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Teora de juegos de negociacin: una visin general

Julin J. Arvalo

Resumen

Este artculo presenta un recuento general de la teora de negociacin. Sedestacan los desarrollos previos a la aparicin de la teora de juegos; se distinguenlos modelos cooperativos y no-cooperativos, se ilustran algunos de los desarrollosrecientes en el rea y se hace especial nfasis en la importancia de la agenda denegociacin en problemas de negociacin gradual.

Abstract

This article presents a general account of bargaining theory. It highlights theprevious developments to bargaining game theory; cooperative and non-cooperativesmodels are distinguished and some topics concerning the Nash program are included.Some new developments on the field are presented and we make a special emphasizein the bargaining agenda of gradual bargaining problems.

JEL classification: C60, C71, C78.Palabras Clave: juegos de negociacin, procesos trayectoria-dependientes.

Julin Arvalo es docente e investigador de las Universidades Externado de Colombia y Nacional de

Colombia (sede Bogot) y miembro de la Unidad de Estudios en Interacciones Econmicas,[email protected].

MAURICIO & LILIANATypewritten TextRevista Sociedad y Economa. Nmero 7, octubre de 2004, pgs. 45 a 64

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Sociedad y Economa N 7

Introduccin

Los juegos de negociacin se refieren a situaciones en las que dos o ms partesdeben alcanzar un acuerdo acerca de cmo repartirse un determinado objeto ocantidad monetaria. En estos juegos, cada jugador prefiere alcanzar un acuerdoque no hacerlo; pero a su vez, prefiere el acuerdo ms favorable desde su punto devista. Ejemplos de tales situaciones son la negociacin entre un sindicato y losempresarios de una compaa acerca del incremento salarial; la disputa entre doscomunidades sobre la reparticin de un territorio comn; las condiciones bajo lascuales dos pases pueden iniciar un programa de desarme nuclear; etc. El anlisisde este tipo de problemas busca, en primera instancia, una solucin en la cual seespecifique la fraccin del objeto de la negociacin que le corresponde a cadaparte negociante.

Los problemas de negociacin han estado presentes en la teora econmicadesde hace ms de un siglo cuando se analizaban los posibles acuerdos a los cualespodran llegar partes con un significativo poder de mercado. Sin embargo, el anlisisde problemas de negociacin trasciende del plano netamente econmico y se insertaen el anlisis de otro tipo de reas como es el caso de los problemas polticos.

El anlisis adecuado de los problemas de negociacin permite entender qu tipode posturas concuerdan con cada tipo de resultados de la negociacin, qu clasede comportamientos al inicio de un problema de negociacin por etapas conducenal xito del proceso y cules de ellos a un fracaso del mismo, as como qu papeldebe jugar un mediador que busca que una negociacin sea exitosa.

Este artculo parte de la premisa compartida por varios tericos en juegos acercade que un mejor conocimiento del conflicto puede ayudar a crear un mundo mspacfico y seguro. En este caso particular, se busca que el estudio de problemas denegociacin brinde alguna luz sobre las consecuencias que cierto tipo decomportamientos as como la estructuracin de los mismos traigan sobre susresultados.

En este sentido, este artculo presenta los principales desarrollos en el anlisisde problemas de negociacin. Se inicia con las aproximaciones previas a la aparicinde la teora de juegos para, despus, presentar el aporte de John Nash sobre losjuegos de negociacin. Seguido a esto se mencionan algunos de los desarrollos enjuegos coalicionales para, despus, mostrar las respuestas a la propuesta de Nash.Posteriormente se analizan los modelos no-cooperativos de negociacin, al igualque el programa Nash y los modelos que prescinden del supuesto de racionalidad.Para terminar, se presenta una reflexin sobre la importancia de la agenda denegociacin, algunos resultados preliminares al respecto, y algunos comentariosfinales.

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Aproximaciones al Problema de Negociacinantes de la Teora de Juegos

El problema de negociacin se remonta tiempo atrs en la teora econmica alanalizar los acuerdos a los que se llegara en presencia de oligopolios, monopoliosbilaterales o, de forma ms general, en situaciones donde dos o ms partes buscan,explcita o implcitamente, algn tipo de acuerdo.

Edgeworth (1881) enfrent el problema de elegir un punto (asignacin) en lacurva de contrato, y establece que otros factores adicionales a los que inclua elmodelo establecido deberan incidir en la eleccin de este acuerdo.

Bsicamente, lo que la teora econmica existente poda decir acerca desituaciones de negociacin se restringa a dos postulados de racionalidad:

Racionalidad Individual: nadie negociar por menos de cierto pago mnimollamado punto de desacuerdo.

Racionalidad Conjunta: nadie llegar a un acuerdo si existe un pago conjuntoposible mejor que el que se est proponiendo.

