16309407 rumus-rumus-segitiga
TRANSCRIPT
Rumus-rumus segitiga
Oleh : Padiya,S.Pd.e-mail: [email protected]
2
RUMUS-RUMUS SEGITIGA
Pandanglah ABC pada gambar 1. Besar sudut dalam ABC, dituliskan dengan A, B, dan C. Sisi di hadapan A (yaitu sisi BC) panjagnya a, sisi di hadapan B (yaitu sisi AC) panjagnya b dan sisi di hadapan C (yaitu sisi AB) panjangnya c.
Gambar 1Jadi dalam ABC terdapat 6 unsur , yaitu 3 unsur sudut (dengan A, B, dan
C) dan 3 unsur sisi ( a, b , dan c).Dalam BAB ini kita akan mempelajari rumus-rumus segitiga yang
menghubungkan unsur-unsur sudut dengan unsur-unsur sisi pada sebuah segitiga, yaitu : aturan sinus (Dalil Sinus), atura kosinus (Dalil kosinus), dan luas segitiga.
1. ATURAN SINUS
A. Contoh-contoh untuk pengantar.Untuk memudahkan kita dlam memahami aturan sinus itu, perlu kita simak
terlebih dahulu beberapa contoh berikut ini .
1. Pada gambar 2, segitiga ABC siku-siku di B, dengan A = 50o, B = 90o, dan b = 8 . Hitunglah :
a. besar C b. Panjang sisi a dan sisi c. C
b = 8 a 50o
A c B
Gambar 2b. Dari gambar 2 didapat :
Abab
aA sinsin
= 8 sin 50o
= 8 0,7660 = 6,1 (teliti samai 1 tempat desimal)
Abcb
cA coscos
A
B C
bc
a
A = ao sisi BC = aB = bo sisi AC = bC = co sisi AB = c
bo
ao
co
Penyelesaian :a. Untuk menghitung C kita gunakan
hubungan : A + B + C = 180o
C = 180o - A - C = 180o – 50o – 90o
= 40o
Rumus-rumus segitiga
Oleh : Padiya,S.Pd.e-mail: [email protected]
3
= 8 cos 50o
= 8 0,6428= 5,1 (teliti sampai dengan 1 tempat desimal).
Jadi panjang sisi a = 6,1 dan panjang sisi c = 5,1 .
2. Pada gambar 3, ABC lancip dengan A = 40o, B = 80o dan b = 6 .a. Hitung besar C !b. Apakah panjang a dan c dapat dihitung
Langsung seperti pada contoh 1 ?c. Buat garis tinggi CD pada sisi AB, kemudian
Hitung :i. panjang CP iv. Panjang BPii. panjang BC v. Panjang ABiii. panjang AP
Gambar 3Penyelesaian :a. Untuk menghitung C, kita gunakan hubungan : C = 180o - A - B = 180o – 40o – 80o
= 60o
b. Karena ABC bukan segitiga siku-siku, maka panjang sisi a dan c tidak dapat dihitung langsung seperti pada contoh 1.
c. Dengan membuat garis tinggi CD sebagai garis pertolongan (lihat gambar 3) kita dapatkan :
i. AbCDb
CDA sinsin
= 6 sin 40o
= 6 0,6428= 3,9 (teliti sampai dengan 1 tempat desimal).
ii. B
CDBC
BC
CDB
sinsin
= o80sin
9,3
= 9848,0
9,3
= 3,9 (teliti sampai dengan 1 tempat desimal).
iii. AbADb
ADA coscos
= 6 cos 40o
= 6 0,7660= 4,6 (teliti sampai dengan 1 tempat desimal).
iv. BBCDBBC
DBB coscos
Ac
b = 6 a
C
B40o 80oD
Rumus-rumus segitiga
Oleh : Padiya,S.Pd.e-mail: [email protected]
4
= 3,9 cos 80o
= 3,9 0,1736= 0,7 (teliti sampai dengan 1 tempat desimal).
v. AB = AD + DB = 4,6 + 0,7 = 5,3Jdi dengan membuat garis tinggi CD sebagai garis pertolongan, kita dapat menghitung panjang sisi a dan sisi c.
3. Pada gambar 4, ABC tumpul dengan A = 100o, B = 50o dan b = 12.a. Hitunglah besar C!b. Apakah panjang a dan c dapat dihitung
Langsung seperti pada contoh 1.c. Buat garis tinggi CD pada perpanjangan
Sisi AB, kemudian hitung panjang a danc !
Gambar 4Penyelesaian :a. Untuk menghitung C, kita gunakan hubungan : C = 180o - A - B = 180o – 100o – 50o
= 30o
b. Karena ABC bukan segitiga siku-siku, maka panjang sisi a dan c tidak dapat dihitung langsung seperti pada contoh 1.
c. Dengan membuat garis tinggi CD sebagai garis pertolongan (lihat gambar 4). Maka kita dapatkan :
i. pada DAC, DAC = 180o – 100o = 80o, sehingga
DACbCDb
CDDAC sinsin
= 12 sin 80o
= 12 0,9848= 11,8 (teliti sampai dengan 1 tempat desimal).
DACbADb
ADDAC coscos
= 12 cos 80o
= 12 0,1736= 2,1 (teliti sampai dengan 1 tempat desimal).
ii. pada PBC :
B
CDBC
BC
CDB
sinsin
= o50sin
8,11
A B
C
b =12
c
a
100o 50o
D
A
Rumus-rumus segitiga
Oleh : Padiya,S.Pd.e-mail: [email protected]
5
= 7660,0
8,11
= 15,4 (teliti sampai dengan 1 tempat desimal).
BBCBDBC
BDB coscos
= 15,4 cos 50o
= 15,4 0,6428= 9,9 (teliti sampai dengan 1 tempat desimal).
AB = BD-AD = 9,9 = 2,1 = 7,8Jadi, dengan membuat garis tinggi CD sebagai garis pertolongan, kita dapat meng-hitung panjang sisi a dan sisi c.Dari contoh 1 sampai dengan contoh 3, kita dapat mengamati beberapa hal sebagai berikut :1. Dalam ABC siku-siku (contoh 1), panjang sisi a dan c dapat dihitung langsung
dengan menggunakan perbandingan trigonometri.2. Dalam ABC lancip (contoh 2) atau tumpul (contoh 3), panjang sisi a dan c
dapat dihitung dengan menggunakan garis tinggi sebagai garis pertolongan.Lalu sekarang timbul pertanyaan, dapatkah panjang sisi a dan c dihitung tanpa menggunakan garis tinggi sebagai garis pertolongan ? Untuk menjawab pertanyaan tersebut simaklah uraian berikut ini .
B. Aturan Sinus dan Buktinya.Pada uraian terdahulu telah kita pelajari cara menentukan unsur-unsur sebuah segitiga yang belum diketahui, jika unsur-unsur yang lain telah diketahui. Namun yang terpenting dari padanya, adalah apa yang disebut di bawah ini :
Atau dengan rumus dapat ditulis sebagai berikut :
Bukti : Cara 1i. Untuk ABC lancip. C
b a
A D B c Gambar 5
Aturan Sinus : Dalam setiap segitiga, perbandingan antara panjang sisi dengan sinus sudut yang
mengahadapi sisi itu adalah sama, untuk tiap sisi dan sudut yang terdapat pada segitiga tersebut.
