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Elementos de Hidrologia Aplicada a Estudos de Graduao 7. Previso de Enchentes
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7. PREVISO DE ENCHENTES
7.1. GENERALIDADES
O termo previso de enchentes, neste curso, aplica-se ao clculo de uma enchente de
projeto por extrapolao dos dados histricos para as condies mais crticas. Como exemplo,
considera-se certa seo fluviomtrica de um rio para a qual se dispe de 30 anos de dados de
vazo. Assim, a maior vazo observada tem a probabilidade aproximada de ocorrer, ou ser
superada, uma vez a cada 30 anos. Se o problema for o clculo da vazo mxima provvel de
acontecer uma vez a cada 100 anos, estar-se- tratando, basicamente, da extrapolao de dados
histricos para a previso da enchente de 100 anos.
interessante fazer a distino dos conceitos de cheia (ou enchente) e inundao. A
enchente caracteriza-se pela ocorrncia da vazo relativamente grande do escoamento
superficial, enquanto a inundao distingue-se pelo extravasamento do canal. Uma enchente
pode ou no causar inundao. Obras de controle podem ser realizadas no rio para evitar a
ocorrncia da inundao. Por outro lado, a existncia de alguma obstruo no escoamento natural
do rio pode levar inundao, mesmo no havendo grande aumento do escoamento superficial.
Em suma, a enchente refere-se a uma ocorrncia natural, cclica, que normalmente no afeta
diretamente os habitantes da regio; j as inundaes so decorrentes de alteraes no uso do
solo e podem provocar danos de grandes propores.
7.2. CLCULO DA VAZO DE ENCHENTE
O clculo da enchente, utilizado no projeto de obras hidrulicas (bueiros, canais,
vertedores etc.), um procedimento necessrio no dimensionamento de obras de controle e
proteo contra inundaes. A finalidade do clculo da vazo de enchente pode ser:
a) para definir a vazo mxima de projeto;
b) para estabelecer, se possvel, o hidrograma da cheia, isto , para determinar a distribuio das
vazes ao longo do tempo, desde o instante em que se tem o aumento da vazo determinado pelo
escoamento superficial produzido por determinada chuva, at o fim da contribuio do
escoamento superficial.
No clculo da vazo de enchente podem ser utilizados mtodos baseados em dados de
chuva, que fazem a transformao da chuva em vazo, como o mtodo do hidrograma unitrio1 e
o mtodo racional, vistos no captulo anterior. Pode-se, ainda, quando se dispe da srie histrica
de vazo, recorrer a modelos ou leis de probabilidade j consagrados, que permitem prever a
enchente com base na descrio das frequncias de ocorrncia dos eventos extremos de vazo. A
seleo da tcnica mais apropriada para a determinao da enchente de projeto depende do tipo,
quantidade e qualidade dos dados hidrolgicos disponveis.
1 O mtodo do hidrograma unitrio (mtodo do HU) empregado no clculo da vazo de enchente requer poucos
dados e facilmente adaptvel s chuvas de diferentes duraes e intensidades. Contudo, ele no permite a
associao do perodo de retorno aos resultados obtidos. Mesmo quando o perodo de retorno da chuva conhecido,
a transformao efetuada pelo modelo geralmente afeta a distribuio de frequncia do evento.
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Os mtodos de transformao de chuva em vazo j foram estudados no captulo anterior,
que trata do escoamento superficial. Por isso, no presente captulo tratar-se- apenas do uso de
leis de probabilidade na previso da vazo de enchente.
7.3. PERODO DE RETORNO PARA O CLCULO DA ENCHENTE
Conforme j visto, o perodo de retorno ou intervalo de recorrncia de uma enchente o
tempo mdio, em anos, em que a enchente igualada ou superada pelo menos uma vez. Como
forma de determinao do perodo de retorno para o clculo da vazo de enchente pode ser
utilizado um critrio baseado na fixao do risco, ou um critrio econmico ou, ainda, um
critrio baseado na experincia do projetista, este ltimo sendo o mais comumente adotado no
Brasil.
i) Critrio de Fixao do Risco
Para a escolha do perodo de retorno da enchente de projeto pode-se recorrer ao
procedimento de fixao do risco assumido para o caso de a obra vir a falhar dentro do seu
tempo de vida til. Isto porque a estrutura projetada para determinada vazo de pico correr certo
risco de falha dentro do seu perodo de vida til: isso significa que a vazo de projeto poder ser
excedida dentro do perodo de vida til da obra. A seleo do risco que se deseja correr depende
da gravidade da falha para o funcionamento da estrutura ou obra, bem como dos recursos
disponveis para a sua construo, entre outros fatores.
Para obter uma expresso para o perodo de retorno em funo do risco, considere o
evento de magnitude Qp2, com intervalo de recorrncia Tr. Ento a probabilidade de que este
evento seja igualado ou superado em um ano qualquer pode ser expressa por
Tr
1QQP p . (1)
Assim, em outras palavras, se determinada obra (vertedor de barragem, galeria de guas pluviais,
bueiro, canal de sistema de drenagem, etc.) for construda para a vazo de cheia de projeto Qp,
correspondente a um intervalo de recorrncia de Tr anos, ento, para cada ano de funcionamento
do sistema, a probabilidade de ocorrer falha (vazo de projeto ser superada) igual a 1/Tr.
Considerando-se somente as possibilidades de que a falha ocorra ou no, a probabilidade
de no ocorrncia da falha num ano qualquer ser, ento, Tr11 .
Para n anos de vida til da obra, ou para um tempo de construo de n anos, a
probabilidade do sistema no falhar nenhuma vez neste perodo a chamada segurana, S:
n
vezesn
Tr11STr11Tr11Tr11S
. (2)
Consequentemente, numa srie de n anos, o risco de falha ser representado pela
probabilidade R de que ao menos um evento iguale ou exceda o evento de intervalo de
recorrncia Tr. Ou seja,
nTr111R S1R . (3)
Dessa maneira, pode-se escolher o perodo de retorno da cheia a ser utilizado no projeto
da obra hidrulica, conhecendo-se o tempo de vida provvel da estrutura, ou o tempo de durao
da sua construo, e fixando-se o risco que se deseja correr de que a obra venha a falhar. A ttulo
de ilustrao, na Tabela 7.1 apresentam-se os perodos de retorno para diferentes valores do risco
2 Qp a vazo de pico ou de projeto.
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e da vida til provvel da estrutura, calculados com base na Eq. (3). Sugere-se ao estudante
completar a tabela para os valores de Tr correspondentes ao risco assumido de 90%.
Tabela 7.1 Perodo de retorno estabelecido de acordo com o critrio de fixao do risco
Perodo de retorno, Tr (anos)
Risco a ser
assumido
Vida provvel da estrutura, n (anos)
1 10 20 50 100 1000
1% 100 995 1990 4975 9950 99500
5% 20 195 390 975 1950 19496
10% 10 95 190 475 950 9492
50% 2 15 29 73 145 1443
90%
99% 1,0 2,7 4,9 11 22 217
EXEMPLO 7.1
Para uma usina hidreltrica como a de Itaipu, para a vazo de projeto dos vertedores assumiu-se
um risco de falha de 1%. Se a vida til do sistema estimada em 100 anos, qual o perodo de
retorno da vazo de projeto?
SOLUO
A partir da Eq. (3) rearranjada, possvel expressar o perodo de retorno como uma funo da
vida til n e do risco R. Este perodo de retorno, chamado perodo de retorno de projeto,
calculo como
n1R111
Tr
. (4)
Assim, com os dados do problema,
9950Tr
01,011
1Tr
1001
anos.
O resultado desse problema confere com aquele apresentado na Tabela 7.1.
EXEMPLO 7.2
Para a canalizao de um crrego urbano adotou-se a vazo de projeto correspondente ao
perodo de retorno Tr = 20 anos. Se a vida til da obra de 50 anos, qual o risco que se corre de
a obra falhar?
SOLUO
Pela Eq. (3): %9292,020
111R
50
.
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Observao:
Admitindo-se que o perodo de retorno de uma vazo de cheia de vazo Qp = 1.000m3/s seja de
100 anos, a probabilidade de que essa vazo seja excedida num ano qualquer ser:
P{QQp} = 1/Tr = 1/100 = 0,01.
Ou seja, a probabilidade de excedncia da vazo de 1.000m3/s ser igual a 1%. Importante compreender que ao se fixar uma cheia de 100 anos no significa que a vazo
correspondente ser excedida exatamente a cada 100 anos, e sim que, para um nmero
extremamente grande de ocorrncias, ter-se-, em mdia, uma excedncia da vazo de cheia a
cada 100 anos. Este perodo de 100 anos , portanto, um perodo de retorno mdio.
Vazes de enchente seguem um modelo de Bernoulli, para o qual a probabilidade de ocorrncia
de um evento independente do tempo e do histrico das ocorrncias e no ocorrncias. Para tal
modelo, num tempo qualquer, um evento de dada magnitude poder ocorrer com a probabilidade
P=1/Tr, ou no ocorrer com a probabilidade (1P) = (11/Tr). Assim, por exemplo, a probabilidade de ocorrer um nico evento em 3 anos ser:
P(1P)(1P) + (1P)P(1P) + (1P)(1P)P
que igual a 3P(1P)2.
Pode-se, ento, generalizar para a probabilidade de ocorrncia de exatamente k eventos em n
anos, a qual ser igual ao nmero de modos de se arranjar k valores de P, entre os n itens. Em
termos da probabilidade de excedncia, isso corresponde a uma distribuio binomial de
probabilidade:
knknkx P1PCanosn em eventosk exatamentef
em que:
P = probabilidade de excedncia de um evento num ano qualquer;
fx = probabilidade de ocorrncia de k eventos (excedncia) em n anos;
!kn!kn!
