149736749-tk2-uvod-sdof

Teorija konstrukcija 2 – Dinamika konstrukcija i zemljotresno inženjerstvo, dr Ratko Salatić 1

1. UVOD U DINAMIKU KONSTRUKCIJA Dinamika konstrukcija (structural dynamics) – Izučava uticaj dinamičkog opterećenja na konstrukcije.

Dinamičko opterećenje (dynamic load) – Opterećenje koje se odlikuje promenom intenziteta u toku vremena (opterećenje je u funkciji vremena) i pri kojem se uticaj nastalih inercijalnih sila ne može zanemariti. Oblici dinamičkog opterećenja

Dinamička sila periodična - ponavljaju se u jednakim vremenskim intervalima (a), odnosno , oscilatorna - specijalan slučaj periodičnog opterećenja kada je srednja vrednost ovog

opterećenja jednaka nuli (b), udarna - naglo se nanose na konstrukciju i ostaju na njoj duže ili kraće vreme:

- naglo opterećenje (c), - impulsno opterećenje (impuls (d), serija impulsa (e)),

slučajna, stihijna (stohastička) - promena intenziteta kroz vreme je sasvim nepravilna (f),

Temperaturna – Usled promene temperature nastaju inercijalne sile Pomeranje oslonaca – Dejstvo zemljotresa se prenosi na konstrukciju preko oslonaca (temelja).

Slika 1.1 − Vrste dinamičkog opterećenja

Specifičnost dinamičkog opterećenja Pri dejstvu dinamičkog opterećenja uticaji u sistemu ne moraju biti direktno proporcionalni intenzitetu opterećenja. Na primer, neka sistem ima sopstvenu kružnu frekvencu ω, i neka na taj sistem zasebno deluju tri opterećenja , , :

∶ sin : 2 sin : 0.5 sin

2Teorija konstrukcija 2 – Dinamika konstrukcija i zemljotresno inženjerstvo, dr Ratko Salatić

Opterećenje izaziva dva puta veće uticaje nego opterećenje dok opterećenje može izazivati i više puta veće uticaje od opterećenja (pojava rezonancije).

Može se konstatovati da na odgovor sistema pri dejstvu dinamičkog opterećenja značajnije utiču frekventne karakteristike dinamičkog opterećenja nego intenzitet opterećenja.

U Dinamici konstrukcija generalno se rešavaju dva osnovna zadatka. Prvi zadatak je određivanje dinamičkih karakteristika sistema (sopstvene frekvence ili perioda) i poređenje sa frekventnim karakteristikama mogućeg dinamičkog opterećenja, kako bi se izbegla pojava rezonancije. Drugi zadatak je određivanje uticaja u konstrukciji usled dinamičkog opterećenja zadatih karakteristika. Matematička intrepretacija prvog zadatka u linearnoj dinamici se svodi na svojstven problem, a drugi zadatak se svodi na nehomogen problem linearnih algebarskih jednačina. 1.1 Osnovni pojmovi i stavovi Inercija (inertia) – Inercija je svojstvo svih tela da se odupiru promeni kretanja. (Mirovanje se

takođe može smatrati specijalnim slučajem kretanja kada je brzina kretanja jednaka nuli). Različita tela se različito, u većoj ili manjoj meri, opiru promeni stanja kretanja u kome se nalaze. Znači da postoji mera za inerciju raznih tela.

Masa (mass) – je fizička veličina koja predstavlja kvantitativnu meru za inerciju tela. Masa je jedno od osnovnih svojstava tela.

Količina kretanja – predstavlja proizvod mase i brzine tela.

Sila (force) – je vektorska fizička veličina koja predstavlja meru za interakciju, odnosno uzajamno dejstvo tela.

I Newton-ov zakon (Newton's first law) – Svako telo ostaje u stanju mirovanja ili jednolikog pravolinijskog kretanja sve dok dejstvom spoljnih sila nije prinuđeno da to stanje promeni.

II Newton-ov zakon (Newton's law of motion) – Brzina promene količine kretanja jednaka je sili koja dejstvuje i ima istu orijentaciju kao sila.

