17 números inteiros

17NÚMEROS INTEIROS

x x2 x

5= 34

10x 5x 2x = 34017x = 340x = 20

01 x 3x = 524x = 52x = 13

02

2x 5 = 272x = 27 − 52x = 22x = 11

3x x3

= 60

9x x = 18010x = 180x = 18

03

04

x2 x

3= 25

3x 2x = 1505x = 150x = 30

2x x2= 3x − 4

4x x = 6x =−84x − x − 6x =−8−x =−8x = 8

05 06

x x3= 12

3x x = 364x = 36x = 9

07 2x − 8 = x4

13

8x − 32 = x 528x − x = 52 327x = 84x = 12

08 2x 5 = 3x − 192x − 3x =−19 − 5−x =−24x = 24

10 11 12

09

3x2

− 2x3

= x − 1

9x − 4x = 6x − 69x − 4x − 6x = −6−x =−6x = 6

x4

x46 = 35

x4 x

4. 1

6= 35

x4

x24 = 35

6x x = 8407x = 840x = 120

x x2 x

3 x

12= 46

12x 6x 4x x = 55223x = 552x = 24

7x 32

− 4 = 15

7x 3 − 8 = 307x = 30 − 3 87x = 35x = 5

13 x59

[ x59 ÷ 7]= 24

x5

. 19 [ x

5. 1

9 ÷ 7]= 24

x45

x45

÷ 7 = 24

x45

x315

= 24

7x x = 7.5608x = 7.560x = 945

14

2x x2

2x5

3x10

40 = 200

20x 5x 4x 3x 400 = 2.00032x = 1.600x = 50

Subtende-se na questão:“...aumentada de 1/2, AUMENTADA dos 2/5 DELA, AUMENTADA dos 3/10 dela...”

15

[2x − 2 . 2 − 2] . 2 = 684x − 4 − 2 . 2 = 688x − 8 − 4 = 688x = 68 12

178x = 80x = 10

{[2x − 80 . 2 − 80 ] . 2 − 80} = 0[4x − 160 − 80 . 2 − 80] = 08x − 320 − 160 − 80 = 08x = 320 160 808x = 560x = 70

18

a b = 70a c = 90b c = 120

2a 2b 2c = 280a b c = 140

90 b = 140b = 140 − 90b = 50

19

a b = 200a c = 208b c = 216

2a 2b 2c = 624a b c = 312

a 216 = 312a = 312 − 216a = 96

20

R D = 9D J = 13J R = 12

2R 2D 2J = 34R D J = 17

12 D = 17D = 17 − 12D = 5

21

a b = 50a c = 60b c = 70

2a 2b 2c = 180a b c = 90

50 c = 90c = 90 − 50c = 40

22

24

23

a c = 4 bb c = 6 aa b = 2 c

a b = 200 ca c = 600 bb c = 100 a

2a 2b 2c = 900 c b aa b c = 900

a 100 a = 9002a = 900 − 1002a = 800a = 400

2a 2b 2c = 12 a b ca b c = 12

4 b b = 122b = 12 − 42b = 8b = 4b = 4.000

25 a b c = 60a b = 7a c = 10b c = 11

2a 2b 2c = 28a b c = 14 caixas vazias

60 − 14 = 46

26 a b c = 8,5b c d = 12,5a b d = 10,5a c d = 12

3a 3b 3c 3d = 43,5a b c d = 14,5

a 12,5 = 14,5a = 14,5 − 12,5a = 2a = 2.000

27 a b c = 73b c d = 60a b d = 68a c d = 63

3a 3b 3c 3d = 264a b c d = 88

68 c = 88c = 88 − 68c = 20

28 x x 1 = 452x = 44x = 22

x x 1 x 2 = 1023x = 99x = 33x 2 = 35

29

30 x x 1 = 17[x 1 − x ]2x 1 = 172x = 16x = 8x 1 = 9

x x 2 = 1062x = 104x = 52

31

32 x x 2 x 4 = 3663x = 360x = 120

x x 2 = 11[x 2 − x ]2x 2 = 222x = 20x = 10x 2 = 12

33

34 x x 2 x 4 = 333x 6 = 333x = 27x = 9

35x x 2 = 65[x 2 − x]2x 2 = 1302x = 128x = 64x 2 = 66

36 x x 2 x 3 = 953x = 90x = 30x 3 = 33

37x x 6 = 762x = 70x = 35x 4 = 39

38 395x 5 x 1 5 x 2 = 1955x 5x 5 5x 10 = 19515x = 180x = 125 x 1 = 65

7x 7 x 1 7 x 2 = 2737x 7x 7 7x 14 = 27321x = 252x = 127x = 847 x 1 = 917 x 2 = 98

??? 2 20 − y 4y = 5840 − 2y 4y = 582y = 18y = 9 coelhos20 − 9 = 11 galinhas

40

x y = 20 ⇒ x = 20 − y2x 4y = 58

41

2 58 − y 4y = 178116 − 2y 4y = 1782y = 62y = 31 coelhos58 − 31 = 27 cisnes

x y = 58 ⇒ x = 58 − y2x 4y = 17842

2 39 − y 4y = 10478 − 2y 4y = 1042y = 26y = 13 cabritos39 − 13 = 26 marrecos

x y = 39 ⇒ x = 39 − y2x 4y = 10443

885 − y 3y = 320680 − 8y 3y = 320−5y = −3605y = 360y = 72 3 rodas85 − 72 = 13 8 rodas

x y = 85 ⇒ x = 85 − y8x 3y = 32044

4 39 − y 6y = 190156 − 4y 6y = 1902y = 34y = 17 6 rodas39 − 17 = 22 4 rodas

x y = 39 ⇒ x = 39 − y4x 6y = 19045

335 − y 4y = 125105 − 3y 4y = 125y = 20 quadrados39 − 20 = 19 triângulos

x y = 35 ⇒ x = 35 − y3x 4y = 12546

340 − y 5y = 156120 − 3y 5y = 1562y = 36y = 18 pentágonos40 − 18 = 22 triângulos

x y = 40 ⇒ x = 40 − y3x 5y = 15647

2 48 − y 4y = 13096 − 2y 4y = 1302y = 34y = 17 coelhos48 − 17 = 31 galinhas

x y = 48 ⇒ x = 48 − y2x 4y = 13048

2 135 − y 4y = 352270 − 2y 4y = 3522y = 82y = 41 porcos135 − 41 = 94 galinhas

x y = 135 ⇒ x = 135 − y2x 4y = 35249

3x 8x 518 − 3x = 7411x 90 − 15x = 74−4x =−164x = 16x = 4 triângulos2x = 8 quadrados

x 2x y = 18 ⇒ y = 18 − 3x3x 4 2x 5y = 7450

520 − y − 3y = 36100 − 5y − 3y = 36−8y = −648y = 64y = 8 erros20 − 8 = 12 acertos

x y = 20 ⇒ x = 20 − y5x − 3y = 3651

530 − y − 3y = 110150y − 5y − 3y = 110−8y = −408y = 40y = 5 erros30 − 5 = 25 acertos

x y = 30 ⇒ x = 30 − y5x − 3y = 11052

4 32 − y − 2y = 86128 − 4y − 2y = 86−6y = −426y = 42y = 7 erros32 − 7 = 25 acertos

x y = 32 ⇒ x = 32 − y4x − 2y = 8653


x y = 24 ⇒ x = 24 − y10x − 6y = 054


x y = 30 ⇒ x = 30 − y6x − 4y = 6056

1024 − y − 6y = −32240 − 10y − 6y =−32−16y = −27216y = 272y = 17 erros24 − 17 = 7 acertos

