1569 ilmu gaya bangunan bangunan statis tak tentu

343
:- ffiffimffi* li IAAN l^-' ,,. : ENhICUNA.},I.-IiAI{GUN,-.N STAFr$ TAi(- TENT , - t\

Upload: rifkyeko

Post on 08-Jan-2016

675 views

Category:

Documents


9 download

DESCRIPTION

...

TRANSCRIPT

  • :-

    ffiffimffi*liIAAN

    l^-',,.: ENhICUNA.},I.-IiAI{GUN,-.N STAFr$ TAi(- TENT ,

    - t\

  • ( l)

    (^')

    I,IlI,ANGGARAN TERHADAP UNDANG.UNDANGHAK CIPTA

    Pasal 44llrrr:rrgsiapa dengan sengaja dan tanpa hak mengurnurnkan ataurrrr'rrpcrbanyak suatu ciptaan atau memberi izin untuk itu, diprrllna dengan pidana penjara paling lama 7 (tujuh) tahun dan/rrlurr denda paling banyak Rp 100.000.000, (serat-us juta ru-lr rl lr ).ll:rrangsiapa dengan sengaja menyiarkan; memamerkan, meng-t'rllrrkan, atau menjual kepada umum suatu ciptaan atau baranglrrrsil pelanggaran Hak Cipta sebagaimana dinraksud dalam ayat( I ), dipidana dengan pidana penjara paling larna 5 (lima) tahunrlan/atau denda paling banyak Rp 50.000.000, (lirna puluhjrrta rupiah).

    ,r,: ,ri.

    ",, J'l

    &{.,

    ILMUGMBANOUIIAII . BA]'IEUNAII STATIS

    TAK TERTEilIU

    olehProf. ln Soemono

    OURU.BESAR PADA

    IilSIITUI lEtfi0t 00t BAIrtDUil0

    PENERBIT DJAMBATAN

  • ffir.t"-kerr DrctrD

    Copyrighr (a pada DjanbatanAnggota IKAPI

    Cetakan peflanta 1953Cetakan kedua 196-lCetttkan ketiga l97 l

    Cetakan keempat 1980Cetakan kelima 1982Cetakan keenam 1985Cetakan ketujuh 199-)

    DAFTAR ISI

    KA'I'A PEMBUKAI,IINGANTAR

    l{ouAtIAN t}t..N't'UK A',t AU I)t,trOt{MASt$ 1. Robalran-bangurr atuLr clcfirrrrrasi tcrtliriilari; $ 2. Robahan-panjallg rrrcntbLrjrrr: $ 3. Itobahanfanjang nlclintang; $ 4. perlu-asani $ 5. llatang dengan luas-tampang tak tetap; $ 6. Kekuatarrnornral tak tetap: $ 7. Putaran-sudut; $ 8. Geseran; $ 9. Kekuat-an+nclintang dan tegangan-geser; $ 10. Torsi atau pilin.(;ARIS LtINTUR$ l. Radius-perbengkokan, $ 2. Ilubungan dengan momen; $ 3.Balok terjepit sebelah; $ 4. Tafsiran secara geom6tri; $ 5. Balokdi atas dua perletakan, $ 5a. Bidang-rnomen (bidang M*) sebagaimuatan; $ 6. Balok dirnuati penuh terbagi rata; $ 7.-Beberaparnuatan tcrpusat; $ 8. Muatan terbagi; $ 9. Momen tetap; $ 10.Balok dengan I tak tetap; $ 1 l. Secara garfis.

    C. PI,]RA LI[IAN TITIK.IIUBUNGAN PADA VAKWI]RK CARAWILLIOT$ 1. Uraian; $ 2. Diagrarn Williot; $ 3. Vakwerk di atas duaperletakan.

    D. PI.,KI.]RJAAN DI.] IIORMASI$ t. RoUahan-panjang; $ 2. Putaran sudut; $ 3. Geseran; $ 4.Torsi; $ 5. Resume; $ 6. Pekerjaan delorrnasi luar.

    BAB I: ARTI STATIS TAKTERTENTU$ 1. Pengantar; $ 2. Pembagian; $ 3. Bangunan-bangunan yangbekerja bersama-sama; $ 4. Statis tak tertentu.luar; $ 5. Statistak tertentu-dalam; $ 6. Perbandingan antara statis tak tertentuluar dan dalam; $ 7. Kombinasi; $ 8. Cara menghitung.

    BAB II: PERSAMAAN DEFORMASIA. FAKTOR PENGARUH.LUAR

    $ t. arti faktor pengaruh-luar; $ 2. Hukum Maxwell; $ 3. perluas-an hukum Maxwell; $ 4. Hukurn Castigliano; $ 5. Beberapa con-

    XIII

    l5

    G

    MILIPBRPUST{K4{N Kr-}4ERAH

    {!1ia35

    40

    I{

    I-{

    ILl ..*- Nornsl

    Xao6A,att8V.3a! ,frl) t '71

    t'*?/u*'lt

    ISBN 979 428 201 4

    Dicetak pada PercetakanSaPdodadi

    45

    54

    54

    o

    o,tl& I

    AN 1etl9"

  • viltoh; $ 6. Pu dan P6 bekerjanya tak vertikal; $ T.Penggunaan;$ 8. Kesalahan di dalam konstruksi; $ 9. Garis+lastis sebagaigaris-pengarutr; $ 10. Garisclastis pada bangunan statis tak ter-tentu berlipat dua.

    B. ITAKTOR PENGARUH-DALAM$ tt. Pengertian; $ 12. Penggunaan pada statis tak tertentutunggal; $ 13. Beberapa contoh; $ t+- Statis tak tertentu bergan-da dua; $ tS. Salan penyelenggaraan (salah stellan); $ 16. Akibatderajat-panas; $ 17. Contoh.

    BAB III: HUKUM PEKERJAAN DEFORMASI MINIMUM$ l. Statis tak tertentu tunggal; $ 2. Mempergunakan dalil ih"nupasti; $ 3. Defonnasi yang terpenting; $ 4.Penggunaan.

    BAB IV: BALOK TERUSAN DI ATAS BEBERAPA TITIK PER.LETAKAN

    A. PUTARAN SUDUT UJUNG BALOK$ t. natot< di atas dua titik-perletakan; $ 2. Mornen peralihan;$ 3. Persanraan tiga momen: $ 4. Hitungan; $ 5. Akibat derajat-panas; $ 6. Salah stellan; $ 7. Penggunaan faktor pengaruh dalanr,

  • IXVIII

    C. PORTAL DI]NGAN DUA SENDI$ 27. Portal lurus simetris; $ 2E.Menggunakan hukum Maxwell;$ 28a. Portal tigasendi sebagai susunan dasar; $ 29. Portal buntu;$ 30. Portal segi-tiga simetris; $ 31. Portal simetris dengan kakiserong; $ 31a. Menggunakan hukum Maxwell; $ 31b. Alasan sime-td; $ 32. Portal dengan tihang-tihang rangkap; $ 33. Portal denganbalok tarik; $ 37. Garis penghubung AB serong.

    D. PELENGKUNG TI,RJEPIT . . .$ :8. Denganfaktor-faktorpengaruhluar; $ 39. Secara langsung;$ 40. Dengan hukum Castigliano; $ 41. Dengan faktor-faktor pe-ngaruh clalarn; $ 42. Penyederhanaan; $ 43. Menentukan letak O;$ 44. Akibat panas; $ 45. Salah kedudukan; $ 46. Garis-garispengaruh H, V dan M; $ +7. Cara grafis; $ 48. Pandangan lebihlanjut; $ 49. Secara mengadakan potongan di puncak; $ 50. Ga-ris-garis pengaruh gaya-tampang, M*, N* dan Q*; $ 51. Sumbu-pelengkung dan garis-tekan rnuatan tetap; $ 52. Cara grafis; $ 53.Pelengkung lingkaran (bulat) simetris dengan EI tetap; $ 54.Pelengkung parabol simetris; $ 55. Potongan di pangkal A; $ 56.Pelengkung simetris menurut rumus; $ 57. Pengaruh bentukpelengkung atas H, V dan M; $ 58. Hukum pekerjaan minimurn;$ 59. Garis tekan dan poligon bathng; $ 59a. Tinjauan akibatbengkoknya sumbu; $ 60. Garis S; $ 61. Pelengkung tak sirletris.

    Ir. PORTAL TIIRJI'IPIT$ 62. Portal tegak sirnetris; $ 63. Portal-buntung; $ 64. Busursegi-tiga sirnetris tegak; $ 65. Portal serong simetris; $ 66. Portaldengan konsol; $ 67. Portal dengan balok; $ 68. Beban tidaklangsung; $ 69. Portal tak simetris; $ 69a. Beberapa contoh.

    $ 70. Gelangan lingkaran; $ 71. Gelangan dengan dua pasangangaya radial; $ 72. Dua beban P tidak diametral; $ 73. Pipa berisicairan penuh; $ 73a. Robahan suku pada cairan di dalam pipa;$ 74. Sengkang persegi ABCD; $ 75. Sengkang ABCE di atas dua;$ 76. Belahan lingkaran dengan tali-busurnya; $ 76a. Bangunanseperti di atas terbalik;

    G. BANGUNAN.BANGUNAN LAINNYA$ 77. Balkon lingkaran; $ 77a. Perjalanan-perjalanan lain; $ 78.Tekanan angin di atas busur; $ 79. Kubah dengan bidang rotasi;$ 80. Kubah bola.

    257

    294

    342

    BAB VII: CARA CROSSA. P}.]N(iAN'fAI{

    I l. Penrbagian (distribusi) momen; $ 2. Penggunaan; $ 2a. Con-toh dcngan tihang serong; $ 3. Dasar cara C-'ross; $ 4. Menghitungm()nlcn ujung primar, M[r:

    t},'I.I1'IK.[IUI}UNGAN TAK BIiRGIISI.]R.. 405$ 5. Dua titikJrubungan; $ 6. Contoh dengan dua titik-hubungan;$ 7. Portal tiga kaki; $ 8. Cara dengan persamaan tiga-momen;$ c). Kejadian sirnetris.

    (', OISIjRAN'I'IJNGGAL 415$ 10. Momen-momcn ujung akibat goyallgan; $ 11. Contoh, poltaldua kaki; $ t t a. Dengan persamaan-persamaan putaran-sudut;$ 12. Beban mendatar P nrclalui kepala tihang; $ l3.Ba1ok di arastiga tihang; $ 14. Muatan mendatar; $ laa. Khusus: P melaluikepala tihang (ke kanan); $ 15. Mornen-konsol; $ l5a. Dihitungsebagai pelengkung dua sendi; $ 16. Dengan persamaan putaransudut; $ 17. Portal dengan tiharrg serong; $ lS.Goyarrgan paclaportal simetris; $ 19. Geseran vertikal; $ l9a. Muatan ver.tikal P clititik 2; $ 10. Akibat turunnya (amblesnya) salah satu'tihang: $ 21.Tihang tepi turun: $ 22. tihang-antara turun; $ 21. Portal dengarrtihang-tihang serong; $ 24. Portal jepir simetris; $ 2-5 Portal duasendi.

    D. C;lf SIiRAN llI.lR(;ANl)A . . . 446$ 26. Tinjauan; $ 27. Bangunan portal dengan palang serorlg;$ 27a. Beban-beban berpusat r.nelalui titik hubungant $ :9. Olnl-tung sebagai peicngkung dua sendi; $ 20. Rangka-payon simetris;$ 29a. Cara lain; $ 29b. Dihitung scbagai pelcngkung terjepitl$ 30. Bangunan seperti di atas. tetapi A clan B scridi: $ 30a. Di"hitung sebagai pelcngkung dua sendi; $ 31. Portal bcrtingkat clua,simetris; $ 32. Bangunan dengan goyangan berganda tiga: $ -lJa.Dilitung sebagai pelengkung dua sendi.

    ti. BANGUNAN I)L,INGAN IIATANG Pl.tNAI{tK .. . 47(t$ 33. Bangunan simetris; $ 33a. Dihitung sebagai pelengkung teije-pit; $ -34. Bangunan tirlak simctris.

    I;. BANGUNAN VII]REND I.]I'I

    391

    4

    $ 35. Bangunan simetris berganda dua; $ 36.tidak simetris; $ 37. Bentuk rasuk vierendeellentur sebagai garis-per.rgaruh.

    Bangunan Vierendeelkhusus; $ 3tt. Garis-

    38048.1

  • \XI

    G. MOMTlN INIRSIA TIDAK TETAP$ 39. Faktor induksi.

    BAB VIII: BANGUNAN DENGAN GANTUNGAN DAN SOKONG.AN$ l. Balok bertulang; $ 2. Lanjutan, garis pengaruh H; $ 3. Balokdcngan sokongan; $ 4. Gantungan berakhir di antara titik-titik per-lctakan: $ S. Satatr pelaksanaan; $ 6. Balok dengan gantungan;$ 6a. l.anjutan, garis pengaruh H; $ T.Salah pelakanaan; $ 8.Pe-lcngkung sebagai sokongan; $ 8a. Contoh; $ 9. Balok di atas tigaperlctakan dengan gantungan; $ 10. Kombinasi gantungan dansokongan; $ I l. Gantungan rangkap; $ 12. Vakwerk tergantung;$ ll. Pelengkung dengan batang tarik tergantung; $ 14. Portalsendi/rol dcngan gantungan; $ 15. Portal dua sendi dengan gan-tungan S 16. Portal payon dua sendi dengan pendel bercabang;$ I 7. Pengaruh robahan derajat-panas.

    BAB IX: VAKWERK STATIS TAK TERTENTU .$ l. t.lrian; $ 2. Diagonal (rangkap); $ 3. LanjutangarispengaruhX: $ 31. Cara analisa; $ 4. Diagonal rangkap di scluruh bangunan;$ 5. Penahanan angin bawah dengan diagonal-diagonal rangkappada vakwerk; $ 6. Portal angin penghabisan dengan diagonalrangkap; $ 7. Segi enam teratur dengan semua diagonal-diagonal-nyr; $ i3. Rangka payon dengan batang tarik; $ 9. Vakwerk diatas tiga perletakan; $ 10. Dua kotakan dengan diagonal rangkap;$.11. Vakwerk dengan sokbngan; $ 12. Rasuk paralel dengangantungan bawah disertai diagonal rangkap; $ 13. Pelengkungvakwcrk dua sendi; $ 14. Contoh Sederhana; $ I 5. Portal vakwerkdua sendi: $ 16. Batang-tarik menukik tergantung; S l7.Peleng-kung vakwerk terjepit; $ 18. Clontoh portal-jepit tak simetris;$ 19. Vakwerk dengan n bcntang; $ 20. Sebagian batang-batangmenahan momen-lcntur.

    BAB X: BANGUNAN VIERENDEEL$ l. Pengertian; $ 2. Tihang-tihang dianggap kaki d tak terhingga;$ 3. Lanjutan; $ 4. Gaya-gayayarirg bekerja pada tihang; $ 5. Ga-ris-pengaruh: A, B dan V; $ 6.Bangunan simetris terhadap sumbu'sumbu mendatar dan vertikal; $ 7. Korreksi tentang kekakuantihang; $ 8. Korreksi terhadap garis-momen; $ 9. Contoh, bangun-an bcrupa parabol; $ 10. Rasuk paralel; $ 11. Perancah atau pilarparalel; $ 12. Portal terjepit; $ 13. Garis-garis pengaruh; $ 14. Ba-ngunan tak simetris.