Cnk
.
Em estudos hidrolgicos, usualmente no importante conhecer a probabilidade com que a cheia
excedida exatamente k vezes, e sim a probabilidade de ocorrncia de um ou mais eventos de
excedncia em n anos. Ou seja, interessa conhecer
anosn em evento zerof1anosn em eventos maisou 1fx . Ou,
0n0n0x P1PC1anosn em eventos maisou 1f
,
que resulta em
nx P11anosn em cheia uma menos pelof . A ltima expresso fornece, ento, a probabilidade, fx, da obra ou estrutura falhar ao menos uma
vez, em anos. Representa, portanto, o risco de ocorrncia R de uma cheia com vazo superior
de projeto (ou vazo superior de recorrncia Tr), em n anos de vida til da obra.
Alternativamente, para o tempo de vida til do projeto, n, e para um nvel de risco de falha
aceitvel, R = fx100 (%), a probabilidade de excedncia P e o perodo de retorno Tr (Tr=1/P) da cheia de projeto podem ser calculados a partir daquela expresso, que idntica Eq. (3).
EXEMPLO 7.3
Um bueiro projetado para um intervalo de recorrncia de 50 anos. Qual a probabilidade de
ocorrer exatamente uma cheia da magnitude igual de projeto em 100 anos de vida til da
estrutura?
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SOLUO
knknkx P1PCanosn em eventosk exatamentef
No caso: Tr = 50 anos; n = 100 anos; k = 1.
Assim, P = probabilidade de excedncia = 1/Tr = 1/50 = 0,02.
Portanto,
27,002,0102,0!1100!1
!100P1PCanos 100 em evento 1 exatamentef
99111001100
1x
%2727,0fx .
EXEMPLO 7.4
Qual a probabilidade do bueiro do problema exemplo 7.3 experimentar pelo menos uma cheia de
projeto em seu tempo de vida til?
SOLUO
O que se procura, agora, exatamente o risco:
R = 100x P11anos 100n em cheia uma menos pelof Portanto,
R = 87,002,011anos 100n em cheia uma menos pelof 100x R = %8787,0fx .
ii) Critrio Econmico de Fixao do Risco
Pelo critrio econmico, o perodo de retorno da vazo de projeto deveria ser aquele que
conduzisse ao menor custo global. Por exemplo, em caso de existncia de seguro contra
enchentes, poder-se-ia construir uma curva que fizesse a representao dos custos anuais do
seguro em funo do perodo de retorno Tr e, no mesmo grfico, se lanariam os gastos anuais
de amortizao do capital aplicado na obra. A soma dessas duas parcelas geraria uma nova curva
que, passando por um ponto de mnimo, produziria neste ponto o perodo de retorno mais
econmico. A Figura 7.1 procura ilustrar a aplicao do critrio econmico.
iii) Critrios usualmente adotados no Brasil
Em geral, a ausncia de seguros contra enchentes ou a dificuldade de obteno de
informaes a esse respeito conduz utilizao de outros critrios para a fixao do perodo de
retorno da vazo de cheia de projeto. A depender do tipo de obra, as principais variveis
consideradas para a fixao do perodo de retorno so: a) a vida til da obra, b) o tipo de
estrutura, c) a facilidade de reparao e ampliao, e d) o perigo de perda de vida. Baseado
nestes parmetros, adotam-se os seguintes valores mdios do perodo de retorno:
Para o dimensionamento do extravasor de barragem de terra: Tr 1000 anos
Para o dimensionamento do extravasor de barragem de concreto: Tr 500 anos
Para galerias de guas pluviais: Tr 5 a 20 anos
Para pequena barragem de concreto para fim de abastecimento: Tr 50 a 100 anos
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Figura 7.1 Obteno do perodo de retorno pelo critrio econmico.
7.4. USO DE LEI DE PROBABILIDADE NA PREVISO DE ENCHENTES
Todos os projetos de engenharia so planejados para o futuro, no havendo certeza
absoluta das exatas condies de trabalho da obra ou estrutura. Na rea estrutural, por exemplo,
o projetista estabelece as cargas atuantes, mas no tem certeza de que estas cargas no sero
excedidas. Para levar em conta as incertezas, lana mo de hipteses, baseadas na razo, e
considera fatores de segurana nos dimensionamentos. Da mesma forma, o engenheiro de
recursos hdricos no estar absolutamente certo da vazo que afetar o projeto. Contudo, deve
estar consciente de que um erro acentuado de previso das quantidades hidrolgicas poder
causar efeitos destruidores indesejveis, que podem inviabilizar economicamente todo o projeto.
Uma vez que o comportamento exato das vazes em anos futuros no pode ser
absolutamente previsto, procura-se introduzir leis de probabilidade de modo a estabelecer as
provveis variaes para permitir que o plano seja completado com base em um risco calculado.
Recorre-se, pois, anlise estatstica com o propsito de utilizar os eventos de descargas
observadas (srie histrica de vazes) num dado perodo, como meio de se efetuar a projeo
para um perodo de tempo maior.
Na previso de enchentes, ou seja, na determinao da magnitude das vazes de pico das
cheias (que so as vazes crticas ou de projeto), recorre-se ao uso de modelos de probabilidade,
a partir de um enfoque estatstico que consiste em definir a relao entre as descargas mximas e
as correspondentes frequncias de ocorrncia, apoiando-se no estudo de uma srie3 de dados
observados. A suposio bsica que as cheias verificadas durante um determinado perodo
possam ocorrer em um perodo futuro de caractersticas hidrolgicas similares, isto , com uma
expectativa de repetio.
As funes matemticas de distribuio de probabilidade mais utilizadas na anlise de
frequncia das vazes de enchente so:
1) distribuio gama, tambm conhecida como distribuio Pearson tipo III;
2) transformao logartmica da distribuio gama, tambm conhecida como distribuio log-
Pearson tipo III;
3) transformao de potncia da distribuio gama, ou distribuio de Kritskiy-Menkel; 3 Na anlise de frequncia das cheias, a srie anual mais popular do que a srie parcial.
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4) distribuies exponenciais, tambm conhecidas como distribuies de valores extremos ou
distribuies de Fisher-Tippett, que so de trs tipos: tipo I, duplo exponencial, conhecida como
distribuio Gumbel; tipo II, conhecida como distribuio de Frchet; e tipo III, conhecida como
distribuio de Goodrich ou Weibull;
5) distribuio gaussiana (distribuio normal de probabilidade);
6) transformao logartmica da distribuio normal, tambm conhecida como distribuio log-
normal ou distribuio de Galton.
Em princpio, no existe nenhuma razo para considerar um dos modelos acima como
superior aos demais. Por isso, na seleo da distribuio mais apropriada a ser ajustada a uma
determinada base emprica de dados recorre-se, normalmente, a tcnicas matemticas de ajuste
de curvas. Um procedimento simples e rpido, embora no necessariamente o mais preciso,
consiste em lanar os pares de valores de frequncia e vazo em papel de probabilidade4. Assim,
se num dado papel de probabilidade os dados ajustarem-se segundo uma linha reta, ento a
distribuio de probabilidade correspondente ser considerada adequada para a realizao das
previses.
Ven Te Chow mostrou que a maioria das distribuies de probabilidade usadas em
hidrologia pode ser posta na forma
sKxxTr (05)
onde:
xTr = magnitude da varivel (vazo ou chuva) atingida ou superada pelo menos uma vez em Tr
anos,
x = valor mdio da varivel considerada,
s = desvio-padro, e
K = fator de frequncia.
O fator de frequncia da equao de Chow depende do tipo de distribuio, da frequncia (ou
perodo de retorno) e do coeficiente de assimetria.
Apresentam-se, a seguir, algumas distribuies de probabilidade normalmente
empregadas na anlise de frequncia das cheias e outros eventos extremos.
7.4.1 A DISTRIBUIO NORMAL
Um fenmeno completamente aleatrio segue a distribuio de probabilidade de Gauss,
ou distribuio normal. Se uma varivel aleatria x tem distribuio normal, a funo densidade
de probabilidade da varivel aleatria x, f(x), dada por
2x
2
1
2
1xf exp (06)
onde e so, respectivamente, a mdia e o desvio-padro da populao.
Para uma amostra da populao, as estimativas da mdia e do desvio-padro podem ser
obtidas, respectivamente, de
N
x
x
N
1i
i , (07)
4 Cada distribuio ter um papel probabilidade especfico.
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1N
xx
s
N
1i
2
i
. (08)
Ao medir x, a probabilidade de se encontrar um valor menor ou igual a um valor extremo
xp dada pela funo densidade de probabilidade acumulada:
dxxfxxPxF px
pp . (09)
Para a distribuio normal, os grficos representativos das expresses de f(x) e F(x), em
funo da varivel x, so mostrados nas Figuras 7.2 e 7.3.
Em vez de plotar F(x) em escala aritmtica, pode-se utilizar o chamado papel aritmtico
de probabilidade, onde a escala de F(x) tal que transforma a curva em S, caracterstica da distribuio normal, em uma reta, tendo a abscissa escala aritmtica, conforme ilustrado na
Figura 7.4. Para o traado desta reta, lana-se mo de algumas propriedades da distribuio
normal, sendo suficiente, no caso, considerar:
F( x ) = P{x < x }= 0,5;
F( sx ) = P{X < sx } = 0,1587;
F( sx ) = P{X < sx } = 0,8413.