Untuk segitiga ABC berlaku :
C
c
B
b
A
a
sinsinsin
Perhatikan gambar 5 *) segitiga ADC siku-siku di D, maka :
AbCDb
CDA sinsin ---(1)
*) segitiga BDC siku-siku di D, maka :
BaCDa
CDB sinsin ---(2)
Rumus-rumus segitiga
Oleh : Padiya,S.Pd.e-mail: [email protected]
6
Dari (1) dan (2) didapat :bsinA = asinB atau ---------(3)
C E b a
A B c Gambar 6
Dari (1) dan (2) didapat :bsinC = csinB atau ---------(6)
Dari (3) dan (6) didapat : C
c
B
b
A
a
sinsinsin
ii. Untuk ABC tumpul :
C a b
D A c B
Gambar 7
Dari (1) dan (2) didapat :bsinA = asinB atau ---------(3)
C E b a
A c B
Gambar 8
b
b
A
a
sinsin
Perhatikan gambar 6*) segitiga AEC siku-siku di E, maka :
CbAEb
AEC sinsin ---(4)
*) segitiga BEC siku-siku di E, maka :
BcAEc
AEB sinsin ---(5)
C
c
B
b
sinsin
Perhatikan gambar 5 *) segitiga ADC siku-siku di D, maka :
AbCDb
CDA sinsin ---(1)
*) segitiga BDC siku-siku di D, maka :
BaCDa
CDB sinsin ---(2)
b
b
A
a
sinsin
Perhatikan gambar 6*) segitiga AEC siku-siku di E, maka :
CbAEb
AEC sinsin ---(4)
*) segitiga BEC siku-siku di E, maka :
BcAEc
AEB sinsin ---(5)
Rumus-rumus segitiga
Oleh : Padiya,S.Pd.e-mail: [email protected]
7
Dari (4) dan (5) didapat :bsinC = csinB atau ---------(6)
Dari (3) dan (6) didapat : C
c
B
b
A
a
sinsinsin (terbukti)
Bukti : Cara 2i. Untuk ABC lancip:
Y C(b.cosA,b.sinA) Y C(a.cosB,a.sinB)
b a a b
yc yc
O=A c B X O=B c A X (a) (b)
Gambar 9Perhatikan gambar 9 di atas !Pada gambar 9 (a) didapat hubungan : yc = b.sinA -----(1)Pada gambar 9 (b) didapat hubungan : yc = a.sinB -----(2)Dari (1) dan (2) didapat hubungan
b.sinA = a.sin B atau
B
b
A
a
sinsin --------(3)
Y B(c.cosA,c.sinA) Y B(a.cosC,a.sinC)
c a a c yb yb
O=A b C X O=C b A X (a) (b)
Gambar 10Perhatikan gambar 10 di atas !Pada gambar 10 (a) didapat hubungan : yb = c.sinA -----(4)Pada gambar 10 (b) didapat hubungan : yb = a.sinC -----(5)Dari (4) dan (5) didapat hubungan
c.sinA = a.sin C atau
C
c
A
a
sinsin --------(6)
C
c
B
b
sinsin
Rumus-rumus segitiga
Oleh : Padiya,S.Pd.e-mail: [email protected]
8
Dari (3) dan (6) didapat : C
c
B
b
A
a
sinsinsin (terbukti)
ii. Untuk ABC tumpul : Y Y B(c.cosA,c.sinA) B(a.cosC,a.sinC)
yb c a a c yb
D O=A b C X O=C b A D X (a) (b)
Gambar 11Perhatikan gambar 11 di atas !Pada gambar 11 (a) didapat hubungan : yb = c.sinA ------ (1)Pada gambar 11 (b) didapat hubungan : yb = a.sinC ------ (2)Dari (1) dan (2) didapat hubugan :
c.sinA = a.sin C atau
C
c
A
a
sinsin --------(3)
Y Y A(c.cosB,c.sinB) A(b.cosC,b.sinC)
c ya b b ya c
O=B a C X O=C a B X(a) (b)
Gambar 12Perhatikan gambar 12 di atas !Pada gambar 12 (a) didapat hubungan : ya = c.sinB -----(4)Pada gambar 12 (b) didapat hubungan : ya = b.sinC -----(5)Dari (4) dan (5) didapat hubungan
c.sinB = b.sin C atau
C
c
B
b
sinsin --------(6)
Dari (3) dan (6) didapat : C
c
B
b
A
a
sinsinsin (terbukti)
Bukti cara 3:i. Untuk ABC lancip. C
b a A x O c B x
Perhatikan gambar 13 di samping ! D = A (sudut dalam segmen yang sama)
CBD siku-siku (menghdapi busur 2
1lingkaran DC),
CD = 2R, (R = jari-jari lingkaran)
R
aAatau
R
a
CD
aD
2sin
2sin atau
RA
a2
sin ----- (1)
Rumus-rumus segitiga
Oleh : Padiya,S.Pd.e-mail: [email protected]
9
D Gambar 13 C
b a A O c y B y E Gambar 14
C F b a A O c B Gambar 15
Dari (1), (2) dan (3) didapat hubungan :
RC
c
B
b
A
a2
sinsinsin
ii. Untuk ABC tumpul: C
a b
A x O B c
x D Gambar 16
Perhatikan gambar 14 di samping ! E = B (sudut dalam segmen yang sama)
CAE siku-siku (menghdapi busur 2
1lingkaran CE),
CE = 2R, (R = jari-jari lingkaran)
R
bBatau
R
b
CE
bE
2sin
2sin atau
RB
b2
sin ----- (2)
Perhatikan gambar 15 di samping ! F = C (sudut dalam segmen yang sama)
BAF siku-siku (menghdapi busur 2
1lingkaran BF),
BF = 2R, (R = jari-jari lingkaran)
R
cCatau
R
c
BF
cF
2sin
2sin atau
RC
c2
sin ----- (3)
zz
Perhatikan gambar 16 di samping ! D = A (sudut dalam segmen yang sama)
CBD siku-siku (menghdapi busur 2
1
lingkaran DC),CD = 2R, (R = jari-jari lingkaran)
R
aAatau
R
a
CD
aD
2sin
2sin
atau
RA
a2
sin ----- (1)
Rumus-rumus segitiga
Oleh : Padiya,S.Pd.e-mail: [email protected]
10
C
a b
A O y B c
y E Gambar 17
C a b A c B O F
Gambar 18
Dari (1), (2) dan (3) didapat hubungan :
RC
c
B
b
A
a2
sinsinsin terbukti
C..Penggunaan Aturan SinusAturan sinus secara umum dapat digunakan untuk menentukan unsur-unsur pada
sebuah segitiga yang belum diketahui, jika unsur-unsur yang lainnya telah diketahui. Unsur-unsur yang diketahui dalam sebuah segitiga dapat terdiri atas :2. sebuah sisi dan dua buah sudut :
- sisi, sudut, sudut (ss, sd, sd)- sudut, sisi, sudut (sd, ss, sd)
3. dua buah sisi dan sebuah sudut yang berhadapan dengan salah satu sisi itu.- sisi, sisi, sudut (ss, ss, sd).
Untuk memahami penggunaan aturan sinus, marilah kita simak beberapa contoh berikut ini :
1. Dalam kasus 1, unsur-unsur yang diketahui : sebuah sisi dan dua buah sudut.Diketahui ABC dengan A = 38o, B = 64o dan sisi b = 5.a. Hitunglah C !
