159.методы решения матричных игр методические указания...

Министерство сельского хозяйства Российской федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Саратовский государственный аграрный университет

имени Н.И. Вавилова»

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ МАТРИЧНЫХ ИГР

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ЗАДАНИЯ ДЛЯ

РАССЧЁТНО-ГРАФИЧЕСКОЙ РАБОТЫ

для студентов-бакалавров аграрного университета направлений подготовки землеустройство и кадастры, экономика и менеджмент

Саратов 2014

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

2

УДК 51-7(519.2/.6)

ББК 22.18

У 32

У32 Методы решения матричных игр: методические указания и задания

для рассчётно-графической работы для студентов-бакалавров

аграрного университета направлений подготовки землеустройство и

кадастры, экономика и менеждмент / Сост. Н.Б. Уейская //ФГБОУ

ВПО «Саратовский ГАУ». - Саратов, 2014 – с. 15.

Данные указания для выполнения рассчётно-графической работы по теме

«Методы решения матричных игр» составлены в соответствии с программами

дисциплин: «Математические методы принятия решений» для студентов-бакалавров

направления Землеустройство и кадастры, «Методы оптимальных решений» для

направления Экономика и «Теория игр в менеджменте» направления Менеджмент.

Приведены необходимые сведения, образец выполнения работы и варианты заданий.

УДК 51-7(519.2/.6)

ББК 22.18

© Уейская Н.Б., 2014

© ФГБОУ ВПО «Саратовский ГАУ», 2014


Введение.

В условиях рыночной экономики полагаться только на качественный анализ

явлений и интуицию становится очень ненадёжно, поэтому возрастает роль

математических методов, используемых в задачах принятия управленческих решений.

Механизмы функционирования рынка, конкуренции, возникновения или распада

монополий, а также способы принятия решений в условиях конкурентной борьбы, игры

монополий, действующие в экономической реальности, не могут быть исследованы и

поняты без теории игр.

Данные указания для выполнения рассчётно-графической работы по теме «Методы

решения матричных игр» составлены в соответствии с программами дисциплин:

«Математические методы принятия решений» для студентов-бакалавров направления

Землеустройство и кадастры, «Методы оптимальных решений» для направления

Экономика и «Теория игр в менеджменте» направления Менеджмент. Приведены

необходимые сведения, образец выполнения работы и варианты заданий.

Содержит следующие разделы: решение матричных игр в чистых стратегиях, а

также графоаналитическим методом, методами линейного программирования и

методом Брауна в смешанных стратегиях. Кроме того, проводится оценка стратегий

игрока для игр с природой по различным критериям.

Данные указания ориентированы на формирование у студентов ключевых

компетенций, связанных с пониманием основных понятий по указанным разделам, на

применение теоретико-игровых методов в профессиональной деятельности.


4

ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

Задание 1. Фирма может выставить на рынок три вида товара. В зависимости от

состояния рынка её доходы в денежных единицах представлены в таблице: Виды

товаров

Состояния рынка

1 2 3 4

1 1 0 -2 2

2 2 1 3 1

3 -3 -2 4 -2

Требуется составить модель матричной игры и найти

а) нижнюю цену игры и все максиминные стратегии игрока 1;

б) верхнюю цену игры и все минимаксные стратегии игрок 2;

в) цену игры и седловые точки, если они существуют;

г) рассматривая её как игру с природой, найти оптимальные стратегии игрока 1 по

критериям Вальда, Гурвица (полагая коэффициент пессимизма = 0,2 и =0,5),

Сэвиджа и Лапласа.

Решение. Составим модель матричной игры.

Множество игроков I={1, 2}, где 1 – фирма, 2 – рынок. Множество стратегий

(возможных действий) игрока 1 обозначим }3,2,1{1S , элементы которого есть виды

товаров. Для игрока 2 его множество стратегий }4,3,2,1{2S , элементы которого

представляют собой состояния рынка, а матрица игры, элементы которой равны

доходам в денежных единицах игрока 1 в во всевозможных ситуациях (определяются

парой стратегий выбранных игроками), равна А=

2423

1312

2201

. Если

предположить, что среда ведёт себя наихудшим образом по отношению к

принимающему решение, то игру можно рассматривать как матричную.

