StatistikaTeknikRentangKeyakinan

18-Aug-17

http://istia

rto.staff.ugm

.ac.id

1

MagisterPengelolaanAirdanAirLimbahUniversitasGadjahMada

RentangKeyakinan• EstimasiParameter• Distribusiprobabilitasmemilikisejumlahparameter.• Parameter-parametertsbumumnyatakdiketahui.• Nilaiparametertersebutdiperkirakan(di-estimasi-kan)berdasarkannilaiyangdiperolehdaripengolahandata.

• Estimasi• Estimasitunggal(pointestimates)• Rentangkeyakinan(confidenceintervals)

18-Aug-17

http://istia

rto.staff.ugm

.ac.id

2

RentangKeyakinan• Estimasitunggal• Contoh

• Nilairata-ratasampelsbgestimasinilairata-ratapopulasi.

• Nilaisimpanganbakusampelsbgestimasinilaisimpanganbakupopulasi.

18-Aug-17

http://istia

rto.staff.ugm

.ac.id

3

X →µ

sX →σX

RentangKeyakinan

18-Aug-17

http://istia

rto.staff.ugm

.ac.id

4

• Estimasiparameterq

θ̂

estimasi! → θ

parameter!

Dicarisuatuinterval[L,U]yangmemilikiprobabilitas(1– α)bahwaintervaltsbmengandungθ.

prob(L <θ<U)=(1– α)

L =batasbawahrentangkeyakinan.U =batasatasrentangkeyakinan.(1– α)=tingkatkeyakinan(confidencelevel,confidencecoefficient).L danU =variabelrandom

à Pers(1)

RentangKeyakinan• Contoh• DatadebitSungaiAselamatahun1981s.d.2000menunjukkanbahwadebitrata-rataadalah77m3/s.• Kitadapatmemperkirakandebitrata-rataSungaiAadalah77m3/s.

• Kitamenyadaribahwaperkiraantsbdapatsalah;bahkandarisisipengertianprobabilitas,kitatahubahwadebitrata-ratasamadengan77m3/sadalahhampirtidakmungkinterjadi:

18-Aug-17

http://istia

rto.staff.ugm

.ac.id

5

prob Q = 77 m3 s( ) = 0

BatasBawahdanBatasAtas• MetodeOstle:methodofpivotalquantities• DicarivariabelrandomV yangmerupakanfungsiparameterθ (θ =unknown),tetapidistribusiV initidakbergantungpadaparameteryangtidakdiketahui.

• Ditentukanv1 danv2 sedemikianhingga:

18-Aug-17

http://istia

rto.staff.ugm

.ac.id

6

prob v1

BatasBawahdanBatasAtas• MetodeOstle:methodofpivotalquantities

• Persamaandiatasdiubahkedalambentukprob(L <θ <U)=1− α

• L danU adalahvariabelrandomdanfungsiV,tetapibukanfungsiθ.

18-Aug-17

http://istia

rto.staff.ugm

.ac.id

7

prob v1

ConfidenceInterval:μsuatudistribusinormal• Mencariinterval[L,U]yangmengandungµ,prob(L<µ<U)=1– α

• MisalkanvariabelrandomV:

• V berdistribusit dengan(n – 1)degreesoffreedom• n adalahjumlahsampelyangdipakaiuntukmenghitungnilairata-ratasampel,

18-Aug-17

http://istia

rto.staff.ugm

.ac.id

8

V =

X −µsX

X

18-Aug-17

http://istia

rto.staff.ugm

.ac.id

9

V =

X −µsX

à berdistribusit?

• Bukti

Distribusit: X =Y

ν

U, ν = degree of freedom

V =X −µ

sX=

X −µ

sX

2 n=

X −µ( ) σs

X

2 σ n=

X −µ( )σ n

⋅1

sX2 σ2

=X −µ( )σ n

⋅n−1

Xi −X( )2∑ σ2

=Y ⋅ν

U

→Y =

X −µ

ν n, U =

Xi −X( )2∑

σ2, ν = n−1

http://istia

rto.staff.ugm

.ac.id

10

• Pers(2):

prob v1

http://istia

rto.staff.ugm

.ac.id

11

prob v1 <X −µsX

< v2⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =1−α

prob tαa ,n−1 <X −µsX

< t1−αb ,n−1⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =1−α

prob X + tαa ,n−1 ⋅ sX < µ < X + t1−αb ,n−1 ⋅ sX( ) =1−α

ℓ u

ℓ = X + tαa ,n−1 ⋅ sXu = X + t1−αb ,n−1 ⋅ sX

Jadi,confidencelimits:

sX = sX n

tαa ,n−1→ tabel distribusi t

18-Aug-17

18-Aug-17

http://istia

rto.staff.ugm

.ac.id

12

• Jikadikehendakiprobabilitasconfidenceintervalsimetris,makav1danv2 dipilihsedemikianhinggaprob(t <v1)=prob(t >v2).