En la figura 1, el conjunto de posibles pagos conjuntos es F y el punto Fd elpago mnimo conjunto. El rea bvd est conformada por todos los pagos quesatisfacen la condicin de racionalidad individual, y la lnea de frontera bv delconjunto F, es el conjunto de todos los pagos que satisfacen la condicin deracionalidad conjunta (frontera de Pareto). Edgeworth (1881) llam a todos lospuntos de la frontera bv, arreglos finales} (final settlements); Pigou (1905) losllam el rango de acuerdos practicables (range of practicable bargains). Sinembargo, el que los acuerdos posibles estn en la frontera de Pareto bv del conjuntoF no nos dice nada sobre dnde realmente podran negociar, ni cmo las fuerzas


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de la negociacin pueden llevar a los agentes a alguno de estos acuerdos.Fue quizs Zeuthen (1930) quien primero crey en la necesidad de una teora

fuerte de negociacin que permitiera predecir un solo acuerdo (o unos pocosacuerdos) bien definidos. Analizando negociaciones colectivas en el mercado laboral,propone un procedimiento de negociacin que, para el caso simtrico, resulta enuna divisin por partes iguales del proceso de negociacin. Para analizar el casogeneral propuso que la teora tendra que estar basada en las actitudes hacia elriesgo por parte de los agentes. Ms especficamente, el nivel en el que cadaagente est dispuesto a someterse a una disputa en lugar de aceptar trminosdesfavorables, debera tener un papel explcito en el modelo.

Desafortunadamente, esta visin pionera de Zeuthen fue obscurecida por laaparicin en 1944 del gigante Theory of Games and Economic Behavior de vonNeumann y Morgenstern, en donde, sin embargo, los juegos de negociacin de dospersonas no van ms all de la teora de negociacin de Edgeworth y Pigou. Anas, el aporte de von Neumann y Morgenstern fue indirectamente importante parala teora de la negociacin en el sentido de que desarrollaron herramientas tiles aesta, como los conceptos de estrategia, funcin de pago, juego en forma extensivay en forma estratgica, y funcin caracterstica. En particular, el concepto de funcinde pago de von Neumann y Morgenstern era una formulacin rigurosa que permitael estudio formal del concepto de riesgo.

John Nash y los Juegos de Negociacin

Nash (1950) es quien primero define un problema bsico formal de negociacin,entendindolo como un conjunto de posibles asignaciones de utilidad (von Neumann-Morgenstern) resultante de todos los posibles acuerdos que pueden alcanzar laspartes negociantes, y una asignacin correspondiente al pago que obtiene cadauno de los jugadores en caso de que no logren llegar a un acuerdo. Para buscaruna solucin al problema de negociacin, recurre a establecer una serie depropiedades deseables (axiomas) que debera satisfacer tal solucin y posteriormenteprocede a definirla. En este contexto, una solucin de negociacin es una regla deasignacin de utilidades aplicable a cualquier problema de negociacin.

Nash introduce los axiomas de eficiencia (en el sentido de Pareto), simetra1,invarianza escalar2 e independencia de alternativas irrelevantes3, y muestra que lasolucin que ofrece, esto es, aquella que maximiza el producto de las utilidades delos agentes, es la nica que satisface estos cuatro axiomas.1 El axioma de simetra establece que si la posicin de las partes en la negociacin es idntica (en

cuanto a su aversin al riesgo, informacin disponible, etc.) y en el desacuerdo son tratados de lamisma manera, entonces en la solucin deben recibir lo mismo.2 El axioma de invarianza escalar establece que cualquier transformacin escalar de las utilidades de los

jugadores se traduce en una modificacin de la solucin en la misma escala.3 El axioma de independencia de alternativas irrelevantes establece que la eleccin de una asignacin de

utilidades no debe depender de asignaciones que, siendo factibles, no fueron elegidas.

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Para una ilustracin de este resultado consideremos la figura 2; inicialmente elconjunto de negociacin est dado por las asignaciones de utilidad pertenecientesal rombo de lado 2. Notemos que este rombo es simtrico respecto a la lnea de45. El producto de las utilidades puede representarse como una hiprbola 21 uu tal como aparece en la grfica para el caso en que tal producto es igual a 1.Notemos que la solucin Nash de negociacin es eficiente, ya que se encuentra enla frontera de Pareto, simtrica, ya que en este caso se ubica en la lnea de 45, yno depende de la escala de las utilidades. Para verificar que adicionalmente satisfaceel axioma de independencia de las alternativas irrelevantes, consideremos el casoen que se presenta una contraccin del conjunto de negociacin, quedandodisponibles nicamente las asignaciones en la regin sombreada. Notemos que,dado que la asignacin que solucionaba el primer problema sigue siendo una opcinfactible, esta es tambin la solucin al nuevo problema.

Es importante destacar que en juegos donde se presenta asimetra en el poderde negociacin de las partes, la solucin Nash de negociacin penaliza aljugador ms averso al riesgo. El sentido de este resultado se encuentra en elhecho de que en la medida en que un jugador sea ms averso al riesgo, menor sersu deseo de exigir una parte significativa del objeto de negociacin, dado que esteconlleva una probabilidad positiva de que la negociacin fracase. De esta manera,muy seguramente tal jugador estara dispuesto a hacer importantes concesionescon tal de evitar el desacuerdo. Caso contrario ocurre con un agente amante del


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riesgo, en cuanto este s estara dispuesto a asumir riesgos considerables (comoexigir una fraccin considerable del objeto negociado), en lugar de conformarsecon una ganancia pequea, incluso a riesgo de que la negociacin fracase.

Otros desarrollos en esta misma direccin han incluido algn tipo de asimetraadicional al juego, como la informacin disponible a cada jugador o algn otro tipode poder de negociacin exgeno. En general los resultados siguen siendo similares:la solucin Nash de negociacin penaliza al jugador ms averso al riesgo y, en casode que se presenten asimetras de informacin, penaliza al jugador con una menorcantidad de informacin.

