17 ŞAFT ve RELATED PARÇALAR

Şaft kesiti daire şeklinde olup, boyu daire çapına oranla çok fazla olan ve dönerek güç transfer eden makine elemanlarıdır. Genelde dişli, kasnak, kam ve zincir dişlisi gibi bir ya da birden fazla makine elemanları pim, kama ve emniyet segmanı gibi elemanlar kullanılarak şaftlar üzerine monte edilir. Otomobil ve ağır vasıtalarda tekerleklere hareket ileten şaftlar ise aks olarak adlandırılır.

Dönme hareketi yapmayan şaftların kesit alanları dairesel olmak zorunda değildir. Bu Şaftlar sabit olup üzerlerine takılı olan makine elemanı hareketli olabilir. Bunlar kısa şaftlar olarak ta adlandırılır ve genelde avara dişli gibi çalışan makine elemanlarının yataklanmasında kullanılırlar.

Kullanım durumundan da anlaşılacağı üzere şaftlar (akslar) radyal, eksenel, kuvvetlerin, eğilme ve döndürme momenti oluşturacak kuvvetlerin kombinasyonunun etkisi altında çalışırlar. Bu kuvvetler statik ve dinamik olabilirler. Örneğin, dönerek güç ileten bir şaft sabit bir döndürme momentine maruz kalırken burulma gerilmesi üretir. Eğer şaft üzerinde sabit veya değişken radyal bir yük mevcut ise, bunun sonucunda da eğilme momenti oluşur.

Mukavemet değerlerini sağlamak için, şaftlar belli bir eğilme değeri kabul edilerek tasarlanırlar. Eğer şaft üzerinde dişliler mevcut ise ve şaftın eğilmesi kabul edilebilir değerden fazla ise, çok fazla gürültülü çalışmaya sebep olur. Eğer şaft üzerinde kamlar mevcut ise ve burulma değeri kabul edilebilen değerin üzerinde ise, kamların zamanlaması sorun olur. Şaftlarda eğilme ve burulma değerleri yüksek ise, şaftın kritik dönme hızı azaltılarak bu sorun giderilebilir.

17.1 ŞAFT YATAKLANMASINDAKİ KURALLAR

Dişli, kasnak, zincir dişlisi ve kam gibi makine elemanları taşıyan şaftlar mutlaka yataklanmak zorundadırlar. Eğer şaft sadece iki yatakla yataklandığında, eğilme miktarı kabul edilebilen değerler içinde kalıyor ise, bu son derece basit bir yataklama tasarımı olmuş olur. Fakat bazı durumlarda, mesela krank mili (şaftı) yataklanmasında, şaftın eğilme miktarını kabul edilebilir değerler içinde tutmak için, şaftın ikiden fazla yerden yataklanmasına ihtiyaç duyulur ve bu mutlak suretle yapılmalıdır.

Şaftlarda her iki yünde oluşan eksenel kuvvetleri taşımak maksadıyla, sadece bir tane eksenel yatağın kullanılması yeterlidir. Çünkü şaftlara eksenel yük uygulanmayıp, eksenel yükler tasarımın ve hareketin doğasından meydana gelmektedir. Bazı durumlarda milin yataklanmasında birden fazla rulman kullanılmakta olup burada her iki rulmanda eksenel yük taşıyan rulman olarak seçilebilir. Krank mili örneğinde ise birden fazla eksenel yatak kullanılır fakat burada sadece bir tanesi eksenel yükü taşıyabilecek kapasiteye sahip olacak şekilde tasarlama yapılır. İki tane kullanılmasının amacı imalattan doğabilecek tolerans hatasını minimize etmektir.

17.2 M

Bazen ddişliler, kullanıldenir veşekil 17verilir.

