18. soal-soal notasi sigma, barisan, deret dan induksi matematika

www.belajar-matematika.com - 1

18. SOAL-SOAL NOTASI SIGMA,BARISAN, DERET DAN INDUKSI

MATEMATIKA

UN2004

1.Nilai

21

2)65(

nn ….

A. 882 B. 1030 C. 1040 D. 1957 E. 2060

Jawab:

21

2)65(

nn (5.2 – 6) + (5.3 – 6) + (5.4 – 6)+…+ (5.21 – 6)

= 4 + 9 + 14+ . . .+ 99

a = 4b = 9 – 4 = 14 – 9 = 5n = n(akhir) – (n(awal)-1) = 21 – (2-1) = 20

S n =2n (a + U n ) =

2n (2a +(n-1) b)

=2

20 (2. 4 +(20-1) 5) = 10 (8 + 95)

= 10 . 103 = 1030

Jawabannya adalah B

EBTANAS2000

2. Diketahui

25

5)2(

kpk 0, maka nilai

25

5...

kpk

A. 20 B. 28 C. 30 D. 42 E. 112

Jawab:

25

5)2(

kpk 0

25

5)2(

kpk

25

52

k-

25

5kpk 0

25

52

k

=

25

5kpk

2 (n(akhir) – (n(awal)-1) ) =

25

5kpk

2 (25 – (5-1) ) =

25

5kpk

2 . 21 =

25

5kpk

25

5kpk = 42

jawabannya adalah D

Catatan :

25

52

k=

kalin

2...222 = 2 . 21 = 42

n = 25 – (5-1) = 21 kali

EBTANAS20003. Suku keempat dan suku ketujuh barisan aritmetikaberturut-turut adalah 17 dan 29. Suku ke 25 barisan tersebutadalah….

A. 97 B. 101 C. 105 D.109 E. 113

Jawab:

U 4 = 17 = a + (n-1) b = a + 3b …(1)U 7 = 29 = a + (n-1)b = a + 6b …(2)

Dari (1) dan (2)

a + 3b = 17a + 6b = 29 -

-3b = -12b = 4

a + 3b = 17a = 17 – 3b

= 17 – 3.4= 17 – 12 = 5

U 25 = a + (25 – 1)b= 5 + 24 . 4 = 5 + 96 = 101

jawabannya adalah B

EBTANAS19904. Suatu deret aritmetika, diketahui jumlah 5 suku yangpertama = 35 dan jumlah 4 suku yang pertama = 24, sukuyang ke 15 = ….

A. 11 B. 25 C. 31 D. 33 E. 59


Jawab:

S 5 =2n (2a +(n-1) b) =

25 (2a + 4b) = 5a+10b = 35….(1)

S 4 =24 (2a + 3b) = 4a + 6b = 24 ….(2)

dari (1) dan (2)

5a+10b = 35 | x 4 | 20a + 40b = 1404a + 6b = 24 | x 5 | 20a + 30b = 120 -

10b = 20b = 2

5a + 10b = 355a = 35 – 10b5a = 35 – 20a = 15/5 = 3

U 15 = a + (15 – 1)b= 3 + 14 . 2 = 3 + 28 = 31

Jawabannya adalah C

UAN20075. Dari suatu barisan aritmetika, suku ketiga adalah 36,jumlah suku kelima dan ketujuh adalah 144. Jumlah 10 sukupertama deret tersebut adalah…

A. 840 B. 660 C. 640 D. 630 E. 315

jawab:

U 3 = a +(n-1) b = a + 2b = 36 …(1)U 5 + U 7 = a + 4 b + a + 6b = 144

= 2a + 10b = 144= a + 5b = 72 ….(2)

Dari (1) dan (2)

a + 2b = 36a + 5b = 72 -

-3b = -36b = 12

a + 2b = 36a = 36 – 2b

= 36 – 24 = 12

S 10 =2

10 (2. 12 +(10-1) 12) = 5 (24 + 108)

= 5 . 132 = 660

Jawabannya adalah B

EBTANAS19936. Jumlah n suku pertama dari sebuah deret aritmetika adalah

S n =21 n (3n – 1 ). Beda dari barisan aritmetika itu

adalah….