Perhatikan gambar 17 di samping ! E = B (sudut dalam segmen yang sama)
CAE siku-siku (menghdapi busur 2
1
lingkaran CE),CE = 2R, (R = jari-jari lingkaran)
R
bBatau
R
b
CE
bE
2sin
2sin
atau
RB
b2
sin ----- (2)
Perhatikan gambar 18 di samping ! F= 180o - C (sudut hadap segiempat tali busur), BAF = 90o
BF = 2R, (R = jari-jari lingkaran)CCF o sin)180sin(sin
R
cCatau
R
c
BF
cC
2sin
2sin
atau
RC
c2
sin ----- (3)
Rumus-rumus segitiga
Oleh : Padiya,S.Pd.e-mail: [email protected]
11
b. Hitunglah panjang sisi a dan c !.
Penyelesaian:a. C = 180o - A - B = 180o – 38o – 64o = 78o
b. Panjang sisi a dan c ditentukan dengan aturan sinus- panjang sisi a
42,3
8988,0
0785,3
8988,0
6157,0564sin
38sin5
sin
sinsinsin
a
a
a
a
B
Aba
B
b
A
a
o
o
- panjang sisi c
44,5
8988,0
8905,4
8988,0
9781,0564sin
78sin5
sin
sinsinsin
c
c
c
c
B
Cbc
C
c
B
b
o
o
Atau dengan cara lain :a. Dengan menggunakan daftar logaritma :
42,3
424,3
5345,0log
)0465,0(2104,06990,0log
1009537,9()107893,9(6990,0log
64sinlog38sinlog5loglog
64sin
38sin.5loglog
64sin
38sin5
a
a
a
a
a
a
a
a
oo
o
o
o
o
b. Dengan menggunakan kalkulator.Kalkulator yang dapat dipakai untuk keperluan ini adalah kalkulator jenis ilmiah (scientific calculator), misalnya kalkulator merk ” Casio seri fx-3600P”Caranya :- Pertama-tama mode ukuran sudut diatur dalam kedudukan ”DEG” (degree = derajat).-Kemudian tekan berturut-turut tombol :
3 8 sin x 5 = : 6 4 sin =-Hasil perhitungan akan ditunjukkan pada layar sebagai : 3,424930761-Apabila hasil itu dibulatkan sampai 2 tempat desimal, maka diperoleh a = 3,42 (sesuai dengan perhitungan sebelumnya).
Rumus-rumus segitiga
Oleh : Padiya,S.Pd.e-mail: [email protected]
12
2. Dalam kasus 2, unsur-unsur yang diketahui : dua buah sisi dan sebuah sudut yang menghadapi salah satu dari sisi itu. Diketahui ABC, dengan B = 30o, a = 7 , dan b = 6. Hitunglah :
a.Besar A !b..Besar C !c..Panjang c !
Penyelesaian :Perhatikan gambar 19 di samping !
a. oo
Ab
BaA
B
b
A
a68,3558,0
6
5,3
6
5,07
6
30sin7sinsin
sinsin
b. C = 180o - A - B = 180o – 35,68o – 30o = 114,32o
c. 94,105,0
4678,5
5,0
9113,06
30sin
32,114sin6
sin
sin
sinsin
o
o
B
Cbc
C
c
B
b
3. Diketahui PQR dengan P = 30o, Q = 45o dan q = 7. Tentukanlah : a. Besar R ! b. Panjang p dan r !
Penyelesaian :a. R = 180o - P - Q = 180o – 30o – 45o = 105o
b. - menentukan panjang p
95,47071,0
5,3
7071,0
5,07
45sin
30sin7
sin
sin
sinsin
o
o
Q
Pqp
Q
q
P
p
- menentukan panjang r
56,97071,0
7613,6
7071,0
9659,07
45sin
105sin7
sin
sin
sinsin
o
o
Q
Rqr
R
r
Q
q
4..Diketahui ABC dengan B = 60o, a = 4 dan b = 7 Hitunglah besar A !
Penyelesaian :
66,294949,07
464,3
7
8660,04
7
60sin4sinsin
sinsin
A
b
BaA
B
b
A
a o
5.
Gambar 20
C
6 7 30o
A c B Gambar 19
C
B
A
Seekor laba-laba (A) menjaring seekor lalat (B) dan seekor lebah (C). Apabila sudut BAC = 20o
dan jarak laba-laba (A) dengan lalat (B) = 6, jarak antara lalat (B) dengan lebah (C) = 5. Berapakah jarak laba-laba (A) dengan lebah (C) ?
Rumus-rumus segitiga
Oleh : Padiya,S.Pd.e-mail: [email protected]
13
Penyelesaian :Kejadian tersebut dapat kita terjemahkan ke dalam segitiga berikut ini. C
? 5
B 20o A Gambar 21
B = 180o - A - C = 180o – 20o – 24,23o = 135,77o
12,103420,0
4625,3
3420,0
6925,05
20sin
77,135sin5
sin
sin
sinsin
o
o
A
BBCAC
A
BC
B
AC
Jadi jarak antara laba-laba dengan lebah adalah 10,12
2. ATURAN KOSINUS
A. Contoh-contoh untuk pengantar.Untuk memudahkan kita dalam memahami Aturan Kosinus itu, perlu kita simak
terlebih dahulu beberapa contoh berikut ini :1. Pada gambar 22, ABC siku-siku di A, dengan b = 3 dan c = 4 .
Hitunglah: Ca. Panjang a !b. Besar B dan C! b=3 a
A c=4 B Gambar 22
Penyelesaian :a. Dengan menggunakan Theorema Pythagoras diperoleh :
52516943 2222 cbab. Dari gambar 22 diperoleh :
oBa
bB 87,366,0
5
3sin
oCa
cC 13,538,0
5
4sin
2. Pada gambar 23 ABC lancip dengan A = 50o, b = 6 dan c = 5.a. Apakah sisi a , B dan C dapat
dihitung langsung seperti pada contoh 1?
b. Apakah sisi a , B dan C dapat dihitung dg aturan sinus ?
C
b = 6 a
A B c=5 Gambar 23
6 o
o
C
C
BC
AABC
C
AB
A
BC
23,24
41,05
3420,06
5
20sin6sin
sinsin
sinsin
Rumus-rumus segitiga
Oleh : Padiya,S.Pd.e-mail: [email protected]
14
Penyelesaian :a. Dalam hal di atas sisi a tidak dapat ditung dengan Theorema Pythagoras.
Sudut B dan C tidak dapat dihitung dengan perbandingan trigonometri.b. Dengan menerapkan aturan sinus pada ABC di atas diperoleh :
CB
aC
c
B
b
A
a
o sin
5
sin
6
50sin
sinsinsin
Dari perhitungan di atas, terlihat bahwa dengan aturan sinus, kita juga tidak dapat menghitung sisi a, B dan C.
3. Pada gambar 24, ABC tumpul dengan a = 4, b = 5 dan c = 8.a. Apakah A, B dan C dapat A
dihitung langsung seperti padacontoh 1 ?
b. Apakah A, B dan C dapat c = 8 dihitung dengan aturan sinus ? b = 5
B C a = 4 Gambar 24
Penyelesaian :a. Sudut A, B dan C dalam hal di atas tidak dapat dihitung dengan perbandingan
trigonometri.b. Dengan menerapkan aturan sinus pada ABC di atas diperoleh :
CBA
C
c
B
b
A
a
sin
8
sin
5
sin
4sinsinsin
Ternyata dengan aturan sinus, kita juga tidak dapat menghitung A, B dan C.