El planteamiento del problema por parte de Nash, as como la solucin ofrecida,han generado un amplio campo de investigacin en la interpretacin y validez delos axiomas, y en la formulacin de otras soluciones satisfaciendo propiedadesdiferentes. Sin embargo, el perodo inmediatamente posterior a la aparicin de sutrabajo en juegos de negociacin, los esfuerzos de los tericos en juegos estuvieronencaminados a otro objetivo: los juegos coalicionales.

Los Juegos Coalicionales

Los juegos coalicionales son aquellos juegos con dos o ms jugadores dondesus interacciones cobijan la posibilidad de formacin de coaliciones entre subconjuntosde ellos; es decir, a diferencia de los juegos de negociacin, donde un acuerdonicamente se alcanza a travs de la unanimidad entre los participantes, en losjuegos coalicionales el objeto de negociacin puede repartirse si ciertos subconjuntosde jugadores alcanzan un acuerdo. De esta forma, en los juegos coalicionales nosolo se busca reconocer el papel de los jugadores en la unanimidad, sino tambin elpoder que estos tienen en la formacin de coaliciones.

Se distinguen en la literatura dos caminos adoptados para el anlisis de juegoscoalicionales: juegos con pagos (o utilidad) transferible y juegos sin pagostransferibles. La diferencia radica en la especificacin o no de los pagos al interiorde cada coalicin. Cuando hablamos de juegos con pagos transferibles, estamosdiciendo que la funcin caracterstica (o funcin de juego) especifica un nmeroreal para cada coalicin posible; este nmero corresponde al pago que recibira lacoalicin en caso de que llegara a formarse. Como dijimos previamente, no sehace ninguna especificacin acerca de cmo repartir tal pago entre losmiembros de la coalicin.

En los juegos sin utilidad transferible, la funcin caracterstica asigna un conjuntode vectores para cada coalicin. Con estos vectores se especifican los pagosposibles para cada jugador en caso de que cada coalicin llegara a formarse.

En el estudio del primer tipo de juegos (con utilidad transferible) aparece elconcepto de valor (Shapley (1953)) capturando la idea de que cada jugador debeser remunerado de acuerdo al valor esperado de su contribucin marginal a todaslas coaliciones de las que puede hacer parte. Seguidamente apareceran otros

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conceptos-solucin como el ncleo (Luce y Rafia (1957), Gillies (1959)), el kernel(Davis y Maschler (1965)) y el nucleolo (Schmeidler (1969)). De igual forma, sedesarroll el concepto de conjunto de negociacin (Davis (1967)}), definido comoel conjunto de asignaciones para las que no existen objeciones y contra-objeciones,por lo cual, en juegos de negociacin pura (esto es, juegos donde se excluye laposibilidad de formacin de coaliciones, diferentes a la gran coalicin), coincidecon la frontera de Pareto (ver Aumann (1985)).

Por su parte, en el estudio de juegos sin utilidad transferible, apareceranextensiones del concepto de valor de los juegos con utilidad transferible (Harsanyi(1959), Harsanyi (1963), Shapley (1969)), as como otros conceptos-solucin queincorporan criterios de equidad al interior de las coaliciones (Harsanyi (1973)).Ms adelante en el tiempo, en esta misma lnea de trabajo, aparecera el conceptode valor consistente de Maschler-Owen (Maschler y Owen (1989), (1992)).

Como dijimos, durante este perodo de tiempo no se prest mayor atencin a losjuegos de negociacin, salvo el desarrollo de algunos trabajos experimentales4.Vale la pena sealar que los resultados de estos trabajos no favoreceran a lapropuesta de Nash como solucin al problema de negociacin5. Esta evidenciaexperimental junto a algunos problemas con el funcionamiento de la solucin Nashde negociacin generaran una amplia respuesta y nuevas propuestas comoconcepto-solucin a este tipo de juegos.

Varias Respuestas a la Propuesta de Nash

Despus de este perodo de tiempo dedicado principalmente al desarrollo de lateora de juegos coalicionales, Kalai y Smorodinski (1975) regresan sobre el problemade negociacin, y cuestionan la solucin ofrecida por Nash, recurriendo, en particular,a la crtica recibida por el axioma de independencia de alternativas irrelevantes(uno de los incluidos en la solucin de Nash), as como por los resultados contrariosmostrados por la evidencia experimental frente a la misma (ver Roth (1995a),(1995b)). De igual forma, cuestionan el hecho de que la solucin Nash de negociacinofrezca resultados paradjicos ante situaciones en las que mejora la posicin deuno de los jugadores en la negociacin. Para un ejemplo de lo anterior consideremosla figura 3.

4 Parte de estos trabajos aparece reseada en Roth y Malouf (1979).

5 Ms adelante algunos expertos en economa experimenta estableceran que esto se debi a una

inadecuada especificacin de las condiciones de los juegos.