U klasičnoj fizici , pa sledi da je sila jednaka proizvodu mase i ubrzanja koje ta sila izaziva:

Zakon o održanju energije (Energy method) – Za jedan izolovan, konzervativan sistem ukupna energija sistema je nepromenljiva u vremenu.

D'Alambert-ov princip (D’Alambert’s priciple) – Dinamička ravnoteža sila može se posmatrati kao statička, ako se dodaju odgovarajuće inercijalne sile.

Podela sistema prema rasporedu masa

sistemi sa kontinualno raspoređenom masom (distributed mass) – Sistemi imaju beskonačan broj stepeni slobode. Jednačine dinamičke ravnoteže su diferencijalne.

sistemi sa diskretno raspoređenom masom (lumped mass) – Sistemi imaju konačan broj stepeni slobode. Jednačine dinamičke ravnoteže su algebarske.


Slika 1.2 − Raspodela masa sistema

Oscilacije (oscillation) – Kretanje koje se ponavlja u određenim vremenskim intervalima i vrši se uvek po istoj putanji. Podela oscilacija – Podela se može izvršiti prema tome da li su amplitude konstantne u toku vremena:

neprigušene (undumped vibration) prigušene (dumped vibration)

ili prema tome da li za vreme oscilovanja deluje spoljna dinamička sila: slobodne (free vibration) prinudne (forced vibration)

Pitanja

1. Predmet izučavanja Dinamike konstrukcija 2. Šta podrazumeva linearna dinamika konstrukcija? 3. Definicija dinamičkog opterećenja

a. Navesti oblike dinamičkog opterećenja b. Nacrtati oblike dinamičkog opterećenja

4. Specifičnost dinamičkog opterećenja a. Zavisnost uticaja u sistemu u odnosu na intezitet dinamičkog opterećenja b. Zavisnost uticaja u sistemu u odnosu na frekventnu karakteristiku dinamičkog opterećenja

5. Nabrojati sve vrste dinamičkih opterećenja koja su detaljno obrađena na predavanju a. Grafički predstaviti sve vrste dinamičkih opterećenja koja su obrađena na predavanju

6. Objasniti uticaj vremena nanošenja opterećenja na konstrukciju 7. Koja su dva osnovna zadatka u dinamici konstrukcija koje rešavamo?

a. Kako se matematički definišu dva osnovna zadatka u dinamici konstrukcija? b. Homogeni problem u Dinamici konstrukcija c. Nehomogeni problem u Dinamici konstrukcija

8. Kako glasi I Newton-ov zakon? a. Šta definiše I Newton-ov zakon?

9. Kako glasi II Newton-ov zakon? a. Šta definiše II Newton-ov zakon?

10. Šta je inercija? 11. Šta je masa? 12. Kako glasi D’Alembert-ov princip?

a. Šta je rezultat primene D’Alembert-ovog principa? 13. Kako glasi zakon o održanju energije? 14. Podela sistema prema rasporedu masa?

a. U matematičkom smislu šta je posledica uvođenja diskretnih masa? b. Da li je prihvatljiva pretpostavka da kontinualnu masu predstavljamo diskretnom?

15. Šta su oscilacije? a. Podela oscilacija


Literatura 1. Ćorić B. i Salatić R., Dinamika građevinskih konstrukcija, Građevinska knjiga, Beograd 2010.


2. SISTEMI SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE Sistem sa jednim stepenom slobode (Single Degree Of Freedom SDOF) – Geometrijski položaj masa sistema u prostoru u svakom trenutku vremena može se opisati samo jednim parametrom, odnosno jednom nezavisnom koordinatom.

Primena na građevinske konstrukcije – Bez obzira na to što su građevinske konstrukcije u realnosti sistemi sa kontinualno raspoređenom masom, određen broj problema u dinamičkom proračunu konstrukcija može se svesti na analizu odgovarajućeg sistema sa jednim stepenom slobode. Na taj način se značajno pojednostavljuje analiza.