Dari contoh 2 di atas kita dapat meihat bahwa apabila dalam sebuah segitiga diketahui dua sisi dan satu sudut yang diapit oleh kedua sisi itu maka unsur-unsur lainnya yang belum diketahui tidak dapat ditentukan dengan aturan sinus. Demikian pula pada contoh 3 pada sebuah segitiga yang diketahui ketiga sisinya, unsur-unsur yang lainnya juga tidak dapat ditentukan dengan aturan sinus.Untuk dapat menghitung unsur-unsur yang belum diketahui dalam segitiga pada contoh 2 dan 3 marilah kita simak uraian berikut ini :
B. Aturan Kosinus (Dalil Kosinus) dan Buktinya.
Dengan rumus dapat ditulis (untuk segitiga ABC) :
Aturan Kosinus (Dalil Kosinus) : Pada setiap segitiga, kuadrat sebuah sisi adalah sama dengan jumlah kuadrat-kuadrat kedua sisi lainnya dikurangi dengan dua
kali hasil perkalian antara sisi-sisi itu dengan kosinus sudut yang diapitnya.
Rumus-rumus segitiga
Oleh : Padiya,S.Pd.e-mail: [email protected]
15
Dengan menggunakan rumus dapat dituiskan sebagai berikut :
A.
Cabbaciii
Baccabii
Abccbai
cos.2)(
cos.2)(
cos.2)(
222
222
222
B.
ab
cbaCiii
ac
bcaBii
bc
acbAi
2cos)(
2cos)(
2cos)(
222
222
222
Bukti :Dalam pembahasan ini hanya akan dibuktikan dengan cara 1, pembaca diharapkan dapat membuktikan dengan yang lain.
i. Untuk ABC lancip.
(i) C
b tc a
A D c B (ii) A
c ta b
B E a C
(iii) B
a tb c
C F b A Gambar 25
Pada gambar 25 (i) tc adalah garis tinggi pada sisi c. Dengan menerapkan Theorema Pythagoras - pada segitiga siku-siku BCD diperoleh :
222 )(BDta c ------ (1)
- pada segitiga siku-siku ACD diperoleh :
Abtc sin.2 ------ (2)
- dan AD = b.cosA, sehingga BD = AB-AD = c – b.cosA ------(3)Substitusikan (2) dan (3) ke (1) diperoleh :
bc
acbA
atau
Abccba
AbccAAba
AbAbccAba
AbcAba
2cos
cos.2
cos.2)cos(sin
cos.cos.2sin.
)cos.()sin.(
222
222
22222
222222
222
A(i) dan B(i) terbutki
Rumus-rumus segitiga
Oleh : Padiya,S.Pd.e-mail: [email protected]
16
Pada gambar 25 (ii) ta adalah garis tinggi pada sisi a. Dengan menerapkan Theorema Pythagoras - pada segitiga siku-siku AEC diperoleh :
222 )(ECtb a ------ (1)
- pada segitiga siku-siku BEA diperoleh :
Bcta sin.2 ------ (2)
- dan BE = c.cosB, sehingga EC = BC - BE= a – c.cosB ------(3)Substitusikan (2) dan (3) ke (1) diperoleh :
ac
bcaB
atau
Baccab
BacaBBcb
BcBacaBcb
BcaBcb
2cos
cos.2
cos.2)cos(sin
cos.cos.2sin.
)cos.()sin.(
222
222
22222
222222
222
Pada gambar 25 (iii) tb adalah garis tinggi pada sisi b. Dengan menerapkan Theorema Pythagoras - pada segitiga siku-siku AFB diperoleh :
222 )(AFtc b ------ (1)
- pada segitiga siku-siku BFC diperoleh :
Catb sin.2 ------ (2)
- dan CF = a.cosC, sehingga AF = AC - CF= b – a.cosC ------(3)Substitusikan (2) dan (3) ke (1) diperoleh :
ab
cbaC
atau
Cabbac
CabbCCac
CaCabbCac
CabCac
2cos
cos.2
cos.2)cos(sin
cos.cos.2sin.
)cos.()sin.(
222
222
22222
222222
222
ii. Untuk ABC tumpul. C tc a Gambar 26 b
D A c B
A(ii) dan B(ii) terbutki
A(iii) dan B(iii) terbutki
Rumus-rumus segitiga
Oleh : Padiya,S.Pd.e-mail: [email protected]
17
Pada gambar 26 tc adalah garis tinggi pada sisi c. Dengan menerapkan Theorema Pythagoras - pada segitiga siku-siku BCD diperoleh :
222 )(BDta c ------ (1)
- pada segitiga siku-siku ACD diperoleh :
AbAbCADbt oc sin.)180sin(.sin.2 ------ (2)
- dan AD = b.cosCAD = b.cos(180o-A) = b.(-cosA) = -b.cosA, sehingga BD = AB + AD = c + (- b.cosA) = c – b.cosA ------(3)Substitusikan (2) dan (3) ke (1) diperoleh :
bc
acbA
atau
Abccba
AbccAAba
AbAbccAba
AbcAba
2cos
cos.2
cos.2)cos(sin
cos.cos.2sin.
)cos.()sin.(
222
222
22222
222222
222
A B
ta c b tb a c
E B C F C A (i) (ii)
Gambar 27Dengan cara yang sama dengan menggunakan gambar 27 (i) kita akan mendapatkan hubungan sebagai berikut :
Baccab cos.2222 atau ac
bcaB
2cos
222 (Rumus A(ii) dan B(ii))
Dan dengan mengunakan gambar 27 (ii) kita akan mendapatkan hubungan :
Cabbac cos.2222 atau ab
cbaC
2cos
222 (Rumus A (iii) dn B (iii) )
C. Penggunaan Aturan KosinusAturan kosinus dapat kita gunakan untuk menentukan unsur-unsur yang belum
diketahui dari sebuah segitiga, jika diketahui :1. dua buah sisi dan sebuah sudut yang diapit oleh kedua sisi itu.
- sisi, sudut, sisi (ss, sd, ss)2. ketiga buah sisinya
- sisi, sisi, sisi (ss, ss, ss)Untuk lebih memahami penggunaan aturan kosinus, simaklah beberapa contoh
berikut ini :
A(i) dan B(i) terbutki
a b
Rumus-rumus segitiga
Oleh : Padiya,S.Pd.e-mail: [email protected]
18
1. Dalam kasus 1. Kita lihat contoh pada sub A contoh 2:Diketahui ABC lancip dengan A = 50o, b = 6 dan c = 5 .Tentukanlah :a. panjang sisi a !b. besar B dan C!
Penyelesaian :a. Untuk menghitung panjang sisi a, kita gunakan rumus :
74,4
432,22
432,22
568,3861
)6428,0.(602536
50cos.5.6.256
cos.2
2
2
2
222
222
a
a
a
a
a
a
Abccbao
b. Untuk menghitung besar B, kita gunakan rumus :
oB
B
ac
bcaB
76
2419,0cos
2419,04,47
4676,11
4,47
36254676,22
5).74,4.(2
65)74,4(
2cos
222222
Untuk menghitung besar C , kita gunakan rumus :
oC
C
ab
cbaC
96,53
5884,0cos
5884,088,56
4676,33
88,56
25364676,22
6).74,4.(2
56)74,4(
2cos
222222
2. Dalam kasus 2, kita lihat contoh pada sub A contoh 3.Diketahui ABC tumpul, dengan a = 4 , b = 5 dan c = 8.Hitunglah besar A, B, C !