MAKİNE E

dişli ya da kzincir dişliarak monte

e göbel şafta7.1 de göster

ELEMANL

kamlar (geneleri ve kasnedilirler. M

a çeşitli yönrilmiştir. Gö

Şekil 17.1

LARININ Ş

elde kamlarnaklar ayrı oMakine elemntemler kullöbek üzerin

Şaftlar

ŞAFTLAR

r) mil ile birolarak imal

manının şaft lanılarak mo

ne acılan kam

rda En Çok

R ÜZERİNE

r bütün olaredilip şaft üile temas et

onte edilir. ma kanalına

k Kullanılan

E MONTE

ak işlenirlerüzerine bazıttiği bölgeyBu yöntemla kama yuva

n Kamalar

EDİLMES

r. Fakat genı makine ele

ye göbek (hulerden kaması (keyway

r

Sİ

nelde emanları ub) a (key)

ys) adı

Düşük gkamaya

Bazen smakine dörtte bgibi) gedurumu

Tespit smonte esegmankullanılen ucuzdaki tesgöstermaçıldığı Şekil 17işlenmişemniyetaçılacakkademeverilme

Bazı duoluşturubirine m

İki parçdurumugösterilm

güç iletimima oranla dah

sabitleme cıelemanının

biri kadar oluevşeyerek hau ortadan ka

segmanı (snetmek en etkını göstermabilen basm

z çözümler opit segmanı

mektedir. Bayerde şaftın

7.6c de ise Tştir, halbukit segmanı kk kanal yükseli şaft mı yolidir.

urumlarda göulur. Bu iki monte edilirl

çanın, şaft vunda en fazlmektedir.

mde ise geneha az güç ile

Şekil 17.2

ıvatası (setsn dönmesineup 90o lik aareket iletim

aldırmak am

nap ring veykili ve en uc

mektedir. Şekmalı emniyeolup, hassası ise, A poz

azı durumlarn mukavemT1 ve T2 elei şaft tek ka

kullanılarak sek gerilmeoksa emniy

öbek çapı mparça ancakler. Yüksek

e göbek üzea güç (mom

elde şekil 1etiminde kul

2 Şaftla

screw) göbee engel oluracılarda yerlmine engel o

macıyla bazı

ya retainingcuz metottukil 17.3b iseet segmanınslık istenen isyonundakrda, tespit s

meti düşer faemanları şafademeli olarşaftın üzeri

e bölgesine det segmanım

mil çapındank ya presle y

k güç iletimi

erine açılmıment) iletimi

7.2 de göstellanılan ima

arda En Ço

eğe radyan dr. Sabitlemeleştirilirler. olabilirler. Ötasarım önl

g ring) kullur. Şekil 17.e kanal gerena örnekler yerlerde ku

ki rulmanın egmanı için

akat o bölgeft üzerine mrak işlenip mine monte edenk gelecemı daha eko

n biraz küçüya da parçaimde bu tip

ış kanala moi sağlanır. Ş

erilen pim (palatı ucuz pa

ok Kullanıla

doğrultuda a cıvatasınınBu cıvatala

Özellikle emlemleri alm

anarak mak3a kanal geektirmeyen,göstermekt

ullanılması uyuvasına na

n şaftın üzerede yüksek m

monte edilmemaliyeti azadilir. Fakat eğinden, şafonomik olur

ük işlenerekalardan biri s

montajda b

onte edilenŞekil 17.4 bu

(pin) çeşitlearçalardır.

an Pimler

acılan bölgen çapı geneldar bazı şartlamniyet söz kak uygun ol

kine elemanlrektiren birksadece bir

edir. Bu tipuygun değilasıl tespit edrine kanal amukavemetek için şaft kaltılıp, T1 veburada emn

ft çapı gözdr diye düşün

k iki yüzey asoğutulup d

birde kama k

kama ile biu kamalara

eri kullanılır

eye takılarakde mil çapınar altında (tkonusu ise, labilir.

nlarını şaft ürkaç çeşit tedefalık

p segman çöldir. Şekil 1dildiğini

açılır, bu kante gerek yokkademeli ol

e T2 elemanlniyet segma

den geçirilernülüp karar

arasında basdiğeri ısıtılakullanılır.