Slika 2.1 −Primeri konstrukcija koji se mogu razmatrati kao sistemi SDOF

2.1 Slobodne neprigušene ocilacije Pod slobodnim oscilacijama podrazumeva se slučaj kada sistem samostalno osciluje i pri tome nije izložen dejstvu nekog spoljašnjeg opterećenja, odnosno poremećaja.

Ove oscilacije nastaju tako što se dogodi neki poremećaj (početno pomeranje, početna brzina), koji zatim nestaje, a sistem počinje da samostalno osciluje oko ravnotežnog položaja. Otpori pri kretanju uvek postoje, i uvek troše energiju sistema. U slučajevima kad su vrednosti otpora male (proces amortizacije teče sporo), ili se razmatra relativno kratak vremenski interval, otpori se mogu zanemariti. Pri slobodnim neprigušenim oscilacijama na sistem mogu delovati samo: restituciona sila, inercijalna sila i težina.

Kod slobodnih neprigušenih oscilacija frekvenca zavisi od fizičkih karakteristika sistema (krutost i masa), a amplituda i fazni ugao od početnih uslova.

Slika 2.2 − Neprigušen sistem sa jednim stepenom slobode

Dinamička ravnoteža: 0

Diferencijalna jednačina: 0

Rešenje: cos sin

Početni uslovi: 00

→ ⁄

Uvođenje novih konstanti: sin cos


Slika 2.4: Dejstvo težine tela

Elongacija: sin … amplitudaoscilovanja

tan … tangensfaznogugla

Slika 2.3 − Odgovor sistema pri slobodnim neprigušenim oscilacijama

Dejstvo težine tela pri oscilovanju

Ako se uzme u obzir i dejstvo težine tela , jednačina dinamičke ravnoteže je:

0

smenom promenljive , i diferenciranjem po vremenu:

sledi:

0 → 0

Dobijena je ista diferencijalna jednačina izvedena, kao u slučaju horizontalnih oscilacija.

Elongacija (elongation) – Udaljenje mase od ravnotežnog položaja u nekom trenutku vremena.

Amplituda (amplitude) – Maksimalno udaljenje mase od ravnotežnog položaja. Zavisi od početnih uslova.

Restituciona sila (restoring force) – Sila koja teži da telo vrati u ravnotežni položaj. Uvek je orijentisana ka ravnotežnom položaju tela, a njen intenzitet je proporcionalan elongaciji (pretpostavka linearne opruge).

Fazni ugao (phase difference) – Ugao koji je telo ostvarilo pri oscilacijama od trenutka kada je bilo u nultom (ravnotežnom položaju), do trenutka kada počinje računanje vremena. Zavisi od početnih uslova.

Kružna frekvenca slobodnih neprigušenih oscilacija (natural circular frequency) – Brzina vršenja slobodnih neprigušenih oscilacija. Dinamička karakteristika sistema nezavisna od početnih uslova.

1


Period slobodnih neprigušenih oscilacija (natural period) – Vreme potrebno da se izvrši jedna puna oscilacija pri slobodnom neprigušenom oscilovanju.

2

Sopstvena frekvenca oscilovanja (natural frequency) – Broj punih oscilacija u jednom sekundu. 1

2

Tehnička frekvenca oscilovanja – Broj punih oscilacija u jednom minutu.

60

Krutost dinamičkog sistema (dynamic stiffness) – Brojno je jednaka sili koja je potrebna da deluje na sistem u pravcu oscilovanja, da bi se masa pomerila za jediničnu vrednost u pravcu oscilovanja.

Slika 2.5 − Određivanje krutosti dinamičkog sistema

Slika 2.6 −Krutost dinamičkog sistema

Slika 2.7 −Krutost ramova


Određivanje krutosti dinamičkog sistema Krutost dinamičkog sistema često se određuje preko fleksibilnosti sistema, s obzirom da postoji recipročna veza između krutosti i fleksibilnosti sistema:

1

Za jediničnu vrednost sile koja deluje u pravcu oscilovanja mase određuje se pomeranje (fleksibilnost), a inverzna vrednost tako određenog pomeranja predstavlja krutost. U opštem slučaju pomeranja kod linijskih nosača određuju se iz izraza:

Odnosno ako se zanemari uticaj normalnih i transverzalnih sila na deformaciju, pomeranje usled jedinične generalisane sile je:

Primer 2.1 Odrediti krutost dinamičkog sistema statički neodređenog nosača za 2 10 .