Penyelesaian :Untuk menghitung besar A , kita gunakan rumus :
oC
Cbc
acbA
15,24
9125,0cos
9125,080
73
80
166425
8.5.2
485
2cos
222222
Rumus-rumus segitiga
Oleh : Padiya,S.Pd.e-mail: [email protected]
19
Untuk menghitung besar B, kita gunakan rumus :
oB
Bac
bcaB
75,30
8594,0cos
8594,064
55
64
256416
8.4.2
584
2cos
222222
Untuk menghitung besar C , kita gunakan rumus :
oC
Cab
cbaC
09,125
575,0cos
575,040
23
40
642516
5.4.2
854
2cos
222222
3. Pada ABC, lihat gambar 28 diketahui C A = 40o, b = 5 dan c = 6. tentukanlah panjang sisi a ! b = 5 a
Penyelesaian : A 40o B
88,3
04,15
04,15
96,4561
7660,0603625
40cos.6.5.265
cos.2
2
2
2
222
222
a
a
a
a
a
a
Abccbao
4. Pada ABC, diketahui a = 8 , b = 6 dan c = 10. Tentukanlah besar C !
Penyelesaian :
oC
C
C
C
C
ab
cbaC
90
0cos96
0cos
96
1003664cos
6.8.2
1068cos
2cos
222
222
c = 6
Gambar 28
Rumus-rumus segitiga
Oleh : Padiya,S.Pd.e-mail: [email protected]
20
5. Kota Q terletak 20 km disebelah utara kota P, dan kota R terletak 15 km disebelah barat laut dari kota P. Hitunglah jarak antara kota Q dan kota R !
Penyelesaian :Kejadian di atas dapat kita terjemahkan ke dalam segitiga sebagai berikut : U Q TL 20 kmB T P 15 km R SBD Gambar 29
Dari gambar 29 terlihat :PQ = r = 20 kmPR = q = 15 kmQPR = BPQ + BPR = 90o + 45o = 135o
Sehingga jarak kota Q dan kota R adalah QRQR2 = PQ2 + PR2 – 2.PQ.PR.Cos QPRQR2 = 202 + 152 – 2.20.15.cos 135o
QR2 = 400 + 225 - 600(-0,7071)QR2 = 625 +424,26QR2 = 1049,26
QR = 26,1049
QR = 32,39Jadi jarak antara kota Q dan kota R adalah 32,39 km.
6. Perhatikan gambar 30. O adalah titik pusat lingkaran, dengan OP dan OQ adalah jari-jari lingkaran. Jika PQ = 3 dan OP = 2. Tentukanlah nilai cos ao !
O 2 ao 2
P 3 Q
Gambar 30
Jadi cos ao = -0,125
Penyelesaian :Dari gambar 30 terlihat :PQ = sisi o = 3OP = sisi q = 2OQ = sisi p = 2 O = ao , maka :
125,0cos
6
1cos
6
944cos
2.2.2
322cos
2cos
222
222
o
o
o
o
a
a
a
a
pq
oqpO
Rumus-rumus segitiga
Oleh : Padiya,S.Pd.e-mail: [email protected]
21
*) Petunjuk penggunaan aturan sinus dan aturan kosinus: Apabila Anda dihadapkan pada suatu masalah yang berhubungan dengan penggunaan
aturan sinus dan aturan kosinus, apakah Anda sudah dapat menentukan rumus (aturan ) mana yang paling tepat untuk menyelesaikan masalah tersebut ?. Kalu belum perhatikan petunjuk di bawah ini :
No. Dalam ABC diketahui Ditanya Aturan yang digunakan1 Sisi, sudut, sudut
i). a, A, Cii). a, B, Aiii). b, A, Biv). b, B, Cv). c, A, Cvi). c, B, C
b, c, Bb, c, Ca, c, Ca, c, Aa, b, Ba, b, A
Aturan sinus (c dicari dulu)Aturan sinus (b dicari dulu)Aturan sinus (a dicari dulu)Aturan sinus (c dicari dulu)Aturan sinus (a dicari dulu)Aturan sinus (b dicari dulu)
2 Sudut, sisi, suduti). A, c, Bii). B, a, Ciii). A, b, C
a, b, Cb, c, Aa, c, B
Aturan sinus (C dicari dulu)Aturan sinus (A di cari dulu)Aturan sinus ( B dicari dulu)
3 Sisi, sisi, suduti). a, b, Aii). a, c, Ciii). b, c, Biv). b, a, Bv). c, a, Cvi). c, b, C
c, B, Cb, A, Ba, A, Cc, A, Cb, A, Ba, A, B
Aturan sinus (B dicari dulu)Aturan sinus ( C dicari dulu)Aturan sinus ( C dicari dulu)Aturan sinus ( A dicari dulu)Aturan sinus ( A dicari dulu)Aturan sinus ( B dicari dulu)
4 Sisi, sudut, sisii). a, C, b
ii). b, A, c
iii). c, B, a
c, A, B
a, B, C
b, A, C
Aturan kosinus (c dicari dulu dilanjutkan dengan aturan sinus)Aturan kosius ( a dicari dulu dilanjutkan dengan aturan sinus)Aturan kosinus (b dicari dulu dilanjutkan dengan aturan sinus)
5 Sisi, sisi, sisia, b, c A, B, C Aturan kosinus
Rumus-rumus segitiga
Oleh : Padiya,S.Pd.e-mail: [email protected]
22
3. LUAS SEGITIGADi Sekolah Menengah Pertama, kita mengetahui bahwa luas daerah sebuah segitiga
dapat dihitung, jika panjang alas dan tinggi pada alas tersebut diketahui, misalnya luas daerah segitiga ABC lancip seperti pada gambar 31 (i) maupun segitiga ABC tumpul seperti pada gambar 31 (ii) dapat dihitung dengan menggunakan rumus :
atABCLuas2
1 -------- (1)
(i) A (ii) A
c t b t c b
B C B C a a
Gambar 31Dalam sub bab ini, kita akan mempelajari cara-cara perhitungan luas segitiga, jika
tiga unsur yang terdapat dalam segitiga tersebut telah diketahui. Ketiga unsur yang diketahui itu kemungkinannya adalah :
a. dua sisi dan satu sudut yang dipit oleh kedua sisi itu (sisi, sudut, sisi/ ss, sd, ss)b. dua sudut dan satu sisi yang terletak diantara kedua sudut itu (sudut, sisi,
sudut/sd,ss,sd).c. dua sisi dn satu sudut yang menghadap pada salah satu sisi itu (sisi, sisi,
sudut/ss,ss,sd).d. ketiga sisinya (sisi,sisi,sisi/ss,ss,ss)
A. Luas Segitiga jika diketahui dua sisi dan satu sudut yang diapit oleh kedua sisi itu.
Agar Anda memahami penurunan rumus luas segitiga yang diketahui panjang dua sisi dan besar sudut yang diapit oleh kedua sisi itu, simaklah kembali dua buah segitiga pada gambar 31 di atas, t adalah garis tinggi dati titik A ke sisi BC (gambar 31 (i)) atau perpanjangan sisi BC (gambar 31 (ii)) yang panjangnya a.