Nos manuais de estatstica e probabilidade, os valores das frequncias acumuladas da
distribuio normal so fornecidos em tabelas construdas em termos de uma nova varivel,
chamada de varivel reduzida z, que se obtm da transformao:
s
xxz
. (10)
Esta nova varivel z, tambm chamada varivel normalizada, tem mdia zero e desvio-padro
igual a unidade. Consequentemente, a funo densidade de probabilidade escrita para a varivel
normalizada z, tambm chamada funo densidade de probabilidade normalizada, exprime-se
na forma:
2z
2
1exp
2
1zf . (11)
E a funo densidade de probabilidade acumulada correspondente escreve-se como
dzzfzFpz
p P{z
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Figura 7.2 Distribuio normal funo densidade de probabilidade
Figura 7.3 Distribuio normal funo densidade de probabilidade acumulada
Figura 7.4 Distribuio normal funo densidade de probabilidade acumulada em papel de probabilidade
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Figura 7.5 Representaes grficas das frequncias relativas e acumuladas para a varivel reduzida z da
distribuio normal de probabilidade.
7.4.2 A DISTRIBUIO LOG-NORMAL
Os registros das vazes mdias dirias durante um ano hidrolgico mostram que estas no
constituem um evento completamente aleatrio. Em verdade, as vazes dependem de um
conjunto de fatores5, tais como precipitao, solo, vegetao, topografia, precipitao
antecedente, temperatura, estao do ano, obras no curso dgua, etc. Os pesos desses fatores na formao do escoamento superficial, que juntamente com a contribuio subterrnea d a vazo
do rio, no so iguais: as influncias da precipitao e dos fatores geomorfolgicos so mais
determinantes.
Conforme exposto, as vazes mximas anuais, isto a srie anual dos eventos extremos
constitudos pelas mximas vazes mdias dirias de cada ano, por no serem tais vazes
completamente aleatrias no seguem uma distribuio de Gauss. Entretanto, se ao invs das
vazes forem considerados os logaritmos dos seus valores, esses ltimos aproximam-se
relativamente bem da distribuio normal.
Assim, denotando por x varivel hidrolgica (no caso, x representando a vazo Q), e
fazendo-se
xy log (15)
ter-se-
2
yys
yy
2
1
2s
1yf exp (16)
onde
y mdia dos logaritmos de x; e
ys desvio-padro dos logaritmos de x.
5 Tais fatores foram vistos e analisados nos captulos anteriores.
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Tabela 7.2 Funo de distribuio acumulada de probabilidade Lei normal ou de Gauss
( = 0; = 1)
K=z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359 0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753 0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141 0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 06517 0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,5700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879
0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,7224 0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549 0,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,7852 0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,8133 0,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0,8365 0,8389
1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621 1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,8830 1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,9015 1,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,9162 0,9177 1,4 0,9192 0,9207 0,9222 0,9236 0,9251 0,9265 0,9279 0,9292 0,9306 0,9319
1,5 0,9332 0,9345 0,9357 0,9370 0,9382 0,9394 0,9406 0,9418 0,9429 0,9441 1,6 0,9452 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,9525 0,9535 0,9545 1,7 0,9554 0,9564 0,9573 0,9582 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616 0,9625 0,9633 1,8 0,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,9706 1,9 0,9713 0,9719 0,9726 0,9732 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,9761 0,9767
2,0 0,9772 0,9778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,9812 0,9817 2,1 0,9821 0,9826 0,9830 0,9834 0,9838 0,9842 0,9846 0,9850 0,9854 0,9857 2,2 0,9861 0,9864 0,9868 0,9871 0,9875 0,9878 0,9881 0,9884 0,9887 0,9890 2,3 0,9893 0,9896 0,9898 0,9901 0,9904 0,9906 0,9909 0,9911 0,9913 0,9916 2,4 0,9918 0,9920 0,9922 0,9925 0,9927 0,9929 0,9931 0,9932 0,9934 0,9936
2,5 0,9938 0,9940 0,9941 0,9943 0,9945 0,9946 0,9948 0,9949 0,9951 0,9952 2,6 0,9953 0,9955 0,9956 0,9957 0,9959 0,9960 0,9961 0,9962 0,9963 0,9964 2,7 0,9965 0,9966 0,9967 0,9968 0,9969 0,9970 0,9971 0,9972 0,9973 0,9974 2,8 0,9974 0,9975 0,9976 0,9977 0,9977 0,9978 0,9979 0,9979 0,9980 0,9981 2,9 0,9981 0,9982 0,9982 0,9983 0,9984 0,9984 0,9985 0,9985 0,9986 0,9986
3,0 0,9987 0,9987 0,9987 0,9888 0,9988 0,9989 0,9989 0,9989 0,9990 0,9990 3,1 0,9990 0,9991 0,9991 0,9991 0,9992 0,9992 0,9992 0,9992 0,9993 0,9993 3,2 0,9993 0,9993 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9995 0,9995 0,9995 3,3 0,9995 0,9995 0,9995 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9997 3,4 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9998
Observaes:
1) Para valores negativos de z, utilizar o complemento aritmtico para 1 dos valores de F(z)
correspondentes ao valor positivo. Isto , F(z) = 1 F(z) o mesmo que P{Z < z}= 1 P{Z
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Isto ,
N
x
N
y
y
N
1i
i
N
1i
i
log
(17)
e
1N
yy
s
N
1i
2
i
y
(18)
Para a varivel y (transformada logartmica de x), a funo distribuio acumulada de
probabilidade, F(y), se escreve como
y
dyyfyYPyF (19)
Os valores desta integral so fornecidos na Tabela 7.2, agora em termos da tambm varivel
reduzida
ys
yyz
. (20)
Pela distribuio log-normal, a previso da enchente de perodo de retorno Tr, com base
no modelo de Chow, exige que a Eq. (5) seja reescrita na forma
yTr sKyy , (21)
sendo K o fator de frequncia de Chow determinado com o auxlio da Tabela 7.2.
Uma vez que y = log x, a varivel procurada, xTr (ou a vazo QTr), se obtm da transformao
Try
Tr 10x . (22)
7.4.2.1 USO DO PAPEL LOGARTMICO DE PROBABILIDADE POSIO DE PLOTAGEM
Para facilitar o uso prtico da distribuio log-normal, utiliza-se o chamado papel
logartmico de probabilidade, no qual: i) a escala das abscissas logartmica, dispensando o
clculo dos logaritmos da varivel x (entra-se diretamente com os valores de vazo); ii) a escala
das ordenadas (escala normal de probabilidade) tal que transforma a curva em S em um reta.
Quando a srie de valores mximos anuais das descargas6 suficientemente grande (N >
30 anos de registros), a sequncia de procedimentos abaixo pode ser utilizada para as estimativas
das frequncias:
1o - classificar os dados da srie de vazo em ordem crescente;
2o - definir a dimenso do intervalo de classe e agrupar os dados dentro dos intervalos;
3o - contar o nmero de observaes (frequncias absolutas) dentro de cada intervalo;
4o - calcular as frequncias relativas (dividir o nmero de observaes de cada intervalo pelo
total de observaes); 6 Srie anual dos valores mdios dirios na seo de um curso dgua natural (estao fluviomtrica).
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5o - calcular as frequncias acumuladas, F(y), que so medidas das probabilidades de
ocorrncia de vazes menores (ou iguais) ao valor superior da classe;
6o - plotar as frequncias (probabilidades) em ordenadas e as vazes em abscissas, em papel
logartmico de probabilidade;
7o - traar a reta representativa da distribuio log-normal de probabilidade.
Convm destacar que a reta mencionada passa, necessariamente, pelos pontos:
F( y ) = P{ yy }=50% y50 10x % ;
F( ysy ) = P{ ysyy }=15,87%; sy
8715 10x%, ; e
F( ysy ) = P{ ysyy }=84,13% sy
1384 10x%, .
Se os valores plotados apresentarem boa aderncia em relao reta traada poder-se-
dizer, com boa segurana, que as frequncias dos logaritmos das vazes seguem uma
distribuio normal (ou que as frequncias das vazes seguem uma distribuio log-normal). Da
surge a possibilidade de previso de enchentes pela extrapolao dos dados histricos baseando-
se no modelo log-normal de probabilidade.
Alternativamente, a anlise de frequncia poderia ser feita utilizando-se o mtodo de
Weibull7: os eventos, em termos de sua magnitude, so classificados em ordem decrescente,
atribuindo-se um nmero de ordem a cada evento. O evento de maior magnitude teria, ento,
ordem m=1 e o de menor magnitude ordem m=N, sendo N o nmero de anos da srie (na srie
anual, N tambm o nmero de dados ou observaes). A frequncia do evento de ordem m, ou
a probabilidade de que um evento da mesma magnitude, ou de magnitude maior, venha a ocorrer
num ano qualquer (no caso, probabilidade de excedncia) pode ser calculada por
F(x) = 1N
mxXP
. (23)
Da definio de perodo de retorno,
m
1N
xXP
1Tr
. (24)
No presente captulo, foi definida a frequncia F(x) como uma probabilidade de no
excedncia, isto , xXPxF . Assim, como, ento
Tr
11xXP1xXPxF . (25)
Para a distribuio log-normal, empregando-se as Eqs. (22) e (25), as posies de
plotagem podem ser prontamente obtidas no papel logartmico de probabilidade.
EXEMPLO 7.5
Considere a srie anual das vazes mximas dirias referidas seo de um curso dgua natural, conforme fornecido nas duas primeiras colunas da Tabela 7.3. Com base nesses dados, pede-se:
a) testar visualmente, por meio de construes grficas, a validade dos modelos normal e log-
normal de probabilidade;
b) estimar as magnitudes das cheias de 100 anos e de 200 anos de recorrncia.
