150908 math004 関数その2

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© 株式会社エレファンキューブ 2015/09/08 三浦学 関数 - その2- 数学 04

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2015/09/08 三浦学

関数 - その2-数学 04

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目次

1. 座標

2. 三平方の定理

3. 関数

4. 微分・積分

5. ベクトル

6. 行列

7. 論理

2

座標、対象移動、平行移動、回転移動

定理の基本、座標系への応用

関数、逆関数、三角関数、(指数・対数)

微積分の基礎、物理演算

ベクトルの基礎、座標計算、内積

2×2行列、逆行列、回転、(クォータニオン)

逆・裏・対偶

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3.6.1 三角関数とは

• 幾何的には直角三角形を用いて次のように定義される(三角比)

sin 𝜃 =𝑏

𝑎

cos 𝜃 =𝑐

𝑎

tan 𝜃 =𝑏

𝑐

3

θ

ab

c

直角三角形はθが鋭角(90°未満)しか定義されないが、

三角関数ではこれを一般角に範囲を広げて次ページ以降のように定義される。

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3.6.2 単位円

• 単位円とはxy平面上の原点を中心とし、半径が1の円のこと

4

x

y第1象限第2象限

第4象限第3象限

1

1

-1

-1

O

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3.6.3 単位円周上の点を三角関数で表す

• 三角関数と単位円周上の任意*1の点の関係

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*1 「任意」とは「どれか(some)」という意味ではなく、「どれでも(any)」という意味

つまり特定の値を指すのではなく、どの値でも成り立つことを指す

x

y

θ 1

1

-1

-1

r=1(x0,y0)

sin 𝜃 = ?

cos 𝜃 = ?

tan 𝜃 = ?

Q1.任意のθに対する三角関数の値を表してみよう

Q2.それぞれの取りうる値の範囲を求めてみよう

O

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3.6.4 三角関数は単振動

• θをうごかした時の三角関数の変化イメージを確認しよう!

→コンテンツで確認

6

x

y

θ 1

1

-1

-1

O

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3.6.5 弧度法(ラジアン)

• 角度はプログラム上のいくつかのメソッドでは、

度(° degree)ではなくラジアン(radian)が用いられる

7

x

y

θ 1

1

-1

-1

ラジアンは単位円の円周の長さに

角度を置き換えたもの

90° → 𝜋

2、180° → 𝜋 、270° →

3𝜋

2、360° → 2𝜋

O

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3.6.6 三角関数の公式は覚えなくていい

• 三角関数はたくさんの公式があるが、覚える必要はありません

どうしても知りたければこちらをどうぞ(出展:ウィキペディア)https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%89%E8%A7%92%E9%96%A2%E6%95%B0%E3%81%AE%E5%85%AC%E5%BC%8F%E3%81%AE%E4%B8%80%E8%A6%A7

ただし、下記は覚えて(理解して)おいたほうが良い

8

sin2 𝜃 + cos2 𝜃 = 1

tan 𝜃 =sin 𝜃

cos 𝜃

これらの式の意味は、sin, cos, tan のうちどれ

か1つでも値が分かれば、他の2つの値が分か

るということ

証明してみよう

定義:説明してみよう

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蛇足: 定義と定理

• 定義とは「決めたこと」

例:長方形の面積は縦×横、円周の長さは円周率×直径(2𝜋𝑟)

• 定理とは「証明されたこと」

例:三角形の面積は底辺×高さ÷2、円の面積は円周率×円周率×半径(𝜋𝑟2)

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3.6.7 逆三角関数

• 逆関数は前回資料参照

• 逆三角関数は以下のようなものがある

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arcsin 𝑥

arccos 𝑥

arctan 𝑥

(かっこ内)はas3.0の対応メソッド

←sinの逆関数

←cosの逆関数

←tanの逆関数

(Math.asin(x))

(Math.acos(x))

(Math.atan(x))

入力できる値の範囲には注意!!

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3.6.8 三角関数の図形への応用(その1)

• 余弦定理

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𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2bc cos 𝛼 ・・・①

𝑏2 = 𝑐2 + 𝑎2 − 2ca cos 𝛽 ・・・②

𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2ab cos 𝛾 ・・・③

cos 𝛼 =𝑏2 + 𝑐2 − 𝑎2

2𝑏𝑐

例えば①をcosについて解くと

3辺の長さが分かっている三角形の角度を求められる

ただし、逆関数(arccos)使うよ

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3.6.9 三角関数の図形への応用(その2)

• 三角形の面積S

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S =1

2ab sin 𝛾 ・・・①

S =1

2bc sin 𝛼 ・・・②

S =1

2ca sin 𝛽 ・・・③