x y = 24 ⇒ x = 24 − y10x − 6y = −3255

x 4y 4

= 23

⇒ 3x 4 = 2y 4 ⇒ 3x 12 = 2y 8 ⇒ 3x − 2y =−4

x − 1y − 1

= 12

⇒ 2 x − 1 = 1y − 1 ⇒ 2x − 2 = y − 1 ⇒ 2x − y = 1

57

3x − 2y =−42x − y = 1 . −2

3x − 2y = −4 −4x 2y =−2

−x 0 = −6x = 6

3 . 6 − 2y = −418 − 2y =−4−2y =−22

3x − 2y = −4−4x 2y =−2

2y = 22y = 11x

y= 6

11

x − 3y − 3

= 14

⇒ 4 x − 3 = 1y − 3 ⇒ 4x − 12 = y − 3 ⇒ 4x − y = 9

x 5y 5

= 12

⇒ 2 x 5 = 1y 5 ⇒ 2x 10 = y 5 ⇒ 2x − y = −5

58

4x − y = 92x − y = −5 . −1

4x − y = 9 −2x y = 5

2x 0 = 14x = 7

4 . 7 − y = 928 − y = 9−y =−19y = 19

4x − y = 9−2x y = 5

xy= 7

19

x 8y

= 2 ⇒ x 8 = 2y ⇒ x − 2y = −8

xy − 5

= 3 ⇒ x = 3y − 5 ⇒ x = 3y − 15 ⇒ x − 3y = −15

59

x − 2y = −8x − 3y =−15 . −1

x − 2y =−8 −x 3y = 15

0 y = 7y = 7

x − 2 . 7 =−8x − 14 = −8x = 6

x − 2y = −8−x 3y = 15

xy= 6

7

xx 5 7

= 12

⇒ 2x = 1[x 5 7] ⇒ 2x = x 5 7 ⇒ x = 1260

xx 5

= 1217

x y = 34x 1

y= 4 ⇒ x 1 = 4y ⇒ x = 4y − 1

61

xy= 27

7

4y − 1 y = 345y = 35y = 7

x = 4 . 7 − 1x = 27

A 1B 1

= 12

⇒ 2 A 1 = 1B 1 ⇒ 2A 2 = B 1 ⇒ 2A − B =−1

A − 1B − 1

= 13

⇒ 3A − 1 = 1B − 1 ⇒ 3A − 3 = B − 1 ⇒ 3A − B = 2

62

2 . 3 − B = −16 − B = −1−B =−1 − 6B = 7

2A − B = −13A − B = 2 . −1

2A − B = −1 −3A B =−2

−A 0 = −3A = 3

2A − B = −1−3A B =−2

“Se dividirmos as idades de A POR B...”

5 x13 y

= 2 . 513

⇒ 5 x13 y

= 1013

⇒ 13 5 x = 1013 y ⇒

65 13x = 130 10y ⇒ 13x − 10y = 65

5 x 13 y = 46 ⇒ x y 18 = 46 ⇒ x y = 28

63

10 . 15 10y = 280150 10y = 28010y = 130y = 13

13x − 10y = 65x y = 28 . 10

13x − 10y = 65 10x 10y = 280

23x 0 = 345x = 15

13x − 10y = 6510x 10y = 280

x 1y

= 1830

⇒ x 1y

= 35

⇒ 5x 1 = 3y ⇒ 5x − 3y = −5

x 1y 1 = 5

10⇒ x 1

y 1 = 1

2⇒ 2 x 1 = 1y 1 ⇒ 2x − y =−1

64

5 . 2 − 3y =−510 − 3y =−5−3y = −153y = 15y = 5

5x − 3y =−52x − y =−1 . −3

5x − 3y = −5 −6x 3y = 3

−x 0 =−2x = 2

5x − 3y = −5−6x 3y = 3

xy= 2

5

x 1y

= 1830

⇒ x 1y

= 35

⇒ 5x 1 = 3y ⇒ 5x − 3y = −5

x 1y 1 = 5

10⇒ x 1

y 1 = 1

2⇒ 2 x 1 = 1y 1 ⇒ 2x − y =−1

64

5 . 2 − 3y =−510 − 3y =−5−3y = −153y = 15y = 5

5x − 3y =−52x − y =−1 . −3

5x − 3y = −5 −6x 3y = 3

−x 0 =−2x = 2

5x − 3y = −5−6x 3y = 3

xy= 2

5

x y = 610x y − 36 = 10y x ⇒ 9x − 9y = 36 ⇒ x − y = 4

65

5 y = 6y = 6 − 5y = 1

x y = 6 x − y = 4

2x 0 = 10x = 5

10 . 5 1 = 51

x y = 1510x y − 9 = 10y x ⇒ 9x − 9y = 9 ⇒ x − y = 1

66

8 y = 15y = 15 − 8y = 7

x y = 15 x − y = 1

2x 0 = 16x = 8

10 . 8 7 = 87

x y = 1010x y 54 = 10y x ⇒ 9x − 9y =−54 ⇒ x − y = −6

67

2 y = 10y = 10 − 2y = 8

x y = 10 x − y = −6

2x 0 = 4x = 2

10 . 2 8 = 28

x y = 710x y − 27 = 10y x ⇒ 9x − 9y = 27 ⇒ x − y = 3

68

5 y = 7y = 7 − 5y = 2

x y = 7 x − y = 3

2x 0 = 10x = 5

10 . 5 7 = 52

x y = 72 10y x 2 = 10x y ⇒ 20y 2x 2 = 10x y ⇒ −8x 19y =−2

69

x 2 = 7x = 7 − 2x = 5

8x 8y = 56 −8x 19y =−2

0 27y = 54y = 2

x y = 7 . 8−8x 19y =−2

8x 8y = 56−8x 19y =−2

10 . 2 5 = 25

x y = 15

2332

. 10y x = 10x y ⇒ 230y 23x32

= 10x y ⇒

230y 23x = 3210x y ⇒ 230y 23x = 320x 32y ⇒ −297x 198y = 0 ⇒−99x 66y = 0 ⇒ −33x 22y = 0 ⇒ −3x 2y = 0

70

x 9 = 15x = 15 − 9x = 6

3x 3y = 45 −3x 2y = 0

0 5y = 45y = 9

x y = 15 . 3−3x 2y = 0

3x 3y = 45−3x 2y = 0

10 . 9 6 = 96

y − x = 3 ⇒ −x y = 3

47

. 10y x = 10x y ⇒ 40y 4x7

= 10x y ⇒ 40y 4x = 7 10x y ⇒

40y 4x = 70x 7y ⇒ −66x 33y = 0 ⇒ −6x 3y = 0 ⇒ −2x y = 0

71

−3 y = 3y = 3 3y = 6

x − y = −3 −2x y = 0

−x 0 =−3x = 3

−x y = 3 . −1−2x y = 0

10 . 6 3 = 63

x − y =−3−2x y = 0

5x − 2y = 710x y 36 = 10y x ⇒ 9x − 9y =−36 ⇒ x − y = −4

72

5 . 5 − 2y = 725 − 2y = 7−2x =−18x = 9

5x − 2y = 7 −2x 2y = 8

3x 0 = 15x = 5

5x − 2y = 7x − y = −4 . −2

5x − 2y = 7−2x 2y = 8

10 . 5 9 = 59

10x y 10y x = 187 ⇒ 11x 11y = 187 ⇒ x y = 1710x y10y x = 1 9 ⇒ 10x y = 110y x 9 ⇒ 9x − 9y = 9 ⇒ x − y = 1

