15_esempi di determinazione delle reazioni vincolari con il plv

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Corso di Laurea: INGEGNERIA CIVILE E AMBIENTALE Insegnamento: Meccanica delle strutture n° Lezione: 15 Titolo: Esempi di determinazione delle reazioni vincolari con il Principio dei Lavori Virtuali

FACOLTÀ DI INGEGNERIA

LEZIONE 15 – Esempi di determinazione delle reazioni vincolari con il Principio dei Lavori Virtuali.

Nucleo tematico Lez. Contenuto

5 15 Esempi di determinazione delle reazioni vincolari con il Principio dei Lavori Virtuali.

Sono commentate nel seguito le soluzioni degli esempi proposti nella sessione 3 della precedente lezione. Soluzione dell’esempio 14.6

Per far compiere lavoro alla componente verticale yE della reazione della cerniera E è necessario consentire lo spostamento verticale del punto E. Si sostituisce quindi la cerniera E con un carrello disposto in modo da consentire lo spostamento verticale di E e con la componente di reazione yE incognita. Lo spostamento orizzontale di E resta impedito, sicché si ottiene il sistema una volta labile di figura 15.1b.

Figura 15.1.

Si osserva che punti B, C e D del sistema non possono avere spostamenti relativi senza che le aste 2 e 3 e il tratto BD dell’asta 1 si deformino. Pensando tutti gli elementi indeformabili il sistema costituito dai tre elementi si sposta quindi come un unico corpo rigido il cui centro di rotazione deve giacere sulla retta r, verticale per A e sulla retta s, orizzontale per E. Si conclude che il centro di rotazione C1 del sistema è il punto A, intersezione di r ed s (figura 15.2). Assunta la rotazione ϕ1 come parametro di spostamento che identifica la configurazione spostata del sistema, possono tracciarsi i diagrammi degli spostamenti di figura 15.2.

(a)

1

2

L/2 L/2 L/2 L/2

L

L

F

A

B D

C

E

3

yE

(b)

1

2

F

A

B D

C

E

3

mailto:[email protected]


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Figura 15.2.

Relativamente a questa configurazione spostata la forza F

compie il lavoro

1CF LF2uFCFL ϕ−=⋅−=δ×=δ (e.6.1)

e la forza E

y compie il lavoro

1EEEEyE Ly2vyEyL ϕ=⋅=δ×=δ (e.6.2)

essendo Cδ e Eδ gli spostamenti dei punti D ed E relativamente al passaggio della struttura dalla configurazione iniziale C0 a quella spostata C1 ed uC e vE i moduli della componente orizzontale dello spostamento di C e della componente verticale dello spostamento di E, rispettivamente (figura 15.2). Il sistema è in equilibrio per il valore di yE che rende nullo il lavoro virtuale delle forze applicate; la condizione di equilibrio è pertanto

0Ly2LF2LLL 1E1yEF =ϕ+ϕ−=δ+δ=δ (e.6.3)

dividendo ambo i membri per ϕ1 e per L si ottiene l’equazione

0y2F2 E =+− (e.6.4)

e quindi

FyE = (e.6.5)

che è lo stesso risultato ottenuto nella lezione 12 con le Equazioni Cardinali della Statica (si riveda la figura 12.3). Soluzione dell’esempio 14.7

Per far compiere lavoro alla componente verticale yA della reazione della cerniera A è necessario consentire lo spostamento verticale del punto A. Si sostituisce quindi la cerniera A con un carrello

L

L

yE

δE vE

F C

δC

δC vC uC

A

B D

E

1

2 3

C0

C1

L/2 L/2 L/2 L/2

C

A ≡ C1

B D

E

x

v(x) u(y)

xC1

yC1

ϕ1

y

ϕ1

vE

uC F

s

r



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disposto in modo da consentire lo spostamento verticale di A e con la componente di reazione yA incognita. Lo spostamento orizzontale di A resta impedito, sicché si ottiene il sistema una volta labile di figura 15.3b.

Figura 15.3.