    491 BNB XI: LANTAI DI BI]NGKOK MURNI 609$ l. Sudut scrong pada lantai melengkung; $ 2. Bengkokan padalantai rnelcngkung; $ 3. Menggunakan lingkaran-Mohr; $ 4. Hu-burrgan antara bengkokan dan tegangan; $ 5. Hubungan dengannronren. $ 6. Kejadian-kejadian khusus; $ Z. ltlUat derajat-panas;!i ll. I'ckcrjaan tertimbun di datam lantai terbengkok; $ 9. pem-batasan bcrlakunya rumus-rumus;

    llAlJ Xll: LANTAI-LINGKARAN DIBENGKOK SIMETRIS 626$ l. Persamaan dill'erensi; $ 2. Lantai dimuati rata dengan q(tlm2): $ 3. Lantai lingkaran dengan krbang sentris (di tengah-tengah); $ 4. Muatan bcrpusat konsentris; $ 5. Seperti cli atas,tctapi tepi di jepit; $ 6. Muatan terbagi rata cli dalam bidang kon-scntris; $ 7. Muatan tcrpusat; $ 8. Muatan terpusat di titik tengahlantai; $ 9. Korreksi pada therlri elementer.

    BAB Xlll: LANTAI DIMUATI 652!i l. Persarnaan dil'l'erensi lengkungan; $ 2. Sarat-sarat tepi; $ 3.Lantai perscgi cli atas empat sisi perletakan; $ 4. pcrbantlingandengan lengkung pada membrani $ 5. Beberapa contoh; $ 6. Lan-tai persegi panjang di atas dua perlctakan.

    !493

    541

    4

    586

  • KATA PEMBUKA(Ltakan pcrtanto.

    Alasan untuk menulis buku ini ialah oleh karena penulis pernah ntengajar"llmu Gaya" bagian "Statis tak tertentu" pada Fakultas Teknik'Cadjah Mada"di Y

  • PENGANTAR

    A. ROBATIAN BENTUK ATAU DEFORMASI

    l. Robahan-bangun atau deformasi terdiri dari , o

    a. Robahan-panjang, yaitu perpaniangan atau perpindakan. Ini disebabkanoleh gaya-atau kekuatan-normal (menarik atau menekan).

    b, hrtamn-sudut : serat-serat pada sesuatu penampang menderita robahan-panjang yang tidak sarru. I)ua tarnpang yang sernula sejajar terhadapsatu sama lain, tidak lagi begitu : mcreka berputar sudut terhadap satusama lain. Kejadian ini ditimbulkan oleh nutnrcn-lengkung atauJentur.

    c. ()eseron : dua tampang yang semula siku-siku terhadap satu sama lainletaknya, tidak begitu lagi. Ini disebabkan oleh lekuatan-nrclintang alo,ugaya-$eser.

    d. Torsi atau pilin : sesuatu tarnpang berputar mengelilingi sumbu yangberdiri tegak terhadapnya. Disebabkan aleh momen-torsi atau nlomen-pilin.

    Sebagai akibat dari robahan-bangun, tertimbullah tegangan-tegangan di dalambagian-bagian pada konstruksi atau bangunan.

    S 2. Robahan-panjang membujur.Batang dengan luas-tampang F' (cm2; dan panjang / (cm) ditarik sentris dengankekuatan sebesar f (kg). Ini berakibat, bahwa batang akan memanjang, yaitusebanyak AI ("m).

    Menurut hukum Hooke, maka perpanjangan A/ ini ter-dapat :a. bertanding lurus dengan panjangnya batang semula (/)b. bertanding lurus dengan besarnya kekuatan yiutg mena-

    rik (P).c. bertanding lawan dengan luas-tampang batang (F).d. tergantung kepada sifat bahan darirnana batang ini

    terjadi, sifat mana berhubungan dengan kekenyalanbahan tersebut dan yang terbilang dengan modulus-ke-kenyalan alau module of elasticit-v E.

    Jika kita menggunakan faktor tr ini, maka ayal d di atas boleh dirobah men-jadr : bertanding law,an dengan E.

    NGambar 1

  • PENGANTAR A $2/3

    Kemudian. hukum Hooke tadi dapat dibilatrgkan dengan rumus :

    ^t =J!-

    EF

    Oleh karena robahan-panjang itu bertanding lawan dengan E dan li, atau jugadengan lF, rnaka faktor Et' ini disebut :

    .faktor perlav-anan terhatlap robahan-par$ang.

    Oleh karena ly' dan / itu berdimensi ukuran panjang (cm, m, dsb.) sedang l,berdimensi kekuatan (kg,ton) dan F berdimensi luas (cm2, m2) maka

    PI[ - - =

    . berdimensi kg/crn2 dan El.' berdirnensi kekuatan atau kg.F.AISeringkali kita memerlukan robahan-panjang relutiJ' atau spesi.fik, yaitu perban-

    dingan antara robahan-panjang (1V) dan panjang-sernula (/), jadi laktor A/I

    yzurg biasanya tertulis tlengan hurul e ; dan jLrga rnemakai faktor { atautegangan yang lazimnya ditulis tlengan huruf o. FDengan begitu. rumus Hooke tadi nrenjadi

    ,:Il:fu,"uo:eEPerlu diingat, bahwa e itu besaran talc berdimensi, sebab lranya angka

    perbandingan saja sedang o menlpunyai dimensi kglcm2. Menurut rumus terakhirdi atas ini, juga boleh dimengerti bahwa li mempunyai dimensi seperti 6

    ,

    dan boleh dibaca juga bahwa tegartgtrt itu bertanding lurus clengan robahan-panjang relati.f (regangan ).

    I{ukurn di atas tadi juga berlaku jika P itu kekuatan menekan sentris, hanyasaja perpanjangan harus diganti dengan perpandakan. Biasanyao-menarik itudianggap positif dan o-menekarr, negatif. Dengan begitu nilai e pada perpanjangannrenjadi positif dan pada perpandakan, negatif.

    $ 3" Robahan-panjang melifltang.Batang tertarik sentris, selain dari pada memanjang ke arah kerjanya kekuat-an yang rnenarik, juga akan bersusut ke amh melintang (L arah kerja kekuatantersebut). Sesuatu ukuran melintang-semula sebesar a menjadi lebih pandaksehingga rnenjadi a' I a. Perpandakan melintang dapat ditentukan menurutrurnus :

    e)

    PENGANTAR A-$3

    Gambar 2

    La=a'-a.Robahan pani ang spesifik

    sedang E= AQlg=olE,tara E'dan E, yaitu e ' =

    La la a')menjadi 6' =

    -: , seclangaa

    terdapat antara hubungan tertentu an-e fm (berlawanan tandanya).

    ffiAT

    itu kecil sekali

    atau tertulis

    boleh diabaikan, dan kita mendapat

    s':q(,-#): o (,-*')La1o1

    ;'E---eBesaran m dinamakan kontraksi-modultts

    Jika luas-tanlpang semula ada F maka sesudah batang diiarik,

    -*)'o: l,-z+* (i)'{"dibandingJcan dengan t(tarunvn a

    *66),;

    ( l, maka (;)'

    r':(t-L;)'t' : I tA/: /(1 * e) : I (r + |)

    Isi benda sesudah ditarik menjadi :

    r':t'F,:r'(r*;) (r-*;):r(r+ # * t)jika suku yang mengandung (;)' diabaikan pula'

    I\rbnurut hukum kodrat-alam, isi benda yang ditarik itu selaiu menjadibertambah, jadi :

    menjadi :

    ,' : (*)' ":

    (,Oleh karena o

    E

  • PENGANTAR A-$3i4

    I'> II'-=> 1I

    I' o 20I:r-t7-; E>l

    o 2o--:

    QE- m E -2l-->0m

    flr> 2Bahan-bahan yang dipergunakan di dalam bangunan-teknik (kayu, beton,

    batu, besi) kebanyakan mempunyai m yaog bernilai antara 3 dan 4.L.haian di atas ini berlaku pula pada batang yang tertekan sentris' Hanya

    saja ukuran-melintangnya menjadi beltambah, sedang e bernilai negatif. JadiLal-J

    -

    -

    ^ s bernilai positif, yang berarti bahwaAasekarang ada tambahan-ampanjang. Selanjutnya akan terdapat.

    I'I'

  • PENGANTAR A-$ a

    Lr : r, -

    r -rf {r, + e, * e.)

    -*rr,+ r, + r,)f

    T : r, * e, * , * - *ru* t, * t,) : (t, * , * ..)(, - :)::

    *ro,* d, * "') (' -+): # (' -*) "A.I7 : O jika Io=(o, * o, * o,) : 0 yang mungkin terjadi oleh kare-

    na o itu boleh + atau +'Menurut hukurn alam, akan terdapat bahwa

    AI AIi * O apabila 2o* 0. Jika Xo positif, maka

    -

    positil juga, jadi :

    2I - -

    > 0 (positif) yang berarti lagi bahwa m ) 2.',flSebagai contoh dengan bilangan :

    x:6cm;y: l0cm; z: 12cmP*- * 1800kg; Pr: * 8l0kg danP,: + 1500kg

    18006, : * ld;lZ kg/ctt': 1 15 kg/cml

    810c, : *

    ,VT kg/cm': 1 11,25 kg/cmr dan1500

    6, : -6 x l0 kg/cmt : -Z\kglcmz

    Io : ( i 15 { 11,25 -

    25) kg/cm'z : 1- l,25 kg/cm:A1 l/ 2r7 -= , ( | -;) 1,25 (tak herdimensi)

    Jlka P": 0 berapakah perbandingan antara P, dan P, supaya Af = 6l

    -*t

    PENGANTAR A-$4/5

    Supaya A/ =- 0 atauiuga O-f : O, maka Io:0, sedang 6r: 0.o"*o.:06r:

    -

    6,1l6*: fr P, dan o,: A ,,

    P, : P, : -(yz : rry) :-(,, r) atau p*.x : : p".z

    Jadi jika P" menarik, P, harus menekan atau sebaliknya dan perbandingantntara nilai-nilai rmttlaknva ada z : x.

    $ 5. natang dengan luas-tampang tak tetap.Batang kita bagi-bagikan di dalam lapisanJapisan sepanjang Ax dengan luas-tampang F' (variabel). l,apisan ini akan memanjang atau memandak sebanyak

    P.A.rA(Ar) : ip A^" jumlah robahan-panjang menjadi :

    A/: lA(Arr:#t#Sebagai contoh, kita ambil piramide-lurus terpotong AABB dengan tinggi

    h (gambar 4) yang ditekan dengan P Tinggi piramide-lengkap adalah.yo(puncak=O).Luas-bidang atas adalah { dan luas bidang-ba-wah Fr. Pada tampang setinggi y di bawah0 luasnya ada :

    ., : (i)' ,,I-apisan setebal dy akan memandak sebanyak

    P Pyi Id(M) : qrr: ir\.F d,* : l"' d(L,h): '4 [" ! r, --J"" EFuJt" yz

    [,

    Gambar 4

  • Pyr"l 1l% Pyrrll l\: EFi [- tJ": E4\t-i) -Pyo' (i-r- y"\ Ph lo Ph r lF, Ph: EFb' y^y, : EFb i: nr, V 1: EJffi

    $ 6. Kekuatan normal tak tetap.Benda berbangun-prisma-lurus didirikan di atas lantai, dan sebagai akibat dariberatnya sendiri akan memandak sebanyak A/2.

    PENGANTAR A*g516l7

    Kita melihat lapisan setebal dy yang letaknya sedalam y di bawah bidang-

    r{ oru,-)E-saEii nermNlcds tI F=\

    atas.

    Gamtrar 5

    $ 7. Putaran-sudut.Kita ambil bagian

    B'

    Kekuatan nrcnekan yang bekerja di atasnya ialahberat sendiri bagian-prisma di atasnya, yaitu se-besar

    1)D- --Gt- hPd(Nt): Bpdy :

    Gyer' n aY

    u: l"^a@nr: * l.^t at: *ff

    balok AABB sepanjang ds, yang menahan momen-lengkungsebesar M. Bidang-sisi ,4,4 kita pegang-teguh. Serat-seratdi atas garis-netral memandak dan di bawahnya memanjang,sehingga serat teratas AB memandak menjadi AB' darr serutterbawah AB memanjang menjadr AB'. Menurut hukumBernouilli tampang B'B' tetap tinggal rata, yarrg berartibahwa robahan-panjang pada serat-ser.at itu berjalan lurus,

    atau bahwa robahan-panjangitu bertanding lurus denganjarak z antara serat dan garis-netral (di tempat dimana takada robahan-panjang). Olehkarena menurut Hooke, te-gangan normal itu bertandinglurus dengan robahan-panjan g,

    Gambar 66ru,

    D

    '}{-

    PENGANTAR A-$7

    maka tegangan juga bertanding lurus dengan jarak z tersebut, dan kita bolehnpnulis: o : c.z, di manac adalah faktor pertandingan yang tetap (hukum Navier).

    Menurut syarat seimbang harus terdapat :il, M=todf.z=c J z'df= c./ dimana 1= momen-ineniatampangterhadap garis.netral-

    nya.IVhnurut pendapat di atas, maka c =

    -!-, iae'r

    M= o .Iz

    o=M7

    Nilai mutlak o menjadi maximum, jlkz z ada maximum, yaitu jika z = lh-6su : M* :*, u, marn 14) = momen-perlawanan.,- I W'

    ct: z.c :

    c:

    Sumbu-balok letaknya tetap I tampang normalnya, jadi oleh karena B'B'tak lagi vertikal letaknya, sumbu-balok juga tak lagi mendatar. Berhubungdengan itu, sumbu-balok yang tadinya dianggap lurus, nrnjadi garis-bengkok.Garis-garis AA dan .B'-B' s.s.l. memotong di O sedang mereka itu sebetulnyagarisgaris-normal terhadap sumbu-balok, dan dengan begitu jarak attara O dansumbu-balok yaitu r adalah ra dius-p erbengkokan slmbu-balok setempat.

    Serat sejauh z dari sumbu menerima robahan-panjang sebesar.gds dan npnu-rut gambal 6 terdapat :

    eds : z : ds :, atau e : z : I :rI e ol0 c Ml M\;:;:fr:E: o\scbab': r )

    dtlMdq : i - dt.; : Ef dt, dinamakan putaran-sudu, setmpat. IvIa-

    zMIMT

    a

  • 10 PENGANTAR A-$7/8

    kin keras perbengkokannya, makin besar nilai dg sedang menurut rumus di atasni, dg bertanding lawan dengan EI dan berhubung dengan itu maka besaran EIdise but fa kt or kekakuan me law an p erb eng kolwn.