73

9 − y = 1−y = 1 − 9−y =−8y = 8

x y = 17 x − y = 1

2x 0 = 18x = 9

x y = 17x − y = 1 10 . 9 8 = 98

10x yy − x

= 12 ⇒ 10x y = 12y − x ⇒ 22x − 11y = 0

10y x 9x y

= 8 ⇒ 10y x 9 = 8 x y = −7x 2y =−9

74

x = 32x = 6

22x − 112x = 0 ⇒ 22x − 22x = 0 ⇒ 0 = 0−7x 22x = −9 ⇒ −7x 4x =−9 ⇒ −3x =−9 ⇒ x = 3

10 . 3 6 = 36

x y 5 = 12 ⇒ x y = 7

100x 10y 5 − 54 = 5 . 100 10x y ⇒ 100x 10y − 49 = 549 10x y ⇒90x 9y = 451 ⇒ 10x y = 61

75

6 y = 7y = 7 − 6y = 1

−x − y = −7 10x y = 61

9x 0 = 54x = 6

x y = 7 . −110x y = 61

100 . 6 10 . 1 5 = 615

−x − y =−710x y = 61

x 9 y = 21 ⇒ x y = 12

100x 1 9 . 10 y 1 = 100y 9 . 10 x − 497 ⇒100x 100 90 y 1 = 100y 90 x − 497 ⇒ 99x − 99y =−369 ⇒x − y = −4

76

4 y = 12y = 12 − 4y = 8

x y = 12 x − y = −4

2x 0 = 8x = 4

x y = 12x − y = −4 100 . 4 10 . 9 8 = 498

x y 2x = 18 ⇒ 3x y = 18

100x 10y 2x 297 = 2x . 100 10y x ⇒ −99x = −297 ⇒ x = 3

77

3 . 3 y = 189 y = 18y = 18 − 9y = 9

100 . 3 10 . 9 2 . 3 = 396

x y z w = 13z w = y ⇒ x y y =13 ⇒ x 2y = 13

x w = y2

⇒ 2 x w = y ⇒ 2x 2w = y

1.000w 100z 10y x − 1.000x 100y 10z w = 8191.000w 100z 10y x − 1.000x − 100y − 10z − w = 819−999x − 90y 90z 999w = 819−111x − 10y 10z 111w = 91−111x 111w 10−y z = 91

−111x 111w − 10w = 91−111x 101w = 91

78

formular uma equação que tenha as variáveis x e w:

x 2y = 13 ⇒ 2y = 13 − x ⇒ y = 13 − x2

2x 2w = y

2x 2w = 13 − x2

2 2x 2w = 13 − x4x 4w x =5x 4w = 13

5x 4 . 2 = 135x = 13 − 8x = 1

−555x 505w = 455 555x 444w = 1.443

0 949w = 1.898w = 2

−111x 101w = 91 . 55x 4w = 13 . 111

1 6 z 2 = 13z = 13 − 9z = 4

−555x 505w = 455555x 444w = 1.443

2 . 1 2 . 2 = yy = 2 4y = 6

1000 . 1 100 . 6 10 . 4 2 = 1.642

79 x y z w = 14

z = w2

y = z x ⇒ x = y − z

1.000x 100y 10z w 4.905 = 1.000w 100z 10y x1.000x 100y 10z w − 1.000w − 100z − 10y − x = −4.905999x 90y − 90z − 999w = −4.905111x 10y − 10z − 111w =−545111x − w 10 y − z = −545

111x − 111w 10x = −545121x − 111w =−545

formular uma equação que tenha as variáveis x e w:

x y z w = 14

x w2

x w2

w = 14

2x w 2x w 2w = 284x 4w = 28x w = 7

y = z x ⇒ y = w2

x

z = w2

z = 62

z = 3

121x − 111w = −545 −121x − 121w = −847

0 − 232w =−1.392w = 6

121x − 111w = −545x w = 7 . −121

y = 3 1y = 4

121x − 111w = −545−121x −121w =−847

x 6 = 7x = 1

1000 . 1 100 . 4 10 . 3 6 = 1.436

80 1938 − 1900 10x y = 10x y1938−1900 − 10x − y − 10x − y = 0−20x − 2y =−3820x 2y = 3810x y = 19

x = 1y = 9

1838 − 1800 10x y = 10x y1938−1800 − 10x − y − 10x − y = 0−20x − 2y =−13820x 2y = 13810x y = 69

x = 6y = 9

Supõe-se que a avó tenha nascido em 18...

81 o segundo número é o triplo do primeiro:3 1 . 105 104 a 103 b 102c 10d e = 105a 104 b 103c 102 d 10e 1 ⇒3.105 3.104a 3.103 b 3.102 c 3.10d 3e = 105a 104 b 103 c 102d 10e 1 ⇒3.105 − 1 = 105 a − 3.104a 104 b − 3. 103 b 103c − 3.102 c 102d − 3.10d 10e − 3e ⇒3.105 − 1 = 7. 104a 7.103 b 7.102 c 70d 7e ⇒3.105 − 1 = 7 104 a 103 b 102c 10d e ⇒

3.105 − 17

= 104 a 103 b 102c 10d e ⇒

3. 105 − 17

105 ⇒ 299.9997

105 ⇒ 42857 100.000 ⇒ 142.857

1abcde = abcde1

105 a − 3 .104 a = 100.000 − 30.000 = 70.000 = 7.104 a104 b − 3.103 b = 10.000 − 3.000 = 7.000 = 7.103 b103 c − 3 .102 c = 1.000 − 300 = 700 = 7.102 c102 d − 3.10d = 100 − 30 = 70 = 7 .10d10 e − 3e = 10 − 3 = 7 = 7e

veja que para abcde1 falta

logo, para 1abcde falta também 105

105

5x 30 = 7x 45x − 7x = 4 − 30−2x =−26x = 13

83 15x 30 = 20x 2015x − 20x = 20 − 30−5x = −10x = 2

8x 4 = 10x − 28x − 10x =−2 − 4−2x =−6x = 3 caixas8 . 3 4 = 28 laranjas

84 85

82a1 = 10x ya2 = 10y xa3 = 100x y

Como em uma P.A.: a2 − a1 = a3 − a1

10y x − 10x y = 100x y − 10y x ⇒9y − 9x = 99x − 9y ⇒108x − 18y = 0 ⇒6x − y = 0x < 2. Se x fosse maior que ou igual a dois, seria preciso que y fosse um número de dois algarismos para satisfazer a equação.Então x = 1

6 . 1 − y = 0−y =−6y = 6

a1 = 10 6 = 16a2 = 60 1 = 61a3 = 100 6 = 106

9x 14 = 10x − 49x − 10x = −4 − 14−x =−18x = 18 caixas9 . 18 4 = 166 laranjas

86 87 8x 4 = 10x − 48x − 10x =−4 − 4−2x =−82x = 8x = 4 cestos8 . 4 4 = 36 abacates

12x 10 = 15x − 812x − 15x =−8 − 10−3x = −183x = 18x = 6 caixas12 . 6 10 = 82 pêssegos

88 89 2x 14 = 4 x − 52x 14 = 4x − 202x − 4x =−20 − 14−2x =−342x = 34x = 17 alunos2 . 17 14 = 48 lápis