137.8 ∙ 10

1

725.69

Prosto harmonijsko kretanje (simple harmonic motion) – Oscilacije imaju najprostiji oblik kada se vrše po pravoj putanji i kada je restituciona sila proporcionalna rastojanju od ravnotežnog položaja, odnosno kada je restituciona sila proporcionalna elongaciji. Ovakvo kretanje se naziva prosto harmonijsko kretanje. Ono se može prikazati jednostavnom sinusnom funkcijom, pa se nazivaju i sinusne oscilacije.

Svako periodično kretanje može se razložiti kao konačan skup prostih harmonijskih oscilacija različitih amplituda i frekvenca.

2.2 Slobodne prigušene ocilacije Oscilacije su prigušene, amortizovane, ako njene amplitude opadaju sa vremenom. Uzrok prigušenja su sile otpora koje troše energiju sistema. Priroda prigušenja je komplikovana, a najjednostavnije za sprovođenje analize kretanja je pretpostavka viskoznog otpora, otpor proporcionalan brzini kretanja. Kao i kod slobodnih neprigušenih oscilacija frekvenca zavisi od fizičkih karakteristika sistema (masa i krutost), samo sada treba uzeti u obzir i prigušenje, a amplituda i fazni ugao zavise od početnih uslova. Amortizacioni član amlitude je e ε .


Slika 2.8 − Prigušen sistem sa jednim stepenom slobode


Diferencijalna jednačina: 2 02

Rešenje: / √

111nadkritičnoprigušenjekritičnoprigušenjemaloprigušenje

Početni uslovi: 00

→

Uvođenje novih konstanti: sin cos

Elongacija: sin … amplitudaoscilovanja

tan … tangensfaznogugla

Prigušenje Kretanje

1 Nadkritično prigušenje (overdamped system) Aperidično amortizovano kretanje sa opadanjem aplitude prema eksponencijalnoj krivoj

2 Kritično prigušenje (critically damped system) Aperidično amortizovano kretanje sa opadanjem aplitude prema eksponencijalnoj krivoj

3 Malo prigušenje (underdamped system) Periodično amortizovano kretanje sa opadajućom amplitudom

Slika 2.9 −Odgovor sistema – Periodično amortizovano kretanje


Slika 2.10 − Odgovor sistema – Aperiodično amortizovano kretanje

Viskozno prigušenje (viscous damping) – Prigušenje proporcionalno brzini.

Koeficijent viskoznog prigušenja – Brojno je jdnak sili prigušenja pri jediničnoj brzini.

Koeficijent prigušenja – Definisan je izrazom:

Relativno prigušenje (damping ratio) – Definisan je odnosom koeficijenta prigušenja i kružnom frekvencom slobodnih neprigušenih oscilacija. Bezdimenzionalna veličina koja je mera prigušenja i predstavlja karakteristiku dinamičkog sistema.

Vrednosti relativnog prigušenja zavise od vrste konstrukcije i nivoa opterećenja.

Nivo

naprezanja Vrsta konstrukcije

/2

Cevovodi i mašinska oprema 0.01 – 0.02 Zavarene konstrukcije, prethodno napregnuti beton, obostrano armiran beton 0.02 – 0.03

Armirani beton sa dosta prslina 0.03 – 0.05 Čelične konstrukcije sa viljcima i zakivcima, drvene konstrukcije 0.05 – 0.07

∽

Cevovodi i mašinska oprema 0.02 – 0.03 Zavarene konstrukcije, prethodno napregnuti beton obostrano armiran beton 0.05 – 0.07

Armirani beton sa dosta prslina 0.07 – 0.10 Čelične konstrukcije sa viljcima i zakivcima, drvene konstrukcije 0.10 – 0.15 Drvene konstrukcije sa žljebovima 0.15 – 0.20

Kritično prigušenje (critical damping) – Prigušenje koje je jednako kružnoj frekvenci slobodnih neprigušenih oscilacija.