Il centro di rotazione relativo C12 tra gli elementi 1 e 2 è il punto B; il centro di rotazione assoluto C1 dell’elemento 1 è sulla retta r orizzontale per A; il centro di rotazione assoluto C2 dell’elemento 2 è a distanza infinita su una retta verticale; per la proprietà di allineamento dei centri di rotazione (C1, C12 e C2 devono giacere sulla stessa retta) si conclude che il centro C1 è il punto intersezione tra la retta s, verticale per B, e la retta r. Il centro di rotazione relativo C23 tra gli elementi 2 e 3 è il punto C; il centro di rotazione assoluto C3 dell’elemento 3 è sulla retta u passante per A ed inclinata di π/4; il centro di rotazione assoluto C2 dell’elemento 2 è a distanza infinita su una retta verticale; per la proprietà di allineamento dei centri di rotazione (C2, C23 e C3 devono giacere sulla stessa retta) si conclude che il centro C3 è il punto intersezione tra la retta t, verticale per C e la retta u (figura 15.4). Assunta la rotazione ϕ1 dell’elemento 1 come parametro di spostamento che identifica la configurazione spostata del sistema, possono tracciarsi i diagrammi degli spostamenti di figura 15.4. Si determinano preliminarmente la distanza a indicata in figura 15.4

LL32

3La =+= (e.7.1)

ed il modulo ϕ3 della rotazione dell’elemento 3 in funzione di ϕ1

La 13 ⋅ϕ=⋅ϕ da cui 13 ϕ=ϕ (e.7.2)

1

2

F

A

B

C

D

3

L/3 L/3 L/3 L/3

L/3

2L/3

L/3

E

π/4

yA

(a)

G

1

2

F

A

B

C

D

3

E

π/4

(b)

G



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Figura 15.4.

Relativamente agli spostamenti virtuali di figura 15.4 la forza F compie il lavoro

13GF LF31LF

31vFGFL ϕ−=ϕ−=⋅−=δ×=δ (e.7.3)

e la forza A

y compie il lavoro

1AAAAyA Ly31vyAyL ϕ=⋅=δ×=δ (e.7.4)

essendo Gδ e Aδ gli spostamenti di G ed A nel passaggio della struttura dalla configurazione iniziale C0 a quella spostata C1 e vA e vG i moduli delle componenti verticali di questi spostamenti. Queste componenti si leggono sui diagrammi di figura 15.4.

Il sistema è in equilibrio per il valore di yA che rende nullo il lavoro virtuale delle forze applicate; la condizione di equilibrio è pertanto:

0Ly31LF

31LLL 1A1yAF =ϕ+ϕ−=δ+δ=δ (e.7.5)


0y31F

31

A =+− (e.7.6)

L/3 L/3 L/3 L/3 yA

1

2

F

A

B C

D

3 E

G

π/4 π/4

δG

δG uG

vG

δA vA

yA

a

F

A

B ≡ C12

D

E

G

xC1 ≡ xC12

ϕ1 x

v(x)

u(y)

y

ϕ3

ϕ 3 =

0

ϕ3 = 0

yC3

yC1

ϕ1

ϕ3

C1

C ≡ C23

C3

vA

vG

L/3

2L/3

L/3

r

s

u

t

C0 C1 1

2

3

xC3 ≡ xC23

yC12 ≡ yC23

C2 →

∞



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e quindi

FyA = (e.7.7)

che è lo stesso risultato ottenuto nella lezione 12 con le Equazioni Cardinali della Statica (si riveda la figura 12.7).



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LEZIONE 15 – Sessione di studio 1 Esempi di determinazione delle reazioni vincolari con il Principio dei Lavori Virtuali. Si propongono nel seguito quattro esempi. Si consiglia al lettore di risolverli autonomamente e di confrontare successivamente i risultati trovati con la soluzione descritta nella prossima sessione di studio. Esempio 15.1

Relativamente alla struttura isostatica di figura 15.5 si determini il momento esercitato dal doppio pendolo B.

Figura 15.5.

Esempio 15.2

Relativamente alla struttura isostatica di figura 15.6 si consideri il punto E sede di un incastro interno e si determini il momento esercitato dall’incastro interno agli estremi delle aste EB ed EC.

Figura 15.6.

L/2

L/2

1

2

A

B

C

3 D

L

M

E

1

2

A

B D

C

L L L

L/2

L/2

L/2

q

q

E



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Esempio 15.3

Relativamente alla struttura isostatica di figura 15.7 si determini la reazione della cerniera interna C.

Figura 15.7.

