Моделирование спектров отражения ипоглощения слоев с параболическим

профилем концентрации

Дурнев М.В.

16.04.2012

Структура образца

1 0 0 1 2 0 1 4 0 1 6 0 1 8 0 2 0 0 2 2 01 . 4 41 . 4 51 . 4 61 . 4 71 . 4 81 . 4 91 . 5 01 . 5 11 . 5 2

Energ

y, eV

Z - c o o r d i n a t e , n m

x = δx(2z/d)2

Eg = 1.515− 1.575x+ 0.477x2

Моделирование спектров отражения и поглощения слоев с параболическим профилем концентрации Дурнев М.В. 2 / 13

Теоретическая модель

• Cистема двух дифференциальных уравнений, связывающихэлектрическое поле и поляризацию в среде

[ω0(z)− ω − i

Γ

2− ~

2M

∂2

∂z2

]P =

ε0ωLT

4πE[

∂2

∂z2+ ε0

ω2

c2

]E = −4π

ω2

c2P

• Граничные условия на поле: EA|z0 = EB |z0 ,∂EA

∂z|z0 =

∂EB

∂z|z0

• Дополнительные граничные условия на поляризацию (ДГУ

Пекара):(P ± γ ∂P

∂z

)|z=±d/2 = 0

Моделирование спектров отражения и поглощения слоев с параболическим профилем концентрации Дурнев М.В. 3 / 13

Возможные методы решения

1 Интерференция поляритонных волн

E,P ∝ eikz =⇒ k = ±k1(ω), ±k2(ω)

E(z) = E+1 eik1z +E−1 e−ik1z +E+

2 eik2z +E−2 e−ik2z

2 Взаимодействие света с размерно-квантованнымисостояниями экситона

В.А. Киселев, И.В. Макаренко, Б.С. Разбирин, И.Н. Уральцев, Физика твердого тела 19, 8 (1977)

М.М. Воронов, Е.Л. Ивченко, В.А. Кособукин, А.Н. Поддубный, Физика твердого тела 49, 9 (2007)

Моделирование спектров отражения и поглощения слоев с параболическим профилем концентрации Дурнев М.В. 4 / 13

Возможные методы решения

1 Интерференция поляритонных волн

E,P ∝ eikz =⇒ k = ±k1(ω), ±k2(ω)

E(z) = E+1 eik1z +E−1 e−ik1z +E+

2 eik2z +E−2 e−ik2z

2 Взаимодействие света с размерно-квантованнымисостояниями экситона

В.А. Киселев, И.В. Макаренко, Б.С. Разбирин, И.Н. Уральцев, Физика твердого тела 19, 8 (1977)

М.М. Воронов, Е.Л. Ивченко, В.А. Кособукин, А.Н. Поддубный, Физика твердого тела 49, 9 (2007)

Моделирование спектров отражения и поглощения слоев с параболическим профилем концентрации Дурнев М.В. 4 / 13

Квантование экситона в отсутствие электрического поля

[ω0(z)− ωn − i

Γ

2− ~

2M

∂2

∂z2

]Pn = 0

Pn(±d/2) = 0

ω0(z) = ω0 + ∆ω(2z/d)2

P ′′n +2M

~

(ωn − Ω

z2

l2Ω

)Pn = 0

ωn = ωn − ω0 + iΓ/2

Ω = 4

√∆ω

~2

2Md2lΩ =

√2~MΩ

Моделирование спектров отражения и поглощения слоев с параболическим профилем концентрации Дурнев М.В. 5 / 13

Уровни размерного квантования экситона

0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0 3 5 4 01 . 4 01 . 4 21 . 4 41 . 4 61 . 4 81 . 5 01 . 5 21 . 5 41 . 5 61 . 5 81 . 6 0

c a l c u l a t i o n a p p r o x i m a t i o n s G a A s

Energ

y, eV

L e v e l n u m b e r

δω = 79 meVd = 45 nmΩ = 6.8 meVδω/Ω ≈ 12 >> 1

Уровни одномерногоосциллятора

ωn = Ω(n+ 1/2)

0 5 0 1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0

N = 1 N = 3

Z - c o o r d i n a t e , n m0 5 0 1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0

N = 1 2

Z - c o o r d i n a t e , n m

Моделирование спектров отражения и поглощения слоев с параболическим профилем концентрации Дурнев М.В. 6 / 13

Уровни размерного квантования экситона

0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0 3 5 4 01 . 4 01 . 4 21 . 4 41 . 4 61 . 4 81 . 5 01 . 5 21 . 5 41 . 5 61 . 5 81 . 6 0

c a l c u l a t i o n a p p r o x i m a t i o n s G a A s

En

ergy,

eV

L e v e l n u m b e r

Уровни в однороднойяме

ωn =~2π2n2

2Md2

0 5 0 1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0

N = 1 3 N = 3 0

Z - c o o r d i n a t e , n mМоделирование спектров отражения и поглощения слоев с параболическим профилем концентрации Дурнев М.В. 7 / 13