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Notemos que respecto a F1, se puede considerar F2 como una expansin delconjunto de negociacin en favor del jugador 1. Notemos, sin embargo, que deacuerdo a la solucin Nash de negociacin, el jugador 1 recibe un pago ms altocuando el conjunto de negociacin es F2 que cuando es F1, lo cual no parece unresultado razonable. Kalai y Smorodinski, entonces, proponen una nica solucinen la que se reemplaza el axioma de independencia de alternativas irrelevantes dela solucin de Nash, por uno que s cobije mejoramientos en la asignacin de utilidadrecibida por un agente cuando sus posibilidades de negociacin se expanden.

Establecen que la solucin a un problema clsico de negociacin debera ser elpunto que conecta el punto de desacuerdo con el punto utpico de la negociacin,esto es, aquel punto donde cada agente obtiene la mayor ganancia posible. Desdeluego esta ltima no es una asignacin factible. Sin embargo es importante destacarun hecho: en la solucin propuesta por Kalai y Smorodinski la relacin de gananciasde los dos jugadores es igual a aquella que alcanzaran en el punto utpico. Unejemplo de esta solucin aparece en la figura 4.

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En el caso que mostraron objetando la solucin de Nash, la solucin de Kalai ySmorodinski asigna puntos sobre la lnea de 45, ubicndose el correspondiente aF2 al nororiente del correspondiente a F1, lo que significa que, como era de esperarse,el jugador 1 incremente su pago gracias a la expansin favorable del conjunto denegociacin.

Posterior a esta crtica, Kalai (1977) argumentara que, en un proceso denegociacin, los individuos realizan persistentes comparaciones interpersonales deutilidad, razn por la cual las soluciones propuestas deben satisfacer este hecho.As, propone una solucin en la que las ganancias de la negociacin deben repartirsede forma igualitaria, independientemente del poder de negociacin de los agentes,de su actitud frente al riesgo, o de cualquier otro aspecto que pudiera afectar losresultados en la solucin de Nash. Argumenta que esta posicin se diferencia dela de Harsanyi (1977), en el sentido de que este ltimo aboga por una maximizacinde la suma de las utilidades de los individuos, y destaca la relacin entre estasolucin y la propuesta de Rawls (1971) segn la cual en cada estado se debebuscar la asignacin que maximice el bienestar del individuo peor ubicado en lasociedad (Ver figura 5). Esta situacin conlleva una distribucin igualitaria de lariqueza.

Hay un aspecto que es importante sealar respecto a la solucin igualitaria y esque, para su construccin, Kalai recurre a la condicin de invarianza antedescomposiciones del proceso de negociacin en etapas; es decir, el resultadode la negociacin debe ser el mismo, independientemente de que se negocie deuna sola vez el objeto total, o de si despus de que este haya sido particionado, serealiza la negociacin por etapas y cada parte del objeto se negocia en una etapadiferente del proceso, en donde cada acuerdo alcanzado representa el status quode la siguiente etapa. Posiblemente esta haya sido la primera vez que aparece unanlisis terico comparando la negociacin de un objeto en una sola etapa frente a


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la posibilidad de que este sea fraccionado y cada parte sea negociada en etapasdiferentes. Ms adelante volveremos sobre este punto.

Posteriormente se desarrollaran otras soluciones de negociacin atacandodiverso tipo de problemas; es as como aparecen las soluciones dictatoriales, solucindiscreta de Raiffa, la solucin Perles-Maschler, la solucin de igual rea y lassoluciones de Yu, por solo mencionar unas pocas. Para un listado exhaustivo deeste tipo de soluciones as como su anlisis, ver Thomson (1994).

Los Modelos de Ofertas Alternadas: Stahl (1972), Rubinstein (1982)

Otra vertiente del problema de negociacin, iniciada con los trabajos de Stahl(1972) y seguidos por Rubinstein (1982), se fundamenta en un escenario no-cooperativo donde los agentes vinculados a la negociacin realizan ofertas ycontraofertas hasta llegar a algn acuerdo (equilibrio de Nash perfecto en subjuegos(Selten (1975)), en condiciones donde el tiempo que transcurre en la negociacin yla paciencia de los jugadores juegan un papel importante. Este acuerdo resultaestar, bajo condiciones apropiadas, muy cerca de la solucin Nash de negociacin.

Los modelos cooperativos de negociacin que describimos previamente, al nohacer explcita la forma en que se desarrolla la negociacin entre los agentes, nopermiten entender cmo se alcanza el acuerdo prescrito. Stahl (1972) y Rubinstein(1982) abordaron este problema asumiendo un juego secuencial en el que, en cadaetapa, le corresponda a uno de los jugadores el turno de proponer alguna reparticindel objeto en cuestin, e inmediatamente el otro debera decidir entre aceptar orechazar tal propuesta; en caso de que alguna oferta fuera aceptada el juegoterminaba, mientras que si un jugador rechazaba una oferta, sera su turno dehacer una contraoferta; el juego continuaba, entonces, hasta alcanzar un acuerdo,o se jugaba infinitamente a travs de sucesivos desacuerdos.