Kružna frekvenca slobodnih prigušenih oscilacija (natural damped circular frequency) – Brzina vršenja slobodnih prigušenih oscilacija.

1

Period slobodnih prigušenih oscilacija – Vreme potrebno da se izvrši jedna puna oscilacija pri slobodnom prigušenom oscilovanju.

2

1

Sopstvena frekvenca prigušenih oscilacija – Broj punih oscilacija u jednoj sekundi. 1

1


2.3 Prinudne prigušene ocilacije Kada spoljašnja sila deluje na sistem za vreme oscilatornog kretanja, takve oscilacije nazivaju se prinudne oscilacije (forced vibrations). Pri prinudnim oscilacijama sistem teži da osciluje svojom sopstvenom frekvencom, isto kao što teži da prati frekvencu prinudne sile. U prisustvu prigušenja (trenja), deo kretanja sa sopstvenom frekvencom će nestati pod dejstvom sinusnog opterećenja. Kao rezultat, sistem će oscilovati frekvencom prinudne sile, bez obzira na početne uslove i sopstvenu frekvencu sistema. Tako dobijeno kretanje naziva se ustaljenim oscilacijama ili odgovor sistema.

Dinamička ravnoteža: sin

Diferencijalna jednačina: 2 sin 2

Partikularno rešenje se usvaja tako da bude sinhrono poremećajnoj sili, a pomoću faznog ugla φ određuje se kašnjenje odgovora sistema na dejstvo poremećajne sile. Deo kretanja opisan opštim integralom homogene diferencijalne jednačine brzo se amortizuje već posle nekoliko ciklusa oscilacija, pa tako preostaje samo ustaljeno harmonijsko kretanje definisano partikularnim rešenjem.

Slika 2.11 − Prigušen sistem sa prinudnom silom

Elongacija: sin sin

Amplituda:

Fazni ugao: tan

Dinamički faktor (magnification factor) – Odnos dinamičkog i statičkog pomeranja usled dinamičke poremećajne sile.

1

1 4

Rezonancija (resonance) – Poklapanje sopstvene i prinudne frekvence, pri kojem amplitude progresivno rastu i ograničene su samo veličinom prigušenja.

Slika 2.12 − Dinamički factor


Primer 2.2

Zanemarujući masu grede prema masi motora, odrediti dinamički faktor i najveći ugib ispod motora, koji deluje na gredu silom sin .

Podaci: 40 ; 15 ; 250 ; 0.03; 9450

Rešenje:

48548

2.604 , 402.6049450

0.01102 1.102

,

9811.102

29.836 250260

26.180 26.18029.836

0.877

1

1 4

1

1 0.877 4 ∙ 0.03 ∙ 0.8774.223

, , 1.102 4.223 ∙ 152.6049450

100 2.848

2.4 Pomeranje oslonaca Pretpostavlja se da je pomeranje oslonaca definisano harmonijskim kretanjem, , sin .

Slika 2.16 − Dinamičko pomeranje oslonaca


Smena promenljivih:

, sin

Analogija sa prinudnom harmonijskom silom: ~ 2,

Rešenje: sin

Amplituda: ,

Fazni ugao: tan


2.5 Naglo opterećenje Naglo opterećenje (step force) – U jednom trenutku vremena opterećenje dobija ukupni intenzitet. Može se predstaviti pomoću Hevisajdove funkcije .

Slika 2.17 − Naglo opterećenje i Hevisajdova funkcija

Heaviside-ova funkcija (step function) – Funkcija pomoću koje se može prikazati naglo opterećenje, u obliku , gde je:

0.0 0.01.0 0.0

Neprigušene oscilacije, Homogeni početni uslovi

Dinamička ravnoteža:

Diferencijalna jednačina:

Rešenje: cos sin

Početni uslovi: 0 00 0

→ 0

Pomeranje: 1 cos

Dinamički faktor: 1 cos → 2.0

Neprigušene oscilacije, nehomogeni početni uslovi

cos sin

00

→ ⁄ → cos sin 1 cos

Primer 2.3 Nacrtati dijagram pomeranja usled datog naglog opterećenja. 0 1 cos

1 cos

1 cos

1 cos 1 cos2

∞ 1 cos

1 cos


21 cos 3 cos

2.6 Impulsno opterećenje Impulsno opterećenje (pulse force) – Kratkotrajno opterećenje velikog intenziteta koje ne menja smer dejstva i čija je brojna vrednost integrala po vremenu konačna veličina.

