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Resumo do Artigo “Automated Reasoning”

Felipe S. Boffo

Fernando dos Santos

Leomar Costa

Leonardo Couto

Roger Reis

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Lógica Aplicada – Resumo do Artigo “Automated Reasoning”

(fi) = Uma conjectura, uma propriedade, uma sentença a ser verificada

S = Conjunto de suposições que expressam propriedades de um objeto de estudo (Exemplo: um sistema, circuito, estrutura matemática, etc )

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é uma conseqüência lógica do conjunto S de suposições ?

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Problema: representação do conhecimento

Formalismo adequado para S e para representar aspectos do mundo real como ação, espaço, tempo, eventos mentais e raciocínio de senso comum

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Lógica clássica: tem sido o principal formalismo em raciocínio automático

Lógicas não clássicas: modal, temporal, descritiva e lógicas não monolíticas

Lógicas não clássicas tem sido largamente investigadas para representar conhecimento

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1.2 Raciocínio Automático na Lógica Clássica

Teorema da Prova

O Problema e os métodos para demonstrar que uma propriedade é uma conseqüência lógica de S

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Teorema Dedutivo de Prova

Se interessa em provar que é uma conseqüência lógica de S (com os símbolos S ╞ )

Todo homem é mortal.

Sócrates é um homem.

Isto implica que Sócrates é mortal.

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Teorema Indutivo de Prova

Se interessa em determinar se S envolve todos os fundamentos de (em símbolos S ╞ ), onde

representa todos os fundamentos

Este gelo é frio.

Uma bola de bilhar se move quando golpeada por um taco.

Todo gelo é frio.

Toda bola de bilhar se move quando golpeada por um taco.

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Teorema de prova automática

Uma máquina deve encontrar sozinha a prova

Teorema de prova interativa

A prova surge apartir da interação entre a máquina e um humano.

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Muito difícil encontrar uma prova ignorando a conjectura

Maioria dos métodos de teorema de prova trabalham refutacionalmente

Provam que vem de S mostrando:

S U {} gera uma contradição ou é inconsistente.

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Ou provam que é falso encontrando um contra exemplo ou contra modelo

Um modelo onde S U {}

Este ramo do raciocínio automático é chamado construção automática de modelos.

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Na lógica clássica de primeira ordem, o teorema dedutivo de prova é Semi-decidível

Semi-decidível: é possível construir um algoritmo que pára para determinados casos, mas não para para outros

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Teorema indutivo de prova não é nem mesmo semi-decidíveis

Isto é significante porque enquanto existem vários livros que falam sobre teorema de prova desde a década de 70, o

primeiro livro sobre construção de modelos surgiu recentemente, em 2004

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A maioria das abordagens de construção automática de modelos combinam características destes três princípios:

1 - Método de enumeração: gera interpretações e testa se eles são modelos de um dado conjunto de fórmulas;

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2 - Método de saturação:

Extrai modelos de um conjunto finito de fórmulas geradas por uma tentativa de refutação que falhou

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3 - Métodos simultâneos:

pesquisam simultaneamente por uma refutação ou um modelo de um dado conjunto de fórmulas

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Lógicas de maior ordem (, )

Até mesmo teorema dedutivo de prova não são semi-decidíveis.

Em função disto, o teorema de prova totalmente automática foca no método dedutiva de prova.

Já introdução, geração de modelos e raciocínio em lógicas de maior ordem recorrem à teoria de prova interativa.

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Como os mais importante recursos das lógicas de maior ordem para a ciência da computação são funções de maior ordem, que tem relação com as linguagens de programação

funcional ...

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Solução intermediária para lógicas de maior ordem:

Desenvolver um sistema de primeira ordem, que é uma linguagem de programação funcional, usada simultaneamente como linguagem de programação e como linguagem lógica.

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Teorema de Prova Totalmente Automatizado

O melhor possível:

Algoritmo semi-decidível que para e retorna uma prova, se S U {} é inconsistente.

Se ele para sem chegar há uma prova, nós podemos concluir que S U {} é consistente e tentar extrair o modelo da sua saída.

Porém, não é garantido que o procedimento pare quando a situação for consistente.

