Institutionen fr elektro- och informationsteknik

Daniel Sjberg

1(65)

22 augusti 2007

Extra rkneuppgifter ETE115 Ellra och elektronik, ht1 2007

Hr ges ngra extra rkneuppgifter p omrden som inte tcks av exempelsamlingen.Dessa r fltteori och kretsparametrar, transmissionsledningar, dioder och transisto-rer. Flertalet av uppgifterna r gamla tentamenstal.

Postadress Box 118, 221 00 LUND Besksadress Ole Rmers vg 3, Lund Leveransadress Ole Rmers vg 3, 223 63 LUND Internpost Hmtstlle 7

Telefon vxel 046-222 00 00 Fax 046-222 75 08 E-post Internet http://www.eit.lth.se

2(65)

1. Fltteori och kretsparametrar1

a) Hrled Kirchhoffs spnningslag frn fltekvationen E = 0. Anvnd dig avStokes sats, och rita figur dr alla storheter du anvnder dig av ingr.

b) Hrled Kirchhoffs strmlag frn fltekvationen J = 0. Anvnd dig av Gausssats, och rita figur dr alla storheter du anvnder dig av ingr.

2

Gr fljande fr vart och ett av nedanstende fall ac.

1) Rita en approximativ fltbild.

2) Berkna E fr en godtycklig punkt (x, y).

3) Berkna kurvintegralen

CE dr fr den slutna kurvan C bestende av cirkeln

definierad av x2 + y2 = a2, dr a r en given radie.

Proportionalitetskonstanterna A nedan har olika enheter i de olika uppgifterna.

a) E = Aex

b) E = A xex+yey(x2+y2)3/2

c) E = Ayex+xeyx2+y2

r ngot av resultaten frvnande?

3

Ett homogent rtblock har ledningsfrmgan , och mtten 0 < x < a, 0 < y < b,0 < z < c, dr a < b < c. Rita fltbild fr det elektriska fltet inuti rtblocket ochberkna resistansen i fljande fall:

a) Rtblockets sidor svarande mot x = 0 och x = a belggs med metall och anvndssom anslutningar till en spnningsklla.

b) Rtblockets sidor svarande mot z = 0 och z = c belggs med metall och anvndssom anslutningar till en spnningsklla.

Vilken av resistanserna r strst?

4

En stav har lngden och tvrsnittsytan A. Ledningsfrmgan varierar enligt(x) = 0(1 + x/), dr 0 r en konstant och x r avstndet frn stavens enande.

a) Rita en fltbild som visar hur det elektriska fltet i staven r riktat.

3(65)

b) Bestm resistansen R mellan stavens ndytor.

c) En elektrisk strm i skickas genom staven. Bestm utvecklad vrmeeffekt pervolymsenhet dP

dV= J E som funktion av x. Var blir det varmast?

5

Tv koncentriska (dvs deras centrumpunkter sammanfaller) ledande sfrer har radi-erna a respektive 3a. I omrdet mellan sfrerna varierar ledningsfrmgan enligt

= 0r

a, a < r < 3a

dr r r avstndet till centrumpunkten.

Bestm resistansen R mellan sfrerna.

6

Det r vanligt att man mste implementera resistanser i integrerade kretsar. Ett sttatt gra detta r att lgga en bana med ett ledande material p kiselbrickan. Resistan-sen styrs d i princip av hur lng denna bana grs. P grund av platsbrist mste oftaledningsbanan krkas d och d, och vi ska se hur stort bidrag en sdan krkningkan ge till resistansen. Vi studerar allts en bit ledande material enligt nedan, somr krkt i en kvartscirkel:

W

t

r

a

Strmmen ansluts till ledningsbanan via kortndarna, med tvrsnitt W t. Led-ningen har ledningsfrmga , och upptar omrdet a < r < a+W i r-riktningen.Det elektriska fltet har fljande utseende:

E = E0a

re, a < r < a + W

a) Rita fltbild (endast till riktning).

b) Berkna resistansen fr ledningen!

7

Resistansen hos en ledare berknas vanligen genom att anta att strmmen r jmntfrdelad ver tvrsnittet av ledaren. D frekvensen blir mycket hg intrffar dock

4(65)

ett fenomen som kallas strmfrtrngning (skin effect). Detta innebr att strmmengenom en ledare koncentreras till ett omrde lngs randen av ledarens tvrsnitt, menr i vrigt att betrakta som noll. Tjockleken p det skikt som innehller strm kanuppskattas med ekvationen

=1

f0

dr f r frekvensen, 0 r permeabiliteten fr vakuum, och r ledningsfrmganhos ledaren.

a) Berkna hur resistansen hos en cirkulr ledare med radie a och lngd beror pfrekvensen f . I slututtrycket fr du grna anta att a.

b) Blir resistansen strre d frekvensen kar, eller blir den mindre?

8

Betrakta en struktur formad som en cirkelsektor enligt nedanstende figur.

r1

r2

De krkta ytorna (vid r = r1 och r = r2, dr r r avstndet frn origo lngst upp)r metallbelagda. Materialet har ledningsfrmga , samt tjockleken t in i papperet.

a) Rita en fltbild som beskriver riktningen fr strmmen inuti strukturen, omstrmmen ansluts till de metalliserade ndarna.

b) Berkna resistansen R fr strukturen.

5(65)

9

Spnningen ver en 10 F kapacitans varierar enligt nedan.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

x 103

10

8

6

4

2

0

2

4

6

8

10

t [s]

v [V

]

Skissa strm, effekt och energi i kapacitansen som funktion av tiden.