7 V. captulo de Precipitao.
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SOLUO
a) Teste do modelo gaussiano de probabilidade e da distribuio log-normal
Nas colunas 5 e 8 da Tabela 7.3, os dados de vazo e do logaritmo decimal da vazo,
respectivamente, so classificados em ordem decrescente. A ordem da classificao (ranking),
m, posta na coluna 3 da Tabela.
Pela Eq. (23), as frequncias F(x), que so probabilidade de excedncia (a classificao feita
em ordem decrescente) so calculadas e subtradas da unidade, antes de serem lanadas na
coluna 4 da Tabela 7.2, que contm os valores de F(x).8
As estatsticas mdia e desvio-padro so calculadas pelas Eqs. (7), (8), (17) e (18) e os
resultados so introduzidos no final da Tabela 7.3.
Nos grficos das Figuras 7.6 e 7.7 encontram-se lanados os valores das vazes mximas anuais,
no eixo das abscissas, em funo das frequncias acumuladas, nas ordenadas. Nestes grficos, as
frequncias, como calculadas na Tabela 7.3, representam as probabilidades de no excedncia,
isto , F(Qp) = P{Q < Qp}.
Para testar o modelo gaussiano, na Figura 7.6 os valores de F encontram-se em escala de
probabilidade e os valores de Q em escala aritmtica (papel aritmtico de probabilidade). A linha
traada representa, neste grfico, a distribuio normal definida pela Eq. (9). Conforme tambm
ilustrado na Figura 7.4, a reta passa pelos pontos caractersticos:
34194QQ , m3/s e F=50%
17110178434194sQQ ,,, m3/s e F=15,87%
51278178434194sQQ ,,, m3/s e F=84,13%.
A Figura 7.6 mostra que, na faixa de valores extremos de vazo, a aderncia da linha aos pontos
no boa. Nota-se, ainda, que para o caso de previses por extrapolao dos dados histricos
com base no modelo gaussiano seriam obtidos valores subestimados das vazes.
De forma semelhante, para testar o modelo log-normal, na Figura 7.7 os valores de F encontram-
se em escala de probabilidade, enquanto os valores de Q so lanados em escala logartmica
(utiliza-se o papel logartmico de probabilidade). A linha traada, que representa o modelo
normal de probabilidade para a funo transformada logartmica das vazes, Eq. (19), passa
agora pelos pontos:
8417610Q247582yy 24758250 ,,,
% m3/s e F=50%
2211310Q053942syy 0539428715y ,,,
%, m3/s e F=15,87%
2027610Q441222syy 4412221384y ,,,
%, m3/s e F=84,13%.
V-se que, neste caso, o modelo log-normal, representado pela linha reta que passa pelos pontos
acima na Figura 7.7, apresenta uma boa aderncia aos dados da srie.
Portanto, numa inspeo visual comparativa das duas figuras conclui-se que, pela maior
aderncia dos pontos reta, o modelo log-normal de probabilidade superior ao modelo
gaussiano. Conclui-se, ainda, que o modelo log-normal pode ser considerado como capaz de
fornecer boas estimativas para as vazes de enchentes por extrapolao dos dados histricos.
b) Estimativas das cheias de 100 e 200 anos de recorrncia
8 F(x) = 1 F(x)
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Da concluso tirada no item (a) do presente problema, as extrapolaes seriam confiveis se
realizadas empregando-se o modelo log-normal. Contudo, apenas a ttulo de ilustrao do uso do
modelo gaussiano, far-se-o as determinaes das vazes com recorrncia de 100 e 200 anos por
ambos os modelos e segundo a equao de Chow (Eq. 5).
b1. Para Tr = 100 anos, F=11/Tr = 11/100 = 0,99.
Distribuio Normal:
Da Tabela 7.3, para F=0,99 z = K 2,33. Da Eq. (5),
46390Q178433234194Q 100Tr100Tr ,,,, m3/s.
Distribuio log-Normal:
Como antes, K = 2,33. Da Eq. (21),
7849910Q69878219364033224762y 698782100Tr100Tr ,,,,,, m
3/s.
b2. Para Tr = 200 anos, F=11/Tr = 11/200 = 0,995.
Distribuio Normal: Da Tabela 7.3, para F=0,995 z = K 2,575. Da Eq. (5),
08411Q1784575234194Q 100Tr200Tr ,,,, m3/s.
Distribuio log-Normal: Como antes, K = 2,575. Da Eq. (21),
4755710Q746222193640575224762y 746222100Tr200Tr ,,,,,, m
3/s.
7.4.3 DISTRIBUIO DE PEARSON TIPO III
A funo distribuio de probabilidade de Pearson tipo III constitui um caso especial da
funo gama. A forma matemtica da funo densidade de probabilidade desta distribuio
xx1
xf
1
exp (26)
sendo x a varivel aleatria, , e parmetros da distribuio e
0
1x dxxe .
O uso da distribuio Person tipo III para a previso de cheias pode ser feito segundo o
mtodo de Foster, conforme Vilela & Mattos (1975), ou ainda empregando-se a relao de
Chow, definida pela Eq. (5).
Para considerar a natureza assimtrica da distribuio de Pearson tipo III, o fator de
frequncia da Eq. (5) funo da frequncia (ou perodo de retorno) e do coeficiente de
assimetria, este ltimo definido como
3
N
1i
3
i
s
xx
2N1N
Ng
. (27)
com x representando a varivel hidrolgica, N o nmero de dados da srie e os demais elementos
como anteriormente definidos.
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Tabela 7.3 Srie anual das descargas mximas dirias
(Fonte de dados: U.S. Geological Survey Open File Report I 19.2: W75, 1971)
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10)
ano Q(m3/s) m F(Q) % Q (m
3/s) 2QQ 3QQ y=log(Q) 2yy 3yy
1896 96,79 1 98,65 438,65 59687,91 14582419,82 2,64212 0,15566 6,1414x10-2 1897 124,24 2 97,30 430,16 55611,59 13114386,61 2,63363 0,14903 5,7535x10-2 1898 81,08 3 95,95 376,39 33142,60 6033647,34 2,57564 0,10762 3,5306x10-2 1899 153,67 4 94,59 331,11 18706,33 2558485,85 2,51997 0,07420 2,0211x10-2 1900 77,83 5 93,24 325,45 17190,12 2253815,61 2,51248 0,07017 1,8589x10-2
1901 176,31 6 91,89 319,79 15737,98 1974346,71 2,50486 0,06620 1,7031x10-2 1902 86,32 7 90,54 314,13 14349,91 1718991,22 2,49711 0,06226 1,5537x10-2 1903 144,33 8 89,19 305,64 12387,93 1378790,78 2,48521 0,05647 1,3419x10-2 1904 146,03 9 87,84 297,15 10570,12 1086725,90 2,47298 0,05080 1,1451x10-2 1905 183,10 10 86,49 294,32 9996,22 999433,11 2,46882 0,04895 1,0829x10-2
1906 205,18 11 85,14 291,49 9438,34 916944,75 2,46462 0,04711 1,0224x10-2 1907 144,33 12 83,78 288,66 8896,47 839124,83 2,46039 0,04529 9,6373x10-3 1908 123,11 13 82,43 285,83 8370,62 765837,36 2,45611 0,04348 9,0676x10-3 1909 96,79 14 81,08 282,72 7811,22 690364,11 2,45136 0,04152 8,4618x10-3 1910 99,05 15 79,73 270,83 5850,89 447540,89 2,43270 0,03427 6,3436x10-3
1911 88,30 16 78,38 259,79 4283,85 280382,47 2,41462 0,02790 4,6610x10-3 1912 259,79 17 77,03 253,57 3508,32 207801,84 2,40410 0,02450 3,8344x10-3 1913 231,21 18 75,68 240,27 2109,67 96899,28 2,38070 0,01772 2,3590x10-3 1914 240,27 19 74,32 240,27 2109,67 96899,28 2,38070 0,01772 2,3590x10-3 1915 120,56 20 72,97 231,21 1359,48 50125,45 2,36401 0,01356 1,5782x10-3
1916 253,57 21 71,62 228,10 1139,81 38481,30 2,35813 0,01222 1,3509x10-3 1917 228,10 22 70,27 224,70 921,80 27986,75 2,35160 0,01082 1,1256x10-3 1918 205,74 23 68,92 221,87 757,96 20867,51 2,34610 0,00971 9,5621x10-4 1919 179,71 24 67,57 221,02 711,88 18993,77 2,34443 0,00938 9,0849x10-4 1920 305,64 25 66,22 217,91 555,60 13096,03 2,33828 0,00823 7,4607x10-4
1921 185,65 26 64,86 215,08 430,19 8922,68 2,33260 0,00723 6,1456x10-4 1922 438,65 27 63,51 211,40 291,08 4966,16 2,32510 0,00601 4,6593x10-4 1923 285,83 28 62,16 210,84 272,29 4493,02 2,32395 0,00583 4,4547x10-4 1924 206,02 29 60,81 210,27 253,80 4043,31 2,32278 0,00565 4,2521x10-4 1925 120,84 30 59,46 206,02 136,45 1593,86 2,31391 0,00440 2,9182x10-4
1926 126,50 31 58,11 205,74 129,99 1481,97 2,31332 0,00432 2,8410x10-4 1927 179,42 32 56,76 205,18 117,53 1274,15 2,31214 0,00417 2,6902x10-4 1928 221,02 33 55,41 202,06 59,62 460,30 2,30548 0,00335 1,9411x10-4 1929 319,79 34 54,05 198,10 14,15 53,20 2,29688 0,00243 1,1986x10-4 1930 82,07 35 52,70 185,65 75,50 -655,99 2,26869 0,00045 9,4139x10-6
1931 61,13 36 51,35 183,10 126,31 -1419,62 2,26269 0,00023 3,4487x10-6 1932 120,56 37 50,00 179,99 205,89 -2954,31 2,25525 0,00006 4,5093x10-7 1933 150,56 38 48,65 179,71 214,00 -3130,65 2,25457 0,00005 3,4186x10-7 1934 169,80 39 47,30 179,42 222,57 -3320,55 2,25387 0,00004 2,4896x10-7 1935 270,83 40 45,95 176,31 325,04 -5860,14 2,24628 1,69810
-6 -2,2125x10-9
1936 210,84 41 44,59 174,61 389,23 -7679,07 2,24207 0,00003 -1,6737x10-7 1937 179,99 42 43,24 172,06 496,35 -11058,12 2,23568 0,00014 -1,6852x10-6 1938 325,45 43 41,89 169,80 602,16 -14776,29 2,22994 0,00031 -5,4912x10-6 1939 314,13 44 40,54 168,95 644,60 -16365,59 2,22776 0,00039 -7,7881x10-6 1940 138,10 45 39,19 164,99 861,36 -25279,91 2,21746 0,00091 -2,7332x10-5
(continua...)