Ilustremos este tipo de juegos con un ejemplo sencillo. Consideremos que dosagentes, 1 y 2, estn decidiendo cmo repartir una unidad monetaria. Los dosagentes descuentan el futuro a una tasa ( )1,0 . De esta forma $1 maana esequivalente a $ hoy. Digamos que en la primera etapa el jugador 1 debe haceruna oferta al jugador 2, el cual, a su vez, debe decidir si acepta o no la ofertarecibida. En caso de que el jugador 2 acepte, la reparticin propuesta se lleva acabo y el juego termina. En caso de que el jugador 2 no acepte, debe hacerle unacontraoferta al jugador 1. La negociacin debe llevarse a cabo en un nmero T deetapas que, sin prdida de generalidad, asumimos par, es decir, en caso de que nose alcance un acuerdo en tal etapa T, ambos jugadores reciben un pago igual acero. Solucionemos, entonces, por induccin hacia atrs.

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Como T es par el jugador 2 es el ltimo en proponer una reparticin6. Dado queel objeto de la negociacin pierde valor conforme el tiempo pasa, en la etapa T lacantidad de dinero a ser negociada es 1. Si el jugador 1 no acepta la oferta deljugador 2, su pago es cero (por ser la ltima etapa), luego el jugador 2 le ofrece talpago, se queda con todo el objeto de la negociacin ( 1T ) y el jugador 1 seraindiferente entre aceptar y no hacerlo7. As pues, los pagos seran (,0). Sin embargo,como el jugador 1 sabe esto, en la etapa T-1, cuando es su turno de realizar unaoferta, podra anticiparse a este resultado y ofrecerle al jugador 2 lo mismo queobtendra en caso de que el juego llegara a la ltima etapa, y evitar el costo de queel juego avance; de esta forma, los pagos seran (, (1-)). Podemos continuar coneste mismo razonamiento hasta la primera etapa donde encontraramos que laoferta del jugador 1 sera

Haciendo T suficientemente grande y simplificando estas expresionesencontramos que la oferta del jugador 1 en la primera etapa sera igual a

Notemos, entonces, que en este modelo el primer jugador en ofrecer se vefavorecido sobre su oponente, obteniendo, desde luego, una mayor parte del objetoa ser negociado. Los resultados no cambian si el nmero lmite de etapas es impar.

Rubinstein (1982) analiza el caso general y encuentra que, en el equilibrio existeun nico par de acuerdos eficientes (x*,y*) para los cuales

donde es la tasa de descuento del jugador i y ui(h) es la utilidad que el jugadori obtiene en el acuerdo h. Resulta inmediato ver que este resultado en el caso defunciones de utilidad lineales que vimos anteriormente asigna los pagos:

Algunas conclusiones se pueden extraer de este resultado. Si los factores dedescuento son iguales para ambos jugadores, obtenemos nuevamente el resultadodel modelo de Stahl si el nmero lmite de etapas en el que ste se desarrolla essuficientemente grande; al igual que antes, el jugador que ofrece primero saca6 Lo nico que cambia al considerar un nmero lmite de etapas impar es que para empezar el anlisis

por induccin hacia atrs, el jugador 1 sera el ltimo en proponer.7 Para evitar complicaciones podemos decir que el jugador 2 le ofrece a 1 una porcin suficientemente

pequea de la cantidad de dinero restante, con lo cual este acepta.


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mayor partido de la negociacin. Si mantenemos la diferencia en los factores dedescuento, al depender la ganancia de cada uno de ambas tasas de descuento, porejemplo, cuando el jugador 2 es muy impaciente (2 0), el jugador 1 obtiene unamayor parte del objeto. En general, la ganancia de cada uno de los jugadores escreciente en su factor de descuento (tasa de impaciencia) y decreciente en elfactor de descuento de su rival.

Por otro lado, observemos que en el caso en que 1 = 1 = 1 la solucin denegociacin es indeterminada; es decir, si ninguno de los jugadores considera costosoel proceso de negociacin (ofertas y contraofertas) no se puede concluir nadaacerca de un acuerdo, salvo que los jugadores permaneceran regateandoindefinidamente. Sin embargo, resulta natural asumir < 1 para ambos jugadores,aunque seguramente, diferentes entre si. En una guerra, por ejemplo, es preferiblealcanzar un acuerdo hoy que el prximo ao, ya que a medida que pasa el tiempolas prdidas humanas y materiales se hacen mayores. De igual forma, al interiorde una empresa, es preferible detener la huelga cuanto antes ya que el paso deltiempo perjudica a empresarios y trabajadores indiscriminadamente. Luego lasolucin al problema que existe cuando a ambas partes les cuesta negociar estardeterminada por la relacin entre los factores de descuento de estas. En conclusin,la negociacin penaliza la impaciencia y premia al primero en ofrecer.

El Programa Nash

Posterior a la aparicin del modelo de ofertas alternadas de Rubinstein aparecen,una serie de trabajos encaminados a justificar las soluciones cooperativas denegociacin a travs de equilibrios de juegos no-cooperativos; esto es lo que seconoce como el programa Nash (Binmore y Dasgupta (1987)). As, por ejemplo,se puede mostrar que bajo condiciones bastante regulares la solucin al modelo deofertas alternadas de Stahl y Rubinstein se ubica suficientemente cerca de la solucinNash de negociacin del juego cooperativo equivalente. Este hecho da un soportemucho mayor a este tipo de soluciones cooperativas ya que se aproxima a dar unaexplicacin del mecanismo (juego no-cooperativo) a partir del cual podran surgirlas mismas. Esto es destacable ya que, en muchas ocasiones, las crticas a losconceptos solucin de los juegos cooperativos (o coalicionales) se basa en su carcternormativo y en el hecho de no preocuparse por los procesos a partir de loscuales estas soluciones aparecen. La solucin Nash de negociacin es solo uncaso ms de este tipo de situaciones.