Esempio 15.4

Relativamente alla struttura isostatica di figura 15.8 si determinino le reazioni delle cerniere interne B ed E.

Figura 15.8.

1

2

A

B

C

3

D

L/2 L/2

L/2

L/2

L/2

L/2

E

G

4

F

1 2

3

4

L L/2 L/2 L

L

q

A

B C D

E



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LEZIONE 15 – Sessione di studio 2 Esempi di determinazione delle reazioni vincolari con il Principio dei Lavori Virtuali. Sono commentate nel seguito le soluzioni degli esempi proposti nella precedente sessione. Soluzione dell’esempio 15.1

Si indica con B1 il punto B pensato appartenente all’asta 1 e con B2 il punto B pensato appartenente all’asta 2 (figura 15.9a). Per far compiere lavoro alla coppia di momento zB esercitata dal doppio pendolo agli estremi B1 e B2 è necessario consentire la rotazione relativa tra gli elementi 1 e 2. Si sostituisce quindi il doppio pendolo B con un pendolo semplice in modo da consentire la rotazione relativa tra gli elementi 1 e 2 e con la reazione zB incognita. Lo spostamento relativo orizzontale tra B1 e B2 resta impedito, sicché si ottiene il sistema una volta labile di figura 15.9b.

Figura 15.9.

Il centro di rotazione assoluto C2 dell’elemento 2 giace sulla retta r, verticale per C e sulla retta s, orizzontale per D, pertanto detto centro di rotazione è il punto E; il centro di rotazione assoluto C1 dell’elemento 1 è il punto A; il centro di rotazione relativo C12 tra gli elementi 1 e 2 è sulla retta t orizzontale per B; per le proprietà di allineamento dei centri di rotazione il centro di rotazione relativo C12, dovendo giacere sulla retta t e sulla retta u passante per i centri di

(a)

1

2

A

B D

C

L L L

L/2

L/2

L/2

q

q

zB zB

(b)

1

2

A

B D

C

q

q

E

E

B1 B2

B1 B2



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rotazione assoluti A ≡ C1 ed E ≡ C2 (figura 15.10) è il punto intersezione tra le rette t e u.

Figura 15.10.

Assunta la rotazione ϕ1 dell’elemento 1 come parametro di spostamento che identifica la configurazione spostata del sistema, possono tracciarsi i diagrammi degli spostamenti di figura 15.10, nella quale i carichi distribuiti sono stati sostituiti con le relative risultanti. Con considerazioni geometriche basate sul diagramma degli spostamenti orizzontali si determina il modulo della rotazione ϕ2 dell’elemento 2 in funzione di ϕ1

L21L

23

21 ⋅ϕ=⋅ϕ da cui 12 3ϕ=ϕ (e.1.1)

Relativamente agli spostamenti virtuali di figura 15.10 la risultante qL applicata a H compie il lavoro

12

1H1 qL21

2LqLvqLL ϕ−=ϕ−=⋅−=δ (e.1.2)

v(x)

xC1 xC2 x

u(y)

y

xC2

vH ϕ1

ϕ2

yC1

yC2

yC12

uG

1

2

A ≡ C1

D

C

G

H

qL

3qL/2 E ≡ C2

C12

1

2

A

B1

D

C

E B2

δB1 δB2

δG

δH

G

H

δB1 δB2

δB1

δB2 vB2

vB1 uB1 = uB2

qL

3qL/2

C0

C1

r

s

t

u ϕ1

ϕ2

L L L

L/2

L/2

L/2

zB zB B1 B2



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la risultante 3qL/2 applicata a G compie il lavoro

12

1G2 qL89L

43qL

23uqL

23L ϕ−=ϕ−=⋅−=δ (e.1.3)

la coppia zB applicata all’elemento 1 compie il lavoro

1B3 zL ϕ⋅=δ (e.1.4)

e la coppia zB applicata all’elemento 2 compie il lavoro

1B2B4 z3zL ϕ⋅−=ϕ⋅−=δ (e.1.5)

essendo vH e uG i moduli della componente verticale dello spostamento virtuale di H e della componente orizzontale dello spostamento virtuale di G relativamente al passaggio della struttura dalla configurazione iniziale C0 a quella spostata C1. Queste componenti si leggono sui diagrammi di figura 15.10.

