n y se definecomo:

n! = n(n - 1) (n - 2) (2)(1)

Por ejemplo 4! = (4)(3)(2)(1) =24. Tambin por definicin, el caso especial de factorial decero es 0! = 1Ejemplo:Consideremos el experimento de clientes que entran a la tienda de ropa Nastke. Paramantener relativamente pequeo el problema, restringiremos el experimento a lossiguientes tres clientes. Si, con base en la experiencia, el administrador de la tiendaestima que la una compra es de 0.30, Cul es la probabilidad de que exactamente 2 delos 3 clientes siguientes efecten una compra?Primero deseamos demostrar que 3 clientes que entran en la tienda de ropa y que han dedecidir si van hacer o no una adquisicin se puede considerar como un experimentobinomial.

Si verificamos los 4 requisitos para un experimento binomial, observamos lo siguiente:1. El experimento se puede describir como una secuencia de 3 intentos idnticos, un

intento para cada 1 de los 3 clientes que entran en la tienda.2. Para cada uno de los intentos son posibles 2 resultados: el cliente efecta una

compra (acierto) o no (fracaso).3. La probabilidad de adquisicin (0.30) o de no adquisicin (0.70)se supone lamisca

para todos los clientes .4. La decisin de compra de cada cliente es independiente de la decisin de compra

de los otros clientes.Por lo que, si definimos la variable aleatoria x como el nmero de clientes que efectanuna adquisicin (es decir, el nmero de aciertos para los 3 intentos) satisfacemos losrequisitos de la distribucin de probabilidad binomial.

Con n=3 intentos y la probabilidad de una compra p=30 para cada uno de los clientes,utilizando la ecuacin anterior, para calcular la probabilidad de que 2 clientes efectenuna compra. Esta probabilidad, que se identifica como f(2), es

F(2) = 3! (0.30)2(0.70)12!1!

= 3 x 2 x1 (0.30) 2(0.70)12x1x1

= 0.189

Similarmente, la probabilidad de que ningn cliente efecte la compra, identificndolacomo f(0), es:

f(o) = 3! (0.30)0(0.70)30!3!

= 3x2x1 (0.30)0(0.70)31x3x2x1

= 0.343Similarmente, se puede utilizar la ecuacin anterior para demostrar que la probabilidadesde 1 y de 3 compras son f(1) = 0.441 y f(3) = 0.027. La tabla 4.5Muestra resume la distribucin de probabilidad binomial correspondiente al problema de latienda de ropa Nastke.


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Tabla 4.5 Distribucin de probabilidad para los clientes que efectan una compra

x f(x)0 0.3431 0.4412 0.1893 0.027Total 1.000

Valor esperado o esperanza matemtica y varianza para la distribucin binomial.

De la tabla 4.5 podemos utilizar la ecuacin para el valor esperado o esperanzamatemtica de clientes que efectan una compra o el nmero esperado de clientes queefectan una compra:

= x f(x) = 0(0.343)+ 1(0.441) +2(0.189)+3(0.027) 0.9.

Observe que pudiramos haber obtenido este mismo valor esperado o esperanza

matemtica simplemente multiplicando n (el nmero de intentos)porp (la probabilidad deaciertos en cualquiera de los intentos).

np = 3(0.30) = 0.90

Para el caso especial de una distribucin de probabilidad binomial, el valor esperado oesperanza matemtica de la variable amatoria est dada por:

= np

Por lo que, si usted sabe que la distribucin de probabilidad es binomial, no es necesarioque efectelos clculos detallados requeridos por la ecuacin para calcular el valor

esperado o esperanza matemtica.

Ejemplo:

Suponga que durante el mes siguiente la tienda de ropa de Nestke espera que entren a latienda 1 000 clientes. Cual es el nmero esperado de clientes que efecten una compra?Utilizando la ecuacin anterior, la respuesta es = n p = (1000)(0.3) = 300. A fin deincrementar el nmero esperado de ventas, Nastke debe inducir a que entrenen msclientes en la tienda, o de alguna manera incrementar la probabilidad de que algn clienteen particular efecte una compra una vez que haya entrado.