A. -3 B. -2 C. 3 D. 2 E. 4

jawab:

jumlah n suku pertama:

S n =21 n (3n – 1 )

S 1 =21 1 (3 – 1 ) = 1

S 2 =21 2 (6 – 1 ) = 5

Beda = U n - U 1n = U 2 - U 1

U 1 = S 1 = 1U n = S n - S 1n

U 2 = S 2 - S 1 = 5 – 1 = 4Beda = U 2 - U 1 = 4 – 1 = 3

Jawabannya adalah C

UAN20037. Suatu keluarga mempunyai 6 anak yang usianyapada saat ini membentuk barisan aritmetika. Jika usiaanak ke-3 adalah 7 tahun dan usia anak ke-5 adalah12 tahun, maka jumlah usia enam anak tersebutadalah ........

A . 48,5 tahun C . 49,5 tahun E . 50,5 tahunB . 49,0 tahun D . 50,0 tahun

Jawab:

U 3 = a +(n-1) b = a + 2b = 7 …(1)U 5 = a +(n-1) b = a + 4 b = 12 …(2)

Dari (1) dan (2)a + 2b = 7a + 4 b = 12 -

- 2 b = -5 b =25

a + 2 b = 7


a = 7 – 2b

= 7 – 2 .25 = 2

jumlah n suku pertama:

S n =2n (2a +(n-1) b)

maka jumlah usia enam anak tersebut adalah:

S 6 =26 (2.2 +(6-1).

25 )

= 3. ( 4 +225 ) = 3 (

233 ) =

299 = 49

21 tahun

Jawabannya adalah C

UMPTN19988. Antara dua suku yang berurutan pada barisan 3, 18, 33,…disisipkan 4 buah bilangan sehingga terbentuk barisanaritmetika yang baru. Jumlah 7 suku pertama dari barisanyang berbentuk adalah…

A. 78 B. 81 C. 84 D. 87 E. 91

Jawab:

dari barisan 3, 18, 33,…

diketahui a = 3b = 15k = 4

beda barisan yang baru:

b ' =1kb

=14

15

= 3

Jumlah 7 suku pertama barisan yang terbentuk :

S n' = {

2

'n (2a + (n ' -1) b ' }

S 7 =27 {2.3+(7-1).3} =

27 (6+18) = 84

Jawabannya adalah C

UAN20029. Banyak bilangan antara 450 dan 1001 yang habis dibagi 8adalah…

A. 67 B. 68 C. 69 D. 182 E. 183

Jawab:

bilangan antara 450 dan 1001 yang habis dibagi 8456, 464, 472, …, 1000

ditanya banyak bilangan (n) = ?

U n = a + (n-1) b

U n = 1000a = 456b = 464 – 456 = 472 – 464 = 8

sehingga :

1000 = 456 + (n-1 ) . 8= 456 + 8.n – 8= 448 + 8n

8n = 1000 – 448= 552

n =8

552 = 69

jawabannya adalah C

SPMB200310. Jumlah bilangan diantara 5 dan 100 yang habis dibagi 7tetapi tidak habis dibagi 4 adalah…

A. 168 B. 567 C. 651 D. 667 E. 735

jawab:

1. bilangan diantara 5 dan 100 yang habis dibagi 7

7, 14, 21, …, 98

a = 7 ; b = 7

U n = a + (n-1) b98 = 7 + (n-1). 798 = 7 + 7n – 798 = 7nn = 98/7 = 14


S n =2n (2a +(n-1) b)

S 14 =2

14 (2 . 7 + 13. 7)

= 7 (105) = 735

2. bilangan diantara 5 dan 100 yang habis dibagi 7 dan jugahabis dibagi 4 :

28, 56, 84

karena jumlah n sedikit kita langsung jumlah saja =S 3 = 28 + 56 + 84 = 168

Kalau dengan rumus seperti berikut:

a = 28 ; b = 28 ; n = ?

U n = a + (n-1) b84 = 28 + (n – 1).2884 = 28 + 28n – 2884 = 28nn = 84/28 = 3

S n =2n (2a +(n-1) b)

S 3 =23 (2.28 + 2 . 28)

=23 ( 112) = 168 ( hasilnya sama)

Jumlah bilangan diantara 5 dan 100 yang habis dibagi 7 tetapitidak habis dibagi 4 adalah :

hasil (1) – hasil (2) = 735 – 168 = 567

jawabannya adalah B

EBTANAS1999

11. Dari suatu barisan geometri diketahui suku ke 2 adalah34

dan suku ke 5 adalah 36. Suku ke 6 barisan tersebut adalah….

A. 108 B.120 C.128 D. 240 E. 256

Jawab:

U n = ar 1n

U 2 = a r =34

U 5 = ar 4 = 36

2

5

UU

=arar 4

=3/4

36

r 3 = 36 .43 = 27

r = 3 27 = 3

a. r =34a =

33/4 =

94

U 6 = ar 5 =94 . 3 5 =

94 . 243 = 108

Jawabannya adalah A

UN200612. Dari suatu deret geometri yang rasionya 2 diketahuijumlah 10 buah suku pertama sama dengan 3069. Hasil kalisuku ke 4 dan ke 6 dari deret tersebut=….