Para otro tipo de soluciones Hart y Mas-Colell (1996), por ejemplo, plantean unmodelo de negociacin multilateral en el que, en cada etapa, alguno de los jugadores,aleatoriamente escogido, debe proponer una reparticin del objeto en cuestin; encaso de que tal propuesta sea aceptada por todos los jugadores, la reparticin esllevada a cabo; en caso contrario, existe una probabilidad fija de que el jugadorproponente sea retirado del juego. En tal escenario se obtiene como resultado el

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valor de Shapley en juegos con utilidad transferible; el valor consistente de Maschler-Owen en juegos con utilidad no-transferible; y la solucin Nash de negociacin enjuegos de negociacin pura8. Para la implementacin de otro tipo de solucionescooperativas ver, por ejemplo, Vidal-Puga (2003).

Modelos Evolutivos de Negociacin

En los modelos comentados hasta este momento se encuentra implcito elsupuesto de racionalidad de los jugadores; esto es, los agentes maximizan algunafuncin objetivo tipo von Neumann-Morgenstern. Esto implica, por ejemplo, queen aquellos casos donde el juego se lleva a cabo a travs de diferentes etapas(como en los modelos de ofertas alternadas) cada jugador es consciente de toda latrayectoria posible del juego y, conociendo la racionalidad de su oponente, elige elcurso de accin que le genera los pagos ms altos. Podran cuestionarse, entonces,los resultados ofrecidos por la teora, atacando el supuesto base de estos modelos:la racionalidad. Sin embargo, los trabajos en el rea desarrollados en los ltimosaos, muestran una destacable consistencia de toda esta agenda de trabajo.

La teora de juegos evolutivos, prescinde del supuesto de racionalidad, y tieneen cuenta que los resultados de cierto tipo de interacciones que aparecen comoequilibrios de algunos juegos, se alcanzan a partir de mecanismos tipo ensayo yerror ms que a partir de procesos de maximizacin de agentes hiperracionales.Uno de los logros de la teora de juegos evolutivos ha sido dar ciertas luces sobrela seleccin de equilibrios en escenarios donde la multiplicidad de estos impide a lateora clsica establecer predicciones especficas.

Binmore, Samuelson y Young (2003) llevan el problema de negociacin a estecontexto con el propsito de observar los equilibrios que emergen en este tipo desituaciones, y mostrar su relacin con otros modelos de negociacin. En su modeloproponen tres escenarios de negociacin caracterizados a partir de juegos no-cooperativos. Estos escenarios funcionan de la siguiente manera:

Juego de la Demanda de Nash: En este escenario cada jugador tiene unconjunto de estrategias correspondientes a sus demandas posibles en un problemade negociacin; en caso de que el resultado demandado sea factible, los jugadoresreciben sus demandas, en caso contrario reciben cero.

Juego de la Demanda de Nash Suavizado: Este juego es similar al juegode la demanda de Nash, con la salvedad de que en caso de que el acuerdo seaineficiente los jugadores se repartirn la fraccin restante del objeto de acuerdo asu poder de negociacin.

Juego del Contrato: A diferencia de los escenarios anteriores, en este juego,en caso de que las demandas de los jugadores no coincidan exactamente con el8 El valor consistente de Maschler-Owen es el vector de valores esperados de las contribuciones

marginales de cada jugador a las coaliciones que puede integrar, en juegos con utilidad no-transferibley donde no se asume la formacin de la gran coalicin (ver Maschler y Owen (1989), (1992))


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objeto negociado, los pagos que obtiene cada uno son iguales a cero.Podemos ver, entonces, que en el juego del contrato hay un riesgo ms alto de

que los jugadores obtengan un pago igual a cero. El juego de la demanda de Nashsuavizado, por su parte, permite que los jugadores obtengan un mayor beneficio.Dado que los jugadores hacen sus elecciones de acuerdo a algn tipo de procesode aprendizaje, Binmore, Samuelson y Young (2003) proponen dos tipos de dinmicasde ajuste ante las exigencias realizadas. En una de ellas, en cada etapa, los jugadoreseligen la mejor-respuesta ante la eleccin de su oponente en la etapa anterior(mejor-respuesta continua). En la otra, cada jugador intenta hacerlo pero existeuna probabilidad positiva de que se equivoque en su intento (mejor-respuestaaleatoria).

Aplican los dos tipos de dinmicas a los tres escenarios de negociacinmencionados y encuentran lo siguiente: para los tres escenarios, bajo la dinmicade mejor-respuesta continua, la nica solucin estocsticamente estable9 es lasolucin Nash de negociacin asimtrica. Por su parte, bajo la dinmica de mejor-respuesta aleatoria, los resultados se mantienen salvo en el juego del contrato,donde la solucin Kalai-Smorodinski constituye el nico estado estocsticamenteestable.

El resultado encontrado es bastante til para aquellos modelos que utilizanalgunas de las soluciones clsicas (cooperativas) de negociacin: la solucin queemerge en problemas de negociacin es la solucin ofrecida por Nash, y esteresultado es independiente de la racionalidad de los jugadores. Sin embargo,si existe un riesgo alto de que los jugadores reciban un pago de cero y existealguna probabilidad positiva de que los jugadores se equivoquen al revisarsus estrategias, la solucin que emerge es la ofrecida por Kalai y Smorodinski.