Para el caso especial de una distribucin binomial la varianza de la variable aleatoria es:

2= np (1-p)

Para el problema de la tienda de ropa Nastke con 3 clientes, la varianza y la desviacinestndar para el nmero de clientes que efectan compras son:

2 = np(1-p)=3(0.3)(0.7)=0.63

= 0.63 = 0.79


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Distribucin de Poisson:

La distribucin de Poisson se llama as en honor a Simen Dennis Poisson. Estadistribucin maneja una variable aleatoria discreta que a menudo resulta til cuando nosenfrentamos con el nmero de ocurrencias de un evento en un intervalo de tiempo o deespacio especificados. Por ejemplo, la variable aleatoria de inters pudiera ser el nmero

de llegadas a un lavado de automviles en una hora, el nmero de reparaciones que serequieren en 10 millas de autopista o el nmero de fugas existentes en 100 millas deoleoducto. Si se satisfacen las dos hiptesis siguientes, es aplicable la distribucin deprobabilidad de Poisson.

1. La probabilidad de ocurrencia de un evento es la misma para cualquiera de 2intervalos de igual valor.

2. La ocurrencia o no ocurrencia del evento en cualquier intervalo es independientede la ocurrencia o no ocurrencia de cualquier otro intervalo. La funcin deprobabilidad de la variable aleatoria de Poisson queda dada por la ecuacinsiguiente:

Donde

= numero promedio de ocurrencias en un intervalo.

e = 2.71828

x = nmero de ocurrencias dentro de un intervalo.

f(x) = probabilidad de x ocurrencias en el intervalo.

Ejemplo.

Suponga que estamos interesados en el nmero de llegadas al cajero automticopara automovilistas durante un periodo de 15 minutos en las maanas de la semana.Si suponemos que la probabilidad de que llegue un automvil es la misma paracualquiera de de 2 periodos de tiempo de igual duracin, y que la llegada o no llegadade un automvil en cualquier periodo de tiempo, es aplicable la funcin deprobabilidad de Poisson. Entonces, si suponemos que un anlisis de los datoshistricos muestra que el nmero promedio de automviles que llegan durante unintervalo de 15 minutos es de 1, es aplicable la funcin de probabilidad de Poisson con = 10.

f(x ) =x e- =10 x e-10 Para x = 0,1,2,x! x!

Si deseramos saber cul es la probabilidad de 5 llegadas en 15 minutos, haramosx = 5?

f(x ) = x e- para x = 0,1,2.x!


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F(x) = 105e-10 = 0.0378

5!

Distribucin Normal. La distribucin probabilstica normal y su respectiva curva normaltienen las siguientes caractersticas:

1. La curva normal es acampanada y presenta un solo pico en el centro de la distribucin. Lamedia (aritmtica), la mediana y la moda de la distribucin son iguales y estn localizadasen el pico. De esta forma, la mitad del rea bajo la curva. De esta forma, la mitad del reabajo la curva se encuentra por arriba de ese punto central, y la otra mitad por abajo.

2. La distribucin probabilstica normal es simtrica con respecto a su media. Si se corta lacurva normal verticalmente en este valor central, las dos mitades se reflejaran comoimgenes en un espejo.

3. La curva normal decrece uniformemente en ambas direcciones a partir del valor central. Esasinttica, lo cual significa que la curva se acerca cada vez ms al eje x, pero en realidadnunca llega a tocarlo. Esto es, los puntos extremos de la curva se extienden

indefinidamente en uno y otros sentidos.

Figura 4.2. Caractersticas

de la distribucin normal.

No existe solo una distribucin probabilstica normal, sino que hay una familiade ellas.Existe una distribucin de probabilidad normal para los tiempos de servicio de losempleados de la planta de Camden, para la que la media es 20 (aos) y la desviacinestndar vale 3.1(aos). Existe otra distribucin probabilstica normal para los citadostiempos de la planta de Durkirk, para la cual =20 y =3.9 en la figura 4.3 se ilustran tresdistribuciones normales para las que las medias son iguales, pero las desviacionesestndares son diferentes.

Figura 4.3. Distribuciones

Probabilsticas normales con

La curva normal es simtricadosmitadesidnticas

cola cola

La media ,La mediana y la moda

Son i uales.