irleştirilmesörnekler

r. Pim

k nın itreşim bu

üzerine spit

özümleri 7.6a

nalın ktur. larak ları ise anı için rek,

sınç rak bir

si

Şekil 17.3

Şekil 17.4

En Ço

En Çok

k Kullanıla

k Kullanıla

an Tespit S

an Kamalı

Segmanları

Segmanlar

r

17.4 DÖNEN ŞAFT DİNAMİĞİ

Dönen şaftlar tasarlanırken (özellikle yüksek hızlı şaftlar) çalışma bölgesi şaftın kritik hızından uzakta seçilmelidir. Bunun anlamı, şaftın mukavemetini artırarak kritik hızı çalışma bölgesinin çok üzerine çıkarmaktır. Eğer burulma değişimleri de göz önüne alınırsa, şafta dinamik etkilerde yüklenerek tasarlanmalıdır. Şaftın burulma doğal frekansı şafta uygulanan zorlayıcı frekanstan daha küçük seçilmelidir. Bunun anlamı ise, şaftın burulma doğal frekansı mümkün olduğu kadar küçük olmalıdır (şaftın sertliği gereğinden fazla olmamalıdır).

Yanal titreşimlere ve kritik hıza göre, imal edilen hiçbir milde kütle dönme ekseninde değildir. Bu nedenle dönen şaftın hızı artırıldıkça, merkezde olmayan kütlenin (balans olmamış kütlenin) etkisiyle mil eğilmeye başlar. Eğilme artıkça eksantriklik ve merkezkaç kuvvet artar. Dönmedeki en düşük kritik hızın altında iken, sonlu şaft eğilmesinde santrifüj ve saftın elastik kuvvetleri dengeye gelir. Kritik hızda ise, kütle merkezi teorik olarak sonsuz bir eğilmeye uğrar. Milin ve milin monte edildiği yatakların sağladığı sönümleme sonucunda, teorik olarak oluşan sonsuz eğilme sonlu hale gelir. Bununla birlikte yine de şaftın zarar görmesine engel olunamaz. Dönme hızının kritik hızın üzerine çıkması ile, kütle merkezi hızlı bir şekilde dönme merkezine yanaşır. Yüksek hızla dönen millerde (yüksek hızlı türbinlerde) kritik hız bölgesi, mile zarar verecek eğilmeler ortaya çıkmadan hızla geçilerek yüksek hızlara ulaşılır.

Kritik hız ile şaftın doğal frekansı aynıdır. Temel kritik hız şekil 17.5 de denklem 17.1, 17.2 ve 17.3 ile verilmiştir.

Şaftın kritik hızı birçok noktada hesap edilen statik eğilme ile tahmin edilebilir.

Sekil 17.5 Şaftın K

Kritik Hızıı

17.5 AYRINTILI ŞAFT TASARIMI

Şaft tasarımı için aşağıdaki kurallar göz önünde bulundurulmalıdır.

1. Şaft mümkün olduğu kadar kısa olmalıdır ve yataklar şafta kuvvetin uygulandığı noktanın (bölgenin) mümkün olduğu kadar yakınına konmalıdır. Bu durum, eğilmeyi ve eğilme momentini azaltırken kritik hızın artmasına neden olur.

2. İmkân olması durumunda, gerilme artırıcı geometrik değişimler (kesit değişimi, kama yuvası gibi) şaftın üzerinde yüksek gerilmeye maruz kalan bölgelerden (yerlerden) uzak tutulmalıdır. Eğer bunu yapmak imkânsız ise, şaft çapı büyük seçilip, yüzey pürüzlülüğü azaltılabilir.

3. Tüm çelikler hemen hemen aynı elastisite modülüne sahip olduğundan, kritik eğilmeye maruz kalan şaft için ucuz çelikler kullanılır.