Slika 2.18 − Impulsno opterećenje

Impuls (impulse) – Vremenski integral sile.

⋯ vreme trajanje impulsnog opterećenja ⋯ forma impulsnog opterećenja

⋯ vremenski integral sile Dirac-ova (delta) funkcija – Funkcija kojom se predstavlja jedinični impuls.

0

1 0 ∞

0 ∞

Kratkotrajno impulsno opterećenje – Impulsno opterećenje za koje izazvani uticaji bitno ne zavise od vremena trajanja impulsnog opterećenja. Za kratkotrajni impuls važi da je 0.1⁄

Diferencijalna jednačina: 2 0

Rešenje: sin

Početni uslovi: 0 0

0→

α 0

Prigušene oscilacije: sin

Neprigušene oscilacije: sin

Funkcija g – Funkcija koja definiše odgovor sistema usled jediničnog impulsa.

sin prigušen sistem

sin neprigušen sistem


Primer 2.5 Nacrtati dijagram pomeranja za zadato opterećenje.

0 sin

sin

sin 2

2sin sin

2sin

∞ sin 2

sin 4

2sin sin

2sin

2.7 Dejstvo proizvoljno promenljive sile Ako se razmatra linearno ponašanje sistema moguće je primeniti princip superpozicije opterećenja. Poznavajući reagovanje sistema usled jediničnog impulsa:

jednačina kretanja sistema usled proizvoljno promenljive sile dobija se sabiranjem dejstava svih impulsa kojima je aproksimirana ta sila:

Slika 2.19 −Dejstvo proizvoljnog dinamičkog opeterećenja

Ovaj integral se naziva integral konvolucije ili integral superpozicije ili Duhamel-ov integral. Nehomogeni početni uslovi

Ako početni uslovi nisu homogeni, već 0 i 0 :

cos sin1

sin


ili ako se uzme u obzir i prigušenje sistema:

cos sin1

sin

Princip superpozicije

Kod linearnih diferencijalnih jednačina kretanja postoji jedinstvenost rešenja, što ima za posledicu mogućnost primene principa superpozicije uticaja. Tako pri traženju rešenja pri dejstvu proizvoljne poremećajne sile, moguće je primeniti integral superpozicije dejstava jedničnih impulsa. Takođe veličine masa , prigušenje i krutost koje se nalaze u diferencijalnoj jednačini kretanja tretirane su kao konstante, pa se kretanje može opisati običnim diferencijalnim jednačinama drugog reda sa konstantnim koeficijentima.

Kod zadataka gde se zahteva veće iskorištenje napona u materijalu, kao i kad se ispituje sigurnost pri lomu, ne može se usvojiti pretpostavka materijalne linearnosti sistema. 2.8 Spektri odgovora Za dimenzionisanje konstrukcije potrebne su ekstremne vrednosti odgovora konstrukcije na dejstvo dinamičkog opterećenja, a ne celokupan vremenski tok odgovora konstrukcije. Zato se formiraju dijagrami, spektri odgo-vora, iz kojih je moguće jednostavno očitati maksimalne vrednosti odgovora sistema usled dinamičkog opte-rećenja.

Spektri odgovora su funkcije sopstvenih frekvenca i prigušenja.

Slika 2.20 − Spektar odgovora

Spektar odgovora (response spectra) – Dijagram koji određuje ekstremne vrednosti odgovora sistema sa jednim stepenom slobode u zavisnosti od dinamičkih karakteristika sistema, za određeno dinamičko opterećenje.