42 − 2 = 40 bancos40 . 3 2 = 122 passageiros

90 91 2x 2 = 3x − 2 . 32x − 3x =−6 − 2−x =−8x = 8 bancos2 . 8 2 = 18 passageiros

92 93 2x 13 = 3x − 3 . 32x − 3x =−9 − 13−x =−22x = 22 caixas2 . 22 13 = 57 pacotes

35 2x = 3x − 5 . 32x − 3x = −15 − 35−7x = −50x = 50 bancos35 2 . 50 = 135 passageiros

94 95 1x 18 = 3x − 6x − 3x =−6 − 18−2x =−242x = 24x = 12 gaiolas 12 18 = 30 pássaros

4x − 2 . 4 = 2x 24x − 2x = 2 82x = 10x = 5 galhos4 . 5 − 2 . 4 = 12 pássaros

96 97 5x = 7x − 4 . 65x − 7x = −24−2x =−242x = 24x = 12 crianças 5 . 12 = 60 bombons

8x 4 = 9x − 28x − 9x =−2 − 4−x =−6x = 6 bancos8 . 6 4 = 52 alunos

98 99

x2 1 [ x − x

2 1

2 2]= x

x 22

[ x − x 22

2 2] = x

x 22

2x − x − 22

. 12 2 = x

x 22

2x − x − 24 2 = x

2x 4 2x − x − 2 8 = 4x2x 2x − x − 4x =−4 2 − 8−x = = −10x = 10

5x = 2x 31 15x − 2x = 62 13x = 63x = 21 crianças21 . 5 = 105 bolas

x − x 102

2 3 ⇒

x − x − 102

2 3 ⇒

2x − x − 1022

3 ⇒

2x − x − 102

. 12 3 ⇒ 2x − x − 10

4 3 ⇒ 2x − x − 10 12

4⇒ x 2

4

x 102

1º freguês:

2º freguês:

100

x − x 102 − x 2

4 2

1 ⇒x − x − 10

2− x − 2

42

1 ⇒

4x − 2x − 20 − x − 242

1 ⇒ x − 224

. 12 1 ⇒ x − 22

8 1 ⇒ x − 22 8

8⇒

x − 148

3º freguês:

x 102

x 24

x − 148

= x ⇒ 4x 40 2x 4 x − 14 = 8x ⇒

4x 2x x − 8x =−40 − 4 14 ⇒ −x =−30 ⇒ x = 30

100x = 150 x − 10100x − 150x =−1500−50x = −150050x = 1500x = 30

100x 4.200 = 120x − 15100x 4.200 = 120x − 1.800100x − 120x =−1.800 − 4.200−20x = −6.00020x = 6.000x = 300

101 102

150x − 1.380 = 60x 690150x − 60x = 690 1.38090x = 2.070x = 23

130x 800 = 190x − 160130x − 190x = 160 − 800−60 =−96060 = 960x = 16 entradas 130 . 16 800 = 2.880 dinheiro

103 104

x − y = 2x9

x y = 3.840 ⇒ x = 3.840 − y

3.840 − y − y =2 3.840 − y

93.840 . 9 − 9y − 9y = 2 3.840 − y 3.840 . 9 − 18y = 2 . 3.840 − 2y−16y = 2 . 3.840 − 3.840 . 916y = 3.840 . 7

y =3.840 . 7

16⇒ y = 240 . 7 ⇒ y = 1.680 o que devo

x = 3.840 − 1.680 ⇒ x = 2.160 o que me devem

105

351 − x12

= x

351 − x = 12x13x = 351x = 27

106

x − y = 6.289xy

= 23 41 ⇒ x = 23y 41

23y 41 − y = 6.28922y = 6.248y = 284x = 23 . 284 41x = 6.573

107 x y = 59xy

= 8 y −1 ⇒ x = 8y y − 1 ⇒

x = 9y − 1

9y − 1 y = 5910y = 60y = 6x = 9 . 6 − 1x = 53

108

x − y = 84 ⇒ x = 84 yx 1 . y 1 = xy 379xy x y 1 − xy = 379x y = 378

84 y y = 3782y = 294y = 147x = 84 147 ⇒ x = 231

109 x . y 10 = x 1 . y 1xy 10 = xy x y 1xy − xy − x − y =−10 1−x − y =−9x y = 9

110

x − y = 84 ⇒ x = 84 yx 1 . y 1 = xy 379xy x y 1 − xy = 379x y = 378

84 y y = 3782y = 294y = 147x = 84 147 ⇒ x = 231

109 x . y 10 = x 1 . y 1xy 10 = xy x y 1xy − xy − x − y =−10 1−x − y =−9x y = 9

110

x − y = 4 ⇒ x = 4 y5x 3y = 84

5 4 y 3y = 8420 5y 3y = 848y = 64y = 8x = 4 8 ⇒ x = 12

111 x 5 = 5x5x = 5 x5x − x = 54x = 5

x = 54

112

113 2y y 2y y = 66y = 6y = 12y = 22y y = 3

213

x y = 325 ⇒ x = 325 − y

x y2= 180

325 − y y2

= 180

650 − 2y y = 360−y =−290y = 290 peso da água x = 325 − 290x = 35 copo vazio

114 x y = 14 ⇒ x = 14 − yx4 y = 5

14 − y4

y = 5

14 − y 4y = 203y = 6y = 2 vaso x = 12 água

115

12x = 9x 9 . 20012x − 9x = 1.8003x = 1.800x = 600

12 .600 = 7.200

116 100x 100y = 3.000

150x = 3.000 ⇒ x = 3.000150

⇒ x = 20

100 . 20 100y = 3.000100y = 3.000 − 2.000100y = 1.000y = 10

117

x y = 50 ⇒ x = 50 − yx − 5 = y 5

50 − y − 5 = y 5−y − y = 5 − 50 5−2y =−402y = 40y = 20x = 50 − 20 ⇒ x = 30

118 2 x − 1 = y 1x 1 = y − 1 ⇒ x = y − 2

2 y − 2 − 1 = y 12y − 4 − 2 = y 12y − y = 1 4 2y = 7

119

x y = 32 ⇒ x = 32 − yx6 y

5= 6 ⇒ 5x 6y = 180

5 32 − y 6y = 180160 − 5y 6y = 180y = 20x = 32 − 20 ⇒ x = 12

120 4 29 − x = 31 x−4x − x = 31 − 116−5x = 855x = 85x = 17 1.700

121

350x 31.500 = 4 350x 6.300350x 31.500 = 1.400x 25.200350x − 1.400x = 25.200 − 31.500−1.050x = −6.3001.050x = 6.300x = 6

122 x − y = 5.000 ⇒ x = 5.000 y5 . 200 x = 2 5 . 200 y

1.000 5.000 y = 2.000 2yy − 2y = 2.000 − 6.000y = 4.000x = 5.000 4.000x = 9.000

123

8.100x 40

= 5.700x

8.100x = 5.700 x 408.100x − 5.700x = 228.0002.400x = 228.000x = 95 operários 5.700