Negociacin Gradual y Agenda de Negociacin

Recordemos que la solucin propuesta por Kalai para atacar problemas clsicosde negociacin recurre al axioma de invarianza ante descomposiciones del procesode negociacin en etapas que, decamos, establece la indiferencia entre negociarun objeto en su totalidad frente a la posibilidad de que este sea negociado poretapas. A partir de all, se podra pensar en el surgimiento de una variante frente altratamiento clsico de los problemas de negociacin, reconociendo que estos noson procedimientos que determinen como solucin una nica situacin, sino queson procesos que se llevan a cabo a travs de varias etapas. As, unprocedimiento diferente al clsico para el desarrollo de un problema de negociacin,consiste en subdividir el objeto total de la negociacin en varias partes con el nimode evitar un cese en el proceso; en negociar tales partes de forma individual y

9 Se dice que un estado es estocsticamente estable si se alcanza independientemente de las condiciones

iniciales del modelo cuando las probabilidades de mutacin son suficientemente pequeas.

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secuencial; en establecer los acuerdos alcanzados como puntos de desacuerdopara etapas posteriores; y en continuar hasta agotar el objeto total de la negociacin.De forma ms sencilla, el procedimiento consiste en definir una agenda denegociacin que contemple todos los puntos a ser negociados, y estableceracuerdos sobre cada uno de estos por aparte, con la condicin de que llegadocierto punto, si no se logra alcanzar un acuerdo, se tiene como resultado del procesoel acuerdo alcanzado hasta el punto inmediatamente anterior al que gener el cesede las negociaciones.

La principal ventaja de particionar un problema de negociacin consiste enfacilitar la implementacin de la solucin a travs de una reduccin del riesgo deque fracase el proceso. A este respecto, Axelrod (1984) escriba:

...por ejemplo, un tratado de control de armamentos o de desarme podraser descompuesto en muchas etapas intermedias; ello permitira a las dospartes negociadoras ir avanzando con pasos relativamente pequeos en lugarde tener que dar uno o dos pasos grandes decisivos... si ambas partes supieranque a un paso impropio de la otra, se puede responder con la decisin recprocaen la fase siguiente, ambas partes tendran ms confianza en que elproceso funcionar como est previsto p. 128-129. (Cursivas propias)

y, de forma especfica, agregaba:

el tener que dar muchos pasos pequeos ayudar ms a promover lacooperacin, que tener que dar solamente uno o dos muy importantes.

En la misma direccin, refirindose a la importancia de los acuerdos parcialesen la generacin de confianza, hace ya ms de cuarenta aos Schelling (1960)escriba:

Si se consigue concluir cierto nmero de acuerdos, cada una de las partespuede estar dispuesta a arriesgar una pequea inversin con el fin de crearuna tradicin de confianza. La finalidad perseguida es permitir que cadaparte demuestre que comprende la necesidad de confianza y que sabe quela otra la comprende tambin. As, si se tiene que negociar sobre un asuntoimportante, puede resultar necesario buscar y negociar otras cuestionessecundarias para ``practicar; para establecer la confianza necesaria decada una de las partes en que la otra comprende el valor a largo plazo de labuena fe. An cuando no vaya a repetirse la situacin en el futuro, cabe laposibilidad de crear una situacin equivalente dividiendo la cuestin sujeta anegociacin en partes consecutivas p. 62.


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No obstante la importancia de los problemas de negociacin por etapas y sucercano referente en negociaciones reales, este enfoque ha recibido muy pocaatencin por parte de la literatura internacional. Wiener y Winter (1999) y ONeill,Samet, Wiener y Winter (2004) llaman la atencin sobre la prolfica discusin acercade las soluciones estticas (clsicas) de negociacin, frente al corto camino recorridoen el anlisis de problemas de negociacin en los cuales el conjunto denegociacin se expande gradualmente; es decir, problemas de negociacin enlos cuales previamente se ha establecido una agenda. En su modelo, proponenexpansiones graduales del conjunto de negociacin, donde, como dijimos, el acuerdoalcanzado en cada etapa acta como el punto de desacuerdo para la etapa siguiente.Recurren a varios esquemas de arbitraje sobre la reparticin de la nueva fraccindisponible del objeto de negociacin; algunos de estos son Nash en cada etapa,por turnos, aleatorio, etc. Para algunos ejemplos, ver figuras 6 y 710

10 En estas dos figuras F(t) representa la frontera del conjunto de negociacin en la etapa t.

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ONeill, Samet, Wiener y Winter (2004) muestran que, independientemente delesquema de arbitraje al que se recurra, siempre y cuando las expansiones delconjunto sean lo suficientemente pequeas, aparece una nica trayectoria desolucin. Esta trayectoria est determinada por la nica solucin a la ecuacindiferencial que iguala la relacin entre las utilidades de los jugadores, al cocienteentre las derivadas parciales de la ecuacin que determina el conjunto de negociacinen cada etapa. De acuerdo a esta solucin gradual de negociacin, en cada etapala reparticin del objeto de la negociacin favorece al jugador ms necesitado,donde el grado de necesidad se determina por la relacin marginal de sustitucinentre la utilidad de los dos jugadores. Resulta importante destacar la diferenciaentre la solucin Nash de negociacin y la solucin Nash gradual: esta ltimafavorece al jugador ms necesitado, mientras la primera favorece al msdispuesto a asumir riesgos.