    Apabila M sefta EI itt tetap, rnuka 1 alau r tetap juga nilainya dan sumbu-r

    balok akan melengkun g menurut busur -lingkaran.Jika / = panjang (bentiurg) balok maka jumlah putaran sudut, yaitu putaran

    sudut kedua-dua bidang-ujung balok terhadap s.s.1. terdapat ,

    t't f, *tn: -l .on: -l . Er

    ds'

    $ 8. Geseran.hda tampang normal AB bekerjalah kekuatan-normal menarik sentris

    Gambar 7

    K\frA

    dtno(J.o

    0

    t,oL'!l

    #eP

    t,

    PENGANTAR A-$8 il

    sebesar P dan dengan begitu tampang tersebut menahan tegangan-normal menariksebesar o yang tetap nilainya (akibat dari P dianggap terbagi rata di selurulrtampang).

    Kita mempelajari dua tampang OA, dan OBryang I terhadap s.s.l, LAOAr=aldan L BOB.= p sedanga* I = 90" (letak O di atas,4,B sembarangan).

    Tampang Ol,lmempturyai luas 4 jadl tampang OA luasnya ada d cos a.Pada tampan g OA, terdapat bekerja muatan sebesar P, : o4cos a yang kita

    uraikan menjadi komponen N, I OA dan komponen So llOA, (gambarT).S, : P" sin a : o. d cos a.sin a. : Fo.o sin a. cos cr, -yang menimbulkantegangan-geser -to di dalam bidang Olr.

    ,SOa": {

    : o stn or cos d,

    Hitungan secara di atas ini dapat dijalankan pada tampang OB, dan kitaakan mendapat: ro: o sin p cos p. Oleh karenaa .-,u ppl9g'iriakasin a cos cr : sin B cos p. : sin a sin g.

    Jadi ao: rb: t: o sin a cos 6(: osin asin B .Ini membetulkan hukum yang berbunyi, bahwa pada dua bidang yang

    1 terhadap s.s.l, terdapat tegangan-tegangan-geser yang sama besarnya dan yangarahnya 1 garis-potongan antara kedua-dua bidang tersebut. Jadi tegangan-geseritu selalu tsrtimbul berpasangan, yaitu di dua bidang yarrg

    -L terhadap s.s.l.Kemudian kita mempelajari robahan-barrgun sebagai akibat dari r ini. Serat

    AA, memat)ang sehingga tillk 41 jatuh di l, menurut perhitungan :ArA2 -- L AA1 : A(a sin a) : e.a sin qA,4z: AAr* ArAz: (1 * e)asinq

    Oleh karena adanyu kontralsi, (bersusutnya tampa.ng AB ke arah melintang)maka A, pada akhirnya jatuh di l' sedang AzA' L AA2.

    l1Az.4' :

    -

    r..OA .= -

    E.a cos o.

    Kita menarik garis A'4" dan ArAr' IOA. serla ArAr" I A'A". TampangOAralr,an berdiri menurut ga'ris OA' jadi berobah-sudut sebanyak :

    A'4" A'A".r.:

    -

    sedang OAr: atd oA,, oA,

    Ii,liiI

    {{,

  • 12 PENGANTAR A-$8/9

    A'A" : A2A'z + A'A[2 : ArArcos a I ArA'sin a :: rasin6r.cosd +:,coscr.sin,: (,

    " *) easinacosr,n

    y. : (,, *) esin acosc( : (, - *) esinn sinp

    Menurut cara di atas ir"ri akan terdapat pula:

    ,, : (, . *) esinpcos B : (, . *) esin asin p

    / 1\y: yo * ya:2 (1 + -) esin asin B, dan disebut sudut-geseranyang

    ditimbulkan oleh tegangan-geser T .Secara analogos dengan rumus 6

    -

    eE, rnaka hubungan antara t dan Yboleh ditulis menurut rurnus

    t:y.GatauG:AY

    osinasinp E m/-_- --

    D" -

    ,(,-,- *) esinasinp z (r + :)- 2(n]-t)

    "

    dan besaran ini dinamakan moduhts-geser, yatgberdimensi seperti I juga (kg/cm2 ).

    olehkarena 2{nt -ru makanilai ,(, *

    *) terletakdiantara 2dan3dan G terletak di antara |E dan lE atatt tertulis iE < G < tD

    $ 9. Kekuatan-melintang dan tegangan-geser.Kita mempelajari bagian-balok bertampang persegi sepanjang dx pada bidang-bidang-batasnya mana bekerjalah rnomen-momen M dan M + dM serta kekuatan-kekuatan melintang Q dan Q + dQ.

    Ilbnurut syarat seirnbarrg harus :M + dX[ = (Q + dQ) c).r = ()dx dengan rrengabaikan besaran kecil tak terbatasbertingkat dua yaitu : dQ.d"r.

    Gambar 8

    drt,ro= dx

    Kita mempelajari bagian di bawah potongan 1 _- l sejauh z dari bidang-netral.

    ,:1,'''uo.r:+1,'''^rof :+s jika ,s = statis-momenbagiantampang bawah potongan I - 1 terhadap garis-netral.

    (M +dthT +LlT .5'I

    dtlsnr= t, =,t'I = !y_ _-s *_ 0^stt

  • 15l4

    )'QLbh'([

    -

    ,'lh')f:

    *b.bhlF

    D sini F' = 11 _ rz1n7

    rQ, G GF''

    PENGANTAR A-$9/IO

    * *n_ z.'lhz):

    tak tetap nilainya, sebab tergantung kepada z.

    di mana besaran GF' dinamakan faktor keteguhantempat patla sesuatu tampang (iadi tak berlaku untuk

    Pada sesuatu tampang (yangberbangun lingkaran) bekerjalahmorrren-torsi sebesar

    ^41 t.

    Bidang OO'B'B yang semulaberdiri vertikal (ll sumbu-batang)menjadi kibing dan membentukbidang OO'B'Br yang bukanbidang rata. Begitu juga adanyatentang bidang OO'A'A yangmenjadi OO'A'A, . Robahan su-dut pada titik A'terdapat :

    AA, d\1, T-

    D- --

    '- d, -t ds Gda

    r = G.p.-ds

    di mana

    ,

    PENGANTARA $tolS-St

    'ctdsG:-:-.-:-T ?d*M,:

    tdsd+:; d': M,&670 berarti J'oktor kcteguhort melawan /rrr.ri untuk tampang-lingkaran. Selanjutnya,seperti telah diketaltui, /n lingkaran = *r.2..

    ts. GARIS LENTUR

    $ l. Radius-perbengkokan.Sumbu-balok yang semula lurus, menjadi garis-bengkok (melengkung) setelahbalok menahan momen-lengkung. Garis-bengkok yang diwujudkan oleh sumbu-balok itu dinamakan garis-elastis atau garisJentur.

    Di sini kita akan mempelajari bagaimana kita dapat memperoleh persamaangariselastis atau bagaimana kita dapat menghitung ordinatnya terhadap sumbu-balok yang semula. Di sini dianggap, bahwa titik-titik pada sumbu-balok hanya

    akan beialih tempat (turun ataunaik) menurut garis vertikal.

    Gambar 9 memperlihatkan seba-gian dari sesuatu garis-elastis. Kitamenyelidiki dua titik ,4 dan Bdi atasnya sehinggay,

    -lt:dy:zcs- xa : /a dan AB : ds :: 1/i$ tr@: o.lqPj.

    Garis-garis normal yang ditarikdari titik-titik A dan B memotongs.s.l. di titik

    ^t dan dengan begituSA = r adalah radius bengkoknndt A atau

    -l-= derajat-bengkokanratau perbengkokan di,4.AB=ds=rdg

    + (,-;):* d,L 'tatau G+ - -dsP_.1P

    .D

    t: M,t o*melawan gcseran di sesuatuselurulr tarrrpurg).

    $ 10. Torsi atau pilin.Kita arrrbil bltarrg berbangun silinder dengan radius-tampang = r.

    Mrq-

    a

    Cambar 8a

    Syarat-seimbang M,: !r .dI .?: Gff t *f : "*.

    ,,

    1, berarti momen-inersia polar tampang (terhadap sumbu batang).Gamber 9

    (r

  • t6 FENGANTAR B-$l PENGANTAR B-$ 1/2/3

    Apabila balok rnelengkung konvex ke

    Gambar 10

    anggapan kita, rnaka di muka

    17

    atas (gambar 10), momen yang me-nimbulkannya kita sebut nega-tifl, jadi besaran / = U1t.;t|,ttuberi nilai negatif juga. Kita me-lihat, bahwa tg.g bertambah,jika x bertambah, yang berartibahwatltge

    _

    d2ydx dx2 )o (Positi$

    ISrrpuya ,.

    ncgatii, scsuai dengan

    ds ds]:-' d9 dtgqdtgp

    d9

    san @.d'tl tE g cosg-T: de: cost g -l* sint gcosr g 1coss g

    (#)':seclg:1+tgl?:1-F

    ,_,. /GHT t,, {dy\, 1: dtse lt1-\A/{

    I dtg?ldx d),ldxt;: {t + (dypffi: {t + (dyl@;

    Oleh karena ord"inat-ordinat garis+lastis itu kecil sekali, maka !-rufuamat kecil(l.Ynilainyaterhadapsatuansehingga (fr)'Or.n diabaikan terhadap l. Jadi boleh di-tulis :

    I d2v 1;= ,*, atau / = WJ"

    Menurut gambar mudah dilihat bahwa tg g = 4' 5.rqrru,tg.iika x bertarrrbah,dx

    vans berarti 6u},*u tI" d2 r'; = _;p ttu nesdtg.Balok yang dilengkung menurut gambar 9, yaitu melengkung konvex ke bawah di-anggap melengkung secara positif, dan momen yang menyebabkannya dianggapbernilai positif, sedang

    fi a"rnltui negatif.

    IOleh karena-l = Mfiil bernilai positif, yaitu sesuai dengan persetujuan kita,

    &vmaka di muka ' harus dibubuhi tanda minus, jadi :

    dxz

    # harus lagi ctibubuhi tanila minus.

    $ 2. Hubungan dengan momen.D dalam bagian A, $ 7 kita telah memperoleh rurnus :

    -l - =- -UnrEI

    *2 : Y adalah persamaan-tleflerensi garisclastis.dxz EID sini kita rnembubuhi petunjuk (index) x pada huruf M oleh karena

    momen pada bakrk itu tak tetap nilainya dan biasanya adalah J (x).lhtuk sementara faktor l/ dianggap tetap pada seluruh balok (balok pris"

    nutis).Di bawah ini kik akan mengambil beberapa contoh.

    $ S. UatoL terjepit sebelah.a. I\rfuatan terpusat P (vertikal) di ujungnya.Garis-momen berjalan lurus dan membentuk bidang serupa segitigq.

    M, : -

    P(l -.r) (momen bernilai negatif).

    lL l"ri!4!

    Il

    (rDAERAT{, JA'I;ii\

    PUM['UNGAl'1RABTTYA

    ; , r:, ll,i

    ' .-)..i'

    &y

  • 18 PENGANTAR B-$ 3 PENGANTAR B- $3

    Lhtuk x = 0.r = 0 (titik 0 tak turun) jadi C, = 0.P

    t : EI ({/l8 _- }*3)P13

    !-*: )'o: !r:t: 3EItg'^o*: t.oe,: (*).:,: #

    tr. Sepertidiatas, tetapi P sesr:Lauya bcrdiriuya.Jarak antara P dan O atlltlllr /r.l4.r = l' (h - x/, berlakrr sclarrra .r ( b.

    Gambar 110

    19

    &y P(l -

    x) dzy P(l -

    x)- d.': * --Ef 7F : EI

    dyPPd*: EI J(/-")d*:Ei(lx-[x2 *Cr)

    ,Jt'Lhtuk x - 0.

    .Ia. = 0 (garis-blastis mempunyai garis-singgung mendatar di Oi,

    iacli ( 9\\dx /,-o = E1 (o-o + Cr) : o;Ct : odvPd*: EI (lx--- lxzl

    PT Py: Er J A.--{;'r,\d*: n Qt^l.-lr'* Cr)

    Z

    a

    0

    I+Y

    .x*+ -_l x

    v\e.\

    nr!

    o

    Gambar l1a

    (l

  • 20 PENGANTAR B---93

    dLv P*: O (b-x)

    dvPPi-. : u,t(D -')'* : Ei (b* -*f * C,)

    Seperti di atas akan terdapat pula C. = 0.,b, Pi__

    : ,,

    (D.. -

    |.r2), berlaku sclan'ra r ( DP

    .v - FJ (tb*'- f.r3), berlaku selama .t ( D

    .r'a -

    (.y),=a -'#, tts?o: (?r),_,:. # (anarog

  • 22 PENGANTAR B*94

    -x)k

  • 24 PENGANTAR B_95

    $ 5. Balok di atas dua perletakan.Kita ambil satu muatan terpusat p di titik c sejauh a dari perletakan A;sedangEI = tetap. Garis-elastis terdiri dari dua cabang: cabang AC,dan cabangBC,

    Gambar 13

    derrgan titik-asal nrasing-masing A dan B. Koordinat-kr,rdirrat cabang kiri(AC,)kita naniakan x serta

    -r, dan pada cabang kanan (BC,) kita sebut ( dan r1.Arah pctsitif untuk absis-absis adalah ke dalarn clan untuk orilinat-ordinat ke

    bawah. Di dalanr contoh dipilih bahwa a { b clarr berhubung dengan ituordinat garis-elastis maximum terdapat di sebelah kanan c (cabang BCj,;, aandi titik C' akan terdapat i? a, (sebab sudah nrelalui pu.cak) sedang ff*urn) , (puncak belur, tercapai di cabang AC), sedang cli titik c, di situ kedua-duacaba,g garis-elastis bertunggalan garis-singgung yang berarti bahwa :

    dv dn't-

    =-E atautgg'=-tBY"

    {, ,t

    I

    PbEII

    M,t9.dg,'dyE

    PENGANTAR B-$5

    CABANG .1 C'

    b:P ,

    x

    PbMr: -m'

    Ixdx:Pb:-En(t" tc)

    Pb

    ^E.Il (l"t $ Cr f C')

    lo: (!)*-o: 0; C' : 0

    25

    CABANG BC'

    4MN:P t I&1 lPafr: - Dr il[7: -_6v t'dn Pai: - ,n [Edr':

    Pa: - En (lt' + '()

    PaEn (lE' + KE +'(')

    ra: (rl)q,-, : 0; K' : o

    bC + aK: -

    l,arb -

    Lab' (l)

    -(*),:,

    obc -

    abK : labs -1rt6 (2)i-bzc + abK : _ lazgz _ +408 (l)l ,

    (a * b)bc ::

    -_lob, -

    lazSr-latb(t6l + r(6) (2)

    (a t b)bc - -

    d(lb' + tab * lo') : -lab(a * b)(a + 2b) :: *lab(a + D)(, -t r)

    c--la(t+b)K--lb(t+a\

    PaEIT

    (*).-":

    Pb- EIt ({a' a c; :

    Pa_t_/lrr+K) (l)

    'EII\?r: 1"(r),-": (r)E

    -aPbEn Q"' * ca):

  • 26

    dv Pb*

    : - EII ti"'- [a(I -r D)] :

    Pb: 6En{"(t + D) -- 3r2}Pb

    y : - En {t*u - to(l + D)r} :

    Pb: AETI{a(l * D)r - 13}

    PENGANTAR B-95

    dt Pa7E: - EIt tLE' -t6(' ' a)):

    Pa: Giltr(/ + 4)- 3t')PaEn {lE'- }D(/ t a)E} :

    Pa: 68, tb(l + a)E- t3)Tenrpat- tempat yiulg penting :

    tss. : (*),:": Pff ,,r r' : (fr) r*,:a#PPb P$ Parbz!,: (!)*-o.: 61ltict(/ * 6) - a') : 6.e/J {*t(, + %) - a'\ : 3EIlPa Pa Pa2b2

    ,r" : (l)E*o : 6EIt{6,(/+ a)-trs1 : 6EIt {b2(2a+ A)- br) : 3n,/ dy \ Pb Pab(b . a)t89. : \i-* )._,: 6EIt {a(a + %)*3a2\ : -fr-ldn \ Pa Pab(a

    -

    b)ts ,1,. : \i )*r: *- {b(za { E) - 3r,} :-ffMencari cli trtaua ordiuai nrcniadi extrcul (nariinurl): Ini tcrclapat cli cabangBC'ji-ka bya daii plda E: E^rffr: rrb(f I ,r) *3E?^: o;tl : lr(, * a); 1^: \/tb(l +

    ",r: {{W;*Jr: b)E-:t lg(,++i .--",

    Untuk a: b : |/ terdapat d: I atau l_: ll.Untuka:0,1 /serta D:0,91 /. terdapat

    ": /t.OillJ:0,575atau f,. :0,5751.