4. Ağırlığın önemli olduğu durumlarda içi boş mil (şaft) kullanılır. Örneğin; arabalarda hareket ileten şaft bu tiptedir. Şaftın ağırlığı azaltılarak kritik hızı artırılmış olur.

Şaftın izin verilebilir maksimum eğilmesi genelde kritik hız, dişli veya yataklama gereksinimleriyle belirlenir. Kritik hız gereksinimi uygulamadan uygulamaya değişmektedir. Yeterli dişli ve yatak performansı için müsaade edilen şaft eğilmesi dişli veya yatak tasarımı ve uygulamaları ile değişmektedir. Bunlara rağmen, takip eden maddeler genel olarak uygulanabilir.

1. Birlikte çalışan dişlilerde eğilme 0.13 mm (0.005 inç) den fazla olmamalıdır. İzafi eğilme ise 0.03o den fazla olmamalıdır.

2. Şaftın eğilmesi kaymalı yatak boyunca yağ filminin kalınlığından az olmalıdır. 3. Şaftın açısal eğilmesi bilyeli yataklarda 0.04o dereceyi aşmamalıdır. Bu değer kendi

kendini ayarlayan rulmanlarda biraz daha fazla olabilir.

Burulma doğal frekansı gereksinimleri ve burulma yer değiştirmesi üzerindeki sınırlama nedeniyle, şaft eğilme hesaplamaları yapıldıktan sonra, bu hesaplara ilaveten, burulma yer değiştirmesi mutlaka hesaplanmalıdır.

Dönen şaftın yorulma mukavemetinin belirlenmesi, genel olarak şaftın iki eksende yüklenerek analiz edilmesiyle ortaya konulur. Şaft tasarımına başlandığında ya mukavemet ya da yer değiştirme kritik faktör alınarak hesaplar yapılır. Daha sonra, geriye kalan faktörler (yer değiştirme veya mukavemet) kontrol edilir.

Problem 1: Şekil 17.6b de görüldüğü gibi kar motorunun güç şaftı A ve B noktalarından motorun şasisine monte edilmiş olup C noktasına zincir dişlisi yerleştirilmiştir. T1 ve T2 ise motorun paletini hareket ettirmektedir. Ana boyutlar şekil 17.6b üzerinde verilmiştir. Şaftı 20KW motor gücü ve 72 km/h motor hızı için boyutlandırın. Motorda ve zincirde yer değiştirmelerin olmadığını ve yatakların kendi kendini mile göre ayarladığını kabul edin. Tasarım yorulma mukavemeti temeli üzerine yapılmalıdır.

Verilen

İstenen

Bazı ka

1. dknyei

2. şy

3. Mg

nler: Şekilde

n: Şaft tasarı

ararlar:

Şekil 17.6c dışarıya mokarşı sıkıştıneden olacayakın B yateksenel yükile sağlanmŞafta, T2 civşekilde görüyoğunluğu Masraflarıngerilme değ

e mevcut, 2

ımı

şaftın öneronte edilerekırılmıştır. (Sağından şafttağı en büyükleri taşıdığ

maktadır. varında oluüldüğü gibi göz önüne a

n düşük olmğerleri; Su =

20KW moto

Şeki

ilen tasarımk dişliye ko

Somunun fatın yorulmaük yükü taşıı kabul edil

şan büyük eseçilmiştir.

alınarak hesması için, soğ= 530 MPa

or gücü, 72 k

il 17.6a ve 1

mını göstermolay ulaşım azla sıkıştırıla mukavemeıyacağındanlsin. Dişli il

eğilme mom. (Bu bölgedsaplamalar yğuk çekilmive Sy = 450

km/h motor

17.6b

mektedir. Gösağlanmıştılması, S noketine negatifn, A noktasıe mil arasın

menti nedende kademe yapılmalıdıiş 1020 çeli0 Mpa dır.