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166
Tabela 7.3 Srie anual das descargas mximas dirias (continuao)
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10)
ano Q(m3/s) m F(Q) % Q (m
3/s) 2QQ 3QQ y=log(Q) 2yy 3yy
1941 202,06 46 37,84 154,52 1585,54 -63134,65 2,18898 0,00343 -2,0118x10-4 1942 224,70 47 36,49 153,67 1653,96 -67264,71 2,18659 0,00372 -2,2688x10-4 1943 331,11 48 35,14 150,56 1916,59 -83906,29 2,17771 0,00488 -3,4110x10-4 1944 172,06 49 33,78 146,88 2252,35 -106893,92 2,16696 0,00650 -5,2394x10-4 1945 215,08 50 32,43 146,03 2333,75 -112740,89 2,16444 0,00691 -5,7464x10-4
1946 291,49 51 31,08 144,33 2500,89 -125066,76 2,15936 0,00778 -6,8667x10-4 1947 168,95 52 29,73 144,33 2500,89 -125066,76 2,15936 0,00778 -6,8667x10-4 1948 154,52 53 28,38 138,10 3162,81 -177873,17 2,14019 0,01153 -1,2384x10-3 1949 113,77 54 27,03 126,50 4602,12 -312202,51 2,10209 0,02117 -3,0796x10-3 1950 198,10 55 25,68 124,24 4913,86 -344455,89 2,09426 0,02351 -3,6040x10-3
1951 297,15 56 24,32 123,11 5073,56 -361383,83 2,09029 0,02474 -3,8911x10-3 1952 430,16 57 22,97 120,84 5402,09 -397047,55 2,08221 0,02735 -4,5224x10-3 1953 294,32 58 21,62 120,56 5443,33 -401602,61 2,08120 0,02768 -4,6055x10-3 1954 112,63 59 20,27 120,56 5443,33 -401602,61 2,08120 0,02768 -4,6055x10-3 1955 164,99 60 18,92 113,77 6491,35 -523000,74 2,05603 0,03669 -7,0285x10-3
1956 211,40 61 17,57 112,63 6676,34 -545516,75 2,05165 0,03839 -7,5210x10-3 1957 93,96 62 16,22 99,05 9079,97 -865220,78 1,99585 0,06337 -1,5951x10-2 1958 94,84 63 14,86 97,64 9350,68 -904200,21 1,98963 0,06654 -1,7164x10-2 1959 221,87 64 13,51 96,79 9515,79 -928254,64 1,98583 0,06851 -1,7933x10-2 1960 376,39 65 12,16 96,79 9515,79 -928254,64 1,98583 0,06851 -1,7933x10-2
1961 210,27 66 10,81 94,84 9900,03 -985042,20 1,97699 0,07322 -1,9812x10-2 1962 240,27 67 9,46 93,96 10075,92 -1011410,12 1,97294 0,07543 -2,0715x10-2 1963 217,91 68 8,11 88,30 11244,25 -1192327,72 1,94596 0,09097 -2,7440x10-2 1964 97,64 69 6,76 86,32 11668,08 -1260373,46 1,93611 0,09701 -3,0216x10-2 1965 282,72 70 5,41 82,07 12604,31 -1415071,56 1,91418 0,11115 -3,7058x10-2
1966 146,88 71 4,05 81,08 12827,58 -1452837,42 1,90891 0,11469 -3,8843x10-2 1967 288,66 72 2,70 77,83 13574,32 -1581529,53 1,89115 0,12704 -4,5283x10-2 1968 174,61 73 1,35 61,13 17744,61 -2363740,12 1,78625 0,21282 -9,8180x10-2
14186,74 510128,46 31110154,95 164,07326 2,69982 -0,10185
Q 194,339 y 2,24758
Estatsticas s 84,173 ys 0,19364
g 0,745 yg -0,200
Observao:
Os resultados encontrados no problema Exemplo 7.3 tambm poderiam ser obtidos graficamente,
pelas Figuras 7.6 e 7.7. Para isso, apoiando-se nas linhas retas representativas dos modelos de
probabilidade, bastaria obter os valores de vazo correspondentes s frequncias de 99% e
99,5%.
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167
0 100 200 300 400 500
0,01
1
10
40
70
95
99,5
99,999
Fre
qn
cia
acum
ula
da,
F(Q
) %
vazo, Q (m3/s)
Figura 7.6 Grfico das frequncia das cheias anuais (mximos valores de cada ano), para os dados da Tabela 7.3, em papel aritmtico de probabilidade.
100 1000
0,01
1
10
40
70
95
99,5
99,999
Fre
qn
cia
acum
ula
da,
F(Q
) %
vazo, Q (m3/s)
Figura 7.7 Grfico das frequncias das cheias anuais (mximos valores de cada ano), para os dados da Tabela 7.3, em papel logartmico de probabilidade.
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168
Valores do fator de frequncia da distribuio Pearson tipo III de probabilidade, para uso
com a Eq. (5) de Chow, so apresentados na Tabela 7.4.
A distribuio Pearson tipo III assimtrica e no admite valores negativos da varivel
hidrolgica. A assimetria pode ser positiva ou negativa, conforme se procura representar na
Figura 7.8.
Figura 7.8 Distribuies assimtricas de probabilidade: assimetria positiva para a mdia maior que a mediana; assimetria negativa para a mdia menor que a mediana.
EXEMPLO 7.6
Usando os dados da Tabela 7.3, determinar a magnitude das cheias de 100 e de 200 anos de
recorrncia, empregando a distribuio de probabilidade Pearson tipo III.
SOLUO
Das estatsticas produzidas na Tabela 7.3: 339194Q , m3/s, 17384s , m3/s e 7450g , .
- para Tr = 100 anos e g = 0,745, obtm-se K da Tabela 7.4 por interpolao:
g = 0,7 K = 2,824; g = 0,8 K = 2,891 e g = 0,745 K=?
7080
707450
82428912
8242K
,,
,,
,,
,
K = 2,854
Da Eq. (5),
173848542339194Q 100Tr ,,, 57434Q 100Tr , m3/s.
- para Tr = 200 anos e g = 0,745, da Tabela 7.4:
g = 0,7 K = 3,223; g = 0,8 K = 3,312 e g = 0,745 K=?
7080
707450
22333123
2233K
,,
,,
,,
,
K = 3,263.
Da Eq. (5),
173842633339194Q 200Tr ,,, 00469Q 100Tr , m3/s.