Na apcisu dijagrama nanosi se frekvenca ili period oscilovanja konstrukcije, a na ordinatu odgovarajuće maksimalne vrednosti odgovora konstrukcije (pomeranje, brzina, ubrzanje, presečna sila i sl.) uticaja za koji je određen taj dijagram. Ako se razmatraju različite vrednosti prigušenja dobijaju se familije krivih.

U spektrima odgovora nema podataka o tome u kojim trenucima vremena se javljaju maksimalne vrednosti odgovora, što stvara poteškoće kad je pri dimenzionisanju potrebno definisati i ostale veličine koje odgovaraju maksimalnoj vrednosti odgovora (Na primer: ∗ , ∗ ).

Nedostatak je što se spektri odgovora odnose samo na sistem sa jednim stepenom slobode. Spektri odgovora pri pomeranju oslonaca

Ako je zadato ubrzanje oslonaca, a , , relativno pomeranje, relativna brzina i relativno ubrzanje, diferencijalna jednačina kretanja za prigušen sistem je:

2

A rešenje za pomeranje se može izraziti preko Duhamel-ovog integrala:


Slika 2.21 − Pomeranje oslonaca

1 sin

1

– vrednost Duhamel-ovog integral

Diferenciranjem izraza za pomeranje dobija se izraz za brzinu:

cos

S obzirom na vezu apsolutnog i relativnog pomeranja

,

apsolutno ubrzanje sistema određuje se prema izrazu:

2

Spektri odgovora predstavljaju maksimalne vrednosti odgovora:

| | – spektar relativnih pomeranja | | – spektar relativnih brzina | | – spektar apsolutnih ubrzanja

U zemljotresnom inženjerstvu obično se definišu i spektri:

– spektar pseudobrzina

– spektar pseudoubrzanja

Kod fleksibilnih konstrukcija sa velikim periodima oscilovanja postoji značajna razlika između relativnih brzina i pseudobrzina. Kod takvih konstrukcija, masa skoro miruje, vrednosti spektra relativnih pomeranja približno su jednaka maksimalnom pomeranju oslonaca, dok su vrednosti spektra apsolutnih ubrzanja veoma blizu nule, a vrednosti spektra pseudobrzina približavaju se nuli → 0 .

Spektri pseudobrzine i pseudoubrzanja imaju praktičan značaj, jer su proporcionalni maksimalnoj potencijalnoj energiji i maksimalnoj unutrašnjoj sili u elastičnoj konstrukciji.

Maksimalna potencijalna energija je:

12

| |12

12

12

Maksimalna unutrašnja sila je:

| | | |

Unutrašnje sile se koriste kao ekvivalentno statičko seizmičko opterećenje statičkog modela konstrukcije, s obzirom da su pomeranja usled ekvivalentnih seizmičkih sila jednaka maksimalnim pomeranjima koja su određena dinamičkom analizom.

Primer 2.6

Za slučaj sinusoidalnog pomeranja tla:

sin 3 20.8

odrediti spekar pseudoubrzanja , za sistem sa jednim stepenom slobode, koji ima relativno prigušenje 5% i period oscilovanja sistema 1.1 .


Rešenje:

Slučaj sinusoidalnog pomeranja tla je definisan diferencijalnom jednačinom:

sin odakle se vidi da je to analogan problem optrerećenja harmonijskom silom, pri čemu je:

~

Maksimalno pomeranje sistema odrediće se preko dinamičkog faktora, pa je potrebno izračunati koeficijent :

2 21.1

→ 2 0.8⁄

2 1.1⁄1.375

1.375 ∙ 0.03 0.05672

| | ∙1

1 4

1

1 1.375 4 ∙ 0.05 1.3750.05672

1.10966 ∙ 0.05672 0.06294 6.294

Na osnovu maksimalnog pomeranja određuje se i pseudoubrzanje:

21.1

6.294 205.353

Može se odrediti i spektar pseudoubrzanja:

Pitanja

1. Sistem sa jednim stepenom slobode a. Primeri sistema sa jednim stepenom slobode

2. Diferencijalna jednačina kretanja neprigušenog sistema sa jednim stepenom slobode a. Rešenje jednačine b. Nacrtati odgovor sistema slobodnih neprigušenih oscilacija

3. Šta je elongacija? 4. Šta je amplituda oscilovanja? 5. Šta je restituciona sila? 6. Šta je fazni ugao? 7. Šta je kružna frekvenca oscilovanja (neprigušene i prigušene oscilacije)? 8. Šta je sopstvena frekvenca oscilovanja (neprigušene i prigušene oscilacije)? 9. Šta je sopstveni period oscilovanja (neprigušene i prigušene oscilacije)?