r hızı

örüldüğü üzr. Emniyet ktasında staf etki eder).ındaki yatağndaki mome

niyle başlangolması neder.) ği seçilmişt

zere zincir dsomunu ise

atik ön geril. Zincir dişlğın her iki yent transferi

gıç boyutlareniyle gerilm

tir. Bu çelik

dişlisi e şafta lmeye isine en

yöndeki kama

rı me

k için

4. D/d = 1,25 ve r/d = 0.03 ve de S noktasındaki hesaplamalarda Kf için yüksek değer alınması uygundur.

5. Emniyet katsayısı ise 2.5 alınabilir. 6. Standart yatak boyutları (standart rulman) seçilmelidir.

Kabuller:

1. Motor gücünün tamamı paletlere ulaşmaktadır. 2. Her iki taraktaki palete eşit olarak ve toplam gücün yarısı transfer edilmektedir. 3. A ve B noktalarındaki rulmanlı yataklar kendi kendini mile göre ayarlayabilen

yataklardandır. 4. S ve B noktalarındaki gerilme yoğunluğu aynıdır.

Çözüm:

1. Motorun tüm gücünün paletlere transfer edildiğini kabul edersek Paletlere gelen kuvvet;

üçü /

2000020

Bu kuvvet eşit olarak T1 ve T2 dişlilerine dağılmaktadır.

2. Şekil 17.6b de moment alınırsa

50 250 0 100012550

3. Kuvvet, kesme kuvveti ve moment diyagramları Şekil 17.6d de olduğu gibi çizilir.

Dikey kuvvetler sadece cos 30 ve yatay kuvvetler ise sin 30 ve zincir dişlisine gelen kuvvetlerdir. O da /2 dir. A ve B rulmanları kendi kendini ayarlayabildiği için moment almazlar.

4. Diyagramlardan anlaşılacağı üzere d için kritik yer ya S yada B veya C dir. Kırılma S de olur çünkü B ve C pozisyonu yatak civarında olduğundan iyi desteklenmiştir. Fakat Şaftın çapı hesaplanırken B deki kuvvet göz önünde bulundurulurken S deki gerilme yoğunluğu alınmalıdır.

5. Kf değerini bulabilmek için kademenin geometrik oranı, yüzey pürüzlüğü ve malzeme Şekil 8.23 ve 8.24 den, q = 0.7 için r = 1 dir. Aşağıdaki denklemden eğilme ve burulma için Kf değerini bulunur.

1 1

1 2.25 1 0.7 . ğ ç

1 1.8 1 0.7 . ç

6. İ

İki eksenli yyüklemede

32ğ

16

Ş

eğilme için

32

Şekil 17.6c

n alternatif g

130000

16 125

ve 17.6d

gerilme

75000

50001.6

,

01.9

.

.

7. g

8. B

o

17.6 K

Şaftlardgörüldügörülen olur. Kageniş bi Kamanı17.7a boyüklemedöndürütemas ed Şekil 17ve yan ydağılımyarıçapı

Şekil 17.6e görülür. Bu

Burada d =oranından r

KAMALAR

da dişli göbeüğü gibi kamn kare kesitliamalar geneilgi SAE ve

ın yüklenmeoşluklu karee yatak doğülmeye çalışderek dönm

7.7b de ise kyüzeylerin i

mla kamanın ın bir fonks

yorulma mu değer emn

2

35 mm seçr = 2 mm bu

R, PİMLE

eklerine moma ile birleşi kamalardırelde soğuk şya AISI 102

esi boşluklae kesitli bir ğrultudaki kuşılır. Fakat k

mesi engelle

kare şeklindise boşlukluyan yüzeyiiyonudur.

mukavemeti niyet katsayı

2.9 102.

mek normaulunur.

