MPSI - Mecanique II - Changements de referentiel

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Changements de referentiel

Peut-etre considere comme solide, tout syst`eme dont les distances mutuelles deselements restent invariables au cours du temps.

Table des mati`eres1 Referentiel1.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

111

2 Vecteur rotation2.1 Derivee dun vecteur par rapport au temps . .2.2 Cas particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.2.1 Translation . . . . . . . . . . . . . . . .2.2.2 Rotation uniforme autour dun axe fixe2.3 Composition des vecteurs rotation . . . . . . .

.....

112222

.....

333444

3 Composition des vitesses et des accelerations3.1 Vitesse dentranement . . . . . . . . . . . . . .3.2 Accelerations dentranement et de Coriolis . .3.3 Cas particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.3.1 Translation . . . . . . . . . . . . . . . .3.3.2 Rotation uniforme autour dun axe fixe

11.1

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.....

Le solide de reference est immobile pour lobservateur comme si lobservateur faisait partie du solide.Lorigine et les vecteurs de base restent donc immobiles dans la description dumouvement, independants du temps.

1.2

Exemple

Pour un observateur immobile sur le quai, le solide de reference est le quai, notonsle referentiel correspondant R1 .Pour un observateur immobile dans un train, le solide de reference est le train,notons le referentiel correspondant R2 .Quelle est la vitesse dun passager (repere par M) qui se deplace dans le train ?La reponse sera differente selon lobservateur.

Dans un probl`eme o`u interviennent plusieurs referentiels, il faudra toujours preciser par rapport `a quel referentiel on travaille.

ReferentielDefinitions

La description dun mouvement est relative : elle depend de celui qui observe lemouvement.Pour decrire un mouvement, il faut donc preciser lobservateur ou encorele referentiel.

Un referentiel est lensemble dun rep`ere (spatial) lie `a un solide de reference etdune chronologie dans ce rep`ere.Damien DECOUT - Derni`ere modification : fevrier 2007

d O1 Mest la vitesse du passager par rapport au quai.v(M )R1 =dt

R1d O2 Mv(M )R2 =est la vitesse du passager par rapport au train.dtR2Quand on derive par rapport `a R1 , O1 et les vecteurs de la base de R1 sontconsideres comme independants du temps puisque immobiles par rapport `a R1par definition.Quand on derive par rapport `a R2 , O2 et les vecteurs de la base de R2 sontconsideres comme independants du temps puisque immobiles par rapport `a R2par definition.

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2

Vecteur rotation

Soit R1 un referentiel de base (ex1 ,ey1 ,ez1 ) et R2 un referentiel de base(ex2 ,ey2 ,ez2 ) en mouvement quelconque par rapport `a R1 .

2.1

page 2/4Finalement, trois param`etres p, q, r suffisent `a caracteriser le mouvementde R2 par rapport `a R1 ; ces trois param`etres definissent le vecteur rotation : R2 /R1 = p ex2 + q ey2 + r ez2

d ex 2= r ey 2 q ez 2 = ex 2dt R1

d ey 2= r ex2 + p ez2 = ey2dt R1

d ez 2= q ex 2 p ey 2 = ez 2dt R1

Derivee dun vecteur par rapport au temps

Soit A(t) un vecteur quelconque.Exprimons A(t) dans la base de R2 et derivons par rapport `a R1 :A(t) = Ax2 ex2 + Ay2 ey2 + Az2 ez2

dAdt

= A x2 ex2 + A y2 ey2 + A z2 ez2 + Ax2 e x2 + Ay2 e y2 + Az2 e z2R1

dAdt

=R1

dAdt

FinalementR2

Exprimons les vecteurs e x2 , e y2 , e z2 , qui caracterisent le mouvement de R2 parrapport `a R1 , dans la base de R2 :

d ex 2= a11 ex2 + a12 ey2 + a13 ez2dt R1

d ey 2dt

d ez 2dt

+ Ax2 e x2 + Ay2 e y2 + Az2 e z2

= a21 ex2 + a22 ey2 + a23 ez2R1

= a31 ex2 + a32 ey2 + a33 ez2R1

2.22.2.1

ex2 .ey2 = 0

dey2dex2. ey 2 + ex 2 .= 0 a12 + a21 = 0 a12 = a21 = rdtdt

de meme a23 = a32 = p et a31 = a13 = q

Damien DECOUT - Derni`ere modification : fevrier 2007

=R1

dAdt

+ R2 /R1 AR2

Cas particuliersTranslation

dex2= 0 a11 = 0dt

de meme a22 = a33 = 0

Si R2 est en translation par rapport `a R1 , les axes de R2 gardent une directionfixe par rapport `a ceux de R1

d ey 2d ez 2d ex 2=== 0 p = q = r = 0 R2 /R1 = 0dt R1dt R1dt R1

La base etant orthonormee :e2x2 = kex2 k2 = 1 2 ex2 .

