16. zweidimensionale quadratische formen

16. Zweidimensionale quadratische Formen

Eine zweidimensionale lineare Form ist ein Ausdruck l = a1x + a2y

Er lässt sich als Skalarprodukt (a1, a2)

y

x schreiben.

Analog dazu definiert man die zweidimensionale quadratische Form q = a11x2 + a12xy + a21yx + a22y2 oder mit der 22-Matrix A

q = XT A X = (x, y)

2221

1211

aa

aa

y

x . (16.1)

q = x2 + 4xy + y2 = (x, y)

10

41

y

x = (x, y)

12

21

y

x



y

x schreiben.


q = XT A X = (x, y)

2221

1211

aa

aa

y

x (16.1)



y

x schreiben.


q = XT A X = (x, y)

2221

1211

aa

aa

y

x (16.1)

q = x2 + 4xy + y2 = (x, y)

10

41

y

x = (x, y)

12

21

y

x

Wenn zwischen UT = (u, v) und XT = (x, y) der folgende Zusammenhang besteht

X = D U wobei D eine umkehrbare 22-Matrix sein soll, so ergibt diese Transformation

q = XT A X = UT DT A D U = UT C U

Durch orthogonale Koordinatentransformation mit Hilfe der zweidimensionalen Drehmatrix

D =

geht die Matrix A der quadratischen Form in die Matrix überC = DT A D

mit|C| = |DT||A||D| = |A|

Sie verändert ihren Charakter dadurch nicht, denn es wird lediglich das Koordinatensystem gedreht.

cossin

sincos

Durch orthogonale Koordinatentransformation kann jede quadratische Form vereinfacht werden. Jede symmetrische Matrix A lässt sich mit Hilfe einer Drehmatrix D auf die Diagonalform C (mit c12 = c21 = 0) bringen. Jede quadratische Form lässt sich also in der reduzierten Form schreiben

q = c11u2 + c22v2

(Wenn der Rang der Matrix A kleiner als zwei ist, so enthält die Summe weniger als zwei Summanden.)

Beispiel: Die symmetrische Matrix A =

12

21 soll durch Drehung um die

z-Achse auf Diagonalform gebracht werden. Zu suchen ist die zweidimensionale Drehmatrix D, so dass C in (16.4) Diagonalmatrix ist. Wir berechnen zunächst DT A

cossin

sincos

12

21 =

cossin2cos2sin

sincos2sin2cos

und multiplizieren dies von rechts mit D

cossin2cos2sin

sincos2sin2cos

cossin

sincos

=

cossin41cos2sin2

cos2sin2cossin4122

22 .

Beispiel: Die symmetrische Matrix A =

12

21 soll durch Drehung um

die z-Achse auf Diagonalform gebracht werden. Zu suchen ist die zweidimensionale Drehmatrix D, so dass C in (16.4) Diagonalmatrix ist. Wir berechnen zunächst DT A

cossin

sincos

12

21 =

cossin2cos2sin

sincos2sin2cos

und multiplizieren dies von rechts mit D

cossin2cos2sin

sincos2sin2cos

cossin

sincos

=

cossin41cos2sin2

cos2sin2cossin4122

22

=

cossin41cos2sin2

cos2sin2cossin4122

22

Aus der Forderung

C =

22

11

0

0

c

c c12 = c21 = 2(cos2- sin2) = 0

ergibt sich der Drehwinkel zu ±45° oder ±135°. Wählen wir = +45° oder = -135°, so wird

C =

10

03 q = 3u2 - v2 (16.5)

Die beiden anderen Winkel = -45° oder = +135° führen zur Matrix

C' =

30

01 q = -u'2 + 3v'2 (16.6)

Man unterscheidet folgende Klassen quadratischer Formen: q = c11x2 + c22y2 (16.7) Besitzen beide Koeffizienten cii dasselbe Vorzeichen wie q, so heißt die quadratische Form Ellipse und im Spezialfall c11 = c22 Kreis. (16.8) Besitzen die beiden Koeffizienten cii verschiedene Vorzeichen, so heißt die quadratische Form Hyperbel. (16.9) Besitzen beide Koeffizienten cii das zu q entgegengesetzte Vor-zeichen, so lässt sich q nicht mit reellen Zahlen x, y darstellen. Die ersten beiden Fälle sind die reellen zweidimensionalen quadrati-schen Formen. Ellipse und Hyperbel sowie Kreis und Parabel nennt man Kegelschnitte, weil sie beim Schnitt eines Kegels mit einer Ebene ent-stehen (als Grenzfälle entstehen auch Geraden und Punkte).