а). Для нахождения нижней цены игры и максиминных стратегий игрока 1 в каждой

строке платёжной матрицы выбираем минимальный элемент (наименьший возможный

выигрыш игрока 1 при применении соответствующей стратегии) и выписываем его в

отдельный столбец. Затем выбираем в построенном столбце максимальный элемент

или элементы, если их окажется несколько, и отметим их звёздочкой. Он (они) и будут

равны нижней цене игры, а номера строк, в которых расположены эти элементы будут

соответствовать максиминным стратегиям игрока 1. В нашем случае имеем:

minaij

j

Таким образом, нижняя цена игры v = ijjinaixmam =1, а максиминная стратегия игрока

1 (соответствует номеру строки, отмеченной звёздочкой): 2*i .

3

1

2

2423

1312

2201*


5

б). Для нахождения верхней цены игры и минимаксных стратегий игрока 2 находим

в каждом столбце платёжной матрицы максимальный элемент (наибольший

возможный проигрыш игрока 2 при применении соответствующей стратегии) и

выписываем его в отдельную строку, а затем выбираем в построенной строке

минимальный элемент или элементы, если их окажется несколько, и также отметим их

звёздочкой. Он (они) и будут равны верхней цене игры, а номера столбцов, в которых

расположены эти элементы будут соответствовать минимаксным стратегиям игрока 2.

2423

1312

2201

maxaij 2 1* 4 2

i

Таким образом, верхняя цена игры v = ijij

aaxnmim =1. Минимаксная стратегия

игрока 2: 2*j .

в). Седловая точка- это ситуация, выигрыш первого игрока в которой есть элемент,

являющийся одновременно самым маленьким в своей строке и самым большим в своём

столбце. Такая ситуация существует, если v = v = v и образуется любой парой

соответственно максиминной и минимаксной стратегий, при этом v называют ценой

игры, а седловую точку её решением, так как ни одному из игроков невыгодно

отклониться от неё в одностороннем порядке.

В нашем случае v=1. Седловая точка (2, 2).

г). Поскольку игрок 2 – рынок (стихийная сила), то игру можно рассматривать как

игру с природой.

Оценим стратегии игрока 1, используя Критерий Вальда, основаный на гипотезе

крайнего пессимизма игрока по отношению к поведению среды, а именно:

предполагается, что среда ведёт себя наихудшим образом по отношению к

принимающему решение.

Оптимальной стратегией по данному критерию является максиминная стратегия. В

нашем случае это стратегия 2.

Таблица 1

Виды

товаров


Кр.

Вальда

minaij

j

maxaij

j

Критерий Гурвица Кр.

Лапласа

1 2 3 4 α =0,2 α =0,5

1 1 0 -2 2 -2 2 1,2 0 0,25

2 2 1 3 1 1* 3 2,6* 2* 1,75*

3 -3 -2 4 -2 -3 4 2,6* 0,5 -0,75

Критерий Гурвица. Гипотеза о поведении среды: наихудшее состояние наступает с

вероятностью α, а наилучшее с вероятностью (1-α). α называют также коэффициентом

пессимизма. Оптимальной по этому критерию считается та стратегия, для которой

среднеожидаемый выигрыш ijj

ijj

xaamnaim )1( является наибольшим.

Оценим стратегии игрока при α=0,2 и 1- α=0,8:


6

Для стратегии 1: 2,128,0)2(2,0

Для стратегии 2: 6,238,012,0

Для стратегии 3: 6,248,0)3(2,0 .

Оптимальные стратегии: 2 и 3.

Аналогично, оценим стратегии игрока при α=0,5и 1- α=0,5:

Для стратегии 1: 025,0)2(5,0 .

Для стратегии 2: 235,015,0 .

Для стратегии 3: 5,045,0)3(5,0 .

Оптимальная стратегия: 2.

Критерий Лапласа. Гипотеза о поведении среды: предполагается, что все состояния

среды равновероятны. Оптимальной по этому критерию является та стратегия, для

которой среднее арифметическое возможных выигрышей будет наибольшим.