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169
Tabela 7.4 Valores do fator de frequncia K para a distribuio de Pearson tipo III
Coef. de Tr, Perodo de Retorno (anos)
assime- 1,0101 1,0526 1,1111 1,2500 2 5 10 25 50 100 200
tria, F = probabilidade de no excedncia (%)
g 1 5 10 20 50 80 90 96 98 99 99,5
3,0 -0,667 -0,665 -0,660 -0,636 -0,396 0,420 1,180 2,278 3,152 4,051 4,970
2,9 -0,690 -0,688 -0,681 -0,651 -0,390 0,440 1,195 2,277 3,134 4,013 4,909
2,8 -0,714 -0,711 -0,702 -0,666 -0,384 0,460 1,210 2,275 3,114 3,973 4,847
2,7 -0,740 -0,736 -0,724 -0,681 -0,376 0,479 1,224 2,272 3,093 3,932 4,783
2,6 -0,769 -0,762 -0,747 -0,696 -0,368 0,499 1,238 2,267 3,071 3,889 4,718
2,5 -0,799 -0,790 -0,771 -0,711 -0,360 0,518 1,250 2,262 3,048 3,845 4,652
2,4 -0,832 -0,819 -0,795 -0,725 -0,351 0,537 1,262 2,256 3,023 3,800 4,584
2,3 -0,867 -0,850 -0,819 -0,739 -0,341 0,555 1,274 2,248 2,997 3,753 4,515
2,2 -0,905 -0,882 -0,844 -0,752 -0,330 0,574 1,284 2,240 2,970 3,705 4,444
2,1 -0,946 -0,914 -0,869 -0,765 -0,319 0,592 1,294 2,230 2,942 3,636 4,372
2,0 -0,990 -0,949 -0,895 -0,777 -0,307 0,609 1,302 2,219 2,912 3,605 4,398
1,9 -1,037 -0,984 -0,920 -0,788 -0,294 0,627 1,310 2,207 2,881 3,553 4,223
1,8 -1,087 -1,020 -0,945 -0,799 -0,282 0,643 1,318 2,193 2,848 3,499 4,147
1,7 -1,140 -1,056 -0,970 -0,808 -0,268 0,660 1,324 2,179 2,815 3,444 4,069
1,6 -1,197 -1,093 -0,994 -0,817 -0,254 0,675 1,329 2,163 2,780 3,388 3,990
1,5 -1,256 -1,131 -1,018 -0,825 -0,240 0,690 1,333 2,146 2,743 3,330 3,910
1,4 -1,318 -1,168 -1,041 -0,832 -0,225 0,705 1,337 2,128 2,706 3,271 3,828
1,3 -1,383 -1,206 -1,064 -0,838 -0,210 0,719 1,339 2,108 2,666 3,211 3,745
1,2 -1,449 -1,243 -1,086 -0,844 -0,195 0,732 1,340 2,087 2,626 3,149 3,661
1,1 -1,518 -1,280 -1,107 -0,848 -0,180 0,745 1,341 2,066 2,585 3,087 3,575
1,0 -1,588 -1,317 -1,128 -0,852 -0,164 0,758 1,340 2,043 2,542 3,022 3,489
0,9 -1,660 -1,353 -1,147 -0,854 -0,148 0,769 1,339 2,018 2,498 2,957 3,401
0,8 -1,733 -1,388 -1,166 -0,856 -0,132 0,780 1,336 1,993 2,453 2,891 3,312
0,7 -1,806 -1,423 -1,183 -0,857 -0,116 0,790 1,333 1,967 2,407 2,824 3,223
0,6 -1,880 -1,458 -1,200 -0,857 -0,099 0,800 1,328 1,939 2,359 2,755 3,132
0,5 -1,955 -1,491 -1,216 -0,876 -0,083 0,808 1,323 1,910 2,311 2,686 3,041
0,4 -2,029 -1,524 -1,231 -0,855 -0,066 0,816 1,317 1,880 2,261 2,615 2,949
0,3 -2,104 -1,533 -1,245 -0,853 -0,050 0,824 1,309 1,849 2,211 2,544 2,856
0,2 -2,178 -1,586 -1,258 -0,850 -0,033 0,830 1,301 1,818 2,159 2,472 2,763
0,1 -2,252 -1,616 -1,270 -0,846 -0,017 0,836 1,292 1,785 2,107 2,400 2,670
0,0 -2,326 -1,645 -1,282 -0,842 0 0,842 1,282 1,751 2,054 2,326 2,576
-0,1 -2,400 -1,673 -1,292 -0,836 0,017 0,846 1,270 1,716 2,000 2,252 2,482
-0,2 -2,472 -1,700 -1,301 -0,830 0,033 0,850 1,258 1,680 1,945 2,178 2,388
-0,3 -2,544 -1,726 -1,309 -0,824 0,050 0,853 1,245 1,643 1,890 2,104 2,294
-0,4 -2,615 -1,750 -1,317 -0,816 0,066 0,855 1,231 1,606 1,834 2,029 2,201
-0,5 -2,686 -1,774 -1,323 -0,808 0,083 0,856 1,216 1,567 1,777 1,955 2,108
-0,6 -2,755 -1,797 -1,328 -0,800 0,099 0,857 1,200 1,528 1,720 1,880 2,016
-0,7 -2,824 -1,819 -1,333 -0,790 0,116 0,857 1,183 1,488 1,663 1,806 1,926
-0,8 -2,891 -1,839 -1,336 -0,780 0,132 0,856 1,166 1,448 1,606 1,733 1,837
-0,9 -2,957 -1,858 -1,339 -0,769 0,148 0,854 1,147 1,407 1,549 1,660 1,749
-1,0 -3,022 -1,877 -1,340 -0,758 0,164 0,852 1,128 1,366 1,492 1,588 1,664
-1,1 -3,087 -1,894 -1,341 -0,745 0,180 0,848 1,107 1,324 1,435 1,518 1,581
-1,2 -3,149 -1,910 -1,340 -0,732 0,195 0,844 1,086 1,282 1,379 1,449 1,501
-1,3 -3,211 -1,925 -1,339 -0,719 0,210 0,838 1,064 1,240 1,324 1,383 1,424
-1,4 -3,271 -1,938 -1,337 -0,705 0,225 0,832 1,041 1,198 1,270 1,318 1,351
-1,5 -3,330 -1,951 -1,333 -0,690 0,240 0,825 1,018 1,157 1,217 1,256 1,282
-1,6 -3,388 -1,962 -1,329 -0,675 0,254 0,817 0,994 1,116 1,166 1,197 1,216
-1,7 -3,444 -1,972 -1,324 -0,660 0,268 0,808 0,970 1,075 1,116 1,140 1,155
-1,8 -3,499 -1,981 -1,318 -0,643 0,282 0,799 0,945 1,035 1,069 1,087 1,097
-1,9 -3,553 -1,989 -1,310 -0,627 0,294 0,788 0,920 0,996 1,023 1,037 1,044
-2,0 -3,605 -1,996 -1,302 -0,609 0,307 0,777 0,895 0,959 0,980 0,990 0,995
-2,1 -3,656 -2,001 -1,294 -0,592 0,319 0,765 0,869 0,923 0,939 0,946 0,949
-2,2 -3,705 -2,006 -1,284 -0,574 0,330 0,752 0,844 0,888 0,900 0,905 0,907
-2,3 -3,753 -2,009 -1,274 -0,555 0,341 0,739 0,819 0,855 0,864 0,867 0,869
-2,4 -3,800 -2,011 -1,262 -0,537 0,351 0,725 0,795 0,823 0,830 0,832 0,833
-2,5 -3,845 -2,012 -1,250 -0,518 0,360 0,711 0,771 0,793 0,798 0,799 0,800
-2,6 -3,889 -2,013 -1,238 -0,499 0,368 0,696 0,747 0,764 0,768 0,769 0,769
-2,7 -3,932 -2,012 -1,224 -0,479 0,376 0,681 0,724 0,738 0,740 0,740 0,741
-2,8 -3,973 -2,010 -1,210 -0,460 0,384 0,666 0,702 0,712 0,714 0,714 0,714
-2,9 -4,013 -2,007 -1,195 -0,440 0,390 0,651 0,681 0,683 0,689 0,690 0,690
-3,0 -4,051 -2,003 -1,180 -0,420 0,396 0,636 0,660 0,666 0,666 0,667 0,667
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7.4.4 DISTRIBUIO LOG-PEARSON TIPO III
A funo de distribuio de probabilidade log-Pearson tipo III assim denominada
porque a funo de distribuio da Eq. (26) aplicada transformada logartmica da varivel x,
isto ,
yy1
yf
1
exp (28)
onde y = log(x) e as demais grandeza so como j definidas na seo 7.4.3.
Para obter a varivel de magnitude x do evento de recorrncia Tr com o emprego da
equao de Chow para a distribuio log-Pearson tipo III9 deve-se, preliminarmente, calcular as
trs estatsticas: mdia y (Eq. 17), desvio-padro sy (Eq. 18) e coeficiente de assimetria, gy,
agora definido como
3
y
N
1i
3
i
ys
yx
2N1N
Ng
log
. (29)
Com as Eqs. (21) e (22), determina-se a varivel Trx . De forma resumida, deve-se proceder de
acordo com a seguinte marcha de procedimentos de clculo:
i) construir a srie para a varivel transformada, calculando a transformada logartmica,
ii xy log ;
ii) calcular a mdia y , o desvio-padro sy e o coeficiente de assimetria gy para a srie
transformada;
iii) obter, por meio da Tabela 7.4, o fator de frequncia em funo do coeficiente de assimetria gy
e do perodo de retorno Tr;
iv) calcular Try por meio da Eq. (21) de Chow e obter Trx pela Eq. (22): yTr sKyy
Try
Tr 10x .
EXEMPLO 7.7
Empregando os dados da Tabela 7.3, determinar as magnitudes das cheias de 100 e 200 anos de
recorrncia com base na distribuio log-Pearson tipo III.
SOLUO
Das estatsticas produzidas conforme a Tabela 7.3: 247582y , , 193640sy , e 2000g y , .
para Tr = 100 anos e gy = 0,200, obtm-se K diretamente da Tabela 7.4 K = 2,178.
Da Eq. (21),
6693321936401782247582y 100Tr ,,,, 0146710Q669332
100Tr ,, m
3/s.
para Tr = 200 anos e gy = 0,200, da Tabela 4 K = 2,388.
Da Eq. (21),
9 Com o fim de estabelecer uma padronizao de procedimentos, o U.S. Water Resources Council adotou, em 1967,
a distribuio log-Pearson tipo III como o padro para uso pelas agncias federais americanas.
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7099921936403882247582y 200Tr ,,,, 8551210Q709992
200Tr ,, m
3/s.
4.5 DISTRIBUIO TIPO I DE FISHER-TIPPETT OU GUMBEL
Em 1928, Fisher e Tippett, tomando de vrios conjuntos de muitas amostras o maior
valor de cada conjunto, mostraram que a distribuio dos valores extremos independente da
distribuio original e se comporta como funo limite. Gumbel, em 1945, sugeriu que essa
distribuio de valores extremos seria apropriada para a anlise de frequncia das cheias, desde
que a srie fosse anual, isto , cada vazo da srie de valores extremos fosse a maior vazo de
uma amostra de 365 possibilidades (maior vazo do ano).