    PENGANTAR B-$ 5i 5a

    Untuk a=0, serta b=l, x=\/I= 0,577 (kejatlranlimit). Jaditempatordinat_maximum pada garis-elastis tak begrtu jauh dari tengah-tengah balok.

    ordinatdititik tengahbalok akarlkita namakan f Jika a ) D, titiktengahini terletak di cabang ,4c' jadi rumus y yangberlaku serta dengan mengisi r =h. I tlan u = I -- D, kita mendapat:

    fo>e : # ru, - b)(t+ a) - u,)Jika a ( h, yarrg bcrluku runlus I :

    focb: # ,r (t - a\(t+ a) _- |P)Kcfatliarr khusrrs: o - 6 = /21

    Pltl:WI$ 5a. Bidang-momen (bidang M*) sebag:ai muatan (gambar l3a).ABD adalah bidang-momen pada muatan p yang berdiri di c ringgi L ABD yaitucD=Pf

    Gambar l3aPerpanjangan gais BD memotong garis-vertikal yang melalui A dt titik A

    dan kita mendapat AA = pa. Statis-momen bidang L ABD terhadap A, y.aitusa = statis-momen bidang L AAB terhadap ,4 minus statis-momen bidang AADterhadap .4.

    27

    S.: ll.Pa.ll -

    la.Pa.la : lPa(lr -

    ar) : pd (l I a)

  • 28 PENGANTAR B_g5a/6

    Jika bidang ABD

  • PENGANTAR B-$7/8

    Jadi yang kita perlukan hanya iarak dari muatan sampai titik-perletakan ),ongterdelcat.

    Secara grafis kita menggambar garis-momen pada muatan-muatan, misalnyadengan perantaraan gambar kutub dan polygon-batang. Kemudian menganggapbidang-momen ini sebagai muatan, yang kita bagi-bagi di dalam beberapa lajuran.Luas-luas lajuran ini digambar sebagai muatan pada gambar-kutub dan kemudiankita menggambar polygon-batangnya dan yang diperoleh belakangan ini adalah garisyang melukiskan garis-elastis (setelah dilipatkan A.rgunlaan memperhitung-skala tangan-kutub serta skala gambar) " EI

    $ 8. Muatan terbagi.Ordinat muatan adalah q, yang mungkin variabel. Untuk muatan di sebelahkiri dari tengah-tengah balok kita mempergunakan rumus.fr.o sel.ta menggantiP dengan tlP = qrda sedang a dijadikan variabel.

    fo

  • PENGANTAR B-S9/10

    Perbedaan ini disebabkan oleh karena kita mengabaikan suku (*)'Bidang-momen di antara A dan B berbangun segi-panjang dengan ordinat

    - Pa yang tetap. Jika ini dianggap sebagai muatan maka persamaan pris-momen

    nya terdapat :

    M;: + (+ Patx -

    | PaxL) -|O,* rr) : Er),,

    yang berbangun parabola pula.

    Mengabaikan rru, (#)' berarti pula menyanrakan r/.r dengan dt,jadi menganggap bahwa panjang sumbu-balok setelah dibengkok tak berobah,jadi perletakan rol akarr bergeser sehingga mendekati perletakrrn lainnya yangberbentuk sendi. Akan tetapi soal ini boleh diabaikan cli dalam praksis.

    $ 10. Balok dengan I tak tetap.Jika besaran 1

    -- 1x tak tetap, ini tak boleh ditempatkan di luar tanda integrasi,

    dan jika Ix = f /.r/ terketairui, kita dapat rnenjalankan integrasi

    [J"h,.,di nrana M*dan 1, masing-

    masing lungsi (x). Sebagai contohkita arnbil balok-konsol terjepit se-belair dengan lebar yang tetcp sertatinggi yang bertambah secara lurusTitik-asal susuna.n koordinat O di-anrbil di ujung konsol, di mana kitamengerjakan muatan te rpusat P.

    Gambar 16

    dybahwa

    -

    bernilai negatif (sebabdx

    mencapai nilai nol di titik,4. Jadi nilai

    [l[*: -

    p,

    Pada garis-elastis kita mendapatjika x bertambah, y berkurang) dandv

    -

    berobah dari (0 di O hingga=0 di

    t,liN(;AN'tAR B $10

    Untuk

    1

    35

    / ytng berurti bahwa nilainya bertambah sepanjang perjalanan OA sedangx lqabcrtanrbah. Dengan begitu ff a"rnlui pttsitif sedang M, negatif,jadi berlawa-rran juga tandanya dengm Mr.

    htP#: - EI' ilI' : tr1xKedua-dua anggauta kita lipatkan dengan EI. di mana /, = inerti_

    rnomen tampang di ujung, dan kemudian menentukan y' = EI"y.

    "" orr?r:#:'+r *

    Io hi hl / h"\' IT - n :@: P li4= ) p7i@-h) +.|,:-

    atls

    "irf dengan: *: (h)' a^^ f4t: a - atdzy' x (z-a\

    Z*r: Pc8l3 @ff.: P(,rJ)t;, ijika z - a * r atau .r:-

    z- a, sedang dx: dz

    #: ,ro, t U* dz : pl"t)i.t t* - *) o, :: p(*I). (-+ + *., .,)

    r:/atau z:l*amaka*:r.

    __- Il*a I

    a _

    | a Zl*aZU + ay+ Cr : 0; Cr: tTi - ZAT dr: 2114 o1zdy'

    _ / | a Zt+atd* : P(oJ), (- ; -r Zz2 - ffi) :

    :P(c/)a(-* * 4*i-,r,* ##,)

  • 34 PENGANTAR B-$10/11

    t,: p(at1s(-,u ,-*.m* ",)

    * : /atau z : I * a;!' _-o;-tg(I* 4- rU+A .(m* cc : oicr: tsg + a) * ful-ffi: lg(I * a) - dAy' : Eroy : P(at)tl**

    - fi +ffi - *,'i :( l*a a ,(21*a)(**a) I 1: (c/)3 jls* a, - i1"6lt 4tTay--: - t + aiUntuk x = 0 terdapat:

    r' : tor),t, u'#- l + Wr - 71 -ott ::p(ar)sl*(, .+)-i r #;#t

    dy' t 7 1 Zl-l-a\ --12

    * :

    -("/)' (-; + zr+ O, * $ : P(a't)t. z"(t -, "y

    f- = t e tak begitu se

  • PENGANTAR c-$236

    '*c.Cr'l

    EYhD,, _,i't'(;". o"o

    ,.1

    CREMONA

    c'"wlLLtoT

    "c'

    Gambar

    P2

    19

    menghitungAs = #t .j,. Rusltilatau negatif tttenurutsilatN(menarik

    atau menekan). oleh karena A s itu biasanya besaran yang amat kecil, lebih baikkita menggambarnya menurut skala yang cukup besar. LJntuk itu kita melipatkan-nyu arrgrn fls" di mana so berarti sesuatu ukuran purjang sesuka kita (misalnyapanjang batang yang sering terjuntpa) dan dengan begitu kita memakai besaran

    A s' = A s. E'/s^ = o I yang berdimensi kg/cm2.so

    Kemudian besaran-besaran A s' ini kita lukiskan pada batang-batang yangbersangkutan, dengan mengingat apakah ini perpanjangan ataukah perpandakan'Pada gambar 19 tersebut kita melihat :

    EE,=As'u=ouff +l; EEr=Lto= oot(-)Kita mulai dengan batang-batang 6 dan 4 oleh karena ujungnya '4 dan B tak

    beralih. Jika hubungan E di'iepas, maka titik E sebagai ujung batang AE (atau 6)akan jatuh di Er; dan sebagai ujung batang BE di titik fr'-Mt-:u'Yt uraian di$t ,rut u titik I' jatuh di E' dengan E2E' I BE dan E tE' I A,E' Jrka hubungan DaiUrt

    ^, betang 6t O akan beralih //'sendirinya. yaiiu di E'D, sehingga E'D, =

    ll ED. Batang 5 memandak dengan A tr:; s'yang dilukiskan dengan D,D, =s

    As'. = oo "s Tidk D juga ujung pada batang AD (2) sedang AD memanjang-so

    ()

    (r

    l,r,N(;ANIAR C-$ 2/.1

    st:lnrryak A r, = !!- rrvung dilukiskan c,lch,DD, =A.ri = "r.f%--

    f'rrrlrr akhirnya titik D terdapat di D' yang diperoleh dengan perantaraan garisl),1)' .L D'E' dan D3D' I AD. Batatg DC akan beralih // sendirinya sehing-t;t l)'C3 = ll DC apabila hubungan C dibebaskan;dan batangtrC beralih menjadil'('t = ll liC. Perpaujangan batang DC (l), ls, = f.!- s, dilukiskan oleh

    , s.{',('o = l\s' = or .l: dan perpandakan bataltg lc(-l). A.s3 = 1:t, oleh'

    L.'. r-(', (', =As, =63 -'-.

    (iaris-garis yang ditarik siku-siku terhadap batang-batang I dan 3 melalui Ca,Lrrr (lz berpotongan s.s.l. di C di nrana titik C akan jatuh pada akhirnya.

    Olel.r karena di dalam lukisan seperti diterangkan di atas ini, panjang batang;rsli tak lagi dipergunakan dan kita hanya menggunakan'garis-garis sepanjang,\ s' dan garis-garis-normalnya, maka lebih mudah jika kita menggambar lukisanrtrr di luar gambar konstruksi sebagai berikut :

    f)ari sesuatu titik O kita melukiskan A s! = OL;:. (ll EB), Ati = OEJIIAE),lrrrr A.si = ODr(l I AD). Ketiga-tiga batang 4,6 dan 2 itu nrempunyai ujung taklrcralilr, yaitu B dan A, oleh karena itu besaran-besaran A s'yang bersangkutanrlupll dilukiskan sekaligus dari titik O. Sesudah itu menarik dari E, , garisL,ll'.' dan dari Ii, garis 1Bl', kedua-dua garis normal mana berpotongan di E'.Kerrrudian menarik garis E'D, = L s's(l I DL), garis I DE'melalui D,dan garis| ,4D dari D.; kedua-dua garis-normal ini memotong s.s.l. di D. Selanjutnyarrrctutrik L''Cr- = C,C, =A s3 llcti dan D'Co= Ls't llDC, pada aklrirnya garisI ( 7i dari titik Cz dan garis I DC dari C4 yang saling berpotongan di titik C:

    Olch karena batang DC membentuk satu garis dengan AD pada manaA itu tetap, maka A s] Uot.tr digambar dari titik l)r, dan dari ujungnya kitarrr, il:rrik garis I AC.

    Lrrkisan yang tergambar belakangan ini dinamakan diagram/llilliot.Sctclah mempelajari gambar-ganrbar dengan saksama kita rnendapat, bahwa:

    rtl.:' = IiE'; OD' = DD' dan 0C' = CC'.

    \ .1. Vakwerk di atas dua perletakan.l'r'rlctakan A adalah sendi dan B rol. Cremona kita gambar untuk menentu-L:rn grya-gaya batang dan kemudian besaran-besaran A t' = o j" .

    \7

  • @//' \ /

    \\

    garis te(zee

    q e,

    ff*'nc

    F

    6

    /6/ V-"C'

    38 PENGANTAR C-$3

    CREMONA

    pen dapat perpanjangan ataukah per-parrdakart). Dari ujung-ujung A ,sidan A s' t.litrrik garis-glris yang1 padanya dln yar,g saling berpo-tongan di titik l'. Menarik dari F'sebatang garis sepanjarrg A s', dandari u.jung ini serla trjung garisA si n ditarik garis-garis nornralnyayang'. rnenghasilkan titik G', darimana ditariksepotong garls denganpan.iang A r',,. Garis-garis nonnalterlrrdap A si

    , dan A s'u memotong

    s.s.l. di titik 1)'. Kemudian tariklahgaris-garis sepanjang L s', dari D'dan A sl, dari (i' serla garis-garisnornralnya untuk nremperoleh titik

    @

    @

    (iambar Z\abdeLlntuk sernentara dianggap bahwa batang AC (no.

    -5) tak berputar.lJntuk menggambar Williot kita menarik garis ,4 t" = A s'. ll CA, kemudian

    elari A' nrenarik L s'r (llAlt)dan clari C'garis-garis a si A.ti,, ian A s'u (masing -rnasing senantiasa ll bat'ang yang bersangkutan, tlan arahnya ditentukan oleh

    WILLl0T A'C= As'5Gambar 20c

    PENGANTAR c-$3

    d. Oan.E'' ditarik garis sepanjang A s'r, dan dari G'garis A s', untuk mendapatkantitik 11 {engan perantaraan garis-prij yang I padanya. pada akhirnya digambargaris A si dan E' serta garis A si dari i Cnn pula garis-garls yan!

    -L padanyauntuk ntendapatkan titik B'.