Для стратегии 1: 25,04:)2201( .

Для стратегии 2: 75,14:)1312( .

Для стратегии 3: 75,04:)2423( .

Оптимальная стратегия: 2.

Результаты вычислений занесём в табл. 1.

Критерий Сэвиджа основан на преобразовании матрицы выигрышей )( ija в

матрицу рисков )( ijr , где ijiji

ij axaamr . Риски показывают, какие потери понёс

игрок из-за незнания истинного состояния среды. Заметим, что матрица рисков всегда

неотрицательна.

Оптимальной по данному критерию считается стратегия, минимизирующая

максимальный риск.

Составим матрицу рисков и найдем минимаксную стратегию игрока 1. Результаты

вычислений занесём в табл. 2. Оптимальная стратегия: 2.

Таблица 2

Виды

товаров


Критерий

Сэвиджа

maxrij

j

1 2 3 4

1 1 1 6 0 6

2 0 0 1 1 1*

3 5 3 0 4 5

Ответ: а) v =1; максиминная стратегия: 2; б) v =1; минимаксная стратегия: 2; в)

цена игры 1; седловая точка (2,2); г) оптимальная по критерию Вальда стратегия 2,

выигрыш 1; оптимальные стратегии по критерию Гурвица ( = 0,2) 2 и 3, выигрыш 2,6;

( =0,5) стратегия 2 выигрыш 2; оптимальная по критерию Лапласа стратегия 2,

выигрыш 1,75; оптимальная по критерию Сэвиджа стратегия 2, наибольший риск 1.


7

Задание 2. Требуется найти решение матричной игры а) графоаналитическим

методом; б) методами линейного программирования; в) методом Брауна (10 итераций)

для игры, заданной матрицей 257

1132.

Решение.

а) Найдём решение игры графоаналитическим методом.

Построим на промежутке [0;1] отрезки прямых:

v=2p+7(1-p) (I)

v=3p+5(1-p) (II)

v=11p+2(1-p), (III)

задающих выигрыш v игрока 1, при условии, что игрок 2 примет чистую стратегию

соответственно 1, 2 и 3. Затем построим нижнюю огибающую и найдём её наивысшую

точку М (см. рис. 1).

Так как точка М есть точка пересечения прямых (II) и (III), то, исходя из матрицы

25

113, найдём решение по формулам для нахождения оптимального решения

Х*=(р*, 1-р*) и У*=(q*, 1-q*) матричной игры 2 2 с матрицей А=2221

1211

aa

aa:

22211211

2122*aaaa

aap ;

22211211

1222*aaaa

aaq ;

22211211

21122211

aaaa

aaaav .

Цена игры: 45,411

49

11523

11523v .

11

3

11

52*p ;

11

9

11

112*q .

Оптимальная стратегия игрока 1: Х*=11

8,

11

3, а игрока 2 - У*=

11

2,

11

9,0 , так как его

чистая стратегия 1 не входила в решение.

Рис..1.

2

11

5

3

7

2

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2


8

б). Найдём решение методами линейного программирования.

Так как все элементы матрицы игры положительны, то цена игры v>0. Приходим к

паре взаимно двойственных задач:

L=u1+u2+u3 (max) L1=t1+t2 (min)

0,0,0

1257

11132

321

321

321

uuu

uuu

uuu

и

0,0

1211

153

172

21

21

21

21

tt

tt

tt

tt

.

Решим эти задачи симплекс–методом. Для чего приведём первую задачу к

канонической форме:

0

1257

11132

321

5321

4321

uuuL

uuuu

uuuu

, где u4 ≥0 и u5 ≥ 0.

Составим симплексную таблицу:

БП СЧ u1 u2 u3 u4 u5

u4 1 2 3 11 1 0

u5 1 7 5 2 0 1

L 0 -1 -1 -1 0 0

Выберем разрешающий столбец, который соответствует наименьшему

отрицательному коэффициенту в строке L. Возьмём, например, u2. Выбираем вторую

строку разрешающей, так как для неё отношение свободного члена к положительному

элементу разрешающего столбца минимально.

