Y = 0 + 1X1 + 2X +

Bab 10

Pemodelan Data Dua dan Multi Dimensi

10.1. Pendahuluan

Pemodelan data 2-D merupakan proses representasi data dalam bentuk persamaan bidang dengan 2 peubah bebas dan 1 peubah tak bebas. Pada pemodelan n-D, data direpresentasikan dengan persamaan ruang orde n, dengan (n-1) peubah bebas dan 1 peubah tak bebas.

Prinsip-prinsip pemodelan data 1-D yang diberikan di dalam Bab 9 berlaku juga untuk pemodelan dua dan multi. Pemodelan data 2-D banyak digunakan untuk menyatakan data-data dalam bentuk peta.

10.2. Pemodelan Data 2-D dengan Polinomial

Secara umum polinomial 2-D derajat tinggi dapat dinyatakan sebagai berikut:

(10-1)

10.2.1. Model Polinomial 2-D Orde Nol (Bidang Datar)

Pemodelan data 2-D yang paling sederhana berdasar persamaan (10-1) adalah model polinomial 2-D orde nol atau model konstan yang dinyatakan sebagai berikut:

(10-2)

Model konstan juga disebut dengan model rata-rata berupa persamaan bidang datar dalam ruang.

10.2.2. Model Polinomial 2-D Orde Satu (Bidang Miring)

Pemodelan data 2-D orde satu berdasar persamaan (10-1) direpresentasikan dengan persamaan linier sebagai berikut:

(10-3)

Persamaan (10-3) digambarkan sebagai bidang miring dalam ruang. Permasalahannya adalah, bidang miring manakah yang dapat memodelkan data 2-D terbaik. Bidang miring terbaik adalah yang menghasilkan jumlah deviasi kuadrat terkecil (least square).

Dari sudut pandang statistik bidang tersebut menghasilkan sum of squares to deviation (SSD) atau jumlah deviasi kuadrat terkecil dan dapat dinyatakan sebagai berikut:

(10-4)

Penyelesaian masalah nilai optimum akan menghasilkan persamaan normal yang dinyatakan sebagai berikut:

(10-5)

(10-6)

(10-7)

Persamaan (10-5) s.d. (10-7) merupakan persamaan simultan linier dengan bo,b1 dan b2 sebagai nilai yang tidak diketahui, dalam bentuk matrik dinyatakan sebagai berikut:

(10-8)

Untuk ilustrasi diberikan contoh data kedalaman dasar batuan berumur kapur berikut ini:

Tabel 10.1: Koordinat Lubang Bor

Serta Kedalaman Batuan Dasar Berumur Kapur

pada Lapangan Minyak Anglo-Barren (Davis, 1973)

nx (km)y (km)z (m)

11017-665

22189-613

33338-586

43520-440

54758-544

66018-343

76574-455

88293-437

98960-354

109715-142

Penyelesaian selanjutnya diperoleh hasil-hasil seperti berikut ini.

(10-9)

Persamaan (10-9) disubstitusi ke dalam Persamaan (10-8) akan menghasilkan persamaan matrik sebagai berikut:

(10-10)

Penyelesaian selanjutnya persamaan (10-10) akan menghasilkan bo = -621.0, b1 = 4.8 dan b2 = -2.0, sehingga persamaan bidang miring terbaik didapatkan dengan mensubstitusikan harga bo, b1 dan b2 tersebut ke dalam persamaan (10-3), sehingga diperoleh persamaan berikut ini:

(10-11)

Perhitungan parameter-parameter statistik dilakukan dengan tabel berikut.

Tabel 10.2: Pengolahan Data untuk Parameter-parameter Statistik

Pemodelan Data 2-D dengan Polinomial 2-D Orde Satu

nx yz

11017-665-606.63410.622111.7

22189-613-695.76839.356548.8

33338-586-537.82323.26384.0

43520-440-492.82787.81218.0

54758-544-510.21142.42735.3

66018-343-369.2686.47867.7

76574-455-455.50.35.8

88293-437-411.5650.32153.0

98960-354-313.01681.020996.0

109715-142-186.11944.873875.2

x =y =z =

539482-4579

21466.1193895.5

Dengan memperhatikan Tabel 10.2, maka SST, SSR, SSD dan R model bidang miring dapat dinyatakan dan mempunyai harga sebagai berikut:

(10-12)

(10-13)

(10-14)

(10-15)

(10-16)

Mengacu pada paremeter-parameter statistik di atas dapat disimpulkan bahwa, model polinomial 2-D orde satu cukup representatif memodelkan data yang dicantumkan pada Tabel 10.1. Berdasar model ini dapat diinterpretasi bahwa, batuan dasar (baserock) berumur kapur di ladang minyak Anglo-Barren tidak mengalami pelipatan.