Dari gambar 31 tersebut kita peroleh hubungan sebagai berikut :
*) Cctb
tC sin.sin sehingga
Luas ABC = at2
1 menjadi
CbaABCLuas sin..2
1 -------- (2)
*) Bctc
tB sin.sin sehingga
Luas ABC = at2
1 menjadi
Rumus-rumus segitiga
Oleh : Padiya,S.Pd.e-mail: [email protected]
23
BcaABCLuas sin..2
1 -------- (3)
*) dari aturan sinus : a
AbB
B
b
A
a sin.sin
sinsin sehingga
BcaABCLuas sin..2
1 menjadi
a
AbcaABCLuas
sin...
2
1
AcbABCLuas sin..2
1 ------ (4)
Contoh :Diketahui ABC dengan a = 5 cm, b = 7 cm dan C = 40o. Hitunglah luas ABC tersebut !
PenyelesaianDengan rumus (2) luas ABC sama dengan :
25,11
)6428,0.(7.5.2
1
40sin.7.5.2
1
sin..2
1
ABCLuas
ABCLuas
ABCLuas
CbaABCLuas
o
Jadi luas daerah segitiga ABC adalah 11,25 cm2
B. Luas segitiga , jika diketahui dua sudut dan satu sisi yang terletak diantara kedua sudut itu.Jika pada sebuah segitiga diketahui besar dua buah sudutnya dan panjang sebuah sisinya yang terletak di antara kedu sudut itu, maka luas daerah segitiga itu dapat dihitung dengan rumus :
)sin(.2
sin.sin.2
CB
CBaABCLuas
------ (5)
)sin(.2
sin.sin.2
CA
CAbABCLuas
------ (6)
)sin(.2
sin.sin.2
BA
BAcABCLuas
------- (7)
Rumus-rumus segitiga
Oleh : Padiya,S.Pd.e-mail: [email protected]
24
Bukti :
*) dari aturan sinus : A
Cac
C
c
A
a
sin
sin.
sinsin , kemudian subtitusikan
A
Cac
sin
sin.
ke rumus (3) diperoleh :
BA
CaaABCLuas sin.
sin
sin..
2
1
A
BCaABCLuas
sin
sin.sin..
2
1 2
)sin(
sin.sin..
2
1 2
CB
BCaABCLuas
-------- rumus 5 terbukti.
*) dari aturan sinus : B
Cbc
C
c
B
b
sin
sin.
sinsin , kemudian subtitusikan
B
Cbc
sin
sin.
ke rumus (4) diperoleh :
AB
CbbABCLuas sin.
sin
sin..
2
1
B
ACbABCLuas
sin
sin.sin..
2
1 2
)sin(
sin.sin..
2
1 2
CA
CAbABCLuas
-------- rumus 6 terbukti.
*) dari aturan sinus : C
Aca
C
c
A
a
sin
sin.
sinsin , kemudian subtitusikan
C
Aca
sin
sin.
ke rumus (3) diperoleh :
BcC
AcABCLuas sin..
sin
sin..
2
1
C
BAcABCLuas
sin
sin.sin..
2
1 2
)sin(
sin.sin..
2
1 2
BA
BAcABCLuas
-------- rumus 7 terbukti.
Contoh :Tetukanlah luas ABC, jika diketahui B = 60o, C = 30o dan a = 8 cm !
Penyelesaian :Dengan rumus 5 luas ABC adalah :
)sin(
sin.sin..
2
1 2
CB
BCaABCLuas
Dari hubungan A = 180o – (B + C)maka sin A= sin{180o – (B + C) sin A = sin (B + C)
Dari hubungan B = 180o – (A + C)maka sin B= sin{180o – (A + C) sin B = sin (A + C)
Dari hubungan C = 180o – (A + B)maka sin C = sin{180o – (A + B) sin C = sin (A + B)
Rumus-rumus segitiga
Oleh : Padiya,S.Pd.e-mail: [email protected]
25
)3060sin(
30sin.60sin.8.
2
1 2
oo
oo
ABCLuas
38316.2
1 ABCLuas
Jadi luas daerah ABC sama dengan 8 3 cm2
C. Luas Segitiga jika diketahui dua sisi dan sebuah sudut yang menghadap pada salah satu sisi itu.Jika pada sebuah segitiga diketahui panjang dua sisinya dan besar sudut yang menghadapi salah satu dari sisi itu, maka luas daerah segitiga itu dapat dihitung melaui langkah-langkah sebagai berikut :Langkah 1 :- Kita tentukan sudut-sudut yang belum diketahui dengan aturan sinus.
Langkah 2 :- Setelah semua sudut pada segitiga itu diketahui luas daerah segitiga dapat
dihitung dengan salah satu dari rumus 2 s.d. 7
Contoh :Hitunglah luas ABC, jika diketahui a = 6 cm, b = 4 cm dan B = 40o !
Penyelesaian :Langkah 1 : menentukan A dan C dengan aturan sinus :
oo
Ab
BaA
B
b
A
a6,749642,0
4
8568,3
4
6428,06
4
40sin.6sin.sin
sinsin
Atau A = 180o – 74,6o = 105,6o
C = 180o - A - B = 180o – 74,6o – 40o = 65,4o atau C = 180o - A - B = 180o – 105,6 – 40o = 34,6o
Langkah 2 : Menghitung luas ABC dengan rumus (2) :- Untuk C = 65,4o
9,10
9092,012
4,65sin4621
sin..2
1
ABCLuas
ABCLuas
ABCLuas
CbaABCLuas
o
Jadi untuk C = 65,4o luas ABC = 10,9 cm2
- Untuk C = 34,6o
8,6
5678,012
6,34sin462
1
sin..2
1
ABCLuas
ABCLuas
ABCLuas
CbaABCLuas
o
Jadi untuk C = 34,6o luas ABC = 6,8 cm2
Rumus-rumus segitiga
Oleh : Padiya,S.Pd.e-mail: [email protected]
26
D. Luas segitiga jika diketahui ketiga sisinya.Jika pada sebuah segitiga ABC diketahui panjang sisi a , sisi b dan sisi c, maka luas segitiga ABC itu dapat dihitung dengan rumus :
)(2
1
))()((
cbasdengan
csbsassABCLuas
--------- (8)
Bukti :Dari hubungan sin2A + cos2 A = 1 sin2 A = 1 – cos2 A
sin2 A = (1 + cos A)(1 – cos A)
dan hubungan bc
acbA
2cos
222 diperoleh :
))()((2
sin
))()((2
4sin
))()((162
1sin
)(2).(2).(2.22
1sin
)(2222)()).(4
)(2222)()).(3
)(2222)()).(2
2)).(1
)(2
1
))()()((2
1sin
)2(
))()()((sin
2
))((
2
))((sin
2
)(
2
)(sin
2
)2(
2
2sin
2
2
2
2sin
21
21sin
22
2
22222
2222222
2222222
222222
csbsassbc
A
csbsassbc
A
csbsassbc
A
bscsassbc
A
sehingga
bsbsbcbacba
cscsccbacba
asasacbaacb
scba
cbasmengambildengan
cbacbaacbacbbc
A
bc
cbacbaacbacbA
bc
cbacba
bc
acbacbA
bc
cba
bc
acbA
bc
cbcba
bc
acbcbA
bc
acbbc
bc
acbbcA
bc
acb
bc
acbA
Rumus-rumus segitiga
Oleh : Padiya,S.Pd.e-mail: [email protected]
27
Dengan mengambil rumus (4)
Luas ABC = SinAcb ..2
1 dan kita substitusikan ))()((
2sin csbsass
bcA
Kita peroleh :
))()((
2..