Il sistema è in equilibrio per zB che rende nullo il lavoro virtuale delle forze applicate; la condizione di equilibrio è pertanto:

0z3zqL89qL

21

LLLLL

1B1B12

12

4321

=ϕ⋅−ϕ⋅+ϕ−ϕ−=

=δ+δ+δ+δ=δ (e.1.6)

dividendo ambo i membri per ϕ1 si ottiene l’equazione

0z3zqL89qL

21

BB22 =−+−− (e.1.7)

e quindi

2B qL

1613z −= (e.1.8)


Per far compiere lavoro alla coppia di momento zE esercitata dall’incastro interno che si pensa posto nel punto E è necessario consentire la rotazione relativa tra l’asta EC e l’asta BE. Si sostituisce quindi l’incastro interno con una cerniera in modo da consentire la rotazione relativa tra le aste concorrenti nel nodo E e con la reazione zE incognita. Lo spostamento relativo tra gli estremi E delle due aste resta impedito in ogni direzione, sicché si ottiene il sistema una volta labile di figura 15.11b. L’elemento 3 è vincolato in modo da non ammettere configurazioni spostate; in particolare gli spostamenti dei punti A, C e D sono nulli. L’introduzione della cerniera in E fa sì che la struttura labile di figura



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figura 15.11b sia costituita da quattro elementi rigidi invece dei tre della struttura di partenza.

Figura 15.11.

Si rinumerano quindi gli elementi rigidi identificando come 2 l’asta BE e come 4 l’asta CE (figura 15.11b). Il centro di rotazione assoluto C1 dell’elemento 1 è il punto A, il centro di rotazione assoluto C4 dell’elemento 4 è il punto C; il centro di rotazione relativo C12 tra l’elemento 1 e l’elemento 2 è il punto B; il centro di rotazione relativo C24 tra l’elemento 2 e l’elemento 4 è il punto E. Il centro di rotazione assoluto C2 dell’elemento 2 deve giacere sulla retta r passante per A ≡ C1 e B ≡ C12 (per essere allineato con C1 e C12) e sulla retta s passante per C ≡ C4 e E ≡ C24 (per essere allineato con C24 e C4). Si conclude che C2 è l’intersezione tra r ed s e quindi è disposto a distanza infinita in direzione verticale (figura 15.12). Assunta la rotazione ϕ1 dell’elemento 1 come parametro di spostamento che identifica la configurazione spostata del sistema, possono tracciarsi i diagrammi degli spostamenti di figura 15.12.

Figura 15.12.

Con considerazioni geometriche basate sul diagramma degli spostamenti orizzontali si determina il modulo della rotazione ϕ4 dell’elemento 4 in funzione di ϕ1

1

2

A

B

C

3 D

M

E

C0 C1

A ≡ C1

C ≡ C4

B ≡ C12 E ≡ C24

D

1

2

3

M

zE

zE

r s

C2 →

∞

x

v(x)

ϕ2 ≡ 0

xC1 = xC12 xC4 = xC24

yC1

yC4

yC12 = yC24

y

u(y)

ϕ1

ϕ3

L/2

L/2

L

4 4

L/2

L/2

1

2

A

B

C

3 D

L

M

(a) E

1

2

A

B

C

3 D

M

(b) E

zE

zE

4



Pagina 12/18



L21L 41 ⋅ϕ=⋅ϕ da cui 14 2ϕ=ϕ (e.2.1)

Relativamente agli spostamenti virtuali di figura 15.12 la coppia di momento M compie il lavoro

1M ML ϕ⋅−=δ (e.2.2)

la coppia di momento zE applicata all’estremo E dell’asta BE non compie lavoro, essendo nulla la rotazione di detta asta nel passaggio del sistema dalla configurazione iniziale C0 alla configurazione spostata C1; la coppia di momento zE applicata all’estremo E dell’asta CE compie il lavoro

1E4EzE z2zL ϕ⋅−=ϕ⋅−=δ (e.2.3)

Il sistema è in equilibrio il valore di per zE che rende nullo il lavoro virtuale delle forze applicate; la condizione di equilibrio è pertanto:

0z2MLLL 1E1zEM =ϕ⋅−ϕ⋅−=δ+δ=δ (e.2.4)

dividendo ambo i membri per ϕ1 si ottiene l’equazione

0z2M E =−− (e.2.5)

e quindi

M21zE −= (e.2.6)