R VE ÇOK

oment transftirme yönter. Kamalarışekillendiril20 standard

arın ve kamakamanın yüuvvet tarafıkama, şekilnir.

deki kamanıu olduğu görine etkimekt

Şekil 1

için çizildiğısıyla birlikt

.5 165

aldir. Hatta d

KLU KAM

ferinde en çemidir. En çın genişliklelmiş düşük kdından elde

anın elastikük altındakiından olur vlde görüldüğ

ın alt ve üstrülmektedir

ktedir. Yatay

7.6e

ğinde nite kullanılm

d = 40 mm

ALAR

ok kullanılaçok kullanıleri en fazla mkarbonlu çeedinilebilir.

kliğinin karıi durumunuve bu kuvveğü gibi, kam

t yüzeylerinr. Burada yiy kuvvet ilet

in 165 MPamalıdır. Bun

.

dahi seçileb

an yöntem şan kamalar milin çapını

eliklerden im.

şık bir fonkgöstermektt etkisi ile kma yuvasın

in kama yuvine yatay kutilen döndü

a ile sınırlı ona göre

bilir. Daha s

şekil 17.1 dise, şekil 17

nın dörtte birmal edilip, d

ksiyonudur. tedir. Buradkama yuvasnın kenarları

uvasına temauvvet düzgüürme momen

olduğu

sonra r/d

e 7.1a da ri kadar daha

Şekil da ana ında ına

as ettiği ün bir ntinin ve

Burada Transfebüyük m

0.58

Şaftın m

Momenoluşturd

Kayma gerilme

Denklemgöz önüdüşünülaz büyü

transfer edir edilen mo

moment alın

alınabilir.

moment kap

nt kamanı yaduğu gerilm

gerilmesi glerin ve yar

m a ve b deünde bulundlmektedir. T

ük olması, b

ilen momenoment olaraknır. Şaftın v

Şekil 1

pasitesi ise a

an yüzeyineme, yüzey ala

göz önüne alrıçapın bir f

n L = 1.82ddurularak L Teorik hesapasma ve kay

nte bağlı olak ta, milin ee kamanın g

17.7 Ka

aşağıdaki fo

e etki eden kanına ve yar

lınarak iletifonksiyonud

0.58

d, denklem a= 1.82d oraplamalar soyma mukav

arak kamanıelastik bölgegevrek bir ç

are Şeklind

ormülle hesa

160.58

kuvvet ile trarıçapa bağlı

8 2

ilen momendur.

84 2

a ve c den ianının alınm

onucunda, kvemeti acısı

ın boyutlandede kalacakçelikten ima

deki Kama v

aplanır.

8

ransfer ediliıdır.

16

nt yine kama

0.588

ise L = 1.57masının dahamanın yükından daha i

dırılması yak şekilde taşal edildiği k

ve Gerilme

ir. Bu kuvve

anın yüzeyin

7d hesaplanıa uygun ola

ksekliğinin giyi sonuç ve

apılmalıdır. şıyabileceği kabulü ile

eler

etin kama ü

nde oluşan

nır. Yapılan acağı genişliğindeerdiği anlaşı

en

üzerinde

kabuller

en çok ılmıştır.

Kamayleşit ve g

Eğer şafsonuç vkama kadeğişik Şekil 17pimin h

ile göste

Bazen mtarafındyükleme Çoklu kbükey o

la kasnak argöbeğin gen

Şekil 17Konsa

ftın çapı muverebilir. Eğanalı boyunkama yuva

7.2a da yuvaher iki taraft

erirsek, ileti

momenti taşdan taşınacaeden korur

kamalar adı olarak imal e

rasında iyi bnişliği 1.5d v

7.8 Kamantrasyon f

ukavemet yeğer boyutlar nca gerilme sı açma yön

arlak pim ilan kesilmes

ilebilecek m

şıyan pim, mk momenti ve daha büy

üzerinde biedilirler. İç

bir balans olveya 2.0d o

ma Kanal Tfaktörü

erine yer deşokun ve yyoğunluğu

ntemini göst

e göbeğin şsi ile sınırlıd

moment şöyl

mukavemetisınırlayabilyük zararlar

irden çok kabükey olan

luşturmak iolmalıdır.