Sin embargo, respecto a la solucin de su modelo en el cual la agenda seconsidera exgena, los mismos autores afirman:

...surgen, desde luego, importantes preguntas con respecto a la agenda. Elresultado final de la negociacin depende de la forma en que el pastel grandesea partido en pequeos pedazos.(Wiener y Winter (1999), p. 3)

Es decir, los resultados del proceso podran cambiar dependiendo de la formaen que se estructure la agenda. En este sentido, un problema relevante para lateora de juegos de negociacin consiste en hacer endgena la agenda del mismo.

Un Modelo con Agenda Endgena

Al descomponer un problema de negociacin en varias etapas, resulta usualencontrar que la agenda no se establece de forma previa o, de ser as, tal agendaes susceptible de ser modificada conforme avanza el proceso. Resulta naturalpensar que las ofertas, exigencias y acuerdos que se llevan a cabo en etapasposteriores de la negociacin, estarn fuertemente relacionados con aquellosalcanzados en etapas previas. Puede ocurrir que a medida que avanza el procesouna de las partes se haga ms fuerte, lo que la llevar a exigir ms en cada etapao, por el contrario, que el proceso mismo se encargue de igualar a las partes, de talforma que aquella que sea ms beneficiada en las primeras etapas deba ceder enlas etapas posteriores. As, es claro que existe la posibilidad de que se generenrendimientos crecientes, decrecientes o constantes a escala durante la negociacin.De esta forma, para hacer una aproximacin a una forma de modelar la agenda denegociacin es necesario reconocer el proceso de negociacin como uno en elcual las partes enfrentan condiciones cambiantes, determinadas parcialmente por


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el azar, y por la historia misma del proceso, en el cual ciertas posiciones de laspartes pueden tomar ms fuerza conforme las etapas avanzan11.

En Arvalo (2003) se presenta un modelo en el que la agenda de negociacinse considera como un proceso trayectoria-dependiente12 para estudiar procesoscon rendimientos crecientes a escala}. Analizando el caso con dos agentes neutralesal riesgo, all se concluye que, si bien fraccionar el objeto de negociacin enfragmentos grandes o pequeos no afecta los resultados de largo plazo, la negociacinde fragmentos pequeos reduce la probabilidad de que cese la negociacin en lasprimeras etapas del proceso. De igual forma, el papel de un mediador facilita eldesarrollo de la negociacin en tanto su postura no favorezca a ninguna de laspartes.

Estos resultados (en particular, la conveniencia de negociar pequeos fragmentosen cada etapa) contrastan con los de Flamini (2002) quien, describiendo laspreferencias de cada jugador sobre posibles agendas, seala que un jugador referirdejar el asunto ms importante de su oponente para el final de la lista de asuntos anegociar, con el fin de discutir primero los aspectos que l considera ms importantes.Los resultados de los dos modelos coinciden al considerar asuntos urgentes/difciles,en el sentido de que un desacuerdo respecto a estos puede comprometer el procesode negociacin. Para tales asuntos, Flamini muestra que es Pareto-eficientepostponer su negociacin para el final.

Vale la pena sealar que el tema de la endogenizacin de la agenda denegociacin se encuentra apenas en sus inicios, por lo que estos resultados todavapodran considerarse preliminares. Trabajos con otro tipo de dinmicas, al igualque con diversas posibilidades respecto al comportamiento de los agentes en cuantoa su preferencia por el riesgo y la forma en que esta cambia conforme la negociacinavanza, pueden dar ms luces sobre esta nueva rea de investigacin.

Un Comentario Final

Como se pudo observar a travs de este escrito, son diversas las aproximacionesal problema de negociacin antes y despus de la aparicin de la teora de juegos.La distincin entre las soluciones normativas y las positivas, y el soporte que losmodelos evolutivos y no-cooperativos dan a las soluciones iniciales de los modeloscooperativos, son tan solo una muestra del potencial de esta herramienta para elanlisis de reales problemas de negociacin.

Actualmente algunos autores encaminan sus esfuerzos a la modelacin de laagenda de negociacin con miras a entender qu tipo de estructuracin de esta

11 Por ejemplo, Schelling (1960) destaca la importancia de los acuerdos iniciales en un proceso de

negociacin con una frase usual en este tipo de situaciones:Si cedo ahora, usted revisar su opininacerca de m para nuestras futuras negociaciones; para defender mi reputacin ante usted, debomantenerme firme. p.4512

Para esto se recorre a la metodologa de Arthur, Ermoliev, y Kaniovski (1983), (1987).

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permite alcanzar mejores resultados para las partes. Algunas preguntas comoceder mucho al principio para generar confianza o ceder poco para mostrarfortaleza?, as como negociar primero lo importante para pasar rpidamente alo trivial o empezar con lo trivial para tener una mayor preparacin al negociar loimportante? permanecen an abiertas. Atacar estas preguntas es, tal vez, el caminoque nos permita establecer mejores condiciones para la estructuracin de todo tipode problemas de negociacin.

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