=3.1 aos, planta Camden

=3.9 aos, planta de Durkik

= 5.0 aos, planta de Elmira


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Medias iguales, pero diferentes

Desviaciones estndares.

En la figura 4.4. Muestra la distribucin de los pesos de empaques de tres cereales. Lospesos estn distribuidos en forma normal, con medias diferentes, pero con desviacionesestndares idnticas.

En la siguiente figura 4.5 muestra tres distribuciones normales que tienen distintasmedias y desviaciones estndares. Muestra la distribucin de resistencias a la tensinmedidas en libras por pulgada cuadrada (lb/pulg2) [psi] para tres tipos de cables.

Distribucin probabilstica normal.

Se observ que existe una familia de distribuciones normales. Cada distribucin tiene

media () o desviacin estndar (), con valores diferentes. Por lo tanto, el nmero dedistribuciones normales es ilimitado. Resultara fsicamente imposible proporcionar unatabla de probabilidades (como la binomial y la de Poisson) para cada combinacin de y. Por fortuna, puede utilizarse un elemento de la familia de distribuciones normales paratodos los

problemas donde tal distribucin resulta aplicable. Tiene una media igual a 0 y unadesviacin estndar igual a 1, y se denomina distribucin normal estndar. Cualquier

Sugar =1.6 gramos Alphabet =1.6 gramos Weight =1.6 gramosYummies G ems Droppers

283 310 321

gramos gramos gramos

= 26

= 41 psi= 52 psi

2 000 2 048 2 186

Psi Psi Psi


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distribucin normal puede convertirse en una distribucin normal estndar restando lamedia a cada observacin, dividiendo luego entre la desviacin estndar.Primero se convierte o se estandariza, la distribucin a una distribucin normal estndarutilizando e valor z,(tambin denominado, a veces, desvo normal estandarizado, osimplemente desvo normal).

Valor z Diferencia (desviacin) entre un valor seleccionado, denotado por x, y la media ,dividida tal diferencia entre la desviacin estndar, .Por tanto, el valor z es la distancia a partir de la media, medida en unidades de ladesviacin estndar.Expresado lo anterior con una formula queda:

Donde:X es el valor de cualquier medida u observacin especfica. es la media de la distribucin. es la desviacin estndar de la distribucin.

Como se observa por la definicin anterior, el valor z mide la distancia entre el valorespecfico X y la media (aritmtica), en unidades de la desviacin estndar. Conociendo elvalor z determinado por la formula anterior, se puede obtener el rea o la probabilidadbajo la curva normal. Recurriendo a la tabla del apndice A.

Supngase, como ejemplo que se obtuvo por clculo una z igual 1.91. Cul es el reabajo la curva normal entre la media y X? Nos vamos a la tabla del apndice A.Descindase por la columna izquierda de sta encabezada por la letra z, hasta1.91.Luego se desplaza horizontalmente hacia la derecha y se lee la probabilidad bajo lacolumna encabezada por 0.01. Resulta 0.4719. Esto significa que el 47.19% del rea bajola curva se encuentra entre la media y el valor X de 1.91desviaviones estndares porarriba de la media. Esta es la probabilidad de que una observacin se encuentre entre 0 y1.91 desviaciones estndares respecto de la media.

Ejemplo.La media de un grupo de ingresos semanales con distribucin normal para un granconjunto de gerentes de nivel medio, es $ 1000(dlares), y la desviacin estndar es de$100.cul es el valor z para un ingreso X de $1 100?Y para uno de $900?Solucin.

Valor normal estndar Z = X-

0.4719

0 1.91 z


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Utilizando la frmula anterior, los valores z para los dos valores de X ($1 100 y 900) secalculan como sigue:Para X =$1 100 Para X = $900

Z = X- Z = X-

= $1 100$1 000 = $900 - $1 000$ 100 $100

= 1.00 = -1.00

El valor z de 1.00 indica que un ingreso semanal de $1 100 para un gerente de nivelmedio est una desviacin estndar por encima de la media; una z de -1.00 indica que uningreso de $900 est una desviacin estndar por debajo de la media. Obsrvese queambos ingresos ($1 100 y $900) estn a la misma distancia ($100) respecto de la media.reas bajo la curva normal.