Tipleri ve B (Şaftın Ke

eğiştirmeye yorulmanın e

mutlaka götermektedir

şafta bağlandır. Burada

le hesaplan

4

i daha düşüklir. Bu amaçrın ortaya çı

amaya sahipnlarda basın

çin, kama b

Bunlara Kaesitindeki N

göre hesapetkisiyle mu

öz önüne alır.

ntısını gösterpimin çapın

ır.

k olan bir mçla pim kesiıkmasını ön

ptirler. Bunlç açısı gene

boyu geneld

arşilik YoruNormal Ger

lanıyor ise kukavemete gnmalıdır. Şe

rmektedir. Mnı d ve Kay

malzemedenilerek, sistemnler.

lar ya düzgüelde 30o dir.

de göbek gen

ulma Gerilmrilmeye Gö

kısa kama dgöre hesaplekil 17.8 ik

Moment kapyma gerilme

n imal edilermi aşırı

ün olarak ya.

nişliğine

mesi

öre)

daha iyi lanır ise,

ki

pasitesi, esini

17.4

rek, şaft

a da iç

Problem

VerilenİstenenÇözüm

234

Basit olkütle içiaşağıdak

Herhangdestek k

m 2: Şekild

nler: Şekildenler : Kritik ve Kabulle1. Yata2. Şaft 3. Şaft 4. Şaft

larak destekin elde edilmki gibi bulu

6

gi bir noktakuvveti;

de üzerinde i

e hız?

er: ak sürtünmelineer elastbasit olarakın kütlesi ih

klenmiş mil miş denklem

unur.

aya yoğunla

iki kütle ola

eleri ihmal etik. k desteklenmhmal ediliyo

üzerinde hemler kullanı

640

şmış kütley

an milin krit

ediliyor ve y

miş. or.

erhangi bir pılarak kütlel

0

0.05064

yi koyup her

tik devir say

yataklar mi

pozisyona ylerin olduğu

.

r iki uç için

yısını bulun

l ile aynı ek

yerleştirilmiu noktalarda

Ç ; 2

moment alı

nuz.

ksendedir.

iş yoğunlaştaki yer deği

207

ırsak yatakl

tırılmış iştirme

lardaki

A noktasındaki 50 kg yoğunlaşmış kütlenin oluşturduğu çökme;

50 9.81 1.75 0.56 2.25 207 10 3 10

2.25 0.50 1.75 .

A noktasındaki 35 kg yoğunlaşmış kütlenin oluşturduğu çökme;

35 9.81 0.75 0.506 2.25 207 10 3 10

2.25 0.50 0.75 .

A noktasındaki toplam yer değiştirme=

0.00089 0.00065 . B noktasındaki 35 kg yoğunlaşmış kütlenin oluşturduğu çökme;

35 9.81 0.50 1.506 2.25 207 10 3 10

2.25 1.50 0.75 .

B noktasındaki 50 kg yoğunlaşmış kütlenin oluşturduğu çökme; Bu durumda x ve b mesafeleri diğer yataktan alınmak zorundadır. Çünkü denklemim çıkarılışında x mesafesi içinde kalan bölgede herhangi bir kütle yok kabul edilmiştir. Eğer 50 kg lık kütlenin B deki çökmesini hesaplarken biz aynı eksenleri kullanırsak 50 kg lık kütle x mesafesinin içinde kalır. Bu durumda yanlış olur. Bunun için sadece 50 kg lık kütlenin B deki çökmesinin hesabında denklem diğer taraftaki yataktan uygulanmalıdır. (örnekte olduğu gibi)

50 9.81 0.50 0.756 2.25 207 10 3 10

2.25 0.75 0.50 .

B noktasındaki toplam yer değiştirme=

0.00093 0.00069 . Denklem 17.2 den

30

30 9.81 9.81 50 0.00154 35 0.001629.81 50 0.00154 35 0.00162