A. 3069 B. 2304 C. 4236 D. 4476 E. 5675

jawab :

Diketahui :

r = 2

S n =1

)1(

rra n

karena r > 1

S 10 =12

)12( 10

a = 3069

1

1023.a = 3069

a =1023

.3069 = 3

U 4 = ar 3 = 3 . 2 3 = 3 . 8 = 24U 6 = ar 5 = 3 . 2 5 = 3 .32 = 96

U 4 . U 6 = 24 . 96 = 2304

jawabannya adalah B


UAN200713. Sebuah mobil dibeli dengan harga Rp.80.000.000,- Setiap

tahun nilai jualnya menjadi43 dari harga sebelumnya. Berapa

nilai jual setelah 3 tahun ?

A. Rp. 20.000.000,- D. Rp. 35.000.000,-B. Rp. 25.312.000,- E. Rp. 45.000.000,-C. Rp. 33.750.000,-

Jawab:

Diketahui harga awal = a = 80.000.000

r =43

Nilai jual setelah 3 tahun = suku ke 3 = U 3

U 3 = ar 1n = 80.000.000 . (43 ) 2

= 80.000.000169

= 45.000.000

Jawabannya adalah E

EBTANAS199714. Jumlah n suku pertama suatu deret geometri ditentukanoleh rumus S n = 2 2n - 4 . Rasio dari deret tersebut adalah…

A. 8 B. 4 C. 2 D.21 E.

41

Jawab:Jumlah n suku pertama = S n = 2 2n - 4S 1 = 2 3 - 4

= 4S 1 = U 1 = a = 4

S 2 = U1 + U 2 = 2 22 - 44 + U 2 = 2 4 - 4

U 2 = 16 – 4 – 4= 8

U 2 = a. r

r =aU 2 =

48 = 2

Jawabannya adalah C

UAN200515. Jumlah deret geometri tak hingga dari

8 +3

16 +9

32 + . . .

A. 48 B .24 C. 19.2 D. 18 E. 16.9

Jawab:

r =83

16=

32 |r| < 1 , maka S =

ra1

mempunyai nilai (konvergen)

S =ra1

=

321

8

=

318 = 24

Jawabannya adalah B

SPMB2002

15. Agar deret bilangan ,...)1(

1,1,1

xxxx

x

jumlahnya mempunyai limit, nilai x harus memenuhi…

A. x > 0 C. 0<x< 1 atau x >1 E. 0<x< 1 atau x >2B. x < 1 D. x >2

Jawab:

Deret bilangan ,...)1(

1,1,1

xxxx

x

Mempunyai r =

xxx

1

1

=x1 .

1xx =

11x

Mempunyai limit (konvergen)

jika |r| < 1 atau -1 <r < 1

-1 <1

1x

< 1


(1 )1

1x

> -1

1 > -x +1x -1 + 1 > 0x > 0

(2)1

1x

< 1

1 < x - 1x – 1 > 1x > 2

gabungan dari (1) dan (2) didapat nilai x > 2

jawabannya adalah D

catatan:x > 2 memenuhi x > 0x > 0 tidak memenuhi x > 2

UAN200516. Sebuah bola pingpong dijatuhkan dari ketinggian 25m

dan memantul kembali dengan ketinggian54 kali tinggi

sebelumnya. Pemantulan ini berlangsung terus menerushingga boleh berhenti. Jumlah seluruh lintasan bola adalah..

A. 100m B. 125m C. 200m D. 225m E. 250m

Jawab:

Menjawab soal ini dengan membayangkan pergerakan bolapingpong tersebut yang digambarkan dengan sketsagambarnya sbb:

25 m

20 20 16 16

terlihat pada gambar 20m dan 16m dan selanjutnya nya

terdiri dari dua kejadian: pantulan54 dari tinggi

sebelumnya naik ke atas dan dengan jarak yang samaturunnya.

Sehingga terjadi 2 kejadian deret yaitu naik dan turun

a = 20 (bukan 25, deret terjadi awalnya pada 20)

r =54

deret adalah tak terhingga karena sukunya tidak terbatas.

S =ra1

=

541

20

=

5120 = 100

Jumlah seluruh lintasan = 25m + S naik + S turun= 25m + 100m + 100m= 225m

Jawabannya adalah D

18. soal-soal notasi sigma, barisan, deret dan induksi matematika

Documents