Antes de examinar diversas aplicaciones de la distribucin de probabilidad normalestndar, se consideran tres reas bajo la curva que han de ser utilizadas ampliamente en

los siguientes temas:1. Aproximadamente 68% del rea bajo la curva normal est dentro de mas una ymenos una desviaciones estndares respecto de la media. Esto se expresa como1.

2. Aproximadamente 95% del rea bajo la curva normal est dentro de ms dos ymenos dos desviaciones estndares respecto de la media, lo que se expresa por2.

3. Prcticamente toda el rea (99.7%) bajo la curva normal est dentro de tresdesviaciones estndares respecto de la media (a uno y otro lados del centro) locul se indica por 3.

Mostrando esto en un diagrama y utilizando porcentajes ms precisos queda:

El transformar las mediciones a valores z(o desvos normales estndares) cambia laescala. Las conversiones se muestran en el siguiente diagrama. Por ejemplo, +1 seconvierte a un valor z de +1.00. De manera semejante, -2 se transforma en un valor zde -2.00. Observase que el centro de la distribucin z es cero, lo cul indica que no existedesviacin respecto de la media, .

-3-2-1 +1 +2 +3 Escala de X

68.26%

95.44%

99.74%

-3-2-1 +1 +2 +3 Escala de Xse convierte en

-3 -2 -1 0 1 2 3 Escala de z


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Estos conceptos pueden expresarse de manera algo distinta: el rea bajo la curva normaldentro de ms y menos una desviacin estndar respecto de la media, es 0.6826. El rea

dentro de ms y menos dos desviaciones estndares dentro de la media es 0.9544. Elrea dentro de tres desviaciones estndares respecto de la media vale 0.9974. Y el reatotal bajo la curva normal es 1.0000.

Ejemplo.Una prueba de vida til para un gran nmero de pilas alcalinas tipo D, revel que laduracin media para un uso especfico antes de la falla, es de 19.0 horas (h). Ladistribucin de las duraciones se aproxima a una distribucin normal. La desviacinestndar de la distribucin fue 1.2 h.

1. Encuentre que par de valores fall aproximadamente 68% de las pilas?2. Entre cules dos valores ocurri la falla de alrededor de 95% de las pilas?3. Entre que par de valores fallaron prcticamente todas las pilas?

Solucin 1. Aproximadamente 68% fall entre 17.8 h y 20.2 h, valores obtenidos de19.01(1.2)

2. Alrededor de 95% lo hizo entre 16.6 h y 21.4 h, calculado por 19.02(1.2).3. Prcticamente todas las pilas fallaron entre 15.4 h y 22.6 h, lo que resulta

de 19.03(1.2).

La primera aplicacin de la distribucin normal estndar se relaciona con la determinacindel rea bajo la curva normal, entre la media y un valor seleccionado, que se denota porX. Utilizando el mismo problema que en el ejemplo anterior del ingreso semanal [=$1000(dlares), =$100], Cul es el rea bajo la curva normal entre $1 000 y $1 100?

Ya hemos convertido $1 100 a un valor z de 1.00 aplicando la formula, como reiteracin:X $1 100- $1 000Z = = = 1.00

$100

La probabilidad asociada a un valor z de 1.00 ya se calcul y se muestra en la siguientetabla:

-3-2-1 +1 +2 +315.4 16.6 17.8 19.0 20.2 21.4 22.6


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Representado en un diagrama:

El rea bajo la curva normal entre $1 000(dlares) y $1 100 es 0.3413. Tambin puededecirse que 34.13% de los ingresos semanales estn entre $1000 y $1 100, y laprobabilidad de que en un ingreso especfico se halle entre $1 000 y $ 1 100, tiene porvalor 0.3413.

Ejemplo.

Refirase al problema anterior [ =$1 000(dlares), =$100].1. Cul es la probabilidad de que un ingreso semanal especfico seleccionado alazar entre $790 y $1 000?