Zur Darstellung unseres Beispiels wählen wir q = 1. Jede andere Wahl von q kann mit Koeffizienten cii/q auf diesen Fall zurückgeführt werden. Es ergibt sich eine Hyperbel 1 = 3u2

- v2 (16.10)

oder v2 = 3u2 - 1 (16.11)

1 = x2 + 4xy + y2

y = -2x ± 13 2 x

16.2 Eigenwerte und Eigenvektoren Wenn die Gleichung A X = X (16.26) mit besteht, dann heißt ein Eigenwert und X ein Eigenvektor der Matrix A. Ein zweidimensionales Beispiel ist

0

0

y

x =

y

x.

Satz Die Eigenwerte der nn-Matrix A sind Lösungen der Gleichung D(A - I) = 0. (16.27) Beweis. Die Determinante der Matrix (A - I) verschwindet genau dann, wenn der Kern der durch sie vermittelten Abbildung mindestens einen Vektor X 0 enthält, so dass (A - I)X = 0, also AX = IX = X.

16.2 Eigenwerte und Eigenvektoren Wenn die Gleichung A X = X (16.26) mit besteht, dann heißt ein Eigenwert und X ein Eigenvektor der Matrix A. Ein zweidimensionales Beispiel ist

0

0

y

x =

y

x

Satz Die Eigenwerte der nn-Matrix A sind Lösungen der Gleichung D(A - I) = 0 (16.27) Beweis. Die Determinante der Matrix (A - I) verschwindet genau dann, wenn der Kern der durch sie vermittelten Abbildung mindestens einen Vektor X 0 enthält, so dass (A - I)X = 0, also AX = IX = X.

Beispiel: Für A =

12

21 ist D(A - I) =

12

21. Die Eigenwerte fol-

gen also aus (1 - )2 - 4 = 0 2 - 2 - 3 = 0 1 = 3, 2 = -1. Die Eigenvektoren ergeben sich nach (16.26) aus

12

21

y

x = 3

y

x und

12

21

y

x = -1

y

x

Die zugehörigen linearen Gleichungssysteme sind: x + 2y = 3x x + 2y = -x 2x + y = 3y 2x + y = -y x = y x = -y

Die Eigenvektoren sind

und

mit , z. B.

1

1 und

1

1.

Beispiel: Für A =

12

21 ist D(A - I) =

12

21. Die Eigenwerte fol-

gen also aus (1 - )2 - 4 = 0 2 - 2 - 3 = 0 1 = 3, 2 = -1. Die Eigenvektoren ergeben sich nach (16.26) aus

12

21

y

x = 3

y

x und

12

21

y

x = -1

y

x.

Die zugehörigen linearen Gleichungssysteme sind: x + 2y = 3x x + 2y = -x 2x + y = 3y 2x + y = -y x = y x = -y


und

mit , z. B.

1

1 und

1

1.


und

mit , z. B.

1

1 und

1

1.

Bilden wir aus diesen Eigenvektoren eine Matrix M =

11

11 und

berechnen ihre Inverse M-1 =

2/12/1

2/12/1, dann ist

C = M-1 A M =

2/12/1

2/12/1

12

21

11

11 =

10

03

Diagonalmatrix, deren Diagonale die Eigenwerte enthält.

Übungen

16.1 Beweisen Sie anhand der folgenden Gleichung: Bei der Drehung einer symmetrischen 22-Matrix bleibt die Spur erhalten

16.2 1 = 5x2 + 3xy + 7y2. Finden Sie die Diagonalmatrix C. Finden Sie die Drehwinkel für die Hauptachsenlage.

16.3 5 = 3x2 - 2xy + y2. Finden Sie die Diagonalmatrix C. Finden Sie die Drehwinkel für die Hauptachsenlage.

16.4 1 = x2 + 2xy + y2. Finden Sie die Diagonalmatrix C. Finden Sie die Drehwinkel für die Hauptachsenlage.

cossin

sincos

2221

1211

aa

aa

cossin

sincos =

2221

1211

cc

cc

cossin

sincos

2221

1211

aa

aa

=

cossincossin

sincossincos

22122111

22122111

aaaa

aaaa

cossin

sincos

2221

1211

aa

aa

cossin

sincos =

2221

1211

cc

cc

sinsinsincoscossincoscos 2212211111 aaaac

cossincoscossinsinsincos 2212211112 aaaac sincossinsincoscoscossin 2212211121 aaaac