95= 60 salário

124 5x 7y = 222 ⇒ x = 222 − 7y5

3x 5y = 150

3 222 − 7y5 5y = 150

666 − 21y5

5y = 150

666 − 21y 25y = 7504y = 84y = 21

x = 222 − 7 . 215

⇒ x = 222 − 1475

x = 755

⇒ x = 15

125

1.400 4x12

= 3x 504

4 1.400 4x = 12 3x 505.600 16x = 36x 600−20x = −5.00020x = 5.000x = 250

126 127

2.400 x12

= x − 4004

4 2.400 x = 12 x − 4009.600 4x = 12x − 4.800−8x = −14.4008x = 14.400x = 1.800

128 700 5.000x15

= 6.000x 3.00045

700 5.000x1

= 6.000x 3.0003

3 700 5.000x = 1 6.000x 3.0002.100 15.000x = 6.000x 3.0009.000x = 900x = 0,1 tijolo700 5.000 . 0,1

15= 80 dia de serviço

129

1.200 x10

= x − 4006

6 1.200 x = 10 x − 4007.200 6x = 10x − 4.000−4x =−11.2004x = 11.200x = 2.800

135 − x = 2 85 − x135 − x = 170 − 2x−x 2x = 170 − 135x = 35

130 131 x y = 23 ⇒ x = 23 − yx − 5 = y 2 ⇒ x = y 723 − y = y 7−y − y = 7 − 23−2y =−16y = 8 caixa x = 23 − 8 ⇒ x = 15 cesto

x y = 1.800 ⇒ x = 1.800 − yx − 500 = 4 y − 300

1.800 − y − 500 = 4y − 1.200−y − 4y = −1.200 − 1.800−5y = 2.500

132

5y = 2.500y = 500 mais novox = 1.800 − 500x = 1.300 mais velho

4 x − 4 = y 4 ⇒ y = 4x − 204 y − 2 = x 2 ⇒ x = 4y − 10

x = 4 4x − 20 − 10x = 16x − 80 − 10−15x = −90x = 6 esquerda y = 4 . 6 − 20 ⇒ y = 4 direita

133 134 80x = 50 x 380x = 50x 15080x − 50x = 15030x = 150x = 5 prateleiras80 . 5 = 400 livros

x = y 15

x x2= y 28 ⇒ 3x = 2y 56

3 y 15 = 2y 563y 45 = 2y 563y − 2y = 56 − 45y = 11 Joãox = 11 15 ⇒ x = 26 Pedro

135 136 x 24 = 80 y80 − y = x

80 − y 24 = 80 y−y − y = 80 − 80 − 24−2y =−24y = 12 o quanto passou de 80x = 80 − 12x = 68 número primitivo

137 x − y 5 = 3 y 5 ⇒ x − y − 5 = 3y 15 ⇒ x = 4y 20x − y − 8 = 4 y − 8 ⇒ x − y 8 = 4y − 32 ⇒ x = 5y − 40

5y − 40 = 4y 205y − 4y = 20 40y = 60 bolas retiradas x = 4 . 60 20 ⇒ x = 260 bolas da caixa

138 x − 5 = y 5 ⇒ x = y 105 y − 5 = x 5 ⇒ 5y − 25 = x 5 ⇒ 5y = x 30

5y = y 10 304y = 40y = 1x = 10 10 ⇒ x = 20

139 x 1.000 = 2yy 1.000 = 3x ⇒ y = 3x − 1.000

x 1.000 = 2 3x − 1.000x 1.000 = 6x − 2.000−5x = −3.000x = 600 primeiroy = 3 . 600 − 1.000 ⇒ y = 800 segundo

140 3x 2y = 2x 3y 2 ⇒ 3x − 2x = 3y − 2y 2 ⇒ x = y 24x 2y = x 3y 2 10 ⇒ 4x − x = 3y − 2y 12 ⇒ 3x = y 12

3 y 2 = y 123y 6 = y 123y − y = 12 − 62y = 6y = 3 $0,10

x = 3 2x = 5 $ 0,50

141 25 x 150 = 30 x − 7025x 3.750 = 30x − 2.100−5x = −5.850x = 1.170 total de postes25 . 1.170 150 = 33.000 estrada

5x 4y = 44 ⇒ x = 44 − 4y5

4x 5y = 46

4 44 − 4y5 5y = 46

176 − 16y5

5y = 46

176 − 16y 25y = 2309y = 54y = 6

x = 44 − 4 . 65

x = 44 . 245

x =205

x = 4

x y = 10

142

x x x2 x

4 1 = 100

4x 4x 2x x 4 = 40011x = 396x = 36

143 note que “outros tantos” significa “o mesmo número” x x x

3 x

5 4 = 80

15x 15x 5x 3x 60 = 1.20038x = 1.140x = 30

144

x x2 2x 3x = 65

2x x 4x 6x = 13013x = 130x = 10

145 3x 2x x = 606x = 60x = 10 mais novo2x = 20 segundo3x = 30 mais velho

146

x 30 x 20 x = 803x = 30x = 10

10 30 10 20 = 70

147 3x x 4 3x x = 4004x 12x 4x = 40020x = 400x = 20

3 . 20 20 = 80

146

2x x 3 2x x = 1203x 6x 3x = 12012x = 120x = 10

149 2x x 2x x = 6.2406x = 6.240x = 1.040 Augusto2x = 2.080 José

150

primeira parte 9

terceira parte x = 9 y2

segunda parte y = 9 x

151 y = 9 9 y2

2y = 18 18 yy = 36 segunda parte

x = 9 362

x = 9 18x = 27 terceira parte

9 36 27 = 72

4x 7 x 4x 7 x − 3 = 1614x 7 x 5x 4 = 16110x = 150x = 154 . 15 7 = 67

152

153 x y z w = 60

x = y z w2

⇒ 2x = y z w

y = x z w3

⇒ 3y = x z w

z =x y w

4 ⇒ 4z = x y w

x 2x = 603x = 60x = 20

y 3y = 604y = 60y = 15

z 4z = 605z = 60z = 12

20 15 12 w = 60w = 60 − 47w = 13

x 2 . 50 = x . 15050x 100 = 150x−100x = 100x = 1 m /s1 . 150 = 150 prédio

154 x y = 450 ⇒ x = 450 − y

x − x6= y y

4⇒ 12x − 2x = 12y 3y ⇒

10x = 15y ⇒ 2x = 3y ⇒ x = 3y2

3y2

= 450 − y ⇒ 3y = 900 − 2y

5y = 900 ⇒ y = 180 Joséx = 450 − 180 ⇒ x = 270 Pedro180

4= 45

155

x y z = 550

y = x 30 ⇒ x 30 = y ⇒ x = y − 30y = z − 40 ⇒ z − 40 = y ⇒ z = y 40

156

y − 30 y y 40 = 5503y = 540y = 180

x = 180 − 30x = 150

z = 180 40z = 220

x y z w = 770157

y = 50 x ⇒ 50 x = y ⇒ x = y − 50y = z − 70 ⇒ z − 70 = y ⇒ z = y 70z = w − 80 ⇒ y 70 = w − 80 ⇒ y = w − 150 ⇒ w − 150 = y ⇒ w = y 150

y − 50 y y 70 y 150 = 7704y 170 = 7704y = 600y = 150

x y z w = 157158

y = 5 x ⇒ 5 x = y ⇒ x = y − 5y = z − 7 ⇒ z − 7 = y ⇒ z = y 7z = w − 8 ⇒ y 7 = w − 8 ⇒ y = w − 15 ⇒ w − 15 = y ⇒ w = y 15