10.2.3. Model Polinomial 2-D Orde Tinggi (Permukaan)

Model polinomial 2-D orde tinggi dinyatakan pada persamaan (10-1). Koefisien-koefisien polinomial ditentukan berdasar persamaan simultan dalam bentuk matrik berikut ini:

(10-17)

10.3. Pemodelan Data 2-D dengan Deret Fourier

Model data 2-D dengan deret Fourier merupakan pengembangan model data 1-D dengan metode yang sama dan dapat dinyatakan sebagai berikut:

(10-18)

Jika suku dalam cosinus dan sinus dinyatakan sebagai berikut:

(10-19)maka persamaan (10-18) dapat dimodifikasi menjadi sebagai berikut:

(10-20)

Persamaan (10-20) merupakan sistem persamaan linier simultan yang secara simbolik dapat dituliskan dalam bentuk matrik sebagai berikut:

[A] . [(] = [C] (10-21)

[A] adalah matrik yang elemennya merupakan penjumlahan, [(] adalah vektor koefisien Fourier yang dicari dan [C] adalah vektor penjumlahan perkalian silang. Matrik [A] mempunyai elemen sebagai berikut:

(10-22)

Vektor koefisen Fourier yang dicari dan vektor perkalian silang yang diketahui masing-masing mempunyai elemen-elemen sebagai berikut:

(10-23)

Jika n dan m berharga nol, maka komponen sinus dan cosinus-nya akan mempunyai harga nol dan satu seperti dinyatakan sebagai berikut:

(10-24)

(10-25)

Harga perkalian sinus dan cosinus lengkap secara skematis diberikan sebagai berikut:

Tabel 10.3: Perkalian Sinus dan Cosinus (II)

m

01234

cos*sin*cos*sin*cos*sin*cos*sin*cos*sin*

0cos1

C

S

C

S

C

S

C

S

sin

1cosC1

C1C

C1S

C1C

C1S

C1C

C1S

C1C

C1S

sinS1

S1C

S1S

S1C

S1S

S1C

S1S

S1C

S1S

2cosC2

C2C

C2S

C2C

C2S

C2C

C2S

C2C

C2S

sinS2

S2C

S2S

S2C

S1S

S2C

S2S

S2C

S2S

3cosC3

C3C

C3S

C3C

C3S

C3C

C3S

C4C

C3S

sinS3

S3C

S3S

S3C

S3S

S3C

S3S

S3C

S3S

4cosC4

C4C

C4S

C4C

C4S

C4C

C4S

C4C

sinS4

S4C

S4S

S4C

S4S

S4C

S4S

S4C

n

Untuk kasus dua cycle, maka n dan m berharga 0 dan 1, maka persamaan (10-20) dapat dimodifikasi menjadi sebagai berikut:

(10-26)

Dengan memperhatikan Tabel 10.3, maka persamaan (10-26) dapat dimodifikasi menjadi sebagai berikut:

(10-27)

Persamaan (10-27) mempunyai 9 koefisien Fourier, sehingga persamaan matrik (10-21) akan mempunyai dimensi sebesar 9, seperti ditunjukkan pada persamaan (10-29). Solusi persamaan (10-29) yang merupakan koefisien Fourier kemudian disubstitusi ke dalam persamaan (10-27) menjadi persamaan model data z 2-D untuk n da m berharga 0 dan 1. Pemodelan data 2-D dengan deret Fourier menuntut adanya proses pemrograman komputer, karena melibatkan perhitungan sumasi atu penjumlahan dan operasi matrik skala besar.

Jika data terdistribusi dalam interval yang teratur, maka koefisien Fourier dapat ditentukan dengan cara yang lebih mudah, yaitu berdasar formula berikut ini:

(10-28)

Koefisien-koefisien Fourier yang dihitung berdasar persamaan (10-2) kemudian disubtitusi ke dalam persamaan (10-20) menghasilkan persamaan model data 2-D berdasar deret Fourier.