Soluzione dell’esempio 15.3

Si osservi che l’asta AC del sistema di figura 15.13a può essere considerata un vincolo esterno che impedisce gli spostamenti del punto C nella direzione dell’asta AC stessa; l’asta AC è quindi a tutti gli effetti un pendolo semplice che consente al punto C solo spostamenti in direzione ortogonale ad AC, esercitando sul punto C dell’asta 2 esclusivamente una reazione vincolare passante per C ed avente retta di azione contenente il segmento AC. Sostituendo dunque l’asta AC con la reazione CR da questa esercitata sull’asta BD si ottiene il sistema labile di figura 15.13b.

Figura 15.13.

1 2

3

4

L L/2 L/2 L

L

q

A

B C D

E

1 2 4

q

A

B C D

E

RC

RC

xC yC



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Dovendo CR avere retta di azione contenente il segmento BD le sue componenti orizzontale e verticale devono soddisfare

L23L

xy

C

C = (e.3.1)

Pertanto è possibile considerare come incognita del problema una sola componente di CR . Ad esempio può assumersi xC come incognita esprimendo yC in funzione di xC in accordo con la (e.3.1)

CC x32y = (e.3.2)

In figura 15.14 sono rappresentati la generica configurazione spostata della struttura ed i corrispondenti diagrammi degli spostamenti ottenuti in modo del tutto analogo a quanto mostrato per i precedenti esempi. In figura 15.14 la componente verticale di CR è espressa in funzione della componente orizzontale e, al solito, i carichi distribuiti sono stati sostituiti dalle relative risultanti. Si assume la rotazione ϕ1 dell’elemento 1 come parametro di spostamento che identifica la configurazione spostata del sistema.

Figura 15.14.

Con considerazioni geometriche si determinano i moduli delle rotazioni ϕ2 e ϕ4 degli elementi 2 e 4 in funzione di ϕ1

1 2 4

A

B C

D

E

xC 2xC/3

δC δG C0

C1 qL qL

δG uG

vG

x

v(x)

y

u(x)

xC1 xC12

xC23

xC2 xC3 ϕ1 ϕ2 ϕ4 = ϕ1

vG

ϕ4 = ϕ1

ϕ2

yC1

yC12 = yC23

yC2

uC qL qL

A ≡ C1

B ≡ C12 D ≡ C23

E ≡ C3

C

G

G

C2

1

2

4

L L/2 L/2 L

L



Pagina 14/18



L

21L 21 ⋅ϕ=⋅ϕ

LL 41 ⋅ϕ=⋅ϕ da cui 12 2ϕ=ϕ

14 ϕ=ϕ (e.3.3)

Relativamente agli spostamenti virtuali di figura 15.14 la risultante qL applicata al punto C compie lavoro nullo in quanto il punto C si sposta solo in direzione orizzontale; la risultante qL applicata al punto G compie il lavoro

12

4G1 qL21

2LqLvqLL ϕ=ϕ⋅=⋅=δ (e.3.4)

la reazione CR compie il lavoro

Lx2LxuxCRL 1C2CCCCRC ϕ⋅−=ϕ⋅−=⋅−=δ×=δ (e.3.5)

essendo nullo il lavoro compiuto dalla componente verticale, ed essendo vG la componente verticale dello spostamento Gδ di G ed essendo uC la componente orizzontale dello spostamento Cδ di C.

Il sistema è in equilibrio per xC che rende nullo il lavoro virtuale delle forze applicate; la condizione di equilibrio è pertanto:

0LxqL21LLL 1C1

2RC1 =ϕ⋅−ϕ⋅=δ+δ=δ (e.3.6)


0xqL21

C =− (e.3.7)

e quindi

qL21xC = (e.3.8)

Ricordando poi la (e.3.2) si trova la componente verticale di CR

qL31x

32y CC == (e.3.9)


Relativamente alla struttura isostatica di figura 15.15a si osservi che l’asta BE può essere considerata un vincolo interno che impedisce la componente orizzontale dello spostamento relativo tra il punto B ed il punto E; in questo senso quest’asta è un pendolo semplice interno che consente al punto ai punti B ed E solo spostamenti relativi in direzione verticale. Sostituendo quindi l’asta BE con la reazione da essa esercitata sui punti B ed E (questa reazione ha solo componente orizzontale) si ottiene il sistema una volta labile di figura 15.15b.