21
csbsassbc
cbABCLuas
))()(( csbsassABCLuas (terbukti).
Contoh :Hitung luas ABC, jika diketahui panjang a = 5 cm, b = 6 cm dn c = 7 cm !
Jawab :
9)18(2
1)765(
2
1)(
2
1 cbas
s – a = 9 – 5 = 4, s – b = 9 – 6 = 3, s – c = 9 – 7 = 2sehingga luas ABC adalah :
66
216
2349
))()((
ABCLuas
ABCLuas
ABCLuas
csbsassABCLuas
Jadi luas ABC = 6 6 cm2
E. Luas segitiga , jika diketahui ketiga sudutnya dan jari-jari ingkaran luarnya.Jika pada sebuah segitiga ABC diketahui besar ketiga sudutnya dan panjang jari-jari ligkaran luarnya, maka luas segitiga ABC itu dapat dihitung dengan rumus :
-------- (9)
Bukti:
Dari aturan sinus : ARaRA
asin.22
sin
Dan BRbRB
bsin.22
sin
Substitusikan nilai a dan b di atas ke dalam rumus (2) :
Luas ABC = 2
1a.b.sinC deiproleha :
Luas ABC = 2
1.2R.sinA.2R.sinB.sinC
Luas ABC = 2R2.sinA.sinB.sinC (terbukti)
Luas ABC = 2R2.sinA.sinB.sinC
Rumus-rumus segitiga
Oleh : Padiya,S.Pd.e-mail: [email protected]
28
Contoh :Diketahui segitiga ABC, dengan A = 50o, B = 60o dan C = 70o dan jari-jari lingkaran luarnya R = 8 cm. Hitunglah luas ABC tersebut !
Penyelesaian :Luas ABC = 2R2.sinA.sinB.sinCLuas ABC = 282sin50osin60osin70o
Luas ABC = 2640,76600,86600,9397Luas ABC = 79,79Jadi luas ABC = 79,79 cm2
F. Luas Segitiga jika diketahui ketiga sisinya dan jari-jari lingkaran luarya.Jika pada sebuah segitiga ABC diketahui panjang ketiga sisinya dan panjang jari-jari ligkaran luarnya, maka luas segitiga ABC itu dapat dihitung dengan rumus :
R
abcABCLuas
4 -------- (10)
Bukti :Dari rumus (9) Luas ABC = 2R2.sinA.sinB.sinC dan aturan sinus
R
cC
R
bB
R
aA
2sin,
2sin,
2sin diperoleh
3
2
2
8
2
2222
R
abcRABCLuas
R
c
R
b
R
aRABCLuas
R
abcABCLuas
4 ------- (terbukti)
Contoh :Dalam sebuah segitiga ABC diketahui panjang sisi a = 5 cm , b = 7cm, c = 5 cm dan jari-jari lingkaran luarnya 5 cm. Hitunglah luas segitiga ABC tersebut !
Penyelesaian :
25,820
16554
5754
ABCLuas
ABCLuas
ABCLuas
R
abcABCLuas
Jadi luas ABC = 8,25 cm2
Rumus-rumus segitiga
Oleh : Padiya,S.Pd.e-mail: [email protected]
29
G. Menentukan luas segiempat dan segibanyak beraturan dengan menggunakan rumus luas segitiga.
i.Luas Segiempat.Perhatikan gambar 32. ABCD adalah sebuah segiempat sembarang.P adalah titik potong diagonal AC dan BD.Misalkan DPA = , maka :Luas DAC = Luas ADP + Luas CDP
= 2
1PD.AP.sin +
2
1DP.PC.sin(180o-)
= 2
1PD.AP.sin +
2
1DP.PC.sin
= 2
1PD.(AP+PC).sin
= 2
1PD.AC.sin
Dengan cara yang sama dapat diperoleh :
Luas ABC = 2
1BP.AC.sin
Luas segiempat ABCD = Luas DAC + Luas ABC
= 2
1PD.AC.sin +
2
1BP.AC.sin
= 2
1AC.(BP+PD).sin
= 2
1AC.BD.sin
Jadi luas segiempat ABCD = 2
1AC.BD.sin atau
Contoh :1. Tentukanlah luas segiempat ABCD, jika panjang diagonal AC = 6 cm, BD = 10
cm dan sudut yang dibentuk oleh diagonal AC dan BD = 60o !
Penyelesaian :
Luas segiempat ABCD = 2
1AC.BD.sin
= 2
1610sin 60o
= 30 0,8660 = 25,98Jadi luas segiempat ABCD = 25,98 cm2
Luas suatu segiempat sama dengan setengah dari perkalian antara diagonal-diagonalnya dengan sinus sudut yang diapit oleh diagonal-diagonal tersebut.
Rumus-rumus segitiga
Oleh : Padiya,S.Pd.e-mail: [email protected]
30
2. Pada segiempat PQRS (Gambar 33). PQ = 6 cm, QR = 4 cm, RS = 5 cm dan SP = 5 cm, serta P = 100o.Hitunglah :a. panjang QS b. Besar R c. Luas segiempat PQRS.
Penyelesaian : P 5 100o 6 S Q 5 4 R
Gambar 33
Jadi panjnag QS = 8, 45 cm.
ii. Luas Segilima beraturan
D
s r s
E r O r C s r r s
A s B
Gambar 34
a. Pada PQS :QS2 = PQ2 + QS2 – 2.PQ.PS.cos PQS2 = 62 + 52 – 2.6.5.cos 100o
QS2 = 36 + 25 – 60.(-0,1736)QS2 = 61 + 10,42QS2 = 71,42
QS = 42,71
QS = 8,45
b. Pada QRS :
cos R = 7609,040
42,30
40
42,712516
5.4.2
)45,8(54
..2
222222
SRQR
QSSRQR
R = 139,5o
c. Luas segiempat PQRS = Luas PQS + Luas QRS
Luas PQS = 77,149848,015100sin562
1sin...
2
1 oPPSPQ
Luas QRS = 5,66494,0105,139sin542
1sin...
2
1 oRRSQR
Jadi luas segiempat PQRS = 14,77 + 6,5 = 21,27 cm2
Gambar 34 menunjukkan sebuah segi-lima beraturan ABCDE dengan titik-titk sudutnya terletak pada ling-karan yang berjari-jari r. O adalah titik pusat lingkara dan s adalah panjang sisi segilima ABCDE.AOB = BOC = COD = DOE =
EOA = oo
725
360
Rumus-rumus segitiga
Oleh : Padiya,S.Pd.e-mail: [email protected]
31
Pada segilima ABCDE terdapat 5 segitiga yang sama dan sebangun (kongruen).Kita ambil salah satu dari segitiga tersebut yaitu AOB
Luas AOB = sin...2
1OBOA
= orr 72sin...2
1
= or 72sin..2
1 2
Luas segilima ABCDE = 5 x luas AOB = 5 or 72sin..2
1 2
Dengan menggunakan salah satu rumus luas segitiga no. 5 , 6 tau 7, kita peroleh :
)sin(
sin.sin..
2
1 2
ABAOBLuas
)5454sin(
54sin.54sin..
2
1 2
oo
oosAOBLuas
o
osAOBLuas
108sin
54sin..