2. Cul es la probabilidad de que el ingreso sea menor de $790?Solucin:Calculando el valor z para $790 mediante la frmula:

Z = X- = $790-$1 000 = -2.10 $100

1. El rea bajo la curva normal entre y X correspondiente a un valor z de -2.10, es0.4821. El signo negativo antes de 2.10 indica que el rea est la izquierda de la

media, pero no cambia su tamao.2. La media divide a la curva normal en dos mitades idnticas. El rea bajo la mitadde la grfica a la izquierda de la media, vale 0.5000, y el rea que se encuentra ala derecha de la media tambin es 0.5000. Como el rea bajo la curva entre $790y $ 1 000 es 0.4824, el rea por abajo de $790 se determina restando 0.4821 de0.5000. De esta forma, 0.5000-0.4821= 0.0179. En el diagrama queda:

z 0.00 0.01 0.02

0.7 0.2580 0.2611 0.2642

0.8 0.2881 0.2910 0.2939

0.9 0.3159 0.3186 0.3212

1.0 0.3413 0.3438 0.3461

1.1 0.3643 0.3665 0.3686

0.3413

0 1.0 Escala de z$1 000 $1 100 Escala de dlares

0.5000 0.5000

0.01790.4821


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Una segunda aplicacin de la distribucin normal estndar se relaciona con combinar dosreas, una a la derecha y otra a la izquierda de la media.Ejemplo.Volviendo a la distribucin de ingresos semanales [=$1000(dlares), =$100], Cuntovale el rea bajo la curva normal entre $840 y $1 200 dlares?

Solucin:El problema se divide en dos partes. Para el rea entre $840 y la media de $1 000:

Z = $840-$1 000 = -$160= -1.60$100 $100

Para el rea entre la media de $1 000 y $1 200:

Z = $1 200-$1 000 = $200= 2.00$100 $100

El rea bajo la curva para un valor z de -1.60 es0.4452. El rea bajo la curva para un z de2.00, es 0.4772. Sumando las dos reas queda 0.4452+0.4772=0.9224. d sta forma, la

probabilidad de seleccionar un ingreso entre $840 y $1 200 es 0.9224. En otras palabras,92.24% de los gerentes tiene un ingreso semanal entre $840 y $1 200. Mostrado en undiagrama:

Una aplicacin adicional de la distribucin normal estndar consiste en determinar el reapor encima, o por debajo, de un valor especfico.Ejemplo:Considerando de nuevo el ejemplo de los ingresos semanales (=$1 000,=$100), Quporcentaje de los ejecutivos tienen ingresos por semana de $1 245 o ms?

0.4452 0.4772

$840 $1 000 $1 200 Escala deIngresos semanales (en dlares) ingresos


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Solucin:Primero es necesario determinar el rea entre la media de $1 000 y $1 245. Se utiliza laformula para calcular z.

Z = $1 245-$100 = $245 =2.45

$100 $100

El rea asociada a un valor z de 2.45 es de 0.4929. Esta es la comprendida entre $1 000y $1 245. Resulta lgico que el rea a partir de $1 245 y que llega hasta el final de lacurva, se obtenga al restar 0.4929 de 0.5000. El rea es 0.0071, lo cul indica que slo0.71% de los ejecutivos tiene un ingreso semanal de $1 245 o mas. En el diagramasiguiente se muestran los diversos aspectos de ste problema:

Aun otra aplicacin de la distribucin normal estndar implica determinar el reaentre valores sobre el mismo lado de la media.EjemploVolviendo al ejemplo de los ingresos semanales (=$ 1000,=$100), Cuntovale el rea bajo la curva normal entre $1 150 y $1 250?

Solucin:El problema se separa de nuevo en dos partes y se aplica la misma formula.En primer lugar se encuentra el valor z asociado a un ingreso semanal de $1 250:

Z = $1 250-$1 000 = 2.50$100

En seguida se obtiene el valor z para un ingreso semanal de $1 150:

Z = $1 150-$1 000 = 1.50$100

De acuerdo a la tabla, el rea asociada a un valor z de 2.50 es 0.4938. Por tanto, laprobabilidad de un ingreso por semana entre $1 000 y $1 250, es 0.4938. En forma

semejante, el rea asociada a un valor z de 1.50 es 0.4332, as que la probabilidad deun ingreso semanal entre $1 000 y $1 150, es 0.4332. La de un ingresos por semanaentre $1 150 y $1 250 se obtiene restando el rea correspondiente a un valor z de1.50 (que es 0.4332), de lo que corresponde a un z de 2.50(o sea 0.4938). Por tanto,la probabilidad de un ingreso semanario entre $1 150 y $1 250, es 0.0606.