• Karenasimetri,makaαa =αb =α/2• Yangdicariadalah(1– α)=100(1– α)%confidenceintervalàmaka:prob(t <v1)=α/2=prob(t >v2)

luas=(1– α)/2 luas=(1– α)/2

luas=α/2 luas=α/2

tα 2 = −t1−α 2

t1−α 2

http://istia

rto.staff.ugm

.ac.id

13

luas=1– α/2luas=1– α/2

luas=α/2 luas=α/2

2at 21 a-t

2at 21 a-t

luas=1– α luas=α/2luas=α/2

21 a-- t

Distribusit

18-Aug-17

18-Aug-17

http://istia

rto.staff.ugm

.ac.id

14

ℓ = X − t1−α 2,n−1 ⋅ sXu = X + t1−α 2,n−1 ⋅ sX

• Dengandemikian,confidencelimitsjikaprobabilitasconfidenceintervalsimetriadalah:

http://istia

rto.staff.ugm

.ac.id

15

luas=1– αluas=1– αluas=αluas=α

n Kadangdikehendakiprobabilitasconfidenceintervalsatusisiq batasbawah à prob(t <v1)=αq batasatas à prob(t >v2)=α

prob V > v1( ) =1−α ⇒ probX −µ

sX> v1

$

%&

'

() =1−α

prob V < v2( ) =1−α ⇒ probX −µ

sX< v2

$

%&

'

() =1−α

at a-1t

18-Aug-17

Distribusit• Notasi• tγ,n=nilait sedemikianhinggaprobabilitasvariabelrandomtdengann degreesoffreedom adalahlebihkecildaripadaγ.

• misalkan:t0.95,50 =nilait sedemikianhinggaprob(t <t0.95,50)=0.95untuktyangmemiliki50degreesoffreedom.

http://istia

rto.staff.ugm

.ac.id

16

18-Aug-17

Distribusit• Dapatdibacaditabeldistribusit• TabelDistribusit

• Dapatdihitungdenganperintah/fungsiMSExcel• T.DIST(t,ν,true)

• menghitungnilaiprob(T <t)• untukmenghitungnilaiprob(T >t)à 1– T.DIST(t,ν,true)• t =nilaiyangdiinginkanuntukdicaridistribusinya• ν =degreeoffreedom• one-taileddistribution

• T.INV(p,ν)• mencarinilait jikanilaip =prob(T <t)diketahui• one-taileddistribution

18-Aug-17

http://istia

rto.staff.ugm

.ac.id

17

Distribusit

http://istia

rto.staff.ugm

.ac.id

18

untuk50degreesoffreedom

t =1.6

t =1.6t =–1.6

t

0.95

t–t

0.95

18-Aug-17

prob(T < 1.6) = T.DIST(1.6,50,TRUE) = 0.942

prob(T <1.6)=1– T.DIST.RT(1.6,50)=0.942

prob(–1.6<T <1.6)=1– T.DIST.2T(1.6,50)=0.884

prob(T <t)=0.95

t =T.INV(0.95,50)=1.68

prob(-t <T <t)=0.95

t =T.INV.2T(1-0.95,50)=2

RentangKeyakinan:µsuatudistribusinormal• Apabilavarianpopulasidiketahui,makavariabelrandomV didefinisikansbb.:

18-Aug-17

http://istia

rto.staff.ugm

.ac.id

19

V =

X −µσX

, σX = σX n

à V berdistribusinormal

RentangKeyakinan:µsuatudistribusinormal,σdiketahui

18-Aug-17

http://istia

rto.staff.ugm

.ac.id

20

• Rentangkeyakinan

bz

1−α αb αa

zα 2 = −z1−α 2

z1−α 2

1−α α 2 α 2

• Jikaprobabilitasrentangkeyakinandiinginkansimetris

za

ℓ = X + za ⋅σX

n

u = X + zb ⋅σX

n

ℓ = X − z1−α 2 ⋅σX

n

u = X + z1−α 2 ⋅σX

n

RentangKeyakinan:σ2 suatudistribusinormal• Mencariinterval[L,U]yangmengandungσ2 denganpeluangprob(L <σ2 <U)=1– α.• DidefinisikanvariabelrandomV:

• à V berdistribusichi-kuadratdengan(n – 1)degreesoffreedom.

18-Aug-17

http://istia

rto.staff.ugm

.ac.id

21

V =

n−1( ) sX2σX

2

18-Aug-17

http://istia

rto.staff.ugm

.ac.id

22

prob v1

18-Aug-17

http://istia

rto.staff.ugm

.ac.id

23

§ JadibatasbawahdanbatasatasrentangyangmengandungσX2 dengantingkatkeyakinan(1– α)adalah:

ℓ =n−1( ) sX2χ1−α 2,n−1

2

u =n−1( ) sX2χα 2,n−1

2

• batasbawah:

• batasatas:

Catatan: X berdistribusinormal

χ2 berdistribusichi-kuadrat

http://istia

rto.staff.ugm

.ac.id

24

§ Distribusichi-kuadrattidaksimetris:

sX2 − ℓ ≠ u − sX

2

n »→(n – 1)»→distribusimendekatidistribusisimetris,

sX2 beradakira-kiraditengah-tengahrentang[L,U].

χα 2

2

χ1−α 2

2

1−α α 2

α 2

18-Aug-17

RentangKeyakinanSatuSisi• Hanyadiinginkansatusisirentangkeyakinansaja• hanyabatasbawahrentangkeyakinanµ

• hanyabatasatassajarentangkeyakinanµ

18-Aug-17

http://istia

rto.staff.ugm

.ac.id

25

prob L < θ( ) =1−α ⇒ ℓ = X − t1−α ,n−1

prob θ

18-Aug-17

http://istia

rto.staff.ugm

.ac.id

26