    Menurut uraian di atus tadi, titik Ii akan naik sejauh jarak-vertikal antaraA' thr /l' ylng berterrtangan dengan kenyataan, sebab titik -tr it, diprgung olehprlet:rklrr /l tLtrt luk ukirrt tlapat hcrllilr secara vertikal. Jarak-mendatar antara.4'rllrr /l'nrr.lukiskrn llcscriul pcrlclukutr rol /l setrranjang garis lB.

    lre t lctt(itttl4ttl lcrst'lrttl rli llus tliscbltlkur olelr unggapan baIwa batang ACt;rlr uk;rr l)r'rplrll,. llrrlrrl rrrcrrc:rpli lr:rsil rluli pe'keri:ran cli atas ini, kita hanyaitkittt rrtcttl4ttlltil 1x'ruliltutt-vrrtilurl plda titik-titik hubungan. Urrtuk ini kitarrrcrrrlrroycksik:rr titik.titik ,1'il .... lf di:.rtas garis vertikal, proyeksi-proyeksirrtirrrir kitrr rrurrrukurr ,4t,1)t,('1 ....11r.(-laris vertikal yang mengandung titik lrll

    ,, .. . .ll, irri kita pi.dah di bawah titik-perletakan.B (gambar 2aq.Di sini kita

    Iranya akan ,renrpelajari turunnya titik-titik hubtutgan bawoh, yaitu A F G Hdarr /i. 'l'itik-titik At,['-t,Gt.Ht dan B, kita proyeksikan di atas garis-garis ver-tikal yang melalui titik-hubungan yang bersangkutan dan dengan begitu kitamendapat titik-titik l' di bawah A,F di bawah F,G' d] bawah G,r/ di bawahtl dan B' : 81 di bawah B. Kemudian kita menarik garis-penghublng A,B,dan ordinat-ordinat titik-titik A',F,dJf dan R terhadap garis A'E' melukiskanturunnya titik-titik hubungan bawah ,4 . . . . B. Kita menarik garis A'd tadi olehkarena pada hakekatnya A dan B tidak turun.

    Garis A'\7G'IIB' dengan garis penutup A'B' rnempertunjukkan garis lentur(zeeg) pada tepi bawah bangunan yang seringkali diperlukan di dalam praksis.Sesudah itu, kita juga dapat memutar gafis ,4 B ' sehingga letaknya menjadimendatar.

    Bilamana keadaun symmetis, kita cukup dengan menggambar Williot untukseparo-bangunan. Batang-tiang GD tak akan berputar; titik G kita ambil sebagaititik-tetap dan kita bekerja menurut gambar 20e, sebagai trerikut :

    G'r' --

    a s'r 1

    Dari G'menarik garis-pris yang melukiskan A s'. dan As',^ dan dari D'gaisA s'. Dengan perantaraan garis-garis I A sl o dan l'A s'u t

  • 40 PENGANTAR D-$ I

    D. PEKERIAAN DEFORMASI

    $ 1. Robahan-panjang.Kita kembali lagi pada bakng sepanjang s dengan luas-tampang F yang menahankekuatan-normal sentris sebesar 1/. Sebagai akibat dari kekuatan ini, panjangbatang berobah sebanyak A, = fft jadi titik-pegangan Iy' beralih sejauh

    EFA s ke arah bekerjanya. Maka jika titik pegangan sesuatu kekuatan itu beralih,kekuatan menjalankan pekerjaan.

    Pada bangunan-civil, kekuatan-kekuatan atau muatan-muatan yang bekerja itutidak sekonyong-konyong caranya, yaitu akibatnya mulai dengan bernilai noldan mencapai maksimum di dalam sesuatu waktu A r.

    Kekuatan Iy' tersebut di atas itu juga kita anggap bekerja pelahanJahan atautidak sekonyong-konyong. Pada permulaan nilainya ada nol dan pada akhirnyamencapai N.

    Pada suatu ketika kekuatan-normal ini mempunyailah nilai M < lr. Setelahnilai ,A/ ini bertambah dengan r//y' , panjang-batang berobah dengan d(A s ) =dN,

    dan kekuatan M menjalankan pekerjaan sebanyak ctU = N,d ( A s ) =EF"u' i- ant

    EFJadi jumlah pekerjaan yang dijalankan sedari ,V : O hingga M = ,A/ ada:

    u : f au : 1." *,'* dN, :+N,# : +N..# : * N. a sGambar 21 melukiskan hubungan antara A s dan N, untuk sesuatu batang.

    olcJr karena A s itu untuk sesuatu batang di mana s dan 1/; besaran yang tetap,bertanding lurus dengan 1/, garis yang melukiskan tadi berupa garis lurus yang

    melalui titik-asal O. Pada sesuatu titlk A,absis adalah ,'V dan ordinat adalah A s danl/zN L s berarti luas LOAN jadi pekerjaanyang dijalankan oleh ,A/ boleh dilukiskanoleh luas L OAN itu.

    Pekerjaan seperti tersebut di atas taditertimbul oleh robahan-panjang, jadi olehdeformasi dan berhubung dengan itu disebut

    (r

    Gambar 21

    , : I *'. #, dimanaM danEl(mungkin) variabel.

    PENGANTAR D-$.UZ

    pekeriaan deformasi oleh robahan-paniang atau pekeriaan robahan ponjang.Di atas tadi dianggap bahwa luas tampang-batang, F seluruh panjang batang itu

    tetap (batang prismatis) dan begitu juga besamya kekuatan-normal ly'.Jika F dan atau ly' tidak tetap, kita mendapat :

    dIJ : f Nr # tli rrtunu r/s itu panjangnya bagianclemen pada bangunan.

    U - [ atl : lltr. ^!= sctllng N thrr /.'itu nrungkin variabel..t J zEF

    ii l. l'rrLrrart-sudut.l\4()nrcn lrcrlrasrat memutar sesuatu tampang pada mana momen bekerja, danlpabilu ini tcrlaksana maka bidang-pegangannya ikut berputar. Berhubung denganini, rnorrrcn nrenjalankan pekerjaan pula.

    Merrurut A E 7, putaran sudut yang disebabkan oleh momen M pada sesuatu

    bagian-elemen sepanjang ds terdapat : dg : M *.

    Di sini jugaboleh dianggap

    bahwa momen itu tidak bekerja sekonyong-konyong, pada permulaan bernilainol dan pada akhimya mencapai nllai M.

    Pada sesrlatu ketika besamya momen adalalt M , yang kemudian bertambahdengan cUt.'lambahan sebesar dM menyebabkan putaran pada bidang-peganganM sebanyak d(clg) = dM'*, dan dengan begtu M' bekerja sebanyak M'd (dg)

    ds-

    M',.dM',a7Sejak -al : 0 hingga il = U peke rjaan yang dijalankannya menjadi :

    Untuk seluruh bangunan, pekerjaan deformasi disebabkan oleh momen ataupek e rjaan-lengkung ter dapat :

    41

    o

    a

    au : -[,* u,.dnr, *

    : LM, *.

    a

  • PENGANTAR D-$3

    $ 3. Geseran. .Kita mengambil tampang balok yang berbangun persegt dan berukuran: b.h. Kjtamengambil bagian+lemen dari balok sepanjang ds dan setinggi dy yang letaknyasejauh y dari garis-netral (gambar 22). Kekrntan melintang yang beke{a padaseluruh tampang adalah Q dan menurut,4 $ 9 terdapat

    0s'bI

    osd9 : t.b.dy : =r dy

    titik pegangan dQ beralih sejauh

    P

    I,--r

    .!t0.-t- Gt

    Gembar 22

    dg= '(.ds dan menjalankan pekerjaan sebanyak d(du)=,r\dQ. dg oleh karenacaranya bekerja dianggap juga pelahan-lahan. Pekerjaan deformasi yang diakibatkanoleh geseran di dalam bagian-elemen tersebut menjadi :

    or' : i _:^,!du) -= t I _^,:n * : rl*,Jnor. u a, ::rY

    l::,,^"'0, - n'# i::^,^(#)' dv: tz # I_,,.^'"', : f ,''"^oor), : tb[n],": tb(th, -y,)

    S, : lDr(rt hr -

    Shzyz a ,t',

    ['''" ,rr, : p, ['''^ (+no -

    lrhzf I 1,r)d1, - r*hz7;J _,r,^

    . -rz

    =, i;;:;," : iizh6O2ds.,t^.b2h3 ds ds r/sdU : + -ffip, :,Q' W : lQ",*, : *Q' yc

    jika F, --

    luas-tampang.

    Ir

    PENGANTAR D-$4/5

    Pada seluruh bangunan menjadi : (J : I dtr : IA, #F (pekeriaan geser).Untuk tampang persegi terdapat tl = 8F dan pada umumnya, jika tampang

    berbangurr scsuka kita, l,t = vlt di mana v itu besaran yang tergantung kepadahartgtrrt lcrscbrrt.

    llt'rlrrrlrrrng tltrrgurr itrr, hcsarlrr (,'/,'kitil sebut.faktor ketegthan melawan.\t'\rrun l)l(ll s('suulu lurrrpurrli. lni hcrluirrurr dcrrgarr ';rli GI,r di dalam,4 $9, diItlrrtlr lx'lrlrrt ttrt llrrrylr lre rllrku plrtlrr scsrurltr tclnl)at tli tarrtpartg.

    il .t t olsi.l)t rl;rl;rrrr .l s\ ltl tertlupul llllrwa torsi grarla batang bulat yang disebabkan olehlll(rlil('ll.ttrr si /l/, irtlilr/\1" , ,r, ]j'rrdengan Ip: lzcra. Pada tampangyangtidaklrtrrlrirrrgrrrr lingkaran, faktor .I, harus diganti dengan Io yan1 nilainya tergantungkcpada bangurr tarnpallg.

    dsJacli lracla umumnya terdapat : d,l

    -

    M, Cr; danpekerjaan-torsi menjadifds

    Lr : I M7.2GT

    $ 5. Resume.Oleh karena ada empat jenis deformasi atau robahan-bangun, juga terdapat adaempat jenis pekerjaan deformasi.a Pekerjaan robahan-panj ang: Un = I N'

    *

    D. Pekerjaan lengkung i U- = t tW'. -*!i-t, ul

    c'. Pekerjaan geser , Us = f O' *

    c/. Pekerjaan torsi i U, : t M?. -!:,, 2GIP,Semua jenis pekerjaan ini selalu bernilai positif oleh karena mengandung suku

    berpangkat dua atau kwadrat.

  • 44 PENGANTAR D-$6

    $ 6. Pekerjaan deformasi luar.Jika titik-pemngan kekuatan P ntelentur (turun) sejauh 8, maka pekerjaan yangdilakukan rda |P8, oleh karena caranya bekerja pelahanJahan. Pekerjaan sejenisirri kita sebut pt,kt,riaan tle.frrynwsi luor barlainan denpn jenib"pekerjaan termaksuddi atas, yang tergolon gpekeriaan cle.formasi dalartt.

    l1

    o

    BAB IARTI STATIS TAK TERTENTU

    $ l. Pengantar.Kita telah mempelajari bangunan-bangunan (konstruksi-konstruksi), pada mana g;a-ya-gaya (yaitu kekuatan-kekuatan dan momen-momen) dapat dihitung dengan hu-kum statika atau hukum syarat-seimbang. Ukuran bagian-bagian yang membentukbangunan tidak mempengaruhi perjalanan hitungan ini. Bangunan demikian ini kitanamakan bangunan statis-tertentu.

    Untuk menentukan pembagian gaya-gaya tersebut di dalam bangunan, kitalebih dahulu menghitung reaksi-reaksiperletakannya. Pada bangunan rata, yaituyang sumbu-sumbu bagian-bagiannya terletak di dalam bidang rata, syarat-seimbangmenghasilkan tiga persamaan, yaitu :X K, = o (umlah komponen mendatar = o)EKr= u( vertikal =o)2 M = o ( ,, momen terhadap sesuatu titik = o)

    Jadi jika perletakan bangunan itu menimbulkan tiga gaya-reaksi, maka ketiga-a tiga gaya ini dapat dihitung dengan tiga persamaan tarli, dan bangunan adalah statis-

    tertentu (balok di atas dua perletakan-bebas, balok terjepit sebelah, busur tigasendi atau skarnir, d.l.l.).

    D sini kita akan mempelajari jenis-jenis bangunan, di mana syarat-syarat se-imbang tidak mencukupi untuk menghitung gaya-gya reaksinya supaya dapattahu bagaimana pembagiannya g;aya-gya di dalam bangunan ini. Selain daripadasyarat-syarat seimbang kita masih mernerlukan persamaan-persamaan deformasijadi ukuran bagian-bagian bangunan akan mempengpruhi pembagian gaya-gayatersebut. Bangunan semacam ini dinamakan statis tak tertentu.

    $ 2. Pembagian.Mengapa sesuatu konstruksi itubeberapa hal. Berhubung dengankan di dalam tigabagjan:

    menjadi statis takini bangunan statis

    tertentu, itu disebabkan olehtak tertentu boleh dibagi-bagi-

    a

  • 46 BAB r -$2/3

    l. Bangunan terdiri dari bagian-bagian yang masing-masing sudah lengkap untukmenahan muatan-luar. Ini kita namakan bangtnan-bangunan yang beker-ia bersama-samaBangunan statis tak tertentu luar. lni disebabkan oleh karena adanya kelebihanreaksi-perletakan.Bangunan statis tak tertentu dalam, disebabkan oleh kelebihan bagian padabangunan (misalnya batang di dalam vakwerk).

    $ 3. Bangunan-bangunan yang bekerja bersama-sama.Kita akan mernpelajari beberapa contoh.l. Tali-besi dan tali-hennep yang bersama-sama menahan muatan. Masing-masingbagian (tali) sudah membentuk bangunan sendiri untuk menggantungkan sesua-tu muatan P. Sebagian dari muatan ini, sebesar P6 ditahan olehtali-besi dan sebagian sebesar Py oleh tali-hennep. Syarat-seimbanghanya dapat menentukan bahwa P6 + Ph: P dan tak'dapat menentu-kan besarnya PU dan P2 masing-masing.

    Untuk lengkapnya, dianggap bahwa panjangnya kedua-dua utastali itu sama, yaitu = I Menurut hukum deformasi (dl sini robahan-panjang), kita boleh menentukan bahwa perpanjangan-perpanjanganpada tali-besi dan tali hennep sama besarnya, jadi L lb = L lh.

    Dengan mempergunakan hukum Hooke, kita tnendapat : A 16 =PbUEbFb dan A /7, = PhUEhFh, di mana E'berarti modulus kenyal danF, berarti luas-tampang.

    Gambar I. 1PbUEbFb = PJlEhFh

    Po : Pn = EaFo : EnFn sedang Po + Pn = P

    PbEoFu

    P dar. PnEt{n

    EbFb + EhFh EbFb + EhFh

    Faktor EF kita namakan faktor keteguhan melawan robahan-panjang. Jadimakin besar faktor ini, makin besar bagian-muatannya yang diterima.

    D sini diperingatkan bahwa hitungan di atas itu didasarkan atas penganggapan,bahwa sebelum ada muatan, kedua-dua tali itu bebas-tegangan.