En un diagrama:

0.5000 0-5000

0.0071

0.4929

x$1 000 $1 245 Escala de dlares

0 + 2.45 Escala z

0.0606

$1 000 $1 150 $1 250 Escala de ingresos


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g


I.4.4 Actividad de aprendizaje No. 9

TA-5: Ejercicios de aplicacin.1.4.4.1 Instrucciones:Resuelve de manera correctamente los siguientes

ejercicios acerca de valor esperado, varianza, distribucin de binomial ydistribucin de Poisson.

a) Valor actividad: 10Puntosb) Producto esperado: Que los alumnos resuelvan de manera correctalos ejercicios propuestos.

c) Fecha inicio:d) Fecha entrega:e) Forma de entrega: Por separado, escrito a manof)) Tipo de actividad: Individualg) Fecha de realimentacin: El mismo da de entrega.


Resolver ejercicios acercade valor esperado, varianzadistribucin binomial,

distribucin de Poisson,


9 Puntos



1 Puntos

Total 10 puntos


PR-5 Resolver ejercicios prcticosI.4.4.1 Instrucciones: Resolver un ejercicio que incluya uno de los temas.

h) Valor: 5 Puntosi) Producto esperado: Que los ejercicios sean resueltos de manera

correcta.j) Fecha inicio:k) Fecha entrega:l) Forma de entrega: escrito a mano

m) Tipo de actividad: Individualn) Fecha de retroalimentacin:

I.4.4.1 Criterio de evaluacin de la actividad PR-5


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Actividad Actividad Ponderacin

Practica por escrita conproblemas de valoresperado, varianza,distribucin binomial y

distribucin de Poisson.

Resolver en forma rpidaejercicios de distribucionesdiscretas.

4 Puntos



1 Puntos

Total 5 puntos


TA-6: Ejercicios de aplicacin.1.4.4.1 Instrucciones:Resuelve de manera correctamente los siguientes

ejercicios acerca de distribuciones continuas.o) Valor actividad: 10Puntosp) Producto esperado: Que los alumnos resuelvan de manera correcta

los ejercicios propuestos.q) Fecha inicio:r) Fecha entrega:s) Forma de entrega: Por separado, escrito a manot)) Tipo de actividad: Individualu) Fecha de realimentacin: El mismo da de entrega.


Resolver ejercicios acercade distribuciones continuas,


9 Puntos

Resuelva de maneracorrecta los problemas. Utilizar el formato para laentrega de tareas. 1 Puntos

Total 10 puntos


PR-6 Resolver ejercicios prcticosI.4.4.1 Instrucciones: Resolver un ejercicio que incluya distribuciones

continuas.h) Valor: 5 Puntos

i) Producto esperado: Que los ejercicios sean resueltos de maneracorrecta.j) Fecha inicio:k) Fecha entrega:l) Forma de entrega: escrito a mano

m) Tipo de actividad: Individualn) Fecha de retroalimentacin:



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Practica por escrita conproblemas de distribucionescontinuas.

Resolver en forma rpidaejercicios de distribucionescontinuas.

4 Puntos



1 Puntos

Total 5 puntos

I.4.5 Resultado del Aprendizaje:Se pretende que los alumnos resuelvan de manera

satisfactoria los problemas propuestos de distribuciones discretas y continuas.

I.4.6 Bibliografa:


Mtodos cuantitativos para los negocios.David R. anderson/Dennis J. Sweeney/Thomas A.Williams. Editorial InternationalThomson Editores 1998.

Unidad Temtica:2. Estimacin2.1Tema: Estimacin puntual2.1.1Objetivo de aprendizaje: Que el alumno adquiera los conocimientos acerca deestimaciones puntuales en medias y en proporciones, As como su correcta aplicacin enproblemas reales de empresa2.1.2 Recurso tiempo del tema: 4.0 horas2.1.3 Desarrollo:Estimacin puntual. El valor, calculado a partir de la informacin de muestreo, que se

emplea para estimar el parmetro de poblacin.