dAdt

2.2.2

dAdt

=R1

dAdt

=R2

dAdt

Rotation uniforme autour dun axe fixe

Si R2 est en rotation uniforme `a la vitesse angulaire autour dun axe fixe deR1 par exemple ez1 = ez2 = ez

d ex 2= ey 2dt R1

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d ey 2dt

R1

= ezDans le cas dune rotation uniforme autour dun axe fixe, le vecteur rotation estporte par laxe et a pour norme la vitesse angulaire.

Composition des vecteurs rotation

Soient R1 , R2 et R3

dAdAdA=+ R2 /R1 A =+ R3 /R2 A + R2 /R1 Adt R1dt R2dt R3=

remarque :

dAdt

R2

dAdt

3.1

avec ve appele vitesse dentranement :ve = v(O2 )R1 + R2 /R1 O2 MPour calculer ve on peut aussi immobiliser M dans R2 en notant M laposition correspondante :v(M )R1 = v(M )R2 + ve = veLa vitesse dentranement peut aussi se calculer comme la vitesse par rapport`a R1 de M appele point concident.

3.2

Accelerations dentranement et de Coriolis

+ ( R3 /R2 + R2 /R1 ) A

R3 /R1 = R3 /R2 + R2 /R1

dA= R2 /R1 Adt R1

Composition des vitesses et des accelerations

=

d O1 Md O1 O2d O2 Mv(M )R1 ==+dtdtdtR1R1R1

d O1 O2d O2 M=++ R2 /R1 O2 MdtdtR1R2= v(O2 )R1 + v(M )R2 + R2 /R1 O2 MDamien DECOUT - Derni`ere modification : fevrier 2007

d v(O2 )R1dt

R1

Calculons les trois termes separement

d v(O2 )R1= a(O2 )R1dtR1

d v(M )R2d v(M )R2=+ R2 /R1 v(M )R2dtdtR1R2= a(M )R2 + R2 /R1 v(M )R2

Vitesse dentranement

d v(M )R1dtR1

d v(M )R2d++ R2 /R1 O2 M R1dtdtR1

a(M )R1 =

R3

R1 /R2 = R2 /R1

3

v(M )R1 = v(M )R2 + ve

= ex2

ce qui implique r = et p = q = 0

2.3

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d R2 /R1d O2 Md O2 M + R2 /R1 O2 M R =1dt R2 /R1dtdtR1"#

d R2 /R1d O2 M= O2 M + R2 /R1 + R2 /R1 O2 MdtdtR2=

d R2 /R1 O2 M + R2 /R1 v(M )R2 + R2 /R1 O2 Mdt

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En rassemblant les resultats

3.3.2

a(M )R1 = a(M )R2 + a(O2 )R1 +

d R2 /R1 O2 M + R2 /R1 ( R2 /R1 O2 M)dt

Rotation uniforme autour dun axe fixe

Si R2 est en rotation uniforme `a la vitesse angulaire autour dun axe fixe deR1 par exemple ez1 = ez2 = ez (O1 = O2 = O) = ez

+2 R2 /R1 v(M )R2OM = OH + HM = r er + z ezLacceleration dentranement est definie comme lacceleration par rapport`a R1 du point concident M .a(M )R1 = 0 + a(O2 )R1

d R2 /R1 O2 M+dt

+ R2 /R1 ( R2 /R1 O2 M) + 0 = aeae = a(O2 )R1 +

d R2 /R1 O2 M + R2 /R1 ( R2 /R1 O2 M)dt

Lacceleration par rapport `a R1 est donc egale `a lacceleration par rapport `a R2+ lacceleration dentranement + un troisi`eme terme appele acceleration deCoriolis :a(M )R1 = a(M )R2 + ae + acac = 2 R2 /R1 v(M )R2

3.33.3.1

Cas particuliersTranslation

Si R2 est en translation par rapport `a R1 , les axes de R2 gardent une directionfixe par rapport `a ceux de R1 et : R2 /R1 = 0ve = v(O2 )R1

ae = a(O2 )R1

Damien DECOUT - Derni`ere modification : fevrier 2007

ac = 0

ve = R2 /R1 OM = ez (r er + z ez ) = r eae = R2 /R1 ( R2 /R1 OM) = ez ( ez (r er + z ez )) = r 2 erResultats que lon retrouve facilement en utilisant le point concident.