Экситонный вклад в поляризацию

Волновые функции нижних уровней

Pn(x) =

(2

l2Ωπ

)1/41√

2nn!exp

(−z

2

l2Ω

)Hn

(√2z

lΩ

)

Функция Грина

G(z, z′, ω) =∑n

Pn(z)P ∗n(z′)

ωn − ω

Экситонный вклад в поляризацию

[ω0(z)− ω − i

Γ

2− ~

2M

∂2

∂z2

]P =

ε0ωLT

4πE

P (z) =ε0ωLT

4π

∫ d/2

−d/2

G(z, z′, ω)E(z′)dz′ =ε0ωLT

4π

∑n

Pn(z)

ωn − ωΛn

Λn =

∫P ∗n(z′)E(z′)dz′

Моделирование спектров отражения и поглощения слоев с параболическим профилем концентрации Дурнев М.В. 8 / 13

Суммарное электрическое поле в слое

[∂2

∂z2+ ε0

ω2

c2

]E = −4π

ω2

c2P

G(z, z′, ω) = − i

2k0exp(ik0|z − z′|) , k0 =

√εω

c

E(z) = E0(z) + κ∑n

∑m

M−1nmΛ(0)

m

∫Pn(z′) exp(ik0|z − z′|)dz′

Λ(0)m =

∫P ∗m(z)E0(z)dz

Ωnm =

∫ ∫dzdz′P ∗m(z)Pn(z′) exp(ik0|z − z′|), κ = i

ωLT k0

2

Mmn = (ωn − ω)δmn − κΩmn

Моделирование спектров отражения и поглощения слоев с параболическим профилем концентрации Дурнев М.В. 9 / 13

Коэффициент отражения в отсутствие контраста

Пренебрегая смешиванием уровней:

Mmn = (ωn + δωn)− ω + i(Γ0,n + Γ/2)δmn

Радиационный сдвиг и уширение уровня

δωn = −|κ|=Ωnn, Γ0,n = |κ|<Ωnn

Коэффициенты отражения и пропускания:

r =∑n

iΓ0,n

ωn − ω − i(Γ0,n + Γ/2)

t = 1 +∑n

i(−1)nΓ0,n

ωn − ω − i(Γ0,n + Γ/2)Моделирование спектров отражения и поглощения слоев с параболическим профилем концентрации Дурнев М.В. 10 / 13

При наличие контраста в симметричном случае:

r+ =1 + in0 tanφ+ κ

−→Λ M−1Λc(1 + n0)(1 + i tanφ)

1− in0 tanφ+ κ−→Λ M−1Λc(1− n0)(1 + i tanφ)

r− =1− in0 cotφ− κ

−→Λ M−1Λs(1 + n0)(i + cotφ)

1 + in0 cotφ− κ−→Λ M−1Λs(1− n0)(i + cotφ)

r =1

2(r+ + r−)

t =1

2(r+ − r−)

Моделирование спектров отражения и поглощения слоев с параболическим профилем концентрации Дурнев М.В. 11 / 13

Моделирование эксперимента

rtot = r1 +re2ik0d1t21n0

1 + e2ik0d1rr1

ttot =t1te

ik0d1t21n0

1 + e2ik0d1rr1

r1 =1− n1 + n

; t1 =2

n+ 1

В более сложных структурах можно использовать технику матрицрассеяния

Моделирование спектров отражения и поглощения слоев с параболическим профилем концентрации Дурнев М.В. 12 / 13

1 4 5 0 1 4 6 0 1 4 7 0 1 4 8 0 1 4 9 0 1 5 0 0 1 5 1 0 1 5 2 0

0 . 0

0 . 5

1 . 0

1 . 5

e x p e r i m e n t s i m u l a t i o n

Int

ensit

y, arb

.u.

E n e r g y , m e V

Ω = 4.3 meVω0 = 1.46 eVωLT = 1 meVΓ = 1 meVlΩ = 8.3 nm

k0lΩ << 1, поэтому нечетные пики пропадаютΩ ≈ EB , электрон и дырка квантуются независимо

Моделирование спектров отражения и поглощения слоев с параболическим профилем концентрации Дурнев М.В. 13 / 13

1.44 1.45 1.46 1.47 1.48 1.49 1.50

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5x 10

−3

Energy, eV

Ref

lect

ivity

Моделирование спектров отражения и поглощения слоев с параболическим профилем концентрации Дурнев М.В. 14 / 13