y − 5 y y 7 y 15 = 1574y 17 = 1574y = 140y = 35 z = 35 7 ⇒ z = 42 $ 42.000

2 5x 5x = 45015x = 450x = 30

1 5x = 150

159 A B C D = 219

A = B − 27 ⇒ A = C − 34 − 27 ⇒ A = C − 61B = C − 34D = C 47

C − 61 C − 34 C C 47 = 2194C = 267 ⇒ C = 66,75B = 66,75 − 34 ⇒ B = 32,75 $ 32.750

160

x = 360 − x3

3x = 360 − x4x = 360x = 90

161 x2 360 − x

3= x

3x 720 − 2x = 6x−5x = −720x = 144

162 x 30 − x2

= 2x

2x 30 − x = 4x−3x = −30x = 10

163

x =2 7 − x

55x = 147x = 14x = 2

164 x = 24 − x3

3x = 24 − x4x = 24x = 6

165 x = 24 − x2

2x = 24 − x3x = 24x = 8

166

x = 24 − x4

4x = 24 − x5x = 24x = 4h resta 4

165 4 . 60 = 2405x = 240x = 48min

4h e 48min

2x5

=2 24 − x

36x = 240 − 10x16x = 240x = 15

168

x = 12 − x2

2x = 12 − x3x = 12x = 4h da tarde 16h

169 12 − x3

= x

12 − x = 3x4x = 12x = 3h da tarde 15h

170

x =3 12 − x

55x = 36 − 3x8x = 36x = 4h resta 4

171 12 − x3

= x

12 − x = 3x4x = 12x = 3h da tarde 15h

4 . 60 = 2408x = 240x = 30min

4h e 30min da tarde 16h e 30min

x = 6 12 − x 5x = 72 − 6x 57x = 77x = 11 da noite 23h

172 300150

= 2h173 divide-se a extensão da estrada

pela soma das velocidades:

18060

= 3h174 480120

= 4h175 600150

= 4h176 35070

= 5h177

21070

= 3h178 50 . 3 = 150 o quanto o trem já percorreu 80 − 50 = 30 a diferença da velocidade do trem e do carro

179

35070

= 5h

50 . 2 = 10070 − 50 = 20

10020

= 5h

180 20 . 3 = 6025 − 20 = 2

605

= 12h

181 50 . 2 = 10060 − 50 = 10

10010

= 10h

7 10 = 17h60km / em 10h = 600km

182

1806

= 30h

5 . 30 = 150km

183 540180

= 3h

70 . 3 = 210km

184 30 . 2 = 60200 − 60 = 140

14060 10

= 2h

30 . 2 2 = 120km

185

24080

= 3h

30 . 3 = 90km

186 187 70 . 2 = 140740 − 140 = 600

60070 80

= 4h

8 4 = 12h70 . 2 4 = 420km de A80 . 4 = 320km de B

60 − 12 = 48eles se encontrarão no km 48

A ⇒ x − 4 . y = 48 ⇒ xy − 4y = 48 ⇒ xy − 4y = 48B ⇒ 60 − xy − 60 = 48 ⇒ 60 − xy 60 = 48 ⇒ −xy =−72

xy − 4y = 48 −xy =−72

0 − 4y = −244y = 24y = 6h

A ⇒ x − 4 . 6 = 486x − 24 = 486x = 72x = 12 velocidade de Bx − 4 = 8 velocidade de A

188

300150

= 2h se encontrarão

80 . 2 = 160km de B

16040

= 4h

2 4 = 6h8h 6h = 14h

189

z = 20x

yx 1

temos as seguintes grandezas:

x = velocidadey = distânciaz = tempo total

z−23= 20 y

x 1z1

3= 20 y

x

23= 40min 1

3= 20min

substituindo o ''z'' nas outras equações:

20x

yx 1

− 23= 20 y

x 1⇒ 20

x− 2

3= 20 y

x 1− y

x 1⇒ 20

x− 2

3= 20

x 1

20x

yx 1

13= 20 y

x⇒ y

x 1 1

3= 20 y

x− 20

x⇒ y

x 1 1

3= y

x

190

20x

− 23= 20

x 1⇒ −2

3= 20

x 1− 20

x⇒ 2

3= 20

x− 20

x 1

yx 1

13= y

x⇒ 1

3= y

x− y

x 1

Reorganizando:

20x

− 23= 20

x 1⇒ −2

3= 20

x 1− 20

x⇒ 2

3= 20

x− 20

x 1

yx 1

13= y

x⇒ 1

3= y

x− y

x 1

23= 20 . 1

x− 1

x 1 13= y . 1

x− 1

x 1

Simplificando (tire o fator comum):

2 . 13= 2

3

Note que a primeira é o dobro da segunda:

2 . y = 20y = 10

y = distância

Logo, a distância percorrida foi 20 + 10 = 30km

49 x = 3 15 x 49 x = 45 3xx − 3x = 45 − 49−2x =−4x = 2

191 32 x = 3 4 x32 x = 12 3xx − 3x = 12 − 32−2x =−20x = 10

192 3 11 x = 35 x33 3x = 35 x3x − x = 35 − 332x = 2x = 1

193

2 x − 6 = 12 x2x − 12 = 12 x2x − x = 12 12x = 24

194 31 − x = 4 13 − x 31 − x = 52 − 4x−x 4x = 52 − 313x = 21x = 7

195 196 35 − x = 5 15 − x35 − x = 75 − 5x−x 5x = 75 − 354x = 40x = 10

197 55 x = 9 x 11 x 13 xx − 3x = 33 − 55−2x =−22x = 11

19842 − x = 4 15 − x42 − x = 60 − 4x−x 4x = 60 − 423x = 18x = 6

199 48 − x = 30 − x 20 − x 6 − x−x 3x = 56 − 482x = 8x = 4

53 − x = 15 − x 24 − x 22 − x−x 3x = 61 − 532x = 8x = 4

200

201 53 − x = 33 − x 32 − x 31 − x 29 − x−x 4x = 125 − 533x = 72x = 24

202 x y = 21 ⇒ x = 21 − y3y = x 3

3y = 21 − y 34y = 24y = 6x = 21 − 6 ⇒ x = 15

203 x y = 96 ⇒ x = 96 − yx − 22 = y 22

96 − y − 22 = y 22−y − y = 22 22 − 96−2y =−52 ⇒ y = 26x = 96 − 26 ⇒ x = 70

204 x y = 120 ⇒ x = 120 − yx − 10 = y 10

120 − y − 10 = y 10−y − y = 10 10 − 120−2y =−100 ⇒ y = 50

205 x − y = 24 ⇒ x = 24 yx 5 = 3 y 5

24 y 5 = 3y 15y − 3y = 15 − 29−2y =−14 ⇒ y = 7x = 24 7 ⇒ x = 31

206 x y = 78 ⇒ x = 78 − yx − 9 = 3 y − 9

78 − y − 9 = 3y − 27−y − 3y =−27 9 − 78−4y =−96 ⇒ y = 24x = 78 − 24 ⇒ x = 54

207 x − 7 = 7 y − 7 ⇒ x − 7 = 7y − 49 ⇒x = 7y − 42x 3 = 3 y 3 ⇒ x 3 = 3y 9 ⇒x = 3y 6

7y − 42 = 3y 67y − 3y = 6 424y = 48 ⇒ y = 12

208 x − 7 = 3 y − 7 ⇒ x − 7 = 3y − 21 ⇒ x = 3y − 14x 7 = 2 y 7 ⇒ x 7 = 2y 14 ⇒ x = 2y 7