Составим вторую таблицу, в которой первая строка получена делением

разрешающей строки на разрешающий элемент 5; вторая есть результат сложения

первой строки второй таблицы, умноженной на(-3) с первой строкой первой таблицы.

Строка L есть сумма соответствующей строки первой таблицы с первой строкой второй

таблицы.


u2 0,2 1,4 1 0,4 0 0,2

u4 0,4 -2,2 0 9,8 1 -0,6

L 0,2 0,4 0 -0,6 0 0,2

Во второй таблице разрешающий столбец u3, а разрешающая строка вторая.

Поделим её на разрешающий элемент 9,8 и запишем в первой строке третьей таблицы,

а затем преобразуем её так, чтобы в столбце u3 остальные элементы обратились в нуль.

Для этого первую строку третьей таблицы умножим на (-0,4) и сложим с первой

строкой второй таблицы. Строка L третьей таблицы получается сложением

соответствующей строки второй таблицы с первой строкой этой же таблицы,

умноженной на 0,6. В результате получаем таблицу


u3 2/49 - 11/49 0 1 5/49 -3/49

u2 9/49 73/49 1 0 -2/49 11/49

L 11/49 13/49 0 0 3/49 8/49


9

Так как все коэффициенты в строке L неотрицательны, то преобразования

закончены. Из последней таблицы можно найти решение двойственных задач, а

именно: в двойственных задачах свободные члены в неравенствах и коэффициенты в

целевой функции меняются местами, и поэтому решение двойственной задачи

находится в строке L последней таблицы в столбцах u4 и u5. Таким образом, Lmax=49

11,

t*=49

8,

49

3, u*=

49

2,

49

9,0 .

Следовательно, цена игры v =11

49≈4,45.

р*1=11

3

11

49

49

3; р*2=

11

8

11

49

49

8 и Х*=

11

8,

11

3.

q*1=0; q*2=11

9

11

49

49

9; q*3=

11

49

49

2 и У*=

11

2,

11

9,0 .

в). Найдём методом Брауна приближённое решение игры после 10 итераций.

Игроки по очереди выбирают свои стратегии. Первый начинает с максиминной. Его

возможные выигрыши (проигрыши игрока 2) записываем в отдельную строку,

расположенную ниже матрицы. Второй игрок выбирает стратегию, обеспечивающую

ему наименьший проигрыш. Теперь возможные выигрыши первого игрока записываем

в отдельный столбец справа от матрицы. Он выбирает стратегию, обеспечивающую

ему наибольший выигрыш. Каждый раз выбранные стратегии отмечаем звёздочкой.

Затем подсчитываем сумму возможных проигрышей игрока 2 за две партии и

записываем в следующую строку ниже предыдущей. Для игрока 2 снова отмечаем

звёздочкой стратегию, гарантирующую ему наименьший суммарный проигрыш за две

партии. Записываем суммарные выигрыши первого игрока за две партии, и отмечаем

звездочкой стратегию, обеспечивающую ему наибольший суммарный выигрыш за две

партии и т.д.

Вычисления поместим в таблицу, крайний левый столбик которой служит для

определения максиминной стратегии игрока 1.

2* 2 3 11 2 5 8 19* 22 25 28 39* 42* 45

2 7 5 2 7* 12* 17* 19 24* 29* 34* 36 41 46*

2* 3 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

9 8* 13 2

16 13* 15 3

23 18 17* 4

25 21* 28 5

32 26* 30 6

39 31* 32 7

46 36 34* 8

48 39* 45 9

50 42* 56 10

По количеству звёздочек в достроенных строках и столбцах соответственно

находим:

Х10 = (0,3; 0,7); У10= (0,1; 0,7; 0,2).


10

v10=X10AУ10Т=(0,3;0,7)

257

1132

2,0

7,0

1,0

=0,1·0,1 (3;7) 257

1132

2

7

1

=

=0,01 (3;7)227517

2117312=0,01(3;7)

46

45 =0,01(3·45+7·46)= 4,57.