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Existem finitas provas de inconsistência para S U {}, se elas existem

Problema: espaço de pesquisa infinito de conseqüências lógicas necessário percorrer para encontrar a contradição

Uma máquina deve realizar esta tarefa usando o mínimo de recursos

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Idéia fundamental

É crucial a habilidade de reconhecer e descartar formulas redundantes tanto quanto a capacidade de gerar conseqüências para uma uma determinada fórmula.

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Adicionalmente as regras de inferência na forma

Que adiciona fórmulas inferidas b1 ... bm para o conjunto de

problemas conhecidos, que já inclui as premissas a1... an ...

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Sistemas de inferência contemporâneos possuem regras de contração, que apaga ou simplifica teoremas já inferidos

É uma regra de exclusão se as conseqüências são um subconjunto apropriado das premissas, caso contrário, é uma regra de simplificação.

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Uma regra de expansão é quando o que é gerado é uma conseqüência lógica das premissas

Exemplos: resolução(resolution) e (paramodulation).

{A1...An} ╞ { B1...Bn }

Um regra de contração é quando o que é removido é uma conseqüência lógica do que está a esquerda ou adicionado

Exemplo: subsumption e equational simplification from Knuth-Bendix completion.

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Um sistema de inferência é quando todas as regras são refutacionalmente completas (refutationally complete), se

ela nos permite derivar uma contradição sempre que o conjunto inicial de fórmulas é inconsistente.

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O desafio é trabalhar com a contradição sem pôr em perigo a integralidade.

A chave para isto é ordenar os dados (termos, literais, clausulas, fórmulas, provas) de acordo com well-founded

orderings.

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Procedimentos de Decisão e SAT solvers

Exemplos decidíveis de problemas de raciocínio existem.

Para estes problemas, o espaço de pesquisa é finito e os procedimentos de decisão são conhecidos.

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Decidibilidade pode parar de impor restrições:

na lógica;

na forma de admitir formulas para S ou ;

na teoria apresentada pela suposição de S.

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O exemplo mais relevante é a lógica proposicional, cujo problema da satisfabilidade decidível é conhecido como

SAT.

Muitos problemas na ciência da computação podem ser codificados dentro da lógica proposicional, reduzidos para

SAT e submetidos para SAT solvers, o paradigma predominante é o procedimento DPLL.

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Decidível prático

Problemas de raciocínio decidível são tipicamente NP-completos

Raciocínio automático confia no paradigma de pesquisa da inteligência artificial.

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Raciocínio automatizado como um problema de busca

Métodos de raciocínio automatizado são estratégias compostas de:

- um sistema de inferência e

- um plano de busca

A forma de descrever estas estratégias não é óbvia e diferentes formalismos capturam diferentes níveis de

abstração.

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Sistema de inferência

É um conjunto de regras de inferência não-determinístico que define um espaço de busca com todas as possíveis

inferências.

U: Conjunto Universo contendo todas as inferências possíveis.

S: Conjunto definido pelas regras de inferência que definem o espaço de busca.

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Plano de busca

O plano de busca guia o procedimento transformando um sistema de inferência não-determinístico em procedimento

de prova determinístico.

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Plano de busca

Define, em qual etapa, qual regra de inferência usar e sobre quais fórmulas.

Determina de forma única a escolha de regras de expansão ou de contração sobre o conjunto de fórmulas.

São várias as estratégias que podem ser usadas.

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Estratégias

Estratégias baseadas em ordenação

Empregam uma well-founded ordering para permitir restringir a expansão e definir a contração do

conjunto de fórmulas.É esta ordenação que permite avançar ou recuar no desenvolvimento da prova conforme a necessidade.

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Estratégias

Estratégias baseadas em contração

São estratégias baseadas em ordenação que priorizam regras de contração para minimizar o crescimento da base de fórmulas.

Podem usar simplificações ou generalizações.

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Estratégias

Raciocínio postergadoEstas estratégias trabalham com o chamado

raciocínio postergado, ou seja, não distinguem entre cláusulas do objetivo de outras cláusulas.

Geram redundância por permitirem criar cláusulas que nada acrescentam à prova

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Estratégias

Estratégias semânticas

Usam conjuntos de suporte ou estratégias orientadas ao alvo para limitar este efeito.

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Estratégias

Redução a subobjetivosTratam do problema buscando soluções para

subproblemas do problema.Incluem métodos como

Eliminação de modelo Resolução linear Matings

Connections Que estão dentro do contexto das clausal

normalform tableaux.