2
1 22
Sehingga luas segilima ABCDE = 5 luas AOB = 5 o
os
108sin
54sin..
2
1 22
Contoh :1. Hitunglah luas segilima beraturan yang diketahui panjang sisinya s = 6 cm !
Penyelesaian :Luas segilima beraturan yang diketahui panjang sisinya s = 6 adalah =
93,619022,1
81,117
9022,1
6545,0365
9511,02
)8090,0(65
108sin2
54sin.5 2222
o
os
Jadi luas segilima beraturan yang panjang sisinya 6 adalah 61,93 cm2
Jadi luas segilima beraturan yang diketahui jari-jari lingkaran
luarnya = or 72sin2
5 2
Ingat : Segitiga AOB adalah segitiga sama kaki, sehingga OBA =
OAB = = ooooo 541082
1)72180(
2
1)180(
2
1
Jadi luas segilima beraturan yang diketahui panjang sisi-
sisinya = o
os
108sin2
54sin5 22
Rumus-rumus segitiga
Oleh : Padiya,S.Pd.e-mail: [email protected]
32
2. Hitunglah luas segilima beraturan yang diketahui jari-jari lingkaran luarnya r = 10 cm !
Penyelesaian :Luas segilima beraturan yang diketahui jari-jari lingkaran luarnya r = 10 cm adalah
= 78,2372
55,475
2
9511,0105
2
72sin.5 22
or
Jadi luas segilima beraturan yang panjang sisinya 6 adalah 237,78 cm2
iii. Luas segienam beraturan.Perhatikan gambar 35. U s T Dalam lingkaran yang berpusat di Odan berjari-jari r terdapat segienam s r r sberaturan PQRSTU dengan panjangsisi s. P r O r S
Dari gambar jelas bahwa = oo
606
360 s r r s
sedangkan = ooo 60)60180(2
1 Q s R
Karena = = 60o , maka POQ adalah Gambar 35segitiga sama sisiDi dalam segienam PQRSTU terdapat 6 buah segitiga yang sama dan sebangun (kongruen). Salah satu dari segitiga tersebut kita ambil untuk mencari luasnya, misal POQ.
2
60sin.
60sin...2
1
sin...2
1
2 o
o
rPOQLuas
rrPOQLuas
OQOPPOQLuas
Sehingga luas segienam PQRSTU = 6 luas POQ = 6 2
60sin..6
2
60sin. 22 oo rr
Atau dengan menggunakan rumus luas segitiga no. 5, 6, atau 7 kita peroleh :
o
o
oo
oo
sPOQLuas
sPOQLuas
PQPOQLuas
120sin.2
60sin.
)6060sin(.2
60sin.60sin
)sin(.2
sin.sin.
22
2
2
Jadi luas segienam beraturan yang diketahui panjang jari-jari lingkaran
luarnya r adalah 2
60sin..6 2 or
Rumus-rumus segitiga
Oleh : Padiya,S.Pd.e-mail: [email protected]
33
Luas segienam PQRSTU = 6 luas POQ = 6 o
o
o
o ss
120sin.2
60sin..6
120sin.2
60sin. 2222
Contoh :1. Hitunglah luas segiena beraturan, jika diketahui panjang jari-jari lingkaran
luarnya r = 8 cm !.
Penyelesaian :Luas segienam beraturan yang diketahui panjang jari-jari lingkaran luarnya r = 8 cm
adalah 27,1662
54,332
2
8660,0646
2
60sin.86
2
60sin..6 22
oor
cm2
2. Hitunglah luas segienam beraturan yang mempunyai panjang sisi s = 8 cm !.
Penyelesaian :Luas segienam beraturan yang mempunyai panjang sisi s = 8 cm adalah
222222
27,1662
54,332
8660,02
)8660,0(646
120sin.2
60sin.86
120sin.2
60sin..6cm
so
o
o
o
iv. Luas segi-n beraturan.Perhatikan kembali rumus luas segilima dan segienam beraturan berikut ini :
2
5
360sin..5
2
54sin5lim
2
2
o
or
rberaturanasegiLuas
2
6
360sin..6
2
60sin..62
2
o
or
rberaturansegienamLuas
Kedua rumus tersebut memberikan gambaran bagi kita untuk menentukan rumus luas segi-n beraturan sebagai berikut :
2
360sin.. 2
nrn
beraturannsegieLuas
o
Kemudian kita perhatikan juga rumus luas segilima dan segienam beraturan yang kedua :
5
180).25(sin.2
5.2
180).25(sin..5
108sin2
54sin5lim
2
2
22
o
O
o
os
sberaturanasegiLuas
Jadi luas segienam beraturan yang panjang sisinya s adalah
o
os
120sin.2
60sin..6 22
Rumus-rumus segitiga
Oleh : Padiya,S.Pd.e-mail: [email protected]
34
6
180).26(sin.2
6.2
180).26(sin..6
120sin.2
60sin..6
2
2
22
o
o
o
os
sberaturansegienamLuas
Kedua rumus tersebut memberikan gambaran bagi kita untuk menentukan luas segi-n beraturan sebagai berikut :
n
n
n
nsn
beraturannsegiLuaso
o
180).2(sin.2
.2
180).2(sin..
2
2
Catatan : n adalah bilangan asli yang lebih besar dari 2 (n 2), r adalah jari-jari lingkaran luar segi-n beraturan tersebut dan s adalah panjang sisi segi-n beraturan tersebut.
Contoh :1. Hitunglah luas segi-7 beraturan yang titik-titik sudutnya terletak pada lingkaran
yang berjari-jari r = 10 cm !
Penyelesaian :Luas segi-7 beraturan yang berjari-jari lingkaran luarnya r = 10 cm adalah
22
2
63,2732
26,574
2
7818,0700
2
43,51sin.107
27
360sin..7
cmr o
o
2. Hitunglah luas segi-9 beraturan yang panjang sisinya s = 30 cm !
Penyelesaian :Luas segi-9 beraturan yang panjang sisinya s = 30 cm adalah
222
22
2
2
2
39,55632856,1
2,7152
2856,1
8830,08100
6428,02
)9392,0(8100
140sin.2
)70.(sin8100
9
1807sin.2
18
1807sin.9009
9
180).29(sin.2
92
180).29(sin.309
180).2(sin.2
.2
180).2(sin..
cm
n
n
n
nsn
o
o
o
o
o
o
o
o
Rumus-rumus segitiga
Oleh : Padiya,S.Pd.e-mail: [email protected]
35
DAFTAR PUSTAKA
1. Matematika SMA Jilid 7, Depdikbud 19812. Matematika SMA Jilid 9, Depdikbud 19803. Matematika SMA 1, Wilson Simangunsong, Sukino, Drs. I Nyoman Susila, MSc,
Erlangga, 19914. Matematika SMA 1, Sartono Wirodikromo, Dedi D Windyagiri, Erlangga, 19935. Matematika SMA 1, Suah Sembiring, Ganeca Exact Bandung , 19886. Ilmu Konamatra, Dr. WK Baart, Prof. Dr. Meulenbeld, Buku Teknik, Jakarta,
19527. Setrategi Memahami Matematika SMTA seri C, Fatah Ashari, dkk, Epsilon
Group Bandung, 1991.8. Trigonometri, CJ. Alders,9. Ensiklopedi Matematika, ST Negoro, B. Harahap, Ghalia Indonesia, 1982