Ответ: а) и б) 45,4v : Х*=11

8,

11

3, У*=

11

2,

11

9,0 . в) v10= 57,4 ; Х10 = (0,3; 0,7);

У10= (0,1; 0,7; 0,2).

Пример выполнения задания 2а), когда игра имеет формат 2m .

Пусть игра задана матрицей

211

53

72

.

Решение. Построим на промежутке [0;1] отрезки прямых:

v=2q+7(1-q) (I`)

v=3q+5(1-q) (II`)

v=11q+2(1-q), (III`)

задающих выигрыш v игрока 1, при условии, что он примет чистую стратегию

соответственно 1, 2 и 3, а второй игрок примет стратегию У= )1,( qq . Затем построим

верхнюю огибающую и найдём её низшую точку N (см. рис.2). Так как точка N есть

точка пересечения прямых (I`) и (III`), то, исходя из матрицы 211

72, найдём решение

по тем же формулам, что и для игр формата n2 : 21,514

73

11722

11722v ;

14

9

14

112*p ;

14

5

14

72*q .

Рис.2.

2

11

5

3

7

2

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2


11

Оптимальная стратегия игрока 1: Х*=14

5,0,

14

9, так как его чистая стратегия 2 не

входила в решение, а игрока 2 - У*=14

9,

14

5.


12

Задания для расчётно-графической работы

Задание №1

Фирма может выставить на рынок т видов товара. Рынок может находиться в п

состояниях, в зависимости от которых доходы фирмы в денежных единицах

представлены матрицей размерности nm .

Требуется составить модель матричной игры и найти

а) нижнюю цену игры и все максиминные стратегии игрока 1;

б) верхнюю цену игры и все минимаксные стратегии игрок 2;

в) цену игры и седловые точки, если они существуют;

1.

01213

02124

53012

41321

2.

12153

21247

03523

74321

3.

0312

3012

4321

4.

21413

20303

32524

41112

5.

02413

12312

43426

33112

6.

31241

41354

22132

14321

7.

10123

25312

11532

14321

8.

53142

12040

54132

52131

9.

2312

3732

4513

10.

4312

7354

3211

.

Задание №2

Требуется найти решение матричных игр а) графо-аналитическим методом; б)

методами линейного программирования; 3) методом Брауна (10 итераций):


13

11. 401

042 12.

124

421 13.

0614

5132

14.

80

04

42

15. 752

134 16.

457

521

17.

64

35

18

18.

62

43

26

110

19.

05

44

81

20.2369

7430.

Выбор заданий осуществляется в соответствии с таблицей:

Вариант № Задание№1 Задание 2

1 1 11

2 2 12

3 3 13

4 4 14

5 5 15

6 6 16

7 7 17

8 8 18

9 9 19

10 10 20

4. ТРЕБОВАНИЯ К ОФОРМЛЕНИЮ РАБОТЫ

При выполнении рассчётно-графической работы студент обязан руководствоваться

следующими требованиями:

1. Работа выполняется в отдельной тетради в клетку, на титульном листе которой

должны быть ясно написаны фамилия студента, его инициалы, номер группы и тема

работы.

2. Перед решением каждого задания необходимо полностью переписать его

условие.

3. Решение задачи следует записывать аккуратно в соответствии с порядком

решения соответствующего задания, приведённого в данных методических указаниях.

4. На каждой странице тетради необходимо оставлять поля 3-4 см для замечаний

преподавателя.


14

5. В случае неудовлетворительной оценки по рассчётно-графической работе

студент обязан в кратчайший срок исправить все отмеченные преподавателем ошибки

и недочёты и предъявить работу на повторную проверку, приложив при этом

первоначально выполненную работу.

7. Номер варианта контрольной работы должен совпадать с последней цифрой

номера студента по списку.


15

СОДЕРЖАНИЕ

Введение………………………………………………………………………………………3

1.Пример выполнения работы……………………………………………………………… 4

2.Задания для расчётно-графической работы……………………………………………..12

3. Таблица выбора заданий…………………………………………………………………13

4. Требования к оформлению работы……………………………………………………...13


159.методы решения матричных игр методические указания...

Documents