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Figura 15.15.

In figura 15.16 sono rappresentati la generica configurazione spostata della struttura ed i corrispondenti diagrammi degli spostamenti ottenuti in modo del tutto analogo a quanto mostrato per i precedenti esempi.

Figura 15.16.

L/2

L/2

L/2

L/2

xBE xBE

1

2

A

B

C

3

D

E

G

F

δB

δD

δE

C0 C1

A ≡ C1

B

1

2

C ≡ C12

F

E

3

D ≡ C23

G ≡ C3

xC1

C2

xC2 = xC23 = xC3

ϕ1 ϕ2

ϕ1

ϕ2

ϕ3

yC1

yC3

yC23

yC12

yC2

uB uE

uD

L/2 L/2

x

v(x) u(y)

y

1

2

A

B

C

3

D

L/2 L/2

L/2

L/2

L/2

L/2

E

G

4

F

1

2

A

B

C

3

D

E

G

F

(a) (b)

xBE xBE



Pagina 16/18



Si assume la rotazione ϕ1 dell’elemento 1 come parametro di spostamento che identifica la configurazione spostata del sistema. I moduli delle rotazioni ϕ2 e ϕ3 degli elementi 2 e 3 in funzione di ϕ1 sono

12 ϕ=ϕ

13 25ϕ=ϕ (e.4.1)

Relativamente agli spostamenti virtuali di figura 15.16 la forza F compie il lavoro

LF25LF

25uFDFL 12DF ϕ=ϕ=⋅=δ×=δ (e.4.2)

la reazione BEx applicata al punto B compie il lavoro

LxuxL 1BEBBEXB ϕ⋅=⋅=δ (e.4.3)

la reazione BEx applicata al punto E compie il lavoro

Lx45Lx

21uxL 1BE3BEEBEXE ϕ⋅−=ϕ⋅−=⋅−=δ (e.4.4)

essendo uD la componente orizzontale dello spostamento Dδ di D ed essendo uB ed uE le componenti orizzontali degli spostamenti Bδ e

Eδ di B ed E, rispettivamente. Il sistema è in equilibrio per il valore di xBE che rende nullo il

lavoro virtuale delle forze applicate; la condizione di equilibrio è pertanto:

0Lx45LxLF

25LLLL 1BE1BE1XEXBF =ϕ⋅−ϕ⋅+ϕ=δ+δ+δ=δ (e.4.5)


0x45xF

25

BEBE =−+ (e.4.6)

e quindi

F10xBE = (e.4.7)

che è lo stesso risultato ottenuto nella lezione 12 con le Equazioni Cardinali della Statica (si riveda la figura 12.35).



Pagina 17/18



LEZIONE 15 – Sessione di studio 3 Esempi di determinazione delle reazioni vincolari con il Principio dei Lavori Virtuali. Si propongono nel seguito alcuni esercizi la cui soluzione è lasciata al lettore. In questi esercizi è richiesto di determinare tutte le reazioni vincolari interne ed esterne con il Principio dei Lavori Virtuali. È evidente che per ogni componente di reazione cercata è necessaria la rimozione di un vincolo e la determinazione degli spostamenti virtuali dei punti ai quali sono applicate le forze. Per ogni schema sarà quindi necessario identificare un configurazione spostata per ogni reazione vincolare cercata. Gli schemi seguenti sono gli stessi proposti nella sessione 3 della lezione 12 e risolti dal lettore con le Equazioni Cardinali della Statica. Si controlli la coincidenza dei risultati trovati applicando le Equazioni Cardinali della Statica con quelli trovati applicando il Principio dei Lavori Virtuali. Esercizio 15.1

Relativamente alla struttura di figura 15.17 si determinino le reazioni dei vincoli interni ed esterni con il Principio dei Lavori Virtuali.

Figura 15.17.

Esercizio 15.2


Figura 15.18.

L/2

L L L

q

L/2

L/2 L L/2 L

q



Pagina 18/18



Esercizio 15.3


Figura 15.19.

Esercizio 15.4


Figura 15.20.

Esercizio 15.5


Figura 15.21.

L

L L

q

L

L

L

L

F

L

L/2

L L

L/2 F


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