    L

    BAB r -$3

    2. Anak-balok dan ibu-balok. Tengah-tengah anak-balok diletakkan di atastengah-tengah ibu-balok. Berat-sendiri diabaikan. Sebelum ada muatanluar, kedua-dua balok bebas-tegangan. Muatan P bekerja di tengah-tengah balok. Bagian-muatan yang ditahan oleh anak-balok adalah P. dan yang dipikul oleh ibu-balokadalah Pr. Syarat-seimbang hanya dapat menentukan : Pa + Pi = P. Persamaandeformasi (di sini lengkungan) menunjukkan bahwa turunnya kedua-dua balokdi tempat titik-perjumpaan (adi di tengah-tengahnya) sama besarnya, jadi 8, : 8,,

    8" : P"l2l48 EoI, dan E, : Prl:/48 EiIi; P,l:148 EoIo: P,tl+8 EJt.Faktor EI ktta namakan faktor keteguhan melawan lengkungan

    (iambar I, 2

    Po P,: E"I,t I EJrl| sedang P" a P, : PDengan E,I,lEiIi: A menjadi:

    hl', l2P":,1-afi danP,:TTWSebagai akibat dari salah "stellan" letaknya ibu-balok terlalu tinggi sebanyak

    8" dari pada mestinya. Setelah anak-balok diletakkan tetap, tengah-tengah

    Ciambar I. 3

    ibu-balok turun sejauh 8i dengan kemungkinan bahwa ibu-balok masih terlalutinggi letaknya, yaitu 8: < 8". Oleh karena anak-balok memaksa turunnya ibu'balok, maka anak-balok menderita tekanan keatas sebesar Po dari ibu-balok, dansebaliknya ibu-balok menderita tekanan sebesar Po Pula ke bawah. Anak'balokmelengkung ke atas sejauh 8o

    -

    8, -

    8X : P.t2l+8 E,I" (di tengah'tengah-

    47

    O

    -"q

  • 48 BAB r _93

    nya) dan ibu-balok melengkung ke bawah sejauh gi : p"lll+g EiI;.8:+8,?:8"

    fiP,(f1D.r" + f/41,): S"Po 48 8' +8 Eol" so:E:Ej:TTW:Iapy'u'

    Sesudah itu diadakan muatan p di tengah-tengah balok.

    ses I -$3/4

    3. Susunan-batang. Kekuatan

    19

    menarik sebesar 1 ton memperpanjang batangI dengan 8rr, batang 2 denganSr, dan batang

    P":#W p-p.dan p, : T+E p + p"

    (iambar I, 5

    Ketiga-tiga batang memaniang sama,

    Perpanjangan batang I ada Itbatang 3 ada 8, : Pr8rr.

    Kita juga dapat menghitung secara lang-sung. Anak-balok turun sejauh 8o (diukur darigaris yang menghubungkan titik-titik perletak-annya) dan ibu-balok turun sejauh 8r : 8o * 8,

    8"== P'1214gEoIo " " " " "(l)8r : Prrll48 E,I, .. .. .. .. ..(2)

    8;-8o:8" ...(3)Po a Pr: p .. .. (4)

    8o -

    8, -

    8o -_

    e -

    p")ql+8 EiIi _ p.tllfig E"I"48 8,.I.8" : (P

    -

    P"\kf -

    P"l:P"(E + h$) : PkIi

    -

    48 4I, 8"^ hli _ 4g EoI, ^^ ht:D_-'DI'":- 4T hE P -ET;1 D" : ,:l Af P - P"

    pi:p- 4:#*p+p.

    Gambar I, 4

    e fr r 'iil,?il,i1'p dibagi'bagi kepada batang.W bahng ini sehingga batang I memikul P,,

    Pr'8n : P,'8" atau P' : Pt8"/E'2Pr'8u : Pr'8r, atau P' : P1'811/833

    I'r + P2* P.r : P atau P,(l + 8rr/8r, f 8s/8se) : PPr(l/8n i- 1/8r, * l/8m): P'1l8uPr: 1/8r'

    ":ffi"l/8.,*1/Ds2+1i833",:#P dan ,,: ffi"

    Pendapat-pendapat ini mengingatkan kita pada hukum Kirchoff di dalamilmu elektrik.

    $ 4. Statis tak tertentuJuar.Balok lurus itu stabil serta statis-tertentu jika dicepit sebelah atau diletakkanbebas di atas dua titik-perletakan (sendi dan rol). Apabila perletakannya di-tambah, balok menjadi statis tak tertentu- Kelebihan perletakan ini menimbul'kan gaya-reaksi statis kelebihan atau gaya-reaksi statis tak tertentu. Jikatunyut,yukelebihaniniadan,makabangunanmenjadistatistaktertentuberlipatn;delgann=lmenjadistatistaktertentuberlipatSatuatautunggal.

    Balok lurus terusan di atas n perletakan-bebas itu menjadi statis tak tertentuberlipat (n,2), dan banyaknya gaya statis kelebihan (tak tertentu) juga ada(n

    -

    2).Busur dengan tiga skarnir (sendi) itu stabil serta statis-teltentu. Reaksi'

    reaksi-perletakan pada busur itu tidak berarah vertikal, jadi mempunyai kom'

    batang 2 menahan P, dan batang 3 mene-rima P..

    sedang Pt + P2 * P, = P.: Pr8rr, batang 2 adt 8r: Pr8r, dan

    a)

  • 50

    Gambar I, 6

    BAB r _94/5

    ponen-komponen mendatar. pada busurtiga-skarnir garis-tekan muatan harus mela-lui ketiga-tiga titik-skarnir ini, jadi sudahtertentu perjalanannya. Dengan begitu besarserta arah-kerjanya reaksi-reaksi perletakandapat diketahui, jadi juga komponen-kom-ponennya mendatar yang masing-masing sa-ma besarnya, yaitu : H (tangan kutub) dan

    rika skarnir di puncak anup,,ru,,ufffiil,;,,::.'.'lxi:t ff:, 11ffi,,11'l;begitu saja (sebab diharuskan melalui hanya dua titik-starnir sala). Syarai se-imbang hanya dapat menentukan bahwa Hu = Ha = H dan tak mencukupiuntuk menentukan besarnya. (Muatan dianggap vertikal). Setelah 11 ini diketahui,kita dapat menggambar perjalanan garrs-tekan muatan pada busur, sebab tangan-kutubnya (ll) sudah terdapat dan harus meralui dua tiiik yang tertentu (skarnir"skarnir A dan B). Jadi yang kita perlukan itu ialah besaran H iadidan berhubungdengan ini

    -I1 menjadi gaya statis kelebihan atau gaya statis tak tertentu dan ba-ngunan menjadi statis tak tertentu tunggal.. fur-y' tercepit seberah juga stabil serta statis tertentu. cepitan itu me-nimbulkan tiga gaya-reaksi, yaitu momen, kekuatan-vertikal dan kekuatan-

    mendatar' Apabila ujung lainnya tercepit pula, di sini akan tertimbul tiga ga;,a-reaksi pula dan bamgunan menjadi statis - kk tertentu b.rlipnt-ti;;.$ 5. Statis tak tertentu-dalam.Bangunan vakwerk rata itu stabil serta statis tertent u jika 2k=s*r dan batang-batangnya disusun yang tepat. Di sini s berarti banyaknya batang, k banyaknyatitik'hubungan dan r banyaknya gaya-reaksi, yaitu r = :. Tambahan sebatangdiagonal di dalam sesuatu vak (diagonal rangkap), menimbulkan tambahnyasatu gaya-batang, yang menjadi gaya statis tetebihan yang tergolong goya-doram.Bangunan menjadi statis tak tertentu-tralam tunggal. Jika ada n vak yangmempu-nyai diagonal rangkap, bangunan menjadi statls-tak tertentu berlipat n.Balok-bertularg seperti digmbar I, 7 itu statis tak tertentu tunggal. yangmenjadi gaya kelebihan ialah kekuatan-tarik H di batang s. Jika batang s inidipotong, lenyaplah kekuatan II tadr danbangunan menjadi balok di atas dua per_letakan yang statis tertentu. Kekuatai'Hitu adalah gaya-dalam pula.

    Sebagai teladan lainnya, kita ambil gelangtertutup (berbangun lingkaran, ellips, persegi

    VGambar I. 7

    nea r,-$5/6

    dan sebagainya), yang menahan muatan di dalam bidangnya. Jika kita nlenrol(nlgplang ini di sesuatu tampang, maka lenyaplah gaya-gaya yang bekerja pada tartt -pang ini. Gaya-gaya ini terdiri dari : momen, kekuatan-normal dan kekuatan-melintang. Ketiga-tiga gaya ini adalah pya-dalam, yang kita anggap sebagai statiskelebihan, dan dengan begitu bangunan kita sebut statis tak tertentu4alantberlipat tiga.

    $ 6. Perbandingan antara statis tak tertentu luar dan dalam.1. Balok terusan di atas n perletakan-bebas. Banyaknya kelebihan perletakanada n

    -

    2. lika (n -

    2) perletakan ini dihilangi, bangunan menjadi statis tertcntu.

    Gambar I, 8

    Oleh karena reaksi-perletakan itu tergolong gaya-luar, bangunan ini disebutstatis tak tertentv-luar (berlipat n -- 2).Sekarang banyaknya perletakan tidakdirobah, dan kita mengadakan (n

    - 2) seudi yang tepat letaknya supaya tiap-tiap

    bagian bangunan harus stabil (balok-Gerber). Dengan begitu susunan menjadistatis-tertentu.

    Sendi-sendi itu melenyapkan kernungkinan adanya momen-momen ditampangbalok di tempatnya. Momen-momen balok ini kita anggap sebagai gaya-kelebihan.Oleh karena momen-balok itu tergolong ppya-dalam, maka dipandang dari sudutsusunan Gerber, balok terusan itu juga boleh dinamakan statis tak tertentudalam(berlipat n-2prila).

    Kita juga dapat memotong balok di atas perletakan-perletakan antara, yangbanyaknya ada n

    - 2. Dengan begitu susunan terdiri dari (n

    - 1) batang balok

    yang masing-masing statis tertentu (balok di atas 2 perletakan). Memotong balokdi atas perletakan berarti melenyapkan momen-balok di situ. Jika momen-momen ini dianggap sebagai gaya kelebihan, susunan boleh disebut statis taktertentv-dalam.

    2. Busur dua skarnir. Menjadi statis tertentu jika di puncak diadakan skarnir,yang melenyapkan momen-busur di situ. Jadi momen-puncak ini dapat dianggapsebagai gaya kelebihan dan bangunan boleh dinamakan statis tak tertentv4alam(tunggal).

    5t

  • 52 BAB r -$6

    3. Busur tercepit. Kita memotong puncaknya, sehingga terjadi dua busur yangmasing-masing tercepit sebelah dan statis tertentu. Dengan begitu kita meng-hapuskan gaya-gaya pada tampang-puncak, yaitu : momen, kekuatan-normaldarr kckuatan-melintang (adi 3 gaya). Ketiga-tiga gaya ini adalah gaya-dalam daniika dianggap sebagai gaya-kelebihan, bangunan dikatakan statis tak tertentu-dalattu berlipat tiga.

    Kita juga dapat mengadakan tiga skarnir supay.q bangunan menjadi statistertentu. Skarnir-skarnir ini melenyapkan momen-morlren di tempatnya dan jika

    momen-momen ini dianggap sebagai gayakelebihan, bangunan tergolong statis taktertentu-dalarn serta berlipat tiga pula.4. Busur-vakwerk dua skarnir. Jika batangS dihapuskan, terjadilah busur dengan tigaskarnir yang statis tertentu. Gaya kekuatandi batang S dianggap sebagai gaya kelebihandan dengan begitu bangunan disebut statistak tertentu-clalam, tunggal.

    5. Vakwerk-terusan. Setelah menghilangi batang-batang S maka tercapailah tigabuah vakwerk yang masing-masing statis tertentu. Dengan rnenganggap batang-batang,S tadi sebagai bagian-kelebihan, atau kekuatan-kekuatan di batang-batangtersebut, sebagai gaya-kelebihan (gaya-dalam), bangunan dapat disebut statistak tertentu-clalam (beilipat dua).

    Gambar I. lC)

    Apabila yang dianggap sebagai gaya-kelebihan itu reaksi-reaksi pada perletakan-perletakan antara (dua buah), maka bangunan dinamakan statis tak tertentv-luar.

    6. Kesimpulan. Menurut contoh-contoh di atas ini, teranglah bahwa pada hake-katnya tak ada bedanya antara silat statis tak tertentu-dalam dan luar. Initergantung kepada penganggapan gaya-gaya mana yang dianggap sebagai statiskelebihan Bangunan vakwerk di atas dua perletakan-bebas dengan beberapa dia-gonal-rangkap, melulu bersifat statis tak tertentu dalam, sebab gaya-kelebihan-luar tidak ada. Begitu

    .iuga balok bertulang di atas dua perletakan-bebas.

    (iambar I, 9

    t)

    BAB r -$7/8

    $ z. Kombinasi.Bangunan vakwerk dengan diagonal-rangkap (satu atau lebih) itu statis taktertentu-dalam. Apabila perletakannya juga menimbulkan reaksi statis kelebihan(adi menimbulkan sifat statis tak tertentu-luar), bangunan menjadi statis taktertentu dalam dan luar. Contoh : busur-vakwerk dua sendi dengan diagonal-rangkap, vakwerk terusan dengan diagonal-rangkap.

    $ 8. Cara menghitung.Di dalam menghitung statika pada bangunan statis tak tertentu, langkah yangpertama ialah menghitung gaya-gaya yang statis kelebihan. Untuk ini kitamenghapuskan (di dalam pikiran saja) gaya-gaya kelebihan ini supaya mencapaisusunan yang statis tertentu. Kemudian menentukan syarat-syarat yang harusdipenuhi, misalnya bahwa titik-titik pegangan Baya-gnya kelebihan ini tak bolehberalih atau berputar-sudut. Syarat-syarat ini nanti akan menghasilkan persamaan-persamaan deformasi yang dapat menentukan nilai besaran-besaran yang kitacahari ini.

    Sesudah nrengetahui nilai besaran-besaran statis tak tertentu ini, dengansyarat-seimbang kita dapat menghitung dengan mudah pembagian gaya-gaya diseluruh bangunan dan tegangan-tegangannya yang kita anggap penting.

    5.1

    a

    a

  • $ l. Arti faktor pengaruhJuar.Di titik ,4 bekerjalah kekuatan p^(di A\ dan komponen peralihfn

    Gambar II, I8e=88" yang

    .iuga bertanding

    BAB IIPERSAMAAN DEFORMASI

    A. FAKTORPENGARUH-LUAR

    menurut garis a Titik ,4 akan beralih tempatini menurut garis a adalah 8o = AA" yangbertanding lurus dengan besarnya P, dantergantung kepada letak titik .4, arah garisa serta jenis bangunan. Berhubung denganini kita boleh rnenulis;8o: Po.8-,dima-na 8ro itu laktor yang tctap.

    Titik A juga akan berpindah dan korn-ponen pindahan ini menurut garis b adalalr

    lurus dengan nilai P, clan tergantung padaletak titik B, arah garis D serta jenis bangunan. Kita dapat nrenulis:05: {.86o,di mana 8ro itu besaran yang tetap pula.

    8oo berarti f'aktor-pengaruh atas peralihan-tempat titik l menurut arah ker-janya sesuatu kekuatan Pa yarlg berpegangan di titik ,4 ini.8oo berarti faktor-pengaruh atas peralihan titik B menurut garis D sebagai

    akibat dari kekuatan Pu pula yang bekerja di titik ,4.Faktor-faktor ini kita namakan I'aktor pengaruh-ruar, oleh karena peralihan-

    peralihan-ternpat ini rneninrbulkan pekerjaan-luar. Besaran 0,, itu senantiasabernilai positif sebab diukur menurut arah-kerjanya kekuatan, sedang 8oo dapatbernilai positif atau negatif, tergantung pacla arah garis b terhadap arah-kerjanyaP.

    a

    Sekarang kekuatan P, kita hilangkan dan di titik B kita kerjakan kekuaknPu menurut garis D. Kita akan mendapat :

    86 : Po.8D6 dan 8o : Pr.8aa856 = faktor-pengaruh atas peralihan-tempat titik B menurut arah-kerja

    kekuatan Pb yang berpegangan di titik B.