Keterangan:

K = 1, jika n = 0 dan m = 0

K = 2, jika n = 0 atau m = 0, namun tidak keduanya berharga nol

K = 4, jika n > 0 dan m > 0

n : jumlah cycle berasosiasi dengan x

m: jumlah cycle berasosiasi dengan y

N: jumlah grid dalam arah x

M: jumlah grid dalam arah y

(10-29)

10.4. Pemodelan Data n-D dengan Polinomial

Pemodelan data n-D dengan polinomial dikembangkan berdasar pada pemodelan data 1-D seperti yang dinyatakan oleh persamaan (9-1) dan pemodelan data 2-D seperti dinyatakan oleh persamaan (10-1). Pemodelan data n-D linier dengan polinomial dapat dinyatakan sebagai berikut:

(10-30)

Koefisien-koefisien bi dihitung seperti sebelumnya melalui persamaan matrik. Sebagai ilustrasi, untuk pemodelan data 3-D linier dengan polinomial, maka persamaan matrik mempunyai skema dan elemen-elemen sebagai berikut:

(10-31)

Pemodelan data n-D nonlinier dengan polinomial, misalnya untuk pemodelan data 3-D orde 2 dapat dinyatakan sebagai berikut:

(10-32)

Persamaan matrik untuk perhitungan koefisien-koefisien yang tercantum dalam persamaan (10-32) mempunyai ekspresi sebagai berikut:

(10-33)

Pemodelan data n-D linier atau orde 1 merupakan dasar pemodelan data 2-D dengan moving average atau kriging yang kemudian sering disebut dengan kringing linier.

10.5. Pemodelan Data 2-D dengan Moving Average

Moving average adalah metode pemodelan data yang didasarkan pada nilai rata-rata sejumlah data di sekitar lokasi data yang dimodelkan. Prinsip nilai rata-rata ini kemudian diaplikasikan di lokasi-lokasi lain, sehingga dinamakan moving average.

10.5.1. Pemodelan Data Titik (Punctual)

Pemodelan data titik atau punctual data merupakan dasar formula umum moving average yang dinyatakan sebagai berikut:

(10-34)

wi adalah fungsi bobot yang berharga 1/n untuk prinsip nilai rata-rata dan zi adalah data di sekitar lokasi yang ditinjau (). Pada persamaan (10-34) bobot atau pengaruh data sekitar berharga sama. Pada perkembangan selanjutnya nilai bobot dapat ditentukan berbanding terbalik dengan kuadrat jarak lokasi yang ditinjau terhadap lokasi data di sekitarnya atau dikenal dengan invers squared distance. Pemodelan data titik dengan moving average berdasarkan kriteria invers squared distance dapat dinyatakan sebagai berikut:

(10-35)

10.5.2. Pemodelan Data Blok Rata-rata (Block Mean)

Pemodelan data blok rata-rata didasarkan pada pemodelan data titik dan umumnya digunakan dalam eksplorasi pertambangan, namun demikian metode ini dapat digunakan untuk kasus-kasus lainnya, padamana data-data terstruktur dalam blok-blok.

Prinsip atau permasalahan inti pemodelan data blok rata-rata dengan moving average adalah mendapatkan ekspresi hubungan antara model data blok rata-rata blok yang ditinjau dengan data blok rata-rata eksplorasi di sekitarnya atau dalam daerah tertentu. Prinsip ini kemudian diterapkan pada blok-blok lainya, sehingga disebut moving average. Untuk penjelasan, berikut ini adalah gambaran 9 blok penambangan.

Misalkan masing-masing blok mempunyai data eksplorasi, yang jumlah dan lokasinya tidak teratur. Lokasi data rata-rata eksplorasi untuk setiap blok () ditentukan di titik tengah masing-masing blok.

123

456

789

Gambar 10-1: Blok-blok Penambangan

Data blok rata-rata tidak terpengaruh atau bersifat independen terhadap dimensi blok, sebaliknya varians-nya sangat tergantung oleh dimensi blok. Data blok rata-rata dan varians blok ke i dinyatakan sebagai berikut:

(10-36)

(10-37)

Indeks i menyatakan blok yang ditinjau, sedang indeks j menyatakan indeks data dalam blok i. Semakin kecil dimensi blok, maka semakin tinggi nilai varians-nya. Varians mempunyai nilai yang stabil pada blok dengan dimensi minimal tertentu. Penaksiran data blok rata-rata dengan cara moving average didasarkan pada formula penaksiran titik seperti pada persamaan (10-34) yang dimodifikasi menjadi sebagai berikut:

(10-38)

,(i, masing-masing adalah nilai taksiran pada blok k, bobot untuk blok i dan data blok rata-rata eksplorasi untuk blok i. Bobot dapat ditentukan seperti pada kasus moving average titik, yaitu masing-masing sebesar 1/n atau dengan cara lain, misalnya dengan kriteria invers squared distance. Penaksiran untuk blok diusahakan sedemikian rupa, sehingga blok yang ditaksir berada di tengah-tengah blok-blok lainnya. Pada Gambar 10-1, blok yang ditaksir adalah blok 5. Langkah-langkah penaksiran blok rata-rata dengan metode moving average dilakukan sebagai berikut:

1. Tentukan konfigurasi blok desain moving average, misalkan blok 1 sampai blok 9 seperti pada Gambar 10-1.

2. Hitung data blok rata-rata eksplorasi () masing-masing blok.

3. Tentukan model data rata-rata blok yang ditinjau. Misalkan blok 5 ditentukan sebagai blok model dalam desain moving average, sehingga model data rata-rata blok 5 dapat dinyatakan sebagai berikut:

(10-39)

4. Langkah 3 selanjutnya diberlakukan pada blok-blok lainnya dengan konfigurasi blok seperti pada Gambar 10-1, sehingga akan diperoleh pemodelan data dengan moving average yang lengkap. Jika seandainya blok-blok lainnya yang lebih jauh dari konfigurasi blok desain moving average seperti pada Gambar 10-1 akan dilibatkan dalam penaksiran, maka bobot masing-masing blok dapat ditentukan berdasar kriteria invers squared distance. Jumlah bobot total harus sama dengan satu.

Harga koefisen dapat ditentukan sebagai berikut:

(10-40)

disebut grand mean atau rata-rata dari data rata-rata eksplorasi (). Subtitusi persamaan (10-40) ke dalam persamaan (10-39) akan didapat persamaan penaksir yang baru, yaitu:

(10-41)

Metode moving average mempunyai keterbatasan, yaitu akan menghasilkan penaksiran yang kurang teliti, jika digunakan pada blok-blok eksplorasi yang letaknya berjauhan dengan blok-blok desain moving average, demikian juga jika data bersifat sangat eratik atau sangat variatif dalam jarak pendek. Agar diperoleh penaksiran yang teliti sebaiknya desain moving average meliputi blok-blok di sekitarnya saja.

n

110-13

_1020502017.unknown

_1080915778.unknown

_1081427186.unknown

_1081583005.unknown

_1081845966.unknown

_1082964723.unknown

_1082964931.unknown

_1082965130.unknown

_1082976101.unknown

_1082964962.unknown

_1082964901.unknown

_1082961437.unknown

_1082963920.unknown

_1082964673.unknown

_1082964150.unknown

_1082961791.unknown

_1082958167.unknown

_1082961355.unknown

_1082960320.unknown

_1081846456.unknown

_1081840954.unknown

_1081845392.unknown

_1081765067.unknown

_1081765613.unknown

_1081597986.unknown

_1081763333.unknown

_1081429629.unknown

_1081511334.unknown

_1081513064.unknown

_1081517615.unknown

_1081512236.unknown

_1081510764.unknown

_1081427656.unknown

_1081427887.unknown

_1081427228.unknown

_1081423991.unknown

_1081425870.unknown

_1081426954.unknown

_1081427136.unknown

_1081426038.unknown

_1081426902.unknown

_1081425896.unknown

_1081424073.unknown

_1081425751.unknown

_1081424053.unknown

_1081423455.unknown

_1081423955.unknown

_1081423971.unknown

_1081423820.unknown

_1081423322.unknown

_1081423368.unknown

_1081422843.unknown

_1081423207.unknown

_1080915920.unknown

_1020502455.unknown

_1020502595.unknown

_1020502869.unknown

_1020503333.unknown

_1020503429.unknown

_1080911233.unknown

_1020503489.unknown

_1020503384.unknown

_1020503408.unknown

_1020503359.unknown

_1020503269.unknown

_1020503302.unknown

_1020502882.unknown

_1020502710.unknown

_1020502762.unknown

_1020502791.unknown

_1020502734.unknown

_1020502622.unknown

_1020502552.unknown

_1020502571.unknown

_1020502502.unknown

_1020502520.unknown

_1020502474.unknown

_1020502255.unknown

_1020502362.unknown

_1020502411.unknown

_1020502432.unknown

_1020502384.unknown

_1020502309.unknown

_1020502339.unknown

_1020502282.unknown

_1020502138.unknown

_1020502165.unknown

_1020502045.unknown

_1020497853.unknown

_1020498677.unknown

_1020501863.unknown

_1020501957.unknown

_1020501996.unknown

_1020501913.unknown

_1020501506.unknown

_1020501739.unknown

_1020501760.unknown

_1020501789.unknown

_1020501706.unknown

_1020498757.unknown

_1020498716.unknown

_1020497946.unknown

_1020497984.unknown

_1020498004.unknown

_1020497971.unknown

_1020497892.unknown

_1020497931.unknown

_1020497873.unknown

_1020497560.unknown

_1020497699.unknown

_1020497777.unknown

_1020497789.unknown

_1020497709.unknown

_1020497631.unknown

_1020497655.unknown

_1020497592.unknown

_1020497342.unknown

_1020497407.unknown

_1020497438.unknown

_1020497382.unknown

_1020497128.unknown

_1020497325.unknown

_1020497024.unknown

_1020497127.unknown