10

Berkna den ekvivalenta kapacitansen fr nedanstende ntverk.

2 pF 10 pF

10 pF 2 pF

1 pF

1 pF6 pF

11

En plattkondensator bestr av tv plana metallytor med area A, skilda t av ettluftgap av tjocklek d. Plattorna laddas upp till spnningen V0. Vilken energi finnsbunden i kondensatorn?

Plattorna isoleras sedan, och avstndet kas till 2d. Vilken spnning ligger nu mellanplattorna, och vad r den nya energin? Var kom den extra energin frn?

12

En vanlig teknik fr att verfra mycket hgfrekventa signaler p ett kretskort r ens kallad mikrostrip-ledning. Den bestr av en metallbana ovanfr ett jordplan, medtvrsnittsgeometri enligt nedan.

6(65)

w

h

Uppskatta ledningens kapacitans per lngdenhet, d vi antar att ledningsbredden wr tskilligt strre n hjden h ovanfr jordplanet.

13

Berkna kapacitansen fr tv metallkulor, vardera med radien a, med avstndet dmellan sina respektive centra, dr d a.

Tips: anstt en laddning q respektive q p de bda kulorna, och berkna potenti-alskillnaden genom integralen v1 v2 =

P2P1

E dr, dr P1 och P2 r punkter prespektive metallyta. Villkoret d a gr att det flt som skapas av respektive kulakan ses som fltet frn en punktladdning i kulans centrum.

14

Berkna kapacitansen per lngdenhet fr en koaxialkabel med tvrsnittsgeometrienligt nedan, dvs innerledaren har radie a och ytterledaren har radie b. Det r luftmellan ledarna.

b

a

15

Berkna egenkapacitansen (dvs mot en ledare ondligt lngt bort) fr en ensammetallkula med radie a.

Tips: anstt en laddning q p kulan och berkna vilken potential v den fr ompotentialen i ondligheten r noll. Kapacitansen r C = q/v.

16

Tv metallskivor med ytan A befinner sig p avstndet d frn varandra, dr d kanbetraktas som litet. Spnningen v lggs mellan skivorna.

7(65)

a) Hur stor laddning finns p respektive skiva?

b) Hur stor elektrostatisk energi finns upplagrad?

c) Uppskatta det elektriska fltet p avstndet a frn metallskivorna, dr a kan be-traktas som stort.

17

I en plattkondensator r tvrsnittsytan lika med A och avstndet mellan metallplat-torna r lika med d. Avstndet d kan betraktas som litet och mellan metallplattornar det luft. Kondensatorn r uppladdad till spnningen v0.

a) Berkna laddningen q0 p den positivt laddade metallplattan.

b) Berkna den i kondensatorn upplagrade elektriska fltenergin.

c) Berkna den elektriska kraft F e som verkar p den positivt laddade metallplattan(storlek och riktning).

Antag nu att en skiva av ett isolatormaterial skjuts in mellan metallplattorna. Relati-va permittiviteten fr isolatormaterialet r lika med r. Skivans tjocklek r lika medhalva avstndet mellan metallplattorna. Vad som hnder beror p om kondensatornr kopplad till en spnningsklla (v hlls konstant lika med v0) eller om kondensa-torn r isolerad (inga anslutningstrdar, q r konstant lika med q0).

d) Antag frst att kondensatorn r kopplad till en spnningsklla som hller spn-ningen konstant lika med v0. Berkna laddningen q p den positivt laddade metall-plattan (nr skivan av isolatormaterial har skjutits in).

e) Antag nu i stllet att kondensatorn r isolerad, dvs q r lika med q0, och berknaspnningen v mellan metallplattorna (nr skivan av isolatormaterial har skjutits in).

18

Mellan de ledande plattorna i en plattkondensator finns en isolatorskiva med relativapermittiviteten r. Ytan av en av plattorna r S och avstndet mellan plattorna r d.Spnningen mellan plattorna r v0.

a) Bestm kapacitansen C mellan plattorna.

b) Bestm polarisationen P i isolatorskivan.

c) Hur mycket bunden laddning qp finns det p den sida av isolatorskivan som liggerinvid den positivt laddade plattan? (bunden laddning kallas ocks polarisationsladd-ning)

d) Antag att isolatorskivan tas bort. Kondensatorn r hela tiden isolerad (laddningenp plattorna kan inte ndras). Hur stor r spnningen v mellan plattorna nr skivanr borta?

8(65)

e) Hur stor r kraften F p en av plattorna nr skivan r borta?

19

Vi betraktar ett laminerat material som bestr av N skivor, alla med tjocklek d, medolika materialegenskaper enligt nedan.

Nd

Nd

Nd

x

y

r1 r2 rN1 rN

Berkna den kapacitans som erhlls mellan tv metallskivor d dessa ansluts tillmaterialet

a) vinkelrtt mot skivorna, dvs i de tv ytorna definierade av y = 0 och y = Nd ifiguren.

b) parallellt med skivorna, dvs i de tv ytorna definierade av x = 0 och x = Nd ifiguren, samt

20

Ett homogent rtblock har ledningsfrmgan , relativa permittiviteten r, och mt-ten 0 < x < a, 0 < y < b, 0 < z < c, dr a < b < c. Gr en kretsmodell avrtblocket, innehllande en resistans och en kapacitans, i fljande fall.

a) R