Apoiando-se no argumento de que no h limite fsico para o valor da mxima vazo de
enchente, Gumbel sugeriu que a probabilidade de ocorrncia da cheia de magnitude igual ou
superior a um dado valor x (probabilidade de excedncia) pode ser expressa por
yee1xXP
(30)
sendo e a base dos logaritmos neperianos e y uma varivel reduzida, definida pela expresso
s450xxs77970
1y
,
,. (31)
Ou, definindo-se a frequncia F(x) pela probabilidade de no excedncia,
yeexXPxF
. (32)
EXEMPLO 7.8
Obter a expresso do fator de frequncia de Chow em funo do perodo de retorno para a
distribuio de Gumbel.
SOLUO
Comparando-se a equao de Chow (Eq. 5) com a Eq. (31), obtm-se
450K77970
1y ,
, . (33)
Da Eq. (30), lembrando que Tr1xXP , tem-se yee1Tr1
. Exprime-se, ento, y em
funo de Tr:
Tr
11y lnln . (34)
Finalmente, pelas equaes (33) e (34),
Tr
1177970450K lnln,, . (35)
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EXEMPLO 7.9
Com base nos dados da Tabela 7.3, calcular os perodos de retorno das seguintes vazes de
enchente: a) Q = Q = 194,34m3/s; b) Q = 500m
3/s.
SOLUO
a) Neste caso, busca-se determinar o perodo de retorno da mdia da srie. Da Eq. (31) tem-se
que, se Q = Q y = 0,5771. E, como yee1Tr1
, tem-se
332e1
1
e1
1Tr
57710y ee,
,
anos.
Portanto, para a distribuio Gumbel o perodo de retorno da vazo mdia igual a 2,33 anos.
Isto , existe uma probabilidade terica de aproximadamente 43% de ocorrer uma vazo igual ou
superior mdia em um ano qualquer10
.
b) Para obter o Tr correspondente a Q = 500m3/s, calcula-se inicialmente o valor de y da Eq.
(31). Com Q = 194,34m3/s e s = 84,17m
3/s,
2355178445034194500178477970
1y ,,,,
,,
.
Finalmente, calcula-se Tr
188e1
1Tr
2355e
, anos.
Deve ser apontado que a expresso analtica do coeficiente K em funo de Tr, na forma
da Eq. (35), aplica-se apenas ao caso da distribuio Gumbel, referida a uma amostra muito
grande (dita Gumbel terica, com N = ). Para os casos reais de sries de tamanho finito (quando a distribuio tambm conhecida como Gumbel-Chow), o fator de frequncia deve
considerar ainda o tamanho N da srie, isto , K = K(Tr, N). Para esse ltimo caso, apresentam-
se na Tabela 7.5 os valores de K para diferentes perodos de retorno e tamanhos de amostra. Na
ltima linha desta tabela incluem-se os valores de K para a amostra de tamanho infinito.
EXEMPLO 7.10
Usando os dados da Tabela 7.3, estimar as magnitudes das cheias de 50 e 100 anos de
recorrncia, com base na distribuio Gumbel-Chow.
SOLUO
Da Tabela 7.3, Q 194,339m3/s e s 84,173m3/s.
para Tr = 100 anos e N=73, obtm-se K diretamente da Tabela 7.5 K = 3,4044.
Pela Eq. (5),
10
Note que, para a distribuio normal, esta probabilidade seria de 50%. Isto , para a distribuio normal, o perodo
de retorno da mdia de 2 anos.
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90480Q1738440443339194Q ,,,, m3/s.
para Tr = 50 anos e N=73, da Tabela 7.5 K = 2,8167.
Pela Eq. (05),
43431Q1738481672339194Q ,,,, m3/s.
7.4.5.1 USO DO PAPEL DE PROBABILIDADE DE GUMBEL
As respostas ao problema-exemplo 7.10 tambm poderiam ser obtidas por meio da
construo do grfico de frequncia, com o emprego do papel de probabilidade de Gumbel. O
papel de Gumbel apresenta uma escala linear (abscissa) para a varivel sendo estudada (evento
extremo, chuva ou vazo) e uma escalar linear para a varivel reduzida de Gumbel, y (ordenada).
Por convenincia e para facilitar o lanamento dos dados em grfico, escalas deformadas de Tr e
F tambm so construdas (ordenadas). Na Figura 7.9 apresentado o papel de probabilidade de
Gumbel. Sugere-se ao aluno repetir o problema-exemplo 7.10 utilizando a construo do grfico
de probabilidade.
7.5 FRMULAS PRTICAS PARA A VAZO DE ENCHENTE DE PROJETO
No passado, para o clculo da enchente de projeto, os engenheiros sempre recorriam ao
uso de equaes empricas da vazo. Estas equaes, ainda hoje utilizadas, so normalmente
escritas em termos das caractersticas fsicas e climticas locais. Uma das formas mais simples
dessas equaes empricas exprime a vazo em funo da rea de drenagem da bacia
hidrogrfica, na forma
nAcQ , (36)
onde c e n so coeficientes empricos.
O expoente n da Eq. (36) frequentemente tomado como n= 0,5, indicando que os picos de vazo variam inversamente com a raiz quadrada da rea de drenagem. Por essa formulao
simples, as influncias dos outros fatores recaem sobre o coeficiente c.
Algumas outras frmulas empricas incluem, ainda, fatores que levam em conta, por
exemplo, a forma da bacia hidrogrfica e a precipitao anual mdia, numa tentativa de reduzir a
influncia das variaes no valor do coeficiente c.
O emprego de frmulas do tipo da Eq. (36) ocorreu com mais intensidade no passado,
basicamente pela ausncia de dados hidromtricos que permitissem o emprego de mtodos mais
precisos e elaborados, como aqueles discutidos no presente captulo. As frmulas prticas so
ainda hoje utilizadas na forma conhecida como modelos de regionalizao e requerem uma boa e
confivel base de dados para produzir um ajuste estatstico satisfatrio.
Deve ficar claro que uma expresso to simples como a Eq. (36) no , em geral, capaz
de representar a complexidade dos fenmenos envolvidos na ocorrncia de uma cheia. Ademais,
frmulas desse tipo no permitem a introduo da anlise de probabilidade para a vazo
calculada. Atualmente, em face da existncia de uma quantidade relativamente abundante de
dados e com a melhor compreenso dos fenmenos hidrolgicos, no mais se justifica o emprego
das frmulas empricas.
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174
Tabela 7.5 Valores do fator de frequncia K para a distribuio Gumbel-Chow
tamanho Perodo de retorno, Tr, em anos da 2 5 10 15 20 25 50 75 100 1000
Amostra Probabilidade de no excedncia, F (%) N 50 80 90 93,33 95 96 98 98,67 99 99,9
10 -0,1355 1,0580 1,8483 2,8467 3,5874 4,3227
11 -0,1376 1,0338 1,8094 2,7894 3,5163 4,2379
12 -0,1393 1,0134 1,7766 2,7409 3,4563 4,1664
13 -0,1408 0,9958 1,7484 2,6993 3,4048 4,1050
14 -0,1422 0,9806 1,7240 2,6632 3,3600 4,0517
15 -0,1434 0,9672 1,7025 2,117 2,410 2,6316 3,3208 3,721 4,0049 6,265
16 -0,1444 0,9553 1,6835 2,6035 3,2860 3,9635
17 -0,1454 0,9447 1,6665 2,5784 3,2549 3,9265
18 -0,1463 0,9352 1,6512 2,5559 3,2270 3,8932
19 -0,1470 0,9265 1,6373 2,5354 3,2017 3,8631
20 -0,1478 0,9187 1,6247 2,023 2,302 2,5169 3,1787 3,563 3,8356 6,006
21 -0,1484 0,9115 1,6132 2,4999 3,1576 3,8106
22 -0,1490 0,9049 1,6026 2,4843 3,1383 3,7875
23 -0,1496 0,8988 1,5929 2,4699 3,1205 3,7663
24 -0,1501 0,8931 1,5838 2,4565 3,1040 3,7466
25 -0,1506 0,8879 1,5754 1,963 2,235 2,4442 3,0886 3,463 3,7283 5,842
26 -0,1510 0,8830 1,5676 2,4326 3,0743 3,7113
27 -0,1515 0,8784 1,5603 2,4219 3,0610 3,6954
28 -0,1518 0,8742 1,5535 2,4118 3,0485 3,6805
29 -0,1522 0,8701 1,5470 2,4023 3,0368 3,6665
30 -0,1526 0,8664 1,5410 1,922 2,188 2,3934 3,0257 3,393 3,6534 5,727
31 -0,1529 0,8628 1,5353 2,3850 3,0153 3,6410
32 -0,1532 0,8594 1,5299 2,3770 3,0054 3,6292
33 -0,1535 0,8562 1,5248 2,3695 2,9961 3,6181
34 -0,1538 0,8532 1,5199 2,3623 2,9873 3,6076
35 -0,1540 0,8504 1,5153 1,891 2,152 2,3556 2,9789 3,341 3,5976
36 -,01543 0,8476 1,5110 2,3491 2,9709 3,5881
