Exercices de programmation linaire

IAE de Grenoble, CAAE

Cours de SIAD, Professeur B. Ballaz

I Exercices de programmation linaire (1, 2, 3, 4, 5.1 et 5.2) sont dans lobjectif minimum.1 Rsoudre par la mthode graphique:

Max [CA]: 4 xa + 6 xb(1) 6 xa + 5 xb 30(2) 3 xa + 9 xb 27

(3) xa 5(4) xb 4

2 Avec le mme systme de contraintes (Exercice 1), chercher Min [Cots]: 2 xa + 2 xb

3 Rsoudre par la mthode graphique:

Min [Z]: xa + 2 xb(1) 2 xa + xb 10

(2) xa + xb = 8

(3) xb 2

4 Vrifier les solutions graphiques des exercices 1, 2, 3 en utilisant le solveur dExcel.

5 Soit le programme linaire suivant:Min [Z]: 2 xa + 4 xb(1) 6 xa + 2 xb 12

(2) 4 xa + 8 xb 32

(3) xa 5

(4) xb 2

5.1 Rsoudre par la mthode graphique 5.2 Rsoudre avec le solveur dExcel 5.3 Que peut-on constater lorsque lon examine le cot marginal des variables dcart hors base dans la solution optimale? 5.4 Quelle conclusion en tirer? Donner une interprtation gomtrique.

6 Rduire le problme suivant un programme linaire une seule contrainte.

Min [Z]: 2 xa + 4 xb(1) 6 xa + 2 xb 12

(2) xa 5

(3) xb 2

( Piste: faire un changement de variable en utilisant les contraintes (2) et (3), sachant que toute variable dun PL est >=0 )7 Rsoudre par la mthode graphique le problme suivant:Min [Z]: 10 xa + 16 xb+ 8 xc

(1) xa + 2 xb 6

(2) xa + xb + xc 12

(Piste: utiliser le programme Dual)

8 Rsoudre le Primal et le Dual de lexercice 6 laide du solveur dExcel, vrifier les proprits de leurs solutions optimales.9 Dterminer le plan de travail journalier optimal dun atelier artisanal qui fabrique des articles de poterie et des articles dmaux, sachant que:

Il faut 1 h de temps de fabrication pour une poterie et 4h pour un mail, la charge de travail pour les maux ne doit pas dpasser celle de la poterie de plus de 160 h.

La production darticles de poterie ne doit pas excder de plus de 30 units la production dmaux

Le nombre total darticles fabriqus ne doit pas tre suprieur 80 units par jour.

Le bnfice est de 20 pour une poterie et de 60 pour les maux sur cuivre.

On utilisera la mthode de rsolution graphique et on vrifiera la solution obtenue avec le solveur dExcel.

(Solution optimale: Xpoterie = 32; Xemaux = 48; Bnfice total = 3520) .

10 Un leveur peut acheter deux types de produit, Bovo et Vogra, pour une alimentation quilibre de son troupeau. La composition (en kg) de ces deux marques en composants nutritifs lmentaires et la ration minimale quotidienne ncessaire (en kg) sont indiques dans le tableau suivant:

BovoVograRation journalire

Composant A0,100,4

Composant B00,10,6

Composant C0,10,22

Composant D0,20,11,7

Cot dachat au kg en 10040

Quelles quantits daliments Bovo et Vogra notre leveur doit-il acheter chaque jour de faon raliser lalimentation satisfaisante de cot minimum?(mthode graphique et solveur).

(Solution Optimale: xBovo = 4 kg; yVogra = 9 kg, Cot dachat total = 760 )

Exprimer le programme dual, le rsoudre et vrifier les proprits de la dualit, chercher sa signification conomique.II Arbre de dcision: Cas SRD V3.0

Afin de renouveler sa gamme de vhicules quips dun moteur diesel, la socit SRD envisage de lancer un partenariat pour le co-dveloppement dun nouveau moteur, avec son fournisseur spcialis dans la motorisation diesel.

Les choix possibles pour la conception du prototype et des prsries industrielles sont les suivants :

1 - Moteur diesel classique, reconditionn, dont le cot de dveloppement et dindustrialisation est valu 1 MEuros, avec la certitude de pouvoir le raliser.

2 - Moteur turbo diesel, dont le cot de dveloppement serait de 1,6 MEuros, avec une probabilit de russite estime 0,6.

3 Moteur Common Rail diesel dont le cot de dveloppement s'lve 2MEuros, avec 50 % de chance de russite.

En fonction de la contrainte de temps impose par les annonces faites par les entreprises concurrentes, en cas dchec de la premire approche, une deuxime approche diffrente de celle qui a chou pourraient tre tente. La premire approche (Moteur diesel classique) reste toujours envisage et en ce qui concerne lautre approche possible, du fait que certaines tudes seront rutilisables et quun effet dexprience sera obtenu, SRD espre pouvoir amliorer leurs probabilits de russite :

- option Turbo, probabilit de russite: 0,8

- option Common Rail, probabilit de russite: 0,7

Les cots de dveloppement resteraient les mmes.

Pour chacun de ces choix technologiques dbouchant sur un nouveau produit, la russite commerciale ventuelle du lancement du nouveau produit conduit les responsables de SRD envisager deux hypothses:

- une hypothse basse, de probabilit 0,6, qui devrait dgager une marge commerciale globale de 3 MEuros sur le cycle de vie du produit pour lapproche Turbo ou Common Rail, 1,5 MEuros pour lapproche classique.

- une hypothse haute, de probabilit 0,4 dont on estime quelle amliorera de 100% la marge commerciale attendue, quelle que soit lapproche retenue.

Avant de se lancer dans la ralisation du prototype, une tude pralable de faisabilit sera demande au fournisseur. Le cot de cette tude est valu 0,2 MEuros et on estime 80% la probabilit quelle conclut la faisabilit du projet, quel que soit le choix de technologie pour la conception du prototype.

La direction de SRD doit-elle se lancer dans ce nouveau projet ? Quel serait son meilleur choix?

(Solution: lesprance de gain optimale (0,688 M) est obtenue en choisissant lapproche Turbo, puis Classique en cas dchec)