    BAB rr A- $ 1/2

    8,5 = faktor-pengaruh atas peralihan titik -4 menurut garis a sebagaiakibat dari kekuatan Pb yarrg bekerja di titik B.

    Faktor-pengaruh dengan indeks kembar juga dinamakan faktor-pengartth scn'din, al,a:u pibadi.

    Sebagai akibat dari kedua-dua kekuatan P, dan Pu akan terdaPatP".8- * Pr.8",P".80, * Pr.8l,

    Jika di titik-titik C, D, E ...., juga bekerja kekuatan-kekuatan P", Po, P" "",ma-ka:

    8": po.8." * pa.8,o + p".6* * po.6^+ p".E* + . .. .8a: p".8a" *pa.g* *p..ga" * pa.ga.r* p,.gr. + ....8" : p,.E., * pe.Ea + p..9." * pa.g.a + p..9.. + ...., d.s.t.

    Tentang dintensi demikian :

    55

    8o:8r:

    [s"] : [80] :[s""] : [8"r]

    tl.l:[,]:[*J: [8. .] : l|k): [cm/kg]

    $ z. Hukum Maxwell.Pada permulaan bekerjalah kekuatan P. di titik A yang akan beralih menurut garis-kerja Posejauh 8o : P,.8oo. Oleh karena { itu bekerja pelahanJahan (tidak seko'nyong-konyong), maka pekerjaan yang dijalankan olehnya ada |{.8,: } Po.Po.8,o: +P:.8*. Kemudian mulai bekerjalah kekuatan PD di titik B. Tirlk A beralih tagisejauh P6.8o5 (diukur menurut garis-kerja P,). Oten karena { sudah bekerja se-penuhnya, maka pekerjaannya bertambah dengan &.Pr8o dan Po yang bekerjatidak sekonyong-konyong menjalankan pekerjaan sebesar *Pr.P.8" : *Pi.8r.Jumlah pekerjaan yang dijalankan oleh kedua-dua kekuatan ini terdapat :

    u: +P2.8_+ P..Pb}.b + tPi.S*Sekarang urut bekerjanya kekuatan-kekuatan tadi kita balik, pertama-tama

    bekerjalah hanya kekuatanP, di titik B, yang dengan begitu menjalankan pekerjaansebanyak lPiEr, (caranya bekerja pelahan-lahan). Sesudah itu kekuatan Po mulaibekerja di titik ,4. Mengikuti keterangan di atas, tambahan pekerjaan oleh P, ada

  • BAB rrA. S 2/3

    Pr.P.8r, dan Po bekerja sebanyak tP:.5*. Jumlah pekerjaan sekarang menjadi:11' : lpl.t** pa.p"D, + lp;.006

    oleh karena cara urut bekerjanya kekuatan-kekuatan itu tidak mempengaruhinilai jumlah pekerjaan yang dijalankan, maka boleh ditentukan bahwa IJ

    -

    (J'.

    lPl.s* * p..^P, E"c * lpi.gr, : +p:9". | &.p,ar" -t ipi.EaoPoPbS,b : Po.P"d6,

    8"u: Er.Ini berarti : faktor-pengaruh atas peralihan tidk I diukur menurut garis-kerja

    kekuatan P" (yung berpegangan di ,4) sebagai akibat clari kekuatan P6 yang bekerjadi titik B (iadi nilai 816 ) sama dengan faktor-pengaruh atas peralihan titik .B diukurmenurut garis-kerja P1 sebagai akibat dari P" tadi (nilai 85" y.

    lnilah hukum Maxwell atau hukum saling-pengartzlr (tinrbal balik).U : fp!.8,,* &.pr8, * i4.Daa ::

    *pf,.t", + +p/6s"D * *p"pa8.a * *pisre :: lP:8." + iP".Pe8"a + *Po.P"So. + tpi d, :: $Po(P"8* * Pa8.a) * *Pa(P"Sa, * &S*) :: +P"8, * iPo8aJika ada banyak kekuatan-keku'ttan,Po, pt, p,

    ..... .. , terclapatt, _: lP,.E" * iPr.8, + lP..g. + .... : + EPS

    $ 3. Perluasan hukunr Maxwell.Ilukunr ini berlaku juga antara dua nrornen, dan pulaantara nlomen dan kekuatan.Momen itu terutama menyebabkan putaran-sudut g dan secara tak langsung jugamenimbulkan peralihan-tenrpat yang kita tutis dengan 8'. Kekuatan itu pertama-tama mengakibatkan peralihan-ternpat (tertulis I ) dan secara tak larrgsung dapatjuga menyebabkan putaran-sudur, g'. Jadi peralihan tempat disebabkan olehmomen itu 8' dan putaran-sudut oleh kekuatan ialah g'. (Kekuatan dapat bekerjajika titik-pegangnya beralih dan rnonren dapat bekerja jika tanrpang-kerjanya-berputar).a. Perbandingan antara dua momen (gambar II. 2).

    9o: Mo.goo * M*"t9t: Mo.goo * M*u

    56

    r)

    BAB rrA- $ 3

    "ffi Arti-arti goo, gob, gtb dan 96o itu analogMa ,io delsan apayang diuraikan di dalam $ 1'

    ' Jika pada permulaan yang bekerja hanya MoGambar II, 2 maka.4 berputar sudutsebesar Mo.goodarrMobe-

    kerja sebanyak lM,.M"9*: *M29," (sebab -M bekerja pelahan'lahan).Sesudah M, dikerjakan, ,4 berputar sudut lagi dengan MtPa dan ^B dengan

    Mt.gw. Oleh karenaM" sudah bekerja-sepenuhnya, tambahan pekerjaannya ada"fuI

    ".M ogoudan Mrbekerja sebanyak lMi.qon

    u: lM\p,o* M"Mrg,t* LMlqwJika urut bekerjanya momen-momen ini kita bdlik, maka mengikuti keterangan

    di dalam $ 2 kita mendapat :U' : LM\q,o* Mo.Mopr"! lMl.956

    Dengan menentukan tl = t/ terdapati 9.t : 9bo.Dimensi : I P.] = [0] (tak berdimensi)

    tq l: tt*t] : tt*t] : tu-"-rl: rkg-'cm-rlb. Perbandingan antara kekuatan dan momen.

    8o : Po.8- | M5.8o5, go: Po.h'- * Mo,g,t85 : Po.86o * Ma.8ar, 9t: PoP'u* Mt.got

    5't

    8.6 = pengaruh atas peralihan titik ,4 me-rurut garis-kerja P" sebagai akibat dari Mr.

    866 = pengaruh atas peralihan titik B (diukurme(urut sesuatu garis yang kita pilih sendiri),sebagai akibat dari momen M5.

    g* = pengaruh atas putaran-sudut pada tam'pang A sebagai akibat dari P..' iu = peiguruh atas putaran-sudut pada tampang B diukur menurut arah-kerjaM o, wbagai akibat dari P".

    iudu p.r*ulaan yang kita anggap bekerja dahulu ialah P. dan sesudahnya,momenMr. Dengan begitu terdaPat :

    u: *4.8_+ P".Mbtd* tMl.pu

    Gambar II, 3

  • -53

    Jika urut-kerj a gaya-g^ya ini di balik, makau' : +P:.8** M5.p,9'0"* *Mi.v*

    Oleh karena U = t-/, menjadi : g, : gi..-[8,.]

    : [!/pomenl : [t-'] : [ks-']te..l: [t/kekuatan] : F.,l j f"n -tJadi [S..] : [q..]

    BAts rrA- g 3/4

    $ 4 Hukum Castigliano.Pada sesuatu bangunan bekerjalah kekuatan-kek tatan po, p6, p"

    ......p, di titik-titikberturut-turut A, B, C ...... X. Menurut pengakhiran g Z i..jupui , - "u: ,xp.8. : *p"8, + *&8, * *p.4 + ....ip,s,

    !, : Po8- * Pa8,, + P.8- + .-.. . &8_8o : Po.8ao + Pa.8ra * p".Sa. + .. ;r,J"8-*_: Pr.Dr" * pr.g*o + p".g*" + . . . p,.gr"Y : lPr(!"8- + 48,6 + P.8," + ... . &s*) +* *Pa(P"8a" * PrSoo * P.sr" + .... F,r*) +

    + +P.(p.g*, * prg*, + p.gr" + .... &g*)daldp,: lp"g* * ipago, i +p"f", +-.:'.i1"8"" * *Pa8,o + +P"8," + .... P,D*: 18* + Pr8r, * P.8,, + .... pJg..:8,

    Ini berarti : differensial-kosien dari jumlah pekerjaan ke sesuatu kekuatan itusama dengan peralihan titik-pegangannya (diukur menurut arah kerjanya).

    Inilah hukum Cas ti glian o.Selanjutnya, dzu ldp:: g*.Differensial-kosien kedua dari jumrah pekerjaan ke sesuatu kekuatan berarti

    fa ktor-pengaruhnya sen diri, jadi senantiasa positif.

    Kenrudian d\(J ldPdP" : d #; ldpo : dg,ldp": g,o. Dfferensial-kosien

    BAB rrA- $ 4

    kedua dari jumlah pekerjaan, pertarna kali kc suatu kekuatan (Pr) kemudiankelainan kekuatan (Pa) berarti faktor-pengaruh atas peralihan titik-pegangal keku-atan yang pertama (Pr) dari kekuatan yang kedua (P3)

    Jalan lain ialah demikizur. Sebehtm gaya-gaya tadi dikerjakan, bekerjalah gayadi Px di titikpegangan Px , yang kemudian dr susul oleh gaya-gaya termaksud. Se-bagai akib at dari yar-rg belakangan ini, titik pegangan gaya dPx atau gaya P1 sendiriberalih sejauh 6x . Oleh karena gaya dPl telah bekcrja sepenuhnya, ntaka inimenjalankan pekerjaan sebesar aU =hp*6*

    .

    jadi 6* = dUldP*.

    Secara urnum kita tulis

    6: = d U/dPj,= PuDj, + P663u+ ...... P15,, + P1 6;r +

    59

    'P*6i,.

    .P*6tr.6r = d U/ dPt= Pu 66, + P5 615 + Pi 61; + Pr'Dxr. +

    d6ji dP;= (zUldPi= 61;; d6i/dPr. = rl2 t.t/dPi dpr = 6 jx.d6k/dPk = cl2u/ae'zo = 6rx;d6r/clPi = d2 U/dPkdPj = 6xj.

    Oleh karena c12 U / clPj dPr = 6z ,rdtuhukum timbal balik Maxwell.Jika P; dan Pp diganti dengan M1 dan

    9i= dU /dMj = P"Pj* * Pr,9jr+..

    = 6kj yangberafti lagi

    Mr 9ir1. .. . . P* 9i*

    dP;, maka 6ir

    Mq, rr"renjadi :

    ..... M1 911 +

    9r. = dU/alt* = Pofi u+P69'L1,+.......M.i 9r.i + Mrgr.i+.....P*9'r*.,?ii = ,l'UldMjl 9rr = d2U/dMi i 91r = fr

  • BAB rrA- g 4/5

    dpildPk - cl2ui dMj dpk = 9;p dan d6u/aMj = druldpkdMl = 6L.;.Tcrdapat g'3p = b'11 .Jadi rnenurut perjalanin di atas itu, urutnya uraiar.r terbalik:pertama-tama rnenclapatkan huku,r castigliano da, berdasarkan ini, baru hukumMa xwel.

    $ 5. Beberapa contoh.A. Balok terjepit sebelah dengan I tetap dan bentatg OB = /.l. Akibat ga.va-gaya l,o clan p6M,: PA + Pr(* + 6), diambil r.rilai mutlaknya.dM,ldP.: x; dM,ldP5: (x + ,)u: IMldxlLErgo: d(Jl/p" : l^" rw.gtw.1dp") dxlElJ,

    r'o8..: iluldf;: I gM,1dP")z dxlEI'lof":

    J,xzdxlEl:asl3Elr,

    8b: dltldPb: I ru,@Ll,ldPb) dxtEl.l _{

    -fofo8w: iluldPi,: l@u,ldpe), dslEl : I @ | b)e dxiEl : trl31l..r-r

    .l )goe : 8oo : drllldpdpo: ["g*,10r")(dM,ldp) dxlEI :

    -1 ,

    Gamber II, 3arl

    : I r(r r- D) dxlEl : (lat + 12 alb)lEl : (]rt -[a) azlElJo

    8o : PoSoo * pa8, : lasp;El + (irr + * arb) plEI8a : Po8ao * Po8u : (1o, + L

    "rb) p"lEI + tls pblEl

    BABTTA- $ 5

    Dengan menentukan Po: 0 dan membuat c variabel terdapat 8" :

    * ,, * * 12 a,b) yang berarti ordinat garis lentur akibat Po.

    6l

    2. Ahibat npmcn Mo dan M5M,: Mof M5dM*1dM": dM,ldMo : l.

    fopoo: I dxlEl:alEIJo

    fogoo:ldxlEl:qEIJ-+ Gambar II, 4

    fc9or:9u: I . @M,ldL[,) (dM,ldMb) drlUl : alEI

    Jogo

    --

    M&oo * Mo7"o: (M" { M) alEIgt : M&oo* fuIogot: (M,a + Mbl)lEI

    3. Kelautan-kekuaton Po dan Pr, dan momen-momen Mo dan Mo.

    Gamber II, 5

    M,:Pox*Pe @ +D)+ M" * MtdM,ldP,: x; dM*ldPt: (r f D)dM,ldM.: dM,ldMt: 1.8.0 :9i" : drUldP,.dMo:

    f": | (dM,ldP")(dM,ldM) dnl0l :f": I xdxl0l:latlElJ,

    8i. : p, : &uldpi*, : i."O +

    b) d#lEr : (t a2 n !ry! il,r,goo : 9oo : d,(J ldp".dM

    "

    : f

    ""

    xdxl EI : I as lEI.

    8ao : eoo : iluldpo.dMo: I\t b) d*lEr : *ltl}r

  • 62

    8,

    9"

    BABTTA- $ 5

    : P,8, * Pa8"a * Mot'** M68'6:I: EI{l P"rt + Pa(t al + * orb) + * M" o, * * Mear}

    : PoDa, * Pr8o, * Mo\o" * Mr8o, :I: EI {P,(lo' * }2 a2b) + i pbls f- M,(t a2 * ab) + t MJrl

    : Mogoo * Moga * P"p'* * p69), ==1:

    B1(M"a * Moa * [ P,az * L Poa2 -f P$b)96 : .t1[og6o * Il[*u -f pogtu * p*ao .,=

    I: B1(M"a * Mol * 12 p"az + lt pot )

    B. Balok di atas dua titik perletakan (EI tetap).1. Lenturan okibot beban vertikal.Kita mengadakan dua gaya p, dan p, seperti gambar.