La media muestral, , es una estimacin puntual de la media poblacional, ,.

Pes una estimacin puntual dep y as mismo la desviacin estndar de la muestra Ses

una estimacin puntual de la desviacin estndar de la poblacin .

Supngase que una empresa desea calcular la edad promedio de compradores de

equipos estreo. Se selecciona una muestra aleatoria de 50 adquirientes recientes, se

determina la edad de cada uno y se calcula la edad media de los seleccionados. El valor

medio de esta muestra es una estimacin puntual de la media poblacional.

Sin embargo, un valor estimado puntual representa slo una parte de la historia. Al tiempo

que se espera que la estimacin puntual se acerque al parmetro de la poblacin,

quisimos medir que tan cerca se encuentra. Un intervalo de confianza cumple con ste

propsito.


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Estimacin por intervalo de confianza Una gama de valores obtenidos a partir de datos

de muestreo, de modo que el parmetro ocurre dentro de esa variedad a una probabilidad

especfica. La probabilidad especfica en cuestin se denomina nivel de confianza.

Ejemplo

El gerente de puede decidir que la media poblacional est en algn sitio entre v $35 y$38. Tal intervalo con frecuencia va acompaado de una afirmacin sobre el nivel de

confianza que se da en su exactitud. Por tanto se llama intervalo de confianza (I.C).

En realidad hay tres niveles de confianza relacionados comnmente con los intervalos de

confianza; 99%, 95% y 90%. No hay nada mgico sobre stos tres. Se podra calcular un

intervalo de confianza de 82% si se deseara. Estos tres niveles de confianza,

denominados coeficientes de confianza, son simplemente convencionales. El gerente

mencionadoanteriormente puede tener un 95% de confianza en que la media poblacional

est entre $35 y $38.Las estimaciones por intervalo gozan de ciertas ventajas sobre las estimaciones

puntuales. Debido al error de muestreo, probablemente no ser igual a . Sin embargo,

no hay manera de saber que tan grande es el error de muestreo.

El fundamento de un intervalo de confianza.

Intervalo de confianza tiene un lmite inferior de confianza(LIC) y un lmite superior de

confianza (LSC). Estos limites se hayan calculando primero la media muestral, . Luego

se suma una cierta cantidad para obtener el LSC, y la misma cantidad se resta de

para obtener el LIC.

Cmo se puede construir un intervalo y luego argumentar que se puede tener un 95% de

confianza en que contiene a , si incluso no se sabe cul es la media poblacional? Vale la

pena recordar de la discusin anterior sobre la Regla Emprica que el 95.5% de todas las

medias muestrales caen dentro de dos errores estndar de la media poblacional.

Entonces la media poblacional est mximo a dos errores de 95.5% de todas las medias

muestrales. Por tanto, al comenzar con cualquier media muestral, si se pasa de doserrores estndar por encima de dicha media y dos por debajo de ella, se puede tener un

95.5% de confianza en que el intervalo resultante contenga la media poblacional

desconocida.

95.5%

2x

= ?LIC1 -2x X1+2 x LSC1


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La informacin desarrollada acerca de la forma de una distribucin de muestreo de

medias muestrales, lo cual significa una distribucin de muestreo de , permite localizar

un intervalo que contenga una probabilidad especfica de incluir a la media de la

poblacin, . Para muestras razonablemente mayores, se puede utilizar el teorema del

lmite central y afirmar lo siguiente.

1.Un 95% de las medias muestrales seleccionadas de una poblacin estar dentro de 1.96

desviaciones estndares respecto de la media poblacional,.

La desviacin estndar mencionada aqu es la desviacin estndar de la distribucin de muestreo

de medias mustrales. Los intervalos calculados de sta manera se denominan el intervalo de

confianza de 95%Cmo se obtiene el valor de 1.96? El 95% se refiere al porcentaje de tiempo

del intervalo construido similarmente que incluye el parmetro

143710745-3manualmatematicasiii (1)

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