coscoscossinsincossinsin 2212211122 aaaac

1 = 5x2 + 3xy + 7y2 A =

cossin

sincos =

72

32

35

72

32

35

cscs

scsc

72

3

2

35

72

3

2

35

cscs

scsc

72

3

2

35

72

3

2

35

cs

sc =

2222

2222

72

3

2

357

2

3

2

35

72

3

2

357

2

3

2

35

csccsscsscsc

sccscsscsscc

2222

2222

72

3

2

357

2

3

2

35

72

3

2

357

2

3

2

35

csccsscsscsc

sccscsscsscc

5232

332

2

332523

22

22

csccsc

cscssc

=

22

11

00

c

c

0 = 2sincos + 3cos2 – 3/2

3/2 - 3cos2 = 2sincos

9/4 - 9cos2 + 9cos4 = 4sin2cos2

9/4 - 9cos2 + 9cos4 = 4(1 - cos2)cos2

5232

332

2

332523

22

22

csccsc

cscssc=

22

11

00

c

c

0 = 2sin cos + 3cos2 – 3/2

3/2 - 3cos2 = 2sincos

9/4 - 9cos2 + 9cos4 = 4sin2cos2

9/4 - 9cos2 + 9cos4 = 4(1 - cos2)cos2

9/4 - 13cos2 + 13cos4 = 0

z2 – z + 9/52 = 0

cos2 = z

52

9

4

1

2

1z

13

1

2

1

52

4

2

1 cos

13

1

2

1

cos13

1

2

1

= arccos )13

1

2

1(

++ +- -+ --

cos= 0,8817 0,4719 - 0,8817 -0,4719

= 28,15° 61,85° 151,8° 118,15°

= arccos )13

1

2

1(

++ +- -+ --

cos= 0,8817 0,4719 - 0,8817 -0,4719

= 28,15° 61,85° 151,8° 118,15°= -28,15° +61,85° +151,8° -118,15°

x

y

u

v

c11 = 4,197 7,803 4,197 7,803

c22 = 7,803 4,197 7,803 4,197

a = 1/c11 = 0,488 b = 1/c22 = 0,358

a

b

X = D U

x

y

u

v

a

b1 = 5x2 + 3xy + 7y2

A =

72

32

35

22

11

00

c

c C =

Spur(A) = 12 = c11 + c22 = Spur(C)

|A| = 35 – 9/4 = c11c22 = |C|

|A| = 1|A|1 = |DT||A||D| = |DTAD| = |C|

c11 + c22 = 12

c11c22 = 32,75

c11 + 32,75/c11 = 12

c211 - 12c11 + 32,75 = 0

75,3236611 c

4/136

= 7,803 oder 4,197

1 = x2 + 2xy + y2 A =

cossin

sincos =

11

11

scsc

scsc

cs

sc =

sccscsscsscc

sccscsscsscc2222

2222

11

11

scsc

scsc

sccscsscsscc

sccscsscsscc2222

2222

scs

ssc

2121

21212

2

sccscsscsscc

sccscsscsscc2222

2222

scs

ssc

2121

21212

2

0 = 1 - 2sin2oder sin2 = cos2

sin = 1/2

= 45° oder = 135°

Wahl: 45° cos =1/2 = sin

scs

ssc

2121

21212

2

0 = 1 - 2sin2oder sin2 = cos2

sin = 1/2

= 45° oder = 135°

Wahl: 45° cos =1/2 = sin

c11 = 2 c22 = 0

1 = 2u2

u = 1/2

v

u

1 = x2 + 2xy + y2

A =

11

11

c11 + c22 = 2

c11c22 = 0

c11 = 0 oder c22 = 0

1 = (x + y)2

y = -x 1

u

v

x

y

u v

5 = 3x2 - 2xy + y2 A =

cossin

sincos =

11

13

cscs

scsc

3

3

cs

sc =

2222

2222

33

33

csccsscsscsc

sccscsscsscc

11

13

cscs

scsc

3

3

1222

2122222

222

sscscsc

cssccsc=

22

11

00

c

c

0 = -2sincos + sin2 - cos2

2sincos= 1 - 2cos2

4sin2cos2= 1 - 4cos2 + 4cos4

4(1 - cos2)cos2= 1 - 4cos2 + 4cos4

8cos4 - 8cos2+ 1 = 0

2222

2222

33

33

csccsscsscsc

sccscsscsscc

1222

2122222

222

sscscsc

cssccsc=

22

11

00

c

c

0 = -2sincos + sin2 - cos2

2sincos= 1 - 2cos2

4sin2cos2= 1 - 4cos2 + 4cos4

4(1 - cos2)cos2= 1 - 4cos2 + 4cos4

8cos4 - 8cos2+ 1 = 0

z2 – z + 1/8 = 0

8

1

4

1

2

1z

8

1

2

1 cos 8

1

2

1

8

1

2

1cos

= arccos

++ +-cos= 0,923

0,382

)8

1

2

1(

= 22,5° 67,5°

= -22,5° +67,5°

= arccos

++ +-cos= 0,923

0,382

)8

1

2

1(

= 22,5° 67,5°

= -22,5° +67,5°

c11 + c22 = 4

c11c22 = 2

c11 + 2/c11 = 4

c211 - 4c11 + 2 = 0

24211 c

22

= 3,41 oder 0,59

A =

11

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