    DsM,-.o--P,T**Pa, x;b2(dM,ldP,)z : T *r'

    (dM,ldP") (d tI,ldP): * r,12'asM,

  • BAB rrA- $ 5

    (dM,ldP,)(dM,ldM,): ws'* : B'

    "o : dz(Jldp"dM"

    - # | l,*r* * l r' o(/-r) xdx :_

    ab(t + b) _

    b(lr-br)6EI I 6EI I

    _ ab(l + b)9o: Prq'or: P" --iEil

    Untuk menghitung gi" kita mengadakan Mo pada ujung fl dan akan mendapat:ob(l{a) a(12*az1TN 6EI I 6EI I

    3. Putaran ujung akibat momen M,.xxM*.o:-M, t+Moi.

    b(dM.ldM") (dM.ldM):

    - *

    u (l-u\A[u.o: M,T a Mo t -(dM"ldM,)(dM,ldM): ry

    eo,: ?,t: dzuldM"dMb: #,\- j""xs dx i -[,'rU - rn drti:1t

    : ntp(-lrt + +lb'

    -t6') : 6EU (12-3az) menurut aruhMo.Dengan cara analogos terdapat

    I9*: 9,o : im (12 - 3b2) menurut arah Mo (ke kiri)

    C. Cara dengan mengadakan pya fiktif.Di dalam contoh-contoh di atas tersimpul, bahwa untuk menghitung lenturanatau putaran, kita mengadakan kekuatan atau momen yang selaras, yang nilainya

    Gambar II, 8

    IIABIA $5/6

    Plrla akhirnya tidak dipakai lagi, atau diberi nilai no1. Cara ini dapat diperlihatkarrtli dalarn contoh lain.

    Batang AB berbentuk seperempat lingkaran(LI tetap) terjepit di ,4 sehingga terletak di dalarnbidang vgrtikal. Ujung B dibebani vertikal sebesarP.

    Berapakah peralihannya ujung B ?Titik .B beralih secara vertikat (8,) dan mendatar(8^). untuk mempelajari yang terakhir ini, kitamengadakan gaya fiktif mendatar H di B.

    M* : Pr (1 -sin a) f trlr cos a(dM,ldP)z : f2 (l

    -

    sin a)2;

    (r5

    (dM,ldP) (dM'ldH): r' (1 -

    sin a) cos u; (dM,ldH)' : rr cos2 a'

    B*: d'uldP' : * I .rA -sin o,)t o. :

    Q" *:) *

    E,r : Dr, : dsuldP.dH : *

    j ,'A- sin e) cos a da: *

    8u: dz(JldH, : : f *X"r,

    ada:15, t*t dipakai jika memangEI .l

    " +EI ada gaya nrendatar cli B).

    b-,:P.8-i 8r:P.}r,

    S 6. P. dan Po bekerjanya tak vertikal'Aki bat kekuatan-normal diabaikan.

    oir8-

    -

    vertikal : | 77. sin cE- : (8-

    -

    vertikal) sin c :d:t77sinta

    P6sin a

    Gambar II, 10

  • 66 BAB rrA- $ 6/7

    4rD \*t n)sina

    alD \+f rt) sinasinP

    8ro-vert. -

    -

    8a":(8a-vert.)sinp:-,38u : | ,r. sinr g

    D, -vert. : - (r fi *, #) ,," ,

    8,a : (D"a-vert.) sin cr : -(r* * l#)sin asin g : Dr"

    Jika akibat kekuatan-normal juga diperhitung:8--mendatar: acoso,lEF

    8- : (8--vert.) sin ct { (Eo,-mend.) cos "

    : }d sinzalEl I a co'szalBF8a" : * (ld + |arD) sin csin g/81 * acos a cos plEF

    855 : |/8 sinr p/8.I f cost p/EF

    $ 7. Penggunaan.a. Bangunan statis tak tertentu tunggal.l. Reaksi stotis tak tertentu adaloh gaya-kekuatan X. Di titik-titik 1,2,3, ......nbekerjalah kekuatan-kekuatan-luar : Pr, P2, P3,...... P,. ltka reaksi X dihapuskan(bangunan menjadi statis tertentu) titik-pegangannya akan beralih sejauh

    E P. 8,. : &8,r * &8,r * P06,, + . ...P"8-ke arah berlawanan dengan arah-

    kerja X. Kekuatan X yang kentudian diadakan kenrbali berhasrat rncmindahkantitik-pegangannya ke arah kerjanya sejauh X8*. Supaya titik-pegangan taditak beralih, rnaka harus : X.8= : , P.8r.

    X: Z p.0,./D:Sebelumnya, kita harus menghitung nilai-nilai 8,^ yaitu 8,1, 8,2, E*, . .8,n)

    dan 8o pada bangunan yang statis tertentu yaitu yang terjadi jika gaya kelebihanX dihapuskan).

    Kita juga boleh menggunakan hukum Castigliano. Sebagai akibat dari muatan-muatan luar dan segala reaksi-reaksi-perletakan beserta juga gaya X, maka sesuatutanrpang S pada bangunan menahan : momen ,[4 kekuatan-normal

    -Ay'- dan kekuatan-

    (,#/ar(tfl

    BAB rrA- $ 7

    rrrclirrtang Q. Jumlah pekerjaan robahan-bangun adalah u = I Ml dsl2Et lI N: (lsl2EF + t 4 dsl2cF . Menurut hukum Castigliano tadi, peralihanlcrrrpat titik-pegangan kekuatan x terdapat duldx. Akan tetapi titik-pegpngan xirri tak boleh beralih atau harus bernilai nol.

    ladi dUldX = 0. Kita mendifferensi di bawah tanda-integral.

    t**,a,+ I* *** [ Q,dQ, d,:o.l EI dx .l EFdX*'l6rdx"o-

    Ur, Ui aun e iru biasanya'funksi X, yang*r., Or{i**rrr.2. Gaya statis kelebihan adalah gaya-momen X.

    X.9o: X p.p,. : &q,, * &p_, * pgg*r * .... p,9_X : 2 P.z'*.lg*

    Jadi yang kita pelajari di sini iarah putamn-sudut pegangan x. Tentu saja,lrukum Castigliano juga berlaku di sini.b. statis tak tertentu berlipat dua, dengan x, danx, sebagai gaya statis kele-bihan.

    X,8- + Xo8, : Xp.8". : prgo, * pzg,z + .... p"g-X"8a" * XrSaa : X p.bo. : prga, * &ga, * .... p"gr,

    Jadr 2 persamaan dengan 2 besaran tak terketahui. Menurut castigliano :dUldXu=0dandUldXu=0.c. Statis tak tertentu herlipat k, dengan X", Xt, Xc ...... Xk

    x.8.. + Xo8,o * X"8,. + . .. . X.g.^ : xp.g,.X.sa" * XaDu * X.80" * .... X^8r^ : E p.ge.Xo8", * XlSa * &8." + .... X.8"^ : Xp.g".

    X"8." * XaEr * X"Sr. * .... X^g^ : Ep.gr.Kita mendapat k persamaan dengan k besaran tak terketahui.Menurut Castigliano : dUldX" = 0; dUldXu = 0;.. duldXO=g.

    67

  • 68

    $ 8. Kesalahan di dalam konstruksi.

    nea uA- $ 8

    Meskipun bangunan tidak menahan muatan-luar, ada kemungkinan bahwa didalam konstruksi tertimbul tegangan-tegangan yang menyebabkan adanya reaksi-reaksi-kelebihan. Kejaclian ini dapat disebabkafl oleh kesalahan di dalam me -nyeler1ggarakan bangunan (salah "stellan") atau perbeclaan derajat-panas di pelbagaibagian-bagian'k ons t ruksi.

    s.uugui umpama, titik.pegangan reaksi Xu mendapat salah.stellan a cm; titik.p.grng;n Xo, b cn ast. .tita reaksi-reaksi Xi,Xo, " ' X* dihapuskan' titik-titik-pegangannya beralih sejauh berturut-turut a cm, b cfi, ''' /c cm' menurutgaris-kerja reaksi-reaksi tersebut. Nilai-nilai a, b, " ' /< dianggap positif' apabi'la arahnya ini berlawanan dengan arah kerja reaksi yang bersangkutan.

    Persamaan-persantaan robahan-bangun terdapat :

    X,8*+ XrS"t* X,8o,+ ""XsSa:aXr8." + Xa8ae * X,80. * " " &8r. : D

    X.8." * Xa8^. * X.8o * " " X18s : A

    Nilai-nilai X yang terdapat ini ialah reaksi-reaksi kclebihan sebagai akibat darisalah-stellan saja, ini harus ditambahkan nanti dengan pendapat'pendapat yangdiakibatkan oleh muatan-muatan-luar'

    Dengan mempergunakan hukum Castigliano kita rnendapat :

    duldxa = a; clLlftlXu - b; " "' dUltlXo = li'

    Sebagai contoh kita ambil balok di atas entpat titik-perlethkan-bebas :A, B, (' dan D dengan til letap. Perletakan B letaknya terlalu tinggi b cm danperletakan C terlalu rendah r cm. Se-bagai statis kelebihan diambil reaksi-reaksi perletakan X u dan X".

    Apabila titik-titik perletakan B danC dihilangi, titik B akan turun D cmelan titik C naik c cm atau turun-

    c crn. Xu dan 1" dianggaP Positifjika arah kerjanya ke atas, jadi perka'

    taan turun berarti arah berlawa-nan dengan arah kerja ini. Gambar II, 11

    lr^uilA $u

    XoSrr*X"8e":6Xr6"r* X"gu:-s

    l)cngan hukum Castigliano :Kita hanya memperhitung robahan-bangun yang disebabkan oleh

    rrrt (iadi oleh momen), akibat-akibat dari kekuatan-kekuatan normallirrtang jadi kita abaikan.

    Kekuatan-kekuatan Xu dan X" (ke atas arahnya) menimbulkan.-

    1 -_- 1R"- * 7 {x{k+ /3) + XJ"} dm Ra: -i T lxb\+ X,(1,

    Untuk titik sejauh x

  • BAB rrA, $ 8/9

    1."+ t,

    +ftr

    J,i,,

    +

    +

    .. (l)

    ,) -

    -r)-r. .(2)

    x (t, t t,)dx * -[ ,',,' [+ t", (/, + /3) +(,-/,) ll+,,, + /,)-(,-r,))lr, *

    x,(t, + alr !-! t,dx : Erb. . . .. (l)td,x {

    -[,',,'*''l; v,r,,* /,) + xJ,] -* .[,",.,?{x'l' + X'(t't

    ")}u i*)-llr)dx:-EIc .... ...(2)

    r"t i-xbol, *

    ,tl il"dx

    ((

    (rl

    1_t

    xb

    YJ

    X,

    r13'

    {xX,

    ,c

    I

    /r)

    I

    I

    t)

    +

    9l2

    +

    (x

    I

    +/

    l2

    ,(

    t(l

    flIly

    ,(lxb

    [,;(X

    IX^r

    +

    x,lr)

    I

    )+,r)l

    S 9. Garis-elastis sebagai garis-pengaruh.Sebagai conloh kita ambil balok terusan di atas 3 titik-perletakan A, B dan C danreaksi-perletrkan B dianggap sebagai gaya kelebihan.

    Perletakarr I kita hapuskan dan kita mengadakan muatan Q = 1.di titik B,yang aralr kerjanya bcrlawannn dengan reaksi B. Kita juga boleh mengatakanbahwa kita rnengadakan kekuatan B = --1, dan menghilangi perletakan B ituberarti menghapuskan kemungkinan bekerjanya reaksi B. Kemudian kita melu-kiskan garis-elastis balok AC sebagai akibat dari muatan Q = 1 (atav B = -l)di titik B tadi (susunan statis tertentu).

    Ordinat glris-clastis di titik B adalo:9.8tt: 8ae. Ordinat pacla scsuatutitik 1 ada lr : Q.8u : 8,r. jika pdipindah di titik l. rnaka titik B akanturun sejaulr 98ar : 8or : 8ra : .7r(hk-Maxwcll) Supaya titik B takakan turun (trk trcralih), j'ika dititik Inanti berdiri n)uallul P. rnaka kita nremerlukan kektrltarr ll ylrrg kc atas arahnyasehingga BS,D : PSdr : PSro : Py,

    BYo: PY'B : p.yrly,

    Gamber II, 12

    ilAB lrA $ 9

    l)i sini -rr, dan P itu besaran yang tetap, jadi 13 itu bertanding lurtts dcttgrttt

    t'r ltau dengan lain perkataan : Nilai reaksi.B sebagai akibat dari muatan yttttglx:rtliri di titik I itu dapat dilukiskan oleh ordinat garis-elastis di titik I tersebut,(tli rrrarra muatan berdiri) pada balok AC yang di titik B dimuati dengankekuatan0 yang besarnya kita tentukan sendiri (misalnya O = I ton). Jadi garis'pengoruhrcaksi B dapat dilukiskan oleh garisclastis tersebut.

    Dengan tidak diterangkan, arah-arah kekuatan Q dar. P di atas tadi diambilvcrtikal. Apabila arah muatan P tidak vertikal (lihat titik 2), kita mengambilproyeksi ordinat garis-elastis menurut arah kerja muatan P ini (garis l', digambarIl, 12) dan terdapat B = P. ),'rl!6.

    Sekarang sebagai reaksi statis tak(li titik B (disebut momen-peralihan),vang kita namakan Mr. Balok kitapotong di tanrpang A (adi mengha-puskan kemungkinan bekerjanya Mu)dan di kedua-dua ujung potongan inikita mengadakan momen XI = l,yangarah kerjanya berlawanan dengan Mu(atau nrengadakan Mu =

    -l). Kemu-dian menggarnbar garis-elastis balok-balok AB dan BC sebagai akibatnromen M=lini.

    tertentu kita pilih momen pada balok

    Supaya rnendapat gambar yang terang, ordinat-ordinat gariselastis ini dilipatkandengan faktor l:llo di mana 1o itu momen inersia pada sesuatu tampang (di sinidianggrp bahwa El-balok tak tetap).

    Kedua-dua ujung potongan tadi akan berputar sudut terhadap satu samalain sebesar gt: Mgw: goa.Sesuatu titik I (di mana nanti muatan P akanberdiri) akan turun sejauh yr:MDi5:8ra. Setelah menghilangkanmomen.l11=1tadi, dan mengadakan muatan P di titik l, maka putaran sudut pada ujung-potongan terdapatPgirdan oleh karena menurut hukum Maxwellg51 :8i6, jugaboleh ditulis P8i6 : Pyr. Supaya balok menj4di utuh lagi (membatalkan putaransudut atau keadaan rengat pada tampang -B) maka kita harus mengadakanmomen Mb dt B supaya Mogoo- Plr

    Mtgo : Plrl[, : PyJgo, di manaP dan 95 :9r" bernilaitetap.

    'n

  • BAB rrA- $ 9/10

    Jadi Mu bertanding lurus dengan /, = ordinat garis-elastis di tempat muatanP pada potongan'potongan balok AB dan BC jika di ujung-ujung potongan diada-kan momen yang bernilai tertentu (misalnya = l). Atau juga, garis-pengaruh Mudapat d