3y − 14 = 2y 73y − 2y = 7 14y = 21

x = 2yx − 10 = 3 y − 10 ⇒ x − 10 = 3y − 30 ⇒ x = 3y − 20

2y = 3y − 202y − 3y =−20 ⇒ y = 20x = 2 . 20 ⇒ x = 40

209

x − 18 = 2 y − 18 ⇒ x − 18 = 2y − 36 ⇒ x = 2y − 18

x 9 =54 y 9 ⇒ x 9 =

5y 454 ⇒ 4x 36 = 5y 45 ⇒ 4x = 5y 9

4 2y − 18 = 5y 98y − 72 = 5y 93y = 81 ⇒ y = 27x = 2 . 27 − 18 ⇒ x = 54 − 18 ⇒ x = 36

210

211 x = 5yx 5 = 3 y 5 ⇒ x 5 = 3y 15 ⇒ x = 3y 10

5y = 3y 102y − 10y = 5

212 x − 10 = 35x 10 ⇒ x − 10 = 3x 30

5⇒

5x − 50 = 3x 30 ⇒ 2x = 80 ⇒ x = 40

213 x 20 = 2 x − 20 ⇒x 20 = 2x − 40 ⇒x − 2x = −40 − 20 ⇒x = 60

215

214 x = y 303y = x 50

3y = y 30 502y = 80y = 40x = 40 30 ⇒ x = 70

23= x

y⇒ 2y = 3x

x − 10y − 10

= 14

⇒ 4x − 40 = y − 10 ⇒ y = 4x − 30

2 4x − 30 = 3x8x − 60 = 3x5x = 60 ⇒ x = 122y = 3 . 12 ⇒ 2y = 36 ⇒ y = 18

216 x x 5 x 10 x 15 2x = x x 5 x 10 x 15 x 20x − x x 5 − x 5 x 10 − x 10 x 15 − x − 15 2x = x 202x = x 20x = 20

20 20 5 20 10 20 15 2 . 20 = 150

217 x = y 30x = 3 y − 2 ⇒ x = 3y − 6

y 30 = 3y − 6−2y =−36y = 18

note que se o filho nascesse dois anos depois ele seria atualmente mais novo.

218 x 2 x − 4 = 302x = 32x = 16

x − 4 = 12

Passado Presente Futuro Eu y 2x A Tu x y 2x



xy20 = 3x

5 ⇒ xy4 = 3x ⇒ xy = 12x ⇒ y = 12x

x ⇒ y = 12

4xy5

= y 2 ⇒ 4xy = 5y2 ⇒ 4x = 5y2

y⇒ 4x = 5y

4x = 5 . 12 ⇒ 4x = 60 ⇒ x = 15

2x − y = y − x3x = 2y

x = 2y3

Relacionando o presente com o passado

Relacionando o futuro com o presente

A − 2x = 2x − y5 = 2x − y−y = 5 − 2xy = 2x − 5

x =2 2x − 5

33x = 4x − 10−x =−10x = 10

y = 2 . 10 − 5y = 20 − 5y = 15

219

220

4x − y = y − x5x = 2y

x = 2y5



A − 4x = 4x − y9 = 4x − y−y = 9 − 4xy = 4x − 9

x =2 4x − 9

55x = 8x − 18−3x =−18x = 6

y = 4 . 6 − 9y = 24 − 9y = 15

221

Eu: 2 . 10 = 20Tu: 15

Eu: 4 . 6 = 24Tu: 15

3x − y = y − x4x = 2y

x = 2y4

⇒ x = y2



A − 4x = 3x − y20 = 3x − y−y = 20 − 3xy = 3x − 20

x =3x − 20

22x = 3x − 20−x =−20x = 20

y = 3 . 20 − 20y = 60 − 20y = 40

222

Eu: 3 . 20 = 60Tu: 40



Passado Presente Futuro Eu

Tu x y

Pulos Equivalência Pulos Convertidos Cão 4 3 8 Raposa 5 6 5

3x − y = y − x4x = 2y

x = 2y4

⇒ x = y2



A − 4x = 3x − y10 = 3x − y−y = 10 − 3xy = 3x − 10

x = 3x − 102

2x = 3x − 10−x =−10x = 10

y = 3 . 10 − 10y = 30 − 10y = 20

223

Eu: 3 . 10 = 30Tu: 20


Substituindo o x:

224

2x − y = y − x3x = 2y

x = 2y3


2y3

4y3

4y3

A −4y3 =

4y3 − y

3A − 4y = 4y − 3y3A = 5y

A =5y3

5y3

A soma das idades:A 2x = 54 ⇒

5y3

4y3 = 54

5y 4y = 1629y = 162y = 18

x = 2 . 183

x = 2 . 6x = 12

Eu: 2 . 12 = 24Tu: 18

225

Convertendo os pulos de cão em de raposa:

cão raposa3 64 x

3x = 6 . 4

x = 243

x = 8 8 − 5 = 3

Quando o cão dá 8 pulos (de raposa) a raposa dá 5, então o cão tira 3 pulo da raposa

Regra de três:

A cada 4 pulos (de cão) o cão tira 3 pulos da raposa. Então para se tirar 60 pulos será necessário dar x pulos:

Pulos Equivalência Pulos Convertidos Cão 4 6 6 Lebre 5 9 5

Regra de três:

A cada 4 pulos (de cão) o cão tira 1 pulos da lebre. Então para se tirar 50 pulos será necessário dar x pulos:

Saltos Equivalência Saltos Convertidos Cão 6 3 14 Raposa 9 7 9

Regra de três:

A cada 6 saltos (de cão) o cão tira 5 saltos da raposa. Então para se tirar 60 saltos será necessário dar x saltos:

cão raposa4 3x 60

3x = 60 . 4

x = 60 . 43

x = 20 . 4x = 80

226

Convertendo os pulos de cão em de lebre:

cão lebre6 94 x

6x = 9 . 4

x = 366

x = 66 − 5 = 1

cão lebre4 1x 50

x = 50 . 4x = 200

227

Convertendo os saltos de cão em de raposa:

cão raposa3 76 x

3x = 6 . 7

x = 423

x = 14 14 − 9 = 5

Quando o cão dá 14 saltos (de raposa) a raposa dá 9, então o cão tira 5 saltos da raposa


Pulos Equivalência Pulos Convertidos Cão 3 6 5 Raposa 4 10 4

Regra de três:

A cada 3 pulos (de cão) o cão tira 1 pulos da raposa. Então para se tirar 63 pulos será necessário dar x pulos:

Pulos Equivalência Pulos Convertidos Cão 11 5 17,6 Lebre 14 8 14

Regra de três:

A cada 11 pulos (de cão) o cão tira 3,6 pulos da lebre. Então para se tirar 63 pulos será necessário dar x pulos:

cão raposa6 5x 60

5x = 60 . 6

x = 60 . 65

x = 12 . 6x = 72

228

Convertendo os pulos de cão em de raposa:

cão raposa6 103 x

6x = 3 . 10

x = 306

x = 5 5 − 4 = 1

cão raposa3 1x 63

3x = 63 . 3x = 189

229

Convertendo os pulos de cão em de lebre:

cão lebre5 8

11 x

5x = 11 . 8

x = 885

x = 17,6

Quando o cão dá 17,6 pulos (de lebre) a lebre dá 14, então o cão tira 3,6 pulos da lebre

17,6 − 14 = 3,6

cão lebre11 3,6x 63

3,6x = 63 . 11

x = 63 . 113,6

x = 17,5 . 11x = 192,5


121

2

3

4

56

7

8

9

10

11

4 . 30º = 120º

121

2

3

4

567

8

9

10

11

3 . 30º = 90º

121

2

3

4

567

8

9

10

11

6 . 30º = 180º

121

2

3

4

56

7

8

9

10

11

4 . 30º = 120º

230 231 232 233

Quando o ponteiro grande percorre 360º, o pequeno percorre 30º

Regra de três:

O ponteiro grande andou 120º, quanto percorrerá o ponteiro pequeno?

grande pequeno360 30120 x

360x = 30 . 120

x = 30 . 120360

x =303

x = 10

120º − 10º = 110º

apenas o ponteiro grande:4 . 30º = 120º

121

2

3

4

56

7

8

9

10

11

x

121

2

3

4

56

7

8

9

10

11234

apenas o ponteiro pequeno:0º


Regra de três:



360x = 30 . 180

x = 30 . 180360

x = 302

x = 15

180º − 30º 15º = 135º


121

2

3

4

56

7

8

9

10

11

x

121

2

3

4

56

7

8

9

10

11235

apenas o ponteiro pequeno:1 . 30º = 30º


Regra de três:



360x = 30 . 120

x = 30 . 120360

x =303

x = 10

120º − 60º 10º = 50º


121

2

3

4

56

7

8

9

10

11

x

121

2

3

4

56

7

8

9

10

11236



Regra de três:



360x = 30 . 120

x = 30 . 120360

x = 303

x = 10

120º 10º = 130º


121

2

3

4

56

7

8

9

10

11

x

121

2

3

4

56

7

8

9

10

11237


A primeira superposição ocorre depois de 1h, nela vemos que:12

1

2

3

4

56

7

8

9

10

11

O ponteiro grande percorreu 1h + 5min + xseg

O ponteiro pequeno percorreu apenas 5min + xseg

238

Formulando uma equação:grande pequeno

60 5 x = 5 x65 x = 5 x65 x = 12 5 x

65 x = 60 12x11x = 5

x =5

11

A velocidade do ponteiro grande é 12 vezes a do pequeno

Então, para a primeira superposição temos:1h 5min 5/11seg

A superposição dos ponteiros::

Entre 12 e 1 hora - não háEntre 1 e 2 horas - 1h 5min 5/11segEntre 2 e 3 horas - 2 (1h 5min 5/11seg) = 2h 10min 10/11seg...

Voltando ao problema:

Entre 4 e 5 horas: 4 (1h 5min 5/11seg) = 4h 20min 20/11seg = 4h 21min 9/11seg

239Entre 2 e 3 horas: 2 (1h 5min 5/11seg) = 2h 10min 10/11seg

240Entre 6 e 7 horas: 6 (1h 5min 5/11seg) = 6h 30min 30/11seg = 6h 32min 8/11seg

241Entre 7 e 8 horas: 7 (1h 5min 5/11seg) = 7h 35min 35/11seg = 7h 38min 2/11seg

242 Entre 19 e 20 horas: 7 (1h 5min 5/11seg) = 7h 35min 35/11seg = 7h 38min 2/11seg = 19h 38min 2/11seg

243 xy = 120 ⇒ x = 120y

x − 2 . y 2 = 120 ⇒ xy 2x − 2y − 4 = 120 ⇒ xy 2x − 2y = 124

120y

. y 2 . 120y

− 2y = 124

120 240y

− 2y = 124

120y 240 − 2y2 = 124y−2y2 − 4y 240 = 02y2 4y − 240 = 0y 2 2y − 120 = 0

x = meninosy = cota

y =−2 ± 22 − 4 . 1 . −120

2 . 1

y =−2 ± 4 480

2

y = −2 ± 4842

y =−2 ± 22

2

y ' = −2 − 222

y ' = −242

y ' =−12

y ' ' = −2 222

y '' = 202

y ' ' = 10

x = 12010

x = 12

x y z w = 450

x 20 = y − 20 = 2z = w2

x x 40 x 202 2x 40 = 450

4x 80 x 202

= 450

8x 160 x 20 = 9009x 180 = 9009x = 720x = 80

244y − 20 = x 20 ⇒ y = x 40

2z = x 20 ⇒ z = x 202

w2

= x 20 ⇒ w = 2x 40

y = 80 40 ⇒ y = 120

z = 80 202

⇒ z = 50

w = 2 . 80 40 ⇒ w = 200

2452x = y − 155 x − 45 = y − 15 ⇒ y = 5x − 210

2x = 5x − 210 − 15−3x = −225x = 75

2 . 75 = y − 15y − 15 = 150y = 165

2463 100 − 6x 4y = 100 − 4y 6x300 − 18x 12y 4y − 6x = 100−24x 16y = −20024x − 16y = 200x y = 20

x = 20 − y

24 20 − y − 16y = 200480 − 24y − 16y = 200−40y =−280y = 7

x = partidas perdidas pelo paiy = partidas perdidas pelo filho

x = 20 − 7x = 13

O pai ganhou 7 partidasO filho ganhou 13

247x2= y 1 ⇒ x = 2y 1 ⇒ 2y = x − 1 ⇒ y = x − 1

2x3= z 1 ⇒ x = 3z 1 ⇒ 3z = x − 1 ⇒ z = x − 1

3x4 = w 3 ⇒ x = 4w 3 ⇒ 4w = x − 3 ⇒ w =

x − 34

y z w = x

x − 12

x − 13

x − 34

= x

6x − 6 4x − 4 3x − 9 = 12x6x 4x 3x − 12x = 6 4 9x = 19

x y z w = 60

x = y z w2

⇒ 2x = y z w

y = x z w3

⇒ 3y = x z w

z = x y w4

⇒ 4z = x y w

248x 2x = 60 ⇒ 3x = 60 ⇒ x = 20

3y y = 60 ⇒ 4y = 60 ⇒ y = 15

4z z = 60 ⇒ 5z = 60 ⇒ z = 12

20 15 12 w = 60w = 60 − 47w = 13 $13,00

“todo o enxame” se refere a toda colmeia. A questão quer saber quantas abelas têm em toda a colmeia

x = colmeia

x2

= enxamegrupo de abelhas que pousou sobre o jasmim

8x9

= abelhas que ficaram na colmeia

2 = abelha da lótus abelha no cálice

x = x2 8x

9 2 ⇒ x

2= x − 8x

9− 2 ⇒ x

2= x

9− 2 ⇒ x

2= x

9− 2

2

⇒

x2= x2

81− 4 ⇒ 81x = x2 − 648 ⇒ x2 − 81x − 648 = 0

x =−−81 ± −812 − 4 . 1 . 648

2 . 1

x =81 ± 6.561 − 2.592

2

x = 81 ± 3.9692

x =81 ± 63

2

x ' = 81 − 632

x ' = 182

x ' = 9

x ' ' = 81 632

x ' ' = 1442

x ' ' = 72

249

250Supõe-se que haja 300 unidades de ração, pois 15 . 20 = 300300 – 30 = 270, pois 2 . 15 = 30270 – 72 = 198, pois 4 . 18 = 72

(18 – x) . 18 = 198324 – 18x = 198-18x = -126x = 7

251 Supõe-se que haja 40.000 unidades de víveres, pois 500 . 80 = 40.00040.000 – 14.000 = 26.000, pois 28 . 500 = 14.000650x = 26.000x = 40

252 Supõe-se que haja 22.500 unidades de víveres, pois 250 . 90 = 22.50022.500 – 3.750 = 18.750, pois 15 . 250 = 3.75018.750 – 4.400 = 14.350, pois 20 . 220 = 4.400287x = 14.350x = 50

17 números inteiros

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