10. Šta je tehnička frekvencija oscilovanja? 11. Koje su osnovne dinamičke karakteristike sistema? 12. Koje veličine definišu dinamičke karakteristike sistema? 13. Pojam krutosti dinamičkog sistema sa jednim stepenom slobode


14. Prosto harmonijsko kretanje 15. Za šta se koristi Fourier-ova transformacija u dinamici konstrukcija? 16. Princip superpozicije u dinamici konstrukcija 17. Diferencijalna jednačina kretanja prigušenog sistema sa jednim stepenom slobode

a. Rešenje diferencijalne jednačine b. Objasniti sve oznake u jednačini i rešenju jednačine c. Nacrtati odgovor sistema slobodnih prigušenih oscilacija

18. Kojim sve veličinama je predstavljeno prigušenje sistema? 19. Viskozno prigušenje

a. Zašto je usvojeno viskozno prigušenje za opisivanje prigušenja građevinskih konstrukcija? b. Da li viskozno prigušenje karakteristično za prigušenje građevinskih konstrukcija?

20. Relativno prigušenje a. Opseg vrednosti relativnog prigušenja b. Koja vrednost relativnog prigušenja se koristi za standardne građevinske konstrukcije? c. Od kojih parametara zavisi veličina relativnog prigušenja? d. Gde se ostvaruje najveće prigušenje u građevinskim konstrukcijama?

21. Odgovor sistema sa jednim stepenom slobode usled harmonijskog opterećenja a. Analitički izraz b. Grafički prikaz

22. Dinamički faktor a. Dijagram dinamičkog faktora b. Dinamički faktor je funkcija kojih veličina? c. Kolika je vrednost dinamičkog faktora pri rezonanciji i relativnom prigušenju od 5%? d. Primena dinamičkog faktora

23. Rezonancija a. Šta znači amplitude progresivno rastu? b. Šta znači amplitude su pri rezonanciji ograničene veličinom prigušenja?

24. Naglo opterećenje a. Odgovor sistema usled naglog opterećenja (grafički i analitički)

25. Hevisajdova funkcija a. Šta predstavlja Hevisajdova funkcija

26. Impulsno opterećenje a. Impuls b. Odgovor sistema usled impulsnog opterećenja (grafički i analitički) c. Kratkotrajni impuls d. Šta predstavlja funkcija g?

27. Dirac-ova (delta) funkcija a. Šta predstavlja Dirac-ova (delta) funkcija

28. Spektar odgovora a. Postupak određivanja spektra odgovora b. Prednosti i nedostaci primene spektra odgovora c. Da li se koristi spektar odgovora na sisteme sa više stepeni slobode? d. Kako se koristiti spektar odgovora za sisteme sa više stepeni slobode? e. Koji spektri odgovora se koriste u seizmičkoj analizi?

29. Šta je pseudoubrzanje? a. Kako se primenjuje veličina pseudoubrzanja? b. Kako se određuje spektar pseudoubrzanja?

30. Duhamel-ov integral a. Metode rešavanja Duhamel-ovog integrala b. Kada se primenjuje numerički postupak rešavanja Duhamel-ovog integrala? c. Koji su uslovi za primenu Duhamel-ovog integrala?


Literatura 1. Ćorić B. i Salatić R., Dinamika građevinskih konstrukcija, Građevinska knjiga, Beograd 2010. 2. Timoshenko S. and Young D.H., Teorija osilacija, Građevinska knjiga, Beograd 1966. 3. Brčić S., Dinamika diskretnih sistema, Studentski kulturni centar, Beograd 1998.

149736749-tk2-uvod-sdof

Documents