37 -0,1545 0,8450 1,5068 2,3430 2,9633 3,5790
38 -0,1548 0,8425 1,5028 2,3371 2,9561 3,5704
39 -0,1550 0,8402 1,4990 2,3315 2,9491 3,5622
40 -0,1552 0,8379 1,4954 1,866 2,126 2,3262 2,9425 3,301 3,5543 5,576
41 -0,1554 0,8357 1,4920 2,3211 2,9362 3,5467
42 -0,1556 0,8337 1,4886 2,3162 2,9301 3,5395
43 -0,1557 0,8317 1,4854 2,3115 2,9243 3,5325
44 -0,1559 0,8298 1,4824 2,3069 2,9187 3,5259
45 -0,1561 0,8279 1,4794 1,847 2,104 2,3026 2,9133 3,268 3,5194 5,478
46 -0,1562 0,8262 1,4766 2,2984 2,9081 3,5133
47 -0,1564 0,8245 1,4739 2,2944 2,9031 3,5073
48 -0,1566 0,8228 1,4712 2,2905 2,8983 3,5016
49 -0,1567 0,8212 1,4687 2,2868 2,8937 3,4961
50 -0,1568 0,8197 1,4663 1,831 2,086 2,2832 2,8892 3,241 3,4908
51 -0,1570 0,8182 1,4639 2,2797 2,8849 3,4856
52 -0,1571 0,8168 1,4616 2,2763 2,8807 3,4807
53 -0,1572 0,8154 1,4594 2,2731 2,8767 3,4759
54 -0,1573 0,8141 1,4573 2,2699 2,8728 3,4712
(continua)
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175
Tabela 7.5 Valores do fator de frequncia K para a distribuio Gumbel-Chow (continuao)
tamanho Perodo de retorno, Tr, em anos da 2 5 10 15 20 25 50 75 100 1000
amostra Probabilidade de no excedncia, F (%) N 50 80 90 93,33 95 96 98 98,67 99 99,9
55 -0,1575 0,8128 1,4552 1,818 2,071 2,2669 2,8690 3,219 3,4667
56 -0,1576 0,8116 1,4532 2,2639 2,8653 3,4623
57 -0,1577 0,8103 1,4512 2,2610 2,8618 3,4581
58 -0,1578 0,8092 1,4494 2,2583 2,8583 3,4540
59 -0,1579 0,8080 1,4475 2,2556 2,8550 3,4500
60 -0,1580 0,8069 1,4458 1,806 2,059 2,2529 2,8518 3,200 3,4461
61 -0,1581 0,8058 1,4440 2,2504 2,8486 3,4424
62 -0,1582 0,8048 1,4424 2,2479 2,8455 3,4387
63 -0,1583 0,8038 1,4407 2,2455 2,8426 3,4352
64 -0,1583 0,8028 1,4391 2,2432 2,8397 3,4317
65 -0,1584 0,8018 1,4376 1,796 2,048 2,2409 2,8368 3,183 3,4284
66 -0,1585 0,8009 1,4361 2,2387 2,8341 3,4251
67 -0,1586 0,8000 1,4346 2,2365 2,8314 3,4219
68 -0,1587 0,7991 1,4332 2,2344 2,8288 3,4188
69 -0,1587 0,7982 1,4318 2,2324 2,8263 3,4158
70 -0,1588 0,7974 1,4305 1,788 2,038 2,2304 2,8238 3,169 3,4128 5,359
71 -0,1589 0,7965 1,4291 2,2284 2,8214 3,4099
72 -0,1590 0,7957 1,4278 2,2265 2,8190 3,4071
73 -0,1590 0,7950 1,4266 2,2246 2,8167 3,4044
74 -0,1591 0,7942 1,4254 2,2228 2,8144 3,4017
75 -0,1592 0,7934 1,4242 1,780 2,029 2,2211 2,8122 3,155 3,3991
76 -0,1592 0,7927 1,4230 2,2193 2,8101 3,3965
77 -0,1593 0,7920 1,4218 2,2176 2,8080 3,3940
78 -0,1593 0,7913 1,4207 2,2160 2,8059 3,3916
79 -0,1594 0,7906 1,4196 2,2143 2,8039 3,3892
80 -0,1595 0,7899 1,4185 1,773 2,020 2,2128 2,8020 3,145 3,3868
81 -0,1595 0,7893 1,4175 2,2112 2,8000 3,3845
82 -0,1596 0,7886 1,4165 2,2097 2,7982 3,3823
83 -0,1596 0,7880 1,4154 2,2082 2,7963 3,3801
84 -0,1597 0,7874 1,4145 2,2067 2,7945 3,3779
85 -0,1597 0,7868 1,4135 1,767 2,013 2,2053 2,7927 3,135 3,3758
86 -0,1598 0,7862 1,4125 2,2039 2,7910 3,3738
87 -0,1598 0,7856 1,4116 2,2026 2,7893 3,3717
88 -0,1599 0,7851 1,4107 2,2012 2,7877 3,3698
89 -0,1599 0,7845 1,4098 2,1999 2,7860 3,3678
90 -0,1600 0,7840 1,4089 1,762 2,007 2,1986 2,7844 3,125 3,3659
91 -0,1600 0,7834 1,4081 2,1973 2,7828 3,3640
92 -0,1601 0,7829 1,4072 2,1961 2,7813 3,3622
93 -0,1601 0,7824 1,4064 2,1949 2,7798 3,3604
94 -0,1602 0,7819 1,4056 2,1937 2,7783 3,3586
95 -0,1602 0,7814 1,4048 1,757 2,002 2,1925 2,7769 3,116 3,3569
96 -0,1602 0,7809 1,4040 2,1913 2,7754 3,3552
97 -0,1603 0,7804 1,4033 2,1902 2,7740 3,3535
98 -0,1603 0,7800 1,4025 2,1891 2,7726 3,3519
99 -0,1604 0,7795 1,4018 2,1880 2,7713 3,3503
100 -0,1604 0,7791 1,4010 1,752 1,998 2,1869 2,7700 3,109 3,3487 5,261
-0,1642 0,7197 1,3048 1,6350 1,8662 2,0442 2,5927 2,9115 3,1372 4,9363
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Figura 7.9 Papel de probabilidade de Gumbel para a distribuio de frequncia de eventos extremos
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EXERCCIOS: PREVISO DE ENCHENTES
7.1) Uma usina hidreltrica tem vida til de 50 anos. Qual o risco que se corre se o seu vertedor
projetado para uma cheia de tempo de recorrncia igual a:
a) vida til da obra? ; b) 1000 anos?; c) 10000 anos? R: a) 63%; b) 4,8%; c) 0,5%.
7.2) Qual o perodo de retorno a considerar no projeto da hidreltrica com vida til de 50 anos,
se se admite um risco de 10%? R: Tr = 475 anos.
7.3) Que perodo de retorno deve o engenheiro adotar no projeto de uma galeria de drenagem de
uma rodovia, se ele est disposto a aceitar somente 10% de risco de que a obra falhe nos
prximos 5 anos? R: Tr = 48 anos.
7.4) Uma ensecadeira dever ser construda para proteger as atividades de construo de uma
barragem durante os 5 anos de obra. Se a ensecadeira projetada para resistir uma cheia de 20
anos, qual o risco que a estrutura venha a ser sobrepassada a) no primeiro ano?; b) em um ano
qualquer dos 5 anos de construo da barragem? ; c) em nenhum ano dos 5 anos de construo? R: a) 5,0%; b) 22,6%; c) 77,4%.
7.5) O conjunto de dados abaixo foi obtido em um posto de medio de vazo, no perodo de
1940 a 1959 (inclusive).
mdia das cheias anuais (srie anual): 198,24 m3/s;
desvio-padro das cheias anuais: 28,32 m3/s;
coeficiente de assimetria das cheias: 1,0;
mdia dos logaritmos (base 10) das cheias anuais: 1,27;
desvio-padro dos logaritmos das cheias anuais: 0,50;
coeficiente de assimetria dos logaritmos das cheias anuais: 0,2.
Com base nestes dados, determinar a magnitude da cheia de 100 anos, assumindo que os picos
de vazo sigam as distribuies: a) Normal; b) Log-normal; c) Pearson tipo III; d) Log-Pearson
tipo III; e) Gumbel (terica); f) Gumbel-Chow. R: a) 264m3/s; b) 271m3/s; c) R: 284m3/s; d) 320m3/s; e) 287m3/s; f) 307m3/s
7.6) Os dados de vazes mximas anuais da bacia do rio Jacupiranga, correspondentes a 28 anos
de observao so fornecidos na tabela abaixo. a) Estimar as cheias de 100 anos e de 1000 anos
com base nas distribuies Log-normal, Log-Pearson III e Gumbel-Chow. b) Discutir os
resultados, lanando os dados em papel de probabilidade. (Utilizar relao de Weibull para a
posio de plotagem: dados da srie anual em ordem decrescente):
Ordem m Q(m3/s) Ordem m Q(m3/s) Ordem m Q(m3/s) Ordem m Q(m3/s)
1 261 8 182 15 167 22 150
2 239 9 180 16 163 23 140
3 210 10 179 17 158 24 137
4 196 11 176 18 153 25 126
5 190 12 172 19 151 26 120
6 189 13 170 20 151 27 111
7 189 14 169 21 150 28 104
7.7) As cheias anuais de um rio seguem uma distribuio Log-normal de probabilidade. A cheia
de perodo de recorrncia de 2 anos foi estimada em 113m3/s e a de 10 anos em 150m
3/s.
Determine a magnitude da cheia de 25 anos. R: QTr=25 =166m3/s.
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7.8) Repetir o Exemplo 7.10 utilizando a construo grfica em papel de probabilidade de
Gumbel.
7.9) O registro das mximas vazes anuais em um rio, levantado durante 40 anos, indica que tais
eventos se distribuem segundo Gumbel e tm mdia e desvio-padro respectivamente iguais a
60m3/s e 23m
3/s.
a) Qual a probabilidade de ocorrer um evento de magnitude menor que 85 m3/s?
b) Qual o valor de uma cheia com perodo de retorno de 200 anos?
c) Qual a probabilidade de que ao menos uma cheia com perodo de retorno de 100 anos venha
ocorrer durante os prximos 25 anos? R: a) P{Q