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Estratégias

Estratégias baseadas em instância

Usam instâncias fixas das cláusulas a serem refutadas.

Detectam inconsistências no nível proposicional usando ferramentas SAT.

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Sistemas de raciocínio interativo

Sistemas de raciocínio interativo que tratam problemas de ordem mais elevada que a proposicional também usam estratégias de busca, mas de forma indireta ou através de uma metalinguagem.

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Uma sessão gera um plano de prova, isto é, uma seqüência de ações para se chegar à prova.

As ações podem ser escolhidas pelo usuário ou pelo plano de busca.

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Ações

Aplicação de uma regra de inferência Introdução de um lema Invocação de um provador de primeira-ordem

para conjectura de primeira-ordem Invocação de programa de decisão para um

subproblema decidível

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Aplicações

Apesar da dificuldade intrínseca, o raciocínio automatizado é importante por várias razões.

Exemplos de aplicações diretas Verificação de hardware/software Geração de programas

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Aplicações

Provadores de teoremas foram aplicados com sucesso emVerificação de protocolos criptográficosSistemas orientados a mensagensEspecificações de software

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Aplicações

As técnicas desenvolvidas contribuíram com outros campos de IA como Planejamento Aprendizado Processamento de linguagem natural Computação simbólica

¤ Solução de problemas com restrições¤ Álgebra de computador

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Aplicações

Lógica computacional

¤ Programação declarativa¤ Banco de dados dedutivos

Matemática¤ Banco de dados com verificação matemática

por computador

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Aplicações

Provadores de teorema são capazes de provar teoremas matemáticos não triviais tais como teorias em Álgebras Booleanas Anéis Grupos Quasigrupos Lógica multivalorada

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Aplicações

Deve-se destacar que o estudo de formas mecânicas de raciocínio lógico é parte da questão fundamental, particularizada pelo campo da Inteligência Artificial, sobre o que uma máquina pode fazer.

.

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Modelagem IA utilizando

Lógicas não clássicas

Modal

Temporal

etc...

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Métodos especialmente desenvolvidos

Técnicas automáticas de dedução

tableau proof methods

Tradução para lógica clássica

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Problema Lógicas não monotonicas

Baseados no método tableau

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Métodos para raciocínio automatizado usados com sucesso em lógicas não clássicas

Extensions of logic programming

Model checking

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Extensions of logic programming

Prolog

Abductive logic programing(Tentativa de imitar raciocínio humano)

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Model checking

Utilizado para verificar sistemas concorrentes

É construído um modelo apartir do software expresso através de uma lógica temporal

Expansão do modelo para sistemas de IA de múltiplos agentes

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Raciocínio sobre ações

Que ações tomar, dado um determinado estado do mundo?

É possível automatizar este tipo de raciocínio a partir de um formalismo lógico chamado cálculo situacional (proposto por John McCarthy em 1963)

Considerar exemplo do elevador.

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Cálculo Situacional

• Elementos básicos:

- ações: o que pode ser feito no mundo. Podem ter pré-condições e efeitos.

* up(n): elevador sobe até andar n.

* open: elevador abre porta.

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- situações: seqüência de ações, result(a, S) é a situação que sucede a situação

S após aplicar a ação a

* result(open, result(up(3), S)): elevador subiu até 3o andar e abriu a porta.

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- fluents: relações/propriedades cujo valor verdade pode variar de acordo com a situação.

* on(n, s) indica que o botão está apertado no andar n na situação s.

* current floor(s) indica qual andar o elevador se encontra na situação s.

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- uma pré-condição: Poss(up(n), s) on(n, s)

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qual será a situação após “processar” a situação inicial S0?

current floor(S0) = 2, on(5, S0)

resposta:

S = result(open, result(up(5), S0))

• quais ações devem ser executadas? basta observar a situação:

up(5), open

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Sistemas Multi-agente

• Como garantir que mensagens trocadas entre agentes sejam compreendidas/tenham significado?

• Aplicando model checking na comunicação (compatibilidade com o protocolo).

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Raciocínio automático na web

• Utilização de lógica de descrição para representar ontologias.

- ontologia: descrição de conceitos e relacionamentos entre conceitos existentes em um domínio do conhecimento.

• Web-services possuem analogias com sistemas multi-agente, logo, podem ser utilizadas as mesmas técnicas para raciocínio.

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